38 Introducción al Cálculo
• DEFINICIÓN 3 .3 Una sucesión es monótona creciente si an < a n+ i, Vn e BJ. Análogamente, se
define sucesión monótona decreciente.
E j e m p l o 3 .1 L a sucesión {an} = —n es m onótona decreciente.
• DEFINICIÓN 3 .4 Se dice que la sucesión {an} está acotada superiormente si existe i e l /a n <
k, Vn € N. Análogamente se define sucesión acotada inferiormente. Si una sucesión está acotada supe
rior e inferiormente, se dice que está acotada.
EJEM PLO 3 . 2 L a sucesión del ejem plo anterior, {an} = está acotada entre 0 y 1.
• DEFINICIÓN 3.5 El número a eM.es el límite de la sucesión {an}si todo entorno de a contiene los
infinitos términos de dicha sucesión desde uno de ellos en adelante, es decir, en todo entorno de a existen
infinitos términos, quedandojuera de él un númerofinito.
EJEMPLO 3.3 En la sucesión anterior, de término general {an} = -n, el límite es cero, pues si se toma
un entorno cualquiera de cero, por ejemplo (—0.1, 0.1), los infinitos términos, a partir de «io, están todos
dentro de dicho entorno, quedando fuera de él los diez primeros.
• DEFINICIÓN 3.6 Dicho de otra forma, se dice que a es el límite de lasucesión{«„} si Ve > 03 5
(Sfunción de e), tal que sin > <5se verifica \an —a\ < e.
EJEMPLO 3.4 € En efecto, en la sucesión del ejemplo anterior, {an} = -n, el límite es igual a cero, ya
que si se toma —0,1, se tiene que S = 10, puesto que a partir de a\Q cumple que
Tomando e = 0,01, se tendría que S —100. se \an —0| < 0,1.
Que el límite de la sucesión {an} es a, se representa:
nl—í>m-oo an = a
y se lee “el límite cuando n tiende a infinito de [an} es igual a a”.
Consecuencia de la definición de límite es la siguiente proposición:
■ PROPOSICIÓN 3.1 Si una sucesión tiene límite, éste es único.
DEMOSTRACIÓN. Por reducción al absurdo. Se supone que la sucesión {an} tiene doslímitesdistintos
a y a', a < a'. Si d — a! —a, tomando dos entornos E y E', de radios menores que d/2 y centros
respectivos a y a', cada uno de ellos debe contener infinitos términos de la sucesión, salvo un número
finito. Esto es absurdo y, por tanto, a = a '.M
EJEMPLO 3.5 La sucesión {«„} = (—1)" n+ 1 aparenta poseer dos límites: 1y —1. Pero tanto 1
n
como —1 no cumplen la definición de límite, ya que tomando un entorno suficientemente pequeño de
uno de ellos, a pesar de que contiene infinitos términos de la sucesión, quedan fuera, en las proximidades
del otro, infinitos términos. A 1 y —1 se les llama puntos de acumulación, ya que no se les puede llamar
límites.
• DEFINICIÓN 3.7 A toda sucesión que posee límite se le llama convergente.
Capítulo 3 / Sucesiones 39
■ PROPOSICIÓN 3 .2 Toda sucesión monótona creciente (decreciente) y acotada superiormente (infe-
riormente) es convergente.
D e m o s t r a c ió n . S ea M, tal que an < M, Vn e N. E ntonces, se cum ple que a\ < an < M, Vn e N.
Es decir, en el intervalo [ai, M están todos los términos de la sucesión. Se divide dicho intervalo en dos
suub-inttervaltos ía\, —a i +-—M
¿Zl T M , M , y se toma aquel intervalo que contiene infinitos puntos; se
repite el proceso infinitas veces y se obtiene una sucesión de intervalos que definen un único punto común
(postulado de Cantor, Sección 1.12), que es el límite de an, ya que cualquier intervalo que contenga a
dicho punto contendrá infinitos términos de la sucesión.
De modo análogo se demostraría para una sucesión decreciente y acotada inferiormente. ■
8¿>. E X Í » a i I l !n_q:: _ _j
9 DEFINICIÓN 3 .8 Se dice que una sucesión {an} es divergente si, jijado un número real K, existe un
número natural S (Sfunción de K ) tal que Vn > S se verifica \a„\ > K.
EJEMPLO 3 .6 Por ejemplo, la sucesión {a,,} = 2n diverge, ya que si se toma K = 1000, entonces
S = 500, puesto que a partir de ¿Z500 todos los términos son mayores que K . Análogamente, si K —2000,
entonces S = 1000.
En la definición se ha tomado an en valor absoluto para incluir entre las divergentes aquellas sucesio
n{¿ez;s¡}q=ue(t-ie1n)d"enn.a —00 y aquellas otras que tienden, simultáneamente, a +00 y a —00, como la sucesión
Toda sucesión pertenece a uno de estos tres grupos:
1. Convergentes (que tienen límite).
2. Divergentes (que tienden a infinito).
3. Oscilantes (que no son convergentes ni divergentes).
3 .5 . OPERACIONES CON SUCESIONES
© DEFINICIÓN 3 .9 Dadas dos sucesiones, {¿z,¡} y {bn}, se llama suma de ellas dos a la sucesión {cn},
cuyos términos se obtienen de la forma c¡ = a¡ + b¡, Vz e N. Análogamente se definen el producto y
cociente de sucesiones. Este último siempre y cuando los términos del denominador sean distintos de
cero.
E j e m p l o 3 .7 Sean:
{,i n} = ^ - n± 1 = 2, 3 / 2 , 4 / 3 , 5 / 4 , 6 / 5 , . . .
{bn} = -n = 1 , 1/ 2 , 1/ 3, 1/ 4, 1 / 5, . . .
Su suma: {a,¡ + b,,} = -n--+n---2-- = 3 , 4 / 2 , 5 / 3 , 6 / 4 , 7 / 5 , . . .
Su producto y cociente:
{¿z„ ■btt) = nl = 2, 3 / 4 , 4 / 9 , 5 / 1 6 , 6 / 2 5 , . . .
í^il = n+ l = 2, 3, 4, 5, 6,...
1bn J
40 Introducción al Cálculo
ROPIEDADES DE LOS LIMITE
Dadas dos sucesiones convergentes, {a,,} y {&„}, con limites respectivos a y b, se verifica:
1. nl—í>m00(an ± bn) = /zl-í»moo a„ ± nl—í>m00 bn.
2. lím k ■an = k ■11l-í+m00 an.
n-+ 00
3. 11l-íymoo (a„ ■bn) — Km an ■ Km bn.
«->■00 íi-^-oo
4. Km (an/bn) — Km «„/ Km bn.
n-y 00 n —►oo n-^-oo
siendo los términos de bn distintos de cero, y presentándose los casos siguientes:
■ Si a yí 0 y b 0, la sucesión cociente es convergente de límite a/b.
■ Si a = 0 y b^
0, la sucesión cociente esconvergente delímite cero.
EJEMPLO 3 .8 Si {an} = -1 y {bn} = -n--+-n--1--= > \ lí—ab¡ni~}i\= 1 , convergente de lím ite cero.
n n +1
Si a ^ 0 y b = 0, la sucesión cociente es divergente.
E JEM PLO 3 .9 Tomando {an} = ——- y {bn}= —, entonces{— } = n + 1 es divergente.
n n l bn I
Si a = 0 y b = 0, el límite del cociente es indeterminado y se simboMza 0/0.
EJEM PLO 3 . 1 0 Sean {an} — — y [bn] — -i- convergentes a cero. Su cociente es {c„} = { — } — n,
n n¿ l bn J
1—n es {cn} r1a—n ]1 -2,
divergente. Sin embargo,el cociente de {an} = 2—=• y {bn} = = l bn J = n queconverge
n¿
a cero. Así, elcociente dedos sucesiones convergentes a cero puedeser convergente o divergente y, en
principio, indeterminado.
Si {cin}y {bn} convergen a cero, el Kmite de (cin)bn es indeterminado. Se simboliza 0o.
3 7 OPERACIONES CON1SÜGESIONES DJfJRGENTES
1. La suma de dos sucesiones divergentes del mismo signo es otra sucesión divergente del mismo
signo que las anteriores.
2. La suma de una sucesión convergente y una sucesión divergente es una sucesión divergente del
mismo signo que ésta.
3. El Kmite de la diferencia de dos sucesiones divergentes del mismo signo es indeterminado. Se
simbofiza oo —oo.
4. El producto de dos sucesiones divergentes es una sucesión divergente.
5. El producto de una sucesión divergente por una convergente (que no tiende a cero) es una sucesión
divergente.
6. El producto de una sucesión convergente a cero por una sucesión divergente es indeterminado. Se
simbofiza O.oo.
EJEM PLO 3 .1 1 Sean {an} = -i- y {bn} —n. Su producto es {an ■bn) — —n , que converge a cero. Sin
embargo, el producto de [cn] = —y [dn] — n2 es {c,¡ • dn] — n, que es divergente.
n
7. El Kmite del cociente de dos sucesiones divergentes es indeterminado. Se simbofiza —oooo .
8. El cociente de una sucesión convergente y una divergente es una sucesión convergente a cero.
Capítulo 3 / Sucesiones 41
9. Por último, si la sucesión {an}diverge y la {bn} converge a cero, el límite de (an) bn es una indeter
minación que se simboliza oo°.
Hay una serie de procedimientos para salvar todas estas indeterminaciones, como se verá a continua
ción.
n a © teoai® iiS [kl2am ^
Se va a ver ahora un conjunto de procedimientos y técnicas para calcular límites:
1. Límite del cociente de dos polinomios. Sea:
/i„h—>moo -abfpq--ini-Q-p--++--- b-aip-q—^-\\nn—pi—~~¡l-l-+------------------1M--b--i\-n-n--++--a-o—oo
donde ap ^ O, b„ ^ O, p ,q e N. El límite es indeterminado, mdeaylaorfpoormteanc—ooiaoo d; esen,reexsuisetliveendloa
numerador y el denominador por la
indeterminación dividiendo el
tres posibilidades:
a. p = q. Se divide por np:
cip H---C-l-p-—--1-- 1---C-l-p-—^—2 h • • •H—np~—1r H--n0---Qp-
------ n
lím
0 , + ^ n + ^n¿ + - +nP- ^1 +np- ^
El Kmite del numerador es ap y el del denominador es bq. Por tanto, el límite es ap/bq.
b. p > q. Dividiendo por np ,se observa que el numerador tiene por Kmite cip, siendo elKmite
del denominador igual a cero. Por tanto, el Kmite es oo.
c. p < q. Se procede de un modo análogo y el Kmite es igual a cero.
2. Límites en los que aparecen expresiones irracionales. La forma habitual de hacerlos es multiplicar
y dividir por el conjugado o por una expresión adecuada.
3. Límites del tipo oo° y 0o. Suelen hacerse tomando logaritmos.
4. nK-+moo (a„ —an- \ ) = a =4> Km — —a.
/í—>oo /2
5. Criterio de Stolz-Cesáro. Si existe:
an —a„_ i (I)
¡ili>moo b-n---—--b n - 1
entonces existe:
nK->moo —bn (II)
y se verifica hm —Ob-nn = hm -Gb--nn--— O-n—1 , cuand,o:
n —>oo n-»oo b,¡-1
a) bn es estrictamente creciente y divergente, o bien,
b) Km an —nK—>moo bn —0 y la sucesión de término general bn es monótona.
n-> oo
Está claro que aunque no exista el Kmite de la expresión (I) puede existir el de la expresión (II).
6. Criterio de la media aritmética:
hm an = a hm CL\+ 0-2 + ••• + an a
oo
------------------------- =
n-> oo n
7. Criterio de la media geométrica. Si an > O, Vn 6 N:
42 Introducción al Cálculo
8. Criterio del cociente-raíz. Si an > 0, Vn e N:
lWim «--2-1-+-1-- = a _==_$■ lím tyan =------- a
n->oo a n n-*oo
9. Fórmula de Stirling. Esta fórmula es de utilidad en algunos límites:
ilí'm n! = 11
n-+oo * j 2 n n ■n" ■e ~ n
ORDENES DE INFINIIUD PAR
A veces son de gran utilidad las desigualdades:
nn > n\ > an > na > lnn, con a > 1 y a > 0.
Cuando n -> oo, el límite del cociente de una de ellas entre otra menor es infinito. Análogamente, el
límite del cociente de una de ellas entre otra mayor es cero.
Se va ahora a estudiar la sucesión / -1)\ n
[an} = (l +
Dando valores a n:
ai = (1 + l ) 1 2,25
1\2
(l + ^ )3 =2,37...
/( l + í1)\ 4 = 2 , 4 4 , , ,
La distancia entre los sucesivos términos de la sucesión se va reduciendo, lo que hace sospechar que
la sucesión debe converger a un número real comprendido entre 2 y 3. Si se dan valores más altos:
1 \ 10 :2,5937...
«10 = 1+ To)
atoo 1 \ioo
aiooo :
1 + ío o ) = 2'7048-
1 X1000
1 + iooo) = 2'71® -
«10000 : + 10000 2,71814...
1 10000/
+ 100000
«tooooo = 1 100í0—00/) 2,7182682...
Observando las cifras que se repiten, se obtiene el límite de esta sucesión, 2,7182818284..., un
número irracional trascendente (Sección 1.3) que se designa con la letra e, en recuerdo de Euler. Por
tanto:
nl-í+mcQ(\ l + -nYJ = 2,7182818284...
Capítulo 3 / Sucesiones 43
Además, se puede demostrar que e no sólo es el límite de la sucesión de término general í/1 H—1\J" ,
sino de (( 1 H—1 V1 , siendo p cualquier expresión real que tienda a oo. ™
V PJ
Por otra parte, es inmediato que:
xl—ím»0(l + x ) 1/x = e
tomando x = 1/n. En general:
lím a nbn = n lím eb"{a"~l)
n-> oo —►■oo
si an —>■1,b n OO.
APLICACIONES DEL NUMERO
Se va a calcular el capital final C en que se convierte un capital inicial c, colocado a interés continuo.
Su importancia radica emettiecho de que este razonamiento sirve de modelo para muchas aplicaciones:
desintegración radiactiva de una sustancia, demografía, crecimiento de una colonia de bacterias, etc.
Si se coloca, a interés simple y al tanto por cien anual r, un capital de c euros, al cabo de un año c se
cr
ha convertido en C —c + . Sería mejor calcular los intereses semestralmente, ya que de este modo
y—
los intereses de los primeros seis meses producirían nuevos intereses los seis meses siguientes. O mejor
sería que el cálculo de intereses se hiciera mensualmente, ya que los intereses del primer mes producirían
nuevos intereses el segundo, tercer, cuarto mes, etc., al igual que los intereses de éstos en meses sucesivos.
Y aún mejor sería que el cómputo de intereses se hiciera cada dia, cada hora, cada minuto, cada segundo,
etc., es decir, en intervalos de tiempo infinitamente pequeños. Este tipo de interés se llama interés continuo
cuando los intereses se acumulan al capital de modo instantáneo.
Para su cálculo, se va a dividir el año en p partes iguales y se va a utilizar el tanto por uno anual r,
en lugar del tanto por ciento del interés simple. Suponiendo que se dispone de un capital c, al finalizar la
primera de las p partes un euro se ha transformado en 1 + r/p.
Al final de la segunda parte, el euro ha producido unos intereses iguales a r/p, y los intereses han
producido a su vez unos intereses iguales a (r / p )2, como se puede ver fácilmente. Por tanto, al final de
la segunda de las p partes, el euro se ha transformado en:
r r /r\2 / r \2
1 H d 1----d- b ( \—p)y = (\H —p /)
Al final de la tercera parte: ^1 + —^ .
Al final del año, esto es, al final de la última de las p partes: / -\—r \J P.
Si el capital es c, al cabo del año: c (\1 + —p /')P.
Si en lugar de un año fuesen t años: c ^(1 H—Pr '\JP t
Cuando p —> oo, cada una de las partes en que se ha dividido el año tiende a cero y los intereses se
acumulan al capital de un modo instantáneo. Entonces, el capital final C producido por un capital inicial
c, al tanto por uno anual r durante í años, es:
C = lím c (1 + —\ P = c ■ert
p -* 00 \ n/
El interés del desarrollo anterior está en que el mismo razonamiento es aplicable a problemas de
diversas ciencias.
44 Introducción al Cálculo
E j e m p lo 3.12 Se coloca un capital de 50000 euros al 0,15 por uno anual y a interés continuo, durante
cinco años. ¿Cuál es el capital final C?
C = c • ert = 50000 • e°'15x5 = 105850 €
EJEMPLO 3 .1 3 Una sustancia radiactiva tiene una vida inedia de 1000 años. Dentro de 3000 años,
¿qué cantidad quedará de 2 gramos de dicha sustancia?
C = 2.e-0 ’001x3000 = 2.e“ 3 = 0,099 gr
Aparte de la sucesiones convergentes, cuyos términos están tan próximos al límite como se desee, se
puede definir en un cuerpo ordenado K otro tipo de sucesiones cuyos términos están tan próximos entre
sí como se quiera.
• DEFINICIÓN 3 .1 0 Dada la sucesión {an}, con elementos de un cuerpo ordenado K, se dice que es
regular, fundamental o de Cauchy si, y sólo si:
Ve e K+, 35 e N / \ap —aq\ < e, Vp, q > 5, p ,q e N
En la anterior definición, no aparece el concepto de límite. Sin embargo:
■ PROPOSICIÓN 3 .3 Toda sucesión convergente en un cuerpo ordenado K es de Cauchy en K.
D e m o st r a c ió n . Sea:
11l—í>mCOan —a =>■ Ve e K+, 35 e N / \an —a\ < e/2, Vn > 5
Tomando p > 5 y q > 5:
|ap - aq\ = |(ap —a) —(aq - a)\ < \ap - a\ + \aq - a\ < | | = e 1
Si K = E, la proposición recíproca de la anterior también se verifica. Sin embargo, en un cuerpo
ordenado cualquiera K, aunque toda sucesión convergente es de Cauchy, pueden existir sucesiones de
Cauchy que no sean convergentes. Por ejemplo, en el cuerpo Q , la sucesión 1, 1,4, 1,41, 1 ,4 1 4 ,..., es
de Cauchy y no convergente en Q , ya que su límite, V2, no pertenece a <Q) (Sección 1.14).
PROBLEMAS RESUELTOS
En los siguientes ejercicios, hallar el término general, el límite (si lo tienen), y clasificar las sucesiones:
3.1. i 1/2, 4 / 3 , 9/4, 1 6 /5 , . . .
Resolución
{a,,} = n2 n2 —oOoO (indeterminado)
-n--+----1. Su límite: nK-ymoo n---+---1---=
Dividiendo numerador y denominador por «9 . ;il-í»moo 1 1 r1~
Por tanto, la sucesión es divergente. _n + ~n2¿
Capítulo 3 / Sucesiones 45
3.2. ¡ 4 / 5 , 7 / 9 , 1 0 / 1 3 , 1 3 / 1 7 , . . .
Resolución
El numerador y denominador son dos progresiones aritméticas. Por tanto, {«„} = 43-nn--++---1-1.
Sou 3n + .l l„im--3--+-- —1/-n = 3-—+ 0- -43.
limite: lím + 1 = n-»-oo 4 + 1/n 4 + 0 =
n->oo 4n
La sucesión es convergente de límite -3.
3.3. ! -i, l, -i, l, -l, l, ... I
Resolución
{an} = (—1)". No es convergente, ya que 1 y —1 no son límites sino puntos de acumulación. Si se
toma un entorno conveniente de 1, fuera de dicho entorno quedan infinitos términos iguales a —1. La
sucesión es oscilante, ya que no es convergente ni tampoco divergente.
3.4. : 1, 2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, 1,
Resolución
Su término general: 1 si n es impar
{+z} n si n es par
Es oscilante, ya que 1 no es límite. Tomando un entorno de 1, los infinitos términos pares quedan fuera
de dicho entorno. Tampoco es divergente ya que, fijado k e R, k > 1, los infinitos términos impares son
menores que k.
3.5. Dada la sucesión 3/2, 5 /4 ,7 /6 , 9 /8 ,1 1 /1 0 ,..., hallar:
I a. El término que ocupa él lugar 123. ¡
i b. Su límite. i
c. El término de la sucesión a partir del cual la diferencia con el límite es, en valor absoluto, menor
! que 1/100. |
Resolución
2ii + 1
ían] 2n
_ 247
a. £¡123 “ 246
b. lím 2n + 1 2 H—
n->oo 2n lím ----- 5. = i
c. |an - 1| < /!-> OO 2n2 + 1 <1 1
2n - 1 100
100 2n 100
21n- < 1 2n > 100 = n > 50
100
A partir de aso, la diferencia con el límite es menor que 1
100'
46 Introducción al Cálculo
3.6. . La sucesión a\ = ~/3, cin = *J3 + an- 1, ¿es convergente?. Si la respuesta es afirmativa, hallar su
i límite.
Resolución
Está definida de forma recurrente (Sección 3.1). La sucesión es monótona creciente y acotada y, por
tanto, convergente (Proposición 3.2). Para demostrar que es monótona creciente, se procede por inducción
(Sección 1.5). Para n = 1:
a\ = V3 < y 3 + V3 = a2
Se supone que la hipótesis es cierta para n = k: a¡c < a¿+i. Se ha de demostrar para n = k + 1:
ak+i < aic+2- En efecto:
a¡c < a¡c+1 = > 3 + a¡c < 3 + au+i = + ^ 3 + au < -J3 + 1 1 < %+2
La sucesión está acotada. Por ejemplo, 3 es una cota superior.
Procediendo por inducción: a\ —*J3 < 3. Si an < 3 ==> an+ 1 = V3 + an < \/3 + 3 < 3.
Por ser monótona creciente y acotada es convergente.
Su límite será:
lím a,¡ — y-3--+----l-í-m-----a-„--_--i = + a = Vt3 + a = + a? —a —3 —0 1 “h -x/13
n->-oo y «->■oo
3.7. Empleando la definición de límite, demostrar que:
rt-»oo
Resolución
Recordando la definición de límite (Sección 3.2) y tomando un e > Ocualquiera:
n —1 —n1 < e < > n > -€1
Entonces, se verifica la definición para cualquier número natural S > -1.
€
Por ejemplo, si e = 0,1, entonces á > - = 10. A partir de ajo, la distancia de los términos a 1 es
menor que e = 0,1.
3.8. Hallar el límite de la sucesión: 1 + 2 .+ 3-1------- |-n
í a «}
Resolución
El numerador es la suma de una progresión aritmética:
1+ n n+n2
2 2n2
hm -1--+---2--+----3-*+----------+---«-- = = „lim 1
nl—í>moo—£+n= —
Capítulo3 / Sucesiones 47
3.9. i Hallar el límite de la sucesión: X 2 ... 2" - 1
3" + 1
í
Resolución
OO
Es una indeterminación de la forma — . Dividiendo numerador y denominador por 3/!:
n-*°° j 1_ 1
3"
ya que Km f -¿ \ n = 0 , por ser -¿ < 1.
n—>-oo \ 3 / 3
3.10. ¡ Calcular el límite de la sucesión:
| {«„} = -y!n + *fñ - y/n - V«
Resolución 2*/ñ
Multiplicando y dividiendo por el conjugado:
Hm
Dividiendo numerador y denominador por -y/ñ:
lu^■noo r;..... 2 = = = = nH„-±moo ■^, 2 ^;.... = 2 = 1
i+ i
jj
nV n v 1+ Vñ + V1
3.11. Calcular el límite de la sucesión: {a \ — l--n--(-3--n--2--+----6-n--.--+----1-)-
ln(4n + 2)
!
Resolución
OO
Es indeterminado de la forma —oo . Sacando factor común:
Km ln T n ^ f s H ----- 1—«-2' j/lJ = lfm2_1_n__n_+_/_«_f 3V_4_-_---n-_--_1—_« V
n
n-+ oo l nr | n/ .( 4, +2-\"j |j n-^-oo ln n + ln/y H —2 \j
Dividiendo numerador y denominador por ln n:
48 Introducción al Cálculo
3.12. Calcular el límite de la sucesión:
{fl7zj
n\ 1- n!
1! + 2! + 3! -i
Resolución 1 \1 = t1
ji/
Mediante el criterio de Stolz (Sección 3.8):
„ ( » ~ !)•
nk—>moo n--\--—---f(-in-\ —1 )! = nl—i>moo------ -—1 n:—\ — hn—m,±oo(A\1
3.13. Calcular: ^^ ^
1+ 2 + 3+ --- + -
■ ■ ■■ ■. nl—i>m00 -.---------- -I-n--1-1-----------
Resolución
Aplicando el criterio de Stolz (Sección 3.8):
1
77lí>moo -l-n--n--—---lñ—n(-n---—---1-)--= nl-í>moo--n----^---/;1—__ñ_—_ \r- = tz7l-i->moo ----/------1 1 =-\- = —ln1e = 1
\n -\J \ n - 1/
3.14. Hallar el límite de la sucesión: {an} = i/ñ
Resolución
Mediante el criterio del cociente-raíz (Sección 3.8):
77l—ím>00 n = 1 = 4 lím f/ñ = 1
3.15. Hallar el límite de la sucesi■ón {«„} = —j11= -
V«!
Resolución
77l“í>m0O—y n=n \ —til—r>m00 JJ n—fl“l
y
Aplicando el criterio del cociente-raíz (Sección 3.8):
Capítulo 3 / Sucesiones 49
3.16. í Hallar el límite de la sucesión {a,,} = n
. • •. n--i--■--e-"- .
-■
Resolución
Aplicando la fórmula de Stirling (Sección 3.8):
l„im —ti!n—. en- = „lim —J 2=i t=n -■-n-n"-"-■-e-~-n--■-e-n- — ]ím = ..~.j-.21izn =0
n-±oo n -* »
3.17. Hallar el límite de la sucesión:
J ¡n + 2 \n 2+l
Resolución
nz + 1
Km ( ’l + l ) n = 1“
«->•oo \ n + 1 /
Es una indeterminación del tipo del número e. Se resuelve mediante la fórmula (Sección 3.10):
n-l*im-oo ani," = e i™ (n„ - 1).b„
Por tanto:
, nK-*moo (\n1 + 1 _ A . ü !n± l
/
+ 1
3.18. Hallar, el límite de la sucesión: lnn!
{««) ln nn
Resolución
Aplicando el criterio de Stolz (Sección 3.8):
lnn! —ln(n —1)! lnn
Km —------ — -------— -r = lim ------------
n -* oo l n n " — m ( n — l ) " - 1 n -* o o
ln (n - l ) " - 1
= IIl—i>m00 -----------l-n--n----- j------= lim ---------------5l-n--n------:---------- = aK-*moo ln lnn n
, 17 n \ n ~ l 1 "-*00 , A 1 VVI1_-11 . , e + ln
- ”j in(i + ^ ) +in ”
Otra forma de hacerlo sería utilizando la fórmula de Stirling.
3.19. I Calcular 77l-í>mCO Í/ 2 ■4 • 6 . . . 2n.
50 Introducción al Cálculo
Resolución
Mediante el criterio de la media geométrica (Sección 3.8):
lím \/2 n = Km 2" • nlí—m>00f/ñ = 2° ■l = l =>■ nl-í>m00 V 2 - 4 - 6 ... 2n = 1
n-+oo n—±oo
(Ver Problema 3.14: 11K—>m-oo Á/ñ = 1.)
3.20. Calcul:ar «K->moo —n1 • (/\1---+---1--6-H--n---r--:---------|---n--
Resolución n? y apKcando el criterio de Stolz (Sección 3.8):
Haciendo Km -
«->•oo
Km n5 —(Hn^ —l ) 5 ^
n->oo 5
3.21. ' Calcular Km ( 'l ".
!■ n—>oo \ n + 2 /
Resolución
Tomando logaritmos naturales:
,ln A„ = lim -2 •lin 1 = Km -—--2--•--ln--(-«--+----2-)
n-5-oo n n + 2 n->oo n
ApKcando el criterio de Stolz (Sección 3 .8 ):
^ -2.toQ, + 2)+ 2.|n (, + l ) = l f a 2 . to( ! l ± l ) = 0
n-* oo n — (n — 1) n-*- oo \n + 2 /
Por tanto, A = e° = 1 .
3.22. Calcular Km (/ -—I- +I + ----- 1— ---1-- —\) ■
! n >oo \ 1 - 2 2 • 3 n ( n • ) • 1) /
Resolución
1 1 n 1 . P„ or tanto:
n(n + 1) n 4-1
Km (\ l- I2 + 2i -3 i 3+ i b -n — n +1 1, /) = Km ( l ----n--+-—1-/) = 1
n-* oo n -* o o \
3.23. Hadar el Kmite de la sucesión *J2, V 2V 2 , - J 2 ^ 2 \¡2 , . ..
Capítulo 3 / Sucesiones 51
Resolución
El término general es an = «J2 ■an- \, n > 2, siendo ai = -J2. Si n -> oo, se tiene:
a = V2a
siendo 11l—í>m00 an = a.
Elevando al cuadrado, a2 —2a, que tiene soluciones iguales a 0 y 2. Evidentemente, a = 2.
Otra forma de hacerlo sena: 1
a = 25+ ?+ s+- = 2 ‘~i = 2
ya que el exponente es la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente:
3.24. Demostrar que la sucesión 0,9, 0,99, 0 ,9 9 9 ,... es de Cauchy. ¿Cuál es su límite?
Resolución 1 . Tomando p = q + n:
{Cln} = 1 - 10"
|üp üq| = |üq-\-n üq\ 1 J_ 1
10?+" + 10? 10? 10?+"
10" - 1 1 10" - 1 < --1--- < e
10?+"
10? ' 10" 10?
ya que 10" - 1 < 1.
10"
—lne = —log e. Por tanto, S = —loge.
Despejando, q
ln 10
Por ejemplo, si e = 10 5, S = —log 10 5 = 5. A partir de a¡, la distancia entre dos términos
cualesquiera es menor que e = 10~5.
PR0SLEMAS PROPUESTOS
3.25. Hallar el término general, el límite (si lo tienen), y clasificar las siguientes sucesiones:
5 12 19 26
7 ’ 10’ 13’ 16’ " ’
3.26. - 1 1 - 1 1 -1
i, — , -j-, g , -g".---
3.27. Dada la sucesión 6, -9, —14 , —21 , 30 ha, lla„r:
a) Su término general.
b) El término que ocupa el lugar 72.
c) El lugar que ocupa el termino igual a —21 ■
d) Su límite, si existe.
52 Introducción al Cálculo
3.28. Encontrar ejemplos de sucesiones tales que:
rtl-í*m00 an = Íll—í^mOObn = 0
y que cumplan: a) nl—í>moo ^bn —oo; b) nlí>moo bn = 0; c) «l-í>moo —bn = 1.
3.29. (_l)n+t
3.30. Demostrar que lím ------------= 0.
n—>oo n
Hallar el límite de la sucesión definida mediante la fórmula recurrente an —V3 • an- \ .
3.31. Demostrar que nK-*moo —r n = 0, si r > 1. ¿Es cero el Kmite si r < 1?
3.32. Calcular «K—>moo n + *senn
3.33. Calcular Hm 5 ^ L ±n ¿ > .
3.34.
n-¥ oo In
Calcular Km e~n sean.
n—>-oo
3.35. Calcular Km (1 + 2n3) i+3inn.
n—>-co
3.36. Calcular Km n(2n —yfrfi + 2).
rt-»0 0
3.37. Calcular ¡iK-^>>moo / ln(2w + 1)\ 7¡jr
\
22nn + 3 /
3.38. Calcular nK-+mco -y4/=n • \( J-4i= + -V42= H-------b "4=') •
3.39. Calcular Kmoo Ia + 2a H Yna
3.40. C^ alcular „lím -l-nn-n- .
3.41.
n-yoo
Calcular nl—í>m-oon • (-¡t/a —1).
i 21 «
3.42. Calcular nK->moo -----------------/j-----------------, con a > 0.
3.43. Calcular nH->moo \ 2 /
3.44. Calcular V3, / T I , y 7 7 3 , •• •
5 4 Introducción al Cálculo
EJEMPLO 4.2 Sea la se r ie 1 1 1--1-2----3---11 3 - 4 b ■• ■, donde an = -n-{--n--1+---1--) . Haciendo una descom-
-2
posición en fracciones simples: 1 11
n(ji + 1) n n+ 1
con lo que:
=, 1 1 1 1 ---1-------1---—_ ,= j 1 n + 1 ii ~b 1
223 3 n n+ \
EJEMPLO 4.3 Dada la serie 1 + 2 + 22 + 23 + . . . , es evidente que an = 2"~x, y la suma parcial
/i-ésima es la de una progresión geométrica:
An = -22-"---—-1---1- = 2" - 1
@DEFINICION 4 .2 Se dice que la sene / ^ an es convergente si existe el limitefinito lim A„ = A.
n= 1
Al número A se le llama suma de la serie.
EJEM PLO 4.4 En la serie + . . . de un ejemplo anterior:
IIl-i+mO0 An = 11l-i+m0OJl n 1
-f-
® DEFINICIÓN 4 .3 Se dice que la serie a„ es divergente si la sucesión Ai, A% , An es divergente.
n= I
EJEM PLO 4.5 La serie 1 + 2 + 22 + 23 + . .. es divergente, ya que:
nl—ítm-oo (2" — 1) = oo
© DEFINICIÓN 4 .4 A una serie que no es ni convergente ni divergente se le llama oscilante.
EJEM PLO 4.6 La serie a —a + a —a + a —a + ... es oscilante.
■ PROPOSICIÓN 4.1 La condición necesaria para la convergencia de una serie es que /íl~í»m00 an = 0.
D em o stra ció n . Como an = An —A„_i y lím An = lím A„_i = A, se tiene:
n—+oo /?—>oo
lím an = lím An — lím A„_i = A —A = 0 B
/?—+ 0 0 I1-+-OQ n -+ oo
CAPITULO
SERIES NUMERICAS
En este capítulo se introducirá el concepto de serie numérica. Dicho concepto surge al estudiar la
suma de los términos de una sucesión indefinida. Además de la suma de una serie, es del mayor interés
el estudio de su convergencia, como ocurre con las sucesiones.
• DEFINICIÓN 4 .1 Dada la sucesión {«„}, cuyos términos pertenecen a K, seforma la sucesión {An},
cuyos términos son las sumas parciales:
Ai = a\
Ai = ai + ai
A3 = a\ + <22 + «3
An = o\ + o%+ • •• + an
esto es:
i= 1
00
Al par ordenado de sucesiones {{an}, {A„}) se le llama serie numérica y se representa ^ a¡. En la
práctica, se suelen omitir las llaves: (an, An). i=l
B asta con tener un a de las dos, an o An, p ara obtener la otra, y a que an = An —An- 1 .
E j e m p l o 4 .1 D e la sucesión an = n se obtiene:
Ai = l
A2 = 1 + 2 = 3
An — 1 + 2 + 3H \-n n(n + 1)
—
Capítulo 4 / Series numéricas 55
Dicho de otro modo, la condición necesaria pero no suficiente para que una serie sea convergente
es que su término n-ésimo tienda a cero. Por ser condición necesaria y no suficiente, permite decidir
los casos de no convergencia pero no los de convergencia. Es fácil obtener series no convergentes cuyo
término general tienda a cero. Por ejemplo, la llamada serie armónica ] T - (Sección 4.5)
/2 = 1
La serie 00 —n771a , llamada armónica, es convergente si a > 1 y, divergente si a < 1.
/., ij
22= 1
© DEFINICIÓN 4.5 Se llama serie geométrica a aquélla cuyos términos son la suma de una progresión
geométrica: JOO ^ a r” = a + ar + ar2 + ar 3 + . ..
22= 0
OO
■ PROPOSICIÓN 4.2 Sea la serie geométrica en 1ue r es un mimew iea^-
22=0 a
■ Si |r| < 1, la serie es convergente y su suma es A — _
■ Si |r| > 1, la serie es divergente.
a Si r = 1, es divergente.
B Si r = —1, es oscilante.
OO
® DEFINICIÓN 4.6 Se dice que la serie ] T a„ es de términos positivos, si a„ > 0 para todo n e N.
22= 1
Estas series pueden ser convergentes o divergentes, pero en ningún caso oscilantes.^
Por otra parte, las series de términos negativos se tratan del mismo modo que estas, sin mas que
cambiar de signo.
OO es convergente si y sólo si la sucesión de
m PROPOSICIÓN 4.3 La serie de términos positivos
22= 1
sumas parciales An está acotada.
DEMOSTRACIÓN. La sucesión An es creciente, ya que a„ > 0 para todo n e N. Por estar acotada supe
riormente, es convergente, según un teorema anterior (Sección 3.2). Recíprocamente, por ser convergente,
está acotada. ■
CRITERIO DE COMPARACIÓN (I)
00 00
Sea 0 < «„ < b,„ Vn e N. Si converge, entonces converge.
22 = 1 ”= 1
OO
Análogamente, si ^ an es divergente, también lo es ^ bn.
22 = 1 22= 1
56 Introducción al Cálculo
D e m o s t r a c ió n . Sean A„ = a i + a2 + ••• + «„ y jj„ = b, + b2 + ■■■+ bn. Se tiene que 0 < A„ < Bn
OO
para todo n e N. Por la proposición anterior, Bn está acotada por ser J ^ b n convergente. Por lo tanto,
n= 1
también está acotada An y an converge, por la proposición anterior.
n= 1
oo
Del mismo modo, si J 2 «« diverge, la sucesión An no está acotada. Como O < An < Bn, tampoco lo
oo n= 1
está Bn y bn diverge.
n=l
°° 3 3 1 00 i
EJEMPLO 4 .7 Sea la serie - . Como - > - y £ _ es divergente (serie armónica, Sección 4.5),
tamibiwén lo es la serie propuestrac=. l
CRITERIO DE COMPARACIÓN (II)
Si an > Oy bn > Opara todo n e N, y nl-í+moo — = r , entonces-
oo oo
■ Si r O, las series an y tienen el mismo carácter.
n= 1 n=l
OO 00
a Si r = Oy ^ 2 an diverge, entonces bn diverge.
n=1 n=l
oo
Si r = oo y bn diverge, entonces a„ diverge.
«=i «=1
OO
a Si r = oo y ] P a„ converge, entonces ^ bn converge.
«=1 n=l
1O O ^
E j e m p l o 4 .8 La serie £ — ])2 converge, ya que dividiendo por la serie armónica ¿ - I (con
vergente, Sección 4.5), el límite es igual a l . n=1
CRITERIO DE LA RAÍZ DE CAUCHY
OO
^ ea a'1una ser*e términos no negativos, tal que lím í / ¡ p = r.:
n=1 n->oo
a Si r < 1, la serie converge,
a Si r > 1, la serie diverge,
a Si r = 1, se trata de un caso dudoso.
OO ^
E j e m p l o 4.9 La serie ¡^P — es convergente, ya que:
C a p ítu lo 4 /S e rie s numéricas 57
CRITERIO DE D'ALEIVIBERT O DEL COCIENTE
oo
Si an > 0 p ara todo n e N, y nl-ítmoo Qa”+n1 = r, la seJrie Y ^ an:
■ Si r < 1, converge,
o Si r > 1, diverge.
■ Si r = 1, es un caso dudoso.
“ ?J3 c o n v enr g-*eo,oy a(nq +u e 2)K•mn
Ejem plo 4 .1 0 L aserie > -------- — ------ —-----7 = 0 < 1.
“ J(n + 1)!
CRITERIO DE RAABE-DU HAIVIEL
Si an > 0, Víi e N, y nK~>moon .\(l a'l+1 \ = r, la serie Y ^ a,¡:
a» 1 t
■ Si r > 1, converge.
a Si r < 1, diverge.
■ Si r = 1, es un caso dudoso.
OO
E j e m p l o 4 . 1 1 La serie nY—^1' —n(n---+-- l—)(;-i--+---2—) converge, ya que:
lím n (1 - = Km =3> 1
n->-oo \ an / n-*oo n + 3
CRITERIO DEL LOGARITMO DE CAUCHY
ln ^ ^ oo
Si an > 0, para todo n e N, y Km —l-n n = r, la serie Y"' an:
n — * oo n— 1
■ Si r > 1, converge.
■ Si r < 1, diverge.
■ Si r = 1, es un caso dudoso.
00 J
E j e m p l o 4.12 La serie 'Y ' n3y ió ■. 5s ilnn n converge, ya que:
ij
n—1
lím -l-n--(-n--3l-n-•-n-5--ln----)--= 3+ ln 5 > 1
n -* oo
CRITERIO DE PRINGSHEIM
Si an > 0, para todo n e N, y Km naan r, con a, r e l , la serie Y~',an-
oo n=l
■ Si r es finito y a > 1, converge.
■ Si r 0 y a < 1, diverge.
58 Introducción al Cálculo
r. . . _ tLa . ^2 _ ^ -3-/-7-2-3+—27^7-+----1-d iv e rg e , ya que:
EJEMPLO 4.13 sene
71=1
lím n 3«2 5+ 2/1+ 1 = 3+ 0, con a —1
n-> 00 + 5 7j
CRITERIO DE LA INTEGRAL
Sea f ( x ) una función positiva decreciente, definida para todo x > 1, y tal que f (n ) = an para todo
OO
e N. Entonces, ^ a„ converge si y sólo si existe:
n=l
r"oOoO pn
JI1 f(x)dx = lím JI1 f(x)dx
"-+00
OO 7ie~ „22 converge, ya que /(x ) = 2
E " xe"-v es positiva y decreciente para
x > 1 , y existe el límite: H=1
lím /f n xe x.2dx = Km r —e~*2~¡n lím / ——15- H 1\ 1
=
( )= —
n-+ oojl n yoo L 2 J i /i-»-<x>\2én~ 2 e 1 2e
■ -A-1 DA- -:i =|:1\'=
Dada la sucesión de sumas parciales Ai = ai, A2 —ci\ + a2, ■■■, A„ = a\ + a2 -i h an, si existe
un número real A, tal que:
nK-±mo o A„ = A
se dice que la serie es convergente de suma igual a A.
A continuación, se van a sumar algunas series notables.
SERIE GEOMÉTRICA
OO
Es de la forma ) a rn, con ¡7-| < 1, y su suma es A = ------- .
72=1, 1 —7'
E je m p lo 4.15 La suma de la serie 2yO_—O^\ 3r (y/ i1-YVj 2 „e s 3 = 6.
n=0 1, i
2
SERIE COCIENTE DE DOS POLINOMIOS
Para hallar su suma, la serie se descompone en fracciones simples y se eliminan términos.
EJEM PLO 4.16 HaKar la suma de la serie —-— |— -— ¡— -— b ■■•
1-2 2 - 3 3 - 4
Se descompone en fracciones simples an = -----1 = --1---------1---- , con lo que:
77(77 + 1) 77 77 + 1
C a p ítu lo 4 /S e rie s numéricas 59
La suma A = lím A„ = n = 1.
n —>00
lím -----
n —>oo 77 -{- 1
SERIE HIPERGEOMETRICA
Es aquélla que verifica: a,¡+1 _ a n + p
con a, {5, y € R- Su suma es: an un + y
A= yai
y —a —p
2 2-3 2-3-4 2 - 3 - 4 . . . (n + 1)
E je m p l o 4.17 Sea -4—- 5- + 4-—- 5—-—6 + -4—• 5 •-6 •-7 4-------1- -4—-z5-—- 6--.-.--.- -(—n +—4)- + .
Abreviadamente, Va -^(-n--+--4--)--! .
n= 1 3!
ue
Es hipergeometnca, ya q Un4-l = n + 2- , con a = li, pn = 2ny y = 5c.
an 5
n +
Su suma: A — 5 -(1^—- ^2) — 1
4
SERIE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICA
oo
Es de la forma — , donde an es una progresión aritmética de diferencia d, y bn, una progresión
geométrica de ;¡ =r.i1 Su suma es igual a:
razón
A rí d
bi(r - 1)
EJEMPLO 4.18 La suma de la serie vo—o i 4n ~——1 es A = —2~~—~1^—' /(3 + - —"4""n-i \'1
n= 1 Z
SERIE DEL TIPO DEL NUMERO e
00 a , a € E. Su suma es A = e‘a
Es de la forma ^
n=o„ n
CONVERGENCIA DE SERIES ALTERNADAS
Una serie es alternada si sus términos son alternativamente positivos y negativos.
CRITERIO DE LEIBNITZ
Si a\ > a2 > ai > ■■• > Oy Km cin = O, entonces la serie } (—1)n+1an = a\ —ü2 + ai —a$ +
n—>oo ¿~—J
71= 1
«5 b ( - l ) '1+1a,¡ + . . . converge.
60 Introducción al Cálculo
Además, en las anteriores condiciones, las sumas parciales An de orden impar son valores aproxi
mados por exceso de la suma A de la serie, y las sumas pares son aproximaciones de A por defecto. Por
otra parte, el error cometido no supera el primer término omitido en dicha suma. Esto es:
o < (-1 )" • (A - An) < an+1
para todo n > 1 .
í° ° j
E je m p lo 4.19 La serie (—1)'!+1 —n es convergente, ya que a\ > a% > <33 > ... y nl-í+moo —n = 0.
n= 1
EJEMPLO 4.20 La serie n“70=01(—1)'!+1 l-n---nn es convergente, ya que f (x ) = -ln-x--x- es decreciente. En
efecto: fr!(,x), = 1 —-lzn—X < 0, para x > e
Además, nl-í>moo •l—nnn- = 0.
E (—l) n"ri
—-------— x------r es convergente, pues:
n = i (3n + l)(2n + 3) BF
nl-í>moo (3n + l)(2n + 3)
y es decreciente:
11
a'l+l ~ [3(n + l) + l][2(n + l ) + 3 ] < (3n + l)(2n + 3) ~ a"
Como C14 = - - - ------ < 10“ 2, se tiene que ( - 1 ) 4(A - A3) < 04 < 10- 2 A « A3, con un error
menor que 10 2. El valor de A3:
A3- ¿ _¿+¿=0’04
Por tanto, A = 0,04, con un error menor que 10
4 .1 0 . ¡SUM A DE DOSiSERIES
1 D e f i n i c i ó n 4.7 Se define elproducto de un número real kpor la serie an como la serie kan.
n=V n= 1
■ PROPOSICIÓN 4.4 Si la serie ^ an converge a A, la serie ^ kan converge a kA.
n= 1 n=l
00
D e m o s t r a c i ó n . Inmediata, ya que las sumas parciales de kan son kAn, de límite kA. ■
n=l
Capítulo 4 / Series numéricas 61
i DEFINICIÓN 4.8 oo oo + bn).
Se define la suma de las series ^ an y bn como la serie
n= 1 7 i= l n— 1
oo oo convergen a A y a B, respectivamente, suma
■ PROPOSICIÓN 4 .5 Si las series y ^ « n y
71=1 71=1
OO
y ^(fln + &n) converge a A + B.
n= 1
00 + W son + B„, de límite A + B.
D e m o s t r a c i ó n . Inmediata. Las sumas parciales de
22=1
PROBLEMAS RESUELTOS
En los siguientes ejercicios, estudiar la convergencia de las series.
oo n + io i i , a > 0.
nan
>
n= 1
Resolución
Aplicando el criterio de D’Alembert (Sección 4.7):
(n + l ) 2 + 1
n,l-i,>m-00 -a-a,-i-n+--i= lni„-m+oo- —(n +25—1q).a-1n--+--1-- = -a1
nan
b Sia > 1, converge.
n Sia < 1, diverge.
■ Sia = 1, diverge,ya que el límite del término general es distinto de cero (Sección 4.4):
71k1-,am-00 n2+ l = 00 jí O
n
00 «2
£ ,- (n + .l)l
77=1
Resolución
Aplicando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
lím —an - = hm ^ +- = O < 1. Convergente.
2 2 -+ 0 0 /¡-¡-oo _j_ 2 )
62 Introducción al Cálculo
Resolución
Comparando con la serie armónica (Sección 4.5):
nn 1 . Divergente.
n¿ —1 > n¿r- =
n
4.4. V (n + ----- .
j“ 1)(« + 2)
Resolución
Aplicando el criterio de Pringsheim (a = 1) (Sección 4.7):
tiiI-n^noon -(—n +—l)—n(r-a--+-- —2) = 1. Diverg5ente.
n(n + 1)
n=4 {n —2){n —3)
Resolución
No converge, ya que Km a„ 0 (criterio general de convergencia, Sección 4.4).
4-6- En=1(sb)’-
Resolución
ApKcando el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7):
niK--*moo 3-/-j-n—---5 = -31 <1. Convergente.
4.7. ■
Resolución
ApKcando el criterio de Pringsheim (Sección 4.7);
nK->moo Yt
n4 —3
Como a = 3, la serie converge. También se podría hacer mediante el criterio de Raabe (Sección 4.7).
E4.8. n + 1 •
n=l 33 ++ n i
Capítulo 4 / Series numéricas 63
Resolución
Mediante el criterio de Pringsheim (Sección 4.7):
lím „ ¿ . - ü ± ^ = i / 0
3 + 112
Como a = 1, la serie diverge.
4.9. OO
y^(V2n —1—- J r i i .
; 77=1
Resolución
El límite de an es igual a;
lím (V 2n —1 —«Jn) —nl-í+moo ^J2 n - l + «f—ñ = oo / 0
Por tanto, la serie diverge (Sección 4.4).
4.10. Analizar si son falsas o ciertas las afirmaciones siguientes:
OO CO J !
a) t7—1 an no convergente / —anconvergente. I
n= 1
00 n= 1 !i
00 ^
j
i!j b) nÁTm=mm,lJci,¡ convergente, an + 0 =+ Áy Jl*i 1 _L\ a/In convergente.
j
'' ■ 7i = •
í OO • 00 ’
c) a„ convergente, a„ + 0 ==+ a„ convergente.
;¡= 1 77=1 n
Resolución OO 1 OO
a) Falsa, ya que ' y ~ es divergente (serie armónica, Sección 4.5) y la serie ^ P n también lo es.
77=1 77= 1
b) Falsa, y*°—°> —n12z es convergente (serie armónica, Sección 4.5)' ]y °° 1 °° 7I2
> = > -n=2--+---i no es
i+a
77= 1 77= 1 77= 1
convergente, ya que su límite es 1 ^ 0 (Sección 4.4).
c) Cierta, ya que el límite del cociente de ambas es: lím — —arn = 1 y ambas han de tener el
J^ 77—>0O 11 + 1
. an
n
mismo carácter [criterio de comparación (II), Sección 4.7].
4.11. E00 nk
77=2 'T((n~n —- 1I7)VT!T-
Resolución
Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
(n + í )k
ih'm —a—n = vlím ----_-«n-•-l = ih'm —( n +^ l—) k = O < 1. Convergente.
n—*-oo /i-*oo n
(n - 1)!
64 Introducción al Cálculo
4.12. ■ ... el , . .. ; \2_a^ r /n + l-\ jn + 2n n -n
Estudiar carácter de la sene -------~J
■n = 2
Resolución
Aplicando el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7):
nl—í>moo nl-íymoo /■n + l\n + 2n - -l 1 < 1. Convergente.
6 *4“2
n —1-
4.13. <Estudiar el carácter de la serie Z—t ^ 4^n W'-.
n= 1
Resolución
Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
lím -a-n-+--l-- = (re + 2)(» + 1)! lím -(--«--+—2) = oo. Divergente.
lím — ;—4t+'!+7Tl--- ¡— =
n->oo n-^-oo 4
oo (re + 1) • /I!
4"
4.14. . Estudiar el carácter de la serie ? re 7 .
• ¿ Í ( « + Dn'
Resolución
Mediante el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7):
(n \n e~ 1 < 1. Convergente.
)=
n + 1/
4.15. |■ ■■ 1u u
i Estudiar el carácter de la serie £ ( 1 +' ■
'' 7Z=1
Resolución
nl-í+m00 (\ l + in)/ = e A 0. Divergente (crit. gen. conv.).
4.16. i Estudiar el carácter de la serie
n= 2
Resolución
n+ 3
lím = 1 A 0. Divergente (crit. gen. conv.).
n- * - 0 0 n — 1
Capítulo 4 / Series numéricas 65
4.17. OO ^
¿íEstudiar el carácter de la serie > .
(ln2)"
Resolución
Mediante el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7):
lím = lím ---- > 1. Divergente.
« -+ 0 0 «-+ oo l n 2
4.18. ' n\ ■2”
Estudiar el carácter de la serie ¿' - 1 n"
Resolución
Utilizando el criterio de D’Alembert (Sección 4.7):
(w + 1)! • 2”+1
lim a -n-+-1-- = lim—-—(n + 1 )-,-!-+-1----- = „hm 2n"— = -2 < 1. Converge.
«-+oo a n «-+00 ni ■2 «-+ oo
(n + 1 ) " e
4.19. Estudiar el carácter de la serie 4 • 7 • 1 0 ... (3n + 1)
n= 1 2 • 6 • 1 0 ... (4;i - 2)'
Resolución
Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
4 • 7 •1 0 ... (3n + 4)
«„l-i+moo 24. • 7„6 •1 0 ... ((43nn—++ —21))r f =«-+0l„i0m4 3 n +4 = -43 < 1. Convergente.
• •1 0 ... n
+2
2 • 6 •1 0 ... (4n - 2)
í 00 ti
E
4.20. - +-=-.■ .
{n + l) 3
t •
•. n — L ■
Resolución 00 j
Comparando con la serie armónica ^ (Sección 4.5):
«=l
(n + l ) 3 < «—3r- = —n2 [Crit. de comp. (I)] n n1
oo ^
Es convergente, puesto que ^ ~ converge.
/=i n
66 Introducción al Cálculo
i- • oo 2
4.21. Estudiar el carácter de la serie > -----------.
¿ (« + !)!
Resolución
Utilizando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
(n + l) 2
l„ím -(-n---+-=-2-)-!-- = l„im (n + l ) 2 = O_ < 1, . C_onvergente.
n- * o o n—*oo (n + 2 ) • n ¿
(n + 1)!
4.22. 00 cos¿9 n
; Estudiar el carácter de la serie ^
n=.l • 3"
Resolución
Comparando con la serie geométrica (Sección 4.6):
eos2n 1
3" - 3"
puesto que eos2 n < 1.
Es convergente, por serlo 'Y00', ( ^1) n ya que -1 < 1.
,
n=l
4.23. :| Estudiar el carácter de la serie ^> nn
3" -ni .
¡' n=l
Resolución
Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
(n + 1)"+1
«-l>í■moo -a-na--+n--\- = nl-í*moo -3-"--+--1--•n-(\«--+---!-)—! = nl-í>moo (ra+1)" = -e3 c 1. Convergente.
3nn
3» ■ni
4.24. Estudiar-el carácter de la serie■n^V>=- A1■—fnl!■.■
Resolución
Utilizando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
(n + l) n+1
ili'm -a-«--+-l-- = li-nn— —(ns+ 1 )! = linm„-+o(o /« + l \ n = e > ,1. Dr..ivergente.
\ /
n
C ap ítu lo 4 /S e rie s numéricas 67
4.25. Estudiar el carácter de la serie ^ V n3 + 2n
Resolución
Comparando con la serie armónica (Sección 4.5):
1 2n < 1 ni
V«3 +
-Jñ?
como la serie armónica es convergente, también lo es la serie propuesta [criterio de comparación (I),
Sección 4.7].
4.26. oo ^ n
Estudiar el carácter de la serie *>-• (\ 2 n + 1/) .
n= 1
Resolución
Mediante el criterio de la raíz de Cauchy (Sección 4.7):
/il—í>moo Nñn = n = 1 < „_
2- 1. Convergente.
«-l>imoo 2n----+---1-
4.27. 00 1000"
Estudiar el carácter de la serie ^
K=1 n! • ■•
Resolución
Utilizando el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
1000"+1
lím —ctan—4n-i = Km (inlnU+nUnUI„V = nK,-myoo —n10+—001 = 0 < 1. Convergente.
n-j-oo n->oo
n\
4.28. Estudiar el carácter de la serie v>-v (/)!)
71=1...(.2..n)l
Resolución
Mediante el criterio de D ’Alembert (Sección 4.7):
((» + DO2
iiK—>moo —^«a1-n—fl = wKm —(2(-n(-n-+!-)--l-)--)-í--= -4^ < 11. Convergentfe.
«->oo
(2n)T
4.29. CC 1 11
Sumar la serie ^
^.
71=1
68 Introducción al Cálculo
Resolución
1 /1 \2 ,K 3
A „ - - + (-) + (-) +...
Se trata de una serie geométrica (Sección 4.6). Su suma:
1
4.30. Sumar la serie ^00 2 2)
n=l
n(n +
Resolución
Haciendo una descomposición en fracciones simples:
2 11
n (n + 2) n n + 2
La suma parcial An:
A n —«1 + «2+ ••■+ cin = (V1 ——3 1/ + (\2———41/ + •••+ V( -tí----n-+- —2/1
= 1+ 1 1 1 ti(3tí + 5)
2(tí + 1)(tí + 2)
.
2 71+ 1 tí + 2
La suma A = tilí5m-oo An = «l-í>moo ?i (3íi + 5) 2) 3
2(7í + 1)(tí + 2
3
Es una serie convergente de suma igual a - .
4.31. ' Sumar la serie
n=1 (rt + 2)(n + 3)
Resolución
Procediendo como en el ejercicio anterior:
An ~ \3 ti +7K3 A = ííI-^™-ooAn = \3
Otra forma de hacerlo sería considerando que es una serie hipergeométrica (Sección 4.8).
4.32. Sumar l.a sene x>- ' "-■=■---1-1--- 12 , .
tí3 + 5 n 2 + 6n
71= 1
Resolución
Descomponiendo en fracciones simples:
Capítulo 4 / Series numéricas 69
Llamando Hn = 1 + -1 + 1- +1 - + se tiene:
A n = 2 f l B - 5 f f n + 3 f l ’„ + 5 - l + 5 - ^ - 3 - l - 3 . i - 3 . ^
4.33. Estudiar el carácter de la serie ^ í
Resolución 00 _________s-2________
OO /n +, „3\\ —1 n= 1 (n + 3 )( n + 2 )(n + l)
n= 1 3 )
Descomponiendo en fracciones simples:
f ] ' I(\nñ—+3--1------n--+6—2 + —n +3 3/)
71= 1
Procediendo como en el problema anterior:
An = 3Hn - 6H„ + 3Hn - 3 + 6 + 6 ■i - 3 - 3 ■i - 3 • ^ ^
4.34. ~2» + l
Idem )^ — •
‘ |
n= 1
Resolución
Se trata de una serie aritmético-geométrica (Sección 4.8), ya que el numerador es una progresión
aritmética de diferencia 2, y el denominador es una progresión geométrica de razón 7. Su suma será:
1\ 5
7(7 - 1)
4.35. 00 ln -n--+-i-1-1- , y demostrar que es divergente.
Hallar la suma parcial A,2de la serie ^
i n=1 '
Resolución
An = a\ + a2 + ■■■ + an= (ln 2 —ln 1) + • • • + [ln(n + 1) —ln n)]
= ln(n + 1) - ln 1 = ln(n + 1)
Por tanto: 11-+l0ím0 An =n~±líomo ln(n + 1) = oo. Divergente.
4.36. i • •- - - o o . - rj ■ ’
■Sumar la serie -(—n +—4—)(n—+ 5)
: n= 1
70 Introducción al Cálculo
Resolución
Descomponiendo en fracciones simples:
7 ( _n J 4 n L \
\ -f" ~f“ 5/
(n + 4) (n + 5)
La suma parcial An:
An —ai +ci2 ~\--------b a,, = \5 6 / \6 7 / + -----b (\;—í +—4 ----n--+---5 /
5 n+ 5
lím A„ — Km ( - —■—- — ) = -
n->oo >oo \ 5 n + 5 / 5
La suma de la serie es igual a
4.37. Sumar la serie 5 8 11 14
Resolución
Es una serie aritmético-geométrica (Sección 4.8), con d = 3, r = 2, ai = 5 y b\ —2. Su suma:
A r t + d\ = -----2---------(/5. + ---3---- )
(ai ----- - )
¿l(r-l) V r - l J 2(2 - 1) \ 2 -1 /
4.38. S_uma■r ,la s:ene -2 + —2 -—3 H 2 - 3 —- 4 H—2 :• 3 • 4 • 5 + . , .
4 4-5 4-5-6 4-5-6-7
Resolución
Es una serie hipergeométrica (Sección 4.8), ya que:
fl/i+l n + 2
an 11+ 4
siendo a = 1, ¡3 —2 y y = 4. Su suma: A = -y----—a ---p-- = 4 - 2-
— = 2.
4 -1 -2
4.39. 00 j
Sumar la serie In ( l -----
11=2 :;V
Resolución
Por tanto:
An _ ,3-1 + 4-2 ,5-3 + --. + , (n + l)(re — 1)
ln -^ - ]n -p -+ ]n -^- --------
ln
= ln3 + In 1 - 2 • ln2 + ln4 + ln2 - 2 • ln3 + ln5 + ln3 - 2 ■ln4 + • • • + ln(« + 1)
+ ln(n —1) —2 • lnn = —l n 2 + ln (f-n-+----1-'^
-In 2 + ln(n + 1 ) —lnn
71Capítulo 4 /S e rie s numéricas
Su suma es A —nl—í>moo = —ln2.
4.40. Demostrar que la serie alternada:
3+ 5 7 h( - D n+1•2n — 1 ¡
es convergente y averiguar el número de términos preciso para calcular su suma con un error menor
que 0,001.
Resolución
Se utiliza el criterio de Leibnitz (Sección 4.9). Para ello, es preciso verificar que la sucesión de término
general a„ = —2n —1 es decreciente. 1 1 1
En efecto: 2n + 1 2 n —1
a,1+l 2 (n + 1) —1 "
Por otra parte:
lím an = lím ------- = 0
n—>oo n-*oo 2 ll —1
Por tanto, la serie converge. Además:
««+i = "2z {:n +7~¡1~)r——71 < 0.001 = b n = 499,5
Habrá que tomar 500 términos para obtener la suma de la serie con un error menor que 0,001.
4.41. Dada la serie —1 H 111
— Ib (—1)" b .n.i ■, demostrar que es convergente y hallar su suma
2! 3!
con un error menor que 0,01 .
Resolución 1 1 1
—= -— — — < —=
lím an = lím 0; an+1 = a„
ii->-oo n-*oo « i (re + 1 ) ! re!
Es convergente. Por otra parte:
ai = 1, «2 = 0,5, as = 0,16, 04 = 0 ,0 4 ..., a¡ = 0,008 . .. < 0,01
Será preciso tomar cuatro términos, ya que el error cometido al hallar la suma es menor que el primer
término omitido «5 = 0,008 — Por tanto, la suma A, por defecto, será A = = —1 + -21 —1-6 +1 —24 = —58
PROBLEMAS PROPUESTOS
4.42. Estudiar la convergencia de las series siguientes:
y , 2re + 1
HZ=—11 re + 1
4.43. re2 + 2
n=1 2re
72 Introducción al Cálculo
4.44. OO -
Y —.
n=l v
4.45. En
4.46.
4.47. n= l + '
00 nn
Jmmmmmá - j ■^
71=1
E00 n!.
n= 1 O71 ‘
E:4.48. , n Jn
71=1
4.49. OO
4.50.
£ ■2„ (vn2 — 1') •lnn
n=
Dadas las series siguientes, se pide a) su término general; b) demostrar que son convergentes; y c) su
suma:
1111
T i l + 3^5 + Y l + Y 9 + '''
4.51. 1 11
4.52. -1----2-----3--- 1---2----3-----4- H---3----4-----5--- 1-. . .
Sumar la serie 0,045 + 0,015 + 0,005 + . ..
4.53. OO 2 „
4.54.
Sumar la serie ^ n .
n= 1
Hallar, con un error menor que 0,001, la suma de la serie alternada ( - D n • 10”
77=1
G A rfffU U )
LIMITE Y CONTINUIDAD
DE UNA FUNCIÓN
El estudio de las funciones es uno de los objetivos fundam entales del Cálculo. En este capítulo se
hará una introducción a las funciones reales de una variable real, y a los conceptos de límite y continuidad
en un punto.
¡M ío _______________________ ___ _ ................................
• DEFINICIÓN 5.1 Dados dos subconjuntos A, B c R, se llama función a toda aplicación (ver nota
Sección 1.6) de A en B, f : A -» B, es decir, a toda correspondencia entre Ay B que asigna a cada
valor de x e A un único valor y = f (x ) e B.
A la variable y, cuyo valor depende del valor dado a x, se le llama variable dependiente. A x se le
llama variable independiente. Se representa la función por y = f(x ).
E je m pl o 5.1 X+ 1
y —3x + 1; y - senx; y = ——-
• DEFINICIÓN 5.2 Se dice que la función y = f (x ) está definida en un punto x = c, si existe f(c ).
Análogamente, se dice que f (x ) está definida en un intervalo (a, b) si está definida para todo valor
x e (a, b).
• DEFINICIÓN 5.3 Se llama dominio de definición o campo de existencia de unafunción y —f (x ) al
conjunto de valores de x para los que f (x ) está definida. Se representa por D o m / .
• DEFINICIÓN 5.4 Se llama imagen o recorrido de la función y = f (x ) al conjunto de valores de y
para los que existe r s l , tal que y —f(x ). Se representa por Im / .
E je m pl o 5.2
f (x ) = 3jc + 2; Dom / = R; Im / = R
f(x ) = senx; D o m / = R; Im / = [—1,1]
f (x ) = —x —1 1; D o m / = K —{1}; Im / = R —{0}
74 Introducción al Cálculo
^ ^ ^ t e ^ i la W ^ i q ^ aHJ>?M M r I4'-:
• DEFINICIÓN 5 .5 Función algebraica es aquélla en que las operaciones que se realizan con la va
riable independiente son suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación.
E j e m p l o 5 . 3 L a función y = 3x + 1 es algebraica.
• DEFINICIÓN 5 .6 Funciones trascendentes son las trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.
• DEFINICIÓN 5 .7 Función explícita es aquélla en la que la variable dependiente está despejada. Si
la variable no está despejada, lajunción recibe el nombre de implícita. Enfunciones implícitas sencillas,
es posible despejar la variable y escribir lafunción en suforma explícita.
• DEFINICIÓN 5 .8 Funciones irracionales son aquéllas en las que la variable aparece bajo el signo
radical o con exponentefraccionario. En caso contrario se llaman racionales.
• DEFINICIÓN 5 .9 Funciónfraccionaria es aquélla en la que la variable independiente aparece en el
denominador o con exponente negativo. En caso contrario, lafunción se llama entera.
SUM A, PRODUCTO Y COCIENTE DE DOS FUNCIONE
• DEFINICIÓN 5 .1 0 Si f{x) y g{x) son dosfunciones, y D <zM.es la intersección de sus dominios de
definición, se define la suma de f{x) y g(x) como lafunción h(x) = f{x) + g{x), de dominio D e l .
E j e m p l o 5 .4 Sean f (x ) = ln x y g(x) = -y/3 —x, de dominios respectivos (0, oo) y (—oo, 3], La
función h(x) = f (x ) + g(x) = ln x + fr3 —x tiene por dominio (0, 3] = (0, oo) fl (—oo, 3],
Análogamente se definen las funciones producto f (x ) ■g(x) y cociente f(x) , esta última con g(x) 0.
-----
c o m po sic io ñ d e fu n c io n e
• DEFINICIÓN 5 .1 1 Sean las funciones f{x) y g{x). Se llama función compuesta (g o f )( x ) a la
junción definida en lafonna:
(8 0 f )W = g [/(* )]
E j e m p l o 5 .5 Sean f{x) = 2x + 1 y g(x) = 3 x - 4 .
í8 ° /)(•*) = # [/(* )] = g(2x + 1) = 3(2x + 1) + 4 = 6x + 7
( / ° g)(x) = /[g (^)J = f(3 x - 4) = 2(3x - 4) + 1 = 6x - 7
En el anterior ejemplo se observa que, en general, (g o f){ x ) ^ ( / o g)(x).
Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función 75
® DEFINICIÓN 5 .1 2 Si f : A B es unafunción biyectiva, esto es, tal que todo elemento y e B es
imagen de un único elemento x e A (ver nota Sección 1.6), se define la función inversa f ~ l : B -»■ A
como aquélla que vei'ifica:
r l í f ( x ) ] = x , Vx 6 A
n r 1m = y, v y ^ B
NOTA Conviene no confundir f 1(x ) con f (x )
EJEM PLO 5 . 6 S ea la función / ( x ) = 3x — 1. P ara hallar la función inversa de / ( x ) se intercam bian
x+ 1
las variables x e y: x = 3y — 1. Se despeja y = = 3x — 1 es
—-— . La función inversa de / ( x )
Evidentemente, las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer
cuadrante, puesto que si el punto (a, b) pertenece a una de las gráficas, el punto (b, a) pertenece a la otra.
En este hecho se basa el cálculo de la función inversa / -1 (x) (ver Ejemplo 5.6).
^_ ' ^^ .
1U3I5Dü@E@(HM [MKIiXfffil
F -/4/ Se dice que la función f (x ) tiene por límite a la derecha del punto x = xo el
® DEFINICIÓN 5.13
número real l, si a toda sucesión de valores de x, que tiende a xo por la derecha, le corresponde una
sucesión de valores de f (x ) que tiene por límite l. Se representa lím / ( x ) = l.
*->*+
Análogamente se define límite por la izquierda. Se representa en laforma lím f (x ) = l.
x~*xo
Para que exista el límite de f(x ), cuando x tiende a xo, es necesario y suficiente que se verifique:
lím / ( x ) = lím / ( x ) , y se escribe lím f (x ) —l.
x-+xo x~*xo x~*x°
$.13
9 DEFINICIÓN 5.14 También se puede decir que l es el límite de f (x ), cuando x tiende a xo si
Ve > 0, 35 (func. de e) > 0 / |x —xo| < 5 =>■ |f (x ) —l | < e.
E j e m p l o 5 . 7 S ea la función / ( x ) = X + 1 S! X “ ¡
I X “t- Z SI X <C x
Considerando una sucesión de valores de x que tienda a 1 por la derecha y sus correspondientes
imágenes:
x : 1,1, 1,01, 1,001, ...
/ (x ) : 2,1, 2,01, 2,001, ...
Las imágenes constituyen una sucesión que tiene por límite 2. Por tanto, Xl-í>m1+ / ( x ) = 2.
Por la izquierda:
x : 0,9, 0,99, 0,999, ...
/ (x ) : 2,9, 2,99, 2,999, ...
Por tanto, lím / ( x ) = 3.
.y- » i -
76 Introducción al Cálculo
Figura 5.1
Como los límites a derecha e izquierda no coinciden, la función no posee límite en x = 1 (ver Figu
ra 5.1).
En la práctica, los cálculos se disponen de la siguiente forma:
xl—í^m1"^f (x ) = hl—ím>-0/ ( I + h) h—^0 = lím(1 + h) + 1—2
/i->0 — lím(1 — h) +2=3
lím / ( * ) = /li-ú*n0 /(I —h)
x-*l“
puesto que si los valores de h son positivos y tienden a cero, i.e.: 0 ,1 ,0 ,0 1 ,0 ,0 0 1 ,..., es evidente que
los valores de 1 + h tienden a 1 por la derecha y, análogamente, los de 1 —h tienden a 1 por la izquierda.
PROPIEDADES DE LOS LIMITES
1. El límite de una función f (x ) en un punto x = xq, si existe, es único.
2. El límite del producto de un número real k por una función, en un punto x = xo, es igual al producto
de k por el límite de la función:
Xl-í»m-X0k ■f (x ) = k ■XK—^mXQf (x )
3. El límite de la suma de dos funciones f (x ) y g(x), en un punto x = xo, es igual a la suma de los
límites respectivos: Km [/( x ) + g(x)] = Km f (x ) + Km g(x)
X—>XQ X—>X0 X—*-Xo
4. El Kmite del producto de dos funciones / ( x ) y g(x), en un punto x = xo, es igual al producto de
los límites respectivos:
XK—^mX0 [ /( x ) • g(x)] = XK—m^X0/ ( x ) ■XK-*mX0 g(x)
5. El Kmite del cociente de dos funciones / ( x ) y g(x), en un punto x = xo, es igual al cociente de los
límites respectivos: lím f(x )
Txi-™>--x-0-g--(TxT) >slendo xl-l>mx08 (x) ^ 0
£ v) / wí, ,/< , I i Km f(x )
g /t o\
f/r t fio //' ! s ln ¡yi J /n ) ,
M v.
5 .8 . FUNCION CONTINU
DEFINICIÓN 5 .1 5 Se dice que lafunción f (x ) es continua en un punto x = x q si, y sólo si:
1) /O O estcl definida en x = x q .
2) Existe Km /(x ), esto es, Km / ( x ) = Km /(x ).
*^*0 x-t-xf x~+xZ
Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función 77
3) Xl-+ímX0 / ( x ) = / (x o ).
EJEMPLO 5 .8 Estudiar en x = 1 la continuidad de la función:
x2 + 5 si x < 1
x + 3 si x > 1
1) / ( D = 6. + h ) — hlí-m*0(1 + h) + 3 = 4.
2) lím / ( x ) = límh-*/0( I
*-+1+ h) = Km (1 - h f + 5= 6.
L Km / (x ) r = hdK-e+ml0ím/ (iIte- en /í-*0 a derecha e izquierda. P or lo
n ca
*->•1- ece x = 1, ya que no coinciden los límites
a funció
tanto, no es continua en dicho punto.
O tra fo rm a de definir función continua en u n punto x —a es:
fJo • DEFINICIÓN 5 .1 6 La función / ( x ) es continua en x = xq si, y sólo si, se verifica que Ve >
0, 3<5(e, x0) > 0 / |x - xol < $ =► l/C*) - / ( * o)l < e.
La expresión S(e, xo) simboliza que S esfunción de e y x q .
Esta definición equivale a decir que Km / ( x ) = / ( x 0). Es decir, que existe el lím ite en el punto
x = xo y coincide con / (xo).
• DEFINICIÓN 5 .1 7 Se dice que la Junción f (x ) es continua por la derecha en un punto x = xo,
si satisface la definición anterior defunción continua reemplazando el límite en dicha definición por el
límite por la derecha en el punto x q . Análogamente se define función continua por la izquierda. Una
función es continua en un punto x q si, y sólo si, es continua por la derecha y por la izquierda en xo-
© DEFINICIÓN 5 .1 8 Unafunción / ( x ) es continua en un intervalo cerrado [a, b], si f{x) es continua
en el intervalo abierto (a, b), y además es continua por la derecha en x = a y por la izquierda enx —b.
5 9 . TIPOS DE DISCONTINUIDAD
1. Discontinuidad evitable. Se presenta cuando la función posee Kmite en un punto x = xo (coinciden
los límites laterales) y, sin embargo, dicho Kmite no coincide con el valor de la función en ese
punto, como ocurre en la función de la Figura 5.2:
2. Discontinuidad de primera especie. Ocurre cuando existen los límites a derecha e izquierda en el
punto x = xq, pero no coinciden sus valores. La función presenta un salto igual a:
xK-*Xmq / ( x ) —Xl-í+mXq_ /( x )
78 Introducción al Cálculo
(Ver Figura 5.3).
Figura 5 .3
3. Discontinuidad de segunda especie o esencial. Ocurre cuando en un punto no existen o son infinito
uno o los dos límites laterales. La función de la Figura 5.4 presenta discontinuidades de este tipo
en los puntos x \, x2 y xy.
Figura 5 .4
Por otra parte, si se tienen dos funciones / ( x ) y g (x ), continuas en el punto x = x0, su suma, producto,
composición y cociente [si g(xo) j í 0] son continuas en x = x q .
Asimismo, las funciones elementales, senx, cosx, are senx, are cosx, logx, polinómicas y exponen
ciales, son continuas en sus dominios respectivos.
© DEFINICIÓN 5 .1 9 Se dice que la función /( x ) , de dominio D c 1 , es creciente en el intervalo
(a, b ) ^ D si Vxi, x2 e (a , b), x\ < x2 =4> f { x x) < / ( x 2).
Gráficamente:
Análogamente se define función decreciente.
y 79Capítulo 5 / Límite continuidad de una función
© DEFINICIÓN 5 .2 0 Se dice que la función f(x ), de dominio D C E, es decreciente en el intervalo
(a, b) c D, si Vxi, A'2 e (a, b), x\ < x2 = ¥ f (x i) > f (x 2).
s,fiTio su l a t o s ® m ( » iMwajtKOb a s i J i M í t c í i
© DEFINICIÓN 5 .2 1 Se dice que la función f(x ), de dominio D C E, está acotada superiormente, si
3/c e R / Vx € D, / ( x ) < k.
Análogamente se define función acotada inferiormente.
© D e f in ic ió n 5 .2 2 Se dice que la función / ( x ) , de dominio D c R, está acotada inferiormente, si
3/c e R / Vx 6 D, f (x ) > k.
9 DEFINICIÓN 5 .2 3 Si unafunción f (x ) está acotada superior e inferiormente, se dice que está aco
tada.
© D e f in ic ió n 5 .2 4 Se dice que la función /( x ) , de dominio D c M, presenta un máximo absoluto
en un punto xq e D, si Vx e D, / ( x ) < /(xo). Análogamente se define mínimo absoluto.
© DEFINICIÓN 5 .2 5 Si existe un intervalo ( a ,b ) C D / Vx 6 (a ,b ), f (x ) < f (x o), se <r//ce g«e
la función / ( x ) presenta un máximo relativo en el punto xo 6 (a, b). Análogamente se define mínimo
relativo.
ü PROPOSICIÓN 5.1 Todafunción f(x ), continua en un intervalo cerrado [a, b], está acotada en él.
DEMOSTRACIÓN. Si / ( x ) no está acotada, existirán valores en [a, b] p ara los que f ( x ) > k, siendo k un
núm ero real cualquiera. Si se divide [a, b] en dos partes iguales, al m enos en u n a de ellas habrá valores
p ara los que / ( x ) > k. D ividiendo dicha p aite en dos partes iguales, hab rá valores para los que f ( x ) > k
en una de las dos. Reiterando el proceso se obtiene una sucesión de intervalos encajados, cuya amplitud
tiende a cero, en los que existen valores para los que / ( x ) > k.
Según el postulado de Cantor, existe un valor a, común a todos los intervalos, para el que es posible
encontrar un entorno en el que |/ ( x ) — /( a 0 | < e, por ser la función continua en a e [a, b\. Pero en
este entorno hay valores para los que / ( x ) > k, lo que contradice que |/ ( x ) —f{a)\ < e. Por tanto, la
función ha de estar acotada, en contra de lo supuesto al comienzo. ■
EJEM PLO 5 . 9 L a función f ( x ) = —-----, continua en (3 , 7 ], no está acotada en dicho intervalo, ya que
para valores de x mayores que 3 y arbitrariamente próximos a él, toma valores mayores que cualquier
número positivo. Ello es debido a que no es continua en x = 3 (ver Figura 5 .6 ).
Figura 5.6
EJEM PLO 5 . 1 0 La proposición recíproca de la anterior no es cierta. Por ejemplo, la función / ( x ) =
x — E (x), donde E (x) es la "parte entera de x ”, está acotada en el intervalo [0,2] y, sin embargo, es
discontinua en 1 e [0, 2] (ver Figura 5.7).
80 Introducción al Cálculo
Figura 5.7
■ TEOREMA 5 .1 ( W e i e r s t r a s s ) Todafunción f (x ), continua en un intervalo cerrado [a, tí], admite
un máximo y un mínimo en [a, tí\.
DEMOSTRACIÓN. Para el máximo. Según la proposición anterior, f (x ) está acotada en [a, b], por ser
continua en un intervalo cerrado. Sea k la menor de las cotas superiores. Si existe xo e [a, b] / f (xq) = k,
ya está demostrado; de no ser así, ha de cumplirse que k — f (x ) > 0, Vx e [a, b]. Entonces, por la
proposición anterior:
3k' € 1 / —k - !f—(x ) < k'
por ser:
8(x) k - 1f (x )
continua en [a ,b ]. Por tanto:
k - f(x) <k' k —f{ x ') > -kj<- f ( x )' < k • k'
J J
lo que indica que k no es la menor de las cotas superiores, en contra de lo supuesto. Hay que rechazar la
hipótesis de que el máximo no es alcanzado por la función.
Análogamente se demostraría para el mínimo. ■
■ PROPOSICIÓN 5.2 Si la junción / ( x ) es continua en x q y f (x o) 0, existe un entorno de x q en el
que lajunción tiene el mismo signo que en el punto x q .
D e m o s t r a c i ó n . Por ser / ( x ) continua en x q , Xl-í+mXQf ( x ) —f (x o).
Siendo f (x q) —l > 0 y tomando e = l > 0, existe un entorno de xo para el que |/ ( x ) —/(x o )| < Z.
De aquí se deduce que / ( x ) —/(x o ) > —Z= > f (x ) > 0, pues /(x o ) = Z. ■
■ T e o r e m a 5.2 ( B o l z a n o ) Si unajunción / ( x ) es continua en un intervalo cerrado [a, b], y toma
valores de signo opuesto en a y en b, lajunción se anula al menos en un punto interior de [a, b].
DEMOSTRACIÓN. Se supone que f ( a ) > 0 y f (b ) < 0, sin perder generalidad.
Se considera el punto medio del intervalo [a, b]: (a + tí)/2. Si / ( ^ ^ ) = 0, el teorema está demos
trado; de no ser así, por ejemplo, si < 0, se considera el intervalo [a, en los extremos del
cual la función toma valores de signo opuesto. Se repite el proceso, considerando el punto medio de este
intervalo:
2
Si la función se anula en este punto, ya está demostrado; de no ser así, se sigue adelante. Según el
postulado de Cantor, existe un punto a, perteneciente a todos los intervalos, en el que la función se anula
ya que, de no ser así, / ( x ) ha de ser positiva en un entorno de a, si f ( a ) > 0, o negativa si f ( a ) < 0,
según la proposición anterior. Esto contradice el hecho de que / ( x ) tome valores de signo opuesto en los
extremos de cada intervalo. 9
Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función 81
EJEM PLO 5 .1 1 La ecuación eos x - 2x + 1 = 0 tiene, al menos, una solución en el intervalo [0 , rr/2 ].
La función / (x) = eos x —2x + 1 es continua en [0, rr/2], por ser suma de funciones continuas en
dicho intervalo. Además: /(O) = 2 > 0
- 7T + 1 < 0
Según el teorema de Bolzano, existe a e [0, tt/2 ] / / (a) = 0.
Recordando la Sección 5.8, dada una función f (x ), de dominio de definición D, se dice que es conti
nua enxo € D +?■ Ve > 0, 35(e, xq) > 0 / \x —xq\ < 5 = + |f (x ) —f (x o)| < e.
En la anterior definición se observa que el valor de 5 no depende solamente del valor tomado para e,
sino que depende también del punto en cuestión xq. En general, no será posible encontrar un único Spara
un valor dado de e, ya que 5 variará al variar xq. Si se impone la condición de que 5 dependa únicamente
de e en el intervalo (a, b), se está estableciendo una condición más fuerte que la de simple continuidad
en (a, b) y se introduce el concepto de continuidad uniforme en dicho intervalo.
• DEFINICIÓN 5.26 Una función f{x), de dominio D, se dice que es uniformemente continua en
{a, b) c D -£> Ve > 0, 35(e) / Vx\,x j e {a, b), \xi —X2 ¡ < 5 = + \f{x\) —f(x f)\ < e.
Obviamente, si f{x) es uniformemente continua en (a, b), es continua en (a, b). La afirmación
recíproca, en general, no es cierta. Sin embargo, si f (x ) es continua en un intervalo cerrado [a, b], es
uniformemente continua en dicho intervalo (Cantor-Heine).
EJEM PLO 5 .1 2 La función f (x ) = X es uniformemente continua, Vx € R. Se comprueba tomando
5 = e.
EJEM PLO 5 .1 3 La función / (x) = l/( x —1 ) es continua en ( 0 , 1), pero no es uniformemente continua
en dicho intervalo. Se comprueba tomando valores cada vez más próximos a 1.
• DEFINICIÓN 5 .2 7 Se dice que la función f (x ) es un infinitésimo o infinitamente pequeña, cuando
X X q , s i lím / ( x ) = 0.
X-+XQ
DEFINICIÓN 5 .2 8 Dos infinitésimos f{x) y g (x) en xq son del mismo orden, si lím f(x)
g(x)
l e R - {0}.
• DEFINICIÓN 5 .2 9 Sean / ( x ) y g(x) infinitésimos en xo- Se dice que / ( x ) es un infinitésimo de
mayor orden que g{x), si *l-í^m*0 g(x) = 0.
• DEFINICIO>N 5 .3 0 Dos infinitésimos f{x) y g(x), con x x q , son equivalentes si lím f (x) = 1.
Se representa como: f (x ) ~ g(x).
g(x)
^l^xyiys~£a-impartgncia de la <
y g(x) son equivalentes^dfiTmiJe~de=ümi~expjvsión en la que figura f{x) como factor o divisor no se
alterajifsustittíi+f (x) por g(x).
J i C X C > <5~ £. c / £ T z : T c ^ c r ~ c f i í /
S/ / f s ) tj j e n &SoJ> i''T jr h 'J s $ V ) ^ ^ ,^,j ..(-^ £ C ! / ( r r ;}■! C ~\ ',
f e . < /% ) H * Í : : .
8,2' ñ *. a-l /& . h il
Introducción Cálculo í)f^ )
ll-i/ff i ’XjC /-“ fu a n d o x —> 0, son equivalentes los infinitésimos siguientes:
¿CL/Cir>¿Svt-/"*'’#^ % senx «í x tgx «tí x
are tg x «=¡ x
are sen x '« x ex —1 «« x
ln(l ± x) « ±x
ax — 1 «tí x ■ln a, a > 0 1 —cosx «a (x2) / 2
£>^(1 + x )p «« 1 + px J¡/x —1 «a ln J¡/x
PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar el dominio de las siguientes funciones:
5.1. ¡ /( x ) = %2x + 1.
Resolución
Dom f{x) = R. La raíz existe para todo valor de x e R, por ser una raíz cúbica.
5.2. i f (x ) 9 —x,2'
Resolución
La función no existe para los valores de x que anulan el denominador:
9 —x2 —0 =4> x = ±3 = > Dom / ( x ) = R —{—3, 3}
5.3. i / ( x ) = V x2 —4.
Resolución
El radicando ha de ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada:
x2 —4 > 0 =$■ x 2 > 4 =>• x 6 (—oo, - 2 ] U [2, oo) =>■ D o m /(x ) = (-o o , —2] U [2, oo)
5.4. ¡/ ( x ) = V2 + x —x 2.
Resolución
Del mismo modo: 2 + x —x 2 > 0 =>• (2 —x )(l + x ) > 0 =>• x e [—1, 2] ==>• D o m /(x ) = [—1,2]
5.5. i / ( x ) = V —x +
■\/l H- x
Resolución
El radicando de la primera raíz ha de ser mayor o igual que cero y el de la segunda mayor estrictamente
que cero, por estar en el denominador. Por tanto:
x < 0 y l + x > 0 =ri> x < Oy x > - 1 =¥■ x e ( - 1 , 0] =*> D o m /(x ) = (-1,® ]
Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función 83
Resolución
Puesto que los números negativos carecen de logaritmo, ------- > 0. Caben dos posibilidades:
1 —x
1+x > 0 x> - = > X 6 (— 1, 1)
1 —x > 0
X< 1
1+ x < 0 x<—
1 —x < 0 X> 1
Por tanto, D o m /(x ) = (—1, 1).
5.7. | / ( x ) = ln(x2 - 9). I
Resolución x 2 > 9 =>• x € (—oo, —3) U (3, oo). Por tanto, Dom / ( x ) = (-o o , —3) U (3, oo).
x2 - 9 > 0
5.8. 1/ ( x ) = s/ 2 —|x|.
Resolución
2 —|x| > 0 = £• |x| < 2 = » —2 < x < 2 =$■ D o m /(x ) = [—2,2]
5.9. Dada la función / ( x + 1) = x 2 —3x + 1, hallar / ( x —1).
Resolución
Haciendo x + 1 = y, resulta:
/O O = (y - l) 2 - 3(y - 1) + 1 = y2 - 5y + 5
Por tanto, / ( x —1) — (x —l) 2 —5(x —1) + 5 = x 2 —7x + 11.
5.10. Hallar las funciones inversas de:
a) / ( x ) = --^ -
b) /O O = 4 + ln(x —3).
Resolución
3
84 Introducción al Cálculo
5. 11. Expresar y como función de x, siendo:
a) y = -z2 + 1, Z = x + 2.
b) y —Vz + 1 , z —sen2 x. .
Resolución
a) y —z2 + 1 = (x + 2)2 + 1 = x2 + 4x + 5.
b) y = Vz + 1 —Vsen2 x + 1.
' 5.12. Calcular lím - — -■* ~i~ ^
: . *-»0 1 —y í + T
Resolución
Es indeterminado, de la forma 0/0. Se hace el cambio x + 1 = í 10, donde 10 es el m.c.m. de los
índices de las raíces, resultando:
hm 11--—---í-t2? = í,h—,myt ----------(--i +"i"0t 5(—~1i“ -t5^0---f----t--*--f---1-)-
í—>l (1 —í)(^
= íh->m1 í 4—+ —í 3z--+1--+-f-=2-1-+---í---+-- — = 2-
5
l
ya que si x -> 0, entonces t -* 1 , puesto que x + 1 = í 10.
5 .1 3 . i Calcular lxím- *-í¡^t-fy=oc-x-----l1- , a,’b e N. ■
Resolución
Haciendo el cambio x = zab, z -»• 1, ya que x —> 1:
hm zb -l = l í-m> i (-(z-z--—---l-l)-)-((-z-z-aé---- l1;--++--zz--a6---~-22 + --- + z + l)• = -ab
z_*i za —l z bz + 1)
-\
5.14. Calcular lím —— 3x¿
A--+0 are sen
Resolución
Es indeterminado, de la forma 0/0. Sustituyendo infinitésimos equivalentes:
lim 1 - c o s—x7 = xh^m-o x 2/2 - -1
J-+0 are sen 3xz
3xz 6
5.15. i Calcular lím ^ ' senjc
x-A) (1 — C O S X )2 ’
Capítulo 5 / Límite y continuidad de una función 85
Resolución
Es de la forma 0/0. Sustituyendo infinitésimos equivalentes:
lfm x--3--•--s-e--n-x = h,,m x 3 •x
x-yO (1 — C O SX )z x-yQ ^ j
5.16. Calcular . sen(l —j.--e-o-s--3--x-)- -
lim
A_>0 x ■tg - • eos x
Resolución
Es de la forma 0/0. Sustituyendo infinitésimos equivalentes:
, 3x / 3 x \ 2
s Y w (y )
y teniendo en cuenta que: seno y
1 —eos x = 2 -
se tiene:
/ , 3x\ r /3x\2-i 9x2 9x2
sen (2 •sen2 — ) sen 2 — sen — - —
lln L-= íl = lím -Xv . ±4 . mcoesxr = hm-j— 2 - = UX—>0Xn = 1»
X„ ■tg —X4 • e—os X^ —X -cosx
x-yO
yaque xl-íymQcosx = 1.
5.17. X
ln (l + x ) ■a r c tg -
Calcular xl-íymQ ----x----(-l--+---t-g-A—x)-— .
Resolución
Es de la forma 0/0. Teniendo en cuenta que 1 + tg2 x = sec2 x y que ln(l + x ) ~ x, se tiene:
X
lfm X ’ oL— = K m x ■eos2 X = 0
x-s-o x • secz x x->0 2
ya que jclí-mí-0cos2 x = 1.
5.18. • (sen 3x —senx)3
Calcular xlí-mA) (1 —cos3x) l n ( l + x )
Resolución
Usando las fórmulas de transformación de suma de ángulos en producto y las del ángulo mitad:
sen3x —senx = 2 senx cos2x
9 3x
1 —eos 3x = 2 sen —
86 Introducción al Cálculo
se tiene:
h m -(-2---s-e-n--x---cos2x)3. = ii m --8--x-3---—cos—3 2x _ ifm —8x3 _ _16
x 2 sen2 —2 x 2 ( — )) x x~*° ~Y ^
\ 2
5.19. . Estudiar la continuidad de la función /( x ) = X 2 + 1 six < 1
3 si x = 1 en el punto x —1.
X + 1 si X > 1
Resolución = lím / ( I + h)= Km (1+ h) + 1 = 2.
h —y 0 h —y 0
1) /( 1 ) = 3.
2) lím /( x ) = Km / ( I - h)= Km (1- h2) + 1 = 2 .
h —y 0 h —y 0
x —y 1
lím /( x )
a*—> 1
Figura 5 .8
3) Km / ( x ) = 2, ya que Km / ( x ) = Km /( x ) . Dicho límite no coincide con f( l ) = 3 y la
x-»l+ x —>i — J
función presenta una discontinuidad evitable en x = 1 (ver Figura 5.8).
5.20. Estudiar la continuidad de la función /( x ) = E(x) (parte entera de x), para los valores enteros de x.
Resolución
1) / ( a ) = a, ci e Z. h-++0h) = Km E(a+ h) = a.
2) A*K--m>a+ / ( x ) h=^yQKm f ( a
lím /(x ) /i—3-0 = Km f(a - h) = Km E(a- h) - a - 1.
/¡—>0
En los valores enteros presenta una discontinuidad de salto igual a 1 (ver Figura 5.9).
e----- o
- 2 - 1 ‘O 1 2
0---------- (
s----- o
Figura 5 .9
Estudiar la continuidad de la función / ( x ) = x - E(x), para los valores enteros de x.
Resolución
(Ver Figura 5.7)
y de 87Capítulo 5 / Límite continuidad una función
1)/ ( a ) = a —E (a) = a —a —0, a e Z.
2) lím f ( x ) = lím f(ci + h) — lím a + h —E(a + h) —a —a = 0.
.v—>a+ h-+ 0 /i—5-0
lím f ( x ) = lím f{a —li)= lím a —h —E(a—h)= a —(a —1) = 1.
.v— /i—>0 /z—>0
En los valores enteros presenta una discontinuidad de salto igual a —1.
5.22. Estudiar la continuidad en x = 2 de la función:
/(x)= x2 —4 si X 2
si x = 2
x —2
a
Resolución
La función es continua en x = 2, si a = 4. Si a 4, presenta una discontinuidad evitable (ver Figura
5.10).
Figura 5 .1 0
5.23. Estudiar la continuidad de la función f{x) —
Resolución
1) /( 0 ) = 0.
2) Km f ( x ) = Km / ( 0 + h)
X-Í-0+ ft-v0
Km / ( x ) = Km / ( 0 - A)
& 12
1-21-1 0
-ó
Figura 5 .1 1
No tiene límite en x = 0. La función no es continua en dicho punto (ver Figura 5.11).