Soil mechanics

บทท่ี 10 เสถียรภาพของลาดชนั 287

หรือริมล่าง แสดงว่าตอ้ งทาการขยบั ตาแหน่งของเส้นสัมผสั เพื่อให้แนววงกลมวิกฤติอยู่ระหว่าง
เสน้ บนสุดกบั เส้นลา่ งสุด เพอ่ื ใหม้ นั่ ใจวา่ คา่ ความปลอดภยั ภยั ต่าสุดท่ีไดเ้ ป็นค่าต่าสุดท่ีแทจ้ ริง

(a) (b)

HH


nH

รูป 10.15 องคป์ ระกอบท่ีส่งผลตอ่ ตาแหน่งของวงกลมลื่นไถลวิกฤติ สาหรับกรณี (a) ผา่ นปลายลา่ งลาดชนั
ถา้  > 3 หรือ  > 53 (b) ผา่ นดา้ นหนา้ ปลายล่างลาดชนั ถา้   3 หรือ   53

Slope b 1 0.75 0.5
10 8 6 5 4 3 2.5 2 1.5
Xc
4
H b Yc
1
3
°

Xc Yc Yc
HH 2H

1
Xc
H

0
0 10 20 30 40 50 60
, °

รูป 10.16 การทดลองสร้างวงกลมลื่นไถลวิกฤติ

288 บทท่ี 10 เสถียรภาพของลาดชนั

รูป 10.17 ตวั อยา่ งการสร้างตารางและเส้นสัมผสั สาหรับการวเิ คราะหเ์ สถียรภาพของลาดชนั

10.6 เสถียรภาพของลาดชนั ในสภาพระบายน้ำ

การวิเคราะห์เสถียรภาพของลาดชนั ซ่ึงความดนั น้ามีการแปรเปลี่ยน ควรใชค้ วามเคน้ ประสิทธิผล
ในการคานวณ ตวั อย่างเช่น คนั ทางเพ่ิงก่อสร้างแลว้ เสร็จ นอกจากน้ัน การวิเคราะห์เสถียรภาพ
ของลาดชนั ในระยะยาวควรใชค้ วามเคน้ ประสิทธิผลเช่นกนั โดยเฉพาะลาดชนั ดินเหนียว เน่ืองจาก
ค่าความเคน้ ตามแนววงกลมล่ืนไถลไม่คงที่ จึงมีการแบ่งมวลดินลื่นไถลออกเป็ นกลุ่มชิ้นย่อย
(Slices) การทดลองเลือกวงกลมล่ืนไถลจะทาใหไ้ ดจ้ ุดศูนยก์ ลาง (O) และรัศมี (R) ดงั แสดงในรูป
10.18 และระยะทางระหว่าง A และ B จะถูกแบ่งให้เป็ นชิ้นย่อย ๆ โดยความกวา้ งของแต่ละชิ้น
ยอ่ ยมีคา่ เทา่ กนั คอื b

แรงตา่ ง ๆ ที่กระทาต่อชิ้นยอ่ ยซ่ึงมีความยาว 1 m ประกอบดว้ ยแรงต่อไปน้ี
W = น้าหนกั ชิ้นยอ่ ย = γℎ
N = แรงตา้ นทานประสิทธิผลต้งั ฉากกบั ฐานชิ้นยอ่ ย
T = แรงเฉือนท่ีเกิดข้ึนตามแนวฐานชิ้นยอ่ ย = sin α
R1, R2 = แรงทางดา้ นขา้ งซ่ึงเกิดจากชิ้นยอ่ ยท่ีอยตู่ ิดกนั ซ่ึงแตกแรงไดเ้ ป็น

E1, E2 และ X1, X2
E1, E2 = แรงต้งั ฉากระหวา่ งรอยตอ่ ของชิ้นยอ่ ย
X1, X2 = แรงสัมผสั ระหวา่ งรอยตอ่ ของชิ้นยอ่ ย

บทท่ี 10 เสถยี รภาพของลาดชนั 289

(a) (b)
O
b R q X2 X1
B R sina R2 E1
R
R E2

W R1
T

a สมมตุ ิใหฐ้ านเป็ นเส้นตรง
h a มคี วามยาว = l

W A
l

รูป 10.18 วิธีแบง่ มวลดินออกเป็นชิ้นส่วนยอ่ ย (Method of slices) (a) การแบ่งมวลดินลื่นไถลออกเป็นชิ้นยอ่ ย
(b) ระบบแรงท่ีกระทาต่อชิ้นยอ่ ย

นอกจากแรงต่าง ๆ ท่ีกล่าวมา ถา้ มีแรงภายนอกกระทาท่ีผิวลาดชนั ตอ้ งรวมแรงกระทา
ดงั กล่าวเขา้ ไปในการวิเคราะห์เสถียรภาพดว้ ย

เม่ือระบบแรงที่กล่าวมาทาให้ลาดชันอยู่ในสภาวะสมดุลจากัด ค่าของโมเมนต์ขับ
(Driving moment) จะเท่ากบั โมเมนต์เนื่องจากแรงเฉือนเคล่ือนตวั (Mobilised shear force) ตาม
แนว AB พอดี หรือเขียนในรูปของสมการไดด้ งั น้ี

∑ τm = ∑ τf = ∑ sin α


ทาการแกส้ มการดงั กล่าว ไดเ้ ป็นความสมั พนั ธด์ งั ต่อไปน้ี

= ∑ τm

∑ sin α

กรณีวิเคราะห์โดยความเคน้ ประสิทธิผล ตวั แปรกาลงั จะอยใู่ นรูปต่อไปน้ี

τf =  + σn tan  และ τf =  +  tan 
ทาการแทนคา่ ตวั แปรดงั กลา่ ว จะไดส้ มการใหม่ดงั น้ี

= ∑  +∑  tan 

∑ sin α

ถา้ กาหนดให้ดินลาดชนั มีคุณสมบตั ิเป็นเน้ือเดียวกนั สมการดงั กล่าวจะกลายเป็นสมการ
ใหม่ ดงั ตอ่ ไปน้ี

=  AC+tan  ∑  [10. 12]

∑ sin α

290 บทที่ 10 เสถียรภาพของลาดชัน

10.6.1 วธิ เี ฟลลเิ นียส (Fellenius method)

วิธีน้ีได้กาหนดให้แรงกระทาระหว่างชิ้นย่อยมีค่าเท่ากันเพียงแต่ทิศทางตรงกันข้ามกัน แรง
ดงั กล่าวจึงหักลา้ งกันไป เช่น 1 = 2 และ 1 = 2 ดงั น้ัน จึงมีความจาเป็ นตอ้ งแก้ปัญหา
สาหรับแรงกระทาที่ฐานของแต่ละชิ้นยอ่ ยเทา่ น้นั ซ่ึงจะไดค้ วามสัมพนั ธ์ดงั น้ี

 = cos α − = γℎ cos α − sec α ( = sec α)

ถา้ กาหนดใหแ้ รงดนั น้า = uγℎ จะทาใหไ้ ดส้ มการใหม่ คือ

 = γℎ(cos α − u sec α)

หรืออาจเขียนในรูปของผลรวมดงั ต่อไปน้ี ∑  = γ ∑ ℎ (cos α − u sec α)
นาสมการดงั กล่าวแทนค่าในสมการ [10.12] จะไดส้ มการต่อไปน้ี

=  AC+γ tan  ∑ ℎ(cos α− u sec α) [10. 13]

∑ sin α

จานวนชิ้นย่อยท่ีทาการแบ่งไม่ควรต่ากว่าห้าชิ้นด้วยเหตุผลที่ว่า การแบ่งชิ้นย่อยให้มี
จานวนมากข้ึนก็จะทาให้ผลการคานวณค่าอัตราส่วนความปลอดภัยมีค่าถูกต้องมากข้ึนด้วย
อยา่ งไรก็ตาม วิธีน้ีมีแนวโนม้ ที่จะใหผ้ ลการคานวณต่ากว่าความเป็นจริง และความคลาดเคลื่อน
ยงั อาจเพม่ิ มากข้ึนถา้ u มีค่าสูง ดงั น้นั วธิ ีบิช็อปจึงเป็นท่ีนิยมมากกวา่

10.6.2 วธิ ีบิ ็อป บบง่ ย (Bishop’s simplified method)

กรณีลาดชนั มีความสม่าเสมอและ u มีค่าค่อนขา้ งคงที่ วิธีน้ีสมมุติให้แรงสัมผสั ระหวา่ งชิ้นยอ่ ยมี
คา่ เท่ากนั แตท่ ิศทางตรงกนั ขา้ มกนั เช่น 1 = 2 แตว่ า่ 1 ≠ 2 (ดงั รูป 10.19)

เม่ือพจิ ารณาสภาพสมดุลตามแนวฐานของแต่ละชิ้นยอ่ ย พบวา่

0 = sin α − τf = sin α −  +  tan 



แกส้ มการดงั กลา่ ว จะไดเ้ ป็นสมการต่อไปน้ี

= ∑(  +  tan )
∑ sin α

เม่ือพจิ ารณาสภาวะสมดุลสาหรับแนวดิ่ง พบวา่

0 = −  cos α − cos α − τf sin α



0 = −  cos α − cos α −  sin α −  tan  sin α



บทท่ี 10 เสถยี รภาพของลาดชนั 291

W sina

E1 E2

f l sina W
F f l
F

a N' cosa
N'

ul ul cosa

รูป 10.19 ระบบแรงต่างท่ีกระทาต่อชิ้นยอ่ ยโดยวิธีบิช็อปแบบงา่ ย

ดงั น้นั จะไดส้ มการสาหรับแรงตา้ นทานประสิทธิผลต้งั ฉากกบั ฐานชิ้นยอ่ ย คอื

 = −  sin α− cos α
cos α+ta n  sin α

แทนคา่ = sec α และ  รวมท้งั จดั สมการใหม่ ไดเ้ ป็นสมการตอ่ ไปน้ี

= 1 ∑ [  +( − ) tan ] sec α [10. 14]
sin
∑ α 1+tan α tan 


กระบวนการสาหรับการวิเคราะห์โดยใช้สมการ [10.14] คือ สมมุติค่าทดลองสาหรับ

อัตราส่วนความปลอดภัย ( ) ที่อยู่ด้านขวามือของสมการ จากน้ันจึงใช้วิธีวนซ้า (Iterative

procedure) เพอื่ ใหค้ ่าทดลองดงั กลา่ วมีค่าบรรจบ (Convergence) กนั กบั คา่ ที่แทจ้ ริงทางดา้ นซา้ ยมือ

โดยทั่วไป กระบวนการวนซ้าดังกล่าวถูกนาไปใช้สาหรับเขียนโปรแกรมเพื่อใช้กับเคร่ื อง

คอมพิวเตอร์ และในปัจจุบนั มีโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่สามารถวิเคราะห์ปัญหาต่าง ๆ ไดห้ ลาย

รูปแบบ เช่น ความสามารถในการวิเคราะห์ลาดชนั ซ่ึงมีดินและหินหลายช้นั มีน้าหนกั ภายนอก

กระทารวมท้งั แรงจากแผ่นดินไหว การรวมการกระจายความดนั น้าเขา้ ไปในการวิเคราะห์ และ

การใชช้ านทางและระบบระบายน้า เป็นตน้ ค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั ท่ีคานวณไดจ้ ากวิธีน้ีอาจ

ต่ากวา่ ความเป็นจริงเลก็ นอ้ ย

ตัวอย่าง 10.7 คานวณค่า F โดยใช้ความเค้นประสิทธิผลสาหรับลาดชันในรูป 10.20
ดินลาดชันมีคุณสมบัติดังน้ี  = 10 kN/m2  = 28 γ = 18.5 kN/m3 กาหนดให้การ
กระจายตวั ของความดันน้าตามแนววงกลมทดลองมีค่าเท่ากบั เส้นสมศกั ยด์ งั แสดงในรูป 10.20
รวมท้งั แสดงการหาค่าแรงตา่ ง ๆ ที่กระทาตอ่ ชิ้นยอ่ ยโดยวิธีรูปแทนแรง

292 บทที่ 10 เสถียรภาพของลาดชัน

ลาดบั แรก สร้างรูปลาดชนั โดยใชม้ าตราส่วน จากน้นั แบ่งมวลดินออกเป็น 8 ชิ้นยอ่ ย (คอลมั น์ 1)
โดยมีความกวา้ งเท่ากบั 3 m ยกเวน้ ชิ้นย่อยท่ี 8 มีความกวา้ ง 3.7 m (คอลมั น์ 2) เม่ือไดจ้ านวนชิ้น
ยอ่ ยจึงวดั ความสูง (คอลมั น์ 3) ซ่ึงทาใหส้ ามารถคานวณน้าหนกั ของแตล่ ะชิ้นยอ่ ยไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี
= γℎ = 18.5 × ℎ × 3 kN/m ซ่ึงก็คือ น้าหนักชิ้นย่อยต่อความยาว 1 m (คอลมั น์ 4) ระดับ
ความสูงของน้าใตด้ ินสาหรับแต่ละชิ้นส่วนย่อยสามารถวดั ได้โดยตรงจากฐานถึงเส้นสมศกั ย์
(คอลมั น์ 5) ส่วนความยาวคอร์ดที่ฐานของแต่ละชิ้นยอ่ ยหาไดโ้ ดยการวดั จากมาตราส่วน (คอลมั น์
6) และสาหรับแรงเนื่องจากความดนั น้าคานวณไดจ้ าก = ℎw × 9.81 × (คอลมั น์ 8)

ต่อไปเป็ นการสร้างรูปแทนแรงโดยเริ่มตน้ สร้างเวกเตอร์สาหรับน้าหนัก W จากคอลมั น์ 4 ซ่ึงมี
ทิศทางลงแนวด่ิง แลว้ สร้างรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ซ่ึงจะทาใหไ้ ดค้ า่ แรงต้งั ฉาก T (คอลมั น์ 7) และ
แรงสัมผสั N (คอลมั น์ 10) สาหรับคา่ แรงต้งั ฉากประสิทธิผล N(คอลมั น์ 9) ไดจ้ ากการลบคอลมั น์
8 ออกจากคอลมั น์ 7

นารายการตวั แปรท่ีไดจ้ ากการวดั และการคานวณไปสร้างตารางคานวณ ดงั ต่อไปน้ี

คอลมั น์ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ชนิ้ มวลดนิ b h W hw l N ul N  T
(m) (kN/m) (m) (m) (kN) (kN) (kN) (kN)
(Slice no.) (m) 3.7 253 1.3 6.9
1 3.7 150 88 62 189

2 3.0 7.2 400 4.1 3.9 298 157 141 254

3 3.0 8.3 461 5.1 3.5 381 175 206 221

4 3.0 7.4 411 5.3 3.2 378 166 212 133

5 3.0 6.4 355 4.6 3.1 341 140 201 60

6 3.0 4.6 255 3.6 3.0 248 106 142 0

7 3.0 2.4 133 1.7 3.1 128 52 76 -17

1 3.0 0.6 33 0.6 3.2 31 19 12 -5

 1052 835

จากน้นั คานวณความยาวส่วนโคง้ ของวงกลมวกิ ฤติทดลอง ดงั น้ี

m AC
= θ = 91.7 × × 18.58 = 29.7
180

และแทนคา่ ในสมการ [10.12] ดงั น้ี

=  AC+tan  ∑  = (10×29.7)+(tan 28×1052) = 1.03
∑ sin α
835

บทที่ 10 เสถียรภาพของลาดชัน 293

4.5 m 3m
O

91.7°

B 1.5 7m
10 m
ระดับน้าใตด้ ิน 1 1
4
23

h 3m 5 เสน้ สมศกั ย์

a hw 6
W 7A
N 8

T ใชม้ าตราสว่ น
ตา่ งจากช้ินยอ่ ย 1 ถึง 6

รูป 10.20 ลาดชนั สาหรับตวั อยา่ ง 10.7

10.7 องค์ประกอบสำหรับการออกแบบลาดชนั

ก่อนการออกแบบลาดชนั ควรพิจารณาหาคาตอบสาหรับคาถามต่อไปน้ี (1) ลาดชนั เกิดข้ึนจาก
การขดุ ดินหรือการถมดิน (2) การก่อสร้างลาดชนั จะทาใหค้ วามดนั น้า ความเคน้ ประสิทธิผล กาลงั
รับแรงเฉือน และปริมาตรเปล่ียนแปลงอย่างไร (3) การเปลี่ยนแปลงที่เกิดข้ึนในขอ้ (2) เป็นแบบ
ระยะส้นั หรือระยะยาว และ (4) สภาพของลาดชนั ในอนาคตจะมีการเปลี่ยนแปลงหรือไม่ อยา่ งไร

10.7.1 ดินขุด

โดยทว่ั ไป ลาดชนั ที่เกิดข้ึนเนื่องจากการก่อสร้างเกิดข้ึนได้จากสองลกั ษณะคือ การขุดดินหรือ
เคลื่อนยา้ ยดินออกและการถมดิน ในขณะท่ีกาลงั ขุดดินออกจะส่งผลให้ความเคน้ รวมมีค่าลดลง

ตามดว้ ยการลดลงของความดันน้า หลงั การก่อสร้างแล้วเสร็จ จะมีระบบการไหลซึมของน้า
ภายในมวลดินเกิดข้ึน ระบบไหลซึมดงั กลา่ วข้นึ อยกู่ บั สภาพการระบายน้าและค่าการซึมไดข้ องน้า
ของดินลาดชัน ผลจากการไหลซึมดังกล่าวจะทาให้ความดันน้ามีค่าเพิ่มข้ึน ในขณะท่ีความ
เคน้ รวมไม่เปล่ียนแปลงซ่ึงส่งผลให้ความเคน้ ประสิทธิผลมีค่าลดลง (ดังรูป 10.21 (a)) เน่ืองจาก

กาลงั รับแรงเฉือนของดินเป็นสดั ส่วนกนั กบั ความเคน้ ต้งั ฉากประสิทธิผล ดงั น้นั กาลงั รับแรงเฉือน
ของดินลาดชนั จึงมีค่าลดลงดว้ ย เพราะฉะน้ัน เสถียรภาพในระยะยาวของลาดชนั เน่ืองจากการ
ขดุ ดินจึงเป็นค่าวิกฤติ

294 บทท่ี 10 เสถยี รภาพของลาดชนั

s, u (a)
s ตอนเริม่ ตน้

s' ตอนเริม่ ตน้ ความเคน้ รวม s' ตอนสดุ ท้าย
ความดนั น้า
u ตอนเริ่มต้น s ตอนสุดท้าย
ความดนั น้าเพมิ่ ข้นึ u ตอนสุดท้าย
เริ่มตน้ ชว่ งขดุ ดนิ
สภาพสมดลุ ตอนสุดทา้ ย ว
s, u ความเคน้ รวม
(b)

s ตอนเริม่ ตน้ s' ตอนสุดทา้ ย
s' ตอนเริม่ ต้น
ความดนั น้า s ตอนสดุ ท้าย
u ตอนเริ่มต้น
ความดนั น้าลดลง u ตอนสุดท้าย ว
เริ่มตน้ ช่วงถมดนิ
สภาพสมดุลตอนสุดทา้ ย

รูป 10.21 การเปลี่ยนแปลงของความเคน้ ในขณะก่อสร้างลาดชนั (a) ดินขดุ (b) คนั ทาง

10.7.2 คนั ทาง

การก่อสร้างสร้างคนั ทางทาไดโ้ ดยการกลิ้งน้าหนกั ไปมาหรือบดอดั ดินเป็นช้นั ข้ึนไปจนได้ระดบั
ความสูงท่ีตอ้ งการ ช่วงเร่ิมตน้ กระบวนการบดอดั ดินจะไล่อากาศภายในออกมา เม่ือก่อสร้าง
คันทางสูงข้ึนจะมีความดันน้าเกิดข้ึนที่ช้ันล่าง (ดังรูป 10.21 (b)) สาหรับคันทางดินเม็ดหยาบ
ความดนั น้าส่วนเกินท่ีเกิดข้ึนเน่ืองจากการบดอดั ดินจะสลายตวั ไดอ้ ยา่ งรวดเร็ว

สาหรับคนั ทางดินเม็ดละเอียด ความดนั น้าส่วนเกินสลายตวั ออกได้ช้ากว่า เนื่องจาก
กระบวนการอดั ตวั คายน้า (ดินทรุดตวั เม่ือความดันน้าส่วนเกินสลายตวั หมด) อาจใช้เวลานาน
หลายปี การติดต้ังแผ่นระบายน้าท้ังในแนวนอนและแนวดิ่งจะช่วยลดระยะเวลาการทรุดตัว
ในช่วงเวลาต้งั แต่ก่อสร้างจนถึงการทรุดตวั สิ้นสุดลง ความดนั น้าจะมีค่าลดลงในขณะที่ความเคน้
ประสิทธิผลมีค่าเพ่ิมข้ึนตามลาดับ ส่งผลให้กาลงั รับแรงเฉือนเพ่ิมข้ึนตามระยะเวลาที่เพิ่มข้ึน
เพราะฉะน้นั สภาพเสถียรภาพวิกฤติสุดสาหรับงานก่อสร้างคนั ทางเกิดข้ึนเมื่อการก่อสร้างเสร็จสิ้น
หรือเวลาใดเวลาหน่ึงในช่วงระหวา่ งการก่อสร้าง

บทท่ี 10 เสถียรภาพของลาดชนั 295

, u

ความเค้นเฉอื น


ความดันน้ า นอยา้ ่าลงดรรวะดดเรับว็ ว
u

เริ ่มต ้น ช่วงกอ่ สร้าง ชว่ งกระจายตวั นา้ เข้าอ่าง นา้ เต็มอา่ ง
ของความดนั น้า

รูป 10.22 การเปลี่ยนแปลงของความเคน้ ประสิทธิผลและความดนั น้าที่เกิดข้นึ ในเขือ่ นดนิ

สาหรับกรณีเขือ่ นดิน กาลงั รับแรงเฉือนบริเวณดา้ นตวั เข่ือนซ่ึงกกั เกบ็ น้าอาจลดลงมากถา้
ระดบั น้าในเขื่อนลดลงอย่างรวดเร็ว เหตุการณ์น้ีเรียกวา่ การขาดเสถียรภาพเนื่องจากน้าลดระดบั
อย่างรวดเร็ว (Rapid draw-down instability ดังรูป 10.22) ดังน้ัน สาหรับเข่ือนดิน จึงตอ้ งมีการ
ตรวจสอบความมีเสถียรภาพสาหรับ 4 กรณี ดงั น้ี (1) หลงั ก่อสร้างเสร็จ: ก่อนกกั เก็บน้า ท่ีดา้ นทา้ ย
เขื่อน (2) หลงั ก่อสร้างเสร็จ: ก่อนกกั เก็บน้า ที่ดา้ นหนา้ เขื่อน (ดา้ นกกั เก็บน้า) (3) หลงั กกั เก็บน้า
และการไหลซึมผา่ นตวั เขื่อนเป็นแบบคงตวั ท่ีดา้ นทา้ ยเขื่อน และ (4) หลังจากระดบั น้าลดลงอยา่ ง
รวดเร็ว ท่ีดา้ นหนา้ เขื่อน นอกจากน้ัน ยงั ตอ้ งพิจารณาเพ่ิมเติมสาหรับกรณีเขื่อนดินและคนั ทาง
ซ่ึงคาดหมายว่าจะมีการไหลซึมของน้าผ่านมวลดินมาก คือการจัดเตรียมระบบระบายน้าท่ี
ปลายทา้ ยเขือ่ น

10.8 อัตราส่วนความปลอดภยั

การตดั สินใจเลือกค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั ต่าสุดสาหรับการวิเคราะห์และการออกแบบลาดชนั
ควรพจิ ารณาองคป์ ระกอบต่อไปน้ี (1) ประเภทงานก่อสร้าง เช่น คนั ทางหรือดินขุด (2) ผลกระทบ
เชิงตวั เลขต่อค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั เนื่องจากตวั แปรต่าง ๆ ท่ีใช้ในการคานวณ (3) ความ
น่าเช่ือถือของตวั แปรและคุณสมบตั ิต่าง ๆ ท่ีไดจ้ ากการวดั และการทดสอบ และ (4) ความคุม้ ค่าใน
เชิงเศรษฐศาสตร์ของโครงการ

เม่ือคนั ทางหรือดินขุดเกิดการวิบตั ิ ผลกระทบที่เห็นได้ชดั เจนคือ ตอ้ งมีงานซ่อมแซม
ทั่วไ ป แล ะ ก า รขัดข วา ง ก า รจรา จรซ่ ึ ง อา จก่ อใ ห้เกิ ดค วา ม ไ ม่ ส ะ ดวก แล ะ เสี ย ค่ า ใ ช้จ่ า ย ใ นก าร
ซ่อมแซม อย่างไรก็ตามถา้ การวิบตั ิของลาดชนั อาจก่อให้เกิดความเสียหายต่อสิ่งปลูกสร้างและ
ชีวิต การวิเคราะห์และออกแบบลาดชนั ตอ้ งกระทาอยา่ งรอบคอบ ในบางกรณีค่าอตั ราส่วนความ
ปลอดภยั แค่ 1.2 ก็อาจเพียงพอแลว้ แต่ถา้ มีความเสี่ยงที่จะเกิดความเสียหายต่อชีวิตและทรัพยส์ ิน
คา่ อตั ราส่วนความปลอดภยั ต่าสุดควรเท่ากบั 2.0

296 บทที่ 10 เสถียรภาพของลาดชัน

เป็ นท่ียอมรับกนั โดยทวั่ ไปว่า ความน่าเชื่อถือของรายการคานวณใด ๆ ข้ึนอยู่กบั ความ
น่าเชื่อถือของตวั แปรตา่ ง ๆ ในปัญหาน้นั สาหรับงานดิน ถึงแมม้ ีการเก็บตวั อยา่ งมาจากสนามดว้ ย
ความระมดั ระวงั และการทดสอบในห้องปฏิบตั ิการไดป้ ฏิบตั ิตามระเบียบวิธีมาตรฐาน แต่ผลการ
ทดสอบที่ไดก้ ็ยงั มีความคลาดเคล่ือน กรณีท่ีตวั อย่างดินไม่ไดถ้ ูกเก็บและรักษาสภาพอยา่ งถกู ตอ้ ง
รวมท้งั ตอ้ งทาการสมมุติค่าตวั แปรบางตวั จะตอ้ งมีการเพ่ิมค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั ต่าสุด
สาหรับการออกแบบ

การพิจารณาการออกแบบลาดชนั โดยใช้มุมมองทางด้านเศรษฐศาสตร์ ควรพิจารณา
แตล่ ะปัญหาโดยอาศยั จุดดีและจุดดอ้ ยที่เก่ียวขอ้ งกบั ปัญหาน้นั เทา่ น้นั ไม่ควรนาประเดน็ อื่นเขา้ มา
เกี่ยวขอ้ ง และการเลือกค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั ต่าสุด ควรอาศยั เฉพาะตวั แปรท่ีเก่ียวขอ้ ง
ค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั ต่อไปน้ี คือ คา่ แนะนาทว่ั ไป ท่ีอาจนาไปใชส้ าหรับแตล่ ะสถานการณ์

 หลงั ก่อสร้างเสร็จ (คนั ทางและดินขดุ ) : 1.30
 สภาพไหลซึมคงตวั : 1.25
 หลงั จากน้าลดระดบั ทนั ทีทนั ใด : 1.20
 ลาดชนั ตามธรรมชาติเกิดข้ึนเป็นเวลานาน : 1.10 - 1.20
 กองของเสีย : 1.50
 ลาดชนั ท่ีเก่ียวขอ้ งกบั ส่ิงปลูกสร้าง : 2.00

ปัญหาท้ายบท

10.1 ถา้ แบ่งตามกระบวนการก่อตวั ลาดชนั มีก่ีประเภท พร้อมยกตวั อยา่ งลาดชนั สาหรับแต่ละ
ประเภท

10.2 อธิบายลกั ษณะของลาดชนั อนันต์ (Infinite slope) รวมท้งั กลไกและสาเหตุท่ีอาจทาให้
ลาดชนั อนนั ตอ์ าจเกิดการวบิ ตั ิ

10.3 อธิบายสถานการณ์ที่ตอ้ งวิเคราะหเ์ สถียรภาพของลาดชนั ในสภาพไม่ระบายน้า
10.4 กระบวนการวิเคราะห์เสถียรภาพของลาดชันต้องทาการหาแนวโค้งล่ืนไถลที่มีค่า

อตั ราส่วนความปลอดภยั ต่าสุด อธิบายกระบวนการและข้นั ตอนการทดลองเพื่อให้ไดม้ า
ซ่ึงจุดศูนยก์ ลางและรัศมีซ่ึงมีค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั ต่าสุด

บทที่ 10 เสถยี รภาพของลาดชัน 297

10.5 ลาดชันอนันต์มีมุมลาดเอียง 12 ดินลาดชันคือดินเหนียวอัดตัวคายน้าเกินปกติมาก
ระดับน้ าอยู่ที่ระดับผิวลาดชันและกา รไหลซึ ม คงตัวเกิ ดข้ ึนข นา นไปกับ แนวผิ ว ดิ น
คานวณอตั ราส่วนความปลอดภยั สาหรับการลื่นไถล เนื่องจากแรงเฉือนแบบเลื่อนตวั ซ่ึง
เกิดข้ึนขนานกบั แนวระดบั ผิวดินท่ีความลึก 3 m 4 m แล ะ 5 m ตามลาดบั ดินลาดชนั มี
คณุ สมบตั ิดงั น้ี  = 50 kN/m2  = 30 = 20 kN/m3

10.6 ลาดชนั ตามธรรมชาติมีความยาวอนันต์และลาดเอียงเป็ นมุม 10 การเคล่ือนตัวแบบ
ล่ืนไถลเกิดข้ึนท่ีระดบั ความลึก 5 m ขนานกบั ระดบั ผิวดินลาดชนั สมมตุ ิใหล้ าดชนั อิ่มตวั
(ระดับน้าใต้ดินอยู่ท่ีระดับผิวดิน) และมีการไหลซึมขนานกับระนาบผิวดิน คานวณ
คา่ คงเหลือของ  (กาหนดให้  = 0 และ = 18.8 kN/m3)

10.7 รูป 10.23 แสดงหน้าตดั ของลาดชนั ดินขุดที่จะก่อสร้างในช้นั ดินเหนียว ซ่ีงมีคุณสมบตั ิ
ดงั น้ี กาลงั รับแรงเฉือนแบบไม่ระบายน้า = 40 kN/m2 หน่วยน้าหนกั รวม = 20 kN/m3 และ
u = 0 คานวณค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั สาหรับการลื่นไถลเน่ืองจากแรงเฉือนตามแนว
ระนาบ AB โดยที่ (a) ไม่มีรอยแยกเนื่องจากแรงดึงเกิดข้ึน (b) มีรอยแยกเน่ืองจากแรงดึง
แต่ไม่มีน้าในรอยแยก (c) มีรอยแยกเน่ืองจากแรงดึง และมีน้าอยเู่ ตม็ ในรอยแยก

3m

RO
3.5 m

B

5.51 m

R

9m

W A
Area = 63.21 m2
40°

รูป 10.23 ลาดชนั สาหรับปัญหา 10.7

10.8 ใช้วิธีการแบ่งมวลดินล่ืนไถลออกเป็ นชิ้นย่อยของเฟลลิเนียส (Fellenius) เพ่ือคานวณ
อตั ราส่วนความปลอดภยั สาหรับการพงั ทลายเน่ืองจากแรงเฉือน โดยกาหนดใหใ้ ชค้ วาม

เคน้ ประสิทธิผลเมื่อระนาบล่ืนไถลคือแนว ABC ดงั แสดงในรูป 10.24 ค่าความดนั น้าตาม
แนวระนาบลื่นไถลอาจประมาณไดจ้ ากแนวระดับน้าไม่มีความดนั สมมุติให้การไหล
เป็นแบบคงตวั และดินมีคณุ สมบตั ิดงั น้ี  =12 kN/m2 =24 และ = 19 kN/m3

298 บทที่ 10 เสถยี รภาพของลาดชนั

10.9 ใชว้ ิธีบิช็อปอยา่ งง่าย (Bishop's simplified method) โดยการแบ่งมวลดินล่ืนไถลออกเป็ น
ชิ้นยอ่ ย เพ่ือคานวณค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั ในรูปของความเคน้ ประสิทธิผลสาหรับ
วงกลมลื่นไถลทดลองดงั แสดงในรูป 10.25 สาหรับค่าอตั ราส่วนความดนั น้า ru อาจสมมุติ
ให้มีค่าเท่ากบั 0.25 และดินลาดชนั มีคุณสมบตั ิดงั น้ี  = 9 kN/m2  = 25 และ = 20
kN/m3

8m
O

R 8m
12 m
B C R

zo 2
ระดบั น้าใต้ดนิ 1

A

3m

รูป 10.24 ลาดชนั สาหรับปัญหา 10.8

4m
O

R 6m
B

9m

30° A
1.5 m

รูป 10.25 ลาดชนั สาหรับปัญหา 10.9

บทที่ 11

การอัดตัวได้ของดินและการทรุดตัว

11.1 การเคล่อื นตัวและทรุดตวั ของดนิ

การวิบตั ิของโครงสร้างคอนกรีตสามารถสังเกตไดอ้ ย่างชดั เจน เช่น คานแอ่นตวั มากเกินไปหรือ
โครงสร้างมีรอยแตกร้าวและแตกหัก การออกแบบคอนกรีตเสริมเหล็กได้กาหนดให้ชิ้นส่วน
โครงสร้าง (เช่น คาน) เป็นวสั ดุเน้ือเดียวกนั ดงั น้นั สมมติฐานสาหรับการวิบตั ิจึงทาไดง้ า่ ยโดยการ
พิจารณาใหท้ ้งั หนา้ ตดั เป็นวสั ดุประเภทเดียว ท้งั ที่ความเป็นจริงคอนกรีตคือส่วนผสมของซีเมนต์
วสั ดุมวลรวม น้า และอากาศ และแต่ละวสั ดุลว้ นมีคุณสมบตั ิทางวิศวกรรมท่ีแตกต่างกนั ในทาง
ตรงกนั ขา้ ม พฤติกรรมและความสัมพนั ธ์ระหว่างการเคล่ือนตวั ของช้ันดินและเสถียรภาพของ
โครงสร้างท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั ช้นั ดินมีความซบั ซ้อนมาก เนื่องจากการเคลื่อนตวั ของช้นั ดินข้ึนอยกู่ บั
หลายกลไก นอกจากน้นั โครงสร้างลกั ษณะต่างกนั ก็มีพฤติกรรมแตกต่างกนั เช่น เมื่อดินฐานราก
ทรุดตวั เพยี งเลก็ นอ้ ย โครงสร้างก่ออิฐอาจแตกร้าวไดง้ ่ายกวา่ โครงสร้างคอนกรีต

สภาพช้นั ดินมีโอกาสเปล่ียนแปลงไดอ้ ยตู่ ลอดเวลา บางคร้ังอาจเกิดข้ึนก่อนหรือในขณะ
ก่อสร้าง การที่ดินเปล่ียนสภาพหลงั จากก่อสร้างแลว้ เสร็จเป็นเวลาหลายปี ถือเป็นเรื่องปกติ ดงั น้นั
จึงเป็นหนา้ ที่ของผูอ้ อกแบบที่ตอ้ งพิจารณาองคป์ ระกอบเหล่าน้ี และทานายวา่ สภาพช้นั ดินจะเป็น
เช่นใดตลอดอายกุ ารใชง้ านของสิ่งปลูกสร้าง สาเหตหุ ลกั ของความเสียหายของโครงสร้างส่วนบน
ก็คือ ฐานรากเกิดการเคลื่อนตวั เน่ืองจากการเปลี่ยนแปลงสภาพของดินซ่ึงไม่ไดค้ าดการณ์มาก่อน
ซ่ึงอาจมีสาเหตุจากการสารวจสภาพช้นั ดินไม่เพียงพอ และการขาดความเขา้ ใจถึงพฤติกรรมของ
ดิน เน้ือหาในบทน้ีเป็นการอธิบายวิธีการประมาณคา่ และอตั ราการทรุดตวั ของฐานราก โดยอยบู่ น
สมมติฐานดงั น้ี (1) สภาพของดินยงั คงไมแ่ ตกต่างจากสภาพตอนที่สมมุติเพอ่ื การออกแบบมากนกั
และ (2) สภาพของดินยงั คงเดิม ไมเ่ ปลี่ยนแปลงมากนกั ตลอดอายกุ ารใชง้ านของสิ่งปลูกสร้าง

299

300 บทท่ี 11 การอัดตัวไดข้ องดนิ และการทรดุ ตัว

การศึกษาเรื่องพฤติกรรมการทรุดตวั ของฐานรากและโครงสร้าง ควรเร่ิมตน้ ด้วยการ
สารวจกลไกตา่ ง ๆ ท่ีมีศกั ยภาพพอที่จะทาใหเ้ กิดการทรุดตวั ดงั หวั ขอ้ ตอ่ ไปน้ี

11.1.1 การบดอดั ดิน

การบดอดั ดิน คือการให้พลงั งานเพ่ือทาให้อนุภาคดินเคล่ือนตวั เขา้ ไปอยู่ในช่องว่างและใกลก้ นั
มากข้ึนและอยู่ในสภาพอัดกันแน่น โดยท่ัวไปจะใช้น้าเป็ นตัวหล่อลื่นเพื่อทาให้การบดอัด
มีประสิทธิภาพสูงสุด ผลจากการบดอดั ดิน คือ ปริมาตรลดลง (ดินทรุดตวั ) และอากาศถูกขบั ไล่
ออกจากมวลดิน พลงั งานบดอดั อาจเกิดจากมวลดินเองหรืออยู่ในรูปของน้าหนักจากภายนอก
กระทาท่ีบริเวณผิวดิน การทรุดตวั จากการบดอดั อาจเกิดข้ึนได้จากแรงส่ันสะเทือนเนื่องจาก
การจราจรและตอกเสาเขม็ ในพ้ืนท่ีเสี่ยงภยั แผน่ ดินไหว คลื่นสั่นสะเทือนเมื่อเกิดแผน่ ดินไหวเป็น
สาเหตุหน่ึงท่ีส่งผลให้ดินเกิดการทรุดตัวได้เช่นกัน ดินที่มีความเสี่ยงต่อการทรุดตวั เน่ืองจาก
การบดอดั หรือแรงสั่นสะเทือนต่าง ๆ คือ ทรายท่ีตกตะกอนอย่างหลวม ๆ ทรายปนกรวด และ
ดินถม โดยเฉพาะดินถมซ่ึงไมม่ ีการบดอดั หรือบดอดั แตไ่ ม่เพียงพอ

สาหรับช้นั ทรายหลวมที่มีความหนามากและตกตะกอนตามธรรมชาติ การใชเ้ ครื่องจกั ร
เพ่ือใหพ้ ลงั งานบดอดั ท่ีผิวดินมกั ไม่เพยี งพอสาหรับการทาใหด้ ินแน่นมากข้ึน ผเู้ ขยี นไดศ้ ึกษาการ
ใช้ระเบิดใต้ดินในช้ันทรายหลวมเพ่ือกาจัดหลุมหยุบและทาให้ดินแน่นข้ึน ช้ันทรายหลวม
ถูกจาลองในกะบะเหลก็ ขนาดเส้นผา่ นศูนยก์ ลาง 120 cm สูง 80 cm จากน้นั ฝังประจุระเบิดขนาด
เล็กที่ระดบั 17.5 cm และ 35 cm จากผิวดิน (เพ่ือจุดระเบิดในภายหลงั ดังรูป 11.1) เม่ือทาการ
จุดระเบิดใตด้ ินจะทาใหเ้ กิดแรงส่ันสะเทือนและทาให้อนุภาคทรายเคล่ือนตวั ไปหาช่องว่างทาให้
ดินแน่นข้ึน ก่อนการจุดระเบิดมีการใชอ้ ุปกรณ์หัวโคนเจาะทะลุ (Cone penetrometer ดงั รูป 11.2)
ท่ีผูเ้ ขียนพฒั นาข้ึนมา ทาการกดช้ันดินเพื่อตรวจสอบค่าความต้านทานโคนก่อนการระเบิด
หลงั จากน้ันไดว้ ดั ความตา้ นทานโคนที่ 1 วนั 7 วนั และ 15 วนั หลงั การระเบิด เพื่อเปรียบเทียบ
ความตา้ นทานโคน (หรือความหนาแน่น) นอกจากน้นั ยงั มีการติดต้งั เซนเซอร์วดั ความเร่งที่ผิวดิน
เป็ นระยะ 5 cm 25 cm และ 50 cm จากจุดศูนย์กลางของระเบิด เพื่อประกอบการวิเคราะห์
พฤติกรรมการทรุดตวั และแรงส่นั สะเทือน (ภาณุ พร้อมพทุ ธางกรู และคณะ, 2556)

การทดสอบไดก้ ระทาสาหรับท้งั ช้นั ทรายแห้งและสภาพอ่ิมตวั ท่ีผิวดินยงั ไดม้ ีการเพิ่ม
น้าหนกั กระทาเพื่อเร่งการการทรุดตวั ซ่ึงจะทาใหก้ าระเบิดใตด้ ินมีประสิทธิภาพมากข้ึน รูป 11.3
แสดงผลการวดั ค่าการทรุดตวั ของช้ันทรายแห้งหลงั การระเบิด (ไม่มีน้าหนักกระทาที่ผิวดิน)
ผลการทดสอบแสดงให้เห็นว่าช้นั ทรายเกิดการทรุดตวั สูงสุดที่ตาแหน่งติดต้งั ระเบิด จากน้นั ค่า
ทรุดตวั นอ้ ยลงตามลาดบั เม่ือระยะห่างจากระเบิดเพิ่มมากข้ึน ผลการทดสอบคา่ ความตา้ นทานโคน
กแ็ สดงพฤติกรรมที่สอดคลอ้ งกนั กลา่ วคือความตา้ นทานมีคา่ เพ่มิ ข้ึนหลงั การระเบิด

บทท่ี 11 การอดั ตัวได้ของดนิ และการทรดุ ตัว 301

กะบะเหล็ก เซน็ เซอร์วดั ความเร่ง
เส้นผ่านศูนยก์ ลาง 120 cm (Accelerometer)
สูง 0 cm

35 cm 5 cm
17.5 cm 25 cm
50 cm

ประจรุ ะเบดิ

ชนั้ ทรายจาลอง สภาหลวม
ขนาดเส้นผ่านศูนยก์ ลาง 120 cm
สูง 80 cm

รูป 11.1 การระเบิดใตด้ นิ ในช้นั ดินทรายหลวมจาลองเพื่อใหด้ ินแน่นข้นึ (ภาณุ พร้อมพทุ ธางกรู และคณะ, 2556)

รูป 11.2 อปุ กรณ์ทดสอบความตา้ นทานโคนเจาะทะลุ (Cone penetrometer) (ภาณุ พร้อมพทุ ธางกูร และคณะ,
2556)

รูป 11.3 การทรุดตวั ทผ่ี วิ ดินหลงั การจุดระเบิด 1 วนั 7 วนั และ 15 วนั (ภาณุ พร้อมพุทธางกรู และคณะ, 2556)

302 บทท่ี 11 การอัดตัวไดข้ องดินและการทรุดตวั

11.1.2 การอัดตัวคายนำ้

เมื่อมีน้าหนักภายนอกกระทาต่อช้นั ดินมีแรงยึดเหนี่ยวท่ีอยู่ในสภาพอิ่มตวั ด้วยน้า จะส่งผลให้
ความดันน้ าในมวลดินมีค่าเพ่ิมข้ึนเป็ นสัดส่วนกันกับขนาดแรงกระทา เม่ือเวลาผ่านไป
ความดนั น้าดงั กลา่ วจะสลายตวั โดยการไหลไปยงั บริเวณใกลเ้ คียงที่ความดนั น้าต่ากวา่ ผลที่ตามมา
ก็คือ น้าภายในมวลดินถูกรีดออกมา จากน้ันอนุภาคดินจะเคลื่อนตัวไปยงั ช่องว่างท่ีเคยถูก
ครอบครองโดยน้า ส่งผลให้ช้นั ดินทรุดตวั (ปริมาตรลดลง) จนกระทงั่ ความดนั น้าภายในมวลดิน
กลับเข้าสู่สภาวะสมดุล กระบวนการน้ีเรียกว่า การอัดตัวคายน้า (Consolidation) ในทาง
ตรงกนั ขา้ ม การลดลงของน้าหนกั กระทาอาจทาใหด้ ินเกิดการบวมตวั (ถา้ ดินยงั อยใู่ นสภาพอ่ิมตวั )
เน้ือหาส่วนใหญ่ในบทน้ี คือการศึกษากระบวนการอดั ตวั คายน้าและวิธีคานวณการทรุดตวั และ
ส่ิงจาเป็นสาหรับการศึกษาเรื่องน้ีก็คือ ความเขา้ ใจเกี่ยวกบั การเปลี่ยนแปลงของน้าหนกั กระทาซ่ึง
ทาให้เกิดกระบวนการดงั กล่าวและการท่ีตอ้ งใช้เวลานานหลายปี กว่าท่ีการทรุดตวั จะสิ้นสุดลง
(หรืออตั ราการทรุดตวั มีค่านอ้ ยมาก)

ประเภทดินท่ีมีความเสี่ยงต่อการทรุดตัวเน่ืองจากการอดั ตวั คายน้า คือ ดินเหนียวและ
ตะกอนอดั ตวั คายน้าปกติ (Normally-consolidated clay and silt) และดินถมบางประเภทท่ีอยู่ใน
สภาพอ่ิมตวั นอกจากน้นั ดินเลนหรือดินที่มีซากพืชซากสัตวผ์ สมอยมู่ ากกม็ ีศกั ยภาพในการอดั ตวั
ไดส้ ูงเช่นกนั การกาหนดใหด้ ินที่มีความเสี่ยงลกั ษณะน้ีเป็นดินฐานรากจึงควรหลีกเล่ียง

11.1.3 ความช้นื ในมวลดนิ เปลย่ี นแปลง

สาหรับดินเหนียวบางชนิด การเปลี่ยนแปลงของปริมาณน้าในมวลดินอาจทาให้เกิดการเพ่ิมข้ึน
หรือลดลงของปริมาตรมวลดินเป็ นอย่างมาก ดินเหนียวซ่ึงมีพฤติกรรมลักษณะน้ีเรียกว่า
ดินเหนียวหดตัวได้ (Shrinkable clay) หรือดินเหนียวขยายตัวได้ (Expansive clay) ลักษณะ
ที่สาคญั ของดินชนิดน้ีคือ มีค่าขีดจากดั เหลวและดชั นีความเป็นพลาสติกสูงมาก

อา้ งถึงบทท่ี 2 คุณสมบตั ิที่สาคญั ของแร่ดินเหนียวก็คือมีพ้ืนท่ีผิวจาเพาะสูง ซ่ึงทาให้
สามารถดูดซบั น้าไวไ้ ดม้ าก ดงั น้นั ศกั ยภาพการหดตวั และบวมตวั ของดินจึงมีความสัมพนั ธ์กนั กบั
ปริมาณอนุภาคดินเหนียวและความเป็ นพลาสติกโดยตรง รูป 11.4 แสดงการแบ่งระดบั ศกั ยภาพ
การหดตวั และบวมตวั ของดินซ่ึงข้ึนอยุ่กบั องค์ประกอบท้งั สองดงั ที่กล่าวมา BRE (1980) ไดใ้ ห้
ขอ้ เสนอแนะว่า สาหรับกรณีอาคารท่ีมีความสูงไม่มากนกั เช่น บา้ นพกั อาศยั ทวั่ ไป การป้องกนั
ความเสียหายเนื่องจากการบวมตวั และหดตวั ของดินอาจทาไดโ้ ดยการวางตาแหน่งของฐานรากให้
ต่ากวา่ ระดบั ผวิ ดินอยา่ งนอ้ ย 0.90 m

บทท่ี 11 การอดั ตัวได้ของดนิ และการทรุดตัว 303

1000 10 20 30 40 50 60 70 80
90 20 30
80 (สูงมาก*)

(%) 70

60 * BRE Digest 240 (1980)

50 40 50 60 70 80
40 (%)
30

20
10
0 0 10

รูป 11.4 ศกั ยภาพการหดตวั และบวมตวั ของดินเหนียว (ดดั แปลงจาก Whitlow, 1995; BRE, 1980)

11.1.4 ผลจากนำ้ ใต้ดนิ ลดระดับลง

คุณสมบตั ิความเป็นพลาสติกสูงของดินเหนียวถือเป็นองคป์ ระกอบหลกั ท่ีทาให้ดินเกิดการทรุดตวั
ความเป็ นพลาสติกข้ึนอยู่กบั สององค์ประกอบคือ (1) สัดส่วนปริมาณดินเหนียวในมวลดิน และ
(2) ปริมาณน้าในมวลดิน กรณีตอ้ งก่อสร้างบนช้นั ดินเหนียวจึงตอ้ งระมดั ระวงั โดยเฉพาะเมื่อมี
ตน้ ไมบ้ างประเภทท่ีมีรากซ่ึงขยายตวั ในแนวรัศมีไดไ้ กลอยใู่ กลก้ บั โครงสร้าง ตวั อยา่ งเช่น ในเวลา
ปกติ ตน้ ไมด้ งั กล่าวจะดูดซึมความช้ืนใตด้ ินตลอดเวลา ทาใหช้ ้นั ดินมีสภาพความช้ืนท่ีสมดุล แต่
ถา้ วนั หน่ึงมีการตดั แนวตน้ ไมอ้ อก ปริมาณความช้ืนที่เพ่ิมข้ึนมาในมวลดินเนื่องจากฝนตกจะไม่
ถูกดูดซับไว้ ส่งผลให้ปริมาณความช้ืนในมวลดินเพิ่มข้ึน และอาจทาให้ดินบวมตวั จนส่งผล
เสียหายต่อโครงสร้าง ดงั น้นั การเพาะปลกู ในดินเหนียวหดตวั หรือบวมตวั ไดซ้ ่ึงอยใู่ กลก้ บั สิ่งปลูก
สร้างตอ้ งมีการตรวจสอบและควบคุมเป็นอยา่ งดี

การสูบน้าออกเนื่องจากการขุดดินจะทาให้ระดบั น้าใตด้ ินบริเวณใกลเ้ คียงลดระดบั ลง
ผลที่ตามมาก็คือ ดินอาจเกิดการทรุดตัวเพราะมีการลดลงของสภาพความดันน้าสมดุลสถิต
เน่ืองจากกระบวนการต่อไปน้ี (1) ในดินเหนียวบางชนิด การลดลงของปริมาณความช้ืนจะทาให้
ปริมาตรของดินลดลง ดงั น้นั ดินส่วนที่อยู่เหนือระดบั น้าใตด้ ินอาจหดตวั และ (2) การลดลงของ
ความดนั น้าสมดุลสถิตส่งผลใหค้ วามเคน้ ประสิทธิผลเน่ืองจากน้าหนกั ดินกดทบั ของดินช้นั ล่างมี
ค่าเพิ่มข้ึน ผลที่ตามมา คือ ดิน (โดยเฉพาะดินเหนียวอ่อน และดินท่ีม่ีส่วนผสมของซากพืชซาก
สัตว)์ ซ่ึงอยใู่ ตร้ ะดบั น้าอาจเกิดการอดั ตวั คายน้าเน่ืองจากการเพ่ิมข้ึนของคา่ ความเคน้ ประสิทธิผล

304 บทท่ี 11 การอดั ตัวได้ของดินและการทรุดตวั

11.1.5 ผลจากอุณหภูมิเปลีย่ นแปลง

ดินเหนียวซ่ึงอยใู่ ตฐ้ านรากสาหรับรองรับโครงสร้างเตาหลอมโลหะ เตาเผา เตาอบ และหมอ้ ตม้ น้า
อาจเกิดการหดตวั อย่างรุนแรงไดถ้ า้ อุณหภูมิสูงเกินไป สาหรับสถานการณ์เช่นน้ี อาจกาหนดให้มี
ช่องว่างระหวา่ งพ้ืนอาคารและระดบั พ้ืนดินหรือใชว้ สั ดุ เช่น เศษอิฐหรือเศษหินปูนอยูใ่ นช่องว่าง
ดังกล่าว สาหรับดินบางชนิด เช่น ตะกอน ทรายละเอียด และดินที่มีส่วนผสมผงหินชอล์ก
เมื่ออุณหภูมิลดต่าลง ดินดังกล่าวอาจเกิดการแข็งตัวได้ซ่ึงส่งผลให้ดินขยายตวั และปูดข้ึนมา
เน่ืองจากน้าสามารถขยายตวั ไดป้ ระมาณ 9 % เมื่อเกิดการแข็งตวั ดงั น้นั สาหรับดินอ่ิมตวั มีความ
หนา 2 m และมีความพรุน 40% เมื่อเกิดการแขง็ ตวั ดินอาจขยายตวั ไดเ้ ท่ากบั 0.090.402103 =
72 mm ถึงแม้ว่าพ้ืนท่ีส่วนใหญ่ของประเทศไทยไม่ได้อยู่ในเขตหนาว แต่ปัจจุบนั ภาคเหนือ
บางส่วนก็มีอากาศลดลงมากข้ึนในฤดูหนาว นอกจากน้นั การที่ดินเกิดการขยายตวั เม่ือแขง็ ตวั ก็อาจ
เกิดข้นึ ไดเ้ มื่อฐานรากตอ้ งรองรับอาคารห้องเยน็ ขนาดใหญ่

11.1.6 ผลจากการไหลซึมและการชะลา้ ง

สาหรับทรายบางชนิด เช่น ทรายละเอียดท่ีอยใู่ นสภาพแห้งและดินลมหอบ (Loess) เม่ือมีน้าไหล
ผ่านอาจส่งผลให้เกิดการชะลา้ งอนุภาคดินขนาดเลก็ ออกไปได้ การชะลา้ ง (Scouring) คือ การที่
วสั ดุถูกเคล่ือนยา้ ยเนื่องจากการไหลของน้าผิวดินหรือสายน้า นอกจากน้นั การท่ีท่อระบายน้าเสีย
หรือท่อน้าใตด้ ินเกิดความเสียหายก็อาจเป็ นสาเหตุของการชะลา้ งไดเ้ ช่นกนั เมื่อขุดดินภายใน
เขอื่ นก้นั น้าชว่ั คราวซี่งระดบั น้าอยสู่ ูงกวา่ ระดบั ท่ีจะขดุ ดิน อาจทาใหม้ ีการไหลของน้าซ่ึงมีทิศทาง
ข้ึนดา้ นบนจนอาจก่อให้เกิดการขาดเสถียรภาพเนื่องจากดินวบิ ตั ิเป็นรูปท่อ (Piping) สาหรับพ้ืนที่
แหง้ แลง้ บริเวณผวิ ดินอาจถูกชะลา้ งไดเ้ ช่นกนั โดยอิทธิพลของแรงลม

แร่ธาตทุ ่ีมีคุณสมบตั ิเป็นวสั ดุประสานซ่ึงประกอบอยใู่ นหินและดินบางชนิดอาจถูกชะลา้ ง
และละลายออกไปได้เนื่องจากน้าใต้ดินไหลผ่าน ส่งผลให้เกิดโพรงและช่องว่างน้าลอด
ถา้ ช่องว่างมีขนาดใหญ่จนตา้ นทานน้าหนกั กดทบั ดา้ นบนไม่ไหว ผลที่ตามมาคือการท่ีพ้ืนดินเกิด
การทรุดตวั เน่ืองจากโพรงหรือช่องทางน้าลอดวบิ ตั ิ การวบิ ตั ิลกั ษณะน้ีบางคร้ังเรียกวา่ หลุมยบุ

11.1.7 การสูญเสยี ระบบรองรบั ทางด้านข้าง

การขุดหลุมลึกขนาดใหญ่ซ่ึงอย่ใู กลก้ บั ฐานรากสิ่งปลกู สร้าง อาจส่งผลใหฐ้ านรากเกิดการเคลื่อน
ตวั จนโครงสร้างเกิดการวิบตั ิในท่ีสุด เนื่องจากกาลงั รับน้าหนกั บรรทุกของดินใตฐ้ านรากข้ึนอยู่
กบั การรองรับทางดา้ นขา้ งของดินซ่ึงอยู่โดยรอบ (เป็นองคป์ ระกอบหน่ึงสาหรับการคานวณกาลงั
รับน้าหนกั บรรทกุ ของดิน) แตถ่ า้ ดินทางดา้ นขา้ งถูกเคล่ือนยา้ ย (เช่น การขดุ ดินโดยไมม่ ีการรองรับ
ทางดา้ นขา้ ง) ดินใตฐ้ านรากอาจเกิดการวิบตั ิเนื่องจากการล่ืนไถลจากแรงเฉือน (ดังรูป 11.5 (a))

บทท่ี 11 การอดั ตวั ไดข้ องดินและการทรดุ ตวั 305

ในทานองเดียวกนั การทรุดตวั อาจข้ึนไดจ้ ากการท่ีลาดชนั ตามธรรมชาติเกิดการเคล่ือนตวั หรือ
บางคร้ังการขดุ ดินซ่ึงทาใหเ้ กิดลาดชนั ก็อาจส่งผลในทานองเดียวกนั (ดงั รูป 11.5 (b))

11.1.8 การทรุดตวั เนอ่ื งจากการทำเหมืองแร่

วิธีการทาเหมืองแร่อย่างง่าย คือ การขุดปล่องแนวด่ิงจนถึงความลึกท่ีมีแร่ธาตุ จากน้นั จึงขุดไป
ตามทางหรือตามแนวระนาบของสายแร่ การขุดท้งั แนวด่ิงและแนวนอนอาจมีหรือไม่มีระบบ
ค้ายนั ป้องกนั การพงั ทลายของแนวขุดเจาะ เมื่อขดุ แร่ท่ีตอ้ งการจนหมด อาจทิง้ หลุมขุดเจาะแร่ไป
โดยไม่ไดถ้ มหลุมคืน หรือบางคร้ังอาจเติมวสั ดุของเสียซ่ึงอยู่ในสถานะค่อนขา้ งหลวมและไม่มี
การบดอดั เขา้ ไปในโพรงท่ีเกิดจากการขุดเจาะ เมื่อเวลาผา่ นไป น้าหนกั กดทบั ดา้ นบนอาจทาให้
โพรงเหล่าน้ีเกิดการยบุ ตวั และส่งผลใหด้ ินทรุดตวั ตามลาดบั

เหมืองแร่เก่าหลายแห่งในอดีตไม่มีการทาแผนที่การขุดเจาะเอาไว้ หรือบางคร้ังอาจมี
แผนท่ี แต่ขอ้ มูลหลุมขุดเจาะไม่ตรงกบั สภาพความเป็ นจริง ดงั น้นั การก่อสร้างในบริเวณพ้ืนที่
เหมืองเก่าจึงตอ้ งมีการสารวจสภาพช้ันดินอย่างละเอียด เพ่ือป้องกนั การทรุดตัวท่ีมากเกินไป
ในอนาคตเน่ืองมาจากน้าหนกั ของสิ่งปลกู สร้างท่ีเพ่ิมข้นึ มา

(a)

การขุดดนิ โดยปราศจาก ระนาบลน่ื ไถลจากแรงเฉือน
ระบบรองรบั ความดันทางดา้ นขา้ ง
(b)
ทิศทางการ
เคลอื่ นตัว
ของฐานราก

ลาดชนั ธรรมชาติ

ทิศทางการเคลื่อนตัว ระนาบล่ืนไถลจากแรงเฉือน
ของมวลดนิ ลาดชัน

รูป 11.5 การทรุดตวั เนื่องจากการสูญเสียแนวรองรับทางดา้ นขา้ ง (a) ผลจากการขดุ ดนิ ใกลก้ บั ฐานราก
(b) ผลจากการเคล่ือนตวั ของลาดชนั

306 บทท่ี 11 การอดั ตวั ได้ของดินและการทรุดตวั

11.2 การทรดุ ตวั แบบทันทที นั ใด (ไมร่ ะบายน้ำ)

กรณีระดับความเครียดท่ีเกิดข้ึนมีค่าต่า พฤติกรรมความเคน้ – ความเครียดของมวลดินอิ่มตวั
ในสภาพไม่ระบายน้าเมื่อรับน้าหนกั กระทา จะมีความคลา้ ยกนั กบั พฤติกรรมของวสั ดุตนั ยดื หยนุ่
ทว่ั ไป สถานการณ์เช่นน้ีอาจเกิดข้ึนไดก้ บั พฤติกรรมของฐานรากเม่ือระดบั ความเคน้ จริงท่ีเกิดข้ึน
ในดินใตฐ้ านรากมีค่าประมาณหน่ึงในสามของความเค้นประลยั (เช่น เมื่อกาหนดให้ = 3)

แต่จะไม่เกิดข้ึนกบั ปัญหาที่เก่ียวกบั ลาดชนั และดินขดุ เน่ืองจาก ≈ 1.5

ดงั น้ัน ปัญหาของการทรุดตวั แบบทนั ทีทนั ใด (Immediate settlement) หรืออาจเรียกว่า
การทรุดตวั ยดื หยนุ่ (Elastic settlement) ก็คือปัญหาแบบยดื หยุ่นก่ึงอนนั ตแ์ ละน้าหนกั กระทาคร่ึง
ปริภูมิท่ีระดบั ผิวดิน (Semi-infinite elastic half-space loaded) และการคานวณค่าการทรุดตวั แบบ

ทนั ทีทนั ใด ( i) สามารถใชส้ มการ [7.75] ดงั น้ี

i = (1− 2) ρ


สาหรับสภาพไม่ระบายน้า อาจกาหนดให้ = u = 0.5 และ u อาจได้มาจากการ
ทดสอบสามแกนแบบไม่ระบายน้า เพื่อความสะดวกสาหรับการคานวณ สามารถสมมุติให้ u
มีค่าคงที่ตลอดสาหรับช้นั ดินน้นั ๆ (ในความเป็นจริง u จะมีคา่ เพ่มิ ข้ึนตามความลึก)

ตวั อยา่ ง 11.1 มีความเคน้ ขนาด 250 kN/m2 ถ่ายทอดสู่ฐานรากคอนกรีตแพขนาดยาว 32 m

กวา้ ง 18 m ที่ก่อสร้างบนช้นั ดินเหนียวอ่ิมตวั หนา 2 m คานวณค่าการทรุดตวั แบบทนั ทีทนั ใดท่ีจุด

ศนู ยก์ ลางฐานรากโดยสมมุติใหต้ วั ฐานรากเป็นแบบดดั ตวั ได้ และกาหนดให้

u = 45 MN/m2 = 0.5 = 19.5 kN/m3

(1− 2)

จากสมการ ซ่ึง i = ρ = 32 = 1.78

18

โดยการใชว้ ธิ ีแทรกค่าจากขอ้ มูลในตาราง 7.3 จะไดต้ วั ประกอบอิทธิพลดงั น้ี

ρ = 1.36 + (1.53 − 1.36) 1.78−1.50 = 1.46

2.00−1.50

ความดนั สัมผสั สุทธิในดิน = 250 − (19.5 × 2) = 211 kN/m2

211×103×18×(1−0.52)
45×106
ดงั น้นั m mm i
= × 1.46 = 0.0633 = 63.3

ค่า ρ จากตาราง 7.3 ต้งั อยู่บนสมมติฐานที่ว่า ช้นั ดินที่อยู่ใต้ฐานรากต้องมีความหนา
พอสมควร สาหรับกรณีที่ความหนาของช้ันดินมีค่าน้อยกว่าสองเท่าของความกวา้ งฐานราก
ค่าการทรุดตวั ที่คานวณไดอ้ าจมีค่าสูงกว่าความเป็นจริง ดงั น้นั ค่าการทรุดตวั เฉล่ียภายใตฐ้ านราก
ดดั ตวั ไดส้ าหรับช้นั ดินท่ีมีความหนาจากัดและมีช้นั ดินแข็งอยู่ดา้ นล่าง อาจคานวณโดยสมการ
[7.76] ดงั น้ี

บทท่ี 11 การอดั ตวั ไดข้ องดินและการทรุดตวั 307

น้ าหนกั กระทาแบบสมา่ เสมอ = q

D B

HT
HB

รูป 11.6 การคานวณการทรุดตวั สาหรับช้นั ดินความหนาจากดั

i = o 1 (1− 2)


ค่า o และ 1 ไดม้ าจากรูป 7.34 ซ่ึงข้ึนอยกู่ บั ความกวา้ งและความลึกของฐานรากรวมท้งั
ความหนาของช้นั ดินใตฐ้ านราก

สาหรับกรณีช้ันดินใตฐ้ านรากมีความหนาไม่มากนัก (ดังรูป 11.6) ค่าการทรุดตวั แบบ
ทันทีทันใดอาจคานวณได้โดยการเร่ิมตน้ หาค่า 1(B) ซ่ึงสอดคลอ้ งกับความหนาของช้ัน B
จากน้นั จึงหาคา่ 1(T) ที่สอดคลอ้ งกบั ความหนาช้นั T จากน้นั ค่าการทรุดตวั คานวณไดจ้ ากการ
กาหนดให้ 1 = 1(B) − 1(T)

ตวั อย่าง 11.2 ฐานรากขนาด 6  3 m จะถูกก่อสร้างเพ่ือรองรับความดนั สัมผสั สุทธิขนาด
200 kN/m2 โดยฐานรากอย่บู นช้นั ดินเหนียวท่ีระดบั ความลึก 1.5 m และช้นั ดินเหนียวมีความหนา
เท่ากบั 5 m กาหนดให้ u = 40 MN/m2 = 0.5 คานวณค่าการทรุดตวั แบบทนั ทีทนั ใด

จากโจทยพ์ บวา่ = 1.5 = 0.5 และ = 6.0 = 2.0
3.0 3.0

ซ่ึงจากรูป 7.34 พบวา่ o = 0.9

จากโจทยพ์ บวา่ = 3.5 = 1.7 และ = 2.0
3.0

ซ่ึงจากรูป 7.34 พบวา่ 1 = 0.55

0.9×0.55×200×103×3×(1−0.52)
40×106
ดงั น้นั m mm i =
= 0.00556 = 5.6

11.3 การทรดุ ตวั เนื่องจากการอดั ตัวคายนำ้

11.3.1 กระบวนการอัดตัวคายนำ้

การตกตะกอนตามธรรมชาติของดินเม็ดละเอียด เช่น ตะกอนและดินเหนียว จะตอ้ งผ่านข้นั ตอน
การอดั ตวั คายน้า (Consolidation) โดยเป็นกระบวนการท่ีน้าซ่ึงอยูร่ ะหวา่ งอนุภาคดินจะถูกรีดออก
จากมวลดินอยา่ งชา้ ๆ เน่ืองจากน้าหนกั ของดินดา้ นบนท่ีกดทบั อยู่ หลงั จากการตกตะกอนไดผ้ า่ น

308 บทท่ี 11 การอัดตัวไดข้ องดินและการทรดุ ตัว

ช่วงเวลาระยะหน่ึง (อาจใช้เวลานานหลายปี ) มวลดินจะเขา้ สู่สภาวะสมดุลและหยุดการอดั ตวั
ดินจะเกิดการอดั ตวั คายน้าแบบเต็มท่ี (Fully consolidated) ก็ต่อเม่ือระดบั ความเคน้ ในดินมีค่าคงท่ี
และปริมาตรของดินไม่เปลี่ยนแปลง ดินอดั ตวั คายน้าปกติ (Normally consolidated soil) คือการท่ี
สถานะของดินในปัจจุบนั สอดคลอ้ งกบั สถานะของดินที่ระดบั ความดนั อดั ตวั คายน้าสุดทา้ ย แตถ่ า้
ความดนั เนื่องจากน้าหนกั ดินกดทบั ในสถานะปัจจุบนั มีค่านอ้ ยกวา่ สถานะของดินที่ความดนั อดั ตวั
คายน้าสุดทา้ ยที่เคยเกิดข้นึ ในอดีต จะถูกเรียกวา่ ดินอดั ตวั คายน้าเกินปกติ (Overconsolidated soil)
เช่น ในอดีตช้นั ดินเคยถูกกดทบั ดว้ ยแผ่นน้าแข็งหนาแต่ปัจจุบนั น้าแข็งไดล้ ะลายหมดแลว้ หรือ
การท่ีช้นั ดินดา้ นบนถูกกดั เซาะเนื่องจากน้าหรือลมทาให้น้าหนกั กดทบั ที่เคยมีอยู่ลดนอ้ ยลง กรณี
ที่สภาพความเคน้ เกิดการเปล่ียนแปลงไปเช่นน้ี ตอ้ งมีการเปลี่ยนแปลงเกิดข้ึนในดินเพื่อเขา้ สู่
สถานะสมดุลใหม่

การพิจารณาการอดั ตวั ไดข้ องดินในเชิงกลศาสตร์ อาจสมมุติส่วนท่ีเป็ นเม็ดดินและน้า
อดั ตวั ไม่ได้ ดงั น้นั ผลกระทบทนั ทีทนั ใดเน่ืองจากการเพ่ิมข้ึนของความเคน้ รวมก็คือ การเพ่ิมข้นึ
ของความดนั น้า เม่ือน้าเร่ิมไหลออกจากมวลดินจะส่งผลใหค้ วามดนั น้าลดลงตามลาดบั และเมื่อ
ความดนั น้าไหลออกจากมวลดินจนหมด ดินจะเขา้ สู่สถานะอดั ตวั คายน้าแบบสมบรู ณ์

Terzaghi (1943) ไดเ้ สนอแบบจาลองมวลดินดงั แสดงในรูป 11.7 (a) เพื่อแสดงให้เห็นถึง
กระบวนการอดั ตวั คายน้าโดยกาหนดให้สปริงคือมวลดิน แบบจาลองกาหนดให้หัวกดไม่มีแรง
เสียดทานถูกรองรับดว้ ยสปริงและมีน้าอยู่เต็มกระบอกสูบ ถา้ มีน้าหนกั กระทาท่ีลูกสูบในขณะที่
วาลว์ น้าถกู ปิ ด ความยาวของสปริงจะยงั คงเทา่ เดิมเนื่องจากน้าอดั ตวั ไม่ได้ ถา้ น้าหนกั ที่กระทาต่อ
ลูกสูบทาใหเ้ กิดการเพิ่มข้ึนของความเคน้ รวมเท่ากบั ∆σ ดงั น้นั การเพิ่มข้ึนของความเคน้ ดงั กลา่ ว
ท้งั หมดจะทาให้ความดนั น้ามีค่าเพ่ิมข้ึนมาเท่ากนั กบั ความเคน้ ท่ีเพิ่มข้ึน (ดงั รูป 11.7 (b)) แต่เม่ือ
เปิ ดวาล์ว ความดันน้ าส่วนเกินจะทาให้น้ าไหลออกและส่งผลให้ความดันน้ ามีค่าลดลง
ในขณะเดียวกนั หวั กดก็ลดระดบั ลงและสปริงเกิดการอดั ตวั กระบวนการน้ีแสดงให้เห็นถึงการท่ี
น้าหนักกระทาถูกถ่ายทอดไปสู่สปริงตามลาดับ ส่งผลให้สปริงหดส้ันลงจนกระทง่ั ความเคน้
ท้ังหมดถูกรับโดยสปริ งเพียงอย่างเดียว ดังน้ันท่ีระยะสุดท้าย การเพิ่มข้ึนของความเค้น
ประสิทธิผล จะเทา่ กบั การเพม่ิ ข้ึนของความเคน้ รวมอนั เน่ืองจากแรงกระทา ในขณะที่ความดนั น้า
ส่วนเกินจะลดลงจนกลายเป็ นศูนย์ จะเห็นไดว้ ่าอตั ราการอดั ตวั ของสปริงข้ึนอยู่กบั ขอบเขตการ
เปิ ดของวาลว์ ซ่ึงคลา้ ยคลึงกบั คุณสมบตั ิการซึมไดข้ องน้าผา่ นดินนน่ั เอง ความแตกต่างก็คอื อตั รา
การลดลงของความดนั น้าของช้นั ดินเหนียวจะชา้ กวา่ แบบจาลองสปริงเป็นอยา่ งมาก เมื่อมีน้าหนกั
ภายนอกกระทาต่อช้นั ดินเหนียวอ่ิมตวั มีความหนามาก อาจตอ้ งใชเ้ วลาหลายสิบปี กว่าดินจะหยุด
การทรุดตวั เน่ืองจากการอดั ตวั คายน้า

บทท่ี 11 การอดั ตวั ไดข้ องดินและการทรดุ ตัว 309

น้ าหนกั กระทา (a)
หวั กด วาลว์

ความดนั น้า สปริง

s, u (b)
ตอนสุดทา้ ยD(เปuิ ด=วา0ลว์ ทิง้ ไวเ้ ป็ นเวลานาน)
ตอนเริ่มตน้ ให้น้าหนกั กระทา
Ds' = Ds
Du = Ds
Ds' = 0 Ds

Ds' เวลา

Du

รูป 11.7 การอดั ตวั คายน้าแบบมิติเดียว (a) แบบจาลองเทอร์ซากิ (Terzaghi’s model) (b) กราฟความสมั พนั ธ์
ระหว่างความเคน้ ในสปริงเทียบกบั เวลา

11.3.2 การอดั ตวั ของมวลดิน

การศึกษาพฤติกรรมการอดั ตวั คายน้าของดิน อาจพิจารณาให้ดินมีส่วนประกอบแบบโครงสร้าง
กระดูกของอนุภาคแร่ต่าง ๆ ที่ประกอบเขา้ ดว้ ยกนั จนเป็นมวลดินซ่ึงอดั ตวั ได้ (แต่ตวั เมด็ แร่เองไม่

สามารถอดั ตัวได้) นอกจากน้ัน ถ้ากาหนดให้ดินอ่ิมตัวตลอดเวลาในขณะที่เกิดกระบวนการ
อดั ตัวคายน้า ก็จะเป็ นไปตามกฎท่ีว่า การลดลงของปริมาตรมวลดินมีค่าเท่ากับปริมาณน้าท่ี
ถูกระบายออก หรืออีกนยั หน่ึง คอื การเปลี่ยนแปลงของอตั ราส่วนช่องวา่ งนน่ั เอง

เม่ือพิจารณาแบบจาลองมวลดินซ่ึงมีการเพ่ิมข้ึนของความเคน้ ประสิทธิผลกระทาต่อ
มวลดินแบบมิติเดียว (ดังรูป 11.8) แสดงว่า ปริมาตรท่ีเปล่ียนแปลงก็คือการเปล่ียนแปลง
ความหนาของตวั อย่างดิน (มิติทางดา้ นขา้ งของตวั อย่างดินไม่มีการเปล่ียนแปลง) เพราะฉะน้ัน
ปริมาตรท่ีเปล่ียนแปลงไป (∆ ) เนื่องจากการเพ่ิมข้ึนของความเคน้ ประสิทธิผล (∆σ) อาจแสดง
ไดโ้ ดยใช้การเปลี่ยนแปลงของความหนาตวั อย่างดิน (∆ ) หรือการเปล่ียนแปลงของอตั ราส่วน
ช่องวา่ ง (∆ ) ดงั น้นั อาจสร้างความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ี เพ่ือแสดงคา่ ความเครียดเชิงปริมาตร

v = ∆ = ∆ = ∆
o o 1+ o

จากสมการดังกล่าว การเปล่ียนแปลงของความหนาตวั อย่างดินซ่ึงมีความหนาเริ่มตน้

เทา่ กบั o จึงคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

310 บทท่ี 11 การอดั ตัวไดข้ องดนิ และการทรุดตัว

(a) (b)
Ds'
DH DV
H1 V1 De

ของเหลว eo ของเหลว e1

Ho Vo

ของแข็ง 1 ของแขง็ 1

Ds'

รูป 11.8 การอดั ตวั โดยแบบจาลองมวลดิน (a) ก่อนมีน้าหนกั กระทา (b) หลงั จากมีน้าหนกั กระทา มีการทรุดตวั
น้ าหนกั ระทา

น้ า แผน่ หินพรุน

ตวั อย่างดิน วงแหวน
รดั รอบ

รูป 11.9 เซลลโ์ ออิโดมิเตอร์ (Oedometer cell)

∆ = ∆ o [11. 1]
1+ o

จะเห็นไดว้ ่า ความเครียดเชิงปริมาตรเป็ นฟังก์ชนั ของการเพิ่มข้ึนของความเคน้ ดงั น้ัน

ค่าทรุดตัวเนื่องจากการอัดตัวคายน้า (Consolidation settlement, sc) อาจคานวณได้จากสมการ
ตอ่ ไปน้ี

c = ∆ = v∆σ o [11. 2]

เมื่อ ∆ คือ การเปล่ียนแปลงของความหนาตวั อย่างดิน และ v คือ สัมประสิทธ์ิการ
อดั ตวั ไดเ้ ชิงปริมาตร (Volume compressibility) โดยหน่วยของ v เป็ นส่วนกลบั ของความเคน้
เช่น m2/kN หรือ m2/MN

11.3.3 การทดสอบโออโิ ดมิเตอร์ (Oedometer test)

การอดั ตวั ไดข้ องดินมีความสัมพนั ธ์กบั ท้งั ปริมาณและอตั ราของการทรุดตวั ท่ีไดม้ าจากการทดสอบ
การอดั ตวั คายน้าโดยใชอ้ ุปกรณ์โออิโดมิเตอร์ (รูป 11. ) ซ่ึงทดสอบโดยใชต้ วั อยา่ งดินที่ตดั มาจาก

บทท่ี 11 การอัดตัวได้ของดนิ และการทรดุ ตัว 311

กระบอกเกบ็ ตวั อย่างและแต่งใหเ้ ป็นรูปจานโดยมีความหนา 15 ถึง 20 mm (โดยทว่ั ไป มีขนาดเส้น
ผ่านศูนยก์ ลางเท่ากบั 75 mm) จากน้นั นาตวั อย่างดินไปบรรจุในวงแหวนโลหะและปิ ดหัวทา้ ย
ดว้ ยแผ่นหินพรุน โดยให้ขนาดของแผ่นบนเล็กกว่าวงแหวนโลหะเล็กน้อยในขณะที่แผ่นล่าง
มีขนาดใหญก่ วา่ เลก็ นอ้ ย

เม่ือติดต้งั ตวั อย่างดินท่ีบรรจุอยใู่ นวงแหวนโลหะน้ีลงไปในเซลลแ์ ละยดึ ดว้ ยวงแหวนรัด
จากน้ัน จึงให้แรงกระทาแบบสถิตในแนวดิ่งต่อตวั อย่างดินพร้อมกบั บนั ทึกค่าการเปล่ียนแปลง
ของความหนาตวั อย่างดิน ทาการบนั ทึกผลการทดสอบแบบต่อเนื่องจนกระทงั่ ดินเกิดการอดั ตวั
คายน้าอยา่ งสมบรู ณ์ ซ่ึงโดยทว่ั ไปใชเ้ วลาประมาณ 24 ถึง 48 ชวั่ โมง จากน้นั จึงเพมิ่ น้าหนกั กระทา
ตอ่ ตวั อยา่ งดิน (การเพมิ่ แต่ละคร้ังใหม้ ากกวา่ คร้ังก่อนหนา้ สองเท่า) แลว้ บนั ทึกค่าแบบเดิม จานวน
คร้ังของการเพ่ิมน้าหนกั กระทาข้นึ อยกู่ บั ประเภทของดินและช่วงความเคน้ ท่ีคาดการณ์วา่ จะเกิดข้ึน
จริงในสนาม ค่าความเคน้ ท่ีกระทาต่อตวั อย่างดินคร้ังแรกควรเท่ากบั สภาพความเคน้ ในแนวด่ิง
ที่เกิดข้นึ จริงในสภาพสนามที่ระดบั ความลึกของตวั อยา่ งดินท่ีเก็บข้ึนมา แต่สาหรับดินเหนียวอ่อน
ถึงอ่อนมาก ค่าความเคน้ เร่ิมตน้ ควรมีค่าค่อนขา้ งต่า เช่น 25, 12, หรือ 6 kN/m2 และสาหรับดิน
เหนียวที่มีส่วนผสมของซากพืชซากสัตว์ ควรใชค้ วามเคน้ เริ่มตน้ แคป่ ระมาณ 1 kN/m2

หลงั จากตวั อยา่ งดินอดั ตวั คายน้าเตม็ ท่ีเม่ือใหน้ ้าหนกั กระทาสุดทา้ ย น้าหนกั กระทาจะถูก
ถอนออก (อาจถอนออกภายในคร้ังเดียวหรือถอนออกเป็นลาดบั ก็ได)้ และตวั อยา่ งดินจะถกู ปล่อย
ให้เกิดการบวมตวั การปล่อยให้ตวั อย่างดินบวมตวั กลบั ภายในคร้ังเดียว (ถอนน้าหนักกระทา
ท้งั หมดออกในคร้ังเดียว) จะทาให้ตวั อยา่ งดินกลบั คืนสู่สภาพสมดุลไดง้ ่ายข้ึนก่อนที่จะทาการหา
ปริมาณน้าในมวลดิน แต่ถา้ ถอนน้าหนกั กระทาออกเป็นข้นั ตอน อาจทาให้การหาปริมาณน้าเกิด
การผิดพลาดได้ กรณีท่ีตอ้ งการสร้างเส้นกราฟแสดงการบวมตวั คืนของตวั อย่างดินต้องถอน

น้าหนกั กระทาออกเป็นข้นั ตอน และบนั ทึกการเปลี่ยนแปลงความหนาตวั อยา่ งดินทกุ ข้นั ตอน

ค่าอตั ราส่วนช่องว่างท่ีสอดคลอ้ งกบั สถานะที่ดินอดั ตวั คายน้าเตม็ ท่ีสาหรับแต่ละน้าหนกั
กระทา อาจหาไดจ้ ากการคานวณยอ้ นกลบั โดยใชค้ ่าปริมาณน้าในมวลดินสุดทา้ ยและความหนา
ตวั อยา่ งดินสุดทา้ ย ดงั คาอธิบายตอ่ ไปน้ี

ปริมาณน้าหลงั จากการบวมตวั = 1
อตั ราส่วนช่องวา่ งหลงั จากการบวมตวั = 1 = 1 s ( r = 1.0 )
= ℎ1
ความหนาตวั อยา่ งดินเมื่อสิ้นสุดใหแ้ รงกระทา = ℎo
ความหนาตวั อยา่ งดินก่อนการใหแ้ รงกระทา = 1
= ∆ℎ
อตั ราส่วนช่องวา่ งเม่ือสิ้นสุดการใหแ้ รงกระทา
การเปล่ียนแปลงความหนาตวั อยา่ งดิน

312 บทที่ 11 การอดั ตัวไดข้ องดนิ และการทรุดตัว

จากสมการ [11.1] การเปล่ียนแปลงของอตั ราส่วนช่องวา่ ง คือ

∆ = ∆ℎ (1 + 1)
ℎ1

อตั ราส่วนช่องวา่ งตอนเร่ิมตน้ ใหน้ ้าหนกั กระทา คือ

o = 1 − ∆

11.3.4 กราฟระหวา่ งความเคน้ และอัตราสว่ นช่องวา่ ง (e/s)

ขอ้ มูลที่ไดจ้ ากการทดสอบการอดั ตัวคายน้าโดยโออิโดมิเตอร์ สามารถนามาแสดงให้เห็นถึง
ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งการเปล่ียนแปลงของอตั ราส่วนช่องว่างและการเปล่ียนแปลงของความเคน้
ประสิทธิผล วิธีพ้ืนฐานสาหรับการแสดงความสัมพนั ธ์ดงั กล่าว คือ การพล็อตกราฟระหว่างค่า
อตั ราส่วนช่องว่างและความเคน้ ประสิทธิผล (ดังรูป 11.10) และวิธีคานวณค่าทรุดตวั เน่ืองจากการ
อดั ตวั คายน้าก็คอื การใชผ้ ลที่ไดจ้ ากกราฟ /σ

ถ้าความเค้นในช้ันดินเหนียวซ่ึงมีความหนาเท่ากับ 0 เกิดการเปล่ียนแปลงจาก σ0
ไปเป็ น σ1 ดังน้ัน จากการพิจารณากราฟ /σ ก็จะได้ค่า 0 และ 1 ซ่ึงสอดคล้องกับการ
เปลี่ยนแปลงของความเค้นดังกล่าว เพราะฉะน้ัน จากสมการ [11.2] ค่าการทรุดตวั เน่ืองจาก
การอดั ตวั คายน้า จึงคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

c = ∆ = o− 1 o [11. 3]
1+ o

รูปร่างของกราฟ /σ ข้ึนอยู่กบั ประวตั ิการอดั ตวั คายน้าของดิน ตวั อย่างในรูป 11.11

แสดงถึงผลจากการถอนน้าหนักกระทาออกจากดินที่จุด A และปล่อยให้มีการขยายตัวกลับ
จากน้นั จึงใหน้ ้าหนกั กระทาอีกคร้ังหน่ึง ซ่ึงส่งผลใหเ้ กิดการอดั ตวั ซ้า (Recompression) เส้นกราฟ

การอดั ตวั ซ้าของดินควรกลบั ไปบรรจบกบั กราฟด้งั เดิมที่จุด A และควรมีความชนั นอ้ ยกวา่ (กราฟ
เดิม) เนื่องจากบางส่วนของการอดั ตวั ที่เกิดข้ึนคร้ังแรกไม่สามารถกลบั คืนมาได้ จากพฤติกรรม

ที่ไดอ้ ธิบายมาจะเห็นไดว้ า่ กราฟสาหรับดินเหนียวอดั ตวั คายน้าเกินปกติ มีความชนั นอ้ ยกว่าดิน

อดั ตวั คายน้าปกติ

รูป 11.12 แสดงกราฟ /σ สาหรับกระบวนการตกตะกอนและกัดเซาะของช้ันดิน
ซ่ึงส่งผลให้เกิดดินท่ีมีพฤติกรรมอดั ตวั คายน้าเกินปกติ กราฟ /σ สาหรับขณะเกิดกระบวนการ
ตกตะกอนของดินตามธรรมชาติมีชื่อว่ากราฟด้ังเดิม (Virgin curve) แต่เม่ือผ่านกระบวนการ
กดั เซาะหรือน้าแขง็ ท่ีอย่ดู า้ นบนละลายจะทาใหค้ วามเคน้ ดา้ นบนจะหายไป ซ่ึงส่งผลใหค้ วามเคน้
ประสิทธิผลมีค่าลดลงจากระดบั ความเคน้ ก่อนการอดั ตวั คายน้า (σy) ไปสู่ระดบั ความเคน้ กดทบั
ในปัจจุบนั (σo) และเป็นเหตุใหด้ ินกลายเป็นดินอดั ตวั คายน้าเกินปกติ

บทท่ี 11 การอดั ตัวไดข้ องดนิ และการทรุดตวั 313

e

eo s'1 s'
e1

s'0

รูป 11.10 กราฟระหวา่ งอตั ราส่วนช่องว่างและความเคน้ ประสิทธิผล

e

กราฟอดั ตัวซ้า
A กราฟอดั ตวั ปกติ

กราฟบวมตวั

s'

รูป 11.11 กราฟแสดงเส้นบวมตวั (Swelling) และอดั ตวั กลบั (Recompression)

e

eo เริ่มการตกตะกอน

สปภัจจาุพบนั เส้นอดั ตวั คายน้าดงั้ เดิม (Virgin consolidation curve)
ทีเ่ กิดข้ึนระหวา่ งการตกตะกอน น้าแข็งกดทบั

เกิดการกดั เซาะ น้าแข็งละลาย สิน้ สุดการอดั ตวั คายน้าปกติ
(ดินอยูใ่ นสภาพอดั ตวั คายนา้ เกินปกติ)
s'
ความเคน้ กดทsับ'สo ภาพปจั จุบนั ความเคน้ กs่อ'นy การอดั ตวั คายน้า

รูป 11.12 กราฟ e/σ แสดงกระบวนการอดั ตวั คายน้าท่ีเกิดข้ึนตามธรรมชาติ

314 บทที่ 11 การอดั ตัวไดข้ องดนิ และการทรดุ ตัว

e ผลเน่อื งจากประวตั กิ ารอัด
eoc ตวั คายน้าเกนิ ปกติในอดีต

eo การอดั ตัวซา้ เสน้ อดั ตวั คายน้าปกติ (Normal consolidation line)
De การบวมตวั
eo = eoc – Cc log s'
e1
เส้นเฉลยี่ สาหรับการบวมตัว อดั ตวั ซ้า

e = eos – Cs log s'

s'0 s'1 log s
D log s'

รูป 11.13 กราฟ / log σ และดชั นีอดั ตวั (Compression index)

11.3.5 ดัชนีการอดั ตัว (Cc)

หากนาขอ้ มูลจากการทดสอบอดั ตวั คายน้าไปพล็อตกราฟระหว่าง และ log σ จะพบว่ากราฟ
อดั ตวั คายน้าเกือบจะเป็ นแนวเส้นตรง (ดงั รูป 11.13) ส่วนแรกของกราฟซ่ึงเป็ นเส้นโคง้ แสดงถึง
สถานะก่อนการอดั ตวั คายน้า ถา้ ส่วนโคง้ น้ียง่ิ มีความยาวมาก แสดงวา่ ระดบั การอดั ตวั คายน้าเกิน
ปกติก็มากตามไปด้วย กรณีมีการถอนน้าหนักกระทาออกและให้น้าหนักกระทากลบั อีกคร้ัง
เส้นกราฟควรกลบั ไปบรรจบกบั เสน้ ตรงอดั ตวั คายน้าปกติท่ีจุดเดิม ค่าความชนั ของเส้นตรงอดั ตวั
คายน้าปกติมีชื่อเรียกว่า ดัชนีการอดั ตัว (Compression index, Cc) และคานวณได้จากสมการ
ตอ่ ไปน้ี

c = ∆ = o− 1 [11. 4]
∆ log σ log(σ1/σ0)

ดงั น้นั คา่ อตั ราส่วนช่องวา่ งที่จุดใด ๆ เมื่อมีการเปล่ียนแปลงค่าของความเคน้ ประสิทธิผล

อาจคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

1 = o − c log(σ1/σ0) [11. 5]

ดชั นีการอดั ตวั สาหรับดินประเภทใด ๆ อาจถือได้ว่าเป็ นค่าคงท่ีสาหรับการคานวณค่า

การทรุดตวั ของดินน้นั ๆ ถา้ กาหนดใหช้ ่วงของความเคน้ ประสิทธิผลท่ีเกี่ยวขอ้ งอยภู่ ายในขีดจากดั

ของเสน้ ตรงอดั ตวั คายน้าปกติ (มีพฤติกรรมคลา้ ยกบั ดินเหนียวอดั ตวั คายน้าปกติ)

พจิ ารณาสมการ [11.5] และกาหนดให้ o − 1 = c log(σ1/σ0)
ดงั น้นั การทรุดตวั เนื่องจากการอดั ตวั คายน้าจึงคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

บทที่ 11 การอัดตัวไดข้ องดนิ และการทรดุ ตัว 315

eE S = Q
= R
T
A

P

B

T

C log s'
s'p

รูป 11.14 วิธีคาซากรานด์ (Casagrande’s method) สาหรบั หาความเคน้ ก่อนการอดั ตวั คายน้า

c = c log(σ1/σ0) o [11. 6]
1+ o

ขอ้ มูลท่ีไดจ้ ากการทดลองแสดงให้เห็นวา่ ค่าดชั นีการอดั ตวั ( c) สาหรับดินเหนียวอดั ตวั
คายน้าปกติยงั ข้ึนอยกู่ บั คา่ ขีดจากดั เหลว ( L) ดงั ต่อไปน้ี

c ≅ 0.009( L − 10) ( L = %) [11. 7]

จากรูป 11.13 ความชนั โดยเฉลี่ยของกราฟบวมตวั – อดั ตวั ซ้า (Swelling/recompression
curve) มีชื่อเรียกวา่ ดชั นีการบวมตวั (Swelling index, Cs)

11.3.6 การหาความเค้นก่อนการอัดตวั คายนำ้

คาซากรานด์ไดเ้ สนอวิธีเชิงประสบการณ์แบบกราฟฟิ ก (Empirical graphical method) โดยอาศยั

พ้ืนฐานจากกราฟ /log σ เพื่อหาค่าความเค้นก่อนการอดั ตวั คายน้า (Preconsolidation stress
ดงั รูป 11.14) คาอธิบายต่อไปน้ีคือข้นั ตอนสาหรับการหาค่าดงั กล่าว

ข้นั ตอนแรกของวิธีน้ีคือการกาหนดจุด P ซ่ึงเป็นจุดที่อยู่ระหวา่ งจุด A และ B และกราฟ
มีความโคง้ มากท่ีสุด จากน้นั จึงลากเสน้ ตรงสองเส้นผา่ นจุด P เส้นแรก คอื เส้นสัมผสั TPT และ
เส้นท่ีสอง คือ เส้น PQ ซ่ึงลากจากจุด P ขนานกับแนวนอนไปทางขวามือ จากน้ันจึงทาการ
ลากเสน้ PR เพือ่ แบ่งคร่ึงมมุ TPQ และตอ่ ดว้ ยการลากเสน้ ตรงเช่ือมระหวา่ งจุด C และ B ไปตดั

กบั เส้น PR ท่ีจุด S ค่าความเคน้ ก่อนการอดั ตวั คายน้า (σp) คือค่าความเคน้ บนแกนแนวนอนซ่ึง
ไดจ้ ากการลากเสน้ ตรงจากจุด S เป็นมมุ ดิ่งลงมาตดั กบั แกน X

คา่ ความเคน้ ก่อนการอดั ตวั คายน้าดงั กลา่ ว สามารถนาไปใชเ้ พอ่ื เป็นแนวทางสาหรับจากดั
ค่าการทรุดตวั ของดินเหนียวอดั ตวั คายน้าเกินปกติ โดยอาศยั สมมติฐานที่ว่า ขนาดของการอดั ตวั

316 บทท่ี 11 การอดั ตวั ได้ของดนิ และการทรุดตวั

ที่เกิดจากกระบวนการอัดตัวคายน้ายงั คงไม่มากนักและตราบที่การเพ่ิมข้ึนของความเค้น
ประสิทธิผลยงั คงนอ้ ยกวา่ σp

11.3.7 สัมประสทิ ธก์ิ ารอัดตัวเชิงปริมาตร (mv)

ค่าสัมประสิทธ์ิการอดั ตวั เชิงปริมาตร (Coefficient of volume compressibility) ดงั แสดงในสมการ
[11.2] แสดงถึงปริมาณการเปลี่ยนแปลงเทียบกบั หน่ึงหน่วยปริมาตร ซ่ึงเป็นผลมาจากการเพิ่มข้นึ
ของความเคน้ ประสิทธิผลหน่ึงหน่วย อยา่ งไรก็ตาม ค่า v สาหรับดินประเภทใด ๆ ไม่ใช่คา่ คงที่
แต่มีค่าแปรเปล่ียนไปตามระดบั ของความเคน้ ประสิทธิผล โดยทวั่ ไป ค่า v ไดม้ าจากผลการ
ทดสอบโออิโดมิเตอร์

จากสมการ [11.2] c = ∆ = vσ

ดงั น้นั แกส้ มการเพ่อื หาคา่ v จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ดงั น้ี

v = ∆
∆σ

แตจ่ ากสมการ [11.3] ∆ = o− 1 = ∆
1+ o 1+ o

ทาการแทนค่า v = ∆ ลงในสมการ [11.3] ไดเ้ ป็นสมการใหม่ดงั ตอ่ ไปน้ี
∆σ

v = ∆ ∙ 1 [11. 8]
∆σ 1+ o

เม่ือ ∆ คือ ความชนั ของกราฟ / σ
∆σ

นอกจากน้นั v ยงั เป็นส่วนกลบั ของโมดูลสั จากดั (Confined modulus) หรือ v = 1
o

ตวั อย่าง 11.3 ขอ้ มูลในตารางต่อไปน้ีได้จากการทดสอบโออิโดมิเตอร์กบั ตวั อย่างดิน
เหนียวอ่ิมตวั น้าหนกั กระทาแต่ละระยะถูกคงไวเ้ ป็ นเวลา 24 ชวั่ โมง ก่อนที่จะเพ่ิมน้าหนกั ระยะ
ต่อไป

คว ม ค้ (kN/m2) 0 25 50 100 200 400 800
คว ม ว ย่ ง (mm) 19.61 19.26 18.99 18.62 18.15 17.69 17.25

เมื่อน้าหนกั กระทาระยะสุดทา้ ยสิ้นสุดลง น้าหนกั ท้งั หมดถูกถอนออก และตวั อย่างดินถูกปล่อย
ให้บวมตวั กลบั เป็ นเวลา 24 ชวั่ โมง และความหนาตวั อย่างสุดทา้ ยคือ 17.91 mm ค่าปริมาณน้า
สุดทา้ ยคือ 31.5 % ความถว่ งจาเพาะคือ 2.66

บทท่ี 11 การอดั ตวั ได้ของดินและการทรุดตวั 317

(a) พล็อตกราฟ / σ และหาค่าสัมประสิทธ์ิการอดั ตวั เชิงปริมาตร ( v) สาหรับช่วงความเคน้
ประสิทธิผล 220 ถึง 360 kN/m2
(b) พลอ็ ตกราฟ / log σ และหาคา่ ดชั นีการอดั ตวั ( c) และความเคน้ ก่อนการอดั ตวั คายน้า (σp)
(c) พลอ็ ตกราฟ v / σ
(d) ใชข้ อ้ มูลซ่ึงไดจ้ ากขอ้ (a), (b) และ (c) เพื่อคานวณและเปรียบเทียบค่าทรุดตวั เนื่องจากการอดั

ตวั คายน้า สาหรับช้นั ดินหนา 3 m เมื่อค่าความเคน้ ประสิทธิผลเฉลี่ยมีค่าแปรเปลี่ยนระหวา่ ง 220
ถึง 360 kN/m2

ข้นั ตอนแรก คานวณค่าอตั ราส่วนช่องวา่ งสุดทา้ ย จากสมการ

1 = 1 s = 0.315 × 2.66 = 0.838

การเปล่ียนแปลงของอตั ราส่วนช่องวา่ ง คอื ∆ = ∆ℎ (1 + 1)
ℎ1

ตวั อยา่ งเช่น เม่ือดินบวมตวั ค่าความเปล่ียนแปลงคือ ∆ = (17.91−17.25) (1 + 0.838) = 0.068
17.91

นาค่า ∆ ดงั กล่าว (ค่าสุดทา้ ยเม่ือดินบวมตวั ) ไปคานวณเพ่ือหาค่าอตั ราส่วนช่องว่าง สาหรับช่วง

น้าหนกั กระทา 400 – 800 kN/m2 ไดด้ งั ต่อไปน้ี (คานวณยอ้ นกลบั )

(400−800) = 1 − ∆ (swelling) = 0.838 − 0.068 = 0.770

ดงั น้นั ∆ สาหรับช่วงน้าหนกั กระทา 400 – 800 kN/m2 คือ

∆ = (17.25−17.69) (1 + 0.770) = −0.045

17.25

ผลการคานวณสาหรับทุกช่วงของน้าหนกั กระทา แสดงในรูปของตารางต่อไปน้ี

s Ds h Dh De e log s De/ Ds m v

(kN/m2) (kN/m2) (mm) (mm) x 10-3 (m2/MN)
0 19.61 1.012
25 -0.35 -0.036 1.437 0.714
25 19.26 0.977 1.40
25 -0.27 -0.028 1.108 0.561
50 18.99 0.949 1.70
50 -0.37 -0.038 0.759 0.390
100 18.62 0.911 2.00
100 -0.47 -0.048 0.482 0.252
200 18.15 0.863 2.30
200 -0.46 -0.047 0.236 0.127
400 17.69 0.815 2.60
400 -0.44 -0.045 0.113 0.062
800 17.25 0.770 2.90
0.66 0.068
0 17.91 0.838

(a) นาคา่ จากตารางไปพลอ็ ตกราฟ / σ ดงั แสดงในรูป 11.15

318 บทท่ี 11 การอดั ตวั ไดข้ องดินและการทรดุ ตวั

รูป 11.15 กราฟ / σ สาหรับตวั อยา่ ง 11.3

จากกราฟในรูป 11.15 พบวา่ สาหรับ σ0 = 220, = 0.858 และ σ1 = 360, = 0.825
ดงั น้นั จากสมการ [11.8]

2 = 0.127 2
m /kN m /MN v
= ∆ ∙ 1 = (0.858−0.825) ∙ 1 = 1.268
∆σ 1+ o (360−220) (1+0.858)

(b) กราฟ / log σ แสดงไวใ้ นรูป 11.16

ดชั นีการอดั ตวั c คือ ความชนั ของส่วนท่ีเป็นเส้นตรง และคานวณไดจ้ าก

c = 0.860−0.770 = 0.154
log 800−log 200

โดยใชว้ ิธีของคาซากรานด์ ความเคน้ ก่อนการอดั ตวั คายน้า คอื σp = 61 kN/m2

(c) คา่ ในคอลมั นส์ ุดทา้ ยของตารางคานวณ ไดม้ าจากสมการ v = ∆ ∙ 1
∆σ 1+ o

รูป 11.17 แสดงกราฟ v / σ โดยค่า v ถูกพล็อตท่ีจุดสิ้นสุดของแต่ละระยะน้าหนักกระทา

(หรืออาจพลอ็ ตค่า v ที่จุดก่ึงกลาง โดยใชค้ ่าเฉล่ียของ สาหรับแต่ละระยะน้าหนกั กระทา)

(d) จากขอ้ (a)

c = v∆σ = 0.127 × 10−3 × (360 − 220) × 3 = 0.0533 m = 53.3 mm

จากขอ้ (b) c = c log(σ1/σ0) o = 0.154 log(360/220) × 3
1+ o 1+0.858

จากขอ้ (b) c = 0.0532 m = 53.2 mm

จากขอ้ (c) โดยใชข้ อ้ มูลในรูป 11.17

บทท่ี 11 การอดั ตัวได้ของดินและการทรุดตัว 319

ท่ี σ1 = 360 kN/m2 ค่า v = 0.15 m2/MN
ดงั น้นั c = 0.14 × 10−3 × (360 − 220) × 3 = 0.0588 m = 58.8 mm

รูป 11.16 กราฟ / log σ สาหรับตวั อยา่ ง 11.3
รูป 11.17 กราฟ v / σ สาหรับตวั อยา่ ง 11.4

320 บทท่ี 11 การอดั ตวั ไดข้ องดินและการทรดุ ตวั

11.4 อตั ราการอัดตัวคายน้ำ

การทรุดตวั แบบทนั ทีทนั ใดอาจถกู กาหนดให้เป็นการอดั ตวั แบบยดื หยุน่ ของมวลดินท่ีเกิดข้ึนทนั ที
เมื่อมีน้าหนกั กระทา แต่สาหรับการทรุดตวั เนื่องจากการอดั ตวั คายน้า ตอ้ งมีการเวน้ ช่วงเวลาระยะ
หน่ึงก่อนท่ีน้าจะเริ่มไหลออกจากมวลดินและความดนั น้าส่วนเกินเร่ิมสลายตวั เพราะฉะน้นั อตั รา
การอัดตัวคายน้าของดินจึงข้ึนอยู่กับคุณสมบัติการซึมได้ของน้าผ่านดิน นอกจากน้ัน อัตรา
การอดั ตวั คายน้ายงั ข้ึนอยกู่ บั การเปลี่ยนรูปร่างอยา่ งชา้ ๆ ในระดบั โครงสร้างอนุภาคของดินและ
การอัดตวั ได้ของส่วนประกอบในมวลดิน เช่น อากาศ ไอน้า และสารอินทรีย์ ดินที่มีปัญหา
การทรุดตวั มากท่ีสุด คือดินเหนียวและตะกอนอิ่มตวั สมบูรณ์ เช่น ตะกอนบริเวณปากแม่น้า

11.4.1 ทฤษฎกี ารอัดตัวคายนำ้ ของเทอรซ์ ากิ

เทอร์ซากิไดน้ าเสนอทฤษฎีซ่ึงอาศยั พ้นื ฐานแบบจาลองดงั แสดงในรูป 11.7 สาหรับการประเมินค่า
อดั ตวั คายน้าปฐมภูมิ ต่อมาไดม้ ีการศึกษาและขยายขอบเขตแบบจาลองจนกลายเป็ นทฤษฎีการ
อดั ตวั คายน้า โดยอยบู่ นพ้นื ฐานของสมมติฐานดงั ตอ่ ไปน้ี

(1) ดินอ่ิมตวั สมบูรณ์และมีคณุ สมบตั ิเป็นเน้ือเดียวกนั
(2) น้าและอนุภาคดินไมเ่ กิดการอดั ตวั เม่ือมีมีความเคน้ กระทา
(3) การไหลของน้าผา่ นดินเขา้ ขา่ ยกฎของดาร์ซี่ (Darcy’s law)
(4) การเปลี่ยนแปลงของปริมาตรมวลดินเกิดข้ึนแบบมิติเดียวและมีทิศทางเดียวกนั

กบั ความเคน้ ที่กระทา
(5) ค่าสัมประสิทธ์ิการซึมไดข้ องน้าผ่านมวลดินในทิศทางความเคน้ กระทายงั มีค่า

เทา่ เดิม (ท้งั ก่อนและหลงั มีความเคน้ กระทา)
(6) การเปล่ียนแปลงของปริมาตรมวลดินสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงข อง

อตั ราส่วนช่องวา่ ง และ ∂ / ∂σ ยงั มีคา่ คงเดิม

รูป 11.18 แสดงช้ันดินเหนียวรับการเพ่ิมข้ึนของความเค้นรวมในแนวดิ่ง ∆σ1 อย่าง
ทนั ทีทนั ใด และความเคน้ ไดก้ ระจายตวั อยา่ งสม่าเสมอทวั่ พ้ืนท่ีก่ึงอนนั ตข์ องช้นั ดินเหนียว ท่ีเวลา
ซ่ึงเริ่มมีน้าหนกั กระทา (Time = 0) ความดนั น้าในช้นั ดินเหนียวจะเพม่ิ ข้นึ เท่ากบั ∆ o (หมายความ
ว่า ∆ o = ∆σ1) และมีค่าเท่ากนั ตลอดท้งั ความหนา ของช้นั ดินเหนียว การเพ่ิมข้ึนของความ
ดนั น้าในระยะน้ีแสดงโดยใชแ้ ผนรูปภาพ abcd (ดงั รูป 11.18 (b)) หลงั จากเวลา (t) ผ่านไประยะ
หน่ึง ความดันน้าจะสลายตวั และระบายเขา้ ไปยงั ช้ันดินทรายที่อยู่ดา้ นบนและด้านล่างของช้นั
ดินเหนียว ทาให้ความดนั น้าส่วนเกินดงั กล่าวลดลงตามลาดบั ดงั แสดงโดยแผนภูมิรูปภาพของ
ส่วนที่ไม่ระบายน้าของรูป abcd

บทที่ 11 การอัดตวั ไดข้ องดินและการทรดุ ตวั 321

(a) (b)

นา้ หนกั กระทาแบบกระจายสมา่ เสมอ dh to t1 t2

t4 t6 t

ระดบั น้าใตด้ ิน h

ทราย Ds1 uo=Ds1
a
b
Ds1 uz
d=H dz
dx z
ดินเหนีย ว 2

H

d=H
2

ทร าย dc

รูป 11.18 การกระจายตวั ของความดนั น้าส่วนเกินในช้นั ดินเหนียวเน่ืองการเพิม่ ข้นึ แบบสม่าเสมอ
ของความเคน้ แนวด่ิง (a) รูปตดั ตามแนวระดบั (b) การกระจายตวั ของความดนั น้าส่วนเกิน

เม่ือพิจารณาชิ้นส่วนเลก็ ๆ ของช้นั ดินซ่ึงมีความหนาเท่ากบั d ท่ีอยภู่ ายในช้นั ดินเหนียว
พบว่าเมื่อเวลาผ่านไปเท่ากบั ค่าความดนั น้าส่วนเกินมีค่าเท่ากบั และโดยการสมมุติให้มีท่อ
ถ่ายน้า (Standpipe รูป 10.18 (a)) อยู่ที่ด้านบนและด้านล่างของชิ้นส่วนดินดงั กล่าว พบว่าการ
ลดลงของความดนั น้าของชิ้นส่วนดินมีคา่ เท่ากบั dℎ

รูป 11.19 แสดงชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของช้ันดินซ่ึงมีรูปทรงแบบปริซึมและมีมิติเท่ากับ
d × d × d สภาพการระบายน้าตามขวางของชิ้นส่วนดินเป็ นแบบมิติเดียวโดยระบายตาม
ทิศทางแกน และมีความชนั ไฮดรอลิกเท่ากบั − ∂ℎ/ ∂ โดยสภาพการไหลดงั กล่าวสามารถ

อธิบายไดโ้ ดยการใชก้ ฎของดาร์ซ่ี ดงั ต่อไปน้ี

ปริมาณน้าไหลเขา้ ตวั อยา่ งดิน คือ

z0 = = = − ℎ d d ( = พ้ืนที่หนา้ ที่ของเส้นทางการไหล)


และปริมาณน้าไหลออกจากตวั อยา่ งดิน คอื

z1 = − ℎ d d + ( ℎ) d d d



ดงั น้นั อตั ราการไหลสุทธิท่ีไหลออกจากชิ้นส่วนช้นั ดินคือ − 2ℎ d d d
2

เม่ือ คอื สมั ประสิทธ์ิการซึมไดข้ องน้าผา่ นดิน

322 บทท่ี 11 การอดั ตัวไดข้ องดนิ และการทรุดตัว

น(Fา้ lไoหwลoอuอt)ก = k − h +   − h dz dydx
 z z  z 

dz

dx dy

น(Fา้ lไoหwลinเข)า้ = k  − h  dy dx
 z 
 

รูป 11.19 การไหลแบบมิติเดียวผา่ นชิ้นส่วนมวลดินรูปทรงปริซึม

ปริมาตรช่องวา่ งในชิ้นส่วนช้นั ดินคือ d d d
1+

ดงั น้นั อตั ราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรช่องวา่ ง คือ

( d d d ) = ∙ 1 d d d
1+ 1+

เม่ือพิจารณามาถึงข้นั ตอนน้ี อตั ราการไหลออกจากชิ้นส่วนช้นั ดินจะตอ้ งมีค่าเท่ากบั การ
เปลี่ยนแปลงของปริมาตรช่องวา่ ง ซ่ึงแสดงเป็นสมการไดด้ งั น้ี

2ℎ = ∙ 1
2 1+

แตเ่ น่ืองจาก ℎ = และ v = − ∙ 1
γw 1+
s

และ ถกู สมมตุ ิใหม้ ีค่าคงที่ โดยที่ s ยงั คงมีคา่ คงที่เช่นกนั
s

โดยการแทนคา่ 2 = − v s =
γw 2

หรือ 2 = − s =
vγw 2

กาหนดใหค้ ่าสมั ประสิทธ์ิการอดั ตวั คายน้า (Coefficient of consolidation) คอื

v =
vγw

ดงั น้นั จะไดค้ วามสมั พนั ธ์ดงั ตอ่ ไปน้ี

= v 2 [11. 9]
2

บทท่ี 11 การอัดตวั ได้ของดินและการทรดุ ตวั 323

สมการ [11.9] คือ สมการเชิงอนุพนั ธ์สาหรับการอธิบายการอดั ตวั คายน้า การแกป้ ัญหา
ของสมการดงั กล่าวตอ้ งมีการแทนคา่ ตวั ประกอบไร้มิติดงั ตอ่ ไปน้ี

คา่ ระดบั การอดั ตวั คายน้า (Degree of consolidation)

z = o− = o−
f− o o

ตวั ประกอบเวลา (Time factor)

v = v
2

อตั ราส่วนทางเดินการระบายน้า (Drainage path ratio)

= = อตั ราส่วนช่องวา่ งเร่ิมตน้
= อตั ราส่วนช่องวา่ งหลงั เวลาผา่ นไปเท่ากบั
= อตั ราส่วนช่องวา่ งสุดทา้ ย
= ความดนั น้าส่วนเกินเริ่มตน้ = ∆σ1
เมื่อ eo = ความดนั น้าส่วนเกินหลงั เวลาผา่ นไปเท่ากบั
= เวลา
e
ef = ความยาวของเสน้ ทางระบายน้า
uo
u
t
d

ทาการแทนค่าตวั ประกอบไร้มิติลงในสมการ [11.9] จะไดส้ มการ 2 z = z
2 v

รูปแบบการอดั ตวั คายน้าดงั แสดงในรูป 11.18 เป็ นสภาพท่ีเกิดข้ึนได้มากท่ีสุด ซ่ึงการ
ระบายน้าออกจากช้ันดินเหนียวเป็ นแบบมิติเดียว และการกระจายตวั ของความดันน้าส่วนเกิน
ตอนเร่ิมตน้ มีลกั ษณะสม่าเสมอตลอดท้งั ความหนาของช้นั ดินเหนียวในขณะท่ีความเคน้ รวมยงั คง

มีค่าคงท่ีแมเ้ วลาผ่านไป สภาพเช่นน้ีเหมือนกบั การทดสอบการอดั ตวั คายน้าโดยใชโ้ ออิโดมิเตอร์
โดยมีรูปแบบของสภาพขอบเขตของการทดสอบดงั ตอ่ ไปน้ี

v = 0 to ∞ = 0 to 2 = 0

v = 0 to ∞ = 2 = 0

v = 0 = 0 to 2 = ∆σ1

โดยการนาค่าตวั แปรสาหรับสภาพขอบเขตดงั กล่าวแทนที่ในสมการอดั ตวั คายน้า จะทา
ใหส้ ามารถหาคาตอบของสมการไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

z = 1 − ∑ ==∞0 2 sin( ) −2 2 v [11. 10]


324 บทที่ 11 การอดั ตัวได้ของดนิ และการทรุดตัว

เมื่อ M = π (2 + 1)
m 2

= 0, 1, 2, … etc

สมการ [11.10] แสดงถึงค่าระดบั ของการอดั ตวั คายน้าที่สอดคลอ้ งกบั ความลึก แต่ถา้
ตอ้ งการหาระดบั การอดั ตวั คายน้าเฉลี่ยของช้นั ดิน ( ̅ ) ตอ้ งใชส้ มการดงั ต่อไปน้ี

̅ = 1 − ∑ ==∞0 2 − 2 v [11. 11]
2

เม่ือ ̅ = t
f
st = คา่ ทรุดตวั เน่ืองจากการอดั ตวั คายน้าที่เวลา ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั v
sf
= คา่ ทรุดตวั สุดทา้ ยเนื่องจากการอดั ตวั คายน้า

11.4.2 ผลของการระบายน้ำและสภาพความเคน้ เริ่มตน้

กลุ่มเส้นกราฟซ่ึงแสดงการกระจายตวั ของความดนั น้า (รูป 11.18 (b)) มีชื่อเรียกว่า ไอโซโครน
(Isochrone เส้นเช่ือมต่อจุดต่าง ๆ ที่มีค่าเท่ากนั ) รูปร่างของกราฟข้ึนอยกู่ บั (1) การกระจายตวั ของ

การเพ่ิมข้ึนของความเคน้ รวม (∆σ1) ในตอนตน้ ที่เกิดข้ึนตามแนวขวางของช้นั ดิน และ (2) สภาพ
การระบายน้าท้งั ที่ขอบเขตดา้ นบนและดา้ นล่างของช้นั ดิน กรณีที่น้าสามารถระบายออกไดอ้ ย่าง
อิสระท้งั ทางดา้ นบนและดา้ นล่าง เรียกช้นั ดินแบบน้ีวา่ ช้นั ดินเปิ ด (Open layer) และความยาวของ
เสน้ ทางระบายน้า ( ) มีค่าเท่ากบั คร่ึงหน่ึงของความหนาช้นั ดิน (ดงั รูป 11.20) แต่ถา้ การระบายน้า
อย่างอิสระเกิดข้ึนเฉพาะที่ขอบเขตของช้ันดินเพียงด้านเดียว เรียกสภาพระบายน้าแบบน้ีว่า
ช้นั คร่ึงปิ ด (Half-closed layer) และความยาวของเส้นทางระบายน้า ( ) เท่ากบั ความหนาช้นั ดิน

ขอบเขตช้นั ทึบน้า (Impermeable boundary) อาจอยู่ในรูปของฐานรากคอนกรีตหรือช้ัน
ดินเหนียวและช้นั หินท่ีมีค่าการซึมไดข้ องน้าต่ามาก ขอบเขตช้นั ดินที่น้าซึมผ่านได้ (Permeable
boundary) คือช้นั ดินไม่มีแรงยึดเหนี่ยวและช้ันหินน้าซึมผ่านได้ (เช่น หินทราย) ในทางปฏิบตั ิ
อาจตอ้ งทาการเลือกรูปแบบการกระจายตวั ของความเคน้ ตอนเริ่มตน้ ซ่ึงข้ึนอยกู่ บั ลกั ษณะของการ
ก่อสร้าง รูปแบบพ้ืนฐานทวั่ ไป คือ การสมมุติให้การกระจายตวั ของความเคน้ เป็ นแบบเส้นตรง
(โดยประมาณ) อย่างง่าย รูป 11.21 แสดงรูปแบบการกระจายตวั ของความเคน้ สาหรับช้นั ดินเปิ ด
และช้นั ดินคร่ึงปิ ด ในความเป็นจริง รูปแบบการกระจายตวั ท่ีเกิดข้ึนจะซับซ้อนมากกวา่ น้ี แต่ก็
อาจพจิ ารณาใหม้ ีความซบั ซ้อนนอ้ ยลงมาซ่ึงจะเป็นรูปแบบท่ีอยรู่ ะหวา่ งรูปแบบที่ซบั ซอ้ นมากและ

รูปแบบพ้ืนฐาน

เม่ือพิจารณาสภาพปัญหาที่อาจเกิดข้ึนจริงในทางปฏิบตั ิ พบว่ามีเพียงแค่ 3 กรณีที่ตอ้ ง
ประเมินเพอื่ หาคาตอบสาหรับสมการ [11.11]

บทที่ 11 การอัดตัวได้ของดนิ และการทรดุ ตัว 325

(a) (b)

ชัน้ น้าซมึ ผ่านได้ ชัน้ น้าซมึ ผ่านได้

เสน้ ทางการไหลซึม, d
H H เสน้ ทางการไหลซมึ , d

เส้นทางการไหลซึม, d

ชัน้ น้าซมึ ผา่ นได้ ชนั้ ทึบน้า

รูป 11.20 การหาเสน้ ทางการไหลซึมสาหรับช้นั ดินเปิ ด (Open layer) และคร่ึงปิ ด (Half-closed layer)
(a) ช้นั ดินเปิ ด: d = H/2 (b) ช้นั ดนิ คร่ึงปิ ด: d = H

(a) q (b) (c)

นา้ หนกั กระทาแบบกระจายสมา่ เสมอ = q

d=H z d=H z
2 2

z Dsz=q d=H d=H d=H DsZ = gz
H 2 2 Dsz=q(1-z/H) 2 (f)
=constant
d=H
2

น้ าไหลออกไดส้ องทาง Open layer)

นา้ หนักกระทาแบบกระจายสม่าเสม(อd=) q q (e)

zz

d=H d=H DsZ = gz

z Dsz= constant Dsz=q(1-z/H)
d=H

น้ าไหลออกไดท้ างเดียว ค ง Half-closed layer)

รูป 11.21 รูปแบบพ้นื ฐานสาหรับการกระจายตวั ของความเคน้ ในปัญหาการอดั ตวั คายน้า

(1) กรณี 0 กระจายแบบสม่าเสมอ

สาหรับการกระจายแบบเส้นตรงทุกกรณีในช้ันดินเปิ ดและการกระจายแบบ
สม่าเสมอในช้นั ดินคร่ึงปิ ด ดงั แสดงในรูป 11.21 (a), (b), (c) และ (d)

̅ 0 = 1 − 8 (e−(π2/4) v + 1 e−(9π2/4) v + 1 e−(25π2/4) v + ⋯ ) [11. 12]
π2 9 25

326 บทท่ี 11 การอัดตัวไดข้ องดนิ และการทรดุ ตวั

(2) กรณี 1 กระจายแบบเพม่ิ ข้ึนเป็นเสน้ ตรง

สาหรับช้นั ดินคร่ึงปิ ดซ่ึงความเคน้ มีคา่ เพิ่มข้ึนตามลาดบั เป็นเส้นตรงเม่ือเทียบกบั
ความลึก ดงั แสดงในรูป 11.21 (e)

̅ 1 = 1 − 32 (e−(π2/4) v + 1 e−(9π2/4) v + 1 e−(25π2/4) v + ⋯ ) [11. 13]
π3 27
125

(3) กรณี 2 กระจายแบบลดลงแบบเส้นตรง

สาหรับช้นั ดินคร่ึงปิ ดซ่ึงความเคน้ มีค่าลดลงตามลาดบั เป็ นเส้นตรงเมื่อเทียบกบั
ความลึก ดงั แสดงในรูป 11.21 (f)

̅ 2 = 1 − 16 [(π − 2)e−(π2/4) v + 1 (3π − 2)e−(9π2/4) v +
π3 27
1
125 (5π − 2)e−(25π2/4) v + ⋯ ]

[11. 14]

ซ่ึงสาหรับท้งั 3 กรณี ยงั แสดงใหเ้ ห็นวา่

̅ 2 = 2 ̅ 0 − ̅ 1 [11. 15]

ดงั น้นั ̅ 2 จึงอาจประเมินไดเ้ มื่อทราบค่า ̅ 0 และ ̅ 1

เพ่ือให้การคานวณทาได้สะดวกมากข้ึน จาเป็ นต้องทราบค่า v สาหรับ
ท้ัง 3 กรณี ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั ค่าต่าง ๆ ของ ̅ ตาราง 11.1 แสดงค่าตัวประกอบเวลาท่ี
สามารถนาไปใชส้ าหรับการคานวณไดท้ นั ที

(4) กรณีกระจายแบบส่ีเหลี่ยมคางหมู

สาหรับกรณีน้ี ค่า v อาจคานวณไดจ้ ากความสัมพนั ธด์ งั ตอ่ ไปน้ี
สาหรับกรณี 0 – 1:

v = v(0) + ( v(0) − v(1)) 01 [11. 16]

สาหรับกรณี 0 – 2:

v = v(0) + ( v(0) − v(2)) 02 [11. 17]

เม่ือ , v(0) v(1) และ v(2) คือ ตวั ประกอบเวลาที่สอดคลอ้ งกบั กรณี 0, 1 และ 2
ตามลาดบั สาหรับคา่ สมั ประสิทธ์ิ 01 และ 02 ไดจ้ ากตาราง 11.2

บทท่ี 11 การอัดตวั ไดข้ องดนิ และการทรดุ ตัว 327

ตาราง 11.1 คา่ ตวั ประกอบเวลา TV

ค่าเฉลยี่ ตวั ประกอบเวลา (Time factor), TV

ระดบั การอัดตวั คายน้า Case 0 Case 1 Case 2

U = st d Ds d Ds d Ds
sf

ที่มกี ารกระจายตวั ความ 0.047 0.003
เคน้ เป็นเส้นตรง) 0.100 0.009
0.158 0.024
0.1 0.08 0.221 0.048
0.2 0.031 0.294 0.092
0.3 0.071 0.383 0.160
0.4 0.126 0.500 0.271
0.5 0.197 0.665 0.440
0.6 0.287 0.940 0.720
0.7 0.403  
0.8 0.567
0.9 0.848 0.993 0.996
1.0 

สาหรบั กรณี TV = 2.0, U = 0.994

ตาราง 11.2 สมั ประสิทธ์ิสาหรับหาค่า TV กรณีการกระจายความเคน้ เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

Cases 0 -1 Cases 0 -2

Dso Dso
d d

Dsd Dsd

Dso I01 Dso I02
Dsd Dsd

0 1.0 1.0 1.0

0.1 0.84 1.5 0.83

0.2 0.69 2.0 0.71

0.3 0.56 3.0 0.62

0.4 0.46 3.5 0.55

0.5 0.36 0.5 0.50

0.6 0.27 4 0.45

0.7 0.19 5 0.39

0.8 0.12 7 0.30

0.9 0.06 10 0.23

1.0 0 20 0.13

328 บทท่ี 11 การอัดตัวไดข้ องดินและการทรุดตัว

11.5 การหาคา่ Cv จากการทดสอบโออโิ ดมเิ ตอร์

11.5.1 วธิ รี ากท่ีสองของเวลา (Taylor’s method)

วิธีน้ี (หรือเรียกว่า Square root of time) กาหนดให้สภาพขอบเขตของช้ันดินต้องเป็ นไปตาม
ขอ้ กาหนดที่ใชส้ าหรับสมการ [11.10] และ [11.11] ความสัมพนั ธ์ที่แสดงดงั ต่อไปน้ี คือคาตอบ
โดยประมาณของสมการ [11.11] ซ่ึงอาจมีความคลาดเคล่ือนไดป้ ระมาณ < 1% เมื่อกาหนดให้ ̅
มีค่าระหวา่ ง 0 ถึง 0.6

̅ ≅ √4 v [11. 18]



เม่ือนาค่า ̅ ไปพล็อตกราฟเทียบกับค่า √ v จะทาให้ได้กราฟเส้นตรงซ่ึงมีความชัน
เท่ากบั √4 (ดูรูป 11.22) แต่เม่ือ ̅ > 0.6 กราฟจะเร่ิมเป็นเสน้ โคง้



การที่จะไดม้ าซ่ึงจุด C บนกราฟซ่ึงสอดคลอ้ งกบั ค่า ̅ = 0.9 จะตอ้ งมีการปรับแกก้ ราฟ
ส่วนท่ีเป็นเส้นโคง้ ดงั กล่าวใหเ้ ป็นเสน้ ตรง ดงั กระบวนการต่อไปน้ี

O
Tv

1
(4/p)

0.9 A B C
1.0
0.9 (p/4) = 0.7976
0.848 = 0.9209

U

รูป 11.22 การอดั ตวั คายน้าปฐมภมู ิในทางทฤษฎี (Theoretical primary consolidation)

บทที่ 11 การอดั ตวั ได้ของดินและการทรุดตัว 329

O ( (min.)
กราฟปรบั แก้
ในทางทฤษฎี

T90

(mm)

กราฟจากผลการทดสอบ
AC

100 หนว่ ย

15 หนว่ ย

รูป 11.23 วธิ ีรากท่ีสองของเวลา

จากรูป 11.22 กาหนดให้

AB = 0.9 × √ 4 = 0.7976

AC = √0.848 = 0.9209 (ดูตาราง 11.1)

ดงั น้นั อตั ราส่วนสาหรับการปรับแก้ คอื

อตั ราส่วนปรับแก้ = 0.9209 = 1.15

0.7976

โดยทางทฤษฎีแลว้ เส้นกราฟดงั กล่าวไม่มีมิติ (Dimensionless) ดงั น้นั จึงอาจนาไปทาบ
กับกราฟซ่ึงสร้างจากขอ้ มูลท่ีได้จากการทดลองในห้องปฏิบัติการ ซ่ึงก็คือ ค่าความหนาของ
ตวั อยา่ งดินที่พลอ็ ตเทียบกบั รากที่สองของเวลา (รูป 11.23)

การหาค่าอดั ตวั คายน้าปฐมภูมิที่ระดบั 90% เริ่มตน้ โดยการลากเส้นตรงที่ครอบคลุมกราฟ
ส่วนที่ ̅ < 0.6 วดั ระยะแนวนอนจากแกน Y เป็ นแนวต้ังฉากจนถึงเส้นตรงดังกล่าวให้มี
ความยาวเท่ากบั 100 หน่วย แลว้ จึงวดั ระยะจากจุดที่เส้นตรงตดั กนั ไปเป็นระยะ 15 หน่วย (เทียบ
กบั 100 หน่วย) ลากเส้นตรงจากจุดเร่ิมตน้ (จุด O) ผ่านจุดซ่ึงระยะในแนวแกนนอนเท่ากบั 115
หน่วย ซ่ึงเส้นตรงดังกล่าวเรียกว่า กราฟปรับแก้ทางทฤษฎี (Corrected theoretical curve) และ
ค่าระดับการอดั ตัวคายน้าปฐมภูมิที่ 90% หรือเม่ือ ̅ = 0.9 ได้จากการลากเส้นตรงจากจุด C

330 บทที่ 11 การอดั ตวั ได้ของดินและการทรดุ ตัว

ไปตดั กับแกน Y และเม่ือลากเส้นตรงแนวด่ิงจากจุด C ไปตดั กับแกน X ก็จะได้ค่า √ 90 ท่ี
สอดคลอ้ งกบั √ 90 ในทางทฤษฎี

และจากคานิยามท่ีกาหนดให้ v = v
2

ดงั น้นั จากคาอธิบายระหวา่ งคา่ ทางทฤษฎีและค่าจากการทดลอง จะไดส้ มการดงั ตอ่ ไปน้ี

90 = v 90 ทาการแกส้ มการดงั กล่าว จะไดส้ มการสาหรับการคานวณ v ดงั ตอ่ ไปน้ี
2

v = 90 2 [11. 19]
90

เมื่อพิจารณากราฟที่สร้างจากข้อมูลที่ได้จากการทดลองโออิโดมิเตอร์ พบว่ากราฟ

ประกอบไปดว้ ย 3 ส่วน ดงั ต่อไปน้ี

(1) การอดั ตวั เร่ิมตน้ (Initial compression)

คือ ส่วนท่ีเป็ นเส้นโคง้ ส้ัน ๆ ที่เกิดข้ึนในตอนตน้ ของกราฟอนั เน่ืองมาจากการ
อดั ตวั ของอากาศท่ีอาจมีอยู่ในมวลดิน หรืออาจเกิดข้ึนจากการท่ีอนุภาคของมวลดินเกิด
การเปล่ียนทิศทางการเรียงตวั ใหม่เนื่องจากมีแรงมากระทา สมมติฐานสาหรับการอดั ตวั
ของดินในระยะน้ี คอื การที่อากาศถูกรีดออกจากมวลดินในขณะท่ีน้ายงั คงมีอยใู่ นมวลดิน

(2) การอดั ตวั ปฐมภูมิ (Primary compression)

การอดั ตวั ในข้นั ตอนน้ีเกิดข้ึนทนั ทีทนั ใด เม่ือน้าเริ่มมีการถูกรีดออกจากมวลดิน
ซ่ึงก็คือ กราฟส่วนท่ี ̅ = 0 ไปจนถึง ̅ ≅ 1.0 (มีการอดั ตวั ทุติยภูมิบางส่วนเกิดข้ึนใน
ระยะน้ีดว้ ยเช่นกนั )

(3) การอดั ตวั ทุติยภมู ิ (Secondary compression)

คือเส้นโคง้ ส่วนสุดทา้ ยของกราฟ เป็นการอดั ตวั ท่ีเกิดข้ึนเมื่อน้าไดไ้ หลออกจาก
มวลดินหมดแลว้ และความดนั น้าส่วนเกินในมวลดินกลายเป็นศูนย์ การอดั ตวั ในระยะน้ี
อาจเกิดมาจากเกิดการหน่วงตวั ของการเปลี่ยนทิศทางการเรียงตวั ของอนุภาคดินเนื่องจาก

คณุ สมบตั ิความหนืด (Viscosity) ของช้นั ดินอมุ้ น้า (Adsorbed water layer)

จุดเร่ิมตน้ ที่เป็นศูนยท์ ี่แทจ้ ริงสาหรับการอดั ตวั ปฐมภูมิ ไดจ้ ากการลากเส้นภาพ
ฉายจากกราฟเส้นตรงท่ีสร้างข้ึนไปตัดกับแกน Y ที่ค่าเวลาเป็ นศูนย์ (ดังรูป 11.23)
ซ่ึงจุดตดั ตงั กล่าวก็คือการที่ ̅ = 0 และส่วนของกราฟซ่ึงแสดงถึงการอดั ตวั ปฐมถูมิอยู่
ระหวา่ ง ̅ = 0 และ ̅ = 1.0

บทท่ี 11 การอัดตวั ไดข้ องดินและการทรุดตวั 331

บางคร้ังอาจมีการใชอ้ ตั ราส่วนดังต่อไปน้ี เพ่ือแสดงถึงความสัมพนั ธ์ระหว่าง
ปริมาณการอดั ตวั เร่ิมตน้ การอดั ตวั ปฐมภมู ิ และการอดั ตวั ทตุ ิยภูมิ (ดงั รูป 11.24)

OF = ปริมาณการอดั ตวั เร่ิมตน้
FD = ปริมาณการอดั ตวั ปฐมภมู ิ (= FA/0.9)
DG = ปริมาณการอดั ตวั ทุติยภมู ิ
OG = ปริมาณการอดั ตวั รวม

อตั ราส่วนการอดั ตวั เร่ิมตน้

i = OF [11. 20]
OG

อตั ราส่วนการอดั ตวั ปฐมภมู ิ

p = FD [11. 21]
OG

อตั ราส่วนการอดั ตวั ทตุ ิยภมู ิ

s = DG [11. 22]
OG

O ( (Time)
F U=0 การอัดตวั เร่ิมตน้
(Initial compression)

การอดั ตวั ปฐมภมู ิ
(Primary compression)

A U = 0.9 BC

D U = 1.0 E
G การอดั ตวั ทุติยภมู ิ
(Secondary compression)
การอัดตวั สุดทา้ ย
(Final compression)

รูป 11.24 การอดั ตวั เร่ิมตน้ การอดั ตวั ปฐมภูมิ และการอดั ตวั ทุติยภมู ิ

332 บทท่ี 11 การอัดตวั ไดข้ องดนิ และการทรุดตวั

ตวั อย่าง 11.4 ขอ้ มูลในตารางต่อไปน้ีไดจ้ ากการทดสอบการอดั ตวั คายน้าของดินเหนียว
โดยโออิโดมิเตอร์ ซ่ึงบนั ทึกการเปลี่ยนแปลงของความหนาตวั อยา่ งดินเทียบกบั เวลา

ว (min) ว ย่ ง (mm) 0 0.04 0.25 0.50 1.00 2.25 4.00 6.25 9.00
ยี งคว ม
0 0.122 0.234 0.303 0.391 0.552 0.707 0.860 0.971
ว (min)
ยี งคว ม 12.25 16.00 25.00 36.00 64.00 100 360 1440

ว ย่ ง (mm) 1.066 1.128 1.206 1.252 1.301 1.328 1.402 1.483

ความเคน้ ข้นั สุดทา้ ยเม่ือเวลาผ่านไป 1440 min. มีค่าเท่ากบั 100 kN/m2 ความหนาตวั อยา่ ง
ดินคอื 17.53 mm และปริมาณน้าในตวั อยา่ งดินเท่ากบั 24.5%

ใชว้ ิธีรากที่สองของเวลาเพื่อหา (a) สัมประสิทธ์ิอดั ตวั คายน้า cv (b) อตั ราส่วนอดั ตวั คายน้าเร่ิมตน้
และอตั ราส่วนอดั ตวั คายน้าปฐมภูมิ (c) สัมประสิทธ์ิการอดั ตวั เชิงปริมาตร (mv) และสัมประสิทธ์ิ
การซึมไดข้ องน้าผา่ นดิน k, สมมุติให้ Gs = 2.70

การแก้ปัญหาตวั อย่างน้ี ควรเร่ิมดว้ ยการเลือกมาตราส่วนที่เหมาะสมสาหรับการสร้าง
กราฟระหว่างรากที่สองของเวลาและการเปล่ียนแปลงความหนาตวั อย่างดิน จากน้ันจึงนาค่าท่ี
บนั ทึกไดไ้ ปพลอ็ ตกราฟ ดงั แสดงในรูป 11.25

รูป 11.25 กราฟการเปลี่ยนแปลงความหนาตวั อยา่ งดินเทียบกบั รากที่สองของเวลาสาหรับตวั อยา่ ง 11.4

บทที่ 11 การอัดตัวไดข้ องดินและการทรุดตวั 333

จุดท่ีเส้นตรงตดั แกน Y (จุด F) คือจุดซ่ึง ̅ = 0 ซ่ึงสอดคลอ้ งกบั การเปลี่ยนความหนาของตวั ดิน
คือ ∆ℎ0 (∆ℎ0 = 0.078 mm)

จากน้นั จึงสร้างเส้นตรงปรับแกด้ งั ที่ไดอ้ ธิบายมาแลว้ จุดที่เส้นตรงปรับแกต้ ดั กบั กราฟขอ้ มูล (จุด
C) คอื จุดซ่ึง ̅ = 0.90

(a) จากกราฟพบวา่ √ 90 = 3.77 เพราะฉะน้นั 90 = 3.772 = 14.21 mm

จากตาราง 11.1 พบวา่ 90 = 0.848

ความหนาเฉล่ียของตวั อยา่ งดินในระยะน้ี คอื = 17.53 + 1.483 = 18.27 mm

2

ความยาวของระยะทางระบายน้า คอื = 18.27 = 9.14 mm
2

ดงั น้นั จากสมการ [11.19]

v = 90 2 = 0.848×9.142 = 4.99 mm2/min
90 14.21

(b) จากกราฟในรูป 11.25 พบวา่ ∆ℎ90 = 1.108 mm และ ∆ℎ0 = 0.078 mm

ดงั น้นั ∆ℎ100 = 1.108−0.078 + 0.078 = 1.222 mm
0.90

จากตารางบนั ทึกขอ้ มลู ∆ℎ = 1.482 mm

ดงั น้นั อตั ราส่วนอดั ตวั เริ่มตน้ i = 0.078 = 0.053
1.482

และ อตั ราส่วนอดั ตวั ปฐมภูมิ p = 1.222−0.078 = 0.772
1.482

(c) อตั ราส่วนช่องวา่ งสุดทา้ ย 1 = 1 s = 0.245 × 2.70 = 0.662

ความหนาตวั อยา่ งดินเริ่มตน้ คือ ℎ0 = 17.53 + 1.482 = 19.01 mm

การเปลี่ยนแปลงของอตั ราส่วนช่องวา่ งคือ

∆ = ∆ℎ (1 + 1) = 1.482 (1 + 0.662) = 0.130
ℎ0 19.01

อตั ราส่วนช่องวา่ งเริ่มตน้ คือ 0 = 0.667 + 0.130 = 0.797

จากสมการ [11.8]

v = ∆ ∙ 1 = 0.130 ∙ 1 = 7.23 × 10−4 m2/kN = 0.723 m2/MN
∆σ 1+ o 100 (1+0.797)

จากสมการ v = หรือ = v vγw
vγw

ดงั น้นั = 4.99 × 10−6 × 7.23 × 10−4 × 9.81 = 3.54 × 10−8 m/min

334 บทที่ 11 การอัดตัวไดข้ องดนิ และการทรดุ ตวั

(Log time)

O t 4t
F U= 0
P การอัดตวั เร่ิมตน้
= (Initial compression)
t50 การอัดตวั ปฐมภมู ิ
= Q (Primary compression)
H

U = 0.5

D U = 1.0

E การอดั ตวั ทตุ ยิ ภูมิ
(Secondary compression)

G
การอดั ตวั สุดทา้ ย
(Final compression)

Dh

รูป 11.26 วิธีลอการิทึมของเวลา (Log-time method)

11.5.2 วิธีของคาซากรานด์ (Casagrande’s method)

วิธีน้ีอาจเรียกว่า วิธีลอการิทึมของเวลา (Log-time method) คาซากรานด์ไดเ้ สนอวิธีการหาค่า v
โดยใช้การพล็อตกราฟระหว่างความหนาตวั อย่างดินเทียบกบั ลอการิทึมของเวลา กราฟในทาง
ทฤษฎีประกอบไปดว้ ย 3 ส่วน คอื กราฟส่วนเร่ิมตน้ ซ่ึงเป็นเส้นโคง้ เป็นรูปพาราโบลาโดยประมาณ
กราฟส่วนตรงกลางซ่ึงเป็ นเส้นตรง และกราฟส่วนทา้ ยเป็ นเส้นสัมผสั ต่อจากส่วนปลายโคง้ ของ
กราฟส่วนตรงกลาง (ดงั รูป 11.26)

หลงั จากนาขอ้ มูลจากการทดลองมาพล็อตกราฟ ข้นั ตอนแรกคือ การหาจุด F ซ่ึง ̅ = 0
เน่ืองจากส่วนแรกของกราฟมีรูปทรงแบบพาราโบลาโดยประมาณ ดงั น้นั จุดดงั กล่าวกาหนดได้
โดยการเลือกจุด P และ จุด Q บนกราฟส่วนโคง้ โดยให้ค่า t มีอตั ราส่วนเท่ากบั 1:4 เช่น = 1
min และ = 4 min หรือ = 2 min และ = 8 min เป็ นตน้ จากน้ันจึงกาหนดจุด F โดยวดั
ระยะทางแนวแกน Y เหนือจุด P ใหม้ ีระยะทางเท่ากบั PQ และ OF กค็ อื ปริมาณการอดั ตวั เริ่มตน้

ส่วนสุดทา้ ยของกราฟควรมีลกั ษณะเส้นตรงโดยประมาณแต่ไม่อยู่ในแนวนอน จุด E
ซ่ึงแสดงว่า ̅ = 1.0 คือ จุดซ่ึงเส้นสัมผสั จากกราฟส่วนตรงกลางและส่วนท้ายตัดกัน และ

บทท่ี 11 การอดั ตวั ได้ของดนิ และการทรุดตวั 335

ระยะ FD ก็คือการอดั ตัวปฐมภูมิ อตั ราส่วนการอัดตัวอาจคานวณได้โดยใช้สมการ [11.20],
[11.21], และ [11.22]

สาหรับจุดซ่ึงสอดคลอ้ งกนั กบั การท่ี ̅ = 0.5 อาจหาไดโ้ ดยการลากภาพฉายจากจุด H

(FH = HD = 1 FD) ไปยงั เส้นกราฟ จากน้ันลากเส้นจากจุดซ่ึงเส้นภาพฉายจากจุด H ตัดกับ
2
เส้นกราฟเป็ นแนวดิ่งใหข้ ้ึนไปตดั กบั แกน X ก็จะทาให้ไดค้ า่ 50 ดงั น้นั ค่า v อาจคานวณไดจ้ าก

สมการต่อไปน้ี

v = 50 2 [11. 23]
50

11.5.3 การคำนวณเวลาการทรุดตัว

ค่าสัมประสิทธ์ิการอดั ตวั คายน้าสาหรับดินประเภทใด ๆ มีค่าไม่คงท่ี แต่ข้ึนอยกู่ บั ค่าสัมประสิทธ์ิ
การซึมได้ของน้าผ่านดิน (k) รวมท้งั ค่าสัมประสิทธ์ิการอดั ตวั เชิงปริมาตร ( v) ซ่ึงท้งั สองค่า
ดงั กล่าวก็ไม่ใช่ค่าคงท่ีเช่นกนั ตวั อยา่ งเช่น k แปรเปลี่ยนไปตามอตั ราส่วนช่องว่าง ในขณะที่
แปรเปลี่ยนไปตามค่าความเคน้ ประสิทธิผล อย่างไรก็ตาม การแปรเปล่ียนของค่า v อาจไม่มาก
นกั ถา้ ความเคน้ ในมวลดินอยใู่ นช่วงจากดั เพราะฉะน้นั การสมมตุ ิให้ v มีคา่ คงท่ี จึงดูมีเหตผุ ลท่ี
ยอมรับได้ กรณีที่ทราบคา่ v จะสามารถหาระยะเวลาที่ทาใหเ้ กิดการอดั ตวั คายน้าท่ีระดบั ใด ๆ ได้
โดยใชส้ มการต่อไปน้ี

v = v
2

ทาการแกส้ มการเพื่อหาระยะเวลาที่ตอ้ ง ไดเ้ ป็นสมการดงั ตอ่ ไปน้ี

= v 2 [11. 24]

v

ตวั อยา่ ง 11.5 ทาซ้าตวั อยา่ ง 11.4 โดยใชว้ ธิ ีลอการิทึมของเวลา

ข้ ันตอนแรกเลือกมาตราส่ วนท่ีเหมาะสมสาหรั บสร้ างกราฟลอการิ ทึมของเวลาเทียบกับการ
เปลี่ยนแปลงของความหนาตวั อยา่ งดิน ดงั แสดงในรูป 11.27

(a) เพ่อื กาหนดตาแหน่งซ่ึง ̅ = 0 ทาการเลือกจุด P และ Q โดยที่ Q = 4 P และเน่ืองจากกราฟ
ช่วงตน้ เป็นรูปพาราโบลาโดยประมาณ ดงั น้นั FP = PQ

จากกราฟ พบวา่ ที่ P = 0.25 mm ค่า ∆ℎP = 0.233 mm

จากกราฟ พบวา่ ท่ี Q = 1.00 mm ค่า ∆ℎQ = 0.390 mm

ดงั น้นั ท่ี ∆ℎF = ∆ℎQ = 0.233 − (0.390 − 0.233) = 0.076 mm

336 บทที่ 11 การอัดตัวได้ของดินและการทรดุ ตัว

ทาการลากเส้นตรงสองเส้นโดยเส้นแรกผ่านสองสามจุดสุดทา้ ยของกราฟ และอีกเส้นผ่านกราฟ
ส่วนตรงกลาง จุดตดั ของสองเส้นตรงดงั กลา่ วคอื จุด E ซ่ึง ̅ = 1.0

จากกราฟในรูป 11.27 พบวา่ ∆ℎ100 = 1.224 mm

ดงั น้นั ∆ℎ50 = 1.224−0.076 + 0.076 = 0.650 mm

2

นาค่า ∆ℎ50 ไปกาหนดตาแหน่งในกราฟ จะไดค้ า่ log 50 = 0.520

ดงั น้นั 50 = 100.52 = 3.31 min

จากตาราง 11.1 50 = 0.197 และจากตวั อยา่ ง 11.4 = 9.14 mm

จากสมการ [11.23] v = 50 2 = 0.197×9.142 = 4.97 mm2/min
50 3.31

(วิธีรากท่ีสองของเวลาจากตวั อยา่ ง 11.4 ไดค้ า่ v = 4.99 mm2/min)

(b) จากกราฟ ∆ℎ100 = 1.224 mm ∆ℎ50 = 0.076 mm และ ∆ℎ = 1.482 mm

ดงั น้นั อตั ราส่วนอดั ตวั เริ่มตน้ i = 0.076 = 0.051
1.482

และ อตั ราส่วนอดั ตวั ปฐมภมู ิ p = 1.224−0.076 = 0.775
1.482

(c) คาตอบของส่วนน้ี เหมือนกนั กบั วิธีท่ีใชใ้ นตวั อยา่ ง 11.4

รูป 11.27 กราฟลอการิทึมของเวลาเทียบกบั ความหนาตวั อยา่ งดนิ สาหรับตวั อยา่ ง 11.5