dinc3a1mica-beer

14.19 Si se sabe que las coordenadas del poste eléctrico son Problemas 875
xp ϭ 18 m y yp ϭ 13.9 m, determine a) el tiempo transcurrido desde
el primer choque hasta el impacto en P, b) la rapidez del automó-
vil A.

14.20 Si se sabe que la velocidad del automóvil A fue de 129.6
km/h y que el tiempo transcurrido desde el primer choque hasta el
impacto en P fue de 2.4 s, determine las coordenadas del poste eléc-
trico P.

y
N

xP
P

vA yP C 4.3° vA C vC
A O A B 30°
90 km/h
x 45°

72 v0 37.4° vB
km/h

B Figura P14.21

Figura P14.19 y P14.20

14.21 y 14.22 En un juego de billar la bola A viaja con una velocidad vA vC
v0 cuando choca con las bolas B y C, que están en reposo y alineadas como C 45°
se indica. Si se sabe que después del choque las tres bolas se mueven en las
direcciones señaladas y que v0 ϭ 12 ft/s y vC ϭ 6.29 ft/s, determine la mag- 7.4° B
nitud de la velocidad de a) la bola A y b) la bola B. A
vB
14.23 Un arquero experto demuestra su habilidad atravesando pelo- 30° 49.3°
tas de tenis lanzadas por un asistente. Una pelota de tenis de 58 g tiene una v0
velocidad de (10 m/s)i Ϫ (2 m/s)j y está a 10 m sobre el suelo cuando es al-
canzada por una flecha de 40 g que viaja a una velocidad de (50 m/s)j ϩ (70 Figura P14.22
m/s)k donde j está dirigida hacia arriba. Determine la posición P donde la
bola y la flecha golpearán el suelo, con respecto al punto O ubicado direc- y vC
tamente debajo del punto de impacto.
C2
14.24 En un experimento de dispersión, una partícula alfa A se pro-
yecta con la velocidad u0 ϭ Ϫ(600 m/s)i ϩ (750 m/s)j Ϫ (800 m/s)k dentro vB C1 vA
de una corriente de núcleos de oxígeno que se mueven con una velocidad Q A1 A2 x
común v0 ϭ (600 m/s)j. Después de chocar sucesivamente con los núcleos
B y C, se observa que la partícula A se mueve a lo largo de la trayectoria de- B2 v0
finida por los puntos A1 (280, 240, 120) y A2 (360, 320, 160), mientras que B1 u0 C
los núcleos B y C se mueven a lo largo de trayectorias definidas, respectiva-
mente, por B1 (147, 220, 130) y B2 (114, 290, 120), y por C1 (240, 232, 90) O v0 A
y C2 (240, 280, 75). Todas las trayectorias son a lo largo de líneas rectas y to- B
das las coordenadas se expresan en milímetros. Si se sabe que la masa de un
núcleo de oxígeno es cuatro veces la de una partícula alfa, determine la ra- B0 A0
pidez de cada una de las tres partículas después de los choques.
z

Figura P14.24

876 Sistemas de partículas 14.25 Una bomba de 12 lb que se mueve con una velocidad v0 ϭ
(40 ft/s)i Ϫ (30 ft/s)j Ϫ (1 200 ft/s)k explota en el punto D en tres fragmen-
tos A, B y C que pesan, respectivamente, 5, 4 y 3 lb. Si se sabe que los frag-
mentos se impactan contra la pared vertical en los puntos indicados, deter-
mine la rapidez de cada fragmento inmediatamente después de la explosión.

y
5 ft

12 ft

D A B
z O
6 ft
C
12 ft x
9 ft

Figura P14.25 y P14.26

14.26 Una bomba de 12 lb que se mueve con una velocidad v0 ϭ
(40 ft/s)i Ϫ (30 ft/s)j Ϫ (1 200 ft/s)k explota en el punto D en tres fragmen-
tos A, B y C que pesan, respectivamente, 4, 3 y 5 lb. Si se sabe que los frag-
mentos se impactan contra la pared vertical en los puntos indicados, deter-
mine la rapidez de cada fragmento inmediatamente después de la explosión.

14.27 Obtenga la relación

HO ϭ ෆr ؋ mෆv ϩ HG

entre las cantidades de movimiento angular HO y HG definidas, cada una,
en las ecuaciones (14.7) y (14.24). Los vectores rෆ y vෆ definen, de manera
respectiva, la posición y la velocidad del centro de masa G del sistema de
partículas relativos al sistema de referencia newtoniano Oxyz, y m representa
la masa total del sistema.

14.28 Demuestre que la ecuación (14.23) puede obtenerse directa- 87714.7. Energía cinética de un sistema
mente de la ecuación (14.11) al sustituir la expresión dada en el problema de partículas
14.27 por HO.

14.29 Considere el marco de referencia AxЈyЈzЈ en traslación con res-

pecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz. La cantidad de movimiento
angular HЈA de un sistema de n partículas alrededor de A se define como la
suma

n (1) y'
mivi
͚HЈA ϭ rЈi ؋ mivЈi
iϭ1 y miv'i

de los momentos alrededor de A de las cantidades de movimiento mivЈi de r'i Pi
las partículas en su movimiento relativo al sistema de referencia AxЈyЈzЈ. Si A
se denota con HA la suma
x'
n
O x
͚HA ϭ rЈi ؋ mivi z'
iϭ1
z
de los momentos alrededor de A de las cantidades de movimiento mivi de Figura P14.29
las partículas en su movimiento relativo al sistema de referencia newtoniano
Oxyz, demuestre que HA ϭ HЈA en un instante dado, si y sólo si se satisface
una de las siguientes condiciones en ese instante: a) A tiene velocidad cero
con respecto al sistema de referencia Oxyz, b) A coincide con el centro de
masa G del sistema, c) la velocidad vA relativa a Oxyz está dirigida a lo largo
de la línea AG.

14.30 Muestre que la relación ͚MA ϭ H˙ ЈA, donde HЈA está definida
por la ecuación (1) del problema 14.29 y donde ͚MA representa la suma de
los momentos alrededor de A de las fuerzas externas que actúan sobre el sis-
tema de partículas, es válida si y sólo si se satisface una de las siguientes con-
diciones a) el mismo sistema de referencia AxЈyЈzЈ es un sistema de refe-
rencia newtoniano, b) A coincide con el centro de masa G, c) la aceleración
aA de A relativa a Oxyz está dirigida a lo largo de la línea AG.

14.7. ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

La energía cinética T de un sistema de partículas se define como la su-
ma de las energías cinéticas de las diversas partículas del sistema. Por
lo tanto, con referencia a la sección 13.3, se escribe

ϭ͚Tᎏ12 n miv2i (14.28)
iϭ1

Uso de un sistema de referencia centroidal. Al calcular la
energía cinética de un sistema que consta de un gran número de par-
tículas (como en el caso de un cuerpo rígido), a menudo resulta con-
veniente considerar por separado el movimiento del centro de masa G
del sistema y el movimiento del sistema relativo al sistema de referen-
cia unido a G.

878 Sistemas de partículas vi
yЈ

vЈi ⎯v
y

Pi

⎯v

G xЈ

zЈ x
O

z
Figura 14.7

Sea Pi una partícula del sistema, vi su velocidad relativa al sistema
de referencia newtoniano Oxyz y viЈ su velocidad relativa al sistema de
referencia en movimiento GxЈyЈzЈ que está en traslación con respecto

a Oxyz (figura 14.7). Se recuerda de la sección anterior que

vi ϭ ෆv ϩ vЈi (14.22)

donde ෆv denota la velocidad del centro de masa G relativa al sistema
de referencia newtoniano Oxyz. Al observar que vi2 es igual al produc-
to escalar vi ؒ vi, se expresa la energía cinética T del sistema relativa al
sistema de referencia newtoniano Oxyz en la forma siguiente:

͚ ͚Tᎏ1 n ᎏ1 n
ϭ 2 iϭ1 mivi2 ϭ 2 ؒ vi)
(mivi

iϭ1

o, al sustituir vi de (14.22),

ϭ͚Tᎏ21 n [mi(ෆv ϩ viЈ) ؒ (ෆv ϩ viЈ)]
iϭ1

΂͚ ΃ ͚ ͚ϭ ᎏ21ᎏn ෆv2 ؒ n ᎏ12ᎏ n mivЈi 2
ϩ ෆv iϭ1 mivЈi ϩ iϭ1
mi

iϭ1

La primera sumatoria representa la masa total m del sistema. Al recor-
dar la ecuación (14.13), se nota que la segunda sumatoria es igual a
mෆvЈ y, en consecuencia, a cero, ya que ෆvЈ representa la velocidad de G
relativa al sistema de referencia GxЈyЈzЈ, es claramente cero. Por lo tan-
to, se escribe

ᎏ12ᎏ mvෆ 2 ᎏ21 n
ϭ͚T ϩ iϭ1 mivЈi 2 (14.29)

Esta ecuación muestra que la energía cinética T de un sistema de par-
tículas puede obtenerse al sumar la energía cinética del centro de masa
G (suponiendo que toda la masa está concentrada en G) y la energía
cinética del sistema en su movimiento relativo al sistema de referencia
GxЈyЈzЈ.

14.8. PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA. CONSERVACIÓN 87914.9. Principio del impulso y la cantidad de
DE LA ENERGÍA PARA UN SISTEMA DE PARTÍCULAS movimiento de un sistema de partículas

El principio del trabajo y la energía puede aplicarse a cada partícula Pi
de un sistema de partículas. Se escribe

T1 ϩ U1y2 ϭ T2 (14.30)

para cada partícula Pi, donde U1y2 representa el trabajo realizado por
las fuerzas internas fij y la fuerza externa resultante Fi actuando sobre
Pi. Al sumar las energías cinéticas de las diferentes partículas del siste-
ma y al considerar el trabajo de todas las fuerzas implicadas, se puede

aplicar la ecuación (14.30) al sistema completo. Las cantidades T1 y T2
representan ahora la energía cinética del sistema entero y se calculan

de la ecuación (14.28) o de la (14.29). La cantidad U1y2 representa el
trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema.

Hay que observar que si bien las fuerzas internas fij y fji son iguales y
opuestas, el trabajo de estas fuerzas en general no se cancelarán, ya que

las partículas Pi y Pj sobre las cuales actúan experimentarán, en gene-
ral, desplazamientos diferentes. Por lo tanto, al calcular U1y2 se debe
considerar el trabajo de las fuerzas internas fij así como el trabajo
de las fuerzas externas Fi.

Si todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema son

conservativas, la ecuación (14.30) puede sustituirse por

T1 ϩ V1 ϭ T2 ϩ V2 (14.31)

donde V representa la energía potencial asociada con las fuerzas in-
ternas y externas que actúan sobre las partículas del sistema. La ecua-
ción (14.31) expresa el principio de conservación de la energía para el
sistema de partículas.

14.9. PRINCIPIO DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD
DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Al integrar las ecuaciones (14.10) y (14.11) en t desde t1 hasta t2, se es-
cribe

͚ ͵t2 (14.32)
F dt ϭ L2 Ϫ L1 (14.33)
t1

͚ ͵ t2 MO dt ϭ (HO)2 Ϫ (HO)1
t1

Al recordar la definición del impulso lineal de una fuerza que se dio Fotografía 14.2 Cuando una pelota de golf es
en la sección 13.10, se nota que las integrales en la ecuación (14.32) golpeada fuera de la trampa de arena, cierta
representan los impulsos lineales de las fuerzas externas que actúan so- parte de la cantidad de movimiento del palo se
bre las partículas del sistema. Hay que referirse de manera similar a transfiere a la pelota y a la arena que también es
las integrales en la ecuación (14.33) como los impulsos angulares alre- golpeada.
dedor de O de las fuerzas externas. De tal modo, la ecuación (14.32)
expresa que la suma de los impulsos lineales de las fuerzas externas
que actúan sobre el sistema es igual al cambio en la cantidad de mo-
vimiento lineal del sistema. De manera similar, la ecuación (14.33) ex-
presa que la suma de los impulsos angulares alrededor de O de las fuer-
zas externas es igual al cambio en el momento angular alrededor de O
del sistema.

880 Sistemas de partículas Para clarificar el significado físico de las ecuaciones (14.32) y
(14.33), se rearreglan los términos en estas ecuaciones y se escribe
y
(mAvA)1 ͚ ͵L1 ϩ t2 F dt ϭ L2 (14.34)
t1 (14.35)
+
͚ ͵(HO)1 ϩ t2
(mBvB)1
Ox MO dt ϭ (HO)2
t1
(mCvC)1
a) En los incisos a) y c) de la figura 14.8 están dibujadas las cantidades de
Figura 14.8 movimiento de las partículas del sistema en los tiempos t1 y t2, respecti-
vamente. En el inciso b) se indica un vector igual a la suma de los impul-
sos lineales de las fuerzas externas y un momento de par igual a la suma
de los impulsos angulares alrededor de O de las fuerzas externas. Por sim-
plicidad, se ha supuesto que las partículas se mueven en el plano de la

yy

⌺ ∫ t2 (mAvA)2 (mBvB)2
t1 F dt
=

Ox Ox
(mCvC)2
⌺ ∫ t2
t1 MO dt c)
b)

figura, aunque el análisis presente sigue siendo válido en el caso de par-

tículas que se mueven en el espacio. Al recordar de la ecuación (14.6)

que L, por definición, es la resultante de la cantidad de movimiento

mi vi, se nota que la ecuación (14.34) expresa que la resultante de los vec-
tores mostrados en los incisos a) y b) de la figura 14.8 es igual a la resul-

tante de los vectores indicados en el inciso c) de la misma figura. Si se re-

cuerda de la ecuación (14.7) que HO es el momento resultante de las
cantidades de movimiento mivi, se advierte que la ecuación (14.35) ex-
presa de manera similar que el momento resultante de los vectores en los

incisos a) y b) de la figura 14.8 es igual al momento resultante de los vec-

tores en el inciso c). Juntas, las ecuaciones (14.34) y (14.35) expresan en-

tonces que las cantidades de movimiento de las partículas en el tiempo t1
y los impulsos de las fuerzas externas desde t1 hasta t2 forman un sistema
de vectores equipolente al sistema de las cantidades de movimiento de las

partículas en el tiempo t2. Esto se ha indicado en la figura 14.8 median-
te el uso de signos de más y de igualdad en color azul.

Si ninguna fuerza externa actúa sobre las partículas del sistema, las

integrales en las ecuaciones (14.34) y (14.35) son cero, y estas ecuacio-

nes producen

L1 ϭ L2 (14.36)
(HO)1 ϭ (HO)2 (14.37)

De este modo se verifica el resultado obtenido en la sección 14.6: si nin-
guna fuerza externa actúa sobre las partículas de un sistema, la cantidad
de movimiento lineal y la cantidad de movimiento angular alrededor de
O del sistema de partículas se conservan. El sistema de la cantidad
de movimiento inicial es equipolente al sistema de la cantidad de movi-
miento final y, por lo tanto, la cantidad del movimiento angular del siste-
ma de partículas alrededor de cualquier punto fijo se conserva.

PROBLEMA RESUELTO 14.3

Para el vehículo espacial de 200 kg del problema resuelto 14.1, se sabe que
en t ϭ 2.5 s, si la velocidad de la parte A es vA ϭ (270 m/s)i Ϫ (120 m/s)j ϩ
(160 m/s)k y la velocidad de la parte B es paralela al plano xz. Determine la
velocidad de la parte C.

SOLUCIÓN

y Puesto que no hay fuerza externa, la cantidad de movimiento inicial mv0 es
equipolente al sistema de las cantidades de movimiento finales. Igualando

primero las sumas de los vectores en ambas partes del dibujo adjunto y des-

pués las sumas de sus momentos alrededor de O, se escribe

O mv0 L1 ϭ L2: mv0 ϭ mAvA ϩ mBvB ϩ mCvC (1)
(2)
x (HO)1 ϭ (HO)2: 0 ϭ rA ؋ mAvA ϩ rB ؋ mBvB ϩ rC ؋ mCvC

Al recordar del problema resuelto 14.1 que v0 ϭ (150 m/s)i,

zy = mA ϭ 100 kg mB ϭ 60 kg mC ϭ 40 kg
rA ϭ (555 m)i Ϫ (180 m)j ϩ (240 m)k
m AvA rB ϭ (255 m)i Ϫ (120 m)k
A rC ϭ (105 m)i ϩ (450 m)j Ϫ (420 m)k

O y utilizar la información que se dio en el enunciado de este problema, se
reescriben las ecuaciones (1) y (2) del modo siguiente:
BC
z x 200(150i) ϭ 100(270i Ϫ 120j ϩ 160k) ϩ 60[(vB)xi ϩ (vB)zk] (1Ј)
m CvC ϩ 40[(vC)xi ϩ (vC)y j ϩ (vC)zk] (2Ј()2Ј)
m BvB
Έ Έ Έ Έi j k
i jk

0 ϭ 100 555 Ϫ180 240 ϩ 60 255 0 Ϫ120

270 Ϫ120 160 (vB)x 0 (vB)z

ϩϩ4400Έ Έi 105 j k
(vC)x 450 Ϫ420
(vC)y (vC)z

Al igualar a cero el coeficiente de j en (1Ј) y los coeficientes de i y k en (2Ј),
se escribe, después de simplificaciones, las tres ecuaciones escalares

(vC)y Ϫ 300 ϭ 0
450(vC)z ϩ 420(vC)y ϭ 0
105(vC)y Ϫ 450(vC)x Ϫ 45 000 ϭ 0

las cuales producen, respectivamente,

(vC)y ϭ 300 (vC)z ϭ Ϫ280 (vC)x ϭ Ϫ30

La velocidad de la parte C es entonces
vC ϭ Ϫ(30 m/s)i ϩ (300 m/s)j Ϫ (280 m/s)k

881

A PROBLEMA RESUELTO 14.4
B v0
La bola B, de masa mB, se suspende de una cuerda de longitud l unida al ca-
rro A, de masa mA, que rueda con libertad sobre una pista horizontal sin fric-
ción. Si a la bola se le da una velocidad horizontal inicial v0 mientras el ca-
rro está en reposo, determine a) la velocidad de B cuando ésta alcanza su
elevación máxima, b) la distancia vertical máxima h a que se elevará B. (Se
supone que v20 Ͻ 2gl.)

SOLUCIÓN

Posición 1 Posición 2 El principio del impulso-cantidad de movimiento y el principio de conserva-
AA
(vA)2 ción de la energía se aplicarán al sistema carro-bola entre su posición inicial
(vA)1 = 0
1 y la posición 2, cuando B alcanza su elevación máxima.

Velocidades Posición 1: (vA)1 ϭ 0 (vB)1 ϭ v0 (1)

(vB/A)2 = 0 Posición 2: Cuando la bola B alcanza su elevación máxima, su veloci-

dad (vB͞A)2 relativa a su soporte A es cero. De tal modo, en ese instante, su

B velocidad absoluta es
(vB)2 = (vA)2
B (vB)2 ϭ (vA)2 ϩ (vB͞A)2 ϭ (vA)2 (2)
(vB)1 = v0

WAt Principio del impulso-cantidad de movimiento. Al observar que los

AA A mA(vA)2 impulsos externos consisten en WAt, WBt y Rt, donde R es la reacción de la
pista sobre el carro y recordando (1) y (2) se dibuja el diagrama de impulso-
mB(vA)2
B cantidad de movimiento y se escribe

Rt y+ componentes x: ͚mv1 ϩ ͚ Ext Imp1y2 ϭ ͚mv2

+= mBv0 ϭ (mA ϩ mB)(vA)2

B B que expresa que la cantidad de movimiento lineal del sistema se conserva en
mBv0 WBt la dirección horizontal. Al resolver para (vA)2:

(vA)2 ϭ ᎏmAmϩᎏBmB v0 (vB)2 ϭ (vA)2 ϭ ᎏmAmϩᎏBmB v0 y

Posición 1 Posición 2 (vA)2 Conservación de energía V1 ϭ mAgl
A A Posición 1. Energía potencial: T1 ϭ ᎏ12ᎏmBv02
V2 ϭ mAgl ϩ mBgh
l Energía cinética: T2 ϭ ᎏ12ᎏ(mA ϩ mB)(vA)22

B Posición 2. Energía potencial:
Energía cinética:

v0 h B (vB)2 = (vA)2 T1 ϩ V1 ϭ T2 ϩ V2: ᎏ12ᎏmBv20 ϩ mAgl ϭ ᎏ12ᎏ(mA ϩ mB)(vA)22 ϩ mAgl ϩ mBgh
Nivel de referencia Al resolver para h, se tiene

h ϭ ᎏvᎏ20 Ϫ ᎏmA ϩᎏmB ᎏ(vAᎏ)22
2g mB 2g

o, al sustituir para (vA)2 la expresión que se encontró arriba,

h ϭ ᎏvᎏ20 Ϫ ᎏmᎏB ᎏvᎏ20 h ϭ ᎏmᎏA ᎏvᎏ20
2g mA ϩ mB 2g mA ϩ mB 2g

Comentarios. 1) Al recordar que v20 Ͻ 2gl, de acuerdo con la última
ecuación h Ͻ l, se verifica de tal modo que B permanece debajo de A como

se supuso en la solución.

2) para mA ϾϾ mB, la respuesta que se obtuvo se reduce a (vB)2 ϭ
(vA)2 ϭ 0 y h ϭ v20͞2g; B oscila como un péndulo simple con A fijo. Para mA
ϽϽ mB, el problema se reduce a (vB)2 ϭ (vA)2 ϭ v0 y h ϭ 0; A y B se mue-
ven con la misma velocidad constante v0.

882

PROBLEMA RESUELTO 14.5

3 ft 8 ft A' 2 ft En un juego de billar, a la bola A se le da una velocidad inicial v0 de magni-
D A v0 tud v0 ϭ 10 ft/s a lo largo de la línea DA paralela al eje de la mesa. Esta bo-
vA vC la choca con la bola B y luego con la bola C, las cuales se encuentran en re-
2 ft 7 ft C
poso. Si se sabe que A y C inciden perpendicularmente en las laterales de la
B C' mesa en los puntos AЈ y CЈ, respectivamente, que B choca con la lateral de
vB
manera oblicua en BЈ, y se suponen superficies sin fricción, así como impac-
B' 3 ft tos perfectamente elásticos, determine las velocidades vA, vB y vC con las

cuales las bolas chocan con las laterales de la mesa. (Comentario. En este

problema resuelto y en varios de los problemas que siguen, se supone que

las bolas de billar son partículas que se mueven con libertad en un plano ho-

rizontal, y no como las esferas rodantes y deslizantes que realmente son.)

SOLUCIÓN

D A Conservación de la cantidad de movimiento. Puesto que no hay
2 ft mv0 = m (10 ft/s) fuerza externa, el momento inicial mv0 es equipolente al sistema de cantida-
des de movimiento después de los dos choques (y antes de que cualquiera
O de las bolas golpee las laterales de la mesa). Con referencia al dibujo adjun-
to, se escribe
=
y+ componentes x: m(10 ft/s) ϭ m(vB)x ϩ mvC (1)
O (2)
ϩxcomponentes y: 0 ϭ mvA Ϫ m(vB)y
(3)
8 ft ϩl momentos alrededor de O: Ϫ(2 ft)m(10 ft/s) ϭ (8 ft)mvA
Ϫ (7 ft)m(vB)y Ϫ (3 ft)mvC
mvA
A mvC Al resolver las tres ecuaciones para vA, (vB)x y (vB)y en términos de vC,

B C 3 ft vA ϭ (vB)y ϭ 3vC Ϫ 20 (vB)x ϭ 10 Ϫ vC (4)
m (vB)x m (vB)y
Conservación de la energía. Puesto que las superficies son sin fric-
ción y los impactos perfectamente elásticos, la energía cinética inicial ᎏ12ᎏmv02
es igual a la energía cinética final del sistema:
7 ft

ᎏ21ᎏmv20 ϭ ᎏ21ᎏmAv2A ϩ ᎏ12ᎏmBv2B ϩ ᎏ12ᎏmCv2C (5)
vA2 ϩ (vB)x2 ϩ (vB)2y ϩ vC2 ϭ (10 ft/s)2

Al sustituir vA, (vB)x y (vB)y de (4) en (5), se tiene

2(3vC Ϫ 20)2 ϩ (10 Ϫ vC)2 ϩ v2C ϭ 100
20v2C Ϫ 260vC ϩ 800 ϭ 0

Al resolver para vC, se encuentra que vC ϭ 5 ft/s y vC ϭ 8 ft/s. Puesto que só-
lo la segunda raíz produce un valor positivo de vA después de sustituir en las
ecuaciones (4), se concluye que vC ϭ 8 ft/s y

vA ϭ (vB)y ϭ 3(8) Ϫ 20 ϭ 4 ft/s (vB)x ϭ 10 Ϫ 8 ϭ 2 ft/s

vA ϭ 4 ft/sx vB ϭ 4.47 ft/s c 63.4° vC ϭ 8 ft/s y

883

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
EN FORMA INDEPENDIENTE

En la lección anterior se definió la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de

movimiento angular de un sistema de partículas. En esa lección se definió la energía

cinética T de un sistema de partículas:

͚Tϭ ᎏ12ᎏ n miv2i (14.28)
iϭ1

La solución de los problemas en la sección anterior se basó en la conservación de la
cantidad de movimiento lineal de un sistema de partículas o en la observación del
movimiento del centro de masa de un sistema de partículas. En esta lección se re-
solverán problemas que implican lo siguiente:

1. Cálculo de la energía cinética perdida en choques. La energía cinética T1
del sistema de partículas antes de los choques y su energía cinética T2 después de
los mismos se calcula a partir de la ecuación (14.28) y se resta una de la otra. Tenien-

do presente que, si bien la cantidad de movimiento lineal y la cantidad de movimien-

to angular son cantidades vectoriales, la energía cinética es una cantidad escalar.

2. Conservación de la cantidad de movimiento lineal y conservación de la
energía. Como se estudió en la lección anterior, cuando la resultante de las fuerzas
externas que actúan sobre un sistema de partículas es cero, se conserva la cantidad
de movimiento lineal del sistema. En problemas que implican movimiento en dos di-
mensiones, el señalamiento de que la cantidad de movimiento lineal inicial y la can-
tidad de movimiento lineal final del sistema son equipolentes produce dos ecuacio-
nes algebraicas. La igualación de la energía total inicial del sistema de partículas
(incluyendo la energía potencial, así como la energía cinética) con su energía total fi-
nal produce una ecuación adicional. En consecuencia, es posible escribir tres ecua-
ciones que pueden resolverse para tres incógnitas [problema resuelto 14.5]. Hay que
observar que si la resultante de las fuerzas externas no es cero y tiene una dirección
fija, la componente de la cantidad de movimiento lineal en una dirección perpendi-
cular a la resultante se sigue conservando; el número de ecuaciones que es posible
utilizar se reduce entonces a dos [problema resuelto 14.4].

3. Conservación de las cantidades de movimiento lineal y angular. Cuando
no actúan fuerzas externas sobre un sistema de partículas, se conservan tanto la can-
tidad de movimiento lineal del sistema como su cantidad de movimiento angular al-
rededor de algún punto arbitrario. En el caso de movimiento en tres dimensiones,
lo anterior permitirá escribir hasta seis ecuaciones, aunque quizá sea necesario resol-
ver únicamente alguna de ellas para obtener las respuestas deseadas [problema re-
suelto 14.3]. En el caso de movimiento bidimensional, será factible escribir tres ecua-
ciones que podrán resolverse para tres incógnitas.

4. Conservación de las cantidades de movimiento lineal y angular y conser-
vación de la energía. En el caso de movimiento en dos dimensiones de un sistema de
partículas que no está sujeto a ninguna fuerza externa, se obtendrán dos ecuaciones al-
gebraicas al expresar la conservación de la cantidad de movimiento lineal del sistema, una
ecuación al escribir que se conserva la cantidad de movimiento angular del sistema alre-
dedor de algún punto arbitrario, y una cuarta ecuación al expresar que se conserva la
energía total del sistema. Con estas ecuaciones se pueden despejar cuatro incógnitas.

884

Problemas

14.31 Si el empleado de la línea aérea del problema 14.1 primero lanza
la maleta de 15 kg sobre el carrito para equipaje, determine la energía per-
dida a) cuando la primera maleta entra en contacto con el carrito, b) cuando
la segunda maleta hace contacto con el carrito.

14.32 Determine la energía perdida como resultado de la serie de cho-
ques que se describe en el problema 14.7.

14.33 En el problema 14.3, determine el trabajo realizado por la mu-
jer y por el hombre cuando se lanzan del bote, suponiendo que la mujer se
lanza primero.

14.34 En el problema 14.5, determine la energía que se pierde cuando
la bala a) pasa a través del bloque A y b) queda incrustada en el bloque B.

14.35 Dos automóviles A y B, de masa mA y mB viajan en direcciones
opuestas cuando chocan de frente. El impacto se supone perfectamente plás-
tico y, además, se considera que la energía absorbida por cada automóvil es
igual a su pérdida de energía cinética con respecto a un sistema de referen-
cia en movimiento unido al centro de masa del sistema de los dos vehículos.
Si se denota con EA y EB la energía que absorben los automóviles A y B,
a) demuestre que EA/EB ϭ mB/mA, es decir, la cantidad de energía que ab-
sorbe cada vehículo es inversamente proporcional a su masa. b) Calcule EA
y EB, si se sabe que mA ϭ 1 600 kg y mB ϭ 900 kg y que las velocidades de
A y B son, respectivamente, 90 y 60 km/h.

vA vB
A B

Figura P14.35

14.36 Se supone que cada uno de los dos automóviles implicados en
el choque descrito en el problema 14.35 se han diseñado para soportar de
manera segura una prueba en la cual se estrellan contra una pared sólida e
inamovible, a la rapidez v0. La severidad del choque del problema 14.35
puede medirse entonces para cada vehículo por medio del cociente de la
energía absorbida en el choque y la energía absorbida en la prueba. Sobre
esa base, demuestre que el choque descrito en el problema 14.35 es (mA/mB)2
veces más severo para el automóvil B que para el automóvil A.

14.37 Retome el problema resuelto 14.4, y ahora suponga que al ca-
rro A se le da una velocidad horizontal inicial v0 mientras la bola B está en
reposo.

885

886 Sistemas de partículas 14.38 En un juego de billar, la bola A se mueve con una velocidad
v0 ϭ v0i cuando golpea a las bolas B y C, las cuales están en reposo una al
lado de la otra. Si se suponen superficies sin fricción y un impacto perfecta-
mente elástico (esto es, conservación de energía), determine la velocidad fi-
nal de cada bola, suponiendo que la trayectoria de A a) está perfectamente
centrada y que A golpea de manera simultánea a B y C, b) no está perfecta-
mente centrada y que A golpea a B un poco antes de golpear a C.

A B
v0 C

Figura P14.38

14.39 y 14.40 En un juego de billar la bola A se mueve con veloci-
dad v0 de magnitud v0 ϭ 15 ft/s cuando choca contra las bolas B y C, las
cuales se encuentran en reposo y alineadas como se muestra. Si después del
choque las tres bolas se mueven en las direcciones indicadas y se suponen
superficies sin fricción y un impacto perfectamente elástico (esto es, conser-
vación de energía), determine las magnitudes de las velocidades vA, vB y vC.

vA vC vA vC
C 30° C 45°

B A B vB
A
30° 45°
45° v0

v0 30° vB

Figura P14.39 Figura P14.40

14.41 Dos hemisferios se conservan unidos mediante una cuerda que
mantiene comprimido a un resorte (el resorte no está unido a los hemisfe-
rios). La energía potencial del resorte comprimido es igual a 120 J y el en-
samble tiene una velocidad inicial v0 de magnitud v0 ϭ 8 m/s. Si la cuerda
se rompe cuando ␪ ϭ 30°, lo que ocasiona que los hemisferios se separen,
determine la velocidad resultante de cada hemisferio.

2.5 kg
qA

v0

1.5 kg
B

Figura P14.41