236 Capítulo 7 El teorema del residuo, cálculo de integrales y series
7.38. Demuestre que
coth p þ coth 2p þ coth 3p þ � � � ¼ 7p3
13 23 33 180
(N + 21)(–1+i) y (N + 21) (1+i)
Solución
(N+1)i
Ni
Considere þ p cot pz coth pz 2i
z3 dz i
x
CN –N –1 –N –2 –1 01 2 N N+1
–i
a lo largo del cuadrado CN de la figura 7-17. Los polos del –2i (N + 21) (1–i)
integrando están en: z = 0 (polo de orden 5); z = 1, 2,. . .
(polos simples); z = i, 2i,. . . (polos simples). (N + 21)(–1–i) –Ni
De acuerdo con el problema 7.5 (al sustituir z por pz) –(N+1)i
se ve que:
El residuo en zz =¼ 00 eis �7p3 Figura 7-17
.
45
El residuo en z = n (n = 1, 2,. . .) es
lím�(z � n) pz�
z!n sen pz � p cos pz coth ¼ coth np
z3 n3
El residuo en z = ni (n = 1, 2,. . .) es
lím �(z � ni) pz�
z!ni senh pz � p cot pz cosh ¼ coth np
z3 n3
Así, de acuerdo con el teorema del residuo,
þ
p cot pz coth pz dz ¼ �7p3 þ 4 XN coth np
CN z3 45 n3
n¼1
Se toma el límite cuando N → ∞ y se encuentra, como en el problema 7.25, que la integral del lado izquierdo tiende
a cero, con lo que se llega al resultado deseado.
Problemas complementarios
Residuos y teorema del residuo
7.39. En cada una de las funciones siguientes, determine los polos y los residuos en los polos:
aD EEEMz)nvvzzez2u2aa2c2z2me2�222lluz���úús2zzuze�tþeezzeþnrþþzzzCCþþesþ�tCþþCCþþCCzþþ1��tr�zCþ1CCþþ1q1reecCþCþ�Cþ2eceeec1ec2uo�2Cþee2ec2z2lo��eczo�o�,ceccszqoz1ez2z2o,,,o�sd1ss11oh=coo2zzdusdd,þsh=eh=h�=zzsz1zzz o3ssszzdhzzzezzh3=l3CCþþ3czshhzhzs�zzszssþ3e1erzzhzCþebeezszzeecnarCCþþdn�eenn2)zosdo�d(1d�cCþzlzn((�i(,1��sdeczs1zozo1d11edzz(2�h==¼o�zzzzzzzcy1s=¼u=¼=zz¼z,lz3þ�s1hzzzoaz=¼þ�zzþo�dþ�s)h=lzp))rs)zeþ�zozzpdpp3g11hd)zddndi11ss11p1dzi�oiiedzez(z�11z�i�zfpi1,wizfnifi2ff�dd((wwfwzzf2fo22=¼di(,((f(cz�Chwzef,,z2,z1zzlCþ�)h(CoChsh oe),)zz))z=¼Cchlenepe¼r)sad¼z¼þ�¼r11errdczi)eez¼edr�cpe)zesdCicf11zeizzwC3fCCz2iirsC(zs33z3zz�zs)Cs,sczeþczCihi)3f))=zeeþezwsþz)þifuzsini22=z=h=e()eszns2esnz2n2þzzzi,2nzz=z¼zCes2hr3tz2sn222zz2),32tz32ht3ezzftzsþze,2 ,h,h)lhþea2þ3zþtzzze¼2ar/az,aaheeCe2ertþ22ze3tz4atzteþlsecd2c44zþ4þ)cþc3tczenþzziCzizci)=4þi3crisizrn2¼zcsze2urrzrc¼sc¼¼)i2222eciþcznc2iz3trza=le¼ua2,zsznh2zlzcellþ0zdczeeneaz0z200elj2C23tzhrejjzjtjf,0hia=jþzzjz4zjzþijesiciazzzzezjjsd2jsjdzsriijj¼tjz,�jsroe¼¼e4¼¼¼ þ0�2cj��¼c¼¼zn¼fi�z1¼lci5er1c11¼en5152e50=oc.1s111i===j5..)i.z.6lanj1z.d..6=i6e6−,.z00cjs.a60|0jj0vyo.zjz¼1i0�...éz¼p|jts/d.jro=1z¼t56e�¼1i.r=t.0c.e16|15e.z1r=0..sm|.6.e=0inn. e5.l2os
7.40. 2i. en los polos.
7.41. residuos
7.42.
7.43.
7.44.
C
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Problemas complementarios 237
7.45. Sea C el cuadrado limitado por x = 2, y = 2. Evalúe þCþCþCþC((z((zzzs�s�es�s�eenepnnpnhpphihhi=3ii=3=34=3z4z44z)z)3))333ddddzz.zz... con vértices en 1 + i, 2 + i, 2 + 2i,
7.46. E 1 v+al2úie.CþCþCþCþ((z((zzzþþþþ222222)22z)3z))2zz3(32322(zþ((zþ2zzþþ222þ5þ5þ5þ54444))z))z2zz222ddddzzzz, donde C es a) |z – 2i| = 6, b) el cuadrado
7.47. EEvvaallúúeeC2þC2þC2þC21þp1p21p1p2i22iziþizCþ(þzzþCþþ(zCþCþ((z3zzz�3z3(3z�z�s�(z((sezss2z1zee2e1ne21e21)enþzenn)2þtz)p)þzþz2tp2t2tpp1z1z1dz1)zd)dd)z)dzdzzddzz,,zz,d,,ttott.n...d0e000Ca es un cuadrado con vértices en 3 + 3i, 3 − 3i, −3 + 3i, −3 − 3i. − 2i.
7.48. lo largo del cuadrado con vértices en 2 + 2i, −2 + 2i, −2 − 2i, 2
Int77777777e........55556455g59861017........r ACDaCDDCr12aep12)aaaeenaaplElllmmdlapfficcc21ffie21effipffiolnppuuuffi21siuuffistccplllpaoeeffipteeeepffiueffiffiaoss2ffiffipdeoffiittr112ðð121ðð0000ððlffi0t0>mrrtnaoppbaooeeeð21ð120t0ð(xð(xt00btp5op5arxxo121ðða4400fvboðqqto0xxegp22(a(ib��a2boð21uu4þbi4þ0ðn(x550sisie121nððp5þtþdl00d211ðððxtbn000eentð4+e121ððe0þ00eiþpðxal0dpad112ðð��x3200xÐ3pðð12d(ta0x0nxn�ðð12i(n00pð4þ(xið210iac00xp5cr5xðÐ1(xds10xp51rð122en2þ0x4ndcpð5c(xec014e1x30xio3oei4pþ5x1)32)3dzx(ddx2no�o�4(x3ar2þsaþ2�4(xu(n(xsues54þÐ�sÐ25x¼4þx(¼,csxþisxc1dss5�112xcððsþ00o2do0eð4þ�00ecdþ53þddÐ131ess13211poððþ.dvo002oe2�þð)3xd3dþu0d1u��1fx3fx0ð21nodei0pe�þxuðxnþ3u(u10(uscxxxdnes21s2�pð125xc3xx.0¼þ12.eþxði(xesncxcc0x2d241(d(1o co3xop251rcxx33cpox)31puu1d�pl2pzd43)32z�eoo2o(2dcuþi�)31uoxu1fd(u3aþso4o2(uu2s5)3þ2(d)f)xds¼�d4(x�ui4ss2soxcix¼þ4þd..soþxc.xffi2xi¼(5ffi2u4xso4dss3xc(eþxffio3ffixþ¼e )edqoþ22i)þpdsxcs23ffiuu�o21px1123ððfzoex.u00¼1.þðo2xfnu3d2u02dud1difduio�x3ps2o2u2c2xu)u1zs2.x1zþn¼4f2..þ.sd2ð12(cu.0xducffi2d.ð1xþ(x(4x031lo 1ps21edu(2ffip)3pp.ze5þ)cduþpxz1uopd21u(3uoþ4px.zu(u)3s2d)p2d)x)uui¼po4(2z¼¼¼x¼)221þq4(scxcz2(.uu)s52ffi�5o44..1ffi24þ4x2¼u3(.)5e¼sffi2xc)4þffi4s1eo2io)uþffi2.2þuffi1d.2ef13)4ðþðd20.0óuaeiaffio22dþe.)p21þipu)�11121s2d2fzde¼i�.x3þ.z.u 2d1x.tdun(15tz(ni(s2�u.1126.þ6pcz1xuaua1p1dz(.11223u3(uczpðz1u)013pioza2))¼p)3141uds¼)3)o355þ5.þ¼þ�2ffi25i4�))(1tus4¼5¼ffi¼ipe)6þ.x)¼ffi22a84s8xc5pp2ð�.go0ffi3ðeea2d2)þp0z3ipað10p.o22a14z4bbu2dp1ði.fu1i301intpffi5þau1tuipiz6)1ffi11t)¼as2..6.a.ffipþffiiu..6i831tpcpacd1z(p3ffiffi=z6))3eapzffiffiu¼pz3o453oþbpffiffi53)zu=5þ2n¼3¼5ffiffiþ2i)¼pffi5=4pffi83s.p5s¼þ228.ffip.ðffi2ffidd40c8t¼paffiffiffi2ppe1)þ48ðpffibeffiu0=uffi4=ab.ou1tuffip4d21bffiiii6ffi.4ffiab2z1=it..2ffis.c.ffi3.þ6þcuziffiad.affi1c .2 3.offiz3cu5þolffiuo)¼3,5¼þso8psc5cd¼sdpþ8bpds4ud2bud777uðss0ruuai4)bpu1.ueeoe....uicþ1tcþ.5556.þCnancboþ3zsd24232oðð0l0sau3cu5eþppcdoe...77c¼s22l1ðð1ððd n80uc00p0¼¼smunp5cp5s..u2s4ðDCDeu56b0Ðesuu(d(þpe5i5þ0þan.Ð2exx90nþ11ð.ðcpcl0pa0ecnee¼2p05enð2221c0�c..�ðoo2ul0ommpc.ðu.70cp c(2uc4c4Ðpð2o5ffiaÐoaffi01ðcsð2þþsþu0s01ðxffipðffi¼20o0.Voc0cppC1ð5dso¼ð0u0ffi0ffipÐ512suu2¼s121441ðcpð5cffi3ffi2003scu�e¼osos0(ffip05sffi0ul.e(51ceeaoffix9offiþx�5e4(1�1�u2�oxffiaue2nþc5cffissþcffixcpcþ(,r,ffi1ðcxp1ðxoþffiss5lffins2cp.s2þ2ffi)12)1soffi2xcoð�ffii41oð3o21ð30ccocc0fficp�03xou2tt.ffi2ffip2s5cc�5.foffi0ðp4cpffiu0ffiuð21bo.arrð1bs4Scs0�2uoffiux0csuosoþo�ffiau12pis1ð�ðffiu4s2ssþ0.0coaoffi(dc(c¼ffieesdþ,offidp25q14ð2ffiso21ffiað2ðoffi4es022lsc0es2sþex2d)xx1ffid34¼ffioxdcffi(1spð332so(5ffi400cxesxffi(3sffiuffi05nsn2xsxo5x4qqffia2x�pu22cffi1xu0�u�2þxu3u2ðo1bffixu�sxc1ffi0cx�c(uu2seox.ffic.ffi�,0sc1ffip15�ðu2ue(,2cffi2þ21ðffi¼22ds2ox2uuffi�2x)1,1�ffiu.1s2d22ðoo.þ2oc)dþc1p1ð3ffiedn2ffic�doffix0dso21ð3,u)11ffið0(offi¼5.1ffið3cxps2250ffieexu)cxc1�ð1bc42þnqffioxpsdoffiþsx0ffi5sou¼ax1uð32ð1bxuðus�0.u0spffiþus0uffiucð1bcffiu(ss50ffio.4pud(po2Ðaffi2sffiuffid22ð¼1bsxusþ24(20dse42d2dmffiu2dffixmd24ffidsuc.eso2o1uðþ3xdð(¼2dffi0(0¼0.ffies2Ð.(xdxd¼ffi0s¼21¼p4nx51(xc1effixiffix2xx3exu2nffix�ox(dxxc�uu1þ2xsus0u�c2n(ffi¼u0xcuxffi.2xxcu1x�u,.¼12ffio1xð(nc¼�)2xffi21)(�22u.x2u2m5s22s2c.uffio)1þþ42ffidcodþdm.,2ffi¼o2Ð1ð3þx¼.1ð2Ðd021ffi.cffipo¼þ23s23.de25)21sxffi¼ocpffiþ1ð3.0us1oþþxð1b0xc0xsxd2þ0usffi8Ð1uc8�xffi15cousdþedsnppxp((ffi.uu(ð1b2ffidxsþcc0þu02)s4d42ffid5m5sffioaue241d21xddpffim(pffisnþ1þx2dx2ffi4¼(.ddmffis(2os2¼.xx3ffi.e12.¼ixxd4nffixffidx)d.xm)1s22xux(x¼�4x1ffiuceffi1ffi3xecxx)x.8xs...2xnsþ2ffi¼x2xdiþffiffi02p¼x)u1¼2�xxxu2x2)ffixcoffixffin�þ.).1n5eo)�¼u.22x.dffiþ2cp2ffiffi¼þ2x2223dþ,)1ffið¼x3.=ffioffi2þx.dcs2nþþ3)ffi)s1¼8offiffi2ux1ð3did8x0ffipix=ffiffidc.p8ppþ5p2s2ffi¼d)pu5ffipffiu)24ð1bdd8ms250pxuffixxdi2ffip.sp52pxx2.(ffixp4d¼.ffiddmx2¼))1e5e.x22xx)dpffie2.dx.dffi2x2=)¼.x(=x2ffi1¼x.ffix¼.xx�2�p))¼n.ffix22ffixd2xux�x¼.uþpffi=p¼c.ffi.22).¼3ffi.imm221þ22x¼effi2..poþn8d3¼pffii¼d12pep(2ffi(pffi�ffi2x8cnþ5ps4d4ffipffipffipu¼11x2npffit5ffi22.emp)pffiffi4exd2dffimhiffi12eiffi21t...2)�þ¼þffiffip¼nen�1(pxhxxlpeffiffi.�i=2124.¼xffiffi1a�mn)mpeffiffi.=2mtþffiffit¼2rpffimmmffip3p(hh2þffi(ffi4fet(r48ffi1pffipd14p(ehffió=effi1=)e)se45ffiffi1px2ffi..ffiee2uþr=ms2�ffi.þffi)rrþffiffim�u.2lþ2ee¼ffimr)tffi.lamsmse.mu(tmÐ4ulus1m(pl40)Ð)11lula).i0t.tþ)1.egl.þteÐ�Ðu0e�0m1Ð1ma�m0u1l()2e4uea1.)d2�e�r.duþ�uuup22u¼dda2m¼udrut)ue.¼¼s¼
1ð cos 2px �ppffiffi pffiffi
x4 þ x2 þ 23 e�p= 3.
7.62. Demuestre que 1 dx ¼
0
Suma de series
7.63. Demuestre quenP1n¼PnnP1¼nP11¼1¼1¼1(111n((n(2nn22þ221þ1þ1þ111)112))2)22¼2¼¼¼p4p4p4p4ccoccotoohtththphpppþþþþp4pp42p4422c22csccscsschcch2hh2p222ppp����1212.1221...
7.64. Demuestre que a)XnX1¼nXnXn1¼n11¼1¼1¼11n111n4n1n14144¼4¼¼¼p9p90p94p904,0404 4,,(,b((b()bb))X)nX1n¼XnXn1¼n11¼1¼1¼11n111n6n1n16166¼6¼¼¼9p949p9p46p544656.6565...
7.65. Demuestre queXnX1¼nXnXn1¼n11¼1¼1¼11(11�((�(��11n)11nn)2n)n�n)2nn2�nþ221���þ1þn1þ11nansnaas2eass2en2e22ennnnnunnuu¼u¼¼¼p2p2p2p2sssesesssesenneeeennhnhnnnhhhhahahaaapauaapupu,pu,,�,���pppp,,,,uuuu,,,,ppp.p...
7.66. Demuestre que11121111212�22���21222121212þ22þþþ31323131212�22���41424141212þ22þþþ���������¼�¼¼¼p1p12p12p122.22222...
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238 Capítulo 7 El teorema del residuo, cálculo de integrales y series
7.67. Demuestre que XX11 nn44 11 ¼¼ pp �� sseennhh 22ppaa þþ ccssooeessnn2222ppppaaaa��..
þþ 44aa44 44aa33 ccoosshh 22ppaa ��
nn¼¼��11
7.68. Demuestre que XX11 XX11 ((mm22 11 þþ bb22)) ¼¼ pp22 ccootthh ppaa ccootthh ppbb..
þþ aa22))((nn22 aabb
nn¼¼��11 mm¼¼��11
Teorema del desarrollo de Mittag-Leffler
aDDb))eeCDmmoeuumneesseuttlerreesretqqrseuuueelqtuacsdeesccozthazzzzd¼nzz¼ze¼¼¼l¼z¼¼1zziz1zzz1p¼1zzn�pzz¼p¼¼p¼�c���z�¼¼2i��2(s2z¼2z212zp(2z2o((zz�pzz1p¼�zzpzpz��=���ap¼�(�=�z�2==p()(z222(�z22p)z2(1pp2=2z22d)2p�21z))(1=12�12=2z�e=�2pþ�z�1=2�12)1mþ2�(1þpþz2=2)p1)p)(12z1p2pz2)u2221p�z2=22z2z�)�e2221���122=22�þ�s�z���12)�t1�þpz22zrzz)(121zpe2z2212þz3z(�12(122(11zþ231221þ�3þpq�23�222�þ�p(�p1�zu�pþ=�3þ(þ12(4(1z=ez123==(13p3432214p243þz32p)32(12p3pp31321=p2)p3þ1�33p)22)22=22þ2=22=2(�p1þ22=þ2þ13þ2)þ2þ(41þþþ12=2þ)1þ13p3)5)4p1z322)2z52p32�5z512=p1z3zz21)�z2z22�2�2222þ=22þ2þ22�þz1þþ2þ)þþ�þz2�1�þz1z)57(21z129122z1þ75(�52727(19(z12þ9p159zþ25þp�52222þpþ2ppp�(p2zpþ=þþþ5(22�(1(2z=2�52=7=�(5p51291�25þ�5�2p)�722�(�pp519p=2)5�þ55p�)�2)�=þ2p2=�2�=2(p2�þ��¼�=2þ152�)þ2¼(�2þ�þ¼1¼�2=2�)1�15�p))��z52��p2)�2��2�p�.z28=pz5z�p�)��p.282��.2.82=282���þ�2¼.2z12�2)��.��þ¼z2..2�z1z)��2z2p22�þ��.28��zþpþ�þ2�.�28����.�2z�������2.�.�z��.�2�..þ�������þ����.���...���.��.���. .
7.69.
7.70.
7.71.
7.72. DVeermifuiqeusetreloqsudeeXksX1¼kXXkka1¼1¼1¼1r111rzoXz2kzzl21¼X2k2lþo1¼1þþþs114z14a214k14zk)22kkþ2p222þppp,2142b214k2¼2)2k¼2¼¼2,2p24,2,,p122,2z12112zcz¼z�2)�¼��2,21521,122114�,2z4�14,4��dz�,,,1z)�12z11zz7þ214þ�,þþ4,�ee,e15z)zee5z51,5zz1�8þ,�1,,1�1�þd1ee151�z1e�5,�lz�1�.a,.1�7.. 7p17,7,á1�,, g�.i7.n77,a.7,8248880. 9D.8e8muestre11q1141111u444þeþþþ131314331114444þþþþ351534551114444þþþþ571754771114444þþþþ7�1�74��1��4�þ���¼þ¼¼¼� p9��p9�p9�6p946�4¼6.644.¼.. p9p9646.4.
7.73.
Problemas misceláneos
7.75. Verifique que el teorema de Cauchy y las fórmulas integrales se obtienen como casos especiales del teorema del
residuo.
7.76. V SD CeeaearlmicfnuiuqlueeusnÞeÞtÞCrCnCeqúzzuzq3m3e3eueÞe1ee1eC1=r=nz=ozlzza3dcpeoszo1una=smdziltioaicvidlooae.nrDgeloosesamdrdeeueselciasudtcauriedoÐrÐÐ0acs20q202spupudpnaeeeeefcclÐeolcoa0aosr2ssuepfufunucuecccnoncooiosccsass(i(iun(óónCnuncnuuo:c��32sj�ujzj(zzzyzsn65s�s�aeu�ee��nnen1�1u1jcuj84zuju)j)sz¼z)�¼da¼e2ddþcunu4þui144óu.¼1j.¼.¼n)50¼d2e2e2ups4pnp.=¼|=t=znonn!−2d!.!.p.o1s=|ns=u!.s polos es 2/3.
4.
7.77.
7.78.
7.79.
7.80. aD)eÐÐÐ0m20202pppuffef((sÐe(et0e2iriuipueu)))fdqdd(uueuuei¼u¼:¼)ad22)2uppÐpÐÐf0¼20f02f2(p(ÐÐÐpp0(000020222c)cc)pppp,)o,oo,scc cfss(ooo((((c0c(csssb(obo)((bo()s,cc)cs)soooÐuÐuuÐ0sss20)20))(2puupucbpcco))f)ooff(sccc(ssÐe(hooeoh0he2i(iusss(pi(usuh)hshs)e)efe(c((cnscsn(snooeeeousuusinnnsu)u))u)uuuuddddc)d))duuouuudddus¼¼u¼u¼u¼u¼¼¼¼2d2�2�p�upp2p22p,p¼ppp ff(f((0b0�(bb0(0()(0()())0p)bbb)ÐÐ.)Ð).)0).20f022pÐÐ0Ðpp(000222e0eepppc)cco.oeoeessscccuuuooocsssccuuuoooscccss(ooo((sssseee(((nssnsneeeuuunnn)))uucucco)))ooscccssooouuusssdduuduuuuddd¼¼uu¼u ¼¼¼ppp...ppp...
7.81. Demuestre quð10ð1ð10e0 eeð1eð1ð10002s22sspepeeepeexn2x22xssnsnppp�eee�a�axxaxnnnxxx��1�a1aa1xdxxdd111xxxddd¼¼¼xxx ¼¼¼414114ccc414141oootccctthhoohottta2hh2ah2a���a22aa2 ��2�22111aaa222..1.11aaa...
[ Sugerencia: Integre eaiz/(e2pz − 1) a lo largo de un rectángulo con vértices en 0, R, R + i, i y haga que R → ∞.]
Demuestre qu1ð01ð1ð0e0 ese1ðe1ð1ð0s00sxexxeeneeeþssnsnþþxxxeeeaaannnþþ1þx11xxaaaddd111xxxxxddd¼¼¼xxx ¼¼¼222111aaa2221�11��aaa ��2�22sss222eeenpssnpsnpheeehhnpnpnpppphhhaaappp... aaa...
7.82. Dadas las constantes positivas a, p y t, demuestre queaaaaaa�þ�þ�ðþððiiaaaaaia1ii1i111���1þþþðððiiiizii1z1111z1222zezzþeþeþ222zzzttteeeþþpþppzzz2t2tt2pppddd222zzzddd¼¼¼zzz ¼¼¼ssseeepnspsnspneeeppppnpnpnt.tt..pppttt...
7.83. Demuestre quð10ð1ð10e0 xxð1xð1ð1000222llxxxlnþnþnþ222xlllxxnþnþnaþaa2xx2x2aaaddd222xxxddd¼¼¼xxx ¼¼¼ppp22l2pplplnanana222alllaannanaa...aaa...
7.84.
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Problemas complementarios 239
7.85. [CDDDSDDSuaeeeeeuplmmmmmgcoeuuuuuunrleeeeegeesssssnattttt1ð100crrrrrqeeeeeið1100(au1ð0xqqqqq:elð12ð1200n(uuuuul1ð1C1ð0x0−nþ(eeeee(l1ð021ð14onþ0((lx1pð1ssa04ð1x0xnþ(n(1þiil)1xx22þs1ðnx()0xl<Cþl|−1ð12204i2ð11ðn20210nþ(aþþxCþld1x1xznþx(d(þþ)|1()(exx4a1l42z2l(421þðx041xpdþn<xCþ4rdnl4l<þxd.þ1þepx)nxþ<)dnxxx2zþxz2þ2(x1xð2)210d1ðxx0Cþ4))21zl4xCþl2¼1.2pd1pþ,2xnx))dn)pþcx1þxzþ1d(21yxz)(ddcxod42<zlx4¼41.ðl10l40px.l,ddpnodxx)dn)pszndnbV1þ.1þþ21xxþhscczcx2zx1ðl1x2¼02¼pz0xe1hd,>oonod))x)¼)¼,1r,1,12xcc1sss2zcxl2ic21ð00�ph¼hoondfod0pd1ðo1d.1ð¼00i�0p,¼ssxccsqzx,xxx2pszl20hsh1ccloonpphu1sð2.l0d2¼n�02e¼¼a,1loon6essxx2�exp2nxp2xn,s6h1ðssn2�spplp21p1dð.0eh�qh1ðo¼21�le¼h.¼p12xxffi21ð.0xnn2ffiu.n6sea2ffixx�pp,slxppdffihe1ðsee2¼h1ailxe,21sl12ld2xn e2ninr2..a6ecnx2ffi�6lxpx�pgcnpffihp1ðnoe2xx¼h21ð2,s1soo1hbic¼hs.easffi2.elsxcffi2sffi)offieanexbexdn2e,hxo,nsipð1xhnc20xeishl(sslcð1hc0eobphxehxdpcoxau(opnsxnps(plxosax4s(sxsnxð1snhp0ehblee4dhs=exxadþn¼nppbnxnhxpxn(2xa(dþxpð1hx0pxshð1)lh(04=hd)xxxn1¼2ep)pp.¼22dpxxa(dpþ1x2a(mp¼dxl)x4=lxx4xx�n¼xpd.)n2x=c2id1þ2¼dþxc¼cxco2x)x¼�xidop).o2s))¼r121p.2xcs¼2scc¼a�3oduoaads¼3�pþsxcsnespcxcp6þseconao3fao¼e634¼encop3þspsssan4psþcrposeaaaeea6o32ffias3þn3caffipsnnsffi24hsp.scþpppoffiþepeache.6soa6cnlsþ3n3ien2ffi4sphclop4aþffic.panha.oas.ocbc2ffihas2ffiplcosffipoffih.pho..sbn�hslplhu..b.�nbp.ap�i�.n.dentación adecuada en z = 0.]
7.86.
7.87.
7.88.
7.89.
7.90.
7.91.
7.92. Suponga que a > 0 y que −p/2 < b < p/2. Demuestre que
a) 1ð1 e1ð��eaa1ð�xx1ð22aeccxe�oo2s�sacbbxao2sxcc2boocscsob(soabsc(xcoa22osx(sa2e(ansxex2bn2s)esbden)xnbd¼bx) )d2121¼dxpx21¼pffip¼ffiffi21ffi=ffiffip21ffipaffiffiffiffipffi=fficffipffiaffiffioffiffipffi=fficsffi=affi(offiabffisffic(=cob2os=)(s.b2(b)=.=22).).
b) 00 e1ð0��eaa1ð0�xx1ð022aeccxe�oo2ss�acbbaxo2sxsc2beocnssobe(sabns(xes22aensxn(2ea(nasxe2bxn2s)esbden)xnbd¼bx) )d2121¼dxpx21¼pffip¼ffiffi12ffi=ffipffi21ffipaffiffiffiffipffi=ffisffipffiaffiffieffiffipffi=nffisffi=affie(ffiabffinffis(=esb2en=n)(.b2(b)=.=22).).
1ð1
.
7.93. 00 0 0 0 que cscz2z¼¼nX¼n1X¼�z1�1¼1(z(nz�X¼1��1n11np(p)z2)�.2.1np)2.
Demuestre
7.94. Suponga que a y p son reales tales que 0 < |p| < 1 y 0 < |a| < z. Demuestre que
1ð01ðxx2 2þþ12ð0x2xx�xx�pc2pcodþosdxsax2xax�þþpco1d1sx¼a¼�þ�s1esenp¼npppp�p�s��e�npssespesenpenn�pnapa�aa�s�seennpaa�
7.95. f Digeumraue7s-t1re8ð01ð0.1p]q3p3u0xffiffieffixffi2dffiffiffiffi2dffiffix�ffiffið01ffiffix�ffiffiffiffipxffiffi3ffiffixffiffi3ffiffiffixffi3ffiffi¼ffi2dffi¼ffiffix�ffipffi2ffipffi2pxffiffi3pffi33ffiffi.ffi ¼. p2pffiffi . [Considere el contorno de la y
3 C
7.96. D emuestre el teorema del residuo para regiones múltiplemente 1x
conexas. Figura 7-18
7.97. E ncuentre las condiciones suficientes en las cuales el teorema del
residuo (problema 7.2) es válido si C contiene una cantidad infinita
de singularidades aisladas.
7.98. S ea C una circunferencia con ecuación |z| = 4. Determine el valor
de la integral
þ z2 csc 1 dz
z
C
si existe.
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240 Capítulo 7 El teorema del residuo, cálculo de integrales y series
7.99. Dé una prueba analítica de que sen u ≥ 2u/p para 0 ≤ u ≤ p/2.
[Sugerencia: Considere la derivada de (sen u)/u, y muestre que es una función decreciente.]
ð1 x 1.
senh 4
7.100. Demuestre que pxdx ¼
0
7.101. Verifique que en la ecuación (2) del problema 7.22 la integral a lo largo de Γ tiende a cero cuando R → ∞.
7.102. a) Suponga que r es real. Demuestre ðp ðp l�n(21r�co2srucoþs � ¼0 � 0 ln if jj rrjjiissffii��jjrr11jj � 1 .
qulne(1 ru2þ) dru2)¼du p ln pr2 ri2f �. 1
0 0
pð=2 pð=2
b) Con el resultado del inciso a) calcule ln selnnusednuu(vdéuase el problema 7.23).
00
7.103. Termine la prueba del caso 2 en el problema 7.25.
7.104. Sea 0 < p< 1. Demuestre þ1nqþ2u1ð01ne1nþ2x21ð01ðx0þ1þ��xxx¼px1�11���¼pdp¼p11xp3dpdp¼xffi3xp3ffip3¼tp¼ffi3affi3ffiffinctptpahoan�cntchophpo�tp�tp2pppppp3ffip2ffip2,�3ffie3ffiffi:ffi�n�:e: l sentido del valor principal de Cauchy.
7.105. Muestre que XXX1n¼�n1n1¼1¼��n114 nnþ44
7.106. Verifique que cuando N → ∞, la integral en el lado izquierdo de (1) en el problema 7.29 tiende a cero.
7.107. Demuestre qu1e 11 �3�15331þ155 þþ1 11 �7l�1a57p71þ15á5gþ�þi�n���a�¼��2� ¼10¼595p1135p55565pap3.3r565a6X�..1a1X�)11X�f11�f2�fn2�2þn22þn12�þ1�a1n�adnyadnbd) X�11X�11X(��11(1�()�1nf)1n�)f2n�fn2�2þn22þn12�þ1.�1.�.
7.108. Demuestre 15 11�55 55 55�55
de
los resultados
7.109. Dado −p ≤ u ≤ p. Compruebe quXne1¼Xn11¼X(n1�1¼(11�()�1nn)3s1nne)3snnne3nsneun¼un¼uu¼(up(up�(p�u1)�2u(1p)2u1(p)þ2(pþu)þu. )u. ).
7.110. Demuestre que la función cot z – 1/z del problema 7.34 es acotada sobre las circunferencias CN.
7.111. M uestre que en la ecuación (3) del problema 7.36, las integrales segunda, cuarta y sexta tienden a cero cuando
e → 0 y R → ∞.
p
7.112. Demuestre que 1 � 3 1 þ 5 1 � � � � ¼ p88..
cosh(1p=2) � 3 cosh1(3p=2) þ 5 cosh1(5p=2) � � � � ¼
cosh(p=2) cosh(3p=2) cosh(5p=2)
aaaþþþððiii111
7.113. Demuestre que 1 ppeezzzzffitffizttffiffi dz ¼ pp11pffipffiffiffiffiffiffiffittffiffi , donde a y t son constantes positivas arbitrarias.
2p1 i aa��ii11 dz ¼
2pi
XXð1ð1n0n1n01¼1¼1¼((111xx2c2ca2�ooþþtitnn1hh77117nndd))ppxxccoo¼¼sshh55pp116699xx77pp¼¼007770044..
7.114. Demuestre que � p
7.115. Demuestre que �2 p..
7.116. Demuestre que 2
1 1 1 p33
0 se1nh pp�� 233 se1nh 22ppþþ 333 se1nh 33pp�� � � � ¼ 3p630..
senh 23 senh 33 senh � � � ¼ 360
133
13
7.117. Demuestre que si a y t son constantes positivas,
1 aþði1 sen t
2pi t
ezt cot�1 z dz ¼
a�i1
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Respuestas a los problemas complementarios 241
Respuestas a los problemas complementarios
7.39. a ) zzz=¼¼−��111,,,222;;;111/==333,,,55/5==333,, , b) z =zz¼¼1;114;;,4 4,,c) , z =zzzz¼¼0¼¼;0010;�;;1111, 2; 1=3, 5=3, z ¼ 1; 4, z ¼ 0; 1
z ¼ �1, 2; 1=3, 5=3, z ¼ 1; 4,
7.42. 88d8pp p)iiizzz¼¼¼1212(21(2(22kkkþþþ111))p)ppi;ii;;((�(��111))k)kþkþþ111ii,iwdwwhohheneerdrereekkk¼¼¼000,,,8++p+1i11,z,,+¼++22122,(,,.2...k....þ.,,, 1)ep)izz;zz¼=(¼¼�kk1kkpp)ppkiiþ;ii;;;100i0wdwwohhnheederrereekkk¼¼¼000,,,+++111,,,+++222,,,.........,
z ¼ kpi; 0 where k ¼ 0, +
4, z¼ 0; 1
z ¼ �1, 2; 1=3, 5=3, z¼ 1;
8Z27777pp....e4444rii7354ozz....s �Z�2:¼¼�Z�28�Z�2−−C pez69pppeer69e69i�612ppr¼oriirppi(ppopoos2ip11sips:ipsik+,::+ffi2:zffi22þffi2ffizz2=ffiffiffiz¼;==2i3¼¼,2121=i)+R=+p+3e2i,s22;i2:,i5i,(,ia=R�,RRt3er1,zeees)ss:s¼k::iþadaat10uttizozziw:s¼z¼¼he2¼e0n,00rRe1izsii;essk=2s422:¼,,,,aR0RRt0e,ezeesasss:+::a¼21azat,t,t¼z�rz+z�Z�2aeaa1pes069¼2ir¼¼;iþppdo,1u�.sip�i�:.o1.iffi2:z11ffis,=þe¼þþ�2ni+i12izi(siai12ssz�i�=�,�¼R12312(12−ke(1(i1p)1s1,�:i��R;a+3te08Z233iszpp)iieiw:),)¼r,i,iaeoRhzRRtsspee0:¼zeres−effiszsi:ffi¼s::12ka¼(aa2t2�1¼tt,zk+z1zR–¼þ02¼¼e�,3is,�1+i:�i�)Ra,1pi111estr,�isez�;��:+as(iia�i12id¼t2i(siui11,zsso.�)þ¼�k�.:þ1.12e1312(021þn(i1(i1)1iwþzsiþþhi2=s3e,33ir�R)iei−))ek121s(:1¼−a�t0i,z3a+ei)s¼,1R,�e+s1:2þa,t.i.z.i¼s, ��211(1�z�¼i
�7.94p8.p 11112ffi�ffi��=−2cccocoosossstttt 1 � cos t �9p 2=2
�7.65p0.i 5555pppp===/222288888888 5p=288 �6pi
1577p..�55=812c.. 80po0p0p08spppt 3ffiffi33ffiffi=ffiffiffi==666 0 1 � cos t
ppffi3ffi =6 5p=288
07.59. pppp===/2222 p=2 0
pffiffi
p77..p7888ffi3ffi..= �11�61−1/p2///p22p42=44=/4444 1/24 p 3=6
p=2 �p=4 �p=4 p=2
1/24
1/24
�p=4
�p=4
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Capítulo 8
Aplicación conforme
8.1 Transformaciones o aplicaciones
El conjunto de ecuaciones u ¼ u(x, y) (8.1)
v ¼ v(x, y)
define, en general, una transformación o aplicación, que define una correspondencia entre puntos del plano uv y
puntos del plano xy. A las ecuaciones (8.1) se les llama ecuaciones de transformación. Si a cada punto del plano uv
le corresponde uno y sólo un punto del plano xy, y viceversa, se habla de una transformación o aplicación uno a uno
(o inyectiva). En ese caso, un conjunto de puntos del plano xy (como una curva o una región) es llevado a un conjunto
de puntos en el plano uv (una curva o región) y a la inversa. Los correspondientes conjuntos de puntos en estos dos
planos se conocen como imágenes del otro.
8.2 Jacobiano de una transformación
Con la transformación (8.1), una región del plano xy es, en general, llevada a una región ′ del plano uv. Así, si
ΔAxy y ΔAuv denotan, respectivamente, las áreas de estas regiones, puede mostrarse que si u y v son continuamente
diferenciables,
lím DAuv ¼ ����@@((ux,, yv))���� (8.2)
DAxy
donde lím denota el límite cuando ΔAxy (o Δyv))A¼uv)��������ti@@@@euxxvnde@@@@auyyv cero y donde el determinante
��������
@(u, ¼ @u @v � @u @v (8.3)
@(x, @x @y @y @x
se conoce como el jacobiano de la transformación (8.1).
Si de (1) se despejan x y y en términos de u y v, se obtiene la transformación x = x(u, v), y = y(u, v), la cual
suele conocerse como transformación inversa correspondiente a (8.1). Si x y y son univaluadas y continuamente
diferenciables, el jacobiano de esta transformación es @(x, y)/@(u, v) y puede mostrarse que es igual al recíproco de
@(u, v)/@(x, y) (véase el problema 8.7). Por tanto, si en una región un jacobiano es distinto de cero, también el otro
jacobiano será distinto de cero.
Al contrario, puede mostrarse que si u y v son continuamente diferenciables en una región y si el jacobiano
@(u, v)/@(x, y) no es cero en , la transformación (8.1) es uno a uno.
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8.5 Teorema de la aplicación de Riemann 243
8.3 Funciones de aplicaciones complejas
Un caso de especial interés ocurre cuando u y v son reales y son las partes real e imaginaria de una función analítica
de una variable compleja z = x + iy, es decir, w = u + iv = f (z) = f (x + iy). En tal caso, el jacobiano de la trans-
formación está dado por
@(u, v) ¼ j f 0(z)j2 (8.4)
@(x, y)
(véase el problema 8.5). Se sigue que la transformación es uno a uno en las regiones en las que f ′(z) 0. A los puntos
en los que f ′(z) = 0 se les llama puntos críticos.
8.4 Aplicaciones conformes
Suponga que, con la transformación (8.1), el punto (x0, y0) del plano xy es llevado al punto (u0, v0) del plano uv
(figuras 8-1 y 8-2), y las curvas C1 y C2 [que se intersecan en (x0, y0)] se llevan, respectivamente, a las curvas C′1 y
C′2 [que se intersecan en (u0, v0)]. Así, si la transformación es tal que el ángulo en (x0, y0) entre C1 y C2 es igual al
ángulo en (u0, v0) entre C′1 y C′2, tanto en magnitud como en sentido, se dice que la transformación o la aplicación es
conforme en (x0, y0). Una aplicación que conserva las magnitudes de los ángulos pero no necesariamente su sentido
se llama isogonal.
yu
C2 (u0, u0)
C1
(x0, y0) C'2
C1'
xu
Figura 8-1 Figura 8-2
El teorema siguiente es fundamental.
teorema 8.1: Si f (z) es analítica y f ′(z) 0 en una región , la aplicación w = f (x) es conforme en todos los
puntos de .
En una transformación o aplicación conforme, las figuras pequeñas en la vecindad de un punto z0 del plano z
se llevan a figuras pequeñas similares en el plano w y se aumentan (o reducen) en una cantidad dada por | f ′(z0)|2,
llamada factor de magnificación del área o sólo factor de magnificación. Las distancias cortas en el plano z en la
vecindad de z0 se aumentan (o reducen) en el plano w en una cantidad dada aproximadamente por | f ′(z0)|, llamada
factor de aumento lineal. Las figuras grandes en el plano z por lo general se llevan a figuras en el plano w que están
lejos de ser semejantes.
8.5 Teorema de la aplicación de Riemann
Sea C (figura 8-3) una curva simple cerrada en el plano z que constituye la frontera de una región conexa simple.
Sea C′ (figura 8-4) una circunferencia de radio uno, con centro en el origen [el círculo unitario], que constituye la
frontera de una región ′ en el plano w. A la región ′ se le suele llamar disco unitario. Así, el teorema de la apli-
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244 Capítulo 8 Aplicación conforme
cación de Riemann sostiene que existe una función w = f (z), analítica en , que lleva cada punto de a un punto
correspondiente en ′ y cada punto de C a un punto correspondiente de C′, la correspondencia es uno a uno y sobre
(inyectiva y suprayectiva), es decir, todo punto de ′ es la imagen de exactamente un punto de .
Plano z Plano w
C C'
1'
Figura 8-3 Figura 8-4
Esta función f (z) tiene tres constantes reales arbitrarias, que se determinan al hacer que el centro de C′ corres-
ponda a algún punto dado de y que un punto sobre C′ corresponda a un punto dado sobre C. Hay que observar
que aunque el teorema del mapeo de Riemann demuestra la existencia de esta función, en realidad no produce esta
función.
El teorema de la aplicación de Riemann se extiende al caso en el que una región limitada por dos curvas simples
cerradas, una dentro de la otra, se lleva a una región limitada por dos circunferencias concéntricas. Además, toda
región simplemente conexa que no sea todo el plano x-y se lleva de manera conforme a un disco unitario. Por ejem-
plo, el semiplano superior se lleva, de manera conforme, al disco unitario (véase la sección 8.11).
8.6 Puntos fijos o invariantes de una transformación
Suponga que el plano w se superpone al plano z de manera que los ejes coordenados coincidan y que, esencialmente,
hay un solo plano. Así, la transformación w = f (z) se entiende como llevar ciertos puntos del plano a otros puntos.
Los puntos en los que z = f (z) se conocen como puntos fijos o puntos invariantes de la transformación.
Ejemplo 8.1. Los puntos fijos o invariantes de la transformación w = z2 son las soluciones de z2 = z, es decir,
z = 0, 1.
8.7 Algunas transformaciones generales
A continuación, a, b son constantes complejas dadas, y a y u0 son constantes reales.
1. Traslación. w = z + b
Mediante esta transformación, las figuras del plano z se desplazan o trasladan en dirección del vector b.
2. Rotación. w = eiu0 z
Mediante esta transformación, las figuras del plano z se rotan un ángulo u0. Si u0 > 0, la rotación es
en sentido contrario a las manecillas del reloj, y si u0 < 0, la rotación es en sentido de las manecillas del
reloj.
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8.10 Transformación bilineal o fraccionaria 245
3. Estiramiento/elongación. w = az
Mediante esta transformación, las figuras del plano z se alargan/elongan (o contraen/encogen) en la
dirección de z si a > 1 (o 0 < a < 1). La contracción se considera un caso especial del estiramiento.
4. Inversión. w = 1/z
8.8 Transformaciones sucesivas
Si w = f1(z) lleva la región z del plano z a la región w del plano w y z = f2(z) lleva la región z del plano z a la
región z, entonces w = f1[ f2(z)] lleva z a w. Las funciones f1 y f2 definen transformaciones sucesivas de un plano
a otro, las cuales equivalen a una sola transformación. Estas ideas se generalizan fácilmente.
8.9 Transformación lineal
La transformación
w ¼ az þ b (8.5)
donde a y b son constantes complejas dadas, se conoce como transformación lineal. Con a = aeiu0, se ve que una
transformación lineal es una combinación de las transformaciones de traslación, rotación y estiramiento.
8.10 Transformación bilineal o fraccionaria
La transformación
w ¼ az þ b , ad � bg = 0 ( (8.6)
gz þ d
se conoce como transformación bilineal o fraccionaria. Esta transformación se considera una combinación de las
transformaciones de traslación, rotación, estiramiento e inversión.
La transformación (8.6) tiene la propiedad de que un círculo en el plano z se lleva a un círculo en el plano w, donde
por círculos se entiende también círculos de radio infinito que son líneas rectas. Véanse los problemas 8.14 y 8.15.
Esta transformación lleva tres puntos distintos cualesquiera del plano z a tres puntos distintos del plano w, uno de
los cuales puede estar al infinito.
Si z1, z2, z3, z4 son distintos, la cantidad
(z4 � z1)(z2 � z3 ) (8.7)
(z2 � z1)(z4 � z3 )
se conoce como cociente cruzado de z1, z2, z3, z4. Este cociente es invariante con una transformación bilineal, propie-
dad con que se obtienen transformaciones bilineales específicas que lleven tres puntos a otros tres puntos.
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246 Capítulo 8 Aplicación conforme
8.11 Aplicación de un semiplano sobre un círculo
Sea z0 un punto P en el semiplano superior del plano z, denotado en la figura 8-5. Así, la transformación
w ¼ eiu0 �z � z0� (8.8)
z � z�0
lleva este semiplano superior en forma uno a uno (inyectiva) sobre la región ′, que es la circunferencia unitaria
|w| = 1. Todos los puntos del eje x se llevan a la frontera del círculo. La constante u0 se determina al hacer que un
punto determinado del eje x corresponda a un punto dado sobre la circunferencia.
En las figuras siguientes se emplea la convención de los puntos, A, B, C, etc., del plano z que correspondan a pun-
tos A′, B′, C′, etc. (A “prima”, B “prima”, C “prima”, etc.), del plano w. Además, en el caso de puntos al infinito, esto
se indica mediante una flecha, como en los puntos A y F en la figura 8-5, los cuales corresponden, respectivamente,
a los puntos A′ y F ′ (el mismo punto) de la figura 8-6. A medida que el punto z se mueve sobre la frontera de [es
decir, el eje real] desde −∞ (punto A) hasta +∞ (punto F), w se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj
a lo largo de la circunferencia unitaria desde A′ de vuelta a A′.
Plano z Plano w
y u B'
A' u
C' ' 1 F'
P • z0
q0
AB C DE x P'
F
E'
Figura 8-5
D'
Figura 8-6
8.12 Transformación de Schwarz-Christoffel
Considere un polígono [figura 8-7] en el plano w con vértices en w1, w2, . . . , wn, cuyos ángulos interiores correspon-
dientes sean a1, a2, . . . , an, respectivamente. Los puntos w1, w2, . . . , wn sean, respectivamente, las imágenes de los
puntos x1, x2, . . . , xn sobre el eje real del plano z [figura 8-8].
u Plano w y Plano z
w1 a1 w4
a4
a5 x
' a3 w3 x3 x4 x5
a2
w2 u
x1 x2
Figura 8-7 Figura 8-8
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8.14 Algunas transformaciones especiales 247
Una transformación que lleva el semiplano superior del plano z sobre el interior ′ del polígono en el plano w,
y el eje real sobre la frontera del polígono, está dada por
ddww ¼¼ AA((zz �� xx11))aa11==pp��11((zz �� xx22))aa22==pp��11 �� �� �� ((zz �� xxnn))aann==pp��11 (8.9)
ddzz
o
ww ¼¼ AA ðð ((zz �� xx11))aa11==pp��11((zz �� xx22))aa22==pp��11 �� �� �� ((zz �� xxnn))aann==pp��11ddzz þþ BB (8.10)
donde A y B son constantes complejas.
Hay que observar lo siguiente:
1. Tres de los puntos x1, x2, . . . , xn pueden elegirse como se desee.
2. Las constantes A y B determinan el tamaño, orientación y posición del polígono.
3. Es conveniente elegir un punto al infinito, por ejemplo, xn, en cuyo caso, en las expresiones (8.9) y (8.10)
el último factor no está presente.
4. Los polígonos abiertos infinitos se consideran casos límites de los polígonos cerrados.
8.13 Transformaciones de fronteras en forma paramétrica
Supóngase que en el plano z una curva C [figura 8-9], que puede ser cerrada o no, tiene como ecuaciones paramé-
tricas
x ¼ F(t), y ¼ G(t) ( (8.11)
donde F y G se suponen continuamente diferenciables. Así, la transformación
z ¼ F(w) þ iG(w) ( (8.12)
lleva el eje real C′ [figura 8-10] del plano w sobre la curva C.
y Plano z u Plano w
C
x C' u
Figura 8-10
Figura 8-9
8.14 Algunas transformaciones especiales
Como referencia se presentan a continuación algunas transformaciones útiles en la práctica. Se presentan por sepa-
rado las transformaciones que llevan la región dada del plano w o del plano z sobre el semiplano superior del plano
w o del plano z, el círculo unitario en el plano z o en el plano w, según la transformación más sencilla. Como se vio,
existe una transformación [ecuación (8.8)] que lleva el semiplano superior sobre el círculo unitario.
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248 Capítulo 8 Aplicación conforme w ¼ zm, m � 1=2
A. Transformaciones sobre/en el semiplano superior D' E' u
A-1 Sector infinito de ángulo p/m 1
Plano z A A' B' Plano w
y Ex u
B C'
p /m D
C1
Figura 8-11 Figura 8-12
A-2 Banda infinita de anchura a
Plano w w ¼ epz=a
Plano z u
y
C BA
a
x A' B' C' D' E' F' u
D EF –1 1
Figura 8-13 Figura 8-14
A-3 Banda semiinfinita de anchura a Plano w w ¼ pz
a) u sen a
Plano z E
y
A
a
B CD x A' B' C' D' E' u
–a/2 a/2
–1 1
Figura 8-15 Figura 8-16
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8.14 Algunas transformaciones especiales 249
b) w ¼ cos pz
a
Plano z
y Plano w
AD u
a x A' B' C' D' u
–1 1
BC
a
Figura 8-17 Figura 8-18
c) w ¼ cosh pz
a
y Plano z
Plano w
u
B A A' B' C' D' u
a –1 1
x
C D
Figura 8-19 Figura 8-20
A-4 Semiplano con semicírculo eliminado
Plano w w ¼ a � þ 1�
Plano z u 2 z z
y
C
1
AB D Ex A' B' C' D' E' u
–1 1 –a a
Figura 8-21 Figura 8-22
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250 Capítulo 8 Aplicación conforme w ¼ �1 þ z�2
1 � z
A-5 Semicírculo
Plano w
Plano z u
y
B
1
CD Ax A' B' C' D' A' u
–1 1 –1 1
Figura 8-23 Figura 8-24
A-6 Sector de un círculo
w ¼ �1 þ zm�2 m � 1
Plano z 1 � zm , 2
y
Plano w
u
C
B
D p/m Ax A' B' C' D' Au
–1 1
1
Figura 8-25 Figura 8-26
A-7 Región en forma de lente con ángulo p/m w ¼ e2mi cot�1 p�z þ 1�m m � 2
[ABC y CDA son arcos circulares] z � ,
1
Plano z Plano w
y u
p/m B A' B' C' D' A' u
–1 1
C D
–1 p Figura 8-28
A x
1
Figura 8-27
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A-8 Semiplano con círculo eliminado 8.14 Algunas transformaciones especiales 251
w ¼ coth(p=z)
Plano z Plano w
y u
D
1
CE
A BF G x A' B' C' D' E' F' G' u
–1 1
Figura 8-29 Figura 8-30
A-9 Exterior de una parábola y2 = 4p(p − x) Plano w w ¼ i(pzffiffi � ppffiffi)
u
Plano z
Ay A' B' C' D' E'
xu
B
–√p √p
p
4p
C
D Figura 8-32 pffiffiffiffiffi
E w ¼ epi x=p
Figura 8-31 A' Plano w
x u
A-10 Interior de una parábola y2 = 4p(p − x)
B' C' D' E'
Plano z u
Cy
–1 1
p
E 4p
DB
A Figura 8-34
Figura 8-33
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252 Capítulo 8 Aplicación conforme w ¼ �pi þ 2 ln z � z2
A-11 Plano con dos cortes paralelos semiinfinitos
Plano z
y
Plano w
1u
A' B' A B CD E
p u x
D'
C' 1 –1 1
p
E'
Figura 8-35 Figura 8-36
A-12 Canal con curva en ángulo recto w ¼ 2 ftanh�1 ppffizffi � p tan�1 pffizffig
p
Plano z
y
E' Plano w D'
A' u
A B CD E
1 u x
–1 –1/p2
C' D'
p
B' B'
Figura 8-37 Figura 8-38
A-13 Interior de un triángulo ðzz
w ¼ taa==pp��11(1 � t)bb==pp��11dt
Plano w
u zz ppllaannee 00
C' Plano z
y
a b C AB C
A' u 1 x
B' Figura 8-40
Figura 8-39
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A-14 Interior de un rectángulo 8.14 Algunas transformaciones especiales 253
w ¼ ðz pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , 0 , k , 1
Plano w (1 � t2)(1 � k2t2)
u
0
Plano z
y
B' A' G' F'
AB C DE FG x
–1/k –1 1 1/k
C' D' u
E'
Figura 8-41 Figura 8-42
B. Transformaciones en/sobre el círculo unitario w ¼ 1
B-1 Exterior del círculo unitario z
Plano w u Plano z x
u y
B' D
1 1
C' A' CA
D' B
Figura 8-43 Figura 8-44
B-2 Exterior de una elipse w ¼ 1 (ze�a þ z�1ea)
2
Plano w Plano z
u y
D
B'
1
senh a
CA
C' cosh a A' u x
D' B
Figura 8-45 Figura 8-46
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254 Capítulo 8 Aplicación conforme
B-3 Exterior de una parábola y2 = 4p(p − x) w ¼ 2rpffizffi � 1
Plano z Plano w
Ay D' u
B 1
p x E' C' u
4p A'
C
D B'
Figura 8-48
E x
Figura 8-47
B-4 Interior de una parábola y2 = 4p(p − x) w ¼ tan2 p rffizffi
4 p
Plano z
Plano w
y u
A
B'
B
p 1
C
4p A' F' C' u
F E'
D D'
Figura 8-50
E
Figura 8-49
C. Transformaciones diversas
C-1 Banda semiinfinita de anchura a sobre cuarto de plano w ¼ senpz
2a
Plano z D Plano w
y u
A A'
a x B' C' D' u
1 C'
BC
a Figura 8-52
Figura 8-51
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8.14 Algunas transformaciones especiales 255
C-2 Interior de un círculo sobre un cardioide w ¼ z2
u Plano w Plano z
D' r = 2a2(1 + cos f) y
D |z – a| = a
a
A' C' A Cx
u 2a
4a2 a
B' B
Figura 8-53 Figura 8-54
C-3 Anillo sobre un rectángulo Plano w w ¼ ln z
u
Plano z E'
y D'
C' u
D B'
A'
b aG x F' u = ln a
EF G' G u = ln b w ¼ ln coth�z�
AH 2
C
E'
H'
u
B Figura 8-56
Figura 8-55 D'
C-4 Banda semiinfinita sobre una banda infinita G' Plano w
u
Plano z x G' F'
y B'
p /2
A B' H'
B A'
Cp p /2
D
E C'
Fp
G Figura 8-58
H
Figura 8-57
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256 Capítulo 8 Aplicación conforme
C-5 Banda infinita sobre plano con dos cortes semiinfinitos w ¼ z þ ez
Plano w Plano z C
y x
u
B C
A' 1 A p
p B' E
p
C' u D
E' p D'
1
Figura 8-59 Figura 8-60
Problemas resueltos
Transformaciones
8.1. S ea la región rectangular del plano z [figura 8-61], limitada por x = 0, y = 0, x = 2, y = 1. Determine la
región ′ del plano w a la que se lleva la región con las transformaciones:
aw)ww¼¼¼zzþzþþ(1(1(�1��22i)2i,)i,), b)www¼¼¼pp2ffipffiffi2effiffi2epffiepi=pi4=iz4=,z4,z , (c(c)(c)w)ww¼¼¼ppffi2pffiffi2effi2ffiepffiepi=pi4=iz4=z4þzþþ(1(1(�1��22i)2i.)i.).
Solución
a) Sea w = z + (1 − 2i). Así, u + iv = x + iy + 1 − 2i = (x + 1) + i(y − 2) y u = x + 1, v = y − 2.
La recta x = 0 se lleva a u = 1; y = 0 se lleva a v = −2; x = 2 se lleva a u = 3; y = 1 se lleva a v = −1
[figura 8-62]. De manera similar se muestra que cada punto de se lleva a uno y sólo un punto de ′ y vice-
versa. Plano w
Plano z
yu
y=1 u
x=0 x=2 u = –1
y=0 x u=1 u=3
u = –2
Figura 8-61
Figura 8-62
Esta transformación o aplicación realiza una traslación del rectángulo. En general, w = z + b lleva a cabo una
traslación de cualquier región.
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Problemas resueltos 257
w ¼ z þ (1 � 2bi)), Sea w ¼ pffi2ffiepi=4z,. As(íc,)uw+¼ivp=2ffiffi(e1pi+=4zi)þ(x(+1 �iy)2=i).x − y + i(x + y) y u = x − y, v = x + y.
La recta x = 0 se lleva a u = −y, v = y o u = −v; y = 0 a u = x, v = x o u = v; x = 2 a u = 2 – y,
v = 2 + y o u + v = 4; y = 1 a u = x – 1, v = x + 1 o v – u = 2 [figura 8-64].
Plano z Plano w
y
u u +u = 4
x=0 y=1 x=2 u–u=2 '
y=0 u = –u u=u
x
u
Figura 8-63 Figura 8-64
Mediante esta aplicación spe ffi2effie)f.epciE=t4únza,guenn(aecr)raowlt,al¼caiótprna2ffindffiesepfoi=r4mz(eaþnciu(ó1nn ángulo de p/4 o 45°) y una elongación de
wlas¼loznþgit(u1d�es2(id)e, magnwitu¼d �w2=i).az realiza una rotación y elongación
de una región.
w ¼ z þ (1 � 2ci)), Sea w ¼ p2ffiffiepi=4z,+ (c1)−w 2¼i).pAffi2ffiseí,p i=4uz+þ i(v1=�(21i)+. i)(x + iy) + 1 – 2i y u = x – y + 1, v = x + y – 2.
Las rectas x = 0, y = 0, x = 2, y = 1 se llevan, respectivamente, a u + v = −1, u – v = 3, u + v = 3,
u – v = 1 [figura 8-66].
Plano z Plano w
yu u +u = 3
y=1 u –u = 1 u
x=0 x=2 x ' u–u=3
y=0 u +u = –1
Figura 8-65 Figura 8-66
Mediante esta aplicación se lleva a cabo, como en b), una rotación y una elongación, y una subsecuente
traslación. En general, la transformación w = az + b realiza una rotación, una elongación y una traslación.
Esto se considera dos aplicaciones sucesivas: w = az1 (rotación y elongación) y z1 = z + b/a (traslación).
8.2. Determine la región del plano w a la que se lleva cada una de las regiones siguientes mediante la transformación
w = z2. a) Primer cuadrante del plano z. b) Región limitada por x = 1, y = 1 y x + y = 1.
Solución
a) Sea z = reiu, w = reif. Así, si w = z2, reiu = r2e2iu y r = r2, f = 2u. Por tanto, los puntos del plano z en
(r, u) se rotan un ángulo 2u. Como los puntos del primer cuadrante [figura 8-67] del plano z ocupan la región
0 ≤ u ≤ p/2, estos puntos se llevan a 0 ≤ f ≤ p, o el semiplano superior del plano w [véase la figura 8-68].
Plano z Plano w
y u
xu
Figura 8-67 Figura 8-68
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258 Capítulo 8 Aplicación conforme
b) Como w = z2 equivale a u + iv = (x + iy)2 = x2 − y2 + 2ixy, se ve que u = x2 − y2, v = 2xy. Después se lleva
la recta x = 1 a u = 1 − y2, v = 2y o u = 1 – v 2/4; la recta y = 1 a u = x2 − 1, v = 2x o u= v 2/4 – 1; la recta
y + x = 1 o y = 1 – x a u = x2 − (1 − x)2 = 2x − 1, v = 2x(1 − x) = 2x − 2x2 o v = 21(1 – u2) al eliminar x.
Estas regiones se muestran sombreadas en las figuras 8.69 y 8.70, donde los puntos A, B, C se llevan a los
puntos A′, B′, C′. Observe que los ángulos del triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los ángulos del
triángulo curvilíneo A′B′C′. Esto se debe a que esta transformación es conforme.
Plano z Plano w
y
u
p/2 C'
A y=1 C u = —u4 2– 1 p/4 u = 1 – —u42
A' B' u
±/4
1 (1 – u2 )
u= 2x=1x
p/4±/4
±/2 B
x+y=1
Figura 8-69 Figura 8-70
Transformaciones conformes
8.3. C onsidere la transformación w = f (z) en la que f (z) es analítica en z0 y f ′(z0) 0. Demuestre que, con esta
transformación, la tangente en z0 a cualquier curva C del plano z que pase por z0 [figura 8-71] se rota un
ángulo a = arg f ′(z0) [figura 8-8].
Plano z Plano w
y
u
z0 + z w0 + w
C C' q0+a
w0
q0
z0
x u
Figura 8-71 Figura 8-72
Solución
Cuando un punto se mueve de z0 a z0 + Δz a lo largo de la curva C, su punto imagen se mueve a lo largo de C′
en el plano w de w0 a w0 + Δw. Si el parámetro con que se describe la curva es t, entonces, correspondiente a la
trayectoria z = z(t) [o x = x(t), y = y(t)] en el plano z, se tiene una trayectoria w = w(t) [o u = u(t), v = v (t)] en
el plano w.
Las derivadas dz/dt y dw/dt representan vectores tangentes a puntos correspondientes sobre C y C′.
Ahora
ddww ¼¼ ddddwzwz ��ddddztzt ¼¼ ff00((zz))ddddztzt
ddtt
y, en particular en z0 y w0, ddddwtwt��������ww¼¼ww00¼¼ ff00((zz00)) ddddztzt��������zz¼¼zz00 (1)
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Problemas resueltos 259
siempre que f (z) sea analítica eddddnwwtt ����z�www=¼¼¼wwwz0000¼¼. Se escribe ddddzztt�����zzz¼¼¼zzz000¼¼ rr000eeiiiuuu000
rr000eeiiifff000 , f 000((zz)) ¼¼ RReeiiiaaa,,
, f
y se tiene, de acuerdo con (1), rr000eeiiifff000 ¼¼ RRrr000eeiii(((uuu000þþþaaa))) (2)
de manera que, como se buscaba,
que si f ′(z0) = 0, a es indeterminffad000a¼¼. Luuo000sþþpuaant¼¼osuue000nþþloaasrrggquff e000((zzf0 00′())z ) = 0 se conocen como puntos (3)
Observe críticos.
8.4. D emuestre que con la transformación w = f (z) el ángulo entre dos curvas C1 y C2 que pasan por el punto z0
del plano z [véanse las figuras 8-1 y 8-2 de la página 243] se conserva [en magnitud y en sentido], es decir,
esta transformación es conforme si f (z) es analítica en z0 y f ′(z) 0.
Solución
De acuerdo con el problema 8.3, cada curva se rota en un ángulo arg f ′(z0). Por tanto, en esta transformación, el
ángulo entre estas curvas debe conservarse tanto en magnitud como en sentido.
Jacobiano de una transformación
8.5. Sea w = f (z) = u + iv analítica en una región . Demuestre que
@(u, v) ¼ j f 0(z)j2
@(x, y)
Solución
Si f (z) es analítica en , entonces, las ecuaciones de Cauchy-Riemann
@u ¼ @v , @v ¼ � @u
@@xu ¼ @@yv , @@xv ¼ � @@yu
@x @y @x @y
se satisfacen en . Por tanto,
@(u, ���������������� @u @u ���������������� ���������������� @u @u ����������������
@@((xu,, v) ¼ @@xu @@yu ¼ � @@xu @@yu ¼ ��@@@@uxux��22þþ��@@@@uyuy��22
@(x, yv)) ¼ @@vx @@vy ¼ � @@ux @@uy ¼
y) @@xv @@yv @@yu @@xu ¼
@x @y @y @x ¼
��������@@@@uxux @@@@uyuy��������22¼¼
þ i j f 00((zz))jj22
þ i j f
con el problema 3.5.
8.6. E ncuentre el jacobiano de la transformación a) en el problema 8.1c), b) en el problema 8.2, e interprete
geométricamente los resultados.
Solución
a) Sea w ¼wf¼(z)f (¼z)p¼ffi2ffipep2ffiiffi=e4pzi=þ4z(þ1 �(12�i).2Ai)s.í, de acuerdo con el problema 8.5, el jacobiano es
@(u@, (vu), ¼yv))j¼f 0(jzf)0j(2z)¼j2 j¼pffi2jffipep2ffiiffi=e4pj2i=4¼j2 2¼ 2
@(x,@(yx),
Geométricamente, esto muestra que toda región del plano z [en particular, la región rectangular de la
figura 8-65, página 257] se lleva a una región que tiene el doble de su área. El factor | f ′(z)|2 = 2 se conoce
como factor de magnificación.
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260 Capítulo 8 Aplicación conforme
Otro método. Esta transformación equivale ��������a��� @@@@@@@@uuxxvuxxv= @@@@@@@@xuyyvuyyv–����������� y¼¼, v������� = x��+1111y������� y, por tanto,
1 2
@(u, v) ¼ 11 ¼ 2
@@((ux,, vy)) ¼ 1 ¼
@(x, y)
b) Sea w =wf¼ (z)f (=z)z¼2. Az2s.í,
w ¼ f (z) ¼ z2.
@(u, v)
Geométricamente, una @@((ux,, vy)) ¼ j f 0(z)j2 ¼ j2zj2 ¼ j2x þ 2iyj2 ¼ 4(x2 þ y2) aproximada al origen r se
@re(xg,ióyn) ¼ j f 0(z)j2 ¼ j2zj2 ¼ j2x þ 2iyj2 ¼ 4(x2 þ y2)
pequeña de área A del plano z y con una distancia
llevaría a una región de área 4r 2A del plano w. Por tanto, las regiones alejadas del origen se llevarían a regiones
con un área mayor que las regiones similares cercanas al origen.
Observe que, en el punto crítico z = 0, el jacobiano es cero. En este punto, la transformación no es con-
forme.
8.7. Demuestre que @(u, v) � @(x, y) ¼ 1.
@(x, y) @(u, v)
Solución
Correspondiente a la transformación
u ¼ u(x, y), v ¼ v(x, y) (1)
(2)
cuyo jacobiano es @(u, v)/@(x, y), se tiene la transformación inversa
x ¼ x(u, v), y ¼ y(u, v)
cuyo jacobiano es @(x, y)/@(u, v). De acuerdo con (1), ddvv ¼¼ @@@@xvxvddxxþþ@@@@yvyvddyy
dduu¼¼ @@@@uxuxddxxþþ@@@@uyuyddyy,, ddyy ¼¼ @@@@uyuydduuþþ@@@@yvyvddvv
De acuerdo con (2),
ddxx ¼¼ @@@@uxuxdduuþþ@@@@xvxvddvv,,
Por tanto, dduu¼¼ @@@@uxux��@@@@uxuxdduuþþ@@@@xvxvddvv��þþ@@@@uyuy��@@@@uyuydduuþþ@@@@yvyvddvv�� ¼¼ ��@@@@uxux@@@@uxuxþþ@@@@uyuy@@@@uyuy��dduuþþ��@@@@uxux@@@@xvxvþþ@@@@uyuy@@@@yvyv��ddvv
de donde
@@@@uxux@@@@uxuxþþ@@@@uyuy@@@@uyuy ¼¼ 11,, @@@@uxux@@@@vxvxþþ@@@@uyuy@@@@yvyv ¼¼ 00 (3)
De manera similar, se encuentra
@@@@xvxv@@@@xvxvþþ@@@@yvyv@@@@yvyv ¼¼ 11,, @@@@xvxv@@@@uxuxþþ@@@@vyyv@@@@uyuy ¼¼ 00 (4)
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Problemas resueltos 261
Con (3) y (4), y la regla para el producto de determinantes (véase problema 8.94), se tiene
@(u, v) � @(x, y) ¼ �������� @u @u �������� � ������� @x @x �������
@(x, y) @(u, v) @u @v
@x @y @y @y
�������� @v @v @u @v ��������
@x @y
¼ @u @x þ @u @y @u @x þ @u @y ¼ ���� 1 0 ���� ¼ 1
þ þ 0 1
@x @u @y @u @x @v @y @v
@v @x @v @y @v @x @v @y
@x @u @y @u @x @v @y @v
8.8. A nalice el problema 8.7 si u y v son las partes real e imaginaria de una función analítica f (z).
Solución
En este caso, de acuerdo con el problema 8.5, @(u, v)/@(x, y) = | f ′(z)|2. Si la función inversa de w = f (z) es z =
g(w), que se supone unívoca y analítica, entonces @(x, y)/@(u, v) = |g′(w)|2. El resultado del problema 8.7 es con-
secuencia de que
j f 0(z)j2jg0(w)j2 ¼ ����ddwz ����2 � ����ddwz ����2¼ 1
pues dw/dz = 1/(dz/dw).
Transformaciones bilineales o fraccionarias
8.9. Encuentre la transformación bilineal que lleva los puntos z1, z2, z3 del plano z, respectivamente, a los puntos
w1, w2, w3 del plano w.
Solución
Si wk corresponde a zk, k = 1, 2w, w3�,�swewktki¼e¼neagagzzzzþþþþbdbd��agagzzkzkzkkþþþþbdbd¼¼((a(g(agdzdzþ�þ�dbdb)g()gg()g()zz(kzzk�þ�þzdkzd))k))
Así,
ww��ww11¼¼((a(g(agdzdzþ�þ�dbdb)g()gg()g()zz(1zz1�þ�þzd1zd))1)), , ww��ww33¼¼((a(g(agdzdzþ�þ�dbdb)g()gg()g()zz(3zz3�þ�þzd3zd))3)) (1)
Se sustituye w por w2 y z por z2, (2)
((((aaggdzdz22��þþbbddgg))()()g(g(zzzz2211��þþzzdd11)))) ((((aaggdzdz22��þþbbddgg))()()g(g(zzzz2233��þþzzdd33))))
ww22 � ww11 ¼ , ww22 � ww33 ¼
� ¼ , � ¼
Mediante la división de (1) entre (2), y saai ddse��subbpggo==ne 00q,,ue ad − bg 0,
(w � wwww3131))))((((wwww2222 � wwww1313)))) ¼ (z � zzzz3131))))((((zzzz2222 � zzzz1313)))) (3)
((ww �� �� ¼ ((zz �� ��
(w � � (z � �
Se despeja w en términos de z y se obtiene la transformación buscada. El lado derecho de la igualdad (3) se conoce
como cociente cruzado de z1, z2, z3 y z.
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262 Capítulo 8 Aplicación conforme
8.10. Encuentre una transformación bilineal que lleve los puntos z = 0, −i, −1 a w = i, 1, 0, respectivamente.
Solución
Método 1. Como w = (az + b)/(gz + d), se tiene
1010ii10i¼¼¼¼¼¼¼¼¼aaaaaaggggggaaaggg(((((((((((((((��(((0��0��0��0��0��0))))i1i1))1i1i)þ)i1þ1i)þ)þ))))þ))þ))þþþþþþþþþþbdbþdþbdbdbdbdbbdd bd (1)
(2)
(3)
De (3), b = a. De (1), d = b/i = −ia. De (2), g = ia. De este modo,
w ¼ az þ a ¼ 1 �z þ 1� ¼ �i�zz þ 1�
iaz � ia i z � 1 � 1
Método 2. Emplee el problema 8.9. Así,
((ww �� ii))((11 �� 00)) ¼¼ ((zz �� 00))((��ii þþ 11))
((ww �� 00))((11 �� ii)) ((zz þþ 11))((��ii �� 00))
Se despeja, ��ii��zzzz 11��
11
ww ¼¼ þþ
��
8.11. S ea z0 un punto en el semiplano superior del plano z. Muestre que y
la transformación bilineal w = eiu0 {(z − z0)/(z − z0)} lleva el
semiplano superior del plano z al interior del círculo unitario en el |z – z0| z
plano w, es decir, a |w| ≤ 1.
z0
Solución
Se tiene |z – z0~|
����eiu0 �z zz�00����� ����zz ���� x
z
jwj ¼ � ¼ � z0
� � z�0
De acuerdo con la figura 8-73, si z está en el semiplano superior, |z − z0| ~z0
≤ |z − z0|, en donde la igualdad se satisface si y sólo si z está en el eje Figura 8-73
x. Por tanto, |w| ≤ 1, como se deseaba.
Esta transformación también se obtiene directamente (véase el pro-
blema 8.61).
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Problemas resueltos 263
8.12. Encuentre una transformación bilineal que lleve el semiplano superior del plano z al círculo unidad del plano
w de manera que z = i se lleve a w = 0, y el punto al infinito, a w = −1.
Solución
Se tiene que w = 0 debe corresponder a z = i, y w = −1, a z = ∞. Así, de w = eiu0 {(z − z0)/(z − z0)}, se tiene
0 = eiu0 {(i − z0)/(i − z0)}, de manera que z0 = i. Para z = ∞, se tiene w = eiu0 = −1. Por tanto, la transformación
buscada es
w ¼ (�1)�zz � i� ¼ i � z
þ i i þ z
En las figuras 8-74 y 8-75 se describe esta situación. Plano w
u
Plano z
y D'
Pi
1
E' u
A' P' C'
A BC D x B'
Figura 8-74 E Figura 8-75
8.13. Encuentre los puntos fijos o invariantes de la transformación w = (2z − 5)/(z + 4).
Solución
Los puntos fijos son las soluciones de z = (2z − 5)/(z + 4) o z2 + 2z + 5 = 0, es decir, z = −1 2i.
8.14. D emuestre que la transformación bilineal puede considerarse una combinación de las transformaciones de
traslación, rotación, estiramiento e inversión.
Solución
Mediante división,
w ¼ az þ b ¼ a þ bg � ad ¼ l þ z m n
gz þ d g g(gz þ d) þ
donde l = a/g, m = (bg − ad)/g2 y n = d/g son constantes. Esta transformación equivale a z = z + n, t = 1/z
y w = l + mt, que son combinaciones de transformaciones de traslación, rotación, estiramiento e inversión.
8.15. Demuestre que la transformación bilineal transforma círculos del plano z en círculos del plano w, donde por
círculos se entiende también los círculos de radio infinito, que son líneas rectas.
Solución
De acuerdo con el problema 1.44, la ecuación general de un círculo en el plano z es Azz + Bz + Bz + C = 0, donde
A > 0, C > 0 y B es un complejo. Si A = 0, la circunferencia se reduce a una línea recta.
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264 Capítulo 8 Aplicación conforme
Con la transformación de inversión, w = 1/z o z = 1/w, esta ecuación se convierte en Cww + Bw + Bw + A = 0,
un círculo en el plano w.
Con la transformación de rotación y estiramiento, w = az o z = w/a, esta ecuación se convierte en Aww + (Ba)w
+ (Ba)w + Caa = 0, también un círculo.
De manera similar puede mostrarse, analítica o geométricamente, que con la transformación de traslación, los
círculos se transforman en círculos.
Como, de acuerdo con el problema 8.14, una transformación bilineal se considera una combinación de trasla-
ción, rotación, estiramiento e inversión, se tiene el resultado deseado.
Aplicaciones especiales
8.16. Verifique las entradas a) A-2, página 248, b) A-4, página 249, c) B-1, página 253.
Solución
a) Consulte las figuras 8-13 y 8-14, página 248.
Si z = x + iy, entonces
w ¼ u þ iv ¼ epz=a ¼ ep(xþiy)=a ¼ epx=a(cos py=a þ i sen py=a)
o u = epx/a cos py/a, v = epx/a sen py/a.
La recta y = 0 [el eje real en el plano z; DEF en la figura 8-13] se lleva a u = epx/a, v = 0 [eje real posi-
tivo en el plano w; D′E′F′ en la figura 8-14]. El origen E [z =0] se lleva a E′ [w = 1] y D [x = −∞, y = 0] y
F [x = +∞, y = 0] se llevan a D′ [w = 0] y F ′ [w = ∞], respectivamente.
La recta y = a [ABC en la figura 8-13] se lleva a u = −epx/a, v = 0 [eje real negativo en el plano w; A′B′C′
en la figura 8-14]. Los puntos A [x = +∞, y = a] y C [x = −∞, y = a] se llevan a A′ [w = −∞] y C′ [w = 0],
respectivamente.
Cada punto tal que 0 < y < a, −∞ < x < ∞ se lleva a un solo punto del plano uv para el que v > 0.
b) Consulte las figuras 8-21 y 8-22, página 249.
Si z = reiu, entonces
ww ¼¼ uuþþiivv ¼¼ a22a��zzþþ1z1z�� ¼¼ a2a2��rreeiiuu þþ1r1r ee��iiuu�� ¼¼ 2aa2��rr þþ1r1r��ccoossuuþþi2ia2a��rr ��1r1r��sseennuu
y
uu ¼¼ a22a��rr þþ1r1r��ccoossuu,, vv ¼¼ a2a2��rr ��1r1r��sseennuu
La semicircunferencia BCD [r = 1, 0 ≤ u ≤ p] se lleva al segmento de recta B′C′D′ [u = a cos u, v = 0,
0 ≤ u ≤ p, es decir, −a ≤ u ≤ a].
La recta DE [u = 0, r > 1] se lleva a la recta D′E′ [u = (a/2){r + (1/r)}, v = 0]; la recta AB [u = p,
r > 1] se lleva a la recta A′B′ [u = −(a/2){r + (1/r)}, v = 0].
Cada punto del plano z para el que r ≥ 1 y 0 < u < p se lleva a un solo punto del plano uv para el que
v ≥ 0.
c) Consulte las figuras 8-43 y 8-44, página 253.
Si z = reiu y w = reif, entonces w = 1/z se convierte en reif = 1/reiu = (1/r)e−iu, de donde r = 1/r,
f = −u.
La circunferencia ABCD [r = 1] en el plano z se lleva a la circunferencia A′B′C′D′ [r = 1] del plano w.
Observe que ABCD se describe en sentido contrario al de las manecillas del reloj; en cambio, A′B′C′D′ se
describe en el sentido de las manecillas del reloj.
Todo punto interior de la circunferencia ABCD [r < 1] se lleva a un punto solo exterior a la circunferencia
A′B′C′D′ [r > 1].
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Problemas resueltos 265
Transformación de Schwarz-Christoffel
8.17. Establezca la validez de la transformación de Schwarz-Christoffel.
Solución
Hay que mostrar que la función obtenida de
dw ¼ A(z � x1 )a1 =p�1 (z � x2 )a2 =p�1 � � � (z � xn)an=p�1 (1)
dz
lleva el eje real del plano z a un polígono dado del plano w [figuras 8-76 y 8-77].
Para mostrar esto, observe que de (1) se tiene � �a2 �
�a1 1 p 1
arg dw ¼ arg dz þ arg A þ p � arg(z � x1) þ � arg(z � x2) þ � � �
�an � (2)
p 1
þ � arg(z � xn)
Suponga que, a medida que z se mueve a lo largo del eje real, por la izquierda, hacia x1, w se mueve a lo largo de
uno de los lados del polígono hacia w1. Cuando z pasa del lado izquierdo de x1 al lado derecho de x1, u1 = arg(z − x1)
cambia de p a 0, mientras todos los demás términos en (2) permanecen constantes. Por tanto, arg dw decrece en
(a1/p − 1) arg(z − x1) = (a1/p − 1)p = a1 −p o, lo que es lo mismo, crece en p − a1 [un incremento en direc-
ción contraria a la de las manecillas del reloj].
Plano w
u Plano z
y
a3
z
a2 w3
w1 a1 w2 ± – a2
± – a1
u q1 q2 x
x1 x2 x3 x4
Figura 8-76 Figura 8-77
De esto se sigue que, al pasar por w1, la dirección cambia en un ángulo p − a1 y, por tanto, ahora w se mueve
a lo largo del lado w1w2 del polígono.
Cuando z pasa a través de x2, u1 = arg(z − x1) y u2 = arg(z – x2) cambia de p a 0, mientras todos los demás
términos permanecen constantes. Por tanto, en el plano w se efectúa otro cambio de dirección en un ángulo p − a2.
Al continuar este proceso, se ve que mientras z recorre el eje x, w recorre el polígono, y a la inversa.
En realidad puede demostrarse que el semiplano superior se lleva, de acuerdo con (1), al interior del polígono
(si es cerrado) [véase el problema 8.26].
8.18. D emuestre que, en los polígonos cerrados, la suma de los exponentes (a1/p) − 1, (a2/p) − 1, . . . , (an/p) − 1
en la transformación de Schwarz-Christoffel (8.9) u (8.10), página 247, es igual a −2.
Solución
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono cerrado es 2p. Así,
(p � a1) þ (p � a2) þ � � � þ (p � an) ¼ 2p
y al dividir entre −p se obtiene, como se buscaba,
�a1 � � þ �a2 � � þ � � � þ �an � � ¼ �2
p 1 p 1 p 1
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266 Capítulo 8 Aplicación conforme
8.19. S uponga que en la transformación de Schwarz-Christoffel (8.9) u (8.10), página 247, se elige un punto al
infinito, por ejemplo xn. Muestre que el último factor no está presente.
Solución
En (8.9), página 247, sea A = K/(−xn)an/p−1, donde K es una constante. Así, el lado derecho de (9) se escribe
K(z � x1 )a1 =p�1 (z � x2)a2 =p�1 � � � (z � xn�1 )an�1 =p�1 �xn � z�an =p�1
xn
Cuando xn → ∞, el último factor se aproxima a 1, lo que equivale a eliminar el factor.
8.20. Determine una función que lleve el semiplano superior del plano z a cada una de las regiones del plano w
que se indican.
Solución
a)
Plano w Plano z
u y
P' T'
Q' S' u PQ S Tx
–b b –1 1
Figura 8-78 Figura 8-79
Los puntos P, Q, S y T [figura 8-79] se llevan, respectivamente, a los puntos P′, Q′, S′ y T′ [figura 8-78]. P′, Q′,
S′ y T ′ pueden considerarse un caso límite de un polígono (un triángulo) con dos vértices en Q′ y S′, y el tercer
vértice P′ o T ′ al infinito.
De acuerdo con la transformación de Schwarz-Christoffel, como los ángulos en Q′ y en S′ son iguales a p/2,
se tiene
dw ¼ A(z þ 1)[(p=2)=p]�1 (z � 1)[(p=2)=p]�1 ¼ pffiffiffiAffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiKffiffiffiffiffiffiffiffiffi
dz z2 � 1 1 � z2
Se integra, ww ¼¼ KK ðð pppffi1ffiffi1ffiffiffidffidffidffiffiffi�ffiffi�zffizffizffiffiffiffiffiffiffiffiffiffizffiffizffiffiffiffi2ffiffi2ffiffiffi þþ BB ¼¼ KK sseenn��11 zz þþ BB
Cuando z = 1, w = b. Por tanto, w ¼ K ð þ B ¼ K sen�1 z þ B
1 � z2
bb ¼¼ KKsseenn��11((11))þþBB ¼¼ KKpp==22þþBB (1)
b ¼ K sen�1(1) þ B ¼ Kp=2 þ B (2)
Cuando z = −1, w = −b. Por tanto,
��bb ¼¼ KKsseenn��11((��11))þþBB ¼¼ ��KKpp==22þþBB
�b ¼ K sen�1(�1) þ B ¼ �Kp=2 þ B
Se resuelven al mismo tiempo (1) y (2), y se encuentra que B = 0, K = 2b/p. Por tanto,
w ¼ 2b sen�1 z
p
El resultado equivale a la entrada A-3a) de la página 248, si se intercambian w y z, y con b = a/2.
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b) Problemas resueltos 267
Plano w Plano z
Q' bi S'
P' O' P OQ S
1
Figura 8-80
Figura 8-81
Los puntos P, O, Q [z = 1] y S se llevan a los puntos P′, O′, Q′ [w = bi] y S′, respectivamente. Observe que P,
S, P′, S′ son puntos al infinito (como indican las flechas), y que O y O′ son los orígenes [z = 0] y [w = 0] de los
planos z y w. Como los ángulos interiores en O′ y Q′ son p/2 y 3p/2, respectivamente, se tiene, de acuerdo con
la transformación de Schwarz-Christoffel, AArrffizffizffiffiffiffi��ffiffiffiffizffiffiffiffiffiffi11ffiffiffiffi KKrrffi1ffi1ffiffiffiffiffiffi��ffiffizffiffiffiffiffiffiffiffizzffiffi
dw ¼ A(z � 00))[[((pp==22))==pp]]��11((zz � 11))[[((33pp==22))==pp]]��11 ¼ ¼
ddwz ¼ A(z � � ¼ ¼
dz z z
Así, rr1ffiffi1ffiffiffiffiffiffi��ffiffizffiffiffiffiffiffiffiffizzffiffi
z
w ¼¼ K ðð dz
w K dz
Para integrar esto, sea z = sen2 u y se obtiene
ð ð � 1 �
Ku 2u
w ¼ 2K cos2 u du ¼ K (1 þ cos 2u) du ¼ þ 2 sen þ B
¼ K(u þ sen u cos u) þ B ¼ � pffizffi þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi� þ B
K sen�1 z(1 � z)
Si z = 0, w = 0, de manera que B = 0. Cuando z = 1, w = bi, de manera que bi = Kp/2 o K = 2bi/p. Por
tanto, la transformación buscada es
w ¼ 2bi �sen�1pzffiffi þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�
p z(1 � z)
8.21. Encuentre una transformación que lleve el círculo unitario del plano z a un polígono en el plano w.
Solución
El eje x del plano z puede llevarse a un polígono en el plano w mediante la transformación de Schwarz-Christoffel
ð
w ¼ A (z � x1)a1=p�1(z � x2)a2=p�1 � � � (z � xn)an=p�1dz þ B (1)
y el semiplano superior del plano z al interior del polígono.
Una transformación que lleva el semiplano superior del plano z sobre el círculo unitario en el plano z es
z ¼ i � z (2)
i þ z
al sustituir w por z y tomar u = p, z0 = i en la ecuación (8.8) de la página 246. Por tanto, z = i{(1 − z)/(1 + z)}
lleva el círculo unitario del plano z sobre el semiplano superior del plano z.
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268 Capítulo 8 Aplicación conforme
Si x1, x2, . . . , xn se llevan, respectivamente, a z1, z2, . . . , zn al círculo unitario, se tiene para k = 1, 2, . . . , n.
i�1 z� i�1 zk�
z � xk ¼ 1 � z � 1 � zk ¼ �2i(z � zk)
þ þ (1 þ z)(1 þ zk)
Además, dz = −2idz/(1 + z)2. Se sustituye en (1) y simplifica, pues la suma de los exponentes (a1/p) − 1, (a2/p)
− 1, . . . , (an/p) − 1 es −2, y se encuentra la transformación buscada
ð
w ¼ A0 (z � z1)a1=p�1(z � z2)a2=p�1 � � � (z � zn)an=p�1 dz þ B
donde A′ es una nueva constante arbitraria.
Transformaciones de fronteras en forma paramétrica
8.22. S ea C una curva en el plano z con ecuaciones paramétricas x = F (t), y = G(t). Muestre que la transforma-
ción
z ¼ F(w) þ iG(w)
lleva el eje real del plano w sobre C.
Solución
Suponga que z = x + iy, w = u + iv. Así, la transformación se escribe
x þ iy ¼ F(u þ iv) þ iG(u þ iv)
Entonces, v = 0 [el eje real del plano w] corresponde a x + iy = F (u) + iG(u), es decir, x = F (u) y y = G(u), lo
que representa la curva C.
8.23. Encuentre una transformación que lleve el eje real del plano w sobre la elipse (x2/a2) + (y2/b2) = 1 en el
plano z.
Solución
Un conjunto de ecuaciones paramétricas para la elipse es el dado por x = a cos t, y = b sen t, donde a > 0, b > 0.
Así, de acuerdo con el problema 8.22, la transformación buscada es z = a cos w + ib sen w.
Problemas diversos
8.24. Encuentre una función que lleve el semiplano superior del plano z sobre el interior de un triángulo en el plano
w [figura 8-82].
Solución
Considere el semiplano superior del plano z, que aparece sombreado en la figura 8-83. Los puntos P [z = 0] y Q [z = 1]
del eje x se llevan a los puntos P′ [w = 0] y Q′ [w = 1] del triángulo, y el tercer punto R [z = ∞] se lleva a R′.
Plano w Plano z
u y
R'
P' a b Q' uR PQ Rx
0 1 01
Figura 8-82 Figura 8-83
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Problemas resueltos 269
De acuerdo con la transformación de Schwarz-Christoffel,
ddww ¼¼ AAzzaa==pp��11((zz �� 11))bb==pp��11 ¼¼ PPKKzzaajju=u=ppnn��jj 11((11 �� zz))bb==pp��11
ddzz
Después, mediante integración,
ww ¼¼ KK ððzz zzaa==pp��11((11 �� zz))bb==pp��11 ddzz þþ BB
0
0
Como w = 0 cuando z = 0, se tiene B = 0. Además, como w = 1 cuando z = 1, se tiene
1 ¼ K ð1 z a=p�1(1 � z)b=p�1 dz ¼ G(Ga�=pa)þpG(bb�=p)
0
con las propiedades de las funciones beta y gamma [véase el capítulo 10]. Por tanto,
K ¼ G(GGa��=paa)þþppG(bbb��=p)
K ¼ G(a=p)G(b=p)
y la transformación buscada es G(GGa��=paa)þþppG(bbb��=p)
G(a=p)G(b=p)
w ¼ ððzz zzaa==pp��11((11 � z ))bb==pp��11 dz
w ¼ � z dz
0
0
Observe que esto coincide con la entrada A-13 de la página 252, puesto que la longitud del lado A′B′ en la
figura 8-39 es
ð1 za=p�1 (1 � z)b=p�1 dz ¼ G(Ga�=pa)þpG(bb�=p)
0
8.25. a) Encuentre una función que lleve el semiplano superior del plano z, de la figura 8-55, sobre la región
sombreada del plano w, de la figura 8-84.
b) Analice el caso en que b → 0.
Plano w Plano z
u y
ai S'
P' Q' a a T' U' u PQ S T U
–1 x
–b b 01
Figura 8-84 Figura 8-85
Solución
a) Cada uno de los ángulos interiores en Q y T son p − a, mientras que el ángulo en S es 2p − (p − 2a) = p +
2a. Así, mediante la transformación de Schwarz-Christoffel, se tiene
dw ¼ A(z þ 1)(p�a)=p�1 z(pþ2a)=p�1 (z � 1)(p�a)=p�1 ¼ Az2a=p ¼ Kz2a=p
dz (z2 � 1)a=p (1 � z2)a=p
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270 Capítulo 8 Aplicación conforme
Por tanto, al integrar,
ðz z2a=p
� z2)a=p
w ¼ K (1 dz þ B
0
Cuando z = 0, w = ai; entonces, B = ai y
ðz z2a=p
� z2)a=p
w ¼ K (1 dz þ ai (1)
0
El valor de K se expresa en términos de la función gamma porque w = b para z = 1 [problema 8.102]. Se
encuentra
K ¼ G�pa(þb �21�aGi)�p1ffipffi�ffi a� (2)
p
b) Conforme b → 0, a → p/2 y el resultado del inciso a) se re- Plano w
duce a u
ðz pffizffiffiffidffiffizffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ai S'
ai 1 � z2 a z2 � 1
w ¼ ai � ai 1 � z2 ¼ ¼ Q' T'
Figura 8-86
0
En este caso, la figura 8-84 se reduce a la figura 8-86. El resultado P' U' u
en este caso se halla directamente a partir de la transformación
de Schwarz-Christoffel al considerar P′Q′S′T′U′ un polígono con
ángulos interiores en Q′, S′ y T ′ iguales a p/2, 2p y p/2, respec-
tivamente.
8.26. Demuestre que la transformación de Schwarz-Christoffel en el problema 8.17 lleva el semiplano superior
sobre el interior del polígono.
Solución
Basta probar que esa transformación lleva el círculo unitario sobre el interior del polígono, pues ya se sabe [pro-
blema 8.11] que el semiplano superior puede llevarse sobre el círculo unitario.
Suponga que la función que lleva el círculo unitario del plano z sobre el polígono P en el plano w está dada por
w = f (z), donde f (z) es analítica en el interior de C.
Hay que mostrar que a cada punto a en el interior de P corresponde uno y sólo un punto, por ejemplo, z0, tal
que f (z0) = a.
Así, de acuerdo con la fórmula integral de Ca2u11pchi yþþ, como a está en el interior de P,
2pi P dw
wd�w a ¼ 1
w� a ¼ 1
De este mssoiinndccoee, cwwo��moaa w¼¼–ff ((azz))=��f aa(z,,) – a, P
1 þ f f 0(z) a dz ¼ 1
21pi þ f (fz0)(�z) a dz ¼ 1
2pi C (z) �
Pero f (z) – a es analítica en el interior de C. Por tanCto, de acuerdo con el problema 5.17, se mostró que sólo existe
un cero (por ejemplo, z0) de f (z) – a en el interior de C, es decir, f (z0) = a, como se necesitaba.
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Problemas complementarios 271
8.27. S ea C una circunferencia en el plano z con centro en el eje real, y suponga además que pasa por el punto
z = 1 y tiene z = −1 como un punto interior. [Véase la figura 8-87.] Determine la imagen de C en el plano w
= = 1 + 1/z).
con la transformación w f (z) 2 (z
Solución
Se tiene dw/dz = 1 (1 − 1/z2). Como dw/dz = 0 en z = 1, se sigue que z = 1 es un punto crítico. De la serie de
2
1
Taylor para f (z) = 2 (z + 1/z) en torno a z = 1, se tiene
w � 1 ¼ 1 [(z � 1)2 � (z � 1)3 þ (z � 1)4 � � � � ]
2
De acuerdo con el problema 8.100 se ve que los ángulos con vértices en z = 1 duplican su magnitud con esta transfor-
mación. En particular, como en z = 1 el ángulo exterior a C es p, en w = 1 el ángulo exterior a la imagen C′ es 2p. Por
tanto, C′ tiene una cola aguda en w = 1 (véase la figura 8-88). Otros puntos de C′ también se hallan directamente.
Plano z Plano w
y u
C x Q' C'
–1 P' u
QP 1
–1 1
Figura 8-87 Figura 8-88
Es interesante observar que, en este caso, la circunferencia |z| = 1 queda contenida en C y, con esta transfor-
mación, se lleva al segmento desde w = −1 hasta w = 1. Así, a medida que C tiende a |z| = 1, C′ tiende a la recta
que une w = −1 y w = 1.
8.28. Suponga que se mueve la circunferencia C del problema 8.27 de manera que su centro queda en el semiplano
superior pero que aún pasa por z = 1 y encierra a z = −1. Determine la imagen de C con la transformación
= 1 + 1/z).
w 2 (z
Solución
Al igual que en el problema 8.27, como z = 1 es un punto crítico, en w = 1 se obtendrá la forma puntiaguda [figura
8-90]. Si la circunferencia |z| = 1 no está completamente comprendida en C [como se muestra en la figura 8-89],
en la imagen C′ no estará totalmente comprendida la imagen de |z| = 1 [que es el segmento de w = −1 a w = 1].
En C′ sólo estará contenida la parte del segmento que corresponde a la parte de la circunferencia |z| = 1 que se
encuentra en el interior de C. La apariencia de C′ será, por tanto, como se muestra en la figura 8-90. Al modificar
C de manera apropiada se obtienen otras formas similares a C′.
Plano z Plano w
y u
C
QP Q' C'
–1 1 x –1 P' u
1
Figura 8-89 Figura 8-90
El hecho de que C′ recuerde el corte transversal de un ala de avión, que se suele denominar perfil alar o perfil
aerodinámico, es importante para la teoría aerodinámica (véase el capítulo 9), y Joukowski lo usó por primera vez.
1
Debido a esto, a las formas como las de la curva C′ se les suele llamar perfiles de Joukowski, y a w = 2 (z + 1/z),
transformación de Joukowski.
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272 Capítulo 8 Aplicación conforme
Problemas complementarios
Transformaciones
8.29. D ado el triángulo T en el plano z, con vértices en i, 1 – i, 1 + i, determine el triángulo T ′ al que se lleva T con
las transformaciones a) w = 3z + 4 − 2i, b) w = iz + 2 − i, c) w = 5epi/3z − 2 + 4i. ¿Qué relación hay entre
T y T ′ en cada caso?
8.30. B osqueje la región del plano w a la que se lleva la región interior del triángulo T del problema 8.29 con las
transformaciones a) w = z2, b) w = iz2 + (2 − i)z, c) w = z + 1/z.
8.31. a) Muestre que, mediante la transformación w = 1/z, la circunferencia C dada por |z − 3| = 5 se lleva a la
circunferencia |w + 3/16| = 5/16. b) ¿A qué región se lleva el interior de C?
8.32. a ) Demuestre que con la transformación w = (z − i)/(iz − 1), la región Im{z} ≥ 0 se lleva a la región |w| ≤ 1.
b) ¿A qué región se lleva Im{z} ≤ 0 con esta transformación?
8.33. a ) M=u1eastlreexqteureiolradteraunnsafoerlmipasceió[vnéwase=la12 (ze−a + z−1ea), donde a es real, lleva el interior de la circunferencia
|z| entrada B-2 de la página 253].
b) Encuentre la longitud de los ejes mayor y menor de la elipse del inciso a) y trace la elipse.
8.34. D etermine la ecuación de la curva en el plano w a la que se lleva la recta x + y = 1 con las transformaciones
a) w = z2, b) w = 1/z.
8.35. M uestre que w = {(1 + z)/(1 − z)}2/3 lleva el círculo unitario a una región en forma de cuña e ilustre
gráficamente.
8.36. a ) Muestre que la transformación w = 2z − 3iz + 5 − 4i equivale a u = 2x + 3y + 5, v = 2y − 3x − 4.
b ) Determine el triángulo en el plano uv al que se lleva el triángulo T del problema 8.29 con la transformación
del inciso a). ¿Son similares estos triángulos?
8.37. E xprese las transformaciones a) u = 4x2 − 8y, v = 8x − 4y2 y b) u = x3 − 3xy2, v = 3x2y − y3 en la forma
w = F(z, z).
Transformaciones conformes
8.38. L as rectas y = 2x, x + y = 6 del plano xy se llevan al plano w mediante la transformación w = z2. a) Muestre
gráficamente las imágenes de las rectas en el plano w.
b) Muestre analíticamente que el ángulo de intersección de las rectas es el mismo que el ángulo de intersección
de sus imágenes y explique a qué se debe esto.
8.39. Repita el problema 8.38 con las transformaciones a) w = 1/z, b) w = {(z − i)/(z + 1)}.
8.40. El interior de un cuadrado S con vértices en 1, 2, 1 + i, 2 + i se lleva a una región S′ mediante las transformaciones
a) w = 2z + 5 − 3i, b) w = z2, c) w = sen pz. En cada caso, bosqueje las regiones y verifique directamente
que los ángulos interiores de S′ son ángulos rectos.
8.41. a) Bosqueje las imágenes de la circunferencia (x − 3)2 + y2 = 2 y la recta 2x + 3y = 7 con la transformación
w = 1/z. b) Determine si las imágenes de la circunferencia y de la recta del inciso a) se intersecan en los
mismos ángulos que el círculo y la recta. Explique.
8.42. Repita el problema 8.41 con el círculo (x − 3)2 + y2 = 5 y la recta 2x + 3y = 14.
8.43. a) Repita el problema 8.38 con la transformación w = 3z − 2iz.
b) ¿Su respuesta al inciso b) es la misma? Explique.
8.44. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la transformación w = F (z, z) sea conforme en una
región es que @F/@z = 0 y @F/@z 0 en , y explique el significado de esto.
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Problemas complementarios 273
Jacobianos
8.45. a) En cada inciso del problema 8.29 determine el cociente entre las áreas T y T ′.
b) Compare lo hallado en el inciso a) con el factor de magnificación |dw/dz|2 y explique el significado.
8.46. Encuentre el jacobiano de las transformaciones a) w = 2z2 − iz + 3 − i, b) u = x2 − xy + y2, v = x2 + xy + y2.
8.47. Demuestre que un polígono en el plano z se lleva a un polígono similar en el plano w mediante la transformación
w = F (z) si y sólo si F′(z) es una constante diferente de cero.
8.48. La función analítica F(z) lleva el interior de una circunferencia ddeefiCnCi′d0 eaisspÞoCr |z| = 1 a una región ′dleimit′adeaÐsÐ 0
ÐpÐoR0r jFun0(az)cj2udrvxadys.imple cerrada C′. Demuestre que a) la longitud jF0(z)jjdzj, b) el área
RjF0(z)j2 dx dy.
F0(z)jjdzj,
8.49. D emuestre el resultado (8.2) de la página 242.
8.50. E ncuentre el cociente entre las áreas de los triángulos del problema 8.36b) y compare con el factor de magnificación
obtenido con el jacobiano.
8.51. SeLaent u =¼ u(x, y), vv =¼ vv(x, yy)),yaxnd=xx¼(j,xh(j),, hy )=, yy¼(j,yh(j),. h)a.) D(ae)muestre que @(u, v) ¼ @(u, v) � @(x, hy)).
@(j, h) @(x, y) @(j,
b) Interprete geométricamente el resultado del inciso a). c) Generalice el resultado del inciso a).
8.52. Muestre que si w = u + iv = F(z), z = x + iy = G(z) y z = j + ih, el resultado del problema 8.51a) equivale
a la relación
����ddwz���� ¼ ����ddwz ��������ddzz����
Transformaciones bilineales o fraccionarias
8.53. Encuentre una transformación bilineal que lleve los puntos i, −i, 1 del plano z, respectivamente, a los puntos 0,
1, ∞ del plano w.
8.54. a ) Encuentre una transformación bilineal que lleve los vértices 1 + i, −i, 2 – i de un triángulo T en el plano z a
los puntos 0, 1, i del plano w.
b) Bosqueje la región a la que se lleva el interior del triángulo T con la transformación obtenida en el inciso a).
8.55. Compruebe que la siguiente es también una transformación bilineal:
a) dos transformaciones bilineales sucesivas, b) cualquier número de transformaciones bilineales sucesivas.
8.56. Suponga que a b son dos puntos fijos de una transformación bilineal. Muestre que esta transformación se
escribe en la forma
w � a ¼ �z � a�
w � b Kz � b
donde K es una constante.
8.57. Suponga que, en el problema 8.56, a = b. Muestre que esta transformación se expresa como
w 1 a ¼ z 1 a þ k
� �
donde k es una constante.
8.58. Verifique que la transformación bilineal más general que lleva |z|= 1 a |w| = 1 es
w ¼ � z�p �
eiu p� z � 1
donde p es una constante.
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274 Capítulo 8 Aplicación conforme
8.59. Muestre que la transformación del problema 8.58 lleva |z| < 1 a a) |w| < 1 si |p| < 1 y a b) |w| > 1 si |p| > 1.
8.60. Analice el problema 8.58 si |p| = 1.
8.61. Resuelva directamente el problema 8.11.
8.62. a) Suponga que z1, z2, z3, z4 son cuatro puntos distintos de una circunferencia. Demuestre que el cociente cruzado
es real.
b) ¿Es verdadero el recíproco del inciso a)?
Transformación de Schwarz-Christoffel
8.63. Con la transformación de Schwarz-Christoffel determine una función que lleve cada región indicada del plano z
sobre el semiplano superior del plano w.
a)
Plano z Plano w
u
y
A
p /3 C x A' O' B' C' u
B 1
O1 Figura 8-92
Figura 8-91
b)
Plano z A Plano w
y E u
B
2 x A' B' C' D' E' u
C –1 1
c) D Figura 8-94
Figura 8-93
Plano z Plano w
y u
B
C A
±
C
DE x A' B' C' D' E' u
–1 1
Figura 8-95
Figura 8-96
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Problemas complementarios 275
d)
Plano z Plano w
y u
5±/4
B Cx A' O' B' C' u
O1 1
A
Figura 8-97 Figura 8-98
8.64. Verifique la entrada A-14 de la página 253 con la transformación de Schwarz-Christoffel.
8.65. E ncuentre una función que lleve la región infinita sombreada de la figura 8-99 sobre el semiplano superior del
plano z [figura 8-100], de manera que P, Q y R se lleven, respectivamente, a P′, Q′ y R′ [donde P, R, P′, R′ son
puntos al infinito, como indican las flechas].
Plano w R Plano z
u y
–p + p i Q P' Q'
u R' x
P
Figura 8-99 Figura 8-100
8.66. V erifique la entrada A-12 de la página 252 con la transformación de Schwarz-Christoffel.
8.67. E ncuentre una función que lleve cada región sombreada indicada del plano w sobre el semiplano superior del
plano z.
a)
Plano w Plano z
u y
a
S P' Q' R' S'
R u 1 x
b
PQ
Figura 8-101 Figura 8-102
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276 Capítulo 8 Aplicación conforme Plano z
y
b)
Plano w
u
R
P Qa S Tu P' Q' R' S' T' x
1
Figura 8-103 Figura 8-104
8.68. a) Verifique la entrada A-11 de la página 252 con la transformación de Schwarz-Christoffel.
b) Emplee el resultado del inciso a) y la entrada A-2 de la página 248 para llegar a la entrada C-5 de la página
256.
Transformaciones de fronteras en forma paramétrica
8.69. a ) Encuentre una transformación que lleve la parábola y2 = 4p(p − x) en una línea recta.
b) Analice la relación entre su respuesta y la entrada A-9 de la página 251.
8.70. Encuentre una transformación que lleve la hipérbola x = a cosh t, y = a senh t en una línea recta.
8.71. E ncuentre una transformación que lleve la cicloide x = a(t − sen t), y = a(1 − cos t) en una línea recta.
8.72. a) Encuentre una transformación que lleve la hipocicloide x2/3 + y2/3 = a2/3 en una línea recta.
b) ¿A qué región se lleva el interior de la hipocicloide con esa transformación? Justifique su respuesta.
[Sugerencia: Las ecuaciones paramétricas para la hipocicloide son x = a cos3 t, y = a sen3 t, 0 ≤ t < 2p.]
8.73. Dos conjuntos de ecuaciones paramétricas para la parábola y = x2 son a) x = t, y = t2 y b) x = et, y = e2t. Emplee
estas dos ecuaciones paramétricas para llegar a dos posibles transformaciones que lleven esta parábola a una línea
recta, y determine si tiene alguna ventaja usar una o la otra.
Problemas misceláneos
8.74. a) Muestre que la transformación w = 1/z lleva la circunferencia |z − a| = a, donde a > 0, en una línea
recta. Ilustre esto gráficamente, y muestre la región a la que se lleva el interior de la circunferencia, así como
diversos puntos de la circunferencia.
b) Muestre que el resultado del inciso a) sirve para obtener la transformación del semiplano superior en el círculo
unitario.
8.75. D emuestre que la función w = (z2/a2) − 1 lleva un bucle de la lemniscata r 2 = 2a2 cos 2u sobre la circunferencia
unitaria.
8.76. D emuestre que la función w = z2 lleva la circunferencia |z − a| = a, a > 0, sobre la cardiode r = 2a2(1 + cos f)
[véase la entrada C-2 en la página 252].
8.77. Muestre que la transformación de Joukowski w = z + k2/z se escribe como
w � 2k ¼ �z � k�2
w þ 2k z þ k
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Problemas complementarios 277
8.78. a ) Sea w = F(z) una transformación bilineal. Muestre que la transformación lineal más general para la que
F{F(z)} = z está dada por la expresión siguiente, en donde k2 = 1:
w � p ¼ k z � p
w � q z � q
b) ¿Cuál es el resultado del inciso a) si F{F [F(z)]} = z?
c) Generalice los resultados de los incisos a) y b).
8.79. a ) Determine una transformación que rote la elipse x2 + xy + y2 = 5 de manera que los ejes mayor y menor sean
paralelos a los ejes coordenados. b) ¿Cuáles son las longitudes de los ejes mayor y menor?
8.80. Encuentre una transformación bilineal que lleve la circunferencia |z − 1| = 2 sobre la recta x + y = 1.
8.81. Verifique las transformaciones a) A-6, b) A-7, c) A-8 de las páginas 250 y 251.
8.82. Considere la proyección estereográfica del plano complejo sobre una esfera unitaria tangente a él. Construya un
sistema de coordenadas rectangulares XYZ de manera que el eje Z coincida con NS y los ejes X y Y coincidan con
los ejes x y y de la figura 1-6, página 7. Demuestre que el punto (X, Y, Z) que corresponde a (x, y) en el plano es
tal que
X ¼ x2 þ x þ 1 , Y ¼ x2 þ y þ 1 , Z ¼ x2 þ y2 1
y2 y2 x2 þ y2 þ
8.83. V erifique que una transformación mediante una proyección estereográfica es conforme.
8.84. a) Demuestre que mediante una proyección estereográfica, las longitudes de arco de la esfera se magnifican en la
proporción (x2 + y2 + 1) : 1.
b) Analice lo que ocurre con las regiones cercanas al polo norte. ¿Qué efecto produce esto sobre las cartas de
navegación?
8.85. Sea u = u(x, y), v = v (x, y) una transformación de puntos del plano xy sobre puntos del plano uv.
a) Muestre que, para que la transformación preserve los ángulos, es necesario y suficiente que
��@@ux@@��ux@@�2uxþ2�þ2�þ�@@vx@@��xv@@�2xv¼2�¼2�¼�@@uy@@��uy@@�2uyþ2�þ2�þ�@@yv@@��yv@@�2yv,2�, 2, @@ux@@ux@@@@uy@@uxuyþ@@þuy@@þxv@@xv@@@@yv@@xvyv¼@@¼yv0¼0 0
b) A partir del inciso a), deduzca que se debe tener ya sea
(ii())i )(i)@@ux@@ux¼@@u¼x@@¼vy@@yv,@@,vy@@uy@,@uy¼@@u¼y�¼�@@�xv@@ xv@@ xv orooro r ( i(ii)i()iiii))@@ ux@@ux¼@@u¼x�¼�@@�yv@@yv,@@,yv@@uy@,@uy¼@@uy¼@@¼xv@@xv@@xv
Concluya, por tanto, que u + iv debe ser una función analítica de x + iy.
8.86. Encuentre el área de la elipse ax2 + bxy + cy2 = 1, donde a > 0, c > 0 y b2 < 4ac.
8.87. S e dice que una transformación w = f (z) de puntos en un plano es involutiva si z = f (w). En este caso, una
repetición única de la transformación regresa cada punto a su posición original. Encuentre las condiciones que
deben satisfacer a, b, g, d para que la transformación bilineal w = (az + b)/(gz + d) sea involutiva.
8.88. Muestre que las transformaciones a) w = (z + 1)/(z − 1) y b) w = ln coth(z/2) son involutivas.
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278 Capítulo 8 Aplicación conforme
8.89. E ncuentre una transformación bilineal que lleve |z| ≤ 1 sobre |w − 1| ≤ 1 de manera que los puntos 1, −i
correspondan a 2, 0, respectivamente.
8.90. Analice qué significado tiene que en una transformación bilineal el jacobiano sea cero.
8.91. D emuestre que la transformación bilineal w = (az + b)/(gz + d) tiene un punto fijo si y sólo si (d + a)2 =
4(ad − bg) 0.
8.92. a) Muestre que la transformación w = (az + g)/(gz + a), donde |a|2 − |g|2 = 1 transforma la circunferencia
unitaria y su interior en sí misma.
b) Muestre que si |g|2 − |a|2 = 1, el interior se lleva al exterior.
8.93. Suponga que con la transformación w = F (z, z) todas las curvas C1 y C2 que se intersequen en el plano z se llevan
a curvas correspondientes C′1 y C′2 que se intersequen en el plano w. Demuestre que, si esta transformación es
conforme, a) F (z, z) sólo es función de z, por ejemplo, f (z), y b) f (z) es analítica.
8.94. a) Compruebe la regla de la multiplicación para los determinantes [véase el problema 8.7]:
���� a1 b1 �������� a2 b2 ���� ¼ ���� a1a2 þ b1c2 a1b2 þ b1d2 ����
c1 d1 c2 d2 c1a2 þ c1c2 c1b2 þ d1d2
b) Muestre cómo generalizar el resultado del inciso a) a los determinantes de tercer orden y de orden superior.
8.95. E ncuentre una función que lleve las regiones sombreadas de las figuras 8-105 y 8-106 una sobre la otra, donde
QS tiene una longitud b.
Plano w Plano z
u y
S
P a Uu P' Q' S' T' U' x
QT –1 0 1
Figura 8-105
Figura 8-106
8.96. a) Muestre que la función w = Ðz dt=(1 � t6)1=3 lleva un hexágono regular a un círculo unitario.
0
b) ¿Cuál es la longitud de cada lado del hexágono del inciso a)?
8.97. M uestre que la transformación w = (Az2 + Bz + C)/(Dz2 + Ez + F) se considera una combinación de dos
transformaciones bilineales separadas por una transformación del tipo t = z 2.
8.98. E ncuentre una función que lleve un polígono regular de n lados en el círculo unidad.
8.99. Verifique las entradas a) A-9, página 251; b) A-10, página 251; c) B-3, página 254; d ) B-4, página 254;
e) C-3, página 255; f ) C-4, página 255.
8.100. S uponga que la transformación w = f (z) tiene el desarrollo en serie de Taylor
w ¼ f (z) ¼ f (a) þ f 0(a)(z � a) þ � � � þ f (n)(a) � a)n þ���
n! (z
S uponga que f (k)(a) = 0 para k = 0, 1, . . . , n – 1 y f (n)(a) 0. Muestre que los ángulos en el plano z con vértices
en z = a se multiplican por n en el plano w.
8.101. Determine una función que lleve la banda infinita −p/4 ≤ x ≤ p/4 sobre el interior del círculo unitario |w| ≤ 1,
de manera que z = 0 corresponda a w = 0.
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Respuestas a los ejercicios complementarios 279
8.102. Verifique el valor de K obtenido en la ecuación (2) del problema 8.25.
8.103. E ncuentre una ecuación que lleve el semiplano superior sobre el interior de un triángulo con vértices en w = 0, 1, i,
que correspondan a z = 0, 1, ∞, respectivamente.
(b) 2 coshRaeasndp2usienhsat, aresspeactivleolys ejercicios zc¼oam(copshlweþmseinnh wt)arios
(b(b))22ccoosshhaaaanndd22ssininhhaa, ,reressppeecctitviveelyly zz¼¼aa(c(coosshhwwþþssininhhww))
ba((((())aabaa((aa))2u)))))2wuwwucwu2+2o2¼¼¼þsþ¼hþ2(z(v22a11(32vv1=þvþy¼¼þ¼12ii)1,)1i( s()1,,zz(e,2z(2(nbb2b(þhþ)b))þ)uauuz�z�2u22z�2,2)22)+rþþ)eþþþþs222p((2uuu2e2(uvv2vc�v�tþ+þ�iþv22a2222iim2)v)vvizz)v222ez�z�2¼zn�=¼þþ¼tþeuuu88u8iþiþ+zziþ,z, v,vvv 88..7701.. (z(zaa(zzz¼a)¼)==¼)zzaaz¼¼aaa((¼ww(((wcwaaþoaþ((þc+sc(cohioiois�si�w3s3�−3wwii+eweiie�þ�þe�sþii−wweiiiwi)n)wiss)hi)sinninw333w)ww)))
8.33.
8.34.
8.37. ab((())aab((ab)ww))))jjw4==4jw4zz¼z�(z¼�13�ziiz3+jji322j,2,i,)(((bb(zb))2)44+4((xx(zx2222þ)þþ+yyy22()2)2) − 2i)zz + 8iz, 8.72. (ba)) Sz a=mae(acsos(3a)ww+ithi ske3n¼3 w1)
8.78. (bb(b)))ISpgSauaffimffiaffimffiffileffieffiqffiaffiffiuasffiffiesffiffi(ffia(affiffia)))wcwoitnihthkk3k3=3¼¼111
8.46. aww)w|¼¼4¼z((−11(1��i�|2ii,))i (()zz(zb���) i4i))i(==)x=2222((z+z(z���y211)1))) 8.86. 222ppp===pp44ffiffiffi4aaffiffiacfficfficffi�ffi�ffiffi�ffiffibffibffibffi22ffiffiffi2ffi
8.53. w(a=) w(1¼−(2i)z(�z −2 i�)/22i()z=f−(i 1�) 1)z � 3 � 5ig d ¼ �a
8.54. aY()a(eaw)s)w=w¼¼(2(z2(2z−z��22−2��22i2)i/)i=){=f(f(ii(−i��111))zz)z−��333�−�555iigi}g 8.87. dd¼=¼��−aapffiffi
8.62. S(YíaY)eesws ¼ z3, (b) w ¼ cosh(p z=2), (c) w ¼ ez, 8.96. ((bb(b)))((11(1===666))p)33p32ffi2ffi2ffiGGffi G((11(1===333)))
8.63. d a(z(())dda((¼daww)))))www(==www¼¼¼¼zz¼þ43zzz/,z 43zp45=34=,55=,�(b5b()b)pw)wiw)=2¼=¼3ccocososhsh(h(pp(pz/zz=2=2)2,) ,),(c(cc)))www¼=¼eeezz,,z, 8.101. wwww=¼¼¼tttaaatnannnzzzz
8.65. zz=z¼¼(w(w(w+þþppp−��pppii))i22)/2=33=3 8.103. www¼¼¼pppGGffipffipffiffiGffiffip(ffi(GGffi33(G(3=(=11(=441==4))=44)4)))ð0ðxxðxtt��t�11=1=22=(2(11(1���tt))t��)�33=3=44=4dddttt
8.69. a) Una posibilidad 2epstiiszsis=zzz¼¼p¼pp−p���pppwpww2w222+þþþ2222ppppiiiwwwiw¼¼=¼pppp((1(1(11þþþ+iiwwiwi))w22)2)2, que se obtiene 0c0on las ecuaciones paramétricas
xx=¼pp((11 �− tt22), y =¼
xx¼¼pp(1(1��t2t2),),yy¼¼22pptt
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Capítulo 9
Aplicaciones físicas
de las transformaciones
conformes
9.1 Problemas de valor frontera
En la ciencia y en la ingeniería, muchos problemas, al formularse matemáticamente, conducen a ecuaciones diferen-
ciales parciales y a condiciones relacionadas que se conocen como condiciones frontera. El problema de hallar solu-
ciones a ecuaciones diferenciales que satisfagan las condiciones frontera se conoce como problema de valor frontera.
Desde el punto de vista matemático, así como desde el punto de vista físico, es de fundamental importancia no
sólo hallar las soluciones (es decir, que tales soluciones existan), sino que para cada problema debe haber sólo una
solución (es decir, que la solución sea única).
9.2 Funciones armónicas y conjugadas
Se dice que una función que satisface la ecuación de Laplace
r2F ¼ @2F þ @2F ¼ 0 (9:(19).1)
@x2 @y2
en una región es armónica en . Como ya se vio, si f (z) = u(x, y) + iv (x, y) es analítica en , entonces u y v son
armónicas en . f (z) ¼ u(x, y) þ iv(x, y)
Ejemplo 9.1 Sea f (z) = 4z2 − 3iz = 4(x + iy)2 − 3i(x + iy) = 4x2 − 4y2 + 3y + i(8xy − 3x). Entonces
u = 4x2 − 4y2 + 3y,Lvet=f (8zx)y¼−43zx2.�C3oimz o¼u4y(xvþsaityi)s2fa�ce3ni(lxa þeciuya)c¼ión4xd2e�La4pyl2aþce,3syoþn ia(r8mxyón�ic3axs)..
Las fuun¼cio4nxe2s�u4yy2vþse3lyl,amv a¼n8fuxync�io3nxe.s conjugadas, y dada una, se halla la otra salvo una constante aditiva arbi-
traria [véase el capítulo 3].
9.3 Problemas de Dirichlet y de Neumann
Sea una región simplemente conexa limitada por una curva simple cerrada C. Dos tipos de problemas de valor
frontera son de gran interés.
1. El problema de Dirichlet trata de hallar una función Φ que satisfaga la ecuación de Laplace (9.1) [es
decir, que sea armónica] en y que sobre la frontera C tome valores prefijados.
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9.5 Problema de Dirichlet para el semiplano 281
2. El problema de Neumann trata de hallar una función Φ que satisfaga la ecuación de Laplace (9.1) en
y que en la frontera C su derivada normal @Φ/@n tome valores prefijados.
y
C
x
Figura 9-1
La región puede ser no acotada. Por ejemplo, puede ser el semiplano superior con el eje x como frontera
de C.
Puede mostrarse que las soluciones, tanto al problema de Dirichlet como al de Neumann, existen y son únicas
[en el problema de Neumann, salvo una constante aditiva arbitraria] con muy ligeras restricciones impuestas a las
condiciones frontera [véanse los problemas 9.29 y 9.80].
Es interesante que el problema de Neumann se presente en términos de un problema de Dirichlet adecuadamente
planteado (véase el problema 9.79). Por tanto, si se resuelve el problema de Dirichlet, también se resuelve (al menos
de manera teórica) el correspondiente problema de Neumann.
9.4 Problema de Dirichlet para la circunferencia unitaria.
Fórmula de Poisson
Sea C la circunferencia unitaria |z| = 1 y su interior. Una función que satisface la ecuación de Laplace [es decir,
que es armónica] en todos los puntos (r, u) en y que toma en C un valor prefijado F(u) [es decir, Φ(1, u) = F(u)],
está dada por
1 2ðp (1 � r2)F(f) df
2p � 2r cos(u � f) þ
F(r, u) ¼ 1 r2 (9.2)
0
Esta fórmula se conoce como fórmula de Poisson para la circunferencia [véase el capítulo 5, página 146].
9.5 Problema de Dirichlet para el semiplano
Una función que es armónica en el semiplano y > 0 [Im{z} > 0] y que toma un valor prefijado G(x) en el eje x [es
decir, Φ(x, 0) = G(x), −∞ < x < ∞], está dada por
1 ð1 yG(h) dh
p y2 þ (x � h)2
F(x, y) ¼ (9.3)
�1
Esto se llama en ocasiones fórmula de Poisson para el semiplano [véase el capítulo 5, página 146].
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282 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.6 Soluciones a los problemas de Dirichlet y de Neumann
mediante transformaciones conformes
Los problemas de Dirichlet y de Neumann se resuelven en toda región simplemente conexa, que se lleve de
manera conforme mediante una función analítica sobre el interior del círculo unitario o de un semiplano. [De acuerdo
con el teorema de la transformación de Riemann, esto siempre es posible, al menos en teoría.] Las ideas básicas aquí
son las siguientes.
a) Usar la transformación para transformar el problema del valor frontera para la región en un problema
correspondiente para la circunferencia unitaria o para el semiplano.
b) Resolver el problema para la circunferencia unitaria o para el semiplano.
c) Emplear la solución del inciso b) para resolver el problema dado mediante la transformación inversa.
Los teoremas importantes en este contexto son los siguientes.
Teorema 9.1 Sea w = f (z) una función analítica y uno a uno en la región del plano z. Entonces existe una
única función inversa z = g(w) en , y f ′(z) 0 en [lo que garantiza que la transformación es
conforme en todos los puntos de ].
Teorema 9.2 Sea Φ(x, y) armónica en , y suponga que se lleva uno a uno sobre ′ en el plano w por medio
de una transformación w = f (z), donde f (z) es analítica. Entonces f ′(z) 0, x = x(u, v ), y = y(u, v )
y Φ(x, y) = Φ[x(u, v ), y(u, v )] ≡ Ψ(u, v ) es armónica en ′. En otras palabras, una función
armónica se transforma en otra función armónica por medio de una transformación w = f (z), que
es analítica [véase el problema 9.4].
Teorema 9.3 Suponga que Φ = a [una constante] en la frontera o en parte de la frontera C de una región en el
plano z. Entonces Ψ = a en su imagen C′ en el plano w. De manera similar, si la derivada normal
de Φ es cero, es decir, @Φ/@n = 0 en C, entonces, en C′, la derivada normal de Ψ es cero.
Aplicaciones al flujo de fluidos
9.7 Suposiciones básicas
Para la solución de muchos problemas importantes sobre el flujo de fluidos, conocido también como dinámica
de fluidos, hidrodinámica o aerodinámica, suelen emplearse métodos de variable compleja con las suposiciones
siguientes.
1. El flujo de fluidos es bidimensional, es decir, el patrón básico de flujo y las características del movi-
miento del fluido en un plano son esencialmente las mismas que en cualquier plano paralelo. Esto permite
concentrar la atención en un solo plano que se considera el plano z. Las figuras trazadas en este plano se
entienden como secciones transversales de cilindros infinitos perpendiculares al plano. Por ejemplo, la
circunferencia de la figura 9-7, de la página 286, representa un obstáculo cilíndrico infinito alrededor del
cual fluye el fluido. Por supuesto, un cilindro infinito es sólo un modelo matemático de un cilindro físico
(real) tan largo que resulta razonable ignorar sus efectos.
2. El flujo es estacionario o permanente, es decir, la velocidad del fluido en cualquier punto depende sólo
de la posición (x, y) y no del tiempo.
3. Los componentes de la velocidad se obtienen de un potencial, es decir, suponga que Vx y Vy denotan
los componentes de la velocidad del fluido en (x, y) en las direcciones positivas x y y, respectivamente. Así
existe una función Φ, que se conoce como potencial de velocidad, tal que
Vx ¼ @F , Vy ¼ @@Fy (9.4)
@x
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9.8 Potencial complejo 283
Una suposición equivalente es que si C es una curva simple cerrada en el plano z y Vt es la componente
tangencial de la velocidad en C, entonces
þþ
Vt ds ¼ Vx dx þ Vy dy ¼ 0 ( (9.5)
CC
Véase el problema 9.48.
A cada integral en (9.5) se le conoce como circulación del fluido a lo largo de C. Cuando la circulación
es cero, el flujo se llama irrotacional o libre de circulación.
4. El fluido es incompresible, es decir, la densidad, o masa por unidad del volumen, del fluido es constante.
Si Vn es la componente normal de la velocidad en C, esto lleva a la conclusión (véase el problema 9.48) de
que
þþ þþ
VVnn ddss ¼¼ VVxx ddyy �� VVyy ddxx ¼¼ 00 (( (9.6)
CC CC
o
@@VVxx þþ @@VVyy ¼¼ 00 (( (9.7)
@@xx @@yy
que expresa la condición de que la cantidad de fluido contenida en el interior de C es una constante, es
decir, la cantidad que entra en C es igual a la cantidad que sale de C. Debido a esto, la ecuación (9.6), o la
ecuación equivalente (9.7), se llama ecuación de continuidad.
5. El fluido no es viscoso, es decir, no tiene viscosidad o fricción interna. Un fluido viscoso en movimiento
tiende a adherirse a la superficie de un obstáculo colocado en su trayectoria. Si no hay viscosidad, las
fuerzas de presión sobre la superficie son perpendiculares a la superficie. Un fluido que no es viscoso y
es incompresible se conoce como fluido ideal. Desde luego, hay que observar que tal fluido es sólo un
modelo matemático de un fluido real en el que esos efectos se consideran con seguridad insignificantes.
9.8 Potencial complejo
A partir de las ecuaciones (9.4) y (9.7) se ve que el potencial de velocidad Φ es armónico, es decir, satisface la ecua-
ción de Laplace
@2F þ @2F ¼ 0 ( (9.8)
@x2 @y2
Se sigue que debe existir una función armónica conjugada, como Ψ(x, y), tal que
V(z) ¼ F(x, y) þ iC(x, y) ( (9.9)
sea analítica. Mediante diferenciación, con (9.4), se tiene
dV ¼ V0(z) ¼ @F þ i @C ¼ @F � i @F ¼ Vx � iVy (9.10)
dz @x @x @x @y
Así, la velocidad [conocida también como velocidad compleja] está dada por (( (9.11)
VV ¼¼ VVxx þþ iiVVyy ¼¼ ddVV==ddzz ¼¼ VV00((zz))
y su magnitud es VV ¼¼ jjVVjj ¼¼ qqVffiffiVffiffiffiffixffixffi22ffiffiffiffiffiffiþþffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiVVffiffiffiffiffiyffiy22ffiffi ¼¼ jjVV00((zz))jj ¼¼ jjVV00((zz))jj (9.12)
Los puntos en los que la velocidad es cero, es decir, Ω′(z) = 0, se llaman puntos de estancamiento.
La función Ω(z), de importancia fundamental para caracterizar un flujo, se conoce como potencial complejo.
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284 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.9 Líneas equipotenciales y líneas de flujo
Las familias de curvas de un parámetro
F(x, y) ¼ a, C(x, y) ¼ b (9.13)
donde a y b son constantes, son familias ortogonales llamadas, respectivamente, líneas equipotenciales y líneas de
flujo [aunque a veces se emplean también los términos más apropiados curvas equipotenciales y curvas de flujo].
En movimiento estacionario, las líneas de flujo representan la trayectoria de las partículas de fluido en el patrón de
flujo.
La función Ψ se conoce como función de flujo y, como ya se vio, la función Φ, como función de potencial de
velocidad o tan sólo potencial de velocidad.
9.10 Fuentes y sumideros
En lo dicho hasta ahora se ha supuesto que en el plano z no hay puntos [es decir, líneas en el fluido] en los que el
fluido aparezca o desaparezca. Esos puntos se conocen como fuentes y sumideros, respectivamente [también llama-
dos fuentes lineales y sumideros lineales]. En esos puntos, que son puntos singulares, la ecuación de continuidad
(9.7) y, por ende, la (9.8) no se satisfacen. En particular, alrededor de curvas cerradas C que contengan tales puntos,
la integral de circulación en (9.5) puede no ser cero.
Sin embargo, no hay ningún problema para emplear la teoría anterior siempre que se introduzcan las singulari-
dades adecuadas en el potencial complejo Ω(z) y se observe que ecuaciones como (9.7) y (9.8) se satisfacen en toda
región que excluya estos puntos singulares.
9.11 Algunos flujos especiales
En teoría, todo potencial complejo Ω(z) puede relacionarse o interpretarse como un determinado flujo de fluido en
dos dimensiones. Los siguientes son algunos casos sencillos que se encuentran en la práctica. [Observe que a todos
los potenciales complejos se les puede agregar una constante sin afectar el patrón de flujo.]
1. Flujo uniforme. El potencial complejo correspondiente al flujo de un fluido con velocidad constante V0
en una dirección que forme un ángulo d con la dirección x positiva es (figura 9-2)
V(z) ¼ V0 e�idz (9.14)
y V0 y
dx a
Figura 9-3
x
Figura 9-2
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9.11 Algunos flujos especiales 285
2. Fuente en z ∙ a. Si el fluido surge a velocidad constante de una fuente lineal en z = a (figura 9-3), el
potencial complejo es
V(z) ¼ k ln(z � a) ( (9.15)
donde a k > 0 se le conoce como fuerza de la fuente. Las líneas de flujo se muestran como líneas conti-
nuas, y las líneas equipotenciales, como líneas punteadas.
3. Sumidero en z ∙ a. En este caso, el fluido desaparece en z = a (figura 9-4) y el potencial complejo está
definido a partir del de la fuente al sustituir k por −k, con lo que se obtiene
V(z) ¼ �k ln(z � a) ( (9.16)
yy
aa
xx
Figura 9-4 Figura 9-5
4. Flujo con circulación. El flujo que corresponde al potencial complejo
V(z) ¼ �ik ln(z � a) ( (9.17)
es como se indica en la figura 9-5. En este caso, la magnitud de la velocidad del fluido en cualquier punto
es inversamente proporcional a su distancia desde a.
El punto z = a se conoce como vórtice y k como su fuerza. La circulación [véase la ecuación (9.5)] a
lo largo de cualquier curva cerrada C que encierre a z = a es igual, en magnitud, a 2pk. Observe que, al
cambiar k por −k en la ecuación (9.17), se obtiene el potencial complejo correspondiente a un vórtice en
el sentido de las manecillas del reloj.
5. Superposición de flujos. Mediante la adición de potenciales complejos se describen patrones de flujo más
complejos. Un ejemplo importante se obtiene al considerar el flujo debido a una fuente en z = −a y un
sumidero de igual fuerza en z = a. Así, el potencial complejo es
V(z) ¼ k ln(z þ a) � k ln(z � a) ¼ k ln�z þ a� (9.18)
z � a
Con a → 0 y k → ∞ de manera que 2ka = m sea infinito, se obtiene el potencial complejo
V(z) ¼ mz (9.19)
Éste es el potencial complejo de un doblete o dipolo, es decir, la combinación de una fuente y un sumidero
de fuerzas iguales separados por una distancia muy pequeña. La cantidad m se llama momento dipolo.
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