151COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAContinuamos en tu cuaderno1. Determine x.6 cm7 cm3 cmA CBED Fα αββx+52. Del gráfico, calcule ND.M LbbED16 u16 u8 uN3. De la figura, halle el valor de x.bααb DxBA 8 u C4 u4. En la figura, determine CDBA9 u12 u4uCED5. Se tiene un terreno de forma triangular ABC y se le divide en 2 partes por una línea MN, MN//AC, BN=6 m, NC=2 m y AC=12 m. Si M∈AB y N∈BC, determine MN.A CB1. Halle el valor de x.2 uα b bαxx8 u ABC RPQ2. Si DE//AC, determine x.BA 8 cm6 cm 3 cmCxD E3. Del gráfico, determine x.BA EC4 D8 mα6 m αx4. En Tablada de Lurín, tenemos un terreno de forma de cuadrilátero ABCD, donde BC = 16 m, CD = 4 m, mABC = mCAD, mBAC = mADC. Se desea dividir este terreno en dos partes por AC. Determine AC.ABCD5. Los ángulos que forma un rayo de luz al refrectarse en un espejo plano son congruentes. Alberto, de 1,8 m de estatura, mira la parte más alta de un edificio en dicho espejo que está a 2 m de él y a 16 m de la base del edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?6.7.8.9.10.
2026152 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍALa proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. A dicha perpendicular se le denomina proyectante y a la recta, eje de proyecciones.Para poder entender mejor, veamos el siguiente gráfico:O' A' B' P' Q' R S'SA B Q OProyectantePDel gráficoO' : proyección ortogonal del punto OA'B': proyección ortogonal del ABP'Q': proyección ortogonal del PQRS' : proyección ortogonal del RSL : eje de proyeccionesRelaciones métricas en el triángulo rectánguloA HBCAH : proyección ortogonal de AB sobre la hipotenusa ACHC : proyección ortogonal de BC sobre la hipotenusa ACA continuación veamos algunos teoremas que nos ayudarán a resolver los problemas.PROYECCIÓN ORTOGONALTheoryRelaciones métricas en el 18 triángulo rectángulo
153COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍATeorema 1 (teorema de Pitágoras)El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.a bcABCDel gráficoa2 + b2 = c2Teorema 2El cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa.A CHBhm nDel gráficoh2 = mnTeorema 3El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.A CBHa bm ncDel gráfico a2 = cm y b2 = cnTeorema 4El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a ella.A C HBa h bcDel gráficoab = ch
2026154 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍATeorema 1A CBa bcSe cumplea2 + b2= c2Teorema 2A CBHhm nSe cumpleh2 = mnTeorema 3A CBH m bn acSe cumple a2 = cm y b2 = cnTeorema 4 H A C Bh b a cSe cumpleab = chA HB C α b α bAH es la proyección ortogonal de AB sobre AC.HC es la proyección ortogonal de BC sobre AC.RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO SynthesisMARCO TEÓRICO
5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónPRACTICO EN CLASE155COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA1. En la figura, halle el valor de x.619 AuuBCD3 uxResolución19 ABCD3 uu6 ux n¾ Piden: CD = x¾ ABD (Pitágoras)( ) ( ) 2 2 2 6 195nn= +=¾ BCD (Pitágoras) 52 = 32+x2∴ x = 4Rpta.: 4 u2. En la figura, O es centro de la circunferencia y T espunto de tangencia. Determine x.xxAOT1 m9 m CResoluciónxxAOT1 m9 m C¾ Piden: x¾ Se traza el radio OT.OT⊥AC¾ AOC: Por teorema 2x2 = (1)(9)∴ x = 3Rpta.: 3 m En la figura, determine BC.A 6 cm 2 cm H CBResoluciónA28H CBx¾ Piden: BC = x¾ ABC (por teorema 3)x2 = (2)(8)∴ x = 4Rpta.: 4 cm Si L↔es mediatriz de AC, determine x.ABCD12 mL5 mxSolved problems¾ Piden: x¾ Se traza el radio OT.OT⊥AC¾ AOC: Por teorema 2x2 = (1)(9)∴ x = 3Rpta.: 3 m3. En la figura, determine BC.A 6 cm 2 cm H CBResoluciónBx619 AuuBCD3 uxResolución19 ABCD3 uu6 ux n¾ Piden: CD = x¾ ABD (Pitágoras)( ) ( ) 2 2 2 6 195nn= +=¾ BCD (Pitágoras) 52 = 32+x2∴ x = 4Rpta.: 4 u2. En la figura, O es centro de la circunferencia y T espunto de tangencia. Determine x.xxAOT1 m9 m CResoluciónxxAOT1 m9 m C¾ Se traza el radio OT.OT⊥AC¾ AOC: Por teorema 2x2 = (1)(9)∴ x = 3Rpta.: 3 m En la figura, determine BC.A 6 cm 2 cm H CBResoluciónA28H CBx¾ Piden: BC = x¾ ABC (por teorema 3)x2 = (2)(8)∴ x = 4Rpta.: 4 cm Si L↔es mediatriz de AC, determine x.ABCD12 mL5 mx19 ADu¾ Piden: CD = x¾ ABD (Pitágoras)( ) ( ) 2 2 2 6 195nn= +=¾ BCD (Pitágoras) 52 = 32+x2∴ x = 4Rpta. 2. En la figura, O es centro de la circunferencia y T espunto de tangencia. Determine x.xxAOT1 m9 m CResoluciónxxAOT1 m9 m A 6 cm 2 cm H CResoluciónA28H CBx¾ Piden: BC = x¾ ABC (por teorema 3)x2 = (2)(8)∴ x = 4Rpta.: 4 cm4. Si L↔es mediatriz de AC, determine x.ABCD12 mL5 mx5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi retoUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.ResoluciónResoluciónABCD12 mL5 mx xa a¾ Nos piden: AB = x¾ Si L↔ es mediatriz del AC→ BC = x¾ Además, BDC (por teorema de Pitágoras)x2 = 52 + 122x = 13Rpta.: 13 m5. Del gráfico mostrado, halle el valor de x.2 u15 u4 uABH CDx
5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.2026156 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En un triángulo PQR, recto en Q, QR = 12 m yPR = 13 m. Determine PQ.Resolución2. Si O es centro de la circunferencia y T es punto detangencia, calcule la longitud del radio de dicha circunferencia.A B TO2 u 8 uResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule BC.AH9 u7 uCBResolución4. En la figura, determine xA H8 cm 15 cmCBxResoluciónPracticePracticeResolución, xcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. = ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a aAplico lo aprendido1. En un triángulo PQR, recto en Q, QR = 12 m yPR = 13 m. Determine PQ.Resolución2. Si O es centro de la circunferencia y T es punto detangencia, calcule la longitud del radio de dicha circunferencia.A B TO2 u 8 uResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule BC.AH9 u7 uCBResolución En la figura, determine xA H8 cm 15 cmCBxResoluciónPractice PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución + 9; b + 2} y BSi se sabe que A = B, calcule Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a Aplico lo aprendido1. En un triángulo PQR, recto en Q, QR = 12 m yPR = 13 m. Determine PQ.Resolución2. Si O es centro de la circunferencia y T es punto detangencia, calcule la longitud del radio de dicha circunferencia.A B TO2 u 8 uResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule BC.AH9 u7 uCBResolución4. En la figura, determine xA H8 cm 15 cmCBxResoluciónacPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.2 + b2.Resolución + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosAplico lo aprendido1. En un triángulo PQR, recto en Q, QR = 12 m yPR = 13 m. Determine PQ.Resolución2. Si O es centro de la circunferencia y T es punto detangencia, calcule la longitud del radio de dicha circunferencia.A B TO2 u 8 uResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule BC.AH9 u7 uCBResolución4. En la figura, determine xA H8 cm 15 cmCBxResoluciónPractice PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a
TAREA DOMICILIARIA157COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAplico lo aprendido1. En un triángulo ABC, recto en B, AB = 8 m yAC = 17 m. Determine BC.Resolución2. Si O es centro de la circunferencia y M es puntode tangencia, calcule la longitud del radio de dichacircunferencia.O Workshop5. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB; Tes punto de tangencia. Determine la longitud del radio de dicha semicircunferencia.B 4 mA 9 m DCTResoluciónAsumo mi reto6. Si las longitudes de los radios de las poleas son 7 dmy 2 dm, ¿cuál es la distancia entre sus centros?MotorPolea conducidaEjePoleaconductoraCorreas12 dmResoluciónABCD es el patio rectangular del Centro Educativo Inicial Mis Brinquitos y se le ha hecho una división para separar a los niños de 3; 4 y 5 años. ¿Qué perímetro tiene dicho patio?ABD9 m E 4 m CResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Resolución12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB; Tes punto de tangencia. Determine la longitud del radio de dicha semicircunferencia.B 4 mA 9 m DCTResoluciónAsumo mi reto6. Si las longitudes de los radios de las poleas son 7 dmy 2 dm, ¿cuál es la distancia entre sus centros?MotorPolea conducidaEjePoleaconductoraCorreas12 dmResoluciónABCD es el patio rectangular del Centro Educativo Inicial Mis Brinquitos y se le ha hecho una división para separar a los niños de 3; 4 y 5 años. ¿Qué perímetro tiene dicho patio?ABD9 m E 4 m CResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?
2026158 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA2. Si O es centro de la circunferencia y M es puntode tangencia, calcule la longitud del radio de dichacircunferencia.P Q MO1 u 9 uResoluciónResolución En la figura, determine BH.A H5 cm 12 cmCBResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En la figura, calcule BC.AH9 u16 uCBResolución4. En la figura, determine BH.A H5 cm 12 cmCBResoluciónSCORE2. Si O es centro de la circunferencia y M es puntode tangencia, calcule la longitud del radio de dichacircunferencia.P Q MO1 u 9 uResolución4. En la figura, determine BH.A H5 cm 12 cmCBResolución5. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB; Pes punto de tangencia. Determine la longitud del radio de dicha semicircunferencia.B 4,5 mA 12,5 m DCPResoluciónAsumo mi reto6. Si las longitudes de los radios de las poleas son 10dm y 3 dm, ¿cuál es la distancia entre sus centros?Correas24 dm
159COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAAsumo mi reto6. Si las longitudes de los radios de las poleas son 10dm y 3 dm, ¿cuál es la distancia entre sus centros?MotorPolea conducidaEjePoleaconductoraCorreas24 dmResoluciónA 12,5 m DResoluciónAsumo mi reto6. Si las longitudes de los radios de las poleas son 10dm y 3 dm, ¿cuál es la distancia entre sus centros?MotorPolea conducidaEjePoleaconductoraCorreas24 dmResolución5. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB; Pes punto de tangencia. Determine la longitud del radio de dicha semicircunferencia.B 4,5 mA 12,5 m DCPResoluciónAsumo mi reto6. Si las longitudes de los radios de las poleas son 10dm y 3 dm, ¿cuál es la distancia entre sus centros?MotorPolea conducidaEjePoleaconductoraCorreas24 dmResoluciónABCD es el patio rectangular del Centro Educativo Inicial Mis Travesuras y se le ha hecho una división para separar a los niños de 3; 4 y 5 años. Determine el perímetro de dicho patio.ABD2 m M 8 m CResoluciónABCD es el patio rectangular del Centro Educativo Inicial Mis Travesuras y se le ha hecho una división para separar a los niños de 3; 4 y 5 años. Determine el perímetro de dicho patio.ABD2 m M 8 m CResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a1. En la figura, halle el valor de α.x x+yαAB C3xyA) 30° B) 60°C) 15° D) 37° TrialPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a
2026160 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAContinuamos en tu cuadernoA) 30° B) 60°C) 15° D) 37°A) 2 3 u B) 4 2 uC) 3 2 u D) 3 3 uNivel I1. En la figura, calcule AB.A2 u H 6 u CBA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 3,5 u2. En la figura, halle el valor de x.3 uuABH C x–121 6 u B) 7 u 8 u D) 9 uNivel II En la figura, determine x.30 cm 40 cmBA H CxA) 20 cm B) 25 cmC) 21 cm D) 24 cm4. En la figura, calcule CD.AH4 u6 uCDB17 uA) 8 u B) 6 uC) 10 u D) 9 uNivel III5. En el catastro urbano de Jesús María se muestra un terreno cuadrangular ABCD, donde AB= 11 mBC = 3 m y CD = 4 m. Determine AD.ABDA) 10 m B) 8 mC) 6 m D) 7 mHelico challengeNivel I1. En la figura, calcule AB.A2 u H 6 u CBA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 3,5 u2. En la figura, halle el valor de x.3 uuABH C x–121A) 6 u B) 7 uC) 8 u D) 9 uNivel II En la figura, determine 30 cm 40 cmBA H CxA) 20 cm B) 25 cmC) 21 cm D) 24 cm4. En la figura, calcule CD.AH4 u6 uCDB17 uA) 8 u B) 6 uC) 10 u D) 9 uNivel III5. En el catastro urbano de Jesús María se muestra un terreno cuadrangular ABCD, donde AB= 11 mBC = 3 m y CD = 4 m. Determine AD.ABCDA) 10 m B) 8 mC) 6 m D) 7 mHelico challengeNivel I1. En la figura, calcule AB.A2 u H 6 u CBA) 3 u B) 4 uC) 5 u D) 3,5 u2. En la figura, halle el valor de x.3 uuABH C x–121A) 6 u B) 7 uC) 8 u D) 9 uNivel II3. En la figura, determine x.30 cm 40 cmBA H CxA) 20 cm B) 25 cmC) 21 cm D) 24 cm4. En la figura, calcule CD.AH4 u6 uCDB17 uA) 8 u B) 6 uC) 10 u D) 9 uNivel III5. En el catastro urbano de Jesús María se muestra un terreno cuadrangular ABCD, donde AB= 11 mBC = 3 m y CD = 4 m. Determine AD.ABC 10 m B) C) 6 m D) 7 m2. En el gráfico, BM = 2 3 u y M es punto de tangencia. Halle el valor de r.rABMCDA) 2 3 u B) 4 2 uC) 3 2 u D) 3 3 u 25 cm 21 cm D) 24 cm4. En la figura, calcule CD.AH4 u6 uCDB17 uA) 8 u B) 6 uC) 10 u D) 9 uNivel III5. En el catastro urbano de Jesús María se muestra un terreno cuadrangular ABCD, donde AB= 11 m,BC = 3 m y CD = 4 m. Determine AD.ABCDA) 10 m B) 8 m2. En el gráfico, BM = 2 3 u y M es punto de tangencia. Halle el valor de r.rABMCDA) 2 3 u B) 4 2 uC) 3 2 u D) 3 3 uA) 20 cm B) 25 cm 21 cm D) 24 cm En la figura, calcule CD.H4 u6 uCDBA) 8 u B) 6 uC) 10 u D) 9 uNivel III5. En el catastro urbano de Jesús María se muestra un terreno cuadrangular ABCD, donde AB= 11 m,BC = 3 m y CD = 4 m. Determine AD.ABCDA) 10 m B) 8 mC) 6 m D) 7 mNivel I1. Determine el perímetro del terreno ABC.10 m6 mA CBA) 24 m B) 26 mC) 20 m D) 36 mNivel II2. En la figura, calcule AB.BA 4 12H CA) 3 5 u B) 2 3 uC) 5 u D) 8 u En la figura, halle el valor de xBA 3 u x+2H C15 uA) 5 u B) 2 uC) 3 u D) 6 u Helico homeworkNivel I1. Determine el perímetro del terreno ABC.10 m6 mA CBA) 24 m B) 26 mC) 20 m D) 36 mNivel II2. En la figura, calcule AB.BA 4 12H CA) 3 5 u B) 2 3 uC) 5 u D) 8 u3. En la figura, halle el valor de x.BA 3 u x+2H CA) 5 u B) 2 uC) 3 u D) 6 u 10 m6 mA CBA) 24 m B) 26 mC) 20 m D) 36 mNivel II2. En la figura, calcule AB.BA 4 12H CA) 3 5 u B) 2 3 uC) 5 u D) 8 u3. En la figura, halle el valor de x.BA 3 u x+2H C15 u 5 u B) 2 uC) 3 u D) 6 u Determine el perímetro del terreno ABC.10 m6 mA CBA) 24 m B) 26 mC) 20 m D) 36 mNivel II2. En la figura, calcule AB.BA 4 12H CA) 3 5 u B) 2 3 uC) 5 u D) 8 u3. En la figura, halle el valor de x.B15 u4. En la figura se observa el asta de la bandera y los cables AB y BC. ¿A cuántos metros de la base del asta se encuentra Alejandra?6 mA H 3 mBCA) 12 m B) 8 mC) 9 m D) 10 m5. Se tiene un terreno como muestra la gráfica, donde AH = 7 m, BH = 70 m y HD = 8 m. ¿A qué distancia del punto D se encuentra una persona que se ubica en C?ABCDHA)5 mB)6 mHelico homeworkNivel I Determine el perímetro del terreno ABC.10 m6 mA CA) 24 m B) 26 mC) 20 m D) 36 mNivel II2. En la figura, calcule AB.BA 4 12H CA) 3 5 u B) 2 3 uC) 5 u D) 8 u3. En la figura, halle el valor de x.BA 3 u x+2H C15 uA)5 uB)2 uNivel III4. En la figura se observa el asta de la bandera y los cables AB y BC. ¿A cuántos metros de la base del asta se encuentra Alejandra?6 mA H 3 mBCA) 12 m B) 8 mC) 9 m D) 10 m5. Se tiene un terreno como muestra la gráfica, donde AH = 7 m, BH = 70 m y HD = 8 m. ¿A qué distancia del punto D se encuentra una persona que se ubica en C?ABCDHA) 5 m B) 6 mC) 4 m D) 9 mHelico homework6.7.8.9.10.
161COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍARELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA¾ Teorema de las cuerdasAl trazar en una circunferencia dos cuerdas secantes en un punto interior, el producto de las longitudes de los segmentos determinados en cada una de dichas cuerdas son iguales.Del gráfico:ab = mnm ba nAEC BD¾ Teorema de la tangenteSi por un punto exterior a una circunferencia se trazan una recta tangente y una recta secante, se cumple que el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante y su parte externa.Del gráfico, T es punto de tangencia.a2 = mnamnTPBA¾ Teorema de las secantesSi por un punto exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes se cumple que el producto de las longitudes de un segmento secante y su parte externa es constante.Del gráfico:ab = mnaBRAQPbm nTheory Relaciones métricas en la 19 circunferencia
2026162 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍASynthesisTeorema de las cuerdasm ba nC BEA Dab = mnTeorema de la tangenteamnTABPa2 = mnTeorema de las secantesabm nQAPRBab = mnRELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIASynthesisTeorema de las cuerdasm ba nC BEA Dab = mnTeorema de la tangenteamnTABPa2 = mnTeorema de las secantesabm nQAPRBab = mnRELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIAMARCO TEÓRICO
Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.ResoluciónPRACTICO EN CLASE163COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA1. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB yCD, las cuales se intersecan en P, tal que CP = 6 u,PD = 4 u, PB = 8 u y AP = x + 1. Halle el valorde x.ResoluciónSe pide: xC648Px+1BDAAplicando el teorema de las cuerdas8 (x + 1) = 6 · 4 x + 1 = 3∴ x = 2Rpta.: 2 u2. De un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan las secantes PBA y PDC, tal que AB = 8 u,BP = 4 u y DP = 6 u. Calcule CD.ResoluciónSe pide: CD = xAB P128466+xDCxAplicando el teorema de la secante(6 + x)6 = 12 · 46 + x = 8∴ x = 2Rpta.: 2 u3. De un punto P exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PT y la secante PBA (T es punto detangencia), tal que PT = 6 u y BP = 4 u. Determine AB.ResoluciónSe pide: AB = xB4 x+46TA x PAplicando el teorema de la tangente62 = (x + 4)(4) → 36 = (x + 4)(4) 9 = x + 4∴ x = 5Rpta.: 5 u4. En la figura, calcule la m BAC.x aa+38 cm4 cm A HBCDResoluciónSe pide: m BAC = xx aa+384ABHCDAplicando el teorema de las cuerdas:8a = 4(a + 3)8a = 4a + 124a = 12 a = 3ABCD4aa+38HSolved problemsC648Px+1BDAAplicando el teorema de las cuerdas8 (x + 1) = 6 · 4 x + 1 = 3∴ x = 2Rpta.: 2 u2. De un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan las secantes PBA y PDC, tal que AB = 8 u,BP = 4 u y DP = 6 u. Calcule CD.ResoluciónSe pide: CD = xAB P128466+xDCxAplicando el teorema de la secante(6 + x)6 = 12 · 46 + x = 8∴ x = 2Rpta.: 2 u3. De un punto P exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PT y la secante PBA (T es punto detangencia), tal que PT = 6 u y BP = 4 u. Determine AB.4 x+4 x PAplicando el teorema de la tangente62 = (x + 4)(4) → 36 = (x + 4)(4) 9 = x + 4∴ x = 5Rpta.: 5 u4. En la figura, calcule la m BAC.x aa+38 cm4 cm A HBCDResoluciónSe pide: m BAC = xx aa+384ABHCDAplicando el teorema de las cuerdas:8a = 4(a + 3)8a = 4a + 124a = 12 a = 3ABCD4aa+38H1. En una circunferencia se trazan las cuerdas AB yCD, las cuales se intersecan en P, tal que CP = 6 u,PD = 4 u, PB = 8 u y AP = x + 1. Halle el valorde x.ResoluciónSe pide: xC648Px+1BDAAplicando el teorema de las cuerdas8 (x + 1) = 6 · 4 x + 1 = 3∴ x = 2Rpta.: 2 u2. De un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan las secantes PBA y PDC, tal que AB = 8 u,BP = 4 u y DP = 6 u. Calcule CD.ResoluciónSe pide: CD = xAB P128466+xDCxAplicando el teorema de la secante(6 + x)6 = 12 · 46 + x = 8∴ x = 2Rpta.: 2 u3. De un punto P exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PT y la secante PBA (T es punto detangencia), tal que PT = 6 u y BP = 4 u. Determine AB.ResoluciónSe pide: AB = xB4 x+46TA x PAplicando el teorema de la tangente62 = (x + 4)(4) → 36 = (x + 4)(4) 9 = x + 4∴ x = 5Rpta.: 5 u4. En la figura, calcule la m BAC.x aa+38 cm4 cm A HBCDResoluciónSe pide: m BAC = xx aa+384ABHCDAplicando el teorema de las cuerdas:8a = 4(a + 3)8a = 4a + 124a = 12 a = 3ABCD4aa+38HSolved problems = = = x de x.ResoluciónSe pide: xC648Px+1BDAAplicando el teorema de las cuerdas8 (x + 1) = 6 · 4 x + 1 = 3∴ x = 2Rpta.: 2 u2. De un punto P, exterior a una circunferencia, se trazan las secantes PBA y PDC, tal que AB = 8 u,BP = 4 u y DP = 6 u. Calcule CD.ResoluciónSe pide: CD = xAB P128466+xDCxAplicando el teorema de la secante(6 + x)6 = 12 · 46 + x = 8∴ x = 2Rpta.: 2 u3. De un punto P exterior a una circunferencia, se trazan la tangente PT y la secante PBA (T es punto detangencia), tal que PT = 6 u y BP = 4 u. Determine AB.B4 x+46TA x PAplicando el teorema de la tangente62 = (x + 4)(4) → 36 = (x + 4)(4) 9 = x + 4∴ x = 5Rpta.: 5 u4. En la figura, calcule la m BAC.x aa+38 cm4 cm A HBCDResoluciónSe pide: m BAC = xx aa+384ABHCDAplicando el teorema de las cuerdas:8a = 4(a + 3)8a = 4a + 124a = 12 a = 3ABCD4aa+38H⇒ AHB: notable de 37° y 53°ABH3 cm4 cm53°x5 cm∴ x = 37ºRpta.: 37°5. Del gráfico, halle el valor de x si T es punto de tangencia.10 cmA 3x B xTPAplico lo aprendido1. Del gráfico, calcule CD.C B4 cmEAD2x3xxResolución Practice Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución
EAD2x3xxResolución = Rpta.: 37°5. Del gráfico, halle el valor de x si T es punto de tangencia.10 cmA 3x B xTPAplico lo aprendido1. Del gráfico, calcule CD.C B4 cmEAD2x3xxResolución Practice2026164 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAResoluciónSe pide: x10A 3x B P xT4xPor el teorema de la tangente(10)2 = (4x)(x)100 = 4x2∴ x = 5Rpta.: 5 cm2. En la figura, PA = 16 u, AB = 9 u y T es punto detangencia. Calcule PT.TBAPResoluciónrResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. En el gráfico, PA = 5 u y PC = 4u. Halle el valorde x.ABDPC2xxResolución5. En la figura, A y Q son puntos de tangencia,QR = 2 cm y MP = PQ. Determine la longitud deMA.M APQRResolución2 + b2.Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule aD2xResolución4. En la circunferencia de centro O, AM = 6 u yPM = 4 u. Calcule MQ.PA OBM QResolución +, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {aAplico lo aprendido1. Del gráfico, calcule CD.C B4 cmEAD2x3xxResolución2. En la figura, PA = 16 u, AB = 9 u y T es punto detangencia. Calcule PT.TBAPResoluciónPractice PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución29; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24} Dado el conjunto B + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a. DadosA = {Demuestro mis conocimientos3. En el gráfico, PA = 5 u y PC = 4u. Halle el valorde x.ABDPC2xxResolución5. En la figura, A y Q son puntos de tangencia,QR = 2 cm y MP = PQ. Determine la longitud deMA.M APQRResoluciónResolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?
5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónTAREA DOMICILIARIA165COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍADMCEQBPAAplico lo aprendido1. Del gráfico, calcule AB.C BEA Dxx4 cm9 cmResolución Workshop7. El profesor de Danza, con la ayuda de una cintaespecial, ha realizado un gráfico en el piso del patiopara que ocho estudiantes realicen una determinadacoreografía. Si EQ = 3 m, QD = 4 m, PB = BQ =QC y A es punto de tangencia, determine la longituddel segmento PA.DMCEQBPAAplico lo aprendido1. Del gráfico, calcule AB.C BEA Dxx4 cm9 cmResolución2. En la figura, AB = 16 u, MB = 25 u y Q es puntode tangencia. Calcule MQ.QBAMResoluciónSCOREWorkshopResolución7. El profesor de Danza, con la ayuda de una cintaespecial, ha realizado un gráfico en el piso del patiopara que ocho estudiantes realicen una determinadacoreografía. Si EQ = 3 m, QD = 4 m, PB = BQ =QC y A es punto de tangencia, determine la longituddel segmento PA.DMCEQBPASCOREWorkshopResolución 7. El profesor de Danza, con la ayuda de una cintaespecial, ha realizado un gráfico en el piso del patiopara que ocho estudiantes realicen una determinadacoreografía. Si EQ = 3 m, QD = 4 m, PB = BQ =QC y A es punto de tangencia, determine la longituddel segmento PA.DMCEQBPASCOREWorkshopResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?RResoluciónAsumo mi reto6. En un jardín circular se instalan dos aspersores, unoen el punto B y el otro en el punto C. Si AB = 2 m,BC = CD = 4 m, NC = 8 m y PB = BQ, calculeMC + PB.NMQPC BADResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?
2026166 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAEA Dxx9 cmResoluciónBAMResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En el gráfico, TB = 10 u y TD = 15 u. Halle elvalor de x.CBAT DxxResolución4. En la circunferencia de centro O, TB = 2 u yTD = 4 u. Calcule AT.AO DB CTResolución5. En la figura, T y B son puntos de tangencia,AB = 3 cm y BC = 4 cm. Determine la longitud dePA.CPBATResoluciónAsumo mi reto6. En un jardín circular se instalan dos aspersores, unoen el punto B y el otro en el punto C. Si AB = 1 m,BC = 5 m, CD = 3m, QB = 2 m y MC = 9 m,calcule PB + NC.NMQPCB ADResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En el gráfico, TB = 10 u y TD = 15 u. Halle elvalor de x.CBAT DxxResolución4. En la circunferencia de centro O, TB = 2 u yTD = 4 u. Calcule AT.AO DB CTResolución5. En la figura, T y B son puntos de tangencia,AB = 3 cm y BC = 4 cm. Determine la longitud dePA.CPBATResoluciónAsumo mi reto6. En un jardín circular se instalan dos aspersores, unoen el punto B y el otro en el punto C. Si AB = 1 m,BC = 5 m, CD = 3m, QB = 2 m y MC = 9 m,calcule PB + NC.NMQPCB ADResolución7. El profesor de Danza, con la ayuda de una cintaespecial, ha realizado un gráfico en el piso del patiopara que ocho estudiantes realicen una determinadacoreografía. Si EQ = 3 m, QD = 4 m, PB = BQ =QC y A es punto de tangencia, determine la longituddel segmento PA.DMCEQBPAAplico lo aprendido1. Del gráfico, calcule AB.C BEA Dxx4 cm9 cmResolución2. En la figura, AB = 16 u, MB = 25 u y Q es puntode tangencia. Calcule MQ.QBAMResoluciónSCOREWorkshopResoluciónDCEQBPAplico lo aprendido1. Del gráfico, calcule AB.C BEA Dxx4 cm9 cmResolución2. En la figura, AB = 16 u, MB = 25 u y Q es puntode tangencia. Calcule MQ.QBAMResoluciónSCOREWorkshopDemuestro mis conocimientos3. En el gráfico, TB = 10 u y TD = 15 u. Halle elvalor de x.CBAT DxxResolución4. En la circunferencia de centro O, TB = 2 u yTD = 4 u. Calcule AT.AO DB CTResolución5. En la figura, T y B son puntos de tangencia,AB = 3 cm y BC = 4 cm. Determine la longitud dePA.CPBATResoluciónAsumo mi reto6. En un jardín circular se instalan dos aspersores, unoen el punto B y el otro en el punto C. Si AB = 1 m,BC = 5 m, CD = 3m, QB = 2 m y MC = 9 m,calcule PB + NC.NMQPCB ADResoluciónDemuestro mis conocimientos3. En el gráfico, TB = 10 u y TD = 15 u. Halle elvalor de x.CBAT DxxResolución4. En la circunferencia de centro O, TB = 2 u yTD = 4 u. Calcule AT.AO DB CTResolución5. En la figura, T y B son puntos de tangencia,AB = 3 cm y BC = 4 cm. Determine la longitud dePA.CPBATResoluciónAsumo mi reto6. En un jardín circular se instalan dos aspersores, unoen el punto B y el otro en el punto C. Si AB = 1 m,BC = 5 m, CD = 3m, QB = 2 m y MC = 9 m,calcule PB + NC.NMQPCB ADResolución
167COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA7. Se muestra una compuerta de acero semicircular,asegurado por dos barras PQ y CD.Si CM = MD, PM = 3 m y MQ = 4 m, calcule CD.DOA MPCBQSemícirculoAguaResolución1. En una circunferencia de 5 m de radio, se traza unacuerda AB y sobre esta se ubica un punto M, demodo que AM = 3 m y MB = 5 m. Calcule a quédistancia está M del centro de dicha circunferencia.A) 15 m B) 10 mC) 13 m D) 11 m circunferencia está inscrita en el cuadrado ABCD. Si FM = 4 u, entonces ¿cuál es lalontigud de dicha circunferencia?CDBFA MA) 325 πu B) 5 5 πuC) 2 5 πu D) 525 πuTrialAsumo mi reto6. Hiro construye un cerco metálico dentro de su establo. Determine el valor de x.a3 dm a 10 dm12 dm xResolución5. En la figura, determine MC.2bb bBA M C8 cm 24 cmResoluciónAsumo mi reto6. Hiro construye un cerco metálico dentro de su establo. Determine el valor de x.a3 dm a 10 dm12 dm xResolución7. Se muestra una compuerta de acero semicircular,asegurado por dos barras PQ y CD.Si CM = MD, PM = 3 m y MQ = 4 m, calcule CD.DOA MPCQSemícirculoAguaResolución1. En una circunferencia de 5 m de radio, se traza unacuerda AB y sobre esta se ubica un punto M, demodo que AM = 3 m y MB = 5 m. Calcule a quédistancia está M del centro de dicha circunferencia.A) 15 m B) 10 mC) 13 m D) 11 m2. En la figura, la circunferencia está inscrita en el cuadrado ABCD. Si FM = 4 u, entonces ¿cuál es lalontigud de dicha circunferencia?CDBFA MA) 325 πu B) 5 5 πuC) 2 5 πu D) 525 πuTrial2 + b2.Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule aContinuamos en tu cuadernoNivel I1. Calcule BE.BEAQP9 m12 mA) 2 m B) 3 mC) 1 m D) 4 m2. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.9 cm 3 cmxLATA) 3 cm B) 10 cmC) 5 cm D) 6 cmNivel II3. En la figura, MA = 3 m, MQ = 12 m y PQ = 10 m. Calcule AB.MBAQP Helico challengeNivel I1. Calcule BE.BEAQP4 m9 m12 mA) 2 m B) 3 mC) 1 m D) 4 m2. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.9 cm 3 cmxLATA) 3 cm B) 10 cmC) 5 cm D) 6 cmNivel II3. En la figura, MA = 3 m, MQ = 12 m y PQ = 10 m. Calcule AB.MBAQPA)3 mB)12 m Helico challengeNivel I1. Calcule BE.BEAQP4 m9 m12 m B) 3 m D) 4 m2. Si T es punto de tangencia, halle el valor de 9 cm 3 cmxLATA) 3 cm B) 10 cmC) 5 cm D) 6 cmNivel II3. En la figura, MA = 3 m, MQ = 12 m y PQ = 10 m. Calcule AB.MBAQPA) 3 m B) 12 mC) 5 m D) 6 m Helico challenge
2026168 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA4. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.1 u4 u3 u6 uxPQBMARTA) 3 u B) 4 uC) 6 u D) 5 uNivel III5. Se muestra un parque circular de centro O. Una persona ubicada en D dista 9 metros y 1 metro de los postes A y B, respectivamente. Calcule la distancia entre dicha persona y la banca si esta se ubica en el punto C.A D O A) 2 m B) 5 mC) 4 m D) 3 m4. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.1 u4 u3 u6 uxPQBMARTA) 3 u B) 4 uC) 6 u D) 5 uNivel III5. Se muestra un parque circular de centro O. Una persona ubicada en D dista 9 metros y 1 metro de los postes A y B, respectivamente. Calcule la distancia entre dicha persona y la banca si esta se ubica en el punto C.A D BO CA) 2 m B) 4 m Nivel I1. Halle el valor de x.x6 u5 u7 uQBAPTA) 9 u B) 10 uC) 8 u D) 6 uNivel II2. Si O es centro, halle el valor de x.O4 u 9 ux TDCBAA) 4 u B) 5 uC) 7 u D) 6 u3. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.T65 cmMNivel III Se tiene un jardín circular y un poste fuera de él. Determine la distancia entre las plantas C y D.4 m3 m5 mPCDABA) 6 m B) 7 mC) 5 m D) 8 m5. Una tapa circular de hierro se refuerza soldando dos varillas AB y PQ, tal como se muestra en la figura. Si PE= 50 cm, EQ= 32 cm, AE= x–30 y EB= x+30, calcule la longitud de la varilla AB.APBQEA) 120 cm B) 100 cmC) 80 cm D) 50 cmHelico homeworkNivel I1. Halle el valor de x.7 uQBPA) 9 u B) 10 uC) 8 u D) 6 uNivel II2. Si O es centro, halle el valor de x.O4 u 9 ux TDCBAA) 4 u B) 5 uC) 7 u D) 6 u3. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.5 cmTx65 cmPMQNivel III4. Se tiene un jardín circular y un poste fuera de él. Determine la distancia entre las plantas C y D.4 m3 m5 mPCDABA) 6 m B) 7 mC) 5 m D) 8 m5. Una tapa circular de hierro se refuerza soldando dos varillas AB y PQ, tal como se muestra en la figura. Si PE= 50 cm, EQ= 32 cm, AE= x–30 y EB= x+30, calcule la longitud de la varilla AB.APBQEA) 120 cm B) 100 cmC) 80 cm D) 50 cmHelico homeworkA) 4 u B) 5 uC) 7 u D) 6 u3. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.5 cmTx65 cmPMQA) 6 cm B) 7 cmC) 5 cm D) 8 cm Nivel I1. Halle el valor de x.x6 u5 u7 uQBAPTA) 9 u B) 10 uC) 8 u D) 6 uNivel II2. Si O es centro, halle el valor de O 9 ux TDCAA) 4 u B) 5 uC) 7 u D) 6 u3. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.5 cmTx65 cmPMQA) 6 cm B) 7 cmC) 5 cm D) 8 cmNivel III4. Se tiene un jardín circular y un poste fuera de él. Determine la distancia entre las plantas C y D.4 m3 m5 mPCDABA) 6 m B) 7 mC) 5 m D) 8 m Una tapa circular de hierro se refuerza soldando dos varillas AB y PQ, tal como se muestra en la figura. Si PE= 50 cm, EQ= 32 cm, AE= +30, calcule la longitud de la varilla ABAPBQEA) 120 cm B) 100 cmC) 80 cm D) 50 cmHelico homeworkNivel I1. Halle el valor de x.x6 u5 u7 uQBAPTA) 9 u B) 10 uC) 8 u D) 6 uNivel II2. Si O es centro, halle el valor de x.O 9 u CAA) 4 u B) 5 uC) 7 u D) 6 u3. Si T es punto de tangencia, halle el valor de x.5 cmTx65 cmPMQA) 6 cm B) 7 cmC) 5 cm D) 8 cmNivel III4. Se tiene un jardín circular y un poste fuera de él. Determine la distancia entre las plantas C y D.4 m3 m5 mPCDABA) 6 m B) 7 mC) 5 m D) 8 m5. Una tapa circular de hierro se refuerza soldando dos varillas AB y PQ, tal como se muestra en la figura. Si PE= 50 cm, EQ= 32 cm, AE= x–30 y EB= x+30, calcule la longitud de la varilla AB.APBQEA) 120 cm B) 100 cmC) 80 cm D) 50 cmHelico homework6.7.8.9.10.
169COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍARegión planaEs una porción de plano limitada por una línea abierta o cerrada.Plano HRegióntriangularRegióncuadrangularRegióncircularHEl nombre de una región plana dependerá de la forma de la línea que lo limita (contorno).ÁreaEs el número positivo que indica la medida de una región plana. Se expresa en unidades cuadradas.¾ Regiones congruentesLas regiones congruentes tienen igual área.S1 S2S1 = S2En los gráficos, S1 y S2 son áreas de las regiones mostradas.¾ Regiones equivalentesSon regiones que tienen igual área, sus formas no son necesariamente iguales.S1 S2S1 = S2En los gráficos, S1 y S2 son áreas de las regiones mostradas.ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES20Theory Área de regiones triangulares
2026170 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍATeorema. El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado o de su prolongación.A H CBbhH A CBbhA CBbhS∆ABC = b h⋅2SABC 2b h⋅ = SABC 2b h⋅ =Área de la región triangular ABC: SABCA CB 60°60° 60°Importante:El área de una región triangular equilátera se calcula mediante la siguiente fórmula:S∆ABC = 2 34Relación de áreas en regiones triangularesS1ADBC1S2m nBD: ceviana interiorSS12= mnS1 S2 A M CB BM: mediana2S1 = S2SS SSS Sc acA bBQ NM b Ca3AN, BM y CQ son medianasdel triángulo ABC.SABC S6 =
171COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA SynthesisS11S2m nABC DSS12= mna. Para la región triangular obtusánguloA CBbhHSABC 2b h⋅ =Teorema básicoA CBHbh SABC 2b h⋅ =S1 S22 BA C MS1 = S2SS SSS Sc acA bBb Ca3MQ NSABC= 6 Sb. Para la región triangular rectangularA CBbh SABC 2b h⋅ =c. Para la región triangular equiláteraA CB 60° 60°60°2ABC3 S4 =ÁREA DE REGIONES TRIANGULARESTEOREMAS RELACIONES DE ÁREASMARCO TEÓRICO
5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, haUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución2026172 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA1. Calcule el área de la región triangular ABC.10 uH53º17 uABCResoluciónPiden: SABCSABC = (AC)(BH)2 = b · h2En el BHA (notable de 37° y 53°): BH = 8b = 17h = 81053º37º17B 68⇒ S∆ABC = 17 · 82∴ S∆ABC = 68 u2Rpta.: 68 u22. Determine el área de la región ABC.40 cm41 cmABCResoluciónSe pide: SBACSBAC = (AC)(BA)2Aplicando el teorema de Pitágoras:(BA)2 + (40)2 = (41)2⇒ BA = 9b = 40 cm41 cm h = 9 cmABC⇒ SBAC = 40 · 92∴ SBAC = 180 cm2Rpta.: 180 cm2 Calcule el área de la región sombreada.15 u 5 u17 uA HBCResoluciónPiden: SxSx = SBHC = (HC)(BH)2En AHB, aplicando el teorema de Pitágoras:(BH)2 + (15)2 = (17)2⇒ BH = 815 517A HBC8Sx→ Sx = 5 · 82∴ Sx = 20 u2Rpta.: 20 u2Solved problems1. Calcule el área de la región triangular ABC.10 uH53º17 uABCResoluciónPiden: SABCSABC = (AC)(BH)2 = b · h2En el BHA (notable de 37° y 53°): BH = 8b = 17h = 810H53º37º17ABC 68⇒ S∆ABC = 17 · 82∴ S∆ABC = 68 u2Rpta.: 68 u22. Determine el área de la región ABC.40 cm41 cmABCResoluciónSe pide: SBACSBAC = (AC)(BA)2Aplicando el teorema de Pitágoras:(BA)2 + (40)2 = (41)2⇒ BA = 9b = 40 cm41 cm h = 9 cmABC⇒ SBAC = 40 · 92∴ SBAC = 180 cm2Rpta.: 180 cm2 Calcule el área de la región sombreada.15 u 5 u17 uA HBCResoluciónPiden: SxSx = SBHC = (HC)(BH)2En AHB, aplicando el teorema de Pitágoras:(BH)2 + (15)2 = (17)2⇒ BH = 815 517A HC8Sx→ Sx = 5 · 82∴ Sx = 20 u2Rpta.: 20 u2b = 40 cm41 cm h = 9 cmABC⇒ SBAC = 40 · 92∴ SBAC = 180 cm2Rpta.: 180 cm23. Calcule el área de la región sombreada.15 u 5 u17 uA HBCResoluciónPiden: SxSx = SBHC = (HC)(BH)2PRACTICO EN CLASE4. Calcule el área de la región sombreada.5 uA H b C b3 uBResoluciónPiden: SSx = SABC = (AC)(BH)25A H b =2 C b =23B37º4SxSe observa que el AHB es notable de 37° y 53°: AH = 4AC = CH = 2⇒ Sx = 2 · 32 = 3 u2Rpta.: 3 u2Otra manera: por relación de áreas, se observa que BC es mediana.Ab C b H3SABC = SCBHB37º4K K 4. Calcule el área de la región sombreada.5 uA H b C b3 uBResoluciónPiden: SxSx = SABC = (AC)(BH)25A H b =2 C b =23B37ºSx5. Calcule el área de la región triangular ABC.30º8 mA 10 m CBResoluciónPiden: SABCSe traza la altura BH30º810A CB60º4HEl AHB es notable de 30º y 60º:AB 8 BH== ⇒ BH = 45. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)Resolución
173COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍACANab acMQGResolución El área de la región triangular ABC es 160 m2. Determine el área de la región ABD.A 3a D CBaResolución Aplico lo aprendido1. En la figura, el área de la región ABC es 3000 u2.Determine el área de la región AQG.CBANaab accMQGResolución2. El área de la región triangular ABC es 160 m2. Determine el área de la región ABD.A 3a D CBaResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule el área de la región ABC.53º7 u 3 u ABP CResolución4. En la figura, AB = 8 2 u, calcule el área de la región triangular ABC.CBA 12 m 45° 53°Resolución PracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule – b (aN).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. Calcule el área de la región ABC.53º7 u 3 u ABP CResolución2 + b2.Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule aAplico lo aprendido1. En la figura, el área de la región ABC es 3000 u2.Determine el área de la región AQG.CBANaab accMQGResolución región triangular ABC es 160 mtermine el área de la región ABD.A 3a D CBaResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule el área de la región ABC.53º7 u 3 u ABP CResolución4. En la figura, AB = 8 2 u, calcule el área de la región triangular ABC.CBA 12 m 45° 53°Resolución PracticePracticeResolucióncule la suma de los elementos del conjunto B.2 + b2.Resolución2 + 9; b2} y B{13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24} Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA{aResolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M? 12Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, con5. En la figura, O es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC, calcule el área de la regióntriangular AOC.CBOA30 cm 16 cmResoluciónAsumo mi reto6. Santiago tiene dos terrenos tal como se muestra enla figura. Si CD = 9 m, DE = 7 m y A es punto de+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {aCAb acMResolución2. El área de la región triangular ABC es 160 m2. Determine el área de la región ABD.A 3a D CBaResolución53º7 u 3 u AP CResolución4. En la figura, AB = 8 2 u, calcule el área de la región triangular ABC.CBA 12 m 45° 53°Resolución
TAREA DOMICILIARIA2026174 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍAAplico lo aprendido En la figura, el área de la región ABC es 3000 u2.Determine el área de la región AQG.CBANaab accMQGResolución El área de la región triangular ABC es 160 m2. Determine el área de la región ABD.A 3a D CBaResoluciónDemuestro mis conocimientos Calcule el área de la región ABC.53º7 u 3 u ABP CResolución En la figura, AB = 8 2 u, calcule el área de la región triangular ABC.CBA 12 m 45° 53°Resolución PracticeAplico lo aprendido En la figura, el área de la región ABC es 3000 u2.Determine el área de la región AQG.CBANaab accMQGResolución El área de la región triangular ABC es 160 m2. Determine el área de la región ABD.A 3a D CBaResolución PracticeSe muestra un letrero en forma de un triángulo equilátero ABC, donde AB = 80 cm. Se pinta el borde en forma equidistante, formándose interiormente un triángulo cuya longitud de su lado es 40 cm. ¿Cuántos cm2 se pintó el borde?A BCResoluciónAplico lo aprendido1. En la figura, el área de la región CNG es 100 u2.Calcule el área de la región ABC.CBANaab accMQGResolución2. En la figura, área de la región triangular ABC es84 cm2. Determine el área de la región DBC.2 5 A D CBResolución WorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, el área de la región CNG es 100 u2.Calcule el área de la región ABC.CBANaab accMQGResolución2. En la figura, área de la región triangular ABC es84 cm2. Determine el área de la región DBC.2 5 A D CBResolución WorkshopAplico lo aprendido1. En la figura, el área de la región CNG es 100 u2.Calcule el área de la región ABC.CBANaab accMQGResolución2. En la figura, área de la región triangular ABC es84 cm2. Determine el área de la región DBC.2 5 A D CBResolución Workshop1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?Asumo mi reto6. Santiago tiene dos terrenos tal como se muestra enla figura. Si CD = 9 m, DE = 7 m y A es punto detangencia, determine el área del terreno triangularequilátero ABC.CBEDAResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?
175COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA5. En la figura, O es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC, calcule el área de la regióntriangular AOC.CBOA24 cm 10 cmResoluciónSe muestra un letrero en forma de un triángulo equilátero ABC, donde AB = 40 cm. Se pinta el borde en forma equidistante, formándose interiormente un triángulo cuya longitud de su lado es 20 cm. ¿Cuántos cm2 se pintó el borde?A BCResolución5. En la figura, O es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC, calcule el área de la regióntriangular AOC.BOA ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestran los terrenos que posee Enrique.Si CD = 16 m, DE = 9 m y A es punto de tangencia, determine el área del terreno triangular equilátero ABC.CBDASe muestra un letrero en forma de un triángulo equilátero ABC, donde AB = 40 cm. Se pinta el borde en forma equidistante, formándose interiormente un triángulo cuya longitud de su lado es 20 cm. ¿Cuántos cm2 se pintó el borde? CResoluciónCAResoluciónAsumo mi reto6. Se muestran los terrenos que posee Enrique.Si CD = 16 m, DE = 9 m y A es punto de tangencia, determine el área del terreno triangular equilátero ABC.CBEDAResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule el área de la región sombreada.45º7 6ABH CResolución4. En la figura, AB = 40 2 u, calcule el área de la región triangular ABCCBA 12 m 45° 53°ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Calcule el área de la región sombreada.45º7 6ABH CResolución En la figura, AB = 40 2 u, calcule el área de la región triangular ABCCBA 12 m 45° 53°ResoluciónSCORECANaab accMQGResolución2. En la figura, área de la región triangular ABC es84 cm2. Determine el área de la región DBC.2 5 A D CB45º7 6AH CResolución En la figura, AB = 40 2 u, calcule el área de la región triangular ABCCBA 12 m 45° 53°Resolución
2026176 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA5. En la figura, O es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC, calcule el área de la regióntriangular AOC.CBOA24 cm 10 cmResoluciónAsumo mi reto6. Se muestran los terrenos que posee Enrique.Si CD = 16 m, DE = 9 m y A es punto de tangencia, determine el área del terreno triangular equilátero ABC.CBEDAResoluciónSe muestra un letrero en forma de un triángulo equilátero ABC, donde AB = 40 cm. Se pinta el borde en forma equidistante, formándose interiormente un triángulo cuya longitud de su lado es 20 cm. ¿Cuántos cm2 se pintó el borde?A BCResoluciónSe muestra un letrero en forma de un triángulo equilátero ABC, donde AB = 40 cm. Se pinta el borde en forma equidistante, formándose interiormente un triángulo cuya longitud de su lado es 20 cm. ¿Cuántos cm2 se pintó el borde?A BCResolución1. En la figura, BE = EC, DC = 3(AD) y el área dela región ABC es 40 m2. Calcule el área de la regióntriangular BFE.CBEFA DA) 8 u2 B) 14 u2C) 15 u2 D) 12 u2 Trial+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {aPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución + b2} y B{13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA{a
177COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍAContinuamos en tu cuaderno 4 4Nivel I1. Calcule el área de la región triangular ABC.CB6 cm10 cmAA) 24 cm2 B) 20 cm2C) 30 cm2 D) 40 cm22. Calcule el área de la región sombreada.53º6 u5 uBC A B) 15 u D) 12 uNivel II Si O es centro de la circunferencia y, además, P, Q y R son puntos de tangencia, calcule el área de la región sombreada.4 u 6 u 11 uAOQP RBA) 30 u2 B) 60 u2C) 36 u2 D) 34 u2 Si AM = MC, calcule el área de la región triángular ABC.BM10m2Dl2l B) 70 m2 D) 30 m2Helico challengeNivel I1. Calcule el área de la región triangular ABC.CB6 cm10 cmAA) 24 cm2 B) 20 cm2C) 30 cm2 D) 40 cm22. Calcule el área de la región sombreada.53º6 u5 uBC H AA) 9 u2 B) 15 u2C) 10 u2 D) 12 u2Nivel II Si O es centro de la circunferencia y, además, P, Q y R son puntos de tangencia, calcule el área de la región sombreada.4 u 6 u 11 uAOQP RBA) 30 u2 B) 60 u2C) 36 u2 D) 34 u2 Si AM = MC, calcule el área de la región triángular ABC.CBM10m2ADl2l B) 70 m2 D) 30 m2Helico challenge2. En el gráfico, R = 8 u y r = 4 u. Determine el área de la región sombreada.CA rBORO1A) 9 15 2 u8 B) 7 158u2C) 7 154u2 D) 5 154u2 Nivel II3. Si O es centro de la circunferencia y, además, P, Q y R son puntos de tangencia, calcule el área de la región sombreada.4 u 6 u 11 uAOQP RBA) 30 u2 B) 60 u2C) 36 u2 D) 34 u24. Si AM = MC, calcule el área de la región triángular ABC.CBM10m2ADl2lA) 50 m2 B) 70 m2C) 60 m2 D) 30 m2 de la región sombreada.CA rBORO1A) 9 15 2 u8 B) 7 158u2C) 7 154u2 D) 5 154u2 Nivel II3. Si O es centro de la circunferencia y, además, P, Q y R son puntos de tangencia, calcule el área de la región sombreada.4 u 6 u 11 uOQP RA) 30 u2 B) 60 u2C) 36 u2 D) 34 u24. Si AM = MC, calcule el área de la región triángular ABC.CBM10m2ADl2lA) 50 m2 B) 70 m2C) 60 m2 D) 30 m2Nivel III5. Un terreno de forma triangular ABC, se divide para dos hermanos por una línea BD; además, AD= 4ay DC= 5a; si el área del terreno ABD es 24 m2, ¿cuántos m2 de área tiene el terreno BCD?ABC DA) 34 m2 B) 30 m2C) 40 m2 D) 25 m2Nivel I1. Calcule el área de la región sombreada.BA) 6 m2 B) 20 m2C) 9 m2 D) 12 m2Nivel IIIHelico homeworkABC DA) 34 m2 B) 30 m2C) 40 m2 D) 25 m2 Nivel I1. Calcule el área de la región sombreada.6 437ºBA C HA) 18 u2 B) 15 u2C) 12 u2 D) 9 u2Nivel II2. Si S∆ABC = 28 m2, calcule el área de la región sombreada.BAMC a a B) 16 m2C) 14 m2 D) 21 m23. Calcule el área de la región sombreada.2a 3a8 m2AC D EB Helico homeworkNivel I1. Calcule el área de la región sombreada.6 437ºBA C HA) 18 u2 B) 15 u2C) 12 u2 D) 9 u2Nivel II2. Si S∆ABC = 28 m2, calcule el área de la región sombreada.BAMC a aA) 7 m2 B) 16 m2 14 m2 D) 21 m2 Calcule el área de la región sombreada.2a 3a8 m2AC D E Helico homework1. Calcule el área de la región sombreada.6 437ºBA C HA) 18 u2 B) 15 u2C) 12 u2 D) 9 u2Nivel II2. Si S∆ABC = 28 m2, calcule el área de la región sombreada.BAMC a aA) 7 m2 B) 16 m2C) 14 m2 D) 21 m23. Calcule el área de la región sombreada.2a 3a8 m2AC D EB Nivel III5. Un terreno de forma triangular ABC, se divide para dos hermanos por una línea BD; además, AD= 4y DC= 5a; si el área del terreno ABD es 24 m¿cuántos m2 de área tiene el terreno BCD?ABC DA) 34 m2 B) 30 m2 40 m2 D) 25 m2Nivel I1. Calcule el área de la región sombreada.6 437ºBA C HA) 18 u2 B) 15 u2C) 12 u2 D) 9 u2Nivel II2. Si S∆ABC = 28 m2, calcule el área de la región sombreada.BAMC a aA) 7 m2 B) 16 m2C) 14 m2 D) 21 m23. Calcule el área de la región sombreada.B B) 20 m D) 12 m2Nivel III4. Se muestra un terreno de 26 m2, AB= 8 m y AC= 13m. Halle la medida del ángulo que forman los bordes AB y AC.ABCA) 37° B) 45°C) 30° D) 53°5. Se ha construido una estructura metálica ABC. Si AM = MC, halle el área de dicha estructura.BA MTC2a7 m2aA) 32 m2 B) 21 m2C)28 m2D)42 m2Helico homeworkNivel III5. Un terreno de forma triangular ABC, se divide para dos hermanos por una línea BD; además, AD= 4y DC= 5 a; si el área del terreno ABD es 24 m¿cuántos m2 de área tiene el terreno BCD?ABC DA) 34 m2 B) 30 m2C) 40 m2 D) 25 m2Nivel I Calcule el área de la región sombreada.6 437ºA C HA) 18 u2 B) 15 u2C) 12 u2 D) 9 u2Nivel II2. Si S∆ABC = 28 m2, calcule el área de la región sombreada.BAMC a aA) 7 m2 B) 16 m2C) 14 m2 D) 21 m23. Calcule el área de la región sombreada.B B) 20 m2 D) 12 mNivel III Se muestra un terreno de 26 m2, AB= 8 m y AC= 13m. Halle la medida del ángulo que forman los bordes AB y AC.ABCA) 37° B) 45°C) 30° D) 53°5. Se ha construido una estructura metálica ABC. Si AM = MC, halle el área de dicha estructura.BA MTC2a7 m2aA) 32 m2 B) 21 m2C) 28 m2 D) 42 m2Helico homework6.7.8.9.10.
Región cuadrangularEs una región plana que está limitada por un cuadrilátero.BCA D1. Región cuadradaSu área se calcula elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados.BdCA DS ABCD = l2S ABCD: área de la región cuadrada ABCDObservationDel gráfico, d: longitud de la diagonal (AC = BD)También:S ABCD = d222. Región rectangularSu área se calcula multiplicando las longitudes de sus dos dimensiones.A DB CabS ABCD = abS ABCD: área de la región rectangular ABCD3. Región rombalSu área se calcula multiplicando las longitudes de sus dos diagonales y dividiéndolas entre dos.DHh ABa CbS ABCD = ab2 S ABCD = lhS ABCD: área de la región rombal ABCD4. Región romboidalSu área se calcula multiplicando la longitud de un lado con la altura relativa a dicho lado o de su prolongación.B CA H D Eα αbh hS ABCD = bhS ABCD: área de la región romboidal ABCD5. Región trapecialSu área se calcula multiplicando la semisuma de las longitudes de sus dos bases y su altura respectiva.A H DB a CbhEn el gráfico: BC//ADS ABCD = a b h + 2S ABCD: área de la región trapecial ABCDÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES21 Área de regiones cuadrangulares2026178 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
AD37ºResoluciónPiden: SAB3k 3k4k4k DC37°53°Por dato: 14k = 56 k = 4⇒ S = (3k) (4k) = (12)(16) S = 192 cm2Rpta.: 192 cm22. Calcule el perímetro de una región cuadrada cuya área es 81 m2.ResoluciónB CA DPiden: 2p ABCDSea l la longitud de un lado ⇒ 2p ABCD = 4l ... (1)Dato: l2 = 81 m2 → l = 9 m ... (2)Reemplazando (2) en (1) 2p ABCD = 4(9 m) 2p ABCD = 36 mRpta.: 36 mBA DC37ºResoluciónPiden: S ABCD.B64410 6 10A DC37º 37º53º 53º8208 H TDel gráfico: S ABCD = 20 426 + ∴ S ABCD = 72 u2Rpta.: 72 u24. Calcule el área de la región rectangular ABCD.17 m 8 mABDCResoluciónPiden: S ABCD17 8ABDCb = 15En ADC, aplicando el teorema de Pitágoras: b2 + 82 = 172 → b = 15 S ABCD = (15)(8) ∴ S ABCD = 120 m2Rpta.: 120 u21. El perímetro de la región rectangular ABCD es 56 cm. Calcule su área.ABDC37ºResoluciónPiden: SAB3k 3k4k4k DC37°53°Por dato: 14k = 56 k = 4⇒ S = (3k) (4k) = (12)(16) S = 192 cm2Rpta.: 192 cm22. Calcule el perímetro de una región cuadrada cuya área es 81 m2.ResoluciónB CA DPiden: 2p ABCDSea l la longitud de un lado ⇒ 2p ABCD = 4l ... (1)Dato: l2 = 81 m2 → l = 9 m ... (2)Reemplazando (2) en (1) 2p ABCD = 4(9 m) 2p ABCD = 36 mRpta.: 36 m En la figura, ABCD es un trapecio isósceles (BC//AD), AB = 10 u y BC = 4 u. Calcule el área que la limita.BA DC37ºResoluciónPiden: S ABCD.B64410 6 10A DC37º 37º53º 53º8208 H TDel gráfico:S ABCD = 20 426 + ∴ S ABCD = 72 u2Rpta.: 72 u2 Calcule el área de la región rectangular ABCD.17 m 8 mABDCResoluciónPiden: S ABCD17 8ABDCb = 15En ADC, aplicando el teorema de Pitágoras:b2 + 82 = 172 → b = 15S ABCD = (15)(8)∴ S ABCD = 120 m2Rpta.: 120 u2Solved problemsMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARY1213. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles (BC//AD), AB = 10 u y BC = 4 u. Calcule el área que la limita.BA DC37ºResoluciónPiden: S ABCD.B6410 6 10C53º 53º1. El perímetro de la región rectangular ABCD es 56 cm. Calcule su área.ABDC37ºResoluciónPiden: SAB3k 3k4k4k DC37°53°Por dato: 14k = 56 k = 4⇒ S = (3k) (4k) = (12)(16) S = 192 cm2Rpta.: 192 cm22. Calcule el perímetro de una región cuadrada cuya área es 81 m2.B CA DPiden: 2p ABCDSea l la longitud de un lado ⇒ 2p ABCD = 4l ... (1)Dato: l2 = 81 m2 → l = 9 m ... (2)Reemplazando (2) en (1) 2p ABCD = 4(9 m) 2p ABCD = 36 mRpta.: 36 m3. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles (BC//AD), AB = 10 u y BC = 4 u. Calcule el área que la limita.BA DC37ºResoluciónPiden: S ABCD.B64410 6 10A DC37º 37º53º 53º8208 H TDel gráfico: S ABCD = 20 426 + ∴ S ABCD = 72 u2Rpta.: 72 u2 Calcule el área de la región rectangular ABCD.17 m 8 mABDCResoluciónPiden: S ABCD17 8ABDCb = 15En ADC, aplicando el teorema de Pitágoras: b2 + 82 = 172 → b = 15 S ABCD = (15)(8) ∴ S ABCD = 120 m2Rpta.: 120 u21. El perímetro de la región rectangular ABCD es 56 cm. Calcule su área.ABDC37ºResoluciónPiden: SAB3k 3k4k4k DC37°53°k = 4⇒ S = (3k) (4k) = (12)(16) S = 192 cm2Rpta.: 192 cm22. Calcule el perímetro de una región cuadrada cuya área es 81 m2.ResoluciónB CA DPiden: 2p ABCDSea l la longitud de un lado ⇒ 2p ABCD = 4l ... (1)Dato: l2 = 81 m2 → l = 9 m ... (2)Reemplazando (2) en (1) 2p ABCD = 4(9 m) 2p ABCD = 36 mRpta.: 36 m En la figura, ABCD es un trapecio isósceles (BC//AD), AB = 10 u y BC = 4 u. Calcule el área que la limita.BA DC37ºResoluciónPiden: S ABCD.B64410 6 10A DC37º 37º53º 53º8208 H TDel gráfico:S ABCD = 20 42 ∴ S ABCD = 72 u2Rpta.: 72 u2 Calcule el área de la región rectangular ABCD.17 m 8 mABDCResoluciónPiden: S ABCD17 8ABDCb = 15En ADC, aplicando el teorema de Pitágoras:b2 + 82 = 172 → b = 15S ABCD = (15)(8)∴ S ABCD = 120 m2Rpta.: 120 u2Solved problemsMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARYPRACTICO EN CLASE5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.ABD45º6 24 u CuResoluciónPiden: S ABCD.Se traza CH ⊥ AD CHD: notable de 45° y 45°⇒ CH = HD = 6 MATHEMATICS •179COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
Aplico lo aprendido1. Las áreas de las regiones cuadradas RBPQ y CREF son 9 u2 y 25 u2, respectivamente. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.EADRFBQPCResolución Helico practice121•5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.ABD45º6 24 u CuResoluciónPiden: S ABCD.Se traza CH ⊥ AD CHD: notable de 45° y 45°⇒ CH = HD = 6 ABD45º45º6 24 C664 H 610⇒ S ABCDAD BC 10 4 CH 62 2 + + = = ∴ S ABCD = 42 u2Rpta.: 42 u2Aplico lo aprendido1. Las áreas de las regiones cuadradas RBPQ y CREF son 9 u2 y 25 u2, respectivamente. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.EADRFBQPCResolución2. Calcule el área de la región rectangular ABCD.n + 8 C2n + 32l + 1 l + 4BA DResoluciónHelico practiceMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARYAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResolución127•5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHDCB6 m5 m7 m45ºResoluciónAsumo mi reto Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Determine el área de la región romboidal ABCDA20 m10 m53°B CDResolución MATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARYAplico lo aprendido2. Calcule el área de la región rectangular ABCD.x + 5CB7. Se muestra un cartón de 16 dm2, con la que se desea construir una caja sin tapa. Halle la altura de la caja.2 dm2 dm 2 dm2 dm 3 dm3 dmResoluciónSCOREHelico workshopMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARY2026180 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA8.9.10.
TAREA DOMICILIARIA36 m2A HDResolución125. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHDCB6 m5 m7 m45ºResoluciónA10 m53°DResolución4. El perímetro de la región rombal ABCD es 200 cm. Si la m ABC = 106°, calcule el área de dicha región.ABCDResoluciónAHD6 m7 m45ºResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResoluciónAplico lo aprendido1. Las áreas de las regiones cuadradas ABCD y EFGC son 49 u2 y 16 u2, respectivamente. Calcule el área de la región cuadrada DGHI.CHIGB EFA DResolución2. Calcule el área de la región rectangular ABCD.x + 5 C3x – 72y – 1 8 – yBA DResolución7. Se muestra un cartón de 16 dm2, con la que se desea construir una caja sin tapa. Halle la altura de la caja.2 dm2 dm 2 dm2 dm 3 dm3 dmResoluciónSCOREHelico workshopMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARYAplico lo aprendido1. Las áreas de las regiones cuadradas ABCD y EFGC son 49 u2 y 16 u2, respectivamente. Calcule el área de la región cuadrada DGHI.CHIGB EFA DResolución Helico workshop121•181COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA11.12.
DResolución36 m2A HDResoluciónA30°DResolución4. El perímetro de la región rombal ABCD es 120 cm. Si la m BAD = 74°, calcule el área de dicha región.ABCDResoluciónAHD3 m 11 m53ºResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de dos hermanos. ABCD es un terreno cuadrado. Se desea conocer el área del terreno DCEF.16 m2B CAEF11 mDResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Determine el área de la región romboidal ABCD.A15 cm12 cm30°B CDResolución4. El perímetro de la región rombal ABCD es 120 cm. Si la m BAD = 74°, calcule el área de dicha región.ABCDResolución5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHD7 m CB3 m 11 m53ºResoluciónAsumo mi reto Se muestra la distribución de terrenos de dos hermanos. ABCD es un terreno cuadrado. Se desea conocer el área del terreno DCEF.16 m2B CAEF11 mDResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Determine el área de la región romboidal ABCD.A15 cm12 cm30°B CDResolución El perímetro de la región rombal ABCD es 120 cm. Si la m BAD = 74°, calcule el área de dicha región.ABCDResolución Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHD7 m CB3 m 11 m53ºResoluciónAsumo mi reto Se muestra la distribución de terrenos de dos hermanos. ABCD es un terreno cuadrado. Se desea conocer el área del terreno DCEF.16 m2B CAEF11 mDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARY5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHD7 m CB3 m 11 m53ºResolución7. Se muestra un cartón de 40 dm2, con la que se desea construir una caja sin tapa. Halle la altura de la caja.3 dm3 dm 3 dm3 dm4 dm4 dmMATHEMATICS • VODemuestro mis conocimientos3. Determine el área de la región romboidal ABCDA20 m10 m53°B CDResolución4. El perímetro de la región rombal ABCD es 200 cm. Si la m ABC = 106°, calcule el área de dicha región.ABCDResolución5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHDCB6 m5 m7 m45ºResoluciónAsumo mi reto Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARY2026182 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
Asumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResolución127•1. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, tal que AC ⊥ BD, se ubican los puntos medios M y N en AB y AD, respectivamente. Si BC = 9 cm y AD = 16 cm, determine el área de la región cuadrangular AMCN.A) 77 cm2 B) 74 cm2C) 75 cm2 D) 68 cm22. Las longitudes de los segmentos que unen el punto medio de un lado de un rombo con los extremos del lado opuesto son 13 u y 9 u. Calcule el área de la región rombal.A) 45 u2 B) 12 14 u2C) 48 5 u2 D) 24 14 u2Helico trialContinuamos en tu cuadernoNivel I1. Determine el área de la región romboidal ABCD.A24 cm16 cm30°B CDA) 100 m2 B) 192 m2C) 200 m2 D) 176 m22. Calcule el área de la región sombreada ABCD.13 u12 uBA DCA) 78 u2 B) 80 u2C) 60 u2 D) 72 u2Nivel II3. La longitud de la diagonal de un cuadrado ABCD es 40 cm. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.A) 800 cm2 B) 950 cm2 cio isósceles si un ángulo mide 53° y las longitudes de las bases son 4 m y 10 m.A) 21 m2 B) 30 m2C) 34 m2 D) 28 m2Nivel III5. Se muestra un parque que tiene la forma de una región rombal. Las personas que se ubican en los puntos A y C están distanciadas 200 m; mientras que las personas que se encuentran en los puntos B y D están distanciadas 100 m. ¿Cuántos km2 de área tiene dicho parque?ADBCA) 1 km2 B) 0,01 km2C) 0,1 km2 D) 0,001 km2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Determine el área de la región romboidal ABCD.A24 cm16 cm30°B DA) 100 m2 B) 192 m2C) 200 m2 D) 176 m22. Calcule el área de la región sombreada ABCD.13 u12 uBA DCA) 78 u2 B) 80 u2C) 60 u2 D) 72 u2Nivel II3. La longitud de la diagonal de un cuadrado ABCD es 40 cm. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.A) 800 cm2 B) 950 cm2C) 680 cm2 D) 400 2 cm2 Calcule el área de una región limitada por un trape Nivel III5. Se muestra un parque que tiene la forma de una región rombal. Las personas que se ubican en los puntos A y C están distanciadas 200 m; mientras que las personas que se encuentran en los puntos B y D están distanciadas 100 m. ¿Cuántos km2 de área tiene dicho parque?ADBCA) 1 km2 B) 0,01 km2C) 0,1 km2 D) 0,001 km2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Determine el área de la región romboidal ABCD.A24 cm16 cm30°B CDA) 100 m2 B) 192 m2C) 200 m2 D) 176 m22. Calcule el área de la región sombreada ABCD.13 u12 uBA DCA) 78 u2 B) 80 u2C) 60 u2 D) 72 u2Nivel II3. La longitud de la diagonal de un cuadrado ABCD es 40 cm. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.A) 800 cm2 B) 950 cm2C) 680 cm2 D) 400 2 cm24. Calcule el área de una región limitada por un trapecio isósceles si un ángulo mide 53° y las longitudes de las bases son 4 m y 10 m.A) 21 m2 B) 30 m2C) 2 D) 28 m2 puntos A y C están distanciadas 200 m; mientras que las personas que se encuentran en los puntos B y D están distanciadas 100 m. ¿Cuántos km2 de área tiene dicho parque?ADBCA) 1 km2 B) 0,01 km2C) 0,1 km2 D) 0,001 km2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARY4. Calcule el área de una región limitada por un trapecio isósceles si un ángulo mide 53° y las longitudes de las bases son 4 m y 10 m.A) 21 m2 B) 30 m2C) 34 m2 D) 28 m2Nivel III5.Se muestra un parque que tiene la forma de una SCOREGEOMETRYNivel I1. Determine el área de la región romboidal ABCD.A24 cm30°B CDA) 100 m2 B) 192 m2C) 200 m2 D) 176 m22. Calcule el área de la región sombreada ABCD.13 u12 uBA DCA) 78 u2 B) 80 u2C) 60 u2 D) 72 u2Nivel II3. La longitud de la diagonal de un cuadrado ABCD es 40 cm. Calcule el área de la región cuadrada ABCD.A) 800 cm2 B) 950 cm2C) 680 cm2 D) 400 2 cm24. Calcule el área de una región limitada por un trapecio isósceles si un ángulo mide 53° y las longitudes de las bases son 4 m y 10 m. 21 m2 B) 30 m2 5. Se muestra un parque que tiene la forma de una región rombal. Las personas que se ubican en los puntos A y C están distanciadas 200 m; mientras que las personas que se encuentran en los puntos B y D están distanciadas 100 m. ¿Cuántos km2 de área tiene dicho parque?ADBCA) 1 km2 B) 0,01 km2C) 0,1 km2 D) 0,001 km2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Calcule el área de la región rectangular ABCD37º6 u 4 uAB CD EA) 20 u2 B) 30 u2C) 24 u2 D) 40 u2Nivel II Helico homeworkMATHEMATICS •6.183COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA8.
Nivel III4. Se muestra un plano de una casa, donde BC = 7 m, CD = 5 m y m ADC = 53°. ¿Cuántos m2 de área tiene el plano de la casa?CADBA) 42 m2 B) 34 m2C) 28 m2 D) 32 m25. Haydé está interesada en comprar el terreno rombal ABCD. Si le dicen que un metro cuadrado (1 m2) de dicho terreno cuesta 1000 soles, ¿cuánto pagará Haydée por el terreno ABCD?A16 mH DB C37° Nivel I1. Calcule el área de la región rectangular ABCD37º6 u 4 uAB CD EA) 20 u2 B) 30 u2C) 24 u2 D) 40 u2Nivel II Calcule el área de la región trapecial ABCD6 u4 u10 u30º ACBH D Calcule el área de la región sombreada.B CEA DPHA) 61 cm2 B) 63 cm2C) 44 cm2 D) 70 cm2Nivel III4. Se muestra un plano de una casa, donde BC = 7 m, CD = 5 m y m ADC = 53°. ¿Cuántos m2 de área tiene el plano de la casa?CADBA) 42 m2 B) 34 m2C) 28 m2 D) 32 m25. Haydé está interesada en comprar el terreno rombal ABCD. Si le dicen que un metro cuadrado (1 mde dicho terreno cuesta 1000 soles, ¿cuánto pagará Haydée por el terreno ABCD? B C37° Helico homeworkC) 24 u D) 40 uNivel II2. Calcule el área de la región trapecial ABCD6 u4 u10 u30º ACBH DA) 14 m2 B) 21 m2C) 28 m2 D) 32 m23. ABCD es un cuadrado PE = 5 cm y EH = 4 cm. Calcule el área de la región sombreada.B CEA DPH 2 112•A) 20 u2 B) 30 u2C) 24 u2 D) 40 u2Nivel II2. Calcule el área de la región trapecial ABCD6 u4 u10 u30º ACBH DA) 14 m2 B) 21 m2C) 28 m2 D) 32 m2 ABCD es un cuadrado PE = 5 cm y EH = 4 cm. Calcule el área de la región sombreada.B CEA P A) 42 m2 B) 34 m2C) 28 m2 D) 32 m25. Haydé está interesada en comprar el terreno rombal ABCD. Si le dicen que un metro cuadrado (1 m2) de dicho terreno cuesta 1000 soles, ¿cuánto pagará Haydée por el terreno ABCD?A16 mH DB C37°A) S/80 000 B) S/40 000C) S/90 000 D) S/60 0007.8.9.10.2026184 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
1. CírculoEs una región del plano cuyo contorno o borde es una circunferencia.rO SAO: centroOA: radior: longitud del radioImportante: el perímetro del círculo es la longitud de la circunferencia: L = 2πrÁrea del círculoS = πr2El número pi(π) es la relación constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.π = 3,14159265...2. SemicírculoEs la región comprendida entre la semicircunferencia y su diámetro.OSA B rrr AB: diámetroÁrea de un semicírculoSe deduce que el área del semicírculo es la mitad del área del círculo correspondiente.S = πr223. Sector circularPorción de círculo comprendida entre el ángulo central y el arco correspondiente.ÁREA DE REGIONES CIRCULARESQ S POr r α: medida del ángulo central, está expresado en grados sexagesimales.Área del sector circularS = πr2 α°360°ObservaciónMrO NSrS = πr24S = πr26CDOrr60° SS = πr28OEFrr45° SS = πr210 OGHrr36° S22 Área de regiones circulares185COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
1. La longitud del diámetro de un círculo es 18 m. Determine el área de dicho círculo.ResoluciónO18A B r rrPiden: S = πr2Por dato: 2r = 18r = 9⇒ S = π·92 = π·81∴ S = 81π m2Rpta.: 81π m22. Si PM = 8 u y M es punto de tangencia, calcule el área del semicírculo mostrado.A O BMS37°ResoluciónPiden: S = πr22A O B37°106=r853°PMSSe traza OM ⇒ OM ⊥ PMEl PMO es notable de 37° y 53°:OM = r = 6⇒ S = π·622 = π·362∴ S = 18π u2Rpta.: 18π u23. Calcule el área del sector circular mostrado.O 30°HQP3 uResoluciónPiden: SO 30°60°HQP36r=63 3El OHP es notable de 30° y 60°:⇒ OP = 6 = rS = π·62·30°360° = π·36·30°360°S = 3π u2Rpta.: 3π u2 Calcule el área del sector circular AOB.O BSA3 cm53°ResoluciónPiden: SEl AOT es notable 37° y 53°:OA = 4 = r⇒ S = π·424 = π·164 ∴ S = 4π cm2Rpta.: 4π cm2Solved problemsO T B34=4 S53º37ºMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYmine el área de dicho círculo.ResoluciónO18A B r rrPiden: S = πr2Por dato: 2r = 18r = 9⇒ S = π·92 = π·81∴ S = 81π m2Rpta.: 81π m22. Si PM = 8 u y M es punto de tangencia, calcule el área del semicírculo mostrado.A O BMS37°ResoluciónPiden: S = πr22A O B37°106=r853°PMSSe traza OM ⇒ OM ⊥ PMEl PMO es notable de 37° y 53°:OM = r = 6⇒ S = π·622 = π·362∴ S = 18π u2Rpta.: 18π u23. Calcule el área del sector circular mostrado.O 30°HQP3 uPiden: SO 30°60°HQP36r=63 3El OHP es notable de 30° y 60°:⇒ OP = 6 = rS = π·62·30°360° = π·36·30°360°S = 3π u2Rpta.: 3π u24. Calcule el área del sector circular AOB.O BSA3 cm53°ResoluciónPiden: SEl AOT es notable 37° y 53°:OA = 4 = r⇒ S = π·424 = π·164 ∴ S = 4π cm2Rpta.: 4π cm2O T BA34=4 S53º37º1. La longitud del diámetro de un círculo es 18 m. Determine el área de dicho círculo.ResoluciónO18A B r rrPiden: S = πr2Por dato: 2r = 18r = 9⇒ S = π·92 = π·81∴ S = 81π m2Rpta.: 81π m22. Si PM = 8 u y M es punto de tangencia, calcule el área del semicírculo mostrado.A O BMS37°ResoluciónPiden: S = πr22A O B37°106=r853°MSSe traza OM ⇒ OM ⊥ PMEl PMO es notable de 37° y 53°:OM = r = 6⇒ S = π·622 = π·362∴ S = 18π u2Rpta.: 18π u23. Calcule el área del sector circular mostrado.O 30°HQP3 uResoluciónPiden: SO 30°60°HQP36r=63 3El OHP es notable de 30° y 60°:⇒ OP = 6 = rS = π·62·30°360° = π·36·30°360°S = 3π u2Rpta.: 3π u2 Calcule el área del sector circular AOB.O BSA3 cm53°ResoluciónPiden: SEl AOT es notable 37° y 53°:OA = 4 = r⇒ S = π·424 = π·164 ∴ S = 4π cm2Rpta.: 4π cm2Solved problems T B34 S53º37º1. La longitud del diámetro de un círculo es 18 m. Determine el área de dicho círculo.ResoluciónO18A B r rrPiden: S = πr2Por dato: 2r = 18r = 9⇒ S = π·92 = π·81∴ S = 81π m2Rpta.: 81π m22. Si PM = 8 u y M es punto de tangencia, calcule el área del semicírculo mostrado.A O BMS37°Piden: S = πr22A O B37°106=r853°PMSSe traza OM ⇒ OM ⊥ PMEl PMO es notable de 37° y 53°:OM = r = 6⇒ S = π·622 = π·362∴ S = 18π u2Rpta.: 18π u23. Calcule el área del sector circular mostrado.O 30°HQP3 uResoluciónPiden: SO 30°60°HQP36r=63 3El OHP es notable de 30° y 60°:⇒ OP = 6 = rS = π·62·30°360° = π·36·30°360°S = 3π u2Rpta.: 3π u2 Calcule el área del sector circular AOB.O BSA3 cm53°ResoluciónPiden: SEl AOT es notable 37° y 53°:OA = 4 = r⇒ S = π·424 = π·164 ∴ S = 4π cm2Rpta.: 4π cm2Solved problemsO T B34=4 S53º37ºMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY5. El perímetro de un círculo es 40π u. Calcule el área de dicho círculo.ResoluciónPiden: S = πr2Dato: 2p = 40π u ⇒ 2π r = 40π 2r = 40 r = 20 ⇒ S = π 202 S = 400π u2Rpta.: 400π u2Aplico lo aprendido Helico practiceMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYPRACTICO EN CLASE5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHDCB6 m5 m7 m45ºResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResolución2026186 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
2. Determine el área de un semicírculo cuya longitud de su diámetro es 20 m.ResoluciónResoluciónPiden: S = πr2Dato: 2p = 40π u ⇒ 2π r = 40π 2r = 40 r = 20 ⇒ S = π 202 S = 400π u2Rpta.: 400π u2Aplico lo aprendido1. En la figura, O es centro, M es punto de tangencia y OP = 12 m. Determine el área del círculo.MOP 30°Resolución Helico practiceAsumo mi reto6. En la figura se muestra un disco compacto para almacenar datos, hecho de fibra plastificada y con diámetros de longitudes 12 cm y 2 cm. ¿Cuántos cm2de área tiene una cara del CD?Resolución7. Se ha construido una puerta de madera para cubrir temporalmente un túnel semicircular de centro O, T es punto de tangencia y ET = 6 3 m, determine el área de la región pintada de dicha puerta.P OTQ E 30°ResoluciónSCOREHelico workshopAplico lo aprendido1. En la figura, O es centro, T es punto de tangencia y OE = 10 m. Determine el área del círculo.TOE 37°Resolución2. Determine el área de un semicírculo cuya longitud de su diámetro es 8 m.ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHDCB6 m5 m7 m45ºResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResolución127•DResolución36 m2A HDResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Determine el área del siguiente sector circular.72°5 cmO BAResolución MATHEMATICS •8.9.10.187COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
5. Calcule el área del sector circular mostrado.O BA3 u37°Resolución6. En la figura se muestra un disco compacto para almacenar datos, hecho de fibra plastificada y con diámetros de longitudes 12 cm y 2 cm. ¿Cuántos cm2de área tiene una cara del CD?ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY4. Determine el área de un círculo cuyo perímetro es 12π m.Resolución 12•7. Se ha construido una puerta de madera para cubrir temporalmente un túnel semicircular de centro O, T es punto de tangencia y ET = 6 3 m, determine el área de la región pintada de dicha puerta.P OTQ E 30°ResoluciónSCOREHelico workshopAplico lo aprendido1. En la figura, O es centro, T es punto de tangencia y OE = 10 m. Determine el área del círculo.TOE 37°Resolución2. Determine el área de un semicírculo cuya longitud de su diámetro es 8 m.ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY7. Se ha construido una puerta de madera para cubrir temporalmente un túnel semicircular de centro O, T es punto de tangencia y ET = 6 3 m, determine el área de la región pintada de dicha puerta.P OTQ E 30°ResoluciónSCOREHelico workshop1. En la figura, O es centro, T es punto de tangencia y OE = 10 m. Determine el área del círculo.TOE 37°Resolución su diámetro es 8 m.ResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYTAREA DOMICILIARIADemuestro mis conocimientos3. Determine el área del siguiente sector circular.O BA40°6 cmResolución MATHEMATICS • VO11. 12.2026188 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
36 m2A HFEDResolución127•O B40°Resolución4. Determine el área de un círculo cuyo perímetro es 6π m.ResoluciónO B P53°ResoluciónAsumo mi reto Se muestra un letrero circular de diámetro 50 cm, donde se pintó el contorno de un espesor de 15 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados se pintó el contorno?kmh 505. Calcule el área del sector circular mostrado.O B PA10 u53°ResoluciónAsumo mi retoMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY4. Determine el área de un círculo cuyo perímetro es 6π m.ResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra un letrero circular de diámetro 50 cm, donde se pintó el contorno de un espesor de 15 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados se pintó el contorno?kmh 50Resolución4. El perímetro de la región rombal ABCD es 200 cm. Si la m ABC = 106°, calcule el área de dicha región.ABCDResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResolución7. Se mandó a construir una puerta de madera para cubrir temporalmente un túnel semicircular de centro O, M es punto de tangencia y RM = 3 3 m, determine el área de la región pintada de dicha puerta.A O RMB30°Demuestro mis conocimientos3. Determine el área de la región romboidal ABCDA20 m10 m53°B CDResolución4. El perímetro de la región rombal ABCD es 200 cm. Si la m ABC = 106°, calcule el área de dicha región.ABCDResolución5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHDCB6 m5 m7 m45ºResolución Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARY189COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
2. Se tiene una semicircunferencia de centro O y otras tres semicircunferencias del mismo radio de longitud 6 u cuyos centros son O1, O y O2. Calcule el área de la región sombreada.O1 O2 O6A) 7π – 3 3 u2 B) 6π + 3 3 u2C) 8π – 3 u2 D) 5π + 3 3 u2111•Asumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResolución127•Continuamos en tu cuadernoNivel I1. Calcule el área del siguiente sector circular de centro O.OB72°10 uA) 15π u2 B) 20π u2C) 10π u2 D) 25π u22. El perímetro de un círculo es de 14π m, determine el área de dicho círculo.A) 49π m2 B) 64π m2C) 27π m2 D) 36π m2Nivel II3. Calcule el área del semicírculo de centro O.O LP24 uA) 28π u2 B) 72π u2C)64π u2 D)52π u24. Si el sector circular y el círculo de centro O tienen igual área, halle el valor de x.O M rBxA) 30° B) 45°C) 40° D) 35°Nivel III5. En la figura se muestra un jardín semicircular y en el punto medio del arco A B se ubica un poste 2 6 mdel punto A. ¿Cuántos m2 de área tiene el jardín?ABA) 8π m2 B) 9π m2C) 6π m2 D) 25π m2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Calcule el área del siguiente sector circular de centro O.OBA72°10 uA) 15π u2 B) 20π u2C) 10π u2 D) 25π u22. El perímetro de un círculo es de 14π m, determine el área de dicho círculo.A) 49π m2 B) 64π m2C) 27π m2 D) 36π m2Nivel II3. Calcule el área del semicírculo de centro O.OLP4. Si el sector circular y el círculo de centro O tienen igual área, halle el valor de x.O M rBx3rAA) 30° B) 45°C) 40° D) 35°Nivel III5. En la figura se muestra un jardín semicircular y en el punto medio del arco A B se ubica un poste 2 6 mdel punto A. ¿Cuántos m2 de área tiene el jardín?ABA) 8π m2 B) 9π m2C) 6π m2 D) 25π m2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Calcule el área del siguiente sector circular de centro O.BA10 uA) 15π u2 B) 20π u2C) 10π u2 D) 25π u22. El perímetro de un círculo es de 14π m, determine el área de dicho círculo.A) 49π m2 B) 64π m2C) 27π m2 D) 36π m2Nivel II3. Calcule el área del semicírculo de centro O.O LP24 uA) 28π u2 B) 72π u2C) 64π u2 D) 52π u2 Si el sector circular y el círculo de centro O tienen igual área, halle el valor de x.O rx3rAA) 30° B) 45°C) 40° D) 35°Nivel III En la figura se muestra un jardín semicircular y en el punto medio del arco A B se ubica un poste 2 6 mdel punto A. ¿Cuántos m2 de área tiene el jardín?ABA) 8π m2 B) 9π m2C) 6π m2 D) 25π m2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Calcule el área del siguiente sector circular de centro O.OB72°10 uA) 15π u2 B) 20π u2C) 10π u2 D) 25π u22. El perímetro de un círculo es de 14π m, determine el área de dicho círculo.A) 49π m2 B) 64π m2C) 27π m2 D) 36π m2Nivel II3. Calcule el área del semicírculo de centro O.O LP24 uA) 28π u2 B) 72π u2C)64π u2D)52π u2 Si el sector circular y el círculo de centro O tienen igual área, halle el valor de x.O rBxA) 30° B) 45°C) 40° D) 35°Nivel III En la figura se muestra un jardín semicircular y en el punto medio del arco A B se ubica un poste 2 6 mdel punto A. ¿Cuántos m2 de área tiene el jardín?ABA) 8π m2 B) 9π m2C) 6π m2 D) 25π m2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Calcule el área del siguiente sector circular de centro O.OBA72°10 uA) 15π u2 B) 20π u2C) 10π u2 D) 25π u22. El perímetro de un círculo es de 14π m, determine el área de dicho círculo.A) 49π m2 B) 64π m2C) 27π m2 D) 36π m2Nivel II3. Calcule el área del semicírculo de centro O.O LP igual área, halle el valor de x.O rBx3rAA) 30° B) 45°C) 40° D) 35°Nivel III En la figura se muestra un jardín semicircular y en el punto medio del arco A B se ubica un poste 2 6 mdel punto A. ¿Cuántos m2 de área tiene el jardín?ABA) 8π m2 B) 9π m2C) 6π m2 D) 25π m2SCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY8.2026190 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
Nivel I1. En el círculo de centro O, T es punto de tangencia, calcule el área del círculo.T 40 uOE 37°A) 2500π u2 B) 1200π u2C) 750π u2 D) 900π u2Nivel II2. Calcule el área del siguiente sector circular.O BA30°6 u6 u B) 4 D) Calcule el área del sector circular mostrado.O BMA13 u 5 u2 uA) 25π u2 B) 28π u2C) 49π u2 D) 36π u2Nivel III4. Se fabrica un CD de diámetros interior y exterior de 2 cm y 10 cm. Determine el área de una cara del CD.102A) 15π cm2 B) 20π cm2C) 18π cm2 D) 24π cm 25. Se inscribe una ficha circular en un tablero ABC, tal como se muestra en la figura. Determine el área de la cara visible de dicha ficha.17 cm15 cmBA C8 cm Nivel I1. En el círculo de centro O, T es punto de tangencia, calcule el área del círculo.T 40 uOE 37°A) 2500π u2 B) 1200π u2C) 750π u2 D) 900π u2Nivel II2. Calcule el área del siguiente sector circular.O BA30°6 u6 u B) C) 6π u D) 8π u3. Calcule el área del sector circular mostrado.O BMA13 u 5 u2 uA) 25π u2 B) 28π u2C) 49π u2 D) 36π u2Nivel III4. Se fabrica un CD de diámetros interior y exterior de 2 cm y 10 cm. Determine el área de una cara del CD.102A) 15π cm2 B) 20π cm2C) 18π cm2 D) 24π cm 25. Se inscribe una ficha circular en un tablero ABC, tal como se muestra en la figura. Determine el área de la cara visible de dicha ficha.15 cmB 8 cm Helico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYT 40 uOE 37°A) 2500π u2 B) 1200π u2C) 750π u2 D) 900π u2Nivel II2. Calcule el área del siguiente sector circular.O BA30°6 u6 uA) 3π u2 B) 4π u2C) 6π u2 D) 8π u23. Calcule el área del sector circular mostrado.O BMA13 u 5 u2 uA) 25π u2 B) 28π u2C) 49π u2 D) 36π u2102A) 15π cm2 B) 20π cm2C) 18π cm2 D) 24π cm 25. Se inscribe una ficha circular en un tablero ABC, tal como se muestra en la figura. Determine el área de la cara visible de dicha ficha.17 cm15 cmB C8 cm 4π cm2 B) 6π cm2 9π cm2 D) 16π cm2Nivel I1. En el círculo de centro O, T es punto de tangencia, calcule el área del círculo.T 40 uOE 37°A) 2500π u2 B) 1200π u2C) 750π u2 D) 900π u2Nivel II2. Calcule el área del siguiente sector circular.O BA30°6 u6 uA) 3π u2 B) 4π u2 D) 8π Calcule el área del sector circular mostrado.O BMA13 u 5 u2 uA) 25π u2 B) 28π u2C) 49π u2 D) 36π u2Nivel III4. Se fabrica un CD de diámetros interior y exterior de 2 cm y 10 cm. Determine el área de una cara del CD.102A) 15π cm2 B) 20π cm2C) 18π cm2 D) 24π cm 25. Se inscribe una ficha circular en un tablero ABC, tal como se muestra en la figura. Determine el área de la cara visible de dicha ficha.17 cm15 cmB C8 cm Nivel I1. En el círculo de centro O, T es punto de tangencia, calcule el área del círculo.T 40 uOE 37°A) 2500π u2 B) 1200π u2C) 750π u2 D) 900π u2Nivel II2. Calcule el área del siguiente sector circular.O BA30°6 u6 u B) 4πC) 6π u D) 8π u3. Calcule el área del sector circular mostrado.O BMA13 u 5 u2 uA) 25π u2 B) 28π u2C) 49π u2 D) 36π u2Nivel III4. Se fabrica un CD de diámetros interior y exterior de 2 cm y 10 cm. Determine el área de una cara del CD.102A) 15π cm2 B) 20π cm2C) 18π cm2 D) 24π cm 25. Se inscribe una ficha circular en un tablero ABC, tal como se muestra en la figura. Determine el área de la cara visible de dicha ficha.15 cmB 8 cm Helico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY6.7.8.9.10.191COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
PoliedrosSon aquellos sólidos cuya superficie está determinada por planos secantes. Prisma ParalelepípedoCubo Pirámide Tetraedo Octaedro Dodecaedro regular Icosaedro regularCUBO Y PARALELEPÍPEDO RECTANGULARParalelepípedo rectangularEs aquel sólido cuyas caras son regiones rectangulares. Se le conoce también como rectoedro u ortoedro.abdca, b ∧ c son las dimensiones del ortoedro.¾ Área de la superficie total (AST)AST = 2(ab + bc + ac)¾ Volumen (V)V = a b c¾ Longitud de la diagonal (d)d2 = a2+b2+c2 → d = a2+b2+c2Hexaedro regular o cuboEs aquel sólido limitado por seis regiones cuadradas congruentes.daaaa es la longitud de la arista del cubo.¾ Área de la superficie total (AST)AST = 6a2¾ Volumen (V)V = a3¾ Longitud de la diagonal del cubo (d)d = a 3Observación: Como cada cara es una región cuadrada, entonces la longitud de la diagonal de cada cara será a 2.23 Cubo y paralelepípedo rectangular2026192 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
453°35437°AEFGDHNos piden¾ Volumen (V) → V = 4 · 4 · 3 = 48 u3¾ Área de la superficie total (AST) → AST = 2(3 · 4+4 · 4+4 · 3) AST = 80 u2Rpta.: 48 u3 y 80 u22. La suma de longitudes de tres aristas de un cubo es 27 m. Determine su volumen y área de la superficie total.Resoluciónaaa=9AB CGE HFDSea a la longitud de cada arista.Dato: 3a = 27 → a = 9Nos piden¾ Volumen (V) → V = 93 = 729 m3¾ Área de la superficie total (AST)aaE HFSea a la longitud de la arista del cubo.Dato: 6a2 = 294 → a = 7Nos piden¾ Volumen (V) → V = 73 = 343 u3Rpta.: 343 u34. Calcule el volumen del paralelepípedo rectangular mostrado.2 uEB CDHGAF5 u8 uResolución2 uEB CDHGAF5 u8 u¾ Volumen (V) → V = 8 · 2 · 5 = 80 u31. Calcule el volumen y área de la superficie total del siguiente rectoedro.4 u5 u37°EABEDCGMResolución453°35437°AEFB CGDHNos piden¾ Volumen (V) → V = 4 · 4 · 3 = 48 u3¾ Área de la superficie total (AST) → AST = 2(3 · 4+4 · 4+4 · 3) AST = 80 u2Rpta.: 48 u y 80 u2. La suma de longitudes de tres aristas de un cubo es 27 m. Determine su volumen y área de la superficie total.Resoluciónaaa=9AB CGE HFDSea a la longitud de cada arista.Dato: 3a = 27 → a = 9Nos piden¾ Volumen (V) → V = 93 = 729 m3¾ Área de la superficie total (AST) → AST = 6(92)AST = 486 m2Rpta.: 729 m3 y 486 m2 El área de la superficie total de un cubo es 294 u3. Calcule su volumen.Resoluciónaaa=7AB CGE HFDSea a la longitud de la arista del cubo.Dato: 6a2 = 294 → a = 7Nos piden¾ Volumen (V) → V = 73 = 343 u3Rpta.: 343 u3 Calcule el volumen del paralelepípedo rectangular mostrado.2 uE HGF5 u8 uResolución2 uEB CDHGAF5 u8 u¾ Volumen (V) → V = 8 · 2 · 5 = 80 u3Rpta.: 80 u3Solved problems → AST = 6(92) AST = 486 m2Rpta.: 729 m3 y 486 m23. El área de la superficie total de un cubo es 294 u3. Calcule su volumen.Resoluciónaaa=7AB CGE HFDSea a la longitud de la arista del cubo.1. Calcule el volumen y área de la superficie total del siguiente rectoedro.4 u5 u37°EABEDCGMResolución453°35437°AEFB CGDHNos piden¾ Volumen (V) → V = 4 · 4 · 3 = 48 u3¾ Área de la superficie total (AST) → AST = 2(3 · 4+4 · 4+4 · 3) AST = 80 u2Rpta.: 48 u3 y 80 u22. La suma de longitudes de tres aristas de un cubo es 27 m. Determine su volumen y área de la superficie total.Resoluciónaaa=9AB CGE HFDSea a la longitud de cada arista.Dato: 3a = 27 → a = 9Nos piden¾ Volumen (V) → V = 93 = 729 m3¾ Área de la superficie total (AST)→ AST = 6(92)AST = 486 m2Rpta.: 729 m3 y 486 m2 El área de la superficie total de un cubo es 294 u3. Calcule su volumen.Resoluciónaaa=7AB CGE HFDSea a la longitud de la arista del cubo.Dato: 6a2 = 294 → a = 7Nos piden Calcule el volumen del paralelepípedo rectangular mostrado.2 uEB CDHGAF5 u8 uResolución2 uEB CDHGAF5 u8 u¾ Volumen (V) → V = 8 · 2 · 5 = 80 u3Rpta.: 80 u3Solved problemsMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYPRACTICO EN CLASE 4. Si el volumen del cubo mostrado es 27 m3, determine el área de la superficie total.ABGHEFDCResolución5. En la figura, AP = 30 u, calcule la longitud de la diagonal del siguiente hexaedro regular.ABGP HEF37°DCResolución MATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY193COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
Aplico lo aprendido1. Determine la longitud de la diagonal del siguiente rectoedro.3 m2 m6 mBFAE HGCDResolución2. En el paralelepído rectangular mostrado, calculea. el volumenb. el área de la superficie total.4 u2 u6 uBAEG FDHC Helico practice112•Aplico lo aprendido1. Determine la longitud de la diagonal del siguiente rectoedro.3 m2 m6 mBFAE HGCDResolución2. En el paralelepído rectangular mostrado, calculea. el volumenb. el área de la superficie total.4 u2 u6 uBAEG FDHC Helico practice112•Asumo mi reto6. Mayra introduce un cubo metálico en un recipiente con agua. Luego se observa que al nivel del agua se desplaza 3 cm, tal como se muestra en la figura. Determine la longitud de la arista de dicho cubo.9 cm8 cm9 cm8 cm3 cmResolución7. En la figura se muestra una pecera que contiene agua los 23 del total. Determine la distancia del nivel de agua al borde superior de la pecera.30 cm40 cm20 cmxResolución111•Asumo mi reto6. Mayra introduce un cubo metálico en un recipiente con agua. Luego se observa que al nivel del agua se desplaza 3 cm, tal como se muestra en la figura. Determine la longitud de la arista de dicho cubo.9 cm8 cm9 cm8 cm3 cmResolución En la figura se muestra una pecera que contiene agua los 23 del total. Determine la distancia del nivel de agua al borde superior de la pecera.30 cm40 cm20 cmxResolución111•Demuestro mis conocimientos3. Determine el área de la región romboidal ABCDA20 m10 m53°B CDResolución4. El perímetro de la región rombal ABCD es 200 cm. Si la m ABC = 106°, calcule el área de dicha región.ABCDResolución5. Calcule el área de la región trapecial ABCD.AHDCB6 m5 m7 m45ºResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGEDResoluciónMATHEMATICS • VOLUME 7 • 2nd GRADE OF SECONDARY8.9.2026194 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
Demuestro mis conocimientos3. En el cubo mostrado, determinea. el volumenb. el área de la superficie total.4 cmABGHEFDCResolución4. Si el volumen del cubo mostrado es 27 m3, determine el área de la superficie total.ABGHEFDCResolución5. En la figura, AP = 30 u, calcule la longitud de la diagonal del siguiente hexaedro regular.ABDCAsumo mi reto Mayra introduce un cubo metálico en un recipiente con agua. Luego se observa que al nivel del agua se desplaza 3 cm, tal como se muestra en la figura. Determine la longitud de la arista de dicho cubo.9 cm8 cm9 cm8 cm3 cmResolución7. En la figura se muestra una pecera que contiene agua los 23 del total. Determine la distancia del nivel de agua al borde superior de la pecera.MATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYAplico lo aprendido1. Determine la longitud de la diagonal del siguiente rectoedro.3 m2 m6 mBFAE HGCDResolución2. En el paralelepído rectangular mostrado, calculea. el volumenb. el área de la superficie total.4 u2 u6 uBAEG FDHC 5. Halle el valor de x, en el paralelepípedo rectangular mostrado.1 ux 3 uE H 2 uD AB CG FHelico practiceMATHEMATICS •1124. El perímetro de la región rombal ABCD es 200 cm. Si la m ABC = 106°, calcule el área de dicha región.ABCDResoluciónAsumo mi reto6. Se muestra la distribución de terrenos de tres hermanos. ABCD y ECGF son terrenos cuadrados. Se desea conocer el área del terreno DEFH.36 m24 m2A HBFGECDResoluciónTAREA DOMICILIARIAAplico lo aprendido1. Determine la longitud de la diagonal del siguiente ortoedro.6 m2 m9 mBFAE HGCDResolución2. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calculea. el volumen.b. área de la superficie totalBADC Helico workshopMATHEMATICS •10.11.12.195COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
2. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calculea. el volumen.b. área de la superficie total5 u3 u6 uBAEG FDHCResolución4. Si el volumen del cubo mostrado es 8 m3, determine el área de la superficie total.ABGHEFDCResolución2. En el paralelepípedo rectangular mostrado, calculea. el volumen.b. área de la superficie total5 u3 u6 uBAEG FDHCResolución Si el volumen del cubo mostrado es 8 m3, determine el área de la superficie total.ABGHEFDCResolución Demuestro mis conocimientos3. En el hexaedro regular mostrado, determinea. el volumen.b. área de la superficie total.5 cmABGHEFDCResolución4. Si el volumen del cubo mostrado es 8 m3, determine el área de la superficie total.ABGFDCSCOREMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY5. En la figura, ET = 6 u, calcule la longitud de diagonal del siguiente cubo.ABGT HEF53°DCResoluciónAsumo mi reto6. Se tiene una CPU de una computadora de volumen 6000 cm3. Determine la longitud de la altura del CPU. MATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY2026196 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
7. Isabel introduce un cubo metálico en un recipiente con agua. Luego se observa que el nivel del agua se desplaza 2 cm, tal como se muestra en la figura. Determine la longitud de la arista de dicho cubo.25 cm20 cm25 cm20 cm2 cmResoluciónAsumo mi reto6. Se tiene una CPU de una computadora de volumen 6000 cm3. Determine la longitud de la altura del CPU.20 cm 10 cmResolución1. Las longitudes de las diagonales de tres caras distintas de un rectoedro son 61 u, 74 u y 85 u. Calcule el volumen de dicho rectoedro.A) 195 u3 B) 225 u3C) 210 u3 D) 200 u3 Nivel I1. Calcule el área de la superficie total del paralelepípedo rectangular.4 u6 u10 uABFDCGE H 200 u2 B) 300 u2 256 u2 D) 248 u2 La suma de las longitudes de todas las aristas de un cubo es 36 m. Calcule el área de su superficie total.A) 200 u2 B) 300 u2C) 256 u2 D) 248 u2Nivel II3. Determine la longitud de la diagonal del retoedro mostrado.x2 cm4 cm4 cmABFDCGE HA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cm Helico trialHelico challengeMATHEMATICS •111•ACDResolución36 m24 m2A HFEDResoluciónContinuamos en tu cuaderno1. Las longitudes de las diagonales de tres caras distintas de un rectoedro son 61 u, 74 u y 85 u. Calcule el volumen de dicho rectoedro.A) 195 u3 B) 225 u3C) 210 u3 D) 200 u3 Nivel I1. Calcule el área de la superficie total del paralelepípedo rectangular.4 u6 u10 uABFDCGE HA) 200 u2 B) 300 u2C) 256 u2 D) 248 u22. La suma de las longitudes de todas las aristas de un cubo es 36 m. Calcule el área de su superficie total.A) 200 u2 B) 300 u2C) 256 u2 D) 248 u2Nivel II3. Determine la longitud de la diagonal del retoedro mostrado.x2 cm4 cm4 cmABFDCGE HA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cm Helico trialHelico challengeMATHEMATICS • 1111. Las longitudes de las diagonales de tres caras distintas de un rectoedro son 61 u, 74 u y 85 u. Calcule el volumen de dicho rectoedro.A) 195 u3 B) 225 u3C) 210 u3 D) 200 u3 Nivel I Calcule el área de la superficie total del paralelepípedo rectangular.4 u6 u10 uABFDCGE HA) 200 u2 B) 300 u2C) 256 u2 D) 248 u22. La suma de las longitudes de todas las aristas de un cubo es 36 m. Calcule el área de su superficie total.A) 200 u2 B) 300 u2C) 256 u2 D) 248 u2Nivel II3. Determine la longitud de la diagonal del retoedro mostrado.x2 cm4 cm4 cmABFDCGE HA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cm Helico trialHelico challengeMATHEMATICS • 11Nivel I1. Si AG = 5 3 u, calcule el volumen del cubo mostrado.EAB CDH F 200 u3 B) 136 u3 169 u3 D) 125 u3Nivel II2. Si AH = 4 2 m, determine el área de la superficie total del siguiente cubo.EAB CDHG FA) 64 m2 B) 96 m2C) 100 m2 D) 72 m23. En el rectángulo mostrado, AH= 10 cm y HG= 7 cm. Determine el volumen de dicho rectoedro.37°EAB CDHG FA) 336 cm3 B) 560 cm3C) 420 cm3 D) 300 cm3 Helico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY8.197COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
4. El área de la superficie total de un hexaedro regular es 96 u2. Calcule su volumen.A) 125 u3 B) 64 u3C) 27 u3 D) 56 u3Nivel III5. Se tiene un recipiente en forma de cubo lleno de agua. Se vierte toda el agua en otro recipiente en forma de rectoedro, tal como se muestra en la figura. Determine x.2 cmx 6 cm18 cmA) 8 cm B) 4 cmC) 10 cm D) 6 cmNivel I1. Si AG = 5 3 u, calcule el volumen del cubo mostrado.EAB CDHG FA) 200 u3 B) 136 u3 169 u3 D) 125 u3Nivel II Si AH = 4 2 m, determine el área de la superficie total del siguiente cubo.EAB CDHG FA) 64 m2 B) 96 m2C) 100 m2 D) 72 m23. En el rectángulo mostrado, AH= 10 cm y HG= 7 cm. Determine el volumen de dicho rectoedro.37°EAB CDHG FA) 336 cm3 B) 560 cm3C) 420 cm3 D) 300 cm3Nivel III4. Se muestran dos viviendas contiguas de igual volumen. ¿Cuál es el valor de x?8 m xaa A) 9 m B) 10 mC) 12 m D) 16 m5. Se tiene un recipiente en forma de cubo lleno de líquido. Si vierte todo el contenido en otro recipiente en forma de ortoedro, tal como se muestra la figura, determine x.5 cm x8 cm25 cmA) 15 cm B) 8 cmC) 10 cm D) 12 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYNivel I1. Si AG = 5 3 u, calcule el volumen del cubo mostrado.EAB CDHG F 200 u3 B) 136 u3 169 u3 D) 125 u3Nivel II Si AH = 4 2 m, determine el área de la superficie total del siguiente cubo.EAB CDHG FA) 64 m2 B) 96 m2C) 100 m2 D) 72 m23. En el rectángulo mostrado, AH= 10 cm y HG= 7 cm. Determine el volumen de dicho rectoedro.37°EAB CDHG FA) 336 cm3 B) 560 cm3C) 420 cm3 D) 300 cm3Nivel III4. Se muestran dos viviendas contiguas de igual volumen. ¿Cuál es el valor de x?8 m xaa A) 9 m B) 10 mC) 12 m D) 16 m5. Se tiene un recipiente en forma de cubo lleno de líquido. Si vierte todo el contenido en otro recipiente en forma de ortoedro, tal como se muestra la figura, determine x.5 cm x8 cm25 cmA) 15 cm B) 8 cmC) 10 cm D) 12 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYEH FA) 64 m2 B) 96 m2C) 100 m2 D) 72 m23. En el rectángulo mostrado, AH= 10 cm y HG= 7 cm. Determine el volumen de dicho rectoedro.37°EAB CDHG FA) 336 cm3 B) 560 cm3C) 420 cm3 D) 300 cm3 Nivel I1. Si AG = 5 3 u, calcule el volumen del cubo mostrado.EAB CDHG FA) 200 u3 B) 136 u3C) 169 u3 D) 125 u3Nivel II2. Si AH = 4 2 m, determine el área de la superficie total del siguiente cubo.EAB CDHG FA) 64 m2 B) 96 m2C) 100 m2 D) 72 m23. En el rectángulo mostrado, AH= 10 cm y HG= 7 cm. Determine el volumen de dicho rectoedro.AB CDG FNivel III4. Se muestran dos viviendas contiguas de igual volumen. ¿Cuál es el valor de x?8 m xaa A) 9 m B) 10 mC) 12 m D) 16 m5. Se tiene un recipiente en forma de cubo lleno de líquido. Si vierte todo el contenido en otro recipiente en forma de ortoedro, tal como se muestra la figura, determine x.5 cm x8 cm25 cmA) 15 cm B) 8 cmC) 10 cm D) 12 cmHelico homeworkMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY1. Las longitudes de las diagonales de tres caras distintas de un rectoedro son 61 u, 74 u y 85 u. Calcule el volumen de dicho rectoedro.A) 195 u3 B) 225 u3C) 210 u3 D) 200 u32. Las longitudes de las aristas de dos cajas de cartón de forma cúbica están en la relación de 3 a 2 y la diferencia de sus áreas laterales es 500 cm2. Determine el volumen de la caja más pequeña.A) 2000 cm3 B) 1075 cm3C) 900 cm3 D) 1000 cm3Nivel I1. Calcule el área de la superficie total del paralelepípedo rectangular.6 u10 uBFDCG H B) 300 u2 2 D) 248 u22. La suma de las longitudes de todas las aristas de un cubo es 36 m. Calcule el área de su superficie total.A) 200 u2 B) 300 u2C) 256 u2 D) 248 u2Nivel II3. Determine la longitud de la diagonal del retoedro mostrado.x2 cm4 cm4 cmABFDCGE HA) 4 cm B) 5 cmC) 6 cm D) 7 cm4. El área de la superficie total de un hexaedro regular es 96 u2. Calcule su volumen.A) 125 u3 B) 64 u3C) 27 u3 D) 56 u3Nivel III5. Se tiene un recipiente en forma de cubo lleno de agua. Se vierte toda el agua en otro recipiente en forma de rectoedro, tal como se muestra en la figura. Determine x.2 cmx 6 cm18 cmA) 8 cm B) 4 cmC) 10 cm D) 6 cmHelico trialSCOREHelico challengeMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY4. El área de la superficie total de un hexaedro regular es 96 u2. Calcule su volumen.A) 125 u3 B) 64 u3C) 27 u3 D) 56 u3Nivel III5. Se tiene un recipiente en forma de cubo lleno de agua. Se vierte toda el agua en otro recipiente en forma de rectoedro, tal como se muestra en la figura. Determine x.2 cmx 6 cm18 cm B) 4 cm 10 cm D) 6 cmSCORE6.7.8.9.10.2026198 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA
Cilindro circular recto o cilindro de revoluciónEs aquel cilindro cuya generatriz es perpendicular al plano de la base y se genera al hacer girar una región rectangular 360° en torno a uno de sus lados por lo cual se le denomina también cilindro de revolución.Oh h grEje de giro360° OO rrh gBaseBase2πr2πrSuperficie lateralCILINDRO Y ESFERAg: longitud de la generatrizh: longitud de la alturaEn el cilindro circular recto: g = hPerímetro de la base: 2πrÁrea de la superficie lateral: ASL = 2πrhÁrea de la base: Abase = πr2Área de la superficie total: AST = 2πr(r + h)Volumen: V = πr2hEsferaEs aquel sólido geométrico que se genera al hacer girar un semicírculo 360° tomando como eje a su diámetro.O O r r360°Eje de girorASE : área de la superficie esféricaVE : volumen de la esferaASE = 4πr2VE = 43 πr3Cilindro circular rectoOrhASL = 2πrhAbase = πr2AST = 2πr(r + h)V = πr2hr OASE = 4πr2= π 3E4 V3 rEsferaCILINDRO Y ESFERA•24 Cilindro y esferaMARCO TEÓRICO199COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIAGEOMETRÍA
1. Calcule el área de la superficie total del siguiente cilindro circular recto.10 uBA D8 uResoluciónAD = 2r = 8 r = 4AST = 2π(4)(4 + 10)AST = 8π · 14AST = 112π u2Rpta.: 112π u22. Calcule el volumen del siguiente cilindro circular recto.5 u 13 uOBA DResolución BAD: 132=52+(2r)2 r = 6V = π · 62 · 5V = 180π u3Rpta.: 180π u33. Determine el volumen de una esfera cuya área de su superficie es 144π m2.Resolución4. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro circular recto.3 u 3 u45°OBA Resolución3h=63645°OBA DASL = 2πrhASL = 2π · 3 · 6ASL = 36π u2Rpta.: 36π u25. Calcule el área de la superficie esférica.4 u4 u3 urOResolución45=r 43OSolved problemsMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY1. Calcule el área de la superficie total del siguiente cilindro circular recto.10 uBA D8 uResoluciónAD = 2r = 8 r = 4AST = 2π(4)(4 + 10)AST = 8π · 14AST = 112π u2Rpta.: 112π u22. Calcule el volumen del siguiente cilindro circular recto.5 u 13 uOBA DResolución BAD: 132=52+(2r)2 r = 6V = π · 62 · 5V = 180π u3Rpta.: 180π u33. Determine el volumen de una esfera cuya área de su superficie es 144π m2.Resolución4. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro circular recto.3 u 3 u45°OBA DResolución3h=63645°OBA DASL = 2πrhASL = 2π · 3 · 6ASL = 36π u2Rpta.: 36π u25. Calcule el área de la superficie esférica.4 u4 u3 urOResolución45=r 43Solved problemsMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY5 u 13 uOA DResolución BAD: 132=52+(2r)2 r = 6V = π · 62 · 5V = 180π u3Rpta.: 180π u33. Determine el volumen de una esfera cuya área de su superficie es 144π m2.Resolución ASE = 144π 4πr2 = 144π r = 6 ⇒ V = 43π (6)3 V = 288π m3Rpta.: 288π m3 121•1. Calcule el área de la superficie total del siguiente cilindro circular recto.10 uBA D8 uResoluciónAD = 2r = 8 r = 4AST = 2π(4)(4 + 10)AST = 8π · 14AST = 112π uRpta.: 112π u22. Calcule el volumen del siguiente cilindro circular recto.5 u 13 uOBA DResolución BAD: 132=52+(2r)2 r = 6V = π · 62 · 5V = 180π u3Rpta.: 180π u33. Determine el volumen de una esfera cuya área de su superficie es 144π m2.Resolución ASE = 144π 4πr2 = 144π r = 6 ⇒ V = 43π (6)3 V = 288π m3Rpta.: 288π m3 Calcule el área de la superficie lateral del cilindro circular recto.3 u 3 u45°OBA D336OA DASL = 2πrhASL = 2π · 3 · 6ASL = 36π uRpta.: 36π u2 Calcule el área de la superficie esférica.4 u4 u3 urOResolución45=r 43Or=5ASE = 4π(5)2ASE = 4π · 25ASE = 100π u2Solved problemsMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARY1. Calcule el área de la superficie total del siguiente cilindro circular recto.10 uBA D8 uResoluciónAD = 2r = 8 r = 4AST = 2π(4)(4 + 10)AST = 8π · 14AST = 112π u2Rpta.: 112π u2 Calcule el volumen del siguiente cilindro circular recto.5 u 13 uOBA DResolución BAD: 132=52+(2r)2 r = 6V = π · 62 · 5V = 180π u3Rpta.: 180π u33. Determine el volumen de una esfera cuya área de su superficie es 144π m2.Resolución ASE = 144π 4πr2 = 144π r = 6 ⇒ V = 43π (6)3 V = 288π m3Rpta.: 288π m3 Calcule el área de la superficie lateral del cilindro circular recto.3 u 3 u45°OBA DResolución=645°B DASL = 2πrhASL = 2π · 3 · 6ASL = 36Rpta Calcule el área de la superficie esférica.4 u4 u3 urOResolución45=r 43Or=5ASE = 4π(5)2ASE = 4π · 25ASE = 100π u2Rpta.: 100π u2Solved problemsMATHEMATICS • VOLUME 8 • 2nd GRADE OF SECONDARYPRACTICO EN CLASE2026200 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNGEOMETRÍA