คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

250 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท



1. กล่องกระดาษทรงลูกบาศก์ท่ีมีขนาดภายในแต่ละด้านกว้าง 21 เซนติเมตร บรรจุลูกบอลทรงกลมลูกหน่ึงได้พอดี

อยากทราบว่าปริมาตรของอากาศภายในกลอ่ งทอี่ ยลู่ ้อมรอบลกู บอลนน้ั มีประมาณกีล่ กู บาศกเ์ ซนตเิ มตร (1 คะแนน)

ตอบ 4,410 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

แนวคิด จากสตู ร ปริมาตรของปรซิ ึม = พ้นื ที่ฐาน × ความสูง

จะได้ ปรมิ าตรของกล่องลกู บาศก์ = (21 × 21) × 21 = 9,261 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

จากสูตร ปรมิ าตรของทรงกลม = –34πr3 เมอ่ื r แทนรัศมขี องทรงกลม
จะได ้ ( ) ( )ปริมาตรของลกู บอล 3
≈ –34 2—72 2—21
= 4,851 ลกู บาศก์เซนติเมตร

ด งั นน้ั ปริมาตรของอากาศภายในกล่องทอี่ ยลู่ ้อมรอบลกู บอลประมาณ 9,261 – 4,851

≈ 4,410 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

2. ถ้าขยายทรงกลมให้มีเส้นผ่านศูนย์กลางเพ่ิมขึ้นเป็น 2 เท่า ปริมาตรของทรงกลมใหม่จะเป็นก่ีเท่าของปริมาตร

ของทรงกลมเดมิ (1 คะแนน)

ก. 2 ข. 4 ค. 8 ง. 16

แนวคดิ ให้ r แทนรัศมขี องทรงกลมเดิม
ปรมิ าตรของทรงกลมเดมิ = –34πr3
จะได ้

และ ปรมิ าตรของทรงกลมใหม่ = –34π(2r)3

เน่อื งจาก ป ปรรมิิมาาตตรรขขออ งงททรรงงกกลลมมใเ หดมมิ ่ = 4–3–4π3(π2rr3)3

= 8

ดังนั้น ปรมิ าตรของทรงกลมใหมจ่ ะเปน็ 8 เทา่ ของปรมิ าตรของทรงกลมเดมิ

สำ�หรบั ข้อ 1–2

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 1 นกั เรียนสามารถหาปริมาตรและพน้ื ท่ีผิวของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
ตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไมต่ อบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 251

3. กำ�หนดภาชนะ 3 แบบ ดังนี้

ภาชนะ A เป็นทรงกลมทม่ี รี ศั มียาว r หน่วย

ภาชนะ B เป็นกรวยทฐ่ี านมคี วามยาวของเส้นผา่ นศูนยก์ ลางเท่ากับ 2r หน่วย และสูง 2r หนว่ ย

ภาชนะ C เป็นทรงกระบอกทม่ี รี ัศมขี องฐานยาว r หนว่ ย และสงู 2r หน่วย

พิจารณาข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ ถ้าเป็นจริงให้ทำ�เคร่ืองหมาย  ในช่องเป็นจริง และถ้าเป็นเท็จให้ทำ�

เครื่องหมาย  ในชอ่ งเป็นเท็จ (5 คะแนน)

ข้อที่ ขอ้ ความ เป็นจริง เป็นเทจ็

1) ภาชนะ C มีปรมิ าตรเป็นสามเท่าของภาชนะ B  

2) อัตราส่วนของปรมิ าตรของภาชนะ A ตอ่ ปรมิ าตรของภาชนะ B
ตอ่ ปริมาตรของภาชนะ C เปน็ 2 : 1 : 3 

3) ภาชนะ A มีพน้ื ทผ่ี วิ มากกว่าภาชนะ C
4) พน้ื ทผี่ วิ ของภาชนะ B เทา่ กบั (√5 + 1)πr2 ตารางหนว่ ย
5) ถา้ เพมิ่ ความสงู ของภาชนะ B อกี สองเทา่ จะท�ำ ใหภ้ าชนะ B มปี รมิ าตร

เทา่ กบั ภาชนะ A

แนวคดิ 1) จากภาชนะ B เปน็ กรวยทีฐ่ านมคี วามยาวของเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางเทา่ กบั 2r หน่วย และสงู 2r หน่วย

ดงั นัน้ ภาชนะ B เป็นกรวยทีม่ ีรศั มขี องฐานยาว r หน่วย

จะได้ ปริมาตรของภาชนะ B = –13πr2(2r) = –23πr3 ลกู บาศกห์ น่วย
จากภาชนะ C เป็นทรงกระบอกทมี่ รี ัศมีของฐานยาว r หนว่ ย และสงู 2r หนว่ ย
จะได ้ ปริมาตรของภาชนะ C = πr2(2r) = 2πr3 ลูกบาศก์หน่วย


นัน่ คือ ปริมาตรของภาชนะ C = 2πr3
ปรมิ าตรของภาชนะ B –23πr3

= 3

ดงั น้ัน ภาชนะ C มปี รมิ าตรเป็นสามเท่าของภาชนะ B

2) จากภาชนะ A เปน็ ทรงกลมที่มรี ศั มียาว r หน่วย
จะได ้ ปรมิ าตรของภาชนะ A = 4–3πr3 ลกู บาศก์หนว่ ย
จากปรมิ าตรของภาชนะ B และปรมิ าตรของภาชนะ C เท่ากบั –23πr3 และ 2πr3 ลกู บาศกห์ นว่ ย
ตามล�ำ ดับ


ดงั นน้ั อตั ราสว่ นของปรมิ าตรของภาชนะ A ตอ่ ปรมิ าตรของภาชนะ B ตอ่ ปรมิ าตรของภาชนะ C เปน็
–43πr3 : 2–3πr3 : 2πr3 หรอื 2 : 1 : 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

252 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คู่มอื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

น่ันคอื อัตราสว่ นของปริมาตรของภาชนะ A ตอ่ ปริมาตรของภาชนะ B ตอ่ ปรมิ าตรของภาชนะ C

เป็น 2 : 1 : 3

3) พื้นท่ผี วิ ของภาชนะ A = 4πr2 ตารางหน่วย

พน้ื ทผ่ี วิ ของภาชนะ C = พน้ื ท่ผี ิวขา้ ง + พน้ื ที่ฐานทงั้ สอง

= (2πr × 2r) + 2πr2

= 6πr2 ตารางหน่วย

ดังนนั้ ภาชนะ A มพี ้ืนทีผ่ ิวน้อยกวา่ ภาชนะ C

4) วาดภาพแทนภาชนะ B ดังรูป

2r

r

จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส

จะได้ 2 = r2 + (2r)2

= 5r2

นนั่ คอื = √5r

จะได้ พ้ืนที่ผวิ ของภาชนะ B = πr + πr2

= πr(√5r) + πr2

= √5πr2 + πr2

= (√5 + 1)πr2

ดังนัน้ พืน้ ที่ผวิ ของภาชนะ B เท่ากับ (√5 + 1)πr2 ตารางหนว่ ย

5) ถ้าเพม่ิ ความสงู ของภาชนะ B อีกสองเท่า แลว้ ภาชนะ B จะสูง 2 × 2r = 4r หนว่ ย

จะได ้ ปรมิ าตรของภาชนะ B = –13πr2(4r) = –43πr3 ลกู บาศกห์ นว่ ย

เนือ่ งจาก ปริมาตรของภาชนะ A = 4–3πr3 ลูกบาศกห์ นว่ ย

ดังน้ัน เมื่อเพมิ่ ความสูงของภาชนะ B อีกสองเท่า จะทำ�ใหภ้ าชนะ B มีปรมิ าตรเทา่ กับภาชนะ A

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 1 นักเรียนสามารถหาปรมิ าตรและพนื้ ทีผ่ ิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
ตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 253

4. พรี ะมิดฐานส่เี หลีย่ มจตั ุรัสสงู h เมตร ถ้าวดั ความสูงจากฐานขน้ึ ไป h–2 เมตร แลว้ ตัดยอดออกในแนวขนานกบั ฐาน
สว่ นยอดทต่ี ดั ออกเปน็ พรี ะมดิ ฐานสเี่ หลยี่ มจตั รุ สั ทม่ี คี วามสงู เทา่ กบั h–2 เมตร พรี ะมดิ ใหมท่ ไ่ี ดม้ ปี รมิ าตรเปน็ กเี่ ปอรเ์ ซน็ ต์

ของปรมิ าตรของพีระมิดเดมิ (1 คะแนน)

ก. 12.5% ข. 15% ค. 16.5% ง. 20%

แนวคดิ ใหแ้ ตล่ ะดา้ นของฐานของพีระมดิ เดมิ ยาว a เมตร
จดะงั นไดัน้ ้ แพตืน้ ่ลทะฐ่ีดาา้ นนขขอองงพฐารี นะขมอิดงเดพมิ ีรเะทมา่ ิดกใับห ม aท่ 2่ีเ ก ดิตจาราากงกเามรตตรัดยอดพรี ะมิดเดมิ ยาว 2–a เมตร



( ) 2–a 2
และพื้นท่ีฐานของพรี ะมดิ ใหมท่ ี่เกิดจากการตัดยอดพีระมิดเดมิ เท่ากบั
ตารางเมตร

จากสูตร ปรมิ าตรของพีระมิด = –13 × พนื้ ทฐ่ี าน × ความสงู
จะได้ ปรมิ าตรของพีระมดิ ฐานสี่เหลยี่ มจัตรุ สั เดมิ = –13 × a2 × h
( ) และ ปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลย่ี มจตั รุ สั ใหม่ทเ่ี กดิ จากการตัดยอดพีระมิดเดิม = 1–3 × 2–a 2 × –h2
= 2—14a2h


ดังน้ัน ปรมิ าตรของพีระมดิ ฐานสีเ่ หล่ยี มจตั รุ สั ใหมท่ เ่ี กดิ จากการตดั ยอดพรี ะมดิ เดมิ คิดเปน็

2 —–1314aa22hh × 100 = 12.5 เปอร์เซ็นต์ของปรมิ าตรของพรี ะมิดฐานสี่เหลี่ยมจตั รุ ัสเดมิ



ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับปริมาตรและพื้นท่ีผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

ในการแกป้ ญั หา

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได ้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

254 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

5. พีระมดิ ฐานสีเ่ หลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งสงู 12 เซนติเมตร มีพื้นทผ่ี ิว 788 ตารางเซนตเิ มตร โดยหน้าหนึง่ ของพีระมดิ เป็น
รูปสามเหลยี่ มทม่ี ฐี านยาว 18 เซนติเมตร และมพี ้นื ที่ 130 ตารางเซนตเิ มตร ดังรปู

E

12 C
D

F 18
AB

1) ฐานของพีระมดิ น้เี ปน็ รปู สเี่ หลยี่ มมมุ ฉากชนดิ ใด (3 คะแนน)

แนวคดิ E จากโจทย์ EF = 12 เซนติเมตร และ BC = 18 เซนติเมตร


จะได้ GF = 9 เซนตเิ มตร

พิจารณา ∆EFG

12 จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้
D
C EG2 = 122 + 92
A F
9 18 = 225
GB EG = 15

จาก พื้นทผี่ วิ ของพรี ะมดิ = พ้ืนท่ฐี าน + พืน้ ท่ผี วิ ข้าง
จะได ้
[ ( )]พ้นื ทีผ่ วิ ของพรี ะมดิ = 18(AB) + 2(130) + 2 1–2 × AB × 15
788 = 18(AB) + 260 + 15(AB)

528 = 33(AB)

AB = 16

ดงั นั้น ฐานของพรี ะมดิ เปน็ รูปสี่เหล่ียมผืนผ้า

2) พนื้ ทีผ่ วิ ข้างของพีระมิดเทา่ กบั เทา่ ไร (2 คะแนน)

[ ] แนวคดิ จาก พน้ื ท่ผี ิวขา้ งของพรี ะมิด = 2 1–2(15)(16) + 130
= 500 ตารางเซนติเมตร

ดังนัน้ พนื้ ที่ผวิ ขา้ งของพรี ะมดิ เทา่ กับ 500 ตารางเซนตเิ มตร

หมายเหต ุ ในการหาพ้ืนทีผ่ ิวขา้ ง นกั เรียนอาจหาไดจ้ าก

พ้ืนทีผ่ ิวขา้ งของพรี ะมดิ = พืน้ ท่ีผิว – พ้ืนทฐ่ี าน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 255

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เก่ียวกับปริมาตรและพ้ืนที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

ในการแกป้ ญั หา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดงั น้ี

ขอ้ 1) คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมีเกณฑ์การให้คะแนน ดังน้ี

✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถว้ น และหาคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได้ 3 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ ครบถว้ น แต่หาค�ำ ตอบไม่ถูกต้อง

หรือเขยี นแสดงแนวคดิ บางส่วน แตห่ าค�ำ ตอบถกู ต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิดบางสว่ น แต่หาคำ�ตอบไม่ถกู ต้อง

หรือไม่เขียนแสดงแนวคดิ แต่หาค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมเ่ ขียน ได ้ 0 คะแนน

ข้อ 2) คะแนนเตม็ 2 คะแนน โดยมเี กณฑ์การใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ เขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบถูกต้อง ได ้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคิดถูกตอ้ ง แตห่ าค�ำ ตอบไม่ถูกต้อง

หรือไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไม่เขยี น ได ้ 0 คะแนน

6. ตม้ั ใชข้ ันน�ำ้ ครง่ึ ทรงกลมท่มี รี ัศมียาว 3 นิ้ว ตกั น้ำ�ใสล่ งในภาชนะ 2 แบบ ดังน้ี
✤ แบบท่ี 1 ภาชนะรูปกรวยทม่ี รี ัศมีของฐานเท่ากับรศั มขี องขันนำ้� แตส่ ูงเปน็ สองเท่าของรัศมีของขนั น�้ำ นี้
✤ แบบท่ี 2 ภาชนะรปู พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ทม่ี ฐี านยาวดา้ นละ 6 นว้ิ และสงู เปน็ สเ่ี ทา่ ของรศั มขี องขนั น�ำ้ น้ี
จงหาจ�ำ นวนครง้ั ทน่ี ้อยทีส่ ดุ ที่ใชข้ ันนีต้ ักน้�ำ ใสภ่ าชนะแตล่ ะแบบจนเตม็ ภาชนะ พรอ้ มท้ังแสดงวธิ ีคดิ (6 คะแนน)

แนวคิด เน่ืองจาก ความจขุ องขนั ครงึ่ ทรงกลม = –12 × 4–3πr3

= –23πr3 ลกู บาศกน์ ิว้

พจิ ารณาภาชนะแบบที่ 1 ภาชนะรปู กรวยท่ีมรี ศั มขี องฐานเทา่ กบั รศั มีของขันน้ำ� แตส่ ูงเป็นสองเท่า

ของรศั มีของขนั นำ้�นี้
แนวคิด 1 จำ�นวนคร้งั ในการตักน้ำ� =    ความจขุ องภาชนะรปู กรวย   
ความจุของขนั น�้ำ คร่งึ ทรงกลม

= 1–3π2–3rπ2(r23r)

= 1 คร้ัง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

256 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

แนวคิด 2 เนอ่ื งจาก ภาชนะรูปกรวยมีรศั มีของฐานเทา่ กบั รัศมีของขันครง่ึ ทรงกลม และมีความสูง

เป็นสองเท่าของรัศมีของขันครง่ึ ทรงกลม

ดังนน้ั ความจขุ องขนั น�ำ้ และความจขุ องภาชนะรปู กรวย ตา่ งกเ็ ปน็ หนง่ึ ในสามของความจขุ อง

ทรงกระบอกทมี่ ีพืน้ ท่ฐี านและความสูงเทา่ กบั ภาชนะรูปกรวย

จะได้ว่า ความจุของขันนำ�้ เท่ากับความจุของภาชนะรูปกรวย

น่นั คือ ตั้มใชข้ ันน้ำ�ตกั น้ำ�เทใส่ภาชนะแบบท่ี 1 เพยี ง 1 คร้ัง จะเต็มพอดี

พจิ ารณาภาชนะแบบที่ 2 ภาชนะรูปพรี ะมดิ ฐานส่เี หลย่ี มจัตรุ สั ทีม่ ฐี านยาวด้านละ 6 น้ิว และสูงเป็น

สี่เทา่ ของรศั มขี องขนั น�ำ้ นี้

จะได้ พรี ะมิดฐานนี้สูง 4(3) = 12 น้วิ

จ�ำ นวนคร้ังในการตักน�้ำ = ความจขุ องภาชนะรปู พรี ะมิดฐานส่ีเหลี่ยมจัตุรัส
ความจุของขนั นำ�้ ครึ่งทรงกลม

≈ 2–3–13(3(6.1)24(1)(23))3
≈ 2.55


ดังนัน้ ตมั้ ใชข้ นั น�ำ้ ตักน�้ำ เทใสภ่ าชนะแบบท่ี 2 จ�ำ นวน 3 คร้ัง จึงจะเต็มพอดี

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

ในการแกป้ ัญหา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 6 คะแนน ภาชนะแบบละ 3 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารให้คะแนน ดงั นี้

✤ เขียนแสดงแนวคดิ ครบถ้วน และหาคำ�ตอบถกู ต้อง ได ้ 3 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคดิ ครบถว้ น แต่หาค�ำ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง

หรือเขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่หาค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคิดบางสว่ น แตห่ าค�ำ ตอบไมถ่ กู ต้อง

หรือไมเ่ ขียนแสดงแนวคิด แตห่ าค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไม่เขียนแสดงแนวคิดและหาคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไมเ่ ขยี น ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 257

7. พรี ะมดิ ปรกติฐานส่เี หลย่ี ม มีผวิ ข้างเป็นรูปสามเหล่ยี มดา้ นเทา่ และฐานยาวด้านละ 12 เซนตเิ มตร พีระมดิ นีม้ พี ้นื ท่ผี วิ

เทา่ ใด (3 คะแนน)

แนวคดิ จากโจทย์ พรี ะมิดนี้มีผวิ ข้างเป็นรปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ และฐานยาวดา้ นละ 12 เซนติเมตร ดังรปู

E

12

D 12 C

6F 6
B
A

พิจารณารูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก CEF ทม่ี ีมุม F เปน็ มุมฉาก

จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้

EF2 = EC2 – FC2

= 122 – 62

= 108

ดังน้นั EF = 6√3

นัน่ คือ รูปสามเหลี่ยมด้านเทา่ มีความสูง 6√3 เซนตเิ มตร

จาก พนื้ ท่ผี ิวของพีระมดิ = พน้ื ท่ฐี าน + พ้นื ทีผ่ วิ ขา้ ง

( ) จะได้ พ้ืนที่ผวิ ของพรี ะมิด = (12 × 12) + 4 –12 × 12 × 6√3
= 144 + 144√3

= 144(1 + √3) ตารางเซนติเมตร

ดงั นนั้ พีระมิดน้ีมีพน้ื ทผี่ วิ เท่ากบั 144(1 + √3) ตารางเซนติเมตร

หมายเหต ุ ในการหาพ้นื ทผี่ ิวข้าง นกั เรยี นอาจใช้ความรูเ้ รื่องพื้นที่ของรปู สามเหลย่ี มด้านเท่า ได ้ 3 คะแนน
จากสตู ร พ้นื ทข่ี องรูปสามเหลีย่ มด้านเท่า =  √  43    × ความยาวของดา้ น2
ได้ 2 คะแนน
ความสอดคล้องกับจดุ ประสงค์ของบทเรียน
ขอ้ 1 นักเรียนสามารถหาปรมิ าตรและพ้ืนท่ีผิวของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ได้ 1 คะแนน
เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การให้คะแนน ดังน้ี ได ้ 0 คะแนน
✤ เขียนแสดงแนวคดิ ครบถว้ น และหาคำ�ตอบถูกต้อง
✤ เขียนแสดงแนวคดิ ครบถว้ น แตห่ าคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง
หรอื เขยี นแสดงแนวคิดบางส่วน แตห่ าค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่หาค�ำ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง
หรือไม่เขยี นแสดงแนวคดิ แต่หาค�ำ ตอบถูกตอ้ ง
✤ ไม่เขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไมเ่ ขยี น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

258 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

8. กล่องใส่การบูรเหลวมีลักษณะเป็นพีระมิดปรกติฐานส่ีเหล่ียมท่ีมีความยาวรอบฐานเท่ากับ 16 เซนติเมตร และผิวข้าง
เป็นรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่ ตอ้ งเทการบรู เหลวลงในกล่องก่ีลกู บาศก์เซนติเมตรจึงจะเต็มกลอ่ งน้พี อดี (3 คะแนน)

แนวคิด จากโจทย์ พีระมดิ ปรกตฐิ านสีเ่ หลย่ี ม คอื พีระมิดตรงฐานสเี่ หลย่ี มจัตรุ ัส และมีความยาวรอบฐานเทา่ กับ
16 เซนติเมตร
น่นั คือ แต่ละด้านยาว 4 เซนติเมตร และผิวขา้ งเป็นรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่
ดังนั้น สันของพีระมดิ ยาว 4 เซนตเิ มตร แสดงได้ดงั รปู

A

4

44
4

D4
BC

พิจารณารูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ACB ทมี่ ีมมุ C เป็นมุมฉาก จะได ้ BC เท่ากบั 2 เซนติเมตร

จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั จะได้

AC2 = AB2 – BC2

= 42 – 22

= 12
ดงั น้นั AC = 2√3

พิจารณารูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ADC ทีม่ มี ุม D เปน็ มุมฉาก จะได้ CD เท่ากับ 2 เซนตเิ มตร

จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้

AD2 = AC2 – CD2

= 12 – 4

= 8

ดงั นั้น AD = 2√2

นนั่ คอื กล่องพีระมิดมคี วามสูงเทา่ กบั 2√2 เซนติเมตร

เนอื่ งจาก การบูรเหลวที่จะเทลงในกลอ่ ง จะเทา่ กับปรมิ าตรของกล่องพรี ะมิด

จะได ้ การบรู เหลวท่ีจะเทลงในกล่อง = –13 × พืน้ ที่ฐานของพีระมิด × ความสงู ของพีระมดิ

= –13 × 42 × 2√2

= 3   2 3√   2  ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

ดังนั้น ต้อง เทการ บูรเหล วลงในกล่อง  3  2 3√   2  ลูกบาศก์เซนติเมตร จงึ จะเตม็ กล่องน้ีพอดี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 259

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เก่ียวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

ในการแก้ปัญหา

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมีเกณฑ์การใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ เขยี นแสดงแนวคดิ ครบถว้ น และหาค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 3 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถ้วน แต่หาคำ�ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง

หรือเขยี นแสดงแนวคดิ บางส่วน แต่หาคำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได ้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่หาคำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง

หรอื ไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าค�ำ ตอบถกู ต้อง ได ้ 1 คะแนน

✤ ไม่เขยี นแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไมเ่ ขยี น ได ้ 0 คะแนน

9. แผ่นเหล็กตันแผ่นหนึ่งกว้าง 20 เซนติเมตร ยาว 55 เซนติเมตร หนา 3 เซนติเมตร สามารถนำ�มาหลอม

ให้เป็นที่ทับกระดาษรูปกรวยท่ีมีรัศมีของฐานยาว 3 เซนติเมตร ได้ 25 อัน โดยแต่ละอันมีความสูงเท่ากัน

ถ้าต้องการออกแบบกล่องทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากสำ�หรับบรรจุที่ทับกระดาษรูปกรวยตันแต่ละอันเพ่ือส่งไปจำ�หน่าย

กลอ่ งทรงสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากนค้ี วรมขี นาดเทา่ ไร โดยความยาวฐานของกลอ่ งมากกวา่ ความยาวของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของ

( )ฐานกรวยและมคี วามสูงของกลอ่ งมากกวา่ ความสงู ของกรวย 1 เซนติเมตร ก�ำ หนด π ≈ 2—72 (3 คะแนน)

แนวคดิ พจิ ารณาปรมิ าตรของแผ่นเหล็กตนั กว้าง 20 เซนตเิ มตร ยาว 55 เซนติเมตร หนา 3 เซนติเมตร

จะได้ ปริมาตรของแผน่ เหล็กตนั เทา่ กับ 20 × 55 × 3 = 3,300 ลกู บาศก์เซนติเมตร

เน่อื งจาก นำ�แผน่ เหล็กตนั มาทำ�เป็นทท่ี ับกระดาษรปู กรวยทม่ี ีรศั มขี องฐานยาว 3 เซนติเมตร ได้ 25 อัน

จ ะได้ ปรมิ าตรของทีท่ บั กระดาษรปู กรวยแตล่ ะอัน = 3,23500 = 132 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
เน่อื งจาก ปริมาตรของกรวย 1 อัน = –13πr2h
เมอ่ื r แทนรศั มีของฐานของกรวย

และ h แทนความสงู ของกรวย

จะได้ 132 ≈ 1–3 × 2—72 × 32 × h
h ≈ 14

ดงั น้ัน ทที่ ับกระดาษรูปกรวยแต่ละอันจะมีรัศมขี องฐานยาว 3 เซนตเิ มตร และสูง 14 เซนติเมตร ดังรปู

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

260 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

14 ซม.

6 ซม.

เนอ่ื งจาก ต้องการท�ำ กลอ่ งทรงสเี่ หลีย่ มมุมฉากส�ำ หรับบรรจทุ ี่ทบั กระดาษรปู กรวยตนั นี้ ให้มีความยาว

ฐานของกลอ่ งมากกวา่ ความยาวของเสน้ ผา่ นศูนย์กลางของฐานของกรวย และมคี วามสงู

ของกล่องมากกวา่ ความสงู ของกรวย 1 เซนติเมตร

ดงั นน้ั กลอ่ งทรงสีเ่ หลย่ี มมมุ ฉากนตี้ อ้ งมฐี านเปน็ รูปสเ่ี หล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ 6 + 1 = 7 เซนตเิ มตร

และสูง 14 + 1 = 15 เซนตเิ มตร ดงั รปู

15 ซม.

7 ซม.

7 ซม.

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับปริมาตรและพ้ืนที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

ในการแกป้ ญั หา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 3 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารให้คะแนน ดังน้ี

✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถว้ น และหาคำ�ตอบถูกต้อง ได้ 3 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคดิ ครบถ้วน แต่หาคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง

หรือเขยี นแสดงแนวคดิ บางส่วน แตห่ าค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิดบางสว่ น แต่หาค�ำ ตอบไม่ถกู ต้อง

หรอื ไมเ่ ขียนแสดงแนวคิด แตห่ าคำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคิดและหาคำ�ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไม่เขยี น ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 261

10. ครอบครัวของนำ้�ต้องการฉลองวันเกิดให้กับน้องเหนือ โดยพ่ีน้ำ�อาสา
ทำ�หมวกให้ทุกคนในครอบครัว พี่น้ำ�จึงวัดความยาวรอบศีรษะของทุกคน
ซงึ่ ไดข้ ้อมูลมาดงั ตาราง

ช่ือ นอ้ งเหนอื พน่ี ำ้� แม่นุน่ พ่อนนท์
ความยาวรอบศีรษะ (ซม.) 35 42 49 56

พนี่ ้�ำ ทำ�หมวกจากกระดาษเหลอื ใชท้ มี่ ีขนาดดังรูป

20 ซม. 20 ซม.

พน่ี �ำ้ ท�ำ หมวกให้ทุกคน โดยตัดกระดาษตามแนวรศั มี แล้วนำ�มาประกอบเปน็ กรวย จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนีพ้ รอ้ มแสดง

( ) แนวคดิ ก�ำ หนด π ≈ 2—72

1) กระดาษท่นี ำ�มาใช้ท�ำ หมวกสำ�หรบั ทุกคน เพยี งพอหรือไม ่ ถ้าเพียงพอ จะเหลอื กระดาษท่มี พี น้ื ท่ปี ระมาณ

เท่าไร แต่ถ้าไมเ่ พียงพอจะขาดกระดาษที่มพี ืน้ ท่ีประมาณเทา่ ไร (3 คะแนน)

แนวคดิ 1 พจิ ารณาจากพืน้ ที่ผวิ ขา้ ง

กระดาษที่ใชท้ �ำ หมวกของนอ้ งเหนือ มีความยาวของสว่ นโค้งของวงกลม 35 เซนติเมตร

ให้ r แทนรัศมขี องฐานของกรวย ซ่ึงเป็นหมวกน้องเหนือ

จะได ้ 2πr = 35

20 ซ ม. r = 32—5π
ดงั นนั้ รัศมีของฐานหมวกของน้องเหนือยาว 32—5π เซนติเมตร
ในทำ�นองเดียวกัน จะได้ รศั มขี องฐานของหมวกของแต่ละคนในบา้ น เปน็ ดังน้ี

r

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

262 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม ค่มู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ชือ่ น้องเหนือ พ่ีน้ำ� แม่นนุ่ พ่อนนท์
ความยาวรอบศรี ษะ (ซม.) 35 42 49 56
รศั มีของฐานของหมวก 23—π5 2—π1 24—π9 2—π8
โดยประมาณ (ซม.)

จากสตู ร พน้ื ท่ผี วิ ข้างของกรวย = πr เมอ่ื แทนส่วนสูงเอยี งของกรวย
จะได้ พื้นที่ผิวขา้ งของหมวกของนอ้ งเหนือ = π × 32—5π × 20
= 350 ตารางเซนตเิ มตร

ในทำ�นองเดียวกัน จะได้ พน้ื ทีผ่ ิวข้างของหมวกของแต่ละคนในบา้ น เปน็ ดงั น้ี


ชือ่ นอ้ งเหนือ พ่ีน้ำ� แมน่ นุ่ พอ่ นนท์
35 42 49 56
ความยาวรอบศรี ษะ (ซม.) 23—π5 2—π1 24—π9 2—π8
รศั มขี องฐานของหมวก
โดยประมาณ (ซม.) 350 420 490 560
พ้นื ท่ผี ิวข้างของหมวก
โดยประมาณ (ตร.ซม.)

เนอื่ งจาก กระดาษแตล่ ะแผน่ มีพ้ืนที่ = 3–4πr2

= 3–4 × 2—72 × 202

≈ 942.86 ตารางเซนตเิ มตร

ดงั นั้น หมวกของพอ่ นนทจ์ ะต้องใช้กระดาษแผ่นเดยี วกับนอ้ งเหนือ

คิดเปน็ พืน้ ท ่ี 560 + 350 = 910 ตารางเซนตเิ มตร

(หมวกของพ่อนนท์ ไม่สามารถใชก้ ระดาษแผน่ เดียวกับพี่นำ้�หรอื แม่นนุ่ ได้ เพราะผลบวกของ

พ้นื ทผี่ วิ ขา้ งของหมวกของทั้งสองคนเกนิ กระดาษท่ีมี)

และกระดาษอีกแผน่ หนึง่ ใช้ท�ำ หมวกใหแ้ มน่ นุ่ และพีน่ �ำ้ คดิ เปน็ พื้นที ่ 490 + 420

= 910 ตารางเซนตเิ มตร

ดังน้ัน กระดาษท่เี หลอื มีพนื้ ทป่ี ระมาณ 2(942.86 – 910) = 65.72 ตารางเซนตเิ มตร

นั่นคือ กระดาษท่ีน�ำ มาใช้ท�ำ หมวกเพยี งพอส�ำ หรับทุกคน และเหลือกระดาษทีม่ ีพื้นที่

65.72 ตารางเซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 263

แนวคดิ 2 เปรยี บเทียบความยาวรอบศรี ษะกับความยาวของเส้นรอบวงของกระดาษ
ความยาวของเส้นรอบวงของกระดาษแต่ละแผ่น = 3–4(2πr) เมื่อ r แทนรศั มขี องวงกลม


≈ –34 × 2 × 2—72 × 20
≈ 94.29 เซนติเมตร


ถา้ หมวกของพอ่ นนทก์ บั นอ้ งเหนอื ใชก้ ระดาษแผน่ เดยี วกนั จะสามารถใชก้ ระดาษสใี ดสหี นง่ึ หมดพอดี

เพราะความยาวรอบศรี ษะของทัง้ สองคน รวมกันได ้ 56 + 35 = 91 เซนติเมตร

(หมวกของพ่อนนท์ ไมส่ ามารถใช้กระดาษแผน่ เดียวกบั พีน่ ำ�้ หรอื แม่นุ่นได้ เพราะผลบวกของ

ความยาวรอบศีรษะของท้ังสองคนเกินกระดาษทีม่ )ี

และกระดาษอกี สีหน่ึงท�ำ หมวกให้แม่น่นุ กบั พ่นี �ำ้ ได้

เนีือ่ งจาก ความยาวรอบศีรษะของทัง้ สองคน รวมกันได้ 49 + 42 = 91 เซนตเิ มตร

และเหลอื ความยาวของสว่ นโคง้ ของวงกลมอีกประมาณ 2(94.29 – 91) = 6.58 เซนตเิ มตร

เน่อื งจาก ความยาวเสน้ รอบวงของวงกลม = 2πr เมือ่ r แทนรศั มขี องวงกลม

= 2 × π × 20

= 40π เซนตเิ มตร

ด งั นั้น กระดาษส่วนท่เี หลอื มีพนื้ ท ี่ = 6.58 πr2
40π
6.58
= 40π π(20)2

= 65.8 ตารางเซนตเิ มตร

นัน่ คือ กระดาษที่นำ�มาใช้ทำ�หมวกเพียงพอสำ�หรับทุกคน และเหลือกระดาษท่ีมีพื้นท่ี

65.8 ตารางเซนตเิ มตร

2) ใครบ้างท่ไี ด้หมวกสเี ดยี วกนั (1 คะแนน)

พ่อนนท์ไดห้ มวกสเี ดยี วกันกับน้องเหนือ และแม่นุ่นได้หมวกสีเดียวกนั กับพนี่ ้ำ�

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

264 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เก่ียวกับปริมาตรและพ้ืนท่ีผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

ในการแกป้ ัญหา

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดงั นี้

ข้อ 1) คะแนนเตม็ 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การให้คะแนน ดงั น้ี

✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถว้ น และหาค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 3 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถว้ น แต่หาคำ�ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง

หรือเขียนแสดงแนวคิดบางส่วน แต่หาค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิดบางสว่ น แตห่ าค�ำ ตอบไม่ถกู ต้อง

หรือไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ แตห่ าคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

✤ ไม่เขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไมเ่ ขียน ได้ 0 คะแนน

ขอ้ 2) คะแนนเตม็ 1 คะแนน โดยมเี กณฑ์การใหค้ ะแนน ดังน้ี

✤ สรุปคำ�ตอบได้ถกู ตอ้ ง ได ้ 1 คะแนน

✤ สรุปคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไมส่ รปุ ได ้ 0 คะแนน

11. แบมต้องการหล่อเทียนลงในแบบหล่อเทียนท่ีมีลักษณะเป็นพีระมิด ฐานภายในเป็นรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ

12 เซนตเิ มตร สูงภายใน 8 เซนตเิ มตร ในการหลอ่ เทียนครัง้ น้ี จะใชเ้ ทยี นมาผสม 2 สี และเทยี นแตล่ ะเลม่ จะต้องใช้

เทียนแต่ละสปี ริมาตรเท่ากัน ถา้ แบมเทเทียนสแี รกลงไปในแบบหล่อเทียนใหส้ งู จากยอด 5 เซนติเมตร อยากทราบว่า

แบมจะไดเ้ ทยี นตามทตี่ อ้ งการหรอื ไม ่ ถา้ ไมไ่ ด้ จงหาวา่ แบมจะตอ้ งเทเทยี นสแี รกสงู ประมาณเทา่ ใด จงึ จะท�ำ ใหป้ รมิ าตร

ของเทียนแต่ละสเี ท่ากัน (กำ�หนด √3 4 ≈ 1.6 และ √3 2 ≈ 1.25) (7 คะแนน)

แนวคดิ

A 12 A6 B
B x
E
D 8

8 h

CC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 265

เนอ่ื งจาก แบบหลอ่ เทยี นมลี กั ษณะเปน็ พรี ะมดิ ทม่ี ฐี านภายในเปน็ รปู สเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ยาวดา้ นละ 12 เซนตเิ มตร

สงู ภายใน 8 เซนติเมตร

จะได ้ ความจุของแบบหลอ่ เทยี น = 1–3 × พืน้ ทฐ่ี านของพรี ะมิด × ความสงู ของพีระมิด

= 1–3 × 122 × 8

= 384 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ดงั น้ัน ปรมิ าตรของเทียนแตล่ ะสที ่ตี ้องใช้ = 3824 = 192 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

พิจารณา ∆ABC และ ∆DEC

ให้ h แทนความสูงของเทียนสแี รกท่ีเทลงในแบบหลอ่ เทียน

และ x แทนคร่งึ หน่ึงของความยาวของฐานของพรี ะมิดที่ได้จากการเทเทยี นสีแรก

เนอ่ื งจาก ∆ABC ~ ∆DEC

จะได ้ –6x = –h8

x = 43–h 1

เนื่องจาก ปรมิ าตรของเทยี นสแี รก = 1–3 × พน้ื ท่ฐี านของพรี ะมิด × ความสูงของพีระมิด

จะได้ 192 = –13 × (2x)2 × h 2

แทน x ดว้ ย –34h ในสมการ 2 จะได้
( )192 = 1–3 × 2 × –34h 2 × h


192 = –34h3
h3 = 256

h = 4 × √3 4

≈ 4 × 1.6

≈ 6.4

ดังนนั้ เทียนสแี รกสูงประมาณ 6.4 เซนตเิ มตร

ถา้ แบมเทเทยี นสแี รกลงไปในแบบหลอ่ เทยี นใหส้ งู จากยอด 5 เซนตเิ มตร จะไมส่ ามารถไดเ้ ทยี นตามทตี่ อ้ งการ

นน่ั คอื แบมจะต้องเทเทยี นสแี รกสงู ประมาณ 6.4 เซนตเิ มตร จึงจะทำ�ให้ปรมิ าตรของเทียนแต่ละสเี ท่ากนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

266 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

ในการแก้ปัญหา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 7 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดงั นี้

ส่วนที่ 1 การหาปรมิ าตรของเทยี นแต่ละสี

✤ เขียนแสดงแนวคิด และหาคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ ถกู ตอ้ ง แตห่ าค�ำ ตอบไมถ่ ูกต้อง

หรือไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าคำ�ตอบถกู ต้อง ได ้ 1 คะแนน

✤ ไม่เขียนแสดงแนวคดิ และหาค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไม่เขยี น ได ้ 0 คะแนน

สว่ นที่ 2 การหาความสูงของเทียนสีแรก

✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถ้วน และหาคำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได ้ 3 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถว้ น แต่หาคำ�ตอบไม่ถกู ต้อง

หรอื เขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่หาค�ำ ตอบถกู ต้อง ได ้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิดบางส่วน แตห่ าค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง

หรอื ไม่เขยี นแสดงแนวคิด แต่หาคำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไม่เขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่เขยี น ได ้ 0 คะแนน

ส่วนที่ 3 การสรุปคำ�ตอบ

✤ สรุปค�ำ ตอบถูกตอ้ งครบถ้วน ได ้ 2 คะแนน

✤ สรปุ คำ�ตอบถูกต้องบางสว่ น ได ้ 1 คะแนน

✤ สรปุ คำ�ตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่สรุป ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเปน็ 267

บทท่ี 4 ความน่าจะเปน็

ในบทความนา่ จะเป็นนี้ ประกอบด้วยหัวขอ้ ยอ่ ย ดังตอ่ ไปน้ี

4.1 โอกาสของเหตกุ ารณ์ 2 ช่วั โมง
4.2 ความน่าจะเปน็ 6 ช่วั โมง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระท่ี 3 สถติ ิและความนา่ จะเปน็

มาตรฐาน ค 3.2 เขา้ ใจหลกั การนับเบ้อื งตน้ ความนา่ จะเป็น และนำ�ไปใช้

ตัวชี้วดั

เขา้ ใจเกย่ี วกบั การทดลองสุม่ และน�ำ ผลทไี่ ด้ไปหาความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์

จุดประสงคข์ องบทเรียน

นักเรียนสามารถ
1. บอกได้วา่ เหตุการณ์ทีก่ �ำ หนดใหม้ โี อกาสเกดิ ข้ึนมากหรอื นอ้ ย
2. หาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่กี ำ�หนดให้
3. น�ำ ความรู้เก่ยี วกับความนา่ จะเป็นไปใช้ในการแกป้ ัญหา

ความเช่อื มโยงระหวา่ งตวั ชวี้ ัดกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

เน่ืองจากตัวช้ีวัดน้ี กล่าวถึงการเข้าใจเกี่ยวกับการทดลองสุ่มและนำ�ผลที่ได้ไปหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
ดงั น้ัน เพ่อื ใหก้ ารเรยี นรู้ของนกั เรียนในเรื่องความนา่ จะเป็นสอดคล้องกบั ตัวชวี้ ัด ครูควรจัดประสบการณใ์ หน้ กั เรียนสามารถ
1. เข้าใจเก่ียวกับการทดลองสุ่ม สะท้อนได้จากการที่นักเรียนสามารถบอก อธิบาย หรือเปรียบเทียบโอกาส

การเกิดข้ึนของเหตุการณ์ท่ีกำ�หนดให้ รวมท้งั สามารถอธิบายเก่ยี วกับการทดลองสุ่ม และระบุผลลัพธ์ท่ไี ด้จาก
การทดลองสมุ่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

268 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเปน็ คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2. นำ�ผลที่ได้จากการทดลองสุ่มไปใช้ในการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ สะท้อนได้จากการท่ีนักเรียนสามารถ
น�ำ ความรคู้ วามเขา้ ใจเกย่ี วกบั การทดลองสมุ่ ไปใชใ้ นการหาผลลพั ธท์ ง้ั หมดทเ่ี กดิ จากการทดลองสมุ่ การหาผลลพั ธข์ อง
เหตกุ ารณท์ ส่ี นใจ และการหาคา่ ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ รวมถงึ น�ำ ความรเู้ กย่ี วกบั การหาความนา่ จะเปน็ ไปใช้
ในการแกป้ ญั หา

ความคดิ รวบยอดของบทเรยี น

ความนา่ จะเปน็ เปน็ จ�ำ นวนทใ่ี ชเ้ พอื่ บอกโอกาสทเี่ หตกุ ารณห์ นงึ่ ๆ จะเกดิ ขน้ึ ซงึ่ มี 3 ลกั ษณะ คอื ไมเ่ กดิ ขน้ึ อยา่ งแนน่ อน
จะมคี า่ ความนา่ จะเปน็ เท่ากบั 0 อาจจะเกิดขน้ึ หรอื ไมก่ ไ็ ด้ จะมคี า่ ความนา่ จะเปน็ อยู่ระหวา่ ง 0 กับ 1 และเกิดขึ้นอย่างแนน่ อน
จะมีค่าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 ทั้งนี้ ในการบอกค่าความน่าจะเป็นอาจเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน ทศนิยม หรือร้อยละ
เราสามารถใชค้ วามนา่ จะเป็นชว่ ยในการคาดการณ์ สรา้ งขอ้ สรุป และตัดสินใจแก้ปัญหา

ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

ทกั ษะและกระบวนการ 4.1 4.2 กิจกรรมท้ายบท/
ทางคณติ ศาสตร์ โอกาสของเหตกุ ารณ์ ความนา่ จะเปน็ แบบฝกึ หัดทา้ ยบท

การแก้ปญั หา ✤ ✤ ✤
✤
การสอ่ื สารและการสือ่ ความหมาย ✤
ทางคณติ ศาสตร์ ✤

การเช่อื มโยง

การใหเ้ หตุผล ✤

การคดิ สรา้ งสรรค์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความน่าจะเปน็ 269

ความเช่อื มโยงของความรู้

ความรพู น้ื ฐาน ✤ การใช้เศษสว่ นในการสือ่ ความหมายและเปรียบเทียบเศษสว่ น เพ่ือเปน็
พนื้ ฐานในการเรยี นรคู้ วามหมายของความนา่ จะเปน็ และเปรยี บเทยี บคา่
ของความน่าจะเปน็

✤ การเขยี นเศษสว่ นใหอ้ ยใู่ นรปู เปอรเ์ ซน็ ต์ เพอ่ื ใชใ้ นการสอื่ ความหมายของ
คา่ ความน่าจะเป็นในหลากหลายรปู แบบ

✤ โอกาสท่ีเหตุการณ์หน่ึง ๆ จะเกดิ ขน้ึ นัน้ เปน็ ไปได้ 3 ลกั ษณะ คือ เกดิ ขน้ึ

อย่างแน่นอน หรือ อาจจะเกิดข้ึนหรือไม่ก็ได้ หรือ ไม่เกิดข้ึนอย่าง

แน่นอน อยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ เพียงอยา่ งเดยี ว

✤ การกระทำ�ทไ่ี มส่ ามารถบอกล่วงหน้าไดแ้ น่นอนวา่ ผลลัพธท์ เ่ี กดิ ขน้ึ จาก

การกระท�ำ จะเปน็ อะไร แตส่ ามารถบอกไดว้ า่ มผี ลลพั ธอ์ ะไรบา้ งทเ่ี กดิ ขน้ึ ได้

ความรู เรยี กว่า การทดลองส่มุ
ในบทเรยี น
✤ เหตุการณ์ คือ สิ่งท่ีสนใจจะพิจารณาจากการทดลองสุ่ม และผลลัพธ์

ทั้งหมดของสิ่งท่ีสนใจที่เกิดข้ึนจากการทดลองสุ่ม เรียกว่า ผลลัพธ์ของ

เหตุการณ์

✤ ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ หาไดจ้ าก

ควา มน า่ จะ เปน็ ของเหตกุ ารณ์ =         จำ�นวนผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์       
จ�ำ นวนผลลพั ธท์ ง้ั หมดทเ่ี กดิ ขน้ึ จากการทดลองสมุ่

เม่ือผลลัพธ์แต่ละแบบท่ีเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่ม มีโอกาสเกิดขึ้น

ไดเ้ ท่า ๆ กนั

✤ ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณห์ นงึ่ ๆ จะเปน็ จ�ำ นวนทมี่ ากกวา่ หรอื เทา่ กบั

0 แตไ่ ม่เกนิ 1

ความรูใ นอนาคต การหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์จากการทดลองสุ่มหน่ึง ๆ เป็นความรู้
พ้ืนฐานในการเรียนเรื่องหลักการนับ ซ่ึงเป็นการหาผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่
มีเง่ือนไขมากข้ึน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

270 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น คมู่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ลำ�ดับการจดั กจิ กรรมการเรียนร้ขู องบทเรียน

อภปิ รายเกี่ยวกบั เหตุการณ์ในชีวติ จรงิ ทม่ี โี อกาสเกดิ ขึ้นได้แตกต่างกัน
เพือ่ ใหเ้ ข้าใจเก่ียวกบั โอกาสของเหตกุ ารณ์

แนะน�ำ ความหมายเก่ยี วกับการทดลองสุม่
โดยใชส้ ถานการณ์ทแี่ สดงถงึ การกระท�ำ ตา่ ง ๆ ท่หี ลากหลาย

อภิปรายเก่ยี วกับผลลพั ธข์ องการทดลองสุ่ม
รวมถงึ การหาผลลพั ธ์ทง้ั หมดท่ีเกิดขึน้ จากการทดลองสุ่ม โดยใช้วธิ กี ารตา่ ง ๆ

เช่น แผนภาพต้นไม้ ตาราง แผนภาพเชิงรูปภาพ กราฟของจดุ

แนะน�ำ ความหมายของเหตุการณ์และผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์
พร้อมทงั้ ฝึกการหาผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์

แนะน�ำ ความหมายของความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ โดยเชื่อมโยงกบั ความหมายของ
เศษส่วนทีเ่ คยทราบมาแลว้ เพ่ือนำ�ไปสกู่ ารสรุปสูตร

สรปุ บทเรียน และท�ำ กจิ กรรมท้ายบท รวมถงึ การท�ำ แบบฝกึ หัดทา้ ยบท
เพ่ือฝกึ การน�ำ ความรูไ้ ปใชใ้ นการแก้ปญั หา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความน่าจะเป็น 271

4.1 โอกาสของเหตุการณ์ (2 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นักเรียนสามารถบอก อธบิ าย หรอื เปรยี บเทยี บโอกาสการเกดิ ขน้ึ ของเหตกุ ารณท์ ก่ี �ำ หนดให้

ความเข้าใจทีค่ ลาดเคลอ่ื น

-

สอ่ื ท่ีแนะนำ�ใหใ้ ชใ้ นขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้

-

ขอ้ เสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

ในหัวข้อน้ี เป็นเรื่องโอกาสของเหตุการณ์ ซ่ึงเน้นให้นักเรียนได้วิเคราะห์สถานการณ์หรือเหตุการณ์ต่าง ๆ ในชีวิตจริง
ทสี่ ือ่ ความหมายเกยี่ วกบั โอกาสของเหตุการณ์ และใช้ความรสู้ ึกเชิงจำ�นวนในการอธบิ ายโอกาสการเกิดขน้ึ ของเหตุการณน์ ้ัน ๆ
รวมถึงใช้โอกาสของเหตกุ ารณ์ในการคาดการณ์ สรา้ งข้อสรุป และตัดสินใจอย่างสมเหตุสมผล ดังนน้ั ครูจึงควรฝกึ ให้นักเรียนได้
วิเคราะห์สถานการณ์หรือเหตกุ ารณท์ หี่ ลากหลาย และตา่ งบรบิ ทกัน เพอื่ ให้การเรียนรูข้ องนกั เรยี นเป็นไปอยา่ งมีประสิทธภิ าพ
แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรยี นร้อู าจท�ำ ไดด้ ังน้ี
1. ครูและนักเรียนสนทนาเกี่ยวกับข้อความ หรือคำ�พูดต่าง ๆ ในชีวิตจริงที่มีคำ�สำ�คัญซึ่งบ่งบอกถึงแนวโน้ม

หรือโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น ๆ ขึ้น ว่ามีมากหรือน้อยเพียงใด เพ่ือนำ�ไปสู่การอภิปรายถึงความหมายของ
โอกาสของเหตุการณ์ รวมถงึ ความเขา้ ใจเก่ยี วกบั โอกาสของเหตกุ ารณ์ท่เี กดิ ข้นึ อยา่ งแนน่ อน หรือ อาจจะเกดิ ขน้ึ
หรอื ไมก่ ไ็ ด้ หรอื ไมเ่ กดิ ขน้ึ อยา่ งแนน่ อน โดยใชส้ ถานการณก์ ารไขตลู้ กู อมและขอ้ ค�ำ ถามจากตารางในหนงั สอื เรยี น
หน้า 168 ประกอบ

ตู้ท่ี 1 มีลกู อม 30 เมด็ ตูท้ ่ี 2 มลี ูกอม 50 เมด็ ต้ทู ี่ 3 มีลกู อม 40 เมด็
เปน็ สีฟ้าท้ังหมด เป็นสีแดงท้งั หมด เปน็ สีฟา้ 25 เมด็ และสแี ดง 15 เมด็

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

272 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

โอกาสการเกดิ ขึน้ ของเหตุการณ์ในแตล่ ะขอ้ เปน็ ดังน้ี

ข้อที่ เหตกุ ารณ์ โอกาสของเหตกุ ารณ์
เกดิ ขึน้ อาจจะเกดิ ขน้ึ ไม่เกิดขน้ึ
1 ป๋องไขไดล้ ูกอมสฟี ้าจากตู้ท่ี 1 อย่างแนน่ อน หรือไมก่ ็ได้ อยา่ งแน่นอน
2 พลอยไขไดล้ กู อมสขี าวจากตู้ที่ 2
3 ผงิ ไขได้ลูกอมสีแดงจากตทู้ ่ี 3 
4 ฮอมไขได้ลูกอมสีแดงจากตู้ที่ 1 
5 หวานไขไดล้ ูกอมสีแดงจากต้ทู ่ี 2
6 ปรางไขได้ลกู อมสฟี า้ จากตู้ที่ 3 
7 ปงุ้ ไขได้ลกู อมสีเขียวจากตูท้ ่ี 3 





จากตาราง ครูควรช้ีให้นักเรียนเห็นว่าโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่ง ๆ จะเกิดข้ึน เป็นไปได้ 3 ลักษณะ คือ
เกิดขึ้นอย่างแน่นอน หรือ อาจจะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ หรือ ไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน อย่างใดอย่างหน่ึงเพียง
อยา่ งเดียวเท่าน้ัน

2. ครูควรให้นักเรียนได้ฝึกนำ�ความรู้เร่ืองโอกาสของเหตุการณ์มาใช้ในการคาดการณ์ สร้างข้อสรุป และตัดสินใจ
จากข้อมูลหรือสถานการณ์ท่ีมีความเหมาะสม เช่น ชวนคิด 4.1 ในหนังสือเรียน หน้า 168 ข้อมูลเก่ียวกับ
ขยะทะเลในหนังสอื เรียน หนา้ 169–170 หรือแบบฝกึ หดั 4.1 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 170–172

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น 273

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 4.1

1. ตู้ท่ี 1
ipst .me /114 38 2. ตูท้ ี่ 1 ไดล้ กู อมสฟี ้าท้งั สามเมด็
ตทู้ ี่ 2 ได้ลูกอมสีแดงทั้งสามเมด็
ตู้ที่ 3 ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย ไดแ้ ก่
✤ ได้ลกู อมสีฟา้ ทง้ั สามเม็ด
✤ ได้ลกู อมสีฟ้า 2 เม็ด สแี ดง 1 เมด็
✤ ได้ลกู อมสีฟ้า 1 เม็ด สแี ดง 2 เม็ด
✤ ได้ลูกอมสแี ดงท้ังสามเม็ด

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝกึ หดั 4.1

สถานการณ์ที่ 1
1) ไม่ใช่ เพราะในกล่องทบึ มีลูกปงิ ปองสเี หลอื งและสีชมพอู ยดู่ ้วย
ดังนั้น ดาวดุ จึงมโี อกาสหยิบได้ลูกปิงปองสเี หลือง หรอื สชี มพู หรอื สีขาว อย่างใดอย่างหนง่ึ
2) ไม่ใช่ เพราะในกล่องทึบมลี กู ปงิ ปองสีชมพนู ้อยกว่าลูกปิงปองสีเหลือง
ดงั น้ัน ดาวุดจึงมโี อกาสหยบิ ไดล้ กู ปงิ ปองสีเหลอื งมากกว่าสชี มพู
3) ไมใ่ ช ่ เพราะในกล่องทบึ ไม่มีลูกปิงปองสีเขียว
ดงั นนั้ ดาวุดจงึ ไมม่ โี อกาสหยิบได้ลกู ปงิ ปองสเี ขยี วอยา่ งแน่นอน
4) ไม่ใช่ เพราะในกลอ่ งทบึ มลี ูกปิงปองสชี มพอู ยู่ดว้ ย
ดงั นนั้ ดาวุดจงึ ยังมีโอกาสหยิบได้ลกู ปิงปองสชี มพู
5) สีเหลอื ง เพราะในกลอ่ งทบึ มีลูกปงิ ปองสีเหลอื งอยมู่ ากท่สี ดุ

สถานการณท์ ี่ 2
1) ไมใ่ ช่ เพราะบนหน้าลกู เตา๋ มีแต้ม 1 ถึง 6
ดังนน้ั คำ�ป้อจงึ มีโอกาสทอดลกู เตา๋ ไดแ้ ตม้ เป็นเทา่ ใดก็ได้ ตั้งแต่ 1 ถงึ 6
2) ใช่ เพราะบนหน้าลูกเต๋ามีแตม้ 1 ถึง 6 ไมม่ แี ตม้ 10
ดังนั้น คำ�ป้อจึงไมม่ ีโอกาสที่จะทอดลูกเตา๋ แล้วข้นึ แต้ม 10 อย่างแน่นอน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

274 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น คูม่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

3) ใช่ เพราะบนหนา้ ลกู เต๋ามีแต้ม 1 ถึง 6
ดงั นั้น คำ�ป้อจึงมโี อกาสทอดลูกเต๋า แลว้ ข้ึนแต้มใดแต้มหนงึ่ จากแตม้ 1 ถึง 6 อยา่ งแน่นอน

สถานการณ์ที่ 3
1) ไม่ใช ่ เพราะผแู้ ทนประเทศไทย มที ้งั ผู้ท่ีได้รบั เหรยี ญทอง เหรยี ญเงิน และเหรียญทองแดง
ดังนัน้ ผแู้ ทนทีส่ ุ่มชอ่ื ขนึ้ มานจี้ ึงมีโอกาสเปน็ ผู้ท่ีได้รับรางวัลใดกไ็ ด้
2) ใช ่ เพราะมผี ู้แทนประเทศไทยที่ได้รับเหรยี ญทองมากกว่าเหรียญทองแดง
ดังนั้น ผูแ้ ทนท่ีสมุ่ ชอ่ื ขึ้นมาน้ีจึงมีโอกาสเปน็ ผูท้ ไี่ ดร้ บั เหรียญทองมากกว่าเหรียญทองแดง
3) ไมใ่ ช ่ เพราะมีผแู้ ทนประเทศไทยทไ่ี ด้รบั เหรยี ญเงินมากกวา่ เหรยี ญทอง
ดังนัน้ ผแู้ ทนทส่ี มุ่ ชอื่ ขน้ึ มาน้ีจึงมีโอกาสเป็นผทู้ ไี่ ดร้ ับเหรียญเงินมากกวา่ เหรียญทอง

สถานการณท์ ่ี 4
1) กัมบี้จะมีโอกาสได้เค้กส้มมากกว่าเค้กช็อกโกแลต เพราะในขณะที่ร้านเค้กนุ่มแบ่งเค้กใส่กล่องนั้น จะมีเค้กส้ม

4 กล่อง มากกว่าเค้กชอ็ กโกแลต ซึ่งมี 3 กล่อง
2) อันนามีโอกาสท่ีจะหยิบได้เค้กส้มทั้งสองกล่อง เท่า ๆ กับ หยิบได้เค้กช็อกโกแลตท้ังสองกล่อง เพราะเม่ือกัมบี้

หยิบได้เคก้ สม้ ไปแล้ว 1 กล่อง ท�ำ ใหเ้ ค้กส้มและเค้กชอ็ กโกแลตต่างเหลืออยชู่ นิดละ 3 กล่อง
3) ไม่ใช ่ เพราะถ้าเค้กท่ีอันนาซ้ือไปเป็นเค้กชนิดเดียวกันท้ังสองกล่อง แสดงว่าท่ีร้านจะเหลือเค้กชนิดเดียวกับ

ท่อี ันนาซ้อื ไปอยอู่ กี 1 กลอ่ ง และเป็นเคก้ อกี ชนดิ หน่งึ 3 กล่อง
ดงั นัน้ นักเรียนอาจจะหยิบได้เคก้ ชนดิ เดยี วกนั ทั้งสองกล่อง หรอื ตา่ งชนดิ กนั กไ็ ด้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | ความน่าจะเป็น 275

4.2 ความน่าจะเปน็ (6 ชวั่ โมง)

จดุ ประสงค์

นักเรยี นสามารถ
1. ระบผุ ลลพั ธ์ทงั้ หมดทเี่ กิดข้ึนจากการทดลองสุ่ม และผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์
2. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
3. ใช้ความรเู้ กย่ี วกบั ความนา่ จะเปน็ ในการคาดการณ์ หาข้อสรปุ และแกป้ ัญหา

ความเข้าใจท่คี ลาดเคลือ่ น

-

สือ่ ทแี่ นะนำ�ให้ใช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

1. อุปกรณ์ของกิจกรรม : แต้มเดียวกนั ไหม
2. อุปกรณข์ องกิจกรรมเสนอแนะ 4.2 : หยิบจับลูกกวาดสี

ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเร่ืองความน่าจะเป็น ซึ่งเน้นให้นักเรียนได้เข้าใจเกี่ยวกับการทดลองสุ่ม สามารถเขียนแจกแจงผลลัพธ์
ทีเ่ กิดจากการทดลองสุ่มดว้ ยวิธีการท่ีหลากหลาย และเข้าใจเก่ยี วกบั เหตุการณท์ สี่ นใจ รวมทง้ั สามารถหาผลลัพธข์ องเหตุการณ์
เพื่อนำ�ไปสู่การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ รวมทั้งใช้ความรู้ดังกล่าวในการแก้ปัญหา เพ่ือให้การเรียนรู้ของนักเรียน
เป็นไปอย่างมีประสทิ ธิภาพ แนวทางการจัดกิจกรรมการเรยี นรูอ้ าจทำ�ไดด้ ังนี้
1. ครคู วรใหน้ กั เรยี นไดท้ �ำ ความเขา้ ใจเกย่ี วกบั การทดลองสมุ่ จากตวั อยา่ งสถานการณท์ ห่ี ลากหลาย ดงั เชน่ สถานการณ์

ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 174 และอาจใชช้ วนคดิ 4.2 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 175 เพอ่ื ตรวจสอบความเขา้ ใจเกย่ี วกบั
การทดลองสุ่ม จากนั้น แนะนำ�วิธีการแจกแจงผลลัพธ์ท่ีเกิดจากการทดลองสุ่ม ซ่ึงสามารถทำ�ได้หลายวิธี เช่น
แผนภาพตน้ ไม้ ตาราง แผนภาพเชิงรปู ภาพ หรือกราฟของจุด
ในการทดลองสุ่ม ครูควรช้ีให้นักเรียนเห็นว่าส่ิงของท่ีใช้ในการทดลองสุ่มแตกต่างกัน ดังน้ัน ผลลัพธ์
ท่ีเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มจะต้องพิจารณาอันดับของส่ิงของน้ันด้วย ดังบทสนทนาของข้าวกล้องกับข้าวป้ัน
ในหนงั สือเรียน หนา้ 177
นอกจากน้ี ในการสมุ่ หยบิ จะใหผ้ ลลพั ธเ์ ปลย่ี นแปลงไปตามลกั ษณะของการสมุ่ หยบิ เชน่ การสมุ่ หยบิ พร้อมกัน
การสมุ่ หยิบแล้วไมใ่ ส่คืน หรอื การสุ่มหยบิ แล้วใส่คนื ครจู งึ ควรเนน้ ย�้ำ ใหน้ ักเรียนพิจารณาอันดบั ของการสุม่ หยบิ
นนั้ ดว้ ย ทัง้ น้ี ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 4.2 : หยิบจบั ลกู กวาดสี” ในคมู่ อื ครู หน้า 278–279 เพอ่ื ใหน้ กั เรียน
เห็นภาพของการส่มุ หยบิ ในแต่ละลักษณะ รวมถึงผลของการสุ่มหยบิ นน้ั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

276 บทท่ี 4 | ความน่าจะเป็น คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

2. ครแู นะนำ�เกย่ี วกบั ส่งิ ทสี่ นใจจากการทดลองสุ่ม หรือท่ีเรียกวา่ “เหตกุ ารณ์” และฝึกให้นกั เรียนไดล้ องหาผลลพั ธ์
ของเหตุการณ์ โดยให้นักเรยี นสงั เกตว่า ผลลัพธ์ของเหตุการณอ์ าจเป็นส่วนหนึ่ง หรอื เทา่ กับผลลัพธท์ ง้ั หมดทีเ่ กดิ
ขน้ึ จากการทดลองสมุ่ ซ่ึงความรคู้ วามเข้าใจในเร่ืองนี้จะเปน็ พน้ื ฐานในการหาความนา่ จะเป็น

3. ในการสอนเรอ่ื งความนา่ จะเปน็ ครูควรใหน้ ักเรยี นไดเ้ ช่ือมโยงความรจู้ ากเรอื่ งความหมายของเศษสว่ น เพ่อื นำ�ไป
ส่กู ารอธิบายและแปลความหมายเกี่ยวกับความน่าจะเปน็ แล้วจึงเชอื่ มโยงไปสู่สตู รในการหาคา่ ความนา่ จะเป็น

สำ�หรับในชั้นน้ี นักเรียนจะเร่ิมเรียนความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สามารถหาผลลัพธ์ของการทดลองสุ่ม
ได้จากการแจงนับ และนักเรียนควรทราบว่าความน่าจะเป็นจะมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 รวมถึงความหมายของ
คา่ ความนา่ จะเป็น

4. สำ�หรับการสอนเก่ียวกับความน่าจะเป็นในทางทฤษฎีและความน่าจะเป็นในทางปฏิบัติ ครูควรใช้ “กิจกรรม :
แต้มเดียวกันไหม” ในหนังสือเรียน หน้า 195–196 เพ่ือแสดงให้นักเรียนเห็นว่า ในสถานการณ์จริงน้ัน
ความน่าจะเป็นท่ีเกิดข้ึนจากการทดลองสุ่มอาจไม่ตรงกับค่าความน่าจะเป็นที่คำ�นวณได้ตามทฤษฎี และควรช้ี
ใหน้ กั เรียนเห็นถงึ ปจั จัยทที่ ำ�ใหค้ า่ ดงั กลา่ วนน้ั ต่างกัน เช่น ความเที่ยงตรงของอปุ กรณ์ทน่ี �ำ มาใชใ้ นการทดลองสมุ่
หรือจำ�นวนครั้งในการทดลอง ซ่ึงย่ิงมีจำ�นวนคร้ังในการทดลองมากข้ึน ผลที่ได้จะใกล้เคียงกับความน่าจะเป็น
ในทางทฤษฎีมากขึ้น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น 277

กจิ กรรม : แต้มเดียวกันไหม

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ใหน้ ักเรียนไดท้ ดลองและเกบ็ ข้อมลู จริง แลว้ หาความนา่ จะเป็นในทางปฏิบัติ เพ่ือจะเชอื่ มโยง

ไปสู่การเปรียบเทียบกับความน่าจะเป็นในทางทฤษฎี และอภิปรายผลท่ีได้นั้น โดยมีส่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอนในการดำ�เนิน
กจิ กรรม ดังนี้

สือ่ /อุปกรณ์

ลูกเต๋าที่ต่างกัน 2 ลูก/คน (หากใช้ลูกเต๋าหมือนกัน ให้ทำ�สัญลักษณ์เพื่อให้เห็นความแตกต่างของลูกเต๋าท้ังสองลูก)
หรืออาจใชล้ กู เต๋าจำ�ลองจากไฟล์ GSP ในมุมเทคโนโลยี ในหนงั สือเรยี น หน้า 195

ขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม

1. ครูให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : แต้มเดียวกันไหม” ตามขั้นตอนในหนังสือเรียน หน้า 195–196 แล้วตอบคำ�ถาม
ท้ายกิจกรรม

2. ครูร่วมกันอภิปรายกับนักเรียนเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าหงายข้ึนแต้ม 6 พร้อมกันทั้งสองลูก
จากผลการทดลองของตนเองกับเพ่ือน ๆ ว่าเหมือนหรือต่างกันอย่างไร และเพราะเหตุใดผลการทดลองของนักเรยี น
แต่ละคนจึงตา่ งกนั

3. ครูให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายและเปรียบเทียบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าหงายข้ึนแต้ม 6 พร้อมกัน
ท้ังสองลูก ระหว่างความน่าจะเป็นท่ีได้จากผลการทดลองของตนเองกับความน่าจะเป็นที่ได้จากผลการทดลอง
ของนักเรียนทั้งหอ้ ง พรอ้ มท้ังชใ้ี หน้ ักเรียนเห็นว่า เมอ่ื จำ�นวนครง้ั ของการทดลองยิง่ มากขน้ึ ความน่าจะเป็นทไี่ ด้กจ็ ะ
ยิ่งใกลเ้ คียงกับความนา่ จะเปน็ ในทางทฤษฎี

เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกิจกรรม : แตม้ เดยี วกันไหม

1. 3—16
2. คำ�ตอบข้ึนอยกู่ ับผลจากการทอดลูกเต๋าของนกั เรียนแต่ละคน และของนักเรยี นทั้งหอ้ ง
3. คำ�ตอบข้ึนอยู่กับผลจากการทอดลูกเต๋า ซึ่งคำ�ตอบท่ีควรได้คือ ความน่าจะเป็นจากการทดลองของนักเรียนทั้งห้อง

มคี ่าใกลเ้ คยี งกบั ความนา่ จะเปน็ ในทางทฤษฎมี ากกว่าความน่าจะเป็นจากการทดลองของนักเรียนแตล่ ะคน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

278 บทที่ 4 | ความน่าจะเป็น คู่มือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

กจิ กรรมเสนอแนะ 4.2 : หยบิ จับลกู กวาดสี

กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ส่งเสริมความเข้าใจในเร่ืองของผลลัพธ์ทั้งหมดท่ีเกิดจากการสุ่มหยิบสิ่งของทั้งแบบหยิบ
แลว้ ใสค่ ืน หยบิ แล้วไมใ่ ส่คืน และหยบิ พรอ้ มกนั โดยมีสือ่ /อปุ กรณ์ และขั้นตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม ดังนี้

สื่อ/อุปกรณ์

1. ลกู อมตา่ งชนดิ จำ�นวน 3 ชนิด ชนดิ ละ 1 เมด็
2. ขวดโหลทบึ

ขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม

1. ครนู ำ�ลกู อมทเ่ี ตรยี มไว้ท้ังหมดใสล่ งในขวดโหลทบึ แล้วใหน้ ักเรยี นออกมาส่มุ หยิบลกู อมครัง้ ละ 1 เมด็ จำ�นวน 2 ครงั้
โดยหยิบแล้วใสค่ นื กอ่ นที่จะหยิบครงั้ ท่ี 2 จากน้นั บันทึกผลลงในตารางบนกระดาน (กำ�หนดให้ A, B และ C แทน
ลกู อมชนดิ ที่ 1, 2 และ 3 ตามล�ำ ดับ) ดังนี้

ลูกอมท่ีสุม่ หยบิ ได้

นกั เรยี น ครั้งท่ี 1 คร้งั ที่ 2 สรปุ ผลลัพธ์
คนท่ี

ABCABC

0 -- -- (B, B)

1

2

3
⋮

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น 279

2. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมตามขน้ั ตอนในขอ้ 1 โดยหยบิ ทลี ะเมด็ แลว้ ไมใ่ สค่ นื จากนนั้ บนั ทกึ ผลลงในตารางบนกระดาน
(ก�ำ หนดให้ A, B และ C แทนลูกอมชนดิ ที่ 1, 2 และ 3 ตามล�ำ ดับ) ดังน้ี

ลกู อมทส่ี ุม่ หยิบได้

นักเรียน ครง้ั ท่ี 1 ครง้ั ที่ 2 สรุปผลลพั ธ์
คนที่

ABCABC

0 - --- (C, B)
1
2
3
⋮

3. ครูให้นักเรียนทำ�กิจกรรมตามข้ันตอนในข้อ 1 โดยให้หยิบลูกอม 2 เม็ด พร้อมกัน จากนั้นบันทึกผลลงในตาราง
บนกระดาน (กำ�หนดให้ A, B และ C แทนลูกอมชนิดท่ี 1, 2 และ 3 ตามล�ำ ดบั ) ดังน้ี

นกั เรียน ลูกอมทส่ี มุ่ หยบิ ได้ สรุปผลลพั ธ์
คนท่ี ABC

0  -  A กบั C
1
2
3
⋮

4. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั อภปิ รายถงึ ความแตกตา่ งของผลทไ่ี ดจ้ ากการสมุ่ หยบิ ทง้ั สามลกั ษณะ ซงึ่ นกั เรยี นควรไดเ้ หน็ วา่
การสุ่มหยิบทั้งสามลักษณะน้ัน ให้ผลลัพธ์ท่ีแตกต่างกัน และการสุ่มหยิบพร้อมกันไม่จำ�เป็นต้องพิจารณาถึงอันดับ
ของผลลพั ธ์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

280 บทท่ี 4 | ความน่าจะเปน็ คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ชวนคดิ 4.2 เฉลยชวนคิด 3. ไม่เป็น
6. ไม่เป็น
1. เป็น 2. เปน็
5. เปน็
ipst.me/11439

4. ไม่เปน็

ชวนคดิ 4.3

ipst.me/11440 ผลลัพธ์ทอ่ี าจจะ
เกดิ ขึน้ จากการสุม่
ผลลัพธท์ ่อี าจจะ หยิบบัตรใบท่ี 2 ผลลัพธท์ ่อี าจจะ
เกดิ ข้ึนจากการสมุ่ เกดิ ขนึ้ จากการสุม่
หยบิ บัตรใบที่ 1 หยิบบัตร 2 ใบ

1 (A, 1)

A2 (A, 2)

3 (A, 3)

1 (B, 1)

B2 (B, 2)

3 (B, 3)

ชวนคิด 4.4

1. ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ท่ีหยิบบัตร 2 ใบ โดยหยิบทีละใบแบบใส่คืน แล้วผลบวกของหมายเลขบนบัตร

ipst.me/11441

ทั้งสองใบเทา่ กับ 5 คือ (1, 4) , (2, 3) , (3, 2) และ (4, 1)
2. ผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่หยิบบัตร 2 ใบ โดยหยิบทีละใบแบบใส่คืน แล้วผลบวกของหมายเลข

บนบัตรท้งั สองใบเทา่ กบั 6 คอื (2, 4) , (3, 3) และ (4, 2)
3. ผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์ท่ีหยิบบัตร 2 ใบ โดยหยิบทลี ะใบแบบไม่ใส่คนื แล้วผลบวกของหมายเลขบนบตั ร

ทง้ั สองใบเท่ากับ 6 คอื (2, 4) และ (4, 2)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความน่าจะเป็น 281

ชวนคดิ 4.5

(โคล่า, กาแฟ), (โคล่า, โกโก้), (โคล่า, มินต์), (กาแฟ, โคล่า), (กาแฟ, โกโก้), (กาแฟ, มินต์), (โกโก้, โคล่า),
ipst .me /114 42 (โกโก้, กาแฟ), (โกโก้, มินต์), (มินต์, โคล่า), (มินต์, กาแฟ) และ (มินต์, โกโก้)

ชวนคดิ 4.6

1. เหตุการณ์ท่ีลูกเต๋าหงายข้ึนแตม้ ค่ี มีผลลพั ธ์ 3 แบบ คือ 1, 3, 5 จากผลลพั ธท์ ้ังหมด 6 แบบ
ipst.me/11443
ดงั น้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ทีล่ ูกเต๋าหงายขน้ึ แต้มค่ี เทา่ กับ 3–6 หรอื 1–2

2. เหตกุ ารณท์ ล่ี กู เตา๋ หงายขน้ึ แตม้ ทม่ี ากกวา่ 4 มผี ลลพั ธ์ 2 แบบ คอื 5, 6 จากผลลพั ธท์ ง้ั หมด 6 แบบ
ดงั น้ัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ท่ีลกู เต๋าหงายขึน้ แต้มทีม่ ากกว่า 4 เท่ากับ 2–6 หรือ –13

3. เหตกุ ารณท์ ล่ี กู เตา๋ หงายขน้ึ แตม้ ทห่ี ารดว้ ย 3 ลงตวั มผี ลลพั ธ์ 2 แบบ คอื 3, 6 จากผลลพั ธท์ ง้ั หมด 6 แบบ

ดังนัน้ ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทีล่ กู เต๋าหงายข้นึ แตม้ ทห่ี ารด้วย 3 ลงตัว เทา่ กบั 2–6 หรอื –13

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 4.2 ก

1. 1) (ชาย, ชาย) , (ชาย, หญงิ ) , (หญงิ , ชาย) , (หญงิ , หญิง)

2) ไส้เผือก กับ ไสม้ ะพร้าว ไสเ้ ผือก กบั ไส้ถัว่ ไสเ้ ผอื ก กบั ไสก้ ลว้ ย
ไสถ้ ั่ว กบั ไสก้ ลว้ ย
ไส้มะพรา้ ว กับ ไส้ถ่ัว ไส้มะพร้าว กบั ไสก้ ลว้ ย ทีมกระทิง กับ ทีมโลมา
ทมี เสือดาว กบั ทมี โลมา
3) ทมี กระทิง กบั ทีมเสอื ดาว ทมี กระทงิ กับ ทมี หมปู า่ ทีมหมูป่า กบั ทีมมา้ ลาย

ทีมกระทิง กับ ทีมม้าลาย ทีมเสอื ดาว กบั ทมี หมูป่า

ทีมเสอื ดาว กับ ทมี มา้ ลาย ทมี หมูปา่ กบั ทมี โลมา

ทีมโลมา กบั ทีมม้าลาย

2. แนวคดิ อาจแจกแจงผลลัพธ์โดยใช้แผนภาพตน้ ไม้ HHTT HTHH HTHT
1) HHHH HHHT HHTH THHT THTH THTT
HTTH HTTT THHH TTTT
TTHH TTHT TTTH THHH TTTT
2) HHHT HHTH HTHH TTTH
3) HTTT THTT TTHT สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

282 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น ค่มู ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4) HTTT THTT TTHT TTTH TTTT TTHH
5) HHTT HTHT HTTH THHT THTH

3. 1) -3 กบั -4 -3 กบั 5 -3 กับ 6
-1 กบั -4 -1 กบั 5 -1 กบั 6
2 กับ -4 2 กบั 5 2 กับ 6
2) -3 กับ -4 -1 กบั -4 2 กับ -4
3) 2 กับ 6
4) ไม่มี

4. แนวคิด อาจใช้การเขยี นแผนภาพ เช่น

รสโคลา่

รสกาแฟ รสโกโก้

รสมนิ ต์

ดงั นนั้ เพ่อื นของสายฟ้าอาจจะไดร้ ับลูกอม รสโคล่ากบั รสกาแฟ รสโคลา่ กับรสโกโก้

รสโคล่ากบั รสมนิ ต์ รสกาแฟกบั รสโกโก้ รสกาแฟกบั รสมินต์ หรือ รสโกโก้กับรสมนิ ต์

5. แนวคิด อาจแจกแจงผลลพั ธโ์ ดยใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ ทองดี ทบั ทมิ สยาม และขาวแตงกวา
จะไดว้ ่า ในถุงอาจจะเปน็ ส้มโอพนั ธ์ตุ ่าง ๆ ดงั น้ี ทองดี ขาวพวง และขาวแตงกวา
ทองดี ทบั ทมิ สยาม และขาวพวง ทองดี ขาวแตงกวา และขาวนำ้�ผึ้ง
ทองดี ทับทิมสยาม และขาวนำ้�ผงึ้ ทับทมิ สยาม ขาวพวง และขาวนำ�้ ผ้งึ
ทองดี ขาวพวง และขาวน้ำ�ผึง้ หรอื ขาวพวง ขาวแตงกวา และขาวน้�ำ ผึ้ง
ทับทมิ สยาม ขาวพวง และขาวแตงกวา
ทับทิมสยาม ขาวแตงกวา และขาวน้�ำ ผ้ึง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น 283

แบบฝกึ หัด 4.2 ข

1. ผลลพั ธท์ ้ังหมดทเ่ี กดิ ขึน้ จากการทอดลูกเตา๋ 1 ลกู 1 ครั้ง มี 6 แบบ คอื 1, 2, 3, 4, 5, 6

1) เหตกุ ารณท์ ่ลี ูกเตา๋ หงายขนึ้ แตม้ 3 มจี �ำ นวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ เปน็ 1
ดงั น้นั ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากับ 1–6
2) เหตกุ ารณท์ ่ีลกู เตา๋ หงายขน้ึ แต้มเป็นจ�ำ นวนค่ี มีจำ�นวนผลลพั ธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 3
ดงั น้ัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เท่ากับ –36 หรือ –12
3) เหตกุ ารณ์ทีล่ ูกเต๋าหงายขึ้นแตม้ เปน็ จำ�นวนทเ่ี ปน็ ตวั ประกอบของ 12 มจี ำ�นวนผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์ เป็น 5
ดงั น้นั ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ เท่ากบั 5–6
4) เหตกุ ารณ์ทล่ี ูกเตา๋ หงายข้ึนแต้มเป็นจ�ำ นวนท่ีไมน่ ้อยกว่า 4 มีจำ�นวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ เปน็ 3
ดงั นน้ั ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เท่ากบั 3–6 หรอื 1–2

2. แนวคดิ ก�ำ หนดให้ อ1, อ2, อ3, อ4 แทน อาลัวสขี าว สีน�ำ้ ตาล สีเขียว และสชี มพู ตามลำ�ดับ

ว1, ว2 แทน วุน้ กรอบสีแดง และสีเหลอื ง ตามล�ำ ดับ

ผลลัพธท์ งั้ หมดทีเ่ กดิ ขึน้ จากการสมุ่ หยิบขนม 2 ช้ินพร้อมกนั จากถุงทีม่ ีขนม 6 ชิน้ มี 15 แบบ

คอื อ1 กับ อ2 อ1 กบั อ3 อ1 กบั อ4 อ1 กบั ว1 อ1 กบั ว2
อ2 กบั อ3 อ2 กับ อ4 อ2 กบั ว1 อ2 กบั ว2 อ3 กับ อ4
อ3 กบั ว1 อ3 กับ ว2 อ4 กบั ว1 อ4 กบั ว2 ว1 กับ ว2

1) เหตุการณ์ท่ีจินาหยิบได้ขนมตา่ งประเภทกัน มีจำ�นวนผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เป็น 8

ดงั นั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เทา่ กับ 1—85
2) เหตกุ ารณ์ทจ่ี นิ าหยิบได้อาลัวทั้งสองชน้ิ มจี �ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตุการณ์ เป็น 6

ดงั น้นั ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 1—65 หรอื –52
3) เหตุการณท์ จี่ ินาหยิบไดว้ ุน้ กรอบท้งั สองช้นิ มีจ�ำ นวนผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เปน็ 1

ดงั นั้น ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ เท่ากบั 1—15
4) เหตกุ ารณท์ ่ีจินาหยบิ ได้อาลัวสีส้มน้นั ไมม่ ผี ลลัพธเ์ กดิ ข้นึ

จะได ้ จ�ำ นวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ เป็น 0
ดังนน้ั ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กับ 1—05 หรอื 0

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

284 บทที่ 4 | ความน่าจะเป็น คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3. ผลลพั ธ์ทง้ั หมดทีเ่ กดิ ข้นึ จากการทอดลกู เต๋า 1 ลกู 2 ครั้ง มี 36 แบบ คอื

(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 6)
(4, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (5, 6)
(6, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5)

1) เหตกุ ารณ์ท่ลี ูกเต๋าหงายขึ้นแต้มรวมกันเป็น 7 มจี �ำ นวนผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์ เปน็ 6

ดงั นน้ั ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั 3—66 หรอื 1–6
2) เหตุการณ์ที่ลูกเต๋าหงายข้นึ แตม้ ตา่ งกัน 2 มจี ำ�นวนผลลัพธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 8

ดังนัน้ ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เทา่ กับ 3—86 หรือ –29
3) เหตุการณท์ ี่ลูกเตา๋ หงายขึ้นแตม้ รวมกันไม่น้อยกว่า 2 มีจำ�นวนผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์ เป็น 36

ดังนนั้ ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากบั 33—66 หรอื 1
4) เหตกุ ารณ์ที่ลูกเตา๋ หงายขึ้นแตม้ รวมกันไมเ่ กนิ 9 มจี �ำ นวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ เป็น 30

ดังน้นั ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ เท่ากบั 33—60 หรือ –56
5) เหตกุ ารณท์ ีล่ กู เต๋าหงายขน้ึ แตม้ ตา่ งกนั ไมน่ อ้ ยกวา่ 6 มจี �ำ นวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ เปน็ 0

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 3—06 หรอื 0
6) เหตุการณท์ ล่ี กู เต๋าหงายขน้ึ แต้มเดยี วกนั มีจ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์ เปน็ 6

ดงั นั้น ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากับ 3—66 หรอื 1–6

4. 1) ผลลัพธท์ ัง้ หมดทีเ่ กดิ ข้ึนจากการส่มุ หยิบไพ่ 2 ใบพร้อมกนั จากไพท่ ี่กำ�หนดให้ 4 ใบ มี 6 แบบ คือ

กับ กับ กับ

กบั กับ กบั
จะได้วา่ เหตุการณ์ทห่ี ยิบไพ่ 2 ใบพร้อมกัน แล้วได้ไพ่สีเดียวกนั มีจำ�นวนผลลัพธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 2
ดังน้นั ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั 2–6 หรือ –13

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | ความน่าจะเป็น 285

2) ผลลพั ธ์ท้งั หมดทเี่ กิดขนึ้ จากการส่มุ หยิบไพท่ ีละใบ 2 คร้งั แบบไมใ่ สค่ ืน จากไพท่ ่กี �ำ หนดให้ 4 ใบ มี 12 แบบ คอื

กับ กบั กับ

กับ กบั กับ

กบั กบั กบั

กบั กบั กับ

จะไดว้ า่ เหตุการณ์ที่หยิบไพ่ทีละใบ 2 ครั้ง แบบไม่ใส่คืน แล้วได้ไพ่ใบใดใบหนึ่งเป็น Q มีจำ�นวนผลลัพธ์

ของเหตกุ ารณ์ เปน็ 6
ดังน้นั ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากบั 1—62 หรอื –12

3) ผลลพั ธท์ ง้ั หมดทเี่ กดิ ขนึ้ จากการสุ่มหยิบไพ่ทลี ะใบ 2 ครง้ั แบบใส่คนื จากไพ่ทกี่ ำ�หนดให้ 4 ใบ มี 16 แบบ คือ

กับ กบั กับ กับ

กบั กบั กับ กับ

กบั กับ กบั กบั

กับ กับ กบั กับ

จะไดว้ า่ เหตกุ ารณท์ ห่ี ยบิ ไพท่ ลี ะใบ 2 ครง้ั แบบใสค่ นื แลว้ ไดไ้ พใ่ บเดยี วกนั มจี �ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์ เปน็ 4
ดังนน้ั ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากบั 1—46 หรอื 1–4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

286 บทท่ี 4 | ความน่าจะเปน็ คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

4) จากขอ้ 2) ผลลพั ธ์ทัง้ หมดท่ีเกดิ ขึ้นจากการสุ่มหยิบไพท่ ลี ะใบ 2 คร้ัง แบบไม่ใสค่ ืน จากไพท่ กี่ �ำ หนดให้ 4 ใบ

มี 12 แบบ

จะไดว้ ่า เหตุการณท์ หี่ ยบิ ไพท่ ลี ะใบ 2 ครง้ั แบบไมใ่ สค่ นื แล้วได้ไพ่สีเดยี วกนั มีจำ�นวนผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์

เปน็ 4
ดงั นน้ั ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 1—42 หรือ 1–3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเปน็ 287

กจิ กรรมท้ายบท : วางหมากกลเกม

กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ให้นักเรียนได้ใช้ความรู้เก่ียวกับความน่าจะเป็นในการวางแผนการเล่นเกม โดยนักเรียนต้อง
พิจารณาโอกาสการเกิดข้นึ ของผลรวมของแต้มบนหนา้ ลกู เต๋า 2 ลูก ทที่ ำ�ใหเ้ บ้ียของตนเองถกู หยิบออกจากกระดาน ซงึ่ จะท�ำ ให้
นักเรียนเหน็ ว่า ความน่าจะเปน็ ทเ่ี กดิ ขึน้ จากการทดลองจริงนั้น ไมส่ ามารถควบคมุ ได้ และหากเลน่ เกมโดยใชห้ ลกั การทเ่ี รยี นมา
เพยี งอย่างเดียวก็อาจไมช่ นะเสมอไป แตต่ ้องพิจารณาปจั จัยอนื่ ท่อี าจท�ำ ใหผ้ ลทเ่ี กิดข้นึ ไม่เป็นไปตามทฤษฎี โดยมีสอ่ื /อุปกรณ์
และข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังน้ี

สอื่ /อปุ กรณ์

1. เบี้ย 10 ตวั /คน
2. ลูกเต๋า 2 ลูก/กล่มุ
3. กระดานวางหมากกลเกม 1 กระดาน/คน

ขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม

1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 3–4 คน แจกอุปกรณ์ แล้วให้นักเรียนศึกษากติกาการเล่นจากหนังสือเรียน
หนา้ 200 และวางแผนการเลน่ ของตนเอง

2. ครูใหน้ กั เรยี นเร่ิมเลน่ เกมตามกติกาดงั กล่าว
3. ครูรว่ มกันอภปิ รายกับนักเรียนถึงผลทเ่ี กดิ ขนึ้ จากการเล่นเกมในประเด็นดังตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี
✤ จากกระดานวางหมากกลเกม นกั เรียนคดิ ว่าผลรวมของแต้มเปน็ เท่าใด ที่ไม่ควรวางเบีย้ และผลรวมของแต้ม

เปน็ เทา่ ใด ทค่ี วรวางเบ้ยี มากที่สุด เพราะเหตุใด

แนวคำ�ตอบ ผลรวมของแต้มเป็น 1 เปน็ ชอ่ งที่ไม่ควรวางเบย้ี เพราะมคี วามนา่ จะเป็นเท่ากบั 0 และผลรวม
ของแต้มเป็น 7 เปน็ ช่องทค่ี วรวางเบีย้ มากท่ีสดุ เพราะมีความนา่ จะเปน็ มากทสี่ ุด คอื –16

✤ ผลการเล่นเป็นไปตามแผนท่วี างไวห้ รอื ไม่ อยา่ งไร
✤ หากผลไม่เป็นไปตามทน่ี ักเรียนวางแผนไว้ นกั เรยี นคิดว่าเป็นเพราะอะไร
✤ จากความรู้ในเรื่องความน่าจะเป็น เราทราบว่าผลรวมของแต้มลูกเต๋าท่ีหงายข้ึน มีโอกาสเป็น 7 มากที่สุด

หากนักเรียนวางเบี้ยท่ีผลรวมของแต้มเป็น 7 ทั้งสิบตัว นักเรียนจะมีโอกาสชนะมากกว่าเพ่ือนคนอ่ืน ๆ
หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

แนวค�ำ ตอบ นกั เรียนนา่ จะมโี อกาสชนะนอ้ ยกว่าเพอื่ นคนอน่ื ๆ เพราะแมว้ ่าผลรวมของแตม้ เป็น 7 จะเป็น

ผลรวมท่มี ีความน่าจะเปน็ มากท่ีสดุ คือ –16 แต่จะเหน็ ว่า ผลรวมของแตม้ อ่ืน ๆ ท่ีเหลือยงั มี
ความนา่ จะเป็นรวมกันมากถึง –56

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

288 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยแบบฝึกหดั ท้ายบท

1. แนวคดิ 1) เนื่องจาก สลากกนิ แบง่ รฐั บาลจะมหี มายเลขที่แตกตา่ งกัน 1,000,000 หมายเลข คือ 000000 ถงึ

999999

ดังนนั้ ผลลพั ธ์ทั้งหมดท่ีเกิดขึ้นจากการสมุ่ ออกรางวลั แตล่ ะรางวลั จึงมี 1,000,000 แบบ

และจากการที่อรรคซ้อื สลากกนิ แบ่งรฐั บาลมา 3 ใบ ท่มี ีหมายเลขแตกต่างกนั

ทำ�ให้ไดว้ า่ เหตกุ ารณท์ ่สี ลากท่ีอรรคซ้อื จะถูกรางวลั ที่ 1 มีจ�ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 3

ดังนน้ั ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั 3
1,000,000

2) เนือ่ งจาก สลากกินแบง่ รัฐบาลจะมเี ลขทา้ ย 2 ตัว ทีแ่ ตกตา่ งกัน 100 หมายเลข คอื 00 ถึง 99

ดังน้ัน ผลลัพธ์ท้ังหมดทเ่ี กิดข้นึ จากการสมุ่ ออกรางวลั แตล่ ะรางวัลจงึ มี 100 แบบ

และจากการท่อี รรคซือ้ สลากกนิ แบง่ รฐั บาลมา 3 ใบ ท่มี เี ลขทา้ ย 2 ตวั แตกต่างกนั

ท�ำ ให้ไดว้ า่ เหตกุ ารณท์ ส่ี ลากทอ่ี รรคซอ้ื จะถกู รางวลั เลขทา้ ย 2 ตวั มจี �ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์ เปน็ 3

ดงั น้นั ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เทา่ กับ 1—030

2. แนวคดิ 1) เนือ่ งจาก ในโหลมีใบดำ� 38 ใบ และใบแดง 50 ใบ รวมเป็น 88 ใบ

จะได้ ผลลพั ธ์ท้งั หมดที่เกิดขน้ึ จากการจับสลากเปน็ คนแรก เป็น 88

และ เหตกุ ารณ์ทีว่ าริชจับสลากเป็นคนแรก แล้วจับได้ใบด�ำ มีจำ�นวนผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เปน็ 38

ดงั นนั้ ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั 83—88 หรือ 1—494
2) เนือ่ งจาก คนท่ี 1 ถึง 9 จับไดใ้ บดำ�ไปแล้ว 3 ใบ ทำ�ใหใ้ นโหลเหลือใบดำ� 35 ใบ และใบแดง 44 ใบ

รวมเปน็ 79 ใบ

จะได้ ผลลพั ธ์ทัง้ หมดทีเ่ กดิ ข้ึนจากการจับสลากเปน็ คนที่ 10 เป็น 79

และเหตุการณท์ ว่ี ารชิ จับสลากเป็นคนท่ี 10 แล้วจบั ได้ใบแดง มีจ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 44

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เท่ากบั 4—749

3. แนวคดิ ก�ำ หนดให้ A1, A2, A3, A4 แทน ช่องทม่ี ีดาว 1 ดวง ซึง่ มี 4 ชอ่ ง
แทน ช่องท่ีมดี าว 2 ดวง ซงึ่ มี 3 ช่อง
B1, B2, B3 แทน ช่องที่มีดาว 3 ดวง ซง่ึ มีเพียงช่องเดียว

C

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเปน็ 289

ผลลัพธ์ท้ังหมดที่เกดิ ขน้ึ จากการเลน่ เกม 1 รอบ มี 64 แบบ ดงั ตาราง

หมุนคร้ังท่ี 2 (A1) (A2) (A3) (A4) (B1) (B2) (B3) (C)

หมุนครง้ั ท่ี 1 (A1, A1) (A1, A2) (A1, A3) (A1, A4) (A1, B1) (A1, B2) (A1, B3) (A1, C)
(A1) (A2, A1) (A2, A2) (A2, A3) (A2, A4) (A2, B1) (A2, B2) (A2, B3) (A2, C)
(A2) (A3, A1) (A3, A2) (A3, A3) (A3, A4) (A3, B1) (A3, B2) (A3, B3) (A3, C)
(A3) (A4, A1) (A4, A2) (A4, A3) (A4, A4) (A4, B1) (A4, B2) (A4, B3) (A4, C)
(A4) (B1, A1) (B 1, A2) (B 1, A3) (B 1, A4) (B 1, B1) (B 1, B2) (B1, B3) (B1, C)
(B1) (B2, A1) (B2, A2) (B2, A3) (B2, A4) (B2, B1) (B2, B2) (B2, B3) (B2, C)
(B2) (B3, A1) (B3, A2) (B3, A3) (B3, A4) (B3, B1) (B3, B2) (B3, B3) (B3, C)
(B3) (C, A1) (C, A2) (C, A3) (C, A4) (C, B1) (C, B2) (C, B3) (C, C)
(C)

1) เหตกุ ารณท์ น่ี ฮุ าเลน่ เกม 1 รอบ แลว้ ไดต้ กุ๊ ตาหมจี มั โบ จะตอ้ งไดด้ าวรวม 6 ดวง มจี �ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์

เป็น 1
ดังน้ัน ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เท่ากบั 6—14

2) เหตกุ ารณท์ นี่ ฮุ าเลน่ เกม 1 รอบ แลว้ ไดก้ ระบอกน�้ำ จะตอ้ งไดด้ าวรวม 3 ดวง มจี �ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์

เป็น 24
ดงั นนั้ ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากบั 62—44 หรือ –38

3) เหตุการณ์ที่นฮุ าเล่นเกม 1 รอบ แล้วไดต้ กุ๊ ตา หรือไดป้ ากกา จะตอ้ งไดด้ าวรวม 5 ดวง หรอื 2 ดวง มีจ�ำ นวน

ผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เป็น 22
ดงั นั้น ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ เทา่ กับ 62—42 หรอื 31—21

4. น่าจะเป็นเพราะความน่าจะเป็นท่ีลูกสาวของกำ�ปองจับฉลากได้เข้าเรียนโรงเรียนศรีนคร เท่ากับ 1—22000 หรือ –35
ซึ่งมากกวา่ ความนา่ จะเป็นท่ีลูกชายขององั เกตจุ ับฉลากได้เข้าเรยี นโรงเรยี นแกน่ เมือง ซง่ึ เท่ากับ 3—60000 หรอื –12

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

290 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเปน็ คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

5. แนวคิด ผลลัพธ์ทงั้ หมดท่เี กิดขึ้นจากการทแ่ี มค่ ้าตักกับขา้ วราดขา้ ว 2 อย่าง และตักขนม 1 ถว้ ย มี 12 แบบ คือ

ไข่เจยี ว ต้มยำ�ไก่ ทบั ทิมกรอบ ไขเ่ จียว ตม้ ยำ�ไก ่ บัวลอย

ไข่เจียว ปลาทอด ทับทมิ กรอบ ไข่เจียว ปลาทอด บวั ลอย

ไขเ่ จยี ว กะเพราหมึก ทบั ทมิ กรอบ ไข่เจยี ว กะเพราหมึก บัวลอย

ตม้ ยำ�ไก่ ปลาทอด ทับทมิ กรอบ ต้มยำ�ไก ่ ปลาทอด บัวลอย

ต้มย�ำ ไก่ กะเพราหมึก ทบั ทมิ กรอบ ต้มยำ�ไก ่ กะเพราหมกึ บัวลอย

ปลาทอด กะเพราหมกึ ทบั ทมิ กรอบ ปลาทอด กะเพราหมึก บัวลอย

1) เหตุการณ์ที่เจินจูได้รับประทานกับข้าวเป็นไข่เจียวกับต้มยำ�ไก่ และขนมเป็นทับทิมกรอบ มีจำ�นวน

ผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์ เป็น 1
ดงั น้ัน ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากับ 1—12
2) เหตุการณ์ที่เจินจูได้รับประทานกับข้าวที่มีอย่างหนึ่งเป็นกะเพราหมึก และขนมเป็นบัวลอย มีจำ�นวน

ผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เปน็ 3
ดงั นน้ั ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เท่ากบั 1—32 หรือ –14
3) เหตกุ ารณ์ทีเ่ จนิ จไู ด้รบั ประทานกบั ขา้ วเป็นตม้ ย�ำ ไก่กบั ปลาทอด และขนมเปน็ ทับทมิ กรอบ หรือ กับข้าว

เปน็ ไขเ่ จียวกบั ปลาทอด และขนมเป็นทบั ทมิ กรอบ มจี �ำ นวนผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์ เปน็ 2
ดังนั้น ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากับ 1—22 หรอื 1–6

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น 291

ตวั อยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท

1. จากการส�ำ รวจอาชพี ผปู้ กครองของนักเรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 ห้องหน่งึ พบว่ามผี ้ปู กครองของนักเรยี นประกอบอาชีพ
ดังน้ี

อาชพี จำ�นวน (คน)

วิศวกร 3
พยาบาล 2
นกั ธรุ กิจ 10
ต�ำ รวจ ทหาร  3
คา้ ขาย 12
พนกั งานบริษัท 5

จากข้อมูลขา้ งตน้ จงตอบคำ�ถามต่อไปน ี้ (5 คะแนน)

1) หากสมุ่ ถามนกั เรยี น 1 คน จากห้องเรยี นนี้ ถงึ อาชพี ผู้ปกครอง มีโอกาสที่จะสมุ่ ได้นกั เรยี นท่ผี ้ปู กครองประกอบ

อาชพี เป็นพยาบาลหรอื ไม่

ตอบ

2) หากสุ่มถามนักเรยี น 1 คน จากห้องเรยี นน้ี ถงึ อาชพี ผู้ปกครอง มโี อกาสที่จะสุม่ ได้นักเรียนท่ผี ูป้ กครองประกอบ

อาชีพคา้ ขายหรือไม่

ตอบ

3) หากสมุ่ ถามนักเรียน 1 คน จากหอ้ งเรยี นนี้ ถึงอาชพี ผู้ปกครอง มโี อกาสทจี่ ะสุ่มไดน้ ักเรยี นที่ผู้ปกครองประกอบ

อาชพี นกั บินหรอื ไม ่

ตอบ

4) หากสุ่มถามนักเรียน 1 คน จากห้องเรียนนี้ ถึงอาชีพผู้ปกครอง ผู้ปกครองของนักเรียนคนนี้น่าจะประกอบ

อาชีพใดมากท่สี ดุ

ตอบ

5) หากสมุ่ ถามนกั เรยี น 1 คน จากหอ้ งเรยี นนี้ ถงึ อาชพี ผปู้ กครอง ผปู้ กครองของนกั เรยี นคนนน้ี า่ จะประกอบอาชพี

วิศวกรหรือพนกั งานบริษัทมากกวา่ กนั

ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

292 บทที่ 4 | ความน่าจะเปน็ คู่มือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

2. ตหู้ ยอดเหรยี ญของเลน่ ตหู้ นง่ึ มขี องเลน่ อยู่ 2 ชนดิ ถา้ นานะเหน็ หนุ่ ยนตจ์ ว๋ิ และลกู แกว้ ในตรู้ วมกนั 25 ชน้ิ โดยเปน็ หนุ่ ยนต์

จว๋ิ อยอู่ ยา่ งนอ้ ย 13 ตวั หากนานะหยอดเหรียญเพื่อกดให้ไดข้ องเล่นในตู้นี้ นานะคาดว่าตนเองจะมีโอกาสกดไดห้ ่นุ ยนต์

จ๋วิ หรือลกู แกว้ มากกว่ากนั เพราะเหตใุ ด (2 คะแนน)

3. โหลแกว้ ใบหนึ่งใส่ลกู อมจ�ำ นวน 3 เม็ด ประกอบดว้ ยลูกอมรสนม 2 เม็ด และลกู อมรสกาแฟ 1 เมด็ หากนกั เรยี นสมุ่ หยบิ

ลกู อมในโหลแกว้ น้ี ครง้ั ละ 1 เมด็ 2 ครัง้ จงตอบคำ�ถามตอ่ ไปน ้ี (6 คะแนน)

1) ในการหยบิ ลกู อมครั้งแรก นักเรยี นคดิ วา่ จะไดล้ กู อมรสใดมากท่ีสุด เพราะเหตใุ ด

2) ถา้ นกั เรยี นสมุ่ หยบิ ลกู อมครง้ั แรกไดล้ กู อมรสกาแฟ นกั เรยี นคดิ วา่ ในครง้ั ทส่ี องจะสมุ่ หยบิ ไดล้ กู อมรสใด เพราะเหตใุ ด

3) ถา้ นักเรียนสมุ่ หยิบลกู อมคร้ังแรกไดล้ ูกอมรสนม นักเรียนคดิ ว่าในคร้ังทส่ี องจะได้ลูกอมรสใด เพราะเหตุใด

4. ถา้ ทอดลูกเตา๋ 1 ลูก จำ�นวน 1 ครัง้ จงตอบค�ำ ถามต่อไปน ้ี (10 คะแนน)
1) มีโอกาสทลี่ กู เต๋าจะหงายขนึ้ แตม้ 1 หรือไม่ เพราะเหตุใด

2) มโี อกาสทล่ี กู เตา๋ จะหงายขนึ้ แตม้ 1 หรอื 2 หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

3) มีโอกาสท่ีลกู เต๋าจะหงายขน้ึ แต้ม 5 หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

4) มโี อกาสทลี่ กู เตา๋ จะหงายขน้ึ แต้ม 7 หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

5) มีโอกาสท่ลี ูกเต๋าจะหงายขน้ึ แต้ม 3 และ 4 พร้อมกนั หรอื ไม่ เพราะเหตใุ ด

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ความน่าจะเป็น 293

5. ปริมได้รับขนมปังสอดไส้ 1 กล่อง โดยในกล่องนี้มีขนมปังสอดไส้ครีม 3 ชิ้น ไส้ข้าวโพด 6 ช้ิน และไส้ใบเตย 1 ช้ิน

ซง่ึ ขนมปังทุกชนิ้ บรรจอุ ยใู่ นถุงท่เี หมือนกนั ถา้ ปริมส่มุ หยิบขนมปังมารบั ประทานมา 1 ชิน้ จงหา (6 คะแนน)

1) ความน่าจะเปน็ ทปี่ ริมจะได้รับประทานขนมปงั สอดไสค้ รีม

2) ความน่าจะเปน็ ทป่ี รมิ จะได้รับประทานขนมปังสอดไสใ้ บเตยหรือไสค้ รีม

3) ความนา่ จะเป็นท่ีปริมจะไมไ่ ดร้ ับประทานขนมปงั สอดไส้ขา้ วโพด

6. สุ่มหยบิ ไพ่ 1 ใบ จากไพ่สำ�รับหนง่ึ จงหา (4 คะแนน)
1) ความน่าจะเป็นที่สุ่มหยิบได้ไพท่ ม่ี ีหนา้ ไพเ่ ป็นขา้ วหลามตดั

2) ความน่าจะเป็นที่สมุ่ หยบิ ได้ไพท่ ม่ี ีหน้าไพ่เปน็ 5 ในชุดโพดำ�

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

294 บทที่ 4 | ความน่าจะเป็น คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

7. กิจกรรมสอยดาวของโรงเรียนแห่งหน่ึงมีการจัดทำ�สลากจำ�นวน 1,200 ใบ โดยให้นักเรียนเลือกได้คนละ 1 ใบ
เพ่อื แลกรางวัล 1 ช้นิ รางวลั มที ง้ั หมด 5 แบบ แบ่งเป็น (8 คะแนน)

รางวลั ที่ 1 จ�ำ นวน 50 ใบ
รางวลั ที่ 2 จ�ำ นวน 150 ใบ
รางวัลที่ 3 จ�ำ นวน 200 ใบ
รางวัลท่ี 4 จำ�นวน 300 ใบ
รางวัลท่ี 5 จำ�นวน 500 ใบ
ถา้ นักเรยี นมาเลน่ กจิ กรรมสอยดาวเปน็ คนแรก จงหา
1) ความนา่ จะเปน็ ทจี่ ะได้รางวัลที่ 1

2) ความน่าจะเปน็ ท่ีจะได้รางวลั ท่ี 2 หรือ 4

3) ความน่าจะเปน็ ท่จี ะไดร้ างวลั ที่ 3 และ 5

4) ความน่าจะเปน็ ที่จะไม่ไดร้ างวลั ที่ 1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น 295

8. ปรตี บิ รรจเุ พลงของศลิ ปิน 2 วง วงละ 5 เพลง ทีไ่ มซ่ ้�ำ กนั ลงในแฟลชไดร์ฟตัวหนึ่ง ในงานเล้ยี งวันปใี หม่ ปรตี ิตอ้ งการเปดิ

เพลงจากแฟลชไดรฟ์ ตวั นผ้ี า่ นซอฟตแ์ วรเ์ ลน่ เพลงซอฟตแ์ วรห์ นง่ึ ทสี่ ามารถระบไุ ดว้ า่ จะเลน่ เพลงแบบสมุ่ (ระบบจะสมุ่ เพลง

1 เพลง จากเพลงทงั้ หมด ทกุ ครง้ั ทจ่ี ะเลน่ เพลงตอ่ ไป) หรอื เลน่ เพลงแบบวนซ�้ำ (ระบบจะเลน่ เพลงตามล�ำ ดบั ตงั้ แตเ่ พลงแรก

จนถึงเพลงสดุ ท้าย แลว้ วนกลับมาเล่นเพลงแรกอกี คร้ังหน่งึ ) จงหา (8 คะแนน)

1) ความนา่ จะเป็นทีพ่ ลเขา้ มาในงานขณะทเี่ พลงของศิลปินวงท่ี 1 ก�ำ ลังเลน่ อยู่ เมื่อปรตี ิเปดิ เลน่ เพลงแบบวนซำ�้

2) ความนา่ จะเปน็ ที่นกิ รเขา้ มาในงาน แล้วได้ฟังเพลงของศิลปนิ ทงั้ สองวง เปน็ 2 เพลงแรก เมือ่ ปรตี เิ ปดิ เลน่ เพลง
แบบวนซ�้ำ

3) ความน่าจะเปน็ ที่ 2 เพลงแรก จะเปน็ เพลงจากศิลปนิ ต่างวงกัน เมอ่ื ปรีติเปิดเลน่ เพลงแบบสุม่

4) ความน่าจะเป็นที่ 2 เพลงแรก จะเป็นเพลงจากศิลปินวงท่ี 2 เพลงที่ 4 อยู่อย่างนอ้ ย 1 เพลง เม่อื ปรีตเิ ปดิ
เลน่ เพลงแบบสุ่ม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

296 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น คมู่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบทา้ ยบท

1. จากการส�ำ รวจอาชพี ผปู้ กครองของนักเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 3 หอ้ งหน่งึ พบว่ามีผปู้ กครองของนกั เรียนประกอบอาชีพ
ดังนี้

อาชีพ จ�ำ นวน (คน)

วศิ วกร 3
พยาบาล 2
นักธุรกิจ 10
ต�ำ รวจ ทหาร  3
คา้ ขาย 12
พนักงานบริษัท 5

จากข้อมลู ขา้ งต้น จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน ้ี (5 คะแนน)

1) หากสุม่ ถามนักเรียน 1 คน จากห้องเรียนนี้ ถึงอาชพี ผ้ปู กครอง มโี อกาสทีจ่ ะสุ่มได้นกั เรียนท่ีผปู้ กครองประกอบ

อาชีพเป็นพยาบาลหรอื ไม่

ตอบ มีโอกาสเป็นไปได้

2) หากส่มุ ถามนักเรียน 1 คน จากหอ้ งเรยี นน้ี ถงึ อาชพี ผ้ปู กครอง มีโอกาสทจ่ี ะสมุ่ ไดน้ ักเรียนท่ผี ้ปู กครองประกอบ

อาชีพคา้ ขายหรอื ไม่

ตอบ มโี อกาสเป็นไปได้

3) หากสุ่มถามนักเรียน 1 คน จากห้องเรียนน้ี ถึงอาชีพผู้ปกครอง มีโอกาสท่ีจะสุ่มได้นักเรียนท่ีผู้ปกครอง

ประกอบอาชพี นักบินหรอื ไม่

ตอบ ไม่มีโอกาสเป็นไปได้

4) หากสุ่มถามนักเรียน 1 คน จากห้องเรียนน้ี ถึงอาชีพผู้ปกครอง ผู้ปกครองของนักเรียนคนนี้น่าจะประกอบ

อาชีพใดมากทีส่ ุด

ตอบ คา้ ขาย

5) หากสมุ่ ถามนกั เรยี น 1 คน จากหอ้ งเรยี นนี้ ถงึ อาชพี ผปู้ กครอง ผปู้ กครองของนกั เรยี นคนนนี้ า่ จะประกอบอาชพี

วิศวกรหรอื พนกั งานบรษิ ทั มากกวา่ กนั

ตอบ พนกั งานบรษิ ัท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น 297

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 1 นกั เรยี นสามารถบอกไดว้ ่า เหตุการณท์ ีก่ �ำ หนดใหม้ โี อกาสเกิดขนึ้ มากหรอื นอ้ ย

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน

✤ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
✤ ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรอื ไมต่ อบ

2. ตหู้ ยอดเหรยี ญของเลน่ ตหู้ นงึ่ มขี องเลน่ อยู่ 2 ชนดิ ถา้ นานะเหน็ หนุ่ ยนตจ์ วิ๋ และลกู แกว้ ในตรู้ วมกนั 25 ชน้ิ โดยเปน็ หนุ่ ยนต์

จว๋ิ อย่อู ย่างนอ้ ย 13 ตวั หากนานะหยอดเหรยี ญเพอื่ กดให้ได้ของเล่นในตนู้ ี้ นานะคาดว่าตนเองจะมโี อกาสกดไดห้ ุ่นยนต์

จ๋วิ หรือลูกแกว้ มากกวา่ กนั เพราะเหตใุ ด (2 คะแนน)

มีโอกาสกดได้หุ่นยนตจ์ ๋วิ มากกวา่ ลูกแก้ว เพราะนานะสังเกตเหน็ วา่ มจี ำ�นวนหุน่ ยนตจ์ ๋ิวมากกว่าจ�ำ นวนลูกแก้ว

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถบอกไดว้ า่ เหตุการณท์ ี่กำ�หนดใหม้ โี อกาสเกิดข้ึนมากหรอื น้อย

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ ค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ แสดงเหตุผลไดอ้ ย่างสมเหตสุ มผล

3. โหลแกว้ ใบหน่งึ ใส่ลกู อมจำ�นวน 3 เม็ด ประกอบด้วยลูกอมรสนม 2 เม็ด และลูกอมรสกาแฟ 1 เมด็ หากนกั เรยี นสุ่มหยบิ

ลกู อมในโหลแก้วน้ี ครั้งละ 1 เมด็ 2 คร้งั จงตอบค�ำ ถามต่อไปน ี้ (6 คะแนน)

1) ในการหยิบลกู อมครัง้ แรก นักเรียนคดิ วา่ จะไดล้ กู อมรสใดมากที่สุด เพราะเหตุใด

ลูกอมรสนม เพราะในโหลมีลูกอมรสนมมากกวา่ ลูกอมรสกาแฟ

2) ถา้ นกั เรยี นสมุ่ หยบิ ลกู อมครง้ั แรกไดล้ กู อมรสกาแฟ นกั เรยี นคดิ วา่ ในครง้ั ทส่ี องจะสมุ่ หยบิ ไดล้ กู อมรสใด เพราะเหตใุ ด

ลกู อมรสนม เพราะในโหลจะเหลือเพยี งลกู อมรสนมเทา่ นั้น

3) ถ้านกั เรยี นสุ่มหยิบลูกอมครัง้ แรกได้ลกู อมรสนม นกั เรยี นคิดว่าในครั้งที่สองจะไดล้ กู อมรสใด เพราะเหตใุ ด

มโี อกาสหยิบได้ลูกอมรสนมหรือรสกาแฟเทา่ ๆ กนั เพราะในโหลเหลือลกู อมรสนม

และลกู อมรสกาแฟอยา่ งละ 1 เมด็

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 1 นักเรียนสามารถบอกไดว้ ่าเหตกุ ารณ์ที่กำ�หนดให้มีโอกาสเกิดขน้ึ มากหรือน้อย

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดังน้ี

✤ คำ�ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ แสดงเหตุผลได้อย่างสมเหตสุ มผล

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

298 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเป็น ค่มู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4. ถา้ ทอดลูกเต๋า 1 ลกู จำ�นวน 1 ครั้ง จงตอบค�ำ ถามต่อไปน ้ี (10 คะแนน)

1) มโี อกาสท่ีลูกเตา๋ จะหงายขนึ้ แตม้ 1 หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

มีโอกาส เพราะลกู เต๋ามหี น้าทเี่ ปน็ แต้ม 1

2) มโี อกาสทลี่ ูกเตา๋ จะหงายขน้ึ แตม้ 1 หรือ 2 หรือไม่ เพราะเหตุใด

มีโอกาส เพราะลูกเตา๋ มีหน้าที่เปน็ แต้ม 1 และแต้ม 2

3) มโี อกาสทล่ี ูกเต๋าจะหงายข้ึนแตม้ 5 หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

มโี อกาสเกดิ ขึน้ ได้ เพราะลูกเต๋ามหี นา้ เป็น 5

4) มีโอกาสทล่ี ูกเตา๋ จะหงายขนึ้ แตม้ 7 หรือไม่ เพราะเหตุใด

ไมม่ โี อกาส เพราะบนหน้าของลกู เต๋าไมม่ ีแตม้ 7

5) มีโอกาสทล่ี ูกเต๋าจะหงายขึ้นแตม้ 3 และ 4 พรอ้ มกนั หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

ไม่มโี อกาส เพราะในการทอดลกู เต๋าหน่งึ คร้งั ผลลพั ธ์ท่ีเกิดข้นึ จะเปน็ เพยี งแตม้ ใดแต้มหนง่ึ

บนหน้าของลูกเตา๋ เท่านนั้

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 1 นักเรยี นสามารถบอกได้ว่าเหตุการณ์ทก่ี �ำ หนดใหม้ โี อกาสเกิดขึน้ มากหรอื น้อย

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 10 คะแนน ขอ้ ละ 2 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้

✤ คำ�ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ แสดงเหตผุ ลได้อย่างสมเหตุสมผล

5. ปริมได้รับขนมปังสอดไส้ 1 กล่อง โดยในกล่องนี้มีขนมปังสอดไส้ครีม 3 ชิ้น ไส้ข้าวโพด 6 ชิ้น และไส้ใบเตย 1 ช้ิน

ซ่ึงขนมปังทกุ ชน้ิ บรรจุอยู่ในถงุ ท่ีเหมือนกัน ถา้ ปริมสมุ่ หยิบขนมปงั มารับประทานมา 1 ช้ิน จงหา (6 คะแนน)

แนวคิด ก�ำ หนดให้

ค1, ค2, ค3 แทน ขนมปงั สอดไสค้ รมี ชน้ิ ท่ี 1, ชน้ิ ท่ี 2, ชน้ิ ท่ี 3 ตามล�ำ ดบั

ข1, ข2, ข3, ..., ข6 แทน ขนมปงั สอดไส้ขา้ วโพดชน้ิ ท่ี 1, ช้ินท่ี 2, ช้ินที่ 3, ... , ชน้ิ ท่ี 6 ตามลำ�ดับ

บ แทน ขนมปงั สอดไส้ใบเตย

1) ความน่าจะเปน็ ท่ีปรมิ จะไดร้ บั ประทานขนมปังสอดไส้ครีม

เนอ่ื งจาก ผลลัพธ์ท้ังหมดทเ่ี กิดขึ้นจากการทดลองสมุ่ มี 10 แบบ

และเหตุการณ์ท่ปี รมิ จะไดร้ ับประทานขนมปังสอดไสค้ รีม มีผลลัพธ์ คือ ค1, ค2, ค3
จะได้ จำ�นวนผลลพั ธข์ องเหตุการณ์ เป็น 3
ดังนั้น ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 1—30

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น 299

2) ความนา่ จะเป็นทีป่ ริมจะได้รับประทานขนมปังสอดไสใ้ บเตยหรอื ไส้ครีม

เนื่องจาก ผลลัพธท์ ง้ั หมดท่ีเกดิ ขึ้นจากการทดลองสุม่ มี 10 แบบ

และเหตกุ ารณ์ทป่ี ริมจะไดร้ บั ประทานขนมปงั สอดไส้ใบเตยหรือไสค้ รีมมผี ลลพั ธ์

คือ บ, ค1, ค2, ค3
จะได้ จ�ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์ เป็น 4
ดังน้นั ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เท่ากบั 1—40 หรอื –25

3) ความน่าจะเป็นที่ปริมจะไมไ่ ดร้ ับประทานขนมปงั สอดไส้ขา้ วโพด

เน่อื งจาก ผลลัพธ์ท้ังหมดที่เกดิ ข้ึนจากการทดลองสุม่ มี 10 แบบ

และเหตุการณท์ ป่ี ริมจะไมไ่ ด้รบั ประทานขนมปังสอดไส้ข้าวโพดน้ัน มีผลลพั ธเ์ ช่นเดยี วกบั

เหตกุ ารณท์ ีป่ รมิ จะได้รบั ประทานขนมปงั สอดไสใ้ บเตยหรอื ไสค้ รมี

จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 4
ดังน้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากบั 1—40 หรอื –25

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถหาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ทก่ี ำ�หนดให้

ขอ้ 3 นกั เรยี นสามารถนำ�ความรูเ้ กี่ยวกบั ความนา่ จะเป็นไปใช้ในการแก้ปญั หา

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 6 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ เขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าคำ�ตอบไม่ถูกต้อง

หรอื ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคิด แตห่ าคำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ และหาค�ำ ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

6. สมุ่ หยบิ ไพ่ 1 ใบ จากไพ่สำ�รับหนึ่ง จงหา (4 คะแนน)

1) ความนา่ จะเป็นทส่ี ่มุ หยบิ ได้ไพท่ ม่ี หี น้าไพเ่ ปน็ ขา้ วหลามตดั

เนอื่ งจาก ผลลพั ธท์ ้ังหมดที่เกิดขน้ึ จากการทดลองสมุ่ มี 52 แบบ

และเหตุการณท์ ีส่ มุ่ หยบิ ได้ไพ่ท่มี หี น้าไพ่เปน็ ข้าวหลามตดั มีผลลัพธ์ คอื 2 3

4 5 6 7 8 9 10 J Q K A

จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 13
ดงั นน้ั ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กับ 51—23 หรอื 1–4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี