calculo_diferencial_integral

Ejercicios resueltos 628

qSuoelufcin0ó.n1.=Epsne/vDide0n,tefnq0.uxe/nl!>Kım10ffpna.rax/0g D 0. Como fn0.x/ D 4nx 1 n2x4 , tenemos
p p
< x < 1= n y fn0.x/ .1 C n2x4/2
<p0 para x > 1= n.

Deducimos que lapfunción fn es estrictamente creciente en Œ0; 1= n y estrictamente
decrecienpte en Œ1= n; C1Œ, por lo que fn alcanza un máximo valor en RCo en el punto

xn D 1= n.

2nx2
fn.x/ D 1 C n2x4

1

12

Dado un número a > 0 sea n0 tal que xn0 < a. Para todo n > n0 tenemos que xn < a, y
por tanto:

maKx ffn.x/ W 0 6 x 6 ag D fn.xn/ D 1; maKx ffn.x/ W x > ag D fn.a/

Como lKım ffn.a/g D 0 se sigue que ffng converge uniformemente en Œa; C1Œ pero,
evidentemente, no converge uniformemente en Œ0; a.
©

Ejercicio resuelto 241 Estudia la convergencia uniforme en Œ0; 1, de la sucesión de funcio-

nes ffng definidas para x 20; 1 por fn.x / D xn log.1=x/, y fn.0/ D 0.
Solución. Es evidente que nl!Kım1ffn .x /g D 0. Como fn0.x/D n log
n 1 tenemos
xC1 x

que fn0.x/ D 0 si, y sólo si, log x D 1=n, es decir, x D e 1=n. Además fn0.x/ > 0 para
0 < x < e 1=n y fn0.x/ < 0 para e 1=n < x 6 1. Deducimos que la función fn es
estrictamente creciente en 0; e 1=n y estrictamente decreciente en Œe 1=n; 1, por lo que

fn alcanza un máximo valor en Œ0; 1 en el punto xn D e 1=n. Por tanto:

maKxffn.x/ W x 20; 1g D fn.e 1=n/ D 1 1
e n

y, deducimos que la sucesión ffng converge uniformemente en Œ0; 1. ©

Ejercicio resuelto 242 Dado ˛ 2 R, consideremos la sucesión de funciones ffng, donde
fn W Œ0; 1 ! R es la función definida para todo x 2 Œ0; 1 por:

fn.x/ D n˛x.1 x2/n:

¿Para qué valores de ˛ hay convergencia uniforme en Œ0; 1? ¿Para qué valores de ˛ hay
convergencia uniforme en Œ ; 1, donde 0 < < 1?

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 629

Solución. Observa que fn.0/ D fn.1/ D 0 y, si 0 < x < 1, la sucesión fn˛.1 x2/ng

es de la forma fn˛ ng con 0 < < 1 por lo que lKım ffn.x /g D 0. Por tanto, en el

n!1
intervalo Œ0; 1 la sucesión ffng converge puntualmente a cero.

Tenemos que

fn0.x/ D n˛.1 x2/n 1.1 .1 C 2n/x2/

Pongamos xn D p1 . Entonces fn0.xn/ D 0, fn0.x/ > 0 para 0 < x < xn y
1 C 2n
fn0.x/ < 0 para xn < x < 1. Deducimos que la función fn es estrictamente creciente en

Œ0; xn y estrictamente decreciente en Œxn; 1, por lo que fn alcanza un máximo valor en

Œ0; 1 en el punto xn.

0.50 fn .x / D n 1 x .1 x2/n 0.50 fn .x / D n 1 x .1 x2/n
4 2

0.25 0.25

1 1
La sucesión ffng para ˛ D 1=4 La sucesión ffng para ˛ D 1=2

Como n˛ 1 n

fn.xn/ D p C 2n 1 1 C 2n
1

se deduce que lKımffn.xn/gD0 si, y sólo si, ˛ < 1=2. Pot tanto, la sucesión ffng converge
uniformemente en Œ0; 1 si, y sólo si, ˛ < 1=2.

Dado 0 < < 1, sea n0 tal que xn0 < . Para todo n > n0 tenemos que xn < y por
tanto maKxffn.x/ W 6 x 6 1g D fn. / ! 0 por lo que ffng converge uniformemente en
Œ ; 1 para todo ˛ 2 R.

Ejercicio resuelto 243 Para cada n 2 N sea fn W Œ0; =2 ! R la función dada por:
fn.x/ D n.cos x/nsen x:

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funciones ffng y la convergencia uni-
forme en los intervalos Œ0; a y Œa; =2 donde 0 < a < =2.

Solución. Es claro que fn.0/Dfn. =2/D0 y para 0 < x < =2 la sucesión fn.cos x/ng

es de la forma fn ng con 0 < < 1 por lo que lKım ffn.x/gD0. Por tanto, en el intervalo

n!1
Œ0; =2 la sucesión ffng converge puntualmente a cero. Observa también que fn.x/ > 0

para todo x 2 Œ0; =2.

Intentemos calcular el máximo absoluto de fn.x/ en Œ0; =2. Tenemos que:

fn0.x/ D n.cos x/n 1.cos2.x/ n sen2.x//:

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 630

Sea xn 20; =2Œ tal que cos2.xn/ n sen2.xn/ D 0. Como fn es positiva y se anula en
los extremos del intervalo, espevidente que fn alcanza su mayor valor en Œ0; =2 en el
punto xn. Observa que xn D arc tg.1=n/ ! 0.

Tenemos que:

fn.xn/ D n.cos.xn//n sen.xn/:

Estudiar la convergencia de esta sucesión no es del todo inmediato. Pongamos fn.xn/ D
ynzn donde yn D n sen.xn/, zn D .cos.xn//n. Entonces:

yn D nxn sen.xn/ D pp arc tg.1=n/ sen.xn/ ;
xn nn xn

y como sen.xn/ ! 1 y n arc tg.1=n/ ! 1, se sigue que yn ! C1 (de hecho, se tiene
xn p p

que yn es asintóticamente equivalente a n, esto es, yn n).

Por otra parte, tenemos que:

log.zn/ D n log.cos xn/ n.cos.xn/ 1/ n 1 xn2 D 1 n arc tg.1=n/ ! 1
2 2 :

2

Por tanto zn ! e 1=2. Deducimos así que fn.xn/ D ynzn ! C1.

Dado un número 0 < a < =2, sea n0 tal que xn0 < a. Para todo n > n0 tenemos que
xn < a. Por tanto, para todo n > n0 es:

maKxffn.x/ W 0 6 x 6 ag D fn.xn/ maKxffn.x/ W a 6 x 6 =2g D fn.a/:

Como ffn.xn/g no converge a 0 se sigue que ffng no converge uniformemente en Œ0; a.
Como ffn.a/g ! 0 se sigue que ffng converge uniformemente en Œa; =2.

1

1
La sucesión fn.x/ D n.cos x/nsen x

Hagamos este mismo ejercicio sin calcular el valor máximo de fn, acotando de forma
conveniente.

Lo primero que nos damos cuenta es de que es muy fácil probar que hay convergencia
uniforme en Œa; =2, pues como la función coseno es decreciente en Œ0; =2 y sen x 6 1,
se tiene que:

0 6 fn.x/ D n.cos x/nsen x 6 n.cos a/n

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 631

para todo x 2 Œa; =2. Puesto que la sucesión fn.cos a/ng ! 0 (es de la forma n n con
0 < < 1) concluimos que hay convergencia uniforme en Œa; =2.

La situación es distinta en el intervalo Œ0; a. Podemos sospechar que no hay convergencia
uniforme en dicho intervalo. Para ello, tomemos un D 1=n. Tenemos que:

fn.1=n/ D n sen.1=n/.cos.1=n//n;

y como fn sen.1=n/g ! 1 y

lKım ˚.cos.1=n//n« D exp lKım fn.cos.1=n/
1/g D exp.0/ D 1;

obtenemos que ffn.1=n/g ! 1. Como, para todo n > 1=a se verifica que 0 < 1=n < a,

resulta que:

maKx ffn.x/ W 0 6 x 6 ag > fn.1=n/

y concluimos que no hay convergencia uniforme en Œ0; a. ©

Ejercicio resuelto 244 Para cada n 2 N sea fnW 0; Œ! R la función dada por:

sen2.nx/ 0 < x < :
fn.x/ D n sen x

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funciones ffng así como la convergen-
cia uniforme en intervalos del tipo 0; a, Œa; Œ y Œa; b donde 0 < a < b < .

Solución. Evidentemente lKım ffn.x/g D 0. Observa también que fn.x/ > 0 para todo
x 20; Œ. Para estudiar la convergencia uniforme en un intervalo de la forma 0; a to-
memos xn D 1=n. Como

fn.1=n/ D sen2.1/ ! sen2.1/
n sen.1=n/

deducimos que no hay convergencia uniforme en 0; a.
Análogamente, como

fn. 1=n/ D sen2.n 1/ ! sen2.1/;
n sen. 1=n/

deducimos que no hay convergencia uniforme en Œa; Œ.

Finalmente, sea 0 < a < b < . Como sen x > 0 para todo x 2 Œa; b y por el teorema
de Weierstrass sabemos que tiene que haber un punto x0 2 Œa; b tal que sen x0 6 sen x
para todo x 2 Œa; b, deducimos que:

0 6 fn.x/ D sen2.nx/ 6 1
n sen x ;

n sen.x0/

y por tanto:

maKx ffn.x/ W 6 6 bg 6 1
a x :
n sen.x0/

Ya que, evidentemente, f1=n sen.x0/g ! 0, concluimos que hay convergencia uniforme
en Œa; b.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 632

1

1 2 sen2.nx/ 3
fn.x/ n sen x
La sucesión D

Ejercicio resuelto 245 Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesión de funcio-

nes ffng donde fn W R ! R está definida por:

p x 2 R:
fn.x/ D n 1 C x2n

Solución. Para calcular la función límite puntual hay que distinguir dos casos:
p
Si jxj < 1, entonces 1 6 n1 C x2n C x2n lKım ffn.xn/g D
p 6 1 y por tanto 1.

Si jxj > 1, entonces x2 6 n 1 C x2n 6 21=nx2 y por tanto lKım ffn.xn/g D x2.

La función límite puntual viene dada por:

1; si jxj < 1
x2; si jxj > 1
f .x/ D lKım ffn.x/g D

Tenemos que:
Si jxj < 1 es:

p 1 6 21=n 1:
0 6 fn.x/ f .x/ D n 1 C x2n

Si jxj > 1 es: p r 1 !
0 6 fn.x/ f .x/ D n 1 C x2n x2n 1:
x2 D x2 n 1 C (10.19)

Aplicando el teorema del valor medio a la función h.t / D pn 1 C t en el intervalo Œ0; s

h.s/ s h.0/ D h0.c/ donde c es algún punto del intervalo 0; sŒ. Como:
obtenemos que

h 0 .c / D 1 C c/1=n 1 6 1
.1 ;
n
n

se sigue que h.s/ h.0/ D s h 0 .c / 6 s Tomando s D 1 resulta que
n. x2n

r 1 11
x2n h.0/ 6 nx2n 6 nx2
n 1 C 1 D h.1=x2n/

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 633

1
Deducimos ahora de (10.19) que 0 6 fn.x/ f .x/ 6 n .

Finalmente:

maKx fjfn.x/ f .x/j W x 2 Rg 6 maKx 21=n 1 !0
1;
n

y concluimos que ffng converge uniformemente en R.

Observa que, aunque la convergencia es uniforme y todas las funciones fn son derivables
en R, la función límite, f , no es derivable en x D 1.
©

Ejercicio resuelto 246 Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la forma  1; a,
Œ a; a y Œa; C1Œ donde a > 0, de la sucesión de funciones ffng definidas por
fn.x/ D n sen.x=n/ para todo x 2 R.

Solución. Definamos la función

' WR ! R; '.t / D sen t .t ¤ 0/; '.0/ D 1
t

Con ello, tenemos que fn.x/Dx'.x=n/ y, como lKım '.t /D1, deducimos que la función

t !0

límite puntual de la sucesión viene dada por:

f .x / D lKım fn.x / D x .x 2 R/:

n!1

Dado a > 0, es fácil comprobar que no hay convergencia uniforme en Œa; C1Œ, pues
para todo n > a se tiene que:

maKx fjf .x/ fn.x/j W x > ag > f .n/ fn.n/ D n.1 sen.1// ! C1:

Análogamente se prueba que no hay convergencia uniforme en  1; a.
Estudiemos si hay convergencia uniforme en Œ a; a. Para todo x 2 Œ a; a tenemos que:

jf .x/ fn.x/j D jx x'.x=n/j D jxjj1 '.x=n/j 6 aj1 '.x=n/j:

Dado " > 0, sea ı > 0 tal que j1 '.t/j < "=a siempre que jtj < ı. Tomemos un
número natural n0 tal que 1=n0 < ı=a. Entonces, para todo n>n0 y para todo x 2 Œ a; a
se tiene que jx=nj 6 a=n 6 a=n0 < ı, por lo que:

jf .x/ fn.x/j 6 aj1 '.x=n/j < ";

y por tanto, para todo n > n0 es maKx fjf .x/ fn.x/j W x 2 Œ a; ag < ". Hemos probado
así que ffng converge uniformemente en Œ a; a.
©

Ejercicio resuelto 247 Estudia la convergencia uniforme en RCo , de la sucesión de funciones
ffng definidas para todo x 2 RCo por:

nCx
fn.x/ D arc tg 1 C nx :

Solución. Como fn.0/ D arc tg n, y lKım arc tg t D =2, la función límite viene dada
t !C1
por:
arc tg.1=x/; si x > 0
f .x/ D lKım ffn.x/g D
=2; si x D 0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 634

Observa que se trata de una función continua en RCo . Estudiemos si hay convergencia
uniforme en RCo . Para ello es conveniente conocer el signo de la función fn.x/ f .x/.
Teniendo en cuenta que la función arcotangente es inyectiva, se deduce que

fn.x/ f .x/ D 0 si, y sólo si, .n C x/=.1 C nx/ D 1=x lo que equivale a x D 1
(la otra posibilidad x D 1 se descarta porque suponemos que x > 0). En consecuencia,
la función fn.x/ f .x/ debe tener signo constante en cada intervalo Œ0; 1Œ y en 1; C1Œ.
Como:

fn.0/ f .0/ D arc tg n =2 < 0; y lKım .fn.x/ f .x// D arc tg.1=n/ > 0;

x!C1

se sigue que fn.x/ f .x/ < 0 para x 2 Œ0; 1Œ, y fn.x/ f .x/ > 0 para x > 1.
Estudiemos ahora la derivada de fn.x/ f .x/. Un cálculo sencillo nos da:

fn0.x/ f 0.x/ D 2 .1 C x2/..1 1 C 2nx C x2 C 1 C n2/ :
C n2/x2 C 4nx

Por tanto fn0.x/ f 0.x/ > 0 para todo x > 0. En consecuencia fn f es una función
creciente en RCo . Como

f .x/ fn.x/; si x 2 Œ0; 1
fn.x/ f .x/; si x 2 Œ1; C1Œ
jfn.x/ f .x/j D

Resulta que la función jfn f j es decreciente en Œ0; 1 y creciente en Œ1; C1Œ. Conclui-

mos que

( si x 2 Œ0; 1
f .x/ fn.x/6f .0/ fn.0/ D =2 arc tg n; si x 2 Œ1;C1Œ

jfn.x/ f .x/jD fn.x/ f .x/6x!lKımC1.fn.x/ f .x//D arc tg.1=n/;

Por tanto, para todo x > 0, es:

jfn.x/ f .x/j 6 ˇn D maKx f =2 arc tg n; arc tg.1=n/g ; ©
y como fˇng ! 0, la sucesión ffng converge uniformemente en RCo .

Ejercicio resuelto 248 Para cada n 2 N sea

x .x > 0/:
fn.x/ D na.1 C nx2/
P
Prueba que la serie fn:

a) Converge puntualmente en RCo si a > 0, y la convergencia es uniforme en semirrectas
cerradas que no contienen al cero.

b) Converge uniformemente en RCo si a > 1=2.

Solución. a) Como se pide Xestudiar la convergencia en RCo , consideraremos en lo que
x
sigue que x > 0. La serie n>1 na.1 C nx2/ es de términos positivos y, para x > 0,

tenemos que:

lKım n1Ca na.1 x nx2/ D 1
C :
n!1
x

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 635

Por el criterio límite de comparación (o por el criterio de Prinsheim, como se prefiera),
se sigue que la serie converge si, y sólo, si 1 C a > 1, es decir a > 0.

Estudiemos la convergencia uniforme en una semirrecta del tipo Œ ; C1Œ, ( > 0). Co-

mo: x2n
nx2/2
fn0.x/ D 1 1 ;
na .1 C
pp
sSeeadend0u2ceNfátaclilqmueen1te=pqune0 fn es creciente en Œ0; 1= n y decrecipente en Œ1= n; C1Œ.
< . Para todo n > n0 se tiene que 1= n < por lo que fn

es decreciente enPΠ; C1Πy, por tanto, fn.x/ 6 fn. / para todo x > . Puesto que, para
Pa > 0, la serie fn. / converge, se sigue, por el criterio de Weierstrass, que la serie

fn converge uniformemente en Œ ; C1Œ.

X p 1X 1
b) Si a > 1=2 entonces la serie fn.1= n/ D 2 n>1 naC1=2 es convergente (es una

n>1

serie dpe Riemann con exponente aC1=2 > 1). Como paraPtodo x>0 se tiene que fn.x/6
fn.1= n/, el criterio de Weierstrass implica que la serie fn converge uniformemente
en RCo .
©

EjerciPcio resuelto 249 Estudia la convergencia puntual y uniforme de la serie de funciones
fn donde, fn W R ! R es la función dada por:

x n D 0; 1; 2; : : :
fn.x/ D 1 C n2x2

X1
Sea F.x/ D fn.x/, la función suma de la serie. Calcula lKım F.x/ y lKım F.x/.
x!0 x!0
nD0 x<0 x>0

Sugerencia. Para x > 0 se tiene que

kC1 x k C1 x kx

1 C t 2x2 dt 6 fk.x/ D 1 C k2x2 dt 6 1 C t 2x2 dt
k k k1

Solución. Puesto que, para x ¤ 0:

lKım n2 jxj D 1 j ;
n!1 1 C n2x2 jx

se sigue, por el criterio límite de comparación (o por el criterio de Prinsheim, como se
X jxj

prefiera) que la serie n>1 1 C n2x2 es convergente. También converge, evidentemente,
para x D 0.

Para estudiar la convergencia uniforme veamos qué información nos da el criterio de

Weierstrass. Tenemos que:

fn0.x/ D 1 n2x2 :
.1 C n2x2/2

Deducimos que fn es creciente en Œ0; 1=n y decreciente en Œ1=n; C1Œ. Como fn. x/ D
fnP.x/, deducimos que jfn.x/j 6 fn.1=n/ D 1=2n para todo x 2 R. Como la se-

rie 1=2n no es convergente el criterio de Weierstrass no nos dice nada acerca de

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 636

la convergencia uniforme de la serie en todo R (observa que el criterio de Weierstrass da
condiciones suficientes pero no necesarias para la convergencia uniforme). Sin embargo,
dicho criterio sí nos proporciona información cuando consideramos un conjunto de la
forma: A D fx 2 R W jxj > g, donde > 0. Pues, tomando n0 tal que 1=n0 < , para
todo n > n0 se tiene que 1=n < , por lo que fn es decrecientePen Π; C1Πy, en conse-
cuencia jfn.x/j 6 fn. / para todo x 2PA . Puesto que la serie fn. / es convergente,
el criterio de Weierstrass nos dice que fn converge uniformemente en A .

La única duda que queda por resolver es si la serie converge uniformemente en algún
intervalo de la forma Œ ;  con > 0 (en cuyo caso sería uniformemente convergente
en todo R). Pronto saldremos de dudas.

Calculemos los límites laterales en x D 0 de la función suma de la serie. Usando la
sugerencia del enunciado tenemos, supuesto x > 0, que

nC1 x Xn kC1 x Xn kC1 x
1 C t 2x2 dt D 1 C t 2x2 dt 6 1 C k2x2 dt D
kD0 k kD0 k
0 Xn Xn x

D fk.x/ D x C 1 C k2x2 6
k D0 k D1

nX1 kC1 x nx
6x C 1 C t 2x2 dt D x C 1 C t 2x2 dt

kD0 k 0

deducimos que:

Xn
arc tg..n C 1/x/ 6 fk.x/ 6 x C arc tg.nx/:

k D0

Tomando límites para n ! 1 en esta desigualdad obtenemos =2 6 F.x/ 6 =2 C x.
Como esta desigualdad es válida para todo x > 0, se sigue que lKım F.x/ D =2. Como

x!0
x>0

F. x/ D F.x/, se deduce que lKım F.x/ D =2. Por tanto, la función F tiene una

x!0
x<0

discontinuidad de salto en x D 0.
P

Como las funciones fn son continuas en R deducimos que la serie fn no puede ser

uniformemente convergente en ningún intervalo de la forma Œ ;  con > 0 pues, si

así ocurriera, la función suma habría de ser continua en dicho intervalo y, por tanto sería

continua en x D 0 lo que acabamos de probar que no es cierto.

Fíjate en que la función F sí es continua en Rnf0g. Pues cualquier número a¤0 podemos

meterPlo dentro de un conveniente conjunto A , sin más que tomar < jaj, y como la
serie fn converge uniformemente en A , la función suma, F , es continua en A y, por
la propiedad local de la continuidad, se sigue que F es continua en a.
©

P
Ejercicio resuelto 250 Estudia la convergencia puntual y uniforme de la serie fn donde

fn.x/ D nnC1 xn e nx .x > 0/:
n!

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 637

P
Solución. Estudiemos la convergencia puntual. Para x > 0 la serie fn.x/ es de térmi-
nos positivos y podemos aplicar el criterio del cociente. Tenemos que:

fnC1.x/ .n C 1/nC2 n! n C 1 nC1
fn.x/ .n C 1/! nnC1 x
D x e x D e x ! x e1 x:

n

Consideremos la función '.x/ D x e1 x. Se tiene que ' 0.x/ D e1 x.1 x/ y, fácilmen-
te, se deduce que ' es estrictamente creciente en Œ0; 1 y estrictamente decreciente en
Œ1; C1Œ. Luego para x > 0, x ¤ 1 se tiene que '.x/ < '.1/ D 1. Por tanto, el criterio
del cociente implica que la serie converge para todo número x > 0, x ¤ 1.

En este caso el criterio del cociente también proporciona información para x D 1, pues

aunque nC1
n
lKım fnC1.1/ D lKım C 1 e 1 D1;

fn.1/ n

como la sucesión .1C 1=n/nC1 es decreciente, se tiene que dicho límite se acerca a 1 por

valores mayores que 1, es decir fnC1.1/ > 1, lo que claramente implica que ffn.1/g no
fn.1P/
converge a cero y, por tanto, la serie fn.1/ no converge por no cumplir la condición

necesaria básica de convergencia para series.

Estudiemos la convergencia uniforme. Tenemos que:

fn0.x/ D nnC1 nxn 1e nx .1 x/:
n!

Y, al igual que antes, se sigue que fn es estrictamente creciente en Œ0; 1 y estrictamen-

te decPreciente en Œ1; C1Œ. Dado > 1, para todo x > es fn.x/ 6 fn. / Py como la
serie fn. / es convergente, deducimos, por el criterio de Weierstrass, que fn con-

verge uniformemente en Œ ; C1Œ. Análogamente se comprueba que hay convergencia
©
uniforme en intervalos de la forma Œ0;  donde 0 < < 1.

Ejercicio resuelto 251 En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto

 R y, para cada n 2 N, se define una función fn W  ! R . Se pide estudiar la
convergencia puntual en  de la sucesión de funciones, ffng, así como la convergencia
uniforme en los conjuntos A  que se indican en cada caso.

a) D0; Œ; fn.x/ D n2.tg x/n.1 C cos 4x/; A D Œ0; a; A D Œa; ; 0<a< :
b) 2 fn.x/ D x n 4 4
1 ;
 D R; C A D Œa; b; a < b:
n
x
c) D 1; C1Œ; fn.x/ D n log 1 C n ; AD 1; a; A D Œa; C1Œ; a > 1:

Solución. a) Se tiene que fn.0/ D 0 y fn. =4/ D 0 para todo n 2 N. Si 0 < x < =4

entonces ffn.x/g ! 0 porque es una sucesión de la forma n2 n donde 0 < Dtg x < 1.

Para =4 < x < =2 la sucesión ffn.x/g ! C1. El campo de convergencia puntual

es C D Œ0; =4 y la función límite puntual es la función nula. Sea 0 < a < =4. Como

la tangente es creciente en Œ0; Œ, tenemos que:
2

sup fjfn.x/j W x 2 Œ0; ag 6 2n2.tg a/n

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 638

y, como f2n2.tg a/ng ! 0, concluimos que hay convergencia uniforme en Œ0; a. Hay

que sospechar que no hay convergencia uniforme en Œa; =4. Para ello sea xn D 1
4 n

y pongamos un D tg.xn/, vn D n. Tenemos que fung ! 1 y vn ! C1. Tenemos que:

vn.un 1/ D n tg.xn/ tg.xn/ 1D tg.xn/ 1 ! 2
1D xn
1
n 4

tg x 1 D 2 porque es la
Donde hemos usado que lKım e 2 lo que implica derivada de la tangente en
x D =4. Deducimos que x!tg. 4xnx/ n que fn.xn/ ! C1. Como
4

!

fxng ! =4 y 0 < x n < =4, dado a con 0 < a < =4 hay un n0 2 N tal que

a < xn < =4 para todo n > n0. Por tanto, para n > n0 se tiene que:

sup fjfn.x/j W x 2 Œa; =4g > fn.xn/

y concluimos que no hay convergencia uniforme en Œa; .
4

b) La función límite puntual viene dada por:

f .x/ D lKım fn.x / D ex :

n!1

El campo de convergencia puntual es R y la función límite es la función exponencial.

Probaremos que hay convergencia uniforme en todo intervalo de la forma Œ ˛; ˛ donde

˛ > 0. Dado ˛ > 0, sea n0 2 N tal que n0 > ˛. Para todo x 2 Œ ˛; ˛ y para todo n > n0
x ˛ ˛ x
se tiene que n 2 Œ n ; n   1; 1Œ, luego 1C n > 0. En lo que sigue supondremos que

x 2 Œ ˛; ˛ y n > n0.

ˇˇˇex C x nˇˇˇ D ex ˇˇ1 exp x.'.x=n/ 1/ ˇˇ 6 e˛ ˇˇ1 exp x.'.x=n/ 1/ ˇˇ :
1 n

Donde: log.1 C t/
;
'.t / D t t > 1; '.0/ D 1:

Se verifica que lKım '.t/ D 1 por lo que ' es una función continua. Dado " > 0, por
t !1

la continuidad de la exponencial en 0 hay un ı1 > 0 tal que para juj < ı1 se verifica

que j1 euj < " e ˛. Por la continuidad de ' en 0 hay un número ı2 > 0 tal que para
˛
jt j < ı2 se verifica que j'.t / 1j < ı1=˛. Tomemos n1 > n0 tal que n1 < ı2. Entonces

para todo x 2 Œ ˛; ˛ y para todo n > n1 se tiene que:

jxj < ı2 ÷ j1 '.x=n/j < ı1 ÷ ˇˇx '.x=n/ 1 ˇˇ < ı1 ÷
n ˇˇ1 exp ˛ ˛ ÷ ˇˇˇex
C x nˇˇˇ < ":
÷ x.'.x=n/ 1/ ˇˇ < " e 1
n

Lo que prueba que para todo ˛ > 0 hay convergencia uniforme en Œ ˛; ˛ y, por tanto
hay convergencia uniforme en todo intervalo acotado.

c) Tenemos que para todo x 2 R:


x
lKım n log 1 C D x:
n!1 n

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 639

En el ejercicio se supone que x > 1 para que todas las funciones fn estén definidas en

el intervalo  1; C1Œ. Por tanto, el campo de convergencia puntual es  1; C1Œ y la

función límite puntual es la función identidad f .x/ D x. Definamos hn.x/ D x fn.x/.

Tenemos que:

1 nx
nCx D nCx
h0.x/ D 1 nn x D1
1C n

Deducimos que hn0 .x/ < 0 para 1 < x < 0 y hn0 .x/ > 0 para x > 0. Por tanto hn tiene
en el intervalo  1; C1Œ un mínimo absoluto en x D 0, por lo que hn.x/ > hn.0/ D

0. Observa que, para n > 2, hn. 1/ está definido y las funciones hn son continuas en

Œ 1; C1Œ. Como hn decrece en Œ 1; 0 y crece en Œ0; C1Œ , para todo n > 2 y todo

a > 1 se tiene que:

maKx fjhn.x/j W 1 6 x 6 ag D maKx fhn. 1/; hn.a/g ! 0:

Por tanto hay convergencia uniforme en  1; a. Por otra parte se tiene que:

hn.n/ D n n log 2 D n.1 log 2/ ! C1:

Lo que implica que no hay convergencia uniforme en ningún intervalo de la forma
©
Œa; C1Œ.

Ejercicio resuelto 252 Sea f W RCo ! R una función continua, no idénticamente nula con

lKım f .x/ D 0, f .0/ D 0. Sean ffng y fgng las sucesiones de funciones definidas por

x!C1

fn.x/ D f .nx/, gn.x/ D f .x=n/, para todo x 2 RCo y todo n 2 N. Prueba que:

a) ffng y fgng convergen puntualmente a cero en RCo pero la convergencia no es uniforme
en RCo .

b) La sucesión ffngng converge uniformemente a cero en RCo .

Solución. El apartado a) es inmediato. Haremos el apartado b). Observa que en las hipó-

tesis hechas para f la función jf j está acotada, de hecho alcanza un máximo absoluto en

RCo . Sea M > 1 tal que jf .x/j 6 M . Dado " > 0, por hipótesis hay números 0 < a < b

tales que para 0 6 x 6 a y para x > b se verifica que jf .x/j 6 "=M . Sea n0 2 N tal

que b=n0 < a. Para todo n > n0 y para todo x 2 Œa; b se tiene que x=n < a y por
"
tanto jgn.x/j < "=M , lo que implica que jfn.x /gn.x /j D jfn.x /jjgn .x /j 6 M M D ".

Si 0 6 x 6 a entonces también 0 6 x=n 6 a y si b 6 x también es b 6 nx, en cualquier

caso, se sigue que jfn.x/gn.x/j < ". Por tanto, para todo n > n0 y para todo x 2 R es
jfn.x/gn.x/j < ", lo que prueba que la convergencia es uniforme en R.
©

10.42 Observación. El producto de dos sucesiones de funciones uniformemente conver-
gentes puede no ser uniformemente convergente. Considera el ejmplo trivial en que las
sucesiones son fn.x/ D 1=n (una sucesión de funciones constantes que converge uni-
formemente a cero en R) y gn.x/ D x (una sucesión constante, formada por una sola
función, que evidentemente converge uniformemente a dicha función en R). El producto
es la sucesión de funciones fn.x/gn.x/ D x=n que converge puntualmente a cero pero
la convergencia no es uniforme en R.

El ejercicio anterior proporciona un ejemplo de dos sucesiones de funciones que no con-
vergen uniformemente y cuyo producto converge uniformemente.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 640

Puedes probar como fácil ejercicio que si ffng converge uniformemente a f en un con-
junto A, y g es una función acotada en A entonces la sucesión fgfng converge unifor-
memente a gf en A.

Ejercicio resuelto 253 Sea f W R ! R una función de clase C 1 e I D Œa; b un intervalo
cerrado y acotado.

a) Prueba que para todo " q>ue0ˇˇˇˇ existe ı>0 talfq0u.ye/cˇˇˇˇu6al"e.squiera sean x; y 2 I con
0 < jx yj < ı se verifica f .x/ f .y/

x y

b) Para cada n 2 N definamos:

n xC 1
n

fn.x/ D 2 f .t / dt .x 2 R/:

x 1
n

Justifica que ffn0g converge uniformemente a f 0 en I .
Solución. El apartado a) es consecuencia fácil de la continuidad uniforme de f 0 en Œa; b

y del teorema del valor medio. Haremos el apartado b). Tenemos que:

fn0.x/ D 2n f 1 f 1 f x C 1 f x 1
xC xC D x 1 n:
n
n n
x 1 n
n

Ahora basta .exsc/rˇˇi6birˇˇˇˇˇ: f x C 1 f x 1 1 ˇˇˇˇˇ ˇˇˇˇf f 0.x/ˇˇˇˇ
ˇˇfn0.x/ f 0 x n f0 x n x 1
n C 0 n

x C 1 1
n
n

y usando el apartado a) y la continuidad uniforme de f 0 en Œa; b se sigue que ffn0g
converge uniformemente a f 0 en Œa; b.

Ejercicio resuelto 254 Supongamos que f es una función continua en Œa; b y que para todo

n 2 N [ f0g se verifica que:

b

xnf .x/ dx D 0:

a

Prueba que f .x/ D 0 para todo x 2 Œa; b.

Sugerencia. Usa el teorema de aproximación de Weierstrass.

Solución. La hipótesis hecha implica que para toda función polinómica p.x/ se verifica

b

que p.x/f .x/ dx D 0. Por el teorema de aproximación de Weierstrass hay una suce-

a

sión fpng de funciones polinómicas que converge uniformemente e f en Œa; b. Como f
es continua, está acotada en Œa; b por lo que la sucesión fpnf g converge uniformemente
a f 2 en Œa; b. Por tanto:

bb b

f 2.x/ dx D lKım pn .x/f .x / dx D lKım pn.x/f .x/ dx D 0:

aa n!1 n!1 a

Como f 2 es continua y positiva, deducimos que para todo x 2 Œa; b debe ser f 2.x/ D0,
©
esto es, f .x/ D 0.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 641

Ejercicio resuelto 255 Sea ffng una sucesión de funciones que converge uniformemente

a una función f en un intervalo Œa; C1Œ. Supongamos que, para cada n 2 N, existe

x!lKımC1fn.x/Dan 2 R. Prueba que la sucesión fang es convergente y que f tiene límite

en C1, siendo lKım f .x/ D nl!Kım1fang.

x!C1

Sugerencia. La condición de Cauchy permite probar la convergencia de fang.

Solución. Dado " > 0, por la condición de Cauchy para la convergencia uniforme, existe

n0 2 N tal que para todos n; m > n0 y para todo x > a se tiene que jfn.x/ fm.x/j 6 ".
Tomando límites en esta desigualdad para x ! C1 se deduce que jan amj 6 ". Por
tanto la sucesión fang cumple la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente. Sea
a D lKımfang.

Dado " > 0, hay un n0 2 N tal que para todo n>n0 y para todo x>a es jf .x/ fn.x/j <
"=3 y también jan aj < "=3. Pongamos:

jf.x/ aj 6 ˇˇf .x/ fn0.x/ˇˇ C ˇˇfn0.x/ an0 ˇˇ C ˇˇan0 aˇˇ < 2" C ˇˇfn0 .x / an0 ˇˇ :
3

Como lKım ˇˇf<n0 .x/ D an0, existe K > a tal que para todo x > K se verifica que
ˇˇfn0 .x todo
x>K x!C1 "=3. Concluimos, a la vista de la anterior desigualdad, que para
que jf .x/ aj < ". Hemos probado así que lKım f .x/ D a. ©
/ an0

se verifica x!C1

Ejercicio resuelto 256 En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto
 R y, para cada n 2 N, se define una función fn W  ! PR . Se pide estudiar, en cada
caso, la convergencia puntual en  de la serie de funciones, fn, y la continuidad de la
X1
función suma F D fn.

nD1

a)  D R, fn.x/ D e nx.

11
b)  D R, fn.x/ D n x2 C n .

c)  D R n f 1; 1g, fn.x/ D x 2n
1 x2nC1 .

Solución. a) Se trata de una serie geométrica de razón e x, por tanto, dicha serie conver-

ge si, y sólo si, e x < 1, esto es, x > 0. El campo de convergencia puntual es RC. En

este caso podemos calcular la función suma de la serie:

X1 nx D e x x > 0:
F.x/ D e 1
e x

nD1

Es una función continua en RC. Este resultado también puede obtenerse sin necesidad

de calcular la función suma. Para ello, observamos que la serie converge uniformemente

qenueseemnirxre6cetasndaey,lacofomrmo alaŒase; rCie1PŒ deonndaeeas > 0, pues para todo x > a se verifica
convergente, el criterio de convergencia

uniforme de Weierstrass nos dice que la serie converge uniformemente en toda semirrecta

del tipo Œa; C1Œ con a > 0 y, en consecuencia, como es una serie de funciones continuas,

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 642

la función suma es continua en toda semirrecta del tipo indicado. Por el carácter local de
la continuidad, concluimos que la función suma es continua en RC.

b) Sea a > 0. Para todo x 2 Œ a; a se tiene que:

11 x2 x2 a2
fn.x/ D n x2 C n D n.x2 C n/ 6 n2 6 n2 :

Como la serie P 1 es convergente, deducimos por el criterio de convergencia uniforme
n2
de Weierstrass, que la serie converge uniformemente en todo intervalo del tipo Œ a; a y,

por tanto, en todo intervalo acotado. Deducimos también que el campo de convergencia

puntual es todo R y que la función suma es continua en R.

Observa que lKım fn.x/ D 1 Esto nos dice que no convergencia uniforme en
. hay
x!C1 n

semirrectas de la forma cŒao;nCve1rgeŒ,npcoiarquuneifeolrmreesu, lltaadsoervieistPo e1nn el ejercicio resuelto 255
implica que, si hubiera debería ser convergente,

cosa que no es cierto.

c) Sea 0 < a < 1. Para a 6 x < a se tiene que 0 6 x2nC1 6 a2nC1 lo que implica que:

06 x2n a2n
1 x2nC1 6 1 a2nC1 :

Como la sucesión fa2nC1g es decreciente, se tiene que 1 a2nC1 >1 a4 > 0 y deducimos

que: x2n a2n

06 x2nC1 6 1 a4 :
1
serie P a2n es convergente por ser
Como a2n 6 a2n y la por el criterio de comparación, que luansaersieeriPe gae2onmeéstrciocanvdeergreanztóen.
0 < a2 < 1, se sigue,

El criterio de convergencia uniforme de Weierstrass implica que la serie dada converge

uniformemente en Œ a; a. Deducimos que la serie converge puntualmente en  1; 1Œ y

que la función suma es continua en dicho intervalo.

Análogamente, usando que fn.1=x/ D fn.x/, se prueba que la serie converge unifor-

memente en conjuntos de la forma fx 2 R W jxj > ag donde a > 1. Por tanto el campo de
©
convergencia puntual es todo  y la función suma es continua en .

P
Ejercicio resuelto 257 Sea fn una serie de funciones que converge uniformemente en un

Xn
conjunto A. Sea Fn D fk. Prueba que para toda sucesión fxng de puntos de A se

k D1

verifica que la sucesión fF2n.xn/ Fn.xn/g converge a cero.

Solución. Dado " > 0, por la condición da Cauchy para la convergencia uniforme,

hˇˇFayq .uxn/ n0F2n.xN/ˇˇ tal que para todos q > n > n0 y para todo x 2 A se verifica que
6". Haciendo en esta desigualdad q D2n resulta que para todo x 2 A es

jF2n.x/ Fn.x/j6". En particular para x Dxn 2 A se tiene que jF2n.xn/ Fn.xn /j6",
desigualdad que es válida para todo n > n0.
©

Ejercicio resuelto 258 En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto
 R y, para cada n 2 N, se define una función fn W  ! R . Se pide estudiar, haciendo

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 643

uso de los criterios dePDirichlet o de Abel, la convergencia puntual y uniforme en  de
la serie de funciones fn.

a)  D R; fn.x/ D . 1/n
.
x2 C n

. 1/n
b)  D Œ2; C1Œ; fn.x/ D nx C . 1/n .

sen.nx/
c)  D Œ0; ; fn.x/ D p.
n

Solución. a) Pongamos gn.x/ D 1 . Para cada x 2R la sucesión ffn.x/g es monó-
n
x2 C 1
n
tona decreciente. Además como para todo x 2R es 0 < gn.x/ 6 , se verifica que fgng

converge uniformemePnte a cero en R. El criterio de convergencia uniforme de Leibniz
nos dice que la serie fn converge uniformemente en R. Observa que no hay conver-
gencia absoluta en ningún punto.
©

b) Pongamos:

. 1/n . 1/n nx . 1/n 1/n nx 1
fn.x/ D nx C . 1/n D D. n2x2 :
n2x2 1 n2x2 1
1

n 2 N y todo x > 2 se verifica que 0 11
Como para todo es convergente, se sigue, por el criterio < n2x2 1 6 4n2 y
de Weierstrass que la 1
la serie P 1 1 serie
X 1 4n2

n2x2 converge uniformemente en R.
1n
n>1

nx
Pongamos gn.x/ D n2x2 1 . Se comprueba enseguida que gnC1.x/ 6 gn.x/. Además:

gn0 .x/ D n C x2n3
.n2x2 1/2

Por lo que gn es decreciente. En consecuencia, para todo x > 2 se verifica que 0 <

gn.x/ 6 gn.2/. Puesto que fgn.2/g ! 0, deducimos que la sucesión fgng converge

udniciefoqrumeelma esnetreieaPce.ro1e/nngPŒ2n; C1Œ. El criterio de convergencia uniforme de Leibniz nos
converge uniformemente en Œ2; C1Œ.

Hemos probado así que fn es la suma de dos series uniformemente convergentes

en Œ2; C1Œ y, por tanto, ella misma es uniformemente convergente en dicho intervalo.
©
Observa que no hay convergencia absoluta en ningún punto del intervalo.
p
c) Como la sucesión f1= ng es decreciente y converge a 0, parece apropiado aplicar el

criterio de Dirichlet. Hemos visto en el ejercicio resuelto 42 que:


nC1
Xn sen x
n x sen 2x
Gn.x / D k D1 sen.k x/ D sen 2 2

Por lo que, para cada 0 < x 6 y para todo n 2N se verifica que jGn .x /j 6 1 . El
P
sen.x=2/

criterio de Dirichlet 9.43 nos dice que la serie fn.x/ es convergente. Puesto que para

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 644

x D 0 la serie es trivialmente convergente, concluimos que el campo de convergencia

puntual en Œ0; . Supongamos que 0 < a < . Entonces como la función seno es positiva

y creciente en Œ0; =2 se verificará que 0 < sen.a=2/ 6 sen.x=2/ para todo x 2 Œa; .

Resulta así que:

jGn.x/j 6 1
:
sen.a=2/

Desigualdad que es válida para todo n 2 N y para todo x 2 Œa; . Por tanto, la sucesión
fGng Pestá uniformemente acotada en Œa; . El criterio de Dirichlet 10.13 nos dice que la
serie fn converge uniformemente en Œa; .

Queda por estudiar si hay convergencia uniforme en Œ0; a donde 0 < a < . Observamos

que:
nC1 nC1
sen n

Gn.2=n/ D sen.1/ sen 1 n sen.1/ sen n ! C1:

n

Esto nos indica que no va a haber convergencia uniforme en Œ0; a. De hecho, podemos

usar el resultado del ejercicio resuelto 257 con xn D 2=n. Observa que xn 2 Œ0; a para

todo n suficientemente grande. Tenemos que:


2n C 1 nC1
G2n.xn/ Gn.xn/ n sen.2/ sen sen.1/ sen ! C1:
n n

Lo que implica, por el citado ejercicio, que no hay convergencia uniforme en Œ0; a. ©

EjercicciiaosrPesucenlxton, 259 Calcula el radio de convergencia de cada una de las series de poten-
y estudia el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo de

convergencia, en los siguientes casos:

p 1 n
nn
a/ cn D ; b/ cn D .n C 1/log.nC1/; c/ cn D e 1C
n2 C n C 1 n
p
d/ cn D 1 3 5 .2n C 1/ f / cn D .n n!
2 4 6 .2n C ; e/ cn D a n .a > 0/; C 1/n

2/

Solución. a) Aplicando el criterio del cociente o de la raíz es muy fácil probar que
cnC1 ! p
cn 1 o que n cn ! 1. Por tanto el radio de convergencia es 1. Como cn >0
1. Se comprueba fácilmente que para
y cn 1 la serie P cnxn no converge para x D
n

nP>c5nxesn cnC1 < cn y como, además, fcng ! 0. el criterio de Leibniz implica que la serie
converge para x D 1.
©

b) El criterio de la raíz nos da: !
.log n/2 ! exp.0/ D 1:
qq
n .n C 1/log n D n exp .log n/2 D exp n

Por tanto, el radio de convergencia es 1. No hay convergencia en 1 ni tampoco en 1
porque fcng no converge a 0.

c) No es inmediato en este caso aplicar el criterio del cociente ni el de la raíz. Pero

sabemos que:

e .1 C x / 1 e
x
lKım D :
x!0 x 2

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 645

Por tanto e 1e
.1 C xn/ xn 2 xn siempre que fxng ! 0. En particular, tenemos que:

1 n e 1
cn D e 1C :
n 2n

Por tanto, recordando lqasueoblasesrevraieciPone2es 10.25, se sigue que la serie dada tiene el mismo
radio de convergencia serie tiene, evidentemente, radio
1 xn. Pero esta
n
e1
de convergencia R D 1. Para x D1 la serie dada no converge porque 0 < cn 2n y

sPe .apl1ic/nacenl criterio límite de comparación con la serie armónica. Para x D 1 la serie
es una serie alternada y fcng es decreciente y convergente a 0, luego dicha

serie converge en virtud del criterio de Leibniz. ©

d) Se aplica el criterio del cociente.

cnC1 D cn D 2n C 3 ! 1:
cn 2n C 4

El radio de convergencia es R D 1. Para estudiar la convergencia para x D 1 se aplica el
©
criterio de Raabe y para x D 1 el criterio de Leibniz.

f) Aplicamos el criterio del cociente.

cnC1 .n C 1/! .n C 1/n C 1 nC1 1 nC1 1
cn D .n C 2/nC1 n! D n C 2 D 1 !:
n nC2 e

El radio de convergencia es R D e. La serie no converge para x D ˙ e porque la sucesión

fcn enng no converge a cero. De hecho, usando la fórmula de Stirling (8.26) se tiene que:

n! p n nn e n p n n
C 1/n 2 D 2 n ! C1:
cn en D en en
.n .n C 1/n nC1

©

Ejercicio resuelto 260 Calcula la función suma de la serie de potencias X x2n .

n>1 n.2n 1/

Solución. Empezamos viendo para qué valores de x la serie dada converge absoluta-
X jxj2n
mente. Para ello, aplicamos el criterio del cociente a la serie . Pongamos
n.2n 1/
n>1

an D jxj2n . Puesto que:
n.2n 1/

anC1 D .n jx j2.nC1/ 1/ n.2n 1/ D jxj2 n.2n 1/ 1/ ! jxj2;
an C 1/.2n C jxj2n .n C 1/.2n C

deducimos que la serie dada converge absolutamente si jxj2 < 1, es decir, si jxj < 1. De-
ducimos así que  1; 1Œ es el intervalo de convergencia de la serie. Sea f W 1; 1Œ! R
la función suma de la serie:

X1 x2n 1 < x < 1:
f .x/ D

n.2n 1/

nD1

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 646

Recuerda que las series de potencias pueden derivarse e integrarse término a término en
su intervalo de convergencia. Por tanto, para 1 < x < 1 tenemos que:

X1 x2n 1
2
f 0.x/ D 2n 1

nD1

X1 X1 2
f 00.x/ D 2x2n 2 D 2.x2/n D x2 :

nD1 1
nD0

Puesto que f .0/ D f 0.0/ D 0, deducimos que:

x 2
t2 dt
f 0.x/ D 1 D log.1 C x/ log.1 x/:

0

Por tanto:

x

f .x/D .log.1Ct/ log.1 t// dt D.1Cx/ log.1Cx/C.1 x/ log.1 x/ .x 2 1; 1Œ/:

0

©

X x3n
Ejercicio resuelto 261 Calcula la función suma de las series de potencias .n C 1/ 2n y

n>0

X n.x C 3/n
2n .

n>1

Solución. Sea X1
D tn
f .t/ D 1 . 1 < t < 1/:

1t nD0

Tenemos que:

tf 0.t / D t D X1 . 1 < t < 1/:
.1 ntn
t /2
nD1

Haciendo en estas igualdades t D x3=2, supuesto que 1 < x3=2 < 1, deducimos que:

X1 x3n X1 x3 !n X1 x3 !n 1 x3=2 4
.n C 1/ 2n D Cn D x3=2 C .1 x3=2/2 D .x3 2/2
nD0 nD0
2 21

nD1

Análogamente, haciendo t D .x C 3/=2, supuesto que 1 < .x C 3/=2 < 1, obtenemos:

X1 n.x C 3/n D X1 x C 3 n D xC3 D 3Cx
2n n 2 .x C 3/=2/2 2 .5 C x/2 :
2.1 C
nD1 nD1

©

Ejercicio resuelto 262 Dado un número natural q 2 N, prueba la igualdad:

11 X1 . 1/n
1 C xq dx D :
0 nD0 qn C 1

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 647

Calcula el valor de la suma de las series correspondientes a los valores de q D 1; 2; 3.

Solución. Podemos hacer este ejercicio directamente, con un sencillo cálculo. Como
sigue a continuación.

En la igualdad:

Xn 1/k uk D 1 . 1/nC1unC1
. ;

k D0 1Cu

hagamos u D xq para obtener:

Xn 1/k xqk D 1 . 1/nC1xqnCq :
.
1 C xq
k D0

Integrando esta igualdad en el intervalo Œ0; 1, obtenemos

11 Xn . 1/k 1 . 1/nC1xqnCq
1 C xq dx D qk C 1 C 1 C xq dx :
0 k D0 0

Tomando ahora límites para n ! 1, y teniendo en cuenta que:

ˇˇˇˇˇˇ 1 . 1/nC1 x q nCq dx ˇˇˇˇˇˇ 6 1 ˇˇˇˇˇ . 1/nC1 x q nCq ˇˇˇˇˇ dx 6 1 1
0 1 C xq 0 1 C xq D qn C q C 1;
xqnCq dx

0

obtenemos la igualdad:

11 X1 . 1/n
1 C xq dx D :
0 nD0 qn C 1

Finalmente 11

dx D log 2 D X1 . 1/n

1Cx nC1
0 nD0

11 X1 . 1/n
1 C x2 dx D 4 D 2n C 1
0 nD0

11 log 2 X1 . 1/n
1 C x3 dx DpC D
0 33 3 3n C 1

nD0

También podemos hacer este ejercicio teniendo en cuenta que:

1 X1 1/n .x q /n .jxj < 1/:
1 C xq D .
nD0

Como las series de potencias pueden integrarse término a término en su intervalo de
convergencia, se sigue que para todo 0 < t < 1 es

t1 X1 1/n t X1 1/n t qnC1
1 C xq dx D . xqn dx D . qn C 1

0 nD0 0 nD0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 648

X 1/n t qnC1 , es una serie de potencias cuyo intervalo de convergen-
Ahora, la serie . qn C 1

n>0

cia es  1; 1Œ y que, en virtud del criterio de Leibniz para series alternadas, converge

para t D 1. En consecuencia, por el teorema de Abel, se verifica que dicha serie converge

uniformemente en Œ0; 1 y por tanto

X1 1/n t qnC1 X1 1/n 1 :
lKım . D.
t !1 qn C 1 qn C 1
t <1 nD0
nD0

Como, evidentemente, se verifica que

t1 11
lKım 1 C xq dx D 1 C xq dx
00
t !1

Deducimos que

11 X1 1/n 1 :
1 C xq dx D . qn C 1
0 nD0

©

X
Ejercicio resuelto 263 Expresa la función suma de las series de potencias nxn 1, y

n>1

X n xn X1 n
C 1 2n.n C
n por medio de funciones elementales y calcula el valor de 1/ .

n>1 nD1

Solución. Sea f .x/ D 1 X1 1 < x < 1. Entonces
D xn, donde
1x
nD0

f 0.x/ D 1 D X1 1 . 1 < x < 1/:
.1 x/2 nxn

nD1

También X1
nxn
.1 x D . 1 < x < 1/:
x/2
nD1

Integrando esta igualdad obtenemos:

xt t /2 dx D 1 x C log.1 X1 n x nC1 . 1 < x < 1/:
x x/ D
.1 nC1
0 nD1

Deducimos que:

X1 n xn D 1 C log.1 x/ . 1 < x < 1/:
n C 1 x
nD1 1 x

En particular, haciendo x D 1 resulta que X1 n 1/ D 2 2 log 2: ©
2 2n.n C

nD1

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 649

Ejercicio resuelto 264 Calcula el radio de convergencia y la suma de las series:

X n3 C n C 3 xnI X n3 xnI X 1 xn:
nC1 n! 1 C 2 C C n
n>0 n>0 n>1

Solución. Cualquier serie de potencias del tipo P R.n/xn donde R.n/ es una función

racional de n, es decir, R.n/ D P .n/ donde P y Q son funciones polinómicas, tiene
Q.n/

radio de convergencia 1. Pues:

R.n C 1/ D P .n C 1/Q.n/
R.n/ P .n/Q.n C 1/

es cociente de dos funciones polinómicas en n que tienen el mismo grado y el mismo
coeficiente líder, luego su límite para n ! 1 es igual a 1.
Cualquier serie de potencias del tipo P P .n/ xn donde P .n/ es una función polinómica,

n!
tiene radio de convergencia infinito. Pues:

P .n C 1/ n! P .n C 1/ 1
D;

.n C 1/! P .n/ P .n/ n C 1

y basta notar que, evidentemente, lKım P .n C 1/=P .n/ D 1.

n!1

Teniendo en cuenta que 1 C 2 C C n D n.n C 1/=2 se sigue que las series primera

y tercera tienen radio de convergencia 1 y la segunda serie tiene radio de convergencia
C1.
Para calcular la suma de la serie X n3 C n C 3 xn lo más fácil es expresar n3 C n C 3

nC1

n>0

en potencias de n C 1. Para ello basta expresar el polinomio P .x/ D x3 C x C 3 por
medio de su desarrollo de Taylor centrado en x D 1. Como P . x/D P .x/ la derivada
segunda de P en x D 0 es cero. Tenemos así que:

x3 Cx C3DP. 1/ C P 0. P 000. 1/ .x C 1/3 D 1 C 4.x C 1/ C .x C 1/3:
1/.x C 1/ C
3!

Luego

X1 n3 C n C 3 X1 1 X1 xn X1
xnD C 4 C .n C 1/2 xnD C .n2C2nC5/xn:
nC1 nC1 nC1
nD0 nD0 nD0 nD0

La serie P xn=.n C 1/ se obtiene integrando la serie geométrica P xn y dividiendo por

x, de donde se sigue que

X1 xn log.1 x/ . 1 < x < 1/:
D
nC1 x
nD0

La suma de la serie P.n2 C 2n C 5/xn puede calcularse también derivando dos veces

la serie geométrica. Seguiremos teipl oprPoceQdi.mn/iexnntodognedneerQal.pna/raessuumn parolsienroiemsiaorietnmné.tico –
geométricas, es decir, series del

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 650

En nuestro caso Q.n/ D n2 C 2n C 5. Observa que Q.n C 1/ Q.n/ D 3 C 2n, por tanto:

Xn Xn Q.k /x k C1
Q.k /x k .1 x/ D Q.k/xk

k D0 k D0

nX1 Q.x k C1 C Q.0/ Q.n/xnC1D
D Q.k C 1/ /x

k D0

nX1
D .3 C 2k/xkC1 C 5 Q.n/xnC1

k D0

Tomando límites para n ! 1 en esta igualdad, teniendo en cuenta que para 1 < x < 1
es lKım Q.n/xnC1 D 0, se tiene:

n!1

X1 5 C 1 X1
Q.n/xn D .3 C 2n/xnC1D
1x 1x
nD0 nD0
X1
D5 C .1 3x C 2x2 nxn 1D
1x x/2 1x
nD1
5 3x 2x2 4x2 7x C 5
D 1 x C .1 x/2 C .1 x/3 D .1 x/3

Finalmente

X1 n3 C n C 3 xn D log.1 x/ 4x2 7x C 5 . 1 < x < 1/:
nC1 x C x/3
nD0 .1

X 1 xn D X 2 xn
C n n.n C 1/
La suma de la tercera serie 1 C 2 C puede obtenerse

n>1 n>1

muy fácilmente integrando dos veces slaersieersiedgeeloamfoértrmicaa.PSeRgu.inr/exmnosdoontrdoepRro.cne/diems iuenna-
to que suele ser efectivo para sumar

función racional de n y que consiste en descomponer R.n/ en elementos simples. En

nuestro caso tenemos 2 22

R.n/ D n.n C 1/ D n :
nC1

Como X1 xn D log.1 x/, se obtiene fácilmente que:

nD1 n

X1 2 xn D 2 log.1 x/ C 2 log.1 x/ C x :
n.n C 1/ x
nD1

X n3 xn, ex X1 1 xn.
D
Para sumar la serie usaremos que La idea consiste en escribir
n! n!
n>0 nD0

el polinomio como n3 Dn.n 1/.n 2/CAn.n 1/CBnCC . Identificando coeficientes

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 651

resulta A D 3; B D 1; C D 0. Por tanto

X1 n3 xn X1 n.n 1/.n 2/ C 3n.n 1/ C n xnD
n! D
n!
nD0 nD0
X1 X1 X1
D 1 xn C 3 xn C x xnD.x3C3x2 Cx/ ex

nD3 .n 3/! nD2 .n 2/! nD1 .n 1/!

Este método puede usarse para sumar series del tipo X P .n/ xn donde P .n/ es un
n! ©
polinomio.

Ejercicio resuelto 265 Calcula la función suma de la serie de potencias X xn y

n>1 n.2n C 1/

deduce el valor de las sumas de las series:

X1 X . 1/n
n.2n C 1/ y n.2n C 1/ :
n>1 n>1

X 1 xn es el
Solución. Observa que el intervalo de convergencia de la serie
n>1 n.2n C 1/

intervalo  1; 1Œ y que la serie converge también en los extremos del intervalo de con-

vergencia. Sea f W Œ 1; 1 ! R la función suma:

X1 1 xn . 1 6 x 6 1/:
f .x/ D
n.2n C 1/
nD1

Como consecuencia del teorema de Abel, la función f es continua en Œ 1; 1.

Nota Observa que puede aplicarse el criterio de Weierstrass en el intervalo Œ 1; 1; lo
que justifica, sin necesidad de recurrir al teorema de Abel, que la serie converge unifor-
memente en Œ 1; 1 y, por tanto, la función f es continua en Œ 1; 1.

Por el teorema de derivación para funciones definidas por series de potencias, sabemos
que la función f es indefinidamente derivable en el intervalo  1; 1Œ y

X1 xn 1
f 0.x/ D
2n C 1 . 1 < x < 1/:

nD1

Por tanto: X1
xf 0.x/ D
xn . 1 < x < 1/:

nD1 2n C 1

La forma que tiene f 0 nos sugiere considerar la función

X1 x2nC1 . 1 < x < 1/
g.x/ D

2n C 1

nD0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 652

que se calcula fácilmente, pues

X1 1
g 0.x/ D x2n D x2 :

1
nD0

Como g.0/ D 0, deducimos que

g.x/ D x1 1 1
t 2 dt D log.1 C x/ log.1 x/:
1 2 2
0

Ahora relacionaremos f 0 con g. Para 0 < x < 1 tenemos que:

p X1 .px/2nC1 p X1 .px/2nC1 p p X1 xn
g. x/ D D xC D xC x D
2n C 1 2n C 1 2n C 1
pnD0 nD1 nD1
x p
D C x xf 0.x/:

De donde:

p 1 D log.1 C pp x/
g. x/ x x/ plog.1 1
f 0.x/ D p 2x x x .0 < x < 1/:
xx

Integrando por partes se obtiene que una primitiva de f en 0; 1Œ viene dada por:

p pp p .0 < x < 1/:
h.x/ D .1 x/ log.1 x/p .1 C x/ log.1 C x/

x

Deducimos que:

f .x/ D h.x/ lKım h.x/ D 2 C h.x/ .0 6 x < 1/:

x!0

Como f es continua en Œ 1; 1, obtenemos que:

f .1/ D X1 1 D lKım f .x/ D 2 lKım h.x/ D 2 2 log 2:

n.2n C 1/ x!1 x!1

nD1

Consideremos ahora que 1 < x < 0. Tenemos:

xf 0.x/ D jxjf 0. jxj/ D X1 . 1/n jxjn . 1 < x < 0/:
2n C 1

nD1

Consideraremos ahora la función . 1 < x < 1/:
'.x/ D X1 . 1/n x2nC1
2n C 1

nD0

Como X1
. 1/nx2n D
' 0.x/ D 1
1 C x2;
nD0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 653

y '.0/ D 0, deducimos que:

'.x/ D x1
1 C t 2 dt D arc tg x:
0

Al igual que antes deducimos que: . 1 < x < 0/;
pp

f 0.x/ D x aprc tg. x/
xx

o lo que es igual:

pp
x arc tg. x/
f 0. x/ D p .0 < x < 1/:
xx

Como f 0. x/ es la derivada de la función x 7! f . x/, integrando por partes se

obtiene que una primitiva de la función x !7 f . x/ en 0; 1Œ es:

p .0 < x < 1/:
arc tg. x/
H .x/ D 2 p C log.1 C x/

x

Deducimos que

f . x/ D H .x/ lKım H .x/ D H .x/ 2 .0 6 x < 1/:

x!0

Como f es continua en Œ 1; 1, obtenemos

f . 1/ D X1 . 1/n
D lKım f . x/ D lKım H .x/ 2 D C log 2 2:
n.2n C 1/ x!1 x!1 2
nD1

©

Ejercicio resuelto 266 Prueba que las funciones definidas por:

sen x f .x/ D ex 1 ; f .0/ D 1
g.x/ D ; g.0/ D 1;
xx
cos x 1 log.1 C x/
h.x/ D x2 ; h.0/ D 1=2; '.x/ D x ; '.0/ D 1

son de clase C 1 en su intervalo natural de definición.

Solución.

10.43 Estrategia. Para probar que una función es de clase C 1 en un intervalo I es
suficiente probar que dicha función es la suma de una serie de potencias convergente en
el intervalo I .

LteansemfuonsciuonnaessdereileedneunpcoitaednociraesspPoncdne.nxtodaas/enl,lacsonalrsaidgiuoiednetecmonovdeerlgoe.nScuiaponnoganmuloos. que
Sea

X1
I el intervalo de convergencia de la serie y sea F W I ! R , F.x/ D cn.x a/n

nD0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 654

la función suma. En virtud del teorema de derivación para series de potencias, sabemos
que la función F es de clase C 1 en I . Sea ahora q 2 N y consideremos la función

G W I ! R dada por

F .x / Xq ck .x a/k

G.x/ D k D0 ; G.a/ D cqC1:

.x a/qC1

Es evidente que

X1 x 2I:
G.x/ D cqC1Cn.x a/n

nD0

Por tanto, la función G es la suma de una serie de potencias en el intervalo I y, por tanto,
G es de clase C 1 en I .

Teniendo en cuenta que

X1 . 1/n x2n .x 2 R/
g.x/ D
.2n C 1/!
nD0
f .x/ D X1 1 xn 1
n! .x 2 R/

nD1
X1 .
h.x/ D 1/n x2n 2 .x 2 R/

nD1 .2n/!

X1 . 1/n xn . 1 < x < 1/
'.x/ D
nC1
nD0

Se sigue que las funciones g; f; h son de clase C 1 en R y la función ' es de clase C 1

en  1; 1Œ. Pero es evidente que ' es de clase C 1 en 1=2; C1Œ, luego ' es de clase
©
C 1 en  1; C1Œ.

Ejercicio resuelto 267 Prueba que la función f W ; Œ! R dada por:

f .x/ D x sen x f .0/ D 1;
log ;
sen x x x

es de clase C 1. Calcula lKım f .x/ 1 1 x2 .
x4 12
x!0

Solución. Las funciones:

X1 . 1/n x2n .x 2 R/;
g.x/ D .jx 1j < 1/
.2n C 1/!
nD0

h.x/ D X1 . 1/n .x 1/n

nD0 nC1

son de clase C 1 en R y en 0; 2Œ respectivamente. Además:

g.x/ D sen x g.0/ D 1I h.x/ D log x ; h.1/ D 1:
; x1
x

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 655

Como para todo x 2 ; Œ, x ¤0 es 0 < g.x/ D sen x < 1, tenemos que:
x

f .x/ D log sen x D h.g.x//; f .0/ D h.g.0// D 1:

x

sen x 1
x

Concluimos que f es de clase C 1 en  ; Œ por ser composición de funciones de clase
C 1.

Pongamos:

g.x/ X1 . 1/n x2n D 1 x2 C 1 x4 C '.x/:
1D .2n C 1/! 3! 5!

nD1

Deducimos que:

f .x/ D h.g.x// D X1 . 1/n .g.x/ 1/n D 1 1 1 1/2 C .x/;
.g.x/ 1/ C .g.x/
nD0 nC1
2 3

donde: 1/3 X1 .

.x/ D .g.x/ 1/n 1/n 3:
.g.x/
nC1
nD3

Observa que es continua. Además, como para x ! 0 es g.x/ 1 1 x2, se verifica
3!
1/3 1 6 .x/ D o.x4/ para x ! 0.
que .g.x/ .3!/3 x y, por tanto,

Haciendo las operaciones indicadas en la igualdad anterior, calculando solamente los
términos hasta la potencia x4, obtenemos:

f .x/ D 1 C 1 x2 1 1 x4 C 1 1 x4 C o.x4/ D 1 C 1 x2 C 11 x4 C o.x4/:
12 2 5! 3 .3!/2 12 2160

Deducimos que:

f .x/ 1 1 x 2 11
lKım x4 12 :
D
x!0 2160

Puedes comprobar este resultado calculando el límite por L’Hôpital. ©

Ejercicio resuelto 268 Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada en a D 4 de la

función: 2x3 x2 C 2x 7
f .x/ D x4 x3 3x2 C x C 2 :

La función que nos dan parece bastante impresionante, pero no es tan fiera como parece.

Es una función racional y lo que se hace para obtener su desarrollo en serie de potencias

es descomponerla en fracciones simples, algo que ya sabes hacer. Si el denominador

solamente tiene raíces reales es muy sencillo calcular la serie de potencias que nos piden,

porque en tal caso las fracciones simples van a ser, salvo constantes, de los dos tipos

siguientes:

a/ 1 ; b/ 1 ˛/n :
x˛ .x

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 656

Las fracciones del tipo a/ pueden desarrollarse en serie de potencias centradas en el
punto que queramos a ¤ ˛, basta escribir:

1 1 11
D D x a:
x ˛˛ a .x a/ ˛ a1
˛a

Psueprouelsatoúqltuime aˇˇ x˛fraaacˇˇc<ión1,esse la suma de una serie geométrica de razón x a , por tanto,
verifica que: ˛ a

1 1 X1 x a n X1 1 a/n jx aj < j˛ aj:
D D .˛ a/nC1 .x
x˛ ˛a ˛
nD0 a nD0

Derivando respecto a x esta igualdad obtenemos:

1 D X1 n a/n 1 jx aj < j˛ aj:
˛/2 a/nC1 .x
.x nD1 .˛

Las sucesivas derivadas nos dan el desarrollo en serie de potencias centrado en a de las

fracciones del tipo b/.

En nuestro caso, se calcula fácilmente la descomposición en fracciones simples:

12 1
f .x/ D .x C 1/2 C x C 1
x 1

Según acabamos de ver, las fracciones obtenidas puedes desarrollarlas en series de po-
tencias centradas en cualquier punto que no sea una raíz del denominador. Te dejo que
acabes tú el ejercicio.

Esto puede complicarse mucho cuando el denominador tiene raíces complejas, en cuyo

caso solamente pueden obtenerse con facilidad algunos desarrollos centrados en puntos
©
particulares (las partes reales de las raíces imaginarias).

Ejercicio resuelto 269 Calcula explícitamente el valor de an, n = 0,1,2,... sabiendo que se
verifica la siguiente relación de recurrencia:

anC2 D 2anC1 an; a0 D 1; a1 D 3:

Solución. Usaremos el método de la función generatriz que se basa en la consideración
X1

de la función f .x/ D anxn. Se supone que dicha función está definida en algún

nD0

intervalo centrado en el origen. Tenemos que:

X1 X1
f .x/ D a0 C a1x C anxn D a0 C a1x C anC2xnC2D

nD2 nD0

X1 2anC1 an nC2D
D a0 C a1x C x

D a0 C a1x nD0 X1
x2 anxnD
X1
2x anC1xnC1

nD0 nD0

X1
D a0 C a1x 2x anxn x2f .x/ D a0 C a1x 2x.f .x/ a0/ x2f .x/:

nD1

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 657

De esta igualdad se obtiene que:

f .x/ D a0 C a1x C 2xa0 D 1 x D 1 1
D 1 C 2x C x2 .1 C x/2 .1 C x/2 x .1 C!x/2 D
x/n C x X1 !
d1 d 1 d X1 d . x/n D
Cx D .
dx 1 C x dx 1 C x dx dx nD0
nD0

X1 X1 X1
D . 1/nnxn 1 C . 1/nnxn D 1 C . 1/n.2n C 1/xn:

nD1 nD1 nD1

Obtenemos así que para todo n > 1 es an D . 1/n.2n C 1/. Puedes comprobar ahora que
efectivamente se verifica la igualdad anC2 D 2anC1 an.
©

Ejercicio resuelto 270 Definamos f W RCo ! R por:

f .x/ D 1 e x2.1Ct 2/
1 C t 2 dt :
0

Prueba que:

a) f .0/ D =4, y lKım f .x/ D 0.

x!C1

b) Usando un desarrollo en serie para f , prueba que f es derivable en RC y:

f 0.x/ D 1

2x e x2.1Ct2/ dt :

0

c) Justifica que para todo x > 0 se verifica que:

x !2
D:
f .x/ C e t2 dt 4

0

C1 p
.
d) Deduce de lo anterior que e x2 dx D 2

0

Solución. a) Tenemos que.

11
f .0/ D 1 C t 2 dt D arc tg 1 arc tg 0 D :
4
0

Además: ˇˇˇˇˇ e x2.1Ct 2/ ˇˇˇˇˇ ˇˇˇe x2.1Ct2/ˇˇˇ 6 e

1 C t2 6 x2 :

Desigualdades válidas para todo t 2 R, en particular para t 2 Œ0; 1, lo que implica que:

1

0 6 f .x/ 6 e x2 dt D e x2 ÷ lKım f .x/ D 0:

x!C1
0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 658

b) Tenemos que e x2.1Ct 2/ D X1 1/n .1 C t 2/n x2n. Por tanto:
.
n!
nD0

f .x/ D 1 X1 . 1/n .1 C t 2/n 1

n! x2n dt :

0 nD0

Se trata de permutar la suma de la serie con la integral. Como la variable de la integral
es t 2 Œ0; 1, en lo qXue sigue consideramos que x 2 R es un número fijo. Consideremos la
serie de funciones gn donde para n D 0; 1; 2; : : : gn W Œ0; 1 ! R es la función dada

n>0

para todo t 2 Œ0; 1 por:

gn.t / D . 1/n .1 C t 2/n 1
n!
x2n:

En esta exprXesión debes considerar que x está fijo y la variable es t 2 Œ0; 1. Probaremos
que la serie gn converge uniformemente en Œ0; 1 lo que permitirá permutar la suma

n>0

de la serie con la integral. Tenemos que para n > 1 es:

jgn.t /j D .1 C t 2/n 1 6 2n 1 6 22 n x 2 n D .4x2/n
n! n! n!
x2n n! x2n

Como también jg0.t /j 6 1, y la serie X .4x2/n
es convergente, podemos aplicar a la
P n>0 n!

serie gn el criterio de convergencia uniforme de Weierstrass y concluimos que dicha

serie converge uniformemente en Œ0; 1. Por tanto:

01
X1 1 1 X1 1
f .x/ D . 1/n .1 C t 2/n x2n dt D @ . 1/n .1 C t 2/n 1
n! n!
dt A x2n:

nD0 0 nD0 0

Como esta igualdad es válida para cualquier número real x hemos expresado la función f

como suma de una serie de potencias convergente en todo R. Por el teorema de derivación

para series de potencias, tenemos que f es derivable y su derivada viene dada por:

01
X1 1
f 0.x/ D @ . 1/n 2n.1 C t 2/n 1 1D
n!
dt A x2n

nD1 00 1
X1 1 X1 1
D 2x @ . 1/n .1 C t 2/n 1 2D 2x . 1/n .1 C t 2/n x2ndt D
.n 1/! n!
dtAx2n

nD1 0 ! nD0 0
. 1/n .x2/n.1 C t 2/n dt D
D 1 X1 n! 1
2x
2x e x2.1Ct2/ dt :

0 nD0 0

c) Pongamos para todo x > 0: x !2
h.x/ D f .x/ C e t2 dt :

0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Los primeros desarrollos en serie 659

Tenemos que h.0/ D f .0/ D =4 y h es una función derivable en el intervalo Œ0; C1Œ.
Tenemos:

x1

h0.x/ D f 0.x/ C 2 e x2 e t2 dt D Œt D xu D f 0.x/ C 2 e x2 e x2u2 x du D

0 0

1

D f 0.x/ C 2x e x2.1Cu2/ du D 0:

0

Luego, h es constante y, por tanto, h.x/ D h.0/ D =4 para todo x > 0.

d) Tomando límites para x ! C1 en la igualdad:

x t2 dt r f .x/
D
e 4

0

C1 p
.
obtenemos que e x2 dx D 2 ©

0

10.6. Los primeros desarrollos en serie

Puede afirmarse que la primera aparición de lo que entendemos en la actualidad como una

serie ocurre en el trabajo de Viéte (1540 - 1603) Variorum de rebus mathematicis responsorum.

Liber VIII (1593), en el que Viète estudia la serie geométrica obteniendo la fórmula para la

suma de la misma y también aparece la expresión para que se conoce como “fórmula de

Viète”. rs pr s

r
2 D 1 1 C 1 1 1 C 1 C 1 1
22 22 2 2 22

Gregory de St. Vincent (1584 - 1667), en su Opus Geometricum (1647) fue el primero en afir-
mar explícitamente que una serie infinita puede representar una magnitud. También le debemos
el poco afortunado término de “exhausción”, la introducción de las coordenadas polares y el
primer análisis de las paradojas de Zenón usando series. También descubrió que la cuadratura
de la hipérbola xy D k es la misma en Œa; b que en Œc; d  cuando a=b D c=d , resultado fun-
damental para la comprensión de los logaritmos y que llevó al descubrimiento del logaritmo
natural por Mercator.

En 1668, Nicholas Mercator (1620 - 1687) publicó un libro titulado Logarithmotechnia en

el que proporcionaba un método para calcular logaritmos basado en el desarrollo en serie del

logaritmo natural

log.1 C x/ D x x2 C x3 x4 C (10.20)
2 34

el cual obtuvo usando los resultados de Gregory de St. Vincent.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Newton y las series infinitas 660

A su vez, este resultado de Mercator fue mejorado por James Gregory (1638 - 1675) que

obtuvo la expansión:

log 1 C x D 2x C 2x3 C 2x5 C
1x 35

que converge más rápidamente que la anterior. A James Gregory se debe también la serie del

arcotangente:

x3 x5 x7
arctan x D x C C (10.21)
3 57

Sustituyendo x D 1 resulta

D1 1 C 1 1 C
4 3 57

Mejores represepntaciones de se deducen de esta serie haciendo como A. Sahrp (1651 - 1742)
en 1705 x D 1= 3, con lo que

1 11
3 3 C 32 5 1
6 D p 1 33 7 C
3

Con cuya serie calculó con 72 cifras decimales. Una mejor aproximación de que evita el
uso de radicales y converge rápidamente, fue obtenida en 1706 por John Machin (1680 - 1752).
La idea es expresar =4 D arctan 1 en función de dos ángulos de tangentes racionales y cada
una de ellas menor que la unidad. La serie de Machin es:

D 4 arctan 1 11 11
45 arctan 1 D 4 1 3 53 C 5 55 1 3 2393 C 5 2395

239 5 239

Con ella calculó con 100 cifras decimales.

10.6.1. Newton y las series infinitas

Los principales descubrimientos matemáticos de Newton en el campo del cálculo infinite-
simal datan de los llamados Anni Mirabiles 1665 y 1666. La Universidad de Cambridge, en
la que Newton se había graduado como bachelor of arts en 1664, estuvo cerrada por la peste
esos dos años. Newton pasó ese tiempo en su casa de Woolsthorpe y, como él mismo reconoció
cincuenta años después, ése fue el período más creativo de su vida.

A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series infinitas.
A finales de ese mismo año, el método de fluxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666
el método inverso de fluxiones y la relación entre cuadraturas y fluxiones. En esos dos años
también inició las teorías de los colores y de la gravitación universal. Newton tenía 24 años,
había nacido el día de Navidad de 1642.

Newton había leído la obra de Wallis Arithmetica Infinitorum, y siguiendo las ideas de
interpolación allí expuestas, descubrió la serie del binomio que hoy lleva su nombre. Dicha
serie es una generalización del desarrollo del binomio, que era bien conocido para exponentes
naturales, y había sido muy usado por Pascal para resolver una gran variedad de problemas.

Newton, en su intento de calcular la cuadratura del círculo, es decir, de calcular la integral

01.1 x2/1=2 dx , consideró dicha cuadratura como un problema de interpolación, relacionán-
1
dola con las cuadraturas análogas 0 .1 x2/n dx conocidas para exponentes naturales n 2 N.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Newton y las series infinitas 661

Newton tuvo la ocurrencia de sustituir el límite superior de integración por un valor genérico
x. De esta forma obtuvo las siguientes cuadraturas (Newton no disponía de símbolo para la
integral; usamos, claro está, la notación actual).

x Dx 1x3 1x7
Dx 3 7
.1 t 2/ dt Dx 2x3 C 1x5 4x7 C 1x9
Dx 35 79
0 3x3 C 3x5
x 35
4x3 C 6x5
.1 t 2/2 dt 35

0
x

.1 t 2/3 dt

0
x

.1 t 2/4 dt

0

Newton observó que el primer término de cada expresión es x, que x aumenta en potencias im-

pares, que los signos algebraicos se van alternando, y que los segundos términos 1 x3; 2 x3; 3 x3,
3 3 3
4 3
3 x estaban en progresión aritmética. Razonando por analogía, supuso que los dos primeros
ser
términos de x .1 t 2/1=2 dt deberían
0

1

x 2 x3
3

De la misma manera, procediendo por analogía, pudo encontrar algunos términos más:

x 1 1 1 1

.1 t 2/1=2 dt D x 2 x3 8 x5 16 x7 128 x9
3 5 7 9
0

Representando para n D 0; 1; 2; : : : por Qn.x/ el polinomio x .1 t 2/n dt , se tiene que
0

x t 2/n dt D Xn . 1/k x2kC1
n
Qn.x/ D .1
k D0 k 2k C 1
0

Donde 1/.n 2/ .n k C 1/
n D n.n ; n D1
k 1 2 3 k 0

Haciendo ahora en Qn.x/, n D 1=2, se obtiene

Q1=2.x/ D x 1 1 1 1

2 x3 8 x5 16 x7 128 x9
3 5 7 9

Lo que llevó a Newton a concluir que

x

.1 t 2/1=2 dt D Q1=2.x/

0

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Newton y las series infinitas 662

Q1=2.x/ D X1 1 . 1/n x 2nC1
2n C1
Donde 2 es una suma con infinitos términos. A partir de aquí,

nD0 n

Newton dedujo el desarrollo de .1 x2/1=2 por derivación.

.1 x2/1=2 D 1 1 x2 1 x4 1 x6 1 x8
2 8 16 128

Newton nunca publicó su teorema binomial, ni dio una demostración general del mismo. La
primera vez que apareció en un texto impreso fue en 1685 en un libro de Wallis (que reconoce
la autoría de Newton), titulado Treatise of Algebra. Newton mismo, en una carta a Henry Ol-
denburg, el secretario de la Royal Society, conocida como la Epistola Prior (junio de 1676),
expone el teorema binomial, a requerimiento de Leibniz, con estas oscuras palabras:

Las extracciones de raíces resultan muy abreviadas por el teorema

.P C PQ/m=n D P m=n C m C m nm 2n m 3n
AQ BQ C CQ C DQ C etc
n 2n 3n 4n

donde P C PQ representa una cantidad cuya raíz o potencia, o cuya raíz de una potencia

se necesita calcular, siendo P el primer término de esa cantidad, Q los términos restantes

divididos por el primero, y m el índice numérico de las potencias de P CPQ. . . Por último
n
P m=n, m mn
A D B D n AQ, C D 2n BQ y así sucesivamente.

Newton era consciente de que su forma de razonar por analogía no era rigurosa por lo que
comprobó su resultado de varias formas. Aplicó su algoritmo a diversos resultados conoci-
dos, comprobando que las soluciones obtenidas eran siempre correctas, redescubrió la serie de
Mercator para el logaritmo y obtuvo las series del arcoseno y del seno.

Newton encontró que el método de desarrollos en serie proporcionaba un algoritmo casi
universal para calcular cuadraturas y resolver multitud de problemas. En su obra De analysi
per aequationes numero terminorum infinitas, escrita en 1669 y publicada en 1711, aunque
circulaba en forma manuscrita entre los colegas y conocidos de Newton, propuso un método
para cuadrar una curva consistente en tres reglas:

1. El área bajo la curva de ecuación y D axm=n es na mCn
ax n .
mCn

2. Si la ecuación y D y.x/ de la curva está dada por un número finito de términos y1 C
y2 C y3 C , el área bajo la curva y es igual a la suma de las áreas de todos los términos
y1, y2, y3,. . .

3. Si la curva tiene suenriaefdoerml taipmoáPs caomkxprlkic,addoan, deentroknceess debe desarrollarse la ecuación de
la curva en una un número racional, y aplicar las

reglas 1 y 2.

Debe notarse que Newton supuso qPueackuxarlqku, ideorncdaentrikdaeds analíticamente expresada podía desa-
rrollarse en una serie de la forma un número racional, serie que puede

ser cuadrada término a término usando la regla 1.

Veamos un ejemplo de esta forma de proceder. Se trata de calcular 1=4 p x2 dx . New-
0 x

ton procede como sigue

.x x2/1=2 D x1=2.1 x/1=2 D x1=2 1 x3=2 1 x5=2 1 x7=2 1 x9=2
2 8 16 128

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Newton y las series infinitas 663

Por tanto x2/1=2 dx 1 x5=2 1 x7=2 1 x9=2 5 x11=2 1=4
D 2 x3=2 5 28 72 704
1=4
3
.x 0

0

21 1 1 5
D 3 23 5 25 28 27 72 29 704 211 (10.22)

p
y D x x2

C

A BO 1=4 p x2 dx
Figura 10.4. Cuadratura 0 x

En la figura 10.4 se ha representado el semicírculo de centro .1=2; 0/ y radio 1=2. El sector
circular COA tiene amplitud p=3 por lo que su área es la tercera paprte de la del semicírculo,
es decir, =24. Como BC D 3=4, el área del triángulo BOC es 3=32. Por otra parte, la
integral calculada en (10.22) es el área de la región ACB. Por tanto:

1=4 p
x2/1=2 dx C 3 D
.x
32 24
0

Deducimos que 1 1 1 5
p 5 25 28 27 72 29 704 211
33 2

D 4 C 24 3 23

Y de esta forma, Newton expresa la cuadratura del círculo por medio de una serie infinita que,
además, converge rápidamente.

La confianza de Newton en los procesos infinitos queda reflejada en las siguientes palabras
de la citada obra De analysi:

Todo lo que el análisis común [es decir, el álgebra] realiza por medio de ecuaciones con
un número finito de términos, este nuevo método puede siempre conseguir lo mismo por
medio de ecuaciones infinitas, de tal forma que no he tenido ninguna duda en darle asi-
mismo el nombre de análisis. Porque el razonamiento es éste no es menos cierto que en
el otro; ni las ecuaciones menos exactas; aunque nosotros los mortales, cuyo poder de ra-
zonamiento está confinado dentro de estrechos límites, no podemos expresar ni tampoco
concebir todos los términos de esas ecuaciones como para conocer exactamente a partir
de ellas las cantidades que deseamos. . . Para terminar, podemos considerar todo esto como
perteneciente al Arte Analítica, con cuya ayuda pueden ser determinadas de una manera
exacta y geométricamente las áreas, longitudes, etc., de curvas.

Es decir, Newton no sólo descubrió el teorema binomial sino que las series infinitas proporcio-
naban un método de análisis con la misma consistencia interna que el álgebra de ecuaciones
finitas.

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Bibliograf´ıa

[1] Kirsti Andersen. Las Técnicas del Cálculo, 1630-1660. In Del Cálculo a la Teoría de
Conjuntos, 1630-1910. Una introducción histórica. Alianza Eitorial, S.A., 1984. 305,
499

[2] Bos, H.J.M. Newton, Leibniz y la Tradición Leibniziana. In Del Cálculo a la Teoría
de Conjuntos, 1630-1910. Una introducción histórica. Alianza Eitorial, S.A., 1984. 499,
515, 516, 517

[3] Burton. The History of Mathematics: An Introduction. McGraw-Hill, sixth edition, 2007.
151

[4] Israel E. Drabkin. Aristotle’s Wheel: Notes on the History of a Paradox. Osiris
http://www.jstor.org/stable/301848?origin=JSTOR-pdf, 9:162 – 198, 1950. 185

[5] Arthur Engel. Problem-Solving Strategies. Problem Books in Mathematics. Springer-
Verlag, New York, 1998. 32

[6] Giovanni Ferraro. The Rise and Development of the Theory of Series up to the Early
1820s. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Sprin-
ger, New York, 2008. 151

[7] González Urbaneja, P.M. Las Técnicas del Cálculo: Fermat, Wallis y Roberval. In
Seminario Orotava de Historia de la Ciencia, Actas, año II
http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/fundoro/web_fcohc/005_publicaciones/seminario/infinito.htm .
Gobierno de Canarias - Consejería de Educación, 1995. 305, 499

[8] Judith V. Grabiner. The Changing Concept of Change: The Derivative from Fermat to
Weierstrass. Mathematics Magazine, 56:195 – 206, 1983. 305

[9] I. Grattan-Guinness. Bolzano, Cauchy and the “New Analysis” of Early Nineteenth Cen-
tury. Archive for History of Exact Sciences, 6(7):372 – 400, 1970. 176

[10] Israel Kleiner. History of the Infinitely Small and the Infinitely Large in Calculus. Edu-
cational Studies in Mathematics, 48:137 – 174, 2001. 305, 499

664

Bibliografía 665

[11] Loren C. Larson. Problem-Solving Trough Problems. Problem Books in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, 1983. 32

[12] Ralph E. Kenyon, Jr. Atomism and Infinite Divisibility.
http://www.xenodochy.org/rekphd/index.html, 1994. 180

[13] S.B. Russ. A Translation of Bolzano’s Paper on the Intermediate Value Theorem. Historia
Mathematica, (7):156 – 185, 1980. 175

[14] Gert Schubring. Conflicts between Generalization, Rigor, and Intuition. Sources and
Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer, New York, 2005.
151, 170, 171

[15] Michael Spivak. Suplemento del Cálculo Infinitesimal - CALCULUS. Editorial Reverté,
S.A., Barcelona, 1974. 32

[16] Michael Spivak. Cálculo Infinitesimal. Reverté Ediciones S.A., México D.F., 2aed. - 3a
Reimpresión edition, 1996. 32, 63, 101, 115, 164, 402

[17] Richard Courant y Herbert Robbins. ¿Qué es la Matemática? Editorial Aguilar, Madrid,
1979. 112

Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral