calculo_diferencial_integral

Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. 28

A la divina proporción

A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera trasparente.
A ti, divina proporción de oro.

R. Alberti

Volviendo a los pitagóricos, ellos pensaban que el número era el fundamento último de toda
realidad. Hoy vivimos en un mundo digitalizado: la música que escuchas, las películas que ves,
la televisión digital y tantas más cosas de uso cotidiano son, en su esencia, números. Parece
que los pitagóricos no estaban del todo equivocados.

Pitágoras, junto con su maestro Tales de Mileto, y también Anaximandro y Anáximenes,
sin olvidar a Demócrito y algunos más de los que queda memoria y que tú mismo puedes con-
sultar en Wikipedia, todos ellos eran matemáticos y filósofos. ¿Casualidad? Ni mucho menos.
Lo que hoy llamamos Cultura Occidental nace de una gran blasfemia, a saber, la afirmación
de que la realidad puede ser comprendida y explicada racionalmente. Frente a los relatos mito-
lógicos y a los caprichosos dioses imprevisibles, la afirmación insolente de que la inteligencia
humana puede desentrañar por sus propios medios el funcionamiento del Universo. Y ¿qué
produce la inteligencia humana cuando empieza a indagar sobre la Naturaleza? Matemáticas
y Filosofía. Las Matemáticas, por su propia naturaleza, tienen un campo mucho más restringi-
do que el de la Filosofía pero, en cambio, son extraordinariamente eficaces. La palabra griega
˛ ˛, que se lee mathema, significa conocimiento.

El Libro del Universo está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus caracte-
res son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible
entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberin-
to. Galileo Galilei

1.4.1.2. Medimos con números racionales

Acabamos de ver que hay segmentos inconmensurables; es decir, elegida una unidad para
medir, hay medidas que no pueden expresarse con números racionales. Pero la intuición nos
dice que a cada medida debe corresponder un único número. En consecuencia, tenemos que
admitir la necesidad de otros números, además de los racionales, para lograr que a cada medida
le corresponda un número. Estos son los números irracionales (sobre los que falta por decir

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Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Hacer matemáticas 29

algo importante como veremos más adelante). Debes darte cuenta de que se trata de una nece-
sidad teórica: en el mundo real de cada día solamente hay números racionales. Los ordenadores
trabajan con números racionales (otra cosa diferente es que puedan representar simbólicamente
números irracionales). ¿Quiere esto decir que podríamos prescindir de los números irraciona-
les? En absoluto. Por muchas razones. En primer lugar, los números racionales e irracionales
juntos proporcionan la estructura básica del Análisis Matemático: el cuerpo de los números
reales R. Dicha estructura es el soporte de las herramientas del cálculo diferencial e integral
y de la teoría de Ecuaciones Diferenciales. La demostración de la existencia de soluciones
de muchos problemas y la construcción de técnicas eficaces para obtener dichas soluciones,
ya sea de forma exacta o con aproximación tan buena como se desee, se fundamenta en las
propiedades matemáticas de R. Aunque un ingeniero exprese los resultados de sus cálculos
mediante números racionales, escritos usualmente en forma decimal, para realizar los cálculos
habrá tenido que usar herramientas (derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales,...) que no
tendrían sentido sin los números reales. En fin, sin R ni siquiera podríamos demostrar que hay
un número cuyo cuadrado es igual a 2.

Lo anterior tiene una enseñanza: las Matemáticas elaboran, a partir de la observación de
la realidad, estructuras ideales que pueden parecer muy lejanas de la realidad que las motivó
inicialmente, pero que son herramientas muy útiles para obtener información y resultados sobre
ésa realidad que de otra forma no podrían obtenerse ni siquiera plantearse.

1.4.2. Hacer matemáticas

En este Capítulo hemos hablado de axiomas, deducción lógica, demostraciones, teore-
mas,. . . . Espero que ya tengas una idea de lo que significa la afirmación “las Matemáticas
son una ciencia deductiva”, porque ese es uno de los objetivos que me propuse al escribir este
Capítulo. Pero no quiero que pienses que las Matemáticas se reducen a un formalismo axio-
mático lógico – deductivo. Esa es solamente una parte, y quizás no la más atractiva, de las
Matemáticas. Las teorías matemáticas antes de llegar a esa “helada perfección axiomática” se
desarrollan de una forma no muy diferente a las demás ciencias: por aproximaciones sucesivas,
experimentación, intuiciones, analogías,. . . . Por eso hay que distinguir entre la “Matemática
hecha” y la ”Matemática que se está haciendo”. La primera quizás puede vivir en el universo
platónico de las ideas puras, pero la segunda “está contaminada de realidad” y constituye una
actividad profundamente humana en la que se avanza tanteando, cometiendo errores,. . . como
en las demás ciencias. He tomado prestada una frase del historiador de las Matemáticas W. S.
Anglin porque expresa muy bien lo que quiero decirte. Dice así:

Las matemáticas no son un prudente recorrido por una autopista despejada, sino
un viaje a lo salvaje y a lo desconocido, en el cual los exploradores se pierden a
menudo. El rigor, la perfección lógico-deductiva, es una señal de que los mapas
ya han sido trazados, y de que los auténticos exploradores se han ido a alguna
otra parte.

El reconocido matemático Paul R Halmos, expresa la misma idea como sigue.

Las matemáticas no son una ciencia deductiva: eso es un tópico. Cuando se trata
de probar un teorema, no se hace una lista con las hipótesis y luego se empieza a
razonar. No, uno prueba, se equivoca, experimenta, conjetura . . .

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Algunas razones para estudiar matemáticas 30

Y también dice:

La razón de ser de un matemático no es otra que la de resolver y proponer proble-
mas pues dicha actividad constituye el corazón de las matemáticas.

La parte más atractiva de las Matemáticas es justamente el desafío intelectual que constituyen
los problemas. Algunos problemas famosos tienen un enunciado muy sencillo. Por ejemplo, la
conjetura de Collatz propone el siguiente juego. Elige a tu gusto un número n 2 N:

Si el número n es par, se divide por 2 para obtener el número m D n=2.
Si el número n es impar, se multiplica por 3 y se suma 1 para obtener el número

m D 3n C 1.

Este proceso se repite seguidamente partiendo del número m obtenido y así sucesivamente. Por
ejemplo, partiendo de n D 61 se obtienen los siguientes resultados:

f61; 184; 92; 46; 23; 70; 35; 106; 53; 160; 80; 40; 20; 10; 5; 16; 8; 4; 2; 1g

Una vez obtenido 1 como resultado se repite indefinidamente el grupo f4; 2; 1g. La conjetura
es que siempre se acaba obteniendo 1. Con ayuda de ordenadores se ha comprobado que la
conjetura es cierta para números más pequeños que 258 D 288 230 376 151 711 744 ¡Pero eso
no es una demostración matemática!

Otro problema del que no se sabe la respuesta es si hay infinitas parejas de primos gemelos.
Se llaman primos gemelos a las parejas de números primos que se diferencian en dos unidades.
Por ejemplo .17; 19/; .29; 31/; .1000000000061; 1000000000063/.

Resolver problemas es una actividad intelectual que puede tener mucho de juego. Quizás
estés pensando “bueno, todo eso está muy bien, pero ¿cómo puedo participar yo en ese juego?”
Bueno, se requiere alguna preparación y tiempo y seguramente tú ahora estás empezando, pero
tienes una forma de participar en el juego que es hacer ejercicios. Es verdad que un ejercicio
no es lo mismo que un problema. Los ejercicios son más mecánicos, con ellos se trata de que
compruebes si has entendido correctamente los conceptos y los resultados teóricos y si eres ca-
paz de usarlos en situaciones sencillas. Pero no dejan de ser un pequeño desafío. Si el ejercicio
está ahí es porque tienes las herramientas para resolverlo. El tiempo que dediques a resolver
ejercicios nunca será tiempo perdido. Incluso si no te salen, porque se puede aprender más de
un ejercicio que no se logra resolver pero que se trabaja con interés, que de uno que se resuelve
a primera vista. Resolver ejercicios junto con tus compañeros o consultarlos con tus profe-
sores es una forma estupenda de estudiar. En mi página Web puedes leer algunas sugerencias
respecto a la actitud apropiada y estrategias útiles para resolver ejercicios.

1.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas

Vivimos rodeados de matemáticas. Suelen pasar desapercibidas pero están ahí haciendo su
trabajo. Tarjetas de crédito, códigos de barras, teléfonos móviles, animación gráfica, las mo-
dernas técnicas de radiodiagnóstico. . . , detrás de todo eso hay herramientas matemáticas que
hacen posible su funcionamiento. No hay duda de que las Matemáticas son extraordinariamen-
te eficaces. Ese llamativo acuerdo de las Matemáticas con el mundo real no deja de resultar
bastante sorprendente.

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Algunas razones para estudiar matemáticas 31

El milagro de la adecuación del lenguaje de la Matemática para la formula-
ción de las leyes físicas es un don maravilloso que ni entendemos ni merecemos.
E.P. Wigner, Premio Nobel de Física 1972

Dos matemáticos John Von Neumann y Alan Mathison Turing fueron los creadores de los mo-
dernos computadores y los fundadores de la Ciencia de la Computación. Algunas de las teorías
matemáticas más abstractas, como la Teoría de Números o la de Categorías han encontrado
aplicaciones para el desarrollo de software. Las Matemáticas son el lenguaje de las Ciencias Fí-
sicas (Física, Astronomía, Química,. . . ) pero también, cada vez más, de las Ciencias Biológicas
y Médicas y de las Ciencias Sociales (Economía, Geografía, Psicología,. . . ). Las Matemáticas
aportan a todas estas Ciencias sus propios métodos, a saber:

Definiciones precisas.
Razonamientos rigurosos.
Métodos de representación simbólica.
Formulación correcta de problemas.
Modelos matemáticos para manejar situaciones muy complejas.
Una gran variedad de técnicas (estadísticas, de cálculo, algebraicas, simbólicas,. . . ) para

la resolución de problemas y toma de decisiones.

Por todo ello, no es exagerado afirmar que un científico debe estar familiarizado con la forma
de pensar matemática. Pero incluso para quienes no se sienten especialmente atraídos por la
actividad científica, el estudio de las Matemáticas está especialmente indicado para desarrollar
determinadas facultades entre las que cabe destacar:

Capacidad de razonamiento lógico-deductivo.
Capacidad de resolución de problemas.
Reconocer razonamientos incorrectos.
Capacidad de abstracción para manejar situaciones complejas.
Capacidad para reconocer modelos similares en estructuras diversas.
Seleccionar, ordenar la información y elegir la herramienta adecuada en cada caso.

Hoy día, casi tan preciso como saber leer, es tener una formación matemática suficientemente
amplia para no sentirse extraño en un mundo al que las innovaciones tecnológicas y el desarro-
llo científico están cambiando rápidamente.

El estudio de las Matemáticas también puede respaldarse por razones de tipo cultural y
estético. Las Matemáticas son, junto con la música sinfónica y la novela, una de las señas de
identidad de la Cultura Occidental. Pero hay una última razón: las sociedades democráticas
necesitan ciudadanos capaces de pensar con libertad y las Matemáticas, una de las creaciones
más libres del espíritu humano, son una herramienta indicada para ello.

No hay modo de entender bien al hombre si no se repara en que la Matemática
brota de la misma raíz que la poesía, del don imaginativo. José Ortega y Gasset

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Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales 32

1.4.4. Lo que debes haber aprendido en este Capítulo. Lecturas adicionales

En este Capítulo debes haber aprendido algunas cosas que resumo en la siguiente lista cuya
lectura puede servirte de repaso para comprobar lo que sabes.

Debes saber lo que significa demostrar H ÷T .
Debes saber lo que significa decir que las Matemáticas son una ciencia deductiva.
Debes saber que en Matemáticas las cosas no son verdad porque lo diga tu profesor.
Debes tener una idea de lo que es una teoría axiomática y la forma en que se desarrolla.
Debes saber lo que son magnitudes inconmensurables y cómo aparecen los números

irracionales.
Debes saber cómo se deben leer las Matemáticas.
Debes haber aprendido y recordar de memoria los axiomas algebraicos y de orden de R.
Debes ser capaz de usar dichos axiomas para probar propiedades algebraicas y de orden

de R.
Debes haber aprendido y recordar de memoria las reglas para trabajar con desigualdades.
Debes saber usar en casos prácticos las reglas para trabajar con desigualdades.
Debes entender la definición de la función raíz cuadrada.
Debes entender la definición y recordar las propiedades del valor absoluto.
Debes recordar la estrategia (1.8) para trabajar con desigualdades entre números positi-

vos.
Debes entender y saber aplicar el Principio de Inducción Matemática.
Debes recordar la desigualdad de las medias y saber usarla para resolver problemas de

extremos.

Como lectura adicional te recomiendo los dos primeros capítulos del libro de Michael Spivak
[16], el cual, a pesar del tiempo transcurrido desde su primera edición, sigue siendo, en mi
opinión, el mejor libro de introducción al Análisis Matemático. Su colección de ejercicios es
excelente y algunos de ellos están resueltos al final del libro; además, se ha editado un libro,
[15], con las soluciones de todos. Los textos de Larson [11] y de Engel [5] son de lo mejor
que hay para aprender estrategias de resolución de ejercicios. Los ejercicios que traen tienen
cierto grado de dificultad, con frecuencia están tomados de competiciones matemáticas, pero
las soluciones están claramente expuestas. Algunos de los ejercicios propuestos los he tomado
de esos libros.

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2Cap´ıtulo

Funciones elementales

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo
a unos pocos días, el invento de los logaritmos

parece haber duplicado la vida de los astrónomos.
Pierre Simon Laplace

2.1. Funciones reales

Las funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una si-
tuación real. Todas las fórmulas de la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertas
magnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la presión).
El concepto de función es tan importante que muchas ramas de la matemática moderna se ca-
racterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el concepto de
función sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo contenido
esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.
2.1 Definición. Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es una regla que a cada
elemento de A asocia un único elemento de B.

En esta definición la dificultad radica en precisar matemáticamente lo que se entiende por
regla. Como solamente vamos a trabajar con funciones elementales considero que no es nece-
sario dar más precisiones.

Observa que una función son tres cosas: el conjunto A donde está definida, el conjunto B
donde toma valores y la regla que la define. En este curso estamos interesados principalmente
en funciones entre conjuntos de números reales, es decir, A y B son subconjuntos de R; con
frecuencia B D R. Estas funciones se llaman funciones reales de una variable real.

33

Funciones reales 34

Convenio. En lo que sigue solamente consideraremos funciones reales y, si no se especifica
otra cosa, se entiende que B D R.

Por tanto, para darnos una función nos deben decir, en principio, el subconjunto A de R
donde suponemos que la función está definida y la regla que asigna a cada número de A un
único número real. El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función.

Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas son f , g y h,
pero cualquiera otra es también buena. Si f es una función y x es un número que está en su
dominio, se representa por f .x/ (léase “f de x” o, mucho mejor, “f evaluada en x” o “el
valor de f en x”) el número que f asigna a x, que se llama imagen de x por f .

Es muy importante distinguir entre f (una función) y f .x/ (un número real).

El símbolo f W A ! R se utiliza para indicar que f es una función cuyo dominio es A (se
supone, como hemos dicho antes, que A es un subconjunto de R). También es frecuente usar
el simbolismo x !7 f .x/, .x 2 A/.

Es importante advertir que las propiedades de una función dependen de la regla que la defi-
ne y también de su dominio, por ello dos funciones que tienen distintos dominios se consideran
distintas funciones aunque la regla que las defina sea la misma.

2.2 Definición (Igualdad de funciones). Dos funciones f y g son iguales cuando tienen igual
dominio y f .x/ D g.x/ para todo x en el dominio común.

Notemos también que aunque estamos acostumbrados a representar a las funciones me-
diante fórmulas, no siempre es posible hacerlo.

2.3 Ejemplo. Consideremos las funciones siguientes.

a) f W R ! R la función dada por f .x/ D x2.

b) gW RC ! R la función dada por g.x/ D x2. si x 2 Q
si x 2 R n Q
(
c) hW R ! R la función dada por h.x/ D 1;

1;

d) Sea f .x/ D x3 C 5x C 6
x2 1

Según lo antes dicho, las funciones en a) y b) son distintas. De hecho tienen propiedades dis-
tintas. Observa que la función definida en b) es creciente y la definida en a) no lo es.

La función definida en c) es llamada función de Dirichlet. Nótese que no es fácil calcular
los valores de dicha función porque no siempre se sabe si un número real dado es racional o
irracional. ¿Es e C racional? Pese a ello la función está correctamente definida.

En d) no nos dan explícitamente el dominio de f por lo que se entiende que f está definida
siempre que f .x/ tenga sentido, es decir, siempre que, x2 1 ¤ 0, esto es, para x ¤ ˙1.

El convenio del dominio. Cuando una función se define por una fórmula “f .x/ = fórmula” y
el dominio no es explícito, se entiende que el dominio es el mayor conjunto de valores de x

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Operaciones con funciones 35

para los cuales la expresión f .x/ tiene sentido como número real. Éste es el llamado dominio
natural de la función.

Dada una función f W A ! R , y un conjunto no vacía C A, el conjunto de las imágenes
por f de todos los elementos de C :

f .C / D ff .x/ W x 2 C g

se llama imagen de C por f . Cuando C D A, el conjunto f .A/ se llama conjunto imagen de
f y también rango o recorrido de f .

2.1.1. Operaciones con funciones

La mayoría de las funciones que vamos a usar en este curso pertenecen a la clase de las
funciones elementales. Se llaman así porque pueden obtenerse a partir de ciertos tipos de fun-
ciones bien conocidas realizando las operaciones de suma, producto, cociente y composición
de funciones.

Suma, producto y cociente de funciones. Dadas dos funciones f; g W A ! R , se define su

función suma (resp. producto) como la función que a cada número x 2 A asigna el número real

f .x/Cg.x/ (resp. f .x/g.x/). Dicha función se representa con el símbolo f Cg (resp. fg). Se

define la función cociente de f por g como la función que a cada número x 2 A con g.x/ ¤ 0

f .x/ f
asigna el número real g.x/ . Dicha función se representa por g . También podemos multiplicar

una función f por un número ˛ para obtener la función ˛f que asigna a cada x 2 A el número

˛f .x/. De todas formas, el producto de un número por una función puede considerarse como

un caso particular del producto de funciones, pues se identifica el número ˛ con la función

constante que toma como único valor ˛.

Las propiedades de la suma y el producto de funciones son las que cabe esperar y su de-
mostración es inmediata pues se reducen a las correspondientes propiedades de los números.

2.4 Proposición. Cualesquiera sean las funciones f; g; hW A ! R se verifican las siguientes
propiedades:

Asociativas. .f C g/ C h D f C .g C h/; .fg/h D f .gh/

Conmutativas. f C g D g C f ; fg D gf

Distributiva. .f C g/h D f h C gh

2.5 Definición (Composición de funciones). Sean f W A ! R y g W B ! R funciones con
f .A/ B. En tal caso, la función h W A ! R dada por h.x/ D g.f .x// para todo x 2 A
se llama composición de g con f y se representa por h D g ı f . Observa que la función
g ı f , solamente está definida cuando la imagen de f está contenida en el dominio de g. La
composición de funciones es asociativa.

2.6 Definición (Funciones inyectivas). Se dice que una función f W A ! R es inyectiva en
un conjunto C A, si en puntos distintos de C toma valores distintos; es decir, x; y 2 C y
x ¤ y, entonces f .x/ ¤ f .y/. Se dice que f es inyectiva cuando es inyectiva en A.

2.7 Definición (La función inversa de una función inyectiva). Si f W A ! R es una función
inyectiva, puede definirse una nueva función en el conjunto B D f .A/, f 1 W B ! R , que

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Intervalos 36

llamaremos función inversa de f , que a cada número y 2 B asigna el único número x 2 A tal
que f .x/Dy. Equivalentemente f 1.f .x//Dx para todo x 2 A, y también f .f 1.y//Dy
para todo y 2 B.

2.8 Definición (Funciones monótonas). Se dice que una función f W A ! R es creciente
(resp. decreciente) en un conjunto C A, si f conserva (resp. invierte) el orden entre puntos
de C , es decir, si x; y 2 C y x 6 y, entonces f .x/ 6 f .y/ (resp. f .x/ > f .y/). Se dice
que f es creciente (resp. decreciente) cuando lo es en todo su dominio de definición. Se dice
que una función es monótona para indicar que es creciente o decreciente. Una función monó-
tona e inyectiva se dice que es estrictamente monótona, pudiendo ser estrictamente creciente o
estrictamente decreciente.

2.9 Definición (Gráfica de una función). La gráfica de una función f WA ! R es el conjunto
de pares de números f.x; f .x// W x 2 Ag.

La gráfica de una función pone de manifiesto, a simple vista, muchas de sus propiedades.
Para dibujar gráficas de funciones se precisan herramientas de cálculo que estudiaremos más
adelante.

Un error frecuente, que debes evitar, consiste en confundir una función con su gráfica. Este
error procede de una manera inapropiada de representar las funciones que consiste en escribir
y D f .x/. De esta forma se introduce una nueva letra “y” para representar el valor que la
función f toma en x. Ahora la cosa empieza a estar confusa ¿la función es y?, ¿la función es
f ?, ¿la función es f .x/? Esto procede de la Física en donde se interpreta que x es la magnitud o
variable “independiente” e y es la magnitud o variable “dependiente”. Peor todavía, ¿es y una
variable o una función? Si has usado con frecuencia esta forma de representar las funciones
no me extraña que puedas tener dudas sobre su significado. Aclaremos esto. La única forma
razonable de interpretar una igualdad como yDf .x/, es entender que dicha igualdad representa
al conjunto de puntos del plano que la satisfacen, es decir, representa a la gráfica de f . Pero
todavía hay otra posible confusión inducida por la notación y Df .x/. Consiste en que podemos
considerar la función G.x; y/ D y f .x/. Se trata de una función de dos variables x e y que
tiene muy poco que ver con la igualdad y D f .x/. Pues bien, hay quien confunde la función G
con la gráfica de f .

2.1.2. Intervalos

Ocurre que el dominio natural de muchas funciones es un intervalo o la unión de varios
intervalos. Recordemos el concepto de intervalo y cuántos tipos diferentes hay.

2.10 Definición. Un conjunto I R se llama un intervalo si siempre que dos números están
en I todos los números comprendidos entre ellos dos también están en I . El conjunto vacío, Ø,
se considera también como un intervalo.

Además de R y del Ø, hay los siguientes tipos de intervalos1.

1Este resultado, en apariencia evidente, no podríamos demostrarlo con las herramientas de que disponemos
hasta ahora.

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Intervalos 37

Intervalos que tienen dos puntos extremos a y b (donde a 6 b son números reales):

Œa; b D fx 2 R W a 6 x 6 bg (intervalo cerrado y acotado)
a; bŒ D fx 2 R W a < x < bg (intervalo abierto)
Œa; bŒ D fx 2 R W a 6 x < bg (intervalo abierto a derecha y cerrado a izquierda)
a; b D fx 2 R W a < x 6 bg (intervalo abierto a izquierda y cerrado a derecha)

Intervalos que tienen un único punto extremo c 2 R llamado origen del intervalo:

 ∞; cŒ D fx 2 R W x < cg (semirrecta abierta a la izquierda)
 ∞; c D fx 2 R W x 6 cg (semirrecta cerrada a la izquierda)
c; C∞Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta abierta a la derecha)
Œc; C∞Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta cerrada a la derecha)

Como es la primera vez que aparecen, hay que decir que los símbolos C∞ (léase: “más infini-
to”) y ∞ (léase: “menos infinito"); son eso: símbolos. No son números. Cada vez que aparece
uno de ellos en una situación determinada hay que recordar cómo se ha definido su significado
para dicha situación. A veces, se escribe RD ∞; C∞Œ.

Observación sobre la notación empleada. Lo he pensado un rato antes de decirme a usar la
notación anterior para las semirrectas. Otra posible notación es la siguiente.

 ; cŒ D fx 2 R W x < cg (semirrecta abierta a la izquierda)
 ; c D fx 2 R W x 6 cg (semirrecta cerrada a la izquierda)
c; ! Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta abierta a la derecha)
Œc; ! Œ D fx 2 R W x > cg (semirrecta cerrada a la derecha)

Esta notación me parece más clara porque no usa el símbolo ∞. Si lees correctamente, es decir,
no lees los símbolos sino las ideas que representan (¿te he dicho esto antes?) entonces no hay
lugar a interpretaciones extrañas. El símbolo Œc; C∞Œ se lee “todos los números reales mayores
o iguales que c”. Si tú lees el intervalo de c a C∞ no estás leyendo bien.

Observaciones sobre el concepto general de función y el formalismo que usamos
para definir funciones

Hemos definido una función como tres cosas: un conjunto A, un conjunto B y una regla
que a cada elemento x de A hace corresponder un elemento de B. Lo único que interesa de
esa regla es que esté correctamente definida. Por ejemplo, la regla que a cada número x 2 Œ0; 1
hace corresponder el dígito de su desarrollo decimal que ocupa el lugar cien mil millones, está
correctamente definida aunque no sea muy útil, pues no es posible calcular el dígito que le
corresponde a ningún número irracional. Te pongo este ejemplo para que aprecies lo general
que es el concepto de función que hemos definido. En particular, debes notar que una fun-
ción no tiene por qué estar dada por una “fórmula”. Pero, seguidamente, te digo que no debes
preocuparte por esta generalidad porque en este curso solamente vamos a trabajar con fun-
ciones definidas mediante “fórmulas”; además, “fórmulas” que, salvo excepciones, definirán
“funciones elementales”, esto es, funciones obtenidas al realizar sumas, productos, cocientes y
composiciones de logaritmos, exponenciales, potencias y funciones trigonométrica.

Ya hemos usado antes el formalismo que se emplea en matemáticas para definir una fun-
ción, pero quiero detenerme en él porque debes entenderlo perfectamente. Para definir una

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Intervalos 38

función solemos empezar diciendo “sea f W A ! R la función dada por. . . ”. Con esto estamos
diciendo tres cosas: que la función está definida en A, que toma valores en R, y que represen-
tamos con la letra f la regla. El error más frecuente que se produce aquí se debe al hecho de
que, con frecuencia, el conjunto A no es el dominio natural de definición de la función sino un
subconjunto del mismo, y esto puede tener muy importantes consecuencias que hay que tener
muy presentes en todo momento. Seguidamente, para acabar de definir la función, se especi-
fica la regla que a cada elemento de A asocia un número real, lo que suele expresarse por “la
función dada por “f .x/Dfórmula o función elemental” para todo x 2 A”. Se suele volver a
insistir en que la variable x toma solamente valores en A para indicar que no nos interesa lo
que pueda pasar fuera de A.

Ten en cuenta que la letra con la que representamos una función, suele usarse f , podemos
elegirla a gusto y no tiene mayor importancia siempre que no se preste a confusiones. Lo
importante son los datos que definen la función: los conjuntos A, B (nosotros suponemos que
B D R) y la regla. Veamos un ejemplo más de esta forma de proceder para que no te queden
dudas.

a) Sea (2.1)
f W R ! R la función dada por f .x/ D x3 4x2 C x C 6 para todo x 2 R

En la siguiente figura se representa parte de la gráfica de esta función.

Y

8

6

4 y D f .x/

2

-3 -2 -1 1 2 3 4X
-2

-4

Figura 2.1. La función f .x/ D x3 4x2 C x C 6

La imagen de esta función es f .R/ D R. Esta función no tiene máximo ni mínimo, no es
creciente y tampoco es decreciente. No es inyectiva y su función inversa no está definida.

b) Sea

f W Œ0; 2 ! R la función dada por f .x/ D x3 4x2 C x C 6 para todo x 2 Œ0; 2 (2.2)

Observa que, aunque de forma deliberada uso la misma letra, f , para representar la regla,
la función definida en (2.2) es muy diferente que la definida en (2.1). Aunque la regla es la
misma, en (2.2) solamente nos interesa lo que pasa en el intervalo Œ0; 2. La imagen de esta

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Estudio descriptivo de las funciones elementales 39

función es f .Œ0; 2/ D Œ0; 6. Claramente, la función (2.2) es estrictamente decreciente, tiene
máximo y mínimo y es inyectiva. Su función inversa está definida (aunque no sea fácil de
calcular).

2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales2

En este curso se supone que ya tienes un conocimiento intuitivo de las funciones elemen-
tales básicas (exponencial, logaritmo natural, trigonométricas). En esta lección vamos a hacer
un estudio descriptivo de dichas funciones, es decir, no vamos a dar definiciones rigurosas de
las mismas y nos limitaremos a recordar sus propiedades más importantes.

2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales

Las funciones polinómicas o polinomios son las funciones de la forma

P .x/ D c0 C c1x C c2x2 C C cnxn

donde c0; c1; : : : ; cn son números reales llamados coeficientes del polinomio; n 2 N es un
número natural que, si cn ¤ 0, se llama grado del polinomio. Las funciones polinómicas tienen
como dominio natural de definición la totalidad de R aunque con frecuencia nos interesará
estudiar una función polinómica en un intervalo.

Mientras que la suma, el producto y la composición de funciones polinómicas es también
una función polinómica, el cociente de funciones polinómica da lugar a las llamadas funciones
racionales. Una función racional es una función de la forma:

R.x/ D P .x/
Q.x/

donde P (el numerador) y Q (el denominador) son polinomios y Q no es el polinomio constan-
te igual a 0. La función R tiene como dominio natural de definición el conjunto
fx 2 R W Q.x/ ¤ 0g. Observa que las funciones polinómicas son también funciones racio-
nales (con denominador constante 1).

Es inmediato que sumas, productos y cocientes de funciones racionales son también funcio-
nes racionales; y la composición de dos funciones racionales es también una función racional.

2.2.2. Raíces de un número real

Dados un número real x > 0 y un número natural k > 2, hay un único número real mayor

o igual que cero, z > 0, que verifica quepzk D x. Dicho número real z se llama la raíz k-ésima
o de orden k de x y se representa por k x o por x1=k .

2.11 Proposición. Sean x; y 2 RCo , k 2 N. Se verifica que:

a) pk x y D p pk y.
kx

2El estudio de las funciones elementales que haremos aquí se complementa con el cuaderno de Mathematica
que está en mi página Web.

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Potencias racionales 40

b) yLasófluoncsii,ónpkxx!7 < ppkk xy es estrictamente creciente en RCo . Es decir, se verifica que x <y si,
.

Si x < 0 y k es impar se define3 p p
k xD k jxj.

2.2.3. Potencias racionales

Dados x > 0, p 2 Z y q 2 N, definimos xp=q D pq xp. Notemos que . p /p D pq xp pues
qx

. p /p q D . p /p q D . p /q p D x p
qx qx qx

Naturalmente, si p=q D m=n donde m 2 Z y n 2 N, entonces se comprueba fácilmente que
xp=q D xm=n. En consecuencia, si r es un número racional podemos definir, sin ambigüedad
alguna, la potencia xr por xr D xp=q, donde p 2 Z y q 2 N son tales que r D p=q.

2.2.4. Logaritmos

Dados un número a > 0, a ¤ 1, y un número x > 0, se define el logaritmo en base a de x
como el único número y 2 R que verifica la igualdad ay D x. El logaritmo en base a de x se
representa por el símbolo loga x. Observa que, por definición, para todo x > 0 es aloga x D x.

El dominio de la función loga es RC, y su imagen es R. La función es estrictamente cre-
ciente si a > 1 y estrictamente decreciente si a < 1. La propiedad básica de los logaritmos es
que convierten productos en sumas:

loga.xy/ D loga x C loga y .x > 0; y > 0/

Y Los logaritmos decimales corresponden a
tomar a D 10 y los logaritmos naturales,
y D loga x también llamados neperianos (en honor
de John Napier 1550-1617), corresponden
X a tomar como base el número e. El nú-
mero e es un número irracional que pue-
Figura 2.2. Función logaritmo de base a > 1 de aproximarse arbitrariamente por núme-
ros de la forma .1 C 1=n/n para valores
grandes de n. Un valor aproximado de e
es 2 7182818284.En este libro trabajare-
mos siempre, salvo que explícitamente se
indique lo contrario, con la función loga-
ritmo natural, que notaremos log (la no-
tación, cada día más en desuso, “ln”, para
dicha función no será usada en este libro).

Teniendo en cuenta que

log x .x > 0/
loga x D log a
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3Ver (3.3.3.1) para el caso de raíces complejas. Cálculo diferencial e integral

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Exponenciales 41

podemos deducir muy fácilmente las propiedades de la función logaritmo en base a a partir de
las propiedades de la función logaritmo natural.

2.2.5. Exponenciales

Y La función inversa de la función loga es
la función exponencial de base a, que se
y D ax
representa por expa. Por tanto, para cada
X x 2 R, expa.x/ es, por definición, el úni-
Figura 2.3. Función exponencial de base a > 1 co número positivo cuyo logaritmo en ba-

se a es igual a x: loga.expa.x// D x. Es
fácil comprobar que si r 2 Q entonces
expa.r / D ar , por lo que se usa la notación
expa.x/ D ax.
El dominio de la función expa es R, y
su imagen es RC. La función es estricta-

mente creciente si a > 1 y estrictamente

decreciente si a < 1. La propiedad básica

de expa es que convierten sumas en
productos:

expa.x C y/ D expa.x/ expa.y/ .x; y 2 R/
Dos funciones exponenciales cualesquiera, expa y expb, están relacionadas por la igualdad:

expb.x/ D expa.x loga b/ .x 2 R/

La función exponencial de base e, inversa de la función logaritmo natural, se notará simple-
mente por exp. Por tanto exp.x/ D ex. Con ello tenemos que:

xy D ey log x .x > 0; y 2 R/ (2.3)

La letra e se eligió en honor del gran matemático Leonhard Euler (1707-1783). A primera vista
puede parecer que no hay razones particulares para llamar natural al número e. Las razones
matemáticas de esta elección se verán al estudiar la derivación. Sin embargo, hay muchos
procesos de crecimiento que hacen del número e una base exponencial extremadamente útil e
interesante. Veamos unos ejemplos.

2.2.5.1. Interés compuesto

Supongamos que invertimos un capital inicial, P , a una tasa de interés anual r (expresado
en tanto por uno), ¿cuánto dinero tendremos cuando hayan pasado k años? Respuesta: depende
de cómo se paguen los intereses. En el interés simple se paga el total de los intereses al terminar
la inversión, por lo que el interés total producido es igual a P r k, y el capital final será igual a
P .1 C r k/.

Sin embargo, lo usual es que se paguen intereses en períodos más cortos de tiempo. Estos
intereses se acumulan al capital inicial y producen, a su vez, nuevos intereses. Esto se conoce

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Función potencia de exponente real a 42

como interés compuesto. Por ejemplo, si el interés se paga n veces al año (trimestralmente

(n D 4), mensualmente (n D 12), etcétera) al final del primer período tendremos P .1 C r=n/, al
final del segundo P .1 C r=n/2; al final del primer año P .1 C r=n/n, al final del k-ésimo año
tendremos P .1 C r=n/nk .

Cuando n es muy grande, el número .1 C r=n/n es aproximadamente igual a er . Precisa-

mente, si los interese se acumulan instantáneamente al capital, lo que se conoce como interés
compuesto continuo, entonces el capital al final del k-ésimo año viene dado por P erk.

2.2.5.2. Crecimiento demográfico

Llamemos P0 a la población mundial actual, y sea la tasa anual de crecimiento expresada
en tanto por uno, la cual suponemos que se mantiene constante. Notemos por P .t/ la población
mundial pasados t años.

Pasado un año, la población será P .1/ Ñ P0 C P0 D .1 C /P0. Utilizamos el signo de
aproximación Ñ y no el D porque hemos calculado el crecimiento de la población P0 como
si esta fuese constantemente igual a P0 en todo el año, lo que no es correcto.

Obtendríamos un resultado más exacto si consideramos el crecimiento de la población men-

.s1uaClm1 e2n/tPe.0,CyompaosaldaotsadsaocdeemceresceismPie.n1t/oÑm en1sCual1 e2s 1=2P120,. pasado un mes la población será
El cálculo sigue siendo aproxima-

do, pues la población crece continuamente. Para obtener una mejor aproximación podríamos

considerar días en vez de meses. En general, si dividimos el año en n períodos, obtendríamos

como aproximación: n

P .1/ Ñ 1C P0
n

Cuanto mayor sea n menor se rá el e rr onr que cometemos. Si hacemos que n crezca indefini-
damente, entonces el número 1 C se convierte en e , por lo que P .1/ D e P0. Si el

n

período de tiempo es de t años, entonces P .t / D P0 e t .

Observa que tanto el interés compuesto continuo como el crecimiento demográfico son,
matemáticamente, lo mismo. En ambos casos lo que tenemos es una magnitud que se incre-
menta de forma proporcional a su cantidad en cada momento. Otro proceso que entra en esta
descripción es el decaimiento radiactivo, la única diferencia es que la masa de materia radiac-
tiva va disminuyendo, o sea, que la constante de proporcionalidad es negativa.

2.2.6. Función potencia de exponente real a

Se llama así la función cuyo dominio es RC que a cada x > 0 asigna el número xa.
Puesto que xa D exp.a log x/, las propiedades de esta función se deducen con facilidad de las
propiedades de las funciones exponencial y logaritmo natural.

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Funciones trigonométricas 43

2.2.7. Funciones trigonométricas

El concepto más específico de la trigonometría es el de medida de un ángulo. Para medir un
ángulo llevamos su vértice al origen y medimos la longitud del arco de la circunferencia unidad
que dicho ángulo intercepta, obtenemos así un número que llamamos la medida (absoluta, es
decir no orientada) del ángulo en cuestión. Naturalmente, lo primero que hay que hacer para
medir cualquier cosa es elegir una unidad de medida. Pues bien, para medir ángulos suelen
usarse dos unidades de medida.

Hay una expresión que estamos acostumbrados a usar y cuyo significado conviene precisar.
Me refiero a la expresión: “una circunferencia de radio r ”. Cuando empleamos dicha expresión
se sobreentiende que el radio r de la circunferencia es un número expresado en alguna unidad
de medida de longitudes. Es decir, la expresión “una circunferencia de radio r ” presupone que
hemos fijado una unidad de medida con la cual hemos medido r .

2.2.7.1. Medida de ángulos

Medida de ángulos en grados. Supongamos que tenemos una circunferencia de radio r . Para
medir ángulos en grados sobre dicha circunferencia lo que hacemos es tomar como unidad de
medida un arco cuya longitud sea igual a la longitud total de esa circunferencia (2 r ) dividida
por 360. Un ángulo de un grado es el que intercepta en una circunferencia de radio r un arco

2 r
cuya longitud es igual a .

360
Medida de ángulos en radianes. Supongamos que tenemos una circunferencia de radio r . Para
medir ángulos en radianes sobre dicha circunferencia lo que hacemos es tomar como unidad
de medida un arco cuya longitud sea igual a la del radio. Un ángulo de un radián es el que
intercepta en una circunferencia de radio r un arco cuya longitud es igual a r .

Las palabras “grado” y “radián” se usan tanto para referirse a los respectivos ángulos como
a las medidas de sus arcos. Es así como debes interpretar la expresión “la longitud total de la
circunferencia es 360 grados y también es igual a 2 radianes”. Sería más exacto decir: “la
longitud total de la circunferencia es 360 veces la longitud de un arco de un grado y también
es igual a 2 veces la longitud de un arco de un radián”. Evidentemente, la longitud de un arco
de un radián es igual al radio de la circunferencia.

La relación entre grados y radianes viene dada por:

360 grados D 2 radianes

No hay que olvidar que grados y radianes no son otra cosa que unidades de medida de lon-
gitudes, al igual que lo son el metro y el centímetro. En la navegación y en la astronomía
los ángulos se miden en grados, pero en Cálculo es preferible medirlos en radianes porque se
simplifican las cuentas. Por ejemplo, la longitud de un arco de circunferencia se obtiene mul-
tiplicando la longitud del radio de dicha circunferencia por la medida en radianes del ángulo
que corresponde a dicho arco.

Observa que la ventaja de medir arcos en radianes es que, en tal caso, la misma unidad con
la que medimos el radio nos sirve para medir arcos. Por ejemplo, si el radio es 1 centímetro
el radián también mide 1 centímetro; mientras que la medida de un grado en centímetros sería
2 =360 ' 0; 0174533.

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Funciones trigonométricas 44

Convenio de los ángulos: usar radianes De ahora en adelante, a menos que se establezca
explícitamente otra unidad, supondremos que todos los ángulos están medidos en radianes.

2.2.7.2. Funciones seno y coseno

Hay dos funciones que suelen confundirse: el seno de un ángulo y el seno de unpnúmero.
En geometría se habla del senpo de un ángulo y en Cálculo usamos la expresión sen. 2/ para
referirnos al seno del número 2. ¿Qué relación hay entre uno y otro?

Y Antes que nada hay que decir que tanto el seno de
un ángulo como el seno de un número son núme-
Px ros, pero mientras que el seno de un ángulo tiene
una sencilla definición geométrica, no es evidente,
lo a priori, cómo se puede definir el seno de un nú-
mero. La idea consiste en asociar a cada número un
b ngitud x (único) ángulo y definir el seno del número como el
seno del ángulo que le corresponde. Es evidente que
Oa UX a cada número x > 0 le podemos asignar de mane-
ra única un ángulo “enrollando” el segmento Œ0; x
Figura 2.4. La circunferencia unidad sobre la circunferencia unidad, en sentido contrario
a las agujas del reloj, de forma que el origen de di-
cho segmento coincida con el punto U D .1; 0/ de
la circunferencia. Obtenemos así un punto Px de la
circunferencia unidad.

Pues bien, si las coordenadas de Px son .a; b/, se define:

2sen x D seno del ángulo.PxOU / D b
2cos x D coseno del ángulo.PxOU / D a

Al ser igual a 2 la longitud de la circunferencia unidad, es claro que PxC2 D Px, por lo que

sen.x/ D sen.x C 2 / y cos.x/ D cos.x C 2 /. Observa también que si 0 6 x < 2 , entonces

2la medida en radianes del ángulo Px OU es igual a x, es decir:

sen.x/ D seno del ángulo de x radianes .0 6 x < 2 /

Si x < 0 podemos proceder con el segmento Œx; 0 de forma análoga a la anterior, con la

diferencia de que ahora enrollamos dicho segmento sobre la circunferencia unidad en el sentido
de las agujas del reloj, de forma que su extremo 0 coincida con el punto U D .1; 0/ de la
circunferencia. Obtenemos así un punto Px D .c; d / de la circunferencia unidad y se define,
igual que antes sen.x/Dd , cos.x/Dc. Es fácil ver que si Px D.c; d /, entonces P x D.c; d /.
Resulta así que sen.x/ D sen. x/ y cos.x/ D cos. x/.

2.12 Observaciones. Podemos definir la función seno en grados sin más que interpretar que x

es la medida en grados del ángulo que le corresponde. El hecho de que se use la misma notación
para ambas funciones es la causa de muchos errores. Si notamos seno.x/ el valor del seno del
ángulo cuya media es x grados, y notamos senr .x/ el valor del seno del ángulo cuya media es

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Funciones trigonométricas 45

2 3 y D sen x 2
2 3
2
22

Figura 2.5. La función seno

x radianes (es decir, la función que hemos definido antes); la relación entre ambas funciones

viene dada por:

seno.x/ D senr 2 x D senr x
360 180

Es frecuente que seno.x/ se escriba como sen xo. Por ejemplo sen.45o/. A esta mala notación

se deben las dudas que a veces surgen sobre el significado de sen x y que llevan a preguntar:

“¿está x en grados o en radianes?”, cuando lo que realmente debería preguntarse es “¿se trata
de seno.x/ o de senr .x/?”; porque, en ambos casos, x es tan sólo un número al que no hay por

qué ponerle ninguna etiqueta.

Insistimos, una última vez: en este curso de Cálculo el número sen x significará siempre
senr x. Por tanto sen. =4/ ¤ sen.45/ (pero sen. =4/ D seno.45/).

2.2.7.3. Propiedades de las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno son funciones reales cuyo dominio es todo R. Las identidades
básicas que dichas funciones verifican son:

sen2 x C cos2 x D 1 .x 2 R/

Como se ha dicho antes, las funciones seno y coseno son periódicas de período 2 :

sen.x C 2 / D sen x ; cos.x C 2 / D cos x .x 2 R/

La función seno es impar y la función coseno es par:

sen. x/ D sen x ; cos. x/ D cos x .x 2 R/

Todas las propiedades anteriores se deducen fácilmente de las definiciones dadas. Las siguien-
tes igualdades, conocidas como fórmulas de adición, se probarán más adelante:

sen.x C y/ D sen x cos y C cos x sen y (2.4)
cos.x C y/ D cos x cos y sen x sen y (2.5)

La función seno se anula en los múltiplos enteros de , es decir, en los puntos de la forma
k donde k es un entero cualquiera. La función coseno se anula en los puntos de la forma
k C =2 donde k es un entero cualquiera.

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Funciones trigonométricas 46

2.2.7.4. Las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante

Las funciones tangente y secante, que se representan por tg y sec son las funciones definidas
en el conjunto R n fk C =2 W k 2 Zg D fx 2 R W cos x ¤ 0g, por:

tg x D sen x ; sec x D 1
cos x cos x

Las funciones cotangente y cosecante, que se representan por cotg y csc son las funciones
definidas en el conjunto R n fk W k 2 Zg D fx 2 R W sen x ¤ 0g, por:

cos x 1
cotg x D sen x ; csc x D sen x

Las propiedades de estas funciones se deducen fácilmente de las propiedades del seno y del
coseno. Por ejemplo, tg.x/ D tg.x C /; esto es, la función tangente es periódica de período .

2.2.7.5. Las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente

Lo primero que hay que decir es que ninguna de las funciones “seno”, “coseno”, “tangen-
te”, es inyectiva pues todas ellas son periódicas y, por tanto, toman cada uno de sus valores
en infinitos puntos; en consecuencia, ninguna de ellas tiene inversa en el sentido de la defini-
ción (2.7). Por tanto, no debe decirse que las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente
sean las funciones inversas del seno, del coseno o de la tangente: eso no es cierto. Hecha esta
observación imprescindible, pasemos a definir dichas funciones.

La función seno es estrictamente creciente en el intervalo Œ =2; =2 y en dicho intervalo

toma todos los valores comprendidos entre 1 y 1, sen.Œ =2; =2/ D Œ 1; 1. En consecuen-

cia, dado un número x 2 Œ 1; 1 hay un único número y 2 Œ =2; =2 tal que sen y D x;

dicho número y se representa por arc sen x y se llama el arcoseno de x. Es decir, el arcoseno es

la función arc senWŒ 1; 1 ! R definida por sen.arc sen x/ D x y 6 arc sen x 6 . Observa
2 2

que la igualdad arc sen.sen x/ D x, es cierta si, y sólo si, =2 6 x 6 =2.


2

1 y D arc sen x
y D sen x

=2 1
=2 1

1

Figura 2.6. La función seno en Œ ; 
2 2 2

Figura 2.7. La función arcoseno

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Funciones trigonométricas 47

Es decir, la función arcoseno es la inversa de la función seno restringida al intervalo
Œ =2; =2, esto es, cuando consideramos que la función seno está solamente definida en
el intervalo Œ =2; =2.

arc sen WŒ 1; 1 ! R; =2 6 arc sen x 6 =2; sen.arc sen x/ D x (2.6)

arc sen.sen x/ D x ” =2 6 x 6 =2 (2.7)

La función coseno es estrictamente decreciente en el intervalo Œ0;  y en dicho intervalo
toma todos los valores comprendidos entre 1 y 1. Por tanto, dado un número x 2 Œ 1; 1, hay
un único número y 2 Œ0;  tal que cos y D x; dicho número y se representa por arc cos x
y se llama arcocoseno de x. Es decir, arcocoseno es la función arc cosWŒ 1; 1 ! R dada por
cos.arc cos x/Dx y 06arc cos x 6 : Observa que la igualdad arc cos.cos x/Dx, es cierta si, y
sólo si, 06x 6 . Es decir, la función arcocoseno es la inversa de la función coseno restringida
al intervalo Œ0; , esto es, cuando consideramos que la función coseno está solamente definida

en el intervalo Œ0; .

arc cos WŒ 1; 1 ! R; 0 6 arc cos x 6 ; cos.arc cos x/ D x (2.8)

arc cos.cos x/ D x ” 0 6 x 6 (2.9)


1

y D cos x


2 2

y D arc cos x

1

Figura 2.8. La función coseno en Œ0; 

11

Figura 2.9. La función arcocoseno

La función tangente es estrictamente creciente en el intervalo  =2; =2Œ y en dicho
intervalo toma todos los valores reales, tg. =2; =2Œ/DR. En consecuencia, dado un número
x 2 R, hay un único número y 2 =2; =2Œ tal que tg y D x; dicho número y se representa
por arc tg x y se llama el arcotangente de x. Es decir, la función arcotangente es la inversa de
la función tangente restringida al intervalo  =2; =2Œ, esto es, cuando consideramos que la
función tangente está solamente definida en el intervalo  =2; =2Œ.

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Las funciones hiperbólicas 48
arc tg WR ! R; =2 < arc tg x < =2; tg.arc tg x/ D x (2.10)
arc tg.tg x/ D x ” =2 < x < =2 (2.11)


2

y D arc tg x


22

y D tg x
2

Figura 2.11. La función arcotangente

Figura 2.10. La función tangente

en  ; Œ
2 2

2.2.8. Las funciones hiperbólicas

Hay algunas combinaciones de las funciones exp.x/ y exp. x/ que aparecen con tanta
frecuencia que se les da nombre propio. Ellas son las funciones seno hiperbólico, representada
por senh, y coseno hiperbólico, representada por cosh, y están definidas para todo x 2 R por:

senh x D ex e x ; ex C e x
cosh x D
2
2

Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico son funciones reales cuyo dominio es todo
R. La identidad básica que dichas funciones verifican es:

cosh2 x senh2 x D 1 .x 2 R/

La función seno hiperbólico es impar y la función coseno hiperbólico es par:

senh. x/ D senh x ; cosh. x/ D cosh x .x 2 R/

La función seno hiperbólico es estrictamente creciente en R. La función coseno hiperbólico es
estrictamente creciente en RCo .

Todas las propiedades anteriores se deducen fácilmente de las definiciones dadas.

La función tangente hiperbólica que se representa por tgh es la función definida para todo

x 2 R por: ex x
ex x
tgh x D senh x D e
cosh x Ce

De forma análoga se definen las funciones cotangente, secante y cosecante hiperbólicas.

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Las funciones hiperbólicas 49

3 y D cosh x
2
3
1 y D senh x 2
1
-2 -1 12
-1

-2

-3

-2 -1 12

-4 Figura 2.13. La función coseno hiperbólico

Figura 2.12. La función seno hiperbólico

1
y D tgh x

1

Figura 2.14. La función tangente hiperbólica

2.2.8.1. Las funciones hiperbólicas inversas

La función seno hiperbólico es una biyección de R sobre R cuya inversa, representada por,
argsenh, (léase argumento seno hiperbólico) viene dada por:

p (2.12)
argsenh x D log.x C x2 C 1/ .x 2 R/

La función coseno hiperbólico es inyectiva en RCo y su imagen es la semirrecta Œ1; C∞Œ. La
función, definida en Œ1; C∞Œ, que a cada número x > 1 asigna el único número y > 0 tal que

cosh y D x, se llama argumento coseno hiperbólico, se representa por, argcosh, y viene dada

por: p
argcosh x D log.x C x2 1/ .x > 1/
(2.13)

La función tangente hiperbólica es una biyección de R sobre el intervalo  1; 1Œ cuya inversa,
representada por, argtgh, (léase argumento tangente hiperbólica) es la función definida en el
intervalo  1; 1Œ por:


1 1Cx
argtgh x D 2 log 1x . 1 < x < 1/ (2.14)

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Las funciones hiperbólicas 50

2

y D argsenh x

12

-4 -3 -2 -1 123 1 y D argcosh x
-1

-2 123

Figura 2.15. La función argumento seno Figura 2.16. La función argumento coseno
hiperbólico hiperbólico

y D argtgh x
11

Figura 2.17. La función argumento tangente hiperbólica

La razón de por qué estas funciones se llaman hiperbólicas es que, al igual que los puntos de
la circunferencia unidad pueden representarse en la forma .cos t; sen t/, los puntos en la rama
derecha de la hipérbola unitaria x2 y2 D 1 pueden representarse como .cosh t; senh t /.

Naturalmente, la importancia de las funciones trigonométricas procede de que multitud de
fenómenos naturales son de naturaleza ondulatoria o periódica. Por ejemplo, la gráfica de un
electrocardiograma no es más que superposiciones de gráficas de senos y cosenos.

Las funciones hiperbólicas, por su parte, también sirven para describir el movimiento de
ondas en sólidos elásticos, o la forma que adoptan los cables eléctricos colgantes. Hay una
hermosa curva llamada catenaria cuya ecuación es de la forma y D a cosh.x=a/ (donde se
entiende que a es una constante). La catenaria es la forma que adopta una cadena perfectamente
flexible suspendida de sus extremos y bajo la acción de la gravedad.

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Ejercicios propuestos 51

2.2.9. Ejercicios propuestos

37. Estudia cuales de las siguientes igualdades son ciertas y, cuando no lo sean, proporciona
un contraejemplo. Se supone que f , g, h son funciones definidas en R.

a) f ı .g C h/ D f ı g C f ı h.

b) .g C h/ ı f D g ı f C h ı f .

c) 1 D 1 ı g.
f ıg f

11
d) D f ı .
f ıg g

38. Sean f; gW R ! R . Indica el dominio natural de definición de la función h dada por la

regla que en cada caso se indica.

f .x/ p
h.x/ D ; h.x/ D arc sen.f .x//; h.x/ D log.f .x//; h.x/ D f .x/

g.x/

h.x/ D argcosh.f .x//; h.x/ D arc cos.f .x//; h.x/ D arc tg.f .x//; h.x/ D g.x/f .x/

39. Una función f es par si f . x/ D f .x/ e impar si f . x/ D f .x/.

a) Estudia si la suma, el producto y la composición de funciones pares o impares es
una función par o impar. Considera todos los casos posibles.

b) Prueba que toda función puede escribirse de forma única como suma de una función
par y una función impar.

40. Prueba que la función dada por f .x/D 1 , es estrictamente creciente en RC. Deduce
1Cx

que

jx C yj jxj jyj .x; y 2 R/
1 C jx C yj 6 1 C jxj C 1 C jyj

41. Indica, justificando tu respuesta, los intervalos que:

No tienen máximo ni mínimo.
Tienen máximo pero no tienen mínimo.
Tienen mínimo pero no tienen máximo.
Tienen máximo y mínimo.

42. Se quiere amortizar una deuda de 60000 e el día 31 de diciembre de 2013. Esta deuda
ha sido contraída el día 1 de enero de 2008, y se incrementa cada trimestre al 6 por
100 anual. Para amortizarla se quiere pagar una cantidad fija el último día de cada mes,
empezando el 31 de enero de 2008 y terminando el 31 de diciembre de 20013. Estas
cantidades producen un interés anual del 3 por 100, que se acumula mensualmente. ¿Qué
cantidad hay que abonar cada mes?

Sugerencia. Usa una calculadora o un programa de cálculo que tengas en tu ordenador pa-

ra obtener la soluci ón C“exra cnta”Ñ(reerd,opnudeedaesspoobrteexnceerstoa)m. Hbiaécnieunndaosuosluocdióenlaaapproroxximimaadcai.ón
(para n “grande”): 1 n

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Ejercicios propuestos 52

43. ¿A qué interés simple anual corresponde un interés compuesto continuo del 10 % anual?

44. Se invierten 10000 euros en una cuenta que produce un 4 % fijo de interés anual.

1. ¿Cuántos años se necesitan para doblar el capital inicial?
2. ¿Cuántos años son necesarios para que el capital final sea de de un millón de euros?

45. Una persona coloca cada día la misma cantidad P de euros a un interés compuesto con-
tinuo del r % anual. Hallar el capital final al cabo de n días.

Si P D 10ey r D 5, ¿al cabo de cuanto tiempo el capital final será de 6000 e?

46. Se sabe que la población de un cultivo de bacterias se duplica cada 3 horas. Si a las 12h
del mediodía hay 10000 bacterias, ¿cuántas habrá a las 7 de la tarde del mismo día?.

47. Compara alog b con blog a.

1 11 1
48. Calcula x sabiendo que DCC
logx.a/ logb.a/ logc.a/ logd .a/

49. ¿Es correcto escribir log.x 1/.x 2/ D log.x 1/ C log.x 2/?
pp x/ D 0:

50. Prueba que log.x C 1 C x2/ C log. 1 C x2

51. Resuelve p D .px/x:

xx

52. Simplifica las expresiones alog.log a/= log a; loga.loga.aax //.

53. Resuelve el sistema: 7.logy x C logx y/ D 50; x y D 256. Se supondrá que x > y > 1.

54. Indica cuál de los dos números 12345671234568 y 12345681234567 es el mayor.

55. Calcula los valores de x para los que se verifica la igualdad:

logx.10/ C 2 log10x.10/ C log100x.10/ D 0:

56. Sea f W R ! R una función que verifica las propiedades:

a) f .x C y/ D f .x/ C f .y/ para todos x; y 2 R.
b) f .xy/ D f .x/f .y/ para todos x; y 2 R.

Demuestra que o bien f es f .x/ D 0 para todo x 2 R o bien es f .x/ D x para todo
x 2 R.
Sugerencias. a) Supuesto que f no es idénticamente nula, prueba primero que f es
estrictamente creciente y que f .r / D r para todo r 2 Q.
b) Supón que hay algún número a tal que f .a/ ¤ a y deduce una contradicción (utiliza
que entre dos números reales cualesquiera siempre hay algún número racional).

57. Sea f W RC ! R una función que verifica las propiedades:

a) f .xy/ D f .x/ C f .y/ para todos x; y en RC.
b) f .x/ > 0 para todo x > 1;

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Ejercicios propuestos 53

c) f .e/ D 1.

Demuestra que f .x/ D log.x/ para todo x 2 RC.
Sugerencias. a) Prueba primero que f es creciente y que f .er / D r para todo r 2 Q.

b) Sea '.x/Df .exp.x//. Justifica que ' es estrictamente creciente. Supón que hay algún
número a tal que '.a/ ¤ a y deduce una contradicción (utiliza que entre dos números
reales cualesquiera siempre hay algún número racional).

58. Prueba las igualdades siguientes.

cos.arc tg x/ D p 1 1; 1Œ; sen.arc tg x/ D p x 1; 1
1 C x2 1 C x2

tan.arc sen x/ D p x 8x 2 arc cos x C arc sen x D 8x 2 Œ
1 x2 2

59. Sean a; b 2 R tales que a2 C b2 D 1; a ¤ 1. # D 2 arc tg b
Definamos . Prueba
aC1
que cos # D a, sen # D b:

60. Prueba por inducción la siguiente igualdad.
sen x .sen x C sen 2x C C sen nx/ D sen nx sen n C 1 x
2 22

61. Prueba que para todos x; y 2 R se verifica que

sen x C sen y D 2 sen x C y cos x y I cos x C cos y D 2 cos x C y cos x y
22 22

Deduce que para k 2 N:

2 sen x cos.kx/ D sen.2k C 1/ x sen.2k x
1/
2 24

Utiliza esta igualdad para probar que:

x nx n C 1
sen cos x C cos.2x/ C C cos.nx/ D sen cos x
2 22

Prueba análogamente que:

x sen x C sen.2x/ C C D sen nx sen n C 1 x
sen sen.nx/
2 22

62. Prueba que tg.x C y/ D tg x C tg y . ¿Qué excepciones hay que hacer?.
1 tg x tg y

63. Indica para qué valores de x e y se verifica la igualdad arc tg x Carc tg y Darc tg xCy .

1 xy

64. Calcula x por la condición arc tg.2x/ C arc tg x D
.
4

65. Deduce las expresiones de las funciones hiperbólicas inversas dadas por las igualdades
(2.12), (2.13) y (2.14).

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Ejercicios resueltos 54

66. Prueba que arc tg.ex/
arc tg .tgh.x=2// D .
4

67. Simplifica las expresiones

a) senh2x cos2y C cosh2x sen2y.

cosh.log x/ C senh.log x/
b) x .
68. Prueba que 2 argtgh.tg x/ D argtgh.sen 2x/.

69. Define las funciones secante y cotangente hiperbólicas y estudia sus inversas.

70. Obtener fórmulas de adición para el seno, coseno y tangente hiperbólicos.

71. Dibuja la gráfica de la función y D arc sen.sen x/.

72. Prueba las igualdades:
cos a D 4 cos3.a=3/ 3 cos.a=3/ D 2 cos2.a=2/ 1

y, usando que cos 0 D 1, cos D 1, deduce el valor de cos. =6/, cos. =4/ y cos. =8/.

2.2.10. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

1111
Ejercicio resuelto 15 Calcula x sabiendo que DCC
logx.a/ logb.a/ logc.a/ logd .a/

Solución. Pongamos y Dlogx.a/. Por definición, tenemos que xy Da, de donde se sigue
log a
que y log x D log a. Hemos obtenido así que logx .a/ D . Con ello, la igualdad del

log x

enunciado puede escribirse como

log x D log b C log c C log d
log a log a log a log a

esto es log x D log b C log c C log d , o lo que es igual, log x D log.b c d /. Como la
©
función logaritmo es inyectiva, deducimos que x D b c d .


Ejercicio resuelto 16 Prueba la igualdad arc cos x C arc sen x D 2 8x 2 Œ 1; 1

Solución. Se trata de probar que arc sen x D arc cos x para todo x 2 Œ 1; 1. Para ello,
2 Como, por definición, 0 6 arc cos x 6 ,

dado x 2 Œ 1; 1, pongamos z D 2 arc cos x .
deducimos que
6z 6 . Además
2 2

sen z D sen. =2 arc cos x/ D sen. =2/ cos. arc cos x/ C cos. =2/ sen. arc cos x/D

D cos. arc cos x/ D cos.arc cos x/ D x

Hemos probado así que sen z D x, y 6z6 lo que, por definición, quiere decir que
2 2

z D arc sen x.

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Ejercicios resueltos 55

Ejercicio resuelto 17 Prueba que tg.arc sen x/ D p x para todo x 2 1; 1Œ.

1 x2

sen z x
Solución. Como tg zD , deducimos que tg.arc sen x/D , 8 x 2 1; 1Œ
cos z cos.arc sen x/

(hay que excluir los ppuntos ˙1 porque arc sen.˙1/ D ˙ =2) . Bastará probar, por tanto,
que cos.arc sen x/ D 1 x2.

Como cos2 z D 1 sen2 z, deducimos que, cos2.arc sen x/ D 1 x2, esto es,
p

j cos.arc sen x/j D 1 x2

Ahora, como 6 arc sen x 6 , se sigue que cos.arc sen x/ > 0, por lo que
2 2

cos.arc sen x/ D j cos.arc sen x/j ©
p

y, por tanto, cos.arc sen x/ D 1 x2.

Ejercicio resuelto 18 Dado un número x ¤ 0, calcula un número t 2 R tal que 1 D x.

senh t

Solución. Aquí el dato es el número x¤0. Puesto que senh t D et 2 et
, tenemos que cal-

cular un número t que verifique la igualdad 2Dx.et e t /, esto es, x e2t 2 et xD0.

Haciendo y D et , tenemos que x y2 2y x D 0, por lo que los dos posibles valores

para y son pp

1 C 1 C x2 o 1 1 C x2

xx

Como debe ser y > 0 (porque el valor de una exponencial siempre es positivo), deduci-

mos que 8 p!

ˆˆˆ<ˆˆlog 1C 1 C x2 ; si x > 0
x si x < 0

t D log y D :ˆˆˆˆˆ log 1 p!
1 C x2
;
x

©

Ejercicio resuelto 19 Se quiere amortizar una deuda de 60000 e el día 31 de diciembre de
20013. Esta deuda ha sido contraída el día 1 de enero de 2000, y se incrementa cada
trimestre al 6 por 100 anual. Para amortizarla se quiere pagar una cantidad fija el último
día de cada mes, empezando el 31 de enero de 2008 y terminando el 31 de diciembre
de 20013. Estas cantidades producen un interés anual del 3 por 100, que se acumula
mensualmente. ¿Qué cantidad hay que abonar cada mes?

Solución. Como la deuda se incrementa a un interés compuesto (expresado en tanto por

uno) del 0 06=4 cada trimestre, el 31 de diciembre de 2013 la deuda más los intereses

será igual a: 0 06 24
60000 1 C

4

Llamemos P a la mensualidad que tendremos que pagar al final de cada mes. Dichas
mensualidades se capitalizan a interés compuesto del 0 03=12 cada mes. La primera

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Ejercicios resueltos 56

mensualidad permanece un total de 71 meses y la última, al pagarse el último día del
mes no genera ningún interés. La cantidad total que tendremos el 31 de diciembre de
2013 será igual a:

" 0 03 71 0 03 70 0 03 #
P 1C C 1C C C 1C C1 D
12 12 12
" # " #
1 0 03 72 1 12 1 0 03 72 1

D P C 12 0 03 D 400P C 12

Donde hemos usado la expresión que da la suma de una progresión geométrica. En con-

secuencia, deberá ser:

" 0 03 72 # 0 06 24
1 1 1
P C 400 D 60000 C
12 4

Usando una calculadora se obtiene: P D 1088 74 donde hemos redondeado por exceso.

Podemo s tamrbi énn hacer el cálculo anterior teniendo en cuenta la aproximación para n
grande 1 C Ñ er de la siguiente forma:

n

C 0 03 72 D C 1 72 D " C 1 400#72=400 Ñ e72=400
1 12 1 400 1 400

C 0 06 24 D C 3 24 D " C 3 200#24=200 Ñ e72=200
1 4 1 200 1 200

En consecuencia: e72=200
150 e72=400
P Ñ 1 D 1090 2

donde hemos redondeado por exceso. ©

Ejercicio resuelto 20 Prueba las igualdades


(a) arc cos x C arc sen x D 8x 2 Œ 1; 1

2

(b) tan.arc sen x/ D p x I sec.arc sen x/ D p 1 8x 2 1; 1Œ

1 x2 1 x2

Solución. (a) Puede comprobarse esta igualdad de muchas formas. Por ejemplo, si des-
pejamos, podemos escribir la igualdad de la forma:

arc sen x D =2 arc cos x:

Puesto que =2 6 =2 arc cos x 6 =2 y en el intervalo Œ =2; =2 la función seno
es inyectiva, la igualdad anterior es equivalente a la siguiente: x D sen. =2 arc cos x/
la cual es efectivamente cierta porque, para todo x 2 Œ 1; 1 es:

sen. =2 arc cos x/ D sen. =2/ cos.arc cos x/ cos. =2/ sen.arc cos x/ D x

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Ejercicios resueltos 57

(b) Para todo x 2 1; 1Œ es:

tan.arc sen x/ D sen.arc sen x/ D x
:
cos.arc sen x/ cos.arc sen x/

Ahora como:
cos2.arc sen x/ D 1 sen2.arc sen x/ D 1 x2;
p

y además cos.arc sen x/ > 0, se sigue que cos.arc sen x/ D 1 x2 lo que prueba la

igualdad pedida.

Análogamente, se tiene que:

11
sec.arc sen x/ D D por lo antes visto D p :
cos.arc sen x/ 1 x2

©

Ejercicio resuelto 21 Prueba por inducción la igualdad:

x nx n C 1
sen .sen x C sen 2x C C sen nx/ D sen sen x
2 22

Solución. La igualdad es evidentemente cierta para nD1. Supongamos que es cierta para
un número natural n y probemos que entonces lo es también para n C 1. Tenemos:

sen x .sen x C C sen nx C sen.n C 1/x/ D sen nx sen n C 1 C sen x sen.n C 1/x
x
2 22 2

En consecuencia, todo se reduce a probar que:

sen nx sen n C 1 x C sen x sen.n C 1/x D sen .n C 1/x sen n C 2 x
22 2 22

Usando que sen.2a/ D 2 sen a cos a y que sen a C sen b D 2 sen a C b cos a b
22 ,

tenemos:

sen nx sen n C 1 x C sen x sen.n C 1/xD
2 2 1x C
2
D sen nx sen n C x n C 1 n C 1
sen 2 sen x cos x D
2 2 2 2 2

D sen nC1 nx x nC1 xD
x sen C 2 sen cos
2 2 2 2
D sen n C 1 x nx n C 2 nx .n C 1/x n C 2
sen C sen x C sen D sen sen x
2 22 2 22

como queríamos probar. ©

Ejercicio resuelto 22 Sean a; b 2 R tales que a2 C b2 D 1 y a ¤ 1. Definamos

b
# D 2 arc tg a C 1

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Ejercicios resueltos 58

Prueba que cos # D a, sen # D b.

Solución. Puesto que lo que conocemos es tg.#=2/, la idea es relacionarla con sen #
y con cos #. Teniendo en cuenta que cos x D cos2.x=2/ sen2.x=2/, que sen x D
2 sen.x=2/ cos.x=2/ y que 1 D sen2.x=2/ C cos2.x=2/, obtenemos:

cos x D cos2.x=2/ C sen2.x=2/ D 1 C tg2.x=2/
sen2.x=2/ cos2.x=2/ 1 tg2.x=2/

2 sen.x=2/ cos.x=2/ tg.x=2/
sen x D sen2.x=2/ C cos2.x=2/ D 1 C tg2.x=2/

Teniendo en cuenta ahora que a2 C b2 D 1 y que tg.#=2/ D b , se comprueba fácil-
1Ca

mente que:

1 tg2.#=2/ tg.#=2/
cos.#/ D 1 C tg2.#=2/ D a; sen.#/ D 1 C tg2.#=2/ D b

©

Ejercicio resuelto 23 Sea f W R ! R una función que verifica las propiedades:

a) f .x C y/ D f .x/ C f .y/ para todos x; y 2 R.
b) f .xy/ D f .x/f .y/ para todo x; y 2 R.

Demuestra que o bien f es f .x/ D 0 para todo x 2 R o bien es f .x/ D x para todo
x 2 R.

Solución. Si una tal función f se anula en algún a ¤ 0, resulta que para todo x 2 R se

tiene x x

f .x/ D f a D f .a/f a D0
a

y f es la función idénticamente nula. Excluido este caso, deberá ser f .x/ ¤ 0 para todo

x 2 R. Dado x > 0, tenemos que

f .x/ D f pp p p f px 2 > 0
x x Df xf xD

Si ahora es x < y se tendrá que

f .y/ D f .x C .y x// D f .x/ C f .y x/ > f .x/

Hemos probado así que f es estrictamente creciente. Sean ahora m y n ¤ 0 números

enteros y x 2 R. Por ser f aditiva se tiene que:
m m m m
nf x D f n x D f .mx/ D mf .x/÷f x D f .x/
nn nn

Deducimos que f .r x/ D rf .x/ para todo número racional r 2 Q y todo x 2 R. En

particular, haciendo x D 1 y teniendo en cuenta que f .1/ D 1 (consecuencia inmediata

de b)), resulta que f .r / D rf .1/ D r para todo r 2 Q. Si para algún x 2 R se tuviera que

x < f .x/, entonces tomamos algún racional r tal que x < r < f .x/ para obtener la

contradicción

0 < f .r x/ D r f .x/ < 0:

Análogamente, so puede ser x > f .x/. Concluimos que ha de ser f .x/ D x para todo
©
x 2 R.

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Sobre el concepto de función 59

2.3. Sobre el concepto de función

Estamos acostumbrados a usar la idea de “función” para expresar una relación de depen-
dencia entre varias magnitudes; por ejemplo, decimos que “los precios están en función de los
costes de producción”. Toda persona con conocimientos básicos sabe que las derivadas y las
integrales son herramientas que se usan para estudiar funciones. Las funciones no solamente
se estudian en Cálculo; en todas las ramas de las Matemáticas se estudian funciones de distin-
tos tipos, y puede afirmarse que el concepto de función constituye un vínculo unificador entre
todas ellas.

Se trata de un concepto muy básico y general que comprende las
distintas interpretaciones tradicionales de una función como una
tabla de valores, como una curva o como una fórmula. Por todo
ello, puede parecer sorprendente que dicho concepto, con su signi-
ficado actual, sea muy reciente. Suele atribuirse al matemático ale-
mán Dirichlet la definición, en 1837, del concepto moderno de fun-
ción. Antes de llegar aquí hubo de recorrerse un largo camino que
empieza con la publicación en 1748 del libro de Leonhard Euler
Introductio in analysin infinitorum en cuyo primer capítulo, titula-
do significativamente “De Functionibus in genere”, esto es, “Sobre
las funciones en general”, Euler da la siguiente definición:

Figura 2.18. Dirichlet Una función de una cantidad variable es cualquier ex-
presión analítica formada a partir de dicha cantidad
variable y números o cantidades constantes.

También fue Euler quien usó por primera vez la notación f .x/ para indicar el valor de
una función f en un valor x de la variable. Euler no precisaba lo que entendía por “cualquier
expresión analítica” pero, sin duda, incluía las series, fracciones y productos infinitos y primi-
tivas. Después de dar esta definición, Euler distingue entre varios tipos de funciones según que
puedan o no representarse por medio de una sola expresión analítica.

Figura 2.19. Euler El libro de Euler Introductio in analysin infinitorum, del que hay
traducción al español, es considerado como el tercero más influ-
yente en toda la historia de las matemáticas (el primero serían
los Elementos de Euclides (300 adC) y el segundo los Principia
(1687) de Newton) y tuvo una amplia difusión. En el prefacio de
dicho libro, Euler, afirmaba que el Análisis Matemático es la cien-
cia general de las variables y sus funciones. Esto, que hoy día nos
parece una evidencia, estaba muy lejos de serlo en el siglo XVIII.
De hecho, matemáticos como Newton, Leibniz, los hermanos Ber-
nouilli y otros muchos en los siglos XVII y XVIII, se expresaban
en términos de curvas, superficies, áreas, líneas tangentes.

En el primer libro de Cálculo Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes
courbes (L’Hôpital, 1696), como ya se indica en su propio título, lo que se estudia son curvas,
no funciones. Esto no tiene nada de extraño. Los métodos del Cálculo Infinitesimal eran todavía

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Sobre el concepto de función 60

muy recientes y sus razonamientos con frecuencia oscuros y confusos, por eso los matemáticos
de la época preferían fundamentar sus resultados geométricamente porque, desde Euclides,
se había considerado la geometría como el paradigma de la claridad y la perfección lógico –
deductiva.

La necesidad de precisar el concepto de función surgió poco después, de forma muy natural,
en el estudio de las vibraciones planas de una cuerda elástica tensa, sujeta por sus extremos, cu-
ya posición inicial en el plano viene dada por una función conocida .x/. D’Alembert (1749)
y Euler (1750) obtuvieron esencialmente la misma solución, pero discreparon sobre el tipo de
función inicial .x/ permitida. Mientras que, según D’Alembert, la posición inicial debía venir
dada por una función suave (derivable dos veces), Euler insistía en que la evidencia física impo-
nía la consideración de funciones más generales (no derivables, con picos). Él mismo propuso
como posición inicial de la cuerda una línea poligonal. Otro matemático, Daniel Bernouilli,
propuso en 1753 una solución del problema que tenía como consecuencia que la función .x/
podía representarse como suma de una serie trigonométrica infinita. Una situación muy similar
a ésta se produjo unos años después, en 1822, como consecuencia de los trabajos de Jean B.
Joseph Fourier sobre la propagación del calor.

Los detalles de toda esta historia son muy interesantes pero imposibles de resumir en unas
pocas líneas y, además, para poderlos entender hay que tener algunos conocimientos de Aná-
lisis Matemático. En esencia, se trata de lo siguiente. En la segunda mitad del siglo XVIII y
primera del XIX, al mismo tiempo que los matemáticos seguían considerando que las funciones
debían ser continuas y derivables, salvo a lo sumo en una cantidad finita de “puntos especiales”
(el mismo Euler tenía esta idea), se estaban desarrollando métodos para resolver problemas
cada vez más complejos que permitían representar “funciones cualesquiera” por medio de ex-
presiones analíticas, principalmente, series de Fourier. Se suponía que una representación de
este tipo debía “transmitir su regularidad” a la función representada pero, por otra parte, és-
ta podía ser muy general. El corazón del problema estaba en la confusión de dos conceptos,
aparentemente iguales pero muy distintos de hecho, el de función y el de su representación
analítica. La separación de estos conceptos llevó a considerar una función con independencia
de su representación analítica. De esta forma una función quedaba reducida a un conjunto de
valores numéricos completamente independientes asociados a una o varias variables, que es la
idea subyacente a la definición moderna debida a Dirichlet (1837):

“y es una función de una variable x, definida en un intervalo a < x < b, si para cada
valor de la variable x en este intervalo le corresponde un valor concreto de la variable y.
Además, es irrelevante la forma en la que esta correspondencia se establezca.”

Esta nueva idea de función llevó a investigar nuevos tipos de funciones que, con frecuencia,
tenían un comportamiento inusual. En 1854 Riemann dio un ejemplo de función integrable con
infinitas discontinuidades en todo intervalo de longitud positiva. En 1872 Weierstrass sorprende
a la comunidad matemática con una función continua que no es derivable en ningún punto. A
estos ejemplos de funciones “patológicas” pronto les siguen otros. En el siglo XIX la necesidad
de una fundamentación rigurosa del Análisis Matemático se hace evidente. El concepto de
función sigue en el centro de atención y, aunque dicho concepto siguió discutiéndose casi hasta
el final del siglo, hoy se reconoce a Dirichlet haber sido el primero en considerar seriamente la
idea de función como una “correspondencia arbitraria”.

Para ampliar la información pueden visitarse los siguientes sitios en Internet.

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El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos 61

Sobre la evolución del concepto de función en
http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma001.pdf.

Las series de Fourier y el desarrollo del Análisis en el siglo XIX por Fernando Bombal
en http://www.ma2.us.es/seminarios/four.pdf.

2.3.1. El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos

Con una calculadora de bolsillo, puedes hacer en una hora cálculos que a un astrónomo
de los siglos XV o XVI le hubiesen llevado semanas o meses realizar. En aquella época ha-
cer multiplicaciones, divisiones, calcular raíces cuadradas o potencias eran operaciones que
requerían mucho tiempo y esfuerzo. La explicación de esto es que el desarrollo del Álgebra
fue relativamente tardío. El descubrimiento de las cantidades inconmensurables, y la carencia
de una teoría aritmética de las mismas, tuvo como consecuencia el abandono del Álgebra en
favor de la Geometría. Se desarrollo así una especie de “álgebra geométrica” en la que los
números se representaban por segmentos de línea y las operaciones aritméticas fueron susti-
tuidas por construcciones geométricas. Las ecuaciones lineales y cuadráticas fueron resueltas
con técnicas geométricas, evitándose así el problema de las magnitudes inconmensurables. De
esta forma en las matemáticas griegas el razonamiento geométrico llegó a considerarse como el
modelo de razonamiento matemático riguroso. Y así siguió siendo durante más de 2000 años.

Esta “álgebra geométrica” fue la causa del retraso en el desarrollo del Álgebra como disci-
plina independiente. Otra dificultad adicional estaba en el sistema de numeración romano, un
sistema de numeración no posicional, que fue el utilizado en Occidente hasta el siglo XI. El
sistema de numeración decimal que actualmente usamos, el cero incluido, tuvo su origen en
la India y llegó a Occidente a través de los árabes, por eso los nuevos números se llamaron
“números arábigos”. La misma palabra “Álgebra” nace en el siglo IX y hace referencia al tí-
tulo del libro Hisab al-jabr w’al-muqabalah del nombre de cuyo autor, el matemático Persa,
Muhammad ibn-Musa al-Jwarizmi (c.780-850), deriva la palabra “algoritmo”.

La paulatina adopción en toda Europa a lo largo de los siglos XI, XII y XIII de los “números
arábigos” supuso un extraordinario avance que propició la expresión simbólica de las operacio-
nes aritméticas, iniciándose así el desarrollo del Álgebra como disciplina independiente de la
Geometría4. En el siglo XV ya se usan en los cálculos los números negativos y las fracciones,
pero los primeros progresos realmente notables no llegaron hasta el siglo XVI, gracias a los
trabajos de matemáticos como Gerolamo Cardano (1501-1576) que publicó las soluciones de
algunas ecuaciones de tercer y cuarto grado en su libro Ars magna (1545), y François Viète
(1540-1603) que, entre otras cosas, propuso un sistema simbólico que le permitió representar
de forma general distintos tipos de ecuaciones.

Hoy nos parece inconcebible una Matemática sin un lenguaje simbólico apropiado, pero
éste se desarrolló lentamente a lo largo de los siglos XVI-XVII. Algunos de los siguientes
datos están sacados del sitio Web The History of Mathematical Symbols.

La primera aparición impresa de los símbolos C y fue en la aritmética de John Wid-
mann, publicada in 1489 in Leipzig. El autor del primer libro de texto sobre álgebra en

4Nos referimos, claro está, al Álgebra clásica, esto es, el estudio de las ecuaciones polinómicas y de la naturaleza
y propiedades de sus raíces. El Álgebra moderna es el estudio de las estructuras axiomáticas.

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El desarrollo del Álgebra y la invención de los logaritmos 62

lengua alemana impreso en 1525, Christoff Rudolff, usa estos símbolos con su signi-
ficado actual. Durante mucho tiempo se usaron solamente en Álgebra antes de que se
generalizara su uso en aritmética.

Había una gran variedad de símbolos para la multiplicación. Fue el matemático inglés
William Oughtred quien en su obra Clavis Mathematicae, publicada en 1631, dio al
símbolo el significado que tiene hoy día.

El signo para la igualdad que usamos actualmente fue introducido por el matemático y
médico inglés Robert Recorde en su libro The Whetstone of Witte (1557). No fue inme-
diatamente aceptado pues, como ocurría con gran parte de la notación matemática de
este período, cada uno tenía su propio sistema, pero hacia 1700 el signo D era ya de uso
general.

Aunque las fracciones decimales eran conocidas desde antiguo, no eran usadas con fre-
cuencia debido a la confusa notación empleada para representarlas. Fue Neper quien
introdujo en 1616 el separador decimal (coma o punto), lo que facilitó mucho el uso de
las fracciones decimales.

Los símbolos para las desigualdades, < y >, con su significado actual fueron introduci-
dos por el matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621) en su obra Artis Analyticae
Praxis publicada en Londres en 1631.

En el siglo XV la trigonometría esférica fue adquiriendo cada vez mayor importancia por sus
aplicaciones para la navegación astronómica, en la cual debe resolverse un triángulo esférico
para trazar la ruta del navío. Para facilitar los cálculos, se elaboraron numerosas tablas tri-
gonométricas en las que trabajaron matemáticos como Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe
(1546-1601), Kepler (1571-1630) y otros. Los cálculos para la realización de estas tablas eran
largos y penosos. En este contexto tuvo lugar la invención de los logaritmos por John Neper.

Figura 2.20. John Napier John Napier o Neper introdujo los logaritmos en su libro Mi-
rifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1614). Este trabajo
tenía treinta y siete páginas explicando la naturaleza de los lo-
garitmos y noventa páginas de tablas de logaritmos de funcio-
nes trigonométricas en las que Neper trabajó durante 20 años
antes de publicar sus resultados. En el año 1615 el matemático
inglés Henry Briggs (1561-1630) visitó a Neper en Edimbur-
go, y le convenció para modificar la escala inicial usada por
éste. Nacieron así los logaritmos de base 10 que fueron divul-
gados por el físico alemán Kepler, extendiéndose su uso en
relativamente poco tiempo por toda Europa.

Al principio, Neper llamó a los exponentes de las potencias “numeros artificiales”, pero más
tarde se decidió por la palabra logaritmo, compuesta por los términos griegos logos (razón) y
aritmos (número).

Los logaritmos son números, que se descubrieron para facilitar la solución de los
problemas aritméticos y geométricos, a través de esto se evitan todas las comple-
jas multiplicaciones y divisiones transformándolo a algo completamente simple a

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Lo que debes haber aprendido en este capítulo 63

través de la substitución de la multiplicación por la adición y la división por la
substracción. Además el cálculo de las raíces se realiza también con gran facili-
dad. Henry Briggs

Los logaritmos pasaron a ser una herramienta muy valorada, en especial entre los astrónomos.
Laplace se refiere a esto en la siguiente frase.

Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el
invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos.

Pierre Simon Laplace

2.4. Lo que debes haber aprendido en este capítulo

El concepto de función y el formalismo que usamos para definir una función.
Las operaciones con funciones. La composición de funciones.
Los conceptos de función monótona y de inversa de una función inyectiva.
Las definiciones y propiedades principales de las funciones logarítmicas y exponenciales.
Las definiciones y propiedades principales de las funciones trigonométricas.
Las definiciones y propiedades principales de las funciones arcoseno, arcocoseno y arco-

tangente.
Las definiciones y propiedades principales de las funciones hiperbólicas y sus inversas.

Como lectura adicional te recomiendo los capítulos 3 y 4 del libro de Michael Spivak [16].

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3Cap´ıtulo

Nu´ meros complejos. Exponencial compleja

El camino más corto entre dos verdades del análisis
real pasa con frecuencia por el análisis complejo.
Jaques Hadamard

3.1. Un poco de historia

Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de po-
lémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia
de su utilidad, acabaron por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos
hasta épocas recientes. Nada hay de extraño en ello si pensamos que los números negativos no
fueron plenamente aceptados hasta finales del siglo XVII.

Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano
(1501-1576) y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o
ecuación de tercer grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuacio-
nes algebraicas sólo tienen solución en nuestra imaginación” y acuñó el calificativo “imagi-
narias” para referirse a ellas. Desde el siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números
complejos o imaginarios son usados con recelo, con desconfianza. Con frecuencia, cuando la
solución de un problema resulta ser un número complejo se interpreta esto como que el pro-
blema no tiene solución. Para Leibniz “el número imaginario es un recurso sutil y maravilloso
del espíritu divino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.”

Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema
bien cotidiano de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos.
Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no
se avanzó mucho en la comprensión de los números complejos.

El éxito de Euler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se

64

Operaciones básicas con números complejos 65

preocuparon de la “naturaleza” de los mismos; no se preguntaron “¿qué es un número com-
plejo?”, sino que se dijeron “a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos”. Es Gauss
quien definitivamente concede a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las ma-
temáticas al probar en 1799 el resultado conocido como Teorema Fundamental del álgebra que
afirma que toda ecuación polinómica de grado n con coeficientes complejos tiene, si cada raíz
se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son números complejos. Merece la
pena que entiendas bien lo que afirma este resultado. Fíjate en cada una de las ecuaciones:

x C 3 D 0; 2x C 3 D 0; x2 2 D 0; x2 C 2x C 2 D 0

Cuyas soluciones

p
x D 3; x D 3=2; x D ˙ 2; x D 1 ˙ i

tienen sentido cuando x es, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Po-

dría ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá si

ahora consideramos ecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:

x5 C .1 i /x4 C .1=5 i p2/x2 8x C 3 p
i= 3 D 0

¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El Teorema Fun-
damental del álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son números
complejos y, por tanto, que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números.

El término, hoy usado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popu-
lar la letra “i” que Euler (1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta
los números complejos como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el
nacimiento de la teoría de funciones de variable compleja, pues se publica en dicho año la
Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchy había escrito ya en 1814.

Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útiles
para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre
que representamos una señal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que ése
es el propósito básico de los “métodos de Fourier”. La Transformada de Fourier Discreta,
una herramienta fundamental en el tratamiento digital de señales, toma valores complejos. Las
transformadas de Fourier y de Laplace son funciones complejas. La transformada z, al igual
que otras transformadas de uso frecuente, se define como una serie de números complejos.
La función exponencial compleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los siste-
mas LTI (sistemas lineales invariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuaciones
diferenciales lineales.

3.2. Operaciones básicas con números complejos

3.1 Definición. Consideremos en el conjunto R2 las operaciones de adición y producto defini-
das por

.x; y/ C .u; v/ D .x C u; y C v/ (3.1)
.x; y/.u; v/ D .xy uv; xv C yu/ (3.2)

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Comentarios a la definición de número complejo 66

Es muy fácil comprobar las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva de las operacio-
nes así definidas. El elemento neutro de la suma es .0; 0/ y .1; 0/ es la unidad del producto.
Además, . x; y/ es el opuesto de .x; y/, y todo .x; y/ ¤ .0; 0/ tiene inverso


xy

.x; y/ x2 C y2 ; x2 C y2 D .1; 0/

Todas estas propiedades se resumen diciendo que .R2; C; / (léase “el conjunto R2 con las
operaciones de adición y producto”) es un cuerpo. Dicho cuerpo se representa simbólicamente
por C y sus elementos se llaman números complejos.

3.2.1. Comentarios a la definición de número complejo

No debes olvidar que cada concepto matemático tiene sentido dentro de una determinada
estructura. Con frecuencia, cuando sobre un mismo conjunto hay definidas varias estructuras, la
terminología que se usa indica la estructura a la que nos referimos. Eso pasa en R2 donde con-
viven varias estructuras cada una con su terminología propia. Usualmente en R2 se consideran
las siguientes estructuras.

Ninguna. Es decir, solamente consideramos que R2 es un conjunto. En tal caso llamamos
a sus elementos pares ordenados de números reales.

La estructura de espacio vectorial. Esto es, vemos R2 como un espacio vectorial real. En
tal caso a sus elementos los llamamos vectores.

La estructura de espacio euclídeo que se obtiene añadiendo a la estructura de espacio
vectorial la distancia euclídea definida por el producto escalar usual. Esto es, vemos
R2 como el plano euclídeo de la geometría elemental. En este caso a sus elementos
los llamamos puntos. La misma terminología se emplea cuando se considera en R2 la
estructura de espacio afín o de espacio topológico.

La estructura de cuerpo definida por las operaciones (3.1) y (3.2). En tal caso, a los
elementos de R2 se les llama números complejos.

Ocurre que estos términos se usan a veces en un mismo párrafo lo que puede resultar confuso.
La regla que debes tener siempre presente es que todo concepto matemático tiene sentido propio
dentro de una determinada estructura matemática. Por ello, a un elemento de R2 se le llama
número complejo cuando se va a usar el producto definido en (3.2) que es lo que en realidad
distingue a los números complejos de los vectores de R2.

3.2.2. Forma cartesiana de un número complejo

El símbolo usual .x; y/ para representar pares ordenados no es conveniente para represen-
tar el número complejo .x; y/. Para convencerte calcula, usando la definición (3.2), .1; 1/4.
Representaremos los números complejos con un simbolismo más apropiado en el que va a
intervenir el producto complejo. Para ello, observa que:

.x; 0/ C .y; 0/ D .x C y; 0/
.x; 0/.y; 0/ D .xy; 0/

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p 67
Comentarios a la definición usual i D 1

Esto indica que los números complejos de la forma .x; 0/ se comportan respecto a la suma
y la multiplicación de números complejos exactamente de la misma forma que lo hacen los
números reales respecto a la suma y multiplicación propias. En términos más precisos, R f0g
es un subcuerpo de C isomorfo a R. Por esta razón, en las operaciones con números complejos
podemos sustituir los complejos del tipo .x; 0/ por el número real x. Es decir, hacemos la
identificación .x; 0/ D x.

Fíjate que con dicha identificación el producto x.u; v/ tiene dos posibles interpretaciones:
producto del escalar real x por el vector .u; v/ (estructura vectorial de R2) y producto del

complejo .x; 0/ por el complejo .u; v/. Pero ambos coinciden y son iguales a .xu; xv/.

El número complejo .0; 1/ lo representaremos por i y lo llamaremos unidad imaginaria.

Con ello tenemos que

i 2 D .0; 1/.0; 1/ D . 1; 0/ D 1

Ahora podemos escribir

.x; y/ D .x; 0/ C .0; y/ D .x; 0/ C .0; 1/.y; 0/ D x C iy

Se dice que x C iy es la expresión cartesiana (también se le llama expresión binómica) del
número complejo .x; y/. El producto ahora es muy fácil de recordar pues

.x C iy/.u C iv/ D xu C i2yv C i.xv C yu/ D xu yv C i.xv C yu/

3.2 Definición. Se dice que x es la parte real e y es la parte imaginaria del número complejo
x C iy.

Naturalmente, dos números complejos son iguales cuando tienen igual parte real e igual
parte imaginaria.

Notación. Es costumbre representar los números complejos con las letras z y w y reservar las
letras x, y, u, v para representar números reales. Una expresión de la forma z D x C iy se
interpreta como que z es el número complejo cuya parte real es x y cuya parte imaginaria es y.
Se escribe Re.z/ e Im.z/ para representar las partes real e imaginaria de z.

p
3.2.3. Comentarios a la definición usual i D 1

Apcabamos de ver que i2 D 1 pero eso npo nos permite escribir así, sin más ni más, que
i D 1. Fíjate lo que ocurre si ponemos i D 1 y manejamos ese símbolo con las reglas a

las que estamos acostumbrados:

1 D i2 D i i D p p p 1/. p
1 1D . 1/ D 1 D 1

Luego 1 D 1. Por tanto, las matemáticas son contradictorias y aquí hemos acabado.

Natupralmente, el error procede de que estamos haciendo disparates. Fíjate que en la ex-
presión 1 no puedes interpretar que 1 es el número real 1 (porque, como sabes, los
números reales negativos no tienen raíz cuadrada real), sino que tienes que interpretar 1 co-
mo el número complejo 1 (espero que ya tengas clara la diferencia). Resulta así que estamos
usando raíces de números complejos sin haberlas definido y dando por supuesto que dichas
raíces verifican las mismas propiedades que las de los números reales positivos.

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No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica 68

pp z para z 2 C. Cuando
Antes de escribir 1 hay que pdefipnir quépsignifica cuando z; w 2 RC, no lo hagamos
veremos ¡sorpresa! que la igualdad zw D zw, válida es cierta en

general cuando z; w 2 C.
p

Todavía más disparatado es definir i D 1 sin ni siquiera haber definido antes los números

complejos. Sin embargop, y aunque parezca mentira, en muchos textos se define (porque sí, sin
más explicaciones) i D 1 y a continuación se dice que los números de la forma aCib son los

números complejos. No es de extrañar que luego resulte que 1 D 1. Todavía pueden hacerse

peor las cosas. Recientemente he encontrado en un texto de una institución dpe educación a
distancia escrito por varios profesores la siguiente asombrosa definición: i D C 1.

3.2.4. No hay un orden en C compatible con la estructura algebraica

Al ampliar R a C ganamos mucho pero también perdemos algo. Te recuerdo que R tiene
dos estructuras: la algebraica y la de orden. Ambas estructuras están armoniosamente relacio-
nadas. Pues bien, en C no hay nada parecido. Podemos definir relaciones de orden en C, pero
no hay ninguna de ellas que sea compatible con la estructura algebraica. Es decir, es imposible
definir un concepto de número complejo positivo de forma que la suma y el producto de com-
plejos positivos sea positivo. Por ello no se define en C ningún orden. Así que ya sabes: ¡nunca
escribas desigualdades entre números complejos! Naturalmente, puedes escribir desigualdades
entre las partes reales o imaginarias de números complejos, porque tanto la parte real como la
parte imaginaria de un número complejo son números reales.

3.3. Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo

Es usual representar el número complejo z D x C iy como el vector del plano .x; y/ y, en
ese sentido, se habla del plano complejo. El eje horizontal recibe el nombre de eje real, y el eje
vertical recibe el nombre de eje imaginario.

Y z D x C iy
y

jzj

xX

z D x iy

Figura 3.1. Representación de un número complejo

Si z D x C iy es un número complejo (con x e y reales), entonces el conjugado de z se
define como:

z D x iy

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Representación gráfica. Complejo conjugado y módulo 69

y el módulo o valor absoluto de z, se define como:
q

jzj D x2 C y2

p
Observa que x2 C y2 está definido sin ambigüedad; es la raíz cuadrada del número real no
negativo x2 C y2.

Geométricamente, z es la reflexión de z respecto al eje real, mientras que jzj es la distancia
euclídea del punto .x; y/ a .0; 0/ o, también, la longitud o norma euclídea del vector .x; y/
(ver figura 3.1). La distancia entre dos números complejos z y w se define como jz wj y es
la distancia euclídea entre los respectivos puntos del plano.

La representación gráfica de la suma es la usual para la suma de vectores. Dos números
complejos z D x C iy y w D u C iv determinan un paralelogramo cuya diagonal (ver figura
3.2) es z C w (la otra diagonal es z w).

Y

zCw

z

w

x u xCu X

Figura 3.2. Suma de números complejos

Las siguientes propiedades de la conjugación compleja son de comprobación muy sencilla.

3.3 Proposición. Cualesquiera sean los números complejos z y w se verifica que:

z D z; z C w D z C w; zw D zw: (3.3)

El siguiente resultado establece las principales propiedades del módulo de un número com-
plejo. Como verás son muy parecidas a las propiedades del valor absoluto y su demostración
es prácticamente la misma.

3.4 Teorema. Cualesquiera sean los números complejos z; w 2 C se verifica que:

a) (3.4)
maKxfjRe zj; jIm zjg 6 jzj 6 jRe zj C jIm zj

En particular, Re z D jzj si, y sólo si, z 2 RCo .

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Forma polar y argumentos de un número complejo 70

b) El módulo de un producto es igual al producto de los módulos. (3.5)
jzwj D jzjjwj

c) El módulo de una suma es menor o igual que la suma de los módulos.

jz C wj 6 jzj C jwj (desigualdad triangular) (3.6)

La desigualdad triangular es una igualdad si, y solamente si, alguno de los números es
cero o uno de ellos es un múltiplo positivo del otro; equivalentemente, están en una misma
semirrecta a partir del origen.

Demostración. La demostración de a) es inmediata. Para demostrar b) y c) usaremos la igual-
dad jzj2 D zz que se deduce directamente de la definición de módulo de un número complejo,
y la estrategia (1.8) que ya usamos para probar las propiedades análogas del valor absoluto.

b) Basta observar que jzwj y jzjjwj son números positivos cuyos cuadrados coinciden, pues

jzwj2 D zwzw D zwzw D zzww D jzj2jwj2 D .jzjjwj/2

c) Es suficiente probar que jz C wj2 6 .jzj C jwj/2. En efecto:

jz C wj2 D .z C w/.z C w/ D .z C w/.z C w/ D zz C ww C zw C zwD
D jzj2 C jwj2 C 2 Re .zw/ 6 jzj2 C jwj2 C 2jRe .zw/j6
6 jzj2 C jwj2 C 2jzwj D jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj D jzj2 C jwj2 C 2jzjjwjD
D .jzj C jwj/2

Evidentemente, si z D0 o si w D0, se verifica la igualdad. Supongamos que z ¤0 y w ¤0. De lo
anterior deducimos que se verifica la igualdad jz C wj D jzj C jwj si, y sólo si, Re zw D jzwj,
esto es, si zw 2 RC, o lo que es lo mismo zw D donde 2 RC. Esta igualdad, puede
escribirse de forma equivalente, multiplicando por w, como zjwj2 D w; y dividiendo ahora
por jwj2, obtenemos z D w para algún 2 RC, lo que quiere decir que z y w están en una
misma semirrecta a partir del origen.

Observación. Para expresar un cociente de complejos en forma cartesiana se multiplica nume-
rador y denominador por el conjugado del denominador:

u C iv .u C iv/.x iy/ ux C vy vx uy
x C iy D D x2 C y2 C i x2 C y2 :
x2 C y2

3.3.1. Forma polar y argumentos de un número complejo

El uso de coordenadas polares en el plano facilita mucho los cálculos con productos de
números complejos. Para cualquier número complejo z D x C iy ¤ 0 podemos escribir


xy

z D jzj C i
jzj jzj

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Forma polar y argumentos de un número complejo 71


xy
Como ; es un punto de la circunferencia unidad, puede escribirse en la forma
jzj jzj


xy
; D .cos #; sen #/
jzj jzj

para algún número # 2 R. Resulta así que

z D jzj.cos # C i sen #/

Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de forma polar, cuya interpre-
tación gráfica vemos en la figura (3.3).

Y

jzj

#
X

Figura 3.3. Forma polar de un número complejo

Dado z 2 C, z ¤ 0, hay infinitos números t 2 R que verifican la igualdad z D jzj.cos t; sen t/
cualquiera de ellos recibe el nombre de argumento de z. El conjunto de todos los argumentos
de un número complejo no nulo se representa por Arg.z/.

Arg.z/ D ft 2 R W z D jzj.cos t C i sen t/g

Observa que

()
cos.t/ D cos.s/
s; t 2 Arg.z/ ” ” s D t C 2k para algún k 2 Z
sin.t/ D sin.s/

Por tanto, conocido un argumento t0 2 Arg.z/ cualquier otro es de la forma t0 C2k para algún
k 2 Z, es decir, Arg.z/ D t0 C 2 Z.

De entre todos los argumentos de un número complejo z¤0 hay uno único que se encuentra
en el intervalo  ; , se representa por arg.z/ y se le llama argumento principal de z. No es
difícil comprobar (véase el ejercicio resuelto (28)) que el argumento principal de z Dx Ciy ¤0

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Observaciones a la definición de argumento principal 72

arg.z/ D arc tg.y=x/ C
2
w D x C iv
arg.z/ D arc tg.y=x/


z D x C iy 2

arg.z/ D arc tg.y=x/

Figura 3.4. Argumento principal

viene dado por: 8

<ˆˆˆˆˆˆar c =tg2.ys=ixy/< si y < 0, x < 0
0, xD 0

arg.z/ D ˆˆ:ˆˆˆˆaa rr=cc2ttgg..syyi y==xx>// si x > 0
0, x D 0
C si y > 0, x < 0

Igualdad de dos números complejos en forma polar

Para que dos números complejos escritos en forma polar z D jzj.cos # C i sen #/ y

w D jwj.cos ' C i sen '/, sean iguales es condición necesaria y suficiente que los módulos

sean iguales jzj D jwj, y los argumentos sean iguales, Arg.z/ D Arg.w/, y ésta condición

equivale a que # ' sea un múltiplo entero de 2 .

jzj D jwj
# ' D 2m .m 2 Z/
jzj.cos # C i sen #/ D jwj.cos ' C i sen '/ ”

3.3.2. Observaciones a la definición de argumento principal

Puede parecer un poco extraña la forma de elegir el argumento principal de un número
complejo. La elección que hemos hecho supone que medimos ángulos en el semiplano superior
de 0 a y en el semiplano inferior de 0 a .

Fíjate que si tomas un número complejo que esté situado en el tercer cuadrante z D x C iy
con x < 0; y < 0 y supones que y es próximo a 0, su argumento principal está próximo a

, y si tomas un número complejo que esté situado en el segundo cuadrante, w D x C iv
con x < 0; v > 0, y supones que v es próximo a 0, su argumento principal está próximo a .
Además, la distancia jw zj D jv yj D v y es tan pequeña como quieras. Esto nos dice que
el argumento principal tiene una discontinuidad en el eje real negativo: salta de a cuando
atravesamos dicho eje desde el tercer al segundo cuadrante.

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Observaciones a la definición de argumento principal 73

Peor todavía dirás. Hasta cierto punto. Primero, la discontinuidad es inevitable. Si quere-

mos elegir argumentos en un intervalo de longitud 2 , digamos Œ˛; ˛ C 2 Œ, entonces dichos
argumentos saltan de ˛ a ˛ C 2 cuando atravesamos la semirrecta .x; y/ D .cos ˛; sen ˛/,
. > 0/. En particular, si tomamos argumentos en el intervalo Œ0; 2 Œ (cosa que, a primera

vista, parece lo razonable) nos encontramos con que entonces se produce una discontinuidad

de dichos argumentos en el eje real positivo. Bien, sucede que la extensión a C de algunas
funciones definidas en RC (el logaritmo, las raíces) hace intervenir el argumento principal.
Naturalmente, queremos que dichas extensiones sigan siendo continuas en RC y ello justifica

que tengamos que tomar argumentos principales de la forma en que lo hemos hecho: porque
preferimos introducir una discontinuidad en R a perder la continuidad en RC.

3.3.2.1. Fórmula de De Moivre

Veamos cómo la forma polar permite hacer fácilmente productos de números complejos.
3.5 Proposición. Sean z, w conplejos no nulos, # 2 Arg.z/ y ' 2 Arg.w/. Entonces se verifica
que # C ' 2 Arg.zw/.

Demostración. Tenemos que

z D jzj.cos # C i sen #/
w D jwj.cos ' C i sen '/

Usando ahora las igualdades (2.4) y (2.5), obtenemos:

zw D jzjjwj.cos # C i sen #/.cos ' C i sen '/D
D jzwjŒ.cos # cos ' sen # sen '/ C i.sen # cos ' C cos # sen '/D
D jzwj.cos.# C '/ C i sen .# C '//

Lo que nos dice que # C ' 2 Arg.zw/.

Hemos probado que para multiplicar dos números complejos se multiplican sus módulos y
se suman sus argumentos.

Así pues, el producto de dos números complejos es geométricamente un giro (pues se
suman los argumentos de los números que estamos multiplicando) seguido de una homotecia
(el producto de los módulos de ambos números).

Observa que, como consecuencia de la proposición (3.5), tenemos que arg z C arg w 2
Arg.zw/; es decir, arg z C arg w es un argumento de zw, pero lo que no podemos afirmar es
que arg z C arg w sea igual al argumento principal de zw. Naturalmente, esto ocurrirá cuando

< arg z C arg w 6 .

arg z C arg w D arg.zw/ ” < arg z C arg w 6 (3.7)

La siguiente igualdad, muy útil, conocida como fórmula de De Moivre, se demuestra fácilmente
por inducción a partir de la proposición (3.5).

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Raíces de un número complejo 74

3.6 Proposición (Fórmula de De Moivre). Si z es un complejo no nulo, # es un argumento
de z y n es un número entero, se verifica que n# 2 Arg.z n/, es decir:

z n D jzj.cos # C i sen #/ n D jzjn.cos n# C i sen n#/; # 2 Arg.z/; n 2 Z (3.8)

3.3.3. Raíces de un número complejo

Se trata ahora de resolver la ecuación wn D z donde n es un número natural, n > 2, y z ¤ 0
es un número complejo conocido. Escribamos w en forma polar:

w D jwj.cos ' C i sen '/

Ahora, usando la fórmula de De Moivre, podemos escribir la ecuación wn D z en la forma

equivalente:

wn D jwjn.cos n' C i sen n'/ D jzj.cos # C i sen #/

Donde # D arg z. Estapigualdad se da cuando jwjn D jzj y n' D # C 2k donde k 2 Z.
Deducimos que jwj D n jzj (ojo: se trata de la raíz n–ésima de un número positivo, cosa ya

conocida). Ahora bien, para cualquier número 'k de la forma 'k D .# C 2k /=n tenemos un

número complejo p
wk D n jzj.cos 'k C i sen 'k/

tal que .wk/n D z. Como una ecuación polinómica de grado n no puede tener más de n solu-
ciones, se sigue que distintos valores de k deben dar lugar al mismo número wk. Veamos:

wk D wq , 'k 'q D 2m , k q D nm

Es decir, si k y q dan el mismo resto al dividirlos por n entonces wk D wq. Deducimos que
para k D 0; 1; 2; : : : ; n 1 obtenemos wk distintos y cualquier otro wq es igual a uno de ellos.
Por tanto hay n raíces n–ésimas distintas de z.

Hemos obtenido que las n raíces n–ésimas de z vienen dadas por


arg z C 2k arg z C 2k
zk D jzj1=n cos C i sen k D 0; 1; 2; : : : ; n 1 (3.9)
nn

Observa que definiendo u D cos.2 =n/ C i sen.2 =n/, los números u0 D 1; u; u2; : : : ; un 1
son las raíces n–ésimas de la unidad. Podemos escribir las raíces n–ésimas de z en la forma
z k D z 0 uk . Como multiplicar por u es un giro de amplitud 2 =n, deducimos que las n raí-
ces de z se obtienen girando la raíz n–ésima principal, z0, con giros sucesivos de amplitud

2 =n. Es decir, si representamos todasplas raíces n–ésimas de z obtenemos n puntos sobre una
circunferencia de centro .0; 0/ y radio n jzj que forman un polígono regular de n lados.

p
De entre todas las raíces n–ésimas de z vamos a designar con el símbolo n z a la raíz

n-ésima principal, que está definida por

p D jzj1=n arg z C i sen arg z (3.10)
nz cos
nn

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Raíces de un número complejo 75

Figura 3.5. Raíces novenas de la unidad

Observa que arg p D arg z y, en consecuencia:
nz
n

< arg p 6 (3.11)
n nz n

Además, la raíz n-ésima principal de z es la única de las raíces n-ésimas de z cuyo argumento
principal está en el intervalo  =n; =n. Dicho de otra forma, la raíz n-ésima principal de
un número complejo está situada en una región angular, simétrica con respecto al eje real y de
amplitud 2 =n, que incluye a su borde superior pero no incluye a su borde inferior.

3.3.3.1. Notación de las raíces complejas

Observa que en el caso particular de que z sea un número real positivo, entonces la raíz

principal de z (considerado como número complejo) coincide con la raíz de z (considerado
como número real positivo). Es decir, acabamos de extender la función raíz n-ésima de RC a
todo C conservando el significado que esa función tenía en RC. Observa, sin embargo, que si

x 2 R y n es impar, la raíz real de orden n de x no coincide con el valor principal de la raíz

de orden n de x considerado como número complejo. Este pequeño inconveniente no es tal si

tenemos claro dónde estamos trabajando si en R o en C; esto es, si cuando n es impar estamos

considerando funciones raíces n-ésimas definidas en R, o si estamos considerando dichas fun-

ciones definidas lneaúnrmaCíez.rOocúbrbesiaeclravnaceogqmauteoivpuoanrhaaafynunqpcuaierónnteonreheaarly,cuyciodp3nafduos1.ióDPnocarolegsj.ue nm=ap,3ls/ooC,lap3imseen1nt.De c=u3a1/nccduuoaannnddeoos
impar y x es un
consideramos a

consideramos a la raíz cúbica como función compleja. Programas depcálculo simbólico, como
Mathematica, siguen precisamente este convenio y usan la notación n z para el valor principal

de la raíz n-ésima del número complejo z.

Mucho peor es lo que ocurre cuando se usan notaciones disparatadas como suele hacerse
en muchos libros de texto. Como es posible que te las encuentres, convpiene que sepas a qué ate-
nerte. El hecho es que en muchos textos se representa con el símbolo n z el conjunto formado
por todas las raíces n-ésimas del número complejo z. Pues bueno. . . ¡acabamos de perder la
función raíz n-ésima real y compleja! Porque, digo yo, si hemos de ser coherentes, habrá que

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Raíces de un número complejo 76

entender que 2p7 1 ya no vale 1 sino que es un conjunto formado por 27 números complejos. Y
Pceltiasaeosarnrrqecfeuoagaedrlhmaaops3areaql2oeuembdesteceecbrnnoiebetnomioerncdoqeteseumlnetcoodopdse5nrops2jsueap5rnlacot1ooslmaDeps5olerp25amuí2npce?eoncsrt¿oorEcnseasjauddlunaeentsoeapy5leidag2meun?ea3i¿nlsdCteioaqlóedumdmieeeoenlrnatchrtoepoanuyscjeouyqdnnuejpt7enuon3sftpou5ocrmso1m?mayur¿olDacarohuesmonbere.pacm¿roQopon3bsjuu2aémrnCstuqoeluntpdei7tpied3dlio7e?-
elementos.

Estos ejemplos te habrán convencido de lo disparatado de esta forma de proceder. Pero hay

más dispparates. Alguien puede argumentar que todo esto se arregla interpretando que cuando z
es real, n z, reprepsenta siempre la raíz n-ésima real del número z. Bueno, pero esto no arregla el
disparatepde que n z no es una función, porque todavía persiste el hecho de que para z complejo
no real, n z no es un número sino un conjunto de n números complejos. Lo peor de todo esto

es que lops autores que cometen estos disparates ni siquiera son conscientes de ellos, y usan el
símbolo n z en sucesiones, límitpes o integrales como si de una función usual se tratara. Habría
que decirles p¡noziga! si para usted n z son n números, ¿qué significado tiene una expresión como
lKımn!1 n 1/? Pues eso, ni se dan cuenta.

p
Finalmente, observa que en la definición (3.10) de n z interviene el argumento principal,

arg.z/. Por la definición dada de argumento principal, tenemos que < arg z 6 y, como

ya hemos visto anteriormente, se produce una discpontinuidad del argumento principal en el eje
real negativo y, en consecuencia, la función z !7 n z es discontinua en el eje real negativo. Te

informo que no hay que preocuparse mucho por esta discontinuidad, de hecho es muy útil y,

entre otras cosas, sirve para contar ceros de funciones. Lo que quiero es llamarte la atención

sobre lo que ocurre cuando spe elige el argumento principal en en el intervalo Œ0; 2 Œ. Cuando
se hace así, la función z !7 n z resulta ser discontinua en el eje real positivo. Mala cosa; con
esa elección para el argumento principal, una función que era continua en RC, al extenderla a
C ya no es continua en RC.

pp p
3.3.3.2. La igualdad n z n w D n zw

En general, no es cierto que, dados dos números complejos z y w, el producto de las

raíces n-ésimas principales de z y de w sea igual a la raíz n-ésima principal de zw. Lo

que, evidentemente, sí es cierto es que el productpo dpe dos raíces n-ésimas cualesquiera de
z y de w es una raíz n-ésima de zw. Por tanto, n z n w, es una raíz n-ésima de zw pero

npo tpiene por qué ser la principal. Vamos a ver qué condiciones deben cumplirse para que
n z n w sea lpa rapíz n-ésima principal de zw. Para ello, bastará con exigir que el argumento
principal de n z n w esté en el intervalo  =n; =n. Como suponemos que n es un nú-

arg z arg w
mero natural n > 2, tenemos que < C 6 y, por (3.7), deducimos que
argnw n
arg pp D arg z C arg w D arg z C . Tenemos que:
nznw
nn n

pp arg z C arg w i i
nznw D n; n ”
arg n 2 < arg z C arg w 6

Hemos probado que

pn z pn w D pn zw ” < arg.z/ C arg.w/ 6

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Ejercicios propuestos 77

Por ejemplo, si los números z y w están en el semiplano de la derecha, es decir, Re z > 0,

Re w > 0, entonces =2 < arg.z/ < p=2py =2p< arg.w/ < =2; por tanto en este caso
arg.z/ C arg.w/ D arg.zw/ por lo que n z n w D n zw. En particular, esto es cierto cuando
z; w 2 RC. Por tanto, no perdemos ninguna de las propiedades de las raíces reales positivas

al extender las raíces a C.

En el caso en que n D 2, z D w D 1, tenemos que arg. 1/ C arg. 1/ D 2 , y no se

cumple la condición anterior. En este caso

pp pp
1 1 D 1 ¤ 1 D 1 D . 1/. 1/

pp
es decir 1 1 D 1 es una raíz cuadrada de 1 D . 1/. 1/ pero no es la raíz cuadrada

principal de 1. Ahora ya sabes dónde está el error en lo que sigue:

1 D i2 D i i D p p p 1/. p
1 1D . 1/ D 1 D 1

3.3.4. Ejercicios propuestos

73. Realiza las operaciones indicadas y expresa el resultado en la forma a C i b.

i) .7 2i /.5 C 3i / ii) .i 1/3 3Ci
iii) .1 C i/.2 C i/.3 C i/ iv)
2Ci
.4 i/.1 3i/ vi) .1 C i / 2 vii) 1 C 2i
v) viii) i 2.1 C i /3
1 C 2i 2i

74. Calcula la parte real e imaginaria de las funciones:

a) f1.z/ D z2 b) f2.z/ D z3 1 1 zCi
c) f3.z/ D z d) f .z/ D 1 C z2 e) f4.z/ D z i

75. Calcula las siguientes cantidades.

a) j.1 C i/.2 i /j b) ˇˇˇˇ 4 i p3i ˇˇˇˇ c) j.1 C i /20j pp
2 5 d) j 2 C i. 2 C 1/j

76. Calcula los números complejos z tales que 1Cz es:

1z

a) Un número real; b) Un número imaginario puro.

77. Expresa en forma polar los siguientes números complejos.

pp 3Ci p
3 1Ci 3
a) 3 i b) c) p d) .1 C i /2
3Ci

78. Expresa los siguientes números en la forma a C i b:

a) . 1 C i p3/11 1 C i 5 c) p !6 d) . p C i /13
b) 1Ci 3 3

1i 1i

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