คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

100 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ชวนคดิ 2.3

เปน็ จริง และมีวธิ ีการพิสจู น์ดงั น้ี

ipst.me/11423

O B
D

A C

รปู 1

ก�ำ หนดให ้ วงกลม O มี AˆBC และ AˆOC รองรบั ด้วยA�C เดียวกัน
ตอ้ งการพิสูจนว์ า่ AˆOC = 2(AˆBC)

พสิ จู น ์ ลากเส้นผ่านศนู ย์กลาง BD

เนือ่ งจาก AO = OB (รศั มขี องวงกลมเดยี วกัน)

จะได้ ΔABO เปน็ รปู สามเหลีย่ มหน้าจัว่ (บทนยิ ามของรูปสามเหลีย่ มหนา้ จั่ว)
(มมุ ทีฐ่ านของรูปสามเหล่ยี มหน้าจั่วมีขนาดเท่ากนั )
ดังนน้ั OˆAB = OˆBA

เนอ่ื งจาก DˆOA = OˆAB + OˆBA (ขนาดของมุมภายนอกของรปู สามเหล่ยี มเทา่ กบั

ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด

ของมุมภายนอกน้นั )

จะได้ DˆOA = 2(OˆBA) (OˆAB = OˆBA)
ในทำ�นองเดียวกนั DˆOC = 2(OˆBC)
จะได้ DˆOC – DˆOA = 2(OˆBC) – 2(OˆBA) (สมบตั ิของการเทา่ กนั )

ดังนั้น AˆOC = 2(OˆBC – OˆBA) = 2(AˆBC)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 101

D

O

A

C
B

รปู 2

กำ�หนดให ้ วงกลม O มี AˆBC และมมุ กลับ AOC รองรบั ด้วยสว่ นโคง้ ใหญ่ AC เดยี วกนั
ตอ้ งการพสิ จู นว์ า่ มมุ กลับ AOC = 2(AˆBC)

พสิ จู น ์ ลากเสน้ ผา่ นศูนย์กลาง BD

เน่อื งจาก AO = OB (รศั มีของวงกลมเดยี วกัน)

จะได้ ΔABO เป็นรูปสามเหลยี่ มหน้าจว่ั (บทนยิ ามของรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว)
(มุมท่ฐี านของรปู สามเหลย่ี มหน้าจ่วั มีขนาดเทา่ กนั )
ทำ�ให้ OˆAB = OˆBA

จาก DˆOA = OˆAB + OˆBA (ขนาดของมุมภายนอกของรปู สามเหลยี่ มเทา่ กบั

ผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด

ของมุมภายนอกนั้น)

จะได้ DˆOA = 2(OˆBA) (OˆAB = OˆBA)
2(OˆBC)
ในทำ�นองเดียวกัน DˆOC = 2(OˆBC) + 2(OˆBA) (สมบัติของการเทา่ กัน)

จะได้ DˆOC + DˆOA =

มมุ กลับ AOC = DˆOC + DˆOA
ดังนัน้ มมุ กลบั AOC = 2(OˆBC + OˆBA) = 2(AˆBC)

ชวนคดิ 2.4

เป็นจรงิ

ipst.me/11424

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

102 บทที่ 2 | วงกลม คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยแบบฝกึ หัด

แบบฝกึ หัด 2.1 ก

1. 1) แนวคิด A25 ° จากทฤษฎีบทที่ว่า ในวงกลมวงเดียวกัน มุมใน

B x° ส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
E
จะมขี นาดเทา่ กนั
O
จากรูป จะเหน็ ว่า BˆCA และ BˆEA ตา่ งเป็นมมุ ท่ี
C
D รองรบั ด้วยสว่ นโคง้ BA

ดังนั้น BˆCA = BˆEA

นน่ั คอื x = 25

2) แนวคดิ จากทฤษฎีบทที่ว่า ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมท่ีรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมี

ขนาดเท่ากัน

J จากรูป จะเหน็ วา่ MˆNL และ MˆJK ตา่ งเป็นมมุ

K 50° 25° N ทีร่ องรับด้วยส่วนโคง้ MK
L
x° O ดงั นน้ั MˆNL = MˆJK = 25°
M
25° และเนอ่ื งจากขนาดของมมุ ภายนอกของรปู สามเหล่ยี ม

เทา่ กบั ผลบวกของขนาดของมมุ ภายในทไ่ี มใ่ ชม่ มุ ประชดิ

ของมมุ ภายนอกนัน้

ดังน้ัน x = 50 + 25 = 75

3) แนวคดิ จากทฤษฎบี ททว่ี า่ ในวงกลมวงเดยี วกนั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลาง
x° จะมขี นาดเปน็ สองเทา่ ของขนาดของมมุ ในสว่ นโคง้ ของ

วงกลมทีร่ องรบั ด้วยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
O จากรปู จะเห็นว่า มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O

มีขนาด 90°

ดงั นนั้ x = 45

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 103

4) แนวคดิ จากทฤษฎีบทท่ีว่า ในวงกลมวงเดียวกัน มุมท่ีจุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมใน

สว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรับด้วยสว่ นโคง้ เดียวกนั

จากรปู จะเหน็ วา่ AˆBC รองรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ ใหญ่ AC

เนอื่ งจากมุมที่จุดศูนยก์ ลางท่ีรองรับด้วย

A 240°O สว่ นโคง้ ใหญ่ AC คอื มุมกลบั AOC
และจาก มมุ กลับ AOC = 360 – 120 = 240°
x° 120°
ดงั น้นั x = 120
B C

2. แนวคิด P
T
Q

64°

S

R

เนอ่ื งจาก ΔRQS เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจว่ั (QR = QS และบทนยิ ามของรูปสามเหลีย่ มหน้าจวั่ )
(มุมทฐ่ี านของรูปสามเหล่ยี มหน้าจั่วมขี นาดเทา่ กนั )
จะได ้ QˆRS = QˆSR (ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมมุ ของรปู สามเหลี่ยม
เนอ่ื งจาก QˆRS + QˆSR + RˆQS = 180° รวมกนั เปน็ 180°)

(RP แบ่งครึ่ง QˆRS)

ดังนน้ั 2(QˆRS) + 64 = 180 (มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
จะได ้ มขี นาดเทา่ กนั )
เน่อื งจาก QˆRS = 58°
และ
QˆRS = QˆRP + PˆRS
จะได ้
QˆRP = PˆRS
และจาก QˆRS
QˆRP = = 5—28 = 29°
2
QˆRP = PˆSQ



ดังนัน้ PˆSQ = 29°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

104 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2
C
3. แนวคิด

O B
A 35°

เน่ืองจาก OA = OB (รัศมีของวงกลมเดยี วกนั )

จะไดว้ า่ ΔAOB เปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั (บทนิยามของรูปสามเหลยี่ มหน้าจั่ว)

ดังนั้น OˆBA = OˆAB = 35° (มมุ ที่ฐานของรปู สามเหลีย่ มหนา้ จวั่ มีขนาดเท่ากัน)

เนอ่ื งจาก OˆAB + OˆBA + AˆOB = 180° (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรปู สามเหล่ยี ม

รวมกนั เปน็ 180°)

จะได้ AˆOB = 180 – (35 + 35)

ดงั นน้ั AˆOB = 110°
นัน่ คอื AˆCB = A—ˆO2B = 1—120 = 55°
(มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางมขี นาดเปน็ สองเทา่ ของขนาดของ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั )

4. แนวคดิ A

50° C

O

B

เน่ืองจาก BˆAC = 50° (ก�ำ หนดให)้
ดังน้ัน BˆOC = 2(BˆAC) = 100° (มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางมขี นาดเปน็ สองเทา่ ของขนาดของ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั )
(รศั มีของวงกลมเดยี วกนั )
(บทนิยามของรูปสามเหล่ยี มหนา้ จ่วั )
เนอื่ งจาก OB = OC (มมุ ทฐ่ี านของรปู สามเหลยี่ มหนา้ จ่ัวมขี นาดเท่ากัน)

จะไดว้ ่า ∆BOC เป็นรปู สามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว

ดงั นัน้ OˆBC = OˆCB

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 105

เนือ่ งจาก BˆOC + OˆBC + OˆCB = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมมุ ของรูปสามเหล่ียม
รวมกนั เปน็ 180°)


จะได้ 100 + 2(OˆCB) = 180

ดงั น้ัน OˆCB = 40°

น่นั คอื BˆOC = 100° และ OˆCB = 40°

5. แนวคดิ A

22 ° D

E

50° 55° C

B

เนอื่ งจาก AˆCD = AˆBE = 5550°° � (มุมในสว่ นโค้งของวงกลมที่รองรบั ดว้ ยสว่ นโค้ง
และ AˆDB = BˆCE = เดยี วกันมขี นาดเท่ากัน)

เนือ่ งจาก CˆAD + AˆCD + (AˆDB + CˆDE) = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม

รวมกันเปน็ 180°)

จะได้ CˆDE = 180 – (22 + 50 + 55)

ดังนั้น CˆDE = 53°

6. O R

64° P

W 42°
E

1) แนวคดิ เน่ืองจาก PˆOW = 64° (กำ�หนดให้)
(มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
ดังนัน้ PˆRE = PˆOW = 64° มขี นาดเทา่ กนั )
(ก�ำ หนดให้)
(มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
มีขนาดเทา่ กัน)
และเน่ืองจาก PˆER = 42°
ดงั น้นั PWˆO = PˆER = 42° สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

106 บทท่ี 2 | วงกลม ค่มู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เนื่องจาก PˆOW + PWˆO + OˆPW = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม

รวมกันเปน็ 180°)

จะได้ OˆPW = 180 – (64 + 42)

ดังน้ัน OˆPW = 74°

2) แนวคิด เนือ่ งจาก RˆPE เปน็ มมุ ตรงข้ามกับ OˆPW และจากข้อ 1)

จึงไดว้ า่ RˆPE = OˆPW = 74°

ดงั นั้น ∆POW ~ ∆PRE เพราะมีมุมท่มี ีขนาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ 3 คู่

จะได้วา่ PPOR = PW
PE

42..28 = 5.6
PE

ดังนั้น PE = 8.4 หน่วย

3) แนวค ิด จา กขอ้ 2 ) เราท ราบมา แลว้ ว่า ∆POW ~ ∆PRE และ PO = PW
PR PE

ดงั นั้นจงึ สรปุ ไดว้ า่ PR ∙ PW = PO ∙ PE

แบบฝกึ หัด 2.1 ข

คำ�ชี้แจง สำ�หรับแนวคิดในการหาคำ�ตอบในบางข้ออาจทำ�ได้หลายวิธี แนวคิดท่ีนำ�เสนอไว้เป็นเพียงวิธีหาคำ�ตอบวิธีหนึ่ง

ซึง่ ครูผสู้ อนอาจมีแนวคิดทแ่ี ตกต่างไปจากน้ี

1. 1) แนวคดิ จากทฤษฎบี ทท่ีว่า มมุ ในคร่งึ วงกลมมีขนาด 90° หรือหนง่ึ มุมฉาก

จากรูป จะได้วา่ AˆCB = 90°

x° B และเนื่องจากขนาดของมมุ ภายในทัง้ สามมุมของ
C รูปสามเหลย่ี มรวมกนั เปน็ 180°
O
จึงไดว้ ่า AˆBC = 180 – (90 + 65) = 25°
65°
น่นั คือ x = 25
A

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 107

2) แนวคดิ จากทฤษฎีบททวี่ ่า มุมในคร่งึ วงกลมมขี นาด 90° หรือหนง่ึ มมุ ฉาก

P จากรูป จะได้ว่า PˆRQ = 90°

37° และเนือ่ งจากขนาดของมมุ ภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลีย่ มรวมกนั เป็น 180°
O
S x° R จงึ ได้ว่า PˆQR = 180 – (37 + 90) = 53°
และ SˆRQ = 180 – (53 + 90) = 37°

ดงั นน้ั x = 37

2. แนวคิด Q

C

35°

AB
O

เน่ืองจาก AˆCO + OˆCB = 90° (มมุ ในคร่งึ วงกลมมขี นาด 90°)

และ AˆCO = 35° (ก�ำ หนดให)้

ดังนัน้ OˆCB = 90 – 35 = 55°

และเนื่องจาก OC = OB (รัศมขี องวงกลมเดียวกัน)

จะได้ว่า ∆BOC เปน็ รปู สามเหลยี่ มหน้าจวั่ (บทนิยามของรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว)

ดงั นน้ั OˆBC = 55° (มุมท่ีฐานของรูปสามเหลยี่ มหนา้ จัว่ มขี นาดเท่ากัน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

108 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2
C
3. แนวคิด

A 32° O B

D (รศั มีของวงกลมเดียวกัน)
(บทนยิ ามของรูปสามเหลยี่ มหน้าจ่วั )
เนื่องจาก OC = OA (กำ�หนดให)้
จะได้วา่ ∆AOC เปน็ รปู สามเหล่ยี มหน้าจ่ัว (มมุ ทีฐ่ านของรปู สามเหล่ียมหนา้ จวั่ มขี นาดเทา่ กนั )
(มมุ ในคร่ึงวงกลมมขี นาด 90°)
และจาก OˆAC = 32°
ดังน้ัน AˆCO = 32°
เน่อื งจาก AˆCO + BˆCO = 90°
ดังนัน้ BˆCO = 90 – 32 = 58°

4. แนวคิด D

C
O

A 100°
B

1) มมุ กลับ AOC = 2(AˆBC) = 200° (มุมท่ีจดุ ศูนยก์ ลางมขี นาดเปน็ สองเท่าของขนาดของ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั )
(มุมรอบจุดมขี นาด 360°)
(มมุ ทีจ่ ดุ ศนู ยก์ ลางมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของ
2) AˆOC = 360 – มมุ กลบั AOC = 160° มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั )
3) AˆDC = –21(AˆOC) = 80°



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 109

5. แนวคดิ DE
AO
100 °
C

เนื่องจาก AˆBC = 90° B
BˆOD
B ˆAD = = 50° (มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90°)
2 (มุมที่จุดศนู ยก์ ลางมขี นาดเปน็ สองเท่าของขนาดของ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั )

จะได้ AˆEB = 180 – (90 + 50) (ขนาดของมมุ ภายในท้งั สามมมุ ของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเป็น 180°)


ดงั นัน้ AˆEC = 40°

6. แนวคดิ D

A O 30° C

40° (มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
มขี นาดเทา่ กัน)
เน่ืองจาก AˆDB = AˆCB = 30° B (มมุ ในคร่งึ วงกลมมขี นาด 90°)

(มมุ ในครึ่งวงกลมมีขนาด 90°)

และ AˆDC = 90° (มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
ดังนน้ั BˆDC = 90 – 30 = 60° มีขนาดเทา่ กัน)
เนื่องจาก AˆBC = 90°
จะได้ DˆBC = 90 – 40 = 50°
ดังนั้น CˆAD = DˆBC = 50°



นน่ั คอื BˆDC = 60° และ CˆAD = 50°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

110 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

7. แนวคดิ D C
B
A 18°

O

เนื่องจาก AˆCB = 90° (มมุ ในคร่งึ วงกลมมขี นาด 90°)
จะได้ AˆBC = 180 – (90 + 18) = 72° (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเป็น 180°)
(มุมภายนอกและมมุ ภายในท่อี ยู่ตรงข้ามบน
ขา้ งเดยี วกันของเส้นท่ีตัดเสน้ ขนาน จะมีขนาดเทา่ กัน)
เนื่องจาก AˆOD = AˆBC (สมบตั ขิ องการเทา่ กัน)
(รัศมขี องวงกลมเดยี วกนั )
(บทนยิ ามของรูปสามเหล่ยี มหน้าจ่ัว)
(มมุ ทีฐ่ านของรูปสามเหลยี่ มหนา้ จว่ั มีขนาดเท่ากัน)
ดังน้ัน AˆOD = 72°
E
เนื่องจาก OA = OD

จะได้ว่า ∆AOD เป็นรูปสามเหลยี่ มหนา้ จวั่

ดงั นน้ั A ˆDO = OˆAD = 180 – 72 = 54°
2

8. แนวคดิ A

45°

O 115°
BD

เนื่องจาก OA = OB C (รัศมขี องวงกลมเดยี วกนั )
(บทนยิ ามของรูปสามเหลย่ี มหนา้ จั่ว)
จะไดว้ ่า ∆AOB เปน็ รูปสามเหล่ียมหนา้ จั่ว
(ขนาดของมุมภายในท้ังสามมุมของรูปสามเหล่ียม
ดงั นั้น AˆBO = 45° รวมกนั เป็น 180°)
นนั่ คือ AˆOB = 180 – (45 + 45) = 90° (มุมท่ีจุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั )

(มุมกลับ COE = AˆOE + AˆOB + BˆOC)
เนอื่ งจาก มุมกลบั COE = 2(CˆDE) = 230°



ดังนน้ั AˆOE + BˆOC = 230 – 90 = 140°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 111

9. แนวคดิ A

ก�ำ หนดให้ CˆBE = x° และ AˆCD = y°

E เนอ่ื งจาก BCDE เปน็ รปู ส่เี หลย่ี มแนบในวงกลม
จงึ ได้วา่
B และ AˆDC = (180 – x)°
x° DˆEB = (180 – y)°

และเนือ่ งจาก BA และ EA เปน็ ส่วนของเส้นตรง

ทีล่ ากต่อจาก CB และ DE ตามล�ำ ดับ

จงึ ทำ�ให้ CˆBA และ DˆEA เปน็ มุมตรง
C y°
D ดงั นั้น AˆBE = (180 – x)°
และ AˆEB = 180 – (180 – y) = y°

พจิ ารณา ∆CAD และ ∆EAB (มมุ รว่ ม)
(ต่างมีขนาดเทา่ กบั y°)
เนื่องจาก CˆAD = EˆAB (ต่างมีขนาดเทา่ กบั (180 – x)°)
AˆCD = AˆEB
AˆDC = AˆBE

ดังน้ัน ∆CAD ~ ∆EAB เพราะมีมุมที่มีขนาดเทา่ กันเป็นคู่ ๆ 3 คู่

10. แนวคิด ลาก AB จะได้ ABCD เปน็ รปู ส่เี หลยี่ มแนบในวงกลม

D

A 68°

40° C

B (มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
มีขนาดเท่ากัน)
เนือ่ งจาก AˆBD = AˆCD = 68° (ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปส่ีเหล่ียม
แนบในวงกลมเปน็ 180°)

(ก�ำ หนดให้)
จะได ้ AˆDC = 180 – AˆBC
(มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั
มขี นาดเท่ากนั )
ดงั นัน้ AˆDC = 180 – (68 + 40) = 72°
เนื่องจาก AˆDB = BˆDC สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
AˆDC
จะได ้ A ˆDB = = 36°
2
เนื่องจาก AˆDB = AˆCB



ดังนน้ั AˆCB = 36°

112 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2.2 คอรด์ ของวงกลม (5 ชัว่ โมง)

จุดประสงค์

นกั เรยี นสามารถ
1. อธบิ ายทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั คอรด์ ของวงกลม
2. นำ�ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั คอร์ดของวงกลมไปใช้ในการให้เหตผุ ลและแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

ความเขา้ ใจทค่ี ลาดเคล่อื น

-

ส่อื ที่แนะนำ�ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)

ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเรื่องทฤษฎีบทเก่ียวกับคอร์ดของวงกลม ซ่ึงเน้นให้นักเรียนใช้สมบัติและทฤษฎีบทท่ีเรียนมาแล้วใน
การพสิ จู นแ์ ละใหเ้ หตผุ ล และส�ำ รวจโดยใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) การเรยี นเรอ่ื งน้ี มงุ่ ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจ
ทฤษฎบี ท และสามารถนำ�ไปใช้ในการให้เหตผุ ลและแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ได้ แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรยี นรูอ้ าจทำ�ไดด้ งั น้ี
1. ครูแนะนำ�ให้นักเรียนรู้จักคอร์ดของวงกลม เพื่อนำ�ไปใช้ในการศึกษาทฤษฎีบทท่ีเกี่ยวกับคอร์ดของวงกลม

โดยเน้นการให้เหตุผลและการพิสูจน์แบบไม่เป็นทางการ เพื่อให้ได้ข้อสรุปตามทฤษฎีบท และใช้มุมเทคโนโลยี
ในหนังสือเรียน หน้า 74–75 และ 77 โดยดาวน์โหลดส่ือสำ�เร็จรูปสำ�หรับซอฟต์แวร์ The Geometer’s
Sketchpad (GSP) เพอื่ ส�ำ รวจความสัมพันธ์ต่าง ๆ ท่เี ก่ียวข้องกบั คอร์ดของวงกลม ได้แก่ ความสมั พนั ธ์ระหว่าง
ความยาวของคอร์ดกับความยาวของสว่ นโค้งของวงกลม ความสัมพนั ธร์ ะหว่างคอรด์ กับจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม
และสมบัตขิ องคอรด์ ที่ยาวเทา่ กัน เพ่ือยืนยนั ขอ้ สรปุ ทีไ่ ด้ตามลำ�ดบั
2. การอธิบายทฤษฎีบทเก่ียวกับจุดศูนย์กลางของวงกลมท่ีอยู่บนเส้นตรงท่ีตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลม
ครูควรใช้การอภปิ รายในชนั้ เรยี น เพ่อื ชีใ้ ห้นกั เรียนเหน็ ว่า ทฤษฎบี ทดังกลา่ วมีประโยชนใ์ นการแก้ปญั หาเกย่ี วกบั
การหาต�ำ แหนง่ ของจุดศูนยก์ ลางของวงกลม ดงั ตัวอย่างการนำ�ไปใช้ในแบบฝกึ หดั 2.2 ขอ้ 10–11
ครูอาจให้ข้อสังเกตเพ่ิมเติมว่า สำ�หรับการหาจุดศูนย์กลางของวงกลมในกรณีท่ีกำ�หนดให้คอร์ด 2 คอร์ด
ขนานกนั เสน้ ตรงทแ่ี บง่ ครงึ่ และตงั้ ฉากกบั คอรด์ ทงั้ สองนนั้ จะเปน็ เสน้ เดยี วกนั ท�ำ ใหไ้ มส่ ามารถระบตุ �ำ แหนง่ ของ
จุดศูนยก์ ลางของวงกลมได้ ดงั นน้ั จงึ ต้องสรา้ งคอร์ดใหมเ่ พมิ่ เติม เช่น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 113

A C จากรปู AB // CD และ �EF ตงั้ ฉาก
E F และแบ่งครึ่ง AB และ CD
อาจลาก BD แล้วสร้างเสน้ ตรง ใหต้ ้งั ฉาก
B D และแบ่งครึ่ง BD จะได้จดุ ตัดของเสน้ ตรง
กับ �EF เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม

3. ในการศึกษาทฤษฎีบทเกี่ยวกับคอร์ดที่ยาวเท่ากัน ครูควรให้นักเรียนได้ฝึกการนำ�ความรู้ก่อนหน้ามาใช้ใน
การให้เหตุผลก่อนท่จี ะสรุปทฤษฎีบทดังกล่าว เช่น จากตารางในหนังสือเรียน หน้า 78 เหตุผลท่นี ักเรียนให้
ควรเปน็ ดงั น้ี

M T
A

N

SO

ข้อที่ ข้อความ B

1 OB = ON เหตุผล

2 OˆSB = OˆTN รัศมีของวงกลมเดียวกัน
ก�ำ หนดให้ OS ⊥ AB และ OT ⊥ MN
3 OS = OT กำ�หนดให้
4 ∆SOB ≅ ∆TON เท่ากันทุกประการแบบ ฉ.ด.ด.
5 SB = TN ด้านทสี่ มนัยกันของรปู สามเหล่ียมท่เี ทา่ กันทกุ ประการ จะยาวเทา่ กัน
ในท�ำ นองเดียวกนั เม่ือลาก OA และ OM
6 AB = MN จะไดว้ ่า ∆SOA ≅ ∆TOM ซ่ึงท�ำ ให้ AS = MT

สำ�หรับการให้เหตุผลในข้อ 6 นักเรียนอาจให้เหตุผลในลักษณะอ่นื เช่น ใช้สมบัติของรูปสามเหล่ยี มหน้าจ่วั
หรือใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคอร์ดและจุดศูนย์กลางของวงกลมท่ีว่า “ถ้าส่วนของเส้นตรงผ่านจุดศูนย์กลาง
และตั้งฉากกับคอร์ด แล้วสว่ นของเสน้ ตรงนน้ั จะแบง่ ครึ่งคอรด์ ”

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

114 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

4. เนื่องจากจุดประสงค์ของบทเรียนเน้นที่การนำ�ทฤษฎีบทไปใช้ในการให้เหตุผลและแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ดังน้ัน
แบบฝึกหัดที่ให้นักเรียนหาขนาดของมุมต่าง ๆ นั้น มีเจตนาให้นักเรียนได้ใช้ทฤษฎีบทที่เรียนมาแล้ว ในการให้
เหตุผลเก่ยี วกบั การหาขนาดของมมุ ดังตวั อยา่ งในหนังสอื เรยี น หนา้ 79

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 115

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 2.5

คอรด์ ท่ียาวทีส่ ดุ คือ เส้นผา่ นศนู ย์กลางของวงกลม
ipst .me /114 25 ความยาวของสว่ นโคง้ ของวงกลมทแ่ี บง่ ดว้ ยคอรด์ ดงั กลา่ วจะเปน็ ครง่ึ หนง่ึ ของความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลม

ชวนคิด 2.6

1. ถา้ กำ�หนดจดุ บนระนาบมาให้ 1 จุด จะสามารถสร้างวงกลมให้ผา่ นจุดดงั กลา่ วไดม้ ากมายนบั ไม่ถว้ น เชน่

ipst.me/11426

2. ถ้ากำ�หนดจุดบนระนาบมาให้ 2 จุด จะสามารถสร้างวงกลมให้ผ่านจุดทั้งสองได้มากมายนับไม่ถ้วน
โดยวงกลมเหลา่ นนั้ จะมจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยบู่ นเสน้ ตรงทตี่ ง้ั ฉากและแบง่ ครง่ึ สว่ นของเสน้ ตรงทม่ี จี ดุ สองจดุ นน้ั
เปน็ จุดปลาย เชน่

3. ถา้ ก�ำ หนดจดุ บนระนาบมาให้ 3 จดุ ทไ่ี มอ่ ยใู่ นแนวเสน้ ตรงเดยี วกนั จะสามารถสรา้ งวงกลมใหผ้ า่ นจดุ ทง้ั สาม

ได้เพยี งวงเดยี วเท่านนั้ โดยสรา้ งไดด้ งั น้ี

1) กำ�หนดให้จดุ ท้งั สามเปน็ จดุ A, B และ C แล้วสรา้ ง AB A
และ BC

2) สรา้ งรังสี 2 เสน้ ใหแ้ บ่งครึ่งและต้งั ฉากกบั AB และ BC B O
3) ก�ำ หนดจดุ ตัดของรงั สที ง้ั สอง ซง่ึ เปน็ จดุ ศูนย์กลางของวงกลม

ให้ชือ่ เป็นจดุ O C
4) สรา้ งวงกลม O ทมี่ รี ัศมียาว OA, OB หรือ OC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

116 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ ือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 2.2

1. 1) แนวคิด จากทฤษฎีบททว่ี ่า เสน้ ตรงทล่ี ากจากจดุ ศูนย์กลางมาแบ่งคร่ึงคอร์ดจะต้ังฉากกับคอร์ด

A จากรูป จะได้วา่ AˆDB = AˆDC = 90°

y° ดงั น้ัน x = 90

B x° 32° C และเน่ืองจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ
รูปสามเหลีย่ มรวมกนั เป็น 180°
D
ท�ำ ให้ไดว้ ่า CˆAD = 180 – (90 + 32) = 58°

ดงั นนั้ y = 58

2) แนวคดิ จากทฤษฎบี ทที่วา่ เสน้ ตรงที่ลากจากจดุ ศูนย์กลางมาแบ่งครึง่ คอรด์ จะตง้ั ฉากกับคอรด์

จากรูป จะไดว้ ่า BˆED = BˆEC = 90°

และเน่ืองจาก ∆BED ≅ ∆BEC แบบ ด.ม.ด.

D E y° C ท�ำ ใหไ้ ด้ว่า DˆBE = CˆBE = 108 = 54°
2
x°108°
ดังนัน้ x = 54
B

และเน่ืองจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

รปู สามเหลี่ยมรวมกันเปน็ 180°

ท�ำ ให้ได้ว่า EˆCB = 180 – (90 + 54) = 36°

ดงั น้ัน y = 36

3) แนวคิด จากทฤษฎีบททวี่ ่า เสน้ ตรงท่ลี ากจากจุดศูนยก์ ลางมาแบง่ ครง่ึ คอรด์ จะตงั้ ฉากกับคอร์ด

D จากรูป จะไดว้ ่า DˆGF = DˆGE = 90°

ดังนนั้ x = 90

15° และเนื่องจากขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของ

C รปู สามเหลี่ยมรวมกันเป็น 180°

ท�ำ ให้ได้ว่า DˆEG = 180 – (90 + 15) = 75°

y° x° ดงั นนั้ y = 75

EG F

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 117

4) แนวคิด จากทฤษฎบี ททว่ี ่า เส้นตรงที่ลากจากจดุ ศนู ยก์ ลางมาแบง่ คร่งึ คอรด์ จะตัง้ ฉากกบั คอรด์

จากรูป จะไดว้ า่ EˆHF = EˆHG = 90°

E และเนื่องจาก ∆EHF ≅ ∆EHG แบบ ด.ม.ด.

x° 65° G ท�ำ ใหไ้ ด้ว่า EˆFH = EˆGH = 65° และ FˆEH = GˆEH

D y° และเนอ่ื งจากขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม

H รวมกนั เปน็ 180°

ดังน้นั FˆEH = GˆEH = 180 – (90 + 65) = 25°

F นนั่ คือ x = 25

และจากทฤษฎีบทท่ีว่า มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม

ที่รองรบั ด้วยสว่ นโคง้ เดียวกัน ทำ�ใหไ้ ดว้ า่ FˆDG = 2(FˆEG) = 2(25 + 25) = 100°

ดงั น้ัน y = 100

5) แนวคิด จากทฤษฎบี ททว่ี า่ ถา้ คอรด์ สองเสน้ ตดั วงกลมท�ำ ใหส้ ว่ นโคง้ นอ้ ยยาวเทา่ กนั แลว้ คอรด์ ทง้ั สองจะยาวเทา่ กนั

F จากรูป จะไดว้ ่า FG = FH
และจากทฤษฎบี ทท่ีว่า ถา้ คอร์ดสองเส้นยาวเทา่ กนั
y° แล้วคอร์ดทงั้ สองนน้ั จะอยู่หา่ งจากจุดศูนยก์ ลางเป็น
ระยะเท่ากนั
I
E x° J

G 250°

H

จากรูป EˆIG = 90° แสดงวา่ EI เป็นระยะหา่ งจากจุดศนู ย์กลางถงึ คอร์ด FG

ซง่ึ จาก FG = FH และ EI = EJ ท�ำ ให้ EJ เปน็ ระยะห่างจากจุดศูนยก์ ลางถึงคอร์ด FH ดว้ ย

ดังนน้ั EˆJF = 90°

น่ันคือ x = 90

เน่อื งจาก GˆIF เปน็ มมุ ตรง ท�ำ ให้ EˆIF = 180 – 90 = 90°
และจากมมุ รอบจดุ E ทำ�ให้ IˆEJ = 360 – 250 = 110°

และเนอ่ื งจากขนาดของมุมภายในทง้ั สม่ี มุ ของรปู ส่ีเหล่ยี มรวมกันเป็น 360°

ท�ำ ใหไ้ ด้วา่ IˆFJ = 360 – (90 + 110 + 90) = 70°

น่ันคือ y = 70

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

118 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

6) แนวคิด จากทฤษฎบี ทท่วี า่ ถ้าส่วนโค้งน้อยยาวเทา่ กัน แล้วคอร์ดทั้งสองจะยาวเท่ากนั

G จากรูป จะไดว้ า่ GH = HI = IG

L ดังน้นั ∆GHI เป็นรปู สามเหล่ยี มดา้ นเทา่
JF
จะไดว้ ่า x = 60 และ HˆIG = 60°
y°
และจากทฤษฎีบทที่ว่า ถ้าคอร์ดสองเส้นยาวเท่ากัน
I
แล้วคอร์ดท้ังสองนั้นจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็น

x° K ระยะเท่ากนั
H

จากรปู FˆJG = 90° แสดงวา่ FJ เป็นระยะหา่ งจากจุดศูนย์กลางถึงคอร์ด GH

จาก GH = HI = IG และ FJ = FK = FL

ทำ�ให้ FK เป็นระยะห่างจากจุดศูนยก์ ลางถึงคอร์ด HI

และ FL เป็นระยะห่างจากจดุ ศนู ยก์ ลางถงึ คอร์ด IG

ดังนั้น FˆKI = FˆLI = 90°

เนื่องจากขนาดของมมุ ภายในทั้งสี่มุมของรปู ส่ีเหลยี่ มรวมกนั เป็น 360°

ดงั นัน้ KˆFL = 360 – (90 + 60 + 90) = 120°

น่ันคอื y = 120

2. 1) แนวคิด S จากทฤษฎบี ทที่วา่ ถ้าส่วนโค้งนอ้ ยยาวเทา่ กัน
แลว้ คอร์ดทัง้ สองจะยาวเท่ากัน
ดงั นั้น จะไดว้ า่ ∆SET เป็นรปู สามเหลีย่ มดา้ นเทา่
จะได้ SE = ET = TS = 7 หนว่ ย
7 นนั่ คอื ความยาวรอบรปู ของ ∆SET เทา่ กบั 21 หนว่ ย
7

T

E7

2) แนวคิด S จากทฤษฎีบทที่ว่า เส้นตรงที่ลากจากจุดศูนย์กลาง
มาตงั้ ฉากกับคอรด์ จะแบ่งครง่ึ คอรด์

17 17 ดังนน้ั EA = AT = 8 หน่วย
15 และทำ�ใหไ้ ดว้ ่า ∆SEA ≅ ∆STA แบบ ด.ม.ด.

ดังน้ัน SE = ST

E 8A8 T จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส
จะได้ ST2 = 152 + 82 = 289

ST = 17

และ SE = 17

ดงั นน้ั ความยาวรอบรปู ของ ∆SET = 17 + 17 + 8 + 8 = 50 หนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 119

3) แนวคดิ เนือ่ งจาก ST และ SE ต่างเป็นรศั มีของวงกลม

E ดงั น้ัน ST = SE = 2.5 หน่วย
เนอื่ งจาก 2.52 = 1.52 + 22
A1.5
1 .5 2 2.5 จากบทกลบั ของทฤษฎีบทพีทาโกรสั จะได้ ∆SAT

T 2.5 S เปน็ รปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ทม่ี ี SˆAT = 90°

ดังนน้ั SA ตั้งฉากกับ TE

จากทฤษฎบี ทที่ว่า เสน้ ตรงท่ลี ากจากจุดศูนย์กลาง

มาตั้งฉากกบั คอรด์ จะแบ่งคร่งึ คอรด์

ท�ำ ใหไ้ ดว้ ่า EA = AT = 1.5 หน่วย

น่นั คือ ความยาวรอบรปู ของ ∆SET = 2.5 + 2.5 + 1.5 + 1.5 = 8 หน่วย

4) แนวคดิ จากทฤษฎบี ททว่ี ่า เสน้ ตรงท่ลี ากจากจดุ ศูนย์กลางมาตั้งฉากกบั คอรด์ จะแบง่ ครงึ่ คอร์ด

ดังนั้น EA = AT = 1.2 หนว่ ย

จากทฤษฎีบทพที าโกรสั
E 1.2 2 1.6 S 2 จะได ้
A 1.2 ST2 = 1.62 + 1.22 = 4
ST = 2

เน่ืองจาก ST และ SE ตา่ งเป็นรัศมีของวงกลม

T ดงั นนั้ ST = SE = 2 หนว่ ย

นั่นคอื ความยาวรอบรูปของ ∆SET = 2 + 2 + 1.2 + 1.2 = 6.4 หน่วย

3. แนวคิด A

R C

เนอ่ื งจาก m(A�R) = m(A�C) (กำ�หนดให้)
(ถ้าสว่ นโคง้ นอ้ ยยาวเท่ากัน แล้วคอรด์ ทงั้ สองจะยาวเทา่ กัน)
จะได้ AR = AC (บทนิยามของรปู สามเหล่ยี มหน้าจั่ว)

ดงั นน้ั ∆ARC เป็นรปู สามเหลี่ยมหน้าจัว่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

120 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

4. แนวคิด GH

O

R P

เนื่องจาก m(R�A) = m(A�P) A

จะได้ AˆGR = AˆHP (กำ�หนดให)้
(มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ ทย่ี าวเทา่ กนั
มขี นาดเท่ากนั )
(ถา้ สว่ นโคง้ นอ้ ยยาวเทา่ กนั แลว้ คอรด์ ทง้ั สองจะยาวเทา่ กนั )
และ AR = AP (ก�ำ หนดให้)
(เทา่ กนั ทุกประการแบบ ม.ม.ด.)
เนื่องจาก RˆAG = HˆAP (ด้านคู่ท่ีสมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากันทุกประการ
จะยาวเท่ากนั )
ดงั น้ัน ∆AGR ≅ ∆AHP
S
นน่ั คือ HA จะยาวเทา่ กับ GA



5. แนวคดิ

A B
U 50° O

CM

เนอ่ื งจาก OA = OB (ก�ำ หนดให)้
จะได ้ SU = SM (ถ้าคอร์ดสองคอร์ดอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะเท่ากัน
แลว้ คอร์ดสองเสน้ จะยาวเทา่ กัน)
ดังน้ัน ∆SUM เปน็ รปู สามเหลยี่ มหนา้ จวั่ (บทนิยามของรปู สามเหล่ียมหน้าจ่วั )
เน่อื งจาก CU = CM (SC เปน็ เส้นท่ีตงั้ ฉากกับฐานของรปู สามเหล่ียมหนา้ จ่วั และ
สมบัตขิ องรปู สามเหล่ียมหน้าจั่ว)
และ SC = SC (ด้านร่วม)
จะได ้ ∆SUC ≅ ∆SMC (เท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด.)

ดังนั้น SˆCU = SˆCM = 90°
และ CˆSU = CˆSM

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 121

เน่ืองจาก CˆSU = 180 – (50 + 90) = 40° (ขนาดของมมุ ภายในของรูปสามเหลยี่ มรวมกนั เปน็ 180°)

ดังนน้ั OˆSM = 40° (OˆSM และ CˆSM เป็นมุมเดยี วกนั )

6. แนวคิด (รศั มขี องวงกลมเดียวกนั )
เน่อื งจาก OR = OW = 5 หน่วย (บทนยิ ามของรูปสามเหล่ยี มหน้าจ่ัว)
ดงั นนั้ ∆ROW เป็นรปู สามเหลี่ยมหนา้ จว่ั
ลาก OA ใหต้ ้ังฉากกบั ฐาน RW ดงั รูป R

A

O 4

5 W

จากสมบตั ขิ องรูปสามเหลี่ยมหนา้ จ่วั จะได้ AR = AW = 4 หนว่ ย
จากทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
จะได้ OA2 = 52 – 42 = 9
OA = 3
ดังน้นั ∆ROW เปน็ รปู สามเหลีย่ มหน้าจวั่ และมีพน้ื ท่ี = –12 × 3 × 8 = 12 ตารางหนว่ ย

7. แนวคิด ลาก OA ให้ตง้ั ฉากกับ SK จะได้วา่ OA เปน็ ระยะหา่ งระหว่างจดุ ศนู ยก์ ลาง O กบั SK

S A 18
K6
Y

O 13

เน่ืองจาก SK = 18 – 6 = 12 (SK = SY – KY)

และ AS = AK = S—2K = 6 (เสน้ ตรงทล่ี ากจากจดุ ศนู ยก์ ลางมาตงั้ ฉากกบั คอรด์ จะแบง่ ครงึ่ คอรด์ )
(AY = AK + KY)
จะได้ AY = 6 + 6 = 12

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

122 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ อื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั
จะได้ OY2 = OA2 + AY2
132 = OA2 + 122
OA2 = 25

ดังน้นั OA = 5

น่ันคอื SK อยูห่ ่างจากจดุ ศนู ย์กลาง O 5 เซนตเิ มตร

8. แนวคิด ลาก OM และ ON ใหต้ ั้งฉากกับ ES และ BT ตามล�ำ ดบั

E
M 1S4

O U
T

N
B6

เน่อื งจาก OMˆU = OˆNU = 90° (จากการสร้าง)

เนอ่ื งจาก ES = BT (กำ�หนดให)้

จะได้ OM = ON (ถา้ คอรด์ สองเสน้ ยาวเทา่ กนั แลว้ คอรด์ ทง้ั สองนน้ั จะอยหู่ า่ ง

จากจุดศูนย์กลางเป็นระยะเทา่ กัน)

และจาก OU = OU (ดา้ นร่วม)
ดังน้นั ∆MOU ≅ ∆NOU (เทา่ กันทุกประการแบบ ฉ.ด.ด.)

จะได้ MU = NU (ด้านคู่ท่ีสมนัยกันของรูปสามเหล่ียมท่ีเท่ากันทุกประการ

จะยาวเท่ากัน)

เน่อื งจาก EM = MS = BN = NT = 3 (เส้นตรงท่ีลากจากจุดศูนย์กลางมาตั้งฉากกับคอร์ดจะ

แบง่ ครงึ่ คอรด์ )

ดังน้นั TU = NU – NT = MU – 3 = (14 – 3) – 3 = 8 หน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 123

9. 1) CX

E B
S
Y
AD

2) จากข้อ 1) ลาก SA , SB และ SC ดงั รปู

CX

E S
DB
A
Y
ข้อที่ ขอ้ ความ
เหตผุ ล
(1) SD = SD
ด้านร่วม
(2) SˆDA = SˆDB �DX ตงั้ ฉากกับ AB
�DX แบง่ คร่ึง AB
(3) AD = BD เทา่ กนั ทกุ ประการแบบ ด.ม.ด.
(4) ΔSDA ≅ ΔSDB ด้านคูท่ สี่ มนัยกนั ของรปู สามเหลี่ยม
(5) SA = SB ที่เท่ากันทุกประการ จะยาวเท่ากนั
(6) SE = SE ดา้ นร่วม
�EY ตง้ั ฉากกบั AC
(7) SˆEA = SˆEC �EY แบ่งคร่ึง AC
เท่ากันทุกประการแบบ ด.ม.ด.
(8) AE = CE ดา้ นคทู่ ส่ี มนัยกันของรูปสามเหลี่ยม
(9) ΔSEA ≅ ΔSEC ทีเ่ ท่ากันทุกประการ จะยาวเทา่ กนั
(10) SA = SC จาก (5) และ (10) และสมบตั ขิ องการเท่ากัน
(11) SA = SB = SC
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

124 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มอื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

3) ถ้าให้ S เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ที่มีรัศมียาวเท่ากับ SA แล้ววงกลมนี้จะผ่านจุด B และจุด C ด้วย
เพราะจากขอ้ 2) ทำ�ให้ทราบว่า SA = SB = SC

นนั่ คือ วงกลม S จะผ่านจดุ ยอดทงั้ สามของรปู สามเหลย่ี ม ABC

CX

E S B
A
D
Y

4) จากข้อ 1) – 3) สามารถสร้างข้อความคาดการณ์ได้ว่า เม่ือกำ�หนดจุดสามจุดใด ๆ บนระนาบ ที่ไม่อยู่ในแนว
เส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสรา้ งวงกลมให้ผ่านจดุ ท้ังสามนั้นได้ เพราะสามารถหาจดุ ตดั S ทเ่ี ป็นจดุ ศูนย์กลาง
ของวงกลมได้ แต่ถ้าจุดท้ังสามนน้ั อย่ใู นแนวเส้นตรงเดียวกนั ก็จะไมม่ จี ุดตัด S ทำ�ให้สร้างวงกลมผ่านจุดทง้ั สาม
นนั้ ไมไ่ ด้

10. แนวคิด เน่ืองจากต้องการสร้างตลาดสดแห่งใหม่ให้อยู่ห่างจากท่ารถประจำ�ทาง สถานีรถไฟ และท่าเรือเป็น
ระยะทางเทา่ ๆ กัน

ดังน้นั จึงตอ้ งทำ�ให้ทา่ รถประจ�ำ ทาง (A) สถานีรถไฟ (B) และทา่ เรอื (C) เป็นต�ำ แหน่งทอ่ี ยูบ่ นวงกลม
โดยมีต�ำ แหนง่ ที่จะสร้างตลาดสดอยทู่ จ่ี ดุ ศนู ย์กลางของวงกลม (P)

ทา� รถ
ประจำทาง

A

B

P

Cท�าเรือ

หมายเหตุ สร้างโดยใชห้ ลักการเดยี วกันกบั แบบฝกึ หัดขอ้ 9

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 125

11. แนวคดิ เนอ่ื งจากสมมตุ ฐิ านของเขา คอื เดิมจานใบนีเ้ ป็นรปู วงกลม
ดังน้ัน เขาจะหาความยาวของเส้นผา่ นศูนยก์ ลางของจาน ได้ดังนี้
1) กำ�หนดจุด A, B และ C บนขอบจานทเ่ี ปน็ สว่ นโคง้ ในบรเิ วณท่ไี มช่ �ำ รุด แลว้ สรา้ ง AB และ

BC
2) สรา้ งรังสี 2 เส้น ใหแ้ บ่งครึ่งและตง้ั ฉากกบั AB และ BC
3) กำ�หนดจุดตดั ของรงั สที ้ังสอง ซ่งึ เป็นจดุ ศนู ยก์ ลางของจาน ให้ชอื่ เป็นจดุ O
4) หาความยาวของรศั มีของจาน จาก AO, BO หรือ CO
5) หาความยาวของเสน้ ผา่ นศูนย์กลางของจานจากขอ้ 4)

AB

OC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

126 บทท่ี 2 | วงกลม ค่มู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

2.3 เสน้ สมั ผัสวงกลม (4 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นกั เรยี นสามารถ
1. อธบิ ายทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั เสน้ สัมผัสวงกลม
2. นำ�ทฤษฎบี ทเกยี่ วกับเส้นสมั ผัสวงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

ความเข้าใจทค่ี ลาดเคลื่อน

-

ส่อื ท่ีแนะนำ�ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้

1. อุปกรณ์ของกิจกรรม : ส�ำ รวจมมุ ระหวา่ งเส้นสัมผัสวงกลมกบั รัศมี
2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)

ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้

ในหัวข้อน้ี เป็นเร่ืองทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นสัมผัสวงกลม ซึ่งเน้นให้นักเรียนใช้สมบัติและทฤษฎีบทที่เรียนมาแล้ว
ในการพิสูจน์และให้เหตุผล และทำ�กิจกรรมเพื่อสร้างความรู้ใหม่ผ่านการลงมือปฏิบัติ รวมถึงการทำ�กิจกรรมการสำ�รวจโดยใช้
ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) การเรียนเร่ืองน้ีมุ่งให้นักเรียนเข้าใจทฤษฎีบท และสามารถนำ�ไปใช้
ในการให้เหตุผลและแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นรูอ้ าจท�ำ ไดด้ ังนี้
1. ครูแนะนำ�ให้นักเรียนรู้จักเส้นตัดวงกลม แล้วแนะนำ�เส้นสัมผัสวงกลมและจุดสัมผัสจากการเลื่อนขนานและ

การหมนุ เส้นตัดวงกลมนน้ั
2. ครูให้นกั เรียนท�ำ “กจิ กรรม : สำ�รวจมมุ ระหวา่ งเส้นสัมผสั วงกลมกับรศั มี” ในหนังสือเรียน หนา้ 86–87 โดยหา

ขนาดของมมุ ทีเ่ สน้ สมั ผัสวงกลมทำ�กับรศั มี เพอ่ื น�ำ ไปสกู่ ารสรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กี่ยวกบั ขนาดของมมุ ท่ไี ด้นนั้
ในทางปฏิบัติ เมื่อเรามีจุดบนเส้นรอบวงและต้องการสร้างส่วนของเส้นตรงให้สัมผัสกับวงกลม

ที่จุดจุดน้ันด้วยเครื่องมือสันตรง สามารถทำ�ได้ยาก ดังน้ัน เส้นตรงทั้งส่ีเส้นท่ีนักเรียนสร้างข้ึน อาจไม่ตรงตาม
ทฤษฎีบท ครคู วรชีใ้ ห้นักเรยี นสงั เกตว่าเสน้ ตรงที่สรา้ งขน้ึ น้ัน สัมผสั วงกลมทจี่ ุด A จดุ B จุด C และจดุ D
จริงหรอื ไม่ หรอื เป็นเสน้ ตัด แล้วจงึ อภปิ รายเพ่ือหาข้อสรุปว่า เสน้ ตรงทจี่ ะเป็นเสน้ สัมผัสวงกลม จะทำ�มุม 90°
กบั รศั มีของวงกลม
3. สมบตั ทิ างเรขาคณติ ทว่ี า่ “เมอ่ื ก�ำ หนดเสน้ ตรงเสน้ หนง่ึ มาให้ ในบรรดาสว่ นของเสน้ ตรงทล่ี ากจากจดุ จดุ หนง่ึ ที่อยู่
ภายนอกเสน้ ตรงไปยงั เสน้ ตรงเสน้ นน้ั สว่ นของเสน้ ตรงทส่ี นั้ ทส่ี ดุ คอื สว่ นของเสน้ ตรงทต่ี ง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงเสน้ นน้ั ”
เป็นสมบัติที่สำ�คัญในการนำ�ไปพิสูจน์ทฤษฎีบทท่ีกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างเส้นสัมผัสวงกลมกับรัศมี ดังนั้น
ครอู าจให้นกั เรียนส�ำ รวจสมบัติดังกล่าวข้างตน้ โดยใช้มมุ เทคโนโลยใี นหนังสอื เรียน หนา้ 88

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 127

4. สำ�หรับเกร็ดน่ารู้เกี่ยวกับละติจูด มีเจตนาให้เป็นความรู้เพิ่มเติมให้กับนักเรียน อีกท้ังยังทำ�ให้นักเรียนได้เห็น
การเชอื่ มโยงความรู้ โดยน�ำ ทฤษฎีบทเก่ียวกบั วงกลมมาใชใ้ นการอธบิ ายเกี่ยวกบั การกำ�หนดตำ�แหน่งของละตจิ ูด

5. ในการศกึ ษาทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั เสน้ สมั ผสั วงกลมและจดุ จดุ หนง่ึ ทอี่ ยภู่ ายนอกวงกลม ครคู วรใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ การน�ำ
ความรทู้ เี่ รยี นมาแลว้ ไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลกอ่ นทจ่ี ะสรปุ ทฤษฎบี ท เชน่ จากตารางในหนงั สอื เรยี น หนา้ 92 เหตผุ ล
ทน่ี ักเรียนให้ควรเป็นดงั นี้

P

A
M

O

B

ขอ้ ท่ี ขอ้ ความ เหตผุ ล
1 OˆAP = OˆBP = 90°
เส้นสัมผสั จะต้ังฉากกบั รศั มที จี่ ดุ สมั ผัส
2 OA = OB รศั มีของวงกลมเดยี วกัน
3 OP = OP OP เปน็ ดา้ นร่วม
4 ΔPAO ≅ ΔPBO เท่ากนั ทุกประการแบบ ฉ.ด.ด.
ด้านทสี่ มนัยกันของรปู สามเหลี่ยมทเ่ี ท่ากันทกุ ประการ
5 PA = PB จะยาวเท่ากนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

128 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ส�ำ หรบั การศกึ ษาทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั เสน้ สมั ผสั วงกลมและคอรด์ ของวงกลม ครสู ามารถท�ำ กจิ กรรมในท�ำ นอง
เดยี วกัน โดยใชต้ ารางในหนังสอื เรียน หน้า 95

S
4

Q3

2R

5 B
1

AP

ขอ้ ที่ ข้อความ เหตผุ ล
1 ˆ3 = 90°
2 ˆ4 + ˆ5 = 90° ขนาดของมมุ ในคร่งึ วงกลม
3 ˆ1 + ˆ5 = 90° จากขอ้ 1 และขนาดของมุมภายในท้ังสามมุมของ
4 ˆ1 = ˆ4 รปู สามเหลย่ี มรวมกนั เปน็ 180°
5 ˆ4 = ˆ2 เส้นสัมผสั จะต้ังฉากกบั รศั มีทีจ่ ุดสัมผัส
6 ˆ1 = ˆ2 หรือ AˆPQ = PˆRQ จากขอ้ 2–3 และสมบตั ขิ องการเท่ากัน
มุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมทีร่ องรับดว้ ยสว่ นโค้ง
เดยี วกนั มีขนาดเท่ากัน
จากขอ้ 4–5 และสมบัติของการเท่ากนั

นอกจากน้ี ครูอาจใช้มุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 96 ให้นักเรียนสำ�รวจเพิ่มเติม เก่ียวกับ
ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีเกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัส กับขนาดของมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมทีอ่ ยูต่ รงขา้ มกบั คอรด์ น้นั

6. ส�ำ หรบั มุมคณติ ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 101–102 มีเจตนาใหน้ ักเรยี นได้เหน็ การเชอ่ื มโยงความรทู้ างคณิตศาสตร์
กับภูมิศาสตร์ และเพื่อให้นักเรียนเห็นความสามารถของเอราทอสเทนีส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกท่ีมีความคิด
สรา้ งสรรค์ ชา่ งสงั เกต ใฝร่ ู้ และมีความพยายามในการแก้ปญั หา

7. เน่ืองจากจุดประสงค์ของบทเรียนเน้นที่การนำ�ทฤษฎีบทไปใช้ในการให้เหตุผลและแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ดังน้ัน
ในการทำ�แบบฝกึ หดั ท่เี ปน็ การหาขนาดของมมุ ครคู วรเน้นให้นักเรียนได้ใช้ทฤษฎบี ทท่เี รยี นมาแล้ว มาประกอบ
การให้เหตผุ ล ดงั ตัวอย่างในหนังสอื เรยี น หนา้ 93–94 และ 96

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 129

กิจกรรม : สำ�รวจมมุ ระหว่างเสน้ สัมผสั วงกลมกับรศั มี

กจิ กรรมนี้ เปน็ กิจกรรมท่ีให้นักเรยี นได้สำ�รวจ คาดการณ์ และสรุปความสมั พนั ธ์ของขนาดของมุมระหวา่ งเส้นสมั ผสั กับ
รัศมีของวงกลมที่จุดสัมผัส โดยการลงมือปฏิบัติจริง แล้วนำ�ข้อสรุปที่ได้มาอภิปรายร่วมกัน โดยมีส่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอน
การดำ�เนนิ กิจกรรม ดังน้ี

สอื่ /อุปกรณ์

1. ไม้บรรทดั
2. โพรแทรกเตอร์

ขัน้ ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม

1. จากวงกลม O ทก่ี �ำ หนดใหใ้ นหนงั สือเรยี น ครใู ห้นกั เรียนทำ�กจิ กรรมตามขัน้ ตอนในหนังสอื เรียน หนา้ 86–87
2. ครูให้นักเรียนสังเกตขนาดของมุมท่ีวัดได้จากตาราง แล้วอภิปรายร่วมกันเก่ียวกับขนาดของมุมระหว่างเส้นสัมผัสกับ

รศั มขี องวงกลมทจี่ ดุ สมั ผสั ซงึ่ นกั เรยี นควรวดั ได้ 90° หรอื ใกลเ้ คยี งกบั 90° มากทส่ี ดุ จากนน้ั เขยี นขอ้ ความคาดการณ์
ตามคำ�ถามทา้ ยกิจกรรม

เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม : ส�ำ รวจมมุ ระหวา่ งเสน้ สมั ผสั วงกลมกบั รศั มี

ขนาดของมุมระหว่างเส้นสัมผัสวงกลมกับรัศมีของวงกลมท่ีจุดสัมผัส เท่ากับ 90° หรือหน่ึงมุมฉาก หรือ
เส้นสัมผัสของวงกลมจะต้งั ฉากกับรัศมีของวงกลมที่จดุ สัมผัส

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

130 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 2.7

เมอ่ื ก�ำ หนดวงกลมวงหนง่ึ และเสน้ สมั ผสั โดยไมร่ ะบจุ ดุ ศนู ยก์ ลางและจดุ สมั ผสั มาให้ สามารถหาจดุ สมั ผสั ได้ดังนี้

ipst.me/11427

P Q 1. สรา้ งคอร์ด MN และคอร์ด PQ
M 2. สร้างเสน้ แบ่งครึ่งและต้ังฉากกบั คอรด์ MN และ

O คอร์ด PQ ให้จดุ ตัดคอื จุด O
3. จะไดว้ า่ จุด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม

N

P Q 4. ใช้หลักการสรา้ งพ้ืนฐานทางเรขาคณติ ข้อ 5 สร้าง
M เสน้ ตงั้ ฉากจากจดุ O มายังเส้นสัมผสั ให้จุดท่ี
เส้นตัง้ ฉากตัดกับเส้นสัมผสั คอื จุด A
O
5. จะได้วา่ จุด A เปน็ จุดสัมผสั

NA

ชวนคดิ 2.8

AˆPO = BˆPO เพราะเป็นมุมท่ีสมนัยกันของรูปสามเหล่ยี มท่ีเท่ากนั ทุกประการ

ipst.me/11428

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 131

ชวนคิด 2.9

1. มีเส้นสัมผสั วงกลมทั้งสองได้ 1 เสน้ ดงั รปู

ipst.me/11429

2. มเี สน้ สัมผสั วงกลมทัง้ สองได้ 3 เสน้ ดงั รปู

3. มีเสน้ สัมผสั วงกลมท้ังสองได้ 2 เส้น ดังรปู

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

132 บทท่ี 2 | วงกลม ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

4. มีเส้นสัมผัสวงกลมทั้งสองได้ 4 เส้น ดังรูป

เฉลยแบบฝกึ หัด

แบบฝกึ หดั 2.3

1. 1) แนวคดิ

C เนื่องจากจดุ P เปน็ จุดสมั ผัส

55° ท�ำ ให้ OˆPA = OˆPB = 90°

และเนือ่ งจาก AP = BP
O
ดงั นน้ั ∆AOB เปน็ รปู สามเหลี่ยมหนา้ จัว่

จาก MˆON = 2(MˆCN)
M N
จะได้ MˆON = 110°
A P x° B ด ังนัน้ x =
180 – 110 = 35
2



2) แนวคดิ Q เนอ่ื งจาก PˆOQ = 360 – 250 = 110°
A
x° O และเน่อื งจากจดุ P และจดุ Q เป็นจดุ สมั ผสั

250° ท�ำ ให ้ OˆPA = OˆQA = 90°
P เน่ืองจาก PˆAQ + AˆQO + QˆOP + OˆPA = 360°

จะได ้ x + 90 + 110 + 90 = 360

ดังนน้ั x = 70

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 133

3) แนวคิด เน่อื งจาก AˆPS = PˆQS
S
R ดังนน้ั x = 52

A 52°
x°
Q
P 33°

4) แนวคดิ B เน่อื งจากจุด P และจุด Q เป็นจดุ สมั ผัส

P ท�ำ ให ้ OˆPA = OˆQA = 90°
เนือ่ งจาก PˆAQ + AˆQO + QˆOP + OˆPA = 360°

80° A ดงั นั้น QˆOP = 100°

เนอ่ื งจาก ∆OQB ≅ ∆OPB แบบ ด.ด.ด.
B O x° Q จเนะ ่ือไดงจ้ าก ∆ BPˆOOQB เป=็น รูปQสˆOาBมเห=ลีย่ ม3ห6น0้า–2จวั่ 100 = 130°

ด งั น้นั x = 180 – 130 = 25
2

2. 1) แนวคิด เนื่องจากจุด P และจดุ Q เปน็ จดุ สมั ผสั

P ท�ำ ให ้ OˆPA = OˆQA = 90°

เนื่องจาก OQ = OP = 8

A 8 และจากทฤษฎบี ทพที าโกรสั

15 O จะได ้ OA2 = AQ2 + OQ2
8 OA2 = 152 + 82

= 289
Q
ดงั น้นั OA = 17 หน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

134 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2) แนวคดิ เน่อื งจากจุด P เป็นจดุ สัมผสั ทำ�ให้ OˆPB = 90°

จากทฤษฎบี ทพที าโกรัส

จะได้ OB2 = OP2 + PB2

OB2 = 52 + 122
O 5 C ดังนัน้ OB
5 = 169
= 13 หนว่ ย

เนื่องจาก OC = OP = 5

A P 12 B และ OB = OC + BC
13 = 5 + BC


ดงั นนั้ BC = 8

3) แนวคดิ P

A 18 B 7 O

7

Q

ลาก OQ

เนือ่ งจากจดุ Q เปน็ จดุ สมั ผัส ท�ำ ให้ OˆQA = 90°

เนื่องจาก OQ = OB = 7

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส

จะได ้ OA2 = AQ2 + OQ2

252 = AQ2 + 72

AQ2 = 576

ดังน้ัน AQ = 24 หนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 135

4) แนวคดิ เนือ่ งจากจุด P จดุ Q จุด R และจุด S เปน็ จุดสมั ผัส

ท�ำ ให้ OˆPC = OˆQB = OˆRD = OˆSA = 90°

A S D ดังนัน้ ASOP , SDRO และ ORBQ เป็นรปู สี่เหลี่ยม

มมุ ฉาก

เนือ่ งจาก OP = OQ = OR = OS = 1

P O R จะได้ BR = RD = DS = SA = 1
จากทฤษฎีบทพที าโกรสั

จะได้ AB2 = BD2 + AD2

AB2 = 22 + 22
C Q B = 8

ดงั นั้น AB = 2√2 หน่วย

3. แนวคิด

C
O

52° B

A (เส้นสัมผสั วงกลมจะตง้ั ฉากกับรศั มีทจ่ี ุดสมั ผัส)

เนือ่ งจาก OˆAB = 90° (รศั มีของวงกลมเดียวกัน)
(บทนยิ ามของรปู สามเหลย่ี มหน้าจว่ั )
และ OˆAC + CˆAB = OˆAB (มุมทฐี่ านของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั มีขนาดเท่ากัน)
(ขนาดของมุมภายในทงั้ สามมมุ ของรูปสามเหลย่ี ม
จะได ้ OˆAC + 52 = 90 รวมกนั เป็น 180°)

ดงั นัน้ OˆAC = 38°

เนื่องจาก OA = OC

จะได้ ∆AOC เปน็ รูปสามเหลยี่ มหน้าจัว่

และ OˆAC = OˆCA = 38°

เนื่องจาก AˆOC + OˆCA + OˆAC = 180°



จะได้ AˆOC + 38 + 38 = 180

ดงั นนั้ AˆOC = 104°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

136 บทที่ 2 | วงกลม คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

4. แนวคดิ

O
A 100 °

D

B
C

เนอื่ งจาก OA = OB (รัศมขี องวงกลมเดียวกนั )

จะได้ ∆AOB เป็นรปู สามเหลยี่ มหน้าจว่ั (บทนยิ ามของรูปสามเหลย่ี มหน้าจั่ว)

และ OˆAB = OˆBA (มุมที่ฐานของรูปสามเหลีย่ มหน้าจ่วั มขี นาดเท่ากัน)

เนื่องจาก AˆOB + OˆAB + OˆBA = 180° (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม

รวมกนั เป็น 180°)

จะได้ 2(OˆBA) + 100 = 180

ดังนัน้ OˆBA = 40°

เนื่องจาก OˆB D = 90° (เส้นสัมผสั วงกลมจะตงั้ ฉากกบั รัศมีทจ่ี ดุ สัมผสั )

ดงั นัน้ AˆBD = OˆBA + OˆBD = 40 + 90 = 130°

5. แนวคิด A

C

D 80°

65°

B

เนอ่ื งจาก CˆBE = 65° E (ก�ำ หนดให้)
ดังนัน้ BˆAC = 65° (มมุ ทเี่ กดิ จากคอรด์ และเสน้ สมั ผสั วงกลมทจี่ ดุ สมั ผสั
จะมขี นาดเทา่ กบั ขนาดของมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม
ท่ีอยตู่ รงขา้ มกบั คอรด์ นั้น)
(ก�ำ หนดให้)
(มมุ ทเี่ กดิ จากคอรด์ และเสน้ สมั ผสั วงกลมทจี่ ดุ สมั ผสั
จะมขี นาดเทา่ กบั ขนาดของมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม
เน่อื งจาก AˆBD = 80° ที่อยู่ตรงขา้ มกบั คอร์ดน้ัน)

ดงั นน้ั AˆCB = 80°





สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 137

6. แนวคิด A

O D

70°

B C

เนอ่ื งจาก BˆOD = 70° (ก�ำ หนดให้)
และ BˆOD = 2(BˆAD) (มุมท่ีจุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั )

(เส้นสมั ผสั วงกลมจะตัง้ ฉากกับรัศมีทจ่ี ุดสัมผสั )
จะได้ BˆAD = 35° (ขนาดของมุมภายในท้ังสามมุมของรูปสามเหล่ียม
รวมกันเปน็ 180°)
เนอื่ งจาก AˆBC = 90°

และ AˆCB + AˆBC + BˆAC = 180°



จะได้ AˆCB + 90 + 35 = 180

ดงั น้นั AˆCB = 55°

7. แนวคิด D
C 68°

A B

เน่ืองจาก AˆBC = BˆDC = 6688°° � (มุมท่ีเกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัส
และ AˆCB = BˆDC = จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ที่อยู่ตรงข้ามกับคอรด์ น้นั )
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเปน็ 180°)
เนือ่ งจาก AˆBC + AˆCB + BˆAC = 180°
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี


จะได ้ 68 + 68 + BˆAC = 180

ดังนัน้ BˆAC = 44°

138 บทที่ 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
P
8. แนวคดิ B

220° O
A

เนอ่ื งจาก AˆOB + มุมกลับ AOB = 360° (มุมรอบจุดมีขนาด 360°)

จะได้ AˆOB + 220 = 360 (เสน้ สัมผสั วงกลมจะตั้งฉากกบั รัศมที ี่จดุ สมั ผัส)
(ขนาดของมุมภายในทั้งส่ีมุมของรูปส่ีเหล่ียม
ดังนั้น AˆOB = 140° รวมกันเปน็ 360°)

เน่ืองจาก OˆAP = 90° และ OˆBP = 90°

และ AˆPB + OˆBP + AˆOB + OˆAP = 360°



จะได ้ AˆPB + 90 + 140 + 90 = 360

ดังนนั้ AˆPB = 40°

9. แนวคดิ C

F

118° O

BE 38° A

ลาก OE , OF และ OA (เทา่ กนั ทุกประการแบบ ด.ด.ด.)
(มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมท่ีเท่ากัน
เนือ่ งจาก ∆AOE ≅ ∆AOF ทกุ ประการ จะมีขนาดเทา่ กนั )
(ดา้ นร่วม)
จะได ้ EˆAO = FˆAO = 19° (กำ�หนดให)้
(เทา่ กันทกุ ประการแบบ ด.ม.ด.)


เนอื่ งจาก AO = AO

และ AB = AC

ดงั นั้น ∆AOB ≅ ∆AOC

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 139

ท�ำ ให้ AˆOB = AˆOC (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน

ทุกประการ จะมีขนาดเทา่ กัน)
(มุมรอบจดุ มขี นาด 360°)
เนื่องจาก AˆOB + AˆOC + BˆOC = 360°

จะได้ 2(AˆOB) + 118 = 360

ดังนั้น AˆOB = 121°

และเนอื่ งจาก AˆBO + AˆOB + BˆAO = 180° (ขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี ม
รวมกันเป็น 180°)


จะได้ AˆBO + 121 + 19 = 180

ดังน้ัน AˆBO = 40°

เน่ืองจาก AˆBO = AˆCO (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหล่ียมท่ีเท่ากัน
ทกุ ประการ จะมีขนาดเท่ากัน)
(สมบตั ิของการเท่ากนั )

ดังน้นั AˆCO = 40° P

10. แนวคดิ

C

D 28°

38° 24° B

XA Y

เนื่องจาก XˆAD + DˆAB + BˆAY = 180° (ขนาดของมุมตรง)

จะได ้ 38 + DˆAB + 24 = 180 (ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปส่ีเหลี่ยม
แนบในวงกลมเป็น 180°)
ดงั น้ัน DˆAB = 118°
เนอื่ งจาก DˆAB + DˆCB = 180°



ดงั นั้น DˆCB = 180 – 118 = 62°

ลาก AC

เน่อื งจาก AˆCB = BˆAY = 2284°° � (มุมท่ีเกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัส
และ BˆAC = BˆCY = จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ท่ีอยตู่ รงขา้ มกับคอร์ดนนั้ )

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

140 บทที่ 2 | วงกลม คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เนื่องจาก BˆAC + AˆBC + AˆCB = 180° (ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหล่ียม
รวมกันเป็น 180°)

(ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหล่ียม
จะได ้ 28 + AˆBC + 24 = 180 แนบในวงกลมเป็น 180°)

ดังนนั้ AˆBC = 128°

เนื่องจาก AˆBC + AˆDC = 180°



จะได้ 128 + AˆDC = 180

ดังน้นั AˆDC = 52°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 141

กจิ กรรมท้ายบท : ข้นึ ลงวนเวยี น

กิจกรรมน้ี เน้นให้นักเรียนได้ประมวลความรู้ที่เก่ียวข้องกับทฤษฎีบทเก่ียวกับวงกลมไปใช้แก้ปัญหาคณิตศาสตร์จาก
การเลน่ เกม โดยมสี ือ่ /อปุ กรณ์ และขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังน้ี

