Soil mechanics

บทที่ 6 การซึมและการไหลซมึ ของน้ำผ่านดิน 139

2ℎ + 2ℎ = 0 [6. 21]
 T2  2

สมการ [6.20] คือ ค่าตวั ประกอบมาตราส่วน สาหรับการแปลงสภาพจากการไหลจริง

ซ่ึงการไหลซึมในแนวนอนกับแนวด่ิงไม่เท่ากันให้เป็ นแบบเท่ากันทุกทิศทาง ดังน้ัน

ค่าสัมประสิทธ์ิการซึมไดใ้ นทิศทางท่ีน้าไหลซึมผ่าน จึงมีค่าเทียบเท่ากบั ค่าสัมประสิทธ์ิในกรณีท่ี

สภาพการไหลเป็นแบบเทา่ กนั ทุกทิศทาง และคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

f = x√ xz = √ x z [6. 22]

ดงั น้นั ปริมาณการไหลจึงคานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

= f f = f √ x z [6. 23]
d d

ข้นั ตอนแรกสาหรับการสร้างตาข่ายการไหลสาหรับดินท่ีมีคุณสมบตั ิไม่เท่ากนั ทุกทิศทาง

คือ การสร้างรูปหนา้ ตดั ของโครงสร้างโดยการใชม้ าตราส่วนปกติสาหรับแนวดิ่ง (แกน z) และ
มาตราส่วนแปลงสาหรับแนวระนาบ (แกน x) (ดงั รูป 6.20 (a)) จากน้นั จึงการเขยี นตาข่ายการไหล
โดยสมมุติใหอ้ ยใู่ นสภาพเท่ากนั ทกุ ทิศทาง คอื มีรูปร่างเป็นส่ีเหล่ียมจตั ุรัส และเส้นตาข่ายการไหล

ตดั กนั เป็นมมุ ฉาก (รูป 6.20 (b)) ข้นั ตอนสุดทา้ ยคือ การนาตาข่ายการไหลจาก รูป 6.20 (b) มาเขยี น

ใหม่โดยใช้มาตราส่วนปกติ (แกน x และ z มีมาตราส่วนเท่ากัน) ได้ผลเป็ นรูป 6.20 (c) โดย
ระยะทางในแนวแกน x และรูปตาข่ายการไหลจะเปล่ียนไปเนื่องจากถูกหารด้วยตัวประกอบ
√ z/ x และตาข่ายการไหลที่ได้ คือสภาพการไหลจริงสาหรับดินท่ีมีคุณสมบัติไม่เท่ากัน
ทกุ ทิศทาง โดยมีขอ้ สังเกตท่ีวา่ พ้ืนท่ีในตาขา่ ยการไหลจะไมใ่ ช่ส่ีเหล่ียมจตั ุรัสและมมุ ท่ีเส้นตดั กนั

ไม่ใช่มุมฉากอีกต่อไป

6.10 การขาดเสถียรภาพเนื่องจากการไหลซมึ

การเกิดรูร่ัว (Piping) คือ การท่ีมวลดินขาดเสถียรภาพเน่ืองจากการท่ีความดนั น้าในแนวด่ิงทิศทาง
ข้ึนท่ีกระทาต่อมวลดินมีค่ามากกว่าน้าหนักของมวลดิน กรณีท่ีความดันไหลซึมมีค่าเท่ากับ
น้าหนกั ของมวลดินอิ่มตวั แรงเสียดทานภายในระหวา่ งเมด็ ดินจะสูญเสียไปและมวลดินที่ผสมน้า
กจ็ ะไมม่ ีกาลงั ตา้ นทานแรงเฉือน รวมท้งั มีพฤติกรรมโดยรวมคลา้ ยกบั ของเหลว

ถา้ ความดนั ไหลซึมซ่ึงมีทิศทางกระทาข้ึนดา้ นบนมีค่ามากกวา่ น้าหนกั ของมวลดินอิ่มตวั
ความดันไหลซึมอาจดนั ดินข้ึนมาและตกตะกอนที่ระดับผิวดิน เกิดรูปแบบของการตกตะกอน
คลา้ ยกบั รูปท่อ (Pipe) และการสูญเสียกาลงั ตา้ นทานแรงเฉือนเนื่องจากสาเหตุน้ี อาจนาไปสู่การ
วิบตั ิของโครงสร้างใตด้ ินและฐานรากท่ีรองรับโครงสร้างส่วนบน

140 บทท่ี 6 การซมึ และการไหลซึมของนำ้ ผา่ นดิน

Z b Zb (a)
b
vX (kZ / kX ) vX

b

vz vz

XT = X (kZ / kX ) XT XT

(b)

(c)

รูป 6.20 ตาข่ายการไหลสาหรับดนิ ที่มีคณุ สมบตั ิไมเ่ ทา่ กนั ทกุ ทิศทาง (a) การแปลงชิ้นส่วนดิน (b) ตาขา่ ยการ
ไหลบนหนา้ ตดั ที่ถกู แปลงมาตราส่วน (c) ตาข่ายการไหลสาหรับมาตราส่วนปกติ

เม่ือมีการสร้างแผนภาพตาข่ายการไหลที่แสดงท้งั สภาพการไหลและสภาพขอบเขตการ
ไหลเสร็จสิ้นแลว้ ข้นั ตอนต่อไปอาจใช้กฎของการประมาณการแบบคร่าว ๆ เพื่อตรวจสอบ
อตั ราส่วนความปลอดภยั สาหรับการเกิดการวิบตั ิแบบรูรั่ว ซ่ึงทาไดโ้ ดยการพิจารณามวลดินท่ีมี
รูปทรงแบบปริซึมอยตู่ ิดกบั โครงสร้างกาแพงกนั ดินทางดา้ นปลายทางน้าไหลซึมผา่ น ดงั แสดงใน
รูป 6.21 ซ่ึงเป็นกรณีโครงสร้างกาแพงกนั ดินแบบเข็มพืด ดงั น้นั น้าหนกั ประสิทธิผลของมวลดิน
รูปทรงปริซึม ABCD คานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

= ( sat − w) ×
2

และการกระจายตวั ของความดนั ไหลซึมท่ีฐานปริซึม BC คานวณไดจ้ ากแผนภาพตาข่าย

การไหลโดยสมมุติให้มีค่าเฉล่ียเท่ากบั us ดงั น้นั ความดนั ไหลซึมท่ีมีทิศทางข้ึนดา้ นบนที่กระทา
บนแนว BC จึงคานวณไดด้ งั สมการตอ่ ไปน้ี

×
2

บทท่ี 6 การซึมและการไหลซมึ ของนำ้ ผ่านดิน 141
ระดบั น้าดา้ นสูง

ระดบั น้าดา้ นต่า D/2 A
D
D
W

CB

us

รูป 6.21 การหาอตั ราส่วนความปลอดภยั กรณีดินวบิ ตั ิเป็นรูร่ัว (Piping)

เนื่องจากการวิบตั ิแบบรูรั่วจะเกิดข้ึนเมื่อความดนั การไหลมีทิศทางกระทาข้ึนดา้ นบนและ
มีค่าเท่ากบั น้าหนักมวลดิน (W) เพราะฉะน้ัน ค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั สาหรับการพงั ทลาย
รูปท่อ จึงประมาณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

(piping) = น้าหนกั ดิน (ทศิ ทางลง) = = ( sat− w) [6. 24]
แรงดนั ไหลซึม (ทิศทางข้นึ ) s 2 s

สาหรับวิธีการคานวณความดนั ไหลซึม (us) ไดแ้ สดงไวแ้ ลว้ ในตวั อย่าง 6.5 เม่ือพิจารณา
สมการ [6.24] จะเห็นไดว้ า่ การเพ่ิมอตั ราส่วนความปลอดภยั สาหรับการวบั ตั ิแบบรูรั่วสามารถทา

ได้หลายวิธี เช่น กรณีทานบกนั น้าชั่วคราว อาจใช้การเพ่ิมระยะฝังของเสาเข็ม ซ่ึงจะส่งผลให้

อตั ราส่วนความปลอดภยั เพิม่ ข้ึนดว้ ย

สาหรับกรณีเข่ือน การเพ่ิมข้ึนของค่าอตั ราส่วนความปลอดภยั สาหรับการวิบตั ิแบบรูรั่ว
รวมท้งั การลดปริมาณการไหลซึมของน้าผ่านตวั เขื่อน ทาไดโ้ ดยการเพิ่มความยาวของเส้นการ
ไหล ซ่ึงอาจใช้การก่อสร้างแนวเข็มพืดที่บริเวณใตฐ้ านหัวเข่ือน หรืออาจใช้การก่อสร้างแนว

ช้นั ทึบน้าที่บริเวณหนา้ เข่ือนดา้ นกกั น้า นอกจากน้นั การก่อสร้างช้นั กรองที่ทา้ ยเข่ือนบริเวณทาง
น้าไหลออกก็สามารถช่วยเพ่ิมอตั ราส่วนความปลอดภยั ไดเ้ ช่นกนั รูป 6.22 แสดงตวั อยา่ งวิธีการ
สาหรับการเพ่มิ อตั ราส่วนความปลอดภยั กรณีการวบิ ตั ิแบบรูรั่ว

142 บทที่ 6 การซมึ และการไหลซึมของนำ้ ผา่ นดิน

(a) (b)

ระดับน้าด้านสูง ระดับน้าดา้ นสูง
พน้ื อาคารชลประทาน
ชัน้ กรอง ชนั้ กรอง (ทบึ น้า)
(วสั ดเุ ม็ดหยาบ) (วสั ดเุ ม็ดหยาบ)

ระดบั ขุดดิน เข็มพืด

ระดับน้า
ด้านต่า
ระยะฝงั
เพมิ่ เตมิ

รูป 6.22 ตวั อยา่ งการปรับปรุงสภาพการไหลซึมของน้าผา่ นดิน (a) กรณีทานบก้นั น้าชวั่ คราว (Coffer dam) (b)
กรณีเข่อื นคอนกรีต

ปัญหาท้ายบท

6.1 สมการเบอร์นูล่ีแสดงให้เห็นวา่ พลงั งานรวมที่ทาใหน้ ้าไหลจากจุดหน่ึงไปสู่อีกจุดหน่ึง
ประกอบดว้ ยสามส่วน คอื ระดบั ความสูง ความดนั และความเร็ว แตส่ าหรับกรณีน้าไหล
ผา่ นมวลดิน แสดงเหตุผลที่ไม่นาส่วนความเร็วมาพิจารณา

6.2 ความเร็วของน้าเม่ือไหลผ่านมวลดิน สามารถวดั ไดส้ องแบบ คือ ความเร็วปรากฏและ
ความเร็วไหลซึม ความเร็วแบบไหนมีค่ามากกวา่ กนั เพราะเหตใุ ด

6.3 จากรูป 6.2 จงพสิ ูจน์วา่ ic = (Gs – 1) / (1 + e)
6.4 อธิบายถึงสาเหตุท่ีทาใหก้ ารทดสอบเพ่ือหาค่า k ในหอ้ งปฏิบตั ิการ ใหผ้ ลการทดสอบที่มี

ความคลาดเคลื่อนคอ่ นขา้ งมาก
6.5 อธิบายความแตกต่างระหวา่ งวิธีความดนั คงที่และวิธีความดนั ลดลงตามลาดบั
6.6 (a) อธิบายสภาพท่ีทาให้เกิด Quick condition และ Critical hydraulic gradient (b) อธิบาย

และแสดงที่มาของสูตรเพื่อคานวณค่า Critical hydraulic gradient (ic) ท่ีพัฒนามาจาก
ความสัมพนั ธ์โดยใชค้ ่า GS และ e และถา้ คา่ GS = 2.70 และ e = 0.60 ค่า ic จะเป็นเท่าใด
6.7 ขอ้ มูลต่อไปน้ี ได้มาจากการทดสอบหาค่าการซึมได้โดยวิธีแรงดันคงท่ี (1) เส้นผ่าน
ศูนยก์ ลางตวั อยา่ งดิน = 75 mm (2) ความแตกต่างแรงดนั ระหวา่ งตวั อยา่ งดินซ่ึงมีความสูง
180 mm = 255 mm (3) ปริมาณน้าท่ีเก็บไดเ้ มื่อเวลาผา่ นไป 60 วินาที = 632 ml จงคานวณ
คา่ สมั ประสิทธ์ิการซึมได้ k
6.8 ในการทดสอบการซึมได้โดยวิธีแรงดันแปรเปล่ียน ได้ผลดังต่อไปน้ี (1) เส้นผ่าน
ศูนยก์ ลางภายในของกระบอกตวั อย่างดิน = 75.5 mm (2) ความสูงตวั อย่างดิน = 125 mm
(3) เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางภายในทอ่ ถ่ายน้า = 6.25 mm (4) ระดบั น้าเริ่มตน้ ในทอ่ ถา่ ยน้า = 750
mm (5) ระดบั น้าในทอ่ ถ่ายน้าเมื่อเวลาผา่ นไป 15 วินาที = 242 mm จงคานวณค่า k

บทท่ี 6 การซมึ และการไหลซึมของน้ำผา่ นดิน 143

6.9 ในการทดสอบการซึมไดแ้ บบแรงดนั ลดลงอยา่ งรวดเร็วโดยการใชท้ ่อแกว้ ขนาดเส้นผา่ น

ศูนยก์ ลางภายใน 35.5 mm เวลาเฉล่ียที่ระดับลดลงจากระดบั 200 mm เป็ น 100 mm คือ

86.2 s คานวณคา่ สมั ประสิทธ์ิการซึมได้ k

6.10 ในการทดสอบสูบน้าในสนามโดยการเจาะหลุมลงไปในช้นั ทราย ซ่ึงมีความหนา 14.5 m

และอยู่บนช้นั ดินเหนียว มีการเจาะหลุมสังเกตจานวน 2 หลุม ที่ระยะ 18 m และ 65 m

จากหลุมสูบน้า ระดบั น้าเร่ิมตน้ คือ 2.3 m ต่าจากผิวดิน สภาพคงตวั เกิดข้ึนเม่ือสูบน้า

ท่ีอัตรา 325 litres/min ซ่ึงระดับน้าที่หลุมสังเกตคือ 1.90 m และ 1.14 m ตามลาดับ

จงคานวณค่าสัมประสิทธ์ ิการซึมได้

6.11 ช้ันดินเหนียวหนา 5.8 m อยู่บนช้ันดินทรายหนา 6.5 m และช้ันทรายอยู่บนช้ันทึบน้า

ในการทดสอบสูบน้าซ่ึงหลมุ สูบน้าอยู่ที่ดา้ นลา่ งของช้นั ทราย และหลุมสังเกตอยหู่ ่างจาก

หลุมสูบน้า 14 m และ 55 m สภาพคงตวั เกิดข้ึนเมื่อสูบน้าที่อตั รา 650 litres/min ซ่ึงระดบั

น้าท่ีหลุมสังเกตคือ 2.30 m และ 1.80 m ตามลาดับ คานวณค่าสัมประสิทธ์ิการซึมได้

ในช้นั ทราย ถา้ ระดบั น้าไมม่ ีแรงดนั เริ่มตน้ คือ 1.0 m ต่าจากผิวดิน

6.12 ในการสารวจสถานที่แห่งหน่ึงสาหรับก่อสร้าง พบวา่ มีช้นั ดินอยสู่ ามช้นั อยบู่ นช้นั หิน คือ

ช้นั ดิน A ความหนา = 3.5 m k = 2.5  10-5 m/s

ช้นั ดิน B ความหนา = 2.0 m k = 1.2  10-7 m/s

ช้นั ดิน C ความหนา = 4.5 m k = 5.5  10-3 m/s

คานวณคา่ การซึมไดเ้ ฉลี่ยแนวระนาบและแนวด่ิงของช้นั ดินดงั กล่าว

6.13 จากรูป 6.23 สร้างตาขา่ ยการไหลเน่ืองจากน้าไหลผา่ นใตแ้ นวกาแพงเข็มพืด และคานวณ

ปริมาณน้าที่ไหลผา่ นใตก้ าแพง เป็น m3/hr per metre run

6.14 จากรูป 6.24 (a) สร้างตาขา่ ยการไหล (เพียงคร่ึงเดียว) สาหรับสภาพการไหล และคานวณ

ปริมาณน้าที่ไหลซึมผ่านใตแ้ นวกาแพง (m3/hr per metre run) เม่ือ k = 6.4  10-4 m/s (b)

คานวณค่าอัตราส่วนความปลอดภัยสาหรับกรณีดินปูด เมื่อหน่วยน้าหนักดินอิ่มตัว

คอื 19.5 kN/m3

6.15 จากรูป 6.25 ดา้ นใตเ้ ข่ือนคือตะกอนผสมทราย มีคุณสมบตั ิเน้ือเดียวกนั และเท่ากันทุก

ทิศทาง อยบู่ นช้นั ทึบน้า (a) สร้างตาขา่ ยการไหล และคานวณปริมาณการไหล (m3/hr per

metre run) เมื่อไม่มีแนวเขม็ พืดใตฐ้ านเขอ่ื น (b) สร้างตาข่ายการไหล และคานวณปริมาณ

การไหล (m3/hr per metre run) เม่ือมีแนวเข็มพืดใต้ฐานเข่ือน (i) แนว A – A และ

(ii) แนว B – B

144 บทที่ 6 การซึมและการไหลซมึ ของน้ำผา่ นดนิ

ระดบั น้าสูงสดุ

2.5 m

3.5 m รขะุดดดบัิน

2.5 m

2.8 m ทราย

k = 2.8x10-5 m/s

ชนั้ ทึบน้า

รูป 6.23 ปัญหาการไหลของน้าผา่ นใตเ้ ขม็ พดื สาหรับขอ้ 6.13

ระดับน้าด้านบน 6.0 m
2.5 m

5.0 m
ระดับน้าด้านล่าง

3.0 m

3.0 m

ชัน้ ทึบน้า

รูป 6.24 ปัญหาการไหลของน้าผา่ นใตเ้ ขม็ พืดสาหรบั ขอ้ 6.14

25 m
ระดบั น้าหลงั เข่ือน

ระดบั น้าทา้ ยเขื่อน 12 m
1m C B
7m A 1.5 m
CB A 14 m

ทรายปนตะกอน (k = 8.5x10-6 m/s)

ชัน้ ทึบน้า

รูป 6.25 ปัญหาการไหลของน้าผา่ นใตเ้ ข่ือนคอนกรีตสาหรับขอ้ 6.15

บทที่ 7

ความเค้นและความเครียดในดิน

7.1 กลศาสตร์วิศวกรรม

ธรรมชาติของมวลดินประกอบด้วยเม็ดดินขนาดเล็ก จึงทาให้มีช่องว่างระหว่างเม็ดดิน
การวิเคราะห์ปฏิกิริยาระหว่างเม็ดดินที่อยู่ติดกนั สามารถกระทาไดโ้ ดยใช้หลกั การถ่ายทอดแรง
ต้งั ฉากและพิจารณาแรงเสียดทานที่เกิดข้ึนระหว่างเมด็ ดิน แต่การอธิบายพฤติกรรมเชิงกลศาสตร์
ของมวลดินในภาพรวมค่อนขา้ งซับซ้อน เนื่องจากดินโดยธรรมชาติเป็ นวสั ดุเม็ดท่ีแยกจากกัน
ดงั น้นั ตอ้ งมีการประยุกต์ใชก้ ฎของกลศาสตร์ของแข็ง กลศาสตร์โครงสร้าง กลศาสตร์วิศวกรรม
รวมท้งั กลศาสตร์ของไหล เพื่อมาอธิบายพฤติกรรมในเชิงกลศาสตร์ของมวลดิน และหลกั พ้นื ฐาน
ซ่ึงครอบคลุมกลศาสตร์ท้งั 4 สาขา ดงั ที่ไดก้ ล่าวมา ประกอบดว้ ย (1) สภาวะสมดุล (Equilibrium)
และ (2) ความเขา้ กนั ได้ (Compatibility)

สาหรับกรณีสภาวะสมดุล เมื่อวตั ถุอยู่ในสภาพหยุดนิ่ง (หรือเคลื่อนที่แต่ไม่มีความเร่ง)
ตอ้ งอยใู่ นสภาวะสมดุลท้งั ในเชิงทิศทางและเชิงการหมุนตวั หรืออีกนยั หน่ึง แรงลพั ธ์ท่ีกระทาต่อ
วตั ถุในทิศทางใด ๆ ตอ้ งมีค่าเป็นศูนย์ ท้งั น้ีรวมถึงผลรวมของโมเมนตท์ ี่รอบจุดใด ๆ ตอ้ งมีคา่ เป็น
ศนู ยด์ ว้ ย ดงั ตวั อยา่ งแสดงท่ีในรูป 7.1 (a)

สาหรับกรณีความเขา้ กนั ได้ การเคลื่อนท่ีหรือการเปลี่ยนแปลงรูปร่างและปริมาตรของ
วตั ถุใด ๆ ตอ้ งเป็ นไปตามกฎความเขา้ กันได้ ซ่ึงก็คือ ปริมาตรวตั ถุไม่มีการเพิ่มข้ึนหรือลดลง
ตวั อยา่ งเช่นในรูป 7.1 (b) ซ่ึงแสดงการเคลื่อนท่ีของจุด B (จากจุด B ไปเป็น B') ตอ้ งมีความเขา้ กนั
ไดก้ บั ความยาวของชิ้นส่วน AB และ AC (ความยาวของชิ้นส่วนดงั กล่าวยงั คงเดิม หลงั เกิดการ
เคลื่อนท่ี)

145

146 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ

F2 (a) (b)
Fy3 F3
แรงกระทา
แรงกระทา
F1 แรงกระทา A
Fx3 B'

R1แรงต้านทาน R3 BC
ผลรวมแรงกระทา = ผลรวมแรงต้านทาน
แรงต้านทาน ความยาว AB = ความยาว BB

R2

รูป 7.1 กฎพ้ืนฐานของกลศาสตร์ (a) สภาวะสมดุล (b) ความเขา้ กนั ได้

สิ่งท่ีตอ้ งคานึงไวเ้ สมอก็คือ ดินมีความแตกต่างกบั วสั ดุวิศวกรรมอ่ืน เช่น คอนกรีต และ
เหลก็ โครงสร้าง อนั เนื่องมาจากการที่ธรรมชาติของดินเป็นวสั ดุเมด็ และมีช่องว่างภายใน เป็นเหตุ
ใหเ้ ม่ือมีแรงกระทาต่อมวลดินทาให้ดินเกิดการเปลี่ยนแปลงเชิงปริมาตร การเปล่ียนแปลงดงั กล่าว
มีความสัมพนั ธ์โดยตรงกับการเปล่ียนแปลงของปริมาณน้าและอากาศ รวมท้งั ความแข็งแรง
นอกจากน้นั การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของมวลดินยงั ข้ึนอยู่กบั ความหนาแน่นและอตั ราความเร็ว
ของแรงกระทา รวมท้งั ประวตั ิการรับแรงกระทาในอดีตอีกดว้ ย การศึกษาพฤติกรรมของมวลดิน
เม่ือมีแรงภายนอกกระทาอาจเร่ิมต้นจากการใช้กลศาสตร์พ้ืนฐาน จากน้ัน จึงขยายไปสู่การ
พิจารณาถึงระดบั ธรรมชาติของโครงสร้างดิน

7.2 ความเค้นและความเครียด

พฤติกรรมทางกลของโลหะสามารถอธิบายในเชิงตวั เลขไดโ้ ดยการทดสอบรับแรงดึง ดงั แสดงใน
รูป 7.2 (a) ซ่ึงแสดงถึงพฤติกรรมการยืดตวั ของวสั ดุเมื่อรับแรงกระทา สาหรับวสั ดุแข็งเปราะ
(Brittle materials ดงั รูป 7.2 (b)) เช่น เหลก็ หล่อ เหล็กกลา้ ผสมคาร์บอนปริมาณสูง คอนกรีต และ
หินแข็ง เม่ือนับจากจุดเริ่มตน้ กราฟจะมีลกั ษณะเป็ นเส้นตรงที่มีค่าความชันสูงมาก ต่อจากน้ัน
จุดวิบตั ิจะเกิดข้ึนอย่างทนั ทีทนั ใด ซ่ึงเรียกลกั ษณะเช่นน้ีว่าการวิบตั ิแบบเปราะ (Brittle failure)
สาหรับวสั ดุเหนียว (Ductile materials) เช่น เหล็กโครงสร้างทวั่ ไป อลูมิเนียม และอลั ลอย จะมี
พฤติกรรมดงั แสดงในรูป 7.2 (c) ซ่ึงแสดงถึงลกั ษณะที่กราฟเป็นเส้นตรงในช่วงแรกและค่อนขา้ ง
ชนั กราฟช่วงน้ี เรียกว่าช่วงยืดหยุ่น (Elastic phase) แต่เม่ือเลยช่วงยืดหยุ่นวสั ดุจะเกิดการคราก
(Yield) ซ่ึงสังเกตได้จากการท่ีความเครียดมีค่าเพิ่มข้ึนมากในขณะที่ความเคน้ มีค่าเพิ่มข้ึนเพียง
เล็กน้อยเท่าน้นั เมื่อวตั ถุถูกดึงจนถึงจุดครากจะเกิดการเสียรูปแบบพลาสติก ซ่ึงหมายความว่า
ถึงแมว้ า่ แรงดึงจะถกู ถอนออกไป แตว่ ตั ถุก็จะไม่กลบั คนื มาสู่สภาพเดิม

บทที่ 7 ความเค้นและความเครยี ดในดิน 147

แรงดึง F (a)
F
L L
(b) พน้ื ท่หี นา้ ตดั = A
(c)
การวิบัติแบบเปราะ จดุ คราก

ความเค้น  = F/AE d E
ความเค้น  = F/A1 1
d

ความเครียด  = L/L ความเครียด  = L/L
วสั ดุเหนียว
วสั ดแุ ขง็ เปราะ

รูป 7.2 (a) แรงดึงและการยดื ตวั (b) กราฟความเคน้ -ความเครียดของวสั ดุเปราะ
(c) กราฟความเคน้ -ความเครียดของวสั ดุเหนียว

7.2.1 ความแขง็ เกรง็ และความยดื หย่นุ

ความแขง็ เกร็ง (Stiffness) คือ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งความเคน้ (หรือหน่วยแรง Intensity of loading)
ท่ีทาใหเ้ กิดความเครียดข้ึน ถา้ ความสัมพนั ธ์เป็นเส้นตรง แสดงวา่ วสั ดุน้นั มีคุณสมบตั ิความยดื หย่นุ
(Elastic material) และช่วงของความชันท่ีเป็ นเส้นตรง เรี ยกว่าโมดูลัสยืดหยุ่น (Modulus of
elasticity หรือ Young’s modulus, E) ซ่ึงอาจแสดงเป็นสมการไดด้ งั น้ี

= δσ [7. 1]

δε

กฎของฮุค (Hooke’s law) กล่าวไวว้ ่า    ซ่ึงหมายความว่า ถา้ ความสัมพนั ธ์ระหว่าง
ความเคน้ และความเครียดเป็นเส้นตรง แสดงวา่ คา่ โมดูลสั ยดื หยนุ่ จะมีคา่ คงที่ แต่สาหรับดิน จะไม่

สังเกตเห็นพฤติกรรมช่วงท่ีเป็นเส้นตรง ดงั น้นั ค่าโมดูลสั ยดื หยนุ่ จะแปรเปลี่ยนไปตามระดบั ของ

ความเคน้ และความแขง็ แรงของวสั ดุ และแสดงไดโ้ ดยใชส้ มการต่อไปน้ี (ดงั รูป 7.3)

′ = δσ′ [7. 2]

δε

′sec = σ′ [7. 3]
ε

เม่ือ ′ และ ′sec คือ โมดูลัสสัมผสั (Tangent modulus) และโมดูลสั เส้นตดั (Secant
modulus) ตามลาดบั สาหรับเครื่องหมายไพรม์ (' ) แสดงถึงความเคน้ ประสิทธิผล

148 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครียดในดนิ

'

E
1
' เ(สTaน้ nสgัมenผtสั)

E 

1
เ(สSe้นcตanรtง)ตดั วงกลม



รูป 7.3 โมดูลสั ยดื หยนุ่ แบบเส้นสมั ผสั และเสน้ ตรงตดั วงกลมสาหรับดิน

7.2.2 จุดคราก

การเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมจากช่วงยืดหยุ่นไปเป็ นแบบพลาสติกสาหรับท้งั วสั ดุยืดหยุ่นและ
ก่ึงยืดหยุ่น จะสังเกตได้จากการที่ความชันของกราฟระหว่างความเค้นและความเครียดมีการ
เปล่ียนแปลงอยา่ งเห็นไดช้ ดั เจน ซ่ึงจุดเปล่ียนดงั กล่าวเรียกวา่ จุดคราก (Yield point) และความเคน้
ท่ีจุดน้ีเรียกวา่ ความเคน้ คราก (Yield stress y ดงั รูป 7.2 (c))

7.2.3 ความเครียดเชิงปริมาตรและโมดลู สั ความจุ

รูป 7.4 (a) แสดงวตั ถุสามมิติรับแรงกระทาแบบไอโซทรอปิ ก (Isotropic = แรงกระทามีค่าเท่ากนั
ทุกทิศทาง) ซ่ึงเหมือนกับแรงกระทาเน่ืองจากแรงดันน้าสถิตท่ีกระทาต่อมวลดิน (ที่จมน้า)
กาหนดให้ปริมาตรเร่ิมต้นของวตั ถุคือ Vo และการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรเม่ือมีแรงกระทา
คือ dV ดงั น้นั ความเครียดเชิงปริมาตร (εv) คานวณไดจ้ ากสมการ εv = d / o

ค่าโมดูลสั ความจุ (Bulk modulus, K') คือคุณสมบตั ิความแข็งแรงของวสั ดุเชิงปริมาตร
ซ่ึงคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี (ดงั รูป 7.4 (a))

′ = δ [7. 4]

δεv

สาหรับวสั ดุท่ีอดั ตวั ได้ เช่น มวลดิน โมดูลสั ความจุจะมีค่าเพมิ่ ข้นึ ตามการเพ่มิ ข้ึนของแรง

กระทาแบบไอโซทรอปิ ก

บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 149

(a) p (b)

p = ความดนั รอบทศิ ทาง p ความชัน = โมดูลัสความจุ

pp K
1

v

รูป 7.4 (a) วตั ถุรบั ความดนั ทกุ ทิศทาง (b) ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความดนั และความเครียดเชิงปริมาตร

'z, z

'x, x 'y, y

รูป 7.5 แรงอดั สามแกน (Triaxial compression)

7.2.4 ความเคน้ และความเครยี ดแบบสามแกน

การวเิ คราะห์ปัญหาทางดา้ นวิศวกรรมที่เก่ียวขอ้ งกบั ดิน บางกรณีตอ้ งพจิ ารณาสภาพความเคน้ และ
ความเครียดที่กระทาต่อมวลดินเป็นแบบสามแกนต้งั ฉากกนั รูป 7.5 แสดงมวลดินทรงลูกบาศก์
และมีความเค้นประสิทธิผลที่กระทาท้งั สามแกนต้งั ฉากกัน ('x, 'y, 'z) จากทฤษฎียืดหยุ่น
คา่ ความเครียดของสามแกนดงั กล่าว คานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

εx = (σ x′x′ − ′ σy′ − ′ σ′z ) [7. 5]
y′ z′ [7. 6]
[7. 7]
εy = (− ′ σ′x + σ′y − ′ σ z′z′ )
x′ y′

εz = (− ′ σx′ − ′ σ′y + σ zz′′ )
x′ y′

เม่ือ v' คือ อตั ราส่วนปัวซอง (Poisson’s ratio เม่ือคิดแบบประสิทธิผล)

สาหรับวสั ดุซ่ึงความแข็งแรงมีค่าเท่ากันท้งั สามแกน โมดูลสั ยืดหยุ่นของทุกแกนมีค่า
เท่ากนั (E'x = E'y = E'z) ดงั น้นั คา่ ความเครียดจึงคานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

150 บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดนิ

x = 1 (σ′x − ′σy′ − ′σ′z) [7. 8]
′ [7. 9]
[7. 10]
εy = 1 (− ′σx′ +σ′y− ′σ′z)
′ [7. 11]

εz = 1 (− ′σx′ − ′σ′y + σ′z)
′

และความเครียดเชิงปริมาตรคานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

εv = εx + εy + εz = 1 (1 − 2 ′)(σx′ + σy′ + σ′z)
′

 (b)

(a)

1  G

 1
2
 2 ความชัน = โมดลู ัสเฉือน
 1

+ (c) +

(d)

- 2  

0 1 + - 2 0 1 +

- -

รูป 7.6 ความเคน้ เฉือน ความเครียดเฉือน และโมดูลสั เฉือน

7.2.5 ความเคน้ เฉือนและความเครียดเฉือน

รูป 7.6 (a) แสดงรูปทรงสองมิติซ่ึงเสียรูปเนื่องมาจากความเคน้ เฉือน (Shear stress, ) และการเสีย
รู ปดังกล่าวเรี ยกว่าความเครี ยดเฉือน (Shear strain) ซ่ึงก็คือการเปล่ียนแปลงเชิงมุมและ
ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แตค่ วามเป็นจริงแลว้ ก็คือคา่ tan  ท้งั น้ีเน่ืองจากการท่ี  มีคา่ นอ้ ยมาก จนทาใหค้ ่า
tan    เมื่อสร้างกราฟความสัมพนั ธ์ระหว่างความเคน้ เฉือนและความเครียดเฉือน ดงั แสดง
ในรูป 7.6 (b) ค่าความชนั ของกราฟดงั กล่าวเรียกวา่ โมดูลสั แข็งเกร็ง หรือโมดูลสั เฉือน (Modulus
of rigidity หรือ Shear modulus, ′) และเขยี นเป็นสมการไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

′ = δτ [7. 12]

δγ

บทท่ี 7 ความเค้นและความเครยี ดในดิน 151

ความเครี ยดท่ี เกิดจากความเค้นเฉื อน คานวณ ได้จากการพิจารณาค่าความเค้นหลัก
(Principle stresses, 1และ 2) ดงั แสดงในรูป 7.6 (a) ในขณะที่รูป 7.6 (c) และ (d) แสดงการใช้
วงกลมมอร์ (Mohr circle) เพื่อแสดงสถานะของความเคน้ และความเครียดท่ีเกิดข้ึนในรูป 7.6 (a)
และแสดงในรูปของสมการไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

= 1 ( 1 − 2) [7. 13]
2

γ = (ε1 − ε2) [7. 14]

สาหรับวสั ดุท่ีคุณสมบตั ิความยดื หยนุ่ มีค่าเท่ากนั ทุกทิศทาง คา่ โมดูลสั ตา่ ง ๆ เช่น โมดูลสั
ความจุ โมดูลสั ยดื หยนุ่ และโมดูลสั เฉือน อาจแสดงใหอ้ ยใู่ นรูปของสมการดงั ตอ่ ไปน้ี

′ = ′ [7. 15]
2(1+ ′) [7. 16]

′ = ′
3(1−2 ′)

7.2.6 ความเค้น-ความเครียดภายในมวลดิน

พฤติกรรมเชิงกลศาสตร์ของดินมีความแตกต่างจากวสั ดุโครงสร้าง เช่น เหล็กและคอนกรีต
อยหู่ ลายประการ ดงั เช่นตวั อยา่ งต่อไปน้ี

• ดินไม่สามารถรับแรงดึงได้ (ยกเวน้ ดินที่มีส่วนผสมของซีเมนตห์ รือสารประเภท
ปอซโซลาน)

• เม่ือดินรับแรงกระทาจากภายนอก ปริมาตรจะเกิดการเปล่ียนแปลงของ หรือเกิด
การเพ่ิมข้ึนหรือลดลงของแรงดนั น้าภายในช่องวา่ งมวลดิน ซ่ึงส่งผลกระทบต่อ
ความเคน้ ประสิทธิผล

• การเปล่ียนแปลงปริมาตรของดินอิ่มตวั จะเกิดข้ึนก็ต่อเมื่อน้าระบายออกจาก
มวลดิน ซ่ึงอตั ราการไหลออกของน้าจะข้นึ อยกู่ บั ค่าการซึมผา่ นไดข้ องมวลดิน

• ดินแข็งปานกลางและดินแข็งจะมีพฤติกรรมการพงั ทลายแบบเปราะ ในขณะ
ท่ีดินอ่อนจะมีพฤติกรรมการวบิ ตั ิเนื่องจากการเปล่ียนแปลงของรูปร่าง

• เม่ือมีแนวล่ืนไถลเกิดข้ึนในมวลดินอันเน่ืองจากแรงเฉือน พฤติกรรมของดิน
จะเปล่ียนจากปัญหาแบบกลศาสตร์ของแข็งกลายเป็ นปัญหาแบบกลศาส ตร์ของ
วสั ดุแขง็ เกร็ง

สถานะความเคน้ ท่ีอาจเกิดข้ึนในมวลดินมีอยดู่ ว้ ยกนั หลายรูปแบบ ข้นึ อยกู่ บั ตาแหน่งของ
ดินที่สัมพทั ธ์กบั โครงสร้างรวมท้งั สภาพของแรงกระทา ตวั อย่างสถานะความเคน้ ท่ีอาจเกิดข้ึน
ในมวลดินมีดงั ต่อไปน้ี

152 บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน

(1) ความเคน้ เทา่ กนั ทกุ ทิศทาง

รูป 7.7 แสดงความเคน้ มีค่าเท่ากนั ในทุกทิศทางกระทาต่อชิ้นส่วนตวั อย่างดิน
ซ่ึงเกิดข้ึนเม่ือให้ความดนั รอบตวั อย่างดินท่ีเกิดข้ึนในระยะแรกของการทดสอบกาลงั รับ
แรงเฉือนแบบสามแกน นอกจากน้ัน ความดนั น้าก็เป็ นตวั อย่างของความดนั เท่ากันทุก
ทิศทางที่กระทาตอ่ มวลดินเช่นกนั สถานะความเคน้ ของดินเม่ือมีความเคน้ แบบเทา่ กนั ทา

ทิศทางกระทา อธิบายไดโ้ ดยการใชค้ วามสมั พนั ธ์ดงั ตอ่ ไปน้ี

σx = σy = σz = และ εv = 3 ′ (1 − 2 ′)
′

ดงั น้นั

′ = ′ = ′ [7. 17]
εv 3(1−2 ′)

p (a) a (b)
pp r r

p p r r

(มaคี =า่ เทrา่ =กันคทว้งาั สมดามันแเซกนลล) ์ a

รูป 7.7 ความเคน้ เท่ากนั ทุกทิศทาง (a) ชิ้นส่วนทรงลูกบาศก์ (b) ชิน้ ส่วนทรงกระบอก (เช่น ตวั อยา่ งดินสาหรับ
การทดสอบแบบสามแกน)

(2) ความเคน้ สองแกนสมมาตร

ในกรณีที่ความเคน้ ในแนวระนาบสองแกนซ่ึงต้งั ฉากกนั และมีค่าเท่ากนั เรียกวา่
ความเคน้ สองแกนสมมาตร ตวั อย่างเช่น สภาพท่ีตวั อย่างดินอยู่ในสภาวะมีแรงกระทา
ในขณะทาการทดสอบกาลงั รับแรงเฉือนแบบสามแกน (ดงั รูป 7.8 (a)) หรือสภาพความ
เคน้ ท่ีเกิดข้นึ ภายในดินฐานรากซ่ึงอยใู่ ตฐ้ านรากวงกลม (ดงั รูป 7.8 (b))

กาหนดให้ความเคน้ ในแนวด่ิง z คือ a (z = a) และความเคน้ ในแนวระนาบ
ซ่ึงมีทิศทางเป็ นรัศมี x มีค่าเท่ากบั y คือ r (x = y = r) นาค่าเหล่าน้ีแทนลงใน
สมการ [7.5] ถึง [7.7] จะไดค้ วามสมั พนั ธด์ งั ตอ่ ไปน้ี

บทที่ 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ 153

a (มีค่าเพม่ิ ข้ึน) (a) (b)

r r

r r v

ตวั อยา่ งฐานรากวงกลม
(เช่น ฐานรากรบั บ่อเก็บน้ามนั )
r (คงทต่ี ลอดเวลา)

a r r

รูป 7.8 ความเคน้ ต่อรูปทรงสมมาตรสองแกน (a) กระทาตอ่ ตวั อยา่ งดินแบบสามแกน (b) ตวั อยา่ งความเคน้
เกิดข้นึ ที่ใตฐ้ านรากวงกลม

εa = 1 (σ′a − 2 ′σr′ )
′

εr = 1 (− ′σ′a + (1 − 2 ′)σ′r)
′

εv = εa = 2εr = (1−2 ′) (σ′a + 2σ′r)
′

ต่อมากาหนดให้ ความเคน้ ต้งั ฉากเฉล่ีย (Mean normal stress, p') คานวณไดจ้ าก
สมการ

′ = 1 (σa′ + 2σ′r) ซ่ึงทาใหค้ วามเครียดเชิงปริมาตรกลายเป็น
3

εv = 3(1−2 ′) ′ = ′ ดงั น้นั โมดูลสั ความจุจึงกลายเป็น
′ ′

′ = ′
3(1−2 ′)

เพ่อื ความสะดวกสาหรับการทดสอบกาลงั รับแรงเฉือนแบบสามแกน จึงไดม้ ีการ
กาหนดคา่ ตวั แปรดงั ต่อไปน้ี

′ = σ′a − σr′ [7. 18]
[7. 19]
′ = 1 (σ′a + 2σr′ ) [7. 20]
3 [7. 21]

εs = 2 (εa − εr)
3

εv = 3(1−2 ′) = ′
′ ′

154 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครียดในดนิ

เมื่อ ′ คือ ความเคน้ แตกต่าง (Deviatoric stress) ′ คือ ความเคน้ ต้งั ฉากเฉลี่ย
(Mean normal stress) εs คือ ความเครียดเฉือน (Shear strain) และ εv คือ ความเครียดเชิง
ปริมาตร (Volumetric strain)

ขอ้ สงั เกตจากความสัมพนั ธ์ดงั กล่าวกค็ ือ εs แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของ
มวลดิน ในขณะที่ εv แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรมวลดิน ดงั น้นั ค่าโมดูลสั
อาจเขยี นเป็นสมการไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

′ = δ ′ [7. 22]
[7. 23]
δεs
(b)
′ = δ ′

δεv

(a)

z(z) กาหนดให้ z(z)
ความเครียดตามแนวยาวโครงสรา้ ง = 0

y(y) x(x) y(y) x(x)

รูป 7.9 ความเครียดแนวระนาบ (a) กาแพงคนั ดิน (b) คนั ทางถนน

(3) ความเครียดแนวระนาบ

ดินภายใตโ้ ครงสร้างตามแนวยาว เช่น กาแพงกนั ดินและคนั ทางถนน ดงั แสดง
ในรูป 7.9 ความเครียดในดินตามแนวยาวของโครงสร้างจะมีค่าเป็นศูนย์ (ยกเวน้ ที่ปลาย
ท้งั สองดา้ นของโครงสร้าง) ดงั น้นั จึงพิจารณาเฉพาะค่าความเครียดในระนาบหน้าตดั
ของโครงสร้างเทา่ น้นั ลกั ษณะเช่นน้ีเรียกวา่ ความเครียดแนวระนาบ (Plane strain)

กาหนดให้ = 0, σ′x = σh′ และ σy = ′(σz′ −σh′ ) ดงั น้นั

εz = 1+ ′ [(1 − ′)σz′ − ′σh′ ]
′

εh = 1+ ′ [− ′σ′z + (1 − ′)σh′ ]
′

εv = εz + εh = (1+ ′)(1− ′) (σz′ + σh′ )
′

หรืออาจกาหนดให้ ′ = 1 (σz′ + σ′h) ซ่ึงความเครี ยดเชิงปริ มาตรจะกลายเป็ น
2

บทท่ี 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ 155

εv = 2(1+ ′)(1−2 ′) ′
′

ดังน้ัน โมดูลัสความจุประสิทธิผล สาหรับปัญหาความเครียดแนวระนาบ

จึงคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

p′s = ′ [7. 24]
2(1+ ′)(1−2 ′)

(4) แรงอดั แกนเดียวจากดั

ภายใต้พ้ืนท่ีขนาดใหญ่รับแรงกระทา เช่น ฐานรากแพ (Raft foundation)
ความเครียดในดินใต้ฐานรากในแนวระนาบท้ังสองแกนถูกสมมุติให้มีค่าเป็ นศูนย์
ซ่ึงคลา้ ยกบั สถานะความเครียดของตวั อยา่ งดินเมื่อทดสอบการอดั ตวั คายน้าแกนเดียวโดย
อุปกรณ์โออิโดมิเตอร์ (Oedometer test) ซ่ึงตัวอย่างดินจะถูกจากัดการเคล่ือนตวั ทาง
ดา้ นขา้ งโดยวงแหวนโลหะ (ดงั รูป 7.10 (a)) จากสภาพดงั กลา่ ว กาหนดให้

εx = εy = εz = 0 และ σ′x = σy′ = σ′h
ดงั น้นั ความเครียดแนวระนาบจึงคานวณไดจ้ ากความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ี

h = 0 = 1 (− ′σz′ + σh′ − ′σh′ )
′

ดงั น้นั ความเคน้ ประสิทธิผลแนวระนาบ จึงคานวณไดจ้ ากความสัมพนั ธ์

σ′h = ′ σ′z [7. 25]
1− ′

และจากข้อกาหนด εv = εs ซ่ึงหมายความว่าการเปล่ียนแปลงของปริมาตร
มวลดิน ก็คือการเปลี่ยนแปลงความหนาของตวั อย่างดิน ดงั น้ัน โมดูลสั แข็งเกร็งจากดั

(Confined stiffness modulus) อาจคานวณไดจ้ ากสมการ

o′ = σz′ [7. 26]
εz

ดงั น้นั สาหรับวสั ดุซ่ึงมีคุณสมบตั ิยืดหยนุ่ เท่ากนั ทุกทิศทาง ความเครียดแนวด่ิง

จึงคานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

εz = 1 (σz′ − 2 ′σh′ ) = 1 (σ′z − 2 ′ ′ σ′z) = σz′ [(1+ ( 1′)−( 1 −′)2 ′)]
′ ′ 1− ′ ′

และ โมดูลสั แขง็ เกร็งจากดั คานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

o′ = ′ 1− ′ [7. 27]
(1+ ′)(1−2 ′)

156 บทที่ 7 ความเคน้ และความเครียดในดิน

a (a) a (b)

ขอบเขตจากัด

a a

แรงอดั จากดั แรงอดั ไม่จากดั

(x = y = 0) (x = y = 0)

กาหนดให้ กาหนดให้
ความเครียดรอบตวั อย่าง = 0 ความเค้นรอบตวั อย่าง = 0

รูป 7.10 (a) การทดสอบแรงอดั แบบแกนเดียว (One-dimensional compression)
(b) แรงอดั ไม่จากดั (Unconfined compression)

ขอ้ ท่ีควรสังเกตสาหรับดินอ่ิมตวั ก็คือ เม่ือสภาพการระบายน้าออกจากมวลดิน
ถูกปิ ดก้นั (Undrained conditions) ค่าอตั ราส่วนปัวซองจะเป็ นแบบไม่ระบายน้า ซ่ึงก็คือ
= u = 0.5 และเม่ือแทนค่าดังกล่าว จะทาให้ o′ =  (ปริมาตรมวลดินไม่มีการ
เปล่ียนแปลง) เพราะฉะน้ันในการวิเคราะห์พฤติกรรมความเคน้ และการเสียรูปโดยใช้
โปรแกรมไฟไนตเ์ อลิเมนต์ จึงมกั ป้อนคา่ u ใหน้ อ้ ยกวา่ 0.5 เช่น 0.49 เป็นตน้

(5) แรงอดั ไม่จากดั

ในสภาพความเป็ นจริง สถานะแรงอดั ไม่จากดั เกิดข้ึนไดน้ อ้ ยมากในช้นั ดิน แต่
การทดสอบแรงอดั ไม่จากดั (Unconfined compression test รูป 7.10 (b)) อาจใช้สาหรับ
การทดสอบดินเหนียวอ่ิมตวั หรือดินที่มีการผสมกบั สารปอซโซลาน (เช่น ซีเมนต์ และ
ปูนขาว)

สภาพดงั กล่าว ความเคน้ ทางดา้ นขา้ งมีคา่ เป็นศนู ย์ (σx′ = σ′y = 0) ดงั น้นั

εz = σ′z และ ′ = ′ = ′σz′ นอกจากน้นั ยงั พบวา่
′ ′

εv = εz+εx + εy = 1−2 ′ σ′z เพราะฉะน้ันโมดูลสั ความจุประสิทธิผล จึงคานวณได้
′
จากสมการต่อไปน้ี

′ = z′ = ′ [7. 28]
v 1−2 ′

บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 157

(6) การทดสอบกลอ่ งแรงเฉือน

สาหรับการทดสอบกล่องแรงเฉือน ในข้นั ตอนการให้แรงต้งั ฉากแนวดิ่งกระทา
ต่อตวั อย่างดิน ค่าแรงเฉือนยงั คงเป็ นศูนยแ์ ละตวั อย่างดินอยู่ในสภาวะการอดั ตวั คายน้า
แกนเดียว ดงั น้นั โมดูลสั ยดื หยนุ่ และโมดูลสั เฉือน จึงคานวณไดจ้ ากกลุ่มสมการตอ่ ไปน้ี

o′ (tan) = δσn′ [7. 29]
δεn [7. 30]
[7. 31]
o′ (sec) = ∆σ′n [7. 32]
∆εn

(′tan) = δτ
δγ

(′sec) = ∆τ
∆γ

7.3 สภาพระบายน้ำและการเปลีย่ นแปลงปริมาตร

มวลดินซ่ึงประกอบดว้ ย น้า อากาศ และของแข็ง และมีคุณสมบัติยืดหยุ่น เมื่อมีความเคน้ อดั
กระทาต่อมวลดินอ่ิมตัว จะส่งผลให้ความดันน้าซ่ึงอยู่ในช่องว่างระหว่างเม็ดดินมีค่าเพิ่มข้ึน
ถา้ การระบายน้าออกจากมวลดินไม่ถูกปิ ดก้นั ความดนั ท่ีเพิ่มข้ึนดงั กล่าวจะไหลออกไปสู่บริเวณ
ใกลเ้ คียงซ่ึงมีคา่ ความดนั น้าต่ากวา่ อตั ราการไหลออกจะข้นึ อยกู่ บั คุณสมบตั ิการซึมผา่ นไดข้ องดิน
เช่น ในทรายและกรวด การไหลออกของน้า (ความดนั น้า) จะเป็นไปอยา่ งรวดเร็ว แต่สาหรับดิน
เหนียวและตะกอน อตั ราการไหลออกจะชา้ กวา่ มาก ในขณะท่ีกระบวนการไหลออกของความดนั
กาลงั ดาเนินไป ความเคน้ เน่ืองจากแรงกระทาจากภายนอกจะค่อย ๆ ถ่ายทอดจากน้าไปสู่เม็ดดิน
โดยผา่ นจุดเชื่อมต่อซ่ึงเมด็ ดินสัมผสั กนั และเรียกความเคน้ ในเมด็ ดินน้ีวา่ ความเคน้ ประสิทธิผล

7.3.1 สภาพไมร่ ะบายน้ำ (Undrained conditions)

สภาพไม่ระบายน้าเกิดข้ึนเม่ือการระบายน้าถูกปิ ดก้นั เช่น การทดสอบสามแกนแบบไม่ระบายน้า
และยงั อาจเกิดข้ึนได้เม่ืออตั ราของแรงกระทาต่อมวลดินมีความเร็วมากเกินไปจนความดันน้า
ที่เกิดข้ึนไม่สามารถระบายออกไดท้ นั (เช่น การก่อสร้างฐานรากบนช้นั ดินเหนียวอ่อนอ่ิมตัว)
การเปลี่ยนรูปร่างของมวลดินเม่ือการระบายน้าถูกปิ ดก้นั ข้ึนอยกู่ บั คุณสมบั ตั ิความแข็งแรงของท้งั
เมด็ ดินและน้า (Stiffness, K) ซ่ึงค่าโดยประมาณสาหรับน้า คือ  2.2  106 kN/m2 และสาหรับดิน
คือ  5  107 kN/m2

ข้อสังเกตท่ีสาคัญก็คือ ความเค้นที่เกิดข้ึนในมวลดินเนื่องมาจากโครงการทางด้าน
วิศวกรรมโยธามกั มีคา่ ไม่เกิน 1000 kN/m2 ซ่ึงทาใหค้ วามเครียดเชิงปริมาตร (v) มีคา่ นอ้ ยมาก และ
K มีค่าสูงมาก ดงั น้ัน โมดูลสั ยืดหยุ่นสาหรับกรณีท่ีดา้ นขา้ งตวั อย่างดินถูกจากัดแบบสมบูรณ์

158 บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดนิ

(Fully confined) จึงมีค่าเท่ากบั u =  และสาหรับกรณีที่ตวั อย่างดินไม่ถูกจากดั ทางดา้ นขา้ ง

(Unconfined) u = δσa
δεa

เมื่ออยภู่ ายใตส้ ภาพไมร่ ะบายน้า สภาพพฤติกรรมความเคน้ – ความเครียด ของดิน จะเป็น

แบบความเค้นรวม (Total stress) และเนื่องจาก σ1 − σ3 = σ1′ − σ3′ ดังน้ัน โมดูลัสเฉือน
เนื่องจากความเคน้ รวมจะมีค่าเท่ากบั เน่ืองจากความเคน้ ประสิทธิผล (G = G') และเม่ือพิจารณา

จากความสัมพนั ธ์ ′ = ′ ค่าโมดูลสั ยืดหยุ่นแบบไม่ระบายน้าจึงคานวณได้จากสมการ
2(1+ ′)
ตอ่ ไปน้ี

u = ′ 1.5 [7. 33]
1+ ′
Log  '
e
เส้นบวมตวั : e = es – Cs log '

eo เส้นอดั ตวั คายนา้ ปกติ: e = eo – Cc log '

ดนิ อยู่ในสถานะไม่เสถียร
es (Unstable soil)

Y

ดินอัดตวั คายน้าสงู กวา่ ปกติ
(Over consolidated soil)

1.0 kPa  'y

รูป 7.11 พฤติกรรมการอดั ตวั คายน้าของดนิ ในอดุ มคติ

7.3.2 สภาพระบายนำ้ (Drained conditions)

กรณีอตั ราการเพ่ิมข้ึนของน้าหนักกระทาต่อมวลดินเกิดข้ึนช้ามาก จนทาให้น้าสามารถระบาย
ออกไปไดโ้ ดยไม่เกิดความดนั น้าในมวลดิน ปริมาตรมวลดินจะลดลงเท่ากบั ปริมาณน้าท่ีไหล
ออกไป และน้าหนักกระทาจะถูกถ่ายทอดไปสู่เม็ดดิน ซ่ึงพฤติกรรมความเคน้ – ความเครียด
เช่นน้ี ถกู เรียกวา่ ความเคน้ ประสิทธิผล (Effective stress)

พฤติกรรมระบายน้าของดินสาหรับการอดั ตวั คายน้าแกนเดียว (เช่น การตกตะกอนของ
ดินตามธรรมชาติ และการทดสอบโออิโดมิเตอร์) มีลกั ษณะใกลเ้ คียงกบั กราฟในอุดมคติสาหรับ
พฤติกรรมการอัดตัวคายน้ าของดิน ดังแสดงในรู ป 7.11 โดยการกาหนดให้ h คือ
การเปล่ียนแปลงของความหนาช้นั ดิน e คือ การเปลี่ยนแปลงของอตั ราส่วนช่องว่าง และ v คือ
การเปลี่ยนแปลงของปริมาตรจาเพาะ จากน้นั จึงสามารถสร้างสมการให้ความเครียดแนวดิ่งมีค่า
เทา่ กบั ความเครียดเชิงปริมาตร ไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี

บทที่ 7 ความเค้นและความเครยี ดในดิน 159

∆ℎ = ∆ = ∆ [7. 34]

ℎo 1+

= − ℎ = − = − [7. 35]

ℎ 1+

เมื่อกระบวนการตกตะกอนเร่ิมตน้ ข้ึน ช้นั ดินจะมีลกั ษณะคลา้ ยกบั โคลนท่ีเกาะกนั อย่าง
หลวม ๆ และมีอตั ราส่วนช่องวา่ งสูง การอดั ตวั คายน้าจะเกิดข้ึนอยา่ งต่อเนื่องแบบชา้ ๆ เป็นเหตุ
ให้กราฟการอดั ตวั ของดินวิ่งไปตามเส้นอดั ตวั คายน้าปกติ (Normal compression line, NCL) กรณี
ช้นั ดินถูกรบกวน เช่น มีการขดุ ดิน อตั ราส่วนช่องว่างอาจเพ่ิมข้ึนเหนือเส้น NCL ส่งผลใหด้ ินขาด

เสถียรภาพและวบิ ตั ิ แตห่ ลงั จากน้นั กจ็ ะเคลื่อนที่ไปสู่เสน้ อดั ตวั คายน้าปกติ

ถา้ ความเคน้ ประสิทธิผลในมวลดินลดลง ดินจะขยายตวั (บวมตวั ) ไปตามเส้นบวมตวั

(Swelling line) แต่เม่ือดินถูกทาให้เกิดการอดั ตวั คายน้าอีกคร้ัง อตั ราส่วนช่องว่างจะลดลงและ
เดินทางวกกลบั ไปตามเส้นบวมตวั กราฟดังกล่าวจึงมีช่ือว่า เส้นบวมตวั – อดั ตัวคายน้ากลบั
(Swelling – recompression line, SRL) พฤติกรรมการอัดตัวกลับของดินมีลักษณะยืดหยุ่นและ

วิ่งไปตามเส้นบวมตวั – อดั ตวั กลบั จนกระทง่ั ถึงจุดคราก (จุด Y) ซ่ึงเป็นจุดตดั ระหว่างเส้นอดั ตวั
ปกติและเส้นบวมตวั – อดั ตวั กลบั

ขนาดความเค้นประสิทธิผลท่ีจุดครากคือ ความเค้นคราก (Yield stress, y) บางคร้ัง
เรียกว่าความเค้นก่อนการอดั ตวั คายน้า (Preconsolidation stress) หรือ ความเคน้ ก่อนการอัดตัว
(Precompression stress) ค่าความเคน้ ครากคือระดบั ความเคน้ สูงสุดที่เคยเกิดข้ึนในดิน (ในอดีต)
ก่อนสภาพความเคน้ ในสภาพปัจจุบนั กรณีท่ีค่าอตั ราส่วนช่องว่างของดินในสภาพความเค้น

บรรทุกเนื่องจากน้าหนักดินเอง (หรือความเคน้ กดทบั Overburden stress) อยู่บนเส้นอดั ตวั ปกติ
เรียกดินในสภาวะน้ีว่า ดินอดั ตวั คายน้าปกติ (Normally consolidated soil) แต่ถา้ อยู่ใตเ้ ส้นอดั ตวั
คายน้าปกติ เรียกวา่ ดินอดั ตวั คายน้าเกินปกติ (Overconsolidated soil)

สมการต่อไปน้ี แสดงลกั ษณะของเส้นอดั ตวั คายน้าปกติและเสน้ บวมตวั – อดั ตวั กลบั

= o − c log ′ [7. 36]

= s − s log ′ [7. 37]

เมื่อ Cc = ความชนั ของเสน้ อดั ตวั ปกติ (ดชั นีอดั ตวั Compression index)
Cs = ความชนั ของเสน้ บวมตวั – อดั ตวั กลบั (ดชั นีบวมตวั Swelling index)

ในทางทฤษฎี ค่าอตั ราส่วนช่องวา่ งท่ีจุดซ่ึงเส้นอดั ตวั คายน้าปกติและเสน้ บวมตวั – อดั ตวั
กลบั ตดั กนั จะเป็นค่าเดียวกนั ดงั สมการตอ่ ไปน้ี

= o − c log σ′y = s − s log σy′

160 บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน

โดยการแกส้ มการดงั กล่าว ทาใหไ้ ดส้ มการใหมด่ งั ตอ่ ไปน้ี

log σ′y = o− s [7. 38]
c− s

สาหรับตัวอย่างดินถูกจากัดการเคลื่อนตวั ทางด้านขา้ งและรับแรงอดั แกนเดียว (One-

dimensional confined) คา่ โมดูลสั ยดื หยนุ่ อาจคานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

o′ = (1 + ) σ′ [7. 39]
s




รูป 7.12 ความเคน้ หลกั ในมวลดิน

7.4 การวิเคราะหค์ วามเค้นโดยวงกลมมอร์ (Mohr’s circle)

วงกลมมอร์ถูกใชเ้ พ่ือการแสดงสถานะของความเคน้ แบบสองมิติซ่ึงมีท้งั ความเคน้ อดั (ดึง) และ
ความเคน้ เฉือนกระทาในคราวเดียวกนั (Combined stress) รายละเอียดการวิเคราะห์สถานะความ
เคน้ โดยการสร้างวงกลมมอร์ สามารถอ่านเพิ่มเติมได้จากหนังสือกลศาสตร์ของวสั ดุทั่วไป
สาหรับการประยุกต์ใช้วงกลมมอร์เพื่อหาสถานะความเค้นท่ีเกิดข้ึนในมวลดินที่จะอธิบาย
ดงั ตอ่ ไปน้ี ไดม้ ีการปรับแกเ้ พือ่ ใหเ้ หมาะสมกบั การศึกษากลศาสตร์ของดิน

รูป 7.12 แสดงชิ้นมวลดินซ่ึงอยู่ภายในตวั ลาดชนั กาลงั รับแรงกระทาจากน้าหนักจราจร
ตาแหน่งของชิ้นมวลดินดงั กล่าวอยทู่ ่ีแนวระนาบในลาดชนั ที่คาดว่าจะเกิดการวิบตั ิ (ค่าอตั ราส่วน
ความปลอดภยั ต่าสุด) การวิเคราะห์พฤติกรรมของมวลดินท่ีตาแหน่งดังกล่าวต้องการทราบ
ท้งั ขนาดและทิศทางของความเคน้ หลกั (Principal stresses, 1 และ 3) นอกจากน้ันยงั ตอ้ งการ
ทราบค่าของความเคน้ เฉือนและความเคน้ ต้งั ฉาก ('nและ ) ท่ีระนาบวบิ ตั ิอีกดว้ ย

รูป 7.13 (a) แสดงปัญหาสถานะของความเคน้ ภายในชิ้นมวลดินดงั กล่าว การสร้างวงกลม
มอร์อาจเริ่ มต้นโดยการใช้ค่าความเค้นต้ังฉาก (Orthogonal stresses: z, x, xz, zx) ทาการ
กาหนดตาแหน่งของ P (z, zx) และ Q (x, xz) ดงั แสดงในรูป 7.13 (c) (สิ่งท่ีกลศาสตร์ของดิน
แตกต่างจากกลศาสตร์ของวสั ดุก็คือ กลศาสตร์ของดินกาหนดใหค้ วามเคน้ เฉือนท่ีทาให้ชิ้นส่วน
เสียรูปทวนเขม็ นาฬิกามีค่าเป็นบวก ดงั น้นั xz จึงมีค่าเป็นบวก ในขณะที่ zx มีค่าเป็นลบ) จากน้นั
สร้างวงกลมจากสองจุดดงั กล่าวซ่ึงวงกลมจะตดั แกนความเคน้ ที่จุด A และ B ซ่ีงก็คือ ความเคน้
หลกั คา่ มากและความเคน้ หลกั คา่ นอ้ ย ตามลาดบั

บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 161

z' (a)  (b)

zx A

A xz 

x' x' 
xz
A' A'
ความเคน้ หลกั
zx
(c)
z'

ความเคน้ ต้งั ฉาก

+

s' = ½ (1'+3')
 'n

D

 P t' = ½ (1'-3')

O xz 2 2  
EC
 B
A
zx

Q

3' z'
x' 1'

- วงกลมมอร์และค่าตวั แปร

รูป 7.13 สถานะความเคน้ อดั และความเคน้ เฉือนในวงกลมมอร์

พิจารณาวงกลมในรูป 7.13 พบวา่

OA = 3, OB = 1 และมุมเอียงสาหรับระนาบหลกั  ABP = 

สาหรับการทดสอบแบบสามแกน สามารถสร้างวงกลมมอร์ไดโ้ ดยการใช้ค่าความเคน้
หลกั จากผลการทดสอบ ซ่ึงจะทาให้ทราบค่าความเคน้ เฉือนและความเคน้ ต้งั ฉากที่แนวระนาบ
ท่ีต้องการได้ทันที และโดยทั่วไปก็คือระนาบท่ีตัวอย่างดินวิบัติเนื่องจากแรงเฉือนนั่นเอง
รูป 7.13 (b) แสดงแนวระนาบ AA' ซ่ึงเอียงทาเป็นมุมเท่ากบั  เมื่อเทียบกบั ความเคน้ หลกั ค่าน้อย
ดงั น้นั จุด D บนวงกลมมอร์ (รูป 7.13 (c)) กค็ อื

162 บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครียดในดิน



s' = ½ (1'+3')

T

t' = ½ (1'-3')

 2 
3' 1'-3' = q' (ความเคน้ แตกต่าง)

รูป 7.14 การใชว้ งกลมมอร์แสดงค่าความเคน้ แตกต่าง

ความเคน้ ต้งั ฉาก 'n = คา่ ท่ีตดั ที่แกน X เม่ือลากจากจุด D
ความเคน้ เฉือน  = คา่ ที่ตดั ท่ีแกน Y เมื่อลากจากจุด D

เพราะฉะน้นั จะเห็นไดว้ า่ ความเคน้ เฉือนจะมีค่าแปรเปลี่ยนจากศนู ยเ์ ม่ือ  = 0 ไปจนถึง
ค่าสูงสุดเม่ือ  = 45 และมีค่ากลบั ไปเป็นศูนยอ์ ีกคร้ังเม่ือ  = 90 ดงั น้ัน ค่าความเคน้ เฉือนอาจ
คานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

= DE = CD sin(180° − 2α) = CD sin 2α [7. 40]

แตเ่ นื่องจาก CD = 1 (σ1′ −σ3′ ) ดงั น้นั
2

τ = 1 (σ1′ −σ3′ ) sin 2α
2

ในทานองเดียวกนั ความเคน้ ต้งั ฉากจึงคานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

σn′ = OE = OA + AE = σ3′ + AD cos

แต่ AD = 2AC cos α = AB cos α = (σ1′ −σ′3) cos α ดงั น้นั

σ′n = σ′3 + (σ1′ −σ3′ )cos2α = 1 (σ1′ +σ3′ ) + 1 (σ1′ −σ′3) cos 2α [7. 41]
2 2

ประโยชน์จากการใช้วงกลมมอร์เพ่ือวิเคราะห์สถานะความเคน้ ท่ีเกิดข้ึนในมวลดินก็คือ

ความง่ายในการสร้างวงกลมโดยใชค้ ่าที่ไดจ้ ากการทดสอบโดยตรง ไม่ตอ้ งคานวณโดยใชส้ มการ

[7.40] และ [7.41]

รูป 7.14 แสดงให้เห็นวา่ ขนาดเส้นผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลมมอร์ ก็คือความเคน้ แตกต่าง
(Deviator stress, q') ซ่ึงเขียนเป็นสมการไดด้ งั ต่อไปน้ี

′ = (σ1′ −σ3′ )

บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 163


ความดนั น้า u

t = t' 1 

3' 1' 3

s'
s' = s' + u

รูป 7.15 การเคล่ือนตาแหน่งของความเคน้ รวมซ่ึงเทา่ กบั ขนาดของความดนั น้า

จุด T บนวงกลมในรูป 7.14 คือค่าความเคน้ เฉือนสูงสุด ( = 45) ซ่ึงมีค่าพิกดั เท่ากบั ′
และ ′ และคานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

′ = 1 (σ1′ +σ3′ ) [7. 42]
2

′ = 1 (σ1′ −σ3′ ) [7. 43]
2

เมื่อใช้ค่าความเคน้ รวมสร้างวงกลมมอร์ จะพบว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมมีค่า

เท่ากบั การใชค้ ่าความเคน้ ประสิทธิผล เพียงแต่วงกลมจะขยบั ไปทางดา้ นขวาเป็นระยะทางเท่ากบั

ค่าความดนั น้า (Pore water pressure, u) ดงั แสดงในรูป 7.15 ซ่ึงจะเห็นไดว้ า่ ความเคน้ รวมคานวณ
ไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

σ1 = σ1′ + และ σ3 = σ′3 +
โดยการนาสองสมการมาลบกนั จะไดค้ วามสัมพนั ธ์

σ1 − σ3 = σ1′ − σ3′ ซ่ึงแสดงใหเ้ ห็นวา่ [7. 44]

= ′

ในทานองเดียวกนั

= ′ + [7. 45]
= ′ [7. 46]
= ′ + [7. 47]

164 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครียดในดิน

, f

ขอบเขตวิบตั ิ: D F วงกลมมอร:์
f = c' +  'n tan'  = ½ (1'-3') sin 2f

' f '

c' f 2f B  'n

0A C

รูป 7.16 ทฤษฎีการพงั ทลายของมอร์-คูลอมบ์ (Mohr-Coulomb failure theory)

7.5 ทฤษฎวี ิบัตมิ อร์-คลู อมบ์ (Mohr-Coulomb)

กรณีท่ีมวลดินเกิดการล่ืนไถลเนื่องจากแรงเฉือน (Shear slip failure) หรือมีการครากเกิดข้ึนอย่าง
ต่อเน่ือง ค่าความเคน้ ต้งั ฉากและความเคน้ เฉือนที่เกิดข้ึนภายในวงกลมมอร์ดงั กล่าวจะเป็นคา่ จากดั
และวงกลมมอร์ดงั กล่าวก็คือวงกลมจากดั เม่ือทาการแปรเปลี่ยนค่าความเคน้ ต้งั ฉากหลาย ๆ ค่า
จะส่งผลให้ได้ค่าความเคน้ เฉือนท่ีเป็ นสัดส่วนกันกบั ค่าความเคน้ ต้งั ฉากท่ีแปรเปลี่ยน ทาให้มี
จานวนวงกลมมอร์จากดั เท่ากบั จานวนคู่ของความเคน้ ต้งั ฉากและความเคน้ เฉือน กรณีนาวงกลม
มอร์ดงั กล่าวมาพล็อตบนแกนเดียวกนั จะสามารถลากเส้นสัมผสั เช่ือมต่อกนั กบั แต่ละวงกลมได้
ซ่ึงเส้นสัมผสั ดังกล่าวมีชื่อว่า ขอบเขตวิบตั ิ (Failure envelope ดงั รูป 7.16) และสมการของเส้น
ขอบเขตวิบตั ิมีชื่อเรียกวา่ สมการคูลอมบ์ (Coulomb’s equation) ซ่ึงมีรูปแบบสมการดงั ตอ่ ไปน้ี

f′ = ′ + σn′ tan ′ [7. 48]

เมื่อ ' = มมุ เสียดทานประสิทธิผล (หรือมุมตา้ นทานแรงเฉือน)
c' = คา่ แรงยดึ เหน่ียวประสิทธิผล

เม่ือพิจารณารูปทรงเรขาคณิตของวงกลมมอร์ จะพบว่าระนาบของของเขตวิบตั ิของ

มวลดินมีมมุ เทา่ กบั สมการต่อไปน้ี

αf = 1 (90° + ′) = 45° + ′ [7. 49]
2 2

การทราบแนบขอบเขตวิบตั ิของมวลดิน จะทาใหส้ ามารถทานายพฤติกรรมของดินก่อน

การวิบตั ิได้ โดยทฤษฎีแลว้ ตราบใดท่ีสถานะของดินยงั อยใู่ ตเ้ ส้นขอบเขตวิบตั ิ ดินน้นั ก็จะยงั คง

ความมีเสถียรภาพไวไ้ ด้ ตวั อยา่ งเช่น ดินมีสถานะท่ีจุดใดจุดหน่ึงใตเ้ สน้ ขอบเขตวบิ ตั ิ จากน้นั มีการ

เพ่ิมข้ึนของความเคน้ ต้งั ฉากและความเคน้ เฉือนขนานไปกบั แนวขอบเขตวิบตั ิ ดินน้นั ก็จะไม่เกิด

การวิบตั ิ แต่ถา้ ทาให้สถานะของดินเคลื่อนที่ไปแตะเส้นขอบเขตวิบตั ิ ดินน้ันก็จะเกิดการวิบตั ิ

บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 165

ซ่ึงอาจเกิดข้ึนไดเ้ มื่อมีการเพิ่มข้ึนต่อเนื่องของความเคน้ เฉือนเพยี งอย่างเดียวในขณะที่ความเคน้ ต้งั
ฉากมีค่าคงท่ี

7.6 การครากของดิน

สาหรับวสั ดุโครงสร้างทวั่ ไป เช่น เหล็ก คอนกรีต และไม้ จุดครากจะสังเกตได้อย่างชดั เจนจาก
การเปล่ียนแปลงของความเคน้ และความเครียด แต่สาหรับดิน ความยากของการกาหนดจุดคราก
เกิดจาก (1) ดินอาจอยใู่ นสถานะความเคน้ ท่ีหลากหลาย เช่น ความดนั แบบเท่ากนั ทุกทิศทาง ความ
เคน้ แบบสามแกน ความเครียดแนวระนาบ และการอดั ตวั แกนเดียว ทาให้ตอ้ งกาหนดการหา
จุดครากสาหรับแต่ละสถานะความเค้นท่ีเกิดข้ึนในมวลดิน และ (2) พฤติกรรมความเคน้ และ
ความเครียดของดินเป็นแบบไมเ่ ป็นเสน้ ตรง ทาใหก้ ารกาหนดจุดครากเป็นไปไดย้ าก

เม่ือมีแรงอดั กระทาต่อดินหลวมหรือดินอ่อน ดินจะเกิดการหดตวั แต่จะแน่นข้ึนหลงั จาก
มีแรงกระทา พฤติกรรมเช่นน้ีคือความซับซ้อนของพฤติกรรมแรงเฉือนที่เกิดข้ึนในมวลดิน
นอกจากน้ันแรงเฉือนยงั ข้ึนอยู่กบั ความหนาแน่นของดินอีกดว้ ย (ความหนาแน่นดินแปรเปล่ียน
ตลอดเวลาในขณะรับแรงกระทา) สาหรับทรายอดั แน่นและดินเหนียวซ่ึงเคยรับแรงกระทาในอดีต
สูงกวา่ สถานะความเคน้ ในปัจจุบนั การวิบตั ิแบบเปราะซ่ึงเกิดข้ึนเน่ืองจากการลื่นไถลของมวลดิน
เม่ือรับแรงเฉือนอาจเกิดข้ึนที่จุดความเคน้ สูงสุด (Peak stress ดงั รูป 7.17) แต่สาหรับดินหลวมและ
ดินอ่อน จะมีการหดตวั ของมวลดินเกิดข้ึน และเพิ่มข้ึนจนดินถึงจุดคราก หลงั จากน้ันจะยงั คงมี
ความเครียดเกิดข้ึนอย่างต่อเนื่องในขณะท่ีความเคน้ มีค่าคงท่ีหรือลดลงตามลาดบั สาหรับปัญหา
ซ่ึงเก่ียวขอ้ งกบั ความเครียดซ่ึงมีค่ามาก (> 1 m) เช่น กรณีการเล่ือนตวั ของลาดเชิงเขาและคนั ทาง
ค่าความเคน้ วิบตั ิอาจลดลงไดอ้ ีกจนกระทง่ั ถึงจุดความเคน้ คงเหลือ (Residual stress) ซ่ึงพฤติกรรม
จะใกลเ้ คยี งกบั การเกิดความเครียดอ่อนตวั การกาหนดจุดครากของดินจึงมกั กาหนดท่ีความเครียด
คา่ หน่ึงๆ เช่น ความเคน้ ครากของดินเกิดข้นึ เม่ือความเครียดมีค่าเท่ากบั 10% เป็นตน้



C

เกิดแนวระนาบแรงเฉือนทจี่ ดุ C การเสียรปู แบบพลาสติกท่จี ดุ D

D ดเชินน่ ม>กี า1ร0เ0ค0ล่mอื นmตวั มาก

ค(Pวeาaมkเคstน้reสssูง)สุด ค(Uวlาtiมmเคat้นeวsิบtrตeั sิ s) ค(Rวeาsมidเคua้นlคsงtrเeหsลs)ือ

(x)

รูป 7.17 กราฟความเคน้ เฉือน-ความเครียด สาหรับการทดสอบกาลงั รับแรงเฉือนของดนิ

166 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครียดในดิน

7.7 ความเคน้ ในดนิ เนื่องจากแรงกระทำ

ความดนั สัมผสั (Contact pressure) คือ ความหนาแน่นของแรงกระทาท่ีถา่ ยทอดมาจากฐานรากลง
สู่พ้ืนดิน การกระจายตวั ของความดนั สัมผสั ข้ึนอยูก่ บั (1) ความแขง็ แกร็งของโครงสร้างฐานราก
และ (2) ความแข็งแรงของดินฐานราก รูป 7.18 แสดงฐานรากรับแรงกระทาแบบจุด ถา้ ดินฐาน
รากคือหินและดินแข็งซ่ึงมีค่าโมดูลสั ยืดหยุ่นสูง น้าหนกั กระทาจะถูกถ่ายทอดต่อลงไปยงั พ้ืนดิน
ฐานรากเป็ นบริเวณแคบ ๆ เนื่องจากความความเคน้ สามารถถ่ายทอดไปสู่ดินไดโ้ ดยตรง (ดงั รูป
7.18 (a)) กรณีที่ดินฐานรากมีความแขง็ แรงนอ้ ยลงมา น้าหนกั จะถูกกระจายไปทางดา้ นขา้ ง ทาให้
ความดนั สัมผสั มีค่าน้อยลง (ดงั รูป 7.18 (b)) และความดนั สัมผสั มีรูปร่างเกือบสม่าเสมอเมื่อดิน
ฐานรากเป็นดินออ่ น (ดงั รูป 7.18 (c))

ฐานรากดดั ตวั ไดซ้ ่ึงรับแรงกระทาแบบสม่าเสมอจะถ่ายทอดน้าหนกั แบบสม่าเสมอ และ
ส่งผลใหก้ ารทรุดตวั ตามแนวฐานรากเป็นรูปจาน (ดงั รูป 7.19 (a)) แต่ฐานรากแข็งเกร็งจะถ่ายทอด
ความดนั สัมผสั ที่มุมของฐานรากสูงกว่ากลางฐานรากเล็กนอ้ ย ดงั แสดงในรูป 7.19 (b) กรณีดิน
ฐานรากคือทราย ความดนั สัมผสั ท่ีขอบฐานรากจะมีค่าต่ากวา่ (สาหรับฐานรากต้ืน มีแนวโนม้ เขา้
ใกลศ้ ูนย)์ และมีค่าสูงกว่าที่บริเวณศูนยก์ ลางฐานราก (ดังรูป 7.43 (c)) แต่ถา้ ฐานรากอยู่ลึกข้ึน
ความดนั สมั ผสั จะมีค่าคอ่ นขา้ งสม่าเสมอเน่ืองจากความดนั จากดั ใกลเ้ คียงกนั

ฐานรากส่วนใหญ่จะเป็ นแบบดัดตวั ได้หรือแข็งเกร็ง ดังน้ัน การกระจายตัวของแรง
กระทาที่เกิดข้ึนจริงจะอยู่ระหว่างสองประเภทน้ี เพราะฉะน้ัน การออกแบบฐานรากคอนกรีต
เสริมเหลก็ จึงจาเป็นตอ้ งทาการวิเคราะห์การกระจายตวั ของแรงกระทา โดยตอ้ งพิจารณาท้งั ความ
แข็งแรงของตวั ฐานรากและของดินฐานราก ท้งั น้ีเพราะการกระจายตวั ดงั กล่าวจะส่งผลต่อการ
คานวณโมเมนตแ์ ละปริมาณเหล็กเสริมโดยตรง แต่สาหรับการวิเคราะห์เพื่อหาค่าความเคน้ และ
การเคลื่อนตวั ของดินฐานรากอาจสมมุติใหค้ วามดนั สัมผสั กระจายตวั แบบสม่าเสมอ

(a) (b) (c)
W1 W2 W1 W2 W1 W2

qmax qmax qmax

qmax = ความดันสูงสดุ ในดิน ดนิ ออ่ น

หิน ดินแขง็

รูป 7.18 ความดนั สัมผสั ในดินประเภทต่าง ๆ (a) หิน (b) ดินแขง็ (c) ดินออ่ น

บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 167

แรงกระทาสม่าเสมอ = qA (a)

qmax = qA แนวการเสียรปู ของฐานราก

ความดันสมั ผัสมคี ่าเทา่ กนั (b)
แรงกระทาสม่าเสมอ = qA

q (x,y) ฐานรากทรุดตวั เท่ากัน
qmax
qA

ßqA

แรงกระทาสมา่ เสมอ = qA ความดันสมั ผสั แปรเปล่ยี น

(c)

ฐานรากทรุดตวั เท่ากัน

qmax

ความดันสมั ผัสแปรเปลี่ยน

รูป 7.19 ผลของความแขง็ เกร็งของฐานรากต่อความดนั สัมผสั (a) ฐานรากดดั ตวั ได้ (b) ฐานรากแขง็ เกร็ง
บนช้นั ดินที่มีแรงยดึ เหน่ียว (c) ฐานรากแขง็ เกร็งบนช้นั ดินท่ีไมม่ ีแรงยึดเหน่ียว

7.7.1 แรงกระทำแนวดงิ่ เป็นจุด

รูป 7.20 แสดงแรงแบบจุดกระทาท่ีผิวดิน (Point load, P) การเพิ่มข้ึนของความเคน้ ท่ีจุดใด ๆ
ในมวลดินเม่ือใชพ้ ิกดั เชิงข้วั ซ่ึงประกอบดว้ ย รัศมี มุมเอียง และความลึก (r,  และ z) คานวณได้
โดยใชส้ มการต่อไปน้ี

∆σz = 3 3 [7. 50]
2 5

∆σr = − [− 3 3 + (1−2 ′)] [7. 51]
2 2 3
+

∆σ = − (2 ′ − 1) [ − ] [7. 52]
2 2
+

∆τrz = 3 2 = ∆σz [7. 53]
2 5

∆τz = ∆τr = 0 [7. 54]

เมื่อ v' = อตั ราส่วนปัวซองกรณีความเคน้ ประสิทธิผล

สาหรับสภาพไมร่ ะบายน้า ′ = 0.5 ดงั น้นั ∆σ = 0 และ ∆σr = ∆σz( 2/ 2)
ซ่ึงการเพม่ิ ข้ึนของความเคน้ อาจเขียนอยใู่ นรูปสมการต่อไปน้ี

∆σz = p [7. 55]
2

168 บทที่ 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ

แรงกระทาแนวด่งิ เป็นจุด = P (b)
(a)
z r
r




R  r rz r
Z z

r z 
A r
z  z

รูป 7.20 ความเคน้ ในมวลดนิ เนื่องจากแรงกระทาแนวด่ิงเป็นจุด

(a) P (b)
P

z z r z (มีค่าคงท่ี)
(r = 0)
z
รศั มคี งท่ี (เช่น r = 0) ความลกึ คงท่ี (เช่น z = 2 m)
ความเคน้ แนวดิง่ แปรเปลีย่ นตามความลึก ความเคน้ แนวดิง่ แปรเปล่ยี นตามระยะรศั มี

รูป 7.21 การแปรเปล่ียนของความเคน้ เน่ืองจากแรงกระทาแนวดิ่งเป็นจดุ (a) การแปรเปล่ียนเมื่อเทียบกบั
ความลึก z (b) การแปรเปลี่ยนเม่ือเทียบกบั รัศมี r

เม่ือ p = ตวั ประกอบอิทธิพลเน่ืองจากแรงกระทาแบบจุด และคานวณไดจ้ าก

p = 3 ( )5 = 3 [1−( 1 / )2]5/2 [7. 56]
2 2


บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดนิ 169

รูป 7.21 (a) แสดงการแปรเปล่ียนของ ∆σz ท่ีเกิดข้ึนในแนวด่ิงเมื่อเทียบกับความลึก
ในขณะที่รูป 7.21 (b) แสงความเคน้ ในแนวนอนท่ีระยะห่างนบั จากจุดที่แรงกระทา สูตรคานวณ
ความเคน้ สาหรับแรงกระทาเป็ นจุด สามารถนาไปประยุกต์ใช้กบั ปัญหาซ่ึงความดนั สัมผสั เป็ น
แบบไม่สม่าเสมอโดยการแบ่งพ้ืนท่ีซ่ึงรับแรงกระทาให้เป็นพ้ืนท่ียอ่ ยมีรูปร่างเป็นส่ีเหล่ียมมุมฉาก
จากน้ันแปลงแรงกระทาให้เป็ นแบบจุดกระทาที่จุดศูนยก์ ลางของพ้ืนท่ีย่อยน้นั สาเหตุท่ีนิยมใช้
สูตรสาหรับแรงกระทาเป็นจุดเน่ืองจากคานวณไดง้ า่ ยกวา่ สูตรสาหรับแรงกระทารูปแบบอ่ืน

7.7.2 แรงกระทำเปน็ แนวเส้นตรง

แรงกระทาแนวเส้นตรง คือ การสมมุติใหม้ ีขนาดแรงกระทาแบบสม่าเสมอกระจายตามแนวเส้น
แต่ไมม่ ีขนาดแรงตามแนวความกวา้ ง จากรูป 7.22 ความเคน้ ท่ีจุด A คานวณไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

∆σz = 2 3 [7. 57]
( 2+ 2)2 [7. 58]
[7. 59]
∆σx = 2 2
( 2+ 2)2

∆τxz = 2 2
( 2+ 2)2

นา้ หนักกระจายสม่าเสมอตามแนวเส้น
(Q ต่อหน่งึ หน่วยความยาว )


Z

xA

r

รูป 7.22 ความเคน้ ในมวลดนิ เนื่องจากแรงกระทาเป็นแนวเส้น

สมการ [7.57] ถึง [7.59] สามารถนาไปคานวณการเพิ่มข้ึนของความเคน้ ในแนวนอน
ที่เกิดข้ึนบนกาแพงกนั ดิน เช่น เขม็ พืด และกาแพงคอนกรีต การคานวณต้งั อยู่บนสมมติฐานที่ว่า
ตวั กาแพงมีลกั ษณะแข็งเกร็งและมีแรงกระทาเป็ นแนวเส้นตรงอยู่สองแนว ซ่ึงอยู่คนละดา้ นกบั
ตัวกาแพงและมีระยะห่างจากกาแพงเท่ากนั (ดังรูป 7.23) ดังน้ัน การเพ่ิมข้ึนของความเคน้ ใน
แนวนอนจึงคานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

∆σh = 2∆σx = 4 2 [7. 60]
( 2+ 2)2

170 บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดนิ

หรือถา้ กาหนดให้ = และ = ( คอื ความสูงกาแพง)

∆σh = 4 2 [7. 61]
2+ 2

แรงแนวนอนที่กระทาต่อกาแพง ( L) คานวณไดโ้ ดยการใชเ้ ทคนิคการอินติเกรตสมการ
[7.61] โดยเทียบกบั ความสูง ( ) ซ่ึงไดเ้ ป็นสมการใหม่ดงั ตอ่ ไปน้ี

L = 2 2 [7. 62]
2+ 2

ตาแหน่งของแรงกระทา L (ความลึกนบั จากดา้ นบนของกาแพง) คานวณไดจ้ ากโดยใช้
หลกั การหาโมเมนตข์ องพ้นื ท่ีซ่ึงเป็นพ้ืนฐานของวชิ ากลศาสตร์ของวสั ดุ

(Q) x = mH Q
x

z PL (แรงผลกั )
H rz

โครงสรา้ งแขง็ เกร็ง

รูป 7.23 แรงผลกั แนวนอนบนโครงสร้างแขง็ เกร็งเนื่องจากแรงกระทาเป็นแนวเส้น

7.7.3 แรงกระทำเป็นแถบกระจายสม่ำเสมอ

ตวั อยา่ งของแรงกระทาเป็นแถบที่ถา่ ยทอดสู่ดินคือฐานรากแถบ (Strip footing) ลกั ษณะที่สาคญั คือ
ความยาวของฐานรากมีค่ามากเมื่อเทียบกับความกวา้ ง นอกจากน้ันแรงที่กระทาต่อฐานราก
มีลกั ษณะเป็ นแบบกระจายสม่าเสมอ ความเคน้ ต้งั ฉาก ( , ) ที่จุดใด ๆ วดั จากแนวเส้นผ่าน
ศนู ยก์ ลาง (ดงั รูป 7.24) คานวณไดจ้ ากสมการดงั ต่อไปน้ี

∆σz = [β + sin β cos(β + 2α)] [7. 63]
π

∆σx = [β − sin β cos(β + 2α)] [7. 64]
π

∆τxz = [sin β sin(β + 2α)] [7. 65]
π

ค่าของมุม และ มีหน่วยเป็ นเรเดียน และสามารถคานวณได้จากการใช้กฎของ

ตรีโกณมิติโดยสร้างความสมั พนั ธ์จากมิติของรูปหนา้ ตดั

บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดนิ 171

CL แรงเป็นแถบกระจายสม่าเสมอ = q
bb
+x


z

ß

x

 (ความ1เคน้ หลกั )

z

x

z

รูป 7.24 ความเคน้ เนื่องมาจากน้าหนกั กระทาเป็นแถบกระจายสม่าเสมอ

7.7.4 แรงกระทำเป็นแถบกระจายเป็นรูปสามเหลี่ยม

แรงกระทาเป็ นแถบกระจายเป็ นรูปสามเหล่ียม เกิดข้ึนเน่ืองจากค่าความดันสัมผสั มีค่าค่อย ๆ
เพ่ิมข้ึนเป็นแนวเส้นตรง โดยมีค่าเร่ิมตน้ จากศูนยแ์ ละเพ่ิมข้ึนไปตามขนาดความกวา้ งของฐานราก
จนถึงค่าสูงสุด (ดงั รูป 7.25) ตวั อย่างท่ีชดั เจนสาหรับแรงกระทาแบบน้ีก็คือ ดา้ นขา้ งของคนั ทาง
ต่าง ๆ ซ่ึงก่อสร้างให้มีส่วนลาดชนั ความเคน้ ต้งั ฉากสาหรับแรงกระทาเป็นแถบกระจายเป็ นรูป
สามเหล่ียม คานวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

∆σz = [ β − 1 sin 2α] [7. 66]

π 2

∆σx = [ β + 1 sin 2β − ln ( 2− 2 2)] [7. 67]
π 2 2− 2−


∆τxz = [1 + cos 2β − 2 α] [7. 68]
π

ค่าของมุม และ มีหน่วยเป็ นเรเดียนและสามารถหาไดจ้ ากการใชก้ ฎของตรีโกณมิติ
โดยสร้างความสัมพนั ธ์จากมิติของรูปหนา้ ตดั

172 บทที่ 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ

CL c/2
c/2
q
นา้ หนักกระทาเพมิ่ ขึ้นเป็ นเสน้ ตรง

+x

ß z

x

z

x

z

รูป 7.25 ความเคน้ เน่ืองจากแรงกระทาเป็นแถบกระจายเป็นรูปสามเหลี่ยม

7.7.5 แรงกระทำกระจายสม่ำเสมอเป็นรูปวงกลม

สาหรับพ้ืนที่ซ่ึงมีแรงกระทากระจายสม่าเสมอเป็ นรูปวงกลม เช่น ฐานรากแพ และฐานของ
ถงั สารองน้ามนั (ดงั รูป 7.26) ความเคน้ ในแนวด่ิงท่ีอยตู่ ่าจากจุดศนู ยก์ ลางเป็นระยะรัศมี a คานวณ
ไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี

∆σz = {1 − [1−( 1 / )2]3/2} [7. 69]

อย่างไรก็ตาม สมการดงั กล่าวยงั ไม่สามารถนามาวิเคราะห์เพื่อคานวณการเพิ่มข้ึนของ
ความเคน้ แนวด่ิงสาหรับกรณีทวั่ ไป (ที่จุดใด ๆ r, z) ได้ ดงั น้นั จึงไดม้ ีการนาเสนอการแกป้ ัญหา
โดยใชร้ ะเบียบวิธีเชิงตวั เลข ซ่ึงคาตอบที่ไดม้ ีความถูกตอ้ งพอสมควร ดงั สมการต่อไปน้ี

∆σz = ( + ) [7. 70]
∆εz = (1 + ′)[(1 − 2 ′) + ]/ [7. 71]

เม่ือ A และ B คือตวั ประกอบอิทธิพล (แสดงในตาราง 7.1)

บทท่ี 7 ความเค้นและความเครยี ดในดิน 173

CL แรงกระทากระจายสมา่ เสมอ = q
aa
r

z

r z
z

รูป 7.26 ความเคน้ แนวดิ่งเนื่องมาจากแรงกระทากระจายสม่าเสมอเป็นรูปวงกลม

7.7.6 แรงกระทำกระจายสมำ่ เสมอเป็นรูปสเ่ี หล่ียมมุมฉาก

ในการออกแบบระบบฐานรากเรามกั เจอกบั แรงกระทาแบบกระจายสม่าเสมอเป็ นรูปสี่เหลี่ยมมุม
ฉาก ดงั น้นั จึงไดม้ ีการคิดคน้ สูตรและวิธีการคานวณความเคน้ ที่เกิดข้ึนในมวลดินเนื่องจากแรง
กระทาดงั กล่าวอยู่หลายรูปแบบ เช่น การอินติเกรตโดยตรง หรือการใชต้ ารางสาเร็จรูป สมการ
หลักท่ีใช้สาหรับกรณีน้ี คือการคานวณการเพ่ิมข้ึนของความเคน้ ในแนวด่ิงซ่ึงอยู่ที่มุมใตพ้ ้ืน
ฐานรากดดั ตวั ไดร้ ูปสี่เหล่ียมผืนผา้ และมีแรงกระทากระจายสม่าเสมอ (q) ดงั สมการต่อไปน้ี

∆σz = R [7. 72]

เม่ือ R คือ ตวั ประกอบอิทธิพลซ่ึงข้ึนอยู่กบั ความยาว (L) และความกวา้ ง (B) ของพ้ืนท่ี
ซ่ึงรับแรงกระทา นอกจากน้นั R ยงั ข้ึนอยู่กบั ความลึก (z) ของจุดซ่ึงตอ้ งการคานวณความเคน้ อีก
ดว้ ย โดยทวั่ ไป R อาจอธิบายไดโ้ ดยการใชต้ วั แปร = / และ = / ดงั สมการตอ่ ไปน้ี

R = 1 [ 2 2 + √ 2 + 2 + 2 22++11 ( 22++ 22++21) + tan−1 ( 2 2 + √ 2 + 2 + 2 22++11)] [7. 73]
4

สมการ [7.73] ดูเหมือนซบั ซอ้ น แตข่ ้นึ อยกู่ บั ตวั แปรแค่ 2 ตวั คอื และ ซ่ึงหมายความ
ว่าเราสามารถสร้างตารางคานวณไดไ้ ม่ยากนัก จากน้นั จึงนาไปคานวณในสมการ [7.72] ต่อไป
ตาราง 7.2 แสดงค่า R เมื่อเทียบกบั m และ n ทาให้มีความสะดวกมากยิ่งข้ึนสาหรับการใชง้ าน
และถา้ มีความสามารถในการใชฟ้ ังกช์ นั่ ของโปรแกรมตารางคานวณ ก็สามารถเขียนสูตรเพื่อให้
หาคา่ R โดยอตั โนมตั ิไดเ้ ช่นกนั (สร้างตารางเกบ็ ค่า R เพือ่ ใหโ้ ปรแกรมคน้ หาอตั โนมตั ิ)

ฐานรากซ่ึงมีรูปร่างเป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉาก อาจแบ่งแยกย่อยออกเป็นรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก
ย่อยหลายรูป รูปส่ีเหล่ียมเล็กท่ีอยู่ติดกนั จะมีมุมท่ีอยู่ติดกันด้วย จากน้ัน ความเคน้ ที่จุดน้ัน ๆ
จึงคานวณไดโ้ ดยการใชก้ ฎการซอ้ นภาพ

ตาราง 7.1 ค่าตวั ประกอบอิทธิพล (A และ B) สาหรับความเคน้

z/a r/a 0 0.2 0.4 0.6 0

0.0 1.0 1.0 1.0 1.0
0.0 0.0 0.0 0.0
0.798 0.779 0.735 0.6
0.2 0.804 0.193 0.208 0.235 0.2
0.188 0.620 0.592 0.538 0.4
0.323 0.327 0.323 0.2
0.4 0.629 0.477 0.451 0.404 0.3
0.320 0.375 0.363 0.382 0.2
0.368 0.347 0.312 0.2
0.6 0.486 0.374 0.351 0.307 0.2
0.378 0.288 0.270 0.247 0.2
0.346 0.321 0.278 0.2
0.8 0.375 0.228 0.217 0.199 0.1
0.381 0.307 0.285 0.248 0.2
0.166 0.159 0.148 0.1
1.0 0.293 0.250 0.233 0.207 0.1
0.353 0.104 0.101 0.096 0.0
0.181 0.166 0.152 0.1
1.2 0.232 0.051 0.050 0.049 0.0
0.315 0.094 0.091 0.086 0.0
0.030 0.029 0.028 0.0
1.5 0.168 0.057 0.056 0.054 0.0
0.256 0.019 0.019 0.019 0.0
0.038 0.037 0.036 0.0
2.0 0.106 0.005 0.005 0.005 0.0
0.179 0.009 0.009 0.009 0.0

3.0 0.051 z = q(A+B) (ดูรูป 7.50)
0.095

4.0 0.030
0.057

5.0 0.019
0.038

10.0 0.005
0.010

Top line = A; Bottom line = B

17

นแนวด่ิงเน่ืองจากแรงกระทากระจายสม่าเสมอเป็ นรูปวงกลม

0.8 1.0 1.2 1.5 2.0 3.0

1.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
630 0.383 0.154 0.053 0.017 0.004
260 0.085 0.078 0.044 0.016 0.004
443 0.310 0.187 0.086 0.031 0.008
269 0.124 0.008 0.045 0.025 0.008
337 0.256 0.180 0.100 0.041 0.011
254 0.144 0.045 0.021 0.025 0.010
266 0.213 0.162 0.102 0.048 0.014
238 0.153 0.075 0.006 0.018 0.010
215 0.179 0.143 0.098 0.052 0.017
220 0.154 0.092 0.028 0.010 0.011
176 0.151 0.126 0.092 0.053 0.019
201 0.149 0.100 0.044 0.000 0.010
134 0.119 0.103 0.080 0.051 0.021
174 0.137 0.102 0.057 0.014 0.007
090 0.083 0.075 0.063 0.045 0.022
134 0.113 0.093 0.064 0.028 0.000
047 0.045 0.042 0.038 0.032 0.020
080 0.073 0.066 0.054 0.035 0.011
028 0.027 0.026 0.025 0.022 0.016
051 0.048 0.045 0.040 0.031 0.015
019 0.018 0.018 0.018 0.016 0.012
035 0.034 0.031 0.028 0.025 0.015
005 0.005 0.005 0.005 0.004 0.004
009 0.009 0.009 0.009 0.008 0.008

z = q(1+v)[(1-2v)A+B)]/E

74

ตาราง 7.2 ค่าตวั ประกอบอิทธิพล (IR) สาหรับความเคน้ แนวด่ิงที่ม

L/z
B/z 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0.1 0.0047 0.0092 0.0132 0.0168 0.0198 0.0222 0.0242
0.2 0.0092 0.0179 0.0259 0.0328 0.0387 0.0435 0.0474
0.3 0.0132 0.0259 0.0374 0.0474 0.0560 0.0630 0.0686
0.4 0.0168 0.0328 0.0474 0.0602 0.0711 0.0801 0.0873
0.5 0.0198 0.0387 0.0560 0.0711 0.0840 0.0947 0.1034
0.6 0.0222 0.0435 0.0629 0.0801 0.0947 0.1069 0.1168
0.7 0.0240 0.0474 0.0686 0.0873 0.1034 0.1168 0.1277
0.8 0.0258 0.0504 0.0731 0.0931 0.1104 0.1247 0.1365
0.9 0.0270 0.0528 0.0766 0.0977 0.1158 0.1311 0.1436
1.0 0.0279 0.0547 0.0794 0.1013 0.1202 0.1361 0.1491
1.4 0.0301 0.0589 0.0856 0.1094 0.1300 0.1475 0.1620
2.0 0.0311 0.0610 0.0887 0.1134 0.1350 0.1533 0.1686
3.0 0.0315 0.0618 0.0898 0.1150 0.1368 0.1555 0.1711
5.0 0.0316 0.0620 0.0901 0.1154 0.1374 0.1561 0.1719
 0.0316 0.0620 0.0902 0.1154 0.1375 0.1562 0.1720
z = qIR (ดรู ูป 7.51)

17

มมุ ของพ้นื ที่ส่ีเหล่ียมมุมฉากซ่ึงมีแรงกระทาแบบกระจายสม่าเสมอ

0.8 0.9 1.0 1.4 2.0 3.0 5.0 

0.0258 0.0270 0.0279 0.0301 0.0311 0.0315 0.0316 0.0316
0.0504 0.0528 0.0547 0.0589 0.0610 0.0620 0.0620 0.0620
0.0731 0.0766 0.0794 0.0856 0.0887 0.0898 0.0901 0.0902
0.0931 0.0977 0.1013 0.1094 0.1134 0.1150 0.1154 0.1154
0.1104 0.1158 0.1202 0.1300 0.1350 0.1368 0.1374 0.1375
0.1247 0.1310 0.1361 0.1475 0.1533 0.1555 0.1561 0.1562
0.1365 0.1436 0.1491 0.1620 0.1686 0.1711 0.1719 0.1720
0.1461 0.1537 0.1598 0.1739 0.1812 0.1841 0.1849 0.1850
0.1537 0.1619 0.1684 0.1836 0.1915 0.1947 0.1956 0.1958
0.1598 0.1684 0.1752 0.1914 0.1999 0.2034 0.2044 0.2046
0.1739 0.1836 0.1914 0.2102 0.2206 0.2250 0.2263 0.2266
0.1812 0.1915 0.1999 0.2206 0.2325 0.2378 0.2395 0.2399
0.1841 0.1947 0.2034 0.2250 0.2378 0.2420 0.2461 0.2465
0.1849 0.1956 0.2044 0.2263 0.2395 0.2461 0.2486 0.2491
0.1850 0.1958 0.2046 0.2266 0.2399 0.2465 0.2492 0.2500

75

176 บทที่ 7 ความเคน้ และความเครียดในดนิ

ตวั อย่าง 7.1 แบบฐานรากซ่ึงแสดงในรูป 7.27 (a) มีแรงกระทาแบบกระจายสม่าเสมอ
ขนาด 300 kN/m2 กระทาที่บริเวณระบายสี และขนาด 200 kN/m2 กระทาท่ีบริเวณไม่ระบายสี
คานวณความเคน้ แนวดิ่งและแรงเฉือนที่เพม่ิ ข้ึนที่ระดบั 3 m ต่าจากผิวดิน ที่จุด A

คาตอบของปัญหาน้ีหาไดโ้ ดยการใชต้ วั ประกอบอิทธิพลแบบแรงกระทาเป็ นจุด โดยเริ่มตน้ แบ่ง
ฐานรากออกเป็ นส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสขนาด 1 m แลว้ ทาการแปลงแรงกระทาแบบกระจายสม่าเสมอ
ใหเ้ ป็นแรงกระทาเป็นจุดซ่ึงเกิดข้ึนที่จุดศูนยก์ ลางของแต่ละส่ีเหล่ียมจตั ุรัส (ดูรูป 7.27 (b))
แรงกระทาเป็นจุดสาหรับแตล่ ะพ้ืนที่สี่เหลี่ยมจตั รุ ัสท่ีระบายสี = 300 kN
แรงกระทาเป็นจุดสาหรับแต่ละพ้นื ท่ีส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัสท่ีไมร่ ะบายสี = 200 kN

รายการคานวณสามารถสร้างเป็ นตารางดงั ต่อไปน้ี ค่าพิกดั x, y, z ท่ีจุดศูนยก์ ลาง สาหรับแต่ละ
สี่เหล่ียมจตั รุ ัสยอ่ ยถูกคานวณโดยเทียบจากจุด A

เม่ือ z = ความลึก; = √ 2+ 2 + 2; IP คานวณจากสมการ [7.56]

ผลรวมของสองคอลมั น์สุดทา้ ยคือ คา่ ความเคน้ แนวดิ่งและความเคน้ เฉือนแนวดิ่ง

พท.สี่เหลยี่ ม จานวน พิกดั ความลกึ รศั มี ตวั ประกอบอทิ ธิพล น้าหนกั เป็ นจดุ ความเคน้ แนวดงิ่ ความเคน้ เฉือน
ส่ีเหล่ีย
หมายเลข ม x (m) y (m) z (m) R IP P (kN) z (kN/m2)  (kN/m2)

1, 4 2 1.5 2.5 3 4.183 0.0906 200 4.03 3.91

2, 3 2 0.5 2.5 3 3.937 0.1227 200 5.45 4.63

5, 15 2 1.5 1.5 3 3.674 0.1733 200 7.70 5.45

9, 13, 16 3 0.5 1.5 3 3.391 0.2587 200 17.25 9.09

14 1 0.5 0.5 3 3.082 0.4171 200 9.27 2.18

8 1 1.5 1.5 3 3.674 0.1733 300 5.78 4.08

6, 7, 12 3 0.5 1.5 3 3.391 0.2587 300 25.87 13.63

10, 11 2 0.5 0.5 3 3.082 0.4171 300 27.81 6.55

ผลรวม 103.15 49.54

4m (a) (b)
2m x

200 kN/m2 1234
5m
2m 1m 5678
y r
300 kN/m2
9 10 11 12
A
1m 13 14 A

15 16 r = x2 + y2

ฐานราก แบง่ ฐานรากเป็ นส่เี หลยี่ มจตั รุ สั ยอ่ ย

รูป 7.27 (a) ฐานรากรับแรงกระทา (b) แบ่งฐานรากเป็นส่ีเหล่ียมยอ่ ย

บทที่ 7 ความเค้นและความเครยี ดในดิน 177

ตวั อย่าง 7.2 ฐานรากแพยาวต่อเนื่อง กวา้ ง 4.3 m รับแรงกระทาแบบกระจายสม่าเสมอ
ขนาด 150 kN/m2 (a) สร้างกราฟแสดงการกระจายของความเค้นแนวด่ิงที่เกิดข้ึนบนระนาบ
แนวนอนที่ความลึก 3 m ต่าจากฐานราก และ (b) ทาการเปรียบเทียบการกระจายตวั ของความเคน้
จากขอ้ (a) กับค่าที่ได้จากการคานวณโดยการสมมุติให้แรงกระทาแผ่กระจายลงมาเป็ นมุม 30
พร้อมท้งั ใหค้ วามเห็นเกี่ยวกบั ความคลาดเคล่ือนที่เกิดข้ึน

(a) เน่ืองจากแรงกระทาเป็ นแบบกระจายสม่าเสมอ ทาให้การกระจายตวั ของความเคน้ แนวด่ิง
ในมวลดินมีค่าสมมาตรกนั เมื่อเทียบกบั แนวเส้นผ่านศูนยก์ ลางของฐานราก ค่าความเคน้ แนวดิ่ง
ในมวลดินท่ีระยะทางใด ๆ วดั จากแนวศูนยก์ ลางของฐานราก ที่เกิดจากแรงกระทาดังกล่าว
คานวณไดโ้ ดยใชส้ มการ [7.63] และแสดงในรูปของตารางคานวณดา้ นล่าง จากน้นั นาผลที่ไดถ้ ูก
นาไปพลอ็ ตกราฟ ดงั แสดงในรูป 7.28

ความลกึ ระยะฉาก มุม  มุม  ตวั ประกอบอทิ ธิพล ความเคน้ แนวดง่ิ

z (m) (m) (radian) (radian) Is z (kN/m2)

3 0.00 -0.622 1.244 0.697 104.6

0.50 -0.503 1.226 0.683 102.4

1.00 -0.366 1.176 0.640 95.9

1.50 -0.213 1.096 0.571 85.6

2.00 -0.050 0.995 0.484 72.6

2.15 0.000 0.962 0.455 68.3

2.50 0.116 0.882 0.389 58.4

3.00 0.276 0.767 0.299 44.9

4.00 0.553 0.564 0.163 24.4

หมายเหต:ุ Is = [ + sin cos( + 2 )] p

(b) การใช้การกระจายของแรงกระทาเป็ นมุม 30 แผ่ลงไปท่ีดินฐานราก สาหรับการประมาณ
ความเคน้ แนวดิ่งในช้นั ดินใตฐ้ านราก เป็นหลกั การที่ใชก้ นั อยทู่ วั่ ไป อยา่ งไรกต็ าม ผลการคานวณ
จากวิธีน้ีอาจมีความคลาดเคล่ือนอยบู่ า้ ง สมมติฐานของวิธีการก็คือ แรงกระทาเท่ากนั แผ่กระจาย
ลงไปเหนือพ้ืนท่ีซ่ึงมีความกวา้ ง Bz ที่ความลึก z ต่ากวา่ ฐานราก ดงั น้นั = + 2 tan 30°

= 4.3 + (2 × 3.0 tan 30°) = 7.76 m

ดงั น้นั ∆ = 150 × 4.3 = 83.1 kN/m2
7.76

การแผก่ ระจายของแรงกระทาขนาด 83.1 kN/m2 แสดงโดยเส้นประในรูป 7.28

ถา้ สมมุติให้กราฟซ่ึงพล็อตโดยใช้ค่าความเคน้ จากขอ้ (a) เป็ นกราฟที่ถูกตอ้ ง ดังน้ันค่าความ
คลาดเคลื่อน () อนั เน่ืองมาจากการใชก้ ารแผก่ ระจายของแรงกระทาลงมาเป็นมมุ 30 คือ

178 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ

CL q = 150 kN/m2

x

2.15 m 2.15 m

30° 104.6 102.4 96.0 30°
Z(b)= 83.1
8 5. 6 83.1 z=3m

7 2. 6

Z(a) 68.3

5 8. 4

2 4. 4

z tan30° Bz z

รูป 7.28 การกระจายของความเคน้ แนวดิ่งสาหรบั ตวั อยา่ ง 7.2

ที่แนวศูนยก์ ลาง  = (83.1−104.6) × 100 = -20.5% (ต่ากวา่ ประมาณการ)
104.6

ท่ีมมุ ฐานราก  = (83.1−72.6) × 100 = 14.5% (มากกวา่ ประมาณการ)
72.6

ท่ีปลายแนวแรง  = (83.1−24.4) × 100 = 240.6% (มากกวา่ ประมาณการ)
24.4

จากการเปรียบเทียบความเคน้ ท่ีคานวณได้จากสูตรมาตรฐานกบั การประมาณการโดยใช้หลกั การ

ถ่ายทอดแรงสู่ดินขา้ งล่างเป็นมุม 30 พบว่ามีความคลาดเคลื่อนพอสมควร ดงั น้นั กรณีที่ฐานราก
อยู่ใกลเ้ คียงกบั โครงสร้างสาคญั การหาความเคน้ ในดินท่ีเกิดจากการถ่ายทอดแรงจากฐานราก
ควรกระทาโดยการใชส้ ูตรเพ่ือคานวณ

ตวั อยา่ ง 7.3 รูป 7.29 แสดงหนา้ ตดั ของคนั ทางท่ีจะทาการก่อสร้าง กาหนดใหน้ ้าหนกั ดิน
คนั ทางหลงั การบดอดั เท่ากบั 19.5 kN/m3 จงคานวณค่าความเคน้ แนวด่ิงที่เพิม่ ข้นึ เนื่องจากน้าหนกั
ของตวั คนั ทางท่ีจุด A และ B

จากรูป 7.29 เพื่อความสะดวก แบ่งน้าหนกั ของตวั คนั ออกเป็นสามส่วน ดงั น้ี
1) แรงกระจายสม่าเสมอตรงกลาง (คนั ทางหนา้ ตดั รูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ )
2) แรงกระจายเป็นรูปสามเหลี่ยมทางดา้ นซา้ ยมือ
3) แรงกระจายเป็นรูปสามเหลี่ยมทางดา้ นขวามือ

ความหนาแน่นของแรงกระทาแบบกระจายสม่าเสมอที่ฐานของคนั ทางส่วนท่ีอยตู่ รงแนว
ศูนยก์ ลางของคนั ทาง คอื = 19.5 × 6 = 117 kN/m2

บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 179

ที่จุด A เม่ือความลึก z = 4 m ดงั น้นั ระยะจากจุดศูนยก์ ลาง = 0 m จากน้นั สร้างตารางคานวณมุม
ท่ีเก่ียวขอ้ งและตวั ประกอบอิทธิพลความเคน้ ดงั น้ี

ตาแหน่งคนั ทาง

ตรงกลาง ดา้ นซา้ ย ดา้ นขวา

x (m) 0 21 19

มุม  (rad) -1.153 1.153 1.153

มุม  (rad) 2.305 0.230 0.211

ตวั ประกอบอทิ ธิพล 0.970 0.010 0.009

หมายเหต:ุ

ตวั ประกอบอิทธิพลสาหรบั ส่วนทเ่ี ป็นส่ีเหลย่ี มคอื [ + sin cos( + 2 )] p

ตวั ประกอบอิทธิพลสาหรบั ส่วนทเ่ี ป็นสามเหลย่ี มคอื 1 p
[ − 2 sin 2 ]

12 m 18 m 10 m

หนว่ ยน้าหนกั ดินคนั ทาง = 19.5 kN/m3 6m

4m 5m
A B

15 m

CL

รูป 7.29 คนั ทางสาหรับตวั อยา่ ง 7.3

เพราะฉะน้นั ความเคน้ แนวด่ิงท่ีจุด A = 117(0.970 + 0.010 + 0.009) = 115.7 kN/m2

ที่จุด B ระยะ z = 5 m ดงั น้นั ระยะจากจุดศูนยก์ ลาง = 15 m และตารางคานวณมมุ ที่เก่ียวขอ้ งและ
ตวั ประกอบอิทธิพลความเคน้ มีรายละเอียดดงั น้ี

x (m) ตรงกลาง ตาแหน่งคนั ทาง ดา้ นขวา
15 ดา้ นซา้ ย 4
มมุ  (rad)
มุม  (rad) 0.876 36 -0.876
ตวั ประกอบอทิ ธิพล 0.489 1.365 1.551
0.063 0.067 0.354
0.001

ดงั น้นั ความเคน้ แนวด่ิงที่จุด B = 117(0.063 + 0.001 + 0.354) = 48.9 kN/m2

180 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครียดในดิน

ตัวอย่าง 7.4 ฐานรากรูปวงกลมมีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 m รับแรงกระทาแบบ
กระจายสม่าเสมอเต็มหน้าตดั ฐานรากขนาด 120 kN/m3 คานวณและสร้างกราฟแสดงความเคน้
แนวด่ิงเนื่องจากแรงกระทาดงั กล่าว ท่ีตาแหน่ง (a) ใตจ้ ุดศูนยก์ ลางของฐานรากเป็นระยะลึกลงไป
= 10 m (b) ในแนวระนาบที่ความลึก 6 m จากฐานราก และเป็นระยะทางจากจุดศูนยก์ ลางไปเป็ น
ระยะทางเทา่ กบั 12 m

การแกป้ ัญหาตวั อยา่ งน้ี อา้ งอิงกบั รูป 7.26 สมการ [7.70] และตาราง 7.1

การคานวณความเคน้ ใชส้ มการ ∆ = ( + ) = 120( + )

(a) รายการคานวณค่าความเคน้ แนวด่ิงที่ความลึกตา่ งๆ นบั จาก 0 ถึง 10 m ท่ีแนวเส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง
ของฐานราก ทาไดโ้ ดยการใชร้ ูปแบบตารางดงั ต่อไปน้ี ในขณะท่ีกราฟแสดงความเคน้ ถูกแสดง
ในรูป 7.30 (a)

z (m) 0 1 2 3 4 5 6 8 10
z /a 0 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.60 2.00
A 1 0.804 0.629 0.486 0.375 0.293 0.232 0.156 0.106
B 0 0.188 0.32 0.378 0.381 0.353 0.315 0.241 0.179
120 119 114 104 91 78 66 48 34
zo (kN/m2)

(b) ค่าความเคน้ แนวดิ่งในแนวระนาบที่ความลึก 6 m และนับจากจุดศูนยก์ ลางไปเป็ นระยะทาง
12 m ทาไดโ้ ดยการใชต้ ารางคานวณดงั ต่อไปน้ี และกราฟแสดงความเคน้ แสดงไวใ้ นรูป 7.55 (b)

r (m) 0 1 2 3 4 5 6 9 12
r /a
A 0 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.80 2.40
B
0.232 0.228 0.217 0.199 0.176 0.151 0.126 0.069 0.039
zr (kN/m2)
0.315 0.307 0.285 0.248 0.201 0.149 0.100 0.018 0.000

66 64 60 54 45 36 27 10 5

ขอ้ สงั เกต

กรณีความลึกแปรเปลี่ยน ความเคน้ จะน้อยลงเม่ือความลึกมากข้ึนและการลดลงไม่เป็ นแบบ
เส้นตรง กล่าวคือ ท่ีความลึกใกลก้ ับฐานรากค่าความเคน้ ยงั คงมีค่าสูง เม่ือความลึกเกิน 4 m
ความเคน้ มีคา่ ลงลงอยา่ งรวดเร็ว และมีคา่ นอ้ ยลงมากเม่ือความลึกเทา่ กบั 10 m ซ่ึงเท่ากบั ขนาดฐาน
ราก ซ่ึงเป็ นเหตุผลว่า ทาไมที่ระดบั ความลึกเท่ากบั 1.5 เท่าของขนาดฐานราก จึงไม่พิจารณาถึง
อิทธิพลของแรงกระทาตอ่ ดินฐานราก

บทท่ี 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ 181

CL q = 120 kN/m2

120 1
119
zo 2 66 64 60
114 54

104 3 45
36

91 4 zr 27

78 5 10 5

66 6 r (m)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7

48 8

9

34 10
(a) (b)

z (m)

รูป 7.30 (a) ความเคน้ แนวดง่ิ ที่แนวศนู ยก์ ลาง (b) ความเคน้ แนวด่งิ ในแนวนอน

ตวั อย่าง 7.5 รูป 7.31 แสดงรูปแปลนของฐานรากสี่เหล่ียมมุมฉากซ่ึงรับแรงกระทาแบบ
กระจายสม่าเสมอขนาด 180 kN/m2 คานวณค่าความเคน้ แนวดิ่งในช้ันดินเน่ืองจากแรงกระทา
ดงั กล่าว ที่ระดบั ความลึก (a) 10 m ต่าจากจุด A (b) 5 m ต่าจากจุด B

(a) ทาการแบ่งฐานรากออกเป็ นรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก 4 รูป ซ่ึงแต่ละรูปมีมุมอยู่ที่จุด A ดังแสดง
ในรูป 7.32 (b) และความเคน้ แนวดิ่งท่ีจุด A คอื ผลรวมของความเคน้ ที่เกิดข้ึนเน่ืองจากแรงกระทา
ของแตล่ ะรูปสี่เหล่ียมยอ่ ย ดงั ตารางคานวณตอ่ ไปน้ี

∆ (A) = ∆ (1) + ∆ (2) + ∆ (3) + ∆ (4) = ( R(1) + R(2) + R(3) + R(4))

ส่ีเหลย่ี มรูปท่ี z = 10 m n = L /z IR

1 m = B /z 5/10 = 0.5 0.1202
2 20/10 = 2.0 0.1999
3 10/10 = 1.0 20/10 = 2.0 0.1350
4 10/10 = 1.0 5/10 = 0.5 0.0840
5/10 = 0.5
5/10 = 0.5

การคานวณสมการดงั กล่าวอา้ งอิงมาจากสมการ [7.68] และรายการคานวณถูกแสดงไวใ้ นรูปของ
ตารางคานวณ นอกจากน้นั การคานวณยงั อาจใชต้ าราง 7.3 หรือรูป 7.51

ดงั น้นั ความเคน้ ที่จุด A คือ
∆ (A) = 180(0.1202 + 0.1999 + 0.1350 + 0.0840) = 97 kN/m2

182 บทท่ี 7 ความเค้นและความเครียดในดนิ

(b) สาหรับจุด B ทาการแบ่งฐานรากออกเป็ นส่ีเหล่ียมมุมฉาก 4 รูป โดยให้แต่ละมุมของรูป
สี่เหล่ียมเจอกนั ท่ีจุด B (ดงั รูป 7.32 (c)) ความเคน้ แนวด่ิงท่ีจุด B คือผลรวมของความเคน้ ท่ีเกิดข้ึน
เนื่องจากแรงกระทาของแตล่ ะรูปส่ีเหล่ียมยอ่ ย คือ

∆ (B) = ( R(1) − R(2) − R(3) + R(4))

และรายการคานวณถกู แสดงไวใ้ นรูปของตารางคานวณดงั ตอ่ ไปน้ี

ส่ีเหลยี่ มรูปท่ี z =5m n = L /z IR

1 m = B /z 31/5 = 6.2 0.2480
2 6/5 = 1.2 0.2171
3 19/5 = 3.8 31/5 = 6.2 0.1850
4 19/5 = 3.8 6/5 = 1.2 0.1684
4/5 = 0.8
4/5 = 0.8

ดงั น้นั ความเคน้ ที่จุด B คือ
∆ (B) = 180(0.2480 − 0.2171 − 0.1850 + 0.1684) = 2.6 kN/m2

25 m (a)
6m
ฐานราก
รับแรงกระจายสม่าเสมอ 180 kN/m2

5m

A
15 m
5m

(b) B 4m (c)
5 m 20 m 25 m 4m

10 m 1 2
A 3
15 m 1 2
4
5m 4
6m B
1 + 2+ 3 + 4 3
1 - 2- 3+4

รูป 7.31 ฐานรากและการแบ่งพ้ืนท่ียอ่ ยเพื่อหาความเคน้ ในมวลดิน

บทที่ 7 ความเค้นและความเครยี ดในดนิ 183

AB
z

ค่าอิทธิพลต่อ 1 พน้ื ที่ย่อย = 0.002

รูป 7.32 ตวั อยา่ งแผนภาพอิทธิพลนิวมาร์คสาหรับความเคน้ แนวดิ่ง

7.8 แผนภาพอิทธิพลของนิวมารก์ (Newmark)

Newmark (1942) ไดเ้ สนอแผนภาพซ่ึงใชส้ าหรับการประมาณค่าผลรวมของความความเคน้ ในดิน
โดยแบ่งแผนภาพพ้ืนที่ย่อย (Field) และแต่ละพ้ืนที่ย่อยมีค่าปริมาณความเคน้ ซ่ึงมีการแปลงให้อยู่
ในมาตราส่วนเดียวกนั การหาค่าความเคน้ ทาไดโ้ ดยการทาบรูปแปลนของพ้ืนที่ซ่ึงรับแรงกระทา
โดยใหจ้ ุดท่ีตอ้ งการทราบค่าความเคน้ อยู่ตรงจุดศูนยก์ ลางของแผนภาพ (ดังรูป 7.32) แลว้ ทาการ
นบั จานวนพ้ืนท่ียอ่ ย (หรือช่อง) แลว้ ใชส้ มการตอ่ ไปน้ี

∆σ = (จานวนช่องท่ีแปลนฐานรากครอบคลุม) × × [7. 74]

เมื่อ คอื ตวั ประกอบมาตราส่วน (คา่ อิทธิพลสาหรับ 1 พ้ืนท่ี)

184 บทที่ 7 ความเคน้ และความเครียดในดนิ

แผนภาพอาจสร้างข้ึนไดโ้ ดยการใชค้ ่าตวั ประกอบอิทธิพลต่างกนั สาหรับองคป์ ระกอบ
ความเคน้ ที่แตกต่างกนั ไป การใช้แผนภาพนิวมาร์คสาหรับคานวณความเคน้ มีความเหมาะสม
สาหรับกรณีที่พ้นื ที่รับแรงกระทามีรูปร่างผิดปกติหรือซบั ซอ้ น

การสร้างแผนภาพนิวมาร์คทาไดโ้ ดยการแกส้ มการ [7.69] ซ่ึงกค็ ือ

∆σz = {1 − [1−( 1 / )2]3/2}

โดยมีวตั ถปุ ระสงคเ์ พ่อื หารากของสมการท่ีมีค่าบวกจากสมการต่อไปน้ี

1/2

1]
เม่ือ


= [(1 − )−2/3 − = ∆σ


คาตอบที่ไดจ้ ากการแกส้ มการดงั กล่าว คืออตั ราส่วนขนาดของพ้ืนท่ีวงกลมซ่ึงรับแรง
กระทาแบบกระจายสม่าเสมอ (q) และค่าอตั ราส่วนความเคน้ จาเพาะ (Specific stress ratio, Iq)
ถ้าแทนค่า Iq ลงในสมการ [7.69] จะทาให้ได้ค่า / เพ่ือนาไปใช้สาหรับการสร้างกลุ่มของ
วงกลมที่มีจุดศูนยก์ ลางอยู่จุดเดียวกนั และแต่ละวงกลมถูกแบ่งออกเป็ นพ้ืนที่ย่อยโดยเส้นรัศมี
เพ่ือท่ีจะไดจ้ านวนพ้ืนท่ียอ่ ย (Field) ที่ตอ้ งการ ปัจจุบนั วิธีน้ีไม่เป็ นที่นิยมเนื่องจากไม่สะดวกใน
การสร้างแผนภาพ และมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์สาเร็จรูปหลากหลายใหเ้ ลือกใช้

7.9 การทรุดตวั ยืดหยุ่น

เม่ือมีแรงกระทาต่อฐานรากที่มีคุณสมบตั ิยืดหยุ่น ความเคน้ ท่ีถ่ายทอดสู่ดินฐานรากจะทาให้ดิน
เกิดการทรุดตวั สาหรับกรณีที่แรงกระทาเป็ นแบบกระจายสม่าเสมอ ค่าทรุดตวั แนวด่ิงท่ีระดับ
ผวิ ดินของช้นั ดินท่ีมีความหนาอนนั ตค์ านวณไดจ้ ากสมการตอ่ ไปน้ี

i = (1 − 2)  [7. 75]


เม่ือ q = ความหนาแน่นของความดนั สัมผสั
= ดา้ นแคบสุดของฐานราก (ความกวา้ งหรือเส้นผา่ นศูนยก์ ลาง)
B = อตั ราส่วนปัวซอง (Poisson’s ratio)
v = โมดูลสั ยดื หยนุ่ (ของดินฐานราก)
E = ตวั ประกอบอิทธิพลสาหรับการทรุดตวั แนวด่ิง
I

บทที่ 7 ความเคน้ และความเครยี ดในดิน 185

ตาราง 7.3 คา่ ตวั ประกอบอิทธิพล (I) สาหรับการเคลื่อนตวั แนวด่ิงเนื่องจากการอดั ตวั ยดื หยนุ่ ของช้นั ดินซ่ึงมี
ความหนาแบบก่ึงอนนั ต์ (Semi-infinite) (ดดั แปลงจาก Whitlow, 1995)

รูปทรง ฐานรากดดั ตวั ได้ คา่ เฉล่ีย ฐานรากแขง็ เกร็ง
ฐานราก กลางฐานราก มมุ ฐานราก 0.85 0.79

วงกลม 1.00 0.64
ส่ีเหล่ียม
L/B 1.0 1.122 0.561 0.946 0.82
1.5 1.358 0.679 1.148 1.06
2.0 1.532 0.766 1.300 1.20
3.0 1.783 0.892 1.527 1.42
4.0 1.964 0.982 1.694 1.58
5.0 2.105 1.052 1.826 1.70
10.0 2.540 1.270 2.246 2.10
100.0 4.010 2.005 3.693 3.47

ตาราง 7.4 ค่าอตั ราส่วนปัวซองมาตรฐาน

ประเภทดิน v'
0.4 - 0.5
ดินเหนียวอิ่มตวั
ดินเหนียวอ่ิมตวั บางส่วนหรือ 0.2 - 0.4
ดินเหนียวปนทราย 0.2
ทราย:  = 40 0.5
Sand:  = 20

ตวั ประกอบอิทธิพลสาหรับการเคล่ือนตวั แนวด่ิง (I) ข้ึนอยู่กบั รูปร่างและความแข็งเกร็ง
ของฐานราก ตาราง 7.3 แสดงค่าตวั ประกอบอิทธิพลสาหรับการคานวณการทรุดตวั ท่ีจุดศนู ยก์ ลาง
หรือท่ีมุมของพ้ืนท่ีรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากซ่ึงมีแรงกระทาแบบกระจายสม่าเสมอ ในขณะที่ตาราง 7.4
แสดงคา่ อตั ราส่วนปัวซองมาตรฐานสาหรับดินประเภทตา่ ง ๆ

ปัญหาเก่ียวกบั ดินที่พบเห็นไดโ้ ดยทว่ั ไป คือ ดินจะมีลกั ษณะเป็นช้นั และแตล่ ะช้นั มีความ
หนาจากดั อีกท้งั ช้นั ลา่ งสุดคือช้นั ดินที่ค่อนขา้ งแขง็ มากหรืออาจเป็นช้นั หิน สาหรับกรณีน้ี ถา้ ใช้
สมการ [7.69] เพื่อคานวณค่าการทรุดตวั คาตอบท่ีไดจ้ ะมากกว่าความเป็ นจริง ดังน้ัน อาจใช้
หลกั การประมาณอยา่ งคร่าว ๆ โดยการใชส้ มการดงั กลา่ วกบั ช้นั ดินซ่ึงความหนามีคา่ มากกว่าส่วน
แคบสุดของฐานรากอยสู่ องเทา่ หรือมากกวา่

186 บทท่ี 7 ความเคน้ และความเครียดในดนิ

1.0 (a)
0.9
1000
0.8 L/B → 1 2 5 10 20 50 100 200 (b)

0 0.5 1 2 5 10 20 50 100 100
q D/B 50
0.7 20
10
0.6 5
0.5 2
1
0.1 0.2
1000
3.0

2.5 D L/B = 
2.0
HB
1 1.5
L = ด้านยาว
sj = 10 qB (1-v2)

Eu

1.0 ฐานรากสี่เหลยี่ ม
0.5
ฐานรากวงกลม
0 0.5 1 2 5 10 20
0.1 0.2 50 100
(H/B)

รูป 7.33 ค่าสมั ประสิทธ์ิการทรุดตวั ของดินใตฐ้ านรากดดั ตวั ได้ (ดดั แปลงจาก Whitlow, 1995
และ Janbu et al., 1956)

สาหรับกรณีที่ความหนาของช้ันดินน้อยกว่าสองเท่าของด้านแคบของฐานราก และ
≈ 0.5 อาจใชส้ มการต่อไปน้ีเพอ่ื คานวณค่าการทรุดตวั แนวดิ่ง

i = 01(1 − 2) [7. 76]


เมื่อ 0 และ 1 คือ สัมประสิทธ์ิซ่ึงข้ึนอยู่กบั ดา้ นแคบและความลึกของฐานราก รวมท้งั
ความหนาของช้นั ดิน ดงั แสดงในรูป 7.33

7.10 กะเปาะความเคน้

จากการพิจารณาความเคน้ ในมวลดินเน่ืองจากแรงกระทา จะสงั เกตไดว้ า่ ความหนาแน่นของความ
เคน้ ในดินใตฐ้ านรากมีค่าลดลงท้งั ในแนวด่ิงและแนวนอนเม่ือวดั จากจุดศูนยก์ ลางของฐานราก
เพราะฉะน้ัน ถา้ ทาการคานวณอย่างต่อเนื่อง จะพบว่าที่ความลึกหรือระยะทางดา้ นขา้ งจุดใดจุด
หน่ึงที่ห่างจากตัวฐานราก ความหนาแน่นของความเค้นจะมีค่าน้อยมากจนไม่มีผลต่อการ
ออกแบบ