336 Capítulo 10 Temas especiales
Pero estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones en (1), porque
@@((��@@(V(y��1))Vy¼1)) @¼@Vy1@@V,y1@,(�@@x(V�@1x)V¼1) �¼ @�@Vx1@@Vx1 y @@(�U@@(1y�U) ¼1y) �¼ @�@Uy@1@Uy1
De donde se sigue el resultado buscado.
Productos infinitos P Q
10.8. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para qi.uee., Q1¼ j j converja es quIef P jwkj límP
converja. (1 þ jwk j), converges [i.e., if
k¼1 Q (1 þ wk)
Solución Pn [i.e.,
If Sn ¼ jwkj,
k¼1
i.ie.e.,.,QPQPk1¼k1¼¼1¼1(Ij1(PfIj1PfþnSSNdþnSjn¼ueiejnj¼.cfw¼cjeiSiw¼c(e.rki,1(ei,skjP1e.)QijPPþ,nd,)þ,knQcaPk1kk1∞¼nkji¼d=¼¼w¼ja¼11kPw1.111¼.1j¼S(nw1jjSI1j1)wjfi¼ki(()Ijþ11k(jSfx,1jjncYnk,þþS>j¼oþnw¼jn1njjk0kww¼v(jjPw1,e)2k,re2jPjþg)kn)knjnc¼,)¼e�otnkj1�o,1w¼n�njPv1wk�(cejn1(jek)kw1rjsegþ¼,kþse1js,.jeu(wj+1wntniaþnjex)jns)≤j�euw�c1e1ejx1s),þi(þdó1enjþwjmwm1j1jawojnþn2þejórj)watj�ow2�qn2j�uaj(þem1þ�eþ�n�tj�ewþþncjjrw)jew�ncnjiej¼en¼jwte111jeþaþjcwoS2SjtnPa�n�d�n��a¼e1yj1w,(n1jp¼oþr etjjawwn11jtþjo)j,(w12tijþþen���eþjwjuw2nnjj)l�ím� �i(t1e,þesjwQwkn(jfz)1)�,þk1w¼Qþk(1fjzw1,R)g12þ,j, þj3ww,jkk.w((
Si plíomr nt→an∞toP,ntPeiexnnPni¼snetie¼u.(i,en.1e.e(,.lþs1,íQPmdQþPjew1kict¼1kj¼e1¼1wi1¼jr,1),1(eI(j1(sfI1sj)1if(þSdþe1þSjnlejnþjcpjw¼jwiw¼rrkjo2,2wkjPdj)jP)2,)u,j�knc)k∞¼kn�=t¼��1o1�1(j�1iwjn(wþ1kfkijn,þjcj,iwotjonnnwvjc)neoj�r)ngv�e1e.rþ1geþj,wSj11wnj1eþjsþujwnj2a2wjs2þuj cþ�e�s��i�óþ�nþjmwjnonwjnn¼ój t¼o1nþ1amþSennSn�nte�1cr1eciente acotada
y,
10.9. D emuestre que Q1 � z2 �PPnn¼¼(1(1þþjwjw11j)j()1(1þþjwjw22j)j)� � � �(1(1þþjwjwnnj)j)��11þþjwjw11j jþþjwjw22j jþþ� � � �þþjwjwnnj j¼¼11þþSSnn��11
1 converge.
� k2
k¼1
Solución
LetSweak ¼wk�=(z−2=(kz22)/.kT2)h.eAnsjíw, k|wj ¼k| =jzj2|=z2k|2/ka2ndy P jwkj ¼ jzj2 P 1=k2 converge. Por tanto, de acuerdo con el problema
10.8, el producto infinito es absolutamente convergente, por lo que es convergente.
10.10. Demuestre que sen z ¼ � � z2 �� � z2 �� � z2 � � � � ¼ z Y1 � � z2 �
z1 p2 1 4p2 1 9p2 1 .
k¼1 k2p2
Solución
De acuerdo con el problema 7.35, página 233, se tiene
PorTTthahneentno,,sseennzz¼¼zzð0Ykzð0Yk1¼z1�¼�11c�c�oo1t1tt�t���kk12tz12tzp�2p�22d2d�t�t.¼¼.¼¼XlkXlnk1¼n1¼�1�1slselnetnn�tn�t1�t1�����������0zz0¼k¼k2z2lzp2lnp2n2�2���sse¼ezn¼znzl�zln�nYk¼Yk¼1¼1¼1ð01zð0�z���11tt2�2��2�2ktk2tpz2pzp2p22222þ�þ�tt22��22t4t4pp22þþ��������ddtt
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Problemas resueltos 337
La función gamma
10.11. C on la definición 10.4, página 321, demuestre que G(z þ 1) ¼ zG(z).
Solución
Se integra por partes, si Re{z} > 0, y se tiene tzeze��t tddtt¼¼MlMí!lmí!m11<8:8:<(t(zt)z()�(�ee��t)t�����)M�����0M��MðMð0(z(ztzt�z�11)()�(�ee��t)t)ddt9=;t=;9
1ð Mð
G(z þ 1) ¼1ð lím Mð
G(z þ 1) ¼ t tzeze��t tddtt¼¼ lMím!1 t
0 M!1 0
00
0 1ð 0
¼ z1ð
¼z tzt�z�11ee��t tddtt¼¼zzGG(z(z))
0
0
10.12. Demuestre queGG((mm))¼¼221ð1ðxx22mm��11ee��x2x2ddxx,,mm..00..
0
0
Solución
Si tI=f tx¼2, xs2e,twieenehave
1ð 1ð 1ð
G(m) ¼ tm�1e�t dt ¼ (x2)m�1e�x2 2x dx ¼ 2 x2m�1e�x2 dx
00 0
Este resultado también es válido si Re{m} > 0.
10.13. Demuestre que G(z)G(1 � z) ¼ senppz.
Solución
Primero se demuestra esta igualdad para valores reales de z tales que 0 < z < 1. Mediante prolongación analítica,
la igualdad se extiende a otros valores de z.
De acuerdo con el problema 10.12, para 0 < m < 1 se tiene
8 1ð 98 1ð 9
< =< =
G(m)G(1 � m) ¼ :2 x2m�1e�x2 dx;:2 y1�2me�y2 dy;
00
1ð 1ð
¼ 4 x2m�1y1�2me�(x2þy2)dx dy
00
En términos de coordenadas polares (r, u) con x = r cos u, y = r sen u, esto se convierte en
pð=2 1ð u)(re�r2 ) ðp=2 p
4 sen mp
(tan1�2m dr du ¼ 2 0 tan1�2m u du ¼
u¼0 r¼0
con el problema 7.20, página 223, con x = tan2 u y p = 1 – m.
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338 Capítulo 10 Temas especiales
10.14. D emuestre que G�21� ¼ 2 Ð1 e�u2 du ¼ pffipffiffi.
0
Solución
De acuerdo con el problema 10.12, con m = 1 se tiene
2
G�12� ¼ 2 ð1 e�x2 dx
0
De acuerdo con el problema 10.13, con z = 1 se tiene
2
��GG��1212����22¼¼pp ooorr GG��2112��¼¼ppffipffipffiffi
�G�21��2¼ pporoqrue G�21� >¼ 0p. ffipPffiffior tanto, se llega al resultado buscado.
Otro método. Al igua�lGq�u21�e���e2GGn¼¼��21e21�l�4<:8��p2ð22rupo¼¼¼¼1ð¼0=b20el4<:848<:eð�ðmr21ðx2¼2pupa1ð0d0=1ð¼0=2xe210ee9=;�ð�0ð�r1.xr8<:1x212¼r2d3d20dx,exer1ð=9;0�=9;�dre8:<r2u8<:2r�r2yd¼2d2r1ðd0r1ð0dpydee9;=u�u�y¼y¼2¼2ddpypy49=;;9=ð10 ¼1¼ð0 e44�ð10(ð10x21ð01ðþ0 eye2��) (d(xx2x2þþdyy2y2))ddxxddyy
u¼0 r¼0
¼GG�p�2121��ffipffiffi¼¼.
de donde G�21� pffipffiffi. muestreG�q�ue21G�G�¼����2121��2¼¼p�ffip�ffiffi.22ppffipffipffiffiffiffi..
pffipffiffi.
10.15. M ediante la prolongación analítica,
Solución
Si Re{z} > 0, Γ(z) se define mediante la ecuación (10.4), página 321, pero para Re{z} ≤ 0 no puede emplearse
esta definición. Sin embargo, con la fórmula de recursión Γ(z + 1) = zΓ(z), válida para Re{z} > 0, sí se extiende
Re{z} ≤ 0, es decir, proporciona
la definición para z¼z ¼¼z�¼��12 2121�einn12iinΓni(GnzG(Gz+((Gþzz1(þþz1) )þ1=1¼))1¼z¼)zΓG¼z(zG(zGz)z()(Gz,zy))(,,zs)e, eunncaupernotrloaGnG�Gg12��aG1212c�¼��i21¼ó¼��n¼��12aGn1221��GaG�l21��íG�t�12i��c2112��a� 21op�raoorrr aoGre�GGl��s�G�e�21��m2112��¼�ip12¼¼�l�a¼�n�2op22�pippffiz2ffiffiqpffippffiffiffiuffi,pffiiffiefficrodno.el pro-
Se sustituye z
blema 10.14.
10.16. a ) Demuestre qGuG(Gez(()Gzz)¼()z¼¼)z¼(zz((zþzz(þþz1Gþ)11G((G))zz1((((Gzzþþzz)((þþþþzzn2þþ)2n2nþ�))þ2nþ���1�)�þ�)1(�1��z)�()(1z�þz)(þþznþ)nn.))n.. ).
b) Con el inciso a) muestre que Γ(z) es una función analítica, salvo por los polos simples en el semiplano
izquierdo en z = 0, −1, −2, −3,
. . . .
Solución
a) Se tiene Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(z + 2) = (z + 1)Γ(z + 1) = (z + 1)zΓ(z), Γ(z + 3) = (z + 2)Γ(z + 2) = (z + 2)
(z + 1)zΓ(z) y, en general, Γ(z + n + 1) = (z + n)(z + n − 1) . . . (z + 2)(z + 1)zΓ(z), de donde se obtiene el
resultado buscado.
b) Se sabe que Γ(z) es analítica para Re{z} > 0, de acuerdo con la definición (10.4), página 321. Además, de
acuerdo con el resultado del inciso a), es claro que Γ(z) está definida y es analítica para Re{z} ≥ −n salvo
por los polos simples en z = 0, −1, −2, . . . , −n. Como así sucede con todo entero positivo n, se obtiene el
resultado buscado.
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Problemas resueltos 339
10.17. Con el teorema de factorización de Weierstrass para productos infinitos [ecuación (10.2), página 321] obtenga
el producto infinito para la función gamma [propiedad 2, página 327].
Solución
Sea f (z) = 1/Γ(z + 1). Así, f (z) es analítica en todas partes y tiene ceros simples en z = −1, −2, −3, . . . . De
acuerdo con el teorema de factorización de Weierstrass se encuentra
1 1) ¼ e f 0(0)z Y1 � þ z �
G(z þ 1 k e�z=k
k¼1
f 0(0), let z ¼ 1. G(2) ¼ 1,
Para determinar f ′(0), sea z = 1. Así, como Γ(2) = 1, se tiene
1 ¼ e f 0(0) Y1 � þ 1�e�1=k ¼ e f 0(0) lím YM � þ 1�e�1=k
1 1
k¼1 k M!1 k¼1 k
Se toman logaritmos y se ve que
f 0(0) ¼ lím �1 þ 1 þ 1 þ � � � þ 1 � �� þ 1��1 þ 1� � � � � þ 1 ���
ln 1 1
M!1 1 2 3 M 12 M
¼ lím � þ 1 þ 1 þ � �� þ 1 �
1 � ln M ¼ g
M!1 23 M
donde g es la constante de Euler. Por tanto, el resultado buscado se obtiene al observar que Γ(z + 1) = zΓ(z).
La función beta
10.18. D emuestre que B(m, n) = B(n, m).
Solución
Con t = 1 – u,
ð1ð1 ð1ð1
BB((mm,, nn)) ¼¼ ttmm��11((11��tt))nn��11ddtt ¼¼ ((11��uu))mm��11uunn��11dduu ¼¼ BB((nn,, mm))
00 00
ppðð==22 ppðð==22
10.19. Demuestre que B(m, n) ¼¼ 22 sseenn22mm��11uu ccooss22nn��11uu dduu ¼¼ 22 ccooss22mm��11uu sseenn22nn��11uu dduu..
00 00
Solución
Sea t =t s¼ens2eun2. uE.ntonces,
ð1 pð=2
B(m, n) ¼ tm�1(1 � t)n�1 dt ¼ (sen2 u)m�1(cos2 u)n�12 sen u cos u du
00
pð=2 pð=2
¼ 2 sen2m�1u cos2n�1u du ¼ 2 cos2m�1u sen2n�1u du
00
de acuerdo con el problema 10.18.
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340 Capítulo 10 Temas especiales
ð1 G(m)G(n)
10.20. D emuestre que B(m, n) ¼ tm�1(1 � t)n�1 dt ¼ G(m þ .
n)
Solución
0
De acuerdo con el problema 10.12, al transformar a coordenadas polares se tiene
8 98 9
< 1ð =< 1ð = 1ð ð1 x2m�1y2n�1e�(x2þy2) dx dy
G(m)G(n) ¼ :2 x2m�1e�x2 dx;:2 y2n�1e�y2 dy; ¼ 4
00 00
pð=2 1ð
¼ 4 (cos2m�1u sen2n�1u)(r2mþ2n�1e�r2 ) dr du
u¼0 r¼0
8 pð=2 =98<1ð 9
< =
¼ :2 cos2m�1u sen2n�1u du;: r2(mþn)�1e�r2 dr; ¼ B(m, n)G(m þ n)
00
donde se emplearon los problemas 10.19 y 10.12 con la sustitución de r por t y m + n por m. A partir de esto se
llega al resultado buscado.
ð2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pð=2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x(2 � x) tan u
10.21. Resuelva a) dx,y b) du.
0 0
Solución
a) Con x = 2t, la integð1rapl sffiffieffiffiffifficffiffioffiffinffiffiffivffiffiiffiffierte en ð1
4ð1t(p1 ffi�ffiffiffiffiffitffi)ffiffi2ffiffiffidffiffitffiffiffi¼ 4 t1=2ð1(1 � t)1=2
dt ¼ 4B(3=2, 3=2)
0 4t(1 � t)2 dt 0¼ 4 t1=2(1 � t)1=2 dt ¼ 4B(3=2, 3=2)
0 G¼(34=G02()3G=)(G32=)(G32)()3¼=24)�¼12p4ffip�ffiffi212�p�21ffippffiffi2�ffip�ffiffi21�p¼ffipffiffip�2 ¼
¼ 4 p
2
b) 10.1p3ð0=,21p0pð0ffit.=ffi1affi2ffin9ffipffiffiuffiyffitffiffiadffi1ffinffiu0ffiffiuffi.ffi¼¼2d0u21p.ðG0=¼¼2�s43�e21pðGG0n=12��=14s342��euGn¼1c�=o14221�su�s¼ce1=on221s(pup�se1d==n4u2(p)up¼¼d=4u21pB)¼p¼2�342ffi,21ffipB41p�2�43ffi2,ffi 1�
con
4
los problemas rffiffiffi
2
ð4 64 p �G�41��2.
21
10.22. Muestre que y3=2(16 � y2)1=2 dy ¼
0
Solución
Sea y2 = 16t, es decir, y = 4t1/2, dy = 2t −1/2 dt. Así, la integral se convierte en
ð1 ð1
f8t3=4gf4(1 � t)1=2gf2t�1=2 dtg ¼ 64 t1=4(1 � t)1=2 dt
00 64GG��451�41G� �23� 64�14�74G� �3414G���4321��G�12�
¼ 64B�45, 3� ¼ ¼
2
¼¼p1p282ffi2ffip1[ppffiffirffioGGbl��e4314m�� ¼a 1102.821p13]pffi.ffiffi G��G14��41G���432� ¼ rffiffiffi �G�14��2
64 2
21 p
al aprovechar que G�41�G�34� ¼ p=[sen(p=4)]
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Problemas resueltos 341
Ecuaciones diferenciales
10.23. D etermine los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes y especifique si son regulares o
irregulares. YYYYY0000000þ0þ0þþþ1z1z1z1z1YzYYYY000þ0þ0þþþ�����zzz2z2z222�z�z�z2�z2�z22n2nn2nn22�2�2���YYYYY¼¼¼¼¼00000
a) zzz2z2z2Y2Y2YYY0000000þ0þ0þþþzzzYzYzYYY000þ0þ0þþþ(((zz(z(2z2z222�����nnn2nn22)2)2)YY)Y)YY¼¼¼¼¼00000 oooroorrrr
b) (((zz(z(z�z����111)11))44)4)Y4Y4YYY0000000þ0þ0þþþ222(22((zz(z(z�z����111)11))33)3)Y3Y3YYY000þ0þ0þþþYYYYY¼¼¼¼¼00000 ooorooorrr r YYYYY0000000þ0þ0þþþzzzz�z�2�22��2211111YYYYY000þ0þ0þþþ(((zz(z(z�z��1�1�111111)11))44)4)4Y4YYYY¼¼¼¼¼00000
c) zzz2z2z2(2(2(11(1(11�����zzz)z)z)YY)Y)YY0000000þ0þ0þþþYYYYY000�0�0���YYYYY¼¼¼¼¼00000 oooroorr rr YYYYY0000000þ0þ0þþþzzz2z2z2(2(2(11(1(11111��1�1��zzz)z)z)Y))YYYY000�0�0���zzz2z2z2(2(2(11(1(11111��1�1��zzz)z)z)Y))YYYY¼¼¼¼¼00000
Solución
a) z = 0 es un punto singular. Como z(1/z) = 1 y z2{(z2 − n2)/z2} = z2 − n2 son analíticas en z = 0, éste es un
punto singular regular.
b) En el punto singular z = 1, (z − 1){2/(z − 1)} = 2 es analítica pero (z − 1)2 ⋅ {1/(z − 1)4} = {1/(z − 1)2}
no es analítica. Por tanto, z = 1 es un punto singular irregular.
c) En el punto singular z = 0,
z�zz�2(z121(�11�z)�z)¼� ¼z(1z1(�1 1 y z2�z2z�2(z1�2(�11��z1)�z)¼� ¼1��11��z1 z
�z) z)
no son analíticas. Por tanto, z = 0 es un punto singular irregular.
En el punto singular z = 1,
(z �(z �1) 1� )��z�2(z121(�11�z)�z)¼� ¼�z21�z21 y (z �(z �1)21�)2z�2(z1�2(1�1�1�z)�z)¼� ¼z �zz2 �1 1
z2
son analíticas. Por tanto, z = 1 es un punto singular regular.
10.24. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial de Bessel
z2Y00 þ zY0 þ (z2 � n2)Y ¼ 0
donde n 0, 1, 2, . . . .
Solución
El punto z= 0 es un punto singular regular. Por tanto, existe una solución serie de la forma Y ¼ P1 ak zkþc,
donde ak =0 para k = −1, −2, −3, . . . . Mediante diferenciación, al omitir los límites
k¼�1
de la sumatoria, se tiene
YYY000 ¼¼¼ XXX (((kkk þþþ ccc)))aaakkkzzzkkkþþþccc���111,,, YYY000000 ¼¼¼ XXX (((kkk þþþ ccc)))(((kkk þþþ ccc ��� 111)))aaakkkzzzkkkþþþccc���222
Así, (((zzz222 ��� zzz222YYY000000 ¼¼¼ XXX a(a(a(kkkkkkzzzþþþkkkþþþccccccþ)þþ))(((222kkk���þþþXXXccc ���nnn111222)))aaaaaakkkkkkzzzzzzkkkkkkþþþþþþcccccc,,¼,¼¼ XXXzzzYYY000 aaa¼¼¼kkk���XXX222zzzkkkþþþ(((cckckk���þþþXXXccc)))aaakkknnnzzz222kkkaaþaþþkkkccczzzkkkþþþccc
Se suma, nnn222)))YYY ¼¼¼ XXX
zzz222YYY000000 þþþ zzzYYY000 þþþ (((zzz222 ��� nnn222)))YYY ¼¼¼ XXXfff[[[(((kkk þþþ ccc)))222 ��� nnn222]]]aaakkk þþþ aaakkk���222gggzzzkkkþþþccc ¼¼¼ 000
de donde se obtiene
[(k þ c)2 � n2]ak þ ak�2 ¼ 0 (1)
Si k = 0, (c2 – n2)a0 = 0, y si a0 0, se obtiene la ecuación característica c2 – n2 = 0, cuyas raíces son c = n.
Caso 1: c = n.
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342 Capítulo 10 Temas especiales
De (1), [(k + n)2 − n2]ak + ak−2 = 0 o k(2n + k)ak + ak−2 = 0.
Si k = 1, a1 = 0. Si k = 2, a2 = −{a0/2(2n + 2)}. Si k = 3, a3 = 0.
Si k = 4, a4 = −{a2/4(2n + 4)} = �{a0/2 ⋅ 4(2n + 2)(2n + 4)}, etc. Entonces �
Y ¼ X akzkþc ¼ a0zn 1� z4 �
z2 2) þ 2 � 4(2n � � � (2)
2(2n þ þ 2)(2n þ 4)
Caso 2: c = − n.
El resultado obtenido es
Y ¼ � � 2(2 z2 2n) þ 2 � 4(2n z4 þ 4) � � � � (3)
a0z�n 1 � þ 2)(2n �
que se obtiene formalmente del caso 1 al sustituir n por –n.
La solución general si n 0, 1, 2, . . . está dada por
Y ¼ � � z2 2) þ 2 � 4(2n z4 þ 4) � �� �
Azn 1 2(2n þ þ 2)(2n �
þ Bz�n � � 2(2 z2 2n) þ 2 � 4(2 � z4 � 2n) � � � � (4)
1 � 2n)(4 �
Si n = 0, 1, 2, . . . sólo se obtiene una solución. En este caso, para hallar la solución general debe procederse
como en los problemas 10.175 y 10.176.
Como la singularidad más cercana a z = 0 está al infinito, las soluciones deben convergir para toda z. Esto se
demuestra fácilmente mediante el criterio del cociente.
Solución de ecuaciones diferenciales mediante integrales de contorno
10.25 a) Dada la ecuación zY″ + (2n + 1)Y′ + zY = 0, obtenga una solución de la forma Y ¼ Þ eztG(t) dt.
C
b) Con Y = zrU y al elegir la constante r de manera apropiada, obtenga una integral de contorno que sea
solución de z2U″ + zU′ + (z2 − n2)U = 0.
Solución
(aa())a ) SqIfuiIfeYYC¼¼sÞeCÞhCeaezytzGatG(et(l)te)dgdti,dt,wosweedetefiifienmndaedYnYe0 r0¼a¼qÞCuÞCetetlezotzGstG(vt(a)tl)dodtr,et,YsY0f0u00¼n¼cÞioCÞCnta2tel2eeztszGtGe(nt()tl)dodts.t.pAunstío, saliniinctieagl ryarfipnoalr
partes, suponiendo
P sean iguales [y la
parte integrada en cero], se tiene
zY ¼ þþ zzeezzttGG((tt)) dt ¼ eezzttGG((tt))�����PPP�� þþ eezzttGG00((tt)) dt ¼ � þþ eezzttGG00((tt)) dt
zY ¼ dt ¼ dt ¼ � dt
11))YY00 ¼ C P C
¼ C
þþC C C
(2n þ (2n þ 11))tteezzttGG((tt)) dt
(2n þ (2n þ dt
C
þC þ
þ þ
zzYY0000 ¼ zztt22eezzttGG((tt)) dt ¼ ((zzeezztt))fftt22GG((tt))gg dt
¼ dt ¼ dt
CC
¼ eeCzzttfftt22GG((tt))gg�����PPP�� þþ C dt ¼ � þþ eezzttfftt22GG((tt))gg00 dt
¼ dt ¼ � dt
P C eezzttfftt22GG((tt))gg00
C
CC
Por tanto, þþ
zzYY0000 þ (2n þ 11))YY00 þ zY ¼ 0 ¼ eezztt[[��GG00((tt)) þ (2n þ 1)tG(t) � fftt22GG((tt))gg00]] dt
þ (2n þ þ zY ¼ 0 ¼ þ (2n þ 1)tG(t) � dt
C
C
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Problemas resueltos 343
Esta ecuación se satisface si se elige G(t) de manera que el integrando sea cero, es decir,
��GG00((tt))þþ((22nnþþ11))ttGG((tt))��fftt22GG((tt))gg00 ¼¼ 00 oorr GG00((tt)) ¼¼ ((22nn �� 11))tt
tt22 þþ GG((tt))
11
Al resolver, G(t) = A(t 2 + 1)n−(1/2), donde A es una constante. Por tanto, una solución es
þ
Y ¼ A ezt(t2 þ 1)n�(1=2) dt
C
b) SIiIfYfYIY=f¼¼YzrzU¼zrrU,Uze,r,nUththo,eenntnhcYeYns0 0¼Y¼0 z¼zrrUUz0r0þUþ0rþrzzr�rr�1z1UrU�1aUanndydanYYd0000Y¼¼00 z¼zrrUUz0r000Uþþ002þ2rrzzr2�rr�1z1UrU�010þUþ0rþr((rrr�(�r1�1))zzr1�r)�2z2UrU�.2.UHPHe.oenHrncceteaenncteo,
zzYY00z00þYþ00(þ(22nn(þ2þn1þ1))YY10 )0þYþ0zþzYYz¼¼Y z¼zrþrþ1z1UrUþ01000Uþþ002þ2rrzzr2rUrUz0r0þUþ0rþr((rrr�(�r1�1))zzr1�r)�1z1UrU�1U
þþ(þ(22nn(þ2þn1þ1))zzr1rU)Uz0r0þUþ0(þ(22nn(þ2þn1þ1))rrz1zr)�rr�1z1UrU�1þUþzþzrþrþ1z1UrUþ1U
¼¼z¼zrþrþ1z1UrUþ01000Uþþ00[þ[22rrz[zr2rrþþzr(þ(22nn(þ2þn1þ1))zzr1r])]UzUr0]0U0
þþ[þ[rr((r[rr�(�r1�1))zzr1�r)�1z1rþ�þ1(þ(22nn(þ2þn1þ1))rrz1zr)�rr�1z1rþ�þ1zþzrþrþ1z1]r]UþU1]U
La ecuación diferencial dada entonces equivale a
z2U00 þ (2r þ 2n þ 1)zU0 þ [z2 þ r2 þ 2nr]U ¼ 0
Con r = −n, esto se convierte en z2U″ + zU′ + (z2 − n2)U = 0.
Por tanto, una solución mediante una integral de contorno es
þ
U ¼ znY ¼ Azn ezt(t2 þ 1)n�1=2 dt
C
10.26. Obtenga la solución general de Y″ − 3Y′ + 2Y = 0 mediante el método de integrales de contorno.
Solucióþn þ þ
LeLStLeeetatLnYeYt¼Y¼þ¼YCeþ¼zetGezþtzG(ttGe)(zt(dt)tGt)d,(dtt,t),Ydt0Y,Y¼0 0¼Yþ¼0Ctþ¼etzettGþeztzG(tttGe)(zt(dt)tGt)d,(dtt,t),Ydt0Y0,Y¼0000¼þYþ¼00Ctþ¼2te2tzþ2etGezttzG(2ttGe)(zt(dt)tGt)d.(dtt..t).TEdhtnT.TethonhenTencnheesn
C GG(tG)(t(¼)tGCY)¼(1¼0Y0tCY=)�100(10¼=0t�CY=23(�t(Y10�23t0 =230�Y�(Y3þ�t0t2303þ2þ3þY�tYt2þ0 22þ3þY¼)Yt2.2¼2þ)PHCþ¼.)Y.oHeC2eCHrCþn¼)ze.ettcen(aezCeHnCþttcnz2(tceYett(eeo�C2ntzY2¼tc�Y(3�et¼t2þ¼3Yþ3�tCþttþþ¼22þ3t�2)tt2CþG22�þ)e3�G()tztGtet232)(ezþ3t�t(t)dz)ttGtþt)ed2þ3(d¼ztttt2td)¼2þt0¼dddtt02t0¼dt0
se CC elige
se
satisface si
CC
Si se elige C de manera que el polo simple t = 1 se encuentre en el interior de C y t = 2 esté en el exterior de C,
la integral tiene el valor 2piez. Si t = 2 está en el interior de C y t = 1 en el exterior de C, la integral tiene el valor
2pie2z.
La solución general está dada por Y = Aez + Be2z.
Funciones de Bessel
10.27. Demuestre que z Jn−1(z) − 2nJn(z) + z Jn+1(z) = 0.
Solución
Al diferenciar respecto de t ambos lados de la identidad
ee((11==22))zz((tt��11==tt)) ¼¼ XX11 JJnn((zz))ttnn
n¼�1
n¼�1
se obtiene ee((11==22))zz((tt��11==tt))��22zz ��11 tt1122���� XX11 zz ��11 tt1122��JJnn((zz))ttnn XX11
22
þþ ¼¼ n¼�1 þþ ¼¼ n¼�1 nnJJnn((zz)) ttnn��11
n¼�1 n¼�1
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344 Capítulo 10 Temas especiales
es decir,
X1 zJn(z)tn þ X1 zJn(z)tn�2 ¼ X1 2nJn(z)tn�1
n¼�1 n¼�1 n¼�1
Al igualar los coeficientes de tn en ambos lados se tiene
zJn(z) þ zJnþ2(z) ¼ 2(n þ 1)Jnþ1(z)
y al sustituir n por n – 1 se llega al resultado buscado.
Como se empleó la función generatriz, el resultado anterior sólo se comprueba para valores enteros de n. Este
D r SSAdeeeehosmumotillreutuaaJtanJ�nte,Jtndc�e�nesned(non�e(trizn(e(e�ró1za�()1z(te1=)11aae)1=2q¼=ne2mc(e)q¼21uz¼()u()(1uz=1zteb(=2e�2(=tet2)�2i2r�2Jz1t1p)é)d(�z11p=Jtz1n1ptn(=t��(oit=nne)(tt�it��)in1zee(()þC¼c11�=z)11(sþC¼þC=t=¼1o=)1e)t2=¼tvt)nme())2¼t�¼1mztám()¼¼�P(=¼1�zl1¼tnlP¼2(oP��2=1int�m1n)�2d�2��smz111p�m)¼P1(1o=z11p11¼tP1p¼(teP��1=iJ1t)1e�tJ�prei�(mJ11Cþ)1þC¼o(m1Cþ=a1(m1Cþ1(=þC¼1tb=tr(z)t=2(=mtttaz�tt)lm2)z)tm2¼��met�)tzm)�)n¼)P¼vm��t(zm�tn1z�nnt¼mn(P�ma(��n1�t�nm�nt1���al1��m�111¼eP11os1111e=J¼11P(1ee�Jr1=1Jt(=mJ4e�(e)J(1m=t1Cþm1t1d)m=2(.s()m1Cþ=d(2=12(z)dtt2(zzt(2z)n=)mt1,z)t(�zt)zt)2)zt,m(o),�t�z�()atn)ytm(��taz��nnna1tem(�n�1�=ntn14d1n�=t�d=111e)d.ttt)=211Je(d)e1t=Jdm(2rd)t=1tmdot)2(,=t¼dz)2(st¼pz¼)z),t(zádt),m(y�atgmeXdm�¼an1Xi1¼X=¼on1�nnd11t=�d)n�a1t[)1dd1v1JdteJém3Jt¼mamC2(¼s(z(,ez)mzes)Xm)þC¼eesX1þC¼þC�l1utt�1pimttnem1rm�Jnao��nJmebn�cnm(�l�u1z(e11)zrdmv)dþCdtaþCtat ts1mtim0�m�.n1�np1�1l4e1d]dtc.terrada
10.28. que encierra a t = 0.
(1)
derechCþoCþCþdtmtetmm��(�n1n�n)��11s1dedCþdtCþtrt¼et¼¼mtdm��u���nc02�ne02�02p1pap1idi di2t tp¼¼ssiiiffiiJiiii�ffffn�mm(02mmmmz02p==)¼=p,=¼i¼dinnnennndiiffiio ffnmmmmd=e¼=¼snnennobtiene (2)
Por
tanto, la serie en el lado el resultado buscado.
10.29. Demuestre que si a b,
ðz zfaJn(bz)Jn0 (az) � bJn(az)Jn0 (bz)g
b2 � a2
tJn(at)Jn(bt) dt ¼
Solución 0
Y1 = Jn(at) y Y2 = Jn(bt) satisfacen las respectivas ecuaciones diferenciales
t2Y100 þ tY10 þ (a2t2 � n2)Y1 ¼ 0 (1)
t2Y200 þ tY20 þ (b2t2 � n2)Y2 ¼ 0 (2)
Se multiplica (1) por Y2, (2) por Y1 y se resta, para encontrar
tt22��YY22YY110000 � YY11YY220000�� þ tt��YY22YY1100 � YY11YY2200 �� ¼ (b2 � a2)t2Y1Y2
� þ � ¼ (b2 � a2)t2Y1Y2
Esto se escribe t d ��YY22YY1100 � YY11YY2200 �� þ ��YY22YY1100 � YY11YY2200 �� ¼ (b2 � a2)tY1Y2
t ddt � þ � ¼ (b2 � a2)tY1Y2
dt
o d ft(Y2Y10 � Y1Y20 )g ¼ (b2 � a2)tY1Y2
ddt ft(Y2Y10 � Y1Y20 )g ¼ (b2 � a2)tY1Y2
dt
Al integrar respecto de t desde 0 hasta z se obtiene
(b2 � a2) ðz tY1Y2 dt ¼ t(Y2Y10 � Y1Y20 )����z
0
0
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Problemas resueltos 345
o, como a b,
ðz zfaJn(bz)Jn0 (az) � bJn(az)Jn0 (bz)g
b2 � a2
tJn(at)Jn(bt) dt ¼
0
Funciones de Legendre
ð1
10.30. Demuestre que Pm(z)Pn(z) dz ¼ 0 sifi m = n.
�1
Solución
Se tiene
(1 � z2)Pm00 � 2zPm0 þ m(m þ 1)Pm ¼ 0 (1)
(1 � z2)P0n0 � 2zP0n þ n(n þ 1)Pn ¼ 0 (2)
Al multiplicar (1) por Pn, (2) por Pm y restar, se obtiene
(1 � z22)�PnnPm0m000 � PmmP0n0n00� � 2z�PnnP0mm0 � PmmPn00n� ¼ fn(n þ 1) � m(m þ 1)gPmmPnn
que se escribe
(1 � z22) d �PnnPm00m � PmmP0nn0 � � 2z�PnnP0m0m � PmmP0n0n� ¼ fn(n þ 1) � m(m þ 1)gPmmPnn
dz
o
d �� � z22��PnnPm00m � PmmP0n0n�� ¼ fn(n þ 1) � m(m þ 1)gPmmPnn
dz 1
Se integra desde −1 hasta 1 y se tiene
ð1 Pm(z)Pn(z) dz ¼ (1 � z2)�PnPm0 � PmP0n�����1 ¼0
fn(n þ 1) � m(m þ 1)g
�1 �1
de donde se obtiene el resultado buscado, pues m n.
Este resultado suele conocerse como principio de ortogonalidad para los polinomios de Legendre, y se dice que
los polinomios de Legendre forman un conjunto ortogonal.
10.31. Demuestre ð1 Pm(z)Pn(z) dz ¼ 2n 2 1 isfi m ¼= n.
que þ
�1
Solución
Se elevan al cuadrado ambos lados de la igualdad,
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ X1 Pn(z)tn
1 � 2zt þ t2
n¼0
y se obtiene
1 � 1 þ t2 ¼ X1 X1 Pm(z)Pn(z)tmþn
2zt
m¼0 n¼0
Al integrar desde −1 hasta 1, y con el problema 10.30, se encuentra
ð1 1 � dz þ t2 ¼ X1 X1 �ð1 �
2zt Pm(z)Pn(z) dz tmþn
�1 m¼0 n¼0 �1
X1 �ð1 �
¼ fPn(z)g2 dz t2n (1)
n¼0 �1
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346 Capítulo 10 Temas especiales
Pero el lado izquierdo es igual a
� 1 ln(1 � 2zt þ t2)����1 ¼ 1 �1 þ t� ¼ X1 � 2 � (2)
2t t ln 1 � t n¼0 2n þ t2n
�1
1
con el problema 6.23c), página 185. Al igualar los coeficientes de t 2n en las series (1) y (2), se obtiene el resultado
buscado.
10.32. Demuestre que (n + 1)Pn+1(z) − (2n + 1)zPn(z) + nPn−1(z) = 0.
Solución
Al diferenciar respecto de t ambos lados de la identidad
ppffi1ffi1ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2211ffiffiffiffizzffiffiffiffittffiffiffiffiffiþffiþffiffiffiffiffiffiffiffittffiffiffiffi22ffiffi ¼¼ XX11 PPnn((zz))ttnn
nn¼¼00
se tiene
((11 �� zz �� tt tt22))33==22 ¼¼ XX11 nnPPnn((zz))ttnn��11
22zztt þþ
nn¼¼00
Después se multiplica por 1 − 2zt + t2 y se tiene
XX11 XX11
(z � t) PPnn((zz))ttnn ¼ (1 � 2zt þ t 22)) nnPPnn((zz))ttnn��11
(z � t) n¼0 ¼ (1 � 2zt þ t n¼0
n¼0 n¼0
o
XX11 zzPPnn((zz))ttnn � XX11 PPnn((zz))ttnnþþ11 ¼ XX11 nnPPnn((zz))ttnn��11 � XX11 22nnzzPPnn((zz))ttnn þ XX11 nnPPnn((zz))ttnnþþ11
� ¼ � þ
n¼0 n¼0 n¼0 n¼0 n¼0
n¼0 n¼0 n¼0 n¼0 n¼0
Se igualan los coeficientes de t n en cada lado y se obtiene
zPn(z) � Pn�1(z) ¼ (n þ 1)Pnþ1(z) � 2nzPn(z) þ (n � 1)Pn�1(z)
de donde, al simplificar, se obtiene el resultado buscado.
Función hipergeométrica
10.33. Demuestre que F(1=2, 1=2; 3=2; z2) ¼ sen�1 z.
z
Solución
Como F(a, b; c; z) ¼ 1 þ a � b z þ a(a þ 1)b(b þ 1) z2 þ � � �
1 � c 1�2 � c(c þ 1)
se tiene
F(1=2, 1=2; 3=2; z2) ¼ 1 þ (1=2)(1=2) z2 þ (1=2)(3=2)(1=2)(3=2) z4
1 � (3=2) 1 � 2 � (3=2)(5=2)
þ (1=2)(3=2)(5=2)(1=2)(3=2)(5=2) z6 þ � � �
1 � 2 � 3 � (3=2)(5=2)(7=2)
¼ 1 þ 1 z2 þ 1 � 3 z4 þ 1 � 3 � 5 x6 þ � � � ¼ sen�1 z
2 3 2 � 4 5 2 � 4 � 6 7 z
con el problema 6.89, página 197.
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Problemas resueltos 347
La función zeta
10.34. Demuestre que la función zeta z(z) ¼ P1 1=kz eis analítica en la región del plano z en la que Re{z} ≥ 1 +
d, donde d es un número positivo fijo. k¼1
Solución
Cada término 1/kz de la serie es una función analítica. Además, si x = Re{z} ≥ 1 + d, entonces
����k1z���� ¼ ����ez1ln k���� ¼ 1 ¼ 1 � 1
ex ln k kx k1þd
zC(zo)m¼o P11k¼/1k11+=dkcz oinsverge, según el criterio M de Weierstrass, se zv(ez)qu¼e P1 1=kz cisonverge uniformemente para
Re{z} ≥ 1 + d. Por tanto, analítica en esta región.
k¼1
de acuerdo con el teorema 6.21, página 172, z(z) es
Expansiones asintóticas y el método del punto silla
10.35. a) Sea p > 0. Demuestre que
F(z) ¼ 1ð e�t dt ¼ e�z �1 � p þ p( p þ 1) � � � � (�1)n p( p þ 1) � � � ( p þ n � 1)�
tp zp z pþ2 z pþn
z pþ1
z
þ (�1)nþ1p( p þ 1) � � � ( p þ n) 1ð e�t dt
t pþnþ1
z
b) Con el inciso a) demuestre que
F(z) ¼ 1ð e�t dt � e�z �1 � p þ p(p þ 1) � � ¼ S(z)
tp zp z pþ1 z pþ2 ���
z
es decir, que la serie del lado derecho es un desarrollo asintótico de la función del lado izquierdo.
Solución
a) Se integra por partes y se tiene 8 9
< =
ð1 e�t Mð Mlí!m1:(�e�t )����M Mð dt;
tp
Ip ¼ dt ¼ lím e�t t�p dt ¼ )(t�p z � (�e�t )(�pt�p�1 )
M!1
zz z
8 e�M Mð e�t 9 e�z 1ð e�t e�z
lím <e�z Mp t pþ1 = zp t pþ1 zp
¼ M!1: zp � � p dt; ¼ � p dt ¼ � pI pþ1
zz
De manera similar, Ip+1 = (e−z/zp+1) − (p + 1)Ip+2, de manera que
� e�z �
Ip ¼ e�z � p z pþ1 � (p þ 1)I pþ2 ¼ e�z � pe�z þ p( p þ 1)I pþ2
zp zp z pþ1
Al continuar de esta manera se llega al resultado.
b) Sea e�z�z1p 1)�
Sn(z) ¼ � p þ p( pþ 1) � � � � (�1)n p( p þ 1) ���(p þ n �
zpþ1 zpþ2 zpþn
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348 Capítulo 10 Temas especiales
Así,
Ahora, para Rn(z) ¼ F(z) � Sn(z) ¼ (�1)nþ1p( p þ 1) � � � ( p þ n) 1ð t e�t dt
Rn(z) ¼ F(z) � Sn(z) ¼ (�1)nþ1p( þ � � � þ 1ð peþ�ntþ1
Rn(z) ¼ F(z) � Sn(z) ¼ (�1)nþ1p( p þ 1) � � � ( p þ n) 1ð t peþ�ntþ1 dt
real, z > 0, p 1) ( p n) t dt
jRn(z)j ¼ p( p þ 1) � z pþnþ1
z jRn(z)j ¼ p( p þ 1) � z
jRn(z)j ¼ p( p þ 1) �
� � ( p þ n) 1ð t e�t dt � p( p þ 1) � � � ( z þ n) 1ð z e�t dt
� � þ 1ð peþ�ntþ1 � þ � � � þ 1ð peþ�ntþ1
� � ( p þ n) 1ð t peþ�ntþ1 dt � p( p þ 1) � � � ( p þ n) 1ð z peþ�ntþ1 dt
( p n) t dt p( p þ 1) � � � ( p þ n) z dt
z pþnþ1 � p( p 1) ( p n) z pþnþ1
z � p z
�
z p( p þ zz11pp))þþ��nn��þþ��11(( p þ n) z
p( p þ p þ n)
z pþnþ1
porque 1ð 1ð
1ð 1ð
1ð e�t dt � 1ð e�t dt ¼ 1
e�t � e�t dt ¼
z e�t dt � 0 e�t dt ¼ 1
dt 1
z0
z0
Así, lím jznRn(z)j � lím p( p þ 1) � � � ( p þ n) ¼ 0
zl!ím1 jjzznnRRnn((zz))jj � zl!ím1 þ 11))zz��pp�� � þ ¼
zl!ím1 � zl!ím1 p( p þ � ( p þ n) ¼ 0
p( p zp ( p n) 0
z!1 z!1
y se sigue que límz→∞ znRn(z) = 0. Por tanto, se comprueba el resultado buscado para z real, z > 0. Este resultado
se extiende también a valores complejos de z.
Observe que, como ��������uuununþþnn11�������� ��������pppp((((ppppþþþþ1111))))�� �(�(((ppppþþþþnnnn��))==z1z1pp))þþ==nznzþpþpþþ11nn��������
¼¼ �� �� ¼¼ pp þþ nn
�� �� jjzzjj
donde un es el término n-ésimo de la serie, para toda z fija se tiene
nnll!!íímm11��������uuununþþnn11�������� ¼¼ 11
y la serie diverge para toda z, de acuerdo con el criterio del cociente. �
� �.
10.36. Muestre que G(z þ 1) � p2ffiffiffipffiffiffizffi z ze�z 1 þ 1 þ 1 � 139 þ � �
12z 288z2 51 840z3
Solución ÐÐ11
Se tiene GG((zz þþ 11)) ¼¼ 00 ttzzee��tt ddtt.. Con t = ztt,t e¼¼stozztt,s, e convierte en
1ð1ð 1ð1ð (1)
GG((zz þþ 11)) ¼¼ zzzzþþ11 ttzzee��zzttddtt ¼¼ zzzzþþ11 eezz((llnntt��tt))ddtt
00 00
que es de la forma de (10.37), página 330, donde F(t) = ln t – t.
F′(t) = 0 para t = 1. Con t = 1 + w, se encuentra, con el problema 6.23, página 185, o de otro modo la serie
de Taylor,
F(t) ¼ ln t � t ¼ ln(1 þ w) � (1 þ w) ¼ � � w2 þ w3 � w4 þ � � � � 1 � w
w �
234
¼ �1 � w2 þ w3 � w4 þ � � � ¼ �1 � (t � 1)2 þ (t � 1)3 � (t � 1)4 þ � � �
234 234
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Problemas resueltos 349
Por tanto, de acuerdo con (1),
1ð1
G(z þ 1) ¼ zzzþþ11e��zz e��zz((tt��11))22==22ezz((tt��11))33==33��zz((tt��11))44==44þþ������ dt
00
1ð1
¼ zzzþþ11e��zz e��zzww22==22ezzww22==33��zzww44==44þþ������ dw
(2)
(3)
Con w ¼ pffi2ffiffi=ffiffizffiffiv, esto se convierte en ��11 (4)
(5)
G(z þ 1) ¼ p2ffiffiffizzzþþ11==22e��zz ð11 e e ffiffi��vv22 ((22==33))pp22zz��11==22vv33��zz��11vv44þþ������ dv
pffiffiffiffiffi
�� zz==22
Para valores grandes de z, el límite inferior se sustituye por −∞, y, al desarrollar el exponencial, se tiene
G(z þþ 1) �� ppffi2ffiffiffi zzzzþþ11==22ee��zz 1ð1ð ee��vv22ff11 þþ ��322 pp2ffi2ffiffiffizz��11==22vv33 �� zz��11vv44�� þþ �� �� ��gg dv
G(z 1) 2 dv
�1 3
�1 ����
o
zzzzee��zz��11
G(z þ 1) � ppffi2ffi2ffiffiffiffippffiffiffiffiffiffizzffiffi þ 1 þ 1 � 139 þ � �
G(z þ 1) � þ 121z þ 2818z2 � 51183490z3 þ � �
12z 288z2 51 840z3
Aunque arriba se procedió de manera formal, este análisis puede justificarse rigurosamente.
Otro método. Dada
F(t) ¼ �1 � (t � 1)22 þ (t � 1)33 � (t � 1)44 þ � � � ¼ �1 � u22
234
Entonces
u22 ¼ (t � 1)22 � (t � 1)33 þ � � �
23
y, al invertir la serie o aprovechar que F(t) = ln t – t, se encuentra
dt ¼ b0 þ b1u þ b2u2 þ � � � ¼ pffiffi þ pffiffi u2 þ pffiffi u4 þ � � �
du 2 2 2
6
216
Así, de acuerdo con (10.41), página 330, se encuentra
GG((zz þþ 11)) �� rrffipffipffiffiffiffi zzzzþþ11eezz((llnn 11��11))��ppffi2ffi2ffiffi þþ 11 ��ppffi2ffi2ffiffi�� 11 þþ 11 �� 33 ��pp2ffi2ffiffiffi �� 11 þþ �� �� ��
zz 22 66 zz 22 �� 22 221166 zz22 ��
o
GG((zz þþ 11)) �� pp2ffi2ffiffiffiffiffippffiffiffiffiffiffizzffiffi �� þþ 11 þþ 11 þþ �� �� ��
zzzzee��zz 11 1122zz 228888zz22 ��
Observe que, como F′′(1) = −1, con la ecuación (10.42), página 330, se encuentra
G(z þ 1) � pffiffiffiffiffiffiffi zze�z
2pz
que es el primer término. Para muchos propósitos, este primer término proporciona suficiente exactitud.
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350 Capítulo 10 Temas especiales
Funciones elípticas
10.37. Demuestre: a) d dsnszn¼z ¼cnczndzndzn, z,y bdd)zddcznczn¼z ¼�s�nszndzndzn. z.
dzdz
Solución szi ðw pðw zp(ffiffi1ffiz¼ffi(ffiffi�¼1ffiffiðffiw0ffi�ffitðw0ffip2ffiffid)tpffiffiffi((2tffiffi11ffidffi)(ffiffi(ffiffit1ffiffi��1ffiffiffiffiffi�ffiffi�ffiffitffikffiffi2ffiffi2tffiffid)kffiffi2tffi(ffit2ffidffi)1ffiffi)(tffiffitffiffi,21ffi�ffiffiffi)tffiffi�,ffihffikffieteffihffi2nknffiffitet2ffi2ffionwtffi)ffi2nffi,ffi)wffic¼t,het¼eshsnnewsnzwn.=wzH¼. s¼eHnsnnezscnn.ezc.PzeH.orHenteacnnecteo,
¼z ¼
Por definición,
a) ddzdd(zsn(szn)dzd¼z)dd(z¼sdd(nwszddnzwz)¼z0)¼¼d¼0zddd=1wdzzdd=w1zw¼d¼w¼d¼zdp=1zd=p1ffi(ffiw1dffiffiffi(wffi�1ffi¼ffiffi¼ffi�ffiwffipffiffi2wpffiffiffi()ffiffi1(ffi2ffiffi(ffi1ffi)ffi1ffiffi�(ffiffiffiffi�1ffi�ffiffiffiffiwffi�ffiffikffiffiwffiffi2ffiffi2ffiffi)kffi2wffi(ffiffi2)ffiffi1ffiffi2(wffiffiffiffi1)ffi�ffi2ffiffiffiffi¼�)ffiffiffikffi¼ffi2ffickffiwffin2fficffiw2ffiznffi)ffiffi2dffiz)¼ffind¼zncnzcnz dzndnz z
b) ddzdd(zc(nczn)ddz¼¼z)dd(z¼¼cd12(dncz(12dnd1z(z1)(z�1()¼¼�1�¼¼s�12dnsdsnz221d(dns21(zzn(21)z1(2��z)1�1)z�1=�)�=s212ns1s=(=n¼22ns�22nz2(¼�2)z212z�))zs1(2121�)n1==12s1(2=z�n=1(2¼)2�(z(�¼cs)�221n(ncs2221s(znnn1zs(2d)zn1z�n�z)dz)�1(zn�)c=s)(2n1nzcs¼=2d)nnd2zzz2¼ddz�d)(znz�d�)�s(1n�zn�s=)1s2znz=n)s¼2d2ddnz¼zzdn2d�)d(zzz�n�(s)�nzssnnzs2ndzz2nd)znz) z
10.38. Demuestre qu(ea()a)sns(n�(�z)z)¼¼��snsnz,z,(b()b)cnc(n�(�z)z)¼¼cncnz,zy,(c()c)dnd(n�(�z)z)¼¼dndnz.z.
Solu(ca(i)óas)nns(n�(�z)z¼) ¼��snszn,z(,b()bc)nc(n�(�z)z¼) ¼cnczn,z(,c()cd) nd(n�(�z)z¼) ¼dndzn.z.
a) eStIctIdctIchfshnfhfinnnatIca(azdh(zf((ztn�t�t��eatIdc¼(¼z¼ihfiictnz�snzszzsa¼)i,(z)(i,)),ðrw0ðtzðw0�sw0�s,¼s¼s¼¼¼),pinðpw0nspnzszs¼(n)(,)(ppn(ffip�ðpp(ffiwp0�(ffiffi�(ffi1ffisffi¼1¼(1ffiffi−ffipffi1pffip(ffinzffi�ffi1ffi1ffi1zffiffizffiffiffi�ffiffi1ffiffi�ffi)�ffiffi(ffiffi)ffiffi)zffi�ffiffipffi1ffipffi�ffi(z�ffi��ffiffiffiffiffiffi)z¼ffi�ffiffiz1ffiffi¼zffi)¼ffiffitffiffiffiffitffiffit�ffiffiffi1ffi2ffi1=ffizffisffi¼2ffiffi2ffiffis¼zffi¼ksffi¼�ffiffidffiffi)ffi)ffiffindt�ffi)dffiffi)nffiffi�nffi�ffi�ffi2�(ffiffi2ffiffit(ffisffi¼(ffi2tffiffizffitffi¼1−ffi2ffiffid2�ffi)1ffiffi1ffin�twffi�ffi�ffi(ffiffiwsffiffiw(ffiffi((ffi2ffiffitffiffis¼ffi�ffik2ffi�nffiffi�1ffiffiw��ffiffi�d�ffi)ffiffinffiwffi��ffiffi(ffi2ffi¼�ffiffi�ffi2(ðffiffi¼ffi0¼ffitffiðzffi�ffið0ffiffi20�ffizffiffizw1ffi(ffi�ffiffiwkffi=wffiffi)ws�ffikffiffik(ffi)ffi¼�)ffiffiffiðffiffi0ffiffi2nzffi�ffip�ffiffiffi2�ffi�p2ffiw�p¼ffiffiffiffikffi¼ffiffi¼)tffi�ffiffiffi2tffizffi¼tffi−ffiffið2ffi0ffiffi2sffi�z2pffiffi(ffi2(sffi)ffisffi(ffiw¼ffi(ffiffiffiffiffi)ffiknffitffiffi1)ffi)ffiffi�pffiffi)n1ffiffin1ffiffipffisffi,pffiffiffi2¼ffi,sffi2ffiffi�,pffiffi(ffiffiffin¼ffiffiffizffi)ffi�nffiz1ttzffiffiffiz�pffie�ffit1ffit,ffiffiffi1ffiffih21ffiffisffih)ffiffiffih(ffiffiffiffinzpzpffiffiffiffi)�ffiffiffinet1ffi�ffipffieffiffi1rffieffi�¼�,rthffiffirffiffiffiffinpffiffiffiffi2onffiffinz12ffiffiffi2�ffiffieffiffit�dffiffirffi1ffi)ffidffiffidsn)hffiffi)ffiffiffisffiffinswp(ffiffiffi2rwffiffi�(ffiwffin(rrffiffiffinffiecffin1ffiffid�r)1ffiffiffiffiffi1ffiffis2ffiffiffiffiffinweffiffi2(21r2ffiffiffi¼ffiffiffinffi¼ffi�¼ffiffiffik1ffiffidffiffi�sz�)ffiffiffiffiffiffizsffiz2ffiffiffiffiffiwffi2�(ffirffi¼ffiffiffinffiffiffi�wffi¼ffiffi1ffisffiffiffiz¼k¼sffiffiffissffiffikffiffik2ffiffiffinffiffiffin¼ffinn2ffiffiffikffiffi2�¼2ffisffiffiffiffi=zkffiffircffiffiffiffiz22rfficrczffinffiffizffiffi2ffi2ffiffin.ffi2ffi¼n.2sffin.ffiffizsffikffirc)ffizffiffiffis)ffi)nLffinffiffiffizL2L2nffiz.ffiffiznffi¼ffiffiffiffi2rc)ezffiffiffieLeffiffiz 2n.tffizffizttffiffid)e.ffiL tzt¼tnSe¼o¼¼otozetrdrrao¼ot�n�� rt¼ozr� rr=r;;;r�ttt;−h�h�h�retee;rh�znzznn;et¼h�¼z¼anes¼zní���ð,0ðð00¼www�ð0ppwp�ð0p(ffiffi(w(ffiffiffi1ffiffi11ffiffiffiffip(ffiffiffiffiffi�1ffi�ffi�ffiffiffiffiffi(ffiffiffiffi�ffi1ffiffirffirffirffiffiffiffi2ffi2ffi2�ffiffidffirffi)dffid)ffi)ffiffi(ffi2rffi(ffi(rrffiffi1ffidr)1ffiffi1ffiffiffiffi(r2ffiffiffi�ffi1ffidffi��)ffiffiffiffiffi(ffirffiffiffi�ffi1ffiffikffiffikffikffiffiffi2ffiffiffi2�2ffiffikffirffiffirffirffiffiffi22ffiffi2ffi2ffiffikffir)ffiffi)ffi)ffiffi22ffi,ffi,,ffiffir)ffiffiffi2,ffiffi)ffi ,
b) dnd(n�(�z)z¼) ¼pffi1ffiffiffi1ffi�ffiffiffi�ffiffikffiffi2ffikffiffi2sffiffinffisffi2ffinffi(ffi2ffi�ffi(ffiffi�ffizffiffi)z¼) ¼pffi1ffiffiffi1ffi�ffiffiffi�ffiffikffiffi2ffikffiffis2ffinffisffiffi2nffiffiffiz2 z¼¼dndnz z
dn(�z) ¼ 1 � k2 sn2(�z) ¼ 1 � k2 sn2 z ¼ dn z
c)
10.39. Demuestre ((qaau())ae()ssaanns))((nzzs(nzþþ(þz22þKK2K))2K)¼¼¼)��¼�ssnn�snzzs,,zn((,bbz(,))by()ccbbnnc))((nzcz(nzþþ(þz22þKK2K))2K)¼¼¼)��¼�ccnn�cnzzc..zn.z.
Solución(a) sn(z þ 2K) ¼ �sn z, (b) cn(z þ 2K) ¼ �cn z.
zð0f¼pð1ffifffiffiffi�pffiffiffiffidffiffikffiffiffiffiu2ffiffiffiffiffiffisffiffiffiffiedffiffiffiffinffiuffiffiffi2ffiffiffiffiuffiffiffiffiffi,ffisffiffidoffiffieffiffithmsaoat ntfhear¼ta fqaum¼e
WSe thieanve z ¼ zfa=ndasmenzfy ¼sensnfz,=cossnfz,¼cocsnfz.=Nocwn z. Ahora,
We have am z and sen f ¼ sn z, cos f ¼ cn z. Now
0 1f�ðþ0 pkfp2ðþsffi1pffieffiffi�pnffiffiffi2ffid1ffiffiukffiffiffiffiu2ffiffi�ffiffiffisffiffiffiffieffidffikffiffinffiffiuffi2ffiffi2ffiffisffiffiuffiffieffiffiffinffi¼ffiffi2ffiffiuffiðp0ffi ¼pffi1ðpffiffiffi�pffiffiffiffid1ffiffikffiffiffiffiu2ffiffi�ffiffiffisffiffiffiffieffidffikffiffinffiffiuffi2ffiffi2ffiffisffiffiuffiffieffiffiffinffiþffiffi2ffiffiuffifffiðpþþp fpðþ1ffipffiffiffi�pffiffiffiffid1ffiffikffiffiffiffiu2ffiffi�ffiffiffisffiffiffiffieffidffikffiffinffiffiuffi2ffiffi2ffiffisffiffiuffiffieffiffiffinffiffiffi2ffiffiuffiffi
0 ¼pð0=220ppð=1ffiffi2ffiffi�pffiffiffiffidffi1ffikffiffiffiffiu2ffiffi�ffiffiffisffiffiffiffieffidffikffiffinffiffiuffi2ffiffi2ffiffisffiffiuffiffieffiffiffinffiþffiffi2ffiffiuffiðf0ffi p
¼ 2 þp1ffiðfffiffiffi�pffiffiffiffidffiffikffiffiffiffic2ffiffiffiffiffiffisffiffiffieffidffiffiffiffinfficffiffiffi2ffiffiffifficffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 � k2 sen2 c
00
con la transformación u = p + . Por tanto, f + p = am (z + 2K).
Por ende se tiene
a) sn(z þ 2K) ¼ senfam(z þ 2K)g ¼ sen(f þ p) ¼ � sen f ¼ �an z
b) cn(z þ 2K) ¼ cosfam(z þ 2K)g ¼ cos(f þ p) ¼ � cos f ¼ �cn z
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Problemas resueltos 351
10.40. Demuestre que a) sn(z + 4K) = sn z, b) cn(z + 4K) = cn z y c) dn(z + 2K) = dn z.
Solución
De acuerdo con el problema 10.39,
a) sn(z þ 4K) ¼ �sn(z þ 2K) ¼ sn z
b) cn(z þ 4K) ¼ �cn(z þ 2K) ¼ cn z
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
c) dn(z þ 2K) ¼ 1 � k2 sn2(z þ 2K) ¼ 1 � k2 sn2 z ¼ dn z
Otro método. El pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tiene puntos de ramificación en t = 1 y en t = 1/k en el plano
integrando1= (1 � t2)(1 � k2t2)
t [véase la figura 10-10]. Considere la integral de 0 a w a lo largo de dos trayectorias C1 y C2. C2 puede deformarse
en la trayectoria ABDEFGHJA + C1, donde BDE y GHJ son círculos de radio e, y JAB y EFG, que se trazaron
separadas para facilitar la explicación, en realidad coinciden con el eje x.
Plano t Plano t w
y y
C1
w A B
F E1
C1
–1/k –1 1 1/k x HJ D x
–1/k –1 G 1/k
C2 Figura 10-11
Figura 10-10
Así, se tiene
ðw pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 1ð�e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffixffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(1 � t2)(1 � k2t2) (1 � x2)(1 � k2x2) (1 � t2)(1 � k2t2)
0 0 BDE
C2
ð0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffixffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ �1ðþe pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffixffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
þ � (1 � x2)(1 � k2x2) � (1 � x2)(1 � k2x2)
1�e 0
ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ðu pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffixffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
þ � (1 � t2)(1 � k2t2) (1 � x2)(1 � k2x2)
GHJ �1þe
þ ðw pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(1 � t2)(1 � k2t2)
0
c1
¼ 4 1ð�e pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffixffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ðw pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(1 � x2)(1 � k2x2) (1 � t2)(1 � k2t2)
0 c01
þ ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(1 � t2)(1 � k2t2) � (1 � t2)(1 � k2t2)
BDE GHJ
donde se aprovechó que, al encerrar en un círculo un punto de ramificación, cambia el signo del radical.
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352 Capítulo 10 Temas especiales
En BDE y GHJ, se tiene t = 1 − eeiu y t = −1 + eeiu, respectivamente. Así, las integrales correspondientes
son iguales a
2ðp pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�ffiffiffiffiiffieffiffieffiffiffiiffiuffiffidffiffiffiuffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ �ipeffiffi 2ðp pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffieffiffiiffiuffiffi=ffi2ffiffiffidffiffiffiuffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(2 � eeiu)(eeiu)f1 � k2(1 � eeiu)2g (2 � eeiu)f1 � k2(1 � eeiu)2g
00
2ðp pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiiffieffiffieffiffiffiiffiuffiffidffiffiffiuffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ipffieffi 2ðp pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffieffiffiiffiuffiffi=ffi2ffiffiffidffiffiffiuffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(eeiu)(2 � eeiu)f1 � k2(�1 þ eeiu)2g (2 � eeiu)f1 � k2(�1 þ eeiu)2g
00
Cuando e → 0, estas integrales tienden a cero y se obtiene
Cðw0Cð2w02pCðw0p2(ffipffi1ffi(ffiffiffi1ffiffiffi(ffiffi�ffiffiffi1ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�tffiffiffiffi2tffiffiffiffiffi2ffid)ffiffiffitffiffid()ffitffiffi2ffi1(ffiffiffitffiffid)ffi1ffiffiffi(ffiffi�ffitffiffiffi1�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�ffiffikffiffiffiffikffiffi2ffiffiffiffi2ffiffitffikffiffiffi2tffiffiffi2ffiffi2ffi)ffiffiffitffiffi)ffiffi2ffiffi)ffi ¼¼¼ 44ð014ð01pð0p1(ffipffi1ffi(ffiffiffi1ffiffiffiffi(ffi�ffiffiffi1ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�xffiffiffiffixffiffi2ffiffiffiffid2ffiffi)ffixffiffidffi()ffiffixffiffi2ffiffi1(xffiffidffi)ffiffi1ffiffiffiffi(x�ffiffiffiffiffi1ffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�kffiffiffiffiffikffiffi2ffiffiffiffiffi2xffiffikffiffiffiffixffiffi2ffi2ffiffiffi2)ffiffiffixffiffi)ffiffi2þffiffiþ)ffi þCðw0Cð1w01pCðw0p1ffi(pffi1(ffiffiffiffi1ffiffiffiffi(ffi�ffiffiffi1ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�tffiffiffiffi2tffiffiffiffiffi2ffid)ffiffiffitffiffid()ffitffiffi2ffi1(ffiffiffitffiffid)ffi1ffiffiffi(ffiffi�ffitffiffiffi1�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�ffiffikffiffiffiffikffiffi2ffiffiffiffi2ffiffitffikffiffiffi2tffiffiffi2ffiffi2ffi)ffiffiffitffiffi)ffiffi2ffiffi)ffi
Ahora, si se escribe zz¼z¼¼Cðw0Cð1w01pCðw0p1ffi(pffi1ffi(ffiffiffi1ffiffiffiffi(ffi�ffiffiffi1ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�tffiffiffiffi2tffiffiffiffiffi2ffid)ffiffiffitffiffid()ffitffiffi2ffi1(ffiffiffitffiffid)ffi1ffiffiffi(ffiffi�ffitffiffiffi1�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�ffiffikffiffiffiffikffiffi2ffiffiffiffi2ffiffitffikffiffiffi2tffiffiffi2ffiffi2ffi)ffiffiffitffiffi)ffi,ffi2ffi,ffi)ffi , ie:ise:ei:d:,:e,e:cw,wir¼w,¼w¼ssn=nsznzsnz z
entonces zzþþz þ44KK4K¼¼¼Cðw0Cð2w02pCðw0p2ffi(pffi1(ffiffiffiffi1ffiffiffiffi(ffi�ffiffiffi1ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�tffiffiffiffi2tffiffiffiffiffi2ffid)ffiffiffitffiffid()ffitffiffi2ffi1(ffiffiffitffiffid)ffi1ffiffiffi(ffiffi�ffitffiffiffi1�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi�ffiffikffiffiffiffikffiffi2ffiffiffiffi2ffiffitffikffiffiffi2tffiffiffi2ffiffi2ffi)ffiffiffitffiffi)ffiffi,2ffi ,ffi)ffi ,
i:ie:eei:s:,:e,d:w,ewc¼wi¼r,¼swsnn(s=z(nzþ(sþznþ4(4KzK4)+K) )
4k)
y, como el valor de w es el mismo en ambos casos, sn(z + 4K) = sn z.
De manera similar se demuestran los demás resultados.
10.41. D emuestre que a) sn(K + iK′) = 1/k, b) cn(K + iK′) = ik′/k c) dn(K + iK′) = 0.
Solución
a) Se tiene KKK0 ¼00 ¼¼ð01ðð001p1 ppffi(ffi1ffiffi((ffiffiffiffiffi11ffiffiffi�ffiffiffiffiffiffiffi�ffi�ffiffiffiffiffiffitffiffiffiffi2ffiffiffittffiffiffi)dffiffi2ffi2ffiffi(ffiffiffit)ffi)dd1ffiffiffi((ffiffiffittffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffi�ffi�ffiffiffiffiffiffikffiffiffiffiffiffiffi0ffikkffi2ffiffiffiffiffi0ffi0tffiffi22ffiffiffi2ffiffiffittffiffiffi)ffiffiffi22ffiffiffi)ffi)ffiffi
donSdeeauk1uu0kk¼t¼00¼¼o¼¼11p=11/ppp==kffi1ffipp.ffiffi11ffiffi1ffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiffi11ffiffiffiffi���ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffikffiffiffiffi�ffi�ffiffiffiffiffiffi2ffiffiffikffikkffiffiffiffiffi.ffiffiffi220ffiffikffiffikffi2ffiffiffi..ffiffiffi00tffiffi2ffi2ffi2ffiffiffiffiffittffi.ffi22ffiffiffiffi..
¼ ð1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi t ¼ 0, u ¼ 1; t ¼ 1, u ¼ 1=k. =pág1pi/nppk1ffiaffi.ffi1ffiffi1ffi�ffiffiffiffiffiPffi6ffiffiffi��ffiffiffi9offiffiffitffiffiffiffi2ffiffi,rffiffiffittffiffi22ffiffi¼fficffitao¼¼nn�t��oipk,ii0kkau=00=uump==1ppe/ffi1ffidffikffi11ffiffi�ffiiffiffi,ffiffiffidffiffiffi��ffiffiffiaffiffisffikffiffiffiffieffiffi0ffiffikffik2qffiffiffiffiffiffi00uffiffisffi2u2ffiffiffiffi2ffiiuffiueffiffiffig.ffiffi22ffiffiffiffiu..tevaqruíae
0 (1 � t2)(1 � k02t2) Cuantdt¼o¼0t ,0=,uu¼0¼, 1u;1=; 1;p tc¼ut¼a¼1n1=d,k1o,uut¼=¼1=11k=,.ku.
pde1ffiffiffi0ffi�ffiffiffiffi1affitffi12ffiffit1o¼t,o1u�/1k/vi.kka.0ruí=apdffi1effiffiffi�ffi1ffiffiffiffikffiaffi0ffi2ffiffi1uffiffi2/ffiffi.k. De acuerdo conppe¼l¼1p=1rok=,bkl,ema 2.43,
¼ 1; t ¼ 1, u ¼ 1=k.
p ¼ 1=k,
Así, por sustitución, se tiene KKK0 ¼000 ¼¼���i 1iið1=111kðð11===pkkk ppffi(ffi1ffi(ffi(ffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffiuffiffiffiffi2uuffiffidffiffi)ffiffi222ffiffi(uddffiffi))1ffiffi((uuffiffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffi��ffiffiffiffikffiffiffiffiffiffi2kkffiffiffiffiu22ffiffi2ffiffi2uuffiffiffiffi)ffiffi222ffiffiffiffi))ffiffi
1
de donde
ð1 ðð011p01 ppffi(ffi1ffiffi((ffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffiuffiffiffiffi2uuffiffidffiffi)ffiffi222ffiffi(uddffiffi))1ffiffi((uuffiffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffi��ffiffiffiffikffiffiffiffiffiffi2kkffiffiffiffiu22ffiffi2ffiffi2uuffiffiffiffi)ffiffi222ffiffiffiffiþ))ffiffi þþ1ð1=111kðð11===pkkk ppffi(ffi1ffi(ffi(ffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffiuffiffiffiffi2uuffiffidffiffi)ffiffi222ffiffi(uddffiffi))1ffiffi((uuffiffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffi��ffiffiffiffikffiffiffiffiffiffi2kkffiffiffiffiu22ffiffi2ffiffi2uuffiffiffiffi)ffiffi222ffiffiffiffi))¼ffiffi ¼¼1ð0=111kðð00===pkkk ppffi(ffi1ffiffi(ffi(ffiffi11ffiffi�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffiuffiffiffiffi2uuffiffidffiffi)ffiffi222ffiffi(uddffiffi))1ffiffi((uuffiffiffiffi11ffiffi�ffiffiffiffi��ffiffiffiffikffiffiffiffiffiffi2kkffiffiffiffiu22ffiffi2ffiffi2uuffiffiffiffi)ffiffi222ffiffiffiffi))ffiffi
KKþþiKiK0 ¼00 ¼
K þ iK0 ¼0
es descnsi(nrK,(Ksþn(þKiKi+K0)00)¼iK¼′1)=01=k=.k1. /k. 1 0
b) De acsune(rKdoþcoiKn0e)l¼in1c=isko. a),
cncc(nnK((KKþþþiKiiKK0)000))¼¼¼ppp1ffiffiffi1ffi1ffi�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffisffiffiffiffinffiffissffiffi2ffiffinnffiffi(ffiffi222ffiffiKffiffi((ffiffiffiKffiKffiffiþffiffiffiffiffiffiþþffiffiffiffiiffiffiKffiffiffiffiiiffiffiKKffiffi0ffiffi)ffiffiffiffi000ffiffi))¼ffiffi ¼¼pppffi1ffiffi1ffiffi1�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffi1ffiffiffiffi=ffiffi11ffiffiffiffik==ffiffiffiffi2kkffiffiffiffiffiffi222¼ffiffi ¼¼���ipiipp1ffiffiffi1ffi1ffi�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffikffiffiffiffi2ffiffikkffiffiffi=ffiffi222ffiffiffik==kk¼¼¼���ikii0kk=000k==kk
c) dn(KKKþþþiKiiKK0)000))¼¼¼ppp1ffiffiffiffi11ffi�ffiffiffiffiffiffi��ffiffiffiffikffiffiffiffi2ffiffikkffiffiffiffi222ffiffisffiffiffiffinffiffissffiffi2nnffiffiffiffi(ffiffi222ffiffiKffiffi((ffiffiKKffiffiffiffiþffiffiffiffiffiffiþþffiffiffiffiiffiffiKffiffiffiffiiiffiffiKKffiffi0ffiffi)ffiffi0ffi0ffi0ffiffi))¼ffiffi ¼¼0,00de acuerdo con el inciso a).
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Problemas resueltos 353
10.42. D emuestre que as)ns(n2(K2Kþ+2i2KiK0)′)¼=00,, b) ccnn((22KK+þ22iiKK′)0)=¼11, , c) dnd(2nK(2+K 2þiK2′i)K=0) −¼1�. 1.
Solución
De acuerdo con las fórmulas paraz1la¼adzi2c¼iónKcþoniKz10,= z2 = K + iK′, se tiene
a) sn(2K þ 2iK0) ¼ 2 sn(K þ iK0) cn(K þ iK0) dn(K þ iK0) ¼ 0
1� k2 sn4(K þ iK0)
b) cn(2K þ 2iK0) ¼ cn2(K þ iK0) � sn2(K þ iK0) dn2(K þ iK0) ¼ 1
1 � k2 sn4(K þ iK0)
c) dn(2K þ 2iK0) ¼ dn2(K þ iK0) � k2 sn2(K þ iK0) cn2(K þ iK 0 ) ¼ �1
1 � k2 sn4(K þ iK0)
10.43. D emuestre que a) sn(z + 2iK′) = sn z, b) cn(z + 2K + 2iK′) = cn z, c) dn(z + 4iK′) = dn z.
Solución
Con los problemas 10.39, 10.42, 10.170 y las fórmulas para la adición, se tiene
a) sn(z þ 2iK0) ¼ sn(z � 2K þ 2K þ 2iK0)
¼ sn(z � 2K) cn(2K þ 2iK0) dn(2K þ 2iK0) þ sn(2K þ 2iK0) cn(z � 2K) dn(z � 2K)
1 � k2 sn2(z � 2K) sn2(2K þ 2iK0)
¼ sn z
b) cn(z þ 2K þ 2iK0) ¼ cn z cn(2K þ 2iK0) � sn z sn(2K þ 2iK0) dn z dn(2K þ 2iK0) ¼ cn z
1 � k2 sn2 z sn2(2K þ 2iK0)
c) dn(z þ 4iK0) ¼ dn(z � 4K þ 4K þ 4iK0)
¼ dn(z � 4K) dn(4K þ 4iK0) � k2 sn(z � 4K) sn(4K þ 4iK0) cn(z � 4K) cn(4K þ 4iK0)
1 � k2 sn2(z � 4K) sn2(4K þ 4iK0)
¼ dn z
10.44. Trace celdas o paralelogramos periódicos para las funciones a) sn z, b) cn z, c) dn z.
Solución
Los resultados se muestran en las figuras 10-12, 10-13 y 10-14, respectivamente.
y y
y
4iK′
2K+ 2iK′
2iK′
4K x 4K x 2K x
a) b) c)
Figura 10-12 Figura 10-13 Figura 10-14
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354 Capítulo 10 Temas especiales
Problemas diversos z�,
�
10.45. Demuestre que Pn(z) ¼ F �n, n þ 1; 1; 1 � n ¼ 0, 1, 2, 3, . . . .
2
Solución
Los polinomios de Legendre Pn(z) son de grado n y tienen el valor 1 para z = 1. De manera similar, de acuerdo con
la ecuación (10.29), página 328, se ve que
� 1; 1 � z� ¼ 1 � n(n þ 1) (1 � z) þ n(n � 1)(n þ 1)(n þ 2) (1 � z)2 þ � � �
F �n, n þ 1; 22 16
es un polinomio de grado n con el valor 1 para z = 1.
Si se muestra que Pn y F satisfacen la misma ecuación diferencial se llega al resultado buscado. Para hacerlo,
sea (1 − z)/2 = u, es decir, z = 1 – 2u, en la ecuación de Legendre (10.25), página 327, para obtener
u(1 � d2Y þ (1 � 2u) dY þ n(n þ 1)Y ¼ 0
u) du2 du
Pero ésta es la ecuación hipergeométrica (10.30), página 328, con a = −n, b = n + 1, c = 1 y u = (1 − z)/2. Por
tanto, se demuestra el resultado.
10.46. Demuestre que para m = 1, 2GG,��3,1m1.��. G.G��2m2��GG��3m3��������GG��mm � 11�� ((22ppp)p)((mmmffimffiffi�ffiffi�ffi11))==22
�m
mmm m ¼
¼
Solución
Se tiene
P ¼ GG��m1m1��GG��m2m2��������GG��11��m1m1�� ¼ GG��11��m1m1��GG��11��m2m2��������GG��m1m1��
P ¼ ¼
Después, al multiplicar estos productos término a término y con el problema 10.13, página 337, y el problema
1.52, página 32, se encuentra
P2 ¼P�2 G¼��1G��Gm1��1G��1 ���m1��G���2G��Gm2��1G��12 ���m2��� ����G��� �1G��1 ��Gm1��1G���m1 ��
¼ se¼n(ppsme=nm(pp)�=smen)�(2psmpen=(m2pp) �=�m� m)s�e�n�(mse�np(m1)m�pp=1m)p=m mm
oor or P(2¼p)((m2�p1))(=m2�=p1)=¼mffi2ffiffi=,pscaeos¼mffinffimffi(r,pesoaeq=snusm(eirpr)eebqs=dueum.snicr)(e2asdbpe.nap=.(mm2�p) 1�p=�mm��)se1�n� (�mse�n(m1)�p=1m)¼p=mmp=¼m2�mm�1p=1m2¼�m�1 (12¼pm)(m2�p1m)m�1
P¼
10.47. Demuestre que, para valores grandes positivos de z,
Jn(z) � rffiffiffiffiffi � � np � p�
2 cos z 2 4
pz
Solución
De acuerdo con el problema 6.33, se tiene 8 9
Re:<p1 =
1 ðp ðp t dt;
p
Jn(z) ¼ cos(nt � z sen t) dt ¼ e�int eiz sen
00
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Problemas resueltos 355
Sea F(t) = i sen t. Así, F′(t) = i cos t = 0, donde t = p/2. Si se tiene que t = p/2 + v, la integral entre corchetes
se convierte en
1 pð=2 e�inp=2 pð=2 e�inp=2 pð=2 e�inveiz(1�v2=2þv4=24����) dv
p p p
e�in(p=2þv) eiz sen(p=2þv) dv ¼ e�inveiz cos v dv ¼
�p=2 �p=2 �p=2
ei(z�np=2) pð=2 e�inve�izv2=2þizv4=24���� dv
p
¼
LSLeeLeLtateveLtv2te2vv¼t22¼2v¼¼�2�¼2��2iui2�2u2ii2=u2u=z22i2zu==o2zoozr=roozvrvro¼vv¼r ¼¼(v1(1¼((�11�((�1(i�1)1i(u)(��1iu1�i=))(=up�ui�1pip)i=)p=e)upzffi�piffieppiipzffip,)=(ffi)i,zeffiz(epeffizipffi�ipzffizffipffiz.ffiiii,)sffi�i(,(en.(ezzffizpzffizeiffiznp.ffi��ffidiffi�i.,p..(=ene,neznffiz2=uiffi�p.pcp..2)u,,e==n)i=¼�2u2rp.2uð1¼�,),)1)=ð11¼��2u�¼21�ð11)eð12111(p1e¼��1(1212=21ð1�1e1(2e(1(þ(��112�1þ1þe(þ(((i11þ�i1)þ1iþþn)iþ)(pn)u1iþiiip)u=)i)þpn)n=n)ffizppuuiffipuzffiizffi)==ffiv=n)epzffippvzffipue.ffiz�ffiffiffizz=.zffi�vpevueffiz.ffiu2�.�zffi��2veuu�u..i�22u2i�A��u4=4i2iiusu6=u�446zí4=i�=,z=u6�664�lzz�za=�����6�d��zi��d���nu���ud�td�e�uugdrual se aproxima mediante
o, para valores grandes positivos de z,
(1(1((�11�(�i�1p)ipe)p�iepiipp)()izezffi(peffi�ipzpffizii)ffi�i((n(ezzffizpzzffinpffi��ffi�ip(=nnznzffi2=ffi�ppp2)==n)=�22p2ð1�))1)=ð11��2�ð11)eð1111e��ð1�e1ueu2���2eduuud�22u2 uudd2¼uu¼d¼u¼(1(1¼((�11�(�pi�1)pie)�ffippiepffiiipffi)()ffiizeffi(ezpffi�piffizffipffiizffii)ffi�iffiffi((ffin(ffiezzffizzffipffinp�zffi�ffi�ffiiffipffi(=nffinznzffi2=�ppffip2)==n)=22p2)))=2)
y la parte real es
También pueden obtpepn1pffip1pffiepffiffizrffi11pffipffizffipsffiffinffiffiffieffinz1ffizfficpffiffifficntffionffizéofficscrns�oom�cszszo�i��nsz�zo��n�sz2np2�dpnn2e�2pp�noþ2�p�þrdþs�þeseennþssn�ees�nzsnuz�e��pnz�ze��n�rz2nip2o�pnnr2�2pp�n[o2vo�p�é¼oo¼a�s¼o¼rer¼pffierffir2pffilffi2zffipffirffizpffipffiffi2cffi2ffiffifficzroffizffipffiffioffio2csfficffibzs�offio�lcszsezo��m�sz�z�a�n�z2n1p2�pn0n22�p.p�1n2p6��4p24��p]4p4�. �p4� �
10.48. Sea C el contorno de la figura 10-15. Compruebe que para todos los valores de z
þ
1
G(z) ¼ e2piz � 1 tz�1e�t dt
C
Solución
En la figura 10-15 se ve que, a lo largo de AB, t = x; a lo largo de BDE, t = eeiu, y a lo largo de EF, t = xe2pi.
Así, ð ðe 2ðp ðR
tz�1e�t dt ¼ xz�1e�x dx þ (eeiu)z�1e�eeiu ieeiu du þ xz�1e2pi(z�1) e�x dx
ABDEF R 0 e
ðR 2ðp
¼ (e2piz � 1) xz�1e�x dx þ i ezeiuze�eeiu du
e0
Ahora, si Re{z} > 0, al tomar el límite cuando e → 0 y R → ∞, se tiene y Plano t
ð 1ð
tz�1e�t dt ¼ (e2piz � 1) xz�1e�x dx
C0 BA
Rx
¼ (e2piz � 1)G(z)
EF
Pero las funciones en ambos lados son analíticas para toda z. D
Por tanto, para toda z, þ
G(z) ¼ 1 1 tz�1e�t dt
e2piz �
C
Figura 10-15
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356 Capítulo 10 Temas especiales
10.49. Demuestre que sn(z1 þ z2) ¼ sn z1 cn z2 dn z2 þ cn z1 sn z2 dn z1 :
1 � k2 sn2 z1 sn2 z2
Solución
Sea z1 + z2 = a una constante. Así, dz2/dz1 = −1. Defínase U = sn z1, V = sn z2. Se sigue que
dU ¼ U_ ¼ cn z1dn z1, dV ¼ V_ ¼ dV dz2 ¼ �cn z2 dn z2
dz1 dz1 dz2 dz1
donde los puntos denotan diferenciación respecto de z1. Así,
U_ 2U_¼2 ¼(1 (�1 U�2U)(21)(�1 k�2Uk22U) 2) andyan dV_ 2V_¼2 ¼(1 (�1 V�2V)(21)(�1 k�2Vk22V) 2)
Al diferenciar y simplificar se encuentra
U€ ¼ 2k2U3 � (1 þ k2)U (1)
V€ ¼ 2k2V3 � (1 þ k2)V (2)
(3)
Se multiplica (1) por V, (2) por U y se resta para obtener (4)
(5)
UUU€€€ VVV ��� UUUVVV€€€ ¼¼¼ 222kkk222UUUVVV(((UUU222 ��� VVV222)))
Es fácil verificar que (6)
UUU___ 222VVV 2 ��� UUU222VVV___ 2 ¼¼¼ (1 ��� kkk222UUU222VVV 222)))(((VVV 222 ��� UUU222)))
22 22 ((11
o (1 ��� kkk222UUUUUU___ VVV222VVVþþþ222)))UUU(((VVVVVV___222 ��� UUU222)))
((11
UUU___ VVV � UUUVVV___ ¼
�� ¼¼
Se dividen las ecuaciones (3) y (5) y se obtiene
U€ V ��UUUU_€€_ VVVVUU����VV_€ UUUU¼VVVV€_€_�¼¼2k��21U2�2Vkk212k1(UUU2_��UVVV2kk((VþUU22__UU2VVU22VVþþV_22)UU VV__ ))
U_ V
Pero
y U€ V �UU€€ VVU��V€ UU¼VV€€ddz¼¼1 (ddU_ddzzV11 ((�UU__ VVU��V_ )UUVV__ ))
�2k��2U22Vkk22(UUU_ VVV((þUU__ VVUþþV_ )UU¼VV__ d))dz¼¼1 (d1ddz�1 ((1k12��U2kkV22UU2)22VV22))
dz1
de manera que (6) se convierte en d(U_U_VVdd((�UU__�UU__VVUVVU��V_��V_ UU)UU¼VV__VV__ d)) (1¼¼1��dd((1k11k12�2�U��U2kk2kkV22V22UU2UU222)22VVVV2222))
Al integrar se obtiene 1U_�Vk1�U2_�UVU2kVV�2_U2sUn¼2VVz_1c2sc(n¼nuz1nz1c2a�cdcnnko1z2nz2�2ssdntþnak2n2zzct2s1ennþ)sz2,n1ez2cs1snzns2dznz1e22csdzin2rn,zz21d¼n zc1 ¼ c
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Problemas complementarios 357
es una solución de la ecuación diferencial. También es claro que z1 + z2 = a es una solución. Estas dos soluciones
deben relacionarse de la manera siguiente:
sn z1 cn z2 dn z2 þ cn z1 sn z2 dn z1 ¼ F(z1 þ z2)
1 � k2 sn2 z1 sn2 z2
Con z2 = 0, se ve que F(z1) = sn z1. Así, F(z1 + z2) = sn(z1 + z2), con lo que se obtiene el resultado buscado.
Problemas complementarios
Prolongación analítica
10.50. a) Demuestre que FF11((zz)) ¼¼ z pþpþii1221��zz221212þþllnn132132zzþþ33 þþ��1z411z14z�z���44 þiþiii����þþ����1212c��on1z1zv����eriigii��e22pþþar3113a��jj|zz1zz1zjj|����,,<iiii1�1�..33þþ �� �� �� converge para jjzz �� iijj , ppffi2ffiffiffiffi.
b) Demuestre que FF22((zz)) ¼¼ z , 2.
1
14
4
c) Demuestre que F111(z) y F2(z2)2 son prolongaciones analíticas una de otra.
d ) ¿Puede hallar una función que represente todas las prolongaciones analíticas posibles de F1(z)? Justifique
su respuesta.
10.51. Una función F(z) está representada en |z − 1| < 2 por la serie
X1 (�1)n(z � 1)2n
n¼0 22nþ1
Demuestre que, en z = 5, el vÐÐ0a011lo((1r1dþþe la función es 1/16.
10.52. a) Demuestre F1(z) ¼ t)e�zt
que F1(z) ¼ t)e�zt dt sólo converge si Re{z} > 0.
b) Encuentre una función que sea la prolongación analítica de F1(z) en el semiplano izquierdo.
rveagloiórnddeelacopnrovleornggenacciióanodofeaf nFFa11l((íztzi))c¼¼a dÐÐe0011Fee1��(z((zz)þþc11)o)22trtrddettspyornedpireensteenatezg=ráf2ic–am4ie.nte
10.53. a) Encuentre la esta región.
b) Encuentre el
z z2 z4 � z=(1 � z) siif |jzz|j <, 1
� � � 1=(1 � z) siif |jzz|j > 1
10.54. a) Demuestre que 1 z2 þ 1 z4 þ 1 z8 þ � � � ¼
1100..5556S.. uSM Sbpu)up upopepsoAseSontsrungPeeSpaalpuqP1niqop¼ucuspee1n1e¼oaels1anPseztasobnPe1nsz¼rbPihr11nenea¼asPsn1h1nu¼azjal0zbsn1tn¼janzzjd30¼zbPthniojnzaes3¼1sPn1nhn¼deajn01zesn1oj|¼szzjd3¼0zp|nejzu=3¼1eendl11epucpnorotmoloodnefgrvaorinsstteearadaneanllaíattiupcrraaomll.oe¿nnEgtesapcmeióPráansrP1níaa¼anl1l1naáq¼(lu�í1dPteei(1c�jPn1)laz¼an1j.a1jn1)c¼zn¼n(ijza�r1b¼c1n(n1uz.�jb)n1znn1jf.aje)¼znnrjzeab¼1nnn.zcbi1jan.zjt|ajz¼zm|j=¼b1ijé1a1zns.jja¼ztsuj v¼1iea1rsaas
|z| = 1 como frontera natural? Justifique su conclusión.
10.57LG. e(LGa Sazt)nf)ee(zaaztDnl)fíg{zetLG,zinmcneng(}aLG,ztu¼),sfnee(znztesn¼)1tnfg=rz,,ena12ng1q,,,y,u¼23n2te,a,,¼1.Fl33e,.,(,s.1.…z2).q, .u=23ue,n.G3Fa.,((.s.zzu.n).)c. eb=Fs)i(óEGFznxn(()zpztnanl¼)il),qFq¼Gnu(uezF(=enGz(l)nazl(1)í¼nzm,r,)nlen)í2n¼Glm,!a,¼(nc3nG1zi!,n¼ól1()zí.1nz,m,n.n1l2n.qz)í¼n,m,,n.!u¼23ne¼na1,,!,h¼1.3zay1a,.,n,y.1.2sz¼..,une.p2n3¼a.o,t,r.n3ea.g,,.e.al. que para todno, nzn, =zznn =an., Lae. tSFe(azn) F(z) y G(z)
.re.sultado del n, aznn.,=Lzne=taF. La(z.e)Lt Fet(zF)(z)
inciso a) y la prolongación
analítica. [Sugerencia: Considere el desarrollo de F(z) − G(z) en una serie de Taylor en torno a z = a.]
Principio de reflexión de Schwarz
10.58. Repita el problema 10.2 con el principio de reflexión de Schwarz.
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358 Capítulo 10 Temas especiales
10.59. a) Como la igualdad sen 2z = 2 sen z cos z es válida para todos los valores reales de z, demuestre que también
es válida para todos los valores complejos de z.
b) ¿Puede emplear el principio de reflexión de Schwarz para demostrar que tan 2z = (2 tan z)/(1 – tan2 z)?
Justifique su conclusión.
10.60. ¿ Puede aplicarse el principio de reflexión de Schwarz si la reflexión tiene lugar en el eje imaginario y no en el eje
real? Demuestre su conclusión.
10.61. ¿ Puede extenderse el principio de reflexión de Schwarz para aplicarse a la reflexión respecto de una curva C?
Productos infinitos
10.62. Investigue la convergencia de los productos infinitos
Yka1¼)Yk11¼Yk�11¼�11�1þ1þk1þ3k1�3k1�,3�, , b)Y1Y1Y�1�1�1�1�p�pffiffipffi1ffiffiffi1ffiffiffi1ffiffiffiffi�ffiffiffiffi�ffi, �, c,) Yk1¼Yk11¼Yk�11¼�11�1þ1þckþo2ckso2þckkso2þpk1sþp�1kp�1�
k kþkþ1þ1 1
k¼k1¼k1¼1
10.63. D emuestre que una condición necesaria para que Q1 (1 þ wk) converja es que límlní→m∞nw!n1=wn0.¼ 0.
k¼1
10.64. I nvestigue la convergencia de aY)1YY11���111þþþ11�1��, ,, b)Y1YY11���111þþþpppffiffiffiffikffiffikffikffiffiffiffiffiffiffi�ffiffi��, , , c) Y1YY11(1((11þþþccocoto�t�t1�1k1k2k2)2.))..
kkk kk2k2þ2þþ111
k¼kk¼1¼11 k¼kk¼1¼11 k¼kk¼1¼11
10.65. Suponga que un producto infinito es absolutamente convergente. Demuestre que es convergente.
10.66. D emuestre que cos z ¼ Y11 � � (2k �4z122)22p22�..
1
kk¼¼11
� e��kkzz�
10.67. Demuestre que Y11 1 þ k22 a) converge absoluta y uniformemente en el semiplano derecho Re{z} ≥ 0 y b)
kk¼¼11
represente una función analítica de z para Re{z} ≥ 0.
10.68. Demuestre qqquuu����eee11:11������a��1111)s212����1se212�21en�2�ssn122212��h11ee�h�2��2nn1�z��1z�1�hh¼þ1��¼þ11z�z�1131Yk¼þ¼þ13Y1k¼3���11¼3�12131Yk31Yk�12�1¼�13¼�3���11�112�1211�����1���1þ�111��þ11�41���11k41þþ�k24�z��1214144pz221�kkp2��2���2224z4z�1�12p��p222�2����¼����2,�2�¼,������ ���21¼¼,¼,��12¼.b��.1221)21¼¼12...c.co2121os..ccshoohzsszhh¼¼zz Y¼k¼Y1k¼1¼1YkYk11¼�1¼�1111��þþ11 (þþ(22k((k22�4�kk4z1z��24142)z)2z1122p2p))2222p�p�2.2.��..
10.69. Demuestre
10.70. Demuestre
10.71. C on productos infinitos muestre que sen 2z = 2 sen z cos z. Justifique todos los pasos.
10.72. D emuestre que YY11 ��11 þþ1k1ksseennkzkz�� a) converge absoluta y uniformemente para toda z, b) representa una función
analítica.
kk¼¼11
10.73. Demuestre que YY11 ��11þþ kzkz��ee��zz==kk converge.
kk¼¼11
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Problemas complementarios 359
La función gamma
10.74. E valúe las expresiones siguientes con la función gamma.
ÐÐ 11 yy33eeÐÐ��001122yyyydd33ÐyyÐee010,��1 22yyyy33ddee�yy�22yydÐÐdy0011y yyÐ2201eeÐÐ��y0011223cyye)2yy2�22ddÐÐ2ee0yy1y0��1d22yyyyy2222eedd��yy22yy22ddyy, Ð01ÐÐ001y12ffeyy�ee2ÐÐ��y00121yy22dgffgy1y1yÐ==eeÐ04410��1ddyyfy22yfyggye11e�==�44yy2dd2gyyg11=e=44)ddÐy0y1
a) fye�y2 g1=4 dy
00
10.75. Db)eÐmÐ0011uueus33=t=r2ÐÐ2GeG00ee11�(�(qzzuu33u))uu33ÐeÐ==¼¼0dd12201GGuueeuÐÐ,��((u 00z3z1133=))uu=ff22Gl¼¼ldedGnne�(uu(�(zÐÐ311zÐÐ)300u)11=0=0u11¼dttff¼df)f)lullgulgnnÐÐnnzzÐ0((0��1(1(0111ÐÐ1111f==00u11f==lddttldn3ttff))ntt=))( lglg)2g(gnn1fzzfGÐ1�e���oÐo((=01�=0(1111r111rtz==tf3)==ddf2)R)2Rlguttlgnttzd))¼dneze�(gg�pftft(fu1��1oo1z1zaÐ=11dgrrg=r0d1==tatt)22.RR.tf)gfRgddle�efon�ott0ff01er(1zzr=..{1=Ðgg2R2Rz=01d..}etdeft)ftflg>zn0z0g�g(..01.1..=dt0t)0g.f.�o1r=2Rdetfzg . 0.
10.76. 1ð1ð (q(xxu�e�xx221ð1ð11)(()pxxp dd��1ðxxx1ðx22(11¼(¼xx))pp�x�GGxdd2(2(x1x111)¼¼)pþþpddGGxppx(())¼11GG¼1ð((þþG(11Gx(�pp�(1�1x))GG2þppþ1(()))11,,pppw)w��)dGGhxh(pp(ee1¼1))rr,,e�e�dwwG��op(hhpn1)11ee),d,rrþ,,weewh−p��hppe)e1G1r,,re(e<,,1�11��p..pp11<p,,,),111ppw...,h,e1r1e.. �1 , p , 1.
Demuestre
11 11 1
11
10.77. S uponga que m, n y a son constantes positivas. Demuestre que
1ð xme�a1ðxnxdmxe¼�an1xn ad�x(¼mþ1n1)=an�G(�mþm1)þ=nnG1��m þ 1�
D Reesmuueelvsat1ðr0Ðe0e1pq�(uzxffitteldÐnffi0t1ð10x¼(e)xp4�lrdztffinffitxpffidxzffi..ffi)t4i¼fdRxr.epffifzffizffi gisf.i0RR0eef.{zzg}.0>00. . n
10.78.
10.79.
10.80. Resuelva a) ΓG((−�77G/=22(�)),,7(b=b)2)Γ)G,(((−�b)11G/=33(�))..1=3).
10.81. D emuestreGq�u�e12G���m21��¼m1�(��¼31�)15m(�þ��31�1p��)(5mffip2ffiþffi�m21�pm�þ(þpffi2ffi11ffim)2,mþþ11m) ,¼ 0m, ¼1, 02,, .1.,.2., . . . .
10.82. D emuestre que el residuoGd(ze)ΓaG(tz(zz))¼eant�zzm=¼, −m�mm¼,, 0mm, ¼1=, 020,,, 131,,,.22.,,.33, ,,i….s.(.,�,e1iss)(m(−�=m11)!)mmw/=hmme!!r,ewd0ho!enr¼dee10p! o¼r 1definición 0! = 1.
10.83. D a C)eoGmGn((uzzl)ea)GGsr(t(Ger11ep(�z�rqy)yeuGGzs.z.e)((e)z1n¼s¼)00iGt�,a,yys(scte1tzhe>.hinp)nópe�epn¼ynpn00zz,,z.jd,j)s,GeGte eh¼n((0npieltiy,obaypns))tn)ejzfhjj,cnpu2G¼e2¼epn2n(2szizcr�zyr�j,iG1)ó1ffiyjGffiyG(ffinffis2¼i(sffi(yeffiz2effigz)ffinp)znpffi)rj�aGffihGffihffim2¼1�ffiffiyp�ffiGpffi2zffiffizffimzsffiyffi(rffi�yþffie.ffiþz.ffi1anpffi)ffiyffiGGffiffi21hffi21ffics�ffiffi(��ffiffipoeffiffizzffiffi¼npffi¼)ffimyffiffiþGffi.hffiffipo�ffippffi12zffiffi�ppffiyffipffiþffi..rffi¼GoG21d(�(p22u¼zzcpffi)ffi)ffitopG(ipffi2nffiffizfG)in(2itzo) compruebe que
10.84.
10.85. A nalice el problema 10.84 si y < 0.
10.86. Demuestre a) la propiedad 6, b) la propiedad 7 y c) la propiedad 9 de las páginas 322 y 323.
D a )e m CueosntrGleGa��q51r15u�e�GepG�r�Ge5252��s�15e¼�¼nGGt�4a�45152cpp��iGó22¼=�n=p52p�4dffi5pffi5e¼ffiffi..2l=4appfu5ffi2ffi=n.pciffi5óffi.n
10.87. gamma como un producto infinito, compruebe que, para todo entero
10.88.
positivo m,
mmzG(z)G(z þ 1=m)G(z þ 2=m) � � � G(z þ [m � 1]=m)
G(mz)
es una constante independiente de z.
b) En el resultado del inciso a), con z → 0, evalúe la constante y demuestre así la propiedad 5, página 322.
La función beta
10.89. Resuelva a) B(3, 5/2), b) B(1/3, 2/3).
10.90. Resuelva las expresiones siguientes con la función beta:
Ð01Ða01tÐ)�0t1�Ð10=t11�3=t(31�1=(311�=(31�(t1�)t2)�=2t3=)32dt=)td32,=td,3td, t, Ðb01Ð)01uÐ02u1Ð(20u11(21u�(21�(u1�2u)�2u�)2�1u)=12�=)21d�=ud21,=ud2,ud,u , c)Ð03Ð03(Ð90(3Ð9�0(39�(t9�2t)2�3t)=232=t)23d=)td23,=td,2 td, td, ) Ð04Ð04dÐ0td4=Ðt0dp=4tpd=ffi4ffitpffit4ffi=ffiffiffiffi�tffipffi4ffiffiffi�ffiffitffiffi4ffitffiffi�ffi2ffitffitffi.ffi2ffi�ffiffit.ffiffi2ffit.ffiffi2ffi.
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360 Capítulo 10 Temas especiales
10.91. D emueBBstBB((rmme((BBmm,qþ((n,ummþen1þ,þ,BB1BBBBþn1n,((((((1mmþ))mmmmn1,))¼,,,þþþn1¼nnn))mn1þ11þþ¼mn,.,, n1.n1n1mn)))))).¼¼¼ mnmmnn...
D D eadmouaeBs>tB�rBe�p0B�Bqp,þ��2puBpþp2peþr�12uBþþBB12p2,e1���b,BþBBp112,pepp�p��,þ,2121qþþþ2pðp2p20þa�212pu,1ð0þpa�þþ12e1212þ�1212p,ðaffi0,�,a�1ffi11ffi¼14affidppffip,p,,�ffi¼4y�dffiþffi2affiþþ221ffi122122yffi�ffiffi¼ðp04ððaffi�2d00ffiyaa��ffiffi1ffi1ffi1p4y�pffiyppffiffi�ffi2��ffiffi4¼ffiffiffiapffiaffiayffiffiffi¼ffi¼4ffiffi¼¼d44ffiddffiffiffifffiffiffiy�ffiffiyyG��ffi4¼ffiffifffi2ffiffi22ffiffiffiaG(ffi4pffiffipffipy1ffiffiyyffipfaffiffi(ffi4ffiffi=44yffiG14ffiffipffi24¼=a(ffi¼¼effip)1ffi24psffigffi=p)ft2ffiffffiga2ffi4Gffi4.GGffi442ffibp)affi(.aa((ffiglffi111p2ppe===.z2ffi4ffi242ffi4cffiffiffiffip)ffiffip)p)ffiaffiffiffigffigffigffiffiffi222l.a.. s
10.92. restricciones necesarias para p.
10.93.
10.94. E valúe: (a()a)Ð(0apÐ)0=p2Ð=0s2p(((eas=aan2)e))6nsÐÐÐue6000pppnuc===6o222cusosss4eceesnu4onn6s66udu4uuuduccc,uoood,sss u444,(uuub()dbddu)Ð(uub0,p,,Ð)0=p2Ð=0p2(p((bbbp=ffit2)))ffiaffiffitpÐnffiÐÐaffi000ffipnppuffitffiffiffi=a==ffiffiu2ffiffi22dnffiffiffippupffiduffiffi.utffiffittffiffidaffiffi.aaffiffiffiffinffiffiuffinnffiffiffiffiffiffi.ffiffiuffiuuffiffiffiffiffi ddduuu...
10.95. D DeemmuueeB1ðss0ttB1(ð0rr1meex(1Bþ1ð3m0,xqqþ(d3n,1uumxxxd)een6þ3x,x)¼B1ð60BB11ððd¼00n¼x(x((¼1)11m126mmxxx3¼þ321þþ33,¼p,,ðp301dddnpnnðp120x1ffi3xxxxxx3)ffi))6(66.m3ffipx1ðp¼0ffi1¼¼(�¼.m¼¼1þffi3x1�ffi21(2112.þm3113þ3x�pðppp0ðð1pþp00)11þx1xm3ffi)xffi3ffi3xxffinþþffiffixm(ffix((.m�..mm1nn11þ)�1��xmnþþþ1d11nþ�xþdnþþxxx1x)))dxmxxmmnxþnnþþ���nnn111 dddxxx, donde Re{m} > 0 y Re{n} > 0. [Sugerencia: Sea y = x/(1 + x).]
10.96.
10.97. a ) Demuestre que si m o n (pero no ambas) es un entero negativo y si m + n < 0, entonces B(m, n) es infinito.
b) Investigue B(m, n) cuando tanto m como n sean enteros negativos.
Ecuaciones diferenciales
10.98. Determine los puntos singulares de las ecuaciones diferenciales siguientes e indique si son regulares o irregulares.
a) (1 − z2)Y′′ − 2Y′ + 6Y = 0, b) (2z4 − z5)Y′′ + zY′ + (z2 + 1)Y = 0 y
c) z2(1 − z)2Y′′ + (2 − z)Y′ + 4z2Y = 0
10.99. Mediante series de potencias, resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes y encuentre la región de convergencia.
Si es posible, sume la serie y muestre que la suma satisface la ecuación diferencial.
a) Y′′ + 2Y′(+a) YY0=0 þ0,2 Y0bþ) YY′′¼+0z,Y =(b0) Yy00 þcz)YzY¼′′0+, 2Y(′c)+zYzY00 =þ 20Y0 þ zY ¼ 0.
10.100. a ) S uponga que resuelve (1 − z2)Y′′(+1 �2Yz2=)Y000 þme2dYia¼nte0 sustitución con la solución supuesta Y ¼ P anzn.. ¿Qué
región de convergencia esperaría? Explique.
b) D etermine si la región de convergencia esperada en el inciso a) es correcta, hallando realmente la serie solu-
ción. Y00 þ z2Y ¼ 0 to Y(0) ¼ 1, Y0(0) ¼ �1 and (b)
10.101. a ) Resuelva Y′′ + z2Y = 0 sujeta a Y(0) = 1, Y′(0) = −1 y b) determine la región de convergencia.
10.102. Suponga que Y = Y1(Yz) ¼esYu1n(az)solución de Y′o′ f+Yp00(þz)Yp′(z+)Yq0 (þz)Yq(=z)Y0.¼D0e.muestre que la solución general es
Y ¼ AY1(z) þ ð expf� Ð p(z) dzg dz
BY1(z) fY1(z)g2
10.103. a ) Resuelva zY′′ + (1 − z)Y′ − Y = 0 y b) determine la región de convergencia.
10.104. a) Con el problema 10.102 demuestre que la solución de la ecuación diferencial del problema 10.103 se escribe
Y ¼ Aez þ Bez ð e�z dz
z
b) Concilie el resultado del inciso a) con la serie solución obtenida en el problema 10.103.
10.105. a ) Resuelva zY′′ + Y′ − Y = 0 y b) determine la región de convergencia.
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Problemas complementarios 361
10.106. Demuestre que Y ¼ V expf� 1 Ð p(z) dzg transforma la ecuación diferencial YY″ 0+0 þpp(z()zY)Y′ 0+þqq(z(z)Y)Y=¼00einnto
2
V00 þ no
� 1 p0(z) � 1 [p(z)]2 V ¼0
q(z) 2 4
10.107. Con el método del problema 10.106 halle la solución general de zY′′ + 2Y′ + zY = 0 [véase el problema
10.99c)].
Solución de ecuaciones diferenciales mediante integrales de contorno
10.108. Con el método de las integrales de contorno resuelva las ecuaciones siguientes.
a) Y′′ − Y′ − 2Y = 0, b) Y′′ + 4Y′ + 4Y = 0, c) Y′′ + 2Y′ + 2Y = 0.
10.109. Demuestre que la solución de zY″ + (a − z)Y′ − bY = 0, donde Re{a} > 0, Re{b} > 0, está dada por
ð1
Y ¼ ezttb�1(1 � t)a�b�1 dt
0
F11111111111110u000000000000.............1n1111111111112211111121111c2019861054273.i............ o S S D GM D DDMM D CM nuuoeeeeeepeuuuepmnmmmmmdoeeeoseisssnuuuuupnratttgaeeeeerrrrngduaeeelsssssatittttteeecqqqqrrrrrbqeeeeeedusuuu((Jd(JJ(euaazudeaBb3eeen�((Jlqeqqq0d(JJ(de))=((J)odaa(JJ(zsq)(adfb:3ln�n((Jpuuuu0d(JJ2(aadzaabRz3zt((J))n�=eds(JJ)0(aauz)R(fa(ba3(drn�neeeei))=JJ0)aa)2znJ((Jab))(dfJ(JJ3(zzezn�))=nz0tee)e2)(f(r)aas::z(z10aJ))b=ne0n3dJJ)u))02nn�nJ)(fs00¼)d(((JJJzdz(JJ(z(fesn0:z((JR=0JJ2d)(JJ))((n=J(bn)Jz{aaz)(10(z(aaJf0z0naczbJJ))z03snaannJ2−us(z0¼n�)¼aJsbz20((3zu10J0n�azJJ(0znz)=0b0zn)J0(n)J))n0¼)z=e))zg)i10(0J(i(z0)z0))(n)f=u(=)0)0nlz2(s210JJn)¼)¼()nf)znndJ(10J2ó(e00nJ0)nn(z})z=)0z0((Jnz(2fdtz0z(2JJ¼))s(n¼Rz)z(((0iR0(zczl)(=0(s.z10dJ(z(¼20nsfaa21an()¼()zz0)n((aJJJzb(()0nd¼(¼)3n(JJni((g(zz)tzn�JzJJ)020zszneJz)¼l=120ze)zoJ((�)s¼Jzin>(aan(zz)zze))a(adg0zb=z¼310)eJf12())0)n�))(f2s)i0¼)(n10¼Jnz¼z)g0n¼0)n(znzn)e0n21¼(zz)2)¼f0ns0(¼))))d==0��)¼Jf)n(¼dz0zfzng)o(f=0i(0�¼z()c)0f(zn)s.n1z()�41�12¼¼J(=)0t2¼2(s(ng¼z(z¼(JJf)z2(zz¼snznzJ)¼(iz81��J¼¼J()o0ezg¼eo(z)(.za�zai((¼n)z)g1�r¼¼JffJJ�41�()1zpig¼()10ndJ21Jz)¼0nJJ�zg)0zz¼nnnJ21r)0¼f)zz811�nsz.n�14¼nse)0�¼JJzP�=)0(¼n10)(J)1�0nnfo18�140)1c)np0¼1e(nf(0(s.Jc¼))c�J�¼s.Jc¼z(fJ(21s0g)z()fc¼81�41Dz=nf¼0nn¼1(p(zffi2g�Jnd−(zJ�¼J(rJ((zz0eo)J.18l�.afnfe�o¼J1onffinpa112inJos()�41��z¼J)3JzJ(tz()¼Jzzo12ffiff)(zz1nnpn=1¼¼n2ffi18�nnJJeJn��zz(JJDJs(na¼ein=((f)zzp)snnPs�ffi�nn)1s)znJJ)f12ffi2�)�)2�11310p(J�4��J(v0¼nfJzffic(z1pz)2nnzzn�14cJ1(ffi=J¼f�ffi2(nn�)3)(n,�gmJ183(J,)(J=z(zrffi((nnz18ffilru�¼J2ffi¼=unf))�.e(�))na2�ffi3n)1)oJa(e1�.Jap1ffi¼�o)=(a(ffinJgzp2ffizJf1oocp=znzz)J��z3no¼v3n)f2�zffiJnffi�,2ffi¼Jn�z=J(¼zn(f)Jmffip(2zn=z�)(J(�nffin)32�JPffiffisu)n�(s)n)1=,1P�(�3¼J(of�p(2Jz1sbffiJcnz1�41veffiffiz)3Jc2�¼nz�tzz,c=)�)sJc��n1cnffi2ffizp((2zffiffinz=81(oJ�J(c(z3¼ffi2(e¼ )hrnz1u,)ffiffi�141J(ns)u�2�rffiffino(()fr)u)l�3noiefficfþzzffioJ1(ponp)2z�ffi)zzzo3p)sffiffi811Jb�3)=o(zn�nJoffifz,roefc(nszzoffiJ,(ffini=(=(�(ffinza))zJ)s)f)ffis1�(pe=(o)fns))2�ffii1zffiJsJ(þso�(1nfzs1zJs()2�rJzzfficp)zf2)s�)ztb�v�nJomsffi�fzn3tffiv)pzrJ2znito,,þnJ(ffibi(3z2nszffi2ffi)s2J(ffizrb,�s(�o¼nn1eJ())¼J(h)ui�)ffiornnþuo1Jf,1ffiu(ffi(3qnzu)z))�e3bs��nc1zeffi)t(0)s2ffii¼ezrz,nþffi,cnz)1JJ(=1Jðn�o2nzznb)z�nffi0bÐzffiJ((ffi(aar)(n=r()n�)s�3,pz)ffi1J()J)1¼uio3(f)znþ)ffi2)2�zz)(�=of¼�nbz�z,en)sp1b2zffirtJzn=n(n)323z,tzl)sqÐtoagJ(,(n2(¼n)az2�ffi,(o¼zes�eJ¼n¼z3(2)hJ1¼)z(1ipJ((2¼e)zþÐhs�z1)ffip¼()3z(,)i.nbbþ�,c�3JzJ0¼)ur(qnzÐffibg3�,ra(nJ2z1¼(ð,zz�,n)r(0nn)bz,zJffiJ00aJ1¼(m0)(Ð(ag13c)(1z p(qoz)bfa.n)nzbJJffi1z¼¼�)z1),uez)z3(Jg)sJ(zffiJ(z(pznnÐnnt2ffi2b))�.zJa,dz(()t0o.2�Jnof2((g2zJ¼e3()ffi(ds2(upz�)n3t(b).zJ)zzJi)s2�)þ1ep0aþn3n¼b(z,ffi3n(ob0�pz=J)c¼.J2ffi(zgb,z0z,drÐJJa�n01ð,ns)�11(�J()J)z0)13ði(Ðbzffi0þe0dJ((2)¼(()bffi2sJ70,dpb1�)1J(1)¼þ.)1ffi)z(nro�0zp)bn,ffi2=d(2b)ffi23zJ(JznxJfb,dzzg)1(1(zþn)�n=affi02)gffizz1¼d(2a()ffi2= nz,d)zffiJ)ez(zbþffie(p1(tJJzz.s1)ffi3).(zp)1þYffi(J�dJ2(p)�=pJn)zp.¼z2fzz,ffi3z,ffi(þ�2ffi(1(ctJ2,dJ)þa3ffizp(Ð=0n�z)affi�zd)(z3)JJffiffi�fd)0(2)1(,0(2J0¼0zb)¼))zu3zp,þJ�þffi1″ffi1ffiaJbJof0þz)JJ=nffi,Ðb2)1zz2)(ffi2ffi0zpJxffiffi,d1þ((�pngJbzz(J�¼Jd)(�n2ffif)1=)Jzn.,,dz)�¼ffiffizd.(23)dffiffiz23(þnr�1bffidnt2())þzzps�)dpJffiffiþzt)a2J.zpffiffig2�,1+Jy=þz�2f,pJ3ffiþz,n�z3)3n1zzcffiffiJ(=t1(�danffiffi=zzþ.zcJþ(Jtffi¼ffi32,1(0))Jp3)ffi.()n1(ffiffi(z2�dðz�þ)(n�)u)þ=pbffi02zp.n312Jffi,(13ffiz1z)J33o0)ffifzp12,2o0z0ffiznnx2þ=Jz.2ffifn2ffipffiJ,,x�,ddz¼23(¼1J3b)vJ(ffi(¼zJ(dffin)31d=2(¼ffi.)z.2(1)J2ffin6þ�2þ3,JY(¼c,)¼sþffiJ3zc)ffi2Jaffiz,þs(��,dffiYy(Jznz2=z2zzz2nzJffiztn¼nffi=J3d,.a(2�2)d1(þffit.g((3t(þnJ�zdþnoffi3zffinJo2þ¼121ffið),))′=2u))2p(032þz)z)((31zpu¼ffiJffi3,zffinz)1(3.zynþJ0lfz.þ,ffi,z,)pn)=Jg.pg(¼ffiz((z0zn3sp¼1.zzn(=(s.(,))1JzopþJn1zd+))3)ffin2d(zJ.g2f3,þ¼¼2c�,.zcJ3az(2þ�.Yzzzyffin)2a1z))�J3(yþ2.g¼g)J3(¼z¼n132(ffi3�¼dzPrz(tJþJ1�..(¼a)Jtog)þzffio(ng)33zpðz¼()ffi(1,)1p0zð2n.1)þzpJ0))nffi,effiz(3,�dzz0g�)3¼(0up3z.gnz,¼2zzn=3ffi(zJ..0z1¼sffiz3.)sg�1¼)(þz)(pn1s)ffi,2ffi3.)z3¼¼sJ.2¼cþ2Y)2c(zz¼)c)n.(J3=Y1c.ffi.zpY.3ffi2Yzz3g(�þ¼¼..g()zeJþ2¼()fficJþ�P.gzffip12(J1a32)(o¼ffizJJo3oz3n1ffi¼oz)(1)ffi,.n.�p0z3.=¼Jffi3ffi2¼n�z0n�ffi)3gzþo3(.0pu(J¼(J2�pffi1gzffi0nJ(s()ffi=zffi2s,0�ps.)n)s1Js.þþffinffi)o�znpz)zffi.ffiY(=ffi2�(nzz)1s1nffiþ.((2J�z(ffi3þu¼ffi.7¼ffi(gþe¼2ffi=þþ2z�3�)ffizcPffiþ)¼.)2ffiapþPffiþJ1ffi)ffiz)zapffiz(pffi=ffiz13z¼z(zcn.zffi10ffi.gJþ32ffiffiJ��)nen().�ffiffiffip=ogu�ffi1z(02xJ)ffiffiunffi�þzz2Jþ3ffiffiJ3¼�p)�ffi,1zsffiffiz.)ffiþ4Jc1nszunffi=fficzYgd.�nþ(ffi2ffiYp�1þsffiffiY1)ffin)J21J(ffiffiffi2nu�c3z)¼effiffiz�þþ3ffiffi(ffinceþþn)z,ffiffifficþffi.opJpJcffitzczffiffi(ffiþu=nn3ffi.ffi3(0¼aJ 3�ffi,þffiþ=)0nJ(cþffiJzffie)oncþffiffinp3JJoxzffin)zffi,þJs�ffizoJz((¼pffiffipzc3þc4ffi(zffinuffipþ,nndrJffiffig(o�þ1)sn1ffi2ffiYcn)�ffiz�2)zs1ffi�n�u2)nffifficu3s(zoffiþ(ffiþ,offiz.JþJ(ffiffi(ccn2ffic2z(�)ffiu)osgc(þn.=1czzJ3affi.(ffi.þ)ffi)þnJ3n(J))cszffizþxg3n01szzffixo,.)z(3=JJ(z¼p)oscc,p4gþzffi(J1Ju4ndc).þ.u()(d)�Y5(z)cffizgYz�)1()snp..()osffi.Ð(þdc(nnz(zzyJo�2Jc.u)zgzffi.1)c(uþna(zþnaffiþþcþ)z.))se.Ð0)34.c)zzsffi(,aJ(¼pnzoJ)¼pcffig((.1Ð.)g)153(z))c�,zu.Ð3J�scn.czsoz(n).yz.Ð2(()2c.)Jzþc(anzn.)3onz)z.Ðs0)z4.cþ0Jao3(þJ0)o(tzJg1(.))s535couiz.Ð(J(zs.3g.Ð1(s0)y[Jysc.zz)(s03.(z�J(S()4fzcþ0)4a.))za()Jzz�0a53u(ou3z.uÐd))0()�)zcJug)J.Ðs�z(zd)cþze0cþe0z)d�5�3zzo(do¼()r�dzlz3uJzsez�sa�d¼)zJ0)�¼n�5��5zz¼0d(e�d�¼c�u3z(uzzc�¼zi)zJz3�auz�.)�3¼1dzJ¼�3:aJ(dz31z�JzcU13J�z�(z1.)z¼i(Jz�1�3�(ósz3¼)1(�z�Je)J�nz()2z.1�.1z)�l3z(z2�()az32Jz�z2)J1f)Jz22�zu�1(222zJ2z(nJ(z222J)z2z2c2J(�z)2)z(Jzi2�2(óz2)þ2(2zJ)Jnz(2)þz22z)þ2z(cþg()þz2J.zceþ)Jc2).nc2(.þcþe.z(c.)rz.ac)cþt..þriczc..].
10.123. Establezca la propiedad 8, página 326.
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362 Capítulo 10 Temas especiales
10.124. S ea Re{z} > 0. Demuestre que
donde C es el contorno de la figura J1n0(-Jz5)n,(J¼JzpnJ)n(áJn(z2¼g(znz)pz)(inn)¼z2i¼)az¼pCþn¼232izpz2e2npCþzn2(p3in1zip.=neiCþ2Cþi()Cþ1(eCþ=te�(2e1()z1e=((21t=2(=�2=1)t(2))=zt()2t2�t(=��)tzt(�)ntz2�t2=�z�=2tz)1t=2n)tt=td�)t�t)t1n�tn��dn�1�nt1�d1d1tdtdt t
10.125. S a )e Ra eRVdfReezeeg{rRofRiz.frzRe}idegRfqefez>0.uefzgnz.fgegz.0cP0.gq..er.u.orD0P0oev.0er..e0YoP.mP.vr0Ptrohu(eProzvaeorv)ttseov,hetvJeadrtnethaht(ahdJqztath)naaut(aJt¼eJzptnJ)no(Jn(zp¼1rz(n)z)(lðp0)¼zap1¼)c¼eð¼opp01cp1spc1uð(p0p1oðp0naðp0cscfcðp0(ocionósco�sf(nos(n(nszf�1n(fsn0fe�zf.�n2�s3z�feznsz)dsezdsfeenesnf)enlfdafn�f)f)pfd)dsáf�)defgdnfpis�fn�ne�anpsp�sesn3e1ð0npesnp2penenp6n1ðn0�ppn,pnnep1ðe0f1ðp�0s�1ð0en1ðe0zu�fe�sn�nee�nnfa�znfh�sfn�fesfz�nozdsh�zselffenszunehsdcnhefhniffóhfddfnfdfdfdfe . ecuación de Bessel
10.126. la
b) Verifique que Yn(z), dada por la ecuación 10.22 de la página 326, es una solución de la ecuación de Bessel
de ord(ae)n znY.n�(a1)(z)zY�n�21n(Yz)n(�z)2þnYznY(nzþ)1þ(z)zY¼nþ01(z) ¼ 0
10.127. M DeumesuterestqrV(eubeq¼)V:((ubaadeVpd¼))((V)z ((baV(b(azffifzb¼d)Vffi)bpad(¼f)z)Y)zb¼)A)nzdn¼ffizpf)dYzdffiJY�pdfzzzdYnpzdnA1nnYzffidfz(pnffid(�z(fYfzffiJznz�zzffizffzAffi1n�)n)nfzffiAz)1fnffi(gY((AJ1fnz(Yþz�zJzAnz(nYn¼)J)n)nz()Y(gnJn(B�(z)z2þ�(znzn()z)¼�nYzz)()g(n2)gþz)zYBnY2þg¼))nz(2þ¼nYgnnzn¼YBþ(n�YB)nY¼zznYBgY1(z)nnYn(Bzz(nnn(YY�zþz)nnY(z(Y)gnn)1Yn(zz)VVnV,�z(n(þY))zn�þzz)(g100Y�0nþ00g))z10(�zg,n1)(þþ(zþzYþg(z1c)zeYz)(,)n1Ys��),�zn(þ( ,nþd)Vcz1dl111þ,a)z)1((0(1c��0c(�zf¼ds(c(zd)þ))zco(zz))�((c())¼dl0fdnn¼dnn�u)dzz¼d,22Yzd2c�1d0fzdn0if���znzózz0fz�z(�Y22zzf2�n11n1�)nzn(Yg�(==g=nnYz4n4Yn4¼e2)n(Y))n)gn(z����(znez)�¼z)(VVg2rV)gz1azg¼)��l=¼¼¼g¼¼4ndz¼�Y)e��000��nznþ�zV�Yz�1n�nz(n¼Yþ�znY)1nYnn.þ(Y0nþz1þn)1(þ.1(zz1()z)(.).z.).
10.128.
10.129. D emuestrJJJennnþþþq111u(((ezzz)))YYJYnnnnþ(((zz1z)))(z���)YJJJnnnn(((z(zz)z)))�YYYnnnJþþþn111((((zzzz))))Y¼¼¼nþ1111(===zzzz)...¼ 1=z.
10.130. Muestre que la solución generalVVVd00e0000 þþþV″222+Vmmm���002222þVVmV−2¼¼¼2mV�000=2Viiisss0¼es0 is
VVV ¼¼¼ pppVzffizffizffiffiffiffi���¼AAAJJJp111===mmffizmffi����Ammm222Jzz1z=mmmm===22�2���m2þþþzmBBB=2YYY�111===þmmm���Bmmm222Yzz1z=mmmm===22�2���m2���zm=2��
10.131. a ) Demuestre que la solución general de la ecuación dzzze222YYYB000000eþþþsszezzz2YYlYz000020þþþYþ″(((zz+Y222 ��0�zþYnnn′(222+z)))2YYY(�z¼¼¼2n−0002)iiYinsss2¼)Y 0=is0 es
YYY ¼¼¼ AAAJJJYnnn(((¼zzz))) þþAþJBBBn(JJJznnn)(((zzþz))) ðððBzzJzJJJndddnn2(2n2zzz((z()zzz)))ð dz
zJn2(z)
b) Concilie este resultado con el de la ecuación (10.24), página 327.
Función de Legendre (a) P3(z)(,a) (Pb3)(azP)4,P(z3)(,bz),(Pc4)((bzP)5,P(z4)(.cz),P5(cz).P5(z).
10.132(a. ) OPbn0 þte1n(gza)a) �Plo0nPs(þa0n1p)�(oz1Pl)(in0zn�þ)o1¼mP(zn0i)(�o2�1sn(dzPþ)en0¼�L11)e(Pgz2ne)n(n¼zþd),r(e12 )n(Pbþan)(()z(a1P)n)),3PþP(nz3()1(bz,z) ))P,,(nbn()z(þ(b)Pb)¼)41((P)znP)4þ,n0( þz(z)11,)c()z)¼P)P(n�c(P5z)(0n)zzþPP)¼1.50n(((zzPz)))0n.�.þ1z(Pz)0n�(z)z.Pn0 (z).
10.133. D nePm0nuþe1s(tzr)en�P(aa0n)()þ2PP1nn′(0nnzþPþ+)n011�þ1((zz)1))z(2Pz�−)n0n�(PþPz0n)′(�n1þ2−1)nz1((z(Pþnz)n0)þ¼(1=z)1z(þ2P()2Pn0nn(n0þnz�+)1þ1þ(z1)1P))()Pnn¼P(nþz0n(0�)z,.)11 ()zP()yb0n¼� ) 1((0nbz.))þ(¼n1)+0P. n1()zP) n¼(z)P=0nþ1P(′zn)+�1(zz)P−n0 (zz)P. ′n(z).
10.134. D D D(Peeeammm2)nuuu(P0eeen)sss(ttt�¼rrreee(P1a(2qqq))�nuuu¼n(P1eee0!n))(Pa(nPn(�aa�¼)P2�2))nn1Pn0121((PP(þ))0n0��nn1n())¼n,(−(�(1�z!�¼¼)32)1(n11���)(((�))b���=1¼n12)¼n()52112!�!nP(�))n,((−nn�2��þn���231þ�11�21)121�(1))n�b(�nn� )0,),z��252)PPny�2323¼0n 2�2��(((n�zbbþ�0��)b))11�.5225þ)(�PP��0P222()¼n�2n�nnþ¼þn��+2þ�1�1�((1�(�00(011.0221)))�n)n)P¼¼n=22�0n�¼1�0010�11..2((�3.�z�)�14¼¼¼5)�n�((610���.�.��211�(32�))�nnn(�42115�n���2)26�313���)��(.4425�5��n(��266���n���)�(�(122��)n(n(.22��nn))11))...
10.135.
10.136.
10.137. Verifique la propiedad 2, página 327.
n111000¼...1110433,0981... n, C D S2¼,2ioe,3[mn03n, ,e/nun..l2e.1¼¼.sp.],.tredr0io02sese,b,,nYqY3l11oeu,=,mt¼e.a.22alAe.aA,,l1Pi33Pssm0,,non(...Yl1a(z..uzy)3..¼)co9+iiiþósrsAhneBYYBaPngQlQntl¼¼eee(nnnzr((l)oAAzeaz)þr)PP≤,asnnodlB((nlodzzuQ/n)e)c2dnþþil(,óeazdnBB)eQecQQgnmue(nnaznu(()czzee()i)¼r1sóPatnr�nlQPe(ddznzqe)e(2uz¼)lL)eYa(eÐQQ¼10P[eXz0gkn1n¼cn=�ne(P(2u(0dnzz]zantz)2)d2)=((c2zrn¼z¼11(¼Pi)PeYk)(ótY�2n��n!Ð0n(PP(0([(Xz10kþ�n1nzz1¼nndz=�z)))(−2(2�20dink1zz](¼f¼))t(2))12e(Y)Y=2zknfzÐÐrn20(0[�P[nX)XzeYz0k0kkn1n(1t)þ!¼¼n=2��=�nY!(0�2(2z0n0(dcdþ�″]n]11t2itt222)2�2)a=))=−�gzYznnnYk1kl(((2YYk(kt1(t())20:.(2202�k2�n!f!!0¼01k((�Pnz)þ�þ�nn)1þ1!Y−n!(�0))�z�2n′(znk1nk1(1t2nz+(zf(1()()�2)�)Y2o2k2kngfnfYYk)2�2PnrPn))0nYk)2þ0þþ!:!0nn(!((¼��k″zn�nn(()1t21t2−!))�2�)02+))Yg2gzYYYkk22nzf2)20)2::1�¼Yo0!!¼z¼kk)2�rY0Y)k)þ0!.!′002.zz=+n2nzff��Yoo0222rr0kkþY¼pa=2r0aY.0n.¼=00. , 1,
(1 � z2)Y00 � 2zY0þ 2Y ¼ 0.
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Problemas complementarios 363
z(z) ¼ Función zeta Dð01emteztu��e1sdt1tre que z(z) ¼ 1 þ 1 þ 1 þ � � � ¼ 1 ð1 tz�1 dt .
1z 2z 3z G(z) et � 1
111z0þ.14211z .þ S31ezaþR�e�{�z}¼>G1(0z.) 0
10.142. Demuestre que � � 1 �� � 1 �� � 1 �� � 1� � � � ¼ p2 ,�d1o�nd2e122�,�31, 5�, 71, �� 5n12ú�m�e1ro�s p712ri�m�o�s�. ¼ p2
1 22 1 32 1 52 1 72 6 32 . . .1so�n 6
1z(0z.)143. P ruebe que la única singularidad de z(z)z(ezs) un polo simple en z = 1 cuyo residuo es igual a 1.
10.144. C on la prolongación analítica de z(z) dada por la ecuación (10.33), página 328, demuestre que
�1=12, (b) z(�3) ¼ 1=120. a) z(−1)z=(�−1)1/¼12�, 1=b1)2,z(−(b3)) z=(�13/)12¼0.1=120.
10.145. Muestre que si en la ecuación (10.33), página 328, se sustituye z por 1 – z, la ecuación permanece igual.
F1u0.n14c6i.ó Dnemhuipesetrregqueleno:(a1m)þélntlznl()nr1(¼(1iþ1cþzþzaF)zz()¼1)¼,¼z1Fz;zF(F21(;(1,1,1�,1;1;z2;)2;,2;;��(�zb)z) ,z)),t,ay(n b(z�(b)b1b))tz)at¼natan�nz�F1�1z(11z¼z=¼2¼F,F(1F1(;(1=13=2==2,22,1,;1;1;3�;3=3z=22=2;)2;.;���z2zz)2.2))..
zz
10.147. D emuestrceosqu2aeczcocco¼ososs2sF2a22aza(aazz¼z,¼=�¼FFaF(F;a(((1a,aa=,�,,2�−�a;a;asa1;;i;n1=112=2/=2;z22);s;.;issnsieni2nn2z22)z.z)z).)..
10.148. DS uepmounegRsaterdqdefzucqFe�uR(ReRaedRade,fedzde{cd�bfdzFfccz;�cF(bF�–ca�(ga;(a,aaa.z,�ba,)−�b;�b¼0;bc;bbg;cb}cag;.zcg;b).>z.z)F¼0)0c¼0(¼0=ayacabþcca0bcFb,c1F(�Fc,=a(c0=(ab1þ=a,,0þ−þ0�,10,�1,1,21�,;,b�,1,−b.c1,þb1.,�þ2,.þ�1,.�21;.2,12;..c,;,...czþ.c..)þ....Dþ.1..e1;1m;z;)zu.z)e.)..stre que
10.149.
F(a, bF;F(Fca(;(a,a1,b,)b;b;¼c;;cc;GG1;1(()1cc)¼))�¼G¼GG(acGG((GG)cc�((G(()cc�ccG()a�c)G(�Gac��(a)(c�aGc)bb�)G(�G))ac(a(c��ac����bbbb))bb))))
10.150. P ruebe la ecuación (10.31), página 328.
10.151. Demuestre que: a) F(a, b; c; z) ¼ (1 � z)c�a�bF(c � a, c � b; c; z)
b) F(a, b; c; z) ¼ (1 � z)�aF(a, c � b; c; z=[z � 1]).
10.152. D emuestre que pbca�+rjaz c1�|z;þ11−j1−;,11|z1)<�., 1, la ecuaciózn(1z(�1 z−)Yz00)Yþ″f+c �{c(a−þ(ba þ+1b)z+gY10 )�z}aYb′Y−¼a0bY = 0 tiene la solución
F(a,Fb(;aa, b+; ba þ− z).
Desarrollo asintótico y método del punto silla
10.153. D emuestre que
1ð e�zt2 dt e�zp2 � 1 1�3 1 � 3 � 5 � � � (2n � 1)�
2pz 1 2p2z (2p2z)2 (2p2z)n
¼ � þ � � � � (�1)n
p
1 � 3 � 5 � � � (2n þ 1) 1ð e�zt2
(2z)nþ1 t2nþ2
� (�1)nþ1 dt
p
y obtenga así un desarrollo asintótico para la integral del lado izquierdo.
10.154. C on el problema (10.153) verifique el resultado (10.48) de la página 331.
10.155. Evalúe 50! que, para valores 1�3�5��� �(12� n(�223�n��)415�)�6�� �� �(p2� n1(ffipffi2ffi�ffinnffiffi.)1) � p1ffipffiffiffinffiffi..
10.156. Demuestre ng,rand2e�s4d�e6nn,�,
10.157. O btenga los desarrollos asintóticos:
a) 1ð e�zt2 dt �1ð 1e�rztffip2ffiffi �dt1�� 1221zrþpffizffiffi (1�21z� )3�2 �21z1þ(�23z(1)2�3z�5)32þ�� � þ � � �
1 þ t2 12 þ tz2 �1�� 3 � 5 �
0
(2z)3
0
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364 Capítulo 10 Temas especiales
1ðb1)e1ð0�þ1ð1ð1ð001zet111te�1ðþee0d�þ��þzþ1ttzetzztttt��dþttdtdzd1ðtttt1tz�1d���e�t1�þz1�z11zzzz1�t2t!���1dzþz1t2z1�!z1z12�z22!2þ!!3!þz1þþ2�1z!z23z2þz!2z2�33z3!3�!!4!�z2��z13þ!2z3!4z3�!z3z3þ4�4!4þ!!�þz3þþz2�4!3�!��þ��������z3�4!�þ � � �
00 0
10.158. C VE neornliafsisqeucrioeensedlaisdciienostnaóretrsiocalaldsoeeacvsuaianldútaóest11ði0cpoea11ð�tr011ð11(1ð1ða0t001ede�Ft0ee11ðt�t0��ttt..(4tdtett)9d�tdtd,.)ttttp.1ð.1.1ðdd0reteue.1ð0�e�lt1ð1ð1ð00zbaetteF�eedp1ð0���zt(qát.ztezzFgut)tt�FFFie(dnzt((t(t)a1ðtFtt)�d))3e(dtddt�3t)tFt�1zd�t��(z.Ft0F()F�FF(tzþ0)(z((zz0F)d00)Ft))þ(zþ0þzþ�0(2)F0FþFFF)z0(2z0zz0þ00(z(2(F220)00)z0F))þ(2þ0þþ0z0)(3F0FþFF0z)0z0(3z000z(z0þ020F(30((330)00)0z0)�))þ(3þ�þ0þþ�)�F��þ�0��z�0(�3��0�)�þ
10.159. � � �
10.160.
00 0
10.161. Dé los pasos necesarios para pasar de (4) a (5) en el problema 10.36.
10.162. Demuestre el desarrollo asintótico (10.46), página 331, para la función de Bessel.
10.1L6e3tL. LLLFeS etee(etLzttFa)FeFF(n�tz((()zFzz)))XL�n(1¼�z��e)0XtnX1�¼nXXFnnaz1¼11¼¼0nn(0X00nzaza1¼)anznaanzz0n�nnnnndaazanaaGXnnnndnn1¼d(dayd0zGn)GGGda(z�z(nn(()zGzz)a))X�n(n1¼�z��d)0XnX1�¼nXGXnnbz1¼11¼¼0nn(0X00nz.b1¼z)bnznbbzz0�nn.nnnn...bzXnnnD1¼. e0mbzunne. stre que:
10.164. F SaL(e)zeF)aFtFF(þzF((()zLFzz()G))þze(þ)þzþLt()zG�Fe)GþGGtF((�z(XznF((()zG1)¼zzz)())X�n)2�(z1¼�z��)þa)z0Xn�XnnnX1�¼an1XX¼Gnn.1¼11¼¼n02XnD(0X001n¼azzþa1z¼ne)anaa2nnm0n�bnnzþ.azannzþzþuzþnnn,nnnXbne.1¼bzþsnbbntn,0nn(r,b,,bae )nð1nz(q,b(zþ((bFuFb)bnb)e()())b(zzFbð1))nzFFFG)(,dzF(((ð1z()zzFzzz(G)))�(z)FG(GGb)(z�(z)()d((Xzn)zGzzz1)¼)F))X�n(d2�1¼�z�(�z)z0X(n)�XnnX1�¼nXGXnncz1¼1¼11¼¼0nn�(2X0nX00nz1c¼zw1a¼)1c(nzncczz2n0nhn�n)nnnndwze(�czwnowwrnhnXn�nenah1¼ehh11�wdnecr0.ee)eernazrhr1eceznenec¼)�nnrczncc1ennwnn.X¼k�c¼¼nh¼¼1n0e.XkrX¼¼akXnXkke¼n¼¼k0nnb0c0X0kan¼ankaa�0bk¼kkkbnbba.�nnnkX�k��kb¼n.k.kkn0...�ak .k bn�k .
10.165. Muestre que, para valores granzd, e1ðs(d1z,eþd1ðz,tt(21ð10)z(þd1�ttþd2p)tzt22pffi�ffi)ffiz��pz211pffi=pffiffi22�ffipþffizffi 1�18=z2z3131þ==22 8þþz3381=z223328þ=5z251þ=22281þ5z2528�=5�z25�þ�=2 þ ��� �
��� �.
Funciones elípticas 00
11110000....111166667968....I fS D D SIkfuiee¼pkmmoIIII¼fIuufInpffIfIfIeefkgIkfkkfkpffi3ssfkaffikk¼tt¼k=¼¼krrs¼¼c3ffiqs¼2eeffi¼n¼nn=u¼p,:psppcqs2p2penAAappnnuzffi3p,3ffi3ffipffi3ffi)02ffiffi3ffi3ffieffi=þþAA=dffi3ffiffi=¼=ffi3ssczffi3=sfficss=s2cffiffi32csffies=s<n2sn2c=fficnsnnnss2nnþ=þ2scnnn,nns¼=nm,c2ss,nn,2cnnn2ss2n22,cnn,s2AAn2n2nAA,AAn2nnAAk1,2znnAAu,zsc2AAszz2,AA2BB2zAAznn2þþnAAeþþ<z�¼þþAAzþþ¼1s¼z¼sþþþþsszK¼s¼þþnBzBþþ¼¼nn¼þþtn�sc¼þþsck(1sc¼rsscc2(2K2scn2sc(n4nzn¼en2n2¼n4sc2.nn1sc1n4t2n1n1scns2skKnsc1sncBn2s(1nKBBsnDBB2qsn1BKnBsnnBz1¼�n42nB�nnsBBn1n�B�spntB1nBs�uBK�BKndðse12þKnBz0Kn�BzsK¼4þ=¼B�znzBK¼z¼Kþ�enzszmnkn¼K�2(k¼pcKzkckz¼zcKcn¼:dðk12Az0k¼K2c¼þ¼442c=pnz¼kn¼2 ¼42ztkcntnus¼c(42¼tnk2t2(ncnn¼kinst,2zst¼cnKnnin2sþAzsn¼tzeK2inffi1zpntsnzn¼Ks42npztpnnnffizKnszap(nptssdðnffi12zndð0n12p=0s,pz4dð12=dðin4K012ffin=00sþ4zp�=4ntdð)=210dðps0Bffi211zKs0)nn42(=n0242spdð(=12s)ffirn0n2nd(ð2z21p4(0z=s)n(s4ffidðnnzA2=12(zn0A2=(nen4dðsAp12=)ffi)A0znp¼2sz(db4�znpn=02znpA¼(ffiBsAz(kznz(2pn(¼2zs)p(Affi(nn2zd,(Azz,pK)n((¼ffiuqK, þ(zpA,zþ2KnKþz1ffiAp)(þ),ffi1,Kdb(z1ffipnK¼ffi1þffiþ,0k(zuKffiffi1,ffi0cffi1ffiþ(Ks=dþ,=ffiffi01ffiffiKffi)¼=u,=þffi1�2K�,ffiffiffiBffiffi12eþpy1=en�B=�,2Bffiffiffiffi1n2Bffi�,=ffi2�2=Bffiffiffi(0Bffiffic(n�s2=( (2ffiffi�B(ffiffi)ffi))=)Bffi22db�()dffiffib)ffi)(2)2ffiffi12BAffipendbk�,dbk)(ffiffi2)ffiBffi)kffi)ffikdb(dffidb2dffiffiz)ffi))¼kffiffi(udffi)¼kdu)dbn)2=()u¼ffiffi(2u)dffibffi¼uffi)kdffi)2dffi22bkd)¼ffiffinu)ffi))¼2ffiffiunffi�A2d2dbk2nnd)ffiffi3¼ffiuffic¼ffikffics)¼2ffiudsncffiffinz2cffi)sffiffi¼ffiusd¼=n2cuffiffi)¼ffiffiuc12sffipenn,ffi21spen2ffi21ffiffipcenffin21pffiffiensffi�csn21ffiffipcenffi3ffiB21ffip¼cenffinsffic(n(ffiffic21pffienn1ffiffisn(ffic221p(en¼2ffiffiffi2ffinnffi2A2ffi122p(enn2,Affi2ffip(2nffiffi2A2ffi122)ffipenA2ffiffiffi2ffin(2nn2zffiffiffi(Affi2ffi2ffizBffiffiA2ffiffi2(nfficz.�=(uz22=ffiffiffiffiuffiA2ffiffi(ffiffiffi1n=2(u=Affi22zuzffiffiffiffi(ffiffi42ffiffiffiffi�2A2=u�ffi(=pnzu423ffiffiffiffi�ffi2¼ffiA2ffi)3ffi�zffi¼=ffi4uffi3¼3ffiffiffi=�z¼ffiffiuffiffiffi�ffi¼Kffi3.�z=¼¼u3ffiffiffi¼ffi�ffi(Kffi¼,ffi2¼=ffi,ffi�u3¼1ffiK,ffiffi1,ffi3¼ffiffi�¼¼ffi(43Bffi,ffi�ffi¼B,¼ffiffi3B¼¼Bffi1,ffi1s¼,B1cB1þffiK ¼þ,2p�þp1B2)11,12)pBnpþ2)2)1nBp1p.�2).�B2)1.�p.�s2)2pc12.�)(þ(.�p�þ(4b2)�(k.�p(n42).�Kn(4(z.�i2(.�)221(i21212121(1K(i1112�K2(k4=þ1111KK2ssz12�cs1c1sþ12s�cþ2c2�i1þ012nþ�sn21�scn10c1nþnKn)�þns�0=þcnns)2nþc)k�ns4sþn)2��cn2n(sþ2(�cn2n2k�(þ¼nk(n��nk220�2¼K�kn(¼kKnz(z¼2Knz�)Kk2�22()kzkz24K(2�2Kk2z12s�(2z12k2Kk12�(122Kzk=þ22=þ¼z�12Kkþn¼=1þs212=zþsz�K12�s12p=þ2sz�=þ�212122sn=sþs2n122�4,2�=þnns12,2�=þs2n2�,)n2þnk=þ)sk24214�2)nk)2s1ffikpz44n�22k)2k)kffikn4242k422k)n¼k.ffi,22z¼42)zk=k¼k4¼z2221ffiz)22k24k2¼2)�z2¼kffiks1z2z4s223¼ks2zsffi¼2zk2sþn¼ffi.s2þnz2��=þn¼þnspz212,ffipspþn2pþnffis44p3þn34ps4ffi4þnpþn4ffidp4���þndffi1�pz,4ffi1�z�41ffidpzffi1ffiz�4n�ffi1ffiz43ffi.ffi1ffiz4.n=�=.ffiffi1ffi.zffi12ffi�=n21=ffi1z21.ffiffi�12dffi.ffiffi(1=z�=�321ffiffi(.ffiffi1321zffi=.ffik3(34ffiffi=21ffiffiffi.12n43��=3��ffiffi.ffiffiffi21,��4 =,ffi��324ffi12,ffi,ffi3ffiK��ffi��(3K43,ffiffi,43ffi��ffik343K43��ffi,ffi4d,��43þ34ffi,����434,��y34þKn34��þ43�þ2d� 2þ2(�2��2k2kKnk2þk4�2k4k2444k(24�c4ki=4ki4K)kKdi4dþ�)þK44ddþþ2K4ddþ4þn�nd=þinnd0þ))0dnþnK)(d0�(þ)n2�((n��)Kn(¼K�(��KnK�¼()��0�¼(K�K�(¼)��K��(K=��=��K)¼=)=���K))p==�¼�2)21)�=221=)�2)1=�2))=).2)))2.1ffip2).)ffi21)¼ffi¼)=¼¼ffi)¼)¼.ffi12¼ffi¼¼ffi=¼p.ffipppffip2pffipffip1ffip.ffi11ffip1ffiffiffiffi1ffiffi1ffi==ffiffi1ffiffiffi==ffi1ffiffiffiffiffi1==2ffiffiffi1ffi2ffi=ffi22ffiffi=ffiffiffi2=2ffiffiffiffiffi.=.ffi2ffi.ffi.ffi2ffiffi2.ffiffi.ffiffi2ffi.ffi.ffi..
10.170. D D eemmuueessttrree:qau)esss:nsnnn s(sz4nznzK(¼a¼4z¼s)sKnþs¼nszsszns(zn(nn�4nþ(�4(�z((4K(4Ki444K�K164K16KK16(Kþ(iþ(10K1þ)161þ+þ(þþ4þ0¼41þ)4i4i44K4þik¼Kki0KikiiK2K0K2,K02))k)0)00)z)0′z)2¼0z)),¼3)3)¼3¼¼=zþ¼þ0þ300,0,þ00101,c112,,12,,n120 010(c((12(14n101bK((þþ)41þccKccnþþcn1c1cnn1(n(4n44þn((44(1k(44kK(4kKi444KKK4þKþKkþKþiþ0Kþ+)þkþþkþk440¼44)44)4ik)4i4)zK4zi¼K4izi15KiK5iK)5K0,K0z)þ)0þ′1þ05)0))¼0),¼)þ¼�=�¼¼�¼��1�1��11,,�1,,1�,1d, ,,�,n,d(c4n)K(d4ddKndnþdnddn((n(n44þn(4((4KK(4Ki44KK4KKK+þiþ0Kþ)þþþ440¼4)4ii4i4KK4i¼Ki1KiiK′K0.K0)))010)0=)¼0).¼)¼¼¼¼1111..1.11....
10.171.
snsznb¼)zssc¼cnszcnsnsnnsnnzn�cznzzzznzz¼z¼z�¼61¼¼z¼¼¼(¼z1z¼1611z(1z�zþ�z1����1���þ61k16�(1261(1261212161(116z(k)z(1z(2112z1þ221þ23þ)zþþþþzþ2þkk3kþ22k221kþ214k)2114)242(z1)22(z2)(1)3z101)31z41z(3z12(3þþ31þþ310þþþ(þþ1þ1414412112k1kþ10121k01124212(02(1202410)(k1)0(1)z(1kz(21z1þ441þ4)4þþkzþþþþþþ411þk141þ�41�144�k�4k4�k)4�k�kz�þk4 ,�þk,5�,þ)þþz�þk,yk5k4k4 kþk)4�)44z)4z�))5zc)5d�zzd5zd,)5�þn5þn5nþ�dþþ,zþz�nz�¼��¼��z�¼������,��,¼1�,�1�,1,,��1��121212kkk21222zkzz222zþþþ2 þ221214144k2k1k4222(k((kk2k22(2kþþþ2 þ444)))z4zz44)4zþþþ4 þ���������� �
DCoemn luaesintrtc1ð1eengpc1ðq1zrnuatffip¼ffie4zcdffiffic1ð1ð11ic1ðffit1ðt1�1¼1ðffic1ðó1n411dffic1ðn1c1ðp1ffipc1ðnp1npffi1ðnt1�zpnpffi1z�np1ffipzffitpffitzdffitp¼tffiffiz4¼4ffitffizdffitffiffi¼d414�dffiffidffit¼ffieffi421tffi4d¼ffiffidffiffiffit¼4t�td�ffiffi4ffiffit¼ffit�tdffi�4zffiffiffi1dffiffit¼�t4c�1dffiffiffiffiffipt21�ffi2tffiffi�ffi1ffiffito�1ffiffiffiffiffi1t11��ffi1ffiffizffi1ffiffi1�1þffiffiffiffi1nffip21�ffiffiffi2ffiffi1ffi�ffiffi1ffi�ffi¼ffi1¼1ffit�¼ffi¼ffi1ffi21Kþ¼ffioffi12¼2ffi2ffi¼211ffi¼z124¼rz21¼�p12pK2z(pnp22zpzp11112z1p142poþ12�1ffi2pþ2ffi2(ffi21p2ffiffi1þffiþffiffi22ffi1þ1ffiþffi12ffidffipKffi2KþKffi2K2ffiffi22K11ffiK�eþ14ffiK24K4��212ffiK�2(m�41Kffi(21�.4�k114�(1p4�p(4p�p(21u�(pp1111þ1.p1k)1pþ1e1ffi2pffi2þzffi21p2ffiffi21þffiffiffi2ffi2þ1sffi�4�ffiþ2ffi1ffi�)�2ffi4tffi2�4ffi�zffiffi2ffi�r4þ.�kffi.4.�.k44e�.4.k2.k2.kþ.k)2�l.)22zo)2z�))4z)4s�zz4z,4þ�4þr4þ�eþþ,þs��u��������l���,t��,�ad,��,,d,ndozns¼zddde¼dnd1ndldnnznpz�n1zzr¼z¼zo�¼12¼¼b¼k1112l12e11�kz1�m�22���z21aþ12212k12k12112kþ2k22k10kz24z222z.222zkz412z42þ22þ02þk(þþbkþ2221)2(142421k241y2k1þ4k1424k2k2kckþ(24(22)k(2k().(k2(k2z4kk242þ)2þ2zþþþ4þ444þ)�4)4z4)z�))4z)4�zz4z4�þ4þ4þ�þþþ������������������
10.172.
10.173.
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Problemas complementarios 365
10.174. a) Demuestre que
whdweorhneedrke1 ¼ 2pffikpffiw=(ffihffi1eþre þkk)w1kh¼)emr2epeðf0kdpkffi1iffia=¼ffi1n(ffiffi1ffit�ffie2ffiþffiffipdlffikffiaffif2kffikffiffiffit)ffis=ffirffie(affiffin1ffinffi2ffisþffifffifffiffiok¼r)m1acþ2ióknfð0d1 epLffi1ffiaffiffi�ffinffiffidffidffikfffieffif2ffinffiffi¼s1f,ffiffieffitffina¼ffi(ffi2nsffiffifeffi(ffifnffis1ffiffie2=nf21(fs)=e1(n)kf=2(þkf¼1þc)(o/ssce(o2fknsf+2¼21ff)1c.1(o)s)=es.(n2k2fþf11)c.)o=s(k2fþ1 )c.os 2f1 ).
k1 ¼ 2 k=(1
bIf) 0ISfi,00,k<,kk ,<1, 11,, Icfo0m,prukIefk,b0e,k1,q,,ku1ekk,k,1 <,11.,k11.<k1,. k1 ,k ,1. k1 , 1.
c) Demuestre que, m1,elí2dm,ilaí3nmn!,…tne1!ðf0,ak1ptpnaðflkli¼ffi1cpnffiqffiaffi�ffi¼u1ffi1cffiffiffieffi.ffiidffiffi�koffiffi1fffiffil2ffinffií.ffidffiffimffikseffiffifffiffie2sffiffinffiffinffiffis!ffisffi2ffiffieuffifffi1nfficffi2ðffif0l¼ekfísmpni¼rv¼nffi1ffia!ffiffikffirsffi�ffi1ffi11ffiffiffiffikd.ffidffikffiðf0ffiffikffi2kffiePffi1ffifffiffiffi2kkpffinffikffioffiffiffil3ffiffisffi2affiffi¼rffi1ffieffikkffi.ffiffiffiffiFffitnffi3t.ffiffiffi�arffiffi1ffi2.ffiffiffi.anffiffif.lFffidffi¼.nffinffitkffiffi.offfiffis¼2ffitlffi¼,flanffisíoffidnffimerffitreffiln�amffiínffimffik2nffimffi!p4ffi1fa�ffiuffiknc1ffiþ!p¼ffie24iffiffiókksfffi1ffitþF3n2rffirnffiffi.ef,�ffidFffikF.2ffiqneffi1.ffi,�ffiukl¼ffiLnffi2effiffikkaffitlsffi3anffiíiffinmffid.ffiF�ffi.effinffi.ffin!p4l¼,n1þkstelnafí,Fnkm2onnn�b,�n,¼!pt4nie1þ¼1n,efF122nu,,,�n23a,, s.3uk.,nc..,e.ns.ió¼nk1dn,e,2n, ¼3, .1., .2, 3, . . .
módulos kn, n =
d ) Explique cómo puede usarse0 el resultado del inciso c) en la evaluación de integrales elípticas.
10.175. ¿Es tn z = (sn z)/(cn z) una función doblemente periódica? Explique.
10.176. O btenga las fórmulas para la adición para a) cn(z1 + z2) y b) dn(z1 + z2) dadas en la página 332.
Problemas diversos
10.177L. e SLteLeLLjapeteejt|jttpp,jjj|pjppj<,jj1,.,,11S.1.h11M.So..ShwSSuhohehowtsoohwtwwratethttthaqphhðat=uaat2epttðtp=appð2=ððn==2t22patttanuaanpnndpuppuuuud¼dudduuu¼12¼¼¼p1221s2121pepppcs(esssepceec(pcc(p((=ppp2ppp)p=.=2==2)22.)))...
10.178L. e SLteLeLL0aetee,t00tt00<0,n,,,,nnn<nn,2,.,,22S.2.h22M.So..ShwuSShoehhowstoohwtwwra0tethttthqa1ð0hhatu0aa00ste1ðttet1ðnn1ð1ðsesttssnednteettnntnnnntd¼tttdtddt¼tpt¼¼¼cps2pppcGc(cs2(ncccs2nGss2p2c(G)cc(GnG(=((n(np(n(2nn)pnnp)p=))).=2==2)22.)))...
0 0000
10.179L. eS LteLeLL0aetee,t00tt00<0,n,,,,nnn<nn,1,.,,11S.1.h11M.So..ShwuSShoehhowstoohwtwwratethttthqa1ðhhatuaacte1ðttot1ðn1ð1ðsccottccontsdoottnstntnsstd¼ttdtddt¼tpt¼¼¼psep2ppcGs(es2(nsse2cnGe2e2pc(G)cc(GGn(=n(((np((nn2n)nnpp))p=)).=2==2)22.)))...
0 0000
10.180. Demuestre que la solución geonfeor(oa1foolff(f�d1(((1e11�z2�(��1)zY2z−zz02)022Y)�))YzY0Y0200)04�000Y�z��″Y44z0−44YzþzzYY0Y40þ1z00þ0Yþþ1Y′10+110¼Y00YYY1¼00¼¼¼Y00=00 0 está dada por
Y ¼YYYY¼A¼¼¼FA(A5FAAF=FF(25(((5,=55=2==�2,22,,1,�;���111;=11;21;;1;=11=2z==2;222;)z;;þ2zzz2)22)þB))þzþþBFBzBB(3FzzzF,FF(3((�(3,33,1,,�=��2�11;=11=23==2;=22;23;;3;=33=2z==2;222;)z;;2zzz2)22)))
(M a1)0uE.e2ntsh3ctra)utethted:tthaqnhhe(atutaa:trlett):ae(:::a(1ð0pu((a)aaán)s)))1ð0gea1ð0ni1ð1ð00snsestosa3seneeldnu3nnt3tc2t3ttd33¼i6ódtdd.ntz¼t61tbYzzz¼d)¼¼YYGY0016e¿0(0016þ000C11616GzþþþG=Y(GuGY31(″áY(Y(Y10)=11lz+,=þ0030Y==e3þþþ)33s0,Y)0z()),Ylþz′zb z,,aYYY+)(¼sYb(1ð0¼(¼o(¼b)z)0bbl0)cYþu))1ð000o01ðc0=1ð1ð0s0czicóoYtcc3o0nsoosd¼tssqg3tttt3ued303¼nedtddets¼tptre¼6a¼¼a3ffilpffi?p6dGpp63ffie6ffi6(ffi3ffi1ffi33Gffilffi(G=a(GGl(((31n(llfl((1n)n=no11z.=3)r=z=zz3�om))))33P.�o)�of�o)).aPPPfff..zk12(zzz¼lYk1k12k122n¼¼¼0YYY000z00a000þ0)00aaka�þþþzkkkPkzzzz�Ykzkzkz,1k�Y�Y�Y0¼,,,þ0000þþþa(kz(((z2zzzk222��,���ynvnn2ne)222Yr)))iYYYf¼iq¼¼¼u0e00.0...así
10.181. la ecuación
10.182.
10.183. (D C aD 1)oee0Dmmn.2eeuu2mlee)mss,uttperréeeástgtoqqrideuunoeeaqfdJuflff3a0JeJJe2(0l00zsz6z(((1pzoz)z1zzz.=1g11r]/l)))2=2=o=u2gggJ222J222bcþ1JJJ1ilþ(þþ111(óe2(2(2(mn22i22i2f2zzziiiJgfa1ff1zzz11J=JJ=1e11/21(21=1=1=2nz)2J22(0()(e)z)z)z1).ger))1)(2aggsg28222lþiu2zdþþþn1eh2=az22a2f2zU)zJzzslfffUlUUUo2JJJe0(022″l200z0u(þ0l(0(0)+azzzcþþþg)))i2(osgggó2(o22(o2(of(oþnz222m2lfffþþUþzummmmdU�zzzcþ0eU�U�0U�i+þþþ0�ó�0þ�z0100��0�n�0¼0U111)1���¼¼(o¼U)g)))″2Uf1UUUUem0UUU−11:1znþ0′00.¼:U::eþþþþ+¼¼¼Ur0z0a0U1zzzz�l00.=0UUU)Ud...(U¼bUe(((0¼¼¼=0bb)b.z0þ)))¼2b0000Yi)zs″0iiieU¿sss.Us+CUU(UU¼ub¼zá)¼¼Y¼=0loz′e�fizzz+zss���mz−lm2Ummf(amYAzfff{A2sAA0¼J0Aom−JJJþlJmmm(zumz�((n(cz)(zzzmY2iz)))þó))f0YþþþnAþ+BJ=gBBBYm(eBYYzYm(n0Y2zmmm(e.)zm�((r([)þzza(zVg)z))ln:ggég?)B::2}:a)Y.sYem ¼la e0c. uación
(z)g:
10.184.
10.185. D a D1b)0)ee.Dmm¿1Ee5uusm9ee.ssau]ttderreeesctqqrueuuaeeqdGeuozGeGeGe0c�ezzz000oe21c�c�c�s1ð�olooz211212asss1ð�1ð�1ð�zzrz¼eaJaae¼¼�¼et0eJeJJs(�t0�t�0�tt0ufGez(((d�t�t�tJlzzzzps0tddtd0c�aepspspsot(t12t¼dffipneesez1ð�ffiz¼¼ffi¼affipnpn)offipnffiaffiffig¼(ffieffiffiJ�agaa2)(d(�(t0���gggg))()eþ�t¼þzgggld¼¼þ¼þþ�psX2tin2���en1¼XXXfnnn2¼22lffipnlc1¼1J1¼ffi¼0nnffillllill1a0n0n0n(nsnnz�P(2go)zzzzP2PP2þ)2ng).¼þþ)(þ)aþ)gnnn.c..2�((nz()Xocncc2nzn!znzþ�1p¼oosol!!!l���a0nsssan22raaaz)aP2f222z�J))z)þ)2nzhzz�2�n�.2zzz(222a:(2n2!n2cnnzzl:.::!o!þ!l)!�aþsgþþ2r3a233þe3z)�zl3�zzzz�3��233�32vn33!3�:a!!!�!�lþ���o¼�r3���d1�z���.e:3���3...11ð!0�e�t�t�d�.t?
10.186.
10.187.
10.188.
10.189.
Explique. [Compare con el problema
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366 Capítulo 10 Temas especiales
10.190. D Seeammueusntreenqtue(er1o(((þ111poþþþzs)i�zzzt)i))1v���o�111.���D2z�e2z22zz�m���1���uþ111esþþþ8tzr�e8z88zz��q��1�u���1e11 �F��4z��FFF4z1244zz�����,��12�1221����,�,,���¼������m¼¼¼G;mmm�GGG;21;;1����122121þ1211���mþ2þþ22z;pm�mmzzz1;pG;;�ffippp��ffi�ffi1�11GffipGGffippffi¼�ffiffi��2ffi�ffiffi��¼¼¼�21222 ��12��1122z23����zzz��23.223�3��45��.����..��454455�6���������6��(66��2����(��m((�2��222�m��mmm�222m�mm��1)1.11. )))...
10.191.
10.192. D emuestre qupeð0=p2ppð0ðð00=p==222p1ffippffiffiffi�ffi1ffiffi11ffiffiffiffiffiffiffiffi�ffiffid��ffiffiffikffiffiffiffifffiffi2ffiffidffiddkffiffiffikksffiffiffifffi2ffiffiffe22ffiffiffiffiffiffisnssffiffiffiffieffiffiee2ffiffiffiffiffiffinnnffiffiffifffiffiffi2ffi22ffiffiffiffiffiffiffifff¼ffiffiffiffiffiffi ¼¼¼p2 pF2pp22�FFF12���,21212112,,, ;1212211;;;;111k;;;2kkk�2.22���...
comoPn(PmPP)(nn((nm(mmz))))(((zzz¼))) ¼¼¼(1(((�111 ���z2z)zzm222)=))m2mm===dd222zmmddddddzPzzmmmmmmnPPP(znnn)(((zzz))).
10.193. Las funciones asociadas de Legendre se definen
a) DeterminPe(32P)((3z2)).(PzP)(33(.22))((zz))..
b) DDeemmuueessttÐPrr�1een(1mÐPqq)P�1(uu(nz1mn(eme))P)(ÐÐPP(z(n��z1m1)(nn()1m1m)P())PPz((l(z)mz(n(nmPm))))()(ls((zm(azz)1))t)(diPPz�s(z)l(1(lfmma¼dz�))cz2((e)zz(0(¼Yz))11l2dadi00)��f0zzY�en¼c¼i0zz0fu2=22�))az0n0YYYcl=2si0i.i000fófiz�þ�Ynnlnn.0d=2�=2þizznfYYle1(l�..n0r0.neþþþ(nnc��1iþnan)l((�1nn)þþ1�m�1112))zm��2�2z11Y2m��m�¼Y22zz202¼��YY0 ¼ 0
c) ¼ 0
10.194.[ HS [EiSnu[sHutpt.ogoiLnens[rteHeg.e[taHnLcixnocqietnin¼t.uatoeLx.:c(LemS¼reteeþ,cxta(norx¼1xmyþ)¼=yo(r=1r(ps(()rþrorryoþn=þ+1p(cr)i1yyeo1þ))=dn)y.y(]a=syr/td()ar(þ.nrd]þte+ye)syo.y])rp.)t]oo.]sgiotinvaalsi.dDademdeuð01elasxtsmð01r(�efxux1qmn(þð0u11(�cxðe01i1r�xo(þ)mð0x11nm(�xmeþxr�x)1(�s)nnmx(þm1�1a(x�(þþx1)s11r�nnod(þ)�r�1mcx)x1iþmr�)a¼xd)nnþd)mx�nxnarþ1�)¼msnnd1�(Bdxd1r1e(mx¼mþd(LB¼x1,err(¼ngmþm)rm)e(mB,þn1rr(B(nm)dn1mþm)(r(Bmþþ1e,r(.nn,mþ)rm)n),þmr)n)nþm)nþn .
[Hint. Let x ¼ (r þ 1)y=(r þ y).]
10.195. Demuestre que, si m, n, a y b son constantes positivas,
[H[iSn[Hut.giLne[rteH.e[tHnLixncietni¼t.atLx.:sLeE¼etennxt2seeux¼ln¼i2pnsureosniebn2nlue2 muinain10.1p9ð0=42 ,(pðas0s=ee2sna(e2pasnðmx0e=p2s2�nð0==eu2(1p2nðmsa0þu=(2es�2assucene(1ebson2asnþunmees2c22sn�2cnmouuebn2o21�s�numsþu2cy121�2ouþuucneu1sb�)oclþ2umdib1scojþu2cuoauscbn)no2so�mrdns2c¼s1þ�2uodu2nnu1se�)uB2mud¼21)m(þumaudmu)nþanBumd2,bnn¼(þaumnem¼nnr)B,ba¼2mB(naa2m)(dnBam,2ben(acmn,bmun)mn,ba)mnd)a.]
10.196. D emuest[rH(eaiq)nu(tza.e=):L2 ez(¼at=a()2ax)J)z¼¼1=(z2z=Js)2e1¼þ(n¼z2)J3u1þJJ(i13zn(3()zzJþ))3þþ(3z)J353þJJ(35z(5()zzJþ))5þþ(5z)J5�5þ�J(�5z(,�)z�þ)�(þ,b� )���(� zb,�2),=y8(z b2(¼=)bb8))z12¼z2=2J8=218(2¼zJ)¼21þ(z21)J222þJ2(2Jz(24)z(2þ)zJ)þ42þ(z22)J324þJ2(4Jz(63)z(2þ)zJ)þ63þ(z23)J�26þ�J(�6z(�)z�þ)�þ� ���� �
Sa b)e)aDPm2emmþuu1n(ezes)ntr¼teerq(ou�pe1o21)sm211/im((//t(a(1(2i(sv)ssmn/mnno(!szz.)zþzn=)2D))2zt1ei)¼e)mn! zueJF1eu(s�znt�)repmþoq,l3uomJes3:þiP(amz2))23mpþP;(laaez2tt32)5maezz;Jt¼(Pnz5¼¼zzP)2(2z(mz¼�2¼�0P)0=.2(mzþ221(0)(mmz0)�)¼m2((�zmy�21(¼)m2�)(!bm¼,�)m((2)2m(�)2122e(!!m()21)�mnFbm2(2m)cm))21�(m(u!m2�m)!(eFzm)m(2n2!m2m�()m=)t2�2,!!r8))meFm!m2¼F)�e,!�þl�Fm1�rme�221�mJþs,;i2md,m(1221zum;,;)þomzþþ212e12;�nþ2;21z2e;22121Js�;4;12te(;zz122p)z;�2oþz�l2o3�.2J6(z)
10.197. þ � � �
10.198.
S aD S )eee aam||DLLLLuzz||eeeeeeLLs<<ttttmeetjjjjrttzzuzze11jjjjjje..zzq,,,,sDPjjutr,r,eee1111um�..�..eq11GGbuu�..e��eeG4114sl���ltaa��14re�22is�d¼¼eq2eru¼ni88eetppi8((ds11pffipiffipaffiffig(ffiffi�d�1ffipuffi44ffii5d5�zez��e4))n��5(6(6zt5E51�1)e���(6u���5�18c8l99�:oe:����8zzr�n�(9(2121:11v99�)z)00�((e(21þþ1��191r)��011g(þ11���z1z33e�2)21)1(�(z��pz3z1�1�2)3131a(11�)z)þ3þr31��4�341a1��)��þ3z�z��4|��112z2�11�¼¼7)|7z�)�661((21<1�¼1�7)�1�16(11þ1þ11�1þ7þ7�1881þ1�yz�zþ7��PP83�3���p�)z)���P��3�a�1n.�1n.�)�¼¼r���a�1n�.1�1¼�¼¼|((�1z��|¼(((11�>11))(1nn��11ff)zzn:�zznnf)()(z33((znnn11)(��3(�n�111�))==�1z2z211)33=þþ)z2)1((31þ1)zz(nn��1((z33nn�nz(zþþ355n11)z)þ))5=�=�12)2��)gg=���..2�.g.�..
10.199. .
10.200.
10.201.
10.202.
1 z z þ (1 þ z2 þ z2 ) jjþzzjjjz(,,1j ,þ11 a1annaddnjdjzzzjj4jz..j .11::1: z4 ) þ � � �
þ z)(1 z)(1 þ z2)(1 þ
b) Demuestre que en cada región esta serie representa una función analítica, por ejemplo, F1(z) y F2(z), respec-
tivamente.
c) ¿Son F1(z) y F2(z) prolongación analítica una de otra? ¿Es F1(z) = F2(z) en forma idéntica? Justifique sus
respuestas.
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Problemas complementarios 367
10.203. a) Demuestre que la serie X1 zn converge en todos los puntos de la región |z| ≤ 1.
n2
n¼1
b) D emuestre que la función representada por todas las prolongaciones analíticas de la serie del inciso a) tiene
z = 1, y
10.204. SLeeaut nPLaestainnPzgnualunanzrniadasdereine con un concilie esto con el resultado del inciso a). función representada por todas las
círculo de convergencia C y sea F(z) la
prolongaciones analíticas de esta serie. Demuestre que F(z) tiene al menos una singularidad en C.
10.205. D emuestre qcnu1e2þzcnþc12ndþz2nþzc2nzd2n¼z2dzn¼2 zd.n2 z.
10.206. D emuestre que una función que no es idénticamente constante no puede tener dos periodos cuyos radios sean un
número irracional.
10.207. D emuestre que una función que no es idénticamente constante no puede tener tres o más periodos independien-
tes.
10.208. a) Si una función doblemente periódica es analítica en todas partes de una celda [paralelogramo periódico],
demuestre que debe ser una constante. b) Deduzca que una función doblemente periódica, no idénticamente
constante, tiene al menos una singularidad en una celda.
10.209. S VeseearigifFuiqa(uzl)ealuqnnuúaemÞLfuCeenrtFocF(idóz()ezn)dczdeor¼obsl0e,.mcboe)nnDtleaemdpeeubreiiósdtdariecaatqe.unaec)ieólSnnuaúpmosnuegsraomqduuelteippoCllioceisdsealndaeesflr.oinntteerriaorddeesuunppaararalelelologgrarammooppeerriióóddiiccoo.
10.210. Demuestre que las funciones elípticas jacobianas sn z, cn z y dn z a) tienen exactamente dos ceros y dos polos en
cada celda y b) cada función toma un valor dado exactamente dos veces en cada celda.
10.211. D emuestre que���111�þþþ1 1þ11111222��1�1�2���111�þþþ1 4þ41411222��4�1�2���111�þþþ1 7þ71711222��7�12����������¼�¼¼� �¼��GGG����G111�þ3þ3þ31 ifþ3ifif�G�G�G�(�if(�(1�1G2122==�=�(�3133G2G)G=)�)g�g�g3�22G21)11g�2�3�3�31 i�3ii�����i��222.�.. 2.
10.212. Demuestre quepppðð=ð==222peðe=e�2��zezztt�ataannznutuuadndduuuud���u 21�1221���21 z2�z2z233!3!!þz2þþ3! z4þz4z45!5!5!�z4��5! z6�z6z67!7!7!þz6þþ7! �þ�������� �.�
10.213. Demuestre que P0P0P0nnn(P(0(cccnooo(sscsuouu)s))u¼¼¼) 2¼22���2111���2�212333�����2�4�43455�5����4�6�65�6��������6�(�(��(2�2�2��n(n(�n((2222���n�nnn()2))1�1n1))))���1��)��cccþo�þoþosscs22þno2nnus�u�u�214n14þ14þþu�������1423(þ23(23(22�2�����n��n23n(1(21(212(22�2�n2���n�nn�n�n(1n(2(2(22122�21�2n1�n��nn)nnn)n()(2(2(121��21�n21�n)n)n)n()c221�c2�c2�o�)no))o)ssc2s3�3(3(o()n)n)n)sc3c�(c��ono)ossc2s�2(2(o(n)n)n)usu2u�(��n)u4�44)))uu4uþ)þþu �þ������������ ��
[Sug[[e[HHHrei[iinHnnnttct.i..ni1a1t1.:���1 2�22tttc2ccootosscsuouusþþþu tþtt222¼t¼¼2 (¼((111�(��1 t�tteeeiiuiutu)e))((i(1u11)�(��1 t�tteee���tieiuiuu�)))..i.]u]])..]]
10.214. a ) Demuestre que Γ(z) es una función meromórfica y b) determine la parte principal en cada uno de sus polos.
10.215. S ea Re{n} > −1/2. Demuestre que
D Deemmuueessttrrp1ð0eeðJ0=nt2qqn(cJzuuo)mees(¼p1pðp1ðt00uðJðJ0)0==nnt2tc22dnn(c(contJzJzoops))mm¼ssq(¼p(¼ppffiffiuttuffi2))GzGdn22ccddn�Guoonn�ttnpps�s¼¼m¼þqqmpffiffipffiffiuu�ffiffi22221GGzzþGGddnn�pnn2��GnGþuu���nn2ðn11��1þmm¼¼Gþþþmem�1i��z2221211tþ�þ2��pp(22�nnþ1þ��þ22ððnn1111.1þ1þ�pGGþþp2ee��11iitGzþz211tt��22(()(��1n1pqþþ�...���þ1ppp22p=G2ttGG1þþ�22d)(())2tnnppqq��¼þ��þþ11==GG2p22211��ndd�))p22tt ¼¼pffiqþþffiffi�Gz222p2p.n�nn��nppþpffiqpffiqffiffiffiffi��21GGzz�..nn��ðp0nncþþos2121(��zððp0p0coccsoossu(()zzscceoonss2nuuu)) dsseeunn22nn u du
u du
10.216.
10.217.
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368 Capítulo 10 Temas especiales
10.218. Demuestre que �G�41��2¼ 4pffipffiffi pð=2 q ffiffiffiffiffiffidffiffiffiuffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi.
0 1 � 1 sen2 u
2
Respuestas a los pr�oln(b1 �lez)mas complementario2s4/3125
10.50. aabdaaaaRdz3cG(�))) ))))Rdz3cG)�(zoi/−Rdz3cGz((�¼eodY(Rzc3i/v8l(¼e5nzþv8olzi/nf5no(þi/¼e.,nf=v8lel=vzv.,,5n=þ(=nvnznf++8,(({.,8+1.1=v(z(þ,8v1b.((,1,+(þzbb),()811.11.Ab)�)(þ)(=b11,=,�))(=+b)=,1)b1)1pe�),)−zpb1(=b=p4)zpd,)gr/,zbR21d3cG−4�(d)gpr)zzp2e2)i1z2ffir4ozdffi3e2)gi/rdzz)2iffi2(vzeffi3gedv8dffile22vffi}g5n.)ipffi2þiffi3)nf+d..gpffiu viffi.,giv.2 ,uffi=vz,.vpv,(=iffiul.u.(=ffiv8l1.(a1>,.ffi.0,(þ3cBb(l,a=,0cl,3b.)ra)c(,)a6(r0�),3)(=.c,z=6(c)rc).r0b1,(,cce6(p.)zp(,)(.c)bRdz3cG4(�Rdz3cG(d�(,)gco)−b(zb2,(bRdz3cG�(oczb(zo(2)i/occ)i/bc)oi(ffi2b¼e(nffi3z))c¼ezodv8b)(ci/ffilov8nvlffi)(5no¼e)þ5n,oþ)nv8nffifcl)vnf.)cp5oni.,)þffiz(n.,v.znf=vnz=vffi,nzvz()v..,,(poffi�(+(n=v+zv(p, =.�((8z(1.v81¼1.+v=1.(−þ.,n((þb,p¼8b1�v..,01,3,(þb)72ffi.bb)), c.1)¼1v7�)ffi2,�b))(=.,)(==6(1ffi7=)p)�),7)2,2ffi(=b12,.=b1þcpp)ffi2pzp,(z,pþ,b1ffi4p,dp4)grcz,pd=)2ffi)g+rzb2z2þ,4=d4(ffi)gre2z2e2ffi)2oiffi2r1)ir2ffi,3ffi2)ffi3cd=e2cffid2r1vffi)ffii2g2vffieffig3effidnffi6ffi.vpe4)gr.12poiffiffi2i6.ffi4gu.gffi.upv(eiffivv,g,ffi.,iffiu64n4ffipv=,�=iul,uffi)lg...u=(()al,(vai0i,=3,0.,d3(ll(aucd=))c0,3lr72ffiarda.6,(c6,( 6ffi/=(ar).6,)l).,ffid6r(cprc))2.affi,(r6þ,(6;c2ffi(;c()),ffi(cpb);br5=(b2(pc2b)(b5oz;zo)b(c)pccz1co2)55))pfficncnz))offi)p¼=o6n4ffi ¼)z(ovz(pffiv,nnpffiz(,¼�vpi�,ffin.p.�)¼v¼e,v00,.,(¼=0v,7ffi27)2ffid..,,ffi0ffi726,,ffi.,ffipp)ffi2Rdz3cG,2(iffiiþ,þffipY22ffiiffirrþzffio,i/ffi,=rp=(ffi¼ierr5,v8=r5nþr1ee2r1¼f2er.,r1e2epffi=vggz6,46e4ffieg+g6(ffig48.uu1,gi,(þ,giA2bu,u,)ui2)b)ll)1u(u()4)=l(==a2ael=l(4d)da=,lab1la6/rdp6r�4zpa/a)r3)64.3r.14d1)grr232)23./14z1rr;;e212pp63pi62ffi(p3.143ffi15;1d5p6pcffi6(þvpffigcz25zp1/ffip.6pcp62(==i)zpffi/.3)upffi==pffi5ffivc23,)ffi¼ffipffi/5¼53pffi==B=z1ffilffip53¼3ffi)z.5,1ffipffi,(a1pz0,533ffi25,1pz1cffip==5zr02¼ffi0,1p=6(e4,2¼ffi)5.013ffi,c=,,,ffi13�2¼,(/11111,(,ffi,(,00c)(1ffi3b33i(104b1,0,izbffi(00000(0br(oi5,br(,0)1cp6,cp)65br((0b).....b,)n,)1)52rbbe89879o(ep/,1),)2==)ez(1vb3,(2g,5))g94090npp,�(531ppbg2,.)1pffipiu¼bu(v.....,pffip2i1=2p,r)u pffib5pi7=2ffirl2)pl.r==p4ffipr24ail,r==aaaa2a)ffi,p�ep4pr24a13ffiffi�eþ/=r,/3ffir4pffiffi)))4)gerffi(3ffi3/�3r32ffi.14,,1,0g3.141=ffi3effi23(,bg3/ffi3.14u13341ffi1p6pffi65u(pbr1(6p6ffi2(,(2gG1)3u(ffip63p6l(Gcecp2bc2p/,l)6p/c4au(==c=2=G(l3pa)/g)32)/5)=5(=ca,)r/1/(23i5l)35p35r12uffip(.1p)ffipb3a5)3z2rzffip523=.(ffi11pp212pffi=z5=ffi.l=r5)ffi11dp4=3ffi2=155a2¼ffi2=¼4.6=3,p=,2¼5)31ffi31�ffi)r42,,3,4ffi32ffi)13(ffiffi;(,,p,0ffi,03p,ffi)(2ffi(ffi0,bp5(0b,03ffi,bz(50b(5bbp(=,)(,)5bG(=bpffib),,),))c1ffi)¼b1=1,)2ffi1)2())(1,(62p)p1,2,p6(bpbpp,p,p2b06=i=pi,)=)pprir=4(=),,=/3pppr(=�d�p43r4ed)i(e�3ffiffi34)reffidffi2ffi,3pgffi2,ffi)g3ffi3ffirffi2,gffiffi3)pffiu(eu(cGffi=Gpu(ccGgl)pl1c((a)la)u(2a)262rr22l2r=.=.,42a=.44333(r4333d).141)p3)pp)6p6(p/cp/=p==3)1=11531ffip61z6ffi61pffi56,=,,2¼,,d1ffi3(,(ffi( (dd,0)(0bd))5b(p,))b,)pp12p)(p,pbpi=)pr=pr�4effi3ffi2ffi,g3ffi u(Gcl(a)2r2=. 433)p=16, (d) p
10.52.
10.53.
10.62.
10.64.
10.74.
10.98.
10.99.
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Índice
A Conjunto no acotado, 8
Aceleración, 84 Conjunto no contable, 8
Conjunto no numerable véase conjunto no contable
centrípeta, 100 Conjunto numerable véase conjunto contable
Adición, 1 Conjunto ortogonal, 345
Aerodinámica, 282 Conjunto vacío, 8
Amplitud, 4 Conjuntos disyuntos, 8
Aplicación véase transformación Conjuntos mutuamente excluyentes véase conjuntos
Aplicación isogonal, 243
Arco véase curva continua disyuntos
Arco suave véase curva suave Constante de Euler, 322
Arco seno véase seno inverso Constante dieléctrica, 287
Argumento, 4 Continuación analítica, 176, 190-191
Continuidad, 47
B Continuidad en una región, 47
Base de los logaritmos naturales, 43 Continuidad uniforme, 48
Contorno véase curva suave a trozos
C Convergencia, 49, 169, 194, 320
Campo, 3
Capacitancia, 289 a cero, 320
Capacitor, 289 absoluta, 170, 171, 179, 183, 195, 320
Celda unitaria, 332 condicional, 170, 320
Cero, 1 uniforme, 170, 320
Coordenadas
de orden n, 81 conjugadas complejas, 7
simple, 81 curvas, 43
Ceros, 5 curvilíneas, 42
Cerradura de un conjunto, 8 polares, 4
Circulación, 283 rectangulares, 3
Círculo de convergencia, 171, 180 Corte de ramificación véase línea de ramificación
Círculo unitario, 6, 243 Cota superior, 112
Cociente cruzado, 245, 261 Criterio de convergencia de Cauchy, 171
Complejo conjugado, 2 Criterio de Gauss, 172
Complemento de un conjunto, 8 Criterio de la comparación, 171
Condensador, 289 Criterio de la integral, 172
Condiciones frontera, 280 Criterio de la raíz n-ésima, 172
Conductividad térmica, 289 Criterio de la serie alternante, 172
Conductor perfecto, 289 Criterio de Raabe, 172
Conjugado, 2 Criterio del cociente, 172
Conjunto abierto, 8 Criterio M de Weierstrass, 172, 181
Conjunto acotado, 8 Cubierta de un conjunto, 8
Conjunto adecuado, 8 Curva
Conjunto bidimensional, 7 cerrada simple, 83
Conjunto cerrado, 8 continua, 83
Conjunto compacto, 8 de Jordan, 114
Conjunto conexo, 8 rectificable, 111
Conjunto contable, 8 suave, 83
suave a trozos, 83
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370 Índice de Laurent véase serie de Laurent
analítica véase continuación analítica
Curvas de flujo, 284
Curvas equipotenciales, 284 F
Factor de aumento lineal, 243
D Factor de magnificación, 243, 259
Denominador, 1 Familias ortogonales, 82
Derivada, 77 Fluido ideal, 283
Desarrollo asintótico, 363-364 Flujo de calor, 289
Desarrollos de Lagrange, 176, 190 Flujo irrotacional, 283
Desigualdad de Schwarz, 39 Flujo libre de circulación, 283
Desigualdad de Cauchy, 145, 151 Flujo uniforme, 284
Diagrama de Argand véase plano complejo Flujo vórtice, 300
Diferenciabilidad, 77 Forma estándar, 14
Diferencial, 79 Forma factorizada, 6
Dinámica de fluidos, 282 Forma simétrica, 14
Dipolo, 285 Forma polar, 4
Dirección, 6, 83 Fórmula
Disco unitario, 243
Discontinuidad removible, 47, 65 asintótica de Stirling, 330, 331
Discontinuidades, 47 de Euler, 5
Divergencia, 84 de recursión, 322, 326
División, 1, 2 de Rodrigues, 193, 327
Doblete véase dipolo de Schlaefli, 193
Dominio véase región abierta del binomio véase teorema del binomio
Fórmulas
E de adición, 332
Ecuación integrales de Cauchy, 145, 146, 150, 334
integrales de Poisson para un círculo, 145-146, 157,
biarmónica, 316
característica, 324, 341 281
de continuidad, 283 integrales de Poisson para un semiplano, 146, 158, 281
de Laplace, 78, 280 Fracciones, 1
diferencial de Bessel, 325-326, 341, 362 Frontera natural, 177, 191, 319
diferencial de Gauss, 328 Fuentes, 284
diferencial de Legendre, 327 Fuerza, 285
hipergeométrica, 328 Función
lineal diferencial, 323 algebraica, 45
Ecuaciones analítica, 77, 87, 88, 98, 105, 109, 115, 131,
de Cauchy-Riemann, 27, 77, 87, 102, 142, 296
de transformación, 242 142, 149, 160, 161, 282, 290, 291, 311,
diferenciales, 341, 360 319, 330, 333, 347
diferenciales parciales, 280 beta, 323, 359-360
paramétricas, 14 continua, 47
Eje imaginario, 4 de aplicación, 50
Eje real, 1, 4 de Bessel, 193, 325, 331, 361, 364
Elemento, 7 de flujo, 284
Elementos, 319 de Neumann, 326
Elongación, 245, 257 de potencial de velocidad, 284
Enteros negativos, 1 de transformación, 42
Enteros positivos, 1 del error, 331
Esfera de Riemann, 7 elíptica jacobiana, 332
Estado estable, 289 entera, 176, 321
Estiramiento, 245 factorial, 322
Expansión gamma, 321-322, 330, 359
asintótica, 347 generatriz, 325
de Taylor véase serie de Taylor hipergeométrica, 328, 346, 363
integral, 176
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inyectiva, 242 Índice 371
lacunary, 177
meromórfica, 176, 367 Intersección de conjuntos, 8
multivaluada, 41 Intervalo abierto, 2
Pi de Gauss, 322 Intervalo cerrado, 2
trascendente, 45 Invariantes véase puntos fijos
unívoca, 41 Inversa de la adición, 1
uno a uno véase función inyectiva Inversa de la multiplicación, 1
zeta, 328, 347, 363 Inversión, 245
Funciones Inverso del punto z, 157
algebraicas racionales, 43 Inverso respecto de la suma, 3
armónicas, 78, 88, 104, 142, 160, 163, 167, 280, Inverso respecto de la multiplicación, 3
288, 290, 311 J
asociadas de Legendre, 366 Jacobiano de la transformación, 242
circulares véase funciones trigonométricas
conjugadas, 77, 109, 163, 280 L
de Legendre, 328, 345, 362, 366 Lemniscata, 37
doblemente periódicas, 332 Ley asociativa de la multiplicación, 3, 8
elementales, 45 Ley asociativa de la suma, 3, 8
hiperbólicas, 44 Ley conmutativa de la multiplicación, 3, 8
hiperbólicas inversas, 45 Ley conmutativa de la suma, 3, 8
impares, 55 Ley de cerradura, 3
inversas, 41 Ley de Coulomb, 287
logarítmicas, 44 Ley del paralelogramo, 6
pares, 55 Ley distributiva, 3, 8
polinómicas, 43 Límite, 46, 169
trigonométricas, 43 Línea de ramificación, 46, 53
trigonométricas inversas, 44 Líneas de flujo, 284, 288, 290
Líneas equipotenciales, 284, 288
G Líneas isotérmicas, 290
Gradiente, 84 Longitud, 112
Grado, 5, 43 Logaritmo natural, 43, 44
Longitud, 6
H
Hidrodinámica, 282 M
Magnitud, 6
I Método de la fase estacionaria, 330
Identidad de Euler, 366 Método de Laplace, 330
Identidad respecto de la multiplicación, 3 Método del punto silla, 330, 347
Identidad respecto de la suma, 3 Miembro véase elemento
Imagen, 42, 314 Modelo matemático, 282
Imágenes, 242 Módulo, 2, 3, 4, 332
Independencia lineal, 324 Momento dipolo, 285
Integral Movimiento armónico simple, 100
Multiplicación, 1, 2
compleja de línea véase integral de línea
de contorno, 114, 361 N
de línea, 112 Nabla, 84
definida, 112, 131 Nabla barra, 84
elíptica del primer tipo, 331 Numerador, 1
elíptica del segundo tipo, 332 Número(s)
elíptica del tercer tipo, 332
exponencial, 331 algebraico, 30
real de línea, 112 complejos, 2
Intensidad de campo eléctrico, 287 de Bernoulli, 203, 329
imaginario puro, 2
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372 Índice frontera, 8
imagen, 50
irracionales, 1 inicial, 6
naturales, 1 interior, 8
racionales, 1 invariantes véase puntos fijos
reales, 1 límite, 8
trascendentes, 30 ordinario, 81, 323
silla, 330
O singular, 81, 105, 323
Operador laplaciano, 85 singular aislado véase singularidad aislada
Origen, 1 singular irregular, 324
singular regular, 324
P z, 4
Paralelogramos periódicos, 332
Parte imaginaria, 2 R
Parte real, 2 Radio de convergencia, 171, 180
Perfiles de Joukowski, 271 Raíces de la ecuación, 5
Plano complejo, 4 Raíces n-ésimas de la unidad, 6
Plano complejo completo, 7 Raíz n-ésima, 5
Plano complejo extendido véase plano Rama de la función, 41
Rama principal, 41, 44, 53, 57
complejo completo Rango principal, 4, 53
Plano z véase plano complejo Reales, 1
Plano z entero véase plano complejo completo Recíproco del teorema de Cauchy, 115
Polinomios de Legendre, 193-194, 327, 345, 354 Región, 8
Polo de orden n, 81, 175, 188, 189 Región abierta, 8
Polo doble véase polo de orden n Región cerrada, 8
Polo norte, 6 Región de convergencia, 169
Polo simple véase polo de orden n Región simplemente conexa, 113
Polo sur, 6 Región múltiplemente conexa, 113
Potencial complejo, 283, 288, 295-300 Regla de la cadena, 79
Potencial de velocidad, 282, 284 Regla de L’Hopital, 81
Potencial electrostático, 287, 288 Regla de Leibnitz, 149, 208
Principio de ortogonalidad, 345 Representación de Schlaefli véase fórmula de Schlaefli
Principio de reflexión de Schwarz, 320, 335, 357-358 Residuo, 205, 210
Problema de Dirichlet, 280, 292-294, 309, 311 Resta, 2
Problema de Neumann, 281, 292, 311, 314 Rotación, 244
Problema de valor frontera, 280 Rotor, 85
Producto, 1
Producto cruz, 7 S
Producto escalar véase producto punto Seno hiperbólico inverso, 45
Producto punto, 7 Seno inverso, 44
Productos infinitos, 320, 336, 358 Sentido véase dirección
Prolongación analítica, 334, 338 Serie
Propiedad de cerradura, 1
Propiedad de ortogonalidad, 366 asintótica, 329
Proyección estereográfica, 7 de Fourier, 201
Punto(s) de Laurent, 174, 189, 190
de Maclaurin, 173
al infinito, 47, 57 de potencias, 170
críticos, 243 de Taylor, 173, 190
de acumulación véase punto límite divergente, 49, 169
de agrupación véase punto límite infinita, 169
de estancamiento, 283 hipergeométrica, 200
de ramificación, 46, 53, 81, 175, 319 p, 179
exterior, 8
fijos, 70, 244
final, 6
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Símbolo ficticio véase variable ficticia Índice 373
Singularidad(es), 81, 198, 319
del módulo mínimo, 145, 154
aislada, 81, 98 del residuo, 162, 206, 210
al infinito, 82, 175 del valor medio de Gauss, 145, 152-153
esencial(es), 82, 98, 175, 188 fundamental del álgebra, 6, 145, 152
no aislada, 98 Teoremas
no esenciales, 82 de factorización de Weierstrass, 321, 339
removible(s), 82, 174, 189 sobre continuidad, 48
Sucesión, 48 sobre límites de sucesiones, 49
acotada, 48 Teoría de la elasticidad, 316
convergente, 49, 169 Transformación, 42, 50, 242, 243
de funciones, 169 estiramiento, 245
divergente, 49, 169 inversión, 245
monótona creciente, 171 rotación, 244
monótona decreciente, 171 traslación, 244
Subconjunto, 1, 8 de Joukowski, 271
Suma, 1, 2 de Landen, 365
Suma parcial, 49, 169 de Schwarz-Christoffel, 246-247, 265, 270
Sumideros, 284 bilineal véase transformación fraccionaria,
Superficie de Riemann, 46 conforme, 42, 50, 242, 258
Sustracción, 1 fraccionaria, 43, 245
inversa, 242
T involutiva, 277
Tangente, 83 lineal, 43, 245
Temperatura compleja, 290 racional, 43
Teorema Transformaciones conformes, 83
Transformaciones sucesivas, 245
de Abel, 173 Traslación, 244, 256
de Bernoulli, 286 Trayectoria poligonal, 8
de Blasius, 286-287, 301 Triple polo véase polo de orden n
de Bolzano-Weierstrass, 8, 29
de Casorati-Weierstrass, 175 U
de Cauchy, 115, 334 Unidad imaginaria, 2
de Cauchy-Goursat, 115 Unión de conjuntos, 8
de De Moivre, 5
de Gauss, 288 V
de Green, 114 Valor
de Heine-Borel, 8
de Jensen, 167 absoluto, 2, 3, 4
de la aplicación de Riemann, 243-244 compleja, 2, 41
de la curva de Jordan, 114 de una función, 41
de la unicidad de una prolongación analítica, 319 dependiente, 41
de Laurent, 174, 186 ficticia, 117
de Liouville, 145, 151-152 independiente, 41
de Morera, 115, 145, 151, 334 principal, 4, 41, 44
de Picard, 175 principal de Cauchy, 208
de Rouché, 145, 156 real, 2
de Schwartz, 160 Vecindad, 7
de Taylor, 173, 184 Vecindad agujerada, 7
del argumento, 145 Vector posición, 6
del binomio, 174 Velocidad, 84
del desarrollo de Mittag-Leffler, 209, 231 Velocidad compleja, 283
del módulo máximo, 145, 153-154 Vórtice, 285
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