คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

350 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

6) ถูกตอ้ ง เพราะว่า sin A = –ac และ cos A = –bc
( ) ( )จะได้
(sin A)2 + (cos A)2 = –ac 2 + –bc 2

= a2 + b2
c2


โดยทฤษฎบี ทพที าโกรัส จะได้ c2 = a2 + b2

ดังนัน้ a2 c+2 b2 = cc22 = 1
(sin A)2 + (cos A)2 = 1
นั่นคือ

3. แนวคดิ จากรปู พจิ ารณาให ้ OA เป็นฐานของ DOAB A

และสร้างให้ BD เป็นส่วนสูง DB
พจิ ารณา DBDO

จะ ได ้ sin 20° = 0.B7D52 O

จากตาราง sin 20° ≈ 0.342

ดังน้นั BD ≈ 0.257 เมตร

จะได ้ พนื้ ที่ DABO ≈ 1–2(1)(0.257)
≈ 0.129 ตารางเมตร

ดงั นน้ั พ้ืนที่ของบริเวณทีต่ อ้ งระบายดว้ ยสีชมพมู ปี ระมาณ 16(0.129) = 2.064 ตารางเมตร

นัน่ คือ อากงควรซอ้ื สมี าอย่างนอ้ ยทส่ี ดุ 3 กระปอ๋ ง

4. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขยี นภาพประกอบการแกป้ ัญหาได้ดังน้ี D
โดย จดุ A แทน ตำ�แหน่งทีย่ หี่ วายนื อยู่
จุด B แทน ตำ�แหนง่ บนพ้นื ดนิ ท่ีตรงกบั ลกู บอลในแนวดง่ิ 60° C
จุด C แทน ต�ำ แหน่งของบอลลูนทีย่ หี่ วามองเห็นในตอนแรก B
จดุ D แทน ตำ�แหนง่ ของบอลลนู ท่ีย่ีหวามองเห็นในตอนหลัง 30°
พจิ ารณา DABC A 10

จะได ้ tan 30° = B—1C0

ด งั นัน้ BC =  1  0 3√   3  เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ 351

พจิ ารณา DABD

จะได ้ tan 60° = B—1D0
BD = 10√3 เมตร
ดังน้นั

เนอ่ื งจาก CD = BD – BC

จะได ้ CD = 10√3 – 10√3 ≈ 11.55 เมตร
   3   

เนื่องจาก บอลลูนใชเ้ วลา 1.15 วนิ าที ในการลอยขนึ้ ในแนวดง่ิ เปน็ ระยะ 11.55 เมตร

ดงั น้นั บอลลนู ลอยขน้ึ ดว้ ยอัตราเร็วประมาณ 11.55 ≈ 10.04 เมตรตอ่ วนิ าที
1.15

5. แนวคิด B

ca

A bC

จากรูป tan A = –ba , cos A = –bc และ sin A = –ac
จาก ttaann AA +– cc——oo11ss——AA = -5
จะได้ –b–aba +– ––bbcc = -5
a + cc
a – = -5

a + c = -5a + 5c

6a = 4c

–ac = –46 = –23
ดงั นัน้ sin A = 3–2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

352 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ คูม่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

6. แนวคิด พิจารณา DABD เน่อื งจาก BˆAD = 75°

จะได ้ ˆB + ˆD = 180 – 75 = 105°

นั่นคอื ˆB + ˆD = 105° 1
2
จากโจทย ์ 2ˆB – ˆD = 75°

1 + 2 ; 3ˆB = 180°

ดงั น้นั ˆB = 60°

แทนˆB ด้วย 60° ในสมการ 1 จะได้

ˆD = 45°

เน่อื งจาก AˆCD = 90° และ AˆDC = 45°

จะได้ CˆAD = 45°

และได้ DADC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจว่ั
เนือ่ งจาก AC = 3√3 หน่วย จะได้ CD = 3√3 หนว่ ย

พจิ ารณา DABC

จะได ้ t an 60 ° = 3√3
  BC  

√ 3 = 3√3
  BC  

ดังนน้ั BC = 3 หนว่ ย
น่นั คอื BD = BC + CD = 3 + 3√3 หนว่ ย

7. แนวคิด 1 จากโจทย์ อาจวาด DXYZ ไดด้ งั รูป จากนน้ั ลาก ZV ต้งั ฉากกบั สว่ นของเสน้ ตรงทลี่ ากตอ่ XY ไปทาง
จุด Y ให้จดุ ตัง้ ฉากคือจดุ V

Z

8

15° 135°
X YV

ถา้ ให้ XY เป็นฐานของ DXYZ จะได้ VZ เป็นสว่ นสูง

พจิ ารณา DXVZ จะได้ sin 15° = —V8Z

ดงั นั้น VZ ≈ 8 × 0.259 = 2.072 หนว่ ย

เน่อื งจาก XˆYV เปน็ มมุ ตรง จะได้ ZˆYV = 180 – 135 = 45°

จาก DYVZ จะได้ VˆZY = 180 – (90 + 45) = 45°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 353

ดงั นน้ั DYVZ เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากหน้าจว่ั และ VY = ZV

น่นั คอื VY ≈ 2.072 หนว่ ย

พจิ ารณา ∆XVZ

จะได ้ cos 15° = X—8V

XV ≈ 8(0.966 )

≈ 7.728 หนว่ ย

เนือ่ งจาก XY = XV – VY

จะได ้ XY ≈ 7.728 – 2.072

≈ 5.656 หนว่ ย

ดงั นั้น พ้นื ท ่ี ∆XYZ ≈ –12 (5.656)(2.072)

≈ 5.86 ตารางหน่วย

แนวคดิ 2 จากโจทย์ อาจวาด DXYZ ได้ดังรปู

Y
135°

h

15° 30°
X 8–a
Fa Z

จากรปู DFYZ จะได้

h = a tan 30° 1

จากรูป DFXY จะได้

h = (8 – a) tan 15° 2

จากสมการ 1 และ 2 จะได้

a tan 30° = (8 – a) tan 15°

a tan 30° = 8 tan 15° – a tan 15°

a (tan 30° + tan 15°) = 8 tan 15°

ดงั นั้น a ≈ 2.537

และ h ≈ 1.464

จะได้ พน้ื ที ่ DXYZ ≈ –12(8)(1.464)

≈ 5.86 ตารางหน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

354 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

C

8. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแก้ปัญหาไดด้ ังนี้

เมอื่ A แทน ตำ�แหนง่ ท่ีเปยี กปนู ยนื อยู่ในตอนแรก

B แทน ต�ำ แหน่งทแี่ มวน้อยหลบั อยู่

C แทน ตำ�แหนง่ ของต้นมะมว่ ง

D แทน ต�ำ แหนง่ ที่เปยี กปูนยนื อยใู่ นตอนหลงั D 45° B E
เนือ่ งจาก ต้องการหา DB เพอ่ื เปรียบเทยี บกบั ความยาวของดา้ มจับ
ของสวิงจับแมลง (0.75 เมตร)

ซึง่ สามารถหาได้จาก DB = DE – BE 2.45

พิจารณ า DDE A จะไ ด ้ sin 45° = DE 45°
2.45 30°
A
ดงั นนั้ DE = 2.45 × √2 = 1.225√2 เมตร
  2  

เน่ืองจาก EˆAD = 45° และ DˆEA = 90° จะได้ AˆDE = 45°

นั่นคอื DDEA เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉากหน้าจ่ัว

จะได้ AE = DE = 1.225√2 เมตร     BE    
1.225√2
พิจารณา DBEA จะได ้ tan 30° =

( )BE √3
ดังนั้น = (1.225√2)   3   ≈ 1 เมตร

น่นั คอื DB ≈ (1.225√2) – 1 ≈ 0.732 เมตร

เนอื่ งจาก ด้ามจับของสวงิ จับแมลงของเปยี กปนู ยาว 0.75 เมตร จะได้ DB < 0.75

ดงั น้นั ณ ต�ำ แหน่งท่เี ปียกปูนยนื อยใู่ นตอนหลัง สวิงจับแมลงยาวพอทจี่ ะไปถงึ แมวนอ้ ยของเปยี กปูน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 355
ชอ� งสำหรบั ทำตวั ปากหมอ�
9. N

2 ซม. r
B

QP หม�อตม�
O

AM C

แนวคดิ 1 สมมุติว่ารูปวงกลม A, B และ C มรี ศั มียาว r เซนตเิ มตร

เน่ืองจาก AB = BC = CA = 2r + 2 เซนติเมตร

ดังนนั้ DABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า

จะได้ CˆAB = 60° = MˆAB

เนื่องจาก AP เป็นเส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC มาแบ่งคร่ึงฐาน BC

จะได้ BˆAP = CˆAP = 30°

จากรูป สงั เกตว่า NO = NB + BO

นนั่ คอื 30 = (r + 2) + BO

28 = r + BO 1

จากรูป จะได้ BO = BM – MO 2

พิจารณา DABM

จะได้ sin 60° = B—AMB

( ) B M = √3 (2r + 2) = √3(r + 1) เซนติเมตร
  2  

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

356 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

พิจารณา DAOM

จะได ้ tan 30° = M—AMO
√   33   = MO
r+1
( ) M O =
√3 (r + 1) เซนติเมตร
  3  

จา กสมกา ร 2 จะ ได ้ B O = √3(r + 1) –  √ 33  (r +1) เซนติเมตร

จา กสมกา ร 1 จะ ได ้ 28 = r + √3(r + 1) – √  33  (r +1)

น ่นั คือ r = 128+–√√33–+√   3√ 3  3  3   ≈ 12.46 เซนตเิ มตร

ดงั น้ัน รศั มขี องชอ่ งสำ�หรบั ท�ำ ตัวปากหม้อควรจะยาวประมาณ 12.46 เซนตเิ มตร

แนวคดิ 2 จากรปู จะได ้ NO = NB + BO

นัน่ คือ 30 = (r + 2) + BO

BO = 28 – r 1

พิจารณา DBOP

จะได้ cos 30° = B—BOP

cos 3 0° = r+1
BO

BO cos 30° = r + 1

จากสมการ 1 จะได้ (28 – r) cos 30° = r + 1

28 cos 30° – 1 = r(1+ cos 30°)

( ) ดังนั้น r = 28 √3 – 1 ≈ 12.46
  2  
1 √3
+   2  

ดงั นั้น รัศมีของช่องส�ำ หรับทำ�ตวั ปากหมอ้ ควรจะยาวประมาณ 12.46 เซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ 357

ตัวอยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท

1. กำ�หนดให้ sin A = 4–5 จงหา tan A + cos A ค. 2—270 ง. 12—59 (1 คะแนน)
ก. –78 ข. 11—25 (1 คะแนน)

2. ข้อใดต่อไปน้ีไมถ่ ูกตอ้ ง ข. sin 30° + cos 60° = 1
ก. sin 30° = cos 60° ง. sin 60° + cos 30° = tan 60°
ค. sin 45° + cos 45° = tan 45°

3. จงหาพืน้ ท่ีของ DABC (2 คะแนน)

B

5C

45° 10
A

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

358 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมิติ คูม่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2
A
4. จากรปู ตอ่ ไปน้ี

จงหาคา่ ของ tan AˆBC 2√3 (3 คะแนน)
ED
B 3√3 C

5. พจิ ารณาทรงส่ีเหล่ยี มมุมฉากตอ่ ไปน้ี E (1 คะแนน)

H F
G

D 60° C

เส้นทแยงมมุ DG ยาว A 12 B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี หน่วย

ค่มู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ 359

6. ชายคนหน่ึงยนื อยู่ระหวา่ งตกึ สองหลงั ท่ีมคี วามสงู เท่ากัน และอยหู่ า่ งกนั เปน็ ระยะทาง 80 เมตร เมือ่ ชายคนนีม้ องไปที่

ยอดตกึ หลังแรกจะมองเปน็ มุมเงย 30° แตเ่ ม่ือหันกลบั ไปมองยอดตกึ อีกหลังจะเปน็ มุมเงย 60° โดยไมค่ ิดความสงู ของ

ชายคนนี้

1) จงวาดภาพแทนสถานการณ์ (1 คะแนน)

2) จงหาว่าตึกแตล่ ะหลังสงู กีเ่ มตร (3 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

360 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คูม่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

7. ห้างสรรพสินค้าแห่งหน่ึงต้องการทำ�ทางลาดเพื่ออำ�นวยความสะดวกสำ�หรับผู้พิการที่ใช้รถเข็น โดยทำ�ทางลาด

ทท่ี �ำ มมุ 14° กบั แนวพน้ื ดนิ เพอ่ื ขน้ึ พน้ื อาคารชน้ั 1 ทส่ี งู จากพน้ื ดนิ 0.54 เมตร เมอ่ื ทดลองใชง้ าน ปรากฏวา่ ทางลาดน้ี

ไมส่ ะดวกตอ่ การใชง้ าน ทางหา้ งจงึ ท�ำ การปรบั ปรงุ ใหม่ ใหท้ างลาดท�ำ มมุ 5° กบั แนวพนื้ ดนิ จงวาดภาพแทนสถานการณ ์

และหาว่าจุดเร่ิมต้นของทางลาดใหม่อยู่ห่างจากจุดเริ่มตน้ ของทางลาดเดิมกีเ่ มตร (ตอบเปน็ ทศนิยม 2 ต�ำ แหนง่ )

กำ�หนดให้

มุม A sin A cos A tan A

5° 0.09 1.00 0.09
14° 0.24 0.97 0.25

(4 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ 361

8. พายุ “โพดุล” ได้เคลื่อนตัวเข้าสู่จังหวัดนครพนม เม่ือวันที่ 30 สิงหาคม พ.ศ. 2562 ซ่ึงส่งผลให้เกิดฝนตกหนักและ

น�ำ้ ทว่ มฉับพลนั ในหลายพน้ื ท่ี ถา้ ตน้ ไมท้ ่บี ้านของจบิ๊ จ๊อยถกู พายโุ พดลุ พัดหักลงมา ทำ�ใหย้ อดของตน้ ไมจ้ รดพนื้ ทำ�มุม

30 องศา กับพ้ืนดินพอดี ถา้ ยอดของตน้ ไม้อยู่หา่ งจากโคนต้นไม้ 10 เมตร จงวาดภาพแทนสถานการณ์ และหาวา่

ความสงู ของตน้ ไม้กอ่ นโดนพายพุ ัดหักเป็นเทา่ ไร (4 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

362 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คูม่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1. ก�ำ หนดให้ sin A = 4–5 จงหา tan A + cos A (1 คะแนน)
ก. –78 ข. 11—25
ค. 2—270 ง. 12—59

แนวคดิ จาก sin A = 4–5 เราอาจสรา้ ง DABC ได้ดงั รูป

C

54

AB

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได้

AB2 = 52 – 42 = 9

AB = 3

ดงั น้ัน tan A = 4–3 และ cos A = –35
น่นั คือ tan A + cos A = 4–3 + –35 = 12—59

2. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ กู ต้อง (1 คะแนน)
ก. sin 30° = cos 60°
ค. sin 45° + cos 45° = tan 45° ข. sin 30° + cos 60° = 1
ง. sin 60° + cos 30° = tan 60°

แนวคดิ ก. ถกู ต้อง เนอ่ื งจาก sin 30° = –12 และ cos 60° = 1–2

ข. ถูกตอ้ ง เน่อื งจาก sin 30° + cos 60° = 1–2 + –12 = 1

ค . ไม่ถูกต้อง เนอื่ งจาก sin 45° + cos 45° = √  22   + √2 = √2 แต่ tan 45° = 1
  2  

ง . ถกู ต้อง เนือ่ งจาก sin 60° + cos 30° = √  23   + √3 = √3 และ tan 60° = √3
  2  

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 363

สำ�หรับข้อ 1–2

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 1 นักเรยี นสามารถเขา้ ใจความหมายและหาค่าของอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิของมมุ แหลมขนาดต่าง ๆ

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็มขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

3. จงหาพืน้ ทข่ี อง DABC B (2 คะแนน)

5C

45° 10
A

แนวคดิ จากรปู ที่ก�ำ หนดให้ ลาก BD ตัง้ ฉากกับ AC ท่ีจุด D เพือ่ ใหไ้ ด้สว่ นสงู บนฐาน AC ของรูปสามเหล่ียม ดังรปู

B

5C

45° D 10
A

เนอ่ื งจาก sin 45° = B—5D

จะได ้  √  22    = B—5D
5√2
ดงั นั้น BD =   2  5√2 25√2
  2      2   
น่ันคือ พน้ื ทขี่ อง DA BC = 1–2 × 10 × = ตารางหน่วย

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ ความรู้เก่ียวกบั อตั ราสว่ นตรโี กณมิตไิ ปใช้ในการแกป้ ญั หา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั น้ี

✤ หาความสูงของ DABC ถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ หาพื้นท่ีของ DABC ถกู ตอ้ ง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

364 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2
A
4. จากรปู ตอ่ ไปนี้

2√3
ED

B 3√3 C

จงหาคา่ ของ tan AˆBC (3 คะแนน)

แนวคดิ เนื่องจาก AD = DB ได้ 3 คะแนน
ได้ 2 คะแนน
ดงั นน้ั DADB เป็นรปู สามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
จะไดว้ า่ DˆAB = AˆBD

นัน่ คือ DˆAB = AˆBD = DˆBC

เน่อื งจาก DˆAB + AˆBD + DˆBC = 90°

จะได้วา่ DˆAB = AˆBD = DˆBC = 30°
ดงั นน้ั tan AˆBC = tan 60° = √3

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถนำ�ความรู้เกี่ยวกบั อตั ราสว่ นตรีโกณมิตไิ ปใช้ในการแกป้ ัญหา

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การให้คะแนน ดงั น้ี

✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถ้วน และค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง

✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถ้วน แตค่ ำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง

หรอื เขียนแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่ค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง

✤ เขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แตค่ �ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง

หรอื ไมเ่ ขียนแสดงแนวคิด แต่ค�ำ ตอบถูกตอ้ ง

✤ ไม่เขยี นแสดงแนวคิดและคำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่เขยี น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมิติ 365

5. พจิ ารณาทรงส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากต่อไปน้ี E F (1 คะแนน)
G
H

D 60° C

A 12 B

เส้นทแยงมุม DG ยาว 24 หนว่ ย

แนวคิด เน่ืองจาก DˆCG = 90°
cos 60° = DD—GC
พจิ ารณา ∆GDC จะได ้
1–2 = D—1G2
จะได้
DG = 24 หนว่ ย
ดังน้ัน

ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถนำ�ความรู้เกยี่ วกบั อตั ราส่วนตรีโกณมิตไิ ปใช้ในการแก้ปญั หา

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

366 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คูม่ อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

6. ชายคนหนงึ่ ยนื อยรู่ ะหว่างตึกสองหลงั ทมี่ ีความสูงเท่ากัน และอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง 80 เมตร เมอ่ื ชายคนนม้ี องไปท่ี

ยอดตึกหลังแรกจะมองเป็นมุมเงย 30° แต่เม่ือหันกลับไปมองยอดตึกอีกหลังจะเป็นมุมเงย 60° โดยไม่คิดความสูง

ของชายคนน้ี

1) จงวาดภาพแทนสถานการณ์ (1 คะแนน)

อาจวาดภาพไดด้ ังนี้

E D

30° 60°
A CB

80 เมตร

2) จงหาว่าตึกแต่ละหลังสงู ก่ีเมตร (3 คะแนน)

แนวคดิ ใหต้ กึ แตล่ ะหลงั มคี วามสูง h เมตร

ให้ชายคนน้ยี ืนอย่หู า่ งจากตึกหลงั แรกเปน็ ระยะทาง m เมตร

จะไดว้ ่าชายคนนย้ี ืนอยูห่ า่ งจากตกึ หลังทสี่ องเป็นระยะทาง 80 – m เมตร

พจิ ารณา DCAE จะได้ tan 30° = –mh

ดังนัน้ h = m tan 30° = √—m3 1

พจิ าร ณา DC BD จะ ได้ tan 60° = h
80 – m

ดงั นนั้ h = (80 – m)tan 60°
h = (80 – m) × √3
2

จากสมการ 1 และ 2 จะได้ √—m3 = (80 – m) × √3

m = 3(80 – m)

4m = 240

m = 60

จากสมการ 1 จะได้ h= —√603 = 60√3 = 20√3
    3    

ดงั นั้น ตกึ แตล่ ะหลังสูง 20√3 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมิติ 367

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียน ได้ 1 คะแนน
ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถนำ�ความรูเ้ กยี่ วกับอัตราส่วนตรโี กณมิตไิ ปใช้ในการแกป้ ญั หา ได้ 0 คะแนน
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดงั น้ี
ขอ้ 1 คะแนนเตม็ 1 คะแนน โดยมีเกณฑ์การให้คะแนน ดงั นี้ ได้ 3 คะแนน
✤ วาดภาพไดส้ อดคลอ้ งกับปัญหา
✤ วาดภาพไมส่ อดคล้องกับปญั หา หรือไมว่ าด ได้ 2 คะแนน
ข้อ 2 คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารให้คะแนน ดงั น้ี
✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถ้วน และคำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถว้ น แต่คำ�ตอบไม่ถูกต้อง ได้ 0 คะแนน
หรือเขียนแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่ค�ำ ตอบถูกต้อง
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ บางส่วน แต่ค�ำ ตอบไม่ถูกต้อง
หรือไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ แต่ค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง
✤ ไม่เขยี นแสดงแนวคิดและค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไม่เขยี น

7. หา้ งสรรพสินคา้ แห่งหนง่ึ ตอ้ งการท�ำ ทางลาดเพอื่ อ�ำ นวยความสะดวกส�ำ หรบั ผ้พู ิการทใี่ ชร้ ถเขน็ โดยทำ�ทางลาดท่ที ำ�มมุ
14° กบั แนวพนื้ ดนิ เพอ่ื ขนึ้ พน้ื อาคารชนั้ 1 ทส่ี งู จากพนื้ ดนิ 0.54 เมตร เมอื่ ทดลองใชง้ าน ปรากฏวา่ ทางลาดนไ้ี มส่ ะดวก
ต่อการใช้งาน ทางห้างจึงทำ�การปรับปรุงใหม่ ให้ทางลาดทำ�มุม 5° กับแนวพ้ืนดิน จงวาดภาพแทนสถานการณ์

และหาว่าจดุ เรมิ่ ต้นของทางลาดใหมอ่ ยู่ห่างจากจุดเรม่ิ ต้นของทางลาดเดมิ กเ่ี มตร (ตอบเป็นทศนิยม 2 ต�ำ แหนง่ )

กำ�หนดให้

มุม A sin A cos A tan A

5° 0.09 1.00 0.09
14° 0.24 0.97 0.25

(4 คะแนน)
แนวคดิ จากโจทย์ อาจวาดภาพแทนสถานการณไ์ ด้ดงั น้ี

A

5° 14° 0.54
B
DC

B
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
n

368 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ใหจ้ ุด C เป็นจุดเรม่ิ ตน้ ของทางลาดเดิม

และจุด D เปน็ จุดเรม่ิ ตน้ ของทางลาดใหม่

เนอ่ื งจาก tan 14° = —0B.5C–4 เมตร
จะได ้ 0.25 ≈ —0B.5C–4
ดังน้นั
BC ≈ 2.16

เนื่องจาก tan 5° = —0B.5D–4
จะได้ 0.09 ≈ —0B.5D–4
ดังนนั้
BD ≈ 6 เมตร

น่ันคอื ทางหา้ งจะต้องทำ�ทางลาดใหม่ทม่ี จี ดุ เริม่ ต้นอย่หู ่างจากจุดเริม่ ตน้ เดมิ ประมาณ 6 – 2.16

≈ 3.84 เมตร

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ได้ 1 คะแนน
ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ ความรู้เกย่ี วกับอัตราสว่ นตรโี กณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหา ได้ 0 คะแนน
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดังน้ี
ส่วนที่ 1 การวาดภาพ ได้ 3 คะแนน
✤ วาดภาพไดส้ อดคล้องกับปัญหา
✤ วาดภาพไม่สอดคลอ้ งกับปัญหา หรือไมว่ าด ได้ 2 คะแนน
สว่ นที่ 2 การเขียนแสดงแนวคิดและหาคำ�ตอบ
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ ครบถว้ น และค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ ครบถ้วน แต่คำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง ได้ 0 คะแนน
หรอื เขียนแสดงแนวคิดบางส่วน แต่คำ�ตอบถูกต้อง
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่คำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง
หรอื ไม่เขยี นแสดงแนวคิด แต่คำ�ตอบถกู ต้อง
✤ ไม่เขียนแสดงแนวคดิ และค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่เขียน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 369

A

8. พายุ “โพดุล” ได้เคลื่อนตัวเข้าสู่จังหวัดนครพนม เม่ือวันที่ 30 สิงหาคม พ.ศ. 2562 ซ่ึงส่งผลให้เกิดฝนตกหนักและ

น�ำ้ ทว่ มฉับพลันในหลายพนื้ ท่ี ถา้ ต้นไมท้ บ่ี ้านของจ๊ิบจอ๊ ยถูกพายโุ พดลุ พัดหกั ลงม0า.5ท4�ำ ให้ยอดของตน้ ไม้จรดพืน้ ท�ำ มมุ

30 องศา กับพื้นดินพอดี ถ้ายอดข5อ° งต้นไม้อยู่ห่างจ1า4°กโคนต้นไม้ 10 เมตร จงวาดภาพแทนสถานการณ์ และหาว่า
ความสงู ของต้นไม้กอ่ นDโดนพายุพัดหกั เปน็ เทC่าไร
B (4 คะแนน)

แนวคดิ จากโจทย์ อาจวาดภาพแทนสถานการณไ์ ดด้ ังน้ี

B

n
m

30° 10 A
C

เมอ่ื จดุ A แทน โคนตน้ ไม้

จดุ B แทน ต้นไมบ้ รเิ วณท่ีหัก

จดุ C แทน จุดทีย่ อดของต้นไมห้ กั ลงมาจรดพนื้

จากรูป จะไดค้ วามสูงของต้นไม้กอ่ นโดนพายพุ ดั หัก เท่ากับ m + n เมตร

เนื่องจาก cos 30° = 1—n0

จะไ ด้  √  23   = 1—n0
n = —√203
ดังนน้ั

เนอ่ื งจาก sin 30° = —mn

— จ ะได ้ 1–2 = m

—√203 

ดังนัน้ m = —√103

น่ันคอื ความ สูงขอ งตน้ ไม ้กอ่ นโด นพายุพัดหกั เท่ากบั —√203 + —√103 = —√303 = 30√3 = 10√3 เมตร
    3   

หรือประมาณ 17.32 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

370 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมิติ คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ได้ 1 คะแนน
ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถนำ�ความรู้เกี่ยวกบั อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิไปใช้ในการแก้ปญั หา ได้ 0 คะแนน
เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดงั น้ี
สว่ นที่ 1 การวาดภาพ ได้ 3 คะแนน
✤ วาดภาพได้สอดคลอ้ งกับปัญหา
✤ วาดภาพไมส่ อดคลอ้ งกบั ปญั หา หรอื ไมว่ าด ได้ 2 คะแนน
สว่ นท่ี 2 การเขยี นแสดงแนวคดิ และหาค�ำ ตอบ
✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถ้วน และค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถว้ น แตค่ ำ�ตอบไม่ถูกต้อง ได้ 0 คะแนน
หรือเขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่คำ�ตอบถกู ตอ้ ง
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ บางส่วน แต่คำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง
หรอื ไม่เขียนแสดงแนวคดิ แต่คำ�ตอบถกู ตอ้ ง
✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ และคำ�ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่เขียน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ 371

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

372 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

กจิ กรรมคณติ ศาสตร์เชงิ สะเตม็ : มื้อนฟ้ี รีหรือจา่ ย

กิจกรรมคณิตศาสตร์เชิงสะเต็ม เป็นกิจกรรมหรือปัญหาคณิตศาสตร์ท่ีมีความเกี่ยวข้องกับชีวิตจริง ซึ่งใช้กระบวนการ
ออกแบบเชิงวิศวกรรม หรือศาสตร์ท่ีเก่ียวข้อง คือ วิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี มาช่วยในการแก้ปัญหา สำ�หรับกิจกรรมนี้มี
จุดประสงคใ์ หน้ กั เรยี นใช้ความรเู้ ร่อื งความนา่ จะเปน็ มาออกแบบกตกิ าของเกมหยบิ ลูกบอล เพื่อสมนาคณุ ลกู คา้ ของรา้ นอาหาร
โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนินกจิ กรรมดังนี้

สื่อ/อุปกรณ์

1. ลูกบอล (หรอื ลกู ปิงปอง) สีแตกตา่ งกัน 3 สี สลี ะ 2 ลูก รวมเป็น 6 ลูก
2. กล่องทบึ (หรือถังทบึ ) 1 ใบ

ข้ันตอนการท�ำ กจิ กรรม

1. ครูแบง่ นกั เรียนออกเปน็ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4–5 คน
2. ครใู หน้ กั เรยี นชว่ ยกนั คดิ ออกแบบกตกิ าส�ำ หรบั เหตกุ ารณ์ A และ B ซงึ่ จะท�ำ ใหไ้ ดค้ วามนา่ จะเปน็ ของแตล่ ะเหตกุ ารณ์

เป็นไปตามทีก่ ำ�หนด พร้อมท้งั แสดงแนวคดิ ในการคำ�นวณความน่าจะเป็น
3. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ทดลองหยบิ ลกู บอลตามกตกิ าทน่ี กั เรยี นในกลมุ่ นนั้ ก�ำ หนด จ�ำ นวน 30 ครง้ั เพอื่ เปรยี บเทยี บ

ความน่าจะเป็นทางทฤษฎแี ละความนา่ จะเป็นในทางปฏิบตั ิ
4. ครูให้ตัวแทนนักเรียนแต่ละกลุ่มนำ�เสนอกติกาท่ีออกแบบสำ�หรับแต่ละเหตุการณ์ เพ่ืออภิปรายแลกเปลี่ยนแนวคิด

กับเพือ่ นกลมุ่ อ่นื ๆ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ทศนิยมและเศษส่วน 373

เฉลยกิจกรรมคณิตศาสตร์เชงิ สะเต็มศกึ ษา : มอ้ื นี้ฟรหี รอื จ่าย

แนวคดิ

เน่ืองจากมีลูกบอลเป็นสีทอง สีเงิน และสีชมพู อย่างละ 2 ลูก จะกำ�หนดให้ลูกบอลสีทอง สีเงิน และสีชมพู มีช่ือเป็น

ท1 ท2 ง1 ง2 ช1 ช2 ตามลำ�ดบั
ถ้าก�ำ หนดกติกาใหล้ ูกคา้ แต่ละโตะ๊ สุม่ หยบิ ลกู บอลจากกลอ่ งหรอื ถงั ทบึ พร้อมกันจำ�นวน 2 ลูก

ผลลพั ธ์ทั้งหมดทเี่ กดิ ขึน้ ได้จากการสุม่ หยบิ ลูกบอลขึ้นมาพรอ้ มกนั สองลกู มี 15 แบบ ดังนี้

ท1ท2 ท1ง1 ท1ง2 ท1ช1 ท1ช2

ท2ง1 ท2ง2 ท2ช1 ท2ช2

ง1ง2 ง1ช1 ง1ช2

ง2ช1 ง2ช2

ช1ช2

เพ่ือให้เหตุการณ์ A มีความน่าจะเป็นมากกว่า 0 และน้อยกว่า 0.1 เหตุการณ์ A จะต้องมีผลลัพธ์ท่ีเกิดขึ้นได้และ

มีไม่ถงึ 1.5 แบบ เช่น อาจก�ำ หนดให้เหตุการณ์ A เปน็ การหยบิ ได้ลูกบอลสที องทง้ั สองลูก ซงึ่ มีผลลัพธ์เพียงแบบเดียว คอื ท1ท2
จะไดค้ วามนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ A เป็น 1—15
เพื่อให้เหตุการณ์ B มีความน่าจะเป็นมากกว่าหรือเท่ากับ 0.4 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.5 เหตุการณ์ B จะต้อง

มีจ�ำ นวนผลลพั ธต์ ้ังแต ่ 6 ถงึ 7.5 แบบ เช่น อาจกำ�หนดให้เหตกุ ารณ์ B เปน็ การหยิบลูกบอลไมไ่ ด้สที องเลย ซึง่ มีผลลัพธอ์ ยู่ 6

แบบ คือ ง1ง2 , ง1ช1 , ง1ช2 , ง2ช1 , ง2ช2 และ ช1ช2 ท�ำ ให้ได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เปน็ 1—65 หรอื 0.4
น่ันคือ ควรกำ�หนดกติกาให้ลูกค้าสุ่มหยิบลกู บอลจากกล่องทึบข้นึ มาสองลูกพร้อมกัน และให้เหตกุ ารณ์ A ซ่งึ ทำ�ให้ไดร้ ับ

รางวลั ท่ี 1 เปน็ เหตกุ ารณท์ ่ีหยบิ ได้ลูกบอลสที องทัง้ สองลกู และให้เหตกุ ารณ์ B ซงึ่ ทำ�ให้ได้รบั รางวัลที่ 2 เป็นเหตุการณ์ทีห่ ยิบ

ไม่ไดล้ ูกบอลสีทองเลย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

374 บทท่ี 4 | ทศนิยมและเศษสว่ น คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ความรู้เพ่มิ เตมิ ส�ำ หรับครู

การใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขวทิ ยาศาสตรใ์ นการพจิ ารณาค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

เราสามารถใช้เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ในการสังเกตค่า หรือสำ�รวจสมบัติต่าง ๆ ได้ โดยใช้เมนูหรือคำ�ส่ังของ
เครอื่ งคดิ เลข แลว้ สงั เกตสงิ่ ทเี่ กดิ ขน้ึ เพอื่ น�ำ ไปสกู่ ารสรา้ งขอ้ ความคาดการณ ์ สมบตั ิ หรอื ค�ำ ตอบของปญั หา ใหพ้ จิ ารณาตวั อยา่ ง
ดงั ตอ่ ไปนี้

ตวั อยา่ ง จงพิจารณาว่า ระบบสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ มีคำ�ตอบเดียว หรือ มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด หรือ
ไมม่ คี �ำ ตอบ
1) 3x + 2y = 2
2x + 2y = -1
2) 2x + 4y = 2
3x + 6y = 12
3) x – 2y = -3
-3x + 6y = 9

เราสามารถใช้เคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร์ในการพิจารณาลักษณะคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้

การนึกภาพของกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรควบคู่ไปกับการใช้เมนูและคำ�สั่งของเคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร์ได้

โดยไมต่ อ้ งวาดกราฟ ดังนี้

1. จดั รปู สมการเชิงเส้นสองตัวแปรให้อยใู่ นรปู y = mx + b เมอ่ื x และ y เป็นตวั แปร m และ b เปน็ คา่ คงตวั
จากตวั อย่างข้อ 1) จะจดั รปู ไดเ้ ปน็ y = - –32x + 1 และ y = -x – –21
2. เลือกเมนู Table

สามารถใช้เครอ่ื งคดิ เลขได้ดงั นี้

MENU ▼ ▶ =

หรอื MENU ▲9▶▼◀

▲▶▼◀

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ทศนยิ มและเศษสว่ น 375

3. ใสส่ มการเชิงเสน้ สองตวั แปรทัง้ สองสมการลงไป

สามารถใช้เคร่ืองคิดเลขได้ดงั น้ี

– 3 ▼ 2 ▶χ+1 =

▲▶▼◀

–χ– 1▼2=

▲▶▼◀

4. เลือกขอบเขตของค่า x ท่ีจะแสดงในตาราง เช่น ในที่นี้ ให้สังเกตค่า x ต้ังแต่ -10 ถึง 10 โดยเพ่ิมขึ้น
คร้ังละ 1

สามารถใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขได้ดังนี้

–10=

▲▶▼◀

10=


1=

5. กด = บนเครื่องคิดเลขอีกครั้ง หน้าจอจะแสดง
▲ ▶▼ต◀ารางค่า f(x) และ g(x) หรือค่า y ของทั้งสองสมการ
ตามค่า x ท่ีกำ�หนดในขอ้ 4 จากนัน้ สังเกตคา่ x ที่ท�ำ ให้
ค่า y ของท้ังสองสมการเทา่ กัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

376 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

6. จากตาราง สงั เกตเห็นวา่ ทคี่ ่า x = 3 จะท�ำ ให้
ทัง้ สองสมการมีคา่ y เทา่ กับ -3.5
แสดงว่า กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรทั้งสองสมการน้ัน
จะตดั กนั ที่จดุ (3, -3.5)
ดังนน้ั ระบบสมการนี้มคี �ำ ตอบ คอื (3, -3.5)

สำ�หรับตัวอยา่ งข้อ 2) ตารางทีไ่ ดจ้ ะไมม่ ีคา่ x ท่ีทำ�ให้ค่า y
ของทง้ั สองสมการเทา่ กนั แต่สังเกตได้วา่ เม่ือค่า x เพ่มิ ขึน้ 1 หนว่ ย
คา่ y ของทัง้ สองสมการจะลดลง 0.5 หนว่ ย เท่ากัน และทกุ ๆ คา่ x
จะมีค่า y ของทัง้ สองสมการตา่ งกัน 1.5 หนว่ ย เสมอ แสดงวา่
กราฟของสมการเชงิ เสน้ ท้ังสองสมการน้ันขนานกนั
ดังนั้น ระบบสมการนไี้ มม่ ีคำ�ตอบ

สำ�หรับตัวอยา่ งขอ้ 3) ตารางแสดงวา่ ทกุ ๆ คา่ x จะมีคา่ y
ของทงั้ สองสมการเทา่ กันเสมอ แสดงวา่ กราฟของสมการเชงิ เส้น
ทงั้ สองสมการนัน้ ทับกัน
ดังน้นั ระบบสมการนม้ี คี ำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด

หมายเหตุ : หากตารางทไ่ี ดไ้ ม่เป็นไปตามลกั ษณะของตัวอย่างท้งั สามขา้ งตน้ ใหพ้ จิ ารณาใหมอ่ ีกครง้ั โดยเปล่ียนขอบเขตของค่า x ทจ่ี ะแสดงในตาราง
และปรับค่าทเ่ี พิ่มข้ึนในแตล่ ะคร้งั ใหน้ อ้ ยลง เชน่ 0.25, 0.5 หรอื 0.6 ทง้ั น ้ี ตัวอยา่ งของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรท่ใี ชจ้ ะต้องมี
ค�ำ ตอบไมซ่ ับซ้อนเกนิ ไปส�ำ หรบั การใชเ้ ครือ่ งคิดเลขพิจารณา เชน่ คำ�ตอบท่ีเป็นทศนิยมหลายตำ�แหน่ง หรอื จำ�นวนทอี่ ยู่ในรูปกรณฑ์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษสว่ น 377

การใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขวทิ ยาศาสตรใ์ นการตรวจสอบค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

ตวั อยา่ ง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
3x + 2y = 2
2x + 2y = -1

เราสามารถใชเ้ มนแู ละคำ�สั่งในเคร่ืองคิดเลขวทิ ยาศาสตรใ์ นการตรวจสอบคำ�ตอบ ได้ดังน้ี

1. เลือกเมนู Equation/Function

สามารถใช้เครื่องคิดเลขไดด้ งั น้ี

MENU ▼ ▼ ▶ =

หรือ MENU ▲(▶–▼) ◀

▲▶▼◀

2. กด 1 บนเคร่อื งคดิ เลขเพ่อื เลอื กเมนูย่อย
Simul Equation

จากนน้ั กด 2 เพื่อระบวุ า่ เป็นระบบสมการเชิงเสน้
ทีม่ ตี วั แปร 2 ตวั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

378 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

3. จัดรปู สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรใหอ้ ยูใ่ นรูป ax + by = e เมอ่ื x และ y เปน็ ตัวแปร a, b และ e เป็นจำ�นวนจรงิ
ท่ี a และ b ไม่เป็นศูนยพ์ รอ้ มกนั จากน้นั ใสค่ า่ a, b และ e ของแตล่ ะสมการลงในเครอ่ื งคิดเลข

สามารถใชเ้ คร่อื งคดิ เลขไดด้ งั นี้

3=2=1=

2=2=–1 =

4. กด = บนเครอื่ งคดิ เลขอกี ครั้ง หนา้ จอจะแสดงค่า x
ทเ่ี ป็นค�ำ ตอบของระบบสมการ

จากนนั้ กด = บนเครอื่ งคิดเลขอกี คร้ัง หนา้ จอจะ
แสดงค่า y ทเ่ี ปน็ ค�ำ ตอบของระบบสมการ

ส�ำ หรับระบบสมการเชงิ เส้นทม่ี คี ำ�ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัด
หนา้ จอจะแสดง Infinite Solution

สำ�หรบั ระบบสมการเชงิ เสน้ ที่ไม่มคี �ำ ตอบ
หนา้ จอจะแสดง No Solution

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน 379

การใช้เครื่องคิดเลขวทิ ยาศาสตร์ในการสุ่มจำ�นวน

ในการเรียนเก่ียวกับการทดลองสุ่มในเร่ืองความน่าจะเป็น นอกจากเราจะใช้การโยนเหรียญหรือการทอดลูกเต๋า
ในการเรยี นการสอนแล้ว เรายงั สามารถใชค้ ำ�สง่ั ในเครือ่ งคดิ เลขวทิ ยาศาสตร์ในการสุม่ จ�ำ นวนเต็มไดโ้ ดยใชค้ �ำ ส่ัง RanInt ดงั น้ี

1. เลือกค�ำ ส่งั RanInt เพอื่ ส่มุ จ�ำ นวนเตม็ ในขอบเขตทก่ี ำ�หนด

สามารถใชเ้ ครือ่ งคดิ เลขได้ดังนี้

ALPHA •

▲▶▼◀

2. ก�ำ หนดขอบเขตของจ�ำ นวนเต็มท่ีต้องการสุ่ม ในท่นี ้ีก�ำ หนดให้สุ่มจำ�นวนเตม็ ตั้งแต่ -5 ถงึ 5

สามารถใช้เครื่องคิดเลขได้ดังนี้

– 5 SHIFT ) 5 )

3. กด = บนเคร่อื งคดิ เลข หน้าจอด้านขวาลา่ งจะ
▲ ▶▼ป◀รากฏจำ�นวนทสี่ มุ่ ขน้ึ
และเมื่อกด = เร่ือย ๆ หนา้ จอกจ็ ะปรากฏจ�ำ นวน
ทีส่ ▲มุ่ ▶ขึน้▼ใ◀นแต่ละครัง้ และจ�ำ นวนนนั้ จะอยใู่ นขอบเขต
ทก่ี ำ�หนดข้นึ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

380 บทท่ี 4 | ทศนิยมและเศษสว่ น คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

บรรณานุกรม

ราชบณั ฑิตยสถาน. (2543). ศัพทค์ อมพวิ เตอร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พมิ พ์ครง้ั ที่ 5). กรุงเทพฯ: อรณุ การพมิ พ์.

ราชบัณฑิตยสถาน. (2546). ศพั ท์วิทยาศาสตร์ องั กฤษ–ไทย ไทย–อังกฤษ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พมิ พค์ รงั้ ท่ี 5). กรงุ เทพฯ:
อรุณการพิมพ.์

ราชบัณฑิตยสถาน. (2553). พจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พิมพ์คร้ังที่ 10). กรุงเทพฯ: นานมีบุ๊คส์
พบั ลิเคชัน่ ส์.

ราชบณั ฑิตยสถาน. (2554). พจนานุกรม ฉบับราชบณั ฑติ ยสถาน (พิมพ์ครง้ั ที่ 2). กรุงเทพฯ: นานมบี คุ๊ สพ์ ับลเิ คชน่ั ส์.

ราชบัณฑิตยสถาน. (2557). ศัพท์ต่างประเทศท่ใี ช้ค�ำ ไทยแทนได้ (พมิ พ์ครัง้ ท่ี 4). กรุงเทพฯ: นานมบี คุ๊ ส์พบั ลิเคชั่นส์.

ราชบัณฑติ ยสถาน. (2558). พจนานกุ รมค�ำ ใหม่ เล่ม 1–2 ฉบบั ราชบัณฑติ ยสถาน. กรุงเทพฯ: นานมีบุ๊คส์พับลิเคชั่นส์.

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2556). คมู่ อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
(พิมพค์ รงั้ ท่ี 2). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2558). คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
(พิมพค์ รง้ั ท่ี 3). กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2559). คมู่ อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
(พิมพค์ ร้งั ที่ 2). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สำ�นักงานราชบัณฑิตยสภา. (2559). พจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสภา (พิมพ์ครั้งท่ี 11). กรุงเทพฯ:
สหมติ รพรน้ิ ติง้ แอนดพ์ บั ลสิ ช่ิง.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน 381

คณะผูจ้ ดั ท�ำ

คณะทป่ี รึกษา สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ศ. ดร.ชูกจิ ลิมปิจำ�นงค ์ สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.วนิดา ธนประโยชน์ศักด ิ์ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.ศรเทพ วรรณรตั น์
โรงเรยี นทบั ปุดวิทยา จังหวัดพังงา
คณะผู้จดั ทำ�คู่มอื ครู โรงเรียน ภ.ป.ร. ราชวิทยาลัย ในพระบรมราชปู ถัมภ์
นางนงนชุ ผลทว ี จงั หวดั นครปฐม
ดร.เชิดศักด์ิ ภักดีวิโรจน์ โรงเรียนสตรีสิริเกศ จังหวัดศรสี ะเกษ
โรงเรยี นสาธติ “พบิ ูลบ�ำ เพ็ญ” มหาวทิ ยาลัยบูรพา
นางมยรุ ี สาลวี งศ์ จงั หวัดชลบรุ ี
นายรฐั พล กัลพล ข้าราชการบำ�นาญ
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นายถนอมเกียรติ งานสกลุ สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาวดนิตา ชืน่ อารมณ ์ สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาววรนารถ อยสู่ ุข สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาวจนั ทร์นภา อตุ ตะมะ สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.รณชัย ปานะโปย สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาวสริ ิวรรณ จนั ทรก์ ลู
ดร.อลงกต ใหม่ดว้ ง จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย
จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั
คณะผู้พจิ ารณาคูม่ อื ครู มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
รศ. ดร.อัมพร ม้าคนอง มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์
ผศ. ดร.ไพโรจน์ นว่ มน่มุ มหาวิทยาลยั สวนดสุ ติ
ผศ. ดร.ชนศิ วรา เลิศอมรพงษ์ โรงเรียนทบั ปุดวทิ ยา จังหวัดพงั งา
ผศ. ดร.วนั ดี เกษมสขุ พพิ ฒั น ์ โรงเรียนเบ็ญจะมะมหาราช จังหวดั อุบลราชธานี
ผศ. ดร.อรรถศาสน์ นมิ ติ รพนั ธ์ โรงเรยี น ภ.ป.ร. ราชวิทยาลัย ในพระบรมราชปู ถมั ภ์
นางนงนชุ ผลทว ี จังหวดั นครปฐม
ดร.วัลลภา บุญวิเศษ
ดร.เชิดศกั ด์ิ ภักดีวิโรจน์


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

382 บทที่ 4 | ทศนิยมและเศษส่วน คู่มือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

นางสาวอจั ฉรา วันฤกษ ์ โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จฬุ าภรณราชวิทยาลยั มกุ ดาหาร
จงั หวัดมกุ ดาหาร
นางมยรุ ี สาลวี งศ์ โรงเรยี นสตรีสิรเิ กศ จงั หวัดศรสี ะเกษ
นายรัฐพล กลั พล โรงเรียนสาธติ “พบิ ูลบำ�เพญ็ ” มหาวิทยาลัยบรู พา
จังหวัดชลบรุ ี
นายถนอมเกียรติ งานสกุล ข้าราชการบำ�นาญ
ผศ.ลัดดาวัลย์ เพญ็ สุภา สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสุวรรณา คลา้ ยกระแส สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นายสมนึก บญุ พาไสว สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ผศ.มาลินท์ อทิ ธริ ส สถาบันส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.อลงกรณ์ ต้งั สงวนธรรม สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาวดนติ า ชื่นอารมณ์ สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาววรนารถ อยู่สขุ สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาวจันทร์นภา อตุ ตะมะ สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ดร.รณชยั ปานะโปย สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาวสริ วิ รรณ จันทร์กูล สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ดร.อลงกต ใหม่ดว้ ง สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คณะบรรณาธิการ จุฬาลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั
รศ. ดร.อมั พร ม้าคนอง มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ผศ. ดร.วันดี เกษมสขุ พพิ ัฒน์ สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ผศ.มาลนิ ท์ อทิ ธริ ส
สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
คณะท�ำ งานฝา่ ยเสรมิ วิชาการ สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ฝ่ายนวตั กรรมเพือ่ การเรยี นรู้
นางวนดิ า สิงห์นอ้ ย

ออกแบบรูปเล่ม
บริษทั เธริ ์ด อาย 1999 จ�ำ กดั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี