calculo_diferencial_integral

Ejercicios propuestos 178

La flechita en la notación para límites, lKım f .x/, fue introducida por G.H. Hardy (1877 -

x!x0

1947) en su notable libro A Course of Pure Mathematics (1908).

5.3.7. Ejercicios propuestos

172. Considera la función f W RC ! R dada por

f .x/ D 1
1 x C E.x/

Donde, como de costumbre, E.x/ es la parte entera de x. Estudia los límites en C1 de
f .x/

las funciones f .x C 1/ f .x/ y x .

5.4. Breve historia del infinito

Es conocida la exclamación de David Hilbert ¡El infinito! Ninguna cuestión ha conmovido
tan profundamente el espíritu del hombre. Es verdad, el infinito atrae poderosamente nuestra
imaginación. ¿Quién no ha gritado en su infancia para devolver un agravio “. . . y tú diez veces
más. . . ¡infinitas veces más que yo!”? Es difícil imaginar que el tiempo tuviera un comienzo y
también que el espacio sea finito, porque no podemos pensar en una frontera para el espacio tras
de la cual no exista más espacio, ni un origen para el tiempo antes del cual no hubiera tiempo.
Cualquier respuesta a estas preguntas conduce siempre a nuevas preguntas. Un error típico
consiste en creer que si algo fuera infinito debería contener todas las cosas, algo así como el
Aleph borgiano. Matemáticamente, es claro que no tiene por qué ser así: los números pares son
infinitos y no son todos los números. Algo infinito tampoco tiene por qué ser necesariamente
muy grande. El Aleph de la narración de Borges es una pequeña esfera, un conjunto fractal
contiene infinitas copias de sí mismo, el veloz Aquiles permanece corriendo sin alcanzar jamás
a la tortuga que le lleva unos pocos metros de ventaja. . . .

5.4.1. La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas

5.4.1.1. Las aporías de Zenón de Elea

¡Zenón, cruel Zenón, Zenón de Elea!
Me has traspasado con la flecha alada.
Que, cuando vibra volando, no vuela.
Me crea el son y la flecha me mata.
¡Oh sol, oh sol! ¡Qué sombra de tortuga
Para el alma: si en marcha Aquiles, quieto!
Paul Valery

Un griego llamado Zenón, del que se sabe muy poco y de forma indirecta a través del
Parménides de Platón, cuyo nacimiento se fecha hacia el año 490 a.C en la ciudad de Elea en

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La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas 179

el sur de Italia, y que fue discípulo de Parménides, sigue manteniendo desde hace 2300 años su
permanente desafío a la razón.

Te recuerdo que, según Parménides, el ser es necesariamente uno, eterno, continuo, indi-
visible e inmutable. Los cambios, transformaciones y multiplicación de los seres, son meras
apariencias a las cuales no responde realidad alguna. La filosofía de Parménides fue muy criti-
cada porque choca con nuestras creencias más básicas sobre la realidad.

Zenón ideó sus paradojas o aporías (proposiciones sin salida lógica) para desacreditar a
quienes negaban las ideas de Parménides, y afirmaban la realidad del cambio y la pluralidad
de los seres. Aristóteles califica a Zenón de “inventor de la dialéctica”, una elaborada forma
de razonamiento que consiste en probar al oponente que de sus ideas se deducen consecuen-
cias inaceptables. Los argumentos de Zenón son realmente del tipo “reducción al absurdo”: se
acepta provisionalmente una hipótesis y, razonando correctamente a partir de ella, se llega a
una conclusión inaceptable, lo que obliga a rechazar la hipótesis inicial.

Vamos a exponer, en lenguaje actual, tres de las paradojas de Zenón que van dirigidas
contra las dos teorías del movimiento sostenidas en la antigüedad, las cuales dependen, claro
está, de la supuesta naturaleza del tiempo y del espacio. Debes tener en cuenta que Zenón no
niega el movimiento sino su inteligibilidad; la afirmación de que “el movimiento se demuestra
andando” no refuta a Zenón, su desafío no es a la experiencia sensible sino a la razón.

Las dos primeras paradojas parten del supuesto de que el espacio y el tiempo son infinita-
mente divisibles y el movimiento continuo y uniforme.

La dicotomía.
Para que un móvil pueda llegar a un punto dado, debe recorrer primero la mitad de la
distancia; pero antes de alcanzar esa mitad debe recorrer la mitad de la mitad. Y así suce-
sivamente, “ad infinitum”. De este modo para alcanzar completamente cualquier distancia
tendría que recorrer un número infinito de divisiones, lo cual es imposible en un tiempo
finito.

Aquiles y la tortuga.

Aquiles, el de los pies ligeros, nunca alcanzará a la tortuga que avanza lentamente unos
cuantos metros por delante de él. Pues cuando Aquiles alcance el punto donde estaba la
tortuga, ésta ya estará un poco más adelante; y cuando de nuevo Aquiles alcance ese lugar,
la tortuga habrá avanzado un poco más. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de
nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. . . . De este modo, la tortuga
estará siempre por delante de Aquiles.

Ambos argumentos están relacionados. Según la Dicotomía, para que haya movimiento debe
haber un comienzo, pero no hay una distancia mínima con la que empezar; por tanto el movi-
miento no puede empezar, luego no hay movimiento. Según Aquiles, un móvil para alcanzar su
destino debe cubrir primero la mitad de la distancia que lo separa, pero antes deberá recorrer
la mitad de esa mitad, y así sucesivamente; luego debe recorrer infinitas divisiones lo cual es
imposible en tiempo finito, por tanto nunca alcanzará su destino. Es decir, una vez empezado,
el movimiento no puede parar.

La tercera paradoja, que se refiere a una flecha lanzada al aire, supone que el espacio y el
tiempo están formados por unidades mínimas indivisibles y el movimiento es una sucesión de
diminutos saltos consecutivos.

La flecha.

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La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas 180

En un instante indivisible de tiempo la flecha debe permanecer quieta, pues si se moviera el
instante contendría unidades de tiempo más pequeñas en las que dicho movimiento tendría
lugar en contra de lo supuesto. Por tanto, en cada instante la flecha está quieta y, como el
tiempo se compone de instantes, la flecha está siempre quieta y el movimiento no tiene
lugar.

La influencia de las aporías de Zenón en filosofía, lógica y matemáticas ha sido notable y
se ha escrito y se sigue escribiendo mucho sobre ellas ([12] es una de las referencias más
interesantes). Más adelante veremos algunos intentos, bastante ingenuos, de resolver las dos
primeras por medio de la teoría de series. Despidamos a Zenón con una cita de Borges.

Zenón es incontestable, salvo que confesemos la idealidad del espacio y del tiempo. Acep-
temos el idealismo, aceptemos el crecimiento concreto de lo percibido, y eludiremos la
pululación de abismos de la paradoja. ¿Tocar a nuestro concepto del universo, por ese
pedacito de tiniebla griega?, interrogará mi lector.

J.L. Borges, “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”.

5.4.1.2. Atomismo y divisibilidad infinita

El filósofo Anaximandro (ca.610 - 546 a.C.) introdujo el infinito en la filosofía Griega.
Afirmó que el principio de todas las cosas existentes es el ápeiron. Etimológicamente ápeiron
significa lo sin límites. Según Anaximandro, el ápeiron es infinito, porque provee la energía pa-
ra que en el mundo no cese la generación y corrupción, e indeterminado, porque no es concreto
y no se identifica con ninguno de los elementos agua, aire, tierra, fuego. Podemos interpretarlo
como la fuente de energía primordial que garantiza la transformación y la unidad del cosmos.

En el período que separa a Zenón de Elea de Aristóteles surgió la filosofía del atomismo,
iniciada por Leucipo (ca. 450 - 420 a.C.) y desarrollada por Demócrito (ca. 460 - 370 a.C.). El
atomismo es una filosofía materialista que se ha interpretado como una respuesta al idealismo
de la Escuela Eleática (Parménides, Zenón). Los atomistas mantienen que hay dos principios
fundamentales: los átomos y el vacío. Los átomos son indivisibles e invisibles, infinitos en nú-
mero y de diversas formas y tamaños, perfectamente sólidos, indestructibles y permanentes.
Las substancias materiales son producidas por la unión y separación de esos átomos movién-
dose en el vacío. El movimiento se produce por la reordenación de los átomos entre sí; según
Aristóteles, los atomistas reducen todo cambio a un mero cambio de lugar. Los atomistas ad-
miten la pluralidad y el movimiento y niegan la infinita divisibilidad del espacio y la materia.

El atomismo fue cuestionado por Aristóteles (384 - 322 a.C.), que realizó un análisis siste-
mático del continuo. Aristóteles divide las cantidades en discretas y continuas. Los números y
el lenguaje hablado son discretas y las líneas, superficies, sólidos, tiempo y espacio son conti-
nuas. La respuesta a la pregunta de si una magnitud continua (un continuo) es permanentemente
divisible en partes cada vez más pequeñas, o hay un límite más allá del cual no puede prose-
guirse el proceso de división, depende de la naturaleza del infinito. Aristóteles dedica el Libro
III de su Física a un estudio sistemático del infinito. Considera que el estudio del infinito forma
parte del estudio de la naturaleza, pues lo característico de ésta es el movimiento y el cambio, y
el movimiento es pensado como algo continuo, y lo que es continuo es definido con frecuencia
como algo infinitamente divisible.

Primero, dice Aristóteles, “hay que examinar en general si es o no es posible que haya

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La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas 181

un cuerpo sensible infinito”. Después del correspondiente estudio, llega a la conclusión de que
“no existe un cuerpo que sea actualmente infinito”. Pero “la negación absoluta del infinito es
una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles”.

Aristóteles expone algunas razones que apoyan la creencia en la realidad del infinito y
considera los distintos sentidos de dicho término. Entre las primeras: la infinitud del tiempo,
la divisibilidad de las magnitudes y la infinitud de los números; entre los segundos: lo que no
puede ser recorrido o se puede recorrer pero sin llegar a un término.

Es también evidente que no es posible que lo infinito exista como un ser en acto o como una subs-
tancia y un principio. Luego lo infinito existe como un atributo.

Lo infinito es un atributo que puede predicarse de la cantidad o de determinados procesos; es-
pecialmente, los procesos de adición y de división. Aristóteles, habla en ese sentido del infinito
por adición y el infinito por división o la divisibilidad infinita de un continuo.

Ahora bien, el ser se dice o de lo que es en potencia o de lo que es en acto, mientras que el infinito es
o por adición o por división. Y ya se ha dicho que la magnitud no es actualmente infinita [. . . ] Nos
queda, entonces, por mostrar que el infinito existe potencialmente.

Pero la expresión “existencia potencial” no se debe tomar en el sentido en que se dice, por ejemplo,
“esto es potencialmente una estatua, y después será una estatua”, pues no hay un infinito tal que
después sea en acto. Y puesto que el ser se dice en muchos sentidos, decimos que el infinito “es” en
el sentido en que decimos “el día es”.

Aristóteles distingue, pues, dos clases de infinito: el infinito como una totalidad completa, que
llama el infinito actual y cuya existencia niega; y el infinito potencial, que concibe como un
proceso secuencial de adición o de subdivisión sin final. Lo metáfora del día es muy apropiada,
pues el ser de un día es un estar siendo de forma sucesiva, de manera que en ningún momento
el día queda realizado plenamente como un todo. Análogamente, el infinito potencial nunca
será plenamente realizado pues no hay un infinito tal que después sea en acto. La infinitud
potencial es la forma usual en que concebimos el tiempo como una línea recta indefinidamente
prolongable o la sucesión de los números que podemos ir formando por adición consecutiva de
la unidad.

Esta concepción aristotélica del infinito se aceptó sin mayores cambios hasta el siglo XIX.
Es una teoría que plantea bastantes dificultades, algunas de ellas consecuencia de las ideas sobre
el espacio y el tiempo del propio Aristóteles, y otras internas a la propia teoría. La forma en que
la existencia potencial del infinito se relaciona con su existencia como un proceso no es fácil de
interpretar, pues si el infinito actual nunca es posible, es preciso que haya un sentido en el cual
un proceso que está ocurriendo en el presente mantenga su existencia potencial. Por otra parte,
Aristóteles mantiene que el tiempo es infinito lo que, aparentemente, contradice la no existencia
de infinitos actuales. Respecto al espacio, afirma que es finito y “resulta entonces razonable
pensar que no hay un infinito por adición que sea tal que pueda superar toda magnitud”. Esto
puede interpretarse como que Aristóteles niega la posibilidad, incluso potencial, de un infinito
por adición de magnitudes. De todas formas, Aristóteles cree que la negación del infinito actual
no afecta a los matemáticos:

Esta argumentación no priva a los matemáticos de sus especulaciones por el hecho de excluir que
el infinito por adición pueda recorrerse en acto. Porque no tienen necesidad de este infinito ya que
no hacen uso de él, sino sólo, por ejemplo, de una línea finita que se prolongue tanto como ellos
quieran.

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La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas 182

Sobre todo esto se ha escrito y se sigue escribiendo mucho. Más interesante para nosotros es la
relación del infinito con la divisibilidad infinita del continuo.

Los atomistas negaban la divisibilidad infinita. Su argumento era que si una magnitud con-
tinua fuera dividida en todo punto, entonces no quedaría nada o solamente quedarían puntos
sin extensión, porque en caso contrario el proceso de división podría proseguir. Pero, decían, si
quedan puntos sin extensión, entonces no es posible recomponer la magnitud original a partir
de ellos, pues por la agregación de puntos sin extensión no puede lograrse nunca una magnitud
finita. Concluían que en cualquier caso la magnitud inicial se ha convertido en algo incorpóreo
y, por tanto, algo que tenía existencia ha dejado de ser, lo cual, evidentemente, es un imposible.

Aristóteles defendía la divisibilidad infinita pero debía refutar el argumento atomista. Su
solución es muy original, pues afirma que aunque una magnitud continua puede ser dividida
en cualquier punto, no puede ser dividida en todo punto. Para Aristóteles, dividir un continuo
en todos sus puntos es reducirlo a lo discreto. Mientras que un continuo tiene la propiedad de
densidad, es decir, entre dos cualesquiera de sus puntos siempre hay otro punto del continuo, los
puntos obtenidos, después de una división infinita actual de un continuo, serían adyacentes unos
con otros, y esto implica que la propiedad de densidad se habría perdido. Pero si dividimos un
continuo, lo que obtenemos son dos continuos cada uno de ellos con la propiedad de densidad.
Por tanto, es imposible llegar, por divisiones sucesivas, a reducir un continuo a puntos. Así,
Aristóteles afirma la divisibilidad infinita pero niega la divisibilidad en todo punto, con lo que
el argumento atomista deja de tener valor.

Esta es una posible interpretación de los argumentos de Aristóteles sobre la divisibilidad
infinita, que a veces son bastante oscuros y confusos. Además, como veremos más adelante,
puede darse una interpretación matemática rigurosa de la misma.

Las matemáticas griegas evitan el infinito actual. Así, Euclides, considera rectas que pueden
ser prolongadas cuanto se quiera, pero no “rectas infinitas”. Igualmente, al enunciar que los
números primos son infinitos, lo expresa diciendo que “Hay más números primos que cualquier
cantidad de números primos propuesta”. De esta forma evita considerar el infinito actual de
los números primos.

En Los Elementos Euclides expone el método de exhausción (8.8.1) de Eudoxo de Cnido,
que se utilizaba para calcular áreas (cuadraturas) de regiones planas. Es frecuente afirmar que
este método consiste en una aproximación al área seguida de un proceso límite. No es así.
Aunque su nombre sugiere “agotamiento” de una figura plana por polígonos inscritos, el méto-
do estaba basado en un razonamiento muy cuidadoso de doble reducción al absurdo (llamado
razonamiento apagógico), precisamente para evitar la consideración de un infinito actual.

Mención aparte merece Arquímedes. Por una parte, probó en su obra El arenario que si
el Universo estuviera completamente lleno de granos de arena, su número sería finito. Para
lo cual desarrolla un sistema de numeración apropiado para manejar grandes números (para
los griegos el número mayor era la miríada de miríadas, equivalente a 108) que le permite
describir un número que, en base diez, tendría unos 80000 millones de millones de cifras. Pero
también Arquímedes ideó métodos heurísticos2 que están expuestos en su obra El Método (ver
8.8.1.2), descubierta en 1906, en la que explica cómo anticipó algunos de sus descubrimientos

2Por método heurístico se entiende cualquier proceso que facilite anticipar un resultado. Son métodos que se
apoyan en alguna forma de intuición que conduce a la formulación de conjeturas razonables, que después deben ser
probadas con métodos científicos rigurosos

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La idea de infinito en la filosofía y la matemática Griegas 183

C1 C2 O

Q

P

Figura 5.13. Rueda de Aristóteles

por medio de técnicas de equilibrio usando la ley de la palanca. En estas técnicas, Arquímedes
hace un uso muy libre del infinito; por ejemplo, descompone áreas planas como sumas infinitas
de segmentos, es decir, reduce un continuo a elementos indivisibles, con lo cual podrían estar
de acuerdo los atomistas, pero no Aristóteles.

5.4.1.3. La rueda de Aristóteles

Así se conoce un interesante problema propuesto por Aristóteles en su Mechanica. Si un
círculo de radio r gira sin deslizar sobre su tangente horizontal, al completar un ciclo habrá
avanzado una distancia igual a 2 r . Consideremos dos círculos C1 y C2, de radios r1 y r2,
concéntricos, rígidamente unidos entre sí. Cada uno de dichos círculos puede avanzar girando
sin deslizar sobre su tangente horizontal. Al estar rígidamente unidos, el movimiento de giro de
un círculo obliga al otro círculo a girar de igual manera y, además, ambos círculos avanzarán
la misma distancia, que será igual a la distancia recorrida por su centro común. Supongamos
que el círculo C1 gira sin deslizar un ciclo completo, en cuyo caso también C2 gira un ciclo
completo. El camino recorrido por C1 es igual a 2 r1 que es la longitud de su circunferencia;
y el camino recorrido por C2 también es 2 r1, aunque la longitud de su circunferencia es
2 r2 < 2 r1. Aristóteles vio en esto algo paradójico.

Desde un punto de vista cinemático no hay dificultad en explicar lo que sucede. Al girar C1,
con velocidad angular !, hace girar igualmente a C2 con igual velocidad angular. Pero también
C1, al avanzar, comunica a C2 un movimiento de traslación de magnitud !r1. El movimiento
de cada punto de la circunferencia de C2 es por tanto la resultante de un movimiento circular
simple de velocidad angular ! y de un movimiento de traslación horizontal de magnitud !r1.
Es la magnitud mayor, !r1 > !r2, de esta componente de traslación la que hace posible que el
círculo pequeño, aunque realiza el mismo número de ciclos que el grande, recorra igual camino
que el grande.

Pero es ahora donde se plantea el problema. Es claro que ambos círculos giran continua-
mente, por lo que el punto de tangencia de la circunferencia de cada uno de ellos con la tangen-
te horizontal, cambia también de manera continua. Por tanto, el hecho de que ambos círculos
mantengan igual ritmo de avance no puede explicarse porque el círculo menor se deslice sobre
su tangente pues tal cosa no sucede. Aquí tenemos la paradoja: ¿cómo es posible que los dos
caminos sean iguales sin que se produzcan deslizamientos del círculo menor que compensen la
diferencia?

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El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX 184

Naturalmente, podemos suponer que el círculo que gira es el pequeño y obtenemos una
situación similar a la antes descrita, en la que ahora los dos círculos recorren un camino que es
igual a la longitud de la circunferencia del círculo pequeño, a pesar de que ambos realizan un
ciclo completo.

Se trata de un problema entre cuyos diversos aspectos, todos ellos relacionados con la idea
de infinito, podemos destacar:

El problema del movimiento y la idea de continuidad.
La estructura del continuo y la divisibilidad infinita.
La correspondencia uno a uno entre los puntos de dos caminos de diferente longitud.

Aristóteles solamente consideró el problema como un ejemplo de un cuerpo que mueve a
otro. Observó que era indiferente que los círculos fueran concéntricos y que podían suponerse
tangentes exteriores, de forma que uno se mueve apoyándose contra el otro, en cuyo caso, dijo,
es claro que el camino recorrido debe ser el del círculo que se mueve.

5.4.2. El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX

5.4.2.1. El infinito en la Escolástica

Es sabido que las religiones lo contaminan todo de irrealidad. Después del triunfo de la
Iglesia Católica, las discusiones sobre el infinito adquieren una orientación marcadamente teo-
lógica.

San Agustín (354 - 430), filósofo cristiano, admite el infinito actual como atributo de Dios,
pero niega que Dios creara nada infinito. En su obra La Ciudad de Dios escribe refiriéndose a
los números:

Así que son desiguales entre sí y diferentes; cada uno es finito y todos son infinitos. ¿Y que sea
posible que Dios todopoderoso no sepa los números por su infinidad, y que la ciencia de Dios llegue
hasta cierta suma de números, y que ignore los demás, quién habrá que pueda decirlo, por más
ignorante y necio que sea? [. . . ] Y así que la infinidad de los números para la ciencia de Dios, que
la comprende, no puede ser infinita.

En esa insólita cuadratura del círculo que fue la Escolástica, en su intento de conciliar la filo-
sofía de Platón y Aristóteles con la revelación cristiana, destaca Santo Tomás de Aquino (ca.
1225 - 1274). La infinitud actual de Dios en todos los sentidos es un dogma Católico y Tomás
de Aquino es una autoridad en tan delicada cuestión teológica. En su obra Summa Contra Gen-
tiles, Capítulo 43, proporciona catorce argumentos breves para demostrar la infinitud de Dios,
cada uno de ellos termina con la letanía “Por tanto Dios es infinito”.

5.4.2.2. Galileo y el infinito

Para encontrar ideas más interesantes sobre el infinito debemos referirnos a Galileo Galilei
(1564 - 1642). En su obra pionera sobre la dinámica y estática de sólidos Discorsi e dimostra-
zioni matematiche intorno a due nuove science attenenti alla meccanica e i movimenti locali
(1638), Galileo expone sus ideas sobre el infinito.

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El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX 185

Desde los tiempos de Aristóteles, la paradoja de los dos círculos había sido considerada
por diversos estudiosos aunque sin avances destacables. Galileo, en la citada obra, realiza un
detallado estudio de la misma y propone soluciones originales. Galileo observa que la circun-
ferencia del círculo pequeño debe tocar con cada uno de sus puntos una sola vez la tangente
horizontal y avanzar sobre ella una distancia mayor que su longitud. Galileo se pregunta cómo
es posible que el círculo más pequeño recorra una distancia mayor que su circunferencia sin
dar saltos. Antes de exponer el estudio de Galileo, debemos comentar las opiniones de su casi
exacto contemporáneo Giovanni di Guevara (1561 - 1641). Sin duda, Guevara conoce las ideas
matemáticas de cantidades infinitesimales y de indivisibles que se estaban desarrollando en esta
época. Guevara escribe en su obra In Aristotelis Mechanicas commentarii (1627)3:

Ambos, el círculo conductor y el que es movido tocan sucesivamente todas las partes individuales
indivisibles de la línea del plano con un número igual de sus propias partes indivisibles, pero con
la diferencia de que cuando el círculo conductor las toca, las partes en contacto son iguales entre
sí, mientras que cuando el círculo movido las toca, las partes correspondientes son diferentes. Pues
el contacto igual de dos cantidades depende del ajuste exacto conjuntamente de iguales partes de
ambas, de forma que puedan coexistir en el mismo lugar. Pero no puede darse este ajuste exacto
conjunto cuando los caminos son desiguales, pues esta desigualdad de los caminos también está
presente en los lugares de contacto. . .

Guevara indica que cuando el círculo menor es movido por el mayor, una parte más pequeña
del círculo menor siempre está en contacto con una parte mayor de la horizontal, esto hace que
dicho círculo avance más rápidamente y de esta forma se compensa la menor longitud del arco
de circunferencia girado.

Galileo se pregunta, en la citada obra, por la constitución básica de la materia y si la cohe-
sión de los sólidos puede explicarse por la existencia de diminutos vacíos entre partículas ma-
teriales y, más concretamente, si puede haber un número infinito de vacíos en una extensión
finita. La Rueda de Aristóteles le parece un modelo matemático adecuado para estudiar este
asunto.

Galileo empieza su estudio considerando, en vez de círculos, polígonos regulares concén-
tricos rígidamente unidos. Primero considera exágonos.

ED F

E0 D0

F F0 C F

O C0 f 0 a0

A0 B0 b0 C 0 c0 D0

AB c d e f a

Figura 5.14. Exágonos de Galileo

Sometemos el exágono mayor a un giro de 60 grados con centro en el vértice B. Este
giro lleva el vértice C al punto del mismo nombre, c, sobre la línea de base, y el centro O lo

3Traduzco libremente una cita de Guevara recogida en el trabajo más completo que conozco sobre la rueda de
Aristóteles [4], el cual estoy siguiendo muy de cerca en esta exposición

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El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX 186

lleva a donde estaba el vértice C . Este giro lleva el lado B 0C 0 del exágono menor al segmento
del mismo nombre b 0C 0 de la línea de base de dicho exágono, y al hacerlo deja en medio un
segmento B 0b 0. Este proceso se repite con sucesivos giros de 60 grados con centros respectivos
en los puntos c; d; e; f hasta completar un ciclo. El exágono mayor ha recorrido sobre su línea
de base una distancia igual a su perímetro. El exágono menor avanza a saltos, pues en cada giro
deja en medio un segmento de su línea de base con el que no entra en contacto (B 0b 0, C 0c 0. . . ).
El camino que dicho exágono recorre es su perímetro más los saltos correspondientes que, en
el caso considerado en la figura, sería igual a 5 veces y media el lado del exágono mayor. Por
su parte, el centro recorre una distancia igual a 5 veces el lado del exágono mayor.

Es claro que conforme aumenta el número de lados, la longitud del lado del polígono mayor
es cada vez más pequeña y las longitudes recorridas son cada vez más parecidas. En este punto,
Galileo considera los círculos como polígonos con un número infinito de lados (un infinito
actual, no potencial) y escribe:

La distancia recorrida por el infinito número de lados continuamente distribuidos del círculo mayor
es igualado por la distancia recorrida por el infinito número de lados del menor, pero, en el último
caso, por la interposición de igual número de vacíos entre los lados. Y al igual que los lados no
son finitos en número sino infinitos, igualmente los vacíos interpuestos no son finitos sino infinitos.
Es decir, el número infinito de puntos sobre la línea recorrida por el círculo mayor son todos ellos
ocupados (esto es, en el transcurso de la revolución de ese círculo han sido ocupados por un “lado”
del círculo), pero sobre la recorrida por el círculo menor son parcialmente ocupados y parcialmente
vacíos.

Otra paradoja estudiada por Galileo es la de la “equivalencia entre una circunferencia y
un punto”. Para explicarla, consideremos un rectángulo formado por dos cuadrados iguales
unidos por un lado común. Recortemos en este rectángulo una semicircunferencia de centro
en la mitad del lado superior del rectángulo e igual radio. La figura que resulta de quitar dicha
semicircunferencia al rectángulo se gira alrededor de su eje de simetría y se obtiene un sólido de
revolución parecido a un cuenco. Supongamos ahora inscrito en dicho sólido un como circular
recto cuya base coincide con la del cuenco y de altura igual a la del cuenco.

O
CB

UV

Q

D PA

Figura 5.15. Paradoja circunferencia-punto

Cada plano paralelo a la base del cuenco determina en su intersección con el cono un círcu-
lo, y en su intersección con el cuenco una corona circular. Es muy fácil comprobar que dichos
círculo y corona circular tienen igual área. Si ahora consideramos planos paralelos a la base del
cuenco que se van acercando al borde superior del mismo, las áreas de las intersecciones de

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El infinito desde la Edad Media hasta el siglo XIX 187

dichos planos con el cono y el cuenco son siempre iguales. El último de dichos planos da como
intersección con el cuenco una circunferencia (el borde del cuenco) y con el cono un punto (el
vértice del cono). Como los límites de cantidades iguales entre sí deben también ser iguales
entre sí, Galileo se pregunta por qué no podemos considerar la circunferencia como igual a su
centro. Si lo hacemos, llegaremos a la conclusión de que todas las circunferencias son iguales
entre sí e iguales a un punto.

La misma figura anterior pone de manifiesto que la semicircunferencia está formada por
tantos puntos como los que forman la poligonal CDAB. Pues cada semirrecta con origen en
O corta a la semicircunferencia en un único punto Q y a la poligonal en otro único punto P .
Así podemos emparejar los puntos de la semicircunferencia con los de la poligonal y de esta
forma los agotamos todos. Por tanto ambas líneas tienen igual número infinito de puntos. Si
llamamos ` a la longitud de AB, la semicircunferencia tiene longitud `, menor que la longitud
de la poligonal CDAB que es igual a 4`. Galileo escribe al respecto:

Estas dificultades son reales; y no son las únicas. Pero recordemos que estamos tratando con infinitos
e indivisibles, los cuales trascienden nuestra comprensión finita, los primeros a causa de su magnitud,
los últimos debido a su pequeñez.

[. . . ] intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir sobre el infinito, asignándole propiedades que
damos a lo finito y limitado; pero pienso que esto es incorrecto, dado que no podemos hablar de
cantidades infinitas como si fuesen mayores, menores o iguales a otras.

Otra paradoja considerada por Galileo, es la que se deduce de la observación de que para cada
número natural n podemos construir un cuadrado de lado n, cuya área es igual a n2, de donde
se deduce que hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Sin embargo la mayoría
de los números no son cuadrados perfectos. A la vista de ello, Galileo escribe:

[. . . ] el total de los números es infinito, y el número de cuadrados es infinito; ni es menor el número
de cuadrados que el de la totalidad de números, ni el otro mayor que el anterior; y, finalmente, los
atributos “igual”, “mayor” y “menor” no son aplicables al infinito, sino solo a cantidades finitas.

5.4.2.3. El Cálculo y el infinito

Una característica de las matemáticas del siglo XVII es el libre uso del infinito. En los
dos primeros tercios del siglo XVII se desarrollan una variedad de métodos infinitesimales que
preludian el cálculo diferencial, así como técnicas de cuadraturas basadas en la descomposición
de recintos planos o de sólidos en infinitos elementos indivisibles. El matemático inglés John
Wallis introdujo en 1655 en su obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del “lazo del amor”,
1, con el significado de “infinito”.

La invención del Cálculo, en el último tercio del siglo XVII, ordena y sistematiza estos
procedimientos, y proporciona algoritmos generales para resolver multitud de problemas que
antes se abordaban con técnicas específicas para cada caso. Las cantidades infinitesimales,
los casi imprescindibles infinitésimos, que ya son viejos amigos nuestros, son otra forma del
infinito, en este caso, de lo infinitamente pequeño. Durante el siglo XVIII y parte del XIX, los
infinitésimos se usaron de forma casi generalizada porque, a pesar de los problemas de todo tipo
que planteaban, eran útiles y eficaces para resolver problemas y una herramienta heurística muy
apreciada. Es preferible diferir, hasta que estudiemos el nacimiento del Cálculo, el estudio de
algunos aspectos de este proceso cuya consideración ahora nos apartaría del tema que estamos
viendo.

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El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 188

5.4.3. El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos

A principios del siglo XIX, la actitud de los matemáticos ante el infinito no era diferente a
la mantenida por Galileo doscientos años antes. La consideración del infinito actual conducía
a paradojas; en particular, la llamada paradoja de la reflexividad, es decir, la posibilidad de
establecer una biyección entre un conjunto infinito y una parte del mismo, indicaba que la
consideración del infinito actual contradecía el principio lógico de que “el todo es mayor que
las partes”. Para los principales matemáticos de la época, como Gauss y Cauchy, el infinito
seguía siendo un infinito potencial, un concepto sin contenido matemático, una palabra que
servía para designar un proceso sin punto final. Gauss lo expresó claramente en una carta a su
amigo Schumacher en 1831:

Debo protestar vehementemente contra el uso del infinito como algo completado, pues esto nunca
está permitido en matemáticas. El infinito es simplemente una forma de hablar; una forma resumida
para la afirmación de que existen los límites a los cuales ciertas razones pueden aproximarse tanto
como se desee, mientras otras son permitidas crecer ilimitadamente.

La consideración del infinito actual como objeto matemático exige disponer de objetos mate-
máticos que puedan ser llamados “infinitos”. Que los números naturales son potencialmente
infinitos quiere decir que son una sucesión a la que podemos agregar términos indefinidamen-
te, muy diferente es la consideración del infinito actual de todos los números naturales (a lo
que estamos ya acostumbrados y no nos causa mayor problema), que equivale a considerarlos
como un todo acabado, como un conjunto formado por todos ellos. Esto indica que una teoría
matemática del infinito supone la consideración de conjuntos infinitos. Es imposible separar la
teoría de conjuntos y la teoría del infinito.

En esto, como en otras cosas, Bernahrd Bolzano fue un adelantado a su tiempo. En su libro
Las Paradojas del Infinito, publicado en 1851, tres años después de su muerte, Bolzano se
propone estudiar las paradojas conocidas y mostrar que, debido a la falta de precisión en el uso
del término infinito, daban lugar a aparentes contradicciones. Es necesario, afirma, definir el
término infinito y las matemáticas son el contexto apropiado para ello. Naturalmente, Bolzano,
está refiriéndose al infinito actual. Con la idea de fundamentar matemáticamente la noción de
infinito actual, Bolzano introduce los términos de agregado, conjunto y multitud, siendo en
esta obra la primera vez que la palabra “conjunto” es usada con un significado matemático
preciso. Un agregado es una totalidad compuesta de objetos bien definidos; un conjunto es un
agregado donde el orden de sus partes es irrelevante y donde nada esencial se cambia si solo
se cambia el orden (es decir, un agregado sin estructura alguna); una multitud es un conjunto
cuyos miembros son individuos de una misma especie.

Bolzano considera un conjunto como un todo, sin necesidad de considerar separadamente
cada uno de sus elementos. El ejemplo que propone es muy significativo a este respecto:

. . . puedo pensar en el conjunto, o agregado, o si se prefiere, en la totalidad de los habitantes de Praga
o de Pekín sin formar una representación separada de cada habitante individual.

Bolzano abandona así el punto de vista constructivo, la idea de que un conjunto se va formando
a partir de sus elementos mediante alguna clase de algoritmo.

Bolzano define una multitud infinita como aquella de la cual cualquier multitud finita sola-
mente puede ser parte de la misma. Debemos observar que esta definición no es la tradicional

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El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 189

en la que infinito es definido como la negación de lo finito. Con respecto a la existencia de
conjuntos infinitos, Bolzano afirmó que “el conjunto de todas las verdades absolutas es un con-
junto infinito”. Su idea es partir de una proposición que se sabe verdadera a la que podemos
llamar A; a partir de ella podemos formar otra “A es verdadera” que, claramente, es diferente
de la proposición A y este proceso puede proseguirse indefinidamente. Esta idea parece muy
ingenua pero, más de treinta años después, Dedekind se inspiró en ella para probar el mismo
resultado.

Bolzano mantiene que el criterio de validez para la existencia de conjuntos infinitos debe
basarse en su naturaleza no contradictoria.

Tan pronto como disponemos de un concepto, A, el cual representa los objetos a; b; c; d; : : : y no
otros, es extremadamente fácil llegar a un concepto que represente el agregado de todos estos objetos
tomados juntos. Solamente se necesita combinar la idea expresada por la palabra “agregado” y el
concepto A, en la manera expresada por las palabras “el agregado de todo A”. Esta simple observa-
ción, cuya corrección confío que será evidente para todos, elimina todas las dificultades planteadas
contra la idea de un conjunto que comprende infinitos miembros.

En términos actuales, lo que Bolzano afirma es que dada una proposición P .x/, relativa a los
elementos de un conjunto X , podemos formar el conjunto Y D fx 2 X W P .x/ es verdaderag.

Bolzano se propone establecer un criterio de comparación para conjuntos infinitos. La pa-
radoja de la reflexividad no le preocupa tanto como a Galileo; al contrario, el hecho de que
pueda establecerse una biyección entre un conjunto y una parte de él le parece “una de las más
notables característica de los conjuntos infinitos”. Pero en este punto crucial Bolzano no eligió
el criterio adecuado.

. . . el conjunto de todas las cantidades entre 0 y 5 (o menores que 5) es claramente infinito, al igual
que lo es el conjunto de todas las cantidades menores que 12. Con no menos seguridad es el último

conjunto mayor que el primero, pues el primero constituye solamente una parte del último [. . . ] Pero
no menos cierto que todo esto es lo siguiente: si x representa una cantidad arbitraria entre 0 y 5, y
si fijamos la razón entre x e y por la ecuación 5y D 12x, entonces y es una cantidad entre 0 y 12; y

recíprocamente, siempre que y esté entre 0 y 12, x está entre 0 y 5.

Es decir, Bolzano afirma que la aplicación dada por y D 12 para x 2 Œ0; 5 establece una
x
5
biyección entre dicho intervalo y el intervalo Œ0; 12. Pero, cuando se trata de conjuntos infinitos,

a Bolzano no le parece que la existencia de una biyección sea criterio suficiente para afirmar

que ambos conjuntos son “equinumerosos” y elige como criterio de comparación la relación

de inclusión entre conjuntos. De esta forma puede comparar conjuntos infinitos pero no puede

cuantificar el infinito y, por tanto, no logra desarrollar, pese a su intento, una aritmética del

infinNito.es ésta la única ocasión en que coinciden los intereses de Cantor y Dedekind. De hecho,

la contribución de Dedekind a la creación de la teoría de conjuntos es mucho más importante

de lo que suele reconocerse. En su famoso trabajo Was sind und was sollen die Zahlen (¿Qué

son y para qué sirven los números?) publicado en 1888, Dedekind precisa el significado de

las operaciones elementales de la teoría de conjuntos ingenua, y da la definición general de

función entre conjuntos abstractos, generalizando así la anteriormente dada por Dirichlet para

funciones reales. Así mismo Dedekind da la siguiente definición:

Un sistema S se llama infinito cuando es semejante a una parte propia de sí mismo; en caso contrario,
se dice que S es un sistema finito.

En términos actuales: un conjunto S es infinito, si hay un subconjunto propio, Ø ¤ A ¤ S , y
una biyección de A sobre S . En una nota a pie de página, Dedekind, afirma haber comunicado

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El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 190

Figura 5.16. Cantor Le estaba reservada a Georg Cantor (1845 - 1918) la gloria
de ser el primer matemático que domesticara el infinito. Cantor se
vio obligado a defender constantemente sus innovadoras ideas en
contra de las opiniones de influyentes matemáticos de su tiempo,
alguno de los cuales, como Leopold Kronecker, pasó incluso del
ataque científico al ataque personal, si bien otros destacados ma-
temáticos como Weierstrass, Dedekind o Hilbert estuvieron de su
parte.
El interés de Cantor por los conjuntos infinitos de puntos y la na-
turaleza del continuo procede de sus tempranos trabajos en series
trigonométricas. En un notable trabajo de 1872, Cantor desarrolló
una teoría de los números reales basada en sucesiones de números
racionales. Ese mismo año, un poco antes, Dedekind había publi-
cado su teoría de las cortaduras.

esa definición a Cantor ya en 1882 y varios años antes a otros colegas. También fue Dedekind
un precursor de las técnicas conjuntistas en Álgebra, introduciendo, entre otros, los conceptos
de cuerpo, ideal y módulo.

En una carta a Dedekind, de fecha 29 de noviembre de 1873, Cantor afirmaba, sin incluir
prueba alguna, que los racionales positivos y, más generalmente, el conjunto de las sucesiones
finitas de enteros positivos, podía ponerse en correspondencia biyectiva con los enteros positi-
vos, y preguntaba si eso mismo se podía hacer con los números reales. Dedekind le respondió, a
vuelta de correo, que en su opinión nada se oponía a ello, y añadió, con demostración incluida,
que el conjunto de los números algebraicos sí es biyectivo con el de los enteros positivos.

5.5 Definición. Los números algebraicos son números, reales o complejos, que son raíces de

alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Por tanto, un número real o complejo x

es algebraico si hay números enteros ck 2 Z, (k D 01; 2; : : : n) tal que x satisface la ecuación

polinómica

c0 C c1x C c2x2 C C cnxn D 0

Los números que no son algebraicos se llaman trascendentes.

Todo número racional es evidentemente algebraico, pero también lo son las raíces de cual-
quier orden de números racionales positivos y muchos más. Intuitivamente, los números alge-
braicos son los que pueden obtenerse a partir de los enteros por procedimientos algebraicos:
suma, producto, cociente, división, raíces, iterados un número finito cualquiera de veces. En
ese sentido podemos decir que los números algebraicos no están “muy alejados” de los ente-
ros. Los números trascendentes son justamente lo contrario: son números irracionales “muy
alejados” de los enteros.

Para facilitar la exposición que sigue voy a dar algunas definiciones de conceptos introdu-
cidos por Cantor años más tarde.

5.6 Definición. Se dice que dos conjuntos A y B son equipotentes si existe una aplicación bi-
yectiva de uno de ellos sobre el otro. Los conjuntos equipotentes al conjunto N de los números
naturales se llaman conjuntos numerables.

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Los conjuntos numerables son aquellos conjuntos cuyos elementos se pueden contar ¡aun-
que sean infinitos! El resultado, citado por Cantor, de que Q es numerable, no deja de ser muy
sorprendente y contrario a la intuición, pues si r < s son números racionales cualesquiera, entre
ellos dos hay siempre infinitos números racionales. Pese a ello, no hay más números racionales
que números naturales.

Poco después de las cartas citadas, Cantor logró demostrar que el conjunto de los números
reales no es numerable. De aquí se deduce enseguida que en todo intervalo de R, hay infinitos
números trascendentes. Cantor publicó estos resultados, el suyo y el de Dedekind, en un tra-
bajo de tres páginas titulado Uber eine Eigenshaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen
Zahlen (Sobre una propiedad del sistema de todos los números algebraicos reales) (1874). Es
muy llamativo que el título de este trabajo, considerado como el nacimiento oficial de la teoría
de conjuntos, no haga referencia alguna al resultado que hoy consideramos como el princi-
pal: la no numerabilidad de R. Además la propia presentación del trabajo elude destacar estos
resultados. Posiblemente, Cantor temía la reacción que pudiera provocar un trabajo tan radical-
mente innovador. Porque lo que él hacía era probar que en cualquier intervalo Œa; b R con
a < b hay, en un sentido matemático preciso, más números que todos los números algebraicos
juntos, de donde se deducía que en Œa; b tenía que haber números trascendentes. Esta es una
demostración de existencia pura, algo nuevo en las matemáticas.

Demostrar que un número concreto es trascendente es muy difícil. Era conocida la trascen-
dencia del número e, demostrada por Charles Hermite en 1873, y Ferdinand Lindemann logró
probar la trascendencia de en 1882 (demostrando así que el problema de la cuadratura del
círculo no tenía solución).

Naturalmente, Cantor sabía muy bien que había descubierto una propiedad específica del
continuo: su no numerabilidad. Disponía ya de dos tipos de conjuntos infinitos: N y R, cla-
ramente N tenía un tamaño más pequeño que R. Precisar esa idea de tamaño y elaborar una
teoría de comparación de conjuntos infinitos es lo que hizo Cantor en los siguientes veinte años
y, casi contra su voluntad, se vio llevado a desarrollar la teoría de números transfinitos y la
teoría de conjuntos como una disciplina matemática independiente.

En 1877, Cantor probó, para su propia sorpresa, que los puntos del plano podían ponerse en
correspondencia biyectiva con R, y, más general, que los espacios Rn son todos ellos biyectivos
a la recta real. Este resultado fue de los que más desconcierto provocó entre los matemáticos
contemporáneos.

Cantor siguió desarrollando sus ideas en una serie de seis trabajos publicados en los años
1878 a 1884. En 1883, en su trabajo Fundamentos de una teoría general de conjuntos, escribe:

La presentación de mis investigaciones hasta la fecha en teoría de conjuntos, ha alcanzado un punto
donde su progreso depende de una extensión del concepto de número entero más allá de sus límites
actuales. Esta extensión señala en una dirección que, por lo que yo sé, no ha sido investigada por
nadie todavía.

[. . . ] Por atrevido que esto pueda parecer, tengo que expresar, no sólo la esperanza, sino también la
firme convicción de que esta extensión tendrá que ser considerada con el tiempo como absolutamente
simple, adecuada y natural. Pero no se me oculta de ninguna manera el hecho de que en esta empresa
me encuentro situado en una cierta oposición a concepciones muy extendidas acerca del infinito
matemático, y a opiniones formuladas frecuentemente sobre la naturaleza del número.

En este trabajo Cantor introduce los números transfinitos o cardinales transfinitos. Por el mis-
mo proceso que podemos abstraer la idea de número 5 como la clase de todos los conjuntos

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equipotentes a un conjunto cualquiera con cinco elementos, a; b; c; d; e, de la misma forma este
proceso permite, dado un conjunto M , por doble abstracción de la naturaleza de sus elementos
y del posible orden en que estén dados, asociar a M un objeto matemático, representado por
]M , que se llama su número cardinal o potencia, que es el mismo para todos los conjuntos
equipotentes a M . Cuando M es finito, ]M es el número de elementos de M ; la potencia
de los conjuntos numerables (infinitos) la representó Cantor por @0 (@ es la primera letra del
alfabeto hebreo, se pronuncia “alef”); la potencia de la recta real y de cualquier intervalo de
la misma, no vacío y no reducido a un punto, se representa por c y se llama la potencia del
continuo.

Cantor define una relación de orden entre números cardinales: si M , N son dos conjuntos,
diremos que ]M 4 ]N si existe una biyección de M sobre una parte de N . Si, además, no
existe ninguna biyección entre ninguna parte de M y la totalidad de N , se escribe ]M ]N .
Con esta definición se tiene que @0 c. Para números cardinales finitos esta relación de
orden es la usual. La demostración de que 4 es una relación de orden entre números cardinales
está muy lejos de ser fácil. La dificultad estaba en probar la propiedad reflexiva, es decir, si
]M 4 ]N y también ]N 4 ]M , entonces es ]M D ]N . Este resultado fue probado en 1898,
y se conoce como teorema de Cantor - Bernstein. Se verifica, además, que 4 es una relación de
orden total, es decir, dados conjuntos M y N se verifica alguna de las relaciones ]M 4 ]N o
]N 4 ]M . La demostración de este resultado exige usar el llamado axioma de Zermelo.

Todos esto está muy bien, pero ¿cuántos números cardinales infinitos hay? Hasta ahora
solamente conocemos dos. Cantor ideó un procedimiento por el cual, dado un conjunto M , se
puede construir un conjunto cuyo cardinal es estrictamente mayor. Para ello, definió el conjunto
P .M / como el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de M

P .M / D fA W A M g

Es fácil probar que ]M ]P .M /. Suele escribirse ]P .M / D 2]M , igualdad que, para el caso
de conjuntos finitos, es cierta.

Por tanto, los conjuntos


P .M /; P P .M / ; P P P .M / : : :

tienen todos ellos distinto número cardinal.

Las operaciones con números transfinitos se definen con facilidad por medio de las co-
rrespondientes operaciones conjuntistas. Por ejemplo, el producto ]M ]N es, por definición,
igual a ].M N / donde M N es el conjunto producto cartesiano de M y N . Análogamente
se define la suma ]M C ]N como el número cardinal de la unión disjunta de M y N . Estas
operaciones son asociativas, conmutativas y distributivas pero, para cardinales transfinitos se
cumple que

]M C ]N D ]M ]N D maKx f]M; ]N g

Esto es, la aritmética transfinita no responde a las reglas usuales de la aritmética finita. Pero
esto no quiere decir que sea contradictoria, simplemente, es diferente.

El desarrollo de la teoría de conjuntos condujo a algunas contradicciones, las llamadas pa-
radojas de la teoría de conjuntos. Ello era debido al punto de vista ingenuo adoptado respecto
a los conjuntos. Se pensaba que cualquier propiedad matemática, P .x/, definía su correspon-
diente conjunto, a saber, el formado por los elementos para los cuales dicha propiedad es ver-
dadera. El propio Bolzano tenía esta idea. Consideremos la siguiente propiedad P .x/ D x∉x

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y definamos el conjunto A D fx W P .x/ es verdaderag. Entonces resulta que si A 2 A es porque
A∉A y si A∉A debe ser A 2 A. Una contradicción insalvable, conocida como la paradoja de
Russell. La solución fue axiomatizar la teoría de conjuntos para evitar que pudieran formularse
paradojas como la anterior y, además, restringir de alguna forma la existencia de conjuntos
“demasiado grandes”.

Considero que lo dicho hasta aquí es suficiente para que tengas una idea del trabajo de
Cantor. Este trabajo cambió la forma de ver las matemáticas y acabó por ser ampliamente
aceptado. La visión que Cantor tenía de las matemáticas puras es muy hermosa; para él, las
matemáticas puras son el reino de la libertad y las llamaba “matemáticas libres”, porque son
una creación de la libertad del espíritu humano cuyas únicas limitaciones son la coherencia y
la no contradicción.

5.4.3.1. La no numerabilidad del continuo

En esta sección final, vamos a probar la numerabilidad de Q y la no numerabilidad de R.
Así mismo, estudiaremos algunos tipos de conjuntos densos y te propondré algunos ejercicios
interesantes.

Empezaremos demostrando un resultado que, por su aparente evidencia, parece que no
precisa demostración. Se trata de un resultado muy importante y muy útil y cuya demostración
me parece instructiva.

5.7 Teorema. a) Todo conjunto de números enteros no vacío y mayorado tiene máximo.

b) Todo conjunto de números enteros no vacío y minorado tiene mínimo.

Demostración. La estrategia de la demostración es obligada; para probar que un conjunto de
números reales no vacío y mayorado tiene máximo, debemos probar que su supremo está en
el conjunto. Sea E R no vacío y mayorado. En virtud del principio del supremo, hay un
número ˇ 2 R que es el mínimo mayorante de E. Puesto que ˇ 1 < ˇ, debe haber algún
z 2 E tal que ˇ 1 < z y, claro está, z 6 ˇ. Supongamos que los elementos de E son números
enteros, E Z, y probemos que, en tal caso, debe ser z D ˇ. Si fuera z < ˇ tendría que haber
algún w 2 E tal que z < w 6 ˇ pero entonces el número w z es un entero positivo tal que
w z < 1 lo cual es contradictorio. En consecuencia z D ˇ 2 E y ˇ es el máximo de E.

Análogamente se prueba que un conjunto no vacío y minorado de enteros tiene mínimo.

Del teorema anterior se deducen dos importantes consecuencias.

5.8 Teorema (Principio de buena ordenación de N). Todo conjunto no vacío de números natu-
rales tiene mínimo.

La siguiente propiedad, también consecuencia del teorema, nos dice que N no está ma-
yorado en R. Observa que es evidente que N está mayorado en Q. Pero R tiene muchos más
elementos (muchísimos más, como enseguida veremos) que Q; ¿quién te asegura que, en la am-
pliación de Q a R, no se han colado números irracionales más grandes que cualquier natural?
De eso se trata.

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5.9 Teorema (Propiedad arquimediana). Dado cualquier número real se verifica que hay nú-
meros naturales mayores que él.

Demostración. Como N no tiene máximo, el teorema (5.7) implica que N no puede estar
mayorado en R, por tanto, dado x 2 R, tiene que haber algún n 2 N tal que n > x .

La propiedad arquimediana del orden de R prohíbe la existencia de cantidades infinitesi-
males, es decir, de números positivos pero “tan pequeños” que al multiplicarlos por cualquier
número natural el producto seguía siendo “muy pequeño”. Convenzámonos de que tales “infi-
nitésimos”, si es que los hay, no pueden ser números reales. En efecto, si x; y son números
reales positivos, la propiedad arquimediana del orden de R nos dice que tiene haber algún n 2 N
tal que n > y=x y, por tanto, nx > y. En consecuencia, por “pequeño” que sea el número real
x > 0 y por “muy grande” que sea el número real y > 0, siempre hay múltiplos naturales de x
mayores que y.

5.10 Definición. Se dice que un conjunto E R es denso en R, si en todo intervalo abierto
no vacío hay puntos de E. Equivalentemente, si dados x; y 2 R con x < y hay algún z 2 E tal
que x < z < y.

5.11 Proposición. a) El conjunto de los números racionales es denso en R.

b) El conjunto de los números irracionales es denso en R.

Demostración. a) Supongamos que x; y 2 R con x < y. La idea es tomar una unidad racional
de medida, u, en la recta que sea menor que y x, pues entonces es claro que un múltiplo
apropiado, mu, de u estará comprendido entre x e y. Hay muchas posibilidades, se trata de
elegir u y m con algún criterio que nos permita probar que x < mu < y. Los números más
sencillos que podemos tomar para u son los de la forma 1=n, donde n 2 N, con la condición
1=n < y x, esto es, n > 1=.y x/. Parece razonable tomar el menor n que cumpla dicha
desigualdad. Sea, pues:

q D mKın fn 2 N W n > 1=.y x/g

Ahora se trata de tomar un múltiplo de u D 1=q que exceda a x, pero no demasiado. Se impone
la elección:

p D mKın fm 2 Z W m > qxg

Tenemos que:

p p1 1
x< D C < x C .y x/ D y
q qq

Lo que concluye la demostración. Observa que en las definiciones de q y de p se usan los
resultados que acabamos de ver.

b) Supongamos que x; y 2 R con x < y. Por lo ya probado, existe r 2 Q tal que
pp

x 2 < r < y 2;
pp
lo qupe implica que x < r C 2 < y. Puesto que, 2 es irracional y r 2 Q, se sigue que
r C 2 es irracional y concluimos que RnQ es denso en R.

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Este resultado nos dice que los números racionales y los irracionales están repartidos de
manera que entre dos racionales o entre dos irracionales siempre hay infinitos racionales e
infinitos irracionales. Son dos conjuntos muy grandes, pero uno de ellos es muchísimo más
grande que el otro.

Hemos definido antes un conjunto numerable como aquél que es equipotente a N; es conve-
niente incluir también entre los conjuntos numerables a los conjuntos finitos pues los elementos
de un conjunto finito se pueden contar. Estas dos posibilidades pueden resumirse en el hecho de
que exista una aplicación inyectiva del conjunto en N. Por convenio, se admite que el conjunto
vacío es numerable.

5.12 Definición. Un conjunto se llama numerable si es vacío o si existe una aplicación inyectiva
de él en el conjunto de los enteros positivos.

Realmente esta definición lo que nos da es cierta libertad para probar que un conjunto es
numerable; de hecho, se verifica el siguiente resultado.

5.13 Proposición. Un conjunto no vacío es numerable si, y sólo si, es finito o es equipotente a
N.

El siguiente resultado es muy útil y fácil de entender.

5.14 Proposición. Un conjunto no vacío A es numerable si, y sólo si, hay una aplicación
sobreyectiva de N sobre A.

Demostración. Sea f W N ! A una aplicación sobreyectiva. Para cada elemento a 2 A el
conjunto fn 2 N W f .n/ D ag no es vacío por lo que podemos definir, haciendo uso del principio
de buena ordenación, una aplicación g W A ! N por:

g.a/ D mKınfn 2 N W f .n/ D ag para todo a 2 A

Con ello se tiene que f .g.a// D a para todo a 2 A lo que implica que g es inyectiva y por
tanto que A es numerable.

La afirmación recíproca es consecuencia de la proposición anterior.

Aunque el conjunto N N parece mucho más grande que N; de hecho no es así. Podemos
contar con facilidad los elementos de N N siguiendo el camino que se sugiere (habría que
prolongarlo hacia arriba y hacia la derecha) en la figura (5.17).

5.15 Proposición. N N es equipotente a N.

Demostración. 4 La aplicación ' WN N ! N dada por '.p; q/ D 2p3q para todo .p; q/ 2
N N, es inyectiva. En consecuencia N N es numerable y como es infinito concluimos que
es equipotente a N.

El siguiente resultado nos dice que si hacemos la unión de una “cantidad numerable” de
conjuntos numerables obtenemos un conjunto que sigue siendo numerable. El enunciado del
teorema precisa estas ideas.

4En el ejercicio (173) se define una biyección de N N sobre N

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5.16 Teorema. Sea B un conjunto numerable no vacío. Supongamos que para cada x 2[B te-
nemos un conjunto numerable no vacío Ax. Se verifica entonces que el conjunto A D Ax

x2B

es numerable.

9 .9; 1/ .9; 2/ .9; 3/ .9; 4/ .9; 5/ .9; 6/ .9; 7/ .9; 8/ .9; 9/
8 .8; 1/ .8; 2/ .8; 3/ .8; 4/ .8; 5/ .8; 6/ .8; 7/ .8; 8/ .8; 9/
7 .7; 1/ .7; 2/ .7; 3/ .7; 4/ .7; 5/ .7; 6/ .7; 7/ .7; 8/ .7; 9/
6 .6; 1/ .6; 2/ .6; 3/ .6; 4/ .6; 5/ .6; 6/ .6; 7/ .6; 8/ .6; 9/
5 .5; 1/ .5; 2/ .5; 3/ .5; 4/ .5; 5/ .5; 6/ .5; 7/ .5; 8/ .5; 9/
4 .4; 1/ .4; 2/ .4; 3/ .4; 4/ .4; 5/ .4; 6/ .4; 7/ .4; 8/ .4; 9/
3 .3; 1/ .3; 2/ .3; 3/ .3; 4/ .3; 5/ .3; 6/ .3; 7/ .3; 8/ .3; 9/
2 .2; 1/ .2; 2/ .2; 3/ .2; 4/ .2; 5/ .2; 6/ .2; 7/ .2; 8/ .2; 9/
1 .1; 1/ .1; 2/ .1; 3/ .1; 4/ .1; 5/ .1; 6/ .1; 7/ .1; 8/ .1; 9/

123456789

Figura 5.17. Contando N N

Demostración. Es suficiente probar que hay una aplicación sobreyectiva de N N sobre A.
Por ser B numerable hay una aplicación sobreyectiva W N ! B. Para cada x 2 B, por ser
Ax numerable, hay una aplicación sobreyectiva Fx W N ! Ax. Es muy fácil comprobar ahora
que la aplicación G W N N ! A definida por G.m; n/ D F .m/.n/ para todo .m; n/ 2 N N,
es sobreyectiva.

Puede que el siguiente diagrama sea más cla[ro y directo que la demostración anterior.
Podemos suponer que B D N, con lo que A D An. Como An es numerable, podemos

n2N

escribir sus elementos como una sucesión:

An D famn W m 2 Ng D fa1n; a2n; a3n; : : : ; amn; : : :g

El conjunto A podemos representarlo como una matriz (ver figura (5.18)), y contar sus elemen-
tos de forma parecida a como lo hemos hecho antes con N N.

5.17 Teorema. El conjunto de los números racionales es numerable.

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El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 197

a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99
a81 a82 a83 a84 a85 a86 a87 a88 a89
a71 a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79
a61 a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69
a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59
a41 a42 a43 a44 a45 a46 a47 a48 a49
a31 a32 a33 a34 a35 a36 a37 a38 a39
a21 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29
a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19

Figura 5.18. Unión numerable

Demostración. Puesto que la aplicación ' W Z ! N definida por:

2n si n > 0
1 2n si n 6 0
'.n/ D

es una biyección, y para cada m 2 Z el conjunto:


m
Am D W p2N
p

[
es numerable, se sigue del resultado anterior que Q D Am es numerable.

m2Z

Por ser Q numerable infinito se verifica que Q es equipotente a N, es decir, existen biyec-
ciones de N sobre Q. Hemos respondido en parte a nuestra pregunta inicial: hay tantos números
racionales como números naturales. Nos falta todavía dar alguna información del tamaño de
RnQ.

5.18 Teorema (Principio de los intervalos encajados). Para cada número natural n sea In D
Œan; bn un intervalo cerrado no vacío y supongamos que para todo n 2 N es InC1 In. Se
verifica entonces que:

i) ˛ D supfan W n 2 Ng 6 ˇ D Kınffbn W n 2 Ng.
\

ii) In D Œ˛; ˇ.

n2N \

En particular, el conjunto In no es vacío.

n2N

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El infinito matemático y el nacimiento de la teoría de conjuntos 198

Demostración. i) Las hipótesis Ø ¤ InC1 In, implican que an 6 anC1 6 bnC1 6 bn para
todo n 2 N. Deducimos que las aplicaciones n !7 an y n !7 bn, son crecientes, esto es,
an 6 am; bm 6 bn siempre que n < m. Ahora, dados p; q 2 N y poniendo k D maKxfp; qg,
tenemos que ap6ak 6bk 6bq. Hemos obtenido así que cualesquiera sean los números naturales
p; q es ap 6 bq. Luego todo elemento de B D fbn W n 2 Ng es mayorante de A D fan W n 2 Ng
y por tanto ˛ D sup A 6 bn para todo n 2 N. Lo cual, a su vez, nos dice que ˛ es un minorante
de B y por tanto concluimos que ˛ 6 ˇ D Kınf B.

\
ii) Es consecuencia de que x 2 In equivale a que an 6 x 6 bn para todo n 2 N, lo que

n2N

equivale a que ˛ 6 x 6 ˇ, es decir x 2 Œ˛; ˇ.

5.19 Teorema. Dados dos números reales a < b se verifica que el intervalo Œa; b no es
numerable.

Demostración. Si Œa; b fuera numerable tendría que ser equipotente a N. Veamos que esto no
puede ocurrir. Supongamos que ' WN ! Œa; b es una biyección de N sobre Œa; b. En particular
' es sobreyectiva por lo que deberá ser Œa; bDf'.n/Wn 2 Ng. Obtendremos una contradicción
probando que tiene que existir algún elemento z 2 Œa; b tal que z 62 f'.n/ W n 2 Ng.

Para ello se procede de la siguiente forma. Dividimos el intervalo Œa; b en tres intervalos

cerrados de igual longitud:

ba ba ba
ba
a; a C 3 ; aC ;b ;b ;b
3 3 3

y llamamos I1 al primero de ellos (es decir el que está más a la izquierda) que no contiene a
'.1/. Dividamos ahora el intervalo I1 en tres intervalos cerrados de igual longitud y llamemos
I2 al primero de ellos que no contiene a '.2/.

Este proceso puede “continuarse indefinidamente” pues, supuesto que n 2 N; n > 2, y
que tenemos intervalos cerrados de longitud positiva Ik; 1 6 k 6 n; tales que IkC1 Ik
para 1 6 k 6 n 1, y '.k/ 26 Ik para 1 6 k 6 n, dividimos el intervalo In en tres intervalos
cerrados de igual longitud y llamamos InC1 al primero de ellos que no contiene a '.n C 1/.
De esta forma para cada n 2 N tenemos un intervalo cerrado In no vacío verificándose que
InC1 In y '.n/ 26 In para todo n 2 N. El principio de los intervalos encajados nos dice que
hay algún número real z que está en todos los In. Por tanto, cualquiera sea n 2 N, por ser
z 2 In y '.n/ 26 In, se tiene necesariamente que z ¤ '.n/, esto es, z 62 f'.n/ W n 2 Ng pero,
evidentemente, z 2 Œa; b.

¿Te recuerda algo la demostración anterior? ¿Quizás a la divisibilidad infinita del continuo?
Pues claro, lo que estamos haciendo es dividir infinitas veces un segmento (el prototipo de
continuo). Lo que nos dice este resultado es que, aunque lo dividamos en un infinito actual
de partes, siempre nos quedarán puntos que no habremos tocado. Aristóteles afirmaba que un
continuo puede dividirse en cualquier parte pero no en todas partes: hay que darle la razón en
este punto.

5.20 Teorema. R y RnQ son conjuntos no numerables.

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Ejercicios propuestos 199

Demostración. Evidentemente todo subconjunto de un conjunto numerable también es nume-
rable. Como acabamos de ver que hay subconjuntos de R que no son numerables deducimos
que R no es numerable. Puesto que R D Q [ .RnQ/ y sabemos que Q es numerable y R no
lo es, deducimos que RnQ no es numerable.

El teorema anterior demuestra no solamente que RnQ no es vacío sino que “hay muchos
más números irracionales que racionales” pues mientras que podemos enumerar los racionales
no podemos hacer lo mismo con los irracionales ya que no hay biyecciones de N sobre RnQ.

Deducimos también la siguiente estrategia para probar que un conjunto A R no es vacío
es suficiente probar que su complemento RnA es numerable (!con lo cual, de hecho, estamos
probando que A es infinito no numerable!).

5.4.4. Ejercicios propuestos

173. Prueba que la aplicación F W N N ! N dada por:

f .m; n/ D n C .m C n 2/.m C n 1/ para todo .m; n/ 2 N N

2

es una biyección.

Sugerencias: para cada p 2 N definamos:
(r)
11

'.p/ D maKx q 2 N W q < 2p C 4 C 2

Observa que '.p/ es un número natural mayor o igual que 2. Prueba que para todo
p 2 N se verifica:

.'.p/ 2/.'.p/ 1/ <p6 .'.p/ 1/'.p/ . /

2 2

Definamos ahora:

h.p/ D p .'.p/ 2/.'.p/ 1/
4 ; para todo p 2 N

Justifica, teniendo en cuenta . /, que h.p/ 2 N y '.p/ h.p/ > 1:

Comprueba finalmente que, p D F.'.p/ h.p/; h.p//, para cada p 2 N:

174. Sea f W Œa; b ! R creciente. Para cada ˛ 2a; bŒ definamos:

!.f; ˛/ D Kınfff .t/ W ˛ < t 6 bg supff .s/ W a 6 s < ˛g

Prueba que:
i) !.f; ˛/ > 0 y !.f; ˛/ D 0 si, y sólo si, f es continua en ˛.
ii) Si a < ˛1 < ˛2 < < ˛p < b, entonces:

!.f; ˛1/ C !.f; ˛2/ C C !.f; ˛p/ 6 f .b/ f .a/

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Ejercicios propuestos 200

iii) Para cada n 2 N el conjunto Sn D f˛ 2a; bŒ W !.f; ˛/ > 1=ng es finito.
iv) El conjunto S Df˛ 2a; bŒ W !.f; ˛/ > 0g de las discontinuidades de f es numerable.
Muestra con un ejemplo que el conjunto S puede ser infinito.

175. Prueba que el conjunto de los números algebraicos es numerable.

Para terminar, recordemos que los poetas también se interesan por el infinito y lo llaman
amor y también deseo.

This is the monstruosity in love, lady,
that the will is infinite
and the execution confined,
that the desire is boundless
and the act a slave to limit.
Shakespeare - Troilus and Cressida

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6Cap´ıtulo

Derivadas

El arte de nombrar y de medir con exactitud aquello
de lo que ni siquiera puede concebirse su existencia.

Voltaire

6.1. Introducción

Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas
vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico de impor-
tancia en Óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada.
Simplificando, podemos destacar dos problemas principales:

Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes).
Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).

Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satis-
factoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus raíces en la
antigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta el
siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia,
lo que inició el magnífico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibniz son
decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto culmi-
nante de un largo proceso en el que han participado científicos de la talla de Johannes Kepler
(1571 - 1630), René Descartes (1596 - 1650), Pierre de Fermat (1601 - 1665), John Wallis
(1616 -1703) e Isaac Barrow (1630 - 1677) entre otros.

201

Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica 202

6.2. Concepto de derivada. Interpretación física y geométrica

Para entender los resultados del Cálculo diferencial es necesario, antes que nada, com-
prender la idea básica del mismo: el concepto de derivada. La derivada de una función puede
interpretarse geométricamente como la pendiente de una curva, y físicamente como una razón
“instantánea” de cambio.

6.2.1. Tangente a una curva

En la primera mitad del siglo XVII no se conocían métodos generales para calcular la
tangente a una curva en un punto de la misma. Este problema se presentaba con frecuencia
en mecánica, en óptica y en geometría, y generalmente se resolvía, de forma geométrica, con
técnicas adaptadas a cada caso particular. La dificultad está en que, siendo la tangente una
recta, se precisa conocer dos puntos de la misma, o bien un punto y su pendiente, para poderla
determinar.

Supongamos que queremos hallar la tangente a una curva de ecuación cartesiana y D f .x/
en el punto .a; f .a//. La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por New-
ton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse
directamente. En particular, consideremos la recta que une el punto .a; f .a// con un punto cer-
cano, .x; f .x//, de la gráfica de f . Esta recta se llama una secante (recta que corta a la curva,
pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es:

f .x/ f .a/
xa

dicho número suele llamarse cociente incremental de f en a.

.x; f .x// Observa que una secante es una buena
f .x/ f .a/ aproximación de la tangente, siempre que
el punto .x; f .x// esté próximo a .a; f .a//.
Estas consideraciones llevan a definir la tan-
gente a la gráfica de f en el punto .a; f .a//
como la recta que pasa por dicho punto y
cuya pendiente es igual al límite:

.a; f .a// f .x/ f .a/
lKım
xa x!a x a

Figura 6.1. Secante supuesto, claro está, que dicho límite exis-
ta.

6.2.2. Razón de cambio puntual y velocidad instantánea

Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que rela-
cionan una variable “dependiente” y con otra variable “independiente” x, lo que suele escri-
birse en la forma y D f .x/. Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a otro x,

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Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 203

la variable y lo hace de f .a/ a f .x/. La razón de cambio promedio de y D f .x/ con respecto
a x en el intervalo Œa; x es:

Razón de cambio promedio D f .x/ f .a/
xa

Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños.

Esto lleva a definir lo que podemos llamar “razón de cambio puntual de y D f .x/ con respecto

a x en el punto a” como:

f .x/ f .a/
lKım :
x!a x a

El ejemplo más conocido de esto que decimos es el de un móvil que se mueve a lo largo de una

recta sobre la cual hemos elegido un origen. Sea s.t/ la posición del móvil en el tiempo t, es

decir, la distancia con signo del móvil al origen en el tiempo t. La razón de cambio promedio

tiene en este caso una interpretación física natural:

s.a C h/ s.a/
h

Es la velocidad media del móvil en el intervalo de tiempo comprendido entre a y a C h. Parece
intuitivo que, en cada instante, el móvil se mueve con una determinada velocidad instantánea.
Pero no hay manera de medir directamente una velocidad instantánea; un instante quiere decir
una posición en la recta: la velocidad instantánea del móvil para t D a es la velocidad que tiene
cuando está en la posición s.a/. La velocidad instantánea es una abstracción de un característica
física del movimiento, pero no es una magnitud que podamos observar directamente. La única
definición razonable de velocidad instantánea es como la razón de cambio puntual:

lKım s.a C h/ s.a/

h!0 h

Notación. En lo que sigue usaremos las letras I , J para representar intervalos no vacíos de
números reales.

6.1 Definición. Se dice que una función f W I ! R es derivable en un punto a 2 I , si existe

el límite: f .x/ f .a/
lKım :
x!a x a

Explícitamente, f es derivable en a si hay un número L 2 R verificando que para cada número

" > 0 existe algún número ı > 0 tal que para todo x 2 I con x ¤ a y j x a j< ı se tiene que:

ˇˇˇˇ f .x/ f .a/ Lˇˇˇˇ 6 ":
x a

Dicho número L se llama derivada de f en a y lo representaremos por f 0.a/ (notación debida
a Lagrange).

La notación de Lagrange tiene la gran ventaja de poner de manifiesto que al aplicar la
operación de derivación a una función obtenemos una nueva función, que está definida en
todos los puntos donde la función dada sea derivable. Es usual considerar funciones derivadas
definidas en intervalos.

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Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 204

6.2 Definición. Dada una función f WI ! R derivable en todo punto de I , la función derivada
de f es la función f 0 W I ! R que a cada punto x 2 I hace corresponder la derivada de f en

dicho punto.

6.3 Observaciones. i) El límite lKım f .x/ f .a/
se puede escribir también de la forma
f .a C h/ f .a/ x!a x
a

lKım :
h!0 h

ii) La derivabilidad de f en un punto a 2 I es una propiedad local, depende solamente del

comportamiento de f en los puntos de I próximos al punto a. Concretamente, si J es cualquier

intervalo abierto que contiene el punto a, se verifica que f es derivable en a si, y sólo si, la

función restricción fjI \J es derivable en a y, por supuesto, en tal caso ambas funciones tienen
la misma derivada en a.

La notación diferencial de Leibniz. La notación df .x/ para representar la derivada de f en

x es debida a Leibniz. dx

Leibniz interpretaba ese símbolo como un “cociente diferencial” pues él lo entendía así:
como un cociente de cantidades infinitesimales, y lo manejaba como un cociente; por ejemplo,
se puede multiplicar o dividir, según convenga, por dx o df .x/ . En el capítulo 5 hemos visto
los problemas que planteaba el uso de cantidades infinitesimales, y cómo, finalmente, a partir
del último tercio del siglo XIX, fueron totalmente abandonadas. Por eso, la interpretación de
Leibniz de la derivada, aunque intuitiva, no es la que se sigue en la gran mayoría de los cursos
de cálculo1.

A pesar de lo dicho, es frecuente, sobre todo en libros de ingeniería, usar la notación de
Leibniz y manejarla como él lo hacía. Creo que esto es útil porque la notación de Leibniz
tiene una gran fuerza heurística, y no debe presentar ningún problema, siempre que no acabes
creyendo que una derivada, tal como la hemos definido, es un cociente de infinitésimos. Y
siempre que dicha notación se use como un mero simbolismo y no se hagan demostraciones
apoyadas en su supuesta significación.

Una dificultad de la notación de Leibniz es que no es cómoda para representar la derivada

en un punto concreto. Podemos entender que df .x/ es la función derivada f 0.x/, pero ¿cómo
dx
df .a/ df .x/
indicamos la derivada en punto concreto a? Las notaciones y .a/ son confusas.
dx dx
Lo que suele hacerse es escribir:
ˇˇˇˇ
df .x/
dx xDa

df
que, realmente, es una notación incómoda. Una posible mejora sería escribir .x/ para

dx
representar f 0.x/, en cuyo caso df .a/ indicaría f 0.a/.

dx

La verdad es que la mayoría de los libros de ingeniería que usan estas notaciones lo hacen

sin preocuparse mucho por su significado, y esa es una causa importante de que muchas veces

no se entienda bien lo que escriben. Las notaciones son importantes y hay que manejarlas

1Aunque sí en los cursos de Análisis No Estándar basados en los hiperreales de A. Robinson.

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Razón de cambio puntual y velocidad instantánea 205

cuidadosamente. Y todavía más, cuando una notación se supone que tiene un significado casi
mágico, y que por su fuerza simbólica ella sola, por sí misma, proporciona demostraciones.
Volveremos a considerar este asunto más adelante.

6.4 Definición. Supuesto que f es derivable en a, la recta de ecuación cartesiana:

y D f .a/ C f 0.a/.x a/

se llama recta tangente a la gráfica de f en el punto .a; f .a//, y también recta tangente a f
en x D a.

Cuando f 0.a/ ¤ 0, la recta de ecuación:

1
y D f .a/ f 0.a/ .x a/

es la recta normal a la gráfica de f en el punto .a; f .a//, y también recta normal a f en x D a

6.2.2.1. Elementos de una curva relacionados con la derivada
En la figura 6.2 se han representado algunos elementos de una curva que se expresan por

medio de la derivada.

U

H x P

˛
N
y


O TM

Q
V

Figura 6.2. Elementos de una curva relacionados con la derivada

La pendiente de la tangente es tg. / D y 0.
La pendiente de la normal es tg.˛/ D tg. =2 C / D 1=y 0.
El segmento TM es la subtangente. Su longitud viene dada por TM Dy cotg. /Dy=y 0.
El segmento M N es la subnormal. Su longitud viene dada por M N D y tg. / D yy 0.

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Derivadas laterales 206

Los segmentos interceptados en los ejes OX y OY por la tangente son
(
OT D OM TM D x y=y 0
OV D PM PQ D y x tg. / D y xy 0

Los segmentos interceptados en los ejes OX y OY por la normal son
(
ON D OM C M N D x C y tg. / D x C yy 0
OU D OH C H U D y C x tg. / D y C x tg. =2 / D y C x=y 0

6.2.3. Derivadas laterales

6.5 Definición. Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el límite:

f .x/ f .a/
lKım :
x!a xa
x<a

El valor de dicho límite se llama la derivada por la izquierda de f en a.
Análogamente se dice que f es derivable por la derecha en a; si existe el límite:

f .x/ f .a/
lKım :
x!a xa
x>a

El valor de dicho límite se llama la derivada por la derecha de f en a.

Teniendo en cuenta la relación que hay entre el límite de una función en un punto y los
límites laterales, es claro que:

i) Si a D maKx I , entonces la derivabilidad de f en a es lo mismo que la derivabilidad por
la izquierda de f en a.

ii) Si a D mKın I , entonces la derivabilidad de f en a es lo mismo que la derivabilidad por
la derecha de f en a.

iii) Si a no es un extremo de I , entonces equivalen las afirmaciones:

a) f es derivable en a.
b) Las derivadas por la izquierda y por la derecha de f en a existen y coinciden.

6.2.4. Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación

El siguiente resultado nos dice que la derivabilidad es una propiedad más fuerte que la
continuidad.
6.6 Proposición. Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto.

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Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 207

Demostración. En efecto, si f W I ! R es derivable en a, de la igualdad:

f .x/ D f .a/ C .x f .x/ f .a/ .x 2 I; x ¤ a/
a/
xa

se sigue que lKım f .x/ D f .a/, es decir, f es continua en a.

x!a

6.7 Teorema (Reglas de derivación). Sean f; g W I ! R dos funciones. Se verifican las
siguientes afirmaciones:

i) La funciones suma, f C g, y producto, fg, son derivables en todo punto a 2 I en el que
f y g sean derivables, y las derivadas respectivas vienen dadas por:

.f C g/0.a/ D f 0.a/ C g 0.a/I .fg/0.a/ D f 0.a/g.a/ C f .a/g 0.a/

ii) Si g.x/ ¤ 0 para todo x 2 I , la función cociente f =g es derivable en todo punto a 2 I

en el que f y g sean derivables, en cuyo caso se verifica que:

0 f 0.a/g.a/ f .a/g 0.a/
f
.a/ D
g .g.a//2

Demostración. Las reglas de derivación se prueban muy fácilmente haciendo uso de las propie-
dades algebraicas de los límites y la definición de derivada. Es suficiente que tengas en cuenta
las siguientes igualdades:

.f C g/.x/ .f C g/.a/ D f .x/ f .a/ C g.x/ g.a/
xa xa xa

.fg/.x/ .fg/.a/ D f .x/ f .a/ g.x/ C f .a/ g.x/ g.a/
xa xa xa

1 .x / 1 .a/ D g.x/ g.a/ 1
g g x a g.x/g.a/

xa

De la primera y segunda igualdades se deduce, tomando límites para x ! a , las reglas para

la derivada de una suma y de un producto. Igualmente, de la tercera igualdad, se deduce la

derivada de 1 , de donde, se obtiene la derivada de f Df 1 haciendo uso de la regla para
g g g

derivar un producto.

Como las funciones constantes tienen derivada nula en todo punto y la función identidad,
f .x/ D x, tiene derivada igual a 1 en todo punto, aplicando las reglas de derivación anteriores
se obtiene el siguiente corolario.

6.8 Corolario. Las funciones polinómicas son derivables en todo punto y las funciones racio-

nales son derivables en todo punto de su conjunto natural de definición. Además la derivada de
la función polinómica f .x/ D a0 C a1x C a2x2 C C anxn en cada punto x 2 R viene

dada por:

f 0.x/ D a1 C 2a2x C 3a3x2 C C nanxn 1

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Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 208

6.9 Teorema (Derivación de una función compuesta o regla de la cadena). Sean f W I ! R
y g W J ! R con f .I / J , y sea h D gıf W I ! R la función compuesta. Supongamos
que f es derivable en a 2 I y que g es derivable en f .a/. Entonces h es derivable en a y
h0.a/ D g 0.f .a//f 0.a/.

En particular, si g es derivable en J , la función compuesta h D gıf es derivable en todo punto
de I donde f sea derivable.

Demostración. Pongamos bDf .a/. Tenemos que probar que lKım h.x/ h.a/ D g 0.b/f 0.a/.
x!a x a

Por hipótesis se cumple que :

lKım g.y/ g.b/ lKım f .x/ f .a/ D g 0.b/f 0.a/
y!b y b x!a x a

La idea de la demostración es hacer en esta igualdad la sustitución y D f .x/. Como no está
garantizado por las hipótesis hechas que para x ¤ a se tenga f .x/ ¤ b, no está justificado
hacer directamente la sustitución indicada (dividir por cero está prohibido). Podemos evitar
esta dificultad como sigue. Definamos la función ' W J ! R por:

g.y/ g.b/ .y ¤ b/; '.b/ D g 0.b/
'.y/ D
yb

Con ello la función ' es continua en b. Es inmediato ahora comprobar que para todo x 2 I con

x ¤ a se verifica que:

h.x/ h.a/ D '.f .x// f .x/ f .a/ (6.1)
:
xa xa

Ahora, como f es continua en a (porque es derivable en a) y ' es continua en b D f .a/, se

sigue que ' ı f es continua en a, por lo que:

lKım '.f .x// D '.f .a// D '.b/ D g 0.b/:

x!a

La igualdad (6.1) nos dice ahora que:

lKım h.x/ h.a/ D g 0.b/f 0.a/
x!a x a

como queríamos probar.

Regla de la cadena al estilo Leibniz. Una demostración de la regla de la cadena al “estilo
Leibniz” podría ser como sigue. Por una parte, tenemos que y es función de x a través de g, es
decir, y D g.x/. También tenemos que x es función de t a través de f , x D f .t/. Entonces la
variación de y respecto a t se hace por intermedio de x:

dy D dy dx (6.2)
dt dx dt

Hemos acabado. Todo lo que hemos hecho ha sido multiplicar y dividir por dx .

No sé lo que pensará tú de esto, pero a mí me parecería una broma que alguien pretendiera
que lo que hemos hecho es una demostración. Primero: ¿qué es dx ? Porque si es un símbolo,

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Propiedades de las funciones derivables. Reglas de derivación 209

no tiene sentido multiplicar y dividir por él (salvo que a esta operación se le hubiera asignado
previamente un significado preciso) y si es un número ¿cómo está definido? ¿qué relación
tiene ese número con la derivada? Preguntas sin respuesta. A esto me refería al decir que una
notación, por sí sola, no sirve para demostrar nada.

Además, el simbolismo empleado en la igualdad (6.2) no indica dónde se evalúa cada una
de las derivadas, y eso es fundamental para entender la regla de la cadena. Fíjate que la regla
de la cadena nos dice que la derivada de una función compuesta de dos funciones derivables,
h.x/ D .g ı f /.x/, viene dada por

h0.x/ D g 0.f .x//f 0.x/ D .g 0 ı f /.x/f 0.x/ (6.3)

que es un producto de dos funciones, g 0.f .x// y f 0.x/, pero la primera de ellas g 0.f .x// D
.g 0 ıf /.x/ es una función compuesta. Por eso si queremos volver a derivar en la igualdad (6.3),
debemos aplicar la regla para derivar un producto y, para derivar el primer factor, debemos

aplicar la regla de la cadena. Es por eso que, en la regla de la cadena, es fundamental indicar

los puntos donde se evalúan las derivadas.

La notación en la igualdad (6.2) es mala porque no indica dónde se evalúa cada una de las
derivadas. Pero también es mala por las razones siguientes.

Una misma letra representa dos funciones distintas. En (6.2) la letra y aparece a la
izquierda y a la derecha. A la izquierda representa la función compuesta y D g.f .t//, a la
derecha representa la función y D g.x/.

Una misma letra representa una función y una variable. La letra x en la parte derecha
representa la variable en y D g.x/, y también representa la función x D f .t/.

Demasiado confuso ¿verdad? A pesar de lo dicho, la igualdad (6.2) aparece en muchos
textos de matemáticas para ingenieros y en textos de física, sin ningún comentario, sin explicar
lo que significa y pretendiendo que constituye por sí misma una demostración. Lo peor de todo,
es que si te la enseñan así puedes creer que la entiendes, y entonces una de dos: o la entiendes
de verdad, como acabo de explicarlo, o te engañas y realmente no sabes lo que crees saber.
Lamentablemente, de estas dos posibilidades la más frecuente es la segunda.

Y. . . sin embargo, la igualdad (6.2) es muy simple y fácil de recordar, y permite conjeturar
la regla de la cadena sin necesidad de demostrarla (por eso decimos que la notación de Leibniz
tiene un gran valor heurístico). Mi consejo es el siguiente: puedes usar la notación de Leibniz
siempre que te ayude en lo cálculos, pero no debes dejarte llevar por la notación sino que debes
entender lo que estás haciendo en cada momento.

6.10 Ejemplo. Sabiendo que y D sen x y x D cos t, se pide calcular la derivada de y con
respecto a t.

Lo que nos piden es calcular la derivada de la función compuesta h.t/ D sen.cos t/. Aquí
g.x/ D sen x, f .t/ D cos t. Tenemos que

h0.t / D g 0.f .t //f 0.t / D cos.cos t / sen t

Al estilo Leibniz: dy dy dx
dt D dx dt D cos x. sen t/ D cos x sen t

Pero esta igualdad debe ser función de t por lo que hay que sustituir x D cos t y se vuelve a

obtener el resultado anterior.

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Ejercicios propuestos 210

6.2.5. Ejercicios propuestos

Empezaremos con algunas de las aplicaciones más sencillas y atractivas del cálculo
diferencial. En esquema, se trata de lo siguiente: calcular la tasa de variación de una
magnitud cuando se conoce la tasa de variación de otra magnitud relacionada con ella.
En este tipo de ejercicios la “tasa de variación” se interpreta como una derivada y, en
la mayoría de los casos, basta usar la regla de la cadena para obtener lo que se pide.
Hay que elegir las unidades de acuerdo con los datos del problema; por ejemplo, si un
volumen se mide en litros tendremos que medir longitudes con decímetros.

176. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos
vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?

177. Se está llenando un globo de forma esférica con gas a razón de 50cm3/s. Calcula la
velocidad a la que está aumentando el radio, r , del globo cuando su valor es r D 5.

178. Un punto P se mueve sobre la parte de la parábola x D y2 situada en el primer cuadrante
de forma que su coordenada x está aumentando a razón de 5cm/sg. Calcula la velocidad
a la que el punto P se aleja del origen cuando x D 9.

179. Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo.
Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros,
¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6
metros?

180. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70cm3 por minuto. ¿Con qué rapidez
está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12cm?

181. Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro
barco B avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto
O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias iniciales de los
barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A qué
velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha transcurrido una hora?
¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están más próximos uno de otro?

182. Una bola esférica de hielo se está derritiendo de forma uniforme en toda la superficie, a
razón de 50cm3 por minuto. ¿Con qué velocidad está disminuyendo el radio de la bola
cuando este mide 15cm?

183. Un hombre se aleja de una farola a razón de 1,5m/sg. Sabiendo que la altura del hom-
bre es de 1,8 metros y la de la farola de 15 metros, calcula la velocidad a la que está
aumentando la sombra del hombre proyectada por la luz.

184. Un faro, cuya linterna gira a 8 revoluciones por minuto, se encuentra situado a 3 kilóme-
tros de una costa rectilínea. Calcula la velocidad con que el rayo de luz recorre la orilla
cuando el ángulo de incidencia del rayo de luz con la línea de la costa es de 45 grados.

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Ejercicios propuestos 211

Los siguientes ejercicios son de cálculo de derivadas y de tangentes y normales a distin-
tas curvas. Cuando en un ejercicio intervienen parámetros, debes expresar las soluciones
de la forma más sencilla posible.

185. Calcula .f ı g/0.x/ en el valor indicado de x en los siguientes casos:

2x g.x/ D 10x2 C x C 1; xD0
1. f .x/ D x2 C 1 ;
1 2
x 1
2. f .x/ D x C 1 ; g.x/ D x2 1; x D 1

186. Calcula en cada caso el valor de a y b en función de c, para que exista la derivada en el

punto c de cada una de las siguientes funciones:

8 1
f .x/D < ;
x2; x6c f .x/D: jxj > c f .x/D cos x; x6c
ax C b; x>c jxj jxj 6 c ax C b; x>c
a C bx2;

187. Supongamos que f es derivable en a, g es continua en a y f .a/ D 0. Prueba que fg es
derivable en a.

188. ¿Es cierta la igualdad f 0.a/ D lKım f .a C t / f .a t/
? Justifica tu respuesta.
t!a 2t

189. Supongamos que las funciones f y g y sus derivadas tienen los siguientes valores en
x D 2 y x D 3.

x f .x/ g.x/ f 0.x/ g0.x/

2 8 2 1/3 -3

3 3 -4 2 5

Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados de x:

a) f .x/g.x/; x D 3 b) qf .x/=g.x/; x D 3
c) f .g.x//; x D 2 d) .f .x//2 C .g.x//2; x D 2

190. Supongamos que las funciones f y g y sus derivadas tienen los valores que se indican
en la tabla.

x f .x/ g.x/ f 0.x/ g0.x/

0 1 5 2 -5

1 3 -2 0 1

20 2 3 1

3 2 4 1 -6

Calcula una tabla análoga para las funciones f ı g y g ı f .

191. Calcula directamente, aplicando la definición, la derivada de f .x/ D x3 en un punto
genérico a.

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Ejercicios propuestos 212

p
192. Calcula directamente, aplicando la definición, la derivada de f .x/ D x C 7 en el punto

a D 1.

193. Supongamos que f es una función que verifica una desigualdad del tipo jf .x/j 6 jxjr
en algún intervalo abierto que contiene a cero, donde r > 1. Prueba que f es derivable
en 0.

194. Sea f una función tal que f .x C h/ D f .x/ C 3xh C h2 2h para todos x; h 2 R.
Calcula f 0.0/ y f 0.2/.

195. Calcula la derivada en todo punto de la función definida por

8 1
< ;
f .x/ D : x2 sen x¤0
0; x xD0

196. Desarrolla .1 C x/n por el binomio de Newton y deriva la igualdad resultante para probar
las igualdades siguientes:

Xn k D n2n 1; Xn 1/2n 2
n k.k 1/ n D n.n

k D1 k k D2 k

197. Calcula los puntos en que la cúbica de ecuación y D ax3 C bx2 C cx C d , donde
a; b; c; d son constantes reales, tiene tangente horizontal. Debes estudiar los distintos
casos posibles.

198. Calcula un punto c por la condición de que la tangente a la parábola f .x/ D x2 C ˛x C ˇ
en el punto .c; f .c//, sea paralela a la cuerda que une dos puntos dados A D .a; f .a// y
B D .b; f .b//.

199. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una parábola f .x/Dax2CbxCc
en un punto genérico .u; v/ de la misma.

200. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbola de ecuación car-
tesiana x2 y2 D 1, en un punto genérico .u; v/ de la misma.

201. Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse de ecuación

x2 y2
a2 C b2 D 1

en un punto .u; v/ de la misma.

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Ejercicios resueltos 213

6.2.6. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 79 ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito ci-
líndrico si estamos vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?

Solución. Sea r el radio del cilindro y h la altura medidos en decímetros. Sea V .t/ el
volumen de agua, medido en litros (dcm3), que hay en el cilindro en el tiempo t medido
en minutos. La información que nos dan es una tasa de variación

V .t C 1/ V .t/ D 3000 litros por minuto

En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpreta como una derivada: V 0.t / D
3000. Fíjate que V .t C t0/ V .t0/ Ñ V 0.t0/t , por lo que la interpretación es razonable.

El signo negativo de la derivada es obligado ya que el volumen disminuye con el tiempo.
Como el radio es constante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos

V .t / D r 2h.t /

y deducimos

V 0.t / D 3000 D r 2h0.t /

Por tanto 3000
r2
h0.t / D decímetros por minuto

Si expresamos las medidas en metros, entonces h0.t / D 3
r 2 metros por minuto.

Observa que lo que realmente hemos calculado es:

V .t C1/ V .t /D r 2.h.t C1/ h.t // ÷ V .t C 1/ V .t/ 3000
h.t C1/ h.t /D r 2 D r2

que es la tasa de variación de la altura en un intervalo de 1 minuto. Pero, como ya te he

dicho, en estos ejercicios se identifica la tasa de variación con una derivada, lo cual es,
©
claro está, una aproximación.

Ejercicio resuelto 80 Un punto P se mueve sobre la parte de la parábola x D y2 situada en
el primer cuadrante de forma que su coordenada x está aumentando a razón de 5cm/sg.
Calcular la velocidad a la que el punto P se aleja del origen cuando x D 9.

Solución. Sean .x.t/; y.t// las coordenadas, medidas en centímetros, del punto P en el
instante t medido en segundos. Nos dicen quepy.t / > 0 y que x.t / D y.t /2. La distancia
del punto P al origen viene dada por f .t / D x.t /2 C y.t /2, por lo que

f 0.t / D x.tp/x 0.t / C y.t /y 0.t /
x.t /2 C y.t /2

Lo que nos piden es f 0.t0/ sabiendo que x.t0/ D 9. En tal caso ha de ser y.t0/ D 3.
También conocemos x 0.t / D 5 (cm/sg). Con ello es fácil deducir el valor de y 0.t0/ D

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Ejercicios resueltos 214

x 0.t0/ D 5 Finalmente,
.
2y.t0/ 6

f 0.t0/ D x.t0p/x 0.t0/ C y.t0/y 0.t0/ D 45 C 3.5=6/ D 95 cm/sg
x.t0/2 C y.t0/2 81 C 9 p
6 10

©

Ejercicio resuelto 81 Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de
9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la
tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado
una profundidad de 6 metros?

Solución. Expresaremos todas las medidas en metros. Si V .t/ es el volumen de agua que

hay en el depósito en el tiempo t medido en segundos, nos dicen que V 0.t / D 9 m3/sg.
103

R Sabemos que V .t/ D 1 r .t /2h.t / donde h.t / es
H
3
la altura, medida desde el vértice, alcanzada por el

agua en el tiempo t y r .t/ es el radio de la sec-

r ción transversal del cono a la distancia h.t / desde

el vértice. Por semejanza de triángulos deducimos

rh R1
h que D , de donde, r D r .t / D h.t / D h.t /.
RH H2
Luego V .t / D 1 h.t /3, y
12
Figura 6.3. Depósito cónico

V 0.t / D 9 D h.t /2h0.t /:
103 4
9 1
Luego, cuando h.t0/D6, deducimos que 103 D4 36h 0 .t0 /, esto es, h 0.t0/D 103 m/sg Ñ
1; 146 m/h.
©

Ejercicio resuelto 82 El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm3 por minuto.
¿Con qué rapidez está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12 cm?

Solución. Sea V .t/ el volumen del cubo, medido en centímetros cúbicos, en el tiempo t,

medido en minutos. Si L.t/ es la longitud en centímetros del lado en el tiempo t, tenemos
V 0.t /
que V .t / D L.t /3, de donde, L 0.t / D 3L.t /2 . Como nos dicen que V 0.t / D 70 cm/min,

deducimos que cuando L.t0/ D 12, L 0 .t0 / D 70 . El área del cubo viene dada por
3.12/2

S .t / D 6L.t /2, deducimos que S 0.t0/ D 12L.t0 /L 0 .t0 / D 70 cm2/min. ©
3

Ejercicio resuelto 83 Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas
por hora y otro barco B avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen
hacia un punto O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias
iniciales de los barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas,
se pregunta: ¿A qué velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha
transcurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están
más próximos uno de otro?

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Ejercicios resueltos 215

Solución. Tomamos el punto O como origen de coordenadas, tal como se indica en la

figura. Llamemos x.t/ a la distancia, medida en millas, que separa el barco A de O. Nos
dicen que x.0/ D 15 y x 0.t / D 20 millas por hora. Observa que como la función x.t /
es decreciente su derivada debe ser negativa. Análogamente, sea y.t/ la distancia que

separa al barco B de O.

Nos dicen que y.0/ D 60 y y 0.t / D 15 millas por

O hora. La disptancia entre los dos barcos viene dada
A por f .t / D x.t /2 C y.t /2. Tenemos

f 0.t / D x.tp/x 0.t / C y.t /y 0.t /
x.t /2 C y.t /2

Cuando ha pasado una hora x.1/ D 15 20 D 5,
y.1/ D 60 15 D 45. Deducimos que

B f 0.1/ D . 5p/. 20/ C 45. 15/ D p115 millas/h
. 5/2 C .45/2 82
Figura 6.4. Cruce de barcos

Donde el sigo negativo indica que se están acercan-

do (la distancia entre ellos está disminuyendo).
Cuando han pasado dos horas x.2/ D 15 40 D 25, y.2/ D 60 30 D 30. Deducimos

que

f 0.2/ D . 2p5/. 20/ C 30. 15/ D p10 millas/h
. 25/2 C .30/2 61

Donde el sigo positivo indica que se están alejando (la distancia entre ellos está aumen-
tando).

La distancia entre los dos barcos es mínima cuando la derivada es nula (fíjate que la

derivada pasa de negativa a positiva). La condición f 0.t0/ D 0 equivale a la igualdad

20 x.t0/ 15y.t0/ D 0. Sustituyendo en ella x.t0/ D 15 20 t0, y.t0/ D 60 15 t0,
48 48 117 48 156
obtenemos t0 D 25 . x . 25 / D 5 , y . 25 / D 5 . La distancia mínima a que se cruzan

los barcos es f . 48 / D 39 millas. ©
25

Ejercicio resuelto 84 Una bola esférica de hielo se está derritiendo de forma uniforme en
toda la superficie, a razón de 50 cm3 por minuto. ¿Con qué velocidad está disminuyendo

el radio de la bola cuando este mide 15 cm?

Solución. El volumen de la bola en el instante t minutos viene dado por V .t/D 4 r .t /3

3
centímetros cúbicos. Nos dicen que V 0.t / D 50. Deducimos que 50 D 4 r .t /2r 0.t /.

Si r .t0/ D 15, se sigue que

r 0.t0/ D 50 D 1 cm/min
4 .15/2 18

La derivada es negativa, como debe ser, ya que el radio está disminuyendo. ©

Ejercicio resuelto 85 Calcula .f ı g/0.x/ en el valor indicado de x en los siguientes casos:

a) f .x/ D 2x g.x/ D 10x2 C x C 1; xD0
x2 C 1;

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Ejercicios resueltos 216

1 2 g.x/ D 1 1; xD 1
x ; x2

b) f .x/ D
xC1

Solución. Este ejercicio lo puedes hacer de dos formas: calculando en caso la función

compuesta .f ı g/.x/ y derivándola, o aplicando la regla de la cadena sin necesidad de

calcular previamente la función compuesta. Esta segunda forma es mucho más rápida.

Las derivadas que nos piden son las siguientes.

a) f 0.x / D 2 x2 g 0.x/D20x C1 ÷ .f ıg/0.0/Df 0.g.0//g 0.0/Df 0.1/g 0.0/D
.x2 C 1/2 ;

1 ©
: El otro apartado se hace igual.

4

Ejercicio resuelto 86 Calcula en cada caso el valor de a y b en función de c, para que exista

la derivada en el punto c de cada una de las siguientes funciones:

8 1;
f .x/D < jxj
x2; x6c f .x/D: a C bx2; jxj > c f .x/D cos x; x6c
ax C b; x>c jxj 6 c ax C b; x>c

Solución. Consideremos la segunda de las funciones anteriores. Tenemos que f .x / D 1
jxj

para x < c o x > c, y f .x/ D a C bx2 para c 6 x 6 c. Imponemos primero la

condición de que f sea continua en c. Tenemos que f .c/ D a C bc2 D lKım f .x/, y

x!c
x<c

lKım f .x/ D 1 D 1 . Debemos imponer la condición a C bc2 D 1 . Impondremos también
jcj c c
x!c
x>c

la condición de que los límites laterales en c de la derivada de f coincidan. Para x > c

es f .x/ D 1 , por lo que
x

lKım f 0.x/ D lKım 1 1
x!c x!c x2 D c2 :
x>c x>c

Análogamente

lKım f 0.x/ D lKım 2bx D 2bc:
x!c x!c
x<c x<c

Debemos imponer la condición 2bcD 1 . Deducimos que bD 1 y aD bc2 C 1 D 3 .
c2 2c3 c 2c

Observa que las condiciones que hemos obtenido son necesarias para que f sea deri-

vable en c. Pero dichas condiciones también son suficientes como consecuencia de la

proposición 6.19. No es necesario, por ello, que comprobemos que, con los valores de a

y de b obtenidos antes, efectivamente f es derivable en c.

Las otras dos funciones se estudian de la misma forma. ©

Ejercicio resuelto 87 ¿Es cierta la igualdad f 0.a/ D lKım f .a C t / f .a t/
? Justifica tu
t!a 2t
respuesta.

Solución. Tenemos que

f .a C t/ f .a t/ D f .a C t/ f .a/ C f .a/ f .a t/ D
2t 2t 2t

D 1 f .a C t/ f .a/ C 1 f .a t/ f .a/
2t 2t

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Ejercicios resueltos 217

Y basta tener en cuenta que:

lKım f .a C t / f .a/ D lKım f .a t / f .a/ D f 0.a/
t !a t t !a t

©

Ejercicio resuelto 88 Supongamos que las funciones f y g y sus derivadas tienen los si-
guientes valores en x D 2 y x D 3.

x f .x/ g.x/ f 0.x/ g0.x/

28 2 1/3 -3

3 3 -4 2 5

Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los valores dados de x:

a) f .x/g.x/; x D 3 b) pf .x/=g.x/; x D 3
c) f .g.x//; x D 2 d) .f .x//2 C .g.x//2; x D 2

Solución. a) .fg/0.3/ D f 0.3/g.3/ C f .3/g 0.3/ D 8 C 15.
f 0
b) .3/ D f 0.3/g.3/ f .3/g 0.3/ 8 15
g D.
g.3/2 16

c) .f ı g/0.2/ D f 0.g.2//g 0.2/ D f 0.2/g 0.2/ D 1.
q
d) h.x/ D .f .x//2 C .g.x//2, h 0 .2/ D fp0.2/f .2/ C g 0.2/g.2/ D p5 . ©
3 17
.f .x//2 C .g.x//2

Ejercicio resuelto 89 Supongamos que f es una función que verifica una desigualdad del
tipo jf .x/j 6 jxjr en algún intervalo abierto que contiene a cero, donde r > 1. Prueba

que f es derivable en 0.

Solución. La desigualdad jf .x/j 6 jxjr , con r > 0, implica que f .0/ D 0. Tenemos que

ˇˇˇˇ f .x/ f .0/ ˇˇˇˇ D ˇˇˇˇ f .x / ˇˇˇˇ 6 jx jr 1
x 0 x

Como r 1 > 0, se tiene que lKım jxjr 1 D 0, lo que, por la desigualdad anterior, implica
que x!0

lKım ˇˇˇˇ f .x/ f .0/ ˇˇˇˇ D 0 ” f .x/ f .0/
x 0 lKım D 0:
x!0 x!0 x
0

Luego f es derivable en 0 y f 0.0/ D 0.

Ejercicio resuelto 90 Calcula la derivada en todo punto de la función definida por

8 1
< ;
f .x/ D : x2 sen x¤0
0; x xD0

Solución. Para x ¤ 0 se verifica que jf .x/j D ˇˇˇˇx2 sen 1 ˇˇˇˇ 6 x2. Como f .0/ D 0, resulta
x

que jf .x/j 6 x2 para todo x 2 R. El ejercicio anterior implica que f es derivable en

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Ejercicios resueltos 218

0 con f 0.0/ D 0. En los intervalos  1; 0Œ y 0; C1Œ la función dada es derivable
por ser producto y composición de funciones derivables en dichos intervalos, y podemos
calcular su derivada con las reglas de derivación usuales:

f 0.x/ D 2x sen 1 1
cos
xx

Observa que esta derivada tiene una discontinuidad esencial en 0. ©

Ejercicio resuelto 91 Calcula los puntos en que la cúbica y D ax3 C bx2 C cx C d , donde
a; b; c; d son constantes reales, tiene tangente horizontal. Debes estudiar los distintos
casos posibles.

Solución. La tangente es horizontal en los puntos donde se anula la derivada, esto es, en
las soluciones reales de la ecuación 3ax2 C 2bx C c D 0, las cuales viene dadas por

p
2b ˙ 4b2 12ac

6a

Si el discriminante 4b2 12ac < 0 no hay ninguna solución real. Si 4b2 12ac D 0

hay una solución real doble (en la que también se anula la derivada segunda pero no se

anula la derivada tercera, es un punto de inflexión). Si 4b2 12ac > 0 hay dos puntos
©
de tangencia horizontal.

Ejercicio resuelto 92 Calcula un punto c por la condición de que la tangente a la parábola
f .x/ D x2 C ˛x C ˇ en el punto .c; f .c//, sea paralela a la cuerda que une dos puntos
dados A D .a; f .a// y B D .b; f .b//.

Solución. Dos rectas en el plano son paralelas cuando tienen igual pendiente. Debemos
calcular c por la condición

f .b/ f .a/ Df 0.c/ ” b2 a2 C ˛.b a/ D2cC˛ ” bCaC˛D2cC˛ ” cD a C b
b a ba 2

©

Ejercicio resuelto 93 Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una hipérbola
de ecuación cartesiana y2 x2 D 1, en un punto genérico .u; v/ de la misma.

Solución. Podemos expresarpy como función de x. Tenemos que y2 D 1 C x2, lo que da
lugar a dos curvas fp.x/ D 1 C x2 (la parte de la hipérbola en el semiplano superior
y > 0) y g.x/ D 1 C x2 (la parte de la hipérbola en el semiplano inferior y < 0).
La tangente en un punto .u; v/ con v D f .u/ > 0 es la recta de ecuación:

y D f .u/ C f 0.u/.x u/ D v C p u .x u/ D v C ux u2 ” vy ux D 1

1 C u2 v

La tangente en un punto .u; v/ con v D g.u/ < 0 es la recta de ecuación:

y D g.u/ C g 0.u/.x u/ D v p u .x u/ D v C ux u2 ” vy ux D 1

1 C u2 v

En cualquier caso se obtiene la recta de ecuación vy ux D 1.

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Derivabilidad de las funciones elementales 219

Podemos proceder también sin necesidad de calcular y en función de x. Para ello, basta
observar que si expresamos y en función de x y obtenemos y D '.x/ entonces se tiene
que '.x/2 x2 D 1. Podemos derivar ahora la función x !7 '.x/2 x2 con respecto
a x. La derivada es 2'.x/' 0.x/ 2x y, como dicha función es constante igual a 1, su

derivada debe ser nula. Luego

2'.x/' 0.x/ 2x D 0 ” ' 0.x/ D x
'.x/

Por tanto la derivada en un punto u viene dada por ' 0.u/ D u donde v D '.u/. En
v

consecuencia, la tangente en el punto .u; v/ es la recta de ecuación:

y D v C ' 0.u/.x u ux u2 ux D 1
u/ D v C .x u/ D v C ” vy
vv

Es decir, de esta forma, sin necesidad de calcular de forma explícita '.x/ (que da lu-
gar a las dos funciones anteriores f .x/ y g.x/), podemos calcular la recta tangente sin
necesidad de considerar cada caso por separado.

Para que te convenzas de que esta forma de proceder es útil, considera la hipérbola
x2 py2 D 1. Si ahorapexpresas y como función de px obtendrás cuatropcurvas:
y1 D x2 1 e y2 D x2 1 para (x > 1), y y3 D x2 1 e y4 D x2 1
para (x < 1). Para calcular la tangente en un punto .u; v/ de dicha hipérbola no merece

la pena considerar cada una de ellas por separado. Razonando como antes, se tiene que
de cualquier forma que expresemos y D '.x/ por la condición de que x2 '.x/2 D 1,
la derivada viene dada por ' 0.x/ D x='.x/. Por tanto la ecuación de la recta tangente en

.u; v/ viene dada por:

y D v C ' 0.u/.x u/ D v C u u/ D v C ux u2 ” ux vy D 1
.x
v v

©

Ejercicio resuelto 94 Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a una elipse de
x2 y2

ecuación a2 C b2 D 1 en un punto .u; v/ de la misma.

Solución. Procediendo como en el ejercicio anterior debes obtener la recta de ecuación

ux vy
a2 C b2 D 1

©

6.2.7. Derivabilidad de las funciones elementales

6.2.7.1. Derivabilidad de la exponencial y del logaritmo. Criterio de equivalencia loga-
rítmica

Aceptaremos que las funciones logaritmo, exponencial, trigonométricas y sus inversas, son
derivables, pues ahora no sería fácil probarlo. Más adelante dispondremos de herramientas para
hacerlo con comodidad.

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Derivabilidad de las funciones elementales 220

La función exponencial x 7! exp.x/ D ex, .x 2 R/, y la función logaritmo natural
x !7 log x, .x 2 RC/, son derivables en todo punto de sus respectivos intervalos de defini-
ción, siendo:

.exp/0.x/ D exp x .8x 2 R/; .log/0.x/ D 1 .8x 2 RC/
x

En particular, se verifica que:

lKım log x D 1I ex 1 lKım log.1 C x/ D 1I lKım .1 C x/1=x D e
x!1 x 1 lKım D 1I x
x!0 x x!0 x!0

Pues los primeros tres límites son derivadas y el cuarto se reduce fácilmente al tercero. Dedu-

cimos también un importante resultado que permite resolver en muchos casos las indetermina-
ciones “11” y “01”.

6.11 Teorema (Criterio de equivalencia logarítmica). Sea a 2 I , f y g funciones definidas

en I n fag. Supongamos que f .x/ > 0 para x 2 I n fag, y que lKım f .x/ D 1. Entonces se tiene
x!a
que:

i) lKım f .x/g.x/ D eL si, y sólo si, lKım g.x/.f .x/ 1/ D L.
x!a x!a

ii) lKım f .x/g.x/ D C∞ si, y sólo si, lKım g.x/.f .x/ 1/ D C∞.
x!a x!a

iii) lKım f .x/g.x/ D 0 si, y sólo si, lKım g.x/.f .x/ 1/ D ∞.
x!a x!a

Demostración. Sea ' W RC ! R la función dada por:

'.x/ D log x ; .x ¤ 1/; '.1/ D 1:

x1

Nótese que ' es una función continua. Pongamos:

f .x/g.x/ D exp g.x/.f .x/
g.x/ log.f .x// D exp 1/'.f .x//

Puesto que lKım '.f .x// D 1 se sigue que:

x!a

lKım g.x/.f .x/ 1/'.f .x// D L 2 R [ fC∞g [ f ∞g

x!a

si, y sólo si

lKım g.x/.f .x/ 1// D L 2 R [ fC∞g [ f ∞g

x!a

lo que prueba las afirmaciones hechas.

Las afirmaciones que se hacen en la siguiente proposición son consecuencia fácil de la regla
de la cadena.

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Derivabilidad de las funciones elementales 221

6.12 Proposición. Sean f; g W I ! R, a 2 I y g.x/ > 0 para todo x 2 I . Se verifica entonces

que:

i) f es derivable en a si, y sólo si, la función h.x/ D exp.f .x// es derivable en a en cuyo caso
h0.a/ D f 0.a/ exp.f .a//.

ii) g es derivable en a si, y sólo si, la función '.x/ D log.g.x// es derivable en a en cuyo caso
g 0.a/
' 0.a/ D :
g.a/

iii) Si f y g son derivables en a la función .x/ D g.x/f .x/ también es derivable en a y

log.g.a//f g 0.a/
0.a/ D .a/ 0.a/ C f .a/
g.a/

Te recuerdo que una forma cómoda para trabajar con funcione s de la forma .x/Dg.x/f .x/
es escribirlas como exponenciales .x/ D exp f .x/ log.g.x// .

6.2.7.2. Derivabilidad de las funciones trigonométricas

Las funciones seno y coseno son derivables en todo punto verificándose que:
sen 0.x/ D cos x cos 0.x/ D sen x:

En particular, se verifica que:

sen x cos x 1 D 0:
lKım D 1; lKım
x!0 x x!0 x

Las derivadas de las demás funciones trigonométricas se deducen con facilidad a partir de las
derivadas del seno y del coseno.

6.2.7.3. Derivabilidad de las funciones hiperbólicas

Las derivadas de las funciones hiperbólicas y de sus inversas se deducen con facilidad de
las derivadas del logaritmo y de la exponencial. Se comprueba sin dificultad que

senh 0.x/ D cosh x; cosh 0.x/ D senh x

Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas son muy útiles para calcular primitivas de
funciones en las que intervienen raíces cuadradas de trinomios de segundo grado.

p argsenh 0.x/ D p 1
x2 C 1
argsenh.x/ D log x C x2 C 1
argcosh 0.x/ D p 1
p x2 1

argcosh.x/ D log x C x2 1 x > 1 argcosech 0.x/ D p 1
jxj x2 C 1

argcosech.x/ D argsenh 1 x ¤ 0 argsech 0.x/ D p 1
x 1 x2
x

argsech.x/ D argcosh 1 0 < x < 1

x

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Teoremas de Rolle y del valor medio 222

6.3. Teoremas de Rolle y del valor medio

Los resultados más útiles del cálculo diferencial se refieren a funciones derivables en todos
los puntos de un intervalo. El teorema del valor medio es frecuentemente atribuido a Joseph
Louis Lagrange; no obstante, fue publicado por vez primera en 1806 por el físico André Marie
Ampére que justificaba el resultado usando ideas de Lagrange y suponiendo que la función
derivada era continua; lo cual, como se verá enseguida, es innecesario. Quince años más tarde
Augustin Cauchy volvió a probar el teorema con las mismas hipótesis. El teorema del valor
medio es uno de los resultados más útiles del Cálculo. Su utilidad se debe principalmente a que
dicho teorema permite acotar el incremento de una función cuando se conoce una cota de su
derivada.

Michel Rolle (1652 - 1719) fue miembro de la Académie des Sciences y en 1691, estudian-
do un método para resolver ecuaciones, estableció, sin demostrar, el teorema que ahora lleva
su nombre que, como veremos, es esencialmente equivalente al teorema del valor medio.

6.13 Definición. Dada una función cualquiera f WI ! R, se dice que f tiene en un punto a 2 I
un máximo relativo (resp. mínimo relativo) si hay algún número r > 0 tal que a r; a C r Œ I
y 8x 2a r; a C r Œ se verifica que f .x/ 6 f .a/ (resp. f .x/ > f .a/). La expresión extremo
relativo se utiliza para referirse indistintamente a un máximo o a un mínimo relativo.

.c; f .c// La función f tiene máximos relativos en los
puntos a y c y mínimos relativos en los puntos
.a; f .a// b y d . Nótese que f .d / > f .a/, es decir, el va-
lor de una función en un mínimo relativo puede
.d; f .d // ser mayor que el valor en un máximo relativo.

.b; f .b//

Figura 6.5. Extremos relativos

6.14 Proposición (Condición necesaria de extremo relativo). Sea f W I ! R, a 2 I y

supongamos que f tiene un extremo relativo en a y que f es derivable en a. Entonces se
verifica que f 0.a/ D 0.

Demostración. Supongamos que a es un máximo relativo de f . Entonces hay un número r > 0
tal que a r; a C r Œ I y 8x 2a r; a C r Œ se verifica que f .x/ 6 f .a/. Puesto que f es
derivable en a y el punto a no es un extremo del intervalo I , se verifica que:

lKım f .x/ f .a/ D f 0.a/ D lKım f .x/ f .a/
x!a xa x!a xa
x<a x>a

f .x/ f .a/ >0, se sigue que lKım f .x/ f .a/
Puesto que para a r < x < a es a >0.
a x!a x f .a/
x x<a a 60.
f .x/
Puesto que para a < x < aCr es f .a/ 60, se sigue que lKım f .x/

x a x!a x
Por tanto f 0.a/ D 0. x>a

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Teoremas de Rolle y del valor medio 223

El resultado anterior es uno de los que peor se interpretan debido a que suelen olvidarse sus
hipótesis, que son dos:

Que el punto a sea un extremo relativo de f .
Que f sea derivable en a.

La expresión “como f tiene un extremo en a, su derivada debe anularse en a” no es, en
general, correcta. Los siguientes ejemplos lo dejan bien claro:

La función f W R ! R dada por f .x/ D jxj, tiene claramente un mínimo relativo (y
también absoluto) en 0, pero no es derivable en 0, por lo que no tiene ningún sentido
decir que su derivada se anula en 0.

La función f W Œ 1; 1 ! R dada por f .x/Dx3, es estrictamente creciente, es derivable
en todo punto y su derivada solamente se anula en x D0. Tiene un mínimo absoluto en 1
y un máximo absoluto en 1; dichos puntos no son extremos relativos de la función. Este
ejemplo también muestra que la condición necesaria de extremo relativo no es suficiente.

Los puntos en los que se anula la derivada de una función se llaman puntos críticos o puntos
singulares de dicha función.

6.15 Teorema (Teorema de Rolle). Sea f WŒa; b ! R una función continua en Œa; b, derivable
en a; bŒ y verificando que f .a/Df .b/. Entonces existe algún punto c 2a; bŒ tal que f 0.c/D0.

Demostración. La continuidad de f en Œa; b garantiza que f alcanza en un punto u 2 Œa; b un
mínimo absoluto y en un punto v 2 Œa; b un máximo absoluto. Si fu; vg D fa; bg, entonces será

f 0.c/ D 0 f .u/ D f .v/ y, por tanto f es constante
en Œa; b y, en consecuencia, su derivada es
y D f .x/ nula. Si fu; vg¤fa; bg, entonces alguno de
los puntos u, v está en a; bŒ y es un extre-
mo relativo de f por lo que, en virtud de
la proposición anterior, concluimos que la
derivada de f se anula en algún punto de
a; bŒ.

ac b

Figura 6.6. Teorema de Rolle

Observaciones. Observa que la demostración del teorema de Rolle que hemos dado, que es la
usual, depende de forma esencial del teorema de Weierstrass 4.29 que garantiza la existencia
de valores extremos absolutos.

El enunciado anterior del teorema de Rolle es el usual; pero, en cierto sentido, es “de-
masiado preciso”. Esto se debe a que las hipótesis que se consideran en el teorema son las
mínimaspindispensables. Por ejemplo, si consideramos la función f W Œ 1; 1 ! R dada por
f .x/ D 1 x2, cuya gráfica es la mitad superior de la circunferencia unidad, se tiene que
f es continua en Œ 1; 1, derivable en  1; 1Œ y, claro está, su derivada se anula en x D 0.
Esta función no es derivable en los extremos del intervalo. Pero la situación más corriente es
que la función sea derivable en todo el intervalo, incluidos sus extremos. Además, es frecuente

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Teoremas de Rolle y del valor medio 224

trabajar con funciones definidas en intervalos abiertos que no tienen puntos extremos, en cuyo
caso debemos elegir un intervalo apropiado para aplicar el teorema.

El teorema de Rolle se usa para estudiar raíces de ecuaciones, pues permite relacionar los
ceros de una función derivable con los de su derivada. Un cero de una función es, naturalmente,
un punto en el que la función se anula.

6.16 Corolario. a) Entre cada dos ceros de una función derivable en un intervalo hay por lo
menos un cero de su derivada.

b) Entre cada dos ceros consecutivos de la derivada de una función en un intervalo, so-
lamente puede haber, como mucho, un cero de la función; o puede que la función no tenga
ningún cero entre los dos ceros de su derivada.

Demostración. a) Sea f W I ! R una función derivable en un intervalo I . Sean a; b 2 I tales
que f .a/ D f .b/ D 0. El teorema de Rolle nos dice que hay algún punto entre a y b en el que
se anula la derivada de f .

b) Supongamos que s; t son ceros consecutivos de la derivada de f , esto es, f 0.s/ D f 0.t / D 0
y f 0 no se anula en ningún punto comprendido entre s y t . En tal caso puede ocurrir que f no
tenga ningún cero comprendido entre s y t o que tenga solamente uno. No puede ocurrir que
f tenga más de un cero entre s y t, pues en tal caso su derivada tendría que anularse en algún
punto comprendido entre s y t, cosa que no sucede.

El apartado b) suele expresarse diciendo que los ceros de la derivada separan los ceros

de la función. Debes entender bien lo que se afirma en b). Por ejemplo, puede ocurrir que la

derivada se anule en varios puntos y la función no se anule nunca: la función f .x/ D 2 C sen x
no se anula nunca, pero su derivada f 0.x/ D cos x tiene infinitos ceros.

6.17 Teorema (Teorema del valor medio). Sea f W Œa; b ! R una función continua en Œa; b
y derivable en a; bŒ. Entonces existe algún punto c 2a; bŒ tal que

f 0.c/ D f .b/ f .a/ (6.4)
ba

Demostración. Definamos una función g W Œa; b ! R por g.x/ D f .x/ C x donde lo
elegiremos por la condición de que g.a/ D g.b/, es decir:

f .b/ f .a/
f .a/ C a D f .b/ C b ÷ D

ba
Podemos aplicar ahora el teorema de Rolle en el intervalo Œa; b a la función

f .b/ f .a/
g.x/ D f .x/ x

b a
para deducir que hay un punto c 2a; bŒ tal que

g 0.c/ D f 0.c/ f .b/ f .a/ D 0
lo que concluye la demostración. b a

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Consecuencias del teorema del valor medio 225

.c; f .c// y D f .c/ C f 0.c/.x c/
˛
.b; f .b//

.a; f .a// f .b/ f .a/ D f 0.c/
tg.˛/ D
ba

acb

Figura 6.7. Teorema del valor medio

Lo que afirma el teorema del valor medio es que el incremento medio de una función en un
intervalo es igual a su derivada o “incremento puntual” en algún punto del mismo. Geométri-
camente: la tangente a la gráfica de f en algún punto c comprendido entre a y b es paralela a
la cuerda que une los puntos .a; f .a/ y .b; f .b//.

Observa que el teorema del valor medio lo hemos deducido del teorema de Rolle, pero
es evidente que el teorema de Rolle puede deducirse del teorema del valor medio. Son dos
resultados equivalentes. En lo que sigue nos referiremos al teorema del valor medio por las
siglas TVM.

6.3.1. Consecuencias del teorema del valor medio

6.18 Proposición. Sea f una función derivable en un intervalo I , y supongamos que existe
M > 0 tal que jf 0.x/j 6 M para todo x 2 I . Entonces se verifica que

jf .x/ f .y/j 6 M jx yj para todos x; y 2 I (6.5)

En particular, si f 0.x/ D 0 para todo x 2 I entonces f es constante en I .

Demostración. Dados x; y 2 I , el TVM aplicado a la función f en el intervalo de extremos x
e y nos dice que hay algún punto z en dicho intervalo tal que f .x/ f .y/ D f 0.z/.x y/.
Tomando valores absolutos tenemos

jf .x/ f .y/j D jf 0.z/jjx yj 6 M jx yj

Si la derivada de f es idénticamente nula en I podemos tomar M D 0 en la desigualdad (6.5)
para obtener que f .x/ D f .y/ para todos x; y 2 I , lo que nos dice que f es constante en I .

El resultado anterior, además de su interés teórico, es muy útil para probar desigualdades.

En la proposición anterior la hipótesis de que I es un intervalo es esencial. La función
f W0; 1Œ[1; 2Œ! R dada por f .x/ D 1 si 0 < x < 1 y f .x/ D 2 si 1 < x < 2, es derivable en
todo punto con derivada nula y no es constante.

6.19 Proposición. Sea I un intervalo, a 2 I y f una función continua en I y derivable en
I nfag. Si la función derivada f 0 tiene límite por la derecha (resp. por la izquierda) en a

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Consecuencias del teorema del valor medio 226

entonces f es derivable por la derecha (resp. por la izquierda) en a con derivada por la

derecha (resp. por la izquierda) en a igual al valor de dicho límite. En particular, si existe
lKım f 0.x/ D L entonces f es derivable en a y f 0.a/ D L.

x!a

Demostración. Supongamos lKım f 0.x/ D L. Dado " > 0, existe ı > 0 tal que a ı; a I

x!a
x<a

y para a ı < x < a se verifica que jf 0.x/ Lj < ". Dado x 2a ı; a, podemos aplicar el

teorema del valor medio a la función f en el intervalo Œx; a y deducimos que hay algún punto
c 2x; aŒ a ı; aŒ tal que f .x/ f .a/ D f 0.c/.x a/ y por tanto:

ˇˇˇˇ f .x/ f .a/ Lˇˇˇˇ D jf 0.c/ Lj < ":
x a

Lo que prueba que

f .x/ f .a/
lKım D L;
x!a xa
x<a

es decir, f es derivable por la izquierda en a y la derivada por la izquierda de f en a es igual a
L.

El resto de las afirmaciones del enunciado se deducen fácilmente de lo anterior.

La proposición anterior tiene una interesante consecuencia que, entre otras cosas, nos in-
forma de que no toda función puede ser la derivada de otra.

6.20 Corolario. Las funciones derivadas definidas en intervalos no tienen discontinuidades
evitables ni de salto.

6.21 Proposición (Derivabilidad y monotonía). Sea f W I ! R derivable en todo punto del
intervalo I con la posible excepción de los puntos extremos de I . Se verifica entonces que f
es creciente (resp. decreciente) en I si, y sólo si, f 0.x/ > 0 (resp. f 0.x/ 6 0) para todo x 2 I .

Demostración. Supongamos que f 0.x/ > 0 para todo x 2 I . Dados dos puntos u; v 2 I con
u < v, podemos aplicar el teorema del valor medio a f en el intervalo Œu; v para deducir que
existe c 2u; vŒ tal que f .v/ f .u/ D f 0.c/.v u/ > 0, por lo que f .u/ 6 f .v/, es decir f

es creciente.

Recíprocamente, si f es creciente en I entonces para todos a; x 2 I , con x ¤ a, se tiene
f .x/ f .a/
que x a > 0, lo que implica que:

f .x/ f .a/ D f 0.a/ > 0:
lKım a
x!a x

Este resultado es muy útil para probar desigualdades entre funciones. Muchos problemas de
desigualdades responden al siguiente esquema.

6.22 Estrategia. Supuesto que f y g son funciones derivables, para probar que f .x/ 6 g.x/
para todo x > a, se hace lo siguiente:

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Consecuencias del teorema del valor medio 227

Se define h.x/ D g.x/ f .x/ y se comprueba que h.a/ D 0.
Se comprueba que h0.x/ > 0 para todo x > a.

Esta última desigualdad implica que h es creciente en Œa; C1Œ y, como h.a/D0, concluimos
que h.x/ > 0, es decir, g.x/ f .x/ > 0, para todo x > a.

Naturalmente, los detalles pueden cambiar. Puede que el punto a debas elegirlo tú. Es
una estrategia que tiene éxito cuando la desigualdad h0.x/ > 0 es más fácil que la inicial.
Puede ocurrir que esta desigualdad siga siendo complicada; entonces podemos aplicarle a ella
el mismo procedimiento, comprobamos que h0.a/ D 0 y que h 00.x/ > 0 para todo x > a, lo
que implica que h0 es creciente en Œa; C1Œ y, como h0.a/ D 0, concluimos que h0.x/ > 0 para
todo x > a.

De la proposición (6.21) se deduce el siguiente resultado de extremo absoluto.

6.23 Proposición (Criterio de extremo absoluto). Sea f una función continua en Œa; b y
derivable en todo punto de a; bŒ con la posible excepción de un punto c 2a; bŒ.

a) Si f 0.x/ > 0 para todo x 2a; cŒ y f 0.x/ 6 0 para todo x 2c; bŒ, entonces f alcanza en c
un máximo absoluto en Œa; b.

b) Si f 0.x/ 6 0 para todo x 2a; cŒ y f 0.x/ > 0 para todo x 2c; bŒ, entonces f alcanza en c
un mínimo absoluto en Œa; b.

Demostración. a) Las hipótesis hechas implican, en virtud de la proposición (6.21), que f
es creciente en Œa; c y decreciente en Œc; b. Por tanto, se verifica que f .x/ 6 f .c/ para todo
x 2 Œa; b.

La demostración del apartado b) se hace de la misma forma.

El anterior criterio de extremo absoluto suele aplicarse en puntos donde la derivada se
anula. Aunque el resultado anterior está enunciado en términos de extremos absolutos, está
claro que si se aplica a un pequeño intervalo contenido en un intervalo más grande, donde la
función está definida, dicho resultado proporciona en tal caso un criterio de extremo relativo.

6.24 Teorema. Sea f W I ! R derivable en el intervalo I con f 0.x/ ¤ 0 para todo x 2 I . Se
verifica entonces una de las dos afirmaciones siguientes:

f es estrictamente creciente y f 0.x/ > 0 para todo x 2 I .

f es estrictamente decreciente y f 0.x/ < 0 para todo x 2 I .

Demostración. Dados dos puntos u; v 2 I con u¤v, podemos razonar como antes para obtener
que existe c 2u; vŒ tal que f .v/ f .u/ D f 0.c/.v u/ ¤ 0. Hemos probado así que f es
inyectiva en el intervalo I . Como, además f es continua en I (por ser derivable), podemos
usar el resultado 4.26 del capítulo 4, para deducir que f es estrictamente monótona en I . Es
suficiente tener en cuenta ahora la proposición anterior para concluir la demostración.

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