COURSE FILE FUNDAMENTAL OF MECHANIC STRUCTURE

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 3

7.1 SIFAT MEKANIKAL BAHAN

Apabila suatu bahan dikenakan daya tegangan beberapa sifat dapat dikenal pasti
iaitu:

Mulur
Ia merujuk kepada suatu bahan yang mempunyai pemanjangan tinggi .

Anjal
Ia merujuk kepada keadaan bahan yang kembali kepada panjang asal apabila
beban ditanggalkan darinya.

Plastik
Kebolehan sesuatu bahan mengalami pemanjangan yang berlebihan apabila
ditegangkan.

Rapuh
Bahan rapuh iaitu bahan yang mengalami pemanjangan yang rendah sebelum
patah tanpa sebarang amaran.

7.3 MODULUS KEANJALAN
Pemalar dalam persamaan Hukum Hooke disebut sebagai Modulus Keanjalan.
Ia juga dikenali sebagai Modulus Kekenyalan atau Modulus Young,
Modulus keanjalan adalah nisbah di antara tegasan dan terikan.
Simbolnya E dan unitnya N/mm2 , kN/mm2, N/m2, kN/m2 etc.

E = Tegasan

Terikan


E=



Menggantikan  = P dan  =  ,

AL

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS C 2007 / UNIT 7/ 4

Maka ;

E = PL

A

Jadual 7.1 menunjukkan nilai Modulus Young yang lazim bagi bahan terbabit;

Bahan Modulus Young (GN/m2)
Keluli 200 – 220

Aluminium 60 - 80
Kuprum 90 – 110

Kayu 10

Jadual 7.1: Nilai Modulus Young

Nilai modulus ini menunjukkan kekuatan bahan kerana nilai yang tinggi
menunjukkan graf tegasan- terikan yang tinggi. Oleh itu beban yang tinggi
diperlukan untuk menghasilkan pemanjangan yang sama.

GRAF TEGASAN Vs TERIKAN

Tegasan

Terikan
Kecerunan graf adalah nilai Modulus Young

Rajah 7.2: Graf Tegasan Vs Terikan

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 5

7.4 NILAI MODULUS KEANJALAN DARI GRAF

Sifat-sifat mekanikal sesuatu bahan ditentukan dengan melakukan ujian ke atas
sampel bahan tersebut. Rajah 7.3 menunjukkan ujian tegangan piawai, dijalankan
ke atas bar bulat yang mempunyai keratan rentas seragam dalam sebuah mesin
ujian tegangan. Mesin ini membolehkan daya paksi dikenakan ke atas bar yang
diuji .

Satu contoh bar yang akan diuji disediakan mengikut dimensi tertentu dan
dipasang pada mesin ujian tegangan. Beban ditingkatkan sedikit demi sedikit
sehingga bar contoh ini patah. Beban yang dikenakan dan pemanjangan yang
berlaku dicatitkan. Graf ‘beban melawan pemanjangan’ dihasilkan dan keputusan
ujian ditunjukkan seperti dalam rajah 7.4 .

Tolok

Sampel
bahan

Rajah 7.3 : Ujian Tegangan

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 6

GRAF BEBAN Vs PEMANJANGAN

Beban, P Cerun, m =  P

L

y y
=2 1

x 2  x1

P
L

Pemanjangan, 
Rajah 7.4 : Graf Beban Vs Pemanjangan

Modulus Young, E = PL Dimana,

A A = luas keratan rentas sampel
L = panjang sampel
E= P x L P = kecerunan graf, m

A 

E=m x L

A

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 7

7.5 KEDUDUKAN SIFAT BAHAN DARI GRAF

Rajah 7.5 menunjukkan keputusan ujian tegangan bagi bar keluli lembut.
Keterangan mengenai graf ini adalah seperti berikut.

GRAF BEBAN Vs PEMANJANGAN

Beban, P B D
A E

C

Pemanjangan, 

Rajah 7.5 : Lengkung Tegasan – Terikan Keluli Lembut

A ialah Takat Anjal
Iaitu takat akhir bahan mematuhi Hukum Hooke

B ialah Had plastik
Had di mana bahan mula bersifat plastik hingga ia gagal dan tidak lagi mematuhi
Hukum Hooke
C ialah Takat Alah
Had alah iaitu pemanjangan berlaku tanpa peningkatan beban.
D ialah Beban Maksima
Beban maksimum yang dikenakan dan bahan mengalami pemanjangan yang
kritikal hingga ia gagal di titik E
E ialah Takat Putus
Bahan mengalami kegagalan

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 8

7.6 MENGIRA MODULUS KEANJALAN DARI UJIAN TEGANGAN

PENYELESAIAN Mengira tegasan dan peratus peubahan panjang dari data ujikaji
MASALAH 7 a

Keputusan berikut diperolehi daripada satu ujian tegangan.

Garispusat contoh = 10mm
Panjang tolok = 50mm
Beban maksimum = 40 kN
Panjang akhir = 58.88mm
Garispusat leher = 7.7 mm

Tentukan ;
a) Tegasan muktamad
b) Peratus pemanjangan

Penyelesaian

Beban maksimum
a) Tegasan muktamad =

Luas asal

= 40
 10 2

4

= 0.509 kN/mm2

= 509 N/mm2 #

b) Peratus pemanjangan = Perubahan panjang

X 100

Panjang asal

58 .88  50 .0

= x100

50

= 17.76 % #

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 9

PENYELESAIAN Mengira modulus young dan perubahan bentuk dari data ujikaji
MASALAH 7 b

Semasa ujian tegangan ke atas satu contoh, keputusan pada jadual 7.6 dihasilkan.

Beban (kN) 5 10 15 20 25 30
40 78 117 157 197 237
Pemanjangan
x 10-3mm

Jadual 7.6 : Data Beban-Pemanjangan

Berikut merupakan data contoh bahan yang diuji:

Garispusat asal = 12.5 mm

Panjang tolok = 200mm

Garispusat akhir = 8.0 mm

Panjang akhir = 260mm

Tentukan:

a) Modulus Young

b) Peratus pemanjangan

c) Peratus pengurangan luas

Penyelesaian

Tips…
 Graf dilukis pada kertas graf.
 Pilih skala yang bersesuaian.
 Sambungan titik adalah kepada garisan linear yang paling banyak

menghubungkan titik-titik.

Beban (kN) GRAF BEBAN Vs PEMANJANGAN
10 20 30
Dari graf:
y1 = 6.5
y2 = 19
x1= 50
x2 = 150

0 50 100 150 200 250

http:P/e/mmaonjdanugal2n p(xo1l0i-.3bmlomg) spot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 10

(a) Kecerunan graf, m = y 2  y 1

x 2  x1

= 19  6 .5

(150  50 ) x10  3

= 125 kN/mm

 Modulus keanjalan, E = m x L

A

= 125 x 200

 (12 .5 2 )
4

= 203.72 kN/mm2#

(b) Peratus pemanjangan = Perubahan panjang
X 100

Panjang asal

= 260  200
x100

200

= 30%#

(c ) Peratus pengurangan luas = Pengurangan luas

X 100

Luas asal

 12 .5 2   8 2

=4 4 x100

 12 .5 2

4

= 385 .53  50 .27
x100

385 .53

= 86.96 %#

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 11

PENYELESAIAN
MASALAH 7 c Mengira modulus keanjalan dari data ujikaji

Satu sampel bahan diuji dengan ujian tegangan dan menghasilkan data tegasan –
terikan seperti pada jadual 7.7. Plotkan graf tegasan melawan terikan dan
tentukan modulus keanjalan bahan tersebut. Adakah anda kelaskan bahan ini
sebagai rapuh atau mulur?

Tegasan 17.5 25.6 31.1 39.8 44.0 48.2 53.9 58.1 62.0 62.5
(MPa) 8.0
7.3 11.1 12.9 16.3 18.4 20.9 26.0 33.1 42.9 patah
Terikan Jadual 7.7 : Data Tegasan - Terikan
(x 10-3) 3.2

Penyelesaian

Tegasan (MPa) GRAF TEGASAN Vs TERIKAN Tips….
50 60  Plot graf di atas kertas graf.
0 10 20 30 40 50  Sambungan titik adalah kepada garisan
30 40 (Terikan x 10-3)
linear yang paling banyak menghubungkan
10 20 titik-titik.
 Kecerunan dikira pada bahagian lelurus
graf..

 Kecerunan graf tegasan-terikan adalah nilai
modulus keanjalan.

(a) Modulus keanjalan
= kecerunan graf, m
= y2  y1

x 2  x1

= ( 24  5 )10 6

(10  2 )10  3

= 2.4 GPa#

(b) Rapuh (pemanjangan
yang rendah sebelum
patah dan tidak
memberi amaran.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 12

PENYELESAIAN
MASALAH 7 d Mengira modulus keanjalan dan tegasan maksimum dari data ujikaji

Satu ujian tegangan ke atas spesimen, memberi keputusan seperti pada jadual 7.8;

Panjang tolok = 250 mm
Garispusat asal = 25mm
Garispusat akhir = 18.6 mm

Beban (kN) 20 60 100 140 160 170 172 176 178
50 160 260 360 410 440 470 550 720
Pemanjangan
X 10-3 mm

Beban (kN) 180 190 220 240 257 261 242 229
5800 5850
Pemanjangan 760 900 1460 1990 3120 4500
X 10-3 mm Jadual 7.8 : Data Beban - Pemanjangan

Dengan melukis ‘graf beban – pemanjangan’;

Tentukan:
a) Modulus Young
b) Tegasan maksimum
c) Takat alah

Penyelesaian

GRAF BEBAN Vs PEMANJANGAN

Beban (kN) 300 Takat alah
250
200 773 1545 2317 3089 3861 4633 5405
150 Pemanjangan x 10-3 (mm)
100

50
0
1

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS C 2007 / UNIT 7/ 13

Dari plotan graf diperolehi:-
(a) Kecerunan graf, m = y 2  y 1

x 2  x1

= 135  40

( 350  100 )10  3

= 380 kN/mm

 Modulus keanjalan, E = m x L

A

= 380 x 250

 ( 25 2 )
4

= 193.53 kN/mm2 @ 194 GN/m2

(b) Tegasan maksimum = Beban Muktamad

Luas

= 261

 ( 25 ) 2
4

= 0.532 kN/mm2

(c) Takat alah = rujuk graf

Menentukan kecerunan pada
graf, mungkin memberi jawapan
yang sedikit berbeza; bergantung
kepada ketepatan plotan graf.

SEKIRANYA TELAH BERSEDIA, ANDA BOLEH
MENCUBA SOALAN-SOALAN AKTIVITI YANG

DISEDIAKAN BERIKUTNYA.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS C 2007 / UNIT 7/ 14

AKTIVITI 7

 SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA,
SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.

 SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI

HALAMAN BERIKUTNYA.

7.1 Huraikan istilah berikut

a. Had anjal
b. Had plastik
c. Mulur
d. Rapuh

7.2 Takrifkan Hukum Hooke dan Modulus Keanjalan

7.3 Berdasarkan graf beban-pemanjangan (rajah 7.9) bagi keluli lembut, labelkan
had-had penting yang ditandakan.

GRAF BEBAN Vs PEMANJANGAN

Beban, P B D (A) ________
E (B) ________
A (C) ________
C (D) ________
(E) ________

Pemanjangan, 

Rajah 7.9 : Graf Keluli Lembut

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS C 2007 / UNIT 7/ 15

7.4 Isikan tempat kosong.

a) Hukum Hooke sah dengan syarat bahan bagi jasad/spesimen adalah __________.

b) Nilai modulus keanjalan menunjukkan __________ sesuatu bahan.

c) Graf tegasan-terikan bagi sesuatu spesimen yang diuji dengan ujian tegangan akan
berkadar terus selagi ia berada dalam takat _____________.

d) Kecerunan ‘graf beban-pemanjangan’ memberi nilai ____________.

7.5 Keputusan berikut diperolehi daripada satu ujian tegangan.

Garispusat contoh = 12mm
Panjang tolok = 55mm
Beban maksimum = 30kN
Panjang akhir = 58.88mm
Garispusat leher = 8.4mm

Tentukan ;
a) Tegasan muktamad
b) Peratus pemanjangan

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS C 2007 / UNIT 7/ 16

MAKLUMBALAS AKTIVITI 7

Jawapan 7.1

Had anjal
Iaitu takat akhir bahan mematuhi Hukum Hooke. Pada Had anjal bahan akan kembali
kepada panjang asal sekiranya beban dialihkan dari bahan.

Had Plastik
Had di mana bahan mula bersifat plastik hingga ia gagal dan tidak lagi mematuhi Hukum
Hooke

Mulur
Ia merujuk kepada suatu bahan yang mempunyai pemanjangan tinggi .

Rapuh
Bahan rapuh iaitu bahan yang mengalami pemanjangan yang rendah sebelum patah tanpa
sebarang amaran.

Jawapan 7.2

Hukum Hooke menyatakan bahawa sesuatu jasad akan kembali kepada panjang asal
setelah beban yang dikenakan dialihkan daripadanya.

Modulus keanjalan adalah nisbah diantara tegasan dan keterikan.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS C 2007 / UNIT 7/ 17

Jawapan 7.3 c) Takat anjal
A ialah Takat Anjal d) Modulus keanjalan
B ialah Had plastik
C ialah Takat Alah
D ialah Beban Maksima
E ialah Takat Putus

Jawapan 7.4
a) Seragam /homogenos
b) Kekuatan

Jawapan 7.5
a) 265.3 N/mm2
b) 7.05%

______________________________________________________________________________________

SEKIRANYA ANDA TELAH YAKIN , ANDA BOLEH
MENCUBA PENILAIAN KENDIRI BERIKUTNYA.

ANDA DIGALAKKAN MEMBUAT RUJUKAN TAMBAHAN

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS C 2007 / UNIT 7/ 18

PENILAIAN KENDIRI

1. Satu ujian tegangan telah dijalankan ke atas sebatang contoh keluli lembut.
Jadual 7.10 adalah data keputusan ujian tersebut.

Beban 3 6 9 12 15 18 21
(kN) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.3 1.7
Pemanjangan
(mm) Jadual 7.10 : Data Beban - Pemanjangan

Panjang contoh = 3.5m
Luas keratan rentas = 250mm2

(i) Plotkan ‘graf tegasan-terikan’.
(ii) Nyatakan tegasan pada takat anjal.
(iii) Dengan berpandukan kepada graf, kirakan modulus keanjalan.

2. Semasa ujian tegangan ke atas satu sampel, keputusan pada jadual 7.11
diperolehi.

Tegasan x 103

(kN/m2) 12 24 36 48 60 72 84

Keterikan x 10-5 11.4 17.1 22.9 28.6 37.1 48.6
5.7

Jadual 7.11: Data Tegasan - Terikan

Panjang contoh = 200 mm
Panjang akhir = 260 mm
Garispusat asal = 12.5 mm
Garispusat akhir = 8.0 mm

Tentukan ;

a. Modulus Young
b. Tegasan anjal
c. Peratus pemanjangan
d. Peratus pengurangan luas

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 19

3. Data pada jadual 7.12 menunjukkan keputusan dari satu ujikaji contoh bahan
berukuran keratan rentas 15mm x 6mm dan jarak tolok 100mm. Tentukan
modulus keanjalan bahan tersebut.

Beban 0.25 0.50 0.75 1.0 1.25 1.50 1.75
(Mg) 0.033 0.074 0.112 0.151 0.192 0.230 0.272
Pemanjangan
(mm)

2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.26 3.27
0.312 0.350 0.40 0.45 0.521 0.62 0.95 Gagal

Jadual 7.12 : Data Beban - Pemanjangan

4. Satu ujian tegangan dijalankan pada satu contoh bahan memberi keputusan seperti
pada jadual 7.13.

Panjang contoh = 250 mm
Garis pusat asal = 25 mm
Garispusat akhir = 18.6 mm

Beban 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0 22.5 25.0 27.5
(kN)

Pemanjangan
( x 10-3 mm ) 18.75 40.0 62.5 82.5 103.0 125.0 146.0 168.0 190.0 212.5 235.0

30.0 32.5 35.0 37.5 38.5 39.5 40.0 40.5

257.5 281.5 315.0 350.0 390.0 512.5 660.0 875.0

Jadual 7.13 : Data Beban - Pemanjangan

Dengan melukis ‘graf beban melawan pemanjangan’ tentukan Modulus Young
bahan tersebut. Kirakan peratus pengurangan luas bahan tersebut dan tandakan
had-had yang penting pada graf.

- SELAMAT MENCUBA -

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN TERUS

C 2007 / UNIT 7/ 20

MAKLUMBALAS PENILAIAN KENDIRI

Jawapan 1
Tegasan pada takat anjal = 60 x 103 kN/m2
Modulus keanjalan = 209.79 GN/m3
Jawapan 2

E = 74.17 GN/m2

Jawapan 3
E = 70.4 kN/mm2

Jawapan 4
a. E = 209.79 GN/m2
b. 44.65 %

___________________________________________________________
SEKIRANYA ANDA TELAH BERJAYA MENJAWAB
DENGAN BETUL, MARILAH BERALIH KE UNIT 8

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 1

SIFAT-SIFAT KERATAN

OBJEKTIF AM :

Mempelajari dan memahami sentroid, momen luas kedua dan
modulus keratan .

OBJEKTIF KHUSUS:

Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat:-

 Menerangkan kesan daya sisi ke atas keratan rasuk.
 Mengira nilai momen luas kedua (momen sifat tekun) .
 Mengira nilai modulus keratan.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 2

INPUT 8A SIFAT-SIFAT KERATAN

8.0 PENGENALAN

Rajah 8.1(a) : Rasuk A Rajah 8.1(b): Rasuk B

Cuba anda perhatikan kedua-dua rasuk pada rajah 8.1. Kedua-dua rasuk
tersebut menerima tahap pembebanan yang sama. Pertimbangkan…….

 Rasuk manakah yang anda fikir LEBIH kukuh?
 Sekiranya anda menjawab rasuk A; apakah rasionalnya?
 Sekiranya anda menjawab rasuk B; apakah rasionalnya?
 Adakah bentuk keratan rasuk menentukan tahap kekukuhan sesuatu rasuk?

Amnya terdapat pelbagai bentuk anggota struktur yang digunakan dalam
bidang Kejuruteraan Awam. Sebagaimana dalam rajah 8.1, rasuk A
mempunyai bentuk keratan rentas segiempat sama manakala rasuk B
mempunyai bentuk keratan rentas segiempat tepat. Selain daripada jenis
bahan yang digunakan (i.e konkrit atau keluli), bentuk anggota struktur juga
menentukan kekuatan dan ketegaran sesuatu struktur.

Persoalan rasuk manakah yang lebih kukuh dapat ditentukan dengan
menganalisis nilai momen luas kedua. Penentuan nilai momen luas kedua
sangat berkait rapat dengan sentroid. Oleh yang demikian, unit ini akan
membincangkan dengan lebih lanjut berhubung sentroid dan momen luas
kedua bagi bentuk keratan yang lazim dalam bidang kejuruteraan.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 3

8.1 KESAN DAYA SISI

Pertimbangkan dua bentuk rasuk mudah yang dibebankan seperti rajah 8.2(a)
dan 8.2 (b). Kedua-dua jenis rasuk tersebut mengalami lenturan pada arah
yang berbeza. Lenturan tersebut ditindakkan oleh beban momen pada
bahagian sisi rasuk tersebut. Kesan beban momen adalah wujudnya momen
lentur yang seterusnya menyebabkan berlaku tegasan lentur dalam rasuk.

Perhatikan filamen pada rasuk yang melendut (rajah 8.2a), permukaan atas
rasuk mengalami mampatan dan beransur kurang sehingga permukaan bawah
rasuk pula mengalami zon tegangan. Bayangkan sekiranya rasuk tersebut
terdiri dari ratusan lapisan filamen. Adakah terdapat filamen yang tidak
mengalami apa-apa perubahan i.e. mampatan atau tegangan? Ya, memang
terdapat filamen yang tidak mengalami ubahbentuk dan ia terletak pada satah
neutral. Satah neutral bagi sesuatu jasad amnya, melalui pusat graviti,
manakala bagi satu unsur luasan, ia melalui titik sentroid. Bahagian yang
seterusnya akan membincangkan sentroid dengan lebih lanjut.

W B Zon Mampatan
A
MM

Zon Tegangan

Rajah 8.2(a) : Rasuk Melendut

AA W Zon Tegangan
BB
MM

Zon Mampatan

Rajah 8.2(b) : Rasuk Meleding

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 4

8.2 SENTROID

Anda pasti maklum bahawa bumi berputar pada paksi yang melalui pusat di
mana semua jisimnya terpumpun; ia dikenali sebagai pusat graviti. Sentroid
merupakan istilah yang digunakan untuk menggambarkan pusat bagi sesuatu
satah luasan (bahan yang tidak mempunyai jisim). Kedua-dua pusat graviti
dan sentroid merupakan titik keseimbangan. Amnya sentroid boleh dianggap
pusat graviti bagi sesuatu bentuk yang hanya mempunyai luasan dan tidak
mempunyai berat. Penentuan kedudukan titik sentroid boleh ditentukan
berdasarkan bentuk geometri.

8.2.1 Sentroid Bentuk Geometri Asas

Kedudukan titik sentroid lazimnya berpandukan kepada paksi rujukan
iaitu paksi pugak (y) dan paksi ufuk (x). Nilai sentroid ditulis dalam
sistem koordinat ( x , y ). Rajah 8.3 menunjukkan kedudukan titik
sentroid, s bagi bentuk geometri asas.

Bentuk Luas, A x y

bh b h
2
2

bh b h
2 33

 rr 2 0 0
0
 rr 2 4r
2 3

Rajah 8.3 : Sentroid Bentuk Geometri Asas

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 5

8.2.2 Sentroid Bentuk Yang Mempunyai Dua Paksi Simetri

Terdapat bentuk yang mempunyai gabungan beberapa bentuk geometri
asas yang mempunyai dua paksi simetri. Sentroid bagi bentuk ini
adalah garispusat persilangan kedua-dua paksi. Ianya sangat mudah
untuk ditentukan, hanya perlu membahagi dua nilai lebar bentuk bagi
mendapatkan nilai x dan membahagi dua nilai tinggi bagi
mendapatkan nilai y . (Rajah 8.4)

S
S

(a) Bentuk ‘I’ (b) Bentuk Bulatan Berongga

Rajah 8.4 : Bentuk Keratan Dua Paksi Simetri

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 6

8.2.3 Sentroid Bagi Luas Komposit

Terdapat bentuk geometri yang langsung tidak mempunyai paksi
simetri. Ia mungkin terdiri dari gabungan pelbagai bentuk geometri
asas dan mempunyai keluasan rencam/komposit. Sentroid bentuk
komposit dapat ditentukan dengan kaedah momen. Pertimbangkan
bentuk seperti rajah 8.5.

y

 x
 y1 y2 y3

x1
x2

x3

Rajah 8.5 : Bentuk Komposit

Bentuk komposit pada rajah 8.5 mempunyai rongga/lubang bulat.
Bagi memudahkan kiraan, bentuk di atas dibahagikan kepada tiga
komponen bentuk geometri i.e segitiga, segiempat, bulatan dan
masing-masing mempunyai keluasan A1, A2 dan A3.

Katakan:-

= Komponen 1 @ A1

= Komponen 2 @ A2
= Komponen 3 @ A3
x1, x2, x3 = Jarak sentroid komponen dari paksi y
y1, y2, y3 = Jarak sentroid komponen dari paksi x

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 7

Sambungan.......

 Momen terhadap paksi y :

A x = A1X1 + A2X2 - A3X3

= x AX A X AX
11 22 33

A1  A 2  A3

x =  Ax

A

 Momen terhadap x:

A y = A1Y1 + A2Y2 - A3Y3

AY A Y  A Y
= y 11 22 33

A1  A 2  A3

 Ay

y=
A

Bagi memperkukuhkan
pengetahuan anda dalam
menentukan kedudukan titik
sentroid, marilah ikuti siri
penyelesaian masalah
berikutnya.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 8

PENYELESAIAN Menentukan sentroid keratan dengan dua paksi simetri
MASALAH 8 a

Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan pembentung kekotak pada rajah
8.6. Pembentung tersebut mempunyai keratan 1000mm x 800mm dengan
ketebalan 300mm.

1000mm

800mm y
Rajah 8.6 : Keratan Pembentung Kekotak

Penyelesaian

Tips…..
Keratan di atas mempunyai dua paksi
simetri, maka sentroid bagi keratan ini
terletak pada persilangan kedua-dua
paksi.

 Kedudukan sentroid ke paksi y, x = b x

2

= 800

2

= 400mm

 Kedudukan sentroid ke paksi x, y = h

2

= 1000

2

= 500mm

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 9

PENYELESAIAN Menentukan sentroid keratan dengan satu paksi simetri
MASALAH 8 b

Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan rasuk ‘T’ seperti rajah 8.7.

150mm

30mm

120mm 30mm

Rajah 8.7: Keratan ‘T’

Penyelesaian

Tips….
Bentuk ‘T’ mempunyai satu paksi simetri, yy. Dengan
itu kedudukan sentroid merujuk kepada paksi y, x
boleh ditentukan dengan membahagi dua lebar keratan
‘T’ tersebut i.e 75mm. Hanya kedudukan y sahaja

yang perlu dikira.

y Tips….
1
Bagi memudahkan kiraan,
2 keratan ‘T’ dibahagikan
kepada dua bentuk geametri

asas i.e segiempat tepat

x

A1 = 150 x 30 ; A2 = 120 x 30 ; y1 = (30  2) + 120 ; y 2 = 120 2
= 4500mm2
= 3600mm2 = 135mm = 60mm

 x = b = 150 = 75mm#

22

AY A Y
= y 11 22

A1  A 2

= ( 4500 x135 )  (3600 x 60 )

4500  3600

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR C 2007 / UNIT 8 / 10

= 101.67mm #

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 11

PENYELESAIAN Menentukan sentroid keratan komposit
MASALAH 8 c

Tentukan kedudukan sentroid bagi bentuk seperti pada rajah 8.8.
y 120mm

2 40mm

140mm 1

x

40mm

Rajah 8.8: Keratan Tidak Simetri Tips…..
Bagi memudahkan kiraan, bahagikan
Penyelesaian bentuk tersebut kepada bentuk geometri
asas i.e dua komponen segiempat tepat.
A1 = 140 x 40
= 5600mm2

A2 = 80 x 40
= 3200mm2

Kedudukan sentroid bentuk 1 ke paksi x, y 1 = 140  2
= 70mm

Kedudukan sentroid bentuk 2 ke paksi x, y2 = 40  100

2

= 120mm

Kedudukan sentroid bentuk 1 ke paksi y, x1 = 40  2
= 20mm

Kedudukan sentroid bentuk 2 ke paksi y, x 2 = 80  40

2

= 80mm

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 12

sambungan ........

Dengan menggunakan formula sentroid untuk bentuk komposit;

x= A1 X 1  A 2 X 2
A1  A 2

= (5600 x 20 )  (3200 x 80 )

5600  3200

= 41.82mm #

AY A Y
=y 11 22

A1  A 2

= (5600 x 70 )  (3200 x120 )

5600  3200

= 88.18mm #

Masalah 8b dan 8c juga
boleh diselesaikan dalam
bentuk jadual, mari ikuti
penyelesaian masalah 8d.
Anda bebas memilih teknik
yang anda sukai.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 13

PENYELESAIAN Menentukan sentroid luas komposit
MASALAH 8 d

Tentukan kedudukan sentroid bagi luas yang berwarna pada rajah 8.9.

30mm

15mm

30mm 30mm

Rajah 8.9 : Keratan Simetri Pada Satu Paksi

Penyelesaian

Tips…. Y 2 4
Keratan di bahagikan 1 3
kepada empat bentuk
asas geometri

X

(i) Jarak sentroid dari paksi y, x = 30mm#(keratan simetri pada paksi y)
(ii) Jarak sentroid dari paksi x, y , diselesaikan dalam jadual.

Komponen A (mm2) y (mm) A y (mm3)

Segitiga, 1 0.5 x 15 x 30 = 225 (+) 30/3 = 10 2250
Segiempat, 2 30x30 = 900 (+) 30/2 = 15 13 500
Semibulatan, 3 (4 x 15)/3 2251.2
( x 152 )  2 = 353.4 (-)
Segitiga, 4 = 6.37 2250
 0.5 x 15 x 30 = 225 (+) 30/2 = 15 15 748.8
996.6

 y =  Ay

A

= 15748 .8

996 .6

= 15.8mm#

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR C 2007 / UNIT 8 / 14

AKTIVITI 8A

 SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA,
SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.

 SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI

HALAMAN BERIKUTNYA.

8.1 Benar – Palsu [ Tandakan  pada kotak yang berkenaan ]

(a) Sentroid adalah titik di mana semua jisim sesuatu jasad terpumpun.

Benar Palsu

(b) Sentroid bagi bentuk yang mempunyai dua paksi simetri adalah titik
persilangan paksi-paksi tersebut.

Benar Palsu

(c) Sentroid merupakan satu kriteria penting dalam penentuan sifat keratan.

Benar Palsu

(d) Sekiranya keratan mempunyai paksi simetri y-y, hanya jarak y perlu dikira.

Benar Palsu

8.2 Nyatakan jarak y ke sentroid suatu keratan semi bulatan dengan jejari r.

_____________
8.3 Lakarkan kedudukan sentroid bagi bentuk keratan pada rajah 8.10.

Rajah 8.10: Keratan Simetri

8.4 Tentukan kedudukan sentroid bagi keratan segiempat tepat yang mempunyai
ukuran 50mm lebar dan 100mm dalam.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR C 2007 / UNIT 8 / 15

MAKLUMBALAS AKTIVITI 8A

8.1 (a) Palsu
(b) Benar
(c) Benar
(d) Palsu

8.2 y = 4 r

3

8.3

8.4 y = b

2

= 50 = 25mm#

2

x= h

2

= 100 = 50mm#

2

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 16

INPUT 8B SIFAT-SIFAT KERATAN

8.3 MOMEN LUAS KEDUA

Momen luas kedua juga di kenali sebagai momen sifat tekun. Momen luas
kedua melambangkan kekukuhan sesuatu bentuk luasan. Ianya ditakrifkan
sebagai momen dari momen luas pertama. Antara lain, momen luas kedua
merupakan luasan didarab dengan kuasa dua lengan momen terhadap sesuatu
paksi. Nilainya tidak sama bagi paksi yang berlainan.

y  dA

x

y

x

Rajah 8.11 : Unsur Luas A

Momen luas kedua terhadap paksi x;

Ix =  2

y dA

A

Momen luas kedua terhadap paksi y;

Iy =  2

x dA

A

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

Bentuk A (mm2) Ipg C 2007 / UNIT 8 / 17

Ixx

bh bh 3 bh 3

12 3

bh bh 3 bh 3
2 36 12

 r2 d 4 d 4
64 32

 rr 2 0.11r4 r 4
2 8

Rajah 8.12 : Momen Luas Kedua Bentuk Lazim

Nota :
Ipg = Asalan paksi-paksi terletak di sentroid
Ixx = Asalan paksi-paksi terletak di penjuru

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 18

Di dalam merekabentuk sesuatu anggota struktur, keupayaan sesuatu anggota
menanggung beban merupakan faktor yang penting. Nilai momen luas kedua
merupakan antara faktor yang utama bagi memastikan kemampuan anggota
struktur menanggung beban kenaan. Pertimbangkan dua keratan rasuk
segiempat tepat berikut;

b bx x
hx x
h
(i) (ii)

bh 3 hb 3
Ix’ = Ix’ =

12 12

Rajah 8.13 : Keratan Segiempat Tepat

Kedua-dua rasuk mempunyai luas keratan yang sama, namun nilai momen
luas kedua, Ipg yang berbeza. Keratan yang pertama memberi nilai momen
luas kedua yang lebih besar, dengan itu ianya lebih kukuh dari bentuk yang
kedua. Bagi tujuan perbandingan, pertimbangkan keratan bagi bentuk pada
rajah 8.14.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 19

Bentuk rasuk Luas keratan Momen luas kedua
rentas I = 66.7 x 106 mm4
100 mm
200 mm A = 20 x 103 mm2

40 mm

300 mm A = 20 x 103 mm2 I = 172.2 x 106 mm4
I = 228.4 x 106 mm4
40 mm I = 191.7 x 106 mm4
240 mm

100 mm

50 mm

300 mm A = 20 x 103 mm2
50 mm

100 mm

50 mm

A = 20 x 103 mm2

200mm

50 mm

Rajah 8.14 : Bentuk Keratan Sama Luas

Daripada rajah 8.14 kita dapati luas keratan
rasuk yang sama tetapi memberi nilai momen
luas kedua yang berbeza. Jelas, bentuk
keratan mempengaruhi nilai momen luas
kedua dan seterusnya keupayaan rasuk
menanggung beban.

??? Keratan manakah merupakan
keratan yang paling kukuh????

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 20

8.3.1 Teorem Paksi Selari

Teorem paksi selari menyatakan bahawa momen luas kedua terhadap
sesuatu paksi mempunyai kaitan dengan momen luas kedua pada paksi
sentroid sesuatu luas keratan. Momen luas kedua terhadap sebarang
paksi andaian dalam arah x di berikan oleh;

Ix =  2 --------- (i)

y dA

A

Pertimbangkan satu luasan seperti berikut

y  dA
x’
y’ *S 
y Paksi sentroid 


d



x

Rajah 8.15 : Unsur Luasan A

 Kedudukan paksi sentroid x’ yang melalui titik sentroid, s adalah
selari dengan paksi x.

 d, merupakan jarak antara dua paksi i.e paksi x dan paksi sentroid.
 Jarak luas satu unsur kecil dA dari paksi x ialah y = y’ + d
 Dari persamaan (i), jika y di ganti dengan y’ + d , maka;

Ix =  ( y ' d ) 2 dA --------(ii)

A

=  y ' 2 dA  2 d  y ' dA  d 2  dA

A AA

Dari persamaan (ii):-

 Kamiran pertama :- Momen luas kedua melalui paksi sentroid
 Kamiran kedua :- Memberi nilai sifar kerana jumlah momen pada

paksi yang melalui sentroid adalah sifar.
 Kamiran ketiga :- Jumlah luas A

Oleh itu:-
Ix = Ipg + Ad2

*Nota : Teorem paksi selari hanya boleh digunapakai sekiranya salah
satu daripada paksi adalah paksi sentroid.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 21

8.4 MODULUS KERATAN

Takrifan: Nisbah di antara nilai momen luas kedua sekitar paksi sentroid
bagi sesuatu keratan dengan jarak terjauh diantara paksi sentroid
dengan bahagian bawah/atas keratan.

Lazimnya simbol yang digunakan adalah Z.

Pertimbangkan keratan segiempat tepat dengan lebar, b dan tinggi, d seperti

pada rajah 8.16. y

d
xx

y
b

Rajah 8.16 : Keratan Rasuk

Anggap Ix sebagai momen luas kedua sekitar paksi xx.

 Zx = Momen luas kedua terhadap paksi sentroid
Jarak terjauh keratan dengan paksi sentroid

= I xx ( di mana b/2 merupakan jarak sentroid terjauh ke hujung keratan @ ymak)

b
2

@

Z= I

y max

Marilah mencuba penyelesaian
masalah berhubung momen luas
kedua.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 22

PENYELESAIAN Mengira momen luas kedua bentuk geometri asas
MASALAH 8e

Kirakan momen luas kedua bagi segiempat tepat melalui paksi x.(Rajah 8.17)

25mm

Rajah 8.17

100mm

x

Penyelesaian

Bagi segiempat tepat, momen luas kedua sekitar paksi sentroid;

Ipg = bh 3

12

25 x100 3

=

12

= 2.08 x 106 mm4

Dengan teorem paksi selari;
Ix = Ipg + Ad2
= (2.08 x 106) + (100 x 25 x 502)

= 8.33 x 106 mm4 #
______________________________________________________

PENYELESAIAN Mengira momen luas kedua bentuk geometri asas
MASALAH 8f

Kirakan momen luas kedua bagi bentuk keratan segitiga kakisama melalui
paksi x.

Rajah 8.18 50mm

x

50mm

Penyelesaian Dengan teorem paksi selari;
Ix = Ipg + Ad2
Bagi segitiga kakisama,
 50  2
Ipg = bh 3  3 
= 1.74 x 105 +( 1 x 50 x 50 )
36 2

50 x 50 3 = 5.21 x 105 mm4 #

=

36

= 1.74 x 105 mm4

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 23

PENYELESAIAN Menentukan momen luas kedua bentuk ‘T’
MASALAH 8g

Kirakan momen luas kedua bagi keratan ‘T’, sekitar paksi sentroid (rajah
8.19)

100mm

10mm

100mm 10mm

x

Rajah 8.19: Keratan ‘T’

Penyelesaian

(i) Bahagikan keratan ‘T’ kepada dua komponen segiempat tepat.
(ii) Tentukan kedudukan sentroid.

Tips… 1
Bagi memudahkan kiraan sentroid,
penyelesaian boleh dibuat dengan 2 y2
menggunakan jadual y1
x
Tips…
Keratan T menpunyai paksi simetri pada
paksi y, dengan itu x tidak perlu dicari.

Komponen A (mm2) y (mm) Ay
1 100 x 10 100 + 10/2 1000 x 105
2 = 1000 = 105 = 105 000
100 x 10 100  2 1000 x 50
= 1000 = 50 = 50 000

 2000 155 000

 Ay
y =

A

155000
=

2000

= 77.5 mm

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 24

(iii) Menentukan momen luas kedua untuk dua komponen keratan ‘T’.
Komponen 1

Ipg = bh 3

12

= 100 x10 3

12

= 8.33 x 103 mm4

Dari teorem paksi selari ;
Ipg1 = Ipg + Ad2

= 8.33 x 103 + [1000 x (105 – 77.5)2]
= 7.65 x 105 mm4

Komponen 2

Ipg = bh 3

12

= 10 x100 3

12

= 8.33 x 105 mm4

Dari teorem paksi selari ;
Ipg2 = Ipg + Ad2

= 8.33 x 105 + [1000 (77.5 – 50)2]
= 1.59 x 106 mm4

Momen luas kedua sekitar paksi sentroid;

Ipg = Ipg1 + Ipg2
= 7.65 x 105 + 1.59 x 106
= 23.55 x 105 mm4 #

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 25

PENYELESAIAN Menentukan momen luas kedua keratan ‘I’
MASALAH 8h

__________________________________________________________________

Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi satu rasuk keratan – I

seperti rajah 8.20. 60mm

20mm

20mm 100mm

20mm

100mm
Rajah 8.20 : Keratan -I

Penyelesaian

(i) Bahagikan keratan-I kepada tiga komponen segiempat.
(ii) Tentukan kedudukan sentroid.

1

2

3

x
- Anggap y, sebagai jarak sentroid bagi setiap komponen dengan bahagian

tapak keratan, paksi x.
- Anggap y sebagai jarak sentroid keratan-I dengan tapak keratan, paksi x

Komponen 1
A1 = 60 x 20

= 1200 mm2

y1 = 20 + 100 + 20 2
= 130 mm

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 26

sambungan…… = 5.79 x 106 mm4
Komponen 2
A2 = 100 x 20 Komponen 2
= 2000 mm2
Ipg2 = 20 x100 3
y2 = 20 + 100 2
= 70 mm 12

Komponen 3 = 1.67 x 106mm4
A3 = 100 x 20
Dari teorem paksi selari;
= 2000 mm2 Ix2 = Ipg + Ad2

y3 = 20 2 = 1.67 x 106 +[2000 (70-60.77)2]
= 10 mm = 1.84 x 106 mm4

Dengan itu; Komponen 3

y= A1Y  A2Y2  A3Y3 Ipg3 = 100 x 20 3

1 12

A1  A 2  A3 = 6.67 x 104mm4

= (1200 x130 )  ( 2000 x 70 )  ( 2000 x10 ) Dari teorem paksi selari;
Ix3 = Ipg + Ad2
1200  2000  2000
= 6.67 x 104 +[2000(60.77-10)2]
= 60.77 mm = 5.22 x 106 mm4

(iii) Momen luas kedua Momen luas kedua keratan-I sekitar
paksi sentroid;
Komponen 1
Ipg1 = bd 3 Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3

12 = (5.79 x 106) +(1.84 x 106) + (5.22 x 106)
= 1.285 x 107 mm4 #

= 60 x 20 3

12

= 40 x 103 mm4

Dari teorem paksi selari; SEKIRANYA TELAH BERSEDIA, ANDA
Ix1 = Ipg + Ad2 BOLEH MENCUBA SOALAN-SOALAN

= 40 x 103 + [1200 x (130 – 60.77)2] AKTIVITI YANG DISEDIAKAN

BERIKUTNYA.

* Unit 8 mempunyai perkaitan rapat dengan unit 9, pastikan
anda dapat menguasai kiraan momen luas kedua.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 27

AKTIVITI 8B

 SEBELUM MENERUSKAN KE INPUT YANG BERIKUTNYA,
SILA UJI KEFAHAMAN ANDA.

 SILA SEMAK JAWAPAN ANDA PADA MAKLUMBALAS DI

HALAMAN BERIKUTNYA.

8.5 Benar – Palsu [ Tandakan  pada kotak yang berkenaan ]

(a) Momen luas kedua menunjukkan kekukuhan sesuatu keratan.

Benar Palsu

(b) Teorem paksi selari hanya boleh digunapakai sekiranya salah satu paksi
keratan adalah paksi sentroid.

Benar Palsu

(c) Momen luas kedua adalah salah satu kriteria untuk menentukan ketahanan
sesuatu bentuk keratan menahan lenturan

Benar Palsu
(d) Keratan segiempat tepat lebih kukuh dari keratan –T.

Benar Palsu

8.6 Bandingkan dua keratan rasuk berikut dan nyatakan keratan manakah yang

lebih kukuh. b

hx x bx x

h

(a) (b)

8.7 Kirakan momen luas kedua bagi keratan segiempat tepat sekitar paksi
sentroid. Keratan tersebut mempunyai ukuran 60mm lebar dan 40mm dalam.

8.8 Tentukan modulus keratan bagi keratan pada (8.3).

8.9 Kirakan momen luas kedua bagi keratan bulat bergarispusat 40mm terhadap
paksi sentroid.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR C 2007 / UNIT 8 / 28

MAKLUMBALAS AKTIVITI 8B

8.5 (a) Benar
(b) Benar
(c) Benar
(d) Palsu

8.6 Keratan (a)
8.7 Ix = 7.2 x 105 mm4

Iy = 3.2 x 105 mm4
8.8 Zx = 3.6 x 104 mm3

Zy = 1.6 x 104 mm3
8.9 125.7 x 103 mm4

_______________________________________________________________________________________________________

SEKIRANYA ANDA TELAH YAKIN , ANDA BOLEH
MENCUBA PENILAIAN KENDIRI BERIKUTNYA.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 29

ANDA DIGALAKKAN MEMBUAT RUJUKAN
TAMBAHAN

PENILAIAN KENDIRI

1. Satu per empat daripada keratan rasuk 50mm x 50mm seperti rajah di bawah
telah di potong. Tentukan kedudukan sentroid dan nilai momen luas kedua
sekitar paksi sentroid.

2. Kirakan momen luas kedua bagi keratan T di sekitar paksi sentroid. Tentukan
juga modulus keratan bagi keratan tersebut.

120mm 15mm

15mm

90mm

3. Tentukan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan yang
ditunjukkan di bawah. Keratan tersebut mempunyai lubang bergarispusat
15mm.

30mm

20mm
20mm

40mm

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 30

4. Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan rasuk H di
bawah.

40mm

5mm

70mm

10mm 10mm

5. Kirakan momen luas kedua sekitar paksi sentroid bagi keratan pembentung
kekotak di bawah.

15mm

15mm

75mm

50mm

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 31

- SELAMAT MENCUBA –

MAKLUMBALAS PENILAIAN KENDIRI

Anda digalakkan membuat rujukan tambahan dan menyemak
jawapan dengan pensyarah.

http://modul2poli.blogspot.com/

TEGASAN LENTUR

C 2007 / UNIT 8 / 32

___________________________________________________________
SEKIRANYA ANDA TELAH BERJAYA MENJAWAB

DENGAN BETUL, MARILAH BERPINDAH KE UNIT 9

http://modul2poli.blogspot.com/