288 Soluciones de los problemas propuestos
CAPITULO 5
5.33. R.
5.34. R - { -2 , 2}.
5.35. (—oo, —v/2) U (-s/2, oo).
5.36. [ - 1 , 1 ] .
5.37. (-2 ,0 ],
5.38. (- 2 ,2 ).
5.39. (- o o , 2) U (2,oo).
5.40. [1,100],
5.41. (0, oo) - {k,k e N).
5.42. '7r + k. n, jr kn \J , k e Z.
—+
5.43. R.
5.44. | + 2 kn.
5.45. [-1 ,1 ],
5.46. 0.
5.47. [Lo, i2J.
5.48. f (x + 1) = 12x2 + 20x + 13.
5.49. a) f ~ l (x) = y c o s |; b) / _ 1 (x) 1x
-5 are s e n4- ,
5.50. f (x + 1) = 12x2 + 20x + 13
yeos x
b) f ~ l (x) = -1 árceos J—C .
5.52. y = 18z2 + 24z + 8
5.53. y —+J4z —2.
5.54. a) ( f o g)(x) = b) (g o f )(x ) = ( ~ y ) - 5 .
5.55. A = tgjc a,2 -b2
5.56.
5.57. « = 2 • ln 6.
5.58. Es continua Va, a e Z.
5.59. Discontinua en x = n kn de una unidad de salto.
—+
5.60. Discontinuidad esencial en x —0.
5.61. Discontinua en x —3, de dos unidades de salto.
5.62. Discontinuidad esencial en x = 1.
Soluciones de los problem as propuestos 289
5.63. Discontinua en x = 1, de salto —1.
5.64. Discontinuidad evitable en x —0.
5.65. f(x) = { 1 si x e <Q>
si x e I
5.66. n = 0.
5.67. Continua en x —±1. Discontinua en el resto.
5.69. -2,0625
CAPITULO 6
6.41. a) f { x ) =;b) f '(x ) -2x
(x2 + 3)2'
6.42. a) y' = 2x ■cosx2; b) y’ = 2 ■senx - cosx; c) y' —2x •2 • senx2 • cosx2.
6.43. y —(senx)suB.,- . -l-n-(--s-e--nc--ox-s)z=+-x--c-o--s-2--x
6.44. y't = lny - x-
lnx
x•
6.45. y(n = (-1 )" ■«!• (x + 2)n + l'
6.46. y(n - ( - 1 ) ” • n\ • -1 (x - 3)"+!
(x - 2)"+1 +
6.47. 53
(-1 )" • ni ■[ (x - 2)"+1 _ (x - 1),!+1
6.48. ( _ 1) 2 • 4" • cos4x si n impar
I (—1)2 • 4" ■sen4x si n par.
6.49. 2xy —y2
2xy —x2
6.50. are sen y —y1
2xy x
r
6.51. y' xy ■cosx ■ln(xj) + y ■senx —xy -\ny
■x • sen x
6.55. a = 3; b = 2.
dy 2 (x2 + x + 1 ) ■eos2 x
6.56. du. i x ■(2x + l ) 2
6.57. 1 / dy dy dx\
sugerencia: hacer —dx = —dt dt /
\
6.59. 83° 39' 35".
6.61. n > 57,3.
6.62. „ - l
290 Soluciones de los problemas propuestos
6.63. *
11
O
W
II
¡f
6.64.
5 y8'
6.65. y = (4 ± 2*¿5)x.
6.68. —0,87 cm/s.
6.69. a) —0.00032 cm/s; b) —0.4 cm2/s.
6.70. a) —^2 m/min; b) 2-s/T, m; c) -^=
V7 V5
6.71. 2,4 unidades por segundo.
6.72. A - 1
-.
6.73. 2 unidades por segundo.
—-
6.74. /I 1\
( 2 ’?)'
6.75. a = 4; ¿ = —2.
6.76. Continua y no derivable en x = 0.
6.77. Continua y no derivable.
6.78. 3,16.
6.79. 12 ir dm3.
6.80. a —2.
6.82. 2.
6.83. 6.
6.84. - 1 .
6.85. 1
2'
6.86. 1
~4'
6.87. 1 .
6.88. 1.
6.89. 1.
6.90. 0.
6.91. 0.
6.92. 3
4'
6.93. e - 2.
6.94. e2.
6.95. ea1.
6.96. 00.
6.97. 1
3'
Soluciones de los problemas propuestos 291
6.98. e 1
6.107. a >
6.108. Convexa.
/ [23 23\
6.110. y 2
:•(* - 3).
6.1 1 1 . 3V2 y 6V 2 cm.
6.112. /• = 2 m, b = 7 m.
-
6.113. r = 5V2 cm, h = 10V2 cm.
6.114. a = 10 cm, b —10 cm.
/2c 4c\
f e T i)'
6.116 ■ 8 19 \
3/
(\3-3 ’
6.117. 9+ —9jt 9
cm2.
6.118. Máximo en x 77Z/Z. Mínimo en x /mn.
6.119. r í200 cm, 400 cm.
3 Y3
6.120. El triángulo equilátero.
6.121. 6307.5 cm2.
6.12 2 . 2 . are sen 1
6.123. A un punto situado a 12 Ion del pie de la perpendicular trazada desde el barco a la costa.
6.124. tc -|“ 4 m de base y 4 4 m de altura.
TV+
6.125. 14.000 artículos.
CAPITULO 7
7.15. P (x ) = 4(x - 1) + 6(x - l )2 + 4{x - l )3 + (x - l)4.
7.16. 1+ x ■ln a + (x2—■lnxar-)21 - +(x-—■3ln! a )3 +• (x - lna)" ^
1! 2! ni
1 • 3 • 5 . . . (2n - 1) ■x 2/2—H1
7.17. x + — + 12•^3 - x53 1 -3 -5 -x7 +
2 •4 •6 •7 2 ■4 • 6 . . . 2n ■(2n + 1)
7.18. 71 1 •3 •x5 + 1 • 3 • 5 . . . (2n - J1) ■x 2,,+1 + .
2 •4 - 6 . . . 2/r • {2n + 1)
1 .19 . x - X + 2 ^ + 2.4.5
—X3 + -Xj5 x‘ n+1 1
T (2n + 1 ) •x 2"+1
292 Soluciones de los problemas propuestos
X 2 5x4 64x6
1 + —Z2
+
+
Z244 7/Z2U0
8U04
7.21. Xr 22 Xr 44 Xr 66 1177vx^8
2 12 45 2520
X3 X5
* -------67~ H— 4~— í- •
7.23. ln 2 + ^ ^ _^> 1 .
2 4 4 8
7.24. e + ^ ( x - l ) + ± ( x - l ) 2 + ¿¡(x - l ) 3 + ~ ( x - l ) 4 + ± ( x ~ 1)5 + | ( x - l ) 6
+ ^ ( x ~ l ) 7 + ! [ ( * - - !)8-
7.25. f ( x ) = 3 + „7x +i o8jc2 +i 6< x3J 4i---3-2-e-S-x--+- -1—6(^0-x--+--3--)-e-2-e-x-x 4
4!
7i .27 64 . f{x) _—11 H, X - --1------(-JC---— l ) 2 1---(J-C- —— -l -)-3---b • •'
7.27. -5---1--0---1-3-.
2
7.28. a — 6.
7.30. -1.
7.31. —60 .
7
7.32. 0,468....
CAPITULO 8
8.16. —ln |c o s x | + C.
8.17. V x 2 + 5 + C.
8.18. arctg(senx) + C.
8„.1„9„. 2x — sen 2x + C.
4
8.20. —senj 3—x + C .
8„.21. a-r-e-s-e-n-2-x- + C.
8„.22. —sen- x2 bC .
8.23. 2. are sen ^x —2„ • L / * \ 2
8„.24.. —2 ^—3 arctg 2—x 4—~ 1 + C.
3 V3
8.25. senx —x c o sx + C.
8.26. x ln |x | —x + C.
Soluciones de los problem as propuestos 293
8.27. 2 - V* l n | x | - 4 -y/x + C.
8.28. ln | senx| —ctgx + C.
8.29. ^ [sen(ln |x|) - cos(ln |x|)] + C.
8.30. ^ ln |x2 —4x + 5| + 4 • are tg(x —2) + C.
8.31. A(x_Z+I S T -x í) ■e™ 5™—x + c„.
-J .
8.32. x ■tgx + ln | co sx | + C.
OO
8.33. - -V (1 + jc)5 —- - V ( l + ^ ) 3 + C.
8.34. iln|x - 1| - ~ln|x + 1| + ^ln |x + 3 |+ C.
8 4 o
8.35. ^ ln |x | —ln |^ —1[ + - ln |x —2| + C.
8.36. A~ + ln(x2 + 1) - \ are tgx + C.
x Í \ X "7“ 1 ) Z
8.37. i a i c g x + - - ± — + c .
8.38. ln |1 + tg x | ——1 ln(l + tg9 i ) + C.
8.39. ln(cosx) + 2-•-c-o-s=z-x-- 1-C.
8.40. - ] ¡ + * í - - F± = + C.
** 1+*2
8.41. x —ln(x + 2 )2 + C.
8.42. ^ ( \ / x 3 —1 - are tg V x3 —1^ + C.
8.43. x + ln ’- 9*
‘g 2
8.44. 41n(secx + tgx) —41n(cosx) —3 senx 1, + C.
—- senz x
8.45. are sen(2x2) + C.
8.46. - y /(aresenx)3 + C.
8.47. (x - 1)l n | l - V x| - - + yfx
8.48. \4 - l )/ arctg %2■- ^ + 2x + C.
6
8.49. * are sen x + ln a / 1 “h X — -\fÍ *—~X + c.
"j”a/1” ~X
V l+ X
294 Soluciones de los problemas propuestos
CAPITULO 9
9.19. —64 u.s.
3
9.20. 9 u. s.
9.21. Jtab u. s.
9.22. 2 f (\/8 —x1 — —) dx = 2n + \ u. s., Ó7r — \ u. s.
Jo ' 2/ 33
9.23. 16?r
3
9.24. 2n If dx t¡ = 2rt ■are tg 3 u. v.
——
Jo l + x ¿
91..225. jijt f /4 F6[69 2——f 6(6——4 4x x4-+xx9 '2H)]d .dxx—=— u. v.
Jo 15
J J9.27. a) 2jrJt¡/Aí ((,4,( 4- ——y—4 \ )d,,dyy== —12—18—2;j—8rjruu. .v.v;.; ,bb) )AAnn r¡¿ xxV*!f8—%xxddxx —1—28rtt— u. v.
J9.28. 2n (x3 —x2 —9x + 9 ) dx = 256n u. v.
3
9.29. Considerando el círculo x2 + y2 —r 2:
a) 2n / ,(.r2L—xL) dx =^ - n r33 u. v.
j ^nJo 3
b) 47r y .J r 2 —y2 dy — r 3 u. v.
9.30. Mediante anillos, 2tcpI\ x* é~2x dx = / 1\ 71 tt ( - l n y ) dy =
ttí 1
j u. v; mediante discos, — h /
„ ( l - -1) u. v. ° *
9.31. jr /í„72t sen9 2x dx = n u. v.
—Tt
Jo 4
9.32. Se considera la recta y = —YhX , que pasa por (0, 0) y (h,r):
íf h r2x2 n r 2h
a) n I ~ g r dx:=z ~ i r ~ u- v-
b) 2jr [ ( h , - 2' <¡, —jr r-2—/i u. v.
9.33. Considerando la circunferencia jc2 + y2 = r 2: L = A I/*/* —V .r.2.,..d—..x..x...2.. = 2n r u. 1.
r T2T Jo
9.34. — + J25 4/ c o s e c x d x = jf / ( ttgt \ ) u. 1.
2 ■ln 8/ —
2 —+
2V
/>16
9.35. I 4x-\/64 — (x—8)2 dx = 1024?r u. v.
Jo
Soluciones de los problem as propuestos 295
CAPÍTULO 10
10.17. oo.
10.18. 1
2'
10.19. 1.
10.20. 8,84834.
10.21. 105
16
10.22.
(ü :
10.23.
i * a - i:
10.24. 4 B (
10.25. 1 /5 3
2* V2’ 2
CAPÍTULO 11
11.26. Todo el plano salvo la recta x —y = 0.
11.27. [ - 1 ,1 ] x [- 1 ,1 ].
11.28. Exterior y borde de la parábola y = x 2, con y > 0.
11.29. Exterior de la parábola y = —x 2 .
11.30. {[0, oo) x [Ikii, (2k + 1)tt]} U {[-oo, 0] x [(2/t + 1)tt, (2k + 2)tt]}.
11.31. l x [ 0 , o o ) .
11.32. R - (0,0).
11.37. Continua en (0,0).
1 1 .3 8 . = e A.-+senr. = . e x+sen y . & = ^ 4 -se n y . 3*Z = d h = _
dx dy dx¿ dxdy dydx y2
d27 = - sen y • ex+seay + eos2 y • e*+sen:>'. ~J(x2 + y2)3 ’
—
dy2 J
1139 dz x dz y d2z d2z - xy _ d2z
dx x2 + y2 ’ dy x2 + y2 ’ dxdy dydx y/(x2 + y2)3 ’ 9x2
d2z x2
dy2 V (x2 + y2)3
11.40. x —y —2z + 6 = 0.
11.41. dz —(2x —2y) dx + (3y2 —2x)dy.
11.42. dz —y dx + x dy.
11.43. dS = —U pn= cm2o.
8V4I
11.44. 4,998.
296 Soluciones de los problemas propuestos
11.49. Mínimo en (1, —3/2). p = 5/4.
11.50. Cubo de arista 2 cm.
11.51. 3, 3 y 3.
11.52. El baricentro del triángulo que forman los tres puntos.
11.53. Un triángulo equilátero.
11.54. V3
11.55. 64/9 u. v.
11.56. —9 u.v.
11.57. Mínimo en (1 ,1 ,0 ).
CAPITULO 12
/nI px2
J (x2 ~ y) dydx —4/5.
-Jy xy dxdy = 1/12.
pa p ^ ^ / a 2—x2
12.21. 4 1 I dydx —nab.
Jo Jo
p 1 p*/9x dydx + 2 / pVTÓ p - \ / 10—x 2 dydx = 27/2.
12.22. 2 / /
/
Jo Jo J 1 Jo
12.23. f 3 r x! 3 dydx = e9 - 1 .
// — 6—
Jo Jo
j 3 dxdy = -i (e —1).
3
nlnj pial p2
e~x dxdy = 1 —ln2. Invirtiendo el orden: / / e~x dydx —1 —ln2.
Jo Jex
n12.26. Despejando: x = (u + u)/3, y = (2u —v)/3. El recinto S se transforma en el rectángulo de
vértices (0,0), (1, 0), (0, 3) y (1, 3): í í u2 \J\dvdu = \3 joí í u2 dvdu = 1/3.
J Jb Jo
12.27. Mediante los cambios: x2 + y2 — u, x2 —y2 = v, el recinto S se transforma en el rectángulo
de4véfrt9iceVs u(24,—1)v, 2(9, V1),u2(14—,4v)2yd(v9d,u4)=. D1e5sp/8e.jando
* e y, x = V(m + u)/2, y = —v)/2:
24
12.28. Pasando a co/*o3rdpejnt/a2dapsjte/s2féricas, S* = {(p, Q,cp)/ 0 < p < 3 , 0 < 0 < 7r/2, 0 < <p < n/2}.
pcosipcosflpcos?;sen0pstncpp2 cos<pdcpdddp=243/16.
Portanto: / / /
Jo Jo Jo
p 3 p 2 p 4 —x 2
12.29. ¡ I dzdxdy = 13.5 u. v.
Jo 7 -1 72-a:
n Vx /.l-x
I xdzdydx.
Jo
Soluciones de los problemas propuestos 297
pp227xt pr 22 pr 22
12.31. Pasando a coordenadas cilíindricas: I 1 1 O'2)2 r dzdrdO = 32/3.
Jo J'o J' r22/n2
p a p -\f a2--x2 p ^ fc fl—x2
12.32. 8 I I dzdydx.
Jo Jo Jo
12.33. Pasando a coordenadas esféricas:
pir/2 p n /2 pr
/ p2 eos2 9 eos2 (p p2 coscp dpd<pd& = 47rr5/15.
8 J/O J/o
Jo
pA p~/Az p \ J Az—x2 pA pA p~JAz—y2
dydxdz’, b) 4 / / / dxdzdy.
12.34. a) 4 / / / Jo J y 2/AJo
Jo Jo Jo
12.35. Pasando a coordenadas cilindricas:
r a r 271 ,2 2 ha2it(3a2 + 2h2)
(r2 sen2 0 + z2) r dzdfldr = - 60
//o 7o/ /Jo
p 2 p 6 pA—x2
12.36. I dzdydx = 32 u. v.
Jo Jo Jo
pjr p 8sen0 pz
12.37. En coordenadas cilindricas: J1o 1Jo JIo p dzdpdO = 96tt u . v .
CAPITULO 13
13.14. Primer orden y primer grado.
13.15. Segundo orden y primer grado.
13.16. Primer orden y tercer grado.
13.17. ye2* - ^ e 2* + C = 0 (lineal).
13.18. y2(x2 — 1) = x 2 + C (variables separables).
13.19. y = 2 - ^ — (lineal).
senx
13.20. x —Cez (homogénea).
13.21. x 2 + y ln |y | + y2 + Cy = 0 (factor integrante).
13.22. 1 + y2x 4 = Cx2y2 (Bernouilli).
y
13.23. eos —x h ln |x | = C (homogénea).
13.24. ex + l n | x | = C (homogénea).
13.25. xy2 —y 3 —C(x + y) (homogénea).
13.26. y = x2e~*y + C (variables separables).
13.27. x2 + y2 + xy —C (exacta y homogénea).
13.28. x 2 —y2 = C, x 2 + y2 = C.
13.29. y2 = 4x - 2x2 + C.
298 Soluciones de los problemas propuestos
13.30. y = Cex¡y.
13.31. y = x 3/3 + C, y = x 3/3.
13.32. l nx2 + y/x = C.
13.33. x = Cy2.
13.34. x 2 + y1 + 2Cx + (C2 - 25) = 0.
13.35. y — C\ex + Cixe? + x 2 + 4x + 5.
13.36. y = Ci cosx + C2 senx + senxln(senx) —xcosx.
CAPITULO 14
14.20. a) l / 3 ( —x 3 + 3x2 + 4x - 3); b) - 1 /8 .
14.21. a) 1,083; b) 1,1; c) 1.0986.
14.22. a) 1,1167; b) 1,1; c) 1,096.
14.23. a) 3,9881; b) 3,9895; c) 3,9895.
14.24. a) 3,9828; b) 4,0415; c) 4,0472.
14.25. a) 0,7430; b) 0,7469.
14.26. 3507 u. s.
14.27. 2,6310.
14.28. 0,5639.
BIBLIOGRAFIA
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[2] AYRES F., Cálculo diferencial e integral. McGraw-Hill, México, 1970.
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[4] BRONTE R., Cálculo infinitesimal e integral. Litoprint, Madrid, 1977.
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1985.
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ÍNDICE ALFABÉTICO
A esféricas, 214
anillo, 2 polares, 192
aplicación, 6 criterio de comparación para series, 55
biyectiva, 6 de D ’Alembert, 57
inyectiva, 6 de la integral, 58
sobreyectiva, 6 de la media aritmética, 41
de la media geométrica, 41
argumento de un número complejo, 25 de la raíz de Cauchy, 56
aritmética de Leibnitz, 59
de Pringsheim, 57
de punto fijo, 243 de Raabe-Duhamel, 57
de punto flotante, 243 de Stolz-Cesáro, 41
del cociente-raíz, 42
B del logaritmo de Cauchy, 57
general de convergencia, 54
binomio de Newton, 279
cuerpo, 3
C
D
cónicas, 282
cifras significativas de un número, 243 de dos sucesiones,
cilindro, 188
cociente de números complejos en forma polar, cociente, 39
producto, 39
26 suma, 39
combinaciones, 279
de la función de dos variables,
con repetición, 279 mínimo, 196
completitud de E, 12 máximo, 196
conjunto
de un conjunto,
abierto, 14
acotado, 12 adherencia, 13
cerrado, 14 cota inferior, 12
derivado, 13 cota superior, 12
numerable, 6 elemento máximo, 12
elemento mínimo, 12
conjuntos frontera, 13
supremo, 12
coordinables, 6
cono, 188
coordenadas
cilindricas, 213
302 índice alfabético polar de un número complejo, 26
standard de una ecuación diferencial, 230
de un número complejo, trigonométrica de un número complejo, 26
fórmula
conjugado, 24 de Euler, 27
parte imaginaria, 24 de Newton, 246
parte real, 24 de Moivre, 27
de Simpson, 255
de un punto, de Stirling, 42
del valor medio, 254
entorno, 13 función
de una función, algebraica, 74
campo de existencia, 73 beta, 178
diferencial, 101
dominio de definición, 73 compuesta, 74
imagen, 73
recorrido, 73 continua, 76,192
de dos variables, 185
densidad de Q en R, 10 explícita, 74
fraccionaria, 74
derivada, 96 gamma, 175
parcial, 193 homogénea, 231
irracional, 74
Desigualdad trascendente, 74
de Bernouilli, 9 uniformemente continua, 81
triangular, 11 funciones hiperbólicas, 29
diferencial total, 195 G
dominio de definición, 185 grado de una ecuación diferencial, 229
grupo, 1
E
H
ecuación hessiano, 197
de Bernouilli, 233 hiperboloide
diferencial, 229
diferencial de factor integrante, 233 de dos hojas, 189
diferencial de variables separables, 231 de una hoja, 188
diferencial de variables separadas, 230
diferencial homogénea, 231 I
lineal, 233
infinitésimo, 81
ecuaciones diferenciales
exactas, 232 del mismo orden, 81
equivalentes, 81
lineales de orden n, 234 integración por sustitución, 143
integral
elipsoide, 187
definida, 157
entorno circular de radio r, 189
entorno reducido, 13 doble, 210
error impropia de primera especie, 173
absoluto, 243 impropia de segunda especie, 173
porcentual, 243
relativo, 243 triple, 213
intervalo
esfera, 187
abierto, 11
F cerrado, 11
factor integrante, 233 J
factorización
jacobiano, 212
de Choleslcy, 252
de Crout, 252
de Doolittle, 251
LU, 250
forma
forma diferencial de una ecuación diferen
cial, 230
exponencial de un número complejo, 27
L índice alfabético 303
límite de números complejos en forma polar, 26
de una función, 75 progresión
de una función de dos variables, 189
de una sucesión, 38 aritmética, 274
geométrica, 274
logaritmo de un número complejo, 28 propiedad arquimediana de R, 12
longitud de un arco, 159 punto
M adherente, 13
aislado, 13
matriz de acumulación, 13
con diagonal estrictamente dominante, 250 interior, 13
definida positiva, 249
R
método
de bipartición, 246 raíz de un número complejo, 27
de Euler, 255 radián, 274
de Gauss, 248 redondeo de un número, 244
de Gauss con pivoteo parcial, 249 relación de
de Gauss con pivoteo total, 249
de Gauss-Jordan, 249 orden,8
de inducción, 5
orden parcial, 8
de los multiplicadores de Lagrange, 197 orden total, 8
de Newton, 246 S
de variación de las constantes, 235
iterativo de Gauss-Seidel., 253 segmentos conmensurables, 4
iterativo de Jacobi, 253
módulo de un número complejo, 25 semigrupo, 1
serie, 53
N
alternada, 59
número
aritmético-geométrica, 59
complejo, 24 armónica, 55
e, 42 cociente de dos polinomios, 58
imaginario puro, 24
convergente, 54
números
irracionales algebraicos, 4 divergente, 54
irracionales trascendentes, 4 geométrica, 55
hipergeométrica, 59
O solución general de una ecuación diferencial, 229
solución particular de una ecuación diferencial,
orden de una ecuación diferencial, 229
órdenes de infinitud, 42 230
sucesión
P
acotada, 38
paraboloide, 188 convergente, 38
permutaciones, 279
de Cauchy, 44
con repetición, 279
plano tangente, 194 de Fibonacci, 37
postulado de Cantor, 12
potencia de números reales, 37
de un conjunto, 6 divergente, 39
de un número complejo en forma polar, 27 monótona creciente, 38
monótona decreciente, 38
del continuo, 11
oscilante, 39
producto suma
de dos funciones, 74
de números complejos, 24 de dos funciones, 74
de dos series, 60
de números complejos, 24
de una serie, 58
superficie de revolución, 160
T
tabla de derivadas, 98
304 índice alfabético
teorema
del coseno, 277
del seno, 277
trayectorias ortogonales, 234
U
unidad imaginaria, 23
V
valor absoluto de un número real, 10
variaciones, 279
con repetición, 279
volumen
de revolución, 159
de sección conocida, 161