136 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
Problemas diversos
4.27. Demuestre el teorema de Morera [página 115] suponiendo que f (z) tiene una derivada continua en .
Solución
Si f (z) tiene una derivada continua en puede aplicarse el teorema de Green para obtener
þþ þ
f (z) dz ¼ u dx � v dy þ i v dx þ u dy
CC � @u� C ðð �@u @v�
ðð � @y @x @y
@v
¼ @x � dx dy þ i � dx dy
RR
Así, si Þ f (z) dz ¼ 0 alrededor deþtoda trayectoria cerradþa C en , se tendrá
C
u dx � v dy ¼ 0, v dx þ u dy ¼ 0
CC
alrededor de toda curva cerrada C en . Por tanto, de acuerdo con el problema 4.8, se satisfacen las ecuaciones
de Cauchy-Riemann
@u ¼ @v , @v ¼ � @u
@x @y @x @y
y (como estas derivadas parciales son continuas) se colige [problema 3.5] que u + iv = f (z) es analítica.
4.28. U n campo de fuerza está dado por F = 3z + 5. Encuentre el trabajo realizado al mover un objeto en este
campo de fuerza a lo largo de la parábola z = t 2 + it, desde z = 0 hasta z = 4 + 2i.
Solución ð ð 8<ð 9
=
Trabajo total realizado ¼ F � dz ¼ Re F � dz ¼ Re: (3z� þ 5) dz;
CC C
8 9
< ð ð = �� 1 � �
Re 3 10 2 i 2i)
¼ Re:3 z� dz þ 5 dz; ¼ � þ 5(4 þ ¼ 50
CC
con el resultado del problema 4.2.
ðð ðð
4.29. Encuentre a) eaxesaxensebnxbdxxd, x,y(b )(bb))eaxecaxocsobsxbdxxd. x.
Solución
Se omite la constante de integración y se obtiene
ð e(aþib)x
a þ ib
e(aþib)x dx ¼
que puede escribirse como
ð eax(cos bx þ i sen bx) eax(cos bx þ i sen bx)(a � ib)
a þ ib a2 þ b2
eax(cos bx þ i sen bx) dx ¼ ¼
138 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy Problemas resueltos 137
EnYtosneceigs,ucaolamnolassepbaurstecsabreaa, les y las imaginarias,
þ F�@@Gy dx � @G dyðð�eea¼¼axxcsð�Roeðsnð�ðbbx@�x@xFdd�x�x�¼@@¼2FxGee2@@aaGþxxx((�aa@@cs2�yeoG2naas@�@22bbyxxþþþ�þ�Fbb�22@bb@@@GFyxsce�o@@ns�Gxbbdxxþx)) dy
@x
C @F
@y
@G��
@y dx dy
4.30. Dé un ejemplo de una curva continua, cerraRda, que no se interseque y que se encuentre en una región acotada
, pero que sea de longitud infinita.
Solución Problemas complementarios
Considere el triángulo equilátero ABC [figura 4-21] con lados de longitud unitaria. Al trisecar cada lado se trazan
Int4e.3g2.r E(a2clvol,ea5srelr)úta,sre diáaÐdcn,((0)2geq,,1l5uua))lles(o3írsnnexoceeþtqsaaeusyiiq)lnáudttexeerrvþsoaesn(c2aDdy,eEA�(F0D,x,E1)G)FdHayBJ(G0ay,Hl5oKJ)CLylaKMdreLg.M(oD0A,de5sed)p eaué(la2as)B,fs5ilega) uocrmuayr i4vt-ea2dn2 y).llo=ass lados DF, GJ y KM y se obtiene la curva
x2 + 1, b) la recta que une (0, 1) y
rectas que van de (0, 1) a (2, 1) y de (2, 1) a
(2, 5). B F G
4.33. a ) Evalúe Þ (x þ 2y) dx þ ( y � 2x) dy alredEedor de la elipse C definidHa por x = 4 cos u, y = 3 sen u, 0 ≤ u < 2p
C
si C se describe en dirección contraria a las manecillas del reloj.
DJ
b) ¿Cuál es el resultado en el inciso a) si C se describe en el sentido de las manecillas del reloj?
4.34. E valúe Ð (x2 � iy2) dz a lo largo de a) laAparábolMa y = 2x2Kdesde (C1, 2) hasta (2, 8), b) las rectas de (1, 1) a
C
(1, 8) y de (1, 8) a (2, 8) y c) la recta de (1, 1) a (2, 8).
4.35. E Avalúe Þ jzj2 dz alrededor dCel cuadrado con vértices en L(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
C
m EvaanleúceilÐlCaFs(izdg2euþlrar3e4zlo)-2jd,1 z
4.36. a lo larg o de a) la circunferFenigcuiara|z4| -=222 desde ( 2, 0) hasta (0, 2) en senFtiigduorcao4n-t2r3ario a las
b) la recta desde (2, 0) hasta (0, 2) y c) las rectas de (2, 0) a (2, 2) y de (2, 2) a (0, 2).
Se puede continuar con este proceso de trisecar los lados DE, EF, FB, BG, GH, etc., y trazar, como antes,
4.37. Sturpiáonnggualoqsueeqf u(zil)áytegro(zs). Asolnreinpteetgirraebslteesp. rDoecmesuoeisntrdeefqiuneidamente [vea la figura 4-23] se obtiene una curva continua
cðbeðbrrada que noðaðsae interseca y qðuðe es la frontera de unaðrðegión cuya áðrðea finita es igual a
44..3389(..a ( )aayE E))vva=aaafll1úú(fzee(+)zÐÞ)di2Ctdz�z−z�¼i2(¼3dt� x2z�.yabþlbrfe(fidzy()ez2)dd) dzod,zzr, d e(ba(blb))a)41)asCplcC¼ofiffi32rffiflc2fapþu(r4fzgn3ffi(ffi()zof3�)�e)d�r1�ee331þnl3ia�gci31gi(r2aze(pþ)szc4g)ta3ffigadffi19)dzþqþ|zu¼z(|e¼�9=2u�)�2�nC�1eC91,f�z¼(bf=z2())ppz|4)4diz3ffi3ffiydzffiffi−z1�þz�=�13(1|23i217=Ci=−)Cg3�1g(i2¼.z 1(7)z�)d3ydzp2 8.zp.4ffi3ffib3ffiffi)þa l�o�l�argo de la curva x = 2t − 2.
4.40. E ova1l.ú5evÞeCce(5sze4l�árze3aþde2l)trdizánaglrueldoeAdoBrC ,
4.31. (1S ,e0a)n, (F1,(x1,) yy)(0y, 1G)( x,yy ) cc)odnetilnaucausr,vya ay)ladeculaalctiirecnuenufenraenlocniagi|tzu|d=in1fi,n itab)(vdeeal eclupadrorabdleomcaon4.9v1ér)t.ices en (0, 0),
qcuoencpornismtaerdaeslays speagráubnodlaass yde=rixv2addaessdpea(r0c,i0al)ehsasctoan(t1in, 1u)asy ey2n =unxaderesgdieón
(1s,im1)phleamstaen(0te, 0c)o.nexa limitada por una curva simple cerrada C. Demuestre que
E aE z E Eq)SSuvvvv=eleaaaaoaallll1uúúúúcnleeeeiuh=rPcaÞÞÐÐcuCCsCC0¼tniza(�(dóhfzx2Fzeaz22=ndrse@þ=zzþ@tnGay�þc12iei,yCþ)a2lz22+Q2p)|daFzdud¼lz2−r�z�nsiea.taa�@do@2llGeyo|rlFedoe=ndldo@@alxerGeax4rdlgrd,�g oeioqenonrud@b@eddeGe)xeelulltaldale=aarycocci�crr2oiþecurpmucd¼rPv.uneaafnd�eldfxaCreeeðþRrcnðedGicnceQ�rilcfaeoFiidne|aiz�dnyid|e−z@¼da@|2xex1p=Gð2=m|oð=rþ2o�a,zd@(52@d@ou@Q xoþ2yq−Gn�2yud2� ezes@@z�ePysþcnþ�)eues�z�d)l2lx,@@ca¼yFduxlyao=@d(@n2Grxgaa�id(þt1ou2dc−@i@)odFyznecþ@ov@aGséyr(rc2u�toi)þc�.edsd2eesix)dnz�de3ydeelsdp3eui,ne−tlo3peunn3teiol.
4.41.
4.42.
4.43.
4.44.
Teorema de Green en el plano C R
4.45. V erifique el teorema de Green en el plano para Þ (x2 � 2xy) dx þ ( y2 � x3y) dy, donde C es un cuadrado con
vértices en (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2).
C
Problemas complementarios 139
4.46. E valúe Þ þ 6y � 3) dx þ (3x � 4y þ 2) dy alrededor de un triángulo en el plano xy con vértices en (0, 0),
(4, 0) y (C4,(35)x.
4.47. Sea C una curva simple cerrada que limita una región cuya área es A. Demuestre que
1 þ
2
A ¼ x dy � y dx
C
4.48. C on el resultado del problema 4.47 halle el área limitada por la elipse x = a cos u, y = b sen u, 0 ≤ u < 2p.
4.49. Encuentre el área limitada por la hipocicloide x2/3 + y2/3 = y
a2/3 que se muestra sombreada en la figura 4-24. [Pista:
Las ecuaciones paramétricas son x = a cos3u, y = a sen3 u,
0 ≤ u < 2p.]
dpelalnaorepgairóanÞCquxe2yqduxed+a
4.50. V erifique el teorema de Green en el x
(y3 − xy2)dy, donde C es la frontera
encerrada por las circunferencias x2 þ y2 ¼ 4, x2 þ y2 ¼ 16.
4.51. a) Demuestre que Þ (y2 cos x � 2ey) dx þ (2y sen x � 2xey )
dy = 0 alrededor deC cualquier curva simple cerrada C.
b) Evalúe la integral del inciso a) a lo largo de la parábola y = x2
desde (0, 0) hasta (p, p2).
Figura 4-24
Ð (3,2)
4.52. a) M uestre que (2xy3 � 2y2 � 6y) dx þ (3x2y2 � 4xy � 6x) dy es independiente de la trayectoria que une los
(2,1)
puntos (2, 1) y (3, 2). b) Evalúe la integral del inciso a).
Forma compleja del teorema de Green 1 þ
2i
4.53. S i C es una curva simple cerrada que encierra una región de área A, compruebe que A ¼ z� dz.
4.54. E y vaclú)elaÞCelz�ipdszeajlzre�de3djoþr de a) la circunferencia |z − 2| = 3, b) el cuadrado con vértices C = 0, 2, 2i y 2 + 2i
jz þ 3j ¼ 10.
en z
4.55. Evalúe Þ (8z� þ 3z) dz alrededor de la hipocicloide x2/3 + y2/3 = a2/3.
C
4.56. Sean P(z, z) y Q(z, z) funciones continuas con derivadas parciales continuas en una región y en su frontera C.
Demuestre que þ ðð �@P @Q�
2i @z� @z dA
P(z, z�) dz þ Q(z, z�) dz� ¼ �
C R 1 þ
4.57. Muestre que el área del problema 4.53 puede expresarse en la forma A ¼ 4i z� dz � z dz�.
C
4.58. M uestre que, en coordenadas conjugadas, el centroide de la región del problema 4.53 está dado por (z^, z�^), donde
z^z^¼¼�� 11 þþ y z^�z�^¼¼ 11 þþ
z2z2ddz� ,z�, z�2z�2ddzz
44AAi i 44AAi i
CC CC
4.59. Encuentre el centroide de la región limitada arriba por |z| = a > 0 y abajo por Im z = 0.
Teorema de Cauchy y teorema de Cauchy-Goursat
4.60. V erifique el teorema de Cauchy para las funciones a) 3z2 + iz − 4 y b) 5 sen 2z, c) 3 cosh(z + 2), donde
C es el cuadrado con vértices en 1 i, −1 i.
140 Capítulo 4 Integración compleja y teorema de Cauchy
4.61. Verifique el teorema de Cauchy para la función z3 − iz2 − 5z + 2i si C es
a) la circunferencia |z| = 1, b) la circunferencia |z − 1| = 2 y c) la elipse |z − 3i| + |z + 3i| = 20.
þ
4.62. S ea C la circunferencia |z − 2| = 5. a) Determine si z dz 3 ¼ 0. b) ¿Contradice al teorema de Cauchy su
respuesta al inciso a)? C �
4.63. D ada una curva simple cerrada C, explique claramente la relación entre las observaciones
þþ þþ
(x2(�x2 y�2 þy2 2þy)2dyx) dþx (þ2x(2�x 2�xy2)xdyy) d¼y 0¼ 0a ndayn d (z2(�z2 2�iz2)idzz) d¼z 0¼ 0
CC Þ CC
4.64. Mediante la evaluación de C ez dz alrededor de la circunferencia |z| = 1, muestre que
2ðp 2ðp
ecos u cos(u þ sen u) du ¼ ecos u sen(u þ sen u) du ¼ 0
00
4.65. Establezca y pruebe el teorema de Cauchy para regiones múltiplemente conexas.
4.66. D emuestre el teorema de Cauchy-Goursat para un polígono, como el polígono ABCDEFGA de la figura 4-25, que
puede intersecarse a sí mismo.
4.67. Demuestre el teorema de Cauchy-Goursat para la región múltiplemente conexa de la figura 4-26.
A
B
C
EG
FD
Figura 4-25 Figura 4-26
4.68. a ) Verifique el teorema de de Cauchy-Goursat para un rectángulo y b) muestre cómo se emplea el resultado del
inciso a) para demostrar este teorema para toda curva simple cerrada C.
4.69. S ean P y Q continuas y con primeras derivadas parciales continuas en una región . Sea C una curva simple
cerrada en y suponga que para toda curva de este tipo
þ
P dx þ Q dy ¼ 0
C
a) Demuestre que existe una función analítica f (z) tal que Ref { f (z) dz} = P dx + Q dy sea una diferencial exacta.
Þ
b) Determine p y q en términos de P y Q de modo que Im { f (z) dz} = p dx + q dy y verifique que p dx þ q dy ¼ 0.
q dy= 0. C
c) Analice la relación entre los incisos a) y b) y el teorema de Cauchy.
4.70. Ilustre los resultados del problema 4.69 si P = 2x + y − 2xy, Q = x − 2y − x2 + y2 hallando p, q y f (z).
4.71. asS i)em anpDlPeecymeQurreacsdotranetCiqnueuenasÞCy,Qcsoednxtipe�rnimePÞedCryaPs¼ddx0er..þ ivaQbd)adAsypn¼aarl0icc.iealleas continuas en una región . Suponga que, para toda curva
relación del inciso a) con el teorema de Cauchy.
Problemas complementarios 141
Consecuencias del teorema de Cauchy
4.72. Muestre directamente que Ð 4�3i (6z2 þ 8iz) dz tiene el mismo valor a lo largo de las siguientes trayectorias C
3þ4i
que unen los puntos 3 + 4i y 4 – 3i: a) una línea recta, b) las líneas rectas de 3 + 4i a 4 + 4i y de 4 + 4i a
4 − 3i y c) la circunferencia |z| = 5. Determine este valor.
Ð
4.73. Muestre que e�2z dz es independiente de la trayectoria C que une los puntos 1 − pi y 2 + 3pi, y determine su
C
valor.
4.74. Dada Gar(bzi)tr¼ariÐopz�zp, i cos 3z dz, a) demuestre que G(z) es independiente de la trayectoria que une p − pi y el
punto b) determine G(pi) y c) demuestre que G′(z) = cos 3z.
4.75. Dada G(z) ¼ Ðz sen z2 dz, a) verifique que G(z) es una función analítica de z y b) compruebe que G′(z) = sen z2.
4.76. D ada de Q dy, dé y compruebe el teorema correspondiente a:
1þi Ð
la integral real línea C P dx þ
a) el problema 4.17, b) el problema 4.18 y c) el problema 4.20.
4.77. Con la región de la figura 4-26, demuestre el teorema 4.5 de la página 118.
þ z2 þ 2z � 5
þ 4)(z2 þ 2z þ
4.78. a) Si C es la circunferencia |z| = R, muestre que lím (z2 2) dz ¼ 0
R!1
b) Con el resultado del inciso a), deduzca que si C1 es la circunferencia |z − 2| = 5, entonces
þ
z2 þ 2z � 5
(z2 þ 4)(z2 þ 2z þ 2) dz ¼ 0
C1
c) Si C1 es la circunferencia |z + 1| = 2, ¿es verdadero el resultado del inciso b)? Explique.
Integrales de funciones especiales
4.79. Enðcðuðenðtre lasðintegðrðaðleðs siguiðentes: czð2)ðzdð3zz3ð,zþz32þzz2þ33zþ2z3þþz3zþ12þz1þ3þð1þ2zz21þ3d2zdþz2,d2z,z3þd,z z,1þ ððð ð ð ððð ð ð
a) e�e�e2z�2edz2�zzd2,dzz ,zd ,z,e�b2)z dz zs,ezsnesznezsn2zed2nzzd2z,dz2,z dz,zs ,en
dds )ezsn,es4nesn24e4z2n2zc4zoc2soczos2cssz2eo2nzds4zd2,2dzz,d,czo , s 2zzdy2zz 2tz,a 2tznat2hnatn(hea4h)(nz4(h34z()3z4d)32z)zdt3adz)nzdhz(4z3 ) dz .
2
ðð ð 4.8ð0ð. ðEððnðcuðentre las inðtðegraððleðsðsiðguientesð:ð ðð ðð ð ððð ð
zzccoossz22czzodsdzz2,,z dz, zz2a2ee)�z�zczzzd2ozcdezsocz�,z2so,zczs2dodz2zszd,2,zdz,zd, z, zzlnlbnz)zzdzdlz2nzz,e2,zz�e2dz�zed2z�,ezdz�,zdz,z d, z,zz3c3s)seenznh3zhslzznezzldnndzzlhznz.dz.lzzdn, dzdz,z zd., z,y dz3 z)s3ze3snzes3hneshnzehdznzdh.zdz.zd. z.
2ð2pðpi i 2ðpi pðpði i pði2ðp2ðip2ðip2iðpi pðpþðþi ipðippððþipðii pði pðþpðiþpðiþpiðþi
4.81. Evalúe a) ee33zzddzez,3,z d z, b) sseennhhs5e5znzedhd3ezzz5, 3ed,zz3 zdezd,3zdzz,,zyd, z, c)zzccsoeossnsezs2hn2eczshnz5odehzsd5nzzdz2.5h.zzd5,dzdz,zzd.,. z, z czozcsocz2soczs2odz2szd2.zdz.zd. z.
ppi i pi ¼00Ð0p=20cpoips2ipzi pdiz 00 0 000 0 000 0
4.82. Muestre que Ð p=2 sen2 z dz ¼ p=4.
0 �z a�
ð ln z a
dz 1 � 1 z
4.83. Muestre tqhuaet z2 � a2 ¼ 2a þ þ c1 ¼ a coth�1 a þ c2..
4.84. Muestre que, al restringirse a una misma rama de la raíz cuadrada,
ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 5
z 2z þ 5 20 6
dz ¼ (2z þ 5)5=2 � (2z þ 5)3=2 þ c
4.85. Evalúe Ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffipffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dz, estableciendo las condiciones en las cuales es válido su resultado.
1þ zþ1
Problemas misceláneos
4.86. Con la definición de integral, demuestre que a lo largo de toda trayectoria que una los puntos a y b,
ðb ðb ðb ðb z12d(bz2¼�21a(2b)2.
bd�z a¼ , b (�by)a , z(dbbz))¼
a) dz ¼ � a2).
aa aa
142 Capítulo 4 Integración complejRaeystpeuoersetamsa adeloCsapurcohbylemas complementarios 143
44.8.170. 1Dd . ee Emlavuailgeúsuetarþledeapldzffitffice2ffiffiooffiþffiffimrdffieffiffiz2ffiomffiffizffidaffiþffiffioffidffisffi2effiffiinlaatlerpegádrgaelidenosarr1de1ae3llearsecdliaerccliuíonnnefaaedryoenuccsoieanlueanlsicetaacmruiaabci|iozo|nd=eesv1daeermiCabpaleuezcsah.ny[dS-oRugcieeomrneanznc=nia.]:1,Eyxpsurepsoencgaadqauleadpoara
4.88. Seeasute(xv,aylCo) rareml iónnteicgaracnodnodeesripvoasdiatisvcoo. ntinuas, por lo menos de orden dos, en una región .
4.102a. ) SeMa nueusntrenqteureolapoinsitteigvroa.lMsiugeusiternetequees independiente de la trayectoria que une en los puntos (a, b) y (x, y):
2ðp (xð,y) ¼� @2ðup desxenþnu@@suxend(yu
cos(uv�(xc, oys)n¼u) du @y
esen nu � cos nu) du ¼ 0
0 (a,b) 0
b) Demuestre que u + iv es una función analítica de z = x + iy en .
c) Demuestre que v es armónica en .
4444444444..........999999989944444444444444444446738145902...................3443433334434554454.......... 8222903305144569618E¿ JadcSus MPE E z ¿ RC[El (22((((((�Cp0(C83��...................a((22(((((�Cp(0C83��1Vuaaababa9i EoE((22(((((�Cp(0C83��(22((((((C�p0(C83��)on1ppp4(22((((((C�p(0C83��irFnvvaabbaaa9=meo(22(((((�Cp((0C83��11aooaabaaab9aabbaaa9ppp45111)))))8i((22(((((C�p(0C83��s))6aababaa9uua2−aaa(8V0abVb−1(((((((�Cp22C8m3��ppp4appp4ooe4lnabbaaaa9a(22((((((�C3p0(C8��s581ppp41þC)))))8si1aaaoaooo))n6cpnppp4a1aaabab9nG55iabmm114a1o1o3)))))8)))))89itiaaabaabo1))6))685811)))))8aooppp4iaabbaaa9n(p44))6eae)p))))p))5ppp4118aib8mm0��58)))8p3i4dþC2�))6aooppp4þaann88lluaaoo54iab1(p1miabmmm)))))833nviie85))6aoo110��58112)))))8814iab8mmfvoi32�6n))5þp(4np(11)))))8fi8úúaibmm8))6340�s�58b085��p(42�2�atn8Hdþþ812l,134e0�58�llmm44p(enaib−820mm2�8i3þun0e8��5abmmi bn4311282áln2�5aþp(iabmmii8�,813a3á8124(.mma4p(0�85�teoo248gi2�naaþ1205�8�eep(4,13l,813qde43a2�mmmm5o44þsiþaz0��85�/4+,4183nn2�s(mm1þ224i84nra5l15nn,i18132��lmm443a4e4lF5þi22121/n�8a34(,813iooipllryr25mm34a43aia44bþ�þ,318i4a//1nzmmule5e4ta34a2((sii,813þdi5n5c8/1mm34�l�eoo(pa434/Cið5�ntlþ2bclt�/n1¼a4þld858(533i2l�looooo�pp8334a4pcdþ,8bb32/1nnaa34aoJolp55(lþ8i+)r/1lbþ8au34a3ccae(5oaoþpiei�/183elelpbc,(aiþnniþþ58¼2li3blpoop)�2�qÐi388383þolppcbc,,oopiaannennd�e5)8383llbEpoz)c)þ,oaopþ5(nn�bóloip83ia)eeitc5r,nd�p,nnfþaþþeiþ)le04)�38þl(pþc,i)�vvnnpre38saapþilu381))pblcs,2,p0)oþ�nnd4c38ai((op4rðc),)ilenniilp,(,pþCivva)þen)mme382bsi44isdlip,þl45oc(2e+(p2vvuvvn4laiþ)Ree83883p,bbssadaaabl4vv40cc)r(42r)ea83dbs,d4da�i59)(ii)4(ca,pvvCsðpn�83bþe8y(2b2i4pp,l4aac5p5ii(i(4 )ap,vv2ppi389ex8e8bbs5o4i(vvsrlnaa4aapcii238db0llbie8))aavv,z54csi()9aa9,38cbpslnni)úúaee84cepo2dbib9icaas25rnei(23)20llaÐ)mcpbiuut,e95se8i(i2npl3ffisesaaiae85ebizffi3li(0ll0ll)alpeaab,,s9sse83 tffi)paaa)n0llbuuiiao�9ffi,eeiiss()anþ,0annio0ll93b3i3zs)),nenouuuusieiii24bcipa3sii1e)ee2uu�0llis(i,,elelsð3(0sll4)ppaauubis,llei002lleó((si,o,pa,ee)s3bne2uui(,3zia2psa4as2)2(rmbuu2eeeeclnCidb3(o,,e)e2uu3seessi4p4al(¼ebbexll2pa8p((==s,4þee)epbtrl(pb,ap,pen¼¼a1ar3s42)b((t(x,eleo248l,,ib()ee,33msgz)b2borl,¼¼laees(4(n3c88bc)a)icef=ls,s4,bbpbub83¼¼¼¼aaól)g(a)b33ffi¼¼e(a8(l,�)c3ffie3scbl,n(8pi¼¼p)affi32(c(lffi,i)ccl)daa33ed8b(mu�pp)¼¼acc0ib8s))¼¼))ae4ps(gi33ncib��−1�a¼¼)ataocc3ampCþ�1e)�(i5)ccuþ)p3a(a�cssnóocc(ape)uzc�1)r3ds�5,)pdþa3cu�s)�1�1))C2þ133cuxl55e�3þþ24a�1)aecos13s5aavþ1�14)as134ant5ds8lþ4d2a8zes@�113)xe3131z5r4�1þ)22si0@e13e5sa1313þ=s�1)sp0a28.5m4e4s8þ31133a+ss204þe880d13aens13.0U548nz228313el13ene02ssþ80031.ae4p31r88d233s8pro0eddl41300(þþe880d3s40,o08þ8e3tp80g�3ssþt0in0eo8s,30bpp408dyþs3t0e008pesz�l0e8þ,,3pix0ml0pþ373s,e��(0sr,o�n¼appbdC0p)73o�(-,gz0ppxpd,p73073p�a((,09037�¼C(pdal�d5237ct)¼(lpapih90dd37pra(5)37daazdp9090at(e¼37elaad90pt(55Cþ))aad)77095aid@aaadya5da))a09)uo@d7r90)aie=5ma09))25)7721siai0a5l)xci7U,d=ðiur)2acá)r27d)xiR==c)i1,),.227=zoi)d470c2aðiiig=)u,7l1i2i,iemhqc4)=a4iah11=2,,¼y52v=1a44,if(s)2sie,4 1,/odridd54hua1(,U1ec,y55.4l((i1,4e5v4e(45cp1]x(ozsrccyn ec521G)r(5cd((r5atc(e.)rpo5.eic)s.)acfcir9þ)(c¼e5)acspirfano)rc)5)c2)7ni55eect135ar5ucq)[email protected]@Cþli31atinru f813Uan13s88aena,y13xC8þruud8ae�oo8 ab,8.c(t�8lenx��l+e�dzdsda�tl(udor��arer(�8zdyssaa�rin8ascfe,88riy8vycc�8uegyi)s8ed8niid8)iauiczþnpi=ecipeioeirt0aCþzccetsluvmr)0aitcrðimc1dRap)óod(mmðiuo,z,rdanrza�odeocenpielz�lae¼esofbn@sln@ t¼ebsa(iUmltearxzgzeele0nr0aacu)omolc0@)q@e)qn=lodVxdlumríaeua4444444444444aniurzeyre.............aþ4izecmce8798787779555s¼¼d1s.aUuucm19450049322453/ia@3(((z45cp3^r(Orq3((21(((26@(3((2((rz12.............45(3p3^az(Oq45021p3^(((6((Oq21(((6(2dc(2(3aC303Ubvvdc3aec ((a2adc33((((aa(eeiza45((bp3^y(zzOqaec124545ba(((26p3p^3^(C((aecepOOqqa21221a((((((266(((a223((¼3�s33)3ep3((dcep))ón(ddcc3((az¼543�((¼p3x^3¼)(((aa))O)q�(b21)a3((a(?((6)z)(aec()45a2)(z)nbbp3^eca3U a c6ad2(z54(Oqs)aecacc(p^)5421naa3((2(2(((6p3z^Oq(¼(2145Oq(((621pd3^(a)))a(((26(¼)O((q(21)3((()))6�(z(8)2)3(45)dcep21p3^3233s((((O)q1i321(((6epep�(a3dc(2¼(zdc��845dcbp3^)a3¼¼(�aecOq8dc��a1221a(((6))(,a)i)n1baeae2n(2aecbd12c))a))2@nbnaec¼3a(3(2aecb3)))aa2(a)aec¼¼a)a2)))ep2a)))))(it)))z1be))dac354i12@)3p) p3^aec)))(ea2Oq12ep31212(((¼a6((pe��113aeep)(�208(epab123¼)aec��)3�8832)1an2¼1)21¼�ep�)11a¼12�131C)¼)�)2n)))0dnc)�131))a)za)23)y)30n¼a2¼))23�a)2srn)))ep¼i)12)¼V))e)�))12)))bii¼)))))ne)eaec)))þz)12a12)2¼()�)8�z2¼a))((y12)))112�)8�)1)8)n�113�21)8þ�s8z1(�113peþ2112�¼81201)))a2�131�131)pp123�21)8,0e0i22�aa)38¼2332e8�12z22)(2i1z2iz(3(eli(zp)2p21)a2nie,�821pep3zzi12212,(a1e¼3211�(22)))21z()11i1)��þ�131zl(ce11)2101l12aþþ232p112þa2�1312s(12ux8�113a0a21ip2a�12133202e�121888na�10131212z232�a(3202z212121a2zz23z(((npp22�113x222o2,81p30zppxpp1�a22e21232n,,zp3z322z21þ21n1z2�l2�1131zzilo1�se20�2þll21aþ1o23z8a�þ−2iþ(2aa2þ2z1i(82�12l21ps8pþ8zpl222þ11zs,(21 8þiu3zx2222(pz�131np2(132ipp222x2xz�l210zn,(2ap8pp2np3p232p,2l2121þn,n23ppp32zz,(o32szsa2l2�zplopoþep8l32zz,nlil3ea1l(nz2(a¼1la22zs�s,þ�appx1lll2þensss,þp�i1iþþ321þeo12en2(2iaii61x2elz2(p22dxps2(x8,12lpnopppnx121n,2212pn,zn(2éa21n2o6loasxpnp62p(zllo,l1213nnns(oþ,2n+z�i,lxþse�ssosl2apliþ��szleþeþe21snþ(ipiilþczsa�eei2b((þniffiz,2nl2ionp�6les,,12pl�þpnnin62cipz2bxc(266x^zffilibplnl6sszffi((123spln�þn,þex6nffilziib,,nzs6es2((3�oz^z6þeiss�li�pþe^an3ziz,esþei(n�nffiie3zþe(e,se�(innffiz(,eysl6o(�slffi�n�,b(þeþ2,nc(nicnb,ie6)z(ccn2,6bbe262(6s(ffizffizzy�oe,p(6þes66b(y2noi,mzz6bb(eþi2(,q)^6ffii,6zzs62in)2,ls3z^^z,ii(snz�2nzz3z3sbn,ffiffize)(þizzd2n6cb�¼nþib�zs((�z(þeþn�z�i�6ffic�ed(@be,czzfficbnyb�obezffiez�6¼s6bc6su,)2�zffiziyyboob6^þzn¼ffizffi6bbz��22)þ3z66c��6n2zb))^zzcizz6zffi^ffis�(i22)3z^(6zzii�bs3ffi^þ)iz)i3,cffi�zbbuffi3z6þþb(6ziiffizsffiz(^zie3(z6lzyo3l�(b)2ffiz�yn�ffie¼z6)zye�)oþ�(�^hffiei¼¼by��2oz2zyffi2eobþþ3þzffi2lb��y��2co)effi2ffizbbl)2s)bz2))eþizi(czr2yh62)ossz22ffi)i)zbiiffi2hbþ2iiþizb2ffiz6þzþ)ibþieffi^2ibffi2zzy�cþiozi¼ffi)3ffibz2c���1þzb�))�iþþi)e��i¼ffi(zipffi¼2þzz¼l��zþsffi=)¼þ8�i�lzllffi1�b�þffirþigv)þt�e1h�ffizsffi()y3¼ioþsz41þ)�h)hzb�sþi2)i2��s8þffiþo)�ffii)22)8zc)t�ffi2¼z(z3szy)tzffi)cc�41iþ�ffi()3i�z¼��418ffib��ffi�)þoil)i�i��o)zy25s2�ffi)il1nhc��lþ)ffi4l11þ�ffiffilþþ2¼hffizz@y52ffih2þffi8þh�c�iy�522lþ�2h))8a8þt4�2ey�(ffi32þi)c)z414ttds�2)h(c(i33cffic4141c��offi2þilffiiscffi2ooi1ffiifficzþzihc14c�z1þffi)i5cs1,þ�p2i18ly52þsþffi21u,þx)ffitc5yy2525þ�ffi22241(38l414ffi�z8x411��5,i)8tp44þo)(538tffi,þp)h,t14ffi(�x3iþ()3143t�,2 þx41�o(38ffiihi122z41o�,ffizoþ)ffitzracco3(3ffizz14=�syi52cc2op8ihoss�ffiþ,)th=4y52214,(3y25s214ly25��25=1414,ip1y254�32=o�iCiþ55ffi4þþ,,,yppþx4�(nffiþþ24yþ522,,2xax3ziz228icc�seiy34zz)stzi2y3(3(zcy52142z�ac(hsczia�241,aocdssffic4hhs5c,,,sp2esz=41iþ�2,c14ix=5=41ii,isap2þcs514,p)þ5z,z,pþþxþy552z,,2,þpx2,cx)14þy235�z,2 xs45zcc,yp332(z)hzcþ,afoz,)((xiz,cy14cs2aaih,m=,5izhcc,2sspch,,þzch22,þox=,cHiiU2o=�yiis=ihzhþ=,i(cyþ3pþs)=41þ(=ciy�3a52),zhpy3ec�c,cy3sþ(þ(,))rzz,xyp3(aþ2�()(,2,,fap=ci3sa()cz(ce2syþ3ace2scocþ2isc2s(2ooþ�a,ii2fcþ�h,csf(y3,2mc(2s()z�o=asi,) cc��cs(a)zcþpcc)z)2c((),z2cppb,))r)zo,2i)yc3,(c22cp)zcoþ(�,if4oc,saiobþþ��(,,iffcosbb)iGzc�(((cs))2z)(¼o(ss,4icp�2)4�@cc�(c2p�(e))(po¼pmi)zs())x2þ@¼2p ��,fc)22)2z((byþ2p�34,4,)f)þs�)z,bbþf�(,(�fzþ2))�c(,cf(((ls(þ4co(p0si43)3s)þ�44,cf34s)(c)2(c)¼cþcs02))Vþ¼¼�zþ3,)cf�02b2nc3()−(n.(p41szbe)ebz))zz4bc2c(2)z)b)((34))441@þ0(�,44334)bf))2414¼y()42þ(c0)s¼p3þþ)cc(�¼40)02b¼�332c)az¼2)(2)zp)z¼4(�xpz34�2z)z))z(�c,�z4143þ)))¼4114¼b34þ)cz340)2x)3y43)(2xzþc0þcþ34þp034¼cc)03zþþ3c1¼0z)c3cpzyd(�)þc¼z�0ppz43))41c3(�(�2z)��z1)czc)1214þncc410ix41iz3z)142xxv2=þ2¼d14334F)þþ2¼¼piz)2(�iz�o2pþzzcc(�041p23�p(e�,1cca(��p21c�11(�xo�ccspo(�xz)þ,¼�xi21x,2x21þ4122¼ipzþþ(�¼þ¼ii�xþc@¼2ez1�cz22eczcþ(þ¼zc1ixcþo1cbsc1þicrz�ooc1cp,þ(�2�c¼cc21�,,ii12112i2sþcz2sþ22ic2xiti1z22icczg2þ2|þyo2¼r þþ2i,r,�o2czhz12oc22z��occc,icoi,121s,,þii21)c21,,hossþþ221hz,þz212oi2þ�caiþ2o,þz212cþi2u�czz2�ccpc2sþ�cþ,�icoih,s,þiyaoosþhih�scþpfsþþ,p|i2121ysþ�zc2ycu 2(iz2c,zs)d22þzc2hc2zoþsc,2ioo,(þh,z+p�(hcc,rhpp2hdsi/y,sþszþ2yhyc2þd22,,)22=qo2222h2222dop((od2o)zffiz((2coa)pyspp2a(þos,spyz(zffi�2hþþy2yzffi2rpyffi¼2 22o22zy(�22bdz)2p�2þ2dd))ffi(s2s(ffi2u2))(yþffi(b2()sþbos)z((2þþss(22þszffizffisþp22þe22s(2dþz�ffi(2yþ2zz)��e2d22d2sdy)ffiffi(iþ2(d)þb()þ))zþ2)4bbffi(d))2sþþ((ffiz(i)ssezffi(izffiz)2�ffi11zffid)s(2)zþ)�ffiznnzffi22�z�2z1ffi2(�bþ)2i(Fffiþ1ffi12((þnþþzffizffisn�b)þb1n)db)þ)iffisþbffi)x)s12þþii)szffi�12-þs22bffi))1ffi)þ,(ffiffi1�s2z(þ2212ffib02ffi?)222oþ11(2þffiz(2�nsþ(zffihþ�2ffii�(nnþffiffi0)121þ0i2(þiffi2112þþh2ffii�)1b)ihe)ffi)þ11ffi21)1ffi(sþi1ffiffi2ss�y2)1n�2221�2ffi1tffiql21i0��n2ffi120nþsffi)nyffi2s100ffinyffiffi1(12þþh21þ12nþhhffi121þ12117s21ffic11ie1ffi�ffiax21þEffia�ne2)ffi��ezffi2120s�x2cÞffi�e21ssþ�yce0e�hssffiz22yy110ffieffi0zffiu0�ffih1ÞffinhÞh2�0sh1ffi�e1e121�þffi�h1ffi�,ffi�1�s0s3nycffi��e1enssni�cceeeeffi�shz3cyffi�s2eey,szz�y3ffisÞ,1y��nffi3ixffiÞÞþn�ffiisy0qffiffieshc)þen=sys�þeesz1c��seeeffis=cecsffiee�,Þ)z�cn3e=eze),,nznt��=zo3h3esiÞzcnhneÞiiÞsyzeÞzszffihzc2�þeeÞzphþþez�2eu,��eo�35ze2)Þnn�=ze(2i,))�nnx=3=,5�,s3n��e3ci,ne�5n3ii5en�(zþ3i,xzhu�(c3s�xezznhhÞþiþþ,)n�þ=z32nzc2zzi22)ln=þ)n2)=n=�)e5en=,zzzch255(=þxz)c2n,=((2�x3xzh2nhzih,zþz2uh)n,i=znzz2h2z2yzþ25þz2qþ(2zx2c2z5hz225zzcc225()2n2x=z(5(x22qx(5,zx25,,(zxzþzhþ5+zzac2þþ(xa22þzzc22zþc222zc2,2zc2u222,þ5zc2,z,(�x,þ2zzuþzc2,þþ2þþ1þ2þþn2þþ2,þ2þ2þz2zc22zþc2zezþz,þ2þþ/21cczþecþþþþþþþ21z12þd2þcEþþ2þcþzþþcc2oþþ12yþ.þ2112Jþþ2cþ2þpcnocþccc21pccpþ1221c212z=12en22þ12c, zczccp12,pp,2c2i22221cxzpi2zzcsxcinc,ypcþp,,p2pcþpþzcsizp2 ,ziiztzs,s,s,z,c1þ p,yþþzsiae,iiisi→essezeþisþ,þþieþ2þsnnes2seesþ2isnpnssþne2e)e22enshetnns)e)hahe2en2y22n2on)nen2))∞hþnhh2rþnþ2y),.h2)2)2)h)nnxhhha)þþþh)2.,h22þ)þþhþþ2cþ2222cþc22þ,ccc2,,cccc,c,,cc,,,,,c,,,
4.99. Con el problema 4.98 demuestre la segunda identidad de Green
ðð þ � @V @@Un �ds
U @n
(Ur2V � V r2U) dA ¼ � V
RC
donde dA es un elemento de área de .
4.100. Exprese el resultado del problema 4.31 en términos del operador .
Capítulo 5
Fórmulas integrales
de Cauchy y teoremas
relacionados
5.1 Fórmulas integrales de Cauchy
Sea f (z) analítica sobre y en el interior de una curva simple cerrada C y sea a un punto en el interior de C [figura
5-1]. Entonces 1 þ f (z)
2pi z�a
f (a) ¼ dz (5.1)
C
donde C se recorre en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj).
Además, la n-ésima derivada de f (z) en z = a es
þ
n! f (z)
f (n)(a) ¼ 2pi (z � a)nþ1 dz n ¼ 1, 2, 3, . . . (5.2)
C
La expresión en (5.1) puede considerarse el caso especial de la expresión en (5.2) en el que n = 0, si se define 0!= 1.
y
C
a
x
Figura 5-1
Los resultados dados en (5.1) y (5.2) se conocen como fórmulas integrales de Cauchy, y son importantes porque
muestran que si una función f (z) se conoce sobre una curva simple cerrada C, puede hallarse el valor de la función
y los valores de todas sus derivadas en todos los puntos interiores de C. Por tanto, si una función de una variable
compleja tiene primera derivada, es decir, es analítica, en una región simplemente conexa , todas sus derivadas de
orden superior existen en . Esto no es necesariamente válido para funciones de variables reales.
www.FreeLibros.me
5.2 Algunos teoremas importantes 145
5.2 Algunos teoremas importantes
La siguiente es una lista de teoremas importantes que son consecuencia de las fórmulas integrales de Cauchy.
1. Teorema de Morera (recíproco del teorema de Cauchy) Þ
Si f (z) es continua en una región simplemente conexa y
si C f (z) dz ¼ 0 alrededor de toda curva simple
cerrada C en , entonces f (z) es analítica en .
2. Desigualdad de Cauchy
Suponga que f (z) es analítica en el interior y sobre una circunferencia C, tiene radio r y centro en z = a.
Entonces,
j f (n)(a)j � M � n! n ¼ 0, 1, 2, . . . (5.3)
rn
donde M es una constante tal que | f (z)| < M en C, es decir, M es una cota superior de | f (z)| en C.
3. Teorema de Liouville
Suponga que para toda z en el plano complejo entero, i) f (z) es analítica y ii) f (z) es acotada, es decir,
|f (z)| < M para alguna constante M. Entonces f (z) es una constante.
4. Teorema fundamental del álgebra
Toda ecuación polinómica P(z) ¼ a0 þ a1z þ a2z2 þ � � � þ anzn = 0 de grado n ≥ 1 en la que an 0 tiene
por lo menos una raíz.
De esto se sigue que P(z) = 0 tiene exactamente n raíces, tomando en cuenta las multiplicidades de las
raíces.
5. Teorema del valor medio de Gauss
Suponga que f (z) es analítica en el interior y sobre una circunferencia C, con centro en a y de radio r.
Entonces, f (a) es la media de los valores de f (z) en C, es decir,
1 2ðp � reiu �
2p a
f (a) ¼ f þ du (5.4)
6.
7. 0
8.
Teorema del módulo máximo
Suponga que f (z) es analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C y que no es idénticamente
9.
10. igual a una constante. Entonces, el valor máximo de |f (z)| se encuentra sobre C.
Teorema del módulo mínimo
Suponga que f (z) es analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C y que f (z) 0 en el interior
de C. Entonces, | f (z)| asume su valor mínimo sobre C.
Teorema del argumento
Sea f (z) analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C, salvo en un número finito de polos en
el interior de C. Entonces, 1þ
2pi
f 0(z) dz ¼ N � P (5.5)
f (z)
C
donde N y P son, respectivamente, el número de ceros y el de polos de f (z) en el interior de C.
Una generalización de este teorema se presenta en el problema 5.90.
Teorema de Rouché
Suponga que f (z) y g(z) son analíticas en el interior y sobre una curva simple cerrada C y suponga que
|g(z)| < | f (z)| sobre C. Así, f (z) + g(z) y f (z) tienen el mismo número de ceros en el interior de C.
Fórmulas integrales de Poisson para un círculo
Sea f (z) analítica en el interior y sobre un círculo C definido por |z| = R. Así, si z = reiu es un punto cual-
quiera en el interior de C, se tiene
1 2ðp (R2 � r2) f (Reif)
2p � 2Rr cos(u � f) þ
f (reiu) ¼ R2 r2 df (5.6)
0
www.FreeLibros.me
146 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
Si u(r, u) y v (r, u) son las partes real e imaginaria de f (reiu), y u(R, f) y v (R, f) son las partes real e
imaginaria de f (Reif), entonces
1 2ðp (R2 � r2)u(R, f)
2p � 2Rr cos(u � f) þ
u(r, u) ¼ R2 r2 df (5.7)
0
v(r, u) ¼ 21p 2ðp R2 �(R2R2 r�cor2s)(vu(R�, f) r2 df (5.8)
f) þ
0
Estos resultados se llaman fórmulas integrales de Poisson para un círculo. Ellas expresan el valor de una
función armónica en el interior de un círculo en términos de sus valores en la frontera.
11. Fórmulas integrales de Poisson para un semiplano
Sea f (z) analítica para la mitad superior, y ≥ 0, del plano z y sea z = z + i un punto en este semiplano
superior. Entonces
1 1ð h f (x)
p � j )2 þ
f (z ) ¼ (x h2 dx (5.9)
�1
En términos de las partes reales e imaginarias de f (z ), esto se escribe como
1 1ð hu(x, 0)
p � j )2 þ
u(j, h) ¼ (x h2 dx (5.10)
�1
v(j, h) ¼ p1 1ð (x hv(x, 0) h2 dx (5.11)
� j )2 þ
�1
Esto se conoce como fórmulas integrales de Poisson para un semiplano. Ellas expresan el valor de una
función armónica en la mitad superior del plano en términos de los valores en el eje x [la frontera] del
semiplano.
Problemas resueltos
Fórmulas integrales de Cauchy
5.1. Sea f (z) analítica en el interior y sobre la frontera C de una región simplemente conexa . Demuestre la
fórmula integral de Cauchy þ
f (a) ¼ 1 f (z) dz
2pi z�a
C
Solución
Método 1. La función f (z)/(z − a) es analítica sobre y en el interior de C excepto en el punto z = a (vea la figura
5-2). De acuerdo con el teorema 4.4 de la página 117, se tiene
þ f (z) þ f (z)
z�a z�a
dz ¼ dz (1)
CG
donde Γ se elige como una circunferencia de radio e con centro en a. De este modo, una ecuación de Γ es |z − a| = e
o z − a = eeiu, donde 0 ≤ u < 2p. Se sustituye z = a + eeiu, dz = ieeiu y la integral de la derecha en (1) se convierte en
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 147
þ f (z) 2ðp f (a þ eeiu)ieeiu 2ðp
z�a eeiu f (a þ eeiu) du
dz ¼ du ¼i
G0 0
De manera que, de acuerdo con (1),
þ f (z) 2ðp
z � a dz f (a
¼ i þ eeiu) du (2)
(3)
C0
Se toman límites en ambos lados de (2) y, mediante la continuidad de f (z), se tiene
þ f (z) 2ðp
z�a f (a
dz ¼ lím i þ eeiu) du
e!0
C0
2ðp 2ðp
¼ i lím f (a þ eeiu) du ¼ i f (a) du ¼ 2pi f (a)
e!0
00
con lo que se obtiene, como se buscaba,
1 þ f (z)
2pi z�a
f (a) ¼ dz
C
Método 2. El lado derecho de la ecuación (1) en el método 1 se escribe como
þ f (z) þ f (z) � f (a) þ f (a)
z�a z � a z�a
dz ¼ dz þ dz
GG G
þ
¼ f (z) � f (a) dz þ 2pi f (a)
z � a
G
con el problema 4.21. Se obtiene el resultado buscado si se muestra que
þþ ff ((zz)) �� ff ((aa)) ddzz ¼¼ 00
zz �� aa
GG
Pero, de acuerdo con el problema 3.21,
þþ ff ((zz)) �� ff ((aa)) ddzz ¼¼ þþ þþ þþ
zz �� aa ff 00((aa)) ddzz þþ hh ddzz ¼¼ hh ddzz
GG GG GG GG
Así, al elegir una Γ tan pequeña que para todos los puntos en Γ se tenga |h| < d/2p, se tiene
������þ h dz������ , �2dp�(2pe) ¼ e
G
De manera que Þ h dz ¼ 0, con lo que se termina la prueba.
G
www.FreeLibros.me
148 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
y
C y C
Γ
Γ
a� a�
a+h
xx
Figura 5-2 Figura 5-3
5.2. Sea f (z) analítica en el interior y sobre la frontera C de una región simplemente conexa . Demuestre que
þ
1 f (z)
f 0(a) ¼ 2pi (z � a)2 dz
C
Solución
De acuerdo con el problema 5.1, si a y a + h están en , se tiene
þ � � þ
f (a þ h) � f (a) 1 1 z 1 1 a 1 f (z) dz
h ¼ 2pi h (a þ � � f (z) dz ¼ 2pi a � h)(z
� h) z (z � � a)
CC
þ þ
1 f (z) dz h f (z) dz
¼ 2pi (z � a)2 þ 2pi (z � a � h)(z � a)2
CC
Se toma el límite cuando h → 0 si se demuestra que el último término tiende a cero, y se obtiene el resultado
deseado.
Para mostrar esto se aprovecha que si Γ es una circunferencia de radio e con centro en a que se encuentra con-
tenida en (vea la figura 5-3), entonces
þ þ
h f (z) dz h f (z) dz
2pi (z � a � h)(z � a)2 ¼ 2pi (z � a � h)(z � a)2
CG
Se elige h lo bastante pequeña en valor absoluto para que a + h esté en Γ y que |h| < e/2, y se tiene, de acuerdo
con el problema 1.7c), y con el hecho de que Γ tiene la ecuación |z − a| = e,
|z − a − h| ≥ |z − a| − |h| > e − e/2 = e/2
Asimismo, como f (z) es analítica en , puede hallarse un número positivo M tal que |f (z)| < M.
Entonces, como la longitud de Γ es 2pe, se tiene
������ ������
h þ f (z) dz jhj M(2pe) 2jhjM
2pi � h)(z 2p (e=2)(e2) e2
(z � a � a)2 � ¼
G
y así el lado izquierdo tiende a cero cuando h → 0, con lo que se termina la prueba.
Es interesante observar queddaesfte(ar)e¼suldtdaad<:8o2e1psieþquzifv�(azl)aendtze;9=a ¼
1 þ @ � f (z) �
2pi @a z � a dz
CC
que es una extensión de la integral de contorno de la regla de Leibnitz para la diferenciación bajo el símbolo de
integración.
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 149
5.3. Demuestre que, en las condiciones del problema 5.2,
þ
n! f (z)
f (n)(a) ¼ 2pi (z � a)nþ1 dz n ¼ 0, 1, 2, 3, . . .
C
Solución
Los casos en los que n = 0 y n = 1 corresponden a los problemas 5.1 y 5.2, respectivamente, siempre que se defina
que f (0)(a) ¼ f (a) y 0! = 1.
Para el caso en que n = 2, se usa el problema 5.2, donde a y a + h están en , y se obtiene
1� 1�
f 0(a þ h) � f 0(a) 1 þ h (z 1 � a)2
h 2pi a�
¼ � h)2 � (z f (z) dz
C
þ þ
2! f (z) h 3(z � a) � 2h
¼ 2pi (z � a)3 dz þ 2pi (z � a � h)2(z � a)3 f (z) dz
CC
Se toma el límite cuando h → 0, si se demuestra que el último término tiende a cero, y se obtiene el resultado
deseado. La prueba es similar a la del problema 5.2, pues, al aprovechar que la integral alrededor de C es igual a
la integral alrededor de Γ, se tiene
������ f (z) dz������
h þ 3(z � a) � 2h jhj M(2pe) 4jhjM
2pi � a � h)2(z � a)3 2p (e=2)2(e3) e4
(z � ¼
G
Porque existe un M tal que jf3(z � a) � 2hg f (z)j , M.
De manera similar se procede en los casos n = 3, 4,… (vea los problemas 5.36 y 5.37).
Este resultado equivale a (vea el problema 5.2)
8 9
<1 þ = þ @n � f (z) �
dn dn :2pi f (z) dz; 1 @an z � a dz
dan f (a) ¼ dan (z � a) ¼ 2pi
CC
5.4. Suponga que f (z) es analítica en una región . Demuestre que f ′(z), f ″(z),… son analíticas en .
Solución
Esto es consecuencia de los problemas 5.2 y 5.3.
5.5. Evalúe
þ þses(nez(np�z pz�21zþ)21(þ)zc(�ozcs�o2ps)2pz2)zd2 zd,z, b) þ þ(z(þze2þez12)z14)d4zd,zdonde C es la circunferencia |z| = 3.
a)
CC CC
Solución
a) CSSoiinnmccoee ((zz �� 11 �� 22)) ¼¼ zz 11 22 �� zz 11 11,,, wsweeetihheaanvveee
11))((zz �� ��
þþ þþ þþ
sseenn ppzz22þþ ccooss ppzz22 sseenn ppzz22þþ ccooss ppzz22 sseenn ppzz22þþ ccooss ppzz22
((zz �� 11))((zz �� 22)) ddzz ¼¼ zz �� 22 ddzz �� zz �� 11 ddzz
CC CC CC
De acuerdo con la fórmula integral de Cauchy con a = 2 y a = 1, respectivamente, se tiene
þ
sen pz2 þ cos pz2
z� 2 dz ¼ 2pifsen p(2)2 þ cos p(2)2g ¼ 2pi
C
þ sen pz2þ cos pz2
z� 1
dz ¼ 2pifsen p(1)2 þ cos p(1)2g ¼ �2pi
C
www.FreeLibros.me
150 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
pues z = 1 y z = 2 están en el interior de C y sen pz2 + cos pz2 es analítica en el interior de C. Por tanto, la
integral buscada tiene el valor 2pi − (−2pi) = 4pi.
b) Sea f (z) = e2z y a = −1 en la fórmula integral de Cauchy
n! þ f (z)
2pi � a)nþ1
f (n)(a) ¼ (z dz (1)
C
Si n = 3, entonces f ′″(z) = 8e2z y f ′″(−1) = 8e−2. Por tanto, (1) se convierte en
þ
3! e2z
8e�2 ¼ 2pi (z þ 1)4 dz
C
de donde se ve que el valor de la integral buscada es 8pie−2/3.
5.6. Demuestre la fórmula integral de Cauchy para regiones múltiplemente conexas.
Solución
Se presenta una prueba para la región múltiplemente conexa C1
limitada por las curvas simples cerradas C1 y C2, que se mues-
tran en la figura 5-4. Es fácil efectuar extensiones a otras regio- Γ
nes múltiplemente conexas (vea el problema 5.40). a
Se construye una circunferencia Γ con centro en un punto
a en de manera que Γ quede comprendida en . Sea ′ la
región que consta del conjunto de puntos en exteriores a Γ. C2
Así, la función f (z)/(z − a) es analítica sobre y en el interior de
la frontera de ′. Por tanto, de acuerdo con el teorema de Cau-
chy para regiones múltiplemente conexas (problema 4.16),
1 þ f (z) 1 þ f (z) 1 þ f (z)
2pi z�a 2pi z�a 2pi z�a
dz � dz � dz ¼ 0 (1) (1) Figura 5-4
C1 C1 G
Pero, de acuerdo con la fórmula integral dfef ((Caa))a¼u¼c2h21py1piipþaþCrzazff��r((ezz)ga)aiddozzn es simplemente conexas, se tiene
(2)
de modo que, por (1), C
f (a) ¼ 1 þ f (z) � 1 þ zzff��((zz)a)a ddzz (3)
f (a) ¼ 21pi þ zzf��(z)aa ddzz � 21pi þ
2pi 2pi
C1 C2
C1 C2
Por tanto, si C representa la frontera completa de (recorrida de manera que un observador que se desplace por
C tenga siempre a su izquierda), (3) se escribe como þþ
ff((aa)) ¼¼ 11 CC zzff��((zz)a)addzz
22ppii
De manera similar, puede mostrarse que las otras fórmulas integrales de Cauchy
f (n)f((aa))¼¼22np1p!iiCþCþ1(zzf��(fz(a)az))dnþz 1�d2z1pinCþ¼2 z1f�(,z2)a,d3z, . . .
son válidas para regiones múltiplemente conexas (vea el problema 5.40).
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 151
Teorema de Morera
5.7. Demuestre el teorema de Morera (el recíproco del teorema de Cauchy): Suponga que f (z) es continua en una
región simplemente conexa y que þ
f (z) dz ¼ 0
C
alrededor de toda curva simple cerrada C. Así, f (z) es analítica en .
Solución Ðz
SiInfidÞeCpefn(zd)idenzt¼e d0eilnadterpayenecdtioernIiftaeÞmqCuefen(tzue)nddezea¼Cy,0zd,esiaecmueprrdeoqcuoeneestlaptrroabyFlee(czmt)oa¼ri4aÐ.1aez7sftsé(zee)cnonc.luye
que F(z) ¼ a f (z) dz es
Entonces, al razonar de manera idéntica a como se razonó en el problema 4.18, se resulta que F (z) es analítica
eFn0(z) y¼qfu(ez)F. ′(z) = f (z). SinFe0m(zb) a¼rgfo(,z)e.n el problema0 5.2 se vio que si F′(z) es an0 alítica, F(z) también lo es. Por
tanto, f (z) es analítica en .
Desigualdad de Cauchy
5.8. S ea f (z) analítica sobre y en el interior de una circunferencia C de radio r, con centro z = a. Demuestre la
desigualdad de Cauchy
j f (n)(a)j � M � n! n ¼ 0, 1, 2, 3, . . .
rn
donde M es una constante tal que | f (z)| < M.
Solución
De acuerdo con las fórmulas integrales de Cauchy, se tiene
þ
n! f (z)
f (n)(a) ¼ 2pi (z � a)nþ1 dz n ¼ 0, 1, 2, 3, . . .
C
Entonces, por el problema 4.3, como |z − a| = r en C y la longitud de C es 2pr,
������þ dz������
j f (n)(a)j ¼ n! (z f (z) � n! � M � 2pr ¼ M � n!
2p � a)nþ1 2p rnþ1 rn
C
Teorema de Liouville
5.9. Demuestre el teorema de Liouville: Suponga que para toda z en la totalidad del plano complejo, i) f (z) es
analítica y ii) f (z) es acotada [es decir, puede hallarse una constante M tal que | f (z)| < M ]. Entonces f (z)
debe ser una constante.
Solución
Sean a y b dos puntos en el plano z. Suponga que C es una circunferencia y
C
de radio r y centro en a, que encierra al punto b (vea la figura 5-5). r
a
De acuerdo con la fórmula integral de Cauchy, se tiene
þ þ b
1 f (z) 1 f (z)
f (b) � f (a) ¼ 2pi z�b dz � 2pi z�a dz
CC
þ
b�a f (z) dz x
2pi � b)(z �
¼ (z a)
C
Y ahora se tiene Figura 5-5
jz � aj ¼ r, jz � bj ¼ jz � a þ a � bj � jz � aj � ja � bj ¼ r � ja � bj � r=2
www.FreeLibros.me
152 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
si se elige r lo bastante grande para que |a − b| < r/2. Entonces, como | f (z)| < M y la longitud de C es 2pr, se
tiene, de acuerdo con el problema 4.3, ������þ a)������
j f (b) � f (a)j ¼ jb � aj f (z) dz � jb � ajM(2pr) ¼ 2jb � ajM
2p � b)(z � 2p (r=2)r r
(z
C
Con r → ∞ se ve que | f (b) − f (a)| = 0 o que f (b) = f (a), lo que muestra que f (z) debe ser una constante.
Otro método. En el problema 5.8, con n = 1 y al sustituir a por z se tiene
| f ′(z)| ≤ M/r
Con r → ∞ se deduce que | f ′(z)| = 0 y, por tanto, f ′(z) = 0. De manera que f (z) = constante, como se deseaba.
Teorema fundamental del álgebra
5.10. D emuestre el teorema fundamental del álgebra: Toda ecuación polinomial P(z) = a0 + a1z + a2z2 + … +
anzn = 0, donde el grado n ≥ 1 y an 0, tiene por lo menos una raíz.
Solución
Si P(z) = 0 no tiene raíz, entonces f (z) = 1/P(z) es analítica para todo z. Asimismo, | f (z)| = 1/|P(z)| está acotada
(y en realidad tiende a cero) cuando |z| → ∞.
Así, de acuerdo con el teorema de Liouville (problema 5.9), se concluye que f (z) y por ende P(z) deben ser
constantes. Esto genera una contradicción, por lo que se concluye que P(z) = 0 debe tener por lo menos una raíz
o, como también suele decirse, P(z) debe tener por lo menos un cero.
5.11. Demuestre que toda ecuación polinomial P(z) = a0 + a1z + a2z2 + … + anzn = 0, donde el grado n ≥ 1 y
an 0, tiene exactamente n raíces.
Solución
De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra (problema 5.10), P(z) tiene al menos una raíz. Esta raíz se
denota a. Entonces, P(a) = 0. Por tanto,
P(z) � P(a) ¼ a0 þ a1z þ a2z2 þ � � � þ anzn � (a0 þ a1a þ a2a2 þ � � � þ anan)
¼ a1(z � a) þ a2(z2 � a2) þ � � � þ an(zn � an)
¼ (z � a)Q(z)
donde Q(z) es un polinomio de grado (n − 1).
Al aplicar de nuevo el teorema fundamental del álgebra, se ve que Q(z) tiene por lo menos un cero, que se
denota b [el cual puede ser igual a a], y entonces P(z) = (z − a)(z − b)R(z). Si se continúa de esta manera se verá
que P(z) tiene exactamente n ceros.
Teorema del valor medio de Gauss
5.12. S ea f (z) analítica en el interior de una circunferencia C y sobre ella, con centro en a. Demuestre el teorema
del valor medio de Gauss que sostiene que la media de los valores de f (z) sobre C es f (a).
Solución
De acuerdo con la fórmula integral de Cauchy,
1 þ f (z)
2pi z�a
f (a) ¼ dz (1)
C
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 153
Si el radio de C es r, C tiene como ecuación |z − a| = r o z = a + reiu. Así, (1) se convierte en
1 2ðp f (a þ reiu)ireiu 1 2ðp
2pi reiu 2p
f (a) ¼ du ¼ f (a þ reiu) du
00
que es el resultado buscado.
Teorema del módulo máximo
5.13. D emuestre el teorema del módulo máximo: Suponga que f (z) es analítica en el interior y sobre una curva
simple cerrada C. Así, el valor máximo de | f (z)| se encuentra sobre C, a menos que f (z) sea una constante.
Solución
Método 1 Q C1
Como f (z) es analítica y por ende continua en el interior y sobre C, se b C2
sigue que | f (z)| tiene un valor máximo M al menos en un valor de z a
sobre o en el interior de C. Suponga que la función no toma este valor O P
máximo sobre la frontera de C sino en un punto interior a, es decir,
| f (a)| = M. Sea C1 un círculo en el interior de C con centro en a (vea la a C3
figura 5-6). Si f (z) no es constante en el interior de C1, entonces debe
existir un punto en el interior de C1, por ejemplo b, tal que | f (b)| < M,
o, lo que es lo mismo, | f (b)| = M − e, donde e > 0.
Ahora, debido a la continuidad de | f (z)| en b, se ve que para toda
e > 0 puede hallarse un d > 0 tal que
jjjjjfff(((zzz)))jjj���jjjfff(((bbb)))jjjjj,,,121221eeesiewwwmhhhepeenrnneeevqvveueerrerjjzjzz���bbbjjj,,,ddd (1)
es decir, jjjfff(((zzz)))jjj,,,jjjfff(((bbb)))jjjþþþ122121eee¼¼¼MMM���eeeþþþ211221eee¼¼¼MMM���122121eee (2) Figura 5-6
para todos los puntos interiores de una circunferencia C2 con centro en b y radio d, como se muestra sombreada
en la figura.
Trácese un círculo C3, con centro en a y que pase por b (círculo punteado en la figura 5-6). En una parte de este
círculo [a saber, en la parte PQ incluida en C2] se tiene, de acuerdo con (2), | f (z)| < M − 1 e. En la parte restante
del círculo se tiene | f (z)| ≤ M. 2
Si se toma u en sentido contrario a las manecillas del reloj desde OP y ∠ POQ = a, se sigue, de acuerdo con
el problema 5.12, que si = − a|,
r |b 1 ða 2211pp2ða2ðppff((aa
f (a) 21p ða
f (a) ¼ f (a þ reiu) du þ þ reiu) du
¼ 2p 0 f (a þ reiu) du þ þ reiu) du
Entonces, 0a
j f (a)j � 2211ppð0aðajjff((aa þ reiu)j du þ 1 2ðp þ reiu)j du
j f (a)j � þ reiu)j du þ 2ðpj f (a þ reiu)j du
21p a j f (a
2p
es decir, | f (a)| = M ≤ M − (ae/4p),=¼�=¼�co2222Msa1Ma1pppapqð��0að��00au��MM4ea4aMMppee�e�s��i2121m2121eep�e�eo��þsþdidbu2uM2lMpepþþ.(D(22221p1peppb�2ið�a2ðapdpaoMaaM)a)ddeuusta contradicción, se concluye que |f (z)| no
alcanza su máximo en ningún punto interior de C, por lo que debe tomar su máximo sobre C.
www.FreeLibros.me
154 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
Método 2
De acuerdo con el problema 5.12, se tiene
1 2ðp
2p
jf (a)j � j f (a þ reiu)j du (3)
0
Suponga que | f (a)| es un máximo, de manera que | f (a + reiu)|≤ | f (a)|. Si | f (a + reiu)|< | f (a)| para algún
ejemplo, u1 < u <
valor de u, entonces, debido a la continuidad de f, esto debe ser válido para un arco finito, por Por tanto, se sigue
u2. Pero, en ese caso, el valor medio de | f (a + reiu)| es menor a | f (a)|, lo que contradice a (3).
que, en toda vecindad d de a, es decir, para |z − a| < d, f (z) debe ser una constante. Si f (z) no es constante, el valor
máximo de | f (z)| debe estar sobre C.
En el problema 5.57 se presenta otro método.
Teorema del módulo mínimo
5.14. Demuestre el teorema del módulo mínimo: Sea f (z) analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada
C. Demuestre que, si f (z) 0 en el interior de C, | f (z)| debe tomar su valor mínimo sobre C.
Solución
Como f (z) es analítica en el interior y sobre C, por ende f (z) 0 en el interior de C, entonces 1/f (z) es analítica
en el interior y sobre C. De acuerdo con el teorema del módulo máximo, se sigue que 1/| f (z)| no puede tomar su
valor máximo en el interior de C, y por ende | f (z)| no puede tomar su valor mínimo en el interior de C. Entonces,
como | f (z)| tiene un mínimo, este mínimo debe alcanzarse en C.
5.15. D é un ejemplo que muestre que si f (z) es analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C, y si f (z) = 0
en algún punto en el interior de C, entonces | f (z)| no necesariamente toma su valor mínimo sobre C.
Solución
Para |z| ≤ 1, sea f (z) = z, de manera que C es un círculo con centro en el origen y radio 1. En z = 0 se tiene f (z) = 0.
Si z = reiu, entonces | f (z)| = r y es claro que el valor mínimo de | f (z)| no está sobre C, sino en su interior, donde
r = 0, es decir, en z = 0.
Teorema del argumento
5.16. S ea f (z) analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C, salvo en un polo z = a de orden
(multiplicidad) p en el interior de C. Suponga que en el interior de C, f (z) tiene únicamente un cero z = b de
orden (multiplicidad) n y ningún cero sobre C. Compruebe que
1 þ f 0(z) dz ¼ n � p
2pi f (z)
C
Solución
Sean C1 y Γ1 circunferencias en el interior de C que no se superponen y que encierran a z = a y a z = b, respec-
tivamente. [Vea la figura 5-7.] Así,
1þ f 0(z) 1 þ f 0(z) 1 þ f 0(z) dz
2pi f (z) 2pi f (z) 2pi f (z)
dz ¼ dz þ (1)
C C1 G1
Como f (z) es un polo de orden p en z = a, se tiene
f (z) ¼ (z F(z) p (2)
� a)
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 155
donde F (z) es analítica y diferente de cero en el interior y sobre C1. Así, se toman logaritmos en (2), se diferencia
y se encuentra que
ff 00((zz)) ¼¼ FF00((zz)) �� zz pp aa (3)
ff ((zz)) FF((zz)) ��
de manera que 11 þþ ff 00((zz)) ddzz ¼¼ 11 þþ FF00((zz)) ddzz �� pp þþ ddzz ¼¼ 00 �� pp ¼¼ ��pp (4)
22ppii CC11 ff ((zz)) 22ppii CC11 FF((zz)) 22ppii zz �� aa
CC11
Como f (z) tiene un cero de orden n en z = b, se tiene
f (z) ¼ (z � b)nG(z) (5)
donde G(z) es analítica y diferente de cero en el interior y sobre Γ1.
Y mediante diferenciación logarítmica se tiene
f 0(z) ¼ z n b þ G0(z) (6)
f (z) � G(z) (7)
de manera que 1þ f 0(z) n þ dz 1 þ G0(z)
2pi f (z) 2pi �b 2pi G(z)
dz ¼ z þ dz ¼ n
G1 G1
Así, de (1), (4) y (7) se obtiene el resultado buscado
1þ f 0(z) 1 þ f 0(z) 1 þ f 0(z) dz ¼ n � p
2pi f (z) 2pi f (z) 2pi f (z)
dz ¼ dz þ
C C1 G1
C
C C1 a1 Γ1 b1
C1
a Γ1 b Cj Γk
aj bk
Figura 5-7 Figura 5-8
5.17. Sea f (z) analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C excepto por un mínimo finito de polos en
el interior de C. Suponga que f (z) 0 en C. Si N y P son, respectivamente, el número de ceros y el número
de polos de f (z) en el interior de C, contando las multiplicidades, demuestre que
1þ f 0(z) dz ¼ N � P
2pi f (z)
C
Solución
Sean a1, a2, … , aj y b1, b2, … , bk los respectivos polos y ceros de f (z) en el interior de C [figura 5-8], y suponga
que sus multiplicidades son p1, p2, … , pj y n1, n2, … , nk.
www.FreeLibros.me
156 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
Encierre todos los polos y todos los ceros en las circunferencias C1, C2, … , Cj y Γ1, Γ2, … , Γk, que no se
superponen. Esto siempre es posible porque los polos y los ceros son aislados.
Así se tiene, con los resultados del problema 5.16,
1þ f 0(z) dz ¼ Xj 1 þ f 0(z) dz þ Xk 1 þ f 0(z)
f (z) 2pi f (z) 2pi dz
2pi r¼1 Gr r¼1 Cr
f (z)
C
Xj Xk
¼ nr � pr
r¼1 r¼1
¼N�P
Teorema de Rouché
5.18. Pruebe el teorema de Rouché: Suponga que f (z) y g(z) son analíticas en el interior y sobre una curva simple
cerrada C y suponga que |g(z)| < | f (z)| sobre C. Entonces, f (z) + g(z) y f (z) tienen el mismo número de
ceros en el interior de C.
Solución
Sea F (z) = g(z)/f (z), de manera que g(z) = f (z)F (z) o, para simplificar, g = f F. De este modo, si N1 y N2 son,
respectivamente, el número de ceros de f + g y de f en el interior de C, de acuerdo con el problema 5.17, se tiene,
al aprovechar que estas funciones no tienen þþpoflfo00 sþþeggn00 el interior de C, þþ ff 00
NN11 CC ff þþ gg ff
¼¼ 11 ddzz,, NN22 ¼¼ 11 CC ddzz
22ppii 22ppii
Entonces,
NN11 �� NN22 ¼¼ 11 ððCCþþCCþþFF��ff00((0f0fff110þ0þþþ��ffffþþ0101FFFFþFþFffþþþFþF00 FFFFffF�F�22dd00��zzddz�z�FF��3322þ1þp1p2211ppii��iCþiCþ�� ��CþCþ))ffff ff 00 ddzz ¼¼ 11 þþ ff 00((11 þþ FF)) þþ ffFF00 ddzz �� 11 þþ ff 00 ddzz
¼¼ 22ppii ff 22ppii ff ((11 þþ FF)) 22ppii ff
¼¼ 11 CC CC
22ppii þþ
11 00 ddzz ¼¼ 11 11 FF00 ddzz
22ppii 22ppii CC þþ FF
ddzz ¼¼ 00
CC
al aprovechar, como se da, que |F | < 1 sobre C, de manera que esta serie es uniformemente convergente sobre C
y la integración término por término da el valor cero. Por tanto, N1 = N2, como se deseaba.
5.19. Con el teorema de Rouché (problema 5.18) demuestre que todo polinomio de grado n tiene exactamente n
ceros (teorema fundamental del álgebra).
Solución
Suponga que el polinomio es a0 + a1z + a2z2 + … + anzn, donde an 0. Elija f (z) = anzn y g(z) = a0 + a1z +
a2z2 + … + an−1zn−1.
Si C es una circunferencia con centro en el origen y radio r > 1, entonces sobre C se tiene
����gf ((zz))���� ¼ ja0 þ a1z þ a2z2 þ � � � þ an�1zn�1j � ja0j þ ja1jr þ ja2jr2 þ � � � þ jan�1jrn�1
janznj janjrn
� ja0 jr n�1 þ ja1jrn�1 þ ja2jrn�1 þ � � � þ jan�1 jr n�1 ¼ ja0j þ ja1j þ ja2j þ � � � þ jan�1j
janjrn janjr
Así, al elegir r lo bastante grande, puede hacerse que |g(z)/f (z)| < 1, es decir, |g(z)| < | f (z)|. Por tanto, de acuerdo
con el teorema de Rouché, el polinomio f (z) + g(z) tiene el mismo número de ceros que f (z) = anzn. Pero como esta
última función tiene n ceros, todos en z = 0, f (z) + g(z) también tiene n ceros, con lo que se termina la prueba.
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 157
5.20. D emuestre que todas las raíces de z7 − 5z3 + 12 = 0 se encuentran entre las circunferencias |z| = 1 y |z| = 2.
Solución
Considere la circunferencia C1: |z| = 1. Sea f (z) = 12, g(z) = z7 − 5z3. Sobre C1 se tiene
|g(z)| = |z7 − 5z3| ≤ |z7| + |5z3| ≤ 6 < 12 = | f (z)|
Por tanto, de acuerdo con el teorema de Rouché, f (z) + g(z) = z7 − 5z3 + 12 tiene el mismo número de ceros en
el interior de |z| = 1 que f (z) = 12, es decir, en el ign(tze)ri=or1d2e−C15zn3o. hay ningún cero.
