คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

150 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3) แนวคดิ จากรปู ในข้อ 2)

เนื่องจาก IˆDA = IˆFA

DˆAI = FˆAI

และ IA = IA แบบ ม.ม.ด.
ดงั นัน้ ∆DAI ≅ ∆FAI แบบ ม.ม.ด.

นน่ั คอื ID = IF

ในท�ำ นองเดยี วกนั
จะได้ ∆DBI ≅ ∆EBI

ดังน้ัน ID = IE

นั่นคอื ID = IE = IF

4) แนวคิด เนอ่ื งจาก ID = IE = IF ทำ�ให้ IE และ IF เป็นรศั มีของวงกลมท่ีมรี ัศมียาว ID ดว้ ย

และเนอ่ื งจาก ID , IE และ IF ตัง้ ฉากกับ AB , BC และ AC ท่จี ดุ D , E และ F ตามลำ�ดับ

ดังนนั้ ดา้ นท้ังสามของ ∆ABC จะสัมผสั กับวงกลม I ทจี่ ดุ D จุด E และจดุ F ดังรูป

C E X
YF

I

AD B

10. แนวคิด

A

2 3

B C

7

E
D

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 151

เนอ่ื งจาก BˆAC = DˆAE (มมุ เดียวกนั )

และเส้นตรง สมั ผสั กบั วงกลมทั้งสองที่จดุ A (มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัส
จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
จะได ้ PˆAD = AˆCB = AAˆˆEDDE � ท่ีอย่ตู รงข้ามกับคอรด์ นน้ั )
QˆAE = AˆBC = (มีมุมทม่ี ีขนาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ 3 คู)่



ดังน้ัน ∆ABC ~ ∆ADE

ทำ�ให้ไดว้ ่า AA—DB = AA—CE
จะได้ 7–2 = A—3E

ดงั น้นั AE = 10.5 หนว่ ย
นั่นคือ CE = 10.5 – 3 = 7.5 หน่วย

11. 1) แนวคิด

D
E

C

A B

ลาก AE และ BE (มุมท่ีเกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุดสัมผัส
จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
จะได ้ BˆEC = EˆAC ทอี่ ยูต่ รงขา้ มกับคอรด์ น้ัน)
(มุมเดียวกัน)
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเป็น 180° และเม่ือมุมสองคู่มีขนาดเท่ากัน
มมุ คทู่ เ่ี หลือจงึ มขี นาดเท่ากัน)
เนื่องจาก BˆCE = EˆCA (มมี ุมทีม่ ขี นาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ 3 คู)่
และจาก EˆBC = AˆEC



ดงั น้ัน ∆BCE ~ ∆ECA

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

152 บทที่ 2 | วงกลม คูม่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2) แนวคดิ เน่อื งจาก ∆BCE ~ ∆ECA

จะได ้ —BCCE = C—EAC
—B7C = C—7A


ดังนั้น CA ∙ BC = 49 หรือ AC ∙ BC = 49

12. แนวคดิ

D x° C E

35° y° 2x° 25°

AO B

ให้ OˆAC = y°

จาก ∆ACE

จะได้ y + 25 = x

หรือ y – x = -25 1
2
ลาก OD จะได้ DˆOA = 2x°

และจาก ∆ADO

จะได้ 2x + 2(y + 35) = 180

หรือ x + y = 55

เมือ่ แกร้ ะบบสมการ จะได้ x = 40 และ y = 15

ดงั นนั้ x = 40

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 153

ตัวอย่างแบบทดสอบทา้ ยบท

1.

G E
F N

A OD

C

B
M

จากรปู ท่กี ำ�หนดให้ จงเขยี นความสัมพนั ธ์ระหวา่ งสว่ นตา่ ง ๆ ทีเ่ กี่ยวข้องกับวงกลม หรอื ขนาดของมุมมา 5 ขอ้

(5 คะแนน)

2. C จากรูป O เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลม มี AB เปน็ เสน้ ผ่าน

ศนู ยก์ ลางของวงกลม BˆCD = 25° และ CˆAB = 35°

จงหาขนาดของมมุ ต่อไปน้ี (5 คะแนน)

A O B 1) AˆCD =
2) BˆOD =

3) CˆBD =

D 4) AˆDC =

5) OˆDC =

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

154 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3. D

x°

C

O
A

PBQ

จากรปู O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม และ �PQ เปน็ เส้นสมั ผสั วงกลมทจี่ ดุ B

ให้นักเรียนพิจารณาว่าความสัมพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด แล้วทำ�เคร่ืองหมายถูก () หรือผิด ()

ลงใน  หน้าข้อความ พร้อมท้ังให้เหตุผลประกอบ โดยเขียนแสดงสมบัติทางเรขาคณิตหรือทฤษฎีบทเก่ียวกับ

วงกลมนน้ั (16 คะแนน)

 1) 2x = AˆOB

เพราะ



 2) x + OˆDC = 90°

เพราะ



 3) x = AˆCB

เพราะ



 4) x + OˆDC + AˆBC = 180°

เพราะ



 5) x = BˆO2C

เพราะ



 6) x + OˆBC + AˆOD = 180°

เพราะ



 7) x = PˆBA

เพราะ



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 155

 8) x + AˆCB + AˆOB = 180°

เพราะ


4. C จากรปู AB ขนานกับ CD และ AD ตัดกับ BC ทจ่ี ดุ E
D
A ถ้า AˆEB = 110° แล้ว AˆBC มขี นาดเท่าไร (1 คะแนน)

ก. 25°
ข. 35°
E ค. 45°
B ง. 55°


5. จากรูป O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม และ OˆBA = AˆCB

จงหาขนาดของ AˆDB (1 คะแนน)

O C ก. 120°
D B
ข. 125°

ค. 130°
A
ง. 135°

6.

O
C

20° D
B
A

จากรปู A�B เป็นเส้นสัมผัสวงกลม O ทจ่ี ดุ B และ OˆAB = 20° จงหาขนาดของ BˆDC (1 คะแนน)

ก. 135° ข. 140°

ค. 145° ง. 150°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

156 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

7. A

12 ซม. 20 ซม.
O

C 16 ซม. B

จากรปู ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มทม่ี ดี า้ น AC, BC และ AB ยาว 12 , 16 และ 20 เซนตเิ มตร ตามล�ำ ดบั มวี งกลม O

แนบในรูป ΔABC จงหาความยาวของรศั มขี องวงกลม (1 คะแนน)

ก. 3 เซนติเมตร ข. 4 เซนตเิ มตร

ค. 5 เซนติเมตร ง. 6 เซนติเมตร

8. AB เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O ถ้า AC ยาว 15 เซนติเมตร BC ยาว 20 เซนติเมตร และ AD ยาว
24 เซนตเิ มตร ดังรปู

A

15

C
O 24

20 (4 คะแนน)



BD

จงหา

1) ความยาวของรศั มขี องวงกลม O

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 157

2) ความยาวของ BD

9. จากรูป �PA และ �PB สัมผสั วงกลม O ทจี่ ุด A และ B ตามล�ำ ดบั และ AˆCB = 65°

A

C 65° O

P

B

จงเตมิ ขอ้ ความและเหตผุ ลลงในชอ่ งว่าง เพ่อื หาขนาดของ AˆPB ใหถ้ กู ตอ้ ง (5 คะแนน)

ขอ้ ข้อความ เหตผุ ล

1) AˆCB = องศา

2) AˆOB = องศา

3) OˆAP = OˆBP = องศา

4) AˆPB + + + = 360°

5) AˆPB = องศา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

158 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

10. AB เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O และ DOBC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ดงั รปู จงแสดงการหาขนาดของ OˆAC

พร้อมทั้งใหเ้ หตุผลประกอบ (5 คะแนน)

C

AO B

11.

A จากรูป O เป็นจดุ ศูนย์กลางของวงกลม
C PA เปน็ เส้นสมั ผัสวงกลมทีจ่ ดุ A

AD แบง่ ครึ่ง BˆAC และ AˆDC = 70°
(2 คะแนน)
O จงหา
1) x =
70° y° P 2) y =
B x°
D

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 159

12. A
จากรปู ให้ A�X สมั ผสั ทง้ั วงกลม O และวงกลม P
30° 50° ทจ่ี ดุ B A�G และ A�H เป็นเส้นสัมผสั วงกลม O และ

C วงกลม P ทีจ่ ดุ C และ D ตามล�ำ ดบั สว่ นต่อของ CB
และสว่ นตอ่ ของ BD ตดั วงกลม P และวงกลม O ทจ่ี ดุ F
O B
G D และ E ตามล�ำ ดบั ถา้ BˆAC = 30° และ BˆAD = 50°

E P
H
X

F

จงพจิ ารณาวา่ ขนาดของมุมในแต่ละข้อต่อไปน้เี ปน็ จริงหรอื เท็จ แลว้ ทำ�เครอื่ งหมายถูก () ลงในชอ่ งว่างหน้าข้อ

ท่เี ปน็ จริง และท�ำ เคร่ืองหมายผดิ () ลงในช่องว่างหน้าขอ้ ทเ่ี ปน็ เท็จ (5 คะแนน)

1) BˆCE = 65°

2) DˆBF = 40°

3) BˆDF = 80°

4) CˆBD = 140°

5) FˆDH = 50°

13. A AB เป็นเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลม O
B�C และ B�D มคี วามยาวเทา่ กัน
(2x)°
ถา้ AˆBD = (3x)° และ BˆAC = (2x)° แลว้
C O
D x= (2 คะแนน)
(3x)°

B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

160 บทที่ 2 | วงกลม คูม่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

14. B D M จากรปู วงกลม O และวงกลม P สัมผสั กันภายในท่ีจุด A
A
OP N คอร์ด AB และคอร์ด AC ตัดวงกลม P ท่ีจุด D และ E
E
ตามลำ�ดับ MN สัมผสั วงกลม O และวงกลม P ทีจ่ ดุ A
C
จงแสดงว่า ΔABC ~ ΔADE พร้อมทั้งให้เหตุผล

ประกอบ (4 คะแนน)

15.

สถานการณป์ ญั หา
จากการสำ�รวจห้องทำ�งานของบริษัทแห่งหนึ่ง พบว่า โต๊ะทำ�งานของวิชาญอยู่ ณ พิกัด (1, -4)

โต๊ะท�ำ งานของยวดยิง่ อยู่ ณ พกิ ัด (-4, 1) และ โตะ๊ ท�ำ งานของเอกพจน์อยู่ ณ พกิ ดั (12, 1)
ถ้าเพ่ือนทั้งสามคนต้องการติดตั้งอุปกรณ์จัดเส้นทาง (router) เพ่ือกระจายสัญญาณ WIFI โดย

ใหม้ รี ะยะหา่ งจากโตะ๊ ท�ำ งานของทง้ั สามคน เทา่ ๆ กนั จะมวี ธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจ่ี ะตดิ ตงั้ อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง
เพ่ือกระจายสญั ญาณ WIFI ดังกลา่ วได้อยา่ งไร

ให้นักเรียนลงจุดที่เป็นตำ�แหน่งของโต๊ะทำ�งานโดยใช้กระดาษกราฟ หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต เช่น

The Geometer’s Sketchpad แลว้ แสดงวธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจ่ี ะตดิ ตง้ั อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง เพอ่ื กระจายสญั ญาณ WIFI

พร้อมท้ังเขียนแสดงค�ำ ตอบ (5 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 161

เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1.

G E
F N

A OD

C

B
M

จากรปู ทก่ี �ำ หนดให้ จงเขยี นความสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่าง ๆ ทเ่ี ก่ียวขอ้ งกับวงกลม หรอื ขนาดของมมุ มา 5 ข้อ

(5 คะแนน)

ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น

1) OA = OD 2) BˆCE = BˆDE
4) DˆOC = 2(DˆBC)
3) มุมกลบั AOD = 2(AˆBD) 6) MˆCG = 90°
8) NˆCE = CˆBE
5) DˆEF = 90° 10) BˆAC = BˆEC
7) BˆCM = BˆEC
9) มุมกลบั AOC = 2(AˆBC) 12) OC ⊥ �MN

11) CG = 2(CO)

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถบอกทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม คอรด์ ของวงกลม

และเส้นสมั ผสั วงกลม

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน

✤ ระบุความสมั พนั ธ์หรอื ขนาดของมุมถกู ต้อง ไดข้ อ้ ละ 1 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

162 บทที่ 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2. C ศูนย์กจลาากงรขูปองOวงเปกล็นมจุดศูนBˆยCก์ Dลาง=ขอ2งว5ง°กลแมลมะี AB เปน็ เส้นผา่ น

CˆAB = 35°

จงหาขนาดของมุมตอ่ ไปน้ี (5 คะแนน)

A O B 1) AˆCD = 65°
2) BˆOD = 50°
120°
3) CˆBD = 55°
30°
D 4) AˆDC =
5) OˆDC =

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถนำ�ทฤษฎีบทเก่ยี วกบั วงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

3. D

x°

C

O
A

PBQ

จากรูป O เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม และ �PQ เปน็ เส้นสัมผัสวงกลมทีจ่ ุด B

ให้นักเรียนพิจารณาว่าความสัมพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด แล้วทำ�เคร่ืองหมายถูก () หรือผิด ()

ลงใน  หน้าข้อความ พร้อมท้ังให้เหตุผลประกอบ โดยเขียนแสดงสมบัติทางเรขาคณิตหรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับ

วงกลมนัน้ (16 คะแนน)

 1) 2x = AˆOB

เพราะ ในวงกลมวงเดยี วกนั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางจะมีขนาดเป็นสองเทา่ ของมุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมท่ี

รองรบั ดว้ ยส่วนโค้งเดยี วกนั

 2) x + OˆDC = 90°

เพราะ มุมในครง่ึ วงกลมมขี นาด 90° หรอื หนง่ึ มุมฉาก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 163

 3) x = AˆCB

เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน มมุ ในส่วนโค้งของวงกลมทีร่ องรบั ดว้ ยส่วนโค้งเดียวกันมขี นาดเท่ากัน

 4) x + OˆDC + AˆBC = 180°

เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมตรงขา้ มของรูปส่เี หลยี่ มแนบในวงกลมเทา่ กบั สองมมุ ฉาก
 5) x = BˆO2C

ตวั อย่างการให้เหตผุ ล AˆDB ดังน้นั x = AˆOB

เพราะ AˆOB เปน็ มมุ ทีจ่ ุดศูนยก์ ลางท่ีรองรับด้วยสว่ นโค้งเดยี วกนั กบั 2

 6) x + OˆBC + AˆOD = 180°

เพราะ เมือ่ ใชค้ วามรทู้ วี่ า่ ในวงกลมวงเดยี วกนั มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกนั

มีขนาดเทา่ กัน และขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลย่ี มรวมกนั ได้ 180° แลว้ ท�ำ ให้

ความสมั พันธ์ขา้ งต้นเป็นจรงิ

 7) x = PˆBA

เพราะ มมุ ท่ีเกิดจากคอรด์ และเส้นสมั ผสั วงกลมทีจ่ ุดสัมผัส จะมขี นาดเท่ากับขนาดของมมุ ในสว่ นโค้งของ

วงกลมทอี่ ยูต่ รงข้ามกับคอรด์ นนั้

 8) x + AˆCB + AˆOB = 180°

ตัวอย่างการให้เหตุผล

เพราะ ในวงกลมเดยี วกนั มุมทร่ี องรบั ด้วยสว่ นโคง้ เดยี วกัน มขี นาดเท่ากัน และมุมทีฐ่ านของรปู สามเหลี่ยม

หน้าจวั่ มขี นาดเทา่ กนั

จะได้ AˆCB = AˆDB = OˆCB = OˆBC = x
เนอื่ งจาก OˆBC + OˆCB + BˆOC = 180° หรือ x + AˆCB + BˆOC = 180°
นน่ั คือ x + AˆCB + AˆOB = 180° เมอื่ AˆOB = BˆOC แต่ AˆOB ≠ BˆOC
ดงั น้นั x + AˆCB + AˆOB ≠ 180°

ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถบอกทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม คอรด์ ของวงกลม

และเส้นสัมผสั วงกลม

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 16 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดงั น้ี

✤ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนแสดงสมบตั ทิ างเรขาคณติ หรอื ทฤษฎบี ท

เก่ยี วกบั วงกลมท่ีรองรบั ความสมั พันธ์ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

164 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4. A E C จากรูป AB ขนานกับ CD และ AD ตดั กบั BC ที่จดุ E
B D
ถ้า AˆEB = 110° แลว้ AˆBC มขี นาดเทา่ ไร (1 คะแนน)

ก. 25°
ข. 35°
ค. 45°
ง. 55°

5. จากรูป O เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม และ OˆBA = AˆCB

C จงหาขนาดของ AˆDB (1 คะแนน)
B
A O ก. 120°
D
ข. 125°

ค. 130°

ง. 135°

6.

O
C

20° D
B
A

จากรปู A�B เป็นเส้นสัมผสั วงกลม O ทจ่ี ุด B และ OˆAB = 20° จงหาขนาดของ BˆDC (1 คะแนน)

ก. 135° ข. 140°

ค. 145° ง. 150°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 165

7. A

12 ซม. 20 ซม.
O

C 16 ซม. B

จากรปู ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มทม่ี ดี า้ น AC, BC และ AB ยาว 12 , 16 และ 20 เซนตเิ มตร ตามล�ำ ดบั มวี งกลม O

แนบในรูป ΔABC จงหาความยาวของรศั มขี องวงกลม (1 คะแนน)

ก. 3 เซนติเมตร ข. 4 เซนตเิ มตร

ค. 5 เซนติเมตร ง. 6 เซนตเิ มตร

ส�ำ หรับข้อ 4–7

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเกยี่ วกบั วงกลมไปใช้ในการให้เหตุผลและการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

8. AB เปน็ เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม O ถา้ AC ยาว 15 เซนตเิ มตร BC ยาว 20 เซนตเิ มตร และ AD ยาว
24 เซนตเิ มตร ดังรปู

A

15

C
O 24

20 (4 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

BD

166 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

จงหา

1) ความยาวของรศั มีของวงกลม O

แนวคดิ เนื่องจาก AˆCB เป็นมุมในคร่ึงวงกลม

จะได้ ∆ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก ทม่ี ี AˆCB เปน็ มมุ ฉาก

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส
ดงั นัน้ AB2 = AC2 + BC2

= 152 + 202

= 625

AB = 25

จะได ้ OA = 2—25 = 12.5

น่ันคอื รศั มขี องวงกลม O ยาว 12.5 เซนตเิ มตร

2) ความยาวของ BD

แนวคิด เน่อื งจาก AˆDB เป็นมมุ ในคร่ึงวงกลม

จะได้ ∆ABD เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก ที่มี AˆDB เปน็ มุมฉาก

จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั

ดงั นนั้ BD2 = AB2 – AD2

= 252 – 242

= 49

จะได้ BD = 7

น่ันคือ BD ยาว 7 เซนตเิ มตร

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเก่ยี วกับวงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ เขียนแสดงแนวคิดและหาค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคดิ แต่หาค�ำ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง

หรอื ไม่เขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าคำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขียนแสดงแนวคิดและหาค�ำ ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไม่เขยี น ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 167

9. จากรูป �PA และ �PB สมั ผัสวงกลม O ทจี่ ดุ A และ B ตามล�ำ ดบั และ AˆCB = 65°

A

C 65° O

P

B

จงเติมขอ้ ความและเหตุผลลงในชอ่ งว่าง เพ่อื หาขนาดของ AˆPB ใหถ้ กู ตอ้ ง (5 คะแนน)

ขอ้ ข้อความ เหตผุ ล
1) AˆCB =
65 องศา ก�ำ หนดให้

2) AˆOB = 130 องศา มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุม
ในส่วนโคง้ ของวงกลมท่รี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดียวกัน
3) OˆAP = OˆBP = 90 องศา เส้นสมั ผสั จะตั้งฉากกับรัศมที ่ีจุดสมั ผสั

4) AˆPB + AˆOB + OˆAP + OˆBP = 360° ขนาดของมุมภายในทั้งส่ีมุมของรูปส่ีเหลี่ยมรวมกันเป็น
360°
5) AˆPB = 50 องศา สมบัติของการเท่ากนั

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั วงกลมไปใชใ้ นการให้เหตุผลและการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้

✤ เตมิ ข้อความถูกตอ้ ง ได้ 0.5 คะแนน

✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลถกู ต้อง ได้ 0.5 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

168 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

10. AB เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O และ DOBC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ดงั รปู จงแสดงการหาขนาดของ OˆAC

พร้อมทงั้ ให้เหตผุ ลประกอบ (5 คะแนน)

C

AO B

แนวคิด 1 เน่อื งจาก AˆCB = 90° (มมุ ในคร่ึงวงกลมมขี นาด 90°)

และ OˆBC = 60° (ΔOBC เปน็ รูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ )
จะได ้
OˆAC = 180 – (90 + 60) (ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรูปสามเหลย่ี ม

เปน็ 180°)

ดงั นั้น OˆAC = 30°

แนวคดิ 2 เน่ืองจาก AˆCB = 90° (มุมในครงึ่ วงกลมมีขนาด 90°)
และ OˆCB = 60° (ΔOBC เป็นรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ )
จะได ้ OˆCA = AˆCB – OˆCB

ดงั นั้น OˆCA = 90 – 60 = 30° (สมบตั ิของการเท่ากัน)

เนอื่ งจาก OA = OC (รัศมีของวงกลมเดยี วกนั )

ดงั น้ัน ΔAOC เปน็ รปู สามเหลี่ยมหนา้ จวั่ (บทนยิ ามของรูปสามเหลยี่ มหน้าจัว่ )

และเนื่องจาก OˆAC = OˆCA (มมุ ท่ฐี านของรปู สามเหล่ยี มหน้าจ่ัวมขี นาดเทา่ กนั )
(ΔOBC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเท่า)
ดงั นนั้ OˆAC = 30°

แนวคดิ 3 เน่อื งจาก BˆOC = 60°

และ BˆOC = 2(BˆAC) (มุมทีจ่ ุดศนู ยก์ ลางจะมขี นาดเปน็ สองเท่าของขนาด

ของมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลมทีร่ องรบั ด้วยส่วนโค้ง

เดยี วกนั )

จะได ้ 60° = 2(BˆAC)

และ BˆAC = 6—20 = 30°
ดังนน้ั OˆAC = 30°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 169

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน

ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเกยี่ วกบั วงกลมไปใช้ในการให้เหตุผลและการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดังน้ี

ส่วนที่ 1 การเขียนแสดงการหาขนาดของ OˆAC

✤ เขียนแสดงถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงถูกตอ้ งบางสว่ น ได้ 1 คะแนน

✤ เขยี นแสดงไม่ถกู ต้อง หรอื ไมเ่ ขยี น ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 2 การเขียนแสดงเหตผุ ล

✤ เขียนแสดงเหตุผลถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงเหตุผลถกู ต้องบางส่วน ได้ 1 คะแนน

✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลไม่ถูกต้อง หรอื ไม่เขยี น ได้ 0 คะแนน

สว่ นท่ี 3 การหาขนาดของ OˆAC

✤ หาขนาดของมมุ ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ หาขนาดของมุมไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

11.

A จากรปู O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม

PA เปน็ เส้นสัมผสั วงกลมท่จี ุด A

AD แบง่ ครงึ่ BˆAC และ AˆDC = 70°

O จงหา (2 คะแนน)
1) x = 50

x° 70° y° P 2) y = 40

B DC

แนวคิด 1) เนอื่ งจาก AˆCB = 90° (มุมในครึง่ วงกลมมีขนาด 90°)
และ AˆDC = 70° (ก�ำ หนดให)้
(ขนาดของมมุ ภายในทัง้ สามมมุ ของ
CˆAD + AˆCB + AˆDC = 180° รปู สามเหลีย่ มรวมกนั เป็น 180°)

(ขนาดของมุมภายในท้งั สามมมุ ของ
รูปสามเหลีย่ มรวมกนั เปน็ 180°)
จะได้ CˆAD = 180 – 90 – 70 = 20°

เนือ่ งจาก BˆAC = 2(CˆAD)
ดังน้ัน BˆAC = 40°
เนอื่ งจาก x + AˆCB + BˆAC = 180



จะได้ x = 180 – 90 – 40 = 50

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

170 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2) เน่อื งจาก y + PˆAB + x = 180 (ขนาดของมมุ ภายในของรูปสามเหลีย่ ม
รวมกันเป็น 180°)

จะได้ y = 180 – 90 – 50 = 40
ดงั นน้ั x = 50 และ y = 40

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถนำ�ทฤษฎีบทเกย่ี วกับวงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

12. A จากรปู ให้ A�X สมั ผสั ทง้ั วงกลม O และวงกลม P

ทจ่ี ดุ B A�G และ A�H เปน็ เส้นสมั ผสั วงกลม O และ

30° 50°

วงกลม P ท่ีจดุ C และ D ตามล�ำ ดับ สว่ นต่อของ CB

C และสว่ นตอ่ ของ BD ตดั วงกลม P และวงกลม O ทจ่ี ดุ F

O B D และ E ตามล�ำ ดบั ถา้ BˆAC = 30° และ BˆAD = 50°
G
P
E H

X

F

จงพิจารณาวา่ ขนาดของมมุ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีเปน็ จริงหรอื เทจ็ แลว้ ท�ำ เครอ่ื งหมายถกู () ลงในช่องว่างหนา้ ข้อ

ท่เี ปน็ จริง และท�ำ เครอ่ื งหมายผิด () ลงในชอ่ งว่างหนา้ ข้อทีเ่ ปน็ เท็จ (5 คะแนน)

 1) BˆCE = 65°

 2) DˆBF = 40°

 3) BˆDF = 80°

 4) CˆBD = 140°

 5) FˆDH = 50°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 171

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเกีย่ วกับวงกลมไปใช้ในการให้เหตผุ ลและการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

13. A D AB เปน็ เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O
B�C และ B�D มคี วามยาวเทา่ กัน
(2x)°
ถา้ AˆBD = (3x)° และ BˆAC = (2x)° แล้ว
C O
x = 18 (2 คะแนน)
(3x)°

B

แนวคิด เนอื่ งจาก m(B�C) = m(B�D) (กำ�หนดให้)
จะได้
BˆAC = BˆAD = (2x)° (มุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมท่รี องรบั ด้วยส่วนโคง้

ท่ยี าวเท่ากนั จะมีขนาดเท่ากัน)

เนือ่ งจาก AˆBD = (3x)° (กำ�หนดให)้
(มมุ ในครึ่งวงกลมมขี นาด 90°)
และ AˆDB = 90°
(ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ ม
เน่ืองจาก BˆAD + AˆBD + AˆDB = 180° รวมกนั เปน็ 180°)



2x + 3x + 90 = 180

ดงั นั้น x = 18

ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเกีย่ วกบั วงกลมไปใช้ในการให้เหตุผลและการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน

ตอบถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

172 บทที่ 2 | วงกลม ค่มู ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

14. B D M จากรปู วงกลม O และวงกลม P สมั ผัสกันภายในที่จุด A
A
OP N คอร์ด AB และคอร์ด AC ตัดวงกลม P ที่จุด D และ E
E
ตามล�ำ ดับ MN สัมผสั วงกลม O และวงกลม P ทีจ่ ุด A
C
จงแสดงว่า ΔABC ~ ΔADE พร้อมท้ังให้เหตุผล

ประกอบ (4 คะแนน)

แนวคดิ เนอื่ งจาก AˆBC = CCˆˆAANN � (มมุ ทเี่ กดิ จากคอรด์ และเสน้ สมั ผสั วงกลมทจี่ ดุ สมั ผสั
และ AˆDE = จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของ
วงกลมทอ่ี ยตู่ รงข้ามกบั คอรด์ นน้ั )
(สมบัติของการเท่ากนั )

ดงั นนั้ AˆBC = AˆDE (มุมร่วม)
(มมี มุ ทีม่ ีขนาดเท่ากนั เป็นคู่ ๆ 3 คู่)
ในทำ�นองเดยี วกัน จะได้ AˆCB = AˆED
และ BˆAC = DˆAE

ดงั นน้ั ΔABC ~ ΔADE

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั วงกลมไปใช้ในการใหเ้ หตุผลและการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดังนี้

ส่วนท่ี 1 การเขียนแสดงแนวคดิ

✤ เขียนแสดงแนวคดิ ถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคิดถูกตอ้ งบางส่วน ได้ 1 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคดิ ไมถ่ ูกต้อง หรือไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

สว่ นที่ 2 การเขียนแสดงเหตุผลประกอบแนวคดิ

✤ เขียนแสดงเหตุผลถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงเหตุผลถูกต้องบางส่วน ได้ 1 คะแนน

✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 173

15. สถานการณป์ ัญหา
จากการสำ�รวจห้องทำ�งานของบริษัทแห่งหนึ่ง พบว่า โต๊ะทำ�งานของวิชาญอยู่ ณ พิกัด (1, -4)

โตะ๊ ท�ำ งานของยวดย่ิงอยู่ ณ พิกดั (-4, 1) และ โตะ๊ ทำ�งานของเอกพจนอ์ ยู่ ณ พิกดั (12, 1)
ถ้าเพ่ือนท้ังสามคนต้องการติดตั้งอุปกรณ์จัดเส้นทาง (router) เพ่ือกระจายสัญญาณ WIFI โดย

ใหม้ รี ะยะหา่ งจากโตะ๊ ท�ำ งานของทงั้ สามคน เทา่ ๆ กนั จะมวี ธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจ่ี ะตดิ ตง้ั อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง
เพื่อกระจายสญั ญาณ WIFI ดงั กลา่ วได้อย่างไร

ให้นักเรียนลงจุดท่ีเป็นตำ�แหน่งของโต๊ะทำ�งานโดยใช้กระดาษกราฟ หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต เช่น

The Geometer’s Sketchpad แลว้ แสดงวธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจี่ ะตดิ ตงั้ อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง เพอ่ื กระจายสญั ญาณ WIFI

พร้อมทัง้ เขยี นแสดงค�ำ ตอบ (5 คะแนน)

แนวคดิ

18

A: (1.00, -4.00) 16
B: (-4.00, 1.00) 14
C: (12.00, 1.00) 12
O: (4.00, 4.00) 10

8

6

O

4

2 C

B

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30

D-2 E
-4 A

-6

-8

-10

-12

ให้ จุด A แทนต�ำ แหนง่ โต๊ะทำ�งานของวิชาญ
จดุ B แทนต�ำ แหน่งโตะ๊ ทำ�งานของยวดย่ิง
จุด C แทนตำ�แหน่งโตะ๊ ทำ�งานของเอกพจน์
1. ลงจุด (1, 4), (-4, 1) และ (12, 1) บนระนาบพกิ ัดฉากจะได้ต�ำ แหน่งโต๊ะท�ำ งานของเพอ่ื นทั้งสามคน
2. สรา้ ง AB และ AC
3. แบง่ ครึง่ AB และ AC ทจี่ ดุ D และ E ตามลำ�ดับ
4. สร้างเส้นตั้งฉากกับ AB ที่จดุ D และสรา้ งเสน้ ตงั้ ฉากกบั AC ท่ีจุด E ให้เสน้ ต้ังฉากทัง้ สองตัดกนั ทจี่ ดุ O
5. วดั พกิ ดั ของจดุ O

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

174 บทที่ 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

เนื่องจาก จุด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมท่ีผ่านจุด A จุด B และจดุ C

จะได้ จดุ O เป็นต�ำ แหน่งของจุดที่จะติดตัง้ อปุ กรณจ์ ดั เส้นทาง ท่ีท�ำ ใหร้ ะยะหา่ งจากโตะ๊ ทำ�งานของท้งั สามคน

เทา่ ๆ กัน และพิกัดของจดุ O คอื (4,242) ดังรปู

20

18

A: (1.00, -4.00) 16
B: (-4.00, 1.00) 14
C: (12.00, 1.00) 12
O: (4.00, 4.00) 10

8

6

O

4

2 C

B

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30
D-2 E
-4 A

-6

-8

-10

-12

-14

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน -16

ข้อ 2 นักเรยี นสามารถนำ�ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลมไปใช้ในการให้เหตผุ ลและการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั น้ี

สว่ นที่ 1 การลงจดุ ตำ�แหน่งต่าง ๆ รวมท้ังต�ำ แหนง่ ทจี่ ะติดต้งั อุปกรณจ์ ดั เสน้ ทาง

✤ ลงจุดถูกตอ้ งครบถว้ น ได้ 2 คะแนน

✤ ลงจุดถูกตอ้ งบางส่วน ได้ 1 คะแนน

✤ ลงจุดไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่ลงจุด ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 2 การเขียนแสดงวิธหี าพกิ ัดของจดุ

✤ เขยี นแสดงวธิ ีหาพกิ ัดของจุดถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงวธิ ีหาพกิ ดั ของจดุ ถกู ตอ้ งบางสว่ น ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนแสดงวธิ ีหาพิกดั ของจุดไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 3 การสรุปค�ำ ตอบ

✤ สรุปค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ สรปุ ค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมส่ รุป ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 175

บทท่ี 3 พรี ะมิด กรวย และทรงกลม

ในบทพรี ะมดิ กรวย และทรงกลมน้ี ประกอบด้วยหวั ข้อยอ่ ย
ดงั ต่อไปนี้

3.1 ปริมาตรและพน้ื ทผ่ี ิวของพรี ะมิด 5 ช่วั โมง
3.2 ปริมาตรและพื้นทผ่ี ิวของกรวย 5 ชว่ั โมง
3.3 ปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ ิวของทรงกลม 5 ช่วั โมง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระที่ 2 การวดั และเรขาคณิต

มาตรฐาน ค 2.1 เขา้ ใจพนื้ ฐานเกี่ยวกบั การวัด วัดและคาดคะเนขนาดของส่งิ ทตี่ อ้ งการวดั และน�ำ ไปใช้

ตัวช้วี ัด

1. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามร้เู ร่อื งปรมิ าตรของพรี ะมิด กรวย และทรงกลมในการแก้ปัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวิตจริง
2. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้เร่ืองพน้ื ทีผ่ ิวของพีระมิด กรวย และทรงกลมในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวิตจรงิ

จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

นักเรยี นสามารถ
1. หาปรมิ าตรและพืน้ ทผ่ี วิ ของพีระมดิ กรวย และทรงกลม
2. ประยุกตใ์ ช้ความรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรและพนื้ ทีผ่ วิ ของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลมในการแกป้ ัญหา

ความเช่อื มโยงระหวา่ งตัวช้ีวดั กับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

เน่ืองจากตัวช้ีวัดกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ความรู้เร่ืองปริมาตรและพ้ืนท่ีผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม
ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง ดังน้นั เพ่อื ให้การเรียนร้ขู องนักเรียนในเร่อื งพีระมิด กรวย และทรงกลม
สอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครูควรจัดประสบการณ์ให้นักเรียนเข้าใจเก่ียวกับรูปเรขาคณิตสามมิติ ได้แก่ พีระมิด กรวย และ
ทรงกลม รวมทงั้ ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรและพน้ื ทผี่ วิ ของรปู เรขาคณติ ดงั กลา่ วในการแกป้ ญั หา ซง่ึ สะทอ้ นไดจ้ ากการทน่ี กั เรยี น
สามารถ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

176 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

✤ อธบิ ายลกั ษณะและสว่ นตา่ ง ๆ ของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม
✤ หาปรมิ าตรและพน้ื ทผ่ี วิ ของพีระมดิ กรวย และทรงกลม
✤ ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ รอ่ื งปรมิ าตรและพน้ื ทผ่ี วิ ของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ในการแกป้ ญั หา

ความคิดรวบยอดของบทเรียน

พีระมิด กรวย และทรงกลมเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ เน่ืองจากปริมาตรของพีระมิดสัมพันธ์กับปริมาตรของปริซึม และ
ปริมาตรของกรวยและปริมาตรของทรงกลมต่างก็สัมพันธ์กับปริมาตรของทรงกระบอก เราจึงใช้ปริมาตรของปริซึมและ
ทรงกระบอกในการอธบิ ายทมี่ าของการหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ส�ำ หรบั พน้ื ทผี่ วิ ของพรี ะมดิ และกรวยสามารถ
อธิบายและหาได้จากพื้นท่ีของรูปคล่ีของพีระมิดและกรวยน้ัน แต่เน่ืองจากทรงกลมมีลักษณะเฉพาะท่ีไม่สามารถใช้พ้ืนท่ีของ
รปู เรขาคณติ สองมติ ใิ นการอธบิ ายทม่ี าของการหาพน้ื ทผ่ี วิ ไดโ้ ดยตรง ดงั นน้ั จงึ ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรของทรงกลมและปรมิ าตร
ของพีระมิดมาอธบิ ายทมี่ าของการหาพื้นทผ่ี ิว

ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

หวั ขอ้

ทักษะและกระบวนการ 3.1 3.2 3.3 กจิ กรรม
ทางคณิตศาสตร์ ปรมิ าตรและ ปรมิ าตรและ ปรมิ าตรและ ทา้ ยบท/
พ้นื ท่ีผวิ ของ พ้ืนทีผ่ วิ ของ พื้นทผี่ ิวของ แบบฝึกหดั
การแก้ปัญหา ทา้ ยบท
การสอ่ื สารและการสื่อความหมาย พีระมิด กรวย ทรงกลม
ทางคณิตศาสตร์ ✤
การเชอ่ื มโยง ✤✤✤
การให้เหตุผล
การคิดสร้างสรรค์ ✤ ✤✤
✤✤✤✤

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 177

ความเช่อื มโยงของความรู้

ความรพู ืน้ ฐาน ✤ ปริมาตรของปรซิ ึม เพ่ือเป็นพน้ื ฐานในการหาปริมาตรของพรี ะมดิ
✤ ปริมาตรของทรงกระบอก เพื่อเป็นพื้นฐานในการหาปริมาตรของ

กรวยและทรงกลม
✤ ทฤษฎบี ทพที าโกรสั เพอ่ื เปน็ พนื้ ฐานในการหาปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ วิ

ของพีระมดิ และกรวย รวมทง้ั การแกป้ ญั หา
✤ อัตราสว่ นและสัดสว่ น เพอ่ื เป็นพน้ื ฐานในการหาพื้นทผ่ี ิวของกรวย

ความรู ✤ ปริมาตรของพีระมิด เป็นหน่ึงในสามของปริมาตรของปริซึมท่ีมี
ในบทเรียน พน้ื ท่ีฐานและความสงู เทา่ กับพรี ะมดิ

ปริมาตรของพรี ะมิด = 13– × พ้ืนท่ีฐาน × ความสูง
✤ พ้นื ท่ีผิวของพีระมดิ หาได้จากพ้ืนทผ่ี ิวขา้ งท้ังหมดรวมกบั พ้นื ท่ีฐาน
✤ ปริมาตรของกรวย เปน็ หน่งึ ในสามของปริมาตรของทรงกระบอกท่ี

มีพื้นท่ฐี านและความสูงเทา่ กบั กรวย
ปรมิ าตรของกรวย = 13–πr2h เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐานของกรวย

และ h แทนความสูงของกรวย

✤ พื้นท่ีผิวของกรวย หาได้จากพ้ืนที่ผิวข้างรวมกับพ้ืนท่ีฐาน
พ้นื ทีผ่ วิ ของกรวย = πr + πr2 เมือ่ r แทนรัศมขี องฐานของ
กรวย และ แทนส่วนสงู เอยี งของกรวย

✤ ปริมาตรของทรงกลม หาได้จากความสัมพันธ์ท่ีว่า สามเท่าของ
ปริมาตรของครึ่งทรงกลมเท่ากบั ปรมิ าตรของทรงกระบอก ทม่ี รี ศั มี
ของฐานเท่ากบั รัศมีของครง่ึ ทรงกลม และความสงู เป็นสองเท่าของ

ร ศั มปีขรอิมงาคตรร่ึงขทอรงงทกรลงมกลม = 3–4πr3 เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม
✤ พื้นท่ีผิวของทรงกลม สามารถอธิบายท่ีมาของสูตรได้โดยอาศัย

ความรจู้ ากปริมาตรของทรงกลมและปรมิ าตรของพีระมิด
พืน้ ที่ผวิ ของทรงกลม = 4πr2 เมื่อ r แทนรศั มขี องทรงกลม

ความรูในอนาคต
-

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

178 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ล�ำ ดบั การจดั กิจกรรมการเรยี นรขู้ องบทเรยี น

ทบทวนความรเู้ รือ่ งการหาปริมาตรและพน้ื ทีผ่ วิ ของปรซิ มึ และทรงกระบอก และทฤษฎีบทพที าโกรสั
แนะนำ�ลกั ษณะและส่วนตา่ ง ๆ ของพีระมิด

ท�ำ กิจกรรม และอภปิ รายเกี่ยวกบั ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งปริมาตรของพีระมิดกับปริมาตรของปรซิ ึม เพอ่ื ให้ได้
ขอ้ สรุปเกี่ยวกบั ปริมาตรของพรี ะมิด พรอ้ มทงั้ ฝกึ ใช้ความรู้เกย่ี วกับปริมาตรของพรี ะมดิ ในการแกป้ ญั หา
แนะน�ำ ความหมายพ้ืนที่ผิวของพรี ะมดิ และเชื่อมโยงการหาพื้นท่ีผวิ กับรปู คล่ขี องพีระมดิ
รวมทง้ั เช่อื มโยงการหาพ้นื ทีผ่ ิวขา้ งของพีระมดิ ฐานหลายเหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เทา่ กับรูปคล่ีของพีระมิด
พร้อมท้งั ฝกึ ใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกบั พนื้ ท่ผี ิวของพรี ะมดิ ในการแกป้ ญั หา
แนะนำ�ลักษณะและส่วนตา่ ง ๆ ของกรวย
หาปรมิ าตรของกรวย โดยอาศัยความรู้เกยี่ วกบั ปริมาตรของพรี ะมิดและปริมาตรของทรงกระบอก

เพ่ือให้ได้ข้อสรุปเกย่ี วกับปริมาตรของกรวย พรอ้ มทง้ั ฝกึ ใชค้ วามรู้เกย่ี วกบั ปริมาตรของกรวยในการแกป้ ญั หา
แนะน�ำ ความหมายพนื้ ที่ผิวของกรวย และเชือ่ มโยงการหาพนื้ ทผ่ี ิวกับรปู คล่ีของกรวย และหาพน้ื ท่ผี วิ

ของกรวยโดยอาศยั ความรูเ้ รอื่ งอตั ราสว่ น พรอ้ มทั้งฝกึ ใชค้ วามรู้เกี่ยวกับพ้ืนทผ่ี วิ ของกรวยในการแก้ปญั หา
แนะนำ�ลกั ษณะและส่วนตา่ ง ๆ ของทรงกลม

ท�ำ กจิ กรรม และอภิปรายเกี่ยวกับความสัมพนั ธ์ระหวา่ งปริมาตรของทรงกลมกับปรมิ าตรของทรงกระบอก
เพอ่ื ใหไ้ ดข้ อ้ สรปุ เกย่ี วกบั ปรมิ าตรของทรงกลม พรอ้ มทง้ั ฝกึ ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรของทรงกลมในการแกป้ ญั หา

แนะน�ำ ความหมายพ้นื ทผ่ี ิวของทรงกลม และเชื่อมโยงการหาพ้นื ท่ผี วิ ของทรงกลมจากปริมาตรของ
ทรงกลมและปริมาตรของพรี ะมิด พร้อมท้งั ฝึกใชค้ วามร้เู กย่ี วกบั พื้นท่ีผิวของทรงกลมในการแก้ปญั หา

สรุปบทเรียนเร่ืองพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม
และฝึกแก้ปัญหาโดยท�ำ กจิ กรรมทา้ ยบทและแบบฝึกหดั ทา้ ยบท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 179

3.1 ปริมาตรและพนื้ ที่ผวิ ของพีระมดิ (5 ชัว่ โมง)

จุดประสงค์

นักเรียนสามารถ
1. อธบิ ายลกั ษณะและส่วนต่าง ๆ ของพีระมิด
2. หาปริมาตรของพีระมิดและนำ�ความรไู้ ปใชใ้ นการแกป้ ัญหา
3. หาพน้ื ทผี่ ิวของพรี ะมิดและน�ำ ความรไู้ ปใชใ้ นการแก้ปัญหา

ความเข้าใจท่ีคลาดเคล่อื น

-

สือ่ ท่ีแนะนำ�ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

1. อุปกรณข์ องกิจกรรม : ปรมิ าตรของพีระมิด
2. อปุ กรณ์ของกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปริมาตร

ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

ในหัวขอ้ นี้ เป็นเร่ืองเกีย่ วกบั ปริมาตรและพน้ื ท่ผี ิวของพีระมดิ ซงึ่ ต้องการใหน้ ักเรียนรูจ้ ักสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของพรี ะมดิ
และความหมายของพีระมิดในทางคณิตศาสตร์ รวมถึงให้นักเรียนทำ�กิจกรรมเชิงสำ�รวจเพ่ือสร้างข้อสรุปเก่ียวกับสูตรการหา
ปริมาตรของพีระมิด และการหาพ้ืนท่ีผิวของพีระมิดจากพ้ืนท่ีของรูปคล่ีของพีระมิด ท้ังน้ี ในการทำ�กิจกรรมดังกล่าว จะช่วย
พัฒนาความสามารถในการนกึ ภาพ และความรสู้ ึกเชงิ ปรภิ ูมิ (spatial sense) ของนักเรยี น แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
อาจทำ�ไดด้ งั นี้
1. ครูสนทนากับนักเรียนเก่ียวกับส่ิงของในชีวิตประจำ�วันท่ีมีลักษณะคล้ายพีระมิด และให้นักเรียนร่วมกันอภิปราย

เพอ่ื ให้ได้ขอ้ สรปุ เก่ียวกบั ลกั ษณะและสว่ นต่าง ๆ ของพรี ะมิด รวมถึงความหมายของพรี ะมดิ ในทางคณติ ศาสตร์
2. ครใู ห้นักเรยี นทำ� “กิจกรรม : ปริมาตรของพีระมิด” ในหนังสือเรยี น หนา้ 120–122 เพื่อให้นกั เรยี นไดส้ ำ�รวจ

สงั เกต สรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ และหาขอ้ สรปุ เกย่ี วกบั ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของพรี ะมดิ และปรมิ าตรของ
ปริซึมท่ีมีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน ซ่ึงจะได้ว่า ปริมาตรของพีระมิดเป็นหน่ึงในสามของปริมาตรของ
ปรซิ มึ เพือ่ น�ำ ไปสู่สูตรการหาปรมิ าตรของพรี ะมิด
นอกจากนี้ ครูควรให้นักเรียนสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึมที่มี
ความสูงเท่ากันและพ้ืนที่ฐานเท่ากัน แต่ฐานทั้งสองไม่เป็นรูปเรขาคณิตท่ีเท่ากันทุกประการ ซ่ึงความสัมพันธ์
ดังกลา่ วยงั คงเหมือนเดิม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

180 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ครอู าจใช้วีดิทศั น์ในกรอบสือ่ เสริมเพ่ิมความรู้ ในหนงั สอื เรียน หน้า 123 แทนการทำ�กิจกรรมในชั้นเรยี น
ซ่ึงจะทำ�ให้นักเรียนสร้างข้อความคาดการณ์ และหาข้อสรุปเก่ียวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิด
และปริมาตรของปริซึมที่มีพ้ืนท่ีฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน เพ่ือนำ�ไปสู่สูตรการหาปริมาตรของพีระมิดได้
เชน่ เดียวกัน

3. ครอู าจใช ้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปรมิ าตร” ในคมู่ อื ครู หนา้ 182–185 ซง่ึ เปน็ กรณเี ฉพาะ
ในการหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของลูกบาศก์และปริมาตรของพีระมิดปรกติฐานส่ีเหล่ียม โดยครูสามารถ
ให้นกั เรียนใชก้ ารนกึ ภาพในการสร้างข้อความคาดการณ์และคน้ หาข้อสรปุ เกีย่ วกับการหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ

4. ครอู าจใชช้ วนคดิ 3.1 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 124 ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ใชก้ ารนกึ ภาพและความรสู้ กึ เชงิ ปรภิ มู ปิ ระกอบ
การคดิ และใหเ้ หตผุ ลในการหาค�ำ ตอบ ซงึ่ หากนกั เรยี นยงั หาค�ำ ตอบไมไ่ ด้ ครอู าจใชก้ ารค�ำ นวณเพอื่ ชว่ ยใหน้ กั เรยี น
เปรยี บเทยี บความสงู ของพรี ะมดิ ก กบั ข ไดก้ อ่ น แลว้ จงึ ใหส้ งั เกตผลทไ่ี ดจ้ ากการค�ำ นวณและการเปรยี บเทยี บนน้ั
ก่อนท่จี ะเชือ่ มโยงไปเปรียบเทียบความสูงของพีระมดิ คูอ่ น่ื ๆ โดยไม่ต้องมีการคำ�นวณ

5. ครูให้นักเรยี นสังเกตรปู คล่ีของพรี ะมิดฐานสีเ่ หลย่ี มมมุ ฉาก เพือ่ ใชเ้ ปน็ ตวั อย่างในการเชื่อมโยงไปสู่การหาพน้ื ที่ผวิ
ของพีระมิด จากน้ัน ครูให้นักเรียนพิจารณาลักษณะและรูปคลี่ของพีระมิดปรกติ เพ่ือเช่ือมโยงไปสู่สูตรของ
พนื้ ทผี่ ิวขา้ งของพีระมดิ ฐานหลายเหลีย่ มด้านเท่ามมุ เทา่ ครูควรเน้นยำ้�กบั นกั เรยี นวา่ สำ�หรับการหาพ้นื ที่ผวิ ของ
พรี ะมิดตรงทีไ่ มใ่ ชพ่ ีระมดิ ปรกตติ ้องหาพนื้ ทีผ่ วิ ขา้ งจากพนื้ ที่ของรปู สามเหลี่ยมแต่ละดา้ น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 181

กจิ กรรม : ปริมาตรของพีระมิด

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเี่ ปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นไดค้ น้ หาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของพรี ะมดิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ
ทีม่ ีพื้นทีฐ่ านเท่ากนั และความสงู เทา่ กนั กับพรี ะมิดนน้ั ซ่งึ จะน�ำ ไปสู่สูตรการหาปริมาตรของพรี ะมิด นอกจากน้ี ยงั เป็นกจิ กรรมที่
ช่วยให้นักเรียนได้พัฒนาความสามารถในการนึกภาพและสร้างข้อความคาดการณ์ โดยมีส่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนิน
กจิ กรรม ดังน้ี

ส่ือ/อปุ กรณ์

1. กระดาษแข็ง
2. กรรไกร
3. เทปใส
4. ทราย

ขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม

1. ครูแบง่ นักเรยี นออกเป็นกลมุ่ กลุม่ ละ 4–5 คน
2. ครใู ห้นกั เรียนแตล่ ะกลุ่มทำ�กิจกรรมตามข้นั ตอนการท�ำ กจิ กรรม ข้อ 1–4 ในหนงั สือเรียน หนา้ 120–122 จากนนั้

ให้สรุปผลเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึมท่ีมีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูง
เทา่ กัน
3. ครใู หน้ ักเรยี นหาความสมั พันธ์ระหว่างพื้นทฐ่ี านและความสงู ของพรี ะมดิ และปรซิ ึมทปี่ ระกอบขึน้ จากนั้นใหส้ รปุ สูตร
การหาปรมิ าตร
4. ครูให้นกั เรียนแต่ละกลุม่ ทำ�กิจกรรมตามขั้นตอนการทำ�กิจกรรม ขอ้ 5 ในหนังสือเรียน หนา้ 122 จากน้ันให้นักเรยี น
แตล่ ะกล่มุ สรุปผลที่ได้

หมายเหต ุ ในการทำ�กิจกรรม หากนักเรียนบรรจุทรายลงในพีระมิดแน่นเกินไปหรือไม่เต็มพีระมิดพอดี อาจทำ�ให้เกิดความคลาดเคลื่อนได้
ดังนน้ั ครูอาจให้นักเรียนทดลอง 2–3 ครง้ั เพอื่ ให้เห็นแนวโนม้ ท่ีจะน�ำ ไปสู่การสรา้ งขอ้ ความคาดการณไ์ ด้งา่ ยข้นึ

เฉลยคำ�ถามท้ายกจิ กรรม

1. 3 คร้ัง
2. คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น
✤ ปรมิ าตรของปริซึมเป็นสามเท่าของปริมาตรของพีระมิดท่ีมีพ้ืนท่ีฐานเท่ากนั และความสูงเทา่ กัน
✤ ปริมาตรของพรี ะมดิ เป็นหนึ่งในสามของปริมาตรของปรซิ มึ ที่มีพ้นื ทฐี่ านเท่ากัน และความสงู เท่ากนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

182 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบร่างหาปรมิ าตร

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเ่ี ปดิ โอกาสให้นกั เรยี นไดค้ ้นหาความสัมพันธร์ ะหว่างปรมิ าตรของพรี ะมิดฐานส่ีเหลย่ี มจตั รุ ัสกับ
ปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีพ้ืนที่ฐานและความสูงเท่ากัน เพื่อนำ�ไปสู่การหาปริมาตรของพีระมิดฐานส่ีเหลี่ยมจัตุรัสผ่านกิจกรรม
ทนี่ กั เรยี นไดล้ งมอื ปฏบิ ตั จิ รงิ กจิ กรรมนช้ี ว่ ยใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ การนกึ ภาพ เพอ่ื สรา้ งขอ้ ความคาดการณแ์ ละคน้ หาขอ้ สรปุ เกย่ี วกบั
การหาปริมาตรของพรี ะมิด โดยมีสอ่ื /อปุ กรณ์ และขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดังน้ี

สอ่ื /อปุ กรณ์

1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปริมาตร
2. กระดาษรูปคลี่
3. กรรไกร
4. กาวหรือเทปใส

ขัน้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครแู บ่งนกั เรยี นเปน็ กลมุ่ กลุม่ ละ 4–5 คน
2. ครูใหน้ กั เรียนท�ำ กจิ กรรมตามขนั้ ตอนข้อ 1–2 และตอบคำ�ถามขอ้ 3 ในใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบร่างหา

ปรมิ าตร จากน้นั ใหน้ ักเรียนทัง้ ชนั้ เรียนรว่ มกันอภปิ รายคำ�ตอบที่ไดจ้ ากค�ำ ถามในขอ้ 3 โดยครูอาจให้นักเรยี นแสดง
วิธีการประกอบลูกบาศก์จากรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบขึ้นจากรูปคลี่ แล้วให้นักเรียนได้สำ�รวจความสัมพันธ์
ระหว่างลูกบาศก์และรูปเรขาคณิตสามมิติทปี่ ระกอบขึน้ จากรปู คลี่
ครชู ใ้ี หน้ กั เรยี นเหน็ วา่ เงอื่ นไขทท่ี �ำ ใหค้ วามสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั กบั ปรมิ าตร
ของลกู บาศก์เป็นจรงิ คือ ลูกบาศกแ์ ละรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ป่ี ระกอบข้นึ จากรปู คลี่ (พีระมิดฐานส่เี หล่ยี มจตั ุรสั ) ตอ้ ง
มีพนื้ ทีฐ่ านและความสูงเทา่ กนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 183

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบร่างหาปรมิ าตร

คำ�ช้แี จง ใหน้ กั เรยี นทำ�กจิ กรรมตามขั้นตอนและตอบคำ�ถามตอ่ ไปนี้
1. ตัดกระดาษรูปคล่ี จำ�นวน 4 แผ่น แล้วประกอบให้เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ โดยใช้กาวหรือเทปใสติด

บรเิ วณรอยต่อ
2. ประกอบรูปเรขาคณิตสามมิติที่ได้จากกระดาษรูปคลี่ให้เป็นลูกบาศก์ 1 ลูก โดยอาจใช้รูปเรขาคณิต

สามมิตินอ้ ยกวา่ 4 ชนิ้ ก็ได้
3. ตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้
1) เมื่อประกอบกระดาษรูปคล่ีให้เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติแล้ว รูปเรขาคณิตสามมิติที่ได้แต่ละรูป

เปน็ รปู เรขาคณติ สามมิติชนดิ ใด

2) ในการประกอบเป็นลูกบาศก์ 1 ลูก ตอ้ งใชร้ ปู เรขาคณติ สามมิตทิ ่ีประกอบขึน้ จากรปู คลี่ก่รี ูป

3) ลูกบาศก์ทป่ี ระกอบข้นึ มีความสัมพนั ธอ์ ยา่ งไรกบั รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ีป่ ระกอบขน้ึ จากรปู คล่ี

4) ลูกบาศกม์ ีปรมิ าตรเปน็ ก่ีเทา่ ของรูปเรขาคณติ สามมิตทิ ป่ี ระกอบขึน้ จากรปู คลี่

5) ถา้ ลกู บาศก์มีพ้นื ท่ีฐานเทา่ กบั B ตารางหนว่ ย และสงู H หน่วย นกั เรียนสามารถเขียนสมการแสดง
ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของลกู บาศกแ์ ละปรมิ าตรของรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ปี่ ระกอบขนึ้ จาก
รปู คล่ีแต่ละรูปไดอ้ ยา่ งไร พรอ้ มทงั้ ระบุเง่ือนไขจ�ำ เป็นท่ีท�ำ ใหส้ มการเป็นจริง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

184 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

กระดาษรปู คล่ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 185

เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปริมาตร

3. 1) พีระมดิ ฐานสเ่ี หลี่ยมจัตรุ ัส
2) 3 รปู
3) คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่
✤ ฐานของลกู บาศก์เทา่ กบั ฐานของรปู เรขาคณิตสามมติ ทิ ี่ประกอบขนึ้ จากรูปคลี่
✤ พน้ื ทีฐ่ านของลกู บาศกเ์ ท่ากบั พ้ืนที่ฐานของรปู เรขาคณติ สามมิตทิ ป่ี ระกอบขนึ้ จากรูปคล ่ี
✤ ความสงู ของลกู บาศกเ์ ท่ากบั ความสงู ของรปู เรขาคณิตสามมติ ิทป่ี ระกอบขนึ้ จากรปู คลี่
✤ ลกู บาศก์ประกอบข้ึนจากรูปเรขาคณิตสามมิตทิ ปี่ ระกอบขนึ้ จากรปู คลี่ จ�ำ นวน 3 ชิน้
4) ลูกบาศก์มปี ริมาตรเป็น 3 เท่าของพรี ะมิดฐานส่เี หลย่ี มจตั ุรัสท่ีประกอบข้ึนจากรปู คลี่
5) เน่ืองจาก ปริมาตรของลกู บาศก์ = พน้ื ท่ฐี าน × ความสงู
นน่ั คอื ปริมาตรของลูกบาศก ์ = B × H
เนอื่ งจาก ลูกบาศกม์ ปี ริมาตรเปน็ 3 เทา่ ของพีระมดิ ฐานส่เี หลยี่ มจัตรุ ัสทป่ี ระกอบขึ้นจากรูปคลี่
จะได้วา่ B × H = 3 × ปริมาตรของพรี ะมิดฐานสี่เหล่ยี มจัตุรสั
หรือ ปริมาตรของพีระมิดฐานส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัส = 31– × B × H
เงอ่ื นไขจ�ำ เปน็ ทท่ี �ำ ใหส้ มการเปน็ จรงิ คอื ลกู บาศกแ์ ละพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ตอ้ งมพี น้ื ทฐ่ี านและความสงู เทา่ กนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

186 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ชวนคดิ 3.1 เฉลยชวนคดิ h₂
10
แนวคดิ 1 h₁

ipst.me/11430

10

พรี ะมดิ ก พีระมิด ข พรี ะมิด ค

พจิ ารณาพีระมดิ ก และ ข

จะพบว่า เมือ่ พีระมิด ข มสี นั ยาว 10 หน่วย จะท�ำ ให้ความสูงของพรี ะมดิ ข (h1) นน้ั ยาวนอ้ ยกวา่ 10 หนว่ ย
นัน่ คือ พรี ะมดิ ข จะมคี วามสูงน้อยกวา่ พรี ะมิด ก

พจิ ารณาพีระมดิ ก และ ค

จะพบว่า เม่อื พรี ะมิด ค มสี ่วนสงู ของรูปสามเหลย่ี มท่ีเป็นหนา้ ของพีระมิด ค ยาว 10 หน่วย จะท�ำ ให้ความสูง

ของพรี ะมดิ ค (h2) นนั้ ยาวนอ้ ยกวา่ 10 หนว่ ย
นนั่ คอื พีระมิด ค จะมีความสงู นอ้ ยกว่าพรี ะมดิ ก

พิจารณาพีระมดิ ข และ ค

จะพบวา่ เมือ่ พีระมดิ ข มีสนั ยาว 10 หนว่ ย จะทำ�ให้ส่วนสงู ของรปู สามเหล่ยี มท่ีเปน็ หนา้ ของพรี ะมิด ข น้ัน

ยาวนอ้ ยกวา่ 10 หนว่ ย ซง่ึ จะทำ�ใหพ้ รี ะมิด ข จะมีความสูงน้อยกวา่ พีระมดิ ค

ดังนน้ั ความสูงของพีระมดิ ข < ความสูงของพรี ะมดิ ค < ความสูงของพีระมดิ ก

เนอ่ื งจาก ฐานของพีระมิดท้ังสามมีฐานเป็นรูปสีเ่ หลยี่ มจัตุรสั ที่มพี ื้นที่เทา่ กนั
และ ปริมาตรของพรี ะมิด = 3–1 × พน้ื ทีฐ่ าน × ความสงู
จะได้ ปริมาตรของพีระมิด ข < ปรมิ าตรของพีระมิด ค < ปริมาตรของพรี ะมดิ ก

แนวคิด 2 พจิ ารณาปริมาตรของพีระมิดทง้ั สาม

เน่ืองจากพรี ะมิดท้งั สามมพี ืน้ ทฐ่ี านเท่ากัน

น่นั คอื ปริมาตรของพีระมิดแต่ละอนั จะมากหรือน้อยกว่ากนั ขึ้นอยู่กับความสูง

กลา่ วคอื พรี ะมดิ ท่มี ีความสงู มากกว่าจะมปี รมิ าตรมากกว่าด้วย

ดังนั้น ในการเปรียบเทียบปริมาตรของพีระมิดท้ังสามจึงสามารถเปรียบเทียบโดยใช้ความสูง

แทนการค�ำ นวณหาปรมิ าตรได้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 187

พีระมดิ ก มพี ืน้ ทฐ่ี านเทา่ กับ 10 ตารางหนว่ ย และสงู 10 หน่วย
พีระมดิ ข มพี ื้นท่ฐี านเท่ากบั 10 ตารางหน่วย และสันยาว 10 หน่วย
ดงั น้นั จากรูป ตอ้ งหาความสูง (h) ของพรี ะมิด ข

หาคา่ d2 จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั

10 h ( ) ( ) d2 = √—21 0 2 + √—210 2

= 5
หาค่า h จ1า0กทฤhษฎีบทพีทาโกรัส
h = √100 – 5
= √95
ดงั น้นั พีระมดิ 1ข0 สงู √95 หนว่ ย
d
2
10 10
2
2

พรี ะมิด ข

พรี ะมดิ ค มพี น้ื ท่ฐี านเทา่ กับ 10 ตารางหนว่ ย และสว่ นสงู ของรูปสามเหล่ียมท่เี ป็นหน้ายาว 10 หน่วย
ดงั นั้น จากรูป ตอ้ งหาความสงู (h) ของพีระมิด ค

หาคา่ h จากทฤษฎีบทพที าโกรสั

h ( ) h = 102 – √—210 2

10 h = √97.5
ดงั นน้ั พีระมดิ ค สูง √97.5 หนว่ ย

10 10
2 2

พรี ะมิด ค

เม่ือเรยี งล�ำ ดับของความสูงของพีระมิดท้งั สามจากน้อยไปมาก
จะไดว้ ่า ความสูงของพรี ะมิด ข < ความสงู ของพีระมิด ค < ความสงู ของพรี ะมดิ ก
ดังน้นั เม่อื เรยี งล�ำ ดับของปริมาตรของพรี ะมดิ จากนอ้ ยไปมาก
จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิด ข < ปริมาตรของพีระมดิ ค < ปรมิ าตรของพรี ะมดิ ก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

188 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ชวนคดิ 3.2

แนวคิด ข้อคาดการณ์ของใบบัวน่าจะถูกต้อง พิจารณาความสอดคล้องของข้อมูลที่สถานการณ์กำ�หนดให้

ipst.me/11431 ดงั น้ี

จากข้อมูลทีส่ ถานการณ์กำ�หนดให้

จะไดว้ ่า พรี ะมดิ กระจกสงู 21.65 เมตร มคี วามยาวฐานโดยรอบ 140 เมตร และมปี รมิ าตรประมาณ

8,840 ลกู บาศกเ์ มตร

พิจารณาขอ้ คาดการณ์ของใบบัวทวี่ า่ ฐานของพรี ะมดิ น้เี ปน็ รปู สเี่ หลี่ยมจตั รุ สั

จะได้ ฐานของพีระมดิ น้มี ีความยาวดา้ นละ 140 ÷ 4 = 35 เมตร

ดังนั้น ฐานของพรี ะมิดนมี้ พี น้ื ทีเ่ ท่ากบั 35 × 35 = 1,225 ตารางเมตร

พิจารณาปริมาตรของพรี ะมดิ นี้

จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิด = 8–13,8×410,.242156. × 21.65
=

≈ 8,840 ลูกบาศก์เมตร

ซง่ึ สอดคล้องกับข้อมูลทส่ี ถานการณก์ �ำ หนด

ดังนนั้ ความคิดของใบบัวนา่ จะถูกต้อง

ชวนคดิ 3.3

ไมเ่ ทา่ กัน

ipst.me/11432

เฉลยแบบฝึกหดั

แบบฝกึ หดั 3.1 ก

1. หลังคาของสง่ิ ปลกู สร้างในขอ้ 3) และ 6) มลี ักษณะคลา้ ยพรี ะมิด เพราะมยี อดแหลมที่ไมอ่ ยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน
และหนา้ ทกุ หนา้ เป็นรูปสามเหล่ียมทม่ี จี ดุ ยอดรว่ มกนั ทย่ี อดแหลมน้ัน

2. 1) พีระมดิ ฐานสามเหลย่ี ม 2) พีระมดิ ฐานสเี่ หล่ียมจตั รุ ัส
3) พรี ะมิดฐานสเี่ หล่ยี มผนื ผา้ 4) พีระมิดฐานหา้ เหลี่ยม
5) พีระมดิ ฐานหกเหล่ยี ม 6) พรี ะมิดฐานแปดเหลี่ยม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 189

แบบฝึกหดั 3.1 ข ความยาวของด้าน พื้นทฐ่ี าน ความสูง ปริมาตร
ของฐาน (ซม.) (ซม.2) (ซม.) (ซม.3)
1.
10 25√3 9 75√3
ข้อท่ี พีระมดิ 8.2 67.24 10.5 235.34
2.4 9.91 19.82
1) ฐานสามเหลี่ยม 8 6
2) ฐานสเ่ี หลีย่ ม 6 64 15 320
3) ฐานห้าเหลี่ยม 54√3 7.5 135√3
4) ฐานส่ีเหลีย่ ม
5) ฐานหกเหลยี่ ม

แนวคดิ 1) จากสตู ร ปรมิ าตรของพีระมิด = –31 × พ้ืนทีฐ่ าน × ความสงู
จะได ้ ปริมาตรของพีระมิด = –31 × 25√3 × 9
= 75√3 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร


2) เน่ืองจาก ฐานของพรี ะมดิ เปน็ รูปส่เี หล่ยี มด้านเทา่ มุมเทา่

จากสูตร พ้ืนทรี่ ปู สเี่ หล่ียมดา้ นเท่ามุมเทา่ = ความยาวของด้าน × ความยาวของด้าน

จะได ้ พืน้ ทฐี่ าน = 8.2 × 8.2

= 67.24 ตารางเซนติเมตร

จากสูตร ปริมาตรของพีระมดิ = –31 × พน้ื ทฐ่ี าน × ความสูง
จะได ้ ปรมิ าตรของพีระมิด = –31 × 67.24 × 10.5

= 235.34 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

3) จากสูตร ปรมิ าตรของพีระมิด = –31 × พนื้ ที่ฐาน × ความสงู
19.82 = –31 × 9.91 × ความสงู
จะได้

ด ังน้ัน ความสูง = 19.82 × 3
9.91

= 6 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

190 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

4) เน่ืองจาก ฐานของพรี ะมดิ เป็นรปู ส่เี หล่ียมด้านเทา่ มมุ เท่า

จากสูตร พน้ื ท่ฐี าน = ความยาวของดา้ น × ความยาวของดา้ น
จะได้ 64 = ความยาวของดา้ น2

ดงั น้ัน ความยาวของด้าน = 8 เซนติเมตร

จากสตู ร ปริมาตรของพีระมิด = –31 × พ้ืนทีฐ่ าน × ความสูง
320 = –31 × 64 × ความสงู
จะได ้

ด งั นั้น ความสูง = 320 × 3
64

= 15 เซนติเมตร

5) เน่ืองจากฐานของพีระมดิ เปน็ รูปหกเหล่ยี มด้านเทา่ มมุ เทา่ ทแี่ ต่ละด้านยาว 6 เซนตเิ มตร

จากรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก BCD

จะได ้ x2 = 62 – 32 = 36 – 9 = 27

x = √27 = 3√3 6
6
ดงั นัน้ พืน้ ท่ี ∆ABC = 2–1 × 6 × 3√3 6
= 9√3 ตารางเซนติเมตร C

x6
จะได ้ พนื้ ทฐี่ านของพีระมดิ = 6 × 9√3 D3 B

= 54√3 ตารางเซนตเิ มตร 6
A
จากสตู ร ปริมาตรของพรี ะมิด = –31 × พื้นท่ฐี าน × ความสูง
จะได้ ปริมาตรของพีระมดิ = –31 × 54√3 × 7.5
= 135√3 ลกู บาศก์เซนติเมตร


2. แนวคิด เน่อื งจาก ฐานของพรี ะมิดเปน็ รปู หกเหล่ียมด้านเทา่ มมุ เท่าทีแ่ ต่ละด้านยาว 3 เซนตเิ มตร

จากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก BCD

( ) 2–3 2 49– = 2—47 3
จะได้ x2 = 32 – –
= 9

x = 247 = 3√23 33
C
1 –2 3√3
ด ังนนั้ พ้ืนท่ี ∆ABC = × 3 × 2

= 9√43 ตารางเซนติเมตร 3 x3 3

A D3B
2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 191

จะได ้ พนื้ ท่ฐี านของพ รี ะมดิ = 6 × 9√3
4

= 272√3 ตารางเซนตเิ มตร

จากสตู ร ปรมิ าตรของพรี ะมิด = 1–3 × พนื้ ท่ีฐาน × ความสูง
27√3
จ ะได ้ ปริมาตรของพรี ะมิดน ้ี = –13 × 2 × 10 = 45√3 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

3 . แ นวค ิด จ ากสตู ร พื้นทีข่ องรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า =  √  43    a2 เมือ่ a แทนความยาวของด้านของรปู สามเหล่ยี ม
จะได ้ พ้นื ท ีฐ่ านของ พีระมิด = √   43    × 122 = 36√3 ตารางเซนติเมตร

จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = –31 × พน้ื ท่ฐี าน × ความสูง
จะได้ ปรมิ าตรของพรี ะมดิ = –31 × 36√3 × 20

= 240√3 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

ดงั นัน้ ในการหลอ่ ปนู ปลาสเตอร์ใหเ้ ป็นพีระมิดดังกล่าว จะต้องใช้ปนู ปลาสเตอรอ์ ยา่ งนอ้ ย 240√3

ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

4. แนวคิด จากสูตร ปริมาตรของพรี ะมดิ = –31 × พื้นทฐ่ี าน × ความสงู
จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิดนี้ = –31 × (4 × 4) × 6

= 32 ลูกบาศกเ์ มตร

5. แนวคดิ 1 10

10

จากรปู พ้นื ที่ฐานของพีระมดิ = 22––11 × ผลคูณของความยาวของเสน้ ทแยงมุม
= × 10 × 10

= 50 ตารางเซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

192 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

จากสูตร ปริมาตรของพรี ะมดิ = –31 × พื้นที่ฐาน × ความสูง

จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิด = –31 × 50 × 5

= 2350 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

เนือ่ งจาก แกว้ ผลึกมลี กั ษณะเป็นพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจัตุรสั สองชน้ิ ประกบกัน

ด ังนัน้ แกว้ ผลกึ นี้มปี รมิ าตร 2 × 250 ≈ 166.67 ลกู บาศก์เซนติเมตร
3

แนวคดิ 2 10

10
5

5

จากรูป ฐานของพรี ะมดิ มคี วามยาวของแต่ละด้านเท่ากบั √52 + 52 = √50 เซนตเิ มตร

จากสตู ร ปริมาตรของพรี ะมดิ = 1–3 × พื้นทฐ่ี าน × ความสูง

จะได ้ ปรมิ าตรของพีระมิด 1 ชน้ิ = 1–3 × (√50 × √50 ) × 5

= 2530 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

เน่อื งจาก แก้วผลึกมีลกั ษณะเป็นพีระมิดฐานสเี่ หลีย่ มจตั รุ สั สองชิ้นประกบกนั

ด ังน้นั ปริมาตรของแก้วผลกึ นี ้ = 2 × 250 ≈ 166.67 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
3

6. แนวคิด จากสูตร ปริมาตรของพีระมดิ = –13 × พ้ืนท่ฐี าน × ความสูง
จะได ้ ปริมาตรของขนมเทียน 1 ห่อ = –13 × (4 × 4) × 3

= 16 ลูกบาศก์เซนติเมตร

แตข่ นมเทยี นแต่ละหอ่ ใชแ้ ป้งประมาณ 3–2 ของเนื้อขนม
ดังนน้ั ขนมเทียนแต่ละห่อใชแ้ ปง้ ประมาณ 3–2 × 16 = 3—32 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 193

เน่อื งจากตอ้ งการทำ�ขนมเทียน 100 ห่อ
ดงั น้ัน ตอ้ งใชแ้ ปง้ ประมาณ 100 × 3—32 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร หรือ 33—02 ลิตร
จากโจทย ์ กำ�หนดแป้ง 1 ลิตร หนกั 550 กรัม

ดังน้นั จะต้องใชแ้ ป้งในการทำ�ขนมเทยี นประมาณ 33—02 × 550 ≈ 586.67 กรัม

7. แนวคดิ รูปจำ�ลองของศิลาจารึกพ่อขุนรามคำ�แหงมีลักษณะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสและปริซึมส่ีเหลี่ยม
จัตุรสั ประกบกัน

ดงั นนั้ ปริมาตรของรปู จำ�ลองน ี้ = ปรมิ าตรของพีระมิด + ปริมาตรของปริซมึ

จากสตู ร ปรมิ าตรของพีระมิด = –13 × พืน้ ทฐ่ี าน × ความสูง

จะได ้ ปรมิ าตรของพีระมิด = 1–3 × (16 × 16) × 10

= 2,5360 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

จากสูตร ปรมิ าตรของปรซิ มึ = พน้ื ทีฐ่ าน × ความสงู

จะได ้ ปรมิ าตรของปริซมึ = (16 × 16) × 40

= 10,240 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

ดังน ั้น ปรมิ าตร ของปูนปล าสเตอร์ที่ใช ้หล่อรูปจำ�ล องน ้ี = 2,5360 + 10,240

≈ 11,093.33 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

8. แนวคิด เนอ่ื งจากมหาพีระมดิ แห่งกีซามฐี านเปน็ รปู สเ่ี หลี่ยมจัตุรสั ครอบคลมุ พนื้ ท่ีประมาณ 33 ไร่

และพนื้ ที่ 1 ไร่ เท่ากับ 1,600 ตารางเมตร

ดังน้ัน มหาพรี ะมดิ แห่งกซี ามพี ื้นทฐ่ี านประมาณ 33 × 1,600 = 52,800 ตารางเมตร

จากสตู ร ปริมาตรของพรี ะมิด = –13 × พื้นที่ฐาน × ความสงู

จะได้ ปรมิ าตรของมหาพีระมดิ แหง่ กีซา ≈ 1–3 × 52,800 × 146.5
≈ 2,578,400 ลกู บาศก์เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

194 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

แบบฝกึ หัด 3.1 ค

1. แนวคิด จากสตู ร พ้ืนท่ผี วิ ขา้ งของพรี ะมิดฐานส่ีเหล่ียมจตั รุ สั = –21 × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสูงเอียง
จะได ้ พื้นที่ผวิ ขา้ งของพรี ะมิด = –21 × (4 × 12) × 12 = 288 ตารางเซนติเมตร
และ พ้ืนทีฐ่ านของพรี ะมดิ = 12 × 12 = 144 ตารางเซนติเมตร
ดงั นนั้ พ้ืนที่ผิวของพีระมดิ ฐานส่เี หลยี่ มจตั ุรสั = 288 + 144 = 432 ตารางเซนตเิ มตร

2. แนวคดิ จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานหา้ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ = –21 × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง
จะได้ พน้ื ท่ผี วิ ขา้ งของพรี ะมิด = –21 × (5 × 10) × 6

= 150 ตารางเซนตเิ มตร

3. แนวคดิ จากรูป ให้ ABCD เป็นฐานของพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หล่ียมจตั ุรสั ซง่ึ ยาวดา้ นละ 30 เมตร

จุด O เปน็ ยอดของพีระมดิ

OX เป็นสว่ นสูงของพีระมิด O

และ OY เป็นส่วนสูงเอยี งของพีระมดิ

เนื่องจาก ΔOXY เป็นรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก

ท่ีมี OX = 20 เมตร D C
X Y
และ XY = 3—20 = 15 เมตร

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได้ OY2 = OX2 + XY2 AB

= 202 + 152

= 625

ดงั นน้ั OY = 25
เจนะอื่ ไดงจ ้ าพกน้ื พทน้ืผี่ ทวิ ข่ผี ้าิวงขขา้ องงขออางคพารี ระนม้ี ิด=ฐา นส–21เ่ี ห×ล(ี่ย4ม×จตั3รุ 0สั ) × =2 5–12 × ความยาวรอบรูปของฐาน × สว่ นสูงเอียง



= 1,500 ตารางเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 195

4. แนวคิด จากรปู ให้ ABCD เป็นฐานของพีระมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจัตุรัส ซงึ่ ยาวดา้ นละ 6 เซนตเิ มตร

จุด O เป็นยอดของพีระมิด O
OX เปน็ สว่ นสูงของพรี ะมิด

และ OY เป็นส่วนสูงเอียงของพรี ะมดิ

เน่ืองจาก ΔOXY เปน็ รูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก D C
ท่มี ี OX = 4 เซนติเมตร

และ XY = –26 = 3 เซนติเมตร X Y
B
โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรัส A

จะได ้ OY2 = OX2 + XY2

= 42 + 32

= 25

ดังนน้ั OY = 5 เซนตเิ มตร

จเนะอ่ื ไดงจ้ าพกื้นพทนื้ผี่ ทวิ ข่ผี ้าวิ งขขา้ องงขพอีรงะพมีริดะม ดิ =ฐา นส–21เ่ี ห×ล(ีย่4ม×จัต6ุร)ัส× 5= –21 × ความยาวรอบรูปของฐาน × ส่วนสูงเอียง


= 60 ตารางเซนตเิ มตร

และ พ้นื ทฐี่ านของพีระมดิ = 6 × 6 = 36 ตารางเซนตเิ มตร

ดงั น้ัน บริเวณทีต่ ้องการทาสีมพี ื้นท ่ี 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร

5. แนวคิด จากรปู ให้ ABCD เปน็ ฐานของพีระมดิ ฐานสี่เหลีย่ มผืนผ้า

จดุ O เป็นยอดของพรี ะมดิ O

OX เปน็ ส่วนสูงของพรี ะมิด X
E
OE เปน็ สว่ นสงู ของ ΔOAB D C
และ OF เป็นส่วนสงู ของ ΔOBC F
B
จากโจทย์ OX = 12 เซนติเมตร

AB = 32 เซนตเิ มตร

และ BC = 10 เซนตเิ มตร A
จะได ้ XF = 3—22 = 16 เซนติเมตร
และ XE = 1—20 = 5 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

196 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เนอ่ื งจาก DOXE เปน็ รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก เนอ่ื งจาก DOXF เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก

โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรัส โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั
จะได้ OE2 = OX2 + XE2 จะได้ OF2 = OX2 + XF2
= 122 + 52 = 122 + 162

= 169 = 400

ดังนั้น OE = 13 ดงั นั้น OF = 20

เน่ืองจาก พื้นที่ผวิ ข้างของพรี ะมดิ ฐานสี่เหล่ยี ม ABCD เทา่ กบั ผลบวกของพื้นทขี่ อง DOAB , DOBC ,

DOCD และ DODA

( ) ( ) จะได้ พ้นื ท่ีผวิ ข้างของพีระมดิ = 2 2–1 × 32 × 13 + 2 2–1 × 10 × 20
= 416 + 200

= 616 ตารางเซนตเิ มตร

และ พนื้ ที่ฐานของพีระมดิ = 32 × 10 = 320 ตารางเซนติเมตร

ดังน้นั พืน้ ที่ผวิ ของพรี ะมิดนี ้ = 616 + 320 = 936 ตารางเซนตเิ มตร

6. แนวคดิ จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานหา้ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ = 21– × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง
120 = –21 × (5 × 8) × ส่วนสูงเอยี ง
จะได ้

ส่วนสูงเอยี ง = 6

ดังนั้น สว่ นสูงเอยี งของพรี ะมดิ ยาว 6 เซนตเิ มตร

7. แนวคิด จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานสบิ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ = 21– × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง
224 = –21 × 56 × สว่ นสูงเอียง
จะได้

ส่วนสูงเอยี ง = 8

ดังนน้ั สว่ นสงู เอยี งของพรี ะมิดยาว 8 เมตร

8. แนวคดิ O

XY
42 นว้ิ

30 น้ิว

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 197

1) จากรูป ใหจ้ ุด O เปน็ ยอดของพรี ะมิด

OX เป็นส่วนสูงของพีระมดิ

และ OY เปน็ ส่วนสูงเอียงของพีระมิด

เนือ่ งจาก รูปจ�ำ ลองของศิลาจารึกนี้มปี ริมาตร 40,200 ลูกบาศก์น้ิว

และ ปริมาตรสว่ นทเ่ี ป็นปริซึม = 30 × 30 × 42 = 37,800 ลกู บาศก์นิ้ว

ดงั นัน้ ปรมิ าตรส่วนที่เป็นพรี ะมิด = 40,200 – 37,800 = 2,400 ลูกบาศก์นวิ้

จากสตู ร ปรมิ าตรของพีระมิด = 1–3 × พ้นื ที่ฐาน × ความสงู

จะได้ 2,400 = –13 × (30 × 30) × OX

ดงั น้ัน OX = 8
เนอ่ื งจาก ∆OXY เป็นรปู สามเหล่ียมมมุ ฉากท่ีม ี OX = 8 น้วิ และ XY = 3—20 = 15 นิ้ว
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได ้ OY2 = OX2 + XY2

= 82 + 152

= 289

ดงั น้ัน OY = 17

นน่ั คอื สว่ นสูงเอียงของส่วนท่เี ปน็ พีระมดิ ยาว 17 นว้ิ

2) จากสตู ร พื้นท่ผี ิวขา้ งของพรี ะมดิ ฐานสเี่ หล่ียมจัตรุ ัส = 1–2 × ความยาวรอบรูปของฐาน × ส่วนสงู เอยี ง
จะได้ พืน้ ที่ผวิ ข้างของพีระมิด = –12 × (4 × 30) × 17 = 1,020 ตารางน้ิว

พ้ืนทีผ่ วิ ข้างของปริซมึ = 4 × (30 × 42) = 5,040 ตารางน้วิ

และ พืน้ ท่ฐี านของปรซิ มึ = 30 × 30 = 900 ตารางนว้ิ

ดงั นัน้ พ้นื ที่ผวิ ของรูปจำ�ลองน ้ี = พนื้ ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ + พนื้ ทผี่ วิ ขา้ งของปรซิ มึ + พนื้ ทฐี่ านของปรซิ มึ

= 1,020 + 5,040 + 900

= 6,960 ตารางน้ิว

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

198 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3.2 ปรมิ าตรและพื้นท่ผี ิวของกรวย (5 ชวั่ โมง)

จดุ ประสงค์

นักเรยี นสามารถ
1. อธบิ ายลกั ษณะและส่วนต่าง ๆ ของกรวย
2. หาปรมิ าตรของกรวยและนำ�ความรไู้ ปใชใ้ นการแก้ปัญหา
3. หาพนื้ ท่ผี วิ ของกรวยและนำ�ความร้ไู ปใช้ในการแกป้ ญั หา

ความเขา้ ใจทคี่ ลาดเคลอ่ื น

-

สอ่ื ทแี่ นะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

อปุ กรณ์ของกิจกรรม : สำ�รวจกรวย

ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

ในหวั ขอ้ น้ี เปน็ เรอ่ื งเกย่ี วกบั ปริมาตรและพื้นท่ีผิวของกรวย ซ่ึงตอ้ งการให้นักเรียนรจู้ ักสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของกรวยและ
ความหมายของกรวยในทางคณิตศาสตร์ รวมถึงให้นักเรียนทำ�กิจกรรมเชิงสำ�รวจเพื่อให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบ
ต่าง ๆ ของกรวยท่มี ขี นาดแตกต่างกนั และหาพื้นที่ผิวของกรวยจากการหาพนื้ ท่ขี องรปู คล่ีของกรวย รวมทง้ั การหาพ้ืนท่ผี ิวขา้ ง
โดยใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วน แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรอู้ าจทำ�ได้ดังนี้
1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับสิ่งของในชีวิตประจำ�วันที่มีลักษณะคล้ายกรวย และร่วมกันอภิปรายเพื่อให้ได้

ขอ้ สรุปเก่ียวกับลักษณะและส่วนต่าง ๆ ของกรวย รวมถึงความหมายของกรวยในทางคณิตศาสตร์
2. ครูให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : สำ�รวจกรวย” ในหนังสือเรียน หน้า 135–136 โดยให้นักเรียนฝึกใช้ความรู้สึก

เชงิ ปรภิ มู แิ ละการนกึ ภาพในการสงั เกตความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งขนาดของมมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางทเี่ กดิ จากการแบง่ วงกลม
ทม่ี ีรัศมีเท่ากนั กับความยาวของส่วนสูงเอียง ความสงู และพน้ื ทีฐ่ านของกรวยแต่ละอันที่สรา้ งขน้ึ เช่น
✤ กรวยสองอนั ท่ีมสี งู เอยี งเทา่ กัน ไมจ่ ำ�เป็นต้องมีสว่ นสงู เทา่ กัน
✤ กรวยสองอันที่มีสูงเอียงเท่ากัน กรวยท่ีสร้างจากกระดาษท่ีมีขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางมากกว่า จะมี

พน้ื ทฐี่ านมากกวา่
✤ กรวยสองอันที่มีสูงเอียงเท่ากัน กรวยที่สร้างจากกระดาษท่ีมีขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางมากกว่า จะมี

ความสงู น้อยกวา่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 199

3. ครูอาจใช้มุมเทคโนโลยี ในหนงั สือเรียน หนา้ 137 ในการแสดงใหเ้ ห็นความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งพีระมดิ ที่มฐี านเป็น
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มีจำ�นวนด้านมาก ๆ กับกรวย เพ่ือเช่ือมโยงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ระหว่าง
ปรมิ าตรของกรวยและปรมิ าตรของทรงกระบอกทม่ี พี นื้ ทฐี่ านเทา่ กนั และความสงู เทา่ กนั เปน็ ไปในท�ำ นองเดยี วกบั
ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึมท่ีมีพ้ืนที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน
เพ่ือน�ำ ไปสสู่ ูตรการหาปรมิ าตรของกรวย

4. ครใู หน้ ักเรยี นสงั เกตรปู คล่ขี องกรวย และใช้ความรเู้ รอ่ื งอตั ราส่วน จากมมุ คณติ ในหนงั สอื เรยี น หน้า 143 เพื่อ
เชอ่ื มโยงไปส่สู ตู รการหาพน้ื ทีผ่ ิวของกรวย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี