86 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
3.2. M uestre que (d/dz)z no existe en ninguna parte, es decir, f (z) = z no es analítica en ninguna parte.
Solución
Por definición,
df (z) ¼ lím f (z þ Dz) � f (z)
dz Dz
Dz!0
si este límite existe independientemente de la manera como Dz ¼ Dx þ iDy tienda a cero.
Entonces
d z� ¼ lím z þ Dz � z� ¼ lím x þ iy þ Dx þ iDy � x þ iy
dz Dz Dx þ iDy
Dz!0 Dx!0
Dy!0
¼ lím x � iy þ Dx � iDy � (x � iy) ¼ lím Dx � iDy
Dx þ iDy Dx þ iDy
Dx!0 Dx!0
Dy!0 Dy!0
Si y = 0, el límite buscado es
lím Dx ¼ 1
Dx
Dx!0
Si x = 0, el límite buscado es
lím �iDy ¼ �1
iDy
Dy!0
Entonces, como el límite depende de la manera como z → 0, la derivada no existe, es decir, f (z) = z no es
analítica en ninguna parte.
3.3. Dada w ¼ f (z) ¼ (1 þ z)=(1 � z), encuentre a) dw/dz y b) determine dónde no es analítica f (z).
Solución
a) Método 1. Con la definición
dw f (z þ Dz) � f (z) 1 þ (z þ Dz) � 1 þ z
dz Dz lím 1 � (z þ Dz) 1 � z
¼ lím ¼ Dz
Dz!0
Dz!0
¼ lím (1 � z � 2 � z) ¼ (1 2 z)2
Dz)(1 �
Dz!0
independientemente de la manera como z → 0, siempre que z 1.
Método 2. Con las reglas de diferenciación. De acuerdo con la regla del cociente [vea el problema 3.10 c)],
si z 1,
d �1 þ z� (1 � z) d (1 þ z) � (1 þ z) d (1 � z) (1 � z)(1) � (1 þ z)(�1) 2
dz 1 � z dz (1 � z)2 dz (1 � z)2 �
¼ ¼ ¼
(1 z)2
b) La función f (z) es analítica para todos los valores finitos de z, excepto para z = 1, punto en el que la derivada
no existe y la función no es analítica. El punto z = 1 es un punto singular de f (z).
3.4. a) Si f (z) es analítica en z0, compruebe que entonces es continua en z0.
b) Dé un ejemplo que muestre que lo contrario de lo que se dice en el inciso a) no necesariamente es
verdad.
Problemas resueltos 87
Solución
a) Como
f (z0 þ h) � f (z0) ¼ f (z0 þ h) � f (z0) � h
h
dwonhdeerehh=¼ Dz z=00, ,swe teiehnaeve
hlhlí!i!mm00 ff ((zz00 þþ hh)) �� ff((zz00)) ¼¼ hhll!íi!mm00 ff((zz00 þþ hh)) �� ff((zz00)) �� hlhlí!i!mm00 hh ¼¼ ff00((zz00)) �� 00 ¼¼ 00
hh
pboerqcuaues, epof r0(zh0i)póetxeissitss, bf y′(zh0y)peoxtihsetes.isP. oTrhtuasnto,
lím ff ((zz00 þþ hh)) �� ff ((zz00)) ¼¼ 00 oor lím ff ((zz00 þþ hh)) ¼¼ ff ((zz00))
hl!im0 hl!im0
h!0 h!0
lo que muestra que f (z) es continua en z0.
b) La función f (z) = z es continua en z0. Sin embargo, de acuerdo con el problema 3.2, f (z) no es continua en
ninguna parte. Esto muestra que una función que sea continua no necesariamente tiene derivada, es decir, no
necesariamente es analítica.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
3.5. Demuestre que una condición a) necesaria y b) suficiente para que w ¼ f (z) ¼ u(x, y) þ iv(x, y) sea
analítica en una región es que en esa región se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann
@u=@x ¼ @v=@y, @u=@y ¼ �(@v=@x), donde se supone que estas derivadas parciales son continuas en .
Solución
a) Necesidad. Para que f (z) sea analítica, el límite
lím f (z þ Dz) � f (z) ¼ f 0(z)
Dz
Dz!0
¼ lím fu(x þ Dx, y þ Dy) þ iv(x þ Dx, yþ Dy)g � fu(x, y) þ iv(x, y)g (1)
Dx þ iDy
Dx!0
Dy!0
debe existir independientemente de la manera en la que z (o x y y) tiendan a cero. Se considerarán dos
aproximaciones posibles.
Caso 1. y = 0, x → 0. En este caso, (1) se convierte en
lím �u(x i�v(x y)��
þ Dx, y) � u(x, y) þ þ Dx, y) � v(x, ¼ @u þ i @v
Dx!0 Dx Dx @x @x
siempre que existan las derivadas parciales.
Caso 2. x = 0, y → 0. En este caso, (1) se convierte en
lím �u(x, y)�
y þ Dy) � u(x, y) þ v(x, y þ Dy) � v(x, ¼ 1 @u þ @v ¼ �i @u þ @v
Dy!0 iDy Dy i @y @y @y @y
Pero f (z) no puede ser analítica a menos que estos dos límites sean idénticos. Por tanto, una condición
necesaria para que f (z) sea analítica es que
@u þ i @v ¼ �i @u þ @v o @u ¼ @v , @v ¼ � @u
@x @x @y @y @x @y @x @y
b) Suficiencia. Como se supone qu@eu=@@ux=@x y @u=@@uy=@syon continuas, se tiene
Du ¼ u(x þ Dx, y þ Dy) � u(x, y)
¼ fu(x þ Dx, y þ Dy) � u(x, y þ Dy)g þ fu(x, y þ Dy) � u(x, y)g
¼ �@u þ � þ �@u þ � ¼ @u Dx þ @u Dy þ e1Dx þ h1Dy
@x e1 Dx @y h1 Dy @x @y
88 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
donde e1 → 0 y h1 → 0 cuando x → 0 y y → 0.
De igual manera, como se supone qu@ev=@@vx=@x y @v=@@vy=@syon continuas, se tiene
Dv ¼ �@v þ � þ �@v þ � ¼ @v Dx þ @v Dy þ e2Dx þ h2Dy
@x e2 Dx @y h2 Dy @x @y
donde e2 → 0 y h2 → 0 cuando x → 0 y y → 0. Entonces,
Dw ¼ Du þ iDv ¼ �@u þ i @@xv�Dx þ �@u þ i @@yv�Dy þ eDx þ hDy (2)
@x @y
dondee¼e ¼e1 eþ1 iþe2ie!2 !0 0 y h ¼h ¼h1hþ1 iþh2ih!2 !0 c0uando x → 0 y y → 0.
De acuerdo con las ecuaciones de Cauchy-Riemann, (2) se expresa como
Dw ¼ �@u þ i @@xv�Dx þ � @v þ i @@ux�Dy þ eDx þ hDy
@x � @x
¼ �@u þ i @@xv�(Dx þ iDy) þ eDx þ hDy
@x
Al dividir entre z = x + i y y tomar el límite cuando z → 0, se ve que
dw ¼ f 0(z) ¼ lím Dw ¼ @u þ i @v
dz Dz @x @x
Dz!0
de manera que la derivada existe y es única, es decir, f (z) es analítica en .
3.6. Sea f (z) = u + iv una función analítica en una región . Compruebe que u y v son armónicas en si tienen
segundas derivadas parciales continuas en .
Solución
Si f (z) es analítica en , las ecuaciones de Cauchy-Riemann
@u ¼ @@yv (1)
@x
y
@v ¼ � @u (2)
@x @y
se satisfacen en . Si se supone que u y v tienen segundas derivadas parciales continuas, ambos lados de (1) se
diferencian respecto a y y ambos lados de (2) respecto a x para obtener
@2u ¼ @2v (3)
@x2 @x@y
y
@2v ¼ � @2u (4)
@y@x @y2
de donde
@2u ¼ � @2u o @2u þ @2u ¼ 0
@x2 @y2 @x2 @y2
es decir, u es armónica.
90 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de CauPcrhoy-bRleiemmaasnrnesueltos 89
Con yD=e m0 ane ra semejante, alf (dxi)fe¼renuc(xia, r0)amþbiov(sxl,a0d)o:.s de (1) respecto a y, y ambos lados de (2) respecto a x, se
encuentra que
Se sustituye x por z, con el prfo(zb)le¼mua(3z,.70,)uþ(zi,v0(z),=0@@)0.:2x,v2vþ (z@@,y20v2) ¼ 0 y por tanto f (z) = u(z, 0), + iv (z,0) = ize−z
Entonces, de acuerdo = ze−z
salpvoor ulonaqucoenvsteasnatermadóintiivcaa.arbitraria.
Más adelante (capítulo 5) se mostrará que si f (z) es analítica en , todas sus derivadas existen y son continuas
Méetnodo. 2Por tanto, no serán necesarios los supuestos anteriores.
3.7S. aalv)o uDnaemcounessttarnetequadeituiv¼a aerb�ixt(raxrsiae,ndye �acuyecrdoos yc)onesloasrmresóunlitcaad.os del problema 3.7,
b) Encfu(ezn) t¼reuvþtailvq¼ueef� (xz()x =senuy+�iyvcsoesaya)nþaliíet�icx(ay. sen y þ x cos y)
� �eiy � e�iy� �eiy þ e�iy�� ie�x�y�eiy � e�iy� �eiy e�iy��
Solución¼ e�x x 2i � y 2 þ 2i þ x þ
2
MSeéatt)io edno e@@@3@2xxuux2 =¼¼ (e¼�xi)((xseþn iyy))þe�((x�þeiy�) x¼)(xizsee�nzy � y cos y) ¼ e�x sen y � xe�x sen y þ ye�x cos y después de un(1)
(@z@x+(e�zx)/s2en, yy �= x(ez�−x sezn)/y2þi. yEen�txocnocsesy,) a¼l s�u2stei�tuxisreenny uþ(xx,e�y)x s+enivy (�x,yye)�,xsceosenycuentra,
tediEonsoget@@rnauyebr¼aajlo,e,�cqux(uaxencdzoodsseyesþacpoyanrsoeeccneeyny�uqcuyoevsd,ays)iez¼ep−rxeze.f�iexrceoeslymþéytoed�ox s1ena ylo�s em�éxtcoodsoys 2 y 3. Si sólo se conoce u (o v), se
Difereunsacoitar ol@@2ymeu2Sése¼tosd@u@oym(qaxunee�(xs1ec) opysr(ey2sþ)enpytaaer�aexnosbeetlnepnyre�orb(el@�[email protected]))0þ¼1.(�@2xue=�@xys2e)n¼y
þ 2e�x sen y þ ye�x cos y (2)
0, por lo que u es armónica.
3.9. Dabd) a wD=e afc (uze)rd=ozc3o−n la2sz2e,ceunacuioennetsred: e Caa)u chwy-,R iebm) adnwn , y c) w − dw.
Sa)o luDcwi¼ónf (z þ Dz) � f (z) ¼¼ �z@@@@3(xvvyzþþ¼¼3Dz�@@2uxzD)@@¼3uyz�þ¼e�23ex(z�zs(exDþnczoy)D2s�zyþ)2x��(eD��xzex)��s3zex�3nc�oy2sþz2y2z�y�2e��y4exz�Dczozss�eyn2y( Dz)2 � z3 þ 2z2 (3)
(4)
Se integra (3) respecto¼a(3y,z2m�an4tze)nDieznþdo(3xzc�on2s)t(aDnzt)e2. þEn(tDonz)c3es,
cb)) DdOweDbsaweecsr�uvleaerdpdqwaourfe¼tc0e(ofz(npf0)03(0rfz(¼zli0oz)n(�)szc¼3)¼iizD2pn¼23)aDwc3v(z�liDwz322s�d¼¼2Dzoz�4e�2)�swzd2�yD�4awDedþ4w¼ez)�Dwwz4�¼xyy(w¼zx(D¼s¼3Dbdce(¼zz(o3)wnw)2(3,(dsz333yzD(d��w¼yz�3zD2¼2wdþw2z�þ�w4w¼d(22�e¼z3x�w)2�xD�)4¼ez((De4)2Dz3�(dz¼(�z43)dzD(�wxzD)xz3z2w2)D¼c(z)22czz3�¼4oD)z2o¼�2þz¼zs(zs�¼)34þ(�yy43(¼zzd(3þD2z4)z3(eþ(z2z)3Dzz,z(,�d�)¼)F3z2)�d2(iezez32D.zzd,)(�s�42e2,3x(�2¼zzi.z)xd3).,)i�()(4¼e.e2zD(yd4iee.zdDc.,�þw.z4)szeDzei,z)ed).rz,d=Dz,2)d,n)w2(d2dzDwdzþ)zd,y=z,þDw,z=zdpþ¼)(,zd=z3uD(zdþDec¼3¼zz¼soz)z(,3¼)se23De3p3yez¼�D¼zo¼z)322)¼z2rzþ2�e4(2�.de3Dz(D�eF.4z3zf4zz(�i,z4.xn�d.)zi2oc.. )ei2nDóD)d¼nDzez,eDzþe(D¼z3þ¼Dz¼(z¼Ddz(¼�zDz3(¼.d3)zd22zz)�.zd.)2�D.z..2z2)þD)Dz(zDþþz)(2D(D.zz)2)2..(5)
e ! 0 aseDDw!z�!0ddOawe0sbd,oDs¼oier.znderSv(d.!e,e3een(zsDqFsu�0uuw(zs,xep.t2ii)�.ete)!ure(.iD!sd,yo(wezur0D)n)(a20aw=5aþsDa)cf�sDuzeu(a.DnznD!dencz!w(zd!i4)!ó)o30)e=Dne0¼Dya0D!z,r0s!z.esiza,eD.ea.!seiD0l.z.o0De,zaab.!(zr,a0stDbs(i,!DaeDiweDt0snzrws.azDe�D0!rd�!zz,ied.aei!cD.wd0eDd¼i0zwr,).ez,.=i0).(.xDi=e3.D.eD.z,w.,z!�(D(�!D2w0wd)DD�0wa�zws)ad=þsDdw�DDwz)(z=dz)D!=!Dw!zD)z20zw0!..0!.�a.Ss0ed0Dwaszasisg!DuDzez0!q!.ue00.D.Dww��dwdwesDuwnD�iDnwfwdi�nw�itdedwswimal
Dz.
Reglas de diferenc�iyaec�xiósenn .yD�exer�ixvcaods yaþsed�xecofsuynþcFio0(xn) e¼s�eyle�exmseen ny t�axlee�xscos y � ye�x sen y
o F ′(x) = 0, y F(x) = c, una constante. Entonces, de acuerdo con (5),
3.10. Demuestre lo siguiente suponiendo que f (z) vy¼g(ez�) xs(oynseannaylþíticxacsoseny)uþnac región .
a) dEfnfe(lzp)rþobgle(mz)ag 3¼.40dsefp(zre)sþentda ogt(rzo)método.
dz dz dz
3.8b. ) ESnodedlzul fpcrfoi(ózb)lngem(z)ag3¼.7,f encudentre f (z). d f (z)
(z) g(z) þ g(z) dz
dz
c) SM eétdtdiozedn�oegf 1((zz))� ¼ g(z) d f (z) � f (z) d g(z)
dz [g(fz()z])2¼ fd(zx þ iy) ¼ sui(ggx(,(zzy))=þ0iv(x, y):
Problemas resueltos 91
Solución
a) d f f (z) þ g(z)g ¼ lím f (z þ Dz) þ g(z þ Dz) � f f (z) þ g(z)g
dz Dz
Dz!0
¼ lím f (z þ Dz) � f (z) þ lím g(z þ Dz) � g(z)
Dz Dz
Dz!0 Dz!0
¼ d f (z) þ d g(z)
dz dz
b) d f f (z)g(z)g ¼ lím f (z þ Dz)g(z þ Dz) � f (z)g(z)
dz Dz
Dz!0
¼ lím f (z þ Dz)fg(z þ Dz) � g(z)g þ g(z)f f (z þ Dz) � f (z)g
¼ f (z þ Dz)�g(z þ � þ
Dz!0 Dz) g(Dz)z� þ lím � f (z Dz) � f (z)�
Dz g(z) Dz
lím Dz!0
Dz!0
¼ f (z) d g(z) þ g(z) d f (z)
dz dz
Observe que se aprovechó que lím z→0 f (z + z) = f (z), que es consecuencia de que f (z) sea analítica y
por ende continua (vea el problema 3.4).
Otro método U ¼ f (z), V ¼ g(z).
U ¼UfS¼(ze)af,n(VzU),¼V=¼g¼(fz (()zg.))(,,zV)V. ¼= gg((zz))..DEUntDo¼Uncf e¼(zs,þf (DzDUþz)¼D�zf)f((�zzþ)f (Dz)z) � f (z)DyV D¼Vg¼(z þg(DzDVþz)¼D�zg)g(�z(zþ)g, (Dz)z,)i.e�es.,gid.(ez.c),i,r, fi(.ze.þ, Dz) ¼ U þ DU, g(z þ
f (z þf (zDþz)D¼zf)U(z¼þUDþzU),D¼gU(Uz, þgþ(zDDþzU)D¼, zg)V(z¼þVDþVz).D¼PVoV.r tþanDtoV, .
d ¼ lím (U þ DU)(V þ DV ) � UV ¼ lím UDV þ V DU þ DUDV
UV Dz Dz
Dz!0 � Dz!0
dz � DV
lím U
¼ DV þ V DU þ DU ¼ U dV þ V dU
Dz!0 Dz Dz Dz dz dz
donde se observa que V → 0 cuando z → 0, pues se supone que V es analítica y, por tanto, continua.
Para comprobar a) también sirve un procedimiento similar.
c) Se usa el segundo método del inciso b). Así,
d �U� ¼ lím 1 �U þ DU � U� ¼ lím V DU � UDV
dz V Dz V þ DV V Dz(V þ DV)V
Dz!0 Dz!0
¼ lím 1 � DU � U DV � ¼ V (dU=dz) � U (dV =dz)
þ DV)V V Dz Dz V2
Dz!0 (V
También puede usarse el primer método del inciso b).
3.11. D emuestre que a) (d/dz)ez = ez, b) (d/dz)eaz = aeaz, donde a es una constante cualquiera.
Solución
a) Por definición,www¼¼¼ezezez¼z ¼¼exexeþþxxþiiþyyiiy¼y ¼¼exexe(xxc((occososysyþyþþi siiessneenyn)yy)¼) ¼¼uuuþþþiviivvoororur uu¼¼¼eexxecxxoccososys,yy,v, vv¼¼¼exexexsxessneenyn.yy..
Como@u@@u=u@==x@@xx¼¼¼exexexcxoccososysyy¼¼¼@v@@=vv@==y@@yy y @v@@=vv@==x@@xx¼¼¼exexexsxessneenynyy¼¼¼���(@((u@@u=u@==y@@)yy,,)),s,e satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
Riemann. Entonces, de acuerdo con el problema 3.5, la derivada buscada existe y es igual a
@u þ i @v ¼ �i @u þ @v ¼ ex cos y þ iex sen y ¼ ez
@x @x @y @y
92 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
b) Sea w = ez, donde z = az. Entonces, de acuerdo con el inciso a) y con el problema 3.39,
d eaz ¼ d ez ¼ d ez � dz ¼ ez � a ¼ aeaz
dz dz dz dz
Puede procederse, también, como en el inciso a).
3.12. Compruebe que: a) ddsdseensneznz¼z¼¼ccooscsozz,s, z,((bb)()bd)dcdcooscsozzs¼z¼¼��s�seensneznz, ,z,y((c c)()cd)dtdatantnaznz¼z¼¼sseecsc2e2czz.2.z.
ddzzdz ddzzdz ddzzdz
Solución
a) Se tiene w ¼ sen z ¼ sen(x þ iy) ¼ sen x cosh y þ i cos x senh y. . Entonces,
w ¼wse¼n sze¼n zse¼n(sxenþw(xi¼yþu) s¼ieyn)sze¼n¼sxescneonxs(hcxoyþs,þ hiyiv)cþ¼osi scxeonssexnhcseo.nsh y . þ i cos x senh .
Ahora@u@=u@=x@x¼¼cocsoxscxocsohsyh y¼¼@v@=v@=y@yanaydnd@v@=v@=x@x¼¼��sesnexnsxesnehnyh y¼¼��(@(u@=u@=y@)y,)de manera que se satisfacen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann. Por tanto, de acuerdo con el problema 3.5, la derivada buscada es igual a
@u þ i @v ¼ �i @u þ @v ¼ cos x cosh y � i sen x senh y ¼ cos(x þ iy) ¼ cos z
@x @x @y @y
Otro método
CSionmSceionscseeennszzen¼¼zee¼izdd�e�2z2isiedede��2z�niisezz,e,�n¼wczo,eddn¼wzhe�aeddlvezhpei�za,rvo�eu2ebiszi,eli�enu�2mgsiizei�anP�gr3iz¼o.�Pb1rl211¼oeibmbd)dl2,1zei3smede.di1zzt13�ei(.ei1bzn211)�ei,(dbd21z)i,edd�zize�¼iz 12¼ei12z þeiz21þe�21ize�¼iz c¼osczos z
(b) (b)ddz cddozsczo¼s z d �ddezi�z þe2izeþ�2ize��iz¼� 12¼ddz21eddizz þeiz21þddz12edd�zize�iz
d¼z
¼ 2i¼ei2zi �eiz2i�e�2iize�¼iz �¼e�iz �e2izie��2iize�¼iz �¼se�nszen z
También sirve el primer método del inciso a).
c) De acuerdo con la regla del cociente del problema 3.10c), se tiene
d d � sen z� cos z d sen z � sen z d cos z
dz dz cos z dz cos2 z dz
tan z ¼ ¼
¼ (cos z)(cos z) � (sen z)(�sen z)¼ cos2 z þ sen2 z ¼ 1 ¼ sec2 z
cos2 z cos2 z cos2
z
3.13. Demuestre que d z1=2 ¼ 2z11=2, observando quez1z=12/2 es una función multivaluada.
dz
Solución
Para que una función tenga derivada, debe ser unívoca. Por tanto, como z1/2 es una función multivaluada (en este
caso con dos valores), es necesario restringirse primero a una rama y después a la otra.
Caso 1
Considere primero la rama w = z1/2 en la que w = 1, donde z = 1. En este caso, w2 = z, de manera que
ddddwzwdzdw¼z¼¼22ww2 w ayanneaddnstdosonsoceddsddwzwdzdw¼z¼¼221w1w21w ooror r dddzdzddzzz11=z=212=¼2¼¼22z1z2111=z=2112=2
Problemas resueltos 93
Caso 2
Después se considera la rama w = z1/2 en la que w = −1, donde z = 1. En este caso también w2 = z, de manera
que
dz ¼ 2dwdz z ¼¼ay2n2wedwntoandnacwndeds¼ d1dww¼¼o1r1 ddozorz r1=2dd¼dzdzz12z=1z21=12=¼2¼22z11z1=12=2
dw ddww dz 2dwdzz 22ww
En ambos casos se tiene (d=dz)z1=2 ¼ 1=(2z1=2). Observe que en el punto de ramificación z = 0 no exzi¼ste0.la
derivada. En general, en un punto de ramificación una función no tiene derivada, es decir, no es analítica. Así, los
puntos de ramificación son puntos singulares.
3.14. CompPrruoevbee tqhuaet d ln z ¼ 1
dz z.
Solución
Sea w = ln z. Entonces, z = ew y dz/dw = ew = z. Por tanto,
d ln z ¼ dw ¼ 1 ¼ 1
dz dz dz=dw z
Observe que esto es válido sin importar la rama de ln z de que se trate. Observe también que la derivada no
existe en el punto de ramificación z = 0, lo que ilustra la observación al final del problema 3.13.
3.15. DemPureosvtree tqhuaet d ln f (z) ¼ f 0(z)
.
dz f (z)
Solución
Sea w = ln z, donde z = f (z). Entonces,
dw ¼ dw � dz ¼ 1 � dz ¼ f 0(z)
dz dz dz z dz f (z)
3.16. Verifique que a)ddsesne�n�1 1z z¼¼ppffiffiffi1ffiffiffi1ffiffiffiffiffiffi,ffiffi, (b(b) )ddtatnanhh��1 1z z¼¼11�1�1z2z.2 .
ddz z 11��z2z2 ddz z
Solución
a) Si se considera la rama principal de sen−1 z, de acuerdo con el problema 2.22 y con el problema 3.15, se
tiene �1 � pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�� � pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi��� pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�
ln iz 1 � z2 iz þ 1 � z2 iz þ 1 � z2
d sen�1 z ¼ d þ ¼ 1 d
dz dz i i dz
¼ 1 � þ 1 � z2)�1=2(�2z) ��� þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�
i i 2 1 � z2
(1 iz
¼ � þ pffiffiffiiffizffiffiffiffiffiffiffiffi���iz þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi� ¼ pffiffiffi1ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 1 � z2 1 � z2 1 � z2
Esto también es verdadero si se consideran otras ramas.
b) Al considerar la rama principal, se tiene
tanh�1 z ¼ 1 ln�1 þ z� ¼ 1 ln(1 þ z) � 1 ln(1 � z)
2 1 � z 2 2
94 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de CauPcrhoy-bRleiemmaasnrnesueltos 95
3.19. DaAdswaís, ¼w s¼ens�e1n(�t1�(t 3�) 3an) dyanzd¼z c¼osc(olns(tl)n,. teF)ni.ncFudiendndwtrde/wddz/w.d/zd.z. � � � �
1 z 1 z
Solución d tanh�1 z ¼ 1 d ln(1 þ z) � 1 d ln(1 � z) ¼ 1 1 þ 1 1 ¼ 1 1 z2
dz 2 dz 2 dz 2 þ 2 � �
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Observe que en los incisoddswza¼) yddbwz)==,ddettn¼lo1s�=psuen1nto(�lsn(dtt)e�(1ra=3mt))2if¼ica�cisóenn(zln=t)p1ffi1ffit,ffiffi�ffinffiffioffiffi(ffitffieffiffi�xffiffiiffiffisffi3ffitffie)ffiffi2ffila derivada.
3.17. Con las reglas de diferenciación, encuentre la derivada de las expresiones en los incisos siguientes:
3.2 0ac.c )ocoEocss2nos2(2(se22(2l2zz(p2zþþrzþoþ33b3iil))e3i,,)mi,),a ((b3b(b).b)(1b)zz8)zt,taaztenantnna��cn�11u(�1(ell(1nnl(ntlzzrn)ez),,)zd,) ,2(w(cc(/)c)(d)cffz)ttfa2atf.nantnahhnh��h�11(�1(ii(1zzi(zþiþzþþ222))gg2)��g)�1g1,�1,y,1 ,((dd(d) )(d)(()zz(z�(�z��333ii))3i44)izz4)þþz4þ22z.þ2. .2.
SoSloulcuicóinón d¼zd2z¼w2coc¼sohsdd,hzw,�wd¼dwz¼z�2z¼2 �do6nzwde�w4w¼=z¼�cocso2s(22(z2þz þ3i3).i)E. ntonces,
3w2 � 3z2
a) Seah h¼¼2z2þz þ3i3, iz, dde según la regla de la cadena, se
tiene dz
dw ¼ dw � ddhz¼� dd(hz3w¼2 (�2z3)z(2�)(s6ezndhw)=(2d)z ¼þ (62wc(3þows4h2=)�z(2�)3sz�e2n)(26hz)w(2�) ¼4=�z)4(6cwos(d2wz=þdz3�i) s6ezn) (2z þ 3i)
dz dz
ElOretsruoltmadéotobduoscado se encuentra al sustituir el valor de dw/dz del problema 3.18 y simplificar.
� �
Regla de L’Hopital d fcos(2z þ 3i)g2 ¼ 2fcos(2z þ 3i)g d cos(2z þ 3i)
dz dz
3.21. Suponga que f (z) es analítica en una regi¼ón2fcoqs(u2ez cþon3tii)egfn�esaelnp(2uznþto3zi0).g�Cddozm(2pzrþue3bie)�que
((bcbc )))) SSAdoesoddandíd,zzldffcuff(e(to(zazczz)hmz)hn)��i[h��ofót!a!�(zffznnzf1 0(z()h0�((zzzi0��010)z0!)()ecaþlzf�ansu�s0(szaz2a0fz0)fnz)n0])g0(d!aga(�z!�zlos0¼¼1í0)t)fzi¼¼¼z¼c0zzz¼(0!a�0zd.d���.0h1ezh)ni1f[zþ,flsztt¼!fsítaaoz0dt1maon.an0z(e1n0h,l�hn�nhhmsh�1�se z(�(1oa¼)1ilf(f1oz2nn (i (((�bizezþizzzzlz!t)rþ))ídiþad]meþ2==zzþn02q)(�22e2)l¼uff)ng,[ )fe((g�tgcz(zz�a��2z0o)0n2z�))2)4mþ���1+d+d1cozt(o�zaflffssf0n n(t′ e(′(za(�2z(iz0nbz)z11z0)]h0u()þþ�)dl(�sdn(zzc1z23fza(−()i0−)izb(z2))za¼�zsþ0,z0e)d)0dn1�2)z+()þ2(+¼gizzh(1þfhlþ(n0z((3zzz2−0)i)−)2) z�þ0z)0ft)a0 (nz�0 )1 (ln z)
¼ 0
3.2d2 ). Suddzp�o(nzg�a q3iu)e4zþf (2z�) ¼y geded(((z44zzz�)þþe22s())4ollznnþn((zz2��a) l33nnii())az���lí(43zt4iiz)�cz�þaþ¼3s2ie2eþzn)l!(í4dmdzz4zzþ00l[2nylg)fnl((n(fz(z(z z(z)�)�z�03¼)i3)3i=d)digf�)z]00fg((þ(zz(400zz)l0)n)þ(=z2�)0l,3nip()zedd�rzo(34giz′)(gþz0)2)� 0. Demuestre que
(d)
¼
Solución ¼
De acuerdo con el p¼rob(zle�m3ai3)4.z2þ11,(4yzaþl a2p)roþve4c(zha�r 3qiu)e4zþf (2zl0n)(=z �g(3zi0)) = 0,
3.18. Suponga que w3 − 3z2wf (z+) ¼4 lfn( zz0)=þ0f.0(Ezn0)c(uze�ntzr0e) dþwh/1d(zz.� z0) ¼ f 0(z0)(z � z0) þ h1(z � z0)
g(z) ¼ g(z0) þ g0(z0)(z � z0) þ h2(z � z0) ¼ g0(z0)(z � z0) þ h2(z � z0)
Sodolundceilóímnz!z0 h1 ¼ límz!z0 h2 ¼ 0.. Entonces, como se buscaba,
Se diferencia respecto de z y se considera a w función implícita de z, para tener
¼(lnzl!ízm)z0¼ffgf000((zz00))oþþ h1g(z � f 0(z0)
d (w3) � 3 d (z2zwl!ím)z0þgf (4(zz))d h32wg(2zd�w z0) ¼ gd0w(z0�) 6zw þ 4 ¼ 0
z�0)3z2
dz dz dz dz dz z
Después se despeja dw/dz y se obtiene dw ¼ 6zw � 4=z
dz 3w2 � 3z2 .
96 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
Otro método
lím f (z) ¼ lím f (z) � f (z0) . g(z) � g(z0)
g(z) � z0
z!z0 z!z0 z � z0 z
¼ � f (z) � f (z0)�.� lím g(z) � g(z0)� ¼ f 0(z0) :
lím z � z0 z!z0 z � z0 g0(z0)
z!z0
3.23. Evalú(ea(a)(a)lz)í!lzmí!lzmíi!mizzi1z6z01z6z01þ6þ0þþþþ1111,11, , (b(b()b)zl)!ízlm!ízlm0!ím0101�1�z�c2zco2zco2soszs,z ,z,y( c(c)(c)zl)!ízlm!ízlm0!ím010s1�e1s�esn�encnzco2zcos2zosz2s.z.z.
Solución
a) Sef (az)f ¼(z)z¼10 þz101þ 1 y g(z)g¼(z)z¼6 þz61þ. E1n.toncfe(si),ff¼( (ii))g¼=(i)gg¼((ii))0¼=. 00.. Además, f (z) = g(z) son analíticas en z = i. Por
tanto, de acuerdo con la regla de L’Hopital,
lím z10 þ 1 ¼ lím 10z9 ¼ lím 5 z4 ¼ 5
z6 þ 1 6z5 3 3
z!i z!i z!i
b) Sean f (z) = 1 − cos z y g(z) = z2. Entonces, f (0) = g(0) = 0. Además, f (z) y g(z) son analíticas en z = 0. Por
tanto, según la regla de L’Hopital,
lím 1 � cos z ¼ lím sen z
z2 2z
z!0 z!0
Como f1(z) = sen z y g1(z) = 2z son analíticas e iguales a cero cuando z = 0, puede aplicarse de nuevo la regla
de L’Hopital y obtener el límite buscado,
lím sen z ¼ lím cos z ¼ 1
z!0 2z z!0 2 2
c) Método 1. Se aplica repetidas veces la regla de L’Hopital y se obtiene
lím 1 � cos z ¼ lím sen z ¼ lím cos z ¼ 1
sen z2 2z cos z2 z2 � 4z2 sen 2
z!0 z!0 z!0 2 cos z2
Método 2. Como lím sen z¼ 1, mediante una sola aplicación de la regla de L’Hopital,
z!0 z
lím�sen z�� 1 �
lím 1 � cos z ¼ lím sen z ¼ z!0 z 2 cos z2
sen z2 z!0 2z cos z2
z!0
¼ lím�sen z� � 1 � ¼ (1)�1� ¼ 1
z!0 z lím cos z2 2 2
z!0 2
Método 3. Como lím sen z2 ¼ 1 o, zll!íom0qsueezn2zle!ízms20¼esqezu1n2izv2a¼len1te, lím z2 ¼ 1, con el inciso b) se escribe
z!0 z2 sen z2
z!0
lím 1 � cos z ¼ lím�1 � cos z�� z2 � ¼ lím 1 � cos z ¼ 1
sen z2 z2 sen z2 z2 2
z!0 z!0 z!0
3.24. Evalúe límz!0 (cos z)1=z2..
Solución
Sea w ¼ w(co¼s z()c1o=sz2z. )E1=nz2to. ncesw, l¼n w(ln¼co(slnz)c=ozs2z)=z2, donde se considera la rama principal del logaritmo. Mediante
la regla de L’Hopital,
lím ln w ¼ lím ln cos z ¼ lím (�sen z)= cos z
z2 2z
z!0 z!0 z!0 � � 1�
¼ lím�sen z��� (1) �
1 ¼ ¼ � 1
z!0 z 2 cos z 22
Problemas resueltos 97
Pero como la función logarítmica es una función continua, se tiene
� �
lím ln w ¼ ln lím w ¼ �1
z!0 z!0 2
o límz!0 w ¼ e�1=2, que es el valor buscado. 1∞.
Observe que, comloímlízm!z0!c0oscozs¼z ¼1 1 y límlízm!z0!10=z12=z¼2
¼1,1el límite buscado tiene la “forma indeterminada”
Puntos singulares
3.25. En las funciones siguientes, localice e indique las singularidades en el plano finito z y determine si son
singularidades aisladas o no.
f (zf )(az¼f))(z¼f()(zzf2¼()(zþz2z¼f()(zþ4¼zz2()zþ24z2¼(,)zþ242z,()zþ(24zb2,))(4þ2bz,)) (24bf,)()b2zbf),)(()zb¼f))((z¼bfs)()ezf¼cs)(e(z1¼fcs)(=(e¼z1zcs)=)e(,1¼zsc)e=(,1czs(()=ec1,zc )(=)c(,z1)c()=fc),z()(z)fc,)()(zc¼f))((z¼fc()()zzf2¼()l(zþnz2¼f()(l(zzþn2z¼2((�)zlzzþn22¼þ(�(zl2zzþn22)þ2((l�2zzþnz)2)2þ42(�zl2z,)2þn)þ42�z(2,z) 2þ()422�dz,))d)(2þ4d 2,)))(4)2df,)()4zdf,)(()zd¼f))((z¼dfs)()ezfp¼ns)(epzzffip¼fnffis)(ezffipffizffi¼pffins)zffiepffiffizp¼sffineffizppffiffiznffispezffiffizffipffinffizpffiffizffi zffiffi
Solución
f (zf)(z¼af))( ¼z(f)z(2z¼(fz)þ(z2z¼(f)þz4z(2¼)z(24)zþz2)(¼¼2zþ4z2¼)f(2þ(z4zz2)¼f24(þþzz)¼f2þ2(4z¼i)f)22þ(zzif¼)(þ2(�zzzif)þ2�((zzzi)2þ2�(zgizi2))2(z�2g¼zi2i))�2(z¼g(zi2z)2�g¼(þi2z)2gþ¼2(2izi))¼g2þ(22zzi()z(¼þ22zz(�i)zþ2(2zz�2i()2ziþ2)zi2�(2)zi22.z)(�2i2z).i2)z�2(2zi.)2�2i.)22.i)2.
Como zl!ímz2l!íim(2zlz!iím(�z2zl!íi�m2(zl2z!iíi)m2�(22zlzi!ifí)(m(�22z2zfii))�(2(2z¼zif))2(�2¼zzilf!))í(22mzz¼2fli!)íi)(m2(z¼2zzlf)!ií((þm¼z2l!z)iíþm2(z¼l2z!izíi)m2þ(22zzli!izí)¼(þm22z2izi¼)þ821(2zizi=)¼821þ2iiz)=¼80221ii¼=)0812i8=¼10i =801i =0 0
z = 2i es un polo de orden 2. De manera similar, z = −2i es un polo de orden 2.
Como puede hallarse un d tal que ninguna otra singularidad además de z = 2i se encuentre en el interior del
círculo |z − 2i| = d (es decir, se elige d = 1), se concluye que z = 2i es una singularidad aislada. De manera
similar, z = −2i es una singularidad aislada.
b) Como sec(1/z)se=c(1/=zc)os¼(11/=zc)o, sla(1s=szi)n,gularidades se presentan donde cos(1=/zz)) ¼= 00,, ie.se.d, e1c=irz, ¼1/(z2=n þ(21n)p+=21)o
p/2 o zz=¼22/=((22nn +þ 1))pp,, donde n ¼ 0, +1, +2, +3, . . . .. Además, como f (z) no está definidza¼en0,z = 0, se
concluye quez t¼am0bién z = 0 es una singularidad.
Ahora, mediante la regla de L’Hopital,
� � 2 � (z) ¼ lím z � 2=(2n þ 1)p
lím z þ 1)p f cos(1=z)
(2n z!2=(2nþ1)p
z!2=(2nþ1)p
¼ lím 1
� sen(1=z)f�1=z2g
z!2=(2nþ1)p
¼ sf2en=((z22nn¼þþ2=11())2ppn=g22þ¼1)(=2pn4,(þ�11))2np2 = 0
Por tanto, lazs¼s2in=(g2unlaþrzid1¼a)=d2pe=s,(2nnz¼þ¼012,)=+=(p21n,, þ+21,).=.p.,, y
n ¼ 0, +1, n+¼2,0. ,. .+n1,¼+02,, +. .1. ,so+n2p,o. .lo.s de orden uno, es decir,
z ¼ +2=p,
polos simples. Observe que estos polos se encuentran
+2=3p, +2yfs+i=on5b2qiptr=uoe3,e.qpe.eul,.xe+eiscje2toe=nr53teuipaenln,a.e+e.cna.a2ln=z0t5¼ip(dva,+ed.a.2.il=napffi,ingz+iut¼ar2a=e+33np-29u=,)pnz.+,¼i2n=t+5epr2v,=a.pl.o,. −2/5p 2/5p x
Como cada uno de estos polos puede encerrarse 2/p
−2/p −2/3p 2/3p
en un círculo de radio d que no contenga ninguna otra
singularidad, se concluye que son singularidades ais-
ladas. Hay que observar que entre más cerca esté la Figura 3-9
singularidad del origen, la d requerida será menor.
Como no es posible hallar ningún entero positivo n tal que límz!0 (z � 0)nf (z) ¼ A = 0,, se concluye que
z = 0 es una singularidad esencial. Además, como todo círculo de radio d con centro en z = 0 contiene puntos
singulares distintos de z = 0, sin importar cuán pequeño se tome d, se ve que z = 0 es una singularidad no
aislada.
98 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
z ¼ �1 + i,
c) El pzu¼ntoreziu=¼2reesi(uuþn2pp)unto de ramificación y es una singularidad no aislada. Además, como z2 + 2z + 2 = 0,
donde z = −1 i, se concluye que z2 + 2z + 2 = (z + 1 + i)(z + 1 − i) y que z = −1 i son polos de orden
4, l0os�cua,les2spo.n singularidades aisladas. z ¼ �1 + i,
d ) A primera vista, parece que z = 0 es un punto de ramificación. Para probar esto, sea z ¼ reiu ¼ rei(uþ2p),
donde 0 ≤ u < 2p.
0 � u , 2p.
Si z ¼ reiu, se tiene ff ((zz)) ¼¼ sseennpp((pprffiffirffiffieerffirffiffiffiiieeuu=i=iuu22==22)) z ¼ reiu,
Si z ¼ rei(uþ2p), se tiene
ff ((zz)) ¼¼ sseennpp((ppffirrffiffiffieerffirffiffiffiiieeuu=i=iuu22==ee22ppeeiippii)) ¼¼ sseenn��((�p�ppprffiffirffiffieerffirffiffiiffiieueu==iiu2u2==22)) ¼¼ sseennpp((ppffirrffiffiffieerffiffirffiffiiieeuu=i=iuu22==22))
Por staenntpo,zffiffil=apfzffiuffi n¼ci1ó,,nseticeonnecelunyreeaqluideazd=só0loesunuanarasminaguylazr=ida0dnroempouveidbeles.e.r punto de ramificación. Como
límz!0
3.26. a) Localice e indique todas las singularidades de f (z) ¼ (z z8 þ z4 þ 2
� 1)3(3z þ 2)2.
b) Determine dónde es analítica f (z).
Solución
a) En el plano finito z, las singularidades se encuentran en z = 1 y z = −2/3; z = 1 es un polo de orden 3 y
z = −2/3 es un polo de orden 2.
Para determinar si existe una singularidad en z = 1/w (el punto al infinito), sea z = ∞. Así,
f (1=w) ¼ (1=w)8 þ (1=w)4 þ 2 ¼ 1 þ w4 þ 2w8
(1=w � 1)3(3=w þ 2)2 w3(1 � w)3(3 þ 2w)2
Por tanto, como w = 0 es un polo de orden 3 de la función f (1/w), se concluye que z = ∞ es un polo de orden
3 de la función f (z).
Por tanto, la función dada tiene tres singularidades: un polo de orden 3 en z = 1, un polo de orden 2 en
z = −2/3 y un polo de orden 3 en z = ∞.
b) Según el inciso a), se concluye que f (z) es analítica en todas partes del plano finito z, excepto en los puntos
z = 1 y z = −2/3.
Familias ortogonales
3.27. S ean u(x, y) = a y v (x, y) = b, que representan dos familias de curvas y donde u y v son las partes real e
imaginaria de una función analítica f (z), y a y b son constantes. Demuestre que si f ′(z) 0, estas familias
son ortogonales (es decir, en su punto de intersección, cada miembro de una familia es perpendicular a cada
miembro de la otra familia).
Solución
Considere dos miembros arbitrarios de las respectivas familias, por ejemplo, u(x, y) = a1 y v (x, y) = b1, donde a1
y b1 son constantes particulares [figura 3-10].
Se diferencia u(x, y) = a1 respecto de x y se obtiene
@@@@uxux þþ @@@@uyuy dddyxy ¼¼ 0
dx 0
Así, la pendiente de u(x, y) = a1 es ..
dy ¼¼ �� @@@@uxux @@@@uyuy
dddyxx
100 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de CauPcrhoy-bRleiemmaasnrnesueltos 99
3.30. E n elDperombalenmeraa s3i.m29il,asr,ulpaopnegnadiqeunetezdeesve (lx,vye)ct=orbp1oessición de una partícula que se mueve sobre C y que t es
el tiempo. la velocidad y la rapidez de la partddícddxyuyxdd¼lyx¼a¼�e�n�@@@@xcvxv@@u.xv.a.l@@q@@yvuvy@@ivyer momento.
a) Determine
b) DAehtoeramine la aceleración, tanto en magnitud como en dirección, en cualquier momento.
c) CDoemteprmruienbeedqóunedff0de(0f(z 20tz)z(i)z/e¼)¼nd¼et@@2@n@uxux@=@lþuxaþ−þivi@@ev@@ixvlxv@@o2¼xvzc¼iy¼d@@@@yvadyv@@dé�yv�yu�ini@@l@a@aiuyuy@@ai=uyn=cte=e0l0rep0rrae)c)tiaó) cn iósenueiytiefhmtaíihestsehariercey@@aaro@@ux.uxr@@¼uxy¼¼m@@@@yvyve@@=nyv=o=0r0m0ooaog@@@@nxvxv@@i¼txv¼u¼d��. �@@@@uyuy@@=uy==000
d )
A partir de estas ecuaciones y desigualdades, se concluye que el producto de las pendientes es −1 (donde ninguna
Sodzoelnultaacslidyóelrnaivoatdraasespavrecritaicleasl es cero), o una pendiente es 0 y la otra es infinita, es decir, una recta tangente es hori-
cuando
a) Velocidad = dz¼/Rddtaz=p=didt−e¼zav=� saemvna svgentni+tvutdbþvdei@@b cuxlvoa¼isv c veo@@ltsyvo.vc¼itd:0ad ¼o jdz@@=xvdt¼j ¼�v@@puy ¼ffiaffiffi2ffiffis0ffiffieffiffinffiffiffi2ffiffivffiffiffitffiffiffiþffiffiffiffibffiffiffi2ffiffifficffiffioffiffisffiffi2ffiffiffivffiffiffitffi
b) PoAr ctaenletora, csiófn ′(¼z) d2¼z0=d,dM2ltaz2as=¼gdcntu2�irtv¼uaadvs�d2seacovonlas2ovacrcotoes�lgveorbtnav�ca¼2ilóeibsnvj.ed¼2n2izvs=jedtdn.:2tz2v=jtd¼:t2vj ¼2pvaffiffi2ffi2ffipffifficffiffioaffiffiffiffisffiffi2ffiffi2ffiffifficffiffiffivffiffioffiffiffiffitsffiffiffiffi2ffiffiþffiffiffiffivffiffiffiffibffiffitffiffiffiffi2ffiþffiffiffisffiffiffiffieffiffibffiffinffiffiffi2ffiffiffi2ffiffisffiffivffiffieffiffiffiffitnffiffiffiffi2ffiffivffiffiffitffi
y
c) De acuerdo con el inciso b), se ve que
Físicamentue(,x,eys)t=odb2s1zig=dnti2fic¼au�q(xu,ayev) =e2ncao1csuvaltq�uibervm2 iosemnevntto¼la�avc2el(earcaocsióvnt þ bi senyvt) ¼ �v2 z
se
B al pCuntoz O y la magnitud es
dirige
qlauedissutaenlecicaoinnosctaenrsteánceoamaoOu.nAmmoveidmidieanqtouealramDpóanritcícousliamspelme cuoenvObep,esruiopdrwooty2aepc/cvió.nAsolAabraecelolesrxeajceisónx
proporcional a
y y describe lo
también se le conoce como aceleración centrxípeta.
d ) De acuerdo con los incisos a) y b), se tiene E
MagnFitiugdurdae3l-a1v0elocidad¼¼vvqqffiaffiaffiffi2ffiffiffi2ffiffisffiffiffiseffiffiffieffiffinffiffiffinffiffi2ffiffiffi2ffiffivffiffiffivffiffiffitffiffiffitffiffiþffiffiffiþffiffiffiffiffiffibffiffiffibffiffi2ffiffiffi2ffi(ffiffiffi(1ffiffiffi1ffiffiffiffi�ffiffiffi�ffiffiffiffiffiffisffiffiffisffieffiffiffieffinffiffiffinffiffi2ffiffiffi2ffiffivffiffivffiffiffiffitffiffiffi)tffiffiffi)ffi¼¼vFvqiqgffi(uffi(ffiaffiffirffiaffi2ffiffiaffi2ffiffiffiffi�ffiffi3ffi�ffiffiffiffi-ffiffibffi1ffiffibffiffi21ffiffiffi2ffi)ffiffiffi)ffiffisffiffiffiseffiffiffieffiffinffiffiffinffi2ffiffiffi2ffivffiffiffivffiffiffiffitffiffiffitffiffiþffiffiffiþffiffiffiffiffiffibffiffiffibffiffi2ffiffiffi2ffiffi
3.28. E y cnocsu e yn)t=reMalaa,sgdntorinatuyddeecdateoerlaisaauscnoealretcoroagncoisóntananl¼et¼esvrdve2e2appll.affiaffiffiaffi2ffiffiffif2ffiffifficaffiffifficffioffimffiffioffiffisffiffiffisffi2iffiffiffi2lffiffivffiiffiffivffiaffiffitffiffiffitffiffidþffiffiffiþffiffiffieffiffiffiffibffiffiffibcffiffi2ffiffiffi2uffi(ffiffiffi(1ffirffiffi1ffiffivffiffi�ffiffiffia�ffiffiffiffisffifficffiffifficffiffioeffiffiffioffiffisnffiffisffi2ffiffiffi2ffiffieffivffiffiffivffilffiffitffiffiffi)tffipffi)ffi¼la¼nvov22pxpy(ffiffi(ffiaffiffidffiaffi2ffiffiffie2ffiffiffiffi�fffiffiffi�iffiffiffinffiffiffibffiffiiffibffiffi2dffiffiffi2ffi)ffiaffiffi)ffifficffisffifficffioffiffiffiofficffisffiffiffis2ffioffiffi2ffiffiffimvffiffiffivffiffiffitffiffioffitffiffiþffiffiffiþffiffieffiffiffiffiffi−bffiffiffibffiffi2xffiffiffi2ffi(ffix sen y −
Entonces, la velocidad tiene su mayor magnitud [dada por va] donde sen vt = 1, es decir, en los puntos B y
SoEl[ufDigceuimróaan3n-e1r1a]s,eymseujamnteen,olra magnitud [dada por vb] donde sen vt = 0, es decir, en los puntos Ay D.
aceleración tiene su mayor magnitud [dada por v2a] donde cos vt = 1, es decir,
Deenacluoesrpduonctons Aloys pDr,oyblseummasen3o.7r ym3a.g2n7itsueds[idgaudeaqpuoerev−2xb(y] sdeonndye+coxs cvots=y)0=, ebs ,ddeocinrd, enbloes puunnatcoosnBstyanEte. real,
es la eEcnuatecoiórína,bluosscpaldaanedteasladsetlrsaiysetecmtoarisaosloartsoegmonuaelvees.n en trayectorias elípticas en las que el Sol se encuentra en
uno de sus focos. En la práctica, estas trayectorias muestran una cierta desviación de una trayectoria elíptica
Aplicaceixoacntae.s en geometría y mecánica
Gr3a.d29ie. n Utnea,eldipivseeCrgtieenneccioam,oreoctuaocriónyzl=apa lcoasc viat +nobi sen vt, donde a, b, v son constantes positivas, y a > b
y t es una variable real. a) Represente gráficamente la elipse y muestre que a medida que t aumenta a partir
3.31. P(SDa(Pra)roeo)dtSaova@m)e@vl@noxe @uxuetg l¼tecA=eu¼htsnhietc@ótmer0@@eez@ei,zneeóqaþlldqaþauniCudiee@@vi@alqz�@veiaz�,upnaq ,l(iseluvc(beenebaun)cs)latceee@l@e@anyq@royucueo¼fmici¼faeoterhtidrnh�irepe�teea@u@ol@ezn@oodpzntsp�eeo�edor.0ra@ip@ar@tz�a@eeotz��roc�rpacrsdw/s:idwóo:2ohnrvhneee,cdsrreo:deneztzpr¼a¼/r2ixaxvþaþaliapyisy,/,mz�vz�a¼,¼ndeexcxip�l�l/aivsyiy.da.e3l pre/l2ovj.
b) Encuentre un vector unitario
y de 3p/2v a 2p/v, el punto z
Si F essuenmaufuevnecisóonbcreonCtindueaAdaifeBr,edneciBabaleD, e,ndteonDceasE y de E a A, respectivamente (es decir, se mueve en dirección
(aa)) b) @@(FxacU)o¼nnt@v@@@rFxeFazcr@¼i@taoxzra@þ@tFzlaa@n@@sFzg�xzme@@þnxz�atn@e¼@eFz�ac@@@iCFlxzz�lae¼þsnd@@ceFzu�larþslleohqlo@uo@qFwijz�ue,eircsnhopmgomuutwnhoetiesonstgeertaqemtulhsaiueveeaesqlqteurunaiivcveaeanlle@e@lnxancc¼fieiag@@u@@zxraþ¼3@@-@z@�1z.1þ). @@z�..
þ(�i@@)Fz�¼(�idd�i)zt@@¼¼Fz
(b) @(@bFy) ¼ @@@@FyFz ¼@@yz @@þFz @@Fz þ@@yz� @@¼Fz� @Fz� ¼(i)@@þFz @(@iFz�) i���a@@vFz� ��selso@n@hFz�voq�wut eþisnhmgbouvwtehiisenctrogeasqtlvuhaietveaeqlqueuinvicvaealel@en@yncc¼iae i@@�y@@¼z �i�@@@@z�z�� @ �
@yz� @@yz .
@z�
Así, un vector unitario tangente a C en cualquier punto t es
dz=dt ¼ �av sen vt þ bvi cos vt ¼ p�ffiffiffiffiaffiffiffisffiffieffiffinffiffiffivffiffiffitffiffiffiþffiffiffiffibffiffiffiiffifficffiffioffiffiffisffiffivffiffiffitffiffiffiffi
jdz=dtj j�av sen vt þ bvi cos vtj a2sen2 vt þ b2 cos2 vt
Problemas resueltos 101
3.32. Muestre que a) rr;;@@@@xxþþii@@@y@y¼¼22@@@@z�z� , b) rr;;@@@@xx��ii@@@@yy¼¼22@@@@zz.
Solución
De acuerdo con las equivalencias del problema 3.31, se tiene
(a) r ; @ þ i @ ¼ @ þ @ þ i2�@@z � @� ¼ 2 @
@x @y @z @z� @z� @z�
(b) r ; @ � i @ ¼ @ þ @ � i2�@@z � @� ¼ 2 @
@x @y @z @z� @z� @z
3.33. S uponga que F(x, y) = c [donde c es una constante y F es continuamente diferenciable] es una curva en el
plano xy. Muestre que grad F ¼ rF ¼ (@F=@x) þ i(@F=@y) es un vector normal a la curva.
Solución
Se tiene dF ¼ (@F=@x)dx þ (@F=@y)dy ¼ 0. En términos del producto punto [vea la página 7], esto se expresa
como
rF ¼ (@F=@x) þ i(@F=@y) �@F @F�
@x @dyF
þ i � (dx þ i dy) ¼ 0 ¼
¼ (@F=@x)dx þ (@F=@y)dy
0
Pero dx + i dy es un vector tangente a C. Por tanto, rF ¼ (@F=@x) þ i(@F=@y) debe ser perpendicular a C.
3.34. Muestre que @P � @Q þ i�@@Qx þ @P� ¼ 2 @B, wdohnedree B(z, z�) ¼ P(x, y) þ iQ(x, y).
@x @y @y @z�
Solución
De acuerdo con el problema 3.32, rB ¼ 2(@B=@z�). Por tanto,
rB ¼ �@ þ i @� þ iQ) ¼ @P � @Q þ �@Q þ @P� ¼ 2 @B
@x @y (P @x @y i @x @y @z�
3.35. S ea C la curva en el plano xy definida por 3x2y − 2y3 = 5x4y2 − 6x2. Encuentre un vector unitario normal a
C en (1, −1).
Solución
Sea F(x, y) = 3x2y − 2y3 − 5x4y2 + 6x2 = 0. De acuerdo con el problema 3.33, un vector normal a C en (1, −1)
es
Así, un vector urnFritaF¼ri¼o@@Fnx@@oFxþrmþi a@@ilFy@@aFy¼rC¼F(e6n¼(x6y(x1@@�yF,x�−2þ012x)i03@e@xyFjsy32��yjþ¼2��114þ4111(6þ42þ41xxþ2þy7)7xiiþ�7)7j iiþ¼ij2(0¼3i�(xx332p�2xyj�2pþ2��5ffiffi�þþ615ffi1iffiy44612iþy2þ.�2xO7)7�t1iiþr0jo1x¼i0v4(x3y2e�p4)xc�y22tp2¼p5ffi)offi��irþ¼5ffiffi5ffi�ffiui6in�1yi421taþ�4riþo71i0e7xsi4y2p)�¼5ffiffi i.�14 þ 7i
3.36. Suponga que A(x, y) = 2xy − ix2y3. Encuentre a) grad A, b) div A, c) |rot A| y d ) laplaciano A.
Solución rA ¼ �@ þ i @ �� � ix2y3� ¼ @ � � ix2y3� þ i @ � � ix2y3�
@x @y 2xy @x 2xy @y 2xy
a) grad A ¼
¼ 2y � 2ixy3 þ � � 3ix2y3� ¼ 2y þ 3x2y2 þ � � 2xy3�
i 2x i 2x
102 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
b) div A ¼ r � A ¼ RefrAg ¼ �� @ � i @ �� � ix2y3��
Re @x @y 2xy
c) jc|urorlt ¼ @j����@xr@@x(�2(x�yAx)j2�y¼3@)@jyI�m(x@f@2yry(3A2)gx¼jy¼)����2y¼����I�m��� ��3�x22@xy@xy2 3��i @ �� � ix2 y3 ������
Aj| ¼ @y 2xy
2x���
¼
d ) lLaapplalacciaianno AA ¼ r2A ¼ RefrrAg ¼ @2A þ @2A ¼ @2 (2xy � ix2y3) þ @2 (2xy � ix2y3)
@x2 @y2 @x2 @y2
¼ @ (2y � 2ixy3) þ @ (2x � 3ix2y2) ¼ �2iy3 � 6ix2y
@x @y
Problemas diversos
3.37. Demuestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se expresan en forma polar como
@u ¼ 1 @v , @v ¼ � 1 @u
@r r @u @r r @u
Solución pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y ¼ r sen u o r ¼ x2 þ y2 ,
Se tiene x ¼ r cos u, u ¼ tan�1( y=x). Entonces,
@u ¼ @u @r þ @u @u ¼ @u ! þ @u � �y � ¼ @u cos u � 1 @u sen u (1)
@@ux ¼ @@ur @@xr þ @@uu @@ux ¼ @@ur ppffiffixffiffiffiffi2ffiffixxffiffiffiffiþffiffiffiffiffiffiffiffiyffiffiffiffiffiffi2ffiffi! þ @@uu � �þyy2 � ¼ @@ur cos u � 1r @@uu sen u (2)
@x @r @x @u @x @r @u @r r @u (3)
x2 þ y2! þ x2 ¼ sen u (4)
ppffixffiffiffiffiffi2ffiffiyyffiffiffiffiþffiffiffiffiffiffiffiffiyffiffiffiffiffiffi2ffiffi! þ @u ¼ @u sen u (5)
@u ¼ @u @r þ @u @u ¼ @u @@uu �x2 þ y2� @@ur þþ11rr @u cos u (6)
@@uy ¼ @@ur @@yr þ @@uu @@uy ¼ @@ur x2 þ y2 @u � � @r @@uu cos u
@y @r @y @u @y @r x @u
x2 þx y2
x2 þ y2
De igual manera, @v ¼ @v @r þ @v @u ¼ @v cos u þþ�� 11rr11rr @@@@@@uuvvuuvvccssooeessnnuuuu
@vx @xr @uv
@vx ¼ @vr @xr þ @uv @ux ¼ @vr cos u
@vy ¼ @vr @yr þ @uv @ux ¼ @vr sen u
@y @vr @y @u @uy @vr
¼ @r þ @y ¼ @r sen u
De acuerdo con la ecuación de Cauchy-Riemann @u=@x ¼ @v=@y, con (1) y (4),
�@u � 1 @v� cos u � �@v þ 1 @u� sen u ¼ 0
@r r @u @r r @u
De acuerdo con la ecuación de Cauchy-Riemann @u=@y ¼ �(@v=@x), con (2) y (3) se tiene
�@u � 1 @v� sen u þ�@@vr þ 1 @u� cos u ¼ 0
@r r @u r @u
Se multiplica (5) por cos u, (6) por sen u y se suman, para obtener
@u � 1 @v ¼ 0 o @u ¼ 1 @v
@r r @u @r r @u
Se multiplica (5) por −sen u, (6) por cos u y se suma, para obtener
@v � 1 @u ¼ 0 o @v ¼ � 1 @u
@r r @u @r r @u
Problemas resueltos 103
3.38. Verifique que, expresadas en forma polar, las partes real e imaginaria de una función analítica de una variable
compleja satisfacen la ecuación [ecuación de Laplace en forma polar]
@2C þ 1 @C þ 1 @2C ¼ 0
@r2 r @r r2 @u2
Solución
@@@@uv@vr@@@uvvr¼¼¼¼�r �r@@1rur@@1rur@@uu@@ uu (1)
Del problema 3.37, (2)
(3)
(4)
Para eliminar v se diferencia (1) parcialmente respecto de r y (2) respecto de u. Así,
@@22vv ¼¼ @@ ��@@vv�� ¼¼ @@@@@@@@rruu����rr��@@@@uu11rrrr��@@@@uuuu¼¼�� rr @@22uu þþ @@uu
@@rr @@uu ¼¼ @@rr ��@@@@uuvv�� ¼¼ @@rr22 @@rr
@@22vv @@
@@uu @@rr @@uu @@rr ¼¼ �� 11 @@22uu
rr @@uu22
Pero
@2v ¼ @2v
@r @u @u @r
suponiendo que las segundas derivadas parciales son continuas. Por tanto, de (3) y (4),
r @2u þ @u ¼ � 1 @2u o @2u þ 1 @u þ 1 @2u ¼ 0
@r2 @r r @u2 @r2 r @r r2 @u2
De manera similar, mediante la eliminación de u se encuentra
@2v þ 1 @v þ 1 @2v ¼ 0
@r2 r @r r2 @u2
con lo que se llega al resultado buscado.
3.39. Suponga que w = f (z), donde z = g(z). Suponga que f y g son analíticas en una región y demuestre que
dw ¼ dw � dz
dz dz dz
Solución
Suponga que z se incrementa z 0, de manera que z + z está en . Entonces, en consecuencia, z y w se incre-
mentarán z y w, respectivamente, donde
Dw ¼ f (z þ Dz ) � f (z ), Dz ¼ g(z þ Dz) � g(z) (1)
Observe que cuando z → 0, se tiene w → 0 y z → 0.
Si z 0, se escribe e = ( w/ z) − (dw/dz) de manera que e → 0 cuando z → 0 y
Dw ¼ dw Dz þ eDz (2)
dz
104 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuacionesPdreoCblaeumcahsy-cRoiemmpalnenmentarios 105
3.42Sd. eiRfinezesu=ee=l0va0p.laaraecvuaalocrieósnddeiferze, necnitaolnpcaesrc(i1a)l m@@z2xuU=2esþt0r,a@s@q2eyuU2sea¼tiswfxa2c=e�l0ayp2ea.cruaaceisótonsevna(l2o)r.eAs dl edivizd.irPa(2ra) estos casos, se
Se sigue que, en ambos casos, z 0 o entre z0y
tomSaor leul lcímióitne cuando z → 0, se tiene
Sean z z¼¼xxþþizyi,y¼,z� z�x¼z¼þ¼xxi�xy�,þiz�yiyi,¼yd,exddz�wmz�¼a¼inxyxeD�xl¼rzía!m¼iy(q0z(uDDzþewþzxz�¼)z�¼=)2=Dl(2,xzíz!,my¼þy0¼�¼(z�zd)d(=zw(þz2z�DD,�z�y)zzz�=)z�¼þ=2)2=, e(2iyz:iDD:¼�wz (z��z)=�2xi2xz�:.2)�E=�2nyit2y:o2n¼xc¼2e12s(�21z,(2zxy22þ2þ�¼z�2z�y)2122()z¼2 þ21(z�22)þ z�2) y
@@2@x@U22xU¼2þþdd@@wz2@y@@U@22y�2Ux2UD2l¼zí!¼mþ@@r20xrU@DD22@2U2yzzUþU2þ¼¼@¼@2Dy4lUzír24!m@@2z@¼2@0UzU@2eUz�@r�¼z�D2lUzí4!m@@¼0z2DDU@4wz�z@@z2
U
@z�
Por tanto, la ecuación diferencial parcial d@@azd�a¼@@sUz�edd�wzco¼�nddv81zzie(þzrt2e0þe�nddz�2zz4)( ¼@2Uddwz=@�zdd@zzz�) ¼ 12(z2 þ z�2) o
(1)
3.40. a) SuSpeoningtaegqruaue1((1ux)1,r(uyex1)s,p(¼yxe),ct@¼you) d=@¼e@ux=z@@u(tx=ra@ytxaun2d(uox2,a(uyxz2),c(¼yxo),m@¼you) =c@¼o@uyn=@s.@utCya=no@tyme),pruebefq0(uzfe)0(¼zf)0(u¼z)1(u¼z1,(u0z1), (�0z), i�0u)2i�(uz2,i(0uz)2,.(0z),.0).
b) Muestre que el resultado obtenido en a@@)Uz�si¼rv2ez34pþaraz8z�r2eþsoFlv1e(z�r)lo s problemas 3.7 y 3.8. (2)
(3)
Sa)o dolCDundoecenaiFócyu1=n(e zr d0)o,eescsoutonnaseelfupcnroocnibvólineemratreabe3itn.r5a,ffrsi00(a(exzUd))tie¼¼e¼nz.e@u@ffzA2ux1003((ff4(xzl�z�x00())(i,þxzn¼i¼0))t@@z)e2¼¼uyz�g@u@�43uxr1¼@u@aþ(i�uxx1ru(u,2(F�xi120(,((x@@))ixz�0,uy�r@),@)0euyþ¼y�)si).pu¼Gu�ie2u1(c(u(x2zitx1u(o,)(x,20x,d (y),xe0).y,)�z).y,)�i.ui2u(x2(,xy,)y. ).
b) dxo+DCndoeieysmpyFou xé(s sze−, )daeialyss,uulras¼etsfiupteune�iccrxuuti(i12xóxv((npxxasPe,,moonyyrber))yztnuue,¼¼o�t21nes((ie,xx@@@@dbyy,,uuxytaciyyleso¼¼a))Uensle¼¼eyoexi,¼)nm�eb,,@@c@@�txteuuoxysi1zas1egem2ec¼¼nrntso�aoeixseryxes4ny�eFc�ee��xþ1dzos(x eyeczyefs4no m0e�)e(�,s�xzyaþysy)zpb�es¼þaGnFel,xny((yueefzxyeþ1�)0(��(fm�xzez0zy)(s,siszeeee0¼ye)�un�))nnx¼nxþyu�acyc1toþuo(fG�isz1uusa,(y(yn2yezxe0(rc,�z�)þi0,xóxi�)0concio)�yoi.a)sussriy2ybu(iz2t,(rza0,r)i0.a).de z. Se sustituye z y z por
Derivaddae smanera que, según el inciso a),
3.43. ((aCaa)i)om(fnafa()(Azlgzaf))li(n¼dz¼ian)ertf3¼3ieiazngz2,2i3rcyaþzþin2óvd4n4þ=oi,izze4r�e�neiz−sc5pxu5�(eeþyþcnf5ts0tio(iþre;z;en)dzzile¼y;a¼¼zz+du2¼2se1,exr,(i z2vtc,i,ao(e(b0dbsn))a)e(y�,bf,f)e()s(szinzaufa))l(l2ev¼vz¼(lo)zop,2z¼z2uuu0zþznþnn)�z2a�ta¼2zo2þcciiii�oio;0;n2nnzdiiz�ss;it¼¼tcaazian(n�¼d�ztteeoeii,�, ,.�,fzd (i�ye,z(() ccle)a=)(�scfcfz)()fi()zzuzf)e¼)n(−¼c¼zz)�i.o3¼3Sinz(zeez��3es2s2z�;es;�zipzz2g�a;¼u¼rziaee1¼1�nezþstþ)e1tosiiþ...eni.parte real y parte
3.413.. 4 S4.u pDoenmgaueqsutreeAquees rddeza(lz2oz�,)dneomexainseteraenmnáisnggeunnearpaal,rtseu.ponga que Im A es armónica. Verifique que |rot grad A| =
3.405.. Determine si |z|2 tiene derivada en alguna parte.
3.4S6.o D luadcaisólans funciones siguientes determine los puntos singulares, es decir, los puntos en los que la función no es
Si Aan=alíPtic+a.QDi,etseermtieine la derivada en todos los demás ipQu)nt¼os@@.(Pxa)�(az)@þ@zQzyþizþ, i,iy(� b@@)(Pybz)2þz3þ2@z@Q3þ2x�zz�2�2þz 2 .
þ5. 5
Ecuaciones de Cauchy-gRraidemA a¼n�n@@x þ @�
i @y (P þ
3.4E7.n tV onerciefisq,ue que la parte real y la imaginaria de las funciones siguientes satisfacen las ecuaciones de Cauchy-
((aRa)))i(efafm()(zza)f)(n¼¼znj)c,|z¼zury22orþlctzþo2gg5nr5þraiacizdzdl5uþþiAyza|j33þ¼s��i3e����ii�I,s,m tai�,s((bb�bf))u)@(@nxfbf(c)(�zzi)fo)(in¼¼z@e)@ysz¼z�ese��o�zzn@ze@ ,,P�xazny�,((a ccl)@@)í(tQcyfcif)c()(zþaz)f)s(.¼i¼z�)@@s¼sPeyennsþ2e2nzz@@..Q2xz�. ������
MdDeeumCesautuerceshtqryeu-eRquliaeemfsuiannwcni=ós¼¼nefx s(��������2za@I@)mt+2xiQ=s2�fi@ay@þu2c3xPe2+n@@n2o�yQie2evn@����s@xe2xasQ@n=yaanlþí0atliiyíc�taiy@c@exa=2n@Peynn0i.þnugn@@ua2xnQr2ae�gpia�órntie�. C@@,yo2e@Pnnxctoi�lniec@@e2eysQs2td�owcþ=odn�ze@@¼l2yPh2@ewþc=h@@o@yx2dQ@¼ex�q�u�ie����(@laws=e@cyu).aciones
3.48.
3.49.
Por tanto, si Q = 0, es decir, A es real, o si Q es armónica, |rot grad A| = 0.
106 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
3.50. a) Compruebe que la función u = 2x(1 − y) es armónica. b) Encuentre una función v tal que f (z) = u + iv sea
analítica [es decir, encuentre la función conjugada de u]. c) Exprese f (z) en términos de z.
3.51. Responda el problema 3.50 con la función u = x2 − y2 − 2xy − 2x + 3y.
3.52. V erifique que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen para las funciones a) ez2, b) cos 2z y c) senh 4z.
3.53. D etermine cuáles de las siguientes funciones u son armónicas. Para cada función armónica, encuentre la función
armónica conjugada v y exprese u + iv como función analítica de z.
a) 3x2y + 2x2 − y3 − 2y2, b) 2xy + 3xy2 − 2y3, c) xez cos y − yez sen y y d ) e−2xy sen(x2 − y2).
3.54. a) V erifique que = ln[(x − 1)2 + (y − 2)2] es armónica en toda región en la que no esté comprendido el punto
(1, 2). b) Encuentre una función tal que + i sea analítica. c) Exprese + i como función de z.
3.55. Suponga que Im{f ′(z)} = 6x(2y − 1) y f (0) = 3 − 2i, f (1) = 6 − 5i. Encuentre f (1 + i).
Diferenciales
3.56. Sea w = iz2 − 4z + 3i. Encuentre a) w, b) dw, c) w − dw en el punto z = 2i.
3.57. Suponga que w = (2z + 1)3, z = −i, z = 1 + i. Encuentre a) w y b) dw.
3.58. Sea w = 3iz2 + 2z + 1 − 3i. Encuentre a) w, b) dw, c) w/ z y d ) dw/dz donde z = i.
3.59. a) Suponga que w ¼w s¼ensze.nMz uestre quDDewzDD¼wz c¼osczo�ssze�DnszDeDnz�zD�z� 2�se2nsze�nsze�ns2eD(nDz2Dz(=Dz2z)=�2.)�..
b) Suponga que límDz!0 seDnzDlízm¼Dz1!,y0 csoeDnmddzDpwzrzu¼ebc1eo, sqzu.e dw ¼ cos z..
dz
c) Muestre que dw = (cos z) dz.
3.60. a) Sea w = ln z. Muestre que si z/z = z, entonces w/ z = (1/z) ln {(1 + z )1/z}.
b) Suponga que límz!0 (1 þ z)1=z ¼ e y verifique que dw/dz = 1/z.
c) Muestre que d(ln z) = dz/z.
3.61. Dadas restricciones para f (z) y g(z), demuestre que
((aa))) ddff ff ((((zzzz))))gg==((ggzz(())zzgg))gg¼¼¼¼ffffff((ggzz(())zzgg))00ff((00zz(())zz))þþ��gg((ffzz(())zzff))00gg((00zz(())zzgg))ddggzzddzz==ffgg((zz))gg22
((bb)) ddff ff
Reglas de diferenciación. Derivadas de funciones elementales
3.62. Suponga que f (z) y g(z) son analíticas en una región . Compruebe que
(aa()a))dd=d=dzfz2f2ifi(fz()z)��(1(1þþi)ig)g(z()zg)g¼¼22ifi0f(0z()z)��(1(1þþi)ig)g0(0z()z,,) ,(b(b) )dd=d=dzfzff(fz()zg)2g2¼¼22f (fz()zf)0f(0z()z,),
(c()c)dd=d=dzfzff(fz()zg)�g�1 1¼¼��fff(fz()zg)�g�2f20f(0z()z.).
3.63. Con las reglas de diferenciación, encuentre la derivada de cada función siguiente:
((a(a (a))(a)a()()1(1(1(þ1þ1þþþ444ii4))i4z)izi2)z2)z2z�2�2���333zz3z3�z�z���222,,2,2,, ((b(b(b)()b)b()()2(2(2z(z2z2þzþzþþþ333ii3))i3()i(iz)(z)(z�(z�z���ii))i,)i,i),), ,((c(c(c))(c)c()()2(2(2z(z2z2�z�z���ii))i=)i=i)=()(=z(=z(zþ(zþzþþþ222ii2))i2,)i,i), ),,((dd(d( d)()d)d()()2(2(2i(i2ziz2ziþizþzþþþ111))12)12), 2,)2,2,,y(( e(e(e))(e)e()()i(iz(iz(zi�iz�z���111))1�)1�)�3)3��333.
3.64. Encuentre las derivadas de las funciones siguientes en el punto indicado:
(a)(a()z (þz þ2i)2(i)�(i �z)=z()2=z(2�z �1),1z),¼z ¼i , i,y( b)(bf)z fþz þ(z2(zþ2 þ1)21g)22,g2z,¼z ¼1 þ1 þi. i.
Problemas complementarios 107
3.65. Compruebe que(aa)(ad) sdecsezc¼z ¼secsezctazntazn , z,y( b)(bd) cdotczot¼z ¼�c�scc2scz.2 z.
dz dz dz dz
3.66. Demuestre que a)ddddzz((zz22þþ11))11==22¼¼((zz22þþzz11))11==22 , b) ddddzzlnln((zz22þþ22zzþþ22))¼¼zz222þ2þzz2þ2þzz2þ2þ22e indique cualquier restricción
que pueda haber.
3.67. Encuentre las derivadas de cada una de las funciones siguientes, e indique las restricciones que pueda haber.
a)333ss3seeennsn2e22n(((z2zz==(=22z2=))),,2,) ,(((bbbb))())bttat)aanntn3a33(n((zz3z22(2z���2 �333zzz3þþþz þ444ii)i)4),,,i ),(((ccc))()cllnl)nn((l(ssnsee(eccscezzzcþþþz þttataanntnazznz))),,z, ),((d(ddd ))()dccc)ssscccffsf((c(zzfz22(2zþþþ2 þ111)))1111==)=2212gg=g ,,2,g,y(( (eee))()e(((z)zz22(2z���2 �111)))1ccc)oooscss(o((zzszþ(þþz þ222ii)i)2)...i).
3.68. VPPerroiofvvieqeutthehaaqttue((aaa)) dd ((11þþzz22))33==22 ¼¼33zz((11þþzz22))11==22,y, ((bb)) dd ((zzþþ22ppzffiffiz)ffi)11==33 ¼¼11zz��11==22((zzþþ22ppzffiffiz)ffi)��22==33((ppzffiffizffiþþ11))..
ddzz ddzz 33
3.69. Compruebe que(a)(add)z (dtan(t�a1n�z)1 ¼z) z¼2 1 11þ, 1y,( b)(bdd))z (dse(cs�e1c�z)1 ¼z) z¼pzzffiffip21ffiffiffi�ffizffi2ffi1ffiffi1�ffiffi.ffiffiffi1ffiffi..
dz þz2 dz
3.70. Demuestre que a) d sdenshe�n1h�z 1¼z ¼pffipffiffi1ffiffiffiffiffi1ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiy bd) cdscchs�ch1z�1¼z ¼pffi�pffiffiffi1ffiffi�ffiffiffi1ffiffiffiffiffiffiffiffi .
dz dz 1 þ1 zþ2 z2 dz dz z zz2 þz2 1þ 1
3.71. Encuentre las derivadas de las expresiones siguientes:
a) fsefsne�n1�(21(z2�z �1)1g2),g 2, (cc)()c)cocso�s1�(s1e(snezn�z �cocsozs) ,z),(e)(ee)c)octoht�h1�(z1(czsccs2cz2)z)
((dd()d) ))ttaatnan�n�1�1(1(zz(zþþþ33i3i))i��)1�1==122=, ,2, ((f(f)f)f) )llnnl(n(zz(z���3223þ23þþpppzffizffiffi22ffizffi2ffi��ffiffi�ffiffi3ffi3ffiffiz3ffizffiffizþþffiffiþffiffi2ffi2ffiffiiffi2iffi)ffi)ffiiffi)
( (bb()b) )llnnlfnfccfocotot��t1�1 z1z22zgg2, ,g,
3.72. Suponga quwe ¼w c¼osc�o1s(�z1�(z 1�),1z),¼z s¼enshe(n3hz(3þz 2þi)2ai)ndyanzd¼z p¼tffip. Etffi ncuentre dw/dt.
3.73. Seawn ¼w ¼t setcs(etc�(t 3�i)3ai)nydanzd¼z ¼sens�en1(�21t(2�t 1�).1E).ncuentre dw/dz.
3.74. Suponga que w2 � 2w þ sen 2z ¼ 0. Encuentre a) dw/dz y b) d2w/dz2.
3.75. Dada w ¼ cos z, z ¼ tan(z þ pi),. encuentre d 2w/dz2 en z = 0.
3.76. Encuentre a) d=dz=fdzzlnfzzlgn zgy bd)=dz=�d[zs�e[ns(einz(�iz �2)]2ta)n]�ta1n(z�þ1(3ziþ)�3:i)�.:
3.77. Encuentre las segundas derivadas:
a)333ssse3eennsn22e2(n((2222zz(z2���z 1�11þþþ1 iþi)i)),,,i ),(((bbbb))())bllnln)ntltatnaannntazzz2n22,,z, 2,(((ccc)))(scsse)eennsnhehh(n((zzhzþþ(þz 1þ11))2)212,,,) 2 ,(((ddd ))()dccco)ooscss��o�11s1((�(llnl1nn(zlzz)n)), ,,z),y(((e ee)))(sesse)eeccschheh�c��1h11p�pp11ffi1ffipffi1ffiffiffiþffiþffiþ1ffiffiffiffiffiffiffizþffizffizffi.ffiffi.ffi.ffiffizffi.
Regla de L’Hopital
3.78. Evalúe (a((a(a)(aa)a)z)l)(!zílza!lmzílz!lí!)m2í!ímm2im2z2il2!ií2i(im2az2222z2)izz2z2þz22l2!þíþzþmþ(22z3(i(zþ2(3(z3z23�2z32þ2�2z�þ(�þ�zþ234þ424iþ44�44)4iþ44iz)ii)z)()4z�zz43z�i2��)�6zþ6i6�66i4i,4ii,, 6),,zi(�b(,((b()bbb)6)z)()!izblz!zíz!l,!)el!míllípemíeízmipem=ep!mip3(lp=ii=3íbi=(3=e3m3z()p((zi(z=�zz3z!��l�(�íezemeppe�epiei=p=p3pi3=ii=e(i3=)=3zp3�)3))�i�)�=z��3z3z)z3ez3�þ3zp3þzþzziþzþ=z1331�1)þ1z1�� ,��,z1,,3,y�(þ zc(,((c)(cc)c1)l)z)(�í!lzlcmzíl!zlíz!m,í)!ími!mmiilzizzií!z(4mz2zzzc4z2zz4i2þ4�2)42þ�þ�zþz�lþz�24í22!m22z2i2þ2�22zz2i2izizz2iziz2�zþ2zz222�þ4�2þ�zþi�þ1z12þ�111.1�1þ111..22..z1i1z2. � 1.
þ 1
3.79. Evalúe (a(((a)(aa)a)zl))(!ízlzalm!ízlz!lím!í)0!ímm0mz0zl00z!íz(�mzza�0�z�)�szz3zzse3lzs3�s!í3esn3emenezn0znsn3zzezz n�(zzb(y(s3(b()b ebb))nz)()!zlbz!zzílz!!l)mmí!llímmíípmmzmmmmp!ilp(pípi(bimmiz(i()(zp(z�zzzi�!�l�(�ímzmmm�mppmpipippm()ii�z)ii)�)p)��s��siees)sesneezm�eeenezenzznznsp�zzze�ez�zi.�n�z).�..z.�s.e.enz �
z.
3.80. Enlzcí!lzlmzíl!uzlíz!mí!ími!memitlinziatisí!tamttsnetasarsnaesin�neenenn�et2n�1n�a2sn�l1(z(21í2n!e1z(2z(1m(((2z(zn�2((zzz2iz2z2z122þ2tþ22((aþþsþzþzþþnþeþ2121n�11)1)1þ1þ21112)1)))2)(()))22zz21122))2þþ 1)2 , donde la rama de la inversa de la tangente se elige tdattaetntaana�nmnn�t�1�a�1a10n11n0�00e¼01¼rt¼¼a¼00n0q.0¼�00.u..1.e00.ta¼n−01. 0 = 0.
1)
3.81. Evalúelíllmíllímíímmm�l��ís��msessesne�enenznlsn�ízez�mz�z1�n�1=�11z=z1=2�z==sz2.zz2e21.2..=n.z2z�. 1=z2 .
z!zz!zz!!0!00z00!0zzzzz!z0 z
Puntos singulares
3.82. Localice e indique las singularidades en el plano finito z de las funciones siguientes.
((a( a(a)a)()az)z2z)2z2zþzz2þ2zþ22z2þ�z22þ�2�22z�z23z�23þz3þzþzz3zþ3z2þ2z2,,2,2, ,((b(b(b))b()bl)lnl)nnl((nlz(zn(zzþzz(2þz2þzz2þz23þ323ii3)i)3,)i,),i ,),((c(c(c))c()cs)ses)esennsen�e�n�1n�1(1�(11(11(1==1(=z1z=)z)=,z),z), ,),((d(d(d ))d()dp)pp)pzffiffizp(ffiz(ffizffi(ffizffiz2(ffiffi2zffi(2ffiffiþz2ffiþffiffiþ2ffiffiþffiffi1þffiffi1ffi1)ffiffi)1ffi, )ffi,1),ffiffi,)ffiy,(( e(e(e))e()e()(z)(cz(czþcoz(þocþzoscþsosiþzois)zi)z3s)iz3)3iz3)3
3.83. Muestre que f (z) = (z + 3i)5/(z2 − 2z + 5)2 tiene polos dobles en z = 1 2i y un polo simple al infinito.
3.84. Muestre que ex2 tiene una singularidad esencial al infinito.
108 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuaciones de Cauchy-Riemann
3.85. Localice e indique todas las singularidades de las funciones siguientes.
( a(a)())a()z(z(þzþþ33)=)3=()z(=z2(2z�2��11),)1, ),(b(b))()bc)cssccc(s1(c1=(=1zz2=2)z ,)2,),y( c(c)()c())z(z2(2zþ2þþ11)=)1=z)z3==3z2=32.=.2.
Familias ortogonales
3.86. Encuentre las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas:
a) x3y − xy3 = a y b) e−x cos y + xy = a.
3.87. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas r2 cos 2u = a.
3.88. S epare f (z) = z + 1/z en parte real y parte imaginaria, y muestre que las familias (r2 + 1) cos u = ar y
(r2 − 1) sen u = br son trayectorias ortogonales, y verifique por otro método.
3.89. S ea n una constante real arbitraria, y demuestre que r n = a sec nu y r n = b csc nu son trayectorias ortogonales.
Aplicaciones en geometría y mecánica
3.90. Una partícula se mueve a lo largo de la curva z = e−t(2 sen t + i cos t).
a) Encuentre un vector unitario tangente a la curva en el punto en el que t = p/4.
b) Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración de la partícula en t = 0 y t = p/2.
3.91. Una partícula se mueve a lo largo de la curva z = aeivt. a) Muestre que su rapidez es siempre constante e igual
a va.
b) Muestre que la magnitud de su aceleración es siempre constante e igual a v2a.
c) Muestre que la aceleración siempre se dirige a z = 0.
d ) E xplique la relación entre este problema y el de una piedra en el extremo de una cuerda que se hace girar en
un plano horizontal.
3.92. L a posición en el tiempo t de una partícula que se mueve en el plano z está dada por z = 3te−4it. Encuentre la
magnitud de a) la velocidad y b) la aceleración de la partícula en t = 0 y en t = p.
pffiffi
3.93. Una partícula P se mueve a lo largo de la recta x + y = 2 en el plano z con una rapidez uniforme 32 pies/seg
desde el punto z = −5 + 7i hasta el punto z = 10 − 8i. Si w = 2z2 − 3 y P′ es la imagen, en el plano w, de P,
encuentre la magnitud de a) la velocidad y b) de la aceleración de P′ después de 3 segundos.
Gradiente, divergencia, rotor y laplaciano
3.94. Sea F = x2y − xy2. Encuentre a) F y b) 2F.
3.95. Sea B = 3z2 + 4z. Encuentre a) grad B, b) div B, c) |rot B| y d ) laplaciano B.
3.96. Sea C la curva en el plano xy definida por x2 − xy + y2 = 7. Encuentre un vector unitario normal a C a) en el punto
(−1, 2) y b) en cualquier punto.
3.97. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva x2y = 2xy + 6 en el punto (3, 2).
3.98. Muestre que 2| f (z)|2 = 4| f ′(z)|2. Para ilustrar, elija f (z) = z2 + iz.
3.99. Compruebe que 2{FG} = F 2G + G 2F + 2 F ⋅ G.
3.100. Demuestre que div grad A = 0 si A es imaginaria o, de manera más general, si Re{A} es armónica.
Problemas misceláneos
3.101. Sea f (z) = u(x, y) + iv (x, y). Verifique que:
a) f (z) = 2u(z/2, −iz/2) + constante y b) f (z) = 2iv (z/2, −iz/2) + constante.
110 Capítulo 3 Diferenciación compleja y ecuacionesPdreoCblaeumcahsy-cRoiemmpalnenmentarios 109
3.1331..11800. 23D.. eC SmuoPupneoroesnlvtgrepeartqqohuubaeelteVrm4eaUs3l.a¼1r0ar1p2ihd(arelzl2eUinf) s(zt¼a)ns@t@iá4xaUn4)eþau(dx2e,@uyx@n)24a@=Uyp2axrþ4tí−c@@u4y6Ul4ax2q¼yu2e1+6se@ym@z424yu@U ze�2v.be )avl o(xl,ayrg) o=deseunnha x cos y. C. Compruebe
curva plana
3.119. Reqcsuuureevleavltaucrloaameepcnuoeansceeinóptneundntioofre.mreanlcdiaellpaaarcceialel r@@a4xcU4ióþn e2n@cx@u24@Uaylq2uþie@r@4ypU4un¼to3d6e(xC2 þestyá2)d..ado por V 2/R, donde R es el radio de
3.104. E ncuentre una función analítica f (z) tal que Re{ f ′(z)} = 3x2 − 4y − 3y2 y f (1 + i) = 0.
3.105. MuestrRe qeuse lpa ufameisliatdaescuarvals os problemas complementarios
x2 y2
3.43. a) 12 + 4i, b) −5i y c) 3/2 + 3i/2 a2 þ l þ b2 þ l ¼ 1 3.50. b) 2y + x2 − y2, c) iz2 + 2z
3.46. a )e−nil,ai/q(uze+−ia)22;<b)l−<1 −b22i,e(s1o9r+tog4ozn−al 3azl2a)/fa(zm2 i+lia2ezn+la5q)2u e l > −b23>.51−. ab2). x2 − y2 + 2xy − 3x − 2y
33.5.130. 6 a. ) D ayvreem=xmócu4onexsicsyytar−+esixqyx3ues+exóslle3oanxsyeyi2clu++aaecccxi,,ópzfnr e(ezzFs)+i(ó=xni,c2syyzi)g2du=−)ie−incztoe3e2n+xesystacifcnou,tsneb(cx)pi2nóu−onededyese2)aFe+rx:mpcóre,ns−iacriaeseix2 como u(x, y) = constante, en donde u es
c) + ic
3.5(4(b((b.(b( b)(b(()bb )bb)))�)))�����2�2��222t22ta22tattantatanttanan�aan�nn�nn�1��1�f�1f��11(f1f1(f1y(f111f(y(ffy(y(y((�yy�yy�������2222)2)2=2)22)=)=)(=)=))(=x(=(==x(x(x(x((�xx�xx�������1111)1)1g1)11)g),g)g),g)),gg,(,gg,(,c(y,,(c(c()c(c(()c)c)cc)2)2)))22i2i22il22iilnilinliilnln(lnll(nzn(nn(z(z(z(z�((z�zzz�������11111�11�11�������2222i2i@2)2i22)ii)2i)i)ii)F))) =@x2 þ @[email protected]þ66þ66þþþþþþþ333i33i33i333iiii.ii55. 6 + 3i
3.5(6(a((a.(a() a(a(()a)a )aa)�)�)))����8�8��88D8D88D88DDzDDzDDzzzþzþzzzþþþþþþþii(i(iiD(i(Di(iiD(D(D((zDDzDDz)z)z2z)z)2zz)2)2)2))2¼22¼22¼¼¼¼¼¼¼������8�8��8888d888dddzdzddzddzz¼zz¼zz¼¼¼¼¼¼¼ii(i(iid(i(di(iid(dz(d((zddz)ddz)z2z)z)2zz)2,)2)2,))22,2,(222,,(,b,(,(b(b(b)(b(()bb)bb))�)�)))����8�8��8888d8d88ddzdzddz,ddz,zz,z,(zz,,(y,c@(,,(c(c()Fc(c(()cc)c)cc)i)=)i)())i(i@idi(i(di((iixd(dz(dd((zd)dzddz)zz22z)z)2zz))2)2)2þ))222222 ([email protected][email protected]...)...2((a((a(a()a(a(()a)a)aa)3)3)))3383833833838�88�88�.��5����27222i2.i2,2i 22,ii,i,(i,aii,(,b(,,(b()b(b)(b(()bb3)bb))6)6)8))666�66�66−�������4424424244i2442i2,i22i22iibiiii) 6 − 42i
33.5.1(8(a(0(a.(a() a(a7(()a)a)aa)�.)�) ))����4 I�4��l44D4uD44D44DDszDDzDDztzzþrzþzzzþeþþþþþþ3e333il3i3(3i33(iiDr(i(Di(eiiD(D(D((zDsDzDDz)zu)z2z)z)2zz)l2,)2)2,t))22,2a,(222,,(,b(d,,(b(b(b)(ob(()bb)bb))�)�d)))���e�4�4��4l444d4pd44ddzdrzddz,ddzo,zz,z,(zz,b,(,c(,,(cl(c()c(ec(()c)c)ccm)�)�)))���a�4�4��4443þ44þ44þ.þþ1þþþþ33033i3i63D3i33DiiDiDiDziicDDzDDz,zo,zz,z,(zz,ny,(,d(,,(ds(d(d)(d((id)dd)dd))�))�)e))����r4�4��a4444n444do (y + 2)/(x − 1) = constante.
33.6.1(3(a(0(a.(a() a(a8(()a)a)aa)(.)() 2))((2(2( S2(2((þ22þ22eþþþþaþþþ888f8i8i8 )8i′88)iiz()i)zi)iizz)z)z�))z)�zzz����=���3333,3,303,33,(,,(,b(,,(be(b(b)(b((bn)bb)bb))4))4)u))44z4z4n4z44zzþzþazzzþþþþþrþþiie,i,ii,gi,(i,ii,(,c(i,,(c(óc()c(c)((c)cn)cc)5)5)))55i5i5=5i55=ii=i(=i.=(ii=z(=(==z(Cz(z(zþ((zþzozzþþþþþmþþ2222i2pi2)2i22)ii2)ri)2i)ii2,)u2)2,))22,y2,e(222,,(,d(b,,(d(d(d)(de(()dd)dd))4)q4)))44i4ui44i44i�ie�ii�ii����f��8 8(88z8zz88z,88z),zz,z,(zz,,(d,e(,,(e(ee()(e(()ee)be)ee)�)�)e))����3�3��s33i3ei3(3i33(iri(i(ii(zii(zi(ui((ziziz�iizn�zzz���a����111c1)1)1�o1)11)�)�)�)n4�))�4��4���4s4444t444ante en .
3333333333333333.........767767787.......1111111(674421827((((((�(((((((((�((a(((((((�((1011111daaecaad((((((�((a.........(daaceaada((((((�((daaceaad(((((((((��((( ) a((((((�((daacead(3))))))a4910253)(())(((((�((daaceaad3a))))))ddaaaaceceaadd)))3daaecaad))))))a)))3cded)))))((((((�((aaaaa(aaadacad)))[�.......3))))))33))))))))())[))))3�)))))))daaecaadc[)) (c))22�32))3[�))))))��()))))))1c2�23�2(��[c2�23�2[[1��3))))))[oc2�232))(1�((�6�o ExS CDSMDz4(1�[c2�232occ22��23326��6��z4����cs(32zco2�232111��z4i66o[z1cs1c2�232zs4l6��6cs=is(z116ouu6icsloo(ezx1z4nszz44o=oolic2�232=c6aazsz41(e��6n66csloccss61=o(se=h=6lniþuzc4scoii1566z1=c(ezz11ssnil=holl6þz1sn=2cnppcs1czssl=hp5olosþcs(ei1ddmz4((een=nz1nn=hozooþn(ccel15scc=n2n6zso�(scseecose5n===h(ze==hhiþ2ncþþ1�(sz1ccoos115zh=h(zcool2þc(((((�((�(s1srþnsþznn53zzhaa2(=h�(soscz(enoossþecn51zh�o(nn3þossc11zcþ55s2hn22(−�(sdaaecaad3z��((ss)epcþ=h�os2sþ((11zþ(s3�c1(nnch(hh1þs1zz((fz((2(n�þ(sshzþþþ(sst11z3=((33/oszc−(þ1fzsccz4323))))))þfh(((z(s=((c))fzl11z2r1111zzþþ�(ss(z4z=2r1(3fz1zgg1c((lþþz43(((32=z 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c) z C
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z = 0; punto de r=ambifyicbac)i2óen−, xzs=en∞y;Q+pu¼xn2tRo−ed�ye2ivr=a[mRbiþ ficiaE(3cv0.i8Leói7nv�.t
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Capítulo 14
Integración compleja
y teorema de Cauchy
4.1 Integrales complejas de línea
Sea f (z) continua en todos los puntos de una curva C [figura 4-1], la que se supondrá que tiene una longitud finita,
es decir, C es una curva rectificable.
y
xk zk zn–1 xn
zk–1 b
C
a x2 z2
x1
z1
x
Figura 4-1
La curva C se subdivide en n partes por medio de los puntos z1, z2,…, zn−1, que se eligen arbitrariamente, y se
establece que a = z0, b = zn. En cada arco que une zk−1 con zk, [k de 1 a n] se elige un punto k y se forma la suma
Sn ¼ f (j1)(z1 � a) þ f (j2)(z2 � z1) þ � � � þ f (jn)(b � zn�1) ( (4.1)
Al escribir zk � zk�1 ¼ Dzk, la expresión anterior se convierte en
Xn Xn
Sn ¼ f (jk)(zk � zk�1) ¼ f (jk)Dzk (4.2)
k¼1 k¼1
Sea un aumento de subdivisiones del número n de manera que la longitud | zk| de la mayor de las cuerdas tienda
a cero. Así, como f (z) es continua, la suma Sn tiende a un límite que no depende de la manera en que se haga la sub-
división; este límite se denota
ðb ðb ðð
f (z)f d(zz) d zor oo r f (z)f d(zz) dz (4.3)
aa CC
112 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
que se conoce como integral compleja de línea o tan sólo integral de línea de f (z) a lo largo de la curva C, o integral
definida de f (z) de a a b a lo largo de la curva C. En este caso, se dice que f (z) es integrable a lo largo de C. Si f (z)
es analítica en todos los puntos de una región y si C es una curva que se encuentra en , entonces f (z) es continua
y por tanto integrable a lo largo de C.
4.2 Integrales reales de línea
Sean P(x, y) y Q(x, y) funciones reales de x y y, continuas en todos los puntos de la curva C. Así, la integral real de
línea de P dx + Q dy a lo largo de la curva C se define de manera similar a la integral compleja de línea y se denota
ðð
[P(x, y) dx þ Q(x, y) dy] o P dx þ Q dy (4.4)
CC
la segunda notación se usa por brevedad. Si C es suave y tiene ecuaciones paramétricas x = (t), y = (t), donde
t1 ≤ t ≤ t2, se observa que el valor de (4) está dado por
ðt2
[Pff(t), c(t)gf0(t) dt þ Qff(t), c(t)gc0(t) dt]
t1
En caso de que C sea suave a trozos (o por partes), se aplican modificaciones adecuadas (vea el problema 4.1).
4.3 Relación entre integrales reales de línea
e integrales complejas de línea
Suponga que f (z) = u(x, y) + iv (x, y) = u + iv. Así, la integral de línea compleja dada en (4.3) se expresa en términos
de integrales reales de línea de la maðnera siguienðte:
f (z) dz ¼ (u þ iv)(dx þ i dy)
CC ð
ð
¼ u dx � v dy þ i v dx þ u dy (4.5)
CC
Debido a esto, la expresión en (4.5) suele considerarse una definición de la integral compleja de línea.
4.4 Propiedades de las integrales
Suponga que f (z) y g(z) son integrables a lo largo de C. Entonces se tiene:
ð ðð
a) f (z) þ g(z)g dz ¼ f (z) dz þ g(z) dz
Cð ðC C
b) Af (z ) dz ¼ A f (z) dz donde A = cualquier constante
CC
ðb ða
c) f (z) dz ¼ � f (z) dz
ab donde los puntos a, b y m están en C
ðb ðm ðb
d ) f (z) d z ¼ f (z) dz þ f (z) dz
aa m
e) ��� ð f (z) dz��� � ML
C
donde | f (z)| ≤ M, es decir, M es una cota superior de | f (z)| en C, y L es la longitud de C.
4.6 Regiones simplemente y múltiplemente conexas 113
Las cpurorvpaie, dlaadpersopainetdearidocre)ssepueexdpernesdaecsocmriboirÐsTeUVdef varias maneÐras. Por ejemplo, si T, U y V son puntos sucesivos
una (z) dz ¼ � VUT f (z) dz.
de
De igual manera, si C, C1 y C2 representan curvas de a a b, de a a m y de m a b, respectivamente, resulta natural
C ¼ cCo1nþsidCer2ar C = C1 + C2 y expresar la propiedad d ) como
ð ðð
f (z) dz ¼ f (z) dz þ f (z) dz
C1þC2 C1 C2
4.5 Cambio de variables
Sea z = g(z ) una función continua de una variable compleja z = u + iv. Suponga que la curva C en el plano z corres-
ponde a la curva C′ en el plano z y que la derivada g′(z ) es continua en C′. Entonces,
ðð
f (z) dz ¼ f fg(z )gg0(z ) dz (4.6)
C C0
Esta condición sin duda se satisface si g es analítica en una región que contenga a C′.
4.6 Regiones simplemente y múltiplemente conexas
A una región se le llama simplemente conexa si toda curva simple cerrada [sección 3.13], que esté en , puede
reducirse a un punto sin salirse de . Se dice que una región que no sea simplemente conexa es múltiplemente
conexa.
Por ejemplo, suponga que es la región definida por |z| < 2, región sombreada en la figura 4-2. Si Γ es una curva
simplemente cerrada en [es decir, cuyos puntos estén en ], se ve que esta curva puede reducirse a un punto que
se encuentre en , por lo que no se sale de , de manera que es simplemente conexa. Por otro lado, si es la
región definida como 1 < |z| < 2, región sombreada en la figura 4-3, entonces existe una curva simple cerrada Γ en
que no se puede deformar a un punto sin salirse de , por lo que es múltiplemente conexa.
y y y
x
|z| = 2 |z| = 2 Γ x
Γ x |z| = 1
Figura 4-2 Figura 4-3 Figura 4-4
Por intuición, una región simplemente conexa es una región que no tiene “hoyos”, mientras que una región múl-
tiplemente conexa es una región con “hoyos”. Las regiones múltiplemente conexas de las figuras 4-3 y 4-4, respec-
tivamente, tienen uno y tres “hoyos”.
114 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
4.7 Teorema de la curva de Jordan
Toda curva continua cerrada que no se interseque a sí misma y que tenga o no longitud finita se llama curva de Jordan
[vea el problema 4.30]. Un teorema importante, aunque muy difícil de demostrar, que parece intuitivamente obvio
es el siguiente.
Teorema de la curva de Jordan. Una curva de Jordan divide el plano en dos regiones que tienen a la curva como
frontera común. La región, que queda acotada [es decir, que todos sus puntos satisfacen |z| < M, donde M es una
constante positiva], se llama interior de la curva, mientras que la otra región se llama exterior de la curva.
Con el teorema de la curva de Jordan se muestra que la región interior de una curva simple cerrada es una región
simplemente conexa cuya frontera es la curva simple cerrada.
4.8 Convención respecto de la orientación
de una trayectoria cerrada
Se dice que la frontera C de una región se recorre en sentido o en dirección positiva si un observador que la recorra
en esa dirección [y perpendicular al plano] tiene esta región a su izquierda. Esta convención produce las direcciones
que se indican mediante flechas en las figuras 4-2, 4-3 y 4-4. Con el símbolo especial
þ
f (z) dz
C
se denota la integración de f (z) alrededor de la frontera C en sentido positivo. En el caso de una circunferencia [figura
4-2], la dirección positiva es la dirección en contra de las manecillas del reloj. A la integral alrededor de C se le suele
llamar integral de contorno.
4.9 Teorema de Green en el plano
Sean P(x, y) y Q(x, y) funciones continuas con derivadas parciales continuas en una región y en su frontera C. El
(4.7)
teorema de Green establece que �@Q @P�
@x @y
þ ðð
P dx þ Q dy ¼ � dx dy
CR
Este teorema es válido para regiones tanto simplemente conexas como múltiplemente conexas.
4.10 Forma compleja del teorema de Green
Sea F(z, z) una función continua con derivadas parciales continuas en una región y en su frontera C, donde z =
x + iy, z = x − iy son coordenadas conjugadas complejas [vea la página 7]. El teorema de Green se expresa en forma
compleja
þ ðð @F
2i @z�
F(z, z�) dz ¼ dA (4.8)
CR
donde dA representa el elemento de área dx dy.
En el problema 4.56 se presenta una generalización de la expresión (4.8).
4.14 Integrales de funciones especiales 115
4.11 Teorema de Cauchy. El teorema de Cauchy-Goursat
Sea f (z) analítica en una región y en su frontera C. Entonces
þ
f (z) dz ¼ 0 ( (4.9)
C
Este teorema fundamental, que se llama teorema de la integral de Cauchy o simplemente teorema de Cauchy, es
válido tanto para regiones simplemente conexas como para regiones múltiplemente conexas. Primero se demostró
con el teorema de Green y la restricción de que f ′(z) fuera continua en [vea el problema 4.11]. Pero Goursat
dio una prueba en la que eliminaba esta restricción. Debido a esto, a este teorema también se le llama teorema de
Cauchy-Goursat [vea los problemas 4.13 a 4.16] cuando se desea destacar la eliminación de la restricción.
4.12 Teorema de Morera
Sea f (z) continua en una región simplemente conexa y suponga que
þ
f (z) dz ¼ 0 ( (4.10)
C
alrededor de toda curva simple cerrada C en . Entonces, f (z) es analítica en .
A este teorema, debido a Morera, se le conoce cómo el recíproco del teorema de Cauchy. Este teorema se extiende
a regiones múltiplemente conexas. En el problema 4.27 se da una prueba en la que se supone que f ′(z) es continua en
. En el problema 5.7 del capítulo 5 se da una prueba en la que se elimina esta restricción.
4.13 Integrales indefinidas
Suponga que f (z) y F (z) son analíticas en una región y que F′(z) = f (z). Entonces se dice que F (z) es una integral
indefinida o una antiderivada de f (z), y se escribe
ð
F(z) ¼ f (z) dz (4.11)
Como en el caso de las variables reales, dos integrales indefinidas difieren en una constante. A esto se debe que se
agregue una constante arbitraria c en el lado derecho de la expresión (4.11).
Ejemplo 4.1: Comdo �dd3zz�23�z2 4�se4nsðez�(n6ð¼zz�(6�6¼zz4�6�cz4o4�scczo4o)sscdzzo)z,sd¼zz,, se escribe
dz 3¼z23�z2 4�se4nseznþz
þ c
c
4.14 Integrales de funciones especiales
Con los resultados de la página 80 [o por diferenciación directa] se obtienen los que se presentan en la figura 4-5 (sin
la constante de integración).
116 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
11. . ð zn dz ¼ znþ1 n = �1 ð
22. . ð dz ¼ ln nþ1 1188.. coth z dz ¼ ln senh z
ðz z ð
1199.. sech z dz ¼ tan�1(senh z)
33. . ez dz ¼ ez ð
2200.. csch z dz ¼ �coth�1(cosh z)
44. . ð az ð
az dz ¼ 2211.. sech2 z dz ¼ tanh z
ð ln a
ð
55. . sen z dz ¼ �cos z 2222.. csch2 z dz ¼ �coth z
ð ð
2233.. sech z tanh z dz ¼ �sech z
66. . cos z dz ¼ sen z
ð
ð 2244.. csch z coth z dz ¼ �csch z
77. . tan z dz ¼ ln sec z ¼ �ln cos z
ð ð pzffiffi2ffiffidffi+ffizffiffiffiffiffiaffiffiffi2ffi � pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�
ln z z2 + a2
88. . cot z dz ¼ ln sen z 2255.. ¼ þ
ð ð dz 1 z � 1 cot�1 z
99. . sec z dz ¼ ln(sec z þ tan z) þ a2 a a aa
2266.. z2 ¼ tan�1 o
¼ ln tan(z=2 þ p=4)
ð ð dz 1 �z � a�
1100. . csc z dz ¼ ln(csc z � cot z) � a2 2a ln þ a
2277.. z2 ¼
¼ ln tan(z=2) z
ð ð pffiffiffidffiffiffizffiffiffiffiffiffiffiffi z �cos�1 z
1111. . sec2 z dz ¼ tan z a2 � z2 a a
2288.. ¼ sen�1 o
ð ð pffiffiffidffiffizffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 � pffizffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�
1122. . csc2 z dz ¼ �cot z z a2 + z2 a ln a2 + z2
2299.. ¼ þ
a
ð ð pffiffidffiffiffizffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a 1 sec�1 z
1133. . sec z tan z dz ¼ sec z z z2 � a2 a z aa
3300.. ¼ cos�1 o
ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1144. . csc z cot z dz ¼ � csc z z2 + a2 2 z2 + a2
3311.. dz ¼
+ a2 � þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�
2 ln z z2 + a2
ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 z
15. senh z dz ¼ cosh z a2 � z2 a2 � z2
3322.. dz ¼ þ sen�1
ð 2 2a
16. cosh z dz ¼ senh z
ð eazða sen bz � b cos bzÞ
ð a2 þ b2
17. tanh z dz ¼ ln cosh z 3333.. eax sen bz dz ¼
ð eaxða cos bz þ b sen bzÞ
a2 þ b2
3344.. eax cos bz dz ¼
Figura 4-5
118 Capítulo 4 Integración co4.m1p5l e AjalgyutneaosrceomnasdeecuCeanucciahsy del teorema de Cauchy 117
4.15 Aly gunas consecuencias del teoyrema de Cauchy
Sea f (z) analítica en una región sCimplemente conexa . Entonces, son válidos los teoremas siguientes.
Teorema 4.1. Suponga que a y z son dos puntos cualesquiera en . EntoncesC, C2
C1 ðz
f (z) dz C1
a Cn
es independiente de la trayectoria en que une a y z.
Teorema 4.2. Suponga que a y z son dos puntos cxualesquiera en y x
a) ðz b)
GF(izg)u¼ra 4-6f (z) dz (4.12)
Teorema 4.5. sSueEpaenfrt p(ozon)nceuensn,aCGf,(uCzn)1c,eiCsón2a,naCanl3ía,t.liíc.ta.iceCanne,ndouynnGdae′(rCze)g1,=ióaCnf2 ,(lz.i)m...i,taCdnaspeoernclausencturarvnaesnseiml ipnlteesriocrerdreadCas[cqoumeoneon se
la
Algunas vefcigeus rpau4e-d6ebh)]a,byersocobnrefuessitóans dcuebrvidaso. aEqnutoenlcaevsa, riable de integración z en la expresión (4.12) es la misma
que el límite superior de integþración. Comoþ una integraþl definida sólo depeþnde de la curva y de los límites de integra-
ción, puede emplearse cualquierf s(zím) dbzol¼o parfa(lza) vdazrþiable fd(ez)indtzegþra�c�ió� nþy, pofr(ze)sdtoz, a la variable se le llama v(4a.r1ia7b) le
ficticia o símbolo ficticio. Por tanto, la expresión en (4.12) se escribe de manera equivalente como
C C1 C2 ðz Cn
Esto es una generalización del teoreGm(za)4¼.4. f (z ) dz (4.13)
a
Teorema 4.3. Suponga que a y b son dos puntos cualesquiera en y que F ′(z) = f (z). Entonces,
Problðb emas resueltos
In tegrales de línea f (z) dz ¼ F(b) � F(a) ( (4.14)
a
4.1. Evalúe Ð ((02,L,34))o(2quyeþtaxm2)bdiéxnþse(3esxc�ribye) ddey laalomlaanregroadseigau)ielantpea,ryáabocloanxo=cid2at,dyel=cát2lc+ul3o;eble)mlaesnrteaclt.as de (0, 3) a
(2, 3) y de (2, 3) a (2, 4) y cðb) uFðbn0F(az0)r(ezdc)ztda¼zd¼eF((F0z),(z3����)b) ����aobr(oo2 [r,F4[(F)z.)(]zab)]¼ba
Solución a aa ¼F(Fb)(b�) �F(Fa)(a) ( ( (4.15)
a
a) Los puntos (10ð�,i3) y (2, 24igz)2u, aq����1lu�aei se encuentran en la parábola, corresponden a t = 0 y t = 1, respectivamente.
EjeAmspí,lloa i4n.t2e:g ral d4azddaz e¼s ¼ 2ð1 � iÞ2 � 2ð3iÞ2 ¼ 18 � 4i
ð1 3i 3i ð1
po(r2d4to2sþcu1r2va�s
Teorema 4.4. Sea f (z[)2u(tn2aþfu3n)cþió(n2ta)n2]a2lídtitcþa e[3n(2utn)a�re(tg2ióþn3l)i]m2titdatd¼a 2sti3m�pl6ets) cdet r¼rad323as C y C1 [donde
C1 ste¼0encuentra en el interior de C, como se muestra e0n la figura 4-6a)] y sobre estas curvas. Así,
b) A lo largo de la recta de (0, 3) a (2, 3), þy = 3, dy = 0þy la integral de línea es igual a
f (z) dz ¼ f (z) dz (4.16)
ð2 (6 þ x2)Cdx þ (3x � 3C)01 ¼ ð2 (6 þ x2) dx ¼ 44
donde C y C1 se recoxr¼r0en en sentido positivo en rex¼la0ción con sus in3teriores [en sentido contrario a las
A lmo laanregcoildleasladreelcrtealodej e(2n,l3a)faig(u2r,a44),-6xa=)].2, dx = 0 y la integral de línea es igual a
Esto muestra que sseiaseandaelsíteiacainetneglraaðrr4efg ((2izó)ynaþelon4)tlr0aerþgCo(6yd�Ce 1lya,)ccdouymr¼voa eCð4n, la curva C puede sustituirse por cualquier curva
siempre que f (z) (la6 �figyu)rday4¼-65a).
C1
2
y¼3 y¼3
Por tanto, el valor buscado = 44/3 + 5/2 = 103/6.
Problemas resueltos 119
c) Una ecuación de la recta que une (0, 3) y (2, 4) es 2y − x = 6. Se despeja x y se tiene x = 2y − 6. Entonces,
la integral de línea es
ð4 � � 6)2�2 dy ð4 97
2y þ
(2y þ [3(2y � 6) � y] dy ¼ (8y2 � 39y þ 54) dy ¼ 6
y¼3 3
También se obtiene este resultado con y ¼ 21(x þ 6)..
4.2. Evalúe Ð z� dz,fdroesmdezz¼=00thoazst¼a z4=þ42+i 2i, a lo largo de la curva C dada por a) z = t2 + it y b) la recta de
C
z = 0 a z = 2i y después la recta de z = 2i a z = 4 + 2i.
Solución
a) Los puntos z = 0 y z = 4 + 2i en C corresponden a t = 0 y t = 2, respectivamente. Entonces, la integral de
línea es igual a
ð2 (t2 þ it) d(t2 þ it) ¼ ð2 (t2 � it)(2t þ i) dt ¼ ð2 (2t3 � it2 þ t) dt ¼ 10 � 8i
3
t¼0 0 0
Otro método. La integral dada es igual a
ð ðð
(x � iy)(dx þ i dy) ¼ x dx þ y dy þ i x dy � y dx
C CC
Las ecuaciones paramétricas de C son x = t2, y = t de t = 0 a t = 2. Entonces, la integral de línea es igual a
ð2 ð2
(t2)(2t dt) þ (t)(dt) þ i (t2)(dt) � (t)(2t dt)
t¼0 t¼0
¼ ð2 (2t3 þ t) dt þ i ð2 (�t2) dt ¼ 10 � 8i
3
00
b) La integral de línea dada es igual a
ð ðð
(x � iy)(dx þ i dy) ¼ x dx þ y dy þ i x dy � y dx
C CC
La recta de z = 0 a z = 2i es la misma que la recta de (0, 0) a (0, 2), para la cual x = 0, dx = 0 y la integral
de línea es igual a
ð2 ð2 ð2
(0)(0) þ y dy þ i (0)(dy) � y(0) ¼ y dy ¼ 2
y¼0 y¼0 y¼0
La recta de z = 2i a z = 4 + 2i es la misma que la recta de (0,2) a (4, 2), para la cual y = 2, dy = 0 y la
integral de línea es igual a
ð4 ð4 ð4 ð4
x dx þ 2 � 0 þ i x � 0 � 2 dx ¼ x dx þ i �2 dx ¼ 8 � 8i
x¼0 x¼0 0 0
Por tanto, el valor buscado ¼ 2 þ (8 � 8i) ¼ 10 � 8i.
120 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
4.3. S uponga que f (z) es integrable a lo largo de una curva C de longitud finita L, y que existe un número positivo
M tal que | f (z)| ≤ M en C. Demuestre que
������ ð f (z) dz������ � ML
C
Solución
Por definición, con la notación de la página 111, se tiene
������� ð ffff((((zzjj))kkdd))DzDz z¼z¼kk�������nnll��!!íímm11XXkk¼¼nXnXkk1¼1¼Xnn11jjn ffff((((jjjjkkkk))))DjDj jjzzDDkk zzkkjj (1)
Ahora ð (2)
C
XnC
Xn
k¼1
k¼1
� M Xn jDzkj
� M k¼1 jDzkj
� MLk¼1
� ML Pn
donde se aprovechó que | f (z)| ≤ M para todos los puntos z en C y que k¼1 jDzkj representa las suma de todas
las longitudes de cuerda que unen los puntos zk−1 y zk, donde k = 1, 2, y que esta suma no es mayor a la
…, n,
longitud de C.
Se toman límites a ambos lados de (2), con (1), y se obtiene el resultado buscado. De manera más general, es
posible mostrar que ������ ð f (z) dz������ � ð j f (z)j jdzj
CC
Teorema de Green en el plano
4.4. D emuestre el teorema de Green en el plano si C es una curva simple cerrada que tiene la propiedad de que
cualquier recta paralela a los ejes coordenados corta a C a lo más en dos puntos.
Solución
Sean las ecuaciones de las curvas EGF y EHF (vea la figura 4-7) y = Y1(x) y y = Y2(x), respectivamente. Si es
la región limitada por C, se tiene (1)
ðð 2 ðf Y2ð2(x) Y2@ð(Px) 33
@@ðPyðd@@xPydydx¼dyðf¼64 64 @y d@@yP75y ddxy75dx
RR x¼e xy¼¼eY1(yx¼) Y1(x)
¼ x¼ðf¼ePx(¼ðfxe,Py()x���Yy,¼2y(Yx))1���(Yyx¼2)(Yxd)1x(x)¼dxðef ðf �Y2P) (�x,PY(1x),]Yd1x)] dx
¼[P(x[,PY(2x),
e
ðf ðf ðe ðe þþ
¼ �¼ P�(x,PY(1x),dYx1)�dx �P(x,PY(2x),dYx2)¼dx�¼ �P dxP dx
ee ff CC
Entonces, þ P þdxP¼dx�¼ðð�@@ðPyð d@@xPydyd x dy
CC RR
Problemas resueltos 121
De manera semejante, sean las ecuaciones de las curvas GEH y GFH, x = X1( y) y x = X2( y), respectivamente.
Entonces,
23
@@QxðRðd@x@Qxdydx¼dyðh¼246y¼ðhXg2ð46(yx)¼XX@2ð@(1Qyx()y)d@@xQx375 ðh
ðð dx57 dyðh , y)] dy
dy ¼ ¼ [Q(X2, y) � Q(X1 dy
[Q(gX2, y) � Q(X1, y)]
R y¼g ðgx¼X1(y) ðh g þ
ðg ¼ Q(X1, y) dðyh þ Q(X2, y) dyþ ¼ Q dy
¼ Q(Xh 1, y) dy þ Q(Xg 2, y) dy ¼ Q Cdy
Así, h CþdyQ¼gdyðð¼@@QðxRðd@x@Qxdyd x C
þ dy
Se suman (1) y (2),
Q (2)
CR
þ P dCþCxPþdQx þdyQ¼dyðð¼�@@ðRRQðx��@@Qx@@Py��@@dPyx�dydx dy
CR
y H y
h C (1, 1)
F y2 = x
y = x2
E
g
G
e fx O x
Figura 4-7 Figura 4-8
4.5. Verifique el teorema de Green en el plano para
þ
(2xy � x2) dx þ (x þ y2) dy
C
donde C es la curva cerrada de la región limitada por y = x2 y y2 = x.
Solución
Las curvas planas y = x2 y y2 = x se intersecan en (0, 0) y (1, 1). Al recorrer C, la dirección positiva es la que se
muestra en la figura 4-8.
A lo largo de y = x2, la integral de línea es igual a
ð1 �(2x)(x2) x2� dx � (x2)2� d(x2) ð1 7
x
� þ þ ¼ (2x3 þ x2 þ 2x5) dx ¼ 6
x¼0 0
A lo largo de y2 = x, la integral de línea es igual a
ð0 ð0 � 17
(4y4
f2( y2)( y) � ( y2)2g d( y2) þ f y2 þ y2g dy ¼ � 2y5 þ 2y2) dy ¼ 15
y¼1 1
122 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy Problemas resueltos 123
Por tanto, la integral buscada = 7/6 − 17/15 = 1/30. Por otroy lado,
y ðð �@Q @P� ðð �@ � H
@x @Uy @x x2)
� dx dy ¼ (x þ y2) � @ (2xy � dx dy
@y
R CR
1 ð1 pðxffiffi E J
D GF
T ðð
¼ (1 � 2x) dx dy ¼ (1 � 2Ax) dy dx
S 2R
x¼0 y¼x2 K
O V ð1 2xy)x ������py ¼xffiffix 2 dx ð1 L 1 x
Figura 4-9 30
¼ x¼0 ( y � ¼ 0 (x1=2 � 2x3=2 � x2 þ 2x3) dx ¼
Figura 4-10
4.7C. oc Dnoemlmoouquelasetqrseeuevqeusreeifmeiclauteeesoltrtreeamoeraenmdlaae fdGiegrueGrearne4een-n1. 0e.l plano también es válido para una región múltiplemente conexa
4.6. A pamSrapolelílleuaslcaaióplornuseebjeaspcaoroardelenteaodroesmpaueddeenGcreoerntareneneml pálsadneo del problema 4.4 a las curvas C a las que rectas
dos puntos.
La frontera de , que consta de la frontera exterior AHJKLA y de la frontera interior DEFGD, se va a recorrer en
Sodilrueccciióónnpositiva de manera que esta región esté siempre a la izquierda de la persona que la recorre. Como se ve,
Cpqe suuolcpeednaoldessesreciomCtddnienrioeer,ctrnnedroectearoecultnbainctsorjiovaepneentoecnoresusxdmdarpaeveláo,,arssymeqsidgtuipoiemievosoadtprncrsolaoetesasrsnnopceqctneucouortnlenreeatasolseldiasldtðqaAe.setDuoMeCrfEerPaor,FeeodrsGdmcednaeDoxmþistaaiAmeþneanLrddKoanteeeQsiJclsHeGeaealdAvlxnrqypPátetrurele¼eaoidernndzbixoosoðlleeþðaersdpm�mefeavQiga@rá[email protected]�e4tsor¼.rcti.aayot@@EasrðePyRa.ðnnSr�LetlT�olagada,s@n@ixeoQrfcxcseidnegutgy�seauai, sólrr,e@ae@nsPsgy4eli�pi-ómt9undr,eaixsdtazaedeadlydaaauipqvnpluiaiodecrreaerAreecsncDteatdaE,eosltFasptGleraeocDrgoarAeilmoemLlnoaKaesAJsdaHDelA,Go1lsyelraeesme(jse1n2ais),,mda-
Pero la integral de la izquierSdTðUaS, sPðindþxelþinQðtedgyrþa¼ndðRðoð1,þ�es@@Qixgðu�al@@¼Pay� dxðdy þ ð (2)
SVTS R
AD DEFGD DA ALKJHA DEFGD ALKJHA
Ð �pyÐSDoCeArq2.suu(ermeÐcaAonDrrl¼iodsa�lsaÐedDnoA.sdAiizrseqíc,ucsiieiorCnde1oðssespdþoelas(ic1tðiu)vrayv¼sa(r2Aeð)s,LpsþKeincJtHðeolAdþi,neCteð2g)er,þaspnlodaðroc¼luPorqvdðauxeD+þÐECQ1FðþGdy¼DÐ,Cy2y¼sCðe ÞtlCiaefnyrÐeoCpn1otþsreortÐaaCnd2toe¼,
¼ Þ que consta de C1
AD so
C
STUS þ PSdTx þTUQS dy ðð �TS@Q �TU@S@Py �SdVTx dy TUSVT
S¼VT @x
SVTS
y se aprovecha que Ð ¼ �ÐTS.. CR
ST
4.8. ÞS dSCeeeaPunsundPmax(aþxrn,egQyloi)ósdynylaQd¼sio(mxs0,pdyale)erlrmefecudehnneocdtsieoodrneceod(sn1e)ectxoyoand(t2ain),tu.rsaaÐiDsnAyBeecePcmolðtnidðounxrteþpiesaþrgtiðrmrðceaQene¼rdrqdraoauyðsd,ðeadueCrniaveancdoansdpieacsriócqinaulenese@cPceo=sn@atyriina¼uay@sQseu=nf@itcxoideindotésenltopiscaarpmauenqntuotees
en . R11 R22 R
SPoorlutacntioó, n que @P=@y ¼ ð dExnþtonQcdesy, ¼deðaðc�u@@eQxrd�o c@@oPyn�edlxtedoyrema de Green,
@Q=@xP.
Suficiencia. Suponga
y se demuestra el teorema. Se TUþSVT GððrRe�e@@nQxp�ara@@Pyla�rdegxidóyn¼sim0 plemente conexa de la figura 4-9
P dx þ Q dy ¼
comprobCó el teorema de
limitada por la curva simple cerrada C. En el caso de reRgiones más complicadas puede ser necesario trazar más
recdtoans,dceomoeslalarerecgtaióSnT,lipmairtaadeastpabolreCce.r el teorema.
Como se muestra en el problema 4.7, el teorema de Green también es válido para regiones múltiplemente conexas.
124 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
i.eNac.,loeg@mcúPPenoo=s@ripp@dy@hÞPuuaÞPiCn¼n=Cpd=tt@Pó.oo@Py@StydeQidaunxasenx=pitnþdse@oþd,rx@n@i@[email protected]=ad==d@n=py@@qyy@axypu¼xr�¼Þae�ay@CrÞ0Qet@0i@CPlQc=QcPud@=u=lx@da@ax�þrxxl,s.@þs.o@QPu@nP0=QpÞPd0@=c@Co=yÞP@dyon@CPy=y¼ng�y@Ptda¼iay0xn@dnqauQþ0xduna=@eþda@sQ@PlQ@@e@rx=QPPednQ=@@.d=y=P@(dy=@(e@x=y@¼xyd�y00,@x0,o¼.d�y�,0y@rSey�0Q0d@i@0m)Qe)Q=Γ[email protected]@Qt==enox@@[email protected](oye.x0nee0d.@cnt,@ePetPyoreb=a0lr=e@)[email protected]=ca=nebt,reo@r(@erQax@Q(n(ud0Qx=xt,n=a0o@0=,@yax,nC@x0yrcyx)0@ee0e.)P�g)sn..i,=ó@@dnPye(y==(xax@0qqc0y,@uuu,yQeeey0r0=@)cd)@Poo@xn=Pct@=eoy@nn=yge=al@aQt@e(Q=ox@r0=ex,@myex0na) (x(0x,0y,0y)0)
de Green, @@PP==@@yPy�=�@@y@QQa=n=@d@[email protected]@.P=þ0=@[email protected] � @Q=@x . 0ð.ð �@Q @P� (x0, y0)
P dx þ Q dy ¼ @x @y
� dx dy . 0
G Þ P dx þ Q dt yÞC¼P0dxpaþraQtdoyda¼s 0las curvas cerradas@Qen=@x �. P@oPr=@ty@aQnt=o@,x � @P=@y
lo que se concluye que debe
lo que contradice la hipótesis de que C
@Q=@x � @P=@y no puede ser positivo.
Þ
P dx þ Q dDye¼m0anera similar, puede mostrarse qu@Qe @=Q@x=@�x @�P=@P@y@=Q@y=@nxo�pu@ePd=e@syer negativo, con
C
ser idénticamein.ete., c@ePr=o@,yes¼[email protected]=.r,,@@xP=@y ¼ @Q=@x idénticamente en .
@Q=@x � @P=@Eystos resultados pueden extenderse a regiones múltiplemente conexas.
¼ @Q=@x
4.9. P y Q se definen como en el problema 4.8. Demuestre y
ÐqAuBeP dÐuAxBnaPþdcQxondþdyiQcsieódany necesaria y suficiente para que D C1
independiente de la trayectoria en
@qPu=e@@yP¼=@@yQ¼=@@xQ=@x C2
que une los puntos A y B es E B
idénticamente en . A
Solución
Suficiencia. Si @P=@y ¼ @Q=@x., entonces, según el problema x
4.8,
Figura 4-11
ð
P dx þ Q dy ¼ 0
ADBEA
[vea la figura 4-11]. De acuerdo con esto, omitiendo por brevedad el integrando P dx + Q dy, se tiene
ð ðð ð ð ð ð ð ð ð ð ðð ð
þ þ¼ 0,¼ 0, ¼ �¼ �¼ ¼ an d aassoníd so ¼ ¼
ADB ADBBEA BEA ADB ADB BEA BEAEB AEB C1 CC1 2 C2
es decir, la integral es independiente de la trayectoria.
Necesidad. Si esta integral es independiente de la trayectoria, entonces, para todas las trayectorias C1 y C2 en ,
se tiene
ðð ðð ðð ðð ðð
¼ ¼ , , ¼ ¼ anyadn d ¼ ¼0 0
C1 C1 C2 C2 ADABDB AEBAEB ADABDEABEA
De donde se concluye que la integral de línea alrededor de cualquier trayectoria cerrada en es cero, y por ende,
conforme al problema 4.8, @P=@y ¼ @Q=@x.
Estos resultados pueden extenderse a regiones múltiplemente conexas.
Forma compleja del teorema de Green
4.10. S uponga que B(z, z) es continua y tiene derivadas parciales continuas en una región y en su frontera C,
donde z = x + iy y z = x − iy. Demuestre que el teorema de Green se expresa en forma compleja como
þ ðð @B
2i @z�
B(z, z�) dz ¼ dx dy
CR
Problemas resueltos 125
Solución
Sea B(z, z) = P(x, y) + iQ(x, y). Entonces, según el teorema de Green, se tiene
þþ þþ
B(z, z�) dz ¼ (P þ iQ)(dx þ i dy) ¼ P dx � Q dy þ i Q dx þ P dy
CC �@Q CC
ðð @x @P� ðð �@P @Q�
� @y @x @y
¼ þ dx dy þ i � dx dy
RR
ðð ��@P @Q� i�@@Py @Q��
@x @y @x
¼ i � þ þ dx dy
R
ðð
¼ 2i @B dx dy
@z�
R
de acuerdo con el problema 3.34 de la página 101. Esto se expresa también en términos del rotacional B [vea la
página 85].
Teorema de Cauchy y teorema de Cauchy-Goursat
Þ
4.11. Demuestre el teorema de Cauchy sCimfp(lze) dz ¼ 0 isfi ff( (zz)) es analítica y su derivada f ′(z) es continua en todos
los puntos interiores de una curva cerrada C y sobre C.
Solución
Como f (z) = u + iv es analítica y tiene una derivada continua
ff 00((zz)) ¼¼ @@uu þþ ii @@@@xvxv ¼¼ @@@@yvyv �� ii @@uu
@@xx @@yy
se sigue que las derivadas parciales
@@uu ¼¼ @@vv (1)
@@xx @@yy
@@vv ¼¼ �� @@uu (2)
@@xx @@yy
son continuas en el interior de C y sobre C. Por tanto, el teorema de Green es aplicable y se tiene
þþ þþ
f (z) dz ¼ (u þ iv)(dx þ i dy) ¼ u dx � v dy þ i v dx þ u dy
CC � CC
ðð � @u� ðð �@u @v�
@v @y @x @y
¼ @x � dx dy þ i � dx dy ¼ 0
RR
con las ecuaciones de Cauchy-Riemann (1) y (2).
Al aprovechar que el teorema de Green es aplicable a regiones múltiplemente conexas, este resultado se extiende
a regiones múltiplemente conexas en las condiciones dadas para f (z).
El teorema de Cauchy-Goursat [vea los problemas 4.13 a 4.16] elimina la restricción de que f ′(z) sea continua.
Otro método
Este resultado se obtiene también a partir de zla,oeffnoz�tr,omonfacz�ec,so@mBp=l@e@z�jBa¼=d@ez�0l¼ytepo0orermtaaÞnCtdoef Þ(GzC)rdef (ezzn)¼d[pz0r.¼ob0le.ma 4.10] al observar
que si B(z, z) = f B(z()z,eBz�s)(izn¼, dz�ef)p(¼ze)nfd(ez)ndiente de
126 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
4.12. uD neamcuoenssttraenate)ÞÞ.ÞCCCdddzzz¼¼¼000,,, b) ÞÞÞCCCzzzdddzzz¼¼¼000,,y, c)ÞÞÞCCC((z(zz���zzz000)))dddzzz¼¼¼000, donde C es una curva simple cerrada y z0 es
Solución
Esto es consecuencia inmediata del teorema de Cauchy, pues en el interior de C las funciones 1, z y z − z0 son
analíticas y tienen derivadas continuas.
A este resultado también se llega directamente a partir de la definición de integral (vea el problema 4.90).
4.13. Demuestre el teorema de Cauchy-Goursat en el caso de un triángulo.
A
∆I D
E
∆IV ∆III ∆n
∆II z0
BF C Figura 4-13
Figura 4-12
Solución
Considere un triángulo en el plano z, como ABC en la figura 4-12, el que por brevedad se denota . Se unen los pun-
tos medios D, E y F de los lados AB, AC y BC, respectivamente, para formar cuatro triángulos ( I, II, III y IV).
Si f (z) es analítica en el interior del triángulo ABC, se tiene, al omitir en el lado derecho el integrando,
þ ððð
f (z) dz ¼ þ þ
ABCA DAE EBF FCD
8 9 8 9 8 9 8 9
< ð ð = < ð ð = < ð ð = < ð ð ð =
¼: þ ;þ: þ ;þ: þ ;þ: þ þ ;
DAE ED EBF FE FCD DF DE EF FD
ðð ðð
¼ þþ þ
DAED EBFE FCDF DEFD þ
þþ þ
¼ f (z) dz þ f (z) dz þ f (z) dz þ f (z) dz
DI DII DIII DIV
donde, en el segundo renglón, se ðapr¼ðov�¼ecðh�a,ðqu,e ð ¼ð �¼ ð�,ð , ð ¼ð ð ð
�
�¼
ED DE FE EF DF FD
ED DE FE EF DF FD
Entonces, ��������DþI������� �������dþz ������� þ������� DþII������� �������dþz ������� �������þDþII�������I �������dþz ������� �������þDþIV������� �������d z
������ þ ������fþ(zf) (dzz) d������ z������� fþ(zf) (dzz) fþ(zf) (dzz) fþ(zf) (dzz) fþ(zf) (dzz) ������� (1)
D D DI DII DIII DIV
Sea ΔI el triángulo que corresponde al término de la derecha de (1) que tiene el valor mayor (si hay dos o más
de estos términos, es cualquiera de ellos). Así,
1 ������ þ f (z) dz ������ 4������� f (z) dz �������
D � þ (2)
D1
128 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy Problemas resueltos 127
se S einsceueunnterna,lcoosmpuoAnsBteCoðDsdEemFsAeadf b(ioza)sddze¼loAsBðlFaAdfo(��������szDDþþ)d11deffzl((tþzzr))iádBdnCzzðgF��������Bu��lfo(44z)�������� 1DdDþþ22zseþff ((ozzCb))DtdðdiFezzCn�������� ef (,zd)edzmþanDeErðFaDsfim(zi)ldarz, un triángulo 2 tal que
¼0 (3)
pdouB denHeddeaemydsaeeqnmuseueroapsootqbrnuaseeersrqevuacerofqn (uzce)ueeasslqtaeuniraeeAlrsítupilcotaalídgsooobnsroee�������cqþDþDeoulmfefp((ospzze))lríoddgibnzzoót�������ne�o�rpsaye4r4qa2e2u��������npeDDþþos22aluíffsgi((ínozzm)tn)eddoirszzsiom��������s ri.ozm1(pvleeas,ecl upyroozbs0l=leamzdnoas4n.6o6s)e. zcn–r1uzan. También
(4)
Después de n pasos, se obtiene un triángulo n tal que C �������
C F������ þ f (z) dz ������ � 4n�������
þ f (z) dz (5)
D
Dn
Ahora, , 1, de2,tri3á,n…guelsosunaanisduaEcdeosisó)n, ydeextrisiátenguunlopsu,nctaodza0zuq2nuoe de los cuales está contenido en el anterior (es decir,
una sucesión está en todos los triángulos de esta sucesión.
Como z0 está en el interior o en la frontera de , se colige que f (z) es analítica en z0. Por tanto, de acuerdo con
el problema 3.21 de la página 95,
D z3
Figura 4-14 f (z) ¼ f (z0) þ f 0(z0)(z � z0) þ h(z � z0) Figura 4-15 (6)
4.15. Demuestre el teorema de Cauchy-Goursat para toda curva simple cerrada.
SodolunPdcoer,iótpaannrtao,toadlainete>gr0a,r puede hallarse un tal que || < e siempre que |z − z0| < .
ambos lados de (6) y con el problema 4.12,
Suponga que C está contenida en una regióþn en la quþe f (z) es analítica. simplificar
Sobre la curva C se eligen n puntos de subfd(izv)idszió¼n z1, hz2(,z…�,zz0n) [dfzig ura 4-15], donde, para la anota-(7)
ción, se considera z0 = zn. Al unir estos puntos, se traza el polígono P.
Se define la suma Dn Dn
Ahora, si P es el perímetro de , el perímetro deXn n es Pn = P/2n. Si z es un punto cualquiera en n, entonces,
como se ve en la figura 4-13, debe tenerse queSn|z¼−Xzn0| <f (zPk)/D2znk< . Así, de acuerdo con (7) y con la propiedad e)
de la página 112, se tiene Sn ¼ k¼1 f (zk)Dzk
donde zk = zk − zk−1. Como �������������� þ �������������� ¼¼ll�������íí�������mmDDþþnn SShhnn((kzz¼¼¼1��CþCþzz00ff))((zzdd))zzdd��������������zz�� e � P � P ¼ eP2
þ e � 2Pn � 2Pn ¼ e4Pn2
f (z) dz 2n 2n 4n
Dn f (z) dz
Dn
du onDnede>eees0tle,lpímmuoeitddeoed,eellaelgaeixirzpsqereuusinieórNndaetanslig(q5nu)iefsicepaacroqanu������tveoþid������ne������ þfDraþD→t(enzff)((e>∞zdzn))zdNdd�zze������������Sm��na������n44,ennr��a2ee eq44PPnun22e¼¼eleemPPa22yor de las | zk| → 0. Se sigue que, dado
(1)
Como e puede hacerse arbitrariamente peCqueña, se concluye que, como se buscaba,
Considere ahora la integral a lo largo del polígonoþ P. Como, según el problema 4.14, ésta es cero, se tiene
þ ðz1 ðz2 f (z) dz ¼ 0ðzn
f (z) dz ¼ 0 ¼ f (z) dz þ f (z) dDz þ � � � þ f (z) dz
P z0 z1 zn�1
4.14. Demuestre el teorema de Caucðhz1y-Goursat para todo polígono ceðznrrado.
Solución ¼ f f (z) � f (z1) þ f (z1)g dz þ � � � þ f f (z) � f (zn) þ f (zn)g dz
Considere, por ejemplo, un z0 zn�1
BF, CF y DF, este polígono pseolsíugðzbo1 dniovicdeerreandotriAáBngCuDloEsF. AEnctoomðznncoeesl, de la figura 4-14. Mediante el trazo de las rectas
de acuerdo con el teorema de Cauchy para trián-
gulos [problema 4.13] y con e¼l hecfhfo(zd)e�qfu(ez1la)gsdizntþeg�r�a�leþs a loflfa(rzg)o�dfe(BznF)gydzFþB,SCnF y FC, DF y FD se cancelan,
z0 zn�1
Problemas resueltos 129
de manera que
ðz1 ðzn (2)
Sn ¼ f f (z1) � f (z)g dz þ � � � þ f f (zn) � f (z)g dz (3)
z0 zn�1 (4)
Elija ahora N tan grande que para las rectas que unen z0 y z1, z1 y z2,…, zn−1 y zn,
ee ..., j f (zn) � f (z)j , e
j f (z1) � f (z) j , 2L , j f (z2) � f (z) j , 2L , 2L
donde L es la longitud de C. Así, de acuerdo con las expresiones en (2) y (3), se tiene
o jjjSSSnnnjjj ��� �������������zðzzðzðz01011fff fff(((zzz111))) ��� fff(((zzz)))ggg dddzzz������������� þþþ �������������zðzzðzðz12122fff fff(((zzz222))) ��� fff(((zzz)))ggg dddzzz������������� þþþ ������ ��� þþþ �������������zznnðzðzðz��nnn11fff fff(((zzznnn))) ��� fff(((zzz)))ggg dddzzz�������������
z0 z1 zn�1
jjjSSSnnnjjj ��� 222eeeLLL fffjjjzzz111 ��� zzz000jjj þþþ jjjzzz222 ��� zzz111jjj þþþ ��� ��� ��� þþþ jjjzzznnn ��� zzznnn���111jjjggg ¼¼¼ 2e2e2e
De þþþ fff (((zzz))) dddzzz ¼¼¼ þþþ fff (((zzz))) dddzzz ��� SSSnnn þþþ SSSnnn
con (1) y (4), se tiene,
CC CC
CC
������������� fff (((zzz))) dddzzz������������� ������������� SSSnnn�������������
þþþ ��� þþþ fff (((zzz))) dddzzz ��� þþþ jjjSSSnnnjjj ,,, 2e2e2e þþþ 2e2e2e ¼¼¼ eee
CC CC
CC
4.16. PDoermtaunetsot,recoeml toeoereesmaarbditeraCriaau, csheyc-oGnocluuryseatqpuaerÞaCrefg(zi)odnzes¼m0ú, lctoipmleomseenbtuesccaobnae.xas.
Solución
Se presenta una prueba para la región múltiplemente conexa limitada por las curvas simples cerradas C1 y C2,
como se indica en la figura 4-16. Es fácil efectuar extensiones a otras regiones múltiplemente conexas (vea el
problema 4.67).
D B
C1
E C2 H A
F I
J
Figura 4-16 G
Se traza un corte transversal AH. Entonces, la región limitada por ABDEFGAHJIHA es simplemente conexa de
manera que, de acuerdo con el problema 4.15,
þ
þ f (z) dz ¼ 0
f (z) dz ¼ 0
ABDEFGAHJIHA
ABDEFGAHJIHA
Por tanto, ð ððð
ð f (z) dz þ ð f (z) dz þ ð f (z) dz þ ð f (z) dz ¼ 0
f (z) dz þ f (z) dz þ f (z) dz þ f (z) dz ¼ 0
ABDEFGA AH HJIH HA
ABDEFGA AH HJIH HA
130 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
Debido a que Ð f (z) dz ¼ Ð f (z) dz,,ðesto se convierðte en
� HA
AH
f (z) dz þ f (z) dz ¼ 0
ABDEFGA HJIH
Sin embargo, esto equivale a afirmar que þ
f (z) dz ¼ 0
C
donde C es la frontera completa de (que consta de ABDEFGA y HJIH ) recorrida en el sentido en el que un
observador que camine sobre ella siempre tenga la región a su izquierda.
Consecuencias del teorema de Cauchy
4.17. Suponga que f (z) es analítica en una región simplemente conexa . Demuestre que Ðb f (z) dz eis independiente
a
de la trayectoria en que une dos puntos cualesquiera a y b en [como en la figura 4-17].
Solución
De acuerdo con el teorema de Cauchy, ððð fff(((zzz))) dddzzz ¼¼¼ 000
AAADDDBBBEEEAAA
o
ððð fff(((zzz))) dddzzz þþþ ððð fff(((zzz))) dddzzz ¼¼¼ 000
AAADDDBBB BBBEEEAAA
De manera que ððð fffDDD(((lllzzzzzzííí!!!mm))m) ddd000zzzFFF¼¼¼(((zzz ��þ�þþ BBBððEDEDðDEzzzAAAzz)z))fff���(((zzz))F)FFddd(((zzzzzz)))¼¼¼¼¼¼AAAððEEðEBBB fff (((zzz))) dddzzz
Por tanto,
AAADDDBBB
ððð fff(((zzz))) dddzzz ¼¼¼ ððð fff(((zzz))) dddzzz ¼¼¼ ðððbbb fff(((zzz))) dddzzz
CCC111 CCC222 aaa
lo cual da el resultado buscado.
y B y
b z + Δz
C1
D za
A
a C2
E
xx
Figura 4-17 Figura 4-18
Problemas resueltos 131
4.18. Sea f¼ (z)Ðazanfa(ulí)tiecsa en una región simplemente conexa y sean a y z puntos en . Demuestre que a)
(a) F(z) analítica en y que b) F′(z) = f (z).
Solución
Se tiene F(z þ Dz) � F(z) 1 8 zþðDz ðz 9
Dz Dz < =
� f (z) ¼ : f (u) du � f (u) du; � f (z)
aa (1)
¼ 1 zþðDz f (u) � f (z)g du
Dz f
z
De acuerdo con el teorema de Cauchy, la última integral es independiente de la trayectoria que une z y z + z,
siempre que la trayectoria esté en . En particular, como trayectoria puede elegirse al segmento de recta que une z y
z + z (vea la figura 4-18) siempre que | z| se elija lo suficientamente pequeño para que esta trayectoria esté
en .
Ahora, debido a la continuidad de f (z), para todos los puntos u sobre esta trayectoria recta se tiene | f (u) − f (z)| < e
siempre que |u − z| < , lo que sin duda será así si | z| < .
Además, se tiene ������zþðDz�������zþðzfD(zu�)f�(uf)(�z)�f (dzu)������� ,du������ej,Dzejj Dzj (2)
z
de manera que, por (1), (¼z)����jD1¼zjj������D1zþzðjD������z zþðDz d(zu)������] ,du������e , e
para | z| < . Pero [ f (u[)f�(uf)(�z)]f
����F(z����þF(DzDþzz) �DDzFz) �(z)F�(zf)(�z)����f z
esto equivale a decir que z
lím F(z þ Dz) � F(z) ¼ f (z),
Dz
Dz!0
es decir, F (z) es analítica y F′(z) = f (z).
4.19. Una función aF) (Ðz)setnalz que F′(z) = fþ (zc),yseb)coÐ ndozc=ez como integral indefinida de f (z) y se denota Ð f (z) dz.
Muestre que dz ¼ �cos z ¼ ln z þ c, donde c es una constante arbitraria.
Solución
a) Como d/dz(−cos z + c) = sen zti,esneetÐiednze=Ðz sen z dz ¼ �cos z þ c..
b) Como d/dz(ln z + c) = 1/z, se ¼ ln z þ c.
4.20. Sea f (z) analítica en una región cCo1nliymsCuist2a.idnDateeprmoioruredesostsr[edciuqrruevecacÞsiCós1nimfc(pozl)nedtsrzacr¼eirarÞaaCdl2aasfs(Czm)1adynzeC, cd2iol[lrnaedsgeidoCenl1ersyelsCooj2mesbnerelraeacdfoiagrsureernna
la figura 4-19] y también sobre
en sentido positivo en relación
4-19].
Solución
Se traza el corte transversal DE. Así, como f (z) es analítica en la región , de acuerdo con el teorema de Cauchy
se tiene ð
f (z) dz ¼ 0
DEFGEDHJKLD
o bien ððð ð
f (z) dz þ f (z) dz þ f (z) dz þ f (z) dz ¼ 0
DE EFGE ED DHJKLD
132 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy Problemas resueltos 133
4.23P. oS retaanCtola, ccoumrvoaÐyDE=fx(3z)−dz3¼x2�+Ð4ExD −f (z1) qdzu,e une los puntos (1, 1) y (2, 3). Encuentre el valor de Ð (12z2 � 4iz) dz.
ðð o þ þ
ð C
f (z) dz ¼ � f (z) dz ¼ f (z) dz f (z) dz ¼ f (z) dz
Solución
Método 1. De acuDeHrJdKoLDcon el probleEmFGaE 4.17, estaEiGnFtEegral es indepeCn1diente de lCa2 trayectoria que une (1, 1) y
(2, 3). Así, puede elegirse cualquier trayectoria. En particular, elija como trayectoria las rectas de (1, 1) a (2, 1)
y de (2, 1) a (2, 3).
C
Caso 1. A lo largo de la trayectoria de (1, 1) a (2, 1), y = 1 y dy = 0, de manera que z = x + iy = x + i, dz = dx.
De este modo, la iLntegral es igCu1al a
ð2 � i)2 Γ
D C122(xFþ � 4i(x þ � dx ¼ � þ i)3 � 2i(x þ i)2�����2 ¼ 30i
E x¼1 i) 4(x 20¨þ
1
a
K
Caso 2. A lo largo de la trayGectoria de (2, 1) a (2, 3), x = 2 y dx = 0, de manera que z = x + iy = 2 + iy, dz = i dy.
Así, la integral es igual a
H
ð3 � J iy)F2�ig����3ur¼a
Figura142-(129þ iy)2 � 4i(2 þ � dy ¼ � þ iy)3 � 2i(2 þ �4-12706 þ 8i
iy) i 4(2
1
4.21. EinvtPMeaorléúiroteotradÞndoCteo2d,C.zaL.=l azsu�inmtaegr,y¼rldao1olsndvadadelaoCreesseisrgeuuqanulaearciduorsva=s(i2m0p+le 3c0eir)ra+da(−C17y6z+=8ia ) e=st−á 1a5)6e+n e3l8ei.xterior de C y b) en el
bSa))o E slSSPucuiolcaprarioteoóansngqtntáauoee,qnsueeleeglmaúenéextsteoetldártioeeonor2rdeeeelsmiCmnat,áed21esþrðeþni3ositCieor(nan1ducc2eicezlhC2sloy�f.y,(Þz4sC)eizad¼)xΓd=1zzu=¼�n(zc(a�í4r¼zca3u)l0�eo:.s2daiezn2ra)aldí����t12iiþþoci3aei e¼cno�ntoc1de5an6stprþoar3et8ensizd=el interior de C y sobre C.
en el interior de C (esto es posible porque z = a es un punto interior). a, de manera que Γ esté
IntegraleDse daceuefrduoncconioelnperosbleemspa e4.c20ia, les
Ð Ð coþt(2dzz aþ¼5)þdzzd�. z
4.24. Determine a) sen 3z cos 3z dz,y b)
z� (1)
Solución a
CG
a) AhMoréatosdoobr1e. ΓS,e|azs−ena3|z==euo. Az s−í, adu==ee3iuc, oes 3dzecdizr,ozc=osa3+z deze=iu, d0u≤/3u. E<n2topn.cPeso,r tanto, como dz = ieeiu du,
el lado derecho de (1) se convieðrte en
sen 3z ð du 1 ð 1 u2
2ð3p 3 32
c2ðops 3z dz ¼ u ¼ u du ¼ þ c
ieeiu du 3z þc
u¼0 ¼1 ui2 0þdcu¼¼612spein2
eeiu ¼ 6
4.22. E valqúueMeþeés(tozed�ldovza2al.)onr,bnus¼cad2o, .3, 4ð,ð.ss.ee.nnd33ozznccdooses3z3zz=ddzza¼¼e13s1tðáðseseennn3e3lzzidnd(t(seserenino33rzz)d)¼e¼l61a1scseuennr2v23a3zzsþþimccple cerrada C.
C 3p.roSbelaemcoasþ433C3.zzð2zð(¼1=sz¼se,e�nduunuz.3.a.3zD)znceco¼oesss3þ3tzdeGzdudm(udzz¼zo¼�¼dd¼�zo�a�,�3)3nd13s13sueðeðn=nu3u33dzd−zudud3z¼z¼sooe�r�rns61se361enuznu23d23zþzzþdodczcz1s¼1e¼¼n¼��36��dzdu61ud61=c=z3co3=.os.s22−33zdzþuþ/c3c1.1Entonces,
SolucMiéótondo
Igual que en el
Observe que los resultados¼de2ðploiseeenmeiuiéndutoud¼ose1ni�y1 32ðpdeif(1ie�rne)inu en una constante.
Método 1. du
b)
¼ 0ð ����52)pd¼z 0 ð�csn1oe)nse((22n�zz1þþ[e552))(1d�zn)pi � 1] ¼ 0
i coet((12�xn)iþu
0 ¼
e n�1 (1 � n)i (1
donde n 1.
134 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
Sea u = sen (2z + 5). Así, du = 2 cos(2z + 5)dz y cos(2z + 5)dz = du/2. Por tanto,
ðð ðð
ccooss((22zz þþ 55)) ddzz ¼¼ 11 dduu ¼¼ 11 llnn uu þþ cc ¼¼ 11 llnn sseenn((22zz þþ 55)) þþ cc
sseenn((22zz þþ 55)) 22 uu 22 22
Método 2. ðð ðð ðð
ccoott((22zz þþ 55)) ddzz ¼¼ ccooss((22zz þþ 55)) ddzz ¼¼ 11 ddffsssseeeennnn((((2222zzzzþþþþ5555))))gg ¼¼ 11 llnn sseenn((22zz þþ 55)) þþ cc
sseenn((22zz þþ 55)) 22 22
4.25. a) Demuestre que Ð F(z)G0(z) dz ¼ F(z)G(z) � Ð F0(z)G(z) dz.
bdc)) ) EEEnnvccauulúeeennttÐÐrrÐCeezz(ÐeÐ2z2zzszþ2eed2nsz2ze4)dnezz4izdyzdzÐdz0a1znazÐayde0l1no2Ðdzz02ledaÐp20rz2zzgp.d2ozzsd2eensel4naz4pdzazrd.ázb.ola C definida por p2y = x2 de (0,0) a (p, 1).
Solución
a) Se tiene
dfF(z)G(z)g ¼ F(z)G0(z) dz þ F0(z)G(z) dz
Se integran ambos lados para obtener
ð ðð
dfF(z)G(z)g ¼ F(z)G(z) ¼ F(z)G0(z) dz þ F0(z)G(z) dz
Así,
ðð
F(z)G0(z) dz ¼ F(z)G(z) � F0(z)G(z) dz
Este método se conoce como integración por partes.
b) Sean F(z) = z, G′(z) = e2z. Entonces, F′(z) = 1 y G(z) = 12e2z, al omitir la constante
según el inciso a), ðð zzee22zz ddzz ¼¼ ðð FF((zz))GG00((zz)) ddzz ¼¼ FF((zz))GG((zz)) �� ðð FF00((zz))GG((zz)) ddzz de integración. Por tanto,
¼¼ ((zz))��2121 ee22zz�� �� ðð 11 �� 11 ee22zz ddzz ¼¼ 11 zzee22zz �� 11 ee22zz þþ cc
22 22 44
Por tanto, ðð11 ��11 cc�������110¼¼
22
00 zzee22zz ddzz ¼¼ zzee22zz �� 11 ee22zz þþ 0 11 ee22 �� 11 ee22 þþ 11 ¼¼ 11 ((ee22 þþ 11))
44 22 44 44 44
c) Al integrar por partes y elegir F(z) = z2, G′(z) = sen 4z, se tiene
ð � � ð � �
(z2) � 1 4z (2z) � 1 4z
z2 sen 4z dz ¼ cos � cos dz
44
¼ � 1 z2 cos 4z þ 1 ð z cos 4z dz
42
Se integra por partes esta última integral y se eligen esta vez F(z) = z y G′(z) = cos 4z, para obtener
ð (z)�1 � ð (1)�1 � 1 þ116
4 4z 4 4z 4
z cos 4z dz ¼ sen � sen dz ¼ z sen 4z cos 4z
Problemas resueltos 135
Por tanto, ð z2 sen 4z dz ¼ ��411 z2 cos 4z þ 1 z sen 4z þþ3112 cos 4z þ c
y ð z2 sen 4z dz ¼ z2 cos 4z þ 81 z sen 4z cos 4z þ c
4 8 32
2ðp z2 sen 4z dz ¼ �p 2 þ 1 � 1 ¼ �p 3
2ðp z2 sen 4z dz ¼ �p 2 þ 312 � 312 ¼ �p 3
32 32
0
0
La doble integración por partes se indica de manera sugerente al escribir
ð sen 4z dz ¼ (z2 � 1 cos � � � 1 � � 1 �
z2 )� 4z (2z) � sen 4z þ (2) cos 4z þ c
4 16 64
¼ � 1 z2 cos 4z þ 1 z sen 4z þ 1 cos 4z
4 8 32
donde el primer paréntesis de cada término (después del primero) se obtiene al diferenciar z2 sucesivamente,
el segundo paréntesis se obtiene al integrar sucesivamente sen 4z, y los términos alternan de signo.
d ) Los puntos (0, 0) y (p, 1) corresponden a z = 0 y z = p + i. Como (z + 2)eiz es analítica, se ve, de acuerdo
con el problema 4.17, que la integral es independiente de la trayectoria y que es igual a
1ðþi � �eiz� (1)(�eiz)�����pþi
(z 2)
(z þ 2)eizdz ¼ þ � 0
i
0
¼ (p þ i þ �ei(pþi)� þ ei(pþi) � 2 � 1
2)
ii
¼ �2e�1 � 1 þ i(2 þ pe�1 þ 2e�1)
4.26. Muestre que ðððz2zz22dþdþzdþzaza2a22¼¼¼1aa11atattanann���111azazazþþþcc1c11¼¼¼221a21a1iailinlln�n��zzzzzzþ�þ�þ�aaaaiiaa�iiii��þþþcc2c2.2..
Solución
Sea z = a tan u. Entonces, ðððz2zz22dþdþzdþzaza2a22¼¼¼ðððaa2aa(22aats((atestsanaecen2nc2c222u2uuuuuþdþþdud1uu1)1))¼¼¼1aa1a1ðððdduduu¼¼¼a11a1atattanan�n�1�11azazazþþþcc1c11
Además,
z2zz22þ1þþ11aa2a22¼¼¼(z((zz���aaia)1ii()1)1z((zzþþþaaia)ii))¼¼¼212a21a1iai�i��zzz�1��11aaiai�i ��zzzþ1þþ11aaia�ii��
y así
ðððz2zz22þdþdzþdzaza2a22¼¼¼¼¼¼221122aa2211aa11iiaaiilðiinlðlðzn(nzz(z�(dzz���dzd��azzaaiaaiia�i)i�i�)�)2��12a221a1ia12a2iði1a1iaððzilinzlzþldn(nþþzdz(d(zazzþzaiaþþiiaaia)ii))þþþcc2c22¼¼¼212a21a1iailinlln�n��zzzzzz�þ�þ�þaaaaiiaa�iiii��þþþcc2c22
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