คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

200 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม คูม่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

กิจกรรม : ส�ำ รวจกรวย

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ให้นักเรียนสังเกต คาดการณ์ และหาข้อสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของ
มุมที่จุดศูนย์กลางท่ีเกิดจากการแบ่งวงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน ความยาวของส่วนสูงเอียง ความสูง และพ้ืนท่ีฐานของกรวย
จากการลงมือปฏิบตั ิ โดยมสี ่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดงั น้ี

สื่อ/อปุ กรณ์

1. กระดาษ
2. วงเวียน
3. โพรแทรกเตอร์
4. กรรไกร
5. เทปใส

ขนั้ ตอนการดำ�เนินกิจกรรม

1. ครแู บ่งนกั เรยี นออกเปน็ กลุ่ม กลุม่ ละ 2–3 คน จากนัน้ ให้แต่ละกลุ่มท�ำ ตามขั้นตอนท่ี 1 ของกิจกรรม : ส�ำ รวจกรวย
ในหนงั สอื เรียน หนา้ 135–136 แล้วรว่ มกนั อภิปรายเพ่อื หาค�ำ ตอบในขั้น ตอนท่ี 2 ของกจิ กรรม

2. ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเก่ียวกับความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางท่ีเกิดจากการแบ่งวงกลม
ที่รัศมเี ท่ากนั กับความยาวของสว่ นสงู เอียง ความสูง และพื้นทีฐ่ านของกรวย แล้วสรปุ วา่ กรวยแตล่ ะอันสร้างมาจาก
กระดาษชนิ้ ใด

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 201

เฉลยกจิ กรรม : ส�ำ รวจกรวย

ค�ำ ถามในขน้ั ตอนท่ี 2
1) เท่ากัน เนื่องจากกรวยแต่ละอันสร้างมาจากรูปวงกลมท่ีมีรัศมีเท่ากับ 10 เซนติเมตร ซ่ึงรัศมีของรูปวงกลมนี้

เมอ่ื ประกอบข้นึ เปน็ กรวยจะเป็นสว่ นสูงเอียงของกรวยซงึ่ ยาว 10 เซนติเมตร เช่นเดียวกัน
2) ไม่เทา่ กัน โดยกรวย C สูงท่ีสุด และกรวย D เตี้ยที่สุด
3) ถา้ ขนาดของมุมที่จุดศนู ย์กลางของรปู วงกลมเดิมมีขนาดมากกวา่ แล้วพื้นทฐ่ี านของกรวยจะมากกว่า
4) กรวย D มีพืน้ ที่ฐานมากท่สี ุด
5) ขอบของฐานกรวย คือ ส่วนของเสน้ รอบวงของรปู วงกลมเดมิ
6) ถา้ น�ำ กรวยท้ังส่ที ่ีได้มารอ้ ยเรยี งกนั เป็นโมบาย จะเรยี งลำ�ดับกรวยท่ีทำ�จากกระดาษ A, B, C และ D ไดด้ ังรูป

C

A
B
D

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

202 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 3.4

แนวคิด คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่

ipst. me/1 1433 จากสตู ร ปริมาตรของกรวย = –13 × พื้นทฐ่ี าน × ความสูง
จะเหน็ วา่ ปรมิ าตรของกรวยขนึ้ อยกู่ บั 2 องค์ประกอบ นั่นคือ พ้นื ท่ีฐานกบั ความสูง

ดังนน้ั เราอาจพจิ ารณาความสงู ทเี่ ปน็ ไปได้ เพอ่ื ใหง้ า่ ยตอ่ การค�ำ นวณหารศั มขี องฐาน ไดด้ งั ตวั อยา่ ง

คำ�ตอบต่อไปนี้

จากโจทย ์ ปริมาตรของกรวย = 1,024π ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

จากสูตร ปริมาตรของกรวย = 1–3 × พน้ื ทีฐ่ าน × ความสูง

จะได้ 1,024π = –13πr2h เมื่อ r แทนรศั มขี องฐานของกรวย
และ h แทนความสงู ของกรวย

3(2)10 = r2h

กรวยแบบท่ี 1 ก�ำ หนดความสูงของกรวยเท่ากบั 3 เซนตเิ มตร

น่นั คือ 3(2)10 = r2(3)

r = 25 = 32

ดงั นั้น กรวยแบบท่ี 1 จะสูง 3 เซนตเิ มตร และฐานมีรัศมี 32 เซนตเิ มตร

กรวยแบบท่ี 2 กำ�หนดความสงู ของกรวยเท่ากบั 12 เซนตเิ มตร

นั่นคือ 3(2)10 = r2(12)

r = 24 = 16

ดังนัน้ กรวยแบบที่ 2 จะสูง 12 เซนติเมตร และฐานมีรัศมี 16 เซนตเิ มตร

ชวนคดิ 3.5

แนวคิด สมมุติให้ลูกบาศก์เดิมมีความยาวด้าน ด้านละ 2a หน่วย ทำ�ให้ได้ว่าลูกบาศก์เดิมมีปริมาตร

ipst.me/11434 (2a)3 = 8a3 ลกู บาศก์หน่วย

เม่อื ตัดมุมของลกู บาศกอ์ อกดว้ ยระนาบใหผ้ ่านจดุ ก่ึงกลางของขอบของลูกบาศก์แตล่ ะด้าน

จะไดพ้ ีระมดิ เอียงท่ีมคี วามยาวของฐานและความสงู ดงั รูป

พจิ ารณาปริมาตรของพีระมิดเอียงแตล่ ะชน้ิ

a a ปริมาตรของพีระมดิ เอียง = 13– × พ้นื ทฐ่ี าน × ความสงู

( ) = 13– × 21– × a × a × a = —a63
a

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 203

( )ดงั นนั้ ปรมิ าตรของพรี ะมิดเอยี งท้ัง 8 ช้ิน เท่ากับ 8 a–63 ลูกบาศกห์ น่วย

เนือ่ งจาก ปริมาตรของคิวบอกตะฮีดรอน เท่ากับ ปริมาตรของลูกบาศก์เดิมลบด้วยปริมาตร
ของพรี ะมดิ เอยี งทั้ง 8 ชิ้น

จะได้ ปริมาตรของคิวบอกตะฮีดรอน = 8a3 – —86a3
= 4—06a–3

= –65(8a3)

ดงั น้นั คิวบอกตะฮดี รอนมีปริมาตรเปน็ ห้าในหกเทา่ ของลกู บาศก์เดิม

เฉลยแบบฝึกหดั

แบบฝกึ หัด 3.2 ก

ในการทำ�แบบฝึกหัด นกั เรยี นอาจไดค้ ำ�ตอบแตกต่างจากที่เฉลยไว้ เพราะใชค้ า่ ประมาณของ π ทีแ่ ตกต่างกนั

1. แนวคิด เน่ืองจาก กระโจมมีลกั ษณะเปน็ กรวยสูง 3.25 เมตร ฐานของกระโจมมีรัศมยี าว 1.75 เมตร

จากสตู ร ปรมิ าตรของกรวย = 1–3πr2h เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐานของกรวย และ h แทนความสงู ของกรวย
≈ –13 × 3.14 × (1.75)2 × 3.25
จะได ้ ปริมาตรของอากาศภายในกระโจม ≈ 10.42 ลกู บาศก์เมตร


ดงั นั้น ปรมิ าตรของอากาศภายในกระโจมมีอยปู่ ระมาณ 10.42 ลกู บาศกเ์ มตร

2. แนวคดิ เนอ่ื งจาก เทียนไขแบบทรงกระบอกมีรัศมีของฐานยาว –23 = 1.5 เซนตเิ มตร และสงู 5 เซนตเิ มตร
จากสตู ร ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h เม่อื r แทนรัศมขี องฐาน และ h แทนความสูง
จะได้ ปริมาตรของเทยี นไขทรงกระบอก ≈ 3.14 × (1.5)2 × 5
≈ 35.325 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

เนอ่ื งจาก เทยี นไขแบบกรวยมรี ัศมขี องฐานยาว 2 เซนติเมตร และสงู 6 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

204 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

จากสูตร ปรมิ าตรของกรวย = –13πr2h เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐานของกรวย และ h แทนความสงู

จะได้ ปริมาตรของเทยี นไขแบบกรวย ≈ –13 × 3.14 × 22 × 6
≈ 25.12 ลกู บาศก์เซนติเมตร

ดังนั้น เทียนไขแบบทรงกระบอกจะใช้เนอ้ื เทียนมากกว่าเทียนไขแบบกรวย และมากกว่ากนั อยู่ประมาณ

35.325 – 25.12 = 10.205 ลูกบาศก์เซนติเมตร

3. แนวคดิ เนอื่ งจาก ธูปหอมทรงกรวยสูง 1 นวิ้ และมรี ศั มีของฐานยาว 1–2 ÷ 2 = 41– น้ิว

จากสตู ร ปริมาตรของกรวย = –31πr2h เมอื่ r แทนรศั มีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย
( )ปริมาตรของธูปหอม 1 ชนิ้ ≈ –31 × 3.14 × 41– 2 × 1
จะได ้

≈ 0.06542 ลกู บาศก์นว้ิ

ดงั นนั้ ธูปหอม 1 ชนิ้ จะใช้ขี้เล่อื ยผสมผงไมห้ อมประมาณ 0.06542 ลกู บาศกน์ ้วิ

เนือ่ งจาก ตอ้ งการท�ำ ธูปหอมจำ�นวน 50,000 ชนิ้

ดังน้นั ควรเตรียมข้ีเล่ือยผสมผงไม้หอมเพอ่ื ใชท้ �ำ ธปู หอมไว้ประมาณ 50,000 × 0.06542

≈ 3,271 ลูกบาศกน์ ้ิว

4. แนวคดิ เนอ่ื งจาก ยอดของสถปู วรี ชนมลี กั ษณะเปน็ กรวยกลวงทม่ี คี วามสงู ภายใน 9 เมตร และมรี ศั มภี ายในของฐาน
ยาว –22 = 1 เมตร
จากสูตร ปริมาตรของกรวย = 1–3πr2h เมอ่ื r แทนรัศมขี องฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย
จะได้ ปริมาตรของอากาศในยอดของสถูปวีรชน ≈ –31 × 3.14 × 12 × 9
≈ 9.42 ลกู บาศกเ์ มตร
ดงั น้นั อากาศในยอดของสถูปวรี ชนมปี ริมาตรประมาณ 9.42 ลูกบาศกเ์ มตร

5. แนวคิด เน่ืองจาก ครีมบรรจอุ ยู่ในกรวยท่มี รี ศั มยี าว 5 เซนตเิ มตร และสงู 10 เซนตเิ มตร สามารถทำ�ดอกไมท้ ีม่ ี

ขนาดเท่ากันบนหน้าเคก้ ได้ 15 ดอก

จากสูตร ปรมิ าตรของกรวย = 1–3πr2h เม่อื r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย
จะได้ ปรมิ าตรของครีมในกรวย 1 อนั ≈ –31 × 3.14 × 52 × 10
≈ 261.67 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

เนื่องจาก ครีมท่ีบรรจใุ นกรวย 1 อนั สามารถท�ำ ดอกไม้ท่มี ขี นาดเท่ากันบนหน้าเคก้ ได้ 15 ดอก

และ ตอ้ งการทำ�ดอกไมข้ นาดเดยี วกันน้ี 180 ดอก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 205

ดังนั้น ตอ้ งใช้ครมี ในกรวยขนาดนี้ จำ�นวน 180 ÷ 15 = 12 อนั
น่ันคอื ต้องใชค้ รีมทมี่ ีปรมิ าตรอย่างน้อยประมาณ 12 × 261.67 = 3,140.04 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

6. แนวคิด เน่ืองจาก กรวยกระดาษสงู 10 เซนติเมตร และมีรัศมขี องปากกรวยยาว 8–2 = 4 เซนติเมตร
จากสตู ร ปรมิ าตรของกรวย = 3–1πr2h เมื่อ r แทนรศั มีของฐานของกรวย และ h แทนความสงู ของกรวย
จะได้ ปรมิ าตรของน�ำ้ ในกรวยกระดาษ 1 อัน ≈ 31– × 3.14 × 42 × 10
≈ 167.4667 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

เน่ืองจาก นักเรยี น 50 คน ดมื่ น้�ำ จากกรวยกระดาษคนละไม่เกิน 2 ครั้ง
ดงั น้นั จะใชน้ ำ�้ ไมเ่ กิน 50 × 2 × 167.4667 = 16,746.67 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
แต่มนี �้ำ ด่มื 20 ลิตร หรอื 20,000 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร
น่นั คือ น�ำ้ ด่ืม 20 ลิตร จะเพียงพอสำ�หรับทุกคน

7. แนวคิด เนอ่ื งจาก กรวยมีปริมาตร 48π ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร และมรี ศั มขี องฐานยาว 2–8 = 4 เซนตเิ มตร
จากสตู ร ปรมิ าตรของกรวย = 1–3πr2h เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐานของกรวย และ h แทนความสงู ของกรวย

จะได้ 48π = 31– × π × 42 × h

h = 9

ดังนั้น กรวยสูง 9 เซนตเิ มตร

8. แนวคดิ กรวยที่ใหญ่ท่ีสุดที่สามารถบรรจุอยู่ภายในพีระมิดฐานส่ีเหล่ียมจัตุรัสโดยใช้ยอดร่วมกัน จะมีความสูง

เทา่ กับความสูงของพรี ะมดิ และมรี ัศมีของฐานยาวเปน็ คร่ึงหน่ึงของความยาวดา้ นของฐานส่เี หล่ียมจัตรุ ัส

เน่อื งจาก พรี ะมิดสงู 18 เซนติเมตร และมีฐานยาวดา้ นละ 15 เซนติเมตร

จะไดว้ ่า กรวยที่ใหญ่ที่สุด สงู 18 เซนติเมตร และรัศมีของฐานยาว 1—25 เซนตเิ มตร
จากสตู ร ปรมิ าตรของกรวย = 1–3πr2h เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐานของกรวย และ h แทนความสงู ของกรวย

( ) จะได ้ ปรมิ าตรของกรวย ≈ 1–3 × 3.14 × 1—25 2 × 18

≈ 1,059.75 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ดงั นั้น กรวยท่ีใหญ่ที่สุดที่สามารถบรรจุอยู่ภายในพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้ยอดร่วมกันมีปริมาตร

ประมาณ 1,059.75 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

206 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

แบบฝกึ หัด 3.2 ข

1. แนวคิด

12

5

เนอื่ งจาก กรวยสังกะสมี รี ศั มขี องฐานยาว 1—20 = 5 เซนตเิ มตร และสงู 12 เซนตเิ มตร
ให ้ แทนส่วนสงู เอียงของกรวย

จะได ้ 2 = 52 + 122

= 169

= 13

จากสูตร พ้ืนท่ีผวิ ข้างของกรวย = πr เมอ่ื r แทนรศั มีของฐานของกรวย

จะได้ กรวยสังกะสีมีพนื้ ที่ผิวข้างประมาณ 3.14 × 5 × 13 = 204.1 ตารางเซนตเิ มตร

2. แนวคิด

30

80

เนอ่ื งจาก กระโจมสงู 150 เซนติเมตร และส่วนล่างเป็นทรงกระบอกสงู 120 เซนติเมตร
ดงั นน้ั ส่วนหลังคาทีเ่ ปน็ กรวยสูง 30 เซนติเมตร
เนื่องจาก รศั มขี องหลงั คาทเี่ ป็นกรวยยาวเทา่ กบั รศั มีของฐานกระโจมทเ่ี ปน็ ทรงกระบอก ซ่งึ ยาว 80 เซนติเมตร
จะได ้ หลังคาสว่ นที่เปน็ กรวยสูง 30 เซนตเิ มตร และมีรศั มขี องฐานยาว 80 เซนตเิ มตร
ให้ แทนสว่ นสงู เอยี งของกรวย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 207

จะได้ 2 = 302 + 802

= 7,300
≈ 85.44

จากสตู ร พน้ื ท่ผี วิ ขา้ งของกรวย = πr เมอื่ r แทนรศั มขี องฐานของกรวย

จะได้ พ้ืนทีท่ สี่ ามารถเขยี นลวดลายได้บนหลงั คากระโจมมีประมาณ 3.14 × 80 × 85.44

≈ 21,462.528 ตารางเซนตเิ มตร

3. แนวคิด

3

4

ลกู ตุม้ เหลก็ มลี กั ษณะเปน็ กรวยสงู 4 เซนติเมตร และมรี ัศมยี าว –62 = 3 เซนตเิ มตร
ให ้ แทนสว่ นสูงเอยี งของกรวย

จะได ้ 2 = 42 + 32

= 25

= 5

จากสูตร พนื้ ทผ่ี วิ ของกรวย = πr + πr2 เม่อื r แทนรัศมีของฐานของกรวย

ดงั น้นั ลกู ตุ้มเหลก็ มีพืน้ ทผ่ี วิ ประมาณ (3.14 × 3 × 5) + (3.14 × 32) = 75.36 ตารางเซนตเิ มตร

จากสตู ร ปรมิ าตรของกรวย = –13πr2h เมือ่ h แทนความสูงของกรวย
จะได ้ ลูกตุม้ เหล็กมีปรมิ าตรประมาณ –13 × 3.14 × 32 × 4 = 37.68 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

208 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4. แนวคิด

30

r
62.8

เนอื่ งจาก หมวกมีความยาวรอบฐานหมวก 62.8 เซนตเิ มตร

จากสตู ร ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม = 2πr เมอื่ r แทนรศั มขี องวงกลม

จะได้ 62.8 = 2πr
r = 3—1π.–4


เนือ่ งจาก หมวกมีส่วนสงู เอยี งยาว 30 เซนตเิ มตร

จากสูตร พ้ืนที่ผิวขา้ งของกรวย = πr เมือ่ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ แทนสว่ นสงู เอียงของกรวย

จะได้ หมวกแต่ละใบต้องใช้กระดาษอย่างนอ้ ย π × 3—1π.– 4 × 30 = 942 ตารางเซนติเมตร

5. แนวคิด

27

r
128

เนอื่ งจาก หมวกมีความยาวของเส้นรอบวงของฐานหมวก 128 เซนตเิ มตร

จากสตู ร ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม = 2πr เมื่อ r แทนรศั มขี องวงกลม

จะได ้ 128 = 2πr

r = 6—π4

เน่อื งจาก หมวกรูปกรวยมสี ่วนสูงเอยี งยาว 27 เซนตเิ มตร

จากสูตร พ้ืนทผ่ี ิวข้างของกรวย = πr เมือ่ r แทนรัศมีของฐานของกรวย และ แทนสว่ นสงู เอยี งของกรวย

จะได้ พ้นื ทขี่ องใบลานซงึ่ เปน็ ผิวขา้ งของกรวยเทา่ กบั π × —6π4 × 27 = 1,728 ตารางเซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 209

6. แนวคดิ

10 12

72

เนอ่ื งจาก ฝาครอบขา้ วเกรียบปากหมอ้ มีส่วนฐานใกลเ้ คียงกบั ทรงกระบอกท่ีมรี ศั มียาว 1—24 = 7 เซนตเิ มตร
สงู 2 เซนตเิ มตร และสว่ นบนใกลเ้ คยี งกบั กรวยทมี่ รี ศั มยี าว 7 เซนตเิ มตร สงู 12 – 2 = 10 เซนตเิ มตร

ให ้ แทนส่วนสูงเอียงของกรวย

จะได้ 2 = 102 + 72

= 149
≈ 12.21

จากสตู ร พน้ื ท่ผี วิ ขา้ งของกรวย = πr เมอ่ื r แทนรัศมีของฐานของกรวย

จะได ้ พืน้ ทผี่ วิ ภายนอกของฝาครอบขา้ วเกรยี บปากหม้อสว่ นบน ≈ 2—72 × 7 × 12.21
≈ 268.62 ตารางเซนติเมตร

จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของทรงกระบอก = 2πrh เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐาน และ h แทนความสูง

จะได ้ พ้ืนท่ผี วิ ภายนอกของฝาครอบข้าวเกรียบปากหมอ้ ส่วนฐาน ≈ 2 × 2—72 × 7 × 2
≈ 88 ตารางเซนตเิ มตร
ดงั นัน้ พ้นื ทผี่ วิ ภายนอกท้ังหมดของฝาครอบข้าวเกรยี บปากหมอ้ ≈ 268.62 + 88

≈ 356.62 ตารางเซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

210 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2
h7
7. แนวคิด

r=7

เนื่องจาก วงกลมมีรศั มยี าว 7 เซนติเมตร

จากสตู ร ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม = 2πr เมอ่ื r แทนรศั มีของวงกลม

จะได้ ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมประมาณ 2 × 2—72 × 7 = 44 เซนตเิ มตร
เน่ืองจาก สร้างกรวยจากกระดาษคร่งึ วงกลม

ดงั นน้ั ความยาวรอบฐานของกรวยทม่ี พี น้ื ทผ่ี วิ ขา้ งมากทส่ี ดุ จะเทา่ กบั ครง่ึ หนง่ึ ของความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลม

จะได ้ ความยาวรอบฐานของกรวยประมาณ 4—24 = 22 เซนตเิ มตร
จากสตู ร ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลม = 2πr

จะได ้ 22 ≈ 2 × 2—72 × r
r ≈ 3.5

ดงั นน้ั ฐานของกรวยมีรศั มียาวประมาณ 3.5 เซนติเมตร

เนือ่ งจาก เมอ่ื น�ำ ครงึ่ วงกลมทมี่ รี ศั มียาว 7 เซนตเิ มตร มาทำ�เป็นกรวย จะได้รัศมขี องครึ่งวงกลมเปน็ สว่ นสูงเอยี ง

ของกรวยซึง่ ยาว 7 เซนตเิ มตร

ให้กรวยสูง h เซนติเมตร

จะได้ h2 = 72 – r2

≈ 72 – (3.5)2

≈ 36.75

h ≈ 6.06

ดงั นั้น กรวยสงู ประมาณ 6.06 เซนตเิ มตร

นน่ั คือ ฐานของกรวยมรี ัศมยี าวประมาณ 3.5 เซนติเมตร และกรวยสงู ประมาณ 6.06 เซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 211

8. แนวคิด

r
14

เน่อื งจาก เพชรต้องการทำ�กรวยท่ีมคี วามจุ 297 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร และมีความสูง 14 เซนตเิ มตร

จากสูตร ปรมิ าตรของกรวย = –31πr2h เม่ือ r แทนรศั มขี องฐานของกรวย และ h แทนความสงู ของกรวย

จะได้ 297 ≈ 1–3 × 2—72 × r2 × 14
r2 ≈ 20.25

r ≈ 4.5

ดังนั้น กรวยมีรัศมีของฐานยาวประมาณ 4.5 เซนติเมตร

ให้ แทนส่วนสงู เอยี งของกรวย

จะได ้ 2 = 142 + r2

≈ 142 + (4.5)2

≈ 216.25

≈ 14.71

ดังนั้น กรวยมสี ่วนสงู เอียงยาวประมาณ 14.71 เซนตเิ มตร

จากสตู ร พ้ืนทผี่ ิวข้างของกรวย = πr เมอ่ื r แทนรัศมขี องฐานของกรวย
ดงั นั้น กรวยอนั หนงึ่ ใช้สงั กะสปี ระมาณ 2—72 × 4.5 × 14.71 ≈ 208 ตารางเซนติเมตร
เนื่องจาก สว่ นสงู เอยี งของกรวยจะเทา่ กบั ความยาวของรัศมีของวงกลมที่จะนำ�มาทำ�กรวย

น่นั คอื เพชรจะตอ้ งตัดสงั กะสจี ากแผ่นสงั กะสีรูปวงกลมที่มรี ศั มียาวประมาณ 14.71 เซนตเิ มตร

จากสตู ร พน้ื ทข่ี องวงกลม = πr2 เมอ่ื r แทนรัศมขี องวงกลม

จะได้ พื้นทีข่ องแผน่ สังกะสรี ูปวงกลม ≈ 2—72 × (14.71)2
≈ 680 ตารางเซนตเิ มตร

ดงั นั้น แผน่ สงั กะสีรปู วงกลมมพี นื้ ทปี่ ระมาณ 680 ตารางเซนตเิ มตร

เนื่องจาก 6—28008 ≈ 3.27

ดังนัน้ เพชรจะสามารถท�ำ กรวยจากสังกะสที มี่ พี นื้ ที่ประมาณ 680 ตารางเซนติเมตร ได้มากท่สี ดุ 3 อนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

212 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

3.3 ปรมิ าตรและพ้ืนทผ่ี ิวของทรงกลม (5 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นกั เรียนสามารถ
1. อธิบายลักษณะและสว่ นตา่ ง ๆ ของทรงกลม
2. หาปรมิ าตรของทรงกลมและน�ำ ความรู้ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา
3. หาพ้นื ทีผ่ ิวของทรงกลมและนำ�ความรไู้ ปใชใ้ นการแก้ปญั หา

ความเข้าใจทคี่ ลาดเคล่อื น

-

สือ่ ทแี่ นะนำ�ให้ใช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้

1. อปุ กรณข์ องกจิ กรรม : ปริมาตรของทรงกลม
2. อปุ กรณ์ของกิจกรรมเสนอแนะ 3.3 : พ้นื ท่ีผิวของทรงกลม

ข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเรื่องเก่ียวกับปริมาตรและพ้ืนที่ผิวของทรงกลม ซ่ึงต้องการให้นักเรียนรู้จักส่วนประกอบต่าง ๆ ของ
ทรงกลม และความหมายของทรงกลมในทางคณิตศาสตร์ รวมถึงให้นักเรียนทำ�กิจกรรมเชิงสำ�รวจเพ่ือสร้างข้อสรุปเกี่ยวกับ
สูตรการหาปริมาตรและพื้นท่ีผิวของทรงกลม โดยอาศัยความรู้เร่ืองปริมาตรของทรงกระบอกและพีระมิด เพื่อให้นักเรียนเห็น
ความสมั พนั ธ์และทม่ี าของสตู รการหาปริมาตรและพื้นทีผ่ วิ ของทรงกลม แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นร้อู าจทำ�ไดด้ ังนี้
1. ครูสนทนากับนักเรียนเก่ียวกับสิ่งของในชีวิตประจำ�วันท่ีมีลักษณะคล้ายทรงกลม และร่วมกันอภิปรายเพ่ือ

ให้ได้ขอ้ สรปุ เกยี่ วกับลกั ษณะและสว่ นตา่ ง ๆ ของทรงกลม รวมถึงความหมายของทรงกลมในทางคณติ ศาสตร์
2. ครใู หน้ ักเรยี นท�ำ “กิจกรรม : ปริมาตรของทรงกลม” ในหนงั สือเรยี น หน้า 150–151 เพอ่ื ให้นักเรียนได้สำ�รวจ

สังเกต สร้างข้อความคาดการณ์ และหาข้อสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของทรงกลมและปริมาตร
ของทรงกระบอกทม่ี คี วามยาวของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของฐานและความสงู เทา่ กบั ความยาวของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง
ของทรงกลม ซึ่งจะได้ว่า สามเทา่ ของปรมิ าตรของคร่งึ ทรงกลมเทา่ กบั ปริมาตรของทรงกระบอก เพอื่ นำ�ไปสูส่ ูตร
การหาปรมิ าตรของทรงกลม
ครูอาจใชว้ ดี ทิ ัศนใ์ นกรอบสอ่ื เสรมิ เพิ่มความรู้ ในหนงั สอื เรยี น หน้า 151 แทนการทำ�กิจกรรมในชน้ั เรียน
ซ่ึงยังสามารถช่วยให้นักเรียนสร้างข้อความคาดการณ์ และหาข้อสรุปเก่ียวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของ
คร่ึงทรงกลมกับปรมิ าตรของทรงกระบอก เพ่อื น�ำ ไปสู่สูตรการหาปรมิ าตรของทรงกลมได้เชน่ เดียวกัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 213

3. ครูให้นักเรียนสังเกตว่าในการหาพ้ืนท่ีผิวของทรงกลม เมื่อแบ่งพ้ืนท่ีผิวโค้งของทรงกลมออกเป็นรูปหลายเหล่ียม
หลาย ๆ รปู และมีจ�ำ นวนมากพอแล้ว จะสามารถใชค้ วามรู้ในเรอ่ื งการหาปรมิ าตรของทรงกลมและพีระมิดมาใช้
ในการให้เหตุผลประกอบ เพอ่ื เช่ือมโยงไปสู่สูตรการหาพน้ื ทผี่ วิ ของทรงกลม

ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 3.3 : พื้นที่ผิวของทรงกลม” ในคู่มือครู หน้า 216–217 เพ่ือยืนยัน
สตู รการหาพนื้ ทผี่ วิ ของทรงกลม ซง่ึ จะท�ำ ใหน้ กั เรยี นไดม้ โี อกาสส�ำ รวจ สรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ และยนื ยนั ขอ้ สรปุ
เกย่ี วกบั สตู รการหาพน้ื ท่ผี ิวของทรงกลม

4. ครูอาจใช้ชวนคดิ 3.8 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 154 ให้นักเรียนไดฝ้ ึกใชก้ ารนกึ ภาพและจินตนาการ เพอ่ื ให้ได้
ขอ้ สรปุ วา่ ทรงกลมทใี่ หญท่ ส่ี ดุ น้ี ควรเปน็ ทรงกลมทม่ี เี สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางยาวเทา่ กบั ความยาวของดา้ นของลกู บาศก์
ทกี่ �ำ หนดให้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

214 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

กจิ กรรม : ปริมาตรของทรงกลม

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเ่ี ปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นไดล้ งมอื ส�ำ รวจ สรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ และหาขอ้ สรปุ เกย่ี วกบั ความสมั พนั ธ์
ระหว่างปรมิ าตรของครึ่งทรงกลมและปริมาตรของทรงกระบอกทม่ี คี วามยาวของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของฐานและความสงู เทา่ กับ
ความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของครง่ึ ทรงกลม ซ่ึงจะน�ำ ไปสู่สตู รการหาปรมิ าตรของทรงกลม โดยมสี ื่อ/อุปกรณ์ และขัน้ ตอน
การด�ำ เนินกิจกรรม ดงั นี้

สอ่ื /อุปกรณ์

1. ลกู บอลพลาสติกผ่าครึง่
2. กระดาษแขง็
3. กรรไกร
4. เทปใส
5. ทราย

ขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครูแบง่ นักเรียนเป็นกล่มุ กลมุ่ ละ 4–5 คน จากน้ันทำ�กิจกรรมตามข้ันตอนการทำ�กิจกรรม ในหนงั สือเรยี น หนา้ 150

โดยระหว่างการท�ำ กิจกรรม ครูอาจตั้งค�ำ ถามให้นกั เรยี นสงั เกตและส�ำ รวจ เช่น

1) ในข้ันตอนที่ 1 นกั เรียนจะมีวธิ กี ารในการหารัศมขี องลูกบอลพลาสตกิ ผ่าครึ่งไดอ้ ย่างไร

แนวค�ำ ตอบ

✤ วดั ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมที่เปน็ ขอบของครง่ึ ทรงกลม แล้วหารัศมจี ากสตู ร

ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม = 2πr

✤ วาดหน้าตัดของลูกบอลพลาสติกผ่าครึ่งลงบนกระดาษ จากน้ันตัดกระดาษท่ีเป็นรูปวงกลม ซ่ึงเป็น

หน้าตัดของลูกบอล แล้วพับครึ่งกระดาษรูปวงกลมนั้น จะได้เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม แล้วพับ

แบง่ คร่งึ กระดาษอีกครั้ง จะได้รศั มีวงกลม

✤ วาดหนา้ ตดั ของลกู บอลพลาสตกิ ผา่ ครง่ึ ลงบนกระดาษ จากนน้ั หาจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมทเี่ ปน็ หนา้ ตดั

นัน้ โดยใชค้ วามรู้ที่ว่าเส้นทีแ่ บง่ ครง่ึ และต้งั ฉากกบั คอร์ด จะตัดกันท่จี ุดศูนยก์ ลาง จากนน้ั สร้างรศั มีจาก

จดุ ศนู ย์กลางทไี่ ด้

2) ในขัน้ ตอนท่ี 2 นักเรียนจะมีวิธกี ารสร้างทรงกระบอกให้มีขนาดตามทกี่ ำ�หนดไดอ้ ย่างไรบ้าง

แนวค�ำ ตอบ สรา้ งรูปคลข่ี องทรงกระบอก โดยให้ r เทา่ กับรัศมีของวงกลมทไ่ี ด้จากขัน้ ตอนท่ี 1 ดังรปู

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 215

r

2r

2πr

3) ในขน้ั ตอนที่ 3 นักเรยี นคดิ ว่าจะตอ้ งเททรายจากลูกบอลพลาสตกิ ผา่ ครงึ่ กีค่ รง้ั จึงจะเตม็ ทรงกระบอกพอดี
แนวค�ำ ตอบ 3 ครงั้
2. ครูและนักเรียนรว่ มกันอภปิ รายผลทไ่ี ด้จากการทำ�กิจกรรม และตอบคำ�ถามท้ายกิจกรรม ในหนงั สือเรยี น หน้า 151

เพ่ือนำ�ไปสู่การสรุปสตู รการหาปริมาตรของทรงกลม

หมายเหต ุ ในการทำ�กิจกรรม หากนักเรียนบรรจุทรายลงในคร่ึงทรงกลมแน่นเกินไปหรือไม่เต็มครึ่งทรงกลมพอดี อาจทำ�ให้เกิดความคลาดเคลื่อนได้
ดงั นนั้ ครูอาจใหน้ กั เรียนทดลอง 2–3 ครัง้ เพ่อื ใหเ้ หน็ แนวโน้มทจี่ ะน�ำ ไปสกู่ ารสรา้ งขอ้ ความคาดการณไ์ ดง้ า่ ยขึน้

เฉลยคำ�ถามท้ายกิจกรรม

1. 3 ครง้ั
2. ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น
✤ ปรมิ าตรของทรงกระบอกเปน็ สามเท่าของปริมาตรของคร่ึงทรงกลม เมอ่ื รัศมีของฐานของทรงกระบอกเทา่ กบั

รศั มขี องครงึ่ ทรงกลม และความสงู ของทรงกระบอกเป็นสองเทา่ ของรัศมขี องครึ่งทรงกลม
✤ ปริมาตรของคร่ึงทรงกลมเป็นหน่ึงในสามของปริมาตรของทรงกระบอก เมื่อรัศมีของคร่ึงทรงกลมเท่ากับรัศมี

ของฐานของทรงกระบอก และรัศมขี องครงึ่ ทรงกลมเปน็ คร่งึ หน่งึ ของความสงู ของทรงกระบอก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

216 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

กิจกรรมเสนอแนะ 3.3 : พ้นื ทผี่ วิ ของทรงกลม

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่เปิดโอกาสให้นักเรียนได้ลงมือสำ�รวจ สร้างข้อความคาดการณ์ และยืนยันข้อสรุปเกี่ยวกับ
สูตรการหาพื้นท่ีผิวของทรงกลม โดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่างพ้ืนท่ีผิวของทรงกลมและวงกลมท่ีมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน
โดยมีสือ่ /อุปกรณ์ และข้ันตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดังน้ี

สือ่ /อุปกรณ์

1. ลูกเทนนสิ
2. เชือกป่าน
3. อุปกรณ์สำ�หรบั วดั เส้นผ่านศนู ยก์ ลางของลกู เทนนิส เชน่ เชือก ไมบ้ รรทัด เวอรเ์ นยี รค์ าลิเปอร์ บลอ็ กไม้ 2 อนั
4. วงเวยี น
5. เทปเย่ือกาวสองหน้าแบบบาง
6. เขม็ หมุด
7. กรรไกร

ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม

1. ครแู บง่ นักเรียนออกเปน็ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4–5 คน แล้วแจกอุปกรณใ์ ห้นักเรยี นแต่ละกลมุ่ จากน้นั ใหน้ ักเรยี นวัดความยาว
ของเส้นผา่ นศนู ย์กลางของลูกเทนนิส โดยเลือกใชอ้ ุปกรณท์ ่เี ตรียมให้ หรือวธิ กี ารทางเรขาคณติ อ่นื ๆ

2. ครูใหน้ ักเรียนใชเ้ ชือกพันรอบลูกเทนนิสใหเ้ ตม็ ดังรูป เพอื่ ใหง้ า่ ยตอ่ การพันเชอื กอาจใช้เทปเยอ่ื กาวสองหนา้ แบบบาง
พันรอบลูกเทนนิสก่อน จากน้ัน ยึดปลายข้างหนึ่งของเชือกด้วยเข็มหมุดแล้วพันรอบลูกเทนนิส (ข้อเสนอแนะ :
ในการพันเชือกไมค่ วรดึงเชือกแนน่ เกินไป หรอื หลวมเกินไป เพราะจะทำ�ให้เกดิ ความคลาดเคล่ือนเพม่ิ มากขน้ึ )

ครอู ภปิ รายเพม่ิ เตมิ กบั นกั เรยี น เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นสงั เกตและเขา้ ใจวา่ บรเิ วณทเ่ี ชอื กสมั ผสั และพนั รอบลกู เทนนสิ
เป็นพ้นื ทีผ่ วิ ของลูกเทนนสิ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 217

3. ครูให้นักเรียนตัดกระดาษเป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับรัศมีของลูกเทนนิส แล้วใช้เชือกท่ีได้จากการพันรอบ
ลกู เทนนสิ มาขดบนกระดาษรปู วงกลม เมอ่ื ขดเตม็ วงใหต้ ดั เชอื กออก ทง้ั น้ี ครคู วรอภปิ รายเพม่ิ เตมิ เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นสงั เกตวา่
พื้นทข่ี องวงกลมน้ีจะเทา่ กับพืน้ ท่ผี ิวบางส่วนของลูกเทนนสิ แล้วใหน้ ักเรยี นลองคาดการณว์ า่ จะสามารถขดเชอื กเปน็
วงกลมได้ก่ีวง จึงจะเท่ากับพื้นท่ีผิวท้ังหมดของลูกเทนนิส จากนั้น ให้นักเรียนลงมือปฏิบัติเพ่ือตรวจสอบข้อความ
คาดการณ์ โดยนำ�เชือกทเี่ หลอื ไปขดบนกระดาษรูปวงกลมชนิ้ ตอ่ ๆ ไปจนเชอื กหมด

4. ครูให้นักเรียนอภิปรายเก่ียวกับความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมพ้ืนที่ของวงกลมท่ีขดได้ กับพ้ืนที่ผิวของลูกเทนนิส

ซ่ึงเป็นพืน้ ที่ผวิ ของทรงกลม จนไดข้ ้อสรุปวา่
พ้ืนทผ่ี ิวของลกู เทนนสิ ท่มี รี ศั มี r หน่วย เท่ากับ πr2 + πr2 + πr2 + πr2 ตารางหน่วย
หรือเทา่ กบั 4πr2 ตารางหนว่ ย

ดังนั้น พื้นทีผ่ ิวของทรงกลม = 4πr2 เมอ่ื r แทนรัศมีของทรงกลม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

218 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 3.6

แนวคดิ ถา้ น�ำ ระนาบมาตดั ทรงกลม หนา้ ตดั ทไี่ ดจ้ ะเปน็ วงกลม โดยหนา้ ตดั ทไี่ ดจ้ ากการตดั ทรงกลมในต�ำ แหนง่

ipst.me/11435 ทหี่ า่ งจากจดุ ศนู ยก์ ลางของทรงกลมเทา่ กนั จะไดว้ งกลมทม่ี ขี นาดเทา่ กนั และหนา้ ตดั ทไี่ ดจ้ ากการตดั
ทรงกลมในตำ�แหนง่ ท่ีหา่ งจากจุดศนย์กลางไม่เทา่ กัน จะเป็นวงกลมท่มี ีขนาดไม่เทา่ กนั

ชวนคดิ 3.7

แนวคดิ วงกลมใหญ่ของทรงกลมมีได้นับไมถ่ ้วน

ipst. me/1 1436 ถ้าก�ำ หนดจดุ จดุ หน่ึงบนทรงกลม จะมีวงกลมใหญ่ผ่านจดุ นีไ้ ด้นบั ไมถ่ ว้ นเช่นกัน

ชวนคิด 3.8

แนวคดิ ทรงกลมท่ใี หญท่ ่ีสุดท่สี ร้างจากลกู บาศกข์ นาด 1 × 1 × 1 ลูกบาศก์เมตร คือทรงกลมท่มี เี ส้นผ่าน

ipst.me/11437 ศนู ยก์ ลาง 1 เมตร ท่แี นบในลกู บาศกน์ น้ั แสดงได้ดังรปู

1
1

1
1

ปรมิ าตรของหนิ ออ่ นทแ่ี กะสลกั ออกไป เทา่ กบั ปรมิ าตรของลกู บาศกล์ บดว้ ยปรมิ าตรของทรงกลมแนบใน

จะได ้ ปริมาตรของหินอ่อนทแี่ กะสลกั ออกไป = 13 – 43–πr3

[ ( ) ] ≈ 1 – 43– × 2—72 × 21– 3
≈ 1 – 12—11

≈ 12—01

ดงั นัน้ ช่างดนยั สกัดหนิ ออ่ นออกไปคดิ เป็นปริมาตรประมาณ 12—01 ลูกบาศกเ์ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 219

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหัด 3.3 ก

ในการท�ำ แบบฝึกหดั นักเรยี นอาจไดค้ ำ�ตอบแตกต่างจากทีเ่ ฉลยไว้ เพราะใช้ค่าประมาณของ π ท่ีแตกตา่ งกนั

1. แนวคดิ เนื่องจาก ลกู ทุม่ น้�ำ หนักเหล็กทรงกลมมรี ศั มียาว 1—28 = 9 เซนติเมตร
จากสูตร ปรมิ าตรของทรงกลม = –34πr3 เมอื่ r แทนรัศมขี องทรงกลม
จะได ้ ปริมาตรของลูกทุม่ น้ำ�หนักเหล็ก ≈ 43– × 3.14 × 93
≈ 3,052.08 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

2. แนวคิด เน่ืองจาก กรวยแรกมไี อศกรีมทีม่ ลี ักษณะเปน็ ทรงกลม 2 ลกู แตล่ ะลูกมีรศั มี 2.5 เซนติเมตร

และกรวยท่ีสองมไี อศกรมี ทมี่ ลี กั ษณะเป็นทรงกลม 3 ลูก แตล่ ะลูกมีรศั มี 1.5 เซนตเิ มตร

จากสูตร ปรมิ าตรของทรงกลม = –34πr3 เมื่อ r แทนรัศมขี องทรงกลม

[ ] จะได้ ปริมาตรของไอศกรมี ในกรวยแรก ≈ 2 × –43 × 3.14 × (2.5)3

≈ 130.83 ลูกบาศก์เซนติเมตร

[ ] และ ปริมาตรของไอศกรมี ในกรวยทสี่ อง ≈ 3 × 4–3 × 3.14 × (1.5)3

≈ 42.39 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

ดังนนั้ กรวยแรกมไี อศกรีมมากกว่ากรวยท่สี อง

3. แนวคดิ เนือ่ งจาก ลกู ฟุตบอลวัดความยาวรอบวงกลมใหญ่ได้ 69 เซนตเิ มตร

จากสูตร ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลม = 2πr เมอื่ r แทนรัศมขี องวงกลม
2 × 2—72 × r
จะได ้ 69 ≈ 11
r ≈

นน่ั คือ ลกู ฟตุ บอลมีรศั มีภายนอกยาวประมาณ 11 เซนติเมตร

เนือ่ งจาก ลูกฟุตบอลทำ�ดว้ ยหนงั ทม่ี คี วามหนา 0.5 เซนตเิ มตร

ดงั นั้น ลกู ฟุตบอลมีรัศมีภายในยาวประมาณ 11 – 0.5 = 10.5 เซนตเิ มตร

จากสูตร ปรมิ าตรของทรงกลม = 43–πr3 เมื่อ r แทนรัศมขี องทรงกลม
จะได ้ ลกู ฟตุ บอลจะจุลมได้ประมาณ 3–4 × 2—72 × (10.5)3 ≈ 4,851 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

220 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คู่มือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4. แนวคิด เนื่องจาก แตงโมมคี วามยาวรอบวงกลมใหญ่ 55 เซนติเมตร

จากสตู ร ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม = 2πr เมอื่ r แทนรศั มีของวงกลม

จะได้ 55 ≈ 2 × 2—72 × r
r ≈ 8.75

น่ันคือ แตงโมมีรศั มีภายนอกยาวประมาณ 8.75 เซนติเมตร

เนอ่ื งจาก เปลอื กแตงโมหนา 1 เซนติเมตร

ดงั น้นั แตงโมส่วนที่เป็นเน้อื แดงมีรัศมียาวประมาณ 8.75 – 1 = 7.75 เซนตเิ มตร

จากสตู ร ปริมาตรของทรงกลม = 3–4πr3 เมอ่ื r แทนรัศมีของทรงกลม
จะได้ เนื้อแดงของแตงโมจะมีปรมิ าตรประมาณ –34 × 3.14 × (7.75)3 = 1,948.83 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

5. แนวคดิ เนือ่ งจาก อกิ ลทู ำ�ด้วยก้อนนำ�้ แข็งซึง่ มีความหนาประมาณ 20 เซนตเิ มตร หรือ 0.2 เมตร และมีลกั ษณะ
เปน็ คร่งึ ทรงกลมสงู ประมาณ 2 เมตร

ดงั นั้น อกิ ลคู รง่ึ ทรงกลมมรี ศั มภี ายในประมาณ 2 – 0.2 = 1.8 เมตร

จากสตู ร ปริมาตรของทรงกลม = 3–4πr3 เมือ่ r แทนรศั มขี องทรงกลม

[ ] จะได้ ปรมิ าตรของอากาศภายในอกิ ลู ≈ 2–1 × –34 × 3.14 × (1.8)3

≈ 12.21 ลกู บาศกเ์ มตร

6. แนวคดิ เน่ืองจาก กะปิทอดมีลักษณะเป็นก้อนทรงกลมมรี ศั มปี ระมาณ –12 เซนติเมตร
จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม = 3–4πr3 เมือ่ r แทนรศั มีของทรงกลม

( ) ดงั น้นั กะปทิ อด 1 ลกู จะมปี ริมาตรประมาณ 3–4 × 2—72 × 2–1 3 = 12—11 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

เน่อื งจาก กะปิทอดแตล่ ะลกู มีกะปเิ ปน็ ส่วนประกอบประมาณ 5%

ดังนั้น กะปิทอดแต่ละลกู จะใช้กะปิประมาณ 1—050 × 12—11 = 4—1210 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

เน่อื งจาก กะปิ 1 ถว้ ยตวง มีปรมิ าตร 240 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

ดงั นัน้ จะทำ�กะปทิ อดได้ประมาณ 240 ÷ 4—1210 ≈ 9,163.64 ลูก

น่นั คอื กะปิ 1 ถว้ ยตวง จะท�ำ กะปิทอดไดป้ ระมาณ 9,163 ลูก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 221

7. แนวคิด เนื่องจาก ห้องฉายดาวมยี อดโดมเป็นครง่ึ ทรงกลมมีรัศมีภายในยาว 2—02. 6 = 10.3 เมตร

และ ฐานโดมเป็นทรงกระบอกทม่ี ีรัศมภี ายในยาว 10.3 เมตร สงู 3 เมตร

จากสูตร ปรมิ าตรของทรงกลม = 4–3πr3 เมอ่ื r แทนรศั มีของทรงกลม
[ ] จะได ้
ปรมิ าตรของอากาศภายในยอดโดม ≈ –12 × 34– × 3.14 × (10.3)3
≈ 2,287.44 ลูกบาศกเ์ มตร

จากสตู ร ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2h เมื่อ r แทนรัศมขี องฐาน และ h แทนความสูง

จะได ้ ปรมิ าตรของอากาศภายในฐานโดม ≈ 3.14 × (10.3)2 × 3

≈ 999.37 ลกู บาศก์เมตร

ดงั นั้น ปรมิ าตรของอากาศภายในหอ้ งฉายดาว ≈ 2,287.44 + 999.37

≈ 3,286.81 ลูกบาศกเ์ มตร

8. แนวคดิ เนื่องจาก กอ้ นขผ้ี ้งึ ทรงกลมสามลกู แตล่ ะลูกมีรศั มียาว 2 เซนตเิ มตร

จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม = 34–πr3 เมอ่ื r แทนรศั มีของทรงกลม

( ) จะได้ ปริมาตรของกอ้ นขีผ้ ้งึ สามลกู = 3 × –34 × π × 23
= 32π ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

เมอ่ื ใหค้ วามรอ้ นจนกอ้ นขผ้ี งึ้ หลอมเหลวเปน็ เนอ้ื เดยี วกนั อยใู่ นแกว้ ทรงกระบอกทม่ี รี ศั มภี ายใน 2 เซนตเิ มตร

จะได ้ ขผี้ ึ้งในแก้วทรงกระบอกมปี ริมาตร 32π ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

จากสตู ร ปริมาตรทรงกระบอก = πr2h เม่ือ r แทนรศั มขี องฐาน และ h แทนความสงู

จะได้ 32π = π × 22 × h

32π = 4π × h

h = 8 เซนตเิ มตร

ดงั นัน้ ข้ผี ้ึงจะสงู จากก้นแกว้ ทรงกระบอก 8 เซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

222 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

แบบฝกึ หัด 3.3 ข

ในการทำ�แบบฝึกหัด นักเรียนอาจไดค้ ำ�ตอบแตกตา่ งจากทเ่ี ฉลยไว้ เพราะใช้คา่ ประมาณของ π ท่ีแตกตา่ งกัน

1. 1) แนวคดิ เน่ืองจาก พืน้ ท่ีผวิ ของคร่งึ ทรงกลม 2 ส่วน = พน้ื ท่ีผิวของทรงกลม

จากรปู จะได ้ พนื้ ทผ่ี วิ ของรปู เรขาคณติ สามมติ ิ = พน้ื ทผ่ี วิ ของทรงกลม + พน้ื ทผี่ วิ ขา้ งของทรงกระบอก

เนอื่ งจาก ทรงกลมและฐานของทรงกระบอกมรี ศั มียาว 6 เซนติเมตร

จากสตู รพ ้นื ท่ผี ิวของทรงกลม = 4πr2 เมื่อ r แทนรัศมขี องทรงกลม 6

จะได ้ พืน้ ทผ่ี วิ ของทรงกลม ≈ 4 × 3.14 × 62 12

≈ 452.16 ตารางเซนติเมตร

จากสตู ร พื้นที่ผวิ ข้างของทรงกระบอก = 2πrh เมอื่ r แทนรัศมีของฐาน 6

และ h แทนความสงู

จะได ้ พืน้ ที่ผวิ ข้างของทรงกระบอก ≈ 2 × 3.14 × 6 × 12

≈ 452.16 ตารางเซนตเิ มตร

ดงั นนั้ รปู เรขาคณิตสามมิติมีพน้ื ท่ีผวิ ประมาณ 452.16 + 452.16 = 904.32 ตารางเซนตเิ มตร

2) แนวคดิ จากรปู พ้ืนท่ีผวิ ของรูปเรขาคณติ สามมิต ิ = พน้ื ท่ีผวิ ข้างของกรวย + พนื้ ทีผ่ วิ ของคร่ึงทรงกลม 15
10 13
กรวยสงู 12 เซนตเิ มตร และมีส่วนสูงเอยี งยาว 13 เซนติเมตร
6
ให ้ r แทนความยาวของรศั มขี องฐานของกรวยซง่ึ เทา่ กบั ความยาวของรัศมขี องครง่ึ ทรงกลม

จะได้ r2 = 132 – 122

= 25

r = 5

ดงั นน้ั กรวยและคร่ึงทรงกลมมีรัศมยี าว 5 เซนตเิ มตร

จากสตู ร พ้ืนท่ีผิวข้างของกรวย = πr เมอื่ แทนส่วนสูงเอยี งของกรวย6 r

จะได ้ พน้ื ท่ีผิวข้างของกรวย ≈ 3.14 × 5 × 13

≈ 204.1 ตาราง1เซ2นตเิ มตร 12

จากสตู ร พน้ื ท่ผี ิวของทรงกลม = 4πr2 6

จะได ้ พ้ืนท่ผี ิวของครึง่ ทรงกลม ≈ –12 × (4 × 3.14 × 52)

≈ 157 ตารางเซนติเมตร

ดงั นั้น รปู เรขาคณิตสามมิติมพี ้ืนท่ีผวิ ประมาณ 204.1 + 157

≈ 361.1 ตารางเซนติเมตร

15
10

6

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 223

3) แนวคิด จากรปู พืน้ ทผ่ี ิวของรปู เรขาคณิตสามมิต ิ = พน้ื ทผี่ ิวของครง่ึ ทรงกลม + พนื้ ท่ผี วิ ข้างของกรวย

คร่งึ ทรงกลมมรี ัศมียาว 4.5 เซนตเิ มตร

จากสูตร พืน้ ทผ่ี ิวของทรงกลม = 4πr2 เม่ือ r แทนรัศมีของทรงกลม
6r
–12 × [4 × 3.14 × (4.5)2]
จะได ้ พ้ืนทผ่ี วิ ของคร่ึงทรงกลม ≈ 6
12 ≈ 127.17 ตารางเ1ซ2นติเมตร 4.5
13

กรวยสงู 6 เซนติเมตร และมรี ศั มีข6องฐานของกรวยยาว 4.5 เซนตเิ มตร

ให ้ แทนสว่ นสงู เอยี งของกรวย

จะได ้ 2 = 62 + (4.5)2

= 56.25

= 7.5

จากสูตร พื้นท่ผี วิ ข้างของกรวย = πr15 เม่ือ r แทนรศั มีของฐานขอ6งกรวย
จะได้ พนื้ ทผ่ี วิ ข้างขอ1ง0กรวย ≈ 3.14 × 4.5 × 7.5

≈ 105.975 ตารางเซนตเิ มต6ร

ดังน้ัน รปู เรขาคณิตสามมิติมพี นื้ ทีผ่ วิ ประมาณ 127.17 + 105.975 6

≈ 233.145 ตารางเซนติเมตร

12

4) แนวคดิ จากรปู พ้ืนทีผ่ ิวของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ
= พื้นทีฐ่ านของทรงกระบอก + พื้นท่ีผิวข้างของทรงกระบอก + พืน้ ทผ่ี ิวของครง่ึ ทรง6กลม

ฐานของทรงกระบอกและครงึ่ ทรงกลมมีรัศมยี าว 5 เซนติเมตร และทรงกระบอกสงู 10 เซนติเมตร

จากสตู ร พื้นทข่ี องวงกลม = πr2 เม่ือ r แทนรศั มขี องวงกลม

จะได้ พืน้ ท่ฐี านของทรงกระบอก ≈ 3.14 × 52

≈ 78.5 ตารางเซนตเิ มตร

จากสตู ร พืน้ ท่ผี วิ ขา้ งของทรงกระบอก = 2πrh เม่อื h แทนความสงู 15

จะได ้ พ้ืนทผ่ี วิ ข้างของทรงกระบอก ≈ 2 × 3.14 × 5 × 10 10

≈ 314 ตารางเซนตเิ มตร

จากสตู ร พืน้ ทผ่ี วิ ของทรงกลม = 4πr2 เม่อื r แทนรศั มีของทรงกลม

จะได ้ พ้นื ทผี่ ิวของครง่ึ ทรงกลม ≈ 21– × (4 × 3.14 × 52)

≈ 157 ตารางเซนติเมตร

ดังนั้น รูปเรขาคณติ สามมติ ิมพี ้นื ท่ผี วิ ประมาณ 78.5 + 314 + 157 = 549.5 ตารางเซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

224 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2. แนวคดิ จากรปู จะเหน็ วา่ เสน้ ทแยงมมุ ของรปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั ABCD ยาวเทา่ กบั ความยาวของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของ

ทรงกลม

ให้ x แทนความยาวของเส้นผ่านศูนยก์ ลางของทรงกลม

จะได ้ x2 = 62 + 62 DC

= 72 x6
x = 6√2

ด งั นั้น ทรงกลมมรี ัศมยี าว 6    √ 2 2      = 3√2 เซนตเิ มตร A6B

จากสูตร พืน้ ทผ่ี ิวของทรงกลม = 4πr2 เม่อื r แทนรศั มีของทรงกลม

( ) จะได้ พ้นื ท่ีผวิ ของทรงกลม ≈ 4 × 3.14 × 3√2 2

≈ 226.08 ตารางเซนติเมตร

จากสตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = –43πr3 เมอ่ื r แทนรัศมีของทรงกลม

( ) จะได้ ปรมิ าตรของทรงกลม ≈ –43 × 3.14 × 3√2 3

≈ 319.68 ลกู บาศก์เซนติเมตร

ดังนั้น ทรงกลมมพี น้ื ทผ่ี วิ ประมาณ 226.08 ตารางเซนติเมตร

และมปี ริมาตรประมาณ 319.68 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

3.

2 3a a 3a

2 3a

1) แนวคดิ จากสูตร พืน้ ทีผ่ วิ ของทรงกลม = 4πr2 เมอ่ื r แทนรศั มขี องทรงกลม

จะได ้ พน้ื ที่ผวิ ของทรงกลม = 4πa2 ตารางเซนติเมตร

จากสตู ร พืน้ ท่ผี ิวของกรวย = πr + πr2 เมอ่ื r แทนรัศมีของฐานของกรวย

และ แทนส่วนสงู เอยี งของกรวย
[ ] [ ( ) ] จะได้ พน้ื ทผี่ ิวของ กรวย = π × 2√3a 2
2√3a × 2√3a + π×    2   
    2    

= 6πa2 + 3πa2

= 9πa2 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน อัตราส่วนของพ้ืนท่ผี วิ ของทรงกลมต่อพนื้ ท่ผี ิวของกรวยเท่ากับ 4πa2 : 9πa2 = 4 : 9

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 225

2) แนวคดิ จากสตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = 34–πr3

จะได้ ปรมิ าตรของทรงกลม = 34–πa3 ลกู บาศก์เซนติเมตร

จากสตู ร ปริมาตรของกรวย = 31–πr2h เมอื่ h แทนความสงู ของกรวย

( ) จะได ้ ปร มิ าตรขอ งกรวย = 3–1π × 2√3a 2
   2   
× 3a

= 3πa3 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ดังนน้ั อตั ราสว่ นของปริมาตรของทรงกลมตอ่ ปรมิ าตรของกรวยเท่ากับ –34πa3 : 3πa3 = 4 : 9

4 . 1 ) แ นวคดิ เน่อื งจาก โลกมรี ศั มยี าวประมาณ 12,2640 = 6,320 กิโลเมตร

จากสตู ร ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลม = 2πr เม่ือ r แทนรัศมขี องวงกลม

จะได ้ ความยาวของเสน้ ศูนยส์ ตู รประมาณ 2 × 3.14 × 6,320 = 39,689.6 กโิ ลเมตร

2) แนวคดิ จากสูตร พนื้ ทีผ่ วิ ของทรงกลม = 4πr2 เม่ือ r แทนรัศมขี องทรงกลม

จะได้ พืน้ ท่ผี ิวของโลก ≈ 4 × 3.14 × (6,320)2

≈ 501,676,544 ตารางกโิ ลเมตร

เนือ่ งจาก ผิวโลกส่วนทปี่ กคลมุ ดว้ ยน�ำ้ มีพ้ืนท่ปี ระมาณ 4–3 ของพื้นท่ผี วิ ของโลกทั้งหมด

ดงั นนั้ พืน้ ทผ่ี ิวของโลกสว่ นทไี่ มไ่ ดป้ กคลมุ ดว้ ยนำ้�มปี ระมาณ 1–4 ของพน้ื ที่ผิวของโลกทง้ั หมด

≈ –14 × 501,676,544

≈ 125,419,136 ตารางกิโลเมตร

3) เน่ืองจาก ประเทศไทยมีพื้นท่ีประมาณ 513,115 ตารางกิโลเมตร หรือประมาณ 500,000 ตารางกิโลเมตร
และ พ้ืนท่ีผิวของโลกส่วนที่ไม่ปกคลุมด้วยนำ้�มีประมาณ 125,419,136 ตารางกิโลเมตร หรือประมาณ
125,000,000 ตารางกิโลเมตร

ด ังนัน้ ประเทศไทยมพี น้ื ท่ปี ระมาณ  1 2550,000,000,000 0  = 2  15 0 ของพ้นื ทีผ่ ิวของโลกสว่ นทีไ่ มไ่ ดป้ กคลุมดว้ ยน�ำ้

หมายเหต ุ ค�ำ ตอบของนกั เรียนอาจแตกตา่ งจากท่ีให้ไว้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

226 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คูม่ ือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

5. แนวคิด เน่อื งจาก ลกู บอลมีรศั มยี าว 26 เซนตเิ มตร
จากสูตร พื้นท่ีผวิ ของทรงกลม = 4πr2 เม่อื r แทนรัศมขี องทรงกลม
จะได้ พื้นทผี่ ิวของลกู บอล ≈ 4 × 3.14 × 262
≈ 8,490.56 ตารางเซนติเมตร

เนอื่ งจาก ส่วนผวิ โค้งทเ่ี ปน็ พลาสตกิ มี 3 สีสลบั กนั รวมทั้งหมด 9 แถบ และแต่ละแถบมพี ืน้ ท่ผี ิวเทา่ กนั
ดงั นั้น พนื้ ท่ผี ิวของแต ล่ ะแถบ ≈ 8,4990.56
≈ 943.4 ตารางเซนติเมตร

นน่ั คอื พ้ืนท่ีผวิ ของพลาสติกแตล่ ะแถบประมาณ 943.4 ตารางเซนตเิ มตร

6. แนวคิด เนือ่ งจาก ขันเงนิ รปู ครง่ึ ทรงกลมมพี นื้ ที่ผวิ 1,413 ตารางเซนตเิ มตร

จากสตู ร พนื้ ทผ่ี วิ ของทรงกลม = 4πr2 เมื่อ r แทนรศั มีของทรงกลม

จะได้ พ นื้ ทผ่ี ิวของคร่ึงทรงกลม = 2πr2

ดงั นัน้ 1,413 ≈ 2 × 3.14 × r2

r2 ≈ 225
r ≈ 15


นั่นคือ เสน้ ผ่านศูนย์กลางของขนั เงินใบนย้ี าวประมาณ 30 เซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 227

เฉลยแบบฝกึ หดั ทา้ ยบท

ในการท�ำ แบบฝกึ หัด นกั เรยี นอาจไดค้ ำ�ตอบแตกต่างจากทีเ่ ฉลยไว้ เพราะใช้ค่าประมาณของ π ทแ่ี ตกตา่ งกนั

1. แนวคิด หลงั คาบา้ นมลี กั ษณะเปน็ พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั มฐี านยาวดา้ นละ 6 เมตร และสว่ นสงู เอยี งยาว 4 เมตร

จจาะกไดส้ ูต พร ื้น พทืน้ี่ผทวิ ข่ีผ้าิวงขขา้ องงขหอลงพงั คีราะบม้าดิ นฐ า =น ส เี่ –21หล×ี่ย(ม4จ×ัตรุ 6สั ) × =4 –21= × 4ค8ว าตมายราาวงรเมอตบรรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง


เน่อื งจาก แผ่นยางมะตอย 1 ห่อ สามารถใชป้ ทู บั หลงั คาได้ 0.25 ตารางเมตร

ดงั น้นั จะต้องซือ้ แผน่ ยางมะตอยอย่างนอ้ ย —04.28–5 = 192 ห่อ

และเนื่องจาก แผ่นยางมะตอย 1 หอ่ ราคา 300 บาท

ดังน้นั จะต้องซ้อื แผ่นยางมะตอยคดิ เป็นเงิน 192 × 300 = 57,600 บาท

นน่ั คือ ตอ้ งซ้อื แผน่ ยางมะตอยอยา่ งน้อย 192 ห่อ และคิดเปน็ เงิน 57,600 บาท

2. แนวคดิ ต้องการสร้างอาคารกระจกรับแสงสว่างให้มีกระจกด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมจำ�นวน 12 ช้ิน แต่ละชิ้น

มฐี านยาว 1 เมตร และมสี ว่ นสงู เอียงยาว 3 เมตร
จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐาน 12 เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ = 2–1 × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง
จะได ้ พน้ื ทขี่ องกระจกท่ีตอ้ งใช้ = –12 × (12 × 1) × 3 = 18 ตารางเมตร
ดงั นน้ั จะสามารถตัดกระจกรูปสามเหล่ยี มท้งั สิบสองช้นิ จากแผ่นกระจกท่กี ว้าง 4 เมตร และยาว 8 เมตร

ไดด้ งั รปู

4

3

1
8

หมายเหต ุ ค�ำ ตอบของนกั เรียนอาจแตกตา่ งจากทใ่ี ห้ไว้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

228 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

3. แนวคิด การค�ำ นวณหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ ยอดตดั ท�ำ ไดโ้ ดยพจิ ารณาใหเ้ ปน็ สว่ นหนง่ึ ของพรี ะมดิ กอ่ นตดั ยอด ดงั รปู

30
30 12

20
20

ถ้าใชร้ ะนาบตัดพีระมิดในแนวตงั้ ฉากกับฐานผา่ นยอดของพรี ะมดิ ดังรปู

A FB

DG E

x

C

จะไดว้ า่ ΔABC เปน็ หนา้ ตัดบนระนาบ และเป็นรูปสามเหล่ยี มหนา้ จว่ั
DBFC และ DEGC เปน็ รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก โดยท่ ี DBFC ~ DEGC
จากโจทย์ ก�ำ หนดให ้ DE = 20 นว้ิ AB = 30 น้ิว และ FG = 12 นิว้
จะได ้ GE = 2—20 = 10 นิว้ และ FB = 3—20 = 15 น้วิ
ให้ x แทนความสงู ของพีระมดิ สว่ นที่ถกู ตดั ออก นั่นคือ GC = x
เน่อื งจาก DBFC ~ DEGC

จ ะได ้ GFBE = FC
GC

1150 = x + 12
x

15x = 10(x + 12)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 229

5x = 120

x = 24

น่นั คอื ความสงู ของพีระมิดส่วนทีถ่ ูกตัดออก 24 นว้ิ

ดงั น้ัน ความสูงของพรี ะมิดกอ่ นตัดยอด = 12 + 24 = 36 น้วิ

จากสูตร ปรมิ าตรของพรี ะมิด = –31 × พนื้ ท่ฐี าน × ความสงู
จะได ้ ปริมาตรของพรี ะมิดกอ่ นตดั ยอดออก = –31 × 302 × 36

= 10,800 ลกู บาศก์นิ้ว

และ ปริมาตรของพรี ะมิดสว่ นท่ยี อดถูกตดั = –31 × 202 × 24

= 3,200 ลูกบาศกน์ ว้ิ

ดงั นั้น ปริมาตรของดินท่ีใส่กระถางใบนไ้ี ด้เตม็ พอดีเทา่ กบั 10,800 – 3,200 = 7,600 ลูกบาศก์นว้ิ

4. แนวคดิ จากโจทย ์ พรี ะมิดหักงอมลี กั ษณะดังรูป ก

105 124 124
47 190
190

รปู ก

ถ้าไม่ไดเ้ ปลีย่ นแบบการกอ่ สรา้ ง พรี ะมดิ หักงอควรจะมลี กั ษณะดงั รูป ข

124
124
47 190

190

รปู ข

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

230 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ถา้ ใชร้ ะนาบตดั พรี ะมิดรปู ข ในแนวต้งั ฉากกับฐานผา่ นยอดของพรี ะมดิ ดังรปู ค

A

x

DG E

BF C

รปู ค

จะได้วา่ DABC เป็นหน้าตัดบนระนาบ และเปน็ รปู สามเหล่ียมหนา้ จั่ว

DAFC และ DAGE เป็นรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก โดยท่ี DAFC ~ DAGE

จากโจทย ์ จะได ้ BC = 190 เมตร DE = 124 เมตร และ GF = 47 เมตร

ด งั นั้น FC = 1920 = 95 เมตร และ GE = 1224 = 62 เมตร

ให้ x แทนความสงู ของพรี ะมดิ ส่วนบนของพีระมดิ รูป ค นน่ั คอื AG = x

เนอ่ื งจาก DAFC ~ DAGE

จ ะได ้ GFCE = AF
AG

6925 = x + 47
x

95x = 62(x + 47)

33x = 2,914
x ≈ 88.3

น่นั คอื ความสูงของพรี ะมดิ สว่ นบนของพรี ะมิดรูป ค ประมาณ 88.3 เมตร

ดังนน้ั ถา้ ไมไ่ ด้เปลี่ยนแบบการก่อสร้าง พีระมดิ หักงอควรจะมีความสูงประมาณ 47 + 88.3

≈ 135.3 เมตร
จากสูตร ปริมาตรของพรี ะมิด = 31– × พื้นทฐ่ี าน × ความสูง
จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิดส่วนบนของพีระมิดรูป ค ≈ 3–1 × 1242 × 88.3
≈ 452,566.93 ลกู บาศก์เมตร


เน่อื งจาก ความสงู ของพรี ะมดิ หักงอสว่ นบน = 105 – 47 = 58 เมตร

จะได้ ปรมิ าตรของพีระมิดหกั งอสว่ นบน = 31– × 1242 × 58
≈ 297,269.33 ลูกบาศกเ์ มตร


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 231

ดงั นน้ั ถ้าไม่ไดเ้ ปลี่ยนแบบการกอ่ สรา้ ง พีระมิดหกั งอควรจะมีปรมิ าตรมากกว่าปัจจุบนั ประมาณ

452,566.93 – 297,269.33 = 155,297.6 ลกู บาศก์เมตร

5. แนวคดิ จากโจทย ์ กรวยกอ่ นตดั ยอดมลี กั ษณะดังรปู

AA

x x
D 10 E
D 10 E
B 18 C 30
B 18 C

ให้ x แทนความสงู ของกรวยสว่ นที่ถกู ตดั ออก นัน่ คือ AD = x

จากรปู พบว่า DADE ~ DABC

จ ะได้ AADB = DE
BC

30 x+ x = 1108

18x = 10(30 + x)

8x = 300

x = 7—25

ด งั นัน้ ความสูงของกรวยก่อนตดั ยอด = 30 + 725 = 1325 เซนติเมตร
จากสูตร ปรมิ าตรของกรวย = –13πr2h เมอื่ r แทนรัศมขี องฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย
–1 3 π 182 135
จะได้ ปริมาตรของกรวยกอ่ นตดั ยอด = × × 2

= 7,290π ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

และ ปริมาตรของกรวยส่วนทถี่ กู ตัดออก = 1–3π × 102 × 7—25

= 1,250π ลกู บาศก์เซนติเมตร

เนือ่ งจาก รูทรงกระบอกท่ีเจาะมีรัศมียาว —42.2   =  2.1 เซนติเมตร และมีความสูงเท่ากับความสูงของ
กรวยยอดตัด

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

232 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

จากสตู ร ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐาน และ h แทนความสงู ของทรงกระบอก

จะได้ ปริมาตรของรทู รงกระบอก = π × (2.1)2 × 30

= 132.3π ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

ดังน้ัน ปริมาตรของคอนกรตี ทนี่ ำ�มาหลอ่ กรวยยอดตดั = 7,290π – (1,250π + 132.3π)

= 5,907.7π

≈ 5,907.7 × 3.14

≈ 18,550.178 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

6. แนวคิด เนือ่ งจาก ลูกตุ้มเหล็กทรงกลมมรี ัศมียาว 3 เซนติเมตร

จากสูตร ปริมาตรของทรงกลม = 3–4πr3 เม่ือ r แทนรศั มีของทรงกลม

จะได ้ ปรมิ าตรของลูกตุ้มเหล็ก 1 ลกู = 34–π × 33

= 36π ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

ดงั นั้น ปริมาตรของลกู ตุ้มเหล็ก 5 ลูก = 5 × 36π = 180π ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

เนือ่ งจาก ต้องการนำ�ลกู ตมุ้ มาหลอมเปน็ กรวยตนั ท่มี เี สน้ ผ่านศูนยก์ ลางของฐานกรวยยาว 6 เซนติเมตร

และสูง 6 เซนตเิ มตร

จากสตู ร ปริมาตรของกรวย = 31–πr2h เม่ือ r แทนรัศมขี องฐานของกรวย และ h แทนความสูงของกรวย
จะได ้ ปรมิ าตรของกรวยขนาดท่ีตอ้ งการ 1 กรวย = 31–π × 32 × 6

= 18π ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

เ น่อื งจาก ปปรมิรมิาตาตรขรขอองลงกูกรตวุ้มยเห1ลก็กร5วยล ูก = 11880ππ = 10

ดังนน้ั ลูกต้มุ เหลก็ 5 ลกู น�ำ มาหลอมเป็นกรวยได้ 10 อนั

7. แนวคดิ

2r r

ใหร้ ศั มีของตะกว่ั ทรงกลมลกู เลก็ ยาว r หน่วย
ดงั นน้ั รัศมขี องตะกั่วทรงกลมลกู ใหญ่จะยาว 2r หนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 233

1) จากสตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = 3–4πr3 เมอ่ื r แทนรัศมขี องทรงกลม

จะได ้ ปริมาตรของตะกัว่ ทรงกลมลกู เลก็ = 34–πr3 ลูกบาศกห์ น่วย
( ) และ ปริมาตรของตะกั่วทรงกลมลูกใหญ่ = 34–π(2r)3 = 8 3–4πr3 ลกู บาศก์หนว่ ย
–43πr3
4–3πr3
( ) เน่อื งจาก


ปรมิ าตรของตะก่วั ทรงกลมลูกใหญ ่ 8 = 8
ปรมิ าตรของตะกั่วทรงกลมลูกเลก็ =


ดงั นัน้ ปริมาตรของตะกั่วทรงกลมลูกใหญ่เปน็ 8 เท่าของปรมิ าตรของตะกว่ั ทรงกลมลกู เล็ก

2) จากสูตร พื้นทีผ่ ิวของทรงกลม = 4πr2 เม่ือ r แทนรศั มีของทรงกลม

จะได้ พื้นท่ผี วิ ของตะกวั่ ทรงกลมลกู เล็ก = 4πr2 ลกู บาศกห์ นว่ ย

และ พน้ื ท่ีผิวของตะก่วั ทรงกลมลกู ใหญ่ = 4π(2r)2 = 4(4πr2) ลูกบาศก์หนว่ ย

เนื่องจาก พืน้ ทผ่ี ิวของตะกัว่ ทรงกลมลูกใหญ ่ = 4(44ππrr22) = 4
พื้นทผี่ วิ ของตะก่ัวทรงกลมลูกเลก็

ดังนัน้ พื้นท่ผี วิ ของตะกว่ั ทรงกลมลกู ใหญ่เปน็ 4 เทา่ ของพื้นทผ่ี ิวของตะกัว่ ทรงกลมลกู เล็ก

8. แนวคิด เน่อื งจาก ทอ่ นเหล็กทรงกระบอกกลวงมเี ส้นผา่ นศนู ย์กลางภายในยาว 7 เซนตเิ มตร มีเส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง

ภายนอก ยาว 9 เซนตเิ มตร และท่อนเหลก็ ยาว 121.5 เซนตเิ มตร
จนาัน่ กคสอื ูต รร ัศ ปมรภี มิ าายตใรนขยอางวท ร–27ง ก เรซะนบตอิเกม ต =ร แπลr2ะhร ศั ม ภี เมาอ่ืยนrอแกทยนารวศั ม–29ขี อเซงนฐาตนเิ ม ตแรละ h แทนความสงู


[ ( ) ] [ ( ) ] จะได้ ปริมาตรของทอ่ นเหล็กทรงกระบอกกลวง = π 9–2 2 × 121.5 – π –27 2 × 121.5
[( ) ( ) ]= 121.5π –92 2 – 2–7 2


= 121.5π(8)

= 972π ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

เน่อื งจาก ปริมาตรของทรงกลมตนั = ปรมิ าตรของท่อนเหล็กทรงกระบอกกลวง

จะได ้ –34πrr33 = 972π
= 729

r = 9

ดงั นน้ั ทรงกลมตันมรี ศั มี 9 เซนติเมตร
จากสูตร พ้ืนท่ีผิวของทรงกลม = 4πr2 เมอื่ r แทนรศั มขี องทรงกลม
จะได ้ ทรงกลมตันมีพนื้ ทผ่ี วิ ≈ 4 × 3.14 × 92
≈ 1,017.36 ตารางเซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

234 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

9. แนวคดิ เน่ืองจาก ลูกเหล็กทรงกลมตนั ท่ีมเี สน้ ผ่านศนู ย์กลางยาว 14 เซนติเมตร จะมรี ศั มยี าว 7 เซนตเิ มตร

จากสตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = –43πr3 เม่ือ r แทนรศั มีของทรงกลม

จะได ้ ปรมิ าตรของลูกเหล็กทรงกลมตัน = –43π(73) ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

เน่ืองจาก ต้องการนำ�ลูกเหล็กนี้มาหลอมเป็นทรงกลมกลวงลูกเล็กที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกยาว

4 เซนตเิ มตร

นัน่ คือ ทรงกลมกลวงลกู เลก็ จะมรี ัศมภี ายนอกยาว 2 เซนติเมตร

ใหท้ รงกลมกลวงมรี ัศมีภายในยาว x เซนติเมตร

จะได ้ ปริมาตรของทรงกลมกลวงแต่ละลูก = 3–4π(23) – –43π(x3)

= 3–4π(8 – x3) ลูกบาศก์เซนติเมตร

เนือ่ งจาก ปริมาตรของทรงกลมกลวง 49 ลูก = ปรมิ าตรของลูกเหลก็ ทรงกลมตนั

จะได ้ 49 × 4–3π(8 – x3) = 4–3π(73)
49(8 – x3) = 73

x3 = 1

x = 1

ดงั น้นั ทรงกลมกลวงลกู เล็กมีรัศมภี ายในยาว 1 เซนตเิ มตร

นั่นคือ ทรงกลมกลวงลกู เลก็ มคี วามหนา 2 – 1 = 1 เซนตเิ มตร

10. แนวคิด

2

2

ถา้ นำ�แทง่ ไมท้ รงกระบอกที่มเี สน้ ผ่านศนู ย์กลางยาว 2 นิว้ และสูง 2 นิ้ว มากลึงเปน็ กรวยให้ไดฐ้ านกรวย
ใหญท่ ่ีสุดและมีความสงู มากทีส่ ุด
ดังนนั้ ฐานของกรวยจะมีเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางยาว 2 นิ้ว และกรวยสูง 2 น้วิ
น่นั คือ ฐานของกรวยน้ีมีรัศมยี าว 1 นวิ้
จากสตู ร ปริมาตรของกรวย = 3–1πr2h เมอ่ื r แทนรัศมขี องฐานของกรวย และ h แทนความสงู ของกรวย
ดงั นนั้ ปริมาตรของกรวยนี้ = –13π × 12 × 2 = –23π ลกู บาศกน์ ว้ิ
ส ถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 235

11. แนวคิด

2

2

ถา้ น�ำ แทง่ ไมท้ รงกระบอกทม่ี เี สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางยาว 2 นว้ิ และสงู 2 นว้ิ มากลงึ เปน็ ทรงกลมทม่ี ขี นาดใหญท่ ส่ี ดุ

ดงั นั้น ทรงกลมจะมเี สน้ ผา่ นศนู ย์กลางยาว 2 นิว้

นัน่ คอื ทรงกลมน้มี ีรัศมยี าว 1 นว้ิ

จากสูตร ปรมิ าตรของทรงกลม = 4–3πr3 เมอื่ r แทนรศั มีของทรงกลม

ดังนนั้ ปริมาตรของทรงกลมนี้ = 4–3π × 13

= 4–3π ลกู บาศกน์ ว้ิ

12. แนวคิด r

r

เนอ่ื งจาก ขันนำ้�ครึ่งทรงกลมและกรวยกรอกนำ้�มีเส้นผ่านศูนย์กลางของปากขันและปากกรวยเท่ากัน และ

ความสงู ของกรวยกรอกนำ�้ (ไม่นับส่วนที่ย่ืนออกมาเป็นทรงกระบอก) เท่ากับรัศมีของขนั นำ้�

ให้รศั มขี องขันน้�ำ ครึ่งทรงกลมยาว r หนว่ ย

จะได ้ รศั มีของกรวยกรอกนำ้�ยาว r หน่วย และกรวยกรอกน้�ำ สงู r หนว่ ย

จากสตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = 3–4πr3 เมอื่ r แทนรศั มขี องทรงกลม
จะได้ ความจุของขันน้�ำ คร่งึ ทรงกลม = –12 × –34πr3

= –23πr3 ลูกบาศก์หน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

236 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

จากสตู ร ปรมิ าตรของกรวย = 3–1πr2h เม่อื r แทนรัศมขี องฐานของกรวย และ h แทนความสงู ของกรวย
จะได้ ความจุของกรวยกรอกน�้ำ = –13πr2 × r

= –13πr3 ลกู บาศกห์ น่วย

เ นอื่ งจาก ควคา วมาจมขุ จอขุ งอขงันก นรว้�ำ ยคกรรึ่งทอกรงนก ้ำ�ล ม = 312–– 3ππrr33 = 2

ดงั นั้น ขันน�ำ้ จุน้�ำ ได้ 2 เทา่ ของกรวยกรอกนำ้�

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 237

กิจกรรมท้ายบท : โรงงานช็อกโกแลตมหศั จรรย์

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเ่ี ปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นไดป้ ระยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั การหาปรมิ าตรและพน้ื ทผี่ วิ ของรปู เรขาคณติ
สามมิติ ซึ่งได้แก่ กรวย ทรงกลม และพีระมิดปรกต ิ กจิ กรรมนี้จะชว่ ยใหน้ ักเรยี นพัฒนาทักษะการแก้ปัญหาและการเช่ือมโยง
ทางคณิตศาสตร ์ โดยมขี ้นั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม ดงั นี้

ส่ือ/อุปกรณ์

-

ขน้ั ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม

1. ครแู บง่ นกั เรยี นเปน็ กลมุ่ กลมุ่ ละ 4–5 คน ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ท�ำ “กจิ กรรมทา้ ยบท : โรงงานชอ็ กโกแลตมหศั จรรย”์
ในหนงั สอื เรียน หนา้ 160

2. ครูให้นกั เรยี นแตล่ ะกลุ่มน�ำ เสนอวธิ ีคิดและค�ำ ตอบทไ่ี ดจ้ ากการทำ�กจิ กรรม ซ่งึ จะมวี ธิ คี ดิ และคำ�ตอบท่หี ลากหลาย
3. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั อภปิ รายผลท่ีไดจ้ ากการท�ำ กจิ กรรมของนักเรยี นในประเดน็ ตอ่ ไปนี้
1) ค�ำ ตอบของคำ�ถามแตล่ ะขอ้ มีหลากหลาย และแตกต่างกนั ตามเงื่อนไขที่แต่ละกลุม่ กำ�หนด เชน่ ปริมาตรของ

ช็อกโกแลตเหลวท่ีใชใ้ นแตล่ ะแบบ ขนาดของช็อกโกแลตแตล่ ะแบบ หรอื จ�ำ นวนชนิ้ ทกี่ �ำ หนด
2) ปรมิ าตรของชอ็ กโกแลตท่ีเหลอื น้อยที่สดุ ของแต่ละกลมุ่ อาจไมใ่ ชป่ ริมาตรของช็อกโกแลตทเ่ี หลือน้อยทส่ี ุดใน

ทางคณติ ศาสตร ์ แตเ่ ปน็ ปรมิ าตรทเี่ หลอื นอ้ ยทสี่ ดุ ภายใตเ้ งอ่ื นไขทแ่ี ตล่ ะกลมุ่ ก�ำ หนด และสอดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไข
ทีโ่ จทยก์ �ำ หนดที่ว่า ปรมิ าตรและจำ�นวนชน้ิ ของแต่ละแบบต้องใกลเ้ คยี งกนั
4. ครูอาจต้ังประเด็นคำ�ถามเพ่ิมเติมเพ่ือให้นักเรียนร่วมกันคิดว่า จะมีวิธีอ่ืนใดนอกเหนือจากวิธีที่ใช้ในช้ันเรียนน้ี
ที่จะท�ำ ให้ปริมาตรของชอ็ กโกแลตที่เหลือนอ้ ยกว่าปรมิ าตรของชอ็ กโกแลตของกลุ่มทเ่ี หลอื น้อยทส่ี ดุ และให้นกั เรียน
นำ�เสนอแนวคิดนน้ั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

238 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยกิจกรรมทา้ ยบท : โรงงานชอ็ กโกแลตมหศั จรรย์

คำ�ตอบน้ีเป็นเพียงตัวอย่างหน่ึงของคำ�ตอบเท่านั้น นักเรียนสามารถแสดงคำ�ตอบได้อย่างหลากหลาย ครูควรเน้นท่ี

กระบวนการทไ่ี ดม้ าของค�ำ ตอบและการใหเ้ หตุผลของนักเรยี น
ตวั อยา่ งแนวคดิ และค�ำ ตอบ (กำ�หนด π ≈ 3.14)

1. แนวคดิ

rh
r

เง่ือนไขของกิจกรรม คือ ต้องการเทช็อกโกแลตเหลว 1 ลิตร ใส่พิมพ์เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ ได้แก่ กรวย ทรงกลม

และพีระมิดฐานปรกติ โดยแต่ละแบบจะต้องมีปริมาตรและจำ�นวนช้ินใกล้เคียงกัน และให้มีช็อกโกแลตเหลวเหลือ

น้อยทีส่ ุด

เนือ่ งจาก 1 ลติ ร เท่ากบั 1,000 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

ดงั นั้น ช็อกโกแลตแต่ละแบบจะมปี ริมาตรประมาณ 333 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

พิจารณาความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมและกรวย เม่ือกำ�หนดทรงกลมรัศมี r หน่วย และกำ�หนดรัศมีของฐานกรวย

เท่ากับรศั มขี องทรงกลม เพือ่ หาความสูงของกรวย (h)

จากสตู ร ปริมาตรของทรงกลมรศั มี r หนว่ ย เทา่ กบั 3–4πr3 ลกู บาศกห์ นว่ ย
และปริมาตรของกรวยท่ฐี านมีรัศมี r หน่วย และสูง h หน่วย เท่ากับ 31–πr2h ลูกบาศกห์ น่วย
จะไดส้ มการเป็น 3–4πr3 = 3–1πr2h

น่ันคอื h = 4r

ดังนน้ั กรวยทีฐ่ านมรี ศั มียาว r หน่วย จะมีปรมิ าตรเท่ากบั ทรงกลมที่มีรศั มี r หนว่ ย เม่ือกรวยสูงเป็น 4 เท่าของรัศมี

ถ้าออกแบบให้แม่พิมพ์ทรงกลมมีรัศมี 1 เซนติเมตร จะได้ว่า ควรออกแบบให้แม่พิมพ์ท่ีเป็นกรวยมีรัศมีของฐาน

1 เซนติเมตร และสงู 4 เซนติเมตร ดังรูป

1 4
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี 1

คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 239

จะไดว้ า่ ปรมิ าตรของชอ็ กโกแลตแบบทรงกลมและชอ็ กโกแลตแบบกรวยแต่ละชิ้นจะเทา่ กบั –43π ลกู บาศก์เซนติเมตร

เนอ่ื งจาก ปรมิ าตรของช็อกโกแลตแบบพีระมิดปรกตจิ ะต้องเท่ากบั ปริมาตรของช็อกโกแลตแบบทรงกลม

ดังนัน้ ปรมิ าตรของช็อกโกแลตแบบพรี ะมิดปรกตมิ ีปรมิ าตรเท่ากบั –43π ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

จากสูตร ปรมิ าตรของพีระมิด = –13 × พ้นื ทีฐ่ าน × ความสงู

จะได้ 4–3π = 1–3 × พืน้ ท่ีฐาน × ความสงู

1–3 × 4 × π = 1–3 × พ้ืนท่ฐี าน × ความสูง

ดังนั้น ควรออกแบบแม่พิมพ์เป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นท่ีฐานเท่ากับ 4 ตารางเซนติเมตร และ

สงู π เซนตเิ มตร ดังรูป

π

2
2

พิจารณาหาจ�ำ นวนชิน้ ของชอ็ กโกแลตแตล่ ะแบบ

ให้ n แทนจำ�นวนชนิ้ ของช็อกโกแลต

จะไดส้ มการเป็น –43 × 3.14 × n = 333
n ≈ 79.54

เนือ่ งจาก n แทนจำ�นวนชิน้ ของชอ็ กโกแลต ดงั นนั้ n จงึ ตอ้ งเปน็ จ�ำ นวนเตม็ บวก

ทำ�ใหไ้ ดว้ า่ จ�ำ นวนชน้ิ ของชอ็ กโกแลตแต่ละแบบเท่ากบั 79 ชน้ิ

ดังนน้ั ปริมาตรของชอ็ กโกแลตโดยรวมประมาณ 3 × 79 × –43 × 3.14 = 992.24 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร
น่นั คือ จะเหลอื ชอ็ กโกแลตประมาณ 1,000 – 992.24 = 7.76 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

จากชอ็ กโกแลตแต่ละแบบมีปริมาตรประมาณ 4–3 × 3.14 ≈ 4.19 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
ดงั นน้ั จะสามารถผลิตช็อกโกแลตแบบใดก็ไดอ้ ีก 1 ช้ิน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

240 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

น่ันคอื โรงงานจะผลติ ชอ็ กโกแลตแตล่ ะแบบใหม้ ีขนาด ดงั น้ี

แบบทรงกลม มรี ศั มี 1 เซนติเมตร

แบบกรวย มรี ัศมีของฐาน 1 เซนตเิ มตร และสูง 4 เซนติเมตร

แบบพรี ะมดิ ฐานสี่เหล่ยี มจตั ุรสั มีฐานยาวด้านละ 2 เซนตเิ มตร และสูง π เซนตเิ มตร

โดยผลติ ช็อกโกแลตแบบใดกไ็ ด้ 80 ชน้ิ และอีกสองแบบทีเ่ หลอื แบบละ 79 ชน้ิ

2. พจิ ารณาพ้นื ทผ่ี ิวของรปู เรขาคณติ สามมิติแตล่ ะแบบ
1) แนวคิด พน้ื ทผ่ี วิ ของทรงกลมทม่ี รี ศั มี 1 เซนตเิ มตร

1

จากสตู ร พืน้ ที่ผวิ ของทรงกลม = 4πr2 เมือ่ r แทนรศั มีของทรงกลม

จะได้ พน้ื ท่ีผวิ ของชอ็ กโกแลตทรงกลม ≈ 4 × 3.14 × 12
≈ 12.56 ตารางเซนตเิ มตร

ดังนน้ั ช็อกโกแลตทรงกลม 1 อัน มพี นื้ ทีผ่ ิวประมาณ 12.56 ตารางเซนตเิ มตร

2) แนวคดิ พ้นื ทีผ่ วิ ของกรวยทม่ี ีรศั มขี องฐานยาว 1 เซนติเมตร และมีความสงู 4 เซนตเิ มตร

4
1

ให้ แทนสว่ นสูงเอียง

จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้

2 = 42 + 12

= 17
≈ 4.12 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 241

จากสตู ร พน้ื ทีผ่ วิ ของกรวย = πr + πr2 เม่อื r แทนรศั มีของฐานกรวย และ แทนสว่ นสงู เอียง

ของกรวย

จะได ้ พนื้ ทผ่ี วิ ของชอ็ กโกแลตกรวย ≈ (3.14 × 1 × 4.12) + (3.14 × 12) = 16.08 ตาราง

เซนติเมตร

ดังนนั้ ช็อกโกแลตกรวย 1 อนั มพี น้ื ที่ผวิ ประมาณ 16.08 ตารางเซนตเิ มตร

3) แนวคดิ พ้ืนท่ผี วิ ของพรี ะมิดฐานสีเ่ หล่ียมจตั รุ สั ที่มีฐานยาวดา้ นละ 2 เซนตเิ มตร และมคี วามสูง π เซนติเมตร

π 2

m

1
2

จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส จะได้

m2 ≈ 3.142 + 12

≈ 10.8596

m ≈ 3.30 เซนตเิ มตร

จากสูตร พน้ื ทผ่ี วิ ของพีระมดิ = พ้นื ทผ่ี วิ ขา้ ง + พน้ื ทฐ่ี าน

จะได ้ ( )พ้ืนทีผ่ วิ ของพรี ะมดิ ≈ 4 × –12 × 2 × 3.30 + (2 × 2)

≈ 17.20 ตารางเซนติเมตร

ดังนน้ั ช็อกโกแลตพรี ะมดิ 1 อัน มีพืน้ ทผ่ี ิวประมาณ 17.20 ตารางเซนตเิ มตร

เนอ่ื งจาก ชอ็ กโกแลตแบบทรงกลมมพี นื้ ทีผ่ ิวนอ้ ยทีส่ ุด

ดังนั้น ถ้าน�ำ ช็อกโกแลตแตล่ ะชิน้ ไปเคลอื บดว้ ยคาราเมลที่มีความหนาเท่ากัน ช็อกโกแลตแบบพีระมิด

ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั จะใชค้ าราเมลมากทสี่ ดุ และชอ็ กโกแลตแบบทรงกลมจะใชค้ าราเมลนอ้ ยทส่ี ดุ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

242 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1. กล่องกระดาษทรงลูกบาศก์ท่ีมีขนาดภายในแต่ละด้านกว้าง 21 เซนติเมตร บรรจุลูกบอลทรงกลมลูกหน่ึงได้พอดี

อยากทราบวา่ ปรมิ าตรของอากาศภายในกล่องท่อี ย่ลู อ้ มรอบลกู บอลน้นั มีประมาณก่ลี ูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร (1 คะแนน)

ตอบ ลูกบาศก์เซนติเมตร

2. ถ้าขยายทรงกลมให้มีเส้นผ่านศูนย์กลางเพ่ิมข้ึนเป็น 2 เท่า ปริมาตรของทรงกลมใหม่จะเป็นกี่เท่าของปริมาตร

ของทรงกลมเดมิ (1 คะแนน)

ก. 2 ข. 4 ค. 8 ง. 16

3. กำ�หนดภาชนะ 3 แบบ ดังนี้

ภาชนะ A เป็นทรงกลมทม่ี รี ศั มยี าว r หน่วย

ภาชนะ B เปน็ กรวยทฐ่ี านมคี วามยาวของเสน้ ผ่านศูนยก์ ลางเทา่ กับ 2r หน่วย และสงู 2r หน่วย

ภาชนะ C เป็นทรงกระบอกท่มี รี ศั มีของฐานยาว r หนว่ ย และสูง 2r หนว่ ย

พิจารณาข้อความในแต่ละข้อต่อไปน้ี ถ้าเป็นจริงให้ทำ�เคร่ืองหมาย  ในช่องเป็นจริง และถ้าเป็นเท็จให้ทำ�

เครื่องหมาย  ในชอ่ งเปน็ เท็จ (5 คะแนน)

ข้อท่ี ขอ้ ความ เปน็ จรงิ เปน็ เท็จ

1) ภาชนะ C มปี รมิ าตรเป็นสามเทา่ ของภาชนะ B

2) อตั ราส่วนของปรมิ าตรของภาชนะ A ตอ่ ปริมาตรของภาชนะ B
ตอ่ ปริมาตรของภาชนะ C เป็น 2 : 1 : 3

3) ภาชนะ A มีพื้นท่ผี ิวมากกวา่ ภาชนะ C
4) พ้นื ทผ่ี ิวของภาชนะ B เทา่ กบั (√5 + 1)πr2 ตารางหน่วย

5) ถา้ เพม่ิ ความสงู ของภาชนะ B อกี สองเทา่ จะท�ำ ใหภ้ าชนะ B มปี รมิ าตร
เทา่ กบั ภาชนะ A

4. พีระมดิ ฐานส่เี หลย่ี มจัตุรัสสูง h เมตร ถ้าวัดความสูงจากฐานข้นึ ไป h–2 เมตร แล้วตัดยอดออกในแนวขนานกบั ฐาน
สว่ นยอดทต่ี ดั ออกเปน็ พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั ทมี่ คี วามสงู เทา่ กบั h–2 เมตร พรี ะมดิ ใหมท่ ไี่ ดม้ ปี รมิ าตรเปน็ กเ่ี ปอรเ์ ซน็ ต์

ของปริมาตรของพรี ะมิดเดมิ (1 คะแนน)

ก. 12.5% ข. 15% ค. 16.5% ง. 20%

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 243

5. พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี มมุมฉากรูปหน่ึงสงู 12 เซนติเมตร มพี ้นื ทผี่ วิ 788 ตารางเซนติเมตร โดยหน้าหน่งึ ของพรี ะมิดเปน็
รูปสามเหลี่ยมท่ีมีฐานยาว 18 เซนตเิ มตร และมีพื้นที่ 130 ตารางเซนติเมตร ดังรูป

E

12 C
D 18

F (3 คะแนน)
AB

1) ฐานของพรี ะมิดน้ีเป็นรปู สเ่ี หล่ียมมมุ ฉากชนดิ ใด

2) พน้ื ท่ผี ิวข้างของพรี ะมดิ เท่ากบั เท่าไร (2 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

244 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

6. ตั้มใชข้ นั น้ำ�ครง่ึ ทรงกลมที่มรี ัศมยี าว 3 นว้ิ ตักน�ำ้ ใส่ลงในภาชนะ 2 แบบ ดังนี้
✤ แบบท่ี 1 ภาชนะรปู กรวยทม่ี รี ศั มขี องฐานเทา่ กับรัศมีของขันน�้ำ แต่สงู เป็นสองเท่าของรัศมีของขันน้ำ�น้ี
✤ แบบท่ี 2 ภาชนะรปู พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ทม่ี ฐี านยาวดา้ นละ 6 นว้ิ และสงู เปน็ สเ่ี ทา่ ของรศั มขี องขนั น�ำ้ น้ี
จงหาจำ�นวนคร้งั ที่นอ้ ยทส่ี ดุ ทใ่ี ชข้ ันน้ีตักน�ำ้ ใส่ภาชนะแต่ละแบบจนเตม็ ภาชนะ พร้อมทงั้ แสดงวธิ คี ดิ (6 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 245

7. พรี ะมดิ ปรกติฐานส่เี หล่ยี ม มผี ิวข้างเปน็ รปู สามเหล่ียมดา้ นเทา่ และฐานยาวดา้ นละ 12 เซนตเิ มตร พรี ะมดิ น้มี พี ้ืนทผี่ ิว

เท่าใด (3 คะแนน)



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

246 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คู่มอื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

8. กล่องใส่การบูรเหลวมีลักษณะเป็นพีระมิดปรกติฐานสี่เหล่ียมท่ีมีความยาวรอบฐานเท่ากับ 16 เซนติเมตร และผิวข้าง
เป็นรูปสามเหล่ียมด้านเทา่ ต้องเทการบรู เหลวลงในกลอ่ งก่ลี กู บาศกเ์ ซนติเมตรจงึ จะเตม็ กล่องน้ีพอดี (3 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 247

9. แผ่นเหล็กตันแผ่นหน่ึงกว้าง 20 เซนติเมตร ยาว 55 เซนติเมตร หนา 3 เซนติเมตร สามารถนำ�มาหลอม

ให้เป็นท่ีทับกระดาษรูปกรวยที่มีรัศมีของฐานยาว 3 เซนติเมตร ได้ 25 อัน โดยแต่ละอันมีความสูงเท่ากัน

ถ้าต้องการออกแบบกล่องทรงส่ีเหล่ียมมุมฉากสำ�หรับบรรจุท่ีทับกระดาษรูปกรวยตันแต่ละอันเพ่ือส่งไปจำ�หน่าย

กลอ่ งทรงสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากนคี้ วรมขี นาดเทา่ ไร โดยความยาวฐานของกลอ่ งมากกวา่ ความยาวของเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของ

( )ฐานกรวยและมคี วามสูงของกล่องมากกว่าความสูงของกรวย 1 เซนตเิ มตร ก�ำ หนด π ≈ 2—72 (3 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

248 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

10. ครอบครัวของนำ้�ต้องการฉลองวันเกิดให้กับน้องเหนือ โดยพ่ีน้ำ�อาสา
ทำ�หมวกให้ทุกคนในครอบครัว พี่นำ้�จึงวัดความยาวรอบศีรษะของทุกคน
ซ่ึงไดข้ อ้ มูลมาดงั ตาราง

ช่อื น้องเหนือ พ่นี �ำ้ แม่นุ่น พอ่ นนท์
ความยาวรอบศรี ษะ (ซม.) 35 42 49 56

พน่ี ำ้�ทำ�หมวกจากกระดาษเหลือใชท้ ีม่ ีขนาดดังรูป

20 ซม. 20 ซม.

พนี่ ำ้�ทำ�หมวกใหท้ กุ คน โดยตัดกระดาษตามแนวรศั มี แลว้ น�ำ มาประกอบเปน็ กรวย จงตอบค�ำ ถามตอ่ ไปน้ีพรอ้ มแสดง

( ) แนวคดิ ก�ำ หนด π ≈ 2—72

1) กระดาษทน่ี ำ�มาใช้ทำ�หมวกสำ�หรบั ทกุ คน เพียงพอหรอื ไม่ ถ้าเพียงพอ จะเหลอื กระดาษท่ีมพี ื้นท่ปี ระมาณ

เท่าไร แตถ่ า้ ไมเ่ พียงพอจะขาดกระดาษที่มีพ้นื ที่ประมาณเทา่ ไร (3 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 249

2) ใครบา้ งทไี่ ด้หมวกสีเดยี วกนั (1 คะแนน)

11. แบมต้องการหล่อเทียนลงในแบบหล่อเทียนท่ีมีลักษณะเป็นพีระมิด ฐานภายในเป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวด้านละ

12 เซนติเมตร สูงภายใน 8 เซนติเมตร ในการหลอ่ เทียนคร้ังน้ี จะใช้เทียนมาผสม 2 ส ี และเทยี นแต่ละเล่มจะตอ้ งใช้

เทยี นแตล่ ะสปี รมิ าตรเทา่ กนั ถ้าแบมเทเทยี นสแี รกลงไปในแบบหล่อเทียนใหส้ ูงจากยอด 5 เซนติเมตร อยากทราบวา่

แบมจะไดเ้ ทยี นตามทตี่ อ้ งการหรอื ไม ่ ถา้ ไมไ่ ด้ จงหาวา่ แบมจะตอ้ งเทเทยี นสแี รกสงู ประมาณเทา่ ใด จงึ จะท�ำ ใหป้ รมิ าตร

ของเทียนแตล่ ะสีเทา่ กนั (กำ�หนด √3 4 ≈ 1.6 และ √3 2 ≈ 1.25) (7 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี