286 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.12 Flujo en torno a un obstáculo
Un problema importante en el flujo de fluidos es la determinación del patrón de flujo de un fluido que se mueve ini-
cialmente con velocidad uniforme V0 y en el cual se coloca un obstáculo.
Plano w Plano z Plano z
u y h
V0
C C′ x
ux
Figura 9-6 Figura 9-7 Figura 9-8
Un principio general en este tipo de problemas es idear un potencial complejo de la forma
V(z) ¼ V0z þ G(z) ( (9.20)
(si el flujo es en el plano z) donde G(z) sea tal que lím|z|→∞ G′(z) = 0, lo que físicamente significa que lejos del obs-
táculo la velocidad tiene magnitud constante (en este caso, V0). Además, el potencial complejo debe elegirse de ma-
nera que una de sus líneas de flujo represente la frontera del obstáculo.
El conocimiento de las transformaciones conformes es útil en la obtención de potenciales complejos. Por ejemplo,
el potencial complejo correspondiente al flujo uniforme en el plano w de la figura 9-6 está dado por V0w. Mediante la
transformación w = z + a2/z [véase la entrada A-4, página 249], el semiplano superior del plano w de la figura 9-6
corresponde al semiplano superior del plano z exterior a la circunferencia C, y el potencial complejo para el flujo de
la figura 9-7 está dado por V(z) ¼ � þ az2� (9.21)
V0 z
De manera similar, si z = F(z ) lleva C′ y su exterior sobre C y su exterior [véase la figura 9-8], el potencial complejo
para el flujo de la figura 9-8 se obtiene al sustituir z por F(z ) en la ecuación (9.21). El potencial complejo también se
obtiene al ir directamente del plano w al z por medio de la transformación adecuada.
Con lo anterior y al introducir otros fenómenos físicos, como la circulación, se describe el patrón de flujo en torno
a perfiles de diversas formas, y de esta manera también el movimiento de un avión en vuelo.
9.13 Teorema de Bernoulli
Si P denota la presión en un fluido y V es la velocidad del fluido, el teorema de Bernoulli sostiene que
P þ 1 sV 2 ¼ K (9.22)
2
donde s es la densidad del fluido y K es una constante a lo largo de toda línea de flujo.
9.14 Teorema de Blasius
1. Sean X y Y las fuerzas netas en las direcciones x y y positivas, respectivamente, debidas a la presión de un
fluido sobre la superficie de un obstáculo limitado por una curva simple cerrada C. Así, si Ω es el potencial
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9.16 Intensidad del campo eléctrico. Potencial electrostático 287
complejo del flujo, X � iY ¼ 1 is þ ��dddVVz ��22ddzz (9.23)
X � iY ¼ 12 is þ dz
2
C
C
2. Suponga que M es el momento en torno al origen de las fuerzas de presión sobre el obstáculo. Así,
8 þ zz��ddddVVzz ��22ddzz=9;=;9
8< þ
M ¼ RRee<::�� 1 s (9.24)
M ¼ 12 s C
2
donde “Re” denota, como de costumbre, “la partCe real de”.
Aplicaciones en la electrostática
9.15 Ley de Coulomb
Sea r la distancia entre dos cargas eléctricas puntuales q1 y q2. De este modo, la fuerza entre estas cargas está dada,
en magnitud, por la ley de Coulomb, que afirma que
F ¼ q1q2 (9.25)
kr2
y es una fuerza de repulsión o de atracción según las cargas sean iguales (las dos positivas o las dos negativas) o
distintas (una positiva y la otra negativa). La constante k en la ecuación (9.25), que se conoce como constante die-
léctrica, depende del medio; en el vacío, k = 1, si no es así, k > 1. En lo sucesivo se supondrá que k = 1 a menos
que se especifique otra cosa.
9.16 Intensidad del campo eléctrico. Potencial electrostático
Suponga que se da una distribución de carga continua, discreta o una combinación de ambas. Esta distribución de
carga crea un campo eléctrico. Si una carga positiva unitaria (lo bastante pequeña para que no afecte apreciablemente
el campo) se coloca en un punto A que no esté ya ocupado por una carga, la fuerza que actúa sobre esta carga se
conoce como intensidad de campo eléctrico en A y se denota E. Esta fuerza se obtiene de un potencial Φ, que suele
conocerse como potencial electrostático. En símbolos,
EEE¼¼¼���gggrrraaadddFFF¼¼¼���rrrFFF (9.26)
Si la distribución de carga es bidimensional, que aquí es el tema principal, entonces
EEE¼¼¼EEExxxþþþiiEiEEyyy¼¼¼���@@@@@F@FxFxx���iii@@@@@F@FyFyy wdwwohhhneeedrrreeeEEExxx¼¼¼���@@@@@F@FxFxx,,, EEEyyy¼¼¼���@@@@@F@FyFyy (9.27)
En ese caso, si Et denota el componente de la intensidad del campo eléctrico tangencial a toda curva simple cerrada
C en el plano z,
þþ
Et ds ¼ Ex dx þ Ey dy ¼ 0 ( (9.28)
CC
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288 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.17 Teorema de Gauss
Ahora se verán sólo distribuciones de carga, que se consideran bidimensionales. Si C es una curva simple cerrada en
el plano z con una carga neta q en su interior (en realidad un cilindro infinito que encierre una carga neta q) y En es
la componente normal de la intensidad de campo eléctrico, el teorema de Gauss establece que
þ
En ds ¼ 4pq (9.29)
C ( (9.30)
Si C no encierra ninguna carga neta, esto se reduce a
þþ
En ds ¼ Ex dy � Ey dx ¼ 0
CC
Se sigue que, en toda región que no esté ocupada por una carga,
@@@EExxx @@@EEyyy
@x þþ @y ¼¼ 00 ( (9.31)
(
De (9.27) y (9.31), se obtiene
@@@@22xxFF22 þþ @@@@22yyFF22 ¼¼ 0 ( (9.32)
0 (
es decir, Φ es armónica en todos los puntos no ocupados por una carga.
9.18 Potencial electrostático complejo
De lo anterior, es claro que debe existir una función armónica Ψ conjugada de Φ tal que
V(z) ¼ F(x, y) þ iC(x, y) ( (9.33)
sea analítica en una región no ocupada por una carga. Ω(z) se conoce como potencial electrostático complejo o sólo
potencial complejo. En términos de este potencial complejo, la ecuación (9.27) se convierte en
E ¼ � @F � i @F ¼ � @F þ i @C ¼ � dV ¼ �V0(z) ( (9.34)
@x @y @x @y dz (9.35)
y la magnitud de E está dada por E ¼ jEEj ¼¼jj�EjV¼0(zj)�j ¼V0(jVz)j0(¼z)j.jV0(z)j.
Las curvas (superficies cilíndricas en tres dimensiones)
F(x, y)F¼(x,ay, ) ¼Ca(,x, y)C¼(x,by) ¼ b
se conocen como líneas equipotenciales y líneas de flujo, respectivamente.
9.19 Carga lineal
Es clara la analogía de lo anterior con el flujo de fluidos. El campo eléctrico en los problemas electrostáticos corres-
ponde al campo de velocidad en los problemas de flujo de fluidos, con la única diferencia de una carga con signo en
los potenciales complejos correspondientes.
La idea de fuente y sumidero del flujo de fluidos tiene análogos correspondientes en la electrostática. Así, el poten-
cial (electrostático) complejo debido a una carga lineal q por longitud unitaria en z0 (en el vacío) está dada por
V(z) ¼ �2q ln(z � z0) ( (9.36)
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9.23 Temperatura compleja 289
y representa una fuente o un sumidero según sea q < 0 o q > 0. De manera similar se habla de dobletes o dipolos,
etc. Si el medio no es el vacío, en (9.36) se sustituye q por q/k.
9.20 Conductores
Si un sólido conduce perfectamente, es decir, es un conductor perfecto, toda la carga está localizada en su superficie.
Así, si se considera la superficie representada por una curva simple cerrada en el plano z, las cargas están en equili-
brio en C y, por tanto, C es una línea equipotencial.
Un problema importante es el cálculo del potencial debido a un conjunto de cilindros cargados. Este problema se
resuelve mediante transformaciones conformes.
9.21 Capacitancia
Dos conductores con cargas de igual magnitud q pero de signo contrario tienen una diferencia de potencial V. La
cantidad C definida por
q ¼ CV (9.37)
depende sólo de la geometría de los conductores y se llama capacitancia. Los conductores mismos forman lo que se
conoce como un condensador o capacitor.
Aplicaciones al flujo de calor
9.22 Flujo de calor
Considere un sólido con una distribución de temperatura que puede variar. Interesa la cantidad de calor conducido
por unidad de área y por unidad de tiempo a través de una superficie localizada en el sólido. Esta cantidad, conocida
en ocasiones como flujo de calor a través de la superficie, está dada por
Q ¼ �K grad F (9.38)
donde Φ es la temperatura, y K, que se supone que es una constante, se conoce como conductividad térmica, y
depende del material del que esté hecho el sólido.
9.23 Temperatura compleja
Supóngase que se restringe a problemas de tipo bidimensional. Se tiene (9.39)
QQ¼¼��KK��@@@@FxFx þþii@@@@FyFy��¼¼QQxxþþiiQQyy wdwohhneedrreee QQxx ¼¼��KK@@@@FxFx ,, QQyy ¼¼��KK@@@@FyFy
Sea C una curva simple cerrada en el plano z (que representa la sección transversal de un cilindro). Si Qt y Qn son
las componentes tangencial y normal del flujo de calor y prevalecen condiciones de estado estable de manera que no
haya acumulación neta de calor en el interior de C, se tiene
þþ þþ
Qn ds ¼ Qx dy � Qy dx ¼ 0, Qt ds ¼ Qx dx þ Qy dy ¼ 0 ( (9.40)
CC CC
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290 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
si se supone que no existe ninguna fuente o sumidero en el interior de C. De la primera ecuación en (9.40) se tiene
@@@QQxxx @@@QQyyy
@x þþ @y ¼¼ 00 ( (9.41)
(
que, con (9.39), se convierte en
@@@@22xxFF22 þþ @@@@22yyFF22 ¼¼ 0
0
es decir, Φ es armónica. Se introduce la función armónica conjugada Ψ y se ve que
V(z) ¼ F(x, y) þ iC(x, y) ( (9.42)
es analítica. Las familias de curvas
F(x, y) ¼ a, C(x, y) ¼ b (9.43)
se llaman líneas isotérmicas y líneas de flujo, respectivamente, y Ω(z), temperatura compleja.
La analogía con el flujo de fluidos y la electrostática es evidente, y los procedimientos que se emplean en esos
campos sirven de manera similar para resolver diversos problemas de temperatura.
Problemas resueltos
Funciones armónicas
9.1. Muestre que las funciones siguientes son armónicas en una región finita del plano z:
a) x2 − y2 + 2y, b) sen x cosh y
Solución F ¼ x2 � y2 þ 2y.
aF) ¼ Sux2po�Fngy¼a2 þqxu2F2e�yΦ¼.Fy=2x¼2þx�2x22−yy�.2 yþy2@2+22þyF.2=2y@y. x.S2e@¼2tiFe2n=,e@@x@222FF¼=@=2@2@Fyx,2=2@¼@2¼xF2�2=¼2,@.y@222,F¼@=2�@Fy2=2(.@@¼2yF2�=¼@2x.�2E()2@n2.þtFo(n=@c@2(ex@Fs22)=F(@þ@=y2@2F(x)@=22¼)@Fxþ0=2@)(y@þ22)F(@¼=2@F0y=2)@y¼2)0¼ 0,
por lo que Φ es armónica en .
F ¼ sen x
(@2F=@x2b()@)2 þFF (S=@¼u@2(xp@Fs22oe)=Fn(n@þ@g=Fy2xa@2F(x)q@¼=22u¼)@Fesxþe0=ΦF2n@)(yy=@xþ¼2F2Φ)Fs(s@¼e¼ee=2nsn@F0sxyaxe=2rFcn)m@oyx¼¼só2hn)0xiy¼c2. a�0e@Sny2eF2tþi=e.@n2xe2y.@¼2F�=s@ex@n22Fx¼@c=2o−�@@Fsx2sh=2Fe@yn¼=x,@x2@x�2c¼2Fos¼es�=hn@s2yxye2,,cn@¼o2x2sFhcsoey=sn,@hyx@22y2c,F¼o¼@s2=sh�@Feyyn22=..x@¼yc2os¼eshnsyxye.(.cn@ o2xsFAhco=sy@ís.h(x@2y2).Fþ=(@@x22F) þ=@(y@22)F¼=@0y2) ¼ 0
9.2. Muestre que, con la transformFa¼ciósennzx= w3, las funciones del@p2Fro=b@lxe2m¼a 9�.s1esnoxncoarsmh yó,n@i2cFas=@eyn2 e¼l pselannxocwos.h y.
Solución z ¼ w([email protected]=e@nx2x) þþ (iy@2¼F=(u@yþ2)i¼v)30¼ u3 � 3uv2 þ i(3u2v � v3) and x ¼ u3 � 3uv2, y ¼ 3u2v � v3.
Suponzga¼zzq¼F¼wu3eww¼.z3T3z.=x.h¼T2Tezhw�nhwe¼e3xn3y.n.2þEwxxTþn3þiþht.yoe2Tini¼yyhc¼xe¼(nsuþ((xþuui3yþþiþ�v¼i)iyi3v3v()¼u)¼33vþ¼2(¼u)u32iuvþu�3)33�i3�(v¼3u)3u3v3uu2u¼v3vþ22�uþiþ3(3v3�i3ui(u)(v32332uvuþu2þ2�vvv22i�v�(þ33v)uvi32(3)3v)au�n2avdavnn�3dd)xv3¼x)ax n¼¼udy3auznu �3d3¼x�3�¼wu3xv33uu2u.¼v3,vT22�u,hy,3e3¼yn�yu¼vx¼332uþu,332vuvui2y2y2,�v¼v¼�yv�33(¼v.uuv323þ.3v. u�i2vv)v3�3.¼v3u.3 � 3uv2 þ i(3u2v �
a) FFF¼¼¼x2xx�2F2�¼y�¼2Fyuyþ2x26¼2þ2þ��yx221¼yyy5�2u¼¼(þ4uyv(32(2u2u�þ3yþ3�¼3�21uy53(v3¼uu2u2v3)vv22(2�4u)�)232�3��(�u3vv(u63(2323u)þuv2uv22�2�6vv)u2�v�(2�33vv)uv�23(23)3vþ)222u�þv22þ3v(v23�23(u)(3223vuvu3þ2)2�v2v2�þv�(33v)2uv3(23)3v)u�2vv�3) v3)
F ¼ x2 � y2 þ 2y ¼ (u3 � 3uv2)2 � (3u2v � v3)2 þ 2(3u2v
¼¼¼u6uu�66 �1�¼51u15u45¼u6vu4@2�4uv2vþ62F21�þ5=1þ@u511u4u155v225uu2vu¼424þ2vvv�234410þ�5v�u6u41v2vþ65�v6u4þ6þ21�uv862640uvvu�u262�v2vþvv�2�266vþþ2u32v2v363v30u�v24v2þ�v3122v3v, �30u4 ¼þ u1680�u21v52u�4v230þv415�u21v24v� v6 þ 6u2v � 2v3
@2F=@v2 ¼
b) (@ 2(AHm(@F@2sau2=FíyFe,@ s=u=q(t@@2r(@u@ua@)2ue222F2þf@F)F@(á)m2=@2þc=Fþ=(@F2oi@@@uFl=su2m(=u2(t@@F=2@@2)rue2@@au)2¼=þFn22uFr2þ@Ft2¼=evq¼@=3F()@=2@2u@(0mþv)@@3F2Fveu3F¼2u2F02¼e40)=F2)Φ(ud¼u=@@¼�s¼4i¼¼0=@4ue2a@=�vFsn2nF1�s0ve203(Fet8¼=2)nue,10ns01¼3)@(c¼8ue(¼uu8uv3�¼Fuon043n2203s0m(u0)v�ae�s3uuu�0¼2en¼u2o43sv3nv(1þv3e2u�2ssu(2−8un03ueeþv)03þ3vc2n�12cnu0i3�()83lo)e2vu3u3lc00s3cvac430vuohuv2oe�uv þvps2(42ss24þv)h3evhi23þ)t(u1þr2c(ua)32oc332obþvcu1o0vuv12st2ao2s2ve,h2�).3hvsv4dvv(@ch0(,3i�,þ2o3v�(ov3@uF3@su4s22v2)hu12va3=Fvþ23F(v2@)3dv)v=−v�=u1i,@�2f2@2ve@vvvv¼v2r32v2 ,e33�F)¼)n¼�@)=c2vs3�@3iF(a�a@v0)t23c=2i(u3(s@i0F@@40ó2¼f2vuaun=þF24Fc4@.�e=¼þu1=þ(2@3@@(8(2u@1)0�u@01222F8uþ2u8)3F(0)4F20=@0þu(þ2v=þu@=u@2@uF22@4(v2u(v1�@uF22@=þ22)82@)�@=Fþ0)3�Fu12@þu02þ=Fv83=(2v32)@@00@(v4=02v)(þ@uvv222@@v�2F¼42u42)�F)(vF�2=@¼1�2¼20=@32¼=�@.vF10v1@02v02v2 v2.=3)F3.v42v)@00¼)�vyu¼v¼2¼440)10�s�.¼20e.v.n110(E82u.0s3vtu�o2v3s2euþv2 30v4 þ 12v, @2F=@v
Este problema ilustra un resultado general que se demuestra en el problema 9.4. ) cosh(3u2 v � v3 )
9.3. Demuest@r@e2x@F@@2q@2x2xuFF2þ2e þ@þ@@@@2@2xy2@FFx@@22@F22y2@yF@Fþ22¼2xþF2¼@¼@j@2@þyf2Fjy20jF(f2@fz@0¼20)(y(¼jzFz22))j�jjj2f¼2@f�0@�(20uz(@jF@@z@)22fu2j)uF02Fj2þ(22�z�þ)@þ@@j@@22@2uv2@F�uF@@22@F222v@v@F�Fþ222uþF�2�@@@2@þv2Fv2F2@�@�2v,F2wd�oww¼nd¼¼fe(wfwzfw)((z=z¼))¼wff (f(¼zz()z))fe(sza)nalític@@a2xFy2 uno a uno.
þ @2F ¼ j f 0 (z)j2�@@2uF2 þ @2F� w¼
@y2 @v2
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Problemas resueltos 291
Solución
La función Φ(x, y) se transforma en una función Φ[x(u, v ), y(u, v )] por medio de la transformación. Mediante
diferenciación se tiene
@F ¼ @F @u þ @F @v , @F ¼ @F @u þ @F @v
@x @u @x @v @x @y @u @y @v @y
@2F ¼ @F @2u þ @u @ �@F� þ @F @2v þ @v @ �@F�
@x2 @u @x2 @x @x @u @v @x2 @x @x @v
¼ @F @2u þ @u �@ �@F� @u þ @ �@F� @v� þ @F @2v þ @v �@ �@F� @u þ @ �@F� @v�
@u @x2 @x @u @u @x @v @u @x @v @x2 @x @u @v @x @v @v @x
¼ @F @2u þ @u �@2F @u þ @2F @v� þ @F @2v þ @v � @2F @u þ @2F @v�
@u @x2 @x @u2 @x @v@u @x @v @x2 @x @u@v @x @v2 @x
De manera similar,
@2F @@¼2yF2@@Fu¼@@@@2yFuu2 þ@@2yu@@2uyþ�@@2uyuF2�@@@2uyuF2þ@@uy@@v2þ@Fu@@@@v2yv@F�u þ@@yv�@@Fvþ@@@y2@Fv2v þ@@y2@@v2yvþ�@@uyv2@F�v@@@@u2uy@Fvþ@@uy@@2vþF2 @@@2yvvF�2 @v�
@y2 @y
Se suma,
@@2xF2 @@þ2xF2@@2yþF2 @@¼2yF2@@Fu¼�@@@@Fu2xu2�þ@@2xu@@22yþu2�@@2yþu2�@@Fvþ�@@@@Fvx2v2�þ@@x2@@v2y2þv2�@@y2þv2�@@2uþF2 @"@2u�F2@@"ux�2@@þux��2@@þuy�2@@#uy�2#
þ 2 @þ@u2@F2v@@�u2@@Fuxv @@�xv@@uxþ@@@@vxuyþ@@yv@@�uy þ@@yv�@@2vþF2 @"@2v�F2@@"xv��2@@þxv��2@@þyv��2@@#yv�2# (1)
Como u y v son armónicas (@2u/@x2) + (@2u/@y2) = 0 (@2v/@x2) + (@2v/@y2) = 0. Además, de acuerdo con las
ecuaciones de Cauchy-Riemann, @u/@x = @v/@y, @v/@x = −@u/@y. Así,
��@@@@uxux��22þþ��@@@@uyuy��22¼¼ ��@@@@xvvx��22þþ ��@@vv��22 ¼¼ ��@@@@uxux��22þþ��@@@@xvxv��22¼¼ ��������@@@@uxux þþ ii@@@@xvxv��������22¼¼ jjff00((zz))jj22
@@yy
@@uu@@vv þþ @@uu@@vv ¼¼ 00
@@xx @@xx @@yy @@yy
Por tanto (1), se convierte en
@@22FF þþ @@22FF ¼¼ jj ff00((zz))jj22��@@@@22uuFF22 þþ @@22FF��
@@xx22 @@yy22 @@vv22
9.4. Demuestre que una función armónica Φ(x, y) sigue siendo armónica con una transformación w =wf w(¼z)¼,f d(zfo)(nzwd)ehwehrere
f (z) es analítica y uno a uno.
Solución
Esto es consecuencia inmediata del problema 9.3, pues (@2(F@2=F@x=2@)x2þ) þ(@2(F@2=F@y=2@)y2¼) ¼0 y0 f ′(zf)0(fz0)(=z0) =p0obr0qeubceaucfas (euz)sfee(zsf)(uzin)soiosnoen- e-
a uno, de manerasoqsu(oe@2(F@2=F@u=@2)u2þ) þ(@2(F@2=F@v=2@)v2¼) ¼0. 0.
9.5. S ea a real. Muestre que las partes real e imaginaria de w = ln(z − a) son funciones armónicas en toda región
que no contenga a z = a. w w¼¼ln(lnz (�z �a)a)
z ¼z ¼a.a.
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292 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
Solución
Método 1. Si no contiene a a, entonces w = ln(z − a) es analítica en . Por tanto, las partes real e imaginaria
son armónicas en .
Método 2. Sea z −za�=ar¼ei ur.eDiue este modo, si se usan para u los valoresup, rwin¼cipuaþlesi,vw¼=lnu(+z �iva=) ¼ln(lzn−r þa)i=u slon rth+atiu,
de um¼anlenrar,qvue¼uu=. ln r, v = u.
En las coordenadas polares (r, u), la ecuación de Laplace es
@2F þ 1 @F þ 1 @2F ¼ 0
@r2 r @r r2 @u2
y mediante sustitución directa se encuentra que u = ln r y v = u son soluciones si no contiene a r = 0, es decir,
z = a.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Método 3. Si zz−�aa=¼rreei uiu,,entoncxes�x a−¼a = r cuo,syu¼, yr=sernsuenanudy r ¼ (x � a)2 þ y2, uu =¼ tan−�11f{yy=/((xx�−aa))g}. . Así,
Swe=suuswt+it¼uiyvue=þes21itvoln¼e{n(21xllan−fe(axc)u�2a+cai)óy2n2þ}d+ey2Lgi aþtapnlia−tca1en{2 y�(@/1f2(yΦx=−/(2x@xa�2))}a+)y2g u(a@n=2dΦ122/u@ln¼y{2)(21x=ln−f0(xay)�2 s+ae)2eyn2þ}c,uyve2ng=,trvata¼mn−e1d{iya�/n1f(tyex=−d(xifa�e)r}ea.n)cg.iación
directa que u y v son soluciones sizz=a.a.
Problemas de Dirichlet y de Neumann
9.6. Encuentre una func�ión armónica en la mitad superior del plano z, Im{z} > 0, que en el eje tome los valores
1 x . 0
dados por G(x) ¼ 0 x , 0 :
Solución
Hay que resolver para Φ(x, y) el problema del valor frontera
@2F @2F � 1 x.0
@x2 @y2 0 x,0
þ ¼ 0, y . 0; lím F(x, y) ¼ G(x) ¼
y!0þ
Éste es un problema de Dirichlet para el semiplano superior [véase la figura 9-9].
La función Au + B, donde A y B son constantes reales, es armónica, pues es la parte imaginaria de A ln z + B.
Para determinar A y B, observe que las condiciones frontera son Φ = 1 para x > 0, es decir, u = 0 y Φ = 0 para
x < 0, es decir, u = p. De manera que
1 ¼ A1(¼0) Aþ(0B) þ B (1)
0 ¼ A0(¼p)Aþ(pB) þ B (2)
de donde A =¼−�11¼/=pp�,,1BB=p=¼, 1B1..¼ 1.
Por tanto, la solución buscada es
¼FAu¼þABu þ¼ �¼ u1 �¼ u �¼ 11 t�anp1�1ta�nyx��1� y �
p p1 p x
F B1
Otro método. Con la fórmula de Poisson para el semiplano
1 1ð yG(h) dh 1 ð0 y[0] dh 1 1ð y[1] dh
p y2 þ (x � h)2 p þ (x � h)2 p þ (x � h)2
F(x, y) ¼ ¼ y2 þ y2
�1 �1 0
x�����1¼
¼ 1 tan�1�h � 1 þ 1 tan�1�x� ¼ � 1 � y �
p y 0 2 p y p tan�1 x
1
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y Problemas resueltos 293
(x, y)
y
r (x, y)
Φ=0 q x Φ = T0 q1 q2 x
Φ=1 –1 Φ = T1 1 Φ = T2
Figura 9-9 Figura 9-10
9.7. Resuelva el problema de valor frontera
Solución 8
@2F @2F lím F(x, <> T0 x , �1
@x2 þ @y2 ¼ 0, y . 0; �1 , x , 1
y!0þ y) ¼ G(x) ¼ >: T1 x>1
T2
donde T0, T1 y T2 son constantes.
Éste es un problema de Dirichlet para el semiplano superior [véase la figura 9-10].
La función Au1 + Bu2 + C, donde A, B y C son constantes reales, es armónica, pues es la parte imaginaria de
A ln(z + 1) + B ln(z − 1) + C.
Para determinar A, B y C, observe que las condiciones frontera son: a) Φ = T2 para x > 1, es decir, u1 = u2 = 0;
b) Φ = T1, para −1 < x < 1, es decir, u1 = 0, u2 = p; c) Φ = T0, para x < −1, es decir, u1 = p, u2 = p. De manera
que
(1) T2 ¼ A(0) þ B(0) þ C, (2) T1 ¼ A(0) þ B(p) þ C, (3) T0 ¼ A(p) þ B(p) þ C
(1) T22 ¼ A(0) þ B(0) þ C, (2) T11 ¼ A(0) þ B(p) þ C, (3) T00 ¼ A(p) þ B(p) þ C
de donde C = TCC2,¼¼BTT=222,,(BBT1¼¼−((TTT1112)��/pTT,222A))==p=p,,(AAT0¼¼−((TTT0001)��/pTT.111))==pp..
Por tanto, la solución buscada es
F ¼ Au1 þ Bu2 þ C ¼ T0 � T1 � y � þ T1 � T2 � x y � þ T2
F ¼ Au11 þ Bu22 þ C ¼ T00 �p T11 tan�1� þy � þ T11 �p T22 tan�1� x �y 1� þ T22
p tan��11 x þ 1 p tan��11 � 1
1
x
Otro método. Con la fórmula de Poisson para el semiplano
1 1ð yG(h) dh
p y2 þ (x � h)2
F(x, y) ¼
�1
1 �ð1 yT0 dh 1 ð1 yT1 dh 1 ð1 yT2 dh
p þ (x � h)2 p þ (x � h)2 p þ (x � h)2
¼ y2 þ y2 þ y2
�1 �1 1
¼ T0 tan�1 t�ahn��y1�xx�þ����y��111�þþTp1Tt1a�np�T1�2 than�y�1x��x�����1�y1þ1 T2 tan�1 �h � x�����1
¼ p p y
� T1 1
T0 p
�
þ T2
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294 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.8. Encuentr�e una función armónica en el interior del círculo unidad |z| = 1 que tome los valores dados por
F(u) ¼ 1 0,u, circunferencia.
0 p,u, p en su
2p
Solución
Éste es un problema de Dirichlet para el círculo unidad [figura 9-11], en el que se busca una función que satisfaga
la ecuación de Laplace en el interior de |z| = 1 y tome el valor 0 en el arco ABC y el valor 1 en el arco CDE.
Plano z Plano w
y u
D
Φ=1
E x A′ B′ C′ D′ E′ u
AC
Φ=0 Φ=1
B Φ=0
Figura 9-11 Figura 9-12
Método 1. Mediante transformaciones conformes.
El interior del círculo |z| = 1 se lleva a la mitad superior del plano w [figura 9-12] con la función z = (i − w)/
(i + w) o w = i{(1 − z)/(1 + z)} [véase el problema 8.12, página 263, e intercambie z y w].
Con esta transformación, los arcos ABC y CDE se llevan sobre el eje real negativo y positivo A′B′C′ y C′D′E′,
respectivamente, del plano w. Después, de acuerdo con el problema 9.81, las condiciones frontera Φ = 0 en el arco
ABC y Φ = 1 en el arco CDE se convierten, respectivamente, en Φ = 0 en A′B′C′ y Φ = 1 en C′D′E′.
Por tanto, el problema se reduce Pa ehraollFeFFasrt¼eu¼¼npF1a11ro�f��¼bulnp1ppe111cmti�ttaóaaannnnp1�y��aa111tra�ms��neó�uvuuvvrn1�e��i�sc oauvlvΦ�ióeennlaelmpirtoabdlesumpaer9i.o6r, del plano w que tome los
valores 0 para u < 0 y 1 para u > 0. y la solución (al sustituir
x por u y y por v) está dada por
(1)
w ¼ ifð1 � z)=(1 þ zÞg,
o SM ,eéesAtnouhdscotooirtoa2ur,.ydcCeeonwwoemasn¼¼dtoolaawwsiiefffnpððó¼=11or(ml1��i(ia((f){rrrruð,(ezzy,,1l1))saFuuu==s�)−(())ed(((,rr,,11rez,,e,z)þþunPu)=u/)c)uo(uu),zz,u1(iÞÞ1d¼¼se¼¼ggþson,,+oxnxFx2t(FFu((zrn11d11p¼aÞ¼¼z,¼eg¼þ)¼¼FþþFFl2,}ðarxprrxF(,x1xx211c¼122csc1¼¼=s)¼))oyoooy�y2e��22¼þ�Fsls1s11rþureþþupuu1ppx�111nc2c�2�c¼,,,)yicroyyoyt�ttó2y2ayypu22aa1ssppc111Fnnþ,nne¼o,,¼u¼up1t�(�ttn��bsa,aa,fy1(t11untrnnrryyru�2a)�p�1s�as��ssn,dc¼=1�e111ee11vt�vvafn�ann�����1d¼nrfr¼¼u2�uu221a11�s,r)[s,,rr[[1e1(x1�e1(1(x2xv��þs221ssn�112n22�ey�eeyy��¼þrnu2þþþrrnnþþr1u2,r22[u2(uu,((1x�xx2yxxxxsyy1�2��2)2ey2)2)�222 ]22þrnþ]]þþþ���2þuþþ( xxyyyy�2)y22yy222]2)22þ))�þ::: yy22) : (2)
(3)
0
1 ðp df 1 tan�1�21r�sern2u�
2p cos(u � p
¼ 1 � 2r f) þ r2 ¼ 1 �
0
mediante integración directa [véase el problema 5.69b), página 165].
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Problemas resueltos 295
Aplicaciones al flujo de fluidos
9.9. a) Encuentre el potencial complejo para un fluido que se desplaza con una velocidad constante V0 en una
dirección que forma un ángulo d con el eje x positivo [véase la figura 9-13].
Plano z
y
V0 V0 send
d
V0 cosd x
Figura 9-13
b) Determine el potencial de velocidad y la función de flujo.
c) Determine las ecuaciones de las líneas de flujo y las líneas equipotenciales.
Solución Vx ¼ V0 cos d, and Vy ¼ V0 sen d.
Vx ¼ V0 cos d, and Vy ¼ V0 sen d.
a) Los componentes x y y de la velocidad son Vx = V0 cos d y Vy = V0 sen d.
La velocidad compleja es
V ¼ Vx þ iVy ¼ V0 cos d þ iV0 sen d ¼ V0 eid
V ¼ Vx þ iVy ¼ V0 cos d þ iV0 sen d ¼ V0 eid
El potencial complejo Ω(z) está dado por
dV ¼ V ¼ V0 e�id
ddVz ¼ V ¼ V0 e�id
Se integra, dz
y se omite la constante de integración. V(z) ¼ V0 e�idz
V(z) ¼ V0 e�idz
b) El potencial de velocidad Φ y la función de flujo Ψ son las partes real e imaginaria del potencial complejo.
Por tanto,
y VV((zz))VV¼¼((zz)FF) ¼¼þþFFiiCCþþ¼¼iiCCVV¼00¼ee��VViidd00zzee�¼�¼iiddzVVz ¼00¼((xxVVcc0oo0((ssxxddccoþþossdyydssþþeennyyddss))eenþþnddii))VVþ00þ((iyyiVV0cc0oo((ssyyddcco��ossdxxdss��eennxxddss))eenndd))
Otro método. F ¼FFV¼0¼(xVVc0o0((sxxdccoþossdydsþþenyydss)ee,nndd)C),, ¼CCV¼0¼( yVVc00o((syydcco�ossdxds��enxxdss)eenndd))
F ¼ V0(x cos d þ y sen d), C ¼ V0( y cos d � x sen d)
@F ¼¼¼¼@@@@@@@@FFxyFFyxVVVV¼¼yxyx¼¼¼¼¼¼VVVVyxVVVVxy ¼¼0000¼¼scsceeooVVVVnnss0000ddddscsc e oeonsnsdddd (1)
@@Fx (2)
@@Fx
@@Fy
@y
ResolviendoFpainra(1Φ),eFn (¼1)(ΦV0=co(sVd0)cxoþs dG)(xy+). G(y). Se sustitu(2y)e, eGn0((y2)),¼GV′(y0)se=n V0 senGd( yy)G¼(y()V=0 s(eVn0ds)eyn, d)y,
y se omite la constante de integración. Así,
F ¼ (V0 cos d)x þ (V0 sen d)y
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296 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
De acuerdo con las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
@@CC ¼¼ @@FF ¼¼ VVxx ¼¼ VV00 ccooss dd (3)
@@yy @@xx
@@CC ¼¼ �� @@FF ¼¼ ��VVyy ¼¼ ��VV00 sseenn dd (4)
@@xx @@yy
HH((xx)) Resolviendo para Ψ enCC(3¼¼), ((ΨVV00=ccooss(Vdd))0yycþþosHHd(()xxy))..+ H(x). Se sustituye en (HH4)00((,xxH)) ¼¼′(x��) =VV00 −sseeVnn0dd sen d y H(x) =
−¼¼(��V0((VVse00nsseednn)xdd,))xxy,, se omite la constante de integración. Así,
Ψ = (V0 cos d)y −(V0 sen d)x
c) Las líneas de flujo están dadas por Ψ = V0( y cos d − x sen d) = b para diferentes valores de b. Físicamente,
en condiciones de estado estacionario, una línea de flujo representa la trayectoria que sigue una partícula de
fluido; en este caso, una trayectoria en línea recta.
Las líneas equipotenciales están dadas por Φ = V0( x cos d + y sen d) = a para diferentes valores de a.
Geométricamente, son líneas perpendiculares a las líneas de flujo; todos los puntos en una línea equipotencial
están a un mismo potencial.
9.10. El potencial complejo del flujo de un fluido está dado por Ω(z) = V0{z + (a2/z)}, donde V0 y a son constantes
positivas. a) Obtenga las ecuaciones de las líneas de flujo y de las líneas equipotenciales, represéntelas
gráficamente e interprete físicamente. b) Muestre que el flujo puede interpretarse como el flujo alrededor de
un obstáculo circular de radio a. c) Encuentre la velocidad en cualquier punto y determine su valor lejos del
obstáculo. d ) Encuentre los puntos de estancamiento.
Solución
a) Sea zzz =¼¼ rrreeeiii uuu... De este modo, VV00��rreeiiuu ee��iiuu�� �� aa22�� �� aa22��
VV((zz)) ¼¼ FF þþ iiCC VV00 rr rr iiVV00 rr rr
¼¼ þþ aa22 ¼¼ þþ ccooss uu þþ �� sseenn uu
rr
jjzz22 �� zz0220jj
de dondjjeff ((zz)) �� ff ((zz00))jj ¼¼ FF ¼¼ ,, ��ee aa22�� �� aa22��
VV00 rr rr VV00 rr rr
þþ ccooss uu,, CC ¼¼ �� sseenn uu
Las líneas de flujo están dadas por Ψ = constante = b, es decir,
� a2�
V0 r � r sen u ¼ b
En la figura 9-14, estas líneas son las curvas representadas con línea continua y muestran las trayectorias que
siguen las pCar¼tíc0ulas del fluido. Obs¼eraveanqdueuΨ¼=0 o0rcpor.responde a r = a y u = 0 o p.
Las líneas equipotenciales están dadaFs p¼orcΦons=tancot n¼staan, tie.e=., a, es decir,
� a2�
V0 r þ r cos u ¼ a
En la figura 9-14, estas líneas son las curvas representadas con línea punteada, y son ortogonales a la familia
de líneas de flujo.
y ΦΦΦ===aa12a3
V0 V0 Ψ = b3
Ψ=0 Ψ = b2
F Ψ = b1
A aq E Ψ=0 x
0D
B
Figura 9-14
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Problemas resueltos 297
b) El círculo r = a representa una línea de flujo y, como no puede haber ningún flujo a través de una línea de
flujo, ésta se considera un obstáculo circular de radio a colocado en la trayectoria del fluido.
c) Se tiene � a2� � � � �
V0 1 z2 V0 1 e�2iu V0 1 2u
V0(z) ¼ � ¼ � a2 ¼ � a2 cos þ i V0a2 sen 2u
r2 r2 r2
Así, la velocidad compleja es �� ��
VV ¼¼ VV00((zz)) VV00 11�� ccooss22uu
¼¼ aa22 �� iiVVr0r02a2a22 sseenn22uu (1)
rr22
y su magnitud es VV ¼¼ jjVVjj ¼¼ ss�ffi�ffiffiffiffiffiVffiVffiffiffiffiffi0ffi0ffiffiffi�ffi�ffiffiffiffiffiffi1ffi1ffiffiffiffiffi�ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffiffiarffiaffirffiffi2ffi2ffi22ffiffiffifficffifficffiffioffiffioffiffiffisffisffiffiffiffi2ffiffi2ffiffiffiffiuffiuffiffiffi�ffiffi�ffiffiffiffi�ffiffi�ffiffiffiffi2ffiffi2ffiffiþffiffiþffiffiffiffiffiffi�ffi�ffiffiffiffiffiVffiVffiffiffiffirffi0rffi0ffiffi2ffia2ffiaffiffiffi2ffiffi2ffiffiffiffisffisffiffiffieffieffiffiffinffinffiffiffiffiffi2ffiffi2ffiffiffiuffiuffiffi�ffiffi�ffiffiffiffi2ffi2ffiffi
¼¼ VV00rr1ffiffi1ffiffiffiffiffi�ffiffi�ffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi2ffiffiffiaffiffiaffiffiffiffi2ffi2ffiffiffifficffircffirffiffioffi2offi2ffiffiffisffisffiffiffiffiffi2ffi2ffiffiffiuffiffiuffiffiffiffiffiþffiþffiffiffiffiffiffiffiffiaffirffiarffiffiffi4ffi44ffi4ffiffi (2)
De (1) se ve que, lejos del obstáculo, V = V0 aproximVad¼amVe0nte, es decir, el fluido se mueve en la dirección
del eje x positivo con velocidad constante V0.
0
d ) eLsosdepcuinr tVo0s�d1e�es(taa2n=cza2m)�ie¼nt0o (es decir, los puntos en los que la velocidad es cero) están dados poVr Ω0(z′()z¼) =0,0i,:e:,
oorz =z ¼a ay azn=d −z ¼a. �Poar. tanto, los puntos de estancamiento en la figura 9-14 se
encuentran en A y en D.
9.11. Muestre que con la transformación w = z +w(a¼2/zz)þel(afl2u=joz)d, el fluido en el plano z, considerado en el problema
9.10, se lleva a un flujo uniforme con velocidad constante V0 en el plano w.
Solución
El potencial complejo para el flujo en el plano w está dado por
� þ a2� ¼ V0w
V0 z z
que representa un flujo uniforme con velocidad constante V0 en el plano w [véase la entrada A-4 de la página
249].
En general, la transformación w = Ω(z) lleva el flujo de un fluido en el plano z con potencial complejo Ω(z)
a un flujo uniforme en el plano w. Esto es muy útil para determinar potenciales complejos de patrones de fluidos
complicados mediante el conocimiento de transformaciones.
9.12. U n fluido emana con velocidad constante de una fuente lineal infinita perpendicular al plano z en z = 0
[figura 9-15]. a) Muestre que la velocidad del fluido a una distancia r de la fuente es V = k/r, donde k es una
constante. b) Muestre que el potencial complejo es Ω(z) = k ln z. c) ¿Qué modificaciones hay que hacer en
el inciso b) si la fuente lineal está en z = a? c) ¿Qué modificaciones hay que hacer en el inciso b) si la fuente
se sustituye por un sumidero en el que el fluido desaparece con velocidad constante?
Solución
a) Considere una porción de la fuente lineal de longitud unitaria [figura 9-16]. Si Vr es la velocidad radial del
fluido a la distancia r de la fuente y s es la densidad del fluido (que se supone incompresible, de manera que
s es constante), entonces:
Masa de fluido que emana de la fuente lineal de longitud unitaria, por unidad de tiempo
= masa de fluido que atraviesa la superficie del cilindro de radio r y altura l
= (área de superficie)(velocidad radial)(densidad del fluido)
=¼ (2pr � 1)(Vr)(s) ¼ 2prVrs
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298 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
Si esto tiene que ser igual a una constante k, entonces
Vr ¼ k ¼ k
2ps r r
donde k = k/2ps se conoce como fuerza de la fuente.
y
Vr
Ω
x
s
Figura 9-15 Figura 9-16
b) Como Vr = @Φ/@r = k/r, al integrar y omitir la constante de integración se tiene Φ = k ln r. Pero esto es la
parte real de Ω(z) = k ln z, que, por tanto, es el potencial complejo buscado.
c) Si la fuente lineal está en z = a y no en z = 0, se sustituye z por z − a y se obtiene el potencial complejo
Ω(z) = k ln (z − a).
d ) Si la fuente se sustituye por un sumidero, el potencial complejo es Ω(z) = −k ln z, donde el signo menos es
consecuencia de que la velocidad se dirija a z = 0.
De manera similar, Ω(z) = −k ln (z − a) es el potencial complejo para un sumidero en z = a.
9.13. a) Encuentre el potencial complejo debido a una fuente en z = −a y un sumidero en z = a de igual fuerza k.
b) Determine las líneas equipotenciales y las líneas de flujo, y represéntelas gráficamente.
c) Encuentre la rapidez del fluido en cualquier punto.
Solución
a) El potencial complejo debido a una fuente en z = −a de fuerza k es k ln(z + a).
El potencial complejo debido a un sumidero en z = a de fuerza k es −k ln(z − a).
Así, mediante superposición:
El potencial complejo debido a una fuente en z = −a y un sumidero en z = a de fuerza k es
b) sULodCdSessULsULsULeatioetooeonshedseazsmntigttiaattinthnþhnzthsazzgagagranþFpþtþat1teorFrFrrF¼a¼1¼ar1aa1¼¼¼¼¼¼q¼¼¼prk1ulprkffi(eprkepnrffikx1ffii11lffiu((ffielΦffilffi(enffi(ffier1þnffixffinffiffiixffiffixi,ffi1ffiu(iffiffiu(ffiffiu(ffiffir1þffi=ffi=r1þffi1ffizr1þffiaffiffi,ffi1ffiffi,1rffiffi,1ffiffiffi)=ffi�ffiffi2=zffiaffi=zffi2ffiakzffiffiarffi)ffiffirffirffi)ffi�ffiffi),2�ffiþffi)2�ffial2ffi2Vffiffi2ffiffi)2nffiffi)ffiCffi)ffiffi,ffiffiþ,ffiaffi¼þ(,ffiVffia(þyffiffiVaffiVffirffiCffizffiffiC2ffiffiCffiffi¼¼1ffiffi)(¼yffi(¼,ffiyffir(y/ffizffiffiz2ffiVzffi¼2ffi2¼ffi2)¼rffi),¼r)kFe,rr,r2V(¼2ΦV(2i¼2V)¼2zFukFeurkFe,rkFe2)r¼(¼((i21((2i.ΨzFu(=i2uzFuzFuu¼þ2u)¼2¼2)�¼2)¼1¼k.¼1p.1.¼þ=k¼þ¼þA�ikl�k�upCkffi(npkplffilxsi2ffikln(kiklniffiukClffi(nuíC)ffiru(ffinCffi((ffin(�¼ffi,lxffi(.2ffiffilx1(ffi2ffiluxrn2ffi(ffizffin(ffi)ffinrffi=)ffiffir1�)¼ffiffir1(.�ffi¼ffi1(�ffi.a¼ffiþ(ffik1r/.ffiz1ffiffiffizffi=−ffizffi2=ffi)ffi=rffiffiffilaffiþffikr2ffia)ffiþffikran2þffiaffikrffiffi2ffi)ffiffi2)ffi)uffi2lþffi)¼�ffi)2ffil)ffiffil2nffi)affi2)ffinffia2ffi=nffiaffiffi�ffirrffiþ¼�ffi))ffiþ¼�ffiffi)þy¼�ffiffi)a21ffiffi.ffiffiffiffi�2ffirrffiee�ffiffiarr�kPffiffirr,yffia12,ffiyffiiia21yffia12ffiffiuu2ffi,oeelffiffi2eekffi2, ee12kffin,,k,ii,ru,ii�uuiiluu( uul12l1Cnt1212zn21una�u�u(¼�(¼�1(Cnz1C1zCz¼Ψ¼t¼¼�¼¼ok�¼�at¼¼a,¼kl)k=knatnklat(ata¼aakl�)au�kl)kl)nnsnn(knn11(¼(rr�¼u�¼�u�(k�l�u�12�uí1111yrr�11nlrrkrr�1k�12n=�k�12�e12�uy�yl(��−þyl�aln=2xn=n=uszzu)(�uþ(�þ(�þþi2xu2xe2þ�xk¼zz)zz)2zz)qþi(þi)þaiþ�k¼uþ�k¼uþ�aak¼b)(=1(ia(��auaupaaubaa)baa�,b)1)1�o�1b����u�t,�,�u,e2u2unuu¼u2)u2c2222i¼)¼)a¼t)alentttasa�annny1����l11y1a��=�syy(y=lx==í(n((�xxxe�a��as)a�ada,))e)���,ftl,,lhautsetthjhhoeeelíensetáans
equipotenciales están dadas por
pppp(ffiffi(ppppffiffixxffiffiffiffiffi((ffiffiffiffi((ffiffiffiffi(ffi(þ�ffiffixxffiffiffiffiffiffixxffiffiffiffixxffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiþ�ffiffiffiffiþ�ffiffiffiffiþ�ffiffiaaffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi))ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiaaffiffiffiffi22ffiffiaaffiffiffiffiaaffiffiffiffiffiffiffiffi))ffiffiffiffiffiffi))ffiffiffiffiþþ))ffiffiffiffi22ffiffiffiffiffiffi22ffiffiffiffi22ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiþþffiffiffiffiffiþþffiffiffiffiþþyyffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi22ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiyyffiffiyyffiffiffiffiyyffiffiffiffiffiffi¼22ffiffiffiffiffiffi2222ffiffiffiffi ¼¼¼eaee=eakaa===kkk
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Problemas resueltos 299
Esto se escribe como
[x − a coth(a/k)]2 + y2 = a2 csch2(a/k)
que son, para distintos valores de a, círculos con centro en a coth(a/k) y radios iguales a a|cosh(a/k)|.
Estos círculos se representan en la figura 9-17 mediante líneas punteadas.
Las líneas de flujo están dadas por
� �
tan�1 y a � � y � ¼ b=k
þ tan�1 � a
x
x
o, al tomar tangentes en ambos lados y simplificar,
x2 + [ y + a cot(b/k)]2 = a2 csc2(b/k)
lo que, para distintos valores de b, representa círculos con centros en −a cot(b/k) y radios a|csc(b/k)|. Estos
círculos, que pasan por (−a, 0) y (a, 0), se representan en la figura 9-17 mediante líneas continuas.
c) RaSppiededz ¼ jV0(z)j ¼ ����z k a � z k a���� ¼ 2ka
þ � jz2 � a2j
¼ ja2 2ka ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffiffikffiffiaffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
� r2e2iuj a4 � 2a2r2 cos 2u þ r4
y
y
x
–a a
x
Figura 9-17 Figura 9-18
9.14. Analice el movimiento de un fluido cuyo potencial complejo es Ω(z) = ik ln z, donde k > 0.
Solución
Si z = rei u, entonces Ω(z) = Φ + iΨ = ik(ln r + iu) = ik ln r − ku o Φ = −ku, Ψ = k ln r.
Las líneas de flujo están dadas por
Ψ = constante o r = constante
que son círculos con centro común en z = 0 [en la figura 9-18 se representan mediante líneas continuas].
Las líneas equipotenciales, dadas por u = constante, se representan en la figura 9-18 mediante líneas punteadas.
Como
uuþþ u
V0(z) ¼ ik ¼ ik e�iu ¼ k sen ik cos u
V0(z) ¼ izk ¼ irk e�iu ¼ k sern ik cros
zr rr
la velocidad compleja está dada por k sen uu�� ik cos u
k sern ik cros u
V ¼ V0(z) ¼ r r
V ¼ V0(z) ¼
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300 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
y muestra que la dirección de flujo del fluido es en la dirección de las manecillas del reloj, como se indica en
la figura. La rapidez está dada por V = |V| = k/r.
Por tanto, este potencial complejo describe el flujo de un fluido que rota en torno a z = 0. Este flujo se
conoce en ocasiones como flujo vórtice, y z = 0, como vórtice.
9.15. M uestre que la circulación en torno al vórtice del problema 9.14 está dada por g = 2pk.
Solución
Si la curva C encierra a z = 0, la integral de circulación está dada por
þ þ þ @F @F þ 2ðp
@x @y k du
g ¼ Vt ds ¼ Vx dx þ Vy dy ¼ � dx � dy ¼ �dF ¼ ¼ 2pk
CC C V(z) ¼C(ig=2p) ln z0.
En términos de la circulación, el potencial complejo se escribe Ω(z) = (ig/2p) ln z.
9.16. Analice el movimiento de un fluido cuyo potencial complejo es
V(z) ¼ � þ a2� þ ig ln z
V0 z z 2p
Solución
Este potencial complejo tiene el efecto de superponer una circulación sobre el flujo del probleIIIffmf zzza¼¼¼9.rrr1eee0iiiuuu.,,, Si
z = rei u, VVV(((zzz))) ¼¼¼ FFFþþþ iiiCCC ¼¼¼ VVV000���rrr þþþ aaarrr222���cccooosssuuu ��� 22gg2gppupuu þþþiii���VVV000���rrr ���aaarrr222���ssseeennnuuu þþþ222gggppplllnnnrrr���
Así, las líneas equipotencVVVia000l���ersrr þyþþlaaaarrr22s2���lícnccooeossassuuud���e flujo están dVVVa000d���arrrs ���poaaarrrr222���ssseeennnuuu þþþ222gggppplllnnnrrr
22gg2gppupuu ¼¼¼ aaa,,,
¼¼¼ bbb
En general, hay =do4sppauVnt0o, ssVóVVdl00e0o���eh111sat��a�ynuaazczaz2n22a222��m�puþiþþennt222otiipiopgpggd,zzzeq¼¼¼uees000tsaencpoooarmesiezzeznn¼¼¼ttaon44.4���ppVdpVViioViVVgg00g0(n(0(00zzzd)+)+)+e¼¼¼Ωsss000′affi(affi,,ffiaffi,ffizffiffiffi22ffiffit2ffit)ffitffiffihhffiffihffi��ffiffi�ffi=ffiaffiaffiaffiffiffiffitffitffitffiffi1ffi1ffi1ffiffi0iffiiffiffii6ffi6ffisffis6ffisffi,ffiffi,ffip,ffipg,ffipgffigffieffiffiffiffiffi22ffi22sffi22ffiffiffiffiVffiVffiVffiffiffidffiffiffiffi0ffi02ffi20ffi2effiffi cir,
En el caso de g
Como r = a es una línea de flujo correspondiente a b = (g/2p) ln a, el flujo se considera un flujo en torno
a un obstáculo circular, como en el problema 9.10. Lejos del obstáculo, la velocidad del fluido es V0, pues
lím|z|→∞ Ω′(z) = V0.
El patrón de flujo varía según la magnitud de g. En las figuras 9-19 y 9-20 se muestran dos de los muchos
posibles. La figura 9-19 corresponde a g < 4paV0; los puntos de estancamiento están en A y B. La figura 9-20
corresponde a g > 4paV0 y sólo hay un punto de estancamiento del fluido en C.
yy
a x a x
AB
C
Figura 9-19 Figura 9-20
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Problemas resueltos 301
Teorema de Blasius
9.17. Sea Ω(z) el potencial complejo que describe el flujo en torno a un obstáculo cilíndrico de longitud unitaria
cuya frontera en el plano z es una curva simple cerrada C. Demuestre que la fuerza neta del fluido sobre el
obstáculo está dada por þ �dV�2
dz
F ¼ X � iY ¼ 1 is
2 dz
C
d onde X y Y son los componentes de la fuerza en las direcciones x y y positivas, respectivamente, y s es la
densidad del fluido.
Solución
La fuerza que actúa sobre el elemento de área ds en la figura 9-21 es normal a ds y su magnitud está dada por P
ds, donde P es la presión. Al descomponer esta fuerza en componentes paralelos a los ejes x y y, se ve que esta
fuerza está dada por
dF = dX + i dY = −P ds sen u + iP ds cos u
= iP ds(cos u + i sen u) = iP dsei u = iP dz
al aprovechar que
dz = dx + i dy = ds cos u + i ds sen u = dsei u
y
C
ds P ds sen q
P ds q P ds cos q
q x
Figura 9-21
Como C representa una línea de flujo, de acuerdo con el teorema de Bernoulli, se tiene P + 12sV 2 = K o
sPe=tieKne−dΩ12s/Vd z2,=doVned−ei uV. es la rapidez del fluido sobre la línea de flujo. Además, de acuerdo con el problema 9.49,
Entonces, al integrar sobre C, se encuþentra þ � � þ
F ¼ X þ iY ¼ iP dz K
¼ i � 1 sV 22 dz ¼ � 1 is V22 dz
22
CC CC CC
¼ � 1 is þ V 22eiiuu ds ¼ � 1 is þ (V22e22iiuu)(e��iiuu ds)
22
CC CC
o
1 þ 1 þ �dV�22
2 2 dz
F ¼ X � iY ¼ is (V22e��22iiuu)(eiiuu ds) ¼ is
dz
CC CC
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302 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.18. Sea M el momento total en torno al origen de las fuerzas de presión sobre el obstáculo en el problema 9.17.
Demuestre que
8 þ �dV�2 9
< z =
M ¼ Re:� 1 s dz;
2 dz
C
Solución
Los momentos en sentido contrario al de las manecillas del reloj se consideran positivos. El momento en torno al
origen de la fuerza que actúa sobre el elemento ds de la figura 9-21 es
dM = (P ds sen u)y + (P ds cos u)x = P(y dy + x dx)
pues ds sen u = dy y ds cos u = dx. Así, con la ecuación de Bernoulli, el momento total es
þ þ � 1 �
K (
M ¼ P( y dy þ x dx) ¼ � sV 2 y dy þ x dx)
2
CC
¼ K þ ( y dy þ x dx) � 1 s þ V2( y dy þ x dx) � 1 s þ V2(x cos u þ y sen u) ds
22
CC C
¼0
donde se aprovechó que Þ (y dy þ x dx) ¼ 0 ,spinucees yyddyyþ+xxddxx es una diferencial exacta. Por tanto,
C 8 9
=
1 þ < 1 þ i sen u) ds;
2 Re:� 2
M ¼ � s V2(x cos u þ y sen u) ds ¼ s V 2 (x þ iy)(cos u �
CC
8 9 8 9
< þ = < þ =
Re:� 1 ds; Re:� 1 ds);
¼ 2 s V 2 ze�iu ¼ 2 s z(V 2 e�2iu )(eiu
8 C 9 C
=
< 1 þ �dV�2 dz;
Re:� 2 z
¼ s
dz
C
Este resultado también suele escribirse en la forma
M þ iN ¼ � 1 s þ �dV�2
z dz
2 C dz
donde N no tiene ningún significado físico simple.
9.19. Encuentre la fuerza neta que actúa sobre el obstáculo cilíndrico del problema 9.16.
Solución
El potencial complejo para el flujo en el problema 9.16 es
V ¼ � þ a2� þ ig ln z
V0 z z 2p
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Problemas resueltos 303
donde V0 es la rapidez del fluido lejos del obstáculo y g es la circulación. De acuerdo con el problema 9.17, la
fuerza neta que actúa sobre el obstáculo cilíndrico está dada por F, donde
1 þ �dV�2 1 þ �� a2� ig �2
2 dz 2 V0 1 z2 2pz
F ¼ X � iY ¼ is ¼ is � þ dz
dz
(� CC )
V02 1 g2
1 þ a2 �2 2iV0g � a2� 4p2z2 dz
2 z2 þ 2pz 1 z2
¼ is � � � ¼ �sV0g
C
Así, X = 0, Y = sV0g, y se sigue que existe una fuerza neta en la dirección y positiva de magnitud sV0g. En el
caso de que el cilindro sea horizontal y el flujo tenga lugar en un plano vertical, esta fuerza se llama empuje sobre
el cilindro.
Aplicaciones en electrostática
9.20. a) Encuentre el potencial complejo debido a una carga lineal q por longitud unitaria, perpendicular al plano
z en z = 0.
b) ¿Qué modificaciones hay que hacer al inciso a) si la carga lineal está en z = a?
c) Analice las similitudes con el potencial complejo para una fuente lineal o un sumidero lineal en el flujo
del fluido.
Solución
a) El campo eléctrico debido a una carga lineal q por longitud unitaria es radial, y la componente normal del
vector eléctrico es constante e igual a Er, mientras que el componente tangencial es cero (véase la figura 9-22).
Si C es un cilindro de radio r con eþje en z = 0, dþe acuerdo con el teorema de Gauss,
þ þ
EEnn ds ¼ EErr ds ¼ EErr � 2pr ¼ 4pq
ds ¼ ds ¼ � 2pr ¼ 4pq
CC
CC
y
Er ¼ 2q
Er ¼ 2rq
r
Como Er = −(@Φ/@r), se tiene Φ = −2q ln r, al omitir la constante de integración. Esto es la parte real de
Ω(z) = −2q ln z, que es el potencial complejo buscado.
b) Si la carga lineal está en z = a, el potencial complejo es Ω(z) = −2q ln (z − a).
c) El potencial complejo tiene la misma forma que el de una fuente lineal de fluido si k = −2q [véase el problema
9.12]. Si q es una carga positiva, esto corresponde a un sumidero lineal.
C En = Er y
(x, y)
q x
–V0 V0
Figura 9-22
Figura 9-23
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304 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.21. a) Encuentre el potencial en cualquier punto de la región que se muestra en la figura 9-23 si los potenciales
en el eje x están dados por V0 para x > 0 y −V0 para x < 0.
b) Determine el equipotencial y las líneas de flujo.
Solución
a) Hay que hallar una función armónica en el plano que tome los valores V0 para x > 0 (es decir, u = 0) y −V0
para x < 0 (es decir, u = p). Igual que en el problema 9.6, si A y B son constantes reales, Au + B es armónica.
Así, A(0) + B = V0, A(p) + B = −V0, de donde A = −2V0/p, B = V0, de manera que el potencial buscado
es
� � � y�
V0 1 � 2 u ¼ V0 1 � 2 tan�1 x
p p
en la mitad superior del plano y > 0. El potencial en la mitad inferior del plano se obtiene por simetría.
b) Las líneas equipotenciales están dadas por
� � 2 tan�1 y� ¼ a
V0 1 p x
es decir, y = mx, donde m es una constante. Éstas son líneas rectas que pasan por el origen.
Las líneas de flujo son trayectorias ortogonales a las rectas y = mx y están dadas por x2 + y2 = b. Estas
líneas son circunferencias con centro en el origen.
Otro método. Una función conjugada de VV0�0�1 1��p2p2tatna�n1�xy1�yx�eisis��2pV2pV0 l0nlnr.r.Así, las líneas de flujo están dadas por
r¼¼ppxffiffiffi2ffixffiffiffiffiffi2þffiffiffiffiffiffiþffiffiffiyffiffiffiffiffi2yffiffiffiffi2¼ffi ¼ constante, que son circunferencias con centro en el origen.
r
9.22. a) Encuentre el potencial debido a una carga lineal q por longitud unitaria en z = z0 y a una carga lineal −q
por longitud unitaria en z = z0.
b) Muestre que el potencial debido a un plano infinito [ABC en la figura 9-25] mantenido a potencial cero
(potencial de tierra) y a una carga lineal q por longitud unitaria paralela a este plano se halla a partir del
resultado del inciso a).
Solución
a) El potencial complejo debido a las dos cargas lineales [figura 9-24] es
V(z) ¼ �2q ln(z � z0) þ 2q ln(z )�¼z�02)q¼ln2�qzzl��n�zz�zz00��� z�0�
V(z) ¼ �2q ln(z � z0 ) þ 2q ln(z � z�0 z0
Así, el potencial buscado es la parteFre¼alF2dqe¼Res2etq�alRenxe�p�zzrle��ns�izz�ózz00n���,�ezz� s00�de�cir, (1)
b) Para probar esto hay que mostrar que en el eje x el potenciaFl (1F¼) ¼s0e 0reduce a Φ = 0, es decir, ABC en la figura
9-25 está a potencial cero. Esto es consecuencia inmediata de qxueax,xeaisnx,ieszl,¼ezj¼ex xsx,ozso= x, de manera que
V V¼ ¼2q2lqn�lnxx���xx �z�0 �z�0� anyadn d V V¼ ¼2q2lqn�lnxx���xx �z0 �z0 � ¼�V�V
�z0 z0 �z�0 z�0 ¼
es deisc,iirsF,, ΦF¼=¼ReRRfeVe{fgΩV¼}g ¼=0 00 en el eje x.
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Problemas resueltos 305
Por tanto, la carga −q en z0 [figura 9-24] puede sustituirse por un plano ABC a potencial cero [figura 9-25],
y a la inversa.
yy
q x q
z0 z0
–q z¯ 0 A B Cx
Potencial = 0
Figura 9-24 Figura 9-25
9.23. D os planos infinitos paralelos, a una distancia a uno del otro, están conectados a tierra (es decir, a potencial
cero). Una carga lineal q por unidad de longitud se localiza entre los planos a una distancie b de uno de ellos.
Determine el potencial en un punto entre los planos.
Solución
En la figura 9-26 represente con ABC y DEF los dos planos perpendiculares al plano z y suponga que la carga
lineal pasa por el eje imaginario en el punto z = bi.
Plano z Plano w
y u
Potencial = 0 q epbi/a
C BA
q
a
b
D E F A′ B′ C′ D′ E′ F′ u
x
Potencial = 0 Potencial = 0
Figura 9-26 Figura 9-27
En la entrada A-2 de la página 248 se ve que la transformación w = ep z/a lleva la región sombreada de la figura
9-26 sobre la mitad superior del plano w en la figura 9-27. La carga lineal q en z = bi, de la figura 9-26, se lleva a la
carga lineal q en w = ep bi/a. La frontera ABCDEF en la figura 9-26 (a potencial cero) se lleva al eje x A′B′C′D′E′F′
(a potencial cero), donde C′ y D′ coinciden en w = 0.
De acuerdo con el problema 9.22, el potencial en cualquier punto de la región sombreada en la figura 9-27 es
F ¼ 2q �w � e�pbi=a�
Re w � epbi=a
Así, el potencial en cualquier punto de la figura 9-26 es
�epz=a � e�pbi=a �
Re epz=a � epbi=a
F ¼ 2q
Aplicaciones al flujo de calor
9.24. L as fronteras del bloque semiinfinito (sombreado en la figura 9-28) se mantienen a las temperaturas indicadas,
donde T es constante. Encuentre la temperatura en estado de equilibrio.
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306 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
Solución
La región sombreada del plano z se lleva a la mitad superior del plano w [figura 9-29] mediante la transformación
w = sen(p z/a), la cual es equivalente a u = sen(p x/a) cosh(p y/a), v = cos(p x/a) senh(p y/a) [véase la entrada
A-3a) en la página 248].
Plano z Plano w
y u
Φ=T Φ = 2T r1
r2
x q1 q2 u
1 Φ = 2T
–a/2 Φ = 0 a/2 Φ = T –1 Φ=0
Figura 9-28 Figura 9-29
Ahora hay que resolver el problema equivalente en el plano w. Se emplea el método del problema 9.7 y se
encuentra que la solución en el plano w es
FF¼¼pTpTttaann��11��uuþvþv 11����22ppTTttaann��11��uu�v�v 11��þþ22TT
por lo que la solución requerida en el plano z es
FF¼¼pTpTttaann��11��sseencnc(o(oppss(xp(xp==xaxa=)=)acac)o)ossssehehn(n(hphp(p(ypy==yaya==))aaþ)þ) 11����22ppTTttaann��11��sseencnc(o(popss(xp(xp==xaxa=)=)acac)o)ossssehehn(n(phph(p(ypy==yyaa==)a)a�)�) 11��þþ22TT
9.25. Encuentre la temperatura en estado de equilibrio en todo punto de la región sombreada en la figura 9-30 si
las temperaturas se mantienen como se indica.
Plano z Plano w
(u,u)
60°C q2
B 2 0°C
1
0°C C A 0°C q1 60°C
0°C –2
Figura 9-30 Figura 9-31
Solución
Lmaedrieaugniþtuóenuþilvaþsi¼otvrmiav¼xnb¼þsrxfeoxþairydþmaiþyaiwdyþcxeiþwóþ¼lx1nwpxþ¼iz1wlyþa¼þ1iz¼ny=oiþz(y¼1xþzz=¼(þ1+xz(s)=1xþexz(=2)þ1lzxlþ/)xe2xzvþ2)yxa2[þxyesþ2noytbþ2ir�raþediy�ail��ayAy�xm-24�ixþtey2axndþ2yyl2þays�yu2p,yp� á2eg�,reii,inos:aerdi::2,edeic4:ue:e,i9lr:¼u],p,u¼llxaa¼nþxcouxþxaw2þlxþxe2[xssþ2yxoe2þmxqy,u2byi,rv2vea,¼avldev¼ayn¼t�eeynay�x2l�axþy2xfiþ2yyg2þuyyr2ay29-31]
La solución al problema en el plano w, con el método del problema 9.7, es
6p06pt0a6pn0ta�tn1a�n�1�u�1 ��uv �v �v2 2����6p�06pt0a6pn0ta�tn1a��n1�u�1þ�uv uþ2v�þv2�2�
u2�
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Problemas resueltos 307
Así, al sustituir los valores u y v , la solución, en el plano z, al problema es ��
ttaann��11��((xx22 �� ttaann��11��((xx22 yy22))
66pp00 þþ yyyy22((xþxþ22 1þ1þ))xxyy2�2���22((11xx))22 þþ yy22)) �� 66pp00 þþ yyyy22((xþxþ22 1þ1þ))xxyy2þ2þ��22((11xx))22 þþ
o, en coordenadas polares,
66pp00 ttaann��11��((rr22((þþrr2211��)) cc11oo))ssssueuenn��uu22rr�� �� 66pp00 ttaann��11��((rr22((þþrr2211��)) cc11oo))ssssueuennþþuu22rr��
Problemas diversos
9.26. Una región está limitada por dos conductores cilíndricos concéntricos de longitud infinita, con radios r1 y r2
(r2 > r1), los cuales están cargados a potenciales Φ1 y Φ2, respectivamente [véase la figura 9-32]. Encuentre
a) el potencial y b) el vector del campo eléctrico en cualquier lugar de la región.
Solución
a) Considere la función Ω = A ln z + B, donde A y B son constantes reales. Si z = rei u, entonces
Ω = Φ + iΨ = A ln r + Aiu + B, o Φ = A ln r + B, Ψ = Au
Ahora Φ satisface la ecuación de Laplace, es decir, es armónica en cualquier parte de la región r1 < r < r2 y
se reduce a Φ = Φ1 y Φ = Φ2 en r = r1 y r = r2, siempre que A y B se elijan de manera que
ΦFF111=¼¼AAAlllnnnrrr111 +þþ BBB,,, FFΦ222 =¼¼ AAA lllnnnrrr222þþ+BBB
es decir,
A ¼ F2 � F1 , B ¼ F1 ln r2 � F2 ln r1
A ¼ Fln2(r�2=rF11) , B ¼ F1 lnlnr2(r�2=rF12) ln r1
ln(r2=r1)
ln(r2=r1)
Así, el potencial buscado es (F2 � F1) F1 ln r2 � F2 ln r1
(Fln2(r�2 =rF1 1) ) F1 lnlnr2(r�2=rF12) ln r1
F ¼ ln(r2=r1) ln r þ
F ¼ ln r þ ln(r2=r1)
Φ2
r2 Φ1
r1
Figura 9-32 Figura 9-33
b) El vector del campo eléctrico es
e ¼ �grad F ¼ � @F ¼ F1 � F2 � 1
@r ln(r2=r1) r
Observe que las líneas de fuerza, o líneas de flujo, son ortogonales a las líneas equipotenciales; algunas de
ellas se representan mediante líneas punteadas en la figura 9-33.
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308 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.27. Encuentre la capacitancia del condensador formado por los dos conductores cilíndricos del problema 9.26.
Solución
Si Γ es cualquier curva simple cerrada que contenga el cilindro interior y q es la carga en ese cilindro, de acuerdo
con el teorema de Gauss y el resultado del problema 9.26 se tiene
þþþ EEEnnndddsss ¼¼¼ uuu22¼¼ðð2¼ðppp000���FFllFlnnn11((1(rrr��22�2===FrFrFr1112)2)2) ���11rr1r���rrrddduuu ¼¼¼ 222pppllln(n(n(FF((F(rrr112212==��=�rrr111FF))F) 222))) ¼¼¼ 444pppqqq
Así, G
GG
qqq ¼¼¼ 222FFFlllnn11n1(((��rr�r222==FF=Frrr112212)))
de manera que CCCCaaaappppaaaacccciiitittataaannnnccccieeae CCCC ¼=¼¼ddddiiiiffffffefeererrereenennncccccicccehaehehaaaaeiirrirnnrngngggaeepppepooootttteeeennnntcttiiiaaalll ¼¼¼FFF111��qq�q FFF222 ¼¼¼222lllnnn(((rr11r1222===rrr111)))
que sólo depende de la geometría de los condensadores, como debe ser.
El resultado anterior es válido si se tiene el vacío entre los dos conductores. Si entre los conductores hay un
medio con constante dieléctrica k, hay que sustituir q por q/k y, en este caso, la capacitancia es 1/[2k ln(r2/r1)].
9.28. Dos conductores cilíndricos circulares de radios iguales R y centros a una distancia D uno del otro [figura
9-34] están cargados a potenciales V0 y −V0, respectivamente. a) Determine la carga, por longitud unitaria,
necesaria para lograr esto. b) Encuentre una expresión para la capacitancia.
Solución
a) Se emplean los resultados del problema 9.13, pues cual- y
D
quiera de las curvas (superficies) equipotenciales pueden
sustituirse por conductores circulares a los potenciales
especificados. Con a = −V0 y a = V0, y al observar
que k = 2q, se encuentra que los centros de los círculos
están en x = −a coth(V0/2q ) y x = a coth(V0/2q), de
manera que –V0 R R V0
ccootthh��V2Vq00�� x
D ¼ 2a (1)
D ¼ 2a
2q
El radio R de los círculos es
ccsscchh��V2Vq00��
R ¼ a 2q (2) Figura 9-34
R ¼ a
Se divide (1) entre (2) y se obtiene 2 cosh(V0/2q) = D/R, de manera que la carga requerida es
q ¼ 2qco¼sh2�Vc1o0(Dsh=�V21R0(D) =2R)
b) CCaappaaccCitiataanpncacicaeitCCan=c¼e dCifef¼ererdennicfccifcaehearaerierngngaccpepehooattierengnnecptioatle¼nti2aVql 0¼¼2Vq40co¼sh4�c11o(Dsh=�211R(D) =2R)
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Problemas resueltos 309
El resultado es válido en el vacío. Si existe un medio de constante dieléctrica k, hay que dividir el resultado
entre k.
Observe que la capacitancia depende, como siempre, de la geometría. Este resultado es fundamental en la
teoría de los cables de línea de transmisión.
9.29. Demuestre la unicidad de la solución al problema de Dirichlet.
Solución
El problema de Dirichlet consiste en hallar una función Φ que satisfaga (@2Φ/@x2) + (@2Φ/@y2) = 0 en una región
simplemente conexa y que tome un valor prefijado Φ = f (x, y) en la frontera C de . Para demostrar la unicidad
hay que mostrar que, si tal solución existe, es única. Para esto suponga que existen dos soluciones, Φ1 y Φ2. Así,
@@22FF11 þþ @@22FF11 ¼¼ 00 eiinnn RR aaynn dd Φ1FF=11 ¼¼f (xff,((xxy,,) yye))nooCnn CC (1)
@@xx22 @@yy22 (2)
@@@@22xxFF2222 þþ @@@@22yyFF2222 ¼¼ 00 eiinnn RR aaynn dd Φ2FF=22 ¼¼f (xff,((xxy,,) yye))nooCnn CC
Al restar y con G = Φ1 − Φ2, se tiene
@2G þ @2G ¼ 0 einn R ayn d G G=¼0 e0noCn C (3)
@x2 @y2
Para mostrar que Φ1 = Φ2 de manera idéntica, hay que mostrar que G = 0 de manera idéntica en .
Sea F = G en el problema 4.31 de la página 137, y se obtiene
þ G�@@Gx dx � @G � ðð " �@2G @2G� �@@Gx �2þ�@@Gy �2# dx dy
@y dy � G @x2 @y2
¼ þ þ (4)
CR
Suponga que G no es de manera idéntica igual a una constante en . Del hecho de que G = 0 en C y de que (@2G/@x2)
+ (@2G/@y2) = 0 idénticamente en , (4) se convierte en
ðð "�@G�2 þ�@@Gy �2#
@x
dx dy ¼ 0
R
Pero esto contradice la suposición de que G no es de manera idéntica igual a una constante en , pues, en tal
caso,
ðð "�@@Gx �2þ �@G�2#
@y
dx dy . 0
R
Se concluye que G debe ser constante en y, por continuidad, debe tenerse G = 0. Por tanto, Φ1 = Φ2 y sólo
existe una solución.
9.30. U na región infinita ABDE, en forma de cuña con un ángulo p/4 [sombreada en la figura 9-35] mantiene uno
de sus lados (AB) a la temperatura constante T1. Del lado BDE, la parte BD [de longitud unitaria] está aislada,
y la parte restante DE se mantiene a la temperatura constante T2. Indique la temperatura en cualquier parte
de la región.
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310 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
y Plano z Plano z
A
h
A'
T1 T1
B p/4 D E x B' D' E'
Aislado 1 T2 Aislado 1 x
Figura 9-35 T2
Figura 9-36
Plano w Plano w
u u
A'' E''
1
T1 T2
u T1 T2 u
B'' D'' B′′ D′′
Aislado 1
T1 T2
Figura 9-37 Figura 9-38
Solución
Mediante la transformación z = z2, la región sombreada del plano z [figura 9-35] se lleva a la región sombreada de
la figura 9-36 con las condiciones frontera indicadas [véase la entrada A-1 en la página 248].
Mediante la transformación z = sen (p w/2), la región sombreada del plano z [figura 9-36] se lleva a la región
sombreada de la figura 9-37 con las condiciones frontera indicadas [véase la entrada C-1 en la página 254].
Ahora, el problema de temperatura representado mediante la figura 9-37 en donde B′′D′′ está aislado es equiva-
lente al problema de temperatura representado mediante la figura 9-38, pues por simetría, no puede haber ninguna
transferencia de calor a través de B′′D′′. Pero éste es el problema de determinar la temperatura entre dos planos
paralelos que se mantienen a temperaturas constantes T1 y T2, respectivamente. En este caso, la variación de tem-
peratura es lineal y por ende debe estar dada por T1 + (T2 −(2/Tp1))us. en−1
De z = z2 y z = sen(p w/2), al eliminar z se tiene w = z2 o u = (2/p) Re{sen−1 z2}.
Por tanto, la temperatura buscada es
T1 þ 2(T2 � T1) Refsen�1 z2g
p
En coordenadas polares (r, u), esto se escribe como [véase el problema 9.95]
T1 þ 2(T2 � T1) sen�1�1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi � 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi�
p 2 r4 þ 2r2 cos 2u þ 1 2 r4 � 2r2 cos 2u þ 1
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Problemas complementarios 311
Problemas complementarios
Funciones armónicas
9.31. Demuestre que las funciones a) 2xy + y3 − 3x2y, b) e−x sen y son armónicas.
9.32. Demuestre que las funciones del problema 9.31 siguen siendo armónicas con las transformaciones a) z = w2,
b) z = sen w.
9.33. S uponga que Φ(x, y) es armónica. Demuestre que Φ(x + a, y + b), donde a y b son constantes, también es
armónica.
9.34. Suponga que Φ1, Φ2, . . . , Φn son armónicas en una región y que c1, c2, . . . , cn, son constantes. Demuestre que
c1Φ1 + c2Φ2 + . . . + cnΦn es armónica en .
9.35. Demuestre que toda función armónica que sólo dependa de la distancia r de un punto fijo debe ser de la forma
A ln r + B, donde A y B son constantes.
9.36. S uponga que F(z) es analítica y diferente de cero en una región . Demuestre que las partes real e imaginaria de
F(z) son armónicas en .
Problemas de Dirichlet y de Neumann
��11 9.37. FFR E ER RpE FFo(nnn(eeeu(ur(ppcccpu)u)uuuiiiG))ttt¼¼eeeaaa(¼¼nnnxeee�ttt�)rrrlll��eee¼1ppp1GG�00u�u00rrru((ooo�nnnxxTTTTbbbaa))a�lll0p0p¼¼feeeffu11ummmu,p9,0p,0n,n�n�.aaac3c,c,,u,u�i�xx7iu999uióóó,...,,.u1111nu,inu333u,n99f997a.,.,a,p,GFF33ap002r2rcccrxx7xx7m((mp(:pmpooo2puux2,.,.iiónnnóp)))pf:f.ó:nn¼¼¼nGFFGFF0000ii.oicoc((((c((::an:8<n:<8auuuunxxa))))))eseii��enet¼¼¼¼¼¼tnsnsnTT101l0e0au8<:n8<::<8n<8:ellmssi����xxneiep0i3nntnt0pTT.,101TT101=e0p0ta,00euu2rd,=,,rij1�oi2z,sux�xx�xoppjr00uu331xur,0p,0p.,.,¼p1d1==ppu,,,,d,22ee,,==,,,,ue,rpjj21�1�2l2z,z,iuulp1a2o=j,juu11xxuuc,,3pr,2,:¼¼cuuí,p,,,di,r,2:rcuu,e,=pp2p2culpp211u22==,,lp3n3opp:22::lpfpa22|e::nz==ppr|o2e2n=::zcIi1ma |q{zzu|}e=>so2F0bFq(rqu(euuu)es)e¼FFut¼eoFF((ncm�uu((i�uu))er1e))cl¼¼�00ule¼¼oTTnj��sef��0epv11xra��0000,pet0,lonoTTTT,m,curu0e0ippea,suu,,,pp00l,,to,o,p,,s,2,umuuupvp2,,euuau,u,p:llo,,,,opp22roseppppn22svpp::aditlasoodornnoessiittss
,, xx ,, 11::
11 9.38.
9.39.
,, uu ,, pp==22
2 ,, uu ,, 33pp==22:: 9.40.
==22 ,, uu ,, 22pp 9.41.
,,,,uuuu,,,,pp22pp:: 9.42.
jjzzjj ¼¼ 22
9.43. D emuestre por sustitución directa que las respuestas obtenidas en los incisos a) del problema 9.6, b) del problema
9.7, c) del problema 9.8 son en realidad soluciones a los correspondientes problemas de frontera.
9.44. Encuentre una función armónica Φ(x, y) en el primer cuadrante x > 0, y > 0, que tome los valores V(x, 0) = −1,
V(0, y) = 2.
9.45. fE rnocnuteernatrFeΦ(u(xx,n,a0FF0)f)((u¼xxF=n,, (ce00xei�)),ó−x¼n¼yFFx,),@Φ((ee@Fxx��Φ(,, =xxxyy/,,@,))@x@@yxjFF)x|¼xa===0r@@0mxx¼=jjóxx¼¼0n00.0i.c¼¼a en el primer cuadrante x > 0, y > 0 y que satisfaga las condiciones
0.
0.
Aplicaciones al flujo de fluidos
9.46. Bosqueje las líneas de flujo y las líneas equipotenciales para el movimiento de un fluido en el que el potencial
complejo está dado por a) z2 + 2z, b) z4, c) e−z, d ) cos z.
9.47. A nalice el flujo del fluido correspondiente al potencial complejo Ω(z) = V0(z + 1/z2).
9.48. Verifique las afirmaciones previas a las ecuaciones (9.5) y (9.6) de la página 283.
9.49. Deduzca la relación dΩ/dz = Ve−i u, donde V y u se definen como en el problema 9.17.
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312 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.50. C onsulte el problema 9.10 y a) muestre que la rapidez del fluido en el punto E [figura 9-14] está dada por P
2V0|sen u| y b) determine en qué puntos del cilindro se tiene la mayor rapidez.
9.51. a) Suponga que P es la presión en el punto E del obstáculo en la figura 9-14 del problema 9.10 y que P∞ es la
presión lejos del obstáculo. Demuestre que
P � P1 ¼ 1 sV02(1 � 4 sen2u)
2
b) Demuestre que en los puntos B y F se crea un vacío si la rapidez del fluido es igual o mayor a V0 ¼ pffi2ffiffiPffiffiffi1ffiffiffi=ffiffi3ffiffiffisffiffi.
Esto spue2ffiffilffiPffieffiffi1fficffiffi=offiffi3ffinffiffisoffiffi.cerse como
V0 ¼ cavitación.
9.52. Obtenga la ecuación (9.19), página 285, mediante un proceso de límite aplicado a la ecuación (9.18).
9.53. Analice el flujo de fluido debido a tres fuentes de igual fuerza k localizadas en z = −a, 0, a.
9.54. Analice el flujo de fluido debido a dos fuentes en z = a y un sumidero en z = 0 si todos tienen la misma
magnitud.
9.55. Demuestre que con la transformación w = F(z), donde F(z) es analítica, una fuente (o sumidero) en el plano z en
z = z0 se lleva a una fuente (o sumidero) de igual fuerza en el plano w en w = w0 = F(z0).
9.56. D euestre que el momento total sobre el obstáculo cilíndrico del problema 9.10 es cero y explique esto físicamente.
9.57. Suponga que Ψ(x, y) es la función corriente. Demuestre que la velocidad de flujo de masa a través del arco C que
une los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es s{Ψ(x2, y2) − Ψ(x1, y1)}.
9.58. a ) Demuestre que el potencial complejo debido a una fuente de fuerza k > 0 en un fluido que se mueve con
rapidez V0 es Ω = V0z + k ln z y b) analice el movimiento.
9.59. U n sumidero y una fuente, de igual fuerza m, están localizados en z = 1 entre las rectas paralelas y = 1.
Demuestre que el potencial complejo para el movimiento del fluido es
V ¼ m �ep(zþ1) � 1�
ln ep(z�1) � 1
9.60. C on una fuente de fluido en z = z0 y una pared en x = 0 zde=mz−u¼ezs0�t.rez0q. ue el flujo resultante es equivalente a eliminar
la pared e introducir otra fuente de la misma fuerza en
9.61. U n fluido fluye entre las dos ramas de la hipérbola aKx2esa−xu2nba�y2cbo=yn2s1t¼a,na1te,>apo.0s,it0biv,>aby.0a. 0D¼.empuaffiffieffibffiffis=ffitffiffi(rffiaeffiffiffiffiþqffiffiffiuffibffieffiffi)ffi.el potencial
complejo del flujo está dado por K cosh−1 az, donde
Aplicaciones en electrostática
9.62. Dos conductores planos semiinfinitos, como se indica en la figura 9-39, se cargan a potenciales constantes Φ1
y Φ2, respectivamente. Encuentre a) el potencial Φ y b) el campo eléctrico E en cualquier parte de la región
sombreada entre ellos.
y
y
A
–V0
Potencial Φ 1
a x V0 x
B Potencial Φ2 C Figura 9-40
Figura 9-39
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Problemas complementarios 313
9.63. E ncuentre a) el potencial y b) el campo eléctrico en todas partes de la región sombreada de la figura 9-40 si los
potenciales en los ejes x y y positivos son constantes e iguales a V0 y −V0, respectivamente.
9.64. Una región infinita tiene tres cables localizados en z = −1, 0, 1 a potenciales constantes −V0, 2V0, −V0,
respectivamente. Encuentre a) el potencial y b) el campo eléctrico en todas partes.
9.65. Demuestre que la capacidad de un capacitor es invariante con una transformación conforme.
9.66. L os conductores planos semiinfinitos AB y BC, que se intersecan y
formando un ángulo a, están conectados a tierra [figura 9-41].
Una carga lineal q por longitud unitaria se encuentra en el punto A
z1, en la región sombreada y a la misma distancia a de AB que de
BC. Encuentre el potencial.
9.67. R epita el problema 9.66 si q se encuentra a la distancia a de AB y
a la distancia b de BC. a
9.68. R epita el problema 9.23 si hay dos cargas lineales q por longitud z1 q
unitaria y −q por longitud unitaria, que se encuentran en z = bi y
z = ci, respectivamente, donde 0 < b < a, 0 < c < a y b c.
a
9.69. Un cilindro circular de longitud infinita tiene una mitad de su a
superficie cargada a potencial constante V0 y la otra mitad está B x
conectada a tierra, y las dos mitades están aisladas una de otra. C
Encuentre el potencial en todas partes.
Figura 9-41
Aplicaciones al flujo de calor
9.70. a ) Encuentre la temperatura de estado constante en cualquier parte de la región sombreada en la figura 9-42.
b) Determine las líneas isotérmicas y las líneas de flujo.
9.71. E ncuentre la temperatura de estado estable en el punto (2, 1) de la región sombreada en la figura 9-43.
y y
A B
30°C 100°C 1
Aislado A Cx
p/4 C 50°C (4, 0) x D
B 60°C Figura 9-43 Figura 9-44
Figura 9-42
9.72. Las porciones convexas ABC y ADC del cilindro unitario [figura 9-44] se mantienen a las temperaturas de 40°C
y 80°C, respectivamente. a) Encuentre la temperatura de estado estable en todo punto interior. b) Determine las
líneas isotérmicas y las líneas de flujo.
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314 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.73. E ncuentre la temperatura de estado estable en el punto (5, 2) en la región sombreada de la figura 9-45 si las
temperaturas se mantienen como se indica.
y 100°C x y
A Figura 9-45 D B
40°C 1
A Cx
B (0, 1)
80°C D
Figura 9-46
C
9.74. U na placa conductora infinita tiene un orificio circular ABCD de radio unitario [figura 9-46]. A los arcos ABC y
ADC se les aplican temperaturas de 20°C y 80°C y se mantienen indefinidamente. Halle la temperatura de estado
estable en cualquier punto de la placa.
Problemas diversos
9.75. SupongFa (qxu, eyF)Φ(x(,x,y)yF) (exs, ayr)mónica. DemFue(xs=trrFe2q(,xuy=e=rrΦ2F2,)((yxx=/=rrr2 22),,yy/r=rr¼ 22)),pdrxffioffi¼ffi2nffiffidffiþffipffieffiffiyffixffirffi22ffiffi¼ffiþffiffiffiffipyffiffiffi2ffixffiffi2ffiffiffiþffiffiffiffiyffiffiffi2ffi también es armónica.
9.76. S uponga que U y V son continuamente diferenciables. Demuestre que
(a) (@@aU n)a)¼@@@U(@naUx)¼ddxs@@@@þUxUn d@d@¼Uxsy þ@dd@Uysx@@Udydxsddþys( b@@)Uyb)dd(ys@@bVs) ¼@@�(Vsb)@@¼Vx �dd@@ysVs@@þVx¼@dd@V�ysy þdd@@xsVx@@Vyddysddþxs @V dx
@y ds
d onde n y s denotan, respectivamente, la normal hacia afuera y el parámetro longitud de arco a una curva simple
cerrada C.
9.77. Sean U y V funciones armónicas conjugadas. Demuestre que a) @U/@n = @V/@s b) @U/@s = −(@V/@n).
9.78. Demuestre que la función 1 − r 2/(1 − 2r cos u + r 2) es armónica en toda región en la que no se encuentre el
punto r = 1, u = 0.
9.79. S uponga que se requiere resolver el problema de Neumann, es decir, hallar luonnagfituundcidóenLaeVrtcaHorm.(sSó)Len¼eaitcHÐaaR(esGn) (u¼sn)aÐaRreGgi(ós)n,
adromntadólenqiacuaeesceounnnjluapgufanrdotoantdUeeraqCuC,eysdaseutipsfo,ang@gVaa/lqa@unceo=nÞCdUGiGc(¼i(sós)n),�dÞdUHCsUoGn¼=(sd¼()es0−o).�.sHndMHse(Cssu¼().see)es0ltnor.penCaqrC.áuÉ.mestepetareroas hallar V es necesario hallar la función
un problema equivalente de Dirichlet.
[Sugerencia: Use el problema 9.77.]
9.80. D emuestre que, salvo una constante aditiva arbitraria, la solución al problema de Neumann es única.
9.81. Demuestre el teorema 9.3, página 282.
9.82. ¿ Qué modificación hay que hacer al teorema 9.3, página 282, si la condición frontera Φ = a en C se sustituye
por Φ = f (x, y) en C?
9.83. ¿ Qué hay que modificar en el teorema 9.3, página 282, si la condición frontera @Φ/@n = 0 en C se sustituye por
@Φ/@n = g(x, y) en C?
9.84. Suponga que el movimiento de un fluido se debe a una distribución de fuentes, sumideros y dobletes, y suponga
que C es una curva tal que a través de ella no hay ningún flujo. Así, la distribución de fuentes, sumideros y
dobletes a un lado de C se conoce como imagen de la distribución de fuentes, sumideros y dobletes al otro lado de
C. Demuestre que la imagen de una fuente en el interior de una circunferencia C es una fuente de la misma fuerza
en el punto inverso junto con un sumidero de igual fuerza en el centro de C. [Un punto P es un punto inverso de
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Problemas complementarios 315
un punto Q respecto de una circunferencia con centro en O si OPQ es una línea recta y OP ∙ OQ = a2, donde a
es el radio de C.]
9.85. Una fuente de fuerza k > 0 se encuentra en el punto z0 en un fluido contenido en el primer cuadrante, donde los
ejes x y y se consideran barreras rígidas. Demuestre que la rapidez del fluido en cualquier punto está dada por
k|(z − z0)−1 + (z − z0)−1 + (z + z0)−1 + (z + z0)−1|
9.86. Dos conductores cilíndricos de longitud infinita cuyas secciones transversales son elipses confocales con focos en
(−c, 0) y (c, 0) [véase la figura 9-47] están cargadas a potenciales constantes Φ1 y Φ2, respectivamente. Muestre
que la capacitancia por longitud unitaria es igual a
2p
cosh�1(R2=c) � cosh�1(R1=c)
[Sugerencia: Utilice la transformación z = c cosh w.]
9.87. E n el problema 9.86 suponga que Φ1 y Φ2 representan temperaturas constantes aplicadas a los cilindros elípticos.
Halle la temperatura en estado de equilibrio en cualquier punto de la región conductora entre los cilindros.
2R2
y
Φ2
Φ1
(–c, 0) (c, 0) x
V0 V0
a
2R1
Figura 9-47 Figura 9-48
9.88. U n obstáculo en forma de cilindro circular de radio a descansa en el fondo de un canal de fluido, el cual fluye con
velocidad V0 a distancias alejadas del obstáculo [véase la figura 9-48].
a) Demuestre que el potencial complejo está dado por
Ω(z) = p aV0 coth(p a/z)
b) Demuestre que la rapidez en la parte superior del cilindro es 14p 2V0 y compárela con la rapidez en el caso de
un obstáculo circular situado en el centro de un fluido.
c) Demuestre que la diferencia de presión entre los puntos en la parte superior y en la parte inferior del cilindro
es sp4V 20/32.
9.89. a ) Demuestre que el potencial complejo para el flujo de un fluido que pasa por el cilíndrico elíptico de la figura
9-49 está dado por
V(z) ¼ � þ (a þ b)2�
V0 z 4z
donde z ¼ 12(z þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y c2 = a2 − b2.
z2 � c2)
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316 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
b) Demuestre que la rapidez del fluido en las partes superior e inferior del cilindro es V0(1 + b/a). Analice el
caso a = b. [Sugerencia: Exprese el potencial complejo en términos de coordenadas elípticas (, h), donde
z = x + iy = c cosh(j + ih) = c cosh z
V0 V0
ba
Figura 9-49
9.90. Suponga que en el problema 9.89, la dirección del flujo forma un ángulo dþcponffizffi2ffieffiffi�ffilffiffieffifficjffiffie2ffiffi)xeipd.ositivo. Demuestre que
el potencial complejo está dado por el resultado del inciso a) con
z ¼ 1 (z
2
9.91. En la teoría de la elasticidad, la ecuación
r4F ¼ r2(r2F) ¼ @4F þ 2 @4F þ @4F ¼ 0
@x4 @x2@y2 @y4
c onocida como ecuación biarmónica, es de fundamental importancia. Las soluciones a esta ecuación se conocen
como biarmónicas. Demuestre que, si F(z) y G(z) son analíticas en una región , la parte real de zF(z) + G(z)
es biarmónica en .
9.92. D emuestre que, en general, con una transformación conforme, las funciones biarmónicas (véase el problema
9.91), no permanecen biarmónicas.
9.93. a ) Demuestre que Ω(z) = K ln senh(p z/a), k > 0, a > 0 representa el potencial complejo debido a una sucesión
de fuentes de fluido en z = 0, ai, 2ai, . . . .
b) Demuestre que, salvo constantes aditivas, las funciones de potencial y de flujo están dadas por
F ¼ K lnfcosh(2p x=a) � cos(2p y=a)g, C ¼ K tan�1 � tan(p y=a) �
tanh(p x=a)
c) Represente gráficamente algunas líneas de flujo del fluido.
9.94. Demuestre que el potencial complejo del problema 9.93 es el mismo que el debido a una fuente localizada a la
mitad entre las rectas paralelas y = 3a/2.
9.95. Verifique la aseveración del final del problema 9.30 [compare el problema 2.137].
9.96. U n condensador está formado por un cilindro elíptico, en el que las longitudes de los ejes mayor y menor son 2a
y 2b, respectivamente, y un plano raso AB cuya longitud es 2h [véase la figura 9-50]. Muestre que la capacitancia
es igual a 2p/{cosh−1(a/h)}.
2a
A
A B 2b V0 D
2h
Figura 9-50 B
Figura 9-51
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Problemas complementarios 317
9.97. Un fluido circula con velocidad uniforme V0 a través de un canal semiinfinito de anchura D y emerge a través de
una abertura AB [figura 9-51]. a) Encuentre el potencial complejo para este flujo. b) Determine las líneas de flujo
y las líneas equipotenciales, y obtenga las gráficas de algunas de ellas. [Sugerencia: Utilice la entrada C-5 de la
página 256.]
9.98. Mediante la teoría del potencial, interprete el problema 9.30.
9.99. a ) Muestre que, en el vacío, la capacitancia de los conductores cilíndricos paralelos de la figura 9-52 es
2 cosh�1 1!
D2 � R12 � R22
2R1R2
b) Examine el caso R1 = R2 = R y compare con el problema 9.28.
9.100. D emuestre que, en el vacío, la capacitancia de los dos conductores cilíndricos paralelos de la figura 9-53 es
1!
2 cosh�1 R21 þ R22 � D2
2R1R2
R2 V0 A
R1 y 0
R1 R2 B (r, q) D
q
D 0 –V0
Figura 9-52 C
D
Figura 9-53 Figura 9-54
9.101. Encuentre el potencial en todo punto del cilindro unitario de la figura 9-54 si AB, BC, CD y DA se mantienen a
los potenciales V0, 0, −V0 y 0, respectivamente.
9.102. La región sombreada de la figura 9-55 representa un semiplano conductor infinito, en el que las líneas AD, DE
y DB se mantienen a las temperaturas 0, T y 2T, respectivamente, donde T es una constante. a) Encuentre la
temperatura en todas partes. b) Dé una interpretación en la que intervenga la teoría del potencial.
E
a B
D
A
Figura 9-55
9.103. Repita el problema anterior si a) DE está aislado, b) AB está aislado.
9.104. E n la figura 9-55 suponga que DE representa un obstáculo perpendicular a la base de un canal infinito en el que
fluye un fluido de izquierda a derecha de manera que, lejos del obstáculo, la rapidez del fluido es V0. Encuentre
a) la rapidez y b) la presión en todo punto del fluido.
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318 Capítulo 9 Aplicaciones físicas de las transformaciones conformes
9.105. Encuentre el estado estacionario de temperatura en el punto (3, 2) en la región sombreada de la figura 9-56.
9.106. U na región ABCD en forma de cuña con un ángulo de p/4 [sombreada en la figura 9-57] mantiene uno de sus
lados (CD) a 50°C; en el otro lado ABC se mantiene la parte AB a 25°C, y la parte BC, de longitud unitaria, está
aislada. Encuentre la temperatura en estado de equilibrio en cualquier punto.
y
y
A
4 50°C BAislado
20°C 80°C x p /4 Dx
C
Figura 9-56
Figura 9-57
Respuestas a los problemas complementarios
9.37. 1 � (2=p) tan�1( y=x) 9.63. a) V 0 � � 2 tan�1 � 2xy ��
1 p x2 � y2
9.38. 1 � 1 � x y � � 1 � y � 9.64. a) V0 lnfz(z2 � 1)g
p tan�1 � 1 p tan�1 þ 1
x
� 2 �2r senu �� ( zp=a � zp1 =a!)
1 p 1 � r2 9.66. Im �2qi ln zp=a � z�1p=a
9.39. T � tan�1
� 1 tan�1�44r�sern2u ��
10 1 p
9.42. � 9.70. a) 60 � (120=p) tan�1( y=x)
9.44. 3 tan�1�x22�xyy2� � 1 9.73. 45.98C
p
9.62. a) F ¼ F2 þ �F1 �a F2 � b) 1 ¼ (F2 � F1)=ar 9.101. V0 � 21r�sern2uþ tan�1 2r cos u�
u, p tan�1 1 � r2
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CCaappííttuulloo110
Temas especiales
10.1 Prolongación analítica
Sea F1(z) una función de z, analítica en una región 1 [figura 10-1]. Suponga que se puede hallar una función F2(z),
analítica en una región 2 y tal que F1(z) = F2(z) en la región común a 1 y 2. Entonces se dice que F2(z) es una
prolongación analítica de F1(z). Esto significa que existe una función analítica F(z) en la región formada por 1 y 2
tal que F(z) = F1(z) en 1 y F(z) = F2(z) en 2. En realidad, basta con que 1 y 2 tengan en común un pequeño
arco, como el arco LMN en la figura 10-2.
yy
12 L x
1 M2
x
N
Figura 10-1 Figura 10-2
Mediante la prolongación analítica a las regiones 3, 4, etc., la región de definición original se extiende a otras
partes del plano complejo. Las funciones F1(z), F2(z), F3(z), . . . , definidas en 1, 2, 3, . . . , respectivamente, en
ocasiones se llaman elementos de función o sólo elementos. Algunas veces es imposible prolongar analíticamente
una función más allá de la frontera de una región. Entonces a esta frontera se le llama frontera natural.
Suponga que una función F1(z) definida en 1 se prolonga analíticamente a una región n a lo largo de dos tra-
yectorias diferentes [figura 10-3]. Entonces, si entre estas trayectorias no existe ninguna singularidad, las dos prolon-
gaciones analíticas son idénticas. Éste es el teorema de la unicidad de una prolongación analítica.
En el caso de resultados diferentes, puede mostrarse que entre las trayectorias existe una singularidad (concre-
tamente, un punto de ramificación). Es así como se alcanzan las diferentes ramas de una función multivaluada. En
relación con esto, resulta útil el concepto de superficies de Riemann [capítulo 2].
Ya se ha visto cómo prolongar analíticamente funciones representadas por series de potencias (capítulo 6).
En este capítulo se verá la forma de prolongar analíticamente funciones con otras representaciones (por ejemplo,
integrales).
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320 Capítulo 10 Temas especiales
y
Trayectoria 1 z
n 1 x
1 L MN
Trayectoria 2 2z
Figura 10-3 Figura 10-4
10.2 Principio de reflexión de Schwarz
Suponga que F1(z) es analítica en la región 1 [figura 10-4] y que F1(z) toma valores reales en la parte LMN del eje
real.
El principio de reflexión de Schwarz establece que la prolongación analítica de F1(z) a la región 2 (considerada
imagen de espejo o reflexión de 1 respecto de LMN) está dada por
F2(z) ¼ F1(z�) (10.1)
Este resultado se extiende a los casos en los que LMN sea una curva, y no un segmento de recta.
10.3 Productos infinitos by Q
1)I¼1þf�1�þ(w�1(w21þ)1þ�)�w(1�wPk;)þn=,)(w1Qwk0þ2=k1)¼PoSe�w�1xn�es1(i�a1¼ó)s1((t.lP11eoþ(nIuþ1þQf=nwþwPwvk((b)1a1nw2y=,ll)í)+oþ1m�Qr)0�(wnPw1�!nk1¼k;)þ1)(1,10(PcQw1+otn2an1kþ)l¼¼wvQ�qe12w�ur)P(�g(ekb1.(,1)eyl1.þíþ.amþQ(Pw1nw!w;knPk+¼k)sn1)=,1i),wn(Pn10o)n,þe¼qsuwaePsk,sí),esesdeQdeidnc(bioec1ytleaqíþmuqQeunw!knee¼kl1e)1p,lr(Ppo1nrdoþu¼dcuwtPockt,)ionyfiindnfoiitnnoidt(weo1ksdþ=eivPsweu�nrp1g1¼)oe(.n1.(eLI1þfqaþusweww2p)k1a�p)r�(au1�et;odþdenaQwks2,1ke)¼wr�1c�k(o�1(n1sþ−tþa1wn.wtPkSe)ns=i,) 0
Q límn
(1 þ w
of z.
ooffunz.ciones de z. of z. of z. wk ¼ �1
wkS¼i só�lo1 un númwerko¼fin�it1o de las wk = −w1 ky ¼el r�es1to del producto infinito, omitiendo estos factores, converge, se dice
que el producto infinito converge a cero.
w11k)þ(=1Pwþ�n11¼)w(.12()I1þf� �þw� (Pw21)n1�þ)1S¼�(u1�0wp(;þ.n1o4)nþQwg a2 wk1)d ¼q1�Cu1)e�o(e(�11(enp1þlþvrpþwrweoow2Pkrdb)dnu=y,�g)cu�tQ�eo0c(n1ikntn¼þcfo1i(wni(1wsia1ktonþ=þ)iaPQnw�wnbf1(bk1¼)i1s)y(ln.í1þom(iQI1þtfnl|wwþ!onkuw¼kPk1)s|1w2tn,))(P1ca¼1�b)no�(y,þn1�(¼v1c;QþwePþrokgnkQw,)¼enw2.1k1)1d¼E()�11(n�i1c(þ�e1(þsi1oþewwþcknw)a2ws)Pako)�n=,l�)s�e(0yd1iþcuenwqunif)e oQr(b1mylíþmeQnw!kn¼k1)1,e(Pbs1ynaþ¼bQswoPnklk¼u,)1ta(m1 eþntwe kc)on-
� � � ; Qk1(w¼11kþ=(1w�þ1vn1)we(a.1rPklPSgm)Iþ=n,efuenp¼nwto0teen2.()g1c�aoþ�nfq�vuwz;ee.r1g)QQ(e1n1k(tþ¼1el1.íþmw(12nw!)þk�w1)o�,wkfc�PPok(¼z1n)n.=,v¼þ�e0r1wPgPe,n,n)o(wp1¼fekþrz=o(.1wQ�þ11)((w.11lí1þImþ)f(n1|wwb!þky2k1)|),)Qw�Pd�2nink�)v¼¼;�e1�r(g�PQ1e(,1.þk1E¼þnw1 w(ke1)sne)þcwwaoskfPko)¼z=,s.e�0d1iceofqbuzye. QQkn(¼11líþ(m1nwþ!k1)w,ePks)nc¼ondPi,cio-
(w1kptaþ=rmoUbwe�lnn1e1)tme(t.e1aocIþor1fwen0mwkv.6e¼a25r)g)i�.�em�n�1pteo;retaQsnct1keo¼,n1va(en1rágþl(woe1nkgwþt=oePk,)aw=,�ew1us1k)0n(.d¼1etIecþf�ooirrf,w1ezsm2.i)aQ�P�pn�a(1;¼rlaíþm(Qs1enw|!rwk1þi¼kek1)1|s,w)(Pi11cnn)ofþ(i¼n1nvwiþetPaPrk,gs)w=,,e2,s)o0e�sn�tti�oe(onn1fceþezqs. uwQewn)ku(1n¼líþmp�rnow!1dku1),ccPtoonniv¼nbefyriPgne,iQto(nkv¼aéb1ass(oe1luþe-l wk)
þ=Pw�n11¼)(.1(I1þf þww2)dco1�o)e�(sn1�euEvc;leyþercsngoQwieoon2nuck1d)¼eene�sp1il�ft(voi�on1ar(f1mldþioneeþrimwtcpawoPeaksn)nrn=,etvt)ienecru0aggleaPenrn(ezcd)rieaaelzn.ueAnuQninsfíoa(,br1rys,lmeíiþtmgeaQilónwpq!knnwa¼kur1)ke1a(w,1({¼P|pks1P1þnir=n,oþ�+(¼pdwz�1au)w1wrPc−1)aktk(,.)o(t1PozsI)þd(f}izon)w=f|ein<2>)iPt�oen0�(s,pz�)sea;esryapdQtoeosfdk1iin¼boe1len({f1hwá>1cakþi+lNll¼maw.rwePk�ukn)(n=,t1ze)n}úp0mo=rewoaPronkf(azN¼zl).o,, g�Qqsíeua1e(dc1idlocíeþmenpenqlwa!nuskde1)as,PePsrnóni(elzo¼s) P,
wk
(1
Como en el caso de las soefrize.s infinitas, con los productos infinitos que convergen absoluta o uniformemente
pueden hacerse ciertas cosaswqkue¼n�o 1necesariamente pueden hacerse con los productos infinitos en general. Así, por
ejemplo, en un producto infinito que converge absolutamente los factores pueden reordenarse sin que se modifique
su valor.
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10.8 La función gamma 321
w1)(1 þ Qw2Ick1f)o¼(w�Pn11k�v(þ�=e1j(rPw1wgþ�nk(weþ11j1w1s¼w)Qk0(.þwk=P[k1(i().fnPI.z=1,53412þ5w1ef))�n......,þ 1, þw01¼)kQ (.w2w1¼QA)(tScSSrvccUSc1Iwc(k1þ�aoelf)rooia1uiui(o1�nnók(imffzlþnn[gtpp1Pnu�1,otanþRw)ievv¼Iczoaoo.nvgr;r2feþ.eeuþocw2n,nni,eIcIctwd,.rrj)oopPnoa�ffgg,Qr1ggwoojneQnw�3rkwgvmwaa)iMeePnPnelo1)�kld(f,eo2Qn.kísjkvv(qb1bpdq�k1.iwsrmw)Q(P1(tAc¼Iceeduyirucugs.l;ezsjzjþ�éfkoií[okrruwow(ee1nc.)eeþ)sóm�(niggj1ed!gfPnjftQw,nís.wz(QnWk�keioeQnwe,1etIcu1vv)ne,cjjþw(nk1fwnw[ks.so,!QQcnesnk1i2eee,iþ(iþjk1ef¼Ptnnu.r)zkkkeriw[[u¼voQw1e1M)ngþoeg()(ifvi1cn.�fnf,áw..i.z,1zk¼rtenwQekcee�,1aA1eþn(Palks))jjr)w(kwoss1kir�.P.Qw,,i¼kt,Q[rd1,,snþþag(trrn(1)eekefweno[kkízþ¼ake[o=Qr1,QeQvs,1(,¼þigR)s)ijisf0g.(wk.zsmw.eaQeg¼¼iQQþ1es21ed(i,d)þw1órs,0fkó((.zwk[,P[.pgepea,n1þ,1(1þR,i()iknj11fawaccPefk.fza3.,kwzgw)[[Q2i1eeb1,1þ,ris)þiRþR)ril)if,,nwwrrQwa.=[,,.k¼í,.akgsgQo,2,2.,)þeemeþþ(jP,(o,,(kk3kfkwq.www,a.,zs.essQzii1|ll(,,)l(1fm,n0.je)juiu)swafu¼wQzzk33ík[¼wkkw1wwQ!gdji.i,r1mþswRe.n)(iPt))(llff,,ki(uke.Q.Qapgzkkíí,zkkþq e21e1..(w�kþ(mmQ(cnn.(1()PPm(()w,fszwuz,...o[1ozz!gzzji,i1,wk,þR.))iwj1((rne.n.)w)kf)e)Mf 3k|w.(w,g,11þ(i!gb!og21jje,,rknþwzw)lnf,1<¼k,zcQswrkyí,.k)l,,tþþ.),.c11mmkkiíwo,(Pe¼j(t,wMþ3m.kwowzzMin�kQQkn)(lwew.a)f,ck)nwwnMMQvkíkk1n!g0j)m!,w.o=wmvk1¼(P,nn(¼e!kknkn,,.(,znbkkzeþ1¼kr))ek1k1(kn.¼¼),,)vgr1y)1lPtn110Q!gj1g,,íweewkk¼=þw,cMtm,(e,eP,rþe00Q1ok21nagn¼k¼(w2n,n,ks1naw1,)e1(!wu¼þ,knwMvb,ky,3n¼¼k11nþ(ke3sn21k,t)s2z1,ka,woea0r,),,.)¼,P,¼jc,bl(o2P,2.j3.fak.uo1w3ks,us.,),,e.ntnoeub01,.nkalþ.33¼vsl.¼ss,,jcm.lpu,,r)oe.íiq.,2,fr.w.tmórn.e1aao,Pueg,..nn,,kcmldden..ea,3)ítt,!2oua,,mneopell,an,níc]íar,n,.1mmb,nrteadl3P.tQo!íssleeewt.,nníooi)nt!!i1,.pclllnin(wtPau.íQccadu,o11f1mws¼.QatoskienPPQQanu,þ(ndMnlwwc(ewymziív!,10ete(nm)c¼nnkko(w(we1jqne.sw1þ(11rsnun¼¼tzkkpPIcþgQso0!Pkteþ()þ(fwoueo.eejnzz.w00)r1ePnn]w))n(w,.jjPscd..QMtv1ckwwkew¼oEekSjeo).j)wþ(kknkr,nilwin(d,zjjngÉns01k))m)ir¼kt kej,(,v.seaejwfþ(zsutecnmz)e0irtkí)t[angpejjeb.iew)dirs.sa,sreiooQc.krttu.cgsajoe,n)oololnQ,s(eiQ,vfi1adssnoeenQQe(þqrrsP(á1amgut1eIclf[ae((oefwþseioe11þ.MtgcPcmPnekyeQootþþw).,vaPPkwe,,nterpkMednjMid(kwwr)Qwloof1aetQ)iígMMekr--kk,mkllPkeþ))Pj(kks,,(n11!ww[þMiPþ1kk.e)kw,.ww,MknkQ)k),¼Q(10f[1,þRi.eþ,w.,jkww
2) � � � ;
10.6 Teorema de Weierstrass para productos infinitos cerosQsimf1Rpþl,esjwwekkn((zzwQ))gjk(,fz1),Mþkkw¼, kk(1z¼,)g21,, 3
f (z) bSeea f (z) analítica parazto[di.oe.z, [fe(szd) eicir, f (z) es una función entera], y suponga que esta función tiene
at a1, a2, aa13,, a. .2,. aw3,h.e.r.e, d0o,ndjea01j<,|aj1a|2<j ,|a2j|a<3j |,a3|�<� �. a. n. dy límn!1 janj ¼ 1. ATshí,enf (,z)f (sze) expresa comowQukn(fzp1)r,oþkduw¼ckt(o1z,)ing2f,in3i,to. . . ,
de la forma (10.2)
f 0(0)z=f (0) Y1 �� z � �
1 ez=ak
f (z) ¼ f (0)e �
k¼1 ak
Una generalización de lo anterior afirma que si fN (z,)Ptie1kn¼e1 ceros en ak 0, k = 1, 2, 3, . . . , de multiplicidades u
órdenes mk, respectivamente, y si para algún entero 1=akN es absolutamente convergente, entonces
Y1 �� z� �z 1 z2 1 zN�1 ��mk
1 ak exp 2 a2k � akN�1
f (z) ¼ f (0)eGT (z) k¼1 � þ þ � � � þ N 1 : (10.3)
ak
donde G(z) es una función entera. Este resultado también es verdadero si algunas de las ak son polos, en cuyo caso
sus multiplicidades son negativas.
Los resultados (10.2) y (10.3) se conocen como teoremas de factorización de Weierstrass.
10.7 Algunos productos infinitos especiales
1. sen z zz¼¼¼¼z��z�1�11�1�þþ(pp(zppz2=z22z22=�22)2��2)��12�1���1þ1(�2(þz2p2(zp)32(2)3p�2zp=�2z�2=2��)2��2)��¼2�¼�z��YkY�k�1¼1¼�¼11¼��Yk1¼11Yk1¼1þ�1��1kk122zz�pp22þ22(��2(k2k�4�4z12z)122)p2p2�2�
2. cos z
3. senh
4. cosh
10.8 La función gamma (10.4)
Para Re{z} > 0, la función gamma se define como
1ð
G(z) ¼ tz�1e�t dt
0
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322 Capítulo 10 Temas especiales
Así (véase el problema 10.11), se tiene la fórmula de recursión
G(z þ 1) ¼ zG(z) (10.5)
donde Γ(1) = 1.
Sea z un entero positivo n. De acuerdo con (10.5) se ve que
G(n þ 1) ¼ n(n � 1) � � � (1) ¼ n! (10.6)
de manera que la función gamma es una generalización del factorial, razón por la cual a la función gamma también
se le conoce como función factorial y se escribe z! en lugar de Γ(z + 1), en cuyo caso se define 0! = 1.
De acuerdo con la fórmula en (10.5) también se ve que, si z es real y positivo, Γ(z) se determina al conocer los
Γ(z) < < = 21,
valores de para 0 z 1. Si z se tiene [problema 10.14]
G�1� ¼ pffipffiffi
2 (10.7)
Para Re{z} ≤ 0, la definición (10.4) no puede emplearse porque la integral diverge. Sin embargo, mediante
prolongación analítica se define Γ(z) en el semiplano izquierdo. En esencia, eso equivale a emplear (10.5) [véase el
problema 10.15]. En z = 0, −1, −2, . . . , Γ(z) tiene polos simples [véase el problema 10.16].
10.9 Propiedades de la función gamma
A continuación se presentan algunas propiedades importantes de la función gamma. Las primeras dos se consideran
definiciones, a partir de las cuales se deducen todas las demás propiedades.
z1þ�)GG¼((1lzzn)))1zGG(pez�(��g21þzz¼��Ykþ21¼3)1:z�512�)�n7��¼�1�7k(¼2þzs1eþ5pknpz7opkffip3412ffie.ffi)z....G�. k.z(z=2 k¼zEdd) ooknl!nnímpdd1aee¼¼¼rtYgipcppl¼ll!uí!!íímmm(l1a1z1ppl,r!!�í�z�zzmsk11111¼i¼¼)GGG�þzþþs(21((1u1212¼zzz21,e12,G12,þþþlþGGþG(e1221þþz�12,��1c1112þ1321121313)oG�))þ��nþ¼�þþ¼¼¼1¼¼o211231)�c��k�kkplþe¼ppll�!¼�!í�!íírm�mm��ffips21ffipffip22�ffi11þkffikffieþþffiplffiffi2ffi�!!.G22í.G.Gzz(mzc�((�1p1(�ffip�21z1p1(1p1(1zozffiþzffi1zz1122.Gþm�)Gþ�þ)�G)GGzzGG(��1p1(¼z(¼o(¼((((z1lz11z1l1lzzzznþ�)Gnn)Gf))1))))1))1zuGzGz(GGG¼(Gp(((pepzee�nzz1l��z(z��(g(����ngg21c)þ))12121þþzzGzG(zizzzp¼eó��z¼¼Yk�����YYkk(þ��2þgþg1¼22n31¼1¼2133þ)zz))1:zz1:1:zz�P¼521�����55Y21)k21k��))þ�n2�1n¼�17n¼��i377����¼�¼¼)�1��71:111zd��77�k512kk�()¼2((e¼2¼2þ�nzþþ7s��zzss1¼�11e1G�7eeþþþ5pk55kpnppz(knkn¼pz2pzaþ7zos77oo1pkffipuppkkffipeffipffieþ.ffiffiee.ffi5.)psffi)ffik)npzzGz�.zGG�.�.s7kokk.pzk(..ffip.zz(z(ffiz=ze.2==ffi2)2kzGkk¼�.�¼z¼zkz.)zz())zz==2skkkkkl¼lel!z!í!íím)mmc111kkol!!ínYmYYo11ceY(((zzzc,,,o(kkmkz))),okc)onstante de Euler.
Esta fórmula suele conocerse como fórmula de duplicación para la función gamma.
5. Para m =GG1((,zz)2)GG, �3�G,zz.(þþ.z).Gm,m11���zGGþ��zzm1þþ�Gmm22���z��þ����mG2G���zz� þ Gmm�m�m�z þ11��m¼¼m�mm1((�11==22¼��mmmzz))(((122=p2p�))m((mmz)��(121))p==22)GG(m((m�m1zz))=)2G(mz)
�þ�
La propiedGa0d(z4) ¼e¼sGG�u�0((nzgzg))cþþa¼so���11e11gs�p�þe1cz1zi���a11lþþd�e��e1z2121s�t��aþpzzr�þoþ11p12i11�e��dazþþdþ1c��o�1�n��� þþmþ��=�n1n1�2���.þzz�þþn1n1n1���z �
6. G0((zz))
1 �þ � � ��
G(z) 1þ 1þ � ��
n� 1 þ � � �
7. 1ð
G0(1) ¼ 1ð e�t ln1ðt dt ¼ �g
G0(1) ¼G00(1e)�¼t ln t ed�t t¼ln�t dgt ¼ �g
00
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10.11 Ecuaciones diferenciales 323
1 þ
e2piz �
8. G(z) ¼ 1 tz�1e�t dt
C
donde C es el contorno de la figura 10-5. Ésta es una prolongación analítica, al semiplano izquierdo, de la
función gamma definida en (10.4).
y Plano t
DB Ax
E F
Figura 10-5
9. Otra integral de contorno con el contorno C [figura 10-5] está dada por
iþ 1 þ
2 sen pz 2pi
G(z) ¼ (�t)z�1e�t dt ¼ � (�t)�ze�t dt
CC
10.10 La función beta
Si Re{m} > 0, Re{n} > 0, la función beta se define como (10.8)
ð1
B(m, n) ¼ tm�1(1 � t)n�1 dt
0
Como se ve en el problema 10.18, la función beta se relaciona con la función gamma de acuerdo con la fórmula
B(m, n) ¼ G(m)G(n) (10.9)
G(m þ n)
Hay varias integrales que se expresan en términos de la función beta y, por tanto, en términos de la función
gamma. Dos fórmulas interesantes son
pð=2 u cos2n�1 u du ¼ 1 B(m, n) ¼ G(m)G(n) (10.10)
sen2m�1 2 2G(m þ n)
0
ð1 1t pþ�1t dt ¼ B( p, 1 � p) ¼ G( p)G(1 � p) ¼ p (10.11)
sen pp
0
la primera es válida para Re{m} > 0 y Re{n} > 0, y la segunda, para 0 < Re{p} < 1.
Para el caso de que Re{m} ≤ 0 y Re{n} ≤ 0, la definición (10.8) se extiende mediante prolongación analítica.
10.11 Ecuaciones diferenciales
Suponga la ecuación lineal diferencial
Y00 þ p(z)Y0 þ q(z)Y ¼ 0 (10.12)
Si p(z) y q(z) son analíticas en un punto a, entonces a se llama punto ordinario de la ecuación diferencial. Los puntos
en los que p(z) o q(z) o ambas no son analíticas se llaman puntos singulares de la ecuación diferencial.
ejemplo 10.1 PFaorra Y00 þ zY0 þ (z2 � 4)Y ¼ 0,, todo punto es un punto ordinario.
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324 Capítulo 10 Temas especiales
ejemplo 10.2 P ara (1 − z2)Y″ − 2zY′ + 6Y = 0 o Y″ − {2z/(1 − z2)}Y′ + {6/(1 − z2)}Y = 0, se observa que
z = 1 son puntos singulares; todos los demás puntos son puntos ordinarios.
Sea z = a un punto singular, pero (z − a)p(z) y (z − a)2q(z) son analíticas en z = a. Así, z = a se llama punto
singular regular. Si z = a no es un punto ordinario ni singular regular, entonces es un punto singular irregular.
ejemplo 10.3 En el ejemplo 10.2, z = 1 es un punto singular regular porque
(z (�z �1)�1)���1 �21z�2z2z�z2�¼ ¼z 2þzzþ21z 1 y (z (�z �1)21�)21��16 6 � � ¼6 �6 �6z6z
�z2 z2 ¼ z þz þ1 1
son analíticas en z = 1. De manera similar, z = −1 es un punto singular regular.
ejemplo 10.4 z3Y″ + (1 − z)Y′ − 2Y = 0 tiene a z = 0 como punto singular. Además,
z �z1�z�13 z�z3�z�¼ ¼1 �1 �z z y z2�z2���z23 �2 � ¼� �2z 2
z2 z2 z3 ¼ z
no son analíticas en z = 0, de manera que z = 0 es un punto singular irregular.
Si Y1(z) y Y2(z) son dos soluciones de (10.12) que no sean múltiplos constantes una de otra, estas soluciones se lla-
man linealmente independientes. En tal caso, si A y B son constantes cualesquiera, la solución general de (10.12) es
Y ¼ AY1 þ BY2 (10.13)
Los teoremas siguientes son fundamentales.
Teorema 10.1. S ea z = a un punto ordinario de (10.12). Así, existen dos soluciones linealmente independientes
de (10.12) de la forma
X1 ak(z � a)k (10.14)
k¼0
donde las constantes ak se determinan mediante sustitución en (10.12). Al hacer esto puede ser
necesario desarrollar p(z) y q(z) en potencias de (z − a). En la práctica, es deseable sustituir
(z − a) por una nueva variable.
Las soluciones (10.14) convergen en un círculo con centro en a, que se extiende hasta la singularidad más cercana
de la ecuación diferencial.
ejemplo 10.5 PL a ecuación (1 − z2)Y″ − 2zY′ + 6Y = 0 [véase el ejemplo 10.2] tiene una solución de la forma
akzk que converge en el interior de la circunferencia |z| = 1.
Teorema 10.2. S uponga que z = a es un punto singular regular. Así, existe al menos una solución de la forma
X1
(z � a)c ak(z � a)k (10.15)
k¼0
donde c es una constante. Al sustituir en (10.12) e igualar a cero la potencia más baja de (z − a)
se obtiene una ecuación cuadrática para c (llamada ecuación característica). Si a las soluciones
de esta ecuación cuadrática las llamamos c1 y c2, se tienen las situaciones siguientes.
1. c1 − c2 un entero. En este caso, hay dos soluciones linealmente independientes de la
forma (10.15).
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10.13 Funciones de Bessel 325
2. c1 = c2. Aquí, una solución es de la forma (10.15) y la otra solución linealmente indepen-
diente es de la forma
ln(z � a) X1 bk(z � a)kþc (10.16)
k¼0
3. c1 − c2 = un entero 0. En ese caso, existe ya sea una solución de la forma (10.15) o
dos soluciones linealmente independientes que tienen esta forma. Si sólo se halla una
solución de la forma (10.15), la otra solución linealmente independiente es de la forma
(10.16).
Todas las soluciones obtenidas convergen en un círculo con centro en a, que se extiende hasta la singularidad más
cercana de la ecuación diferencial.
10.12 Solución de ecuaciones diferenciales mediante
integrales de contorno
Con frecuencia es deseable buscar una solución de una ecuación diferencial de la forma (10.17)
þ
Y(z) ¼ K(z, t)G(t) dt
C
donde K(z, t) se conoce como el núcleo. Una posibilidad útil se presenta cuando K(z, t) = ezt, en cuyo caso
þ
Y(z) ¼ eztG(t) dt (10.18)
C
Tales soluciones pueden presentarse cuando los coeficientes de la ecuación diferencial son funciones racionales
(véanse los problemas 10.25 y 10.26).
10.13 Funciones de Bessel
La ecuación diferencial de Bessel de orden n está dada por
z2Y00 þ zY0 þ (z2 � n2)Y ¼ 0 (10.19)
(10.20)
Una solución de esta ecuación cuando n ≥ 0 es
Jn(z) ¼ zn 1) � � z2 2) þ 2 � 4(2n z4 þ 4) � � � �
2nG(n þ 1 2(2n þ þ 2)(2n �
que se conoce como función de Bessel del primer tipo de orden n.
Si n no es un entero, la solución general de (10.18) es
Y ¼ AJn(z) þ BJ�n(z) (10.21)
donde A y B son constantes arbitrarias. Pero si n es un entero, entonces J−n(z) = (−1)nJn(z) y (10.20) no proporciona
la solución general. En este caso, la solución general se halla como en los problemas 10.182 y 10.183.
Las funciones de Bessel tienen muchas propiedades interesantes e importantes, entre las que se encuentran las
siguientes.
1. ez(t�1=t)=2 ¼ X1 Jn(z)tn
n¼�1
El lado izquierdo suele conocerse como función generatriz de las funciones de Bessel del primer tipo para
valores enteros de n.
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326 Capítulo 10 Temas especiales
2. zJn�1(z) � 2nJn(z) þ zJnþ1(z) ¼ 0
5384796....... 1dE0os.tn2ad7ef]ó.Crmesuluanððððð000000zzzzzzðsa0ztðtttðtððð0e00000zzzzzzJJJJJtðc0zJJJJJJtnttntntnnnucJJJJJJntnnnnnn(J(((J(JJJdddddroJndna(ddndan(dnna((na(a(Jndnvnnnnzzzzzdznnza(zz(z((((tntt(tt((((azz)a)a()a)a)a)))o)f)tzfffzf(zzz)aðJððJð)JðJ0J0ztf0000zztzzt)tztz)))zs)zzzc¼zJ¼J¼¼JJ¼JðJ))0)))zntnnnnnn)nnnnzni¼JennntnnntJtt¼tJJ)J¼J¼¼¼nmn(J(((J(JJJffnfff(t((J((¼nbnbnnnb(nbbJpppppn1nnJnn1fn11Jz1JJJzz(zzcnb(p(((p(tn1t(tJtt((z(()2))n)2)22n2nnnnobb(bbb)))))ztlzð(zzzðððð)p02p0nppp000p0(((((1b1p111pppepm)¼¼t¼z¼¼t)ttðt))))dpd0ddada(aaa1p))))¼)gtcg)gcgcgccdaiitiiictttttt)tttogcdodddodoooi)t))))t¼p¼e¼¼p¼ppp11111¼Cdþ¼oþ¼¼CCCþ¼þCþggtg)ggstttstsss¼pr1¼þf2g2t2222s(((((róð¼ððð¼ðp¼0¼¼p0ppp000p02tnztnt(tznntznzzadadðddada¼aap0r������tnznnnnnnfdcdfcfafcfcctm�ztttztzzznJJJnJJnfnnncznzzzzooaoootzJJJJJJ�n����¼�nz¼nf¼¼nnn¼nffffou��J���ssssnsnnnnn��¼n����fa�qaaaa11�1111s(l(n((((((((�a1ae1Juee1eJ1eJ11nJ1Jn(nnnbbb(bzbzzzzzzzz2z2222e1J(n((((n((b(n((n(nnenz2f22f22f2ffzzzzzz2111111zzz(zzs(nsss(ds(((2(fz)))=))1=====[z)[[[)[)))esbebeb(beebeJeJ)2JJJ22=222�f,�f[�f,�f),�f,,bennnnnznJ)zz2z)z))))nnJ�fnnn,nJJJJzzzzzznz))c)))�)n�r���J�(((((n(nnnnfnzffffJJzt)JJJztzztttz�tei(n(�1f(�(1(���1(11�1Jeztnnnnnn0c00000)sa)sa))(sa�sa)1sa(((((1d1rn1d11d1d(d0(((()sauedaeedeadeda(daadzddzddzzz=r1=d===a=aa(aazbbzezbbzdbbzbbabbndnrnznan)tz)t)t=)ttz)tzzzafffffzzbb)z)z)z))z)ngs22gg)tg22g22f2222z22)fff)f)))fz))f))f)f)fdfaddg2dd22i22222fz)zzzz���)f���ó���������d���2�z��t�����t���tt�t))�))���)�t����,n,,,�,�t)n�nnnnndddd,ds=ssssbaabaabaabaabaanJJJJJbdbbbbseeeeeJfbaaJfpJfJfJfJz22z22z22z2222z22bnnnnnneJJJnfJJJnnnnnpnnpnnpnppz22aJ0JJJnJ(((((,,,,J,nnnnnnn�nnn�pnn�n���Jzz(znzzrnnnn.,nnnnnnnn�((((( z)1n)1a))111()1(n(((¼ap¼a¼¼(apa¼pappgg)g1gag(a(aa(a(((¼apzgzzzaznaaa(anannnzn1lðzzz1ðz111ðð1ð0¼0¼000¼¼0¼z))a))n)a0zz0z0)1z0ðz0z))))0¼JJJ)JJ¼¼¼¼¼J0z=)JJ)J)Jes)))eeee,,,,J,nnn¼nn0n0000J0JJ)JJJ�e�n���nnnn,n������++n+++(0((((J��nfn��n��n�nnn�+ibiibi(bibebnnnnnunþ�nþþzþþþzzzznnnnn1ib11111fnfffffnz1z1þz1z1z1zn�����n�111111(1t(f((t(tttz�1)����)�)))�t,,,,e,c1ebeee(b(bbn(bt((n(nnnnge�gg)gg,zeazzbzzaza(+aagni+++g+JgggJJJJzgzzzzr,o,z,,s,assss+sgJzzz)znzzo)en))nnn)eneeeeeeee,esnz)þ)n)þ))þe2þþ)þn22n2n2nnnerr,rrr,,,,]])]]þ]h2enhhhhhr,1,1,1,11,1,]hsfff1,fff(.((.(.(..aaaaafzzz(z.za...d.ddddd=z==)==))))aaa.aad....f=ffff)ea.=f=====bbbbbBbbbbbebbssel [véase el problema
CC
zn ð1
1 � 3 � 5 � � � (2n � 1)p
10. Jn(z) ¼ eizt(1 � t2)n�1=2 dt
�1
¼ 1 � 3 � 5 � zn � 1)p ðp f) sen2nf df
� � (2n cos(z cos
0
Una segunda solución para la ecuación diferencial de Bessel, cuando n es un entero positivo, se conoce como
función de Bessel del segundo tipo de orden n o función de Neumann, y está dada por
Yn(z) ¼ Jn(z) ln z � 1 Xn�1 (n � k � 1)! � z �2k�n
� 2
k¼0 k! 2 (10.22)
1 k)g
2 X1 (�1)k � z �2kþn
(k!)(n þ 2 fG(k)
k¼0 k)! þ G(n þ
donde G(k) ¼ 1 þ 1 þ 1 þ � � � þ 1=k y G(0G)(=0) 0¼. 0.
2 3
ISfinn¼= 00,, se tiene � 1� � 1�
1 2 1 3
Y0(z) ¼ J0(z) ln z þ z2 � z4 þ þ z6 þ 1 þ � � � � (10.23)
22 2242 224262 2
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10.14 Funciones de Legendre 327
En términos de estas ecuaciones, la solución general de (10.19), para n que es un entero positivo, se escribe
Y ¼ AJn(z) þ BYn(z) (10.24)
10.14 Funciones de Legendre
La ecuación diferencial de Legendre de orden n está dada por
(1 � z2)Y00 � 2zY0 þ n(n þ 1)Y ¼ 0 (10.25)
(10.26)
La solución general de esta ecuación es
Y ¼ � � n(n þ 1) z2 þ n(n � 2)(n þ 1)(n þ 3) z4 � � � �
A1 2! 4! �
� (n � 1)(n þ 2) (n � 1)(n � 3)(n þ 2)(n þ 4) �
Bz 3! 5! �
þ � z3 þ z5 � � �
Si n no es entero, estas soluciones en forma de serie convergen para |z| < 1. Si n es cero o un entero positivo, se obtie-
nen soluciones polinómicas de grado n. Estas soluciones polinómicas se conocen como polinomios de Legendre y se
denotan Pn(z), n = 0, 1, 2, 3, . . . . Al elegir estos polinomios de manera que Pn(1) = 1, se encuentra que se expresan
mediante la fórmula de Rodrigues
Pn(z) ¼ 1 dn (z2 � 1)n (10.27)
2nn! dzn
de donde P0(z) ¼ 1, P1(z) ¼ z, P2(z) ¼ 1 (3z2 � 1), P3(z) ¼ 1 (5z3 � 3z), etccé. tera.
2 2
Las siguientes son algunas propiedades de los polinomios de Legendre.
1. pffiffiffiffiffiffiffiffiffi1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ X1 Pn(z)tn
1 � 2zt þ t2
n¼0
Esta igualdad se conoce como función generatriz para los polinomios de Legendre.
2. Pn(z) ¼ (2n)! � � n(n � 1) zn�2 þ n(n � 1)(n � 2)(n � 3) zn�4 � � � �
2n(n!)2 zn 2(2n � 1) 2� 4(2n � 1)(2n � 3) �
1 þ (t2 � 1)n
2pi 2n(t � z)nþ1
3. Pn(z) ¼ dt
C
donde C es cualquier curva cerrada que encierre al polo t = z.
4. ð1ð1 ((00 isfi fmm==nn
PPmm(z()zP)Pn(nz()z)ddz z¼¼ 22 isfi fmm¼¼nn
��1 1 22nnþþ11
[Véanse los problemas 10.30 y 10.31.] ðp pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
5. ðp pffizffiffi2ffiffi�ffiffiffiffiffi1ffiffi
Pn(z) ¼ 1 [z þ cos f]n df
Pn(z) ¼ 0 [z þ z2 � 1 cos f]n df
p1
p
0
[Véase el problema 6.34.]
6. (n þ 1)Pnþ1(z) � (2n þ 1)zPn(z) þ nPn�1(z) ¼ 0
Esta ecuación se cono(cne þco1m)oPnfóþr1m(zu)l�a d(e2nreþcu1rs)zióPnn(pza)rþa lnoPsnp�o1l(izn)o¼mio0s de Legendre [véase el problema
10.32].
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328 Capítulo 10 Temas especiales
7. (2n þ 1)Pn(z) ¼ Pn0 þ1(z) � P0n�1(z)
Si n es cero o un entero positivo, la solución general para la ecuación de Legendre se escribe como
Y ¼ APn(z) þ BQn(z) (10.28)
donde Qn(z) es una serie infinita convergente para |z| < 1 que se obtiene de (10.26). Si n no es un entero positivo,
existen dos soluciones en forma de serie infinitas que se obtienen de (10.26) convergentes para |z| < 1. Estas solu-
ciones de la ecuación de Legendre se conocen como funciones de Legendre, y tienen propiedades análogas a las de
los polinomios de Legendre.
10.15 Función hipergeométrica
La función definida por
F(a, b; c; z) ¼ 1 þ a � b z þ a(a þ 1)b(b þ 1) z2 þ � � � (10.29)
1 � c 1 � 2 � c(c þ 1)
se conoce como función hipergeométrica y es una solución de la ecuación diferencial de Gauss o ecuación hiper-
geométrica
z(1 � z)Y00 þ fc � (a þ b þ 1)zgY0 � abY ¼ 0 (10.30)
La serie en (10.29) es absolutamente convergente para |z| < 1 y divergente para |z| > 1. Para |z| = 1, la serie converge
absolutamente si Re{c – a − b} > 0.
Suponga que |z| < 1 y que Re{c} > Re{b} > 0. Así, se tiene
G(c) ð1
G(b)G(c �
F(a, b; c; z) ¼ b) tb�1(1 � t)c�b�1(1 � tz)�a dt (10.31)
0
Para |z| > 1, la función se define mediante prolongación analítica.
10.6 La función zeta
La función zeta, muy estudiada por Riemann en relación con la teoría de los números, se define para Re{z} > 1
mediante
z(z) ¼ 1 þ 1 þ 1 þ � � � ¼ X1 1 (10.32)
1z 2z 3z kz
k¼1
Esta función se extiende mediante prolongación analítica a otros valores de z. La definición extendida de z(z) tiene
la interesante propiedad de que
z(1 � z) ¼ 21�zp�zG(z) cos(pz=2)z(z) (10.33)
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10.17 Series asintóticas 329
Otras propiedades interesantes son las siguientes.
1 1ð tz�1
G(z) et þ 1
1. z(z) ¼ dt Refzg . 0
0
2. La única singularidad de z(z) es un polo simple en z = 1 con residuo 1.
3. Si Bk, k = 1, 2, 3, . . . , es el coeficiente de z2k en el desarrollo
1 z cot�21 � ¼ 1 � X1 Bk z2k
2 z (2k)!
k¼1
por ende
z(2k) ¼ 22k�1 p2k Bk k ¼ 1, 2, 3, . . .
(2k)!
Así se tiene, por ejemplo, B1 = 1/6, B2 = 1/30, . . . , de donde z(2) = p2/6, z(4) = p 4/90, . . .
Los núme-
ros Bk se conocen como números de Bernoulli. En el problema 6.163, página 203, hay otra definición de
los números de Bernoulli.
4. 1 ¼ � � 1 �� � 1 �� � 1 �� � 1� � � � ¼ Y� � 1�
z(z) 1 2z 1 3z 1 5z 1 7z 1 pz
p
donde el producto es un producto sobre todos los primos positivos p.
La conjetura de Riemann, que afirma que todos los ceros de z(z) se encuentran en la recta Re{z} = 12, aún no se
comprueba ni refuta. Sin embargo, Hardy demostró que sobre esta recta hay una cantidad infinita de ceros.
10.17 Series asintóticas
Una serie
a0 þ a1 þ a2 þ � � � ¼ X1 an (10.34)
z z2 zn
n¼0
se dice que es una serie asintótica para una función F(z) si, para todo entero positivo M dado,
lím ( � XM ) ¼ 0 (10.35)
En este caso se escribe zl!ím1 zM( F (z) � XM an) ¼ 0 (10.36)
zM F(z) aznn
z!1 n¼0 zn
n¼0
F(z) � X1 an
F(z) � X1 aznn
zn
n¼0
n¼0
Las series asintóticas y las fórmulas en que aparecen son muy útiles en la evaluación de funciones en valores
grandes de la variable, lo cual de otra manera puede ser difícil. En la práctica, una serie asintótica puede divergir.
Pero, al tomar la suma de los términos sucesivos de la serie hasta antes de que los términos empiecen a crecer, puede
obtenerse una buena aproximación a F(z).
Con series asintóticas pueden realizarse varias operaciones. Así, por ejemplo, las series asintóticas pueden sumarse,
multiplicarse o integrarse término a término para obtener otra serie asintótica. La diferenciación, sin embargo, no
siempre es posible. Para un rango dado de valores de z, una serie asintótica, si existe, es única.
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330 Capítulo 10 Temas especiales
10.18 Método del punto silla
Sea I(z) expresable en la forma
ð
I(z) ¼ ezF(t) dt (10.37)
C
donde C es una trayectoria en el plano t. Como F(t) es compleja, se considera que z es real.
El método del punto silla sirve para hallar una fórmula asintótica para (10.37) válida para z grande. Este método,
cuando es aplicable, consta de los pasos siguientes.
1. Determinar los puntos en los que F ′(t) = 0. Estos puntos se conocen como puntos silla, razón por la que
el método se conoce como método del punto silla.
Se supondrá que sólo hay un punto silla, digamos t0. Si hay más de un punto silla, el método se extiende.
2. Si se supone que F(t) es analítica en una vecindad de t0, se obtiene el desarrollo en serie de Taylor
F(t) ¼ F(t0) þ F00(t0)(t � t0)2 þ � � � ¼ F(t0) � u2 (10.38)
2!
Ahora se deforma el contorno C de manera que pase por el punto silla t0 y sea tal que la Re{F(t)} sea la
más grande en t0 mientras que Im{F(t)} se considera igual a la constante Im{F(t0)} en la vecindad de t0.
Con estos supuestos, la variable u, definida por (10.38), es real y se obtiene con un alto grado de aproxi-
mación
I(z) ¼ ezF(t0) 1ð e�zu2 � dt � du (10.39)
du
�1
donde, de (10.38), se hallan constantes b0, b1, . . . tales que
dt ¼ b0 þ b1u þ b2u2 þ � � � (10.40)
du
3. En (10.39) se sustituye (10.40) y se realizan las integraciones para obtener la expansión asintótica bus-
cada
I(z) � rffipffiffi � þ 1 b2 þ 1 � 3 b4 þ 1 � 3 � 5 b6 þ � � � (10.41)
z ezF(t0) b0 2 z 2 � 2 z2 2 � 2 � 2 z3 �
Para muchos propósitos prácticos, el primer término proporciona suficiente exactitud y se encuentra
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
�2p
I(z) � zF00(t0) ezF (t0 ) (10.42)
Métodos similares al anterior se conocen también como método de Laplace y método de la fase estacionaria.
10.19 Desarrollos asintóticos especiales
1. La función gamma
G(z þ 1) � pffiffiffiffiffiffiffiffi � þ 1 þ 1 � 139 þ � � � (10.43)
2pz z2e�z 1 12z 288z2 51,840z2 �
Esta fórmula suele conocerse como fórmula asintótica de Stirling para la función gamma. Es válida para
valores grandes de |z| tales que −p < arg z < p.
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10.20 Funciones elípticas 331
Sea n real y grande. Así, se tiene
pffiffiffiffiffiffiffiffi
G(n þ 1) ¼ 2pn nne�neu=12n, wdohnerdee 0 ,< uu <,11 (10.44)
(10.45)
En particular, si n es un entero positivo grande, se tiene
pffiffiffiffiffiffiffiffi (10.46)
n! � 2pn nne�n
que se conoce como fórmula asintótica de Stirling para n!.
2. Funciones de Bessel
Jn(z)Jn�(z)r�ffipffi2ffiffizrffi �ffipffi2Pffiffizffi(z�)Pc(ozs)�czos��21z �np12�np14 �p�14 þp�Qþ(z)Qse(zn)�sze�n�21z �np21�np41 �p�41�p��
donde
P(z)P¼(z)1 ¼þ X1 X(1�1)(k�[41n)k2[4�n12 2�][41n2]2[4�n32 2�] �3�2�][�4�n�2[4�n(24�k �(4k1)�2] 1)2 ]
1þ k¼1 (2k)(!26kk)z!22k6kz2k
(10.47)
k¼1
X1 X(1�1)(k�[41n)k2[4�n12 2�][41n2]2[4�n32 2�] �3�2�][�4�n�2[4�n(24�k �(4k3)�2] 3)2 ]
Q(z)Q¼(z) ¼ k¼1 (2k �(2k1)�!261k)�!23z6k2�k�31z2k�1
k¼1
Esta fórmula es válida para valores grandes de |z| tales que −p < arg z < p.
3. La función del error
erf(z) ¼ p2pffiffiffi ðz e�t2 dt � 1 þ ze�z2 X1 (�1)k Gfk �z2(k1=2)g (10.48)
p
0 k¼1
Esta fórmula es válida para valores grandes de |z| tales que −p/2 < arg z < p/2. Para p/2 < arg z <
3p/2, esta fórmula es válida si en el lado derecho se sustituye z por −z.
4. La integral exponencial
Ei(z) ¼ 1ð e�t dt � e�z X1 (�zk1þ)k1k! (10.49)
t k¼0
z
Esta fórmula es válida para valores grandes de |z| tales que −p < arg z < p.
10.20 Funciones elípticas
La integral
z ¼ ðw pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jkj , 1 (10.50)
(1 � t2)(1 � k2t2)
0
se conoce como integral elíptica del primer tipo. Esta integral existe si w es real y tal que |w| < 1. Mediante prolon-
gación analítica, esta integral puede extienderse a otros valores de w. Si t = sen u y w = sen , la integral (10.50)
toma la forma equivalente
z ¼ ðf pffiffiffiffiffiffiffiffidffiffiffiuffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (10.51)
1 � k2sen2 u
0
donde suele escribirse f = am z.
Suponga que k = 0, entonces (10.50) se convierte en z = sen−1 w o, de manera equivalente, w = sen z. Por ana-
logía, la integral en (10.50) para k 0 se denota sn−1 (w; k), o, simplemente, sn−1 w cuando k no cambia durante un
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332 Capítulo 10 Temas especiales
determinado análisis. Así,
z ¼ sn�1w ¼ ðw pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (10.52)
(1 � t2)(1 � k2 t2)
0
Esto lleva a la función w = sn z, que se conoce como función elíptica o también función elíptica jacobiana.
Por analogía con las funciones trigonométricas, es conveniente definir otras funciones elípticas
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
cn z ¼ 1 � sn2 z, dn z ¼ 1 � k2 sn2 z (10.53)
Otra función común es tn z = (sn z)/(cn z). A continuación se presentan varias propiedades de estas funciones.
1. ssnn((00))¼¼00,, ccnn((00))¼¼11,, ddnn((00))¼¼11,, ssnn((��zz))¼¼��ssnnzz,, ccnn((��zz))¼¼ccnnzz,, ddnn((��zz))¼¼ddnnzz
2. ((dd==ddzz))ssnnzz¼¼ccnnzzddnnzz,,((dd==ddzz))ccnnzz¼¼��ssnnzzddnnzz,,((dd==ddzz))ddnnzz¼¼��kk22ssnnzzccnnzz
3. ssnnzz¼¼sseenn((aammzz)),, ccnnzz¼¼ccooss((aammzz))
4. ssnn((zz11þþzz22))¼¼ssnnzz11ccnn1z1z2�2�ddnknk2z2z2s2snþnþ22zcz1cn1nszsnz1n212dzdnz2n2zz11ssnnzz22 (10.54)
(10.55)
ccnn((zz11þþzz 22))¼¼ccnnzz11ccnn1z1z2�2���kk2s2snsnsnznz2121zszs1n1nszsnz2n22d2dznz2n2zz11ddnnzz22 (10.56)
ddnn((zz11þþzz 22))¼¼ddnnzz11ddnnz1z212����kkkk2222sssnsnnn2z2zz1z11s1ssnsnnnz2z22z2cz2c2nnzz11ccnnzz22
Estas fórmulas se conocen como fórmulas de adición para las funciones elípticas.
5. Las funciones elípticas tienen dos periodos, por lo que se se les suele llamar funciones doblemente perió-
dicas. Sean
K ¼ ð1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pð=2 p1ffiffiffiffi�ffiffiffiffidffikffiffiu2ffiffiffisffiffieffiffinffiffi2ffiffiuffiffi (10.57)
(1 � t2)(1 � k2t2)
00
K0 ¼ ð1 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pð=2 pffi1ffiffiffi�ffiffiffiffidffikffiffiu0ffi2ffiffiffisffieffiffiffinffiffi2ffiffiuffiffi
(1 � t2)(1 � k02t2)
¼ (10.58)
00
dko0 n¼depkffi1ffiffiyffi�ffiffiffikffiffik′ffi,ffi2ffi.qEuentosencceosnloocsepnercioomdoos módulo y módulo complementario, respectivamente, son tales que
de sn z son 4K y 2iK′, los periodos de cs z son 4K y 2K + 2iK′, y los
p2eKriþod2osiKd0e, dandz tshoen 2K y 4iK′. Se sigue que en el plano complejo existe un conjunto de paralelogramos
[que se suelen llamar paralelogramos periódicos] en los cuales se repiten los valores de una función elíp-
tica. Al menor de éstos se le conoce como celda unitaria, o sólo celda.
Las ideas anteriores se extienden a otras funciones elípticas. Existen integrales elípticas del segundo y del tercer
tipo definidas, respectivamente, por
ðw rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðf pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 � k2t2 1 � k2 sen2u
z ¼ 1 � t2 dt ¼ du (10.59)
00
z ¼ ðw pffiffiffiffiffidffiffitffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðf dpuffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(1 þ nt2) (1 � t2)(1 � k2t2) u) 1 � k2 sen2u
¼ (1 þ nsen2 (10.60)
00
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Problemas resueltos 333
Problemas resueltos
Prolongación analítica
10.1. Sea F(z) analítica en una región y suponga que F(z) = 0 en todos los puntos del arco PQ en el interior de
[figura 10-6]. Demuestre que F(z) = 0 en todo .
Solución
En el arco PQ se elige un punto z0. Así, en algún círculo de convergencia C con centro en z0 [círculo que se
extiende al menos hasta la frontera de , donde puede existir una singularidad], F(z) tiene un desarrollo en serie
de Taylor
F(zF) (¼z)F¼(zF0)(zþ0)Fþ0(zF00)((zz0�)(zz�0) zþ0)21þF0210(Fz000)((zz0�)(zz�0)2z0þ)2�þ� � � � �
Pero, por hipótesis, F(zF0)(z¼0)F¼0(zF00)(z¼0)F¼00(Fz000)(z¼0)�¼� � �¼� �0¼. PH0oe.rnHtcaenn,tcFoe,(,zFF)(¼(zz))0=¼i0n0seiidnneseilCdie.ntCe.rior de C.
Al elegir otro arco en el interior de C se continúa con este proceso. De esta manera se muestra que F(z) = 0 en
todo .
y
y
C x
P
z0
Q
x
Figura 10-6 Figura 10-7
10.2. La identidad sen2 z + cos2 z = 1 es válida para los valores reales de z; demuestre que es válida para todos
los valores complejos de z.
Solución
Sea F(z) = sen2 z + cos2 z – 1 y una región del plano z que contenga una porción del eje x [figura 10-7].
Como sen z y cos z son analíticas en , se sigue que F(z) es analítica en . Además, F(z) = 0 sobre el eje x.
Por tanto, de acuerdo con el problema 10.1, F(z) = 0 idénticamente en , lo que muestra que sen2 z + cos2 z = 1
para todo z en . Como es arbitraria, se obtiene el resultado buscado.
Este método es útil para obtener, para valores complejos, muchos resultados válidos para valores reales.
10.3. Sean F1(z) y F2(z) analíticas en una región [figura 10-8], y suponga que en el arco PQ en , F1(z) = F2(z).
Demuestre que F1(z) = F2(z) en .
Solución
Se elige F(z) = F1(z) − F2(z) y se obtiene, de acuerdo con el problema 10.1, el resultado deseado.
PQ 1 J 2
Figura 10-8 K
S L aT
M
Figura 10-9
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334 Capítulo 10 Temas especiales
10.4. S ea F1(z) analítica en la región 1 [figura 10-9] y en la frontera JKLM. Suponga que es posible hallar una
función F2(z) analítica en la región 2 y en la frontera JKLM tal que F1(z) = F2(z) en JKLM. Demuestre que
la función
(
F1(z) paforar z einn R11
F(z) ¼ F2(z) paforar z ein R22
es analítica en la región , compuesta por 1 y 2 [lo que suele escribirse = 1 + 2].
Solución
Método 1. Esto se deriva del problema 10.3, pues en 2 sólo puede haber una función F2(z) que satisfaga las
propiedades requeridas.
Método 2. Con las fórmulas integrales de Cauchy.
Construya la curva simple cerrada SLTKS (línea punteada en la figura 10-9) y sea a un punto en su interior. De
acuerdo con la fórmula integral de Cauchy, se tiene (como F2(z) es analítica sobre y en el interior de LTKL, y como
F2(z) = F(z) en LTK)
1 þ F2(z) 1 ð F(z) 1 ð F(z)
2pi z�a 2pi z�a 2pi z�a
F2(a) ¼ dz ¼ dz þ dz
LTKL LTK KL
Además, de acuerdo con el teorema de Cauchy (como F1(z)/(z − a) es analítica sobre y en el interior de KSLK, y
como F1(z) = F(z) en KSL),
1 þ F1(z) 1 ð F(z) 1 ð F(z)
2pi z�a 2pi z�a 2pi z � a dz
0 ¼ dz ¼ dz þ
KSLK KSL LK
Se suma, al aprovechar que F(z) = F1(z) = F2(z) en LK de manera que las integrales a lo largo de KL y LK se
anulan, y como F(a) = F2(a), se tiene
1 þ F(z)
F(a) ¼ 2p1 i þ zF�(za) dz
F(a) ¼ 2pi z�a dz
LTKSL
LTKSL
De manera similar, se encuentra
F(n)(a) ¼ n! þ F(z) dz
F(n)(a) ¼ 2np!i þ �F(az))nþ1 dz
� a)nþ1
2pi LTKSL (z
(z
LTKSL
por lo que F(z) es analítica en a. Pero como a puede ser cualquier punto en la región , se modifica de manera
adecuada el contorno punteado de la región en la figura 10-9 y se sigue que F(z) es analítica en .
Método 3. Con el teorema de Morera.
Consulte la figura 10-9 y se tiene
þ ð ðð ð
F(z) dz ¼ F(z) dz þ F(z) dz þ F(z) dz þ F(z) dz
KSLTK KSL LK KL LTK
þþ
¼ F1(z) dz þ F2(z) dz ¼ 0
KSLK KLTK
de acuerdo con el teorema de Cauchy. Por tanto, la integral a lo largo de cualquier trayectoria simple cerrada en
es cero y, por el teorema de Morera, F(z) debe ser analítica.
La función F2(z) se llama prolongación analítica de F1(z).
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Problemas resueltos 335
10.5. a) Demuestre que la función definida por F1(z) = z − z2 + z3 − z4 + . . . es analítica en la región |z| = 1. b)
Encuentre una función que represente todas las posibles prolongaciones analíticas de F1(z).
Solución
a) De acuerdo con el criterio del cociente, esta serie converge para |z| < 1. Por tanto, esta serie representa una
función analítica en esta región.
b) Para |z| < 1, la suma de esta serie es F2(z) = z/(1 + z). Pero esta función es analítica en todos los puntos
excepto z = −1. Como F2(z) = F1(z) en el interior de |z| = 1, ésta es la función buscada.
Ð1
10.6. a) Demuestre que la función definida por F1(z) ¼ t3e�zt dt es analítica en todos los puntos z en los que
0
Re{z} > 0. b) Encuentre una función que sea la prolongación analítica de F1(z) en el interior del semiplano
izquierdo Re{z} < 0.
Solución
a) Se integra por partes para Re{z} > 0 y se tiene
1ð Mð
t3e�zt dt ¼ lím t3e�zt dt
M!1
00
� )�e��zzt � )�ez�2zt � (6t)��e�zz3t � (6)�ez�4zt ������M
lím (t3
¼ � (3t2 þ � 0
M!1
¼ Mlí!m1�z64 � M 3 e�Mz � 3M2e�Mz � 6Me�Mz � 6e�Mz� ¼ 6
z z2 z3 z4 z4
b) PsaalrvaoRze={z}0.>Co0m, olaFin2(tze)gr=alFti1e(zn)epealravaRloer{zF}2(>z)0=, s6e/vze4.qPueeroF2e(szt)a=fu6n/czió4 ndeebseasnearlíltaicparoelnontogdaocisólnosanpaulíntitcoas
buscada.
Principio de reflexión de Schwarz
10.7. D emuestre el principio de reflexión de Schwarz (véase la página 320).
Solución
Consulte la figura 10-4, página 320. Sobre el eje real [y = 0] seF1ti(ezn) e¼FF11((zx))¼¼FF11(x(x)F)¼1¼(zF)F1¼1(x(z�)F)¼1. (TxF)h1e¼(nz�,)F.b1ATy(xhs)íe,¼nd, eFby1(z�). Then, by
acuerdo con el problema 10.3, sólo es neceFsa1r(iz�o) d¼eFmF12o((z�sz)t)r¼ar Fq2u(ez)F1(z�) ¼ F22(z) es a2nalítica en 22.
Sea F1(z) ¼FU1(1z()x,¼y)Uþ1(ixVF, 1y1(()xzþ,) y¼i)V. U1C(1ox(,mxy,o)y.)esþtaiVfu1n(xc,ióyn). es anaRlít1ica[i.en.R, 1y 1.[i[.e0s.],,dyec.iRr,01]y, [>i.e0.,],yd.e a0c]u, erdo con las
ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene
@U1 ¼ @V1 , @V1 ¼ � @U1 (1)
@x @y @x @y
donde las derivadas parciales son continuas. F1(z) ¼ F1(x) ¼ F1(x) ¼ F1(z�). Then, by
Ahora, F1(z) = F1(x − iy) = U1(x, −y) + iV1(x, −y), y por ende F1(z�) ¼ UF21((zx), −y) − iV1(x, −y2). Para que esta
función sea analítica en 2, debeFt1e(nz)er¼se,Up1a(xra, y)>þ0iV, 1(x, y).
R1 [i.e., y . 0],
@U1 ¼ @(�V1) , @(�V1) ¼ � @@(�Uy1 ) (2)
@x @(�y) @x
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Variable.compleja.2ed.Schaum.Spiegel_1
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