238 Introducción al Cálculo
es exacta; será la diferencial total de una función z(x, y). Por tanto, integrando x3 + xy2 + x2 respecto a
Z(x, y) = —x4 + x2y2 + —x3 + h(y)
Derivando con respecto a la variable y e igualando a x2y:
dj y— = x2y + tí (y) = x2y =>• tí (y) = 0 = > h(y) = C
Entonces, la solución general es: x4* x2*y2A x3D
T +- f +T +c=°
13.6. ' Hallar las curvas tales que la pendiente de su recta tangente en cada punto (x, y) sea igual al cuadrado
de la abscisa x de dicho punto. Hallar la solución particular que pasa por el punto (0,1).
Resolución
Se tiene que: —ddxy = xo (variables separables)
dy —x9 dx = 4 y = X—3 + C
La solución particular que pasa por (0,1) es:
1 = o + c ==» C = 1
Por tanto: x3 1
y= y + !
13.7. | Resolver y' + 2xy = 2x.
Resolución
Se trata de una ecuación lineal (Sección 13.8). Su solución será:
luego:
yex = ex~+ C =>■ y = 1 + Ce~:
13.8. Hallar las curvas tales que la longitud de la normal en cada uno de sus puntos (x, y) sea igual a 2
i unidades.
Resolución
La ecuación de la recta normal en (x, y) (ver Figura 13.2):
y - y = - I (X -JC )
y'
Capítulo 13 / Ecuaciones diferenciales 239
Para Y = 0: X = x + yy'. El punto de intersección de la normal con el eje de abscisas es (x + yy',0).
La longitud de la normal es igual a la distancia de (x , y) a (x + yy', 0):
y j { x - x - yy')2 + (y - O)2 = 2
O bien: {—yy ,yo + yr¿y = 4 ~=y
=4 —7 ¡4 - 3,2 dy = dx (variables separadas)
cuya solución es —^ 4 —y2 = x + C. Elevando al cuadrado:
x2 + y2 + 2Cx + (C2 —4) = 0 [circunferencias de centro (—C, 0) y radio 2]
13.9. Hallar las curvas tales que la pendiente de la recta tangente en cada punto (x, y) sea igual a la suma
; x + y de las coordenadas de dicho punto.
Resolución -dd—xy = x + y =4- dy y = x (lineal)
dx
Su solución:
Resolviendo por partes la integral del segundo miembro:
ye~x ——xe~x —e~x + C = 4 y = —x —1 + Cex
13.10. | Resolver xy(2 + y3)dx + dy = 0.
Resolución
Escribiéndola de la forma:
dx + y ■2x = y4(—x)
se aprecia que se trata de una ecuación de Bernouilli (Sección 13.9). Haciendo y -3 = v = 4 —3y~4dy =
dv, se transforma en una ecuación lineal:
240 Introducción al Cálculo veJ‘ - = / W ^ t + c
Su solución: jue-3*2 = 3xe~3*2dx + C
Finalmente: ve-3x~ = -3a.2
+C
+c ^
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia x2 + y2 —C2.
Resolución
La ecuación diferencial de la familia es:
2x dx + 2y dy —0 =£■ y' —■—
Sustituyendo y' por ——y : 1 x dy dx
y' y y x
Integrando: ln |y| = ln \x\ + ln |C| y —Cx
Se trata de rectas que pasan por el origen y, por tanto, son perpendiculares a las circunferencias x2+ y2
C2.
13.12. ! Resolver y" —y' —2y = e3x. \
Resolución
Utilizando el operador D ——ddx , se puede escribir en la forma:
(D2 - D - 2)y = (D + l)(D - 2 )y = e3x
La solución general de la homogénea será:
yh - Cie~* + C2e2x
Para hallar una solución particular yp de la ecuación no homogénea, se utiliza el método de variación de
las constantes. Se reemplazan las C, por las L¡:
y = L\e~x + L2e2x
Se deriva y se igualan a cero los sumandos que contienen L\:
Dy = L\e~~x - Lie~x + L'2e2x + 2L2e2x
luego:
L [ e ~ x + L'2e 2x = 0 (13.3)
Capítulo 13 / Ecuaciones diferenciales 241
Se deriva y se igualan a P (x ) = e3x los sumandos que contienen L'i :
D2y = —L[e~x + L\e~x + 2L'2e2x + 4L2e2x
luego:
-L [e ~ x + 2L'2e2x = e3x (13.4)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones (13.3) y (13.4):
L\é~x + L'2e2x = 0
-L \é ~ x + 2L'2e2x = e3x
resultando Lj = —e4-v/3 y L'2 = eA/3. De donde Li = —eAx/ \2 y L2 = ex/3. La solución particular yp
será:
y = L\e~x + L2e2x = —eAx/ \2 ■e~x + ex¡3 ■e2x = e3x/4
La solución general:
y = C ie“ x + C2e2x + e3'v/4
13.13. Resolver y" + y = 2. ]
Resolución
Utilizando el operador D = —ddx , se puede escribir en la forma:
(.D2 + l)y = 2
Las raíces son ± ¡ . La solución general de la homogénea será:
y/, = Cj cosx + C2 senx
Se utiliza el método de variación de las constantes. Reemplazando las C/ por las L¡:
y —Li cosx + L2 senx
Derivando e igualando a cero los sumandos que contienen L'¡:
Dy = Lj cosx —L\ senx + L'2 senx + L2 cosx
luego es:
L\ cosx + h'2 senx = 0 (13.5)
Derivando e igualando a P (x ) = 2 los sumandos que contienen L'¡:
D2y ——L\ senx —L\ cosx + L'2 c o s x —L2 senx
y, por tanto:
—Lj senx + L'2 c o s x = 2 (13.6)
Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones (13.5) y (13.6):
L[ eos x + L2 senx = 0
—Lj senx + L2 cosx = 2
resultando Lj = —2 senx y L’2 = 2cosx. De donde L\ = 2cosx y L2 —2senx. La solución particular
yp será:
y = 2 eos2 x + 2 sen2x = 2(sen2x + eos2 x) = 2
La solución general:
y = Ci cosx + C2 senx + 2
242 Introducción al Cálculo
PROBLEMAS PROPUESTOS
13.14. En los ejercicios siguientes, indicar el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:
dx —2xy dy —0.
13.15. y" —xy1+ (y1)2 —6 = 0.
13.16. y - 2 = (3 + y ' r 2-
13.17.
Resolver las ecuaciones diferenciales:
(e2x —2y)dx —dy = 0.
13.18. x (l —y2)dx + y (l —x2)dy = 0.
13.19. (2 —y) ■cosx dx —dy = 0.
13.20. y(y —x)dx + x2dy = 0.
13.21. 2xy dx + (y + y2 —x2)dy = 0.
13.22. x d^x+ y = x 4y \
x ■sen -yx • —ddyx = y • sen —xy Kr.
11 03 .20-35.
x dy + xe * dx = y dx.
13.24.
13.25. (x2 —y2 —xy)dy + y2 dx —0.
13.26.
13.27. (1 —x + y —xy)dx —xy dy = 0.
13.28.
(2x + y)dx + (2y + x)dy = 0.
13.29.
Hallar las curvas tales que la normal en cada uno de sus puntos (x, y) tenga la misma longitud que el
13.30. segmento que une el origen con (x,y).
13.31. Hallar las curvas tales que el punto medio de la normal trazada en cada punto (x, y) esté sobre la recta
x = 1.
13.32.
Hallar las curvas tales que la longitud de la subtangente en cada punto (x, y) sea igual a la suma de las
13.33.
coordenadas del punto.
13.34.
13.35. Hallar las curvas tales que en cada punto (x, y) la pendiente de la recta tangente sea igual al cuadrado de
13.36.
la abscisa del punto. Hallar la curva que pase por el origen.
En cada punto (x, y) de una curva, el segmento que la recta tangente intercepta en el eje de ordenadas es
igual a 2x. Hallar dicha curva.
En cada punto (x, y) de una curva, la subtangente es igual al doble de la abscisa del punto. Hallar la
curva.
Hallar la curva cuya normal en cada punto (x, y) sea igual a 5.
Resolver la ecuación diferencial y" —2y' + y = x2 —1.
Resolver la ecuación diferencial y" + y = cosecx.
WWW.
EXODOS NUMÉRICOS
En muchas ocasiones, se presentan problemas cuya formulación matemática no posee una solución
analítica exacta, por ejemplo, cuando se quiere calcular una integral definida y no es posible obtener la
primitiva del integrando, o cuando es necesario resolver una ecuación cuyas raíces no son exactas. Se
verá algunos métodos sencillos que permitirán aproximar la solución del problema.
•ERROR;ABSOLUTO Y RELATIVO
Puesto que en matemáticas, por distintos motivos, se ha de operar con números que no son exactos, es
importante conocer las fuentes de estos errores, saber analizarlos y evitarlos, o corregirlos en la medida
de lo posible.
En los problemas se requieren soluciones numéricas, las cuales, al contrario que las soluciones analíti
cas, no están exentas de errores, que pueden surgir aunque se trabaje con calculadora u ordenador que
haya sido programado tras diseñar el método numérico correspondiente.
Dado un número x y una aproximación x', se llama error absoluto de x, al valor absoluto:
ea = \x —x'\
La aproximación x' será por defecto o por exceso, según que la diferencia x —x' sea positiva o
negativa.
El error relativo de x es el cociente: \x —x'\
El error porcentual de x o porcentaje de error es:
100 \x
14.2 ARITMETICAS DE PUNTO FIJO Y PUNTO FLOTANTE
Se llama cifras significativas de un número a todas las cifras de dicho número a partir de la primera
cifra de la izquierda distinta de cero.
244 Introducción al Cálculo
EJEM PLO 1 4 .1 Las cifras significativas de los siguientes números son las que están subrayadas:
18,021954, 62,35780, 0,03205, 0,023700, 2,0035, 160,984, 2803,87
Para realizar cálculos numéricos es necesario redondear los números, eliminando los dígitos super-
fluos; el último dígito se redondea de acuerdo a las siguientes reglas:
1. El último dígito permanece invariable si los dígitos siguientes son menores que 5000...
2. Se añade una unidad al último dígito si los dígitos siguientes son mayores que 5000...
3. El último dígito permanece invariable o se le añade una unidad, según sea par o impar, si los dígitos
siguientes son exactamente 5000...
EJEMPLO 1 4 .2 Redondear con dos cifras decim ales los siguientes números: 23,457, 421,2348,13,265
y 43,735. 23,457 « 23,46
421,2348 « 4 2 1 ,2 3
13,265 « 13,26
43,735 « 43,74
A la hora de realizar los cálculos aritméticos, puede mantenerse un número fijo de cifras decimales
en cada número; es la llamada aritmética de puntofijo o de comafija, debido a que el punto (o la coma)
decimal se conserva en una posición fija. Por el contrario, la aritmética en la que se mantiene un número
fijo de cifras significativas en cada número (tanto antes como después de cada operación aritmética), se
llama aritmética de punto o comaflotante, debido a que permite al punto flotar (moverse) de una posición
a otra; para ello, el punto decimal se lleva, en cada número, a la izquierda del primer dígito no nulo, y se
multiplica por la correspondiente potencia de diez. Por ejemplo:
6543,21 = 0,654321 • 104
0,014 = 0,14- lO-1
En el siguiente ejemplo se aprecia que la aritmética de punto flotante es más eficiente que la de punto
fijo. Se realizará el producto de los dos números anteriores, en primer lugar, con aritmética de punto fijo
con dos decimales y, a continuación, con aritmética de punto flotante con dos cifras significativas.
EJEM PLO 1 4 .3 Sean a —6543,21 y b = 0,014. E l producto a ■b utilizando aritm ética de punto fijo
con dos decim ales es: a = 6543,21
b = 0,014 « 0,01
a - b = 6543,21 •0,01 = 65,4321 « 65,43
A continuación, se h alla a ■b con aritm ética de punto flotante con dos cifras significativas:
a = 6543,21 = 0,654321 • 104 = 0,65 • 104
b = 0,014 = 0,14 • 10_1
a ■b = 0,65 • 104 • 0,14 • ÍO^1 = 0,091 • 103 = 0,91 • 102 « 0,91 • 102 = 91
El valor exacto de a ■b:
a -b = 6543,21 • 0,014 = 91,60494
El estudio de la propagación de los errores de redondeo, es decir, los resultados obtenidos con las
operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, cuando se realizan usando
datos con errores, queda fuera del alcance de este texto.
Capítulo 1 4 / M étodos numéricos 245
En ocasiones, se dispone de una tabla de valores de una función y se desea calcular el valor de dicha
función para un valor 3c que no viene dado en la tabla. Éste es el problema de la interpolación.
Si se dispone de n + 1 pares de valores:
X XO XI x2 . x„
y yo yi y2 • ■ yn
se pueden representar dichos pares de valores y unirlos mediante una curva, determinando gráficamente
el valor de y:
Figura 14.1
Éste es un método muy simple y su exactitud depende de la curva que se trace y de lo próximos que
estén entre sí los valores de la tabla.
FÓRMULA DE LAGRANGE
Los polinomios P¡ (x) de la forma:
p .(x ) - ( * ~ x° ^ x ~ * l ) ' ' ' ~ Xi- t i ( x ~~ x ‘+ ^ ' ' ' ~
(X¡ - xo)(x,- - Xl) . . . (x/ - x,-_i)(x; - X¿+l) . . . (x; - x„)
verifican P¡(x¡) = 1 y, además:
Pi(xo) = Pi(xi) = P¡(x2) = •• • = Pi(x¡-1) = P¡ (x,'+l) = • • • = Pi(xn) —o
Entonces, la función polinómica:
P (x) = yoPoix) + y\P\{x) H-------h ynPn{x)
resuelve el problema, ya que:
P ( xq) = yo. ^(*1) = yi. ••■, P ( x n) = y n
La función P{x) recibe el nombre de polinomio interpolador de Lagrange.
(Ver Problema resuelto 14.5.)
FÓRMULA DE NEWTON
Se utiliza cuando los valores de x están en progresión aritmética. Si se dispone de n + 1 pares de
valores: X XO XI x2 . ■ x„
y yo yi y2 • • Yn
246 Introducción al Cálculo
tales que los valores de x están en progresión aritmética:
x\ = XQ+ h, X2 = x\ + h = xo + 2h, . . . , xn —xq + nh
Se definen las diferencias primeras en la forma:
Ayu = yk+i - yk
Por ejemplo: Ayo — y i - y a
Ayi = yi - yi
Del mismo modo, se definen las diferencias segundas:
A2yk = A(Ayk) = A(y*+i - yk) = Ayfc+i - Ayk
Por ejemplo:
A2yo = Ayi - Ayo
A2yi = Ay2 - Ayj
Por último, se utiliza el polinomio:
D/ , ( x - x 0) (x - x 0)(x - x i ) 2 (jc —JC0) . . . (jc —JC„)
p m = » + - [ r ¿r ~A» + — + . . . + ----------— ---------- a " »
llamado polinomio interpolador de Newton.
(Ver Problema resuelto 14.6.)
Una ventaja del método de Newton es que si una vez obtenido el polinomio interpolador se dispone de
un dato más, basta con añadir dicho dato a la tabla y un sumando al polinomio interpolador, sin necesidad
de rehacer todos los cálculos.
En muchas ocasiones es necesario resolver ecuaciones de la forma f ( x ) = 0 para las que no existe
una fórmula que permita hallar sus raíces, como sí ocurre en el caso de a x 2 + b x + c = 0, o en el de un
polinomio con raíces enteras (algoritmo de Ruffini). Es necesario entonces utilizar métodos que permitan
aproximar las raíces mediante sucesiones de valores xq, x\ , x%,.. ., que converjan a dichas raíces.
MÉTODO DE BIPARTICIÓN
Según el teorema de Bolzano (Capítulo 5), si f (x ) es continua en el intervalo [a , b\, y toma valores
de signo opuesto en los puntos a y b, existe al menos un punto c e (a, b), tal que f{c) = 0. Además, el
teorema de Rolle (Capítulo 6) garantiza que si /(jc) es derivable en (a, b) y f '(x ) no se anula en dicho
intervalo, dicha raíz c es única (ver Problema resuelto 5.32.).
MÉTODO DE NEWTON O DE LA TANGENTE
Este método tiene por objeto aproximar la raíz de una función mediante su recta tangente. Sea la
función f ( x ) dos veces derivable en un conjunto que contenga al intervalo (xo, b) [además, se supone
que f (x ) tiene una sola raíz en el intervalo (xq, ¿)], la recta tangente a f (x ) en el punto (xq, /(x o )) es:
y - f (x o) = / ( x 0)(x - xo)
Capítulo 14 / Métodos numéricos 247
El punto de corte x\ de dicha tangente con el eje de abscisas es (ver Figura 14.2):
/(xo)
X l = XQ ■
/ '( * o)
El valor x \ es una primera aproximación del valor de la raíz. Se toma ahora el punto (jq, f { x \ ) ) y se
repite el proceso. La ecuación de la recta tangente a f { x ) en el punto { x \ , f ( x i)) es:
y - f ( x i) = f ( x i ) ( x - x i )
El punto de corte x 2 de dicha tangente con el eje de abscisas es:
f ( x i)
X l = X \ -------------------
/'(X l)
Figura 14.2
En general:
x n+ 1 — X n f(Xn)
f'(Xn)
La condición suficiente para que la sucesión anterior converja a la solución es que:
f (x ) ■f" (x ) < 1
íf(x)]2
• N OTA Antes de aplicar el método anterior en un intervalo (a, b), conviene elegir comopunto de inicio
aquél en que los signos de f (x ) y f" (x ) sean iguales (ver Figura 14.3):
Figura 14.3
(Ver Problema resuelto 14.7.)
248 Introducción al Cálculo
14.5 RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIOME
Los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales se dividen en dos grandes grupos:
directos e iterativos. Métodos directos son aquéllos que están basados en su mayoría en la eliminación
gaussiana o método de Gauss, y que permiten resolver el sistema de ecuaciones en un número finito de
pasos. Reciben este nombre para diferenciarse de los llamados iterativos, en los que a partir de un vector
solución inicial se genera una sucesión de vectores que debe converger a la solución x del sistema.
Se desea resolver el sistema de n ecuaciones lineales y n incógnitas:
Ei : a\ixi+ anX 2 + ' ' + ainXn = bi (14.1)
E2 '■ 0,21x1 + 022X2 + ■+ 02nXn = ¿>2
En : a,tixi + an2X2 H + onnxn —bn
que se puede escribir matricialmente: Ax —b
í x\ \
siendo: ( bi )
011 ü\n
an\ \ xn V h"
donde se supone que el determinante de la matriz A es no nulo, det(A) / 0.
MÉTODO DE GAUSS
El método de Gauss, o eliminación gaussiana, consiste en transformar el sistema dado:
Ax
en otro equivalente: Vx = c
en el que la matriz U es triangular superior. Esto es, el sistema anterior (14.1) se transforma en un sistema
triangular equivalente de la forma:
a'i ix i + a'i2x2 + •••+ d \nx n —b'^ (14.2)
a22x2 + •• • + a^nXn = ¿2
an' nX,i bí
donde los elementos a'u , llamados pivotes, son no nulos y en el que cada ecuación Ej se sustituye por la
ecuación equivalente:
a'-a- E¡;
donde los —ifi son los llamados multiplicadores.
au
El xn se calcula despejando en la última ecuación. Sustituyendo en la anterior ecuación, se
valor de
halla xn- i, y así sucesivamente. Ésta es la llamada sustitución regresiva o hacia atrás. En general:
Capítulo 1 4 / Métodos numéricos 249
con i = n — 1 , . . . , 1.
(Ver Problema resuelto 14.9.)
Una variante de este procedimiento es el llamado método de Gauss-Jordán, que consiste en eliminar
no sólo los elementos subdiagonales de las ecuaciones E¡, EJ+l, En, como se hizo en el método
de Gauss, sino también de £ j, Ei, . . . , E j-i, reduciendo el sistema original a un sistema diagonal.
Es decir, se elimina en cada columna los elementos que están situados por debajo y por encima de la
diagonal principal, hallando los multiplicadores correspondientes. Este procedimiento evita la necesidad
de la sustitución hacia atrás en la eliminación gaussiana, sin embargo, el número de operaciones es algo
mayor que en el método de Gauss.
Si en el transcurso del anterior algoritmo resultara algún pivote nulo, no sería posible continuar con
su proceso. Para evitar esto, se puede utilizar como pivote en cada columna otra entrada no nula en lugar
de la entrada diagonal correspondiente. Es preciso realizar un intercambio de las filas de la matriz que
contienen dicha entrada diagonal nula y el pivote seleccionado. Este intercambio siempre es posible si la
matriz es invertible. En la práctica, hay otra razón que aconseja realizar un intercambio de filas: cuando
se toma como pivote un número muy pequeño, se produce inestabilidad en la eliminación gaussiana,
produciéndose un sustancial error de redondeo.
En definitiva, ya sea por el motivo teórico de una entrada diagonal nula o por el práctico de una entrada
casi nula, la eliminación gaussiana con intercambios consiste en elegir como pivote la entrada de la m i s m a
columna que está bajo la diagonal principal y que tiene el máximo valor absoluto, i.e., se determina p tal
que:
ap{kk) max a¡{kk) k<i<n
A esta técnica se le llama pivoteo parcial o pivoteo máximo de columna.
(Ver Problema resuelto 14.9.)
Otro modo de proceder es el llamado pivoteo total, que consiste en realizar los cambios necesarios
entre filas y/o columnas para simar en la posición del pivote el mayor elemento en valor absoluto de la
submatriz restante A(r) en cada paso r.
En referencia al coste computacional de la eliminación de Gauss con pivoteo, hay que decir que va
a ser el mismo que en el método de Gauss simple, si bien el tiempo de cálculo será algo mayor en la
práctica, debido a las operaciones necesarias para el intercambio de filas o columnas.
INVERSA DE UNA MATRIZ. MATRICES ESPECIALES
Mediante el algoritmo de Gauss-Jordan es posible calcular la inversa de una matriz no singular A. Se
procede del siguiente modo: en la matriz ampliada [A|7], se aplica el algoritmo de Gauss-Jordan hasta
llegar a la matriz [7|A-1 ]:
' «11 «12 «1n 1 0 .. 0
1 .. 0
[A|7] = «21 «22 • • • «2n 0
0 .. 1
^ «ni «n2 «nn 0
Aplicando el algoritmo de Gauss-Jordan resulta:
/1 0 .. 0 an a12 ■ • a'ln ^
[/IA -1] = 0 1 .. . 0 «2i «22 • ■ a2n
1 <1 < 2 • ann /
\0 0 ..
(Ver Problema resuelto 14.11.)
250 Introducción al Cálculo Una matriz simétrica A e Mnxn (R) es definida positiva si y sólo si:
D efin ició n 14.1
vlAv — 'Y ^ '^ V iü ijV j > 0 , Vu e R" — {0}
i=l 1=1
Evidentemente, en una matriz A definida positiva, las entradas diagonales son siempre positivas, pues
to que e\Ae¡ —au, donde e¡ es el z-ésimo vector canónico, cuyas componentes son todas cero a excepción
de la posición i-ésima, que es igual a 1.
Si TEOREMA 1 4 .1 Cada una de las siguientes afirmaciones es condición necesaria y suficiente para
que la matriz simétrica A sea definida positiva:
a) vtAv > 0.
b) Todos los autovalores de A son positivos.
c) Todos los determinantes principales:
a o a\k
> 0 , k = 1,
a/ci akk
son positivos.
d) Todos los pivotes (sin intercambio defilas) son positivos.
■ TEOREMA 1 4 .2 Si A es definida positiva, se puede factorizar en la forma A = LL‘, siendo L una
matriz triangular inferior.
• DEFINICIÓN 1 4 .2 Una matriz cuadrada A e Mnxn (R) posee diagonal estrictamente dominante si,
y sólo si: n
\an I > y 1\aij I’ J ¥* U i = 1) 2, . . ■, n
1=1
/4 22
52
E je m p l o 14.4 La matriz A = 2 es definida positiva, ya que:
22
\1
4 2 = 16 > 0; 422 = 18 > 0
2 5 252
12 2
Sin embargo, no posee diagonal estrictamente dominante.
■ T e o r e m a 1 4 .3 Si la matriz A es definida positiva o posee diagonal estrictamente dominante, A es
invertible. Además, se puede aplicar el método de Gauss al sistema Ax = b y obtener su solución única
sin intercambio defilas o columnas, y dicha solución es estable respecto a posibles errores de redondeo.
FACTORIZACION LU
Si al sistema Ax = b se le puede aplicar el método de Gauss sin intercambio de ecuaciones ni
incógnitas, entonces es posible descomponer la matriz A en la forma A = LU, siendo L una matriz
triangular inferior y U una matriz triangular superior:
/ <<221H1 <« 21129 ... \<«2l1n, 2 ( l\l 0 ... 0 \ / U\\ U«1\ 22 . . . U\n \
«21 hi hi ■■■ 0
«22 «2n 0 «22 «2n
\ «ni «n2 «nn / y Inl lti2 ■nn ) \ o 0 /
Capítulo 1 4 / Métodos numéricos 251
Si se impone la condición de que los elementos diagonales de L sean iguales a la unidad, la factoriza-
ción anterior se conoce con el nombre defactorización de Doolittle:
l au «12 ü\n ^ (1 o\ U 11 « 1 2 • « ln \
a-2n h\ o
«21 «22 0 «22 • ■ «2n
\ oni a,a a,,1,1 J \ ln1 l/i2 1/ \ 0 0. Unn
La factorización de Doolittle LU tiene las siguientes características:
a) La matriz L es triangular inferior y U es triangular superior.
b) Las entradas diagonales de L son iguales a 1.
c) Las entradas subdiagonales de L son respectivamente iguales a los multiplicadores de la elimina
ción gaussiana.
d) La matriz U es la matriz del sistema escalonado, al que se llega después de aplicar la eliminación
gaussiana, y sus entradas diagonales son los pivotes.
El coste computacional del método de Doolittle es análogo al del método de Gauss. El cálculo de L
no requiere operaciones adicionales, ya que se obtiene sin más que conservar los valores de los multipli
cadores de la eliminación.
N ota
1) No toda matriz A admite lafactorización de Doolittle. Por ejemplo, considerando lafactorización
de Doolittle para matrices 2 x 2:
LU 10 0d bc
ab ac + d
a1
La matriz:
01 LU
10
propicia un sistema incompatible:
b= 0
c= 1
ab = 1
ac + d = 0
aunque dicha matriz A sea invertible, ya que \A\ ^ 0.
2) Una matriz no invertible sípuede aceptar lafactorización de Doolittle. Por ejemplo:
10 1o 1o
00 01 oo
De las dos notas anteriores se deduce que la condición de invertible no es condición necesaria ni sufi
ciente para la factorización de Doolittle.
3) Se puede demostrar que la condición suficiente para que una matriz cuadrada A sea factorizable
por el método de Doolittle es que:
det(Ak) = aa aik
ak\ 0, para k = 1, . . . , n
&kk
252 Introducción al Cálculo
4) Se puede demostrar que para toda matriz cuadrada A existe una matriz de permutación P, tal
que PA sí admite la factorización de Doolittle PA = LU.
La matriz de la nota 1):
01
10
no admite lafactorización de Doolittle, sin embargo:
0 1\ / 0 1\ /1 0
Vo i
PA~ ~ \ i o ) ~ \ i o )
sí la admite.
5) Si la matriz A es invertible yfactorizable por el método de Doolittle, lafactorización es única. En
efecto, supongamos que existen dosfactorizaciones distintas: A = L\U\ —L%U%. Por ser A inver
tible, también lo son L\, U\, L2 y t/2. Además, L f l L\ = £/2í / f \ y como L f l L\ es subtriangular
con diagonal unitaria y lÍ2 U fl es triangular superior, debe verificarse que L f l L\ = t/2i/j 1 = I.
Por tanto, L\ —L2 y U\ = t/2.
6) Lafactorización de Doolittleproporciona un métodopoco costosopara calcular el determinante de
una matriz A, puesto que si A = LU, entonces det A = (det L) •(det U) = det U = 11111122 ■■■Unn.
ya que el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus elementos diagonales.
Por tanto, el determinante de A es igual al producto de los pivotes de la eliminación gaussiana.
FACTORIZACIONES DE CROUT Y CHOLESKY
Volviendo al principio, si se requiere que u\\ = w22 = «33 = 1, se obtiene la factorización conocida
con el nombre de factorización de Crout, similar a la de Doolittle, salvo que ahora son iguales a 1 las
entradas diagonales de U en lugar de las de la matriz L.
Volviendo nuevamente al principio, si ahora se imponen las condiciones ¿i 1 = «11 > h 2 —U22 y ¿33 =
«33, se tiene la llamadafactorización de Cholesky.
Esta factorización no siempre es posible. Para ello es preciso que la matriz A sea definida positiva,
para garantizar la existencia de las raices cuadradas que aparecen en los cálculos.
Otra consideración importante acerca de la factorización de Cholesky la constituye el hecho de que si
la matriz A es simétrica, entonces la matriz U = L ', y se factoriza A en la forma A = LLl .
Entonces, si A es simétrica y definida positiva, Ax = b <4 LL!x —b, que se resuelve en dos etapas:
1. Resolución del sistema subtriangular Ly —b.
2. Hallado el vector y, resolución del sistema triangular superior Vx —y.
(Ver Problema resuelto 14.13.)
® N ota
7) Evidentemente, la matriz L no es la misma matriz L del método de Doolittle.
8) La factorización LV no es única. Combinando los signos de las raíces se obtienen distintas ma
trices.
Por ejemplo, sea la matriz:
'4 2
25
1 Una matriz de permutación es aquélla que tiene una entrada igual a 1 en cada fila y en cada columna, siendo nulas las demás
entradas, es decir, es aquélla que se obtiene a partir de la matriz unidad intercambiando filas y columnas entre sí. Por ejemplo:
1 00
0 01
0 10
Capítulo 1 4 / Métodos numéricos 253
se puede tomar ln = V ? = ±2, y obtener l2i = —1 y h i = ±2, resultando:
9) Si la matriz A no es definida positiva, las matrices L y U de la factorización de Cholesky son
complejas.
10) Si la matriz es definida positiva y, por tanto, es aplicable el algoritmo de Cholesky, los cálculos
son estables respecto al crecimiento de los errores de redondeo (ver Teorema 14.3).
MÉTODOS ITERATIVOS
En este tipo de métodos, para resolver el sistema Ax = b se parte de una solución inicial x (0) y se
genera una sucesión x (0/ x (1), x (2), . . . , que converge a la solución x del sistema.
Método de Jacobi.
En este método se aplica la fórmula:
b¡ ~ I ] au xjr)
*('•+!) = th l* r = 0,1,2, 3,...
a¡¡
llamadafórmula de Jacobi.
Método de Gauss-Seidel.
La diferencia entre este método y el anterior está en que, en este caso, los valores ya calculados de las
incógnitas se utilizan en las ecuaciones posteriores:
.(r+l) /—1 J 2 aiJXj(r) r = 0,1,2,3,...
Uxj( r+ l)
j= i+ l
i =i
a¡¡
fórmula llamada de Gauss-Seidel.
La condición suficiente para que los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel converjan a la solución es que
la matriz A del sistema tenga diagonal estrictamente dominante:
n
|a¡¡ | > |a¡j |, para i —1 ,2 ,... ,n
l=hiA¡
o de otro modo:
max Clij < 1, para i = 1 ,2 , ,n
Por otra parte, si no se dispone de una solución inicial x (0), se aconseja utilizar:
254 Introducción al Cálculo
14.6. INTEGRACION NUMERICA
Es necesaria cuando la integración ordinaria es difícil, la primitiva no es expresable mediante funcio
nes elementales o la función del integrando viene dada por una tabla de valores.
FÓRMULA DEL VALOR MEDIO
Se desea calcular la integral:
Jfa f (x)dx
siendo f (x ) continua en el intervalo (a, b).
Para ello, se divide el intervalo (a , b) en n partes iguales:
h = -b--—n---a-
y la integral puede aproximarse mediante la suma de las áreas de n franjas verticales de ancho igual a h
(ver Figura 14.4):
Figura 14.4
Para el área de la primera franja se toma:
f(o ) + f(a + h)
2
siendo ^ —— la media aritmética de f ( a ) y f (a + h ).
El área de la segunda franja es: -f-(--a---+---h--)--+---f-(--a---+---2--h-)-- /j
En total:
2
í f(x)dx « + 2 f (a + h) + 2f ( a + 2h) H------- + 2 f ( a + (n —l)h ) + f (ó)]
Ja **
La aproximación es mejor cuanto mayor sea el número de divisiones o intervalos n.
FÓRMULA DE SIMPSON
Si se divide el intervalo (a, b) en dos franjas de ancho —- — = h y se sustituye el arco PqPi Po de
f (x ) por una parábola y = Ax2 + Bx + C, que pasa por esos tres puntos, resulta la fórmula:
j f(x )d x « j [f ( a ) + 4f ( a + h ) + f (b )]
Capítulo 1 4 / M étodos num éricos 255
Si se divide el intervalo (a , b) en un número par n de subintervalos, resultando los puntos Pq,P \,
P 2 , , P n , y al arco P 0 P 1 P 2 se le aplica la fórmula anterior, a continuación al arco P 2 P 3 P 4 , y así suce
sivamente, hasta el último arco P n - i P n - i Pn'-
bh
L f(x )d x « ^3[' / ( a ) + 4 f (a + h ) + f{a + 2h) + f ( a + 2h) + 4f ( a + 3h)
+ f (a + Ah) + f (a + Ah) + Af{a + 5h) + f (a + 6h) + ■■•]
h-, f {a) -{- 4jf (a A~h) 2*f(a -f- 2h) -l- Af (jx -f- 3/z) -f- 2f (a H- Ah')
+ 4 f ( a + 5h) + 2f ( a + 6h) H + 4 / (a + (n —l)h ) + /(¿O]
que es la llamadafórmula de Simpson compuesta.
DESARROLLOS EN SERIE
Si el integrando admite un desarrollo en serie y los límites de integración caen dentro del intervalo de
convergencia, se puede aproximar la integral mediante un polinomio (Capítulo 7).
1 4 .7 . RESOLUCION NUMERICA DE LA E. D.
Se desea resolver la ecuación diferencial y' = f (x , y), que satisface la condición inicial y(xo) = yo-
Se supone que la ecuación diferencial posee solución única y(x).
El método de Euler consiste en aproximar el valor de y (x) mediante una sucesión yi-,. yz,.. . . , yn, de
valores aproximados de y{x) en los puntos x\, x%,. . . , x„. Para ello, se eligen los puntos xa = xo + kh,
k = 0 , 1 , . . . , n, donde la magnitud h > 0 es llamada paso (ver Figura 14.6).
Puesto que la derivada y' es igual al límite del cociente:
yjxp + h) - y ( x Q)
h
cuando h —> 0, al sustituir y' por la fracción anterior, en lugar de la ecuación diferencial se obtiene la
ecuación en diferencias:
yi - yo /(x o , yo) =*■ yi = yo + h f(x 0, yo)
h
Repitiendo el proceso:
yk+1 = yic + hf(xic, yu), k = 0, 1 , 2 , . . .
256 Introducción al Cálculo
La idea consiste en aproximar la curva por su tangente. Cada tramo de la curva integral y = y(x)
que pasa por (xo, yo) se sustituye por un segmento, resultando así una línea quebrada con vértices en los
puntos (xo, yo), f e , yi), f e , y i ), •••, f e , y n)-
PROBLEMAS RESUELTOS
14.1. Hallar el número de cifras significativas de los números siguientes:
l a) 81,1003.
b) -15,4.
c) -0,01001.
d) 0,231.
e) 830,000.
Resolución
a) 6; b) 3; c) 4; d) 3; e) 6.
14.2 . i Redondear con 3 cifras decimales los números siguientes:
' a) 12,3572.
b) 0,0025.
c) 2,6875.
i d) 32,7650.
e) 5,4686.
R esolu ción
a) 12,357; b) 0,002; c) 2,688; d) 32,765; e) 5,469.
14.3. i Escribir en formato de punto flotante los números:
a) 13,214.
i b) -12,03.
i c) 0,004.
d) 23000.
! e) -0,00071.
Resolución
a) 0,13214 x 102; b) -0 ,1 2 0 3 x 102; c)0 ,4 x 1Q-2; d) 0,23 x 105;e) -0 ,7 1 x 10~3.
Capítulo 14 / Métodos num éricos 257
14.4 . El número exacto a = 2,138 se redondea a dos cifras decimales. Hallar el valor absoluto y relativo
cometidos.
R esolu ción
El número redondeado es a' = 2,14. El error absoluto será:
ea = \a - a'\ = ¡2,138 —2,14| = | —0,002| = 0,002
El error relativo: |a - a'\ 0,002 0__,0_0_9
2,138 «
er = |«| =
14.5. Dada la tabla de valores de una función y = / ( j e ) :
X -1 0 2
y 2 13
Escribir el polinomio interpolador de Lagrange y calcular /(1 ).
Resolución
El polinomio interpolador de Lagrange:
P(x) = (x - xi)T(7x - x2) r +, y i 7((x—xi - x0)r(;x - x2) ^ +, 3'2:(je - x 0)(x - X \ )
yo- - xo)(xi - x 2) (x2 -
xi)(xo - x 2) - xo)(x2 - X i)
( jeo
P ( ) = 2 (X - Q) ^ ~ 2) , (x + Í K x - 2 ) {x + 1)(je — 0)
(2+ l)(2-0)
W (—1 —0 )(—1 —2) (0 + 1)(0 —2)
= -23 J E2 1 X + 1
3
P (l) = 21 1 = 4
-3-------3-+ -3
14.6 . Dada la tabla de valores de la función f ( x ) :
X i 234
y 3 1 02
Escribir el polinomio interpolador de Newton y calcular /(3 /2 ).
R esolu ción
Los cálculos se disponen en forma de tabla:
X 1 234
y 3 10 2
Ay - 2 - 1 2
A2y 1 3
A3y 2
El polinomio interpolador:
P ( je) = 3+ (x - 1) ( - 2) + (x l)(x -2 ) (*_ l)(x - 2 ) ( x - 3 )
1 3! I 3
1! 2! I 2
= x__3 . 1
’ X * f T X “f 4
P(3/2) = 2
258 Introducción al Cálculo
14.7. ■Aproximar la raíz que la ecuación x 3 —x + 1 = 0 posee en el intervalo (—2, —1), aplicando el método
i deNewton.
R esolu ción
Se elige el extremo más conveniente:
/ ( x ) = x 3 —x + 1 ; / ( —2) = —5 < 0
/'(x ) = 3x2 - 1 f"{—2) = —12 < 0
f" (x ) —6x;
Se toma xo = —2, ya que / ( —2) y f " ( —2) son del mismo signo:
, 1 o / ' ( —2) 2 1~1 5 ~1 11? 1 5?
*2 = - 7177 ----/--(-----#y)j~ —-1 ,3 6
• 11
■ /'(-# )
Y así sucesivamente. La sucesión x q , x i , X2, •••, converge a la solución.
14.8. Verificar que la matriz:
. a) Es definida positiva, b) Sus autovalores son positivos, c) Los determinantes principales son positivos.
R esolu ción 2 -1 0\ / x
a) Es definida positiva ya que: ( x y z ) -1 4 2 y
los sumandos son positivos, 0 22 \ z
b) Los autovalores son positivos:
2x2 —2xy + 4y2 + 4yz + 2z2
(x —y)2 + 2 (y + z)2 + x 2 + y2 > 0
AJI (2 - A)(A2 —6A 4- 3) = 0
Los valores característicos son Aj = 2 > 0, A2 = 3 + V 6 > 0 y A3 = 3 —Vó > 0.
c) Los determinantes principales son positivos:
|2| = 2 > 0; 2 -1 : 7 > 0; 2 -10 6 >0
-1 4 -1 4 2
0 22
Capítulo 14 / M étodos num éricos 259
14.9. i Aplicando el método de Gauss, resolver el sistema:
i 2* + y + z = 1 !
| 4x + y = —2 ■ |
¡ —2x + 2y + z = 7 i
Resolución
El algoritmo consta de las siguientes etapas o pasos:
1) Se resta de la segunda ecuación, la primera multiplicada por 2. A este multiplicador se le designa
¿21 = 2 y ha sido obtenido en la forma = á = 2. De este modo, se obtiene el sistema equivalente
resultante: 2x + y + z = 1
- y - 2z = - 4 ■
—2x + 2y + z = 7
2) Se resta de la tercera ecuación, la primera multiplicada p o r—1.E1 multiplicador Z31 = S i — =2l=
—1. Se obtiene el sistema equivalente:
2x + y + z = 1
—y —2z = - 4 •
3y + 2z — 8
3) Se resta de la tercera ecuación, la segunda multiplicada por —3, siendo I32 = Q (2) = A = —3, y
a-§22r
resultando el sistema triangular equivalente2:
2x + y + z = 1
- y —2z = —4 •
—4z = - 4
Los números ¿21 = 2, /31 = —1 y 13 2 = —3 son los llamados multiplicadores de la eliminación gaussiana.
En general, l,-j representa la cantidad por la que se multiplica la ecuación j para sustraerla de la ecuación i,
(i, aj2r)92.)
y asAí plroosduncúimr uenrocsearo\\en=laaen(nnt\ra=da (?,} — —4, que se utilizan para eliminar entradas
2,
= —1 y
que están en su misma columna, se les llama pivotes. Se han seguido los pasos anteriores de un modo
sistematizado, con el fin de que conduzcan a un algoritmo fácilmente programable. Con esto se ha termi
nado la primera fase del proceso de la eliminación gaussiana, la llamada eliminación hacia delante, que
ha permitido obtener un sistema reducido equivalente al inicial. Para culminar la resolución del sistema
queda una segunda fase, llamada sustitución hacia atrás o regresiva, que consiste en hallar el valor de la
incógnita de la última ecuación, sustituirla en la ecuación anterior calculando el valor de la otra incógnita,
y así sucesivamente.
En el sistema anterior, de la tercera ecuación resulta z —1 y, llevado este valor a la segunda, se obtiene
y —2. Finalmente, de la primera se obtiene x = —1.
14.10. Resolver por el método de Gauss, utilizando pivoteo parcial, el sistema:
0,003*1 + 59,14jc2 = 59,17]
5,291*1 -6 ,1 3 0 * 2 = 46,78)
cuya solución exacta es *1 = 10 y *2 = 1 .
2 Se designa con n ® y a ® a los coeficientes resultantes del paso 2), con la intención de distinguirlos de los originales.
260 Introducción al Cálculo
R esolu ción
Al aplicar el algoritmo de Gauss sin pivoteo, se tiene:
a n = 0,003; l2\ = 5,291/0,003 = 1763,66
resultando el sistema escalonado:
0,003;q +59,14^2 = 59,17 1
-104300*2 = —104400]
del que, al resolverlo por sustitución hacia atrás, se obtiene:
*1 = —10,00; *2 = 1,001
produciéndose en x\ un error del 200 %.
Para evitar esto, se toma como pivote en cada columna la entrada de mayor valor absoluto por debajo
de la correspondiente entrada diagonal:
5,291*1 -6 ,1 3 0 * 2 = 46,781
0,003*1 + 59,14*2 = 59,17]
en el que, al aplicar de nuevo el algoritmo de Gauss, se tiene:
a n = 5,291; hi = 0,003/5,291 = 0,000567
resultando el sistema escalonado:
5,291*1 -6 ,1 3 0 * 2 = 46,78 1
59,1365*2 = 59,1965 J
del que, al resolverlo por sustitución hacia atrás, se obtiene:
*1 = 10,001; *2 = 1,001
Hallar la inversa de la matriz: 1 12
A= | 1 2 5
335
aplicando el método de Gauss-Jordan.
Resolución 1 1 2 1 00
La matriz ampliada (A|7): 125010
33500 1
(A)/)
restando a la segunda y tercera filas la primera multiplicada por 1 y 3, respectivamente:
1 1 2 10 0
01 3 - 1 1 0
0 0 -1 -3 0 1
Capítulo 14 / M étodos num éricos 261
Las entradas subdiagonales de A son iguales a cero. Para anular las entradas por encima de la diagonal
de A, se restan de las filas primera y segunda la tercera fila multiplicada por 2 y 3, respectivamente:
/I I 0 -5 0 2 \
0 1 0 -10 1 3
\ 0 0 -1 -3 0 1 /
Para anular la entrada a n , se resta de la primera fila la segunda multiplicada por 1:
/1 0 0 5 -1 -1 \
0 1 0-10 13
\ 0 0 -1 -3 0 1/
Se cambia de signo la última fila:
1 0 0 5 -1 -1\
0 1 0 -10 1 3 = (/| A - 1)
00 1 3 0 -1
Por tanto:
14.12. Obtener la factorización de Doolittle de la matriz:
/' 1 1 2
A = \ -1 0 1
\ 2 1 -1
Resolución
LU 1 0 0 \ í « 1 1 « 1 2 «13 11 2
¿21 1 -1 0 1
0 0 « 2 2 «23 2 1 -1
¿31 ¿32 1 V0 0 «33
Multiplicando e igualando términos:
MU = 1
«12 = 1
«13 — 2
¿21«11 = —1
¿21«12 + «22 = 0
¿21 «13 + «23 = 1
¿31«11 = 2
¿31«12 + ¿32«22 = 1
¿31«13 + ¿ 3 2 « 2 3 + « 3 3 = — 1
Despejando las incógnitas y sustituyendo sus valores:
/ I 0 0\ / 1 1 2 \ / I I 2 \
A = LU — I —1 1 0 . 0 1
3 = -1 0 1
V 2 —1 l / \ 0 0 —2 / V 2 1 —1 /
262 Introducción al Cálculo
14.13. Obtener la factorización de Cholesky de la matriz:
R esolu ción
Si la matriz A es definida positiva, admite la factorización de Choslesky. En efecto, los determinantes
principales son positivos:
4 2 = 16 > 0; 422
2 5 2 5 2 = 12 > 0
222
y, por tanto:
/4 2 2\ / Zn 0 0 \ / l n Z21 h i \
A = I2 5 2 I = LL‘ = I Z21 I22 0 I I 0 I22 Z32
\2 2 2/ \ Z31 Z32 Z33 J \ 0 0 Z33 /
Multiplicando e igualando términos, se obtiene:
/?! = 4 =► Zn = 2 z22 = 2
Zn Z21 = 2 ==> Z21 = 1
Z1 1 Z31 = 2 =3- Z31 = 1
q1+ q2 = 5 = * 1 + q 2 = 5
Z21Z31+ Z22 Z32 = 2 1 + 2 Z32 = 2 =>■ Z32 = -
¿31 + 4 + 4 = 2 1 + \ + Z33 = 2 = ► f33 = ^
Por tanto:
/4 2 2\ /2 0 0 \ /2 1 1\
A = 2 5 2 = LÜ = 1 2 0 0 2 V2
\ 2 22}
V 1 1/2 V3/2 / \ 0 0 V3/2 /
14.14. , Resolver el sistema: ,, ' A 3 jci+ X 2 + x3 = 5
i:-, - , '
. xi H;4x2—2x3= 3 •
I- '
’ xi + X2 + 4x3 = 6,
; utilizando el método de Jacobi y redondeando a tres cifras decimales.
R esolu ción
La matriz de los coeficientes posee diagonal estrictamente dominante:
Capítulo 14 / Métodos num éricos 263
Por tanto, el método converge.
Se toma la aproximación inicial:
= L 5 ! , 667
3
a\\
xj¡0) = — = l = 0,750
«22 4
x (°) = *1 = É = 1,500
«33 4
Las fórmulas del método de Jacobi son:
(r+1) _ 35 _ * 2 3
(r-f-1) t l -I*- 9r W
x2 = - 4
_ fi _ r w _ r M
Para r = 0: (n 5 -0 ,7 5 0 - 1,500 =0,917
3
Para r —1:
,2(!) _ 3_ - 1,667 +_ 2 x 1,500 = 1,083
Para r = 2:
(i) _ 6 - 1 ,6 6 7 -0 ,7 5 0 : 0,896
Para r = 3:
c® = 5 = . 1 . 0 ^ - 0 . 8 9 6 = 1]007
(2) 3 - 0 ,9 1 7 + 2 x 0 ,8 9 6 0,994
¿3
(2) _ 6 - 1 ,0 0 7 - 1,083 0,978
x(v3>) = -5------0--,9--9--4------0--,978 , _= +009
x(v3>) = -3------1- 1,-0-0--7--+- 2 x 0,!-9-7--8-- = o,987
x?(3) = 6-------1--,-0--0--7----0--,9 9 4 =1
(4) = -5-----0--,-9—8 7 —- 1 = 1,004
(4) _ 3 - 1,009 + 2 x 1
z 3 = 0,998
(4) _ 6-
1,007-0,987 1,001
=
264 Introducción al Cálculo
Para r = 4:
(5) 5 - 0 , 9 9 8 - 1,001 ,
Xl ~ 3
(5) _ 3 - 1,004 + 2 x 1,001
(5) 6 - 1 ,0 0 4 -0 ,9 9 8 t
x3 - 4 _1
El método converge tras cuatro iteraciones:
x i = 1; *2 = 1; *3 = 1
14.15. Resolver el sistema del ejercicio anterior:
. . , ' 3*1+ * 2 + *3 = 5
::::::::::::::r:r:zz-+::ir'+T+z^+i::r:7:;::+;rr*i:4^:4*2:i3i2*3:=:3;
* j + *2 + 4*3 = 6
utilizando el método de Gauss-Seidel y redondeando a tres cifras decimales.
Resolución
La matriz de los coeficientes posee diagonal estrictamente dominante. Por tanto, el método converge.
Se toma la aproximación inicial:
.(0) _ bi 5 1,667
: 0,750
1 «11 ~~ 3 : 1,500
.■(20) —_ b2 ~ 3
4
«22
6
.■(30) ~_ h_ 4
«33 _
Las fórmulas del método de Gauss-Seidel son:
r 0'+D _ S - * ? 03 - * 3 °
-
X2(r+l) _~ 3 —r 1('l+4l'>+4- A2x*3^
¿ v (r+l) _ (r+l)
(r+ l) _ 0 X 1_______ 2
Para r = 0:
^ 1 “= 3 1 ^ ° = 0.917
(i) = 3 - 0,917 + 2 x 1,500 = ][ m
3
(O _ 6 - 0 , 9 1 7 - 1 , 2 7 1 0,953
Capítulo 1 4 / M étodos num éricos 265
Para;- = 1:
x?) = 5 - 1,271-0,953 = 0 9 2 5
(2) 3 - 0,925 + 2 x 0,953
3 = 0,995
*2 ~
(2) 6 - 0,925 - 0,995 1,020
x3 4
Para r = 2:
x,1(3) = —5 ----0--,-9---9--5-------1--,0--2--0- 0,995
3
x2(3) _ 3 - 0 ,9 9 5 +_ 2 x 1,020 1,011
x (^3) = -6----0---,-9--9---5--- 1,01!-1--= 0,998
Para r = 3:
( 4 ) _ 5 — 1,011 — 0,998 = 0 > 9 9 7
3
x2(4) _ 3 - 0,997 +_ 2 x 0,998 : 1
Xoá(4) = --6-----0-^,49-9--7------1--= 1,001
Para r
x,1(5) = -5----1----1--, -0-0--1- 1
3
x2(5) _ 3 - 1 + 2_x 1 ,0 0 1 = 1
(5)6 - 1 - 1 1
4
El método converge tras cuatro iteraciones:
xi = 1 ; x'2 = 1 ; x3 = 1
14.16. Calcular la integral: /“ 1/2 l
Joo 1 + x 2 dx
a) Mediante la fórmula del valor medio para n —5.
b) Mediante la fórmula de Simpson.
c) Mediante la fórmula de Simpson compuesta para n = 4.
d) Mediante un desarrollo en serie.
e) Comparar estas aproximaciones con el resultado exacto.
R esolu ción
a) Tomando n = 5;
/•1/2 l 01
i 1 + ^ 2 dX * í ^ 1 + 2 / ( 0 ’^ + 2 / ( 0 ’2) + 2 / ( 0 ’3) + 2 / ( 0 ’4) + / ( 0 ’5 )]
= 0,4631...
266 Introducción al Cálculo 1 2 -0
—
b) Se calcula el valor de h:
h= / = 0,25
•1/2 i
71[00l/2 —1 +^x z dx « ¿12[ / ( O ) + 4 /(0 ,2 5 ) + /(0 ,5 )] = 0 ,4 6 3 7 ...
c) Tomando n —4 (par):
* = 1 ^ = 0 ,1 2 3
/■1/2 1 1
J/o 1—+ dx « —24[/(0 ) + 4/(0,125) + 2 /(0 ,2 5 ) + 4 /(0,375) + /(0 ,5 )] = 0,4637 .
1
d) El desarrollo de McLaurin de / ( x ) = 1 +---x- ^z :
= /(0) = i
= 4, / ' ( 0) = o
f ( x) = 9y
^ /"(o )= o
(1 + x ¿)¿
,— , 0 - i -
(1 -fX^L
=
(1 + x z)D
/•1/2 1 /■1/2
J/o l + x -¿ dx & J/o (1 + 0 - x 2 + 0 + x 4 + . . . ) dx
x3 x5 x1 x9 1/2
o = 0,4636...
e) Es fácil comprobar que:
o/f■ L1//2¿ 1 11 xr¿- dx = [arctgxL1/2 = are tg 1/2 = 0,4634...
J +
14.17. Calcular:
I sen \[x dx
■Jo
mediante la fórmula del valor medio para n = 4, redondeando a tres.cifras decimales.
R esolu ción
Ya que n = 4, se tiene que:
h = 1 ° = I = o,25
44
Capítulo 14 / Métodos num éricos 267
Aplicando la fórmula del valor medio:
Jf o ~Jx dx 1
/(O) + 2 x /(0 ,2 5 ) + 2 x /(0 ,5 ) + 2 x / ( 0 , 75) + /(1 )
5
1
[0 + 2 x 0,479 + 2 x 0,650 + 2 x 0,762 + 0,841)
l (0,958 + 1,300 + 1,524 + 0,841) = 0,578
14.18. Calcular:
j sen Vx d( x
Jo
mediante la regla de Simpson para n = 4, redondeando a tres cifras decimales.
R esolu ción h = i —4 - = i4 = 0,25
Ya que n = 4, se tiene que:
Aplicando la fórmula de Simpson:
J ^ d x * ~ [ /( 0 ) + 4 x /(0 ,2 5 ) + 2 x / ( 0 , 5) + 4 x / ( 0 , 75) + / ( l )
= ™ [0 + 4 x 0,479 + 2 x 0,650 + 4 x 0,762 + 0,841)
= ^ (1,916 + 1,300 + 3,048 + 0,841) = 0,592
14.19. Emplear el método de Euler para aproximar el valor de y (0,4), dada la ecuación diferencial:
; y' = y y (0) = i
tomando cuatro cifras decimales y h = 0, 1 .
Resolución
Se tiene que / ( x , y) = X-y, xo = 0, yo = 1, por tanto:
yi = yo+h ■/(xo, yo) = 1+0,1 •0 = 1
Como xi = 0,1, X2 = 0 ,2 ,...:
y2 = yi + h ■/(xi.yi) = 1 + 0,1 = 1,01
y3 = y2 + h . /(X2, y2) = 1 ,0 1 + 0 ,1 = 1,0298
y4- y3+ h ■f (x 3, y3) = 1,0298 + 0,1 = 1,0589
Tomando la solución exacta y2 = x 2 + 1, puesto que:
268 Introducción al Cálculo
y C = 1, yaque y(0) = 1. Por tanto, y(0, 4) = V 0,42 + 1 := 1,077.
Los cálculos se pueden resumir en una tablat:
k Xk yk f(xk,yk) h-■f(xk, yú Solución exacta (y2 = x2 + 1)
00 i 0 0 1
1 0,1 i 0 0 1,0050
2 0,2 1,01 04 0,01 1,0980
3 0,3 1,0298 0,298 0,0298 1,0440
4 0,4 1,0589 1,0770
PROBLEMAS PROPUESTOS
14.20. Dada la tabla de valores de la función y = f(x):
X -1 0 12
y -i -i 1 3
a) Hallar el polinomio interpolador de Lagrange.
b) Hallar el polinomio interpolador de Newton.
c) C alcu lar/(1 /2 ).
14.21. Hallar la raíz de ex + 2x = 0 con un error menor que 10 2, utilizando los métodos de bipartición y de
Newton.
14.22. Aproximar la integral:
r 6 dx
¡12: X
a) Mediante la fórmula del valor medio (n=4).
b) Mediante la regla de Simpson compuesta (n=4).
c) Comprobar estas aproximaciones con el resultado exacto.
14.23. Realizar el ejercicio anterior para la integral:
r-3
X
14.24. Resolver lo mismo para la integral: k5
lnx dx
14.25. Calcular la integral:
Jf o e x2 dx
a) Mediante la fórmula del valor medio (n = 4).
b) Mediante la regla de Simpson compuesta (n = 4).
Capítulo 1 4 / Métodos num éricos 269
14.26. La función f ( x ) viene definida mediante la tabla:
X 0 20 40 60 80 100 120
y 0 22 41 53 38 17 0
Aproximar el área bajo la función mediante la fórmula de Simpson.
14.27. Emplear el método de Euler para aproximar el valor de y (0,3), dada la ecuación diferencial:
y' = y - x , y(0 ) = 2
tomando cuatro cifras decimales y h = 0, 1 .
14.28. Emplear el método de Euler para aproximar el valor de y(0,5), dada la ecuación diferencial:
y '= ( x - y )2, y(0) = 1 / 2
tomando cuatro cifras decimales y h = 0, 1 .
i, APENDICE: FORMULARIO
y =1 =.. .. . =
A l . AREAS Y VOLUMENES I
Breve resumen de las fórmulas de la Geometría elemental:
Rectángulo. Área = a b, siendo a y b las longitudes de los lados.
Cuadrado. Área = l2, siendo l la longitud del lado.
Trapecio. Área = h, siendo a la base mayor, b la base menor y h la altura.
Circunferencia. Longitud = 2 n r, siendo r el radio.
Círculo. Área = n r 2, siendo r el radio.
Sector circular. Área = ^ l r, siendo l la longitud del arco y r el radio de la circunferencia.
Paralelepípedo rectangular. Volumen = a b c; superficie = 2(ab+ ac+ bc), siendo a, b y c las longitudes
de las aristas.
Cubo. Volumen = a 3; superficie = 6a2, siendo a la longitud de la arista.
Prisma. Volumen = B h, siendo B el área de la base y h la altura.
Cilindro. Volumen = jt r 2 h; superficie = 2n r h + 2n r 2, siendo r el radio y h la altura.
Cono. Volumen = - jr r 2 h; superficie = n r g, siendo r el radio, h la altura y g la generatriz.
Tronco de cono. Volumen = TCh (R2 + r2 + Rr), siendo Ry r los radios, yh la altura.
—
Esfera. Volumen = -4 k r ; superficie = 4 j i r 2, siendo r el radio.
Pirámide. Volumen = - B h, siendo B el área de la base y h la altura.
JS E S m ^ ___ j
Se llama función logarítmica de base a {a / 1 y a > 0) a la función inversa de la función exponencial,
es decir:
y = loga x x —ay
Si la base es a = 10, se escribe log x, sin indicar la base, y se lee “logaritmo decimal de x”.
Si la base es el número e, se escribe lnx o Lx, y se lee “logaritmo natural o neperiano de x”.
272 Introducción al Cálculo
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1 . loga 1 = 0.
En efecto, si loga 1 = x ==> ax —1 = 4 x —0.
2 . loga a —1 .
En efecto, si loga a = x = 4 ax = a = 4 x = 1.
3. El dominio de la función logarítmica es (0, oo).
Evidentemente, los números negativos carecen de logaritmo, ya que si, por ejemplo, se quiere
calcular loga (—2), se llega a un absurdo: logfl(—2) = x ==> ax = —2. Dado que a > 0, la
expresión ax es siempre positiva para todo valor de x y ax = —2 carece de solución.
4. loga (xy) = loga x + log¿ y.
Tomando loga x = m y logfl y = n, se tiene que a"1 = x y a'1 = y. Entonces:
xy = a'n an = am+n = 4 logfl(xy) = m + n = loga x + loga y
5. loga - = loga x - l o g 6 y.
Tomando loga x = m y loga y = n, se tiene que am = x y an = y. Entonces:
'- = —an = a'""" =4 loga (\y- )/ = m -n = loga x - logQy
y
6. logfl x" = n loga x.
Evidentemente:
logfl xn = logfl (x •x •x • • •x) = logfl x + logfl x + . . . + logfl x = n loga x
7. Cambio de la base a a otra base b: loga x = logbx
l-o-g--b--a- .
Sea log,, x = N = 4 aN = x . Tomando logaritmos en la base b:
logba N = logbx = 4 N logba = \ogbx = 4 N = l°gbx
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Se llama progresión aritmética a una sucesión de números tales que cada uno es igual al anterior
sumado con una cantidad constante d, llamada diferencia de la progresión. Los términos se enumeran
mediante subíndices. Por tanto:
ci2 = ai ~¥ d
= a%+ d = a\ + d + d = a\ + 2d
= « 3 + d = a\ + 2d + d = ai + 3d
En general:
an = ai + (n — 1)d
Entonces, un término cualquiera an es igual al primer término más tantas veces la diferencia el como
términos n —1 le precedan.
■ PROPOSICIÓN A. 1 En una progresión aritmética, la suma de términos equidistantes de los extremos
es constante e igual a la suma de estos. Esto es, a\ + an = fl2 + an -\ = «3 + a n -2 = —
Apéndice / Form ulario 273
Suma de los términos.
Dada la progresión aritmética a i, 02, «3, . . . , a„ y la suma 5 de sus términos:
S = Cli + G¡2 ~F a3 + •■• + an—2 ~Fan—1 ~t~an
o también:
S = an + an—i + fl/i-2 + • ■• + a3 + ci2 + ci\
Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores:
2S = (ai + an) + (ü2 + an- \ ) + (<23 + an- 2) + •. • + (a,¡_2 + 03) + i^n-i + «2) + (®n + ai)
Por la propiedad anterior, todos los paréntesis son iguales a ai + a„:
2S = (ai + a„) n
luego: S„ ——cii +2-—a„ n
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Se llama progresión geométrica a una sucesión de números tales que cada uno es igual al anterior
multiplicado por una cantidad constante r, llamada razón de la progresión. Por tanto:
«2 = a\r
a 3 = a2r = a i r r = a \r2
a4 = a 3í" = a i r 2r = a i/'3
En general: a,i = ai r '!_1
Entonces, un término cualquiera an es igual al primer término multiplicado por la razón r elevada al
número de términos n — 1 que le precedan.
Suma de los términos.
Dada la progresión geométrica ai, 02, a3, . . . , a„ y la suma S de sus términos:
S = ai + a2 + a 3 + . . . + a„_2 + an—\ + an
Multiplicando por la razón r ambos miembros:
Sr = 02 + a3 + a4 + . . . + o,¡_i + an + anr
Restando de esta igualdad la anterior:
Sr —S = —ai + anr
Despejando S:
Sustituyendo an = ai r n~l \ ~ r- 1
P «!(''" - 1)
274 Introducción al Cálculo
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS DECRECIENTES
Si la razón de una progresión geométrica es |r| < 1, entonces r ” decrece y se hace menor que
cualquier número e, por pequeño que sea, cuando n tiende a infinito; es decir, r" tiende a cero. La fórmula
anterior de la suma queda ahora:
que es el límite de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente.
Para medir ángulos y arcos de circunferencia se utiliza el grado sexagesimal y el radián. El grado
sexagesimal es el resultado de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. A su vez, cada grado se
xagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos sexagesimales y cada minuto, en 60 partes
llamadas segundos sexagesimales. Se representan con los símbolos °, ’, ”, respectivamente. Por ejemplo,
A = el ángulo A mide 12 grados, 15 minutos y 28 segundos.
Otra medida muy utilizada es el radián: Un arco de circunferencia mide un radián si su longitud es
igual a la longitud del radio de dicha circunferencia. Puesto que la longitud de la circunferencia es igual
a 2tt r, esto es, 2n veces el radio r, la medida en radianes de la circunferencia será igual a 2tc.
Por tanto, dado que la medida en radianes de la circunferencia es igual a 2n y en grados es 360°,
e1s80s°enecqiulliovatrleanasfnorrmadairangeras,d9o0s °seax—aTCg,eesticm. ales en radianes y viceversa, por simple proporcionalidad. Así,
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
Sea un ángulo a. Se sitúa en unos ejes de coordenadas haciendo coincidir su vértice con el origen O
y uno de sus lados con el eje de abscisas; trazando perpendiculares a dicho eje, se forman los triángu
los rectángulos semejantes OA\B\, OA^Bi, ... Se definen las razones trigonométricas seno, coseno y
tangente del modo siguiente: --A-O"-2-B"-B-2-2- =
sena = -A--i-B--\- = —yr
O B\
cosa OAi OA2 x
O Bi OB2 r
tga A \B \ A 2B 2 x
y
OA\ OB2
Y las razones trigonométricas inversas:
coseca = -s-e-I-n-a---=r —y ; seca = -c-o-I-s-a---r= —x ; ctga = 1 = —xy
—tg a
Apéndice / Formulario 275
Puesto que r es arbitrario, se puede tomar r —1, con lo que:
sena = -r = ^1 = y co sa = -r = j1= x
Considerando la llamada circunferencia trigonométrica, con centro en el origen O y radio r = 1, al
situar un ángulo a en los ejes de coordenadas (con vértice en O y un lado sobre el eje de abscisas), los
segmentos x e y son los valores de eos a y sen a , respectivamente:
Figura A .2
Para un ángulo del primer cuadrante (de 0o a 90°), el seno y el coseno son positivos, ya que la abscisa
x y la ordenada y son positivas (ver Figura A.2). En cambio, para un ángulo del segundo cuadrante (de
90° a 180°), el seno es positivo y el coseno es negativo, puesto que la ordenada y es positiva y la abscisa
x es negativa. En resumen:
sena Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
cosa - —
tga + + -
+ + +
+ - —
—
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
Volviendo a la Figura A.2:
sen2 a + eos2 a = x2 + y2 = 1
según el teorema de Pitágoras.
La relación sen2 a + eos2 a —1 se conoce como fórmulafundamental de trigonometría.
De ella se deducen, dividiendo por eos2 x y sen2 x, las fórmulas:
1 + tg2 x = sec2 x ; 1 + ctg2 x = cosec2 x
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
0o 30° 45° 60° 90°
sen 0 1 /2 V 2 /2 V 3/2 1
eos 1 V 3/2 V 2 /2 1 /2 0
tg 0 V 3/3 1 V3 OO
276 Introducción al Cálculo
RAZONES DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
sen(90° —a ) = eos a
eos (90° —a ) = sena
tg(90° —a) = ctg a
RAZONES DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
sen(180° —a) = sena
cos(90° —a) = —eos a
tg(90° —a) = —tg a
RAZONES DE ÁNGULOS OPUESTOS
sen(—a ) = —sen a
cos(—a ) = co sa
tg(-a) = - tg a
RAZONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90°
sen(90° + a) = eos a
eos (90° + a) = —sen a
tg(90° + a ) = —ctg a
RAZONES DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180°
sen(180° + a) = —sena
cos(180°a) = —co sa
tg(180° + a) = tg a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS D E a + / l Y a + /J
sen(a + ¡3) = sen a eos /J + eos a sen ¡5
sen(a —/3) = sen a eos fi - eos a sen ¿8
eos(a + fi) = eos a eos fi —sen a sen fi
cos(a —fh) = eos a eos ¡3 + sen a sen fi
tg(a + P) = tga +tgj6
1 - t g a t gje
tg(a ~P) = tg a —tg/3
1 + tgatg^
Apéndice / Formulario, 277
RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DOBLE
sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a = eos2 a —sen2 a
tg 2a = 1 2—tgtrg“rz -a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD
a /1 —cos a
sen 2 Y2
a 11 + cosía
cos —2 = ± ,V
2
a / I —cos a
tg 2 V 1 + c o s a
TRANSFORMACIÓN DE SUM AS Y DIFERENCIAS EN PRODUCTOS
sen A + sen B = 2 sen —A +- —B cos —A —- —B
sen A - sen B —2 cos A+B A -B
— -— sen — - —
22
A+ B A ■—■B
cos A + eos B = 2
c o s-----— cos — -—
cos A —cos B = —2 sen L -—b sen —i --—,
—
FORMULAS PARA TRIANGULOS
En un triángulo cualquiera de vértices A, B y C, y lados opuestos a ellos, a, b y c, se verifica:
a' b c (teorema del seno)
(teorema del coseno)
sen A sen B sen C
a2 = b2 + c2 —2ac cos A
S = -2b e se n A
S —y p (p - a )(p - b)(p - c), con p ■ a + b + c
278 Introducción al Cálculo
FUNCIONES; HIPERBOLICA
Para las funciones hiperbólicas se verifica una serie de fórmulas análogas a las de las funciones circu
lares: thx + thy y %chx + ch>) = 2 c h
th 2x 1 + thx th); sh(x + y ) — shx chy + chx shy _|_ —y
c h -------
sh2x = 2 shxch y tg(x + y ) thx + th)) shx + shy = 2 sh —x +- —y ch —x —-—y
1 + thx t h y
ch 2x = ch x + sh y ch(x + y) = chx ch y + shx sh y ch2 x —sh 2x = 1
Variaciones de m elementos tomados de n en n.
Vm,n = tn(m —1)(m - 2) . . . (m —n + l)
Permutaciones de n elementos.
n! = n(n —l)(/r —2){n —3) . . . 3.2.1
Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n.
VR¡n,n = mtt
Combinaciones de m elementos tomados de n en n.
Cm.n — l T l \ V m ,n
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS COMBINATORIOS
m
0
m
m ni
n
ni —n
ni m+1
n+ l
+
n+ l
Permutaciones con repetición de m elementos, entre los que a son iguales, b son iguales, c son
iguales, etc., con a + b + c -1------ = ni.
Apéndice / Form ulario 279
Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n.
CRm,n ( m + 1 1 —1N
11
BINOMIO DE NEWTON
(« + b r = m « - + +i y
Distancia entre los puntos P \ (xi, yi) y P 2 ( x 2 , yi)~
d = y (x 2 - xi) 2 + (y2 - y \) 2
Ecuación de la recta que pasa por los puntos P ( x \ , yi) y P ( x 2 , y 2)-
x -xi y -yi
x 2 - XI
y2 — y1
Ecuación de la recta que pasa por el punto P ( x \ , y \ ) y tiene pendiente igual a m .
y -y \= m (x-x O
Distancia del punto P ( x i , yi) a la recta a x + b y + c = 0.
axi + by\ + c
*/ci2 + b 2
Ángulo de dos rectas de pendiente m 2 y n i \ .
m2 —mi
t g a 1 + ni\m2
Área de un triángulo de vértices los puntos (xi, y \ ) , ( x 2 , y 2) y ( x 2 , y 2).
xi y i 1
A = x2 yi l
X3 ys i
280 Introducción al Cálculo
Módulo del vector v — (ni, v2, v3) = v\i + v2j + v3k, donde i — (1,0, 0), j = (0 ,0 ,1 ) y k =
(0, 0, 1 ).
Vector unitario en la dirección del vector v = ( v i , V2 , V3) .
Vector de origen P \ ( x \ , y i , z i ) y extremo P i i x 2 , y 2 , z j ) -
v = (x2 - xi, y2 - yi,Z2 - zi)
Producto escalar de los vectores v = (t>i, v 2 , v 3) y w — ( w \ , w 2 , w 3).
V .W = U l W \ + V2 w 2 + v 3 W 3
Propiedades del producto escalar.
1 . v . w = |ü||w | cosa, siendo a el ángulo de los dos vectores.
2. Dos vectores son ortogonales (perpendiculares), si su producto escalar es igual a cero:
v . w = |Ü||iü| eos 90° = 0
Cosenos directores de un vector.
V = ( v i , v 2, v 3):
eos y = —|Vu3|
siendo a , ¿6 y y los ángulos que forma v con los vectores i , j y k.
Producto vectorial de dos vectores.
v = (uj, v 2 , w 3) y w = ( w i , w 2 , w 3). Se define como:
ik
V X W — V i V2 V3
w i W2 W3
Apéndice / Form ulario 281
Propiedades del producto vectorial.
1. 5 x 5 = —w x v.
2. 5 x 5 = 0.
3. |ü x üj| = |v||w | sena, siendo a el ángulo que forman v y w.
9 NOTA Todas las propiedades anteriores son válidas para todos los vectores de R", n = 2, 3 , . . .
Distancia entre los puntos Pi (x i, y \, zi) y Piíxi, yi, z?J-
d = y (X2 - x \ ) 2 + ( J 2 - y i ) 2 + (Z2 - Z l ) 2
Ecuación de la recta que pasa por P (x i, y i , z i ) y P(x2, yi, 22)-
x —xi y —y1 z — zi
x2 -X I y2 —y1 Z2 “ Zl
Ecuación de la recta que pasa por el punto P(x 1, y i, zi) y tiene de vector direccional v = ( v \ , V2 , « 3).
x -x i y -y 1 Z-Z1
vi V2 V3
Ecuación general del plano.
ax + by + cz + d = 0
donde v = (a ,b ,c ) es un vector perpendicular al plano.
Plano que pasa por los tres puntos P i ( x i , y i , z i ) , P i { x 2 , >'2 , Z2 ) y P 3 { x 3 , y 3 , Z3 ).
x - x\ yy2——yyi1 z- zi
Z2 - zi
x i - xi y3 —yi Z3 - zi
*3 - x i
Ecuación de la recta que pasa por P(xq, yo, z o ) y es perpendicular al plano ax + by + cz + d = 0.
x - xq y - y0 z - zo
Distancia del punto P(xo, yo, z o ) al plano ax + by + cz + d —0.
axo + byo + czq + d
V a 2 + b2 + c2
282 Introducción al Cálculo
La ecuación general de una cónica viene dada por:
A x2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Ecuación de la parábola de vértice en (0,0) y foco 0
y2 — 2p x
Con vértice en (0, 0) y foco ^0, :
x 2 = 2py
Con vértice en ( h, k ) y eje y — k: ( y —k ) 2 = 2 p ( x — h )
Con vértice en {h, k) y eje x = h: ( x - h)2 = 2 p { y - k)
Ecuación general de la circunferencia.
x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0
Ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio r.
( x - a )2 + (y - b)2 = r 2
Ecuación de la elipse de centro (h, k), y semiejes a y b, respecto a los ejes OX y OY, respectivamen
te:
{x — h )2
Se verifica que a 2 = b 2 + c2, siendo (c, 0) y (—c, 0) los focos.
Ecuación de la hipérbola de centro ( h, k ) con semieje real a , semieje imaginario b, respecto a los
ejes O X y O Y , respectivamente.
(x —h ) 2 (y - k ) 2 _
b2
Se verifica que b 2 = c 2 — a 2, siendo (c, 0) y (—c, 0) los focos.
Apéndice/ Formulario 283
Clasificación de las cónicas.
La ecuación general de una cónica viene dada por
f l u x 2 + ci22y2 + 2 a n x y + 2«i3X + 2«23y + «33 = 0
Considerando la matriz: r °a« 1 1 1 2«13 '\
y los determinantes: «23
aiz « 2 2
ai3 «32 «33 )i
= «22 «23 ; A22 = «11 «13 ; A33 = «11 «12
«32 «33 «13 «33 «12 «22
An
se establece la clasificación: « li|A | < 0 =r> elipse real
1. Si:
A33 > 0 « n |A | > 0 =£• elipse imaginaria
|A | = 0 ==4>dos rectas secantes imaginarias
2. Si: |A| 56 0 hipérbola
IAl = 0 dos rectas secantes reales
A33 < 0
3. Si:
1A| 0 =>■ parábola
A n < 0 : => dos rectas paralelas
a n 0 A l l > 0 : =í> dos rectas paralelas imaginarias
A33 = 0 |A| = 0 An = 0 : = 4>dos rectas coincidentes
A22 < 0 ==>■ dos rectas paralelas reales
« 1 1 = 0 y C122 # 0 A22 > 0 =4> dos rectas paralelas imaginarias
A22 = 0 =>• dos rectas coincidentes
Centro de una cónica.
Las coordenadas del centro de una cónica se hallan resolviendo el sistema:
f cin x + ciuy + a n = 0
| Cl\2 X + «22y + «23 = 0
Ejes de una cónica.
Vienen dados por las rectas:
y yi — m ( x - xi)
y - y \ - m 2(x - x í )
siendo (xj, yi) las coordenadas del centro de la cónica, y mi y 1112 las soluciones de la ecuación:
a n m 2 + («ii - a22)m - « 1 2 = 0
Si a n = « 2 2 , se trata de una parábola y el eje es único.
Vértices de una cónica.
Vienen dados por las intersecciones de los ejes con la cónica.
SOLUCIONES DE LOS
EJERCICIOS
PROPUESTOS
CAPÍTULO 1
1.32. x 6 ( - 3 ,1 ) U (2, 8).
1.33. a) ( i , b) (-o o , -1 1 ] U [3, oo).
1.34. a) (0,1); b) (-o o , - 1 ) U (1, oo).
1.35. R.
1.36. a) Cierta; b) falsa; c) falsa; d) cierta.
1.37. a) 0;b) N; c) 0;d) N;e) F,(N) = N, Fe(N) = 0.
1.38. a) 0; b) 0; c) R; d) F ,® = I, Fe(H) = Q .
1.39. a) R; b) 0; c) E; d) R; e) F,(R) = 0, Fe(R) = 0.
1.40. Sup A = máx A = 2, ínf A = 1. Carece de mínimo.
1.41. Sup B = 1, ínf B —0. Carece de máximo y de mínimo.
1.42. Sup C = 1, mín C = 2 Carece de máximo.
-.
1.43. Máx D —1, ínf D = 0. Carece de mínimo.
1.44. Inf E = 2, sup E —3. Carece de máximo y de mínimo.
1.45. Inf F = 0. Carece de mínimo. Carece de supremo. No está acotado superiormente.
286 Soluciones de los problemas propuestos
1.47. Inf H = a, sup H = d.
1.48. a) AUB=[1>4]. Interior (AUB)=(1,4). Adherencia (AUB)=[1,4], F, {A U B) = {1,4}. Fe(A U
B)={4}. Mín (AUB)=1, máx (AUB)=4.
b) AnB=(2,3). Int (AnB)=(2,3). Adherencia (AnB)=[2,3], F;(AnB)=0, Fe(AnB)={2,3}. Inf
(AnB)=2, sup (AnB)=3.
1.49. In tA = (2 ,3 ).A -A U { l} .A = [2 ,3 ]U { l} .Is o (A )= { ™ |, « e N j . F¿ (A)= { > n g n }ü {3}.
Fe (A)={l}.
CAPITULO 2
2.23. V 8 - e K
2.24. 2 - e K
2.25. e l '1'.
2.26. zi •Z2 —(1 + i)i = - 1 + i; z\ -Z2 — 2 1 • 1 | =
5i = i ± Í = l - ¡ ; = 4
Zl l Z2 1|
2.27. zi •Z2 —(\/3 + /)(—1 + s/3i) = + 2/; z\ ■Z2 —2 s ■22jt = 4sir
63 6
zi __ V3 + i _ zi _ ^ f_ _
Z2 — 1 + \/3Í Z2 246jt 2
2.28. \¡2 f+2kx, con k = 0, 1 , 2 .
3
2.29. 1 ^L+2t e , con fe = 0 ,1 , 2, 3.
4
2.30. 2 jr+2far, con k = 0,1, 2.
3
2.31. x 2 - 4x + 5 = 0.
2.32. —117 — —147■• i•.
2.33. —2 + 2i. Raíces: V2 3* +2far, con k = 0, 1, 2.
3
2.34. -•1 y12 21- + - •3121,1 1y 2 - - - ■i.
2.35. —1/2 ± V 3/2 • i,
2.37. = 0, a e l .
2.38. a = 0, ¿ e t y viceversa.
2.39. a = 0, b = 0.
. ... 2kzr
2 M - “ = 1275'
2.50.1,54+ 1,32/,
2.51. 1,75 i.
Soluciones de los problem as propuestos 287
CAPÍTULO 3
3.25. a„ —-l3-nn---+—---24- ; límite = l; Convergente.
3.26. a„ = ( - l )'l+1 í ; límite = 0; Convergente.
3.27. n2 + 5 b) a n = -5=18r9- ; c) 10; d) diverge.
a) ;
n 72
3.30. 3.
3.32. 0.
3.33. 2.
3.34. 0.
3.35. e.
3.36. oo.
3.37. 0.
3.38. 2 (Stolz).
3.39. —ci -j- 1 (Stolz).
3.40. 0 (Stolz).
3.41. ln a (haciendo ifc i —1 = t).
a —1
3.42. l-n--a-- .
3.43. -Job.
3.44. 3.
CAPITULO 4
4.42. Divergente (criterio general).
4.43. Divergente (criterio general).
4.44. Divergente (comparación serie armónica).
4.45. Convergente (Raabe).
4.46. Divergente (D’Alambert).
4.47. Divergente (D’Alembert).
4.48. Convergente (Pringsheim).
4.49. Divergente.
4.50. 00 1 1
Sum a=2-,
Y"'1’—(2-n--—- —l)—( 2—n +—1) . Convergente (Raabe).
n=l
oo j í
4.51. V^ -n-(-n---+---l-)-(--n---+---2-)- . Convergente (Raabe). Sum a=-,
4
n=1
4.52. 3 (serie geométrica).
-
4.53. 12.
4.54. -0,095.