dinc3a1mica-beer

150 mm PROBLEMA RESUELTO 18.4
150 mm
Dos barras A y B de 100 mm, cada una de 300 g de masa, se sueldan a la
C B 300 mm flecha CD que está soportada mediante cojinetes en C y D. Si se aplica a
la flecha un par M de magnitud igual a 6 N и m, determine las componen-
A 100 mm 100 mm tes de las reacciones dinámicas en C y D en el instante en el que el eje ha
alcanzado una velocidad angular de 1 200 rpm. Ignore el momento de iner-
D cia de la flecha.

M

SOLUCIÓN

y w Cantidad de movimiento angular con respecto a O. Se asocia al
HO cuerpo el sistema de referencia Oxyz y se observa que los ejes elegidos no
O son ejes principales de inercia para el cuerpo. Puesto que el cuerpo gira al-
C rededor del eje x, se tiene ␻x ϭ ␻ y ␻y ϭ ␻z ϭ 0. Sustituyendo en las ecua-
z ciones (18.13),

D Hx ϭ Ix␻ Hy ϭ ϪIxy␻ Hz ϭ ϪIxz␻
x

HO ϭ (Ixi Ϫ Ixy j Ϫ Ixzk)␻

Momentos de las fuerzas externas con respecto a O. Como el siste-
ma de referencia gira con la velocidad angular ␻, la ecuación (18.28) produce

y 1 ͚MO ϭ (H˙ O)Oxyz ϩ ␻ ؋ HO (1)
4 ϭ (Ixi Ϫ Ixy j Ϫ Ixzk)␣ ϩ ␻i ؋ (Ixi Ϫ Ixy j Ϫ Ixzk)␻
L ϭ Ix␣i Ϫ (Ixy␣ Ϫ Ixz␻2)j Ϫ (Ixz␣ ϩ Ixy␻2)k

1 L 1 Reacción dinámica en D. Las fuerzas externas son los pesos de los
4 2 ejes y las barras, el par M, las reacciones estáticas en C y D y las reacciones
Cyj L dinámicas en C y D. Puesto que los pesos y las reacciones estáticas están
equilibrados, las fuerzas externas se reducen al par M y a las reacciones di-
O námicas C y D como se muestra en la figura. Al tomar los momentos con
respecto a O, se tiene
z Czk c Dyj

c

Mi x ͚MO ϭ Li ؋ (Dy j ϩ Dzk) ϩ Mi ϭ Mi Ϫ DzLj ϩ DyLk (2)
Dzk

Si se igualan los coeficientes del vector unitario i en (1) y (2)

M ϭ Ix␣ M ϭ 2(ᎏ13ᎏmc2)␣ ␣ ϭ 3M͞2mc2

Al igualar los coeficientes de k y j en (1) y (2)

Dy ϭ Ϫ(Ixz␣ ϩ Ixy␻2)͞L Dz ϭ (Ixy␣ Ϫ Ixz␻2)͞L (3)

Al utilizar el teorema de ejes paralelos y notar que el producto de iner-
cia de cada barra es cero con respecto a los ejes centroidales, se tiene

Ixy ϭ ͚mෆxyෆ ϭ m(ᎏ21ᎏL)(ᎏ12ᎏc) ϭ ᎏ14ᎏmLc
Ixz ϭ ͚m ෆxzෆ ϭ m(ᎏ14ᎏL)(ᎏ12ᎏc) ϭ ᎏ18ᎏmLc

Al sustituir en (3) los valores que se encontraron para Ixy, Ixz y ␣:

Dy ϭ Ϫᎏ136ᎏ(M͞c) Ϫ ᎏ14ᎏmc␻2 Dz ϭ ᎏ38ᎏ(M͞c) Ϫ ᎏ18ᎏmc␻2

Al sustituir ␻ ϭ 1 200 rpm ϭ 125.7 rad/s, c ϭ 0.100 m, M ϭ 6 N и m y m ϭ

0.300 kg, se tiene
Dy ϭ Ϫ129.8 N Dz ϭ Ϫ36.8 N

Reacción dinámica en C. Utilizando el sistema de referencia asociado
en D, se obtienen ecuaciones similares a las ecuaciones (3), las cuales producen

Cy ϭ Ϫ152.2 N Cz ϭ Ϫ155.2 N

1175

L PROBLEMA RESUELTO 18.5

w1 r Un disco homogéneo de radio r y masa m se monta sobre un eje OG de lon-
O G gitud L y masa despreciable. El eje gira en el punto fijo O y el disco está res-
tringido a rodar sobre un piso horizontal. Si el disco gira en sentido contra-
rio al de las manecillas del reloj a la velocidad constante ␻1 alrededor del
eje, determine a) la fuerza (que se supone vertical) que ejerce el piso sobre
el disco, b) la reacción en el pivote O.

SOLUCIÓN

Las fuerzas efectivas se reducen al vector mෆa aplicado en G y al par H˙ G.
Recordando del problema resuelto 18.2 que el eje gira alrededor del eje y a
la velocidad ␻2 ϭ r␻1͞L, se escribe

mෆa ϭ ϪmL␻22i ϭ ϪmL(r␻1͞L)2i ϭ Ϫ(mr2␻12͞L)i (1)

y' Determinación de H˙ G. Recuérdese del problema resuelto 18.2 que
la cantidad de movimiento angular del disco respecto a G es
G
x' ΂ ΃HG ϭ ᎏ12ᎏmr2␻1 i Ϫ ᎏ2rL j

HG donde HG se descompone en componentes a lo largo de los ejes en rotación
z' xЈ, yЈ, zЈ, con xЈ a lo largo de OG y yЈ vertical. La razón de cambio H˙ G de

Ω = − w2j HG con respecto a los ejes de orientación fija se obtiene de la ecuación
(18.22). Al notar que la razón de cambio (H˙ G)GxЈyЈzЈ de HG con respecto al

sistema de referencia en rotación es cero, y que la velocidad angular ⍀

del sistema de referencia es

⍀ ϭ Ϫ␻2 j ϭ Ϫ ᎏr␻1 j
L

se tiene

y L –Wj H˙ G ϭ (H˙ G)GxЈyЈzЈ ϩ ⍀ ؋ HG (2)
Rxi
Ryj Gx ΂ ΃ϭ 0 Ϫ ᎏr␻Lᎏ1 j ؋ ᎏ21ᎏmr2␻1 i Ϫ ᎏ2rLᎏ j

O Nj ϭ ᎏ12ᎏmr2(r͞L)␻12k
Rzk y'
Ecuaciones de movimiento. Si se expresa que el sistema de las fuer-
z m⎯a G zas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas, se escribe

. ͚MO ϭ ͚(MO)ef : Li ؋ (Nj Ϫ Wj) ϭ H˙ G
(N Ϫ W)Lk ϭ ᎏ12ᎏmr2(r͞L)␻21k
y HG
z' N ϭ W ϩ ᎏ12ᎏmr(r͞L)2␻12 N ϭ [W ϩ ᎏ21ᎏmr(r͞L)2␻12] j (3)
=
͚F ϭ ͚Fef : R ϩ Nj Ϫ Wj ϭ mෆa
O
x x' Al sustituir N de (3), y maෆ de (1) y resolver para R, se tiene

z R ϭ Ϫ(mr2␻21͞L)i Ϫ ᎏ12ᎏmr(r͞L)2␻21 j

΂ ΃R ϭ ϪᎏmrL2ᎏ␻12 i ϩ ᎏ2rLᎏ j

1176

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE

En esta lección se pedirá que se resuelvan problemas que implican el movimiento tridimen-
sional de cuerpos rígidos. El método empleado es básicamente el mismo que se aplicó en
el capítulo 16, donde se estudió el movimiento plano de cuerpos rígidos. Se dibujará una
ecuación de diagramas de cuerpo libre que muestre que el sistema de fuerzas externas es
equivalente al sistema de fuerzas efectivas, y se igualarán las sumas de componentes y las
sumas de momentos en ambos lados de esta ecuación. Sin embargo, en este caso el sistema
de fuerzas efectivas se representará mediante el vector mෆa y un vector par H˙ G, cuya deter-
minación se explicará en los párrafos 1 y 2 siguientes.

Para resolver un problema que implique el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido,
se seguirán estos pasos:

1. Determinar la cantidad de movimiento angular HG del cuerpo con respecto a su
centro de masa G a partir de su velocidad angular ␻ con respecto al sistema de referencia
GXЈYЈZЈ de orientación fija. Ésta es una operación que se aprendió en la lección anterior. Sin
embargo, puesto que la configuración del cuerpo cambiará con el tiempo, ahora será necesa-
rio utilizar un sistema de ejes auxiliares GxЈyЈzЈ (figura 18.9) para calcular las componentes de
␻ y los momentos y productos de inercia del cuerpo. Estos ejes pueden estar rígidamente aso-
ciados al cuerpo, en cuyo caso su velocidad angular es igual a ␻ [problemas resueltos 18.3 y
18.4] o quizá tengan una velocidad angular ⍀ propia [problema resuelto 18.5].

Recuerde lo siguiente de la lección precedente:

a) Si se conocen los ejes principales de inercia del cuerpo en G, úselos como ejes

de coordenadas xЈ, yЈ y zЈ, ya que los productos de inercia correspondientes del cuerpo se-

rán iguales a cero. (Advierta que si el cuerpo es simétrico con respecto a un eje, estos ejes

no necesitan estar asociados rígidamente al cuerpo.) Descomponga ␻ en componentes ␻xЈ,
␻yЈ y ␻zЈ a lo largo de estos ejes y calcule los momentos principales de inercia ෆIxЈ, ෆIyЈ e ෆIzЈ.
Las componentes correspondientes de la cantidad de movimiento angular HG son

HxЈ ϭ ෆIxЈ␻xЈ HyЈ ϭ ෆIyЈ␻yЈ HzЈ ϭ ෆIzЈ␻zЈ (18.10)

b) Si se conocen los ejes principales de inercia del cuerpo en G, será necesario

utilizar las ecuaciones (18.7) para determinar las componentes de la cantidad de movimien-

to angular HG. Estas ecuaciones requieren el cálculo previo de los productos de inercia del
cuerpo, así como de sus momentos de inercia con respecto a los ejes seleccionados.

2. Calcular la razón de cambio de H˙ G de la cantidad de movimiento angular HG
con respecto al sistema de referencia GXЈYЈZЈ. Advierta que este sistema de referen-

cia tiene una orientación fija en tanto que el sistema de referencia GxЈyЈzЈ que se utilizó al

calcular las componentes del vector ␻ era un sistema de referencia en rotación. Hay que re-

currir al análisis de la sección 15.10 de la razón de cambio de un vector con respecto a un
sistema de referencia en rotación. Al recordar la ecuación (15.31), la razón de cambio H˙ G
se expresará de la forma siguiente:

H˙ G ϭ (H˙ G)GxЈyЈzЈ ϩ ⍀ ؋ HG (18.22)

El primer término en el miembro del lado derecho de la ecuación (18.22) representa la ra-

zón de cambio de HG con respecto al sistema de referencia en rotación GxЈyЈzЈ. Este tér-
mino se anula si ␻ y, en consecuencia, HG permanece constante tanto en magnitud como
en dirección cuando se observa desde ese sistema de referencia. Por otro lado, si cuales-

quiera de las derivadas respecto al tiempo ␻˙ xЈ, ␻˙ yЈ y ␻˙ z es diferente de cero, también serán

(continúa)

1177

diferentes de cero, (H˙ G)GxЈyЈzЈ y sus componentes deberán determinarse al diferenciar las
ecuaciones (18.10) con respecto a t. Finalmente, recuérdese que si el sistema de referencia

en rotación está rígidamente asociado al cuerpo, su velocidad angular será la misma que la
del cuerpo, y ⍀ puede sustituirse por ␻.

3. Dibujar la ecuación de diagramas de cuerpo libre para el cuerpo rígido, que
muestre que el sistema de fuerzas externas ejercidas sobre el cuerpo es equivalente al vec-
tor mෆa aplicado en G y el vector par H˙ G (figura 18.11). Al igualar las componentes en cual-
quier dirección y los momentos alrededor de cualquier punto, es posible escribir hasta seis
ecuaciones de movimiento escalares e independientes [problemas resueltos 18.3 y 18.5].

4. Al resolver problemas que implican el movimiento de un cuerpo rígido con res-
pecto a un punto fijo O, es posible que se encuentre conveniente utilizar la siguiente
ecuación, que se dedujo en la sección 18.7, la cual elimina las componentes de la reacción
en el soporte O,

͚MO ϭ (H˙ O)Oxyz ϩ ⍀ ؋ HO (18.28)

donde el primer término en el miembro del lado derecho representa la razón de cambio de

HO con respecto al sistema de referencia en rotación Oxyz, y donde ⍀ es la velocidad an-
gular de ese sistema de referencia.

5. Cuando se determinen las reacciones en los cojinetes de una flecha rotatoria,
recurra a la ecuación (18.28) y siga estos pasos:

a) Coloque el punto fijo O en uno de los dos cojinetes que sostienen la flecha
y sitúe el sistema de referencia en rotación Oxyz en la flecha, con uno de los ejes dirigido
a lo largo de ella. Suponiendo, por ejemplo, que se ha alineado con la flecha al eje x, se ten-
drá ⍀ ϭ ␻ ϭ ␻i [problema resuelto 18.4].

b) Puesto que los ejes elegidos no serán, en la mayoría de los casos, los ejes
principales de inercia en O, es necesario calcular los productos de inercia de la flecha,
así como sus momentos de inercia, con respecto a estos ejes, y utilizar las ecuaciones (18.13)
para determinar HO. Suponiendo otra vez que el eje x se ha alineado con la flecha, las ecua-
ciones (18.13) se reducen a

Hx ϭ Ix␻ Hy ϭ ϪIyz␻ Hz ϭ ϪIzx␻ (18.13Ј)

la cual muestra que HO no estará dirigida a lo largo de la flecha.

c) Para obtener H˙ O sustituya las expresiones obtenidas en la ecuación (18.28) y
deje que ⍀ ϭ ␻ ϭ ␻i. Si la velocidad angular de la flecha es constante, el primer término
del miembro del lado derecho de la ecuación se anulará. Sin embargo, si la flecha tiene una
aceleración angular ␣ ϭ ␣i, el primer término no será cero y debe determinarse diferen-
ciando con respecto a t las expresiones en (18.13Ј). El resultado serán ecuaciones similares
a las (18.13Ј), con ␣ en lugar de ␻.

d) Puesto que el punto O coincide con uno de los cojinetes, las tres ecuaciones es-
calares correspondientes a la ecuación (18.28) pueden resolverse para las componentes de
la reacción dinámica en el otro cojinete. Si el centro de masa G de la flecha se localiza en
la línea que une los dos cojinetes, la fuerza efectiva mෆa será cero. Al dibujar la ecuación de
diagramas de cuerpo libre de la flecha, se puede observar en ese caso que las componentes
de la reacción dinámica del primer cojinete deben ser iguales y opuestas a las que acaba de
determinar. Si G no se ubica sobre la línea que une a los dos cojinetes, es posible determi-
nar la reacción en el primer cojinete colocando el punto fijo O en el segundo cojinete y re-
pitiendo el procedimiento anterior [problema resuelto 18.4]; o también puede obtener ecua-
ciones de movimiento adicionales de la ecuación de diagramas de cuerpo libre de la flecha,
asegurándose de determinar e incluir primero la fuerza efectiva mෆa aplicada en G.

e) La mayoría de los problemas requieren la determinación de las “reacciones
dinámicas” en los cojinetes, esto es, para las fuerzas adicionales que ejercen los cojinetes
sobre la flecha cuando ésta gira. Al determinar las reacciones dinámicas, ignore el efecto de
las cargas estáticas, como el peso de la flecha.

1178

Problemas

18.55 Determine la razón de cambio Hи D de la cantidad de movimiento y
angular HD del ensamble del problema 18.1. w

18.56 Determine la razón de cambio Hи G de la cantidad de movimiento B
angular HG del disco del problema 18.2.
600 mm
18.57 Determine la razón de cambio Hи A de la cantidad de movimiento
angular HA de la placa del problema 18.3, si se sabe que su velocidad angu- A x
lar ␻ permanece constante.
300 mm
18.58 Determine la razón de cambio Hи G de la cantidad de movimiento z
angular HG del disco del problema 18.4. Figura P18.65

18.59 Determine la razón de cambio Hи G de la cantidad de movimiento y
angular HG del disco del problema 18.5.
C
18.60 Determine la razón de cambio Hи A de la cantidad de movimiento A
angular HA del disco del problema 18.6.
w
18.61 Determine la razón de cambio Hи D de la cantidad de movimiento
angular HD del ensamble del problema 18.1, suponiendo que en el instante b
considerado el ensamble tiene una velocidad angular ␻ ϭ (12 rad/s)i y una G
aceleración angular ␣ ϭ (96 rad/s2)i.

18.62 Determine la razón de cambio Hи D de la cantidad de movimiento
angular HD del ensamble del problema 18.1, suponiendo que en el instante
considerado el ensamble tiene una velocidad angular ␻ ϭ (12 rad/s)i y una
aceleración angular ␣ ϭ Ϫ(96 rad/s2)i.

18.63 Determine la razón de cambio Hи A de la cantidad de movimiento
angular HA de la placa del problema 18.3, suponiendo que ésta tiene una ve-
locidad angular ␻ ϭ ␻j y una aceleración angular ␣ ϭ ␣j.

18.64 Determine la razón de cambio Hи G de la cantidad de movimiento
angular HG del disco del problema 18.4, suponi1178endo que en el instante
considerado el ensamble tiene una velocidad angular ␻ ϭ ␻j y una acel-
eración angular ␣ ϭ ␣j.

18.65 Una placa triangular homogénea y delgada con masa de 2.5 kg z b bx
está soldada a una flecha vertical ligera, la cual se sostiene mediante cojinetes D B
en A y B. Si la placa gira a la razón constante ␻ ϭ 8 rad/s, determine las
reacciones dinámicas en A y B. 1179

18.66 Una barra delgada y uniforme AB con masa m y una flecha ver- Figura P18.66
tical CD, cada una con longitud 2b, se sueldan entre sí en sus puntos medios
G. Si la flecha gira a la razón constante ␻, determine las reacciones dinámi-
cas en C y D.