calculo_diferencial_integral

Cálculo elemental de C1 sen x dx y de P1 1 578
0 x n2
nD1

Observa que el criXterio particular de Dirichlet implica que las serie de números com-
plejos de la forma znbn donde fbng es una sucesión de números reales monótona y

n>1

convergente a 0 y z es un número complejo de módulo 1 y distinto de 1, (z ¤ 1; jzj D 1),
©
son convergentes. Naturalmente si jzj < 1 tales series convergen absolutamente.

vi) Es fácil comprobar que el término general de la serie no converge a cero y, por tanto,
©
la serie no es convergente.

X1
Ejercicio resuelto 239 Sea 2 R con j j < 1 y # 2 R. Calcula los límites: n cos.n#/ y

X1 nD0
n sen.n#/.

nD0

Sugerencia. Llama A a la primera suma y B a la segunda. Calcula A C iB.

Solución. Observa que por ser j j < 1 las dos series son absolutamente convergentes.
Tenemos que:

X1 X1 ei# n D 1
A C iB D n cos.n#/ C i sen.n#/ D ei# D
nD0 nD0 1

1 e i# 1 cos # sen #
D 1 C 2 2 cos # D 1 C 2 2 cos # C i 1 C 2 :
2 cos #

Deducimos que:

A D X1 cos.n# / D 1 cos # ; B D X1 sen.n# / D sen # :
n C 2 2 cos n 2 2
1 # 1 C cos #
nD0 nD0

9.7. Cálculo elemental de C1 sen x dx y de P1 1
0 x n2
nD1

Necesitaremos el siguiente resultado que es un caso muy particular del llamado lema de
Riemann – Lebesgue. Probaremos que si f es una función con derivada continua en Œa; b
entonces se verifica que:

bb

lKım f .x/ sen.tx/ dx D lKım f .x/ cos.tx/ dx D 0 (9.20)
t !C1 a t !C1 a

En las hipótesis hechas, la prueba es inmediata porque basta integrar por partes:

b 1 .x/ cos.tx/ˇˇˇˇxDbC 1 b 0.x/ cos.tx/ dx
f t
f .x/ sen.tx/ dxDŒu.x/Df .x/; v 0.x/Dsen.tx/D xDa f
t
a a

Como jcos.u/j 6 1 cualquiera sea u 2 R se sigue que:
ˇˇˇˇˇˇ ˇˇˇˇˇˇ
b f .x / sen.tx/ dx 6 1 1 b 0.x/j dx D K
a t jf .a/j C jf .b/j C t t
jf

a

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Cálculo elemental de C1 sen x dx y de P1 1 579
0 x n2
nD1

donde K D jf .a/j C jf .b/j C abjf 0.x/j dx es una constante. De esta desigualdad se sigue que

bb

lKım f .x/ sen.tx/ dx D 0. Análogamente se prueba que lKım f .x/ cos.tx/ dx D 0.
t !C1 a t !C1 a

Haciendo ahora en la igualdad 2 sen x cos y D sen.x C y/ sen.y x/ y D 2kx se obtiene:


2 sen x cos.2kx/ D sen .2k C 1/x sen .2k 1/x :

Sumando estas igualdades desde k D 1 hasta k D n resulta:

Xn
2 sen x cos.2kx/ D sen .2n C 1/x sen x

k D1

de donde, dividiendo por sen x ¤ 0, se sigue que:

Xn
sen .2n C 1/x D 2 cos.2kx/ C 1:
(9.21)
sen x
k D1

Deducimos que:

2 sen .2n C 1/x dx D

0 sen x 2

11
Como la función f W Œ0; =2 ! R dada por f .x/ D x sen x para x ¤ 0 y f .0/ D 0 tiene
derivada continua en Œ0; =2, podemos usar el resultado probado al principio para deducir que:

1 1
2 sen .2n C 1/x dx D 0:

lKım sen x
n!1 x
0

Y, teniendo en cuenta la igualdad antes obtenida, concluimos que


2 sen .2n C 1/x
lKım dx D :
n!1 x 2
0

Y, haciendo un sencillo cambio de variable obtenemos que:

dx D Œ.2n C 1/x D u D .2nC1/
.2n C 1/x du D :
2 sen 2 sen u

x u2
00

Por otra parte la integral impropia C1sen x dx es convergente como hemos visto en el ejerci-
0x
t sen x
cio resuelto 193, es decir, existe el límite lKım dx . Por tanto, por la conocida carac-
t!C1 x
0

terización de los límites funcionales, para toda sucesión fang ! C1 se tiene que:

C1 sen x dx D lKım an sen x dx :

x n!1 x
00

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Cálculo elemental de C1 sen x dx y de P1 1 580
0 x n2
nD1

Haciendo an D .2n C 1/ concluimos que:
2

C1 sen x .2nC1/
dx D lKım du D :
2 sen u

x n!1 u2
00

X1
Calcularemos ahora la suma de la serie n2 . Sustituyamos en la igualdad 9.21 x por

n>1

x=2 para obtener: Xn

sen .2n C 1/ x D 2 cos.kx/ C 1:
2

sen.x=2/ k D1

Multiplicando esta igualdad por x.x 2 / y teniendo en cuenta que:

2
x.x 2 / cos.kx/ dx D k2

0

como se comprueba fácilmente integrando por partes dos veces, obtenemos:

x.x 2 / x Xn 1 Xn 1 2 3
sen .2n C 1/ dx D 4 k2 C x.x 2 / dx D 4 k2 :
sen.x=2/ 2
0 k D1 0 k D1 3

Como la función f W Œ0;  ! R dada por f .x/ D x.x 2 / para x ¤ 0, f .0/ D 4 tiene
sen.x=2/
derivada continua en Œ0; , podemos aplicar el resultado visto al principio de esta sección para

deducir que:

lKım x.x 2 / x
sen .2n C 1/ dx D 0:
n!1 sen.x=2/ 2
0

Lo que, teniendo en cuenta la igualdad anterior, implica que:

X1 1 2
n2 D :
nD1 6

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10Cap´ıtulo

Sucesiones y series de funciones

10.1. Introducción

La representación de funciones complicadas por medio de funciones sencillas es una de
las ideas centrales del Análisis Matemático. En este capítulo vamos a precisar algunos de los
posibles significados del término “representación”. Intuitivamente, se trata de “aproximar” fun-
ciones que se suponen muy generales por otras de un tipo especialmente sencillo. Por ejemplo,
podemos aproximar localmente, en las proximidades de un punto, una función derivable por
sus polinomios de Taylor calculados en dicho punto. Ya hemos visto que esta aproximación es
de gran utilidad para calcular límites. Ahora queremos dar un paso más y nos interesamos por
representaciones que sean válidas no sólo localmente, en las proximidades de un cierto punto,
sino en todo un intervalo.

Hay muchas maneras de representar funciones complejas por medio de otras más simples,
una de las más útiles es la representación por medio de series. Podemos describir este proceso
en términos muy generales como sigue.

Se considera una clase S de “funciones simples”. Por ejemplo, S puede ser la clase de
las funciones polinómicas, o la clase de todos los polinomios trigonométricos que son las
Xn
funciones de la forma ak cos.kx/ C bk sen.kx/ donde ak ; bk son números reales.

k D0

Para representar una función f por medio de funciones de la clase S hay que asociar a
dicha función una sucesión de funciones ffng donde fn 2 S. Las funciones fn suelen
interpretarse como las “componentes elementales” de la función f . La forma de obtener
las funciones componentes fn de f viene dada en cada caso por un algoritmo matemá-

581

Introducción 582

tico que, conocida la función f , permite calcular, al menos en teoría, las fn. Esta parte
del proceso de representación se suele llamar “análisis” porque consiste en analizar f

descomponiéndola en sus componentes más simples. Esto es algo que se hace constan-

temente en todos los procesos de tratamiento de señales auditivas o gráficas.

Si, por ejemplo, queremos representar la función exponencial f .x/ D ex por medio de

funciones polinómicas, entonces las funciones elementales son los polinomios de Taylor
Xn xk
que, para la función exponencial viene dados por fn.x/ D .
k!
k D0

El último paso consiste en “recomponer” la función f mediante sus componentes ele-

mentales fn. Para que este proceso sea útil las funciones componentes fn deben estar
determinadas de manera única por f y debe ser posible, mediante algún algoritmo ma-

temático – que suele ser una serie o una integral –, recobrar la función f mediante

sus componentes fn. Por ejemplo, para el caso de la función exponencial sabemos (ver
(9.13)) que para todo x 2 R es:

ex D lKım fn .x/ D lKım Xn xk D X1 xn
k! n!
n!1 n!1 k D0 nD0

Con ello hemos representado una función trascendente, como es la exponencial, por me-
dio de una serie de funciones polinómicas.

Volviendo a la situación general, lo que suele hacerse es tratar de recuperar la función
f por “superposición” de sus componentes elementales fn. El término “superponer”
procede de la Física y en Matemáticas se traduce por “sumar”. Por tanto, lo que queremos
es expresar f como la suma de la serie definida por la sucesión de funciones ffng:

X1
f D fn:

nD0

Lo primero que debemos hacer es dar un sentido a esta igualdad. El sentido que va a

tener para nosotros en este capítulo es que para cada valor de x en un cierto intervalo I

se verifica que:

X1 (10.1)
f .x/ D fn.x/:

nD0

PEsta igualdad sí sabes lo que significa: quiere decir que la serie de números reales
fn.x/ converge y tiene como suma el número f .x/.

Puede que te estés preguntando ¿para qué sirve todo esto? Respuesta: para traducir problemas
relativos a f en otros más sencillos relativos a sus funciones componentes fn. Por ejemplo, si
queremos obtener la solución de una ecuación diferencial en la que interviene una función f ,
podemos sustituir dicha función por fn y resolver la ecuación diferencial correspondiente, y a
partir de las soluciones obtenidas construir por superposición una función que esperamos que
sea la solución buscada.

Una representación como la dada por (10.1) lleva a preguntarse por aquellas propiedades
de las funciones fn que se conservan y se transmiten de forma automática a la función repre-
sentada f . Por ejemplo, si las funciones fn son continuas o derivables ¿es también f continua
o derivable?.

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Conceptos básicos 583

Para terminar esta introducción vamos a ver un ejemplo de aproximación de funciones que,

en cierto sentido, es paradójico. Sea f1 la función identidad en el intervalo Œ0; 1 cuya gráfica

es la diagonal del cuadrado unidad (ver figura 10.1). Sea f2 la función definida en Œ0; 1 cuya
1 1
gráfica es el triángulo de vértices .p0; 0/; . 2 ; 2 /; .1; 0/. La longitud de las gráficas de f1 y f2 es

evidentemente la misma e igual a 2.

1

0
0 p1
Figura 10.1. ¿Es 2 D 1?

Sea f3 la función definida en Œ0; 1 cuya gráfica son los triángulos de vértices .0; 0/; . 1 ; 1 /;
4 4
1 12p; 0/; 3 1
. 2 ; 0/ y . . 4 ; 4 /; .1; 0/. La longitud de las gráficas de f2 y f3 es evidentemente la misma

e igual a 2. Este proceso de ir dividiendo por la mitad los lados de los triángulos puede

proseguirse indefinidamente y obtenemos una sucesión de funciones fn taleps que para todo
1 , y la longitud de la gráfica de fn es igual a 2. Es evidente
x 2 Œ0; 1 es 0 6 fn.x/ 6 1
2n
que las funciones fn convergen a lapfunción f .x/ D 0 cuya gráfica es el segmento de extremos
.0; 0/; .1; 0/ de longitud 1; ¿luego 2 D 1?.

En esta introducción del capítulo ya han salido algunas ideas que seguidamente vamos a
presentar de manera formal.

10.2. Conceptos básicos

10.1 Definición. Una sucesión de funciones es una aplicación que a cada número natural n
hace corresponder una función fn. Usaremos el símbolo ffng para representar la sucesión de
funciones dada por n 7! fn, para todo n 2 N.

Supondremos en lo que sigue que las funciones fn son funciones reales definidas en un
intervalo I .

10.2 Ejemplos. Consideremos las sucesiones de funciones ffng, donde fn W R ! R es la
función definida en cada caso por:

x2n r 1; Xn xk
a/ fn.x/ D 1 C x2n ; b/ fn.x/ D n :
x2 C c/ fn.x/ D nx.1 x/n; d/ fn.x/ D
k!
k D0

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Convergencia puntual 584

10.2.1. Convergencia puntual

10.3 Definición. Dado x 2 I se dice que la sucesión de funciones ffng converge puntualmente
en x, si la sucesión de números reales ffn.x/g es convergente.

El conjunto C de todos los puntos x 2 I en los que la sucesión de funciones ffng converge
puntualmente, se llama campo de convergencia puntual. Simbólicamente:

C D fx 2 I W ffn.x/g convergeg:

Supuesto que C ¤ Ø, la función f W C ! R definida para todo x 2 C por:

f .x/ D nl!Kım1ffn.x/g

se llama función límite puntual de la sucesión ffng.

10.4 Observación. Para entender la definición de convergencia puntual y en general en todo
este capítulo, es muy importante no confundir la sucesión de funciones ffng con la sucesión
de números reales ffn.x/g obtenida evaluando las funciones de dicha sucesión en un número
x 2 I . Tampoco debes olvidar que en una sucesión la variable es siempre n 2 N y nunca x 2 I .
Así, la sucesión ffn.x/g es la aplicación que a cada número natural n 2 N (la variable) le asigna
el número real fn.x/ donde x está fijo.

10.5 Ejemplo. Sea la sucesión de funciones ffng donde, para cada n 2 N, fn W Œ0; 1 ! R es
la función definida para todo x 2 Œ0; 1 por:

fn.x/ D nx.1 x/n:

1
e fn.x/ D nx.1 x/n

01

Figura 10.2. Convergencia puntual

Observa que si x D 0 o x D 1, la sucesión ffn.0/g D ffn.1/g D f0g es, evidentemente,
convergente a 0. Si 0 < x < 1 entonces 0 < 1 x < 1 y se verifica que ffn.x/g ! 0 porque
es una sucesión de la forma fnp ng donde j j < 1. Deducimos que el campo de convergencia
puntual de esta sucesión es el conjunto C D Œ0; 1 y la función límite puntual es la función

idénticamente nula, f .x/ D 0 para todo x 2 Œ0; 1. Observa en la figura 10.2 las gráficas de las

primeras seis funciones de esta sucesión.

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Convergencia puntual 585

Fíjate cómo por el extremo derecho del intervalo las gráficas se van pegando al eje de
abscisas pero su comportamiento es muy diferente en el extremo izquierdo. Ello es así porque
cuando 1 x es pequeño (es decir, x está cerca de 1) la sucesión ffn.x/g converge muy
rápidamente a cero, pero cuando 1 x está próximo a 1 (es decir, x está cerca de 0) la sucesión
ffn.x/g converge lentamente a cero.

Observa las gráficas de las funciones f10 y f20 1 f20 f10
en la figura de la derecha. ¿Te parece que estas e
1
funciones están muy próximas a la función lí- 0

mite puntual f 0? Observa que, aunque para
cada x 2 Œ0; 1 es f .x/ D nl!Kım1ffn.x/g D 0,
la función fn no se acerca mucho a la función
límite puntual f 0.

Para evitar ambigüedades necesitamos precisar qué entendemos por proximidad entre dos
funciones. Para ello, considera dos funciones f; g W I ! R . Dichas funciones son iguales
cuando f .x/ D g.x/ para todo x 2 I o, lo que es igual, cuando maKxfjf .x/ g.x/j W x 2 I g D 0.
En general, el número maKxfjf .x/ g.x/jWx 2 I g proporciona una buena idea de la proximidad
entre las funciones f y g pues dicho número es tanto más pequeño cuanto más cercanas estén

las gráficas de las dos funciones.

Volviendo al ejemplo anterior, con fn.x/ D nx.1 x/n y f 0, podemos calcular fácil-

mente el número maKxfjfn.x/ f .x/j W x 2 Œ0; 1g D maKxffn.x/ W x 2 Œ0; 1g. Basta derivar fn

para comprobar que la función fn alcanza su máximo absoluto en el intervalo Œ0; 1 en el punto
1
xn D nC1 . Luego

n nC1 1
maKxffn.x/ W x 2 Œ0; 1g D fn.xn/ D n C 1 !:
e

Fíjate en que nl!Kım1ffn.x/gD0 pero lKım maKxffn.x/Wx 2 Œ0; 1gD1= e > 0, es decir, las funcio-
nes fn no se aproximan a la función De hecho, como
n!1 ˚ n nC1« es creciente,
la sucesión nC1
nula.

cuanto mayor sea n mayor es la distancia entre la función fn y la función nula. Observa cómo

son las gráficas de las funciones fn cerca de cero para n D 100; 120; 140; 160; 180; 200.

1
e

f100 0 1

f200 Prof. Javier Pérez
0 0 05 Cálculo diferencial e integral

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Convergencia Uniforme 586

10.6 Ejemplo. Sea la sucesión de funciones ffng donde, para cada n 2 N, fn W R ! R es la
función dada para todo x 2 R por:

x2n
fn.x/ D 1 C x2n

Es claro que si jxj < 1 se tiene que ffn.x/g ! 0, y si jxj > 1 se tiene que ffn.x/g ! 1.

Para x D ˙1 es ffn.˙1/g D f1=2g que, evidentemente, converge a 1=2. Por tanto, el campo de

convergencia puntual de ffng es C D R, y la función límite puntual está definida por:

8
<ˆ1 si jxj > 1I

f .x / D nl!Kım1ffn.x/g D :ˆ10=s2i si jxj D 1
jx j< 1:

Aquí ocurre que la función límite puntual es discontinua (tiene discontinuidades de salto en 1
y en 1) a pesar de que las funciones de la sucesión son continuas. Observa las gráficas de las
primero cinco funciones de la sucesión.

fn.x/ D x2n
1Cx2n

1

1
2

-3 -2 -1 123

Tenemos que:

1 1 .1C 1 /2n eD1:
maKxfjf .x/ fn.x/jWx 2 Rg>f 1C fn 1C D1 2n !1 1Ce 1Ce
2n 2n
1 C .1 C 1 /2n
2n

Por tanto, la distancia entre la función fn y la función límite puntual, f , no converge a cero.

Este ejemplo y el anterior ponen de manifiesto que la convergencia puntual de ffng a f
no proporciona una buena idea de la aproximación entre las funciones fn y f . Además las
propiedades de continuidad de las funciones fn pueden no conservarse para la función límite
puntual. Esto lleva a definir un tipo de convergencia mejor que la convergencia puntual.

10.2.2. Convergencia Uniforme

Sea J un intervalo no vacío contenido en el campo de convergencia puntual de la sucesión

ffng. Y sea f la función límite puntual de ffng. Se dice que ffng converge uniformemente a f
en J si para todo " > 0 existe n0 2 N (que dependerá de ") tal que para todo n > n0 se verifica
que supfjfn.x/ f .x/j W x 2 J g 6 ".

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Convergencia Uniforme 587

Para comprender bien esta definición, analicemos la última desigualdad. Tenemos que:

supfjfn.x/ f .x/j W x 2 J g 6 " ” jfn.x/ f .x/j 6 " 8x 2 J
” " 6 fn.x/ f .x/ 6 " 8x 2 J
” f .x/ " 6 fn.x/ 6 f .x/ C " 8x 2 J:

Cuya interpretación gráfica es la siguiente (donde hemos considerado J D Œa; b).

f C"

fn f
f"

ab
Figura 10.3. Interpretación gráfica de la convergencia uniforme

Esto nos dice que la gráfica de la función fn se queda dentro de un tubo centrado en la
gráfica de f de anchura 2" (ver figura 10.3). Ahora debe estar claro que en el ejemplo 1 no hay
convergencia uniforme en ningún intervalo del tipo Œ0; a con 0 < a < 1 y en el ejemplo 2 no
hay convergencia uniforme en ningún intervalo que contenga a 1 o a 1.

10.7 Observaciones. Observa que la diferencia entre la convergencia puntual y la convergencia
uniforme en J es la siguiente.

Decir que ffng converge a f puntualmente en J significa que:

Fijas un x 2 J ;

La correspondiente sucesión de números reales ffn.x/g converge a f .x/, es decir: para
todo " > 0, existe un número natural n0 tal que para todo n 2 N con n > n0 se verifica que
jfn.x/ f .x/j 6 ".

Naturalmente, el número n0 dependerá del " y, en general, también de x porque si cambias
x por otro punto z 2 J la sucesión ffn.z/g es distinta de ffn.x/g y el n0 que vale para una no
tiene por qué valer también para la otra.

Decir que ffng converge a f uniformemente en J significa que:

Fijas un " > 0;

Existe un número natural n0 (que dependerá de ") tal que para todo n 2 N con n > n0 se
verifica que jfn.x/ f .x/j 6 " para todo x 2 J .

Es decir, en la convergencia uniforme, hay un mismo número n0 que es válido simultánea-
mente para todos los x 2 J .

En la práctica, el estudio de la convergencia puntual se reduce a calcular para cada x fijo el
límite nl!Kım1ffn.x/g, lo que suele ser muy sencillo. Mientras que para estudiar la convergencia

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Convergencia Uniforme 588

uniforme en un intervalo J , lo que se hace es calcular, con las técnicas usuales de derivación, el
máximo absoluto de jfn.x/ f .x/j en J . La presencia del valor absoluto en jfn.x/ f .x/j
es incómoda para derivar por lo que conviene quitarlo, lo que casi siempre puede hacerse con
facilidad. Supongamos que el máximo absoluto de jfn.x/ f .x/j en J se alcanza en un punto
cn 2 J . Entonces, si nl!Kım1ffn.cn/ f .cn/g D 0 hay convergencia uniforme en J , y en otro caso
no hay convergencia uniforme en J . En particular, si hay una sucesión fzng de puntos de J tal
que fjfn.zn/ f .zn/jg no converge a 0, entonces ffng no converge uniformemente a f en J .

10.8 Ejemplo. Estudiemos la convergencia uniforme en RCo y en intervalos de la forma Œa; C1Œ,
(a > 0), de la sucesión de funciones ffng definidas para todo x 2 RCo por fn.x/ D n2x e nx.

Observa que fn.0/ D 0 y, si x > 0, lKım fn.x/ D x lKım n2.e x/n D 0 (porque es una

n!1 n!1
sucesión de la forma np n donde 0 < j j < 1). Por tanto, el campo de convergencia puntual es

C D RCo , y la función límite puntal está dada por f .x/ D nl!Kım1ffn.x/g D 0 para todo x 2 RCo .

Estudiemos si hay convergencia uniforme en RCo . Observa que fn.x/ > 0, por lo que
jfn.x/ f .x/jDfn.x/. Ahora, como, fn0.x/Dn2 e nx.1 nx/, se deduce que fn0.x/ > 0 para
0 6 x < 1=n, y fn0.x/ < 0 para x > 1=n. Luego fn.x/ 6 fn.1=n/ para todo x > 0. Deducimos
que fn.1=n/ D maKxffn.x/ W x 2 RCo g, y como fn.1=n/ D n= e, sucesión que, evidentemente,
no converge a 0, concluimos que no hay convergencia uniforme en RCo .

Estudiemos si hay convergencia uniforme en un intervalo de la forma Œa; C1Œ, con a > 0.

Por lo antes visto, sabemos que la función fn es decreciente en el intervalo Œ1=n; C1Œ. Sea
1
n0 un número natural tal que n0 < a. Entonces, para todo n > n0, tenemos que Œa; C1Œ

Œ1=n; C1Œ, por lo que, maKxffn.x/ W x 2 Œa; C1Œg D fn.a/. Como lKımffn.a/g D 0, concluimos

que hay convergencia uniforme en Œa; C1Œ.

Observa las gráficas de las primero cinco funciones de la sucesión.

fn.x/ D n2x e nx

1

12

Puedes comprobar fácilmente, integrando por partes, que 1 n2x e nx dx D1 .1Cn/ e n
0

para todo n 2 N. Por tanto:

11

lKım fn.x/dx D 1 ¤ 0 D . lKım fn.x// dx :

n!1 00 n!1

Es decir, en general, no se puede permutar la integración con el límite puntual.

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Convergencia Uniforme 589

10.9 Observaciones. El concepto de convergencia uniforme requiere algunas precisiones im-
portantes.

La convergencia uniforme se refiere siempre a un conjunto. No tiene sentido decir que
“la sucesión ffng converge uniformemente” si no se indica inmediatamente a continuación
el conjunto en el que afirmamos que hay convergencia uniforme. Además, siempre hay con-
vergencia uniforme en subconjuntos finitos del campo de convergencia puntual (si no sabes
probarlo es que no has entendido la definición de convergencia uniforme). Por ello, sólo tiene
interés estudiar la convergencia uniforme en conjuntos infinitos, por lo general en intervalos.

No existe “el campo de convergencia uniforme”. Es decir, el concepto de campo de
convergencia puntual no tiene un análogo para la convergencia uniforme. La razón es que no
tiene por qué existir un más grande conjunto en el que haya convergencia uniforme. Así, en el
ejemplo anterior, hay convergencia uniforme en intervalos de la forma Œa; C1Œ con a > 0. La
unión de todos ellos es RC y en RC no hay convergencia uniforme.

10.10 Teorema (Condición de Cauchy para la convergencia uniforme). Una sucesión de
funciones ffng converge uniformemente en J si, y sólo si, para todo " > 0, existe un número
natural n0 tal que para todos n; m > n0 se verifica que:

supfjfn.x/ fm.x/j W x 2 J g 6 ":

Demostración. Supongamos que ffng converge uniformemente a una función f en J . Enton-

ces, dado " > 0, existirá un n0 2 N tal que para todo n > n0 se tiene que:

sup fjfn.x/ f .x/j W 2Jg 6 "
x :
2

Sea m > n0. Para todo x 2 J tenemos que: f .x/j 6 " C " D ":
jfn.x/ fm.x/j 6 jfn.x/ f .x/j C jfm.x/ 2 2

Por tanto para todos n; m > n0 se verifica que supfjfn.x/ fm.x/j W x 2 J g 6 ".

Recíprocamente, supuesto que la condición del enunciado se cumple, entonces para cada
x 2 J se verifica que la sucesión ffn.x/g verifica la condición de Cauchy pues:

jfn.x/ fm.x/j 6 supfjfn.x/ fm.x/j W x 2 J g 6 ":

Por el teorema de completitud de R dicha sucesión es convergente. Por tanto podemos definir
la función límite puntual f W J ! R por f .x/ D lKım f .x/ para todo x 2 J . Comprobemos

n!1

que ffng converge uniformemente a f en J . Dado " > 0, por la hipótesis hecha, hay un n0 2 N
tal que para todos n; m > n0 es:

jfn.x/ fm.x/j 6 " 8x 2 J

Fijando x 2 J y n > n0 en esta desigualdad y tomando límite para m ! 1 obtenemos que:

jfn.x/ f .x/j 6 ";

desigualdad que es válida para todo x 2 J . Deducimos que sup fjfn.x/ f .x/j W x 2 J g 6 "
siempre que n > n0. Hemos probado así que ffng converge uniformemente a f en J .

La utilidad de la condición de Cauchy para la convergencia uniforme es que es intrínseca a
la sucesión, es decir, no involucra a la función límite.

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Series de funciones 590

10.2.3. Series de funciones

Dada una sucesión de funciones ffng, podemos formar otra, fFng, cuyos términos se obtie-

nen sumando consecutivamente los de ffng. Es decir, F1Df1, F2Df1Cf2, F3Df1Cf2Cf3,...
Xn

En general, Fn D fk. La sucesión fFng así definida se llama serie de término general fn y

k D1 X

la representaremos por el símbolo fn .

n>1

Debe quedar claro que una serie de funciones es una sucesión de funciones que se ob-

tienen sumando consecutivamente las funciones de una sucesión dada. Todo lo dicho para

sucesiones de funciones se aplica exactamente igual para series de funciones. En particular, los

conceptos de convergencia puntual y uniforme para sucesiones de fuXnciones tienen igual signi-
ficado para series. Así el campo de convergencia puntual de la serie fn cuyas funciones fn

n>1

suponemos definidas en un intervalo I , es el conjunto:

X
C D fx 2 I W fn.x/ es convergenteg:

n>1

La función límite puntual, llamada función suma de la serie, es la función F W C ! R dada

para todo x 2 C por: X1
F.x/ D fn.x/:

nD1

La única novedad es que ahora también podemos considerar el campo de convergencia absoluta
de la serie, que es el conjunto

X
A D fx 2 I W jfn.x/j es convergenteg:

n>1

El siguiente resultado es el más útil para estudiar la convergencia uniforme y absoluta de una

serie.
X

10.11 Teorema (Criterio de Weierstrass). Sea fn una serie de funciones y A un conjunto

n>1 X
tal que para todo x 2 A y todo n 2 N se tiene que jfn.x/j 6 ˛n, donde la serie ˛n es

X n>1
convergente. Entonces fn converge uniformemente y absolutamente en A.

n>1

Demostración. De las hipótesisXse deduce, en virtud del criterio de comparación para series de
términos positivos, que la serie jfn.x/j converge para todo x 2 A. Esto implica que la serie

X n>1
fn (x) converge para todo x 2 A. Veamos que la convergencia es uniforme. Utilizaremos el

n>1

criterio de Cauchy.

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Series de funciones 591

X
Como ˛n es convergente cumplirá la condición de Cauchy, esto es, dado " > 0, existe

n>1

n0 2 N tal que si n > m > n0 entonces

ˇˇˇˇXn ˛k Xm ˛k ˇˇˇˇ D Xn ˛k < ":

k D1 k D1 k DmC1

Deducimos que para todo x 2 A se verifica que:

jFn.x/ Fm.x/jDˇˇˇˇXn fk.x/ Xm fk.x/ˇˇˇˇDˇˇˇˇ Xn fk.x/ˇˇˇˇ6 Xn jfk.x/j6 Xn ˛k < ":

k D1 k D1 k DmC1 k DmC1 k DmC1

Como esta desigualdad es válida para todo x 2 A se sigue que:

sup fjFn.x/ Fm.x/j W x 2 Ag 6 ": (10.2)

X
Es decir, la serie fn cumple la condición de Cauchy para la convergencia uniforme en A.

n>1

P
Por otra parte, si en la condición de Cauchy (10.2) para una serie de funciones fn,
hacemos m D n C 1 deducimos la siguiente condición necesaria para la convergencia uniforme.

P
10.12 Corolario. Una condición necesaria para que una serie de funciones fn sea unifor-
memente convergente en un conjunto A es que la sucesión de funciones ffng converja unifor-
memente a cero en A.

Observa que los conceptos de convergencia absoluta y de convergencia uniforme son inde-
pendientes: una serie puede ser uniformemente convergente en un conjunto A y no ser absolu-
tamente convergente en A. En tales casos se aplican los siguientes criterios de convergencia no
absoluta para series de funciones.

10.13 PropoXsición (Criterios de convergencia uniforme no absoluta). Sea fang una sucesión
numérica y fn una serie de funciones definidas en un conjunto A.

n>1

Criterio de Dirichlet. Supongamos que:

a) fang es una sucesión de números reales monótona y convergente a cero.
X

b) La serie fn tiene sumas parciales uniformemente acotadas en A, es decir, hay un nú-

mero M n>1 tal que para todo x 2A y para todo n2N se verifica que ˇˇˇˇˇ Xn fk .x /ˇˇˇˇˇ 6 M.

>0

k D1

X
Entonces la serie de funciones anfn converge uniformemente en A.

n>1

Criterio de Abel. Supongamos que:
X

a) La serie an es convergente.

n>1

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Series de funciones 592

b) Para cada x 2 A ffn.x/g es una sucesión de números reales monótona y la sucesión de
funciones ffng está uniformemente acotada en A, es decir, hay un número M > 0 tal que
para todo x 2 A y para todo n 2 N se verifica que jfn.x/j 6 M .
X

Entonces la serie de funciones anfn converge uniformemente en A.

n>1

Xn
Demostración. Probaremos primero el criterio de Dirichlet. Pongamos Fn D fk. De la

k D1

fórmula (9.10) de suma por partes de Abel se deduce fácilmente que:

Xp Xp anCk C1/ C FnCp .x /anCpC1 Fn.x/anC1: (10.3)
anCk fnCk .x/D FnCk .x/.anCk

k D1 k D1

Igualdad que es válida para todos p > n > 1 y todo x 2 A. Tomando valores absolutos en esta

igualdad, teniendo en cuenta que para todo n 2 N es jFn.x/j 6 M y suponiendo que fang es
decreciente en cuyo caso será an > 0, obtenemos:

ˇˇˇˇˇXp anCk fnCk .x/ˇˇˇˇˇ 6 M Xp anCkC1/ C M anCpC1 C M anC1D
.anCk

k D1 k D1

D M .anC1 anCpC1/ C M anCpC1 C M anC1 D 2M anC1:

Dado " > 0, como suponemos que fang ! 0, hay un n0 tal que para todo n > n0 se verifica
"
que an 6 2M . Deducimos que para todos p > n > n0 y para todo x2A se verifica que:

ˇˇˇˇˇXp akfk.x/ Xn fk .x/ˇˇˇˇˇ D ˇˇˇˇˇXp anCk fnCk .x/ˇˇˇˇˇ 6 2M anC1 6 ":
ak
k D1
k D1 k D1

X
Hemos probado así que la serie de funciones anfn verifica la condición de Cauchy para la

n>1

convergencia uniforme en A.

Xn
Probaremos ahora el criterio de Abel. Sea Sn D ak . Intercambiando los papeles de ak

k D1

y fk en la igualdad (10.3) tenemos:

Xp Xp fnCkC1.x// C SnCpfnCpC1.x/ SnfnC1.x/:
anCk fnCk .x/ D SnCk .fnCk .x/

k D1 k D1

X1
Sea S D an.Teniendo en cuenta que:

nD1

Xp fnCkC1.x// C fnCpC1.x/ fnC1.x/ D 0;
.fnCk .x /

k D1

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Series de funciones 593

deducimos de la igualdad anterior:

Xp Xp fnCkC1.x// C .SnCp S /fnCpC1.x/
anCk fnCk .x/D .SnCk S /.fnCk.x/

k D1 k D1

.Sn S /fnC1.x/:

Igualdad que es válida para todos p > n > 1 y todo x 2 A. Dado " > 0, tomemos n0 2 N tal

que jSq S j 6 "=4M siempre que n > n0. Entonces p > n > n0, tomando valores absolutos

en la igualdad anterior y teniendo en cuenta que jfn.x/j 6 M para todo n 2 N, obtenemos:

ˇˇˇˇˇXp anCk fnCk .x/ˇˇˇˇˇ 6 " Xp jfnCk .x / fnCkC1.x/j C "
4M :
k D1 k D1 2

Como para cada x 2 A la sucesión ffn.x/g es monótona, las diferencias fnCk.x/ fnCkC1.x/
son todas positivas o todas negativas y, por tanto:

Xp fnCkC1.x/jDˇˇˇˇˇXp .fnCk .x/ fnCkC1.x//ˇˇˇˇˇDˇˇfnC1.x/ fnCpC1.x/ˇˇ62M:
jfnCk .x/
k D1
k D1

Concluimos que para todos p > n > n0 y para todo x 2 A se verifica que:

ˇˇˇˇˇXp anCk fnCk .x/ˇˇˇˇˇ 6 " 2M C " D ":
4M 2
k D1

X
Hemos probado así que la serie de funciones anfn verifica la condición de Cauchy para la

n>1

convergencia uniforme en A.

10.14 Corolario (Criterio de Leibniz para la convergencia uniforme). Sea fgng una suce-

sión de funciones definidas en un conjunto A R tal que para ltaodsoerxie2PAnl>a1s.uce1s/inóCn1fggnnc.xon/g-
es monótona y converge uniformemente a cero en A. Entonces

verge uniformemente en A.

Demostración. FPonnDgaXmn osfkf.nS e vfenri.fixc/aDq.ue1jF/nnCj1D. EˇˇˇˇˇXnntonfcke.sxf/fˇˇˇˇˇn6g es una sucesión de funciones
constantes. Sea 1 para todo x 2 A. Pongamos

k D1 k D1
también ak D gk.x/. Usando la igualdad (10.3), tenemos que:

Xp Xp
. 1/nCkC1gnCk .x/D FnCk .gnCk .x/ gnCkC1.x//CFnCpgnCpC1.x/ FngnC1.x/:

k D1 k D1

Tomando valores absolutos obtenemos:

ˇˇˇˇˇXp . 1/nCkC1gnCk .x/ˇˇˇˇˇ 6 Xp jgnCk .x/ gnCkC1.x/j C ˇˇgnCpC1.x/ˇˇ C jgnC1.x/j :

k D1 k D1

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Series de funciones 594

Como, para cada x 2 A, los números gnCk.x/ gnCkC1.x/ son todos positivos o todos nega-

tivos, se tiene que:

Xp gnCkC1.x/j D ˇˇˇˇˇXp .gnCk .x/ gnCkC1.x//ˇˇˇˇˇ D ˇˇgnC1.x/ gnCpC1.x/ˇˇ 6
jgnCk .x/
6 ˇˇgknDC1pC1.x/ˇˇ C jgnC1.x/j :
k D1

Resulta así que para todo x 2 A:
ˇˇˇˇˇXp . 1/nCkC1gnCk .x/ˇˇˇˇˇ 6 2 ˇˇgnCpC1.x/ˇˇ C 2 jgnC1.x/j :

k D1

Como fgng converge uniformemente a 0, dado " > 0, hay un n0 tal que para todo n > n0 y para

todo x 2 A se verifica que jgn.x/j 6 "=4. De la desigualdad anterior, se sigue que para n > n0

y para todo x 2 A se verifica que:

ˇˇˇˇˇXp . 1/nCkC1gnCk .x/ˇˇˇˇˇ 6 ":

k D1

P 1/nC1gn verifica la condición de Cauchy para la
Hemos probado así que la serie n>1.

convergencia uniforme en A.

Los resultados siguientes, relativos a la convergencia uniforme, se aplican, claro está, tanto
a sucesiones como a series de funciones.

10.15 Teorema (Conservación de la continuidad). Supongamos que ffng converge unifor-
memente a f en un intervalo J . Sea a 2 J y supongamos que las funciones fn son todas ellas
continuas en a. Se verifica entonces que la función f es continua en a. En particular, si las
funciones fn son todas ellas continuas en J . Se verifica entonces que la función f es continua
en J .

Demostración. Dado " > 0, la hipótesis de convergencia uniforme implica que existe n0 2 N
tal que para n > n0 se verifica que jfn.u/ f .u/j 6 "=3 para todo u 2 J . Tenemos:

jf .x/ f .a/j 6 jf .x/ fn0.x/j C jfn0.x/ fn0.a/j C jfn0.a/ f .a/j

Pero por la forma en que hemos tomado n0 se sigue que:

2" (10.4)
jf .x/ f .a/j 6 3 C jfn0.x/ fn0.a/j

Además, como por hipótesis fn0 es continua en a , se verifica que existe ı > 0 tal que para
todo x 2 J con jx aj < ı es jfn0.x/ fn0.a/j 6 "=3, lo que, en virtud de (10.4) implica que:

jf .x/ f .a/j 6 3" D ":
3

Resumiendo, hemos probado que dado " > 0, existe ı > 0, tal que si tomamos jx aj < ı y
x 2 J entonces jf .x/ f .a/j 6 ", que es, precisamente, la continuidad de f en a.

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Series de funciones 595

Como la continuidad de f en a 2 J se expresa por f .a/ D lKım f .x/ D lKım . lKım fn.x //

x!a x!a n!1

y, por otra parte, por ser fn continua en a, f .a/ D lKım fn.a/ D lKım . lKım fn .x //; el resultado

n!1 n!1 x!a

anterior nos dice que:

lKım . lKım fn.x // D lKım . lKım fn.x//:

x!a n!1 n!1 x!a

Es decir, la convergencia uniforme permite permutar los límites. El ejemplo 10.6 con a D 1 o
a D 1 muestra que esta igualdad puede ser falsa si no hay convergencia uniforme.

10.16 Teorema (Permutación de la integración con el límite uniforme). Supongamos que
ffng converge uniformemente en un intervalo Œa; b y que las funciones fn son todas ellas
continuas en Œa; b. Se verifica entonces que:

bb

lKım fn.x/ dx D . lKım fn.x // dx : (10.5)
(10.6)
n!1 aa n!1

X
En particular, si una serie fn converge uniformemente en Œa; b se verifica que:

n>1

X1 b b X1 !
fn.x/ dx :
fn.x/ dx D
nD1
nD1 a a

Demostración. Sea f .x/ D nl!Kım1ffn.x/g. La hipótesis de convergencia uniforme nos dice que
dado " > 0 existe un n0 tal que para todo n > n0 se cumple:

jf .x/ fn.x/j 6 " para todo x en Œa; b

Así pues, si n > n0 tenemos:

ˇˇˇˇˇˇ b f .x/ dx b fn.x/ dx ˇˇˇˇˇˇDˇˇˇˇˇˇ b Œf .x/ fn.x / dx ˇˇˇˇˇˇ6 b jf .x/ b
a a a a
fn.x/j dx 6 " dx D".b a/:

a

Al cumplirse esto para todo " > 0 se sigue que

bb

f .x/ dx D lKım fn.x/ dx

n!1
aa

Este resultado es válido también si solamente se supone que las funciones fn son integra-
bles en Œa; b, aunque en ese caso su demostración es un poco más larga porque hay que probar
en primer lugar que la función límite uniforme f también es integrable en Œa; b. Suponiendo
que las funciones fn son continuas la función límite uniforme f también es continua y, por
tanto, es integrable en Œa; b.

Cuando no hay convergencia uniforme la igualdad (10.5) no tiene por qué ser cierta como
se pone de manifiesto en el ejemplo 10.8.

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Series de funciones 596

10.17 Ejemplo. Para cada n 2 N sPea fn W Œ0; 1 ! R la función dada por fn.x/ D xn.log x/2,
y fn.0/ D 0. Veamos que la serie fn converge uniformemente en Œ0; 1.

Observa que fn es continua y positiva en Œ0; 1 y se anula en los extremos del intervalo.
Como fn0.x/ D .n log x C 2/xn 1 log x, se sigue que en el punto cn D exp. 2=n/ la función

fn alcanza un máximo absoluto en Œ0; 1. Luego

4e 2
jfn.x/j D fn.x/ 6 fn.cn/ D n2 ;

P 4e 2
y, puesto que la serie n2 es convergente, deducimos, por el criterio de Weierstrass, que
P
fn converge uniformemente en Œ0; 1. En consecuencia, se verificará que:

1 X1 ! X1 1

fn.x/ dx D fn.x/ dx :

0 nD1 nD1 0

Puesto que

X1 x.log x/2 1 1

nD1 fn.x/ D 1 x y fn.x/ dx D 2 .n C 1/3
0

como fácilmente puedes comprobar integrando por partes, se deduce que:

1 x.log x/2 X1 1
1 x n3
dx D 2 :

0 nD2



La convergencia uniforme no conserva la derivabilidad. Esto es fácil de entender si consi-
deras que puedes sacar pequeños dientes de sierra a la gráfica de una función derivable con lo
que resulta una nueva función no derivable y arbitrariamente próxima a la primera. Por ello, el
siguiente resultado tiene hipótesis más exigentes que los anteriores.

10.18 Teorema (Derivabilidad y convergencia uniforme). Sea ffng una sucesión de funcio-
nes definidas en un intervalo I , y supongamos que:

i) fn es derivable en I para todo n 2 N.
ii) ffng converge uniformemente a f en I .
iii) ffn0g converge uniformemente a g en I
Entonces f es derivable en I y g.x/ D f 0.x/ para todo x 2 I .

Demostración. Demostraremos este resultado en el caso particular de que las funciones fn
tengan derivada primera continua en I . En tal caso, fijemos un punto a 2 I . Ahora, para x 2 I ,
en virtud del teorema fundamental del Cálculo, tenemos que:

x

fn.x/ D fn.a/ C fn0.t / dt :

a

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Series de funciones 597

Tomando límites y haciendo uso del teorema anterior, deducimos que:

x

f .x/ D f .a/ C g.t/ dt :

a

Una nueva aplicación del teorema fundamental del Cálculo nos dice ahora que f es derivable
en I y que f 0.x/ D g.x/ para todo x 2 I .

Observa que este teorema nos dice que, en las hipótesis hechas, podemos permutar la deri-
vabilidad con la convergencia uniforme:

f D lKım fn÷f 0 D lKımffn0g:

Esta igualdad es una permutación de límites pues afirma que para a 2 I se verifica que:


f 0.a/ D lKım f .x/ f .a/ D lKım lKım fn.x/ fn.a/ D
x!a x a x!a n!1 xa


D lKım lKım fn.x/ fn.a/
n!1 x!a x a D nl!Kım1ffn0.a/g

El teorema anterior suele enunciarse de una forma más general en apariencia. Tú mismo puedes
deducirla a partir del siguiente resultado que se prueba haciendo uso del teorema del valor
medio.

10.19 Proposición. Sea ffng una sucesión de funciones derivables en un intervalo I . Supon-
gamos que la sucesión ffn0g converge uniformemente en I y que hay un punto a 2 I tal que
ffn.a/g es convergente. Entonces la sucesión ffng converge uniformemente en todo intervalo

acotado contenido en I .

Demostración. Sea J un intervalo acotado contenido en I y sea L la longitud de J . Podemos
suponer que a 2 J (si es necesario ampliamos J para que así sea). Como ffn0g converge uni-
formemente en I también converge uniformemente en J I . Por tanto, dado " > 0, existe un

n0 2 N tal que para todos n; m > n0 se verifica que:

ˇˇfn0.x/ fm0 .x/ˇˇ 6 " 8x 2 J (10.7)
;

2L

Como ffn.a/g es convergente, podemos tomar también n0 de forma que para n; m > n0 se

verifica que: "
jfn.a/ fm.a/j 6 2
(10.8)

Aplicando el teorema del valor medio a la función h.t / D fn.t / fm.t / .fn.a/ fm.a// en

un intervalo de extremos x y a donde x 2 J , se tiene que hay algún c comprendido entre x y a,
por lo que c 2 J , tal que h.x/ h.a/ D h0.c/.x a/, es decir:

fn.x/ fm.x/ .fn.a/ fm.a// D fn0.c/ fm0 .c a/:
/ .x

Tomando valores absolutos en esta igualdad y teniendo en cuenta (10.7), resulta que para n; m>

n0 es:

jfn.x/ fm.x/ .fn.a/ fm.a//j D ˇˇ fn0.c/ fm0 .c/ ˇˇ jx aj 6 " D " 8x 2 J:
L ;

2L 2

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Series de potencias 598

Deducimos que:

jfn.x/ fm.x/j 6 jfn.x/ fm.x/ .fn.a/ fm.a//j C jfn.a/ fm.a/j 6 " C " D ";
2 2

desigualdad que es válida siempre que n; m > n0 y para todo x 2 J . Hemos probado así que la
sucesión ffng verifica en J la condición de Cauchy para la convergencia uniforme.

10.3. Series de potencias

Dados un número real, a 2 R, y una sucesión de números reales, fcngn>0, sea fn W R ! R
la función dada parXa todo x 2 R por fn.x/ D cn.x a/n y, por convenio, f0.x/ D c0. La
serie de funciones fn se llama serie de potencias centrada en a. La sucesión fcngn>0 se

n>0

llama sucesión de coeficientes de la serie. El coeficiente c0 se llama término inXdependiente de
la serie. Suele usarse, y nosotros también seguiremos la costumbre, la notación cn.x a/n

n>0

para representar la serie de potencias centrada en a con coeficientes cn, n D 0; 1; 2; : : :.

Un tipo particular de series de potencias son las series de Taylor. Dada una función f que
tiene derivadas de todo orden en un punto a, la serie de potencias

X f .n.a/ a/n
.x

n!

n>0

se llama serie de Taylor de f en a. Recuerda que, por convenio, la derivada de orden 0 de una
función, f .0/, es la propia función f .0/ D f y que 0! D 1.

Observa que la serie de Taylor de f en a es la sucesión de los polinomios de Taylor de f

en a. Recuerda que el polinomio de Taylor de orden n de f en a es la función polinómica dada

por:

Tn.f; a/.x/ D Xn f .k/.a/ a/k :
.x
k D0 k!

El resultado básico para estudiar la convergencia de una serie de potencias es el siguiente.

10.20 Lema (Lema de Abel). Sea > 0 y supongamXos que la sucesión fjcnj ng está mayo-
rada. Entonces se verifica que la serie de potencias cn.x a/n converge absolutamente

n>0

en el intervalo a ; a C Œ y converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotado
contenido en a ; a C Œ.

Demostración. Por hipótesis, existe M > 0 tal que jcnj n6M para todo n 2 N. Sea 0 < r < .

Será suficiente probar que la serie converge absolutamente y uniformemente en el intervalo

Œa r; a C r . Aplicaremos para ello el criterio de Weierstrass. Para todo x 2 Œa r; a C r ,

tenemos que:

jcn.x a/nj D jcnj n jx ajn 6 M 6 M rn D M r n :
n n

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Dpto. de Análisis Matemático Cálculo diferencial e integral

Radio de convergencia de una serie de potencias 599

X r n es convergente por ser una serie geométrica
Basta ahora tener en cuenta que la serie

n>0
r
de razón 0 < < 1.


El resultado anterior nos lleva, de forma natural, a considerar el más grande > 0 tal que
la sucesión fjcnj ng esté mayorada.

10.3.1. Radio de convergencia de una serie de potencias

Consideremos el conjunto

A D f > 0 W la sucesión fjcnj ng está acotadag:

Observa que A ¤ Ø ya que el 0 2 A. Además, A es un intervalo porque si 2 A entonces

Œ0;  A. Si A está mayorado definimos R D sup.A/, si no lo eXstá definimos R D C1. Se
dice que R es el radio de convergencia de la serie de potencias cn.x a/n . El intervalo

n>0

I Da R; a C RŒ, con el convenio de que cuando R D C1 es I D R, se llama intervalo de

convergencia de la serie. La razón de esta terminología queda clara en el siguiente resultado,

fácil consecuencia del lema de Abel.
X

10.21 Teorema. Sea cn.x a/n una serie de potencias con radio de convergencia no nulo

n>0

y sea I el intervalo de convergencia de la serie. Se verifica que la serie converge absoluta-

mente en todo punto de I y converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado y acotado

contenido en I . Además la serie no converge para valores de x 2 R tales que jx aj > R.

X
10.22 Definición. Sea cn.x a/n una serie de potencias con radio de convergencia no

n>0

nulo y sea I el intervalo de convergencia de la serie. La función f W I ! R definida para todo

x 2 I por: X1
f .x/ D cn.x a/n

nD0

se llama función suma de la serie.

Como consecuencia del teorema anterior, del carácter local de la continuidad y del teorema
10.15, se sigue que la función suma de una serie de potencias es continua. Enseguida veremos
que es mucho más que continua.

El teorema 10.21 nos dice que el estudio de la convergencia de una serie de potencias
se reduce a calcular el radio de convergencia. La única duda corresponde a los extremos del
intervalo de convergencia, los puntos a R y a C R, en los cuales puede darse cualquier
comportamiento como veremos enseguida con ejemplos.

Fíjate en que el radio de convergencia sólo depende de la sucesión de coeficientes de la
serie y que el punto a en que la serie está centrada no interviene para nada en la definición del
radio de convergencia.

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Radio de convergencia de una serie de potencias 600

Todo esto está muy bien, dirás, pero ¿cómo se calcula el radio de convergencia? Desde
luego, la definición que hemos dado de radio de convergencia tiene utilidad teórica pero no
sirve para calcularlo. Hay una fórmula general para calcular el radio de convergencia que no
vamos considerar aquí porque, a efectos de cálculo, los siguientes casos particulares son los
más interesantes.

10.3.1.1. Cálculo del radio de convergencia

Podemos aplicar los criterios del cociente y de la raíz para estudiar la convergencia absoluta

de una serie de potencias. Ello permite deducir con facilidad los siguientes dos resultados.

X a/n una serie de potencias y supongamos que jcnC1j ! L
10.23 Proposición. Sea cn.x jcnj

n>0

donde 0 6 L 6 C1. Entonces si L D 0 el radio de convergencia de la serie es R D C1, si

L D C1 el radio de convergencia de la serie es R D 0 y si 0 < L < C1 el radio de

convergencia de la serie es R D 1=L.

DemostXración. Apliquemos el criterio del cociente para estudiar la convergencia absoluta de
la serie cn.x a/n . Pongamos an D jcn.x a/nj. Tenemos que:

n>0

anC1 D jcnC1j jx aj ! Ljx aj:
an jcnj

Si 0 < L < 1, el criterio del cociente nos dice que la serie converge absolutamente si

Ljx aj < 1, es decir, si jx aj < 1=L, y que si Ljx aj > 1 entonces la serie no con-
verge porque su término general fcn.x a/ng no converge a 0. Deducimos que el radio de
convergencia es R D 1=L.

Si L D 0 la condición Ljx aj < 1 se cumple para todo x 2 R y el radio de convergencia
es R D C1. Si L D C1 entonces para todo x ¤ a se tiene que:

anC1 D jcnC1j jx aj ! C1:
an jcnj

lo que, por el criterio del cociente, nos dice que la serie no converge porque su término general
no converge a 0. Luego en este caso es R D 0.

De forma totalmente análoga, haciendo uso del criterio de la raíz, se prueba el siguiente

resultado.
X
10.24 Proposición. Sea cn.x a/n una serie de potencias y supongamos que p ! L
n jcnj

n>0

donde 0 6 L 6 C1. Entonces si L D 0 el radio de convergencia de la serie es R D C1,

si L D C1 el radio de convergencia de la serie es R D 0 y si 0 < L < C1 el radio de

convergencia de la serie es R D 1=L.

X Observa que los criterios anteriores son bastante restrictivos pues, por ejemplo, a la serie
x2n no puedes aplicarle ninguno de ellos. En particular, el criterio del cociente no puede

n>0

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Radio de convergencia de una serie de potencias 601

aplicarse cuando hay infinitos coeficientes nulos. En casos parecidos a este el siguiente artificio
es de bastante utilidad práctica.

10.25 Observaciones.
X

Consideremos una serie de potencias de la forma cn.x a/qn donde q es un número

n>0

natural fijo. Para calcular suXradio de convergencia hacemos z D .x Xa/q y calculamos el radio
de convergencia de la serie cnzn . Si éste es R 2 RC, entonces la cn.x a/qn converge

para jx n>0 aj < pq R, luego su radio de n>0 es pq R.

ajq < R, es decir, para jx convergencia
XX X
Si k 2 N, las series cn.x a/n , cn.x a/nCk y cn.x a/n k tienen igual

n>0 n>0 n>k

radio de convergencia puesto que todas ellas convergen para los mismos valores de x.

potenSciialassPsuccne.sxioneas/fnjcynPjg y fjbn jg son asintóticamente equivalentes, entonces las series de
bn.x a/n tienen igual radio de convergencia. Ello es consecuen-

cia de que si > 0 las sucesiones fjcnj ng y fjbnj ng son, evidentemente, asintóticamente

equivalentes, por lo que ambas están mayoradas o ninguna lo está.

El siguiente importante teorema nos dice, entre otras cosas, que si una serie de potencias

tiene radio de convergencia no nulo entonces dicha serie es la serie de Taylor de su función

suma. Usaremos el siguiente resultado.

XX
10.26 Lema. Las series cn.x a/n y ncn.x a/n 1 tienen igual radio de convergen-

n>0 n>1

cia.

Demostración. Pongamos:

A D ˚ > 0 W fjcnj ng « B D ˚ > 0 W fn jcnj ng «
está acotada ; está acotada :

Los respectivos radios de convergencia viene dados por R D sup.A/ y R0 D sup.B/ con los

convenios usuales. Es evidente que B A. Lo que implica que R0 6 R. En particular, si R D 0
entonces R D R0 D 0. Consideremos que 0 < R < C1 y sea 0 < 0 < R. Por definición
de supremo, tiene que haber algún 2 A tal que 0 < . La sucesión fjcnj ng está acotada, es
decir, hay un M > 0 tal que jcnj n 6 M para todo n 2 N. Deducimos que:

0 n 0 n

n jcnj 0n D n jcn j n 6 M n :

0 n

Como, por ser 0 < 0 < , la sucesión n converge a cero, se sigue que dicha sucesión

está acotada y, teniendo en cuenta la desigualdad anterior, se sigue que también está acotada

la sucesión fn jcnj 0ng. Hemos probado así que 0 2 B y, por tanto, 0 6 R0. Como esta
desigualdad es válida para todo número 0 < R se sigue que necesariamente debe ser R 6 R0
y concluimos que R D R0. En el caso en que R D C1 puede repetirse el razonamiento anterior

con cualquier número 0 > 0 y concluimos que también es R0 D C1.

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Radio de convergencia de una serie de potencias 602

X
10.27 Teorema (Derivación de una serie de potencias). Sea cn.x a/n una serie de

n>0

potencias con radio de convergencia no nulo R. Sea I el intervalo de convergencia de la serie
y f W I ! R la función suma de la serie definida para todo x 2 I por:

X1 a/n:
f .x/ D cn.x

nD0

Entonces se verifica que:

i) f es indefinidamente derivable en I .

ii) La derivada de orden k de f está dada para todo x 2 I por:

X1 1/ .n k C 1/cn.x a/n k : (10.9)
f .k//.x/ D n.n

nDk

En particular, se verifica que f .k//.a/ D ck k!, es decir, ck D f .k // .a/ y, por tanto, la serie
X k!
de potencias cn.x a/n coincide con la serie de Taylor en a de su función suma.

n>0

Demostración. Las series de potencias son series de funciones polinómicas las cuales son
indefinidamente derivabXles. PongaXmos fn.x/Dcn.xXa/n. TeniXendo en cuenta el lema anterior,
las series de potencias fn cn.x a/n y fn0 ncn.x a/n 1 tienen igual

n>0 n>0 n>0 n>0

radio de convergencia. Podemos aplicar ahora los teoremas 10.21 y 10.18 para obtener que la

función suma f es derivable y su derivada viene dada para todo x 2 I por:

X1 a/n 1:
f 0.x/ D ncn.x

nD1

Es decir, la derivada de la función suma es la función suma de la serie de las derivadas.
X

Podemos volver a aplicar este resultado a la serie de las derivadas ncn.x a/n 1 , pues

n>0

dicha serie sigue siendo una serie de potencias con el mismo radio de convergencia, y deduci-
mos que la función suma de dicha serie, que es f 0 según acabamos de probar, es derivable y su

derivada viene dada para todo x 2 I por:

X1 1/cn.x a/n 2:
f 00.x/ D n.n

nD2

Este razonamiento puede repetirse tantas veces como queramos. Una simple y evidente induc-
ción prueba que para todo k 2 N se verifica la igualdad (10.9).

Dijimos que las series de Taylor eran un tipo especial de series de potencias. El teorema
anterior nos dice que no son tan especiales: toda serie de potencias con radio de convergencia
no nulo es una serie de Taylor; es la serie de Taylor de su función suma.

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Radio de convergencia de una serie de potencias 603

El teorema anterior nos dice que las funciones suma de series de potencias son funciones
con derivadas de todos órdenes (funciones de clase C 1) y que podemos calcular sus derivadas

sucesivas derivando término a término la serie que las define.

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata del teorema de derivación y nos dice

que siempre podemos calcular una primitiva de una serie de potencias expresándola por medio

de otra serie de potencias.
X

10.28 Corolario (Primitiva de una serie de potencias). Las series de potencias cn.x a/n

X cn .x n>0
y
nC1 a/nC1 tiene igual radio de convergencia. Supuesto que dicho radio de con-

n>0

vergencia es positivo y llamando I al intervalo de convergencia, se verifica que la función

X1 cn .x a/nC1 .x 2 I /
F.x/ D
nC1
nD0

es una primitiva en I de la función

X1 a/n .x 2 I /:
f .x/ D cn.x

nD0

En otros términos, este resultado afirma que para todo x 2 I se verifica la igualdad:

x X1 ! X1 x X1 cn
cn.t a/n dt D cn.t a/n dt D .x a/nC1
nC1 (10.10)
a nD0
nD0 0 nD0

10.29 Ejemplo. x x X1

et 2 dt D t 2n X1 x 2 nC1
dt D
n! n!.2n C 1/
0 0 nD0 nD0



10.30 Estrategia. Acabamos de ver que si expresamos una función f como suma de una serie
de potencias, derivando la serie término a término se obtiene la serie de potencias de la derivada
de f , e integrando la serie término a término se obtiene una serie de potencias cuya suma es una
primitiva de f . Estos procesos se determinan mutuamente. Por eso, para expresar una función
f como suma de una serie de potencias, puede ser una estrategia válida, cuando la derivada de
f sea más sencilla que f , expresar la derivada f 0 como suma de una serie de potencias, pues
integrando dicha serie término a término se obtiene una serie de potencias que se diferencia de
f en una contante que usualmente puede calcularse fácilmente.

10.31 Ejemplo. Sabemos que:

1 X1 .1 < x < 1/
D xn
1x
nD0

Integrando término a término se obtiene que la función:

X1 xnC1 .1 < x < 1/
h.x/ D n C 1

nD0

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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 604

es derivable en  1; 1Œ con derivada h0.x/ D 1
. Por tanto, las funciones h y f .x/ D
1x
log.1 x/ tienen la misma derivada en  1; 1Œ y como h.0/ D f .0/ D 0, concluimos que

h.x/ D log.1 x/. Luego:

log.1 x/ D X1 xnC1 .1 < x < 1/:
nC1

nD0



10.4. Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales

Dada una función f con derivadas de todos órdenes en un intervalo I y un punto a 2 I , ¿se
verifica que la serie de Taylor de f centrada en a tiene radio de convergencia no nulo? En caso
de que así sea, ¿se verifica que la función suma de la serie de Taylor de f coincide con f ?

Contrariamente a lo que en principio puede parecer, la respuesta a ambas preguntas es, en
general, negativa. Un estudio en profundidad de este problema requiere el uso de técnicas de
variable compleja que no son propias de este curso. A continuación consideraremos algunas de
las funciones más usuales del Cálculo y probaremos que, en determinados intervalos, coinciden
con la suma de sus respectivas series de Taylor. La herramienta básica para estudiar la conver-
gencia de una serie de Taylor es, precisamente, el teorema de Taylor. Conviene recordarlo.

Teorema de Taylor

Sea f un función n C 1 veces derivable en un intervalo I y sean a; x 2 I entonces existe
un punto c 2 I con ja cj < ja xj tal que:

f .x/ D Tn.f; a/.x/ C .n 1 f .nC1.c/.x a/nC1
C 1/!

Series de Taylor de la función exponencial

Ya sabemos que la función exponencial coincide con la suma de su serie de Taylor en 0:

ex D X1 xn para todo x 2 R.
n!

nD0

Recuerda que usamos el Teorema de Taylor para probar esta igualdad. Vamos a volver a obtener
este resultado de forma diferente.

Los polinomios de Taylor de la función exp son particularmente fáciles de calcular. Puesto
que exp.k/.0/ D exp .0/ D 1 para todo k, el polinomio de Taylor de orden n en 0 es:

x2 x3 xn
Tn.exp; 0/.x/ D 1 C x C 2! C 3! C C n!

Consideremos la serie de potencias centrada en 0 X xn cn D 1 tenemos
. Llamando que
n! n!
n>0

cnC1 D 1 ! 0, por tanto la serie tiene radio de convergencia R D C1. Llamemos h a la
cn n C 1

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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 605

función suma de la serie: X1 xn

h.x/ D n! para todo x 2 R.

nD0

Vamos a probar que h es la función exponencial. Por el teorema de derivación tenemos que

h0.x/ D X1 nxn 1 X1 xn 1 X1 xn
D D D h.x/:
n! .n 1/! n!
nD1 nD1 nD0

Acabamos de probar que h es una función que coincide con su derivada, esto es, h.x/ D h0.x/
para todo x 2 R. Consideremos ahora la función g.x/ D h.x/ e x,

g 0.x/ D h0.x/ e x h.x/ e x Dh.x/ e x h.x/ e x D0 para todo x 2 R.

Como g 0.x/ D 0 para todo x 2 R tenemos que la función g es constante. Como g.0/ D 1,
deducimos que g.x/ D g.0/ D 1. Concluimos, por tanto, que h.x/ D ex.

La serie de Taylor centrada en un punto a se deduce de la anterior sin más que tener en

cuenta que:

ex D ea ex a D X1 ea a/n para todo x 2 R.
.x
n!
nD0

Series de Taylor del seno y del coseno

Sabemos que:

sen 0.x/ D cos .x/ D sen C
x I
2

sen.k/ x
.x/ D sen C k 2

Por tanto Xn sen
Tn.sen; a/.x/ D 2
a C k .x a/k

k D0 k!

Como para todo z 2 R es jsen zj 6 1, el teorema de Taylor implica que:

ˇˇˇˇˇsen x Xn sen a C k a/k ˇˇˇˇˇ 1
2 C
.x 6 jx ajnC1
k! .n 1/!
k D0

Pero sabemos que

jx ajnC1
lKım D 0
n!1 .n C 1/!

De donde deducimos

X1 sen a C k
sen x D 2
.x a/k para todo x 2 R
k!
k D0

Es decir, la serie de Taylor del seno converge a sen x cualquiera sea x 2 R.

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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 606

Por el teorema de derivación para series de potencias obtenemos la serie del coseno, que

también será convergente cualquiera sea x 2 R.

X1 sen a C .k C 1/ 1 D X1 cos a C k
cos x D 2 2
.x a/k .x a/k para todo x 2 R
.k 1/! k!
k D1 k D0

Si hacemos a D 0 tenemos que para todo x 2 R:

X1 . 1/n x2nC1; X1 . 1/n x2n
sen x D .2n C 1/! cos x D .2n/!

nD0 nD0

Series de Taylor de la función logaritmo

Seguiremos la idea expuesta en la estrategia 10.30 y en el ejemplo 10.31.

Para calcular la serie de Taylor de log, pongamos f .x/ D log.1 C x/ definida para x > 1.

Tenemos que

f 0.x/ D 1 X1 .jxj < 1/
D . 1/nxn
1Cx
nD0

Integrando término a término esta serie, definamos para jxj < 1:

X1 . 1/n xnC1
h.x/ D
nC1
nD0

Tenemos, en virtud del teorema de derivación, que h0.x/ D f 0.x/ para todo x 2 1; 1Œ, esto
implica que h.x/ f .x/ es constante y, como h.0/ f .0/ D 0, concluimos que f .x/ D h.x/.
Hemos probado así que:

X1 . 1/n xnC1 .jxj < 1/
log .1 C x/ D
nC1
nD0

Observa que, efectivamente,  1; 1Œ es el intervalo de convergencia de la serie.

La serie de Taylor del logaritmo centrada en a > 0 se deduce de lo anterior:

x a X1 . 1/n a/nC1 .jx
log.x/Dlog.aC.x a//Dlog aClog Dlog aC .x aj < a/:
a .n C 1/anC1
nD0

X. 1/n xnC1 cuya suma para jxj < 1 es igual a log.1 C x/ es también
Observa que la serie
nC1
n>0

convergente para x D 1 puesto que se trata de la serie armónica alternada. En esta situación
X1 .
¿cabe esperar que la igualdad log.1 C x/ D 1/n xnC1 válida, en principio, para jxj < 1
nC1
nD0
sea también válida para xD1? En este caso particular, la respuesta es afirmativa porque sabemos
X1 . 1/n
que log 2 D . El siguiente resultado establece que esto es cierto en general.
nC1
nD0

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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 607

X a/n una serie de potencias con radio de
10.32 Teorema (Teorema de Abel). Sea cn.x

n>0

convergencia R, siendo 0 < R < C1. Sea

X1 x 2a R; a C RŒ
f .x/ D cn.x a/n

nD0 P

la función suma de la seXrie. Supongamos además que la serie n>0 cnRn converge. Entonces

se verifica que la serie cn.x a/n converge uniformemente en el intervalo Œa; a C R. En

n>0

consecuencia:

X1 aCR X1 aCR X1 cn RnC1:
a/n dx D
lKım f .x/D cnRn y f .x/ dx D cn.x nC1
x!aCR
x<aCR nD0 a nD0 a nD0

Demostración. Escribamos: a/n D X cnRn x R a n :

X n>0
cn.x

n>0

Podemos aplicar a esXta serie el criterio de Abel 10.13 con an D cnRn y fn.x/ D xa n .
R

Por hipótesis la serie an es convergente y para x 2 Œa; a C R se verifica que ffn.x/g es

n>0

una sucesión de números reales monótona (decreciente); además, para todo n 2 N y para todo

x 2 Œa; a C RX se tiene que jfXn.x/j 6 1. En estas condiciones el citado criterio de Abel nos dice
que la serie anfn.x/ D cn.x a/n converge uniformemente en Œa; a C R.

n>0 n>0

Las dos afirmaciones finales del teorema son consecuencia de que al ser la convergencia

uniforme en Œa; a C R se verifica que: ! X1

lKım f .x/ D lKım X1 a/n D lKım cn.x X1
x!aCR x!aCR cn.x x!aCR a/n D cnRn:
x<aCR x<aCR nD0 x<aCR
nD0 nD0

donde en la segunda igualdad podemos permutar el límite con la suma de la serie por ser la
convergencia uniforme en Œa; a C R.

Igualmente, la convergencia uniforme de la serie en Œa; a C R permite permutar la integral
con la suma de la serie.

Serie de Taylor del arcotangente en cero

Puesto que

arc tg 0.x/ D 1 1 D X1 1/nx2n .x 2 1; 1Œ/
C x2 .

nD0

se deduce fácilmente que

x D X1 . 1/n x2nC1 .x 2 1; 1Œ/
2n C1
arc tg

nD0

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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 608

Además, como esta serie converge también para x D 1, el teorema de Abel nos dice que:

X1 . 1/n
D arc tg 1 D lKım arc tg x D
4 x!1 2n C 1
x<1 nD0

Serie binomial de Newton

Consideremos la función f .x/D.1Cx/˛, donde ˛ 2 RnZ, ya que para ˛ 2 Z el desarrollo
es conocido. Calculemos la serie de Taylor de f en 0. Tenemos que

f 0.x/ D ˛.1 C x/˛ 1
f .n.x/ D ˛.˛ 1/ .˛ n C 1/.1 C x/˛ n

Los coeficientes de la serie serán: 1/ .˛ n C 1/ D
f .n.0/ ˛.˛ n! ˛
D :
n! n

Por tanto la serie de Taylor de f es: X
˛
x n:
n
n>0

Calculemos su radio de convergencia.

cn D ) ˇˇˇˇ cnC1 ˇˇˇˇ D j˛ nj ! 1
˛ cn jn C 1j
n

Por tanto, el radio de convergencia es R D 1. Definamos para jxj < 1

g.x/ D X1 n; .jxj < 1/
˛
x
n
nD0

Queremos probar ahora que la función suma de la serie, g, coincide con la función f en el

intervalo  1; 1Œ. Para esto consideremos la función h.x/ D .1 C x/ ˛g.x/, definida para

jxj < 1. Calculemos h0.

h0.x/ D ˛.1 C x/ ˛ 1g.x/ C .1 C x/ ˛g 0.x/ D .1 C x/ ˛ 1 ˛g.x / C .1 C x /g 0.x
/

Analicemos ahora la expresión entre corchetes,

.1 C x/g 0.x/ ˛g.x / D .1 C x / X1 n 1 ˛ X1 n
˛ ˛
x
nx
nn
nD1 nD0

D X1 n ˛ xn 1 C X1 n ˛ xn ˛ X1 ˛ x nD

n nn
nD1 nD1 nD0
X1
˛ ˛ Cn ˛
D .n C 1/ ˛ xnD
nC1 n n
nD0
X1
˛ ˛
D .n C 1/ n C 1 C .n ˛/ xn D 0
n
nD0

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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 609

Hemos probado que h0.x/D0 para todo x 2 1; 1Œ, de donde deducimos que h.x/ es constante,
y como h.0/ D 1, concluimos que g.x/ D .1 C x/˛ para jxj < 1. Hemos probado así que:

.1 C x/˛ D X1 .jxj < 1/
˛ xn;
n
nD0

Para centrar esta serie en un punto a > 1 podemos proceder como sigue:

.1 C x/˛ D .1 C a C .x a//˛ D .1 C a/˛ C x a ˛ D .1 C a/˛ X1 a ˛ D
1 1 a ˛ x a
C n 1 C
nD0

X1 ˛ 1 a/n jx aj < 1 C a:
D n .1 C a/n ˛ .x
siempre que

nD0

Donde hemos tenido en cuenta que 1 C a > 0.

Serie de Taylor del arcoseno en cero

Sea f .x/ D arc sen x, su derivada viene dada como:

f 0.x/ D p 1 D .1 x2/ 1=2
1 x2

Haciendo las sustituciones x ! x2 y ˛ ! 1=2 en la serie binomial de Newton obtenemos:

f 0.x/ D .1 x2/ X1 X1 1/nx2n .jxj < 1/:
1=2 D 1=2 x2/n D 1=2

. .
nn
nD0 nD0

Integrando término a término la expresión anterior obtenemos la serie del arcoseno:

X1 1/n x2nC1 .jxj < 1/
arc sen x D 1=2 .

nD0 n 2n C 1

Como 1=2. 1=2 1/ . 1=2 n C 1/ D . 1/n 1 3 5 .2n 1/ D
n! 2n n!
1=2 D
n

D . 1/n 3 5 7 .2n 1/
2 4 6 .2n/

Resulta finalmente: .jxj < 1/
arc sen x D x C X1 3 5 7 .2n 1/ 1 x2nC1
2 4 6 .2n/ 2n C 1

nD1

Además, como la serie también converge para x D 1, por el teorema de Abel tenemos que:

arc sen 1 D D 1 C X1 3 5 7 .2n 1/ 1
2 2 4 6 .2n/ 2n C 1

nD1

Ya dijimos que las series de Taylor de una función no siempre convergen a dicha función.
Veamos un ejemplo de esto.

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Desarrollos en serie de potencias de las funciones elementales 610

10.33 Ejemplo. Consideremos la función f W R ! R definida de la siguiente forma
(
e 1=x2 si x > 0

f .x/ D
0 si x 6 0

La función es de clase infinito, y puede probarse sin dificultad que f .n/.0/ D 0 para todo

n D 0; 1; 2; : : :, por lo que su serie de Taylor en a D 0 es la serie idénticamente nula que,

evidentemente, no converge a f en ningún intervalo abierto que contenga a 0.

Por esta razón se define una clase de funciones que son precisamente aquellas que pueden
representarse localmente por sus series de Taylor.

10.34 Definición. Se dice que f es una función analítica en un intervalo abierto I si para
cada punto a 2 I hay una serie de potencias centrada en a que converge en un intervalo abierto
no vacío Ja, y su suma es igual a f en el intervalo Ja \ I .

Dicho de forma más concisa: las funciones analíticas son las funciones que se representan
localmente por medio de series de potencias. Teniendo en cuenta el teorema de derivación y el
carácter local de la derivabilidad, es inmediato que una función f es analítica en un intervalo
abierto I si, y sólo si, se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. f 2 C 1.I /.

2. Para todo punto a 2 I la serie de Taylor de f en a converge en un intervalo abierto no
vacío Ja, y su suma es igual a f en el intervalo Ja \ I .

10.35 Ejemplos. Hemos visto antes que para todo a > 0 se verifica que:

X1 . 1/n a/nC1 .jx aj < a/: (10.11)
log x D log a C .n C 1/anC1 .x

nD0

Esto nos dice que la función logaritmo es analítica en el intervalo I D0; C1Œ. Observa que en
cada punto a > 0 la serie de Taylor del logaritmo converge en el intervalo JaD0; 2aŒ y es en
ese intervalo en donde representa a la función. El intervalo es tanto más pequeño cuanto más
próximo esté a de 0.

También hemos visto que para todo a > 1 se verifica que:

.1 C x/˛ D X1 ˛ 1 ˛ .x a/n jx aj < 1 C a:
n a/n
nD0 .1 C

Esto nos dice que la función f .x/ D .1 C x/˛ es analítica en el intervalo I D 1; C1Œ.

Observa que en cada punto a > 1 la serie de Taylor f converge en el intervalo abierto no

vacío JaD 1; 2a C 1Œ y es en ese intervalo en donde representa a la función. El intervalo es
tanto más pequeño cuanto más próximo esté a de 1.

De la misma forma, los resultados vistos para las funciones exponencial, seno y coseno,
muestran que dichas funciones son analíticas en R y sus series de Taylor en cualquier punto
convergen en todo R.

La función del ejemplo 10.33 no es analítica en ningún intervalo abierto que contenga a 0,
pero sí es analítica en intervalos abiertos que no contengan a 0.

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Las funciones trascendentes elementales definidas por series 611

10.4.1. Las funciones trascendentes elementales definidas por series

Las series de potencias son objetos matemáticos muy simples, en ellas solamente intervie-
nen las operaciones algebraicas de adición y de multiplicación y la operación analítica de paso
al límite. De hecho, las series de potencias son sucesiones de funciones polinómicas. Por eso
dichas series suelen usarse para definir nuevas funciones. Recuerda que usamos el Teorema
Fundamental del Cálculo para definir el logaritmo natural y, a partir de él, la función exponen-
cial. Ahora vamos a hacer lo mismo con series de potencias y ¡por fin! podremos definir de
forma analítica las funciones trigonométricas.

10.4.1.1. La función exponencial

Olvidemos de momento lo que sabemos de la función exponencial. Sabemos que la serie
X xn
de potencias tiene radio de convergencia R D C1 y, por tanto, su función suma está
n!
n>0

definida en todo R.

10.36 Definición. La función exp WR ! R dada para todo x 2 R por:

X1 xn
exp.x/ D

n!

nD0

Se llama función exponencial.

Como consecuencia del teorema de derivación para series de potencias, la función expo-
nencial es derivable en todo punto x 2 R y su derivada viene dada por:

exp 0.x/ D X1 n xn 1 X1 xn 1 X1 xn
D D D exp.x/:
n! .n 1/! n!
nD1 nD1 nD0

Por tanto, la exponencial es una función que coincide con su derivada. Consideremos un nú-
mero fijo a 2 R y definamos para todo x 2 R f .x/ D exp.x C a/ exp. x/. Tenemos que:

f 0.x/ D exp.x C a/ exp. x/ exp.x C a/ exp. x/ D 0W

Por tanto f es constante en R. Como exp.0/D1, deducimos que f .x/Df .0/Dexp.a/. Hemos
probado que exp.x C a/ exp. x/ D exp.a/. En particular, para a D 0 será exp.x/ exp. x/ D 1
lo que implica que la función exponencial no se anula nunca y que exp. x/ D 1= exp.x/. Por
tanto, podemos escribir la igualdad antes obtenida en la forma exp.a C x/ D exp.a/ exp.x/.
Igualdad que es válida para todos a; x 2 R. Hemos probado así la propiedad aditiva de la
exponencial.

Tenemos también que exp.x/ D .exp.x=2//2 > 0, por lo que la función exponencial es

siempre positiva. Como coindide con su derivada, deducimos que es una función estrictamente
creciente. Como exp.1/ > exp.0/ D 1 se tiene que exp.n/ D .exp.1//n ! C1 y exp. n/ D

1= exp.n/ ! 0. Deducimos que lKım exp.x/D0 y lKım exp.x/DC1 y que la exponencial
x! 1 x!C1

es una biyección de R sobre RC.

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Las funciones trascendentes elementales definidas por series 612

Se define el número e D exp.1/. Es fácil probar, usando la propiedad aditiva de la exponen-
cial, que exp.r / D .exp.1//r para todo número racional r , es decir exp.r / D er , por lo que se
usa la notación exp.x/ D ex.

Observa de qué forma tan elegante y cómoda hemos obtenido las propiedades principales
de la función exponencial. Se define ahora la función logaritmo natural como la inversa de la
función exponencial.

10.4.1.2. Las funciones trigonométricas

Olvidemos de momento lo que sabemos de las funciones trigonométricas. La serie de po-
X
tencias . 1/n x 2 nC1 tiene radio de convergencia R D C1 y, por tanto, su función suma

n>0 .2n C 1/!

está definida en todo R.

10.37 Definición. La función sen W R ! R dada para todo x 2 R por:

X1 1/n x 2 nC1
sen.x/ D .
.2n C 1/!
nD0

Se llama función seno.

Como consecuencia del teorema de derivación para series de potencias, la función seno es
derivable en todo punto x 2 R y su derivada viene dada por:

X1 1/n.2n C x2n D X1 1/n x2n :
sen 0.x/ D . 1/ . .2n/!

nD0 .2n C 1/! nD0

La función derivada de la función seno se llama función coseno y es la función definida para

todo x 2 R por: X1
cos x D .
1/n x2n :
.2n/!
nD0

El teorema de derivación permite probar enseguida que cos 0.x/D sen.x/. Además sen.0/D0

y cos.0/ D 1.

Derivando ahora la función f .x/ D sen2.x/ C cos2.x/ se obtiene que:

f 0.x/ D 2 sen x cos x 2 sen x cos x D 0:

Luego f es constante. Como f .0/ D1, concluimos que sen2.x/ Ccos2.x/ D1 para todo x 2 R.
Sea a 2 R fijo y definamos la función:

h.x/D cos.x Ca/ .cos x cos a sen x sen a/ 2 C sen.x Ca/ .sen x cos aCcos x sen a/ 2:

Puedes comprobar en dos líneas que h0.x/ D 0 para todo x 2 R. Como h.0/ D 0, se sigue que
h.x/ D 0 lo que implica que:

cos.x C a/ D cos x cos a sen x sen a; sen.x C a/ D sen x cos a C cos x sen a:

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Las funciones trascendentes elementales definidas por series 613

Igualdades que son válidas para todos x; a 2 R. Acabamos de probar los teoremas de adición
para el seno y el coseno.

Este estudio puede proseguirse y no está exento de algunas dificultades. Por ejemplo, hay
que definir el número y probar que las funciones seno y coseno son periódicas con período
2 . Esto puede hacerse como sigue. Tenemos que:

1 X1 1/nC1 22n :
cos 2 D . .2n/!

nD1

Esta serie es una serie alternada cuyo término general es decreciente y, por tanto, por la aco-

tación (9.11), se verifica que la suma de la serie es mayor que las sumas parciales pares, en

particular:

4 16 1
1 cos 2 > ÷ cos 2 < :
2! 4! 3

Como cos.0/ D 1 por el teorema de Bolzano hay un mínimo número 0 < s0 < 2 tal que
cos.s0/ D 0. Por tanto 0 < cos x para 0 6 x < s0. Definimos:

D 2s0:

Como cos. =2/ D 0 deducimos que sen.s0/ D ˙1, pero como sen 0.x/ D cos x, se sigue que
la función seno es creciente en Œ0; s0 y, como sen.0/ D 0, resulta que debe ser sen.s0/ D
sen. =2/ D 1. Usando ahora los teoremas de adición se obtiene fácilmente que:

sen. / D 2 sen. =2/ cos. =2/ D 0; cos. / D cos2. =2/ sen2. =2/ D 1

sen.2 / D 2 cos. / sen. / D 0; cos.2 / D cos2. / sen2. / D 1:

Deducimos que:

sen.x C 2 / D sen x cos.2 / C cos x sen.2 / D sen x;

lo que prueba que la función seno es periódica con período 2 . Lo que implica que su derivada,
la función coseno, también es periódica con igual período.

A partir de las funciones seno y coseno ya podemos definir todas las demás funciones
trigonométricas como lo hicimos en el capítulo 2. Tú mismo puedes completar este estudio.

La definición de las funciones exponencial y trigonométricas por medio de series de poten-
cias tiene, desde un punto de vista matemático, todas las ventajas posibles pues las definiciones
dadas prueban la existencia de dichas funciones y permiten obtener con comodidad sus propie-
dades principales. Además, y esto es fundamental, dichas definiciones se extienden exactamen-
te igual al campo complejo porque las series de potencias reales y complejas tienen las mismas
propiedades de convergencia. Esto no quiere decir, ni mucho menos, que debas olvidar el signi-
ficado de las funciones seno y coseno de la trigonometría elemental. Simplemente, debes saber
que las funciones seno y coseno analíticas tal como las acabamos de definir, y las funciones
seno y coseno de la trigonometría elemental tal como se definen para ángulos de un triángulo
rectángulo, son funciones que se relacionan a través del concepto de “medida de un ángulo”, y
en cada situación concreta debes adoptar el punto de vista más adecuado a la misma.

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Teorema de aproximación de Weierstrass 614

10.5. Teorema de aproximación de Weierstrass

Muchas funciones continuas no son derivables, es claro que dichas funciones no pueden

representarse por medio de series de potencias. Por otra parte, dado un conjunto finito de puntos
en el plano, f.xk; yk / W 1 6 k 6 ng, es fácil construir una función polinómica P que interpole
dichos puntos, es decir, cuya gráfica pase por todos ellos, P .xk/ D yk para 1 6 k 6 n. Dada una
función continua en un intervalo Œa; b, parece intuitivo que si tomamos una partición de Œa; b
con un número suficientemente grande de puntos, faDx0 < x1 < x2 < < xn 1 < xnDbg, y
es P una función polinómica que interpola los correspondientes puntos en la gráfica de f , esto
es los puntos del conjunto f.xk; f .xk// W 1 6 k 6 ng, entonces dicha función polinómica P
coincide con f en todos los puntos xk y debería ser una buena aproximación de la función f
en todo el intervalo Œa; b.

Aunque las cosas no son exactamente así, un notable resultado debido a Weierstrass afirma

que, efectivamente, es posible aproximar uniformemente en un intervalo cerrado y acotado

una función continua por una función polinómica. Pero no debes hacerte una idea falsa de la

situación. Las cosas no son tan simples como pudieran parecer a primera vista. Ello se debe

a que una función continua puede oscilar demasiado, de hecho puede oscilar tanto que no sea

derivable en ningún punto. El primer ejemplo de una función continua que no es derivable en

ningún punto (¿puedes imaginar la gráfica de una función así?) fue dado por Weierstrass en

1872. Su función era: X1
f .x/ D bn cos.an x/
.x 2 R/

nD0

donde a es un número impar, 0 < b < 1 y ab > 1 C 3 =2. Observa que f está definida como

la suma de una serie de funciones continuas (¡de clase C 1!) que ncoynvlaersgeerieabPsobluntacmonevnetergye
uniformemente en R (porque para todo x 2 R es jbn cos.an x/j 6 b

por ser 0 < b < 1). Por tanto, f es una función continua en R. Weierstrass demostró que f

no es derivable en ningún punto. Te digo esto para que aprecies que el problema de aproximar

una función continua por una función polinómica en todos los puntos de un intervalo no es un

fácil problema de interpolación.

De las variadas demostraciones que hay del citado resultado de Weierstrass, vamos a expo-
ner la basada en los polinomios de Bernstein porque, además de ser la más elemental, propor-
ciona unos polinomios concretos para realizar la deseada aproximación.

10.38 Definición. Dada una función f W Œ0; 1 ! R el polinomio de Bernstein de orden n de
f es la función polinómica:

Bn.f /.x/ D Xn f x/n k:
k n xk.1
k D0 n k

Necesitaremos usar algunas identidades que se deducen fácilmente de la igualdad siguiente.

.x C y/n D Xn k:
n xkyn
k
k D0

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Teorema de aproximación de Weierstrass 615

Derivando esta igualdad una vez respecto a x y multiplicando después por x obtenemos:

x n.x C y/n 1 D Xn k:
n kxkyn
k
k D0

Derivando la primera igualdad dos veces respecto a x y multiplicando después por x2 obtene-

mos: 1/.x C y/n 2 D Xn n k.k
k
x2n.n 1/xk yn k :
k D0

Haciendo en las anteriores igualdades y D 1 x y definiendo, por comodidad de notación,
n xk.1
bkn.x/ D k x/n k, obtenemos las siguientes igualdades:

1D Xn bkn.x/

k D0 (10.12)
(10.13)
nx D Xn k bkn .x / (10.14)

k D0

n.n 1/x2 D Xn k.k 1/bkn.x/

k D0

Usando estas igualdades deducimos que:

Xn Xn Xn Xn
.k nx/2bnk .x/ D k2bnk .x/ 2nx kbnk .x/ C n2x2 bnk .x/D

k D0 k D0 k D0 k D0

Xn
D .k.k 1/ C k/bnk .x/ 2n2x2 C n2x2D

k D0

D n.n 1/x2 C nx n2x2 D nx.1 x/:

Por tanto: Xn
.k
nx/2bnk .x/ D nx.1 x/: (10.15)
k D0

10.39 Teorema (Weierstrass (1868)). Sea f W Œa; b ! R una función continua. Dado " > 0,
hay una función polinómica P" que verifica que

jf .x/ P".x/j 6 "

para todo x 2 Œa; b.

Demostración. Haremos primero la demostración en el caso de que el intervalo Œa; b es el
intervalo Œ0; 1. Como f es continua y Œ0; 1 es un intervalo cerrado y acotado, sabemos que f
está acotada en Œ0; 1 y es uniformemente continua en Œ0; 1. Sea M > 0 tal que jf .x/j 6 M
para todo x 2 Œ0; 1. Dado " > 0, por la continuidad uniforme de f , existe un ı > 0, tal que:

jf .x/ f .y/j 6 " para todos x; y 2 Œ0; 1 tales que jx yj < ı: (10.16)
2

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Teorema de aproximación de Weierstrass 616

Acotaremos ahora el error que se comete al aproximar f por su polinomio de Bernstein de

orden n. Tenemos que:

Bn.f /.x/j D ˇˇˇˇˇf .x/ Xn k /ˇˇˇˇˇ ˇˇˇˇˇ Xn k .x/ˇˇˇˇˇ
n f .x/ n
jf .x/ f bnk .x (10D.12) f bnk 6

k D0 k D0
Xn ˇˇˇˇf .x/ ˇˇˇˇ
k
6 f n bnk .x /: (10.17)

k D0

Donde hemos usado que bnk .x/ > 0. Acotaremos ahora la diferencia f .x/
ˇˇˇˇx ˇˇˇˇ ˇˇˇˇx ˇˇˇˇ f k según que

n

k < ı o k > ı. Tenemos que:
n n

ˇˇˇˇx .kknnxˇˇˇˇˇˇˇˇ/j><Cııˇˇˇˇ(÷1f÷0.1 6j)knnˇˇˇˇfx n.ˇˇˇˇıx6/k2jM>f16 ÷knn2 2Mˇˇˇˇıˇˇˇˇf2<..xn2"/x: k ˇˇˇˇ
ˇˇˇˇx n
6 f 6

jf k /2

Podemos resumir las dos acotaciones obtenidas en una sola de la forma:

ˇˇˇˇf .x/ k ˇˇˇˇ " 2M
n 2 n2ı2 .nx
f 6 C k /2 : (10.18)

Esta desigualdad es válida para todo x 2 Œ0; 1 y para todo k D 0; 1; 2; : : : ; n. Usando ahora
(10.17),deducimos que:

jf .x/ Bn.f /.x/j6 Xn " 2M " 2M Xn k/2bnk .x/D
2 C n2ı2 .nx k/2 bnk .x/ (10D.12) 2 C n2ı2 .nx

k D0 k D0

(10D.15) " C 2M " 2M
2 n2ı2 nx.1 x/ 6 2 C nı2 :

Donde hemos tenido en cuenta que para x 2 Œ0; 1 es x.1 x/ 6 1. Hemos probado así que
para todo x 2 Œ0; 1 se verifica que:

" 2M
jf .x/ Bn.f /.x/j 6 2 C nı2 :

Tomando ahora n0 2 N 2M "
tal que para n > n0 se verifique que 6 , concluimos que para
nı2 2
todo n > n0 y para todo x 2 Œ0; 1 se verifica que:

""
jf .x/ Bn.f /.x/j 6 2 C 2 D ":

Podemos tomar como polinomio P" del enunciado cualquier polinomio Bn.f / con n > n0.

Observa que hemos probado que la sucesión de polinomios de Bernstein de f converge unifor-
memente a f en Œ0; 1.

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Ejercicios propuestos 617

En el caso general de un intervalo cerrado y acotado Œa; b y una función f W Œa; b ! R
continua en Œa; b, podemos proceder como sigue. Consideremos la función g W Œ0; 1 ! R
dada por g.t/ D f .a C t.b a// para todo t 2 Œ0; 1. La función g es continua en Œ0; 1 por
ser f continua en Œa; b. Dado " > 0, por la ya probado, hay un polinomio de Bernstein de g,
Bn.g/, tal que para todo t 2 Œ0; 1 es:

jg.t / Bn.g/.t /j 6 ":

Teniendo ahora en cuenta que para x 2 Œa; b se tiene que x a 2 Œ0; 1, deducimos que para
b a
todo x 2 Œa; b se verifica que:

ˇˇˇg x a x a ˇˇˇ
b a Bn.g/ b a
6 ":

x a x a
Puesto que f .x/Dg b a , y P".x/DBn.g/ b es un polinomio por ser composición
a
de dos polinomios, obtenemos que para todo x 2 Œa; b es jf .x/ P".x/j 6 ".

El polinomio a Xn b a x a k b x n k
x n ab a
D f aCk
Bn.g/ b a n kb
k D0

es, por definición, el polinomio de Bernstein de orden n de f en Œa; b. Hemos probado que la
sucesión de dichos polinomios converge uniformemente a f en Œa; b.

10.40 Corolario. Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es límite uniforme
en dicho intervalo de una sucesión de funciones polinómicas.

10.5.1. Ejercicios propuestos

474. Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la forma Œ0; a y Œa; C1Œ donde a > 0,
de la sucesión de funciones ffng definidas para todo x > 0 por:

2nx2
fn.x/ D 1 C n2x4 :

475. Estudia la convergencia uniforme en Œ0; 1, de la sucesión de funciones ffng definidas
para x 20; 1 por fn.x/ D xn log.1=x/, y fn.0/ D 0.

476. Dado ˛ 2 R, consideremos la sucesión de funciones ffng, donde fn W Œ0; 1 ! R es la
función definida para todo x 2 Œ0; 1 por:

fn.x/ D n˛x.1 x2/n:

¿Para qué valores de ˛ hay convergencia uniforme en Œ0; 1? ¿Para qué valores de ˛ hay
convergencia uniforme en Œ ; 1, donde 0 < < 1?

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Ejercicios propuestos 618

477. Para cada n 2 N sea fn W Œ0; =2 ! R la función dada por:
fn.x/ D n.cos x/nsen x:

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funciones ffng y la convergencia uni-
forme en los intervalos Œ0; a y Œa; =2 donde 0 < a < =2.

478. Para cada n 2 N sea fnW0; Œ! R la función dada por:

fn.x/ D sen2.nx/ 0 < x < :
n sen x

Estudia la convergencia puntual de la sucesión de funciones ffng así como la convergen-
cia uniforme en intervalos del tipo 0; a, Œa; Œ y Œa; b donde 0 < a < b < .

479. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesión de funciones ffng donde

fn W R ! R está definida por:

p x 2 R:
fn.x/ D n 1 C x2n

480. Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la forma  1; a, Œ a; a y Œa; C1Œ
donde a > 0, de la sucesión de funciones ffng definidas por fn.x/ D n sen.x=n/ para
todo x 2 R.

481. Estudia la convergencia uniforme en RCo , de la sucesión de funciones ffng definidas para
todo x 2 RCo por:

nCx
fn.x/ D arc tg 1 C nx :

482. Para cada n 2 N sea x

fn.x/ D na.1 C nx2/ .x > 0/:

P
Prueba que la serie fn:

a) Converge puntualmente en RCo si a > 0, y la convergencia es uniforme en semirrectas
cerradas que no contienen al cero.

b) Converge uniformemente en RCo si a > 1=2.

P
483. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la serie fn donde, fn W R ! R es la

función dada por: x
fn.x/ D 1 C n2x2
n D 0; 1; 2; : : :

X1
Sea F.x/ D fn.x/, la función suma de la serie. Calcula lKım F.x/ y lKım F.x/.
x!0 x!0
nD0 x<0 x>0

Sugerencia. Para x > 0 se tiene que

kC1 x k C1 x k x
1 C t 2x2 dt k2x2 1 C t 2x2 dt :
6 fk .x / D 1 C dt 6

k k k1

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Ejercicios propuestos 619

P
484. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la serie fn donde

fn.x/ D nnC1 xn e nx .x > 0/:
n!

485. En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto  R y, para cada
n 2 N, se define una función fn W  ! R . Se pide estudiar la convergencia puntual en
 de la sucesión de funciones, ffng, así como la convergencia uniforme en los conjuntos
A  que se indican en cada caso.

a) D0; Œ; fn .x/ D n2.tg x /n.1 C cos 4x /; A D Œ0; a; A D Œa; ; 0 < a < :
b) 2 p 4 4

 D RC; fn.x/ D n n x 1 ; A D Œa; b; AD0; a; A D Œb; C1Œ; 0 < a < b:
x n
c)  D R; fn.x/ D 1 C n ; A D Œa; b; a < b:

x
d) D 1; C1Œ; fn.x/ D n log 1 C n ; AD 1; a; A D Œa; C1Œ; a > 1:

e)  D RCo ; fn.x/ D n˛x e nx (donde ˛ > 0 es un número fijo), ADŒa; C1Œ; a > 0.
¿Para qué valores de ˛ hay convergencia uniforme en RCo ?

486. Sea ffng una sucesión de funciones que converge uniformemente a una función f en un
conjunto A R. Supongamos que fn.A/ Œa; b para todo n 2 N; y sea ' una función
continua en Œa; b. Prueba que la sucesión f' ı fng converge uniformemente a ' ı f en
A.

487. Sean ˛ > 0 y ffng la sucesión de funciones definida por:

1 C nx ˛
n C x2
fn W RCo ! R ; fn.x/ D :

Estudia la convergencia puntual y uniforme en RCo y en intervalos del tipo Œ0; a donde
a > 0.

Sugerencia. Puede usarse el ejercicio anterior con '.x/ D x˛.

488. Para cada n 2 N sea fn W R ! R la función definida para todo x 2 R por:

fn.x/ D x n
cos p :
n

Estudia la convergencia puntual de la sucesión ffng y la convergencia uniforme en inter-
valos cerrados y acotados.

489. Sea f W RCo !R una función continua, no idénticamente nula con lKım f .x/ D 0,

x!C1

f .0/ D 0. Sean ffng y fgng las sucesiones de funciones definidas por fn.x/ D f .nx/,

gn.x/ D f .x=n/, para todo x 2 RCo y todo n 2 N. Prueba que:

a) ffng y fgng convergen puntualmente a cero en RCo pero la convergencia no es uniforme
en RCo .

b) La sucesión ffngng converge uniformemente a cero en RCo .

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Ejercicios propuestos 620

490. Sea f W R ! R una función de clase C 1 e I D Œa; b un intervalo cerrado y acotado.

a) Prueba que para todo " q>ue0ˇˇˇˇ existe ı>0 talfq0u.ye/cˇˇˇˇu6al"e.squiera sean x; y 2 I con
0 < jx yj < ı se verifica f .x/ f .y/

x y

b) Para cada n 2 N definamos:

n xC 1
n

fn.x/ D 2 f .t / dt .x 2 R/:

x 1
n

Justifica que ffn0g converge uniformemente a f 0 en I .

491. Sea gW 1; 1Œ! R una función no constante y continua en x D 0. Sea ffng la sucesión
de funciones definida por fn.x/ D g.xn/ para todo n 2 N y para todo x 2 1; 1Œ.

Prueba que dicha sucesión converge uniformemente en intervalos cerrados y acotados

contenidos en  1; 1Œ, y no converge uniformemente en  1; 1Œ.

492. Supongamos que una sucesión de funciones polinómicas converge uniformemente en R.
¿Qué puede decirse de dicha sucesión?

Sugerencia: La condición de Cauchy puede ser útil.

493. Prueba que la función límite de una sucesión uniformemente convergente de funciones
uniformemente continuas también es una función uniformemente continua.

3 n C sen x
3n C cos2 x
494. Prueba que lKım dx D 1:

n!1 0

495. Supongamos que f es una función continua en Œa; b y que para todo n 2 N [ f0g se

verifica que:

b

xnf .x/ dx D 0:

a

Prueba que f .x/ D 0 para todo x 2 Œa; b.

Sugerencia: Usa el teorema de aproximación de Weierstrass.

495. Para cada n 2 N, sea fn W Œ0; 1 ! R la función definida para todo x 2 Œ0; 1 por:

1. 1 x cos x log.x C n/.
fn.x/ D n e

2. nx x2 .
fn.x/ D 1 Cpn2x2 e
n x
3. fn.x/ D 1 C n2x2 cos x2.
4. fn.x/ D n sen.nx/
0 si 0 6 x 6
n

si n 6x61

Estudia, en cada caso, la convergencia puntual y uniforme de la sucesión ffng y compara

11

nl!Kım1ffng con lKım fn.

n!1
00

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Ejercicios propuestos 621

496. Da un ejemplo de una sucesión de funciones que converge uniformemente en R tal que
la sucesión de las derivadas no converge puntualmente en ningún punto de R.

497. Da un ejemplo de una sucesión de funciones que no converge en ningún punto de R y
cuya sucesión de derivadas converge uniformemente en R.

498. Sea fn W R ! R la función dada por fn.x/ D arc tg.x=n/. Prueba que:

a) ffng converge puntualmente a cero en R pero la convergencia no es uniforme.

b) ffn0g converge uniformemente a cero en R.

499. Sea fn W RC !R la función dada por fn.x/ D 1 Prueba que la serie P
1 C n2x . fn

converge puntualmente en RC. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función suma

X1
de la serie: f .x/ D fn.x/.

n

500. Sea ffng una sucesión de funciones que converge uniformemente a una función f en

un intervalo Œa; C1Œ. Supongamos que, para cada n 2 N, existe lKım fn.x/ D an 2

x!C1

R. Prueba que la sucesión fang es convergente y que f tiene límite en C1, siendo

lKım f .x / D nl!Kım1fang.

x!C1

Sugerencia. La condición de Cauchy permite probar la convergencia de fang.

501. Sea ffng una sucesión de funciones continuas que converge puntualmente a una fun-
ción f en un intervalo Œa; bŒ, .a < b 6 C1/, siendo la convergencia uniforme en todo
subintervalo cerrado y acotado contenido en Œa; bŒ. Supongamos, además, que hay una

función positiva g cuya integral es convergente en Œa; bŒ y tal que jfn.x/j 6 g.x/ para
todo x 2 Œa; bŒ. Prueba que las integrales de fn y f son convergentes en Œa; bŒ y que:

bb

lKım fn.x/ dx D f .x/ dx :

n!1 aa

502. Para cada n 2 N, sea fn W RCo ! R la función dada por:

1 x2=n n p
0 si 0 6 xp6 n
fn.x/ D si x > n

a) Demuestra, haciendo uso del ejercicio anterior, que

C1 C1

lKım fn.x/ dx D e x2 dx :

n!1 00

b) Pruébese que C1 p , y deduce que:
Dn 2
fn.x/ dx
.sen t /2nC1dt

00

C1 p
:
e x2 dx D

0 2

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Ejercicios propuestos 622

503. Sea ffng una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a una función

f en un conjunto A R. Sea fxng una sucesión de puntos de A que converge a un punto

x 2 A. Prueba que lKım fn.xn/ D f .x/.

n!1

504. En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto  R y, para cada
n 2 N, se define una función fn W  ! R . SPe pide estudiar, en cada caso, la convergen-
cia puntual en  de la serie de funciones, fn, y la continuidad de la función suma
X1
F D fn.

nD1

a)  D R, fn.x/ D e nx.

11
b)  D R, fn.x/ D n x2 C n .

c)  D R, fn.x/ D . 1/n sen.n2x/ .
n.log.n C 1//2

d)  D R n Z , fn.x/ D n2 1
x2 .

e)  D R n f 1; 1g, fn.x/ D x 2n
1 x2nC1 .

f)  D RCo , fn.x/ D x
.

.1 C nx/.1 C nx C x/

505. Estudia la derivabilidad de la función de Riemann &W 1; C1Œ! R , definida para todo

x > 1 por:

X1 1
&.x/ D nx :

nD1

Justifica también que lKım &.x/ D C1.

x!1

506. Sea f W RCo ! R la función definida por:

f .x / D X1 e nx ; .x 2 RCo /:
1 C n2
nD0

Estudia la derivabilidad de f y justifica que para todo x > 0 es:

f 00.x/ C f .x/ D 1
1 e x:

Prueba que f es continua en RCo que lKım f .x/ D 1, y lKım f 0.x/ D 1. Deduce

x!C1 x!0

que f no es derivable en 0.

P
507. Sea fn una serie de funciones que converge uniformemente en un conjunto A. Sea

Xn
Fn D fk. Prueba que para toda sucesión fxng de puntos de A se verifica que la

k D1

sucesión fF2n.xn/ Fn.xn/g converge a cero.

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Ejercicios propuestos 623

508. En cada uno de los siguientes ejercicios se especifica un conjunto  R y, para cada

n 2 N, se define una función fn W  ! R . Se pide estudiar, haciendo uso de los criterios

dPe Dirichlet o de Abel, la convergencia puntual y uniforme en  de la serie de funciones
fn.

a)  D R; fn.x/ D . 1/n
.
x2 C n

. 1/n
b)  D Œ2; C1Œ; fn.x/ D nx C . 1/n .

sen.nx/
c)  D Œ0; ; fn.x/ D p.
n

d)  D R; fn.x/ D 1 C 1 C C 1 sen.nx/
.
2 nn

e)  D Œ 2 ; 2 ; fn.x/ D 2px nseCn.cnoxs/x .

f)  D Œ0; 1; fn.x/ D .1 x/xn an D fn.Œ0; 1/. P an
. Sea sup Pruébese que la serie
log.n C 1/
no converge.

xn P
g)  D R n f 1g; fn.x/ D an 1 C xn , donde la serie an converge.

509. Prueba que la serie X1 x
sen converge uniformemente en subconjuntos acotados de
nn
n>1

R pero no converge uniformemente en R.

Sugerencia. Lpa condición uniforme de Cauchy no se satisface en R. Téngase en cuenta
que sen x > 2=2 para =4 6 x 6 3 =4. También puede hacerse uso del ejercicio 507
con xn D n =2.

510. Sea fang una sucesión creciente y no mayorada de números reales positivos. Prueba que
la función f W RC ! R definida para todo x > 0 por:

X1
f .x/ D . 1/n e anx

nD0

es continua y:

C1 X1 1/n 1 :
f .x/ dx D . an

0 nD0

Aplica lo anterior a los casos particulares an D n C 1, y an D 2n C 1 para obtener las

igualdades:

X1 . 1/n X1 . 1/n
n C 1 D log 2; 2n C 1 D 4 :

nD0 nD0

xP
511. Para cada n 2 N sea fn.x/D na.1 C nx2/ .x 2 R/. Prueba que la serie fn:

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Ejercicios propuestos 624

a) Converge puntualmente en R si a > 0, y la convergencia es uniforme en semirrectas
cerradas que no contienen al cero.

b) Converge uniformemente en R si a > 1=2.

c) No converge uniformemente en R si 0 < a 6 1=2.

Sugerencia. Estudia el comportamiento de fn. Para el apartado c) puede usarse el ejerci-

cio 507.

P
512. Prueba que si fang es una sucesión decreciente de números positivos y an sen.nx/

converge uniformemente en Œ0; 2 , entonces la sucesión fnang converge a cero.

Sugerencia. Usar el ejercicio xn D
507, tomando .
4n

513. Prueba que la serie X 1/n .1 x 2/n converge uniformemente en R y calcula su
. Cx

n>0

X1 1 x
suma. Calcula también . C x2/n
1/n .1 dx .

nD0 0

514. Calcula el radio de convergencia de cada una de las series de potencias P anxn, y estu-

dia el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo de convergencia, en los

siguientes casos:

p 1 n
nn
cn D ; cn D .n C 1/log.nC1/; cn D e 1C
n2 C n C 1 n

cn D 1 3 5 .2n C 1/ p n!
; cn D .n C 1/n
2 4 6 .2n C 2/ cn D a n .a > 0/;

11 1 1
cn D 1 C C C ; cn D ; cn D log.n C 2/
2 n 2n.n C 1/

3 5 .3n C 1/ cn D n˛; .˛ 2 R/; 1
cn D 5 10 .5n/ ; cn D 1 C 1=2 C C 1=n

515. Calcula la función suma de la serie de potencias X x2n .

n>1 n.2n 1/

X x3n X n.x C 3/n
.n C 1/ 2n 2n .
516. Calcula la función suma de las series de potencias y

n>0 n>1

517. Dado un número natural q 2 N, prueba la igualdad

11 X1 . 1/n
1 C xq dx D q n C 1 :
0 nD0

Calcula el valor de la suma de las series correspondientes a los valores de q D 1; 2; 3.

XX n xn por medio
518. Expresa la función suma de las series de potencias nxn 1, y nC1

n>1 n>1

X1 n
de funciones elementales y calcula el valor de 2n.n C 1/ .
nD1

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Ejercicios propuestos 625

519. Calcula el radio de convergencia y la suma de las series:

X n3 C n C 3 xnI X n3 xnI X 1 xn:
nC1 n! 1 C 2 C C n
n>0 n>0 n>1

520. Calcula la función suma de la serie de potencias X xn y deduce el valor de las

n>1 n.2n C 1/

sumas de las series: X1 X . 1/n

y:
n.2n C 1/ n.2n C 1/
n>1 n>1

521. Prueba que las funciones definidas por:

g.x/ D sen x ; g.0/ D 1; f .x/ D ex 1
xx ; f .0/ D 1

cos x 1 log.1 C x/
h.x/ D x2 ; h.0/ D 1=2; '.x/ D x ; '.0/ D 1

son de clase C 1 en su intervalo natural de definición.

522. Prueba que la función f W ; Œ! R dada por:

f .x/ D x sen x f .0/ D 1;
log
sen x x x

es de clase C 1. Calcula lKım f .x/ 1 1 x2 .
x4 12
x!0

523. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada en un punto a de la función:

2x3 x2 C 2x 7
f .x/ D x4 x3 3x2 C x C 2 :

524. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada en cero de las funciones:

1 1Cx
x2 C 5x C 6 ; .1 C x2/.1 x/2 :

525. Representa la función f W 1; 1Œ! R, dada por f .x/ D log 1Cx como suma de una
,
1x

serie de potencias centrada en 0. Utiliza dicha serie para calcular log 2 con ocho cifras
decimales exactas.

526. Prueba que:

111 1 . 1/nC1 . 1/n 1
1 C C C C C C D log 2
234 5 2n 1 2n 4
2

Sugerencia. Considera la serie de potencias:

x 1 x2 1 x3 C 1 x4 C 1 x5 C C . 1/nC1 x2n 1 C . 1/n x2n C
23 4 5 2n 1 2n

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Ejercicios propuestos 626

527. Justifica que la serie de potencias P anxn, donde para todo n 2 N [ f0g es:

n>0

11
a3nC1 D ; a3nC2 D 0; a3nC3 D ;
3n C 1 3n C 3

converge en  1; 1Œ. Sea f la función suma de dicha serie. Calcula la derivada de f , y
deduce que para todo x 2 1; 1Œ es:


f .x/ D 1 log.1 C x C x2/ C 1 arctan 2xpC 1 :

2 23

Como aplicación calcula el valor de X1 2 :

nD0 .3n C 1/.3n C 3/

528. Expresa como suma de una serie de potencias centrada en cero la función:

f .x/ D 1 log p 1 C x C p1 arctan 2xp 1 C p :
3 1 x C x2 3 3 63

X 1 .
Calcula la suma de la serie . 1/n
3n C 1
n>0

Sugerencia. Deriva la función dada.

529. Calcula explícitamente el valor de an, n = 0,1,2,... sabiendo que se verifica la siguiente
relación de recurrencia:

anC2 D 2anC1 an; a0 D 1; a1 D 3:

10.41 Estrategia. Las relaciones de recurrencia como la anterior, también llamadas

“ecuaciones en diferencias finitas”, se pueden resolver a veces por el método de la fun-
X1

ción generatriz. Se llama así a la función f .x/ D anxn. El proceso a seguir es el

nD0

siguiente:

1. Haciendo uso de la relación de recurrencia dada se puede calcular la función gene-
ratriz sin conocer el valor de an.

2. Una vez conocida la función generatriz se obtiene su desarrollo en serie de poten-
cias centrado en cero.

530. Resolver por el método de la función generatriz las siguientes ecuaciones en diferencias
finitas:

1. anC2 D 5anC1 6an; n D 0; 1; 2; : : : a0 D 2; a1 D 5:
2. bnC2 D bnC1 C bn; n D 1; 2; : : : b1 D 1; b2 D 1:

531. ¿Para qué números reales ˛ se verifica que 1 .ex C e x/ 6 e˛x2 para todo x 2 R?
2

Sugerencia. Expresa dicha desigualdad usando series de potencias.

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Ejercicios resueltos 627

532. Justifica que para 1 6 x < 1 se verifica que:

x1 X1 xnC1
log dt D :
1 t n.n C 1/
0 nD1

Prueba también, ya sea por cálculo directo o por razones de continuidad, que dicha igual-
dad es válida para x D 1.

533. Justifica que para 1 < x < 1 se verifica la igualdad:

x1 1 X1 xn
log dt D n2 :
t 1t
0 nD1

¿Es dicha igualdad válida para x D 1?

534. Definamos f W RCo ! R por:

f .x/ D 1 e x2.1Ct 2/
1 C t 2 dt :
0

Prueba que:

a) f .0/ D =4, y lKım f .x/ D 0.

x!C1

b) Usando un desarrollo en serie para f , prueba que f es derivable en RC y:

f 0.x/ D 1

2x e x2.1Ct2/ dt :

0

c) Justifica que para todo x > 0 se verifica que:

f .x/ C x !2
t2 dt D :
e 4

0

d) Deduce de lo anterior que C1 x2 dx p

e
D.
2
0

10.5.2. Ejercicios resueltos

¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 240 Estudia la convergencia uniforme en intervalos de la forma Œ0; a y
Œa; C1Œ donde a > 0, de la sucesión de funciones ffng definidas para todo x > 0 por:

2nx2
fn.x/ D 1 C n2x4 :

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