คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

50 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 1.3

ค�ำ ช้แี จง เฉลยแบบฝกึ หดั ชดุ น้ี ไมไ่ ดแ้ สดงการแกร้ ะบบสมการโดยละเอยี ดและไมไ่ ดแ้ สดงการตรวจสอบค�ำ ตอบ แตค่ รคู วรย�ำ้
ให้นักเรียนตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตสุ มผลของค�ำ ตอบจากเงอื่ นไขในโจทยท์ กุ ครั้ง

1. แนวคิด ให ้ x แทนจำ�นวนจ�ำ นวนหนง่ึ

y แทนจำ�นวนอีกจำ�นวนหนึ่ง

ครง่ึ หนงึ่ ของจำ�นวนหนึ่งเปน็ สามเท่าของจำ�นวนอกี จ�ำ นวนหน่ึง

จะไดส้ มการเปน็ –21(x) = 3y 1

ส่เี ท่าของผลตา่ งของสองจ�ำ นวนนนั้ เป็น 50

จะได้สมการเปน็ 2 กรณี คือ ก. 4(x – y) = 50

หรือ ข. 4(y – x) = 50

กรณี ก. ให้ 4(x – y) = 50 2
3
จากสมการ 1 x = 6y

แทน x ด้วย 6y ในสมการ 2 จะได้

4(6y – y) = 50

4(5y) = 50

y = –25
x = 6 –25
แทน y ดว้ ย

( )
–25 ในสมการ 3 จะได้

x = 15

กรณี ข. ให ้ 4(y – x) = 50 2
3
จากสมการ 1 x = 6y

แทน x ดว้ ย 6y ในสมการ 2 จะได้

4(y – 6y) = 50

4(-5y) = 50

y = - 5–2

แทน y ด้วย - –52 ในสมการ 2 จะได้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 51

( )x = 6 - –52

x = -15

นั่นคือ จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนนน้ั เป็น 15 และ 5–2 หรือ -15 และ - –52

2. แนวคิด ให ้ x แทนเลขโดดในหลกั สิบ

y แทนเลขโดดในหลกั หนว่ ย

เลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลกั หน่วยอยู่ 4

จะได้สมการเปน็ x – y = 4 1

จ�ำ นวนทมี่ สี องหลักทก่ี ล่าวถึงคอื 10x + y

เมอื่ สลบั ทีเ่ ลขโดดท้งั สองจะได้จำ�นวนใหมเ่ ปน็ 10y + x

ผลบวกของจ�ำ นวนนี้กบั จำ�นวนทีไ่ ด้จากการสลับที่เลขโดดเปน็ 154

จะได้สมการเป็น (10x + y) + (10y + x) = 154

11x + 11y = 154

x + y = 14 2

1 + 2 ; 2x = 18

x = 9

แทน x ด้วย 9 ในสมการ 2 จะได้

9 + y = 14

y = 5

ดงั นน้ั จ�ำ นวนนน้ั คอื 95

3. แนวคิด ให้ x แทนขนาดของมุมภายในมุมหนึ่งของรปู สามเหล่ียม

y แทนขนาดของมมุ ภายในอีกมุมหนึ่งของรูปสามเหลีย่ มทีเ่ ลก็ กวา่

ผลบวกของขนาดของมุมภายในสองมมุ ของรูปสามเหลีย่ มเป็น 137 องศา

จะได้สมการเป็น x + y = 137 1

และผลต่างของขนาดของมุมสองมมุ นีเ้ ป็น 73 องศา

จะไดส้ มการเปน็ x – y = 73 2

1 + 2 ; 2x = 210

x = 105

แทน x ด้วย 105 ในสมการ 1 จะได้

105 + y = 137

y = 32

ดังน้ัน มมุ ภายในที่เหลอื อีกหน่งึ มมุ มขี นาด 180 – (105 + 32) = 43 องศา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

52 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4. แนวคิด ให้ x แทนจ�ำ นวนเหรียญชนดิ สบิ บาท คดิ เป็นเงนิ 10x บาท

y แทนจ�ำ นวนเหรียญชนดิ หน่ึงบาท คิดเปน็ เงิน y บาท

ตก๊ิ สะสมเหรยี ญชนดิ สบิ บาทและหนง่ึ บาท รวมกันได้ 200 เหรียญ

จะได้สมการเปน็ x + y = 200 1

เหรยี ญชนิดสิบบาท และหนึ่งบาท คดิ เปน็ เงนิ รวมกัน 920 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 10x + y = 920 2

2–1; 9x = 720

x = 80

แทน x ด้วย 80 ในสมการ 1 จะได้

80 + y = 200

y = 120

ดังนั้น ต๊กิ มเี หรยี ญชนดิ สบิ บาท 80 เหรียญ และมีเหรียญชนดิ หนึง่ บาท 120 เหรยี ญ

5. แนวคิด ให้ x แทนความยาวด้านของรูปสเี่ หล่ียมจัตรุ ัส

y แทนความยาวด้านของรปู สามเหล่ียมด้านเทา่

ดา้ นของรูปส่ีเหลยี่ มจตั ุรสั ยาวกว่าดา้ นของรปู สามเหลยี่ มด้านเท่าอยู่ 4 เซนติเมตร

จะไดส้ มการเป็น x – y = 4 1

ความยาวรอบรปู ของรูปสเ่ี หลี่ยมจัตรุ ัสมากกวา่ ความยาวรอบรปู ของรปู สามเหล่ียมด้านเทา่

อยู่ 24 เซนติเมตร

จะได้สมการเปน็ 4x – 3y = 24 2

จากสมการ 1 x = 4 + y 3

แทน x ด้วย 4 + y ในสมการ 2 จะได้

4(4 + y) – 3y = 24

16 + 4y – 3y = 24

y = 8

แทน y ด้วย 8 ในสมการ 3 จะได้

x = 4 + 8

x = 12

ดังน้นั ความยาวรอบรูปของรปู สี่เหลี่ยมจตั ุรัสเปน็ 4(12) = 48 เซนติเมตร

และความยาวรอบรูปของรูปสามเหลีย่ มดา้ นเทา่ เป็น 3y = 3(8) = 24 เซนตเิ มตร

นนั่ คอื ดา้ นของรปู สเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ยาว 12 เซนตเิ มตร และดา้ นของรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ยาว 8 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 53

6. แนวคิด ให ้ x แทนจำ�นวนนกกระจาบทั้งหมด

y แทนจ�ำ นวนดอกบัวท้ังหมด

ถ้านกจบั ดอกบัวดอกละ 1 ตวั จะตอ้ งมีนกท่จี บั ดอกบัวอยู่ y ตวั

แตโ่ จทยก์ �ำ หนดว่า เหลือนก 1 ตัว ท่ีไม่มีดอกบัวให้จบั

จะไดส้ มการเปน็ x – y = 1 1

ถา้ นกจบั ดอกบัวดอกละ 2 ตัว จะมดี อกบวั ท่ีนกจับอยู่ 2–x ดอก 2
3
แต่โจทย์ก�ำ หนดวา่ เหลอื ดอกบัว 1 ดอก ท่ีไม่มีนกจับ

จะไดส้ มการเป็น y – 2–x = 1

2 × 2 ; 2y – x = 2

1 + 3 ; y = 3

แทน y ดว้ ย 3 ในสมการ 1 จะได้

x – 3 = 1

x = 4

ดงั นั้น ในสระนี้มีดอกบวั 3 ดอก และนกกระจาบ 4 ตัว

7. แนวคิด ให้ x แทนเงินท่หี นูนิดออมไวไ้ ด้

y แทนเงนิ ทห่ี นนู าออมไว้ได้

–จ32ะขไดอส้งเมงกินาทรีห่ เปนน็ ูน าออมไดม้ ากก–32วyา่ ค–รง่ึ –21หxน ่งึ ข=อ งเง1ิน0ท ่ีหนนู ิดออมไดอ้ ยู่ 10 บาท 1


หนูนดิ น�ำ เงินรางวัล 1,000 บาท มารวมกบั เงนิ ทีอ่ อมไว้ ท�ำ ใหเ้ ธอมีเงินเปน็ สามเท่าของเงนิ ของหนนู า

จะได้สมการเป็น x + 1,000 = 3y 2

1 × 6 ; 4y – 3x = 60 3

จากสมการ 2 ; x – 3y = -1,000 4

4 × 3 ; 3x – 9y = -3,000 5

3 + 5 ; -5y = -2,940

y = 588

แทน y ดว้ ย 588 ในสมการ 2 จะได้

x + 1,000 = 3(588)

x = 764

นั่นคือ หนนู ดิ ออมเงินได้ 764 บาท และหนนู าออมเงินได้ 588 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

54 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

8. แนวคิด ให ้ x แทนเงนิ ทว่ี มิ ลน�ำ ไปฝากธนาคาร

y แทนเงินที่วมิ ลนำ�ไปลงทุนเพ่ือรับเงนิ ปันผล

วิมลมีเงินเก็บอยู่ 120,000 บาท

จะไดส้ มการเปน็ x + y = 120,000 1

ส่วนท่ีฝากธนาคารได้รบั ดอกเบยี้ 2% และสว่ นทลี่ งทนุ ได้รบั เงนิ ปันผล 4%

สนิ้ ปมี ีรายไดร้ วมกัน 4,000 บาท

จะไดส้ มการเป็น —1020x + 1—040y = 4,000 2
หรอื
x + 2y = 200,000

2 – 1 ; y = 80,000

แทน y ดว้ ย 80,000 ในสมการ 1 จะได้

x + 80,000 = 120,000

x = 40,000

ดังนัน้ วมิ ลนำ�เงินไปฝากธนาคาร 40,000 บาท และนำ�เงินไปลงทนุ เพือ่ รบั เงนิ ปันผล 80,000 บาท

9. แนวคดิ ใหก้ อ้ งขบั รถยนตจ์ ากเมอื งดาหลาไปถงึ จดุ ทป่ี อตามกอ้ งทันใช้เวลา x ชวั่ โมง
และปอขับรถยนต์จากเมืองดาหลาไปถึงจุดทป่ี อตามก้องทนั ใชเ้ วลา y ชวั่ โมง
เขยี นแผนภาพประกอบแสดงรายละเอียดของโจทย์ปญั หาได้ดงั นี้

กอ้ ง เวลา x ชว่ั โมง จดุ ท่ีปอตามก้องทนั
อัตราเร็ว 60 กิโลเมตรตอ่ ช่วั โมง
เมอื งดาหลา
ปอ เวลา y ช่วั โมง
อตั ราเร็ว 60 + 20 = 80 กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 55

ใชค้ วามสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา และสร้างตารางวเิ คราะหโ์ จทยด์ ังน้ี

สถานการณ์ เวลา อตั ราเร็ว ระยะทาง
(ชัว่ โมง) (กิโลเมตรต่อช่ัวโมง) (กิโลเมตร)

ก้องขบั รถ x 60 60x
ปอขับรถ y 80 80y

เน่ืองจาก กอ้ งใชเ้ วลาในการเดินทางมากกว่าปอ 1 ชั่วโมง

จะได้สมการเปน็ x – y = 1 1

และเนื่องจาก ระยะทางท่ีทงั้ สองคนขบั รถยนต์ได้เทา่ กนั 2
3
จะไดส้ มการเป็น 60x = 80y 4

จากสมการ 2 ; 60x – 80y = 0

1 × 60 ; 60x – 60y = 60

4 – 3 ; 20y = 60

y = 3

แทน y ดว้ ย 3 ในสมการ 1 จะได้

x – 3 = 1

x = 4

นน่ั คอื ก้องขบั รถ 4 ชว่ั โมง และปอขับรถ 3 ชว่ั โมง

เนือ่ งจาก ปอเรม่ิ ขบั รถเม่ือเวลา 09:30 น.

ดังนั้น ปอจะขับรถทันก้องเม่ือเวลา 12:30 น.

10. แนวคดิ ใหส้ มนกึ ขบั รถจากปากทางสวนสัตว์ ไปเขตพนื้ ทยี่ รี าฟด้วยอัตราเร็ว x กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง
และสมนึกขบั รถจากเขตพ้ืนทย่ี ีราฟไปเขตพ้นื ที่ช้างด้วยอัตราเรว็ y กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง
เขียนแผนภาพประกอบแสดงรายละเอียดของโจทยป์ ญั หาไดด้ ังนี้

อัตราเรว็ x กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง อตั ราเร็ว y กโิ ลเมตรตอ่ ชวั่ โมง
เวลา 45 นาที = –34 ชัว่ โมง เวลา 12 นาที = –51 ชว่ั โมง

5 กโิ ลเมตร

ปากทางสวนสตั ว์ เขตพน้ื ทีย่ รี าฟ เขตพ้นื ทชี่ า้ ง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

56 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ใชค้ วามสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อัตราเรว็ × เวลา และสรา้ งตารางวเิ คราะหโ์ จทย์ได้ดังน้ี

สถานการณ์ เวลา อตั ราเร็ว ระยะทาง
(ช่วั โมง) (กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง) (กิโลเมตร)
สมนกึ ขบั รถจากปากทางสวนสัตว์ไปเขตพ้ืนที่ยรี าฟ
สมนกึ ขบั รถจากเขตพ้ืนท่ยี ีราฟไปเขตพ้ืนทีช่ ้าง 3–4 x –43x
51– y –51y

เนือ่ งจาก สมนกึ ขับรถจากเขตพน้ื ท่ียีราฟไปเขตพนื้ ท่ชี า้ งโดยใชอ้ ตั ราเร็วลดลง 10 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง

จะได้สมการเปน็ x – y = 10 1

และเนือ่ งจาก เขตพ้นื ทช่ี ้างอยไู่ กลกวา่ เขตพน้ื ทยี่ ีราฟ 5 กิโลเมตร
–51y = 5
จะได้สมการเป็น 2

จากสมการ 2 ; y = 25

แทน y ด้วย 25 ในสมการ 1 จะได้

x – 25 = 10

x = 35

ดงั น้ัน 1) สมนึกขับรถจากปากทางสวนสตั ว์ไปเขตพน้ื ที่ยรี าฟด้วยอตั ราเรว็ 35 กโิ ลเมตรต่อช่วั โมง

2) เนื่องจาก สมนกึ ขบั รถจากปากทางสวนสตั ว์ไปเขตพน้ื ที่ยรี าฟโดยใช้เวลา 45 นาที

จะได้ ระยะทางระหวา่ งปากทางสวนสัตว์กบั เขตพนื้ ทย่ี ีราฟเป็น

46—50(35) = 26.25 กโิ ลเมตร

11. แนวคดิ ให้กอ้ ยขบั รถยนต์ดว้ ยอัตราเร็ว x กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง
และตนู ขบั รถยนตด์ ว้ ยอตั ราเร็ว y กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง
เขยี นแผนภาพประกอบแสดงรายละเอียดของโจทยป์ ญั หาได้ดังน้ี

ก้อย อตั ราเรว็ x กิโลเมตรต่อชวั่ โมง อตั ราเรว็ y กโิ ลเมตรตอ่ ชัว่ โมง ตนู
เมอื งนครบรุ ี เวลา 40 + 5 นาที = –43 ช่ัวโมง เวลา 40 นาที = 3–2 ช่ัวโมง เมืองพรรณสมี า

จุดนัดพบ
(รา้ นอาหารอร่อยเหาะ)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 57

ใชค้ วามสมั พันธ์ ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา และสร้างตารางวเิ คราะหโ์ จทย์ได้ดังนี้

สถานการณ์ เวลา (ชัว่ โมง) อตั ราเร็ว (กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง) ระยะทาง (กโิ ลเมตร)

กอ้ ยขบั รถยนต์ –43 x –43x
ตนู ขับรถยนต์ –32 y –32y

เนอื่ งจาก ตูนขับรถยนตด์ ว้ ยอัตราเร็วมากกว่ากอ้ ย 10 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง

จะได้สมการเปน็ y – x = 10 1

เนอ่ื งจาก รา้ นอาหาร “อร่อยเหาะ” อยกู่ ึ่งกลางของระยะทางระหวา่ งเมืองนครบรุ ี 2
3
และเมืองพรรณสีมา แสดงว่าระยะทางที่แตล่ ะคนขับรถเท่ากนั

จะได้สมการเป็น 4–3x = –32y
จากสมการ 1 ; y = x + 10

แทน y ด้วย x + 10 ในสมการ 2 จะได้

43–x = –23 (x + 10) 4
9x = 8x + 80
4 × 12 ;

x = 80

แทน x ดว้ ย 80 ในสมการ 3 จะได้

y = 80 + 10

y = 90

ดังนนั้ 1) อัตราเร็วของรถยนตข์ องก้อยและตนู คอื 80 และ 90 กโิ ลเมตรต่อช่วั โมง ตามล�ำ ดบั

2) ระยะทางระหวา่ งเมืองนครบรุ แี ละเมอื งพรรณสมี าเทา่ กับ 60 + 60 = 120 กิโลเมตร

12. แนวคิด ให้ ใชเ้ ครื่องดมื่ ท่มี ชี านม 80% จ�ำ นวน x ลิตร ผสมกับเคร่ืองดมื่ ทม่ี ชี านม 50% จ�ำ นวน y ลติ ร
ต้องการเครือ่ งดื่มผสมเปน็ สูตรพเิ ศษประจ�ำ สัปดาห์ 5 ลติ ร

จะได้สมการเปน็ x + y = 5 1

เครือ่ งดมื่ ทมี่ ีชานม 80% จ�ำ นวน x ลติ ร จะมีชานมอยู่ 1—8000x = 0.8x ลติ ร
เคร่ืองด่มื ทมี่ ีชานม 50% จ�ำ นวน y ลิตร จะมีชานมอยู่ 1—5000y = 0.5y ลติ ร

จะได้ เครือ่ งดืม่ ผสมทมี่ ีชานมท้ังหมด 0.8x + 0.5y ลิตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

58 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ต้องการเคร่ืองดื่มผสมจำ�นวน 5 ลิตร ทมี่ ชี านม 60% จะมชี านม —16000 × 5 = 3 ลติ ร

จะไดส้ มการเปน็ 0.8x + 0.5y = 3 2
2 × 10 ; 8x + 5y = 30 3
1 ×5 ; 5x + 5y = 25 4

3 – 4 ; 3x = 5

x = –53
จะได้
แทน x ดว้ ย –53 ในสมการ 1

–53 + y = 5

y = 1—30

ดังน้นั กรกัณฑ์ต้องใช้เครื่องดื่มที่มีชานม 80% ผสมกับเคร่ืองด่ืมที่มีชานม 50% จำ�นวน 3–5 ลิตร และ
1—30 ลติ ร ตามลำ�ดับ

13. แนวคดิ 1 ให้ขา้ วปัน้ ซ้ืออาหารนกสำ�เร็จรูป x กิโลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 50 บาท คดิ เปน็ เงนิ 50x บาท
และซอื้ เมลด็ ทานตะวัน y กิโลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 65 บาท คดิ เปน็ เงนิ 65y บาท
ดงั นัน้ อาหารนกสูตรใหม่ x + y กิโลกรมั คิดเปน็ ต้นทนุ 50x + 65y บาท
ขายอาหารนกสูตรใหม่ x + y กิโลกรัม ในราคากโิ ลกรมั ละ 70 บาท ได้เงิน 70(x + y) บาท

จะไดก้ �ำ ไร 70(x + y) – (50x + 65y) บาท

แตไ่ ด้ก�ำ ไร 10% คดิ เป็นเงนิ 1—1000 (50x + 65y) บาท
จะไดส้ มการเป็น 70(x + y) – (50x + 65y) = 1—1000 (50x + 65y)

70x + 70y – 50x – 65y = 5x + 6.5y

15x = 1.5y
y–x = 1—10

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 59

แนวคดิ 2 ใหข้ า้ วปน้ั ซอื้ อาหารนกสำ�เรจ็ รปู x กิโลกรัม ราคากโิ ลกรัมละ 50 บาท คดิ เป็นเงนิ 50x บาท

และซือ้ เมลด็ ทานตะวัน y กิโลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 65 บาท คิดเปน็ เงิน 65y บาท

ดังนั้น อาหารนกสตู รใหม่ x + y กิโลกรมั คดิ เป็นตน้ ทุน 50x + 65y บาท

ขายอาหารนกสตู รใหมก่ โิ ลกรัมละ 70 บาท จ�ำ นวน x + y กิโลกรัม ไดเ้ งิน 70(x + y) บาท

ดังน้นั อตั ราสว่ นของราคาขายตอ่ ต้นทุนเป็น 70(x + y) : 50x + 65y

ตอ้ งการก�ำ ไร 10% หมายความวา่ ขายได้เงนิ 110 บาท จากต้นทุน 100 บาท

ดงั นน้ั อัตราส่วนของราคาขายตอ่ ตน้ ทนุ เป็น 110 : 100

เขยี นสัดส่วนได้ดังน้ี 5  700x(x++65yy)   = 110
100

100[70(x + y)] = 110(50x + 65y)

7,000x + 7,000y = 5,500x + 7,150y

1,500x = 150y
y–x = 1—10

ดงั นน้ั อัตราสว่ นของอาหารนกส�ำ เร็จรูปตอ่ เมลด็ ทานตะวันเปน็ 1 : 10 โดยน้ำ�หนกั

14. แนวคิด ให้ x แทนจ�ำ นวนถงุ ของขนมชนิดท่หี นง่ึ ทซ่ี ื้อมา
y แทนจำ�นวนถงุ ของขนมชนิดทีส่ องท่ซี ือ้ มา
ฐากูรจัดขนมท้งั สองชนดิ นแี้ บ่งใส่ถุงในอตั ราส่วนโดยนำ�้ หนัก 1 : 4
เน่อื งจาก ขนมที่ซ้ือมาและขนมที่ขายไปหนกั เท่ากันทุกถุง
แสดงว่า ซอื้ มา x + y ถงุ ต้องมีขนมวางขาย x + y ถงุ
แตล่ ะถุงจะมขี นมสองชนดิ ในอัตราส่วนโดยน�้ำ หนัก 1 : 4
แสดงว่า x : y = 1 : 4 หรือ y : x = 1 : 4

กรณีที่ 1 x : y = 1 : 4

จะไดส้ มการเปน็ –xy = 4–1 1
4x = y

ขนมชนดิ ทหี่ นงึ่ ราคาถงุ ละ 30 บาท ขนมชนิดที่สองราคาถงุ ละ 20 บาท

ฐากูรจดั ขนมสองชนิดแบง่ ใส่ถงุ ขายราคาถุงละ 40 บาท เม่ือขายหมดไดก้ ำ�ไร 360 บาท

จะไดส้ มการเป็น 40(x + y) – (30x + 20y) = 360 2

หรือ 40x + 40y – 30x – 20y = 360

10x + 20y = 360 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

60 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คูม่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

แทน y ดว้ ย 4x ในสมการ 3 จะได้

10x + 20(4x) = 360

90x = 360

x = 4

แทน x ด้วย 4 ในสมการ 1 จะได้

4(4) = y

y = 16

กรณที ่ี 2 y : x = 1 : 4

จะไดส้ มการเปน็ –xy = –14 1
x = 4y

ขนมชนดิ ทีห่ นึง่ ราคาถงุ ละ 30 บาท ขนมชนดิ ที่สองราคาถุงละ 20 บาท

ฐากูรจัดขนมสองชนดิ แบ่งใสถ่ ุงขายราคาถงุ ละ 40 บาท เมื่อขายหมดได้ก�ำ ไร 360 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 40(x + y) – (30x + 20y) = 360 2

หรือ 40x + 40y – 30x – 20y = 360

10x + 20y = 360 3

แทน x ดว้ ย 4y ในสมการ 3 จะได้

10(4y) + 20y = 360

60y = 360

y = 6

แทน y ดว้ ย 6 ในสมการ 1 จะได้

x = 4(6)

x = 24

ดังนนั้ ฐากูรซอ้ื ขนมชนิดท่ีหนง่ึ และชนิดทส่ี องมาอย่างละ 4 และ 16 ถงุ ตามล�ำ ดับ หรือ 24 และ 6 ถงุ

ตามล�ำ ดับ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 61

กจิ กรรมทา้ ยบท : ระบบสมการสร้างรปู ตามจินตนาการ

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีเน้นให้นักเรียนฝึกแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยการหาคำ�ตอบของระบบสมการ
แล้วสร้างจุดให้สอดคล้องกับพิกัดท่ีเป็นคำ�ตอบของระบบสมการที่กำ�หนด ครูอาจให้นักเรียนทำ�กิจกรรมนี้นอกเวลาเรียน
โดยมีสอ่ื /อุปกรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังน้ี

ส่ือ/อปุ กรณ์

1. กระดาษกราฟ 1 แผ่น
2. ชุดโจทยร์ ะบบสมการ (ชุดละ 6 ระบบสมการ)

ข้ันตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม

1. ครแู จกกระดาษกราฟ แลว้ ใหน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมทา้ ยบทตามขน้ั ตอนในหนงั สอื เรยี น หนา้ 43 ทง้ั นค้ี รอู าจใหน้ กั เรยี น
ดาวน์โหลดชุดของโจทยร์ ะบบสมการเพม่ิ เตมิ จาก QR Code ในหนังสอื เรยี น หน้า 43

2. ครูให้นักเรียนเปรียบเทียบพิกัดท่ีเป็นคำ�ตอบของระบบสมการท่ีได้กับเพ่ือนท่ีทำ�โจทย์ชุดเดียวกัน เพื่อตรวจสอบ
ความถูกตอ้ ง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

62 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยกจิ กรรมทา้ ยบท : ระบบสมการสรา้ งรูปตามจนิ ตนาการ

โจทย์ระบบสมการ คำ�ตอบของระบบสมการ เรอื ใบแฟนซี

ระบบสมการท่ี 1 2x + y = 7 ( 2, 3 ) Y
( 5, 9 )
-2x + y = -1 ( 8, 3 ) 14
( 7, 1 )
ระบบสมการที่ 2 2x + y = 19 ( 3, 1 ) 12
( 5, 3 )
-2x + y = -1 10 (5, 9)
8
ระบบสมการท่ี 3 -2x + y = -13

2x + y = 19

ระบบสมการท่ี 4 2x + y = 15 6

y = 1 4 (2, 3) (5, 3) (8, 3)

ระบบสมการที่ 5 2x + y = 7 2

y = 1 (3, 1) (7, 1) X

-4 -2 O 2 4 6 8 10
-2
ระบบสมการที่ 6 x = 5
y = 3 -4


ชุดของโจทย์ระบบสมการสร้างรปู ตามจินตนาการเพ่มิ เติมจาก QR Code

โจทยร์ ะบบสมการ ชดุ ท่ี 1 ค�ำ ตอบของระบบสมการ บา้ นหน้าจว่ั

ระบบสมการที่ 1 y = 2 ( -4, 2 ) Y
x = -4 ( 4, 2 )
( -4, 8 )
( 4, 8 )
ระบบสมการที่ 2 -3x – 4y = -20 ( 0, 12 ) 18
( 0, 16 ) 16 (0, 16)
y = 2

ระบบสมการที่ 3 -x + y = 12 14
12 (0, 12)
-2x + y = 16

ระบบสมการที่ 4 2x + y = 16 10

x + y = 12 (-4, 8) 8 (0, 8) (4, 8)
6
ระบบสมการท่ี 5 x + y = 12 (4, 2)
4 46
-x + y = 12

ระบบสมการที่ 6 y == 3–146x + 16 (-4, 2) 2 (0, 2)
y
2x + -6 -4 -2 O 2 8 10 X
-2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 63

โจทยร์ ะบบสมการ ชดุ ที่ 2 ค�ำ ตอบของระบบสมการ ปกี ผีเส้ือหลากสี

ระบบสมการที่ 1 3x + 4y = -44 ( -8, -5 ) (-8, 11) Y
( -12, 5 )
3x – 4y = -4 ( -4, -8 ) 10
( -2, 4 ) 8
ระบบสมการที่ 2 -2x – 8y = -16 ( 0, -8 ) 6
( -8, 11 )
x = -12 (-2,44)
2
ระบบสมการที่ 3 3x + 4y = -44 (-12, 5)

-2x + 3y = -16

ระบบสมการที่ 4 x = -2

-2x + y = 8 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 O 2 X
-2
ระบบสมการที่ 5 -y + x = 8
(-8, -5) -4
-4x = 16 + 2y -6

ระบบสมการท่ี 6 2x + 2y = 6 (-4, -8) -8 (0, -8)
-10
x + 4y = 36

โจทยร์ ะบบสมการ ชุดท่ี 3 ค�ำ ตอบของระบบสมการ สปรงิ ...สปริง

ระบบสมการท่ี 1 y = x + 14 ( -4, 10 ) Y
–43x + y = 7 ( -4, 6 )
( 4, 6 )
( 4, 10 )
ระบบสมการท่ี 2 y – 6x – 30 = 0 ( -4, 2 ) (-4, 10) 12 (4, 10)
( 4, 2 ) (-4, 6) 10 (4, 6)
2y + 3x = 0 (-4, 2) (4, 2)
8
ระบบสมการที่ 3 -3x + 2y = 0 6
4
y = 6 2

ระบบสมการท่ี 4 2x + y = 18
- 2–3x + y = 4

ระบบสมการที่ 5 2y = x + 8 -8 -6 -4 -2 O 2 468 X
4y = -2x -2


ระบบสมการที่ 6 x + 2y = 8
2y – x = 0


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

64 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

โจทยร์ ะบบสมการ ชดุ ที่ 4 ค�ำ ตอบของระบบ ป.ปลา
สมการ

y + –23x = - 4 Y
y – –23x = 4
ระบบสมการที่ 1 ( -6, 0 ) 10

( 0, 4 ) 8
( 0, -4 )
ระบบสมการท่ี 2 4x + 5y = 20 ( 5, 0 ) 6 (10, 6)
( 10, 6 ) 4 (0, 4)
2x + 3y = 12 ( 10, -6 )

ระบบสมการท่ี 3 y – 0.8x = -4 2

2x + 3y = -12 (-6, 0) -2 O X
-10 -8 -6 -4 -2
ระบบสมการท่ี 4 1.2x + y – 6 = 0 2 4(5, 06) 8 10

-4x + 5y + 20 = 0 -4 (0, -4)
-6
ระบบสมการที่ 5 5y = 6x – 30 (10, -6)
y = 2x – 14
-8

ระบบสมการที่ 6 y + 1.2x = 6 -10

y + 0.2x = -4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 65

เฉลยแบบฝกึ หดั ท้ายบท

1. มีคำ�ตอบเดยี ว มีค�ำ ตอบมากมาย ไมม่ ีค�ำ ตอบ
ไม่จำ�กัด
ระบบสมการ 

1) 3x – y = 3 (1, 0)
2x + y = 2
2) 2y + 4x = 8 
2x = 10 – y (6, -14)
3) 3x + y = 4
-5x – 3y = 12 
4) 5y – 3x – 6 = 0
-6x = 12 – 10y

1) แนวคิด 3x – y = 3 1
2
2x + y = 2
1
1 + 2 ; 5x = 5 2
3
x = 1 ซง่ึ เป็นสมการท่ีไม่เปน็ จริง

แทน x ด้วย 1 ในสมการ 1 จะได้

3(1) – y = 3

y = 0

ดงั นนั้ ระบบสมการนี้มีคำ�ตอบ คอื (1, 0)

2) แนวคิด 2y + 4x = 8

2x = 10 – y

2 ×2 ; 4x = 20 – 2y

1 – 3 ; 2y = -12 + 2y

0 = -12

ดงั นั้น ระบบสมการนี้ไมม่ คี ำ�ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

66 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

3) แนวคดิ 3x + y = 4 1

-5x – 3y = 12 2

1 ×3 ; 9x + 3y = 12 3

2 + 3 ; 4x = 24

x = 6

แทน x ด้วย 6 ในสมการ 1 จะได้

3(6) + y = 4

18 + y = 4

y = -14

ดงั นัน้ ระบบสมการนี้มีคำ�ตอบ คือ (6, -14)

4) แนวคดิ 5y – 3x – 6 = 0 1

-6x = 12 – 10y 2

1 ×2; 10y – 6x – 12 = 0 3

จากสมการ 2 ; 10y – 6x – 12 = 0 4

จะเหน็ ว่า สมการ 3 ท่ีไดจ้ ากสมการ 1 เป็นสมการเดียวกนั กับสมการ 4 ทีไ่ ด้จากสมการ 2

แสดงวา่ สมการ 1 และ สมการ 2 มีค�ำ ตอบเหมือนกัน และมีค�ำ ตอบมากมายไม่จ�ำ กดั

2. แนวคิด ถ้า (3, -1) เป็นคำ�ตอบของระบบสมการ

จาก ax + by = 5 1
2
-bx + ay = -15
3
แทน x และ y ดว้ ย 3 และ -1 ตามลำ�ดับ ในสมการ 1 จะได้
4
3a – b = 5 5

แทน x และ y ด้วย 3 และ -1 ตามล�ำ ดับ ในสมการ 2 จะได้

-3b – a = -15

4 × 3 ; -9b – 3a = -45

3 + 5 ; -10b = -40

b = 4

แทน b ดว้ ย 4 ในสมการ 3 จะได้

3a – 4 = 5

3a = 9

a = 3

นัน่ คือ a = 3 และ b = 4

ดงั น้นั a + b = 3 + 4 = 7

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 67

คำ�ชี้แจง เฉลยแบบฝกึ หดั ชดุ น้ี ไมไ่ ดแ้ สดงการแกร้ ะบบสมการโดยละเอยี ดและไมไ่ ดแ้ สดงการตรวจสอบค�ำ ตอบ แตค่ รคู วรย�ำ้
ใหน้ กั เรียนตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตสุ มผลของค�ำ ตอบจากเงอ่ื นไขในโจทยท์ ุกครงั้

3. แนวคิด ให้ x แทนจำ�นวนที่มคี ่ามาก

y แทนจ�ำ นวนทม่ี ีค่านอ้ ย

ผลตา่ งของจ�ำ นวนสองจำ�นวนเปน็ 70

จะได้สมการเปน็ x – y = 70 1
2
สองเท่าของจำ�นวนที่มีคา่ มากเปน็ สเ่ี ท่าของจำ�นวนท่ีมีคา่ นอ้ ย

จะได้สมการเป็น 2x = 4y

จากสมการ 2 x = 2y

แทน x ดว้ ย 2y ในสมการ 1 จะได้

2y – y = 70

y = 70

แทน y ดว้ ย 70 ในสมการ 1 จะได ้

x – 70 = 70

x = 140

ดังน้นั จ�ำ นวนที่มคี ่ามาก คือ 140 และจ�ำ นวนทม่ี คี า่ นอ้ ย คือ 70

4. แนวคิด ให้นมสดราคาขวดละ x บาท

และไข่ไกร่ าคากลอ่ งละ y บาท

ออมซ้อื นมสด 1 ขวด และไขไ่ ก่ 3 กล่อง จา่ ยเงนิ 65 บาท

จะได้สมการเปน็ x + 3y = 65 1

ออ้ ยซอ้ื นมสด 3 ขวด และไข่ไก่ 2 กลอ่ ง จ่ายเงนิ 90 บาท 2
3
จะได้สมการเปน็ 3x + 2y = 90 4

1 × 3 ; 3x + 9y = 195

3 – 2 ; 7y = 105

y = 15

แทน y ด้วย 15 ในสมการ 1 จะได้

x + 3(15) = 65

x = 20

ดังนน้ั นมราคาขวดละ 20 บาท และไข่ไก่ราคากล่องละ 15 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

68 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

5. แนวคดิ 1 ให ้ x แทนจำ�นวนเด็กท่ีมางานเลย้ี ง

y แทนจำ�นวนลูกชน้ิ ทซ่ี อื้ มา (ไม)้

ถา้ แจกลกู ชนิ้ ให้เดก็ คนละ 4 ไม้ จะเหลือลูกชน้ิ 3 ไม้

จะไดส้ มการเปน็ y – 4x = 3 1
2
ถา้ แจกใหค้ นละ 5 ไม้ จะแจกได้ 5–y คน และจะมีเดก็ ท่ีไม่ไดล้ ูกชนิ้ 2 คน 3
x – 5–y = 2
จะได้สมการเปน็ 5x – y = 10 1
จากสมการ 2 ; 2
3
1 + 3 ; -4x = -5x + 13

x = 13

แทน x ด้วย 13 ในสมการ 1 จะได้

y – 4(13) = 3

y = 55

ดงั น้นั เด็กมางานเล้ยี ง 13 คน และคุณแมซ่ อ้ื ลกู ชน้ิ มาทงั้ หมด 55 ไม้

แนวคดิ 2 ให ้ x แทนจ�ำ นวนเดก็ ทม่ี างานเลยี้ ง

y แทนจ�ำ นวนลกู ชนิ้ ทีซ่ ื้อมา (ไม้)

ถ้าแจกลกู ชนิ้ ให้เดก็ คนละ 4 ไม้ จะเหลือลูกชิ้น 3 ไม้

จะไดส้ มการเปน็ y – 4x = 3

ถ้าแจกลกู ชิ้นให้เด็กคนละ 5 ไม้ จะมีเด็กทไี่ ม่ไดล้ กู ชิน้ 2 คน

จะได้สมการเป็น y = 5(x – 2)

จากสมการ 2 y – 5x = -10

1 – 3 ; x = 13

แทน x ดว้ ย 13 ในสมการ 1 จะได้

y – 4(13) = 3

y = 55

ดังน้นั มเี ด็กมางานเลย้ี ง 13 คน และคุณแม่ซอ้ื ลกู ชิ้นมาทัง้ หมด 55 ไม้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 69

6. แนวคดิ ให้ x แทนจำ�นวนปากกาท่ีมีอย่เู ดมิ

y แทนจำ�นวนดินสอท่มี ีอยู่เดมิ

รา้ นขายปากกาดา้ มละ 40 บาท และดนิ สอแทง่ ละ 25 บาท ถ้าขายได้หมด จะได้เงิน 1,200 บาท

จะไดส้ มการเป็น 40x + 25y = 1,200 1

เมือ่ เวลาผ่านไป ร้านค้าขายปากกาไดห้ มด แตข่ ายดินสอได้เพยี งครง่ึ หน่ึง และไดเ้ งินรวม 900 บาท

จะไดส้ มการเปน็ ( )40x + 25 –2y = 900 2
1 – 2 ; 2—25y = 300

y = 24

แทน y ดว้ ย 24 ในสมการ 1 จะได้

40x + 25(24) = 1,200

40x = 600

x = 15

ดังนั้น เดิมร้านคา้ มีปากกา 15 ดา้ ม และดนิ สอ 24 แท่ง

7. แนวคดิ ใหพ้ อ่ ค้าซือ้ กาแฟชนิด A ราคากโิ ลกรัมละ 170 บาท จำ�นวน x กโิ ลกรมั คิดเป็นเงนิ 170x บาท

ซื้อกาแฟชนดิ B ราคากิโลกรมั ละ 150 บาท จ�ำ นวน y กิโลกรัม คดิ เป็นเงิน 150y บาท

จะได้ว่าพ่อคา้ ลงทุนท้งั หมด 170x + 150y บาท

พอ่ ค้าน�ำ กาแฟมาผสมขาย ได้กาแฟผสม 30 กิโลกรมั

จะไดส้ มการเป็น x + y = 30 1

พ่อคา้ ขายกาแฟผสมกิโลกรัมละ 200 บาท ได้เงิน 200(x + y) บาท จะได้กำ�ไร

200(x + y) – (170x + 150y) = 30x + 50y

ถา้ พ่อค้าขายกาแฟผสมได้ก�ำ ไร 20%

จะไดส้ มการเปน็ 1—2000(170x + 150y) = 30x + 50y

2

จากสมการ 2 ; 34x + 30y = 30x + 50y

4x = 20y

x = 5y 3

แทน x ดว้ ย 5y ในสมการ 1 จะได้

5y + y = 30

y = 5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

70 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร คูม่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

แทน y ดว้ ย 5 ในสมการ 3 จะได้

x = 5(5)

x = 25

ดงั นั้น พอ่ ค้าใช้กาแฟชนดิ A และชนิด B จ�ำ นวน 25 กิโลกรัม และ 5 กโิ ลกรมั ตามลำ�ดับ

8. แนวคิด ให้ x แทนค่าแรงของชา่ งปกู ระเบ้ือง

y แทนคา่ แรงของผูช้ ว่ ยปกู ระเบอ้ื ง

นกิ รจ้างผรู้ ับเหมาปูกระเบอ้ื งในราคา 24,000 บาท โดยคดิ เป็นค่ากระเบอื้ ง 9,000 บาท ทเี่ หลอื เป็นค่าแรง

ของชา่ งปกู ระเบือ้ งและคา่ แรงของผ้ชู ว่ ย

จะได้สมการเปน็ x + y + 9,000 = 24,000

หรอื x + y = 15,000 1

ถ้าคา่ แรงของผู้ช่วยคิดเป็นครงึ่ หนง่ึ ของค่าแรงของช่าง
y = –2x
จะได้สมการเป็น

หรอื x = 2y 2

แทน x ด้วย 2y ในสมการ 1 จะได้

2y + y = 15,000

y = 5,000

แทน y ด้วย 5,000 ในสมการ 1 จะได้

x + 5,000 = 15,000

x = 10,000

ดงั นนั้ ช่างปูกระเบ้อื งได้คา่ แรง 10,000 บาท และผู้ช่วยปกู ระเบอ้ื งไดค้ า่ แรง 5,000 บาท

9. แนวคิด ให ้ x แทนจ�ำ นวนล�ำ ไยพนั ธุ์กะโหลกทข่ี ายไป

y แทนจ�ำ นวนลำ�ไยพันธ์ุสชี มพูที่ขายไป

ถา้ แมค่ ้าขายล�ำ ไยทั้งสองพนั ธุ์ไป 70 กโิ ลกรัม

จะไดส้ มการเป็น x + y = 70 1

ถา้ ขายล�ำ ไยพนั ธก์ุ ะโหลกกโิ ลกรมั ละ 25 บาท และล�ำ ไยพนั ธส์ุ ชี มพกู โิ ลกรมั ละ 30 บาท ไดเ้ งนิ 1,780 บาท

จะไดส้ มการเป็น 25x + 30y = 1,780 2

1 × 25 ; 25x + 25y = 1,750 3

2 – 3 ; 5y = 30

y = 6

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 71

แทน y ด้วย 6 ในสมการ 1 จะได้

x + 6 = 70

x = 64

ดงั นน้ั แมค่ า้ ขายล�ำ ไยพันธ์กุ ะโหลก 64 กโิ ลกรัม และลำ�ไยพันธุ์สีชมพู 6 กิโลกรัม

10. แนวคิด ให้ใช้สารละลายต้งั ตน้ ชนดิ ที่ 1 ที่มแี อลกอฮอล์ 30% จำ�นวน x ลิตร

จะมแี อลกอฮอล์ 1—3000x = 0.3x ลติ ร

ใชส้ ารละลายตง้ั ตน้ ชนิดที่ 2 ทมี่ ีแอลกอฮอล์ 80% จำ�นวน y ลิตร

จะมีแอลกอฮอล์ 1—8000y = 0.8y ลติ ร

ถา้ ตอ้ งการสารละลายตั้งต้นทม่ี ีแอลกอฮอล์ 50% จำ�นวน 100 ลิตร

จะมีแอลกอฮอล์ —15000 = 50 ลิตร

แอลกอฮอล์ 30% ในสารละลายต้ังต้นชนิดท่ี 1 รวมกับแอลกอฮอล์ 80% ในสารละลายตง้ั ต้นชนดิ ที่ 2

จะเทา่ กับแอลกอฮอลใ์ นสารละลายเคมภี ัณฑท์ บี่ รษิ ัทตอ้ งการ

จะได้สมการเปน็ 0.3x + 0.8y = 50 1

เมื่อนำ�สารละลายต้ังต้นชนิดที่ 1 ทีม่ แี อลกอฮอล์ 30% รวมกับสารละลายตัง้ ต้นชนิดท่ี 2 ท่มี แี อลกอฮอล์

80% มาผสมกนั จะไดแ้ อลกอฮอลใ์ นสารละลายเคมภี ณั ฑ์ทบ่ี ริษัทตอ้ งการ 100 ลติ ร

จะได้สมการเปน็ x + y = 100 2

1 × 10 ; 3x + 8y = 500 3

2 × 3 ; 3x + 3y = 300 4

3 – 4 ; 5y = 200

y = 40

แทน y ด้วย 40 ในสมการ 2 จะได้

x + 40 = 100

x = 60

ดังนนั้ สารละลายท่มี ีแอลกอฮอล์ 50% ที่บริษัทเคมภี ณั ฑ์ต้องการ ตอ้ งใชส้ ารละลายตงั้ ต้นชนดิ ท่ี 1 ทมี่ ี

แอลกอฮอล์ 30% รวมกับสารละลายตั้งต้นชนดิ ท่ี 2 ทีม่ ีแอลกอฮอล์ 80% มาผสมกัน 60 ลติ ร

และ 40 ลติ ร ตามล�ำ ดับ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

72 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

11. แนวคดิ ใหค้ นงานชายหนงึ่ คนทำ�งานได้วันละ x หน่วย

คนงานหญิงหนงึ่ คนทำ�งานได้วนั ละ y หน่วย

ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 3 คน และคนงานหญิง 4 คน ท�ำ งานได้ 3x + 4y หนว่ ย

ในเวลา 14 วนั คนงานชาย 3 คน และคนงานหญงิ 4 คน ทำ�งานได้ 14(3x + 4y) หน่วย

จะไดว้ ่าจำ�นวนงานทงั้ หมดเท่ากับ 14(3x + 4y) = 42x + 56y หนว่ ย 1

ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 10 คน และคนงานหญงิ 15 คน ท�ำ งานได้ 10x + 15y หน่วย

ในเวลา 4 วนั คนงานชาย 10 คน และคนงานหญิง 15 คน ทำ�งานได้ 4(10x + 15y) หนว่ ย

จะไดว้ ่าจ�ำ นวนงานท้ังหมดเทา่ กบั 4(10x + 15y) = 40x + 60y หน่วย 2

เนอื่ งจากจำ�นวนงานท้ังหมดเท่ากัน

ดงั นนั้ จากสมการ 1 และสมการ 2 จะได้ 42x + 56y = 40x + 60y

x = 2y

แทน x ด้วย 2y ในสมการ 1 จะได้จ�ำ นวนงานทัง้ หมดเท่ากบั 42(2y) + 56y = 140y

เนื่องจาก ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 7 คน และคนงานหญงิ 6 คน ทำ�งานได้ 7x + 6y หนว่ ย

แทน x ด้วย 2y จะได้ 7x + 6y = 7(2y) + 6y = 20y หนว่ ย

นั่นคอื ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 7 คน และคนงานหญงิ 6 คน ท�ำ งานได้ 20y หน่วย

เนื่องจาก จ�ำ นวนงานทงั้ หมดเปน็ 140y หน่วย จะได้ จ�ำ นวนวนั ทใี่ ช้ทำ�งานจงึ เท่ากบั 140y = 7 วัน
20y

ดงั นั้น คนงานชาย 7 คน และคนงานหญิง 6 คน ช่วยกนั ตดั หญา้ จะตดั เสร็จภายใน 7 วัน

12. แนวคิด ให ้ x แทนอตั ราเรว็ ของการพายเรือในน้ำ�น่งิ (กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง)

y แทนอัตราเรว็ ของกระแสน�ำ้ (กิโลเมตรต่อชว่ั โมง)

เนอ่ื งจาก

อตั ราเร็วของการพายเรือตามน�้ำ = อตั ราเร็วของการพายเรือในน�้ำ น่งิ + อัตราเรว็ ของกระแสน�ำ้ = x + y

อัตราเรว็ ของการพายเรอื ทวนน้�ำ = อัตราเร็วของการพายเรอื ในน้ำ�นิ่ง – อตั ราเร็วของกระแสน้�ำ = x – y

และจากความสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อตั ราเร็ว × เวลา

วษิ ณพุ ายเรอื ตามนำ�้ ในระยะทาง 1 กิโลเมตร ใช้เวลา 30 นาที

จาก ระยะทาง = อตั ราเรว็ × เวลา

จะได้ 1 = (x + y) × 63—00 1
x + y = 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 73

วษิ ณุพายเรือทวนน้ำ�ในระยะทาง 1 กิโลเมตร ใช้เวลา 50 นาที

จาก ระยะทาง = อตั ราเร็ว × เวลา

จะได ้ 1 = (x – y) × 56—00
x – y = 65—00

5x – 5y = 6 2
1 × 5 ; 5x + 5y = 10 3

2 + 3 ; 10x = 16 4

x = 58–
แทน x ด้วย –58 ในสมการ 1
จะได้ = 2
58– + y = 25–
y

ดังนั้น วิษณุพายเรือในน้ำ�น่ิงด้วยอัตราเร็ว –85 หรือ 1–35 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และกระแสน้ำ�มีอัตราเร็ว
–25 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

74 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ตวั อยา่ งแบบทดสอบ

1. กำ�หนดกราฟของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ดังน้ี (5 คะแนน)

Y

10 4
1 83

6

4

2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2 5
-4

2 -6
-8

-10

จากกราฟ จงตอบค�ำ ถามแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้
1) กราฟของสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรใดท่ีมี (-3, 2.5) เปน็ ค�ำ ตอบของสมการ
ตอบ
2) กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรใดบ้างที่มี (4, 6) เปน็ คำ�ตอบของสมการ
ตอบ
3) ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรที่ประกอบดว้ ยกราฟ 2 และ 3 มีค�ำ ตอบหรือไม่ ถ้ามใี หร้ ะบคุ ำ�ตอบนน้ั
ตอบ
4) ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรทีป่ ระกอบดว้ ยกราฟ 2 และ 5 มีค�ำ ตอบหรือไม่ ถา้ มีให้ระบคุ ำ�ตอบนั้น
ตอบ
5) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรใดไมม่ ีคำ�ตอบ
ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 75

2. จงพิจารณาว่าระบบสมการที่กำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ี มีคำ�ตอบเดียว หรือมีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด หรือไม่มี

คำ�ตอบ (4 คะแนน)

1) 10x + 5y = 20

3x + 6y = 15

2) -9x + 6y = 15

6x – 4y = -10

3) 6x – 9y = 12

4x – 6y = -8

4) -4x + 6y = 26

9x – 6y = -36

3. ก�ำ หนดระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร

5x + 1 = y – 12

3(2y – 3x) = 45 (3 คะแนน)
จงหาค่าของ (2x + y)2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

76 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

4. หทยั สะสมเหรยี ญสบิ บาทและเหรยี ญหา้ บาทไวจ้ �ำ นวนหนงึ่ เมอ่ื น�ำ มานบั ดพู บวา่ มเี หรยี ญสบิ บาทมากกวา่ เหรยี ญหา้ บาท

อยู่ 49 เหรียญ คดิ เปน็ เงินรวม 1,600 บาท อยากทราบวา่ หทัยมีเหรียญสบิ บาทและเหรยี ญหา้ บาทอยา่ งละกี่เหรยี ญ

(5 คะแนน)

5. ในชว่ งเปดิ ภาคเรยี นของปีการศึกษาใหม่ นกั เรยี นทกุ คนจะซ้ือสมุดซึง่ มีตราสญั ลักษณข์ องโรงเรยี นทีจ่ �ำ หน่ายในสหกรณ์

ร้านค้าของโรงเรียน โดยมีสมุดให้เลือกซื้อสองแบบ คือ สมุดปกอ่อน 40 หน้า และสมุดปกแข็ง 80 หน้า บัวเป็น

นักเรียนใหม่จึงซ้ือสมุดปกอ่อน 8 เล่ม และสมุดปกแข็ง 4 เล่ม รวมเป็นเงิน 184 บาท ส่วนมะลิเป็นนักเรียนเก่ายังมี

สมดุ เหลอื ใชจ้ ากปกี ารศกึ ษาทแ่ี ลว้ อยจู่ �ำ นวนหนง่ึ จงึ ซอ้ื สมดุ ปกออ่ น 5 เลม่ และสมดุ ปกแขง็ 3 เลม่ รวมเปน็ เงนิ 126 บาท

ถ้านกั เรียนอีกสองคน คอื ดาวเรืองและเบญจมาศ ตอ้ งการซอ้ื สมุด โดยดาวเรอื งต้องการซ้อื สมดุ ปกออ่ น 3 เล่ม

และสมดุ ปกแข็ง 2 เล่ม สว่ นเบญจมาศต้องการซื้อสมดุ ปกออ่ น 2 เลม่ และสมดุ ปกแข็ง 3 เล่ม แลว้ ใครจ่ายเงินมากกวา่

กันและมากกวา่ กันอยกู่ บี่ าท (6 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 77

6. เม่ือ 4 ปที ่ีแล้ว พอ่ มีอายุเปน็ สามเทา่ ของอายขุ องกบ และอีก 3 ปีขา้ งหน้า พ่อและกบจะมีอายรุ วมกันได้ 66 ปี จงหาวา่

อกี กป่ี ีขา้ งหน้าพอ่ จงึ มอี ายุเป็นสองเท่าของกบ (6 คะแนน)

7. ถ้าจำ�นวนที่มีสองหลักจำ�นวนหน่ึงมีเลขโดดในหลักหน่วยมากกว่าเลขโดดในหลักสิบอยู่ 3 และผลต่างของสามเท่าของ

จำ�นวนนกี้ ับจำ�นวนทไ่ี ด้จากการสลบั ท่ีของเลขโดดเป็น 111 แลว้ 1 ใน 5 ของผลบวกของจำ�นวนน้ันกบั จำ�นวนทไ่ี ดจ้ าก

การสลบั ทีข่ องเลขโดดมคี ่าเท่าใด (6 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

78 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คูม่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

8. แกว้ และไหมขบั รถพาครอบครวั ไปเทย่ี วตา่ งจงั หวดั ดว้ ยกนั โดยใชร้ ถยนตค์ นละคนั และออกเดนิ ทางจากบา้ นแกว้ พรอ้ มกนั

โดยไม่แวะพักระหวา่ งทาง ไหมใช้เวลาในการขับรถทง้ั หมด 2 ชวั่ โมง แต่แกว้ ขบั รถช้ากว่าไหม 10 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง

ทำ�ให้แกว้ ใช้เวลาในการขบั รถมากกว่าไหม 15 นาที จงหาว่า

1) แก้วและไหมขับรถด้วยอตั ราเร็วเทา่ ไร (4 คะแนน)

2) ระยะทางในการเดินทางทง้ั หมดเปน็ กีก่ ิโลเมตร (1 คะแนน)

9. แมค่ า้ ซื้อข้าวสารชนดิ ท่ี 1 ราคากโิ ลกรมั ละ 40 บาท และข้าวสารชนดิ ท่ี 2 ราคากิโลกรัมละ 50 บาท รวมเป็นเงนิ

2,500 บาท จากนั้น แมค่ ้าน�ำ ข้าวสารทง้ั สองชนดิ มาผสมกันแล้วขายในราคากิโลกรัมละ 50 บาท ซึง่ ทำ�ให้ได้ก�ำ ไร 20%

จงหา

1) แม่ค้าซอื้ ขา้ วสารแตล่ ะชนิดมาอย่างละกก่ี ิโลกรมั (4 คะแนน)

2) อัตราส่วนของจำ�นวนข้าวสารชนิดท่ี 1 ต่อจำ�นวนข้าวสารชนิดท่ี 2 ที่แม่ค้าใช้ในการผสมข้าวสารท้ังสองชนิด

เพ่อื น�ำ ไปขาย (1 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 79

เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบ

1. กำ�หนดกราฟของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ดังนี้ (5 คะแนน)

Y

10 4
1 83

6

4

2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2 5
-4

2 -6
-8

-10

จากกราฟ จงตอบคำ�ถามแต่ละข้อตอ่ ไปน ้ี

1) กราฟของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรใดทม่ี ี (-3, 2.5) เปน็ ค�ำ ตอบของสมการ

ตอบ กราฟ 4

2) กราฟของสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรใดบา้ งท่มี ี (4, 6) เป็นคำ�ตอบของสมการ

ตอบ กราฟ 1 , 3 , 4 และ 5

3) ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรทปี่ ระกอบดว้ ยกราฟ 2 และ 3 มคี ำ�ตอบหรอื ไม่ ถา้ มีให้ระบคุ �ำ ตอบนนั้

ตอบ มี คือ (7, 1)

4) ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรท่ปี ระกอบด้วยกราฟ 2 และ 5 มีคำ�ตอบหรือไม่ ถ้ามีใหร้ ะบคุ �ำ ตอบนน้ั

ตอบ มี คอื (4, -0.5)

5) ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรใดไม่มคี �ำ ตอบ

ตอบ กราฟ 2 และ 4

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถใช้กราฟเพื่อวิเคราะห์เกี่ยวกบั ค�ำ ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

80 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2. จงพิจารณาว่าระบบสมการท่ีกำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ มีคำ�ตอบเดียว หรือมีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด หรือไม่มี

ค�ำ ตอบ (4 คะแนน)

1) 10x + 5y = 20

3x + 6y = 15 มีค�ำ ตอบเดียว

2) -9x + 6y = 15

6x – 4y = -10 มคี ำ�ตอบมากมายไมจ่ ำ�กดั

3) 6x – 9y = 12

4x – 6y = -8 ไมม่ คี ำ�ตอบ

4) -4x + 6y = 26

9x – 6y = -36 มคี �ำ ตอบเดียว

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ

3. กำ�หนดระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

5x + 1 = y – 12

3(2y – 3x) = 45 (3 คะแนน)
จงหาคา่ ของ (2x + y)2
1
2
3
แนวคิด 1 5x + 1 = y – 12 4

3(2y – 3x) = 45

จากสมการ 1 ; y = 5x + 13

จากสมการ 2 ; 2y – 3x = 15



แทน y ด้วย 5x + 13 ในสมการ 4 จะได้

2(5x + 13) – 3x = 15

10x + 26 – 3x = 15

7x = -11

x = - 1—71

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 81

แทน x ด้วย - 1—71 ในสมการ 3 จะได้ ( )y = 5 - 1—71 + 13

y = 3—76
2 - 1—71 + 3—76 2 = 22 = 4
[ ( ) ]ดังน้ัน (2x + y)2 =

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 3 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดังน้ี

ส่วนท่ี 1 การหาค่า x และคา่ y

✤ แสดงการหาค่า x และคา่ y ถูกต้อง ได้ 2 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ แสดงการหาคา่ x หรือคา่ y ถูกต้องเพยี งคา่ ใดค่าหน่งึ ได้ 0 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ x และค่า y ไม่ถกู ต้อง หรือไมแ่ สดง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
สว่ นท่ี 2 การสรปุ ค�ำ ตอบ

✤ สรุปค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง

✤ สรปุ ค�ำ ตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่สรปุ

แนวคดิ 2 5x + 1 = y – 12 1
3(2y – 3x) = 45 2
3
5x – y = -13 4
จากสมการ 1 ; 2y – 3x = 15
2x + y = 2
จากสมการ 2 ;

3 + 4 ;

ดงั นัน้ (2x + y)2 = 22 = 4

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั น้ี

ส่วนที่ 1 การเขยี นแสดงวิธีการหาคำ�ตอบ

✤ แสดงวธิ ีการหาค�ำ ตอบไดถ้ ูกต้อง ได้ 2 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ แสดงวิธีการหาค�ำ ตอบได้ถูกต้องบางสว่ น ได้ 0 คะแนน

✤ แสดงวธิ กี ารหาคำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมแ่ สดง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
สว่ นท่ี 2 การสรุปค�ำ ตอบ

✤ สรปุ ค�ำ ตอบถูกตอ้ ง

✤ สรุปค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่สรุป

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

82 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

4. หทยั สะสมเหรยี ญสบิ บาทและเหรยี ญหา้ บาทไวจ้ �ำ นวนหนง่ึ เมอื่ น�ำ มานบั ดพู บวา่ มเี หรยี ญสบิ บาทมากกวา่ เหรยี ญหา้ บาท

อยู่ 49 เหรียญ คดิ เป็นเงินรวม 1,600 บาท อยากทราบว่าหทัยมเี หรยี ญสิบบาทและเหรยี ญหา้ บาทอย่างละกเ่ี หรยี ญ

(5 คะแนน)

แนวคดิ ให้หทยั มเี หรยี ญสิบบาท x เหรียญ และมีเหรยี ญห้าบาท y เหรียญ

เน่ืองจากมเี หรยี ญสิบบาทมากกวา่ เหรียญห้าบาทอยู่ 49 เหรยี ญ

จะได้สมการเป็น x – y = 49 1

หทยั มเี หรียญสบิ บาท x เหรยี ญ คิดเปน็ เงิน 10x บาท

และมีเหรียญหา้ บาท y เหรยี ญ คิดเปน็ เงนิ 5y บาท

ดงั นั้น หทัยมเี งนิ ทัง้ หมด 10x + 5y บาท

เนื่องจากหทัยมีเงนิ รวมกนั 1,600 บาท

จะได้สมการเปน็ 10x + 5y = 1,600

หรอื 2x + y = 320 2

1 + 2 ; 3x = 369

x = 123

แทน x ดว้ ย 123 ในสมการ 1 จะได้

123 – y = 49

y = 74

ดงั นัน้ หทยั มเี หรยี ญสิบบาท 123 เหรยี ญ และมีเหรยี ญหา้ บาท 74 เหรยี ญ

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 3 นกั เรียนสามารถน�ำ ความรู้เก่ยี วกบั ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรไปใช้ในการแกป้ ญั หา

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดงั นี้

ส่วนที่ 1 การเขียนสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

✤ เขยี นสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรถูกต้องท้ังสองสมการ ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นสมการเชิงเส้นสองตัวแปรถูกตอ้ งเพยี งสมการเดยี ว ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรไมถ่ ูกต้อง หรือไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

สว่ นที่ 2 การหาค่า x และค่า y

✤ แสดงการหาค่าตวั แปรท้ังสองถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ ตัวแปรถูกต้องเพียงคา่ ใดคา่ หนึ่ง ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงวิธกี ารหาค�ำ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมแ่ สดง ได้ 0 คะแนน

สว่ นท่ี 3 การสรุปค�ำ ตอบ

✤ สรปุ ค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ สรุปคำ�ตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่สรุป ได้ 0 คะแนน



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 83

5. ในช่วงเปิดภาคเรียนของปีการศกึ ษาใหม่ นักเรียนทุกคนจะซ้ือสมดุ ซ่ึงมตี ราสัญลกั ษณข์ องโรงเรียนท่จี �ำ หนา่ ยในสหกรณ์

ร้านค้าของโรงเรียน โดยมีสมุดให้เลือกซ้ือสองแบบ คือ สมุดปกอ่อน 40 หน้า และสมุดปกแข็ง 80 หน้า บัวเป็น

นักเรียนใหม่จึงซื้อสมุดปกอ่อน 8 เล่ม และสมุดปกแข็ง 4 เล่ม รวมเป็นเงิน 184 บาท ส่วนมะลิเป็นนักเรียนเก่ายังมี

สมดุ เหลอื ใชจ้ ากปกี ารศกึ ษาทแ่ี ลว้ อยจู่ �ำ นวนหนง่ึ จงึ ซอ้ื สมดุ ปกออ่ น 5 เลม่ และสมดุ ปกแขง็ 3 เลม่ รวมเปน็ เงนิ 126 บาท

ถา้ นกั เรียนอกี สองคน คอื ดาวเรอื งและเบญจมาศ ต้องการซอ้ื สมุด โดยดาวเรอื งตอ้ งการซอ้ื สมุดปกอ่อน 3 เลม่

และสมุดปกแขง็ 2 เล่ม สว่ นเบญจมาศต้องการซอื้ สมดุ ปกอ่อน 2 เล่ม และสมุดปกแข็ง 3 เล่ม แล้วใครจา่ ยเงนิ มากกวา่

กนั และมากกว่ากนั อยูก่ บ่ี าท (6 คะแนน)

แนวคดิ ให้สมุดปกอ่อนราคาเล่มละ x บาท

และสมดุ ปกแขง็ ราคาเล่มละ y บาท

บวั ซ้ือสมดุ ปกอ่อน 8 เลม่ และสมุดปกแข็ง 4 เลม่ รวมเป็นเงิน 184 บาท

จะไดส้ มการเป็น 8x + 4y = 184 1

มะลซิ ้อื สมุดปกอ่อน 5 เลม่ และสมุดปกแขง็ 3 เลม่ รวมเปน็ เงนิ 126 บาท

จะได้สมการเปน็ 5x + 3y = 126 2

1 × 3 ; 24x + 12y = 552 3

2 × 4 ; 20x + 12y = 504 4

3 – 4 ; 4x = 48

x = 12

แทน x ด้วย 12 ในสมการ 2 จะได้

5(12) + 3y = 126

3y = 66

y = 22

ดงั นั้น สมุดปกอ่อนราคาเล่มละ 12 บาท และสมดุ ปกแขง็ ราคาเล่มละ 22 บาท

ถา้ ดาวเรืองต้องการซ้อื สมดุ ปกอ่อน 3 เลม่ และสมดุ ปกแข็ง 2 เลม่

จะตอ้ งจา่ ยเงนิ 3(12) + 2(22) = 36 + 44 = 80 บาท

ถ้าเบญจมาศต้องการซ้อื สมดุ ปกอ่อน 2 เลม่ และสมุดปกแข็ง 3 เลม่

จะตอ้ งจ่ายเงิน 2(12) + 3(22) = 24 + 66 = 90 บาท

ดงั นนั้ เบญจมาศจ่ายเงนิ มากกว่าดาวเรือง และมากกว่ากนั อยู่ 90 – 80 = 10 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

84 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

6. เมอื่ 4 ปที แ่ี ล้ว พ่อมีอายุเปน็ สามเท่าของอายุของกบ และอกี 3 ปขี ้างหน้า พอ่ และกบจะมอี ายุรวมกนั ได้ 66 ปี จงหาว่า

อีกก่ีปขี ้างหนา้ พ่อจึงมอี ายุเป็นสองเท่าของกบ (6 คะแนน)

แนวคดิ ใชต้ ารางประกอบการวิเคราะหโ์ จทย์ ดงั น้ี

อายุ (ปี)

ปจั จุบนั เมอื่ 4 ปีท่แี ลว้ อกี 3 ปีข้างหน้า

พ่อ x x–4 x+3
กบ y y–4 y+3

เมือ่ 4 ปีท่ีแลว้ พอ่ มีอายุเปน็ สามเทา่ ของอายุของกบ

จะได้สมการเปน็ x – 4 = 3(y – 4) 1

อกี 3 ปีขา้ งหนา้ พอ่ และกบจะมอี ายุรวมกนั ได้ 66 ปี 2

จะได้สมการเป็น (x + 3) + (y + 3) = 66 3
4
จากสมการ 1 ; x – 4 = 3y – 12

x – 3y = -8

จากสมการ 2 ; x + y = 60

4 – 3 ; 4y = 68

y = 17

แทน y ด้วย 17 ในสมการ 4 จะได้

x + 17 = 60

x = 43

ดังนน้ั ในปัจจบุ ันพ่อมีอายุ 43 ปี และกบมีอายุ 17 ปี

ให้พ่อมอี ายุเปน็ สองเท่าของกบในอกี n ปีข้างหนา้

อกี n ปขี ้างหนา้ พ่อมีอายุ 43 + n ปี และกบมอี ายุ 17 + n ปี

เนือ่ งจาก อีก n ปขี ้างหน้า พอ่ จึงมีอายเุ ปน็ สองเทา่ ของกบ

จะไดส้ มการเปน็ 43 + n = 2(17 + n)

43 + n = 34 + 2n

n = 9

ดังนน้ั อีก 9 ปขี า้ งหนา้ พอ่ จึงจะมอี ายเุ ปน็ สองเท่าของกบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 85

7. ถ้าจำ�นวนท่ีมีสองหลักจำ�นวนหน่ึงมีเลขโดดในหลักหน่วยมากกว่าเลขโดดในหลักสิบอยู่ 3 และผลต่างของสามเท่าของ

จ�ำ นวนน้กี ับจ�ำ นวนทีไ่ ดจ้ ากการสลบั ท่ีของเลขโดดเป็น 111 แลว้ 1 ใน 5 ของผลบวกของจำ�นวนนนั้ กบั จำ�นวนทไี่ ด้จาก

การสลับท่ขี องเลขโดดมคี ่าเทา่ ใด (6 คะแนน)

แนวคิด ให ้ x แทนเลขโดดในหลกั สบิ

y แทนเลขโดดในหลักหน่วย

เลขโดดในหลักหนว่ ยมากกวา่ เลขโดดในหลักสิบอยู่ 3

จะไดส้ มการเปน็ y – x = 3 1

ผลตา่ งของสามเทา่ ของจำ�นวนนีก้ บั จ�ำ นวนทไี่ ด้จากการสลบั ท่ีของเลขโดดเป็น 111

จะไดส้ มการเปน็ 3(10x + y) – (10y + x) = 111 2

จากสมการ 2 ; 30x + 3y – 10y – x = 111

29x – 7y = 111 3

1 × 7 ; 7y – 7x = 21 4

3 + 4 ; 22x = 132

x = 6

แทน x ด้วย 6 ในสมการ 1 จะได้

y – 6 = 3

y = 9

จะได ้ จำ�นวนท่ีมีสองหลักจำ�นวนน้ัน คือ 69

และ จำ�นวนท่ีไดจ้ ากการสลับทข่ี องเลขโดด คอื 96

ดังนนั้ 1 ใน 5 ของผลบวกของจำ�นวนน้นั กบั จ�ำ นวนทไ่ี ด้จากการสลบั ท่ีของเลขโดดมคี ่าเทา่ กบั

( )1–5 (96+69) = 33

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

86 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ส�ำ หรบั ขอ้ 5–7

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 3 นักเรยี นสามารถน�ำ ความรู้เก่ียวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรไปใช้ในการแกป้ ญั หา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดังนี้

สว่ นที่ 1 การเขียนสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

✤ เขียนสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรถกู ต้องทั้งสองสมการ ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนสมการเชิงเส้นสองตวั แปรถกู ต้องเพยี งสมการเดียว ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมเ่ ขียน ได้ 0 คะแนน

ส่วนที่ 2 การหาคา่ ตวั แปร

✤ แสดงการหาคา่ ตวั แปรทง้ั สองถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ ตัวแปรถกู ต้องเพยี งคา่ ใดคา่ หนึง่ ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ ตวั แปรไม่ถกู ต้อง หรือไมแ่ สดง ได้ 0 คะแนน

สว่ นที่ 3 การหาค�ำ ตอบ

✤ แสดงการหาคำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงการหาค�ำ ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไมแ่ สดง ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 4 การสรปุ ค�ำ ตอบ

✤ สรุปคำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ สรุปค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไมส่ รปุ ได้ 0 คะแนน

8. แกว้ และไหมขบั รถพาครอบครวั ไปเทย่ี วตา่ งจงั หวดั ดว้ ยกนั โดยใชร้ ถยนตค์ นละคนั และออกเดนิ ทางจากบา้ นแกว้ พรอ้ มกนั

โดยไมแ่ วะพกั ระหวา่ งทาง ไหมใชเ้ วลาในการขบั รถทัง้ หมด 2 ช่ัวโมง แตแ่ ก้วขบั รถช้ากวา่ ไหม 10 กโิ ลเมตรตอ่ ชัว่ โมง

ทำ�ให้แกว้ ใช้เวลาในการขับรถมากกว่าไหม 15 นาที จงหาวา่

1) แก้วและไหมขบั รถด้วยอัตราเร็วเท่าไร (4 คะแนน)

แนวคิด ใชค้ วามสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อตั ราเร็ว × เวลา และสรา้ งตารางวเิ คราะหโ์ จทย์ได้ดงั น้ี

สถานการณ์ อัตราเร็ว (กโิ ลเมตร/ช่วั โมง) ระยะทาง (กิโลเมตร) เวลา (ชว่ั โมง)

แก้วขับรถยนต์ x 49–x 2 + 16—50 = 9–4

ไหมขับรถยนต์ y 2y 2

แกว้ ขับรถด้วยอัตราเรว็ x กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง และไหมขับรถด้วยอัตราเรว็ y กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง

แกว้ ขบั รถช้ากว่าไหม 10 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง

จะได้สมการเป็น y – x = 10

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 87

หรอื y = 10 + x 1

จากตาราง ไหมขบั รถไดร้ ะยะทางทั้งหมด 2y กโิ ลเมตร

และ แกว้ ขบั รถได้ระยะทางท้ังหมด 9–4x กิโลเมตร

เนอ่ื งจาก ระยะทางท่ที ง้ั สองคนขบั รถได้เท่ากนั

จะไดส้ มการเป็น 2y = 9–4x

หรือ 8y = 9x 2

แทน y ด้วย 10 + x ในสมการ 2 จะได้

8(10 + x) = 9x

80 + 8x = 9x

x = 80

แทน x ด้วย 80 ในสมการ 1 จะได้

y = 10 + 80

y = 90

ดงั นัน้ แก้วขบั รถดว้ ยอตั ราเรว็ 80 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และไหมขับรถด้วยอัตราเร็ว 90 กโิ ลเมตรตอ่ ชว่ั โมง

2) ระยะทางในการเดินทางทงั้ หมดเป็นกกี่ ิโลเมตร (1 คะแนน)

ในการเดนิ ทางครง้ั น้มี ีระยะทางทัง้ หมดเท่ากับ 2(90) = 180 กโิ ลเมตร

9. แมค่ ้าซอื้ ข้าวสารชนดิ ท่ี 1 ราคากิโลกรัมละ 40 บาท และขา้ วสารชนิดท่ี 2 ราคากโิ ลกรัมละ 50 บาท รวมเป็นเงนิ

2,500 บาท จากนน้ั แมค่ า้ น�ำ ขา้ วสารทง้ั สองชนดิ มาผสมกนั แลว้ ขายในราคากโิ ลกรมั ละ 50 บาท ซง่ึ ท�ำ ใหไ้ ดก้ �ำ ไร 20%

จงหา

1) แม่ค้าซอ้ื ข้าวสารแต่ละชนิดมาอยา่ งละกีก่ ิโลกรัม (4 คะแนน)

แนวคดิ ใหแ้ มค่ ้าซือ้ ขา้ วสารชนิดที่ 1 มา x กิโลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 40 บาท คิดเปน็ เงิน 40x บาท

และ ซอ้ื ขา้ วสารชนิดท่ี 2 มา y กิโลกรมั ราคากโิ ลกรมั ละ 50 บาท คิดเปน็ เงนิ 50y บาท

ดงั นัน้ แมค่ า้ ซ้อื ขา้ วสารมาท้งั หมด 40x + 50y บาท

จากโจทย์ แมค่ า้ ซ้อื ข้าวสารคิดเปน็ เงิน 2,500 บาท

จะไดส้ มการเป็น 40x + 50y = 2,500 1

เม่ือน�ำ มาผสมกันจะได้ข้าวสารท้งั หมด x + y กโิ ลกรัม และขายในราคากโิ ลกรัมละ 50 บาท

จะไดเ้ งินทง้ั หมด 50(x + y) บาท

แตแ่ ม่คา้ ขายได้ก�ำ ไร 20% ชงึ่ คิดเป็นเงิน 1—2000(2,500) = 500 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 50(x + y) – 2,500 = 500

หรอื 50(x + y) = 3,000

หรือ 50x + 50y = 3,000 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

88 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

2 – 1 ; 10x = 500

x = 50

แทน x ดว้ ย 50 ในสมการ 1 จะได้

40(50) + 50y = 2,500

50y = 500

y = 10

ดงั นน้ั แม่ค้าซอ้ื ข้าวสารชนิดที่ 1 มา 50 กโิ ลกรัม และซื้อข้าวสารชนดิ ที่ 2 มา 10 กิโลกรมั

2) อัตราส่วนของจำ�นวนข้าวสารชนิดที่ 1 ต่อจำ�นวนข้าวสารชนิดที่ 2 ท่ีแม่ค้าใช้ในการผสมข้าวสารท้ังสองชนิด

เพ่อื นำ�ไปขาย (1 คะแนน)

อัตราส่วนของจำ�นวนขา้ วสารชนิดท่ี 1 ต่อจำ�นวนขา้ วสารชนิดที่ 2 ท่ีแม่คา้ ใชใ้ นการผสมข้าวสาร

ทัง้ สองชนิดเพอ่ื น�ำ ขาย เท่ากบั 50 : 10 = 5 : 1

ส�ำ หรับ ข้อ 8–9

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 3 นกั เรยี นสามารถน�ำ ความร้เู กย่ี วกับระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน

ขอ้ 1) คะแนนเต็ม 4 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดังน้ี

สว่ นที่ 1 การเขียนสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

✤ เขยี นสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรถูกต้องท้งั สองสมการ ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรถกู ตอ้ งเพียงสมการเดยี ว ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนสมการเชิงเส้นสองตัวแปรไม่ถกู ตอ้ ง หรือไมเ่ ขยี น ได้ 0 คะแนน

สว่ นท่ี 2 การหาค่าตัวแปร

✤ แสดงการหาค่าตวั แปรท้งั สองถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ แสดงการหาค่าตัวแปรถูกต้องเพียงคา่ ใดคา่ หนึง่ ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงการหาค่าตัวแปรไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่แสดง ได้ 0 คะแนน

ขอ้ 2) คะแนนเตม็ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 89

บทที่ 2 วงกลม

ในบทวงกลมน้ี ประกอบด้วยหวั ข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปน้ี

2.1 มมุ ที่จุดศูนย์กลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม 6 ชั่วโมง

2.2 คอร์ดของวงกลม 5 ช่วั โมง

2.3 เสน้ สมั ผสั วงกลม 4 ชว่ั โมง

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 2 การวดั และเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เขา้ ใจและวิเคราะหร์ ปู เรขาคณติ สมบตั ขิ องรูปเรขาคณิต ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งรูปเรขาคณติ และ
ทฤษฎีบททางเรขาคณติ และน�ำ ไปใช้

ตวั ชีว้ ัด

เข้าใจและใชท้ ฤษฎีบทเกย่ี วกบั วงกลมในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

จดุ ประสงค์ของบทเรียน

นกั เรยี นสามารถ
1. บอกทฤษฎบี ทเกีย่ วกับมมุ ทีจ่ ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในส่วนโค้งของวงกลม คอรด์ ของวงกลม และเส้นสมั ผสั วงกลม
2. นำ�ทฤษฎบี ทเก่ียวกับวงกลมไปใชใ้ นการให้เหตผุ ลและการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

ความเชอื่ มโยงระหวา่ งตวั ชีว้ ดั กบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

เนอ่ื งจากตวั ชว้ี ดั น้ี กลา่ วถงึ การเขา้ ใจและใชท้ ฤษฎบี ทเกย่ี วกบั วงกลมในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ ดงั นน้ั เพอ่ื ใหก้ ารเรยี นรู้
ของนักเรียนในเร่ืองวงกลมสอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครูควรจัดประสบการณ์ให้นักเรียนสามารถเข้าใจทฤษฎีบทเก่ียวกับวงกลม
รวมทงั้ น�ำ ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ ซ่ึงสะทอ้ นได้จากการทนี่ กั เรียนสามารถ
✤ อธิบายทฤษฎีบทเก่ียวกบั มุมที่จุดศูนยก์ ลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม และน�ำ ทฤษฎีบทไปใช้ในการใหเ้ หตุผล

และแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

90 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

✤ อธบิ ายทฤษฎีบทเกีย่ วกับคอร์ดของวงกลม และน�ำ ทฤษฎีบทไปใช้ในการให้เหตผุ ลและแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์
✤ อธบิ ายทฤษฎีบทเกย่ี วกับเส้นสัมผสั วงกลม และน�ำ ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

ความคิดรวบยอดของบทเรยี น

วงกลมเปน็ รปู เรขาคณติ สองมติ ิ สว่ นตา่ ง ๆ ทเ่ี กยี่ วขอ้ งกบั วงกลมมมี ากมาย เชน่ คอรด์ เสน้ สมั ผสั วงกลม มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลาง
ของวงกลม มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม ซงึ่ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งสว่ นตา่ ง ๆ เหลา่ นนั้ ของวงกลม ประกอบกบั ความรทู้ างเรขาคณติ
ท�ำ ใหเ้ กดิ สมบตั แิ ละทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั วงกลมทมี่ ปี ระโยชนใ์ นการจ�ำ ลองสถานการณ์ รวมถงึ การอธบิ ายและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์
และปัญหาในชีวิตจรงิ อยา่ งสมเหตุสมผล

ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

หัวขอ้

ทักษะและกระบวนการ 2.1 2.2 2.3 กจิ กรรมทา้ ยบท/
ทางคณิตศาสตร์ มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลาง คอรด์ ของ เส้นสัมผัส แบบฝึกหัด
และมมุ ในส่วน วงกลม ทา้ ยบท
โคง้ ของวงกลม วงกลม

การแก้ปัญหา ✤ ✤✤ ✤
การสอื่ สารและการสื่อความหมาย
ทางคณิตศาสตร์ ✤ ✤✤
การเชอื่ มโยง ✤ ✤✤ ✤
การใหเ้ หตผุ ล
การคดิ สร้างสรรค์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 91

ความเช่ือมโยงของความรู้

ความรพู ้นื ฐาน ✤ สว่ นต่าง ๆ ของวงกลม ไดแ้ ก่ เสน้ รอบวง เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง รศั มี และจุดศนู ย์กลาง
รวมถงึ ความเท่ากันทกุ ประการของวงกลม เพ่อื เป็นพนื้ ฐานในการเรียนรเู้ น้อื หาใหม่

✤ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลยี่ มเทา่ กบั 180° และผลรวมของขนาด
ของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 360° เพื่อเป็นพื้นฐานในการทำ�ความเข้าใจ
ทฤษฎีบทใหม่ ๆ และน�ำ ไปใช้ในการอา้ งเหตผุ ล

✤ ความรเู้ กย่ี วกบั รปู สามเหลย่ี มทเ่ี กย่ี วขอ้ ง ไดแ้ ก่ ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี ม
สมบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั และความคลา้ ยกนั ของรปู สามเหลย่ี มสองรปู เพอ่ื น�ำ ไป
ใช้ในการอ้างเหตผุ ล

ความรู ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับมมุ ท่จี ุดศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ในบทเรยี น ✤ ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน มุมท่ีจุดศูนย์กลางจะมี

ขนาดเทา่ กัน กต็ อ่ เม่อื ส่วนโคง้ ที่รองรบั มมุ ทจ่ี ุดศูนย์กลางนน้ั ยาวเท่ากัน
✤ ในวงกลมวงเดียวกัน มุมท่ีจุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของ

มุมในสว่ นโค้งของวงกลมทร่ี องรบั ดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกัน
✤ ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรอื ในวงกลมวงเดียวกนั มุมในส่วนโค้งของวงกลม

จะมีขนาดเทา่ กัน กต็ อ่ เม่อื ส่วนโคง้ ทร่ี องรับมมุ ท้งั สองน้นั ยาวเทา่ กนั
✤ มมุ ในครง่ึ วงกลมมีขนาด 90° หรอื หนึ่งมมุ ฉาก
✤ ถ้ารูปส่ีเหลี่ยมใด ๆ เป็นรูปสี่เหล่ียมแนบในวงกลม แล้วผลบวกของขนาดของ

มุมตรงข้ามจะเท่ากบั สองมมุ ฉาก

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคอร์ดของวงกลม
✤ ในวงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการหรอื ในวงกลมวงเดยี วกนั คอรด์ ทง้ั สองยาวจะเทา่ กนั

กต็ อ่ เมอ่ื คอรด์ ทง้ั สองตดั วงกลม แลว้ ท�ำ ใหส้ ว่ นโคง้ นอ้ ยยาวเทา่ กนั และสว่ นโคง้ ใหญ่

ยาวเทา่ กนั
✤ ส่วนของเส้นตรงซ่ึงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่

เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง จะแบง่ ครงึ่ คอรด์ กต็ อ่ เมอ่ื สว่ นของเสน้ ตรงนนั้ ตง้ั ฉากกบั คอรด์
✤ เสน้ ตรงทตี่ งั้ ฉากและแบง่ ครงึ่ คอรด์ ของวงกลม จะผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมนน้ั
✤ ในวงกลมวงเดยี วกนั คอรด์ สองเสน้ จะยาวเทา่ กนั กต็ อ่ เมอ่ื คอรด์ ทงั้ สองนนั้ อยหู่ า่ ง

จากจดุ ศนู ยก์ ลางเปน็ ระยะเท่ากนั

ทฤษฎีบทเกยี่ วกับเส้นสมั ผัสวงกลม
✤ เส้นสมั ผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรศั มขี องวงกลมที่จดุ สัมผสั
✤ เสน้ ตรงทต่ี ง้ั ฉากกบั รศั มขี องวงกลมทจ่ี ดุ จดุ หนง่ึ บนวงกลม จะเปน็ เสน้ สมั ผสั วงกลม

ทจ่ี ดุ นน้ั
✤ ส่วนของเส้นตรง 2 เส้น ท่ีลากจากจุดจุดหนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลม

วงเดียวกัน จะยาวเทา่ กนั
✤ มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของ

มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมที่อยู่ตรงขา้ มกับคอร์ดน้ัน

ความรูในอนาคต การใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ทฤษฎบี ทของวงกลมในการเรยี นเนอ้ื หาอน่ื ๆ เชน่ เรขาคณติ วเิ คราะห์
นอกจากน้ี ยงั ใช้เปน็ พืน้ ฐานในการเรียนวิชาฟิสิกส์ เรื่อง การเคลือ่ นทแ่ี บบวงกลม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

92 บทท่ี 2 | วงกลม ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ล�ำ ดบั การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ของบทเรียน

ทบทวนส่วนตา่ ง ๆ ของวงกลม ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลี่ยมและรปู สเ่ี หลี่ยม
ความเทา่ กนั ทุกประการของรปู สามเหล่ยี ม สมบตั ขิ องรปู สามเหล่ียมหน้าจว่ั รวมถึงรปู สามเหลย่ี มท่คี ล้ายกนั

แนะน�ำ และให้ความหมายของส่วนต่าง ๆ ทเี่ กย่ี วข้องกบั วงกลม ไดแ้ ก่ ครึ่งวงกลม ส่วนโค้งของวงกลม
มมุ ท่จี ุดศูนย์กลาง มมุ ในสว่ นโค้งของวงกลม และมมุ ในคร่ึงวงกลม

แนะน�ำ ทฤษฎบี ทเก่ยี วกับมุมทจี่ ุดศูนย์กลางและมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม ซึ่งได้แก่ ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับ
ขนาดของมุมท่ีจุดศนู ย์กลางและความยาวของส่วนโค้งที่รองรับมมุ ขนาดของมมุ ที่จุดศนู ยก์ ลางและ
ขนาดของมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม ขนาดของมมุ ในส่วนโค้งของวงกลมและความยาวของสว่ นโค้งทีร่ องรับมมุ

ขนาดของมุมในครึ่งวงกลม และรูปสีเ่ หล่ียมแนบในวงกลม โดยใช้การส�ำ รวจจากการทำ�กจิ กรรม
ทีเ่ น้นให้ลงมอื ปฏบิ ัติ รวมทั้งการส�ำ รวจโดยใช้เทคโนโลยี และฝกึ การน�ำ ทฤษฎบี ทไปใชใ้ นการให้เหตผุ ล

และแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

แนะน�ำ และให้ความหมายเกย่ี วกบั คอร์ดของวงกลม

แนะนำ�ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับคอรด์ ของวงกลม ซึง่ ไดแ้ ก่ ทฤษฎีบทเกีย่ วกบั ความยาวของคอร์ดและ
ความยาวของส่วนโคง้ ของวงกลม คอร์ดกับจุดศูนย์กลางของวงกลม และคอร์ดท่ยี าวเท่ากัน

โดยการพสิ จู น์และใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต รวมถงึ การส�ำ รวจโดยใชเ้ ทคโนโลยี
และฝึกการน�ำ ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

แนะน�ำ ความหมายของสว่ นต่าง ๆ ที่เกยี่ วขอ้ งกับเสน้ สัมผสั วงกลม ซง่ึ ไดแ้ ก่
เสน้ ตดั เสน้ สมั ผสั วงกลม และจดุ สัมผัส

แนะนำ�ทฤษฎีบทเกีย่ วกับเสน้ สมั ผัสวงกลม ไดแ้ ก่ ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั เสน้ สัมผัสวงกลมและรัศมี
เส้นสมั ผสั วงกลมและคอรด์ ของวงกลม โดยใชก้ ารสำ�รวจจากการทำ�กจิ กรรม
การส�ำ รวจโดยใช้เทคโนโลยี รวมถงึ การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ
และฝึกการนำ�ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการให้เหตผุ ลและแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

สรปุ บทเรียนเร่อื งวงกลม และทำ�กิจกรรมท้ายบท รวมถงึ การท�ำ แบบฝึกหัดทา้ ยบท
เพอ่ื ฝกึ การน�ำ ความรไู้ ปใช้ในการใหเ้ หตุผลและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 93

2.1 มุมทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม (6 ช่วั โมง)

จดุ ประสงค์

นักเรียนสามารถ
1. อธบิ ายทฤษฎีบทเกี่ยวกบั มมุ ทจ่ี ุดศูนย์กลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม
2. น�ำ ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

ความเขา้ ใจท่ีคลาดเคล่ือน

1. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลื่อนว่า รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ท่ีมีจุดยอดบางจุดไม่อยู่บนวงกลม เป็นรูปสี่เหล่ียมแนบใน
วงกลม เชน่

2. เมอื่ นกั เรียนไดเ้ รียนทฤษฎีบทเกย่ี วกบั รูปส่ีเหลี่ยมแนบในวงกลมแล้ว อาจทำ�ให้เข้าใจคลาดเคล่อื นเก่ยี วกับการหา
ขนาดของมุมภายในของรปู ส่เี หลี่ยม โดยเขา้ ใจว่าสามารถใช้ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั รปู สีเ่ หลยี่ มแนบในวงกลมมาชว่ ย
ในการหาได้ โดยไม่ไดค้ ำ�นงึ วา่ รปู ส่เี หลย่ี มนน้ั แนบในวงกลมหรอื ไม่ เชน่

B

A จาก ABCD อาจเขา้ ใจวา่ ˆA + ˆC = 180° และ ˆB +ˆD = 180°

C โดยไมไ่ ด้คำ�นงึ วา่ ABCD เปน็ รูปสเี่ หล่ยี มแนบในวงกลมหรอื ไม่

D

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

94 บทที่ 2 | วงกลม คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

สอ่ื ทีแ่ นะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

1. อุปกรณ์ของกิจกรรม : สำ�รวจมมุ ทจี่ ุดศนู ยก์ ลาง
2. อปุ กรณข์ องกจิ กรรม : สำ�รวจมมุ ท่จี ดุ ศูนย์กลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม
3. อปุ กรณ์ของกิจกรรม : ส�ำ รวจรูปสเ่ี หลย่ี มแนบในวงกลม
4. ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)

ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

ในหัวขอ้ น้ี เป็นเร่ืองทฤษฎีบทของวงกลมที่เกยี่ วกับมุมทจี่ ุดศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโค้งของวงกลม ซึ่งนกั เรยี นจะไดท้ �ำ
กจิ กรรมเพอ่ื สร้างความร้ใู หมผ่ า่ นการลงมือปฏบิ ตั ิ รวมถึงการสำ�รวจโดยใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)
ท้ังนี้ การเรยี นเรื่องน้มี ุ่งให้นักเรียนเขา้ ใจทฤษฎบี ท และสามารถน�ำ ไปใชใ้ นการให้เหตุผลและแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ได้ แนวทาง
การจัดกิจกรรมการเรยี นรอู้ าจท�ำ ไดด้ ังนี้
1. ครใู ชก้ ารสนทนาเกย่ี วกบั สงิ่ ตา่ ง ๆ ในชวี ติ จรงิ ทมี่ ลี กั ษณะคลา้ ยวงกลม เพอ่ื เชอ่ื มโยงไปยงั วงกลมในทางคณติ ศาสตร์

และทบทวนสว่ นต่าง ๆ ของวงกลมท่นี ักเรียนรจู้ ักมาแล้ว
2. ครแู นะนำ�ให้นกั เรียนรูจ้ ักสว่ นต่าง ๆ ทเี่ ก่ียวขอ้ งกับวงกลมท่เี ปน็ พน้ื ฐานในการเรยี นหัวข้อน้ี ซง่ึ ได้แก่ ครึ่งวงกลม

สว่ นโคง้ ใหญ่ ส่วนโคง้ น้อย มุมทจ่ี ุดศนู ยก์ ลาง มุมในส่วนโค้งของวงกลม และมุมในคร่งึ วงกลม ทัง้ นี้ ครูอาจใช้
ชวนคดิ 2.1 ในหนงั สือเรียน หน้า 53 เพอ่ื ตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียนเก่ยี วกับสว่ นต่าง ๆ ทเี่ กย่ี วขอ้ งกับ
วงกลม
3. ครูควรให้นักเรียนได้สำ�รวจ และสร้างข้อความคาดการณ์ โดยใช้ “กิจกรรม : สำ�รวจมุมที่จุดศูนย์กลาง” ใน
หนงั สือเรยี น หนา้ 54 และบทสนทนาระหวา่ งข้าวสวยและข้าวกลอ้ ง รวมทัง้ ชวนคดิ 2.2 และขอ้ ค�ำ ถามของ
ข้าวหอม ในหนังสือเรียน หน้า 55 เพ่ือนำ�ไปสู่การสรุปความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับ
ความยาวของสว่ นโคง้ ทีร่ องรับมุมนัน้ ดงั นี้
1) ในวงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ ถา้ มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางมขี นาดเทา่ กนั แลว้ สว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั

จะยาวเท่ากนั
2) ในวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการ ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งน้ัน

จะมขี นาดเท่ากนั
3) ในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งท่ีรองรับมุมท่ีจุดศูนย์กลางน้ัน

จะยาวเทา่ กัน
4) ในวงกลมเดยี วกนั ถา้ สว่ นโคง้ ยาวเทา่ กนั แลว้ มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางทร่ี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ นน้ั จะมขี นาดเทา่ กนั
ท้ังน้ี การศกึ ษาทฤษฎบี ทเกย่ี วกับวงกลมภายหลงั จากน้ี จะศกึ ษาจากวงกลมเพียงวงเดียวเท่านั้น เน่อื งจาก

วงกลมสองวงทเี่ ทา่ กันทกุ ประการจะมีสมบัตติ า่ ง ๆ เหมอื นกัน เช่น เสน้ รอบวงยาวเทา่ กนั พ้นื ที่เท่ากนั ดงั นั้น
ในการศึกษาสมบัติเกี่ยวกับวงกลมจากวงกลมที่เท่ากันทุกประการสองวง จึงศึกษาจากวงกลมเพียงวงเดียวก็เป็น
การเพียงพอ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 95

4. ครูควรใหน้ กั เรยี นได้ส�ำ รวจ คาดการณ์ และสรปุ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งขนาดของมมุ ท่จี ุดศนู ยก์ ลางกบั ขนาดของ
มุมในส่วนโค้งของวงกลมท่ีรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน โดยใช้ “กิจกรรม : สำ�รวจมุมที่จุดศูนย์กลางและ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 57 และอาจใชม้ มุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หน้า 58 โดยดาวน์โหลด
สื่อสำ�เร็จรูปสำ�หรับซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) เพ่ือยืนยันข้อความคาดการณ์ที่ได้
ก่อนท่จี ะสรุปเป็นทฤษฎีบท

การสอนทฤษฎีบทเก่ียวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลมและส่วนโค้งที่รองรับมุม และทฤษฎีบทเกี่ยวกับ
มมุ ในคร่งึ วงกลม จะใชท้ ฤษฎีบทท่เี รยี นมาแล้วในการพสิ ูจน์และให้เหตุผล

สำ�หรับทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปส่ีเหล่ียมแนบในวงกลม ครูควรให้นักเรียนได้สำ�รวจ คาดการณ์ และสรุป
ความสมั พนั ธข์ องขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลย่ี มแนบในวงกลม โดยใช้ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจรปู สเ่ี หลย่ี มแนบใน
วงกลม” ในหนังสือเรียน หน้า 66 และอาจใช้มุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 67 โดยดาวน์โหลด
ส่ือสำ�เร็จรูปสำ�หรับซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) เพื่อยืนยันข้อความคาดการณ์ท่ีได้
กอ่ นทจี่ ะสรปุ เป็นทฤษฎีบท

5. เนอื่ งจากจดุ ประสงคข์ องบทเรยี นเนน้ ทกี่ ารน�ำ ทฤษฎบี ทไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแกป้ ญั หา ดงั นนั้ แบบฝกึ หดั
ท่ีให้นักเรียนหาขนาดของมุมต่าง ๆ น้ัน มีเจตนาให้นักเรียนได้ฝึกการนำ�ทฤษฎีบทไปใช้ในการให้เหตุผล
จากการหาขนาดของมมุ ดังเช่นตวั อยา่ งที่ 1 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 61

ส�ำ หรบั แบบฝกึ หัด 2.1 ก ข้อ 5 เป็นโจทยเ์ กยี่ วกับรปู สี่เหลี่ยมแนบในวงกลม เจตนาใหน้ กั เรียนใชค้ วามรู้
เกยี่ วกบั ทฤษฎบี ททเ่ี รยี นมาแกป้ ญั หา โดยครอู าจใชแ้ บบฝกึ หดั ขอ้ นมี้ าอภปิ รายอกี ครง้ั หลงั จากทนี่ กั เรยี นไดเ้ รยี น
ทฤษฎีบทของวงกลมเก่ียวกับรูปสี่เหล่ียมแนบในวงกลมแล้ว เพื่อช้ีให้นักเรียนเห็นว่า ในการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ
อาจทำ�ไดห้ ลายวิธี

6. สำ�หรับทฤษฎีบทของวงกลมในเรื่องรูปสี่เหล่ียมแนบในวงกลม หนังสือเรียนจะไม่แสดงการพิสูจน์บทกลับของ
ทฤษฎบี ททก่ี ลา่ ววา่ “ถา้ ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลย่ี มใด ๆ เทา่ กบั สองมมุ ฉาก แลว้ รปู สเ่ี หลย่ี มนน้ั
จะเป็นรูปส่ีเหลี่ยมแนบในวงกลม” ไว้ให้ แต่สำ�หรับนักเรียนที่มีความสนใจ ครูอาจให้นักเรียนศึกษาด้วยตนเอง
โดยดาวนโ์ หลดบทพสิ จู นจ์ าก QR Code ทา้ ยบทสนทนาของขา้ วปนั้ และขา้ วหอม ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 68 ทง้ั น้ี
แนวคิดในการพิสูจน์จะเป็นการพิสูจน์ทางอ้อม ซึ่งแตกต่างจากการพิสูจน์ที่นักเรียนได้เคยเรียนรู้มา กล่าวคือ
ในการพิสูจน์บทกลับนี้จะพิสูจน์โดยสมมุติให้ผลท่ีต้องการพิสูจน์เป็นเท็จ แล้วให้เหตุผลจนเกิดข้อขัดแย้งกับส่ิงท่ี
กำ�หนดใหห้ รอื สงิ่ ทที่ ราบวา่ เปน็ จริง จงึ สรปุ ไดว้ า่ ผลทต่ี อ้ งการพสิ จู นเ์ ปน็ จรงิ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

96 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

กจิ กรรม : สำ�รวจมมุ ทีจ่ ดุ ศนู ย์กลาง

กิจกรรมนี้ เป็นกจิ กรรมทใี่ หน้ กั เรียนได้ส�ำ รวจ คาดการณ์ และสรปุ ความสมั พันธร์ ะหวา่ งขนาดของมุมทีจ่ ุดศนู ย์กลางกบั
ความยาวของสว่ นโคง้ ทรี่ องรบั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั โดยลงมอื ปฏบิ ตั จิ รงิ แลว้ น�ำ ขอ้ สรปุ ทไ่ี ดม้ าอภปิ รายรว่ มกนั โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์
และข้นั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดังนี้

สอ่ื /อปุ กรณ์

1. กระดาษรูปวงกลมที่เท่ากนั ทุกประการ และกำ�หนดตำ�แหนง่ ของจุดศูนย์กลางมาให้ 1 แผ่น/คน
2. โพรแทรกเตอร์ หรือวงเวียน
3. กรรไกร

ข้ันตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม

1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 5 คน และแจกกระดาษรูปวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการให้นักเรียนทุกคน
จากนั้นให้นักเรียนแต่ละกลุ่มกำ�หนดขนาดของมุมที่น้อยกว่า 180° มาหนึ่งมุม เช่น 30°, 75°, 100°, 150°
หรอื อาจใช้การพับกระดาษเพื่อก�ำ หนดขนาดของมุม

2. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะคนใชโ้ พรแทรกเตอร์ หรอื วงเวยี น สรา้ งมมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางลงบนกระดาษรปู วงกลม ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั
ขนาดของมมุ ทก่ี ลมุ่ ก�ำ หนดขน้ึ โดยครอู าจแนะน�ำ ใหน้ กั เรยี นสรา้ งรศั มขี องวงกลมทจ่ี ะใชเ้ ปน็ แขนของมมุ แขนหนง่ึ กอ่ น
แล้วจึงใช้โพรแทรกเตอรว์ ดั มุมเพอื่ สรา้ งมุมตามขนาดทกี่ �ำ หนด หรอื ในกรณีท่นี กั เรยี นใช้การพับกระดาษเพ่อื ก�ำ หนด
ขนาดของมมุ การสรา้ งมมุ ให้มขี นาดเทา่ กบั มุมดังกลา่ ว จะตอ้ งใช้วงเวยี นในการสร้าง

3. ครูใหน้ ักเรยี นแต่ละคนตัดมมุ ท่ีจุดศนู ยก์ ลางของกระดาษรูปวงกลม โดยใช้กรรไกรตดั ตามสว่ นของเสน้ ตรงท่เี ป็นรัศมี
ของวงกลม

4. ครใู หน้ กั เรียนในกลมุ่ แต่ละคนน�ำ กระดาษช้นิ ทตี่ ัดมาพจิ ารณารว่ มกนั โดยอาจน�ำ มาวางในลักษณะเดยี วกัน หรือวาง
ซ้อนทบั กัน เพื่อเปรียบเทยี บขนาดของมุม และความยาวของส่วนโคง้ ท่รี องรบั มมุ ทจี่ ดุ ศูนย์กลางนนั้

5. ครูให้นักเรียนในกลุ่มร่วมกันอภิปรายเก่ียวกับขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลาง และความยาวของส่วนโค้งท่ีรองรับมุม
ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั แลว้ ตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม จากนน้ั ครนู �ำ อภปิ รายเกย่ี วกบั ขอ้ ความคาดการณข์ องนกั เรยี นทง้ั ชน้ั
เพื่อนำ�ไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับความยาวของส่วนโค้งท่ีรองรับมุม
เมอื่ กำ�หนดวงกลมท่เี ท่ากนั ทุกประการมาให้

เฉลยค�ำ ถามท้ายกจิ กรรม : สำ�รวจมมุ ที่จดุ ศนู ย์กลาง

1. สว่ นโคง้ ของกระดาษทกุ ชิน้ ท่ตี ดั มาได้ของนักเรียนในกลมุ่ เดยี วกันยาวเทา่ กัน เพราะทบั กันไดส้ นิทพอดี
2. ถา้ วงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ มขี นาดของมมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางเทา่ กนั แลว้ สว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั จะยาวเทา่ กนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 97

กิจกรรม : สำ�รวจมมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม

กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ให้นักเรียนได้สำ�รวจ คาดการณ์ และสรุปความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลาง
กบั ขนาดของมุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรับดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั โดยลงมือปฏิบตั ิจรงิ แล้วน�ำ ขอ้ สรุปทีไ่ ด้ไปอภิปรายร่วมกัน
โดยมีส่อื /อปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี

ส่ือ/อปุ กรณ์

1. กระดาษรูปวงกลมขนาดแตกตา่ งกัน ท่ีกำ�หนดตำ�แหนง่ ของจดุ ศูนยก์ ลางมาให้ 5 แผน่ /กล่มุ
2. กรรไกร

ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครแู บง่ นกั เรยี นออกเปน็ กลมุ่ กลมุ่ ละ 5 คน และแจกกระดาษรปู วงกลมทม่ี ขี นาดแตกตา่ งกนั ใหน้ กั เรยี น คนละ 1 แผน่
2. ครูให้นักเรียนแต่ละคนสร้างมุมที่จุดศูนย์กลางให้มีขนาดเท่าใดก็ได้ลงบนกระดาษรูปวงกลม และสร้างมุมในส่วนโค้ง

ของวงกลมทร่ี องรบั ดว้ ยส่วนโคง้ เดยี วกันกบั ส่วนโคง้ ทร่ี องรบั มุมที่จุดศนู ย์กลางน้นั อยา่ งน้อยคนละ 3 มุม
3. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะคนตดั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางของกระดาษรปู วงกลมของตนเองออกมา โดยใชก้ รรไกรตดั ตามสว่ นของ

เส้นตรงที่เปน็ รัศมขี องวงกลม
4. ครูใหน้ กั เรียนน�ำ กระดาษช้ินท่ีตัดมาซง่ึ เป็นเซกเตอรข์ องวงกลม มาพบั คร่งึ มมุ ของเซกเตอร์นั้น แล้วนำ�ไปวางทาบกบั

มุมในส่วนโค้งของวงกลมท่ีสร้างข้ึนในข้อ 2 ทุกมุม เพื่อเปรียบเทียบขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับขนาดของ
มุมในส่วนโคง้ ของวงกลมท้งั สามมุม
5. ครูให้นักเรียนในกลุ่มร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ทั้งสามมุมน้ัน แล้วตอบคำ�ถามท้ายกิจกรรม จากน้ันครูน�ำ อภิปรายเกี่ยวกับข้อความคาดการณ์ของนักเรียนท้ังชั้น
เพอ่ื นำ�ไปสู่ขอ้ สรุปเกีย่ วกับความสมั พันธร์ ะหวา่ งขนาดของมมุ ทจี่ ดุ ศนู ย์กลางกับขนาดของมุมในสว่ นโค้งของวงกลม

เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม : ส�ำ รวจมมุ ทจ่ี ุดศนู ยก์ ลาง
และมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม

1. ทับกนั สนทิ
2. เหมือนกัน กล่าวคอื มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ย์กลางที่พบั คร่ึงจะทับกับมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมสนิทพอดี
3. ในวงกลมวงเดียวกัน มุมท่ีจุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วย

ส่วนโค้งเดยี วกัน
หรือ ในวงกลมวงเดยี วกนั มุมในส่วนโค้งของวงกลมจะมขี นาดเป็นครงึ่ หนง่ึ ของขนาดของมมุ ท่ีจุดศนู ยก์ ลางทีร่ องรบั

ดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

98 บทที่ 2 | วงกลม คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

กิจกรรม : ส�ำ รวจรปู สเ่ี หลีย่ มแนบในวงกลม

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทใ่ี หน้ กั เรยี นไดส้ �ำ รวจ คาดการณ์ และสรปุ เกย่ี วกบั ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลย่ี ม
แนบในวงกลม โดยลงมอื ปฏบิ ตั จิ ริง แลว้ นำ�ขอ้ สรปุ ทไี่ ด้ไปอภิปรายรว่ มกนั โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และข้นั ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม
ดังน้ี

ส่ือ/อุปกรณ์

1. กระดาษรปู วงกลมขนาดแตกต่างกนั ทกี่ ำ�หนดตำ�แหน่งของจุดศูนย์กลางมาให้ 5 แผน่ /กลุ่ม
2. กรรไกร

ขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม

1. ครูแบง่ นกั เรียนออกเป็นกล่มุ กลุม่ ละ 5 คน และแจกกระดาษรูปวงกลมทม่ี ขี นาดแตกตา่ งกนั ใหน้ กั เรยี น คนละ 1 แผ่น
2. ครใู หน้ กั เรียนแตล่ ะคนสรา้ งรปู ส่ีเหลย่ี มใด ๆ ลงบนกระดาษรูปวงกลมโดยให้จดุ ยอดทั้งสอี่ ยูบ่ นวงกลม
3. ครูให้นักเรียนแต่ละคนตัดมุมของรูปส่ีเหลี่ยมออกมา 1 มุม แล้วนำ�มุมชิ้นที่ตัดมานั้น ไปต่อกับมุมท่ีอยู่ตรงข้ามกับ

มุมที่ตัดออกมา แล้วพจิ ารณาผลรวมของขนาดของมุมที่น�ำ มาตอ่ กนั
4. ครูให้นักเรียนในกลุ่มร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

แลว้ ตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม จากนน้ั ครนู �ำ อภปิ รายเกยี่ วกบั ขอ้ ความคาดการณข์ องนกั เรยี นทงั้ ชน้ั เพอ่ื น�ำ ไปสขู่ อ้ สรปุ
เกี่ยวกบั ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรปู ส่ีเหลยี่ มแนบในวงกลม

เฉลยคำ�ถามทา้ ยกิจกรรม : ส�ำ รวจรปู ส่เี หลยี่ มแนบในวงกลม

1. ผลรวมของขนาดของมุมท่ีได้น่าจะเท่ากับ 180° หรือสองมุมฉาก เพราะแขนของมุมท้ังสองท่ีไม่ใช่แขนท่ีร่วมกัน
อย่ใู นแนวเสน้ ตรงเดียวกัน

2. เหมือนกัน
3. ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรูปสเ่ี หลี่ยมแนบในวงกลม เท่ากบั 180° หรือสองมมุ ฉาก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 99

เฉลยชวนคิด

ชวนคิด 2.1 A

ipst.me/11421

B

O
E

D
C

ขอ้ ช่อื ของมุม ส่วนโคง้ ทรี่ องรบั มุม

1. มุมทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลาง AˆOC A�BC , A�DC
2. มมุ ในส่วนโค้งของวงกลม AˆOD A�D
3. มุมในคร่ึงวงกลม A�BD
มุมกลับ AOD C�D
C�BD
CˆOD A�DC
A�D
มมุ กลับ COD A�B
B�C
AˆBC B�AD
AˆBD , AˆCD C�D
A�DC
AˆCB
BˆAC , BˆDC

BˆCD
CˆBD
AˆBC

ชวนคดิ 2.2

1. ทับกนั ได้สนทิ
ipst .me /114 22 2. ยาวเทา่ กนั เพราะรปู เรขาคณติ ท่ีทับกันไดส้ นิทพอดี จะเทา่ กันทกุ ประการ และเนื่องจากเซกเตอร์ COW

สามารถหมนุ ไปทบั กับเซกเตอร์ DOG ได้สนทิ จงึ ท�ำ ให้ C�W ยาวเทา่ กับ D�G ดว้ ย
3. ในวงกลมวงเดยี วกนั ถา้ มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางมขี นาดเทา่ กนั แลว้ สว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางทง้ั สองนน้ั

จะยาวเท่ากนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี