คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

300 บทที่ 4 | ความน่าจะเปน็ คูม่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

2) ความนา่ จะเปน็ ทส่ี ุ่มหยิบได้ไพ่ท่ีมีหน้าไพเ่ ป็น 5 ในชดุ โพดำ�

เน่อื งจาก ผลลัพธท์ ง้ั หมดทเี่ กดิ ข้นึ จากการทดลองสมุ่ มี 52 แบบ

และเหตกุ ารณท์ ่สี ่มุ หยบิ ได้ไพ่ทมี่ ีหน้าไพ่เป็น 5 ในชุดโพดำ� มีผลลพั ธ์ คอื 5

จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เป็น 1
ดังนน้ั ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 5—12

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถหาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่ีก�ำ หนดให้

ข้อ 3 นักเรียนสามารถน�ำ ความรเู้ ก่ียวกับความน่าจะเป็นไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดงั นี้

✤ เขียนแสดงแนวคิด และหาคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิด แต่หาค�ำ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง

หรอื ไมเ่ ขียนแสดงแนวคิด แตห่ าค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

7. กิจกรรมสอยดาวของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการจัดทำ�สลากจำ�นวน 1,200 ใบ โดยให้นักเรียนเลือกได้คนละ 1 ใบ

เพื่อแลกรางวัล 1 ชิ้น รางวลั มีท้ังหมด 5 แบบ แบ่งเป็น

รางวัลที่ 1 จำ�นวน 50 ใบ

รางวัลที่ 2 จำ�นวน 150 ใบ

รางวัลที่ 3 จ�ำ นวน 200 ใบ

รางวลั ที่ 4 จ�ำ นวน 300 ใบ

รางวลั ท่ี 5 จ�ำ นวน 500 ใบ

ถ้านกั เรียนมาเลน่ กจิ กรรมสอยดาวเป็นคนแรก จงหา (8 คะแนน)

1) ความน่าจะเป็นทจี่ ะได้รางวลั ที่ 1

เนอ่ื งจาก ผลลพั ธ์ทง้ั หมดท่ีเกดิ ขน้ึ จากการทดลองสุ่ม มี 1,200 แบบ

จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตุการณท์ จ่ี ะไดร้ างวัลท่ี 1 เปน็ 50

ดงั น้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั 50 หรอื 214
1,200

2) ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะไดร้ างวลั ท่ี 2 หรือ 4

เนือ่ งจาก ผลลัพธ์ทั้งหมดท่เี กดิ ขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 1,200 แบบ

จะได้ จำ�นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์ทีจ่ ะไดร้ างวลั ที่ 2 หรอื 4 เป็น 450

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั   1  4,25000 หรอื –38

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความน่าจะเปน็ 301

3) ความนา่ จะเป็นท่จี ะได้รางวัลท่ี 3 และ 5

เนือ่ งจาก ผลลพั ธท์ ้ังหมดทเ่ี กดิ ขนึ้ จากการทดลองสุม่ มี 1,200 แบบ

และจากการท่สี มุ่ จับสลาก 1 ใบ จะไดร้ บั รางวลั เพียงรางวลั เดยี วเทา่ นัน้

จงึ ไม่มเี หตุการณ์ทีจ่ ะได้ท้ังรางวัลท่ี 3 และ 5

จะได้ จ�ำ นวนผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์ เปน็ 0

ดงั นน้ั ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ เทา่ กบั 0 หรือ 0
1,200

4) ความน่าจะเป็นทีจ่ ะไมไ่ ดร้ างวัลท่ี 1

เนอ่ื งจาก ผลลพั ธ์ทง้ั หมดที่เกดิ ขึน้ จากการทดลองสมุ่ มี 1,200 แบบ

และจากการที่สุม่ จบั สลาก 1 ใบ จะได้รบั รางวลั เพยี งรางวัลใดรางวลั หนง่ึ เท่าน้นั

ซึง่ ถ้าไมไ่ ด้รบั รางวลั ที่ 1 กจ็ ะต้องได้รบั รางวัลอน่ื ๆ อย่างแนน่ อน

จะได้ จ�ำ นวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ เป็น 1,200 – 50 = 1,150

ดังน้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เทา่ กบั 1,150 หรอื 23
1,200 24

8. ปรตี ิบรรจเุ พลงของศลิ ปนิ 2 วง วงละ 5 เพลง ทีไ่ มซ่ ำ้�กันลงในแฟลชไดร์ฟตวั หนึ่ง ในงานเล้ียงวันปใี หม่ ปรตี ิตอ้ งการเปิด

เพลงจากแฟลชไดรฟ์ ตวั นผี้ า่ นซอฟตแ์ วรเ์ ลน่ เพลงซอฟตแ์ วรห์ นง่ึ ทสี่ ามารถระบไุ ดว้ า่ จะเลน่ เพลงแบบสมุ่ (ระบบจะสมุ่ เพลง

1 เพลง จากเพลงทงั้ หมด ทกุ ครงั้ ทจี่ ะเลน่ เพลงตอ่ ไป) หรอื เลน่ เพลงแบบวนซ�ำ้ (ระบบจะเลน่ เพลงตามล�ำ ดบั ตงั้ แตเ่ พลงแรก

จนถึงเพลงสุดท้าย แล้ววนกลับมาเล่นเพลงแรกอกี คร้ังหนึ่ง) จงหา (8 คะแนน)

แนวคิด กำ�หนดให้

A1, A2, A3, A4 และ A5 แทน เพลงของศลิ ปินวงที่ 1 ล�ำ ดับท่ี 1, 2, 3, 4 และ 5 ตามลำ�ดบั
B1, B2, B3, B4 และ B5 แทน เพลงของศิลปินวงที่ 2 ลำ�ดบั ที่ 1, 2, 3, 4 และ 5 ตามล�ำ ดับ

1) ความนา่ จะเปน็ ท่พี ลเขา้ มาในงานขณะท่ีเพลงของศิลปินวงท่ี 1 กำ�ลงั เล่นอยู่ เม่ือปรตี ิเปดิ เลน่ เพลงแบบวนซ�ำ้

เนอ่ื งจาก ผลลัพธ์ทง้ั หมดที่เกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 10 แบบ

และจากการทพ่ี ลเข้ามาในงานเลยี้ งเมือ่ ใดกไ็ ด้

ดงั นั้น จะมีเพลงของศลิ ปินวงใดวงหน่งึ เท่าน้ันทก่ี �ำ ลังเล่นอยู่ในขณะนัน้

ซ่งึ ในแฟลชไดรฟ์ มเี พลงของศลิ ปนิ วงท่ี 1 อยู่ 5 เพลง

จะได้ จำ�นวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ เปน็ 5

ดงั นั้น ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 1—50 หรือ –12

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

302 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

2) ความนา่ จะเปน็ ท่ีนกิ รเข้ามาในงาน แลว้ ไดฟ้ งั เพลงของศลิ ปินทั้งสองวง เปน็ 2 เพลงแรก เม่ือปรตี เิ ปดิ เล่นเพลง

แบบวนซ�้ำ

เนอื่ งจาก ผลลัพธ์ท้งั หมดทเ่ี กดิ ขนึ้ จากการทดลองสุ่ม มี 10 แบบ คอื (A1, A2) , (A2, A3) ,
(A3, A4) , (A4, A5) , (A5, B1) , (B1, B2) , (B2, B3) , (B3, B4) , (B4, B5) , (B5, A1)
จะได้ จ�ำ นวนผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์ เป็น 2
ดังนั้น ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ เทา่ กบั 1—20 หรอื –15

แนวคดิ ในการแจกแจงผลลพั ธ์ ส�ำ หรบั ขอ้ 3)–4)

เพลงที่ 2 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5

เพลงท่ี 1

A1 (A1, A1) (A1, A2) (A1, A3) (A1, A4) (A1, A5) (A1, B1) (A1, B2) (A1, B3) (A1, B4) (A1, B5)
A2 (A2, A1) (A2, A2) (A2, A3) (A2, A4) (A2, A5) (A2, B1) (A2, B2) (A2, B3) (A2, B4) (A2, B5)
A3 (A3, A1) (A3, A2) (A3, A3) (A3, A4) (A3, A5) (A3, B1) (A3, B2) (A3, B3) (A3, B4) (A3, B5)
A4 (A4, A1) (A4, A2) (A4, A3) (A4, A4) (A4, A5) (A4, B1) (A4, B2) (A4, B3) (A4, B4) (A4, B5)
A5 (A5, A1) (A5, A2) (A5, A3) (A5, A4) (A5, A5) (A5, B1) (A5, B2) (A5, B3) (A5, B4) (A5, B5)
B1 (B1, A1) (B1, A2) (B1, A3) (B1, A4) (B1, A5) (B1, B1) (B1, B2) (B1, B3) (B1, B4) (B1, B5)
B2 (B2, A1) (B2, A2) (B2, A3) (B2, A4) (B2, A5) (B2, B1) (B2, B2) (B2, B3) (B2, B4) (B2, B5)
B3 (B3, A1) (B3, A2) (B3, A3) (B3, A4) (B3, A5) (B3, B1) (B3, B2) (B3, B3) (B3, B4) (B3, B5)
B4 (B4, A1) (B4, A2) (B4, A3) (B4, A4) (B4, A5) (B4, B1) (B4, B2) (B4, B3) (B4, B4) (B4, B5)
B5 (B5, A1) (B5, A2) (B5, A3) (B5, A4) (B5, A5) (B5, B1) (B5, B2) (B5, B3) (B5, B4) (B5, B5)

3) ความน่าจะเปน็ ที่ 2 เพลงแรก จะเปน็ เพลงจากศลิ ปนิ ตา่ งวงกัน เมือ่ ปรตี ิเปดิ เลน่ เพลงแบบสมุ่

เนอื่ งจาก ผลลพั ธท์ ้งั หมดที่เกิดขึ้นจากการทดลองสุม่ มี 100 แบบ

จะได้ จำ�นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์ เป็น 50

ดังนนั้ ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ เท่ากับ 1—5000 หรือ –12

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเปน็ 303

4) ความนา่ จะเปน็ ท่ี 2 เพลงแรก จะเป็นเพลงจากศลิ ปินวงที่ 2 เพลงที่ 4 อย่อู ย่างนอ้ ย 1 เพลง เมอื่ ปรีตเิ ปิดเล่น

เพลงแบบส่มุ

เนือ่ งจาก ผลลัพธท์ ง้ั หมดท่เี กดิ ขน้ึ จากการทดลองสมุ่ มี 100 แบบ

จะได้ จำ�นวนผลลัพธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 19

ดังนน้ั ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ เทา่ กบั 1—1090

สำ�หรับข้อ 7–8

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรยี นสามารถหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทก่ี �ำ หนดให้

ขอ้ 3 นักเรียนสามารถนำ�ความรเู้ กยี่ วกบั ความนา่ จะเปน็ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 8 คะแนน ข้อย่อยละ 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังน้ี

✤ เขยี นแสดงแนวคิด และหาค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าคำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง

หรือไม่เขียนแสดงแนวคิด แตห่ าค�ำ ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคิด และหาค�ำ ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

304 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเปน็ คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ 305

บทท่ี 5 อตั ราส่วนตรโี กณมิติ

ในบทอัตราส่วนตรโี กณมติ นิ ี้ ประกอบดว้ ยหัวขอ้ ยอ่ ย ดงั ตอ่ ไปนี้

5.1 ความหมายของอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 3 ชั่วโมง
5.2 อัตราส่วนตรีโกณมติ ิของมุมแหลม 3 ช่ัวโมง
5.3 การนำ�อัตราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใช้
ในการแกป้ ญั หา 4 ชว่ั โมง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต
และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำ�ไปใช้

ตัวชี้วดั

เขา้ ใจและใชค้ วามรู้เกี่ยวกับอตั ราสว่ นตรโี กณมิตใิ นการแก้ปัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปัญหาในชวี ิตจรงิ

จดุ ประสงคข์ องบทเรียน

นักเรยี นสามารถ
1. เขา้ ใจความหมายและหาค่าของอตั ราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมุมแหลมขนาดต่าง ๆ
2. น�ำ ความรูเ้ ก่ยี วกับอัตราส่วนตรโี กณมิติไปใช้ในการแกป้ ัญหา

ความเชอื่ มโยงระหว่างตวั ชี้วัดกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

เนอ่ื งจากตวั ชว้ี ดั กลา่ วถงึ ความเขา้ ใจและการใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ใิ นการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หา

ในชีวิตจรงิ ดงั นั้น เพือ่ ใหก้ ารเรียนร้ขู องนกั เรยี นในเรอื่ งอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิสอดคลอ้ งกบั ตวั ชวี้ ัด ครูควรจัดประสบการณใ์ ห้

นกั เรยี นสามารถ

1. เข้าใจเก่ียวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซ่ึงสะท้อนได้จากการท่ีนักเรียนสามารถบอกความหมายและหาค่าของไซน์

โคไซน์ และแทนเจนต์ ของมมุ แหลมจากรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก หาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศา

60 องศา และ 45 องศา รวมถึงหาค่าของอตั ราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมุมแหลมขนาดตา่ ง ๆ จากตารางแสดงคา่ ของ

อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

306 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

2. ใช้ความรูเ้ ก่ยี วกบั อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปัญหาในชวี ิตจรงิ ซ่ึงสะท้อนได้จากการที่
นักเรียนสามารถแปลงปญั หาในชีวติ จริงใหเ้ ปน็ แบบจำ�ลองทางเรขาคณติ แลว้ ใช้ความรเู้ รือ่ งอัตราส่วนตรโี กณมิติ
มาช่วยในการแกป้ ญั หาดังกล่าว

ความคิดรวบยอดของบทเรยี น

อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นอัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีสัมพันธ์กับขนาดของมุม ซ่ึงเม่ือ
ทราบขนาดของมุมและความยาวของด้านใดด้านหน่ึงของรปู สามเหลีย่ มมุมฉากแล้ว จะสามารถน�ำ ไปใช้ในการหาความยาวของ
ด้านอ่นื ๆ ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากนั้นได้ เราสามารถแกป้ ญั หาหรือสถานการณต์ า่ ง ๆ ในชวี ติ จริง โดยเฉพาะปญั หาทเี่ กยี่ วขอ้ ง
กับระยะทางหรือความสูง โดยแปลงปัญหาให้เป็นแบบจำ�ลองทางเรขาคณิต แล้วใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติมาช่วยใน
การแกป้ ัญหา

ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

หวั ข้อ

ทกั ษะและ 5.1 5.2 5.3 กิจกรรม
กระบวนการทาง ความหมายของ อตั ราสว่ น การนำ�อัตราสว่ น ท้ายบท/
ตรีโกณมติ ิ แบบฝกึ หัด
คณิตศาสตร์ อัตราสว่ น ของมุมแหลม ตรโี กณมติ ิ ทา้ ยบท
ตรโี กณมติ ิ ไปใช้ใน
การแก้ปญั หา ✤
การส่ือสารและ การแกป้ ัญหา
การสอ่ื ความหมายทาง
คณติ ศาสตร์ ✤✤
การเช่ือมโยง
การให้เหตุผล ✤✤
การคิดสรา้ งสรรค์
✤✤✤
✤✤

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมิติ 307

ความเช่ือมโยงของความรู้

ความรพู ื้นฐาน ✤ รปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั เพอ่ื ใชใ้ นการพสิ จู นว์ า่ ส�ำ หรบั รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากใด ๆ
อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิเดียวกนั ของมุมทม่ี ขี นาดเท่ากัน จะมีค่าเทา่ กนั

✤ อตั ราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั เพอื่ เปน็ พนื้ ฐานในการเปรยี บเทยี บคา่ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ อง
รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉากทีค่ ล้ายกนั

✤ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพ่ือใช้ในการหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30°, 45°
และ 60°

✤ จำ�นวนอตรรกยะ เช่น การหาค่าประมาณของ √2 , √3 เพ่ือเป็นพ้ืนฐาน
ในการค�ำ นวณหาคำ�ตอบจากคา่ อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ

✤ ความหมายของไซน์ (sine) โคไซน์ (cosine) และแทนเจนต์ (tangent) ของ
มมุ แหลมของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก

ในรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ทม่ี มี มุ C เปน็ มมุ ฉาก และมมี มุ A เปน็ มมุ แหลม

sin A =   ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A  
ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

ความรู co s A =    ความยาวของด้านประชดิ มมุ A   
ในบทเรยี น ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก

tan A =   คคววาามมยยาาววขขอองงดด้าา้ นนตปรรงะขชา้ ดิ มมมมุ มุ AA 

✤ อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม คือ ค่าของ sin A, cos A และ tan A
เมอื่ 0° < A < 90°

◆ สำ�หรับกรณีที่ A มีค่าเท่ากับ 30°, 45° หรือ 60° ค่าของอัตราส่วน
ตรโี กณมติ สิ ามารถหาไดจ้ ากการพจิ ารณารปู สามเหลย่ี มโดยใชท้ ฤษฎบี ท
พีทาโกรัส และสมบัติบางประการของรูปสามเหล่ียมด้านเท่าและ
รูปสามเหล่ยี มหนา้ จวั่

◆ สำ�หรับกรณีท่ี A เป็นมุมแหลมอื่น ๆ ค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
อาจหาไดจ้ ากตารางแสดงค่าอัตราส่วนตรีโกณมติ ิ

✤ การน�ำ อัตราส่วนตรโี กณมิตไิ ปใชใ้ นการแกป้ ญั หา จะตอ้ งแปลงปัญหาในชวี ติ จรงิ
ใหเ้ ปน็ แบบจ�ำ ลองทางเรขาคณติ จากนน้ั จงึ เลอื กใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ทิ เ่ี หมาะสม
ในการแก้ปญั หา

ความรูในอนาคต อัตราส่วนตรีโกณมิติเป็นพื้นฐานสำ�คัญในการเรียนรู้เร่ืองฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เวกเตอรใ์ นปรภิ มู สิ ามมติ ิ การเขยี นจ�ำ นวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชงิ ขว้ั การค�ำ นวณหาขนาด
ของแรงยอ่ ยในวิชาฟิสิกส์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

308 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คูม่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

l ลำ�ดับการจัดกจิ กรรมการเรยี นรขู้ องบทเรียน

ทบทวนความร้เู รอื่ งรปู สามเหล่ียมท่ีคลา้ ยกนั ทฤษฎีบทพีทาโกรัส และจำ�นวนอตรรกยะ

แนะน�ำ ความหมายของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์
และท�ำ กิจกรรมเพอ่ื สรุปเกยี่ วกบั สมบัติของอตั ราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมุมทมี่ ขี นาดเท่ากนั

พรอ้ มกบั ฝกึ หาค่าของอตั ราส่วนตรโี กณมิตขิ องมมุ แหลมจากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก

อภิปรายและใหเ้ หตผุ ลเพ่ือหาค่าของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมุมทม่ี ขี นาด 30°, 60° และ 45°
จากรูปสามเหลี่ยมด้านเทา่ และรูปสามเหล่ียมมมุ ฉากหนา้ จวั่

แนะน�ำ วิธีการหาคา่ ของอตั ราส่วนตรีโกณมิติของมมุ แหลมขนาดอ่ืน ๆ จากตาราง
และอภปิ รายเกยี่ วกบั ค่าของอัตราส่วนตรโี กณมิติ เมื่อขนาดของมมุ เพ่ิมข้ึนหรือลดลง

สนทนาเกย่ี วกบั การใชอ้ ตั ราส่วนตรีโกณมติ ใิ นการแกป้ ัญหาและสถานการณ์ตา่ ง ๆ ในชีวติ จรงิ
จากนัน้ ทำ�กจิ กรรมเพ่ือให้เขา้ ใจถึงวิธีการนำ�อตั ราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแกป้ ัญหาในชวี ิตจริง

และฝกึ ใช้ความรเู้ กยี่ วกบั อตั ราส่วนตรีโกณมิตใิ นการแกป้ ญั หาจากสถานการณต์ า่ ง ๆ

สรปุ บทเรยี นเรอ่ื ง อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ
และฝกึ แก้ปัญหาโดยทำ�กจิ กรรมทา้ ยบทและแบบฝึกหดั ทา้ ยบท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมิติ 309

5.1 ความหมายของอัตราสว่ นตรโี กณมิติ (3 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นักเรียนสามารถ
1. บอกความหมายของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ของมุมแหลมจากรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก
2. หาค่าของอัตราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมมุ แหลมจากรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก

ความเข้าใจที่คลาดเคล่อื น

-


ส่ือที่แนะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

1. อปุ กรณข์ องกจิ กรรม : สบื เสาะสมบตั พิ เิ ศษ
2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)

ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเร่ืองเก่ียวกับอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซ่ึงประกอบด้วยไซน์ (sine)
โคไซน์ (cosine) และแทนเจนต์ (tangent) ครคู วรให้นกั เรียนทำ�กิจกรรมเพ่อื สำ�รวจ สังเกต สร้างขอ้ ความคาดการณ์ ซ่ึงน�ำ ไป
สู่ขอ้ สรปุ เกยี่ วกับสมบตั ขิ องอตั ราสว่ นตรีโกณมิติ แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรียนรอู้ าจท�ำ ได้ดงั น้ี
1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับคำ�ว่า “ตรีโกณมิติ” และยกตัวอย่างสถานการณ์ท่ีใช้ความรู้ทางตรีโกณมิติเป็น

เคร่อื งมอื ในการแก้ปญั หา เพือ่ ให้นักเรยี นเห็นประโยชนข์ องตรโี กณมติ ิ
2. ครแู นะน�ำ ใหน้ กั เรยี นรจู้ กั อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ทิ ง้ั หกแบบ ซงึ่ ในบทเรยี นนี้ นกั เรยี นจะไดเ้ รยี นรเู้ พยี งสามแบบ ไดแ้ ก่

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ทง้ั น้ี ในการหาคา่ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ แิ บบตา่ ง ๆ ครคู วรเนน้ ใหน้ กั เรยี นระบใุ หช้ ดั เจน
ว่ากำ�ลังกล่าวถึงอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมใด จากนั้น ให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : สืบเสาะสมบัติพิเศษ”
ในหนังสอื เรียน หน้า 209–210 โดยใหน้ กั เรยี นได้ลงมือปฏบิ ตั เิ พื่อส�ำ รวจและสร้างขอ้ ความคาดการณ์เก่ยี วกบั
อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากทง้ั สามแบบ ซง่ึ จะน�ำ ไปสขู่ อ้ สรปุ วา่ ส�ำ หรบั รปู สามเหลยี่ ม
มุมฉากใด ๆ อตั ราส่วนตรโี กณมิติเดียวกันของมุมทม่ี ีขนาดเทา่ กันจะมีค่าเทา่ กัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

310 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ทั้งนี้ จากการทำ�กิจกรรม หากพบว่าค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมท่ีมีขนาดเท่ากัน มีค่า
ไมเ่ ทา่ กนั ครคู วรใชก้ ารอภปิ รายเพอ่ื ชใ้ี หเ้ หน็ วา่ ความคลาดเคลอ่ื นทเ่ี กดิ ขน้ึ อาจมาจากการสรา้ งและการวดั ความยาว
ของดา้ นของรูปสามเหล่ยี ม

ในการทำ� “กิจกรรม : สืบเสาะสมบัติพิเศษ” ข้างต้นน้ี ครูอาจให้นักเรียนสร้างและสำ�รวจรูปสามเหล่ียม
มมุ ฉากในลกั ษณะอน่ื ๆ เพมิ่ เตมิ โดยใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometerʼs Sketchpad (GSP) เพอื่ ส�ำ รวจรปู สามเหลยี่ ม
มมุ ฉากท่หี ลากหลาย และยืนยันข้อความคาดการณท์ สี่ ร้างใหม้ คี วามนา่ เช่ือถอื มากขน้ึ

3. ครูทบทวนเร่ืองรูปสามเหลี่ยมท่ีคล้ายกัน เพื่อใช้ในการอภิปรายร่วมกับนักเรียนเก่ียวกับการพิสูจน์ว่า “สำ�หรับ
รปู สามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิเดียวกันของมุมทม่ี ีขนาดเท่ากนั จะมคี ่าเทา่ กนั ”

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมิติ 311

กจิ กรรม : สืบเสาะสมบัตพิ เิ ศษ

กจิ กรรมนี้ มงุ่ ใหน้ กั เรยี นไดล้ งมอื ปฏบิ ตั เิ พอื่ ส�ำ รวจและสรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กย่ี วกบั ความสมั พนั ธข์ องคา่ ของอตั ราสว่ น
ตรีโกณมิติจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน เพ่ือนำ�ไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับสมบัติของอัตราส่วนตรีโกณมิติ โดยมีส่ือ/อุปกรณ์
และข้นั ตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดงั นี้

สือ่ /อปุ กรณ์

1. ไมบ้ รรทัด
2. โพรแทรกเตอร์
3. เครื่องคิดเลข

ขนั้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็น 3 กลุ่ม แล้วให้นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันทำ� “กิจกรรม : สืบเสาะสมบัติพิเศษ” ใน
หนงั สอื เรยี น หนา้ 209–210

2. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ สงั เกต เปรยี บเทยี บ และอภปิ รายเกยี่ วกบั คา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ใิ นรปู ทศนยิ มทไี่ ดจ้ าก
ตาราง

3. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั สรปุ ข้อสังเกตทไี่ ด้จากกจิ กรรม

เฉลยกจิ กรรม : สืบเสาะสมบตั ิพิเศษ

3. คา่ ของอัตราสว่ นตรโี กณมิติทีไ่ ด้จากนกั เรียนแตล่ ะคนในกลุม่ อาจแตกตา่ งกนั แต่ควรมคี ่าใกล้เคียงกัน
4. ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A ท่ีได้คือ “อัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุม A มีค่า

เทา่ กัน”
5. ขอ้ ความคาดการณด์ งั กล่าวยงั คงเหมอื นเดิม คอื “อัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกนั ของมุม A มคี ่าเท่ากัน”

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

312 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมิติ คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยชวนคิด

ชวนคดิ 5.1

มุมหรอื อัตราส่วนตรโี กณมิติ ในแตล่ ะขอ้ มีความสัมพันธ์กันดังน้ี

ipst .me/ 114 44 1. ผลบวกของขนาดของมมุ A และ มมุ B เท่ากับ 90 องศา

หรอื มุม A เป็นมมุ ประกอบมุมฉากของมมุ B

หรอื มมุ B เป็นมมุ ประกอบมุมฉากของมุม A

2. sin A = cos B

3. cos A = sin B

4. ta n A =    1   
tan B

5. ta n A = sin A
cos A

ชวนคิด 5.2

J

ipst.me/11409

A B C D E F GHI

กำ�หนดให้ ˆA = 10° , ˆB = 20° , ˆC = 30° , ˆD = 40° , ˆE = 50° , ˆF = 60° , ˆG = 70° และ ˆH = 80°

1. จากรูป จะไดว้ ่า tan 10° = A—IJI , tan 20° = —BIJI , tan 30° = —CIJI , ... , tan 80° = —HIJI
เนือ่ งจาก AI > BI > CI > … > HI

จะได้ว่า A—IJI < —BIJI < —CIJI < … < —HIJI
ดังนัน้ tan 10° < tan 20° < tan 30° < ... < tan 80°

นั่นคอื สามารถเรยี งลาํ ดับค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติจากนอ้ ยไปมากตามลำ�ดับได้ดงั น้ี

tan 1° , tan 2° , tan 3° , … , tan 88° , tan 89°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 313

2. จากรปู จะไดว้ า่ sin 10° = A—IJJ , sin 20° = —BIJJ , sin 30° = —CIJJ , ... , sin 80° = H—IJJ
เนอื่ งจาก AJ > BJ > CJ > … > HJ

จะไดว้ ่า A—IJJ < —BIJJ < —CIJJ < … < H—IJJ
ดังนั้น sin 10° < sin 20° < sin 30° < ... < sin 80°

น่ันคือ สามารถเรยี งลาํ ดบั คา่ ของอัตราส่วนตรโี กณมติ ิจากน้อยไปมากตามล�ำ ดับไดด้ งั น้ี

sin 1°, sin 2°, sin 3°, … , sin 88°, sin 89°

3. เน่อื งจาก ถา้ A + B = 90° แล้ว sin A = cos B

จะไดว้ า่ sin 10° = cos 80° , sin 20° = cos 70° , sin 30° = cos 60° , … , sin 80° = cos 10°

เนือ่ งจาก sin 10° < sin 20° < sin 30° < ... < sin 80°

จะได้วา่ cos 80° < cos 70° < cos 60° < ... < cos 10°

น่ันคอื สามารถเรยี งลาํ ดับค่าของอัตราสว่ นตรีโกณมิตจิ ากน้อยไปมากตามล�ำ ดับไดด้ ังนี้

cos 89° , cos 88° , cos 87° , … , cos 2° , cos 1°

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 5.1

1. Y sin X = 34—..65 = 4–5 หรือ 0.8
2.7 cos X = 24—..75 = –35 หรือ 0.6
X tan X = 32—..67 = 4–3
4.5 3.6 sin Z = 24—..75 = –35
Z cos Z = 34—..65 = –45
tan Z = 23—..76 = 3–4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

314 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2. P sin SˆPQ = 7—1.22 = –35
cos SˆRQ = 5—9.4 = –35
tan SˆQR = 57—..42 = 3–4
9.6 sin RˆPQ = 1—95 = 3–5
cos PˆQS = 7—1.22 = 3–5
12 S tan PˆRQ = 1—92 = 4–3
7.2 5.4




Q 9 R

3. 1) DˆCA 2) AˆBD 3) CˆAD
4) CˆAD 5) DˆAB 6) DˆAB

4. R แนวคิด จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได้ PR2 = 8.12 + 10.82

= 182.25

8.1 PR = 13.5 หน่วย

ดังนัน้ sin P – tan R = 1—83..15 – 1—80..18 = - 11—15

Q
10.8
P

5. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแกป้ ัญหาได้ดังน้ี
C จากภาพ จะได้ tan A = —A10B


เน่ืองจาก tan A = 2

ดังนน้ั 2 = —A10B

10 จะได้ AB = 5 หน่วย

จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได้ AC2 = 52 + 102 = 125

AC = 5√5

ดงั นน้ั sin A =    10    =    2    = 2√5
A B 5√5 √5 5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ 315

6. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแกป้ ัญหาไดด้ งั นี้ —R5P

จากภาพ จะได ้ cos P = √2
2
R

เนื่องจาก cos P =

ดังน้ัน √22 = —R5P

จะได้ RP = √—102 = 10√2 = 5√2 หนว่ ย
2
จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้ QR2 = (5√2)2 – 52 = 25


P 5 Q QR = 5

ดงั นนั้ tan R = 5–5 = 1

7. แนวคิด 1 เนอื่ งจาก DJKL เปน็ รปู สามเหล่ยี มหนา้ จ่ัวท่มี มี มุ JLK เปน็ มุมฉาก L

จะได้ KL = LJ = 16 หนว่ ย และ JˆKL = KˆJL = 45° 45°

พิจารณารูปสามเหลีย่ มมุมฉาก JKL 16 M 16

จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส จะได้ JK2 = 162 + 162 = 512 L 45°

JK = 16√2 หนว่ ย 45° 45° K

จากสมบตั ิของรูปสามเหลีย่ มหนา้ จวั่ JKL จะได้ J M 16

MK = J—2K = 16√2 = 8√2 หน่วย 45°
2
K
เนอ่ื งจากรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก MKL มี MˆKL = 45° จะได้วา่ KˆLM = 45°

ดงั น้นั รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก MKL เปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจว่ั

นน่ั คอื LM = MK = 8√2 หนว่ ย

ดงั น้นั sin MˆKL = 8√2 = √2
16 2

แนวคิด 2 เนื่องจาก DJKL เปน็ รปู สามเหลี่ยมหนา้ จ่ัวทีม่ ีมุม JLK เปน็ มุมฉาก

จะได้ LK = LJ = 16 หนว่ ย และ JˆKL = KˆJL = 45°

พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก LMK 16

จะได้ MˆKL = MˆLK = 45° และ LM = MK 45°

จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได้ LK2 = LM2 + MK2 J

162 = LM2 + LM2

256 = 2LM2
LM2 = 128

LM = 8√2 หน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

316 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คูม่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ด งั นน้ั sin MˆK L = 8√2 = √2
16 2

แนวคดิ 3 เนื่องจาก DJKL เปน็ รูปสามเหลย่ี มหนา้ จัว่ ท่มี ี JˆLK เปน็ มมุ ฉาก L
M
จะได้ KL = LJ = 16 หน่วย 16 16
พจิ ารณารปู สามเหล่ียมมุมฉาก JKL K

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ JK2 = 162 + 162 = 512

JK = 16√2 หนว่ ย J

หากให้ LJ เปน็ ฐานของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก JKL จะได้ KL เปน็ ส่วนสูง

ดงั นนั้ พ้นื ที่ของ DJKL = –12(16)(16) ตารางหน่วย

แต่ถ้าให้ JK เป็นฐานของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก JKL จะได้ LM เปน็ ส่วนสงู

ดงั นั้น พนื้ ทขี่ อง DJKL = –12(16√2)(LM) ตารางหนว่ ย

1–2(16)(16) = 1–2(16√2)(LM)

L M =  16  หนว่ ย
√2

sin MˆKL =  16  = —√162 × 1—16 = —√12 = √—22
ดังนน้ั
√2
16

8. แนวคิด เนอื่ งจาก DACD มีพืน้ ท่ี 60 ตารางหนว่ ย
60 = –12 × AC × 12
จะได้ D

ดงั น้ัน AC = 10

นัน่ คือ tan CˆDA = CA—DC = 11—02 = 5–6 12

เนอ่ื งจากจุด B เปน็ จุดก่งึ กลางของ AC

จะได ้ BC = 5

พิจารณา DBCD
จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได ้ DB2 = 52 + 122 = 169

DB = 13 หน่วย ABC

ดงั นนั้ cos DˆBC = —DBCB = 1—53

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ 317

5.2 อัตราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมมุ แหลม (3 ชัว่ โมง)

จดุ ประสงค์

นกั เรยี นสามารถ
1. บอกคา่ ของอตั ราส่วนตรโี กณมิตขิ องมมุ 30° , 45° และ 60°
2. หาคา่ ของอตั ราส่วนตรโี กณมิติของมุมแหลมขนาดต่าง ๆ จากตาราง
3. นำ�ความรู้เกยี่ วกบั อัตราส่วนตรีโกณมติ ิไปใช้ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

ความเขา้ ใจทีค่ ลาดเคลอื่ น

-

ส่ือท่ีแนะนำ�ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้

1. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก
2. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมุม

ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม ซ่ึงนักเรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม
ทม่ี ขี นาด 30° , 45° และ 60° และอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ แหลมขนาดตา่ ง ๆ จากตาราง ตลอดจนการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์
โดยใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรอู้ าจทำ�ได้ดังน ี้
1. ครูทบทวนเก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหล่ียมด้านเท่า รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว และทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากน้ัน

ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับการหาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมท่ีมีขนาด 30 องศา และ
60 องศา จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และการหาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 45 องศา
จากรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากหน้าจัว่ ในหนังสอื เรยี น หน้า 218–219 โดยมีแนวทางในการให้เหตุผลแตล่ ะข้อ ดงั น้ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

318 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

มมุ ทีม่ ีขนาด 30° และ 60° จากรปู กำ�หนดให้ DABC เป็นรูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ทีม่ ี AB = 2 หนว่ ย
และ D เป็นจดุ กึ่งกลางของ AC
B

2

A DC

ขอ้ ที่ ขอ้ ความ เหตผุ ล

1 AD = 1 หน่วย จุด D เป็นจดุ กง่ึ กลางของ AC และ AC = AB = 2 หน่วย
2 BD = √3 หน่วย
ทฤษฎีบทพที าโกรัส
3 AˆBD = 30°
สมบตั ขิ องรปู สามเหลยี่ มหน้าจ่วั ทว่ี า่ “เส้นที่ลากจากมมุ ยอดของ
รปู สามเหลี่ยมหนา้ จัว่ มาต้งั ฉากกับฐาน จะแบง่ คร่ึงมมุ ยอดของ
รูปสามเหล่ยี มหน้าจัว่ ”

4 sin 30° = 1–2 sin 3 0° = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ 30°
ความยาวของด้านตรงขา้ มมุมฉาก

5 c os 3 0° = √3 cos 30° =  ความยาวของด้านประชิดมมุ 30°
2 ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก

6 tan 3 0° = 1    tan 30° = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ 30°
√3 ความยาวของดา้ นประชดิ มุม 30°

7 ˆA = 60° มุมภายในแต่ละมุมของรูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ มขี นาดเทา่ กบั 60°

8 sin 6 0° = √3 s in 60 ° =  คคววาามมยยาาววขขอองงดดา้ ้านนตตรรงงขข้าา้ มมมมมุ มุ ฉ6า0ก°
2

9 cos 60° = 1–2 cos 6 0° = ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ 60°
ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

10 tan 60° = √3 tan 60° = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ 60°
 ความยาวของด้านประชิดมุม 60°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 319

มมุ ท่มี ขี นาด 45°

C

จากรูป ก�ำ หนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากหน้าจว่ั ท่มี ี AB = 1 หน่วย

A 1B

ข้อที่ ข้อความ เหตผุ ล

1 BC = 1 หนว่ ย ด้านประกอบมมุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั ยาวเท่ากนั
และ AB = 1 หนว่ ย

2 AC = √2 หนว่ ย ทฤษฎีบทพที าโกรัส

3 ˆA = 45° มมุ ทฐ่ี านของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ มขี นาดเทา่ กนั และ ˆA +ˆC = 90°

4 s in 4 5° = 1 sin 4 5° = ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม 45°
√2 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

5 cos 4 5° = 1 c os 4 5° = ความยาวของด้านประชดิ มุม 45°
√2 ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉาก

6 tan 45° = 1 t an 4 5° = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ 45°
ความยาวของดา้ นประชดิ มมุ 45°

2. ครอู าจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก” ในค่มู ือครู หนา้ 320–322 เพ่อื ฝกึ การบอกค่าของอตั ราส่วน
ตรโี กณมติ ขิ องมุม 30° , 45° และ 60°

3. ครแู นะน�ำ การหาคา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ แหลมขนาดอน่ื ๆ โดยใชต้ ารางแสดงคา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ
จากตารางในหนงั สือเรียน หน้า 226–227 ครอู าจให้นกั เรียนสงั เกตคา่ ของไซน์และโคไซนข์ องมุมทม่ี ขี นาดอยู่
ระหว่าง 0° และ 90° จากตาราง ซึง่ จะเห็นว่า ค่าของไซน์และโคไซน์มีค่าอยรู่ ะหว่าง 0 และ 1 และเมอ่ื ขนาด
ของมุมเพิ่มมากขึ้น ค่าของไซน์และแทนเจนต์จะมีค่าเพ่ิมมากข้ึนด้วย แต่ในทางกลับกัน เม่ือขนาดของมุม
เพิม่ มากขึน้ ค่าของโคไซนจ์ ะมีค่าลดลง

4. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมมุ ” ในคมู่ ือครู หนา้ 323–325 เพ่ือฝึกทักษะการประมาณคา่
ขนาดของมุมแหลมขนาดอ่ืน ๆ ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากโดยใช้ตารางแสดงค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ของมุมแหลม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

320 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ฝึกความคล่องในการบอกค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30° , 45°
และ 60° โดยมสี อ่ื /อุปกรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดงั น ้ี

ส่ือ/อุปกรณ์

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก

ขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม

1. ครใู ห้นักเรยี นแตล่ ะคนท�ำ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก
2. ครูใหน้ ักเรยี นช่วยกันเฉลยค�ำ ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 321

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก

สายฟ้าต้องการหาเส้นทางเพ่ือไปท่ีสวนสนุก โดยสายฟ้าจะต้องเลือกเส้นทางที่เป็น
คำ�ตอบของกระเบ้ืองปริศนาท่ีตนเองยืนอยู่ เพื่อนำ�ไปสู่กระเบื้องปริศนาถัดไป ให้นักเรียน
ช่วยสายฟา้ หาทางออกไปยังสวนสนุก


เรม่ิ ตน้

sin 30° 1–2 cos 45° √2 tan 30° √—13 (cos 45°)2
√3
√—23 —√12 —√12 √—23 3–4 1–2

cos 60 ° –12 (t an 30°)2 √3 4 sin 45 ° 2√2 tan 60°
tan 30°
√—23 1–3 √—13 3 4√2 –13
3

2 sin 3 0° 2 (tan 60°) 2 √3 sin 3300°° —√13 sin 30°
cos sin 60°
1 3 –12 1–2 √—33
√—23 √3

3 tan 45° 3√2 cos 30° √—23 sin 3405°° 1–2
tan

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

322 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ค่มู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก


เรม่ิ ตน้

sin 30° –12 cos 45° √2 tan 30° √—13 (cos 45°)2
√3
√—23 —√12 —√12 √—23 –34 1–2
tan 60°
cos 60 ° 1–2 (t an 30°)2 √3 4 sin 45 ° 2√2 tan 30°

√—23 –13 √—13 3 4√2 1–3 3
sin 30°
2 sin 3 0° 2 (tan 60°) 2 √3 sin 3300°° —√13 sin 60°
cos
√—33 √3
1 3 –12 –12 √—23
1–2
3 tan 45° 3√2 cos 30° √—23 sin 3405°°
tan

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ 323

กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมุม

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเ่ี นน้ ใหน้ กั เรยี นฝกึ ทกั ษะการประมาณคา่ ขนาดของมมุ แหลมจากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากทก่ี �ำ หนดให้
โดยใช้ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ จากตารางแสดงค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม โดยมีสื่อ/อุปกรณ์ และ
ขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดงั น ี้

สือ่ /อุปกรณ์

1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมมุ
2. ตารางแสดงคา่ ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ในหนังสอื เรียน หน้า 226–227

ข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครูใหน้ ักเรียนแตล่ ะคนทำ�ใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมมุ
2. ครูสุ่มนักเรยี นออกมาเฉลยค�ำ ตอบ พรอ้ มทั้งอธบิ ายวิธคี ดิ และการได้มาซง่ึ ค�ำ ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

324 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมุม

จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากที่กำ�หนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าประมาณของขนาดของมุม A (ตอบเป็นจำ�นวน
เต็มหน่วย)

1. แนวคดิ

18
9

A ตอบ
2. แนวคิด
A
20 5

14 ตอบ
แนวคดิ
3.

A

15

ตอบ
4. แนวคิด

5 12 A
20
ตอบ
5. แนวคดิ

A 6

ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 325

เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมุม

จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีกำ�หนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าประมาณของขนาดของมุม A (ตอบเป็นจำ�นวน
เต็มหน่วย)

1. แนวคิด เนื่องจาก sin A = 1—98 = 0.5

9 18 จากตาราง sin 30° = 0.5

ดังนั้น ˆA = 30°

A ตอบ 30°

2. A แนวคิด เนื่องจาก cos A = 2—50 = 0.25
cos 76° ≈ 0.242
20 จากตาราง

5 ดังนน้ั ˆA ≈ 76°

ตอบ 76°

3. A 14 แนวคดิ เนื่องจาก cos A = 11—45 = 0.933

จากตาราง cos 21° ≈ 0.934

15 ดงั นนั้ ˆA ≈ 21°

ตอบ 21°

4. A แนวคดิ เน่อื งจาก tan A = 1—52 = 0.417

จากตาราง tan 23° ≈ 0.425

5 12 ดังน้นั ˆA ≈ 23°

ตอบ 23°

5. 20 แนวคดิ เน่อื งจาก sin A = 2—60 = 0.3

A จากตาราง sin 17° ≈ 0.292

6 ดงั นนั้ ˆA ≈ 17°

ตอบ 17°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

326 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คู่มือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยชวนคิด

ชวนคดิ 5.3

นักเรียนสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหล่ียม ABC โดยพิจารณาว่า AC หรือ CB เป็นฐานของ

ipst.me/11446 รปู สามเหลย่ี มได้ ดงั นี้

✤ การหาพ้นื ทขี่ อง DABC โดยพจิ ารณาว่า AC เปน็ ฐานของรูปสามเหลย่ี ม

แนวคดิ ถา้ ให้ AC เปน็ ฐานของ DABC สว่ นสงู ของรปู สามเหลย่ี มสามารถสรา้ งไดจ้ ากการลาก BE

ต้ังฉากกับ AC ให้จุดต้ังฉากคือ จุด E จากนนั้ จึงใชอ้ ัตราสว่ นตรีโกณมิตเิ พ่อื หา BE

C
E

39° 15 B
A

พิจารณา DAEB จะได้ sin 39° = B1—5E

BE = 15 sin 39°

≈ 15 × 0.629

≈ 9.435

ดังน้นั พ้นื ท่ขี องรปู สามเหล่ียม ABC = –12 × AC × BE

≈ 1–2 × 16.6 × 9.435
≈ 78.311

นน่ั คือ พน้ื ที่ของรปู สามเหลีย่ ม ABC ประมาณ 78.311 ตารางหน่วย

✤ การหาพน้ื ทข่ี อง DABC โดยพจิ ารณาวา่ BC เปน็ ฐานของรปู สามเหลย่ี ม

แนวคดิ ถ้าให้ BC เป็นฐานของ DABC ต้องทราบความยาวของฐานและความสูง ซง่ึ สว่ นสงู ของ

รปู สามเหล่ียมสามารถสร้างไดจ้ ากการลาก AF ตัง้ ฉากกับ BC ให้จดุ ตั้งฉากคือ จุด F

จากนั้นจงึ หาขนาดของ AˆBC หรอื AˆCB แลว้ จงึ ใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ อง AˆBC หรอื
AˆCB เพอ่ื หา AF

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 327

C C
E

16.6

39° 15 B 39° 15 F
A A B

รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2

สำ�หรบั ความยาวของฐาน หรือ BC จำ�เปน็ ต้องอาศยั รปู จากกรณที ่ีใช้ AC เป็นฐาน เพอ่ื หา AE, EC

และ BC ตามลำ�ดับ ดังนี้ จะได ้ cos 39° = A—15E
จากรูปที่ 1 พจิ ารณา DAEB AE =
15 cos 39°

≈ 15 × 0.777
≈ 11.655

เนื่องจาก EC = AC – AE

≈ 16.6 – 11.655
≈ 4.945

พจิ ารณา DBEC โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั

จะได ้ BC2 = BE2 + EC2

≈ 9.4352 + 4.9452

≈ 113.472

ดังนนั้ BC ≈ 10.652

เนื่อง จาก co s BˆC E = —EBCC =   4.945   ≈ 0.464
10.652

และ cos 62° ≈ 0.470

ดงั นน้ั BˆCE ≈ 62° และ AˆBC ≈ 79°

จากรปู ที่ 2 เนือ่ งจาก AˆBF = AˆBC = 79° —A15F

พจิ ารณา DAFB จะได้ sin 79° = 15 sin
AF =
79°

≈ 15 × 0.982

≈ 14.73

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

328 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ดงั น้นั พนื้ ทข่ี องรปู สามเหลีย่ ม ABC = –12 × BC × AF

≈ –12 × 10.652 × 14.73

≈ 78.452

น่ันคือ พ้นื ท่ีของรปู สามเหลีย่ ม ABC ประมาณ 78.452 ตารางหนว่ ย

ชวนคิด 5.4

แนวคิด พจิ ารณาการหาพน้ื ทข่ี องรปู หา้ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ สบิ เหลยี่ มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ และยสี่ บิ เหลย่ี ม

ipst.me/11447 ดา้ นเทา่ มมุ เทา่ ดงั รปู ท่ี 1–3 ต่อไปน้ี เพ่อื หาสูตรทใ่ี ชใ้ นการหาพ้นื ทข่ี องรปู n เหลย่ี มดา้ นเทา่

มุมเท่า

รูป 1 เป็นรูปห้าเหล่ยี มด้านเทา่ มุมเท่าทีแ่ นบในวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย

C

A 72° D
B

พิจารณา DABC ในรปู ห้าเหล่ียมดา้ นเทา่ มุมเทา่

จะ ได ้ B ˆAC = 360 = 72°
5

ดังน้ัน BˆAD = 36°

จะได้ BD = sin 36° และ AD = cos 36°

และ BC = 2BD = 2 sin 36°

ดงั น้นั พ้นื ทข่ี องรูปสามเหลยี่ ม ABC = 1–2 × BC × AD
= –12 × 2 sin 36° × cos 36°
= (sin 36°)(cos 36°)

จะได้ พ้ืนท่ขี องรูปห้าเหลย่ี มดา้ นเท่ามมุ เท่าทแ่ี นบในวงกลมทม่ี รี ัศมี 1 หนว่ ย

= 5(sin 36°)(cos 36°)

≈ 5 × 0.588 × 0.809

≈ 2.37846 ตารางหนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ 329

รปู 2 เป็นรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าทแี่ นบในวงกลมท่มี รี ศั มี 1 หนว่ ย

36° C
D
A B

พิจารณา DABC ในรปู สบิ เหลี่ยมด้านเทา่ มุมเทา่

จะ ได ้ B ˆAC = 360 = 36°
10

ดังน้ัน BˆAD = 18°

จะได ้ BD = sin 18° และ AD = cos 18°

และ BC = 2BD = 2 sin 18°

ดงั นั้น พนื้ ทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม ABC = –12 × BC × AD
= 1–2 × 2 sin 18° × cos 18°
= (sin 18°)(cos 18°)

จะได้ พืน้ ท่ีของรูปสิบเหลี่ยมดา้ นเท่ามุมเท่าทแี่ นบในวงกลมท่มี ีรัศมี 1 หนว่ ย

= 10(sin 18°)(cos 18°)

≈ 2.93859 ตารางหนว่ ย

รูป 3 เป็นรปู ยสี่ บิ เหล่ยี มดา้ นเท่ามุมเท่าท่แี นบในวงกลมที่มรี ัศมี 1 หน่วย

A 18° C
D
B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

330 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

พจิ ารณา DABC ในรูปยี่สิบเหล่ยี มดา้ นเท่ามุมเทา่

จะ ได้ B ˆAC = 360 = 18°
20

ดงั นนั้ BˆAD = 9°

จะได ้ BD = sin 9° และ AD = cos 9°

และ BC = 2BD = 2 sin 9°

ดงั นน้ั พืน้ ทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม ABC = –12 × BC × AD
= 1–2 × 2 sin 9° × cos 9° = (sin 9°)(cos 9°)

จะได้ พืน้ ที่ของรูปยสี่ บิ เหลี่ยมด้านเทา่ มมุ เทา่ ทแี่ นบในวงกลมท่มี รี ัศมี 1 หน่วย

= 20(sin 9°)(cos 9°)

≈ 3.08256 ตารางหนว่ ย

จากการพิจารณาแบบรูปที่ใชใ้ นการหาพื้นท่ีใน รปู 1 ถึงรูป 3 ข้างตน้ จะได้วา่ สตู รในการหาพื้นทีข่ อง

( ) ( ) รปู n เ หลยี่ มด ้านเท่ามุมเทา่ ทแี่ นบในวงกลมที่มีรศั มี 1 หน่วย เท่ากบัn×sin180°×cos180 °
n n

ดงั น้นั พื้นทีข่ องรปู หนึง่ หม่ืนเหลี่ยมด้านเทา่ มมุ เทา่ ทีแ่ นบในวงกลมที่มรี ศั มี 1 หนว่ ย

= 10,000 × sin 0.018° × cos 0.018°

≈ 3.141592447

เม่อื เปรียบเทียบพ้นื ท่ขี องรูปหน่งึ หม่นื เหล่ยี มด้านเท่ามุมเท่าท่แี นบในวงกลมท่มี ีรัศมี 1 หน่วย กับค่า
ของ π ซง่ึ คา่ ประมาณของ π ถงึ ทศนยิ มตาํ แหนง่ ท่ี 8 คอื 3.14159265 จะพบวา่ พน้ื ทข่ี องรปู หนง่ึ หมน่ื เหลย่ี ม
ด้านเทา่ มมุ เทา่ ทแ่ี นบในวงกลมท่ีมีรศั มี 1 หน่วย มีค่าเขา้ ใกล้คา่ ของ π โดยถกู ต้องถงึ ทศนิยมตำ�แหนง่ ที่ 6

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝกึ หดั 5.2 ก

1. 1) sin 30° – cos 60° = 1–2 – 1–2 = 0
 √  23    + √3
2) s in 60° + cos 3 0° =    2    = √3

( ) 3) tan 45° – (sin 60°)2= 1– √3 2 = 1– 3–4 = 1–4
   2  

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ 331

( ) ( ) ( ) 4) √3 cos 3 0° + √2 co s 45° + √2  sin 45° = √3 √3 + √2 √2 + √2 √2
   2       2       2   

= –32 + 2–2 + –22
= –72

( ) 5) (cos13 0°)2 – (tan 30°) 2 =   √  13    2 –    1    2
( )    2   √3

= ––314 – –13


= 4–3 – 1–3

= 1

60°)2 + cos 60° + sin√245° = (√3)2 + 1–2 + √2
6) (tan √3 √3 2
√2

= 3 +      1      + –12
2√3
( ) =
3+ 2    √ 1 3      × √3 + 1–2
√3

= 3 + √3 + –12
   6   

= 21 + √3
     6     

2. 1) แนวคดิ จากรปู จะได ้ sin 45° = 5–x
 √  12    = 5–x
x = 5√2 หนว่ ย

ดังนัน้ tan 45° = 5–y x 5
1 = –5y 45°
จากรปู จะได ้
y = 5 หน่วย y


ดงั น้นั

หมายเหตุ นักเรียนอาจหาค่า y โดยใช้สมบัติของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

332 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

2) แนวคดิ จากรปู จะได ้ cos 60° =     x    
13√2

–12 =     x     13 2
13√2
y 60°
ดงั นน้ั x = 13√2 หน่วย x
    2     หนว่ ย

จากรปู จะได้ sin 60° =     y    
13√2

√   23   =     y    
13√2

ดงั นัน้ y = 13√6
    2    

3. แนวคิด เนื่องจาก DACO เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั C

และ DˆAO = 30° จะได้ DˆCO = 30° D2
O
พจิ ารณา DDCO จะได้ cos 30° = ­OC—DC A 30°
√   23   = CD B
2

ดงั นัน้ CD = √3 หนว่ ย

4. แนวคดิ พิจารณารูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก CBD

จะได้ tan 30° = C—24D C
 √  33     = C—24D

ดังนั้น CD = 8√3 หนว่ ย 30°

เน่ืองจาก DACD มีพ้นื ที่ 32√39 ตารางหน่วย A D 24 B

ดังนัน้ 32√39 = –12 × AD × 8√3
AD = 8√13 หน่วย

พจิ ารณารูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ACD
โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได ้ AC2 = AD2 + CD2

= (8√13)2 + (8√3)2

= 1,024

ดังนน้ั AC = 32 หน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ 333

5. แนวคดิ พจิ ารณา DABD จะได้ sin 60° = AB—DD E 42
√   23     = B—4D D

ดังนน้ั BD = 2√3 4

หนว่ ย

60° B C

A

พิจารณา DBEC เนอ่ื งจาก ∆BEC เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากหนา้ จ่ัว ดังนั้น BˆCE = 45°

จะได้ sin 45° = —BCEE
 √  22    =    BE   
4√2

ดังน้ัน BE = 4 หนว่ ย

นัน่ คอื DE = BE – BD = 4 – 2√3 หน่วย

6. แนวคดิ ลาก AD ตั้งฉากกับ OB ท่จี ดุ D จะได้ AˆDO = 90°

พจิ ารณารปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ADO

จะได ้ sin 30° = AA—OD 30° A
1–2 = A—10D DB
O

AD = 5 หน่วย

ดังนัน้ พนื้ ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม ABO = –12 × BO × AD
= –12 × 10 × 5
= 25 ตารางหนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

334 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

7. แนวคิด

AB CD

0.6 ม. 1.6 ม. 0.8 ม.

J 0.2 ม. E
GF
0.4 ม.

IH

ต่อ BC และ HG ออกไปทงั้ สองข้าง
จากจดุ J และจดุ E ลากเสน้ ไปต้ังฉากกบั �BC ทจ่ี ุด A และจดุ D ตามล�ำ ดบั
และให้ �JA , �ED ตัดกบั �HG ทจ่ี ุด I และจุด F ตามล�ำ ดบั ดงั รปู

จะได้ ˆI = ˆF = 90° ดว้ ย

เนอ่ื งจากกำ�หนดมุมภายในแต่ละมุมของรูปหกเหลย่ี มมีขนาดเทา่ กบั 120°

ดงั นั้น มุมทร่ี ะบายด้วยสีเขยี วมีขนาดเทา่ กับ 60° และมุมท่รี ะบายด้วยสชี มพูมขี นาดเท่ากับ 30°

พจิ ารณารูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABJ

เนือ่ งจาก sin 30° = A—BBJ
จะได ้ –12 = —0A.B6

ดงั น้นั AB = 0.3

เนือ่ งจาก sin 60° = A—BJJ
จะได ้
√   23     = —0A.6J

ดงั น้ัน AJ = 0.3√3

เนอ่ื งจาก พ้นื ทีร่ ปู สามเหล่ยี ม ABJ = –12 × AB × AJ
จะได ้ พน้ื ที่รปู สามเหลีย่ ม ABJ = 1–2 × 0.3 × 0.3√3
0.09√3
=     2    

= 9√3 ตารางเมตร
200

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมิติ 335

เน่อื งจากโจทยก์ �ำ หนดความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉากของ ∆CDE , ∆EFG , ∆HIJ
ในทำ�นองเดียวกันกบั การหาพ้นื ท่ี ∆ABJ

จะได้ CD = 0.4 , DE = 0.4√3

และ พนื้ ท ่ี ∆CD E = –12 × 0.4 × 0.4√3 = 2√3 ตารางเมตร
   25   

EF = 0.1√3 , FG = 0.1

และ พ้นื ท ี่ ∆EF G = 1–2 × 0.1 × 0.1√3 = √3 ตารางเมตร
200

HI = 0.2 , IJ = 0.2√3

และ พ้ืนท ่ี ∆HI J = –12 × 0.2 × 0.2√3 = √3 ตารางเมตร
 50 

เน่ืองจาก พืน้ ทร่ี ปู หกเหลี่ยม BCEGHJ

= พ้นื ท่ี ADFI – พน้ื ท่ี DABJ – พื้นที่ DCDE – พ้ืนที่ DEFG – พนื้ ท่ี DHIJ

ต่อไปจงึ หา พืน้ ท่ี ADFI
AI = AJ + JI = 0.3√3 + 0.2√3 = 0.5√3

IF = IH + HG + GF = 0.2 + 1.6 + 0.1 = 1.9

และ พ้นื ท ี่ AD FI = (0.5√3)(1.9) = 19√3 ตารางเมตร
     20    
( ) ดงั น ัน้ พ นื้ ที่รปู หกเหล่ยี ม BCEGHJ = 1     92√0 3    – 9 2√030   +  2 2√53   +  2      √030   + √503 
4√3
=      5    

≈ 1.39 ตารางเมตร

ดงั นน้ั บอ่ เลี้ยงปลาสว่ นท่จี ะใสน่ ำ้�ให้ลึก 1 เมตร มีความจุประมาณ 1.39 × 1 = 1.39 ลกู บาศก์เมตร

นน่ั คือ พราวคี วรจะสั่งซ้อื น�ำ้ ทะเลมาประมาณ 1.39 ลกู บาศกเ์ มตร

แบบฝึกหดั 5.2 ข

1. 1) แนวคิด จากรปู จะได ้ sin 70° = Q—5R
QR = 5 sin 70°
Q
70°
จากตาราง sin 70° ≈ 0.940 P

ดังนัน้ QR ≈ 4.7 หนว่ ย

จากรปู จะได้ cos 70° = P—5Q 5 R

PQ = 5 cos 70°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

336 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมิติ ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

จากตาราง cos 70° ≈ 0.342

ดังนัน้ PQ ≈ 1.71 หนว่ ย
หน่วย
2) แ นวคิด จากร ปู จะได ้ sin 5 2° = 19.7 หนว่ ย P
PR 19.7
Q
P R =     19.7    
sin 52°

จากตาราง sin 52° ≈ 0.788

ดังน้ัน PR ≈ 25

จาก รูปจะไ ด้ tan 52° = 19.7 R 52°
QR

Q R =     19.7    
tan 52°

จากตาราง tan 52° ≈ 1.280

ดังนัน้ QR ≈ 15.39

2. แนวคดิ จากรปู สรา้ งส่วนสูง PM บนฐาน GN ของรูปสเ่ี หล่ียมขนมเปยี กปูน PONG

พิจารณา รปู สามเหลย่ี ม PMG P O
N
จะได้ sin 67° = P—6M

PM = 6 sin 67° 6
sin 67° ≈ 0.921
จากตาราง

ดงั นน้ั PM ≈ 5.526 หนว่ ย 67° M
G
นนั่ คือ รปู ส่เี หลย่ี มขนมเปยี กปูน PONG มพี ืน้ ที่

ประมาณ 6 × 5.526 = 33.156 ตารางหนว่ ย

3. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพได้ดังนี้
จากรูปจะได ้ sin 27° = A—10B
B
10
A B =        10        C
sin 27°

จากตาราง sin 27° ≈ 0.454

ดงั น้นั AB ≈ 22.026 หนว่ ย

จากรูปจะได ้ tan 27° = C—1A0 27°
A
C A =        10       
tan 27°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 337

จากตาราง tan 27° ≈ 0.510

ดังน้ัน CA ≈ 19.608 หนว่ ย

นั่นคือ ∆ABC มคี วามยาวรอบรูปประมาณ 10 + 22.026 + 19.608 = 51.634 หน่วย

4. แนวคิด ให้รูปสี่เหลีย่ มคางหมู PRST มีสว่ นสงู ยาว h หนว่ ย ดังรปู

พจิ ารณา DQTS 15.1
20
จะได ้ cos TˆS Q = = 0.755 30
Q
จากตาราง cos 41° ≈ 0.755 P R
h 15.1
ดังนั้น TˆSQ ≈ 41°

พจิ ารณา DUSQ

จะได ้ sin 4 1° = h TU S
15.1

h = 15.1 sin 41° 20

จากตาราง sin 41° ≈ 0.656

ดงั น้ัน h ≈ 9.906 หน่วย
นน่ั คอื รปู ส่เี หลี่ยมคางหมู PRST มพี ื้นทป่ี ระมาณ 1–2 × (30 + 20) × 9.906 = 247.65 ตารางหน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

338 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

5.3 การน�ำ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใชใ้ นการแกป้ ญั หา (4 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นกั เรยี นสามารถนำ�ความรู้เกีย่ วกับอัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปญั หาในชีวติ จริง

ความเขา้ ใจท่ีคลาดเคลอ่ื น

-

สื่อทแี่ นะนำ�ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

อุปกรณ์ของกจิ กรรม : สงู เท่าใดกันนะ

ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

ในหวั ขอ้ น้ี เป็นเรอ่ื งการนำ�ความรู้เกีย่ วกบั อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ไิ ปใช้ในการแกป้ ญั หาต่าง ๆ ทน่ี ักเรียนอาจพบได้ในชวี ิต
ประจำ�วันหรือในส่ิงแวดล้อมรอบตัว ทำ�ให้นักเรียนเห็นการใช้งานของอัตราส่วนตรีโกณมิติในชีวิตจริง ซ่ึงเป็นการเรียนรู้อย่างมี
ความหมาย ครคู วรฝกึ ใหน้ กั เรยี นสรา้ งแบบจ�ำ ลองทางเรขาคณติ แทนปญั หาหรอื สถานการณท์ จ่ี ะน�ำ ไปสกู่ ารใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ
ในการแกป้ ญั หา ซงึ่ ในกระบวนการดงั กลา่ ว นกั เรยี นจะไดพ้ ฒั นาความสามารถในการนกึ ภาพ และการใชต้ วั แทนทางคณติ ศาสตร์
แทนปญั หา แนวทางการจัดกจิ กรรมการเรียนรอู้ าจท�ำ ได้ดังนี้
1. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั สนทนาเกย่ี วกบั สถานการณใ์ นชวี ติ จรงิ ทเี่ กยี่ วขอ้ งกบั การใชค้ วามรเู้ รอ่ื งอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

ในการแก้ปัญหา เช่น การหาความสูงของตึก การหาความกวา้ งของคลอง และตัวอย่างอื่น ๆ ท่นี ักเรยี นสามารถ
นึกภาพตามได้ เพ่อื กระต้นุ ความสนใจให้นักเรยี นคิดหาวธิ กี ารแกป้ ญั หาโดยใชค้ วามรเู้ รอื่ งอตั ราส่วนตรีโกณมิติ
จากนั้น ให้นกั เรียนฝึกการนึกภาพเกย่ี วกับสถานการณ์ทีก่ ำ�หนดให้ และวาดภาพจำ�ลอง เพ่ือวิเคราะห์และ
ทำ�ความเข้าใจปัญหา ซ่ึงจะช่วยให้นักเรียนเห็นแนวทางการแก้ปัญหาได้ง่ายข้ึน ท้ังน้ี เมื่อวาดภาพจำ�ลองแทน
สถานการณ์แล้ว ครคู วรฝึกใหน้ ักเรียนพิจารณาว่า จะต้องใชอ้ ตั ราสว่ นตรีโกณมิติใดในการแก้ปัญหา
2. ครูอธิบายเก่ียวกับมุมก้มและมุมเงย โดยเน้นย้ำ�ให้นักเรียนเข้าใจเกี่ยวกับมุมท่ีเกิดจากการมองเมื่อเทียบกับ
แนวเส้นระดับสายตา ซง่ึ จะชว่ ยให้นักเรียนวาดภาพจ�ำ ลองแทนสถานการณ์ต่าง ๆ ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง
3. ครูให้นกั เรยี นทำ� “กจิ กรรม : สูงเทา่ ใดกันนะ” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 234–235 เพ่อื ให้นกั เรยี นเขา้ ใจวิธีการน�ำ
อัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ท่ีมักพบในชีวิตจริง เช่น การหาความสูงของหลังคาของ
อาคารเรียน หรอื ยอดเสาธง หากพบวา่ ความสงู ของต�ำ แหน่งที่ตอ้ งการจะวัดท่แี ตล่ ะกลุ่มหาได้แตกต่างกนั ครคู วร
เปิดโอกาสให้นักเรียนแตล่ ะกลุม่ รว่ มกันแกป้ ัญหาเพื่อสรปุ ความสงู ของต�ำ แหนง่ ท่ตี ้องการจะวดั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ 339

กิจกรรม : สงู เทา่ ใดกนั นะ

กจิ กรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมทม่ี งุ่ ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจวธิ กี ารน�ำ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใชใ้ นการหาความสงู ของต�ำ แหนง่ ทตี่ อ้ งการ
จากสถานการณจ์ รงิ โดยมสี ่อื /อปุ กรณ์ และข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี

สอื่ /อปุ กรณ์

1. กระดาษลูกฟูกท่ีตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 รูป โดยแต่ละรูปมีด้านด้านหน่ึงยาวอย่างน้อย 30 เซนติเมตร
และมีขนาดของมมุ ทีแ่ ตกตา่ งกัน ดังรูป

45° 60° 30°

2. ไมเ้ มตร หรือตลับเมตร

ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครแู บง่ นกั เรยี นออกเปน็ 3 กลมุ่ ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ท�ำ “กจิ กรรม : สงู เทา่ ใดกนั นะ” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 234–235
2. ครใู ห้นกั เรยี นแต่ละกลุ่มน�ำ เสนอผลงานของกลมุ่ พร้อมทั้งอธบิ ายวิธีคิดและการไดม้ าซง่ึ คำ�ตอบ
3. ครูใหน้ กั เรยี นเปรยี บเทียบค�ำ ตอบที่ได้จากทงั้ สามกลมุ่ วา่ มีความสมั พนั ธก์ ันอยา่ งไร หากพบวา่ ความสงู ของตำ�แหนง่

ท่ีต้องการจะวัดที่แต่ละกลุ่มหาได้แตกต่างกัน ครูควรเปิดโอกาสให้นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันแก้ปัญหาเพ่ือสรุป
ความสูงของต�ำ แหนง่ ท่ตี อ้ งการจะวดั
4. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันอภิปรายและสรุปที่มาของสตู รท่ีใชใ้ นการหาความสงู ของตำ�แหนง่ ทีต่ ้องการวดั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

340 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ค่มู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยกิจกรรม : สงู เทา่ ใดกนั นะ

ตวั อย่างค�ำ ตอบขอ้ 8
✤ กรณีท่ีความสูงที่หาได้ของแต่ละกลุ่มใกล้เคียงกัน อาจนำ�ความสูงที่แต่ละกลุ่มได้มาหาค่าเฉลี่ย เพื่อสรุปเป็น

ความสงู ของต�ำ แหนง่ ท่ตี ้องการวัด
✤ กรณที ่คี วามสงู ท่ีหาได้ของแตล่ ะกลมุ่ แตกต่างกันมาก ต้องตรวจสอบความถูกต้องของการค�ำ นวณ วิธีการวัด

เพือ่ หาขอ้ ผิดพลาด แล้วแก้ไขข้อผดิ พลาดนัน้

ตัวอยา่ งค�ำ ตอบข้อ 9 แทนตำ�แหนง่ ท่ีต้องการจะวดั ความสูง
ก�ำ หนด จดุ M NQ แทนแนวเสน้ ระดับสายตา
ON แทนความสงู จากพื้นถงึ ตาของนักเรียนท่เี ปน็ คนถือกระดาษลกู ฟกู


M

H N
Q h

Px O

จากรปู พจิ ารณา DMNQ จะได้ tan MˆNQ = M—NQQ
เน่ืองจาก ˆA = MˆNQ , MQ = H – h และ NQ = x

จะได ้ tan A = M—NQQ
H–h
tan A = x

ดงั น้ัน H = x tan A + h

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ 341

เฉลยชวนคดิ

ชวนคดิ 5.5

แนวคิด จากการทำ� “กิจกรรม : สูงเท่าใดกันนะ” หากสถานท่ีไม่เอื้ออำ�นวย เช่นมีพื้นที่จำ�กัด จึงทำ�ให้
ไมส่ ามารถเดนิ ถอยออกไปไดม้ ากนกั เราควรแกป้ ญั หานโี้ ดยใชก้ ระดาษลกู ฟกู รปู สามเหลย่ี มทม่ี มี มุ
ipst.me/11448 ซึ่งมีขนาดมากกวา่ ทม่ี อี ย่ใู นการวัด โดยเพม่ิ ขนาดของมมุ ทก่ี ระดาษลกู ฟูกจนนกั เรยี นสามารถมอง
ตามแนวสนั ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากของกระดาษลกู ฟกู ทยี่ งั คงจดั วางในแนวระดบั สายตา และนกั เรยี น
สามารถมองเหน็ ต�ำ แหนง่ ทต่ี อ้ งการจะวดั ความสงู ผา่ นแนวสนั ดงั กลา่ ว จากนน้ั ท�ำ กจิ กรรมเชน่ เดยี ว
กับการท�ำ “กจิ กรรม : สงู เท่าใดกนั นะ” ก็จะสามารถหาความสูงของส่ิงทต่ี อ้ งการวัดได้

ชวนคดิ 5.6 B
C
แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพได้ดงั น้ี
ipst .me/ 114 49
เมอ่ื จดุ A แทนจุดท่ฐี านของหอเอนเมอื งปซิ ่า

B แทนจดุ ยอดของหอเอนเมอื งปซิ า่ จุดทอี่ อโรรา่ ปล่อยตุก๊ ตาหมี

C แทนจุดทตี่ ุ๊กตาหมีตกลงถึงพ้นื

เนอ่ื งจากออโรร่าปลอ่ ยตกุ๊ ตาหมีในแนวด่ิง

ดงั นั้น BC ตง้ั ฉากกบั AC 55 ม.
A 4.8 ม.
น่นั คอื ∆ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก

จากรปู cos BˆAC = BA—CC = 4—5.58 ≈ 0.087

จากตาราง cos 85° ≈ 0.087
ดังน้นั
BˆAC ≈ 85°

นน่ั คือ หอเอนเมืองปิซ่าเอียงออกจากแนวต้งั ฉาก

ประมาณ 90 – 85 = 5 องศา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

342 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยแบบฝึกหดั

แบบฝกึ หดั 5.3 C

1. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขยี นภาพประกอบการแก้ปัญหาได้ดงั นี้

20° B
A 40 ม.

เม่ือจดุ A แทนปลายเงาของตน้ ไม้

B แทนโคนของตน้ ไม้

C แทนยอดของต้นไม้

นน่ั คอื AB แทนความยาวของเงา และ BC แทนความสูงของต้นไม้

จากภาพ จะได ้ tan 20° = —B4C0
จากตาราง
tan 20° ≈ 0.364

ดังน้นั BC ≈ 40 × 0.364 = 14.56 เมตร

นน่ั คอื ต้นไมม้ คี วามสงู ประมาณ 14.56 เมตร

2. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแกป้ ัญหาได้ดังนี้

ให ้ AC แทนบนั ได C
B
BC แทนก�ำ แพง

จากรปู จะได ้ sin 52° = 6—B.C5 6.5
จากตาราง
sin 52° ≈ 0.788 52°
A
ดังนน้ั BC ≈ 5.122

น่นั คือ กำ�แพงน้สี ูงประมาณ 5.122 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ 343

3. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขยี นภาพประกอบการแกป้ ญั หาได้ดงั น้ี C

30° 75 ม. 60° B
A D

ให้ A แทนจดุ ทเี่ ด่นจันทรย์ ืนอยหู่ ่างจากเสาไฟในตอนแรก

D แทนจุดทเี่ ด่นจันทร์ยืนอยู่หลังจากเดนิ เขา้ หาเสาไฟฟา้ แลว้ 2 นาที

และ BC แทนเสาไฟฟา้

พิจารณา DABC จะได ้ tan 30° = B—7C5
 √  33     = B—7C5

BC = 25√3 เมตร
ดังนั้น

พิจารณา DDBC จะได ้ tan 60° = B—BCD
25√3
√ 3 =     BD    

ดงั นัน้ BD = 25 เมตร

จะได ้ AD = AB – BD

= 75 – 25 = 50 เมตร

ดงั นนั้ ในเวลา 2 นาที เดน่ จนั ทร์เดนิ ได้ 50 เมตร

นนั่ คอื เดน่ จันทรเ์ ดนิ ได้นาทลี ะ 25 เมตร

4. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแก้ปัญหาได้ดงั นี้

C

30° 60°

30° 60° E
A D 5.25 ม.

B
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

344 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ให้ A และ D แทนจุดที่เรือทัง้ สองล�ำ จอดอยู่ในทะเล

EC แทนระดับความสูงจากชั้นล่างของตึกท่ีชายคนน้ียืนอยู่ที่ระเบียงชั้นท่ี 15 ของตึก

และตึกนีต้ ั้งอยูบ่ นฝั่งเหนอื ระดับน�้ำ ทะเล 5.25 เมตร

จะได้ AD แทนระยะหา่ งระหว่างเรือทั้งสองล�ำ

เน่ืองจาก แต่ละช้นั ของตกึ น้ีสงู 4.75 เมตร

จะได้ BC = 5.25 + 14(4.75) + 1.75 = 73.5 เมตร

พิจา รณา D ABC จ ะได ้ tan 3 0° = 73.5
AB

­—√ 13 = 73.5
AB

ดังนนั้ AB = 73.5√3 เมตร

พจิ า รณา D DBC จ ะได ้ tan 6 0° = 73.5
BD

√ 3 = 73.5
BD

ด ังน้ัน B D = 73.5
√3

= 73.5√3 เมตร
    3    

เนื่องจาก AD = AB – BD

จะ ได้ A D = 73.5√3 – 73.5√3
    3    

≈ 84.87 เมตร

ดังน้นั เรือทั้งสองล�ำ ห่างกนั ประมาณ 84.87 เมตร

5. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแกป้ ญั หาไดด้ งั น้ี แนวเสน� ระดบั สายตาของน้ำหวาน C
ให้จุด A แทนยอดปราสาทในฉากหลงั
42° D
B
B แทนที่นง่ั ของแสนดี

C แทนท่นี งั่ ของนำ้�หวาน

AD ตัง้ ฉากกบั BC ที่จดุ D

พิจารณา DADB 42°
18°
จากภาพ จะได ้ BˆAD = 18° และ AD = 10 เมตร A

เนอ่ื งจาก tan 18° = D—10B แนวเส�นระดบั สายตาของแสนดี 18°

จากตาราง tan 18° ≈ 0.325 10 ม.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมิติ 345

ดงั นนั้ DB ≈ 3.25 เมตร

พิจารณา DACD

จากภาพ จะได้ CˆAD = 42°

เนอ่ื งจาก tan 42° = C—10D

จากตาราง tan 42° ≈ 0.900
ดงั นน้ั CD ≈ 9.00 เมตร

นน่ั คอื ระยะหา่ งในแนวดง่ิ โดยประมาณของที่น่ังของแสนดแี ละน�้ำ หวานเป็น 3.25 + 9 = 12.25 เมตร

6. แนวคิด ให้ A แทนจดุ ทีไ่ อซย์ ืนอยู่ D
h
B แทนจดุ ท่ีออฟยนื อยู่ C

CD แทนหอนาฬกิ าบิกเบน

ให ้ ออฟยนื ห่างจากหอนาฬกิ าบิกเบน x เมตร

และหอนาฬิกาบกิ เบนมคี วามสงู h เมตร

พิจารณา DACD 49° 65°
A 38.72 ม. B
จ ะได้ tan 4 9° = x h x ม.
+ 38.72 1

จากตาราง tan 49° ≈ 1.150

ดงั นั้น h ≈ 1.15(x + 38.72 )

พิจารณา DBCD
tan 65° = h–x
จะได้

จากตาราง tan 65° ≈ 2.145

ดังนั้น h ≈ 2.145x 2

จากสมการ 1 และ 2 จะได้ 1.15(x + 38.72) = 2.145x

ดงั นนั้ x ≈ 44.75 เมตร

แทน x ดว้ ย 44.75 ในสมการ 2 จะได ้

h ≈ 95.99 เมตร

ดงั นั้น หอนาฬิกาบกิ เบนมคี วามสูงประมาณ 95.99 เมตร

7. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขยี นภาพได้ดังนี้
ให ้ A แทนจดุ ท่ปี ลายหมอกยนื อยู่
B แทนจดุ ทแี่ พรวายืนอยู่
และ C แทนภาพมะนาวบนผนงั ท่ที งั้ สองคนมอง
สมมตุ ิว่า CD = h เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

346 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
C

h

(90 – x)° 6 x° D
A B2

พิจารณา DBCD จะได ้ tan B = 21h– 80° – 90° – (90 1
พิจารณา DACD เนื่องจาก = – x)° 2
AˆCD

= x°

จะได ้ AˆCD = CˆBD

ดงั น้นั tan C = tan B

จะได้ tan B = 8–h
h–2 = 8–h
จากสมการ 1 และ 2 จะได้ h2 = 16


h = 4 เมตร

ดงั น้ัน ภาพมะนาวผลนีอ้ ยูส่ ูงจากพ้ืน 4 เมตร

8. 1) แนวคิด จากโจทย์ อาจเขยี นภาพได้ดังนี้ C

เมอ่ื จุด A แทนตำ�แหน่งของนายหมู่

จดุ B แทนตำ�แหนง่ ของรองนายหมู่

และ จุด C แทนตำ�แหน่งของตอไม้

จากรูป จะได้ tan 60° = A—4C
√3 = A—4C
60°

AC = 4√3 A4 B

ดงั นัน้ คลองสง่ นำ้�นก้ี วา้ งไม่เกนิ 4√3 เมตร

2) ถ้านักเรียนเป็นนายหมู่อาจจะให้รองนายหมู่เดินไปทางขวา จนแนวระหว่างตอไม้กับรองนายหมู่ทำ�มุมกับแนว
ระหวา่ งนายหมกู่ บั รองนายหมเู่ ปน็ มมุ 45°

จากสมบัติของรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว จะได้ ระยะระหว่างตอไม้กับนายหมู่เท่ากับระยะระหว่างนายหมู่
กบั รองนายหมู่

หรอื เนอ่ื งจาก tan 45° = 1 จะได้ ระยะระหวา่ งตอไมก้ บั นายหมเู่ ทา่ กบั ระยะระหวา่ งนายหมกู่ บั รองนายหมู่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ 347

กิจกรรมทา้ ยบท : ซันนผ่ี คู้ ำ�นวณรัศมีโลก

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีมีจุดประสงค์เพื่อให้นักเรียนเห็นประโยชน์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ในการคำ�นวณหารัศมี
ของโลก ซ่ึงดูเหมือนว่าจะเป็นปัญหาท่ีแก้ได้ยากหากไม่พ่ึงพาเทคโนโลยี ในการทำ�กิจกรรมน้ี นักเรียนจะได้เห็นการเช่ือมโยง
ความรใู้ นศาสตรต์ า่ ง ๆ เชน่ ดาราศาสตร์ ฟสิ กิ ส์ มาชว่ ยในการแกป้ ญั หา โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้

ส่อื /อุปกรณ์

นาฬกิ าจับเวลา

ขั้นตอนการด�ำ เนินกิจกรรม

1. ครใู ห้นักเรียนแต่ละคนทำ� “กจิ กรรมทา้ ยบท : ซนั นีผ่ ู้คำ�นวณรศั มีโลก” ในหนังสือเรียน หนา้ 243–244 โดยครคู วร
เน้นย้ำ�ให้นักเรียนเปลี่ยนหน่วยของข้อมูลท่ีซันนี่มีอยู่ ให้เป็นหน่วยเดียวกันกับหน่วยที่ใช้ในการคำ�นวณตามสัดส่วน
ทกี่ �ำ หนด

2. ครใู หน้ กั เรยี นชว่ ยกันเฉลยคำ�ตอบ พร้อมทัง้ อธบิ ายวิธคี ิดและการไดม้ าซง่ึ ค�ำ ตอบ
3. ครแู ละนักเรยี นช่วยกนั สรุปข้อสังเกตทไ่ี ด้จากกิจกรรม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

348 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยกจิ กรรมทา้ ยบท : ซนั นีผ่ ู้คำ�นวณรศั มีโลก

B C
R h

R

A

ดวงอาทิตย�

กำ�หนดให ้ R แทน รศั มขี องโลก
h แทน ความสงู จากพน้ื ราบถึงตาของซนั นี่
B เปน็ จุดทีส่ ว่ นของเสน้ ตรง BC สมั ผัสกบั ผิวโลก

เน่อื งจาก ขนาดของมมุ ท่โี ลกหมนุ สามารถประมาณได้ตามสดั สว่ นต่อไปนี้

เวลาทีเ่ ปล2ยี่ 4นแชปมล. งไป (ช ม.) = ขนาดของมมุ ท่ีโลกหมุน
360°

จะได้ว า่ ข นาดขอ งมมุ ท ่ีโลกหม นุ = 360 × เวลาทเ่ี ปลี่ยนแปลงไป
24

= 15 × เวลาทเ่ี ปล่ียนแปลงไป

ถ้าตาของซันน่ีอย่หู ่างจากพนื้ ราบเปน็ ระยะ 165 เซนติเมตร หรือ 0.00165 กิโลเมตร

และ ระยะเวลาที่เปลี่ยนแปลงไปเท่ากับ 10 วนิ าที หรือ —3160 ชว่ั โมง
จะไดว้ า่ ขนาดของมุมทีโ่ ลกหมุน = 15 × —3160 = 2—14 องศา
cos CˆAB = AA—CB
เนอ่ื งจาก

( ) จะได ว้ า่ co s 2—14 ° = R
R+h

0 .9999 997 4 ≈ R
R + 0.00165

R ≈ 6,346.15 กิโลเมตร

ดังนน้ั รัศมีเฉล่ยี ของโลกท่ีซนั น่ีประมาณได้ คอื 6,346.15 กโิ ลเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 349

เฉลยแบบฝกึ หัดท้ายบท

1. 1) (1) X = EˆCG

(2) X = FˆDA

(3) X = CˆBD

2) (1) แนวคดิ เน่อื งจาก DABD เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากหนา้ จ่ัว จะได้ AˆBD = 45°
√2
ดังน้นั sin AˆBD = sin 45° =   2  

(2) แนวคิด เน่อื งจาก BE = EC = CB จะได้ DBEC เปน็ รูปสามเหล่ยี มด้านเท่า

ดงั น้นั EˆBG = 60° จะได้ BˆEG = 30°

ดงั นน้ั cos BˆEG = cos 30° = √3
  2  

(3) แนวคดิ เนอื่ งจาก DBEC เป็นรปู สามเหล่ยี มด้านเทา่

จะได้ GˆCE = 60° ดงั นน้ั tan GˆCE = tan 60° = √3

2. 1) ถกู ตอ้ ง เพราะวา่ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี มเทา่ กบั 180° และ มมุ C มขี นาด 90°

ดังนน้ั ˆA +ˆB = 90°

นนั่ คือ ˆB = 90° – ˆA
2) ถกู ต้อง เพราะวา่ จากรูป จะได้ sin A = –ac และ cos B = –ac
–ba , –ac และ cos A = –bc
3) ถูกตอ้ ง เพราะว่า จากรูป จะได้ tan A = sin A =

ด งั นัน้ scions AA = ––bcac = –ba

4) ถกู ต้อง เพราะว่า sin A = –ca และ a, c > 0 จะได้ –ca > 0

เนอ่ื งจากด้านตรงข้ามมมุ ฉากเปน็ ดา้ นทีย่ าวทีส่ ุด

จะได้ a < c

ดงั นั้น –ac < 1 นั่นคือ 0 < sin A < 1 จะได้ –bc >0
5) ถูกต้อง เพราะวา่ cos A = –bc และ b, c > 0

เน่อื งจากด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านทย่ี าวที่สุด

จะได้ b < c
ดังนนั้ –bc < 1 น่ันคือ 0 < cos A < 1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี