sheniblog-std10-SSLC Worksheets - Questions and Answers - John P A

Answers

a) P എ ബി yഅ ിലാണ് x ചകസംഖ 0

b) x = x1 + m (x2 − x1)
m+n
m −− m
0 = −1 + m+n (4 1), 1 = m+n × 5

m +n = 5m, 1 = m , m : n = 1 : 4
4 n

c) y = y1 + m (y2 − y1) y = 3 + 1 (1 − 3) = 13
m+n 1+4 5

P (0, 13 )
5

3) ിേകാണം ABC ഒ സമ ജ ിേകാണമാണ്. A(1, 0), B(5, 0)ആയാൽ

a) വശ ിെ നീളെമ ?
b) AB െട മധ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക
c) C െട ചകസംഖ കൾ എ ക
d) ിേകാണ ിെ മധ മേക ിെ ചകസംഖ കൾ കണ ാ ക

Answers

a) AB =| 5 − 1 |= 4

b) AB െട മധ ബി വാണ് M .

M ( 1+5 , 0) → M (3, 0)
2
√
c) C(3, 2 3)

d) CM ന വരയാണ് . G(x, y), √ √√

x = 3, y = y1 + m (y2 − y1) = 2 3 + 2 (0 − 2 3) = 23
m+n 3 3
√
G(3, 2 3 3 )

4) ിേകാണംABCയിൽ CA = CB, A(1, 4), B(9, 4), Cയിൽ നി ഉ തി6 ആയാൽ

a) AB െട മധ മേക ിെ ചകസംഖ കൾ എ ക ക
b) C െട ചകസംഖ കൾ എ ക
c) ിേകാണ ിെ മധ മേക
ിെ ചകസംഖ കൾ എ

2

Answers

a) M (5, 4) എ ത് AB െട മധ ബി

b) C(5, 10)

c) G(x, y)ആയതിനാൽ x = 5, y = y1 + m (y2 − y1)
m+n

y = 10 + 2 (4 − 10) = 10 − 4 = 6
2+1

G(5, 6)

5) (1, 6), B(5, 2)എ ീ ബി െള േയാജി ി ABഎ വര ് .ഈ വരെയ ് ല ഭാഗ ളാ
ബി െട ചകസംഖ കൾ കണ ാ ക

Answers

⋆ AP = P Q = QB, AP : P Q : QB = 1 : 1 : 1

AP : PB = 1 : 2, P (x, y),x = x1 + m (x2 − x1)
m+n

x = 1+ 1 (5 − 1), x = 1+ 4 = 7
1+2 3 3

y = 6 + 1 (2 − 6) = 6 + 1 × −4 = 14
1+2 3 3

P ( 7 , 14 )
3 3

⋆ AQ : QB = 2 : 1, Q(x, y), , x = 11 , y = 10
3 3
11 10
Q( 3 , 3 )

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

⋆ ിേകാണ ിെ ശീർഷ ിൽ നി ം എതിർവശ ിെ മധ ബി വിേല വരയാണ്
ന വര. ിേകാണ ിന് ് ന വരക ായിരി ം.

⋆ ് ന വരക ം ി ബി വാണ് ിേകാണ ിെ മ ബി അഥവാ മധ മേക ം .അത്
സാധാരണയായി Gഎ അ രം െകാ ് ചി ി

⋆ ിേകാണ ിെ മധ ബി (മധ മേക ം)ന വരെയ ശീർഷഭാഗ നി ം 2 : 1എ
അംശബ ിൽ ഭാഗി .

1) ABCDഎ സാമാ രീക ിെ ശീർഷ ൾA(1, 2), B(4, y), C(x, 6), D(3, 5)വീതമാണ് .

a) BDഎ വികർ ിെ മധ ബി വിെ x ചകസംഖ എ ?
b) C െട ചകസംഖ കൾ എ ക
c) ACഎ വികർ ിെ മധ ബി വിെ y ചകസംഖ എ ക
d) B െട ചകസംഖ കൾ എ ക

Answers

a) വികർ ൾ പര രം സമഭാഗം െച . BD െട മധ ബി വിെ x ചകസംഖ 4+3 =
2
7
2

b) 1+x = 7 , 1 + x = 7, x = 6 C(6, 6)
2 2

c) AC െട മധ ബി വിെ y ചകസംഖ 2+6 =4
2

d) 5+y = 4, 5 + y = 8, y = 3 B(4, 3)
2

2) ഒ ിെ േക ംO(2, −3)ആണ്. വ ാസംABയിൽ B(4, −3)ആയാൽ

a) ിെ ആരെമ ? െട ചകസംഖ കൾ എ ക
b) വ ാസ ിെ Aഎ അ ിെ ചകസംഖ കൾ എ ക
c) ആ വ ാസ ിന് ലംബമായ വ ാസമാണ്CD. C, Dഎ ീ ബി
d) ACBDഎ സമച ര ിെ പര ളെവ ?

1

Answers

a) ABഎ വര xഅ ിന് സമാ രമാണ് . ആരംOB =| 4 − 2 |= 2

b) A(2 − 2, −3) → A(0, −3)

c) CDഎ വരyഅ ിന് സമാ രമാണ് . C(2, −3 + 2) → C(2, −1)
D(2, −3 − 2) → D(2, −5)

d) ABCDഎ സമച ര ിെ പര ളവ് d2 = 42 = 8ച ര ണി ്
2 2

3) ABഎ വരയിൽ A(−2, −2), B(2, −4). ഈ വരയിൽA ംB ം ഇടയിെല ബി വാണ് P .

AP െട നീളം AB െട നീള ിെ 3 ഭാഗമാണ്.
7

a) P എ ബി ABഎ വരെയ ഖ ി അംശബ ം എ ക

b) P െട ചകസംഖ കൾ കണ ാ ക

c) AB െട മധ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക

Answers

a) AP : BP = 3; 4

b) P (x, y)യിൽ x = x1 + m (x2 − x1)
m+n
−14+12 −2
x= −2 + 3 (2 −− 2), x = −2 + 3 ×4 = −2 + 12 = 7 = 7
3+4 7 7

y = y1 + m (y2 − y1), y = −2 + 3 (−4 −− 2) = − 20
m+n 7 7
−2 −20
P ( 7 , 7 )

c) മധ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ= ( −2+2 , −2+−4 ) = (0, −3)
2 2

4) ചി ിൽ △ABC െട ര ് ശീർഷ ൾ xഅ ിെല ബി ളാണ്. A(1, 3)ആയാൽ

a) B െട ംC െട ം ചകസംഖ കൾ ചി ം േനാ ിെയ ക
b) Aയിൽ നി ന വര BCെയ ഖ ി ബി ഏത് ?
c) മധ മബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക

Answers

a) B(−1, 0), C(5, 0)

b) ന വരBCെയ ഖ ി ബി BC െട മധ ബി വാണ് .M ( −1+5 , 0) = M (2, 0)
2

c) മധ മബി G(x, y)ആയാൽ x = x1 + m (x2 − x1)
m+n

x = y11++23m(2m+−n (1y)2, x = 5
y = − 3
2 × −3
y1), y = 3 + 3 = 1

G( 5 , 1)
3

2

5) A(4, 2), B(6, 5), C(1, 4)ഒ ിേകാണ ിെ ശീർഷ ളാണ്.ABഎ വശെ ഒ ബി വാണ്P , BCയിെല
ഒ ബി വാണ് Q.

a) AP : BP = 1 : 2ആയാൽ P െട ചകസംഖ കൾ എ ക ല പര ള ്
ിേകാണംAB C െയ
b) BC െട മധ ബി Qെ ചകസംഖ കൾ എ ക

c) ഈ ബി െള അ േയാജ മായ രീതിയിൽ േയാജി ി ്
ിേകാണ ളാ ി ഭാഗി് ക

Answers

a) P (x, y)ആയാൽ x = x1 + m (x2 − x1)
m+n

x = y41++13m×m+n(6(y−2 4) = 14
y = 3
− y1) , y 1 × − 14
= 2 + 3 (5 2), y = 3 , P ( 3 , 3)

b) Q( 6+1 , 5+4 ), Q( 7 , 9 )
2 2 2 2

c) CP വര ാൽ ിേകാണംCP A െട പര ളവ് ിേകാണം ABC െട പര ളവിെ 1 ആണ്.
ിേകാണം CP B െട പര ളവ് ിേകാണംABC െട പര ളവിെ 3
2
3 ഭാഗമാണ്.

P Qവര ക. ിേകാണം CP Qെ പര ള ം ിേകാണംBP Qെ പര ള ം ല ം .

△CP Qെ പര ളവ് = △BP Qെ പര ളവ് = 1 × △ABC െട പര ളവ് .
2
1 × 2 1 × △ABC
= 2 3 പര ളവ് ABC = 3 െട പര ളവ്

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

⋆ ഒ വര x ചകാ മായി ഉ ാ ചരിവ് അളെ ത് തൽ പഠന ൾ ്

ആവശ മാണ് .ഏെതാ വര ം ഒ നി ിത ചരിവ് ഉ ായിരി ം. എ ാൽ ചരിവ് മാ ം

െകാ ് ഒ വരെയ നിർ യി ക സാധ മ . ഒേര ചരി അേനകം വരക ായിരി ം.

⋆ ഒ വരയിെല ര ് ബി െള ക. A(x1, y1), B(x2, y2)ആയാൽ വര െട ചരിവ് y2 −y1 എ ത്
ചരിവിെ അളവാണ് . x2 −x1

⋆ ഒ വരxഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി ഉ ാ േകാണിെ tanഅളവ് തെ യാണ്
വര െട ചരിവ് .

1) ചി ിൽ ഒ തിര ീന തല ം ചരി തല ം കാണാം.Aയിൽ നി ് Bയിേല ് ചരി തല ി െട
ഒരാൾ നട .

a) Aയിൽ നി ംBയിെല േ ാൾ നീ ലംബ ര ം തിര ീന ര ം എ ?

b) BC = 1 ആയാൽ DE എ ?
AC 2 AE

c) AG = 20ആയാൽ F Gഎ ?

d) ഇതിൽ നി ം മനസിലാ വ ത എ ് ?

Answers

a) തിര ീന രം= AC, ലംബ രം = BC

b) BC = 1 . അതിനാൽ DE = 1
AC 2 AE 2

( ിേകാണം ACB, ിേകാണം AEDഎ ിവ സ ശ ിേകാണ ളാണ് )
ൾ ിടയി ലംബ രം തിര
c) FG = 1 , FG = 1 , FG = 10
AG 2 20 2

d) ഒ തല ിെല (വര െട) ര ് ബി ീന ര ിന്
ആ പാതികമാണ് .

1

2) ചി ിൽ ് വരകൾ xഅ ിെല ഒ ബി വി െട കട േപാ .

a) ADഎ വര െട ചരിെവ ? ് ബി െട ചകസംഖ കൾ എ ക
b) ACഎ വര െട ചരിെവ ?
c) ABഎ വര െട ചരിെവ ?
d) ACഎ വരയിെല ഏെത ി ം ര

Answers

a) ADഎ വരxഅ മായി ഉ ാ േകാൺ30◦. AD െട ചരിവ്= tan 30◦ = √1
3

b) ACഎ വര xഅ മായി ഉ ാ േകാൺ30 + 15 = 45◦
AC െട ചരിവ്= tan 45◦ = 1

c) ABഎ വര xഅ 6മ0ായ◦ =ി ഉ√3ാ േകാൺ60◦.
AB െട ചരിവ് =
tan

d) ACയിെല ഒ ബി വാണ് A(1, 0),ചരിവ് = 1 .ഈ ര ് കാര ം േചർ ് മെ ാ ബി
എ താം . x ചകസംഖ കൾ ം y ചകസംഖ കൾ ം ഒേര മാ ം വ ിയാൽ മതി .
(1, 0), (1 + 1, 0 + 1) → (2, 1)(ഇ െന അേനകം ബി െള താം.

3) xഅ ംyഅ ം വര ് (ഏകേദശചി ം)A(4, 3), B(12, 7)എ ീ ബി ൾ അടയാളെ ക

a) ഈ വര െട ചരിെവ ? ക
b) ഈ വരയിെല മെ ാ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ
c) ഇേത ചരി എ വരകൾ ഉ ാ ം ? വ മാ ക

Answers

a) ABഎ വര െട ചരിവ് = y2 −y1 = 7−3 = 4 = 1
x2 −x1 12−4 8 2

b) B(12, 7)ഉം ചരിവ് 1 ഉം പരിഗണി ാൽ മെ ാ ബി C(20, 11). ഇ രം അേനകം
2

ബി ൾ എ താം.

c) ഈ വര ് സമാ രമായ എ ാ വരക െട ം ചരിവ് 1 തെ യാണ് .അേനകം വരകൾ
2

ഉ ാ ം?

4) A(2, 3), B(3, 4), C(4, 5)എ ീ ബി ൾ പരിഗണി ക

a) A(2, 3), B(3, 4) എ ീ ബി പേയാഗി ് വര െട ചരിവ് കണ ാ ക

b) B(3, 4), C(4, 5)എ ീ ബി പേയാഗി ് വര െട ചരിവ് കണ ാ ക

c) ഈ ് ബി ം ഒ വരയിൽ തെ ബി ളാേണാ? എ െന മനസിലാ ാം?

d) ഈ വരയിെല മെ ാ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക

2

Answers

a) AB െട ചരിവ് = 4−3 = 1
3−2

b) BC െട ചരിവ് = 5−4 = 1
4−3

c) AB െട ചരി ംBC െട ചരി ം ല ം. B െപാ വായ ബി മാണ്
.അതിനാൽA, B, Cഎ ിവ ഒേര വരയിലാണ് .

d) എ ാ ബി െട ം ചകസംഖ കൾ ത ി േനർബ ം കെ ി അ പേയാഗി ്
വരയിെല മ ബി െട ചകസംഖ കൾ എ താം. അവിെട (1, 2)മെ ാ ബി വാണ് .

5) A(2, 0), B(−6, −2), C(−4, −4), D(4, −2)എ ീ ബി ൾ പരിഗണി ക

a) AB, CDഎ ീ വരക െട ചരിവ് കണ ാ ക
b) AD, BCഎ ീ വരക െട ചരിവ് കണ ാ ക
c) ABCDസാമാ രീകമാേണാ ? വ മാ ക

Answers

a) AB െട ചരിവ് −2−0 = −2 = 1
−6−2 −8 4

CD െട ചരിവ് = −2−− 4 = 2 = 1
4−− 4 8 4

ABഎ വരCD ് സമാ രമാണ്

b) AD െട ചരിവ് = −2−0 = −2 = −1
4−2 2

BC െട ചരിവ് −4−− 2 = −2 = −1
−4−− 6 2

ADഎ വര BC ് സമാ രം.

c) എതിർ വശ ൾ സമാ ര ളായതിനാൽ ABCDസാമാ രീകം .

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

⋆ ഒ വര x ചകാ മായി ഉ ാ ചരിവ് അളെ ത് തൽ പഠന ൾ ്

ആവശ മാണ് .ഏെതാ വര ം ഒ നി ിത ചരിവ് ഉ ായിരി ം. എ ാൽ ചരിവ് മാ ം

െകാ ് ഒ വരെയ നിർ യി ക സാധ മ . ഒേര ചരി അേനകം വരക ായിരി ം.

⋆ ഒ വരയിെല ര ് ബി െള ക. A(x1, y1), B(x2, y2)ആയാൽ വര െട ചരിവ് y2 −y1 എ ത്
ചരിവിെ അളവാണ് . x2 −x1

⋆ ഒ വരxഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി ഉ ാ േകാണിെ tanഅളവ് തെ യാണ്
വര െട ചരിവ് .

1) (1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9) · · · എ മ ിൽ േജാടികൾ പരിഗണി ക. ഇെത ാം ബി െട ചകസംഖ ക െട
േജാടികളാണ് .

a) x ചകസംഖ ക െട ം y ചകസംഖ ക െട ം േ ണി എ ക
b) x ചകസംഖ കളിൽ ഒ ിെനxആയി കണ ാ ി y ചകസംഖ ാേ ണി െട ബീജഗണിത പം

എക
c) ഈ േജാടികളിെല ര ് ബി െള ് അവെയ േയാജി ി വര െട ചരിവ് കണ ാ ക.
d) ഏത് ര ് േജാടികെള ാ ം അവെയ േയാജി ി വര െട ചരിവ് ിരമാെണ ് കാണി ക
e) ഇെത ാം ഒ വരയിെല ബി ളാെണ ് െതളിയി ക

Answers

a) x ചകസംഖ ക െട േ ണി 1, 2, 3, 4 · · ·
y ചകസംഖ ക െട േ ണി3, 5, 7, 9 · · ·

b) y ചകസംഖ ക െട േ ണി സമാ രേ ണിയാണ് .xn = dn + (f − d) → y = 2x + 1

c) (1, 3), (2, 5)എ ിവ പരിഗണി ാൽ ചരിവ്= y2 −y1 = 5−3 = 2 =2
x2 −x1 2−1 1

d) ര ് ബി ൾ(a, b), (c, d)ആയാൽ ചരിവ് y2 −y1 = d−b = (2c+1)−(2a+1) =
x2 −x− 1 c−a c−a

2(c−a) = 2
c−a

e) A(a, b), B(c, d), C(e, f )എ ീ ് േജാടികൾ പരിഗണി ക . AB െട ചരിവ് = d−b =
c−a
f −d
2, BC െട ചരിവ് = e−c = 2. ഇവ ഒേര വരയിലാണ് .

2) A(2, −3), B(−5, 1), C(7, −1), D(0, 3)എ ീ ബി ൾ പരിഗണി ക

a) ABഎ വര െട ചരിവ് കണ ാ ക
b) CDഎ വര െട ചരിവ് കണ ാ ക
c) ABCDസാമാ രീക ിെ ശീർഷ ളാ േമാ? എ െകാ ്

1

Answers

a) AB െട ചരിവ് = y− 2−y1 = 1−− 3 = 4 = − 4
x2 −x1 −5−2 −7 7

b) CD െട ചരിവ് = 3−− 1 = − 4
0−7 7

c) AB െട ംCD െട ം ചരിവ് ല മാണ്.

AD െട ചരിവ് 3−− 3 = −3
0−2
−1−1 −2 1
BC െട ചരിവ് = 7−− −5 = 12 = − 6

ADഎ വരBC ് സമാ രമ .എതിർവശ ൾ സമാ രമ .

അതിനാൽABCDസാമാ രീകമ .

3) ചരിവ് 3ആയ ഒ വരയിെല ബി ളാണ് A(1, −2), B(x, 4)

a) xകണ ാ ക ക
b) ഈ വരയിെല മെ ാ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ
c) ഈ വര xഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
d) ഈ വരyഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?

Answers

a) ചരിവ്: y2 −y1 = 3, 4−− 2 = 3, 6 = 3, 3x − 3 = 6, 3x = 9, x = 3 , B(3, 4)
x2 −x1 x−1 x−1

b) ചരിവ് 3 ആയതിനാൽ മെ ാ ബി C(3 + 1, 4 + 3) → C(4, 7)

c) വര xഅ െ ഖി ബി വിെ y ചകസംഖ 0.

ബി P (x, 0), A(1, −2)ഇവയിൽ −2−0 = 3, x = 5 , ബി P ( 5 , 0)
1−x 3 3

d) വര yഅ െ ഖ ി ബി Q(0, y). y −− 2 = 3, y = −5 Q(0, −5)
0−1

4) A(−4, 2), B(2, 6), C(8, 5), D(9, −7)എ ിവ ഒ ച ർ ജ ിെ ശീർഷ ളാണ് .

a) വശ െട മധ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക ് െതളിയി ക
b) മധ ബി െള മ ിൽ േയാജി ി ച ർ ജം സാമാ രീകമാെണ
c) ഈ സാമാ രീക ിെ വികർ ൾ ഖ ി ബി ഏത് ?

Answers

a) AB െട മധ ബി QSRP((((−28−++24224+892+9,,2,65,++2222+5−+22−)767)→)→)→→QRP((S5(1,−(2715221,1,−,)−41)52))
BC െട മധ ബി
CD െട മധ ബി
AD െട മധ ബി

b) P Qഎ വര െട ചരി ംRSഎ വര െട ചരി ം കണ ാ ക. ര ം 1 വീതമാണ്.
4

P Qസമാ രംRS.

അ േപാെല P S, QRഎ ിവ െട ചരിവ് കാ ക. അവ ല െമ ് കാണാം.എതിർ

വശ ൾ ല മായതിനാൽ സാമാ രീകം

c) സ യം െച ക

5) A(−4, 3), B(7, 3), C(5, 1), D(−2, 1)എ ിവ ഒ ച ർ ജ ിെ ശീർഷ ളാണ്

a) AB, CDഎ ീ വശ െട ചരിവ് എ ക ക
b) ABCDഒ സമപാർശ ലംബകമാെണ ് െതളിയി
c) ലംബക ിെ പര ളവ് കണ ാ ക
d) ലംബക ിെ ളവ് കണ ാ ക

2

Answers വശംxഅ ിന്
വശംxഅ ിന്
a) A, Bഎ ിവ െട y ചകസംഖ കൾ ല ം. അതിനാൽABഎ
സമാ രം . AB െട ചരിവ് ജ ം.
C, Dഎ ിവ െട y ചകസംഖ കൾ ല ം. അതിനാൽCDഎ
സമാ രം . CD െട ചരിവ് ജ ം.

b) ABഎ √വര CD ് സമാ രം. അതിന√ാൽABCDല√ംബകമാ√ണ് .
AD = √(−2 −− 4))2 + (1 − 3)2√= 22 + 22 = 8 =√2 2 √
BC = (5 − 7))2 + (1 − 3)2 = (−2)2 + (−2)2 = 8 = 2 2
AD = BC, ABസമാ രം CD. അതിനാൽ സമപാർശ ലംബകം

c) AB =| 7 −− 4 |= 11, CD =| 5 −− 2 |= 7, സമാ രവരകൾ ത ി അകലം=|

3 − 1 |= 2

പര ളവ് 1 × 2 × (11 + 7) = 18
2
√√ √
d) ളവ് = 11 + 7 + 2 2 + 2 2 = 18 + 4 2

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

a) ഒ വരയിെല ബി െട x ചകസംഖ ക ംy ചകസംഖ ക ം ത ി െപാ വായ
സമവാക ം
ബ മാണ് വര െട സമവാക മാ ത്. ഏെതാ വര ം ഒ

ഉ ായിരി ം.സമവാക ം ആ വര െട തനത് േത കതയാണ് .

b) xഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട y ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത xഅ ിെ സമവാക മാ . y = 0എ താണ്x
അ ിെ സമവാക ം .

c) xഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംy ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(0, 5)എ ബി വി െട xഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം y ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാy = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

d) yഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട x ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത yഅ ിെ സമവാക മാ . x = 0എ താണ്y
അ ിെ സമവാക ം .

e) yഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംx ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(5, 0)എ ബി വി െട yഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം x ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാx = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

f) പലേ ാ ം ചകസംഖ കൾ ത ി േനർബ ം േനാ ി മനസിലാ ാ ൻ യാസമാണ്.
അ െകാ ് വര െട സമവാക ം എ തിന് ചരിവ് എ ആശയം ഉപേയാഗി .

g) ് തരം വരക ് . xഅ ിന് സമാ രമായ വരകൾ , xഅ ിന് ലംഭമായ
വരകൾ, xഅ മായി ചരി വരകൾ. ചരി വരകൾ വലേ ് ചരി വയായാൽ ചരിവ്
അധി്സംഖ യാണ്. ഇടേ ായാൽ ന നസംഖ ം.

1) xഅ ിന് സമാ രമായി(0, 4)എ ബി വി െട ം yഅ ിന് സമാ രമായി(4, 0)എ ബി വി െട ം
വര വരകൾ വര .

a) ഈ വരക െട സമവാക ം എ ് ? േപാ വര െട േത കത
b) ഈ വരകൾ ി ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക
c) വരകൾ ി ബി വിെന ം ആധാരബി വിെന ം േചർ ് കട

കെ ി ഈ വര െട സമവാക ം എ ക

Answers

a) (0, 4) െട xഅ ിന് സമാ രമായ വര െട സമവാക ംy = 4.
(4, 0) െട yഅ ിന് സമാ രമായ വര െട സമവാക ം x = 4

b) വരകൾ ി ബി (4, 4)

c) ഈ വരയിെല എ ാ ബി െട ം x ചകസംഖ കൾ y ചകസംഖ കൾ ് ലം .
സമവാക ം x = y

1

2) താെഴ െകാ ിരി ബി െള ാം ഒ വരയിെല ബി ളാണ്
(1, 5), (2, 7), (3, 9), (4, 11)

a) ബി െട ചകസംഖ കെള ാം അ സരി െപാ വായ ബ ം എ ് ?

b) ഈ വര െട ചരിവ് എ ?

c) വരയിെല ഒ ബി (x, y)എെ ് ചരി ം മെ ാ ബി ം ഉപേയാഗി ് വര െട സമവാക ം
പീകരി ക

Answers

a) y ചകസംഖ കൾ x ചകസംഖ ക െട ര ് മട ിേന ാൾ ് തലാണ് .

b) ചരിവ് = y2 −y1 = 7−5 = 2 =2
x2 −x1 2−1 1

c) (x, y) വരയിെല ബി എ ് ക ക. (x, y) ,(1, 5) . ചരിവ് = y−5 = 2, y − 5 =
x−1
2(x − 1), y − 5 = 2x − 2

വര െട സമവാക ം 2x − y − 2 + 5 = 0, 2x − y + 3 = 0

3) ഒ വരയിെല ബി െട x ചകസംഖ ക െട ംy ചകസംഖ ക െട ം ക0ആണ് .

a) ഈ വര െട സമവാക ം എ ക
b) ഈ വരxഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
c) ഈ വരyഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
d) വര െട ചരിവ് കണ ാ ക

Answers

a) (1, −1), (−3, 3), (2, −2)
വര െട സമവാക ം x + y = 0

b) വരx അ െ ഖ ി േ ാൾ , y = 0. x + 0 = 0, x = 0 . ബി (0, 0)

c) വര y അ െ ഖ ി് േ ാൾ , x = 0. 0 + y = 0, y = 0 . ബി (0, 0)

d) ര ് ബി ൾ പരിഗണി ക. (1, −1), (2, −2). ചരിവ് = y2 −y1 = −2−− 1 = −1 =
−1 x2 −x1 2−1 1

4) ഒ വര െട സമവാക ം എ തിന് ര ് അള കൾ ആവശ മാണ്. ഉദാഹരണമായി വര െട ചരി ം
ആ വര കട േപാ ബി വിെ ചകസംഖ ക ം അറി ാൽ ആ വര െട സമവാക ം എ താം.ഒ
വര െട ചരിവ് 3, ആ വര കട േപാ ഒ ബി (1, 2) .

a) വരയിെല ഒ ബി (x, y)എെ ് ചരി മായി ബ ിി ാവന എ ക
b) വര െട സമവാക ം എ ക
c) ഈ വര xഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
d) ഈ വരyഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?

Answers

a) ചരിവ് = y2 −y1 , y−2 =3
x2 −x1 x−1

b) y − 2 = 3(x − 1), y − 2 = 3x − 3, 3x − y − 3 + 2 = 0, 3x − y − 1 = 0

c) വര x അ െ ഖ ി േ ാൾ , y = 0

3x − 0 − 1 = 0, 3x = 1, x = 1 . ബി ( 1 , 0)
3 3

d) വര y അ െ ഖ ി േ ാൾ , x = 0
3 × 0 − y − 1 = 0, y = −1. ബി (0, −1)

2

5) x = 3, x = 7, y = 4, y = 8എ ീ വരകൾ പരിഗണി ക

a) ഏകേദശചി ം വര ് ഈ വരകൾ കാണി ക േപെര ക
b) ഈ വരകൾ പീകരി ജ ാമിതീയ പ ിെ
c) ശീർഷ െട ചകസംഖ കൾ എ ക
d) ള ം പര ള ം കണ ാ ക

Answers
a) ചി ം കാ ക

b) AB =| 7 − 3 |= 4, BC =| 8 − 4 |= 4 ABCD സമച രമാണ്
c) A(3, 8), B(7, 8), C(7, 4), D(3, 4)
d) പര ളവ് = 42 = 16, ളവ് = 16

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

a) ഒ വരയിെല ബി െട x ചകസംഖ ക ംy ചകസംഖ ക ം ത ി െപാ വായ
സമവാക ം
ബ മാണ് വര െട സമവാക മാ ത്. ഏെതാ വര ം ഒ

ഉ ായിരി ം.സമവാക ം ആ വര െട തനത് േത കതയാണ് .

b) xഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട y ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത xഅ ിെ സമവാക മാ . y = 0എ താണ്x
അ ിെ സമവാക ം .

c) xഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംy ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(0, 5)എ ബി വി െട xഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം y ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാy = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

d) yഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട x ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത yഅ ിെ സമവാക മാ . x = 0എ താണ്y
അ ിെ സമവാക ം .

e) yഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംx ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(5, 0)എ ബി വി െട yഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം x ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാx = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

f) പലേ ാ ം ചകസംഖ കൾ ത ി േനർബ ം േനാ ി മനസിലാ ാ ൻ യാസമാണ്.
അ െകാ ് വര െട സമവാക ം എ തിന് ചരിവ് എ ആശയം ഉപേയാഗി .

g) ് തരം വരക ് . xഅ ിന് സമാ രമായ വരകൾ , xഅ ിന് ലംഭമായ
വരകൾ, xഅ മായി ചരി വരകൾ. ചരി വരകൾ വലേ ് ചരി വയായാൽ ചരിവ്
അധി്സംഖ യാണ്. ഇടേ ായാൽ ന നസംഖ ം.

1) ഒ വര xഅ െ (12, 0)എ ബി വി ം yഅ െ (0, 5)എ ബി വി ം ഖ ി

a) വര െട ചരിവ് കണ ാ ക

b) ഈ വര െട സമവാക ം എ ക

c) ഈ വര ചകാ ൾ ിടയി ാ ിേകാണ ിെ പര ളവ് കണ ാ ക

d) ചകാ ൾ ിടയി വര െട നീളെമ ?

e) ആധാരബി വിൽ നി ം വരയിേല ളള ലംബ രം എ ?

Answers

a) ചരിവ് = y2 −y1 = 5−0 = − 5
x2 −x1 0−12 12

b) വരയിെല ബി വാണ് P (x, y). (0, 5), (x, y)എ ീ ബി ൾ പരിഗണി ക.
y−5
x−0 = − 5
12
12(y − 5) = −5x, 12y − 60 = −5x, 5x + 12y = 60

c) ഇത് ഒ മ ിേകാണമാണ്. ലംബവശ ൾ12െസ ീമീ ർ, 5െസ ീമീ ർ .പര ളവ് = 1 ×
2
12 × 5 = 30
1 √

d) അ ൾ ിടി വര െട നീളം = 122 + 52 = 13

e) ആധാരബി വിൽ നി ം വരയിേല അകലം hആയാൽ പര ളവ്

1 × 13 × h = 30, h = 60
2 13

2) 2x + 3y = 6എ വര െട സമവാക ം പരിഗണി ക .

a) ഈ വര xഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
b) yഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
c) ഈ വര െട ചരിവ് കണ ാ ക
d) വര െട ചരിവ് x, yഎ ിവ െട ണക മായി എ െന ബ െ ിരി

Answers

a) വര xഅ െ ഖ ി േ ാൾ y = 0.
2x + 3 × 0 = 6, x = 3. ബി (3, 0)

b) വരyഅ െ y അ െ ഖ ി േ ാൾ x = 0.
2 × 0 + 3y = 6, y = 2
ബി (0, 2)

c) വര െട ചരിവ് y2 −y1 = 2−0 = −2
x2 −x1 0−3 3

d) ax + by = cആയാൽ ചരിവ് = − a
b

3) 3x + 2y = 6എ വര െട സമവാക ം പരിഗണി ക

a) ഈ വര െട ചരിവ് എ ?
b) ഇേത ചരി മെ ാ വര െട സമവാക ം എ ക.ഈ വര ് സമാ രമായ വരക െട സമവാക ം

എ തിന് ഒ മാർ ം നിർേ ശി ക
c) 3x + 2y = 6എ വര ് സമാ രമായി (1, 1) െട കട േപാ വര െട സമവാക ം എ ക

Answers

a) ചരിവ് = −3
2

b) വര െട ചരിവ് തീ മാനി ത് വര െട സമവാക മായax+by = cയിൽ x ംy െട ം

ണക ളായa ംb മാണ്. ചരിവിന് cഎ ിരസംഖ മായി ബ മി . a, bഎ ിവ

മാറാെത cമാ ം മാ ി ഒേര ചരി വരക െട സമവാക െള താം. a െട ം b െട ം

ാന ് അവ െട ണിത മാകാം. ഉദാഹരണം3x+2y = 1, 3x+2y = 2, 3x+2y =

5ഇവെയ ാം സമാ രവരകളാണ് . 6x + 4y = 5ഈ വര ം ഇതിന് സമാ രമാണ്

c) ചരിവ് = −3 .
2
y−1 −3
(x, y)ഒ ബി ആയാൽ x−1 = 2 .

(y − 1) × 2 = −3 × (x − 1), 3x + 2y = 5

4) x + y + 1 = 0എ വര െട സമവാക ം പരിഗണി ക

a) ഈ വരxഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?

b) yഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?

c) വര െട ചരിവ് കണ ാ ക

d) വര ചകാ മായി ഉ ാ ിേകാണ ിെ പര ളവ് കണ ാ ക
ന വര െട നീളെമ ?
e) ഈ ിേകാണ ിെ ആധാരബി വിൽ നി

2

Answers

a) വരxഅ െ ഖ ി േ ാൾ , y = 0.x + y + 1 = 0 → x + 0 + 1 = 0, x = −1 .
ബി (−1, 0). ഈ ബി xഅ ിലാണ് .

b) വര yഅ െ ഖ ി േ ാൾ , x = 0.x + y + 1 = 0 → 0 + y + 1 = 0, y = −1 .
ബി (0, −1). ഈ ബി yഅ ിലാണ് .

c) വര െട ചരിവ് = 0−− 1 = −1
−1−0

d) ഇത് ഒ മ ിേകാണമാണ്. ലംബവശ ൾ 1വീതമാണ് . പര ളവ് 1 × 1×1 = 1
2 2

e) കർ ിെ മധ ബി (− 1 , − 1 ). ന വര െട നീളം = √1
2 2
2

5) ഒ വരxഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി 45◦േകാൺ പീകരി

a) ഈ വര െട ചരിവ് എ ? ക
b) ഈ വര(3, 5)എ ബി വി െട കട േപാ . വര െട സമവാക ം എ
c) ഈ വരxഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
d) ഈ വരyഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?

Answers

a) ചരിവ് = tan 45◦ = 1

b) (x, y)വരയിെല ബി ആയാ, y−5 = 1 , x−3 = y − 5, x − y = −2
x−3

c) xഅ െ ഖ ി േ ാൾ , y = 0, x = −2. ബി (−2, 0)

d) വര yഅ െ ഖ ി േ ാൾ , x = 0, y = 2. ബി (0, 2)

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

a) ഒ വരയിെല ബി െട x ചകസംഖ ക ംy ചകസംഖ ക ം ത ി െപാ വായ
സമവാക ം
ബ മാണ് വര െട സമവാക മാ ത്. ഏെതാ വര ം ഒ

ഉ ായിരി ം.സമവാക ം ആ വര െട തനത് േത കതയാണ് .

b) xഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട y ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത xഅ ിെ സമവാക മാ . y = 0എ താണ്x
അ ിെ സമവാക ം .

c) xഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംy ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(0, 5)എ ബി വി െട xഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം y ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാy = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

d) yഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട x ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത yഅ ിെ സമവാക മാ . x = 0എ താണ്y
അ ിെ സമവാക ം .

e) yഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംx ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(5, 0)എ ബി വി െട yഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം x ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാx = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

f) പലേ ാ ം ചകസംഖ കൾ ത ി േനർബ ം േനാ ി മനസിലാ ാ ൻ യാസമാണ്.
അ െകാ ് വര െട സമവാക ം എ തിന് ചരിവ് എ ആശയം ഉപേയാഗി .

g) ് തരം വരക ് . xഅ ിന് സമാ രമായ വരകൾ , xഅ ിന് ലംഭമായ
വരകൾ, xഅ മായി ചരി വരകൾ. ചരി വരകൾ വലേ ് ചരി വയായാൽ ചരിവ്
അധി്സംഖ യാണ്. ഇടേ ായാൽ ന നസംഖ ം.

1) (1, 2), (5, 7)എ ീ ബി ൾ പരിഗണി ക

a) ഈ ബി ളി െട കട േപാ വര െട ചരിെവ ?
b) ഈ വര െട സമവാക ം എ ക
c) വര xഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?
d) വര yഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?

Answers

a) ചരിവ് = y2 −y1 = 7−2 = 5
x2 −x1 5−1 4

b) (x, y)ഒ ബി ആയാൽ . (x, y) , (1, 2) എ ിവ പരിഗണി ് , y−2 = 5 ,
x−1 4
(y − 2) × 4 = (x − 1) × 5, 5x − 4y + 3 = 0

c) വരxഅ െ ഖ ി േ ാൾ , y = 0. 5x − 4 × 0 + 3 = 0, 5x = −3, x = −3 . ബി
5
−3
is ( 5 , 0)

d) വര yഅ െ ഖ ി േ ാൾ , x = 0. 5 × 0 − 4y + 3 = 0, −4y = −3, y = −3 = 3 .
1 −4 4

ബി (0, 3 )
4

2) ഒ വര ചകാ െള(4, 0), (0, 4)എ ീ ബി ളിൽ ഖ ി .

a) ഈ വര െട ചരിവ് എ ?
b) വര xഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി ഉ ാ േകാൺ എ ?
c) വര െട സമവാക ം എ ക
d) ആധാരബി വിൽ നി ം വരയിേല ലംബ രം എ ?

Answers

a) ചരിവ് = y2 −y1 = 4−0 = −1
x2 −x1 0−4

b) വര ചകാ മായി േചർ സമപാർശ മ ിേകാണം ഉ ാ .ഒ ന നേകാൺ 45◦.

വര xഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി 180 − 45 = 135◦ േകാൺ ഉ ാ

c) (x, y)വരയിെല ബി വാണ് y−0 = −1, y = −1(x − 4), x +y = −4
x−4
√
d) ആധാരബി =വ21ിൽ×ന4ി√2ള×ള ലംബ രം h. കർ√ ം 4 2
h, h = =2 2
1 × 4 × 4 1√6
2 42

3) ഒ വര (4, 0), (0, 5)എ ീ ബി ളി െട കട േപാ .

a) വര െട ചരിവ് കണ ാ ക

b) വര െട സമവാക ം x + y = 1ആെണ ് കാണി ക
4 5 േപാ വര െട സമവാക ം എ

c) (a, 0), (0, b)എ ീ ബി ളി െട കട ായിരി ം?

Answers

a) ചരിവ് = y2 −y1 = 5−0 = − 5
x2 −x1 0−4 4

b) (x, y)വരയിെല ബി ആയാൽ y−0 = − 5
x−4 4
4y = −5(x − 4), 4y = −5x + 20, 5x + 4y = 20

ഇ വശ ം 20െകാ ് ഹരി ാൽ x + y = 1
4 5

c) സമവാക ം x + y =1
a b

4) (6, 0), (0, 6)എ ീ ബി ൾ പരിഗണി ക

a) ഈ ബി െള േയാജി ി വര െട മധ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക

b) മധ ബി വി െട കട േപാ വര xഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി60◦േകാൺ പീകരി .വര െട
ചരിവ് എ ?

c) ഈ വര െട സമവാക ം എ ക

d) വരyഅ െ ഖ ി ബി ഏത് ?

Answers

a) A(6, 0) എ ബി x അ ി ം B(0, 6) എ ബി y അ ി മാണ് . AB െട
മധ ബി (3, 3)

b) വ√ര xഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി 60◦േകാൺ ഉ ാ . ചരിവ് = tan 60 =

3

y−3 √√ √ √√
c) (x√, y) വരയിെല ബി . x−3 = 3, y − 3 = 3(x − 3), −3 = 3x − 3 3, 3x − y =

3 3−3 √√

d) വര yഅ െ ഖ ി േ ാൾ x = 0. y = 3 − 3 3. ബി (0, 3 − 3 3)

2

5) ഒ വര(a, 0), (0, b)എ ീ ബി ളി െട കട േപാ .

a) ഈ വര െട ചകാ ൾ ് ഇടയി ഭാഗ ിെ മധ ബി വാണ്(x1, y1)എ ിൽ വര െട സമവാക ം

x + y = 2എ ് കാണി ക
x1 y1

b) വര ചകാ െള ഖ ി ത് (6, 0), (0, 6)ലാെണ ിൽ വര െട സമവാക െമ ് ?

Answers

a) x1 = a , y1 = b . മധ ബി ( a , b ), a = 2x1, b = 2y1
2 2 2 2
−b
(a, 0) ,(0, b) എ ിവ വരയിെല ബി ളാണ് .ചരിവ് = a . (x, y)വരയിെല ബി ആയാൽ

, y−0 = − b
x−a a
ay = −b(x − a) , bx + ay = ab.

ഇ വശ ം abെകാ ് ഹരി ാൽ ,yxa = y = 1
സമവാക =
ം x + y = 1 , x + y1 b
2x1 2y1 x1
2

b) സമവാക ം x + y = 2 → x+y = 6
3 3

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

a) ഒ വരയിെല ബി െട x ചകസംഖ ക ംy ചകസംഖ ക ം ത ി െപാ വായ
സമവാക ം
ബ മാണ് വര െട സമവാക മാ ത്. ഏെതാ വര ം ഒ

ഉ ായിരി ം.സമവാക ം ആ വര െട തനത് േത കതയാണ് .

b) xഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട y ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത xഅ ിെ സമവാക മാ . y = 0എ താണ്x
അ ിെ സമവാക ം .

c) xഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംy ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(0, 5)എ ബി വി െട xഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം y ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാy = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

d) yഅ ിെല ബി െട െപാ വായ േത കത അവ െട x ചകസംഖ കെള ാം
0എ താണ് .അ െകാ ് ഈ േത കത yഅ ിെ സമവാക മാ . x = 0എ താണ്y
അ ിെ സമവാക ം .

e) yഅ ിന് സമാ രമായ ഒ വരയിെല എ ാ ബി െട ംx ചകസംഖ കൾ
ിരമാണ്.ഉദാഹരണമായി(5, 0)എ ബി വി െട yഅ ിന് സമാ രമാ വരയിെല

എ ാ ബി െട ം x ചകസംഖ കൾ5തെ യാണ് . അതിനാx = 5എ ത് ഈ വര െട
സമവാക മാണ് .

f) പലേ ാ ം ചകസംഖ കൾ ത ി േനർബ ം േനാ ി മനസിലാ ാ ൻ യാസമാണ്.
അ െകാ ് വര െട സമവാക ം എ തിന് ചരിവ് എ ആശയം ഉപേയാഗി .

g) ് തരം വരക ് . xഅ ിന് സമാ രമായ വരകൾ , xഅ ിന് ലംബമായ
വരകൾ, xഅ മായി ചരി വരകൾ. ചരി വരകൾ വലേ ് ചരി വയായാൽ ചരിവ്
അധി്സംഖ യാണ്. ഇടേ ായാൽ ന നസംഖ ം.

1) ഒ ഫാമിൽ േറ പ ം േകാഴിക ് . ആെക 15തലക ം 50കാ ക ് .

a) പ െട എ ംxഎ ം േകാഴിക െട എ ംyഎ െമ ് സമവാക ൾ പീകരി ക

b) ഇവ വരക െട സമവാക ളാണ്. ഈ വരകൾ ഖ ി ബി വിെ ചകസംഖ കൾ കണ ാ ക

c) പ െട എ ം േകാഴിക െട എ ം എ ക

Answers (1)
(2)
a) x + y = 15, 4x + 2y = 50
b)

4x + 2y = 50
x + y = 15
1 × 2 → 2x + 2y = 30 → eqn3

2x + 2y = 30 (3)
1
1−3 2x = 20, x = 10, y = 5

ഖ ി ബി (10, 5)

c) പ െട എ ം = 10 , േകാഴിക െട എ ം = 5.

2) താെഴ െകാ ിരി വ വരക െട സമവാക ളാണ്.
x − y = −1, x − y = 1, x + y = 7, x + y = 3

a) ഇവയിൽ സമാ രവരകൾ േജാടിയായി എ ക ക
b) വരകൾ ഖ ി ബി െട ചകസംഖ കൾ എ ക
c) ഈ വരകൾ േചർ ജ ാമിതീയ പം ച രമാെണ ് െതളിയി
d) ച ര ിെ പര ളവ് കണ ാ ക

Answers

a) (x − y = −1, x − y = 1) and (x + y = 7, x + y = 3) എ ിവയാണ് സമാ രേജാടികൾ

b) x − y = −1, x + y = 7 → 2x = 6, x = 3, y = 4 . ഖ ി ബി (3, 4)
x − y = −1, x + y = 3 → 2x = 2, x = 1, y = 2. ഖ ി ബി (1, 2)
x − y = 1, x + y = 7 → 2x = 8, x = 4, y = 3. ബി (4, 3).
x − y = 1, x + y = 3 → 2x = 4, x = 2, y = 1. The point is (2, 1)

c) A(1, 2)√, B(2, 1), C(4, 3), D(3, 4)√എ ച ർ ജ ി√ൽ .
AB = √(2 − 1)2 + (1 − 2)2 = √12 + (−1)2 = √2
CD = (4 − 3)2 + (3 − 4)2 = 12 + (−1)2 = 2

AB = C√D √
BC = 2 2, AD √= 2 2. എത√ിർവശ ൾ ല ം .
വികർ ം AC = 10, BD = 10. വികർ ൾ ല ം . ച രമാണ്

3) ് വരകൾ േചർ ് ഒ ജ ാമിതീയ പം ഉ ാ . x = 3, y = 4, 4x + 3y = 36ഇവയാണ് വരകൾ

a) ഈ ജ ാമിതീയ പ ിെ ഏ ം ഉചിതമായ േപെര ് ? ക
b) ജ ാമിതീയ പ ിെ ശീർഷ െട ചകസംഖ കൾ എ
c) പര ളവ് കണ ാ ക
d) ശീർഷ ളി െട കട േപാ ിെ ആരെമ ?

Answers

a) x = 3 എ വരyഅ ിന് സമാ രമായി (3, 0)എ ബീ വി െട കട േപാ . y =
4 എ വര xഅ ിന് സമാ രമായി (0, 4) െട കട േപാ . 4x + 3y = 36 എ
വര ഈ ര ് വരകെള ം ഖ ി .ഇത് ഒ മ ിേകാണമാണ്

b) A(3, 4) എ ത് മ േകാൺ ഉ ാ ശീർഷമാണ് .
x = 3 , 4x + 3y = 36എ ീ വരകൾ ി ബി വാണ് B. ഇതിൽ നി ം 4 × 3 + 3y =
36, 3y = 24, y = 8 , B(3, 8).
y = 4 , 4x+3y = 36എ ീ വരകൾ ി ബി വാണ് C. ഇതിൽ നി ം 4×x+3×4 =
36, 4x = 24, x = 6 , C(6, 4).

c) AB =| 8 − 4 |= 4, AC =| 6 − 3 |= 3

പര ളവ് = 1 × 4 × 3 = 6ച ര ണി ്
2
√
d) കർ ം 32 + 42 = 5. പരി ആരം 2.5

e) പരി േക ം കർ ിെ മധ ബി It is ( 3+6 , 8+4 ) = ( 9 , 6)
2 2 2

4) A(3, 4), B(−1, 2) എ ീ ബി ൾ പരിഗണി ക

a) ര ് ബി ളിൽ നി ം ല അകല ി ബി െള ാം ഒ വരയിലായിരി െമ ് പഠി ി േ ാ.
ത ിരി ബി പേയാഗി ് ല അകല ി ബി ൾ േചർ വര െട സമവാക ം എ ക

b) A(3, 4), B(−1, 2)എ ീ ബി ളി െട കട േപാ വര െട സമവാക ം എ ക

c) ഈ സമവാക ൾ ഉപേയാഗി ് AB െട മധ ബി വിെ ചകസംഖ കൾ കണ ാ ക

2

Answers

a) √(x, y) A , Bഎ ിവയിൽ ന√ി ം ല അകല ി ബി വാണ് (x, y). വരയാണ്
(x − 3)2 + (y − 4)2 = (x + 1)2 + (y − 2)2

Squaring on both sides
(x − 3)2 + (y − 4)2 = (x + 1)2 + (y − 2)2 . ഇതിൽ നി ം 2x + y = 5.ഇത് ഒ

b) വരയിെല ബി വാണ് (x, y) . y−4 = 2−4 , y−4 = 1 , x − 2y = −5. ഈ വര
x−3 −1−3 x−3 2
A(3, 4), B(−1, 2)എ ീ ബി ളി െട കട േപാ .

c) x − 2y = −5 ,2x + y = 5ഈ സമവാക ൾ ് പരിഹാരം ക ാൽ . x = 1, y = 3. Mid
point is (1, 3)
(Note മധ ബി കാ രീതിയി ം െച ാം.)

5) x + y = 4, x + y = −2, x − y = 2, x − y = −2എ ീ വരകൾ പരിഗണി ക.

a) ഇവയിൽ നി ം സമാ രവരകൾ േജാടിയായി എ ക
b) വരകൾ ഖ ി ബി െട ചകസംഖ കൾ എ ക(ഏകേദശചി ം വര ് മ ിെല ക)
c) ഇവ സമച ര ിെ ശീർഷ ളാെണ ് െതളിയി ക.

Answers

a) സമാ രവരകൾ (x + y = 4, x + y = −2) , (x − y = 2, x − y = −2)

b) x + y = 4 , x − y = 2എ ിവ ി ബി . 2x = 6, x = 3, y = 1. ബി (3, 1)
x + y = 4 , x − y = −2 . 2x = 2, x = 1, y = 3.ബി (1, 3)
x + y = −2 , x − y = 2 . 2x = 0, x = 0, y = −2. ബി (0, −2)
x + y = −2 and x − y = −2 . 2x = −4, x = −2, y = 0.ബി (−2, 0)

c) സ യം െച ക. ജിേയാജി യിൽ വര ചി ം കാ ക

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

⋆ ആധാരബി േക മായ , ആരംrആയ ിെ സമവാക ംx2 + y2 = r2

⋆ േക ം(a, b)ആരം rആയ ിെ സമവാക ം (x − a)2 + (y − b)2 = r2

1) ചകാ ൾ വര ് ആധാരബി േക മായി ആരം4ആയ ്

a) ഈ ം ചകാ െള ഖ ി ബി ൾ ഏെത ാം?

b) ിെല ഒ ബി വാണ് P (x, y) എ ിൽ ിെ സമവാക ം എ ക
√√
c) (2 2, 2 2)ഈ ിെല ബി വാേണാ എ ് പരിേശാധി ക
√√
d) (2 2, 2 2) ിെല ബി ആെണ ിൽ ഇത് ഒ ശീർഷമാ ം മ ് ശീർഷ ൾ ിെല

ബി ളാ ം ഉ സമച ര ിെ ശീർഷ െട ചകസംഖ കൾ എ ക

Answers

a) ം ചകാ െള ഖ ി് ബി ൾ A(4, 0), B(0, 4), C(−4, 0), D(0, −4)
√
b) O(0, 0) P (x, y)എ ിവ ിടയിെല അകലം = (x − 0)2 + (y − 0)2 = 4

x2 + y2 = 42, x2 + y2 = 16

√√ √√
c) x =√ 2 √2 and y = 2 2, x2 + y2 = 16 ആയാൽ (2 2)2 + (2 2)2 = 8 + 8 = 16.
(2 2, 2 2)എ ത് ിെല ബി വാണ്
√√ √√ √ √√ √
d) ബി ൾ (2 2, 2 2),(−2 2, 2 2),(−2 2, −2 2),(2 2, −2 2)

2) താെഴ െകാ ിരി വ ിെ സമവാക ളാണ്

x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 3, x2 + y2 = 9, x2 + y2 = 17

a) ഓേരാ െട ം ആര ം േക ം എ ക െട പര ളവ് എ ക
b) ഓേരാ ം ചകാ െള ഖ ി ബി ഏത് ?
c) ചകാ െള ഖ ി ബി െള േചർ ് വര സമച ര
d) സമച ര െട ളവ് കണ ാ ക

1

Answers

a) x2 + y2 = 1 → x2 + y2 = 1√√232C22eേCnകetrnetr(eം0((,000,,)00,))rആ,, ആആരരംരംംr = 1√
x2 + y2 = 2 → x2 + y2 = r = √2
x2 + y2 = 3 → x2 + y2 = r= 3

x2 + y2 = 197→→xx2 2++yy2 2==3√2 C1e7n2trേeക(0,ം0)(0,,ആ0)ര, ംrardi=us 3 = √
x2 + y2 = r 17

b) Circle x2 + y2 = 1 അ െ ഖ ി ബി ൾ (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1)

x√2 + y2√ = √ 2 എ √ ംഅ െള ഖ ി് ബി ൾ
( 2, 0), (0, 2), (− 2, 0), (0, − 2) ൾ
ൾ
x√2 + y2√ =√ 3എ √ ംഅ െള ഖ ി ബി

( 3, 0), (0, 3), (− 3, 0), (0, − 3)

x2 + y2 = 9 എ ം അ െള ഖ ി ബി

(3, 0), (0, 3)√, (−3, 0), (0√, −3) √ √
ബി ൾ ( 17, 0), (0, 17), (− 17, 0), (0, − 17)
√ √
c) സമച ര ിെ വശം 2. പര ളവ് = 2 ച ര ണി ് . ളവ് 4 2 ണി ്

ബാ ി വ സ യം െച ക

3) ചി ിൽ വ ാസം xഅ േ ാട് േചർ നിൽ √ അർ ം കാണാം. അർ ിെ േക ം

ആധാരബി തെ യാണ് . വ ാസ ിെ ഒര ം(2 5, 0)ആയാൽ

a) അർ ം ചകാ െള ഖ ി ബി ൾ ഏെത ാം?
ിെ വശ ിെ നീളെമ ?
b) ABCDഎ സമച ര
െട ചകസംഖ കൾ എ ക
c) സമച ര ിെ ശീർഷ

Answers

√√ √
a) ബി ൾ (2 5, 0), (−2 5, 0), (0, 2 5)
√
b) Dra√w OC . If OB = x, BC = 2x, OC = 2 5
(2 5)2 = x2 + (2x)2, 5x2 = 20, x2 = 4, x = 2. സമച ര ിെ വശം 4.

c) A(−2, 0), B(2, 0), C(2, 4), D(−2, 4)

4) x2 + y2 = 3എ ം സമച ര ിെ വശ െള െതാ .

2

a) ം ചകാ െള ഖ ി ബി ൾ ഏെത ാം?
b) സമച ര ിെ ശീർഷ െട ചകസംഖ കെള ക
c) സമച ര ിെ
ള ം പര ള ം കണ ാ ക

5) x2 + y2 = 36എ ിന് റ Aഎ ബി വിൽ നി ം ിേല ് AP എ െതാ വര

വര ിരി . േകാൺOAP = 30◦ആയാൽ

a) ിെ ആരെമ ? ബി ൾ ഏെത ാം?
b) ം ചകാ െള ഖ ി
c) A െട ചകസംഖ കൾ എ ക
d) െതാ വര െട നീളെമ ?

3

Answers

a) x2 + y2 = 36 → x2 + y2 = 62
ആരം 6

b) ബി ൾ (6, 0), (0, 6), (−6, 0), (0, −6)

c) △OP A is a 30◦ − 60◦ − 90◦ ിേകാണം . OP = 6, OA = 12.

A(12, 0)ആയതിനാൽ
√
d) P A = 6 3
√
e) △OM√P is a 30◦ − 60◦ − 90◦ .Since OP = 6 , OM = 3, P M = 3 3.

P (3, 3 3)

4

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

⋆ ആധാരബി േക മായ , ആരംrആയ ിെ സമവാക ംx2 + y2 = r2

⋆ േക ം(a, b)ആരം rആയ ിെ സമവാക ം (x − a)2 + (y − b)2 = r2

1) ഒ ിെ േക ം (3, 2), ആരം1ആയാൽ

a) ിെ സമവാക ം എ ക

b) േക ി െട xഅ ിന് സമാ രമായ വ ാസ ിെ അ ബി െട ചകസംഖ കൾ
െട ചകസംഖ കൾ
എക സമച ര ിെ ള ം

c) േക ി െട yഅ ിന് സമാ രമായ വ ാസ ിെ അ ബി
എക

d) ഈ ര ് ലംബവ ാസ െട ം അ ൾ മ ിൽ േചർ വര

പര ള ം കണ ാ ക

Answers

a) (x − 3)2 + (y − 2)2 = 12
x2 − 6x + 9 + y2 − 4y + 4 = 1, x2 + y2 − 6x − 4y + 12 = 0

b) ചി ം േനാ ക

AB എ വര xഅ ിന് സമാ രമാണ് . മധ ബി (3, 2).
A(2, 2), B(4, 2)

c) CD എ വര y അ ിന് സമാ രം . മധ ബി (3, 2).

C(3, 3), B(3, 1)

d) വികർ ം 2ആയതിനാൽ വശം = √2 √ ളവ് = √22 = 2, √
12 = 2. പര ളവ് = 4 2

2) (x−3)2 +(y −4)2 = 1, (x+3)2 +(y −4)2 = 1, (x+3)2 +(y +4)2 = 1, (x−3)2 +(y +4)2 =
1എ ീ സമവാക ൾ പരിഗണി ക

a) ചകാ െട സഹായ ാൽ ഏകേദശചി ം വര ക

b) േക ൾ േയാജി ി വരക െട സമവാക ം എ ക

c) ഈ വരകൾ േചർ ാ ജ ാമിതീയ പ ിെ ഏ ം ഉചിതമായ േപെര ക

d) ഈ ജ ാമിതീയ പ ിെ പര ളവ് കണ ാ ക

Answers ൾ A(3, 4), B(−3, 4), C(−3. − 4), D(3, −4)
a) േക

b) A, B എ ീ ബി ളി െട കട േപാ വര y = 4 വര െട ം
B ,Cഎ ീ ബി ളി െട കട േപാ വര x = −3
C , D എ ിവയി െട കട േപാ വര y = −4
A , D എ ിവയി െട കട േപാ വര x = 3
A , C എ ിവയി െട വര െട ം , B , D എ ിവയി െട
സ യം എ ക. )

c) Rectangle.

d) AB =| 3 −− 3 |= 6, AD =| 4 −− 4 |= 8. പര ളവ് = 6 × 8 = 48, ളവ് = 28.

3) ഒ ിെ വ ാസ ിെ അ ബി ൾ (−3, 7), (7, 13)ആയാൽ

a) േക ിെ ചകസംഖ കൾ എ ക
b) ിെ വ ാസം എ ?
c) ഈ
ിെ സമവാക ം എ ക.

2

Answers

a) േക ം ( −3+7 , 7+13 )
2 2

േക ം (2, 10)

√ √ √√
b) വ ാസം = (7 −− 3)2 + (13 − 7)2 = 102 + 62 = 136 = 2 34

c) ആരം √ 34.
ിെ
സമവാക ം (x − 2)2 + (y − 10)2 = √342

x2 − 4x + 4 + y2 − 20y + 100 − 34 = 0

x2 + y2 − 4x − 20y + 70 = 0

4) ഒ ിെ വ ാസാ ൾ(−1, 2), (3, 2)ആയാൽ

a) േക ിെ ചകസംഖ കൾ എ ക
b) ിെ സമവാക ം എ ക
c) ം xഅ െ െതാ ബി ഏത് ?
d) ം yഅ െ ഖ ി് ബി ൾ ഏെത ാം?

Answers

a) C(1, 2)

b) ിെ ആരം 2
സമവാക ം (x − 1)2 + (y − 2)2 = 22,
x2 − 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 4, x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0

c) x അ ിൽ , y = 0. x2 +02 −2x−4×0+1 = 0, x2 −2x+1 = 0, (x−1)2 =

0, x = 1

ഈ ര ാം തി സമവാക ിന് ഒ പരിഹാരം മാ േമ .xഅ ം ിെ

െതാ വരയാണ് .െതാ ബി (1, 0)

d) y അ ിൽ , x = 0 √√
സമവാക ം y2 − 4y√+ 1 = 0. പ√രിഹാരം ക ാൽ , y = 2 + 3, y = 2 − 3

ബി ൾ (0, 2 + 3) ,(0, 2 − 3)

5) ഒ ിെ വ ാസ ിെ അ ൾ(4, 2), (2, 4)ആയാൽ

a) േക ം ആര ം കണ ാ ക

b) ിെ സമവാക ം എ ക

c) (4, 2) െട െതാ വരxഅ ിെ േപാസി ീവ് ദിശ മായി45◦േകാൺ പീകരി .
വര െട സമവാക ം എ ക

d) െതാ വര xഅ െ ഖ ി ബി വിെ ചകസംഖ കൾ എ ക

3

Answers

a) Centre√(3, 3), √
ആരം (4 − 3)2 + (2 − 3)2 = 2

b) (x − 3)2 + (y − 3)2 = √22, x2 − 6x + 9 + y2 − 6y + 9 = 2
x2 + y2 − 6x − 6y + 16 = 0

c) െതാ വര െട ചരിവ് tan 45◦ = 1
y−2
സമവാക ം x−4 = 1, y − 2 = x − 4, x − y = 2

d) x അ ിൽ y = 0, x = 2 . ബി (2, 0)

1

1Prepared by John P.A, mob- 9847307721, email- [email protected], [email protected]

4

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ജ ാമിതി ം ബീജഗണിത ം

Concepts

⋆ ആധാരബി േക മായ , ആരംrആയ ിെ സമവാക ംx2 + y2 = r2

⋆ േക ം(a, b)ആരം rആയ ിെ സമവാക ം (x − a)2 + (y − b)2 = r2

1) x2 + y2 − 6x − 10y − 15 = 0 എ സമവാക ം പരിഗണി ക

a) ഈ സമവാക െ (x − a)2 + (y − b)2 = r2എ തര ിെല ക

b) േക ം ആര ം കണ ാ ക

c) ഈ ിെല നാല് ബി െട ചകസംഖ കൾ എ ക

Answers

a) x2 + y2 − 6x − 10y − 15 = 0 → x2 + y2 − 6x − 10y = 15
x2 + y2 − 6x − 10y = 15, x2 − 6x + 32 + y2 − 10y + 52 = 15 + 32 + 52
(x − 3)2 + (y − 5)2 = 49
(x − 3)2 + (y − 5)2 = 72.

b) േക ം (3, 5), ആരം = 7

c) xഅ ിന് സമാ രമായി വ ാസം വര ക.ഈ വ ാസ ിെ അ ബി ൾ

ിെല ബി ളാണ് ..

ഇവ A(3 − 7, 5), B(3 + 7, 5) → A(−4, 5), B(10, 5)

ഇ േപാെല yഅ ിന് ലംബമായ വ ാസ ിെ അ ൾ ിെല

ബി ളാണ്

C(3, 5 + 7), D(3, 5 − 7) → C(3, 12), D(3, −2)

2) x2 + y2 − 6x − 10y + 9 = 0എ സമവാക ം പരിഗണി ക ിന് സമാ രമായ

a) ഈ സമവാക െ (x − a)2 + (y − b)2 = r2എ തര ിെല ക
b) ിെ േക ം ആര ം എ ക
c) ംxഅ െ െതാ ബി ഏത് ?
d) xഅ ി് സമാ രമായ വ ാസ ിെ അ ബി െട ം yഅ

വ ാസ ിെ ം അ ബി െട ചകസംഖ കൾ എ ക

1

Answers

a) x2 + y2 − 6x − 10y + 9 = 0 → x2 + y2 − 6x − 10y = −9
x2 − 6x + 32 + y2 − 10y + 52 = −9 + 32 + 52
(x − 3)2 + (y − 5)2 = 52

b) േക ം (3, 5), ആരം 5

c) xഅ ിെല ബി വിൽ , y = 0
(x − 3)2 = 52 − 52, x − 3 = 0, x = 3. x അ െ െതാ ബി (3, 0)

d) xഅ ിന് സമാ രമായABഎ വ ാസ ിെ അ ൾ . A(3 − 5, 5) →
A(−2, 5), B(3 + 5, 5) → A(8, 5) അ ബി ൾ .
yഅ ിന് സമാ രമായ CDഎ വ ാസ ിെ
C(3, 5 + 5) → A(3, 10), D(3, 0) → D(3, 0)

3) x2 + y2 + 6x + 8y = 0എ സമവാക ം പരിഗണി ക

a) ഈ സമവാക െ (x − a)2 + (y − b)2 = r2എ തര ിെല ക
b) ിെ േക ം ആര ം എ ക
c) ചകാ െള ം ഖ ി ബി ൾ കണ ാ ക
d) ആധാരബി വിൽ നി ം േക ിേല അകലെമ ?

Answers

a) x2 + 6x + 32 + y2 + 8y + 42 = 0 + 32 + 42
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 52, (x −− 3)2 + (y −− 4)2 = 52

b) േക ം (−3, −4) ,ആരം 5

c) xഅ െ ഖ ി േ ാൾ y = 0
(x + 3)2 + (0 + 4)2 = 25, (x + 3)2 = 9, x + 3 = 3 or −3
If x + 3 = 3, x = 0, If x + 3 = −3, x = −6
xഅ ിെല ബി ൾ (0, 0) and (−6, 0)
ം yഅ െ ഖ ി േ ാൾ ,x = 0
(0 + 3)2 + (y + 4)2 = 25, (y + 4)2 = 16, y + 4 = 4 or −4
If y + 4 = 4, y = 0, (y + 4 = −4, y = −8
yഅ ിെല ബി ൾ (0, 0) and (0, −8)

√
d) അകലം = 32 + 42 = 5

4) ഒ ിെ േക ം (3, 0) ആരം 6

a) ിെ സമവാക ം എ ക. ാം.
b) ംxഅ െ ഖ ി ബി ൾ ഏെത ാം ?
c) (0, 5)ഈ
ിെല ബി വാേണാ? എ െന മനസിലാ

2

Answers

a) (x − 3)2 + (y − 0)2 = 62, x2 − 6x + 9 + y2 = 36, x2 + y2 − 6x − 27 = 0

b) ം xഅ െ ഖ ി േ ാൾ , y ജ ം .(x − 3)2 = 36, x − 3 = 6, x = 9.

ബി ൾ (9, 0), (−3, 0)

yഅ െ + ഖ ി േ ാൾ . x = 0. √ Points are √ √
(0 − 3)2 y2 = 36, y2 = 27, y = ±3 3. (0, 3 3), (0, −3 3)

c) x2 + y2 − 6x − 27 = 0 , 02 + 52 − 6 × 0 − 27= 25 − 27 ≠ 0. ിെല
ബി അ .

√
5) ഒ ിേകാണ ിെ ശീർഷ ൾ (4, 2), (8, 2), (6, 2 3 + 2).

a) ഏത് തരം ിേകാണമാണ് ?

b) പരി േക ിെ ചകസംഖ കൾ എ ക

c) പരി ിെ ആരെമ ?

Answers

a) A(4, 2), B(8, 2), C(6, 2)

A√B എ വര x അ ിന് സമാ രം . AB =| 8 − 4 |= 4, AC =
√ √
(6 − 4)2 + (2 3 + 2 − 2)2 = 22 + 12 = 4, BC = 4. സമ ജ ിേകാണം

b) സമ ജ ിേകാണം ആയതിനാൽ പരി േക ം മധ മേക ം ഒ തെ യാണ്

.ന വരെയ മധ മബി 2 : 1എ അംശബ √ ിൽ ഭാഗി .
6+2 3.
AB െട മധ ബി (6, 2).മധ മേക ം 6, 2

c) ആരം = 2 √ √4
3 ×2 3= 3

റി ് :സമ ജ ിേകാണ ിെ വശംaആയാൽ പരി ആരം √a . r = √4

33

1

1Prepared by John P.A, mob- 9847307721, email- [email protected], [email protected]

3

10

Polynomials

ബഹുപദങ്ങൾ

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ബ പദ ൾ

Concepts

⋆ p(x)എ ബ ജം q(x), r(x)എ ീ ര ് ബ ജ െട
ണനഫലമായി എ തിയാൽ q(x), r(x)എ ിവ p(x)െ

ഘട ളാണ് .

⋆ (x − a)എ ഒ ാം തി ബ പദം p(x)എ ബ പദ ിെ
ഘടകമായാൽ സമവാക ിെ
p(a) = 0ആയിരി ം. ടാെതp(x) = 0എ
പരിഹാരമായിരി ംa.

⋆ p(x) = (x − a1)(x − a2)(x − a3) · · · (x − an)എ
തര ിൽ ഒ ാം തി ബ പദ െട ണനഫലമായി എ തിയാൽ
a1, a2, a3 · · · anഎ ീ സംഖ കൾ p(x) = 0 എ സമവാക ിെ
പരിഹാര ളായിരി ം.

⋆ p(x)എ ബ പദ ിൽ p(a) = 0ആയാൽ p(x)െ
ഘടകമായിരി ംx − a.

1) ഒ ച ര ിെ വശ ൾ(x − 3), (x + 1)വീതമായാൽ

a) a(x)എ പര ളവ് കണ ാ ക
b) x = 4ആ േ ാൾ പര ളവ് എ ?
c) x = 0ആയാൽ ച രം ഉ ാ േമാ? എ െകാ ് ?
d) ച ര ാ തിന് x അ സരിേ വ വ എ ് ?

Answers
a) a(x) = (x − 3)(x + 1) = x(x + 1) − 3(x + 1) = x2 − 2x − 3

b) x = 4ആയാൽ a(4) = 42 − 2 × 4 − 3 = 16 − 8 − 3 = 5

c) x = 0ആയാൽ വശ ിെ നീളം ന നസംഖ ആ .
സമച രം ഉ ാ ി

1

d) x > 3 ആയിരി ണം .

2) ഒ ച രെ ി െട വശ ൾ x − 1, x + 2, x + 3വീതമാണ്.

a) വ ാ ംv(x)കണ ാ ക
b) x = 2ആയാൽ വ ാ ം എ ?
c) x = 1ആ വിധം ച രെ ി ഉ ാ േമാ? എ െകാ ് ?
d) ച രെ ി ഉ ാ തിന് x അ സരിേ വ വ എ ് ?

Answers
a) v(x) = (x − 1)(x + 2)(x + 3)
v(x) = (x2 + x − 2)(x + 3) = x3 + 4x2 + x − 6
b) v(2) = 23 + 4 × 22 + 2 − 6 = 8 + 16 + 2 − 6 = 20

c) x = 1ആയാൽ വശം ിെ നീളം0ആ . െപ ി
നിർ ി ാൻ സാധ മ

d) x > 1

3) ഒ ച ര ിെ വീതി , നീളം , വികർ ിെ നീളം എ ിവ 1 വീതം
വ ത ാസെ ിരി .

a) വീതി xആയാൽ നീള ം , വികർ ിെ നീള ം എ വീതമാണ്?
b) ഇവെയ ത ിൽ ബ ി ി ് p(x) = 0എ തര ിൽ ഒ സമവാക ം

എക
c) സമവാക ിെ പരിഹാര ൾ കണ ാ ക
d) ച ര ിെ നീളം വീതി വികർ ം എ ിവ എ ക

Answers
a) വീതിxആയാൽ നീളംx + 1, വികർ ംx + 2

b) (x + 2)2 = x2 + (x + 1)2, x2 + 4x + 4 = x2 + x2 + 2x + 1,

x2 − 2x − 3 = 0

√
−b± b2−4ac
c) x =
2a √
x = −(−2)± (−2)2−4×1×−3
2

x = 3, −1

d) ച ര ിെ വശം x = 3. വീതി3, നീളം4,വികർ ം5

4) p(x) = x2 − 7x + 12 എ ര ാം തി ബ പദം പരിഗണി ക

2

a) p(x) = (x−a)(x−b)എ തര ിെല തിയാൽa, bഎ ിവ കണ ാ ക
b) p(x)െന ര ് ഒ ാം തി ബ പദ െട ണനഫലമായി എ ക
c) p(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാരം കാ ക

Answers

a) x2 − 7x + 12 = (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab
a + b = 7, ab = 12

(a − b)2 = (a + b)2 − 4ab
(a − b)2 = (7)2 − 4 × 12 → a − b = ±1

a − b = 1ആയാൽ, a − b = 1, a + b = 7 → 2a = 8, a =

4, b = 3

(a − b = −1എെ ് െച േനാ .)

b) p(x) = (x − 4)(x − 3)

c) p(x) = 0 → (x − 4)(x − 3) = 0
x = 3, 4

5) p(x) = x3 − 4x2 + 2x + kഎ ബ പദം പരിഗണി ക

a) xഈ ബ പദ ിെ ഘടകമാകാകാൻ kഎ യായിരി ണം? ക
b) x−1എ ഒ ാം തി ബ പദം p(x)െ ഘടകമായാൽ kകണ ാ
c) x − 1ഘടകമാ k വില നൽകി ബ പദം എ ക
d) ഈ ബ പദ ിെ ഘടകമാേണാ x + 1എ ് പരിേശാധി ക

Answers
a) k = 0

b) x − 1 = 0ആയാൽ p(1) = 0
13 − 4 × 12 + 2 × 1 + k = 0, k = 1

c) p(x) = x3 − 4x2 + 2x + 1

d) p(−1) = (−1)3 − 4(−1)2 + 2(−1) + 1 = −1 − 4 − 2 + 1 ̸= 0
x + 1 ഒ ഘടകമ .

1
1Prepared by John P.A, mob- 9847307721, email- [email protected], [email protected]

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ബ പദ ൾ

Concepts

⋆ p(x)എ ബ ജം q(x), r(x)എ ീ ര ് ബ ജ െട ണനഫലമായി എ തിയാൽ
q(x), r(x)എ ിവ p(x)െ ഘട ളാണ് .

⋆ (x − a)എ ഒ ാം തി ബ പദം p(x)എ ബ പദ ിെ ഘടകമായാൽ p(a) =
0ആയിരി ം. ടാെതp(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാരമായിരി ംa.

⋆ p(x) = (x − a1)(x − a2)(x − a3) · · · (x − an)എ തര ിൽ ഒ ാം തി ബ പദ െട
ണനഫലമായി എ തിയാൽ a1, a2, a3 · · · anഎ ീ സംഖ കൾ p(x) = 0 എ സമവാക ിെ

പരിഹാര ളായിരി ം.

⋆ p(x)എ ര ാം തി ബ പദ ിൽ p(a) = 0ആയാൽ p(x)െ ഘടകമായിരി ംx − a.,

1) p(x) = x2 − 8x + 12എ ബ പദം പരിഗണി ക െട ണനഫലമായി എ ക

a) p(x) = (x − a)(x − b)ആയാൽ a + b, abഎ ിവ എ ?
b) a, bഎ ിവ കണ ാ ി p(x)െന ര ് ഒ ാം തി ബ പദ
c) p(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാരം കാ ക

Answers

a) x2 − 8x + 12 = (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab,a + b = 8, ab = 12

b) (a − b)2 = (a + b)2 − 4ab
(a − b)2 = 82 − 4 × 12 = 16, a − b = 4.
a + b = 8, a − b = 4 → 2a = 12, a = 6, b = 2
p(x) = (x − 6)(x − 2)

c) p(x) = 0 → (x − 6)(x − 2) = 0, x = 6, x = 2

2) p(x) = x3 − 4x2 + 6x − kആയാൽ

a) x − 1 എ ഒ ാം തി ബ പദം p(x)െ ഘടകമാ kവില എ ?
b) ബ പദം എ ക. ഈ ബ പദ ിെ ഘടകമാേണാ x + 1എ ് പരിേശാധി ക
c) x − 1ഘടകമായ ബ പദ െട േണാ ര െട ക െട േത കത എ ് ?
d) x − 1ഘടകമായ ് ബ പദ ൾ എ ക

Answers

a) (x − 1)ഘടകമായാൽ p(1) = 0ആയിരി ം.
13 − 4 × 12 + 6 × 1 − k = 0, 1 − 4 + 6 − k = 0, k = 3

b) p(x) = x3 − 4x2 + 6x − 3
p(−1) = (−1)3 − 4 × (−1)2 + 6 × (−1) − 3 = −1 − 4 − 6 − 3 = −14 ̸= 0

p(−1) ≠ 0ആയതിനാൽ (x + 1)ഘടകമ .

c) (x − 1)ഘടകമായ ബ പദ ിെ ണക െട ക0ആയിരി ം.

d) ണക െട ക ജ മായ ഏത് ബ1 പദ മാകാം.
x3 − x2 + x − 1,2x3 − 4x2 + 5x − 3, x3 − 4x2 + 2x + 1

3) p(x) = x3 + 1 , q(x) = x3 + x2 + x + 1എ ബ പദ ൾ പരിഗണി ക

a) p(−1), q(−1)എ ിവ കണ ാ ക ാം തി ബ പദം എ ക
b) ര ് ബ പദ ൾ ം െപാ വായ ഒ
c) r(x) = p(x) + q(x)കണ ാ ക
d) r(x)െ ഒ ാം തി ഘടകം ഏത് ?

Answers

a) p(−1) = (−1)3 + 1 = −1 + 1 = 0
q(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0

b) p(−1) = 0, q(−1) = 0. അതിനാൽ (x − 1)ര ് ബ പദ െട ം ഘടകമായിരി ം.
െപാ ഘടകം(x − 1)

c) r(x) = (x3 + 1) + (x3 + x2 + x + 1) = 2x3 + x2 + x + 2

d) r(−1) = 2(−1)3 + (−1)2 + (−1) + 2 = −2 + 1 − 1 + 2 = 0
r(x)െ ഒ ാം തി ഘടകമാണ് x + 1

4) p(x) = a3 + bx2 + cx + dഎ ബ പദ ിെ ഘടകമാണ് x2 − 1എ ിൽ

a) p(1), p(−1)എ ിവ എ ? ക
b) a = −c, b = −dഎ ് ാപി ക
c) x2 − 1ഘടകമായ ഒ ബ പദം എ

Answers

a) x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
p(x)െ ഘടക ളാണ് (x − 1), (x + 1)
അതിനാൽp(−1) = 0, p(1) = 0

b) p(1) = 0 → a + b + c + d = 0
p(−1) = 0 → a − b + c − d = 0, a + c = b + d
a + b + c + d = 0 → 2(a + c) = 0, a + c = 0, a = −c, b = −d

c) a = −c, b = −d എ വ വ അ സരി ax3 + bx2 + cx + dഎ ബ പദം

എ തി്യാൽ മതി. ഉദാഹരണം3x3 − 4x2 − 3x + 4

5) p(x) = x3 − 8 ആയാൽ

a) x − 2ഈ ബ പദ ിെ ഘടകമാേണാ?
b) x3 − 27െ ഒ ാം തി ഘടകം എ ക
c) x3 − 27െ ര ാം തി ഘടകം എ ക

2

Answers

a) p(2) = 23 − 8 = 8 − 8 = 0 ാം തിയി
x − 2എ ബ പദം p(x)െ ഘടകമാണ്

b) q(x) = x3 − 27ആയാൽq(3) = 33 − 27 = 27 − 27 = 0
x − 3 എ ത് x3 − 27െ ഘടകമാണ്

c) x3 − 27 = x3 − 33 = (x − 3)(ax2 + bx + c)എെ താം.ax2 + bx + cര
ഘടകമാണ് .

x3 − 27 = (x − 3)(ax2 + bx + c
x(ax2 + bx + c) − 3(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx − 3ax2 − 3bx − 3c =
ax3 + (b − 3a)x2 + (c − 3b)x − 3c

ണക െള ലനം െച ാൽ a = 1, (b − 3a) = 0, (c − 3b = 0), −27 = −3c, c = 9

c − 3b = 0 → 9 − 3b = 0, b = 3,
ര ാം തി ഘടകംx3 + 3x + 9

1

1Prepared by John P.A, mob- 9847307721, email- [email protected], [email protected]

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ബ പദ ൾ

Concepts

⋆ p(x)എ ബ പദം q(x), r(x)എ ീ ര ് ബ പദം ണനഫലമായി എ തിയാൽ
q(x), r(x)എ ിവ p(x)െ ഘട ളാണ് .

⋆ (x − a)എ ഒ ാം തി ബ പദം p(x)എ ബ പദ ിെ ഘടകമായാൽ p(a) =
0ആയിരി ം. ടാെതp(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാരമായിരി ംa.

⋆ p(x) = (x − a1)(x − a2)(x − a3) · · · (x − an)എ തര ിൽ ഒ ാം തി ബ പദ െട
ണനഫലമായി എ തിയാൽ a1, a2, a3 · · · anഎ ീ സംഖ കൾ p(x) = 0 എ സമവാക ിെ

പരിഹാര ളായിരി ം.
⋆ p(x)എ ര ാം തി ബ പദ ിൽ p(a) = 0ആയാൽ p(x)െ ഘടകമായിരി ംx − a.,

1) p(x) = 3x2 + 4x + 1എ സമവാക ം പരിഗണി ക

a) p(x)െന ര ് ഒ ാം തി ബ പദ െട ണനഫലമായി എ ക
b) p(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാര ൾ എ ക

Answers

a) p(x) = 3x2+4x+1 = k(x−a)(x−b) = k(x2−(a+b)x+ab) = kx2−k(a+b)x+kab

k = 3, a +b = − 4 , ab = 1
(a − b)2 3 3
= (a + b)2 − 4ab → −4 )2 − 1 4
( 3 4 3 = 9

a − b = 2
a − b =
3 −4 −−31−,3b1
2 3 → = −1
3 , a + b = a = )(x −−

p(x) = k(x − a)(x − b) → 3(x 1) = 3( 3x+1 )(x + 1) = (x + 1)(3x + 1)
3

b) x + 1 = 0 → x = −1, 3x + 1 = 0 → x = −1
3

2) p(x) = x3 + 4x2 + x − 7 എ ബ പദം പരിഗണി ക

a) ഈ ബ പദ ിെ ഘടകമാേണാx − 1എ ് പരിേശാധി ക

b) ഘടകമെ ിൽ p(x)ൽ നി ം ഏത് സംഖ റ ാൽ x − 1ഘടകമായ q(x)എ ബ പദം കി ം ?

c) q(x)എ ബ പദെ ് ഒ ാം തി ബ പദ െട ണനഫലമായി എ ക

d) q(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാര ൾ കണ ാ ക

1

Answers

a) p(1) = 13 + 4 × 12 + 1 − 7 = 6 − 7 = −1 ≠ 0
x − 1ഘടകമ .

b) p(1) = −1ആയതിനാൽ p(x)ൽ നി ം−1 റ ാൽ (x − 1)ഘടകമായ ബ പദം കി ം.
q(x) = x3 + 4x2 + x − 6

c) x3 + 4x2 + x − 6 = (x − 1)(ax2 + bx + c)എെ താം .
ഇ വശെ ം ിരസംഖ കൾ ലനം െച ാൽ −6 = −c, c = 6
ഇ വശെ ം xെ ണക ൾ ലനം െച ാൽ 1 = c − b → 1 = 6 − b, b = 5
ഇ വശ ം x2െ ണക ൾ ലനം െച ാൽ −a + b = 4, −a + 5 = 4, a = 1
ax2 + bx + c = x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
q(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)

d) q(x) : (x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0, x = −1, −2, −3എ ിവയാണ് പരിഹാര ൾ

3) x2−20x+91എ ര ാം തി ബ പദം പരിഗണി ക.ഈ ബ പദം ച ര ിെ പര ളവാണ്.വശ ൾ
ഒ ാം തി ബ പദ ളാണ്.

a) വശ ളാ ബ പദ ൾ കണ ാ ക
b) ച രം പെ തിന് അ സരിേ വ വ എ ് ?
c) ഈ ച ര ിെ ളവിെന ചി ി ബ പദം എ ക

Answers

√
p(x) : x2 − 20x + 91 = 0ആയാൽ x = −b± b2 −4ac
a) 2a

x = 13, 7

p(x) = (x − 7)(x − 13)

വശ ൾ x − 7, x − 13

b) വശ ിെ നീളം0േ ാൾ തലായിരി ണം .x − 13 > 0 → x > 13

c) ളവ് = 2(x − 13 + x − 7) = 2(2x − 20) = 4x − 40

4) x3 +2x2എ ബ പദേ ാട് ഒ ഒ ാം തി ബ പദം േ ാൾ x2 −1ഘടകമായ p(x)എ ബ പദം
കി

a) p(x)െ ര ് ഒ ാം തി ഘടക ൾ ഏെത ാം?
b) േ ഒ ാം തി ബ പദം ഏത് ?
c) p(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാര ൾ കണ ാ ക

Answers

a) x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)ആയതിനാൽ p(x)െ ര ് ഒ ാം തി ഘടക ൾ x − 1, x +
1ആണ് .

b) േ ഒ ാം തി ബ പദം ax + bആയാൽ p(x) = x3 + 2x2 + ax + b
(x − 1)ഘടകമായതിനാൽ ണക െട ക 0.
1 + 2 + a + b = 0, a + b = −3
x − 1ഘടകമായതിനാൽp(−1) = 0
−1 + 2 − a + b = 0, a − b = 1
a + b = −3, a − b = 1 → 2a = −2, a = −1, b = −2
േ പദം ax + b = −x − 2
p(x) = x3 + 2x2 − x − 2

c) ഒ ഘടകംx2 − 1ആണ് . ഇത് ര ാം തി ഘടകമാണ് . അ ഘടകംpx + qആയാൽ
x3 + 2x2 − x − 2 = (x2 − 1)(px + q)
q = 2, p = 1എ ് ണക െള ലനം െച ാൽ കി ം. ാം ഘടകം x + 2

2

5) p(x) = x2 + 4x + kഎ ബ പദം പരിഗണി ക

a) k = 0ആയാൽ p(x)െ ഒ ാം തി ഘടക ൾ എ ക

b) k = 4ആ േ ാ ഘടക ൾ ഏെത ാം?

c) p(x)ന് ര ് ഒ ാം തി ഘടക ാകാൻ k െട ഏ ം ടിയ വിലെയ ?

Answers

a) k = 0ആയാൽ p(x) = x2 + 4x. ഒ ഘടകം x മേ ഘടകം x + 4

b) x = 4ആയാൽ x2 +4x+k = x2 +4x+4 = (x+2)(x+2).ഘടക ൾ ര ം x+2ആണ്

c) p(x) = x2 + 4x + kഎ ത് ര ് ഒ ാം തി ബ പദ െട ണനഫലമായി ക ക .
ഇവ(x − a), (x − b)ആയാൽ x2 + 4x + k = (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab
a + b = −4, ab = kഎെ താം. (a − b)2 = 42 − 4kഎ ാ . kഎ ത് 4ൽ
ടിയാൽ (a − b)2എ ത് ന നസംഖ യാ .ഇത് അർ ർ മ . അതിനാൽkഎ ത്
4 അെ ിൽ 4 ൽ റവാകണം .

1

1Prepared by John P.A, mob- 9847307721, email- [email protected], [email protected]

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ബ പദ ൾ

Concepts

⋆ p(x)എ ബ പദം q(x), r(x)എ ീ ര ് ബ പദ െട ണനഫലമായി എ തിയാൽ
q(x), r(x)എ ിവ p(x)െ ഘട ളാണ് .

⋆ (x − a)എ ഒ ാം തി ബ പദം p(x)എ ബ പദ ിെ ഘടകമായാൽ p(a) =
0ആയിരി ം. ടാെതp(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാരമായിരി ംa.

⋆ p(x) = (x − a1)(x − a2)(x − a3) · · · (x − an)എ തര ിൽ ഒ ാം തി ബ പദ െട
ണനഫലമായി എ തിയാൽ a1, a2, a3 · · · anഎ ീ സംഖ കൾ p(x) = 0 എ സമവാക ിെ

പരിഹാര ളായിരി ം.

⋆ p(x)എ ര ാം തി ബ പദ ിൽ p(a) = 0ആയാൽ p(x)െ ഘടകമായിരി ംx − a.,

1) p(1) = p(−2) = p(0) = 0ആയ p(x)എ ഒ ാം തി ബ പദം എ ക

a) നി ൾ എ തിയ ബ പദ ിെ ഒ ാം തി ഘടക ൾ ഏെത ാം?
b) എ തിയ ബ പദേ ാട് ഏത് സംഖ ിയാൽ x + 1ഘടകമായ ബ പദം കി ം

Answers

a) p(1) = 0ആയതിനാൽx − 1ഘടകമാണ് . p(−2) = 0ആയതിനാൽx + 2ഘടകമാണ് .
p(0) = 0ആയതിനാൽ xഒ ഘടകമാണ്.
p(x) = x(x − 1)(x + 2), p(x) = x3 + x2 − 2x ഒ ാം തി ഘടക ൾ x − 1, x + 2, x

b) x + 1ഘടകമായാൽ p(−1) = 0ആയിരി ം.
p(−1) = (−1)3 + (−1)2 − 2 × (−1) = −1 + 1 + 2 = 2 ̸= 0. അതിനാൽ p(x)ൽ നി ം
−2 ിയാൽ കി ബ പദ ിെ ഘടകമാണ് x + 1.

2) p(x) = 4x2 − 16x + 15എ ബ പദം പരിഗണി ക

a) p(x)െന (x − a)(x − b)എെ തിയാൽ a + b, abഎ ിവ എ വീതമാണ്
b) a − bകണ ാ ക ക
c) p(x)െന ര ് ഒ ാം തി ബ പദ െട ണനഫലമായി എ
d) p(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാരം കണ ാ ക

Answers

a) 4x2 − 16x + 15 = k(x − a)(x − b) = k(x2 − (a + b)x + ab) = kx2 − k(a + b)x + kab

x2 ണക ൾ ലനം െച ാൽk = 4

16 = k(a + b) → a+ b = 16 = 4
4
→ 15
kab = 15 ab = 4

b) (a − b)2 = (a + b)2 − 4ab = 42 − 4 × 15 = 1, a − b = 1
4

c) a + b = 4, a − b = 1 → 2a = 5, a = 522x,2−b 3=) 3

p(x) = 4(x − 5 )(x − 3 ) = 4( 2x−5 )( 2 (2x − 5)(2x − 3)
2 2 2
=

d) p(x) = 0 → 2x − 3 = 0, x = 3 .2x −1 5 = 0 → x = 5
2 2

3) p(x) = xn + 1എ ബ പദം പരിഗണി ക

a) x+1ഈ ബ പദ ിെ ഘടകമാകാൻ nസ ീകരിേ എ ൽ സംഖ ാവിലക െട േത കതെയ ്
?

b) x − 1ഘടകമാകാൻ nന് അ േയാജ മായ വില ഉ ാ േമാ

c) x2 − 1ഘടകമാ വിധം nഉ ാ േമാ? എ െകാ ് ?

Answers

a) nഒ സംഖ ആയിരി ണം .nഒ സംഖ ആയാൽp(−1) = (−1)n + 1 = −1 + 1 = 0.
അേ ാൾ (x + 1)ഘടകമായിരി ം.

b) nഒ സംഖ ആയാ ം ഇര സംഖ ആയാ ം P (1) ̸= 0. അതിനാൽx − 1ഘടകമാ
nഉ ായിരി കയി .

c) x2 − 1 = (x + 1)(x − 1).
x + 1ഉം x − 1ഉം ഘടകമാ nഉ ായിരി യി . അതിനാൽ x2 − 1ഘടകമാകി .

4) p(x) = x2 + 6x + kഎ ബ പദം പരിഗണി ക

a) k = 0ആയാൽ ഈ ബ പദ ിെ ര ് ഒ ാം തി ഘടക ൾ ഏെത ാം?
b) ര ് ഒ ാം തി ഘടക ം ഒേര ബ പദമാകാൻ kസ ീകരിേ വിലെയ ?
c) ഒ ാം തി ഘടക ൾ ഉ ാകാതിരി ാൻ kസ ീകരിേ വിലകൾ ഏെത ാം?
d) k = 8ആയാൽ ബ പദ ിെ ഒ ാം തി ഘടക ൾ ഏെത ാം?

Answers

a) k = 0ആയാൽ p(x) = x2 + 6x → x(x + 6), ഒ ാം തി ഘടക ൾ x, x + 6

b) x2 + 6x + k = x2 + 2 × 3 × x + 32ആയാൽ (x + 3)2എെ താം. ഇതിനായി k =
9ആയിരി ണം . അേ ാൾ ഒ ാം തി ഘടക ളായി x + 3, x + 3എ ിവ കി ം.

c) x2 + 6x + k = (x − a)(x − b)എെ തിയാൽ a + b = −6, ab = k ാം തി
(a − b)2 = (a + b)2 − 4ab → (a − b)2 = (−6)2 − 4 × k
(a − b)2 = 36 − 4k.
k > 9ആയാൽ (a − b)2ന നസംഖ യാ ം. അത് സാധ മ . അതിനാൽ ഒ

ഘടക ൾ ഇ ാതിരി ാൻ k > 9ആകണം .

d) k = 8ആയാൽp(x) = x2 + 6x + 8 = x2 + 4x + 2x + 8 = x(x + 4) + 2(x + 4) =
(x + 4)(x + 2)
ഒ ാം തി ഘടക ൾ(x + 4), (x + 2)

5) p(x)= ax2 − 2bx + cഎ ബ പദം പരിഗണി ക

a) x − 1ഈ ബ പദ ിെ ഘടകമായാൽ a, b, cസമാ രേ ണിയിലാെണ ് ാപി ക
b) a, b, cസമാ രേ ണിയിൽ വ ര ് ബ പദ ൾ എ ക
c) x2 − 1എ ത് p(x)െ ഘടകമായാൽ a + cഎ ?

2

Answers

a) x − 1ഘടകമായാൽp(1) = 0.
a × 12 − 2b × 1 + c = 0, a − 2b + c = 0

a + c = 2b, a + c = b + b → b − a = c − b → a, b, cസമാ രേ ണിയിലാണ് .

b) a = 4, b = 3, c = 2ആയാൽ 4x2 − 6x + 2.

c) x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), അതായത് x − 1, x + 1എ ിവ ഘടക ളാണ് .p(1) = 0 →
a − 2b + c = 0
p(−1) = 0 → a + 2b + c = 0
ഈ സമവാക ൾ ിയാൽ 2a + 2c = 0, a + c = 0

1

1Prepared by John P.A, mob- 9847307721, email- [email protected], [email protected]

3

2020-21 Academic year Worksheets

Mathematics X
ബ പദ ൾ

Concepts

⋆ p(x)എ ബ പദം q(x), r(x)എ ീ ര ് ബ പദ െട ണനഫലമായി എ തിയാൽ
q(x), r(x)എ ിവ p(x)െ ഘട ളാണ് .

⋆ (x − a)എ ഒ ാം തി ബ പദം p(x)എ ബ പദ ിെ ഘടകമായാൽ p(a) =
0ആയിരി ം. ടാെതp(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാരമായിരി ംa.

⋆ p(x) = (x − a1)(x − a2)(x − a3) · · · (x − an)എ തര ിൽ ഒ ാം തി ബ പദ െട
ണനഫലമായി എ തിയാൽ a1, a2, a3 · · · anഎ ീ സംഖ കൾ p(x) = 0 എ സമവാക ിെ

പരിഹാര ളായിരി ം.

⋆ p(x)എ ര ാം തി ബ പദ ിൽ p(a) = 0ആയാൽ p(x)െ ഘടകമായിരി ംx − a.,

1) p(x) = x3 + 4x2 + x − 6എ ബ പദം പരിഗണി ക ക

a) p(1)കണ ാ ക . x − 1ഈ ബ പദ ിെ ഘടകമാേണാ?
b) p(x)െന x − 1െകാ ് ഹരി ാൽ കി ഹരണഫലം കണ ാ ക
c) ഹരണഫലെ ര ് ഒ ാം തി ബ പദ െട ണനഫലമായി എ
d) p(x) = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാര ൾ എ ക

അെ ിൽ

x3 + 4x2 + x − 6എ ബ പദെ ് ഒ ാം ി ബ പദ െട ണനഫലമായി എ ക.x3 + 4x2 +

x − 6 = 0എ സമവാക ിെ പരിഹാര ൾ കണ ാ ക

Answers

a) p(1) = 13 + 4 × 12 + 1 − 6 = 1 + 4 + 1 − 6 = 0
Since p(1) = 0 ഇതിൽ നി് ം (x − 1) ഘടകമാെണ ് മനസിലാ ാം.

b) Let ax2 + bx + c ആണ് ഹരണഫലം .x3 + 4x2 + x − 6 = (x − 1)(ax2 + bx + c)
x3 + 4x2 + x − 6 = x(ax2 + bx + c) − (ax2 + bx + c) = ax3 + (b − a)x2 + (c − b)x − c
ണക ൾ ലനം െച ാൽ a = 1, b − a = 4 → b = 4 + a = 4 + 1 = 5, c − b = 1 →
c=1+b=1+5=6
ഹരണഫലം x2 + 5x + 6

c) x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)

d) p(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) , p(x) = 0 → (x + 1) = 0or(x + 2) = 0or (x + 3) = 0
x = −1, −2. − 3

2) p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + eഎ ബ പദം പരിഗണി ക

a) x − 1ഘടകമാ ഒ നാലാം തി ബ പദം അ േയാജ മായ ണക ൾ നൽകി എ ക

b) x + 1ഘടകമായാൽ ണക ൾ ത ി ബ ംഎ ്?
ബ ം ഉപേയാഗി ് x2−1ഘടകമായ നാലാം തി
c) ര സാഹചര ളിെല ം ണക ൾ ത ി
ബ പദം എ ക

1

Answers

a) x − 1 ഘടകമായതിനാൽ p(1) = 0. ണക െട ക 0.
p(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 4x − 10

b) x + 1 ഘടകമായതിനാൽ p(−1) = 0.
a − b + c − d + e = 0 That is a + c + e = b + d

ണക ൾ അ േയാജ മായ വിധം െതരെ ാൽ . a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 2

q(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 2

c) വ വ കൾ േചർ ് a + b + c + d + e = 0 and a + c + e = b + d, 2(b + d) = 0, b + d =
0, b = −d

Also a + c + e = 0
ഉദാഹരണം r(x) = 4x4 + 5x3 + 3x2 − 5x − 7.

3) p(x)എ ര ാം തി ബ പദ ിൽ p( 1 = 0, p( 1 = 0, ിരസംഖ ാപദം4ആണ് .
2 3
ക
a) p(x) = ax2 + bx + 4ആയാൽ a, bഎ ിവ കണ ാ ി x − 1ഘടകമായ ര

b) ബ പദം എ ക. ഈ ബ പദേ ാട് ഏത് സംഖ ാം തി ബ പദം
എ താം?

Answers

a) p( 1 ) = 0, a( 1 )2 + b( 1 ) + 4 = 0
2 2 2
a b
4 + 2 = −4, a + 2b = −16

a( 1 )2 + b( 1 ) + 4 = 0, a + b = −4 a + 3b = −36
3 3 9 3
സമവാക െട പരിഹാരം ക ാൽ a + 2b = −16, a + 3b = −36 . a = 24, b = −20

b) p(x) = 24x2 − 20x + 4
p(1) = 8, −8 ണം

4) x2 + kx + 6എ ബ പദം പരിഗണി ക
a) x − 1ഘടകമാകാൻ kഏത് സംഖ ആകണം?
b) ഈ ബ പദ ിെ മെ ാ ഒ ാം തി ഘടകം കണ ാ ക
c) x2 − 7x + 6 = 0എ ബ പദ ിെ പരിഹാര ൾ എ ക

Answers

a) If x − 1 ഘടകമായതിനാൽ ണക െട ക 0 . k = −7
b) x2 − 7x + 6 = x2 − x − 6x + 6 = x(x − 1) − 6(x − 1) = (x − 1)(x − 6). അ

ഘടകം x − 6
c) x = 1, x = 6

5) p(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + kഎ ബ പദം പരിഗണി ക

a) p(−1) = 10ആയാൽk ആ സംഖ ഏത് ? ി x − 1ഘടകമാ ബ പദം എ ക
b) k െട വില ഉപേയാഗി ് ബ പദം എ ക
c) ബ പദ ിെല ിരസംഖ യിൽ മാ ം മാ ം വ

Answers

a) p(−1) = 10 → k = 10
b) p(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + 10 = x3 + 6x2 + 11x + 6
c) 6 െന −18ആ ി മാ ണം

2

11

Statistics

സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്