Considere el círculo C2: |z| = 2. Sea f (z) = z7, Sobre C2 se tiene
|g(z)| = |12 − 5z3| ≤ |12| + |5z3| ≤ 60 < 27 = | f (z)|
Por tanto, de acuerdo con el teorema de Rouché, f (z) + g(z) = z7 − 5z3 + 12 tiene el mismo número de ceros en
el interior de |z| = 2 que f (z) = z7, es decir, todos los ceros están en el interior de C2.
Por tanto, todos los ceros están en el interior de |z| = 2 pero en el exterior de |z| = 1, como se deseaba.
Fórmulas integrales de Poisson para un círculo
5.21. a) Sea f (z) analítica en el interior y sobre un círculo C definido por |z| = R, y sea z = reiu un punto en el
interior de C (vea la figura 5-9). Demuestre que
f (reiu) ¼ 1 2ðp � R2 � r2 f) þ r2 f (Reif) df
2p R2 2Rr cos(u �
0
b) Sean u(r, u) y v (r, u) las partes real e imaginaria de f (reiu). Demuestre que
1 2ðp (R2 � r2) u(R, f) df
2p R2 � 2Rr cos(u � f) þ
u(r, u) ¼ r2
0
1 2ðp (R2 � r2) v(R, f) df
2p R2 � 2Rr cos(u � f) þ
v(r, u) ¼ r2
0
Estos resultados se conocen como fórmulas integrales de Poisson para el círculo.
Solución
a) Como z = reiu es un punto cualquiera en el interior de C, de acuerdo con la fór- C
mula integral de Cauchy se tiene z = reiq
R
1 þ f (w)
2pi w �z Figura 5-9
f (z) ¼ f (reiu) ¼ dw (1)
C
El inverso del punto z respecto de C está en el exterior de C, y está dado por R2/z.
Por tanto, de acuerdo con el teorema de Cauchy,
1 þ f (w)
2pi � R2=z�
0 ¼ w dw (2)
C
www.FreeLibros.me
158 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
Si se resta (2) de (1), se encuentra þ � 1�
w � R2=z�
f (z) ¼ 1 1 z � w f (w) dw
2pi �
C
¼ 21pi þ (w z � R2=z� f (w) dw (3)
� z)(w � R2=z�)
C
Ahora, sean z = reiu y w = Reif. Entonces, como z = re−iu, de (3) se obtiene
1 2ðp freiu � (R2=r)eiug f (Reif)iReif df 1 2ðp (r2 � R2)ei(uþf)f (Reif) df
2pi fReif � reiugfReif � (R2=r)eiug 2p (Reif � reiu)(reif � Reiu)
f (reiu) ¼ ¼
00
1 2ðp (R2 � r2) f (Reif) df 1 2ðp (R2 � r2) f (Reif) df
2p (Reif � reiu)(Re�if � re�iu) 2p � 2Rr cos(u � f) þ
¼ ¼ R2 r2
00
b) Como f (reiu) = u(r, u) + iv (r, u) y f (Reif) = u(R, f) + iv (R, f), de acuerdo con el inciso a) se tiene
1 2ðp (R2 � r2)fu(R, f) þ iv(R, f)g df
2p R2 � 2Rr cos(u � f) þ r2
u(r, u) þ iv(r, u) ¼
0
1 2ðp (R2 � r2)u(R, f) df i 2ðp (R2 � r2)v(R, f) df
2p � 2Rr cos(u � f) þ 2p � 2Rr cos(u � f) þ
¼ R2 r2 þ R2 r2
00
Se igualan las partes reales y las imaginarias para llegar al resultado buscado.
Fórmulas integrales de Poisson para un semiplano
5.22. Deduzca las fórmulas de Poisson para el semiplano [vea la página 146].
Solución
Sea C la frontera de un semicírculo de radio R [vea la figura 5-10] que contenga a z como punto interior. Como C
encierra a z pero no a z, de acuerdo con la fórmula integral de Cauchy se tiene
þþ þþ
ff((zz)) ¼¼ 11 zzff��((zz)z)zddzz,, 00 ¼¼ 11 zzff��((zz)z�)z� ddzz
22ppii C 22ppii C
C C
Entonces, mediante resta,
ff((zz )) ¼¼ 11 þþ �� 11 zz �� zz 11 �� ¼¼ 11 þþ ((((zzzz����zzz�z�))))((fzfz((�z�z))zd�zd�z)z)
22ppii ff((zz)) zz �� �� z�z� ddzz 22ppii
C C
CC
Con z = j + ih, z = j − ih, esto se escribe
1 ðR h f (x) dx 1 ð h f (z) dz
p (x � j )2 þ h2 p (z � z )(z � z� )
f (z ) ¼ þ
�R G
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 159
donde Γ es el arco semicircular de C. Cuando R → ∞, esta última integral tiende a cero [vea el problema 5.76] y
se tiene
1 1ð h f (x) dx
p (x � j )2 þ h2
f (z ) ¼
�1
Se escribe f (z ) ¼ f (j þ ih) ¼ u(j, h) þ iv(j, h), f (x) ¼ u(x, 0) þ iv(x, 0), y se obtiene, como se deseaba,
1 1ð hu(x, 0) dx 1 1ð hv(x, 0) dx
p (x � j)2 þ h2 , p (x � j)2 þ h2
u(j, h) ¼ v(j, h) ¼
�1 �1
y C1
C
E C2 z0
HK
G
J
zx F
–R – R Figura 5-11
z
Figura 5-10
Problemas diversos
5.23. S ea f (z) analítica en una región limitada por dos circunferencias concéntricas C1 y C2, y sobre su frontera
[figura 5-11]. Demuestre que, si z0 es un punto en , entonces
þ þ
1 f (z) 1 f (z)
f (z0) ¼ 2pi z � z0 dz � 2pi z � z0 dz
C1 C2
Solución
Método 1. Trace un corte transversal EH que una las circunferencias C1 y C2. Entonces f (z) es analítica en la región
limitada por EFGEHKJHE. Por tanto, de acuerdo con la fórmula integral de Cauchy,
1 þ f (z)
2pi z � z0 dz
f (z0) ¼
EFGEHKJHE ð þ ð
þ
1 f (z) 1 f (z) 1 f (z) 1 f (z)
¼ 2pi z � z0 dz þ 2pi z � z0 dz þ 2pi z � z0 dz þ 2pi z � z0 dz
EFGE EH HKJH HE
þ þ
1 f (z) 1 f (z)
¼ 2pi z � z0 dz � 2pi z � z0 dz
C1 C2
pues las integrales a lo largo de EH y HE se anulan.
Hay fórmulas similares para las derivadas de f (z).
Método 2. A este resultado también se llega a partir de la ecuación (3) del problema 5.6 si se sustituyen las curvas
simples cerradas C1 y C2 por las circunferencias de la figura 5-11.
5.24. Demuestre que, para n = 1, 2, 3, …,
2ðp 1 �3 �5�� � (2n � 1)
2� 4�6 � � � (2n)
cos2nu du ¼ 2p
0
www.FreeLibros.me
160 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
Solución
Sea z = eiu. Entonces, dz = ieiu du = iz du o du = dz/iz y cos u ¼ 21(eiu þ e�iu) ¼ 21(z þ 1=z).. Por tanto, si
C es la circunferencia unitaria |z| = 1, se tiene
2ðp þ �1 � 1��2ndz
z
cos2n u du ¼ þ
2 z iz
0C ( �1�2n)
1 z2n dz
1 þ z �2n�(z2n�1)�1� �2n�(z2n�k)�1�kþ � � �
22ni 1z kz z
¼ þ þ ��� þ þ
C � �2n�z2n�3 �2n�z2n�2k�1 �
þ z2n�1 1 k z�2n dz
1
¼ 22ni þ þ �� � þ þ � �� þ
C
2pi�2nn� �2nn�2p
¼ 1 � ¼ 1
22ni 22n
¼ 1 (2n)! 2p ¼ (2n)(2n � 1)(2n � 2) � � � (n)(n � 1) � � � 1 2p
22n n!n! 22nn!n!
¼ 1 � 3 � 5 � � � (2n � 1) 2p
2 � 4 � 6 � � � 2n
5.25. S uponga que f (z) = u(x, y) + iv (x, y) es analítica en una región . Demuestre que u y v son armónicas en .
Solución
En el problema 3.6 se probó que u y v son armónicas en , es decir, que satisfacen la ecuación (@2f=@x2) þ (@2f=@y2) ¼ 0,
(@2f=@x2) þ (@2f=@y2) ¼ 0, en el supuesto de la existencia de las segundas derivadas parciales de u y de v, es decir, de la exis-
tencia de f ″(z).
Este supuesto ya no es necesario, pues en el problema 5.4 se demostró que si f (z) es analítica en , entonces
todas las derivadas de f (z) existen.
5.26. D emuestre el teorema de Schwartz: Sea f (z) analítica en |z| ≤ R con f (0) = 0 y | f (z)| ≤ M. Entonces,
j f (z)j � Mjzj
R
Solución
La función f (z)/z es analítica en |z| ≤ R. Por tanto, en |z| = R, se tiene, de acuerdo con el teorema del módulo
máximo,
���� (zz)����
f � M
R
Sin embargo, como esta desigualdad también debe ser válida para los puntos interiores de |z| = R, para |z| ≤ R se
tiene | f (z)| ≤ M|z|/R, como se deseaba.
5.27. Sea �
f (x) ¼ x2 sen(1=x) x = 0
0 x¼0
d onde x es real. Muestre que la función f (x) a) tiene una primera derivada en todos los valores de x para los
que 0 ≤ x ≤ 1, pero b) no tiene una segunda derivada en 0 ≤ x ≤ 1. c) Concilie estas conclusiones con el
resultado del problema 5.4.
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 161
Solución
a) El único lugar donde puede cuestionarse la existencia de la primera derivada es x = 0. Pero en x = 0 la deri-
vada es
lím f (0 þ Dx) � f (0) ¼ lím (Dx)2 sen(1=Dx) � 0 ¼ lím Dx sen(1=Dx) ¼ 0
Dx Dx
Dx!0 Dx!0 Dx!0
y, por ende, existe.
En todos los demás valores de x en 0 ≤ x ≤ 1 se da la derivada (con reglas elementales de diferenciación)
mediante
xx22ccooss(1(1==xx)f)�f�11==xx22ggþþ(2(2xx))sseenn(1(1==xx))¼¼22xxsseenn(1(1==xx))��ccooss(1(1==xx))
b) De acuerdo con el inciso a), se tiene
f f0 (0x(x))¼¼nn2020xxsseenn(1(1==xx))��ccooss(1(1==xx)) xx==00
xx¼¼00
Para toda x tal que 0 < x ≤ 1 existe la segunda derivada. En x = 0, la segunda derivada se da por
lím f 0(0 þ Dx) � f 0(0) ¼ lím 2Dx sen(1=Dx) � cos(1=Dx) � 0
Dx Dx
Dx!0 Dx!0
¼ lím f2 sen(1=Dx) � (1=Dx) cos(1=Dx)g
Dx!0
el cual no existe.
Resulta que la segunda derivada de f (x) no existe en 0 ≤ x ≤ 1.
c) De acuerdo con el problema 5.4, si f (z) es analítica en una región , todas las derivadas superiores existen y
son analíticas en . El resultado anterior no se contrapone a este resultado, pues la función f (z) = z2 sen(1/z)
no es analítica en ninguna región que incluya a z = 0.
5.28. a) Sea F(z) analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada, salvo en un polo de orden m en z = a en
el interior de C. Demuestre que þ
1 F(z) dz ¼ lím (m 1 dm�1 f(z � a)mF(z)g
2pi � 1)! dzm�1
z!a
C
b) ¿ Cómo habría que modificar la fórmula obtenida en el inciso a) si en el interior de C hubiera más de un
polo?
Solución
a) Si F (z) tiene un polo de orden m en z = a, entonces F(z) = f (z)/(z − a)m, donde f (z) es analítica en el interior
de C y sobre ella, y f (a) 0. Así, de acuerdo con la fórmula integral de Cauchy,
þ þ
1 1 f (z) f (m�1)(a) lím 1 dm�1
2pi F(z) dz ¼ 2pi (z � a)m dz ¼ (m � 1)! ¼ z!a (m � 1)! dzm�1 f(z � a)mF(z)g
CC
b) Suponga que en el interior de C existen dos polos en z = a1 y z = a2, de órdenes m1 y m2, respectivamente.
Sean Γ1 y Γ2 círculos en el interior de C con radios e1 y e2, y centros en a1 y a2, respectivamente (vea la figura
5-12). Así,
1 þ 1 þ 1 þ
2pi 2pi 2pi
F(z) dz ¼ F(z) dz þ F(z) dz (1)
C G1 G2
www.FreeLibros.me
162 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
C Γ2
¨
Γ1 2
¨
a2
1
a1
Figura 5-12
Si F (z) tiene un polo de orden m1 en z = a1, entonces
F(z) ¼ (z f1(z) , donde f1(z) es analítica y f1(a1) 0
� a1)m1
Si F (z) tiene un polo de orden m2 en z = a2, entonces
F(z) ¼ (z f2(z) , donde f2(z) es analítica y f2(a2) 0
� a2)m2
Por tanto, de acuerdo con (1) y con el inciso a),
1 þ 1 þ f1(z) 1 þ f2(z)
2pi 2pi � a1)m1 2pi � a2)m2
F(z) dz ¼ (z dz þ (z dz
C G1 G2
¼ lím (m1 1 1)! dm1 �1 f(z � a1 )m1 F(z)g
� dzm1 �1
z!a1
þ lím (m2 1 1)! dm2 �1 f(z � a2)m2 F(z)g
� dzm2 �1
z!a2
Si los límites de la derecha se denotan R1 y R2, se escribe
þ
F(z) dz ¼ 2pi(R1 þ R2)
C
donde R1 y R2 se conocen como los residuos de F (z) en los polos z = a1 y z = a2.
vÞCerFáEn(nza)gpdelzinc¼earca2ilop,nisevisedFcee (sze)lsatetsieutenmoeraevdmaerailooyssgrpeenoseliodrasuloiezsn.acEiesoltnoienssteeacrioootnrroascdeesicnCogmuclouarytieodosarderemessaidddiusetolinsrteasssoidndueoRl.o1E,snpRoe2,ll o…csa.,píetunltoon7csees
þ ez
þ p2)2
5.29. Evalúe (z2 dz,wdohnerdee C iess tlhaecicricrucnlefejrzejn¼cia4|.z| = 4.
C
Solución
Los polos doef (z2 ez ¼ (z � ez þ pi)2 earsetáantezn¼z +=pi piniseidneeCl inatnedriaorredbeoCthyoafmorbdoesr stowno.de orden dos.
þ p2)2 pi)2(z
El residuo en zz =¼ ppii eiss lím 1 d � � pi)2 (z � ez þ � ¼ pþ i..
1! dz (z pi)2(z pi)2 4p3
z!pi
El residuo en zz=¼ −�ppii eiss lím 1 d � þ pi)2 (z � ez þ � ¼ p� i..
1! dz (z pi)2(z pi)2 4p3
z!�pi
EntonTcheesn,Tþhe(nz2þþe(zzp22þ)e2zpdz2)¼2 d2zp¼i (2spumi (asoudfmerelossifdrrueeesssi)du¼oes2)p¼i�2p4ppþi�3ip4þpþp34ip�þ3ip�4p�¼3i�pi .¼ pi .
CC
www.FreeLibros.me
Problemas complementarios 163
Problemas complementarios
Fó55555555r........33333333m31025674........EEEESSSESEfEfEEEEuESSEfEE 0000hhuuhu00vv0vvvvvvvv0vvvvv EDE E E E S D Ml0000(((ooppopaaaaaaaaaaaaaaauaavvvvvaaeewwppllwllplllllllllllupuuuuuuuuuuaaaaauuEuEuSSEfEuE)))mmooose0llllloaaaaaaaaaaaaaaahu0vvvv¼¼v¼ssstttúúúúús0uutttttttttttttttnhhh(opeeeaaaaateeeeeeeeeeeeeeeeiaeeraagawpllllln222essuuuuu)tttCCCCCC2222CCCþþþþþþCCC22þþþa333CCCopppttaaaaat111111pppp¼ppq!!!rr222stqtttttiizeezzziezzheezzzeeu111pppeeeeeiiiiiisssiiiuiiii3333aCC��þþCþþC�þþssszzzze2eeeeeqegliiiCCCCCCþþþþCCeþþtCCC22þþþ3Caddd3333nnnpu11CCCþþCpp((þ(zzzzaa!a2spppppprzzzCeczzczcfffzzzizezzzzz1p,ii333sioo((o(2222i==i=iiwwwf3azzz������eeeC�þþssszzzezdeeózzzidddss222s2222CCþþiii���zzzEESSEfEzE)))d3nhhhsloeeemmmrzzzpppCþ0(þþþza222dddaaaddhudppz0vvvvmveeezzzznzcfz0ezutttt111iizzizs))pp)(pzz22opz2rrraaaaa3dddo(2d=iwfffz�444n4a�eiueees111szlllwplllllzzzzsds2ii2idded...eeei�uuuuuz)a)CCClCfffhoiemdddCCzCazzzpþii2siaaaaadadC¼ezdstCCcCzzffzfCsiccctttttt1hiz)piiezaa2aredueeeeeifiissslll4CCCe¼¼¼e1srrarellssisoooz2ei:::iird.eooron:CtsfCCC22þþþsss3CvdssssCp eztttuuiuiite11ppsssCee!e2hhhaCzfldssestttclsnninzeziiiiaazddhhdh1::pee:eagiiinnensslai:C((s¼(i3dddrsaC�þþeeeosz :eiedraacaioi)CCþþcccctttsaccmcsd3n)))itoaaauucciciiiislC((þ((rzeahluuiiuippzsrrrratarzceaafaziiientftfctfzipdhcccc:rrerrrrcrrrhhhn3)o(n2))=i(suwzdeede�vvv�lcccllelcustettzaeeezedeese22clhncctci�llettlteezei)cnthd..).aemaeehhehrzcitttp(fþcc2cduaicdjjjfryceaaeazsuaeeeietfzzzcitiieeece1reizjjr)jpz2rihrunnndn)rrrrjjj000fzzzeiv4crnnlnetr1Cccclccceetggngrzjjejide.cr¼¼e¼ltecccCiicifrlll.naaalllfdeha>aCnzt¼¼rr¼reeeecillleeuejeannnccccdCuzfeoooczccie222jiarnnijdjdlljdlrajcwws0swsizisltenCa¼555eezzezr...ccsafgoáiiij:ih¼once..nn.niCCCqiilsi���alyn|sjjjy¼rtttet|ulcirezgggszzuzenhhhhczgoste|in2iCjjjiiidh|ejdl:e111pawsunnsss(5ezd=.vvv¼¼¼zzzei=jjjaalcec.n|etCieeettt�oc)jrz¼¼¼¼¼¼taihhhncisgrrr(zauhi2a333r5tttaieeectfcj−icrr1liii.rh,,,s).|oiaaa444accctvevc¼lztjzccceeoeeenec,,,ltet1|iiir.c¼¼edhhssstaarrrarc((r(|j3=iavcctceoebbbaznnnriejiaaa,n=élllrcja04szc)))dddn((ee(etttcccagrj3ue:::,bb¼bctttitillal4,snjjhh¼jhriarez)))o(l(((fffe zzzncccobaa,anfee((e(s2ajjjtt t=ejdllezzzws))))dhhh5ez(et.s¼¼))¼)bcccirv:beee222.ntCie�iiib)jaajhet)(rrfrgiiinzzheee)+++333lacccnsslse(jjitcoya1lllz)lll...:shllllvieee¼z¼)rcajaaaiiiaeca2qeiieitpppinnn¼¼,,,jjjihre)siruss|szzrze3+3caaastlezeeecejjj2li��i�,lll.le|a4lcpueyyy¼¼¼cainjjjf=e,ispn222tttzzz in(,tjiiisear(sefzzccca���111c+++ibneej)3ra,�|ll...)ordyz(e.t¼iii−eje222:bnnns2tztiiis−nijjjjh;;;)sss(2fcz�1p+caþþþiiaie((((jtddd.zi2o)bbnbhai¼)ceee2|s)))jjanje2iizzziij|;l+sr;i��t�zíaaae+3þcþþisi(t|bvdnnnlil.biiil|ce=o)e,,,dddaiz)j222iapzsn22−2,jjjj+�saz1oooaþed¼¼¼e���jin�l.nnnni,ey2,¼dj222tiii66z6|e2CCCjin,,,l...c=o�−1+.¼�222...in.n[iþþþ2P6PPiSnit6i,Cj,e.;rrrus.2oooiiirþi2g.(,,,divvvbo+eeþiiiPeee)jr...rzre�iyaoitttþn,,hhhnvicisaaai,d.ei2o.ttta2jb:ot¼r�hneUati6CsC,.e.2. þ i, i. that
Prove
5.38.G Si invedeaunGCGciCcviliveaóiensncntiCmhrCceaiusitcnseitfmrhtecheráleeetcnicicjcrizacrij.cal]¼ele|zj1z|jzj.=j¼F¼i1n1.1d.E.FtnFhicneinudvdetanhtlthuereevveoalalfulvueael(ooaof)rfdCþe(za(as)�)eþnþp6z=zzs�6se�endpn6zp6,=z=z66d(dbzz,), Cþ(b(zb))�sþeþnp(6z(=zz�s6�se)en3pnp6d=6z=6z.6)3)3ddzz..
CC CC
5.39.E vE avlauElaEúvtveaal2ulu1paatieteCþ221p(1pzi2iþeþþzt(1z(z2)22eþeþdztzz1t 1s)w2)i2hdtdez>nzww0th.hyeenCn0t
easndlaCciirscuthnefecriernccleiajz|jz|¼=33. .
t..00aannddCCisisththeecciricrclelejzjzj j¼¼33. .
5.40. V erifique las fórmCCulas integrales de Cauchy para la región múltiplemente conexa de la figura 4-26, página 140.
Teorema de Morera Ðz
5.41. a) Determine si G(z) ¼ 1 dz=z es independiente de la trayectoria que une a 1 y z.
b) Analice la relación entre su respuesta al inciso a) y el teorema de Morera.
5.42. ¿Es aplicable el teorema de Morera en el caso de una región múltiplemente conexa? Justifique su respuesta.
5.43. a) S DuepmounegsatrqeuqeuePÞ(xC, y) y Q(x, y) son funciones armónicas conjugadas y que C es una curva simple cerrada.
b) P dx þ Q dy ¼ 0.
C cerrada
S uponga que para toda curva simple decir, que en una región ,inÞCciPsodax)þesQvdeyrd¼ad0?. J¿uEsstifvieqrudeadsuqcuoenPclyusQiósno. n
funciones armónicas conjugadas, es el recíproco del
Desigualdad de Cauchy
5.44. a) C on la desigualdad de Cauchy obtenga estimaciones de las derivadas de sen z en z = 0 y b) determine el error
en estas estimaciones.
5.45. a) Muestre que si f (z) = 1/(1 − z), entonces f (n)(z) = n!/(1 − z)n+1.
b) Con el inciso a) muestre que la desigualdad de Cauchy es la “mejor posible”, es decir, la estimación del creci-
miento de la n-ésima derivada no puede mejorarse para todas las funciones.
www.FreeLibros.me
164 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
5.46. Demuestre que en la desigualdad de Cauchy (5.3), página 145, la igualdad se da en el caso en el que n = m si y
sólo si f (z) = kM(z − a)m/r m, donde |k| = 1.
5.47. En la función f (z) ¼ e�1=z2 analice la desigualdad de Cauchy en la vecindad de z = 0.
Teorema de Liouville
5.48. L a función de una variable real que se defina mediante f (x) = sen x es a) analítica en todas partes y b) acotada,
es decir, |sen x| ≤ 1 para toda x, pero sin duda no es una constante. ¿Contradice esto el teorema de Liouville?
Explique.
5.49. S uponga que a > 0 y b > 0 son constantes y que una función no constante F(z) es tal que F(z + a) = F(z) y que
F(z + bi) = F(z). Demuestre que F(z) no puede ser analítica en el rectángulo 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b.
Teorema fundamental del álgebra
5.50. a ) Dé los detalles de la prueba del teorema fundamental del álgebra para mostrar que en especial la función
f (z) = z4 − z2 − 2z + 2 tiene exactamente cuatro ceros. b) Determine los ceros de f (z).
5.51. Determine todas la raíces de las ecuaciones: a) z3 − 3z + 4i = 0, b) z4 − z2 + 1 = 0.
Teorema del valor medio de Gauss
1 2ðp
2p
5.52.E vEavlaulaúte sen2 (p=6 þ 2eiu) du:.
0
5.53. Muestre que el valor medio de una función armónica sobre una circunferencia es igual al valor de la función en
el centro.
5.54. Encuentre el valor medio de x2 − y2 + 2y sobre la circunferencia |z − 5 + 2i| = 3.
5.55. Demuestre que Ðp ln sen u du ¼ �p ln 2.. [Sugerencia: Considere f (z) = ln(1 + z).]
0
Teorema del módulo máximo
5.56. E ncuentre el máximo de | f (z)| en |z| ≤ 1 para las funciones f (z) dadas por: a) z2 − 3z + 2, b) z4 + z2 + 1,
c) cos 3z, d ) (2z + 1)/(2z − 1)
5.57. a) Sea f (z) analítica en el interior de una curva simple cerrada C y sobre ella, que encierra a z = a, y demuestre
que
1 þ f f (z)gn
2pi z�a
f f (a)gn ¼ dz n ¼ 0, 1, 2, . . .
C
b) C on el inciso a) verifique que | f (a)|n ≤ Mn/2pD, donde D es la distancia mínima de a a la curva C y M es el
valor máximo de | f (z)| sobre C.
c) Tome la raíz n-ésima en ambos lados de la desigualdad del inciso b) y, con n → ∞, demuestre el teorema del
módulo máximo.
5.58. Sea U(x, y) armónica en el interior y sobre una curva simple C cerrada. Demuestre que la función U(x, y) alcanza
sobre C los valores a) máximo y b) mínimo. ¿Existen otras restricciones para U(x, y)?
5.59. Sea C la circunferencia |z| = 1. Verifique el problema 5.58 con las funciones a) x2 − y2 y b) x3 − 3xy2.
5.60. ¿Es válido el teorema del módulo máximo para regiones múltiplemente conexas? Justifique su respuesta.
www.FreeLibros.me
Problemas complementarios 165
Te5o.6r1e.L LLmeS eeLLLteLtateeefafefttt((t(zdffzfz)f()(()ez(z¼z¼z¼)))l)¼¼¼zz¼z5a55zzz�r�z5�555g��3�3�3iuizi333zz232mii2izzziþþz2þ22e2þþ2þn2þ2zzzt222�2��zzzoz��1�1�1þ1þ11þ1þþiþi.þi..EiiiEE...iv.vvEEEaEaalvvvlulvauaauaalllaatuuulútetuaeaaeeatttCþeeþetþeþCfþþffCþff0f(0(0(z((ff(zfffzfzz)fz0)0f0)((()()(()0z(zzdz(zzdz)d))z)))z)z)zdddw,dwzzzwdzhwhwwhoeweenrhhhrrehdeeeeererrCereCeCeCCeCCeCenennceeenccelnnnclolncoccioscelllsseooolreeosrssssaseeeaeasssatlslollalaaldatlllthtlllohhlesttteehhhtzhleezezoeeeesrzzzrrozeeeocoserrressoroorooosssoofsffsooofoffffd((f(zezfffz)f()(().fz.(zz. (z)))z.)...).
5.62.L LLeS eeLLLteLtteeefafefttt((t(zffzfz)f()(()z(z¼z¼z¼))))¼¼¼((¼(zzz2(2((2(z((zzþz(þzz2þ2z222(2((2þþz2(þzzþ2þþ2z2þ22z2zz222þþ1þþ12þþ1þzzz))z2)111þþ2þ2221þ2))))2))22)3222233.2).)).E3)33EE3...v.vEvEEaEaalvvvlulvauaauaalllaatúuuultetuaeeaaeattt2ee2et21pe1p1p222i2i1p11ppi1CþpþþiiiiþCþfþffCþff0f((0C0C((z(ff(zfffzfzz)fz)0Cf00C()(()()(()0z(zzdz(zzdzd)))z)))z)z)zddd,wdwzzzwdzhwhowwhewenerhhhrdreheeeeeerrrCereCeCCeCiCCisCiesssitiitshssithlsheattteehhhtccheececiieirricrccrcccciiilurrrilelcreccnecllljfeejelzjezezjrjjje¼zzzj¼¼zjnjjjc¼¼¼44¼4i.a..4444|...z.| = 4.
55..6634..EL ELELveE SveveELELELtaeELtvatalvevevefalauflvefttta(uaaul(at(zallúlaffzfaz)tuuulf()t((e)tuaeaaz(z¼eza¼z¼)t)t)tCþeeCþe)tCþ¼e¼¼zz¼CþzCþfCþ4ff4Cþff40f(zzz�(00((z�(zff4�(zf44ffzfzz)f4z)0f00()(()�()�(2�()0z(zzd2�z(z2zdzzd)))z)))zzz3)2z22)z3dd3d2iszzzþdizfzziþz3iþ33fzf3CiiiþþzþCfCffizþz2f22CiCeCzzz�isCi�szs2�22s2itiil��t1�shssita1h�1sh2ett2te2ec11h1zhhtzc1hzi22e2eceþcri2eþþzizczricrcczruþccþ2þciiil2þ2nrrrile0lcrecc0e0f222clllej2aee0jel0z0ajarzne0zjnenjjjdayaa¼nzzdzjda¼nnn¼zjjjCcCnCCjdddCC¼i¼¼pdCaCp¼plCiCCaisCi|pappsszapancitii|ntnshssitidaaahsh=drdaennntttecen(hhhtddd(uc(ahdpeeceacai)ne((i()ri)crca(fcaarfyccaefcii)if))l(rrril)(elz(acreccffzfeez)cf)ll)(l(j(n)eejelzz(zjz¼fzec¼zz¼j))) (jjj)iz¼zzz¼ja¼¼s¼¼z)sj¼jjseje|e¼¼=n¼5zsssn5¼n5s|eee.p.e.pnnpn5=55sEnz5EEe...zpppz,v.np,v,vE5EEa(zzzEa(a.(bz,lvp,v,vblbul,v)Eaua(a((u)z)aab(bblllafv,abtuuulf)f))t(eatub)(aeaa(zelffzfa)ztttCþúf()e((eþet)þfz(eze¼z ¼z(¼)))þCzþþzz)Cfþzf¼f¼¼fc)ff(0c¼zc(zz0((oz0=f(fzozfff(zfoz)scfczcf()z((0))0s0sc()oz(((ozoz)0pdcz(pozzz))p)dsssdz)))o)zzszz)pzppz.,ddsd.p,.,dz(zzzzzp((zcz..,.,,cc.,.)z((()),c(ccfcf)f)c)()(z()ffzfz)f()(f() z(zz¼(¼z¼)))z))¼¼¼tt¼at=aantnttnaaatptapnnapnnznzppzp..p.pzzzz...z..
CC CC
Teorema de Rouché
5.65. Si a > e, demuestre que azn = ez tiene n raíces en el interior de |z| = 1.
5.66. Demuestre que zez = a, donde a 0 es real y tiene una cantidad infinita de raíces.
5.67. D emuestre que tan z = az, a > 0 tiene a) una cantidad infinita de raíces, b) sólo dos raíces imaginarias puras si
0 < a < 1, c) todas sus raíces reales si a ≥ 1.
5.68. D emuestre que z tan z = a, a > 0 tiene una cantidad infinita de raíces, pero no raíces imaginarias.
Fórmula integral de Poisson para la circunferencia
2ðp R2 � r2
2Rr cos(u �
5.69. Muestre que R2 � f) þ r2 df ¼ 2p
0
a) con, b) sin la fórmula integral de Poisson para la circunferencia.
5.70. Muestre que
a)2ðp2ðp55e�ec�ocso4fs4fcccocoosos(s(ss(u(esuen�n�fff)f)))ddff¼¼232p3peecocsousuccoos(ss(esennuu),), (b(bb))) 2ðp2ðp5e5�ec�ocso4fs4fcscesoeonsn(s(us((ues�en�nffff))))ddff¼¼232p3peecocsosuusesenn(s(esennuu):.):
00 00
5.71. a) Demuestre que la función
UU(r(,r,uu) )¼¼p2p2tatann��1�1�212r1�rs�esren2rnu2�u�, , 00,,rr,,11, ,00��uu,,22pp
es armónica en el interior de la circunferencia |z| = 1.
b) MuSeShshotowrewtqhtuhaeat tr!lrí!lmí1m�1�UU(r(,r,uu) )¼¼nn�1�111 p0p0,,,,uuuu,,,,p2p2pp: :
c) ¿Puede deducir la expresión para U(r, u) a partir de la fórmula integral de Poisson para el círculo?
5.72. S uponga que f (z) es analítica en el interior y sobre la circunferencia C definida por |z| = R, y suponga que
z = reiu es un punto cualquiera en el interior de C.
Muestre que
i 2ðp R[R(R2 2��2Rr2r)fc(oRs(euif�) sfen)(þu �r2f]2)df
2p
f 0(reiu) ¼
0
5.73. Verifique que las funciones u y v de las ecuaciones (5.7) y (5.8), página 146, satisfacen la ecuación de Laplace.
www.FreeLibros.me
166 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
Fórmulas integrales de Poisson para un semiplano
5.74. Encuentre una función que sea armónica en el semiplano superior y > 0 y que sobre el eje x tome los valores −1
si x < 0 y 1 si x > 0.
5.75. Repita el problema 5.74 si la función toma los valores −1 si x < −1, 0 si −1 < x < 1 y 1 si x > 1.
5.76. Demuestre la afirmación del problema 5.22 de que la integral sobre Γ tiende a cero cuando R → ∞.
5.77. Demuestre que, con las restricciones adecuadas a f (x),
lím 1 ð1 h f (x)
h!0þ p � j )2 þ
(x h 2 dx ¼ f (j )
�1
y mencione las restricciones.
5.78. V erifique que las funciones u y v de las ecuaciones (5.10) y (5.11), página 146, satisfacen la ecuación de
Laplace.
Problemas diversos
5.79. Evalúe 21p2i21p1pCþCiizCþþz2222þzzdz2z2z224þþdd,wzz44dhowwenrhhdeeeeCrreCeiCCsestiihsseeltthhcsequeuassadqqrruueaaadwrroeeitcwwhoiinvtthhevrvvétierectrriettcisiceceaesstse+anatt2++,2+22, ,,2++2þ22+4þþi4.i44.ii..
Ea)vMalúueesCþCttrhceCþaCþottqthzshccu3Cþ23Ca2aooetttzszCszz3Cþ23þ2ddþttzzzzzz,1ddþdwþddzzzz¼ho11wwenr2¼d¼hhepeeeCr2ir2CeeppifiCCeisiCssiitfifiihlssiaCeCsttchhcteiiiheeissrsreccctctluhlhiaciernreeicccrfjlclceiczeerlirjicerrejj¼cucznzjlljnjzceej1f¼i¼eajj¼zzarj1|ej1nz2n¼¼d|aa.c=nnti22dad...1|ttzy0.|..=t 00>.2. .0.
5.80.
5.81.
b) Con el inciso C muestreþ q(þCuþx(eþx((xxþ((1þxþx)1þþd11)x22))11dþþd))x2x2 yyþþþþ22dyyyyy22dd¼yy
a)
CC þ (Cþþx(þx((xxþ((1þxþx)1þþd11)y22))11dþ�d))y2y2 yyþ�þ�22dyyxyy22dd¼xx
0¼¼, 00,, 2¼¼p22pp
CC
CC
y verifique estos resultados directamente.
5.82. E ncuentre las funciones f (z) que sean analíticas en todas partes del plano complejo y que satisfagan las condiciones
a) f (2 − i) = 4i y b) | f (z)| < e2 para toda z.
5.83. Sea f (z) analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C. Demuestre que
1 2ðp f (n)(a) 1 2ðp
2p n! 2p
a) f 0(a) ¼ e�iuf (a þ eiu) du , (bb)) ¼ e�niuf (a þ eiu) du
00
5.84. Demuestre que 8z4 − 6z + 5 = 0 tiene una raíz en cada cuadrante.
5.85. Muestre que (a()a)Ð02Ðp02peceocsous ucocso(ss(esnenu)ud) udu¼¼0,0, (bb()b))Ð02Ðp02peceocsous usesne(ns(esnenu)ud) udu¼¼2p2p. .
5.86. E xtienda el resultado del problema 5.23 de manera que se obtengan fórmulas para las derivadas de f (z) en todo
punto en .
5.87. Verifique que z3e1−z = 1 tiene exactamente dos raíces en el interior de la circunferencia |z| = 1.
5.88. Suponga que t > 0 y que C es una curva simple cerrada que encierra a z = −1. Demuestre que
þ � t2�e�t
1 zezt t 2
2pi (z þ 1)3 dz ¼ �
C
5.89. Encuentre todas las funciones f (z) que sean analíticas en |z| < 1 y que satisfagan las condiciones a) f (0) = 1 y b)
| f (z)| ≥ 1 para |z| < 1.
www.FreeLibros.me
Problemas complementarios 167
5.90. Sean f (z) y g(z) analíticas en el interior de una curva simple cerrada C y sobre ella, excepto que f (z) tiene ceros
en a1, a2,…, am y polos en b1, b2,…, bn de órdenes (multiplicidades) p1, p2,…, pm y q1, q2,…, qn, respectivamente.
Demuestre que
1 þ g(z) f 0(z) ¼ Xm � Xn
2pi dz pk g(ak ) qk g(bk )
C
f (z) k¼1 k¼1
5.91. Suponga que f (z) = a0zn + a1zn−1 + a2zn−2 + … + an, donde a0 0, a1,…, an son constantes complejas y C
encierra todos los ceros de f (z). Evalúe
11 þþ zz ff0 (0 (zz)) 11 þþ zz22 ff0(0(zz))
22ppii ddzz
a) ((bb)) 22ppii ddzz
ff((zz)) ff((zz))
CC CC
e interprete los resultados.
5.92. E ncuentre todas las funciones f (z) que sean analíticas en la región |z| ≤ 1 y que sean tales que a) f (0) = 3 y
b) |f (z)| ≤ 3 para todo z tal que |z| < 1.
5.93. Demuestre que z6 + 192z + 640 = 0 tiene una raíz en el primer cuadrante, una raíz en el cuarto cuadrante, dos
raíces en el segundo cuadrante y dos raíces en el tercer cuadrante.
5.94. D emuestre que la función xy(x2 − y2) no puede tener un máximo o un mínimo absoluto en el interior de la
circunferencia |z| = 1.
5.95. a ) Si una función es analítica en una región , ¿es acotada en ? b) En vista de su respuesta al inciso a), ¿es
necesario que en el teorema de Liouville f (z) sea acotada?
5.96. Encuentre todas las funciones f (z) que sean analíticas en todas partes, tengan un cero de orden dos en z = 0,
satisfagan la condición | f ′(z)| ≤ 6|z| para toda z y que sean tales que f (i) = −2.
5.97. D emuestre que todas las raíces de z5 + z − 16i = 0 están entre las circunferencias |z| = 1 y |z| = 2.
5.98. S ea U armónica en el interior y sobre una curva simple cerrada C. Demuestre que
þ
@U
@n ds ¼ 0
C
donde n es una unidad normal a C en el plano z y s es el parámetro longitud de arco.
5.99. Un teorema de Cauchy establece que todas las raíces de la ecuación zn + a1zn−1 + a2zn−2 + … + an = 0, donde
a1, a2,…, an son reales, están en el interior de la circunferencia |z| = 1 + máx{a1, a2,…, an}, es decir, |z| = 1 más
el máximo de los valores a1, a2,…, an. Verifique este teorema para los casos especiales:
a) z3 − z2 + z − 1 = 0, b) z4 + z2 + 1 = 0, c) z4 − z2 − 2z + 2 = 0, d ) z4 + 3z2 − 6z + 10 = 0.
5.100. Demuestre el teorema de Cauchy del problema 5.99.
5.101. Sea P(z) un polinomio. Si m es un entero positivo y v = e2pi/m, demuestre que
P(1) þ P(v) þ P(v2) þ � � � þ P(vm�1) ¼ P(0)
m
y dé una interpretación geométrica.
5.102. ¿ Es válido el resultado del problema 5.101 para toda función f (z)? Justifique su respuesta.
5.103. D emuestre el teorema de Jensen: Suponga que f (z) es analítica en el interior y sobre una circunferencia |z| = R,
excepto en los ceros en a1, a2,…, am de multiplicidades p1, p2,…, pm y en los polos b1, b2,…, bn de multiplicidades
q1, q2,…, qn, respectivamente, y suponga que f (0) es finita y diferente de cero. Así,
1 2ðp ln j f (Reiu)j du ¼ ln j f (0)j þ Xm pk �R� � Xn qk �R�
2p ln ln
0 k¼1 k¼1
jak j jbk j
[Sugerencia: Considere Þ ln zf f 0(z)=f (z)g dz , donde C es el círculo |z| = R.]
C
www.FreeLibros.me
168 Capítulo 5 Fórmulas integrales de Cauchy y teoremas relacionados
Respuestas a los problemas complementarios
5.30. a) e2, b) 0 5.54. 17
5.31. 2pi 5.61. 10pi
5.32. a) �2pi, b) 0
5.33. a) 0, b) �12 5.62. �2
5.35. �pi 5.63. a) 14pi, b) 12pi, c) 2pi
5.38. a) pi=32, b) 21pi=16
5.64. 4pi
5.74.
1 � (2=p) tan�1(y=x)
5.75. � �
1 � � 1 tan�1 x y 1 � 1 tan�1 � y �
2 p þ p � 1
5.39. (sen t t cos t) 1 x
5.50.
5.51. b) 1, 1, �1 +i 5.79. i
i21,��12�1�+i +ppffi3ffiffiiffi1ffi�ffiffi,5ffiffi�12,�1
5.52. a) + pffiffiffiffi � 5.80. �2pit2
b) 3i 5.91. �a1=a0, b) (a21 � 2a0a2)=a02
1/4
www.FreeLibros.me
Capítulo 61
Series infinitas,
series de Taylor y series
de Laurent
6.1 Sucesiones de funciones
Las ideas del capítulo 2, en las páginas 48 y 49, sobre sucesiones y series de constantes se amplían con facilidad a
sucesiones y series de funciones.
Sea u1(z), u2(z), . . . , un(z), . . . , que se denota en forma breve {un(z)}, una sucesión definida de funciones de z y
unívoca en una región del plano z. El límite de un(z) cuando n → ∞ se denota U(z) y se escribe límn→∞ un(z) = U(z),
si dado un número positivo e puede hallarse un número N [que suele depender de e y de z] tal que
|un(z) − U(z)| < e para toda n > N
Si es así, se dice que la sucesión converge o es convergente a U(z).
Si una sucesión converge para todos los valores (o puntos) z en una región , se dice que es la región de con-
vergencia de la sucesión. Si una sucesión no converge en algún valor (punto) z, se dice que es divergente en z.
Los teoremas sobre límites de la página 49 se extienden a sucesiones de funciones.
6.2 Series de funciones
A partir de la sucesión de funciones {un(z)} se forma una nueva sucesión {Sn(z)}, que se define de la manera siguiente:
S1(z) ¼ u1(z)
S2(z) ¼ u1(z) þ u2(z)
... ...
Sn(z) ¼ u1(z) þ u2(z) þ � � � þ un(z)
donde Sn(z), que se conoce como la n-ésima suma parcial, es la suma de los n primeros términos de la sucesión
{un(z)}.
La sucesión S1(z), S2(z), . . . o {Sn(z)} se representa simbólicamente como
X1
u1(z) þ u2(z) þ � � � ¼ un(z) ( (6.1)
y se llama serie infinita. Si límn→∞ Sn(z) = S(z), se n¼1
así, se dice que la serie es divergente. En ocasiones dice que la serie es Pco1nn¼v1erugneA(nz)tseceyorimeqsouePAS(n1uzs¼)ne1(rezuis)ensso(zuP)sun1um¼n1ap;uansr(iazn)soimes-
plificar. se escribeAtasmebriieésn
If P1 un(z) If P1 uInf(zP) Pn1¼n1¼1 1unju(zn)(z)j P1 jun(zP)j 1n¼1 ju
n¼1 n¼1 n¼1
www.FreeLibros.me
170 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
Como ya se dijo, una condición necesaria para que una serie (6.1) converja es que límn→∞ un(z) = 0, pero esta con-
dición no es suficiente. Véase, por ejemplo, el problema 2.150, así como los problemas 6.67c), 6.67d) y 6.111a).
Si una serie converge para todos los valores (puntos) z en una región , se dice que es la región de convergencia
de esa serie.
6.3 Convergencia absoluta
sIcfePgSoreeinPnn1eSd¼dtseii11nc.P¼jeu1 nq1nu(¼unz1e()zju,,uA)ncn(oazsIn)fesvrceeiPorerignsPeven1P¼.en1r1¼gn1u1e¼n,u1(npzu()eznr)(oPz)cP1nco¼on1n1n¼dvj1uejrnug(nze()zja)bj,snooPluct1noa¼nm1vejenurtnge(ez,s)ijsecoAdnivcsIeeferrgqiPeeusel1naP¼s1e1nur¼ine1(Pzud)ne1n(¼zs1)uusensv(zac)loonrcPdeoiscnn1ia¼dPob1nsn1jaou¼lPlmnu1(tuezn1o¼)nnsj(t1,,ezj)eucsnocP(dnozev)nn1cje¼dirr1-, jun(z)j,
P1 A
un(z)
n¼1
(z)j
6.4 Convergencia uniforme de sucesiones y de series
En la definición de límite de una sucesión de funciones se indicó que, en general, el número N depende de e y del
valor particular de z. Sin embargo, puede ocurrir que se encuentre un número N tal que |un(z) − U(z)| < e para toda
n > N, donde ese mismo número N sirve para toda z en una región [es decir, N sólo depende de e y no del número
(punto) z particular en la región]. En ese caso se dice que un(z) converge uniformemente a U(z), o que es uniforme-
mente convergente a U(z), para toda z en .
De manera similar, si en una región la sucesión de sumas parciales {Sn(z)} converge uniformemente a S(z), se dice
que, en esa región, la serie infinita en (6.1) converge uniformemente, o es uniformemente convergente, a S(z).
A Rn(z) = un+1(z) + un+2(z) + . . . = S(z) − Sn(z) se le conoce como el resto después de n términos de la serie
infinita en (6.1). Así, de manera equivalente, se afirma que la serie converge uniformemente a S(z) en si, para todo
e > 0, puede hallarse un número N tal que para toda z en ,
jRn(z)j ¼ jS(z) � Sn(z)j , e pfoaraatlol dna>n >NN
6.5 Serie de potencias
Una serie de la forma
a0 þ a1(z � a) þ a2(z � a)2 þ � � � ¼ X1 an(z � a)n (6.2)
n¼0
seeexl iplEslrtaosembcullaeanmrsonearúqim6ue.ee1drl3eoabps)poe]o.rteisPeintedcirvieoao,pseRoentnetganzlecn−qiaeusreaa(.l6(,E6.e2.ss2)tta)caocssneoervnrieiveereg(cr6ejoa.p2npva)areearrnagzeo|=zctaa−ams,ioybani|éées<nsteesRpneuyoeestddrcoeirvsisbeeperruj,aendltpeoúasmnr.aiacEno|nzepre−uasneaatAbco|ar>eessInvofeRi,eraipl,Pdequyasue,1npdeP¼aec1romn1aua¼nnno|v1(zs(ezuzt−)rrnja−a(raz[s)|ave)é=qna.usRee P1 jun (z
n¼1
pueda converger o pueda no converger.
Geométricamente, si Γ es una circunferencia de radio R con centro en z = a, la serie (6.2) converge en todos los
puntos interiores de Γ y diverge en todos los puntos exteriores de Γ, y sobre la circunferencia Γ puede converger o
puede no converger. Se considera los casos especiales en los que R = 0 y R = ∞, respectivamente, son los casos en los
que (6.2) converge sólo en z = a o converge para todo valor (finito) de z. Debido a esta interpretación geométrica, R
suele conocerse como radio de convergencia de (6.2), y el círculo correspondiente, como círculo de convergencia.
www.FreeLibros.me
6.6 Algunos teoremas importantes 171
6.6 Algunos teoremas importantes
A manera de referencia se presenta a continuación una lista de algunos de los teoremas más importantes relacionados
con sucesiones y series. Muchos resultarán familiares por sus análogos para variables reales.
A. Teoremas generales
Teorema 6.1. Si una sucesión tiene un límite, este límite es único [es decir, no hay otro].
Teorema 6.2. S ea un = an + ibn, n = 1, 2, 3,. . . , donde an y bn son reales. Así, una condición necesaria y
suficiente para que {un} converja es que {an} y {bn} converjan.
Teorema 6.3. S ea {an} una sucesión real con la propiedad de que
i) an+1 ≥ an o an+1 ≤ an
ii) |an| < M (una constante)
Así, {an} converge.
Si se satisface la primera condición de la propiedad i), se dice que la sucesión es monótona
creciente; si se satisface la segunda condición de la propiedad i), se dice que la sucesión es
monótona decreciente. Si se satisface la propiedad ii), se dice que la sucesión es acotada. Por
tanto, este teorema establece que toda sucesión monótona (creciente o decreciente) y acotada
tiene un límite.
Teorema 6.4. Una condición necesaria y suficiente para que {un} converja es que, dado un e > 0, pueda
hallarse un número N tal que |up − uq| < e para toda p > N, q > N.
Este teorema, que tiene la ventaja de no requerir del límite mismo, se llama criterio de
convergencia de Cauchy.
Teorema 6.5. eL Usansamucfuiocltniiedpnilcitceióa. cniónnecdeesacraidaAapmasIrifaeermqiPeubsern1oP¼1d1neuu¼nun1(nzcua)onns(vze)erirejapeosr que límn→∞ un = 0. Pero esta condición no P1
Teorema 6.6. una consPtan1nt¼e1djiufne(rze)njte de cero no afecta la
n¼1
convergencia o divergencia de la serie. Si dada una serie se le elimina (o se adiciona) un número
finito de términos, esto no afecta la convergencia o divergencia de la serie.
Areanle, ciesstshTBaaerAr.ty eoPaTanlrnee,1ndceoi¼essm1rsutsahefaanfiarmtcya6ianP.ea7dns.1n tdP¼scs1U rooun1ean¼nfabnfid1laeircabtscinen,eoodennnccstoPdtcqonihcouvan1nine¼tóevdr1nPgiebtenArinr1noe.e¼agnccn1loee,tea(snhcanianvaesnrytescitþasrPhiagaayriet1nby.¼ansPa1u)bnbf(c1nidasno¼cnionsc1euoþvanlfnentfiuevricbgaetipnnereaj)asdan,rcntaPwo.cnqho1nvuen¼eerd1erigbctaieononsnnc,avownetnhrdhjvaaebternrPegaaern1n.e¼a1n(danbþn airben),cdoonnvdeergaens,ywbhnerseoann and bn are
Teorema 6.8. I SIffi PP1n1n¼¼11jujunnjjccocononvnveveregrrgeg,eessn,,ttohthnecenensPP1nn1¼¼11uunn ccoonnvveeerrgrggee.esEs..sIIdnnewcwiro,orurddnssa,,saeanrnieaababbssosoolulluutettealylmyeccnootnenvvceoernrggveennrtgtente
seseserrcieioesnsvisiesrcgcoeonnnvtveee.rrggeennt.t.
Teorema 6.9. Los términos de una serie absolutamente convergente pueden reordenarse de cualquier manera,
y todas esas series reordenadas convergen a la misma suma. Asimismo, la suma, diferencia y
producto de la serie absolutamente convergente son absolutamente convergentes.
Esto no ocurre con las series condicionalmente convergentes (véase el problema 6.127).
C. Criterios especiales de convergencia
Teorema 6.10. (Cabr))i teII rffSSIIiIIffPoPiiffPPPdPPejjvvljjjnjnavjvvvjvjnnnncndjjjcjojicdoccdvmcoinooievonpvvnnrenvaegevvrverrrgeergaegserrgreceggseagyisseeóneaIyssa|fandsnunn|)aadPnuajddnn|unnjddj|nu≥djuju≤njvjnjjn�uu|njuvjn�|njn�vnj�jcj|nv,��j|o�njv,ejvnjvnen,jnjvjnjnvvtj,vjeoh,nnt,tnorjnjtehjg,t,hncn,heettcentehhsPnehsneesPeaPnnnPnjdPPuPjjnujuujnunnuudjnujnncijdcndvoio�ccievcnvnooreovevegnnjrnervreevgvrvngrsgeejege,rserbrseggtgpubasheebeetbusseuarssPtnotbaoaPaPsbblPbuossustloonauouullmunltuumnuenttmeltemeapyencllyaul.oytyayeyeon.y...drvooeermrrcmgmaoeyanasyvnyeaonnrbtogosteotrluotely.
concIcfnooov.Pnnevvreegjrvreggn.eje..diverges IafnPd jujnvjnj�dijvenjr,gtehseannPd jujunjnj�dijvenjr,gtehsebnuPt Pjuunjn dmivaeyrgoersmbauyt nPot un may or may not
converge. converge.
www.FreeLibros.me
172 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
Teorema 666666......111111cII342516ffo...... PnP((((((vCCCCCCerrrrrrjjrviiiiiivgttttttnneeeeeeejjrrrrrr.diiiiiicooooooiovddddddneeeeeeevrlgelRlGlaacareagaosirsaucenaeabisstríeneescIIzIinadg)fffe)oLdn n trPnPefajicII-ade uTcSvI)(ffélonScltmSe fxottLLlnIdLseu)hLdjPnoePeísful)je iujnr ijmfpLdeeee>iítrmsnvvev.apgSLTcSavn�df(� nntpnittcIIvnmetenITcSoxoMejvtLLlSdL(effuaihtaojojfpljletejí<frntxol)NtsLLlendLnvLda.Ieur)ii�ívmh1íip!PejePagnei0ínersíP!dsrmmlvf). gc)fnvngoridinmpg�eu.teLdeneeitítiteslfvmTcSiv.vg1o(jen1Meljfdaseaí�n fi1tevpnttteij(o.nnmlxlsoEstLLelefmdLjneeturMeisTcSnohrsSd��)vvMnx(iií1a!!ce!uíbPeoj,yaL.i0llqjls)!gf��treuÐn nctmrimrsxmonnpLtLlnevvrdLei)eiíeuíi1vd!lPoshunarineg0i!itvs.aI!ggeíusove!mmfndMll)j�111nttdonlLp nfhtg→atraneimftp.1fmeeinieenyuíxe,nn≥þseo>eMeesnve.neShgj1ilofj��aid1nncdroLee1fþ�lal!t!upn1fttnLvn..nltrs∞svmsfnn��ntnupÐ1rand<gieíoo1M��eed!Pinroatnis0iiadi!!usl!cghnuL1.n!�!ommgaIel(l��=euÐ1fac1ovnf�nftMtrlins1e01.riei|idiilní1oft=.!uxP1aneeaoaniI0cyxdarns!jffirþgenuda1euvlfnfPMm.lmanh1e1sn1fMffio1d1c1ftLu.nLnþgvgy)usnsnneniyixiffinnþasnsfoea��þonpnn1epnhar�ffia1e!I!uoldcfa�oLaLþn.ii1fne��þneednffiu1Ð1av�+nncf(dg��s=nsp11farr.1v≥dy�afffiid1ealno��.o�unnnniPj,inaI��a!n=!uffix11rs�nL.nfgn(.e1Mel=ffij1n1��11ueÐv�jfsr.nin¼.ft.ffi��rgiLnan�yixdj=ulLx1þv)u0ut¼/nvsaffiaIddrjhn¼euisnaIffi.nnudfuceMlaLrþ�1ffi1hdIlac�u0Leffiv)uft.g1nfdnnffip1,e1fuynxasþiga��ffiemnLfgo1rn�hnffiinni¼Ian��o1ffidecv�usLj,xþ,1nj(��oaedffi=nje1r.1rnxv�nn.fgffi��jnþffL.enap11jffiúLLnuad1¼e=�x1gn��ogj,Le�ni��uinffi|jffirensnu01t¼r2x>�a.d.(e¼=es1ffiIuv��n1f(¼n.≥nuLnvn)u.��hgcL.�reneffi�1n=v01xn1t¼=an,fn¼iraþffij�snffi¼uIj=Iugaþc.�ajnech¼odnTfficednffiee1sjvTuL11+v)ugu,��toae,f.fr1ffibffi1þaLuo�an1nnej,Lr¼L�eoffi��(Inffionera�ns�x1e.joaena.hrednenffi�1r12thþLjg��L¼sa.fL��gþ1LnLLn�n1�ffi(v.da1vnn�0ct¼g.nshj,u1�r��j¼vffirr2sssIexuo.2aþe¼��eh=S�n1.v(þcn.≤e=¼ucn1g1To.e,3��gvL,�f1eTivien,j0t¼�n�aþbnl¼¼n¼=ejjsjþþIuP1oeeEsci1oTvnrh(oaleen.cTsjeuet,vu1,eLþhLr�aL,fabthLntsuj1Lrnnot¼hnn1¼(a1rnL)svPoegrn2hsraa1n�ahPtroatn.�geteho�n1(ns.þetLoL��ajgnj.LLa1eg1=nenhvg≤,3hnejvdtn�eeonj>þaþ¼ve=,rb2�onsEþee�l�cnT,=oorfP�n1�(e=lT.n,3e,rvee.eLes3ou1btfvtnn�nu�1�yual�naþttoj¼(p=gP(ntþnst¼hncsTohnr)PsuedjTtrhe(t1v.uPt,usd�.cheLa(n�en1bftn)aonua1eg,t¼hthcoeag�1e()PrrecosnPtiþ.eeaahrn��ionesetnh)T�.o=csPr¼PLnj,3rfvneeEgvbeleeva1tnet,gj�nhnicLþ�slnfibtvasenPnoy�othenn��r,f(Ssflccsuehl=seteceso,3ev�Londeafeetnufu.�sny(n�sctt¼hlfn)(ne)otPPoorrsroionPtPenasPdresjecnuetsuotiun.a¼L.oh(nn��neaf))Tegjcjegn¼u,odltt¼hvnnþninr)tPcs2sLnriiadau�Ptinlnusareef)Tnnclno¼lnoee=fvncnLcieghluefctvtt)v=niv..yi�sþntifn(nPstto�nh(1sofnPsrcfcohdloleccepco==uePeuataj.ne.ei(nLm�ejffft)�¼Lw.sy�.tnegue(,ooordicrosnPeinasrnnmoainPrnrnnd21re)T¼uL.ucd.¼o(n�vf1g)llnutdengsgnnninainghiniv2)v12rvc.s,iy21oanncnuifnct)Tclhlc(eejc1¼e=uPseivyeeav)vfetev.,.i)nissio.,�wnPt2oaona(1n.o,ronPsPeban,dfnccsnslhlecs=re¼.Lj.eirrer�fwg3nodnlse,.cn1n�tundonineaogog2i,roghPer2arn1cmyre((cl¼L.ves,vo1oridgv)vguo3ngnd1v.ghneneas2n1aineaoe,2))tnto(1j.ePsuanerjluaeee.nm,eieneasaniesleecvbsv)bvr,�w)n.so..r3n,oatnndlvr(1f�nsPsdrnenrsnsldrsrnnng.edes.seiyvg1(.3(�cwnplg,vaignoe�.dgihe2,ot1�1jideoor.acaryeriLr(v(cbcoeeej.u,voyrrde1eeargaaeev1g,gn)Lgah.a1acb2lobl1i,gauoojr.esu|nn(dsenrrslauufnsreusneeeacbbin,egd3ns,ns)ynlaee.gr�nnnedtvarifibnttdnryjsn>slnnoo(ds(rcgnvei,boLabso.vsgdce3eeov(ivnMl1giP�L|aaaevjuoololnlj.i,Lsyeeavbsct(ao(rclelsa1,íeoerdeauuclbvnbi<1tylyl,,aa.omnrbgsoddes<irogr1sfj.non.ruunarsnardttgsedsn(m,cb.Pbigf)g)olsúvrngii.eneegvMndjgaubofobttdunornovieILovngMocdsseeaylnve.eeilielsa1Mvg→vebfvinenslll,utjurroofyfoyelesiscLvrelcliusu1an!.seoereedlu(s,avrrt(yymt∞gruldlf,)smn)Lc.raiLLopgmeattc.gdSroreersaluuantgo(oemIgf,)P)e1eeoinvaMlggugbaraiineosleabflvniaoottdaIlrerr¼eeffglls,,a1ycrunmeiriueetesslee!vmMbnfgnyeysLnyrsra.fnfdeiancLeo..s.arLLsits!llls1co!(esmrvelf))neenlyttyguiLec1os.=aaLLl1lgaio=coooto1.1ayIrelnse.lnua(lm¼gg1foi)i)oen,,lyr1ubfg,neo¼rd)ynlrra.ffrgloocIa¼ttdúú,,s!nrduaaatiisegmneao10bf)nvtmsoaLcrdr.aenfLfLninoncnncaoN1ths!)-ea11iv.,,ns01.orenlliinLco1a.addLLl,ea¼c11ssolynf¼er.g,,,.lru1omyaaln,¼yogyald.r)gtnl¼t,,aannruNhvgnea)teni0oaa1dninnN1h1ddntneeea.sslvf0y,.reni,io¼ddy1ergss11fne,..aalmgt,)tn¼yrgnnNhaaea0go)tiaddennssNhf,.eat0yiddessf,.not
Teorema
Teorema
Teorema
Teorema
Teorema
D. Teoremas sobre convergencia uniforme
Teorema 6.17. (Criterio M de WieirAstrsaesrsie) s PSi 1n|Mu¼n1n(uzc)no|(n≤zv)eMrgne,,dAeonntsdoeenricMeessn es independiente de z en una región y
P1nu¼n1(zu)n(ezs)uniformemente convergente
P1en .
If un(z) If Pn1P¼1 n1u¼n1(zj)un(z)j P1 jun(z)j P1 un (z)
n¼1
n¼1 n¼1
Teorema 6.18. La suma de una serie uniformemente convergente de funciones continuas es continua, es decir,
eCsS isueupcsnoo(unnzn)tgiaanesucqaucuroeevnna{tiuennnu.(za)}e.nAessícA,oynððSsItfie(SSnzr((u)iPzzea=))sdden1P¼nzz 1¼¼1nAuu¼,nnðð1((SsIzzuuufe())z11nr)i((e(Pezzzs=s)))un1ddP¼nzzi1fþþn1uou¼rnnððm1((zzuuue))n22me(((zzzse)))nuddtnezzPifþþcoo1nrn��¼mv��1ee��jrmugnee(nnztt)eejPceonn1n¼v1e,jruegnne(tnzot)nejceens
S(z) P1 u
y
Teorema 6.19. n¼1
CC C
CC C
o
ðð nn XX uunn((zz))oo ddzz ¼¼ XX ðð uunn((zz)) ddzz
CC
Es decir, una serie uniformeCmente continua de funcioCnes continuas puede integrarse término
por término.
Teorema 66sI..fe22r01iPe..A s 1nP¼S SS sIfe(1uuzrn1ppuu)iP¼eoonn=1s(nn(zzn1ugg))P¼naa1c(qqzo1nuu)uu¼nnneev1((zzeuu{))r'unnge((nezzs())zea)=nn}ae(ldsí.t/iaEcdnanzPa)telouínt1nAnni¼(ccz1aeA)sI.sjfeyePu,rxns(qIiPidefe(u1nszsr/¼te)ien1Pd1ejP¼zesAj1)unn1n1P¼unu¼sIA(n1nfez1((1n,u)ruzz¼ujqisnI))Pnen1fe(u(es(zzruesz)1n)iPn)eP¼u=(s1nzn1)1niuuP¼f¼n'o1n1((rn1uzuzum¼)n)'nn1(ec((zzmuzo)))nn.e(vnze)tregPceou1nPn¼nv1ien1f¼rjoug1rPnemj(nuzePtn1n)em¼j(ze11neP)n¼unjP1tn1ne(j¼zu1n.e1)¼nEn(j1nuzcPu)tnoojn(ny1nn(z¼zd)cq)j1eusjec,Puon n(n1z¼d)1j,jun
A
Teorema
(z)j, P
www.FreeLibros.me
6.8 Algunas series especiales 173
E. Teoremas sobre series de potencias
Teorema 6.22. U na serie de potencias converge uniforme y absolutamente en toda región comprendida en el
interior de su círculo de convergencia.
Teorema 6.23. a) Una serie de potencias se diferencia término por término en el interior de su círculo de
convergencia.
b) Una serie de potencias se integra término por término a lo largo de cualquier curva C
comprendida en el interior de su círculo de convergencia.
c) La suma de una serie de potencias es continua en toda región comprendida en el interior de
su círculo de convergencia.
Estos incisos son consecuencia de los teoremas 6.17-6.19 y 6.21.
Teorema 6.24. sd (sToeoerbniorederseeldmazeac→pirdoceztue0nAndfcbeeiesradles)ne. ceiSlaeidnaeteRcroioenlrvrdearedglieconícrdciAeau,lcotsIoafedlnrevqiPeeucsreog1nAnP¼evn1esIcn1uafre¼ingnar1(ziePze0ndun)secnc1n(oiP¼zan).1vEn1uea¼rnsnj1(zafzuná.)ncAy(ilszsí)Ae,uflpeíosmIcfentzurgi→Paearszqn1e0n1¼xuP¼A1te1ej1nunazsIu¼fn0esnn1(zirP(eozinuzPes)n)=nsn1je(u¼n1sznP¼)1a1jpun1uoau¼ntnnnr(1(zatzz0nuos)),jn(z) P1 jun (
n¼1
6Te.7o r eTmeoar6.e25m. amS duapneAoenrTagsIafeaerqyqiPeuulsiev1nAoaP¼l1resIn1nuafe¼tnnre1(ziP,zenu)ssnci1n(oP¼zAn)1v1nuaesI¼nfern1g(zrznieuP)en=as(n1zcP¼)e1ro1nub¼nnp1(zaznuPr)npa(a1ntzro¼)ad1tajouzdnatP(azzl)1njtq¼aul1eqju|uzne|(Pz<|z)|jn1R<¼,1dRjou,nned(nzet)ojRnc>es0a. nA=sí,ban.n = 0. De P1 junP(z)1j
n¼1
P1 un (Pz) n1¼co1 nudn(zP) 1nc¼o1nn
n¼1
Sea f (z) analítica en el interior y sobre una curva simple cerrada C. Sean a y a + h dos puntos en el interior de C.
Entonces,
f (a þ h) ¼ f (a) þ hf 0(a) þ h2 f 00(a) þ � � � þ hn f (n)(a) þ � � � (6.3)
2! n!
o, al escribir z = a + h, h = z − a,
f (z) ¼ f (a) þ f 0(a)(z � a) þ f 00(a) � a)2 þ ��� þ f (n)(a) � a)n þ � � � (6.4)
2! (z n! (z
Esto se conoce como teorema de Taylor, y la serie en (6.3) o (6.4), como serie de Taylor o expansión de Taylor para
f (a + h) o f (z), respectivamente.
La región de convergencia de la serie (6.4) está dada por |z − a| < R, donde el radio R de convergencia es la dis-
tancia de a a la singularidad más cercana de la función f (z). Sobre |z − a| = R, la serie puede o no converger. Para
|z − a| > R, la serie diverge.
Si la singularidad más cercana de f (z) se encuentra al infinito, el radio de convergencia es infinito, es decir, la serie
converge para toda z.
Si en (6.3) o en (6.4) a = 0, se obtiene una serie de Maclaurin.
6.8 Algunas series especiales
En la lista siguiente se presentan algunas series especiales y sus regiones de convergencia. En el caso de funciones
multivaluadas se emplea la rama principal.
1. ez ¼ 1 þ z þ z2 þ z2 þ � � � þ zn þ � � � jzj , 1
2. sen z 2! 3! n! jzj , 1
¼ z � z3 þ z5 � � � � (�1)n�1 z2n�1 þ � � �
3! 5! (2n � 1)!
www.FreeLibros.me
174 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
3. cos z ¼ 1 � z2 þ z4 � � � � (�1)n�1 z2n�2 þ � � � jzj , 1
2! 4! (2n � 2)!
4. ln(1 þ z) ¼ z � z2 þ z3 � � � � (�1)n�1 zn þ � � � jzj , 1
23 n
5. tan�1 z ¼ z � z3 þ z5 � � � � (�1)n�1 z2n�1 þ � � � jzj , 1
3 5 2n � 1
6. (1 þ z)p ¼ 1 þ pz þ p(p � 1) z2 þ � � � þ p( p � 1) � � �( p � n þ 1) zn þ � � � jzj , 1
2! n!
En esta lista, observe que en la última línea se tiene el teorema o fórmula del binomio. Si (1 + z) p es multivaluada,
el resultado es válido para la rama de la función que tenga el valor 1 para z = 0.
6.9 Teorema de Laurent
Sean C1 y C2 circunferencias concéntricas de radios R1 y R2, respectiva- y C1
mente, y centro en a [figura 6-1]. Suponga que f (z) es unívoca y analítica
sobre C1 y C2, así como en la región en forma de anillo [también lla- C2
mada región anular o corona] entre C1 y C2, que aparece sombreada en la
figura 6-1. Sea a + h un punto en . Así, se tiene R2
a
f (fa(aþþh)h¼) ¼a0aþ0 þa1ah1hþþa2ah22hþ2 þ� ����þ� þah�a1h�þ1 þah�a2h2�2þ2 þah�a3h3�3þ3 þ� ���� (�6(:(656:).55)) R1 a + h x
Figura 6-1
donwdewhehreereanan¼¼21p21pi þi þ(z(�zf�(afz)()anz)þ)n1þ1dzdz n n¼¼0,01, ,12, ,2.,.... .
a�an�n¼¼21p21pi Cþi1Cþ(1z(�z �a)an)�n1�f1(fz()zd)zdz (6(:(66:).66))
.
n n¼¼1,12, ,23, ,3.,....
C1C1
y donde C1 y C2 se recorren en dirección positiva respecto de sus interiores.
En las integrales anteriores pueden reemplazarse C1 y C2 por cualquier circunferencia concéntrica C entre C1 y C2
[véase el problema 6.100]. Así, los coeficientes (6.6) se escriben en una sola fórmula,
1 þ f (z)
2pi � a)nþ1
an ¼ (z dz n ¼ 0, +1, +2, . . . (6.7)
C
Mediante un cambio apropiado de notación, lo anterior se escribe como
ff((zz)) ¼¼ aa00 þþ aa11((zz �� aa)) þþ aa22((zz �� aa))22 þþ �� �� �� þþ aa��11 þþ aa��22 þþ ���� �� (6.8)
zz �� aa ((zz �� aa))22
donde aann ¼¼ 11 þþ ((zz ff((zz)) ddzz nn ¼¼ 00,, ++11,, ++22,,...... (6.9)
22ppii �� aa))nnþþ11
CC
Esto es el teorema de Laurent, y (6.5) o (6.8), con los coeficientes (6.6), (6.7) o (6.9), la expansión de Laurent o serie
de Laurent.
La parte a0 + a1(z − a) + a2(z − a)2 + . . . se conoce como parte analítica de la serie de Laurent, mientras que el
resto de la serie, que consta de las potencias inversas de z − a, es la parte principal. Si la parte principal es cero, la
serie de Laurent se reduce a una serie de Taylor.
www.FreeLibros.me
6.10 Clasificación de las singularidades 175
6.10 Clasificación de las singularidades
Las singularidades de una función f (z) se clasifican al examinar su serie de Laurent. Para esto, en la figura 6-1 se
supone que R2 = 0, de manera que f (z) es analítica en el interior y sobre C1, salvo en z = a, que es una singularidad
aislada [véase la página 81]. En lo sucesivo, a menos que se indique otra cosa, todas las singularidades se conside-
rarán singularidades aisladas.
1. Polos. Si f (z) tiene la forma (6.8) y la parte principal sólo tiene un número finito de términos dados por
a�1 þ (z a�2 þ � � � þ (z a�n
z�a � a)2 � a)n
donde aw−hnere0a,�enn=ton0c,etshzen=za¼esauinspcoalloleddeaorpdoelne no.fSoirnde=r n1., eIfs nun¼po1l,oitsiims pclael.led a simple pole.
Si f (z) Itfiefn(ez)uhnapsoalopeonlez a=t za,¼enat,onthceens límz!a f (z) ¼w1he[rveseéaae�sPenr=eolbp0lre,omtbhle6enm.3za2]¼6..3a2]i.s called a pole of order n. If n ¼ 1,
2. Singularidades removibles. Si una función unívoca f (z)wnhIoefrsfee(zad)�ehnfia=nsea0e,nptohzlee=nazat z¼pe¼aroaise, xtchiasetlenledlíma zp!oalef o(zf),o¼rd1er [ns.eIef Pnro¼bl1e,m
entonces z = a es una singularidad removible. En tal caso, f (Izf) efn(zz) =haas saepdoelfeinaetczom¼oai,guthaelna límz!a f (z),¼ 1 [see Problem
con lo que f (z) es analítica en a.
Ejemplo 6.1: Si f (z) = sen z/z, entonces z = 0 es una singularidad removible, pues f (0) no está definida pero
límz→0 sen z/z = 1. Se define f (0) = límz→0 sen z/z = 1. Observe que en este caso
sen z ¼ 1 � � z3 þ z5 � z7 þ � � � ¼ 1 � z2 þ z4 � z6 þ � � �
z z z 3! 5! 7! � 3! 5! 7!
3. Singularidades esenciales. Si f (z) es una función univaluada, toda singularidad que no sea un polo o una
singularidad removible es una singularidad esencial. Si z = a es una singularidad esencial de f (z), la parte
principal de la expansión de Laurent tiene una cantidad infinita de términos.
Ejemplo 6.2: CSoinmcoe e1=z ¼ 1 þ 1 þ 1 þ 1 þ � �� , z ¼ 0 es una singularidad esencial.
z 2!z2 3!z3
Los dos teoremas siguientes relacionados con singularidades esenciales son importantes (véanse los proble-
mas 6.153-6.155).
Teorema de Casorati-Weierstrass. En toda vecindad de una singularidad esencial aislada a, una fun-
ción f (z), que de otro modo sería analítica, se acerca arbitrariamente a todo número complejo un número
infinito de veces. En símbolos, dados números positivos d y e, y un número complejo A, en el interior del
círculo |z − a| = d existe un valor de z para el que |f (z) − A| < e.
Teorema de Picard. En la vecindad de una singularidad esencial aislada a, una función f (z), que de otro
modo sería analítica, toma todo valor complejo salvo quizás una excepción.
4. Puntos de ramificación. Un punto z = z0 se llama punto de ramificación de una función multivaluada
f (z) si las ramas de f (z) se intercambian cuando z describe una trayectoria cerrada en torno a z0 [véase
la página 45]. Un punto de ramificación es una singularidad no aislada. Como cada rama de una función
multivaluada es analítica, son aplicables todos los teoremas para funciones analíticas, en particular el de
Taylor.
Ejemplo 6.3: La rama de f (z) = z1/2, que vale 1 para z = 1, tiene una serie de Taylor de la forma a0 + a1(z − 1)
+ a2(z − 1)2 + .. . con radio de convergencia R=1 [la distancia de z = 1 a la singularidad más cercana, a
saber, al punto de ramificación z = 0].
5. Singularidades al infinito. Con z = 1/w en f (z) se obtiene la función f (1/w) = F (w). Así, el tipo de esta
singularidad para f (z) en z = ∞ [el punto al infinito] se define como igual al de F (w) en w = 0.
Ejemplo 6.4: f (z) = z3 tiene un polo de orden 3 en z = ∞, pues F (w) = f (1/w) = 1/w3 tiene un polo de orden
3 en w = 0. De manera similar, f (z) = ez tiene una singularidad esencial en z = ∞, pues F (w) = f (1/w) = e1/w
tiene una singularidad esencial en w = 0.
www.FreeLibros.me
176 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
6.11 Funciones enteras
Una función analítica en todas partes del plano finito [es decir, en todas partes excepto en ∞] se llama función entera
o función integral. Las funciones ez, sen z, cos z son funciones enteras.
Una función entera se representa con una serie de Taylor de radio de convergencia infinito. Al contrario, si una
serie de potencia tiene un radio de convergencia infinito, la serie representa una función entera.
Observe que, de acuerdo con el teorema de Liouville [capítulo 5, página 145], una función analítica en todas
partes incluso ∞ debe ser una constante.
6.12 Funciones meromórficas
Una función que sea analítica en todas partes del plano finito excepto en una cantidad finita de polos se llama función
meromórfica.
Ejemplo 6.5: z/(z − 1)(z + 3)2, analítica en todas partes del plano finito excepto en los polos z = 1 (polo simple) y
z = −3 (polo de orden 2), es una función meromórfica.
6.13 Desarrollo de Lagrange
Sea z la raíz de z = a + zf(z) con el valor z = a cuando z = 0. Así, si f(z) es analítica en el interior y sobre una
circunferencia C, que contenga a z = a, se tiene
z ¼ a þ X1 zn dn�1 f[f(a)]ng (6.10)
n! dan�1
n¼1
De manera más general, si F (z) es analítica en el interior y sobre C, entonces
F(z) ¼ F(a) þ X1 zn dn�1 fF0(a)[f(a)]ng (6.11)
n! dan�1
n¼1
La expansión (6.11) y el caso especial (6.10) suelen denominarse desarrollos de Lagrange.
6.14 Continuación analítica
Suponga que no se conoce la forma exacta de una función analítica f (z) y y P Cn
que sólo se sabe que en el interior de algún círculo de convergencia C1 con
centro en a [figura 6-2] f (z) está representada por una serie de Taylor C3
a0 þ a1(z � a) þ a2(z � a)2 þ � � � (6.12) C2 c
Al elegir un punto b en el interior de C1 se halla el valor de f (z) y de sus b Trayectoria P1
derivadas en b mediante (6.13), y de esta manera se obtiene una nueva a
serie c'
b' Trayectoria P2
b0 þ b1(z � b) þ b2(z � b)2 þ � � � (6.13) C1
x
con círculo de convergencia C2. Si C2 se extiende más allá de C1, enton- Figura 6-2
ces en la porción extendida se obtienen los valores de f (z) y de sus deri-
vadas, y, de esta manera, más información sobre f (z).
En este caso se dice que f (z) se extendió analíticamente más allá de C1, proceso que se conoce como continuación
analítica o extensión analítica.
Desde luego, el proceso puede repetirse indefinidamente. Así, al elegir un punto c en el interior de C2 se obtiene
una nueva serie con círculo de convergencia C3, la cual puede extenderse más allá de C1 y C2, etcétera.
El conjunto de todas estas representaciones de series de potencias, es decir, de todas las posibles continuaciones
analíticas, se define como la función analítica f (z), y cada serie de potencias se denomina en ocasiones un elemento
de f (z).
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 177
Al realizar una continuación analítica, deben evitarse las singularidades. Por ejemplo, en la figura 6-2 no debe
haber ninguna singularidad que esté en el interior de C2 y sobre la frontera de C1, porque si la hay, (6.13) divergirá
en ese punto. En algunos casos, las singularidades sobre un círculo de convergencia son tan numerosas que es impo-
sible una continuación analítica. En estos casos, la frontera del círculo se llama frontera natural o barrera [véase el
problema 6.30]. Una función representada por una serie que tenga una frontera natural se llama función lacunary.
Al pasar del círculo C1 al círculo Cn [figura 6-2] se eligió la trayectoria formada por los centros a, b, c,…, p, que
se representó con la trayectoria P1. Hay muchas otras trayectorias posibles, como a, b', c',. . . , p, que se representan
de manera abreviada con la trayectoria P2. La pregunta es si cuando se elige otra trayectoria se obtiene la misma
representación válida en el interior de Cn. La respuesta es sí, siempre que la región limitada por las trayectorias P1 y
P2 no tenga ninguna singularidad.
En el capítulo 10 se verá más sobre continuación analítica.
Problemas resueltos
Sucesiones de funciones y series de funciones
� z�
6.1. Con la definición, demuestre que límn!1 1 þ n ¼ 1 pfaoraatloldza. z.
Solución
Dado un número e > 0, hay que hallar un N tal que |1 + z/n − 1| < e para n > N. Así, |z/n| < e, es decir, |z|/n < e
si n > |z|/e = N.
6.2. a ) Pruebe que, para |z| < 1, la serie z(1 � z) þ z2(1 � z) þ z3(1 � z) þ � � � ccoonnvveerrggee,sy fbo)renjczuj e,ntr1e, suand
suma.
Solución
La suma de los primeros n términos de la serie es
SnSS(znSn)((nzz(¼))z)¼¼z¼(1zz((z�11(1��z�)zzþ))z)þþzþ2zz(122z((2�11(1��z�)zzþ))z)þþ�þ������þ�� þþ�zþnzz(1nnz((n�11(1��z�)zz))z)
¼¼¼z¼�zz z��z�2zzþ22z2þþzþ2zz�22z2��z�3zzþ33z3þþ�þ������þ�� þþ�zþnzz�nnzn��z�nþzznn1zþþn¼þ11 1¼¼z¼�zz z��z�nþzznn1zþþnþ11 1
ANhoNNowNrooawow, wjSjjnSS(jznSn)((nzz�())z)��z�j zz¼jjzj¼¼j¼�jj��zjn�þzznn1zþþnjþ11¼jj1j¼¼j¼zjjnzzjþjjznn1jþþn,þ11 1,,e, eeepfaorffraoof ror r(n((þnn(nþþ1þ)11l)1)nl)ljnznljnjzz,jjjzj,,l,nllennl,n ee,,e,eis.eiid..,ieee..c.e,,i.r,,n þnnnþþ1þ11.1..l.nllennl=neeln==ell=jnnzlnjjjzzjjjzjoorooror r
nn>nn.n(..l(n.ln((ell(e/nnl=lneenln==e|ll=zjnnzl|n)jjj)zz−jjj�z))j)��11�.:11:1: :
SIifzIIzffI=f¼zz z¼¼00¼,,S00S,n0,n(,SS0(0nSn)(()n=00(¼)0) )0¼¼0¼y00a|n0Saadnnna(dndj0Sd)jjnSS(−j0nSn(()n000(�)0)| )��<0�j00e,j0jpj,,ae,rafeeoetffrooofdarorlarlaanllanll.l.lnn.n. .
Por tanto, límn→∞ Sn(z) = z, la suma buscada para toda z tal que |z| < 1.
Otro método. ComoSSiSSnnSiic(nnzeic)ncSee=cneSS(zznSn)−((nzz(¼))zz)n¼¼z+¼1�zz,zs��ze�nþztzinn1zeþþnnþ11e1[de acuerdo con el problema 2.41, en el que se mostró qune!nnl1!!ínm!11znn1→zz¼nnz∞n¼¼z0¼n 00=00
si |2| < 1]
Suma bussucssmauusdmum¼am¼¼S¼(SSz)(S(zz(¼))z)¼¼nl¼!ímnnll!1!íínlmm!íS11mn1SS(znSn)((nzz(¼))z)¼¼nl¼!ímnnll!1!íínlmm!í(11mz1((�zz(z��z�nþzznn1zþþn)þ11¼))1)¼¼z¼: zz:.:z:
Convergencia absoluta y convergencia uniforme
6.3. a) Demuestre que si |z| ≤un12if,olramseemrieendteelspir|ozb| l≤em1a? 6.2 converge uniformemente a la suma z.
b) ¿Converge esta serie Explique.
Solución
a) En el problema 6.2 se mostró que |Sn(z) − z| < e para toda n > (ln e/ln |z|) − 1, es decir, esta serie converge
< ≤ 1
a la suma z para |z| 1 y, por ende, para |z| 2 .
Ahora, si |z| ≤ 1 , el valor mayor de (ln e/ln |z|) − 1 se encuentra cuando |z| = 1 y está dado por (ln e/ln
2 2
(1/2)) − 1 = N. Se sigue que |Sn(z) − z| < e para toda n > N, donde N sólo depende de e y no del valor de z
1 1
de que se trate en |z| ≤ 2 . Por tanto, para |z| ≤ 2 esta serie converge uniformemente a z.
www.FreeLibros.me
178 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
b) El mismo argumento del inciso a) sirve para mostrar que con N = (ln e/ln(.9)) − 1 y N = (ln e/ln(.99)) − 1
para |z| ≤ 0.9 o |z| ≤ 0.99, respectivamente, esta serie converge uniformemente a la suma z.
Sin embargo, es claro que este argumento no se puede extender a |z| ≤ 1, pues para esto se necesitaría que
N = (ln e/ln1) − 1, que es infinito, es decir, en este caso no existe un valor finito N útil. Por tanto, esta serie
no converge uniformemente para |z| ≤ 1.
6.4. a) Demuestre que la sucesión {1/1 + nz} converge uniformemente a cero para todo z tal que |z| ≥ 2.
b) ¿Puede extenderse la región de convergencia uniforme del inciso a)? Explique.
Solución
a) Se tiene que |(1/1 + nz) − 0| < e cuando 1/|1 + nz| < e o |1 + nz| > 1/e. Ahora, |1 + nz| ≤ |1| + |nz| = 1 + n|z|
y 1+ n|z| ≥ |1 + nz| > 1/e para n > (1/e − 1/|z|). Por tanto, esta sucesión converge a cero para |z| > 2.
Para determinar si esta sucesión converge uniformemente a cero, observe que en |z| ≥ 2 el mayor valor de
(1/e − 1/|z|) corresponde ad|ezp|e=nd2eydeesetáydandoodpeolra12z{p(1a/rtei)cu−la1r}en=|Nz|. que |(1/1 + nz) − 0| < e para
todo n > N, donde N sólo Se sigue tanto, esta sucesión converge
≥ 2. Por
uniformemente a cero en esta región.
b) Si d es cualquier número positivo, el mayor valor de ((1/e) − 1)/|z| en |z| ≥ d se obtiene cuando |z| = d y
está dado por ((1/e) − 1)/d. Como en el inciso a), se sigue que esta sucesión converge uniformemente a cero
para todo z tal que |z| ≥ d, es decir, en toda región que excluya todos los puntos que se encuentren en una
vecindad de z = 0.
Como d puede elegirse arbitrariamente cercana a cero, se sigue que la región del inciso a) puede extenderse
considerablemente.
6.5. M uestre que a) la función suma en el problema 6.2 es discontinua en z = 1, b) el límite en el problema 6.4
es discontinuo en z = 0.
Solución
a) En el problema 6.2, Sn(z) = z − =zn+01.,PSo(rz)ta=ntol,ímS(nz→) ∞esSdn(izs)c.oSnitin|zu|a<en1z, S(z) = límn→∞ Sn(z) = z. Si z = 1,
Sn(z) = Sn(1) = 0 y límn→∞ Sn(1) = 1.
b) De acuerdo con el problema 6.4, si se escribe un(z) = 1/1 + nz y U(z) = límn→∞ un(z), se tiene U(z) = 0 si
z 0 y U(z) = 1 si z = 0. Así, U(z) es discontinuo en z = 0.
Éstas son consecuencias [véase el problema 6.16] de que si una serie de funciones continuas es uniformemente
convergente en una región , entonces la función suma debe ser continua en . Por tanto, si la función suma no es
continua, la serie no puede ser uniformemente convergente. Se obtiene un resultado similar con las sucesiones.
6.6. Demuestre que la serie del problema 6.2 es absolutamente convergente para |z| < 1.
Solución
SLeeat Tn(z) ¼ jz(1 � z)j þ jz2(1 � z)j þ � � � þ jzn(1 � z)j ¼ j1 � zjfjzj þ jzj2 þ jzj3 þ � � � þ jzjng
¼ j1 � zjjzj�11��jjzzjjn�
Si |z| < 1, entonces límn→∞ |z|n = 0 y límn→∞ Tn(z) existe, de manera que la serie converge absolutamente.
Observe que, en este caso, la serie de los valores absolutos converge a |1 − z||z|/1 − |z|.
Criterios especiales de convergencia
6.7. SSuupSpoupnpogpsaeoqsuePe Pjvnjjvncjoccnoovnnevvregregeregs eyasqnuadnedj|unj|ju≤n�j |�jvvnn|jj,v,nnnj,=¼n1¼1, ,21,2,3, ,23.,., .3., .D..e.Pm. ruoPevrsoetvreethqauthteaPt Pjunjjutnaajmlsaboliséocnoccnoovnnevvregererggsee(ses
decir, establezca el criterio de comparación para la convergencia).
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 179
Solución
Sea Sn = |Pu1|jv+nj|cuco2o|nnv+evre.gr.eg.,e+lsím|aunnn→|d,∞TjTnun=nej x�|ivs1tj|ev+nyj,|evns2|i¼g+u1a.,l.a2. ,T+3, ,|pv.on.r|..e. jePmropvloe. Athsaimt iPsmoju, ncjomaloso|vnc|o≥nv0e,rTgens≤ T.
SupCpomseo
Así, Sn = |u1| + |u2| + . . . + |un| ≤ |v1| + |v2| + . . . + |vn| ≤ T o 0 ≤ Sn ≤ T.
Por tanto, Sn deteshcauitrn,aPsucjuesnijócnaolnmsvooenrcgóoetno. nvaemrgeenste creciente y acotada, por lo que debe tener un límite [teorema 6.3,
2p, á3g,i.n.a. .17P1r]o, vees
es and junj � jvnj, n ¼ 1,
6.8. VerPPirfriooqvvueee ttqhhuaaett 11 þþ 11 þþ 11 þþ �� �� �� ¼¼ XX11 11 ccoonnvveeerrrgggeeesspafforoarr taaonndyya ccoonnssttaannttteppp..> 11..
11pp 22pp 33pp nnpp
nn¼¼11
Solución
Se tiene 11 11
11pp 11 pp��11
¼¼
11 þþ 11 �� 11 þþ 11 ¼¼ 11
22pp 33pp 22pp 22pp 22 pp��11
11 þþ 11 þþ 11 þþ 11 �� 11 þþ 11 þþ 11 þþ 11 ¼¼ 11
44 pp 55pp 66pp 77pp 44 pp 44 pp 44 pp 44 pp 44 pp��11
etc., donde se toman 1, 2, 4, 8,… términos de la serie. Se sigue que la suma de cualquier número finito de términos
de la serie dada es menor que la serie geométrica
1 1 þ 2 1 þ 4 1 þ 8 1 þ � � � ¼ 1 � 1 p�1
1=2
p�1 p�1 p�1 p�1
la cual converge para p > 1. Por tanto, la serie dada, que en ocasiones se denomina serie p, converge.
171C],opnuuendemmétoosdtoraarnseálqougeoPal n1e¼m1p1l=enapdodiavqeurgíey el criterio de comparación para divergencia [teorema 6.10b), página
para p ≤ 1.
6.9. Demuestre que una serie absolutamente convergente es convergente.
Solución
pjpvnojs,en P¼ 1jv,n2j , c3o,n.v. e. .rgPesrovaenCdtohjmautnojP� jvunnjj, cnaoln¼svoe1rc,goe2n,,vh3ea,ry.g.qe.us.e Pmrosvterarthqaute P ujunncjoanlvseorgceo. nSveaerges
SM S¼M Su¼M1 þu¼1uþu21þuþ2�þu� 2��þ� �u�þM� �uþMaunMdayndaTnMdT¼MTj¼uM1jj¼uþ1jjjuþu12jjjþuþ2jj�uþ�2�j�þ� �j�þu�M�jþjuMjjuMj
Así,
SM SþMTSþM Tþ¼MT(¼uM1(¼þu1(jþu1jjþ)uþ1jj)u(1þuj2)(þu2(jþu2jjþ)u2þjj)u�2þ�j�)�þ� �(�þu�M�(þuþM(juþuMMjþju)Mjju)Mj)
� 2�ju21�jjuþ21jj2uþj1uj22þjjuþ22jj�uþ�2�j�þ� �2�þj�u�2Mþjju2MjjuMj
� jvnj, n ¼ 1, 2, 3, . . . . ProveCtohmato P junj caolnsvoercgoenyveurng+es|un| ≥ 0 para n = 1, 2, 3,…, se sigue que SM + TM es una sucesión monótona-
mente creciente y acotada, y, por tanto, límM→∞ (SM + TM) existe.
Además, como límM→∞ TM existe [pues, por hipótesis, esta serie es absolutamente convergente],
lím SM ¼ lím (SM þ TM � TM ) ¼ lím (SM þ TM ) � líim STMM ¼ lím (SM þ TM � TM ) ¼ lím (SM þ TM )
M!1 M!1 M!1 M!1 M!1 M!1
también debe existir, con lo que se demuestra lo que se buscaba.
6.10. DemPureosvtree tqhuaet P11 znn 1) ccoonnvveerrggeesab(saoblsuotlaumteelnyt)e fpoarrajz|jz|�≤11. .
n(n þ
nn¼¼11
Solución ����n(nzþnn 1)���� ¼ jzjnn 1) � n(n 1 1) � 1
n(n þ þ n22.
Si |z|If≤jz1j ,�en1t,otnhceens
Suppose P jvnj convergeSsaucpaupSneoirddseeonjucePnoljnc�jreviSltnjejuvprnpricoojp,obodnlseeve¼mceoraPg1m6e, p.sj28va,nracaj3onc,ndci.óop.njn.u=.vsnejP2rt�rg,ooesmvejsveavnaujet,nnhqdna=ut¼ejzuPnn1/j,n�j2(un,nj+j3vnc,ajo.1,l.n)sn,.vo.ve¼nrPcg=ore1on,,v1e2/es,nrdg3t2ehe,ycas.it.rs,.eP.rePcrujouonnnvcojeocanetlvhsqeaourtgecePoanbv1jsueo/nrlngju2etaascmlosnoevnetcerog.nev, edreges
www.FreeLibros.me
180 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
6.11. Establezca el criterio del cociente para la convergencia.
Solución
Hay que mostrar que si límn→∞ |un+1/un| = L < 1, entonces P junj converge o, según el problema 6.9, P juunnjes
(absolutamente) convergente.
Por hipótesis, puede elegirse un entero N tan grande que para todo n ≥ N, |un+1/un| ≤ r, donde r es una cons-
tante tal que L < r < 1. Así,
juNþ1j � rjuN j
juNþ2j � rjuNþ1j , r2juN j
juNþ3j � rjuNþ2j , r3juN j
etc. Se suma,
juNþ1j þ juNþ2j þ � � � � juN j(r þ r2 þ r3 þ � � � )
y por ende P rjuengjióconndveercgoen, vdeeragceunecridaodceolnaeslecrrieitenPr1¼io1nP((d1¼nPnz1¼e1þþ1(c(nz(o(n2z1mþþ))þþpn3�21a421r)1)nan3)).�cn43�i41nó1.nn., pues 0 < r < 1.
6.12. Encuentre la
Solución
SIfi uInfIf¼uun(n(¼nz¼þþ((nz((21nzþþ))þnþ3�42112n1))n,3))�n43et�14hnn1,net,onthnthuecneneþnsu1un¼þnþ1(1¼n¼(þz(n(þ2n(þ)z(þ32zþ42)þnn2)þ32)4321)n4.n)þnnþ1.1. Por tanto, al excluir y
z = −2, valor para el que esta serie converge, se tiene
nl!ím1nl!����nílum!í1umnþ1n����u1����uu����nþunn¼þ1n����1n����l¼!í¼m1nl!����níl(m!íz1m1þ����4(����z(2zþ)4þ4((2nn2)þþ)((nn((12nnþþ))þþ33����1212))¼33))����33j����z¼¼þ4jzj2zþj4þ422j j
Así, esta serie converge (absolutamente) para |z + 2|/4 < 1, es decir, 4 x
–2
para |z + 2| < 4. El punto z = −2 está incluido en |z + 2| < 4.
Si |z + 2|/4 = 1, es decir, si |z + 2| = 4, el criterio del cociente no
da resultado. Sin embargo, en este caso se ve que
����((nz 21))n3�41n����
þ ¼ 4(n 1 1)3 � 1
þ þ n3
y como P1ju/nnj3 converge [serie p con p = 3], la serie dada converge Figura 6-3
(absolutamente).
Se concluye que la serie dada converge (absolutamente) para |z + 2|
≤ 4. Geométricamente, éste es el conjunto de puntos en el interior y
sobre una circunferencia de radio 4 y centro en z = −2, que se conoce como círculo de convergencia [sombreado
en la figura 6-3]. El radio de convergencia es igual a 4.
6.13. Encuentre la región de convergencia de las series a)PPPn1n1¼¼1nP¼111((1n��(¼(�(12112(1)2n)n(nn�)n���n�(�1�121z1z1)n12n2z1))n�n2�!!�)�n1!�11z1,1,2)n,! �((1bbb(,b)))PP(Pb1n)1n¼¼n1P¼111nn1nn!!¼zz!n1nz.n.n.!zn.
Solución
a) eSIIflfiIfcuuununaIn¼¼fl¼lua((n��(s�¼e11r)1)in(n)e���n1�c11zoz1)22znnnn2�v��n1e1�1zr==12g(=(n2e2�(,n2n1sn=��e(�2t11ine)1)!n!�),,!et,eth1hnte)het!noen, nntuuhcnuneþþnns1þ11u¼¼n¼þ((1��(�¼11)1)n(n)�zzn22z1nn2þþ)nn1þ1z==12(=(n22þ(n2n1n=þþ(þ211n)1)..þ). 1). Por tanto, al excluir z = 0, valor para
nl!ím1����uunþn 1���� ¼ nl!ím1����� z2(2(2nnþ�11)!)!���� ¼ lím (2n (2n � 1)!jzj2 1)!
þ 1)(2n)(2n �
n!1
¼ lím (2n jzj2 ¼ 0
þ 1)(2n)
n!1
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 181
para toda z finita. Por tanto, la serie converge (absolutamente) para toda z y se dice que la serie converge para
|z| < ∞. De manera equivalente puede decirse que el círculo de convergencia es infinito o que el radio de
convergencia es infinito.
b) Si un = n!zn y un+1 = (n + 1)!zn+1, al excluir z = 0, valor para el que esta serie converge, se tiene
nl!ím1����uunþn 1���� nl!ím1����(n ����
¼ þ 1)!znþ1 ¼ lím (n þ 1)jzj ¼ 1
n!zn
n!1
Por tanto, la serie sólo converge para z = 0.
Teoremas sobre convergencia uniforme
6.14. D emuestre el criterio MposdietivWaseitearlsetsraqsus,eePs duMencn(izrc,)osniveenrguen, aenretogniócnes P, |uunn((zz))|e≤s uMninf,onrm=e 1, 2, 3,. . . , donde
las Mn son constantes (y absolutamente)
convergente en .
Solución
El resto de la serie P un(z) dafPetsepPruunnéu(sztne)(drzaem)fntsaeftritésenrrRmtnnei(nrtzmeo)rs¼meissuinRsþn1R((znz)()z¼þ) ¼uunnþuþn12þ((zz1))(zþþ) þu� n�þu� n2.þ(z2)(zþ) þ� � ��.�.A� .hora
jRn(z)j ¼ jRunjnþR(z1n)((jzz))¼jþ¼juunjnþuþn12þ((zz1))(zþþ) þu� n�þu� n2jþ(�z2)(zjþu)nþ�þ�1��(�jz�)�jj þ�jujnjuþunn1þþ(2z1()(zjz)þ)jjþþju�nj�þu�n2þ(z2)(jzþ)j þ� � �� � �
� Mnþ1 þ�M�MnþnM2þn1þþþ1� �þM� nMþn2þþ2 þ� � �� � �
pffizffiffinffiffiffiffiffiffiffiffi , jPpueennr(ozd)iMje¼nnt+en1dp+ejnffizffizMffijffinþ,ffiffisffinffie+ffi1ffiffi2t�i+enn.e31.=|2.Rpniuf(zej)dz|je<�hae1cp.earCrsaaelnmlin>egnNoMr, ncao¼ena1llo=enqle3u=ge2i,rlawnse>ersiNeee,epsthuuaentsiPforMmen mcoennvteercgoen.vCeorgmeontNe.
If un(z) ¼ n nþ1 then es sin duda inde-
La convergencia
absoluta es consecuencia inmediata del criterio de la comparación.
126þ.115z.2 þnPVa1¼nP)e211¼rn2P1in1¼fþ1ipn1qpuznffizffi2effinpffinzþffiþffinlffiþanffizffiffi31ffinfficffiþ2ffi1ffi,offiþ1ffinj,ffi1ffizffivjz,ze2�jrþzg�je1�n�;1�c�;i1a.;(; bu()nbb(i)fb)nPo1¼)nPr11¼mnP1n1¼e2n1e2þ1nnþ12lzaþ21zr,2ez,1g21i,,ó1n,ji,znjzd,jizc,ja2,d;2a;:2 (;cc()c)()ncP1¼)nP11¼nP1c1¼oc1nso3ncnso3znns,3zn,jzzj,z�jz�j1�.1.1.
����n2 z2����
jn2 þSzo2jl�ucjni2ój n� jz2j � n2 � 4 � 1 n2 or 1 � 2
2 þ n2
a) If ISuIffiInuf(Iuzfnun)I((funz¼z()nu)z(¼)nz¼n()¼pzn¼)npnffiznpffi¼ffinffinpþnffizffinzpffinnffinnþzffi1þpffinnffizffiþffi,ffin1ffinzffiþ1ffiffitnffi,1h,þffi,ffiffi1etffie,ffithffinhffin,1tffieffihett,njohneuntnenjhjcun(uezejnnun)sj((junzzj()n¼u)zj(j)nz¼j¼(n)zj¼p)n¼njjpnffiznpffi¼ffijjffinpnþjffinznffizpffijnffijnnþzffi1jnþpffijnffizffinþffiffij�1ffinnzffiþ1ffiffijffi1�nþffin�ffiffi1ffiffi�31ffiffin=1�ffinffi231n31�==in2312f=31n2i=jif321zfi=jjf2ijz�fzjijszfj�ij1�zj.�|zz1�1jC|.1.�a≤C1.Cl.laC1ia1lnC.la.lgilaCinClnligaMlngoilnglnMniMgn¼MngnM¼nn¼1Mn¼==1n¼n1=31=¼1n=1n=2/3=n3,=1n=n23=w23=,3/,n2=e2w,32w,=,wse2seew,eeseswevesteehseatqsthetheutahaePethtatPtaPhMtPaPtMnMPMnnMncMnonn-
verge (serie p con p = 3/2). Por tanto, de acuerdo con el criterio M de Weierstrass, la serie dada converge
uniformemente (y absolutamente) para |z| ≤ 1.
b) La serie dada es 1211þ1212þ112zþ12þ11zþþz2122zþ1þ2z2þ22þz2þ22þ1222þþ221zþ12þ21zþþz2122zþ1þ2z3þ22þz3þ23þ1232þþ321zþ12þ31zþþz2122zþ1þ2z�þ2�þz�þ2�.�.�Lþ��o.�.�s�.�p.�r.imeros dos términos pueden omitirse sin que afecten
la convergencia uniforme de la serie. Para n ≥ 3 y 1 < |z| < 2, se tiene
jn2jjnnþj2n2jþn2zþj2þnjzþz22�2zjþj2z�j2�znj�22j�jnjnj2�n2jjn2�j�2nzj�22j�jzjz2j�2zjj2z�j2n�zj2�2n�nj�2n2��n24�2n��4�42 4�21�4�n124�122n12�n212n2on212r2no o2ror����oorn ro2��������nrnþ1����2n2����þn12zþ1����2þn1����zþz212�2z����þ1����2z�����2n�2z����2�2n�����2n22n2�2n222n22
CseorimeodaPda1n¼c3o2n=vne2rgceonuvneifrogrem, seemceonntcelu(yyea,bdsoelauctaumerednotec)opnaerlac1ri<ter|izo|
M de Weierstrass (con Mn = 2/n2), que la
< 2.
Observe que la convergencia, y por ende la convergencia uniforme, se deshace si |z| = 1 o |z| = 2 [a saber,
en z = i y en z = 2i]. Por tanto, esta serie no puede converger uniformemente para 1 ≤ |z| ≤ 2.
c) Si z = x + iy, se tiene
cocnsoc3nnosn3zsn3nz¼z¼e¼ienzien2þiznnz2þ3e2nþ�n3ei3�enz�ini¼znz¼e¼ienxien�ixnn�xy�n2þynny2þ3e2nþ�n3ei3�enx�inþixnnþxyþnyny
¼¼e¼�en�ey�n(ycn(yoc(socnos2xsnn2n3xþ2nxn3þi3þsiesinesnenxn)nxþ)xþ)eþneyne(ycn(yoc(socnos2xsnn2nx�32nx�n3i�3siesinesnenxn)nx)x)
Las series
Xn1¼Xn11¼Xn1¼1e1neyne(ycn(yoc(socnos2xsnn2nx�32nx�n3i�3siesinesnenxn)nx)x)a nadnaynd d X1X1X1e�en�ey�n(ycn(yoc(socnosxsnnxþxþiþsiesinesnenxn)nx)x)
n¼n1¼n¼1 1 2n232nn3 3
www.FreeLibros.me
182 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
no pueden converger para y > 0 y y < 0, respectivamente [pues, en estos casos, el término n-ésimo no tiende
a cero]. Así, esta serie no converge para toda z tal que |z| ≤ 1, y por ende no puede ser uniformemente con-
vergente en esta región.
Pn1P¼11nPc¼o1n1sL¼cnao1xsc=snonexs3r=i.nenx3=s.ní 3c.oAnsvíe, rcgoem��cpooas��rcanox��syc=non=xs3=��nnx0�3=,��n1e�3=s��n1�d3=enc13i=rny, 3sPi n1zP¼e1sn1P1¼=r11nen¼1a31=lc.n1o3E=nnnv3eergstee, caso, z = x y la serie se convierte en
se concluye, por el criterio M de Weiers-
trass (con Mn = 1/n3), que la serie dada converge uniformemente en todo intervalo sobre el eje real.
P1
6.16. Demuestre el teorema 6.18 de la página 172, es decir, si un(z), n = 1, 2, 3,… son continuas en y un(z) i
n¼1
converge uniformemente a S(z) en , entonces S(z) es continua en .
Solución + u2(z) + . . . + un (z) y Rn(z) = un+1(z) + un+2(z) + . . . es el resto después de n térmi��nÐCosS,(ez)s Ð Sn(z) dz��
dclza�ro C
Si Sn(z) = u1(z)
que
S(z)S¼(Sz)(Sz¼n)(¼zS)nþS(zn)(Rzþn)(þzR)nR(zna)(nz)d anaydSn (dz Sþ(Szh(þ)z¼þh)Sh¼n)(¼zSþnS(znh(þ)zþþh)Rhþn)(þzRþnR(znh(þ)z þh)h)
y por ende
S(z Sþ(Szh(þ)z�þh)Sh�()z)�S¼(Sz)(Sz¼n)(¼zSþnS(znh(þ)z�þh)Sh�n)(z�S)nþS(zn)(Rzþn)(þzRþnR(znh(þ)z�þh)Rh�n)(�zR)n R(zn)(z) (1)
donde z y z + h están en .
Como Sn(z) es la suma de un número finito de funciones continuas, debe ser también continua. Así, dado e > 0,
puede hallarse un d tal que
jSn(z þ h) � Sn(z)j , e=3 wsiehmenperveeqr ujhej|h,| <d d (2)
Como, por hipótesis, la serie es uniformemente continua, puede elegirse una N para que toda z en ,
jRnjR(zn)(jz,)j ,e=3e=3 anyda ndjRnjR(znþ(z þh)jh,)j ,e=3e=p3afroarfnonr>>n N>N N (3)
Entonces, de acuerdo con (1), (2) y (3),
jS(z þ h) � S(z)j � jSn(z þ h) � Sn(z)j þ jRn(z þ h)j þ jRn(z)j , e
para |h| < d y para toda z en , con lo que se establece la continuidad.
6.17. S D(ezm) =uePstr1ne¼e1l teorema 6.19 de la página 172, es decir, suponga que {un(z)}, n = 1, 2, 3,…, son continuas en ,
un(z) ei s uniformemente convergente en y C es una curva en . Así,
ð ð X1 ! X1 ð
��Ð Ð dz�� S(z) dz ¼ un(z) dz ¼ un(z) dz
C S(z) dz � C Sn(z) C C n¼1 n¼1 C
Solución
Como en el problema 6.16, se tiene S(z) = Sn(z) + Rn(z) y, como éstas son continuas en [según el problema
6.16], sus integrales existen, es decir,
ðð ð ðð ðð
S(z) dz ¼ Sn(z) dz þ Rn(z) dz ¼ u1(z) dz þ u2(z) dz þ � � � þ un(z) dz þ Rn(z) dz
CC C CC CC
Por hipótesis, la serie es uniformemente convergente, de manera que, dado un e > 0, puede hallarse un número
N independiente de z en tal que |Rn(z)| < e cuando n > N. Si la longitud de la curva C se denota L, se tiene [con
la propiedaPd en1)¼e1nulna(zp)ági ina 112]
������ð Rn(z) dz������ , eL
C
Edenmtounecsetsra��ÐeCl S(z) dz � Ð Sn(z) dz�� puede hacerse tan pequeña como se desee al elegir n lo bastante grande, y se
resultado.
C
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 183
Teoremas sobre series de potencias
6.18. S uponga que una serie de potencias P anzn converge para z = z0 0. Demuestre que esta serie converge:
a) absolutamente pParaan|Pzz|n <an|zzPn0|,abn)z0nPuniafon zrlnmímenm!e1naten zp0na¼ra |z| ≤ |z1|, donde |z1| < |z0|.
0 janzn0j , 1
Solución
¼ pjffizffiffijffinffiffiffiffiffiffiffi � n31p=2ffizffiiffinffifffiffiffijffizffiffiffij ,�th1e ab.n))C jua Pmcl|Sn|Clza(oiee|ozennmra)|≤mrSgoja<pMeo¼lM|lsazecneP11tnnoúro|/=i,pnl¼e|taedzcjinffizc0nmn|leffi1z|ffiujzoPffinnþ1ffi=emn0aynffi|ffilnpneffivcsaffiP1Pa/3aiffioeeffiPnn=qnr|rrn2�zeatzugi1n,1nev0r0ne1n¼ee¼|nraewln¼ni,eí00rP.Po3u1qm>1geenP=arnEnus2ezn(sn1aaed1nNn,!nd11ne¼iz¼,enPt=lf¼.ese)noP1íd0z0nemcsE1njcnetarnuz2ia�ochnzrinjanaane,e!nnat1cn�zczonsl=tvXNíz0nndau1rnz1neþn0Pceen1¼csr21aPuP�rPg.eePpdnjlP1srePMa0CozooPi1nn1n0neptan1a¼d¼nzceln11n¼la¼dnneílo0n10nl¼¼cmríj1iza¼nmcanaocn00nd0¼zi1nognnaea|anna!n,jzvnzz!lsan=nayXN|Mnneve1zcnz1n1þne=s<renzrpnngz2sa1in�n0rauatngenj¼je2|1buj�ena,zeza,rszndn00n1nipno0n1o|iejcz¼ofjl=1y¼n0ziouMhrnajjqrtna0a3.am,0u=csdm�2eíeee,,r1em|sdXNWwnze1eþe1tee|en1jaiajtj<seccajeznezruon0zsjeczjenn0n|tnz0norjrvt0ja dhne,|so,a.vrsgteC,c1er1PoognanmetlenMeaeo.tllnenezecgnenrieinrtsePentlruoiinlodanoiancfdzboiern0sareomslPgPatiaaeócnm)n1ano,t¼eenml|cí0nazmgopntnaremzanann!rcnzpa|ond1crn<eeióvan, enndeMzr,isg0ndlnedaa¼neppptca(e0r1oiri.ra-)r, janzn0j , 1
n Ifnuþn(z1) ¼
n nþ1
�þ1jj2nzffiznþjffi)ffipjuzþj1ffijnffi2n�ffi1¼ffinffiz2(ffiffizþffinzj�ffi2þ1)ffi�nffijffi3þ.ffipnffi¼12ffiCjffi3j1z3þffin,z1=affi22nffij2ltffijnþffiplhzþffi1i�iffi2enffifjffi1nffiznffiffigzþffiffijjnffi2nþz�ffij2ffiMjffiu�þffi�ffi��1nnffinffi�(�31�z¼4=.1�)2�.j�n1.6i¼Cf31=.1=21a1n2j2nlz9n3lpþj1i=i.2jfn2 j�nffinz,gceSSD |gzffij2ffijzz2ffiowlinþe1offi0jMþeorffiraþ|mffi.rsemffiAPr�ffi1el<neffiCRzffioius2sus2sN¼�1reaí����p2jm>eR,cnel.tosl�þdp1.a2n1ioiCntt0neanór3=1þh1dazjrg=etrnmaena2o2ilna3eltlzq2,Mdiþ=nain2jnru2Pfin����at�n,>goee3edj�wsz¼r2MldiMjnNjaoazdeeþn1a�22n,n1qesd2njcsl=euzz¼eole�o1nr2naeesci.−n3þe1s|=otnv1Cta2ée=hn2de,ncrr�anvar|mei�o�lw3getel<�=nipre2ePn4v.gon,ge1oest�cwr/sneeMignMen|caede12(zni.c|ne0atsznai|he|¼aln2bdanaes−spetso1PaP1tPePho/=lrruaanr|i1n1nztte3Mn1an¼¼a0=¼Pm|2n00����nn>z,1n)eann,2wzMn.|nNalnnþtSa1zen=ne.anezcnnszeanyuze22�nnae0����l−1lat�,<ot1h|cddano=eo|2tz2rsa0rP|celous<speMnropR|dnanu.ondnE|c|itnzoeo|tnsnno−ttneea1cllspeecesusrr,eiiqtcedeuoerdeimnoe|hzodd|aeeec<lnreicrve|sozale0cdp|imaer(osnseibtnPnelPoe,irmcm1nen1o¼sa¼pn0qo16vnure.zt1aernag8n=rle,zonlnpso2p�utac1éererdatmriece|zianen|ledoe<nes-
�2þzjjnþ¼2z2þ(112�22jzzj2)nn2�þz1jj�22jp2n¼�þzj2j1þffinnzn2jffiffijon221ffi�zjnþþ�ffijnrpffi2�ffi��ffi2jffi�þ1þ31nffiffijzffiffij4.2ffij2����n�j�ffinþn3ffizjzþ2ffi�122ffi22I�ffijIþjnffif1zfþffiþþ1zffi12132�12un�=ujzn22nz2z2þn�n22(2j(n�iz����2zfþ�þ�)311n)��=�4j6¼o22¼z��zj.rjn�n4�2�.2i2nf2�2�n0þ�pj4p.21j.�����z 1n3nffinz�j21nffizffiDd pSSaR.2ffiffin22ffinffi�jþffiean)ffieþCþzffi1effi21oþ q1ffiffir22ffiffimcPOAapffiaffi1u1jn ffilffi1ozffioffil1zoeEffi.eu2�2lbsuo,r2n,2irto����íCssenbeoet,csþtþtre1h�nssgtnhiaoRjorsedit����ten2lecvóérn�irzlnneeM2nneei�ie�����222|rsean|2snnzþ�zanqjþrþsqjg1|c2u04����r.euuu¼|olnán>zalþn1)aMe2z�e(2n2,()rl2z2,jz1easaiPReþnz����)1n)rpe21�dn=þj2s1jes,�¼tca����ni¼nzeeptd¼laour3z2joí�r2garennn=me12����i2ddenr2zcenn22=vaþ�s,en0annpijp2cndarel→o2w�j,ircP3ljenffin3zrdnaenffiozffi=∞op2ffieffijt222ffiejgffiprnjþndaffiaffinþ,affizeffiiaþoffisv1rffief����2ffióffinswaue ffiffitnn1el(ljzffi1ffineffiffiízndzzffir2nep|m�n�g)2zn�eacrþt,1c|esnohþoznic!nfe<nbanmzu)2e0ct31tsl�3211an=iep�=pR�����2yatPl2cmuh�ear.�iedips4ane.ióafnfzeMtodaqnn�0n6d2jrejPnuz2nz.iz¼ceje1djd12non�6,aMi�|nn0dnfzsype2a|etin11iron=bn.dlez.ríiuennCmoCec−Racrnqaoan1,i,jlu→.almavllpleiEraina����∞nospnnzlscgseregn0nl2taeejonatedMrþt1Mé,niojatrerzeanenzmnetmmsd12é−¼n¼u����ierpb1nlme�til1lo1aléoai==dnisnnpnn2nf0oo2d oe3t(3,s=eesz=ra2d2r)arn,vti,e,inézvoáwbnáwrmarlmli)eddeoddaaepigoensnssuoelessoaepesreuiaudsppRtcteeehqaahírda=rurraiieaactenetuPto0osPele.bognatMroaMdenacnneancron(esonzcnerznot−nivln−tnaéev1uarrdeog)mnren.eog.ririne.cvnooacndpivaaoe,rdrugetneéfa.r (msze)i.rnioe
bc)) 1pDgEg2oerseaþn1rtboacclczioeea2ums.edþcrpedol2loena2tscoþs1eoecenrzuni2eeeenlþdlcpeii3rPPnapo2tobdeþ1n11ntlre¼e¼eilonzm00p2rcanariþdoana6esbzn.�lnl1oz�ecn9r�mí�i,r.gc1aliaun6ldao.le1,rd7pievoyacrddolaeonvdqqeeuureeugneecnasacdsuieaanr.itiféAeordrsmmíe,inepemolotreaeennnsztucenilatdcasoedcnolovanbesvruegesrecrigneaetdseoedeaepnncrttoorovonditaedinnerueleogcdiíyeórclnputceolooor mrdteaepmnrctaeoonn6idvn.2ietde0ra--,
þ z2 þ 32 1 z2 þ � � � .
þ
� jn2j � jz2j � n2 � 4 �6.212n12. Doermpuá����engjs2intnþr21aeþ1zq27zu����22e�j. �lan22jsne2rjie�Pjz21nj¼�1 znn2=�n24ti�en12enu2n voarlor����nfi2nþ1itoz2e����n�ton2d2 os los puntos en el interior de su círculo de
convergencia y sobre él, pero no para la serie de las derivadas.
Solución
De acuerdo con el criterio del cociente, esta serie converge para |z| < 1 y diverge para |z| > 1. Si |z| = 1, entonces
|zn/n2| = 1/n2 y la serie es convergente (absolutamente). Así, la serie es convergente para |z| ≤ 1, por lo que tiene
un valor finito en el interior de su circunferencia de convergencia y sobre ella.
www.FreeLibros.me
184 Capítulo 6 Series infinitas, series de Taylor y series de Laurent
La serie de las derivadas es P1 zn�1=n. De acuerdo con el criterio del cociente, esta serie converge para |z| < 1.
para toda z tal que |z| = 1; por ejemplo, si z = 1, la serie diverge.
n¼1
Sin embargo, esta serie no converge
Teorema de Taylor
6.22. Demuestre el teorema de Taylor: Si f (z) es analítica en el interior de un círculo C con centro en a, entonces,
para toda z en el interior de C,
f (z) ¼ f (a) þ f 0(a)(z � a) þ f 00(a) � a)2 þ f 000(a) � a)3 þ ���
2! (z 3! (z
Solución
Sea z un punto en el interior de C. Construya una círculo C1 con centro en a y que encierre
a z (véase la figura 6-4). Después, de acuerdo con la fórmula integral de Cauchy,
1 þ f (w) C
2pi w�z C1
f (z) ¼ dw (1) z
Se tiene a
C1
w 1 z ¼ (w � a) 1 (z � a) ¼ w 1 a � � (z � 1 � �
� � � 1 a)=(w a)
Figura 6-4
� �z � a� �z a �2 �z � a �n�1
¼ w 1 a 1 þ w� a þ w � a þ � � � þ w �a
� �
�
þ �z � a �n 1 � (z � 1 � a)
w � a a)=(w
o
w 1 z ¼ w 1 a þ z � a þ (z � a)2 þ � � � þ (z � a)n�1 þ �z � a �n 1 z (2)
� � (w � a)2 (w � a)3 (w � a)n w� aw �
Se multiplican ambos lados de (2) por f (w) y, con (1), se tiene
f (z) f¼(z2) 1p¼i þ1 f (þw)f (w) þdwz2�þpiaz2�þpi(awþf�((wwa)f)�(2wad))w2 þdw� �þ� þ� �(�zþ�2(paz)i�n2�pa1 )iþn�(1wþf�((wwa)f)�(nwad))wn þdwUþn Un (3)
2pwi �wa �dwa
C1 C1 C1 C1 C1 C1
donde þ1� zþ��az ��n af �(wn )f
2piw �wa �wa �wz
Un ¼Un21p¼i (w) dw
�dwz
C1 C1
Con las fórmulas integrales de Cauchy, þ
n! þ f (w)
f (n)(a) ¼ 2np!i (w �f (wa))nþ1 dw n ¼ 0, 1, 2, 3, . . .
f (n)(a) ¼ 2pi C1 (w � a)nþ1 dw n ¼ 0, 1, 2, 3, . . .
C1
(3) se convierte en
f (z) ¼ f (a) þ f 0(a)(z � a) þ f 00(a) (z � a)2 þ ��� þ f (n�1)(a) (z � a)n�1 þ Un
f (z) ¼ f (a) þ f 0(a)(z � a) þ f 020(!a) (z � a)2 þ ��� þ f(n(n��1)1(a)!) (z � a)n�1 þ Un
2! (n � 1)!
Ahora, para demostrar el resultado buscado, sólo es necesario mostrar que límn→∞ Un = 0. Para esto se observa
que, como w está sobre C1,
���wz ��aa��� ¼ g , 1
donde g es una constante. Además, se tiene | f (w)| < M, donde M es una constante y
jw � zj ¼ j(w � a) � (z � a)j � r1 � jz � aj
www.FreeLibros.me
Problemas resueltos 185
donde r1 es el radio de C1. Por tanto, de acuerdo con la propiedad e) de la página 112, se tiene
�������Cþ1 dw�������
jUnj ¼ 1 �z � a �n j(w)
2p w � a w�z
� 1 r1 g nM aj � 2pr1 ¼ r1 g nMr1 aj
2p � jz � � jz �
y se ve que límn→∞ Un = 0, con lo que termina la prueba.
6.23. Sea f (z) = ln(1 + z), donde se considera la rama que tiene el valor cero cuando z = 0. a) Obtenga el desarrollo
de f (z) en una serie de Taylor en torno a z = 0. b) Determine la región de convergencia de la serie del inciso a).
c) Obtenga el desarrollo de ln(1 + z/1 − z) en una serie de Taylor en torno a z = 0.
Solución
a) f (zf)(z¼) ¼ln(l1n(þ1 þz),z), f (0f)(0¼) ¼0 0
f 0 (fz0)(z¼) ¼ 1 1 ¼(1 (þ1 þz)�z1)�, 1 , f 0(f00)(0¼) ¼1 1
1 þ1 þz ¼z f 00(f000)(0¼) ¼�1�1
f 00(fz00)(z¼) ¼�(�1(þ1 þz)�z2)�, 2,
f 000f(0z00)(z¼) ¼(�(1�)(1�)(2�)(21)(þ1 þz)�z3)�, 3, f 000f(0000)(0¼) ¼2! 2!
... ... ... ...
f (nfþ(1n)þ(1z))(z¼) ¼(�(1�)n1n)n!(n1!(þ1 þz)�z()n�þ(1n)þ,1), f (nfþ(n1þ)(10))(0¼) ¼(�(1�)n1n)n! n!
Entonces
f (zf)(z¼) ¼ln(l1n(þ1 þz) z¼) ¼f (0f)(0þ) þf 0(f00)(z0)þz þf 020(f!0020)(!0z2) zþ2 þf 0030f(!00030)(!0z3) zþ3 þ� � � � �
¼ ¼z �z �z2 z2 þz3 z3 �z4 z4 þ� � � � �
2 þ2 3 �3 4 þ4
Otro método. Si |z| < 1,
1 1 z ¼ 1 � z þ z2 � z3 þ � � �
þ
Al integrar desde 0 hasta z se obtiene
ln(1 þ z) ¼ z � z2 þ z3 � z4 þ � � �
234
b) El término n-ésimo es un = (−1)n−1zn/n. Con el criterio del cociente,
nl!ím1����uunþn 1���� nl!ím1����n 1����
¼ nz ¼ jzj
þ
y la serie converge para |z| < 1. Puede mostrarse que la serie converge para |z| = 1, salvo para z = −1.
Este resultado también se obtiene porque la serie converge en un círculo que se extiende hasta la singula-
ridad más cercana (es decir, z = −1) a f (z).
c) De acuerdo con el resultado del inciso a), al sustituir z por −z,
ln(1 þ z) ¼ z � z2 þ z3 � z4 þ � � �
234
ln(1 � z) ¼ �z � z2 � z3 � z4 � � � �
2 3 4
www.FreeLibros.me
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Variable.compleja.2ed.Schaum.Spiegel_1
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search