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4. GEOM - TRIGO

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4. GEOM - TRIGO

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Razones trigonométricas de 7 ángulos notables de 30°, 45° y 60°251COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍATriángulo rectángulo notable de 45° y 45°Partimos del polígono regular de cuatro lados (cuadrado), en el cual distinguimos que sus cuatro lados son de igual longitud, como también la medida de sus cuatro ángulos internos son de igual medida (90°).BACDkkk kAl trazar la diagonal AC dividimos al cuadrado en dos triángulos rectángulos idénticos (congruentes).Asimismo, por el teorema de Pitágoras(AC)2 = (1k)2 + (1k)2(AC)2 = 2k2→ AC = 2kRememberA ángulos iguales se le oponen lados iguales.RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60°Entonces obtenemosACD k2k k45°45°A partir del triángulo obtenemos las razones trigonométricas de 45°.¾ sen 45°= 1k2k = 12Racionalizando: sen 45°= 21×22sen 45°= 22Análogamente, podemos obtener que• cos 45°= 22• tan 45° = 1Theory¾ Pero el ángulo EBF por doblado (vuelve al apartado 2) es igual al ángulo AB ___.¾ Luego, los ángulos son iguales y suman _____________.¾ Luego, el triángulo EBF es _____________.Triángulo rectángulo notable de 45° y 45°Partimos del polígono regular de cuatro lados (cuadrado), en el cual distinguimos que sus cuatro lados son de igual longitud, como también la medida de sus cuatro ángulos internos son de igual medida (90°).BACDkkk kAl trazar la diagonal AC dividimos al cuadrado en dos triángulos rectángulos idénticos (congruentes).Asimismo, por el teorema de Pitágoras(AC)2 = (1k)2 + (1k)2(AC)2 = 2k2→ AC = 2kRememberA ángulos iguales se le oponen lados iguales.Entonces obtenemosACD k2k k45°45°A partir del triángulo obtenemos las razones trigonométricas de 45°.¾ sen 45°= 1k2k = 12Racionalizando: sen 45°= 21×22sen 45°= 22Análogamente, podemos obtener que• cos 45°= 22• tan 45° = 1Entonces obtenemosACD k2k k45°45°A partir del triángulo obtenemos las razones trigonométricas de 45°.¾ sen 45°= 1k2k = 12Racionalizando: sen 45°= 21×22sen 45°= 22B^ ___.ObservationEl valor del sen45° a veces se da como 12 o 22.Ambos valores son correctos. Así, entoncessen45°= 12 = 22Triángulo rectángulo notable de 30° y 60°Partimos del polígono regular de tres lados (triángulo equilátero), en el cual distinguimos sus tres lados iguales, como también los tres ángulos internos de igual medida (60°).Sea AB = 2k2k 2k2kA C HB60° 60°Al trazar la altura BH dividimos al triángulo en dos triángulos rectángulos idénticos (congruentes).Asimismo, por el teorema de Pitágoras(BH)2 + (AH)2 = (AB)2 (BH)2 + k2 = (2k)2 (BH)2 = 4k2 – k2

2026252 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA 22kC 60° = (AB)k)22 – k22k 2k2Construimos la tabla de las razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.RTsen cos tan cot sec csc30° 1232333 2 33245° 22221 1 2 260° 3212 3 332 2 33Recuerdab= b aaExpresiónracionalizada 2kA C H60° 60°Al trazar la altura BH dividimos al triángulo en dos triángulos rectángulos idénticos (congruentes).Asimismo, por el teorema de Pitágoras(BH)2 + (AH)2 = (AB)2 (BH)2 + k2 = (2k)2 (BH)2 = 4k2 – k2 (BH)2 = 3k2→ BH = 3kEntonces obtenemos2k 3kA HB60°k30°ba= b aaExpresiónsinracionalizarExpresiónracionalizadaEntonces• 13 = 33• 23 = 2 33ObservationEl valor del sen45° a veces se da como 12 o 22.Ambos valores son correctos. Así, entoncessen45°= 12 = 22Triángulo rectángulo notable de 30° y 60°Partimos del polígono regular de tres lados (triángulo equilátero), en el cual distinguimos sus tres lados iguales, como también los tres ángulos internos de igual medida (60°).Sea AB = 2k2k 2k2kA C HB60° 60°Al trazar la altura BH dividimos al triángulo en dos triángulos rectángulos idénticos (congruentes).Asimismo, por el teorema de Pitágoras(BH)2 + (AH) (BH) (BH) (BH)2 = 3k2→ BH = 3kEntonces obtenemos2k 3kA HB60°k30°¾ sen 60°= 3k2k = 32¾ cos 60°= 1k2k = 12Construimos la tabla de las razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.RTsen cos tan cot sec csc30° 1232333 2 33245° 22221 1 2 260° 3212 3 332 2 33Recuerdaba= b aaExpresiónsinracionalizarExpresiónracionalizadaEntonces• 13 = 33• 23 = 2 33Del triángulo determinamos que¾ sen 60°= 3k2k = 32¾ cos 60°= 1k2k = 12Construimos la tabla de las razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°.RTsen cos tan cot sec csc30° 1232333 2 33245° 22221 1 2 260° 3212 3 332 2 33Recuerdaba= b aaExpresiónsinracionalizarExpresiónracionalizadaEntonces• 13 = 33• 23 = 2 33

MARCO TEÓRICO253COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAsen cos tan cot sec csc22221 1 2 2sen cos tan cot sec csc30° 123233 3 2 33260° 3212 3 332 2 33RTk2k k45°45°k3k2k30°60°Las razones trigonométricas para 45° son:Las razones trigonométricas para 30° y 60° son: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES DE 45° - 45° Y 30° - 60° Triángulo rectángulo notable de 30° y 60°Triángulo rectángulo notable de 45° y 45°Synthesis

PRACTICO EN CLASE2 1 A 3382A 334A 36A 6= × ××= ××=∴ =Rpta. 2. Del gráfico, calcule cotf.A BCf3 sen 60° ·sec4 45°2 sen 30° ·tan 45°ResoluciónDe la tabla obtenemos que AB = 3 · 32 · ( 2)4AB = 32· 4AB = 6BC = 2 · 12· 1BC = 1Entonces cotf = ABBCcotf = 61 ∴ cotf = 6Rpta. csc 45° = 2csc 30° = 2Reemplazamos en B B = (4×1)2 + 22B = 42 + 2B = 16 + 2∴ B = 18Rpta.: 184. Resuelva e indique el valor de x si x > 0.21 2 sen 45tan 60 1xx+ ° =° −ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas22 2 1 21 3xx⋅ + = −1 13 1xx+ = −(x+1)(x – 1) = 3 ⋅ 1 x2 – 1 = 3 x2 = 4, como x>0 ∴ x = 2Rpta.: 25. Resuelva e indique el valor de y.tan2 60° – 4y = 7y – csc3 30°ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas( )2 3 3 – 4 7 – (2) y y = 3 – 4y = 7y – 8 11 = 11y∴ y = 1Rpta.: 1A 36A 6=∴ =Rpta.: 62. Del gráfico, calcule cotf.A BCf3 sen 60° ·sec4 45°2 sen 30° ·tan 45°ResoluciónDe la tabla obtenemos que AB = 3 · 32 · ( 2)4AB = 32· 4AB = 6BC = 2 · 12· 1BC = 1Entonces cotf = ABBCcotf = 61∴Rpta. B = (4×1)2 + 22B = 42 + 2B = 16 + 2∴ B = 18Rpta.: 184. Resuelva e indique el valor de x si x > 0.21 2 sen 45tan 60 1xx+ ° =° −ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas22 2 1 21 3xx⋅ + = −1 13 1xx+ = −(x+1)(x – 1) = 3 ⋅ 1 x2 – 1 = 3 x2 = 4, como x>0 ∴ x = 2Rpta.: 25. Resuelva e indique el valor de y.tan2 60° – 4y = 7y – csc3 30°ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas( ) 3 – 4 7 – (2) y y 3 – 4y = 7y – 8 11 = 11y∴ y = 1Rpta.: 12026254 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA1. EfectúeA = 3tan2 60° · 8sen 30°ResoluciónDe la tabla se tiene que tan 60° = 3 y sen 30° = 12Reemplazamos en A 2 1 A 3382A 334A 36A 6= × ××= ××=∴ =Rpta.: 62. Del gráfico, calcule cotf.A BCf3 sen 60° ·sec4 45° ResoluciónDe la tabla obtenemos que AB = 3 · 32 · ( 2)4AB = 32· 4AB = 6BC = 2 · 12· 1BC = 1Entonces cotf = ABBCcotf = 61 ∴ cotf = 6Rpta.: 63. EfectúeB = (4 cot 45°)sec 60° + (csc 45°)csc 30°ResoluciónDe la tabla de las razones trigonométricas para los ángulos notables de 30°; 45° y 60° se obtiene cot 45° = 1sec 60° = 2csc 45° = 2csc 30° = 2Reemplazamos en B B = (4×1)2 + 22B = 42 + 2B = 16 + 2∴ B = 18Rpta.: 184. Resuelva e indique el valor de x si x > 0.21 2 sen 45tan 60 1x+ ° = ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas22 2 1 21 3xx⋅ + = −1 13 1xx+ = −(x+1)(x – 1) = 3 ⋅ 1 x2 – 1 = 3 x2 = 4, como x>0∴ x = 2Rpta.: 25. Resuelva e indique el valor de y.tan2 60° – 4y = 7y – csc3 30°ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas( )2 3 3 – 4 7 – (2) y y = 3 – 4y = 7y – 8 11 = 11y∴ y = 1Rpta.: 1Solved problems1. Efectúe ResoluciónDe la tabla se tiene que tan 60° = 3 y sen 30° = 12Reemplazamos en A 2 1 A 3382A 334A 36A 6= × ××= ××=∴ =Rpta.: 62. Del gráfico, calcule cotf.A BCf3 sen 60° ·sec4 45°2 sen 30° ·tan 45°ResoluciónDe la tabla obtenemos que AB = 3 · 32 · ( 2)4AB = 32· 4AB63. EfectúeB = (4 cot 45°) 60° + (csc 45°)csc ResoluciónDe la tabla de las razones trigonométricas para los ángulos notables de 30°; 45° y 60° se obtiene cot 45° = 1sec 60° = 2csc 45° = 2csc 30° = 2Reemplazamos en B B = (4×1)2 + 22B = 42 + 2B = 16 + 2∴ B = 18Rpta.: 184. Resuelva e indique el valor de x si x > 0.21 2 sen 45tan 60 1xx+ ° =° −ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas22 2 1 21 3xx⋅ + = −1 13 1xx+ = −(x+1)(x – 1) = 3 ⋅ 1 x2 – 1 = 3 x2 = 4, como x>0Solved problems1. EfectúeA = 3tan2 60° · 8sen 30°ResoluciónDe la tabla se tiene que tan 60° = 3 y sen 30° = 12Reemplazamos en A 2 1 A 3382A 334A 36A 6= × ××= ××=∴ =Rpta.: 62. Del gráfico, calcule cotf.A BCf3 sen 60° ·sec4 45°2 sen 30° ·tan 45°ResoluciónDe la tabla obtenemos que AB = 3 · 32 · ( 2)4AB = 32· 4AB = 6BC = 2 · 12· 1BC = 1Entonces cotf = ABBCcotf = 61 ∴ cotf = 6Rpta.: 63. EfectúeB = (4 cot 45°)sec 60° + (csc 45°)csc 30°ResoluciónDe la tabla de las razones trigonométricas para los ángulos notables de 30°; 45° y 60° se obtiene cot 45° = 1sec 60° = 2csc 45° = 2csc 30° = 2Reemplazamos en B B = (4×1)2 + 22B = 42 + 2B = 16 + 2∴ B = 18Rpta.: 184. Resuelva e indique el valor de x si x > 0.21 2 sen 45tan 60 1xx+ ° =° −ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas22 2 1 21 3xx⋅ + = −1 13 1xx+ = −(x+1)(x – 1) = 3 ⋅ 1 x2 – 1 = 3 x2 = 4, como x>0∴ x = 2Rpta.: 25. Resuelva e indique el valor de y.tan2 60° – 4y = 7y – csc3 30°ResoluciónReemplazamos los valores de las razones trigonométricas( )2 3 3 – 4 7 – (2) y y = 3 – 4y = 7y – 8 11 = 11y∴ y = 1Rpta.: 1Solved problems 3. EfectúeB = (4 cot 45°)sec 60° + (csc 45°)csc 30°ResoluciónDe la tabla de las razones trigonométricas para los ángulos notables de 30°; 45° y 60° se obtiene cot 45° = 1sec 60° = 2csc 45° = 2csc 30° = 2Reemplazamos en B B = (4×1)2 + 22B = 42 + 2B = 16 + 2∴ B = 18Rpta.: 18Aplico lo aprendido EfectúeA = (3 sen 45°+4cos 45°) csc 45°Resolución2. EfectúeA = (5 tan 45°)sec 60° + 12 3tan 60° sen 30°Resolución Practice PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Aplico lo aprendido1. EfectúeA = (3 sen 45°+4cos 45°) csc 45°Resolución2.Efectúe PracticePracticeResolución+225}, cal6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7Dado el conjunto B{3 /

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.1274ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónTAREA DOMICILIARIA2026256 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA0 2019 2020 2021 2022A5AñoDonde: A = 25 cot 45°B = 25csc 30°C = 200sen2 45°D = 50 3 tan 60°¿Cuál fue el valor total, en millones de soles, de las exportaciones de alcachofas en el periodo 2019-2022?ResoluciónAplico lo aprendido1. EfectúeB = 8 sen 45° + 6 cos 45°Resolución2. EfectúeA = (3 cot 45°)csc 30° + 18 2sec 45° cos 60°ResoluciónDemuestro mis conocimientos Resuelva e indique el valor de x.2x = tan2 60° + tan2 45° + 2 csc 30°.Resolución4. A partir del gráfico, calcule cotα.(4sen2 30°) uα(2 2cos 45°) uResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. EfectúeB = 8 sen 45° + 6 cos 45°2. EfectúeA = (3 cot 45°)csc 30° + 18 2sec 45° cos 60°ResoluciónDemuestro mis conocimientos Resuelva e indique el valor de x.2x = tan2 60° + tan2 45° + 2 csc 30°.Resolución4. A partir del gráfico, calcule cotα.(4sen2 30°) uα(2 2cos 45°) uResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. EfectúeB = 8 sen 45° + 6 cos 45°Resolución2. EfectúeA = (3 cot 45°)csc 30° + 18 2sec 45° cos 60°Demuestro mis conocimientos3. Resuelva e indique el valor de x.2x = tan2 60° + tan2 45° + 2 csc 30°.Resolución A partir del gráfico, calcule cotα.(4sen2 30°) uα(2 2cos 45°) uResoluciónSCOREWorkshop1. EfectúeB = 8 sen 45° + 6 cos 45°Resolución2. EfectúeA = (3 cot 45°)csc 30° + 18 2sec 45° cos 60°Resolución3. Resuelva e indique el valor de x.2x = tan2 60° + tan2 45° + 2 csc 30°.Resolución4. A partir del gráfico, calcule cotα.(4sen2 30°) uα(2 2cos 45°) uResoluciónx – 1cot 30° = 5 tan 60°x + 1ResoluciónAsumo mi reto6. Johan desea cercar su jardín, que tiene forma triangular, con el fin de cuidar sus plantaciones para locual utilizará una malla metálica. ¿Cuántos metrosde malla necesitará para el cercado de su jardín?5. Resuelva e indique el valor de x si x > 0.

257COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAAsumo mi reto6. Johan desea cercar su jardín, que tiene forma triangular, con el fin de cuidar sus plantaciones para locual utilizará una malla metálica. ¿Cuántos metrosde malla necesitará para el cercado de su jardín?Jardín(10tan245°) m (3cot230°) m(2sec360°) mResoluciónCacaoC%Donde: A = 10 3cot 30°B = 12sec2 45°C = 7tan2 60°D = csc4 30°E = 2csc 45°+7 tan 45°¿Cuál de los productos tiene mayor porcentaje de exportación?Resolución1. Siendo tan(2x+1)° = sen260°+14, entonces, el valor de tan(3x – 6)° esA) 22 . B) 1.C) 3. D) 34. Si a = (1 + tan 60°)(1 + tan 45°)(1 - tan 30°)b = (1 + sen 60°)(1 - cos 30°)entonces, el ángulo agudo cuya tangente es igual a ab esA) 30°. B) 37°.C) 53°. D) 60°. xResoluciónAsumo mi reto6. Johan desea cercar su jardín, que tiene forma triangular, con el fin de cuidar sus plantaciones para locual utilizará una malla metálica. ¿Cuántos metrosde malla necesitará para el cercado de su jardín?Jardín(10tan245°) m (3cot230°) m(2sec360°) mResolución1. Siendo tan(2x+1)° = sen260°+14, entonces, el valor de tan(3x – 6)° esA) 22 . B) 1.C) 3. D) 34. TrialLa siguiente gráfica muestra en porcentajes las exportaciones de diferentes productos del Perú en el año 2022:PaltaA%QuinuaB%CacaoC%MangoD%BananoE%Donde: A = 10 3cot 30°B = 12sec2 45°C = 7tan2 60°D = csc4 30°E = 2csc 45°+7 tan 45°¿Cuál de los productos tiene mayor porcentaje de exportación?ResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a(2sec360°) mResolución1. Siendo tan(2x+1)° = sen260°+14, entonces, el valor de tan(3x – 6)° esA) 22 . B) 1.C) 3. D) 34. TrialPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

2026258 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍANivel I1. EfectúeA = 6sen 30° – 8cos2 45°A) –1 B) 1 C) 3 D) 7 Resolución2. Efectúe B2 – A2 siA = 2csc 45°B = 6tan 30°A) –4 B) –2 D) 4 ResoluciónNivel II3. Resuelva e indique el valor de x.x cot 45° + 4 sen 30° = x cot2 30°A) 23 B) 12C) 1 D) 2Resolución4. Resuelva e indique el valor de x si x>0.3 tan 60°x – 1 = x + 1tan 30°A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónNivel III5. El siguiente diagrama muestra información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de ajedrez y oratoria.Ajedrez OratoriaABCantidad de alumnosTallerDondeA = 10 3tan 30° · sec2 45°B = 15 sen2 45° · csc2 30°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 20 B) 40C) 50 D) 60Resolución Helico challengeA = 6sen 30° – 8cos2 45°A) –1 B) 1 C) 3 D) 7 Resolución2. Efectúe B2 – A2 siA = 2csc 45°B = 6tan 30°A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 ResoluciónNivel II Resuelva e indique el valor de x.x cot 45° + 4 sen 30° = x cot2 30°A) 3 B) 12C) 1 D) 2Resoluciónx – 1tan 30°A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónNivel III5. El siguiente diagrama muestra información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de ajedrez y oratoria.Ajedrez OratoriaABCantidad de alumnosTallerDondeA = 10 3tan 30° · sec2 45°B = 15 sen2 45° · csc2 30°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 20 B) 40C) 50 D) 60Resolución 2. Efectúe B2 – A2 siA = 2csc 45°B = 6tan 30°A) –4 B) –2 C) 2 D) 4 ResoluciónNivel II3. Resuelva e indique el valor de x.x cot 45° + 4 sen 30° = x cot2 30°A) 23 B) 12C) 1 D) 2ResoluciónNivel III5. El siguiente diagrama muestra información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de ajedrez y oratoria.Ajedrez OratoriaABCantidad de alumnosTallerDondeA = 10 3tan 30° · sec2 45°B = 15 sen2 45° · csc2 30°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 20 B) 40C) 50 D) 60Resolución 4. Resuelva e indique el valor de x si x>0.3 tan 60°x – 1 = x + 1tan 30°A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónNivel III5. El siguiente diagrama muestra información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de ajedrez y oratoria.Ajedrez OratoriaABCantidad de alumnosTallerDondeA = 10 3tan 30° · sec2 45°B = 15 sen2 45° · csc2 30°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 20 B) 40C) 50 D) 60Resolución 4. Resuelva e indique el valor de x si x>0.3 tan 60°x – 1 = x + 1tan 30°A) 1 B) 2C) 3 D) 4ResoluciónNivel III5. El siguiente diagrama muestra información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de ajedrez y oratoria.Ajedrez OratoriaABCantidad de alumnosTallerDondeA = 10 3tan 30° · sec2 45°B = 15 sen2 45° · csc2 30°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 20 B) 40C) 50 D) 60Resolución Continuamos en tu cuadernoNivel I1. EfectúeG = tan 30° ·tan 60° ·sen 45° · csc 45°tan 45° · cos 60°A) 2 B) 22C) 1 D) 2Nivel II2. Resuelva e indique el valor de x si x>0.4 csc 30°x – 1 = x + 1tan 45°A) 4 B) 3C) 12 D) 23. A partir del gráfico, calcule tanα.( 2 sen 45° · csc 30°) uNivel III4. El siguiente diagrama muestra la información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de vóley y fútbol.Fútbol VóleyABCantidad de alumnosTallerDondeA = 14 2tan 45° · csc 30° · cos 45°B = 12 3sen2 45° ·tan 60° ·sec 60°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 18 B) 24C) 38 D) 645. Desiré como parte de su rutina de ejercicios da dos vueltas completas al perímetro de un parque cerca de su casa todas las mañanas. El siguiente gráfico Helico homeworkNivel II2. Resuelva e indique el valor de x si x>0.4 csc 30°x – 1 = x + 1tan 45°A) 4 B) 3C) 12 D) 23. A partir del gráfico, calcule tanα.α( 2 sen 45° · csc 30°) u( 3 tan 60° · cot 45°) uA) 13 B) 23C) 53 D) 32 Nivel I1. EfectúeG = tan 30° ·tan 60° ·sen 45° · csc 45°tan 45° · cos 60°A) 2 B) 22C) 1 D) 2Nivel II Resuelva e indique el valor de x si x>0.4 csc 30°x – 1 = x + 1tan 45° B) 3C) 12 D) 23. A partir del gráfico, calcule tanα.α( 2 sen 45° · csc 30°) u( 3 tan 60° · cot 45°) uA) 13 B) 23C) 53 D) 32Nivel III4. El siguiente diagrama muestra la información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de vóley y fútbol.Fútbol VóleyABCantidad de alumnosTallerDondeA = 14 2tan 45° · csc 30° · cos 45°B = 12 3sen2 45° ·tan 60° ·sec 60°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 18 B) 24C) 38 D) 645. Desiré como parte de su rutina de ejercicios da dos vueltas completas al perímetro de un parque cerca de su casa todas las mañanas. El siguiente gráfico corresponde al parque que tiene las siguientes dimensiones:Parque(6csc330°) m(12cot45°) m¿Cuántos metros recorre en total Desiré en una mañana?A) 200 m B) 240 mC) 260 m D) 280 mHelico homeworkNivel I1. EfectúeG = tan 30° ·tan 60° ·sen 45° · csc 45°tan 45° · cos 60°A) 2 B) 22C) 1 D) 2Nivel II2. Resuelva e indique el valor de x si x>0.4 csc 30°x – 1 = x + 1tan 45° B) 3 D) 2 A partir del gráfico, calcule tanα.α( 2 sen 45° · csc 30°) u( 3 tan 60° · cot 45°) uA) 13 B) 23C) 53 D) 32Nivel III4. El siguiente diagrama muestra la información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de vóley y fútbol.Fútbol VóleyABCantidad de alumnosTallerDondeA = 14 2tan 45° · csc 30° · cos 45°B = 12 3sen2 45° ·tan 60° ·sec 60°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 18 B) 24C) 38 D) 645. Desiré como parte de su rutina de ejercicios da dos vueltas completas al perímetro de un parque cerca de su casa todas las mañanas. El siguiente gráfico corresponde al parque que tiene las siguientes dimensiones:Parque(6csc330°) m(12cot45°) m¿Cuántos metros recorre en total Desiré en una mañana?A) 200 m B) 240 mC) 260 m D) 280 mHelico homeworkNivel I1. EfectúeG = tan 30° ·tan 60° ·sen 45° · csc 45°tan 45° · cos 60°A) 2 B) 22C) 1 D) 2Nivel II2. Resuelva e indique el valor de x si x>0.4 csc 30°x – 1 = x + 1tan 45°A) 4 B) 3C) 12 D) 2Nivel III4. El siguiente diagrama muestra la información sobre la cantidad de alumnos matriculados en los talleres de vóley y fútbol.Fútbol VóleyABCantidad de alumnosTallerDondeA = 14 2tan 45° · csc 30° · cos 45°B = 12 3sen2 45° ·tan 60° ·sec 60°¿Cuál es la cantidad de alumnos matriculados en ambos talleres?A) 18 B) 24Helico homework6.7.8.9.10.

Aplicaciones gráficas de los 8 triángulos rectángulos notables259COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA1. Triángulo rectángulo notable de 45° y 45°45°45°kk 2kCuando: k = 121145°Cuando: k = 245°22 2 2Cuando: k = 345°33 2 3TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLESEn esta sección utilizaremos los triángulos rectángulos notables en situaciones gráficas.Recordemos que si solo se conoce un lado de un triángulo rectángulo notable es posible determinar la medida de los otros lados a partir de la proporcionalidad conocida de sus lados.Tengamos presente queObservación45°45°Los catetos tienen igual medida.Theory2 ≅ 1,4142

2026260 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA2. Triángulo rectángulo notable de 30° y 60°30°60°k3k2kCuando: k = 130°132Cuando: k = 230°4 22 3Cuando: k = 330°6 33 33. Triángulo rectángulo notable aproximado de 37° y 53°37°53°5k 3k4kCuando: k = 137°3 54ObservationPor lo general, tenemos como dato un solo lado, entonces se debe ubicar el valor que se asigne a k, de este modo se podrá determinar la medida de los otros lados.Ejemplo37°53°yx48Del gráfico: 48 = 4k → k = 12Así, entonces• x = 5k → x = 5 × 12 = 60• y = 3k → y = 3 × 12 = 36ObservationEs el doble de la medida del cateto opuesto a 30°.60°30°2a aa 33 ≅ 1,732

MARCO TEÓRICO261COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍACuando: k = 237°10 68Cuando: k = 337°15 912NoteLa longitud de los lados de un triángulo rectángulo se da en metros, centímetros, etc.Así, cuando no se le asigna una unidad de longitud a estos, vamos a entender que se trata ya de una de estas unidades de medida.para determinarun y unconociendo previamenteutilizamosAPLICACIONES GRÁFICAS DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES de 37° y 53°37°53°3k5k 4k de 45° y 45°45°45°k2k k de 30° y 60°La longitud de los lados de un triángulo rectángulolado ángulo notable60°30°k2k 3kSynthesisCuando: k = 237°10 68Cuando: k = 337°15 912NoteLa longitud de los lados de un triángulo rectángulo se da en metros, centímetros, etc.Así, cuando no se le asigna una unidad de longitud a estos, vamos a entender que se trata ya de una de estas unidades de medida.para determinarun y unconociendo previamenteutilizamosAPLICACIONES GRÁFICAS DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES de 37° y 53°37°53°3k5k 4k de 45° y 45°45°45°k2k k de 30° y 60°La longitud de los lados de un triángulo rectángulolado ángulo notable60°30°k2k 3kSynthesis

263COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAC B 53°18 mResolución2. En el triángulo rectángulo ABC se tiene queAC = 10 cm. Determine la longitud del lado BD.ACB60°37°DResolución Aplico lo aprendido1. A partir del gráfico, determine el perímetro deltriángulo rectángulo ACB.AC B 53°18 mResolución2. En el triángulo rectángulo ABC se tiene queAC = 10 cm. Determine la longitud del lado BD.ACB60°37°DResoluciónDemuestro mis conocimientos3. A partir del gráfico, calcule cos β.8 u 4 u60°βResolución A partir del gráfico, calcule tan β.β 45°6 u 3 uResoluciónPracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a Demuestro mis conocimientos3. A partir del gráfico, calcule cos β.8 u 4 u60°βResolución2 + b2.Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule aC B 53°18 mResolución2. En el triángulo rectángulo ABC se tiene queAC = 10 cm. Determine la longitud del lado BD.ACB60°37°DResoluciónResolución4. A partir del gráfico, calcule tan β.β 45°6 u 3 uResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {aAplico lo aprendido1. A partir del gráfico, determine el perímetro deltriángulo rectángulo ACB.AC B 53°18 mResolución En el triángulo rectángulo ABC se tiene que la longitud del lado ACB60°37°DResoluciónDemuestro mis conocimientos A partir del gráfico, calcule cos β.8 u 4 u60°βResolución A partir del gráfico, calcule tan β.β 45°6 u 3 uResoluciónPPrractice acticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24} Dado el conjunto B{3 / x ∈  Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a DadosA = {a5. A partir del gráfico, calcule cot α.α 30°Resolución Resolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?

TAREA DOMICILIARIA2026264 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAAplico lo aprendido1. A partir del gráfico, calcule el perímetro del triángulo rectángulo ABC.ACB 16 m37°Resolución2. En el gráfico mostrado, determine la longitud dellado BD si AC = 16 cm.30°D37°BA CResolución WorkshopAplico lo aprendido1. A partir del gráfico, calcule el perímetro del triángulo rectángulo ABC.ACB 16 m37°Resolución2. En el gráfico mostrado, determine la longitud dellado BD si AC = 16 cm.30°D37°BA CResolución WorkshopEl siguiente gráfico muestra un jardín que tiene forma triangular. Para cercarlo con un alambre se ha colocado tres estacas que están representadas por los vértices A, B y C. Calcule la cotangente del ángulo formado por los alambres en la estaca A. 6 3 m A BC 150°8 mResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Asumo mi reto6. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en suparte superior, tal como muestra la figura. Calculesenq.30 cm 45 cm60° qResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

265COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA Demuestro mis conocimientos3. A partir del gráfico, calcule cosf.8 u 12 u30°fResolución4. A partir del gráfico, calcule tan α.45°α4 u 6 uResoluciónSCOREAplico lo aprendido1. A partir del gráfico, calcule el perímetro del triángulo rectángulo ABC.ACB 16 m37°Resolución En el gráfico mostrado, determine la longitud lado BD si AC = 16 cm.30°D37°BA CResoluciónDemuestro mis conocimientos3. A partir del gráfico, calcule cosf.8 u 12 u30°fResolución4. A partir del gráfico, calcule tan α.45°α4 u 6 uResoluciónSCOREWorkshop Demuestro mis conocimientos3. A partir del gráfico, calcule cosf.8 u 12 u30°fResolución4. A partir del gráfico, calcule tan α.45°α4 u 6 uResoluciónSCORE5. A partir del gráfico, calcule tanq.60° qResoluciónAsumo mi reto6. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en suparte superior, tal como se muestra en la figura.Calcule cscβ.25 cm 30 cm53° βResolución5. A partir del gráfico, calcule tanq.60° qResoluciónAsumo mi reto6. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en suparte superior, tal como se muestra en la figura.Calcule cscβ.25 cm 30 cm53° βResolución

2026266 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA5. A partir del gráfico, calcule tanq.60° qResoluciónAsumo mi reto6. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en suparte superior, tal como se muestra en la figura.Calcule cscβ.25 cm 30 cm53° βResoluciónEl triángulo ABC representa el diseño de una plancha metálica. Por motivos de realizar ciertas medidas de precisión, se requiere conocer la tangente del ángulo A. A partir de ello, efectúe 20tan A–1.4 2 cmA135°B6 cm CResoluciónEl triángulo ABC representa el diseño de una plancha metálica. Por motivos de realizar ciertas medidas de precisión, se requiere conocer la tangente del ángulo A. A partir de ello, efectúe 20tan A–1.4 2 cmA135°B6 cm CResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {a1. Del gráfico, efectúe M = tan q + cot α si ABCD esun cuadrado y M es punto medio del lado BC.AB M CD Nα 53°qA) 2/5 B) 5/2C) 3/2 D) 2/3 Trial PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + b2} y B{13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA{a

267COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAContinuamos en tu cuaderno Nivel I1. Dado el triángulo ABC (recto en B)xy20 uA 37°BCcalcule x+y.A) 12 u B) 18 uC) 20 u D) 28 uResolución2. En el gráfico mostrado, determine la longitud de x.ACB60°37°8 cmxA) 3 cm B) 3 3 cmC) 3 cm D) 12 cm ResoluciónHelico challenge2. Del gráfico, halle el valor de tan q (O es centro de la semicircunferencia).A B OPNMq37°A) 14 B) 12C) 1 D) 22. En el gráfico mostrado, determine la longitud de x.ACB60°37°8 cmxA) 3 cm B) 3 3 cm ResoluciónNivel III5. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en su parte superior, tal como se muestra en la figura. Calcule senα.20 2 cm 25 cm45° αA) 12 B) 13C) 25 D) 45ResoluciónNivel II3. A partir del gráfico, calcule senα.6 u 9 u30° αA) 3 B) 3 3C) 12 D) 13Resolución4. A partir del gráfico, calcule tanα.α 45°4 u 5 uA) 54 B) 49C) 59 D) 95ResoluciónNivel III5. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en su parte superior, tal como se muestra en la figura. Calcule senα.20 2 cm 25 cm45° αA) 12 B) 13C) 25 D) 45ResoluciónNivel II3. A partir del gráfico, calcule senα6 u 9 u30° αA) 3 B) 3 3C) 12 D) 13Resolución4. A partir del gráfico, calcule tanα.α 45°4 u 5 uA)5B)4Nivel III Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en su parte superior, tal como se muestra en la figura. Calcule senα.20 2 cm 25 cm45° αA) 12 B) 13C) 25 D) 45ResoluciónNivel I1. Determine el perímetro del triángulo ABC si BC = 36 m.CBA53°A) 100 m B) 112 mC) 120 m D) 144 mNivel II2. A partir del gráfico, calcule senβ.10 u 12 u53° β B) 12 3 D) 253. A partir del gráfico, calcule tanf.f 45°7 u 3 uA) 710 B) 73C) 310 D) 311 Helico homework•1. Determine el perímetro del triángulo ABC si BC = 36 m.CBA53°A) 100 m B) 112 mC) 120 m D) 144 mNivel II2. A partir del gráfico, calcule senβ.10 u 12 u53° βA) 13 B) 12C) 23 D) 25 A partir del gráfico, calcule tanf.f 45°7 u 3 uA) 710 B) 73C) 310 D) 311 •CA53°A) 100 m B) 112 mC) 120 m D) 144 mNivel II2. A partir del gráfico, calcule senβ.10 u 12 u53° βA) 13 B) 12C) 23 D) 253. A partir del gráfico, calcule tanf.f 45°7 u 3 uA) 10 B) 73C) 310 D) 311 •Nivel I1. Determine el perímetro del triángulo ABC si BC = 36 m.CBA53°A) 100 m B) 112 mC) 120 m D) 144 mNivel II2. A partir del gráfico, calcule senβ.10 u 12 u53° βA) 13 B) 12C) 23 D) 25Nivel III4. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en su parte superior, tal como se muestra en la figura. Calcule cscα.35 cm 40 cm53° αA) 107 B) 157C) 710 D) 795. Un constructor metálico coloca una estructura triangular ABC formada por vigas sobre un plano como muestra la figura. Para realizar ciertas medidas de precisión, el constructor desea conocer la tangente del ángulo A. A partir de ello, efectúe 12tan A+5.A BC15 u7 u127°Helico homeworkNivel I1. Determine el perímetro del triángulo ABC si BC = 36 m.A53°A) 100 m B) 112 mC) 120 m D) 144 mNivel II2. A partir del gráfico, calcule senβ.10 u 12 u53° βA) 13 B) 12C) 23 D) 253. A partir del gráfico, calcule tanf.Nivel III4. Dos barras metálicas se encuentran apoyadas en su parte superior, tal como se muestra en la figura. α.35 cm 40 cm53° αA) 107 B) 157C) 710 D) 795. Un constructor metálico coloca una estructura triangular ABC formada por vigas sobre un plano como muestra la figura. Para realizar ciertas medidas de precisión, el constructor desea conocer la tangente del ángulo A. A partir de ello, efectúe 12tan A+5.A BC15 u7 u127°A) 12 B) 14 C) 18 D) 21 Helico homework6.7.8.9.10.

2026268 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAPropiedades de las razones 9 trigonométricas de un ángulo agudo IRazones trigonométricas recíprocasPartimos del triángulo rectángulo ABC recto en C y sea α un ángulo agudo, tenemos: ABC αc abEn general¾ senα = ac y cscα = caLuegosenα · cscα = ac · ca→ senα · cscα = 1¾ cosα = bc y secα = cbLuegocosα · secα = bc · cb→ cosα · secα = 1¾ tanα = ab y cotα = baLuegotanα · cotα = ab · ba→ tanα · cotα = 1NoteDe lo mostrado se puede concluir queSi sen α = 13 → csc α = 3Si cos q = 45 → sec q = 54Si tan β = 59 → cot β = 95PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASDE UN ÁNGULO AGUDO IEjemplos¾ sen 50° · csc 50° = 1¾ cos 70° · sec 70° = 1¾ tan 17° · cot 17° = 1ObservaciónSi sen α · csc β = 1 → α = βSi cos α · sec β = 1 → α = βSi tan α · cot β = 1 → α = βEjemplos¾ sen 20° · csc x = 1→ x = 20°¾ cos 70° · sec y = 1 → y = 70°¾ tan 2x · cot 24° = 1 → 2x = 24° ∴ x = 12°¾ sen 3x · csc 54° = 1 → 3x = 54° ∴ x = 18°RememberLas parejas de razones trigonométricas recíprocas se pueden observar mejor asísen αcos αtan αcot αsec αcsc αRT recíprocasTheory

269COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAen general tambiéntenemosse tienenPROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO IABCqc ab¾ senq· cscα = 1→ q = α¾ cosq·secα = 1→ q = α¾ tanq· cotα = 1→ q = αSi senq = ac→ cscq =caSi cosq = bc→ secq =cbSi tanq = ab → cotq =ba¾ senq· cscq = 1¾ cosq·secq = 1¾ tanq· cotq = 1Razones trigonométricas recíprocasSynthesisMARCO TEÓRICO

Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución2026270 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA1. Si senβ = 67 y cosα = 617, efectúeM = cscβ + secαResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasSi senβ = 67→ cscβ = 76Si cosα = 617→ secα = 176LuegoM = 76 + 176→ M = 246∴ M = 4Rpta.: 42. Halle el valor de x sitan(50° – 3x) · cot(20° + 2x) = 1Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales, entonces50° – 3x = 20° + 2x30° = 5x∴ x = 6°Rpta.: 6°3. Si cos(a + b) · sec 45° = 1 ...(1)sen(a – b) · csc 35° = 1 ...(2)Efectúe K = tan a – tan 8b.ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasDe (1): a + b = 45°De (2): a – b = 35°Luego (1) + (2): 2a = 80°a = 40° y b = 5°Reemplazamos en KK = tan 40° – tan 40°∴ K = 0Rpta.: 04. Efectúe10 sen 40° · csc 40° – 2 tan 20° · cot 20°4 cos 50° · sec 50° R =Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, la multiplicación de ambas razonesresulta: 10(1) – 2(1)4(1)10 – 24R = =84R =∴ R = 2Rpta.: 2 Dado tan 8x · cot(6x + 50°) – 1 = 0, efectúeM = tan(2x + 10°)Resolución¾ Sabemos que: tan 8x · cot(6x + 50°) = 1¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales.8x = 6x + 50°8x – 6x = 50°2x = 50° x = 50°2 x = 25°¾ Reemplazamos en MM = tan [(2 · 25°) + 10°]M = tan 60°∴ M = 3Rpta.: 3Solved problems 1. Si senβ = 67 y cosα = 617, efectúeM = cscβ + secαResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasSi senβ = 67→ cscβ = 76Si cosα = 617→ secα = 176LuegoM = 76 + 176→ M = 246∴ M = 4Rpta.: 42. Halle el valor de x sitan(50° – 3x) · cot(20° + 2x) = 1Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales, entonces50° – 3x = 20° + 2x30° = 5x∴ x = 6°Rpta.: 6°3. Si cos(a + b) · sec 45° = 1 ...(1)sen(a – b) · csc 35° = 1 ...(2)Efectúe K = tan a – tan 8b.ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasDe (1): a + b = 45°De (2): a – b = 35°Luego (1) + (2): 2a = 80°a = 40° y b = 5°Reemplazamos en KK = tan 40° – tan 40°∴ K = 0Rpta.: 04. Efectúe10 sen 40° · csc 40° – 2 tan 20° · cot 20°4 cos 50° · sec 50° R =Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, la multiplicación de ambas razonesresulta: 10(1) – 2(1)4(1)10 – 24R = =84R =∴ R = 2Rpta.: 2 Dado tan 8x · cot(6x + 50°) – 1 = 0, efectúeM = tan(2x + 10°)Resolución¾ Sabemos que: tan 8x · cot(6x + 50°) = 1¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales.8x = 6x + 50°8x – 6x = 50°2x = 50° x = 50°2 x = 25°¾ Reemplazamos en MM = tan [(2 · 25°) + 10°]M = tan 60°∴ M = 3Rpta.: 3Solved problems1. Si senβ = 67 y cosα = 617, efectúeM = cscβ + secαResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasSi senβ = 67→ cscβ = 76Si cosα = 617→ secα = 176LuegoM = 76 + 176→ M = 246∴ M = 4Rpta.: 42. Halle el valor de x sitan(50° – 3x) · cot(20° + 2x) = 1Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales, entonces50° – 3x = 20° + 2x30° = 5x∴ x = 6°Rpta.: 6°3. Si cos(a + b) · sec 45° = 1 ...(1)sen(a – b) · csc 35° = 1 ...(2)Efectúe K = tan a – tan 8b.ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasDe (1): a + b = 45°De (2): a – b = 35°Luego (1) + (2): 2a = 80°a = 40° y b = 5°Reemplazamos en KK = tan 40° – tan 40°∴ K = 0Rpta.: 04. Efectúe10 sen 40° · csc 40° – 2 tan 20° · cot 20°4 cos 50° · sec 50° R =Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, la multiplicación de ambas razonesresulta: 10(1) – 2(1)4(1)10 – 24R = =84R =∴ R = 2Rpta.: 2 Dado tan 8x · cot(6x + 50°) – 1 = 0, efectúeM = tan(2x + 10°)Resolución¾ Sabemos que: tan 8x · cot(6x + 50°) = 1¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales.8x = 6x + 50°8x – 6x = 50°2x = 50° x = 50°2 x = 25°¾ Reemplazamos en MM = tan [(2 · 25°) + 10°]M = tan 60°∴ M = 3Rpta.: 31. Si sen Solved problems β = 67 y cosα = 617, efectúeM = cscβ + secαResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasSi senβ = 67→ cscβ = 76Si cosα = 617→ secα = 176LuegoM = 76 + 176→ M = 246∴ M = 4Rpta.: 42. Halle el valor de x sitan(50° – 3x) · cot(20° + 2x) = 1Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales, entonces50° – 3x = 20° + 2x30° = 5x∴ = 6°Rpta.: 6°3. Si cos(a + b) · sec 45° = 1 ...(1)sen(a – b) · csc 35° = 1 ...(2)Efectúe K = tan a – tan 8b.ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasDe (1): a + b = 45°De (2): a – b = 35°Luego (1) + (2): 2a = 80°a = 40° y b = 5°Reemplazamos en KK = tan 40° – tan 40°∴ K = 0Rpta.: 04. Efectúe10 sen 40° · csc 40° – 2 tan 20° · cot 20°4 cos 50° · sec 50° R =Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, la multiplicación de ambas razonesresulta: 10(1) – 2(1)4(1)10 – 24R = =84R =∴ R = 2Rpta.: 25. Dado tan 8x · cot(6x + 50°) – 1 = 0, efectúeM = tan(2x + 10°)Resolución¾ Sabemos que: tan 8x cot(6x + 50°) = 1¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales.8x = 6x + 50°8x – 6x = 50°2x = 50° x = 50°2 x = 25°¾ Reemplazamos en MM = tan [(2 · 25°) + 10°]M = tan 60°∴ M = 3Rpta.: 3Solved problems1. Si senβ = 67 y cosα = 617, efectúeM = cscβ + secαResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasSi senβ = 67→ cscβ = 76Si cosα = 617→ secα = 176LuegoM = 76 + 176→ M = 246∴ M = 4Rpta.: 42. Halle el valor de x sitan(50° – 3x) · cot(20° + 2x) = 1Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales, entonces50° – 3x = 20° + 2x30° = 5x∴ x = 6°Rpta.: 6°3. Si cos(a + b) · sec 45° = 1 ...(1)sen(a – b) · csc 35° = 1 ...(2)Efectúe K = tan a – tan 8b.ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas recíprocasDe (1): a + b = 45°De (2): a – b = 35°Luego (1) + (2): 2a = 80°a = 40° y b = 5°Reemplazamos en KK = tan 40° – tan 40°∴ K = 0Rpta.: 04. Efectúe10 sen 40° · csc 40° – 2 tan 20° · cot 20°4 cos 50° · sec 50° R =Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas recíprocas, la multiplicación de ambas razonesresulta: 10(1) – 2(1)4(1)10 – 24R = =84R =∴ R = 2Rpta.: 25. Dado tan 8x · cot(6x + 50°) – 1 = 0, efectúeM = tan(2x + 10°)Resolución¾ Sabemos que: tan 8x · cot(6x + 50°) = 1¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocas, los ángulos deben ser iguales.8x = 6x + 50°8x – 6x = 50°2x = 50° x = 50°2 x = 25°¾ Reemplazamos en MM = tan [(2 · 25°) + 10°]M = tan 60°∴ M = 3Rpta.: 3Aplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspondae indique la secuencia correcta.a. sen 23° · csc 23° = 1 ( )b. cos 15° ·sen 15° = 1 ( )c. tan 20° · cot 20° = 1 ( )d. cos 3α·sec 3α = 1 ( )Resolución PracticePRACTICO EN CLASEPracticeResolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}

271COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA2. Si cos q = 27 y cot α = 29, efectúe M=sec q +tan α.Resolución4. Halle el valor de x si cos 3x ·sec(x+40°)=1.Resolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {a Demuestro mis conocimientos3. Efectúe E = ab sisen18° · csc a = 1tan 9° · cot b = 1Resolución4. Halle el valor de x si cos 3x ·sec(x+40°)=1.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a Demuestro mis conocimientos3. Efectúe E = ab sisen18° · csc a = 1tan 9° · cot b = 1Resolución4. Halle el valor de x si cos 3x ·sec(x+40°)=1.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. Calcule tan x sitan(2x+20°)· cot(x+65°) = 1ResoluciónAsumo mi reto6. Sabrina ha heredado un terreno rectangular, cuyasdimensiones son las siguientesAncho: A mLas edades de dos amigas, Julia e Irene son a y baños. Si dichas edades se pueden obtener al resolver las siguientes expresiones:tan(a+b)° · cot 50° = 1cos(a – b)° ·sec 30° = 1Determine las edades de Julia e Irene.ResoluciónResoluciónResolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M? 12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Asumo mi reto6. Sabrina ha heredado un terreno rectangular, cuyasdimensiones son las siguientesAncho: A mLargo: B mdondeA = 5cos 19° ·sec 19°+3tan α· cot αsen 15° · csc 15°B = 6tan 10°⋅ cot 10°+9sen β ⋅ csc β¿Cuál es el área del terreno?Resolución5. Calcule tan x sitan(2x+20°)· cot(x+65°) = 1ResoluciónLas edades de dos amigas, Julia e Irene son a y baños. Si dichas edades se pueden obtener al resolver las siguientes expresiones:tan(a+b)° · cot 50° = 1cos(a – b)° ·sec 30° = 1Determine las edades de Julia e Irene.ResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?ResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?

TAREA DOMICILIARIA2026272 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspondae indique la secuencia correcta.a. sen 25° · csc 25° = 1 ( )b. tan 18° · cot 36° = 1 ( )c. cos 2x ·sec 2x = 1 ( )d. sen 40° · cos 40° = 1 ( )Resolución2. Si senq = 25 y tanα = 211, efectúe E = csc q + cot α.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor de x si sen 8x · csc 56° = 1.Resolución4. Halle el valor de x si tan(3x–12°)·cot(x+38°)=1.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspondae indique la secuencia correcta.a. sen 25° · csc 25° = 1 ( )b. tan 18° · cot 36° = 1 ( )c. cos 2x ·sec 2x = 1 ( )d. sen 40° · cos 40° = 1 ( )Resolución2. Si senq = 25 y tanα = 211, efectúe E = csc q + cot α.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor de x si sen 8x · csc 56° = 1.Resolución4. Halle el valor de x si tan(3x–12°)·cot(x+38°)=1.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspondae indique la secuencia correcta.a. sen 25° · csc 25° = 1 ( )b. tan 18° · cot 36° = 1 ( )c. cos 2x ·sec 2x = 1 ( )d. sen 40° · cos 40° = 1 ( )Resolución2. Si senq = 25 y tanα = 211, efectúe E = csc q + cot α.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor de x si sen 8x · csc 56° = 1.Resolución4. Halle el valor de x si tan(3x–12°)·cot(x+38°)=1.ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según correspondae indique la secuencia correcta.a. sen 25° · csc 25° = 1 ( )b. tan 18° · cot 36° = 1 ( )c. cos 2x ·sec 2x = 1 ( )d. sen 40° · cos 40° = 1 ( )Resolución2. Si senq = 25 y tanα = 211, efectúe E = csc q + cot α.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Halle el valor de x si sen 8x · csc 56° = 1.Resolución4. Halle el valor de x si tan(3x–12°)·cot(x+38°)=1.ResoluciónSCOREWorkshop

273COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA5. Calcule cot(α + 5°) sicos(2α – 10°) · sec(α + 30°) = 1ResoluciónAsumo mi reto6. Francisco ha comprado un terreno rectangular cuyasdimensiones son las siguientesAncho: A mLargo: B mdondeA = 4 tan 8° ⋅ cot 8°+5 cosα⋅secαB = 17 sen 19° · csc 19°+13 tan β· cotβ2 cos 5° ·sec 5°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?ResoluciónLas edades de dos hermanos, Jesús y Matías, son m y n años. Si dichas edades se pueden obtener al resolver las siguientes expresiones:sen(m+n)°· csc 40° = 1cos(m– n)° ·sec 20° = 1Determine las edades de Jesús y Matías.Resolución1. Sisen(4x – 21°)· csc(29° – x) = 1cos(6y+10°)·sec(2y+58°) = 1calcule P = 5cos(3y+1°)+tan(4x+5°).2. Si se tiene tan q· cot 2α = 1, ademástan(q+25°) = 2 sen 30°calcule tan(α–q+55°), donde 0°<α<45° y q es un ángulo agudo.A)3B)1Trial5. Calcule cot(α + 5°) sicos(2α – 10°) · sec(α + 30°) = 1ResoluciónAsumo mi reto6. Francisco ha comprado un terreno rectangular cuyasdimensiones son las siguientesAncho: A mLargo: B mdondeA = 4 tan 8° ⋅ cot 8°+5 cosα⋅secαB = 17 sen 19° · csc 19°+13 tan β· cotβ2 cos 5° ·sec 5°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?Resolución1. Sisen(4x – 21°)· csc(29° – x) = 1cos(6y+10°)·sec(2y+58°) = 1calcule P = 5cos(3y+1°)+tan(4x+5°). Trial5. Calcule cot(α + 5°) sicos(2α – 10°) · sec(α + 30°) = 1ResoluciónAsumo mi reto6. Francisco ha comprado un terreno rectangular cuyasdimensiones son las siguientesAncho: A mLargo: B mdondeA = 4 8° ⋅ cot 8°+5 B = 17 sen 19° · csc 19°+13 tan β· cotβ2 cos 5° ·sec 5°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?ResoluciónLas edades de dos hermanos, Jesús y Matías, son m y n años. Si dichas edades se pueden obtener al resolver las siguientes expresiones:sen(m+n)°· csc 40° = 1cos(m– n)° ·sec 20° = 1Determine las edades de Jesús y Matías.Resolución1. Sisen(4x – 21°)· csc(29° – x) = 1cos(6y+10°)·sec(2y+58°) = 1calcule P = 5cos(3y+1°)+tan(4x+5°).A) 5 B) 3C) 4 D) 1 Si se tiene tan q· cot 2α = 1, ademástan(q+25°) = 2 sen 30°calcule tan(α–q+55°), donde 0°<α<45° y q es un ángulo agudo.A) 33 B) 1C) 12 D) 3Trial+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Asumo mi reto6. Francisco ha comprado un terreno rectangular cuyasdimensiones son las siguientesAncho: A mLargo: B mdondeA = 4 tan 8° ⋅ cot 8°+5 cosα⋅secαB = 17 sen 19° · csc 19°+13 tan β· cotβ2 cos 5° ·sec 5°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?Resolución1. Sisen(4x – 21°)· csc(29° – x) = 1cos(6y+10°)·sec(2y+58°) = 1calcule P = 5cos(3y+1°)+tan(4x+5°).A) 5 B) 3C) 4 D) 1 TrialPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a

2026274 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍANivel I1. Si senβ = 47 y cosα = 413, efectúeM = cscβ + secαA) 2 B) 3C) 4 D) 5Resolución2. Halle el valor x sisen(2x + 5°)· csc(x + 30°) = 1A) 15° B) 20°C) 25° D) 30°ResoluciónNivel II3. Calcule tan(4x + 1°) sitan(5x+3°)·cot48° = 1A) 34 B) 1C) 12 D) 43Resolución4. Calcule sen 5α sicos(2α – 12°) · sec(30° – 5α) = 1A) 12 B) 32C) 22D) 35ResoluciónNivel III5. Luis ha comprado un terreno rectangular cuyas dimensiones son las siguientes(8 sen 10° · (12 tan 20° · cot 20°) m¿Cuál es el área de dicho terreno?A) 60 m2 B) 72 m2C) 96 m2 D) 108 m2ResoluciónHelico challenge 1. Si senβ = 47 y cosα = 413, efectúeM = cscβ + secαA) 2 B) 3C) 4 D) 5Resolución2. Halle el valor x sisen(2x + 5°)· csc(x + 30°) = 1A) 15° B) 20°C) 25° D) 30°ResoluciónNivel II3. Calcule tan(4x + 1°) sitan(5x+3°)·cot48° = 1A) 34 B) 1C) 12 D) 43Resolucióncos(2α – 12°) · sec(30° – 5α) = 1A) 12 B) 32C) 22D) 35ResoluciónNivel III5. Luis ha comprado un terreno rectangular cuyas dimensiones son las siguientes(8 sen 10° · csc 10°) m(12 tan 20° · cot 20°) m¿Cuál es el área de dicho terreno?A) 60 m2 B) 72 m2C) 96 m2 D) 108 m2Resolución 4. Calcule sen 5α sicos(2α – 12°) · sec(30° – 5α) = 1A) 12 B) 32C) 22D) 35ResoluciónNivel III5. Luis ha comprado un terreno rectangular cuyas dimensiones son las siguientes(8 sen 10° · csc 10°) m(12 tan 20° · cot 20°) m¿Cuál es el área de dicho terreno?A) 60 m2 B) 72 m2C) 96 m2 D) 108 m2ResoluciónTRIGONOMETRY4. Calcule sen 5α sicos(2α – 12°) · sec(30° – 5α) = 1A) 12 B) 32C) 22D) 35ResoluciónNivel III5. Luis ha comprado un terreno rectangular cuyas dimensiones son las siguientes(8 sen 10° · csc 10°) m(12 tan 20° · cot 20°) m¿Cuál es el área de dicho terreno?A) 60 m2 B) 72 m2C) 96 m2 D) 108 m2Resolución• TRIGONOMETRY2. Halle el valor x sisen(2x + 5°)· csc(x + 30°) = 1A) 15° B) 20°C) 25° D) 30°ResoluciónNivel II3. Calcule tan(4x + 1°) sitan(5x+3°)·cot48° = 1A) 34 B) 1C) 12 D) 43ResoluciónNivel III5. Luis ha comprado un terreno rectangular cuyas dimensiones son las siguientes(8 sen 10° · csc 10°) m(12 tan 20° · cot 20°) m¿Cuál es el área de dicho terreno?A) 60 m2 B) 72 m2C) 96 m2 D) 108 m2Resolución Nivel I1. Si sen x = 25 y tan y = 43, efectúe M = csc xcot y.A) 103 B) 203C) 310 D) 320Nivel II2. Halle el valor de x en tan(2x – 5°)· cot15°=1.A) 5° B) 10°C) 15° D) 20°3. Calcule sec 3x sisen(5x+10°)· csc(50°+3x)=1A) 3 B) 2 33C) 2 D) 2Nivel III4. Iván ha comprado un terreno rectangular, cuyas dimensiones son las siguientesA mB mdonde: A = 5sen 10° · csc 10° + 3tan 8° · cot 8° B = 6sen x ⋅ csc x + 5cos 50° · sec 50°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?A) 28 m B) 38 mC) 42 m D) 54 m Helico homework•Nivel I1. Si sen x = 25 y tan y = 43, efectúe M = csc xcot y.A) 103 B) 203C) 310 D) 320Nivel II2. Halle el valor de x en tan(2x – 5°)· cot15°=1.A) 5° B) 10°C) 15° D) 20°3. Calcule sec 3x sisen(5x+10°)· csc(50°+3x)=1A) 3 B) 2 33C) 2 D) 2Nivel III4. Iván ha comprado un terreno rectangular, cuyas dimensiones son las siguientesA mB mdonde: A = 5sen 10° · csc 10° + 3tan 8° · cot 8° B = 6sen x ⋅ csc x + 5cos 50° · sec 50°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?A) 28 m B) 38 mC) 42 m D) 54 m • C) 310 D) 320Nivel II2. Halle el valor de x en tan(2x – 5°)· cot15°=1.A) 5° B) 10°C) 15° D) 20°3. Calcule sec 3x sisen(5x+10°)· csc(50°+3x)=1A) 3 B) 2 33C) 2 D) 2Nivel III4. Iván ha comprado un terreno rectangular, cuyas dimensiones son las siguientesA mB mdonde: A = 5sen 10° · csc 10° + 3tan 8° · cot 8° B = 6sen x ⋅ csc x + 5cos 50° · sec 50°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?A) 28 m B) 38 mC) 42 m D) 54 m •Nivel I1. Si sen x = 25 y tan y = 43, efectúe M = csc xcot y.A) 103 B) 203C) 310 D) 320Nivel II2. Halle el valor de x en tan(2x – 5°)· cot15°=1.A) 5° B) 10°C) 15° D) 20°3. Calcule sec 3x sisen(5x+10°)· csc(50°+3x)=1A) 3 B) 2 33C) 2 D) 2Nivel III4. Iván ha comprado un terreno rectangular, cuyas dimensiones son las siguientesA m5. Luis ha participado en un concurso de Matemáticas donde obtuvo un puntaje de x puntos. Si dicho puntaje se obtiene resolviendo la siguiente igualdadtan(x+20)° ⋅ cot(5x – 80)° = 1además, el puntaje máximo de la prueba fue de 100 puntos, ¿cuántos puntos le faltó a Luis para obtener el máximo calificativo?A) 25 puntos B) 30 puntosC) 50 puntos D) 75 puntosHelico homeworkNivel I1. Si sen x = 25 y tan y = 43, efectúe M = csc xcot y.A) 103 B) 203C) 310 D) 320Nivel II2. Halle el valor de x en tan(2x – 5°)· cot15°=1.A) 5° B) 10°C) 15° D) 20°3. Calcule sec 3x sisen(5x+10°)· csc(50°+3x)=1A) 3 B) 2 33C) 2 D) 2Nivel III4. Iván ha comprado un terreno rectangular, cuyas dimensiones son las siguientesA mB mdonde: A = 5sen 10° · csc 10° + 3tan 8° · cot 8° B = 6sen x ⋅ csc x + 5cos 50° · sec 50°¿Cuál es el perímetro de dicho terreno?A) 28 m B) 38 mC) 42 m D) 54 m Helico homeworkContinuamos en tu cuaderno6.7.8.9.10.

275COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAPROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICASDE UN ÁNGULO AGUDO IIRazones trigonométricas de ángulos complementariosSean a y b las medidas de dos ángulos agudos y complementarios (a+b = 90°).TenemosABCac abbDe la figura¾ sen a = ac y cos b = ac→ sen a = cos b¾ tan a = ab y cot b = ab→ tan a = cot b¾ sec a = cb y csc b = cb→ sec a = csc bEn generalSi a+b= 90° se cumple que RT(a) = Co-RT(b)donde¾ RT: razón trigonométrica¾ Co-RT: co-razón trigonométricaNoteLas razones trigonométricas• seno y coseno son co-razones.• tangente y cotangente son co-razones.• secante y cosecante son co-razones.Ejemplos¾ sen 80° = cos 10°¾ cos 75° = sen 15°¾ tan 18° = cot 72°¾ sec 50° = csc 40°¾ csc 60° = sec 30°Tenga en cuenta queSi sen x = cos y → x + y = 90°Si tan x = cot y →x + y = 90°Si sec x = csc y → x + y = 90°Ejemplos¾ sen x = cos 50° → x + 50° = 90°∴ x = 40°¾ tan x = cot 36° → x + 36° = 90°∴ x = 54°¾ sec 70° = csc x → 70° + x = 90°∴ x = 20°RememberUna manera práctica de recordarseno → co-senotangente → co-tangentesecante → co-secanteSe le antecede el prefijo “co”.Theory 10 Propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo II

2026276 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAse tiene el triángulo rectángulodondePROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II¾ sen a = cos b¾ tan a = cot b¾ sec a = csc bABCacabbRazones trigonométricas para a y bdonde a + b = 90°SynthesisMARCO TEÓRICO

5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución277COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA1. Halle el valor de b si tan 3b = cot 36°.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3b+36° = 90°3b = 54°∴ b = 18°Rpta.: 18°2. Calcule tan 3(x–1°) si sec(3x+36°)=csc(2x – 26°).Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3x+36°+2x – 26° = 90°5x+10° = 90° 5x = 80°x = 16°Calculamostan 3(x – 1°) = tan 45°∴ tan 3(x – 1°) = 1Rpta.: 13. ReduzcaB = 9 tan 25° – cot 65°4 cot 65° – 2 tan 25°Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarioscot 65° = tan 25°ReemplazamosB = 9 tan 25° – tan 25°4 tan 25°– 2 tan 25°LuegoB = 8 tan 25°2 tan 25°∴ B = 4Rpta.: 44. Si tan 2x3 – 10° = cot 10°, efectúe E = x5.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios2x3–10° +10° = 90° 2x3 = 90° 2x = 270° x = 135°ReemplazamosE = 135°5∴ E = 27°Rpta.: 27° ReduzcaR = 9 tan a– 3 cot(90º –a)4 cot(90º –a)+ 2 tanaResoluciónSi a + (90° – a) = 90°¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementarioscot(90° – a) = tanaReemplazamosR = 9 tana– 3 tana4 tana+ 2 tana R = 6 tana6 tana ∴ R = 1Rpta.: 1Solved problems1. Halle el valor de b si tan 3b = cot 36°.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3b+36° = 90°3b = 54°∴ b = 18°Rpta.: 18°2. Calcule tan 3(x–1°) si sec(3x+36°)=csc(2x – 26°).Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3x+36°+2x – 26° = 90°5x+10° = 90° 5x = 80° x = 16°Calculamostan 3(x – 1°) = tan 45°∴ tan 3(x – 1°) = 1Rpta.: 13. ReduzcaB = 9 tan 25° – cot 65°4 cot 65° – 2 tan 25°Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarioscot 65° = tan 25°ReemplazamosB = 9 tan 25° – tan 25°4 tan 25°– 2 tan 25°LuegoB = 8 tan 25°2 tan 25°∴ B = 4Rpta.: 44. Si tan 2x3 – 10° = cot 10°, efectúe E = x5.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios2x3–10° +10° = 90° 2x3 = 90° 2x = 270° x = 135°ReemplazamosE = 135°5∴ E = 27°Rpta.: 27° ReduzcaR = 9 tan a– 3 cot(90º –a)4 cot(90º –a)+ 2 tanaResoluciónSi a + (90° – a) = 90°¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementarioscot(90° – a) = tanaReemplazamosR = 9 tana– 3 tana4 tana+ 2 tana R = 6 tana6 tana ∴ R = 1Rpta.: 1Solved problems1. Halle el valor de b si tan 3b = cot 36°.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3b+36° = 90°3b = 54°∴ b = 18°Rpta.: 18°2. Calcule tan 3(x–1°) si sec(3x+36°)=csc(2x – 26°).Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3x+36°+2x – 26° = 90°5x+10° = 90° 5x = 80° x = 16°Calculamostan 3(x – 1°) = tan 45°∴ tan 3(x – 1°) = 1Rpta.: 13. ReduzcaB = 9 tan 25° – cot 65°4 cot 65° – 2 tan 25°Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarioscot 65° = tan 25°ReemplazamosB = 9 tan 25° – tan 25°4 tan 25°– 2 tan 25°LuegoB = 8 tan 25°2 tan 25°∴ B = 4Rpta.: 44. Si tan 2x3 – 10° = cot 10°, efectúe E = x5.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios2x3–10° +10° = 90° 2x3 = 90° 2x = 270° x = 135°ReemplazamosE = 135°5∴ E = 27°Rpta.: 27° ReduzcaR = 9 tan a– 3 cot(90º –a)4 cot(90º –a)+ 2 tanaResoluciónSi a + (90° – a) = 90°¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementarioscot(90° – a) = tanaReemplazamosR = 9 tana– 3 tana4 tana+ 2 tana R = 6 tana6 tana ∴ R = 1Rpta.: 1Solved problems1. Halle el valor de b si tan 3b = cot 36°.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3b+36° = 90°3b = 54°∴ b = 18°Rpta.: 18°2. Calcule tan 3(x–1°) si sec(3x+36°)=csc(2x – 26°).Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3x+36°+2x – 26° = 90°5x+10° = 90° 5x = 80° x 16°Calculamostan 3(x – 1°) = tan 45°∴ tan 3(x – 1°) = 1Rpta.: 13. ReduzcaB = 9 tan 25° – cot 65°4 cot 65° – 2 tan 25°Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarioscot 65° = tan 25°ReemplazamosB = 9 tan 25° – tan 25°4 tan 25°– 2 tan 25°LuegoB = 8 tan 25°2 tan 25°∴ B = 4Rpta.: 44. Si tan 2x3 – 10° = cot 10°, efectúe E = x5.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios2x3–10° +10° = 90° 2x3 = 90° 2x = 270° x = 135°ReemplazamosE = 135°5∴ E = 27°Rpta.: 27° ReduzcaR = 9 tan a– 3 cot(90º –a)4 cot(90º –a)+ 2 tanaResoluciónSi a + (90° – a) = 90°¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementarioscot(90° – a) = tanaReemplazamosR = 9 tana– 3 tana4 tana+ 2 tana R = 6 tana6 tana ∴ R = 1Rpta.: 1Solved problems1. Halle el valor de b si tan 3b = cot 36°.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3b+36° = 90°3b = 54°∴ b = 18°Rpta.: 18°2. Calcule tan 3(x–1°) si sec(3x+36°)=csc(2x – 26°).Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios3x+36°+2x – 26° = 90°5x+10° = 90° 5x = 80° x = 16°Calculamostan 3(x – 1°) = tan 45°∴ tan 3(x – 1°) = 1Rpta.: 13. ReduzcaB = 9 tan 25° – cot 65°4 cot 65° – 2 tan 25°Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarioscot 65° = tan 25°ReemplazamosB = 9 tan 25° – tan 25°4 tan 25°– 2 tan 25°LuegoB = 8 tan 25°2 tan 25°∴ B = 4Rpta.: 44. Si tan 2x3 – 10° = cot 10°, efectúe E = x5.Resolución¾ Por propiedad de razones trigonométricas de ángulos complementarios2x3–10° +10° = 90° 2x3 = 90° 2x = 270° x = 135°ReemplazamosE = 135°5∴ E = 27°Rpta.: 27°5. ReduzcaR = 9 tan a– 3 cot(90º –a)4 cot(90º –a)+ 2 tanaResoluciónSi a + (90° – a) = 90°¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementarioscot(90° – a) = tanaReemplazamosR = 9 tana– 3 tana4 tana+ 2 tana R = 6 tana6 tana ∴ R = 1Rpta.: 1PRACTICO EN CLASEAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.¾ sen 43° = cos 43° ( )¾ tan 67° = cot 33° ( )¾ sec 81° = csc 9° ( )Resolución PracticePracticeResolución+x2 < 25}, cal6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7Dado el conjunto B{x + 3 / x ∈ 

TAREA DOMICILIARIA279COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.¾ sen 70° = cos 20° ( )¾ tan 82° = cot 6° ( )¾ sec 44° = csc 44° ( )Resolución2. Si a + b = 90°, además sena = 25, efectúeP = 15 cosb + 3ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si tan x3 + 58° = cot 22°, efectúe M = x + 5°.Resolución4. Calcule sec(4x+5°) sisec(6x+20°) = csc(3x – 2°)ResoluciónSCOREWorkshopAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.¾ sen 70° = cos 20° ( )¾ tan 82° = cot 6° ( )¾ sec 44° = csc 44° ( )Resolución2. Si a + b = 90°, además sena = 25, efectúeP = 15 cosb + 3ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si tan x3 + 58° = cot 22°, efectúe M = x + 5°.Resolución4. Calcule sec(4x+5°) sisec(6x+20°) = csc(3x – 2°)ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si tan x3 + 58° = cot 22°, efectúe M = x + 5°.Resolución4. Calcule sec(4x+5°) sisec(6x+20°) = csc(3x – 2°)ResoluciónSCOREDemuestro mis conocimientos3. Si tan x3 + 58° = cot 22°, efectúe M = x + 5°.ResoluciónSCOREAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.¾ sen 70° = cos 20° ( )¾ tan 82° = cot 6° ( )¾ sec 44° = csc 44° ( )Resolución2. Si a + b = 90°, además sena = 25, efectúeP = 15 cosb + 3ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Si tan x3 + 58° = cot 22°, efectúe M = x + 5°.Resolución4. Calcule sec(4x+5°) sisec(6x+20°) = csc(3x – 2°)ResoluciónSCOREWorkshop5. ReduzcaL = 7 cos 12° – 3 sen 78°5 sen 78° – cos 12°Resolución 6Asumo mi reto6. Jhon necesita cercar un terreno con las siguientesdimensionesABCdondeA=12 tan 65°cot 25°B=13 sen 34°cos 56°C=17 sec1°csc 89°A, B y C en metros.Determine el perímetro del terreno.ResoluciónTrial5. ReduzcaL = 7 cos 12° – 3 sen 78°5 sen 78° – cos 12°Resolución 6Asumo mi reto6. Jhon necesita cercar un terreno con las siguientesdimensionesABCdondeA=12 tan 65°cot 25°B=13 sen 34°cos 56°C=17 sec1°csc 89°A, B y C en metros.Determine el perímetro del terreno.ResoluciónTrial

2026280 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA Sabiendo que sen 4x = cos 3x, simplifiqueE=3 tan 5xcot 2x + sec xcsc 6xA) 1 B) 2C) 3 D) 4Dos primos, Jesús y Sergio, tienen m y n años, respectivamente. Si dichas edades se obtienen al resolver las siguientes igualdadessen(m + 2n)° – cos 10° = 0tan(m – n)° – cot 70° = 0determine la suma de las edades de Jesús y Sergio.Resolución1. Si se cumple que sen 2x=cos 3y (2x y 3y son ángulos agudos), además tan(x+25°) = cot( y+25°),calcule sen x+sen( y+20°).A) 3 B) 2C) 85 D) 12. Sabiendo que sen 4x = cos 3x, simplifiqueE=3 tan 5xcot 2x + sec xcsc 6xA) 1 B) 2C) 3 D) 45. ReduzcaL = 7 cos 12° – 3 sen 78°5 sen 78° – cos 12°Resolución 6Asumo mi reto6. Jhon necesita cercar un terreno con las siguientesdimensionesABCdondeA=12 tan 65°cot 25°B=13 sen 34°cos 56°C=17 sec1°csc 89°A, B y C en metros.Determine el perímetro del terreno.ResoluciónDos primos, Jesús y Sergio, tienen m y n años, respectivamente. Si dichas edades se obtienen al resolver las siguientes igualdadessen(m + 2n)° – cos 10° = 0tan(m – n)° – cot 70° = 0determine la suma de las edades de Jesús y Sergio.ResoluciónTrial+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {a1. Si se cumple que sen 2x=cos 3y (2x y 3y son ángulos agudos), además tan(x+25°) = cot( y+25°),calcule sen x+sen( y+20°).A) 3 B) 2C) 85 D) 1 Trial PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + b2.Resolución2 + b2} y B{13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA{a

281COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍANivel I1. Halle el valor de a si tan 3a = cot 15°.A) 5° B) 10°C) 15° D) 25°Resolución2. Si a + q = 90°, además tana = 27, efectúeM = 21cotq + 3A) 6 B) 8C) 9 D) 12ResoluciónNivel II3. Calcule tan 5x sisec(2x+24°) = csc(x+48°)A) 3 B) 33C) 34 D) 43Resolución4. Efectúe M = x+y 2 sisen(x+30°) = cos(y – 10°)A) 25° B) 35°C) 45° D) 70°ResoluciónNivel III Javier desea vender un terreno a $1000 cada m2. Sabiendo que las dimensiones de dicho terreno son las siguientes9 tan 10°cot 80° m12 sen 15°cos 75° m¿cuál será el valor del terreno?A) $21 000 B) $98 000C) $100 000 D) $108 000ResoluciónHelico challenge A) 5° B) 10°C) 15° D) 25°Resolución2. Si a + q = 90°, además tana = 27, efectúeM = 21cotq + 3A) 6 B) 8C) 9 D) 12ResoluciónNivel II Calcule tan 5x sisec(2x+24°) = csc(x+48°A) 3 B) 33C) 34 D) 43Resoluciónsen(x+30°) = cos(y – 10°)A) 25° B) 35°C) 45° D) 70°ResoluciónNivel III5. Javier desea vender un terreno a $1000 cada m2. Sabiendo que las dimensiones de dicho terreno son las siguientes9 tan 10°cot 80° m12 sen 15°cos 75° m¿cuál será el valor del terreno? $21 000 B) $98 000 $100 000 $108 000Resolución2. Si a + q = 90°, además tana = 27, efectúeM = 21cotq + 3A) 6 B) 8C) 9 D) 12ResoluciónNivel II3. Calcule tan 5x sisec(2x+24°) = csc(x+48°)A) 3 B) 33C) 34 D) 43ResoluciónNivel III5. Javier desea vender un terreno a $1000 cada m2. Sabiendo que las dimensiones de dicho terreno son las siguientes9 tan 10°cot 80° m12 sen 15°cos 75° m¿cuál será el valor del terreno?A) $21 000 B) $98 000C) $100 000 D) $108 000Resolución4. Efectúe M = x+y 2 sisen(x+30°) = cos(y – 10°)A) 25° B) 35°C) 45° D) 70°ResoluciónNivel III5. Javier desea vender un terreno a $1000 cada m2. Sabiendo que las dimensiones de dicho terreno son las siguientes9 tan 10°cot 80° m12 sen 15°cos 75° m¿cuál será el valor del terreno?A) $21 000 B) $98 000C) $100 000 D) $108 000Resolución4. Efectúe M = x+y 2 sisen(x+30°) = cos(y – 10°)A) 25° B) 35°C) 45° D) 70°ResoluciónNivel III5. Javier desea vender un terreno a $1000 cada m2. Sabiendo que las dimensiones de dicho terreno son las siguientes9 tan 10°cot 80° m12 sen 15°cos 75° m¿cuál será el valor del terreno?A) $21 000 B) $98 000C) $100 000 D) $108 000Resolución•Nivel I1. Si a + b = 90°, además tana = 25, efectúeT = cotb + 85A) 1 B) 2C) 3 D) 4Nivel II2. Calcule sen(x+25°) si sen(3x+4°)=cos(5x–10°).A) 22 B) 32C) 45 D) 353. ReduzcaA = 8 cos 5°+4 sen 85°3 cos 5°A) 4 B) 8C) 9 D) 3Nivel III5. El profesor de Trigonometría planteó un reto en la pizarra a cuatro de sus estudiantes: Adhely, Tomás, Lucía y Alicia.Calcule: sen(3x + 7°) sitan(5x + 17°) – cot(43° – 2x) = 0Si ellos respondieron así: • Adhely: 35 • Tomás: 45 • Lucía: 12 • Alicia: 22¿quién respondió correctamente?A) Adhely B) TomásC)LucíaD)AliciaHelico homeworkNivel I Si a + b = 90°, además tana = 25, efectúeT = cotb + 85A) 1 B) 2C) 3 D) 4Nivel II2. Calcule sen(x+25°) si sen(3x+4°)=cos(5x–10°).A) 22 B) 32C) 45 D) 353. ReduzcaA = 8 cos 5°+4 sen 85°3 cos 5°A) 4 B) 8C) 9 D) 3Nivel III4. Daniela desea comprar un terreno. Dicho terreno tiene las siguientes dimensiones El profesor de Trigonometría planteó un reto en la pizarra a cuatro de sus estudiantes: Adhely, Tomás, Lucía y Alicia.Calcule: sen(3x + 7°) sitan(5x + 17°) – cot(43° – 2x) = 0Si ellos respondieron así: • Adhely: 35 • Tomás: 45 • Lucía: 12 • Alicia: 22¿quién respondió correctamente?A) Adhely B) TomásC) Lucía D) AliciaHelico homeworkContinuamos en tu cuaderno6.7. Nivel II2. Calcule sen(x+25°) si sen(3x+4°)=cos(5x–10°).A) 22 B) 32C) 45 D) 353. ReduzcaA = 8 cos 5°+4 sen 85°3 cos 5°A) 4 B) 8C) 9 D) 3Nivel III4. Daniela desea comprar un terreno. Dicho terreno tiene las siguientes dimensiones8 sen 12°cos 78° m12 tan 24°cot 66° mSi cada m2 tiene un valor de $1000, ¿cuánto invertirá Daniela por su compra?A) $84 000 B) $92 000C) $96 000 D) $100 000 •A) 22 B) 32C) 45 D) 353. ReduzcaA = 8 cos 5°+4 sen 85°3 cos 5°A) 4 B) 8C) 9 D) 3Nivel III4. Daniela desea comprar un terreno. Dicho terreno tiene las siguientes dimensiones8 sen 12°cos 78° m12 tan 24°cot 66° mSi cada m2 tiene un valor de $1000, ¿cuánto invertirá Daniela por su compra?A) $84 000 B) $92 000C) $96 000 D) $100 000 •Nivel I Si a + b = 90°, además tana = 25, efectúeT = cotb + 85A) 1 B) 2C) 3 D) 4Nivel II2. Calcule sen(x+25°) si sen(3x+4°)=cos(5x–10°).A) 22 B) 32C) 45 D) 353. ReduzcaA = 8 cos 5°+4 sen 85°3 cos 5°A) 4 B) 8C) 9 D) 3Nivel III4. Daniela desea comprar un terreno. Dicho terreno tiene las siguientes dimensiones8 sen 12°cos 78° m12 tan 24°cot66° m5. El profesor de Trigonometría planteó un reto en la pizarra a cuatro de sus estudiantes: Adhely, Tomás, Lucía y Alicia.Calcule: sen(3x + 7°) sitan(5x + 17°) – cot(43° – 2x) = 0Si ellos respondieron así: • Adhely: 35 • Tomás: 45 • Lucía: 12 • Alicia: 22¿quién respondió correctamente?A) Adhely B) TomásC) Lucía D) AliciaHelico homework8.9.10.

Aplicaciones de las propiedades de las razones trigonométricas de un ángulo agudo 112026282 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAI. Razones trigonométricas recíprocasEn el triángulo rectángulo ABC, recto en C(mC= 90°).ABCqc abCon respecto al ángulo q tenemossen q = accos q = bctan q = abcot q = basec q = cbcsc q = ca¡No olvidar!, los ángulos son iguales.Si multiplicamos dos a dos estas razones trigonométricas como indican las flechas, entonces tenemos¾ sen q · csc q = ac · ca = 1sen q · csc q = 1¾ cos q · sec q = bc · cb = 1cos q · sec q = 1¾ tan q · cot q = ab · ba = 1tan q · cot q = 1APLICACIONES DE LAS PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDONoteDos cantidades se llaman recíprocas cuando su producto es la unidad.Ejemploxy y yx son recíprocas, pues xy · yx = 1.II. Razones trigonométricas de ángulos complementariosSea el triángulo rectángulo ABC, recto en C(mC = 90°)ABCac abba + b = 90°a y b son ángulos complementarios.Cálculo de las razones trigonométricas complementariasDel triángulosen a = ac y cos b = acEntoncessen a = cos bDe la misma formatan a = cot bsec a = csc bTheory

MARCO TEÓRICO283COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAEn generalSi a+b=90°, se cumple queRT(a) = Co-RT(b)Ejemplos¾ sen 30° = cos 60°¾ tan 20° = cot 70°¾ sec 40° = csc 50°a + b = 90°condición condiciónPROPIEDADES DE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDOLos ángulos son iguales. a + b = 90°¾ sen a· csc a = 1¾ cos a·sec a = 1¾ tan a· cot a = 1¾ sen a = cos b¾ tan a = cot b¾ sec a = csc bRazones trigonométricas reciprocasRazones trigonométricas de ángulos complementariosNoteRT Co-RTsentanseccoscotcscdondeRT: razón trigonométricaCo-RT: co-razón trigonométricathesisEn generalSi a+b=90°, se cumple queRT(a) = Co-RT(b)Ejemplos¾ sen 30° = cos 60°¾ tan 20° = cot 70°¾ sec 40° = csc 50°a + b = 90°condición condiciónPROPIEDADES DE LASRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDOLos ángulos son iguales. a + b = 90°¾ sen a· csc a = 1¾ cos a·sec a = 1¾ tan a· cot a = 1¾ sen a = cos b¾ tan a = cot b¾ sec a = csc bRazones trigonométricas reciprocasRazones trigonométricas de ángulos complementariosNoteRT Co-RTsentanseccoscotcscdondeRT: razón trigonométricaCo-RT: co-razón trigonométricaSynthesis

Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.Resolución5. Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónAsumo mi reto6. Garry Kasparov el gran maestro de ajedrez, hajugado un total de 2149 partidos de los cuales sóloha perdido 183. ¿Cómo se representaría esa cantidaden el sistema quinario? Dé como respuesta la sumade sus cifras.Resolución Halle el valor de a.a57(9) = 1274(a)ResoluciónUna persona muy caritativa reparte S/4000 entre cierto número de personas entregándoles: S/1; S/7; S/49; ... con la condición que no exista más de 6 personas por cada grupo. Determine el total de personas favorecidas con dicho reparto.ResoluciónPRACTICO EN CLASE2026284 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA1. Si sen a = 37, cot b= 13 y b + q=90°, efectúeE=csc a – tan q.ResoluciónSi sena = 37 → csca = 73cotb= 13 y b + q = 90° tan q =13Reemplazamos E = 73 – 13 E = 63∴ E = 2Rpta.: 22. ReduzcaM = 5 cot 67°tan 23°– 3 sec 10°csc 80°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios:¾ cot 67° = tan 23°¾ sec 10° = csc 80°ReemplazamosE = 5 tan 23°tan 23°– 3 csc 80°csc 80°E = 5 – 3 ∴E = 2Rpta.: 23. ReduzcaE=(12 sen 12°– 4 cos 78°) csc 12°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios¾ sen 12°=cos 78°Reemplazamos E=(12 sen 12° – 4 sen 12°) ⋅ csc 12° E=8 sen 12° ⋅ csc 12° E=8(1)∴E=8 Rpta.: 84. Si se sabe quesen 2a = cos 5b ytan(20° – a) ⋅ cot (3a – 60°)=1calcule a+b.Resolución¾ Propiedad recíprocatan(20°– a)⋅ cot(3a – 60°)=1 20° – a = 3a – 60°80°= 4a20°= a¾ Propiedad complementaria sen 2a = cos 5b sen 40° = cos 5b40°+ 5b = 90° 5b = 50° b = 10° a + b = 20°+10°∴a + b = 30°Rpta.: 30°5. Si φ + a = 90º, reduzcaJ = csc φ·sen φ + tan acot φResolución¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementariostan a = cot φ¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocascsc φ·sen φ = 1ReemplazamosJ = 1 + cotφcotφJ = 1 + 1∴ J = 2Rpta.: 21. Si sen Solved problems a = 37, cot b= 13 y b + q=90°, efectúeE=csc a – tan q.ResoluciónSi sena = 37 → csca = 73cotb= 13 y b + q = 90° tan q =13Reemplazamos E = 73 – 13 E = 63∴ E = 2Rpta.: 22. ReduzcaM = 5 cot 67°tan 23°– 3 sec 10°csc 80°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios: cot 67° = tan 23°¾ sec 10° = csc 80°ReemplazamosE = 5 tan 23°tan 23°– 3 csc 80°csc 80°E = 5 – 3 ∴E = 2Rpta.: 23. ReduzcaE=(12 sen 12°– 4 cos 78°) csc 12°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios¾ sen 12°=cos 78°Reemplazamos E=(12 sen 12° – 4 sen 12°) ⋅ csc 12° E=8 sen 12° ⋅ csc 12° E=8(1)∴E=8 Rpta.: 84. Si se sabe quesen 2a = cos 5b ytan(20° – a) ⋅ cot (3a – 60°)=1calcule a+b.Resolución¾ Propiedad recíprocatan(20°– a)⋅ cot(3a – 60°)=1 20° – a = 3a – 60°80°= 4a20°= a¾ Propiedad complementaria sen 2a = cos 5b sen 40° = cos 5b40°+ 5b = 90° 5b = 50° b = 10° a + b = 20°+10°∴a + b = 30°Rpta.: 30° Si φ + a = 90º, reduzcaJ = csc φ·sen φ + tan acot φResolución¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementariostan a = cot φ¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocascsc φ·sen φ = 1ReemplazamosJ = 1 + cotφcotφJ = 1 + 1∴ J = 2Rpta.: 2Solved problems1. Si sen a = 37, cot b= 13 y b + q=90°, efectúeE=csc a – tan q.ResoluciónSi sena = 37 → csca = 73cotb= 13 y b + q = 90° tan q =13Reemplazamos E = 73 – 13 E = 63∴ E = 2Rpta.: 22. ReduzcaM = 5 cot 67°tan 23°– 3 sec 10°csc 80°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios:¾ cot 67° = tan 23° sec 10° = csc 80°ReemplazamosE = 5 tan 23°tan 23°– 3 csc 80°csc 80°E = 5 – 3 ∴E = 2Rpta.: 23. ReduzcaE=(12 sen 12°– 4 cos 78°) csc 12°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios¾ sen 12°=cos 78°Reemplazamos E=(12 sen 12° – 4 sen 12°) ⋅ csc 12° E=8 sen 12° ⋅ csc 12° E=8(1)∴E=8 Rpta.: 84. Si se sabe quesen 2a = cos 5b ytan(20° – a) ⋅ cot (3a – 60°)=1calcule a+b.Resolución¾ Propiedad recíprocatan(20°– a)⋅ cot(3a – 60°)=1 20° – a = 3a – 60°80°= 4a20°= a¾ Propiedad complementaria sen 2a = cos 5b sen 40° = cos 5b40°+ 5b = 90° 5b = 50° b = 10° a + b = 20°+10°∴a + b = 30°Rpta.: 30° Si φ + a = 90º, reduzcaJ = csc φ·sen φ + tan acot φResolución¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementariostan a = cot φ¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocascsc φ·sen φ = 1ReemplazamosJ = 1 + cotφcotφJ = 1 + 1∴ J = 2Rpta.: 2Solved problems1. Si sen a = 37, cot b= 13 y b + q=90°, efectúeE=csc a – tan q.ResoluciónSi sena = 37 → csca = 73cotb= 13 y b + q = 90° tan q =13Reemplazamos E = 73 – 13 E = 63∴ E = 2Rpta.: 22. ReduzcaM = 5 cot 67°tan 23°– 3 sec 10°csc 80°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios:¾ cot 67° = tan 23°¾ sec 10° = csc 80°ReemplazamosE = 5 tan 23°tan 23°– 3 csc 80°csc 80°E = 5 – 3 ∴E = 2Rpta.: 23. ReduzcaE=(12 sen 12°– 4 cos 78°) csc 12°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios¾ sen 12°=cos 78°Reemplazamos E=(12 sen 12° – 4 sen 12°) ⋅ csc 12° E=8 sen 12° ⋅ csc 12° E=8(1)∴E=8 Rpta.: 84. Si se sabe quesen 2a = cos 5b ytan(20° – a) ⋅ cot (3a – 60°)=1calcule a+b.Resolución¾ Propiedad recíprocatan(20°– a)⋅ cot(3a – 60°)=1 20° – a = 3a – 60°80°= 4a20°= a¾ Propiedad complementaria sen 2a = cos 5b sen 40° = cos 5b40°+ 5b = 90° 5b = 50° b = 10° a + b = 20°+10°∴a + b = 30°Rpta.: 30°5. Si φ + a = 90º, reduzcaJ = csc φ·sen φ + tan acot φResolución¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementariostan a = cot φ¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocascsc φ·sen φ = 1ReemplazamosJ = 1 + cotφcotφJ = 1 + 1∴ J = 2Rpta.: 2Solved problems1. Si sen a = 7, cot b= 3 y b + q=90°, efectúeE=csc a – tan q.ResoluciónSi sena = 37 → csca = 73cotb= 13 y b + q = 90° tan q =13Reemplazamos E = 73 – 13 E = 63∴ E = 2Rpta.: 22. ReduzcaM = 5 cot 67°tan 23°– 3 sec 10°csc 80°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios:¾ cot 67° = tan 23°¾ sec 10° = csc 80°ReemplazamosE = 5 tan 23°tan 23°– 3 csc 80°csc 80°E = 5 – 3∴ = 2Rpta.: 23. ReduzcaE=(12 sen 12°– 4 cos 78°) csc 12°ResoluciónPor propiedad de las razones trigonométricas de ángulos complementarios¾ sen 12°=cos 78°Reemplazamos E=(12 sen 12° – 4 sen 12°) ⋅ csc 12° E=8 sen 12° ⋅ csc 12° E=8(1)∴E=8 Rpta.: 8 sen 2a = cos 5b ytan(20° – a) ⋅ cot (3a – 60°)=1calcule a+b.Resolución¾ Propiedad recíprocatan(20°– a)⋅ cot(3a – 60°)=1 20° – a = 3a – 60°80°= 4a20°= a¾ Propiedad complementaria sen 2a = cos 5b sen 40° = cos 5b40°+ 5b = 90° 5b = 50° b = 10° a + b = 20°+10°∴a + b = 30°Rpta.: 30°5. Si φ + a = 90º, reduzcaJ = csc φ·sen φ + tan acot φResolución¾ Por propiedad de las razones trigonométricas deángulos complementariostan a = cot φ¾ Por propiedad de las razones trigonométricas recíprocascsc φ·sen φ = 1ReemplazamosJ = 1 + cotφcotφJ = 1 + 1∴ J = 2Rpta.: 2Aplico lo aprendido1. Si sen a = 23, efectúe N = 8 csc a.Resolución Practice PracticeResolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}

285COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA2. Si cos q = 25 y q + b = 90°, calcule M=10 sen b + 1.Resolución4. ReduzcaR = 2 sen 15° · sec 75° · tan 20°cot 70° · csc 19° · cos 71°Resolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. Reduzca E = (2 sen 28° + cos 62°)csc 28°.Resolución4. ReduzcaR = 2 sen 15° · sec 75° · tan 20°cot 70° · csc 19° · cos 71°Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. Reduzca E = (2 sen 28° + cos 62°)csc 28°.Resolución4. ReduzcaR = 2 sen 15° · sec 75° · tan 20°cot 70° · csc 19° · cos 71°Resolución2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a5. Halle el valor de a si sen(3a – 5°) = 1csc(a + 35°).ResoluciónEn una olimpiada de matemáticas se planteó el siguiente problema:Si sen 8x · sec 10° = 1, efectúe:P = 4 sen 3x + sec 6xA) 2 B) 3C) 4 D) 5¿Cuál es la alternativa que indica la solución al problema?ResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?5. Halle el valor de a si sen(3a – 5°) = 1csc(a + 35°).ResoluciónAsumo mi reto6. Camila desea acceder a un crédito de libre disponibilidad, para lo cual visita dos agencias bancarias, lascuales cobran una cierta tasa de interés. ¿En cuál de lasagencias bancarias le conviene adquirir el préstamo?Banco Azteca → x %Banco Continental → y %Donde: cos(3x)° ⋅ sec( y+25)° = 1 sen(2y)° = cos50°ResoluciónEn una olimpiada de matemáticas se planteó el siguiente problema:Si sen 8x · sec 10° = 1, efectúe:P = 4 sen 3x + sec 6xA) 2 B) 3C) 4 D) 5¿Cuál es la alternativa que indica la solución al problema?ResoluciónResoluciónResolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M? 12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Asumo mi reto6. Camila desea acceder a un crédito de libre disponibilidad, para lo cual visita dos agencias bancarias, lascuales cobran una cierta tasa de interés. ¿En cuál de lasagencias bancarias le conviene adquirir el préstamo?Banco Azteca → x %Banco Continental → y %Donde: cos(3x)° ⋅ sec( y+25)° = 1 sen(2y)° = cos50°ResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?

TAREA DOMICILIARIA2026286 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAAplico lo aprendido1. Si sen a = 16, efectúe M = 3 csc a.Resolución2. Si cos q = 38 y q+b = 90°, calcule T = 16 sen b – 5.ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Reduzca A = (4 sen 35° + cos 55°) · csc 35°.Resolución4. ReduzcaL = 3 cos 62° · sec 35° · tan 50°cot 40° · csc 55° · sen 28°ResoluciónSCOREWorkshopDemuestro mis conocimientos3. Reduzca A = (4 sen 35° + cos 55°) · csc 35°.Resolución4. ReduzcaL = 3 cos 62° · sec 35° · tan 50°cot 40° · csc 55° · sen 28°ResoluciónSCORE a = 6a.Resolución2. Si cos q = 38 y q+b = 90°, calcule T = 16 sen b – 5.Resolución3. Reduzca A = (4 sen 35° + cos 55°) · csc 35°.Resolución4. ReduzcaL = 3 cos 62° · sec 35° · tan 50°cot 40° · csc 55° · sen 28°ResoluciónDemuestro mis conocimientos3. Reduzca A = (4 sen 35° + cos 55°) · csc 35°.Resolución4. ReduzcaL = 3 cos 62° · sec 35° · tan 50°cot 40° · csc 55° · sen 28°ResoluciónSCORE5. Halle el valor de a sicos(3a – 12°) = 1sec(a + 18°)ResoluciónAsumo mi reto6. Luis desea comprarse un automóvil, para lo cualaccederá a un préstamo vehicular. Él tiene dos opciones y cada uno de los bancos cobra cierta tasa deinterés. ¿En cuál de los siguientes bancos le conviene sacar el préstamo?Banco Financiero → x %Banco BCP → y %Donde: cos(30 – x)° ⋅sec (2 x)°=1tan(2 x )°=cot(5 y)°ResoluciónTrial5. Halle el valor de a sicos(3a – 12°) = 1sec(a + 18°)ResoluciónAsumo mi reto6. Luis desea comprarse un automóvil, para lo cualaccederá a un préstamo vehicular. Él tiene dos opciones y cada uno de los bancos cobra cierta tasa deinterés. ¿En cuál de los siguientes bancos le conviene sacar el préstamo?Banco Financiero → x %Banco BCP → y %Donde: cos(30 – x)° ⋅sec (2 x)°=1tan(2 x )°=cot(5 y)°Resolución1.Si q es un ángulo agudo, además se cumple queTrial

287COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAEn el examen final del curso de Trigonometría se planteó el siguiente ejercicio:Si cos 5x · csc 20° = 1, calcule:Q = 4 sen (3x – 12°) – 1A) 1 B) 2C) 3 D) 4¿Cuál es la alternativa que indica la solución al problema?Resolución2. Si se cumple quetan(3a+30°)·tan(2a+10°) = 1sen 3b·sec(80° –b) = 1efectúe E = sen(a+4b)+cos 12 b.A) 1 B) 12C) 23 D) 34En el examen final del curso de Trigonometría se planteó el siguiente ejercicio:Si cos 5x · csc 20° = 1, calcule:Q = 4 sen (3x – 12°) – 1A) 1 B) 2C) 3 D) 4¿Cuál es la alternativa que indica la solución al problema?Resolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  DadosA = {aAsumo mi reto6. Luis desea comprarse un automóvil, para lo cualaccederá a un préstamo vehicular. Él tiene dos opciones y cada uno de los bancos cobra cierta tasa deinterés. ¿En cuál de los siguientes bancos le conviene sacar el préstamo?Banco Financiero → x %Banco BCP → y %Donde: cos(30 – x)° ⋅sec (2 x)°=1tan(2 x )°=cot(5 y)°ResoluciónQ = 4 sen (3x – 12°) – 1A) 1 B) 2C) 3 D) 4¿Cuál es la alternativa que indica la solución al problema?Resolución1. Si q es un ángulo agudo, además se cumple quesen(30° – 2q)· csc(15°+q) = cos 40° sen 50°efectúe K = 2 sen(25°+q)+ 2 cos(40°+q).A) 1 B) 4C) 2 D) 3 Si se cumple quetan(3a+30°)·tan(2a+10°) = 1sen 3b·sec(80° –b) = 1efectúe E = sen(a+4b)+cos 12 b.A) 1 B) 12C) 23 D) 34Trial2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a1. Si sen a = 25, efectúe M=2 csc a.2. Si tan a = 34 y a+b = 90°, efectúeM = cot b + 743. Reduzca N = (13 tan 14° + 2 cot 76°) · cot 14°.4. Si cos (60° – a).sec 2a = 1, calcule5. Andrea y Bertha tienen a y b años, respectivamente. Indique cuánto suman las edades de Andrea y Bertha si se cumplen las siguientes condiciones tan (a + 7)° · cot (2a – 10)° = 1 sen (b + 12)° = cos (2b + 18)°K = 3 tan (2a + 5°)5, efectúe A = sec2q.sec (2b 30°)csc (30°+b) = 1 sen (a + 13)° · csc (3a - 25)° = 1 tan (2b + 30)° = cot (15 + b)°Si tan 4x · tan 50° = 1, calcule:E = 2 sec 6x + 5A) 5 B) 6C) 7 D) 9¿Cuál es la alternativa que indica la solución al problema?4 6. Si cos q = 7. Halle el valor de b si8. Reduzca M = (9 sen 42° + 3 cos 48°) csc 42°9. Ángel y Benito tienen a y b años, respectivamente. Averigüe cuánto suman las edades de Ángel y Benito si se cumplen las siguientes condiciones10. En un concurso de matemáticas se tiene que resolverel siguiente problemaContinuamos en tu cuaderno

2026288 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA1. Plano cartesiano: Es la intersección de dos rectasnuméricas, perpendiculares entre sí en su origen(origen de coordenadas).¾ A la recta horizontal se le denomina eje de abscisas (X).¾ A la recta vertical se le denomina eje de ordenadas (Y).¾ La intersección es el origen de coordenadas O(0; 0).¾ El plano está dividido en cuatro regiones denominadas cuadrantes.VeamosYO X++++++++++––––––IIC ICIIIC IVC2. Par ordenado (x, y): Todo punto en el plano tienedos números reales asociados a él.(x, y)Primera componente(abscisa)Segunda componente(ordenada)3. Ubicación de un punto: Se representa mediante unpar ordenado P(x, y) llamado también “coordenadasdel punto P”.Por ejemplo, ubicamos los puntos A(3; 4), B(–3; 5)y C(–2; –3).YX543211 O 2 345 –1–2–3–4–5–4–5 –3 –1–2A(3; 4)B(–3; 5)C(–2; –3)OrdenadaAbscisaGEOMETRÍA ANALÍTICA INoteLos signos de un par ordenado dependen del cuadrante.YO X(–, +)IIC(+, +)IC(–, –)IIIC(+, –)IVCTheory Geometría Analítica I 12

289COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍACASOS PARTICULARES DE UBICACIÓN DE UN PUNTO¾ SimetríaI. Respecto al eje de ordenadas(–a, b) (a, b)O–c c–d (c, –d)–a a(–c, –d)bYXII. Respecto al eje de abscisas(a, b)(–c, d)–c O(–c, –d)bYX–b (a, –b)d–daIII. Respecto al origen(–2; 1) (3; 4)(–3; –4) (2; –1)XY¾ Transpuesta(–b, a) (a, b)(–a, –b) (b, –a)XY

PRACTICO EN CLASEResoluciónMARCO TEÓRICO2026290 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAGEOMETRÍA ANALÍTICA IPlano cartesianoUbicación de un puntoRepresentado porElementosPar ordenadoP(x, y)Abscisa de POrdenada de P¾ Eje X: eje de abscisas¾ Eje Y: eje de ordenadas¾ O(0; 0): origen de coordenadas¾ Está dividido en cuatro cuadrantes.ICYX43211 2 3 4 –1–2–3–4... –4 –3 –2 –1......IVCIICIIICOYXyxP(x; y)O...1. Del gráfico, efectúe N a bc d+ = + .P(a, b)OcQ(–3; –4)YX95dResolucióna = 5→ a + b = 14b = 9c = –3→ c + d = –7d = –4Reemplazamos14 N–7 N = –2=∴Rpta.: –2SynthesisSolved problemsGEOMETRÍA ANALÍTICA IPlano cartesianoUbicación de un puntoRepresentado porElementosPar ordenadoP(x, y)Abscisa de POrdenada de P¾ Eje X: eje de abscisas¾ Eje Y: eje de ordenadas¾ O(0; 0): origen de coordenadas¾ Está dividido en cuatro cuadrantes.ICYX43211 2 3 4 –1–2–3–4... –4 –3 –2 –1......IVCIICIIICOYXyxP(x; y)O...1. Del gráfico, efectúe N a bc d+ = + .P(a, b)OcQ(–3; –4)YX95dResolucióna = 5→ a + b = 14b = 9c = –3→ c + d = –7d = –4Reemplazamos14 N–7 N = –2=∴Rpta.: –2SynthesisSolved problems

Resolución291COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA4. Del gráfico, efectúe R = mn.YXmP(6; n)–3OResoluciónA partir del gráficom = 6 (abscisa)n = –3 (ordenada)∴ R = 6–3 = –2Rpta.: –25. Del gráfico, calcule ab + cd.(d; –5)(–5; c)(–8; –7) (a, b)YXResoluciónA partir del gráfico, por simetríac = 5 a = 8d = –5 b = –7ab + cd = (8)(–7) + 5–5ab + cd = –56 – 1ab + cd = –57Rpta.: –572. Del gráfico, calcule (m + n)2.YX(m, n) (5; 2)OResoluciónYX(m, n) 2 (5; 2)–5 O 5De la figuram = –5→ m + n = –3n = 2Luego(m + n)2 = (–3)22 ∴ + ( ) = 9 m nRpta.: 9 bYX(–9; 5)(8; –3)O(a, b)ResoluciónYX(–9; 5)(8; –3)O 85 (a, b)–9–3De la figuraa = 8b = 5Luegoa + b = 8 + 5∴ a + b = 13Rpta.: 134. Del gráfico, efectúe R = mn.YXmP(6; n)–3OResoluciónA partir del gráficom = 6 (abscisa)n = –3 (ordenada)∴ R = 6–3 = –2Rpta.: –25. Del gráfico, calcule ab + cd.(; –5)(–5; c)(–8; –7) (a, b)YXResoluciónA partir del gráfico, por simetríac = 5 a = 8d = –5 b = –7ab + cd = (8)(–7) + 5–5ab + cd = –56 – 1ab + cd = –57Rpta.: –572. Del gráfico, calcule (m + n)2.YX(m, n) (5; 2)OResoluciónYX(m, n) 2 (5; 2)–5 O 5De la figuram = –5→ m + n = –3n = 2Luego(m + n)2 = (–3)22 ∴ + ( ) = 9 m nRpta.: 93. Del gráfico, calcule a + b.YX(–9; 5)(8; –3)O(a, b)ResoluciónYX(–9; 5)(8; –3)O 85 (a, b)–9–3De la figuraa = 8b = 5Luegoa + b = 8 + 5∴ a + b = 13Rpta.: 13n = –3 (ordenada)∴ R = 6–3 = –2Rpta.: –25. Del gráfico, calcule ab + cd.(d; –5)(–5; c)(–8; –7) (a, b)YXResoluciónA partir del gráfico, por simetríac = 5 a = 8d = –5 b = –7ab + cd = (8)(–7) + 5–5ab + cd = –56 – 1ab + cd = –57Rpta.: –57X–5 O 5De la figuram = –5→ m + n = –3n = 2Luego(m + n)2 = (–3)22 ∴ + ( ) = 9 m nRpta.: 93. Del gráfico, calcule a + b.YX(–9; 5)(8; –3)O(a, b)ResoluciónY(–9; 5)(8; –3)O 85 (a, b)–9–3 = 8b = 5Luegoa + b = 8 + 5∴ a + b = 13Rpta.: 134. Del gráfico, efectúe R = mn.YXmP(6; n)–3OResoluciónA partir del gráficom = 6 (abscisa)n = –3 (ordenada)∴ R = 6–3 = –2Aplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.¾ El punto A(–4; 5) ∈ IIC. ( )¾ El punto B(–2; –8) ∈ IC. ( )¾ El punto C(–3; 2) ∈ IVC. ( )¾ El punto D(1; 4) ∈ IIIC. ( )Justifique graficando los puntos en el plano cartesiano.Resolución2. Indique las coordenadas de la ubicación de Juan yPatty en el plano cartesiano.JuanY(a, b)54321 PracticeResoluciónResoluciónResoluciónPracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 

2026292 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA2. Indique las coordenadas de la ubicación de Juan yPatty en el plano cartesiano.1 2 3 4 5 6JuanXYPatty(a, b)(c, d)O54321–1–2–3–4–5–6 –5 –4 –3 –2 –1Resolución Del gráfico, efectúe K a bm n+ = + .YO 8 XQ(–8; –4)6 P(a, b)mnResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  DadosA = {aDemuestro mis conocimientos3. Del gráfico, efectúe A=4x+3y.Q(x, y)–25OYXResolución4. Del gráfico, efectúe K a bm n+ = + .Y6 P(a, b)2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {a2. Indique las coordenadas de la ubicación de Juan yPatty en el plano cartesiano.1 2 3 4 5 6JuanXYPatty(a, b)(c, d)O54321–1–2–3–4–5–6 –5 –4 –3 –2 –1Resolución 4. Del gráfico, efectúe K a bm n+ = + .YO 8 XQ(–8; –4)6 P(a, b)mnResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 9. DadosA = {a5. Del gráfico, calcule a+b.(a, b)YX(7; 3)(–4; –1)ResoluciónAsumo mi reto6. El siguiente plano muestra el plano de ubicación detres ciudades A, B y C que están conectadas por unacarretera recta. Calcule la suma de las coordenadasde ubicación de la ciudad A si la ciudad B equidistade las ciudades A y C.YResoluciónResolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M? 12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?

TAREA DOMICILIARIAResoluciónResolución293COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAAplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.¾ El punto A(–3; 4) ∈ IIC. ( )¾ El punto B(–2; –3) ∈ IVC. ( )¾ El punto C(2; 5) ∈ IC. ( )¾ El punto D(1; –4) ∈ IIIC. ( ) Justifique graficando los puntos en el plano cartesiano.Resolución2. Indique las coordenadas de la ubicación de Iván yLucas en el plano cartesiano.1 2 3 4 5 6O54321YX –1–2–3–4–5–6 –5 –4 –3 –2 –1IvánLucasResolución Workshop Aplico lo aprendido1. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda.¾ El punto A(–3; 4) ∈ IIC. ( )¾ El punto B(–2; –3) ∈ IVC. ( )¾ El punto C(2; 5) ∈ IC. ( )¾ El punto D(1; –4) ∈ IIIC. ( ) Justifique graficando los puntos en el plano cartesiano.Resolución2. Indique las coordenadas de la ubicación de Iván yLucas en el plano cartesiano.1 2 3 4 5 6O54321YX –1–2–3–4–5–6 –5 –4 –3 –2 –1IvánLucasResolución WorkshopEl siguiente gráfico indica el cambio de posición desde P hasta Q de una esfera de acero durante su caída vertical hacia un estanque de agua. Si las posiciones P y Q equidistan del nivel de agua, calcule E=2x+y.P(x, y)Q(5; –10)YXNivel de aguaOResoluciónResoluciónResolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?Asumo mi reto6. El siguiente plano muestra el plano de ubicación detres ciudades A, B y C que están conectadas por unacarretera recta. Calcule la suma de las coordenadasde ubicación de la ciudad A si la ciudad B equidistade las ciudades A y C.A(x, y) B C(8, 3)O XYResolución1 2 34 5 6Resolución11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

2026294 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA Demuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule 3a – 2b.YX–6(a, b)–5Resolución4. Del gráfico, efectúe R . a bm n+ = +YXQ(–4; –2)P(a, b)5mn7ResoluciónSCORE Demuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule 3a – 2b.YX–6(a, b)–5Resolución4. Del gráfico, efectúe R . a bm n+ = +YXQ(–4; –2)P(a, b)5mn7ResoluciónSCOREYX(a, b) (5; 2)(–3; –1)ResoluciónAsumo mi reto6. La gráfica muestra el cambio de posición de unavión a lo largo de los puntos P, Q y R. Si el avancedel avión es paralelo al nivel de referencia (eje X)calcule el producto de sus coordenadas de posiciónen R si su posición en Q equidista de P y R.P(–5; 10) Q R(x, y)O XYResolución5. Del gráfico, calcule a+b.YX(a, b) (5; 2)(–3; –1)ResoluciónAsumo mi reto La gráfica muestra el cambio de posición de unavión a lo largo de los puntos P, Q y R. Si el avancedel avión es paralelo al nivel de referencia (eje X)calcule el producto de sus coordenadas de posiciónen R si su posición en Q equidista de P y R.P(–5; 10) Q R(x, y)O XYResolución5. Del gráfico, calcule a+b.YX(a, b) (5; 2)(–3; –1)ResoluciónAsumo mi reto6. La gráfica muestra el cambio de posición de unavión a lo largo de los puntos P, Q y R. Si el avancedel avión es paralelo al nivel de referencia (eje X)calcule el producto de sus coordenadas de posiciónen R si su posición en Q equidista de P y R.Y Del gráfico, calcule a+b.El siguiente gráfico indica el cambio de posición desde M hasta N de una esfera de plomo durante su caída vertical hacia un estanque de agua. Si las posiciones M y N equidistan del nivel de agua, determine la suma de las coordenadas de la posición de la esfera en N.M(–5; 4)YXNivel de aguaOYX(a, b) (5; 2)(–3; –1)Resolución5. Del gráfico, calcule a+b.PracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 

295COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍAEl siguiente gráfico indica el cambio de posición desde M hasta N de una esfera de plomo durante su caída vertical hacia un estanque de agua. Si las posiciones M y N equidistan del nivel de agua, determine la suma de las coordenadas de la posición de la esfera en N.M(–5; 4)N(x, y)YXNivel de aguaOResoluciónYX(a, b) (5; 2)(–3; –1)ResoluciónAsumo mi reto6.La gráfica muestra el cambio de posición de un5. Del gráfico, calcule a+b.El siguiente gráfico indica el cambio de posición desde M hasta N de una esfera de plomo durante su caída vertical hacia un estanque de agua. Si las posiciones M y N equidistan del nivel de agua, determine la suma de las coordenadas de la posición de la esfera en N.M(–5; 4)N(x, y)YXNivel de aguaOResolución1. Del gráfico, efectúe M = (b – d)c + a.A) –1B) 1C) 0O–6 (c, d)XY (a, b)–24D) 2 Del gráfico, efectúe x y + YO X(x, y)(–5; w) (3; 4)A) –8 B) –4C) –3 D) –2Trial 2 + b2.Resolución2 + 9; b + 2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule a – b (a∈N).Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosA = {aA) –1B) 1C) 0 O–6 (c, d)XY (a, b)–24D) 2Nivel I1. Del gráfico, calcule a + b.YX7O 9P(a, b) 49 63 D) 81Resolución Helico challenge•1. Del gráfico, efectúe M = (b – d)c + a.A) –1B) 1C) 0 O–6 (c, d)XY (a, b)–24D) 22. Del gráfico, efectúe 2 N wx y = + .YO X(x, y)(–5; w) (3; 4)A) –8 B) –4C) –3 D) –2Nivel I1. Del gráfico, calcule a + b.YX7O 9P(a, b)A) 16 B) 49C) 63 D) 81Resolución2. Del gráfico, calcule a·b.YX(5; 4)O(a, b)A) – 20 B) – 1C) 1 D) 9ResoluciónHelico trialHelico challengeNivel II3. Del gráfico, calcule m+n3 .YX(m; n)(–5; 4)A) – 1 B) 1C) – 3 D) 3Resolución Continuamos en tu cuaderno

2026296 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA4. Del gráfico, efectúe M = a+bm+n.79YXQ(–6; –2)OmnP(a, b)A) – 4 B) – 2C) 1 D) 2ResoluciónResoluciónNivel III5. Indique las coordenadas de la ubicación de Lucía y Sandra en el plano cartesiano.YX321–1–2–3–4–3–2 –1O123LucíaSandra–4 4A) Lucía: (4; 2) y Sandra: (– 3; – 4)B) Lucía: (4; 2) y Sandra: (– 4; – 3)C) Lucía: (2; 4) y Sandra: (– 3; – 4)D) Lucía: (2; 4) y Sandra: (– 4; – 3)ResoluciónNivel I1. Ubique los puntos A(–2; –1), B(4; –2) y C(–3; 4) e indique en qué cuadrante se encuentran, respectivamente.O XA) III, II y IV B) II, III y IVC) III, IV y I D) III, IV y IINivel II2. Del gráfico, calcule a + b.X ObaP(6; –2)YA) –8 B) –6C) –4 D) 43. Del gráfico, efectúe M = a – b + c – d.Nivel III La gráfica muestra el cambio de posición de un submarino a lo largo de los puntos A, B y C. Si el avance del submarino es paralelo al nivel del mar, indique el producto de sus coordenadas de posición en A si su posición en B equidista de A y C.A(–7; 3) B C(x, y)O XYNivel del marA) – 21 B) – 10C) – 6 D) – 45. El siguiente gráfico muestra una conexión vertical de tubería de gas que contiene tres válvulas A, B y C. Si el posicionamiento de la válvula B es equidistante de las válvulas A y C, calcule G = x + y2 .A(x, y)BC(4; –6)O XYA) 1 B) 2C)3D)5Helico homeworkbP(6; –2)A) –8 B) –6C) –4 D) 43. Del gráfico, efectúe M = a – b + c – d.YO X4 P(a, b)Q(c, d)5–5–2A) –4 B) –2C) 2 D) 3 Nivel I1. Ubique los puntos A(–2; –1), B(4; –2) y C(–3; 4) e indique en qué cuadrante se encuentran, respectivamente.YO XA) III, II y IV B) II, III y IVC) III, IV y I D) III, IV y IINivel II2. Del gráfico, calcule a + b.X ObaP(6; –2)YA)–8B)–6Nivel III La gráfica muestra el cambio de posición de un submarino a lo largo de los puntos A, B y C. Si el avance del submarino es paralelo al nivel del mar, indique el producto de sus coordenadas de posición en A si su posición en B equidista de A y C.A(–7; 3) B C(x, y)O XYNivel del marA) – 21 B) – 10C) – 6 D) – 45. El siguiente gráfico muestra una conexión vertical de tubería de gas que contiene tres válvulas A, B y C. Si el posicionamiento de la válvula B es equidistante de las válvulas A y C, calcule G = x + y2 .A(x, y)BO XYHelico homeworkNivel I1. Ubique los puntos A(–2; –1), B(4; –2) y C(–3; 4) e indique en qué cuadrante se encuentran, respectivamente.YO XA) III, II y IV B) II, III y IVC) III, IV y I D) III, IV y IINivel II2. Del gráfico, calcule a + b.X ObaP(6; –2)YA) –8 B) –6C) –4 D) 43. Del gráfico, efectúe M = a – b + c – d.YO X4 P(a, b)Q(c, d)5–5–2Nivel III4. La gráfica muestra el cambio de posición de un submarino a lo largo de los puntos A, B y C. Si el avance del submarino es paralelo al nivel del mar, indique el producto de sus coordenadas de posición en A si su posición en B equidista de A y C.A(–7; 3) B C(x, y)O XYNivel del marA) – 21 B) – 10C) – 6 D) – 45. El siguiente gráfico muestra una conexión vertical de tubería de gas que contiene tres válvulas A, B y C. Si el posicionamiento de la válvula B es equidistante de las válvulas A y C, calcule G = x + y2 .A(x, y)BC(4; –6)O XYA) 1 B) 2C) 3 D) 5Helico homeworkNivel I1. Ubique los puntos A(–2; –1), B(4; –2) y C(–3; 4) e indique en qué cuadrante se encuentran, respectivamente.YO XA) III, II y IV B) II, III y IVC) III, IV y I D) III, IV y IINivel II2. Del gráfico, calcule a + b.X ObaP(6; –2)YA) –8 B) –6C) –4 D) 43. Del gráfico, efectúe M = a – b + c – d.YO X4 P(a, b)Q(c, d)5–5–2A) –4 B) –2C)2D)3Nivel III4. La gráfica muestra el cambio de posición de un submarino a lo largo de los puntos A, B y C. Si el avance del submarino es paralelo al nivel del mar, indique el producto de sus coordenadas de posición en A si su posición en B equidista de A y C.A(–7; 3) B C(x, y)O XYNivel del marA) – 21 B) – 10C) – 6 D) – 45. El siguiente gráfico muestra una conexión vertical de tubería de gas que contiene tres válvulas A, B y C. Si el posicionamiento de la válvula B es equidistante de las válvulas A y C, calcule G = x + y2 .A(x, y)BC(4; –6)O XYA) 1 B) 2C) 3 D) 5Helico homework6.7.8.9.10.

297COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA1. Distancia horizontal (DH)Dados dos puntos A(x1; y1) y B(x2; y2), donde y1=y2.YB(x DH 2; y2) A(x1; y1)XComo se observa x1>x2.Se defineDH = x1– x2EjemploHalle la distancia horizontal (DH) entre los puntos A(–4; 3) y B(5; 3).ResoluciónDH = 5–(–4) = 5+4 = 9 2. Distancia vertical (DV)Dados dos puntos A(x1; y1) y B(x2; y2), dondex1=x2.YDVA(x1; y1)B(x2; y2)XComo se observa y1>y2.Se defineDV = y1– y2EjemploHalle la distancia vertical (DV) entre los puntos P(–6; 5) y Q(–6; –7).ResoluciónDV = 5–(–7) = 5+7 = 12 3. Distancia entre dos puntosLa distancia d entre dos puntos cualquiera P1(x1; y1)y P2(x2; y2), se determina asíy1y1P2(x2; y2)P1(x1; y1)x1 x2 XY= − +− ( )( ) 2 212 12 d xx yyEjemploHalle la distancia entre los puntos A(–12; 3) y B(3; –5).Resolución( ) () ( ) 2 2 d = − − + −− 12 3 3 5( )2 2 d =− + 15 8d = + 225 64d = 289∴ d=17GEOMETRÍA ANALÍTICA IITheory Distancia horizontal (DH)Dados dos puntos A(x1; y1) y B(x2; y2), donde y1=y2.YB(x DH 2; y2) A(x1; y1)XComo se observa x1>x2.Se defineDH = x1– x2EjemploHalle la distancia horizontal (DH) entre los puntos ResoluciónDH = 5–(–4) = 5+4 = 9 Distancia vertical (DV)Dados dos puntos A(x1; y1) y B(x2; y2), dondex1x2.YDVA(x1; y1)B(x2; y2)XComo se observa y1>y2.Se defineDV = y1– y2EjemploHalle la distancia vertical (DV) entre los puntos P(–6; 5) y Q(–6; –7).ResoluciónDV = 5–(–7) = 5+7 = 12 3. Distancia entre dos puntosLa distancia d entre dos puntos cualquiera P1(x1; y1)y P2(x2; y2), se determina asíy1P2(x2; y2)P1(x1; y1)x1 x2 XY= − +− ( )( ) 2 212 12 d xx yyEjemploHalle la distancia entre los puntos A(–12; 3) y B(3; –5).Resolución( ) () ( ) 2 2 = − − + −− 12 3 3 5( )2 2 =− + 15 8 = + 225 64 289=17GEOMETRÍA ANALÍTICA IITheoryGeometría Analítica II 13

PRACTICO EN CLASEResoluciónMARCO TEÓRICO2026298 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍAGEOMETRÍA ANALÍTICA IIDistancia horizontal (DH) sease defineseaDistancia vertical (DV) YDHOB(x2; y2) A(x1; y1)Xse defineDH = x1– x2 DV = y1– y2x1> x2Distancia entre dos puntos (d)A(x1; y1)B(x2; y2)OYX= − +− ( )( ) 2 212 12 d xx yydse calculaB(x2; y2)YDVOA(x1; y1)Xy1> y2SynthesisSolved problems1. Del gráfico, calcule DH – DV.YO X(–7; 6)(–5; 4) DH (8; 4)(–7; –3)DVResoluciónCalculando DHDH = 8 – (–5) = 13Calculando DVDV = 6 – (–3) = 9 → DH – DV = 13 – 9∴ DH – DV = 4 Rpta.: 4GEOMETRÍA ANALÍTICA IIDistancia horizontal (DH) sease defineseaDistancia vertical (DV) YDHOB(x2; y2) A(x1; y1)Xse defineDH = x1– x2 DV = y1– y2x1> x2Distancia entre dos puntos (d)A(x1; y1)B(x2; y2)OYX= − +− ( )( ) 2 212 12 d xx yydse calculaB(x2; y2)YDVOA(x1; y1)Xy1> y2SynthesisSolved problems1. Del gráfico, calcule DH – DV.YO X(–7; 6)(–5; 4) DH (8; 4)(–7; –3)DVResoluciónCalculando DHDH = 8 – (–5) = 13Calculando DVDV = 6 – (–3) = 9 → DH – DV = 13 – 9∴ DH – DV = 4 Rpta.: 4

ResoluciónResoluciónResoluciónResolución299COLEGIO TALENTUS2DO DE SECUNDARIATRIGONOMETRÍA2. Determine el perímetro del cuadrado ABCD si dosde sus vértices consecutivos son A(–5; –2) y B(1; 6).Resolución( )( ) 2 2 d = −− +−− 51 26() () 2 2 d = − +− 6 8d = + 36 64d= 100d=10D10 uCA(–5;–3)B(1; 6)Perímetro=4(10 u)∴ Perímetro=40 uRpta.: 40 u3. Del gráfico, calcule tanβ.(–4; 7) Y(2; –3)XβResolución(–4; –3) (2; –3)(–4; 7)DVDHβ tanβ=tanβ=COCADHDV¾ DH=2 – (–4)=6¾ DV=7 – (–3)=10tanβ= 610∴ tanβ=35 Rpta.: 35 Del gráfico, halle la longitud de AB.B(4; 2)A(1; 6)Resolución d(A, B)= (1 – 4)2 + (6 – 2)2 d(A, B)= (3)2 + 42∴ d(A, B)= 9 + 16 = 5Rpta.: 5 Del gráfico, halle la longitud de PQ.9Q 2–14 10PXYResoluciónUbicamos los puntos P y Q.Q(–14; 2)P(10; 9) d(P, Q)= (–14 – 10)2 + (2 – 9)2 d(P, Q)= (–24)2 + (–7)2 d(P, Q)= 576 + 49∴ d(P, Q)=25Rpta.: 25d = + 36 64d= 100d=10D10 uCA(–5;–3)B(1; 6)Perímetro=4(10 u)∴ Perímetro=40 uRpta.: 40 u3. Del gráfico, calcule tanβ.(–4; 7) Y(2; –3)XβResolución(–4; –3) (2; –3)(–4; 7)DVDHβ tanβ=tanβ=COCADHDV¾ DH=2 – (–4)=6¾ DV=7 – (–3)=10tanβ= 610∴ tanβ=35 Rpta.: 35 d(A, B)= (1 – 4)2 + (6 – 2)2 d(A, B)= (3)2 + 42∴ d(A, B)= 9 + 16 = 5Rpta.: 5 Del gráfico, halle la longitud de PQ.9Q 2–14 10PXYResoluciónUbicamos los puntos P y Q.Q(–14; 2)P(10; 9) d(P, Q)= (–14 – 10)2 + (2 – 9)2 d(P, Q)= (–24)2 + (–7)2 d(P, Q)= 576 + 49∴ d(P, Q)=25Rpta.: 254. Del gráfico, halle la longitud de AB.B(4; 2)A(1; 6)Resolución d(A, B)= (1 – 4)2 + (6 – 2)2 d(A, B)= (3)2 + 42∴ d(A, B)= 9 + 16 = 5Rpta.: 55. Del gráfico, halle la longitud de PQ.9Q 2–1410PXY = + d= 100d=10D10 uCA(–5;–3)B(1; 6)Perímetro=4(10 u)∴ Perímetro=40 uRpta.: 40 u3. Del gráfico, calcule tanβ.(–4; 7) Y(2; –3)XβResolución(–4; –3) (2; –3)(–4; 7)DVDHβ tanβ=tanβ=COCADHDV¾ DH=2 – (–4)=6¾ DV=7 – (–3)=10tanβ= 610∴ tanβ=35 Rpta.: 35 d(A, B)= (3)2 + 42∴ d(A, B)= 9 + 16 = 5Rpta.: 55. Del gráfico, halle la longitud de PQ.9Q 2–14 10PXYResoluciónUbicamos los puntos P y Q.Q(–14; 2)P(10; 9) d(P, Q)= (–14 – 10)2 + (2 – 9)2 d(P, Q)= (–24)2 + (–7)2 d(P, Q)= 576 + 49∴ d(P, Q)=25Rpta.: 25Aplico lo aprendido1. Resuelva los siguientes ejercicios.a. Halle la distancia horizontal (DH) entre los puntos A(7; –5) y B(–3; –5).b. Halle la distancia vertical (DV) entre los puntosP(3; 5) y Q(3; –9).Resolución2. Del gráfico, efectúe A = DV + DH.YO X(–4; –3)DH(2; –3)(6; 7)DV(6; –8)Resolución PracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈  Aplico lo aprendido1. Resuelva los siguientes ejercicios.a. Halle la distancia horizontal (DH) entre los puntos A(7; –5) y B(–3; –5).b. Halle la distancia vertical (DV) entre los puntosP(3; 5) y Q(3; –9).Resolución2. Del gráfico, efectúe A = DV + DH.YO X(–4; –3)DH(2; –3)(6; 7)DV(6; –8)Resolución PracticePracticeResolución+, x2 < 25}, calcule la suma de los elementos del conjunto B.Resolución6. Determine por comprensión el conjuntoB = {6; 9; 12; 15; 18; 21; 24}7. Dado el conjunto B = {x + 3 / x ∈ 

2026300 HEREDEROS DE UNA PASIÓN, PASIÓN POR LA EDUCACIÓNTRIGONOMETRÍA5. Del gráfico, calcule la longitud de AB.–7A 25–3 BYResoluciónAsumo mi reto6. Calcule el perímetro del triángulo equilátero ABC siA(–4; 3) y B(2; –5).Resolución Demuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule el perímetro del rectánguloABCD.(–7; 3)C(5; –4)A BODXYResolución β.YX(–7; –2)(5; 6)OβResolución2 + b2.Resolución2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule – b (a∈Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9 DadosDemuestro mis conocimientos3. Del gráfico, calcule el perímetro del rectánguloABCD.(–7; 3)C(5; –4)A BODXYResolución4. Del gráfico, calcule tanβ.YX(–7; –2)(5; 6)OβResolución2 + b2.Resolución2} y B = {13; 14}Si se sabe que A = B, calcule b (a∈Resolución8. Sabiendo que el conjunto A = {a + 7; a + 2b - 1; 10}es un conjunto unitario, calcule a9. DadosResoluciónResolución 10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M? 12. Se tiene una lista de 5 entrenadores de fútbol, conellos se debe formar un comando técnico integradopor lo menos por dos personas. ¿Cuántas posibilidades se tiene?5. Del gráfico, calcule la longitud de AB.–7A 25–3 BYResoluciónAsumo mi reto6. Calcule el perímetro del triángulo equilátero ABC siA(–4; 3) y B(2; –5).Resolución Resolución1 2 34 5 6Resolución10. Si el conjunto M tiene 511 subconjuntos propios,¿cuántos elementos tiene M?11. Cierto fin de semana, Juanita estudiante del colegioEl Peruanito se propone preparar un jugo de frutas,para ello cuenta con 6 frutas diferentes en su nevera.¿Cuántos jugos diferentes puede preparar Juanita?

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