Ejercicios propuestos 78
79. Prueba que para z 2 C n R o el argumento principal viene dado por
arg z D 2 arc tg Im z
Re z C jzj
Sugerencia. Ver el ejercicio resuelto (22).
z
80. Calcula arg.zw/ y arg w supuestos conocidos arg z y arg w.
81. Supuesto que jzj D 1, prueba que
( =2 si Im z > 0
z1
arg z C 1 D =2 si Im z < 0
82. Sea z D x C i y. Supuesto que jzj D 1, z ¤ 1, z ¤ i, prueba que
( si 1 x C y > 0
z1 =4 si 1 x C y < 0
arg z C i D 3 =4
83. Resuelve la ecuación cuadrática az2 C bz C c D 0 donde a; b; c, son números complejos
conocidos y a ¤ 0.
84. Calcula todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) z3 D 1 C i b) z4 D i c) z3 D p d) z8 D 1 e) z2 C 2i z p
1Ci 3 3i D 0
85. Prueba que si una ecuación polinómica con coeficientes reales admite una raíz compleja,
z, entonces también admite como raíz a z. Da un ejemplo de una ecuación polinómica
de grado mayor que 1 que tenga como raíz compleja 1 C i pero no admita como raíz a
1 i.
86. Calcula las soluciones de las ecuaciones: b) z4 C .5 C 4i /z2 C 10i D 0
a) z4 C 2z3 C 7z2 18z C 26 D 0I
Sugerencia. El número 1 C i es raíz de la ecuación del apartado a).
87. Demuestra la llamada “igualdad del paralelogramo”:
jz C wj2 C jz wj2 D 2.jzj2 C jwj2/ .z; w 2 C/
y explica su significado geométrico.
88. Dados dos números complejos ˛ y ˇ, calcula el mínimo valor para z 2 C de la cantidad
jz ˛j2 C jz ˇj2:
Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.
89. Prueba que ˇˇˇ z a ˇˇˇ <1 si jzj < 1 y jaj < 1 y también si jzj > 1 y jaj > 1.
1 az
Sugerencia: Una estrategia básica para probar desigualdades entre módulos de números
complejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 79
90. Sea w un número complejo de módulo 1. Expresa los números w 1 y w C 1 en forma
polar.
91. Sea x un número real que no es múltiplo entero de 2 . Prueba las igualdades
n C 1
sen x
n x sen 2x
a) 1 C cos x C cos 2x C C cos nx D cos 2
n 2 1
C
n sen x
b) sen x C sen 2x C C sen nx D sen x 2x
2 sen 2
Sugerencia: Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, calcula A C iB ha-
ciendo uso de la fórmula de De Moivre.
92. Calcula una fórmula para la suma
XN
cos.2k t/ C i sen.2k t/
kD N
(tu respuesta debería de ser un cociente de senos).
93. Sea n 2 N, n > 2 y w D cos 2 Ci sen 2 número entero m 2 Z, calcula el
n . Dado un
valor de las expresiones:
n
1. 1 C wm C w2m C C w.n 1/m;
2. 1 wm C w2m C . 1/n 1w.n 1/m.
96. Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que:
1. sen 3' D 3 sen ' 4 sen3'.
2. cos 4' D 8 cos4' 8 cos2' C 1.
3. sen 5' D 5 sen ' 20 sen3' C 16 sen5'.
97. Representa gráficamente los conjuntos de números complejos z que verifican:
jz 3j 6 3I 2i jI 2ˇˇˇˇ zz<Cjz2ii ˇˇˇˇ ij 6 3I jarg zj < =6I jz i j C jz C ij D 4
jz 1j D jz D 2I Im.z2/ > 6I jz i j D Im z C 1
98. Encuentra los vértices de un polígono regular de n lados si su centro se encuentra en el
punto z D 0 y uno de sus vértices z1 es conocido.
99. Resuelve la ecuación .z 1/n D .z C 1/n, donde z 2 C y n 2 N, n > 2.
100. Sea jz1j D jz2j D jz3j D 1. Prueba que z1, z2, z3 son vértices de un triángulo equilátero
si, y sólo si, z1 C z2 C z3 D 0.
101. Si 0 6 arg w arg z < , prueba que el área del triángulo de vértices 0, z y w viene dada
1
por 2 Im.zw/.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 80
3.3.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
z
Ejercicio resuelto 24 Calcula la parte real e imaginaria de 1 C z2 donde z 2 C n fi; ig.
Solución. Todo lo que hay que hacer es realizar las operaciones indicadas. Pongamos
para ello z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que
z x iy x iy .x iy/.1 C x2 y2 2xyi /
1 C z2 D 1 C .x C iy/2 D 1 C x2 y2 C 2xyi D .1 C x2 y2/2 C 4x2y2 D
x C x3 3xy2 C i . y 3x2y C y3/
D .1 C x2 y2/2 C 4x2y2 D
D .1 xC x3 3xy2 C i .1 C y 3x2y C y3
C x2 y2/2 C 4x2y2 x2 y2/2 C 4x2y2
Luego
x C x3 3xy2 y 3x2y C y3
z z y2/2 C 4x2y2
Re 1 C z2 D .1 C x2 y2/2 C 4x2y2 ; Im 1 C z2 D .1 C x2
©
Ejercicio resuelto 25 Calcula ˇˇˇˇˇ .2 C p pC i p3/3 ˇˇˇˇˇ.
i 5/.1 3
p
5Ci
Solución. Como lo que nos piden es el módulo no es preciso realizar las operaciones indi-
cadas. Basta tener en cuenta que el módulo de un producto es el producto de los módulos
y, por tanto, el módulo de un cociente es el cociente de los módulos. En consecuencia:
ˇˇˇˇˇ .2 C i p C i p3/3 ˇˇˇˇˇ ˇˇ2 C i p ˇˇˇˇ1 C i p ˇˇ3 p
5/.1 5 3 62
pp D ˇˇp5 p ˇˇ D
5Ci 3 C i 3
©
2z i
Ejercicio resuelto 26 Calcula los números complejos z tales que w D 2 C iz es
a) Un número real;
b) Un número imaginario puro.
Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que
2x C i .2y 1/ .2x C i .2y 1//.2 y i x/ 3x C i . 2x2 2y2 C 5y 2/
wD D D
2 y C ix .2 y/2 C x2 .2 y/2 C x2
Por tanto, w es real si, y sólo si
2x2 2y2 C 5y 2 D 0 ” x2 C .y 5=4/2 D 9=16
Es decir, z está en la circunferencia de centro .0; 5=4/ y radio 3=4.
Análogamente, w es imaginario puro si, y sólo si, x D 0, es decir, z está en el eje imagi-
©
nario.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 81
Ejercicio resuelto 27 Calcula los números complejos z tales que w D z 1 i
zC1Ci
a) Es un número real;
b) Tiene módulo 1.
Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Tenemos que
z1 i x 1 C i.y 1/ x 1 C i.y 1/ x C 1 i.y C 1/
w D zC1 Ci D xC 1 C i.y C 1/ D D
.x C 1/2 C .y C 1/2
x2 C y2 2 C i .2y 2x/
D .x C 1/2 C .y C 1/2
Por tanto, w es real si, y sólo si, y D x ¤ 1, es decir, z está en la bisectriz de los
cuadrantes primero y tercero y z ¤ .1 C i/.
Es claro que jwj D 1 si, y sólo si
jz 1 i jDjz C 1 C i j ” .x 1/2 C.y 1/2 D.x C1/2 C.y C1/2 ” x Cy D0
Es decir, z está en la bisectriz de los cuadrantes segundo y cuarto. ©
Ejercicio resuelto 28 Comprueba que el argumento principal de z D x C iy ¤ 0 viene dado
por 8
ˆˆ<ˆˆˆˆar c =tg2.ys=ixy/< si y < 0, x < 0
0, xD 0
# D ˆˆˆˆ:ˆˆ aarr=cc2ttggs..yyi y==xx>// si x > 0
0, x D 0
C si y > 0, x < 0
Solución. Teniendo en cuenta que para t < 0 es =2 < arc tg t < 0 y para 0 6 t
es 0 6 arc tg t < =2, se sigue que el número # definido por las igualdades anteriores
verifica que < # 6 . Por tanto, para probar que # Darg.z/ bastará que comprobemos
la igualdad z D jzj.cos # C i sen #/, es decir, las igualdades x D jzj cos #, y D jzj sen #.
Para # D , # D =2 y # D =2 dichas igualdades son evidentes.
Sea x > 0 en cuyo caso # Darc tg.y=x/. En este caso, como =2 < # < =2, tenemos
que tg # D y=x y deducimos
1 D 1 C tg2 # D1C y2 D x2 C y2 ÷x2 D .x2 C y2/ cos2 #÷x D jzj cos #
cos2 # x2 x2
donde, en la última implicación, hemos tenido en cuenta que x > 0 y cos # > 0. Dedu-
cimos también que x
y D x tg # D cos # sen # D jzj sen #
Consideremos x < 0 e y > 0. Tenemos que =2 < # D arc tg.y=x/ C < , por
lo que =2 < # < 0, y deducimos tg # D tg.# / D y=x. Razonando como
antes obtenemos que x2 D .x2 C y2/ cos2 #. Como x < 0 y cos # < 0, se sigue que
x D jzj cos #. De esta igualdad deducimos, al igual que antes, que y D jzj sen #.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 82
Consideremos x < 0 e y < 0. Tenemos que < # D arc tg.y=x/ < =2, por
lo que 0 < # C < =2, y deducimos tg # D tg.# C / D y=x. Razonando como en
©
el caso anterior volvemos a obtener las igualdades x D jzj cos #, y D jzj sen #.
Ejercicio resuelto 29 Expresa en forma polar los siguientes números complejos.
p
3Ci 1p
a) 1Ci b) 1Ci c) 1Ci 3
Solución. a) Tenemos que arg. 1 C i/ D arc tg. 1/ C D 3 =4, por lo que
p
1 C i D 2 cos.3 =4/ C i sen.3 =4/
b) Tenemos que
pp p =6 C D 5 =6
arg. 3 C i/ D arc tg. 1= 3/ C D arc tg.1= 3/ C D
arg.1 C i/ D arc tg.1/ D =4 ÷ arg 1 D =4
1Ci
5 7 p!
deducimos que D 2 Arg 3Ci
6 4 12 . Por tanto
1Ci
p p
3Ci D2 cos.7 =12/ C i sen.7 =12/
1Ci
pp p
c) arg. 1 C i 3/ D ar c tg. 3/ C D arc tg. 3/ C D =3 C D 2 =3, por
lo que arg 1 p D 2 =3. Por tanto
1Ci 3
1p D1 cos. 2 =3/ C i sen.
1Ci 3 2 2 =3/
©
z
arg
Ejercicio resuelto 30 Calcula arg.zw/ y w supuestos conocidos arg z y arg w.
Solución. Sabemos que arg z C arg w 2 Arg.zw/; además 2 < arg z C arg w 6 2 .
Tenemos las siguientes posibilidades:
2 < arg z C arg w 6 ÷0 < arg z C arg w C 2 6 ÷
÷ arg.zw/ D arg z C arg w C 2
< arg z C arg w 6 ÷ arg.zw/ D arg z C arg w
< arg z C arg w 6 2 ÷ < arg z C arg w 2 60÷
÷ arg.zw/ D arg z C arg w 2
Para calcular arg z se procede de forma análoga teniendo en cuenta ahora que
wz ©
arg z arg w 2 Arg y que 2 < arg z arg w < 2 .
w
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 83
Ejercicio resuelto 31 Calcula los números complejos z tales que w D 2z 1
z2
a) Tiene argumento principal igual a =2;
b) Tiene argumento principal igual a =2.
Solución. Pongamos z D x C iy con x; y 2 R. Como
2z 1 2x 1 C 2yi .2x 1 C 2yi /.x 2 iy/ 2x2 C 2y2 5x C 2 3yi
DD D
z 2 x 2 C iy .x 2/2 C y2 .x 2/2 C y2
deducimos que arg w D =2 si, y sólo si, 2x2 C 2y2 5x C 2 D 0 e y < 0. Como
2x2 C 2y2 5x C 2 D 0 ” .x 5=4/2 C y2 D 9=16
deducimos que arg w D =2 cuando z está en la semicircunferencia de centro .5=4; 0/ y
radio 3=4 que está contenida en el semiplano inferior. También También deducimos que
arg w D =2 cuando z está en la semicircunferencia de centro .5=4; 0/ y radio 3=4 que
©
está contenida en el semiplano superior.
Ejercicio resuelto 32 Resuelve la ecuación cuadrática az2 C bz C c D 0 donde a; b; c, son
números complejos conocidos y a ¤ 0.
Solución. Tenemos que
az2 C bz C c D 0 ” z2 C b z C c D0 ” b 2 c b2
zC C 4a2 D 0
aa 2a a
b 2
” zC b2 4ac D0
4ac # "
" 2a 4a2 b p #
b p zC C b2 4ac D0
” zC b2
2a
2a 2a 2a
8 p 4ac
<ˆˆz D b C b2 4ac
” ˆˆ:z D
p2a
b b2
2a
Las dos soluciones obtenidas suelen expresarse en la forma 4ac
p
az2 C bz C c D 0 ” z D b ˙ b2
2a
Observa que hemos seguido el mismo procedimiento que en el caso real1. Debes entender
bien la igualdad p
z D b ˙ b2 4ac (3.12)
2a
p
Aquí b2 4ac es un númerpo complejo (en particular, puede ser real), b2 4ac es su
raíz cuadrada principal y b2 4ac es la otra raíz cuadrada (todo número complejo
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 84
tiene dos raíces cuadradas: la principal y su opuesta). Aquí no hay positivos ni negativos,
ni nada parecido ¡estamos trabajando con números complejos! Comento esto para volver
a insistir en que los símbolos C y tienen un carácter puramente algebraico: no indican
positivo y negativo.
En general, para resolver ecuaciones con números complejos no es buena estrategia se-
parar la ecuación en su parte real y su parte imaginaria y resolver éstas por separado, sino
que debes trabajar con la variable compleja z. No olvides que con los números comple-
jos puedes hacer las mismas operaciones que con los números reales y algunas más que
no siempre puedes hacer con los números reales, como extraer raíces y otras que pronto
©
estudiaremos.
Ejercicio resuelto 33 Calcula las soluciones de la ecuación z4 C .1 C i/z2 C 5i D 0.
Solución. Poniendo w D z2, la ecuación queda w2 C .1 C i/w C 5i D 0, cuyas soluciones
son
pp
.1 C i / ˙ .1 C i /2 20i .1 C i / ˙ 18i
DD
2 p2
.1 C i/ ˙ 18.cos. =4/ C i sen. =4//
DD
p p p2
D .1 C i/ ˙ 18.1= 2 i= 2/ D .1 C i/ ˙ 3.1 i/ D 1 2i
22 2Ci
pp
Las soluciones de la ecuación dada son las raíces ˙ 1 2i y ˙ 2 C i. Tenemos que
arg.1 2i/D arc tg 2 y arg. 2Ci/D arc tg.1=2/. Usando que cos.xC =2/D sen x
y sen.x C =2/ D cos x, obtenemos:
p 2i D ˙p4 5 arc tg 2
˙1 arc tg 2 i sen
2
cos arc
2
p ˙p4 5 arc tg.1=2/ tg.1=2/
˙ sen
2 C i D C i cos
22
Observa que las soluciones son números complejos pero no son complejos conjugados.
©
La ecuación dada tiene coeficientes complejos.
Ejercicio resuelto 34 Calcula las soluciones de las ecuaciones:
a) z4 C 2z3 C 7z2 18z C 26 D 0I b) z4 C .5 C 4i /z2 C 10i D 0
Sugerencia. El número 1 C i es raíz de la ecuación del apartado a).
Solución. Haremos el apartado a). Para ello usaremos un resultado, que se supone que
debes conocer, según el cual si un polinomio P .x/ se anula para un valor ˛, P .˛/ D 0,
entonces es divisible por x ˛, es decir P .x/D.x ˛/Q.x/ donde Q.x/ es un polinomio
de un grado menor que P .x/.
1Antes, en la enseñanza media se resolvía la ecuación ax2 C bx C c D 0 donde a; b; c son números reales, igual
que lo hemos hecho aquí. He comprobado que ahora los estudiantes llegan a la Universidad sin saberla resolver.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 85
Como la ecuación dada es polinómica con coeficientes reales y nos dicen que 1 C i
es raíz, también es raíz 1 i. Por tanto, el polinomio dado debe de ser divisible por
.z .1 C i//.z .1 i// D z2 2z C 2. Haciendo la división, obtenemos que
z4 C 2z3 C 7z2 18z C 26 D .z2 C 4z C 13/.z2 2z C 2/ ©
Lo que queda ya es inmediato.
Ejercicio resuelto 35 Demuestra la llamada “igualdad del paralelogramo”:
jz C wj2 C jz wj2 D 2.jzj2 C jwj2/ .z; w 2 C/ (3.13)
y explica su significado geométrico.
Demostración. Basta realizar las operaciones indicadas. Tenemos que:
jz C wj2 D .z C w/.z C w/ D zz C ww C zw C zw D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/
(3.14)
jz wj2 D .z w/.z w/ D zz C ww zw zw D jzj2 C jwj2 2 Re.zw/
(3.15)
Sumando estas igualdades se obtiene la igualdad del enunciado. Su significado geomé-
trico es que la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un paralelo-
©
gramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados.
w zCw
w
z
z
Figura 3.6. Igualdad del paralelogramo
Ejercicio resuelto 36 Dados dos números complejos ˛ y ˇ, calcula el mínimo valor para
z 2 C de la cantidad jz ˛j2 C jz ˇj2:
Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.
Solución. La sugerencia y un poco de intuición deben ser suficientes para hacer este
ejercicio. La intuición lo que dice es que el punto que buscamos debe ser la el punto
medio del segmento de extremos ˛ y ˇ, es decir el punto u D ˛Cˇ
. Ahora debemos
2
relacionar la cantidad que nos dan con jz uj. Usando la igualdad del paralelogramo
(3.13) con z sustituido por z ˛ y w por z ˇ y escribiéndola de derecha izquierda,
tenemos que 2 jz ˛j2 C jz ˇj2 D j2z ˛ ˇj2 C jˇ ˛j2
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 86
de donde ˇj2 D 2 ˇˇˇˇz ˇˇˇˇ2
jz ˛j2 C jz ˛ C ˇ C 1 ˛j2
2 jˇ
2
Deducimos que jz ˛j2 C jz ˇj2 > 1 jˇ ˛j2 para todo z 2 C y la igualdad se da si,
2
˛ C ˇ
y sólo si, z D 2 .
Ejercicio resuelto 37 Prueba las desigualdades:
a) jjzj jwjj 6 jz wj ˇˇˇˇ z C w ˇˇˇˇ
b) jz C wj > 1 .jzj C jwj/ jzj jwj
2
donde z; w son números complejos no nulos. Estudia también cuándo se da la igualdad
en cada una de dichas desigualdades.
Sugerencia. Una estrategia básica para probar desigualdades entre módulos de números
complejos consiste en elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad.
Solución. Siguiendo la sugerencia, es muy fácil hacer el apartado a). Haremos el apartado
b). Siguiendo la sugerencia, elevamos al cuadrado y comprobamos que la diferencia es
positiva.
jz C wj2 1 .jzj C jwj/2 ˇˇˇˇ z C w j ˇˇˇˇ2 D
4 jzj jw
1 .jzj2 C jwj2 C 2jzjjwj/ Re.zw/
D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/ 2C2 D
4 jzjjwj
D jzj2 C jwj2 C 2 Re.zw/ 1 jzj2 1 jwj2 jzjjwj 1 jz j2 C jwj2 C Re.zw/ D
2jzjjwj
22 2 jzjjwj
D 1 .jzj2 C jwj2 2jzjjwj/ C 2 Re.zw/ jzjjwj 1 jz j2 C jw j2 C Re.zw/ D
2jzjjwj
2 jzjjwj 2 jzjjwj
1 jwj/2 1 jzj2 C jwj2 2jzjjwj Re.zw/ D
D 2 .jzj
2 jzjj wj
D 1 .jzj jwj/2 1 Re.zw/
2 jzjjwj > 0
Porque Re.zw/6jzwjDjzjjwj. La igualdad se da si, y sólo si, jzjDjwj o Re.zw/Djzwj lo
que equivale a que zw D 2 RC que equivale a que z y w estén en una misma semirrecta
a partir del origen, o sea, que tengan los mismos argumentos.
Ejercicio resuelto 38 Expresa en forma binómica los números
.1 C i /25; p C i /37; p !24
.3 1Ci 3
1Ci
Solución. Naturalmente, se trata de aplicar la fórmula de De Moivre y para ello todo lo
que hay que hacer es expresar los números en su forma polar. Consideremos el número
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 87
p p
1Ci 3
z D . Tenemos que jzj D 2 (cociente de los módulos) y un argumento de z es
1Ci
p p .arc tg. 1/ C / D 3 D 5
arg.1 C i 3/ arg. 1 C i/ D arc tg. 3/ 34 12
Por tanto
1 C p !24 .p2/24 5
1 i3 cos 5 24
Ci D 24 C i sen 12 D 212 D 4096
12
Ejercicio resuelto 39 Haciendo uso de la fórmula de De Moivre prueba que:
a) sen 3' D 3 sen ' 4 sen3'.
b) cos 4' D 8 cos4' 8 cos2' C 1.
c) sen 5' D 5 sen ' 20 sen3' C 16 sen5'.
Solución. La fórmula de De Moivre es una herramienta excelente para obtener identida-
des trigonométricas. Lo único que hay que hacer es usar la igualdad
.cos x C i sen x/n D cos.nx/ C i sen.nx/ .n 2 N; x 2 R/
Desarrollando la potencia del lado izquierdo por medio del binomio de Newton y agrupar
la parte real, que será igual a cos.nx/ y la parte imaginaria, que será igual a sen.nx/.
Por ejemplo, para n D 2 se obtiene inmediatamente que cos.2x/ D cos2 x sen2 x y
sen.2x/ D 2 sen x cos x. Haciendo n D 3 obtenemos
cos3 x C 3i cos2 x sen x 3 cos x sen2 x i sen3 x D cos.3x/ C i sen.3x/
Igualando partes imaginarias, resulta:
sen.3x/ D 3 cos2 x sen x sen3 x D 3.1 sen2 x/ sen x sen3 x D 3 sen x 4 sen3 x
Esta es la igualdad a). Las otras dos igualdades b) y c) se obtiene de forma parecida.
2 2
Ejercicio resuelto 40 Sean n 2 N, n > 2, y w D cos n C i sen . Dado un número entero,
n
m 2 Z, calcula el valor de las expresiones:
a) 1 C wm C w2m C C w.n 1/m.
b) 1 wm C w2m C . 1/n 1w.n 1/m.
Solución. Necesitamos la expresión de la suma de una progresión geométrica. Sean z un
número complejo distinto de 1 y n 2 N. Pongamos S D 1 C z C z2 C z3 C C zn.
Tenemos que
S D 1 C z C z2 C z3 C C zn 1/ D znC1 1
Sz D z C z2 C z3 C C zn C znC1 ÷S.z
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 88
Y deducimos que
1 C z C z2 C z3 C C zn D znC1 1 (3.16)
z1
La suma en a) es una progresión geométrica de razón wm. Debemos distinguir el caso en
que wm D 1, lo que ocurre cuando m es un múltiplo de n, en cuyo caso la suma en a) es
igual a n. En los demás casos, tenemos que
1 C wm C w2m C C w.n 1/m D wnm 1 D0
wm 1
En particular, haciendo mD1, deducimos que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad
©
es igual a 0. El apartado b) se hace de forma parecida.
Ejercicio resuelto 41 Sea w un número complejo de módulo 1. Expresa los números w 1
y w C 1 en forma polar.
Solución. Sea w D cos t C i sen t con t D arg.w/. Pongamos u D cos.t=2/ C i sen.t=2/.
Con lo que u2 D w y uu D 1. Tenemos que
w 1 D u2 uu D u.u u/ D 2i sen.t =2/u (3.17)
Deducimos que jw 1j D 2jsen.t=2/j. Supondremos en lo que sigue que w ¤ 1. Observa
que w 1 es producto de 3 números: el número i, cuyo argumento principal es =2,
el número u, cuyo argumento principal es t=2 y el número 2 sen.t=2/ cuyo argumento
principal es 0 cuando sen.t=2/ > 0, y cuando sen.t=2/ < 0. Un argumento de w 1
será =2 C t=2 C arg.sen.t=2//. Observa que < t 6 y t ¤ 0. Distinguiremos dos
casos:
0 < t 6 ÷ sen.t =2/ > 0÷ arg.w 1/ D C t D t C
÷
22 2
÷w 1 D 2 sen.t =2/ sen.t =2/ C i cos.t =2/
< t < 0÷ sen.t =2/ < 0÷ arg.w 1/ D C t Dt 2
22 ÷
÷w 1 D 2 sen.t =2/ sen.t =2/ i cos.t =2/
Fíjate en que si en (3.17) hacemos el producto iu y distinguimos los casos sen.t=2/ > 0
©
y sen.t=2/ < 0, obtenemos las mismas expresiones para w 1.
Ejercicio resuelto 42 Sea x un número real que no es múltiplo entero de 2 . Prueba las
igualdades
nC 1
n sen 2x x
2 x
a) 1 C cos x C cos 2x C C cos nx D cos sen
2
n C 1x
n sen 2x
x
b) sen x C sen 2x C C sen nx D sen 2
sen 2
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 89
Solución. Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, podemos calcular ACiB
haciendo uso de la fórmula de De Moivre.
Solución. Pongamos w D cos x C i sen x; u D cos.x=2/ C i sen.x=2/. Tenemos que
w ¤ 1 porque x∉2 Z.
A C iB D 1 C w C w2 C w3 C C wn D wnC1 1 wnC1 1
D (por (3.17)) D
w1 2i sen.x=2/u
Teniendo en cuenta que wnC1 Dcos sen .nC
de módulo 1 y que unC1 D cos .n .nC1/x Ci i sen .n 1/x es un número complejo
C 1/x=2 C C 1/x=2 , podemos usar la
igualdad (3.17) para obtener que:
wnC1 1 D 2i sen .n C 1/x=2 unC1
Deducimos que
nC1 nC1
sen x sen x
2x nC 1x nC 1x
ACiBDunC1 D cos 2 C i sen 2 2x
sen
sen 22
Igualando partes real e imaginaria, se obtienen las dos igualdades del enunciado. ©
Ejercicio resuelto 43 Dados dos números complejos distintos a; b 2 C, justifica que para
za
z ¤ b el número z es real si, y sólo si, z está en la recta que pasa por a y por b; y es
b
real negativo si, y sólo si, z está en el segmento que une a con b.
Solución. Sea t 2 R, t ¤ 1. Tenemos que
z a Dt ”zD a bt D a C t b/
.a
zb 1t 1t
La recta que pasa por a y b tiene la ecuación paramétrica z D a C .a b/, con 2 R,
za
por lo que la igualdad anterior nos dice que es real si, y sólo si, z está en dicha
zb
recta.
Si t < 0, la igualdad anterior puede escribirse, cambiando t por s, en la forma
za a C bs s 1
D s”zD D bC a
zb 1Cs 1Cs 1Cs
s
Lo que nos dice que z es de la forma b C .1 /a con 0 < D 1 C s < 1 pero esos
son justamente los puntos del segmento que une a con b (excluidos los extremos).
Ejercicio resuelto 44 a) Sea jz1j D jz2j D jz3j D 1. Prueba que z1, z2, z3 son vértices de
un triángulo equilátero si, y sólo si, z1 C z2 C z3 D 0.
b) Deduce de lo anterior que si el baricentro y el circuncentro de un triángulo coinci-
den, dicho triángulo debe ser equilátero.
Solución. a) Si z1, z2, z3 son vértices de un triángulo equilátero, entonces cada uno
debe estar girado un ángulo de =3 radianes respecto de otro. Sabemos que multiplicar
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 90
por un complejo, u, de módulo 1 es un giro de amplitud igual a arg.u/. Definamos u D
cos. =3/ C i sen. =3/. Los tres vértices los podemos escribir como z1, z1u, z2u2 y, por
tanto: u3
u
z1 C z2 C z3 D z .1 C u C u2 / D z 1
D0
1
Supongamos ahora que jz1jDjz2jDjz3jD1, y que z1Cz2Cz3D0. Para probar que dichos
números son vértices de un triángulo equilátero, lo que vamos a hacer es comprobar que
son las raíces cúbicas de un número complejo. Es decir, se trata de probar que hay un
número ˛ tal que z1, z2 y z3 son las raíces de la ecuación polinómica z3 ˛ D 0. Para
esto es necesario y suficiente que el producto .z z1/.z z2/.z z3/ puede escribirse
en la forma z3 ˛. Tenemos:
.z z1/.z z2/.z z3/ D z3 .z1 C z2 C z3/z2 C .z1z2 C z1z3 C z2z3/z z1z2z3D
D z3 C .z1z2 C z1z3 C z2z3/z z1z2z3
Poniendo ˛ D z1z2z3, lo que hay que probar es que z1z2 C z1z3 C z2z3 D 0. Todavía
no hemos usado la hipótesis de que jz1j D jz2j D jz3j D 1. Vamos a usarla ahora para
intentar sacar factor común en la suma z1z2 C z1z3 C z2z3 D 0 la expresión z1 C z2 C z3.
Tenemos que:
z1z2 C z1z3 C z2z3 D z3z3z1z2 C z2z2z1z3 C z1z1z2z3 D .z1 C z2 C z3/z1z2z3 D 0
Pues z1 C z2 C z3 D z1 C z2 C z3 D 0:
El apartado b) se deduce fácilmente de a) siempre que sepas lo que es el baricentro y el
©
circuncentro de un triángulo.
Ejercicio resuelto 45 Si 0 6 arg w arg z < , prueba que el área del triángulo de vértices
0, z y w viene dada por 1 Im.zw/.
2
Solución. El área de todo triángulo es la mitad de la base por la altura. En la figura
(3.7) se ha tomado como base el vector z con longitud jzj y la altura es h. Observa que
h
sen.' #/ D jwj . Por tanto
11
área D jzjh D jzjjwj sen.' #/
22
Esto ya deberías saberlo: el área de cualquier triángulo es igual a la mitad del producto
de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo que forman. Pongamos z D x C iy,
w D u C iv. Como # D arg.z/ y ' D arg.w/, tenemos que
área D 1 jzjjwj sen.' #/ D 1 jzjjwj sen.'/ cos.#/
2 2 cos.'/ sen.#/ D
1 vx uy 1 1
D jzjjwj D .vx uy/ D Im.zw/
2 jwj jzj jwj jzj 2
2
©
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Funciones elementales complejas 91
w
h
' z
#
Figura 3.7. Área de un triángulo
3.4. Funciones elementales complejas
Las funciones complejas no son más que las funciones definidas en subconjuntos de R2
con valores en R2, cuando en R2 consideramos su estructura compleja. Dado un conjunto
A C, a toda función compleja f W A ! C se le asocian dos funciones reales: la función
u D Re f “parte real de f ” y la función v D Im f “parte imaginaria de f ” definidas para todo
.x; y/ D x C iy 2 A por:
u.x; y/ D Re f .x C iy/; v.x; y/ D Im f .x C iy/
Naturalmente, f .x C iy/ D u.x; y/ C i v.x; y/.
3.4.1. La función exponencial
Definimos2 la exponencial compleja de un número z D x C i y como
exCi y D exp.x Ci y/ D ex cos y (3.18)
C i sen y
Observa que
j ez j D eRe z; Im z 2 Arg.ez/ (3.19)
En particular, obtenemos la llamada fórmula de Euler:
ei t D cos t C i sen t .para todo t 2 R/ (3.20)
que establece una relación entre la exponencial compleja y las funciones trigonométricas. De
la fórmula de Euler se deducen fácilmente las llamadas ecuaciones de Euler:
cos t D ei t C e it sen t D ei t e i t .t 2 R/ (3.21)
2 2i
;
2Más adelante veremos la justificación de esta definición.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Logaritmos complejos 92
La exponencial compleja tiene la propiedad fundamental de transformar sumas en produc-
tos. Se prueba fácilmente, haciendo uso de la definición (3.18 y de las igualdades (2.4) y (2.5)
que
ezCw D ez ew para todos z; w 2 C (3.22)
Esta propiedad, junto con las ecuaciones de Euler (3.21), hacen que la exponencial compleja
sea la herramienta más usada para trabajar con las funciones seno y coseno. Por ejemplo, de
la fórmula de Euler (3.20) y de la igualdad anterior, se deduce enseguida la fórmula de De
Moivre. .n 2 Z; t 2 R/ (3.23)
cos.nt / C i sen.nt / D eitn D eit n D cos t C i sen t /n
Igualmente, de las igualdades
cos.a C b/ C i sen.a C b/ D e.aCb/i D eia eib D.cos a C i sen a/.cos b C i sen b/
se deducen en seguida, haciendo el producto indicado e igualando partes real e imaginaria, las
igualdades (2.4) y (2.5).
Otras identidades trigonométricas se obtienen también muy fácilmente. Por ejemplo, para
expresar un producto de senos o cosenos como una suma de senos o de cosenos se puede hacer
lo que sigue. (3.24)
eia C eib D ei.aCb/=2 ei.a b/=2 C ei.b a/=2 D 2 ei.aCb/=2 cos..a b/=2/
Igualando partes real e imaginaria, deducimos que:
cos a C cos b D 2 cos..a b/=2/ cos..a C b/=2/ (3.25)
sen a C sen b D 2 cos..a b/=2/ sen..a C b/=2/ (3.26)
De la igualdad (3.22), se deduce que para todo z 2 C y todo k 2 Z es
ez D ezC2k i
Lo que, en particular, nos dice que exp.z/ D exp.z C 2 i/, o sea, la exponencial compleja es
una función periódica con período 2 i. Naturalmente, esto supone una gran diferencia con la
exponencial real que es una función inyectiva.
La función exponencial es particularmente útil para representar los números complejos
de módulo 1, es decir los números complejos de la forma cos t C i sen t (t 2 R). Recuerda
que multiplicar por un número complejo de módulo 1 representa un giro cuya amplitud es el
argumento de dicho número. Fíjate que el complejo conjugado de eit es e it .
Una exponencial real es siempre positiva. Para la exponencial compleja no tiene sentido
hablar de positiva, todo lo que podemos decir es que la exponencial compleja no se anula
nunca pues j ez j D eRe z > 0.
3.4.2. Logaritmos complejos
El comportamiento periódico de la exponencial compleja se va a traducir, como vamos a
ver enseguida, en que la ecuación ew Dz, donde z es un número complejo no cero, va a tener
infinitas soluciones w 2 C. Como
ew D eRe w
cos .Im w/ C i sen .Im w/
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Logaritmos complejos 93
Para que ew Dz es necesario y suficiente que:
1. jewj D jz j, esto es, eRe w Djzj, es decir, Re w D log jz j (logaritmo natural del número
real positivo jz j).
2. Arg .ew/ D Arg .z/. Como Im w 2 Arg.ew/, esta igualdad equivale a Im w 2 Arg z; y
esto se cumple si, y sólo si Im w D arg.z/ C 2k , con k 2 Z.
Hemos probado que
fw 2 C W ew Dzg D flogjzj C i.arg.z/ C 2k /; k 2 Zg
Por tanto, existen infinitos números complejos w que satisfacen la ecuación ew Dz. Cualquiera
de ellos se llama un logaritmo de z. El conjunto de todos ellos lo representaremos por Log z.
Log z D flogjzj C i.arg.z/ C 2k /; k 2 Zg
Todos los logaritmos de z están situados en una misma recta vertical de abscisa logjzj, y a
partir de uno cualquiera de ellos podemos situar todos los demás, desplazándolo hacia arriba o
hacia abajo una distancia igual a un múltiplo entero de 2 . De entre todos los logaritmos de z
elegimos uno, llamado logaritmo principal, definido por
log z D log jzj C i arg.z/ para todo z 2 C
Cuando z es un número real positivo, z 2 RC, el logaritmo principal que acabamos de definir
coincide con el logaritmo real de z. Es decir, acabamos de extender la función logaritmo real
de RC a C . Observa que cualquier otro logaritmo de z es de la forma log z C i2k para algún
entero k. Además, de todos los logaritmos de z, el logaritmo principal es el único cuya parte
imaginaria está en el intervalo ; .
Es importante que observes que la igualdad
log zw D log z C log w
que es válida para los logaritmos de los números reales positivos, no es siempre cierta para
números complejos. Por ejemplo:
log ei 2 =3 D i 2 ; log ei 3 =4 D i 3
34
Y
log ei 2 =3 ei 3 =4 D log ei 17 =12 D log e i7 =12 D i 7 ¤ i 2 C i 3
12 3 4
Lo que está claro es que el número log z C log w 2 Log.zw/, es decir, log z C log w es un
logaritmo de zw pero no tiene por qué ser el logaritmo principal de zw.
Observación. Muchos libros usan la notación Log z para representar el logaritmo principal de
z y log z para representar el conjunto de todos los logaritmos de z. De esta forma consiguen que
la función log, que era conocida para reales positivos, ya no pueda usarse más, porque ahora
log 1 ya no será 0 sino el conjunto f2k i W k 2 Zg; y lo que antes escribíamos log 2 ahora
tendremos que escribirlo Log 2. Es decir, no se gana nada y se pierde todo. Es lo que yo digo,
¿para qué hacer las cosas bien pudiendo hacerlas mal?
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Potencias complejas 94
3.4.3. Potencias complejas
Recuerda que dados dos números reales a > 0 y b 2 R, la potencia de base a y exponente
b se define como ab D eb log a. Ahora, dados a; b 2 C, con a ¤ 0, sabemos que hay infinitos
logaritmos de a, todos ellos de la forma log a C i2k , con k 2 Z. Por ello, cualquier número
complejo de la forma eb.log aCi 2k / donde k 2 Z, es una potencia de base a y exponente b.
Representamos por Œab el conjunto de todas ellas.
no
Œab D eb.log aCi 2k / Wk 2 Z
Se destaca una:
ab D eb log a
que se llama valor principal de la potencia de base a y exponente b. Observa que si b D 1=n
donde n 2 N, el número
a1=n D exp log D exp a C i arg D jaj1=n arg a C i sen arg a
1 a log a cos
n nn nn
p
es el valor principal de la raíz n-ésima de a que antes hemos notado por n a.
3.4.4. Ejercicios propuestos
102. Expresa los 8 números ˙1 ˙ i, p en la forma r ei'.
˙ 3˙i
103. Calcula el módulo y los argumentos principales de los números
1 C ei' ; 1 ei'; a ei'
donde j'j 6 y a > 0.
104. Calcula log z y Log z cuando z es uno de los números siguientes
i; i; e 3; e5i; 4; 5 e; 1 C i
p p
105. Calcula log.3i/ C log. 1 C i 3/ y log 3i. 1 C i 3/ .
1i
106. Calcula log. 1 i/ log i y log .
i
107. Calcula
Œ. 4/i ; i 3i ; Œi 2= ; Œi i; 12i; 31 i ; .. i /i/i ; .1 C i /1Ci
108. Estudia, para z 2 C y n 2 N, las igualdades:
a) log.ez/ D zI b/ exp.log.z// D z I c/ p log.z/ I d/ log.zn/ D n log.z/:
log. n z/ D
n
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 95
109. Prueba que la función logaritmo principal establece una biyección entre los conjuntos
C nR o y D fz 2 C W < Im.z/ < g.
110. Estudia condiciones para que ab c D abc.
111. Con una interpretación adecuada de la suma justifica que:
a) Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/; b) Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/
112. Estudia, interpretándolas convenientemente cuando sea necesario, las siguientes igual-
dades:
a) LogŒab D b Log.a/ b) logŒab D b Log.a/ c) log.ab/ D b log a
113. Indica el error en los razonamientos siguientes: . z/2 D z2; por tanto 2 Log. z/ D
2 Log.z/ y, por consiguiente, Log. z/ D Log.z/.
114. Explica con detalle dónde está el error en las igualdades siguientes:
i D . 1/1=2 D Œ. 1/31=2 D . 1/3=2 D i 3 D i
3.4.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 46 Estudia, para z 2 C y n 2 N, las igualdades:
a) log ez b/ exp.log.z// D z I c/ log pn z D log.z/ I d / log.zn/ D n log.z/:
DzI n
Solución. a) Es evidente que z es un logaritmo de ez y será el logaritmo principal si, y
sólo si, < Im z 6 . En consecuencia:
log ez D z ” < Im z 6
b) Los logaritmos de z se definen como los números cuya exponencial es z, luego, en
particular, exp.log.z// D z cualquiera sea z 2 C.
c) p ˇˇ p ˇˇ p
log n z nz nz
D log C i arg D logjzj C i arg z
log.z/ logjzj arg z nn
D Ci
n nn
La igualdad en c) se verifica siempre.
d)
log.zn/ D log.jznj/ C i arg.zn/ D n log.jzj/ C i arg.zn/
n log.z/ Dn log.jzj/ C i n arg.z/
La igualdad en d) equivale a que arg.zn/ D n arg.z/. Como n arg.z/ es un argumento de
©
zn, para que sea el argumento principal deberá ser < n arg.z/ 6 .
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 96
Ejercicio resuelto 47 Estudia condiciones para que ab c D abc.
Solución. Tenemos que
ab c D exp.c log.ab//I abc D exp.bc log a/
Por otra parte
exp.c log.ab// D exp c log.eb log a/ D exp
c.b log aCi2k / Dexp.bc log aCic2k /
Donde k es un entero que hay que elegir por la condición de que
< Im.b log a C i2k / 6
Concluimos que si k D 0, lo que ocurre solamente cuando < Im.b log a/ 6 ,
entonces la igualdad del enunciado se cumple para todo c. En otro caso, la igualdad del
©
enunciado se cumple solamente cuando c es un número entero.
Ejercicio resuelto 48 Con una interpretación adecuada de la suma justifica que:
a) Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/; b) Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/
Solución. La forma razonable de interpretar la igualdad Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/,
es que sumando cada uno de los elementos de Arg.z/ con cada uno de los elementos
de Arg.w/ obtenemos todos los elementos de Arg.zw/. Que efectivamente esto es así
es fácil de probar. Sean s 2 Arg.z/ y t 2 Arg.w/. Entonces, sabemos que s C t es
un argumento de zw, esto es s C t 2 Arg.zw/. Luego hemos probado la inclusión
Arg.z/ C Arg.w/ Arg.zw/. Recíprocamente, sea ' 2 Arg.zw/. Elijamos cualquier
elemento s 2 Arg.z/ y pongamos t D ' s. Entonces t es un argumento de zw D w, esto
z
es, t 2 Arg.w/; luego ' D s C t 2 Arg.z/ C Arg.w/. Lo que prueba la otra inclusión
Arg.zw/ Arg.z/ C Arg.w/.
Análogamente, La forma razonable de interpretar la igualdad Log.zw/ D Log.z/ C
Log.w/, es que sumando cada uno de los elementos de Log.z/ con cada uno de los
elementos de Log.w/ obtenemos todos los elementos de Log.zw/. Teniendo en cuenta
que Log.z/ D logjzj C i Arg.z/, la igualdad b) se deduce de a).
Observación. Quien haya estudiado el concepto de grupo cociente, puede interpretar la
suma Arg.z/ C Arg.w/ en el grupo cociente del grupo aditivo de los números reales
respecto del subgrupo de los múltiplos enteros de 2 , esto es, el grupo G D R=2 Z. Si
z es un complejo no nulo, se tiene que Arg.z/ 2 G y, por definición de suma en un grupo
cociente, tenemos que Arg.z/ C Arg.w/ es la clase que contiene a arg.z/ C arg.w/ y,
como arg.z/ C arg.w/ 2 Arg.zw/, obtenemos que Arg.zw/ D Arg.z/ C Arg.w/. ©
Ejercicio resuelto 49 Indica el error en los razonamientos siguientes: . z/2 D z2; por tanto
2 Log. z/ D 2 Log.z/ y, por consiguiente, Log. z/ D Log.z/.
Solución. De la igualdad Log.zw/ D Log.z/ C Log.w/, probada en el ejercicio anterior,
se deduce que Log.z2/ D Log.z/ C Log.z/. Es decir, que sumando de todas las formas
posibles dos logaritmos de z obtenemos todos los logaritmos de z2. Pero eso es muy
distinto a sumar cada logaritmo de z consigo mismo. Es decir, el conjunto 2 Log.z/ es
©
solamente una parte del conjunto Log.z/ C Log.z/.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Aplicaciones de los números complejos 97
3.5. Aplicaciones de los números complejos
Como ya hemos dicho anteriormente, la exponencial compleja es la herramienta más útil
para trabajar con funciones sinusoidales, esto es, las funciones seno y coseno. Muchísimos
procesos naturales, entre los que destacan por su importancia y universalidad los movimientos
oscilatorios y ondulatorios, se describen adecuadamente por medio de funciones sinusoidales.
Eso explica la presencia de la exponencial compleja y de los números complejos en teorías que,
a primera vista, nada tienen que ver con ellos. Veamos algunos ejemplos.
3.5.1. Movimiento armónico simple
Un número complejo es un vector del plano
que, escrito en forma polar, tiene asociado un
r.t/ ángulo y por eso, los números complejos son
muy apropiados para representar giros y movi-t
! r.0/ mientos circulares. Consideremos un móvil que
recorre una circunferencia centrada en el origen
A ' A y de radio R con una velocidad angular cons-
O x.t/ tante !. Supongamos que su posición inicial
para t D 0 viene dada por .A cos '; A sen '/.
La posición de dicho móvil en el tiempo t es
r.t/ D A cos.!t C '/; A sen.!t C '/
Usando números complejos, podemos escribir
Figura 3.8. Movimiento circular r.t/ D A cos.!t C '/ C iA sen.!t C '/
Que se expresa mejor con la exponencial compleja:
r.t / D A cos.!t C '/ C iA sen.!t C '/ D A ei.!tC'/ DA ei' ei!t
Recuerda que multiplicar por ei!t es un giro de amplitud !t . La igualdad r.t / D A ei' ei!t
nos dice que la posición del móvil en el tiempo t se obtiene girando el vector que representa su
posición inicial r.0/ D A ei' un giro de amplitud !t .
La proyección sobre el eje de abscisas del vector r.t/ es la primera componente de dicho
vector:
x.t/ D Re r.t/ D A cos.!t C '/ (3.27)
Interpretamos jx.t/j como la distancia al origen en el instante t de un móvil que se desplaza
sobre el eje de abscisas y cuya posición en el tiempo t viene dada por la igualdad (3.27).
Observa que dicho móvil recorre el segmento Œ A; A con un movimiento que se caracteriza
porque se repite a intervalos regulares de tiempo, pues definiendo T D 2 =!, se tiene que:
x.t C T / D A cos.!.t C T / C '/ D A cos.!t C 2 C '/ D A cos.!t C '/ D x.t/
Dicho movimiento se llama movimiento armónico simple. Naturalmente, la proyección sobre el
eje de ordenadas del vector r.t/ también describe un movimiento armónico simple de ecuación
y.t/ D Im r.t/ D A sen.!t C '/ (3.28)
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Movimiento armónico simple 98
Las ecuaciones (3.27) y (3.28) representan un mismo tipo de movimiento pues un seno no es
más que un coseno retrasado en =2, como se sigue de la igualdad cos.x =2/ D sen x.
En el movimiento armónico simple x.t/ D A cos.!t C '/ el número A se llama amplitud,
el número !t C ' se llama fase, siendo ' la fase inicial; ! es la frecuencia angular que se
mide en radianes por segundo. El número T D 2 =! es el periodo, que es el tiempo, medido
en segundos, que el móvil tarda en completar un ciclo. El número f D 1=T es la frecuencia,
que es el número de ciclos recorridos en un segundo. La unidad de la frecuencia es el ciclo por
segundo que se llama herzio.
La representación compleja proporciona una visualización gráfica del movimiento que es
muy útil para el estudio de la composición de movimientos armónicos simples. Consideremos
dos movimientos armónicos simples de igual frecuencia dados por
x1.t / D A1 cos.!t C '1/; x2.t / D A2 cos.!t C '2/
Queremos estudiar el movimiento dado por x.t / D x1.t / C x2.t /. La representación compleja
de los movimientos permite dar una respuesta sin necesidad de hacer cálculos. Pongamos
x1.t / D Re r1.t / D Re A1 ei.!tC'1/I x2.t / D Re r2.t / D Re A2 ei.!tC'2/
Claramente, x.t / D x1.t / C x2.t / D Re.r1.t / C r2.t //. Como los vectores r1.t / y r2.t / giran
con igual velocidad angular, !, el vector suma r.t / D r1.t / C r2.t / también gira con la misma
velocidad angular (el paralelogramo de lados r1.t / y r2.t / gira todo él con velocidad angular
!). Deducimos que x.t/ D Re.r.t// es la ecuación de un movimiento armónico simple de
frecuencia angular !, amplitud igual al módulo de r.t/ (que debe ser constante) y fase igual al
argumento del número complejo r.t/. El módulo de una suma lo hemos calculado en (3.14).
En nuestro caso es
jr.t /j2 D jr1.t /j2 C jr2.t /j2 C 2 Re.r1.t /r2.t // D A21 C A22 C 2A1A2 cos.'1 '2/
r .t /
r1.t /
r2.t /
O x1.t / x2.t / x.t /
Figura 3.9. Composición de movimientos armónicos
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Circuitos eléctricos 99
Como la frecuencia angular debe ser !, la fase será !t C ' donde ' es la fase inicial, que
es el argumento del número complejo
r.0/Dr1.0/Cr2.0/DA1 ei'1 CA2 ei'2 D.A1 cos '1 CA2 cos '2/Ci .A1 sen '1 CA2 sen '2/
que ya debes saber calcular.
3.5.2. Circuitos eléctricos
En el análisis de circuitos eléctricos los nú-
I .t / meros complejos, con el nombre de fasores,
R fueron introducidos en 1863 por el matemá-
tico e ingeniero Charles Proteus Steinmetz
V .t/ C (1865-1923). Un fasor es un número complejo
que representa la amplitud y fase inicial
L de una sinusoide. Los fasores proporcionan
una herramienta útil para estudiar circuitos
eléctricos cuyo voltaje es de tipo sinusoidal
Figura 3.10. Circuito RLC V .t / D Vm cos.!t C '/. Aquí Vm > 0 es
la amplitud o máximo valor del voltaje, y '
la fase inicial. Podemos asociar a V .t/ un
fasor que representamos V y es el número
complejo V DVm ei'. De esta forma podemos escribir V .t /DRe.V ei!t / con lo que separamos
la información de frecuencia y de fase. Observa que, conocida la frecuencia, la sinusoide queda
determinada de forma única por su fasor asociado.
La derivada de una sinusoide es otra sinusoide. El fasor que representa a la derivada se
expresa muy fácilmente mediante el fasor que representa a la sinusoide.
V 0.t / D dV .t / D Vm! sen.!t C '/ D Vm! cos.!t C ' C =2/ D Re.i !V ei!t /
dt
Deducimos que el fasor que representa a V 0.t / es i !V . Observa que i !V D !Vm ei.'C =2/,
por lo que el fasor que corresponde a la derivada de una sinusoide va adelantado 90 grados
respecto a la sinusoide.
1
De la misma forma, el fasor que representa a la primitiva de la sinusoide V .t/ es V y va
i!
retrasado 90 grados respecto a la sinusoide.
Supongamos que en el circuito de la figura (3.10) se tiene que la intensidad de la corriente
viene dada por una sinusoide (lo cual se sabe que es así cuando la fuerza electromotriz aplicada
es sinusoidal). Pongamos I.t / D Im cos.!t C '/ y sea I su fasor asociado. Expresemos la
caída de potencial en cada uno de los elementos que forman el circuito mediante los fasores de
la corriente y el voltaje. Se trata de un circuito RLC que consta de una resistencia de R ohmios,
un condensador de capacitancia C y un inductor, con inductancia L.
La diferencia de potencial en los extremos de la resistencia viene dada por
VR.t / D RI.t / D RIm cos.!t C '/
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Circuitos eléctricos 100
La relación entre los fasores respectivos es
VR D RI:
Como R > 0 se tiene que el voltaje a través de una resistencia está en fase con la corriente.
Es sabido que una corriente variable en un inductor produce un campo magnético que da
lugar a una fuerza electromotriz inducida que se opone a la fuerza electromotriz aplicada, lo
que origina una caída de potencial dada por
dI .t /
VL.t / D L dt
Deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es
VL D i !LI
y por tanto el voltaje a través de un inductor va adelantado 90 grados respecto a la corriente.
Llamando Q.t/ a la carga que almacena el condensador en el tiempo t, se sabe que la
diferencia de potencial entre los extremos del condensador viene dada por la igualdad
Q.t / 1 t
VC .t / D D I.s/ ds
C C
1
Y deducimos que la relación entre los correspondientes fasores es
1i
VC D i ! C I D I
!C
y por tanto el voltaje a través de un inductor va retrasado 90 grados respecto a la corriente.
La suma de las diferencias de potencial a través de los distintos elementos del circuito debe
ser igual al voltaje aplicado. En términos de los fasores asociados, esto quiere decir que:
ii
RI C i!LI I D R C i!L IDV (3.29)
!C !C
El número complejo
Z D R C i!L i
!C
se llama impedancia. La impedancia depende de la frecuencia de la fuerza electromotriz aplica-
da y de las características del circuito. Cuando se conocen la impedancia y el voltaje, podemos
calcular el fasor de la corriente por la igualdad
IDV D V
Z R C i!L i
!C
y la corriente en el circuito viene dada por I.t / D I ei!t .
Tenemos que
jIj D s jV j 1 2
!C
R2 C !L
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Procesamiento digital de señales 101
El número !L 1 se llama reactancia. El valor de la frecuencia para el que la reactancia
!C
1
se anula viene dado por !r D p y se llama frecuencia de resonancia. Es el valor de la
LC
frecuencia para el cual el valor de jIj es máximo.
3.5.3. Procesamiento digital de señales
Como sin duda sabes, los formatos digitales más frecuentes de audio e imagen son, res-
pectivamente, MP3 y JPG. Cuesta trabajo imaginar cómo sería Internet sin estos formatos. Lo
que quizás no sepas es que la codificación MP3 y la JPG se llevan a cabo con algoritmos que
usan números complejos. El hecho, por extraño que pueda parecer, es que las principales herra-
mientas para trabajar con todo tipo de señales (audio, vídeo, voz, imagen,. . . ) son complejas.
La transformada Z, la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto, la Transformada Discreta
de Fourier, la Función de Transferencia, los modelos de polos y ceros, la Transformada de
Laplace y otras muchas herramientas básicas para el tratamiento de señales, son todas ellas
transformaciones que usan números complejos. Todavía más, las propias señales se caracte-
rizan por su espectro que ¡es un conjunto de números complejos! Si te sientes atraído por el
apasionante mundo del tratamiento digital de señales, todo lo que sepas de números complejos
te será útil en tu trabajo.
Como lectura adicional te recomiendo el capítulo 24 del libro de Michael Spivak [16].
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
4Cap´ıtulo
Funciones Continuas y l´ımite funcional
En matemáticas, la evidencia es enemiga de la corrección.
Bertrand Russell
4.1. Introducción
En esta lección vamos a estudiar con algún detalle un concepto teórico importante que es el
de continuidad. Para motivar la definición que vamos a dar de continuidad, consideremos una
ley física de la forma P D f .V /, que relaciona los valores de una “variable independiente V ”
(podemos pensar que es el volumen de un gas) con otra “variable dependiente P ” (podemos
pensar que es la presión). Si queremos usar dicha ley, hemos de medir un valor V0 de la variable
V , y es inevitable que al hacerlo cometamos algún error el cual, naturalmente, influye en el
correspondiente valor de P , que ya no será exactamente igual a P0 D f .V0/. Surge así la
pregunta natural: ¿de qué forma el error en la medida de V afecta al valor resultante de P ? Es
claro que si para valores de V “muy próximos” a V0 obtengo valores de P muy diferentes entre
sí, la ley “f ” que relaciona V con P no tendrá ninguna utilidad práctica.
Puesto que los errores de medida son inevitables, no es razonable tratar de obtener “el
verdadero valor P0”. Lo que sí puede hacerse es fijar una cota de error admisible para P (la
cual dependerá de cada situación concreta), llamemos “"” a dicha cota (" > 0), y tratar de
obtener otra cota de error “ı” (ı > 0), de tal forma que siempre que midamos V0 con un
error menor que ı tengamos la seguridad de que el valor resultante para P se diferencia de
P0 en menos que ". Esto es, jf .V / f .V0/j < " siempre que jV V0j < ı. Cuando esto
efectivamente pueda hacerse para cualquier cota de error " > 0 decimos que la ley “f ” es
continua en V0.
Observa que cabe esperar que la cota de error ı dependa del " fijado en cada caso. Intuitiva-
mente, cuanto más pequeño sea el error permitido en los datos finales, tanto mejor tendremos
102
Continuidad 103
que medir la variable independiente. En general, la precisión ı con la que debemos medir V0
para obtener un error final menor que ", depende no solamente del valor fijado de " sino también
del valor de V0. Esto es fácil de entender, no es lo mismo medir un volumen de varios metros
cúbicos que otro de unos pocos milímetros cúbicos, la precisión de nuestra medida debe ser
mejor en este último caso.
Las ideas anteriores conducen, de forma natural, a la definición matemática de continuidad.
En todo lo que sigue, la letra A representará un conjunto no vacío de números reales. En
la práctica A será siempre un intervalo o una unión de intervalos. Recuerda que la notación
f W A ! R quiere decir que f es una función real cuyo dominio es A. Es muy importante
advertir que A no tiene por qué coincidir con el dominio natural de la función. Esto es así
porque con frecuencia estamos interesados en estudiar propiedades de una función en una parte
de su dominio natural. Además, la continuidad de f depende tanto de la “regla que la define”
como del conjunto en donde estamos trabajando. Enseguida pondremos ejemplos para aclarar
esto.
4.2. Continuidad
4.1 Definición (Continuidad en un punto). Una función f W A ! R se dice que es continua
en un punto a 2 A si, para cada número " > 0, se puede encontrar un número ı > 0 (que,
en general, dependerá de " y de a) tal que para todo x 2 A con jx aj < ı se verifica que
jf .x/ f .a/j < ".
La definición anterior suele escribirse, con abuso del formalismo lógico, de la siguiente
forma:
8" 2 RC 9 ı 2 RC W jx aj < ı ÷jf .x/ f .a/j < " (4.1)
x2A
Comentarios a la definición. Observa que en esta definición el conjunto A tiene mucho pro-
tagonismo: sólo se consideran los valores de f en A, lo que le pueda pasar a f fuera de A no
nos interesa. El siguiente ejemplo es ilustrativo.
a) Sea f W R ! R la función de Dirichlet dada por f .x/ D 1 si x 2 Q, f .x/ D 1 si x 2 R n Q.
Es la función que vale 1 en los puntos racionales y 1 en los irracionales. Esta función no es
continua en ningún punto. La razón es que en todo intervalo abierto, por pequeño que sea,
siempre hay números racionales e irracionales. Por eso, la función f oscila constantemente
entre 1 y 1.
b) Las funciones g W Q ! R dada por g.x/ D 1 y h W R n Q ! R dada por h.x/ D 1
son continuas (¡son funciones constantes!) en todo punto de sus respectivos dominios de
definición.
Debes tener claro que para poder hablar de la continuidad o de la no continuidad de una función
en un punto, la función debe estar definida en dicho punto. La condición (4.1) exige que el
número f .a/ esté definido. Si no se conoce el valor de f en a no puede comprobarse si dicha
condición se verifica o no y, por ello, no tiene sentido considerar la continuidad de esa función
en dicho punto. Insisto en esta evidencia porque en muchos textos te vas a encontrar ejercicios
del siguiente estilo:
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedades básicas de las funciones continuas 104
a) Estudiar la continuidad de la función f .x/ D 1 en x D 0.
x
b) Estudiar la continuidad de la función g.x/ D jxj en x D 0.
x
c) Estudiar la continuidad de la función h.x/ D x sen.1=x/ en x D 0.
Respuesta: Las funciones f , g y h no están definidas en 0, por tanto no tiene sentido estudiar su
continuidad en 0. Para poder estudiar la continuidad en 0 de estas funciones, primero hay que
definirlas en 0. Por ejemplo, podemos definir f .0/ D 0, g.0/ D 1, h.0/ D 0. Ahora la respuesta
es: f no es continua en 0, g no es continua en 0 pero es continua por la derecha en 0, y h es
continua en 0.
4.2 Definición (Continuidad en un conjunto). Se dice que f es continua en un conjunto
C A, si f es continua en todo punto de C .
No suele ser tarea fácil demostrar que una función dada es continua. Generalmente, lo
que se hace es descomponer la función que queremos estudiar en otras más sencillas cuya
continuidad ya es conocida previamente. Es por ello interesante saber qué tipo de operaciones
realizadas con funciones continuas conducen a nuevas funciones continuas.
4.2.1. Propiedades básicas de las funciones continuas
4.3 Teorema. Sean f , g funciones reales definidas en A. Se verifica que:
a) Las funciones f C g y fg son continuas en todo punto de A en el que las dos funciones
f y g sean continuas. En particular, las funciones suma y producto de funciones continuas
son funciones continuas.
1
b) Si g.x/ ¤ 0 para todo x 2 A, la función g es continua en todo punto de A en el que g sea
continua. En consecuencia, la función cociente de dos funciones continuas cuyo denomina-
dor no se anula nunca es una función continua.
Demostración. a) Sea a 2 A un punto de A en el que f y g son continuas. Debemos probar
que f C g y fg son continuas en a. Escribamos nuestras hipótesis:
8"1 2 RC 9 ı1 2 RC W x 2 A ^ jx aj < ı1 ÷ jf .x/ f .a/j < "1 (4.2)
8"2 2 RC 9 ı2 2 RC W x 2 A ^ jx aj < ı2 ÷ jg.x/ g.a/j < "2 (4.3)
Naturalmente, ı1 D ı1."1/ y ı2 D ı2."2/ dependen del valor de "1 y "2. Debemos rela-
cionar los números j.f C g/.x/ .f C g/.a/j y j.fg/.x/ .fg/.a/j con jf .x/ f .a/j y
jg.x/ g.a/j.
Para la suma la cosa es muy sencilla.
j.f C g/.x/ .f C g/.a/j D ˇˇ f .x/ g.a/ ˇˇ 6 (4.4)
f .a/ C g.x/
6 jf .x/ f .a/j C jg.x/ g.a/j
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedades básicas de las funciones continuas 105
Dado " > 0, hagamos en (4.2) "1 D " y en (4.3) "2 D " y sean ı1 D ı1. " / y ı2 D ı2. " /.
2 2 2 2
Pongamos ı D mKın fı1; ı2g. Entonces, como consecuencia de las desigualdades (4.4), (4.2) y
" "
(4.3), se deduce que j.f C g/.x/ .f C g/.a/j < 2 C 2 D", siempre que x 2 A y jx aj < ı.
Para el producto hay que pensar un poquito más.
j.f g/.x / .fg/.a/j D ˇˇf .x/ g.x/ f .a/ ˇˇ 6 (4.5)
g.a/ C g.a/ f .x/
6 jf .x/j jg.x/ g.a/j C jg.a/j jf .x/ f .a/j
La cantidad jg.a/j jf .x/ f .a/j puede controlarse fácilmente usando (4.2). Dado " > 0,
hagamos en (4.2) "1 D " (la precaución de dividir por jg.a/j C 1 es porque pudiera
2.jg.a/jC1/
ocurrir que g.a/ D 0), y sea ı1 D ı1."1/. Tenemos que
"" (4.6)
x 2 A ^ jx aj < ı1 ÷ jg.a/j jf .x/ f .a/j < jg.a/j 2.jg.a/j C 1/ < 2
x 2 A ^ jx aj < ı1 ÷ jf .x/j D jf .a/ C .f .x/ f .a//j < jf .a/j C "1
Pongamos M D jf .a/j C "1, hagamos en (4.3) "2 D " y sea ı2 D ı2. " /. Definamos
2M 2M
ı D mKın fı1; ı2g. Teniendo ahora en cuenta las desigualdades (4.5) y (4.6), deducimos que
8 g.a/j < M " D " 9
ˆ< jf .x/j jg.x/ =>
aj < ı÷ˆ: jg.a/j jf .x/ 2M 2 ;>÷ j.fg/.x/
x 2 A^jx f .a/j < " .fg/.a/j < "
2
La demostración del apartado b) se hace de forma parecida.
El teorema anterior es muy útil pero con frecuencia no se entiende bien lo que dice o
se interpreta mal. Lo que dice es que la suma, producto y cociente de funciones continuas
(siempre que no dividamos por 0) también es continua. De aquí puedes deducir fácilmente
algunas consecuencias.
4.4 Corolario. a) Si la suma de dos funciones es continua y una de ellas es continua, la otra
función también es continua.
b) La suma de una función continua y otra discontinua es una función discontinua.
c) Si el producto de dos funciones es continuo y una de ellas es continua y no se anula, la otra
función es continua.
d) El producto de una función continua y que no se anula por otra discontinua es una función
discontinua.
Hasta aquí todo bien. El problema es cuando tenemos que estudiar la continuidad de la
suma o el producto de dos funciones discontinuas. En esta situación el teorema anterior no nos
dice nada. Peor aún; no puede haber ningún teorema que diga lo que pasa en este caso. La
razón es que puede pasar cualquier cosa. La suma o el producto de dos funciones discontinuas
puede ser unas veces continua y otras veces discontinua. Se trata de un problema que hay que
estudiar en cada caso concreto y que depende de cómo sean las funciones que sumamos o
multiplicamos.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedades locales 106
Por ejemplo, sea f la función de Dirichlet que, como sabemos, es discontinua en todo
punto. Sea g una función continua cualquiera; por ejemplo, la identidad g.x/ D x para todo
x 2 R. Las funciones g C f y g f son discontinuas en todo punto pero su suma es la función
2g que es continua. Por otra parte, el cuadrado de f , esto es la función h.x/ D f .x/f .x/ D
.f .x//2 D 1, es la función constante igual a 1 y, por tanto, es continua.
Teniendo en cuenta que las funciones polinómicas son sumas de productos de funciones
constantes por potencias de la función identidad, deducimos el siguiente corolario.
4.5 Corolario. Toda función racional es continua en su dominio natural de definición.
De hecho, todas las funciones elementales que conoces son continuas en sus dominios
naturales de definición. Esto no lo podemos probar todavía pero lo aceptaremos y lo usaremos
cuando sea preciso; por ejemplo, para hacer ejercicios.
Además de sumar y multiplicar funciones, también sabemos componerlas. Veamos cómo
se comporta la continuidad respecto de la composición de funciones.
4.6 Teorema (Continuidad de una función compuesta). Sean f W A ! R y g W B ! R
funciones tales que f .A/ B. Supongamos que f es continua en un punto a 2 A y que g es
continua en el punto f .a/. Entonces la función compuesta g ı f W A ! R es continua en el
punto a. En particular, si g es continua en f .A/, entonces g ı f es continua en todo punto de
A en el que f sea continua. Más en particular, la composición de funciones continuas es una
función continua.
Demostración. Dado " > 0, por la continuidad de g en f .a/, existe > 0 tal que para todo
y 2 B con jy f .a/j < se tiene que jg.y/ g.f .a//j < ". Ahora, por la continuidad de f
en a, existe ı > 0 tal que para todo x 2 A con jx aj < ı se tiene que jf .x/ f .a/j < .
Deducimos así que jg.f .x// g.f .a//j < " para todo x 2 A con jx aj < ı. Es decir, la
función compuesta g ı f es continua en a.
4.2.2. Propiedades locales
Intuitivamente, la continuidad de una función en un punto depende únicamente del com-
portamiento de la función en la “proximidad” de dicho punto. Esto se expresa diciendo que la
continuidad es una propiedad local. Vamos a precisar este concepto.
4.7 Definición. Dados una función f W A ! R y un conjunto no vacío C A, podemos
definir una nueva función, llamada restricción de f a C que se representa por fjC , que es la
función definida en el conjunto C que viene dada por fjC .x/ D f .x/ para todo x 2 C .
Dada una función f W A ! R , se dice que una función g W B ! R es una extensión de
f , si B A y f es la restricción de g al conjunto A, es decir f .x/ D g.x/ para todo x 2 A.
Los conceptos de extensión y de restricción de una función son esencialmente el mismo:
todo depende de que se mire “para arriba” o “para abajo”.
Es importante distinguir entre una función y su restricción a un conjunto. Veamos un ejem-
plo que nos permitirá introducir una función muy útil.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedades locales 107
4.8 Ejemplo (Función parte entera). La función que a cada número x 2 R asigna el mayor
entero que es menor o igual que x se llama función parte entera. Dicha función se representa
con la letra E y está definida para todo x 2 R por las condiciones siguientes:
E.x/ 2 Z y E.x/ 6 x < E.x/ C 1:
5 No es difícil probar que esta función es discon-
4 tinua en todos los enteros. Ahora, si considera-
3 mos a dicha función trabajando solamente en el
2 intervalo Œ1; 2Œ, es decir, la función f restricción
1 de E a Œ1; 2Œ cuyo dominio es el intervalo Œ1; 2Œ
y que a cada punto de dicho intervalo asigna su
-5 -4 -3 -2 -1 12345 “parte entera”, f .x/ D E.x/, para 1 6 x < 2;
-1 entonces la función f es constante pues, clara-
-2 mente f .x/ D 1 para todo x 2 Œ1; 2Œ, luego f es
-3 continua en todos los puntos de su dominio, en
-4 particular f es continua en 1 a pesar de que la
función “parte entera” es discontinua en dicho
punto.
Figura 4.1. Función parte entera
El ejemplo anterior, y también el ejemplo de la función de Dirichlet antes visto, prueban que
una restricción de una función discontinua puede ser continua o, lo que es igual, una extensión
de una función continua puede ser discontinua. Son importantes y útiles a este respecto los
siguientes resultados fáciles de probar.
4.9 Proposición. a) Cualquier restricción de una función continua es también continua.
b) Cualquier extensión de una función continua en un intervalo abierto es también continua en
dicho intervalo abierto.
Observa la importancia que en la afirmación b) anterior tiene el hecho de que el intervalo
sea abierto. El ejemplo de la función “parte entera”, antes visto, pone de manifiesto que una
extensión de una función continua en un intervalo no abierto puede no ser continua.
De las afirmaciones anteriores se deduce el siguiente resultado.
4.10 Teorema (Teorema de localización). Una función f es continua en un intervalo abierto
I si, y sólo si, la restricción fjI es continua en I .
Este resultado es bastante útil para evitarnos hacer trabajo innecesario. Por ejemplo, si
queremos estudiar la continuidad de la función parte entera, como dicha función es constante
en los intervalos de la forma n; n C 1Œ (n 2 Z), el resultado anterior nos dice que dicha función
es continua en estos intervalos. Sólo queda así estudiar lo que pasa en los enteros.
La continuidad de una función en un punto permite obtener información sobre el compor-
tamiento de la función en los puntos próximos al mismo. Estos resultados se llaman locales.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo 108
4.11 Teorema (Conservación local del signo). Sea f W A ! R continua en un punto a 2 A
con f .a/ ¤ 0. Entonces hay un número r > 0 tal que para todo x 2 A con jx aj < r se
verifica que f .x/f .a/ > 0. Es decir, f .x/ > 0 si f .a/ > 0, o f .x/ < 0 si f .a/ < 0, en todo
punto x 2a r; a C r Œ\A.
Demostración. Supondremos que f .a/ > 0. Podemos entonces tomar " D f .a/=2 en (4.1)
para obtener, en virtud de la continuidad de f en a, un r > 0 tal que para todo x 2 A con
jx aj < r se verifica que jf .x/ f .a/j < f .a/=2, lo que implica que f .x/ > f .a/=2 > 0.
El caso en que f .a/ < 0 se reduce al anterior sin más que sustituir f por f .
4.12 Proposición (Acotación local). Sea f W A ! R continua en un punto a 2 A. Entonces
hay números, Ma > 0, ra > 0 tales que para todo x 2 A con jx aj < ra se verifica que
jf .x/j 6 Ma.
Demostración. Hagamos " D 1 en (4.1) para obtener, en virtud de la continuidad de f en a, un
ra > 0 tal que para todo x 2 A con jx aj < ra se verifica que jf .x/ f .a/j < 1. Pongamos
Ma D 1 C jf .a/j. Entonces, para todo x 2a ra; a C raŒ\A tenemos que:
jf .x/j D jf .a/ C .f .x/ f .a//j 6 jf .a/j C jf .x/ f .a/j < 1 C jf .a/j D Ma
4.3. Teorema de Bolzano. Supremo e ínfimo
Si ahora mides 175cm y hace 10 años medías 135cm, es seguro que en algún momento
intermedio medías con exactitud 161cm. Si una entrada de cine cuesta 5e y hace 3 años costaba
4e, es seguro que en algún momento ir al cine costaba exactamente 4 99e. ¿Seguro? No, a
ningún empresario de cine le parecería bien cobrar 4 99e por la entrada.
La diferencia está en que la talla de una persona es una función continua del tiempo y para
pasar de 135cm a 175cm tiene que pasar por todos los valores intermedios, pero el precio de
las entradas de cine no varía de forma continua con el tiempo y puede pasar “de golpe” de 4 5e
a 5e.
La gráfica de una función continua en un intervalo, f W Œa; b ! R , la imaginamos como
una curva continua, por ello, si f .a/ < 0 < f .b/, la gráfica de f tiene que atravesar el eje de
abscisas para pasar de un punto situado por debajo de él a otro que se encuentra por encima y,
por tanto, f tiene que anularse en algún punto entre a y b. Esto es precisamente lo que afirma
el conocido teorema que sigue.
4.13 Teorema (Teorema de los ceros de Bolzano). Toda función continua en un intervalo que
toma valores positivos y negativos se anula en algún punto de dicho intervalo.
Lo primero que llama la atención en este teorema es su evidencia. No está de más a este res-
pecto recordar que, como decía Bertrand Russell, “en matemáticas, la evidencia es enemiga de
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La propiedad del supremo 109
la corrección”. Precisamente, el mérito de Bernard Bolzano (1781-1848) está en haber llamado
la atención sobre la necesidad de demostrar muchas proposiciones, aparentemente evidentes,
que se refieren a las funciones continuas. Podemos añadir, además, que suele ser particular-
mente difícil demostrar matemáticamente lo que nuestra intuición presenta como evidente; de
hecho, con las herramientas que tenemos hasta ahora no podemos demostrar el teorema.
La función f .x/ D x2 2 es continua y f .0/ < 0 < f .2/, el teorema de Bolzano asegura
que existe un número ppositivo en el que f se anula. En otras palabras, el teorema prueba la
existencia del número 2 y, como dicho número no es racional, deducimos que para probar
el teorema se precisa usar alguna propiedad que NO tienen los números racionales. Pero todas
las propiedades de los números reales que enunciamos en el Capítulo 1 las tienen también
los números racionales. Concluimos que los números reales deberán tener otra propiedad que
todavía no hemos considerado.
4.3.1. La propiedad del supremo
Compentamos en el Capítulo 1 que no debemos preocuparnos mucho por lo que sea el
número 2, pero al menos deberíamos de tener alguna forma de probar su existencia; es decir,
de las propiedades de los números realespse debería poder deducir que hay un número cuyo
cuadrado es igual a 2. ¿Qué sabemos de 2? No es racional, pero podemos aproximaprlo por
racionales. Con una calculadora obtenemos sucesivas aproximaciones racionales de 2 por
defecto:
p 1 41, 1 414, 1 4142, 1 41421, 1 414213,. . .
Es claro que 2 debe ser el menor número mayor que todas ellas. Pues bien, justamente
necesitamos una propiedad que garantice la existencia de ese “menor número mayor que”. Nos
vendrá bien introducir alguna terminología nueva.
4.14 Definición. Sea E un conjunto no vacío de números reales. Un número z2R se dice que
es un mayorante o cota superior (resp. minorante o cota inferior) de E si x6z (resp. z6x)
para todo x2E.
Si hay algún elemento de E que también sea mayorante (resp. minorante) de E, dicho ele-
mento es necesariamente único y se llama máximo (resp. mínimo) de E y lo representaremos
por maKx.E/ (resp. mKın.E/ ).
Un conjunto que tiene algún mayorante (resp. minorante) se dice que está mayorado o
acotado superiormente (resp. minorado o acotado inferiormente). Un conjunto que está
mayorado y minorado se dice que está acotado.
Está claro que un conjunto puede no tener mínimo ni máximo. Los problemas de “optimi-
zación” consisten, justamente, en estudiar condiciones que garanticen la existencia de valores
máximos y mínimos para funciones de diversas clases. La siguiente propiedad garantiza que
ciertos conjuntos de números reales tienen mínimo.
P8 Propiedad del supremo. Para todo conjunto de números reales no vacío y mayorado se
verifica que el conjunto de sus mayorantes tiene mínimo.
4.15 Definición. Dado un conjunto E R, no vacío y mayorado, se llama supremo o extremo
superior de E, al mínimo mayorante de E y lo notaremos por sup.E/.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedad de extremo inferior 110
Con esta terminología lo que dice la propiedad P8 es que todo conjunto de números reales
no vacío y mayorado tiene supremo (pero nótese que el supremo no tiene por qué pertenecer al
conjunto).
4.3.2. Propiedad de extremo inferior
A partir de la propiedad del supremo, se prueba con facilidad el siguiente resultado.
4.16 Proposición (Propiedad del ínfimo). Para todo conjunto de números reales no vacío y
minorado se verifica que el conjunto de sus minorantes tiene máximo.
Demostración. Sea E R, un conjunto no vacío y minorado. Definamos A D f x W x 2 Eg.
El conjunto A es no vacío y mayorado (pues si z es un minorante de E entonces z es mayo-
rante de A). La propiedad del supremo nos dice que hay un número real c que es el mínimo
mayorante de A. Comprobemos que c es el máximo minorante de E. Para todo x 2 E se
tiene que x 2 A y como c es un mayorante de A, tenemos que x 6 c, esto es, c 6 x. Por
tanto c es un minorante de E. Veamos que es el máximo minorante, y para ello probaremos
que ningún número mayor que c es minorante de E. Sea, pues, u > c. Entonces u < c y,
como c es el mínimo mayorante de A, se sigue que u no puede ser mayorante de A, esto es,
tiene que haber algún elemento x 2 A tal que u < x. Pero entonces tenemos que x < u y,
como x 2 E, concluimos que u no es minorante de E.
4.17 Definición. Dado un conjunto E R, no vacío y minorado, se llama ínfimo o extremo
inferior de E, al máximo minorante de E y lo notaremos por Kınf.E/.
Con esta terminología lo que dice la propiedad del ínfimo es que todo conjunto de números
reales no vacío y minorado tiene ínfimo (pero nótese que el ínfimo no tiene por qué pertenecer
al conjunto).
4.18 Estrategia. Para probar desigualdades en las que intervienen supremos o ínfimos las
siguientes observaciones, aunque evidentes, pueden ser útiles. Sea C R un conjunto no
vacío.
a) Si queremos probar que un número real x verifica que sup.C / 6 x, lo que tenemos que
hacer es probar que x es un mayorante de C .
b) Si queremos probar que un número real x verifica que x 6 Kınf.C /, lo que tenemos que
hacer es probar que x es un minorante de C .
Sea C un conjunto no vacío y acotado de números reales. Pongamos ˛DKınf.C /, ˇDsup.C /.
Los siguientes razonamientos son de uso constante:
a) Si un número real x verifica que x < ˇ entonces x no puede ser mayorante de C (porque
ˇ es el mínimo mayorante de C ), por tanto tiene que haber algún z 2 C tal que x < z.
b) Si un número real x verifica que x > ˛ entonces x no puede ser minorante de C (porque
˛ es el máximo minorante de C ), por tanto tiene que haber algún u 2 C tal que u < x.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedad de extremo inferior 111
La propiedad del supremo es lo que distingue a los números reales de los racionales. Dicha
propiedad se usa para probar la existencia de números reales que cumplen alguna determinada
condición. La demostración del teorema de Bolzano es un ejemplo importante de ello.
Demostración del teorema de los ceros de Bolzano
Es suficiente probar que si f W Œa; b ! R es continua y f .a/ < 0 < f .b/, entonces f se
anula en algún punto del intervalo a; bŒ . Una buena estrategia para demostrar un teorema es
“darlo por demostrado” y trabajar hacia atrás. Tenemos que buscar un punto c 2a; bŒ tal que
f .c/ D 0. Por supuesto, puede haber muchos puntos donde f se anule (el teorema dice que
al menos hay uno), pero de todos ellos el más fácil de caracterizar es el “primero”, porque a
la izquierda de él la función es siempre negativa. Esto lleva a considerar el conjunto E de los
puntos x 2 Œa; b tales que f toma valores negativos en Œa; x:
E D fx 2 Œa; b W f .t/ < 0 para todo t 2 Œa; xg
Por su definición, tenemos que E Œa; b y a 2 E. La propiedad del supremo nos dice que
hay un número real, c, que es el supremo de E. Es evidente que a 6 c 6 b. La propiedad de
conservación local del signo implica que existe algún ı > 0 tal que a C ı < b ı y f es
negativa en todos los puntos del intervalo Œa; a C ı y positiva en todos los puntos del intervalo
Œb ı; b. Esto implica que a < c < b.
Veamos que Œa; cŒ E. Sea a < x0 < c. Como x0 < c y c es el mínimo mayorante de
E, tiene que existir algún punto z0 2 E tal que x0 < z0 6 c. Por tanto, si t 2 Œa; x0 también
t 2 Œa; z0 y, como, z0 2 E, será f .t / < 0, luego x0 2 E. Nótese que hemos probado también
que f .x/ < 0 para todo x 2 Œa; cŒ.
Finalmente, probaremos que f .c/ D 0. Como a la izquierda de c la función f toma valores
negativos y f es continua, deducimos que no puede ser f .c/ > 0 y, por tanto, f .c/ 6 0. Pero
tampoco puede ser f .c/ < 0, pues entonces, por la conservación local del signo, habría un
intervalo de la forma Œc ; c C Œa; b tal que f .t/ < 0 para todo t 2 Œc ; c C lo
que implica que en E hay puntos mayores que c lo que es contradictorio. Concluimos así que
f .c/ D 0.
Observa que la demostración que hemos dado no nos dice cómo calcular un punto en el
que la función se anule. Es una demostración de “existencia”. Veremos más adelante otra de-
mostración, algo más constructiva, en la que se basa un algoritmo bastante eficaz para calcular
de forma aproximada raíces de ecuaciones.
Un enunciado equivalente del teorema de Bolzano es el siguiente.
4.19 Teorema (Teorema del valor intermedio). La imagen de un intervalo por una función
continua es un intervalo.
Demostración. Supongamos que I es un intervalo y f W I ! R es una función continua en I .
Queremos probar que la imagen de f , esto es, el conjunto J D f .I / es un intervalo. Teniendo
en cuenta la definición de intervalo (2.10), deberemos probar que si dos números están en J ,
todos los números comprendidos entre ellos también se quedan dentro de J . Sean pues, u; v
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Consecuencias del teorema de Bolzano 112
elementos de J con u < v. Debe haber elementos ˛; ˇ en I tales que f .˛/ D u, f .ˇ/ D v.
Como f es una función, debe ser ˛ ¤ ˇ; podemos suponer que ˛ < ˇ. Sea z 2u; vŒ, esto es,
u < z < v. Definamos la función h W I ! R dada por h.x/ D z f .x/ para todo x 2 I .
Como f es continua, h es continua en I . Tenemos que h.˛/ D z f .˛/ D z u > 0 y
h.ˇ/ D z f .ˇ/ D z v < 0. Como I es un intervalo, tenemos que Œ˛; ˇ I . Podemos,
pues, aplicar el teorema antes demostrado a la función h en el intervalo Œ˛; ˇ y obtenemos que
tiene que haber algún punto 2˛; ˇŒ tal que h. / D z f . / D 0. Hemos probado así que
f . / D z. Como 2 Œ˛; ˇ I , concluimos que z 2 J D f .I /. Como esto es cierto cualquiera
sea el punto z 2u; vŒ, concluimos que Œu; v J y, en consecuencia, J es un intervalo.
Recíprocamente, si suponemos que la imagen de un intervalo por una función continua es
un intervalo, y f W I ! R es una función continua en un intervalo I que toma valores positivos
y negativos, entonces J D f .I / es un intervalo en el que hay números negativos y positivos,
luego debe contener al 0, es decir f tiene que anularse en algún punto de I .
Observa que el teorema del valor intermedio dice que una función continua en un intervalo
toma todos los valores comprendidos entre dos cualesquiera de sus valores. Bueno, eso es lo
que nos dice la intuición ¿verdad?
4.20 Estrategia. El teorema de Bolzano proporciona una herramienta útil para probar que
ciertas ecuaciones tienen solución. Consideremos el siguiente problema. Se trata de probar que
hay un número real c tal que f .c/ D g.c/ o, dicho de otra forma, que la ecuación f .x/ D g.x/
tiene soluciones. La forma de proceder para aplicar el teorema de Bolzano es la siguiente.
Se pasan todos los términos de la ecuación a un lado y se define h.x/ D f .x/ g.x/.
Se comprueba que la función h es continua y está definida en un intervalo I . Unas veces
el intervalo donde h está definida debemos elegirlo nosotros de forma adecuada, y otras
veces viene impuesto por el enunciado del ejercicio.
Se comprueba que hay puntos en I donde la función h es negativa y otros en los que h
es positiva. Se concluye, por el teorema de Bolzano, que h debe anularse en algún punto
de I , que es lo que queríamos probar.
4.3.3. Consecuencias del teorema de Bolzano
Hay consecuencias de este teorema que están lejos de ser evidentes. Algunas de ellas están
expuestas en el excelente libro de R. Courant y H. Robbins ¿Qué es la Matemática? ([17]). Por
ejemplo, en dicho libro se demuestra, usando como herramienta básica el teorema de Bolzano,
que, dadas dos regiones acotadas del plano, siempre existe una recta que divide simultánea-
mente a cada una de ellas en dos partes con igual área. Este resultado se puede generalizar.
Puede probarse, con la ayuda del teorema de Bolzano, que si tenemos tres sólidos en el espacio
(imagina que son tres bocadillos de muy distintos tamaños), es siempre posible encontrar un
plano que los divida simultáneamente en dos partes de igual volumen (puedes cortar a los tres
bocadillos exactamente “por la mitad” de un sólo tajo). Nosotros aquí nos conformaremos con
obtener algunas consecuencias menos vistosas pero muy útiles.
4.21 Corolario (Existencia de raíces). Dados a > 0 y k 2 N hay un único número c > 0 tal
que ck D a.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Consecuencias del teorema de Bolzano 113
Demostración. La función f WRCo ! R dada por f .x/Dxk a, es continua y f .0/D a < 0,
f .1 C a/ D .1 C a/k a > 0. Deducimos que hay algún número c > 0 tal que f .c/ D 0. Dicho
número es único porque la función f es estrictamente creciente.
4.22 Corolario (Ceros de polinomios de grado impar). Toda función polinómica de grado
impar se anula en algún punto.
Demostración. Sea
P .x/ D c0 C c1x C c2x2 C C cn 1xn 1 C cnxn
una función polinómica de grado impar n>3. Nuestro objetivo es probar que P .x/ toma valores
positivos y negativos. Podemos suponer que cn > 0. Supongamos en lo que sigue que jxj > 1.
Dividiendo por xn tenemos que
P .x/ D c0 C c1 C c2 C C cn 1 C cn (4.7)
xn xn xn 1 xn 2 x
Para 0 6 k 6 n 1, tenemos, por ser jxj > 1 y n k > 1, que:
jck j 6 jck j
jxjn k jxj
Por otra parte
jck j 6 cn ” jxj > jck j 2n
jxj 2n cn
Definamos
M D maKx jckj 2n W k D 0; 1; 2 : : : ; n 1 ; K D maKx fM; 1g
cn
Para jxj > K y para k D 0; 1; 2; : : : ; n 1, tenemos que:
ck > jck j > jck j > cn
xn k jxjn k jxj 2n
Deducimos que para jxj > K es:
P .x/ 1/ cn C cn > cn C cn D cn > 0 (4.8)
xn > .n 2n 2 2
Ahora si x < K, se tiene por ser n impar que xn < 0, y la desigualdad anterior implica que
P .x/ < 0. Análogamente, si x > k debe ser P .x/ > 0.
Hemos probado que P .x/ toma valores positivos y negativos, como es una función continua
y está definida en un intervalo, R, concluimos que debe anularse en algún punto.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Consecuencias del teorema de Bolzano 114
4.3.3.1. Continuidad y monotonía
Hemos visto que la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo. Pode-
mos preguntarnos si esta propiedad caracteriza la continuidad. En general, la respuesta es que
no. Es fácil dar ejemplos de funciones discontinuas en un intervalo cuya imagen es un intervalo
pero estas funciones no pueden ser monótonas. Es fácil entender que si una función monóto-
na es discontinua es porque su gráfica “da saltos”, es decir, su imagen no es un intervalo. El
siguiente resultado deja claro este punto.
4.23 Teorema. Una función monótona en un intervalo1 cuya imagen es un intervalo es conti-
nua.
Demostración. Sea f W I ! R una función creciente en un intervalo I cuya imagen J Df .I /
es un intervalo. Queremos probar que f es continua. Sea a 2 I y supongamos que a no es un
punto extremo de I , esto es, que los conjuntos
Ia D fx 2 I W x < ag ; IaC D fx 2 I W x > ag
no son vacíos. Para demostrar que f es continua en a, probaremos que
sup f .Ia / D sup ff .x/ W x 2 I; x < ag D f .a/ D Kınf ff .x/ W x 2 I; x > ag D Kınf f .IaC/
Probemos que f .a/ D sup f .Ia /. Pongamos ˛ D sup f .Ia /. Para todo x 2 Ia tenemos que
x < a y, como f es creciente, f .x/ 6 f .a/. Luego f .a/ es un mayorante del conjunto f .Ia /
y, en consecuencia, debe ser ˛ 6 f .a/. Veamos que no puede ocurrir que ˛ < f .a/. Para
ello supondremos que ˛ < f .a/ y llegaremos a una contradicción. Tomemos un elemento
cualquiera z 2˛; f .a/Œ. Sea u 2 Ia . Entonces f .u/ 6 ˛ < z < f .a/. Como f .u/ y f .a/
están en J D f .I / y J es, por hipótesis, un intervalo, deducimos que z 2 J , esto es, z D f .s/
para algún s 2 I . No puede ser s D a y, como f es creciente y z < f .a/, debe verificarse que
s < a, esto es, s 2 Ia en cuyo caso debe ser f .s/ 6 ˛, es decir, z 6 ˛ lo cual es claramente
contradictorio pues ˛ < z.
Análogamente se prueba que f .a/ D ˇ D Kınf f .IaC/. " < f .u/ y
Sea ahora " > 0. Tiene que haber elementos u 2 Ia y v 2 IaC tales que ˛
f .v/ < ˇ C ", es decir
f .a/ " < f .u/ 6 f .v/ < f .a/ C ":
Definamos ı D mKın fa u; v ag > 0. Entonces para todo x 2 I verificando que jx aj < ı
se tiene que x 2a ı; a C ıŒ u; vŒ y, por tanto, f .u/ 6 f .x/ 6 f .v/ lo que implica que
f .a/ " < f .x/ < f .a/ C ", esto es, jf .x/ f .a/j < ".
Los casos en que a es un posible extremo de I se hacen de forma análoga.
4.24 Corolario. Una función monótona definida en un intervalo es continua si, y sólo si, su
imagen es un intervalo.
1No es necesario suponer que la función está definida en un intervalo, de hecho en la demostración no se usa
esta hipótesis. El enunciado que damos es para facilitar su visualización.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Consecuencias del teorema de Bolzano 115
4.25 Corolario. La función inversa de una función estrictamente monótona definida en un
intervalo es continua.
Demostración. Sea f W I ! R una función estrictamente monótona definida en un intervalo
I . Como f es inyectiva en I su inversa, f 1, está definida en el conjunto imagen J D f .I /
y, claramente, f 1.J / D I . Como la inversa de una función estrictamente monótona f es
también estrictamente monótona (y del mismo tipo que f ) e I es, por hipótesis, un intervalo,
el teorema anterior, aplicado a f 1, nos dice que f 1 es continua en J 2.
Considera una función inyectiva y continua en un intervalo e intenta dibujar su gráfica;
comprobarás que la función no puede “subir y bajar” porque en tal caso se pierde la inyecti-
vidad, por tanto, o bien “siempre sube” y es estrictamente creciente, o bien “siempre baja” y
es estrictamente decreciente. Eso es lo que afirma el siguiente resultado, que será usado más
adelante para obtener una importante propiedad de las funciones con derivada distinta de cero.
4.26 Teorema. Toda función inyectiva y continua en un intervalo es estrictamente monótona.
Demostración. 3 Sea f W I ! R continua e inyectiva en el intervalo I . Sean a0 < b0 dos
puntos de I . Como f es inyectiva debe ser f .a0/¤f .b0/. Por tanto, o bien f .b0/ f .a0/ > 0,
o bien f .b0/ f .a0/ < 0. Supongamos que es f .b0/ f .a0/ > 0 y demostremos que f es
estrictamente creciente en I . Para ello sean a1 < b1 puntos de I . Pongamos
para 0 6 t 6 1
x.t / D .1 t /a0 C t a1
y.t / D .1 t /b0 C t b1
Tenemos que x.0/ D a0, x.1/ D a1, y.0/ D b0, y.1/ D b1. Además, poniendo ˛ D mKın fa0; a1g
y ˇ D maKx fa0; a1g, se tiene que:
˛ D .1 t/˛ C t˛ 6 x.t/ 6 .1 t/ˇ C tˇ D ˇ
Como I es un intervalo y ˛; ˇ 2 I , se verifica que Œ˛; ˇ I , por lo que x.t/ 2 I . Análoga-
mente, se tiene que y.t / 2 I . Además, como a0 < b0 y a1 < b1, se verifica que x.t / < y.t /
para 0 6 t 6 1. Consideremos la función:
g.t/ D f .y.t// f .x.t// 0 6 t 6 1
La función g es continua en Œ0; 1 por ser composición y diferencia de funciones continuas.
Como f es inyectiva y x.t/ < y.t/, se tiene que g.t/ ¤ 0 para todo t 2 Œ0; 1. El teorema de
Bolzano implica que g debe tener signo constante en Œ0; 1 y, como g.0/ > 0, concluimos que
g.t / > 0 para todo t 2 Œ0; 1. Por tanto g.1/ D f .b1/ f .a1/ > 0. Hemos probado así que f
es estrictamente creciente.
Análogamente, si se supone que es f .b0/ f .a0/ < 0 se demuestra que f es estrictamente
decreciente en I .
2Este resultado es cierto tal como está enunciado, sin necesidad de suponer que la función es continua.
3Esta elegante demostración está tomada del libro de M. Spivak [16].
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 116
4.3.4. Ejercicios propuestos
115. a) Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un intervalo.
b) Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo
y que no sea continua.
c) Da un ejemplo de una función continua en todo R, no constante y cuya imagen sea
un conjunto (obligatoriamente un intervalo) acotado.
d) Da un ejemplo de una función continua en Œ0; 1Œ tal que f .Œ0; 1Œ/ no sea acotado.
e) Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado y
cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.
116. Prueba que si f W A ! R es continua en a entonces también lo es jf j. Da un ejemplo
de función discontinua cuyo valor absoluto es continua.
117. Representamos por E.x/ la parte entera de x (4.8). Haz un esquema de las gráficas de
las siguientes funciones y estudia su continuidad.
a) f .x/ D x E.x/
b) f .x/ D E.1=x/
118. Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por f .x/ D E.x2/.
119. Estudia la continuidad de la función f W R ! R, definida por f .x/ D xE.1=x/ si x ¤ 0,
f .0/ D 1.
120. Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por f .x/ D x sen.1=x/ si x ¤ 0
y f .0/ D 0.
121. Estudia l8a continuidad de la función f W Œ0; 4 ! R dada por f .1/ D 1=4 y:
ˆ< jx 1j
.x2 si x 2 Œ0; 1Œ[1; 2
f .x/ D ˆ: E.x/ 1/E.1 C x/ si x 22; 4
7=4
122. Estudia la continuidad de la función f W Œ0; 1 ! R dada por:
0 si x D 0 o x es irracional
f .x/ D 1=q si x D p=q (fracción irreducible)
123. Sea f W Œa; b ! R continua. Supongamos que a6f .x/6b para todo x en Œa; b. Prueba
que hay algún punto c 2 Œa; b tal que f .c/ D c.
124. Sea a > 1. Prueba que la ecuación x C e x Da tiene al menos una solución positiva y
otra negativa.
125. Prueba que la ecuación x C ex C arc tg x D 0 tiene una sola raíz real. Da un intervalo
de longitud uno en el que se encuentre dicha raíz.
126. Prueba que hay un número real x > 0 tal que log x C p D 0.
x
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 117
127. Suponiendo que la temperatura varía de forma continua, prueba que siempre hay dos
puntos antípodas en el ecuador terrestre que están a la misma temperatura.
128. Sea f W Œa; b ! R continua con f .a/ D f .b/. Dado n 2 N, n > 2, prueba que hay algún
punto c 2 Œa; b .b a/=n tal que f .c/ D f .c C .b a/=n/.
129. Un corredor recorre 6 kilómetros en 30 minutos. Demuestra que en algún momento de
su carrera recorre 1 kilómetro en exactamente 5 minutos.
130. Un reloj averiado marca inicialmente un tiempo t 0. El reloj puede adelantar o atrasar, pe-
ro cuenta con exactitud períodos de 12 horas, es decir, pasadas 12 horas el reloj marca un
tiempo t 0 C 12 horas. Demuestra que en algún momento dicho reloj mide con exactitud
una hora.
131. Un automovilista sale de Granada hacia Madrid un sábado a las 8h de la mañana y el
domingo inicia el regreso a la misma hora. Sabiendo que invirtió igual tiempo en ambos
viajes, pruébese que en algún momento del domingo el automovilista se encuentra a igual
distancia de Granada que a la que se encontraba el sábado en ese mismo momento.
132. Sean f; g funciones continuas que no se anulan en un intervalo I , verificando que
.f .x//2 D .g.x//2 para todo x 2 I . Prueba que o bien f .x/ D g.x/ para todo x 2 I ,
o bien f .x/ D g.x/ para todo x 2 I . ¿Cuántas funciones hay ' W R ! R continuas y
verificando que .'.x//2 D x2 para todo x 2 R?.
133. Demuestra el apartado b) del teorema (4.3).
134. Justifica las afirmaciones del corolario (4.4).
135. Sea f W R ! R continua y decreciente. Prueba que hay un único a 2 R verificando que
f .a/ D a.
136. Sea f W R ! R continua y tal que f .x/ .f ı f /.x/ D 1 para todo x 2 R. Sabiendo
que f .1000/ D 999, calcula f .500/.
137. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sin x D 2x ?
101
138. Sea E un conjunto no vacío de números reales acotado.
a) Describe el conjunto de todos los mayorantes de E.
b) Describe el conjunto de todos los minorantes de E.
139. a) Prueba que sup.E/ 2 E si, y sólo si, E tiene máximo, en tal caso maKx.E/Dsup.E/.
b) Prueba que Kınf.E/ 2 E si, y sólo si, E tiene mínimo, en tal caso mKın.E/ D Kınf.E/.
140. Sean A; B conjuntos no vacíos de números reales. Supongamos que a 6 b para todo
a 2 A y para todo b 2 B. Prueba que sup A 6 Kınf B.
141. Sean A, B, conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Justifica las siguientes
afirmaciones:
a) Si A B entonces sup.A/ 6 sup.B/ e Kınf.A/ > Kınf.B/.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 118
b) sup.A [ B/ D maKxfsup.A/; sup.B/g.
142. Sean A, B, conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Definamos
A B D fa b W a 2 A; b 2 BgI AB D fab W a 2 A; b 2 Bg
Prueba que sup.A B/ D sup A Kınf B y, supuesto que A RC y B RC, prueba
que sup.AB/ D sup A sup B.
143. Usando solamente la definición de intervalo (2.10), y las propiedades del supremo e
ínfimo, describe todos los posibles tipos de intervalo.
144. Sea A un conjunto no vacío de números reales. Para cada x 2 R definamos la “distancia
de x a A” por dist.x; A/ D Kınffjx aj W a 2 Ag. Prueba que para todos x; y 2 R se
verifica que:
j dist.x; A/ dist.y; A/j 6 jx yj
Deduce que la aplicación x 7! dist.x; A/ es continua.
145. Sea f W R ! R continua, mayorada y tal que para todos a; b 2 R con a < b, se verifica
que sup f .a; bŒ/ D sup f .R/. Prueba que f es constante.
146. Sea f W Œa; b ! R una función continua tal que f .a/ < 0, f .b/ < 0 y f .c/ > 0
para algún c 2a; bŒ. Prueba que hay dos números u, v verificando que a < u < v < b,
f .u/ D f .v/ D 0 y f .x/ > 0 para todo x 2u; vŒ.
147. Sea f W Œa; b ! R creciente. Supongamos que a6f .x/6b para todo x en Œa; b. Prueba
que hay algún punto c 2 Œa; b tal que f .c/ D c.
Sugerencia. Considera el supremo del conjunto fx 2 Œa; b W x 6 f .x/g. Fíjate que no
suponemos que f sea continua.
148. Justifica que, dado x 2 R, la ecuación log t C t 5 D x tiene una única solución, que
representamos por '.x/. Justifica que la función x !7 '.x/, .x 2 R/, así definida es
continua. r!
149. Prueba que la función f W 1Cx
1; 1Œ! R definida por f .x/ D ln es biyectiva.
1x
Calcula f 1 y comprueba que es una función continua.
150. Sea f W Œ0; 1 ! R continua verificando que jf .s/ f .t/j>js tj para todos s; t 2 Œ0; 1,
y f .f0; 1g/ D f0; 1g. Prueba que o bien es f .x/ D x para todo x 2 Œ0; 1, o bien es
f .x/ D 1 x para todo x 2 Œ0; 1.
151. Sean
A D fx 2 Q W x 6 0 o x2 < 2g; B D fx 2 Q W x > 0 y x2 > 2g:
Prueba que A ¤ Ø, B ¤ Ø, Q D A [ B y a < b para todos a 2 A; b 2 B. Además:
a) Para cada r 2 A hay algún s 2 A tal que r < s.
b) Para cada u 2 B hay algún t 2 B tal que t < u.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 119
c) No hay ningún z 2 Q con la propiedad de que todo número racional menor que z
esté en A y todo número racional mayor que z esté en B.
152. Sean
A D fx 2 R W x 6 0 o x2 < 2g; B D fx 2 R W x > 0 y x2 > 2g:
Prueba que A ¤ Ø, B ¤ Ø, R D A [ B y a < b para todos a 2 A y b 2 B. Sea z 2 R el
extremo superior de A. Prueba que z2 D 2, AD 1; zŒ, B D Œz; C1Œ.
4.3.5. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 50 a) Da un ejemplo de una función continua cuya imagen no sea un
intervalo.
b) Da un ejemplo de una función definida en un intervalo cuya imagen sea un intervalo
y que no sea continua.
c) Da un ejemplo de una función continua en todo R, no constante y cuya imagen sea
un conjunto (obligatoriamente un intervalo) acotado.
d) Da un ejemplo de una función continua en Œ0; 1Œ tal que f .Œ0; 1Œ/ no sea acotado.
e) Da un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto acotado y
cuya imagen sea un intervalo cerrado y acotado.
Solución. a) Una función continua cuya imagen no sea un intervalo no puede estar de-
finida en un intervalo. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos
ejemplos. Como la función f W0; 1Œ[2; 3Œ! R dada por f .x/ D 1 para x 20; 1Œ y
f .x/ D 2 para x 22; 3Œ. Es claro que f es continua (usa, si quieres el teorema de loca-
lización para justificarlo en media línea) y su imagen es el conjunto f1; 2g que no es un
intervalo.
b) Aquí debes tener en cuenta que, por el teorema (4.23), la función que buscas no puede
ser monótona. Una vez que caes en este detalle, se te deben de ocurrir muchos ejemplos.
Como la función f W Œ0; 2 ! R dada por f .x/ D 2x para x 2 Œ0; 1, f .x/ D x=2 para
x 21; 2. Claramente f es discontinua en x D 1, pero su imagen es el intervalo Œ0; 2.
1
c) Esto es muy fácil. Por ejemplo, la función f .x/ D 1 C x2 . Claramente, f .R/D0; 1.
d) Esto es muy fácil. Por ejemplo, f .x/ D 1 , x 2 Œ0; 1Œ. Claramente, f .Œ0; 1Œ/ D
Œ1; C1Œ. 1x
e) Por ejemplo, la restricción de la función seno al intervalo ; Œ. Si quieres otro
ejemplo más elemental, puedes modificar de forma apropiada el ejemplo del punto b).
Ejercicio resuelto 51 Prueba que si f W A ! R es continua en a entonces también lo es
jf j. Da un ejemplo de función discontinua cuyo valor absoluto es continua.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 120
Demostración. Todo lo que se necesita es la desigualdad ˇˇjuj jvjˇˇ 6 ju vj. En nuestro
caso tenemos: ˇˇjf .x/j jf .a/jˇˇ 6 jf .x/ f .a/j
Supuesto que f es continua en a, dado " > 0, existe ı > 0 tal que si jx aj < ı
yˇˇjfx.2x/Aj enjfto.nac/ejˇˇs jf .x/ f .a/j < " lo que, por la desigualdad anterior, implica que
< " y, por tanto, jf j es continua en a.
La función dada por f .x/ D 1 si x > 0 y f .x/ D 1 si x < 0 , es discontinua en 0
©
pero jf j es continua en 0.
Ejercicio resuelto 52 Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por f .x/ D
E.x2/.
Demostración. Claramente f D E ı ' donde '.x/ D x2. Puesto que ' es continua en
todo punto y la función parte entera es continua en R n Z, deducimos por el teorema
de composición de funciones continuas, que f es continua enptodo punto a 2 Rptal que
'.a/ D a2 26 Z. Es decir, f es continua en R n B donde B D f n W n 2 Ng [ f n W n2
Ng [ f0g. Los puntos de B requieren un estudio particular pues, a priori, no podemos
asegurar que f sea discontinua en ellos.
Empecemos estudiando la posible continuidad de f en 0. Es claro que para 1 < x < 1
tenemos que 0 6 x2 < 1 por lo que f .x/ D 0 para todo x 2 1; 1Œ. Es decir, la función
fj 1;1Œ ( restricción de f al intervalo 1; 1Œ) es la función constante igual a 0 y por
tanto fj 1;1Πes continua. Como el intervalo 1; 1Πes abierto deducimos, por el teorema
de localización que f es continua en 1; 1Œ y, en particular, f es continua en 0.
Considerepmos ahora un punto de la forma pq donde q 2 N (fijo en lo que sigue). Para
todo x 2 q 1; pq Πse tiene que q 1 < x2 < q por lo que f .x/ D q 1. Cualquiera
sea ı > 0, hay puntos
x 2pq ı; pq C p 1; pq Œ
ıŒ\ q
para los que jf .pq/ f p.xq/.j D jq .q 1/j D 1, por lo que tomando "0 < 1 deducimos
que f no es continua en
De forma análoga se prueba que f es discontinua en los puntos de la forma pq donde
©
q 2N.
Ejercicio resuelto 53 Estudia la continuidad de la función f W R ! R, definida por f .x/ D
xE.1=x/ si x ¤ 0, f .0/ D 1.
Solución. El teorema de localización puede usarse en este tipo de ejercicios. En nuestro
caso, es evidente que para x > 1 es f .x/ D 0, y para x < 1 es f .x/ D x. Por tanto la
restricción de f a los intervalos 1; C1Œ y 1; 1Œ es continua y, como estos intervalos
son abiertos, deducimos por el teorema de localización que f es continua en dichos
intervalos. De forma parecida podemos razonar con un intervalo del tipo 1=.nC1/; 1=nŒ
donde n 2 N pues, para x 21=.n C 1/; 1=nŒ se tiene que f .x/ D nx, luego la restricción
de f a dicho intervalo es continua y, por tratarse de un intervalo abierto, deducimos que
f es continua en 1=.n C 1/; 1=nŒ. Análogamente se razona con un intervalo del tipo
1=n; 1=.n C 1/Œ. El teorema de localización no nos dice qué pasa en los puntos
extremos de los intervalos considerados, es decir, en los puntos de la forma 1=n donde
n 2 Z , y tampoco en 0.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 121
Estudiemos qué ocurre en un punto de la forma 1=p donde p > 2 es un entero (fijo en
lo que sigue). Tenemos que f .1=p/ D 1. Para todo x 21=.p 1/; 1=pΠse tiene que
p 1 < 1=x < p, por lo que E.1=x/ D p 1 y f .x/ D .p 1/x, y por tanto
f .1=p/ f .x/ D 1 .p 1/x > 1 .p 1/=p D 1=p:
En consecuencia, dado "0 D 1=2p, cualquiera sea ı > 0 hay puntos x 21=.p 1/; 1=pŒ
cuya distancia al punto 1=p es menor que ı, para los cuales no se verifica la desigualdad
jf .1=p/ f .x/j < "0. Concluimos que f es discontinua en 1=p. De forma parecida se
prueba que f es discontinua en los puntos de la forma 1=q donde q 6 2 es un entero.
Igualmente se prueba que f es discontinua en los puntos 1 y 1.
Queda por ver qué pasa en 0. Si dibujamos con paciencia (con lápiz y regla) la gráfica de
f obtenemos la figura 4.2 (los segmentos verticales indican discontinuidades de salto):
1
-2 -1 O1
Figura 4.2. La función xE.1=x/
Parece que f es continua en 0. Para probarlo hay que probar que jf .x/ f .0/j es tan
pequeño como queramos (< ") siempre que jx 0j D jxj sea suficientemente pequeño
(< ı). Lo usual en estos casos es trabajar para atrás. Empezamos acotando f .x/ 1.
Recordemos que
E.1=x/ 6 1=x 6 E.1=x/ C 1 (4.9)
Si x > 0 podemos multiplicar por x dicha desigualdad para obtener que
xE.1=x/ 6 1 6 xE.1=x/ C x:
Resulta así que para x > 0 es:
0 6 1 xE.1=x/ D f .0/ f .x/ 6 x (4.10)
Si x < 0 podemos multiplicar por x la desigualdad (4.9) para obtener que
xE.1=x/ > 1 > xE.1=x/ C x:
Resulta así que para x < 0 es:
0 > 1 xE.1=x/ D f .0/ f .x/ > x es decir 0 6 f .x/ f .0/ 6 x (4.11)
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 122
De (4.10) y (4.11) deducimos que jf .x/ f .0/j 6 jxj. En consecuencia, dado " > 0,
tomamos ı D " con lo que, evidentemente, si jxj < ı entonces jf .x/ f .0/j < ". Luego
©
f es continua en 0.
Ejercicio resuelto 54 Estudia la continuidad de la función f W R ! R dada por f .x/ D
x sen.1=x/ si x ¤ 0 y f .0/ D 0.
Solución. El propósito de este ejercicio es que no olvides que jsen zj61 para todo z 2 R.
Da igual como escribas z, esta desigualdad es válida para todo número real z (recuerda
cómo deben leerse las matemáticas). Por tanto jsen.1=x/j 6 1. En consecuencia, jf .x/j6
©
jxj de donde se sigue inmediatamente que f es continua en 0.
Ejercicio resuelto 55 Estudia la continuidad de la función f W Œ0; 1 ! R dada por:
0 si x D 0 o x es irracional
f .x/ D 1=q si x D p=q (fracción irreducible)
Solución. Es fácil probar que la función es discontinua en todos los puntos racionales
de 0; 1. La idea es que en todo intervalo abierto hay números irracionales en los que la
función vale 0. Sea r D p 20; 1 un número racional escrito como fracción irreducible.
q
Tenemos que f .r / D 1 . Tomemos ahora un " > 0 menor que 1 ; por ejemplo " D 1 .
q q 2q
Cualquiera sea ı > 0, en el intervalo r ı; r C ıŒ\Œ0; 1 hay números irracionales, si x
es uno de ellos, se tiene que x 2 Œ0; 1, jx r j < ı pero jf .x/ f .r /j D 1 no es menor
q
que " D 1 . Concluimos que f es discontinua en r .
2q
Para probar que f es continua en todos los puntos irracionales de Œ0; 1 y también en 0
hay que pensar un poquito. La idea es la siguiente: dado " > 0, quitar los puntos de Œ0; 1
donde la función toma un valor mayor que ". Dichos puntos son los puntos racionales de
la forma r D p (fracción irreducible p; q 2N) con 1 > ", esto es, q 6 1 . Fijado un valor
q q "
de " > 0, el conjunto de valores de q 2 N para los que se verifica que 1 > " es finito.
q
Llamemos a este conjunto Q". Para cada número q 2 Q" las fracciones irreducibles de la
p
forma q que están en 0; 1 son como mucho q 1. Concluimos que el conjunto de los
números racionales de 0; 1 en los que la función f toma un valor mayor o igual que ", es
finito. Llamemos a este conjunto R". Sea ahora a un número irracional de Œ0; 1 o a D 0.
Tenemos que a 26 R" por lo que para todo r 2 R" el número ja r j es positivo. Sabemos
que todos conjunto finito tiene máximo y mínimo. Definamos ı D mKın fja r j W r 2 R"g.
Entonces ı > 0 y para todo x 2 Œ0; 1 con jx aj < ı se tiene que x 62 R", luego
jf .x/ f .a/j D f .x/ < ", lo que prueba que f es continua en a.
©
Ejercicio resuelto 56 Sea f W Œa; b ! R continua. Supongamos que a6f .x/6b para todo
x en Œa; b. Prueba que hay algún punto c 2 Œa; b tal que f .c/ D c.
Solución. Este ejercicio es muy sencillo. Basta hacer una representación gráfica. Imagina
la gráfica de una función continua f en Œa; b que toma valores en Œa; b. Lo que te dicen
en el ejercicio es que pruebes que la gráfica de f corta a la diagonal del rectángulo
Œa; b Œa; b. Gráficamente eso es evidente. Para hacerlo, seguiremos la estrategia (4.20).
La ecuación que debemos considerar es f .x/ D x. Definamos h.x/ D x f .x/ para
x 2 Œa; b. La función h es continua, porque nos dicen que f es continua, y está definida
en el intervalo Œa; b. Tenemos que h.a/ D a f .a/ 6 0 y h.b/ D b f .b/ > 0. Si alguno
de estos números es igual a 0 entonces c D a o c D b; en otro caso debe ser h.a/ < 0
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 123
y h.b/ > 0, en cuyo caso el teorema de Bolzano asegura que hay algún c 2a; bŒ tal que
©
h.c/ D 0, es decir, f .c/ D c.
Ejercicio resuelto 57 Prueba que la ecuación x C ex C arc tg x D 0 tiene una sola raíz real.
Da un intervalo de longitud uno en el que se encuentre dicha raíz.
Solución. Sea f .x/ D x C ex C arc tg x para todo x 2 R. Es evidente que f .x/ > 0
para todo x > 0. Observa que si x < 0 y está muy alejado del origen, entonces ex es
positivo pero muy pequeño y arc tg x será negativo (cercano a =2). Vemos así que
para estos valores de x la función f será negativa. De alguna forma debemos justificar
esto que “vemos”. Podríamos hacerlo estudiando el límite en 1 pero aún no tenemos
esa herramienta. Para lo que nos pide el ejercicio, es suficiente que encontremos un
punto a < 0 en el que f .a/ < 0. En estos ejercicios no hay que buscar valores “raros”.
Tomemos aD 1. Tenemos que f . 1/D 1C1= e C arc tg. 1/D 1C1= e =4, como
e > 2, claramente es f . 1/ < 0. Como f es continua, está definida en un intervalo
(todo R) y toma valores positivos y negativos, el teorema de Bolzano nos dice que debe
anularse en algún punto. Como la función f es estrictamente creciente, por ser suma de
funciones estrictamente crecientes, es inyectiva, por lo que se anula en un único punto.
Además, como f .0/ D 1, el teorema de Bolzano nos dice que el punto donde f se anula
©
está en Œ 1; 0.
Ejercicio resuelto 58 Suponiendo que la temperatura varía de forma continua, prueba que
siempre hay dos puntos antípodas en el ecuador terrestre que están a la misma tempera-
tura.
Solución. Llamemos L a la longitud del ecuador terrestre (unos cuarenta mil Kilóme-
tros). Sea f W Œ0; L ! R la función que a cada punto x 2 Œ0; L hace corresponder la
temperatura, f .x/, medida en grados centígrados, que hay en dicho punto del ecuador.
Suponemos que f es una función continua (cosa muy razonable). Se trata de probar que
hay algún punto c 2 Œ0; L=2 tal que f .c/ D f .c C L=2/. Para ello, aplicando la estrate-
gia (4.20), consideramos la función h.x/ D f .x C L=2/ f .x/ definida en el intervalo
Œ0; L=2. Tenemos que h.0/Df .L=2/ f .0/ y h.L=2/Df .L/ f .L=2/. Lo único que
hay que darse cuenta ahora es que el punto a distancia L vuelve a ser el punto de partida
(el ecuador es una curva cerrada), por tanto f .L/ D f .0/ y, h.L=2/ D f .0/ f .L=2/.
Observamos que h.0/ y h.L=2/ son números opuestos. O los dos son cero, en cuyo caso
podemos tomar c D 0, o uno es negativo y otro positivo, en cuyo caso el teorema de Bol-
zano asegura que h tiene que anularse en algún c 20; L=2Œ, esto es, f .c C L=2/ D f .c/,
©
como se quería probar.
Ejercicio resuelto 59 Sea f W Œa; b ! R continua con f .a/ D f .b/. Dado n 2 N, n > 2,
prueba que hay algún punto c 2 Œa; b .b a/=n tal que f .c/ D f .c C .b a/=n/.
Solución. Sea f W Œa; b ! R una función continua. Llamemos al número f .b/ f .a/
el incremento de f en Œa; b. Dado un número natural n>2, nos preguntamos si hay algún
intervalo de longitud .b a/=n en el cual el incremento de f sea igual a .f .b/ f .a//=n.
Para ello dividimos el intervalo Œa; b en n intervalos de longitud igual a .b a/=n. Estos
intervalos son de la forma Œxk; xkC1, donde xk D a C k.b a/=n, k D 0; 1; : : : ; n 1.
Es claro que la suma de los incrementos de f en cada uno de los n intervalos Œxk; xkC1
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 124
es igual al incremento de f en el intervalo Œa; b. Es decir:
nX1 f .xk// D f .b/ f .a/:
.f .xkC1/
k D0
Como en esta suma hay n sumando en total, deducimos que o bien todos ellos son igual
a .f .b/ f .a//=n o bien alguno de ellos es mayor que .f .b/ f .a//=n en cuyo caso
tiene que haber necesariamente otro que sea menor que .f .b/ f .a//=n.
Definamos la función g W Œa; b .b a/=n ! R por g.x/Df .x C.b a/=n/ f .x/.
Nótese que g.xk/ D f .xkC1/ f .xk/. Según acabamos de ver:
O bien para todo k D 0; 1; : : : ; n 1 es g.xk/ D f .b/ f .a/
n , en cuyo caso se
f .b/ f .a/
verifica que f .xkC1/ f .xk/ D .
n
O bien hay puntos xp; xq tales que g.xp/ < .f .b/ f .a//=n < g.xq/, en cuyo
caso, como la función g es continua, el teorema de Bolzano implica que tiene que
haber algún punto t0 comprendido entre xp y xq tal que g.t0/ D .f .b/ f .a//=n,
es decir se verifica que f .t0 C .b a/=n/ f .t0/ D .f .b/ f .a//=n.
Hemos probado así que hay un intervalo de longitud .b a/=n en el cual el incremento
©
de f es igual a .f .b/ f .a//=n.
Ejercicio resuelto 60 Un reloj averiado marca inicialmente un tiempo t0. El reloj puede ade-
lantar o atrasar, pero cuenta con exactitud períodos de 12 horas, es decir, pasadas 12
horas el reloj marca un tiempo t0 C 12 horas. Demuestra que en algún momento dicho
reloj mide con exactitud una hora.
Solución. Sea f W Œ0; 12 ! R la función definida por: f .t/D tiempo (medido en horas)
que marca el reloj en el tiempo t. Podemos admitir que f es continua. El incremento de
f en el intervalo Œ0; 12 es igual a f .12/ f .0/ D 12. Deducimos, por lo antes visto
que, para cada n > 2, hay algún intervalo de longitud .12 0/=n en el cual el incremento
de f es igual a .f .12/ f .0//=n. Es decir, que en algún instante c0 el reloj mide con
12
exactitud un período de tiempo igual a n horas: f .c0 C12=n/ f .c0/D12= n. Tomando
n D 12 obtenemos la solución del ejercicio. ©
Ejercicio resuelto 61 Un automovilista sale de Granada hacia Madrid un sábado a las 8h de
la mañana y el domingo inicia el regreso a la misma hora. Sabiendo que invirtió igual
tiempo en ambos viajes, pruébese que en algún momento del domingo el automovilista
se encuentra a igual distancia de Granada que a la que se encontraba el sábado en ese
mismo momento.
Solución. Supongamos que el automovilista tarda 4 horas en llegar a Madrid. Llamando
f W Œ8; 12 ! R la función que en el tiempo t (medido horas) nos da la distancia f .t/
(medida en kilómetros) que el automovilista ha recorrido el sábado, y g W Œ8; 12 ! R
a la función que en el tiempo t (medido horas) nos da la distancia g.t/ (medida en
kilómetros) que el automovilista ha recorrido el domingo; tenemos que f .8/ D g.8/ D 0,
f .12/ D g.12/ D ˛ donde ˛ es la distancia entre Granada y Madrid.
Como las funciones f y g son continuas, la función h.t/ D f .t/ .˛ g.t// también
es continua. Como h.8/ D ˛ < 0, h.12/ D ˛ > 0, deducimos que h.t0/ D 0 para algún
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 125
t0 2 Œ8; 12, es decir f .t0/ D ˛ g.t0/. Por tanto, el sábado y el domingo, en el instante
t0 el automovilista se encuentra a la misma distancia de Granada.
Si dibujas las gráficas de f y de ˛ g verás que este resultado es evidente. ©
Ejercicio resuelto 62 Sean f; g funciones continuas que no se anulan en un intervalo I ,
verificando que .f .x//2 D .g.x//2 para todo x 2 I . Prueba que o bien f .x/ D g.x/ para
todo x 2 I , o bien f .x/ D g.x/ para todo x 2 I . ¿Cuántas funciones hay ' W R ! R
continuas y verificando que .'.x//2 D x2 para todo x 2 R?.
Solución. La función h.x/ D f .x/ es continua en I y verifica que h.x/2 D 1 para todo
g.x/
x 2 I , luego h.x/D1 o h.x/D 1 para cada x 2 I . Como I es un intervalo y h es continua,
el conjunto h.I / tiene que ser un intervalo, luego deberá ser h.I / D f1g o h.I / D f 1g.
En el primer caso es f .x/ D g.x/ para todo x 2 I , en el segundo f .x/ D g.x/ para
todo x 2 I .
La igualdad '.x/2 D x2 para todo x 2 R equivale a j'.x/j D jxj. Lo que da cuatro
posibilidades; a saber: '1.x/ D x, '2.x/ D x, '3.x/ D jxj, '4.x/ D jxj, donde, en
cada caso, se entiende que las igualdades son para todo x 2 R.
©
Ejercicio resuelto 63 Sea f W R ! R continua y decreciente. Prueba que hay un único
a 2 R verificando que f .a/ D a.
Solución. Naturalmente, se trata de probar que la función gW R ! R dada por g.x/ D
x f .x/ para todo x 2 R se anula en algún punto. Como es continua (porque nos dicen
que f lo es) y está definida en un intervalo, intentaremos aplicar el teorema de Bolzano.
Tomemos un punto c 2 R. Si f .c/ D c hemos acabado. En otro caso será f .c/ ¤ c.
Supongamos que f .c/ < c. Entonces, como f es decreciente, será f .f .c// > f .c/. Si
f .f .c// D f .c/, hemos acabado. En otro caso será f .f .c// > f .c/. Pero en este caso
obtenemos que g.c/ > 0 y g.f .c// < 0 por lo que el teorema de Bolzano garantiza
que g tiene que anularse en algún punto. Se razona de forma análoga si suponemos que
c < f .c/. Finalmente, como g es estrictamente creciente, solamente puede anularse en
©
un único punto.
Ejercicio resuelto 64 Sean A, B, conjuntos no vacíos y acotados de números reales. Defina-
mos
A B D fa b W a 2 A; b 2 BgI AB D fab W a 2 A; b 2 Bg
Prueba que sup.A B/ D sup A Kınf B y, supuesto que A RC y B RC, prueba
que sup.AB/ D sup A sup B.
Solución. Sea ˛ Dsup.A/; ˇ DKınf.B/;
Dsup.A B/. Cualesquiera sean a 2 A; b 2 B
se tiene que a 6 ˛; ˇ 6 b. En consecuencia a b 6 ˛ ˇ, lo que prueba que ˛ ˇ
es un mayorante de A B, y por tanto
6 ˛ ˇ. Probaremos ahora que ˛ ˇ 6
.
Cualesquiera sean a 2 A; b 2 B se tiene que a b 6
, es decir, a 6 b C
. Esta última
desigualdad nos dice que, fijado un elemento b 2 B, el número b C
es un mayorante
de A, por lo que ˛ 6 b C
. Hemos obtenido así que para todo b 2 B se verifica que
˛
6 b, es decir, ˛
es un minorante de B, y por tanto ˛
6 ˇ, es decir,
˛ ˇ 6
.
Sea ˛ D sup.A/; ˇ D sup.B/; D sup.AB/. Cualesquiera sean a 2 A, b 2 B se tiene
que a 6 ˛ y b 6 ˇ. En consecuencia, por ser a > 0; b > 0, ab 6 ˛ ˇ, lo que prueba que
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 126
˛ ˇ es un mayorante de AB y por tanto 6 ˛ ˇ.
Probaremos ahora que ˛ ˇ 6 . Cualesquiera sean a 2 A, b 2 B se tiene que ab 6 ,
esto es, a 6 =b. Esta última desigualdad nos dice que, fijado un elemento b 2 B, el
número =b es un mayorante de A, por lo que ˛ 6 =b. Hemos obtenido así que para
todo b 2 B se verifica que b 6 =˛, es decir, =˛ es un mayorante de B, y por tanto
©
ˇ 6 =˛, es decir, ˛ ˇ 6 .
Ejercicio resuelto 65 Sea A un conjunto no vacío de números reales. Para cada x 2 R
definamos la “distancia de x a A” por dist.x; A/ D Kınffjx aj W a 2 Ag. Prueba que para
todos x; y 2 R se verifica que:
j dist.x; A/ dist.y; A/j 6 jx yj:
Deduce que la aplicación x !7 dist.x; A/ es continua.
Solución. Teniendo en cuenta que jaj 6 b equivale a que a 6 b y a 6 b, la desigualdad
que nos piden probar equivale a estas dos desigualdades:
dist.x; A/ dist.y; A/ 6 jx yj y dist.y; A/ dist.x; A/ 6 jx yj (4.12)
Pero es claro que basta con probar una sola de ellas pues entonces cambiando x por
y obtenemos la otra (porque jx yj D jy xj). Probaremos la primera de las dos
desigualdades (4.12). Escribamos la desigualdad en la forma:
dist.x; A/ 6 jx yj C dist.y; A/
En todo lo que sigue x e y están fijos. Tenemos que para todo a 2 A:
dist.x; A/ 6 jx aj 6 jx yj C jy aj:
Es decir
dist.x; A/ jx yj 6 jy aj para todo a 2 A:
Deducimos que dist.x; A/ jx yj es un minorante del conjunto fjy aj W a 2 Ag,
y por tanto será menor o igual que el máximo minorante de dicho conjunto, que es por
definición dist.y; A/. Hemos probado así que
dist.x; A/ jx yj 6 dist.y; A/:
Que es la desigualdad que queríamos probar.
Es evidente, teniendo en cuenta la desigualdad que acabamos de probar, que la función
'.x/Ddist.x; A/ es continua, pues dado " > 0, tomamos ıD" con lo que, evidentemente,
j'.x/ '.y/j 6 jx yj < " siempre que jx yj < ı. Observa que aquí un mismo “ı”
©
vale para todo punto.
Ejercicio resuelto 66 Sea f W R ! R continua, mayorada y tal que para todos a; b 2 R con
a < b, se verifica que sup f .a; bŒ/ D sup f .R/. Prueba que f es constante.
Solución. Llamemos ˇ D sup f .R/. Es claro que f .x/ 6 ˇ para todo x 2 R. Y, si f
es constante deberá darse la igualdad f .x/ D ˇ en todo punto x de R. Luego tenemos
que probar que, dado a 2 R, es imposible que ocurra f .a/ < ˇ. Pero eso es claro, pues
si fuera f .a/ < ˇ, entonces tomando 2f .a/; ˇŒ, por el teorema de conservación del
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 127
signo aplicado a la función g.x/ D f .x/ en el punto a, deducimos que existe un
intervalo abierto u; vΠque contiene al punto a y tal que para todo x 2u; vΠes g.x/ > 0,
es decir, f .x/ < . Pero entonces sup f .u; vŒ/6 < ˇ en contradicción con la hipótesis
©
hecha.
Ejercicio resuelto 67 Sea f W Œa; b ! R creciente. Supongamos que a 6 f .x/ 6 b para
todo x en Œa; b. Prueba que hay algún punto c 2 Œa; b tal que f .c/ D c.
Sugerencia. Considera el supremo del conjunto fx 2 Œa; b W x 6 f .x/g. Fíjate que no
suponemos que f sea continua.
Solución. Sea M D fx 2 Œa; b W x 6 f .x/g. El conjunto M no es vacío (a 2 M ) y
está mayorado (b es un mayorante de M ). Sea c D sup.M /. Evidentemente c 2 Œa; b.
Probaremos que f .c/ D c. Probaremos para ello que no puede ser f .c/ ¤ c.
a) Si fuera c < f .c/, entonces, como c es un mayorante de M , tendríamos que
f .c/ 62 M , es decir, f .c/ > f .f .c//. Y también, por ser f creciente, tendríamos
que f .c/ 6 f .f .c//, resultando así una contradicción.
b) Si fuera f .c/ < c, entonces hay algún z 2 M tal que f .c/ < z. Y como z 6 f .z/
deducimos que f .c/ < f .z/ lo cual, por ser f creciente, implica que c < z lo que es
©
contradictorio.
Ejercicio resuelto 68 Justifica que, dado x 2 R, la ecuación log t C t 5 D x tiene una única
solución, que representamos por '.x/. Justifica que la función x !7 '.x/, .x 2 R/, así
definida es continua.
Solución. La función f W RC ! R dada por f .t / D log t C t 5 es continua. Como RC es
un intervalo, el conjunto imagen f .RC/ también es un intervalo. Claramente f .RC/ es
un intervalo no minorado ni mayorado, luego f .RC/DR. La función f es estrictamente
creciente, por tanto es inyectiva. Deducimos que dado x 2 R hay un único t 2 RC tal
que f .t/ D x. Sea ' W R ! R la función inversa de f . La función ' es estrictamente
creciente y su imagen es un intervalo (RC), luego es continua en virtud del teorema
©
(4.23).
Ejercicio resuelto 69 Sea f W Œ0; 1 ! R continua verificando que jf .s/ f .t/j > js tj
para todos s; t 2 Œ0; 1, y f .f0; 1g/ D f0; 1g. Prueba que o bien es f .x/ D x para todo
x 2 Œ0; 1, o bien es f .x/ D 1 x para todo x 2 Œ0; 1.
Solución. La clave de este ejercicio consiste en darse cuenta de que la condición del
enunciado jf .s/ f .t/j > js tj implica que f es inyectiva en Œ0; 1. Como f se supone
continua, el teorema (4.26) nos dice que f es estrictamente monótona.
La condición f .f0; 1g/ D f0; 1g nos dice que o bien es f .0/ D 0 y f .1/ D 1 o bien es
f .0/ D 1 y f .1/ D 0. En el primer caso f será estrictamente creciente y en el segundo
estrictamente decreciente.
Supongamos que f .0/ D 0 y f .1/ D 1. Probaremos que f .x/ D x para todo x 2 Œ0; 1.
Como f es estrictamente creciente, será 0 6 f .x/ 6 1 para todo x 2 Œ0; 1. Haciendo t D 0
y s D x en la desigualdad jf .s/ f .t/j > js tj, obtenemos que f .x/ > x. Haciendo
t D 1 y s D x obtenemos que 1 f .x/ > 1 x, es decir, f .x/ 6 x. Concluimos que
f .x/ D x.
El caso en que f .0/ D 1 y f .1/ D 0 se hace de forma parecida. ©
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
calculo_diferencial_integral
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
calculo_diferencial_integral
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 688
Pages: