4. GEOM - TRIGO

51COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA1. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interiorBD. Si mBAC = 60° y mBCA = 20°, hallemBDC.ResoluciónGraficando según los datos del enunciado.A CBDβ β20° 60° xIncógnita: xEn el DABDx = 60° + b ...(1)En el DABC60° + 20° + 2b = 180°2b = 100° → b = 50° ....(2)Reemplazando (2) en (1)x = 60° + 50° ∴ x = 110°Rpta.: 110°2. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interiorBD, tal que el triángulo ABD es equilátero y lamDBC=50°. Halle mBCD.ResoluciónGraficando según los datos del enunciado.A CBD60° 60° x50°60°Incógnita: xEn el DDBC por ángulo exteriorx + 50° = 60°∴ x = 10°Rpta.: 10° En la figura, BM es mediana relativa al lado AC.Halle el valor de x.A CB2x+4 M 10 – xResoluciónIncógnita: xSi BM es mediana, entonces: AM = MC→ 2x + 4 = 10 – x 3x = 6 ∴ x = 2Rpta.: 2 BH es altura, halle el valor de A CBH15°3b x2bResoluciónA CBH15°3b x2bEn el DABH3b +15° = 90°3b = 75° → b = 25°En el DBCHx + 2b = 90°x + 2(25)° = 90°∴ x = 40°Rpta.: 40°Solved problemsGraficando según los datos del enunciado.A CBDβ β20° 60° xIncógnita: xEn el DABDx = 60° + b ...(1)En el DABC60° + 20° + 2b = 180°2b = 100° → b = 50° ....(2)Reemplazando (2) en (1)x = 60° + 50° ∴ x = 110°Rpta.: 110°2. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interiorBD, tal que el triángulo ABD es equilátero y lamDBC=50°. Halle mBCD.ResoluciónGraficando según los datos del enunciado.A CBD60° 60° x50°60°Incógnita: xEn el DDBC por ángulo exteriorx + 50° = 60°∴ x = 10°Rpta.: 10°A C2x+4 M 10 – xResoluciónIncógnita: xSi BM es mediana, entonces: AM = MC→ 2x + 4 = 10 – x 3x = 6 ∴ x = 2Rpta.: 2 Si BH es altura, halle el valor de x.A CBH15°3b x2bResoluciónA CBH15°3b 2bEn el DABH3b +15° = 90°3b = 75° → b = 25°En el DBCHx + 2b = 90°x + 2(25)° = 90°∴ x = 40°Rpta.: 40°1. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interiorBD. Si mBAC = 60° y mBCA = 20°, hallemBDC.ResoluciónGraficando según los datos del enunciado.A CBDβ β20° 60° xIncógnita: xEn el DABDx = 60° + b ...(1)En el DABC60° + 20° + 2b = 180°2b = 100° → b = 50° ....(2)Reemplazando (2) en (1)x = 60° + 50° ∴ x = 110°Rpta.: 110°2. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interiorBD, tal que el triángulo ABD es equilátero y lamDBC=50°. Halle mBCD.ResoluciónGraficando según los datos del enunciado.A CBD60° 60° x50°60°Incógnita: xEn el DDBC por ángulo exteriorx + 50° = 60°= 10° En la figura, BM es mediana relativa al lado AC.Halle el valor de x.A CB2x+4 M 10 – xResoluciónIncógnita: xBM es mediana, entonces: AM = MC→ 2x + 4 = 10 – 3x = 6 ∴ x = 2Rpta.: 2 Si BH es altura, halle el valor de x.A CBH15°3b x2bResoluciónA CBH15°3b x2bEn el DABH3b +15° = 90°3b = 75° → b = 25°En el DBCHx + 2b = 90°x + 2(25)° = 90°Solved problems 3. En la figura, BM es mediana relativa al lado AC.Halle el valor de x.A CB2x+4 M 10 – xResoluciónIncógnita: xSi BM es mediana, entonces: AM = MC→ 2x + 4 = 10 – x 3x = 6 ∴ x = 2Rpta.: 24. Si BH es altura, halle el valor de x.B15°2bA CD20° 60° xIncógnita: xEn el DABDx = 60° + b ...(1)En el DABC60° + 20° + 2b = 180°2b = 100° → b = 50° ....(2)Reemplazando (2) en (1)x = 60° + 50° ∴ x = 110°Rpta.: 110°2. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interiorBD, tal que el triángulo ABD es equilátero y lamDBC=50°. Halle mBCD.ResoluciónGraficando según los datos del enunciado.A CBD60° 60° x50°60°Incógnita: xEn el DDBC por ángulo exteriorx + 50° = 60°∴ x = 10°Rpta.: 10°Incógnita: xSi BM es mediana, entonces: AM = MC→ 2x + 4 = 10 – x 3x = 6 ∴ x = 2Rpta.: 24. Si BH es altura, halle el valor de x.A CBH15°3b x2bResoluciónA CBH15°3b x2bEn el DABH3b +15° = 90°3b = 75° → b = 25°En el DBCHx + 2b = 90°x + 2(25)° = 90°∴ x = 40°Rpta.: 40° 3. En la figura, BM es mediana relativa al lado AC.Halle el valor de x.A CB2x+4 M 10 – xResoluciónIncógnita: xSi BM es mediana, entonces: AM = MC→ 2x + 4 = 10 – x 3x = 6 ∴ x = 2Rpta.: 24. Si BH es altura, halle el valor de x.B15°2b5. Halle el valor de x.A CEw bw bB4x7xResoluciónA CEw bw bB4x2x7xPRACTICO EN CLASE

202652 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAA C2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle elvalor de x.A C ExB4x2xResolución Aplico lo aprendido1. En el triángulo ABC, AH es altura. Halle el valor dex.A CBHx2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle elvalor de x.A C ExB4x2xResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interiorBD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:4. En el triángulo PQR, QE es mediana relativa a PR;en el triángulo PEQ, EF es mediana relativa a PQ;en el triángulo QER, EG es mediana relativa a QR.Si el perímetro de la región triangular PQR es 111 u,calcule a + b + c.P EQFRc3a32b 32Resolución:PracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a Demuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interiorBD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:2 + b2.Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule aAplico lo aprendido1. En el triángulo ABC, AH es altura. Halle el valor dex.A CBHx2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle elvalor de x.A C ExB4x2xResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interiorBD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:4. En el triángulo PQR, QE es mediana relativa a PR;en el triángulo PEQ, EF es mediana relativa a PQ;en el triángulo QER, EG es mediana relativa a QR.Si el perímetro de la región triangular PQR es 111 u,calcule a + b + c.P EGQFRa32b 32Resolución:Practice PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2} y B = Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a. Dados x.A CBHx2qq3qResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle elvalor de x.A C ExB4x2xResolución BD; la m  BAC = 75° y la m  BCA = 45°: calcule la m  BDC.Resolución:4. En el triángulo PQR, QE es mediana relativa a PR;en el triángulo PEQ, EF es mediana relativa a PQ;en el triángulo QER, EG es mediana relativa a QR.Si el perímetro de la región triangular PQR es 111 u,calcule a + b + c.P EGQFRc32a32b 32Resolución:+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {a

TAREA DOMICILIARIA53COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En el triángulo PQR, QH es altura. Halle el valor dex.PHRQxb4b 5bResolución2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle elvalor de x. Workshop5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.ABC60°50°xLResoluciónAsumo mi reto Una persona ubicada en el des AP y PC bajo ángulos de iguales medidas. Si laproyectante BP y AP forman un ángulo que mide88°, halle el valor de x.70°xAPB CResoluciónCeleste se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Girasoles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el árbol, siguiendo una trayectoria rectilínea. El árbol equidista de los postes. DB = 32 m y AB = 30 m. Si se sabe que 5 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Celeste?AC D BResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita? Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Resolución12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.ABC60°50°xLResoluciónAsumo mi reto6. Una persona ubicada en el punto B, observa los bordes AP y PC bajo ángulos de iguales medidas. Si laproyectante BP y AP forman un ángulo que mide88°, halle el valor de x.70°xAPB CResoluciónCeleste se encuentra en una determinada zona del parque \"Los Girasoles\". Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el árbol, siguiendo una trayectoria rectilínea. El árbol equidista de los postes. DB = 32 m y AB = 30 m. Si se sabe que 5 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Celeste?AC D BResolución1 2 4 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

202654 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA2. BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle elvalor de x.A C100°BE2xResolución4. En el triángulo ABC, BM es mediana relativa a AC;en el triángulo AMB, MP es mediana relativa a AB;en el triángulo BMC, MN es mediana relativa a BC.Si el perímetro de la región triangular ABC es 205 u,calcule x + y + z.A MNBPCz52x52y52Resolución:A C100°BE2xResolución Demuestro mis conocimientos3. En un triángulo PQR, se traza la bisectriz interiorQM; la m  QPR = 80° y la m  QRP = 30°.Calcule la m  QMR.Resolución:4. En el triángulo ABC, BM es mediana relativa a AC;en el triángulo AMB, MP es mediana relativa a AB;en el triángulo BMC, MN es mediana relativa a BC.Si el perímetro de la región triangular ABC es 205 u,calcule x + y + z.A MNBPCz52x52y52Resolución:SCOREDemuestro mis conocimientos3. En un triángulo PQR, se traza la bisectriz interiorQM; la m  QPR = 80° y la m  QRP = 30°.Calcule la m  QMR.Resolución:4. En el triángulo ABC, BM es mediana relativa a AC;en el triángulo AMB, MP es mediana relativa a AB;en el triángulo BMC, MN es mediana relativa a BC.Si el perímetro de la región triangular ABC es 205 u,calcule x + y + z.A MNBPCz52x52y52Resolución:SCORE5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.70°80°xA CBLResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra un poste de luz, perpendicular al piso,con dos cables. El cable BC, forma con el piso unángulo que mide 60° y forma con el poste un ánguloque mide el doble del ángulo que forma el poste conel cable AB. Halle la medida del ángulo que formael cable AB con el piso.B

55COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAsumo mi reto6. Se muestra un poste de luz, perpendicular al piso,con dos cables. El cable BC, forma con el piso unángulo que mide 60° y forma con el poste un ánguloque mide el doble del ángulo que forma el poste conel cable AB. Halle la medida del ángulo que formael cable AB con el piso.A CBResoluciónA CResolución5. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.70°80°xA CBLResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra un poste de luz, perpendicular al piso,con dos cables. El cable BC, forma con el piso unángulo que mide 60° y forma con el poste un ánguloque mide el doble del ángulo que forma el poste con. Halle la medida del ángulo que forma con el piso.A CBResolución1. En el gráfico, halle el valor de x.ABEDqwwb bq2qI xC34°A) 60° B) 50°C) 53° D) 56° TrialAbril se encuentra en una determinada zona del parque “Los Claveles”. Ella, que se ubica en el punto A, se dirigirá caminando hasta el punto C, donde se encuentra el poste, siguiendo una trayectoria rectilínea. El poste equidista de los árboles. AB = 24 m y BD = 20 m. Si se sabe que 3 de sus pasos equivalen a 2 m, ¿cuántos pasos dará Abril?AC D BResolución:PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

202656 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAContinuamos en tu cuaderno4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°Nivel III5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°Nivel III5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°Nivel II3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + CN. ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u 70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°Nivel III Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°Nivel I1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°Nivel II3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas AN y BM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + CN. ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°Nivel III5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMurox 8° B) 10° 15° D) 12°Helico challengeNivel I1. En el triángulo PQR, PM es bisectriz interior. Halle el valor de x.RMQP 30°100°xA) 20° B) 25°C) 28° D) 30°2. En el triángulo ABC, BH es altura. Halle el valor de b.x4xA H CB3xbA) 36° B) 37°C) 40° D) 30°Nivel II3. En un triángulo ABC, se trazan las medianas ANBM, tal que BN = 3 u, AM = 4 u y AB = CM + ¿Cuál es la longitud de AB?A) 5 u B) 8 uC) 6 u D) 7 u4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°Nivel III5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10° 15° D) 12°Helico challenge4. Si L es mediatriz de AC, ¿cuál es el valor de x?70°60°4xA CB LA) 15° B) 20°C) 25° D) 18°Nivel III5. Un muro ABC, se sostiene por una barra BE de modo que BE sea la bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de xA C EB5x3xBarraMuroxA) 8° B) 10°C) 15° D) 12°Nivel I1. BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.BA C P115° 15°xA) 90° B) 80°C) 60° D) 120°Nivel IINivel III4. En un parque se observan tres perros en los puntos A, B y C; sus dueños están ubicados, respectivamente, en los puntos N, M y P. Dichos perros se dirigirán hacia sus dueños, de tal forma que sus desplazamientos representan medianas del triángulo ABC. Calcule el perímetro de la región ABC.BP N6 m4 mHelico homeworkBA C P115° 15°xA) 90° B) 80°C) 60° D) 120°Nivel II2. BH es altura del triángulo ABC. Halle el valor de q.A HBC40°2x3x3qA) 5° B) 10°C) 6° D) 12°3. Si L es mediatriz del PR, halle el valor de x.80°5xP RQ LA) 18° B) 15°C) 20° D) 25° Nivel I1. BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.BA C 115° 15°xA) 90° B) 80°C) 60° D) 120°Nivel II2. BH es altura del triángulo ABC. Halle el valor de A HBC40°2x3x3qA) 5° B) 10°C) 6° D) 12°3. Si L es mediatriz del PR, halle el valor de x.80°5xP RQ LA) 18° B) 15°C) 20° D) 25°Nivel III4. En un parque se observan tres perros en los puntos A, B y C; sus dueños están ubicados, respectivamente, en los puntos N, M y P. Dichos perros se dirigirán hacia sus dueños, de tal forma que sus desplazamientos representan medianas del triángulo ABC. Calcule el perímetro de la región ABC.BP N5 m C6 mA4 mMA) 30 m B) 28 mC) 32 m D) 36 m5. Se muestra una compuerta ABC; interior al agua se sujeta con un soporte BE, tal que BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle mBEA.C EB120°10°CompuertaAA) 30° B) 20°C) 50° D) 25°Helico homeworkNivel I1. BP es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle el valor de x.BA C 115° 15°xA) 90° B) 80°C) 60° D) 120°Nivel II2. BH es altura del triángulo ABC. Halle el valor de A HBC40°2x3x3qA) 5° B) 10°C) 6° D) 12°3. Si L es mediatriz del PR, halle el valor de x.80°5xP RQ LA) 18° B) 15°C) 20° D) 25°Nivel III4. En un parque se observan tres perros en los puntos A, B y C; sus dueños están ubicados, respectivamente, en los puntos N, M y P. Dichos perros se dirigirán hacia sus dueños, de tal forma que sus desplazamientos representan medianas del triángulo ABC. Calcule el perímetro de la región ABC.BP N5 m C6 mA4 mMA) 30 m B) 28 mC) 32 m D) 36 m5. Se muestra una compuerta ABC; interior al agua se sujeta con un soporte BE, tal que BE es bisectriz exterior del triángulo ABC. Halle mBEA.C EB120°10°CompuertaAA) 30° B) 20°C) 50° D) 25°Helico homework6.7.A C P115° 15°A) 90° B) 80°C) 60° D) 120°Nivel II2. BH es altura del triángulo ABC. Halle el valor de qA HBC40°2x3x3qA) 5° B) 10°C) 6° D) 12°3. Si L es mediatriz del PR, halle el valor de x.80°5xP RQ LA) 18° B) 15°C) 20° D) 25° 8.9.10.

57COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍATRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLESSon aquellos triángulos donde a partir de la razón de dos de sus lados se pueden calcular las otras medidas angulares y recíprocamente.A. Triángulo rectángulo notable de 45° y 45°CB A45°45°kk k 2ABC: Triángulo rectángulo notable de medidas exactas. Se deduce del cuadrado.ABC: Triángulo rectángulo isósceles: AB = BCABBCcatetosAC: HipotenusaB. Triángulo rectángulo notable de 30° y 60°RQ P60°30°2kkk 3PQR: Triángulo rectángulo notable de medidas exactas. Se deduce del triángulo equilátero.PQ: Cateto mayorQR: Cateto menorPR: HipotenusaC. Triángulo rectángulo notable de 37° y 53°FE D53°37°5k3k4kDEF: Triángulo rectángulo notable de medidas aproximadas.DE: Cateto mayorEF: Cateto menorDF: HipotenusaTheory 7 Tríangulos rectángulos notables

202658 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍATRIÁNGULO RECTÁNGULO NOTABLEa45°45°aa 2lqnl 2= n2 + q2Teorema de Pitágoras53°37°5a4a3aa60°30°2aa 3catetocatetohipotenusaSynthesisMARCO TEÓRICO

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónPRACTICO EN CLASE59COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA1. De la figura, calcule a + b.60°ba5 3CB AResolución• Piden: BC + AC = a + b60°5 3b = 2ka = k= k30°B AC35 3 = k 3 = 2(5) = ∴ a + b = 15Rpta.: 15 u2. En la figura, halle el valor de x.45°CDB A53°x5 2Resolución• Se pide: BD = x45°45°4=4k53°37°x = 3k = 3a = 5a = 5 5ka 2 = 5 2CDB Aa 2 = 5 2 a = 55k = 5 k = 1Rpta.: 3 u De la figura, calcule AC.A CB 2037° 45°Resolución• Piden: AC• Se traza BH ⊥ AC.16 12A CB2045°45°53°37°1212 2H AC = 16 + 12AC = 28Rpta.: 28 u En la figura, halle el valor de x45°a 6 – axPQRResolución• Se pide: PR = x• El PQR es notable de 45° y 45°.• Los catetos tienen igual longitud:a = 6 – a2a = 6a = 3Luegox = 3 2Rpta.: 3 2 uSolved problems3. De la figura, calcule AC.A CB 2037° 45°Resolución• Piden: AC• Se traza BH ⊥ AC.B1. De la figura, calcule a + b.60°ba5 3CB AResolución• Piden: BC + AC = a + b60°5 3b = 2ka = k= k30°B AC35 3 = k 3k = 5→ a = 5 ∧ b = 2(5)b = 10∴ a + b = 15Rpta.: 15 u2. En la figura, halle el valor de x.45°CDB A53°x5 2Resolución• Se pide: BD = x45°45°4=4k53°37°x = 3k = 3a = 5a = 5 5ka 2 = 5 2CDB Aa 2 = 5 2 a = 55k = 5 k = 1Rpta.: 3 u3. De la figura, calcule AC.A CB 2037° 45°Resolución• Piden: AC• Se traza BH ⊥ AC.16 12A CB2045°45°53°37°1212 2H→ AC = 16 + 12AC = 28Rpta.: 28 u En la figura, halle el valor de x45°a 6 – axPQRResolución• Se pide: PR = x• El PQR es notable de 45° y 45°.• Los catetos tienen igual longitud:a = 6 – a2a = 6a = 3Luegox = 3 2Rpta.: 3 2 u5 3B AResolución• Piden: BC + AC = a + b60°5 3b = 2ka = k= k30°B AC35 3 = k 3k = 5→ a = 5 ∧ b = 2(5)b = 10∴ a + b = 15Rpta.: 15 u2. En la figura, halle el valor de x.45°CDB A53°x5 2Resolución 45°45°4=4k53°37°x = 3k = 3a = 5a = 5 5ka 2 = 5 2CDB Aa = a = 5Rpta.: 3 uA CResolución• Piden: AC• Se traza BH ⊥ AC.16 12A CB2045°45°53°37°1212 2H→ AC = 16 + 12AC = 28Rpta.: 28 u4. En la figura, halle el valor de x45°a 6 – axPQRResolución• Se pide: PR = x• El PQR es notable de 45° y 45°.• Los catetos tienen igual longitud:a = 6 – a2a = 6a = 3Luegox = 3 2Rpta.: 3 2 u37°3x20 – xABC Aplico lo aprendido1. Si AC = 10 2 u y QR = 16 3 u, calculeAB + BC + PR – PQ.A45°PQ 60°3. Practice5. En la figura, halle el valor de x.

202660 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA37°3x20 – xAC53° 37°3x4xABC20 - x = 4x20 = 5x∴ x = 45xRpta.: 4 uAplico lo aprendido1. Si AC = 10 2 u y QR = 16 3 u, calculeAB + BC + PR – PQ.AB C45°PRQ 60°Resolución2. Se muestra un tablero ABC cuyo perímetro es108 cm. Determine AB.37°BA CResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la longitud de la hipotenusa del triángulo ABC es50 2 u, calcule la longitud del cateto mayor deltriángulo BDC.45°A BDC53°Resolución4. En la figura, AB = 12 2 u. Calcule AC.ABC45° 37°ResoluciónPractice37°3x20 – xAC53° 37°3x4xABC20 - x = 4x20 = 5x∴ x = 45xRpta.: 4 uAplico lo aprendido1. Si AC = 10 2 u y QR = 16 3 u, calculeAB + BC + PR – PQ.AB C45°PRQ 60°Resolución2. Se muestra un tablero ABC cuyo perímetro es108 cm. Determine AB.37°BA CResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la longitud de la hipotenusa del triángulo ABC es50 2 u, calcule la longitud del cateto mayor deltriángulo BDC.45°A BDC53°Resolución4. En la figura, AB = 12 2 u. Calcule AC.ABC45° 37°ResoluciónPracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aRpta.: 4 uAplico lo aprendido1. Si AC = 10 2 u y QR = 16 3 u, calculeAB + BC + PR – PQ.AB C45°PRQ 60°Resolución2. Se muestra un tablero ABC cuyo perímetro es108 cm. Determine AB.37°BA CResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si la longitud de la hipotenusa del triángulo ABC es50 2 u, calcule la longitud del cateto mayor deltriángulo BDC.45°A BDC53°Resolución4. En la figura, AB = 12 2 u. Calcule AC.ABC45° 37°ResoluciónPracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

TAREA DOMICILIARIA61COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. Si AC = 50 u y PR = 40 2 u, calculePQ + QR + CB. QP R 45° 30°CA BResolución2.Si el perímetro del siguiente tablero PQR es 72 cm, WorkshopResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. Si AC = 14 2 u y CE = 6 2 u, calcule BD.CBE DA 45°ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra una varilla metálica AB de 60 cm delongitud. Calcule a + b.37° BAP3b + 124a – 20ParedPisoResoluciónDesde lo más alto de un faro de 30 metros de altura, se observan los botes A y B. Si F, A y B son colineales, determine la distancia entre los botes.45° 37°F A BResoluciónResolución12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. Si AC = 14 2 u y CE = 6 2 u, calcule BD.CBE DA 45°ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra una varilla metálica AB de 60 cm delongitud. Calcule a + b.37° BAP3b + 124a – 20ParedPisoResoluciónDesde lo más alto de un faro de 30 metros de altura, se observan los botes A y B. Si F, A y B son colineales, determine la distancia entre los botes.45° 37°F A BResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

202662 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA2. Si el perímetro del siguiente tablero PQR es 72 cm,determine PR.53°QP RResolución En la figura, PQ = 9 2 u. Calcule PR.45° 37°QP RResolución2. Si el perímetro del siguiente tablero PQR es 72 cm,determine PR.53°QP RResolución4. En la figura, PQ = 9 2 u. Calcule PR.45° 37°QP RResoluciónDemuestro mis conocimientos3. La longitud de la hipotenusa del triángulo ABC es10 2 u. Calcule la longitud del cateto menor deltriángulo BDC.45°53°CDB AResolución4. En la figura, PQ = 9 2 u. Calcule PR.45° 37°QP RResoluciónSCORE5. En la figura, AC = 10 u y CP = 5 u. Calcule BQ.CBPQA 37°ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra una varilla metálica MN de 60 2 cm delongitud. Determine x + y.45°MPared

63COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAsumo mi reto6. Se muestra una varilla metálica MN de 60 2 cm delongitud. Determine x + y.45°NMT2y + 405x – 10ParedPisoResolución45°NT2y + 405x – 10PisoResolución5. En la figura, AC = 10 u y CP = 5 u. Calcule BQ.CBPQA 37°ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra una varilla metálica MN de 60 2 cm delongitud. Determine x + y.45°NT2y + 405x – 10ParedPisoResolución En un determinado momento una paloma ubicada en lo alto de un mástil de 80 cm de altura, observa a un escarabajo y a una hormiga. Si E, H y M son colineales, determine la distancia entre el escarabajo y la hormiga.53°E H M45°ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a1. En la figura, BC = 6 u y CD = 3 3 u. Calcule AB.120°BCA D150°30°A) 12 u B) 15 uC) 18 u D) 16 u Trial PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

202664 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAContinuamos en tu cuadernoNivel I1. Si BC = 9 3 m, determine AB + AC.AB C60°A) 27 m B) 24 mC) 30 m D) 33 mResolución2. En el triángulo ABC, la longitud de la hipotenusa es 35 cm. Determine la longitud del cateto mayor.37° A BCA) 21 cm B) 28 cmC) 24 cm D) 30 cmResoluciónHelico challenge•C) 4,8 cm D) 3,6 cm2. En el triángulo ABC, la longitud de la hipotenusa es 35 cm. Determine la longitud del cateto mayor.37° A BC 21 cm B) 28 cm D) 30 cmNivel II3. Si AC = 50 2 u, halle el valor de x.45°5x –10ABCA) 13 u B) 8 uC) 10 u D) 12 uResolución4. En la figura, calcule a+b.30°53°ACDBb10aNivel III5. En la figura se muestra un poste de luz y dos cables AB y BC que forman con el poste ángulos que miden 37° y 30°, respectivamente. Si AB = 5 determine la longitud del cable BC.A CBCable CableA) 8 m B) 6 mC) 10 m D) 12 mResoluciónNivel III5. En la figura se muestra un poste de luz y dos cables AB y BC que forman con el poste ángulos que miden 37° y 30°, respectivamente. Si AB = 5 3 m, determine la longitud del cable BC.A CBCable CableA) 8 m B) 6 mC) 10 m D) 12 mResoluciónNivel II3. Si AC = 50 2 u, halle el valor de x.45°5x –10ABCA) 13 u B) 8 uC) 10 u D) 12 uResolución4. En la figura, calcule a+b.30°53°ACDBb10aA) 5 u B) 6 uC) 7 u D) 8 uResoluciónNivel III5. En la figura se muestra un poste de luz y dos cables AB y BC que forman con el poste ángulos que miden 37° y 30°, respectivamente. Si AB = 5 3 m, determine la longitud del cable BC.A CBCable CableA) 8 m B) 6 mC) 10 m D) 12 mResoluciónNivel I1. En la figura, calcule QR + PR.P RQ45°9 2A) 9 u B) 16 uC) 20 u D) 18 uNivel II2. En la figura, determine AC.60°5 3 cmABC 10 cm B) 18 cm 20 cm D) 15 cm3. En la figura, determine AC.53°9 mA CBA) 9 m B) 15 mC) 25 m D) 12 m Helico homeworkNivel I1. En la figura, calcule QR + PR.P RQ45°9 2A) 9 u B) 16 uC) 20 u D) 18 uNivel II2. En la figura, determine AC.60°5 3 cmABCA) 10 cm B) 18 cmC) 20 cm D) 15 cm3. En la figura, determine AC.53°9 mA CBA) 9 m B) 15 mC) 25 m D) 12 m Helico homework1. En la figura, calcule QR + PR.P RQ45°9 2A) 9 u B) 16 uC) 20 u D) 18 uNivel II2. En la figura, determine AC.60°5 3 cmABCA) 10 cm B) 18 cmC) 20 cm D) 15 cm3. En la figura, determine AC.53°9 mA CB 9 m B) 15 mC) 25 m D) 12 m Nivel I En la figura, calcule QR + PR.P RQ45°9 2A) 9 u B) 16 uC) 20 u D) 18 uNivel II2. En la figura, determine AC.60°5 3 cmABCA) 10 cm B) 18 cmC) 20 cm D) 15 cm3. En la figura, determine AC.53°9 mBNivel III4. Alfonso dispone de una placa metálica como se muestra en la figura, de tal manera que hará ciertos cortes para un determinado trabajo. Halle el valor de x.53°30°5 3xABDCA) 4 u B) 5 u C) 3 u D) 6 u5. Se desea formar un jardín triangular en la parte posterior de una casa cercándolo con las barras AB y BC. Si la longitud de la barra BC es 6 2 m, ¿qué longitud tiene la barra AB?Pared37° Jardín45°ABCA) 8 m B) 6 mC) 12 m D) 10 mHelico homeworkNivel I1. En la figura, calcule QR + PR.P RQ45°9 2A) 9 u B) 16 uC) 20 u D) 18 uNivel II2. En la figura, determine AC.60°5 3 cmABCA) 10 cm B) 18 cmC) 20 cm D) 15 cm3. En la figura, determine AC.53°9 mA CBA) 9 m B) 15 mC) 25 m D) 12 mNivel III4. Alfonso dispone de una placa metálica como se muestra en la figura, de tal manera que hará ciertos cortes para un determinado trabajo. Halle el valor de 53°30°5 3xABCA) 4 u B) 5 u C) 3 u D) 6 u5. Se desea formar un jardín triangular en la parte posterior de una casa cercándolo con las barras AB y BC. Si la longitud de la barra BC es 6 2 m, ¿qué longitud tiene la barra AB?Pared37° Jardín45°ABCA) 8 m B) 6 mC) 12 m D) 10 mHelico homework6.7.8.9.10.

65COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍATRIÁNGULOS CONGRUENTESDefinición.- Dos triángulos son congruentes, si los lados y ángulos de uno de ellos son, respectivamente, congruentes a los lados y ángulos del otro triángulo.A CBcab A' C'B'cabNotación: ∆ABC ≅ ∆A'B'C' Se lee: El ∆ABC es congruente al ∆A'B'C'.1. Lado - Ángulo - Lado (LAL)Dos triángulos serán congruentes, si tienen un ángulo interior de igual medida y los lados que determinan a dichosángulos son, respectivamente, de igual longitud.∆ABC ≅ ∆A'B'C'A CBcbcA' b C'B'2. Ángulo - Lado - Ángulo (ALA)Dos triángulos serán congruentes, si tienen un lado de igual longitud y los ángulos adyacentes a dicho lado son,respectivamente, de igual medida.A CBb b A' C'B'∆ABC ≅ ∆A'B'C'8 Theory Triángulos congruentes

202666 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA3. Lado - Lado - Lado (LLL)Dos triángulos serán congruentes, si sus lados son, respectivamente, de igual longitud.A CBca abcA' b C'B'∆ABC ≅ ∆A'B'C'ABC PQRmBA C Pm nRQTriángulos que tienen la misma forma y el mismo tamaño.Casos para identificar a dos triángulos congruentesPostulado: Lado - Ángulo - Lado(LAL)Teorema: Ángulo - Lado - Ángulo(ALA)A CBP RQababTeorema: Lado - Lado - Lado(LLL)A CBm rpm rpP RQA CBP RQTRIÁNGULOS CONGRUENTESSynthesis3. Lado - Lado - Lado (LLL)Dos triángulos serán congruentes, si sus lados son, respectivamente, de igual longitud.A CBca abcA' b C'B'∆ABC ≅ ∆A'B'C'ABC PQRmBA C Pm nRQTriángulos que tienen la misma forma y el mismo tamaño.Casos para identificar a dos triángulos congruentesPostulado: Lado - Ángulo - Lado(LAL)Teorema: Ángulo - Lado - Ángulo(ALA)A CBP RQababTeorema: Lado - Lado - Lado(LLL)A CBm rpm rpP RQA CBP RQTRIÁNGULOS CONGRUENTESSMARCO TEÓRICO ynthesis

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto67COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA1. Según el gráfico, determine el valor de x.A CE BD2x–106 cmfi fiffffResoluciónSe pide: xA CE BD2x–106 cmfi fifffffflfflSe observa que∆ ≅∆ ADB BEC (ALA)→ DB = EC2x – 10 = 62x = 16 ∴ x = 8Rpta.: 8 cm2. En el gráfico, AB = BC y BD = BE. Halle el valorde x.BEA CD 2xβ60°βResoluciónSe pide: xBEA C2x Dfi60°fifi m fimSe observa que∆ ≅∆ ABD CBE (LAL)→ 2x = 60°∴ x = 30°Rpta.: 30° En la figura, AC = CD. Halle el valor de ADE3x+8CResoluciónPiden: xABDE3x–2x+8CSe observa que∆ ≅∆ ABC DEC (ALA)→ BC = CE 3x – 2 = x + 8 ∴ x = 5Rpta.: 5 uSolved problemsResoluciónSe pide: xA CE BD2x–106 cmfi fifffffflfflSe observa que∆ ≅∆ ADB BEC (ALA)→ DB = EC2x – 10 = 62x = 16 ∴ x = 8Rpta.: 8 cm2. En el gráfico, AB = BC y BD = BE. Halle el valorde x.BEA CD 2xβ60°β Se observa que∆ ≅∆ ABD CBE (LAL)→ 2x = 60°∴ x = 30°Rpta.: 30°3. En la figura, AC = CD. Halle el valor de x.ABDE3x–2x+8CResoluciónPiden: xABDE3x–2x+8CSe observa que∆ ≅∆ ABC DEC (ALA) x ∴ x = 5Rpta.: 5 uA C D2x–106 cmfi fiffffResoluciónSe pide: xA CE BD2x–106 cmfi fifffffflfflSe observa que∆ ≅∆ ADB BEC (ALA)→ DB = EC2x – 10 = 62x = 16 ∴ x = 8Rpta.: 8 cm2. En el gráfico, AB = BC y BD = BE. Halle el valorde x.BEA CD 2xβ60°βBEA C2x Dfi60°fifi m fimSe observa que∆ ≅∆ ABD CBE (LAL)→ 2x = 60°∴ x = 30°Rpta.: 30° En la figura, AC = CD. Halle el valor de x.ABDE3x–2x+8CResoluciónPiden: xBE3xx+8Se observa que∆ ≅∆ ABC DEC (ALA)→ BC = CE 3x – 2 = x + 8 ∴ x = 5Rpta.: 5 u4. En la figura, halle el valor de x.b c4xc a b a5xQLRPMResoluciónPiden: xb c4xc a b a4x 5xQLPRMSe observa que: ∆PQR ≅ ∆RML (LLL)⇒ En M: 4x + 5x = 180° 9x = 180° ∴ x = 20°Rpta.: 20° Aplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.B PracticePRACTICO EN CLASE

202668 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA5. En la figura, halle el valor de x.5x 80°a ana naB DCA EResoluciónPiden: x5x 80°l la ana naEB DACSe observa que: ∆ABC ≅ ∆ECD (LAL)⇒ BC = CDEn el triángulo isósceles BCD:5x = ∴ Rpta.2. En la figura, determine el valor x.a53 mawT NMA a CBa w2x + 1Resoluciónb c4xc a b a5xRPMResoluciónPiden: xb c4xc a b a4x 5xQLPRMSe observa que: ∆PQR ≅ ∆RML (LLL)⇒ En M: 4x + 5x = 180° 9x = 180° ∴ x = 20°Rpta.: 20°a ana naCA EResoluciónPiden: x5x 80°l la ana naEB DACSe observa que: ∆ABC ≅ ∆ECD (LAL)⇒ BC = CDEn el triángulo isósceles BCD:5x = 80° ∴ x = 16°Rpta.: 16°Aplico lo aprendido En la figura, determine el valor de x.2xa bA CBa 48 cmaQP b RResolución2. En la figura, determine el valor x.a53 mawT NMA a CBa w2x + 1ResoluciónPractice5. En la figura, halle el valor de x.5x 80°a ana naB DCA EResoluciónPiden: x5x 80° a ana aEB DACSe observa que: ∆ABC ≅ ∆ECD (LAL)⇒ BC = CDEn el triángulo isósceles BCD:5x = 80° ∴ x = 16°Rpta.: 16°2. En la figura, determine el valor x.a53 mawT NMA a CBa w2x + 1ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de q.PMQ R T40°80°ccb baaqResolución4. En la figura, halle el valor de x.AEB C D5x50°na naf fResolución PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de q.PMQ R T40°80°ccb baaqResolución4. En la figura, halle el valor de x.AEB C D5x50°na naf fResolución PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {ab cc a a5xRPMResoluciónPiden: xb c4xc a b a4x 5xQLPRMSe observa que: ∆PQR ≅ ∆RML (LLL)⇒ En M: 4x + 5x = 180° 9x = 180° ∴ x = 20°Rpta.: 20°a ana naCA EResoluciónPiden: x5x 80°l la ana naEB DACSe observa que: ∆ABC ≅ ∆ECD (LAL)⇒ BC = CDEn el triángulo isósceles BCD:5x = 80° ∴ x = 16°Rpta.: 16°Aplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.2xa bA CBaa 48 cmaQP b RResolución En la figura, determine el valor x.a53 mawT NMA a CBa w2x + 1ResoluciónPPrractice acticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a

TAREA DOMICILIARIA69COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA1. En la figura, halle el valor de x. ABCa b b50°D a FE2xbbResolución En la figura, ABCD es una ventana, tal que AH=CD y BH=3 m. Determine AD.ABHCDWorkshopDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de q.PMQ R T40°80°ccb baaqResolución4. En la figura, halle el valor de x.AEB C D5x50°na naf fResolución5. Si BP = 28 cm y PQ = 18 cm, calcule AB.AQB C P45°ResoluciónAsumo mi reto6. Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos P y Q al suelo son 10,5 m y 16,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?QPResolución5. Si BP = 28 cm y PQ = 18 cm, calcule AB.AQB C P45°ResoluciónAsumo mi reto Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos P y Q al suelo son 10,5 m y 16,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?QPResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita? Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Aplico lo aprendido1. En la figura, halle el valor de x. ABCa b b50°D a FE2xbbResolución En la figura, ABCD es una ventana, tal que AH=CD y BH=3 m. Determine AD.ABHCDWorkshopResolución12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. Si BP = 28 cm y PQ = 18 cm, calcule AB.AQB C P45°ResoluciónAsumo mi reto6. Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos P y Q al suelo son 10,5 m y 16,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?QPResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

202670 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA2. En la figura, determine el valor de x.a50 cmw fP RQaD EFwf5x + 10ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de a.APB C Q25°85°nnl lyyaResolución4. En la figura, halle el valor de x.PTQ R M2xxba baq qResolución5. En la figura, determine QM.PTQ R M45°10 m24 mResolución Asumo mi reto6. Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos M y N al suelo son 14,5 m y 8,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?NMDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de a.AP 25°85°nnl lyyResolución4. En la figura, halle el valor de x.PTQ R M2xxba baq qResolución5. En la figura, determine QM.PTQ R 45°10 m24 mResolución Asumo mi reto6. Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos M y N al suelo son 14,5 m y 8,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?NMDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de a.AP 25°85°nnl lyyaResolución4. En la figura, halle el valor de x.PTQ R M2xxba baq qResolución5. En la figura, determine QM.PTQ R M45°10 m24 mResolución Asumo mi reto6. Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos M y N al suelo son 14,5 m y 8,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?NMResolución

71COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAsumo mi reto6. Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos M y N al suelo son 14,5 m y 8,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?NMResoluciónQ R Ma bq qResoluciónNResoluciónAB C Q25°85°nnl lyyaResolución4. En la figura, halle el valor de x.PTQ R M2xxb baq qResoluciónPQ R M10 m24 mResolución Asumo mi reto6. Se observa que los bomberos han colocado dos escaleras del mismo tamaño para evacuar a cierto número de personas de ambos edificios. Si la distanciade los puntos M y N al suelo son 14,5 m y 8,5 m,respectivamente, ¿cuál es la distancia entre dichosedificios?MResoluciónEn la figura, ABCD es una ventana, tal que AB=AC y AH=4 m. Determine CD.ABHCDResoluciónTrialPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a1. En la figura, AB = AE = q; BC = ED = l ; EC = ny AD = q + n. Halle el valor de x.BxACE20°DA) 10° B) 15°C) 20° D) 30° y AH=4 m. Determine CD.ABHCDP Trial racticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

202672 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAContinuamos en tu cuaderno α αβa 2x+ 3A CP RA) 1 cm B) 2 cmC) 3 cm D) 4 cmResolución2. En la figura, halle el valor de a. ABCznl75°RQPznlaA) 75° B) 110° D) 105°aAP45°QCA) 45° B) 35°C) 40° D) 55°Resolución4. En la figura, halle el valor de x.BEA CD4xxnnq qww 35° B) 25° 20° 30°ResoluciónNivel I1. En la figura, determine el valor de x. α αββa 2x+ 3aA C11 cmP RQ BA) 1 cm B) 2 cmC) 3 cm D) 4 cmResolución En la figura, halle el valor de a. ACznl75°RQPnlA) 75° B) 110°C) 100° D) 105°ResoluciónNivel II3. Si AB = BC y AP = BQ, halle el valor de b.BaAP45°b aQCA) 45° B) 35°C) 40° D) 55°Resolución En la figura, halle el valor de x.BEA CD4xxnnq qwwA) 35° B) 25°C) 20° D) 30°ResoluciónHelico challengeNivel II3. Si AB = BC y AP = BQ, halle el valor de b.BaAP45°b aQCA) 45° B) 35°C) 40° D) 55°Resolución4. En la figura, halle el valor de x.BEA CD4xxnnq qwwA) 35° B) 25°C) 20° D) 30°ResoluciónNivel II3. Si AB = BC y AP = BQ, halle el valor de b.BaAP45°b aQCA) 45° B) 35°C) 40° D) 55°Resolución4. En la figura, halle el valor de x.BEA CD4xxnnq qwwA) 35° B) 25°C) 20° D) 30°ResoluciónNivel III5. Se muestran dos placas metálicas que son las bases de dos casas adyacentes. Si mBAC = mCDE, mABC = mCED, AB = DE y mDCE = 2(mBCD), ¿qué ángulo forman las paredes BC y CD?A) 40°B) 45° A ED BCC) 36°D) 30°ResoluciónNivel I1. En la figura, halle el valor de x.A) 10° B) 20°C) 30° D) 35°Helico homework•B) 45° A ECC) 36°D) 30°Nivel I1. En la figura, halle el valor de x.P RQa bx+5M LN9abbbA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 2 uNivel II2. En la figura, halle el valor de x.aA CBa baabD FE3x – 18 3 u 2 u 2,5 u En la figura, halle el valor de b.40°aa2bA MPC Ubaab Helico homework•Nivel I1. En la figura, halle el valor de x.P RQa bx+5M LN9abbbA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 2 uNivel II2. En la figura, halle el valor de x.aA CBa baabD FE3x – 18A) 3 u B) 4 u 2 u D) 2,5 u En la figura, halle el valor de b40°aa2bA MC Ubaab Helico homework•1. En la figura, halle el valor de x.P RQa bx+5M LN9abbbA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 2 uNivel II2. En la figura, halle el valor de x.aA CBa baabD FE3x – 18A) 3 u B) 4 uC) 2 u D) 2,5 u3. En la figura, halle el valor de b.40°aa2bA MPC Ubaab Nivel III5. Se muestran dos placas metálicas que son las bases de dos casas adyacentes. Si mBAC = mCDE, mABC = mCED, AB = DE y mDCE = 2(mBCD), ¿qué ángulo forman las paredes BC y CD?A) 40°B) 45° A ED BCC) 36°D) 30°ResoluciónNivel I En la figura, halle el valor de x.P RQa bx+5M LN9abbbA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 2 uNivel II2. En la figura, halle el valor de x.aA CBa baabD FE3x – 18A) 3 u B) 4 uC) 2 u D) 2,5 u3. En la figura, halle el valor de b.40°aA MPa 10° 30° 35°Nivel III4. Emiliano se dispone a jugar con sus fichas triangulares. Si AC = CE, DE = 8 cm y AB = 5 cm, determine BD.CAD EBA) 2 cm B) 4 cmC) 2,5 cm D) 3 cm5. En la figura se muestra una estructura metálica para soporte de un puente. Si AB = DE y AC = CD, halle el valor de x.A CBaax4xEDA)20°B)30°Helico homeworkNivel III5. Se muestran dos placas metálicas que son las bases de dos casas adyacentes. Si mBAC = mCDE, mABC = mCED, AB = DE y mDCE = 2(mBCD), ¿qué ángulo forman las paredes BC y CD?A) 40°B) 45° A ED BCC) 36°D) 30°ResoluciónNivel I En la figura, halle el valor de x.P R bM LN9abbbA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 2 uNivel II2. En la figura, halle el valor de x.aA CBa baabD FE3x – 18A) 3 u B) 4 uC) 2 u D) 2,5 u3. En la figura, halle el valor de b.40°aa2bA MPCUbaabA) 10° B) 20° 30° D) 35°Nivel III Emiliano se dispone a jugar con sus fichas triangulares. Si AC = CE, DE = 8 cm y AB = 5 cm, determine BD.CAD EBA) 2 cm B) 4 cmC) 2,5 cm D) 3 cm5. En la figura se muestra una estructura metálica para soporte de un puente. Si AB = DE y AC = CD, halle el valor de x.A CBaax4xEDA) 20° B) 30°C) 18° D) 10°Helico homework6.7.8.9.10.

73COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAPLICACIONES DE LA CONGRUENCIAHola estudiante, hoy aprenderemos algunos teoremas más que nos ayudarán en la resolución de muchos problemas.Teorema de la bisectrizTodo punto situado en la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.OAPBaa En la figuraOP: bisectriz del  AOBPA = PBOA = OBTeorema de la mediatrizTodo punto situado en la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos de dicho segmento.QAPa a BEn la figuramediatriz de ABPA = PBAQ = QB Theory 9 Aplicaciones de la congruencia

202674 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍATeorema de la base mediaEn todo triángulo, la base media es paralela a la base y además su longitud es la mitad de la longitud de dicha base.A CBP Qccaa PQEn la figurabase mediaPQ ACAC2 PQ=2Teorema de la mediana relativa a la hipotenusaEn todo triángulo rectángulo, la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa, es la mitad de la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo.A CBM En la figuraBM: mediana relativa a la hipotenusa.BM= AC2

75COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍATeorema de la bisectriz Teorema de la mediatrizAωωPOan nBaPA = PBOA = OBPA M BPA = PBTeorema de la base media Teorema de la mediana relativaa la hipotenusaA CA CBab Ba b2AC MN2 =Si MN//ACMMNBM : medianaAC BM2 = β βφ φθθααωωAPLICACIONES DE LA CONGRUENCIASynthesisMARCO TEÓRICO

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6.Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, haUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución202676 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA1. En el gráfico, AM = MB y AC = 12 u. Calcule MP.A CBMPResoluciónPiden: MPA 12 CBMPN66fifiaaSe trazaMNPor teorema de la base mediaMN = 2AC = 212 = 6Se observa que ∆MPN es isósceles.→ MP = MN∴ MP = 6Rpta.: 6 u2. En el gráfico, PM es mediatriz de AC y PC = 2(BP).Halle el valor de q.A MBPCResoluciónPiden: qB60°30°PA M2a 2aaCSe traza PA, luego por propiedad de la mediatriz: AP = PC = 2a∆APC: es isósceles → mPAC = mPCA = q ABP es notable de 30° y 60°: mAPB = 60°∆APC: por ángulo exterior:q + q = 60°∴ q = 30°Rpta.: 30° En el gráfico, AP = 5 u. Calcule PQ.AOP30°QResoluciónPiden: PQAO Q BP60°30°510 5Se traza: PB ⊥ OQPor teorema de la bisectriz PB = PA = 5Se observa que el PBQ es notable (30° y 60°) ∴ PQ = 10Rpta.: 10 uSolved problemsA CMPResoluciónPiden: MPA 12 CBMPN66fifiaaSe trazaMN//ACPor teorema de la base mediaMN = 2AC = 212 = 6Se observa que ∆MPN es isósceles.→ MP = MN∴ MP = 6Rpta.: 6 u2. En el gráfico, PM es mediatriz de AC y PC = 2(BP).Halle el valor de q.A MBPC 1. En el gráfico, AM = MB y AC = 12 u. Calcule MP.A CBMPResoluciónPiden: MPA 12 CBMPN66fifiaaSe trazaMN//AC Solved problems1. En el gráfico, AM = MB y AC = 12 u. Calcule MP.A CBMPResoluciónPiden: MPA 12 CBMPN66fifiaaSe trazaMN//ACPor teorema de la base mediaMN = 2AC = 212 = 6Se observa que ∆MPN es isósceles.→ MP = MN∴ MP = 6Rpta.: 6 u2. En el gráfico, PM es mediatriz de AC y PC = 2(BP).Halle el valor de q.BP Solved problemsA CResoluciónPiden: MPA 12 CBMPN66fifiaaSe trazaMN//ACPor teorema de la base mediaMN = 2AC = 212 = 6Se observa que ∆MPN es isósceles.→ MP = MN∴ MP = 6Rpta.: 6 u2. En el gráfico, PM es mediatriz de AC y PC = 2(BP).Halle el valor de qA MBPCA MCSe traza PA, luego por propiedad de la mediatriz: AP = PC = 2a∆APC: es isósceles → mPAC = mPCA = q ABP es notable de 30° y 60°: mAPB = 60°∆APC: por ángulo exterior:q + q = 60°∴ q = 30°Rpta.: 30° En el gráfico, AP = 5 u. Calcule PQ.AOP30°QResoluciónPiden: PQAO Q BP60°30°510 5Se traza: PB ⊥ OQPor teorema de la bisectriz PB = PA = 5Se observa que el PBQ es notable (30° y 60°) ∴ PQ = 10Rpta.: 10 uResoluciónPiden: q30°A M2a 2aCSe traza PA, luego por propiedad de la mediatriz: AP = PC = 2a∆APC: es isósceles → mPAC = mPCA = q ABP es notable de 30° y 60°: mAPB = 60°∆APC: por ángulo exterior:q + q = 60°∴ q = 30°Rpta.: 30°3. En el gráfico, AP = 5 u. Calcule PQ.AOP30°QResoluciónPiden: PQA5PRACTICO EN CLASE4. En la figura, PA = 3 u y PC = 5 u. Halle el valorde x.AO C BPxααResoluciónPiden: xPor el teorema de la bisectriz: PA = PBAO C BP35 3xααSe observa que el CBP es notable de 37° y 53°.53°PC B37°3 54∴ x =37°Rpta.: 37° 4. En la figura, PA = 3 u y PC = 5 u. Halle el valorde x.AO C BPxααResoluciónPiden: xPor el teorema de la bisectriz: PA = PBAO C BP35 3xααSe observa que el CBP es notable de 37° y 53°.5. En la figura, AB = CD. Halle el valor de x.40°A DBCExm mResoluciónPiden: xPor el teorema de la mediatriz: AC = CD⇒ mCAD = mCDA = 40°40° 40°80°A DBCExm maa a

77COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.Aa+4x+5qq18 cmPB Oa2Resolución2. Si BM es mediana, halle el valor de x.3xA M CB2x + 8ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.3 5xBPA QCLResolución4. En la figura, halle el valor de x.MQBqqA Cll5xResoluciónPracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aAplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.Aa+4x+5qq18 cmPB Oa2Resolución x.3xA M CB2x + 8ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.3 5xBPA QCLResolución e x.MQBqqA Cll5xResoluciónPractice PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución29; b2} y B{13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA{Aplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.Aa+4x+5qq18 cmPB Oa2Resolución2. Si BM es mediana, halle el valor de x.3xA M B2x + 8ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.3 5xBPA QCLResolución4. En la figura, halle el valor de x.MQBqqA Cll5xResoluciónPracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aAplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.Aa+4x+5qq18 cmPB Oa2Resolución .3xA M CB2x + 8ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.3 5xBPA QCLResolución .MQBqqA Cll5xResoluciónPractice PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución29; b2} y B{13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA{

TAREA DOMICILIARIA202678 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.Ax+1n – 2wwOPB 2n20 cmResolución Workshop5. Si MT = 5 cm y TN = 12 cm, determine el valorde x.MTNaabbA2x – 4CBResoluciónAsumo mi reto6. Se tiene tres casas A, B y C. A está a 6 m de By B está a 8 m de C.TBCA¿A qué distancia de B se debe ubicar un tanque de agua que equidiste de las tres casas?ResoluciónAndrés se encuentra en el punto A y observa los bordes BM y MC bajo ángulos de iguales medidas. Si BM = 6 m y MC = 10 m, ¿a qué distancia se encuentra Andrés del banderín?BMCAResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Resolución12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. Si MT = 5 cm y TN = 12 cm, determine el valorde x.MTNaabbA2x – 4CBResoluciónAsumo mi reto6. Se tiene tres casas A, B y C. A está a 6 m de By B está a 8 m de C.TBCA¿A qué distancia de B se debe ubicar un tanque de agua que equidiste de las tres casas?ResoluciónAndrés se encuentra en el punto A y observa los bordes BM y MC bajo ángulos de iguales medidas. Si BM = 6 m y MC = 10 m, ¿a qué distancia se encuentra Andrés del banderín?BMCAResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución79COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAx+1wwOB 2nResolución2. Si BT es mediana, determine el valor de x.2xA T CB48 cmResoluciónA CEResolución4. En la figura, halle el valor de x.Mx PBbA Cbaa12ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si L es mediatriz de AC, determine el valor de x.6 mLA CBx 10 mDEResolución4. En la figura, halle el valor de x.SCORE2. Si BT es mediana, determine el valor de x.2xA T CB48 cmResolución4. En la figura, halle el valor de x.Mx PBbA Cbaa12ResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, determine el valor de x.Ax+1n – 2wwOPB 2n20 cmResolución2. Si BT es mediana, determine el valor de x.2xA T CB48 cmResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si L es mediatriz de AC, determine el valor de x.6 mLA CBx 10 mDEResolución En la figura, halle el valor de x.x PBbA Cbaa12Resolución5. En la figura, halle el valor de x.32x + 2a 4aMLNBA CbbResoluciónAsumo mi reto6. Se tiene tres casas A, B y C. A está a 12 m de By B está a 16 m de C.TBCA5. En la figura, halle el valor de x.32x + 2a 4aMLNBA bbResoluciónAsumo mi reto6. Se tiene tres casas A, B y C. A está a 12 m de By B está a 16 m de C.TBCA¿A qué distancia de B se debe ubicar un tanque de agua que equidiste de las tres casas?Resolución

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidadUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución202680 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍADiego se encuentra en el punto P y observa los bordes QT y TR bajo ángulos de iguales medidas. Si QT = 15 m y TR = 25 m, ¿a qué distancia se encuentra Diego del árbol?QTRPResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {a1. En la figura, AB = BD, AD = 6 cm y DC = 5 cmHalle el valor de x.2aaD CxABA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°2. En el gráfico, AM = MB, MT = TC y MN//AT. SiAT = 12 cm, determine MN.MTNA CBA) 9 cm B) 6 cmC) 8 cm D) 10 cmTrial 2 + b2.Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule aContinuamos en tu cuaderno.2aaCDxABA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°Nivel I1. En la figura, determine a + b.A2a+16 cmff15 cmPB Ob+2 16 cm B) 12 cmC) 10 cm D) 11 cmResolución Helico challenge1. En la figura, AB = BD, AD = 6 cm y DC = 5 cm Halle el valor de x.2aaCDxABA) 45° B) 37°C) 53° D) 30°Nivel I1. En la figura, determine a + b.A2a+16 cmff15 cmPB Ob+2A) 16 cm B) 12 cmC) 10 cm D) 11 cmResolución2. En el gráfico, AM = MB, MT = TC y MN//AT. Si AT = 12 cm, determine MN.MTNA CBA) 9 cm B) 6 cmC) 8 cm D) 10 cm2. En la figura, halle el valor de x.x+ 26ABM NCa ba bA) 11 u B) 13 uC) 8 u D) 10 uResoluciónHelico trialHelico challengeNivel II3. Si AC = 10 cm, TM = 3 cm y BM es mediana, determine BT.CMTABA) 4 cm B) 3 cmC) 5 cm D) 2 cmResolución TCA¿A qué distancia de B se debe ubicar un tanque de agua que equidiste de las tres casas?Resolución

81COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA4. En el gráfico, L es mediatriz de AC, BC = 25 m, DC = 20 m y AE = 24 m. Determine AB+AD+BE.D CBAELA) 50 cm B) 52 cmC) 54 cm D) 55 cmResoluciónA) 8 m B) 10 mC) 6 m D) 5 mResoluciónNivel III5. En la figura se muestra un parque ABC, recto en B, y una persona ubicada en el punto A, que observa los bordes BD y DC bajo ángulos de iguales medidas. Si BD = 3 m y DC = 5 m, determine la distancia de la persona al poste.ACB DA) 8 m B) 10 mC) 6 m D) 5 mResoluciónNivel I En la figura, determine el valor de x. 7 cm 7 cmxbbBDMA CA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cmNivel II2. En la figura, halle el valor de x.MEBqqA Cl20lxA) 10 u B) 12 uC) 5 u D) 8 u3.Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.Nivel III4. Alejandro ha construido un muro peculiar en la entrada de su ciudad para colocar mensajes de bienvenida. Determine el valor de x.45°bbx13 m20 mAB CPOA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 7 2 m5. En un inmenso parque, Érika se encuentra haciendo caminata. En un momento determinado, ella se encuentra en el punto A y observa los bordes BT y TC bajo ángulos de iguales medidas. Se sabe que BT = 150 m y TC = 250 m. ¿Cuántos pasos dará Erika al recorrer el tramo AB si dos de sus pasos equivalen a 1 metro?BHelico homework A C20A) 10 u B) 12 uC) 5 u D) 8 u3. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.x80°aaLA CBPQA) 48° B) 60°C) 40° D) 50°Nivel I1. En la figura, determine el valor de x.7 cm 7 cmxbbBDMA CA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cmNivel II En la figura, halle el valor de x.MEBqqA Cl20lxA) 10 u B) 12 uC) 5 u D) 8 u3. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.x80°aaLA CBPQA) 48° B) 60°C) 40° D) 50°Nivel III4. Alejandro ha construido un muro peculiar en la entrada de su ciudad para colocar mensajes de bienvenida. Determine el valor de x.45°bbx13 m20 mAB CPOA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 7 2 m5. En un inmenso parque, Érika se encuentra haciendo caminata. En un momento determinado, ella se encuentra en el punto A y observa los bordes BT y TC bajo ángulos de iguales medidas. Se sabe que BT = 150 m y TC = 250 m. ¿Cuántos pasos dará Erika al recorrer el tramo AB si dos de sus pasos equivalen a 1 metro?BTCAA) 500 B) 350C) 600 D) 650Helico homeworkNivel I1. En la figura, determine el valor de x. 7 cm 7 cmxbbBDMA CA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cmNivel II En la figura, halle el valor de x.MEBqqA Cl20lxA) 10 u B) 12 uC) 5 u D) 8 u3. Si L es mediatriz de AC, halle el valor de x.x80°aaLA CBPQA) 48° B) 60°C) 40° D) 50°Nivel III4. Alejandro ha construido un muro peculiar en la entrada de su ciudad para colocar mensajes de bienvenida. Determine el valor de x.45°bbx13 m20 mAB CPOA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 7 2 m5. En un inmenso parque, Érika se encuentra haciendo caminata. En un momento determinado, ella se encuentra en el punto A y observa los bordes BT y TC bajo ángulos de iguales medidas. Se sabe que BT = 150 m y TC = 250 m. ¿Cuántos pasos dará Erika al recorrer el tramo AB si dos de sus pasos equivalen a 1 metro?BTCAA) 500 B) 350C) 600 D) 650Helico homeworkNivel I1. En la figura, determine el valor de x. 7 cm 7 cmxbbBDMA CA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cmNivel II2. En la figura, halle el valor de x.MEBqqA Cl20lxNivel III4. Alejandro ha construido un muro peculiar en la entrada de su ciudad para colocar mensajes de bienvenida. Determine el valor de x.45°bbx13 m20 mAB CPOA) 5 m B) 6 mC) 7 m D) 7 2 m5. En un inmenso parque, Érika se encuentra haciendo caminata. En un momento determinado, ella se encuentra en el punto A y observa los bordes BT y TC bajo ángulos de iguales medidas. Se sabe que BT = 150 m y TC = 250 m. ¿Cuántos pasos dará Erika al recorrer el tramo AB si dos de sus pasos Helico homework6.7.8.9.10.

202682 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAPOLÍGONODefiniciónEs una figura geométrica plana cerrada que se obtiene a intersecar por sus extremos tres o más segmentos no colineales.ABCD EFGHNotación:Polígono ABCDEFGHElementosVértices: A, B, C, D, E, F, G, HLados: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HAABCD EFGHInterior del polígonoExterior de polígonoEn el polígono ABCDEFGH podemos observar los pares angulares ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHA y HAB.Las diagonales AC, AD, AE, AF, AG, BD, BE, BF, BG, BH, CE, CF, CG, CH, DF, DG, DH, EG, EH y FH. Al prolongar los lados de dicho polígono podremos apreciar los ángulos externos.NOTAAl segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados cualesquiera, se le denomina diagonal media.ABCDM ENlla aEn el polígono ABCDE, MN es una de las diez diagonales medias.Clasificación de los polígonos1. Por su regióna. Polígono convexoEs intersecado por una recta, a lo más, en dospuntosABCDEFGb. Polígono no convexo (cóncavo)Es intersecado por una recta en más de dospuntos.AB CDEFG2. Por el número de ladosNúmeros de lados Nombre34567891011121520TriánguloCuadriláteroPentágonoHexágonoHeptágonoOctágono u octógonoNonágono o eneágonoDecágonoUndecágono o endecágonoDodecágonoPentadecágonoIcoságonoTheory Polígonos 10

83COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA3. Por sus lados y ángulosa. Polígono equiláteroEs aquel polígono cuyos lados tienen la mismalongitud.ABCDEa aaaaABCDEFbbbb b ba. Polígono equiánguloEs aquel polígono cuyos pares angulares (ángulos internos) son de igual medida.ABCDEFGaaaa aaac. Polígono regularEs aquel polígono que es equilátero y equiángulo a la vez.A HBCGFD E la aa aaaaall ll ll lObservationEn todo polígono el número de lados es igual al número de vértices.Teoremas1. Suma de medidas de los ángulos interioresSmi = 180°(n – 2)n: número de ladosCABDEFw afqbgEn el polígono ABCDEF:Smi=w+q+f+b+g+a=180°(6 – 2)=720°2. Suma de medidas de los ángulos exteriores (soloen polígonos convexos)Sme = 360°ABCDEabqfδEn el polígono ABCDE:Sme = f + a + q + b + δ=360°3. Número total de diagonalesD = n(n – 3)2n: número de ladosABCD

202684 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAEn el polígono ABCD:D = 4(4 – 3)2 = 4(1)2 = 2→ AC y BD son las diagonales del polígono ABCD.4. Número total de diagonales mediasDm = n(n – 1)2n: número de ladosABCDPQRTllbbaay yEn el polígono ABCD:Dm = 4(4 – 1)2 = 4(3)2 = 6→ PQ, QR, RT, TP, PR y QT son las seis diagonalesmedias del polígono ABCD.5. Medida de un ángulo interior (solo en polígonosequiángulos y regulares)m i = 180°(n – 2)nn: número de ladosDA EBCaaaa aEn el polígono ABCDE:m i = a = 180°(5 – 1)2 = 108°6. Medida de un ángulo exterior (solo en polígonosequiángulos y regulares)m e = 360°nn: número de ladosABC DEFaaaaaaqqqqqqEn el polígono ABCDEF:m e = q = 360°6 = 60°ObservationABCD q afwyzqxq + x = 180°w + y = 180°f + z = 180°a + q = 180°ABC DEFqqqqqqa aa aa a a + q = 180°

85COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍASynthesisPOLÍGONOSTeoremasAB DECNotación:Polígono ABCDEElementos• Vértices: A, B, C, D, E• Lados: AB, BC, CD, DE, EASuma de medidas de los ángulos interioresSmi = 180°(n – 2)Suma de medidas de los ángulos exteriores (polígonos convexos)Sme = 360°Número total de diagonalesD = n(n – 3)2Número total de diagonales mediasDm = n(n – 1)2Medida de un ángulo interior (polígonos equiángulos y regulares)m i = 180°(n – 2)nMedida de un ángulo exterior (polígonos equiángulos y regulares)m e = 360°nn: número de ladosMARCO TEÓRICO

202686 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA1. La suma de medidas de los ángulos internos de unpolígono es 1080°. Halle el número de vértices.ResoluciónNos piden el número de vértices.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos que Número de vértices = Número de lados = n→ Número de vértices = nPor datoSmi = 1080º→ 180°(n – 2) = 1080°n – 2 = 6 n = 8∴ Número de vértices = 8Rpta.: 82. En un polígono, el número total de diagonales esigual al cuádruple del número de vértices. ¿Cómo sellama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono, para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos queNúmero de vértices = Número de lados = nPor datoNúmero de diagonales = 4(Número de vértices)n(n – 3)2 = 4n → n(n – 3)2 = 4n → n – 3 = 8n = 11∴ El polígono se llama undecágono o endecágono.Rpta.: Undecágono3. La medida de un ángulo externo de un polígonoequiángulo es 40°. ¿Cómo se llama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Dato me = 40°360 40 9 nn° = °→ =∴ El polígono se llama nonágono.Rpta.: Nonágono4. En la figura, halle el valor de x.xxxx 140°ABCDEResoluciónPor teoríaSm = 180°(n – 2)4x + 140° = 180°(5 – 2)4x + 140° = 540°4x = 400°∴ x = 100°Rpta.: 100°5. En la figura, halle el valor de x.ABC DExxxxx10°FResoluciónPor teoríaSme = 360°5x + 10° = 360°5x = 350°x = 70°Rpta.: 70°Solved problems1. La suma de medidas de los ángulos internos de unpolígono es 1080°. Halle el número de vértices.ResoluciónNos piden el número de vértices.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos que Número de vértices = Número de lados = n→ Número de vértices = nPor datoSmi = 1080º→ 180°(n – 2) = 1080°n – 2 = 6 n = 8∴ Número de vértices = 8Rpta.: 82. En un polígono, el número total de diagonales esigual al cuádruple del número de vértices. ¿Cómo sellama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono, para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos queNúmero de vértices = Número de lados = nPor datoNúmero de diagonales = 4(Número de vértices)n(n – 3)2 = 4n → n(n – 3)2 = 4n → n – 3 = 8n = 11∴ El polígono se llama undecágono o endecágono.Rpta.: Undecágono3. La medida de un ángulo externo de un polígonoequiángulo es 40°. ¿Cómo se llama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Dato me = 40°360 40 9 nn° = °→ =∴ El polígono se llama nonágono.Rpta.: Nonágono4. En la figura, halle el valor de x.xxxx 140°ABCDEResoluciónPor teoríaSmi = 180°(n – 2)4x + 140° = 180°(5 – 2)4x + 140° = 540°4x = 400°∴ x = 100°Rpta.: 100°5. En la figura, halle el valor de x.ABC DExxxxx10°FResoluciónPor teoríaSme = 360°5x + 10° = 360°5x = 350°x = 70°Rpta.: 70°1. La suma de medidas de los ángulos internos de unpolígono es 1080°. Halle el número de vértices.ResoluciónNos piden el número de vértices.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos que Número de vértices = Número de lados = n→ Número de vértices = nPor datoSmi = 1080º→ 180°(n – 2) = 1080°n – 2 = 6 n = 8∴ Número de vértices = 8Rpta.: 82. En un polígono, el número total de diagonales esigual al cuádruple del número de vértices. ¿Cómo sellama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono, para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos queNúmero de vértices = Número de lados = nPor datoNúmero de diagonales = 4(Número de vértices)n(n – 3)2 = 4n → n(n – 3)2 = 4n → n – 3 = 8n = 11∴ El polígono se llama undecágono o endecágono.Rpta.: Undecágono3. La medida de un ángulo externo de un polígonoequiángulo es 40°. ¿Cómo se llama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Dato me = 40°360 40 9 nn° = °→ =∴ El polígono se llama nonágono.Rpta.: Nonágono4. En la figura, halle el valor de x.xxxx 140°ABCDEResoluciónPor teoríaSmi = 180°(n – 2)4x + 140° = 180°(5 – 2)4x + 140° = 540°4x = 400°∴ x = 100°Rpta.: 100°5. En la figura, halle el valor de x.ABC DExxxxx10°FResoluciónPor teoríaSme = 360°5x + 10° = 360°5x = 350°x = 70°Rpta.: 70°1. La suma de medidas de los ángulos internos de unpolígono es 1080°. Halle el número de vértices.ResoluciónNos piden el número de vértices.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos que Número de vértices = Número de lados = n→ Número de vértices = nPor datoSmi = 1080º→ 180°(n – 2) = 1080°n – 2 = 6 n = 8∴ Número de vértices = 8Rpta.: 82. En un polígono, el número total de diagonales esigual al cuádruple del número de vértices. ¿Cómo sellama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono, para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos queNúmero de vértices = Número de lados = nPor datoNúmero de diagonales = 4(Número de vértices)n(n – 3)2 = 4n → n(n – 3)2 = 4n → n – 3 = 8n = 11∴ El polígono se llama undecágono o endecágono.Rpta.: Undecágono3. La medida de un ángulo externo de un polígonoequiángulo es 40°. ¿Cómo se llama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Dato me = 40°360 40 9 nn° = °→ =∴ El polígono se llama nonágono.Rpta.: Nonágono4. En la figura, halle el valor de x.xxxx 140°ABCDEResoluciónPor teoríaSmi = 180°(n – 2)4x + 140° = 180°(5 – 2)4x + 140° = 540°4x = 400°∴ x = 100°Rpta.: 100°5. En la figura, halle el valor de x.ABC DExxxxx10°FResoluciónPor teoríaSme = 360°5x + 10° = 360°5x = 350°x = 70°Rpta.: 70°Nos piden el número de vértices.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos que Número de vértices = Número de lados = n→ Número de vértices = nPor datoSmi = 1080º→ 180°(n – 2) = 1080°n – 2 = 6 n = 8∴ Número de vértices = 8Rpta.: 82. En un polígono, el número total de diagonales esigual al cuádruple del número de vértices. ¿Cómo sellama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono, para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados.Por teoría sabemos queNúmero de vértices = Número de lados = nPor datoNúmero de diagonales = 4(Número de vértices)n(n – 3)2 = 4n → n(n – 3)2 = 4n → n – 3 = 8n = 11∴ El polígono se llama undecágono o endecágono.Rpta.: Undecágono3. La medida de un ángulo externo de un polígonoequiángulo es 40°. ¿Cómo se llama dicho polígono?ResoluciónNos piden el nombre del polígono para lo cual, debemos saber cuántos lados tiene.Sea n el número de lados. nn ∴ El polígono se llama nonágono.Rpta.: Nonágono4. En la figura, halle el valor de x.xxxx 140°ABCDEResoluciónPor teoríaSmi = 180°(n – 2)4x + 140° = 180°(5 – 2)4x + 140° = 540°4x = 400°∴ x = 100°Rpta.: 100°5. En la figura, halle el valor de x.ABC Dxxxxx10°FResoluciónPor teoríaSme = 360°5x + 10° = 360°5x = 350°x = 70°Rpta.: 70°5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónPRACTICO EN CLASE

87COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA Aplico lo aprendido1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono mostrado.ABGCDEFResolución2. En la figura, halle el valor de b.BACDE80°2b50° b60°ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. La suma de medidas de ángulos interiores de un polígono es 2340°. Calcule el número total de diagonales de dicho polígono.Resolución4. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el nónuplo de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < cule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a. DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. La suma de medidas de ángulos interiores de un polígono es 2340°. Calcule el número total de diagonales de dicho polígono.Resolución2 + b2.Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule aABGFResolución2. En la figura, halle el valor de b.BACDE80°2b50° b60°Resolución4. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el nónuplo de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?Resolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {aAplico lo aprendido1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono mostrado.ABGCDEFResolución En la figura, halle el valor de BACDE80°2b50° b60°ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. La suma de medidas de ángulos interiores de un polígono es 2340°. Calcule el número total de diagonales de dicho polígono.Resolución ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el nónuplo de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?ResoluciónPPractice racticeResolución+, xcule la suma de los elementos del conjunto B.2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B{13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24} Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ . Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a. DadosA{a5. En un polígono equiángulo, la medida de un ángulo interior es igual al quíntuple de la medida de unángulo exterior. Calcule el número de diagonales dedicho polígono.ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra en el techo una lámpara formada porhexágonos regulares. Halle el valor de a.aResoluciónResolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M? 12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. En un polígono equiángulo, la medida de un ángulo interior es igual al quíntuple de la medida de unángulo exterior. Calcule el número de diagonales dedicho polígono.ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra en el techo una lámpara formada porhexágonos regulares. Halle el valor de a.aResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

TAREA DOMICILIARIA202688 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍABPResoluciónAplico lo aprendido1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono mostrado.ABCD EFGHIResoluciónDemuestro mis conocimientos La suma de medidas de los ángulos interiores de unpolígono es 1620°. Calcule el número total de diagonales de dicho polígono.Resolución4. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el quíntuple de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?SCOREWorkshopABCFGHIResolución2. En la figura, halle el valor de x.130°40°70°xx2xABCDEFResolución AHIResolución2. En la figura, halle el valor de x.130°40°70°xx2xABCDEFResolución Aplico lo aprendido1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono mostrado.ABCD EFGHIResoluciónDemuestro mis conocimientos3. La suma de medidas de los ángulos interiores de unpolígono es 1620°. Calcule el número total de diagonales de dicho polígono.Resolución4. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el quíntuple de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores del polígono mostrado.ABCD EFGHIResoluciónDemuestro mis conocimientos3. La suma de medidas de los ángulos interiores de unpolígono es 1620°. Calcule el número total de diagonales de dicho polígono.Resolución4. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el quíntuple de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?ResoluciónSCOREWorkshopAndrés diseñó un novedoso portarretratos en el que ha empleado polígonos regulares, tal como se muestra en la figura. Calcule la mABP.ABPResoluciónResolución4 5 6Resolución12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)Resolución89COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAABCFGHIResolución2. En la figura, halle el valor de x.130°40°70°xx2xABCDEFResolución4. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el quíntuple de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?Resolución5. En un polígono equiángulo, la medida de un ángulointerior es el triple de la medida de un ángulo exterior. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.Resolución4. ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el quíntuple de lasuma de las medidas de los ángulos exteriores?Resolución5. En un polígono equiángulo, la medida de un ángulointerior es el triple de la medida de un ángulo exterior. Calcule el número de diagonales de dicho polígono.ResoluciónAsumo mi reto6. Se observa dos piezas de mayólicas. Sus contornosson polígonos regulares. Halle el valor de x.xResoluciónDiego diseñó un portarretratos llamativo en el que ha empleado polígonos regulares, tal como se muestra en la figura. Calcule la mBAM.ABMResoluciónAsumo mi reto6. Se observa dos piezas de mayólicas. Sus contornosson polígonos regulares. Halle el valor de x.xResoluciónDiego diseñó un portarretratos llamativo en el que ha empleado polígonos regulares, tal como se muestra en la figura. Calcule la mBAM.ABMResolución1. En la figura se presenta parte de un polígono regularde n lados. Halle el valor de n.ABCDEFG164°A) 40 B) 42C) 45 D) 502. Interiormente a un pentágono regular ABCDE, seconstruye un triángulo equilátero AMB. Calcule lamDME.A) 80° B) 84°C) 86° D) 78°Trial+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  xResolución1. En la figura se presenta parte de un polígono regularde n lados. Halle el valor de n.ABCDEFG164°A) 40 B) 42C) 45 D) 50 TrialPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

202690 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAContinuamos en tu cuadernoNivel I1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores de un decágono.A) 1800° B) 1440°C) 1620° D) 1260°Resolución2. Calcule el número total de diagonales de un endecágono.A) 44 B) 54C) 35 D) 90ResoluciónNivel II3. En la figura, halle el valor de x.ABCDEF40°x60°100° 2x3xA) 32° B) 35°C) 24° D) 30°Resolución4. Halle el valor de x si el siguiente polígono es equiángulo.AB C140°2x+10°A) 70° B) 75°C) 65° D) 60°ResoluciónNivel III En la figura se muestra dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor x.xA) 100° B) 105°C) 110° D) 115°ResoluciónHelico challenge1. Calcule la suma de las medidas de los ángulos interiores de un decágono.A) 1800° B) 1440°C) 1620° D) 1260°Resolución2. Calcule el número total de diagonales de un endecágono.A) 44 B) 54C) 35 D) 90ResoluciónNivel II3. En la figura, halle el valor de x.ACDEF40°x60°100° 2xA) 32° B) 35°C) 24° D) 30°ResoluciónAB C140°2x+10°A) 70° B) 75°C) 65° D) 60°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor de x.x B) 105° 110° D) 115°Resolución2. Calcule el número total de diagonales de un endecágono.A) 44 B) 54C) 35 D) 90ResoluciónNivel II3. En la figura, halle el valor de x.ABCDEF40°x60°100° 2x3xA) 32° B) 35°C) 24° D) 30°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor de x.xA) 100° B) 105°C) 110° D) 115°Resolución4. Halle el valor de x si el siguiente polígono es equiángulo.AB C140°2x+10°A) 70° B) C) 65° D) 60°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor de x.xA) 100° B) 105°C) 110° D) 115°Resolución4. Halle el valor de x si el siguiente polígono es equiángulo.AB C140°2x+10°A) 70° B) 75°C) 65° D) 60°ResoluciónNivel III5. En la figura se muestra dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor de x.xA) 100° B) 105°C) 110° D) 115°Resolución•Nivel I1. Calcule la suma de las ángulos interiores de un octágono.A) 900° B) 720°C) 1260° D) 1080°Nivel II En la figura, halle el valor de AB CDEFxx70°40°60°30° 2xGA) 30° B) 40°C) 36° D) 60°3. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono donde se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el triple de la suma de las medidas de los ángulos exteriores?A) 14 B) 27C) 20 D) 35Nivel III4. En el llavero de Vilma se observan dos polígonos regulares. Halle el valor de x.xA) 20° B) 45°C) 30° D) 70°5. En la figura se muestran dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor de b.bA) 108° B) 135°C) 120° D) 98°Helico homeworkNivel I1. Calcule la suma de las ángulos interiores de un octágono.A) 900° B) 720°C) 1260° D) 1080°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.B CDFxx40°30° 2xGA) 30° B) 40°C) 36° D) 60°3. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono donde se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el triple de la suma de las medidas de los ángulos exteriores?A) 14 B) 27C) 20 D) 35Nivel III4. En el llavero de Vilma se observan dos polígonos regulares. Halle el valor de x.x 20° B) 45° 30° D) 70°5. En la figura se muestran dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor de b.bA) 108° B) 135°C) 120° D) 98°Helico homeworkNivel I1. Calcule la suma de las ángulos interiores de un octágono.A) 900° B) 720°C) 1260° D) 1080°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.AB CDEFxx70°40°60°30° 2xGA) 30° B) 40°C) 36° D) 60°3.¿Cuántas diagonales tiene el polígono donde se cumNivel III4. En el llavero de Vilma se observan dos polígonos regulares. Halle el valor de x.xA) 20° B) 45°C) 30° D) 70°5. En la figura se muestran dos piezas de mayólicas. Si sus contornos son polígonos regulares, halle el valor de b.bHelico homeworkNivel I1. Calcule la suma de las ángulos interiores de un octágono.A) 900° B) 720°C) 1260° D) 1080°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.AB CDEFxx70°40°60°30° 2xGA) 30° B) 40°C) 36° D) 60°3. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono donde se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el triple de la suma de las medidas de los ángulos exteriores?A) 14 B) 27C) 20 D) 35 •A) 900° B) 720°C) 1260° D) 1080°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.AB CDEFxx70°40°60°30° 2xGA) 30° B) 40°C) 36° D) 60°3. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono donde se cumple que la suma de las medidas de los ángulos interiores es el triple de la suma de las medidas de los ángulos exteriores?A) 14 B) 27C) 20 D) 35 •6.7.8.9.10.

91COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍACuadriláteroEs un polígono de cuatro lados.CuadriláteroconvexoCuadrilátero noconvexo (cóncavo)BCA Dβα φθA DBywzxCα+β+θ+φ=360°z = x + y +wPara ambos cuadriláteros sus elementos son¾ Vértices: A, B, C y D¾ Lados: AB, BC, CD y ADNote¾ Todo cuadrilátero tiene dos diagonales.Clasificación de los cuadriláteros convexosLos cuadriláteros convexos se clasifican, según el paralelismo de sus lados opuestos, en:¾ Trapezoide¾ Trapecio¾ ParalelogramoA. TrapezoideA DCBbqa fEl trapezoide es aquel cuadrilátero que no presenta lados opuestos paralelos.AB CD y BC ADa+b+q+f = 360°B. TrapecioBHAlCDM Nl nnEl trapecio es aquel que tiene solo dos lados opuestos paralelos denominados bases.En la figura BC//AD¾ Bases: BC y AD¾ Lados laterales: AB y CD (lados no paralelos)¾ Altura: BH¾ Base media: MN (mediana)Recuerda: En todo trapecioAB CDwaSi BC//ADa + w = 180°CUADRILÁTEROS (TRAPEZOIDES Y TRAPECIOS)Theory Cuadriláteros 1I

202692 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAClasificación de los trapeciosLos trapecios se clasifican en:¾ Trapecio escaleno: Es el trapecio que tiene sus lados laterales de diferente longitud.Ba b q yCA DB CA Dβ Trapecio rectángulo φω αa ≠ bω + β = 180°α + φ = 180°δθq ≠ yθ + δ = 180°¾ Trapecio isósceles• Es aquel trapecio que tiene sus lados laterales deigual longitud.• En el trapecio isósceles se cumple que las diagonales AC y BD tienen igual longitud.A continuación veamos los teoremas relacionados a los trapecios que nos ayudarán a resolver muchos problemas.Teorema 1En todo trapecio la longitud de la base media es igual a la semisuma de las longitudes de las bases de dicho trapecio.BAM NCDaxnnllbEn el gráficoBC//ADMN: base media o medianax = a+b2Además debes saber que: BC//MN//ADTeorema 2En todo trapecio la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a la semidiferencia de las longitudes de las bases de dicho trapecio.En el gráficoBC//ADAP = PC y BQ = QDPQ: segmento que une los puntos medios de las diagonalesx = b – a2BP QACDxbaAdemás debes saber que: BC//PQ//ADObservationEl segmento que une los puntos medios de las diagonales está contenido en la mediana.BAbq qbCDl lAB = CD = lAC = BDq + b = 180°

93COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍASynthesisTrapezoideABCDAB CD ∧ BC AD BC // AD ∧ AB // CDAB CDParalelogramoAB CDBC // AD ∧ AB CDTrapecioClasificación de los cuadriláterosCUADRILÁTEROA DCBbqa w¾ Vértices: A, B, C y D¾ Lados: AB, BC, CD y ADa+b+q+w = 360° Teorema 1 BC//ADBAM NCDaxnnllbx = b+a2 Teorema 2 BC//ADAP = PCBQ = QDBP QACDxbax = b – a2MARCO TEÓRICO

Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi retoPRACTICO EN CLASE202694 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA1. Según la figura, halle el valor de x.4x2x+10° 3x – 10°BCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD2x+10°+4x+3x – 10°+90° = 360°9x+90° = 360°9x = 270° ∴ x = 30°2. Según el gráfico, halle el valor de x.2b2abaB100°50°E xCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD50°+100°+3b+3a = 360°b+a = 70°En el triángulo ECD2(b+a)+x = 180° 140°+x = 180° ∴ x = 40°Rpta.: 40°3. En el trapecio ABCD BC//AD , AB=12u, BC=10u y CD = 8u. Halle la longitud de la base media.BACE Da qa qResoluciónBACE12101288Da qqqaa20Nos piden la longitud de la base media: xSe observa que los triángulos ABE y ECD son isósceles, luego AE = 12 y ED = 8.x = 10+202∴ x = 15 uRpta.: 15 u4. En el trapecio ABCD mostrado, BC//AD, AE = ECy BF = FD. Halle el valor de x.A DB CE Fx3 u3 uResoluciónPiden: AD=xPor teoremaEF = AD – BC2→ 3 = x – 326 = x – 39 u = xRpta.: 9 u1. Según la fig Solved problems ura, halle el valor de x.4x2x+10° 3x – 10°BCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD2x+10°+4x+3x – 10°+90° = 360°9x+90° = 360°9x = 270° ∴ x = 30°Rpta.: 30°2. Según el gráfico, halle el valor de x.2b2abaB100°50°E xCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD50°+100°+3b+3a = 360°b+a = 70°En el triángulo ECD2(b+a)+x = 180° 140°+x = 180° ∴ x = 40°Rpta.: 40°3. En el trapecio ABCD BC//AD , AB=12u, BC=10u y CD = 8u. Halle la longitud de la base media.BACE Da qa qResoluciónBACE12101288Da qqqaa20Nos piden la longitud de la base media: xSe observa que los triángulos ABE y ECD son isósceles, luego AE = 12 y ED = 8.x = 10+202∴ x = 15 uRpta.: 15 u4. En el trapecio ABCD mostrado, BC//AD, AE = ECy BF = FD. Halle el valor de x.A DB CE Fx3 u3 uResoluciónPiden: AD=xPor teoremaEF = AD – BC2→ 3 = x – 326 = x – 39 u = xRpta.: 9 uSolved problems1. Según la figura, halle el valor de x.4x2x+10° 3x – 10°BCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD2x+10°+4x+3x – 10°+90° = 360°9x+90° = 360°9x = 270° ∴ x = 30°2. Según el gráfico, halle el valor de x.2b2abaB100°50°E xCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD50°+100°+3b+3a = 360°b+a = 70°En el triángulo ECD2(b+a)+x = 180° 140°+x = 180° ∴ x = 40°Rpta.: 40°3. En el trapecio ABCD BC//AD , AB=12u, BC=10u y CD = 8u. Halle la longitud de la base media.BACE Da qa qResoluciónBACE12101288Da qqqaa20Nos piden la longitud de la base media: xSe observa que los triángulos ABE y ECD son isósceles, luego AE = 12 y ED = 8.x = 10+202∴ x = 15 uRpta.: 15 u4. En el trapecio ABCD mostrado, BC//AD, AE = ECy BF = FD. Halle el valor de x.A DB CE Fx3 u3 uResoluciónPiden: AD=xPor teoremaEF = AD – BC2→ 3 = x – 326 = x – 39 u = xRpta.: 9 uSolved problems1. Según la figura, halle el valor de x.4x2x+10° 3x – 10°BCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD2x+10°+4x+3x – 10°+90° = 360°9x+90° = 360°9x = 270° ∴ x = 30°Rpta.: 30°2. Según el gráfico, halle el valor de x.2b2baB100°50°E xCA DResoluciónIncógnita: xEn el cuadrilátero ABCD50°+100°+3b+3a = 360°b+a = 70°En el triángulo ECD2(b+a)+x = 180° 140°+x = 180° ∴ x = 40°Rpta.: 40°3. En el trapecio ABCD BC//AD , AB=12u, BC=10u y CD = 8u. Halle la longitud de la base media.BACE Da qa qResoluciónBACE12101288Da qqqaa20Nos piden la longitud de la base media: xSe observa que los triángulos ABE y ECD son isósceles, luego AE = 12 y ED = 8.x = 10+202∴ x = 15 uRpta.: 15 u4. En el trapecio ABCD mostrado, BC//AD, AE = ECy BF = FD. Halle el valor de x.A DB CE Fx3 u3 uResoluciónPiden: AD=xPor teoremaEF = AD – BC2→ 3 = x – 326 = x – 39 u = xRpta.: 9 u Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución95COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. Las medidas de los ángulos internos de un terrenotrapezoidal ABCD son 105°, 5x, 85° y 3x+10°,como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo en la esquina C?105° 85°5xA BCResolución2. En el trapecio ABCD BC//AD . Calcule la mBCD.AB CD2xxResoluciónDemuestro mis conocimientos En la figura, halle el valor de x.ABCDwwMxff70°110°Resolución Si BC//AD, calcule la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDaall4x7 – xxResolución5. En el trapecio ABCD, halle el valor de x.A DB CM N x32nn423aa=345°ResoluciónPiden: mANM=x¾ Por teoremaMN = 4 + 22MN = 3¾ El AMN es notable de 45°y 45°: MN=AM=3→ x = 45°Rpta.: 45°PracticeAplico lo aprendido Las medidas de los ángulos internos de un terrenotrapezoidal ABCD son 105°, 5, 85° y 3como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo en la esquina C?105°3x+10° 85°5xA DBCResolución2. En el trapecio ABCD BC//AD . Calcule la mBCD.AB CD2xxResoluciónDemuestro mis conocimientos En la figura, halle el valor de x.ABCDwwMxff70°110°Resolución4. Si BC//AD, calcule la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDaall4x7 – xxResolución5. En el trapecio ABCD, halle el valor de x.A DB CM N x32nn423aa=345°ResoluciónPiden: mANM=x¾ Por teoremaMN = 4 + 22MN = 3¾ El AMN es notable de 45°y 45°: MN=AM=3→ x = 45°Rpta.: 45°PracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a. DadosA = {aAplico lo aprendido1. Las medidas de los ángulos internos de un terrenotrapezoidal ABCD son 105°, 5x, 85° y 3x+10°,como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo en la esquina C?105°3x+10° 85°5xA DBCResolución2. En el trapecio ABCD BC//AD . Calcule la mBCD.AB CD2xxResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.ABCDwwMxff70°110°Resolución4. Si BC//AD, calcule la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDaall4x7 – xxResolución5. En el trapecio ABCD, halle el valor de x.A DB CM N x32nn423aa=345°ResoluciónPiden: mANM=x¾ Por teoremaMN = 4 + 22MN = 3¾ El AMN es notable de 45°y 45°: MN=AM=3→ x = 45°Rpta.: 45°PPrractice acticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aAplico lo aprendido1. Las medidas de los ángulos internos de un terrenotrapezoidal ABCD son 105°, 5x, 85° y 3x+10°,como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo en la esquina C?105°3x+10° 85°5xA DBCResolución2. En el trapecio ABCD BC//AD . Calcule la mBCD.AB CD2xxResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.ABCDwwMxff70°110°Resolución4. Si BC//AD, calcule la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDaall4x7 – xxResolución5. En el trapecio ABCD, halle el valor de x.A DB CM N x32nn423aa=345°ResoluciónPiden: mANM=x¾ Por teoremaMN = 4 + 22MN = 3¾ El AMN es notable de 45°y 45°: MN=AM=3→ x = 45°Rpta.: 45°PracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aAplico lo aprendido1. Las medidas de los ángulos internos de un terrenotrapezoidal ABCD son 105°, 5x, 85° y 3x+10°,como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo en la esquina C?105°3x+10° 85°5xA DBCResolución2. En el trapecio ABCD BC//AD . Calcule la mBCD.AB CD2xxResoluciónDemuestro mis conocimientos En la figura, halle el valor de x.ABCDwwMxff70°110°Resolución Si BC//AD, calcule la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDaall4x7 – xxResolución5. En el trapecio ABCD, halle el valor de x.A DB CM N x32nn423aa=345°ResoluciónPiden: mANM=x¾ Por teoremaMN = 4 + 22MN = 3¾ El AMN es notable de 45°y 45°: MN=AM=3→ x = 45°Rpta.: 45°PPrractice acticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a

TAREA DOMICILIARIA202696 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. El plano del establo de Érika es como el que semuestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo de laesquina B?ABCD 2x100°+x110°Resolución2. En el trapecio ABCD BC//AD , calcule la mABC.B C4x Workshop5. En el trapecio ABCD BC//AD , AP=PC y BQ=QD. Halle el valor de x.AB CD4x64P QResoluciónAsumo mi reto6. Edwin ha construido una mesa trapecial, tal como semuestra en el gráfico. Determine la longitud del ladomayor del tablero.100 cm200 cm37° 45°ResoluciónAlejandra tiene un mueble de juguete en forma de un trapecio isósceles, tal como se muestra en el gráfico. ¿Cuál es la altura de dicho mueble?3 cm13 cm16 cm6 cmResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Resolución12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. En el trapecio ABCD BC//AD , AP=PC y BQ=QD. Halle el valor de x.AB CD4x64P QResoluciónAsumo mi reto6. Edwin ha construido una mesa trapecial, tal como semuestra en el gráfico. Determine la longitud del ladomayor del tablero.100 cm200 cm37° 45°ResoluciónAlejandra tiene un mueble de juguete en forma de un trapecio isósceles, tal como se muestra en el gráfico. ¿Cuál es la altura de dicho mueble?3 cm13 cm16 cm6 cmResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

97COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA2. En el trapecio ABCD BC//AD , calcule la mABC.AB CD4xxResolución Si BC//AD, determine la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDyyqq24 cm3x6 cmResoluciónA D4xxResolución Demuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.ABCDwwPxqq80°130°Resolución4. Si BC//AD, determine la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDyyqq24 cm3x6 cmResoluciónSCORE Demuestro mis conocimientos3. En la figura, halle el valor de x.BCPxqq80°130°Resolución4. Si BC//AD, determine la longitud de la mediana deltrapecio ABCD.AMB CNDyyqq24 cm3x6 cmResoluciónSCORE5. En el trapecio ABCD BC//AD , AP=PC y BQ=QD. Halle el valor de x.AB CD24+a2x4+aP QResoluciónAsumo mi reto6. A Pancho le encargaron construir una mesa trapecial,tal como se muestra en el gráfico. Determine la longitud del lado mayor del tablero.110 cm100 cm37° 45°Resolución

202698 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAAsumo mi reto6. A Pancho le encargaron construir una mesa trapecial,tal como se muestra en el gráfico. Determine la longitud del lado mayor del tablero.110 cm100 cm37° 45°Resolución5. En el trapecio ABCD BC//AD , AP=PC y BQ=QD. Halle el valor de x.AB CD24+a2x4+aP QResoluciónAsumo mi reto6. A Pancho le encargaron construir una mesa trapecial,tal como se muestra en el gráfico. Determine la longitud del lado mayor del tablero.110 cm100 cm37° 45°ResoluciónA Diana le regalaron por su cumpleaños un mueble de juguete en forma de un trapecio isósceles, tal como se muestra en el gráfico. ¿Cuál es la altura de dicho mueble?4 cm17 cm26 cm10 cmResoluciónA Diana le regalaron por su cumpleaños un mueble de juguete en forma de un trapecio isósceles, tal como se muestra en el gráfico. ¿Cuál es la altura de dicho mueble?4 cm17 cm26 cm10 cmResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a1. Dado un trapecio ABCD de bases BC y AD tal quemB=3(m D), AB=5 u, BC=3 u y AD=11 u,calcule la m D.A) 45° B) 53°C) 37° D) 30° TrialPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

99COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAContinuamos en tu cuadernoNivel I1. Se muestra el plano de una sala de una casa. Si mC=150° y mA=2(mD). Calcule la medida del ángulo que forma las paredes AD y CD.BA DCA) 40° B) 35°C) 45° D) 50°Resolución2. Si BC//AD, halle el valor de x.AB CDM Naabb10x+5A) 5 u B) 6 uC) 7 u D) 8 uResoluciónHelico challenge 2. En la figura, MN es base media del triángulo equilátero BAC. Si la longitud de la mediana del trapecio BCNM es 3 3u, calcule el perímetro del triángulo BAC.A) 3 3 uB) 12 3 u ABCMNC) 24 3 uD) 4 3 u2. Si BC//AD, halle el valor de x.AB CDM Naabb10x+5A) 5 u B) 6 uC) 7 u D) 8 uResoluciónNivel III5. Calcule la longitud de la base media del siguiente trapecioAB CD8 2 u45°A) 12 u B) 10 uC) 8 u D) 9 uResoluciónNivel II3. Si AP = PC y BQ = QD, halle el valor de x.xP QA 19 u DB 7 u CA) 5 u B) 5,5 uC) 6,5 u D) 6 uResolución4. Se tiene una compuerta diseñada para gran presión de agua, con un material de acero y de forma de trapecio isósceles. Calcule la mADC.ABC150°Nivel III Calcule la longitud de la base media del siguiente trapecioAB CD8 2 u45°A) 12 u B) 10 uC) 8 u D) 9 uResoluciónNivel II3. Si AP = PC y BQ = QD, halle el valor de x.xP QA 19 u DB 7 u CA) 5 u B) 5,5 uC) 6,5 u D) 6 uResolución4. Se tiene una compuerta diseñada para gran presión de agua, con un material de acero y de forma de trapecio isósceles. Calcule la mADC.ABCD150°A) 45° B) 30°C) 32° D) 40°ResoluciónNivel III5. Calcule la longitud de la base media del siguiente trapecioAB CD8 2 u45°A) 12 u B) 10 uC) 8 u D) 9 uResoluciónNivel I1. Las medidas de los ángulos internos de un trapezoide son 60°, 3x, 100° y x. Halle el valor de 100°60° x3xABCDA) 40° B) 50°C) 36° D) 60°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.80°150°BCαβ βα AIDxA) 136° B) 105°C) 144° D) 115°3. Si BC//AD, AP=PC y BQ=QD, halle el valor de x.C5 uBPQNivel III4. Victoria tiene un terreno trapecial ABCD BC//AD . Se observa un canal de regadío tal como se muestra en el gráfico. Si M equidista de A y B, determine AD.AB CMD qq10 m30 mA) 55 m B) 45 m C) 4 m D) 50 m5. En la figura se muestra una piscina ABCD de forma trapecial BC//AD y en el punto E un extractor de agua. Si los bordes BC y AD distan 6 m,. ¿a qué distancia del borde AB se debe instalar el extractor de agua?Eab ba A DCBA) 5 m B) 2 mC) 3 m D) 1 mHelico homeworkNivel I1. Las medidas de los ángulos internos de un trapezoide son 60°, 3x, 100° y x. Halle el valor de 100°60° x3xABCDA) 40° B) 50°C) 36° D) 60°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.80°150°BCαβ βα AIDxA) 136° B) 105°C) 144° D) 115°3. Si BC//AD, AP=PC y BQ=QD, halle el valor de Cx5 uBP QNivel III Victoria tiene un terreno trapecial ABCD BC Se observa un canal de regadío tal como se muestra en el gráfico. Si M equidista de A y B, determine AD.AB CMD qq10 m30 mA) 55 m B) 45 m C) 4 m D) 50 m5. En la figura se muestra una piscina ABCD de forma trapecial BC//AD y en el punto E un extractor de agua. Si los bordes BC y AD distan 6 m,. ¿a qué distancia del borde AB se debe instalar el extractor de agua?Eab ba A DCBA) 5 m B) 2 mC) 3 m D) 1 mHelico homeworkNivel I1. Las medidas de los ángulos internos de un trapezoide son 60°, 3x, 100° y x. Halle el valor de x.100°60° x3xABCDA) 40° B) 50°C) 36° D) 60°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.80°150°BCαβ βα AIDxA) 136° B) 105°C) 144° D) 115° PC y BQDACx5 u13 uBP QA) 3,5 u B) 4 uC) 5 u D) 4,5 u Helico homework•6.Nivel I1. Las medidas de los ángulos internos de un trapezoide son 60°, 3x, 100° y x. Halle el valor de x.100°60° x3xABCDA) 40° B) 50°C) 36° D) 60°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.80°150°BCαβ βα AIDxA) 136° B) 105°C) 144° D) 115°3. Si BC//AD, AP=PC y BQ=QD, halle el valor de x.DACx5 u13 uBP QA) 3,5 u B) 4 uC) 5 u D) 4,5 u •7. de son 60°, 3x, 100° y x. Halle el valor de x.100°60° x3xABCDA) 40° B) 50°C) 36° D) 60°Nivel II2. En la figura, halle el valor de x.80°150°BCαβ βα AIDxA) 136° B) 105°C) 144° D) 115°3. Si BC//AD, AP=PC y BQ=QD, halle el valor de x.DACx5 u13 uBP QA) 3,5 u B) 4 uC) 5 u D) 4,5 u •8.9.10.

2026100 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAA. ParalelogramoEs aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.BACDEn el gráficoBC//AD y AB//CDABCD: paralelogramoEn el paralelogramo podemos observar las siguientes característicasa. Los lados opuestos tiene igual longitud.B lln nACDb. Los ángulos opuestos tienen igual medida.Baa bbACDSe cumple: a + b = 180°c. Las diagonales se intersecan en su punto medio.Bln lnACDOBO = OD y AO = OCB. Clasificación de los paralelogramos1. RomboideParalelogramo que tiene sus lados consecutivos dediferente longitud y ningún ángulo interno mide90°.Babb aaA bCDaba ≠ bb + a = 180°En todo romboide se trazan una diagonal mayor y una menor.BanllnabbACDqgf wgwf qOEn el gráfico¾ AC: diagonal mayor¾ BD: diagonal menor2. RectánguloParalelogramo que tiene sus ángulos internos deiguales medidas.BaA bCDb≠aEn todo rectángulo sus diagonales tienen igual longitud. Al rectángulo también se le conoce como cuadrilongo.OBa abbllllACDqwwqww qqEn el gráfico: AC = BDPARALELOGRAMOSTheory Paralelogramos 12