The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-07 09:33:35

dinc3a1mica-beer

dinc3a1mica-beer

*18.5. MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO 116918.5. Movimiento de un cuerpo rígido
EN TRES DIMENSIONES en tres dimensiones

Como se indicó en la sección 18.2, las ecuaciones fundamentales

͚F ϭ mෆa (18.1)
͚MG ϭ H˙ G (18.2)

conservan su validez en el caso más general del movimiento de un cuer- Y Y' w
HG
po rígido. Sin embargo, antes de que pudiera aplicarse la ecuación (18.2) y x

al movimiento tridimensional de un cuerpo rígido fue necesario dedu- G X'
X
cir las ecuaciones (18.7), las cuales relacionan las componentes de la Z'
cantidad de movimiento angular HG con las de la velocidad angular ␻.
Aún falta encontrar una forma efectiva y conveniente de calcular las O z
componentes de la derivada H˙ G de la cantidad de movimiento angular. Z
Figura 18.9
Puesto que HG representa la cantidad de movimiento angular del
cuerpo en su movimiento relativo a los ejes centroidales GXЈYЈZЈ de
orientación fija (figura 18.9), y puesto que H˙ G representa la razón
de cambio de HG con respecto a los mismos ejes, parecería natural uti-
lizar las componentes de ␻ y HG a lo largo de los ejes XЈ, YЈ, ZЈ al es-
cribir las relaciones (18.7). Pero puesto que el cuerpo gira, sus momen-

tos y productos de inercia cambiarían continuamente, y resultaría

necesario determinar sus valores como funciones del tiempo. Por lo tan-

to, es más conveniente utilizar los ejes x, y, z con origen en el cuerpo,

asegurando que sus momentos y productos de inercia mantendrán los

mismos valores durante el movimiento. Lo anterior es permisible pues-
to que, como se indicó antes, la transformación de ␻ en HG es indepen-
diente del sistema de ejes de coordenadas elegido. A pesar de eso, la ve-
locidad angular ␻ debe seguirse definiendo con respecto al sistema de
referencia GXЈYЈZЈ de orientación fija. En ese caso, el vector ␻ pue-

de descomponerse en componentes a lo largo de los ejes rotatorios x, y

y z. Al aplicar las relaciones (18.7), se obtienen las componentes del vec-

tor HG a lo largo de los ejes rotatorios. Sin embargo, el vector HG re-
presenta la cantidad de movimiento angular alrededor de G del cuerpo
en su movimiento relativo al sistema de referencia GXЈYЈZЈ.

Al diferenciar con respecto a t las componentes de la cantidad de

movimiento angular en (18.7), se define la razón de cambio del vector

HG con respecto al sistema de referencia en rotación Gxyz:

(H˙ G)Gxyz ϭ H˙ xi ϩ H˙ y j ϩ H˙ zk (18.21)

donde i, j, k son los vectores unitarios a lo largo de los ejes en rotación.
Hay que recordar de la sección 15.10 que la razón de cambio H˙ G del

vector HG con respecto al sistema de referencia GXЈYЈZЈ se encuentra
sumando a (H˙ G)Gxyz el producto vectorial ⍀ ؋ HG, donde ⍀ denota la

velocidad angular del sistema de referencia en rotación, se escribe

H˙ G ϭ (H˙ G)Gxyz ϩ ⍀ ؋ HG (18.22)

donde HG ϭ cantidad de movimiento angular del cuerpo con respec-
to al sistema de referencia GXЈYЈZЈ de orientación fija

(H˙ G)Gxyz ϭ razón de cambio de HG con respecto al sistema de refe-
rencia en rotación Gxyz, que se calcula a partir de las re-
laciones (18.7) y (18.21)

⍀ ϭ velocidad angular del sistema de referencia en rotación
Gxyz

1170 Cinética de cuerpos rígidos en tres Al sustituir H˙ G de (18.22) en (18.2), se tiene
dimensiones ͚MG ϭ (H˙ G)Gxyz ϩ ⍀ ؋ HG

(18.23)

Si el sistema de referencia rotatorio tiene su origen en el cuerpo, co-
mo se ha supuesto en esta discusión, su velocidad angular ⍀ es idénti-
camente igual a la velocidad angular ␻ del cuerpo. Sin embargo, existen
muchas aplicaciones donde es ventajoso utilizar un sistema de referen-
cia que no tiene su origen en realidad en el cuerpo, sino que gira de una
manera independiente. Por ejemplo, si el cuerpo considerado es simé-
trico con respecto a un eje, como en el problema resuelto 18.5 o en la
sección 18.9, es posible elegir un sistema de referencia con respecto al
cual los momentos y productos de inercia del cuerpo permanecen cons-
tantes, pero que gire menos que el propio cuerpo.† Como resultado, es
posible obtener expresiones más simples para la velocidad angular ␻ y
la cantidad de movimiento angular HG del cuerpo que las que se habrían
obtenido si el sistema de referencia se hubiera fijado realmente al cuer-
po. Es claro que en estos casos la velocidad angular ⍀ del sistema de re-
ferencia en rotación y la velocidad angular ␻ del cuerpo son diferentes.

*18.6. ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE EULER. EXTENSIÓN
DEL PRINCIPIO DE D’ALEMBERT AL MOVIMIENTO DE UN
CUERPO RÍGIDO EN TRES DIMENSIONES

Si se eligen los ejes x, y y z de manera que coincidan con los ejes prin-
cipales de inercia del cuerpo, es posible utilizar las relaciones simplifica-
das (18.10) para determinar las componentes de la cantidad de movi-
miento angular HG. Si se omiten las primas de los subíndices, se escribe

HG ϭ ෆIx␻xi ϩ ෆIy␻y j ϩ ෆIz␻zk (18.24)

donde ෆIx, Iෆy e Iෆz denotan los momentos de inercia centroidales princi-
pales del cuerpo. Sustituyendo HG de (18.24) en (18.23) y fijando ⍀ ϭ
␻, se obtienen las tres ecuaciones escalares

͚Mx ϭ ෆIx ␻˙ x Ϫ (ෆIy Ϫ ෆIz)␻y␻z (18.25)
͚My ϭ ෆIy ␻˙ y Ϫ (ෆIz Ϫ ෆIx)␻z␻x
͚Mz ϭ ෆIz ␻˙ z Ϫ (ෆIx Ϫ ෆIy)␻x␻y

Estas ecuaciones, llamadas ecuaciones de movimiento de Euler en ho-
nor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), se utilizan para
analizar el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de
masa. En la siguiente sección, sin embargo, se utilizará de manera pre-
ferente la ecuación (18.23) en vez de las ecuaciones (18.25), ya que la
primera es más general y la forma vectorial compacta en la que se ex-
presa es más fácil de recordar.

Al escribir la ecuación (18.1) en forma escalar, se obtienen las tres
ecuaciones adicionales

͚Fx ϭ mෆax ͚Fy ϭ mෆay ͚Fz ϭ mෆaz (18.26)

las cuales, junto con las ecuaciones de Euler, forman un sistema de seis
ecuaciones diferenciales. Al indicar las condiciones iniciales apropia-
das, estas ecuaciones diferenciales tienen una solución única. Así, el
movimiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones está completa-
mente definido por la resultante y por la resultante del momento de

†De manera más específica, el sistema de referencia no tendrá giro (véase la sección 18.9).

las fuerzas externas que actúan sobre él. Este resultado se reconocerá 117118.7. Movimiento de un cuerpo rígido
como una generalización de un resultado similar que se obtuvo en la alrededor de un punto fijo
sección 16.4 en el caso del movimiento plano de una placa rígida. Se
concluye que en tres, así como en dos dimensiones, dos sistemas de
fuerzas que son equipolentes también resultan equivalentes, esto es,
tienen el mismo efecto sobre un cuerpo rígido dado.

F1 F4 (∆mi)ai
G Pi
=F3
G

F2 b)
a)

Figura 18.10

Si se consideran en particular el sistema de las fuerzas externas que

actúan sobre un cuerpo rígido (figura 18.10a) y el sistema de las fuer-

zas efectivas asociadas con las partículas que forman al cuerpo rígido

(figura 18.10b), es posible establecer que los dos sistemas —los cuales

se demostró en la sección 14.2 que eran equipolentes— también son

equivalentes. Ésta es una extensión del principio de d’Alembert al mo-

vimiento tridimensional de un cuerpo rígido. Al sustituir las fuerzas F4
F3
efectivas en la figura 18.10b por un sistema equivalente fuerza-par se F1
G
confirma que el sistema de fuerzas externas que actúa sobre un cuer-

po rígido en movimiento tridimensional es equivalente al sistema com-

puesto por el vector maෆ con origen en el centro de masa G del cuer- .
po y el par de momento H˙ G (figura 18.11), donde H˙ G se obtiene de
HG
las relaciones (18.7) y (18.22). Advierta que la equivalencia de los sis- m⎯a

temas de vectores mostrados en la figura 18.10 y en la figura 18.11 se =F2 G

han indicado mediante signos de igualdad rojos. Los problemas que x

implican el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido pueden re- X

solverse considerando la ecuación de diagramas de cuerpo libre que se

representa en la figura 18.11 y al escribir ecuaciones escalares apropia-

das que relacionen las componentes o momentos de las fuerzas exter-

nas y efectivas (véase el problema resuelto 18.3).

*18.7. MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR Figura 18.11
DE UN PUNTO FIJO

Cuando un cuerpo rígido está restringido a girar alrededor de un pun- Y w
to fijo O, es deseable escribir una ecuación que incluya los momentos y HO
alrededor de O de las fuerzas externas y efectivas, pues esta ecuación
no contendrá la reacción desconocida en O. Aunque una ecuación de O
este tipo se obtiene de la figura 18.11, es más conveniente escribirla al
considerar la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular Z
HO del cuerpo alrededor del punto fijo O (figura 18.12). Al recordar
la ecuación (14.11), se escribe z
Figura 18.12
͚MO ϭ H˙ O (18.27)

donde H˙ O denota la razón de cambio del vector HO con respecto al sis-
tema de referencia fijo OXYZ. Una deducción similar a la que se utilizó

1172 Cinética de cuerpos rígidos en tres en la sección 18.5 permite relacionar H˙ O con la razón de cambio (H˙ O)Oxyz
dimensiones de HO con respecto al sistema de referencia en rotación Oxyz. La sus-
titución en (18.27) conduce a la ecuación

͚MO ϭ (H˙ O)Oxyz ϩ ⍀ ؋ HO (18.28)

Fotografía 18.3 El radiotelescopio giratorio es donde ͚MO ϭ suma de momentos alrededor de O de las fuerzas apli-
un ejemplo de una estructura restringida a girar cadas al cuerpo rígido
alrededor de un punto fijo.
HO ϭ cantidad de movimiento angular del cuerpo con respec-
Y to al sistema de referencia fijo OXYZ
y
(H˙ O)Oxyz ϭ razón de cambio de HO con respecto al sistema de re-
ferencia en rotación Oxyz, que se calculará de las rela-
ciones (18.13)

⍀ ϭ velocidad angular del sistema de referencia en rotación
Oxys

Si el sistema de referencia en rotación está sobre el cuerpo, su ve-
locidad angular ⍀ es idénticamente igual a la velocidad angular ␻ del
cuerpo. Sin embargo, como se señaló en el último párrafo de la sec-
ción 18.5, existen muchas aplicaciones en las que tiene ventaja utilizar
un sistema de referencia que no está fijo en realidad al cuerpo, sino
que gira de una manera independiente.

A *18.8. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO
x ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

O X La ecuación (18.28), la cual se dedujo en la sección anterior, se usará
para analizar el movimiento de un cuerpo rígido restringido a girar al-
B rededor de un eje fijo AB (figura 18.13). Primero, se advierte que la
w velocidad angular del cuerpo con respecto al sistema de referencia fi-
z jo OXYZ se representa mediante el vector ␻ dirigido a lo largo del eje
de rotación. Al montar el sistema de referencia en movimiento Oxyz
Z al cuerpo, con el eje z a lo largo de AB, se tiene que ␻ ϭ ␻k. Si se
Figura 18.13 sustituye ␻x ϭ 0, ␻y ϭ 0, ␻z ϭ ␻ en las relaciones (18.13), se obtienen
las componentes a lo largo de los ejes rotatorios de la cantidad de mo-
vimiento angular HO del cuerpo alrededor de O:

Hx ϭ ϪIxz␻ Hy ϭ ϪIyz␻ Hz ϭ Iz␻

Puesto que el sistema de referencia Oxyz tiene su origen en el cuer-
po, se tiene ⍀ ϭ ␻ y la ecuación (18.28) produce

͚MO ϭ (H˙ O)Oxyz ϩ ␻ ؋ HO
ϭ (ϪIxzi Ϫ Iyz j ϩ Izk)␻˙ ϩ ␻k ؋ (ϪIxzi Ϫ Iyz j ϩ Izk)␻
ϭ (ϪIxzi Ϫ Iyz j ϩ Izk)␣ ϩ (ϪIxz j ϩ Iyzi)␻2

El resultado que se obtuvo puede expresarse mediante las tres ecua-
ciones escalares

͚Mx ϭ ϪIxz␣ ϩ Iyz␻2 (18.29)
͚My ϭ ϪIyz␣ Ϫ Ixz␻2

͚Mz ϭ Iz␣

Cuando se conocen las fuerzas aplicadas al cuerpo, es posible ob-
tener la aceleración angular ␣ de las ecuaciones (18.29). La velocidad
angular ␻ se determina entonces mediante integración y los valores que
se obtienen para ␣ y ␻ se sustituyen en las primeras dos ecuaciones

(18.29). Estas ecuaciones, más las tres ecuaciones (18.26) que definen 117318.8. Rotación de un cuerpo rígido
el movimiento del centro de masa del cuerpo se usan entonces para alrededor de un eje fijo
determinar las reacciones en los cojinetes A y B.

Es posible elegir ejes distintos a los que se muestran en la figura
18.13 para analizar la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje
fijo. En muchos casos se encontrará que son más ventajosos los ejes
principales de inercia del cuerpo. Por lo tanto, resulta prudente recu-
rrir a la ecuación (18.28) y seleccionar el sistema de ejes que mejor se
ajusta al problema que se está considerando.

Si el cuerpo en rotación es simétrico con respecto al plano xy, los
productos de inercia Ixz e Iyz son iguales a cero y las ecuaciones (18.29)
se reducen a

͚Mx ϭ 0 ͚My ϭ 0 ͚Mz ϭ Iz␣ (18.30) Fotografía 18.4 Las fuerzas ejercidas mediante
un cigüeñal giratorio de automóvil sobre sus
que está de acuerdo con los resultados que se obtuvieron en el capítu- cojinetes son las reacciones estática y dinámica.
lo 16. Si, por otro lado, los productos de inercia Ixz e Iyz son diferen- Es posible diseñar el cigüeñal para que esté
tes de cero, la suma de los momentos de las fuerzas externas alrede- equilibrado tanto dinámica como estáticamente.
dor de los ejes x y y también serán diferentes de cero, aun cuando el
cuerpo gire a una velocidad constante ␻. De hecho, en el último caso,
las ecuaciones (18.29) producen

͚Mx ϭ Iyz␻2 ͚My ϭ ϪIxz␻2 ͚Mz ϭ 0 (18.31) B l

Esta última observación conduce al análisis de balanceo de flechas G
rotatorias. Considere, por ejemplo, el cigüeñal que se muestra en la fi- W
gura 18.14a, que es simétrico alrededor de su centro de masa G. Prime- A
ro se observa que cuando el cigüeñal está en reposo, no ejerce empuje A
lateral sobre sus soportes, ya que su centro de gravedad G está localiza- a)
do directamente arriba de A. Se dice que el cigüeñal está estáticamente
balanceado. La reacción en A, denominada muchas veces como una reac-
ción estática, es vertical y su magnitud es igual al peso W de la flecha.
Ahora supóngase que la flecha gira con una velocidad angular constan-
te ␻. Al fijar el sistema de referencia en la flecha, con su origen en
G, el eje z a lo largo de AB, y el eje y en el plano de simetría de la fle-
cha (figura 18.14b), se advierte que Ixz es cero y que Iyz es positivo. De
acuerdo con las ecuaciones (18.31), las fuerzas externas incluyen un par
de momento Iyz␻2i. Puesto que este par se forma mediante la reacción
en B y la componente horizontal de la reacción en A, se tiene

Ay ϭ ᎏIyz␻2 j B ϭ Ϫ ᎏIyz␻2 j (18.32) z
l l BB

Puesto que las reacciones en los cojinetes son proporcionales a ␻2, la w y
G
flecha tendrá la tendencia a desprenderse de sus cojinetes cuando gi-
W
re a elevadas velocidades. Además, puesto que las reacciones en los co- x

jinetes Ay y B, denominadas reacciones dinámicas, están contenidas en Ay A
el plano yz, éstas giran con la flecha y ocasionan la vibración de la es- Az
b)
tructura de soporte. Estos efectos indeseables se evitarán rearreglan-
Figura 18.14
do la distribución de masa alrededor de la flecha o agregando masas

correctivas, dejando que Iyz se vuelva igual a cero. Las reacciones di-
námicas en Ay y B se anularán y las reacciones en los cojinetes se re-
ducirán a la reacción estática Az, la dirección de la cual está fija. El eje
estará entonces balanceado tanto dinámica como estáticamente.

E B PROBLEMA RESUELTO 18.3

w Una barra ligera AB de longitud L ϭ 8 ft y peso W ϭ 40 lb se conecta por
C medio de un pasador en A a un eje vertical DE que gira con una velocidad
angular constante ␻ de 15 rad/s. La barra mantiene su posición mediante un
L = 8 ft alambre horizontal BC conectado al eje y al extremo B de la barra. Deter-
b = 60° mine la tensión en el alambre y la reacción en A.
A

D

SOLUCIÓN

Las fuerzas efectivas se urendcuícrceunloalhvoerciztoorntmalෆadceonraodrioigeෆrnϭeᎏn12ᎏLGcoysa␤l paarlaH˙vGe-.
Puesto que G describe

locidad constante ␻, se tiene

y ෆa ϭ an ϭ Ϫෆr␻2I ϭ Ϫ(ᎏ21ᎏL cos ␤)␻2I ϭ Ϫ(450 ft/s2)I
maෆ ϭ ᎏ4gᎏ0 (Ϫ4 50I) ϭ Ϫ(559 lb)I

Y Determinación de H˙ G. Se calcula primero la cantidad de movimien-
⎯r to angular HG. Si se utilizan los ejes centroidales principales de inercia x, y,
z, se escribe
wG
ෆIx ϭ ᎏ112ᎏ mL2 ෆIy ϭ 0 Iෆz ϭ ᎏ112ᎏ mL2
zb
A x ␻x ϭ Ϫ␻ cos ␤ ␻y ϭ ␻ sen ␤ ␻z ϭ 0
X
Z HG ϭ ෆIx␻xi ϩ ෆIy␻yj ϩ ෆIz␻zk
HG ϭ Ϫᎏ112ᎏ mL2␻ cos ␤ i

La razón de cambio H˙ G de HG con respecto a los ejes de orientación fija se
obtiene de la ecuación (18.22). Si se observa que la razón de cambio (H˙ G)Gxyz

de HG con respecto al sistema de referencia en rotación Gxyz es cero, y que

Y T = –TI la velocidad angular ⍀ del sistema de referencia es igual a la velocidad an-

gular ␻ de la barra, se tiene

H˙ G ϭ (H˙ G)Gxyz ϩ ␻ ؋ HG
H˙ G sen ␤ j) ؋ (Ϫᎏ112ᎏmL2␻
6.93 ft G H˙ G ϭ 0 ϩ (Ϫ␻ cos ␤ iϩ ␻ k ϭ (645 lb и ft)k cos ␤ i)
ϭ ᎏ112ᎏmL2␻2 sen ␤ cos ␤
W = –40J

AXI A 60° X Ecuaciones de movimiento. Si se expresa que el sistema de las fuer-
AZK Y zas externas es equivalente al sistema de las fuerzas efectivas, se escribe
Z AYJ 2 ft
͚MA ϭ ͚(MA)ef:

6.93J ؋ (ϪTI) ϩ 2I ؋ (Ϫ40J) ϭ 3.46J ؋ (Ϫ5 59I) ϩ 645K

(6.93T Ϫ 80)K ϭ (1 934 ϩ 645)K T ϭ 384 lb

= m⎯a = –559I . ͚F ϭ ͚Fef: AXI ϩ AYJ ϩ AZK Ϫ 384I Ϫ 40J ϭ Ϫ559I
G A ϭ Ϫ(175 lb)I ϩ (40 lb)J
HG = 645K
3.46 ft
Observación. El valor de T podría haberse obtenido de HA y la ecua-
AX ción (18.28). Sin embargo, el método que se utilizó aquí también produce la

Z reacción en A. Además, centró la atención en el efecto de la asimetría de la

barra en la solución del problema al demostrar claramente que tanto el vec-
tor maෆ y el par H˙ G deben utilizarse para representar las fuerzas efectivas.

1174


Click to View FlipBook Version