Variable.compleja.2ed.Schaum.Spiegel_1

36 Capítulo 1   Números complejos

1.108.  C ompruebe que la suma de los productos de todas las raíces n-ésimas de la unidad tomadas 2, 3, 4. . . ,
(n − 1) a la vez, es cero.

1.109.  Encuentre todas las raíces de (1 + z)5 = (1 − z)5.

Producto punto y producto cruz

1.110.  Dados z1 = 2 + 5i y z2 = 3 − i, encuentre
a) z1 ⋅ z2,  b) |z1 × z2|,  c) z2 ⋅ z1,   d ) |z2 × z1|,  e) |z1 ⋅ z2|  y  f ) |z2 ⋅ z1|.

1.111.  Demuestre que z1 ⋅ z2 = z2 ⋅ z1.
1.112.  Suponga que z1 = r1eiu1 y z2 = r2eiu2. Compruebe que

a) z1 ⋅ z2 = r1r2 cos(u2 − u1)  y  b) |z1 × z2| = r1r2 sen(u2 − u1).
1.113.  Demuestre que z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3.
1.114.  Encuentre el área de un triángulo cuyos vértices se encuentren en −4 − i, 1 + 2i y 4 − 3i.
1.115.  Encuentre el área de un cuadrilátero cuyos vértices estén en (2, −1), (4, 3), (−1, 2) y (−3, −2).

Coordenadas conjugadas

1.116.  D escriba cada uno de los siguientes lugares geométricos en términos de coordenadas conjugadas z, z.
a) zz = 16,  b) zz − 2z − 2z + 8 = 0,  c) z + z = 4  y  d) z = z + 6i.

1.117.  Exprese las ecuaciones siguientes en términos de coordenadas conjugadas.
a) (x − 3)2 + y2 = 9,  b) 2x − 3y = 5  y  c) 4x2 + 16y2 = 25.

Conjuntos de puntos

1.118.  Sea S el conjunto de todos los puntos a + bi, donde a y b son números y x
racionales, que se encuentran en el interior del cuadrado que aparece i 1+i
sombreado en la figura 1-42. a) ¿Es S acotado? b) ¿Cuáles son los
puntos límites de S, si los hay? c) ¿Es S cerrado? d ) ¿Cuáles son O1
sus puntos interiores y sus puntos frontera? e) ¿Es S abierto? f ) ¿Es Figura 1-42
S conexo? g) ¿Es S una región abierta o un dominio? h) ¿Cuál es la
cerradura de S? i ) ¿Cuál es el complemento de S? j ) ¿Es S contable?
k) ¿Es S compacto? l ) ¿Es compacta la cerradura de S?

1.119.  R esponda el problema 1.118 si S es el conjunto de todos los puntos en el interior del cuadrado.

1.120.  Responda el problema 1.118 si S es el conjunto de todos los puntos en el interior del cuadrado o sobre el
cuadrado.

1.121.  Dados los conjuntos de puntos A = {1, i, −i}, B = {2, 1, −i}, C = {i, −i, 1 + i} y D = {0, −i, 1},
encuentre: a) A ∪ (B ∪ C ),  b) (A ∩ C ) ∪ (B ∩ D)  y  c) (A ∪ C ) ∩ (B ∪ D).

1.122.  Suponga que A, B, C y D son conjuntos de puntos. Compruebe que  a) A ∪ B = B ∪ A,  b) A ∩ B = B ∩ A,
c) A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C,  d) A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C  y  e) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ).

1.123.  Suponga que A, B y C son los conjuntos de puntos definidos por |z + i| < 3, |z| < 5 y |z + 1| < 4. Represente
en forma gráfica las expresiones de los incisos siguientes.

a) A ∩ B ∩ C,  b) A ∪ B ∪ C,  c) A ∩B∪ C∩, ~B)d∪ ) (CB∩∩(~CA )∪∪B()C,  ∩e)~A()A. ∪ B) ∩ (B ∪ C ), 
f) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C ) ∪ (C ∩ A)  y  g) (A

1.124.  D emuestre que el complemento de un conjunto S es abierto o cerrado según S sea cerrado o abierto.

1.125.  S uponga que S1, S2, . . . , Sn son conjuntos abiertos. Demuestre que S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sn es abierto.

1.126.  Suponga que el punto límite de un conjunto no pertenece al conjunto. Demuestre que ese punto debe ser un
punto frontera del conjunto.

Problemas complementarios  37

Problemas diversos

1.127.  S ea ABCD un paralelogramo. Compruebe que (AC )2 + (BD)2 = (AB)2 + (BC )2 + (CD)2 + (DA)2.

1.128.  Explique el error en: �1 ¼ pffiffiffiffiffiffipffiffiffiffiffiffi ¼ p(ffiffi�ffiffiffiffi1ffiffi)ffiffi(ffi�ffiffiffiffi1ffiffi)ffi ¼ pffiffi ¼ 1.. HPoenr ctaen1to¼, 1�=1. −1.
�1 �1 1

1.129.  a) Muestre que la ecuación z4 + a1z3 + a2z2 + a3z + a4 = 0, donde a1, a2, a3 y a4 son constantes reales
distintas de cero, tiene una raíz imaginaria pura si a32 þ a12a4 ¼ a1a2a3.

b) ¿Es verdad el recíproco de a)?
� �
1.130.  a ) DemuPersotvree qthuaet cosn f ¼ 1 cos nf þ n cos(n � 2)f þ n(n � 1) cos(n � 4)f þ � � � þ Rn dwohnedree
2n�1 2!
 Rn ¼ :>>><>8 2[([n(n�n=!21))!=]22]n![!(n þ 1)=2]! cos f  iiff
sni ins eosdidmpar
sni nis eesvpenar

b) Encuentre una fórmula similar para senn f.

1.131.  a) Sea z = 6epi/3. Evalúe |eiz|. reales p y m, e2mi cot�1 p�pi þ 1�m¼ 1..
1.132.  Muestre que para todo par de números pi � 1

1.133.  Sea P(z) un polinomio en z con coeficientes reales. Compruebe que P(z) = P(z).

1.134.  S uponga que z1, z2 y z3 son colineales. Demuestre que existen constantes reales a, b, g, no todas igual a
cero, tales que az1 + bz2 + gz3 = 0, donde a + b + g = 0.

1.135.  Dado un número complejo z, represente geométricamente a) z, b) −z y c) 1/z, d ) z2.

1.136.  Considere dos números complejos z1 y z2 distintos de cero. Muestre cómo representar en forma gráfica, sólo
con regla y compás, az)z11z1zz1222z,,2(,(bbb)))zzz1111==/zz2z22,2,,((ccc)))zz212121þþzz222222,,,(d(dd )))zz111111===222,,y((eee)))zz232323===444...

1.137.  C ompruebe que la ecuación de una recta que pase por los puntos z1 y z2 está dada por

arg{(z − z1)/(z2 − z1)} = 0
pffiffi
1.138.  Suponga que z = x + iy. Demuestre que jxj þ jyj � 2jx þ iyj.

1.139.  ¿Es verdad el recíproco del problema 1.51? Justifique su respuesta.

1.140.  Encuentre una ecuación para el círculo que pasa por los puntos 1 − i, 2i, 1 + i.

1.141.  Muestre que el lugar geométrico de z tal que |z − a||z + a| = a2, a > 0 es una lemniscata, como la que se
muestra en la figura 1-43.

y x y x
a√2 4P

Figura 1-43 Figura 1-44

38 Capítulo 1   Números complejos

1.142.  S ea pn ¼ a2n þ bn2, n = 1, 2, 3, . . . , donde an y bn son enteros positivos. Compruebe que para todo entero
positivo M siempre se hallan enteros positivos A y B tales que p1p2 . . . pM = A2 + B2. [Ejemplo: Si 5 = 22
+ 12 y 25 = 32 + 42, entonces 5 · 25 = 22 + 112.]

1.143.  Demuestre que: a) cos u þ cos(u þ a) þ � � � þ cos(u þ na) ¼ sen21 (n þ 1)a cos(u þ 1 na)
sen 2
1 a
2
1
b) sen u þ sen(u þ a) þ � � � þ sen(u þ na) ¼ sen 2 (n þ 1)a sen(u þ 1 na)
2
sen 1 a
2

1.144.  Compruebe que a) Re{z} > 0 y b) |z − 1| < |z + 1| son expresiones equivalentes.

1.145.  Una rueda de 4 pies de radio [figura 1-44] gira a 30 revoluciones por minuto en sentido contrario al de las

manecillas del reloj, en torno a un eje que pasa por su centro. a) Muestre que la posición y la velocidad
de cualquier punto P de la rueda están dadas, respectivamente, por 4eipt y 4pieipt, donde t es el tiempo en

segundos, medido a partir del instante en que P se encuentra en el eje x positivo. b) Encuentre la posición y
la velocidad cuando t = 2/3 y t = 15/4.

1.146.  Demuestre que para cualquier entero m > 1,
mY�1

(z þ a)2m � (z � a)2m ¼ 4maz fz2 þ a2 cot2(kp=2m)g

donde Qm�1 denota el producto de todos los factores k¼1 desde k = 1 hasta m − 1.

k¼1 indicados

1.147.  S uponga que los puntos P1 y P2, representados por z1 y z2, respectivamente, son tales que |z1 + z2| = |z1 − z2|.
Compruebe que  a) z1/z2 es un número imaginario puro  y  b) ∠P1OP2 = 90°.

1.148.  Demuestre que para cualquier entero m > 1,

cot p cot 2p cot 3p � � � cot (m � 1)p ¼ 1
2m 2m 2m 2m

1.149.  Compruebe y generalice a) csc2(p/7) + csc2 (2p/7) + csc2 (4p/7) = 2 y

b) tan2(p/16) + tan2(3p/16) + tan2(5p/16) + tan2(7p/16) = 28

1.150.  S ean m1, m2 y m3 masas localizadas en los puntos z1, z2 y z3, respectivamente. Demuestre que el centro de
masa está dado por
m1z1 þ m2z2 þ m3z3
z^ ¼ m1 þ m2 þ m3

Generalice a n masas.

1.151.  En la recta que une a los puntos z1 y z2 encuentre el punto que la divide en la relación p: q.

1.152.  Muestre que = =�z � z1� �z3 z1� �z� z�1� �z�3 � z�1�
z � z2 z3 z2 z� z�2 z�3 � z�2
� ¼ �
� �

es una ecuación del círculo que pasa por los puntos z1, z2 y z3.

1.153.  Compruebe que las medianas de un triángulo con vértices en z1, z2, z3 se intersecan en el punto
1 z3).
3 (z1 þ z2 þ

1.154.  Demuestre que los números racionales entre 0 y 1 son numerables.

[Sugerencia. Ordene los números en la forma 0, 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 , . . . .]
2 3 3 4 4 5 5 5

1.155.  Compruebe que todos los números racionales son numerables.

1.156.  Demuestre que los números irracionales entre 0 y 1 no son numerables.

1.157.  Represente en forma gráfica el conjunto de valores de z para los que a) |z| > |z − 1| y b) |z + 2| > 1 +
|z − 2|.

40 Capítulo 1   Números complejos Respuestas a los problemas complementarios  39

1111..88..114355..  98aa..��  �))C M33�535ppppoppeu3emffipxffi2ffipe2ffixffiffiffi2ffiffipffisppþffiþ2ffi[tffiþffi[rrii(uþe3(3p3peppqpb3(þuþaffi2pe2ffiffi2effi)iffiit,iq(,2ffitap,ffia(a(3ui(na)n(b,)beffi2)�bffi�b)(p))13bpþ1)1(1)(12ffi421ffi4ffi22pffi1=iþ2=i,iþ,23,3iffi(ffi,i)(p)(c,,cp,cayc))((ffi3)n)(cffibffi32bb2ffid)2)ayp))ppen2(ppbbs2ffidp2ffiffi2ffi))ffi5ffiu5ffi�ffi(�2ffiffi�2ffibene�x)2x�2n2pp2pppú2[[p�2ffimp2ffi�ffi�2ffiiffi2ffii,iffiie,2ffipi,iffit(rit(ad(dsa,odffi2ndffiorn))()ie�)idn��ra�1)�r1arnap2rep�2peúc]]ffi2pim2ffiffi2offiffi��ffi2ne�ffi ra�poplp.s2ffip2ffiffi2ffiaiffii,i,ffi2ly,ffig(i((e,eeee)b)())e�r�)�a5i5�5cpppo5ffi3sp3ffiffi3ffi.=ffi==3ffi2[2ffi2V=��2�ea�(((55e5=(=l=5222p=)))ir2i,io,),fib , )le��m33app1ffi32ffiffiffi.=4þ27.�3]p(3ffi2ffi=i,2)(ib) 12i, (c) pffiffi � pffiffi (d) �
22 2 2i,

p3 4ffiffi11111c2...((988i..cas11((c595))ea((66i...2ea((s))   p((01ea(())((03ca�1 3aaceca1�))..�8))ffi4�1  �)))))5ffi)76,�1p53p SS p3=�55p�1p((c2335=((3r23capeu83ffii5ca=34ffi2ffiomps)),ffi3ffi4acpffi==ffi))ffiþ32ffi3d3ffii=32þpffi22o2c=Aisffi3c2p=3=u2þffi=li330n2(=i�2þl2scB4ffic121(sffi=8ac�4g2i1ffi�t(6,5�C�2si2sa�oc221((15s�5c2p,0p11(i0D5�34p3(1iq8s1d((2c81=5(3s8p40c,3ffi316(4ffi,=ui.3effi623pffi,2ffi3=1is(58===ffi222.e=ps5)ffi3°302=,p=clffi83222i)03ffi3.218a==2ffi8);i2cis1p,))a)ffi48,=s)i6P3ffi42,s2ii)iffiei)6l,iffi2,2si5i2))4ffipnQ1cl5,ffincip3i)(8oi,33c48ib(ic,oscu4ffi,nsi,b4ffi0u(4)iis(rffi2b(sg1)s582nbtc1b3)c,e34i8i)3c342)2tispc;40p3iu2s40d603is3o58�21sd58e0b.4ffi�1,2l8ffi,348el8�í)C34;p3;g40;�psc3e3403p2oo58i((3sffi4d258s4ffi,pbdffi8m3nt2,ffi2ffip8eeffi;))p22co;pcp3ffi3pffiic3p(l62ffi3(i(isffi4ffiabrrisa3ffi,ffi0b4iffiesuffis)3ffi,cp2i8)(ffic2g,eiicc;(2r6dis(,6upcb(o)is(7b0(isc0()bleda6x8)�8ca2ffi)28)ffig)�,72;i)rq;6pm�1o:6pc(2u01�5d(d6di0nd1ffi2a86es effi2))cffi81a)ffi�;6,d ;ip�2c6ln2scp(a2e�i(7d1ims�ffi2dasl6cs1ffi82)c6affi)i)1,726Aiecpds2291sc6:27ppni7Co596is6ps8ffi3c16tss88ffispce2ffiffi3,e7,eiiffi,5ffi7,2,ffi3in,si2):Anffips7:73ffi,p52ic.i(ffi57nn6u,:D8dii8(62ffi588,su2ffi,7csd,(ffi),,ffi78,dci(:)¼p29c,s:5d32cp.r)5i93ii8)2ps.2ffi1c8s3t2ffi8cp,.offii,35,p9incffi3s2c91ffisAp7�ffi32ci9p=eiffi97sffi31:is=1Pc81ffi2n5s8ffi31c=5ffi22,ffiiYn2k5ffi,98=is8�27¼u�9eps47,�9,p2c:19ns117�:528i1pf(5ffi28�s5ffi2:,143(8fficc5,8ffi37c,(ffi2oppí1nc,7ffi83cp(ipr:s2i7,s:352icpsc3ffi2ffic5suffiffi122p83ffiuiffi2c=s8ffic1,s83ffic=1l�ci,ffi42c,ic3ffi7os=2i2ffi7s227)2iis=1p2(i)ss1c42:d,c22pi8)51co8y34,e2ffii1,i3)4ffi,87i((s,s/87i73s7,epa,(r1,pcn:217k))a:2582i5p)2ffip48:dsffi2,8�1ffi.458,ffic7,i=5ffi2p,7c8offiipcp:2n;=si:452isc52ffi)2us(ffi383ffi23cgiffiffi8ec,n2s8=iþc2,3)iyc,s24i2is4723tis3pa(3s3:1�c3518cr2385i3ffi2,i85isffi,478o(s7;4pp13;:pc3.:35(3=58i3eD2ffiffi38s8ffi2,3ffi2ffi8),7ffi;=;7)ep3c:2cp(i:5m(i1ei)5se2ffi8siffi5)28)ffiu,;38;c3e((c;1i(1besise5s)5)t)8r3833;e;121q55�8u8;e;3e2lp3ffiffii, (c) �16 � 1

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(c)
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1.110.156. 8a. )Seee22papinkik==4a41¼¼, aee22,2pp.iki.k==2.2,,, kakn¼¼y00b,,11,1,,b222,,, 3.3.,,y.((b,b)b))ene22nppiúkik=m=77,e, krko¼s¼c00o,,m11,p,.l..e..j.o,,6s6. Demuestre la desigualdad de Schwarz.
111...111110490...   u(1u(11auai7ai7())7i() v(v111,,�,�−(b(b1b)1)))11)=1=)17(7/(v78v8(8,,þ,þc(()c+1c1)1))),11,,1,()d,(v,(v ()d(2d2)1)��712171−7y1,),)=e(=(1e()e(v))v)1/2121,(,þ,fþ(  ()2f1f)1)1+))1,1, (1(vv�����)X3,k3¼n(��1a131k)−)b==k((v�����1v2)3�3/þþ(1X1k3)¼n),+,1((jvva14k)4j,�2�(!11)4)=Xk=−(¼n(vv141j4b)þþ/kj(121!)),4,w+whhe1er)re,edvvo¼n¼deee22ppi=i=5=5 e2pi/5

1.115. 111888

1.116.  a) x2 + y2 R=e1s6,pb)uxe2 +sty2a−s4ax +lo8 =s0p, cr) ox =bl2 ey md )ay s= c−3omplementarios
1.117.  a) (z − 3)(z − 3) = 9, b) (2i − 3)z + (2i + 3)z = 10i y c) 3(z2 + z2) − 10zz + 25 = 0
1.111118...555. 437 aecpj...)   so)uah axSnneS)))íjtl=   .íuo�.c�−−knso1b1)t1d14no)�Nye1j�Tdul−o/y4oenc4.2idut=,itlio,−o o,a)(bb(ddd−bSbp))ro(e)) íau22 s.ffi11dtn3ffi−1ol77ot/o7d0o02s0so,1,)o,eps(7icncn(u)lcy)o+ np)eis1t1ul)o100 np1is022n2tu42od44tni4+es,iiit,sir,of,cit(driosi)d(on  dr))ent )8onot11es1+e22re2dla,,n,e;i(eine(,nl)aea)t ode)+3fr3 )hri/3/ oao5/5b−5yrn,,i,ty(9pfcef(  uu)f)re+) anan�−nt�dold71a1es1oi=l/,f=i7r7nac7e,o,ut,)(yen gag(rtgd1))bie) or1r[a�ra/�ded17doso77.enþeþled−)sc3e3uNpu0pa(on13ffid<ffiffi3.0ffirþpfa/þ ua )d1pnoNp<7t.3ffio)ffioffi31iiiffi,.,)i,l(,hgíEf0m )) )l < Nic7t2eoo6b1.m5. c<h+þp))l1NeL1i]m,2ao8sg.ecop)nedn tr3ffi )ffio−rr,ayaTd(1dcioei5u)i)do/r So�an2−sead3sl3+5leeo5esSsl.5i,

1.1119.6. 0 a. )xS4í+. by)4T+od2oxp2yu2n−to 6exn2yel−in6teyr3io+r 9dxe2l +cua9dyr2ado o sobre él es un punto límite. c) No. d ) Todo punto en el

1.61i.n  tae)r i6o66r���es222iui,,in,((bb(bp)b))u )3n33tþþoþi33n3ii,t,ie,(c(rc(c)i)co) )�r�,�1y11þtþoþd11o1222ipi,,iu,d((dn (d)d)t )o)999e��n�l88a8ii,,fiy,r((oe(ee)en))) t11e199r9=a==22e2þsþþu((n3(33=p==22u2))ni)itio frontera. e) Sí. f  ) Sí. g) Sí. h) La cerradura
1.63ed. seaeS)l ecpso1ffineffiffi0lffijffiu,cn(bobt)no) j5udpnet2ffitoffioffi, dd(cceo))s to5lodþsosp5iul,ony(stddop) s)u1 en51nt5oesl en el interior y en la frontera del cuadrado. i) El complemento de S
exterior del cuadrado o en su frontera. j) No. k) No y l ) Sí.

1.1210.6. 4a . )5S,í5. ,b8) Todo punto de S es un punto límite. c) Sí. d ) Todo punto dentro del cuadrado es un punto interior,

1.70pm. uiane)tnoztsr−aesn(q2eul+eetxio)tde=orioptr(u1dne−tol c3euin)adloaraxfdr=oon.2tje)+rNa toe,.syku)=nSp1í.u−ln )t.o3Stfíor.o3nxte+ra.ye=) N7oy. f  ) Sí. g) No. h) S mismo. i) Todos los
11..1132111.7..  1eeae�.e ��)3�ba3pf3{p3fp2))f3ffi2ffip2f2ffi3,3ffiffizcffi2,,ffi3,ffi1í,1−1r1,1c,,,�u,−(��l5�io,iii/,,,i,i2,,iibi,,,i1−),111eþ1þ+þilþ/iip2giiigs,gi}),ge,(,,=,(b(bb(b)cb))))tf)(f{1fh31f11,i1,,p+,i,,iéii,�,i,r,�i�b−)�igoiiog,igil,}g,a(x,(c(,yc(c)=dc))cf ))f1f)31f1z,{1t,,�=1,+��,�igi−1i5ggi/gyi}2x, y=t− 1/2 o 3 − 3y = 4
= −3 y e) hipérbola

11..11431190..77..  23jYzYjSYj..zzejY  þízeesþ.aaþessþ))1s11j|11jzj¼j¼<¼+¼pp|p3zp5ffiffiffi5ffi5ffi−+ffi5ffioffioooror4ir(|ri(x(|≤x(xþx=þþ2þ1,211)1b)2)o2)2)þ2þ(þRþxyeyy2+{y22¼2z¼¼23¼})5525>5+1(,yc−) |z4)+2 =4y b) |z + 2i| + |z − 2i| = 10 + 3i| < 10
3i| > 4 y d ) |z + 2 − 3i| + |z −2

4444ccic2csii2s2pis21spp1p18ffi2111ffi8280ffi2..ffi8ffi20c110ffi8c08ic5681csio8is71ois.or3s8or..(r3  3411(rq4(3414q1(e45q4z.741e5q4 z7pe518z477/e5cp18z72p1ia 4/8//þ,pii128o2/ic2þ)e,sþo2,i(oriþ,ppo(2frps(1rfp(i)f2rppz,8ffi2f)1pz)2ffi2pz4f0)22p8z)ffi224p 4cffi)8)2=p)042ffic=iffi)=2(c4cffi2s8eoicffi=(qffi2(eicsiffi7eqir(sqso3ce7ispþ7q2spr74i1þpi3þ2=s2p1iþe5i2=4411p=i104p2=8,p41e5p0)0,48ip,1)p08)(,8,o8)(bio08((orb,o(ob)ofr°bo)(rr))2rf4)2ro4p2)42e42ec4p7e4cffi2ec7ipcffi7ecsipe7iipiffi2sc7=sffiipsi7i=e6s1pi=pi61s=,27612ii,61/p2=,1(2026,42(ig0(0=0,,81,g(0g4)888gbg0)(,8)op)b8))oopor(po)rrpb2or2ffiffi2r2)2ffir42ffi2cffi2ecffi2ee42c2eiicc7e2spcsie2iipps2cpiiss71=ip9siip=i=39=s2i96103i=,39=0,,03028,610(8,(80°,(c2o8(gc8o()(c0oor)c)ogor)8ro4)p)r24p4rpo4epc2ffiffirc222ffiic2efficffisip2eeicffi2pesffiisie2pi4sp/iecp=sp4i34i25=2ii=4i,5p2=s=5,98235,28ci,80y=(9,,8o)(3h(8o0ho((,rhh)4ohcr8)or))(p4r))rccpo4p4e)ip4reffi3pesffi3ep3ffi4piffip3ffic=24cpiffii=ffi4ci=icie5c4ffi2s=,cs4iffiip,i4s°e,iss(4i,s3p=(d3o(532d04i(d)3=0,8d0)542)0c)(08,8eoc0h8ic8(pcsior8)oihsooisiorr/2s)p4orr242p7erp4,2p73ffip7p0ffiep7d3ffi00i83ffip=cffi03 e8ffi)84ffi3iei8ffi5eo=c,sec5op45orip5oi,(psir3r=spdieri=3(0=3ie)33e2d=30e3p033)7cp38pi0=pii0ci=28so=i2°i=,2rso,22,o(,rp7(2e(e0(e)ep73ffie)8ffi)30)epffi38ffi5oiep/r5o2ip=,re3i=e3e3p)3ip=42i=,c2i,(se()1e)80° o



Capítulo 21

Funciones, límites
y continuidad

2.1  Variables y funciones

A un símbolo, por ejemplo z, que representa un elemento cualquiera del conjunto de números complejos, se le
conoce como variable compleja.

Suponga que por cada valor que toma una variable compleja z corresponde uno o más valores de una variable com-
pleja w. Entonces se dice que w es función de z y se escribe w = f (z) o w = G(z), etc. A z se le llama variable inde-
pendiente, y a w, variable dependiente. El valor de una función en z = a se suele escribir f (a). Por tanto, si f (z) = z2,
entonces f (2i) = (2i)2 = −4.

2.2  Funciones unívocas y funciones multivaluadas

Si a cada valor de z corresponde sólo un valor de w, se dice que w es una función unívoca de z, o bien que f (z) es
unívoca. Si a cada valor de z corresponde más de un valor de w, se dice que w es una función multivaluada de z.

Una función multivaluada puede considerarse como una colección de funciones unívocas, y a cada miembro se le
conoce como una rama de la función; a un miembro particular suele considerársele la rama principal de la función
multivaluada, y al correspondiente valor de la función, como valor principal.

Ejemplo 2.1
a)  Si w = z2, por cada valor de z se presenta un solo valor de w. Así, w = f (z) = z2 es una función unívoca

de z.
b)  Si w2 = z, por cada valor de z hay dos valores de w. Así, w2 = z define una función multivaluada (en este caso

con dos valores) de z.
Siempre que se hable de una función, a menos que se diga otra cosa, se entenderá que se trata de una función
unívoca.

2.3  Funciones inversas

Si w = f (z), también z se considera una función, posiblemente multivaluada, de w, y se escribe z = g(w) = f −1(w).
La función f −1 es la función inversa de f. Por tanto, w = f (z) y w = f −1(z) son funciones inversas entre sí.

42 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

2.4  Transformaciones

Si w = u + iv (donde u y v  son reales) es una función unívoca de z = x + iy (donde x y y son reales), se escribe u + iv =
f (x + iy). Si se igualan las partes reales y las imaginarias, se ve que esto equivale a

u = u(x, y)  y  v  = v (x, y) (2.1)

Así, dado un punto (x, y) del plano z, como P en la figura 2-1, existe un punto correspondiente (u, v ) en el plano w,
como P′ en la figura 2-2. Al conjunto de ecuaciones (2.1) [o a su equivalente, w = f (z)] se le llama transformación.
Se dice que el punto P se lleva o transforma en el punto P′ por medio de esa transformación, y a P′ se le conoce
como la imagen de P.

Ejemplo 2.2  Si w = z2, entonces u + iv  = (x + iy)2 = x2 − y2 + 2ixy, y la transformación es u = x2 − y2,
v = 2xy. La imagen del punto (1, 2) del plano z es el punto (−3, 4) del plano w.

y u
plano z P' plano w

Q Q'
P u

x

Figura 2-1 Figura 2-2

En general, mediante una transformación, un conjunto de puntos, como los puntos de la curva PQ de la figura 2-1,
se lleva a un conjunto correspondiente de puntos, que es su imagen, como los puntos de la curva P′Q′ en la figura
2-2. Las características de la imagen dependen, por supuesto, del tipo de función f (z), que en ocasiones se llama

función de transformación. Si f (z) es multivaluada, un punto (o curva) del plano z, en general, se lleva a más de un

punto (o curva) en el plano w.

2.5  Coordenadas curvilíneas

Dada la transformación w = f (z) o, de manera equivalente, u = u(x, y), v = v (x, y), a (x, y) se le conoce como coor-
denadas rectangulares del punto P en el plano z, y a (u, v ) como coordenadas curvilíneas de P.

plano w
plano z

y u = c2 u

u (x, y) = c2
u = c1
PP

xu

u(x, y) = c1

Figura 2-3 Figura 2-4

2.6  Funciones elementales  43

Las curvas u(x, y) = c1, v (x, y) = c2, donde c1 y c2 son constantes, se llaman coordenadas curvas [vea la figura
2-3], y cada par de estas curvas se intersecan en un punto. Estas curvas se llevan a rectas ortogonales del plano w
[vea la figura 2-4].

2.6  Funciones elementales

1. Las funciones polinómicas se definen como

w ¼ a0zn þ a1zn�1 þ � � � þ an�1z þ an ¼ P(z) (2.2)

donde a0  0, a1, . . . , an son constantes complejas y n un entero positivo, que es el grado del polinomio P(z).
La transformación w = az + b es una transformación lineal.

2. Las funciones algebraicas racionales se definen como

w ¼ P(z) (2.3)
Q(z)

donde P(z) y Q(z) son polinomios. A veces la expresión (2.3) se denomina transformación racional. El
caso especial w = (az + b)/(cz + d ), donde ad − bc  0, en ocasiones se llama transformación lineal
fraccionaria o transformación bilineal.

3. Las funciones exponenciales se definen como

w ¼ ez ¼ exþiy ¼ ex(cos y þ i sen y) (2.4)

donde e es la base de los logaritmos naturales. Si a es un real positivo, se define

az ¼ ez ln a (2.5)

donde ln a es el logaritmo natural de a. Si a = e, esto se reduce a la expresión en (2.4).
Las funciones exponenciales complejas tienen propiedades similares a las de las funciones exponencia-

les reales. Por ejemplo, ez1 � ez2 ¼ ez1þz2 , ez1 =ez2 ¼ ez1�z2.
4. Funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas o funciones circulares sen z, cos z, etcétera,

se definen en términos de funciones exponenciales como se indica a continuación:

sen z ¼ eiz � e�iz , cos z ¼ eiz þ e�iz
2i 2

sec z ¼ 1 z ¼ eiz 2 , csc z ¼ 1 z ¼ eiz 2i
cos þ e�iz sen � e�iz

tan z ¼ sen z ¼ eiz � e�iz , cot z ¼ cos z ¼ i(eiz þ e�iz)
cos z i(eiz þ e�iz) sen z eiz � e�iz

Las funciones trigonométricas complejas tienen muchas de las propiedades ya conocidas para las fun-
ciones trigonométricas reales. Por ejemplo, se tiene:

sen2 z þ cos2 z ¼ 1, 1 þ tan2 z ¼ sec2 z, 1 þ cot2 z ¼ csc2 z

sen(�z) ¼ �sen z, cos(�z) ¼ cos z, tan(�z) ¼ �tan z

sen(z1 +z2) ¼ senz1cos z2 +cos z1 sen z2

cos(z1 +z2) ¼ cos z1 cos z2 +sen z1sen z2

tan(z1 +z2) ¼ tan z1 +tan z2
1+tan z1 tan z2

44 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

5. Las funciones hiperbólicas se definen como sigue:

senh z ¼ ez � e�z , cosh z ¼ ez þ e�z
2 2

sech z ¼ 1 z ¼ ez 2 , csch z ¼ 1 z ¼ ez 2 e�z
cosh þ e�z senh �

tanh z ¼ senh z ¼ ez � e�z , coth z ¼ cosh z ¼ ez þ e�z
cosh z ez þ e�z senh z ez � e�z

Satisfacen las propiedades siguientes:

cosh2 z � senh2 z ¼ 1, 1 � tanh2 z ¼ sech2 z, coth2 z � 1 ¼ csch2 z

senh(�z) ¼ �senh z, cosh(�z) ¼ cosh z, tanh(�z) ¼ �tanh z
senh(z1+z2) ¼ senh z1 cosh z2 +cosh z1 senh z2

cosh(z1 +z2) ¼ cosh z1 cosh z2 +senh z1 senh z2

tanh(z1 +z2) ¼ tanh z1+ tanh z2
1+ tanh z1 tanh z2

Entre las funciones trigonométricas o funciones circulares y las funciones hiperbólicas existen las rela-
ciones siguientes:

sen iz ¼ i senh z, cos iz ¼ cosh z, tan iz ¼ i tanh z

senh iz ¼ i sen z, cosh iz ¼ cos z, tanh iz ¼ i tan z

6. Funciones logarítmicas. Si z = ew, entonces w = ln z, que se conoce como logaritmo natural de z. Por
tanto, la función logaritmo natural es la función inversa de la función exponencial, y se define como

w ¼ ln z ¼ ln r þ i(u þ 2kp); k ¼ 0, +1, +2, . . .

donde z = reiu = rei(u+2kp). Observe que ln z es una función multivaluada (en este caso, una función
con una cantidad infinita de valores). El valor principal o la rama principal de ln z suele definirse como
ln r + iu, donde 0 ≤ u < 2p. Pero puede usarse cualquier otro intervalo de longitud 2p, como −p < u ≤
p, etcétera.

También pueden definirse funciones logarítmicas para bases reales distintas de e. Así, si z = aw, enton-
ces w = loga z, donde a > 0 y a  0, 1. En este caso, z = ew lna y, por tanto, w = (ln z)/(ln a).
7. Funciones trigonométricas inversas. Si z = sen w, entonces w = sen−1 z es el seno inverso de z o arco
seno de z. De manera similar se definen las demás funciones circulares inversas o funciones trigonométri-
cas inversas cos−1 z, tan−1 z, etc. Estas funciones, que son multivaluadas, se expresan en términos de loga-

ritmos naturales, como se indica a continuación. En todos los casos, en el logaritmo se omite la constante

w ¼ ln z ¼ ln r þ i(audþitiv2akp2k);pi, k ¼ 0, +1, +2, . . . :

sen�1 z ¼ 1 � þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi � pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi!
ln iz 1 � z2 , csc�1 z ¼ 1 ln i þ z2 � 1
i
iz
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi!
cos�1 z ¼ 1 � þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi � sec�1 z ¼ 1 ln 1 þ 1 � z2
ln z z2 � 1 ,
i iz
ln�1 iz�, ln�z i�
tan�1 z ¼ 1 1 þ iz cot�1 z ¼ 1 z þ i
2i � 2i �

46 Capítulo 2   Funciones, límit2e.7s y Pcuonnttoisnudiedardamificación y líneas de ramificación  45

que se 8a.c uerdFeunnocicornuezsarh. iEpsetrabbóalricrearsai[nrveeprresasesn. tSaidza =en sleanfhigwur,aepnotornucneas rwec=ta mseánshg−r1uzeseas]eslesceonnoohciepceorbmóoliclíoneinavdeerso
ramificacióndoe czo. rDtee dmeanraemraifsiicmaciliaórns,eydeelfipnuenntolasOd, ecmomásofupnucnitoondees hraipmeirfbicóalicciaósni.nHvearysaqsuceoosbhs−e1rzv,atraqnuhe−1uzn,aetvcu.eEltsatas
completa en ftournncoioaneusn, pquunetsoodnismtiunlttoivdaeluza=das0, nseo ecxopnrdeuscaen aenvatélormreisndoisfedreenlotegsa;rpitomrotasnntaot,uzra=les0, ecsomeloúnseiciondpiucnatoa dcoen-
ramificacióntfiinnuitaoc.ión. En todos los casos sewo¼miltne zla¼colnnsrtaþntei(audþitiv2akp2k);pi, k ¼ 0, +1, +2, . . . , en el logaritmo:

2.8  Superficies de � þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi � pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi!
z2 þ 1 , csch�1z ¼ ln 1 þ z2 þ 1
Rsenieh�m1 az ¼nnln z
z

aqEuxloeiseltaelrpogltoarnadoemzOacnBoenryastqaduedeeleodlgobrasorrcdlaoepamicnsoifssseomhrbi�oor1erqzpduu¼eeelsclatnoac�nsa,zpluþaanlaipínnsfffizeoeffi2ffiaffibrffii�ffirdffioffieffierffi1ffilffisra�eaom,utrniafei.cAaalchiboósoernracdhahen�ats1yeuzsqp¼udereelisnoicmrrida1tgaeþ.ilnPaapacrzr1ffiaqaffiffipffiu�ffieaffieffisffiffiszteffiouffi2sffi!,ptahesraiycoarq.puaEesnsitmoenaccgoeirsnt,aanar

plgaainrctaairrpqadueienlfaseerciauopnr.aeninlfoesriootrroysablodradretsaunndhae�vm1uzaenl¼tear21acolqnmu�ep11lseþ�itaszzee�cn,otnotrinnoúaa dOa,ndsecoolvltehug�eal1tzaa¼slae12cvalanp,�adzzesu�þlap11ecr�aiopra. Ahora hay que ima-
superior, de nuevo a

La colección de estas dos capas es una superficie de Riemann que corresponde a la función z1/2. Cada capa corres-

lptaiovsnaEEulduslpe1tacea09daorif..andu iccednieaeaepsFlyLurdteuaoneuagaemadnxd(Rfzauemtaci)isineedsoas.mnuceonnidpnaeóleeeanrsndrafnffaáozuicccltsanogiii,elfcenemdunibtdóoneiernenncnauu,idRtinoayeecan.i.aeeaePcsmnsoapyandrcunataefeiunddjddenaaatemsicdcesipdanoielpenenroafz,euiln,apslnasiavttenrarfeauúadndlnmsetaeccafefieijcnuóarnaoennpddccfaeee i(osósnzq.mn)tuugezpne(sz1lí)./evp=3Sjoe,oircl,maewasg.si(euzet)epsdlneeoufrfb n(ifxntia)ec.enisEecoendorluemvgcRaeoiróniieeneomarsdalanvle,nazl.enlaosDtteriaeeecssnumfeaduoctenrdieócuosninocsapneaofempuslaiensnsjc;oaóipnnmóatnmreiac,mualsnliutizlfv- ,(az-)

P0(z)wn þ P1(z)wn�1 þ � � � þ Pn�1(z)w þ Pn(z) ¼ 0 (2.6)

2.9  Límidtoendse P0  0, P1(z), . . . , Pn(z) son polinomios en z y  es un entero positivo, entonces w = f (z) es una
Eudjneeívzmf0ou)cp.naSlciyoeódnd2ie.acf3eil ngwqiedub=aeraeuzincn1/au2nndeúasemvszeoe.rlcouicnlidóeansddedleellíamz e=icteuzad0c,eiósfan (lzvw)o2cp−uoazsnid=bole0zmytei,enpntoedreetananztzo0=,yeszs0eu(neeasscfdruienbcceiiról,ínemnazl→guenz0barf av(izec)ca=inddelazsd.i
Sea f (z) agu-
jerada d para

todo nTúomdaerfounpcoisóintivqouee n(toansepeexqpureeñsoe ccoommoosseodluecsieóen) dsee h(2a.l6la) uens unnúamfeurnocpióonsittrivaoscden(qdueentpeo. rLlaosgfeunnecriaolndeespleongdaerítdmeiec)as,
taltrqiguoen|fo (mz)é−tricl a| s<eehispieemrbpórleicqausey0su<s|czo−rrezs0p| o<nddi.entes funciones inversas son ejemplos de funciones trascendentes.
EnLtaasl fcuansocisoenedsicceotnasmidbeiréandqasueenf (lzo)stineúnmdeeraolsc1uaan9d,ojuznttioencdoenalazs0 yfusneceiosncreisboebf t(ezn)i→dasl acupaanrdtior dze→elzla0.sEmsetedilaímntieteun
denbEúenmsefeorrorimnfdianeigpteoeondmdeiéeotnrptieecrada,ecsilioanz0meseasdneuernsaupemunnaq,toureeesnztase,elmpauplalrtnoipoxliicmcoaemcaipólzne0,j.od,iveinstioónncyesralíímcezs→szo0 nf (fzu)n=ciolnseiseel lveamloerntaablseosl.uto de la
diferencia entre f (z) y l puede hacerse tan pequeño como se desee al eligir puntos lo bastante cercanos a z0 (exclu-
yendo a z = z0).

luwaweeaS2DzrdwweCdllauAe=l.a¼¼v¼quop¼s7u,,auaEp−epjonee)lr pnlepuunppjoesla1 dpeégeerisEO.lrffi drffisPffirrousffirnffiavíeffiffiffiPemdoe,nmeebepuiebeaitiecuqisudwtuwpo(weo(ilrloumi1eu=utewrealnr=l1ne2lr1rt,e¼m2þ¼í¼þvcdpanopmucuete2eeo4rawoucpsnfpopzip2p=qoi,o2nta)a)bóna.u=ea==n.m4ffira2ffiri.lrffis22eeffiffiufficmded evreS3lp¼io1l¼iSoeiiuóíuz.eeuiq(ldrm+eun11ene=dsiuzu=1/�a2gpttliez2þne2o,aeftd→→e4 a(pam2,arffidnspei(ffiipe)reeeeqfsfbcffir)zs, uiffi==a(nuuwoe0aewaw2zwmunn1erimm)p=usnpecg0¼mza¼2¼1¼eu¼ciaapo.p=nósneer2eE,liee�ntst.fpfdepfpzpii anrau(atreAdóaiepliracnffirffir)rffirocffiriffi.xffiffidseddffi,eoeceeqeffiriíreeeaaieiffiiaics,uiucevuó(s(pnlrltuo1u=aeiienne=ecu1dd21onpr2þoa,1þneatett=udiqoe2ricrdd42nóspnaaausrpi(,eerner)dte)Ara,ú=vno=isoa2uoeo2snd,ud.lnebAiee¼¼ueaayflcqStlsíc(lilotumauze=aia[�Ap,erdt)flnpi,iirecet,s¼eofpgzaíeffirus foffi(nnumtaeluz1edmirffida�ggri)ffieleueeaaseyaanp1n0z=ivcf=uda2dlmo l2(2wiaa1ewwaweezr=,-ldtsea,)2ou5aadyqs¼en¼¼n¼cr1e]tzzimudeuuo.s df)=dei¼ceepa,vp+pánpSheifneissilor eeia(rffiicdlrffierffieffirffizwbffirffiayffieieqo2ege)aróstttiiiupiirriusouzn((cdeeeau1eadeu=to→=enn1st21drea2þefþnyooeemzeli.c.2n4ie(plp,iiírvd)fm)nc=e=aao22iaicteae¼e¼ensiald 2zl�ppaoc==drpmoffiraiffi−óebiiarffi,siffil1unemeen1.itlm=uSeo21lseía=q.m2suE2oie.tss2etppea6Ollaea)pnúvc.orhnaSuzlaoseiqeqrbfr=u ad(íqezaes1)le−fí em(mAz1s)z.um→eeniusftl z(rtzai=v)ea=in-, B
Lo anterior se describe con la declaración de que si 0 ≤ u < 2p, se
4enp,uensawtára¼emnpaodtffirrffieeai(lruaa1mþfu4anpc)d=ie2ónl¼amfpuunrffilffitceiivióua1nl=u.2ada z1/2, ≤
está mientras que si 2p Figura 2-5
u<
2.10E s  cTlaerooqruee mcadaasrasmoa dberlaefulnícmióinteessunívoca. Con objeto de mantener la función unívoca, se establece una
barrera artificial, por ejemplo OB, fd (oz)n=de AByelsítmá ze→nz0egl(izn)fi=nitBo. [aunque sirva cualquier otra recta que parta de O],
2.1.  Suponga que límz→z0 Entonces
Teorema

1. límz→z0 {f (z) + g(z)} = límz→z0 f (z) + límz→z0 g(z) = A + B
2. límz→z0 {f (z) − g(z)} = límz→z0 f (z) − límz→z0 g(z) = A − B



2.12  Continuidad  47

3. í z!z00 f f (z)g(z)g ¼ � í z!z00 f �� í z!z00 g(z)� ¼ AB
(z)

4. í f (z) ¼ í z!z00 f (z) ¼ BA  si B=00
z!z00 g(z) í z!z00 g(z)

2.11  Infinito

Mediante la transformación w = 1/z, el punto z = 0 (es decir, el origen) es llevado a w = ∞, que se conoce como
punto al infinito en el plano w. De manera similar, z = ∞ denota el punto al infinito en el plano z. Para conocer el
comportamiento de f (z) en z = ∞, basta con hacer z = 1/w y examinar el comportamiento de f (1/w) en w = 0.
Se dice que límz→∞ f (z) = l o que f (z) tiende a l cuando z tiende a infinito, si para todo e > 0 se halla un M > 0
tal que | f (z) − l | < e siempre que |z| > M.
Squeedi|c f e(zq)u| e>líNmzs→iezm0 fp (rze) = ∞ o que > >
que 0 < |z f (z) tiende a infinito cuando z tiende a z0, si para todo N 0 se halla un d 0
− z0| < d.
tal

2.12  Continuidad

Sea f (z) una función definida y unívoca en una vecindad de z = z0 así como en z = z0 (es decir, en una vecindad d de
z0). Se dice que la función f (z) es continua en z = z0 si límz→z0 f (z) = f (z0). Observe que esto implica que para que
f (z) sea continua en z = z0 deben satisfacerse tres condiciones:

1. límz→z0 f (z) = l debe existir
2. f (z0) debe existir, es decir, f (z) debe estar definida en z0
3. l = f (z0)

De manera equivalente, si f (z) es continua en z0, esto se expresa de manera sugerente como

��
f (z) ¼ f z :
z!z0 z!z0

Ejemplo 2.5

a)  Suponga que �
f (z) ¼ z2 z = i

0 z¼i

Entonces, límz→i f (z) = −1. Pero, f (i) = 0. Por tanto, límz→i f (z)  f (i), y la función no es continua en z = i.
b)  Suponga que f (z) = z2 para toda z. Entonces, límz→i f (z) = f (i) = −1 y f (z) es continua en z = i.

A los puntos del plano z en los que f (z) no es continua se les llama discontinuidades de f (z), y se dice que f (z) es
dviibscCleoo,nmptiuoneusaa,ltaeelnrrneeadstoievsfainpiaurnlfta (ozsd0.)eSfciionlmiícmioóz→nigzua0 anf lt(ezar)iloíemrxizds→etez0cpfo e(nrzto)i,nneuosidteaasdfiu,gnuf c(aizló)ansfes (ezd0ve)u,fiesnleevdecicocoemnqotuinceuozan0.teinsuuanaendizsc=onzti0nsuiidpaadraretmodoo-
e > 0 se halla un d > 0 tal que | f (z) − f (z0)| < e siempre que |z − z0| < d. Observe que esta definición es tan sólo la
definición de límite con l = f (z0) y sin la restricción de que z  z0.

Para examinar la continuidad de f (z) en z = ∞ se hace z = 1/w y se examina la continuidad de f (1/w) en w = 0.

Continuidad en una región

Se dice que una función f (z) es continua en una región si es continua en todos los puntos de esa región.

48 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

2.13  Teoremas sobre continuidad

Teorema 2.2.  Si f (z) y g(z) son continuas en z = z0, entonces también lo son f (z) + g(z), f (z) − g(z), f (z)g(z) y
f (z)/g(z); la última es continua si g(z)  0. Esto también es válido para la continuidad en una
región.

Teorema 2.3.  Entre las funciones que son continuas en toda región finita se encuentran a) todos los polinomios,
b) ez y c) sen z y cos z.

Teorema 2.4.  S uponga que w = f (z) es continua en z = z0 y z = g(z) es continua en z = z0. Si z0 = g(z0), entonces
la función w = f [g(z)], que es una función de una función o una función compuesta, es continua en
z = z0. Esto suele expresarse, de manera simplificada, como sigue: una función continua de una
función continua es continua.

Teorema 2.5.  S uponga que f (z) es continua en una región cerrada y acotada. Entonces esta función es acotada en
esta región; es decir, existe una constante M tal que |f (z)| < M para todo punto z de la región.

Teorema 2.6.  Si f (z) es continua en una región, entonces también la parte real y la parte imaginaria de f (z) son
continuas en esa región.

2.14  Continuidad uniforme

Sea f (z) continua en una región. Entonces, por definición, para todo punto z0 de la región y para todo e > 0 se halla
un d > 0 (que en general dependerá tanto de e como del punto z0 de que se trate) tal que | f (z) − f (z0)| < e siempre
que |z − z0| < d. Si es posible hallar un d que dependa sólo de e pero no del punto z0 de que se trate, se dice que f (z)
es uniformemente continua en esa región.

O, de manera alternativa, f (z) es uniformemente continua en una región si para todo e > 0 hay un d > 0 tal que
| f (z1) − f (z2)| < e siempre que |z1 − z2| < d, donde z1 y z2 son dos puntos cualesquiera de esa región.
Teorema 2.7.  Si f (z) es continua en una región cerrada y acotada, entonces f (z) es uniformemente continua en esa

región.

2.15  Sucesiones

La función de una variable entera positiva, que se denota f (n) o un, donde n = 1, 2, 3, . . . , se llama sucesión. Por
tanto, una sucesión es un conjunto de números u1, u2, u3, . . . en un orden definido y formados de acuerdo con una
regla definida. Cada número de la sucesión se llama término y un es el término n-ésimo. La sucesión u1, u2, u3, . . .
también se denota {un}. Una sucesión es finita o infinita según tenga un número finito o infinito de términos. A menos
que se especifique otra cosa, se considerarán únicamente sucesiones infinitas.

Ejemplo 2.6
a)  El conjunto de números i, i2, i3, . . . , i100 es una sucesión finita; el término n-ésimo es un = in, n = 1, 2, . . . , 100
b)  El conjunto de números 1 + i, (1 + i)2/2!, (1 + i)2/3!, . . . es una sucesión infinita; el término n-ésimo es

un = (1 + i)n/n!, n = 1, 2, 3, . . . .

Problemas resueltos  49

2.16  Límite de una sucesión

Se dice que un número l es el límite de una sucesión infinita u1, u2, u3, . . . si para todo número positivo e hay un
número positivo N que dependa de e tal que |un − l| < e para todo n > N. En ese caso se escribe límn→∞ un = l. Si
una sucesión tiene límite, se dice que la sucesión es convergente; si no es así, la sucesión es divergente. Una sucesión
sólo puede converger a un límite, es decir, si el límite existe, éste es único.

Una manera más intuitiva pero menos rigurosa de expresar este concepto de límite es decir que una sucesión
u1, u2, u3, . . . tiene un límite l si sus términos sucesivos “están cada vez más cerca” de l. Con esto se da un número
“que se suponga” el límite, después de lo cual se aplica la definición para ver si de verdad lo es.

2.17  Teoremas sobre límites de sucesiones

Teorema 2.8.  Suponga qulíemlním!1n!a1n a¼n A¼ A y límlním!1n!b1n b¼n B¼. EBntonces
1. nn!!11 (ann þ bnn) ¼ nn!!11 ann þ nn!!11 bn ¼ A þ B
2. nn!!11 (ann � bnn) ¼ nn!!11 ann � nn!!11 bnn ¼ A � B
3. nn!!11 (annbnn) ¼ ð nn!!11 annÞð n!!1 bnnÞ ¼ AB

4. an ¼ n!1 an ¼ A  si B  0
n!1 bn n!1 bn B

En el capítulo 6 se verá más sobre sucesiones.

2.18  Series infinitas

Sea u1, u2, u3, . . . una sucesión dada.
Se define una nueva sucesión S1, S2, S3, . . . mediante
S1 = u1,  S2 = u1 + u2,  S3 = u1 + u2 + u3, . . . ,  Sn = u1 + u2 + . . . + un

donde a Sn, que se le conoce como n-ésima suma parcial, es la suma de los primeros n términos de la sucesión
{un}.

La sucesión S1, S2, S3, . . . se simboliza como
X1

u1 þ u2 þ u3 þ � � � ¼ un

n¼1

y se le llama serie infinita. Si límn→∞ Sn = S  existe, se dice que la serie es convergente, y S, su suma; si no es así,
se dice que la serie es divergente. Una condición necesaria para que una serie converja es que límn→∞ un = 0; sin

embargo, esto no es suficiente (vea los problemas 2.40 y 2.150).

En el capítulo 6 se verá más sobre sucesiones.

Problemas resueltos
Funciones y transformaciones

2.1.  Sea w = f (z) = z2. Encuentre los valores de w que correspondan a a) z = −2 + i y b) z = 1 − 3i, y muestre
cómo representar esta correspondencia en forma gráfica.

50 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad Problemas resueltos  51

SoSloulcuicóinón

a) Sewa z==f (r−eiu2. +Enit)o=nce(−s,2en+lai)2ci=rcu4n−fer4ein+ciai2|z=| =3 −1 [4figura 2-8], r = 1 y z = eiu. Por tanto, w = z3 = (eiu)3 = e3iu.
b) Si w(r=, ff) (1so−n l3ais) c=oo(r1d−ena3di)a2s=po1la−res6ien+e9lip2l=ano−w8 ,−se6tiiene w = reif = e3iu, por lo que r = 1 y f = 3u.

plano z plano w
plyanoy z plaunouw
xx
P 1 P P' uu
–2 + i O 1

r f = 3q
O'

1 – 3i Q' P'
Q –8 – 6i 3 – 4i
Figura 2-8
Figura 2-9

Como r = 1,Fsigeusrigau2e-6que el punto imagen P′ se mueve en el plano wFisgoubrrae 2la-7circunferencia de radio 1 con
wldleevucá=vlEneenaancglda1fetuouprrs−loenuoamvcnewuo4itnáóo,lisu,n=ePzcrrl′deáio−ó=speprenrii8aed,gm−pso−ePelu2ni′qnec6c[ut+vaaifoeeicd[gmipieeoóu,lunpnrprnvlaseeooetep2torcanrt-tereQ9totialsr]dr′een.podOsnAsueftcrPnosaeoil.tdrvmaonmootfiPralispaugcm′rocuiieróioornoan,eanecl2wellu-aps7ap.s=un]lEnm.adtznnPooa2oo.ntPérPDewrccsmeeaeidlndimlemnaaeosaluaplnsdeuepfvedinrllegeaatruonevesrnoleieaomcnszj2teioee-lnda7lrnteer.ip,usdSll,znoaaeen=ácfsodniotgiog1nzcuutese−rrliaxaoqgri3un2si3oitei-uef6[ia.Pcp,uPaluntaeoinoqsesrtunmoylteleaeQasnevcóntlaooledodvm,ceoeciuollculanataaopsfnpPirudugd′nOonueptltro′oPoParrei′cc2mlmrooo-oa6rmjetrg]deaepeenistlnos-reuetnas
2.4p. o Snudipeonntega(iqmuaegcen1 )yecn2 eslopnlacnoonswta,ndteesmraenaeleras.qDueetwermesiunneaeflucnocnijóunnutonídveoctoaddoeszl.os puntos del plano z que se llevan
wM cau=1el=sazts2re2are,qlc4aut,aec−sulraa2v),ra−euqc4t=uaeyqcucu1n2,ee=bul)on2vse,=p4au,lnc−ot2so2esp,nuP−ne′4Qlto.p′sl[afPingoyurwQa mdeeldpialannteolza efnunecliópnrobwle=maz22..1Ilu[fsitgreurcao2n-s6id]eersanlldeovaldoas pcaosros
2.2.  2-7] y determine la ecuación de esta curva.

SoSloulcuicóinón
LunoiSyesnnevdptieu=icsenatntocoee2ssnwdpPleua=lnsyptufolQiags+nutsoiroieavwnns=e2cno-zl12rar0=seyscp(ox2oo-+nr1dd1iee.ynn)a,2dr=eassxp2(e−−ct2iyv,2a1+m) ye2ni(tx1ey,,,−ade3la)ms. Ehoidnpotéoqrnbucoeelsau,s=laxs2x−e2c−uya2yc2=i,ovnc=1esy2p2xayxr.yaEm=nétctor2nicdcaeessl ,dplelaaslnaroercezt,catcsaoumqu=oesce1

x � (�2) ¼ y�1 ¼ t o x ¼ 3t � 2, y ¼ 1 � 4ptlano w
1 � (�2) �3 � 1
4 u = –4 u
u = –2 plano
plano z 2= – u=2
–2 u=4
La ecuación de la recta PQ se ryepresenta como z = 3t − 2 + i(1 − 4t). La curva en el w a la que se lleva esta
2– y
recta tiene la ecuación y 2=
2

x 2=
x 2– 4

y2–2y= R′ Q′ u=4
u=2
¼ z2 ¼ f3t � þR � 4t)g2 x � 2)2 � � 4t)2 þ 2(3t � 2)(1 �
¼ 2– S′ P′ o W′
w S 2 i(1 ¼ (3t (1 4t)i
x V′

3 � 4t � 7Qt2 þ (�4 þ 22t � 24t2)i o Z′

Ent2oxnyc=es–,4como w = u + iv, Tlas ePcuaciones paramétr2ixcyas= d4e la curva imagen son u
u 2xy = 2 + 22t − 24t2 u = –2
2xy = –2 U = 3Z− 4t − 7t2, 
v =x −4
Est22axxcyyu==rv42a Y 2xy = –2
puede represenVtarse gráfica al valores al parámetro t.
enXforma da2rxyd=iv–e4rsos T′ o X′
W
U′ o Y′

2.3.  U n punto P se mueve en dirección contraria a las manecillas del reloj en torno a una mciurceustnrfeeqreunec, icauueann=de–ol 4
plaxn2 o– yz2c=u4yo centro se encuentra en el origen y cuyo radio es 1. Si la función es w = z3,
P rxe2a–lyi2za= 2una revolución completa, la imagen de P en el plano w, P′, realiza tres revoluciones completas en

sentido contrarixo2 –ayl2a=s–m4anecillas del reloj en torno a una circunferencia con centro en el origen y radio 1.

x2 – y2 = –2

Figura 2-10 Figura 2-11

2.5.  Con los datos del problema 2.4, determine a) la imagen de la región del primer cuadrante limitada por
x2 − y2 = −2, xy = 1, x2 − y2 = − 4 y xy = 2; b) la imagen de la región en el plano z limitada por todas las



52 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

ramas de x2 − y2 = 2, xy = 1, x2 − y2 = −2 y xy = −1 y c) las coordenadas curvilíneas del punto en el plano
xy cuyas coordenadas rectangulares son (2, −1).

Solución

a)  La región en el plano z es la indicada por la porción sombreada PQRS de la figura 2-10. Esta región se lleva a
la región imagen P′Q′R′S′ que se muestra sombreada en la figura 2-11. Hay que observar que la curva PQRSP
se recorre en dirección contraria a las manecillas del reloj, y la curva imagen P′Q′R′S′P′ también se recorre en
dirección contraria a las manecillas del reloj.

b)  La región en el plano z se indica por la porción sombreada PTUVWXYZ de la figura 2-10. Esta región se lleva
a la región imagen P′T′U′V′ que se muestra sombreada en la figura 2-11.
Es interesante observar que mientras el límite de la región PTUVWXYZ se recorre sólo una vez, el límite de
la región imagen P′T′U′V′ se recorre dos veces. Esto se debe a que los ocho puntos P y W, T y X, U y Y, V y Z
del plano z se llevan a los cuatro puntos P′ o W′, T′ o X′, U′ o Y′, V′ o Z′, respectivamente.
Sin embargo, cuando el límite de la región PQRS se recorre una sola vez, el límite de la región imagen se
recorre también una sola vez. La diferencia se debe a que, al recorrer la curva PTUVWXYZP, se encierra el
origen z = 0, mientras que al recorrer la curva PQRSP no se encierra el origen.

c)  u = x2 − y2 = (2)2 − (−1)2 = 3, v = 2xy = 2(2)(−1) = −4. Entonces las coordenadas curvilíneas son u = 3,
v = −4.

Funciones multivaluadas

2.6.  Sea w5 = z y suponga que a un valor particular z = z1 le corresponde w = w1. a) Si se parte del punto z1 del
plano z [vea la figura 2-12] y se hace un circuito completo en dirección contraria a las manecillas del reloj en
torno al origen, muestre que al volver a z1 el valor de w es w1e2pi/5. b) ¿Cuáles son los valores de w al volver
a z1, después de 2, 3, . . . circuitos completos en torno al origen? c) Analice lo que se pregunta en los incisos
a) y b) si las trayectorias no son en torno al origen.

plano z plano w
y u
x
C w1 e2pi/5

r1 z1 w1 e4pi/5 w1
q1
u

w1 e8pi/5

w1 e6pi/5

Figura 2-12 Figura 2-13

Solución

a)  Se tiene que z= reiu, de manera que w = z1/5 = r1/5eiu/5. Si r = r1 y u = u1, entonces w1 ¼ r11=5eiu1 =5.
A medida que el valor de u aumenta de u1 a u1 + 2p, que es lo que ocurre al realizar un circuito completo

en sentido contrario a las manecillas del reloj, en torno al origen, se tiene

w ¼ r11=5ei(u1þ2p)=5 ¼ r11=5eiu1=5e2pi=5 ¼ w1e2pi=5
b)  Después de dos circuitos completos en torno al origen, se encuentra

w ¼ r11=5ei(u1þ4p)=5 ¼ r11=5eiu1=5e4pi=5 ¼ w1e4pi=5

Problemas resueltos  53

De manera similar, después de tres y cuatro circuitos completos en torno al origen, se tiene

ww¼¼ww1e16ep6ip=5i=5  anyadn d ww¼¼ww1e18ep8ip=5i=5

Después de cinco circuitos completos, el valor de w es w1e10pi=5 ¼ w1, de manera que después de cinco revo-
luciones completas en torno al origen de nuevo se obtiene el valor original de w. Por tanto, el ciclo se repite
[vea la figura 2-13].

Otro método. Como w5 = z, se tiene arg z = 5 arg w, de donde

Cambio en arg w ¼ 1 (Cambio en arg z)
5

Entonces, si arg z aumenta 2p, 4p, 6p, 8p, 10p, . . . , arg w aumenta 2p/5, 4p/5, 6p/5, 8p/5, 2p, . . . y se
llega así al mismo resultado de los incisos a) y b).

c)  Si la trayectoria no encierra al origen, el aumento de arg z es cero y por ende el aumento de arg w es también
cero. En este caso, el valor de w es w1, sin importar el número de circuitos realizados.

2.7.  a)  Explique por qué, en el problema anterior w, puede considerarse una colección de cinco funciones uní-

vocas de z.
  b)  Explique, en forma geométrica, la relación entre estas funciones unívocas.
  c)  Muestre en forma geométrica cómo es posible restringirse a una determinada función unívoca.

Solución

a)  Como w5 = z = reiu = rei(u+2kp), donde k es un entero, se tiene

w ¼ r1=5ei(uþ2kp)=5 ¼ r1=5fcos(u þ 2kp)=5 þ i sen(u þ 2kp)=5g

y por tanto, w es una función de z con cinco valores, los cuales están dados por k = 0, 1, 2, 3, 4.
De manera equivalente, w puede considerarse una colección de cinco funciones unívocas, a las que se les
conoce como ramas de la función multivaluada, al restringir u de manera adecuada. Entonces, por ejemplo, se
escribe

w ¼ r1=5(cos u=5 þ i sen u=5)

donde se consideran los cinco intervalos posibles para u, que son 0 ≤ u < 2p, 2p ≤ u < 4p, . . . , 8p ≤ u < 10p;
el resto de los intervalos da repeticiones de estos intervalos.

El primer intervalo, 0 ≤ u < 2p, suele conocerse como rango principal de u, y corresponde a la rama principal
de la función multivaluada.

También pueden tomarse otros intervalos para u de longitud 2p; por ejemplo, −p ≤ u < p, p ≤ u < 3p, etcé-
tera, al primero de los cuales se le considera el rango principal.
b)  Se parte de la rama principal

w ¼ r1=5ðcos u=5 þ i sen u=5Þ

donde 0 ≤ u < 2p.
Después de un circuito completo en el plano z en torno al origen, u aumenta 2p, con lo que se obtiene otra

rama de la función. Después de otro circuito completo en torno al origen se obtiene otra rama de la función;
así hasta encontrar las cinco ramas, después de lo cual se vuelve a la rama (principal) original.

Como al rodear sucesivamente z = 0 se obtienen diferentes valores de f (z), a z = 0 se le llama punto de
ramificación.
c)  Es posible restringirse a una determinada función unívoca, por lo general a la rama principal, si se tiene el
cuidado de no recorrer más de un circuito en torno al punto de ramificación, es decir, al restringir u de manera
adecuada.

En el caso del rango principal 0 ≤ u < 2p, esto se logra al trazar un corte, que se indica mediante AO en
la figura 2-14, llamado línea de ramificación, en el eje real positivo, con objeto de no ir más allá de este corte
(si se va más allá de este corte se obtiene otra rama de la función).

Si se elige para u otro intervalo, la línea de ramificación o corte será otra recta del plano z que salga del
punto de ramificación.

54 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

Para algunos propósitos, como se verá más adelante, resulta útil considerar la curva de la figura 2-15, de la
cual la figura 2-14 es un caso límite.

plano z plano z
y Hy

x I EF G x

OA D B A
C

Figura 2-14 J
Figura 2-15

Funciones elementales

2.8.  Demuestre que  ae) ze1ezz1�1e��ze2ezz2¼2 ¼¼eze1ezþz11zþþ2zz22,  b) jejzjejezzj¼j¼¼exee xx y  ce)zeþezz2þþk2p2kkipp¼ii ¼¼eze,ezz,k, k¼k¼¼0,00,+, ++1,11,+, ++2,22,.,.......

Solución

a)  Por definición, ez = ex(cos y + i sen y), donde z = x + iy. Entonces, si z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2,

ez1 � ez2 ¼ ex1 (cos y1 þ i sen y1) � ex2(cos y2 þ i sen y2)
¼ ex1 � ex2 (cos y1 þ i sen y1)(cos y2þ i seny2)
¼ ex1þx2 fcos(y1 þ y2) þ i sen(y1 þ y2)g ¼ ez1þz2

b)  |ez| = |ex(cos y + i sen y)| = |ex||cos y + i sen y| = ex ⋅ 1 = ex
c)  De acuerdo con el inciso a),

ezþ2kpi ¼ eze2kpi ¼ ez(cos 2kp þ i sen 2kp) ¼ ez
Esto muestra que la función ez tiene periodo 2kpi. En particular, tiene periodo 2pi.

2.9.  D emuestre:
a)  sen2 z þ cos2 z ¼ 1   c)  sen(z1þ z2) ¼ sen z1cos z2 þ cos z1 sen z2

  b)  eiz ¼ cos z þ i sen z, e�iz ¼ cos z � i sen z    d )  cos(z1 þ z2) ¼ cos z1 cos z2 � sen z1sen z2

Solución sen z ¼ eiz � e�iz , eiz þ e�iz
2i 2
Por definición, cos z ¼ . Entonces

a) sen2seznþ2 zcoþs2czos¼2 ��z ¼e¼�ize���22ie�ziiez�e��22ii2zzi�e�þ�2þi2ze4���þ22eiþzeiz���þ2þe2iziez���þþi2ez2�ei�z�2iþez2�i2z2
¼
þ 2e4�þ2ize��2¼iz�1¼ 1
þ

44

b) eiz �eiez ��iz e¼�iz2i¼se2ni sen z (1)
z (2)
þeiez �þiz
eiz e�iz ¼ 2 cos z
¼ 2 cos z

56 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad Problemas resueltos  55

Se suman (1) y (2): cosh22ce2oziesz�ihz¼2¼sze2n2choc2sozsz¼zþþc2oi2s1shies2neznzoz  1y�  taeniezhiz2¼z¼c¼ocsosszeczþhþ2i z z
Al dividir entre cosh2 z, siesnenz

bc))  c)cscs eeoonnsssSeiiiiezzzzn(¼¼r¼¼ze1seeeeþtiiia(i(((iiizizzzz())))21��þ)þ22)22i¼ideeeee����eii(i(i(i((ii2(izizzzz)))1))þ:¼¼¼¼z2)eeee�����2zzziz22e�2�22þþii�e2iee(�eeezzz1z�izzþ¼¼i¼¼zz¼2¼)iiee��2¼zz2eecþþzzoe2c2�i�soeze221sz��ee�zz�z��e�¼¼zizz2��2i2cc�si¼o¼oe2sssneeihhii�nzsszzieezz1n nh�heyzz�  iz2e�e�iziz¼¼cocsosz z��i siesnenz z
d)  De acuerdo con¼see(lncp(oxrso+zb1lieþym)ia=se2ns.9ezn1c))x(cycoocssozn2iyþl+oisscienoncszixs2o)s2s�einb()icyyo=scz)1,s�seenitxiseecnnoezs1h)(yc+os
z2 � i sen z2)
i cos x senh y

2.13.  a)  Suponga ¼ =senewz1, cdoosnzd2 eþzc=os z1 sen z2 i sen u) y w = u + iv. Muestre que u = ln r y v = u + 2kp,
que z r (cos u+
¿kCd¼u )á 0l ,ecs+oes1(lz,v1+aþlo2zr2,p).r¼.in. cedii(epz1amþlz?a2)nþe2rea�qi(uz1eþzw2) =¼ leniz1z�=eizl2nþr e+�izi1(u� e+�iz22kp).
¼ ex ezþ2kpi ¼ ez, b)  Determine los valores de ln(1 − i).
2

Solución ¼ (cos z1 þ i senz1)(cos z2 þ i senz2) þ (cos z1 � i senz1)(cos z2 � i senz2)
2

a)  Como z = r (co¼suco+s zi1sceons uz2) �=seewn z=1 seeun+ziv2= eu(cos v + i sen v), se igualan las partes reales y las partes
2.10 .  Coimmapgruineabreiaqs,ue los ceros de  a) sen ze u cyo s vb=) crocsozs  u son números reales, y determínelos.
eu sen v = r sen u (1)

aS)o S(1el)Sueyilces(vei2óan)n,znra¼lccoeuiszav�dr=aed�orizc(¼1o)s0yu,(,e2rn),tsoyenaclvess=uemirza=rsleones−usie,z (2)

2kPpSo)i.r 2i encuentra e2u = r 2 o eu = r y u = ln r. Entonces, de acuerdo con
zta=nteow, ,2eiznt=on2ckeps iwy=z doee2dioz n=de1v==e2ukp+i, 2kk¼p.0P,o+r 1ta,n+to,2w, . =. . .u + iv = ln r + i(u +

=ln kzp. S, eesvdeeacsiír,quz e¼ln0,z +=pln, r++2pi(,u++32pk,p.)...Usonna lmosanceerraose.quivalente de decir lo
b) demneiSPsl2Oimoapsrbco.ostmaesenraszvttoel¼enm,q2zeáuiit=zezicþf=2aolnsre(m�e2rilkaz+elm¼+mieue01nn,,)ttdpaeeolnielntnysod.znezc=¼uespl(nzuek(ie¼rzþde=ei( 12uk t))−opþ=me,−21aile.in)rzsep.uord,,n+ezeiac.2e¼iiiczr.u,a=+snzet¼−ipgdú=1a+n2d=,lpia+nse=f(2il32ne,kpyi++te=a1s)2p3d,dipe,e+=vkl2ao5¼,lspo+l=r0oe2,g5s,+,ap.rl=i.o1t2.s,m,+co.us.2a.rl,ese.oas.lnde. s.ilfoiysearcecenornoeosn.ctriedassí

2.1(1b(b.) ) DS eSCemenoncumceeeos1t1r�e�qi iu¼¼ep pffi2ffiaffi2effi)e7p7spie=i4=nþ4(þ2−k2pkzpi),i,w=swee−thihaseavenvenelznl,n (1(1b��) ic)io)¼s¼(l−nlnzp)p2ffi=ffi2ffiffiþþco��s774pz4p i iþyþ 22kkpcp)i�it�a¼n¼(−2112lznl)n2=2þþ−7t74pa4piniþzþ.22kkppi.i.
2.14.  DeSbam))o  Eullescuvseotancsrl((eoi��órqzzpu))nre¼¼infec e(iii(z(�p�)zaz)=)l�þ2eiislene�21�zii(l(�n�tziz)2e) ¼n¼þeee7u��4pniizzi2,p�þiqueuneieiztzo¼s¼ed�eoeib�zrtaþeimeizne�i�e2fiiizcceo�a¼niczi�ckóon¼s=ze�0n.szen=z 0.
2 22
Soc)l u ctainó(�nz) ¼lncsroe+ns((��iuzz.))S¼up�coosnesgnzaz a) y b). plano complejo, para el que r = r1 y u = u1,
¼ � tan z con los incisos z1  0 del
Se tiene ln z = que se parte de un punto
de manAeralaqsufeunlncizo1n=es ldnerz1 c+oniul1a[pveroapliaedfiagdurdae2q-u1e6]f. (E−nzt)on=ce−s, fd (ezs)psueésledselluanmaavfuuenltcaiocnoems pimleptaaraelrse, dyedaolrasdeqlue
origen teienndeinrelcacpióronppieodsaitdivdae, oqueenf d(−irezc)c=iónf (zc)o,nfturnacriaonaelsapsamreasn.eAcislíl,asednezl yretlaonj,zaslovnolfvuenrciaozn1eseimenpcaureesn,tmraieqnuteras
r = r1 yquue=cous1z+es2upn,adfeunmcaiónnerpaaqr.ue ln z1 = ln r1 + i(u1 + 2p). Por tanto, se está en otra rama de la función, y
z = 0 es un punto de ramificación.

2.12.  Compruebe: a)  1 − tanh2 z = sech2 z plano z

b)  sen iz = i senh z y
=
c)  cos iz + cosh z x cosh y + i cors1 x senz1h y
d )  sen(x iy) = sen

Solución q1 x

a)  Por definición, cosh z ¼ ez þ e�z , senh z ¼ ez � e�z TEhnetonnces
.
22

cosh2 z � senh2 z ¼ �ez þ e�z�2��ez � e�z�2¼ e2z þ 2 þ e�2z � e2z � 2 þ e�2z ¼ 1
22 4 4

Figura 2-16



Problemas resueltos  57

Las vueltas o circuitos posteriores en torno al origen llevan a otras ramas, y (a diferencia del caso de funciones
como z1/2 o z1/5) nunca se vuelve a la misma rama.

Se sigue que ln z es una función multivaluada de z con una cantidad infinita de ramas. A la rama de ln z que es
real cuando z es real y positiva se le llama rama principal. Para obtener esta rama se requiere que u = 0 cuando
z > 0. Para esto, se toma ln z = ln r + iu, donde u se elige de manera que 0 ≤ u < 2p o −p ≤ u < p, etcétera.

Como generalización, se observa que ln (z − a) de un punto de ramificación en z = a.

2.15.  Considere la transformación w = ln z. Muestre que a) las circunferencias, en el plano z, con centro en
el origen se llevan al plano w como rectas paralelas al eje v, b) las rectas o rayos del plano z que parten
del origen se llevan al plano w como rectas paralelas al eje u y c) el plano z se lleva a una franja de amplitud
2p en el plano w. Ilustre el resultado gráficamente.

Solución

Se tiene w = u + iv = ln z = ln r + iu de manera que u = ln r y v = u.
Como rama principal se elige w = ln r + iu, donde 0 ≤ u  < 2p.
a)  Las circunferencias con centro en el origen y radio a tienen como ecuación |z| = r = a. Éstas se llevan a

rectas en el plano w cuyas ecuaciones son u = ln a. En las figuras 2-17 y 2-18 se muestran las circunferencias
y las rectas correspondientes a a = 1/2, 1, 3/2, 2.

a = 2p /3 plano z
y
a = p /2 a = p/6 plano w
a = p/3 a=2 x a=0 u

a = 5p/6 a= 3/2 a = p /2
a=p a=1
a = 1/2 a = p /3

a = p /6 u
a=0

a = 7p/6 a = 11p/6 a=2
a = 3/2
a=1

a = 1/2

a = 4p/3 a = 5p/3
a = 3p /2

Figura 2-17 Figura 2-18

b)  Las rectas o rayos que en el plano z salen del origen (punteados en la figura 2-17) tienen como ecuación u = a.
Estas rectas se llevan al plano w como rectas (punteadas en la figura 2-18) cuyas ecuaciones son v = a ; se
muestran las rectas correspondientes a a = 0, p/6, p/3 y p/2.

c)  Correspondiente a cada punto P del plano z definido por z  0 y con coordenadas polares (r, u), donde
0 ≤ u < 2p, r > 0 [como en la figura 2-19], existe un punto P′ en la franja de amplitud 2p que se indica con
líneas punteadas en la figura 2-20. De manera que el plano z se lleva a esta banda. El punto z = 0 se lleva a
un punto de esta banda, al que a veces se le llama punto al infinito.
Si u es tal que 2p ≤ u < 4p, el plano z se lleva a la franja 2p ≤ v < 4p de la figura 2-20. De manera
similar se obtienen las demás franjas que se muestran en la figura 2-20.

58 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

Se sigue que, dado un punto z  0 en el plano z, existe una cantidad infinita de puntos imagen en el plano
w que corresponden a ese punto.

plano z plano w
y u
r z u = 4p 2p
P P′ u = 2p 2p
P′ u=0
qx P′ u

Figura 2-19 Figura 2-20

Hay que observar que si se hubiera tomado u en otro intervalo de modo que −p ≤ u < p, p ≤ u < 3p,
etcétera, las franjas de la figura 2-20 se habrían desplazado verticalmente una distancia p.

2.16.  Suponga que se elige como rama principal de sen−1 z la rama en la que sen−1 0 = 0. Compruebe que

sen�1 ¼ 1 � þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �
ln iz 1 � z2
z i

Solución

SiIIfwfww=If¼¼swesnse¼e−nn�1�s1ez1zn,z,�e,t1nhtzhteo,enntnhczeze¼ns¼zsse¼ennwswen¼¼weeei¼wiiww�e2��i2iwei2e���2iizwiiwe��ffriroewo�m,mfirwdowew¼mhdhio0cwicnhhhdieocrh e2iw � 2izeiw � 1 ¼ 0
eeiwiw��22iziz��ee��iwiw¼¼00  oorr  ee22iwiw��22izizeeiwiw��11¼¼00

Se despeja,

sepnucsseseesenn+nccceepese++1ffi+nffiffipffipc�ffipffieffi1ffi1ffiffiffi1zffi+ffiffiffi2��ffiffi�ffiffiffipffiiqffiffisffiffizzffiuffizffi12ffi2ffiffii2effimffii�idffisisffiffisapeffiffiizilffiimimffi(i2mffiwepp�ideepeselli2ii(il(iibkwwiwe(eipwmeyc�d�de)¼�edsae22pipeie¼2bdbkwkwiblkwnipp2yoy(ipffi1ywe)c¼)¼ffiiiffi)¼z�pdpezffip¼�¼effip¼ffio2+2þ2ffii+bffi1kwffi12rffiffiiz1iipiffiyffizizziffizffi2�p�p)¼ffizffizp�ffi.ffi++þffipþffi2¼+ffiþffi1ffi1ffiNffizffizffi4ffi2ffiffizffiffiffi12ffi2ffipffiffipffi��ffioip2ffiffiipffip.�.ffiffiffizpzffi2.2�ffiffiwffi21ffiffiffiNffi1Nffi4ffi+ffi4ffiffizþz1Nffiffiffiffiffi4,ffiffiffiffi22ffi�o�zoffiffiffiffiffi��z�ffioffiffieffi.ffi2�ffiwffipffiwffiffi2iffipffiffiffiwiffi.Asffiffiffizffiwz2ffiffiffi4ffi4,z,¼ffioffi21ffiNffi24,ffiffi4ffihiffi2zzffieffi¼ffiermffizffiffi 2e�o2offiffiffiii�2iffiffiwwiffirwffizpw¼o¼effioffieaffi¼ffioozlw¼ffiffii+¼r4ir,,ffi(iffi2(¼r ffiffiwweziiffieffiziz¼�2d�ffieeizepweww+2i2+i¼iow(+(bikwkw2w(ffi1¼prpwyffi¼¼��kffi)¼¼)ip�ffip�ffip2,zp2pffie¼2kffik22wffi1k1ffi+kipp22ffiffiz1(þk1ffipffikffiw)ffiffi)kiffi2i�¼�ffiffip),ffip,¼z�z�ffiffiffi�p,ffiffipffi1¼iffikffikffi2+þffiffiffizþkzþ0ffiffikffil2zþffiffi12zffi2¼pn¼ffiffi,ffi2iffik¼2ffip)zffiffi1�p1¼�¼ii+.ffip,1¼i2ffi0iþ0ffilffi1lN0kffiz4ffiffinln1,ffi,zffiiþffiinffi,ffiffizi�zo�þffi2�,ffiffip¼+�+ffizffi�ffi+ffiwffiiþiþ+1ffi¼ffiiziþzffiffiffi1z1p1ffizffiffi40,1ffilffi2ffiþþ,ffi,ffipffipn2�z,þffiieffi,ffi1pffiffiffiz2+�+,ffiffiiffi++ffi1w1ffipffip�ffiffiiþz1ffip¼.offiffiffizffi2ffiffi2�12�.ffi¼ffiffi1r1ffi2�ffiffiffiffiþz1,.ffi,pffiffiffiiffi,ffiffi2ffi��ffizffiffizffi.s+.ffie�ffiffiffiz.ffi21�ffiffi2pffiow..ffi+ffiiffi2ffi.ffi(ffiffizz..ffiffiw2ffi�zffi.ffi21tffi2ffi¼ffiffis�2hs,ffiffipsffi��ffioo�ffi2azffi�.offiffikffi22tffi.1ffitffiptffiffizhtkhffi.ffi)ffih�ffi2ffipa,affidsffiaffit�tokffietffizþffiffi2tm¼ffih1¼iaa0ltnn,iez�+riþaz1qþ,pu+effi1pffiffiffi2�ffiffi1ffiffi,ffiffiffiffi�ffizffi.ffiffiffi2ffi.ffiffiffiz.ffiffi2ffis�o that
La rama para la que w = 0 cuando z = 0 se obtiene con k = 0, de donde se encuentra, como se buscaba,

¼ sen�1 ¼ 1 � þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �
ln iz 1 � z2
w z i

2.17.  Suponga que se elige como rama principal de tanh−1­z aquella en la que tanh−1­0 = 0. Demuestre que

tanh�1 z ¼ 1 ln�11 þ z�
2 � z
Solución
Si w ¼w w¼tan¼than�tah1n�zh1,�ez1,nzto, nzc¼ezs¼tzan¼thantwahn¼wh w¼csoe¼nscshohecnsswwoehhns¼wwhhww¼eeww¼ee�þwweeþ�eeww���þeeww��eeww��ww, de donde

(1 (�1(�z1)e�zw)ez¼w)e¼w(1¼(þ1(þz1)eþz�)ewz�)ew�ow o oe2we2¼we2¼w(1¼(þ1(þz1)=þz()1=z()�1=(�z1)�z) z)

Problemas resueltos  59

Como e2w = e2(w−kpi), se tiene kwpi¼þk21plni �þ1121�þlnzz��11 z�
z
e2(w�kpei2)(w¼�k11piþ�) ¼zz 1 þ zo r o  owr ¼ þ
1 � z �

La rama principal es la rama para la que k = 0, y conduce al resultado buscado.

2.18.  a)  Suponga que z = reiu. Compreuze1 b�eezq2u¼e zei z=1þez2−(u+2kp){jceozjs(¼ln re)x + i sen(elznþr2)k}p,i d¼onedze, k ¼ 0, +1, +2, . . .
b)  Suponga que z es un punto en la circunferencia unitaria con centro en el origen. Demuestre que zi representa
una cantidad infinita de números reales y determine el valor principal.
c)  Encuentre el valor principal de ii.

Solución

a)  Por definición,

zi ¼ ei ln z ¼ eifln rþi(uþ2kp)g
¼ ei ln r�(uþ2kp) ¼ e�(uþ2kp)fcos(ln r) þ i sen(ln r)g

La rama principal de la función multivaluada f (z) = zi se obtiene con k = 0, y está dada por e−u{cos(ln r) +
i sen(ln r)}, donde u se escoge de manera que 0 ≤ u < 2p.
b)  Si z es cualquier punto en la circunferencia unitaria con centro en el origen, entonces |z| = r = 1. Por tanto,
de acuerdo con el inciso a), como ln r = 0, se tiene zi = e−(u+2kp), que representa una cantidad infinita de
números reales. El valor principal es e−u, donde u se elige de manera que 0 ≤ u < 2p.
c)  Por definición, ii = ei ln i = ei{i(p/2+2kp)} = e−(p/2+2kp), pues i =ei(p/2+2kp) y ln i = i(p/2 + 2kp).

El valor principal es e−p/2.
Otro método. De acuerdo con el inciso b), como z = i se encuentra en la circunferencia unitaria con centro
en el origen y u = p/2, el valor principal es e−p/2.

Puntos de ramificación, líneas de ramificación, superficies de Riemann

2.19.  Sea w = f (z) = (z2 + 1)1/2. a) Muestre que z =+ i son puntos de ramificación de f (z). b) Muestre que una
vuelta completa en torno a ambos puntos de ramificación no produce ningún cambio en las ramas de f (z).

Solución

a)  Se tiene w = (z2 + 1)1/2 = {(z − i )(z + i)}1/2. Entonces, arg w = 1 arg(z − i) + 1 arg(z + i) de manera que
2 2

Cambio en arg w = 1 {Cambio en arg(z − i)} + 1 {Cambio en arg(z + i)}
2 2

Sea C [figura 2-21] una curva cerrada que encierre al punto i pero no al punto −i. Entonces, a medida que el

punto z da una vuelta completa por C en contra de las manecillas del reloj,

Cambio en arg(z − i) = 2p,  Cambio en arg(z + i) = 0

de manera que

Cambio en arg w = p

Por tanto, w no vuelve a su valor original, es decir, hubo un cambio de rama. Como una vuelta completa en
torno a z = i modifica las ramas de la función, z = i es un punto de ramificación. De manera similar, si C es
una curva cerrada que encierra al punto −i pero no a i, se muestra que z = −i es un punto de ramificación.

Otro método
Sea z − i = r1eiu1, z + i = r2eiu2. Entonces

w ¼ fr1r2ei(u1þu2)g1=2 ¼ prffiffi1ffiffirffiffi2ffiffieiu1=2eiu2=2

Swu¼popngrffiffia1ffiffirffiffiq2ffiffieuiea1 se empieza con un determinado valor z correspondiente a u1 = a1 y u2 = a2. Entonces
=2eia2=2. AAmedida que z da una vuelta en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno a

60 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad Problemas resueltos  61

2.21.  Ani,auli1ceaulma esuntpaearfiac1ie+d2epR,imemieanntrnasdue2lapefrumnacnióencediegluparlo, ebsledmecair2,.u129=. a2. Por tanto,

Solución w ¼ prffiffi1ffiffirffiffi2ffiffiei(a1þ2p)=2eia2=2

Pueden tenerse varias superficies de Riemann ¼qu�e cporffiffir1ffiffierffiffis2ffiffipeioan1=d2aenia2a=2las figuras 2-23 o 2-24 del problema 2.20. Si se

tddoeemllzloaca=oqolruatitreeeafis,mgyyuuusnrqeeauspoet2urb-aen2tsitq3teoau,nsdepeeconaarrospaeíamsjuseeinmsfoiaecbpcastliouocei,prnótheaenran.feyialcqimleuoiedlsaemirmgRoaoivgedaimneloaalrarnsdnqle.uíneSweie,aslesepsdlddaeanercoauimnrz,aichfvoiucunbaesoctliatóuadnnce.ocDdamoempssbplceiuoatéapsdaeessnersatuoomnbrenraeno,pllauooeszqsbut=aoesr,idinuesdsneiaoceapemunqpecuisieemtozaas
sobre una rama y se tpelarmnoinz a en la otra. Pero, s i se da una vuelta en torno a los dopslapnuonztos, z = i y z = −i, no habrá
ningún cambio de rama. yEsto coincide con el resultado del problema 2.19. y

2.22.  Analice la szuperficie de RiemaCnn de la función f (z) = ln z [vea el problema 2.14]. z

Solución i C
i

En este caso, hay que imaginar que el plano z consta de una cantidad infinita de capas sobrepuestas una sobre la
otra y que se cortan a lo largo de la línea de ramificación que parte del origen z = 0. Después, cada borde del corte
se une con el borde opuesto de una capa adyxacente. Entonces, cada vez que se da una vuelta en torno axz = 0, se
llega a otra capa que corresponde a una rama diferente de la función. La colección de estas capas es la superficie

de Riemann. En este caso, a diferencia de lo que ocurre en los problemas 2.6 y 2.7, las sucesivas vueltas comple-

tas nunca llevan de regres–oi a la rama original. –i

Límites

2  . 23a. ) aSb) )o  zSilsuSeECunmcepcniuouócenSeFivnenguierntaprrSFpdaepqouilounlrpoiísedmsCpFefoidlz ge(fiso!zmun(es)zrzszp0)a=f!eu(¼nf2znz(zt-0)ti2z2odz).¼1f2soC(s.idzficzoP)eo2fmrn.ir(ofatzpPrvm)farreu(ro¼izifevtoi)hbce�aa¼aecttzlq0hia2�ólusainmetzm0z2lzzzaií!=m=n¼ze+zzz0c!zz=i¼if00l,zl(0ca.zzzos)f00md(¼.zeo)l z¼20. z02. Figura 2-22 medida que el punto
2-22, entonces, a
en la figura
reloj,

a)  Hay que mostrar que, dado un e > 0, pCueadmebhioalelanrsaergun(zd−(q1u)e=gejz2n2pe�ralzm20je,nteedepende de e) tajlzq2 u�e jzz202j �,ze20j <,ee
0 , jz � ,z0jjz,�ddez.s0mije,amSInfipeddrdrea≤�qqIufu110eed,, ,0e�n<tj1oz0,n|�z0,ce−,zsj0zjz0j�0z,0|<�<,zd0|z.jzdj0z,−.j �,dz0z.d|0 Cambio en arg (z + 1) = 2p
1, 0 j<,ddimplica que
If d �

jz2 � z20j ¼ jz � z0jjz þ z0j ,jzd2j�z �jzz022zj0�¼þzj202zjz�0¼jz,j0zjj�dzfþjzz0zj�j0zjzþ,0jCzþd0ajjmzj,2�bzi0dozjj0gzeþ,n�a2dzrz0(g01þjwþ,2=2zd0jfz2jj0p,zj)�dfzj0zj �þ zj20jz0þjgj,2z0djg(1,þd2(j1z0þj)2jz0j)
de�=(110j,þz,2 2�bjjzz)z 0�aEOA020ju j)nstNelcS,,mzrí¼íf0no,meeoo(jenuszjztjnzmz,t)honz0!elt.�oamaaa�ézydcdt0tvqdaaoz.zzduuef0sd0d0ie(jeo.jafozclj,,e1)tsz2odared¼þemaedcnlloaczzeaem020i2g1c1=a.j.au+(po,O1elanereb2þldtted/sIparro=jf(eee2z(.1ersdj1cevnP�uz+ose0�þolttntjwz2eora)q0,|2r1dte0puzfn¼aþj,ol0(rezon,zo0|szbt)p)2eb!jeaou),zlajgl,,ffirzzesle0ffitfu0lo1fficjlmffií(�rznffi0smazqfffi,20ffizadffid)(oud!e.,zizoojftaieoy0d)z(ez.jats0f2fmsj¼e1(z,jdeþp�flzz0éae�(u)2z.d�tzpd20mnzoaef))20z.. td(=slz0j¼eoz2o0ijzn)es,nji,ozd!c(dcþa20rieuee.2.sdlþajEor2zn2ian0znpadm0t)c)oo=j,iig2nsfpzio,c¼cue→aeascpds,)i(,sóezjffir1ffiezu0n1nffiffiþrffi1�tnffin2niffioffioeaeoi2jfznnuizaj0tfd2egzmzi1j(0ea=ú�z,j¼2jennoz))lene2ujfziactzzad02g�asfn20a2,ja(=saz�dz2,rzod)e20!aazjsaea20n<es,qji1zucnz,0eoeeag!snúveiasneei1mzdrc0e+apcrmorae2njbzzpqie=o�ulmedvzz|eij0a0zezzj.lrn−oP�a,¼tromrzazrdzd0as00e|tz,.jau<,n¼f2 (tdozzd),,0,jz2
d 1
If
� z02j , e

d 2.214.  Ien=ty(e1rnpþores2tejezo0ejb)ns,efrovramnainggeúonmcéatmribciaoejdlze2pr�raombz20laej.m¼ajz2�.23z0.jzjj2z � zz200jj , e � z0 þ 2jzz0�j ,z0dj f,jz d, z0j þ j2z0jg , d(1 þ 2jz0j)
þ , djz �

2.20.  DSeoSat)elo urm lcLuiaincóeeicnóluínnaecaifó(sznzd)!weazt0r=azf0m(f.z (i)zfi)¼c=azcd20zi.ó2 nde1pfainreaeul=an(a1futþrnac2nijsózfn0ojr)dom,eflafcp(izró)onabsolezlml!eava2zd.0o19d.e z ¼ z0 jz2 � z02j , e jz � z0j , d,
del plano z en puntos del z ¼ z0
puntos plano w.

Como lEínnepaasrdtiecuralamr,ifsiucpacoinógnapquueedeelnptuonmtoarzs0e sleasllqeuvea sael pzi!nudnz0itcofa(wnz)0m¼edzi20a.n[tVeeuanfaigluínraesa 2m-2ás5 gyrou2fe-2fsa(6z.e)]naslazf!iguzra0 2-23
mfá(zs)gartuez0s.as,
o 2-24. En ambos casos, si nploansoezcruzan estas líneas se asegura que laplfaunnocwión sea unívoca.

plano z y plano zu

zy y

z0d i i

xx xu

–i –i w
e
w0

Figura 2F-i2g3ura 2-25 FigFuigruar2a-224-26



62 I f dC�ap10,í,tujzl�o0 ,z20j j z,F�duz.n0jc,iondes, límites y continuidad jz2 � z20j , e

En el pjrzo2b�lemz02aj ¼2.2jz3a�) zs0ejjpzrþuezb0aj q,ued,jzda�doz0uþn e2z>0j 0,, pdufejzde�hza0ljlaþrsje2zu0njgd,>d0(1taþl q2ujze0j|)w − w0| < e siempre que
|zd− z01| < de.=G(1eoþm2éjtzr0icj)a,mente, esto significa que si se desea quejzw2 �estzé20jen,eel interior de ujzn�cirzc0uj l,o dde, radio e [vea la
figura 2-26] debe elegirse d [que depende de e] de manera que z esté en el interior de un círculo de radio d [vea
la figura 2-25]. De acuerdo con el problema 2.23a), esto es posible si d es el menor de 1 y e/z(¼1 +z02|z0|).
b)  iEmnaeglepnrodbelzem=az20..2E3fxa(cz)ze,)!pwatzt0o=zfp0(w.ozr)0 ¼ z20.es la imagen de z = ozf0.fS(zin) aesmzb!argoz0, en el problema 2.23b), w = 0 es la
esto, la interpretación geométrica es idéntica a la del inciso a).

2.25.  Demuestre que lím 3z4 � 2z3 þ 8z2 � 2z þ 5 ¼ 4 þ 4i.
z�i
z!i

Solución

Hay que mostrar que para todo e > 0 puede hallarse un d > 0 tal que

����3z4 � 2z3 þ 8z2 � 2z þ 5 � (4 þ 4i)���� , e    wcuhaennd0o ,0 <jz |�z −ij ,i| <d d
z�i

Como z  i, se escribe

3z4 � 2z3 þ 8z2 � 2z þ 5 ¼ [3z3 � (2 � 3i)z2 þ (5 � 2i)z þ 5i][z � i]
z�i z�i

¼ 3z3 � (2 � 3i)z2 þ (5 � 2i)z þ 5i

al cancelar el factor común z − i  0.
Entonces, hay que mostrar que para todo e > 0 puede hallarse un d > 0 tal que

j3zj33z�j33 z�(32�(�2(�32i)�3zi2)3zþi2)zþ(25þ(�5(�25i)�2zi�)2zi)�4z þ�4 i4j þ, iej  , wehceunwa0nhed,no 0jz,� jizj �, idj , d
þ ij , e when 0 , jz � ij ,d

ISfiIddf �I≤df �1d1,,�1teh,n1etthn,oetn0hnce,e0ns,0j0z,<�jz j�|izzj �,−ij ,idij| ,i<dmidpdmliipmemlsippellsiiecsa

j3zj33z�j33 z�(32�(�2(�32i)�3zi2)3zþi2)zþ(25þ(�5(�25i)�2zi�)2zi)�4z þ�4 i4j þ¼ ijjz ¼� j�izjj�3ijzj23ijzþj32 zþ(26þi(6�i(6�2i)�z2�)z2)�1z ��1 41ij� 4ij
þ ij ¼ jz � 4ij
j�izjj�3ij(jz3ij�(jz3(�izþ�i þi)i2þi)þ2i)þ(26þi(6�i(6�2i)�(2z)�(2z)(�izþ�i þi)i
¼ jz ¼� þ� i1) �� 1 �
¼ jz i) �1 � 4ij

¼ jz ¼� j�izjj�3ij(jz3ij�(jz3(�iz)2�i)þ2i)þ(21þ2(1i 2(�1i2�2i)�(2z)�(2z)(�iz) � i1)0��160ij� 6ij
¼ jz i) � 10 � 6ij

, ,df,3djfz3d�jfz3j�izj2�iþj2ijþ212þj1i 2�j1i2�2ijj�2zj�j2zjj�izj þ�ij jij�þ10j��160ij�g 6ijg
þ j�10 � 6ijg
, d(,3 þd(133þþ1132þ) ¼122)8¼d 28d
, d(3 þ 13 þ 12) ¼ 28d

Se toma d como el menor de 1 y e/28, y se llega al resultado buscado.

Teoremas sobre límites

2.26.  Suponga que existe límz→z0 f (z). Compruebe que debe ser único.

Solución

Hay que mostrar que si límz→z0 f (z) = l1 y límz→z0 f (z) = l2, entonces l1 = l2.
Por hipótesis, dado un e > 0, puede hallarse un d > 0 tal que

|f (z) − l1| < e/2   cuando 0 < |z − z0| < d
|f (z) − l2| < e/2   cuando 0 < |z − z0| < d

Entonces

|l1 − l2| = |l1 − f (z) + f (z) − l2| ≤ |l1 − f (z)| + | f (z) − l2| < e/2 + e/2 = e
es decir, |l1 − l2| es menor que cualquier número positivo e (tan pequeño como se desee) y, por tanto, debe ser
cero. De manera que l1 = l2.

Problemas resueltos  63

2.27.  Suponga que límz→z0 g(z) = B  0. Demuestre que existe d > 0 tal que
  jjgjgjg(g(zj(zg()z)zj)(j)jz.j.).j.12.12j21jB21jBjB21jBj jBj jpara0000,,0,,j,jzjzjz�z�j�z�z�z0z0zj0j0zj,j0,,j,d,dddd

Solución

Como límz→z0 g(z) = B, puede hallarse un d tal que |g(z) − B| < 1 |B| para 0 < |z − z0| < d.
2

Se escribe B = B − g(z) + g(z) y se tiene

es decir, jBjjBjBjBjjj�Bj��j�j�jBjBjBB�j�B��gg�(gg(z(z)(gz)jz)(j)jþzjþ)þþjjjgþjgj(gg(z(jz)(gz)jz)(j)j,zj,),j,12,21j12Bj21jBjBj12BjjjþBjþþþjjjgþjgj(gg(z(jz)(gz)jz)(j)jzj)j

jjBjBjBjBjjj,Bj,,j,12,21j12Bj12jBjBj21BjjjþBjþþþjjgjþjgj(gg(z(jz)(gz)jz)(j)jzj)j  de dondejgjjgj(gg(z(jz)(gz)jz)(j)j>zj>)>j>21>12j21Bj21jBjBj12BjjjBj j

2.28.  Dados límz→z0 f (z) = A y límz→z0 g(z) = B, compruebe que

a)  límz→z0 [f (z) + g(z)] = A + B, c)  límz→z0 1/g(z) = 1/B  si B  0,
b)  límz→z0 f (z)g(z) = AB, d)  límz→z0 f (z)/g(z) = A/B  si B  0.

Solución

a)  Hay que mostrar que para todo e > 0 puede hallarse un d > 0 tal que

|[f (z) + g(z)] − (A + B)| < e   cuando 0 < |z − z0| < d

Se tiene

|[ f (z) + g(z)] − (A + B)| = |[ f (z) − A] + [g(z) − B]| ≤ | f (z) − A| + |g(z) − B| (1)

Por hipótesis, dado un e > 0 pueden hallarse d1 > 0 y d2 > 0 tales que (2)
| f (z) − A| < e/2   cuando 0 < |z − z0| < d1 (3)
|g(z) − B| < e/2   cuando 0 < |z − z0| < d2
Entonces, de acuerdo con (1), (2) y (3),

|[ f (z) + g(z)] − (A + B)| < e/2 + e/2 = e  cuando 0 < |z − z0| < d
donde d es el mínimo entre d1 y d2.
b)  Se tiene

| f (z)g(z) − AB| = | f (z){g(z) − B} + B{f (z) − A}| ≤ | f (z)||g(z) − B| + |B|| f (z) − A|

≤ | f (z)||g(z) − B| + (|B| + 1)| f (z) − A| (4)

Como límz→z0 f (z) = A, puede hallarse d1 tal que | f (z) − A| < 1 para 0 < |z − z0| < d1. Por tanto, de acuerdo
con las desigualdades en (4) de la página 3, sección 1.5,

| f (z) − A| ≥ | f (z)| − |A|,  es decir, 1 ≥ | f (z)| − |A|  o  | f (z)| ≤ |A| + 1

es decir, | f (z)| < P, donde P es una constante positiva.

Como límz→z0 g(z) = B, dado e > 0, puede hallarse d2 > 0 tal que |g(z) − B| < e/2P para
0 < |z − z0| < d2.

Como límz→z0 f (z) = A, dado e > 0, puede hallarse d3 > 0 tal que | f (z) − A| < e/2(|B| + 1) para
0 < |z − z0| < d3.

Con esto en (4), se tiene

j f (z)g(z) � ABj , P e þ (jBj þ 1) e 1) ¼ e
2P 2(jBj þ

para 0 < |z − z0| < d, donde d es el mínimo entre d1, d2 y d3, y con esto se completa la prueba.

64 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

c)  Hay que mostraforfrqoaurneaynpyeare.a .to0d,0ow, we e>cacn0anfipnufidendded.ha.0lla0srussceuhcuhtnhtadhta>t 0 tal que (5)
����g����(1gz()1z�) �B1����B1¼���� ¼jgjBj(gjzjB()jgzj�)j(gz�()Bzjj)Bj,j ,e e wcuwhaehnnedno0 0,,jzj�z �z0zj0,j ,d d

Por hipótesis, dado cualquier e > 0 es posible hallar un d1 > 0 tal que

jgjj(ggz((j)zgz�))(z��)B�BjB,jjB,,j21j,21B12jjBjB12jje2B2eej2 e cuan0d00o,,,0jz,jjz�z �j�zz0�zzj00,jzj 0,,jd,1dd11d1
De acuerdo con el problema 2.27, como límz→z0 g(z) = B  0, puede hallarse un d2 > 0 tal que

jgjj(ggz((j)zgzj))(.jjz.).j21j.12B21jjBjB 21jjBcjuando000,,,0jz,jjz�z �j�zz0�zzj00,jzj 0,,jd,2dd22d2

Entonces, si d es el mínimo entre d1 y d2, se escribe
����g(1����zg)(1�z) B1����� B1¼���� j¼gjB(jzjgj)Bg(�z(j)jzg)B�j(jz)B,jj ,jB12jjjBB�12j21jj2Bje�Bj212jjeB¼j e¼  ewsihewemnhpeervneeerqvue0er,0 ,jz �jz z�0jz,0j ,d d

con lo que se demuestra lo deseado.

d)  De acuerdo con los incisos b) y c), �
� ¼
lím f (z) ¼ lím f (z) � 1 lím f (z) � lím 1 ¼A�1 ¼A

z!z0 g(z) z!z0 g(z) z!z0 z!z0 g(z) BB

Esto se comprueba también directamente [vea el problema 2.145].

Nota. En la prueba del inciso a) se usaron los resultados | f (z) − A| < e/2 y |g(z) − B| < e/2 de modo que el
resultado final fuera | f (z) + g(z) − (A + B)| < e. Desde luego, esta prueba sería igualmente válida si se hubiera
usado 2e [o cualquier otro múltiplo positivo de e] en lugar de e. Pueden hacerse observaciones similares para las
pruebas de los incisos b), c) y d ).

2.29.  Evalúe las expresiones de los incisos siguientes con los teoremas sobre límites:

a)  llíílmmímzz!!z!11þ1þþii(i(z(z2z22���555zzzþþþ111000)))  b)  zz!l!zlí!ílm�mí�m�22i2i(i(2(2z2zzz2z2zþ2þ�þ��3323)2)2z()z(zz(zþþz�þ��441411)))  c)  llíílmmím zz3z33þþþ888
zz!!z!22e2epepi=pi=3i3=z3z4z44þþþ444zz2z22þþþ111666

Solución

a)  límz!1þi (z2 � 5z þ 10) ¼ límz!1þi z2 þ límz!1þi (�5z) þ límz!1þi 10
¼ ðlímz!1þi zÞðlímz!1þi zÞ þ ðlímz!1þi �5Þðlímz!1þi zÞ þ límz!1þi 10
¼ (1 þ i)(1 þ i) � 5(1 þ i) þ 10 ¼ 5 � 3i

En la práctica, se omite el paso intermedio.

b)  lím (2z þ 3)(z � 1) ¼ límz!�2i (2z þ 3) límz!�2i (z � 1) ¼ (3 � 4i)(�2i � 1) ¼ � 1 þ 11 i
z2 � 2z þ 4 límz!�2i (z2 � 2z þ 4) 4i 2 4
z!�2i

c)  En este caso, el límite del numerador y el límite del denominador son ambos cero y no pueden aplicarse los
teoremas sobre límites. Sin embargo, al factorizar los polinomios se ve que

lím z4 z3 þ 8 16 ¼ lím (z � (z þ 2)(z � 2epi=3)(z � 2e5pi=3) 2e5pi=3)
þ 4z2 þ 2epi=3)(z � 2e2pi=3)(z � 2e4pi=3)(z �
z!2epi=3 z!2epi=3

¼ lím (z � (z þ 2) 2e4pi=3) ¼ 2(epi=3 � epi=3 þ 1 � e4pi=3)
2e2pi=3)(z � e2pi=3)(epi=3
z!2epi=3
pffiffi
3 3
¼ 8 � i

8

Otro método Como z6 − 64 = (z2 − 4)(z4 + 4z2 + 16), este problema equivale a encontrar

lím (z2 � 4)(z3 þ 8) ¼ lím z2 � 4 ¼ e2pi=3 � 1 ¼ 3 � pffiffi i
z6 � 64 z3 � 8 2(epi � 1) 8 3
z!2epi=3 z!2epi=3 8

66 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad Problemas resueltos  65

2.325.3. 0¿. PCaroamqpuréuevbaleoqreusedlíemzz→so0n (zc/ozn)tninoueaxsilsates.funciones siguientes?

SoSloulcuicóinón
ba))  Si fefe  S((nszzet))teao==ldzíamc→zss/icpt(e0zaz2reat=x+eilsso11te/il)xesacr=eraegn,pozdzt/o.ed(Dbezeelne−reíazjacei=)us(xeez+.rr+Edinion.ditc)oe.opnCnecnoeesdml,ipeoyrnoe=tbel lded0emeynaloazm2m=.i1na0xandae+or)a,riseyeensn=cqzeux=reoyz0czsupe=aanarapdxrozo−z¼xii=my0,+e=+aixl,p,pl,dau+enftum2onpac0,ni.óe. nr. a.e.qsPucoeornetltainnlítumoa,ite
bufs (cza)deosecsontinua en todas partes excepto en estos pxluí!mn0toxxs¼.

Continuidad uniforme 1 jz2 � z20j , e

2.36.  CompSreuaezbe→qu0eafl (oz)la=rgoz2deesl eujneiyf.oErmntzeom¼nce0ens,te+x c=po,n0+t,iyn2upza,=e. .nx. l+.a riyeg=ióiny |yz|z<= 1x.− iy = − iy, de manera que el límite
buscado es
�iy z ¼ 0, +p, +2p, . . . .
Solución jz2 � z20j , e lím iy ¼ �1 jz2 � z20j ¼ jz þ z0jjz � z0j � fjzj þ jz0jgjz � z0j , 2jz � z0j

y!0

Hay qdCueopemedneodmenoodsestreeaorybqntuioeenddeealedlpomuunintsomezo>0 rd0eespueulstetaadderoe,hgeaiólllnlaírmdseeitueqnuneodse>exti0rsattetae.l. que jz2 � z20j , e cuando |z − z0| < d, donde d
sólo
C2.o327n.3.t 1dASDMi.n  oseoéSaabnuímSt,)))dloo   iisueuddizleocdSau|DCysze1idtdoceó−gzr.emme0úipnónszqupeo0PPnunere|nurdserl<ooteedprfvbvo erdú(eoesz,nqb)sqpijttulczhe=huuee2aaamnesm�tfitt1 gao(e/ffzuszun2(jz()02eznztcz.je22=n))uq¼¼3o�adu¼¼lzeeaeeji2znzz)snsjez�02,zeq2¼þj,u2ylsjuzí¼0nin�mf2izcn0sei(0oo,fzz¼jrjzc→oz)anj+02dozrzzþ�tjze1mein0�p=<,nn¼,ftzzf,e ui(00|z(2nmz2z+ae.zzj0z),j|ud00j0Pzee2)=<o.,3�o,jnn�pSdu,rt¼wf1,ioezsf. tz(j,asn.h0.z=zcjaene.jz0dj.eot).n2t�,þreeonzzt.e=�lo,0tzifji.g¼nf0zznj( zu(ecz00bj20uzjzjne=zjd))ga2þys0j,¼=,0z=�.e0pj,�unzezi,ozenen0n2l20rs/jziajg¼s,j0e2tdjzja¼asrzn,2udienr,(sus�eni�gt1¼jcesnoziioc¼2óiz,,vþzþfonn0j120nfeozij 2ntj(i,2nrziiqz�n|,tm¼n)0,z2)iun,ju|n,ejeze.i23jzan<u30mszz3jjj�oz,zec¼þ,¼e21un�oni4.z�4.snz0t0.1ze0,ztj,.ai,jz0=ncj�,+ti20j5z25oujz,,�pnzaf,e0j(¼t3,ezti.bzcnj,n+e0).uþzj,.zc20ao.�up.=jur.eza,,nn0fin,jzj.dzg¼e0.jj�o.sz(.þab(.�21|1)rzje,zzþ−g0n0�uijj3ógnzij,in)0z,n¼|.�.2<41j(z,z1d0�5j,iþn,,z.0ij.2)n.jz.: � z0j
SupOontrgoamquéetofd (oz). Hesauynqiufoermmoemstreanrtequceondtaidnouacueanlqesutiaerreegi>ón0.,Epnuteodnecehsa,llpaarrsae tuondad e>>00(deesppeonsdiibelnetehadlelaer)utanldq,ue
2.32Mrp.e LHogéS¿breoiASStE)tóewoo ieLHsznjndaee íl.eLHoo,¼ljeSv2mueztawfsee.semo22pz(c=tredfgwde.z,3Slub¼úz)vioiaet����óiansdnaei�,1¼znvcrezcrd)egnydoe0ne,�.infoórdnlea����=(z,t,1ntznpzzr01ai����ue00dnr1�zn0¼)����nofu0ajd,z�(abu¼arz0e¼z11ylezn0n)ecez¼0����1þim1dto0n¼jd1¼,o¼¼z����,n12anze�itat¼2i2acnr.3�����1þr=2ndad1lee,E1Tz.j����dþ,sd2q4zd1e�ihfnziþi3jd,023nu3f.c(0et�e� jz(oec1T,nis.be2z)¼,i2ni|)����hó)21Tþi�jjd4 c,f,4zzen=¼z he1�(eþ0jdln,,3i�ezf3seí,3m)����(c0dneyijþe5zz,25zu−¼;����z0�.,j0,�→0as�iy)z4¼8je4ej�n.f3dez�tz ¼c,e0(d¼zicj,2szdoe.0of.ii0(z,5 .jm����(�g5s)j.0dzo|.,|¼eujzj)o2r.en<�e22¼e=(,tij�cl����sc−z,ídqe1((mee.����þs,puz�nd�0(þze20zdoueccb→0nj,�re,e5u21|1)cef,pzsiaj <0e,(����0,1þecdn0zdfr¼oe )0��du,þ(�odda3z<e,znjoznrj.=zi,j����)1¼ftez212d,E¼ i|¼j(d=¼21�����znþiz�,ejld1,41,0)�¼0u<−�0.m/10),(�,e,aiz3,21z2z1+=021þ1od=ziej5+ea02ij),þ0u),dn1jrþn.pn,e|,j.,eep0ne)oif,341<,3. .zl(.id,eio¼0.)d,+,,peP=n+d.e),d.udo.5,ii:2i42ie42n,e2rpsnpi,dd,,pe?ate,e.,.ard,svii.53an.53t.se..e.,t,te:.o¼.oeqrt.,it.di4u4cp.luoe1í.o,nm,,lzioiad5fz25yr→oe,f,iruzze,pm030ntrcf,�ceud .(im,.eezó12ob).neer.a,nse,itts,�ase3ef cir�(cd(ezo,bo0ign21o)n41i,tót,ie,ipnnnn�uou.53iurnaeia,.ll,¼.ope.14nrq.(o,:u1bee5silþetnf,am (.iza.))n.
.

:

2.33pn. uocfDe pS(odieuen e)mAeatinhdnlnuoaeuzerce0esaedextyrereisenszfeuti0qenznm+,uii=rfeaeosyfzr is(om.ddizrEe)ofec qn(smdizurept),jeeaufnfmyl cn((tczuxeatg0ao)an(c)sslzenooq�)rcon,uaustsifeoiaeqe(nslnrzuteud0áensaciþqcúdofeeume n(nzifiqtei)ei)neurrnj=saioeud¼adjazapzjlrezsío2����e=em2gszen�e1i0�iszntió→zti�zaevnzz20i=so.20rjzf=je u0(¼aig¼zn.l1þ)izaPóje0zj=onl,zdzeþrti����þgtsa4atic¼mazlroze0n+0zbjnsjtj0zoitzjq40éiz,ln�juionfj�ue zj((zbli0zzvod|zj0a)zeþ0ajs0ansjdt�oo+az�ennjrlefet¼zfjsempzj−zrjccojojoþzevþb0znrijl0cbtjje|izjazlnmz0d=e0n0uj.ogajþagj|zjza2ezz|�.nj02�=.5zzzP)0d=,0jo.je,rEi,s.ttnaa2tn2ojfzjtnuzo�cn,�ecezsisz0ót0janj se vuelve
función

Sucesio  na)e  sff( (yzz))sþ+egrg((izze)),s,  b()b ) f (fz()zg)(gz()z ),y  c)  f (z) isfi gg((zz00))= 00
g(z)

2.38.  Ian)v E|Szeso−stuotlinugze0¼usc|ec<ioinólnand,nsc,enoecsnu¼vedene1rccg,iiare2,ni,ancl3miai,ned.cdle.iua.lit,yara szdse=bul )cpz er0so. iubonlneu¼emunsna¼(¼21.i2þninnn8n,i,c)nonnn.¼¼A1=1,, 22,,33,,......,, ((bb)) uunn¼¼((11þnþnii))nn.. |z − z0| < d como
  f (z0), B = g(z0) y al reescribir 0 <

2.34S.  oCloumcpiróuenbe que f (z) = zd2eeesstcaosnutcinesuiaóneansarorelneai,ir,eig2i2i,ó, in3i3|,z, |i4i≤4,, i15i.5 ��11,, ��ii 11 ii,,......:.:Si se representan
,,eetctc.,.,oorri,i, ,, ,,
a)  Los primeros términos
Soenlufocrmióangráfica estos puntos en el plano z pu2e2de3s3osp44ech5a5rse que el lími2t2e es33cer4o4. P55ara comprobar esto hay

Seqauze0munosptruanrtqouceualquiera en la región |z| ≤ 1. De acuerdo con el problema 2.23 a), f (z) es continua en z0. Por
tanto, f (z) es continua en esta r|eugnió−n lp |o=rqu|ien/ens −co0n|ti<nuea encucuanaldqouiner>pNun to de la misma.
(1)



Problemas resueltos  67

Ahora
|in/n − 0| = |in/n| = |i|n/n = 1/n < e  cuando n > 1/e

Elijamos N = 1/e. Entonces se ve que (1) es verdad y que la sucesión converge a cero.

b)  Considere ����uunþn 1���� ����(1 1)���� pffiffi
n2
¼ þ i)nþ1=(n þ ¼ n n 1 j1 þ ij ¼ nþ1
(1 þ i)n=n þ

Para toda n ≥ 10 (por ejemplo), se tiene pffiffi þ 1) . 6=5 ¼ 1:2. Por tanto, |un+1| > 1.2 |un| para n > 10,
n 2=(n

es decir, |u11| > 1.2|u10|, |u12| > 1.2|u11| > (1.2)2|u10|, y en general |un| > (1.2)n−10|u10|. Se sigue que |un|

puede hacerse mayor que cualquier número positivo previamente dado (sin importar cuán grande sea), por

lo que el límite de |un| no puede existir y, en consecuencia, el límite de un tampoco puede existir. Así, esta
sucesión diverge.

2.39.  Dados límn→∞ an = A y límn→∞ bn = B. Compruebe que límn→∞ (an + bn) = A + B.

Solución

Por definición, dado un e es posible hallar un N tal que

|an − A| < e/2, |bn − B| < e/2 para n > N

Entonces, para n > N,

|(an + bn) − (A + B)| = |(an − A) + (bn − B) ≤ |an − A| + |bn − B| < e

lo que demuestra el resultado.
Se observa que esta demostración es paralela a la de los límites de funciones [problema 2.28].

2.40.  Compruebe que si converge una serie u1 + u2 + u3 + . . . , debe tenerse límn→∞ un = 0.

Solución

Si Sn es la suma de los n primeros términos de la serie, entonces Sn+1 = Sn + un. Por tanto, si límn→∞ Sn existe y
es igual a S, se tiene límn→∞ Sn+1 = límn→∞ Sn + límn→∞ un o S = S + límn→∞ un, es decir, límn→∞ un = 0.

Sin embargo, si límn→∞ un = 0, puede ser que la serie no converja. Vea el problema 2.150.
2.41.  Demuestre que 1 + z + z2 + z3 + . . . = 1/(1 − z) si |z| < 1.

Solución

Sea Sn ¼ 1 þ z þ z2 þ � � � þ zn�1
Entonces zSn ¼ z þ z2 þ � � � þ zn�1 þ zn

Se resta, (1 � z)Sn ¼ 1 � zn o Sn ¼ 1 � zn
1�z

Si |z| < 1, entonces se sospecha que límn→∞ zn = 0. Para verificar esto, hay que mostrar que dado cualquier e > 0
puede hallarse N tal que |zn − 0| < e para todo n > N. Es claro que el resultado es correcto si z = 0; por tanto,
se considera z  0.

Ahora |zn| = |z|n < e cuando n ln |z| < ln e o n > (ln e)/(ln |z|) = N [pues, si |z| < 1, ln |z| es negativo]. Por

ende, se encontró la N buscada y límn→∞ zn = 0. Así,

1 þ z þ z2 þ � � � ¼ lím Sn ¼ lím 1 � zn ¼ 1� 0 ¼ 1 1 z
n!1 1 � z 1� z �
n!1

68 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

La serie

a þ az þ az2 þ � � � ¼ 1 a z
�

se conoce como serie geométrica con primer término igual a a y razón z, y su suma es a/(1 − z) siempre que |z| <
1.

Problemas diversos

2.42.  Sea w = (z2 + 1)1/2. a) Si w = 1 cuando z = 0 y z describe la curva C1 que se muestra en la figura 2-27,
encuentre el valor de w cuando z = 1.  b) Si z describe la curva C2 que se muestra en la figura 2-28, ¿el
valor de w, cuando z = 1, es el mismo que el obtenido en el inciso a)?

Solución

a)  De acuerdo con el problema 2.19, los puntos de ramificación de w = f (z) = (z2 + 1)1/2 = {(z − i)(z + i)}1/2
están en z =+i.

C1
θ1
θ1
i i
z r1
C2
r2 0 1 01
θ2
–i
–i

Figura 2-27 Figura 2-28

Sea (1) z − i = r1eiu1, 2) z + i = r2eiu2. Entonces, como u1 y u2 sólo están determinadas dentro de múltiples
enteros de 2pi, se escribe

w ¼ pffirffi1ffiffirffiffi2ffiffiei(u1þu2)=2e2kpi=2 ¼ prffiffi1ffiffirffiffi2ffiffi ei(u1þu2)=2ekpi (3)

En la figura 2-27 [o con las ecuaciones (1) y (2)] se ve que cuando z está en 0, r1 = 1, u1 = 3p/2 y r2 = 1, u2 =
p/2. Como w = 1 en z = 0 se tiene, de acuerdo con (3), 1 = e(k+1)pi y se elige k = −1 [o 1, −3, . . .]. Entonces

w ¼ �prffiffi1ffiffirffiffi2ffiffi ei(u1þu2)=2

A medida que z recorre C1 de 0 a 1, r1 cambia de 1 a pffi2ffi , u1 cambia de 3p/2 a −p/4, r2 cambia de 1 a p2ffiffi ,
u2 cambia de p/2 a p/4. Entonces

w ¼ qffiffipffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffipffiffiffiffiffiffiffiffiffi ei(�p=4þp=4)=2 ¼ pffiffi
� ( 2)( 2) �2

b)  Como 1enaepl iffi2ffin,cuis1ocaam), bwia¼de�3pprffiffi/1ffiffi2rffiffi2ffiffiaei7(up1þ/u42),=2r.2. Ecanmlabifaigduera12a-2p8ffi2ffisey ve que, a medida que z recorre C2, r1 cam-
bia de u2 cambia de p/2 a p/4. Entonces

w ¼ qffiffipffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffipffiffiffiffiffiffiffiffiffi ei(7p=4þp=4)=2 ¼ pffiffi
� ( 2)( 2) 2

que no es el mismo valor que el que se obtuvo en el inciso a).

Problemas resueltos  69

222.4..44333...  SLLeeatept p1ffiffiffi1ffi�ffiffi�ffiffiffizffiffi2zffiffi2¼pffi ¼pffiffi1ffiffi1pffifffiffioafffiffiroffiaffirffizffiffizffizffi¼=¼000..S.MShhouoweswtrhtehaqtauat esa,szazvmvaraeirdeiisedsfarfoqromume0z0tvotaoprípa.d.e101alaolponng>gth1theaerleroaelaaalrxagxiosi,ds2p,e.pl4ffi1effi3ffi1ffij�ffi.effi�ffiffirffizLeffiffi2zffiaeffi2vlffit,vaprairffi1effiiffiseffi�ffisffiffiffiffizffiffi2ffi ¼pffiffi1ffiffiffifffiffioffiffirffiffiffizffi ¼ 0. S
varía d1e1t1otoa��i i pp2 2��11. . 1 to �i p2 � 1.

y zD

r Fx
p
A Bq E
1

Figura 2-29

Solución

Considere el caso en el que z recorre la trayectoria ABDEF, donde BDE es una semicircunferencia como se
muestra en la figura 2-29. En esta figura se ve que

1 − z = 1 − x − iy = r cos u − ir sen u
de msaonetshrosaaottqhptuahet1ffiaffiffitpffi�ffiffipffiffi1ffizffi1ffi22�ffiffi�ffi¼ffiffizffiffi2zffipffi2¼ffi (ffi¼ffi1ffipffiffiffi�pffi(ffiffi1ffi(ffizffi1)ffi�ffi(ffi�ffi1ffizffiffiþ)ffizffi(ffi)1ffi(ffizffi1ffi)þffiffiffiþffi¼ffiffizffi)ffizffipffi)ffi¼ffi ffir¼ffi(pcpoffirffis(ffirfficu(oc=so2su�=u2=i2�se�ni siues=ne2nu)p=u2=ffi2ffi)2ffiffip�ffi)ffipffiffi2ffirffi2ffi�fficffi�ffioffiffirsffiffirfficuffifficoffiþffiosffiffisffiuffiiffiurffiþffiffisþffiffieffiiffinrffiiffiffirsuffiffiffiesffiffineffiffinuffiffiffiuffi

A loAlalrogAnoAglodlAnoegBnAg:ABzAB:¼B:z:z=xz¼, ¼xrx,¼,xr,r=1r¼�¼11−x1�, �xux,¼,xu,u=0u¼a¼0n0yd0apnadnffi1ffidffipffi�ffiffipffiffi1ffizffi1ffi22�ffiffi�ffi¼ffiffizffiffi2zffipffi2¼ffi 1ffi¼ffiffipffi�ffiffipffiffi1ffixffi1ffiffi�pffiffi�ffiffi1ffixffiffiffipffixþffiffipffi1ffiffixffi1ffiffiþffi¼ffiþffiffiffixffipffixffi¼ffi1¼ffiffipffi�ffiffipffi1ffiffixffi1ffi�22ffiffiffi..�ffiffiffixffiffi2xffi.ffi2ffi.
A loAlalrogAnoAglodlEnoegFnEg:EFzEF:¼F:z:z=xz¼, ¼xrx,¼,xr,r=xr¼�¼xx−1x�, �1u1,¼,1u,u=pu¼¼appnydpapnadn1ffiffidffipffi�ffiffipffiffi1ffizffi1ffi22�ffiffi�ffi¼ffiffizffiffi2zffi�ffi2¼ffi i¼p�xffi�ffiiffipffi�iffiffipffiffixffi1ffixffi�ffipffiffi�ffiffixffi1ffiffiffipffi1þffiffipffixffiffi1ffixffiþffiffi¼ffiþffiffiffi1ffi�ffi1ffi¼i¼p�ffix�ffiiffi22pffiiffiffi�pffiffixffiffi2xffi1ffi2ffi�ffi..ffiffi�ffiffi1ffiffi.1ffiffi.
Por tHanetnHocH,ea,necnamesce,zd,aivsadaszarzivqeavusraeifrerizosemvsfarfor0rímoa[mwd0eh0[e0w[rwe[hdehxorene¼redxe0x¼]x¼t=0o]0p0]to][towaphp[ew[rwdehoehxnree¼dreexpx¼],¼=pp]p1ffi,]ffiffi,p,ffi�ffiffipffi1ffiffizffi1ffi22�ffiffi�ffivffiffizffiaffi2zffirffi2iffiveavsraifreriíoseamsfdrfeor1mo1tmoa1�1toitpo�pffi�ffiiffi22pffiiffiffip�ffipffiffiffi2pffi1ffiffi2�ffi.ffiffi�ffiffiffi1ffiffiffi.1ffiffi.

2.44.  E ncuentre una función que lleve los puntos z = 0,+i, +2i, +3i, . . . del plano z al punto w = 1 del plano
w [vea las figuras 2-30 y 2-31].

plano z plano w
+i, +2i, u
3i0, y+1, +2, 1
u
2i
i

0
–i
–2i

Figura 2-30 Figura 2-31

+i, +2i, +3i,

Solución +i, +2i, +3i,

Como en el plano z estos puntos están igualmente espaciados, hay que+coin, s+id2eir,ar+, d3eib,ido al problema 2.15, una
función logarítmica del tipo z = ln w.

Ahora, si w = 1 = e2kpi, k =00,, +1, +2, . . ., e+ntoi,n+ces2iz, = ln w = 2kpi, de manera que el punto w = 1 se lleva
a los puntos 0,+ 2pi,+ 4pi, . . . .

Sin embargo, si se considera z = (ln w)/2p, el punto w = 10,se+l1le,v+a a2,z = 0,+i, +2i, . . . como se deseaba. Y
a la inversa, por medio de esta función, 0lo, s+p1u,n+tos2,z = 0,+i, +2i, . . . se llevan al punto w = 1.

Así, una función adecuada es z = (ln w)/2p o w = e2pz.

70 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad Problemas complementarios  71

2.425.5. 1D.  aq Udunoecsluíemaldlner→avda∞oSzSnme=endlei,aldnpetleamnluaosezstrttraieennsqefuoserumslíamvcéinro→tnic∞eesRs  een{az)(n0w}, 0==),zR(21 e,{0yl)} , y(1bl,)í1mw)ny=→(∞10/,Im1(z){.+zDn1e}t)e=. rmImine{ll}a.región del plano w a la

2.52S.  A onlualcicieóenl problema 2.51 si los vértices del cuadrado son (1, 1), (−1, 1), (−1, −1), (1, −1).

2.53Sm. e= Eeanntzuelno.+=s iinvx:cni+sosiysnigyuile=ntels1 s+epialr2e, dlaonpdaretexnr,eayln,dye la1,ilm2,asgoinalraias,peasrdteescirre,aelnescueenimtraegui(nxa,ryia)sydve (xz,n yy) lt,alreesspqeucetifv (az-)
aP) of (rzh)i=pó2tezs2is−, d3aizd,o  ubn)ef (>z)0=puz e+de1h/az,l larcs)efu (nz)N=ta(l1q−uez)|z/n(1−+l|z<)  eyp arad)nf >(z)N=, ezs1/d2e.cir,
f|jTxxarnnma+þcileiiiayvysnnadr�−ieo(sc(lli1m1rcþ+iuenmiilfl2e2b))rjr|eo,n<scdieeae sl.afposarfraanmn>i>liNaNs u(x,
2.54.  S uponga que f (z) = 1/z = u + iv. y) = a y v (x, y) = b, donde a y b
son constantes, y muestre que son
o bien
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

Funciones multivaluadas (xn � l1)2 þ (yn � l2)2 , e   fpoar rna >n >N N

2.55D.  eS eeastwo,3n=eczesyarsiuampoenngtea sqeuesigwue=q1uecorresponde a z = 1. a) Si se parte de z = 1 en el plano z y se da una vuelta
esdcvdoeuemelclaiptralp,serltíciammoemnen→rpa∞tloevxrtuanneso=lteaanll,1taooylrrivlngíoomelnavn→leeron∞rai|ysgxeznnen==n−ti?dl1Al2o1.,|nbcc<aoo)lnmi¿cetCero  aussráyiieol leabsasu|lysstrdconaaen−yblelaaolc.2sst|omv<raiaalenos erdecesipllaldoaressa dne>l rNeloj, encuentre el valor de w después
w al volver a z = 1 después de 2, 3, 4, . . .
incisos a) y b) no son trayectorias en torno

al origen.
2.426.5. 6C.  oS meapwru=eb(e1q−uez2s)i1|/a2|y<su1p,onga que, correspondiente a z = 0, se tiene w = 1. a) Si se parte de z = 0 en el plano z
ab))vlpyp  oaeesslrre11oaaooirndþþssnenceeasooinnsaaudaoauuneccszazoowþþa=ssv=)duuuaay1e22e−.þþslbsstpd1aee)u aa,)nnscé22eiRos22neccmeuudcnoopeupþþssineltdea22inanaatuutlar33groeþþvusseeeunneinneaaalslc3333vevtianaccuuussltoooeoiþþysldssrtoaav33d��)uuusce��eeyo��þþlwnitb¼¼nat)r��dsca11?s��lerui��si��cyope¼¼)enuaR22éalc11aaaaseadzpdcc��ssdei=eeaooet11lannss22avl��1lsaaauuuuuoemnspccþþaalioortiaiaccnassnmaaoocseuuz22iessecs=rþþiuuoialnslac−vaaaslu22u)1edy.yleetfla b )t,r)aeEansllxiotopvjelondailqecvzuaem=edraapa1novezcruroa=eqmluqtaé0ou.eszaeb=sz)ein=¿1icCnly−cuulyázu1ely.e=aaes)za−sRo=z1ne=ps−loiot1n1as
 
 

Spoulnutocsiódenramificación. g) ¿Qué rectas pueden tomarse como líneas de ramificación?
2.57E. nE a)enlfc (upzer)on=btrlee{mdz/oa(s12p.−4u1nz,t)os}se1ad/2ez, =rabma)eiffii u(c.za)Ec=sitóon(zey2s−tproa4cs)ieb1/lla3e sploíynr qeaucse)d|fze (|zr=)a=m|ailf|nic<(azc1−ió. nEz2nd)t.eonlacsesfunciones dadas.

Funciones elementales 1 þ aeiu þ a2 e2iu þ a3e3iu þ � � � ¼ 1 1
� aeiu

2.58o.  bDieemn uestre que a) ez1/ez2 = ez1−z2 y  b) |eiz| = e−y.

2.59.  Compruebe q(1ueþnaocpouseudþe haa2bceorsn2iungþún� �v�a)loþr if(ianisteondueþz taa2lsqeune2euzþ=�0� .� ) ¼ 1 1 � 1 � ae�iu
� aeiu 1 � ae�iu
2.60.  Demuestre que 2p es un periodo de eiz. ¿Hay otros periodos?
�a cos u þ ia sen u
2.61.  Encuentre todos los valores de z para los que a) e3z = 1  y  b) e4z = i. ¼ 1 1� 2a cos u þ a2

2.62.  C ompruebe que a) sen 2z = 2 sen z cos z,  b) cos 2z = cos2 z − sen2 z,  c) sen2(z/2) = 1 (1 − cos z) y
dL ) ocsosr2e(szu/l2ta)d=os21b(u1s+cadcos sze).obtienen al igualar las partes reales y las imaginarias. 2

2.63.  Demuestre que a) 1 + tan2 z = sec2 z  y  b) 1 + cot2 z = csc2 z.

2.64.  Sea cos z = 2. EncuentPrera)ocbosl2ze  my asb) ccoos 3mz. plementarios

2.65.  Verifique que todas las raíces de a) sen z = a  y  b) cos z = a, donde −1 ≤ a ≤ 1 son reales.

Fun2c.i6o6.n  Ceosmyprtuerbae nqusefsoi |rsemnaz|c≤io1npearsa toda z, entonces |Im{z}| ≤ ln(pffi2ffi + 1).

2.427.6. 7 S. eMa uwes=trefq (zu)e =a) sze(2n z−=z)s.enEzn,c uebn)trceolsozs =vaclorsezs  dey  wcc)otarrneszp=ontdainenz.tes a  a) z = 1 + i,  b) z = 2 − 2i
2.68y.  r Depardeassenlatse fgurnáfciicoanmesenstieg,ueinenltoess,pelanncousenwtrye zu,(dx,icyh)oys vv a(xlo,rye)s.tales que f (z) = u + iv, es decir, separe la parte real

2.48.  Sedaewla=imf (azg)in=ar(i1a:+a)z)f /(z()1=−ez3)i.z,E  ncbu)ef n(ztr)e=: ac)ofs (iz), y bc)) ff ( (1z)−=i)seynre2pz resyé ntedl)ofs (ez)n=forzm2ea2zg. ráfica.

2.429.6. 9S . uDpoenmguaeqsture fq (uze) =a) (s2eznh+(1−)/z()3=z −−s2e)n, hz z,  2/b3).cEonshc(u−enzt)re=a−) fc (o1s/hz)z  y  bc) ft a{nf h(z()−}.z) = −tanh z.

2.520.7. 0 a. )C Soimwpr=uebf e(zq) u=e a()zs+en2h)(/z(12+z −z2)1=), seennchuez1ntcroeshf (z02),+f (cio),shf (z11 s+enih).z 2, b)bE)nccousehn2trze=locsosvha2lozre+s sdeenhz2tzaleys  que
f (zc))=1 −i, ft (azn)h=2 z2=−s3eci.h  2 zc.) Muestre que z es una función unívoca de w.  d ) Encuentre los valores de z tales que
f (z) = z y explique, en forma geométrica, por qué a estos valores se les llama puntos fijos o invariantes de la
transformación.



72 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

2.71.  Pruebe que a) senh2(z/2) = 1 (cosh z − 1)  y  b) cosh2(z/2) = 1 (cosh z + 1).
2 2

2.72.  E ncuentre u(x, y) y v (x, y) tales que a) senh 2z = u + iv  y  b) z cosh z = u + iv.

2.73.  Encuentre eloz1s�veazl2or¼es edze1þaz)2 4 senh(jpeiz/j3¼), exb) cosh(e2zkþ+2kp1i)¼pi/e2z, k ¼ 0, +1, +2, . . . y  c) coth 3pi/4.
� pffiffi � �4p �
2.74.  a) Muestre que ln � 1 � 3 i ¼ þ 2kp i, k ¼ 0, +1, +2, . . . .y  b) ¿Cuál es el valor principal?

22 3

2.75  O btenga todos los valores de a) ln(−4), b) ln(3i), c) pffiffi � i) y en cada caso encuentre el valor principal.
ln( 3

2.76.  C M exouimsetsapt.rrueeqbueeqlune(za�)cco1os)s���¼c111oz12zs¼�l¼n1f1i1zi(1ixll¼nn�((z1zi 1þlþn)2(pzpþþzffiffiz2ffi2yffi2ffip2�ffiffi�gffiffizffiffiþ1ffi2ffi1ffi)ffiffi)�,ffii ffi,ffitffiffia1ffiyffin) �,cc1oobytt�)�=�1c(11xozzt�¼�¼112z12)1i,i¼yllnnd�21�éizzzzllþ�naþ��s iirzzii��eþ�striii�c,ceioinnedsiqquuee cpuuaeldqaunieer xreissttirri.cción que
2.77. 

2.78.  Demuestre que a) sseennhh��s�e111nzzh¼�¼1 lzlnn¼((zzþlþn(pzpþffizffiz2ffi2ffi2ffipþffiffiþffiffizffiffi1ffi2ffi1ffi)ffiffi)þ,ffiyffi,ffiffiffib1ffiffi),ccootthh��c�1o11ztzh¼�¼112z12l¼lnn��12zzzzlþ�nþ��11zz11��þ�.. 11�.

2.79.  Encuentre todos los valores de a) sen−1 2  y  b) cos−1 i.

2.80.  Encuentre todos los valores de a) cosh−1 i  y  b) senh−1{ln(−1)}.
pffiffi
2.81.  Determine todos los valores de a) (1 + i)i  y  b) 1 2.

2.82.  Encuentre a) Re{(1 − i)1+i}  y  b) |(−i)−i|.

2.83.  Encuentre las partes real e imaginaria de zz, donde z = x + iy.

2.84.  M uestre que a) f (z) = (z2 − 1)1/3  y  b) f (z) = z1/2 + z1/3 son funciones algebraicas de z.

Puntos de ramificación, líneas de ramificación y superficies de Riemann

2.85.  Compruebe que z =+ i son puntos de ramificación de (z2 + 1)1/3. c) �z þ 2�1=3..
2.86.  Construya una superficie de Riemann para las funciones a) z1/z31,= 3, b) z1/2z1(=z2(−z �1)11/)21 =2,y  z � 2

2.87.  Muestre que la superficie de Riemann de la función z1/2 + z1/3 tiene seis capas.

2.88.  Construya las superficies de Riemann de las funciones a) ln(z + 2),  b) sen−1 z  y  c) tan−1 z.

Límites

2.89.  a) Suponga que f (z) = z2 + 2z. Demuestre que límz→i f (z) = 2i − 1.
  b) Suponga que ff((zz))¼¼��3z3z22þþþþ222i2izz zzzz=¼=¼iiii:.:  Encuentre límz→i f (z) y justifique su respuesta.

2.90.  Verifique que z!zl!ím11þþiizz2z2z2�2���zz2þ2þzz1þ1þ��22ii¼¼11��2121ii... z!lím2þzi!l11ím2þ�þizz11,  þ�yzz ,z!lbím2)þzi!lzíz2m22þ�þi z2z24i2z�þ24iz

2.91.  Dé un valor que parezca adecuado para a) e investigue si su respuesta es
correcta.

2.92.  Sean límz→z0 f (z) = A y límz→z0 g(z) = B. Compruebe que a) límz→z0 {2f (z) − 3ig(z)} = 2A − 3iB y
b) límz→z0{pf (z) + qg(z)} = pA + qB, donde p y q son constantes.

2.93.  S ea límz→z0 f (z) = A. Demuestre que a) límz→z0 {f (z)}2 = A2, b) límz→z0 {f (z)}3 = A3. ¿Puede usted dar una
expresión similar para límz→z0 {f (z)}n? ¿Hay alguna restricción que se deba imponer?

Problemas complementarios  73

2.94.  Evalúe las expresiones de los incisos siguientes con los teoremas sobre límites. En cada caso indique el teorema

preciso que usa.
SEbaun))  pcuolzzení!!zmlznlgzz!í!í!!letmzeamlzízr!pzíp!em!el!eemieiqp=ílp=zzpzp4e4míi!!ei!i=u2=i2zpm=lp=33!4izíi4ieil=2em=(24(34íz3pizziiem!f(i4(þzp=4 z�(4ii44=2zþzz3�iz)z4þ242(ez4(lzz=þzþ2iíp!2pezþzml3i�!iþíp4=p=lemzz1333íz3ipi2zeþ=22m!=),izez1p=33� 42�þ2i2p),=233�iziz�+=(z34131(3zz2i)0,3þz1þz32���i40þzzz)z1i,z.þ2e3) 1�V1þ,p0þz3�e:ii=zr)13:1i2,),f��i�dcq.:z))u3 1 ezlzz0zþ!zl!í!!íqzmilzzzm!l)í!!i!iuiíi1m=,=m22ei�zzii=iz=lz(62262!lí2!zzz:2lím!(26þþím26zi2mi=þþz2(z�0zz11i(62(z�,f211i3þþ(�zz, )z3zlz�(z!l()�í!)114í1mi(m��z,iz)i41=322�2zþ)zz)zf2(262(0þ(241ziþþz)yzz0)z!i,!2l) (�)zþíz11i!,m!l1¼1z,íþþ3mi11�)ziiþ)þ6!,�l(iízi41m�z10z)2þe2zz2þ)þi2�2�z ��2�iz21).z2.zz!,2l1�í��þzm1�þþi212i iz��2�þz�222zi222���221z�þi2�2
2.95. 
2.96. 

2.97.  Sea f (z) ¼ 2z � 1. Compruebe que lím f (z0 þ h) � f (z0) ¼ 7 siempre que z0  −2/3.
3z þ 2 h þ
h!0 (3z0 2)2

2.98.  Demuestre que, restringiéndose a la rama de f (z) ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi para la que f (0) ¼ p3ffiffi ,
z2 þ 3

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
z2 þ 3 � 2 1
lím z�1 ¼ 2

z!1

2.99.  E xplique lo que se quiere decir con las expresiones  a) lílmím11==(z(z��i)i2)2¼¼11,  b)zl!zíl!mí1m12z2zz4z444þþþþ1111¼¼22. .

z!z!i i

2.100.  Muestre que a) límz→p/2 (sen z)/z = 2/p  y  b) límz→pi/2 z2 cosh 4z/3 = p2/8.

2.101.  M uestre que, restringiéndose a la rama de f (z) = tanh−1 z en la que f (0) = 0, límz→−i f (z) = 3pi/4.

Continuidad

2.102.  S ea f (z) ¼ z2 þ 4 si z  2i, mientras que f (2i) = 3 + 4i. a) Compruebe que existe límz→i f (z) y determine su
z � 2i

valor. b) ¿Es continua f (z) en el punto z = 2i? Explique. c) ¿Es continua f (z) en los puntos z  2i? Explique.

2.103.  R esuelva el problema 2.102 si f (2i) se redefine igual a 4i y explique por qué puede haber alguna diferencia.

2.104.  Compruebe que f (z) = z/(z4 + 1) es continua en todos los puntos en el interior de la circunferencia |z| = 1 y sobre
la misma excepto en cuatro puntos, y determínelos.

2.105.  S uponga que f (z) y g(z) son continuas en z = z0. Demuestre que 3f (z) − 4ig(z) también es continua en z = z0.

2.106.  S uponga que f (z) es continua en z = z0. Verifique que a) {f (z)}2 y b) {f (z)}3 también son continuas en z = z0.
¿Puede extenderse este resultado a {f (z)}n, donde n es un entero positivo?

2.107.  E ncuentre todos los puntos de discontinuidad de las funciones siguientes.

a) f (z) ¼ z2 2z � 3 2 ,  b) f (z) ¼ 3z2 þ 4 ,  c) f (z) = cot z,  d) f (z) ¼ 1 �sec z   y  e) f (z) ¼ tanh z.
þ 2z þ z4 � 16 z z2 þ 1

2.108.  Compruebe que f (z) = z2 − 2z + 3 es continua en todas las partes del plano finito.

2.109.  Demuestre que f (z) ¼ z2 þ 1 es a) continua y b) acotada en la región |z| ≤ 2.
z3 þ 9
2.110.  Verifique que si f (z) es continua en una región cerrada, es acotada en esa región.

2.111.  C ompruebe que f (z) = 1/z es continua para toda z tal que |z| > 0, pero que no es acotada.

2.112.  D emuestre que un polinomio es continuo en todas las partes del plano finito.

2.113.  Muestre que f (z) ¼ z2 z2 þ 1 2 es continua para toda z en el exterior de |z| = 2.
� 3z þ

74 Capítulo 2   Funciones, límites y continuidad

Continuidad uniforme

2.114.  V erifique que f (z) = 3z − 2 es uniformemente continua en la región |z| ≤ 10.

2.115.  C ompruebe que f (z) = 1/z2 a) no es uniformemente continua en la región |z| ≤ 1, pero b) es uniformemente
continua en la región 1.
1 � jzj �
2

2.116.  Demuestre que si f (z) es continua en una región cerrada , es uniformemente continua en .

Sucesiones y series n2in � �
n3 þ 1 lím 1
2.117.  Verifique que a) lím ¼ 0,  y  b) n!1 n n 3i � n in ¼ 1 � i.
þ þ
n!1

2.118.  C ompruebe que lpímarant�o1doþniú�mn¼ero0.complejo z, límn→∞ (1 + 3z/n2) = 1.
2.119.  Demuestre que
n!1 2

2.120.  Verifique que límn→∞ nin no existe.

2.121.  Sea límn→∞ |un| = 0. Compruebe que límn→∞ un = 0. ¿Es verdadera la aseveración inversa? Justifique su
conclusión.

2.122.  Sean límn→∞ an = A y límn→∞ bn = B. Demuestre que  a) límn→∞(an + bn) = A + B, 
b) límn→∞(an − bn) = A − B,  c) límn→∞(anbn) = AB  y  d ) límn→∞an/bn = A/B si B  0.

2.123.  Con los teoremas sobre límites, evalúe las expresiones de los incisos siguientes:

a)  nl!ím1nl!í(nmn2ll!1ií!ínnmm1(21þ2i�(n(n224i2inþninnin�22�þþ4þ��ii3n44�1i)iiinþ(n���n3þþ1)�33(31�n)1i)(i()�n��n3 �i�3i3)iiii)) ncl!í)m 1nl!ípnmnll!1í!ínffimmffiffi1p1ffiþffiffipffipnffiffi2ffiffinþffiniffiffiffi�þffiþffi2ffiffiiffip2ffi2ffi�ffiiiffiffin�ffi�ffipffiþffiffipffipnffiffiiffiffinþffinffiffiþffiþffiiffiffiffiffiiffiiffi
b)  nl!ím1nl!����íinmnl(nl!1í!ním3m����211i�(nþ��������ni3i(n2(3nn3n�3n3þ2i2)��þþ3(þ3nn3i343)3�nþn(ii�n))þþ(i(4)n�ni����4�4� �i�)�ii����i))ii�������� ndl!í m) 1nl!ípnmnll!1í!ínffimmffiffi1pf1pppffinffinffifffiffinnffipffiþffifffifffipffipnffiffi2ffiffinþffiniffiffiffi�þffiþffi2ffiffiiffip2ffi2ffi�ffiiiffinffi�ffi�ffipffiþffiffipffipnffiffiiffiffignþffinffiffiþffiþffiiffiffigffiffiiffiiffigg

2.124.  S ea límn→∞ un = l. Verifique qnul!íem1nl!íunmnll1!1í!ímmþ1u11uuþ121 þþun2u�uþ2�2n�þþn�þn���u��þn��þþ¼unuul¼.nn ¼¼l. ll..
P1
2.125.  C ompruebe que la serie 1 þ i=3 þ (i=3)2 þ �� � ¼ (i=3)n�1 converge y encuentre su suma.
n¼1

2.126.  D emuestre que la serie i − 2i + 3i − di + . . . diverge.

2.127.  S uponga que la serie P1 an converge a A y que la serie P1 bn converge a B. Compruebe que P1 (an þ ibn)

n¼1 n¼1 n¼1

converge a A + iB. ¿Es verdadera la aseveración inversa?
2.128.  I nvestigue la convergencia de XnXn1¼1¼1155vvnn=n=2n2, dondevv¼¼pp3ffiffi3ffiþþii..

Problemas misceláneos y x
C
2.129.  Sea w = {(4 − z)(z2 + 4)}1/2. Si w = 4 cuando z = 0, muestre que si
zesd�es4cirpibffi5effi .la curva C de la figura 2-32, entonces el valor de w en z = 6 06
Figura 2-32
2.130.  Verifique que una condición necesaria y suficiente para que f (z) =
u(x, y) + iv (x, y) sea continua en z = z0 = x0 + iy0 es que u(x, y) y
v (x, y) sean continuas en (x0, y0).

2.131.  Compruebe que la ecuación tan z = z únicamente tiene raíces reales.

2.132.  Un estudiante observó que 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1. ¿Es correcta la observación de este
estudiante? Explique.

2.133.  Muestre que sen uþ sen 2u þ se2n33uþ � � � ¼ 5 2 sen u .
2 22 � 4 cos u

2.134.  Muestre que f (z) = sen z satisface la relación | f (x + iy)| = | f (x) + f (iy)|. ¿Puede encontrar otras funciones para
las que esto sea cierto?

76 Capítulo 2   Funciones, límites y cRoenstpiuneusidtads a los problemas complementarios  75

2222..56..111533..  65aa..  ))CD2e2okepPPpmmirr/ioopu3/vvre3yuees etbrttb)hheyeaae qtt4qupjzulbe!iic/em)3sz1l,|!c(íc1m1zzs1/4,jc8ezþz�z)342|ppzz�þ2≤i23i/e3+3z��=22(zee(33�þ/21zz(/�3e2þþ2z2)152þ−k)p¼i51fi,)¼0jdys.oji0n�|..yd|e1≥.k 1=. + 1,+ 2, …
2222..66..114833..  78v aa..  ))=M S7uucu=ypSoeohbsseno)t2−rgw2ex3a6yqtsqhceuuaoneetshRf32 (xezyf,)syvees=nd�)c1eouz−ng=3tiy¼nesue221axnf{pe(3nxxffixffi2ffi2.uffiffi−ffibþnffiffi)affiffiyyffiuffir2ffi2effi)ffi=gffiþfficffiiffioóffic2ffiffisnoffixffisffi2cffiþffiyexffiffiffir−ffi1crffiffiao�ds2haxpyyyxffi,sffiaffi2evfficffinffiþo=ffiffiffi2tffiayffiyffi−dffi2ffi}ffiasffi�,ffieffivffiffin2ffiffi=ffi.xxffiffiVffiþffiseffieffie2ffirffix1nffiiffi{fghi2.qyxu.yecc)qouuse=2y
sen 2x cosh 2y, 2y}.
+ (x2 − y2) sen

2.72.  a) au)=exsiestnehu2nxncúoms e2ryo, vpo=sitciovsohM2xtasleqnu2eypara toda z en , | f (z)| ≤ M y
22.7.133. 9ab. ))Mb2u)iu=p|e f3ffis ffix(t,zrc)eb|o)qtsi0uheenyxe|cctau)onnsihaypm−(í1nyi+mseain)ch/u4xo|ts=aens1uy.p,evr=ioryμcoensh x ycoesxyis+te xalsmenehnoxssuenn yvalor z0 en
tal que | f (z0)| = μ.

2.74.  b) 4pi/3 pffiffi
2.140.  Compruebe que todos los valores de (l1n �3 +i) 2i se encuentran en una línea recta.
2.75.  a) 2 ln 2 + (p + 2pkip/2)i,y2bl)nta2n+h−p1 ∞i. .b) (p/2 + 2kp)i, ln 3 + pi/2. c) ln 2 + (11p/6 + 2kp)i,
2.141.  Elnva2lú+e a1)1pcoi/sh6
22.7.194. 2a. )S+eal+nz(l2=nþ(2upþ+ffi3ffip)ivþ3ffi.ffi )Mpþu=pe2s=þt2re2þqkup2ek  p(yb )(bb�))i�lni(lpn(2ffiffipþffi2ffi pffiffipffiffi
1þ) þ1) pþ=p2 =þ2 2þkp2k, p�,i�lni(ln(2 �2 1�) þ1) 3þp3=p2 =þ2 2þkp2kp
þ 1) þ pip=2ffiffiffiþffiffiffiffiffi2ffiffikffiffipffiffiffiffiiffi,ffiffiffiffilffinffiffi(ffiffipuffiffiffiffi2ffi¼ffiffiui�¼co1cs)o2þsxs2e3þxnspeþc2in=ox2c2shoxþs2hy22 ,kyp,yi v ¼v ¼cocso2ssxe2þnsxehþcn2ohycs2hoys2hy2y
2.80.  a ) pffiffi cþon1)upnaþpre(c2iskióþn1d)e2ptr2e�s c1ifraþs dpeic=i2mþale2sm: pa)i,e3−2i y b) sen(5 − 4i).
ln( 2
h
2.14 3b. ) Elvnal(ú2ek
2.144.  D lnem�que(ffiffi2sffiffitffikffirffiPeffiþffirffiffiqoffiffi1uvffiffi)ffieeffi2ffiffipRffiffiffi2effiffiffi��ffiffiffi11ffiffi1ffi�þ�ii (ttaa2nnk((þuu==122)))p��¼þc3ops ui=, 2inþdiq2umepciu, akl,qmuie¼r v0a,l+or1e,x+ce2p,c.io. .nal.
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+ln(2 þ pffiffi þ
3)

222+�...1112221i200...,+111347�454...k   i809eaea ...þ+�   )(+�))2+�(+�IC a Dk1+�12bm1i+)i�1io,e+1)i,,+ip11V,{+mmi,�+b)+�,+fpike�i�k) ,iup(�kirik2/iþzik1erkþi4f,)þuþ s,,i(}þ(¼qt+e12+�b(ck21br(�12bu=(�)21b)e)p�2121b=�p0e)ei)�p+0piq,)++i,pv+iq,q+iu,�0iy+ 2+,(u2ui,kke2ixk,,,2ke,ed2k1,,1þ¼s,k+¼ +,,)tyl¼i,+¼+oí(¼)+2+me212kb02d0 �2xiis0p2,),i0ap2,nio0i2,i3!,,+s+ si+,ni,+t,+kl1e+12.ac1ck1.¼,,1soe,)(1,.¼p,+l+nkr+,k+0akplt+kp+ffiníi2kíp,02ffipmn2,cffipi,2ffi,,þ+2,uffie,,k2ffii,k,ffi,+.satkffi.,k1ffie.1¼ks.ffi¼dffi,.1¼.¼d�ee.¼,+.0en0.0z+k,0p,20ue,p,t+,+,nsa2+ffin,+ffiana+1,.)1k1.,r1.sz,¼1e,..¼u,++,=g.+c+0i+2e02ó(..2k,s2d,,n2,i,).ó+.,k..n0..1>.,., .é�.+0s(k(dt,d(ed(2 dþ(s)d),deo))0)0sn12.0,0,0.�ú,r,�.�,nep��kai�kc,klkþ(keoþkþdþs.þ).21¼1212�210�21��,0p�pp,�p,p,+,k,kk,kkþ1¼k¼,¼¼¼12+00�0,0,20,p,+,+,+,++.11k1.,1,1.,¼,++,+++2022,2,,2,,.+,....1..,..+2, . . .
222...1112422.15815...   1a(C.9 )oS tb0+nie)evyan3eCdrbziog)ne)/mþe+�(a112p10ick¼r,+eu+�re12okib(z1þenn)o(qpþ12bu�ni)/pee1+2c=il,,eaz2snks,a)e,¼r+rinai2e0m=i,Pe+0n1n,t1¼e1,1,c+k(2opp,n2,v.nffi,ffi.ekffiffi.þffir.ffi.¼gffiyffi.ffie1ffiffi.−0�,p+p/12nffiffi,)<+dia2vr,egr.gz.0e.,<lo(pdq/)u20e.,
d�ekmþue21s�trap,quke¼un0a, serie cuyo n-ésimo término
+1, +2, . ..

Verifique que límz→∞zn = 1.

Respuestas a los problemas complementarios

2.47.  a) 2, 4 + 4i c)  u ¼ 1 � x2 � y2 , v ¼ (1 �2y y2
2.48.  a) i y b) −1 − 2i (1 þ x)2 þ y2 þ x)2 þ
2.49.  a) (2 + z)/(3 − 2z) y b) z
2.50.  a) −2, −i, 1 − i y b) −i, (2 + i)/3 d )  uu ¼= rr11=/22 ccoossuu=/22,,vv¼=rr11=/22sseennuu=/22
2.53.  a)  u = 2x2 − 2y2 + 3y, v = 4xy − 3x wdohnedree xx ¼= rr ccoossuu,,yy¼=rrsseennuu

b)  u = x + x/(x2 + y2), v = y − y/(x2 + y2)



Capítulo 13

Diferenciación compleja
y ecuaciones de Cauchy-
Riemann

3.1   Derivadas

Si f (z) es unívoca en una región del plano z, la derivada de f (z) se define como

f 0(z) ¼ lím f ðz þ DzÞ � f ðzÞ (3.1)
Dz
Dz!0

siempre que este límite exista independientemente de la manera en que z → 0. Si es así, se dice que f (z) es diferen-
ciable en z. En la definición dada en (3.1), también suele usarse h en lugar de z. Aunque diferenciabilidad implica

continuidad, lo contrario no es verdad (vea el problema 3.4).

3.2  Funciones analíticas

Si la derivada f ′(z) existe en todos los puntos z de una región , se dice que f (z) es analítica en y se refiere a una
función analítica en . Como sinónimos de analítica suelen usarse también los términos regular y holomorfa.

Se dice que una función f (z) es analítica en un punto z0 si existe una vecindad |z − z0| < d en la que para todos
sus puntos exista f ′(z).

3.3  Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Una condición necesaria para que w = f (z) = u(x, y) + iv (x, y) sea analítica en una región es que, en , u y v
satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann

@u ¼ @@yv,   @u ¼ � @@xv (3.2)
@x @y

Si las derivadas parciales en (3.2) son continuas en , entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann son condiciones
suficientes para que f (z) sea analítica en . Vea el problema 3.5.

A las funciones u(x, y) y v (x, y) se les suele llamar funciones conjugadas. Dada una u que tenga primeras deriva-
das parciales continuas en una región simple conexa (vea la sección 4.6), puede hallarse v (dentro de una constante
aditiva arbitraria) tal que u + iv = f (z) sea analítica (vea los problemas 3.7 y 3.8).

78 Capítulo 3   Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann

3.4  Funciones armónicas

Si las segundas derivadas parciales de u y v respecto de x y y existen y son continuas en una región , entonces, de
acuerdo con (3.2), se encuentra que (vea el problema 3.6)

@2u þ @2u ¼ 0, @2v þ @2v ¼ 0 ( (3.3)
@x2 @y2 @x2 @y2

En estas condiciones se sigue que la parte real y la parte imaginaria de una función analítica satisfacen la ecuación
de Laplace, que se denota

@@@@2@22@2CxC2x2Cxþþþ@@@@2@22@2CyC2y2Cy¼¼¼000  o  rrr22CC2C¼¼¼000  donde rrr222;;;@@@@x@x2@22x22þ2þþ@@@@y@y2@22y2 22 (3.4)
se denominan funciones
Al operador 2 se le suele llamar laplaciano.
Funciones como u(x, y) y v (x, y) que satisfagan la ecuación de Laplace en una región

armónicas y se dice que son armónicas en .

3.5  Interpretación geométrica de la derivada

Sea z0 [figura 3-1] un punto P en el plano z y sea w0 [figura 3-2] su imagen P′ en el plano w mediante la transforma-
ción w = f (z). Como se supone que f (z) es unívoca, el punto z0 se lleva a un solo punto w0.

plano z     plano w
y u

Q′

Q w
0 + Δw = f (z0 + Δz)
z0 + Δz Δz
z0 P Δw =
f (z0 + Δz) – f (z0)

w0 = f (z0) P′

x u

Figura 3-1 Figura 3-2

Si se incrementa z0 en z se obtiene el punto Q de la figura 3-1. Este punto tiene como imagen Q′ en el plano w.
Por tanto, de acuerdo con la figura 3-2, se ve que P′Q′ representa el número complejo w = f (z0 + z) − f (z0). Se
sigue que la derivada en z0 (si existe) es

f ðz0 þ DzÞ � f ðz0Þ ¼ P0Q0 (3.5)
Dz PQ
Dz!0 Q!P

es decir, el límite del cociente de P′Q′ entre PQ cuando el punto Q tiende a P. Esta interpretación es sin duda válida
si z0 se sustituye por z.

3.7  Reglas de diferenciación  79

3.6   Diferenciales

Sea z = dz un incremento de z. Entonces

w = f (z + z) − f (z) (3.6)

es el incremento en w = f (z). Si f (z) es continua y tiene primera derivada continua en una región, entonces

w = f ′(z) z + e z = f ′(z)dz + edz (3.7)

donde e → 0 cuando z → 0. A la expresión

dw = f ′(z)dz (3.8)

se le conoce como diferencial de w o de f (z), o parte principal de w. Observe que, en general, w  dw. A dz se le
conoce como diferencial de z.

A partir de las definiciones (3.1) y (3.8), suele escribirse

dw ¼ f 0(z) ¼ f ðz þ DzÞ � f ðzÞ ¼ Dw (3.9)
dz Dz Dz!0 Dz
Dx!0

Se debe resaltar que dz y dw no son los límites de z y w cuando z → 0, pues estos límites son cero, mientras que
dz y dw no son necesariamente cero. En cambio, dado dz, se determina dw de acuerdo con (3.8), es decir, dw es una

variable dependiente determinada por la variable independiente dz para una z dada.
Es útil considerar a d/dz un operador que, cuando actúa sobre w = f (z), produce dw/dz = f ′(z).

3.7  Reglas de diferenciación

Suponga que f (z), g(z) y h(z) son funciones analíticas de z. Entonces son válidas las siguientes reglas de diferencia-
ción (idénticas a las del cálculo elemental).

1.111 ... ddd fffffffccfffffff(((((((zzzzzzz)))))))þ��þþgg ¼¼ggggg(((((cczzzzz)))))ddddgggggzz¼¼¼¼¼ff ((zzdddddddddddd))zzzzzz fff (((zzz))) þþþ ddd ggg(((zzz))) ¼¼¼ fff 0000(((zzz))) þþþ ggg0000((zzz))
2.22 ... dddzzz ff (((zzz))) ��� ddddddzzz ggg(((zzz))) ¼¼¼ fff 0000(((zzz))) ��� ggg0000((zz))
3.33 .. dd ddzz
ddddzz
ddzz ¼¼ ccff 0000(((zzz))) dwwwohhhneeedrrreee cccceiiisss uaaannnnayyyccccoooonnnnsssstatttaaannnntettt

4.444 ... ddd fff fff (((zzz)))ggg(((zzz)))ggg ¼¼¼ fff ðððzzzÞÞÞ ddd gggðððzzzÞÞÞ þþþ gggðððzzzÞÞÞ ddd fff ðððzzzÞÞÞ ¼¼¼ fff (((zzz)))ggg0000(((zzz))) þþþ ggg(((zzz)))fff 0000(((zzz)))
5.555 ... dddzzz dddzzz dddzzz ¼¼ gggðððzzzÞÞÞfff 0000ððzzz½½½gggÞÞÞ ððð��zzzÞÞÞ���fff2222ðððzzzÞÞÞggg0000
ddd ���fff (((zzz)))���
dddzzz ggg(((zzz))) ¼¼¼ gggðððzzzÞÞÞ(((ddd===dddzzz)))fff ðððzzz½½½gggÞÞÞ ððð���zzzÞÞÞ���fff2222ðððzzzÞÞÞ(((ddd===dddzzz)))gggðððzzzÞÞÞ ðððzzzÞÞÞ siiifffggg(z((zzz))))==0000

6.66 .. SIIIfffi www =¼¼ fff ((((zzzz ))))dwwonhhdeerreeezzzz =¼¼¼g(gggz((()zzz,)))enttthhhtoeeennnces

dw ¼ dw � dz ¼ f 0(z ) dz ¼ f 0fg(z)gg0(z) ( (3.10)
dz dz dz dz

De manera similar, si w = f (z ) donde z = g(h) y h = h(z), entonces

dw ¼ dw � dz � dh (3.11)
dz dz dh dz

Las expresiones en (3.10) y (3.11) se conocen como regla de la cadena para la diferenciación de funciones

complejas.
7. Si w = f (z) tiene una función inversa unívoca f −1, entonces z = f −1(w), y dw/dz y dz/dw se relacionan

mediante

dw ¼ 1 (3.12)
dz dz=dw

80 Capítulo 3   Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann

8. Si z = f (t) y w = g(t), donde t es un parámetro, entonces

dw ¼ dw=dt ¼ g0ðtÞ (3.13)
dz dz=dt f 0ðtÞ

Pueden formularse reglas semejantes para los diferenciales. Por ejemplo,

d{f (z) + g(z)} = df (z) + dg(z) = f ′(z) dz + g′(z) dz = {f ′(z) + g′(z)} dz

d{f (z)g(z)} = f (z)dg(z) + g(z)df (z) = {f (z)g′(z) + g(z)f ′(z)} dz

3.8  Derivadas de funciones elementales

En las fórmulas siguientes se supone que las funciones se definen como en el capítulo 2. En los casos de funciones
con ramas, es decir, en los casos de funciones multivaluadas, la ramificación de la función a la derecha se elige de
manera que coincida con la ramificación de la función a la izquierda. Observe que estas fórmulas son idénticas a las
del cálculo elemental.

11111172314286519350411111111111111111111111111111111111111111111111111111111...............767767766776667766767667679999999999999255555555555552121212221212212111211211334333443443443433443443888888888888800000000000002222222222222333333333333555555555555511111111111114444444444444679125438023514 ............................................................................................................................... dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz tttttttttttttssssssssssssccllclclllclccllclccssssssss(scesssctszzscsssstcaclscstssssssllttttlllccccccctctltlctttcc(zz(z((((zzzz((zz(((zz(eaaeeaaeeaaaaeeeaaeeaelcccccccccccccccccccccccctscllss(ztceaccaaaaaaaaaaaaaoooooooooaaoaooooaoaaaaooaaoaoaaoaoacccccccccccccceeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeennnnnnnnnnnnneeenzzzzzzzzzzzzzssssssssssoossoooooooooooooooooooooooooooooooooooozsooozzzzzzzzzznnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnngggggggggggggggggggg)))))))))))))gg)ccccccccccccccccnnnnnnnnnnnnnnnnnccnnncnnnnccnnssstsssssssssssssssssssssssttttttttttttsst¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼����������������������������eaeeaeaeaaeeaeaeaeeaaaeeaaae��������������¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼zzzzzzzzzzzzzzzzzzz¼zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz1111111111111111111111111111zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz11111111111111¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼eeeeeeeeeeeeeennnnnnnnnnnn¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼n¼aaaaaaaaaaaaaa¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz000000000000z0¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼nnnnnnnnnnnnn¼n¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ss�sssssssssss������������¼s�lllllllllllll����������ssssssssssss��s�s������������ccccccccccccc�c��������������nnnnnnnnnnnnnneeeeeeeeeeeeeeddddddddddddddeeeeeeeeeeeeeellllllllllllllooooooooooooooddddddddddddddooooooooooooooccccccccccccc1111111111111c1ccccccccccccccccccccccssssssssssssppppppppppppccccccccspzzzzzzzzzzzzz1111111111111aaaaaaaaaaaaapppppppppppppssssssssssssspsssssssssssssssgggggggggggggeeeeeeeeeeeeeessssssssssss2222222222222s2zzzzzzzzzzzzzzlllllllllllllzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzczzzzzccccccccccczcccccccccccccþþþþþþþþþþþþcþnnnnnnnnnnnnnnffiffi1ffi1ffiffiffi111ffi111ffiffi1ffiffi11ffi11ffi1aaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnzzzzzzzzzzzzzz11111ffiffi1ffiffi1ffi1111ffiffiffi1ffiffiffiffi1ffiffi1ffiffiffiffiffiffiffiffi111ttttttttttttt2222222222222t2��������������ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzz111111111111eeeeeeeee1eeeffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1effiaaaaaaaaaaaaaffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz��������������ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�������������zzzzzzzzzzzzz�zzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffinnnnnnnnnnnnncccccccccccccc11111111111111ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi22222222222222¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiooooooooooooooffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffitttttttttttttffitffiffiffiffiffiffiffiffi22222222222222ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi22222222222222ffiffiffiffiffiffiffiffi11111111111111ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 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ccccccccccccccssccscccccscsssssccsscsscscscsccsccccsscsccsssccsccsccssccscscssssssscscsscccccssscsssssssssssssssssssssssssssssscccccccccccccccccctccccttccttcctctcccctcttctcccccctcccctstsctccccccsctccccccccccccccttttttttttttttaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeoooooooooooooosssssssssssssoooooooooooooooooooooooooooossssssssssssssossooooosssssssossooosossoooosossosoooooooooooooooonnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnncccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnncccccccccccccccccccccttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttsssssssssssssstststsssssssssssssshhhhhhhhhhhhhh���������������hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh�����������������hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh���������������������������������������111111111111111������������������11111111111111111���������������zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz111111111111111111111111111111111111111111111111111111111zzzzzzzzzzzzzzz111111111111111zzzzzzzzzzzzzzz¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼��������������sssssssssssssss�sssssssssssssssccccccccccccccc�����������������������eeeeeeeeeeeeeee111111111111111eeeeeeeeeeeeezzzzzzzzzzzzzzeezzzzzzzzzooooooooooooooocccccccccccccccccccccccpppppppppppppppppppppppppppppppppppppnnnnnnnnnnnnnnnccscccssccsscscssssccccssssccs11111111111111111111111zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzppppppppppppppp���������������sssssssssssssssþþþþþþþþþþþþþþþssssssssssssssshhhhhhhhhhhhhhheeeeeeeeeeeeeeepppppppppppppppppppppppssssssssssssssshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhccccccccccccccc�������������������������������������zzffiffiffizffiffizzffiffiffiffizzffizffizzzzzffiffiffizffiz1ffiffiffi11111ffiffiffiffi111ffiffiffi11ffi11ffiffi1ffiffi1zffiffizffiffiffiffizzzzzffizfficccccccccccccccccccccc222222222222222111111111111111ffiffiffizzzffiffiffiffiffizffizzffizffiffizffiffizzzzzzffizffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1111111111111111111111hhhhhhhhhhhhhhhzzzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzz111111111111112222222222222212222222222ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh����������������������ffi1ffi1ffizffiffi1z1zzffiffi1zffiz1ffizffiffiffi1ffiz1ffizffizffi1ffiffiffi1ffiffi11zz1z1zffi1zffi222222222222222111111111111111ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiþþþþþþþþþþþþþþþ111111111111111111111111111111ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi222222222222222222222222222222ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi222222222222222ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi����������������������ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi���������������ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi���������������zzzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi11111111111111111111111zzzzzzzzzzzzzzz222222222222222222222222ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiþþþþþþþþþþþþþþþffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffifficctctttctcccctttctcttcttcctctcffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1111111111111111111111ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi222222222222222aaaaaaaaaaaaaaa111111111111111ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizzzzzzzzzzzzzzzffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffioooooooooooooooffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi222222222222222tttttttttttttttffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffihhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

3.11  Puntos singulares  81

3.9  Derivadas de orden superior

Si w = f (z) es analítica en una región, su derivada está dada por f ′(z), w′ o dw/dz. Si f ′(z) también es analítica en
esa región, su derivada se denota f ′′(z), w′′ o (d/dz)(dw/dz) = d 2w/dz2. De manera similar, la n-ésima derivada de
f (z), sí existe, se denota f (n)(z), w(n) o d nw/dzn, donde n se conoce como el orden de la derivada. Así, las derivadas
de primero, segundo, tercer,. . . orden se denotan, respectivamente, f ′(z), f ′′(z), f ′′′(z), . . . . Estas derivadas de orden
superior se calculan mediante aplicaciones sucesivas de las reglas de diferenciación dadas antes.

Uno de los teoremas más importantes, válido para funciones de una variable compleja y no necesariamente válido
para funciones de una variable real, es el siguiente:

Teorema 3.1.  S uponga que f (z) es analítica en una región . Entonces, también f ′(z), f ′′(z),… son analíticas en
, es decir, en existen todas las derivadas de orden superior.

En el capítulo 5 se comprueba este importante teorema.

3.10  Regla de L’Hopital

Sean f (z) y g(z) analíticas en una región que contenga al punto z0 y suponga que f (z0) = g(z0) = 0 pero g′(z0)  0.
Así, la regla de L’Hopital establece que
gf 00ððzz00ÞÞ
z!z0 f ðzÞ ¼ (3.14)
gðzÞ

En el caso de f ′(z0) = g′(z0) = 0, la regla puede ampliarse. Vea los problemas 3.21 a 3.24.
Suele decirse que el lado izquierdo de la expresión en (3.14) tiene la “forma indeterminada” 0/0, pero tal termi-

nología suele generar confusión porque en general no hay nada indeterminado. Los límites representados por las lla-
madas formas indeterminadas ∞/∞, 0 · ∞, ∞°, 0°, 1∞ y ∞ − ∞ suelen evaluarse mediante modificaciones apropiadas
de la regla de L’Hopital.

3.11  Puntos singulares

Un punto en el que f (z) no sea analítica se llama punto singular o singularidad de f (z). Existen varios tipos de sin-
gularidades.

1. Singularidades aisladas. El punto z = z0 es una singularidad aislada o un punto singular aislado de f (z)
si es posible hallar un d > 0 tal que el círculo |z − z0| = d no contenga ningún otro punto singular distinto
de z0 (es decir, si existe una vecindad agujerada d de z0 que no contenga ninguna singularidad). Si no es
posible hallar un d con estas características, se dice que z0 es una singularidad no aislada.
Si z0 no es un punto singular y es posible hallar un d > 0 tal que |z − z0| = d no contenga ningún punto
singular, entonces z0 es un punto ordinario de f (z).
2. Polos. Si z0 es una singularidad aislada y es posible hallar un entero positivo n tal que límz→z0 (z − z0)nf (z)
= A  0, entonces z = z0 es un polo de orden n. Si n = 1, z0 es un polo simple.

Ejemplo 3.1

a)  f (z) = 1/(z − 2)3 tiene un polo de orden 3 en z = 2.
b)  f (z) = (3z − 2)/(z − 1)2(z + 1)(z − 4) tiene un polo de orden 2 en z = 1, y polos simples en z = −1 y z

= 4.

Si g(z) = (z − z0)nf (z), donde f (z0)  0 y n es un entero positivo, entonces a z = z0 se le llama cero
de orden n de g(z). Si n = 1, z0 se llama cero simple. En tal caso, z0 es un polo de orden n de la función
1/g(z).

3. Los puntos de ramificación de funciones multivaluadas, ya vistos en el capítulo 2, son puntos singulares
no aislados, pues una función multivaluada no es continua y, por tanto, no es analítica en una vecindad
agujerada de un punto de ramificación.

82 Capítulo 3   Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann

Ejemplo 3.2

a)  f (z) = (z − 3)1/2 tiene un punto de ramificación en z = 3.
b)  f (z) = ln/(z2 + z − 2) tiene puntos de ramificación donde z2 + z − 2 = 0, es decir, en z = 1 y z = −2.

4. Singularidades removibles. Un punto singular aislado z0 es una singularidad removible de f (z) si límz→z0
f (z) existe. Al definir f (z0) = límz→z0 f (z) se muestra que f (z) no sólo es continua en z0, sino también ana-

lítica en z0.

Ejemplo 3.3  El punto singular z = 0 es una singularidad removible de f (z) = sen z/z, pues
límz→0 (sen z/z) = 1.

5. Singularidades esenciales. A una singularidad aislada que no es un polo o una singularidad removible se

le llama singularidad esencial.

Ejemplo 3.4  f (z) = e1/(z−2) tiene una singularidad esencial en z = 2.

Si una función tiene una singularidad aislada, esa singularidad es removible, es un polo o es una sin-
gularidad esencial. A esto se debe que a los polos se les suela llamar singularidades no esenciales. De
manera equivalente, z = z0 es una singularidad esencial si no es posible hallar un entero positivo n tal que
límz→z0 (z − z0)nf (z) = A  0.
6. Singularidades al infinito. El tipo de singularidad de f (z) en z = ∞ [el punto al infinito; vea las páginas 7
y 47] es el mismo que el de f (1/w) en w = 0.

Ejemplo 3.5  La función f (z) = z3 tiene un polo de orden 3 en z = ∞, pues f (1/w) = 1/w3 tiene un polo de

orden 3 en w = 0.

En el capítulo 6 se presentan métodos para clasificar singularidades con series infinitas.

3.12  Familias ortogonales

Sea w = f (z) = u(x, y) + iv (x, y) una función analítica, y f ′(z)  0. Entonces, las familias de curvas de un parámetro

u(x, y) = a ,  v (x, y) = b (3.15)

donde a y b son constantes, son ortogonales, es decir, en el punto de intersección cada miembro de una familia
[líneas continuas de la figura 3-3] es perpendicular a cada miembro de la otra familia [líneas punteadas de la figura
3-3]. Las correspondientes curvas imagen en el plano w, que son líneas paralelas a los ejes u y v, forman también
familias ortogonales [vea la figura 3-4].

plano z plano w
y u

xu

Figura 3-3 Figura 3-4

En vista de esto, puede pensarse que si la función de llevado f (z) es analítica y f ′(z)  0, entonces el ángulo entre
cualesquiera dos curvas C1 y C2 que se intersequen en el plano z será igual (en magnitud y en sentido) al ángulo
entre las correspondientes curvas imagen C′1 y C′2 que se intersequen en el plano w. Esta conjetura es correcta y lleva

3.14  Aplicaciones en geometría y mecánica  83

al tema de las transformaciones conformes, tema de tanta importancia, desde el punto de vista teórico y de sus apli-
caciones, que dos capítulos de este libro (8 y 9) abordan este tema.

3.13  Curvas

Suponga que f (t) y c(t) son funciones reales de la variable real t, que se supone continua en t1 ≤ t ≤ t2. Así, las
ecuaciones paramétricas

z ¼ x þ iy ¼ f(t) þ ic(t) ¼ z(t), t1 � t � t2 (3.16)

definen una curva continua o arco en el plano z, que une los puntos a = z(t1) y b = z(t2) [vea la figura 3-5].
Si t1  t2 pero z(t1) = z(t2), es decir, a = b, los puntos terminales coinciden y se dice que la curva es cerrada. Una

curva cerrada que en ninguna parte se interseque consigo misma se llama curva cerrada simple. Por ejemplo, la curva

de la figura 3-6 es una curva cerrada simple, mientras que la de la figura 3-7 no lo es.
Si f(t) y c(t) [y por ende z(t)] tienen derivadas continuas en t1 ≤ t ≤ t2, se dice que la curva es una curva suave

o un arco suave. A una curva compuesta de una cantidad infinita de arcos suaves se le llama curva suave a trozos o

contorno. Por ejemplo, el borde de un cuadrado es una curva suave a trozos o contorno.

y    y    y

b
a

xx x

Figura 3-5 Figura 3-6 Figura 3-7

A menos que se especifique otra cosa, siempre que se hable de una curva simple cerrada se supondrá que es una
curva suave a trozos.

3.14  Aplicaciones en geometría y mecánica

A z(t) se le puede considerar un vector posición cuyo punto y

terminal describe una curva C, en un determinado sentido o P Δz = z(t + Δt) − z(t)
dirección a medida que t varía de t1 a t2. Si z(t) y z(t + t) Q
representan los vectores posición de los puntos P y Q, respec-

tivamente, entonces

Dz ¼ z(t þ Dt) � z(t) z(t)
Dt Dt
z(t + Δt) C
es un vector en dirección de Δz [figura 3-8]. Si lím t→0 z/ t Figura 3-8 x
= dz/dt existe, este límite es un vector en dirección de la tan-
gente a C en el punto P y está dado por

dz ¼ dx þ i dy
dt dt dt

84 Capítulo 3   Diferenciación compleja y ecuaciones de CauPcrhoy-bRleiemmaasnrnesueltos  85

Si t es3ti. empRo,odtoz/r.dCt orenplraesdeenftianilcaióvneldoecipdraodduccotnoqcuruezedl eexdtoresmnoúmdeerlovseccotomr pploesjoicsió(pnádgeinscar7ib)e, ellarcoutorvrad.eDuenma faunnecraión
similar, d 2z/dcot 2mrepplerejasesnetadesfuinaecceolemraoceiól nveacltoorlargo de la curva.
� @P�
r�A ¼ 0, 0, @Q � @y
@x

L3o. s1o5p er adOoproeerstorgao(nndaablolaarl)peylajs rno o(tdnxAai-fyjbl¼eyardbjeraermn�raacg)Ansijaeit¼udldejefIimnsefnrccAoognjm¼pl����eImj�o�s@@x � i @� þ iQ)�����
@y (P
@ @@y¼¼����@@2Qx@@�z� , ¼;����@2@xI�m�i @@@@Byz �¼���� @
r ; @x þ i @@Pyr���� 2 @z (3.(137.2)1)

donde la equivalencia en términos de las coordenadas conjugadas z y z (página 7) se deriva del problema 3.32.
4. Laplaciano. El operador laplaciano se define como el producto punto o producto escalar de consigo

mismo, es decir, @ ��
divre� rrg;ern2c;iaR,erfrortgo¼rRye��l@a@xp�lia@@cy�ia�@n@xoþ @y
3. 16  Gradiente, i

El operador permite definir las oypyer(aucnioensceaslsairg),umieinetnets¼r.aEs@n@qx2u2toeþdAo@(s@xy2l,2oys¼) c=a4s@Po@z(s@2x,z�,Fy()x+, y)iQse(xc,oy n)seisdeurnaacfoumncoióunnacofumnpc(li3eó.jn2a2)
real continua y diferenciable de x

conEtinnutéarmy idniOofesbrsdeenercvcieoaboqlruedeedsneiaAxdayessycao(nunanjluítvgiecacadt,aosr,2).A = 0, de manera que 2P = 0 y 2Q = 0, es decir, P y Q son armónicas.
Algunas identFi(dFx,a(xyd,) y¼e) s¼F�rFz�eþ2zlþz�2a,cz� ,2�izoi 2�z�n�i z�a�¼d¼Ga(Gsz,(z�c,) oz�) nanyaden  dlAg(Axr,(xya,) yd¼)i¼eB(nBz,t(z�e), z,�)
la1. divGerradgieennte.cEilagryadeielnterdoe utnoa rfunción real F (un escalar) se define como

Suponga que A1, A2 y A son funcionesgdraifderFen¼ciarblFes¼. E@@nFxtoþncei s@@Fyse¼tie2n@e@nGz� l as identidades siguientes: (3.18)

1. Gegormadé(tAri1caþmAen2)te¼, sigraFdA10þ, engtroandceAs2 F representa un vector normal a la curva F(x, y) = c, en donde c
2. esduinva(Ac1onþstAan2t)e (¼veadievl pAr1oþbledmiva A3.233).
3. roDte(Am1aþnerAa2s)im¼ilarro,telAg1rþadireontteA2de una función compleja A = P + iQ (un vector) se define como
4. grad(A1A2)
5. jrot grad Aj ¼ (00A1)ss(giigrAAraaddeessAAir2me)¼aalþgori,(nAgdarre¼aiadm�oaA,n@1@dxe)er(þaAmm2ia)@án@yse�rga(ePmneþársalig,Qes)ni eIrmal{,As}i es armónica.
6. div grad A ¼ Re{A} es armónica.
¼
Pr¼o@@bPx l�e@@mQy þasi�r@@Pyeþs@u@Qxe�l¼to2 @s@Bz�
(3.19)

DerivaEdnapsarticular, si B es una función analítica de z, entonces @B=@z� ¼ 0 y por tanto el gradiente es cero, es

3.1.  decir, @P=@x ¼ @Q=@y, @P=@y ¼ �(@Q=@x), lo que muestra que, en este caso, se satisfacen las ecuaciones
CdeonClaaudcehfyin-Riciieómn,anennc. uentre la derivada de w ¼ f (z) ¼ z3 � 2z en el punto en el que a) z = z0, b) z = −1.

2. SDdeoivlloeursgcoeipnóecrniaad.oCreosn, la definición de producto punto de dos números complejos (página 7) extendida al caso
la divergencia de una función compleja (un vector) se define como

a)  De acuerdo con la definición, la ¼¼þ3dze20D@Rr@DDiPzxvez)zafþ�drafA3@@e(zQgyzn00(¼)z¼D¼=zR)22Dzelz0þíR�!me�e0(s�DD@(@z@zxz@0)Bz3�þ��iD2@z@yz)03���(P22D(þzz0Di�þQz )zD�03zþ ) �2zf0z30

f div A ¼r f�(Az0 � 2z0g

0(z0) ¼ lím
Dz!0

¼ lím z03 þ (3.20)

Dz!0

De manera semejante so¼erdeDleazí!fmlin(0ve3ezlca02tþodriv3oez0regDsecznaþclai(arD)dzee)s2us�niea2mf¼upnre3cziuó20nn�ar2efuanl.cHióanyrqeuael observar que la divergencia de
una función compleja (escalar).

En general, f 0(z) ¼ 3z2 � 2 para toda z.
b)  De acuerdo con el inciso a), o directamente, se encuentra que si z0 = −1, entonces f 0(�1) ¼ 3(�1)2 � 2 ¼ 1..