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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE

En el capítulo anterior se resolvieron problemas relacionados con el movimiento de
una partícula utilizando la ecuación fundamental F ϭ ma para determinar la acelera-
ción a. Al aplicar los principios de la cinemática se pudo determinar a partir de a la
velocidad y el desplazamiento de la partícula en cualquier tiempo. En esta lección se
combinó F ϭ ma y los principios de la cinemática para obtener un método de análisis
adicional que se conoce como el método del trabajo y la energía. Éste elimina la ne-
cesidad de calcular la aceleración y permite relacionar las velocidades de la partícula
en dos puntos a lo largo de su trayectoria de movimiento. Para resolver un problema
mediante el método del trabajo y la energía se deben seguir los siguientes pasos:

1. Calcular el trabajo de cada una de las fuerzas. El trabajo U1y2 de una
fuerza dada F durante un desplazamiento finito de la partícula desde A1 hasta A2 se
define como

͵ ͵U1y2 ϭ F ؒ dr o U1y2 ϭ (F cos ␣) ds (13.2, 13.2Ј)

donde ␣ es el ángulo entre F y el desplazamiento dr. El trabajo U1y2 es una canti-
dad escalar y se expresa en ft и lb o in. и lb en el sistema de unidades de uso común
en Estados Unidos y en N и m o joules (J) en el SI. Hay que observar que el traba-
jo efectuado es cero para la fuerza perpendicular al desplazamiento (␣ ϭ 90°). El tra-
bajo negativo se realiza para 90° Ͻ ␣ Ͻ 180° y en particular para una fuerza de fric-
ción, la cual siempre se opone en dirección al desplazamiento (␣ ϭ 180°).

El trabajo U1y2 puede evaluarse fácilmente en los siguientes casos:
a) Trabajo de la fuerza constante en movimiento rectilíneo

U1y2 ϭ (F cos ␣) ⌬x (13.3)

donde ␣ ϭ ángulo que forma la fuerza con la dirección del movimiento
⌬x ϭ desplazamiento de A1 a A2 (figura 13.3)

b) Trabajo de la fuerza de gravedad

U1y2 ϭ ϪW ⌬y (13.4Ј)

donde ⌬y es el desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo de peso
W. Advierta que el trabajo es positivo cuando ⌬y es negativo, esto es, cuando el cuer-
po desciende (figura 13.4).

c) Trabajo de la fuerza ejercida por un resorte

U1y2 ϭ ᎏ12 kx21 Ϫ ᎏ21 kx22 (13.6)

donde k es la constante de resorte y x1 y x2 son las elongaciones del resorte corres-
pondientes a las posiciones A1 y A2 (figura 13.5).

(continúa)

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d) Trabajo de una fuerza gravitacional

U1y2 ϭ ᎏGMᎏm Ϫ ᎏGMᎏm (13.7)
r2 r1

para un desplazamiento del cuerpo A1(r ϭ r1) a A2(r ϭ r2) (figura 13.6).

2. Calcular la energía cinética en A1 y A2. La energía cinética T es

T ϭ ᎏ21 mv2 (13.9)

donde m es la masa de la partícula y v es la magnitud de su velocidad. Las unidades
de la energía cinética son las mismas que las unidades del trabajo, esto es, ft и lb o
in. и lb si se usan unidades de uso común en Estados Unidos y N и m o joules (J) si
se usan unidades del SI.

3. Sustituir los valores para el trabajo realizado U1y2 y las energías cinéti-
cas T1 y T2 en la ecuación

T1 ϩ U1y2 ϭ T2 (13.11)

Habrá una ecuación que puede resolver para una incógnita. Hay que observar que
esta ecuación no proporciona directamente el tiempo de recorrido o la aceleración.
Sin embargo, si se conoce el radio de curvatura ␳ de la trayectoria de la partícula en
el punto donde se ha obtenido la velocidad v, puede expresar la componente normal
de la aceleración como an ϭ v2͞␳ y obtener la componente normal de la fuerza ejer-
cida sobre la partícula al escribir Fn ϭ mv2͞␳.

4. La potencia se presentó en esta lección como la tasa en el tiempo a la
cual se realiza el trabajo, P ‫ ؍‬dU͞dt. La potencia se mide en ft и Ib/s o caballos
de potencia (hp) en el sistema de unidades de uso común en Estados Unidos y J/s o
watts (W) en el sistema de unidades del SI. Para calcular la potencia, puede usar la
fórmula equivalente,

PϭFؒv (13.13)

donde F y v denotan la fuerza y la velocidad, respectivamente, en un tiempo deter-
minado [problema resuelto 13.5]. En algunos problemas [véase, por ejemplo, el pro-
blema 13.50] se pedirá la potencia promedio, la cual es posible obtener al dividir el
trabajo total entre el intervalo durante el cual se efectúa el trabajo.

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