calculo_diferencial_integral

Propiedades asociativas y conmutativas 528

sucesión fang. Dada una biyección W N ! N, definamos una sucesión fbng por bn D a .n/.
En estas condiciones se dice que la serie fb1 C b2 C C bng se ha obtenido reordenando
términos en la serie fa1 C a2 C C ang.

9.13 Definición. Se dice que una serie fa1 C a2 C C ang es conmutativamente conver-
gente si para toda biyección W N ! N, se verifica que la serie definida por la sucesión
fa .n/g, es decir la serie fa .1/ C a .2/ C C a .n/g, es convergente.

P
Observa que, tomando como biyección de N sobre N la identidad, si la serie an es con-
mutativamente convergente entonces es convergente. En otras palabras, una serie es conmuta-
tivamente convergente, cuando es convergente y también son convergentes todas las series que
se obtienen de ella por reordenación de sus términos (en cuyo caso se verifica que todas ellas
tienen la misma suma). La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergente que no
es conmutativamente convergente.

El siguiente teorema da una sencilla caracterización de las series conmutativamente conver-
gentes. Debes entender lo que afirma el teorema pero no es preciso que leas su demostración. Si
acaso, puede ser interesante que leas el comienzo de la demostración de la implicación b/÷a/
porque es muy parecida a la demostración del teorema 8.33. Esto no es casual: hay bastantes
analogías entre la convergencia de integrales impropias y de series.

9.14 Teorema. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) La serie fa1 C a2 C C ang es conmutativamente convergente.

b) La serie fja1j C ja2j C C janjg es convergente.

Además, en caso de que se verifiquen a) y b), se tiene que:

X1 X1
an D a .n/

nD1 nD1

cualquiera sea la biyección W N ! N.

Demostración. b/÷a/ Pongamos An D a1 C a2 C C an, Bn D ja1j C ja2j C C janj.
Supongamos que fja1j C ja2j C C janjg es convergente. Probaremos en primer lugar que la
serie fa1 C a2 C C ang también es convergente. Dado " > 0, la condición de Cauchy para
fBng nos dice que existe n0 2 N tal que

ˇˇBq Bpˇˇ D Xq jak j < " para todos p; q 2 N tales que q > p>n0:
;
2 (9.7)

k Dp C1

Deducimos que para todos p; q 2 N tales que q > p>n0 se verifica que

ˇˇAq Apˇˇ D ˇˇapC1 C apC2 C C aqj 6 Xq "
jakj < 2 < ":
k Dp C1

Lo que prueba que la serie fAng cumple la condición de Cauchy y, por tanto, es convergente.

Pongamos A DadleKımmáfAs nˇˇAg,ny0 seaA ˇˇ W N ! N una biyección. Dado " > 0, sea n0 2 N tal que
verifica (9.7) y < "=2. Definamos
se

m0 D maKxfj 2 N W .j / 6 n0g; Fm D f .k/ W 1 6 k 6 mg:

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Propiedades asociativas y conmutativas 529

Para m > m0, se verifica que Fm ¥ f1; 2; : : : ; n0g. Por tanto, el conjunto HDFmnf1; 2; : : : ; n0g
no es vacío. Sea p D mKın.H /, q D maKx.H /. Tenemos entonces que q>p>n0 C 1, y por tanto:

ˇˇˇˇXm a .j/ Aˇˇˇˇ Dˇˇˇˇ X ak Aˇˇˇˇ D ˇˇˇˇXn0 ak C X ak Aˇˇˇˇ6

j D1 6ˇˇˇˇ k 2Fm Aˇˇˇˇ C k D1 k 2H

Xn0 X " Xq jakj < " C " D ":
ak jakj < C 2 2

k D1 k 2H 2
k Dp

X1
Hemos probado así que a .n/ D A y por tanto que b/ implica a/.

nD1

a/÷b/ Probaremos que si la serie fBng no es convergente entonces la serie fAng no
es conmutativamente convergente. Supondremos, pues, en lo que sigue que fBng no es con-
vergente. Tenemos para la serie fAng dos posibilidades: o bien converge o bien no converge.
Evidentemente, si fAng no converge entonces, con mayor razón, no es conmutativamente con-
vergente. Consideraremos, por tanto, el caso en que fAng es convergente. Para nuestro pro-
pósito es suficiente probar que, en tal caso, hay una biyección W N ! N tal que la serie
fa .1/ C a .2/ C C a .n/g es positivamente divergente. Veamos cómo puede justificarse la
existencia de dicha biyección.

De las hipótesis hechas se deduce que los conjuntos U D fn 2 N W an > 0g, y V D N n
U son infinitos. Sean y
biyecciones crecientes de N sobre U y V , respectivamente.
Evidentemente, para todo n 2 N, se verifica que:

fk 2 N W .k/ 6 ng [ fk 2 N W
.k/ 6 ng D fk 2 N W 1 6 k 6 ng

por lo que, poniendo XX

Pn D a .k/; Qn D a
.k/

.k /6n
.k/6n

tenemos que An D Pn C Qn y Bn D Pn Qn, de donde se sigue que ninguna de las su-
cesiones fPng y fQng es convergente y, como son monótonas, deducimos que fPng diverge
positivamente y fQng diverge negativamente.

Lo que sigue es fácil de entender: vamos a ir formando grupos de términos positivos con-
secutivos de la sucesión fang y, entre cada dos de tales grupos, vamos a ir poniendo consecu-
tivamente los términos negativos de dicha sucesión. El criterio para ir formando los grupos de
términos positivos es que la suma de cada grupo con el término negativo que le sigue sea mayor
que 1. Formalmente sería como sigue. Definimos W N ! N por:

.1/ D mKınfq 2 N W P .q/ C a
.1/ > 1g
.k C 1/ D mKınfq 2 N W P .q/ P .k/ C a
.kC1/ > 1g para todo k 2 N:

Pongamos, por comodidad de notación .0/ D 0. Nótese que el grupo k-ésimo de términos po-
sitivos está formado por a . .k 1/C1/; a . .k 1/C1/C1; : : : ; a . .k//, y dicho grupo va seguido
por el término negativo a
.k/. Pues bien, la biyección W N ! N , dada por:

.j / D .j k/ para .k/ C k C 1 6 j 6 .k C 1/ C k; k D 0; 1; 2; : : :
. .k/ C k/ D a
.k/; k D 1; 2; : : :

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Propiedades asociativas y conmutativas 530

es tal que la serie fa .1/ C a .2/ C C a .n/g es positivamente divergente, pues para n >
.k/ C k tenemos que:

Xn > .Xk/Ck a .j/ D Xk a . .j /Cj / C kX1 .qXC1/Cq a .j / D
a .j /
j D1 j D1 qD0 j D .q/CqC1
j D1

Xk kX1 .qXC1/Cq Xk X.k/
D a
.j/ C a .j q/ D a
.j/ C a .j / D

j D1 qD0 j D .q/CqC1 j D1 j D1

Xk kX1
D a
.j/ C P .k/ D P .j C1/ P .j/ C a
.jC1/ C P .1/ C a
.1/

j D1 j D1

>.1C .k 1 C1/ C 1 D k:

La utilidad del teorema que acabamos de probar está clara: para estudiar la convergencia

conmutativa de una serie fa1 C a2 C C ang lo que se hace es estudiar la convergencia de la
serie fja1j C ja2j C C janjg. Es usual utilizar la siguiente terminología.

9.15 Definición. Se dice que la serie fa1 C a2 C C ang es absolutamente convergente, si
la serie fja1j C ja2j C C janjg es convergente.

X
Debes entender bien esta definición. Que la serie an converge absolutamente quiere

n>1

decir que es convergente la sucesión

X
janj D fja1j C ja2j C C janjg :

n>1

Y el teorema anterior afirma, entre otras cosas, que esto implica la convergencia de la sucesión
X
an D fa1 C a2 C C ang :

n>1

¡Son sucesiones muy diferentes!

Naturalmente, si una serie fa1 C a2 C C ang converge, también converge la sucesión
que se obtiene tomando valores absolutos fja1 C a2 C C anjg; pero esta sucesión no es
igual a fja1j C ja2j C C janjg. Por eso puede ocurrir que una serie sea convergente pero no
sea absolutamente convergente. La serie armónica alternada es un ejemplo de serie convergente
que no es absolutamente convergente.

Con esta terminología, el teorema 9.14 afirma que la convergencia absoluta es lo mismo
que la convergencia conmutativa1.

1En muchos libros a las series que son absolutamente convergentes las llaman también incondicionalmente
convergentes y a las series que son convergentes pero no son absolutamente convergentes las llaman también con-
dicionalmente convergentes. En mi opinión esta terminología solamente sirve para confundir un poquito más.

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Ejercicios propuestos 531

9.1.4. Ejercicios propuestos

X1 X 1
451. Estudia la convergencia de las series: a) y b) log 1C .
n.nC1/ n
n>1 n>1

452. Justifica las igualdades:

X1 1 1
11
a) C D log 2.
4k 3 4k 2 4k 1 4k
k D1
1 X1 1
b) 1 log 2
D .
2 2k 1 2k 2
k D1
X1 1
c) C 1 13
D log 2.
4k 3 4k 1 2k 2
k D1

453. Demuestra que si los términos de la serie armónica alternada se permutan de tal modo

que a cada grupo de p términos positivos consecutivos le siga un grupo de q términos

negativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es convergente con suma

igual a log 2 C 1 log.p=q/.
2

P
454. Sea fang una sucesión decreciente de números positivos y supongamos que la serie an

es convergente. Prueba que fnang converge a 0.

Sugerencia. Considera A2n An.

9.1.5. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

X 1 X 1
Ejercicio resuelto 223 Estudia la convergencia de las series: a) y b) log 1C .
n.nC1/ n
n>1 n>1

1 .k C 1/ k 1 1 Xn 1 1
Solución. a) D D÷ D1 :
k.k C 1/ k.k C 1/ k k C 1 k.k C 1/ nC1
k D1
X1
1 X1
Luego D1 ! 1, es decir la serie es convergente
n.n C 1/ nC1 n.n C 1/
n>1 n>1

y su suma es igual a 1.

k C1 Xn
1 1
b) log 1 C D log D log.k C 1/ log k÷ log 1 C D log.n C 1/:
kk k
k D1
X
1 X1
Luego log 1 C D flog.n C 1/g ! C1, es decir la serie es posi-
n n.n C 1/
n>1 ©n>1

tivamente divergente.

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Ejercicios resueltos 532

Ejercicio resuelto 224 Justifica las igualdades:

X1 1 1
11
a) C D log 2.
4k 3 4k 2 4k 1 4k
k D1
1 X1 1
b) 1 log 2
D .
2 2k 1 2k 2
k D1
X1 1
c) C 1 13
D log 2.
4k 3 4k 1 2k 2
k D1

Solución. a) y b) Sabemos que la serie armónica alternada es convergente y su suma es

igual a log 2. X1 . 1/nC1 D log 2. También sabemos que una serie obtenida asociando

nD1 n

términos en una serie convergente también es convergente y con la misma suma. Las

series en a) y en b) se obtienen de la serie armónica alternada asociando términos de 4 en

4 o de 2 en 2 respectivamente, lo que justifica las igualdades en a) y en b). Finalmente,
©
observa que la serie en c) se obtiene sumando las series en a) y en b).

Ejercicio resuelto 225 Demuestra que si los términos de la serie armónica alternada se per-

mutan de tal modo que a cada grupo de p términos positivos consecutivos le siga un

grupo de q términos negativos consecutivos, entonces la nueva serie así obtenida es con-

vergente con suma igual a log 2 C 1 log.p=q/.
2

Solución. Pongamos Sn D Xn . 1/kC1 ˚«
k . Consideremos la sucesión Sn.pCq/ n2N que
k D1
es precisamente la serie que se obtiene asociando términos de p C q en p C q en la

serie del enunciado. Si dicha sucesión es convergente, aplicando la proposición 9.12 (con

.n/ D n.p C q/), se sigue que la serie del enunciado también es convergente y su suma
Xn 1
es igual a lKım Sn.pCq/. Llamando, como de costumbre Hn D k , y recordando la

n!1 k D1

estrategia 7.33, tenemos que:

Sn.pCq/ D Xpn 1 Xnq 1 Xpn 1 1
D 2 HnqD
2k 1 2k 2k 1
k D1 k D1 k D1

1 11
D H2pn 1 2 Hnp C 2np 2 HnqD

1 11 11
D 2np C ”2pn 1 C log.2pn 1/ 2 ”np 2 log.np/ 2 ”nq 2 log.nq/D

1 1 1 1 2np 1 1 2np 1
D 2np C ”2pn 1 2 ”np 2 ”nq C 2 log C log !
np 2 nq

! 1 log 2 C 1 log 2p D log 2 C 1 log p :
2 2q 2q

©

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Criterios de convergencia para series de términos positivos 533

9.2. Criterios de convergencia para series de términos positivos

P
Una serie an tal que an > 0 para todo n 2 N, se dice que es una serie de términos

positivos. Observa que una serie de términos positivos es una sucesión creciente por lo que o

bien es convergente (cuando está mayorada) o es positivamente divergente.
X

9.16 Proposición (Criterio básico de convergencia). Una serie de términos positivos an

n>1

es convergente si, y sólo si, está mayorada, es decir, existe un número M > 0 tal que para todo
Xn

n 2 N se verifica que ak 6 M , en cuyo caso su suma viene dada por:

k D1

X1 (Xn )

an D sup ak W n 2 N :

nD1 k D1

Una serie de términos positivos que no está mayorada es (positivamente) divergente.

X1
9.17 Ejemplo. La serie n2 es convergente porque para todo n > 2 se verifica:

n>1

2Xn 1 01 0 1
Xn nX1 2jXC1 1 nX1 2jXC1 1
1 1 @ 1 @ 1
k2 6 k2 D 1 C k2 A 6 1 C .2j /2 A D

k D1 k D1 j D1 kD2j j D1 kD2j

nX1 2j nX1 1 1
D 1 C 22j D 1 C 2j D 2 2n 1 < 2:
j D1 j D1



X X1
Si an es una serie de términos positivos, suele escribirse an < C1 para indicar que

n>1 nD1

dicha serie converge.

Teniendo en cuenta la proposición 9.8, los criterios que siguen pueden aplicarse para es-

tudiar la convergencia de series cuyos términos son todos positivos a partir de uno de ellos en

adelante.
XX

9.18 Proposición (Criterio básico de comparación). Sean an y bn dos series de tér-

n>1 n>1

minos positivos. Supongamos que haXy un número k 2 N tal que anX6 bn para todo n > k.
Entonces se verifica que si la serie bn es convergente, también an es convergente o,

X n>1 X n>1
equivalentemente, si la serie an es divergente también bn es divergente.

n>1 n>1

Demostración. Pongamos An D a1 C a2 C C an, Bn D b1 C b2 C C bn. Las hipótesis
hechas implican que para todo n > k es An6 Bn C Ak. Deducimos que si fBng está mayorada
también lo está fAng.

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Criterios de convergencia para series de términos positivos 534

X1 11
9.19 Ejemplos. La serie log n es divergente porque es de términos positivos, log n > n y
n>2

la serie armónica es divergente.

X .n C 1/2
La serie log es convergente porque es de términos positivos y:
n.n C 2/
n>1

.n C 1/2 n2 C 2n C 1 1 1
1
log D log D log 1 C n2 C 2n < n2 C 2n < n2 ;
n.n C 2/ n2 C 2n

y la serie X1 es convergente.

n2
X 1 1
log 1 C
La serie nn es convergente. Para ello usamos la desigualdad (ver

n>1

(7.5)):

1 < log 1C 1 1
<:
nC1 nn

De la que se deduce:

11
1 11 1
0< log 1 C < n C 1 D n.n C 1/ < n2 :
n nn

XX
9.20 Proposición (Criterio límite de comparación). Sean an y bn dos series de tér-

n>1 n>1

minos positivos, y supongamos que

lKım an D L 2 RCo [ fC∞g :
bn

XX
a) Si L D C∞ y bn es divergente también an es divergente.

n>1 n>1

XX
b) Si L D 0 y bn es convergente también an es convergente.

n>1 n>1

XX
c) Si L 2 RC las series an y bn son ambas convergentes o ambas divergentes.

n>1 n>1

En particular, si dos sucesionePs de núPmeros positivos, fang y fbng son asintóticamente equiva-
lentes, las respectivas series, an y bn ambas convergen o ambas divergen.

Demostración. Supongamos que L 2 RC. Sea 0 < ˛ < L < ˇ. Todos los términos de la
sucesión fan=bng, a partir de uno en adelante, están en el intervalo  ˛; ˇ Œ, es decir, existe k 2 N
tal que para todo n > k es ˛ < an=bn < ˇ , y, por tanto, ˛ bn < an < ˇ bn. Concluimos, por
el criterio de comparación, que la convergencia de una de las series implica la convergencia de

la otra. Queda, así, probado el punto c) del enunciado. Los puntos a) y b) se prueban de manera
parecida.

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Criterios de convergencia para series de términos positivos 535

X1
9.21 Ejemplos. La serie e n 1 es divergente porque es de términos positivos y se veri-

n>1

11
fica que e n 1 .
n
1X 1X
X 1
Por la misma razón las series sen , tg , log 1 C son todas ellas series
nn n
n>1 n>1 n>1

de términos positivos divergentes, porque sus términos generales son asintóticamente equiva-

1
lentes al término general de la serie armónica .
!n
X r 1 1 es convergente porque es de términos positivos, se verifica
La serie n2
5 1 C

r n>1 1 P1
1 1 5n2 y la serie 5n2 es convergente.
que 5 1 C n2

Observa el parecido de estos criterios con los correspondientes criterios de convergencia
para integrales impropias de funciones positivas. El siguiente resultado establece, en un caso
particular, una relación aún más estrecha entre ambos tipos de convergencia.

9.22 Proposición (Criterio integral). Sea f W Œ1; C∞Œ! R una función positiva y decrecien-
te. Entonces se verifica que

nXC1 nC1 Xn

f .k/ 6 f .x/ dx 6 f .k/

k D2 1 k D1

X C1
En consecuencia, la serie f .n/ y la integral f .x/ dx ambas convergen o ambas diver-

gen. n>1 1

Demostración. Por ser f decreciente, para todo x 2 Œk; k C 1 es f .k C 1/6 f .x/6 f .k/.
Integrando, deducimos que:

k C1

f .k C 1/ 6 f .x/ dx 6 f .k/:

k

Sumando estas desigualdades desde k D1 hasta k Dn, obtenemos la desigualdad del enunciado.

Para poder usar los criterios de comparación, necesitamos conocer ejemplos de series con-

vergentes con las que poder comparar una serie dada. Unas series de términos positivos muy

útiles para comparar con otras series son las siguientes.
X1

9.23 Proposición (Series de Riemann). Dado un número real ˛, la serie n˛ se llama

n>1

serie de Riemann de exponente ˛. Dicha serie es convergente si, y sólo si, ˛ > 1.

Demostración. Para que se cumpla la condición necesaria de convergencia es preciso que sea

˛ > 0. Supuesto que esto es así, podemos aplicar el criterio integral a la función f .x/ D 1=x˛
C1 1
y tener en cuenta que la integral 1 x˛ dx es convergente si, y sólo si, ˛ > 1.

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Criterios de convergencia para series de términos positivos 536

X 1X
1
9.24 Ejemplos. Las series arc tg n˛ , log 1 C n˛ convergen si, y sólo si, ˛ > 1

1
porque son de términos positivos y su término general es asintóticamente equivalente a n˛ .
X
La serie nˇ 1 1 , donde ˛ y ˇ son números reales, no converge para ningún valor

e n˛

de ˇ si ˛ < 0, porque en tal caso su término general no converge a 0. Si ˛ >0 converge si y sólo

si, ˛ ˇ > 1 porque es una serie de términos positivos y su término general es asintóticamente
1

equivalente a n˛ ˇ

Si en el criterio límite de comparación hacemos bn D 1=n˛, obtenemos el siguiente criterio
de convergencia.

X
9.25 Proposición (Criterio de Prinsheim). Sea an una serie de términos positivos, ˛ un

n>1

número real y supongamos que fn˛ang ! L 2 RCo [ fC∞g. Entonces:

X
i) Si L D C∞ y ˛ 6 1, an es divergente.

n>1

X
ii) Si L D 0 y ˛ > 1, an es convergente.

n>1

X
iii) Si L 2 RC, an converge si ˛ > 1 y diverge si ˛ 6 1.

n>1

1 log.an/ > ˛, se deduce
Observando que si an > 0, la desigualdad an 6 n˛ equivale a log n

el siguiente criterio de convergencia que es eficaz para estudiar la convergencia de series que

pueden compararse con series de Riemann.

9.26 Proposición (Primer criterio logarítmico). Supongamos que an > 0 para todo n 2 N, y

pongamos Ln D log.an/ .
log n

X
i) Si fLng ! L , donde L > 1 o L D C1, la serie an es convergente.

n>1

ii) Si fLng ! L , donde L < 1 o L XD 1, o bien si existe algún k 2 N tal que Ln 6 1
para todo n > k, entonces la serie an es divergente.

n>1

X ˛ log n n y ˛ 2 R, es una serie de términos
9.27 Ejemplo. La serie an donde an D 1 n

n>1

positivos (a partir de uno de ellos en adelante) y se tiene que:


˛ log n ˛ log n
n log 1 log 1
log an D n n
log n log n D˛ ˛ log n ! ˛:

n

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Criterios de convergencia para series de términos positivos 537

El primer criterio logarítmico nos dice que si ˛ > 1 la serie converge y si ˛ < 1 la serie diverge.
log n n
Si ˛ D 1 tenemos que an D 1 . Recordando que C x n ! ex, podemos
n 1 e n
esperar que para n suficientemente grande an D 1 log n n log n D 1 . Esto lleva a
n Ð
n

conjeturar que nan ! 1. Tenemos que:


log n log n log n
log.nan/ D n log 1 C log n D n log 1
n n Cn D

D .log n/2 log 1 log n C log n
n nn

log n 2

n

Si ahora recuerdas que lKım log.1 C x/ x 1
D 2, se sigue que log.nan/ ! 0, es decir,
x!0 x2 P

nan ! 1. El criterio de Prinsheim implica que la serie an es divergente.

Vamos a estudiar a continuación unas series más generales que las series de Riemann.
X1

Dados dos números reales ˛ y ˇ, la serie n>2 n˛.log n/ˇ se llama serie de Bertrand de expo-
nentes ˛ y ˇ

X1
9.28 Proposición (Series de Bertrand). La serie n>2 n˛.log n/ˇ converge si ˛ > 1 cualquiera
sea ˇ, y también si ˛ D 1 y ˇ > 1. En cualquier otro caso es divergente.

Demostración. Sabemos que cualesquiera sean > 0 y 2 R se verifica que:

lKım .log n/ D 0:

n!1 n

Supongamos que ˛ > 1 y sea un número verificando que 1 < < ˛. Podemos escribir:

n n˛ 1 n/ˇ D .log n/
.log n

donde D ˛ y D ˇ. Deducimos así que

lKım n n˛ 1 n/ˇ D 0:
.log
n!1

X1
El criterio de Prinsheim implica que la serie es convergente.
n˛.log n/ˇ
n>2

Si ˛ < 1 un razonamiento parecido muestra que la serie diverge cualquiera sea ˇ.

11
Sea ahora ˛ D 1. Entonces, si ˇ 6 0, tenemos que n.log n/ˇ > n para todo n > 3, y
el criterio de comparación implica que la serie es divergente. Sea, pues, ˇ > 0 y pongamos

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Criterios de convergencia para series de términos positivos 538

f .x/ D 1 para x > 2. La función f es positiva y decreciente en Œ2; C1Œ. Tenemos:
x.log x/ˇ

t 8 1 .log x/1 ˇ ˇˇt D 1 ˇ si ˇ ¤ 1:
2 ˆ< ˇ .log t /1 .log 2/1 ˇ ; si ˇ D 1:
dx D :ˆ 1 2 1 ˇ
x.log x/ˇ
log.log x/ˇˇt2 D log.log t / log.log 2/;

Deducimos que la integral impropiaX2C1f .x / dx es convergente si, y solo si, ˇ > 1. El
X 1
serie f .n/ D ˇ > 1.
criterio integral nos dice que la n.log n/ˇ converge si, y sólo si,

n>2 n>2

X log n!
9.29 Ejemplo. Se trata de estudiar la convergencia de la serie nr donde r 2 R. En

n>1

el ejercicio resuelto 168 hemos visto que log n! es asintóticamente equivalente a n log n. Por
X log n
tanto, a efectos de convergencia, la serie dada se comporta igual que la serie nr 1 la cual

n>1

es una serie de Bertrand con ˇ D 1 y ˛ D r 1. Dicha serie converge si, y sólo si, r 1 > 1,

o sea, r > 2.

1 equivale a log.nan/ > ˇ. Se deduce de aquí
Si an > 0, la desigualdad an 6 n.log n/ˇ log.log n/

el siguiente criterio de convergencia que es eficaz para estudiar la convergencia de series que

pueden comparase con una serie de Bertrand de exponente ˛ D 1.

9.30 Proposición (Segundo criterio logarítmico). Supongamos que an > 0 para todo n 2 N,

y pongamos Ln D log.nan/ .
log.log n/

X
i) Si fLng ! L , donde L > 1 o L D C1, la serie an es convergente.

n>1

ii) Si fLng ! L , donde L < 1 o L XD 1, o bien si existe algún k 2 N tal que Ln 6 1
para todo n > k, entonces la serie an es divergente.

n>1

Vamos a estudiar a continuación dos criterios de convergencia que se aplican a series que

pueden compararse con una serie geométrica. El primero de estos criterios parte de que la serie
anC1
geométrica de término general an D xn, donde x > 0, converge si an Dx < 1, esto lleva,
X
en el caso general de una serie términos positivos, an , a considerar el comportamiento de

n>1

la sucesión fanC1=ang.

9.31 Proposición (Criterio del cociente o de D’Alembert (1768)). Supongamos que an > 0

para todo n 2 N y que anC1
an
lKım D L 2 RCo [ fC∞g :

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Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Criterios de convergencia para series de términos positivos 539

X
a) Si L < 1 la serie an es convergente.

n>1

b) Si L > 1Xo si L D C∞ o si hay un número k 2 N tal que para todo n>k es anC1 > 1,
an

entonces an es divergente y además fang no converge a 0.

n>1

Demostración. a) Sea un número tal que L < < 1. La definición de límite implica que
existe n0 2 N tal que para todo n > n0 se verifica que:

an D an an 1 an0C1 an0 6 n n0 an0 D an0 n:
an 1 an 2 an0 n0

X
Como 0 < < 1, la serie n es convergente. Deducimos, en virtud del criterio de compa-

X n>1
ración, que an es convergente.

n>1

b) Si L > 1 entonces, tomando tal que 1 < < L y razonando como antes, obtenemos
an0
que para todo n > n0 es an > n0 n. Como > 1 se sigue que la sucesión fang diverge
X
positivamente y, con mayor razón, la serie an diverge positivamente.

n>1

9.32 Ejemplo. Sea la serie X .n!/2 x2n , donde x es un número real. Es una serie de términos
.2n/!

n>1

positivos por lo que podemos aplicar el criterio del cociente para estudiar su convergencia.

Pongamos an D .n!/2 x2n. Tenemos que:
.2n/!

anC1 D .n C 1/2.n!/2 x 2nC2 .2n/! x 2n D .n C 1/2 x2 ! x2
an C 2/.2n C 1/.2n/! .n!/2 C 2/.2n C 1/ 4
.2n .2n

x2
El criterio del cociente nos dice que si < 1, es decir, jxj < 2, la serie es convergente; si

4
x2
4 > 1, es decir, jxj > 2, la serie no es convergente porque fang no converge a 0. El caso en
que x2 D 4, o sea x D ˙2, se tiene que:

anC1 D 4.n C 1/2 1/ D 2n C 2 > 1:
an .2n C 2/.2n C 2n C 1

Y concluimos que la serie no converge para x D ˙2.

xpo>siEti0lv,oscseo,gnXuvnedraognec,rsaiitecprnoionasnpidaDerrteaxrdee<l cqou1me, pelaostrsotearmlileeivegane,tooemndéeetlrlaiccsaauscdoeesgiteóénrnmefriapnnloadgnege.unneraalsearnieDdex n, donde
términos

n>1

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Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Criterios de convergencia para series de términos positivos 540

X
9.33 Proposición (Criterio de la raíz o de Cauchy (1821)). Sea an una serie de términos

n>1

positivos y supongamos que

lKım p D L 2 RCo [ fC∞g:
n an

X
a) Si L < 1 la serie an es convergente.

n>1

b) Si L > 1Xo si L D C∞ o o si hay un número k 2 N tal que para todo n>k es pn an >1
entonces an es divergente y además fang no converge a 0.

n>1

Dexeimsteosnt0Xra2cNiónt.ala)quSeeapa rautnodnoúmne>ront0aleqsupne aLn < < 1. La definición de límite implica que
6 , es decir, an 6 n. Puesto que 0 <X < 1,

la serie n es convergente y, en virtud del criterio de comparación, se sigue que an es

n>1 n>1

convergente.

b) Si L > 1 entonces, tomando tal que 1 < < L y razonando como antes, obtene-
mos que para todo n > n0 es an > n y, cXomo > 1, se sigue que la sucesión fang diverge
positivamente y, con mayor razón, la serie an diverge positivamente.

n>1

9.34 Ejemplo. Sea la serie X n2 !2n3 2n . Como es una serie de términos positivos po-
1

n>1 n2

n2 !2n3 2n
demos estudiar su convergencia usando el criterio de la raíz. Pongamos an D n2 1 .

Tenemos que:

p n2 !2n2 2 n2 !2n2 n2 !2 2 < 1:
n an D 1 1 n2 1 ! e
n2 D
n2

Concluimos que la serie es convergente.

Cuando anC1 6 1 y lKım anC1 D 1, también es lKım pn an D 1. En esta situación los criterios
an an
del cociXente y de la raíz no proporcionan información suficiente sobre el comportamiento de
la serie an . Por ejemplo, para las series de Riemann, an D 1= n˛, se tiene que lKım anC1 D

n>1 an

1 cualquiera sea ˛. Observa que estos criterios solamente pueden proporcionar información

sobre la convergencia de series que pueden compararse con una serie geométrica. El siguiente

criterio suele aplicarse cuando fallan los anteriores.

9.35 Proposición ( Criterio d e Raabe (1832)). Supongamos que an > 0 para todo n 2 N, y
anC1 .
pongamos Rn D n 1 an

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Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Criterios de convergencia para series de términos positivos 541

X
i) Si fRng ! L, donde L > 1 o L D C∞, la serie an es convergente.

n>1

ii) Si fRng ! L, donde L < 1 oXL D ∞, o bien si existe algún k 2 N tal que Rn6 1 para
todo n > k, entonces la serie an es divergente.

n>1

Demostración. i) Las hipótesis hechas implican que existen ˛ > 1 y n0 2 N tales que para
todo k > n0 es Rk > ˛. Sea ı D ˛ 1 > 0. Tenemos que:

Rk 1 D .k 1/ k akC1 > ı .k > n0/;
ak

por lo que 1
ak 6 ı .k 1/ak kakC1
.k > n0/:

Sumando estas desigualdades desde k D n0 hasta k D n > n0, obtenemos que:

Xn 1 1/an0 1 1/an0 :
ak 6 ı .n0 nanC1 < ı .n0

k Dn0

X
Por el criterio básico de convergencia para series de términos positivos, deducimos que an

n>1

es convergente.

ii) Si Rn6 1 para todo n > k, entonces .n 1/an nanC16 0 y resulta que la sucesión fnanC1g
1
es creciente para n > k, luego nanC1 > k ak C1, es decir, para todo n > k es anC1 > k ak C1
X n

y, por el criterio de comparación, deducimos que an es divergente.

n>1

El criterio de Raabe suele aplicarse cuando el criterio del cociente no proporciona informa-
ción, es decir, cuando anC1 ! 1. En tal caso la sucesión:

an


Rn D n 1 anC1 D n anC1 1

an an

es de la forma vn.un 1/ donde vnD n y un D anC1 ! 1. Aplicando el criterio de equivalencia
an

logarítmica tenemos que:

n an n
anC1 D ! eL
lKım Rn D L ” lKım an anC1

con los convenios usuales para los casos en que L D ˙1.

9.36 Proposición (Forma alternativa del criteri o daenRa anb.e). Sea an > 0 para todo n 2 N y
supongamos que lKım anC1 D 1. Pongamos Sn D anC1

an

X
i) Si Sn ! eL con L > 1 o si Sn ! C∞, la serie an es convergente.

n>1

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Ejercicios propuestos 542

X
ii) Si Sn ! eL con L < 1 o si Sn ! 0, la serie an es divergente.

n>1

Los criterios de convergencia que acabamos de estudiar hacen siempreXhipótesis sobre la
sucesión fang para obtener información sobre el comportamiento de la serie an . Ya dijimos

n>1

antes que esto es típico del estuXdio de las series. Pero no lo olvides: no estamos estudiando la
sucesión fang sino la sucesión an D fa1 C a2 C C ang.

n>1

9.2.1. Ejercicios propuestos

455. Estudia la convergencia de las siguientes series donde a > 0 y ˛ 2 R.

X .n!/2 X .n C 1/n X
a/ b/ nnC2 c/ n 1 1=n
2n2
n>1 n>1 n>1

X .n C 1/n X 1 n n X 1 log n
d / 3nn! e/ f/

n>1 n! a log.n C 1/

n>1 n>1

X X nlog n X 1C 1=n2 n2
g/ alog n h/ .log n/n i/ e

n>1 n>2 n>1 n2 C 1 !n˛

j / X pn n 1/˛ X 1 n X
. k/ 1 p l/ n2 C n C 1

n>1 n n>1 1 n3
X
n>1

m/ X Pn 1=j Xp pn n o/ n sen
a j D1 n/ n˛ n n C 1=n
n
n>1 n>1 n>1
.2n/! 3
X X log.n C 1/ n 1 X n! en
p/ 26n.n!/6 q/ r / nnC˛
n>1
X log n n>1
s/ log n sen 1
n>1 X np2 n 1
n>1 n u/
X 1 3
t/ cos log n

n n>2

n>1

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Ejercicios propuestos 543

456. Estudia la convergencia de las siguientes series donde a > 0 y ˛; ˇ 2 R.

X X p3 n p3 n/ n C 1
.n1= . log
a/ n2 1/I b/ C 1

n>1 n>1 n

c/ X p4 n C 1 p alog nI d/ X 2 4 6 .2n/ ˛
4n
5 7 .2n C 3/
n>1 n>1

X1 .1 C 1=n/n I f/ X
e/ nn˛ 1
n e
Xn 1 !
n>1 n>1 ˇ
1C 1
g/ X 1 C C I X k
n˛ h/ n˛ exp
2n k D1
n>1 n>1

457. Estudia la convergencia de las series.

X 3nn!
a) p
3 n 5 8 11 .5 C 3n/
n>1
X 2 3 4 .n C 2/ 1=2
b)
5 6 7 .n C 5/
nX>1 p
p p
c) .a a/.a 3 a/ .a n a/ .a > 0/

n>1

X n!
d) a.a C 1/.a C 2/ .a C n/n ˛ .a > 0; ˛ 2 R/

nX>1
e) alog n log.1 C 1=n/ .a > 0/

nX>1 p pn/˛ .log.1 C 1=n//ˇ ; .˛; ˇ 2 R/
f) . n C 1

n>1 .1 C ˛/.3 C ˛/.5 C ˛/ .2n 1 C ˛/
;
X .˛; ˇ; 2 RC/

g) .2 C ˇ/.4 C ˇ/.6 C ˇ/ .2n C ˇ/

n>1

458. Sea fang una sucesión creciente de números positivos. Dar condiciones que garanticen
X1
que la serie es convergente.
n>1 a1a2a3 an

X1
459. Dar ejemplos de sucesiones fang ! 1 y decrecientes tales que la serie n>1 a1a2a3 an

sea en un caso convergente y en otro caso divergente.

460. Sea an > 0 para todo n 2 N. Prueba que las series X an y X 1 an ambas convergen
C an
n>1 n>1

o ambas divergen.

P
461. Sea an una serie de términos positivos convergente. ¿Qué puede decirse de las series

P a2n y P pananC1?

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Ejercicios resueltos 544

P
462. Sea an una serie de términos positivos convergente. Prueba que la sucesión fzng dada

para todo n 2 N por:

Yn
zn D .1 C ak/ D .1 C a1/.1 C a2/ .1 C an/

k D1

es convergente.

P
463. Sea an una serie de términos positivos convergente. Prueba que para 0 < ˛ < 1 la

serie X an˛ es convergente.
n

Sugerencia. Utilizar la desigualdad de Hölder (ver ejercicio resuelto 137).

P X pan
Sea an n˛
464. una serie convergente de términos positivos. Prueba que la serie es
P
Xconvpepragnensteeasdi i˛ve>rge1n=t2e.. Da un ejemplo de una serie an convergente tal que la serie
n

465. Estudia la convergencia de las sucesiones:

Xn 1 p b/ yn D Xn log k .log n/2
a/ xn D p 2 n; k :

kD1 k k D1 2

Sugerencia. Estudia la convergencia de las respectivas series de diferencias consecutivas.

9.2.2. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

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Ejercicios resueltos 545

Ejercicio resuelto 226 Estudia la convergencia de las siguientes series donde a > 0 y ˛ 2 R.

X .n!/2 X .n C 1/n X
a/ b/ nnC2 c/ n 1 1=n
2n2
n>1 n>1 n>1

X .n C 1/n X 1 n n X 1 log n
d / 3nn! e/ f/

n>1 n! a log.n C 1/

n>1 n>1

X X nlog n X 1C 1=n2 n2
g/ alog n h/ .log n/n i/ e

n>1 n>2 n>1 n2 C 1 !n˛

Xp 1/˛ X 1 n X
j/ . n n k/ 1 p l/ n2 C n C 1

n>1 n n>1
X 1 n3
n>1

m/ X Pn 1=j X p pn n o/ n sen
a j D1 n/ n˛ n n C 1=n
n
n>1 n>1 n>1
.2n/! 3
X X log.n C 1/ n 1 X n! en
p/ n>1 26n.n!/6 q/ r / nnC˛

log n n>1

n>1 X np2 n 1
u/
X 1 X 1 3
n cos n log n
s/ log n sen t /
n>2
n>1 n>1

Solución. Salvo una excepción, son todas series de términos positivos. Para estudiar su
convergencia aplicaremos los criterios que acabamos de estudiar.

.n!/2
a/ Pongamos an D 2n2 . Aplicaremos el criterio del cociente:

anC1 D ..n C 1/!/2 2n2 D .n C 1/2 D 1 n2 C 2n C 1 ! 0:
an 2.nC1/2 .n!/2 22nC1 2 4n

La serie es convergente. ©

.n C 1/n
b/ Pongamos an D nnC2 . Apliquemos el criterio del cociente:

anC1 D .n C 2/nC1 nnC2 D n C 2 nC3 n n n2
an .n C 1/nC3 .n C 1/n C1 .n C 2/2 D
nC1 n
1 nC3 1 n
D 1C nC1 n2 1
1 n C 1 n2 C 4n C 4 ! e e D 1:

Además anC1 6 1, por tanto el criterio del cociente no proporciona información sobre la
an
convergencia de esta serie. Cuando esto ocurre igual sucede con el criterio de la raíz. Esto

nos indica que la serie no es comparable con una serie geométrica. El criterio de Raabe

no parece fácil de aplicar. Podemos intentar el primer criterio logarítmico. Tenemos que:

log.an/ D n log.n C 1/ C .n C 2/ log n D n log n C2 ! 2 > 1:
nC1

log n log n log n

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Ejercicios resueltos 546

P
Por tanto la serie es convergente. Este criterio nos dice que la serie an es comparable

con una serie de Riemann de exponente ˛ D 2. Que efectivame nte Cest1o ens así es fácil de
n
comprobar. Si nos fijamos en an y recordamos que la sucesión n es creciente y

converge a e, enseguida nos damos cuenta de lo que sigue:

.n C 1/n n C 1 n 1 e
an D nnC2 D n2 6 n2
n

lo que permite concluir, por el criterio de comparación, que la serie es convergente. ©

9.37 Observación. Antes de empezar a aplicar criterios de convergencia, fíjate bien en la
forma que tiene el término general de la serie e intenta relacionarlo con alguna sucesión
conocida.

1 n n
e/ Pongamos an D n! a . Apliquemos el criterio del cociente:

anC1 1 C 1 nC1 a n C 1 n a
an C n a n! n n n :
D D !
.n 1/! a e

Deducimos que si 0 < a < e la serie es convergente, si a > e la serie es divergente. Para
a D e el criterio no proporciona información. Ni el criterio de Raabe ni el primer criterio
logarítmico parecen fáciles de aplicar. Cuando no queda otro recurso hay que intentar
aplicar el criterio de comparación. Supuesto que a D e, tenemos que:

nn 1 nn n! 1 1 11 1
an D n! en > n! .n C 1/nC1 D 1 n > > :
1 C n C 1 e n C 1 5n
n

Donde hemos usado que para todo k 2 N es e < 1 C 1 k C1D k C1 k C1, de donde se
k k
sigue que para todo n 2 N:

1 Yn k kC1 n!
en > D .n C 1/n :
k D1 k C1

Concluimos, por comparación con la serie armónica, que la serie es divergente para
©
a D e. 1 log n

f / Pongamos an D log.n C 1/ . Aquí no es apropiado aplicar el criterio del co-

ciente porque no hay factores que se simplifiquen al calcular el cociente de un término

al anterior. El criterio pdoerlqaurea,ízcopmueoddeeabpelsiccaormsep, rpoebraor,nopn parnop!orc1ioynapninafnor6m1a.ciPóondseombores
el carácter de la serie

aplicar el primer criterio logarítmico.

log.an/ D log.log.n C 1// ! C1:
log n

La serie es convergente. Deducimos que se trata de una serie que converge más rápida-
mente que cualquier serie de Riemann y menos rápidamente que cualquier serie geomé-

trica. ©

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Ejercicios resueltos 547

nlog n
h/ Pongamos an D .log n/n . Es apropiado aplicar el criterio de la raíz.

log n .log n/2
p nn e n
n an D log n D log n ! 0:

La serie es convergente. ©

i / Pongamos an D e 1C 1=n2 n2. Observa que como 1 C 1 k < e para todo k 2N,

k

se tiene que an > 0. Los criterios del cociente, de la raíz, de Raabe y los logarítmicos no

parecen apropiados para estudiar esta serie. Cuando esto sucede hay que intentar aplicar

un criterio de comparación. Si recuerdas el límite, que hemos visto varias veces:

e .1 C x / 1 e
x
lKım D ;
x!0 x 2

se deduce que si fxng ! 0 se verifica la equivalencia asintótica e .1 C xn/1=xn e xn .
2

Por tanto: 1= n2 n2 e 1
2 n2 ;
an D e 1C

y deducimos que la serie converge por el criterio límite de comparación. También pode-

mos usar ek1l ckrCit1e.riCoobnáseilcloo de comparación usando que para todo k 2 N se verifica que
e< 1C se tiene:

1 n2 1 n2C1 1 n2 1 n2 1 e
an D e 1C n2 < 1C n2 1C n2 D 1C n2 n2 < n2 :

©

p 1/˛. Trata de aplicar algunos criterios de convergencia. Las
j / Pongamos an D . n n

series que cuesta más trabajo estudiar son aquellas en las que los criterios del cociente, de

la raíz, de Raabe y los logarítmicos no sirven para estudiar su convergencia, ya sea porque

los límites que hay que calcular son difíciles o porque dichos criterios no proporcionan

información. Cuando esto ocurre hay que aplicar un criterio de comparación. En nuestro

caso tenemos que:

pn n log n 1 log n log n ˛ :
n ÷an n
1De n

Deducimos que la serie converge si, y sólo si, ˛ > 1. ©

n2 C 1 !n˛ n n˛
l/ Pongamos an D n2 C n C 1 D 1 n2 C n C 1 . Después de pensarlo un

poco, parece apropiado usar el primer criterio logarítmico. Tenemos que:

log.an/ D n˛ n n˛ n n˛ 1
log 1 :
log n log n n2 C n C 1 log n n2 Cn C1 log n

Por tanto: lKım log.an/ D
n!1 log n
C1; si ˛ > 1I
0; si ˛ < 1:

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Ejercicios resueltos 548

La serie converge si ˛ > 1 y no converge si ˛ < 1. Para ˛ D 1 se tiene que fang ! 1
por tanto la serie no converge porque su término general no converge a 0. y

e©

m/ Pongamos an D Pn 1=j . Es evidente que si a > 1 se tiene que an > 1 y, por tanto,

a j D1

la serie no es convergente porque fang no converge a 0. Podemos aplicar el criterio del

cociente. anC1 1

an D a nC1 ! 1:

Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Intentemos el

criterio de Raabe.

1 log a log a !
Rn D n 1 anC1 D n 1 a nC1 D n e nC1 1 n nC1 log a:

an

Deducimos que si log a > 1, es decir, a < 1 la serie converge, y si log a < 1, es
e
1 1
decir, a > e la serie no converge. En el caso en que a D e se tiene que:

Rn D n 1 1 1 1 1 nC1
e nC1 6 1 ” e nC1 >1 ”e6 1C :
n n1

Esta última desigualdad es cierta porque para todo k 2 N es e < 1C 1 kC1 < 1C 1 kC2 .
k
k

También podemos hacer este ejercicio recordando la estrategia 7.33 con lo que:

an D Pn 1=j D a”nClog n D a”n alog n a”alog n:

a j D1

También puede aplicarse el primer criterio logarítmico. ©

n/ Pongamos an D n˛ p pn n Tenemos que:
n n C 1=n .

anDn˛ pn n r ! log 1 C 1 ! ! 1 C 1
1 n˛ exp n2 1 n˛ log n2
n 1 n˛ 3:
1C n2
n n

Por el criterio límite de comparación la serie converge si, y sólo si, ˛ 3 < 1, esto es,

˛ < 2. ©

o/ Pongamos an D 1 n3
n sen . Aplicaremos el criterio de la raíz.
n

p 1 n2
n an D n sen :
n

Se trata de una indeterminación del tipo 11. Aplicamos el criterio de equivalencia loga-

rítmica: 1 1
1 n
n2 1 D sen n! 1
n sen 1 6
n
n3

porque, como debe saber, lKım sen x x D 1 p ! e 1 < 1 y la serie es
. Luego n an 6
x!0 x3 ©
6

convergente.

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Ejercicios resueltos 549

.2n/! 3
p/ Pongamos an D 26n.n!/6 . Aplicaremos el criterio del cociente porque hay muchos
factores que se van a simplificar.

anC1 D .2n C 2/! 3 26n.n!/6 D .2n C 1/3.2n C 2/3 D .2n C 1/3 ! 1:
an 26nC6..n C 1/!/6 .2n/! 3 26.n C 1/6 8.n C 1/3

Como este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie, aplica-

remos el criterio de Raabe. !

Rn D n 1 .2n C 1/3 D 12n3 C 18n2 C 7n 8 ! 3 > 1:
8.n C 1/3 8n3 C 24n2 C 24n C 2

La serie converge. ©

r/ Pongamos an D n! en . Apliquemos el criterio del cociente.
nnC˛

n n n ˛
anC1 D e ! 1:
an n C 1 n C 1

Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Apliquemos

el criterio de Raabe en su forma alternativa.

n 1 C 1 n2C˛n 1 C 1 n !n C 1 ˛n
an en n n n
D D n
anC1
en

n C 1 ˛n 1 C 1 n !n
n
Tenemos que ! e˛ . La sucesión zn D n es una indeterminación

e

11, por tanto fzng ! eL donde L es el límite de:

n 1 C 1 n ! 1 C 1 n e 1
1 D1 ! :
n n
e
e 1 2

n

Por tanto: n
! e˛
an 1

anC1 2:

La serie converge si ˛ 1 > 1, esto es ˛ > 3 y no converge para ˛ < 3 . Para ˛ D 3=2
2 2 2

la serie no converge; de hecho se verifica que:

nC 3 !
2
n
Rn D n 1 e 61
nC1

pero esta desigualdad no parece que sea fácil de probar. ©

1
s/ Pongamos an D log n sen n . Después de pensarlo un poco te darás cuenta de que

hay que aplicar un criterio de comparación. Tenemos que:

1 !
n
an D log sen :

1

n

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Ejercicios resueltos 550

Observa que an < 0 porque para x > 0 es sen x < x. Esto lleva a considerar la función:
sen x

f .x/ D log x :
Para x ! 0 tenemos las siguientes equivalencias asintóticas:

f .x/ sen x 1 D sen x x 1 x2:
x x6

Deducimos que:

1 11
an D f n 6 n2 :
P P
Por el criterio límitPe de comparación se sigue que la serie . an/ D an es conver-

gente y, por tanto, an es convergente. ©

Ejercicio resuelto 227 Estudia la convergencia de las siguientes series donde ˛; ˇ 2 R.

X X p3 n p3 n/ n C 1
.n1= . log
a/ n2 1/I b/ C 1

n>1 n>1 n

X 2 4 6 .2n/ ˛ X Xn 1 !
c/ d / n˛ exp ˇ
k
5 7 .2n C 3/ n>1 k D1

n>1

Solución. a/ Pongamos an D n1=n2 1. Tenemos que:

log n log n
an D e n2 1 n2 :

Por el criterio límite de comparación, la serie es convergente.

b/ Pongamos an D .p3 n C 1 p3 n/ log nC1 . Tenemos que:
n

p r !
an D 3 n 1 1 11 1 1 1
1C 1 log 1 C n3 D :
n 3 n2 3 5
n
n3

Por el criterio límite de comparación, la serie es convergente.
˛
2 4 6 .2n/
c/ Pongamos an D 5 7 .2nC3/ . Aplicaremos el criterio del cociente.

anC1 2 4 6 .2n/.2n C 2/ ˛ 7 .2n C 3/ ˛ C 2 ˛
5 2n
D D
an 5 7 .2n C 3/.2n C 5/ 2 4 6 .2n/ 2n C 5

Este criterio no proporciona información sobre la convergencia de la serie. Apliquemos

el criterio de Raabe en su forma alternativa.
n 2n 5 ˛n
an C
D ! e 3 ˛ :
2

anC1 2n C 2

Por tanto, si 3 ˛ > 1, o sea, ˛ > 2 la serie converge, y si 3 ˛ < 1, o sea, ˛ < 2 la serie no
2 3 2 3
2
converge. Para ˛ D 3 la serie no converge, pero este caso requiere un estudio específico

que no vamos a hacer.

Vamos a hacer este ejercicio con otro tipo de técnica que resulta muy conveniente para
series cuyo término general es parecido al de la serie que nos ocupa.

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Ejercicios resueltos 551

9.38 Estrategia. X donde cn D p1p2 pn y
Consideremos una serie del tipo .cn/˛ q1q2 qn

n>1

pj ; qj son números enteros positivos. Además qn es de la forma qn D pn C k donde k es

un entero positivo fijo. En el ejemplo que nos ocupa es pn D 2n y qn D 2n C 3 D pn C 3.

Observa que para que fcng ! 0 es necesario que ˛ > 0. Una estrategia bastante buena

para estudiar estas series consiste en acotar directamente cn usando la desigualdad (válida

por ser pn < qn): pn < pn C k D qn :
qn qn C k qn C k

Para que esta estrategia pueda aplicarse se necesita también que podamos relacionar con

facilidad qn C k con pn. Lo usual es que se tenga una relación del tipo qn C k D pnCk .

En nuestro ejemplo es qn C 3 D 2n C 6 D 2.n C 3/ D pnC3. Supuesto que esto es así,

tenemos que: pn < qn :
qn pnCk

En nuestro ejemplo es:

2n 2n C 3 (9.8)
<:

2n C 3 2n C 6

Una vez dada la idea general, por comodidad, vamos a seguir con nuestro ejemplo.
Usando la desigualdad (9.8) para n D 1; 2; : : : , tenemos que:

cn D 5 2 4 .2n/ D 2 4 2n 3 < 5 7 2n C 3D
7 .2n C 3/ 5 7 2n C 8 10 2n C 6

D 5 7 .2n C 3/ D 2 4 6 1
:
8 10 .2n/.2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/ .2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/ cn

Observa que, aplicando la desigualdad (9.8) a los factores que forman cn, obtenemos una
1

desigualdad que relaciona cn con cn ; ésta es la idea en la que se basa esta estrategia. De
la desigualdad anterior deducimos que:

cn2 < .2n C 48 4/.2n C 6/
2/.2n C

Supuesto que ˛ > 0 (condición necesaria para la convergencia) se sigue que:

˛
48 2
cn˛ < .2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/

Teniendo en cuenta que:

˛
48 2 ˛ 1
6 2 ;
3
.2n C 2/.2n C 4/.2n C 6/ n 2 ˛

deducimos, por el criterio básico de comparación con la serie de Riemann de exponente

3 ˛ que si 3 ˛ > 1, o sea, ˛ > 2 la serie es convergente.
2 2 3

Esto ya lo sabíamos por el estudio hecho previamente. La novedad viene ahora. Se puede

repetir el mismo proceso anterior para acotar cn por abajo, o sea, para minorar cn. La idea

es la misma. Si has entendido lo anterior lo que sigue debe estar claro.

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Ejercicios resueltos 552

Usaremos ahora la desigualdad:

2n 2n 3 (9.9)
2n C 3 > 2n

Usando esta desigualdad para n D 2; 3; : : : , tenemos que:

2 4 6 8 .2n 2/.2n/ 2 4 6 8 2n 2 2n
cn D 5 7 9 11 .2n C 1/.2n C 3/ D 5 7 9 11 2n C 1 2n C 3 >

> 2 1 3 5 2n 5 2n 3D
5 4 6 8 2n 2 2n

D6 2 5 7 .2n 3/.2n 1/.2n C 1/.2n C 3/ D
5 .2n 1/.2n C 1/.2n C 3/ 2 4 6 .2n/


12 1 1
D:

5 .2n 1/.2n C 1/.2n C 3/ cn

De donde, al igual que antes, se sigue que:

12 ˛ ˛
5 .2n 1 2 12 2 1
cn˛ > :
1/.2n C 1/.2n C 3/ 5 3 ˛
n 2

Deducimos, por el criterio básico de comparación con la serie de Riemann de exponente
©
3 ˛ que si 3 ˛ > 1, o sea, ˛ > 2 (en particular para ˛ D 2 ) la serie no es convergente.
2 2 3 Xn ! 3

d / Pongamos an D n˛ exp ˇ 1 . Tenemos que:
k

k D1

anC1 D C 1 ˛ e ˇ
n
nC1 ! 1:
an n

Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.

an n n n˛
D
eˇ n ! e ˛ eˇ D eˇ ˛:
nC1

anC1 nC1

Por tanto, si ˇ ˛ > 1 la serie converge y si ˇ ˛ < 1 la serie no converge. El caso en
que ˇ ˛ D 1 no queda resuelto con este criterio.

Otra forma de proceder es aplicando la estrategia 7.33. Tenemos que:

anDn˛ exp ˇ Xn 1 ! ˇ log n ˇ”n Dn˛ e ˇ log n e ˇ”n eˇ” n˛n ˇ Deˇ” 1 :
Dn˛ nˇ
k e ˛

k D1

Por el criterio límite de comparación, la serie converge si, y sólo si, ˇ ˛ > 1. ©

Ejercicio resuelto 228 Estudia la convergencia de las series.

X 3nn!
a) p
3 n 5 8 11 .5 C 3n/
nX>1 p
p p
b) .a a/.a 3 a/ .a n a/ .a > 0/

n>1

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Ejercicios resueltos 553

Solución. a) Pongamos an D X 3nn!
p . Tenemos que:
n>1 3 n 5 8 11 .5 C 3n/

anC1 D 3nC1.n C 1/! p3 n 5 8 11 .5 C 3n/
an p3 n C 1 5 8 11 .5 C 3n/.5 3nn! D
C 3.n C 1//

1
n 3 3n C 3

D ! 1:
n C 1 3n C 8

El criterio del cociente no proporciona información sobre la convergencia de la serie.
Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.

an n C n C 8 n n 5 n
n 13 3n 13
D D 1C 1C ! 1 5 D e2 :
anC1 n 3n C 3 n 3n C 3
e3 e3

La serie converge. pp p
b) Pongamos an D .a a/.a 3 a/ .a n a/. Tenemos que:

anC1 D a p
an nC1 a ! a 1:

Por tanto, si a 1 < 1, o sea, 0 < a < 2, la serie converge; y si a 1 < 1 o sea a > 2
la serie no converge. Para el caso en que a D 2 el criterio del cociente no proporciona

información sobre la convergencia de la serie. Aplicaremos el criterio de Raabe.

nCp1 2
n1 anC1 D n 1 ! log 2 < 1:
an

La serie no converge. ©

Ejercicio resuelto 229 Sea fang una sucesión creciente de números positivos. Dar condicio-
X1
nes que garanticen que la serie es convergente.
n>1 a1a2a3 an

1
Solución. Pongamos xn D a1a2a3 an . Si fang no está mayorada, como es creciente
se tiene que fang ! C1. Por tanto, hay un número k 2 N tal que para todo n > k se
verifica que an > 2. Deducimos que para n > k se verifica que:

1 2k 1 1 11 1
D 1 2k ak akC1 an 6 M 2k 2n k D M 2n :
a1a2 ak 1ak akC1 an a1a2 ak

2k
Donde hemos puesto M D a1a2a3 ak 1 que es una constante independiente de n.
Concluimos que la serie es convergente por comparación con la serie geométrica de
razón 1=2.

Si fang está mayorada, como es creciente se tiene que fang ! L donde L > 0. Si
L > 1, podemos tomar un número tal que 1 < < L, con lo que podemos asegurar
que hay algún k 2 N tal que an > para n > k. Podemos ahora repetir el razonamiento
anterior con 2 sustituido por y concluimos que la serie converge por comparación con

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Ejercicios resueltos 554

la serie geométrica de razón 1= . Si 0 < L 6 1, entonces como 0 < an 6 L, se tiene que
0 < an 6 1 para todo n 2 N, lo que implica que xn > 1 por tanto fxng no converge a 0,
lo que implica que la serie no converge.

También puede aplicarse el criterio del cociente.

xnC1 D 1 1
!
xn anC1 L

donde fang ! L 2 RC [ fC1g. Por lo que si L > 1 o si L D C1, se tiene que 1 < 1
L

y la serie converge. Si L < 1 la serie no converge, y si L D 1 tampoco converge porque
xnC1 ©
entonces xn > 1.

Ejercicio resuelto 230 Dar ejemplos de sucesiones fang ! 1 y decrecientes tales que la
X1
serie sea en un caso convergente y en otro caso divergente.
n>1 a1a2a3 an

Solución. La sucesión an D 1 C 1 D nC1 decrece y converge a 1. Tenemos que:
n n

2 3 4 .n C 1/
a1a2 : : : an D 1 2 3 n D n C 1:

La correspondiente serie es divergente.

La sucesión an D 31=n es decreciente y converge a 1. Tenemos que:

Pn 1
1 1 j D1 j
xn D a1a2a3 an D 3 :

Esta serie es convergente porque aplicando el criterio de Raabe obtenemos:

r! log 1 D log 3 > 1:
n1 xnC1 D n 1 1nC1 ! 3

xn 3

Ejercicio resuelto 231 Sea an > 0 para todo n 2 N. Prueba que las series X an y X 1 an
C an
n>1 n>1

ambas convergen o ambas divergen.

Solución. Pongamos bn D 1 an . Como 1 C an > 1, la desigualdad bn 6 an prueba que
P C an P
si la serie P an es convergente también es convergente la serie bn. Recíprocamente,
si la serie bn es convergente entonces debe ser fbng ! 0, por lo que hay algún k 2 N
1
tal que para todo n >k es bn < 2 , esto es, 2an < 1 C an por lo que an < 1. Lo que

implica que an2 < an, y obtenemos que a2n C an < 2an de donde an < 2an D 2bn.
1PC an
De esta desigualdad se sigue, por el criterio de comparación, que la serie an también
es convergente.
©

P
Ejercicio resuelto 232 Sea an una serie de términos positivos convergente. ¿Qué puede

decirse de las series P a2n y P pananC1?

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Ejercicios resueltos 555

Solución. Como fang ! 0, hay un número k 2 N tal que para todo n > k es 0 < an < 1,
lsoerqieuePiman2pleicsacoqnuvee0rge<ntea.2nC<omaon y deducimos, por el criterio de comparación, que la

pananC1 6 1 .a2n C an2C1/;
2

se sigue, también por el criterio de comparación, que la serie P pananC1 es convergen-
te.
©

P
EjercitscaeiloriqerueXesulaeplstneoar˛ine23eXs3 copSpnevaaenrgseenaatneduisvniea˛rgs>eenrit1ee=.c2o.nDvearugnenetjeemdepltoérdmeinuonsa positivos. Prueba que la
P

serie an convergente

n

Solución. Recuerda la desigualdad ab 6 1 .a2 C b2/. Sustituye a por pan yb por 1 y
2 n˛

resulta que: pan
n˛
6 1 C 11
2 an 2 n2˛ :
P1 P
Como 2˛ > 1 la serie es convergente. Como an es convergente por hipóte-
sis, de n2˛ se sigue, por el pan
P n˛
la desigualdad anterior criterio de comparación, que es

convergente. P
P
La serie 1 es convergente pero 1 es divergente. ©
n.log n/2 n.log n/

Ejercicio resuelto 234 Estudia la convergencia de las sucesiones:

Xn 1 p b/ yn D Xn log k .log n/2
a/ xn D p 2 n; k :

kD1 k k D1 2

Sugerencia. Estudia la convergencia de las respectivas series de diferencias consecutivas.

Solución. a) Tenemos que:

1p p1 2
xnC1 xn D p 2 nC1C2 nD p pp D
n C 1 p nC1 nC nC1
p
n n Cp 1 1
D p C p C nC 1/ D p C p C p C :
n n 1. n n 1/2
1. n

Puesto que pnC1.pn1CpnC1/2 1 P pnC1.pn1CpnC1/2 es convergente. Por
n3=2 la serie

tanto, la sucesión: Xn

x1 C .xkC1 xk / D xnC1

k D1

es convergente.

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Criterios de convergencia no absoluta 556

b) Usando que log.n C 1/ D log n.1 C 1 D log n C log.1 C 1 /, tenemos que:
n / n

yn ynC1 D log.n C 1/ C .log.n C 1//2 .log n/2 D
nC1 2 2
1 2
log.n C 1/ log n C log 1 C .log n/2
n
DC D
nC1 2 2
1 2
log.n C 1/ 1 1
D C log n log 1 C C log 1 C D
nC1 n2 n
1 1 2
D log n log 1 C C 1 log 1C D
n

nC1 nC1 2 n 1
1 1 2
D log n log 1 C 1 log 1 C n C 1 log 1C :

n nC1 nC1 2 n

1C 1 X log 1 C 1
n nC1
Como log 1 1 , la serie n es convergente. También
n.nC1/ n2
nC1

X 1 2 n>1 1 2 1
log n2
es convergente la serie 1 C porque log 1 C n . Usando la
n
n>1

desigualdad que ya debes saber de memoria:

1 < log 1C 1 1
nC1 < ;

n n

se sigue que: 1 1

0 < log 1 C 1
<;
n n C 1 n.n C 1/
X
de donde se deduce que la serie log n log 1 C 1 1
es convergente. Con-
n nC1
P n>1
cluimos que la serie .yn ynC1/ es convergente por ser suma de tres series conver-

gentes. Por tanto, la sucesión:

Xn
y1 .yk ykC1/ D ynC1

k D1

es convergente. ©

9.3. Criterios de convergencia no absoluta

Los criterios de convergencia para series de términos positivos se aplican, obvio es decirlo,
para estudiar la convergencia absoluta de cualquier serie. Pero, ¿qué hacer cuando una serie no
es absolutamente convergente? Naturalmente, podemos intentar comprobar si la serie verifica
la condición de Cauchy, pero este procedimiento con frecuencia es difícil. Pues bien, los crite-
rios que vamos a estudiar a continuación proporcionan información sobre la convergencia no
absoluta. Probaremos, en primer lugar, una igualdad de la que se deducen con facilidad dichos
criterios.

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Criterios de convergencia no absoluta 557

9.39 Proposición (Suma por partes (Abel, 1826)). Dadas dos sucesiones fang y fbng, pon-
Xp

gamos Ap D aj . Se verifica entonces, para todo n 2 N, que:

j D1

Xn Xn bkC1/ C AnbnC1 (9.10)
ak bk D Ak .bk

k D1 k D1

Demostración. Pongamos, por comodidad de notación, A0 D 0, con lo que para todo k 2 N se
verifica que ak D Ak Ak 1. Tenemos que:

Xn Xn Xn Xn Ak 1bk D
ak bk D .Ak Ak 1/bk D Ak bk

k D1 k D1 k D1 k D2

Xn Xn
D Ak bk Ak bkC1 C AnbnC1D

k D1 k D1

Xn
D Ak .bk bkC1/ C AnbnC1 :

k D1

9.40 Teorema (Criterio general de Dirichlet). Sean fang , fbng dos sucesiones, y pongamos
Xn

An D ak. Supongamos que:

k D1

i) Existe un número M > 0 tal que para todo n 2 N es ˇˇAnˇˇ 6 M .
X

ii) La serie jbn bnC1j es convergente.

n>1

iii) fbng ! 0.

X
Se verifica entonces que la serie anbn es convergente.

n>1

Demostración. Puesto quXe ˇˇAnˇˇˇˇbn bnC1ˇˇ 6 M ˇˇbn bnC1j , deducimos, por el criterio de
comparación que la serie An.bn bnC1/ converge absolutamente y, por tanto, es conver-

n>1

Xn
gente, es decir, la sucesión Ak.bk bkC1/ es convergente. Como, además, la sucesión

˚« k D1

AnbnC1 converge a cero por ser producto de una sucesiónXacotada por otra convergente a
cero, deducimos, en virtud de la igualdad (9.10), que la serie anbn es convergente.

n>1

9.41 Teorema (Criterio general de Abel). Sean fang y fbng dos sucesiones y supongamos
que:

X
i) La serie an es convergente.

n>1

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Criterios de convergencia no absoluta 558

X
ii) La serie jbn bnC1j es convergente.

n>1

X
Se verifica entonces que la serie anbn es convergente.

n>1

Xn
Demostración. La hipótesis i) nos dice que la sucesión An D an es convergente; en parti-

k D1

Xn
cular está acotada, por lo que, al igual que antes, se deduce que la sucesión Ak.bk bkC1/

X kD1
es convergente. Además, ii) implica que la serie .bn bnC1/ es convergente,y como dicha

n>1

˚Xn «
serie es la sucesión .bj bjC1/ D fb1 bnC1g , obtenemos que fbng es convergente.

jD1 ˚ «
Resulta así que la sucesión AnbnC1 converge por ser pXroducto de sucesiones convergentes
y, en virtud de la igualdad (9.10), deducimos que la serie anbn es convergente.

n>1

9.42 Proposición. SXi la sucesión fbng es monótona y acotada, entonces se verifica que es
convergente la serie jbn bnC1j.

n>1

Demostración. En efecto, basta tener en cuenta que

8
ˆ<ˆˆˆˆXn .bj bjC1/ D b1 bnC1;
Xn j D1 si fbng es decreciente;
jbj bj C1j D si fbng es creciente.
ˆˆˆˆ:ˆXn .bj
j D1 C1 bj / D bnC1 b1;

j D1

La proposición anterior permite particularizar los criterios de Dirichlet y de Abel de la
forma que sigue.

9.43 Corolario (Criterio particular de Dirichlet). Sean fang, fbng dos sucesiones, y ponga-
Xn

mos An D an. Supongamos que:

i) k D1 > 0 tal que para todo n 2 N es ˇˇAnˇˇ 6 M .

Existe un número M

ii) fbng es monótona y fbng ! 0.

X
Se verifica entonces que la serie anbn es convergente.

n>1

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Criterios de convergencia no absoluta 559

9.44 Corolario (Criterio particular de Abel). Sean fang, fbng dos sucesiones y supongamos
que: P

i) La serie an es convergente.

ii) fbng es monótona y acotada.
X

Se verifica entonces que la serie anbn es convergente.

n>1

Hay un caso todavía más pXarticular del criterio de Dirichlet que se aplica a series alterna-
das, es decir, a series del tipo . 1/nC1xn donde xn > 0 para todo n 2 N. Este criterio es

n>1

debido a Leibniz, y aunque puede deducirse fácilmente del corolario 9.43, merece la pena dar
una prueba directa del mismo porque así obtenemos una fácil acotación del error que se comete
al aproximar la suma de una serie alternada por una suma parcial de la serie.

9fcao.4nn5vgePerrgsoedpnetoecs.riecAcidóieennmt(eáCsry, istcieoArnionveDdrgePeLneknteiDb1an.icze1pr/oak.rCaE1snaetkroineycseSaslDtlearPnsean1rdDiea1s.a).lte1Sr/unnpaCod1naagnaP,menon>sto1qn.ucee1sl/apnsaCur1caaetnsoiódenos
n 2 N se verifica que jS Anj 6 anC1.

Demostración. Es inmediato comprobar que la sucesión fA2n 1g es decreciente y fA2ng es

creciente. Como A2 6 A2n 6 A2n 1 6 A1, deducimos que ambas sucesiones convergen. Ade-

más, como A2n 1 A2n D a2n ! 0, concluimos que An converge.
P1
Sea S D . 1/nC1an D lKımfAng. Puesto que
nD1

S D lKımfA2n 1g D KınffA2n 1 W n 2 Ng D lKımfA2ng D supfA2n W n 2 Ng;

se verifica que A2n6 S 6 A2nC1, de donde:

0 6 S A2n 6 a2nC1; y a2n 6 S A2n 1 6 0: (9.11)

En consecuencia jS Anj 6 anC1 para todo n 2 N.

formTaenPien. do1/ennC1cauenndtaonladeprfoapnogsi!ción0 9.8, el criterio de Leibniz prueba que las series de la
y la sucesión fang es monótona a partir de un cierto

término en adelante, son convergentes (aunque la acotación del error antes obtenida ya no

tiene por qué ser válida).

Observa que Plos criterios de Dirichlet y de Abel pueden, en principio, ser aplicados a una
serie cualquiera, xn, pues sólo tenemos que expresar xn de la forma xn D anbn, lo que, evi-
dentemente, puede hacerse de muchas maneras; pero es imprescindible elegir apropiadamente
an y bn para que pueda aplicarse con éxito alguno de dichos criterios.

9.46 Estrategia (EstrategPia para estudiar la convergencia de una serie). Para estudiar la
convergencia de una serie zn numérica lo primero que debes hacer es Pestudiar la convergen-
cia absoluta, es decir la convergencia de la serie de términos positivos jznj, Ppara lo que se
aplican los criterios de convergencia para series de términos poPsitivos. Si la serie jznj conver-
ge entonces, en virtud del teorema 9.1P4, sabemos que la serie zn también converge (y todas
sus reordenaciones). Cuando la serie jznj no converge se aplPican los criterios de Dirichlet o
de Abel para estudiar directamente la convergencia de la serie zn.

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Ejercicios propuestos 560

9.3.1. Ejercicios propuestos

466. Estudia la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de las siguientes series.

X 1/nC1 log.n C 2/ X 1/n ˛ 1 1/n ; .˛ 2 R/
a/ . nC2 b/ . n C.

n>1 n>1 p
X 1/n n
c/ . 1/nC1 2 C . X
n d / . 1/nC1 n C 100

n>1 . 1/n n>1 1/ ˛
1/nC1 1 3 5 .2n ; .˛ 2 R/
X X
e/ log 1 C f/ .
n 2 4 6 2n
nX>1 n log nC1 Xn>1
g/ . 1/nC1 1 n h/ . 1/nC1 .log n/r ; .r; s 2 RC/
ns
n>1 n>1

467. Estudia, según los valores de ˛ 2 R, la convergencia absoluta y la convergencia no abso-

luta de la serie X 1
. 1/nC1n˛ n1
n
n>2 log :
n

468. Estudia, según los valores de ˛ 2 R, la convergencia absoluta y la convergencia no abso-

luta de la serie X 1
. n
1/nC1 n˛ .e 1/:

n>1

Sugerencia. Prueba que la función f W RC ! R dada para todo x > 0 por:

f .x/ D ex 1
x˛

es creciente siempre que ˛ < 1.

9.3.2. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 235 Estudia la convergencia absoluta y la convergencia no absoluta de las

siguientes series.

X 1/n 1 X . 1/n
a/ . C. 1/n ; .˛ 2 R/ b/ log 1 C
n˛ n
n>1 1/ ˛ n>1 n log nC1
1/nC1 1 3 5 .2n ;
X 2 4 6 2n X
c/ . .˛ 2 R/ d / . 1/nC1 1
n
n>1 n>1

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Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Ejercicios resueltos 561

Solución. a) Pongamos an D n˛ 1 1/n . Si ˛ 6 0 entonces fang no converge a 0 y la
C.

serie no converge. Supondremos en lo que sigue que ˛ > 0. Tenemos que:

11
an D n˛ C . 1/n n˛

Deducimos que si ˛ > 1 la serie converge absolutamente. Consideremos que 0 < ˛ 6 1.
Pongamos:

1/n 1 . 1/n 1
. C. 1/n D n˛ C bn÷bn D n˛.n˛ C .
n˛ 1/n/

Por el criterio de Leibniz, la serie P . 1/n es Pconvergente (˛ > 0). Como 0 < bn 1 ,
n˛ n2˛

por el criterio límite de coXmparación, la serie bn es convergente si, y sólo si, ˛ > 1=2.
. 1/n 1 ˛ > 1=2.
Concluimos que la serie n˛ C. 1/n converge si En resumen, la serie

n>1

converge absolutamente si ˛ > 1 y converge no absolutamente si 1=2 < ˛ 6 1. La serie
©
no converge para ˛ 6 1= 2. 1/n
. n . Observa que an D . 1/nxn donde xn D janj.

b) Pongamos an D log 1 C

Probemos que x2nC16x2n6x2n 1, de donde se sigue que fxng decrece a 0. Usaremos

la desigualdad (que tú debes comprobar), válida para 0 < x < 1, log.1 x/ 6 x.

Tenemos:

ˇˇˇˇlog 1 1 ˇˇˇˇ D 1
1 2n log 1 2n 1 >2n1 > 1 > log 1C 1
x2n 1 D 1 2n 2n D x2n

Luego x2n < x2n 1 para n > 2. Por otra parte:


1 2n 2n C 1 Dlog 1C 1
x2nC1 D log 1C 2n C 1 D log 2n C 1 D log 2n 2n D x2n

P
Concluimos, por el criterio de Leibniz, que la serie an es convergente. Puesto que:

janj D ˇˇˇˇlog C . 1/n ˇˇˇˇ 1
1 n n

la serie no es absolutamente convergente. ©

1 3 5 .2n 1/ ˛
c) Estudiaremos primero la convergencia absoluta. Sea an D 2 4 6 2n . Si

˛ 6 0 entonces fang no converge a 0 y la serie no es convergente. Supondremos en lo que

sigue que ˛ > 0. Tenemos que:

anC1 D C 1 ˛ ! 1:
2n

an 2n C 2

El criterio del cociente no proporciona información sobre la convergencia absoluta de la

serie. Aplicaremos el criterio de Raabe en su forma alternativa.

an n 2n C 2 ˛n 1 ˛n
D D 1C
˛
! e2 :
anC1 2n C 1 2n C 1

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Ejercicios resueltos 562

Por tanto, si ˛ > 1, o sea ˛ > 2 la serie converge absolutamente; si ˛ < 1, o sea ˛ < 2
2 2

la serie no converge absolutamente. El caso en que ˛ D 2 requiere un estudio particular

(ver más adelante). Nos queda por estudiar lo que ocurre si 0 < ˛ 6 2. Observa que para

˛ > 0 es evidente que la sucesión fang es decreciente. LPo.qu1e/nnCo1easn evidente es que
converja a 0. Para aplicar el criterio de Leibniz a la serie hay que probar

que fang ! 0. Esto puedes hacerlo comprobando que la sucesión log.an/ ! 1. Esto

es fácil y te lo dejo para que lo hagas tú. Yo voy a seguir otro camino. Aplicando la

estrategia 9.38 a la sucesión xn D 1 3 5 .2n 1/ se obtiene fácilmente que:
2 4 6 2n

1 11 1
p < xn < p ÷ < an <
2n 2n C 1 2n˛=2 .2n C 1/˛=2

Desigualdad que implica que fang ! 0 para todo ˛ > 0. Además esta desigualdad nos
1
dice que para ˛ D2 es an > 2n lo que implica que la serie no converge absolutamente

para ˛ D 2. En resumen: hay convergencia absoluta para ˛ > 2 y hay convergencia no

absoluta para 0 < ˛ 6 2.

Ejercicio resuelto 236 Estudia, según los valores de ˛ 2 R, la convergencia absoluta y la

convergencia no absoluta de la serie

X 1 n 1 :
. 1/nC1n˛ log
n n
n>2


Solución. Pongamos zn D . 1/nC1n˛ 1 n1
n log n . Estudiaremos primero la con-

vergencia absoluta. Tenemos que:

lKım x log.1 x/ D 1 .x/ 1x2
x2 ÷f
x!0 22

y por tanto jznj D n˛f 1 1 P converge absolutamente si,
2n2 ˛ . Por tanto, la serie zn
n

y sólo si, 2 ˛ > 1, o sePa, ˛ < 1. Si 2 ˛ 6 0, o sea ˛ > 2, entonces fzng no converge
a 0 y por tanto la serie zn no es convergente. Queda por ver lo que ocurre cuando

1 6 ˛ < 2. Para dichos valores de ˛ se tiene que fzng ! 0. Probaremos que fzng es
decreciente. Pongamos f .x/ D x ˛. x log.1 x// donde 0 < x < 1. Observa que

zn D . 1/nC1f .1=n/. Tenemos que:

f 0.x/ D x˛C1 C ˛x˛ 1. x log.1 x//;
1x

recordando que x log.1 x/ > 0 para 0 < x < 1, se sigue que f 0.x/ > 0

para 0 < x < 1. Por tanto f es estrictamente creciente enP0; 1 y, en particular, es
<f . El criterio de Leibniz nos dice que la serie zn es convergente para
f 1 1
nC1 n ©

1 6 ˛ < 2.

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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta 563

9.4. Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta

Debes tener ya claro que una cosa es estudiar la convergencia de una serie y otra es calcular
su suma. Son relativamente pocas las series convergentes cuya suma se puede calcular de forma
exacta. Aquí vamos a ver algunas de ellas. No debes esforzarte por memorizar fórmulas para
sumar series, sino en comprender y en aplicar los métodos que permiten calcularlas.

X
Series geométricas. Las series de la forma ˛xn donde ˛ 2 R y jxj < 1, cuya suma viene

n>0

X1 ˛
dada por ˛xn D .
1x
nD0

X
Series aritmético - geométricas. Son series de la forma p.n/xn donde p es una función

n>0

polinómica de grad0 m > 1. Aplicando el criterio del cociente se obtiene fácilmente que estas

series convergen absolutamente si jxj < 1. Es claro que no convergen si jxj > 1 pues entonces
fp.n/xng es una sucesión no acotada y, por tanto, no converge a 0. Supongamos que jxj < 1 y

pongamos:

X1 Xn
S D p.k/xk D lKım p.k/xk
n!1
k D0 k D0

Definamos las diferencias de pri mer orden de p, que notaremos, 1p , como el polinomio
dado para todo k 2 N por 1p .k/ D p.k C 1/ p.k/. Observa que 1p es un polinomio

de grado m 1. Tenemos:

Xn Xn !
S xS D .1 x/S D lKım p .k /x k p.k/xkC1 D
n!1
k D0 k D0
D lKım nX1 p.k C 1/ C ! D p.0/ C x X1 /xk :
p .k / x k C1 p.0/ p.n/xnC1 1p .k
n!1
k D0 k D0

Pongamos S1 D P1 1p /xk . La igualdad anterioXr nos dice que .1 x/S Dp.0/CxS1.
.k
k D0

Este procedimiento puede volver a aplicarse a la serie 1p/.k/xk. De la misma forma

obtenemos ahora .1 x/S1 D 1p/.0/ C xS2, donde k >0 P1 /xk y
2p .k 2p son
S2 D k D0

las diferencias de segundo orden de p definidas para todo k 2 N por:


2p .k/ D 1p .k C 1/ 1p .k/:


Observa que 2p es un polinomio de grado m 2.

Repitiendo este proceso m veces llegaremos a obtener finalmente

X1 /x k D ˛
Sm D mp .k
1 x
k D0


porque las diferencias de orden m, .mp , de un polinomio de grado m son constantes,
.mp .k/ D ˛ para todo k 2 N. Conocido Sm calculamos Sm 1 a partir de la igualdad

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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta 564


.1 x/Sm 1 D m 1p .0/ C xSm. A partir de Sm 1 podemos calcular Sm 2, etcétera,
hasta llegar a obtener finalmente el valor de S .

P
Series hipergeométricas. Consideremos una serie an de términos positivos tal que para

todo n 2 N es: anC1 ˛n C ˇ
;
D .˛ > 0; ˇ;
2 R/:
an ˛ n C


Escribiendo esta igualdad para n D k en la forma:

˛kakC1 C
akC1 D ˛kak C ˇak
y sumando desde k D 1 hasta k D n se obtiene:

˛ nanC1 C
.anC1 C Sn a1/ D ˛Sn C ˇSn: (9.12)

Xn
Donde Sn D ak. Supuesto que la serie sea convergente y que su suma es S D lKımfSng, se

k D1
deduce de la igualdad anterior que la sucesión fnanC1g también converge y necesariamente su

límite debe ser cero (si fuera nanC1 ! > 0 se tendría que an n lo que implicaría que la

serie diverge).

Aplicando el criterio de Raabe se obtiene fácilmente que la serie converge si
> ˛ C ˇ

y diverge si
< ˛ C ˇ. También diverge si
D ˛ C ˇ porque en tal caso se deduce de la

igualdad 9.12 que:

˛ nanC1 C
anC1
a1 D 0 ÷ anC1 D
a1
˛n C


y, por comparación con la serie armónica, se sigue que la serie diverge.

Supuesto que,
> ˛ C ˇ, y tomando límites en la igualdad 9.12 deducimos que:


S
a1 D ˛S C ˇS ÷ S D
a1 :

˛ˇ

X P .n/
Series cuyo término general es una función racional. Se trata de series de la forma Q.n/
donde P y Q son funciones polinómicas. A partir de un cierto término en adelante, dichas series

tienen todos sus términos positivos o todos negativos (según que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D C1
o que lKımx!C1 P .x/Q.x/ D 1). Estas series convergen absolutamente cuando el grado

del denominador es al menos dos unidades mayor que el grado del numerador. Cuando esta

condición se cumple y, además, las raíces del polinomio Q son todas reales y simples es posible

calcular la suma de la serie descomponiendo la función racional P .x/ en fracciones simples,

Q.x/

Se tendrá una descomposición de la forma:

P .x/ A1 C A2 C C Am
D
Q.x/ x ˛1 x ˛2 x ˛m

donde ˛1; ˛2; : : : ; ˛m son las raíces de Q. Sustituyendo en la igualdad anterior xDk y sumando

desde k D 1 hasta k D n resulta:

Xn P .k/ Xn A1 C A2 C C
D Am

Q.k/ k ˛1 k ˛2 k ˛m

k D1 k D1

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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta 565

Ahora hay que hacer todas las simplificaciones posibles hasta queXfinalmAente nos quede una
sucesión que sea convergente. Observa que las series de la forma son divergentes
n˛
(por comparación con la serie armónica) pero la suma de todas las que hay en el paréntesis

anterior tiene que ser, en las hipótesis hechas, una serie convergente. Lo usual es que los coefi-

cientes Ak sean unos positivos y otros negativos y que las raíces ˛k sean números enteros, de
manera que se produzcan cancelaciones que finalmente permitan calcular la suma de la serie.

Es frecuente que en los cálculos aparezca la serie armónica alternada. La estrategia 7.33 es muy

útil para los cálculos en este tipo de ejercicio.

P
Series de diferencias o telescópicas. Se llaman así las series an cuyo término general puede
escribirse en la forma an D bnC1 bn. Puesto que, en tal caso, se verifica la igualdad

Xn b1;
ak D bnC1

k D1

X1
la serie converge si, y sólo si, la sucesión fbng converge, en cuyo caso an D lKımfbng b1.

nD1

Series relacionadas con la exponencial. Sea x 2 R un número real distinto de 0, fijo en lo que
sigue y sea n 2 N. Aplicando el teorema de Taylor 6.41 a la función exponencial con a D 0,
tenemos que hay algún punto c comprendido entre 0 y x tal que:

Xn 1 xk C ec x nC1 :
ex D1 C
k! .n C 1/!
k D1

X xn an D jxjn
n! n!
La serie es absolutamente convergente porque, poniendo , tenemos:

n>0

anC1 D jxj ! 0:
an n C 1

En particular, se verifica que lKım jxjn D 0. Como 0 < jcj < jxj, tenemos que:
n!1 n!

ˇˇˇˇˇex Xn 1 x k ˇˇˇˇˇ D ˇˇˇˇ .n ec 1/! xnC1ˇˇˇˇ 6 ejxj jxjnC1
k! C ;
k D0
.n C 1/!

de donde deducimos que:

lKım ˇˇˇˇˇex Xn 1 x k ˇˇˇˇˇ D 0 ” ex D X1 xn
k! :
n!1 k D0 nD0
n!

Como x ¤ 0 es un número real cualquiera y la igualdad anterior es trivialmente cierta para

x D 0, hemos probado que para todo número real x se verifica la igualdad:

ex D X1 xn D ( x2 x3 xn )
1C
lKım x C C C C (9.13)

nD0 n! n!1 1! 2! 3! n!

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Algunas series cuya suma puede calcularse de forma exacta 566

En particular, para x D 1, resulta que:

X1 1
111 1
e D D lKım 1 C C C C C : (9.14)
n! n!1 1! 2! 3! n!
nD0

Con ayuda de esta serie podemos calcular la suma de series de la forma X p.n/ donde p

n>0 n!

es una función polinómica de grado m > 1. Dichas series son (absolutamente) convergentes

como se comprueba fácilmente con el criterio del cociente. Para calcular su suma expresamos

el polinomio p.x/ en la forma:

p.x/ D a0 C a1x C a2x.x 1/ C a3x.x 1/.x 2/ C C amx.x 1/.x 2/ .x m C 1/:
Los números ak pueden calcularse fácilmente:

a0 D p.0/; a1 D p.1/ a0; 2a2 D p.2/ a0 2a1; : : :

Con ello tenemos que:

01
X1 p.n/ D X1 @ a0 C Xm aj n.n 1/ .n j C 1/ A D
n! n! n!
nD0 nD0 j D1
!
Xm X1 aj n.n 1/ .n j C 1/
D a0 e C n!
D

j D1 0nD0 1
Xm X1
D a0 C @ aj n.n 1/ .n j C 1/ A D
e n!

j D1 0nDj 1 X1 aj ! D
Xm X1 Xm n!
D a0 C @ aj A D a0 C
e .n j /! e

j D1 nDj j D1 nD0

D .a0 C a1 C a2 C C am/ e :

Naturalmente, si la serie no empieza a sumar desde n D 0 hay que hacer los ajustes necesarios.
El mismo procedimiento puede aplicarse para series del tipo X p.n/ xn.

n!

n>0

De la igualdad (9.14) se deduce fácilmente que el número e es irracional. En efecto, para
todo n 2 N tenemos que:

Xn 1 X1 1 1 X1 1 1 X1 1 k 1 1
0<e DD <D
k! k! n! .n C 1/.n C 2/ .n C k/ n! n C 1 n! n
k D1 k DnC1 k D1 k D1

p
Si e fuera racional, e D con p; q 2 N, multiplicando por q! la desigualdad:

q

0<e Xq 1 1 1
<
k! q! q
k D1

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Ejercicios propuestos 567

se tiene que:

Xq 1 1
0 < .q 1/!p q! k! < q 6 1:

k D1

Pero el número .q 1/!p q! Xq 1 es un número entero y por tanto es imposible que sea

k D1 k!

mayor que 0 y menor que 1. Esta contradicción muestra que e es irracional.

9.4.1. Ejercicios propuestos

469. Calcula la suma de las siguientes series.

X1 X1 X 1 nC2
a/ n>1 4n3 n b/ p p c/ 2n n.n C 1/
n>1 .n C 1/ n C n n C 1
X 2n 1 n>1
X 1 2n X1 3
d / 3n e/ n>1 .1 C 2n/.1 C 2n 1/ f / sen 2n cos 2n
n>1 n>1
X n2 X n2 C 5n C 7 X
g/ 3n h/ i / 2n 1 tg2 x tg x
2n 2n
.n C 2/! 1

n>1 n>1 n>1
X1 X X
j / n2 C 3n C 2 k/ . 1/n n3 nC 1 l/ . 1/nC1 2n C 1
3nn!
n>1 n>0 n>1 n.n C 1/

X 1/n n2 n n/ X1 o/ X 3n C 2
m/ . 3n
n.n C 1/.n C 2/ n.n C 1/.n C 2/
n>2 n>1 n>1

Sugerencias. f) cos x sen y D 1 sen.x C y/ sen.x tg2.x=2/ D
2 y/ . i) tg x 1

2 tg.x=2/.

9.4.2. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 237 Calcula la suma de las siguientes series.

X1 X 1 p X 1 nC2
a/ n>1 4n3 n b/ p c/ n>1 2n n.n C 1/
n>1 .n C 1/ n C n n C 1
X 2n 1 X X
d / .1 C 2n/.1 C 2n 1/ e/ . 1/n n3 nC 1 f/ . 1/n n2 n
3nn! 3n
n>1 n>0 n>2

Solución. a) Haremos la descomposición en fracciones simples de la función racional

1 . Tenemos que 4x3 x D x.4x2 1/ D x.2x C 1/.2x 1/. El denominador
4x3 x

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Ejercicios resueltos 568

tiene tres raíces reales simples. Escribamos:

1 AB C
x D x C 2x C 1 C 2x :
4x3 1

Fácilmente se obtiene A D 1, B D C D 1. Por tanto:

1 11 1
D k C 2k C 1 C 2k :
4k3 k 1

Observa que cuando sumemos nos van a quedar expresiones que podremos relacionar

con la serie armónica alternada DporPlokn que conviene sumar desde k D 1 hasta k D 2n.
Como ya es usual ponemos Hn ya debes
D1 1 y usaremos la estrategia 7.33 que
k

conocer.

X2n 1 Xn 1 Xn 1 X2n 1 X2n 1
D CC CD
4k3 k 2k 2k C 1 2k C 1 2k 1
k D1 k D1 k D1 k DnC1 k DnC1

2XnC1 . 1/kC1 1
2 H2n 11
D 1C k C 2 H4nC1 H2nC1 C 2 Hn C 2n C 1 D

k D1

2XnC1 . 1/kC1 1

D 1C k C 2 log.4n C 1/ C ”4nC1 2 .log.2n/ C ”2n/

k D1

11
log.2n C 1/ ”2nC1 C 2 .log.n/ C ”n/ C 2n C 1 !

! 1 C log 2 C log 2 D 2 log 2 1:

Luego X1 1 D 2 log 2 1. ©
n
nD1 4n3

b) Basta observar que:

pp p p
.n C 1/ n C n n C 1 .n C 1/ n n n C 1 D n.n C 1/:

De donde se obtiene fácilmente que:

p p
1 n nC 1:
p p D n nC1
.n C 1/ n C n n C 1

Deducimos que:

Xn 1 p X1 1
pp D1 nC1 ÷ pp D 1:
nD1 .n C 1/ n C n n C 1
kD1 .k C 1/ k C k k C 1 nC1

1 nC2
c) Pongamos an D 2n n.n C 1/ . Tenemos que:

1 k C2 1 2 1
2k k.k C 1/ 2k k 11 2k.k C 1/ :
ak D D k C 1 D 2k 1k

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Ejercicios resueltos 569

Deducimos que:

Xn 1 X1 1 n C 2
ak D 1 2n.n C 1/ ÷ 2n n.n C 1/ D 1:

k D1 nD1

d) Tenemos que:

2k 1 1 C 2k 1 2k 1 1 1
.1 C 2k /.1 C 2k 1/ D .1 C 2k /.1 C 2k 1/ D 1 C 2k 1 1 C 2k :

Deducimos que:

Xn 2k 1 1 1 X1 2n 1 1
.1 C 2k /.1 C 2k 1/ D 2 1 C 2n ÷ D :
.1 C 2n/.1 C 2n 1/ 2
k D1 nD1

e) Es una serie de la forma X p.n/ xn donde p.n/ D n3 nC1yxD 1 . Pongamos:
n! 3

n>0

n3 n C 1 D a0 C a1n C a2n.n 1/ C a3n.n 1/.n 2/:

Haciendo n D 0 se obtiene a0 D 1; haciendo n D 1 se obtiene a1 D 0; haciendo n D 2 se
obtiene a2 D 3 y haciendo n D 2 se obtiene a3 D 1. Por tanto:

X1 1/n n3 nC 1 D X1 1 C 3n.n 1/ C n.n 1/.n 1 n D
. 3nn! n! 2/

nD0 nD0 3

X1 1 1 n 1 X1 1 1 n 2 1 X1 1 1 n 3 D
DC
n! 3 3 .n 2/! 3 27 .n 3/! 3
nD0 nD2 nD3

1 11 35 1
De 3 1C D e 3:
3 27 27

f) Es una serie de la forma P p.n/xn donde p.n/ D n2 n y xD 31n. Se trata, pues, de
X1

una serie aritmético-geométrica. Pongamos S D .n2 1
n/ . Tenemos que:
3
nD2

S 1 S D X1 1 n X1 1 nC1
.n2 n/ .n2 n/ D
33 3
nD2 nD2
1 nC1 1 nC1
X1 .n C 1/ X1 n/ D
D .n C 1/2 .n2
33
nD1 nD2
1 nC1
2 X1 .n C 1/2 .n C 1/ .n2 n/ D
DC
93
nD2
2 1 X1 1 n
D C 2n :
93 3
nD2

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Expresión de un número real en base b 570

Pongamos S1 D X1 1 n
2n . Hemos probado que:
3
nD2

1 21 11
S SD C 3 S1 ÷ S D 6 4 S1:
3 9

Calcularemos ahora S1. Tenemos que:

1 X1 1 n X1 1 nC1
S1 3 S1 D 2n 2n D
3 3
nD2 nD2
X1 1 nC1 X1 1 nC1
D 2.n C 1/ 2n D
33
nD1 nD2
1 n 4 2 X1 1 n
D 4 1 X1 2.n C 1/ 2n D D

93 3 93 3
nD2 nD2

D4 2 1 D 7:
9 3 12 18

Deducimos que S1 D 7 y, por tanto, S D 1 1 S1 D 3 . ©
24 6 4 32

9.5. Expresión de un número real en base b

El primer ejemplo de sucesión que vimos en el capítulo 7 fue la expresión decimal de 2=3
que ahora podemos expresar con la notación que usamos para series:

2 Xn 6 X1 6
D lKım 10k D 10n :
3 n!1 k D1 nD1

Seguramente sabes que los números racionales pueden expresarse en forma decimal y que
dicha expresión decimal o bien es finita o hay un grupo de cifras, el período, que se repite
indefinidamente. También sabes que los números irracionales tienen una expresión decimal
infinita no periódica. En lo que sigue vamos a precisar el significado de estas afirmaciones y a
justificarlas.

Para ayudarte a entender lo que sigue, vamos a empezar recordando el algoritmo de la divi-
sión de números enteros. Para ello vamos a usar la función “parte entera”. Recuerda que si x es
un número real, representamos por E.x/ el único número entero tal que E.x/6x < E.x/C1.
El número E.x/ se llama parte entera de x. Una consecuencia directa de la definición de E.x/,
que usaremos en lo que sigue, es la siguiente:

x D ˇ C r donde ˇ 2 Z y 0 6 r < 1 ÷ ˇ D E.x/: (9.15)

Además, es claro que si p es un número entero se tiene que E.x C p/ D E.x/ C p.

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Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Expresión de un número real en base b 571

Con ayuda de la función “parte entera” podemos expresar el algoritmo de la división de

enteros como sigue. Sean p, q números enteros con q > 0. Pongamos c D E.p=q/. Entonces

tenemos que: p
q
c 6 < c C 1 ” 06p cq < q:

Poniendo ahora r D p cq, tenemos que p D cq C r donde c y r son números enteros y
0 6 r 6 q 1. Este es el algoritmo de la división de enteros conocido como “algoritmo de
Euclides”.

Sean p; q números enteros positivos con p < q y consideremos el número racional

x D p 2 Œ0; 1Œ. Veamos el proceso que se sigue para obtener la expresión decimal de x D p .
q q

Dividimos 10p entre q y obtenemos un cociente c1 D E. 10p / y un resto r1. Como
q

0 6 10p < 10, se verifica que 0 6 c1 69 y, claro está, 06 r1 6q 1. En resumen:
q

10p D c1q C r1;
10p

c1 D E q ; 0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q 1:

Que podemos escribir equivalentemente: 0 6 c1 6 9; 0 6 r1 6 q 1: (9.16)
p D c1 C r1 ;
q 10 10q

Ahora dividimos 10r1 entre q y obtenemos un cociente c2 D E . 10r1 / y un resto r2. Como
q

06 10r1 < 10, se verifica que 0 6 c2 6 9 y, claro está, 0 6 r2 6q 1. En resumen:
q

10r1 D c2q C r2; 0 6 c2 6 9; 0 6 r2 6 q 1:

Igualdad que podemos escribir equivalentemente:

r1 D c2 C r2 q :
10q 102 102

Sustituyendo esta igualdad en (9.16), tenemos:

p D c1 C c2 C r2 q : (9.17)
q 10 102 102

Conviene expresar c2 de una forma diferente. De la igualdad anterior se sigue que
p r2 p
100 q D 10c1 C c2 C q . Poniendo x D q y teniendo en cuenta 9.15, deducimos que:

c2 D E.100x/ 10c1 D 102 E.102x/ ! (9.18)
102 E.10x/

:
10

El tercer paso sería como sigue. Dividimos 10r2 entre q y obtenemos un cociente c3 D E. 10r2 /
q

y un resto r3. Como 06 10r2 < 10, se verifica que 0 6 c3 69 y, claro está, 0 6 r3 6q 1. En
q

resumen:

10r2 D c3q C r3; 0 6 c3 6 9; 0 6 r3 6 q 1:

Igualdad que podemos escribir equivalentemente:

r2 D c3 C r3 q :
102q 103 103

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Expresión de un número real en base b 572

Sustituyendo esta igualdad en (9.17), tenemos:

p D c1 C c2 C c3 C r3 :
q 10 102 103 103q

Conviene expresar c3 de una forma diferente. De la igualdad anterior se sigue que
p r3 p
103 q D 102c1 C 10c2 C c3 C q . Poniendo x D q , teniendo en cuenta en cuenta 9.15 y

que 10c1 C c2 D E.100x/, deducimos que:

!!
E.103x/ E.103x/ E.102x/
c3DE.103x/ 102c1 10c2D103 103 10c1 C c2 D103 103 102 :
102

Este proceso puede proseguirse obteniendo los sucesivos dígitos c1; c2; : : : ; cn; : : : de la expre-
p
sión decimal de x D q los cuales viene dados por:

c1 D E.10x/; cnC1 D 10nC1 E.10nC1 x / !
10nC1 E.10nx/

10n ; n D 1; 2; : : :

Y se verifica que:

x D c1 C c2 C C cn C rn ; 0 6 ck 6 9; 0 6 rn 6 q 1
10 102 10n 10nq

donde rn es el resto de la n-ésima división por q. De la igualdad anterior, se deduce que:

ˇˇˇˇˇx Xn ck ˇˇˇˇˇ D rn < 1 X1 cn :
10k 10nq 10n ÷x D 10n
k D1
nD1

Observemos que en este proceso los restos que se van obteniendo en las sucesivas divisiones
son números enteros que están comprendidos entre 0 y q 1 por lo que caben dos posibilidades:

Si uno de estos restos es igual a 0, digamos rm D 0 (1 < m 6 q 1), el proceso termina

aquí porque todos los cocientes ck que le siguen son 0 y se obtiene una expresión decimal finita

que se escribe en la forma:

x D Xm ck D 0; c1c2 : : : cm
10k
k D1

Observa que para que esto ocurra es condición necesaria y suficiente que haya algún m 2 N tal
p
que 10mx sea un entero, lo que sucede si, y sólo si, x puede escribirse de la forma x D 10m .

Una expresión decimal finita puede escribirse también como una expresión decimal con

infinitos 9, pues:

Xm ck mX1 ck C cm 1 X1 9
xD 10k D 10k 10m C 10n :

k D1 k D1 nDmC1

Si ninguno de ellos es cero, entonces como máximo en un total de q divisiones deben repe-

tirse. Si el primer resto que se repite es rj , digamos rj D rjCk (1 6 j < j C k 6 q 1), entonces
cj D cjCk y el grupo de cocientes cj ; cjC1; cjC2; : : : ; cjCk 1 se repite indefinidamente dando
lugar a una expresión decimal periódica que se escribe en la forma:

bx D 0; c1c2 : : : cj 1cj cjC1cjC2cjCk 1:

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Expresión de un número real en base b 573

Finalmente, si x D m es cualquier número racional, podemos escribir x D E.x/ C .x E.x//
n

donde z D x E.x/ es un número racional que está en Œ0; 1Œ. La expresión decimal de x se

obtiene escribiendo el entero E.x/ seguido de una coma y de la expresión decimal de z.

El proceso anterior puede hacerse de la misma forma para números reales y sustituyendo
el número 10 por cualquier entero positivo b > 1.

9.47 Teorema. Sea b > 1 un número entero y sea x 2 Œ0; 1Œ un número real. Para cada n 2 N

definamos: E.bnx/
˛n D bn ; ˛n :
c1 D E.bx/; cnC1 D bnC1 ˛nC1

Se verifica que:

a) fcng es una sucesión de números enteros tales que 0 6 cn 6 b 1.

b) El conjunto fn 2 N W cn ¤ b 1g es infinito.
X1
x D cn
c) bn .

nD1

Además, si fang es otra sucesión de números enteros tales que 0 6 an 6 b 1 x D X1 an
entonces existe un m 2 N tal que: bn
y ,

nD1

i) cj D aj para 1 6 j < m.

ii) cm 1 D am.
iii) cn D 0 y an D b 1 para todo n > m C 1.

Demostración. Tenemos que:

bn˛n D E.bnx/ 6 bnx < E.bnx/ C 1 D bn˛n C 1 ÷ ˛n 6 x < ˛n C 1 ;
bn

de donde se sigue que f˛ng ! x. Por otra parte bE.bnx/ 6 bnC1x, por lo que bE.bnx/ 6
E.bnC1x/. Y deducimos que ˛n 6˛nC1 y, en consecuencia, 06cnC1 para todo n 2 N. Es claro,

por su definición, que cn es un número entero y que, al ser 06 x < 1 es 06 c1 DE.bx/ 6 p 1.

Además:

cnC1 D E.bnC1x/ bE.bnx/ < bnC1x b.bnx 1/ D b:

Por tanto 0 6 cnC1 6 b 1. Sumando Dlasci1g,uoalbdtaedneesmobcksk:CC11 D ˛k C1 ˛k desde k D 1 hasta
k D n 1 y teniendo en cuenta que ˛1 b

˛n D Xn ck x D lKımfrng D X1 cn :
bk bn
÷

k D1 nD1

Hemos probado a) y c). Para probar lo afirmado en el punto b), observemos que para todo

k 2 N se verifica que:

˛k C 1 D Xk cj X1 b1
bk bj C bj :
j D1
j DkC1

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Expresión de un número real en base b 574

Puesto que x < ˛k C 1 , deducimos que no puede ocurrir que cj D b 1 para todo j > k C 1,
bk
lo que implica que el conjunto fn 2 N W cn ¤ b 1g es infinito.
˚«
Sea fang una sucesión en las condiciones del enunciado. Definamos mDmKın j 2 N W aj ¤ cj .

Por la definición de m es claro que se verifica i). Para probar ii) pongamos:

am 6 X1 aj D X1 cj D cm C X1 cj < cm C X1 b 1 D cm C 1
bm bj bj bm bj bm bj bm bm :
j Dm j Dm j DmC1 j DmC1

Luego am < cm C 1 y, al ser números enteros, deberá ser am 6 cm; pero como son distintos
tenemos que am < cm y, por ser enteros, am C 1 6 cm. Por otra parte:

cm 6 X1 cj D X1 aj 6 am C X1 b 1 D am C 1
bm bj bj bm bj bm bm :
(9.19)

j Dm j Dm j DmC1

Luego cm 6 am C 1. Resulta así que am D cm 1. Finalmente, el punto iii) se deduce como
consecuencia de que en (9.19) todo son igualdades.

9.48 Definición. Sea b un número entero mayor que 1, b > 1, y sea x 2 R con 0 6 x < 1. Sea
X1
fcng una sucesión de números enteros tales que 06 cn 6 b 1 n2N x D cn
para todo y bn . En

X1 nD1

estas condiciones convenimos en escribir la igualdad x D cn simbólicamente en la forma
bn
nD1

x D 0; c1c2c3 : : : cn : : :.b

Dicha igualdad se llama desarrollo de x en base b o expresión b-ádica del número x. Cuando
b D 2 tenemos la expresión binaria de x, si b D 3 dicha expresión se llama ternaria, y se llama
expresión decimal cuando b D 10.

9.49 Observaciones. Del teorema 9.47 se deducen las siguientes afirmaciones.

Todo número x 2 R con 0 6 x < 1 tiene al menos una expresión b-ádica y, como mucho,
dos expresiones b-ádicas distintas.

Un número x 2 Œ0; 1Œ tiene dos expresiones b-ádicas distintas si, y sólo si, x es un número
q
racional de la forma x D bn .

Cuando un número x 2 Œ0; 1Œ tiene dos expresiones b-ádicas distintas entonces en una de

ellas todos los términos, a partir de uno en adelante, son iguales a 0, es decir, es de la forma:

x D 0; c1c2 : : : ck00 : : : 0 : : :.b :

Que suele escribirse omitiendo los ceros consecutivos en la forma:

x D 0; c1c2 : : : ck .b;
y se dice que x tiene una expresión b-ádica finita. La otra expresión b-ádica de x es:

x D 0; c1c2 : : : ck 1.ck 1/.b 1/.b 1/ : : : .b 1/ : : :.b :

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Series de números complejos 575

La expresión b-ádica de un número x 2 Œ0; 1Œ queda determinada de forma única si se
exige alguna de las condiciones:

a) Hay infinitas cifras en la expresión b-ádica que son distintas de b 1.

b) Hay infinitas cifras en la expresión b-ádica que son distintas de 0.

Finalmente, si x es cualquier número real, podemos escribir x D E.x/ C .x E.x//
donde z D x E.x/ es un número real que está en Œ0; 1Œ. La expresión de x en base b se
obtiene escribiendo el entero E.x/ en base b seguido de una coma y de la expresión de z en
base b.

9.6. Series de números complejos

P
Una serie de números complejos es una sucesión zn D fz1 C z2 C C zng obtenida
sumando consecutivamente los términos de una sucesión de números complejos fzng. Para

series de números complejos se emplean las mismas terminología y notaciones que para series

de números reales. El límite de una serie de números complejos se llama “suma” de la serie y

es un número complejo que se representa por:

X1 (Xn )
zn D lKım zk

nD1 n!1 k D1

Naturalmente, todo lo visto para sucesiones de números complejos permanece válido con el
mismo significado para series de números complejos. En particular, poniendo zn D xn C iyn
donde xn D Re.zn/, yn D Im.zn/, tenemos que:

Xn Xn Xn
zk D xk C i yk ;

k D1 k D1 k D1

P PP
y la serie zn converge si, y sólo si, convergen las series de números reales xn y yn, en

cuyo caso se verifica que:

X1 X1 X1
zk D xk C i yk :

k D1 k D1 k D1

Por tanto, estudiar una serie de números complejos equivale a estudiar dos series de números

reales. Aunque esta estrategia no siempre es factible porque a veces no es fácil calcular Re.zn/
e Im.zn/.

P
Se dice que una seriPe de números complejos zn es absolutamente convergente cuando
la serie de los módulos jznj es convergente. Teniendo en cuenta las desigualdades:

maKx fjxnj; jynjg 6 jznj 6 jxnj C jynj;
P

sPe deducPe enseguida que la serie zn es absolutamente convergente si, y sólo si, las series
xn y yn son absolutamente convergentes.

Naturalmente, para estudiar la convergencia absoPluta de una serie de números complejos
lo que hacemos es aplicar a la serie de los módulos jznj los criterios de convergencia para
series de términos positivos.

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Ejercicios propuestos 576

Los criterios generales de Dirichlet y de Abel (teoremas 9.40 y 9.41) permanecen válidos
sin cambio alguno para series de números complejos. Los criterios particulares deXDirichlet
y de Abel (teorema 9.43 y 9.44) pueden aplicarse igualmente a series de la forma anbn,
donde fang es una sucesión de números complejos y fbng es una sucesión de números reales
que satisfacen las hipótesis de dichos criterios.

Los resultados obtenidos para la serie geométrica permanecen igualmente válidos para se-
ries geométricas de números complejos.

9.6.1. Ejercicios propuestos

470. Estudia la convergencia de las series:

X1 X cos n C i sen n
i) .1 C i /n ii)
n>0 n
n>1
X cos n C i sen n X cos
iii) n2 iv) n C i sen n

n>1 n>1 n
p !n
X .2 C i /n 1 X1 1Ci 3
v) .1 C 2i /n n vi) p
n2
nX>1 nX>1 .3 C 4i /n
2i .4 C 3i /n C 7
vii) n>1 cos n2 C i sen n2 viii)
n>0

X1 X1
471. Sea 2 R con j j < 1 y # 2 R. Calcula los límites: n cos.n #/ y n sen.n #/.

nD0 nD0

Sugerencia. Llama A a la primera suma y B a la segunda. Calcula A C iB.

X
472. Prueba que si la serie zn converge y hay un número 0 < ˛ < 2 tal que para todo

n>1

n 2 N se verifica que jarg.zn/j < ˛, entonces dicha serie converge absolutamente.

XX
473. Supón que las series zn y zn2 son convergentes y que Re.zn/ > 0 para todo n 2 N.

X n>1 n>1

Prueba que jznj2 es convergente.

n>1

9.6.2. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

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Ejercicios resueltos 577

Ejercicio resuelto 238 Estudia la convergencia de las series:

X1 X cos n C i sen n X cos n C i sen n
i) .1 C i /n ii) iii) n2
n>0
X cos n n>1
iv) n C i sen n
n>1 X .3 C 4i /n
n>1 n vi) 2i .4 C 3i /n C 7
X .2 C i /n 1
v) .1 C 2i /n n n>0

n>1

Solución. i) ˇˇˇˇ .1 1 i /n ˇˇˇˇ D ˇˇˇˇ 1 1 i ˇˇˇˇn D 1 n La serie es absolutamente convergente.
C C p.
2
1
Observa que se trata de una serie geométrica de razón z D . ©
1Ci
ii) ˇˇˇˇ cos n Ci sen n ˇˇˇˇ D 1 La serie no es absolutamente convergente. Para estudiar la
n .

n

convergencia no absoluta aplicaremos el criterio particular de Dirichlet (corolario 9.43).

Pongamos bn D 1 y an Dcos nCi sen nDein. Tenemos que fbng es monótona y converge
n

a 0. Además: ˇˇˇˇˇXn akˇˇˇˇˇ D ˇˇˇˇˇXn eik ˇˇˇˇˇ D ˇˇˇˇˇXn k ˇˇˇˇˇ ˇˇˇˇˇ ei ˇˇˇˇˇ D

ei D ei.nC1/
ei 1
k D1 ˇˇˇkeDi.n1C1/ eiˇˇˇkD1 ˇˇˇei.nC1/ˇˇˇ C
ˇˇei 1ˇˇ 6 ˇˇei 1ˇˇ ˇˇei ˇˇ
ˇˇei 2 1ˇˇ :
D D

Puesto que ˇˇei 2 1ˇˇ es una constante independiente de n, el criterio particular de Dirichlet
©
inioi)sˇˇˇˇdciocsenquCne2ilasseenrineˇˇˇˇeDs cno12nv. eLragesnetreie. es absolutamente convergente. ©

X cos
n
iv) La serie de las partes reales, es una serie de términos positivos divergente
n
n>1

porque cos n 1 ©
. Luego la serie no converge.
n n
v) ˇˇˇˇ .2 C i /n 1 ˇˇˇˇ D j2 C i jn 1 D 1 . La serie no converge absolutamente.Para estudiar la
n j1 C 2i jn n n
.1 C 2i /n

convergencia no a b1s2CoC2liuit anp. oTdeenmemosoaspqliucearfeblncgrietsermioopnaórttoicnualayr de Dirichlet. Pongamos
D converge a 0. Además,
bn D 1 y an
n

poniendo w D 2Ci , tenemos que:
1C2i

ˇˇˇˇˇ Xn ˇˇˇˇˇ D ˇˇˇˇˇ Xn wk ˇˇˇˇˇ ˇˇˇˇˇ w nC1 w ˇˇˇˇˇ D ˇˇwnC1 wˇˇ jwjnC1 C jwj 2
ak D jw 1j 6 jw 1j D jw :
w 1 1j
k D1 k D1

2
Como jw 1j es una constante independiente de n, el criterio particular de Dirichlet nos
dice que la serie es convergente.

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