Ejercicios propuestos 478
Con frecuencia, las ecuaciones en coordena-
das polares se usan para representar distintos ti-
pos de curvas simétricas llamadas “rosas”. Por
ejemplo, en la figura 8.19 se ha representado
una rosa de 8 hojas o lazos, cuya ecuación en
coordenadas polares es Dcos.4#/, 06# 62 .
Figura 8.19. Rosa de 8 pétalos
8.7.5. Ejercicios propuestos
413. Calcula el área encerrada por la elipse x.t/ D a C r cos t, y.t/ D b C R sen t donde
0 6 t 6 2 .
413. Calcula el área encerrada por la cardioide x.t/ D cos t.1 C cos t/, y.t/ D sen t.1 C cos t/
para 0 6 t 6 2 .
414.
Calcula el área de la región del plano rodeada
por un lazo de la lemniscata de ecuación polar
2 D cos.2#/, . =4 6 # 6 =4/.
415. Calcula el área limitada por el arco de la espiral de Arquímedes D a#, a > 0, com-
prendido entre # D 0 y # D .
1
416. Calcula el área encerrada por el lazo interior de la curva D C cos #.
2
417. Hallar el área encerrada por una de las hojas de la rosa D 2 cos.2#/.
418. Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación x3 C y3 3axy D 0,
a > 0. Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.
419. Calcula el área de la región común a las dos elipses
x2 y2 x2 y2
a2 C b2 D 1; b2 C a2 D 1:
Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificar
los cálculos y pasar a coordenadas polares.
8.7.6. Longitud de un arco de curva
Se trata de calcular la longitud de la curva plana
dada por las ecuaciones paramétri-
cas
.t/ D .x.t/; y.t//, a 6 t 6 b, donde suponemos que x.t/, y.t/ tienen derivada prime-
ra continua. Para ello aproximamos la curva por poligonales inscritas en ella. Cada partición
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 479
fa D t0; t1; t2; : : : ; tn 1; tn D bg induce una poligonal cuyos vértices son los puntos
.tk/ D
.x.tk/; y.tk //, .0 6 k 6 n/.
.tk/
.tk 1/
Figura 8.20. Aproximación por poligonales
La longitud de dicha poligonal viene dada por la suma:
Xn q .x.tk/ x.tk 1//2 C .y.tk / y.tk 1//2 Ð Xn q x 0.sk /2 C y 0.sk /2 .tk tk 1/
k D1 k D1
Donde hemos usado el teorema del valor medio py la continuidad de las derivadas. Pero esta su-
ma es una suma de Riemann de la función t !7 x 0.t /2 C y 0.t /2. Deducimos que la longitud
de la curva
viene dada por
bq (8.43)
`.
/ D x 0.t /2 C y 0.t /2 dt
a
Para el caso particular de que la curva sea la gráfica de una función y D f .x/, esto es
.x/ D
.x; f .x//, entonces su longitud viene dada por
bq
`.
/ D 1 C f 0.x/2 dx
a
Para el caso particular de que la curva venga dada por una parametrización polar de la forma
(8.41), su longitud viene dada por
ˇq
`.
/ D f .#/2 C f 0.#/2 d#
˛
Si interpretamos que la curva
.t/ D .x.t/; y.t// es la función de trayectoria seguida por
un móvil, entonces la velocidad de dicho móvil en cada instante t viene dada por el vector
pderivada
0.t / D .x 0.t /; y 0.t //, y la rapidez es la norma euclídea de dicho vector, es decir
x 0.t /2 C y 0.t /2. La igualdad (8.43) tiene ahora una interpretación clara: la distancia recorri-
da por un móvil se obtiene integrando la rapidez. Volveremos sobre esto más adelante.
8.7.7. Ejercicios propuestos
420. Calcula la longitud del arco de catenaria y D cosh x entre x D 0 y x D 1.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Volúmenes de sólidos 480
421. Calcula la longitud de un arco de la cicloide x.t/Dt sen t, y.t/D1 cos t, .06t 62 /.
422. Calcular la longitud del arco de curva y D x2 C 4, entre x D 0 y x D 3.
x 2=3 y 2=3
423. Calcula la longitud de la astroide C D 1, a > 0.
aa
Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y tener en cuenta la si-
metría.
424. Calcula la longitud de la cardioide D 3.1 C cos #/, .0 6 # 6 2 /.
425. Calcula la longitud de la curva y D x4 C 48 donde 2 6 x 6 4.
24x
426. Calcula la longitud de la curva y D log.1 x2/, donde 1=3 6 x 6 2=3.
8.7.8. Volúmenes de sólidos
Al igual que podemos calcular áreas de regiones planas integrando las longitudes de sus
secciones por rectas paralelas a una dada, podemos también calcular volúmenes de regiones en
R3 integrando las áreas de sus secciones por planos paralelos a uno dado. Este resultado es un
caso particular del teorema de Fubini que veremos al estudiar integrales múltiples.
8.69 Teorema (Cálculo de volúmenes por secciones planas). El volumen de una región en
R3 es igual a la integral del área de sus secciones por planos paralelos a uno dado.
Para justificar esta afirmación, sea una región en R3 como la de la figura 8.21.
Z
.x/
O x X
a b
Y
Figura 8.21. Cálculo del volumen por secciones
Representemos por .x/ la sección de por el plano perpendicular al eje OX en el punto
.x; 0; 0/. Sea V .x/ el volumen de la parte de que queda a la izquierda de dicho plano y
sea ..x// el área de la sección .x/. Observa que la situación es totalmente análoga a
la considerada en el Teorema Fundamental del Cálculo: allí teníamos la función área cuya
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Volúmenes de sólidos 481
derivada era la longitud de la sección. No debe sorprenderte por ello que ahora resulte que
la derivada de la función volumen, V .x/, sea el área de la sección. En efecto, sea h > 0.
Suponiendo, naturalmente, que la función x !7 ..x// es continua, tenemos que:
mKın f ..t// W x 6 t 6 x C hg h 6 V .x C h/ V .x/ 6 maKx f ..t// W x 6 t 6 x C hg h
de donde se deduce que
V .x C h/ V .x/
lKım D ..x//:
h!0 h
Hemos obtenido así que V 0.x/ D ..x//. Deducimos que el volumen de , que es V .b/
V .a/, viene dado por la integral:
b (8.44)
Vol./ D ..x// dx
a
El razonamiento anterior se ha hecho para secciones por planos verticales al eje OX , es decir
planos paralelos al plano Y Z; pero el resultado obtenido también es válido para secciones por
planos paralelos a un plano dado.
Podemos llegar también a este resultado considerando sumas de Riemann. Para ello apro-
ximamos la región por cilindros de la siguiente forma. Consideremos una partición
fa D x0; x1; x2; : : : ; xn 1; xn D bg
de Œa; b. La parte de comprendida entre los planos perpendiculares al eje OX por los puntos
.xk 1; 0; 0/ y .xk; 0; 0/ puede aproximarse por un cilindro de altura xk xk 1 y base .xk/
cuyo volumen es igual ..xk//.xk xk 1/. La suma de los volúmenes de todos estos cilin-
Xn
dros, ..xk//.xk xk 1/, es por tanto una aproximación del volumen de . Pero dicha
k D1
suma es una suma de Riemann de la función x 7! ..x//, por lo que el volumen de viene
b
dado por ..x// dx .
a
Vamos a estudiar algunos casos en los que es fácil calcular el área de las secciones de .
8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución
Los cuerpos de revolución o sólidos de revolución son regiones de R3 que se obtienen
girando una región plana alrededor de una recta llamada eje de giro.
Método de los discos
Es fácil calcular el volumen de un cuerpo de revolución obtenido girando una región de
tipo I alrededor del eje OX , o una región de tipo II alrededor del eje OY .
Sea f W Œa; b ! R una función continua. Girando la región del plano comprendida entre
la curva y Df .x/, el eje de abscisas y las rectas x Da y x Db, alrededor del eje OX obtenemos
un sólido de revolución (ver figura 8.22). Es evidente que la sección, .x/, de por el plano
perpendicular al eje OX en el punto .x; 0; 0/, es un disco contenido en dicho plano de centro
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Volúmenes de sólidos 482
y D f .x/
.x/
ax b
Figura 8.22. Método de los discos
.x; 0; 0/ y radio jf .x/j. Por tanto el área de .x/ es ..x// D f .x/2; en consecuencia el
volumen de es igual a
b
Vol./ D f .x/2 dx
a
El volumen del sólido de revolución, , obtenido girando alrededor del eje OX una región de
tipo I definida por dos funciones continuas f; g W Œa; b ! R tales que 0 6 f .x/ 6 g.x/ para
todo x 2 Œa; b, se obtiene integrando las áreas de las coronas circulares o arandelas, .x/, de
radio interior f .x/ y radio exterior g.x/, obtenidas al cortar por un plano perpendicular al
eje OX en el punto .x; 0; 0/.
b
Vol./ D .g.x/2 f .x/2/ dx
a
Consideremos ahora un sólido de revolución obtenido girando alrededor del eje OY una región
R de tipo II, definida por dos funciones continuas '; W Œc; d ! R tales que 0 6 '.y/ 6 .y/
para todo y 2 Œc; d , es decir, R es la región R D f.x; y/ W y 2 Œc; d ; '.y/ 6 x 6 .y/g. El
volumen del sólido de revolución resultante, , viene dado por:
d
Vol./ D . .y/2 '.y/2/ dy
c
Este procedimiento se conoce como método de los discos o de las arandelas. Dicho método
puede aplicarse con facilidad para calcular el volumen de cuerpos de revolución obtenidos
girando regiones de tipo I alrededor de rectas horizontales, o regiones de tipo II alrededor de
rectas verticales.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 483
8.7.9. Ejercicios propuestos
427. Calcula el volumen de la esfera obtenida girando la circunferencia x2 C y2 D R2 alre-
dedor del eje OX .
428. Calcula el volumen del cono circular recto de altura h y radio de la base R obtenido
girando la recta y D Rx= h entre x D 0 y x D h.
429. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la parte de la
curva y D sen2x comprendida entre 0 y .
430. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la gráfica de la
18x
función f W Œ0; C∞Œ! R dada por f .x/ D x2 C 9 .
431. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la
región del plano comprendida bajo la curva
y D p 2 .1 6 x < C1/
x
.x2 2x C 2/
432. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola
y2 D 4x y la recta x D 4 alrededor de dicha recta.
433. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas
y2 D x,x2 D y alrededor del eje OX .
x2 y2 z2
434. Calcula el volumen del elipsoide a2 C b2 C c2 D 1.
x2 y2
435. Calcula el volumen limitado por el paraboloide C D z y el plano z D 7.
9 16
Método de las láminas o de los tubos
Consideremos una función positiva f W Œa; b ! R y la región G.f; a; b/ limitada por la
gráfica de dicha función y las rectas verticales xDa, xDb. Observa que G.f; a; b/ es una región
de tipo I pero, en general, no es una región de tipo II. Girando dicha región alrededor del eje
OY obtenemos un sólido de revolución, , cuyo volumen podemos aproximar considerando
pequeños rectángulos verticales inscritos en la gráfica de f y girándolos alrededor del eje OY
(ver figura 8.23).
Cada uno de esos rectángulos engendra, al girarlo, un tubo cilíndrico de paredes delgadas.
La suma de los volúmenes de dichos tubos es una aproximación del volumen de . Natural-
mente, la aproximación va mejorando a medida que hacemos que los tubos tengan paredes cada
vez más delgadas.
Consideremos una partición fa D x0; x1; x2; : : : ; xn 1; xn D bg de Œa; b. Al girar alrede-
dor del eje OY un rectángulo vertical cuya base es el intervalo Œxk 1; xk y altura f .xk/,
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 484
Y
y Df .x/
ax bX
Z
Figura 8.23. Método de las láminas o tubos
obtenemos una lámina de un cilindro circular recto, esto es, un tubo cuya base tiene área
.xk2 xk2 1/ y altura f .xk/, cuyo volumen es, por tanto, igual a:
.xk2 xk2 1/f .xk/ D .xk xk 1/.xk C xk 1/f .xk /D
D xk f .xk /.xk xk 1/ C xk 1f .xk /.xk xk 1/:
La suma de todos ellos es igual a:
Xn Xn xk 1/:
xkf .xk/.xk xk 1/ C xk 1f .xk /.xk
k D1 k D1
Pero estas dos sumas son sumas de Riemann de la función x !7 xf .x/. Deducimos que el
volumen de viene dado por:
b
Vol./ D 2 xf .x/ dx :
a
Esto es lo que se conoce como método de las láminas o de las capas o de los tubos. Puedes
adaptar fácilmente esta expresión para el caso de que el eje de giro sea la recta vertical x D c.
En general, si notamos por R.x/ el “radio de giro” de la lámina, entonces:
b
Vol./ D 2 R.x/f .x/ dx
a
8.7.10. Ejercicios propuestos
436. Calcula el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro .a; 0/ y radio R < a
alrededor del eje OY .
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Área de una superficie de revolución 485
Y
437.
La región plana limitada por el segmento de pa- 1 X
rábola y D 4 x2, donde 1 6 x 6 2, y las rectas x2 C z2 D 4 2
x D 0 e y D 3, gira alrededor del eje OY engen-
drando un sólido en forma de flan (un tronco de Z
paraboloide de revolución). Calcula su volumen
y el volumen de la porción obtenida al cortarlo
verticalmente desde un punto del borde supe-
rior.
438. Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas
y D x2, x D y2 alrededor del eje OY .
439. Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro 0 y radio 3 alrededor
de la recta x D 6.
440. Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas
y D x2, x D y2 alrededor la recta x D 4.
8.7.11. Área de una superficie de revolución
Una superficie de revolución se obtiene girando una curva dada alrededor de una recta.
Sea f W Œa; b ! R una función con derivada primera continua. Girando la gráfica de dicha
función alrededor del eje OX obtenemos una superficie de revolución, . Fíjate en la siguiente
representación gráfica.
L.x/
L.x C h/
y D f .x/
a x xCh b
Figura 8.24. Superficie de revolución
Sea S.x/ el área de la parte de la superficie comprendida entre los planos X D a, y X D x.
Representemos por L.x/ la longitud de la gráfica de f entre a y x. Recuerda que
xq
L.x/ D 1 C f 0.t /2 dt :
a
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios propuestos 486
Sea h > 0. Teniendo en cuenta que el área lateral de un cilindro circular recto es igual a la
longitud de la base por la altura, se deduce que:
2 mKın ff .t/ W t 2 Œx; x C hg.L.x C h/ L.x// 6 S.x C h/ S.x/6
6 2 maKx ff .t/ W t 2 Œx; x C hg .L.x C h/ L.x//:
Por tanto:
2 mKın ff .t/ W t 2 Œx; x C hg L.x C h/ L.x/ 6 S.x C h/ S .x / 6
h h
6 2 maKx ff .t / W Wt 2 Œx; x C hg L.x C h/ L.x / :
h
Y tomando límite para h ! 0 se sigue que:
q
S 0.x/ D 2 f .x/L0.x/ D 2 f .x/ 1 C f 0.x/2:
Luego el área de la superficie viene dada por: (8.45)
bq
./ D 2 f .x/ 1 C f 0.x/2 dx
a
8.7.12. Ejercicios propuestos
441. Calcula el área de una superficie esférica de radio R.
442. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva y D x3, 0 6 x 6 1,
alrededor del eje OX .
443. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva x 2 Cy 2 D a 2 ,
3 3 3
a > 0, alrededor del eje OX .
x2 y2
444. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la elipse a2 C b2 D 1
alrededor del eje OY .
445. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la catenaria y Dcosh x,
0 6 x 6 1, alrededor del eje OX .
p
446. Al girar alrededor del eje OX el segmento de parábola y D x, 0 6 x 6 a, engendra un
troncopde paraboloide de revolución cuya superficie tiene área igual a la de una esfera de
radio 13=12. Se pide calcular el valor de a.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 487
447.
Se perfora, siguiendo un diámetro, una esfera
de radio r con un agujero cilíndrico (ver figura)
de modo que el anillo esférico resultante tiene
altura h (la altura del cilindro). Calcula el volu-
men del anillo y el área de la superficie total del
anillo.
448. Comprueba que el área de la superficie de revolución (llamada horno de Gabriel) engen-
drada al girar la curva y D 1=x, 1 6 x 6 C∞, alrededor del eje OX es infinita (por
tanto sería necesaria una cantidad infinita de pintura si quisiéramos pintarla) pero el vo-
lumen del sólido de revolución engendrado es finito(por tanto podemos llenarlo con una
cantidad finita de pintura). Comenta a tu gusto esta aparente paradoja.
449. Calcula el área de un espejo parabólico de 3 metros de diámetro y 1 metro de fondo.
450. Calcula el volumen de una esfera de radio 3 en la que, siguiendo un diámetro, se ha
perforado un agujero cilíndrico de radio r < 3. Calcula el área de la superficie total
del solido obtenido. Calcula los valores de r para los que dicha área alcanza sus valores
extremos.
8.7.13. Ejercicios resueltos
¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!
Ejercicio resuelto 209 Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación car-
tesiana x3 C y3 3axy D 0, a > 0.
Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar.
Solución. Sustituyendo x D cos #, y D sen # en la ecuación dada, después de sim-
plificar por 2, se obtiene:
.cos3# C sen3#/ 3a cos # sen # D 0:
Observamos que esta ecuación implica que en los puntos de dicha curva debe verificarse
que cos3# C sen3# ¤ 0. Pues si fuera cos3# C sen3# D 0, la ecuación anterior implica
que también cos # sen # D 0, de donde se sigue fácilmente que cos # D sen # D 0, lo
que es imposible. En consecuencia, la ecuación polar de la curva puede escribirse en la
forma: 3a cos # sen #
D .#/ D cos3# C sen3# :
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 488
Se verifica que .#/ D .# C /. Además,
lKım .#/ D lKım .#/ D 1. Por tan-
#! =4 # !3 =4
# > =4 # < 3 =4
to, la recta y D x es una asíntota de la curva.
Para # 2 =4; 0Πtenemos que .#/ < 0
y, por tanto, las coordenadas polares del pun-
to correspondiente son .j .#/j ; # C /; como
# C 23 =4; Œ estos puntos están en el se-
gundo cuadrante. Para # 20; =2Πtenemos que
.#/ > 0 y los puntos correspondientes a estos
valores de # están en el primer cuadrante. Para
# 2 =2; 3 =4Πtenemos que .#/ < 0 y los puntos correspondientes a estos valores de
# tienen ángulo polar # 2 =2; =4Œ, por lo que están en el cuarto cuadrante.
El lóbulo de la curva debe corresponder a los valores de # comprendidos entre dos ceros
consecutivos de que solamente pueden ser # D 0 y # D =2.
El área pedida está dada por la integral:
1 2 1 2 9a2 cos2# sen2#
ID D .cos3# C sen3#/2 d# :
.#/2 d#
2 2
00
Parece una integral bastante impresionante, pero es todo apariencia. Se trata de una fun-
ción racional par en seno y en coseno. Como ya debes saber, estas integrales se raciona-
lizan con el cambio de variable tg # D t.
2 tg #D t; d# D dt 3 ˇˇˇˇt
I D 4666 0; cos # 1Ct 2 7757
sen # Dp1 C1 C1 6t2 !C1
# tD 0I 1Ct 2 D 3 dt D 3 a2 1 3 a2:
Dpt 4 a2 t3 /2 4 Ct 3 D 4
.1 C 1
# D1 C2 ;t2t D 0 t D0
D
©
Ejercicio resuelto 210 Calcula el área de la región común a las dos elipses
x2 y2 x2 y2
.E1/ a2 C b2 D 1; .E2/ b2 C a2 D 1:
Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificar
los cálculos y pasar a coordenadas polares.
Solución. Este ejercicio puede hacerse en coordenadas cartesianas y también pasando a
coordenadas polares. Vamos a hacerlo de las dos formas.
Puedes ver las elipses en la figura 8.25. Por simetría, para calcular el área pedida es sufi-
ciente calcular el área de la parte común de las elipses que queda en el primer cuadrante.
En coordenadas cartesianas dicha región, que se ha representado ampliada a la derecha
de las elipses, es unión de dos regiones de tipo I, 1 y 2, cuyas áreas ya sabes calcular.
La gráficas de las partes superiores de las elipses E1 y E2 vienen dadas respectivamente
por: p p
a2 b2
y1.x/ D b x2; y2.x/ D a x2:
b
a
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 489
Los puntos de intersección de las elipses se obtienen resolviendo la ecuación
b p x2 D a p x2
a2 b2
ab
cuyas soluciones son x D ˙ p ab . Pongamos ˛ D p ab . Puedes comprobar
a2 C b2 a2 C b2
que y1.˛/ D y2.˛/ D ˛. Por tanto, los cuatro puntos de intersección son .˙˛; ˙˛/. El
área pedida es igual a:
˛ b p b a p
a2 b2
4 .1/ C 4 .2/ D 4 a x2 dx C4 ˛b x2 dx :
0
a y1 .x / D b p a2 x2
a
b .˛; ˛/ b
b .˛; ˛/
a
1 2
p
y2.x/ D a b2 x2
b
b
˛
Figura 8.25. Área de una región limitada por dos elipses
Una primitiva de estas integrales se calcula fácilmente. Suponiendo que jxj 6 c, tenemos
que:
p x2 dx D c sen t D c2 cos2t dt D c2 1 C cos.2t/ dt D
c2 Dx 2s
D c2 t C c2 sen.2t / D c2 t C c2 sen t cos t D c2 x C c2 x 1 x2
arc sen c2 D
2 42 22 c 2c
D c2 arc sen x C x p 2 x2:
c
2 c2
Por tanto:
ab x 1 D ab x 1
y1.x/ dx D 2 arc sen a C 2 xy1.x/; y2.x/ dx arc sen C 2 xy2.x/:
2 b
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 490
Teniendo en cuenta que y1.˛/ D y2.˛/ y que y2.b/ D 0, obtenemos que:
4 .1/ C 4 .2/ D 2ab ˛ ˛
arc sen C arc sen D
a2 b !
b a
D 2ab C arc sen p arc sen p D
2 a2 C b2 a2 C b2
D 4ab arc sen p b :
a2 C b2
Donde xenClaarúclstiemnapi1gualxda2dDhe 2m, coosmuosafdáocilqmueenptearpauteoddeos x 2 Œ 1; 1 se verifica que
arc sen comprobar.
Otra forma de proceder es como sigue. Recor- y Dy2.x/
dando (ver ejercicio resuelto 208) que el área de
una elipse de semiejes a y b es igual a ab, para
calcular el área pedida es suficiente calcular el
área de la región interior a la elipse E2 y que y Dy1 .x/
queda por encima de la elipse E1. El área pedi-
da será igual a 2. ab=2 .//D ab 2 ./. ˛ ˛
Tenemos que:
˛a !
./ D .y2.x/ y1.x// dx D ab arc sen p
arc sen p b :
˛ a2 C b2 a2 C b2
El área pedida es igual a: !
b
arc sen p a :
ab 2 ./ D 2ab C arc sen p a2 C b2
2 a2 C b2
Valor que coincide con el antes obtenido. D 1 .# /
Podemos hacer este ejercicio usando las ecua- 1 D 2 .# /
ciones polares de las elipses. Para ello, pone- 2
mos x D cos #, y D sen # y sustituimos en
las respectivas ecuaciones obteniendo:
.E1/ 1D 1.#/D p ab .E2/ 2D 2.#/D p ab
b2 cos2# C a2 sen2# a2 cos2# C b2 sen2#
Por los cálculos hechos antes, sabemos que las elipses se cortan para valores de # igual
a ˙ =4 y ˙3 =4. Si no lo supiéramos deberíamos calcular dichos valores resolviendo
la ecuación 1.#/ D 2.#/. Podemos calcular fácilmente en coordenadas polares el área
de la región común a las dos elipses que queda en el primer cuadrante. Su valor viene
dado por:
.1/ C .2/ D 1 2 C 1 4
2 2
1.#/2 d# 2.#/2 d# :
0
4
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 491
Para evaluar estas integrales, calcularemos una primitiva apropiada.
dt dx 1 v
u2 cos2t C v2 sen2t D Œtg t D x D v2 C u2x2 D uv arc tg tg t :
u
Por tanto:
a ˇˇˇt ˇˇˇˇt D !
arc tg 2 b 4
ab !
.1/ C .2/ D 2 b t C arc tg t D
tg t D a tg
4
t D0
ab a b b
D arc tg C arc tg D ab arc tg
22 b a a
Donde en la última igualdad hemos usado que arc tg x Carc tg.1=x /D para todo x > 0,
2
como fácilmente puedes comprobar. Concluimos que el área de la región común de las
dos elipses es:
b
4 .1/ C 4 .2/ D 4ab arc tg a :
Comparando con un resultado anterior, deducimos que debe ser:
arc tg b D arc sen p b :
a a2 C b2
Equivalentemente, poniendo xD b que es un número positivo cualquiera, debe verificarse
a
que: arc tg x D arc sen p x :
1 C x2
Igualdad que puedes comprobar muy fácilmente calculando la derivada de la función
©
h.x/ D arc tg x arc sen px para x 2 R.
1Cx2
x 2=3 y 2=3
Ejercicio resuelto 211 Calcula la longitud de la astroide C D 1, a > 0.
aa
Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y usar la simetría.
Solución.
Como debes saber bien, dos números u, v tales
que u2 C v2 D 1, pueden escribirse en la forma
u D cos t, v D sen t para algún valor de t 2 R;
y dicho valor es único si se eligen valores para
t en un determinado intervalo semiabierto de
longitud 2 . La ecuación cartesiana de laqas-
troide es de la forma u2 Cv2 D1 donde uD x
q 3 a
y vD 3 y . Por tanto, podemos representar
a
los puntos .x; y/ de la astroide en la forma
x.t /Da cos3t , y.t /Da sen3t donde t 2 Π; .
Estas son las ecuaciones paramétricas de di-
cha curva. Observa que las coordenadas
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 492
de los ppuunnttoossddeelauansatrcoiirdceundfeepreanrácmiaectreontarasdeaoebntieenleonriegleevnanddeoraadl icoubp3oala. sEcsotoorpdoennaeddaes
de los
manifiesto las simetrías de la astroide con respecto a los ejes coordenados y con respecto
al origen. Los puntos de la astroide que están en el primer cuadrante corresponden a
valores de t 2 Œ0; =2. Teniendo en cuenta la simetría de la curva, la longitud de la
misma viene dada por:
q
2
2p
4 x 0.t /2 C y 0.t /2 dt D 12a cos4t sen2t C sen4t cos2t dt D
00
q
2 22
D 12a cos2t sen2t .cos2t C sen2t / dt D12a cos t sen t dt D 6a sen.2t / dt D 6a:
0 00
©
x4 C 48
Ejercicio resuelto 212 Calcula la longitud de la curva y D 24x donde 2 6 x 6 4.
Solución. Lo único que hay que hacer es calcular la integral:
p x4 !2 dx D 4 x4 C 16 17
16 dx D :
4q 4 6
1 C y 0.x/2 dx D 1 C 8x2 2 8x2
22
Ejercicio resuelto 213 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada
por la parábola y2 D 4x y la recta x D 4 alrededor de dicha recta.
Solución. Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos.
Por el método de los discos debemos integrar
las áreas de secciones perpendiculares al eje de
giro. Observa que debemos tomar como varia- 4
ble de integración la variable y. Los puntos de
corte de la parábola con la recta son .4; 4/ y x Dy2=4
.4; 4/. Por tanto, en la región indicada, tene-
mos que y 2 Œ 4; 4. La sección por una recta
horizontal es un disco cuyo radio en cada punto x4
de la curva x D y2=4 es la distancia de dicho
punto a la recta x D 4, que es igual a 4 y2=4.
El volumen pedido viene dado por la integral: p
yD 2 x
4 y2=4/2 dy D 1024
4
.4
15
4
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 493
Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar como
variable x. Hay qupe tener en cuenta que cada segmento vertical de abscisa x que gira
tiene de longitud 4 x y su radio de giro respecto al eje es 4 x. Por tanto el volumen
pedido viene dado por la integral:
4p 1024
2 .4 x/4 x dx D
15
0
4
Observa que haciendo un giro y una traslación, y D4 x2=4
este ejercicio equivale a calcular el volumen del
cuerpo de revolución obtenido al girar la pará- x4
bola y D 4 x2=4 alrededor del eje OX . ©
4
Ejercicio resuelto 214 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada
por las parábolas y2 D x, x2 D y alrededor del eje OX .
Solución. Observa que para que para que las dos igualdades y2 D x, x2 D y tengan
sentidopdebe ser x > 0 e y > 0. Por tanto, la igualdad, y2 D x equivale, por ser y > 0,
a y D x. Es inmediato que los puntos de corte de las parábolas son .0; 0/ y .1; 1/.
Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos.
Por el método de los discos (arandelas en este
caso) debemos integrar las áreas de secciones
perpendiculares al eje de giro. Observa que de-
bemos tomar como variable de integración la p
variable x y que en la región indicada, tenemos yD x
que x 2 Œ0; 1. La sección por una recta vertical
de abscisa x es una corona circular o arandela yDx2
cuyo radio inpterior es r1.x/ D x2 y radio exte- x1
rior r2.x/ D x. Por tanto el volumen pedido
viene dado por la integral:
1 1 x4/ dxD 3 :
10
.r2.x/2 r1.x/2/ dxD .x
00
Para calcular el volumen por el método de los tubos, debemos considerar los segmentos
horizontales que giran alrededor del eje OX e. sDpebyeremyo2sytosumraardcioomdeo variable a y. La
longitud del segmento horizontal de altura y giro respecto del
eje OX es y. Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:
1p y2/ dy D 3
2 y. y :
10
0
©
x2 y2 z2
Ejercicio resuelto 215 Calcula el volumen del elipsoide a2 C b2 C c2 D 1.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 494
Solución. La intersección del elipsoide con un plano de altura fija z paralelo al plano
X Y se proyecta sobre el plano X Y en una elipse, E.z/, de ecuación:
x2 y2 z2 x2 y2
a2 C b2 D 1 c2 ” q 2 C q 2 D 1
a1 z2
c2 b1 z2
c2
qq z2
z2 c2
Es una elipse de semiejes a 1 c2 yb 1 . Sabemos que el área de dicha elipse
es igual a ab 1
z2 . Por tanto, el volumen del elipsoide podemos obtenerlo integrando
c2
el área de las secciones E.z/ para z 2 Œ c; c.
Dicho volumen es igual a: Z
c !
z2 4
ab 1 dz D abc:
c2 3
c
Observa que para el caso en que aDbDc Dr , es X
decir, el elipsoide es una esfera de radio r , ob-
tenemos la conocida fórmula para el volumen Y
©
de una esfera.
x2 y2
Ejercicio resuelto 216 Calcula el volumen limitado por el paraboloide C D z y el
9 16
plano z D 7.
La intersección del paraboloide con un plano Z
de altura fija z paralelo al plano X Y se proyec-
ta sobre el plano X Y en una elipse, E.z/, de
ecuación:
x2 y2 x2 y2
C Dz ” 2 C 4pz 2 D 1
9 16 p
3z
pp X
Es una elipse de semiejes 3 z y 4 z. Sabe-
mos que el área de dicha elipse es igual a 12 z. Y
Por tanto, el volumen del paraboloide podemos
obtenerlo integrando el área de dichas seccio-
nes E.z/ para z 2 Œ0; 7. Dicho volumen es
igual a:
7 49
12 z dz D :
6
0
Ejercicio resuelto 217 Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrede-
dor del eje OX la región del plano comprendida bajo la curva
y D p 2 .1 6 x < C1/:
x
.x2 2x C 2/
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 495
C1 4
Solución. Se trata de calcular la integral x .x2 2x C 2/2 dx . Es claro que el
1
trinomio x2 2x C 2 D 1 C .x 1/2 no tiene raíces reales. El denominador tiene raíces
imaginarias múltiples y podemos usar el método de Hermite. Para ello escribimos:
4 A Bx C C d Mx CN
2x C 2/2 D x C x2 C D
x .x2 2x C 2 dx x2 2x C 2
A Bx C C 2M C 2N 2N x M x2 D
D x C x2 C
2x C 2 .x2 2x C 2/2
4AC. 8AC2C C2M C2N /x C.8AC2B 2C 2N /x2 C. 4A 2B CC M /x3 C.ACB/x4
D x.x2 2x C 2/2
Fácilmente se obtiene que A D 1, B D 1, C C M C N D 4, C C N D 3, C M D 2,
de donde, M D 1, C D 3, N D 0. Por tanto
t 4 t xC3 C x ˇˇˇˇt D
2x C 2/2 dx D log t C dx 2x
x .x2 1 x2 2x C 2 x2 C 2 1
1
D log t C 2 arc tg.x 1/ˇˇ1t 1 log.x2 2x C 2/ˇˇt1 C t 2 t 1D
! 2 2t C 2
D log p tt
t2 C 2 arc tg.t 1/ C t 2 1
2t C 2 2t C 2
Deducimos que
C1 4t 4
dx D lKım 2x C 2/2 dx D . 1/
x .x2 2x C 2/2 x .x2
t !C1 1
1
©
Y
Ejercicio resuelto 218
La región plana limitada por el segmento de pa- 1 X
rábola y D 4 x2, donde 1 6 x 6 2, y las rectas x2 C z2 D 4 2
x D 0 e y D 3, gira alrededor del eje OY engen-
drando un sólido en forma de flan (un tronco de Z
paraboloide de revolución). Calcula su volumen
y el volumen de la porción obtenida al cortarlo
verticalmente desde un punto del borde supe-
rior.
Solución.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 496
Podemos calcular el volumen por el método de Y
los discos. Para ello debemos integrar las áreas 3
de secciones perpendiculares al eje de giro. Ob-
serva que debemos tomar como variable de in- yD4 x2
tegración la variable y y que en la región indi-
cada, tenemos que y 2 Œ0; 3. La sección por
una recta horizontal de oprdenada y es un dis-
co cuyo radio es r .y/ D 4 y. Por tanto el
volumen pedido viene dado por la integral:
33 12 X
r .y/2 dy D .4 15
y/ dy D :
2
00
También podemos calcular el volumen por el método de los tubos, en cuyo caso viene
dado por:
12 x2/ dx D 15
:
2 3x dx C 2 x.4 2
01
Calcularemos ahora el volumen de la porción Y
obtenida al cortar verticalmente el tronco 4 x2
de paraboloide desde un punto del borde
superior. Observa que para cada valor fijado y D 4 x2 z2
de x 2 Œ0; 1 la sección por el plano de abscisa
x paralelo a ZY es un segmento parabólico, .x/
pZ
.x/, cuyo vértice es 4 x2 yp cuyo pie 4 x2
pes el segmento de extremos 4 x2 y
4 x2 (la cuerda que se obtiene al cortar p
4 x2
la circunferencia de centro el origen y radio 2
por una recta de abscisa x). La proyección de
dicha parábola sobre el plano ZY debe tener una ecuación depla forma y D 4 x2 z2
donde se calcula por la condición de que y D 0 para z D ˙ 4 x2, con lo que resulta
D1. En consecuencia, la ecuación de dicha parábola en el plano ZY es y D4 x2 z2.
El área del segmento parabólico .x/ viene dada por la integral:
p 4 x2 16 p p
4 x2 4
..x// D .4 x2 z2/ dz D x2 4 x2
p 33
4 x2
Integrando las áreas de dichas secciones se obtiene el volumen pedido, que viene dado
por:
2 p C 8 :
33
..x// dx D 3
1 ©
Cálculo que ya debes saber hacer.
Ejercicio resuelto 219 Calcular el volumen del sólido engendrado al girar la región limi-
tada por las parábolas y D x2, x D y2 alrededor la recta x D 4.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 497
Solución.
Observa que para que para que las dos igual- xDy2 x Dpy
dades y2 D x, x2 D y tengan sentido debe ser
x > 0 e y > 0. Por tanto, la igpualdad, y2 D x
equivale, por ser y > 0, a y D x. Es inmedia-
to que los puntos de corte de las parábolas son
.0; 0/ y .1; 1/. Podemos emplear el método de
los discos y también el de las láminas o tubos. 4
Por el método de los discos (arandelas en este caso) debemos integrar las áreas de sec-
ciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como variable de inte-
gración la variable y y que en la región indicada, tenemos que y 2 Œ0; 1. La sección por
una recta horizontal de ordenada y es una cxoDronpa yc,irdciuclhaar o arandela cuyo radio 4inteprioyr
es la distancia del eje de giro a la parábola distancias es r1.y/ D
y cuyo radio exterior es la distancia del eje de giro a la parábola x D y2, dicha distancia
es r2.y/ D 4 y2. Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:
1 1 y2/2 .4 py/2 dy D 71 :
30
.r2.y/2 r1.y/2/ dy D .4
00
Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar como
variable x. Hay que tener pen cuenta que cada segmento vertical que gira de abscisa
x 2 Œ0; 1 tiene de longitud x x2 y el radio de giro es 4 x. Por tanto el volumen es:
1 p x2/ dx D 71
x/. x :
2 .4 30
0
©
Ejercicio resuelto 220 Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro
.0; 0/ y radio 3 alrededor de la recta x D 6.
Solución.
Aplicaremos el método de las láminas p
o de los tubos. Para ello debemos con- 9 x2
siderar los segmentos paralelos al eje
de giro; en nuestro caso serán los seg- x O 3 6
mentos verticales comprendidos en el p
círculo de centro .0; 0/ y radio 3. La
longitud del segmento verticapl de abs- 9 x2
cisa x 2 Π3; 3 es igual a 2 9 x2
y su radio de giro es 6 x. El volumen
del toro engendrado es:
1p
2 .6 x/2 9 x2 dx D 108 2:
1
También se puede calcular el volumen por el método de las arandelas. Ya debes saber
©
hacerlo, te lo dejo para que lo hagas tú.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Ejercicios resueltos 498
Ejercicio resuelto 221 Calcula el área de una superficie esférica de radio R.
Soluciónp. Una superficie esférica de radio R se obtiene girando la gráfica de la función
f .x/ D R2 x2 alrededor del eje OX . El área viene dada por:
Rq R
2 f .x/ 1 C f 0.x/2 dx D 2 R dx D 4 R2:
RR
©
Ejercicio resuelto 222 Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la
x2 y2
elipse a2 C b2 D 1 alrededor del eje OY .
p
Solución. Expresando x como función de y, tenemos que x D a b2 y2, donde
b
solamente consideramos la mitad de la elipse que está en el semiplano de la derecha
x > 0. Quperemos calcular el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva
h.y/ D a b2 y2 alrededor del eje OY . Dicha área viene dada por la integral:
b
b q a bq
h.y/ 1 C h0.y/2 dy 2 b2 b4 C .a2
I D 2 D b2/y2 dy :
bb
Para calcularla debemos considerar dos posibilidades según que a > b o que b > a
(el caso a D b pes trivial y se vuelve a obtener el mismo resultado del ejercicio anterior).
Pongamos c D ja2 b2j. Entonces, si a > b es c2 Da2 b2, y si b > a es c2 Db2 a2.
Por lo que:
a b q ac b s b2 2 ˙ y2 dy D2 a bq
I D2 b2 b4 b2 c˛ ˛2 ˙ y2 dy :
˙ c2y2 dy D2
bb b
Donde hemos puesto ˛ D b2 . Podemos evaluar directamente estas integrales porque
c
tienen primitivas inmediatas que deberías saber de memoria (repasa la tabla de primitivas
inmediatas). Pero también podemos calcularlas muy fácilmente.
bq ˇ ˇ et C e t 2
˛2 C y2 dy y D ˛ senh t 2 dt D
D D ˛2 cosh2t dt D ˛2
b ˇ D argsenh b ˇ
˛ ˇ
˛2 ˇ e2t C e 2t ! dt D˛2ˇ C ˛2 ˇ ˛2 senh.2t /ˇˇˇ ˇD
D 2 4
C1 2 cosh.2t/ dt D ˛2ˇ C
2
ˇˇ
s
D ˛2ˇ C ˛2 senh.2ˇ/ D ˛2ˇ C ˛2 senh.ˇ/ cosh.ˇ/ D ˛2ˇ C ˛b b2
2 1 C ˛2 D
s
D ˛2 argsenh b C ˛b b2
˛ 1 C ˛2 :
Simplificando, obtenemos que para el caso en que a > b, el área pedida es igual a:
b2 p !!
2 a p a2 b2 C a :
a2 b2 argsenh b
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Evolución de la idea de integral 499
Es un buen ejercicio de cálculo que compruebes estos resultados paso a paso. Te garan-
tizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para el
©
caso en que b > a. Lo dejo para que lo hagas tú.
8.8. Evolución de la idea de integral
8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
5 Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente:
dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción
debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según lo esta-
blecido en los Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un número
finito de pasos, cada uno de ellos consistente en:
Trazar una recta que una dos puntos.
Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios.
Intersecar dos de las figuras anteriores.
Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la dupli-
cación del cubo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia. En la antigua
Grecia se sabía cuadrar cualquier polígono.
FG
A OB EH
DC
Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo
Para cuadrar el rectángulo ABCD de la figura 8.26 se procede de la forma siguiente:
1) Se prolonga el lado AB y se determina sobre él un punto E tal que BE D BC .
5Para escribir estas notas históricas he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],
González Urbaneja [7] y H. J. M. Bos [2].
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 500
2) Se traza con centro en el punto medio O de AE una semicircunferencia de radio OE.
3) Se traza por B una perpendicular a AE y se determina su punto de corte F con la semicir-
cunferencia.
4) El segmento FB es el lado de un cuadrado cuya área es igual a la del rectángulo ABCD. Esto
es consecuencia de que la altura FB de un triángulo rectángulo AFE es media proporcional
entre las dos partes en que divide a la hipotenusa, es decir, FB=AB D BE=FB, por lo que
FB2 D AB:BE D AB:BC .
A partir de aquí es fácil obtener la cuadratura de un triángulo, lo que permite obtener la
cuadratura de cualquier polígono descomponiéndolo en triángulos. Los matemáticos griegos
inventaron un procedimiento, que se conoce con el nombre de “exhausción”, por el cual podían
lograr la cuadratura de algunas regiones delimitadas por curvas. Se atribuye a Eudoxo de Cnido
(c. 400 - 347 a.C.) la invención de este método, que fue perfeccionado posteriormente por
Arquímedes (c. 287 - 212 a.C.). El siguiente es un notable ejemplo de su aplicación.
8.8.1.1. Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes
8.70 Teorema. El área del segmento parabólico P VQ es igual a cuatro tercios el área del
triángulo inscrito 4P VQ.
Demostración. Esta demostración aparece en una carta que escribe Arquímedes a su amigo
Dositheus, obra que se conoce con el nombre de Sobre la Cuadratura de la Parábola. La
demostración consiste en hacer una descomposición exhaustiva del segmento parabólico por
medio de triángulos de una forma muy ingeniosa. Empezaremos explicando la construcción
geométrica de la figura 8.27.
Una cuerda PQ de una parábola es un segmento que une dos de sus puntos. La región plana
acotada, cuya frontera está formada por la cuerda PQ y el arco de la parábola comprendido
entre los puntos P y Q se llama un segmento parabólico. El vértice de un segmento parabólico
es el punto de la parábola en el cual la tangente es paralela a la cuerda que define el segmento.
Se verifica que el vértice de un segmento parabólico P VQ es el punto intersección con la
parábola de la recta paralela al eje de la parábola que pasa por el punto medio O D 1 C Q/
.P
2
del segmento PQ.
El triángulo 4P VQ cuya base es el segmento PQ y cuyo otro vértice es el vértice V del
segmento parabólico le llamaremos el triángulo inscrito.
En la figura 8.27 se han representado también los triángulos 4PM V y 4V NQ inscritos,
respectivamente, en los segmentos parabólicos determinados por las cuerdas P V y VQ.
La primera parte de la demostración consiste en calcular el área de los dos triángulos
4PM V y 4V NQ. Arquímedes demuestra que
1 1
.4V NQ/ D .4VOQ/; .4VMP / D .4VOP /
4 4
Por tanto 1
.4V NQ/ C .4VMP / D 4 .4P VQ/
(8.46)
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 501
Q0
V
N
P0 M Q
O
P
Figura 8.27. Cuadratura de un segmento de parábola
Llamando S al área del triángulo 4P VQ, el área de los dos nuevos triángulos es 1 S . Natural-
4
mente, este proceso se puede repetir ahora con cada uno de los cuatro segmentos parabólicos
determinados por las cuerdas PM , M V , V N y NQ inscribiendo en ellos los respectivos trián-
1
gulos, la suma de cuyas áreas será igual a 16 S . Y puede repetirse indefinidamente.
Nosotros ahora acabaríamos calculando el área del segmento parabólico por
X1 1 D 4
S S
4n 3
nD0
Pero Arquímedes, que no sabe de convergencia de series ni falta que le hace, razona de forma
muy elegante por medio de la doble reducción al absurdo usual en la matemática griega.
Para ello hace uso de la llamada propiedad arquimediana o axioma de Arquímedes. Este
axioma aparece en el libro de Arquímedes La Esfera y el Cilindro así como en Sobre la Cua-
dratura de la Parábola y en Espirales. Al parecer, dicho axioma fue ya formulado por Eudoxo.
Como sabemos, la propiedad arquimediana establece que:
Dadas magnitudes cualesquiera a > 0 y b > 0, siempre es posible, por pequeña
que sea a y grande que sea b, conseguir que un múltiplo conveniente de a exceda
a b, es decir na > b para algún número natural n.
Partiendo de la propiedad arquimediana se deduce fácilmente el siguiente resultado, llamado
principio de convergencia de Eudoxo, en el que se basa el llamado método de exhausción
griego:
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 502
Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del
resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos
repitiendo este procesos de sustracción, terminaremos por obtener como resto una
magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.
Arquímedes razona como sigue. Sea K el área del segmento parabólico P VQ.
44
(I) Supongamos que K > 3 S ; es decir, que K S > 0.
3
Como el área del triángulo inscrito en un segmento parabólico P VQ es la mitad del área
del paralelogramo circunscrito PP 0QQ0, la cual, a su vez, es mayor que el área del segmento,
se sigue que el área del triángulo inscrito en un segmento parabólico es mayor que la mitad del
área de dicho segmento, lo que permite aplicar el principio de convergencia de Eudoxo.
Por tanto, en la sucesión de áreas
K; K S; K .S C 1 K .S C 1 C 1
S /; S S /; : : :
4 4 16
cada una es menor que la mitad de la que le precede y, por tanto, en virtud del citado principio,
podemos concluir que en alguna etapa se tendrá que
4 11 1
K S>K S C S C S C C S
3 4 16 4n
Esto implica que
11 14
S C S C S C C S > S
4 16 4n 3
lo que es contradictorio con la igualdad, conocida por Arquímedes, que dice que:
11 C 1 4 11
S C S C S C S D S 3 4n S (8.47)
4 16 4n 3
C 11 C 14 4
la cual implica que S S C S C 4n S < S. Por tanto, no puede ser K > S.
4 16 3 3
44
(II) Supongamos que K < S ; es decir, que S K > 0.
33
Como cada una de las áreas S; 1 S; 1 S; : : : ; 1 S es menor que la mitad de la que le
4 16 4n
precede y, por tanto, en virtud del principio de convergencia de Eudoxo, podemos concluir que
en alguna etapa se tendrá que 1 S < 4 S K. Entonces
4n 3
4 1 11 4
11 1
S K > 4n S > 4n S D S S C S C S C C S
3 3 3 4 16 4n
Lo que implicaría que
11 C C 1
K < S C S C S S
4 16 4n
Que es absurdo pues la suma de la derecha es el área de un polígono inscrito en el segmento
4
parabólico. Por tanto, no puede ser K < 3 S .
La única posibilidad es K D 4 .
S
3
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 503
8.8.1.2. El Método de Arquímedes
En su tratado El Método, que se creía perdido y fue descubierto en 1906, Arquímedes
obtiene la cuadratura de la parabola por medios mecánicos usando el principio de la palanca.
Aunque el propio Arquímedes reconoce que esa forma de proceder no es una demostración,
merece la pena decir algo sobre ella.
V
Z
T
HM
E
KN
G
B
O
AQ D C
Figura 8.28. El Método de Arquímedes
La recta C Z es la tangente a la parábola en C , B es el vértice del segmento parabólico. El
segmento AZ es perpendicular a la cuerda AC , C T es la recta que pasa por el punto C y el
vértice B de forma que K es el punto medio del segmento C T . Se considera C T como un
brazo de palanca con fulcro en K.
Por ser ABC una parábola, se sabe que la subtangente ED en un punto C es igual al doble
de la abscisa BD (conviene imaginarse la parábola girada 90 grados), es decir, ED D 2BD, de
donde, EB D BD. Deducimos, por la semejanza de triángulos en la figura, que MN D NQ y
ZK=KA.
Arquímedes demuestra en Sobre la Cuadratura de la Parábola que
CA D MQ
AQ QO
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 504
CA CK
Y, como también es D , y por construcción es TK D CK, obtenemos que
AQ KN
TK D MQ ” TK:QO D KN:MQ
KN QO
Si ahora trasladamos al punto T un segmento de longitud igual a QO y lo ponemos como en la
figura el segmento VH de modo que su centro de gravedad sea el punto T , la igualdad anterior
nos dice que el segmento VH D QO queda equilibrado por el segmento MQ, pues el producto
de dichos segmentos por la longitud correspondiente del brazo de palanca con fulcro en K es
la misma. Obsérvese que N es el centro de gravedad del segmento MQ. Deducimos que K es
el centro de gravedad de los segmentos VH y MQ.
Análogamente puede razonarse con cualquier paralela al eje de la parábola ED, todas ellas
estarán en equilibrio con los segmentos determinados sobre ellas por el segmento parabólico
trasladados al punto T , de manera que el centro de gravedad de cada par de segmentos será el
punto K.
Ahora bien, los segmentos paralelos a DE “componen” el triángulo 4AZC y los corres-
pondientes segmentos dentro del segmento parabólico “componen” dicho segmento parabóli-
co. Por tanto el triángulo AZC “permaneciendo en su lugar”, estará en equilibrio respecto
del punto K con el segmento parabólico trasladado hasta tener su centro de gravedad en T , de
manera que el centro de gravedad del conjunto de ambos será el punto K.
Dividimos ahora CK por el punto G de forma que CK sea el triple de KG, el punto G será
el centro de gravedad del triángulo AZC ,y puesto que el triángulo AZC , “permaneciendo en
su lugar” está en equilibrio, respecto del punto K, con el segmento parabólico ABC , trasladado
con centro de gravedad en T , y que G es el centro de gravedad del triángulo AZC , se verifica,
por consiguiente, que la razón del triángulo AZC al segmento parabólico ABC colocado
alrededor del centro T es igual a la razón de TK a KG. Ahora bien, siendo TK triple de KG,
el triángulo AZC será triple del segmento parabólico ABC . Además, el triángulo AZC es
cuádruple del triángulo inscrito ABC , ya que ZK es igual que KA y KA es doble de BD al
ser AD igual que DC . Concluimos que el segmento parabólico ABC equivale a cuatro tercios
del triángulo inscrito ABC .
8.8.1.3. Área de una espiral
El siguiente ejemplo de cuadratura sigue un procedimiento que, traducido a las notaciones
actuales, es prácticamente el mismo de la integral de Riemann.
La espiral de Arquímedes es la curva que describe un punto material que se mueve con
velocidad uniforme a lo largo de una semirrecta que gira con velocidad angular uniforme alre-
dedor de su extremo. Es un ejemplo de las llamadas curvas mecánicas. La ecuación polar de
una espiral de Arquímedes es de la forma D a#, donde a > 0 es una constante.
8.71 Teorema. El área del primer ciclo de una espiral es igual a una tercera parte del área
del círculo circunscrito.
Demostración. Consideremos una espiral de Arquímedes de ecuación polar D a# y calcu-
lemos el área cuando el ángulo polar varía desde 0 a 2 , es decir, de la primera vuelta de la
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 505
espiral. El radio del círculo circunscrito es 2 a. Para ello dividimos este círculo en sectores de
amplitud # D 2 =n, desde # D 2 k=n a # D 2 .k C 1/=n para k D 0; 1; : : : ; n 1. En cada
sector examinamos el arco de espiral que queda dentro del mismo y acotamos el área corres-
pondiente a dicho arco de espiral entre las áreas de dos sectores circulares. Teniendo en cuenta
que el área de un sector circular de radio r y amplitud ' radianes es 1 r 2', resulta que el área de
2
1 =n/2.2 =
sector circular más grande inscrito en cada arco de espiral es 2 .a2 k n/, y el área de
sector circular más pequeño circunscrito a cada arco de espiral es 1 .a2 .k C 1/=n/2.2 =n/.
2
Deducimos que el área, S , de la espiral verifica que:
nX1 1 a2 k 2 2 D 4 3 a2 nX1 < S < Xn 1 a2 k 2 2 D 4 3 a2 Xn
2 n n n3 k2 2 n n n3 k2
k D0 k D0 k D1 k D1
Figura 8.29. Cuadratura de una espiral
Xn k2 D 1 C 1/.2n C 1/.
n.n
Arquímedes conocía que 6 Usando este resultado podemos
k D1
escribir la desigualdad anterior en la forma:
4 3a2 1 1 1 2 1 < S < 4 3a2 1 1 C 1 2 C 1
6n n 6n n
Pongamos K D 1 .2 a/2 que es una tercera parte del área del círculo circunscrito. Restando
3
K en la desigualdad anterior y haciendo operaciones sencillas, obtenemos que:
31 31
K 2n C 2n2 < S K < K 2n C 2n2 I
y como 1=n2 6 1=n, obtenemos que 2K=n < S K < 2K=n. Usando ahora el axioma de
Arquímedes se concluye que S D K.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La integración antes del Cálculo 506
8.8.2. La integración antes del Cálculo
8.8.2.1. Los indivisibles de Cavalieri
El método de integración geométrica que se consideraba ideal durante la primera mitad del
siglo XVII era el método de exhausción que había sido inventado por Eudoxo y perfeccionado
por Arquímedes. El nombre es desafortunado porque la idea central del método es la de evitar
el infinito y por lo tanto este método no lleva a un “agotamiento” de la figura a determinar.
Entre los matemáticos del siglo XVII era general el deseo de encontrar un método para
obtener resultados y que, a diferencia del método de exhausción, fuera directo. Y mejor que
mejor si el nuevo método, aparte de dar resultados, pudiera ser utilizado para demostrarlos.
El camino que siguieron fue el que se deriva de una concepción intuitiva inmediata de las
magnitudes geométricas. Se imaginaron un área como formada, por ejemplo, por un número
infinito de líneas paralelas. Kepler ya había hecho uso de métodos infinitesimales en sus obras;
el interés que se tomó en el cálculo de volúmenes de toneles de vino dio como resultado un
libro Nova stereometria doliurum vinariorum (1615). En él consideraba sólidos de revolución
como si estuvieran compuestos de diversas maneras por una cantidad infinita de partes sólidas.
Por ejemplo, consideraba una esfera como formada por un número infinito de conos con vértice
común en el centro y base en la superficie de la esfera. Esto le conducía al resultado de que la
esfera es igual en volumen al cono que tiene como altura el radio de la esfera y como base un
círculo igual al área de la esfera, es decir un círculo con el diámetro de la esfera como radio.
Galileo tenía la intención de escribir un libro sobre indivisibles, pero este libro nunca se
publicó.
Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), discípulo de Galileo y profesor en la Universidad
de Bolonia, publicó en 1635 un tratado Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova quadam
Ratione Promota en el que, siguiendo ideas de Kepler y Galileo, desarrolló una técnica geo-
métrica para calcular cuadraturas, llamada método de los indivisibles. En este método, un área
de una región plana se considera formada por un número infinito de segmentos paralelos, cada
uno de ellos se interpreta como un rectángulo infinitamente estrecho; un volumen se considera
compuesto por un número infinito de áreas planas paralelas. A estos elementos los llama los
indivisibles de área y volumen respectivamente. En líneas generales los “indivisibilistas” man-
tenían, como expresa Cavalieri en sus Exercitationes Geometricae Sex (1647), que una línea
está hecha de puntos como una sarta de cuentas; el plano está hecho de líneas, como un tejido
de hebras y un sólido de áreas planas como un libro de hojas.
A B
FE
GH
D C
La forma en que se aplicaba el método o principio de Cavalieri puede ilustrarse como sigue.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La integración antes del Cálculo 507
Para demostrar que el paralelogramo ABCD tiene área doble que cualquiera de los triángulos
ABD o BCD, hace notar que cuando GD D BE, se tiene que GH D FE. Por tanto los
triángulos ABD y BCD están constituidos por igual número de líneas iguales, tales como GH
y EF , y por tanto sus áreas deben ser iguales.
8.8.2.2. Cuadratura de la cicloide por Roberval
En 1630, Mersenne, propuso a sus amigos matemáticos hacer la cuadratura de la cicloide.
Esta fue llevada a cabo por Gilles Personne de Roberval en 1634, utilizando esencialmente el
método de los indivisibles de Cavalieri. Recuerda que la cicloide es la curva que describe un
punto de una circunferencia que rueda sin deslizar.
PN
r SU V
R 2r
A B O
C D
Y
X
Q r M
Figura 8.30. Cuadratura de la cicloide
En la figura 8.30, sea QM NS la mitad de un arco de la cicloide generada por el círculo de radio
r centrado en O. El área del rectángulo QMNP es el doble del área del círculo. Construimos
segmentos de línea infinitesimales horizontales, AB, con longitud determinada por la distancia
horizontal entre el diámetro PQ y la circunferencia. Cada punto C de la cicloide lo sometemos
a una traslación horizontal hasta el punto D, según el correspondiente segmento AB D CD, y
así obtenemos la curva QRN , llamada compañera de la cicloide. Por la construcción realizada,
las secciones horizontales del semicírculo y de la región comprendida entre la cicloide y su
curva compañera son segmentos de igual longitud, por lo que dicha región tiene área igual a la
mitad del circulo. Por otra parte, la curva compañera de la cicloide divide en dos partes iguales
al rectángulo QM NP , pues, como Roberval demostró, las secciones horizontales de altura a
y 2r a dan en cada una de las partes en que dicha curva divide al rectángulo, segmentos
iguales X Y y U V . Deducimos así que el área encerrada por la mitad de un arco de cicloide es
r2 C 1 r 2 D 3 r 2 . Por tanto, concluimos que el área encerrada por un arco de la cicloide
2 2
es tres veces el área del círculo que la genera.
Los matemáticos no se mostraban de acuerdo acerca del valor que había que dar a una
demostración por el método de los indivisibles. La mayoría de los que se preocupaban de la
cuestión consideraban el método de los indivisibles sólo como un método heurístico y creían
que era aún necesaria una demostración por exhausción.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La integración antes del Cálculo 508
8.8.2.3. Parábolas e hipérbolas de Fermat
La cuadratura de las curvas definidas por y D xn donde n es un número natural o bien un
entero negativo n ¤ 1, había sido realizada para n D 1; 2 : : : ; 9 por Cavalieri, aunque podemos
remontarnos hasta Arquímedes que había resuelto geométricamente los casos correspondientes
a n D 1; 2; 3. Fermat, con una ingeniosa idea, logró obtener la cuadratura de áreas limitadas por
arcos de hipérbolas generalizadas xnym D 1 (m; n 2 N).
Fermat seguía un método clásico de exhausción, pero con una idea feliz que consistió en
considerar rectángulos infinitesimales inscritos en la figura a cuadrar cuyas bases estaban en
progresión geométrica. Fermat considera al principio las hipérbolas yxn D k y manifiesta:
Digo que todas estas infinitas hipérbolas, excepto la de Apolonio, que es la prime-
ra, pueden ser cuadradas por el método de la progresión geométrica, de acuerdo
a un procedimiento uniforme general.
Vamos a hacernos una idea de cómo calculaba Fermat la cuadratura de la hipérbola generalizada
y D x 2 para x > a. Usaremos notación y terminología actuales.
AB
O a ar ar2 ar3 ar4 ar5 ar 6
Figura 8.31. Cuadratura de la hipérbola de Fermat y D x 2
Elegimos un número r > 1 y consideremos los puntos de abscisas a; ar; ar 2; ar 3; : : : . Los
rectángulos inscritos (ver figura 8.31) tienen área
.ar 1 C .ar 2 1 C .ar 3 a r 2/ 1 C D r1 X1 1 D 1
a/ .ar /2 ar / .ar 2/2 .ar 3 ar 2 rk ar
/2 k D0
El área de los rectángulos circunscritos viene dada por
.ar 1 C .ar 2 1 C .ar 3 ar 2/ 1 C D r 1 X1 1 D r
a/ a2 ar / .ar /2 .ar 2/2 rk a
a k D0
Por tanto, llamando S al área bajo la curva, tenemos que
1r
<S <
ar a
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La integración antes del Cálculo 509
1
Como esta desigualdad es válida para todo r > 1, concluimos que S D . Observa que dicho
a
valor es precisamente el área del rectángulo OABa.
El razonamiento de Fermat tiene detalles muy interesantes que se pierden usando la termi-
nología y símbolos actuales. Vamos a reproducir parte de su razonamiento. Fermat se apoya
en una propiedad de las progresiones geométricas de razón menor que la unidad, que enuncia
como sigue:
Dada una progresión geométrica cuyos términos decrecen indefinidamente, la di-
ferencia entre dos términos consecutivos es al más pequeño de ellos, como el ma-
yor es a la suma de los términos restantes.
Llamemos R1; R2; R3; : : : a las áreas de los sucesivos rectángulos y S a la suma de todas
ellas. Como se trata de una progresión geométrica decreciente, se tiene que:
R1 R2 D R1
R2 S R1
Simplificando, resulta 1
Dice Fermat: S R1 D OA:AB D a
[. . . ] si ahora añadimos [a ambos miembros de esta igualdad] el rectángulo R1
que a causa de las infinitas subdivisiones, se desvanece y queda reducido a na-
da, alcanzamos la conclusión, que podría ser fácilmente confirmada por una más
prolija prueba llevada a cabo a la manera de Arquímedes. . . No es difícil extender
esta idea a todas las hipérbolas definidas anteriormente excepto la que ha sido
indicada [la hipérbola de Apolonio].
Vemos cómo en las cuadraturas de Fermat de hipérbolas y parábolas generalizadas, subya-
cen los aspectos esenciales de la integral definida:
La división del área bajo la curva en elementos de área infinitamente pequeños.
Aproximación de la suma de esos elementos de área por medio de rectángulos infinitesi-
males de altura dada por la ecuación analítica de la curva.
Un intento de expresar algo parecido a un límite de dicha suma cuando el número de
elementos crece indefinidamente mientras se hacen infinitamente pequeños.
8.8.2.4. La integración aritmética de Wallis
Jhon Wallis (1616 - 1703) publicó en 1655 un tratado Arithmetica infinitorum (“La Arit-
mética de los infinitos”) en el que aritmetizaba el método de los indivisibles de Cavalieri. Para
ilustrar el método de Wallis consideremos el problema de calcular el área bajo la curva y D xk
(k D 1; 2; : : : ) y sobre el segmento Œ0; a (ver figura (8.32)). Siguiendo a Cavalieri, Wallis con-
sidera la región PQR formada por un número infinito de líneas verticales paralelas, cada una
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La integración antes del Cálculo 510
de ellas con longitud igual a xk. Por tanto, si dividimos el segmento PQ D AB D a en n partes
de longitud h D a=n, donde n es infinito, entonces la suma de estas infinitas líneas es del tipo
0k C hk C .2h/k C .3h/k C C .nh/k (8.48)
Análogamente, el área del rectángulo ABCD es (8.49)
ak C ak C ak C C ak D .nh/k C .nh/k C .nh/k C C .nh/k
La razón entre el área de la región PQR y el rectángulo ABCD es
Área PQR D 0k C 1k C 2k C 3k C C nk (8.50)
Área ABCD nk C nk C nk C nk C C nk
RD C
ak
y D xk
P QA B
Figura 8.32. Comparando indivisibles
Esto lleva a Wallis a estudiar el valor de la expresión (8.50) para n D 16. Después de
estudiar varios casos para valores de k D 1; 2; 3 haciendo, en cada caso, sumas para distintos
valores de n D 1; 2; 3; 4, Wallis observa ciertas regularidades en las mismas y, con tan débil
base, acaba afirmando que para n D 1 y para todo k D 1; 2; : : : , se verifica que:
0k C 1k C 2k C 3k C C nk 1
nk C nk C nk C nk C C nk D k C 1 (8.51)
Naturalmente, de aquí deduce el valor del área de la región PQR:
Área PQR Área PQR 1 ak C1
D D ) Área PQR D k D 1; 2; 3 : : : (8.52)
Área ABCD ak C1 k C1 k C1
Este resultado ya era conocido anteriormente, pero Wallis no se paraba aquí y extendía la vali-
dez de la igualdad (8.51) a todos los exponentes racionales positivos. Su peculiar razonamiento
tiene interés pues en él se basó Newton para obtener la serie binomial. Lo esencial del mismo
puede resumirse, en términos actuales, como sigue.
6Fue precisamente Wallis quien introdujo en 1655 en la obra De Sectionibus Conicis, el símbolo del “lazo del
amor”, 1, con el significado de “infinito”.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La integración antes del Cálculo 511
Definamos el índice, .f /, de una función f mediante la igualdad
f .0/ C f .1/ C f .2/ C C f .n/ 1
lKım D (8.53)
n!1 f .n/ C f .n/ C f .n/ C C f .n/ .f / C 1
suponiendo que dicho límite tenga sentido. Por ejemplo, (8.51) nos dice que el índice de la
función fk.x/ D xk es .fk/ D k para k D 1; 2; : : : .
Wallis observó que, dada una progresión geométrica de potencias de x como, por ejemplo
1; x3; x5; x7; : : : , la correspondiente sucesión de índices 0; 3; 5; 7; : : : forman una progresión
aritmética. Como .fk/ D k, esta observación es trivial, pero le permite dar un atrevido salto
adelante, de manera que mediante una audaz interpolación establece (sin demostración) que
una conclusión análoga puede deducirse para la progresión geométrica
1; pq x; . pq x/2; : : : ; . pq x/q 1; x
de manera que slaers uce.spqióxn/dpe sus índices debe formar una progresión aritmética, de donde se
sigue que debe D p=q para p D 1; 2; : : : ; q. De esta forma obtiene que
lKım .p0/p C .p1/p C .p2/p C .p3/p C C .pn/p D 1 1
.pn/p C .pn/p C .pn/p C .pn/p C C .pn/p p=q C
n!1
Wallis estaba convencido de la validez de su método, conocido posteriormente como interpo-
lación de Wallis, que tuvo importancia en el siglo XVIII. Puede considerarse como un intento
de resolver el siguiente problema:
Dada una sucesión Pk, definida para valores enteros de k, encontrar el significado
de P˛ cuando ˛ no es un número entero.
Además, Wallis deduce que necesariamente debe ser . p /p D x p=q . Será Newton, poco más
qx
tarde, quien siguiendo los pasos de Wallis, introducirá el uso de potencias fraccionarias y ne-
gativas.
Wallis, incluso llega a afirmar que la igualdad
a D ar C1 (8.54)
xr dx r C1
0
p
no es válida solamente para exponentes r racionales, sino también para otros como r D 3
pero, naturalmente, no puede dar ninguna justificación.
Obtenida, a su manera, la cuadratura fundamental (8.54), Wallis intenta calcular la integral
1p x2 dx
x
0
Dicha integral representa el área bajo la semicircunferencia de centro .1=2; 0/ y radio 1=2,
su valor es, por tanto, =8. Wallis quería obtener dicho resultado evaluando directamente la
integral. No tuvo éxito en este empeño que Newton habría de resolver posteriormente, pero sus
resultados le llevaron a obtener la llamada fórmula de Wallis
2 1 3 3 5 5 7 7
D
2 2 4 4 6 6 8
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La integración antes del Cálculo 512
8.8.2.5. El resultado fundamental de Barrow
Barrow estuvo muy cerca de descubrir la relación inversa entre problemas de tangentes y
de cuadraturas, pero su conservadora adhesión a los métodos geométricos le impidió hacer uso
efectivo de esta relación. Veamos cómo aparece esa relación tal como se expone en la Lección
X, Proposición 11 de las Lectiones Geometricae.
En la figura (8.33) se han representado dos curva y D f .x/ e y D g.x/. El segmento AD
representa el eje de abscisas donde toma valores x. La cantidad g.x/ representa el valor del
área bajo la gráfica de f comprendida entre el punto A y x. Dado un punto de abscisa D, se
trata de probar que la pendiente de la tangente a y D g.x/ en el punto F , es decir en el punto
.D; g.D//, es igual a f .D/ D DE. La demostración de Barrow es geométrica.
y D g.x/
F
I L
K D
A
TP
Z y D f .x/
G
E
Figura 8.33. Teorema Fundamental
Tracemos una línea recta F T por F que corta en T a la recta AD y tal que
DF=TD D f .D/ D DE
Queremos probar que F T es la tangente a y D g.x/ en el punto F . Para ello vamos a ver que
la distancia horizontal, KL, de cualquier punto L de la recta EF a la recta F T es menor que
la distancia, IL, de dicho punto L a la curva y D g.x/. Esto probará que la recta F T queda
siempre por debajo de y D g.x/.
Tenemos que:
FL=KL D DF=TD D DE
Por otra parte:
área ADEZ D FD
área AP GZ D PI D LD
área PDEG D FD LD D FL
Ya que
área PDEG < rectángulo PD:DE (8.55)
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes 513
Se sigue que
FL < PD:DE÷DE > FL=PD
y por tanto
FL=KL > FL=PD÷KL < PD D IL
Deducimos que el punto K queda debajo de la curva y D g.x/ y por tanto la recta F T queda
a un lado de la curva. Para completar la demostración es necesario repetir el razonamiento
tomando puntos a la derecha de EF . Esto prueba que TF es tangente a y D g.x/ en D y su
pendiente es DE D f .D/. En términos actuales, lo que Barrow ha probado es que:
dx
f .t/dt D f .x/
dx a
8.8.3. La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes
8.8.3.1. El Teorema Fundamental del Cálculo según Newton
Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obra De Analysi per aequationes
numero terminorum infinitas, que Newton entregó a su maestro Barrow en 1669, y que puede
considerarse el escrito fundacional del Cálculo, Newton usa conceptos infinitesimales de mane-
ra similar a como hacía el propio Barrow. Este trabajo, además de contener el teorema binomial
y los descubrimientos de Newton relativos a series infinitas, contiene también un claro recono-
cimiento de la relación inversa entre problemas de cuadraturas y de tangentes. La exposición
que hace Newton de esta relación fundamental es como sigue. Supone una curva y llama z al
área bajo la curva hasta el punto de abscisa x (ver figura 8.34). Se supone conocida la relación
entre x y z. Aunque Newton explica su método con un ejemplo, queda perfectamente claro su
carácter general. El ejemplo que Newton considera es
d
K
H
P
y D y.x/ y
z.x/
o
O x Bb
Figura 8.34. z D z.x/ D área OPB
n mCn (8.56)
z D ax n
mCn
Pongamos, por comodidad r D mCn . Newton se imagina que el punto P D .x; y/ se mueve
n
a lo largo de la curva y razona como sigue. Incrementemos la abscisa x a x C o donde o es
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes 514
una cantidad infinitesimal o momento. Tomemos BK D v de forma que ov D área BbHK D
área BbP d . El incremento del área viene dado por:
ov D z.x C o/ z.x/ D a C o/r axr (8.57)
.x
rr
Desarrollando en potencias
a C o/r D a xr .1 C o=x/r D axr o r .r 1/ o2 r .r 1/.r !
.x 1 C r C x2 C 2/ o3
rr r x 2 1 2 3
x3 C
(8.58)
De (8.57) y (8.58) deducimos, después de dividir por o, que:
v D axr 1 C a.r 1/ oxr 2 C a.r 1/.r 2/ o2xr 3 C
2 1 2 3
Si en esta igualdad suponemos que o va disminuyendo hasta llegar a ser nada, en cuyo caso
v coincidirá con y, después de eliminar los términos que contienen o que desaparecen, resulta
que: m
n
y D axr 1 D ax (8.59)
Este es, por tanto, el valor de la ordenada de la curva en P D .x; y/. El proceso puede invertirse
y, de hecho, ya se sabía que la cuadratura de (8.59) viene dada por (8.56).
Observemos que Newton no ha usado el significado tradicional de la integral al estilo de
sus predecesores, es decir, no ha interpretado la integral como un límite de sumas de áreas
infinitesimales, sino que ha probado que la expresión que proporciona la cuadratura es correcta
estudiando la variación momentánea de dicha expresión. De hecho, lo que Newton ha probado
es que la razón de cambio del área bajo la curva, esto es, el cociente
z.x C o/ z.x/
o
se hace igual a la ordenada de la curva cuando o “se hace nada”. En términos actuales, la
derivada de z.x/ es la función y D y.x/. La relación simétrica entre cuadraturas y derivadas
queda así puesta claramente de manifiesto. Para calcular cuadraturas, basta con calcular una
antiderivada, lo que llamamos una primitiva de la función y D y.x/.
8.8.3.2. La invención del calculus summatorius por Leibniz
Ya hemos comentado en el capítulo 6 (ver pg. 321) las principales ideas que guiaron a
Leibniz en la invención del Cálculo:
La creación de un simbolismo matemático que automatizara los cálculos y permitiera
formular fácilmente procesos algorítmicos.
La apreciación de que las sucesiones de diferencias pueden sumarse fácilmente, y que
el proceso de formar la sucesión de diferencias y después sumarla recupera la sucesión
inicial, es decir, que se trata de operaciones inversas una de la otra.
La consideración de las curvas como polígonos de infinitos lados de longitudes infinite-
simales y de las variables como sucesiones que toman valores consecutivos infinitamente
próximos.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes 515
Se conservan en el archivo Leibniz en Hannover los manuscritos que contienen las investiga-
ciones de Leibniz sobre los problemas de cuadraturas. En dichos documentos, fechados del 25
de octubre al 11 de noviembre de 1675, Leibniz investiga la posibilidad de formular simbóli-
camente los problemas de cuadraturas e introduce los símbolos que actualmente usamos para
la integral y la diferencial. Los progresos de Leibniz se exponen de forma concisa y clara en el
trabajo de H.J.M. Bos [2] que sigo muy de cerca. Algunos de los resultados de Leibniz en estos
manuscritos son casos particulares de la regla de integración por partes, como, por ejemplo, la
siguiente igualdad (se supone f .0/ D 0):
a aa ax !
xf 0.x/ dx D af .a/ f .x/ dx D a f 0.x/ dx f 0.t / dt dx (8.60)
0 0 0 00
Por supuesto, Leibniz no la escribe así. Recuerda que la notación que usamos para la derivada
se debe a J.L. Lagrange y es bastante tardía, de finales del siglo XVIII. Además, la notación que
usamos para indicar los límites de integración fue introducida por J. Fourier en el primer tercio
del siglo XIX. Incluso el término “integral” no se debe a Newton ni a Leibniz. Leibniz llamó
calculus differentialis, esto es “cálculo de diferencias”, a la parte de su cálculo que se ocupa
del estudio de tangentes, y calculus summatorius, o sea “cálculo de sumas”, a la que se ocupa
de problemas de cuadraturas. Para Leibniz una integral es una suma de infinitos rectángulos
infinitesimales, el símbolo que ideó para representarlas, “ ” tiene forma de una “s” alargada
como las que en aquel tiempo se usaban en la imprenta; además, es la primera letra de la
palabra latina summa, o sea, “suma”. Fue Johann Bernoulli quien, en 1690, sugirió llamar
calculus integralis al cálculo de cuadraturas, de donde deriva el término “integral” que usamos
actualmente.
De hecho, Leibniz obtuvo la fórmula (8.60) antes de inventar su notación para las inte-
grales y las diferenciales. Es interesante mostrar cómo lo hizo. Para ello vamos a seguir el
camino opuesto al seguido por Leibniz, modificando la notación de dicha fórmula hasta llegar
a escribirla como lo hizo él.
Podemos interpretar gráficamente la igualdad (8.60) sin más que observar la figura 8.35.
P D .a; f .a//
Bw
w
w
w
w
w
w
w
Ox ADa
Figura 8.35. Áreas complementarias
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes 516
El número af .a/ es el área del rectángulo OAPB, la integral a f .x / dx es el área de la
0
parte de dicho rectángulo OAP que queda bajo la curva y D f .x/. Deducimos de (8.60) que
la integral 0axf .x/ dx es el área de la parte OBP de dicho rectángulo que queda por enci-
na de la curva y D f .x/. Esta área es la suma de las áreas de rectángulos horizontales como
los representados en la figura 8.35. Estos rectángulos horizontales tienen como base el valor
de la abscisa correspondiente, x, y como altura la diferencia infinitamente pequeña entre dos
ordenadas sucesivas, que Leibniz representa por w. Esta diferencia es lo que posteriormente se
llamará diferencial de y. Podemos, pues, interpretar que w D dy D f 0.x/ dx . Por su parte, el
área de la región OAP es considerada por Leibniz como la suma de las ordenadas y. Finalmen-
te, podemos eliminar y porque para Leibniz el valor de una variable puede obtenerse sumando
sus diferencias consecutivas, por eso, y puede verse como la suma de las w. Esto equivale,
x
en nuestra notación, a sustituir f .x/ por 0 f 0.t / dt (o, al estilo de Leibniz, y por dy ), lo
que también hemos hecho en la igualdad (8.60). La forma exacta en que Leibniz escribió la
igualdad 8.60, según se lee en [2], es:
omn. xw u ult. x; omn. w; omn. omn. w (8.61)
Aquí u es el símbolo para la igualdad, “ult. x” significa el ultimus x, el último de los x, es
decir, OA D a. El símbolo “omn.” es la abreviatura de omnes lineae, “todas las líneas”, símbolo
que había sido usado por Cavalieri y que Leibniz usa con el significado de “una suma”. Se usan
también líneas por encima de los términos y comas donde ahora pondríamos paréntesis.
En un manuscrito posterior en algunos días, Leibniz vuelve a escribir la igualdad 8.61 en
la forma:
omn. x` u x omn. ` omn. omn. `; (8.62)
y observa que omn. antepuesto a una magnitud lineal como ` da un área; omn. antepuesto a un
área como x` da un volumen y así sucesivamente.
[2]: : : Estas consideraciones de homogeneidad dimensional parecen haber sido las que
sugirieron a Leibniz el usar una única letra en vez del símbolo “omn.”, porque escribe a
continuación: “Sería conveniente escribir “ ” en lugar de “omn.”, de tal manera que `
represente omn.`, es decir, la suma de todas las `”. Así fue como se introdujo el signo
“ ” [. . . ] E inmediatamente a continuación escribe Leibniz la fórmula (8.62) utilizando el
nuevo formalismo:
x` D x ` ` (8.63)
haciendo notar que:
x2 x2 D x3
xD y 3
2
y subrayando que estas reglas se aplican a “las series en las que la razón de las diferencias
de los términos a los términos mismos es menor que cualquier cantidad dada”, es decir, a
las series cuyas diferencias son infinitamente pequeñas.
Una líneas más adelante nos encontramos también con la introducción del símbolo “d”
para la diferenciación. Aparece en el contexto de un brillante razonamiento que puede
resumirse de la forma siguiente: el problema de las cuadraturas es un problema de suma de
sucesiones, para lo cual hemos introducido el símbolo “ ” y para el que queremos elaborar
un cálculo, es decir, un conjunto de algoritmos eficaces. Ahora bien, sumar sucesiones, es
decir hallar una expresión general para y dada la y, no es posible normalmente, pero
siempre lo es encontrar una expresión para las diferencias de una sucesión dada. Así pues,
el cálculo de diferencias es la operación recíproca del cálculo de sumas, y por lo tanto
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La relación fundamental entre cuadraturas y tangentes 517
podemos esperar dominar el cálculo de sumas desarrollando su recíproco, el cálculo de
diferencias. Para citar las mismas palabras de Leibniz:
Dada ` y su relación con x, hallar `. Esto se puede obtener mediante el
cálculo inverso, es decir, supongamos que ` D ya y sea ` D ya=d; entonces
de la misma manera que la aumenta las dimensiones, d las disminuirá. Pero
la representa una suma y d una diferencia, y de la y dada podemos encontrar
siempre y=d o `, es decir, la diferencia de las y.
Así se introduce el símbolo “d” (o más bien el símbolo “1=d”). [: : : ] De hecho, pronto
se da cuenta de que ésta es una desventaja notacional que no viene compensada por la
ventaja de la interpretación dimensional de la y de d, y pasa a escribir “d.ya/” en vez de
“ya=d”, y de ahí en adelante son interpretadas la d y la como símbolos adimensionales
[: : : ].
En el resto del manuscrito Leibniz se dedica a explorar este nuevo simbolismo, al que
traduce viejos resultados, y a investigar las reglas operacionales que rigen la y la d.
Esta larga cita, extraída del trabajo de H.J.M. Bos Newton, Leibniz y la tradición leibniziana
([2]), nos da una idea de cómo llegó Leibniz a la invención del cálculo. No fueron los caminos
del razonamiento lógico deductivo los seguidos por Leibniz sino los de la intuición, la conjetu-
ra, el estudio de casos particulares y su generalización : : : Los mismos caminos que hoy siguen
los matemáticos activos en sus trabajos de investigación. Pese a que los conceptos que maneja
Leibniz son oscuros e imprecisos fue capaz de desarrollar algoritmos de cálculo eficaces y de
gran poder heurístico. Como ya hemos indicado en el capítulo 6, el cálculo de Leibniz triunfó
en el continente europeo gracias a los trabajos de los hermanos Bernouilli y al libro de texto
del Marqués de L’Hôpital que divulgó las técnicas del cálculo leibniziano por toda Europa.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
9Cap´ıtulo
Series nume´ ricas
Aquiles alcanzó a la tortuga y se sentó confortablemente so-
bre su espalda. ¿De modo que has llegado al final de nuestra
carrera?– dijo la tortuga –. ¿A pesar de que realmente consis-
te en una serie infinita de distancias? Yo creía que algún necio
había demostrado que esto no podía hacerse.
Lewis Carroll
9.1. Conceptos básicos
En este capítulo continuamos con el estudio de las sucesiones empezado en el Capítulo 7.
La novedad es que ahora vamos a considerar un tipo particular de sucesiones que, sin exagerar,
puede afirmarse que son las más útiles del Análisis. Estas sucesiones se llaman series.
En lo que sigue vamos a considerar sucesiones de números reales por lo que evitaremos
esa innecesaria precisión.
9.1 Definición. Dada una sucesión fang, podemos formar a partir de ella otra sucesión, fAng,
cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los términos de fang, es decir:
A1 D a1; A2 D a1 C a2; A3 D a1 C a2 C a3; : : : ; An D a1 C a2 C C an; : : :
o, si te gusta más, A1Da1 y, para todo n 2 N, AnC1DAnCanC1. La sucesión fAng así definida
se llama serie de término general an o serie definida por la sucesión fang, y la representaremos
X P Xn
por an o, más sencillamente, an. El número An D ak se llama suma parcial de orden
n>1 P k D1
n de la serie an.
518
Conceptos básicos 519
Debe quedar claro desde ahora que una serie es una sucesión cuyos términos se obtie-
nen sumando consecutivamente los términos de otra sucesión. Ni que decir tiene que, siendo
las series sucesiones, los conceptos y resultados vistos para sucesiones conservan su misma
significación cuando se aplican a series. En particular, es innecesario volver a definir qué se
entiende cuando se dice que una serie es “acotada”, “convergente” o “positivamente divergen-
te”.
P X1
Si una serie an es convergente se usa el símbolo an para representar el límite de la
nD1
X1
serie que suele llamarse suma de la serie. Naturalmente, an es el número definido por:
nD1
X1 Xn
an D lKımfAng D lKım ak :
nD1 n!1 k D1
Por tanto, la igualdad P1 qauneDˇˇPSknqDu1iearke deSciˇˇr que para todo " > 0, hay un m" 2 N tal que
para todo < ".
nD1
n > m" se verifica
9.2 Ejemplo (Serie geométrica). Dado un número x, la sucesión f1 C x C x2 C C xng se
llama sleorsietégrmeoimnoéstrdicealadseurcaezsóiónnx˚.1O; xbs;Xexr2v;axq3u;e: :d:i;cxhan;s:e:r:i«e. se obtiene sumando consecutiva-
mente Es costumbre representar la serie
geométrica de razón x con el símbolo xn. Dicha serie converge si, y sólo si, jxj < 1, en
n>0
cuyo caso se verifica que:
X1 1 : (9.1)
xn D
1x
nD0
Todas las afirmaciones hechas se deducen de que si x ¤ 1, se tiene:
Xn 1 x nC1 (9.2)
xk D 1 C x C x2 C C xn D :
1x
k D0 1x
Si jxj < 1 entonces lKım x nC1 D 0 y obtenemos que:
n!1 1 x
X1 Xn 1
xn D lKım xk D .jxj < 1/:
n!1 1x
nD0 k D0
Si jxj > 1 o xD 1 entonces la sucesión fx ng no converge; y si x D1 entonces Pn D0 1k DnC1
k
tampoco converge.
Te recuerdo que ya habíamos estudiado la serie geométrica en el ejemplo 7.5.
9.3 Ejemplo (Serie armónica). La serie de término general 1=n, es decir, la sucesión fHng
Xn 1
donde Hn D X1
, que simbólicamente representamos por , se llama serie armónica.
k D1 k n>1 n
Se verifica que la serie armónica diverge positivamente:
X1 1
D lKım f1 C 1=2 C C 1=ng D C∞:
n n!1
nD1
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Conceptos básicos 520
En efecto, para todo n 2 N tenemos que
n 1 nX1 jC1 1 nX1 jC1 1 nX1 1 1 11
log n D dx D x dx 6 dx D < 1C C C C
x j j2 n1 n
1 j D1 j j D1 j j D1
y por tanto
lKım f1 C 1=2 C C 1=ng > lKım log n D C∞ ÷ X1 1 D C∞:
n!1 n!1 nD1 n
Este resultado es también consecuencia directa de que, según vimos en el ejercicio resuelto
161, la serie armónica es asintóticamente equivalente a la sucesión flog ng:
1 C 1=2 C 1=3 C C 1=n
lKım D 1:
n!1 log n
9.4 Ejemplo (Serie armónica alternada). Se llama así la serie de término general . 1/n 1 ;
X . 1/n 1 n
es decir, la serie n . Se verifica que la serie armónica alternada es convergente y su
n>1
suma es igual a log 2.
X1 . 1/n 1
D log 2:
n
nD1
Esto ya ha sido probado en el ejercicio resuelto 161. Pero podemos dar otra prueba más directa.
Sustituyendo x por x en la igualdad (9.2), obtenemos la siguiente igualdad válida para todo
n 2 N y todo x ¤ 1:
1 D 1 x C x 2 x3 C C . 1/nxn C . 1/nC1 xnC1 : (9.3)
1Cx 1Cx
Integrando esta igualdad entre 0 y 1 tenemos que:
log 2 D 1 11 1 1/n 1 C . 1/nC1 1 xnC1 dx D
2C3 C C .
4 nC1 1Cx
0
nXC1 . 1/k 1 1/nC1 1 xnC1 dx
D
C.
k 1Cx
k D1 0
De donde ˇˇˇˇˇlog 2 1 ˇˇˇˇˇ D 1 1
nXC1 . 1/k x nC1 dx 6 xnC1 D 1
k 1Cx n C 2:
k D1 0 0
Y deducimos que
lKım ˇˇˇˇˇlog 2 nXC1 . 1/k 1 ˇˇˇˇˇ D 0 ÷ log 2 D X1 . 1/n 1
k n
n!1 :
k D1 nD1
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Conceptos básicos 521
El siguiente ejemplo te ayudará a entender el concepto de serie convergente. Vamos a ver
que modificando el orden de los términos en una serie convergente podemos obtener otra serie
convergente con distinta suma.
9.5 Ejemplo (Reordenando términos en la serie armónica alternada podemos obtener otra
serie con distinta suma). Como hemos visto, la serie armónica alternada es la sucesión que se
obtiene sumando consecutivamente los términos de la sucesión
( )
. 1/n 11 11 11 11 11
1 ;; ;; ;; ;; ;; 1
D 1; ;:::::: (9.4)
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Vamos a cambiar el orden de los términos en esta sucesión poniendo uno positivo seguido de
dos negativos manteniendo sus posiciones relativas. Obtenemos así la sucesión
1 11 1 11 1 1 1 1 1
1; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; : : : : : : ; (9.5)
2 4 3 6 8 5 10 12 7 14 16
cuya serie asociada, obtenida sumando consecutivamente sus términos, es la sucesión fSng
dada por:
S1 D 1
1
S2 D 1 2
11
S3 D 1 2 4
S4 D 1 11 1
C
2 43
11 11
S5 D 1 C
2 43 6
11 111
S6 D 1 C
2 43 6 8
:::::: D ::::::
11 111 1 1 1
S9 D 1 C C 12
2 43 6 85 10
:::::: D :::: : :
Xn
S3n D 1 11
j D1 2j 1 4j 2 4j
Tenemos que:
11 11 1 C 1 1 1 C C 1 11
S3nD 1 C
2 4 3 6 8 5 10 12 2n 1 4n 2 4n
11 1 1 1 11 1 11 1
D1 C C C C 4n
24 3 6 8 5 10 12 2n 1 4n 2
1111 1 1 C C 11
DCC
2 4 6 8 10 12 2.2n 1/ 4 n
D 1 1 1 C 1 1 C 1 1 C C 1 1
2 2 34 56 2n 1 2n
1 Xn . 1/j 1
D:
2j
j D1
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La particularidad del estudio de las series 522
Deducimos que: 1 Xn . 1/j 1 1
Es claro que lKım fS3n lKım S3n D lKım j D 2 log 2:
2
n!1 n!1 j D1
S3n 1g D lKım fS3n S3n 2g D 0 de donde se sigue que:
1
lKım fSng D 2 log 2:
Es decir, hemos probado que la serie obtenida reordenando los términos de la serie armónica
alternada por el criterio de sumar uno positivo seguido de dos negativos, es convergente y su
1
suma es log 2.
2
9.6 Observación (La suma de una serie convergente no es una suma). El ejemplo ante-
rior pone claramente de manifiesto que la suma de una serie convergente no es una suma en
el sentido usual de la palabra, es decir, no es una suma algebraica de números. Observa que
los conjuntos de números (9.4) y (9.5) son los mismos pero las series correspondientes tienen
1
distinta suma; la primera tiene suma log 2 y la segunda 2 log 2. Si la suma de una serie consis-
tiera en sumar los infinitos términos de una sucesión, entonces el orden en que los sumáramos
sería indiferente porque la suma de números tiene la propiedad conmutativa. Debes tener claro,
por tanto, que cuando calculas la suma de una serie no estás haciendo una suma infinita sino
que estás calculando un límite de una sucesión cuyos términos se obtienen sumando conse-
cutivamente los términos de otra sucesión dada. Insisto: calcular la suma de una serie no es
una operación algebraica, no consiste en sumar infinitos términos, es un proceso analítico que
supone un límite.
9.1.1. La particularidad del estudio de las series
Ahora viene la pregunta del millón: si las series no son nada más que sucesiones, ¿por
qué dedicarles una atención especial? La respuesta a esta pregunta es que en el estudio de las
series hay una hipótesis implícita que los libros silencian. A saber: se supone que las series son
sucesiones demasiado difíciles de estudiar directamente.
La característica que distingue el estudio de las series es la siguiente: se trata de deducir
propiedades de la serie fAng D fa1 C a2 C C ang, a partir del comportamiento de fang. Es
decir, los resultados de la teoría de series dan información sobre la sucesión fAng haciendo
hipótesis sobre la sucesión fang. ¿Por qué esto es así?, ¿no sería más lógico, puesto que lo que
queremos es estudiar la serie fAng, hacer hipótesis directamente sobre ella? La razón de esta
forma de proceder es que, por lo general, no se conoce una expresión de An Da1 Ca2 C Can
que permita hacer su estudio de forma directa; es decir, la suma a1 C a2 C C an no es
posible “realizarla” en la práctica. Por ello, en el estudio de las series se supone implícitamente
que la sucesión fang es el dato que podemos utilizar. Naturalmente, esto hace que el estudio de
las series se preste a muchas confusionesPporque, aunque su objetivo es obtener propiedades de
la serie fAng, las hipótesis y la notación an hacen siempre referencia a la sucesión fang, por
lo que puede caerse en el error de creer que lo que se está estudiando es dicha sucesión fang
cuando lo que realmente se estudia es la sucesión fa1PC a2 C C ang. Un error muy común
y que debes evitar es confundir las sucesiones fang y an: ¡son sucesiones muy diferentes!
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La particularidad del estudio de las series 523
Si lo piensas un poco, esta forma de proceder no es del todo nueva. Ya estás acostumbrado a
usar la derivada de una función para esPtudiar propiedades de la función; pues bien, la situación
aquí es parecida: para estudiar la serie an D fa1 C a2 C C ang (la función) estudiamos la
sucesión fang (la derivada). Un buen ejemplo de esto que digo son los criterios de convergencia
que veremos dentro de poco.
Otra dificultad adicional en el estudio de las series es la notación tan desafortunada que se
X1
emplea. En la mayoría de los textos se representa con el mismo símbolo, an, la serie (que
nD1
es una sucesión) y su suma (que es un límite que no siempre existe). Esto es un disparate: se
está confundiendo una sucesión con un número. ¿Es lo mismo la sucesión f1=ng que el número
0 que es su límite? En ninguna parte verás escrita la igualdad disparatada f1=ng D 0 ¿Por qué
X1 1
X1
entonces, al tratar con series, se confunde el número D 1 con que es la sucesión
2n 2k
( Xn ) nD1 k >1
1 1
2k D 1 2n ?
k D1
Quizás esto se debe a que, parece increíble pero es cierto, no hay acuerdo unánime para
represXentar de forma apropiada la serie de término general an. La notación que estamos usando
aquí, an, tiene la ventaja de que es clara y evita las confusiones que estoy comentando, pues
n>1
permite distinguir entre la serie y su eventual suma. Tiene el inconveniente de que la mayoría de
los autores no la usan (quizás porque la desconocen). Estoy convencido de que las ventajas de
esta notación compensan ampliamente este posible inconveniente. Es más, confío en que dicha
notación acabe imponiéndose y siendo aceptada universalmente. Pero esto no va a suceder
pasado mañana, por eso te advierto de que en los libros encontrarás las usuales notaciones
confusas que no distinguen entre la serie (una sucesión) y su posible límite (su suma).
Todavía queda una última sorpresa. Estamos de acuerdo en que las series son sucesiones.
¿Muy especiales? En absoluto. Toda sucesión podemos verla, si así nos interesa, como una
serie. Pues toda sucesión fang es la serie definida por la sucesión de sus diferencias, esto es,
por la sucesión fdng dada por:
d1 D a1; d2 D a2 a1; d3 D a3 a2; : : : ; dnC1 D anC1 an; : : :
Xn
Es claro que an D dj . Por tanto, toda sucesión podemos considerarla como una serie. En
j D1
resumen, series y sucesiones son lo mismo: toda serie es una sucesión y toda sucesión puede
ser vista como una serie. Lo que distingue a la teoría de series es el punto de vista específico
de su estudio, pero sus resultados pueden aplicarse a cualquier sucesión.
Creo que con lo dicho ya puedes hacerte una idea correcta de lo que son las series. Insis-
to en esto porque en los libros encontrarás disparates para todos los gustos. Voy a comentar
seguidamente algunos de ellos. Mis comentarios están pensados para hacer reflexionar a los
profesores que los lean.
9.7 Observación (Sobre algunas definiciones usuales de serie). En algunos libros se da a
siguiente definición.
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
La particularidad del estudio de las series 524
Definición de serie D“aPlakn Bourbaki”. Una serie es un par de sucesiones fxng; fSng donde
para todo n 2 N Sn D1 ak. La sucesión fSng se llama sucesión de sumas parciales de la
serie.
El problema con esta definición está en las primeras 7 palabras: una serie es un par de
sucesiones. Quien lea esta definición pensará que una serie es algo diferente a una sucesión. Si,
además, como ocurre con más frecuencia de la deseada, el libro que da esta definición vuelve a
enunciar para series – ¡e incluso a demostrar! – algunos de los resultados anteriormente vistos
para sucesiones, el desastre ya es total: el lector de ese libro acabará pensando que las series
son algo diferente de las sucesiones.
Esta definición de serie adolece de la pedantería lamentable de las definiciones “al estilo
Bourbaki”. Son definiciones excesivamente formalistas cuya precisión formal las hace confusas
e ininteligibles para quien no sabe de qué va la cosa. Con un ejemplo se entiende mejor lo que
quiero decir. Tú sabes lo que es la derivada de una función. Sabes que para derivar una función
primero tienen que darte la función cuya derivada vas a usar. Por tanto, el concepto de derivada
involucra a dos funciones: la función f y la función f 0. Una definición “al estilo Bourbaki” de
derivada sería como sigue:
Una derivada es un par de funciones .f; f 0/, donde f es una función defini-
da en un intervalo I , y para cada punto a 2 I f 0.a/ es el número definido por
f 0.a/ D lKım f .x/ f .a/
.
x!a x a
Estarás de acuerdo en que la supuesta mayor precisión formal de esta definición está muy lejos
de compensar su mayor dificultad de comprensión. Esto es exactamente lo que se hace en la
definición de serie que estamos comentando. Para formar la serie fAng D fa1 C a2 C C ang
primero tienen que darnos la sucesión fang. Eso y no otra cosa es lo que significa la expresión
“una serie es un par de sucesiones”. Todos sabemos que el Tajo pasa por Toledo pero eso no
nos hace decir que Toledo es un par (Tajo,Toledo): : : ¿Me explico?
En el extremo opuesto del “estilo Bourbaki” está el “estilo todo vale”.
Definición de serie al “estilo todo vale”. Una serie es una suma infinita
a1 C a2 C a3 C C an C
Ya está, eso es todo. Definiciones parecidas a esta se encuentran con frecuencia en libros de
autores ingleses o norteamericanos. Se trata de una definición que no define nada e introduce
símbolos confusos.
Entre el excesivo formalismo y la informalidad absoluta, con notaciones inapropiadas y
confusas, la verdad es que la mayoría de los libros que conozco no ayudan a comprender el
concepto de serie ni las particularidades de su estudio.
P
Convenios de notación. Usaremos la notación P an para representar la serie de término
Pgeneral an. Por tanto, una última vez lo repito, an es una sucesión, más concretamente,
númaneroesPlaknDap1laicka.ción de N en R que a cada número natural n 2 N hace corresponder el
A pesar de lo dicho, también usaré de vez en cuando la notación fa1 C a2 C C ang para
la serie de término general an. Creo que un uso adecuado de ambas notaciones es la mejor
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedades básicas de las series convergentes 525
fPorma de ayudarte para que tengas siempre presente que la sucesión que estamos estudiando es
an D fa1 C a2 C C ang y no fang.
A veces conviene considerar, por comodidad, series que empiezan en un índice entero
X X1
q 2 Z, usaremos en tal caso la notación n>q an. Por ejemplo, es más cómodo escribir n>3 log n
X1
que aunque ambas son la misma serie.
log.n C 2/
n>1
9.1.2. Propiedades básicas de las series convergentes
Es importante que te des cuenta de que cambiPar un solo término en la sucesión fang se
traduce en cambiar infinitos términos en la serie an. El siguiente resultado nos dice que
si cambiamos un número finito de términos en una sucesión fang ello no afecta a la posible
convergencia de la serie fa1 C a2 C C ang pero sí afecta a la suma de dicha serie.
9.8 Proposición. Sean fang y fbng dos sucesiones y supongamos que hay un número q 2 N tal
que para todo n>q C 1 es an D bn. Entonces se verifica que las series fa1 C a2 C C ang
y fb1 C b2 C C bng o bien convergen ambas o no converge ninguna, y en el primer caso se
verifica que: X1 Xq X1 Xq
an aj D bn bj :
nD1 j D1 nD1 j D1
Xq
Demostración. Pongamos An D a1 C a2 C C an, Bn D b1 C b2 C C bn, ˛ D aj ,
j D1
Xq
ˇ D bj . Las afirmaciones hechas se deducen todas de que para todo n > q C 1 se verifica la
j D1
igualdad:
Xn Xn bk D Bn ˇ
ak D An ˛ D
k DqC1 k DqC1
Observa que los números ˛ y ˇ son constantesPfijas. De la iguaPldad An C ˛ D Bn C ˇ, válida
para todo n > q C 1, deducimos que las series an D fAng y bn D fBng ambas convergen
o ninguna converge. Cuando hay convergencia tenemos que:
lKım fAn ˛g D lKım fAng ˛ D lKım fBn ˇg D lKım fBng ˇ:
n!1 n!1 n!1 n!1
Lo que prueba la igualdad del enunciado.
X
Consideremos una serie an . Dado q 2 N definamos bn D 0 para 1 6 n 6 q, bn D an para
Xn>1 X
todo n > q C 1. La serie bn se llama serie resto de orden q de la serie an . Es usual
n>1 n>1
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedades asociativas y conmutativas 526
X an. De la proposición anterior deducimos
representar dicha serie resto con la notación
XX n>qC1
que las series an y an ninguna converge o ambas convergen y, cuando esto ocurre es:
n>1 n>qC1
X1 Xq X1
an ak D an:
nD1 k D1 nDqC1
No lo olvides: para calcular la suma de una serie debes tener siempre presente el índice desde
el que se empieza a sumar.
El siguiente resultado es importante porque establece una condición necesaria general para
la convergencia de una serie.
P9.9 Proposición (Condición necesaria para la convergencia de una serie). Para que la serie
an sea convergente es necesario que lKımfang D 0.
P
Demostración. Si la serie an es convergente, entonces lKımfAng D lKımfAn 1g D S es un
número real. Como para todo n 2 N con n > 2 tenemos que an D An An 1, deducimos que
lKımfang D lKımfAng lKımfAn 1g D S S D 0.
Esta condición necesaria no es suficiente: f 1 g ! 0 pero la serie armónica P1 no es
n
n
convergente. Se trata de una condición necesaria para la convergencia de una serie, por tanto
cuando dicha condición no se cumple la serie no es convergente.
X 1 n X 1X 1
1 , n sen , n e n 1 no son ninguna de ellas
9.10 Ejemplo. Las series nn
n>1 n>1 n>1
convergente porque sus términos generales no convergen a 0:
1 n 1 1 1
1 ! ; n sen ! 1; n e n 1 ! 1:
ne n
9.1.3. Propiedades asociativas y conmutativas
Ya hemos dicho que el límite, L, de una serie convergente, L D lKım fa1 C a2 C C ang,
no es, como a veces se dice, una “suma de los infinitos términos” de la sucesión fang. ¿Qué
sentido teisenqeueesˇˇˇoLde “PsujnmDa1raijnˇˇˇfisneitcoosntséerrmvainmose”n?oNr qinugeucnuoa,ldqeusiedre luego. Lo que dicho número
verifica número " > 0, a partir de un
cierto n 2 N en adelante. Si bien, puede ser sugerente la interpretación de L como “la suma
de los términos de la sucesión fang”, no hay que olvidar que esto no es más que una forma
de hablar, y que el límite de una serie convergente es, justamente, el límite de una sucesión
de sumas y no debe confundirse con una operación algebraica. Por ello cabe preguntarse si las
propiedades asociativa y conmutativa de la adición se conservan para series convergentes. De
hecho, ya hemos visto que la propiedad conmutativa no se verifica en general, pues reordenando
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
Propiedades asociativas y conmutativas 527
los términos de una serie convergente podemos obtener otra serie con suma distinta. Las cosas
van mejor en lo que se refiere a la asociatividad. Precisemos estas ideas.
Sea fa1 C a2 C C ang la serie definida por la sucesión fang. Dada una aplicación estric-
tamente creciente W N ! N, definamos una sucesión fbng por:
b1 D a1 C a2 C C a .1/; bnC1 D a .n/C1 C C a .nC1/ .n 2 N/ (9.6)
P
PEn estas condiciones se dice que la serie bn se ha obtenido asociando términos en la serie
an. Poniendo An D a1 C a2 C C an, y Bn Db1 Cb2 C Cbn, se tiene que Bn DA .n/,
es decir la sucesión fBng es una sucesión parcial de fAng. Deducimos el siguiente resultado.
9.11 Proposición. Toda serie obtenida asociando términos en una serie convergente también
es convergente y ambas series tienen la misma suma.
Es importante advertir que asociando términos en una serie no convergente puede obtenerse
una serie convergente. Por ejemplo, la serie definida por la sucesión fang D f. 1/nC1g no es
convergente, y la serie que se obtiene de ella asociando términos dos a dos, es decir, la serie
definida por la sucesión bn D a2n 1 C a2n D 0, es evidentemente convergente. A este respecto
tiene interés el siguiente resultado que establece una condición suficiente para que de la con-
vergencia de una serie obtenida asociando términos en otra pueda deducirse la convergencia de
esta última.
9.12 Proposición. Sea W N ! N una aplicación estrictamente crPeciente, fang una sucesión
y fbng la sucesión definida como en (9.6). Supongamos que la serie bn es convergente y que
la sucesión
˛n D ja .n/C1j C ja .n/C2j C C ja .nC1/j
P
cPonverge a cero. Entonces la serie an es convergente y tiene la misma suma que la serie
bn.
Demostración. Para cada n 2 N, n > .1/, definamos:
.n/ D maKxfk 2 N W .k/ 6 ng:
Evidentemente, .n/ 6 .n C 1/. Además . .n// 6 n < . .n/ C 1/, y para todo p 2 N
. .p// D p. Pongamos An D a1 C a2 C C an, Bn D b1 ˚C b2 C« C bn. Se comprueba
f˚ácilme«nte, usando que es creciente y no mayorada, que lKım B .n/ D lKımfBng (observa que
B .n/ es “parecida” a una sucesión parcial de fBng). Para n > .1/ tenemos:
An D.a1 C C a .1// C C .a . .n 1//C1 C C a . .n/// C a . .n//C1 C C an
DB .n/ C a . .n//C1 C C an:
Por tanto
ˇˇAn B .n/ˇˇ 6 ja . .n//C1j C C janj 6 ja . .n//C1j C C ja . .n/C1/j D ˛ .n/ ! 0:
˚«
De donde se sigue que lKımfAng D lKım B .n/ D lKımfBng.
Estudiaremos seguidamente las series convergentes para las que se verifica la propiedad
conmutativa. Precisaremos estos conceptos. Sea fa1 C a2 C C ang la serie definida por la
Universidad de Granada Prof. Javier Pérez
Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
calculo_diferencial_integral
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
calculo_diferencial_integral
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 688
Pages: