Variable.compleja.2ed.Schaum.Spiegel_1

www.FreeLibros.me

Variable
compleja

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

Variable
compleja

Segunda edición

Murray R. Spiegel

Profesor y coordinador, Departamento de Matemáticas,
Rensselaer Polytechnic Institute, Hartford Graduate Center

Seymour Lipschutz

Departamento de Matemáticas, Temple University

John J. Schiller

Departamento de Matemáticas, Temple University

Dennis Spellman

Departamento de Matemáticas, Temple University

Revisión técnica:

Natella Antonyan

Departamento de Física y Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA
LISBOA • MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • AUCKLAND

LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO
SÃO PAULO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

www.FreeLibros.me

Director Higher Education: Miguel ángel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo Roig Vázquez
Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez
Editora de desarrollo: María Teresa Zapata Terrazas
Supervisor de producción: Zeferino García García
Traductora: María del Carmen Hano Roa

VARIABLE COMPLEJA
Segunda edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2011, 1991, respecto a la segunda edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A,
Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegación álvaro Obregón,
C.P. 01376, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0551-4
(ISBN edición anterior: 978-968-422883-2)

Impreso en México Printed in Mexico

1023456789 1098765432101

Traducido de la segunda edición de Complex Variables by Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John J. Schiller,
and Dennis Spellman, published by The McGraw-Hill Companies, Inc. Copyright © 2009. All rights reserved.

978-0-07-161569-3

www.FreeLibros.me

Acerca de los autores

SEYMOUR LIPSCHUTZ forma parte de la Temple University, y antes perteneció al Polytechnic Institute of Bro-
oklyn. Obtuvo su doctorado en la New York University y es uno de los autores más prolíficos de la Serie Schaum’s.
Entre los libros que ha escrito, tienen especial importancia Álgebra lineal, Probabilidad, Matemáticas discretas,
Teoría de conjuntos, Matemáticas finitas y Topología general.
JOHN SCHILLER es profesor asociado de matemáticas de la Temple University. Obtuvo el grado de maestría en la
Universidad de Pensilvania. Ha publicado artículos en las áreas de superficies de Riemann, matemáticas discretas,
biología matemática. Ha sido coautor en varios textos de matemáticas.
DENNIS SPELLMAN es integrante de la Temple University y fue profesor en la Universidad del Este, en Venezuela.
Obtuvo su doctorado en la New York University, donde escribió su tesis bajo la dirección de Wilhelm Magnus. Es
autor de más de 25 artículos publicados en revistas de matemáticas puras y aplicadas.
En su etapa de madurez profesional, MURRAY R. SPIEGEL obtuvo el grado de maestría en Física y de doctorado en
Matemáticas en la Cornell University. Laboró en universidades como Harvard, Columbia, Oak Ridge y el Rensselaer
Polytechnic Institute, y fue consultor en matemáticas en varias empresas importantes. Su último puesto fue como
Profesor y Director de Matemáticas en el centro para Graduados de Hartford en el Rensselaer Polytechnic Institute.
Aunque tiene interés en la mayor parte de las ramas de las matemáticas, le interesan en especial las que involucran
problemas de aplicación en física e ingeniería. Es autor de numerosos artículos publicados en revistas, así como de
14 libros acerca de distintos temas de las matemáticas.

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

Prefacio

El objetivo principal de esta segunda edición es en esencia el mismo que el de la primera, con algunos cambios que
se indican a continuación. Siendo así, citaremos algunos párrafos del prefacio escrito por Murray R. Spiegel para la
primera edición de esta obra.

“La teoría de las funciones de una variable compleja, conocida también brevemente como variable compleja o
análisis complejo, es una de las bellas y útiles ramas de las matemáticas. Si bien surgió en una atmósfera de misterio,
sospechas y desconfianza, como lo atestiguan los términos “imaginario” y “complejo” presentes en la bibliografía,
desde el siglo xix por fin descansa sobre sólidas bases matemáticas gracias a la obra de Cauchy, Riemann, Weier-
strass, Gauss y otros grandes matemáticos.”

“Este libro está pensado para que sirva como complemento de todos los libros de texto comunes en un curso
formal sobre teoría de variable compleja y sus aplicaciones. También debe ser de considerable valor para aquellas
personas en un curso de matemáticas, física, aerodinámica, elasticidad y otras muchas áreas de las ciencias y la
ingeniería.”

“Cada capítulo empieza con una presentación clara de las definiciones, principios y teoremas pertinentes, así
como material ilustrativo y descriptivo. A continuación se presenta un conjunto de problemas resueltos y problemas
complementarios… Entre los problemas resueltos se encuentran numerosas pruebas de teoremas y deducciones de
fórmulas. La gran cantidad de problemas complementarios con respuestas, sirve como un repaso completo sobre el
material visto en cada capítulo.”

“Entre los temas tratados se encuentran el álgebra y la geometría de los números complejos, el cálculo diferencial
e integral complejo, las series infinitas, como la de Taylor y la de Laurent, la teoría de los residuos con aplicaciones
al cálculo de integrales y de series, y las transformaciones conformes con aplicaciones provenientes de diversos
campos.”

“En este libro se incluyó considerablemente más material del que se cubre en la mayoría de los cursos iniciales.
Esto tuvo el objeto de hacer el libro más flexible, de proporcionar un libro más útil y de estimular el interés en los
diferentes temas.”

Algunos cambios que efectuamos a la primera edición son los siguientes:
a)  Ampliamos y corregimos muchas secciones para hacerlas más accesibles a nuestros lectores.
b)  Reformamos el texto de modo que el número del capítulo ahora se incluye en la numeración de las secciones,

ejemplos y problemas.
c)  Muchos resultados se plantean formalmente como proposiciones y teoremas.
Para finalizar, queremos expresar nuestro agradecimiento al equipo de McGraw-Hill, en particular a Charles Wall,
por su excelente cooperación durante todas las etapas de la elaboración de esta segunda edición.

Seymour Lipschutz
John J. Schiller
Dennis Spellman
Temple University

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

Contenido

CAPÍTULO 1  Números complejos     1
   1
1.1 El sistema de los números reales     1
1.2 Representación gráfica de los números reales     2
1.3 El sistema de números complejos     2
1.4 Operaciones fundamentales con números complejos     3
1.5 Valor absoluto     3
1.6 Fundamentos axiomáticos del sistema de números complejos     3
1.7 Representación gráfica de los números complejos     4
1.8 Forma polar de los números complejos     4
1.9 Teorema de De Moivre     5
1.10 Raíces de números complejos     5
1.11 Fórmula de Euler     5
1.12 Ecuaciones polinómicas     6
1.13 Raíces n-ésimas de la unidad     6
1.14 Interpretación vectorial de los números complejos     6
1.15 Proyección estereográfica     7
1.16 Producto punto y producto cruz     7
1.17 Coordenadas conjugadas complejas     7
1.18 Conjuntos de puntos 
   41
CAPÍTULO 2  Funciones, límites y continuidad     41
   41
2.1 Variables y funciones     41
2.2 Funciones unívocas y funciones multivaluadas     42
2.3 Funciones inversas     42
2.4 Transformaciones     43
2.5 Coordenadas curvilíneas     45
2.6 Funciones elementales     46
2.7 Puntos de ramificación y líneas de ramificación     46
2.8 Superficies de Riemann 
2.9 Límites 

www.FreeLibros.me

X Contenido    46
   47
2.10 Teoremas sobre límites     47
2.11 Infinito     48
2.12 Continuidad     48
2.13 Teoremas sobre continuidad     48
2.14 Continuidad uniforme     49
2.15 Sucesiones     49
2.16 Límite de una sucesión     49
2.17 Teoremas sobre límites de sucesiones 
2.18 Series infinitas     77
   77
CAPÍTULO 3  Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann     77
   77
3.1 Derivadas     78
3.2 Funciones analíticas     78
3.3 Ecuaciones de Cauchy-Riemann     79
3.4 Funciones armónicas     79
3.5 Interpretación geométrica de la derivada     80
3.6 Diferenciales     81
3.7 Reglas de diferenciación     81
3.8 Derivadas de funciones elementales     81
3.9 Derivadas de orden superior     82
3.10 Regla de L’Hopital     83
3.11 Puntos singulares     83
3.12 Familias ortogonales     84
3.13 Curvas     84
3.14 Aplicaciones en geometría y mecánica 
3.15 Operadores diferenciales complejos     111
3.16 Gradiente, divergencia, rotor y laplaciano     111
   112
CAPÍTULO 4  Integración compleja y teorema de Cauchy     112
   112
4.1 Integrales complejas de línea      113
4.2 Integrales reales de línea      113
4.3 Relación entre integrales reales de línea e integrales complejas de línea     114
4.4 Propiedades de las integrales 
4.5 Cambio de variables 
4.6 Regiones simplemente y múltiplemente conexas 
4.7 Teorema de la curva de Jordan 

www.FreeLibros.me

Contenido  XI

4.8 Convención respecto de la orientación de una trayectoria cerrada     114
4.9 Teorema de Green en el plano     114
4.10 Forma compleja del teorema de Green     114
4.11 Teorema de Cauchy. El teorema de Cauchy-Goursat     115
4.12 Teorema de Morera     115
4.13 Integrales indefinidas     115
4.14 Integrales de funciones especiales     115
4.15 Algunas consecuencias del teorema de Cauchy     117

CAPÍTULO 5  Fórmulas integrales de Cauchy    144
   144
y teoremas relacionados     145

5.1 Fórmulas integrales de Cauchy 

5.2 Algunos teoremas importantes 

CAPÍTULO 6  Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent     169
   169
6.1 Sucesiones de funciones     169
6.2 Series de funciones     170
6.3 Convergencia absoluta     170
6.4 Convergencia uniforme de sucesiones y de series     170
6.5 Serie de potencias     171
6.6 Algunos teoremas importantes     173
6.7 Teorema de Taylor     173
6.8 Algunas series especiales     174
6.9 Teorema de Laurent     175
6.10 Clasificación de las singularidades     176
6.11 Funciones enteras     176
6.12 Funciones meromórficas     176
6.13 Desarrollo de Lagrange     176
6.14 Continuación analítica 

CAPÍTULO 7  El teorema del residuo, cálculo de integrales y series     205
   205
7.1 Residuos     205
7.2 Cálculo de residuos     206
7.3 El teorema del residuo     207
7.4 Cálculo de integrales definidas     207
7.5 Teoremas especiales para calcular integrales     208
7.6 El valor principal de Cauchy para integrales 

www.FreeLibros.me

XII Contenido    208
   209
7.7 Diferenciación bajo el signo de integración. Regla de Leibniz     209
7.8 Suma de series     209
7.9 Teorema del desarrollo de Mittag-Leffler 
7.10 Algunos desarrollos especiales     242
   242
CAPÍTULO 8  Aplicación conforme     242
   243
8.1 Transformaciones o aplicaciones     243
8.2 Jacobiano de una transformación     243
8.3 Funciones de aplicaciones complejas     244
8.4 Aplicaciones conformes     244
8.5 Teorema de la aplicación de Riemann     245
8.6 Puntos fijos o invariantes de una transformación      245
8.7 Algunas transformaciones generales     245
8.8 Transformaciones sucesivas     246
8.9 Transformación lineal     246
8.10 Transformación bilineal o fraccionaria     247
8.11 Aplicación de un semiplano sobre un círculo      247
8.12 Transformación de Schwarz-Christoffel  
8.13 Transformaciones de fronteras en forma paramétrica     280
8.14 Algunas transformaciones especiales     280
   280
CAPÍTULO 9  Aplicaciones físicas de las transformaciones    280
   281
conformes     281
9.1 Problemas de valor frontera 
9.2 Funciones armónicas y conjugadas     282
9.3 Problemas de Dirichlet y de Neumann     282
9.4 Problema de Dirichlet para la circunferencia unitaria. Fórmula de Poisson     283
9.5 Problema de Dirichlet para el semiplano     284
9.6 S oluciones a los problemas de Dirichlet y de Neumann mediante    284
   284
transformaciones conformes     286
9.7 Suposiciones básicas     286
9.8 Potencial complejo 
9.9 Líneas equipotenciales y líneas de flujo 
9.10 Fuentes y sumideros 
9.11 Algunos flujos especiales 
9.12 Flujo en torno a un obstáculo 
9.13 Teorema de Bernoulli 

www.FreeLibros.me

Contenido  XIII

9.14 Teorema de Blasius     286
9.15 Ley de Coulomb     287
9.16 Intensidad del campo eléctrico. Potencial electrostático     287
9.17 Teorema de Gauss     288
9.18 Potencial electrostático complejo     288
9.19 Carga lineal      288
9.20 Conductores     289
9.21 Capacitancia     289
9.22 Flujo de calor     289
9.23 Temperatura compleja     289

CAPÍTULO 10  Temas especiales     319
   319
10.1 Prolongación analítica     320
10.2 Principio de reflexión de Schwarz     320
10.3 Productos infinitos     320
10.4 Convergencia absoluta, condicional y uniforme de productos infinitos     321
10.5 Algunos teoremas importantes sobre productos infinitos     321
10.6 Teorema de Weierstrass para productos infinitos     321
10.7 Algunos productos infinitos especiales     321
10.8 La función gamma     322
10.9 Propiedades de la función gamma     323
10.10 La función beta     323
10.11 Ecuaciones diferenciales     325
10.12 Solución de ecuaciones diferenciales mediante integrales de contorno     325
10.13 Funciones de Bessel     327
10.14 Funciones de Legendre     328
10.15 Función hipergeométrica     328
10.16 La función zeta     329
10.17 Series asintóticas     330
10.18 Método del punto silla     330
10.19 Desarrollos asintóticos especiales     331
10.20 Funciones elípticas 

ÍNDICE     369

www.FreeLibros.me

www.FreeLibros.me

Capítulo 1

Números complejos

1.1  El sistema de los números reales

El sistema de los números que se conoce actualmente es el resultado de una evolución gradual, como indica la lista
siguiente.

(1) Números naturales 1, 2, 3, 4,…, llamados también enteros positivos, que al principio sirvieron para con-

tar. Si a y b son números naturales, la suma a + b y el producto a · b, (a)(b) o ab son también números

naturales. Por esta razón se dice que el conjunto de los números naturales es cerrado bajo las operaciones

de adición y multiplicación, o que satisfacen la propiedad de cerradura respecto de estas operaciones.

(2) Enteros negativos y cero, que se denotan −1, −2, −3, … y 0, respectivamente, y permiten resolver ecua-
ciones de la forma x + b = a, donde a y b son cualesquiera números naturales. Esto lleva a la operación
de sustracción, u operación inversa de la adición, y se escribe x = a − b.

Al conjunto formado por los enteros positivos, negativos y el 0 se le conoce como enteros, y es cerrado

en las operaciones de adición, multiplicación y sustracción.

(3) Números racionales o fracciones, por ejemplo, 3 ,�0.83E,…sto, que permiten solucionar ecuaciones de la
forma bx = a para todo par de enteros a y b, donde lleva a la operación de división o inversa de
b4
la multiplicación; se escribe x = a/b o a ÷ b (el cociente de a y b), donde a es el numerador y b es el

denominador.

El conjunto de los enteros es una parte o subconjunto de los números racionales, pues los enteros
corresponden a los números racionales de la forma a/b, donde b = 1.

El conjunto de los números racionales es cerrado bajo las operaciones de adición, sustracción, multipli-

(4) Ncaúcmióneryosdiivrirsaiócino,neanletasn, tcoosmeoexpcffi2lffiuyyapla, división entre cero. de la forma a/b, donde a y b son enteros y
que no se expresan

b  0.

Al conjunto de números racionales e irracionales se le denomina conjunto de números reales. Se supone que el
estudiante conoce las diversas operaciones con los números reales.

1.2  Representación gráfica de los números reales

Los números reales se representan como puntos sobre una línea recta, o eje real como se indica en la figura 1-1. El
punto correspondiente a cero es el origen.

–2√3 – 3 o –1.5 3 √2 π
2 4

– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Figura 1-1

2 CHAPTER 1 Complex Numbers

Conversely, to each point on the line there is one and only one real number. If a point A corresponding to
a real 2numb erCaalpieísttuolthoe 1ri g hNt úofmaeprooisntcBocmoprlreesjpoosnding to a real number b, we say that a is greater than b

or b is less than a and write a . b or b , a, respectively.
ThAelsceot notfraarlilov, aplourescaodfaxpsuunctho tshoabtrea e,staxr,ectba ihsacyaullneod yansóolpoeunninntúemrvearol orenatlh. eSireuanl pauxnistowAh,ilceoarre�spxon�dibe,nte a un

whniúcmh earlosoreinalclau,dseesetnhceueenndtrpaoainlatsdaeraencdhab,diesucnalpleudntaocBl,ocsoedrreinspteornvdaile.nTtehealsnyúmmbeorloxr,ewalhbic,hsecdanicsetqanude afoersamnyayor que
reabl on,ulmo qbuere, eiss lcoamlleidsmaor,eqaulevbareisambleen.or que a, y se escribe a > b o b < a, respectivamente.

ThEelacbosnojluuntteovdaeluteodoofsalroesalnúnmumerboesr xa,tadleensoqtuede bay<jaxj, <is ebqeusalutno iantiefrava.lo 0a,btioer�toaeinf ael,eje0 raenadl,tomi0eniftras que
a ¼a ≤0.xT≤hebd, iesntadnocnedbeettawmebeinéntwseoipnocliunytsena laonsdpubnotonstfhinearleeaslaayxibs,iessjaun�inbtje.rvalo cerrado. Al símbolo x, que repre-

senta cualquier número real, se le conoce como variable real.
El valor absoluto de un número real a, que se denota |a|, es igual a a si a > 0, es igual a −a si a < 0 y es igual a

0 si a = 0. La distancia entre dos puntos a y b en el eje real es |a − b|.

1.3 The Complex Number System

There is no real number x that satisfies the polynomial equation x2 þ 1 ¼ 0. To permit solutions of this and

sim1Wi.l3aer c eaqEnulactoisonnsiissd,ettrheeamsceaotmodpfleceoxmnnpuúlmemxbeenruramosbhsearsvciinsogimnthtrpeoldfouercjmedo.asþ bi where a and b are real numbers and i,

whNicoheixsisctealnleidngtúhne nimúmageirnoarreyaluxniqt,uehassattihsfeagparolpaeerctyuatchiaótni2po¼lin�ó1m.icIfa zx2¼+a1þ=bi0, .thPeanraasoislucaiollneadr tehsetarecaulación y
paortraosf szimanildarebsisecianltlreoddutche eilmcaognijnuanrtoy dpearntúomferzoasncdomarpeledjoesn.oted by Refzg and Imfzg, respectively. The
symbLool sz,nwúmhiecrhosccaonmsptalenjdosfosronannyúmcoemropsledxe lnaufmorbmera, ais+cabllie, ddoancdoemapylebx svoanrinaúbmlee.ros reales, e i, denominado uni-

dTawd oimcaogminpalerixa,ntuiemnbeelras paroþpibeidandddce þqudeii2ar=e e−q1u.aSl ifza=ndao+nlybii,feant¼onceasnad ebs¼lladm.aWdaepcaarntecorenasliddeerzr,eyalb, parte
nuimmbaegrisnaarsiaa dseubzs, eyt soefltehsedseentootaf Rcoem{zp}lexImnu{mz}b, ererspwecithivabm¼en0t.e.AEclcsoírmdibnoglolyzt,hqeuecormepprelesxenntaumunbenrúsm0eþro 0ciomplejo
ancdu�al3quþie0rai,resprlleasmenatdtohevarreiaalbnleumcobmerpsle0jaa.nd �3, respectively. If a ¼ 0, the complex number 0 þ bi or bi is
calledDaospnuúrme eimroasgcionmarpylenjuoms,bae+r. bi y c + di, son iguales si y sólo si a = c y b = d. Los números reales se consideran

eTl hsuebcomnjpulnetxo dcoenljousgnaútem, eororsbcroiemflpylecjosnjfuogrmataed, oopf oar lcoosmnpúlmexeronsumcobmerpleajoþs bein ilsosaq�uebbi. =Th0e. Acosím, lpolsexnúmeros
cocnojumgpalteejoosf0a+co0mi pyl−ex3n+um0ibreerpzreisseontfatennloinsdniúcmaterdosbyreaz�loesr 0z�y. −3, respectivamente. Si a = 0, al número complejo

0 + bi o bi se le conoce como número imaginario puro.
El complejo conjugado, o simplemente conjugado, de un número complejo a + bi es a − bi, y a menudo se denota

por z o z*.

1.4 Fundamental Operations with Complex Numbers

In performing operations with complex numbers, we can proceed as in the algebra of real numbers,

rep1l.a4ci ng Oi2pbeyr�a1cwihoenn eit socfcuursn. damentales con números complejos
Pa(r1a)efeActdudairtioopneraciones con números complejos se procede como en el álgebra de números reales: se reemplaza i2

por −1 cuando se presente.(a þ bi) þ (c þ di) ¼ a þ bi þ c þ di ¼ (a þ c) þ (b þ d)i
(a þ bi) þ (c þ di) ¼ a þ bi þ c þ di ¼ (a þ c) þ (b þ d)i
(1) Suma (a þ bi) þ (c þ di) ¼ a þ bi þ c þ di ¼ (a þ c) þ (b þ d)i
(2) Subtraction
(a þ bi) þ (c þ di) ¼ a þ bi þ c þ di ¼ (a þ c) þ (b þ d)i
(a þ bi) � (c þ di) ¼ a þ bi � c � di ¼ (a � c) þ (b � d)i
(2) Resta (a þ bi) � (c þ di) ¼ a þ bi � c � di ¼ (a � c) þ (b � d)i

(3) Multiplication (a þ bi) � (c þ di) ¼ a þ bi � c � di ¼ (a � c) þ (b � d)i

(3) Multiplicación þ (a þ bi) � (c þ di) ¼ a þ bi � c � di ¼ (a � c) þ (b � d)i
(a bi)(c þ di) ¼ ac þ adi þ bci þ bdi2 ¼ (ac � bd) þ (ad þ bc)i
(a þ bi)(c þ di) ¼ ac þ adi þ bci þ bdi2 ¼ (ac � bd) þ (ad þ bc)i

(4)(4) DivDisivioisnión (a þ bi)(c þ di) ¼ ac þ adi þ bci þ bdi2 ¼ (ac � bd) þ (ad þ bc)i
If cS=i c0a0ndy dd=(00a,,þtehnebtnoi)n(cceþs di) ¼ ac þ adi þ bci þ bdi2 ¼ (ac � bd) þ (ad þ bc)i

a þ bi ¼ a þ bi � c � di ¼ ac � adi þ bci � bdi2
c þ di c þ di c � di c2 � d2i2

¼ ac þ bd þ (bc � ad)i ¼ ac þ bd þ bc � ad i
c2 þ d2 c2 þ d2 c2 þ d2

CCHCCHAHHAPAAPTPPETTTEREERR1R111CCoCCmooommpmlppeplxleleexxNxNuNNmuuummbmebbbreeserrsrss 3 333 3

1.7  Representación gráfica de los números complejos 

1Th1T.1TE151Teh.h.l.5he.5a5ev5eEbaa aXAslaEb EboEAEbVXAbsXArsljMXoAsuAosAbaaeobAltMlPbMuobelusmMslLutssPltoPevEoptueoPoLoeLallllLvEt1uvEululrevEoauu.att11ta1olelet1ue.:l1Vu.ae1uo1.eoe1ja:Ve:V�rbm::oVloja jaomu4�rós�jarl�rledþmuo4lmu4omu4udeþoeþo2luelþodidl2jduu2uud2i¼uiljslejituluj¼u¼ospuos¼sfnopffi(opffi�oapffifnffif(ffiffifffi(ffiffi4�úaffic(ffi�affiffiffi�)ffiaffimoffiffi4ffi2cffi4fficffiffimffi4)fficffieo)þffioffi2ffi)ffi2ffiorffimffiffip2mffiffioþffiþmffiffi(ffilffiþffi2pffiffiepfficffiffi(ffipffi)l(xffiffiol2ffi2ffie(ffi2ffilffieffi2m)ffiffiex)ffiffin¼x2ffiffi)ffi2xffiffiu2pffiffin¼n¼pmln¼ueuupmffi2jbpmffiopffim0ffie2ffiffib2ffibffiarffi2ffi0¼bffieffi0ffieffiffi0affier+ffi¼r¼2r¼aþapba22þ2iþp5ffibpþffips:iffi5be5ffibffi5ffiffii:biffi:isd:.iieidsisfseidndfideeenefificefinnodneemedaddosaaajssasjjaþjaaþþbþibjbbi¼ijijj¼¼p¼ppffiaffipffi2ffiaffiffiaffiffiffiaffiþ2ffiffi2ffiffiffi2ffiffiffiþffiffiþffiffibffiþffiffiffiffi2ffiffiffiffibffibffi.ffiffiffib2ffiffi2ffiffiffi.2ffi.ffi.

IfIISzfIf1fiz,zz1z1z1,1,,2,z,zz2z22z,2,,3,zz,z33z.3,,3,..,.......,...,.z.,mz,,zmzmzmamsroaeaarnrecreneocúcmcoomompmmelprepoplxlesleexnxcxuonnmmnuuumbpmmelbebrbejseoer,rssrst,,sh,,stethethhefesoeaflftofloioslllfwlloaloowicwnweiginninngplgagrpsopprpprororeopoprpetpeieriretretistideieeahsssdohhelhodsool.lsdldid.g..uientes:
(((321((()))((((321(((3211321))))))))))   j����jzzzz11j����j21j����jzzzzzj����jzzzzþ11zz21zz21121¼z11����21jz����þþ2z����z2þ¼¼j¼22j����¼jzjzz¼z¼2z����j122¼�����zj2zz����jzz1j21jzzj12�z�j����21zj�����j1z z1����zj11jj2jjzjjjzzjz1z12zþ2j1jj2jj þjþjþz2jjzjz2z2j2j j ooro oorrr
isfii ififf jz1jjzzjz1z21z1z�2z2�2������z��m��zzjmzmm¼jjj¼¼j¼z1jjzjzj1z1zj1j2jjjzjz2z�2j2j�j������j��z�m�jjzjzjmzmmjjj
ooro oorrr z2zz=2z222===00000
jz1jjzjzþ1z11þþzþ2zzþ2z22þþ�þ�������þ����þþzþmzzjmzmm�jjj��j�z1jjzjz1z1þj1jjþþjþz2jjzjz2z2þj2jjþþ�þ�������þ����þþjþzmjjzjzjmzmmjjj

(4()(4(44))) jz1jjzjz+1z11+++z2zjz2z2�j2jj��j�z1jjzjz1z1�j1jj��j�z2jjzjz2z2j2jj

FwncraF1eoburrFwncraF1h.aFwncraF1ooaD1nAdrnom6eFwncraF1obFeuelrerobulmmrrhúo.esva.obh.ooueanorrrsm6roobnoh.pim6nFnCA6amnelBeoeoFonoes.mlmAmd6svmmFesvaelrúud.radtbmmriEmnsvrCA...ebB eBC AienrCArhorBedremAmeboieiTdneCApBuertr.easesotud .ema...eti1.emeorh...eu.ttaiaAmx hrtehiru tibTmsAm...eirarTsPSEFrdh.srhserAmsierTe1eneiideerts1sxhtibouetustxchTeors1ibrrq esPSEisd.rhsetrxPhSEd.tibtehsesriiedpwteoeresemPSEdii.eSPIhshhmuuurceTolrnaeeqsuiiealceTorrqeuqsdgdeyrtucoeTeowenurteeoeratqbssmdalwrtehohmeufsmnualaetuhhmuduweteloaeqoaismmdloyhhemuqlaedeselyaontabic daesieeaqsaobcdddaauylovfivtíueneuteaaabdaa−iruloyealalmutnlgooaeyiciluuciaadetosnoidccanloieslvfiodvtmccat oeicvfidivatriimty1asl,occaaertnibgyyyavfivitco ttneagderenyiarntyadennts]mctnnrgybwiodiimcadiadenln,Fnbdienoielehb,omcctevoi((m(ediycoltll,eseee irttbweadcaasaooorirebwiFnbnati ehlsFnnssbsrrpo((bmw(se(hao(il,o(,,(m(Fnbwsotilsueuhueadaaatocood(tt(m1(poeandaaoolooslesnfopattbbbe(adalajsoobpa,,,,e(wn,naoioa,s,u,ulrsewatpcspu(uo)atc[))p,n,,npwjofooeis0ububrnbbrtatfcoba(dpPb,obbsenabiortaa,uotfeonþ�asioba¼bb0))b[))anh)ne,jnca)pi[)o)ainrnrbljarts((m(esid(Pro(eb(r)[)),ntrndPjatroeeeeþ�tiart¼aaarb¼rr0tecþ0d�ph)dP¼ecip(trfth)r1atsae(qþc�o(p¼b(sro((a,,,ch),,(cteou(,o(cepitacra¼ra0ao)ec0ta(uvo(ov(¼rr0ltc(sft0ocbbbo,e(toea((ftfbds,¼r00,(ecaoed,,1bsct,yiiii(ftce,i,mcto(,)))oidbcsvxovvnrgldemm,o)e),bacvtde,cov,r)il(cofd,0,ee(lv1fd,ovre0+=⋅latieoweur1mltae,)om)ei(fld,)m¼0inociedeem))a1edhctni)ldeem)o)am(aodcieo)r,ldna=dee1om¼)w)a,lldcntae)ce)oiewnl)t¼lta)cnnwe((ll)h¼scefwfomal.traa)ohne,irt(lc)oc¼sa,ocamu1o¼r,1edhrte1om¼ieon,taafoinwdrs(,tietn,dt,(ln1ow¼ff,eatmam.rbn4oi(iefenrftmma.rn,iwualic(1ded lurtfdfháma1da.onrsanfi)sia(srt)hs]la(fiuós1eadtmfbn(wr4tobp eaata fmlirbon,i�,sús4aocdþ))i(e=a,iacheatgdmbsnonps4tt)hhn]lsnet,iosa,c)hp[ym]lwhsbhh=pssnlrosiw�ebd)wrhþp]llpeaori�odþdmnoiwceaeabbtipcdoleeooCa�cod(þstpeeeaechoshrdponoehrtdtsrwhia,deryortiipeowpnbo(nhesrr�bhhocnaenCaoeorebwesl,cesCaracolso,niobneb)btdr(ciyae,deCartngtiostsdrnei,dre�ttihnma1aniortd�rehiln,ladaabtsr−ótioor+el,d.rbsoþ�hs(nyaea,sotbogree],(sliyasletgpdll,md1abisa(yfanmamaeb1attligioep.adabtoþamb1a.orioagbþd],ictaabloadpdl]a,oi.þolþlleopdlfnhadoll)as],epitu,dfsnllepdllepbnrp)edsfontbpl1raediepatþib,laodtba¼hea1rþle)dl¼eoetthaedbleaed)tal.xetnþa)eloelohaanllpd))ea.eetrropne+ltec¼nrlE1)ed¼tolq¼padbedbd¼txeeradbat=tt¼xe(tfi)cdNd¼4erdbcdsuylatxeeecerrfisl1ec(rde,+ederrne]aietlece(e.rfir)cpN1satu,(nfi)cerosyNlaecfi 1atsybia((fiq)cfi)tN,1aae,ndn(sy,aiteln,finm1h1iubl,(nr,01u2sirupn,nreubils¼0at1bobieu,a,nnrctteaee),nmhrbif=teolmtmlh0ie)p,nbtn)i0uteeitp¼m0heuo=a¼0r0n(iacopta)rudaþss)¼0cmsreodb)eaabtmniea()eio)btnr,eema2c)rrbte0n,edqþcserdscmebdþsnscaincembwbonibr,,dþseouscu¼a2e,beleia2torSe(m,ae1)nprea2nnmewbh0nern0wrb¼amrdbrns¼)nlt=wbyS(ri.t(p¼er,S(e(nh0poect0h00S(ersbr00palxbrh0yúi1.l(0heye,die,a.bsr(ee(,,clltey0ei.c(mspe)0,caue0sx(neace11h1x01,snthea1olrt,x,1lathuue))c),tem)nucelt1,nne0net(n1)rcmrontsn=eoa1uum00)osntannuumn)uod)emnuauu(nn)mri),m(nbumrnmnc0dbs(ncnem0mr(dúsonw+dem10tois−n,obeqedi,badubrid)br,obmrrwmeueo1nwdbeetr1e1besoaeewuer1¼ieu)reerr.e,)(vpdasrruneterts)es0atrreoes0¼asalút¼p.esdaaes,(.tsr¼dals)te.mooda�nsesjtboo1sao[q(osasnno(s)eecqa�ene1(obos�un,dtboeqic�rnuqboe,recsaileeecoq1ooud1ovoesuecitq01oisu,rmaieeae,raiaieasdqvu),rcaditvelq0rrlteq0dvoeuetaieeeelqe0aun)hv[eau)oearlenacdrlu)wptúieeisartlieelohtv[sctiheva[enemdmlpnwdhhdv[iwaeornsdiatwswatteiissaelpn.rhotlppcoshieifrlrepwaihttrdiiwhaterenoitonncwlatiodichein(tstitorchitiirhoratherpecitctrhhe(tatatehn,(ttoaihoaha(tthocjaoacbnnqhohaaþel,caae,ndraodt)uaeo,ta0bnehþebonthbþeesorbnb.ah)þrsso)oeeerfe()ailbosobbeaaasobabqeesobafaneeil,filueefiltb+iev)raibdoliee-,

THTTTEHeHHOoEEERrOOOeERRmRMEEaEMM1M1.1.1111.:.:11. 1:::SSuuSpSpSouupunppopgppsapooeosqseszeue1ez,z1z1zz,1,12,,z,z2zz2z,22,3,zyz3bz3z3eb3blbeopeelnelolorgontnengtgnogtetotochoetetnhthheseaelstsceseSoetttnSoSjSfuoonocfftofoccmcooSompmmdlpeepplxlenleexúnxxmunnmneuuurmbmomesbbrbecseer.orsrsmT.s..hTpTTelhhenhejeoennsn. Entonces:
(((((((((197645328((((((((()))))))))(((((((((194365728(((((((((194567328197564328))))))))))))))))))))))))))) [zFzzzzzz[cFzz1111111aoo[zFzzzzzz[Fc(z([zFzzzzzz[Fclþþþþiizzrr1111111mpzPzPczzzzz[zFzzzzzz[Fca2lzz1111111ooassoozze1111111((z111111122oaelaa(z(ooaaþþþþiilrruz((zz¼þþþþ2iil(z(rrzdzzccsslz(z0cm2lrr++++þþþþþzziinnssrre222zzl2l3ez22aa22ssaataa22t¼ezd22yycc)¼(zz0ot2zdo=¼aaiþncnczz0(llz¼þnn3hzdzt(zzt¼p22a+cczz0(0zaa3llz3þ22nnaa2¼ooyyþz)3t222dzczee¼yyie223n)aatl2lz¼zhllyy2zd¼ad)dzt102ihll=o¼dd)¼eaz2ll¼=ylzldþ1zhcz=2zcee¼¼þea3=znillozcoee+ze(3znm2¼þ32z¼1d0azcþeeoldde)3n1n0ztt3dzodd)1zzza1d=010izhhoddn)eczz(1=mi1þ)d(tp1z2¼ d10zmþz=2i¼=dzttþ13izzi(zneemúztztz3sz2z¼dþlhh+d3eó¼1zttþ)hh2312pe1101ze1þu)tm+2pt10hhzezne1eanþii)z)izphzznee10zlzzxp¼mz1nnlt22zn¼ee¼=1e1ztdz2b2ztz21l1(e1ezyt¼2te)iiyiz23hvv)1ze10iitx1i2ztahr1nzennztzxr¼rii1znþn)itrbh2e¼ez(o1xeybw2e13nn(tltezys3zu vv=¼eebz32vvy(nerreyo rze1neþ+3rvvþees1mþxcziwesseene1il1znzruwne,þlztupeerr1ssooeeweid11rrlzzohuþe1m+igþsbsserr1eiomziznzss,11izetþcn,masitteessoo1izcse,h23een,1retgnhdbe1st�ezegzb11ztp)hzffre1aoguboon1ea3oeo23zzzo2rue23last�rþ zzoonznte�)t2ff13reero)u⋅ffrnpSet�aoad11uz1)ffriojzeosþu+zznzzs¼þe1qzozzenzz1pSnstzþww11zz1t1pnSz111ic1au3ip1Shz−¼11eú ql1zz¼eiqtii=wwzaetz3¼eewwq1c−tm1u3ttzchu3ww 1ththhcrtu3iiehemztoniioeezettzetz�iitt1exzthheru11rrttthhr1ruon111mteohhnii]roeee�mon�slsu.⋅e/rruss�rrt1mut¼iu1eemrrúimzi1ppeeebmas1mpisleess1mnuss¼eesetu¼]luppbss=aizuppubi¼alccirLLLLLL.lpppbcnaeee1tcneeletttizuoeeeeeelzee,etcciarzuccpzriin1zupttyyyyyyncc1rttqcc1nptt0ooilz,1únlz,ttiniauittilz,daadccqttócmei0ooqiicaamtt0tooeiissooeiqcnaun0ooSniisaulsoodennonaumaute.intcmatDCAACCei0ccdrSismmramncstSeiidsleouodiiiuSiostiunauoolCADCACd.ssinaabdrsoADCCACittnmcsuuudoslnncscssuAADCClCrpúialmmettduutiuncsaooltl.ssittltaiosuiiooaooluh.ssiitlmnolrebaastiuvvtitmaoolocssl.ssiuspimmdmmncissltcciipimmmotlsqttdioseaaooecsslctlvhpimmbosrootlurebiihciitllreubosoouhvvrmmnieaucciaaauualruemmnibdoccirddcecudbtretmmniceccaaibaiittatrntttdztiiheohrceeeabaaluuriiaituhraaeaziaauutaudatvvohrzddeaenaaauuvtatttunttttiztahttlltntttlzthii1wizeaaeeiinnaeeiltttoaatiinitteaaztdhaivvtoezivvlvd1aiiivvoinaaettiitvcsdttiavvwozdeeelliinnzvsmllwzeeSeattieeiinnl=eieaavv1waaziueeSiiinnvva1eeidsndi¼svvz1llwwueeiSadllzlmwllsneemsSsaclaaeddzaatalleaaeeSzadnlluaeu¼donataawwn¼tllawwewzsnwwadnlliuzewdsn¼cooimaaliewwmdll1aatouwsnptzsuednlaahytwwffnqiuwwzttcoo1tiila=znoocoootowwiieizdtoizsucoomahyzispffttwhoffcyff¼t1dzsooehet1ydiffooeldat11eamddooumatiinmawffae¼dtddwffczbceh¼tamdd;teedhwffl1dot¼hdiiuamehaindtuyaumadni[n+tódab;dtitumazbidnctl1zaiotdlhdpel1tiotbtnhitruyoidti�l1tiutydot;htþitidtdzlei;óetudyitizlnipetdi;iplitrpeozts1�oisrinozalctt�þpedlieitrbþoldtlpin�eiz1niptanþi=ddeilieposzycn1io]scezipcbtllposzb1zl.ncpaiz1iracnabliy¼p1z]i1oz0cenya1t]icettnt.y1]1�ice.acni;stiac¼ovz.¼oiozactptt10[¼tt�1ozeoni1�nttnzieo;�1rtnio1o0t1c0oosentoa10nr;too;osnood;ao1rareddadr=dl1ei1ddzet1di=i=1dzni=oizlt]1zitvai1z.nti1orei]o1],eosr.n].nsus.n1,,pom,1e1ida1cse,itiosisyzs1darelel1sa-,

InIIEnIgnnneggnggeeeeennrnneaeeerlrar,raaalal,ll,n,,aatyanonnydsyyeostsescesetotutnsscusjuhuuccnchahthsoaaaSscss,oSSmwS,,,whowwohShshooecossuesmeyemoemmsmeeeembmlmeebbrmbeseererssrsnaststsoasiassattfitisysiafsfytftyihystetfhthaheageebaaaonabbvboloeoovv,veaeie,ns,,tiiecsisrsaciclocalaerallldllseleeedaddcafioaaenfifilofiedecel.ldeldd..c.omo campo.

11.1171...7.777 G GrGRGarreparaahppppihrhchiiaecicclasaaRlellReRnRpeeterppaeprrserceessisnóeeetnnnantttaaigatotitirnoioonánonffoooifCcffCoCaCmooomdmpmelppepllxelleexoxNxNsuNNmuunummbmúebbmbreeseerrsrsrs os complejos

prpSeaouprpSsprpScppSiieprppSpeaorunaoouaaeuspaosiueiptimrriposprpnpoisricnpappreofnpotestootpooasecuirtosnecorfvosdrcfstsbesgtafeiareesetireiavarareiverelcnreevlirremyeareeaanaeeqarelel]nlarlideydauluilyansulinayoall]ineenl]cndocmdsl]nssuaadsduisaastciuccimalsbreicmtescnapecmaaaesaeialnsbuaitldbtnetrFeinleeboútenesaneesnedisembmrdFtrsrgFdosa(reFysali.bxaiesarsbgrig(cbe,nry1(rgePy.xPf(o.xehy-iy.cx,1,cgdP,s,21oP)ch,1h-PyQuo.-syr,h2o,-cy)2oeers),W2oQ,.sa)aQn.scQe.secRlWe,Wc1ale,eenjoaWne,eal-RsnlRnledc2SsolRleSoe,(leea,o.ntxe,dcnryrdcwSnEnS,edcaeaSta,tTr,ayanwonclnrtwn,earol)w.neatdee,omeaclnaocclnosolocnotdnatTmdoaucmptadctXgmcacntaeTlnauTiouuu′antTgntu0gteoaalnttegiuuaiXtueunnlroFinuuaalldranalyayaianlladyFnelgFalrcnllyrFpyenpyily.rioyYgytaoicgecpe1pogp.p′cordi.op0pro-ern.pooe1oma21ooYedriter1io-srnp.-rrinipi2n-idrn2pntmndernte2d.diet.eanaiinn.iuiincnntdtidnncdahetntadoiuatitsetcthicealnthtepcuaheusoepmgseoulrselfluaorplaeaopaarloptfrlnnefxalhraaflastearetaenetaxtnhexthsanexdheeseeppseeXeesesddoeddpstp0dXreeeiXOpeoopnXoeltr0tose0iemOtXteipO0n.einrnOrrunmtXriemtEXad.nnmtX.cni.xiEetaictEanodinaEaadnunxnex.semndYlxeaddEbaaddsamd0pYrmyenYObmebYl0bpyeus0lptOYyO0pahylsbOle[tlYeetfiY[heesothicYsschjgesfae[eea[oeusoc[sclotcfelscarflxehaifueeaalntleltldlayhllith1eelilenlheinles-detqndeoeeh2edujlbesctlestoihslostyhaeobechxbectyerbcyaietyap,axohpyatxtrnxitrnetiutaeoheaiothdnasnohnseononeentpdnyerdofnodoedooayotoryscfmerafyxdrufdtarnasdieeesceaevxusxsedurehdrxaeuce,erijceemsaceehdshd,snm,hde,tneptleuo]ns,

4 Capítulo 1   Números complejos

Como un número complejo x + iy puede verse como un par ordenado de números reales, los números complejos

se representan mediante puntos en el plano xy, al que se le llama plano complejo o diagrama de Argand. Así, el

número complejo representado por P se lee como (3, 4) o como 3 + 4i. A cada número complejo corresponde uno y

sólo un punto en el plano, y a cada punto en el plano, uno y sólo un número complejo. Debido a esto, a un número

z se le llama también punto z. En ocasiones, a los ejes x y y también se les denomina eje real y eje imaginario, res-

pectivamente, y al pploarnjoz1c�omz2pjle¼jop, p(ffilffixffiaffi1ffinffi�ffioffiffiffixffizffiffi2.ffi)ffiLffi2ffiffiaffiþffiffidffiffiffii(ffisyffiffitffi1affiffi�nffifficffiffiyiffiffia2ffiffi)ffie2ffiffin.. tre dos puntos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2, en el plano
complejo está dada

Y Y
4
P(3, 4)

Q(–3, 3) 3
2
P(x, y)

1 r
y
T(2.5, 0)
X′ O 234 X X′ θ X
– 4 –3
–2 –1 –1 1 Ox

R(–2.5, –1.5) –2 S(2, –2)

–3
Y′

Figura 1-2 Y′
Figura 1-3

1.8  Forma polar de los números complejos

Sea P el punto en el plano complejo correspondiente al número complejo (x, y) o x + iy. Entonces, de acuerdo con
la figura 1-3, se ve que

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ¼x ¼r crocsous,u , y ¼y ¼r sresneun u
x2 þ y2
donde r ¼ ¼ jx þ iyj sise conoce como módulo o valor absoluto de z = x + iy [que se denota mod z o |z|];
y u, como amplitud o argumento de z = x + iy [que se denota arg z], es el ángulo que forma la recta OP con el lado

positivo del eje x.

Se sigue que

z ¼ x þ iy ¼ r(cos u þ i sen u) ( (1.1)

que se conoce como forma polar de un número complejo, y r y , como coordenadas polares. Suele ser conveniente
escribir, en lugar de cos  + i sen , la forma abreviada cis .

A todo número complejo z  0 le corresponde únicamente un valor de u en 0 ≤ u < 2p; sin embargo, puede
emplearse cualquier otro intervalo de longitud 2p, como −p < u ≤ p. A cualquiera de estos intervalos elegido de

antemano se le conoce como rango principal, y al valor de u, como valor principal.

1.9  Teorema de De Moivre

Si z1 = x1 + iy1 = r1(cos u1 + i sen uz11)zy2 ¼z2 = rx22fc+osi(yu21=þru2(2c)oþs ui2se+n(ius1eþn uu22))gse puede demostrar que [vea el pro-
blema 1.19] r1

zz11zzzz2122 ¼ rrrr1211rrf22c{foccoso(ssu((u1u1�1+þuu2u2)2)þ)+þiisiessenen(nu((1uu1�1 +þuu2u)22g))}g (1.2)

z1 ¼ r1 {fccos(uθ1 −� u2)) +þ ii sen(u11 �− u2)}g (1.3)
z2 r2

1.12  Ecuaciones polinómicas  5
(1.4)
Una generalización de la ecuación (1.2) conduce a (1.5)
z1z2 … zn = r1r2 . . . rn{cos(u1 + u2 + . . . + un) + i sen(u1 + u2 + . . . + un)}
y si z1 = z2 = . . . = zn = z se obtiene
zn = {r (cos u + i sen u)}n = r n(cos nu + i sen nu)
que suele conocerse como teorema de De Moivre.

1.10  Raíces de números complejos

Se dice que un número w es la raíz n-ésima de un número complejo z si wn = z, y se escribe w = z1/n. De acuerdo
con el teorema de De Moivre se aprecia que, si n es un entero positivo,

z1=n ¼ fr(cos u þ i sen u)g1=n

¼ r1=n�cos�u þ 2kp� þ i sen�u þ 2kp�� k ¼ 0, 1, 2, . . . , n � 1 (1.6)

nn

de donde se infiere que hay n valores diferentes de z1/n; es decir, n raíces n-ésimas de z, siempre y cuando z  0.

1.11  Fórmula de Euler

Si se supone que se satisface la expansión de la serie infinita ex = 1 + x + (x2/2!) + (x3/3!) + . . . del cálculo ele-
mental para x = iu, se llega a la igualdad

eiq = cos u + i sen u (1.7 )

que se conoce como fórmula de Euler. Sin embargo, es más práctico tomar (1.7) como definición de eiu. En general,
se define

ez = ex + iy = ex eiy = ex(cos y + i sen y) (1.8)

En el caso especial que y = 0, esta igualdad se reduce a ex.
Observe que en términos de (1.7) el teorema de De Moivre se reduce a (eiq )n = einq.

1.12  Ecuaciones polinómicas

En la práctica, con frecuencia se necesitan las soluciones de ecuaciones polinómicas de la forma

a0zn + a1zn−1 + a2zn−2 + . . . + an−1z + an = 0 (1.9)

donde a0  0, a1, . . . , an son números complejos dados y n es un entero positivo al que se conoce como grado de la
ecuación. A las soluciones de estas ecuaciones se les llama ceros del polinomio de la izquierda en (1.9) o raíces de
la ecuación.

6 CHAPTER 1 Complex Numbers
6 CHAPTER 1 Complex Numbers

A ver6y im poCrtaanptítthueolroeCm1H CcA aHNlPlAeúTdPmEteThRrEeo1Rfsun1cdCoamomCpmelonpetmajleolpxtslheNexourNmemubmoefbrsaelrgsebra [to be proved in Chapter 5] states

mnonctompoiamrooltloesncflpox,eatoltdhtlesrfhlex,oteathdohtfn0rheoteo(tserz(hfo,ftsmn1ueho�hts.nsar9(oo(f,mdI1tu1)zwmtsfsa.e1hn.h ssb9co9()zvmeeeadolta1)(m1)eIAerthazwnpe,o.fUSccrhea9imenu�ryedzaizvavtb)ntet2n1éeoaszeaehpqeihd,,znn1ttlrrrlauo.eaeb2l,yytwtzhte.lotasi)aez2odyhcl.aplrri2i�l,atefaelnmetie,,wsoo�.tttasmomoz.owth�d.l.lpirsenyr.mef(n.aaeoitaohnez.tna,soaswotirmie,fmsoze�tractnacirtnzeahnmlnhaucuenoonmizerattyacifsnmfrtnhqraqchaono)eaioteuliuacmnohól¼fmaerceyttgntenohptlqoa,eoniaiaobeoueml0nropbsrygotneracneornttpneiotomhaablrniioblitendmroereensfr[otaatenx,cóthaceptíiloonachmidtoeoltrdhl[leeeesmolbifltciaeasacx,eoncoefotdnm0padhat(totm,(rbih1lplserczo(a.eedtee,a.rm1hpad9oxsfeo�n0s.lepotlo)t9v(.oaep(lsrrz(sa1)sfezxmt,lo1uee1ad�.aevfcs.p9on)eno9eoc0a(e(il)rde(sr1)uzznamndeozmha.c1a.nm�cr9r)FCame−biceaai(n)asairbe.zhneozol(heazFCa2nfl1�rnwm1uatb)prtc.oe)hsanal9oer�(toszefatliezdl)ma�m2hltapwtrwatt�t)t−iiseothieo(msl5tre�tehnefzhnei]r�wnozteiaoei(�wtc�2ennss5e1ner)(htte]hnwe:azaa.znc1omilmtsrn.l�aece0notr)m.ndhaasa)eco¼etzí(yeatefcmrnlznnoise)abá0no−asol¼elsygtgtchzeuieobnd0nebbnm)eerract=nphaaoirtdlemai[e[0ecqtícjzo npaauostlleembi.e,cnxedspaeeelpl.ledllraxapoesnlmvpaecelno.uadosFantilerrcneoa.osrmFCmáarhlpeotgahlnmuepinsjetotealwh.rs(ciA1eas5o:pc]1wptí(ao0sta1enudt)r:alcta1oitasre0n5sp)d](ue1eee.ds1ste0atno-)
aw0(hziw�cqhhuziie1cs)hs(cezais�cllocenzad2ol)ltceh�ede�c�tfo(hazmec�tofoafrzcoentrd)omr¼faeodr0fmafcotoromfritzhoaefdtaphoedleypnloaolymenciuoaamlceiiaóqlnuaeptqoiuoliannt.ióo(m1n:i.1c0a.)

orm of the polynomial equation.

d form of t1he.1p3olynTohmeialnetqhuaRtiooon.ts of Unity
Unity The1s1.o.1l1u3t3io n TshRoeaf tínhcetehesqRuanotoi-oétnsszonimf¼Ua1nswitdhyeerelnais ua npoisditaivde integer are called the nth roots of unity and are

of Unity giveTnLhabesyssoolluutcioionnseos fdethlea eeqcuactiioónn znn =¼ 11, wdohnedre nn eis uanpeonstietirvoepionstietgiveor, asreellcaamllaend rtahíecensthn-réosoimtsaosfduenliatyunaniddadar,ey están

zn ¼ 1 where gndivaisednasbppyoosritive integer are called the nth roots of unity and are
on zn ¼ 1
c¼osc2oksnp2knþp iþwrIsefihsniweesI2rniefSte enkntaciwlpn2neuthketnal¼ieopcvs=lsienóe¼at¼nc2nvkpvovepdeocsé2ire¼=osk2rtnipisteptciiiscc2=ev/tnoepeskenss=co¼i2+dnínkfrpetcþi0ae¼=uzugs,nnlr¼eieo1e0nsþrpg,,ziecon2aus21¼iolrpl,2í,|seasgz./pi2rzc|2on.cn,o=nk=p.na¼2.ns=p,oolp.ln2l1e.c¼ryþ=kende,o�ygn2pgnsepotius1h¼22i�snþe/lpekiannnil,pore=1iennl2f2dsat,psþikhnesnunitp=hnenrni2selo,¼sierklndoeatanphlentídelscesra2o¼2eomokksnnisop,npfeasitisr=usr2ono¼cnknncsroapciiíritterb1=rseyck(ni2,et1uka1doa¼p:lr,n1(oi,eei=k1dv1nn0nu:1)¼1,,an2,au,1ri1vnvtek…0)c,a2i,,cr¼2,ríi1cv.,,rocl.,.02.eu.n.2,,−,l..o,o11,.v.f.,n.d.nGr2,.e�a�,,evd1r.noa.i1n.umd�G�.si1,éoe.no1toruGnim�nceeaoeo1mw,tmrciei tocenhanttrelcilc,cyeeea,nnsltttlehrayores,(yaert1hatnr:íe1etce(yhp1e1le-)sr:o1errep1i(gp-)er(e1ns..1eL1na)-

n 2p=n ¼ eo2prii=gnri,enst.heTnehtnitshreocoinrtcslveaerrhetaic1se,tshveo,fevaq2u,rae.tg.i.uo,lnavrjznpj�o1¼l.yG1goeaonnmdoefitsrniocsfaitdlelenys,ctiahnleslecydrirbetheped- uinniat circle.of radius one with center at the
uslianr 2ppol=yng¼oneo2opf rin=ing,sinitdh.eTsnhiinrsoscoritrisbcleaedrehia1ns,avthc,eivrec2qle,u.ao.tf.io,rnavdnjiz�uj1s¼. oGn1eeoawmndietthirsicoeafnltletyen,rtcahatellytehdreetph-e unit circle.

ueagtuiolanrjpzjo¼lyg1onanodf ins osifdtens icnaslclerdibethdeiunnaitcciirrcclele.of radius one with center at the

equation jz1j ¼.1141.a1nd4Vei s cIotnfotertneIncratleplerrdpertehtetaautcniioitóncinrocflveC.eocmtpolrexiaNludmebelros s números complejos
ocCofwvAoenChcmscotiowA1oodsccUpmmere.huo1lcnroynpeoetop4seolnfdxmleelraúepxPmapmNtmux.selinnVeenuriTuatNsrxmaeomomwmlvuicnfncoaibbepumtnoaceoolemavmlotriblroernnbppzsPcregtIeoltn¼eirOroePitjsnutsrozPsetxd(i¼zsxrPhþwo,p=atyhxmhvrii)soyeei,þxansctgtce+pghoainaoyemiinttiitnhinyucopoibeatdtossnieneas(ieynxalccbov,ltmooapeefny(noemex)scCsin,inoliidaedostnylsenmeam)sirrgisfeaadaintpdghtsedchulrFioaeoeirerminseardxgoco1.amFcraN-ii1ius4vagóg-un.egin.a4nAcmnv.1ptvieoO-eOtWbecu4rrcPtoed.aeotOeonrrWp=PssrduOaoenxOnmwPtd+oPshecosdtouimwiiiysmynreheesoiecteociisipsntmaliueeilcoteenalinissltanlaolldbicmtiiOuapifnaalteoiPllrcvidenieOp¼iantcfolPtftieieoxssnsrr¼e,teþtphcneixoosnetiysmcþitiounhcotreiiehiitónyOgeinoatirPtnlrpadhiopgeeyOesoinPnAipit.anBieoDOontlssndeoio,tnasironivlgndaeecfnitgoOureryas
ation of
etation

y can be
þe ipyocinatn(bxe,suycc)ohvna1esa-cis4dtio,neOrsrPeeFodicfgaoan.Pnsd1s. ia-ATd4eBvw.reaWoicnntveoiFegrsciugOotao.mlPre1ses-w.t4hiPm,haoavoerrissenetagccnianottlohinlt,esiOasidselPaeepmrs¼eocedirnxiletbeþqenisugOiatylPh.etH=ohoreerAnmipgBcoaeinsg=iwntOixeotun+awdneridiyta.enOd Pdi¼recAtiBon¼bxutþdiyff.erent initial points,

vitnhge tphoeinsatm(xe, slyeu)ncgahtshaisnoOrFPmigaa.gn1nd-i4tAu.BdWeinaenFsdoigmd.ie1rte-i4cmt,ieoasrnecbaculoltnOdsidPffee¼rreednxteþqinuiiyatila.thlHepeopniocnsetistw,ioenwrite OP ¼ AB ¼ x þ iy.
h4a,vainregctohnessidaemredleenyqguytahl.oHr emnacgenwiteudweriatnedOdPir¼ectAioBn¼buxt þdiifyf e. rent initial points,
1-4, are considered eqyual. Hence we write OP ¼ ABBB¼ x þ iy. y y

B yA Az2 z2 B B
z1
B AA y A zz11 + z2 z2 z1+ z2 B C
B x x
Ay A P(xP,(yx), y) z2 B z1 z1
z1 P(x, y)
A z1+ z2 z2 B z1 zz12+ z2 z2 z1
C
P(x, y) OO xx z1 O z2 x
P(x, y) x C
O z1 z1z+2 z2 zO1
x C O
OFig.F1ig-u4ra 1-4 z2 x Fig. 1-5 Figura 1-5
x O Fig. 1-4 C Fig. 1-5
x

mn4oubmmerpbsleercxsorncruoesSFmsrieirdpgebeAo.sFesnPpic1dri1ddsogorO-d-eAo5sr.n5iLAzsrb]tdd]ei11.tal.oOsdsoea-Ppna5siTmnAottoun]tdiohrh.onmdoa1uetndOfTna.atsze5hdnhC2cpndo.ettu,ooaoeOfacsmr,wpoCnaazcpatperú1doloarrllmcdmyeeracoaaslxleozporlptdr2serhmlgood.eunelersnoLspxmuaptdglamcchmeaoronoedttrabnmeoumimledlamcoaprpztgosshtw1lbloFomeleeneaniajcxgorpúzwfnaopFs.1somlldrniae1rgrOcacufrxeez-.oona5ormBa2solr1rdrn.pdlrsrb-edeuodT5ezaelesmcni2sodhrpto.pdeisgdeboomossTrinetnztdanehpird1mtidoseloaepoesnagajzfdanoOotr1tihoadsonlavAaelfagaeezBznlotc1llv2pheodCtnO,yeyoaegacrrrBzwdlzwstaa2p2oeeOm,loahlrsl[sfreoeBwsopcaelsotaotec[leehormrlsgoaifeaecsrrzlplerotaoaeehplmmgelsiaeotsprrplegaoalplrpmalneatalahtwdemrreeealalooalltfalegphwoeplrazeolraa1orgrmfagp+aarolradalralecmrdzamalo2iaoo.ltsrdligVrueocdOermleonaisoAatrpmaigrBoooeerdnClfnasOepmpd,voAorsvcoefneBuOtcbcdoyCtlvtAsoeooezmrBsrt1cwseoCtlaþsoah[z1dro[s1wszv-oes25þeeseh.[.aosOzesl2Aaee. figura
y OC

etocozm1 apnledxz2n.uTmShebeeerdPsiraozg1bolneamnaldO1z.B52,. owfethcisompaprlaeltleeltohgerapmarcaollrerleosgproanmdsOtoABz1Cþwzh2.ose

nd to z1 and z2. The diagonal OB of this parallelogram corresponds to z1 þ z2.

1.151.15St e rPerogoryaepchiccióPrnojeecsttioenreográfica

1.15 Stereographic Projection
rojectionLet PSe[aFig.[1fi-g6u]rabe1-t6h]eetlhpelacnoomcpolmexppleljaonye caonndscidoénrseisdeeur naasepshferea S tangennttetoa P eant z =¼ 00..ETlhdeiádmiaemtreotNerSNeSs piserpendicu-
ProjectiopnerpLeleantrdPaicu[Fl,aiygr .ato1lo-P6s]pabunendtowhseeNtchayellScposomeinlpetlsexlNlapmalnaandpeSoaltnohdenconorontresthiydapenrodlaossopuuhrtehdrepoSl.etPasnaorgfaeSnca.tdCtoaoPprrueanstpozoA¼nddi0en.gTthpoeuaedndiyaemptroeaitzneartrsANeSuinsa recta

mplex planeonanPpdNecrAwopneqsnuicdedaienicnrutacleaorsrsnpetshocteraPureacatSnlditenanwneugeNnecnApatultlinonpttoPoeriAnsa′et.sczDtNi¼enagen0sd.StaTSmahtehapnedoeinarionam,rtetahAtec0ar.andNTdaShspuoiusunttho pdeoealcephslaopnfooSinc.toCmoofprrltehjseopoconmdleipnclgoerxtroepsalpnaoynnepdoePinutnoAy sólo
clopmopinletsxNplatahnnederoeSaunntcndhoPeprcruonewnnostesrpoitodhceneanadrnnsladacosoesnponsehfusetatrhnauedcpStoo,ltlneaiynlsnyetgoeofdNnoSAte.ntoCpiúnomoPtirenerrartestoseozpcfcot¼oitnnhmdge0pi.nlsSTegpjhotaeotsrdeapinoarSyemin,ppetraoetnAeisdnre0.tnNwAtTaSehmiucsasendtioraeneptaerceuhsnenpptouianntyoodcfoetmhlaepelcesoxfemrnapu.lmePxbareparlcabonyme pPletar se
NcaAllipnoteinrstescNtinagnthdeSrSeathct eoprnoroeinsrpthoAna0nd. dsToshonuuesthatonpdoelaoecnshlyopfooSni.neCtpoorfirnetthspeoofcntohdmeinpsglpethoxearpenlyaSnp,eoaiPnndt Awe can represent any complex number by
nley NonAeipnoteirnsteocftinthgeSspahterpeoiSn,t aAn0d. Twheucsatnorepacrehsepnotinatnyofcothmepcleoxmnpulemxbpelrabnye P

only one point of the sphere S, and we can represent any complex number by

1.18  Conjuntos de puntos  7

dice que el punto N corresponde al “punto en el infinito” del plano. Al conjunto de todos los puntos del plano com-
plejo, incluso el punto en el infinito, se le conoce como plano complejo completo, plano z entero o plano complejo
extendido.

N

A'

yA
Sx

Figura 1-6
A este método para asignar a cada punto del plano uno y sólo un punto de la esfera se le llama proyección este-
reográfica. A la esfera se le suele llamar esfera de Riemann. Si se elige que el diámetro de la esfera de Riemann sea
la unidad, el ecuador corresponde al círculo unitario del plano complejo.

1.16  Producto punto y producto cruz

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos números complejos [vectores]. El producto punto [también llamado producto
escalar] de z1 y z2 se define como el número real

z1 ⋅ z2 = x1 x2 + y1y2 = |z1||z2| cos u (1.12)

donde u es el ángulo entre z1 y z2 ubicado entre 0 y p.
El producto cruz de z1 y z2 se define como vector z1 × z2 = (0, 0, x1y2 − y1x2) perpendicular al plano complejo y

de magnitud

|z1 × z2| = x1y2 − y1x2 = |z1||z2| sen u (1.13)

Teorema 1.2:  Sean z1 y z2 distintos de cero. Entonces:
(1) Una condición necesaria y suficiente para que z1 y z2 sean perpendiculares es que z1· z2 = 0.
(2) Una condición necesaria y suficiente para que z1 y z2 sean paralelos es que |z1 × z2| = 0.
(3) La magnitud de la proyección de z1 sobre z2 es |z1· z2|/|z2|.
(4) El área de un paralelogramo cuyos lados sean z1 y z2 es |z1 × z2|.

1.17  Coordenadas conjugadas complejas

Un punto en el plano complejo se localiza mediante las coordenadas rectangulares (x, y) o mediante las coordenadas
laepsrollvaemcahacroqourdeexna=da21s(czo+njuzg),ayda=s
polares (r, u). Existen muchas otras posibilidades. Una de estas posibilidades es
(1/2i)(z − z), donde z = x + iy. A las coordenadas (z, z) que localizan un punto se

complejas, o simplemente coordenadas conjugadas del punto [vea los problemas 1.43 y 1.44].

1.18  Conjuntos de puntos

A toda colección de puntos en el plano complejo se le llama conjunto (bidimensional) de puntos, y cada punto es un
miembro o elemento del conjunto. Las siguientes definiciones fundamentales se presentan aquí como referencia.

(1) Vecindades. Una vecindad delta o d de un punto z0 es el conjunto de todos los puntos z tales que |z − z0| < d,
donde d es cualquier número positivo dado. Una vecindad agujerada d de z0 es una vecindad de z0 en la
que se omite el punto z0, es decir, 0 < |z − z0| < d.

8 Capítulo 1   Números complejos

(2) Puntos límite. Un punto z0 se llama punto límite, punto de agrupación o punto de acumulación de un
conjunto S si toda vecindad d agujerada de z0 contiene puntos de S.
Como d puede ser cualquier número positivo, se sigue que S debe tener una cantidad infinita de puntos.
Observe que z0 puede o no pertenecer al conjunto S.

(3) Conjuntos cerrados. Se dice que un conjunto S es cerrado si todo punto límite de S pertenece a S, es
decir, si S contiene todos sus puntos límite. Por ejemplo, el conjunto de todos los puntos z tales que |z| ≤ 1
es un conjunto cerrado.

(4) Conjuntos acotados. Se dice que un conjunto S es acotado si se puede encontrar una constante M tal que
|z| < M para todo punto z en S. Un conjunto no acotado es un conjunto que no satisface esta condición. Se
dice que un conjunto acotado y cerrado es compacto.

(5) Puntos interiores, puntos exteriores y puntos frontera. Un punto z0 es un punto interior de un conjunto
S si se puede hallar una vecindad d de z0 tal que todos sus puntos pertenezcan a S. Si toda vecindad d de
z0 contiene puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a S, entonces z0 es un punto frontera. Si
un punto no es un punto interior o un punto frontera de un conjunto, entonces es un punto exterior de S.

(6) Conjuntos abiertos. Un conjunto abierto es un conjunto que consta únicamente de puntos interiores. Por
ejemplo, el conjunto de los puntos z tales que |z| < 1 es un conjunto abierto.

(7) Conjuntos conexos. Un conjunto abierto S es conexo si cada par de puntos del conjunto puede unirse
mediante una trayectoria que conste de segmentos de recta (una trayectoria poligonal) de modo que todos
sus puntos pertenezcan a S.

(8) Regiones abiertas o dominios. A un conjunto conexo abierto se le llama región abierta o dominio.
(9) Cerradura de un conjunto. Si a un conjunto S se agregan todos los puntos límite de S, el nuevo conjunto

es la cerradura de S, y es un conjunto cerrado.
(10) Regiones cerradas. La cerradura de una región abierta o dominio se llama región cerrada.
(11) Regiones. Si a una región o dominio se añaden algunos, todos o ninguno de sus puntos límite, se obtiene

un conjunto que se llama región. Si se agregan todos los puntos límite, la región es cerrada; si no se agrega
ningún punto límite, la región es abierta. En este libro, siempre que se use la palabra región sin más cali-
ficativo, se hará referencia a una región abierta o dominio.
(12) Unión e intersección de conjuntos. Al conjunto que consta de todos los puntos que pertenecen al con-
junto S1 o al conjunto S2, o a ambos conjuntos S1 y S2, se le llama unión de S1 y S2, y se denota S1 ∪ S2.

Un conjunto que conste de todos los puntos pertenecientes a los conjuntos S1 y S2 se denomina inter-
sección de S1 y S2, y se denota S1 ∩ S2.
(13) SCosemlplalmema ecnotmopdleemuennctoondjeuSn,toy.sEeldceonnojutan~tSooquSec.consta de todos los puntos que no pertenecen al conjunto
(14) Conjunto vacío y subconjuntos. Es conveniente considerar el conjunto que no tiene ningún punto. A este
conjunto se le llama conjunto vacío y se denota ∅. Si dos conjuntos S1 y S2 no tienen ningún punto en
común (en cuyo caso se dice que son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes), esto se indica como
sigue: S1 ∩ S2 = ∅.

Todo conjunto que se forme al elegir algunos, todos o ningún punto de un conjunto S se llama subcon-
junto de S. Si dejamos de lado el caso en que se eligen todos los puntos de S, el conjunto se llama conjunto
adecuado de S.
(15) Numerabilidad o contabilidad de un conjunto. Suponga que un conjunto sea finito o que sus elementos
se colocan en correspondencia uno a uno con los números naturales 1, 2, 3, . . . . Entonces se dice que este
conjunto es contable o numerable; si no es así, el conjunto es no contable o no numerable.

Los siguientes son dos teoremas importantes sobre conjuntos de puntos:

(1) Teorema de Bolzano-Weierstrass. Todo conjunto infinito acotado tiene al menos un punto límite.
(2) Teorema de Heine-Borel. Sea S un conjunto compacto, cada punto del cual está contenido en uno o

más de los conjuntos abiertos A1, A2, . . . [los que se dice que son una cubierta de S ]. Entonces existe un
número finito de conjuntos A1, A2, . . . que forman una cubierta de S.

10 Capítulo 1   Números complejos pffiffiffi Problemas resueltos  9

O1.p2e.  rSS auopcloju3inozcg11nai�ózzzeq11114zuns¼1¼z¼e22f¼jz222u1¼2=þþþnjþ3di2ii(,,,a2i+zzz,mþ2222zie¼2¼¼,i)zn¼�2333t=43��a�(�l33222e�i−ii2Psi22ric)i,jooy¼zzz33n33bzj¼3¼¼6ln¼þúe���3m�m121221i e�12þþaþrþ1spop2222psþ3ffi33ffirffi2ffi i3ffiiic8ffi..e.iioj.sEmuvpaellúleetjlaoosssexpresiones siguientes.
1.1ab. ))  bRaLS))oeo  jzjzzs33a31133131ljzzlzr((3��u�i1311e�3czs���ce13þ733u�zzizll�434ót21a1212212azzzs4iþþþd212n2i)z)jojoþ2444þ¼¼¼ps¼¼jzzze4d(¼¼1111(rjjj�jjze3�3�3�a���1jj(7c(aþ3�6662�2i8)88�(oþþ6þþ2þ2yn8¼¼¼¼¼iiþþeb)11)1ii¼¼)s)(f8(f1(f)11¼¼122(i(2(��iiiii)22þ(f21jjjnlþþ2þ()��)u)3i¼¼2¼4d4333j31sþ)(�7i(iiitþ¼þ42þ33c)3))rqqq33(þi33aaiþ7�3�)33qn3�dffi(�ffi(�(ffi�3ffi�ffi�ffi�((ffiþ3ffi(ffi�affi3ffiffil222(ffi2�2ffiffiffi6ffi�as33ffi6ffi63ffi6(�ffi))iffiffi)iffiffi2.ffi2ffi2(ffi)(2)2))(ffi22)�ffiffilffi3ffi62j2ffi2ffi2j2iffi2(2()ei(ffiffiffiffiiffi)(iffii2)ffiiffiy¼�ffi¼ffiþffiþ)ffiþþ)þj2)þffi2þi(ffiffiffiffiffiffiffiiffiþcffiþffi�¼þffiffiþ)þffiffiffiiffij(j(ffiiffi(oiffii2ffiffi6ffi6ffi1)1)þffi1)ffiffi¼ffinffi33i1ffi23ffi2jffi22(ffii11ffiffi1ffiþ6ffiþffim1ffi)((ffi2(¼ffiffiþffiþ)ffi)þ3)ffi222ffi2ffi�ffi1ffi22ffiþffi22ffiuffiffi(�ffiffi))3)3ffiþ)2�ffi(44(4t(¼4¼¼2ffiiiiffiaii)3(((1)))��þ4(4¼2t22i22222ippip()v�þþþiþ2þþ121ipaffi11ffi1ffiþffi2ffi2ffiþþffiffi1ffi5i55iiffiiffiiidffiffi1ffiffi)3ffi)3)3þ32ffiþ77ffiffi7ffi3ffieffi5ffiggffigffiiiffi���ffi)3þ7ffiþ��l8�8ffiga�8i8i8�8jj8333si8u(((jþ3444m(þþ4þ4ai.þ444�iii4þþþ8i þ¼iii2222)))i�2þþþ)7þ888þþþ8þ3þ4i44iii4���i �888 8
1.3.  cEd) )n LiLcfgeLhd c) )) )) )ooo )u  (  ( ����(������� ssszz�22�22z�2e33(33����fzzzz(nzrrr(ff(((((z()�22))(512218eee(211242(24224t34445zz22sssr)þ��þþ�þ�12þ��eþ�¼¼uuu¼¼�(¼¼4þ���þ�lllnzz¼¼zztttz362i32i3��aaa1�213122112)i)úiiiiiizz)idddf)41)f41i)41)�)�þ�)�þ��)mþþ�(21()((ooo((((þ�����þþ41þ242þ4�þ�ssse1212125353352333þ3�rþf�(þdddpippþþ12þ(��o��35(2�)þeeeþ2þ22�þ�fsip32ffi33þ3ffi23ffi��(ffiffippffihfdpii2iiffii�1i17ii2ir 22�������2����2i2i2)iffi3 ))) ))2)e2ffi22piiiiffi3i3ffiþi3ffiþþ�þþffi)ffi¼)ffi����)7¼e¼ay)2i¼ffiy¼¼¼¼¼¼g¼¼2g(i(iiffi3l)þ(!5(ffi!5!i243eg345234e¼5¼¼)54242¼i8i��������s8������ii)�������4)4�44!�ii(i)43(())4232i(4322432��2¼2¼22¼2gl42i4ixþ8þ��������((4((�þþ(�8ul�il�þþ�43224þ�43232þu322¼u�þ�þ42s2yþ422��((�i��i1s1s�þt¼¼((�þ¼)�þi32)�þi�43�43�r43tt2()27�g)2yg�3232ra1r7iiii¼i6�þiia�a¼¼i34����i¼¼i���¼¼�2in�����i2i¼¼��2i212312t21)i))2)2))�n22)��naiiiiii�¼�¼������¼�2þi)l�)�þþ��)12���l�(f(f(2()5�a((llei�6�þ�5þ622a�þ�2a2¼)i��121212sjj2jj2lj32p4p)(3(ip(4343�e6434l���þ64l)��6g3323i2i2iiþi(þi(21qeþ(eyjj(p((()(ffi32ffi323ffiþ�2þ¼þ�43�þ�þy¼þyþffi2ffiþ�u4�2ffi3g�42ffiiþiii(iiapipi))piþ3ffiþ))2eþþ�c�a¼���ffi�þ���þ(fs347234(f2i347f247(4222o�s�pi�o�þffi3533ffi5ffi3iiii4�ii4i44i�ffii3iiffiiiffiion342jj¼ffijj31j)13c)2(32))¼2))¼)x¼22722iþ1i2227þþi1(þffi3x(�ciim42i2ix�iffi�iiii��þ5�þjj1�þ55a)5)))i)¼)¼þ¼þ¼221iþþa"u1"�22"2�3þ22t�333��¼þ¼�¼5¼þþi¼¼53t¼t53¼53i��iii�vþ"�ia(22(22()1�2v1��p��pa�(p(¼2��4��(53�428t1828�18i41þpa412p(412piiy2ii1ii2i�v2pyd((ffiffi(��ffi()�i821þ)21iy)�2þ12)21ffiffiiiffi�iii�14i2p3d�3ai(ffi3ffi(ffiiffi(ffie�����f)���þffii����ffiffiþiffiffi¼i�4¼4¼ffi(4¼ffii�ffiffi)�effi)212ffi�2�þ()�222þþffi2ffiii�ffiffiffi1ffi341d(ffi42ffi2lffi)422ffi)ffipffiffi)p����þgpffigffiffiffiffiffi4affi2lffi223�ffi)ii22322ffiieffiffiffi2(1ffi2�(2ffi�þ�ffiþpipaffi�þffiffip1ffiffi2x21�iffi)ffi5pffiiffi5ffiffi�ffi3ffiix3ffi�ffi3þffiþffi2þm2ffiffixffi2þffi23ffiffiffiþl0ffiffiþiffi02ffiffi2ffiffiffiffi2þ1þpffis1þffia3ffiþffiffi3ffigffiffi3ffiffi�i(�i(ffiffii(ffi3ffiþiffiffiffiffiffiffiiiþffiu02uffiffiþþ0ffi4ffiffi1ffi4ffi�ffi�1ffi(�()ffi(ffiþþ8ffiþffiffii8þffiiffi�i2m3ffi�ffiffil3ffim3ffiffii(ffi43ffi2�4ffi�ffi2ffi�þffiffi4ffiffiþ5ffiþt4¼þffiffi�4i4ffi(ffiffi4ffi5ffi)þ)8þþffii)iffiiii5ffiiuffiffiffiffiia3ffi432(i234ffiy23422ffip2ffiffi�8)ffi2þffi2)8)ffiffi)yffiffi�)ffiffiffi�7�ffi4�l#ffiy#1ffi2#)2þ).1)4ffi22ffi)4ffili�ffiffiffiiffiitiffii42344222ffi¼)ffi22i))2)262i264222ffi24¼ffi�227c#222¼)ip22ffiig66g664ffiii4iii2a)¼¼¼2�l2�iii�¼i¼¼þ2iþþ7i5þ22þ2c27c7¼�ii¼��8�¼8a¼¼þ¼)5ó131137þ7iþcin5�¼85i¼i¼þ12g12121i888.85ii�ó�5¼¼5��21��i�(�nþ��8�þi.4i.2.2i�.�(p7p7p222142þ1�4522288i2iþi27pþi3ffi3ffiffi322þffiffiiffiii2ffi5�i2�22þiiiffi3¼¼þ3iþ3iffi)23¼¼1ii1i3iþ842¼842)i88iiiiþþþ(þþþ�þþ7þ(552�666665511þ11i�i¼¼¼¼5iii9)31111ii¼4444) ���¼�1188881iiii1

Soj )l u(c−ió1 n+ 2i){(7 − 5i) + (−3 + 4i)} = (−1 + 2i)(4 − i) = −4 + i + 8i − 2i2 = −2 + 9i

L2yaO3−e33txcxrxuxþoþaþ=cm55i5yóé5yynt.¼¼o¼Add7al7o7d,r,,ae222sysyoye(�l���vees1xxcrxþ¼rs¼¼iibm25e55i.u).3.flx(t7á+n�e5a5ymi+)eþnit(e(23�,3y3xxx3x−þ=þþx5−5)54yy=yi1)þþgþy7¼ii(yi+(2(x2x2(=xyy�5¼y¼�¼i�12�.�.�xþ�Axx)1)1)s1,2¼,í¼,¼,iyy)ya7(¼7l7¼¼þiþþ�g222u5.5.5.aii.il..a) rþla(s�p1arþte2sir)e(a�l3eþim4aig)inaria, 3x + 5y = 7,
b)jjzjzz111zzz222jjj¼¼¼jjzjzz111j¼¼jjjjzjzz2f(223�jj.j.þ.7 þ195i)i þ 14i � 10i2g þ f3 � 4i � 6i þ 8i2g
Demuest:r::e(:((aaa)))zzz111þþþzzz222¼¼¼z�z�z�111þþþz�z�z�222,,,y þ (�5 � 10i) ¼ �2 þ 9i
1.4. 

Lo anterior ilustra la ley distributiva.

aOSbS))e(ato(a  lOkm(a�r� −))zzno¼¼l t ej1jz11z1urz1zn1z1mo1¼1¼þ�þ�153t35�czþ+3zþeé2m=25þ�5,þ�i1xix�itjjó)=zz)=ioa11é(¼¼)2þ(¼¼22x25445da(ta2nþþ=1,o,iia¼¼ii¼¼oiiþjqjqþþdb+þb((ii+−¼xyxoyxxxx(ffiffi(¼b¼ffib1ffi1141x114x11i ffiffi5ffii,ffiyb,i�11ffiþffi3þ)þþ)þþ/þffi2ffiþ21�xi�xffizjffizPffi)ffi21z¼0¼0�22ffi22ffiyjiffiiffi11ix1oxi3,zffi3=ffiyyyþ�yffi�¼zffi¼2=21=ffirziffibi1�21�1ffi21ffiz22ffi2ffi)�)�¼¼diffij¼¼ffi−2yiyþ=(ffiþxa(ffi2xa=ffiffiejxo1xffi1o�ffi222ffiaffiiif¼�y21352y�ffir513ffi��r(x(xiffi−ffiþþ2ffix2¼ffi5nyy5þ2þ−ffi2affi�a�þ)ffi)11ffi21b1(ib1ffiffi22þþþffiþicffiziþþffi+(ffi/þyi��þyiþffi541bþffii45þþzyffiyffi2ó22ffizffi2iii1i2ii2ffi2ffib.b.+2yffinyyffii,iiyz(0�)(ffi9)(0�ffi9(yi)ffii2ffia222j,2aojxxffi¼ffi33i(33i2ffiffi))�)¼�¼1ffiz((1¼ffi¼¼.¼þ�(þffi�ffia3aþþy1ffiþþyffi¼¼zAffi�ffiz2ffi2ffi11�1�ffi+ffijx−1−jbx21bffisffiz44x6344x6ffiþffiþxx1)15)ffií5)2ffi551ii1ffiiiiffii1i1iffib)�ffii22¼þib=x2þx=ffiffiþþyyffi¼ffi�¼i�þ22iþffi2¼)2ffi1ffi1ffi)i3ffi=ffixxz1�x/ffi4�xffi�4�ffii3ffiii=122322ffi2zffi2(yyffi�ffizþ2þþ01)2ffi−0)ffi−þy�1þy1�ffii2ffii22zffi0ffii0=ffii3ffi=11z�2þ212iþ5323y2¼y21¼i22iz2�−þ(/i(2þzii2�..1+iiyxxy22�.þ�z.�qþqþ12212844128441¼i−þ�0(ffi�þ6)(ffii026¼iffii��ffi��x.xffi(ffi(iiffieffi(���21x�21ffix2/Pffiyiiyzffiffis(1y33ffi1yffi33221þo2þffiffi¼zyffiy26ffi2ii)9e6iiz9�)ffi.ffi1r�ffi2�ffi210li0ffiizffi�¼y¼yffi2ffit�)2ffiiþ1ffiþina12aa21ffi(ffiffi)ffi)¼zú)nffi¼5ffix(xffi�(ffi�(2y2ffiymffizt11xffixffiz��o1ffi21ffi�22ffi�22ffi2þþbxffizexb�,ffiffiffi)2þffi2rþffi2i5−5ffiffi¼)o¼)ffi)¼ffiiiffi¼ffi2jy2jyþffiþffia¼yyffiffia51ffi15ffi3322ffi22ffijffi�ffi−z3)þ3,ffi)þffi+,j15z5¼a¼aj521ibx2ixbj��j2þ2�þ2qizq=j,þ2þzbb8dffixj128xffi2ffiffi23ffi21ffi0o21j0iiffi¼ffii¼2ffiyffi,ynoffiþffiþ�2ffi�2ffi22aoffiffidroffi�ffi5�5ffiffi¼¼eryffiyffij6−6ffiffi2zffi212ffi120ffijaffi01qqzz�z�iizb111y2xffi¼zffix¼ffiffiþj=þffi222ffi22bffiffiffij¼ffiffi3þffiþ3ffizffi�sz�¼−ffiffiffi2ffi2o��ffijffiyffiyffiz2nffiffijffi22ffi221ffizffiiijyn1¼¼j,júzj2amzjjjl2zzej11rrjejjojszzso22jljrveearlessi,mtaulletásnqeuae-

jduogmnad)d eoss3e3(iiv22a33e0ip0ia�r���oev11lii1e1p99crh¼o¼ób3l3qe((umii2e2)a)221e1i5i15l��.��c5o511(n()iij.22u))g99iiad¼¼o33d((�e�u11��n))11115p5 þrþ��od22((u��iic11t))o99iide dos números complejos es igual al producto de los con-

Representación g¼¼rá����f1133iþþcþþa22iiiid�� ����e1111l����o2222siiii ¼¼nú33mþþe6161rii����o44siiii�2�2c22oii22m¼¼p55lþeþ55j55oii ¼s¼.11Vþþecii tores

1.5.  Realice las operaciones indicadas de manera tanto analítica como gráfica:

a)  (3 + 4i) + (5 + 2i),  b)  (6 − 2i) − (2 − 5i)  y  c)  (−3 + 5i) + (4 + 2i) + (5 − 3i) + (−4 − 6i).



Problemas resueltos  11

Solución

a)  Analíticamente.  (3 + 4i) + (5 + 2i) = 3 + 5 + 4i + 2i = 8 + 6i

Gráficamente.  Estos dos números complejos se representan mediante los puntos P1 y P2, respectivamente,
como en la figura 1-7. Se completa el paralelogramo cuyos lados adyacentes son OP1 y OP2. El punto P repre-
senta la suma, 8 + 6i, de los dos números complejos dados. Observe la similitud con la ley del paralelogramo
para la suma de dos vectores OP1 y OP2 para obtener el vector OP. Debido a esto, suele ser conveniente con-
siderar un número complejo a + bi como vector con componentes a y b en dirección de los ejes positivos x y
y, respectivamente.

yy
P2

P

–2 + 5i P

P1 4 + 3i
8 + 6i
3 + 4i
P2 x
O
5 + 2i x 6 – 2i

O P1
Figura 1-7
Figura 1-8

b)  Analíticamente.  (6 − 2i) − (2 − 5i) = 6 − 2 − 2i + 5i = 4 + 3i
Gráficamente.  (6 − 2i) − (2 − 5i) = 6 − 2i + (−2 + 5i). Ahora se suman 6 − 2i y (−2 + 5i), como en el
inciso a). En la figura 1-8, el resultado está indicado por OP.

c)  Analíticamente.
(−3 + 5i) + (4 + 2i) + (5 − 3i) + (−4 − 6i) = (−3 + 4 + 5 − 4) + (5i + 2i − 3i − 6i) = 2 − 2i

Gráficamente.  Los números que se van a sumar se representan como z1, z2, z3 y z4, respectivamente. Estos
números se representan gráficamente en la figura 1-9. Para hallar la suma buscada se procede como se muestra
en la figura 1-10. A partir del punto final del vector z1 se traza el vector z2. A partir del punto final de z2 se traza
el vector z3, y a partir del punto final de z3 se traza el vector z4. La suma buscada, a la que se le suele llamar
resultante, se obtiene con el trazo del vector OP desde el punto inicial de z1 hasta el punto final de z4, es decir,
OP = z1 + z2 + z3 + z4 = 2 − 2i.

yy

z2 z3

z1 z2 x z1 z4
O z3 O x

z4 P

Figura 1-9 Figura 1-10

12 Capítulo 1   Números complejos

1.6.  Suponga que z1 y z2 son dos números complejos (vectores), como en la figura 1-11. Obtenga gráficamente
a)  33z1z1−�2z22z  2,y  (b)  21z2 þ 35z1

Solución

a)  En la figura 1-12, OA = 3z1 es un vector en la misma dirección que el vector z1 y cuya longitud es tres veces la
longitud del vector z1. OB = −2z2 es un vector en dirección opuesta al vector z2 y cuya longitud es dos veces
la longitud del vector z2.
Así, el vector es OC = OA + OB = 3z1 − 2z2.

y
yC

z1 BA 3z1 – 2z2
z2
Figura 1-11 x –2z2 3z 1 x
y O

Figura 1-12

5 z1 Q
3
P

O 1 x
2
z2 R

Figura 1-13

b)  El vector (número complejo) buscado está representado por OP en la figura 1-13.

1.7.  Demuestre que a)  |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|,  b)  |z1 + z2 + z3| ≤ |z1| + |z2| + |z3|,  c)  |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|
y dé una interpretación gráfica.

Solución

a)  Analíticamente.  zS1 e¼anxz11þ=iyx11, +z2 i¼y1 xy2zþ2 =iy2x.2 + iy2. Hay que demostrar que
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(x1 þ x2)2 þ (y1 þ y2)2 � x12 þ y12 þ x22 þ y22

Al elevar al cuadrado ambos lados, esto será cierto si qffiffiffiqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

(x1 (þx1xþ2)2xþ2)2(yþ1 (þy1yþ2)2y�2)2x�21 þx21yqþ12ffiffiþffiyqffiffi21ffi2ffiffiffiþffiffiffiffi(2ffiffixffiffi21ffiffiffi(þffixffiffi21ffiffiyffiþffi12ffiffi)ffi(ffiyffixffi12ffi22ffi)ffiffi(þffixffiffiffi22yþ22) yþ22)xþ22 þx22yþ22 y22
es decir, si x1x2x1þx2yþ1y2y1�y2 �(x12 (þx21yþ12)(yx2122)(þx22yþ22) y22)

o si (de nuevo al elevar al cuadrado ambos lados)
x21xx2122xþ22 þ2x21xx12xy21yy12yþ2 þy12yy2122y22��x21xx2122xþ22 þx21xy1222yþ22 þy12yx1222xþ22 þy21yy2122y22

o 2x21xx12xy21yy12y2��x12xy2122yþ22 þy21yx1222x22
Pero esto equivale a (x1y2 − x2y1)2 ≥ 0, lo cual es verdadero. El resultado se demuestra al retroceder paso por
paso, lo que sí es posible.

Problemas resueltos  13

Gráficamente. El resultado se colige de que |z1|, |z2|, |z1 + z2| representan las longitudes de los lados de un
triángulo (vea la figura 1-14) y de que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor o igual
a la longitud del tercer lado.

  

yy

�z1� �z2� � z1� �z2� �z3�
O �z1 + z2� �z1 + z2 + z3�
P
xO x

Figura 1-14 Figura 1-15

b)  Analíticamente. De acuerdo con el inciso a),

jz1 þ z2 þ z3j ¼ jz1 þ (z2 þ z3)j � jz1j þ jz2 þ z3j � jz1j þ jz2j þ jz3j

Gráficamente. Este resultado es consecuencia del hecho geométrico de que, en un plano, la distancia más corta
entre dos puntos O y P es la recta que los une (vea la figura 1-15).
c)  Analíticamente. De acuerdo con el inciso a), |z1| = |z1 − z2+ z2| ≤ |z1 − z2| + |z2|. Entonces |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Un resultado equivalente que se obtiene al sustituir z2 por −z2 es |z1 + z2| ≥ |z1| − |z2|.
Gráficamente. El resultado equivale a decir que la longitud de uno de los lados de un triángulo es mayor o igual
a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

1.8.  Los vectores posición de los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) están representados por z1 y z2, respectivamente. a)
Represente el vector AB como número complejo. b) Encuentre la distancia entre los puntos A y B.

Solución

a)  De acuerdo con la figura 1-16, OA + AB = OB o

AB = OB − OA = z2 − z1 = (x2 + iy2) − (x1 + iy1) = (x2 − x1) + i(y2 − y1)

b)  La distancia entre los puntos A y B está dada por qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

jABj ¼ j(x2 � x1) þ i(y2 � y1)j ¼ (x2 � x1)2 þ (y2 � y1)2

y y
A(x1, y1)
  

A B

z1 B(x2, y2) z1 P x
O z2
O z2 C
x Figura 1-17

Figura 1-16

1.9.  Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 que representan dos vectores no colineales o no paralelos. Si a y b son
números reales (escalares) tales que az1 + bz2 = 0, demuestre que a = 0 y b = 0.

14 Capítulo 1   Números complejos Problemas resueltos  15

Solucy ión

La condición dada az1 +A bz2 = 0 es equivalente a y

a(x1 + iy1) + b(x2 + iy2) = 0  o  ax1 + bxB2 + i(ay1 + by2) = 0.

z1 P

Así, ax1 + bx2 = 0 y ayz1 + by2 = 0. Estas ecBuaciones tienen la solución simultánea aC= 0 y b = 0 si y1/x1  y2/x2,

es decir, si los vectores no son colineales o no son paralelos. D

z2 x

1.10.  DemOuestre que las diagonales de un paralelograxmo se bisecan entre sí.

A

Solución Figura 1-18 Figura 1-19

Sea OABC [figura 1-17] el paralelogramo dado, cuyas diagonales se intersecan en P.
1.12C. o Smeoanz1A+(1A, −C 2=),zB2,(−AC3,=4)z2y−C(z21., E2)ntloonsctersesAvPé=rticme(sz2d−el ztr1i)á, ndgounldoe A0B≤Cm. E≤nc1u.entre la longitud de la mediana
CodmeoCOaBl l=adzo1 A+Bz.2, OP = n(z1 + z2), donde 0 ≤ n ≤ 1.
Pero OA + AP = OP; es decir, z1 + m(z2 − z1) = n(z1 + mz2)=o12(,1n−=m12 − n)z1 + (m − n)z2 = 0. Por tanto, de
0, m−n=0o , de manera que P es el punto medio de
acuSeordlouccoinóenl problema 1.9, 1 − m − n =

las dos diagonales.
Los vectores posición de A, B y C están dados por z1 = 1 − 2i, z2 = −3 + 4i y z3 = 2 + 2i, respectivamente.
1.11.  EnEcnuteonntcreesu, ndea aeccuuearcdioóncodnellaafrigeuctraa q1-u1e9p, asa por dos puntos dados A(x1, y1) y B(x2, y2).

Solución AC ¼ z3 � z1 ¼ 2 þ 2i � (1 � 2i) ¼ 1 þ 4i
BC ¼ z3 � z2 ¼ 2 þ 2i � (�3 þ 4i) ¼ 5 � 2i

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 +AiBy2¼lozs2 v�eczt1or¼es�p3osþic4ióin�d(e1 A�y2iB) ,¼re�sp4eþcti6viamente. Sea z = x + iy el vector
posición de un punto P en la rectAaDqu¼e u12AnBe A¼y21(B�.
De acuerdo con la figura 1-18A, C þ CD ¼ AD 4þ 6i) ¼ �2 þ 3i pues D es el punto medio de AB.
o CD ¼ AD � AC ¼ �2 þ 3i � (1 þ 4i) ¼ �3 � i:

Así, la longitud de la medianOOaAAC++D AAeisBPjC==DOOj ¼BP j�3 �oo ij ¼ pzz111ffiffi++ffi0ffiffi. AP = z, es decir, AP = z − z1
AB = z2, es decir, AB = z2 − z1

1.13C. ol EmonnocguAietPundtyr1eA0lBayesfoconucacocosilóiennneda(el−eas3,),Au0Pn)zcy==ír(ct3zAu,1Bl0+o)o.dtz(ez−r2a−dz1ioz=1)4 tc(ozo2n  −cezzn1=t)r,o(d1oenn−d(et−)zt21e,s+1r)etzya2lb; )lauencauealciipósnebcuusycoadeajeems ayor tenga

CoSnoz1lu=cxi1ó+niy1,  z2 = x2 + iy2  y z = x + iy, lo anterior se expresa como

a)  1E-l2c0e]n, tlraodsiestraenpcrxieax�se�dnextx1az1¼am¼−et(tdx2(ix2a+2n��teixex1es)1l,)n, úymy�e�royy1c1¼o¼mt(pty(ly2e2j�o�−yy12)1)+  oior. rSixxzx2x2�e��s�xuxx1x1n11¼p¼uynyy2tyo2����cyuyy1y1a11lquiera del círculo [figura

Las primeras dos se conocen como ecuaciones p|azr−am(é−tr2ic+asid)|e=la4recta, en donde t es el parámetro; la segunda
es la ecuación de una recta en forma estándar.
Otro mEéntotodnoceCso, mlaoecAuPacyióPn|B(xres+oqnu2ecm)romim+mdAliAaAnPAiPPee(P¼yas¼=l¼|−eznsnnP,n+1PPBeP)BxB|2Bi= s−oteoro4onir ,|r n=múmmemm(4s((zz(z,ed�zq−r�e�ouczsezzi1zr11)re1))e(¼)nax=¼¼lfe+nonns(rn((zmm2(zz2z)22a�2y�−r�+nezz)zcz(t))ta)yalne−gsuq1lu)a2er=:est1á6dada por

Se despeja, y      y

z 4zzz¼¼¼mmmzmz1mzm1þþ1þþþþnnnnznnz2z22   ooroor r xxx¼¼¼mmmxmx1mxm1þþ1þþþþnnnnxnnx2x2,2 ,, yyy¼¼¼mmmymy1mym11þþþþþþnnnnynny2y22 z
(3, 0)
que se conoce como form(–a2,s1im) étrica. x (–3, 0) x

Figura 1-20 Figura 1-21



16 Capítulo 1   Números complejos

b)  La suma de las distancias de cualquier punto z de la elipse [figura 1-21] a los focos es igual a 10. Por tanto,
la ecuación requerida es

|z + 3| + |z − 3| = 10

En forma rectangular, esto se reduce a x2/25 + y2/16 = 1 (vea el problema 1.74).

Fundamentos axiomáticos de los números complejos

1.14.  C on la definición de número complejo como par ordenado de números reales y las definiciones de la página
3 demuestre que (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1), donde (0, 1)(0, 1) = (−1, 0).

Solución

De acuerdo con las definiciones de la suma y de la multiplicación de la página 3, se tiene
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1)

donde
(0, 1)(0, 1) = (0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1, 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0) = (−1, 0)

Se identifica (1, 0) con 1 y (0, 1) con i, y se ve que (a, b) = a + bi.

1.15.  Suponga que z1 = (a1, b1), z2 = (a2, b2) y z3 = (a3, b3). Demuestre la ley distributiva:
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.

Solución

Se tiene

z1(z2 þ z3) ¼ (a1, b1)f(a2, b2) þ (a3, b3)g ¼ (a1, b1)(a2 þ a3, b2 þ b3)
¼ fa1(a2 þ a3) � b1(b2 þ b3), a1(b2 þ b3) þ b1(a2 þ a3)g
¼ (a1a2 � b1b2 þ a1a3 � b1b3, a1b2 þ b1a2 þ a1b3 þ b1a3)
¼ (a1a2 � b1b2, a1b2 þ b1a2) þ (a1a3 � b1b3, a1b3 þ b1a3)
¼ (a1, b1)(a2, b2) þ (a1, b1)(a3, b3) ¼ z1z2 þ z1z3

Forma polar de los números complejos

1.16.  Exprese en forma polar los números complejos siguientes.
2aþ)2  2þ2pþ2ffi3p2ffiip,ffi3ffii3ffi,ffi(i,b )(bb()b2) )522þ5 5þ5iþ,5i5, (i,c)c(c)( )2c)2p26ffipffi p�ffi6ffi 6ffi�pffi �ffi2pffiip ,2ffiffii2ffi,yffi(i ,d)(d( )2d )−32i323ii3i

Solución
u ¼LEas)¼ale mna�jm2ó1dþp2ulpil2tou3ffipffid=offi34ffiovij¼a[a¼lvrogsereaupnaml�bffi4affi1ffiesffiþpfffionffiiffigltffi3ffiffiuo1ffiffiuffi=t2ffiroeffi2asu¼e¼1us¼-42r6¼.s20¼e.8s]¼ne�j¼n21�j2þ2p1pþ2=2p33ffipffi2=3ffipffi3ffi4ffi=i3ffi4j¼ffii¼j¼s¼epsne�p4ffinffi1ffi�ffi4ffiþpffiffi1ffiffiffiffiþpffiffiffi3ffiffi1ffiffiffiffi=ffi2ffi3ffiffi1ffiffiffi2ffi=2ffi¼ffi2¼¼¼46.406.808¼¼pp=3=3 (radianes).
Entonces

2 þ pffiffi ¼ r(cos u þ i sen u) ¼ 4(cos 608 þ i sen 608) ¼ 4(cos p=3 þ i sen p=3)
2 3i

Este resultado también se expresa como 4 cis p/3 o, con la fórmula de Euler, como 4epi/3.

Problemas resueltos  17

y y x
2 + 2√3i
x
4 2√3 5 5√2 135°
60° 45°
2 x –5

Figura 1-22 Figura 1-23

�5 þ 5i ¼ pffiffi 1358 þ i sen 1358) ¼ pffiffi cis 3p=4 ¼ 5p2ffiffi e3pi=4
5 2(cos 52

b)  −5 + 5i [vea la figura 1-23.] pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi
r ¼ j�5 þ 5ij ¼ 25 þ 25 ¼ 5 2
pffiffi pffiffi ¼u ¼p16ffiffiffi8ffiþffi0ffiffiffi8ffi2ffiffi�¼425p8 ¼2ffiffi
r ¼ j� 6 � 2ij 1358 ¼ 3p=4 (radianes)

De manera que u ¼��515��8þþ5508þþ55þii55¼¼i3i 0¼¼558pp55¼p2ffiffi2pffiffi((2c2ffic2ffiffiffi1oo((0ccsso8o11ss¼3311553388755pþþ88=þþii6sseieinsnsee11nn33115533885))588¼¼)) ¼¼55pp55p2ffiffi2pffiffi ccffi2ffi2ffiffiiissccii33sspp33==pp44==¼¼44 ¼¼55pp55pffi2ffi2pffiffieeffi2ffi233ffiffippeei3i3==pp44ii==44

c)  pffiffi � pffiffi [¼ve2apla2ffiffi (fcigousr2a110-82þ4.]i ¼¼¼¼usurre¼¼¼¼n1j1j��8821j1j00p1p��888800pffi60ffi6p8ffiþffiþ88)��6ffiffi6ffiþffiþ¼33��0p0p338280ppffi2ffi20pffiffi¼¼8ii8jj2ffi2ffi2ffiffiffiffi¼¼¼i2¼2icjj11i¼2s¼200pp117880pffi66ffi0ppffiffi¼¼ffiffi88ffiffi=þþffiffi6ffiffi6ffiffiffi¼ffi6¼ffiffiffi7ffi7ffiffiffiffiþþffiffiffi22ffippffiffiffi¼ffiffiffiffiffi77ffiffi¼=ffi¼=2ffi2pffipffiffiffi662¼=¼=p2266pp2ffi22ffi(ep2ffiffi2prffiffi7ap2ffid2ffiffiffiii=ae nes)
�6 2i r

ur
u

De manera que

��pp��p6ffi6ffipffiffi ��ffi6ffi6ffiffi ��pppffi22ffipffiffiiiffi2ffi2ffi¼¼ffiii ¼¼22pp22p2ffiffi2pffiffi((c2ffic2ffiffiffioo((ccssoo22ss112200118800þþ88 þþii sseieinsnsee22nn11220011880))088¼¼)) ¼¼22pp22pffi22ffipffiffi ccffi22ffiffiiffiisscc7i7isspp77==pp66==¼¼66 ¼¼22pp22pffi2ffi2pffiffieeffi22ffi77ffiffippeei7i7==ppeeii==ee

y y
–3
–√6 210° x 270°

–√2 30°
2√2

Figura 1-24 Figura 1-25

d )  −3i [vea la figura 1-25.] rr ¼¼ jj��33iijj ¼¼ jj00 �� 33iijj ¼¼ pp0ffi0ffiffiffiffiffiffiþffiffiþffiffiffiffiffiffiffiffi9ffi9ffiffiffiffi ¼¼ 33
De manera que uu ¼¼ 22770088 ¼¼ 33pp==22 (radianes)

��33ii ¼¼ 33((ccooss33pp==22 þþ iisseenn33pp==22)) ¼¼ 33 cciiss 33pp==22 ¼¼ 33ee33ppii==22

1.17.  Represente en forma gráfica las expresiones de los incisos siguientes:  a) 6(cos 240° + i sen 240°), 
b) 4e3pi/5 y c) 2e−pi/4.

Solución

a)  6(cos 240° + i sen 240°) = 6 cis 240° = 6 cis 4p/3 = 6e4pi/3 se representa en forma gráfica mediante el
vector OP de la figura 1-26.

18 1188 CHCACHPHATAEPPRTTE1ERR1C1omCCopomlempxpleNlexuxmNNubumemrbsbeersrs

18 CIfawpIefIífstwtwuaereltstswoatraitr1htw wv iteihNtchtvúovermceOtceotAroro,rOwOsAhA,co,woswehmhomposalesgeemnjmioatgausgndnietiutiusdde6eiasins6d6awnanhddowswehhodosireseedcditriioercnetcitosiontnhiasitstohthfatathtoeof fpthtoheseiptipovoseistixtviavexexisxa,xawxisei,sc,wawenecacnan

obtaoiobnbtOatiaPninObOyPPrbobytayrtoirnotagttaiOtniAnggOcOoAuAnctoceouruncntleotreccrklcwolociskcekwwtihsiresoetuhtghrhorouaugnghahannagnlaenanoggflel2eo4of0f82.24I40n08.g8.IenInnegrgeanelne, reraerlai,ul,riesrieueiuqisuisievqeaquluievnivatlatelonentatvoteoacatvovercetcotor r
obtaoSiobnibteasdteianbipneyaderrdbtoebytaydrteoirnlotagtvtaeiatncivngtoegacratvAoverOceotc,oftdormeroamofgfmanmgiatngauigndtnuietidurtud6adeneyrdreadnaindrdeddicrditeriioecrcnetciitótohinonatndtohetfhlataehtojeeof fpxthotphesoeiptsipoivtoseiisvtixotvi,avexsexeisxao,xabcxiotsiu,esn,cntoceeourOuncntlPeotrecacrkllcworlociskctaekwrwtihAsiresOoetuh2tghr4hor0ou°ugghehn
asnenaantnaigdnlaoenacnguogl.enleturu.ar.io al de las manecillas del reloj. En general, reiu equivale a un vector que se obtiene al rotar un

vector de magnitud r y dirección del eje positivo x en un ángulo u , en sentido contrario al de las manecillas del
y yy y yy y yy
reloj.

240° 222444000°°°yO 6 66 AA x   x x P PP   O OO y 2 22 AA x xx
OO A y 45° 454°5° A x

6 66 6 x 4 P44 110088°° O2 22 2
P PP O 108° 45°
O4 OO
6 A x xx A

108° P PP

FPig.F1Figi-g2. .611-2-266 Fig.F1Figi-2g. .711-2-277 2
O x Fig.F1Figi-g2. .811-2-288
P
(b) (b(b) ) 4e3p4i=4e53ep3¼ip=i5=45¼(c¼o4s4(3c(ocpos=s353pþp=5=i5sþiþni3sipisni=n353p)p=¼5=5)4)¼(c¼o4s4(1c(oc0os8s8110þ088i 8sþiþni1si0isn8in81)10088)8)

is reipsirsreeFrspeiegprneurtseresdanen1tbe-tyde2d6ObbyPyOinOPPFiingin.F1Fig-i2g. 7.1.1-2-277. . Figura 1-27 Figura 1-28

(cb)) (c()c) 2e�p2i2e=�e4�p¼ip=i4=24¼4fc¼eo32ps2f(i�c/f5ocpos=(s=�(4�4p)(pc=þo4=s4)i )sþ3iþpni(/�si5isnpi+n(=�(4�ip)sgp=e¼4=n4)g3)2gp¼fc¼/o25s2f)(cf�=oco4s(4s5�((8�c)4oþ45s58)1i8)s0þiþ8ni°(�si+isn4in(5i�(8s�)e4gn45581)80g)g8°)

está representado en la figura 1-27 mediante el vector OP.

c) TinhgisTiwnTichnigothighsmwiswcvpiocteilhomtechmxtvpovenplreceulOxtecmoxtAnorbn,urOeuwmOrAm2hbcA,eoabe,w−nsreweprhcbihoacm/e4onasaerns=begempbenm2reiaret{egaruscpegnedoprnnieetsrtiuseti(eusdsd−nede2bntepeiytasdei/nsdv24db2e)byacw+ynatvonhdverdoicewsOstcweoehtPnorhodrosOii(rnesO−ePedFcPpditiring/iioern.4Fcne1)Ftci}i-gtios2ig.=on8t.1nh.1i-a2sT2i-ts{28thohc8.tihofas.TtastTvhhtoe(hieo−fscifstptv4ohtove5rhesce°ecitcp)toatiponov+rosrecibstaiciextnavsioanveebxbnebexitsaex(oa,−ioxbana4xbitensai5dtd,isa°n,abir)nenayo}dendtdsadbtrtabyoirnryottsag-ttstaaittnraitngr-tg-
Eisttceoinutiúntcmtoceoureuncrntloeotrecccrkolcwomlocipskcelkwewtjihosiresoeetushttghráhorouraeugnpghraheansnagenlanenataongdfgleol�eoe4ofn5f�8�la4(w45f58ihg8(iucw(rhwhaihsc1ihc-th2ie8sistmhathmeeedseaisaamnsmetreeoatsaeaslrtoirvnoteagtctaittnoingcrlgOioticPtcklc.wolEociskcsewktewtihsvireseoetcuhttghorhorrouasugneghahoanbnagtnilaeenanngeglelael
eomfp4eo5zof8af)4r.45c58o)8n.).el vector OA, de magnitud 2, en la dirección positiva del eje x, y rotarlo un ángulo de −45° en
dirección contraria a las manecillas del reloj (que es lo mismo que rotar este vector un ángulo de 45° en la

1.181.1.1.A188. m. AdaAirnmemctarcaninóvtnertalrdsaveve1lel2aslssm1m12i2alemnmseiclnieiloleslrastnshnoedoraetrhslthter,eea2laso0tsj,t),m.220i0lemmsil3iel0es8s3w3008e8swtweoesftsntooofrftnhno,oratrhnth,d,atanhndedntht1he8ennm118i8lemmsil6iel0es8s6s60o08u8sthosououtfhthwooefsfwtw.eests.t.

1.18. pDU6 oe0intn°pDetpDhorh.emooiaetnmiectinteirn.abtmre.mreei(lniarnse)euec(araoo(na)rear)saleytanetn1a.i2aclDylaymtelilttcyiielcarlalmalnlsylidynhaea(anbcand)i)da(gdb(ereb)al )mpgnhgroaairrncapeeapshrlthialecyi,acan2halla0loyllwyímhtihocfiloawalrwaysfaabfn3ar)d0rad°ianenhndmadwicanhiinnaawetwerhldahaiograteertdáscditfteriicerodaecncetcilthouienonáonnihrstohteeferyiyosiesmfdnrfeorqhsomuipmséuhsédhtisiasirrs1est8citsnactmargitóriitnnlilngasges

SaolelSujóStoioldoulenutistouionpnunto de partida.

(aS)o(a(lA)aun)caAliyAóntnaincalayltlyiltcyia.calLllyel.yt.LOLetebtOeOtbhbeetshtaheretsitsnatgratriptniongignptpo(oisnientet(sF(esiege.F1Fig-i2g. 9.1)1-.2-T299h).)e.TnThhenen y yy

the tshtuhececseussucscivecsesisdviivesepdladiscipseplmalcaeecnmetmseneanrtsetsareraeprerreerspeeprnertseesdnentbetydedvbebycytvovercestcoOtorAsrs,OOAA, , B BB
a)  bAdAAyBenBs,tabAphyalbAyleíBnatByBdi,ztvcCha,ateBahenam.cmCendEtviod.eevelBrTnnceBrCthettceCoo.set.orsuT.rSrTlehsteashueaudecrloeetOrsseodiusvfeeulotallesltopsloftuetofhasnslarttláelotltnerhetddhrsreeiredsepppeedrlsaeadiprsscitlpesieadpnlmzaaltacaaemecd(nvmeotimeseseaninesptntloorsatesrsipfssilirseogreesursrpeeervprapneertrse1ceestd-sone2enrt9neet)tdesa.dOLcooAns,
60° 606°0° y
el vector OC O¼OCCO¼A¼OþOAAAþBþþAABBBþCþBBCC 18 1818 60° 20B 2020

30° 303°0°

NowNNooww OC = OA + AB + BC C CC 18 20
30°

A AA

OAAhoO¼rOaA,1A¼2¼(c1o12s2(4c(oc5os8s4þ4558i 8sþieþnni4si45is5n8i8n)4)4¼5¼58)811)¼22¼eep1i12=42epeip=i4=4 C 12 1212 A
O xx
OAAB =A¼AB21B¼02¼f(cc2oo20ss0f(cf49oc50os°8(s9þ(+90083i80þsþ8e)n3þ304085)i8°)sþ)ieþnn=i((9si9i1s0n0i28n(8e9þ(þp90i083/3840þ0þ88)3)gg30¼08¼)8g)22g¼00¼ee22p20i=0e32ep2ip=i3=3 45° 454°5° x
AB B==¼BC2C11¼088¼{f{cc1coo1o8ss8sf(cf1((oc918os080(s°081(1°8+þ80+086380þ06þ8°0))6°þ60)+08+)i8i)sþsiieþensnin(e(1si(n1i9s8n8i(00n(01°81(8818þ+0þ80°086368+0þ00þ8°8)66))g}g060¼°08¼=))8}g)112g¼8=80¼eee4112p18p8i=8eie3/4e43p4pipi=/i3=33 OO 12
BBCC
Fig.F1Figi-2g. .911-2-299 45° x
O

TDheeTnmThahenneenra que Figura 1-29

OC O¼OCC1¼2¼ep1i12=42epeþip=i42=40þþe22p20i=0e32epþ2ip=i31=38þþe41p18i=8e34ep4ip=i3=3

¼ f1¼2¼fc1fo12s24coc5os8s4þ4558280þþc2o20s01coc2os0s8112þ2008188þþc1o18s82coc4os0s82g24þ4008gi8fgþ1þ2ifsi1iefn12n24s45is5n8i8n4þþ45582280þ0þss2ien20n01s12isn20in081812þ2þ0081818þ8þs1isne18n82s42isn0i4n820g248g4008g8g

pffiffiffi ppffiffiffiffi pffiffiffi ppffiffiffiffi pffiffiffi ppffiffiffiffi pffiffiffi ppffiffiffiffi
¼ f(¼1¼2f)(f(1(122)()=(2)22=þ2=2)(2)þ0þ)((2(�2010)(=)�(2�)11=þ2=2)(1)þ8þ)((1(�1818)(=)�(2�)1g1=þ2=2)gi)fgþ(1þ2ifi)(f(1(122)()=(2)22=þ2=2)(2)þ0þ)((2(200)3()=(2)33=þ2=2)(1)þ8þ)((1(�188)()�3(�=2)33=2=2) )

pffiffiffi ppffiffiffiffi pffiffi ppffiffipffiffi ffiffi ppffiffiffiffi
¼ (6¼¼(26(6�2129��) 1þ199)(6)þþ(26(6þ22þ3þ)i 33)i)i

aIaSfppiprrroaIorf paI(x(xfcpicoimpromosrrsa(orxaucd(xitocmaeuiþos+lmyaþsuit,eauesitnþaileiþtnysnsleeiyd,e,unsin,ay)iusnuani¼uund)n¼u)d¼¼u)u6c=)u¼po¼6c¼p¼so2ffi6ffi�csffi26p�1ffi�ocp(os�162ffiffi1�(sffi2p6ffi�9�11p(�19ffi2þ6ffi(1ffi26pþ�ffi19(p�962ffiþffi(1pffi26þffi9�1p(�)ffi296ffi=(1)ffi26pþrffi=19pþr9¼)2ffiffip=)ffi2¼ffiþr=pcffi3þrffio¼)cffi3pffii¼so),p�cis3ffiffi,1�oc3ffi)ffi(ios1�)t,,�hi(s�,�ee1:7(nn1�t:(1th7�to7he1:n)7ne7r:c71n¼)re¼17¼s¼7)1rp)¼r31¼p¼5(ffi3¼ffi6ffi815ffi(p4ffip136ffi8°pffi9345ffip(ffi206ffi598ffi(ffiffiffi264paffi�80′ffiffiffi4pffip9ffiaffi�ffi2ffi9p0ffi1ffipffiffi2ffi0rffia9�rffi1ffioffiffiopaffi�)ffi9ffixffi2pffixffi1ffi)iffiprffii2þ19mffimffioffirffi9)ffiþffioffixa2ffiffi()affiffixitffi62ffidþffime(ffiffiipffiffi6þalmffiffiffiyaffipffim(ffiffi2ffit.a6ffi(ffieffiffiet2ffi6pþffiffileffiffinpyffiffilþffiffi2tffiy.ffipffieffi2ffi.ffiþffi.pffiffi3þffiffiffiffi)ffiffi3pffiffi2ffiffi)ffipffiffi23ffi¼ffiffiffiffi3)¼ffi2ffi)ffi1ffi2ffiffi¼41¼:471:7144:7:7
TPhouTrsT,httahuhnuset,somt,h,taheenelmimhsaona1mn4is.bi7s1rem144.si7.le7emseminflricelousemsefrnfohrtormisamshathias1irsts4itsn.a7tgratrmiptnioingliglnpatpsoioindnientatidsniuinraeapdcuditrinioertcneotc1idtoi31eon53np81541a389r345t0598i�d480 4a9�90e0�09n�8098d¼90i¼r084e8¼c54¼c854i48ó945n0598w4801493e90s5w0t°wo4ef9setns′ to−ofrtfnh9no.0or°trht=h. .
(b) (b(Gb4) )5ra°Gp4Gh9ria′rcapaaphllhilocyiea.csalUtlelyls.yidn.UegUlsinasniongcrogtaena.vceocnoinvevennetnieuinentittuounfnitlietonofgfltelhnengsugthcthhsusaucshcPhaQsasPinPQQFiingin.F1Fig-i2g. 9.1,1-2w-29h9,i,cwhwhhirceihcphrreerspeeprnertseses2nentmsts2il2emsm,ilaielnsed,s,aananddaa
b)  pGrorátprfapricocraotromtarcaettconottormert.eotCaomsomuneraeeusaanusnuraegruelaennasingd, glcaelodsen,sdsc,etocrounloncsntsrgtvurieuctcuttdvoveracesdtcOoetocrAsur,sOaAOdABaA,,,A,caABnoBdm, a,BonaCndPd.QBTBCheC.enT.nlT,habhefyneign,db,uebyrtaeydr1dem-tee2itnre9mir,nmqigniuntiehninegrgentphutrhemeensbneuenumrtmaobbfe2reurmonofiitfulslunanist,istys

iqunnuOetirnCmiannOiadOsnCpedCoOartnahtCandeddytaohtnreheglpelaáaenanrngtaghgluemallteotehOtdqhaiCutar etOlmoOfCsoaCkrámmenmsagakawuckeloisoetnhssw,wetithltriheaethcjtyeehthaeylxoeypisysoa,vsxaweixitcsieivt,soo,owr,bweeytseaosOiobneAbtoatt,hiabnAeitniBtaehtpnhyepeenraBopaClxpoi.prsmoDrroxaeexitsmesiupmralutetaaéestdsuer,oletrsdseeuasotulpeftlrsrto(msaox)ofii.nmf(ea(a)ald.a)o.ssudneidaa)d. es

20 Capítulo 1   Números complejos Problemas resueltos  19

TeoremDaedaceueDrdeo cMonoeilvprroeblema 1.20, para n = 5, y la fórmula binomial, se tiene

cos 5u þ i sen 5u ¼ (cos u þ i sen u)5

1.19.  aS S)u oplozu1nzzc1g2zai2=óqz¼1unre1¼rz121{rr12c=f(occsroo(1uss((1cuuo+11sþþuu12i)u+s2+e)ni¼þisusþe1ceino)ns�suea(5u53n1nu)1(d�þuy+1(zc2z�þou2¼s251=2)u�}u2r r())2c(2g(i(o,cycssoe o4snsuubu)u(2))2i3 þsþ+ezzni�12iuss54¼e)en�þnrru(�21uc2 {o2f)25)sc..�ouPDs()rc((eoiuomsvs11e3e−un�:ueu)su()uti42r2s)þe)e+nqþ(iuuise)ie2s:sneenun()(u5u11 −�uu22))}g..

a)  z1z2 = {r1(cos u1 + i sen u1)¼}{cro2(sc5ousþu25+i coi ss4enu sue2n)}u � 10 cos3 u sen2 u

= r1r2{(cos u1 cos u2 − sen�u110siecnosu22)u+seni(3suenþu51ccoossuus2e−n4ucoþs ui s1esne5nuu2)}
= r1r2{cos (u1 + u2) + i¼secnos(u5 1u+�u120)}cos3 u sen2 u þ 5 cos u sen4 u

b)  z1 ¼ r1(cos u1 þ i sen uu21))� ((ccoossþuu22i(��5 cii osseesnn4 uuu22s))en u � 10 cos2 u sen3 u þ sen5 u)
z2 r2(cos u2 þ i sen
5cc�oou(ssc¼55ouuscu��o1sc511o00uscc�uoo2ss133þ0uucsssoeeesnnn322uuuu1cssþþeeonns5522uuccu2oo)2þssþþuu5sissc(eeesonnnes244nuuuuus21ecno4suu2 u2)�
Por taccnoossto55,¼uuco¼¼rrs12 � cos u1 sen
a) 
¼r1 ccfcoooss¼55s(uuuc1��os�51100uu2cc�)ooþss1330iuucs((eo11ns��3(uucc1(oo�1ss�22uuu2c)))ogþþs255ucc)ooþss u5(c1o�s uc(o1s�2 uc)o2 s2 u)2
¼ ¼¼r2 16 c¼os156uc�os520u c�os230ucþos35ucoþs u5 cos u u(1 � cos2 u)2

En térm¼in1o6scdoes5lau f�ór2m0ucloasd3euEþul5ecr,oesiuu= cos u + i sen u, los resultados indican que si z1 = r1eiu1 y z2 = r2eiu2,
b) enstoennc5eusse¼zn1z52uc=o¼sr451urc2soeeisn(4uu1u+�sue2n)1y0u cz�o1/s12z02uc=soesnr231uueisuþe1/nsr3e2ueniþ5uu2 s=en(5ru1/r2)ei(u1 − u2).
sen 5u ¼ 5 cos4u sen u � 10 cos2u sen3u þ sen5u
1.20.  D eomuestre el teorema de De Moivre: (cos u + i sen u)n = cos nu + i sen nu, donde n es un entero positivo.

Solución dssesseeeenninnn55uuduusus¼¼¼ecencn555i5uóucccnooo¼¼sssm44455auuuccte���oomss44111á000uuticcc��oooasss.1122200Suuuucc(ssoop1eessonn�22n22uuguuc(aso1þþesqn�2ssu2ueeuec)nnoþ44eþsuus2ts(aue1)ni�g4þuuca(o1lds�2aduc)eo2 ss2vue)r2dadera para un determinado
qu¼¼¼e (115c66ocsocc¼oosu4ss144u+6uu�c��io1sse4110n22ucoccu�oos)2kss122u=2u(u1ccþþo�oss211ckuousþ2+u1)iþse(n1 k�u.coSse2mu)u2ltiplican +
Se usará el principio

entero positivo k, es decir, ambos lados por cos u
i sen u, y se obtiene

siempre (qsscueeoennssuuue==sn+eun00i,,usii=e..een0..,,,0ue,uu)ski==+.ed1.e00,=c,,uir++=(,cuopp0s,, k++u0,22p++pp, i,,p+..s,..e2..+np.. k,2u.p).(,.c..o. s. .u + i sen u) = cos(k + 1)u + i sen (k + 1)u
de acuerdo con el problema 1.19. Por tanto, si esta igualdad es verdadera para n = k, también lo será para n = k + 1.
1.22.  MSoP+ueelru1sEotr=cscetioaó3qmi,ugnoeeutecaas.l),dtayca,doigpseuousarlee¼dqnauddeievie,uasdlþece2nlbaetere�asamieur,deyevncetbelr)advrsaaeedrrnedqrauaudep¼era(aereaiipuu)tano�r2da=ionee�e=nniiuut.1e. r,otapmobsiitéinvod.ebe serlo para n = 1 + 1 = 2 y para n = 2

1.21 S. eD bt)iee(mnseeunes5ture)/l(asseindeun) t=ida1d6esc:oas4) cos 5u = 16 cos5 u − 20 cos3 u + 5 cos u; . . (1)
u− 1e2iuc=os2cous+u +1, isiseunu 0, +p, +2p, ..

Solución e−iu = cos u − i sen u (2)

a) SeSeemspulmeaanla(f1ó)rym(u2la), þbinbo)enmiu¼ia+laeeeniui−uþþiuþ�=ee�1n�2iu�iuc¼a¼ons�221ucb cooþ ssuu�o2n oo� rran�cc2oobss2uuþ¼¼� e�ei�uiuþþþ2�2ee�nr�iu�iuan�rbr þ � � � þ bn
(a

b)  Se resta (2) de (1),

donde a los coeficientes eiu −eeiu−iu�iu�=ee��2iuiiu¼s¼en22iuis se�en nnruu�o o¼or rr!(snsene�n!nuur)¼¼! eeiuiu�2�2ieie��iuiu

que se denotan también como C(n, r) o nCr , se les llama coeficientes binomiales. El número n!, o n factorial, se
define como el producto n(n − 1) . . . 3 · 2 · 1 y se define 0! = 1.



Problemas resueltos  21

1.23.  Demuestre las identidadessean)3suen¼3u43 s=en34 use�n 14us−en413sue,n 3u  cyo s4bu) ¼cos814cuo=s 418ucþos 214cuo+s 221ucþos382.u + 3 .
8

Solución

a)  sen3 u ¼ �eiu � e�iu �3 (eiu � e�iu)3 ¼ � 1 f(eiu)3 � 3(eiu)2(e�iu) þ 3(eiu)(e�iu)2 � (e�iu)3g
2i ¼ 8i3 8i

¼ � 1 (e3iu � 3eiu þ 3e�iu � e�3iu) ¼ 3 �eiu � e�iu� � 1 �e3iu � e�3iu�
8i 4 2i 4 2i

¼ 3 sen u � 1 sen 3u
4 4

b)  cos4 u ¼ �eiu þ e�iu�4¼ (eiu þ e�iu)4
2 16

¼ 1 f(eiu)4 þ 4(eiu)3(e�iu) þ 6(eiu)2(e�iu)2 þ 4(eiu)(e�iu)3 þ (e�iu)4g
16
¼ 1 (e4iu þ 4e2iu þ 6 þ 4e�2iu þ e�4iu) ¼ 1 �e4iu þ e�4iu� þ 1 �e2iu þ e�2iu� þ 3
16 82 22 8

¼ 1 cos 4u þ 1 cos 2u þ 3
8 2 8

1.24.  Dado un número complejo (vector) z, interprete en forma geométrica zeia, donde a es real.

Solución y

z = reiu se representa gráficamente por el vector OA en la figura B A
1-30. Entonces, zeia
a z = reiq
zeia = reiu ⋅ eia = rei(u+a) q x

es el vector representado por OB. 0
Por tanto, multiplicar un vector z por eia es lo mismo que
Figura 1-30
rotar z un ángulo a en sentido contrario al de las manecillas
del reloj; eia se considera un operador que actúa sobre z para
efectuar esta rotación.

1.25.  Demuestre: eiu = ei(u+2kp), k = 0,+1, +2, . . . .

Solución

ei(uþ2kp) ¼ cos(u þ 2kp) þ i sen(u þ 2kp) ¼ cos u þ i sen u ¼ eiuiu

1.26.  Evalúe las expresiones de los incisos siguientes.
a))  )[[33([(c3co(oscso44s008480þþ8 iþisseiensne44n00848)0)]]8[[4)4]([(c4co(oscso88s008880þþ8 iþisseiensne88n00888)0)]] 8,,) ], b)  ((((4224((cc24cciiiisssscc14ii41ss5555884188))55))373788,)), 73 ,(y(c c)()cc))� �1111�þ�þ�11 ppþ�pp3ffi3ffippffiffi33ffiffiiiii�ffi3ffi3�ffiffi1ii1�0010

Solución

a)  [[33((ccooss440088þþiisseenn440088))]][[44((ccooss880088þþiisseenn880088))]] ¼¼ 33��44[[ccooss((440088þþ880088))þþiisseenn((440088þþ880088))]]

¼¼ 1122((ccooss11220088þþiisseenn11220088))
1122����2112þþpp22ffi33ffiffiffiii��
¼¼ ¼¼ ��66þþ ppffiffiffiffi
66 33ii

22 Capítulo 1   Números complejos

(2 cis 41(55288))c37is¼1516824)87 c¼ciiss11612340855c8c8iiss¼1132055c88is¼(1025c8i�s(11035588�) 1358) pffiffi
(4 bc)i s (4 cis 458)3

¼ 2[cos(�308) þ i sen(�308)] ¼ 2[cos 308 � i sen 308] ¼ 3 � ipffiffi
¼ 2[cos(�308) þ i sen(�308)] ¼ 2[cos 308 � i sen 308] ¼ 3 � i

c)  �1 þ pp�33ffiffiffiffi ii1�þ10 ¼pp33ffiffi�ffiffi ii2�21c0ci¼sis(�(�6602028c8)c)is�is(1�(06¼6008(8)c)�is101¼20(8c)i1s0 ¼ cis 12008 ¼ cis 1208 ¼ pffiffi 1i þ pffiffi
1 � 1� 1208)10 ¼ cis 12008 ¼ cis �1þ 3 2 3
12208 ¼ 2� 2 i

Otro método �1 þ ppffi3ffiffiffi i�10 ¼ � 2epi=3 �10 ¼ (e2pi=3)10 ¼ e20pi=3
1 � 3i 2e�pi=3

�1 pffiffi
2 3i
¼ e6pie2pi=3 ¼ (1)[cos(2p=3) þ i sen(2p=3)] ¼ þ 2

1.27.  Demuestre que a) arg(z1z2) = arg z1 + arg z2 y b) arg(z1/z2) = arg z1 − arg z2, e indique las condiciones
para que esto sea válido.

Solución

Sean z1 = r1(cos u1 + i sen u1) y z2 = r2(cos u2 + i sen u2). Entonces, arg z1 = u1 y arg z2 = u2.
a)  Como z1z2 = r1r2{cos (u1 + u2) + i sen(u1 + u2)}, arg(z1z2) = u1 + u2 = arg z1 + arg z2.
b)  Como z1/z2 = (r1/r2){cos (u1 − u2) + i sen(u1 − u2)}, arg(z1/z2) = u1 − u2 = arg z1 − arg z2.

Como hay muchos valores posibles para u1 = arg z1 y para u2 = arg z2, los dos lados de las igualdades ante-
riores sólo serán iguales para algunos valores de arg z1 y arg z2. Estas igualdades pueden no satisfacerse aunque
se usen los valores principales.

Raíces de números complejos

1.28.  a) Encuentre todos los valores de z para los que z5 = −32 y b) localice estos valores en el plano complejo.

Solución

a)  En forma polar, −32 = {cos(p + 2kp) + i sen(p + 2kp)}, k ¼ 0, +1, +2, . . . .
Sea z = r (cos u + i sen u). Entonces, de acuerdo con el teorema de De Moivre,
z5 ¼ r5(cos 5u þ i sen 5u) ¼ 32fcos(p þ 2kp) þ i sen(p þ 2kp)g
z5 = r5(cos 5u + i sen 5u) = 32{cos(p + 2kp) + i sen(p + 2kp)}

and so r5 ¼ 32, 5u ¼ p þ 2kp, from which r ¼ 2, u ¼ (p þ 2kp)=5. Hence
y de esta manera r5 = 32, 5u = p + 2kp, de donde r = 2, u = (p + 2kp)/5. Por tanto,

z ¼ � �p þ 2kp� þ i �p þ 2kp��
2 cos 5 sen 5

Si k = 0, z = zzzzzzzzzz31254¼¼¼¼¼=====zzzzz2222215432(((((¼¼¼¼ccccc¼ooooosssss22222(((((735p9cccccppppoooo/ossss/5///s79p555553+pppp=++++5====i5555iiiiþseþþþssssþneeeeinnnnsiiiipessss7593n/eeeeppppnnn5np//)//7953=.5555pppp5)))))===...=.=5555))))..−.¼2�. 2.
Si k =If k1,¼z =0,
Si k =If 2k,¼z =1,
Si k =If k3,¼z =2,
Si k =If k4,¼z =3,
If k¼ 4,

Problemas resueltos  23

Con k = 5, 6, … así como con los valores negativos yπ z1
−1, −2,…, se obtienen repeticiones de los anteriores z2 z5
cinco valores de z. Por tanto, éstas son las únicas solu- z3 π /5 x
ciones o raíces de la ecuación dada. Estas cinco raíces se 7π /5 3π /5
llaman raíces quintas de −32 y se denotan en conjunto
(−32)1/5. En general, a1/n representa las n-ésimas raíces 9π/5
de a, y hay n raíces n-ésimas.
b)  En la figura 1-31 se muestran los valores de z. Observe z4
que se encuentran distribuidos en espacios iguales sobre Figura 1-31
la circunferencia de un círculo de radio 2, con centro en
el origen. Otra manera de decir esto es que las raíces se
representan con los vértices de un polígono regular.

1.29.  E ncuentre las raíces que se indican y localícelas
gráficamente.

a)  (�1 þ(i�)11=3 þ,  i)(1by=)3 , (�(b2)p  3ffi(ffi ��22pi)ffi31ffi =�4 2i)1=4

Solución pffiffi
�1 þ i ¼ 2fcos(3p=4 þ 2kp) þ i sen(3p=4 þ 2kp)g
a)  (−1 + i)1/3

(�1 þ i)1=3 ¼ 21=6�cos�3p=4 þ 2kp� þ i �3p=4 þ 2kp��
sen
33

Si k = 0, z1 = 21/6(cos p/4 + i sen p/4).
Si k = 1, z2 = 21/6(cos 11p/12 + i sen 11p/12).
Si k = 2, z3 = 21/6(cos 19p/12 + i sen 19p/12).

En la figura 1-32 se representan gráficamente estas raíces.

y

y z2 19π / 24 z1
31π/24 7π/24
z2 11π/12 z1 x
π/4 x

19π/12 43π/24
z4
z3 z3

Figura 1-32 Figura 1-33

b)  pffiffi � 2i)1=4 pffiffi
(�2 3 �2 3 � 2i ¼ 4fcos(7p=6 þ 2kp) þ i sen (7p=6 þ 2kp)g

pffiffi � 2i)1=4 ¼ 41=4�cos�7p=6 þ 2kp� þ i sen�7p=6 þ 2kp��
(�2 3
44
ppppppppppffi2ffi2ffiffi222ffi222ffi2ffiffi2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ((((((((((ccccccccccoooooooooossssssssss
Si kkkkkkkkkk ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ 0000322232331111,,,,,,,,,, zzzzzzzzzz2312314311344422 ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ 3341477773314114pppp933191911933pppppppp====2222========22222222444444444444þþþþþþþþþþþþiiii ssssiiiiiiiieeeessssssssnnnneeeeeeeennnnnnnn7777143311414433pppp199331199331====pppppppp22224444========22222222))))....44444444))))))))........
Si
Si
Si

En la figura 1-33 se representan gráficamente estas raíces.

24 Capítulo 1   Números complejos Problemas resueltos  25

1.310.3. 2E. nRceuseunetrlvealalas reacíucaecsicóunazd2r+ada(2sid−e −3)1z5+−58−i. i = 0.

SoSloulcuicóinón

MéDtoedaocu1e.rdo con el problema 1.31, a = 1, b = 2i − 3 y c = 5 − i, por lo que las soluciones son:
z−¼15�/1b7+, sep2nbffiaffiuffi2ffiffiffi=�ffi−ffiffiffiffi4−1ffiffiaffi5ffi8cffiffi/−¼¼1783�.ipE�=(21ffinffiffii72ffit1ffio�(i7cn+{oc3cse)o(us+1s,=(l2�uapsþ+4(ffirffii2affii)2ffi2iffiísffi(kc¼ffie�1ffipeffinffi)sffi2)ffi3uffiffic)+=ffi�ffi2uffi2ffiaffi�)i3ffidffi ffiisffir4ffieaffiffi(nffid1ffio(ffiaffi)uffis(ffiffi5ffi+dffiffiffi�1effiffi2ffi−þffikiffiffi)ffip1i¼5)}−3 �8i2sio+n
donde cos u = pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
�15 � 8i

2

(1)

y2
pues las raíces cuapd1ffirffiffia7ffiffidfcaossd(ue=−21þ5 p−)8þi siosenn (u(1=2−þ4pi))g[v¼ea�epl p1ffiffiffir7ffioffi(bcolesmua=21þ.30i]s.eRn eus=u2l)t a que estas raíces satisf(a2c)en

Ahlaoreac,uación dada. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi

1.33.  S irurepdouncgiablqeu)esaetlisnfúamceeclsraoeosnerucua=u=c2a2ioc¼¼nióa+n+l ppp/offi((qlffi11ffiiffinffi(ffi�þdffióffiffiomfficcffinffioffioiffidfficssffiffieaffiuuffiffi))pffiaffi==ffi0ffi22yffizffi n¼¼q+n++oap1tzieffi((nffi11−ffinffiffie1ffi�þffinffi+ffiffi11ffifffiffi55a.ffiffi==cffi.ffi11tffi.ffioffi77ffi+ffir))ffieffi==ffiffis22ffiafficn¼¼o=m++0u41,n==deposn11ffieffidffix77ffiffieceap0t,oa+1,…1,,,easndseocnire, npt/eqroess.
CscooonSMsmu−ouo=e1l2uus+t¼erces4i�uóqin1uyn=eá1pnpg−1ffiffiyuffi7ffiffil4,qois.edeCnenobeumel=n2toesr¼vecerer4rif=facpiccuaffita1ffiofficdffi7ffiriró,eansdn,etdeoem,buasae/nnr2eyvreeaasq0qu,uunreeeá(ds−npege1aucc+ltuoive4earnidm)o2eel=cnsoteen(g1.(u1−n)d4yoi)(c22u)=alda−rsa1nra5teíc.−ePs8ociru.taadnrtaod, as buscadas

MéSteodsuos2ti.tuye en la ecuación dada z = p/q y se multiplica por qn, con lo que se obtiene
Se a p + iq, donde p y q son núma0epronsþreaa1lpens�, 1qqueþre� �p�reþseannt�a1nplqans�r1aþíceasnqcnua¼dr0a das buscadas. Así,
(1)
Se divide entre p y se pasa el últim( po +térimq)i2no=apl 2la−doqd2 e+re2chpoq,i = −15 − 8i (2)
o (3)
a0pn�1 þ a1ppn�22−q þq2�=� � −þ1a5n �1qn�1 ¼ � anqn
p


Como el lado izquierdo de (2) es un entero, el ladpoqd=ere−c4h o también lo es. Pero como p no tiene factores com(u4n)es
St(apen2cdtso−iovun,iDs1dltqaie)i,trsu=nmaryoaeaa0ínpc0d.eoueersead(ps4eos2)ind=mqi−vi=−lia1dr1i,−+r6a,a4l4p/qid2pniyv=eyi1ndp1−i(or.3rC()41t,ioa).ymnetsonoet,prodebeeqtbsieerynedapeilva,psip2dair−=raal1a6l1an/d..poS2ed=geúr−nec1(h45o),oeslpi p4pr+i=m1e15r, ptqé2r=m−i−1n6o4,;=ssei0p,ene=scud−een1ct,irraq(qp=u2 e4+.qP1d6oe)rbe

1.34.  Resuelva 6z4 − 25z3 + 32z2 + 3z − 10 = 0.

Ecuaciones polinómicas
Solución

1.31.  ReLsouselfvaactloareesc+ue1an,cte+iróo1ns=c2du,ea+6d1ryá=3tdi,cea+−a11=z026,+s+onb2,z,r++es2pc=e=3c,ti0v+a,5ma, e+n+t5e0=1,.2+,,+1+,25+,=+23,3+, +3,6+a6ndyan+d1+, +1,2+, +2,5+, +5,1+0..1P0o. r tanto, de
acuerdo con el problema 1.33, las soluciones racionales posibles son +1, +1=2, +1=3, +1=6, +2, +2=3, +5, +5=2, +5=3,
+5S, +o5lu=2c, i+ó5n=3,+5=6, +10, +10=3..
1=3, +1=6, +2, +2=3, de+e5s=t6a,m+a1n0e,ra+, e1l0p=o3l.inomio
+10=3. Se paAsal cpraolblaadr,osedeerneccuheonytraseqduievzid=e e−nt1r/e2ayz
=0, 2/3 son soluciones y,

(2z + 1)(3z q−ue2)se=en6czu2 e−ntzra−zp2o2þredsabivuzins¼ifóa�nctloacarrgdae. 6z4 − 25z3 + 32z2 + 3z − 10
z2 − 4z + 5, Por tanto,
el otro factor es

Se suma a ambos lados (b/62za4 )−2 [2p5azra3 +co3m2pzl2e+tar3czu−ad1ra0d=os](,6z2 − z − 2)(z2 − 4z + 5) = 0

Las soluciones de z2z2−þz24abzþz+baþz5�þ=z2b�¼a0�2bs4a2o�¼+n2[¼�pveac�ffi1affiffi6þffiffieacffi�ffilffi�þffipffiffi22ffirbffi�aoffi0ffi�b2b¼la2e.�:m 42a+:E1n.pt3o1�ffinffiffi]cffi4ffiffie�s¼,z�þ4z+2þba�22bia2�¼¼22¼b2+b4�2ai244�aac24ac
2 22

SeAosbít,ileansesloaluracíizonceusadsorand−a e1n/2a,m2b/o3s, 2la+dosi,, 2 − i.

1.35.  ppffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi l:aPsorraítcanestodz, ez¼a¼�0z�bn b+++ap12pzffiba2ffinffi2ffiba−ffiffi2�1ffiffiffi�+ffiffi4ffiffiaffi4ffi…fficaffifficffiffi+ an = 0, donde a0  0, son
D−eam1/uae0sytre(−qu1e)nlaan/suam0, arzeyþzspþe2elbac2pbtar¼iov¼da+mu+cetnobt22deba2.e2�a�to4ad4caas.c: 

Solución

Si z1, z2,…, zn son las n raíces, esta ecuación se escribe en forma factorizada como
a0(z − z1)(z − z2) … (z − zn) = 0



26 Capítulo 1   Números complejos

La multiplicación directa revela que
a0fzn � (z1 þ z2 þ � � � þ zn)zn�1 þ � � � þ (�1)nz1z2 � � � zng ¼ 0

Se deduce que −a0(z1 + z2 + . . . + zn) = a1 y a0(−1)n z1z2 . . . zn = an, por lo que
z1 þ z2 þ � � � þ zn ¼ �a1=a0, z1z2 � � � zn ¼ (�1)nan=a0

como se requería.

1.36.  Suponga que p + qi es una raíz de a0zn + a1zn−1 + . . . + an = 0, donde a0  0, a1, . . . , an, p y q son reales.
Demuestre que p − qi también es una raíz.

Solución

Sea p + qi = reiu en forma polar. Como esto satisface la ecuación,
a0rneinu þ a1rn�1ei(n�1)u þ � � � þ an�1reiu þ an ¼ 0.

Se toma el conjugado de ambos lados
a0rne�inu þ a1rn�1e�i(n�1)u þ � � � þ an�1re�iu þ an ¼ 0

y se observa que re−iu = p – qi es también una raíz. Este resultado no es válido si no todos los a0, . . . , an son
reales (vea el problema 1.32).

Este teorema suele expresarse como sigue: los ceros de un polinomio con coeficientes reales se presentan en
pares conjugados.

Raíces n-ésimas de la unidad

1.37.  Encuentre todas las raíces quintas de la unidad.

Solución

z5 ¼ 1 ¼ cos 2kp þ i sen 2kp ¼ e2kpi
donde k = 0, 1, 2, . . . Entonces,

z ¼ cos 2kp þ i 2kp ¼ e2kpi=5
sen
55

donde basta usar k = 0, 1, 2, 3, 4, pues los demás valores de k conducen a repeticiones.
Así, las raíces son 1, ee2p2pi=i5=,5,ee4p4pi=i5=,5,ee6p6pi=i5=,5y,ee8p8pi=i5=5, las cuales al llamar e2pi/5 = , se denotan con 1, , 2, 3

y 4.

1.38.  Suponga que n = 2, 3, 4, . . . Demuestre que

a) cos 2p þ cos 4p þ cos 6p þ � � � þ cos 2(n � 1)p ¼ �1
n n n n

b) sen 2p þsen 4p þ sen 6p þ � � � þ sen 2(n � 1)p ¼ 0
n n n n

Solución

Considere la ecuación zn − 1 = 0, cuyas soluciones son las raíces n-ésimas de la unidad,

1, e2pi=n, e4pi=n, e6pi=n, . . . , e2(n�1)pi=n

Problemas resueltos  27

De acuerdo con el problema 1.35, la suma de estas raíces es cero. Entonces,

es decir, 1 þ e2pi=n þ e4pi=n þ e6pi=n þ � � � þ e2(n�1)pi=n ¼ 0

� þ cos 2p þ cos 4p þ � � � þ cos 2(n � 1)p� þ � 2p þ sen 4p þ � � � þsen 2(n � 1)p� ¼ 0
1 n n n i sen n n n

de donde se derivan los resultados buscados.

Producto punto y producto cruz

1.39.  Suponga que z1 = 3 − 4i y z2 = −4 + 3i. Encuentre:   a)  z1· z2   y   b)  |z1 × z2|.

Solución

a)  z1 � z2 ¼ Refz1z2g ¼ Ref(3 þ 4i)(�4 þ 3i)g ¼ Ref�24 � 7ig ¼ �24
Otro método. z1· z2 = (3)(−4) + (−4)(3) = −24
b)  jz1 � z2j ¼ jImfz1z2gj ¼ jImf(3 þ 4i)(�4 þ 3i)gj ¼ jImf�24 � 7igj ¼ j�7j ¼ 7
Otro método.|z1 × z2| = |(3)(3) − (− 4)(−4)| = |−7| = 7

1.40.  Encuentre el ángulo agudo que forman los vectores del problema 1.39.

Solución

De acuerdo con el problema 1.39 a), se tiene

cos u ¼ z1 � z2 ¼ j3 � �24 þ 3ij ¼ �24 ¼ �:96
jz1jjz2j 4ijj�4 25

Por lo que el ángulo agudo es cos−1 0.96 = 16°16′, aproximadamente.

1.41.  Demuestre que el área de un paralelogramo cuyos lados son z1 y z2 es |z1 × z2|.

Solución

Área del paralelogramo [figura 1-34] = (base)(altura)
¼ (jz2j)(jz1j sen u) ¼ jz1jjz2j sen u ¼ jz1 � z2j

y
C(x3, y3)

z1 z2

z1 h =z1 sen θ A(x1, y1) B(x2, y2) x
θ z2 O
Figura 1-34
Figura 1-35

28 Capítulo 1   Números complejos

1.42.  Encuentre el área de un triángulo cuyos vértices están en A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3).

Solución

Los vectores de C a A y B [figura 1-35] están dados, respectivamente, por
z1 = (x1 − x3) + i(y1 − y3)  y  z2 = (x2 − x3) + i(y2 − y3)

Como el área de un triángulo en el que z1 y z2 son dos de sus lados es la mitad del área del paralelogramo corres-
pondiente se tiene, de acuerdo con el problema 1.41:

Área del triángulo ¼ 1 jz1 � z2j ¼ 1 jImf[(x1 � x3) � i(y1 � y3)][(x2 � x3) þ i(y2 � y3)]gj
2 2

¼ 1 j(x1 � x3)(y2 � y3) � (y1 � y3)(x2 � x3)j
2

¼ 1 jx1y2 � y1x2 þ x2y3 � y2x3 þ x3y1 � y3x1j
¼ 2 �������j
j������� x1 y1 1
1 x2 y2 1
2 x3 y3 1

expresada como determinante.

Coordenadas conjugadas complejas

1.43.  Exprese cada ecuación en coordenadas conjugadas: a) 2x + y = 5  y  b) x2 + y2 = 36.

Solución

a)  Como z = x + iy, z = x − iy, x = (z + z )/2 y y = (z − z )/2i. Entonces, 2x + y = 5 se transforma en

�z þ z�� þ �z � z�� ¼ 5 o (2i þ 1)z þ (2i � 1)z� ¼ 10i
2
2 2i

Esta ecuación representa una línea recta en el plano z.
b)  Método 1. La ecuación es (x + iy)(x − iy) = 36 o zz = 36.

Método 2. En x2 + y2 = 36 se sustituye x = (z + z)/2, y = (z − z)/2i, y se obtiene zz = 36.

La ecuación representa un círculo en el plano z de radio 6, con centro en el origen.

1.44.  Demuestre que, en el plano z, la ecuación de un círculo o de una recta se expresa como
azz� þ bz þ b� z� þ g ¼ 0 , donde a y g son constantes reales mientras que b puede ser una constante
compleja.

Solución

La ecuación general de un círculo en el plano xy se expresa como

A(x2 þ y2) þ Bx þ Cy þ D ¼ 0

lo que en coordenadas conjugadas se convierte en

Azz� þ B�z þ z�� þ C�z � z�� þ D ¼ 0 o Azz� þ �B þ C �z þ �B � C �z� þ D ¼ 0
2 2i 2 2i 2 2i

Con A = a, (B/2) + (C/2i) = b y D = g, se obtiene el resultado buscado.

En el caso especial en el que A = a = 0, el círculo degenera en una recta.

30 Capítulo 1   Números complejos Problemas resueltos  29

PrCoobnljeumnatsosdidveerpsuonstos

1.417.4. 5A.  Suen dnaúmelecroonsjeulnetolladme apunnútmoserSo:fail,ge12bi,ra31ici,o 41sii,es. .s.ogl,uocibórnevdeemuennateec{uia/cni}ó.nap)o¿lEinsóSmaiccaotado? b) ¿Cuáles son
Deies)mu) ¿s¿uCpEeuusstánrSlteoeaqssbuleiíeelmractio)otpae?mps0ffi3f,zpffi3 ffi)nslþþei¿þmlEpopseas2ffiffi2n1ffiShtz aoncy�ody?1ne  ceþS)xb?o¿�)E?j�p)p�3sg3¿þ4ffiS)ffi4Effi �¿cs�aEenS2r2s�irnia1Ssuzdomuoþnn?enaradúan r)mbe¼¿lgeeCir?ó0ounksá,)ldaae¿bolsEginseesdorbeStnraaacsio0ouc,mosdasopp1.mu,a…ncittn,ooias?on?iln s)hto¿e)nEr¿iesoCnrcuetoeásmrlyoepsssa.uclsatapculeanrrtcoaedsrurfarrdoaundrteeardSa?e?

SoS?lución pffiffi pffiffi p. Sffi2effi eolevza�alpcz2u2ffiffia�d¼r2apdo3ffi2ffiffizy þse2ob¼tie3neoz2z�2 �2p1 2ffi¼ffiz pffiffi z2 � 1 ¼ 2pffi2ffiz.
a) S oSelua zc¼iópnffi3ffi 2 z ¼2 pffiffipffiffi þ2 22¼z
þ o z � ¼3 þ3 3 o
b) ab)) zzcSSac43 iloeeSCd lóg�uíe−aemeneoefnnlbims2ecip1ztprOtzvriaoa2eoueo¼2acbi.lznncioþtsddntt−oopeteoee3óad.r1smdv4ffiuanl4ffiíeeo¼num�ivn=,ceqectiapv8e2utcíiuoezrric(iec2o.en8o,aussdpnolco−,l3aporocuczd4ffia6uffim4znodrza4�aaeaez�o2dg�f)þdtirr2.uSoc2aaeiSj1idddz2eeec2e0ooirisnouzaþte¼tpy2yáde2luaeaþss1apnvsye3cedta¼1roonoffi4ceffiaatteb¼í.zae8zlnctdrziSdcet=oe20oruesenso,ao,yeeS0ederus,lznerecnz|4apszv4oaed−|anil3ffi�odffin<toa2eiþfyei1rlz2nicn02sgpciue(zzete+upyo2ffi2n¼bpoffioa,þ..1oubsrePnptl=er31iyotaejtoffi4ereínffi¼s8scmoe�tezeard02pszenoe2,6lomteboioS+szt)a,i,,4epop31deu−ns2en4ffie3ffiffiffizd1�Bp4þzze0u3o−cþzz2npli2+zir¼t82.,+oa2ffiffiiztPn3pol33e1¼ooízdms+2-rffi4=offiW(puti2s�3at4niee0n4ffil)8ffioi2,nteezos+eiú2rs,cspm+uztpuo3r3aean=z4ffi9crsffi(toi62os�ó0zzisapn).þl2+2drgEpeie+e2ovs8ebSilé0seir(¼nsalp2u=eóioúincmp)erno330nni.iffi4l,cffiúcc=ooeaumcmecp4uenoeuratoonnnr-aotnos
aeúndcnteL) )r n ooo spTqSs,snuuonesúnedoomtasponaeevebsfnrerretocúcoeessimnnnirqteredenaucrarúdeeoadmnos.nd,SeoatprrdnsaSoueoosseyncuscteinpaoeenlulmndpgnpeeueotunbnopnetrtsueoaptnosqici.tuo/looSíensmsee,ni(+ineohetsetsaeppddzrdeei,er=eocpctmreiioerrn0,ors,eq.sntecotuojreedeanmpodneaoopcrílStqsroe.acun,tPueesilsoocolfrenoadtscaoaeennSnnrút.aoonmd,itinertooargosdducsoneyappncudeeycnenuntetoatreocsdsoie.óennnSt,puraionnslccpineluuónnsmdtooeinceital/enpcs)uo. nncSoticonnotzeeiefm=incbei0eap,nrugetensost,uons

e) S no tiene ningún punto interior. Por tanto, no puede ser abierto. S ni es abierto ni es cerrado.

1.48.  f  ) Si dos puntos cualesquiera de S se unen mediante una trayectoria poligonal, en esta trayectoria habrá puntos
R paehgirp)a)) r el oLCqEsseualoneqmcctuoneeoemroerSaapnpd)lenefur����oomtzzreraeen�þmsdne����uazzetz33oncþ�gS����adcr¼ncáeo33ofan����inS2cjSs¼u, aet.nasePt2yodleo, elcrcl����ooctzzbcanonon)�þnjeunt����xjozzujno33u,nt�þ����nSoatotb,ond33iodee����Ser2e,vtj.ostuao,nlc2donotoo.ornesecesxolsodonuse.nepzlauprnuetgnoitsóonqcueoeruonn,oedsPpodemreticeninri,oecd. eenf0a, puntos
y

Soluzciói,ni/2, i/3, . . . . i, e12si,d13eic,i.r,. .g. los
S, todos

a) j) Ls iamEzneu=cteruesxatrlc+oaiósanieycld,eoa|mnxdteai+nneutisoaysec−qidóuen3ivS:|a=yleln2ot|sexna+ú|mziy−er+o3s|3=n|,a2teus|zrda+leecs3i,r|,1o,,2, 3, . . . existe una correspondencia uno a uno, como se

(–5, 0) A Bx

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1 i 1 i 1 i... 4 (–3, 0) (3, 0)
(x � 3)2 þ y2 ¼ 2 (x þ 3)2 þ y2 l 2 3 4
l l
l

1 2 3 4 ...
Se eleva al cuadrado y se simplifica para obtener

Por tanto, Sx2es+cyo2nt+ab1le0.x + 9 = 0
kl)) o S está acotado pero no es cerrado. Por tanto, no es compacto.
La cerradura de S está acotada y cerrada, y por tanto es compacta. Figura 1-36

1.46.  e DnaecdsuoedGsneectlrooiersm, a|céz)tor+Anicj∪a5um|(nxB=teo+,ns4bte,5)d,u)eAt2nop+∩dcuoíyrnBcp2t,uou=clnso)t1oAdA6ePA¼∩rda¼Cedf3ie,fo,s3dt4 ,e�) ycA�ií,cr∩ice4,un,(4ltBor2,oe2∪þesnþtCia,(l −)i5,,q5geu5,,)eg0B,(l)AaB¼cd∩o¼imsfBt�aof)n�isc∪,eii0a,m(,A0due�,∩eP�s1tC,ra1al 2),epy2þnunfþl ia)tgoA,fiigBygC,∩(u3Cr¼,(aB0¼1)f∩-�e3fs6�Cp.e p)l2ffiffi.di2ffi,offiib,21le,21 3, g3g,
de
la distancia de P al punto A(−3, 0).

Solución

ba)) O −AAtro1∪∩}m.BBécctooonndsso����ttzz����aazz�þdd�þee3333ll����oo����¼ss¼pp2uu2nnesttooessqqquuuiveeappleeenrrttteeennaee�cc�zzeezznn�þ�þty33aa33n��st�oe�azz��azz��þ�aAþ�A33c33�oo�ma¼¼oB4a4oBao,oaymebszzt�oáz�sþþ,dya5d5z�ezo�sþþtpá5o5dzrzaþ{dþ−o9i9p,¼o2¼r0+{03i,}−. i, 4, 2 + i, 5, 0,
b) dce))  ) L|ce z us aAA2Bi+adlPdu+ie∩∩<gor5scAEaurt|iCiBrdCrn,ata>,opatl3==od(¼nqa}zy4nartu.o{td{.c+fesi,−e3�resAe}d5dii,sl,a,,,)eiAc(dqm2B0 ozeau∩,p+nsye+�tlje(eiutCisfB1i5}inei,c)n,tsn∪eao2caA=qe,itCuþbsicu∩suio1 o)nvfis6naCa,=ycúcloalene�d=od{nni|eco3ztqpleo{l,u+acr3−ffi2emeoffia}lisn5ei,s,iu,ys|eejd2lz21tm=tadeca,�+iobdda3s4nrotce3gi.orvu}j.it,di,ebo,e3erqudrd.tutode2ioevs )jeazcclsnoo.oþesnEnxos32psltbojua+dssnoeedtimyreonvp2scolao+isffi(esffisqxtffinoffirffiu1p�affiseffie0uffibffilbffixnl3ffiAe)effit)ffi+xffio2yffiq∩ffitsffiþeuffic9ffiqrffi(e)ffiiBuffi.y>offilffie2Pffiro∪ops0,dreecCortl2ota )e(cpnnxní=jtruffi(eo+fficxfficnffi,u(ffieþtffi(Alffi5onffioAffi)sffi3∩ffit2dffi∩am)ffiffie+2nffiBffiaBffitþlffio)naffiy)ffiffii2∪affiyff∪ffiiffii2>ffigAe.((usAAct1rSaoa6∩en∩m,1meCe-oC3sl ue))a6d,vc=.Beahloca∪{iasqr−l,Cudiee.,

las propiedades válidas en el álgebra de números. Esto reviste gran importancia en la teoría y la aplicación.
f  ) B ∩ C = ∅, el conjunto vacío, pues no hay puntos comunes a B y a C. Por tanto, también A ∩ (B ∩ C ) = ∅.



Problemas resueltos  31

1.49.  Dados los conjuntos A y B representados por |z − 1| < 2 y |z − 2i| < 1.5, respectivamente, represente
geométricamente a) A ∪ B y b) A ∩ B.

Solución

Los conjuntos de puntos que se buscan aparecen sombreados en las figuras 1-37 y 1-38, respectivamente.
y  y

B x B x
2i 2i

A A
1 1

Figura 1-37 Figura 1-38

1.50.  Resuelva z2(1 − z2) = 16.

Solución

Método 1. Esta ecuación se puede escribir como z4 − z2 + 16 = 0, es decir, z4 + 8z2 + 16 − 9z2 = 0, (z2 + 4) − 9z2 = 0
o bien, (z2 + 4 + 3z)(z2 + 4 − 3z) = 0. Por tanto, las soluciones buscadas son las soluciones de z2 + 3z + 4 = 0 y
z2 − 3z + 4 = 0, o

3 pffiffi pffipffi ffiffi pffiffi
2 7 i  3 +23 +272i7 3 7i
� + 2 y � 2 i 2 + 2

Método 2. Si w= z212,+es23tape7ffifficiusaecieómnpsleeapnuelodse escribir como w2 − w + 16 = 0 y w ¼ 1 + 3 p7ffiffi i. Para obtener las
soluciones de zw2 ¼ métodos del problema 1.30. 2 2

1.51.  Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo equilátero. Demuestre que
z12 þ z22 þ z23 ¼ z1z2 þ z2z3 þ z3z1

Solución y
z2
A partir de la figura 1-39 se observa que
π/3
z2 − z1 = epi/3(z3 − z1) z1 π/3 π/3

z1 − z3 = epi/3(z2 − z3) z3

Entonces, al dividir, Figura 1-39

z2 � z1 ¼ z3 � z1 x
z1 � z3 z2 � z3

o bien,

z12 þ z22 þ z32 ¼ z1z2 þ z2z3 þ z3z1

32 Capítulo 1   Números complejos

1.52.  Demuestre que para m = 2, 3, . . .

p sen2p sen3p � � � sen(m � 1)p ¼ m
sen m m m 2m�1

m

Solución

Las raíces de zm = 1 son z = 1, e2pi/m, e4pi/m,…, e2(m−1)pi/m. Por tanto, se escribe
zm � 1 ¼ (z � 1)(z � e2pi=m)(z � e4pi=m) � � � (z � e2(m�1)pi=m)

Se dividen ambos lados entre z − 1 y después se establece z = 1 [observando que (zm − 1)/(z − 1) = 1 + z + z2
+ … + zm−1], y se encuentra que

m ¼ (1 � e2pi=m)(1 � e4pi=m) � � � (1 � e2(m�1)pi=m) (1)
(2)
Se sustituye por el complejo conjugado en ambos lados de (1) y se obtiene (3)

m ¼ (1 � e�2pi=m)(1 � e�4pi=m) � � � (1 � e�2(m�1)pi=m)

Se multiplica (1) por (2) con (1 − e2kpi/m) (1 − e−2kpi/m) = 2 −2 cos(2kp/m), y se tiene

m2 ¼ � � cos 2p��1 � cos 4p� � � � � � cos 2(m � 1)p�
2m�1 1 1
mm m

Como 1 − cos(2kp/m) = 2 sen2(kp/m), (3) se convierte en

m2 ¼ 22m�2sen2 p sen2 2p � � � sen2 (m � 1)p (4)
mm m

Después se saca la raíz cuadrada positiva en ambos lados y se obtiene el resultado deseado.

Problemas complementarios

Operaciones fundamentales con números complejos

1.53.  Realice las operaciones indicadas:

a)  (4 � 3i) þ (2i � 8) , d)  (i � 2)f2(1 þ i) � 3(i � 1)g , g)  (2 þ i)(3 � 2i)(1 þ 2i)
(1 � i)2

b)  3(�1 þ 4i) � 2(7 � i) , e)  2 � 3i , h)  (2i � � 4 i þ 2 � i�
4�i 1)2 � 1 þ i

1

(cc))  (3 þ 2i)(2 � i) , f  )  (4 þ i)(3 þ 2i)(1 � i) i )  i4 þ i9 þ i16
2 � i5 þ i10 � i15

1.54.  Suponga que z1 ¼z11¼�1i,� iz,2 ¼z2�¼2 �þ24þi,  4yiz, 3 pffiffi pffiffi 2i.. Evalúe los incisos siguientes:
¼z3 ¼3 �32�i.

a)  z21 þ 2z1 � 3 d )  jz1z�2 þ z2z�1j g)  (z2 þ z3)(z1 � z3)
b)  j2z2 � 3z1j2 h)  jz12 þ z�22j2 þ jz�32 � z22j2
c)  (z3 � z�3)5 e)  ����zz11 þ z2 þ 1i ���� i)  Ref2z31 þ 3z22 � 5z23g
� z2 þ

f )  1 �z3 þ z�3�
2 z�3 z3

Problemas complementarios  33

1.55.  Demuestre que(za11)z22()z1¼z2z)�11¼z�22,z�1z�2,y(zb11z)22(zz331)z2¼z3z)�11¼z�22z�z�331.z�2Gz�3e.n. eGGreaenlniezereraaltlihzieceseetheresestsoeuslrterses.usultlst.ados.

1.56.  Pruebe que a) (z11=z(2z2)1=¼z2z)�11¼=z�2z�2,1y=z�b2), jz11=zj2z2j1=¼z2jjz¼11j=jjzz122jj=sijfzi2zzj22if=z200=.. 0.
1.57.  Encuentre números reales x y y tales que 2x − 3iy + 4ix − 2y − 5 − 10i = (x + y + 2) − (y − x + 3)i.

1.58.  Demuestre que a) Re{z} = (z + z)/2 y b) Im{z} = (z − z)/2i.

1.59.  Suponga que el producto de dos números complejos es cero. Demuestre que por lo menos uno de los dos
números debe ser cero.

1.60.  Sea w = 3iz − z2 y z = x + iy. Encuentre |w|2 en términos de x y y.

Representación gráfica de números complejos. Vectores

1.61.  Realice las operaciones indicadas tanto analítica como gráficamente.

a)  (2 þ 3i) þ (4 � 5i) d)  3(1 þ i) þ 2(4 � 3i) � (2 þ 5i)

b)  (7 + i) − (4 − 2i) e)  1 (4 � 3i) þ 3 (5 þ 2i)
2 2

c)  3(1 þ 2i) � 2(2 � 3i)

1.62.  Sean z1, z2 y z3 los vectores de la figura 1-40. Indique gráficamente. y z1
a)  2z1 + z3 z2
z3
b)  (z1 + z2) + z3 x

c)  z1 + (z2 + z3)

d)  3z1 − 2z2 + 5z3 Figura 1-40

e)  1 z2 � 3 z1 þ 2 z3
3 4 3

1.63.  Sean z1 = 4 − 3i y z2 = −1 + 2i. Obtenga gráfica y analíticamente.
a)jjzzj1z11jþþzþ1 zzþ2z2j2j,z,j,2, j,((bb(bb)))()jbjzzj)1z11j��z�1 zz�2z2j2j,z,,j 2, j,((ccc())c)()z�cz�1z1�)1��z��1 z�z��2z2� ,2,z�,2y,((d d(d))()djdj22j ))2z�z�j1z1�21��z��1 33�3z�z�2z2�32��z��2 22�2jj..j2. j..

1.64.  L os vectores posición de los puntos A, B y C del triángulo ABC están dados por z1 = 1 + 2i, z2 = 4 − 2i,
y z3 = 1 − 6i respectivamente. Demuestre que ABC es un triángulo isósceles y encuentre la longitud de sus
lados.

1.65.  S ean z1, z2, z3 y z4 los vectores posición de los vértices del cuadrilátero ABCD. Demuestre que ABCD es un
paralelogramo si y sólo si z1 − z2 − z3 + z4 = 0.

1.66.  Suponga que las diagonales de un cuadrilátero se bisecan. Demuestre que el cuadrilátero es un paralelogramo.

1.67.  Demuestre que las medianas de un triángulo se encuentran en un punto.

1.68.  Sea ABCD un cuadrilátero y sean E, F, G y H los puntos medios de sus lados. Demuestre que EFGH es un
paralelogramo.

1.69.  En un paralelogramo ABCD, el punto E biseca el lado AD. Demuestre que el punto en que BE corta AC
triseca AC.

1.70.  L os vectores posición de los puntos A y B son 2 + i y 3 – 2i, respectivamente. a) Encuentre una ecuación
de la recta AB. b) Halle la ecuación de la recta perpendicular a AB en su punto medio.

1.71.  Describa y represente gráficamente el lugar geométrico representado en los incisos siguientes a) |z − i| = 2,
b)jjzjzzþþjþz 2þ22iijij2jþþiþj jþjzjzz��j�z 2�22iijij2j¼¼i¼j ¼666,,,,6 ,((c(ccc)))()cjjzj)zz��j�z 3�33jjj�3��j j�jzjzzþþjþz 3þ33jjj3¼¼¼j ¼444,,, 4,((dd(dd)))()dzzz)((z(�z�z�þ(þþz� 2þ22)))2¼¼¼) ¼333 ,,,3,y(( e(ee))()eeIImI))mmIffmfzzz22f2ggzg2¼¼¼g ¼444...4..

1.72.  E ncuentre en la ecuación de a) un círculo de radio 2 con centro en (−3, 4) y b) una elipse con focos en (0,
2) y (0, −2) y un eje mayor de longitud 10.

34 Capítulo 1   Números complejos Problemas complementarios  35

T1e.7o3r.  eDmesacridbea gDráeficMamoeinvtre ela región representada en los incisos siguientes:

1.89a. )1E11,v1,,a,jlzjújzzþejþþzliaþjiisjj�i�e�jx2�2p2, ,r,2e ,s(b(i(bob)()n)bReR)ReseRfefzdfez2zef2g2zggl.2o.g.s.1i11,n,,1 c,i(sc((oc)c)(s))cjzsj)jzziþjgþþzu3þi33iejiin3jj.it..jes.4:44,  ,,4,ya )  djzj(j)zz5þjþþzc2þi22s�2��230�33i°jii)3jjþ(iþ3þj jþczjjziz�sj��z42�022þ°2þþ) 3þ33i jii3jj,i,,jb,1)110 00.1..0(2. cis 50°)6
1.74.  Mel cup)er ostbr((le28eqmccuaiiess1l64a.100e388lb))ip34)]s .e |z + 3| + |dz )−  3(|3=ep1i=06)s(e(24ee�x2p5ppri=ei=3s4)a)2(e6nef5opri=m3)a rectangeu) lar�cppomffi3ffi3ffiffi o�þxii2�/24�5 11+þ�y2ii/�156 = 1 [vea

Fun1d.a90m. eDnetmousestarexqiouemaá)tsiecno3su d=e3lseonsun−úm4 eserno3 us  cyo  mbp) lceosj3ous= 4 cos3 u − 3 cos u.

1.715.9. 1C . oCnolma pdreufienbieciqóunedleasnúsomluercoiocnoems pdleezjo4 −com3zo2 p+ar1o=rde0neasdtáonddeandúams eproors reales, demuestre que si el producto
dezd=os2ncúomse3r6o°s,c2omcopsle7j2o°s, e2sccoesro2,1a6l°mye2nocsosun2o52d°e. estos números debe ser cero.

1.716.9. 2D .  eMmuueessttrreeqlaueleay) ccoonsm3u6t°a=tiv(a(ppre5ffiffi5ffiffisþþpe11c))t=o=44d,,,e(b(bb)a))c)ccolooasss7s77u222m°88 ¼=a¼y((ppb)5ffi5ffiffiffil�a�m11))u==l44t.i..p[lSicuagceiróenn.cia: Use el problema 1.91.]

1.717.9. 3D.  eDmeumeustersetrlea qleuye aas)osceinati4vua/rseesnpuec=to 8decoas)3lau s−um4acyosb)ul=a m2uclotispl3iuca+ció2nc.os u

1.78.  a)  b)Ecnocsu4eunt=re8núsemne4ruos−re8alseesnx2 yu y+ta1les que (c, d ) · (x, y) = (a, b), donde (c, d )  (0, 0).

1.9 4b. )D  e¿mQuueéstrreelaeclitóenorteiemnae d(xe, Dy)ecMonoievlrreeasu)lptaadrao ednetelarodsivniesgióantivdoesnyúmb)enroúsmceormosprlaecjoiosndaaldeso. en la página 2?

R1.a7í9c. eDsemdueesntrúemqueeros complejos

1.810.9. 5a . )( 2Ea(((2p)2n2(p¿p2(cp3ffi2Cffipuffi3ffi3p�ffi3ffieóffiffi3��nffim�3ffi2ffit�2ri�2o2)eii12)i)d=2)1li121a=e)i=,=21)s2f21=,i(,,2=nrb(2(,a(be)b,,bí())c(b()�bae()()�(�)s,�4(�4b(q4�þ4)u4þþ1þ4e4/þn4iþ4s4,)iie14)id)==4)1(i15io1=c)i=n,=51)5no(51=,d(,cds,5=c(i,5(oe(cc)uc,cs()a)1(nc()[)n2,c(u)((2e)2s1þ2e(seþ2(nþ+þn2u2þl2npþu2ou2pp12sp2e3ffi)2ffipnffi3(iiffi3+pffi3)ncffiitffii13ffi)ieo)cffi=ffi3)1i1.ffir3i1s=)i=os.,=31)33ou=1,.(,,p,3=ds2(+3(,do,(d)d,sd (ss)))i(du)ie�gd(t)(n�n(�iu)�]1v(i,�1u(6o1e�1s62i6?n16e))i1i1t6.)in)e=6)1i1.[41s=)i=u.,=41)4(4,y1=1(,c,4=e(o4(+,l(e))eo,es())(ce()u6ue()a((624)n6l6(,4í)4+6(4c1)s6)4=)e1e1641=).l=n,=61)a6y.6=1,(,s,6u.=f(6(,)f(gn+f, f))( )r)()f(iá()f(u(if)i2)ini()=)2c]i2(32=))i=a.=32)33m=2...3=3.e.nte.

1.9 6b. s)qc E uunaaDcsrdqeueruetaraenodrrtoaemrtsesriodlnoaoeefsts4(rapao,íf2fficbffi4e)þps1/q4ffi22ffiupeþenffi2ffis4it,epé  ri2ffimnffi(cicd,)i)inrcfioaa(fsícntc)hdeyfiesroflaqotohuctysiarnolboíto.cfates�ldao1sef6e�þn11e6l6þppl13ffiaffi6in,po ffi3cffi(iod, )msyp(idx le)thjsdoir .x)o torhatasírc)ooeoRfstas�síeoc2xfe7tsi�a.cs2ú7dbie.ic−as27die. 8,  b) raíces

For1m.9a7.p  Roelsauerlvda elasneúcmuaecirooness ac)oz4mz4+pþl88e11j=¼o0s0,y(b)) z6 þ 1 ¼ p3ffiffii..

11..881112..99..  98aEM2..2  )x�2EEu�22pe�nnr2�−s2eccit2,isuur2,eie2(ee,i(b,nnibeq(,)tt(bn)urrb�)ee�e))f�1oll2�1aarþ1mssþþ1þrrpþaipaapííp¼3ffiffipcc3ffiioffieeffi3,iffiplffi3,ssiffi(a,i(cr,,5fficcc(ffi)úue(c)cc2i))baa2t)paddi2pnc2rap�ffi2aapffi12ffiffinsdþ(2ffiffi1þffi2úaffi=dþ2ms2þe)2p..d2ep−2eprffi2ffipo21ffiiffiaffi2,i1ffi2ffi,c)iffi(,,io(d−5,d(dm)5(d)− d)�2)p��)i−l�i.1e�,i1,i2j(2,oi(ei,ie(),yd(e))e(�e)�bb−)�4)l)�4o4,84,s,4,þf,i n) 4c��pi�s2�2opffi5ffi2psi2p..ffi3pffis3ffiffii�3ffiffig�ffi3ffi�u2�2iie2,i2,nyi(,i(gt,ge()(gs))gp:)p)pffi2ffip2ffiiffi2ffi,iffi2ffi,iffi(,ih(h,h())(h)hp)p)pffi3ffip3ffi=ffi3ffi=ffi2ffi3=ffi2=�2�2�3�3i3=i3=i2=2i..=2.2..

E1c.8u3.a  Ecxioprneseesenpfoolrminaópmoliacr:a  sa) −3 −4i  y  b) 1 − 2i.

11.8.140. 0R. eRperesuseenlvtea elansfeocrumaacigornáefiscsaiglouiqeunetesse. Einndciuceanetnrelotosdianscilsaossrasiígceusie: ntes y expréselo en forma rectangular:

a)a6)(c5oz2s +1325z° ++ 1i 0se=n 103  5°y) , bb))1z22 c+is(9i0−°,2c))z4+ci(s33−15i°),=d )02e5pi/4, e) 5e7pi/6 y f  ) 3e−2pi/3.

11.8.150. 1U .  nRaevsuióenlvraecz5or−re21z540−mzi3ll+as6hza−cia4e=l su0r.este, 100 millas hacia el oeste, 225 millas en una dirección de 30°
1.102h. aac)iaEenlcnuoerntteredetoldeasstel,ays r2a0íc0ems dilelazs4h+aczi2a+el 1no=re0stye.bD) elotecramlíicneelaas)eannealíptilcaanmoecnotme pylebj)og. ráficamente a qué

1.103d. isD taenmcuiaesytreenqquueéladisruecmcaiódneelsatsárdaeícseus pduenato0zdn e+paar1tzind−a1. + a2zn−2 + . . . + an = 0, donde a0  0, tomadas de
1.86.  Trresa fluaevrezza,seasc(t−úa1n)reanr/uan0,pdlaonodeso0b<rer u<nno. bjeto colocado en
y

1.104Og. r,áEcfnioccmaueoynstbere)mdduoeessmntrúaanmeeenrraolasanfciaguluyítraiacsa1u-mq4u1aé.sDefuaeet4erzrymacisuneyeoraep)qrduoeidemurecatnpoeasrreaaa 8.

Raíceeesvqiutnialr-ibéqrusaenimteela.]osbjdeteo sleamuuenviad. a[Adesta fuerza se le suele llamar muéstre1l0a0slben 75 lb
la unidad, y forma gráf6ic0a°.
11.8.170. 5D .   eEmnucuesetnrterequtoedeans elalscríracícuelos az )=cuRaeritua,s|eyizb| )=séep−tRimseanus.de
30°
11.8.180. 6a. ) a) DCeommuperusterbeeqquueer11ei+u1 +cosr27e2iu°2 =+ rc3oesiu13,4d4o°n+decos 216° + cos 288° = 0. x
b) Dé una interpreqtaffifficffiffiiffióffiffiffinffiffiffiffigffiffirffiffiáffiffifffiffiifficffiffiffiaffiffiffidffiffiffieffiffilffiffiffirffieffiffiffisffiffiuffiffilffiffitffiaffiffiffidffiffioffiffiffi obtenido en el inciso a). O 45°

50 lb
1.107.  Demuestre qru3e¼cos r3126þ° +r22 cþos2r712r°2 c+osc(uo1s �10u82°) + cos 144° = 0 e interprételo de manera gráfica.
y
� r1 senu1 þ r2sen u 2 �
u3 ¼ tan�1 r1 cos u1 þ r2 cos u2 Figura 1-41

  b)  Generalice el resultado de a).