สอื่ /อุปกรณ์

1. กระดานขึ้นลงวนเวียน
2. ลกู เตา๋ 1 ลูก/กลุ่ม
3. เบยี้ 1 ตัว/คน

ขั้นตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม

1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 3–4 คน แล้วเล่นเกมตามข้ันตอนในหนังสือเรียน หน้า 107 ทั้งน้ี ครูต้อง
เตรียมเฉลยให้ผู้คมุ กฎ เพ่อื ใช้ในการตรวจสอบค�ำ ตอบของผู้เลน่ คนอ่ืน

2. ครูอาจสร้างกระดานขึน้ ลงวนเวียนขนึ้ มาเองเพม่ิ เติม โดยใช้แนวคิดท�ำ นองเดียวกันกบั ทีน่ ำ�เสนอไว้ในหนงั สือเรยี น

เฉลยคำ�ถามในกระดานขึ้นลงวนเวียน

คำ�ถามในส่วนทีต่ อบว่าใช่หรือไม่

ค�ำ ถาม คำ�ตอบ

มมุ ในครง่ึ วงกลมมีขนาดเทา่ กบั 90 องศา ใช่
มีวงกลมมากมายท่ผี า่ นจดุ 2 จดุ ใด ๆ ใช่
มุมในสว่ นโค้งของวงกลมมขี นาดเปน็ 2 เท่าของมุม ไมใ่ ช่
ที่จดุ ศนู ย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโคง้ เดียวกัน
มมุ ที่จดุ ศูนยก์ ลางใด ๆ มีขนาดเทา่ กนั เสมอ ไมใ่ ช่
เสน้ ทล่ี ากจากจดุ ศนู ยก์ ลางมาแบ่งคร่ึงคอร์ด ใช่
จะตัง้ ฉากกบั คอรด์ เสมอ
สร้างวงกลมให้ผ่านจดุ 4 จดุ ใด ๆ ไดเ้ สมอ ไมใ่ ช่
ที่จดุ จดุ หน่งึ บนวงกลม มีเส้นสัมผัสลากผ่านได้มากมาย ไมใ่ ช่
นับไม่ถว้ น
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

142 บทที่ 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

คำ�ถามในส่วนทห่ี าคา่ x ค�ำ ตอบ

ค�ำ ถาม 50
90
x° 150
80
130°

x°

75°
75° x°

x°
80°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 143

ค�ำ ถามในส่วนที่หารัศมี คำ�ตอบ

คำ�ถาม 4 หนว่ ย

5 5 หน่วย
6
6 หน่วย
13
12

10
8

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

144 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยแบบฝึกหัดทา้ ยบท

1. 1) แนวคิด

B เนอื่ งจาก มุม C เปน็ มุมในครึ่งวงกลม

C6 จะได ้ AˆCB = 90°

5 และจาก OA = OB

8O ทำ�ให้ได้ว่า AB = 10 หนว่ ย
จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั

จะได้ AC2 = 102 – 62

A = 64

ดังนนั้ AC = 8

เนอ่ื งจากครึ่งวงกลม O นี้ มีพ้นื ท่ีเท่ากับ πr2 ≈ 3.14 × 52 = 39.25 ตารางหนว่ ย
2 2
และ พนื้ ทขี่ อง ∆ABC = 1–2 × 6 × 8 = 24 ตารางหน่วย

ดงั น้นั สว่ นที่แรเงามีพน้ื ที่ประมาณ 15.25 ตารางหนว่ ย

2) แนวคิด P เนื่องจากจดุ P และจดุ Q เปน็ จดุ สมั ผสั

10 จะได้ OˆPR = OˆQR = 90°
R 80° จาก PˆOQ + OˆPR + PˆRQ + RˆQO = 360°
O จะได้ PˆOQ = 100°

Q ซง่ึ คดิ เป็น 5 ใน 18 ส่วน ของขนาดของมุมรอบจดุ ศนู ยก์ ลาง

เน่ืองจากวงกลม O นี้ มีพืน้ ท่ีเทา่ กับ πr2 ≈ 3.14 × 102 = 314 ตารางหนว่ ย
ดังนน้ั สว่ นที่แรเงามีพน้ื ทปี่ ระมาณ 11—38 × 314 = 226.78 ตารางหน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 145

3) แนวคิด A F เนื่องจาก DˆOF = 2(DˆBF)
E จะได ้ DˆOF = 140°
65° ดงั น้นั EˆOF = 140 – 60 = 80°
B 70°
O ในทำ�นองเดียวกัน

C 60° จะได้ CˆOE = 130°
7
ดังนัน้ CˆOD = 130 – 60 = 70°
D
เน่ืองจาก EˆOF + CˆOD = 150°

ดังน้นั พ้นื ท่ีท่ีแรเงา คิดเปน็ 5 ใน 12 ส่วน ของขนาด

ของมมุ รอบจุดศูนยก์ ลาง

เนื่องจากวงกลม O น้ี มีพ้นื ทีเ่ ท่ากบั πr2 ≈ 3.14 × 72 = 153.86 ตารางหน่วย
ดงั นั้น ส่วนทแ่ี รเงามพี ้ืนทป่ี ระมาณ 1—52 × 153.86 = 64.11 ตารางหน่วย

4) แนวคดิ

เนอื่ งจากจดุ P และจุด Q เปน็ จดุ สมั ผสั

จะได ้ OˆPM = OˆQM = 90°

3.3 P และจาก OP = OQ

O 5.7 จะได้วา่ ∆MOP ≅ ∆MOQ แบบ ฉ.ด.ด.
60°
6.6 ดังนน้ั OˆMP = OˆMQ = 30°
M
Q และ MˆOP = MˆOQ = 180 – (90 + 30) = 60°

จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั

จะได ้ OP2 = 6.62 – 5.72

= 11.07

ดงั นน้ั OP ≈ 3.3

( )เนอื่ งจาก พืน้ ทข่ี อง POQM ≈ 2 × 2–1 × 3.3 × 5.7 = 18.81 ตารางหนว่ ย

และเซกเตอร์ OPQ มพี น้ื ที่เทา่ กับ π—3r2 ≈ –31 × 3.14 × 3.32 = 11.40 ตารางหนว่ ย

ดงั นน้ั ส่วนที่แรเงามีพื้นท่ปี ระมาณ 18.81 – 11.40 = 7.41 ตารางหน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

146 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ ือครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2. แนวคิด E ลาก AN
OL
จะได้ NˆAG = NˆEG และ AˆNE = AˆGE
A G
ลาก GL

N จะได้ NˆLG = NˆEG และ EˆGL = EˆNL

ในท�ำ นองเดยี วกนั เมื่อลาก NG , LE และ EA

จะไดม้ ุมทีม่ ขี นาดเทา่ กันอีก 6 คู่
เนอ่ื งจากขนาดของมมุ ภายในของรปู หา้ เหลยี่ มรวมกนั เปน็ 540°

จะได้ว่า 3(GˆAL + LˆNE + EˆGA + AˆLN + NˆEG) = 540°
ดงั น้นั ˆA + ˆN + ˆG +ˆL +ˆE = 180°

3. แนวคดิ

B ให ้ O แทนจุดศูนย์กลางของสระนำ้�วงกลม ซ่ึงมีรัศมี
A 40C 29 เมตร
29 OC แทนระยะห่างระหว่างสะพานกับจุดศูนย์กลาง

O ของสระน�้ำ วงกลม

AB แทนสะพาน ซ่งึ ยาว 40 เมตร

เนื่องจากน้�ำ พกุ ระจายได้ในรศั มี 20 เมตร จากรปู จะได้ว่า

ถา้ OC > 20 น้ำ�พุจะกระจายมาไม่ถงึ ออมทรัพย์

และถา้ OC ≤ 20 น้ำ�พุจะกระจายมาถึงออมทรพั ย์

จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั

จะได ้ OC2 = 292 – 202

= 441

ดงั นนั้ OC = 21

นั่นคือ OC > 20

ดงั นน้ั ถา้ ออมทรัพยเ์ ดนิ ข้ามสะพานนีข้ ณะท่นี �ำ้ พเุ ปิดอยู่ น้ำ�พจุ ะกระจายมาไม่ถึงออมทรพั ย์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 147

4. แนวคดิ เน่ืองจากสโตนเฮนจ์มลี กั ษณะทางเรขาคณิตเป็นวงกลม

ดงั น้ัน จะหาจดุ ศูนย์กลางของสโตนเฮนจ์ ได้ดังน้ี

1) ก�ำ หนดจดุ A, B และ C บนขอบของสโตนเฮนจ์ในบริเวณทีไ่ ม่ชำ�รดุ โดยท่ีจุดเหล่านี้ตอ้ ง

ไม่อย่ใู นแนวเส้นตรงเดยี วกนั แล้วสร้าง AB และ BC

2) สรา้ งเสน้ ตรงใหแ้ บง่ ครึ่งและต้ังฉากกับ AB และ BC

3) ใหเ้ สน้ ตรงทั้งสองตัดกนั ทจ่ี ุดจดุ หนึ่ง ใหจ้ ดุ ตัดน้นั คือ จุด O

จะได้วา่ จดุ O เป็นจดุ ศูนยก์ ลาง หรอื ใจกลางของสโตนเฮนจ์

B C

O
A

5. แนวคดิ

C หาจดุ ศนู ย์กลางของซากของหน้ามโหระทกึ
ได้ในทำ�นองเดียวกับข้อ 4

จากรปู วัดระยะจากขอบของหน้ามโหระทึก
ถงึ จุดศนู ย์กลาง ไดค้ วามยาวประมาณ
3.5 เซนตเิ มตร เมอ่ื เทียบตามมาตราส่วน
จะได้ 70 เซนตเิ มตร

พื้นที่ผวิ ของหนา้ มโหระทกึ = πr2 ≈ 2—72 × 702 = 15,400 ตารางเซนติเมตร
เนือ่ งจากมโหระทึกน้หี นา 4 มลิ ลิเมตร หรอื 0.04 เซนติเมตร
ดงั น้นั ช่างทำ�มโหระทึกจะต้องใช้สำ�ริดเพื่อทำ�หน้ามโหระทึกใบนี้อย่างน้อย 15,400 × 0.04 = 616

ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

148 บทที่ 2 | วงกลม คู่มือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

6. แนวคดิ จากโจทย์ เขียนภาพจำ�ลองได้ดังนี้

A ให ้ จดุ O แทนจดุ ศนู ย์กลางของโลก

จุด A แทนตำ�แหน่งของดาวเทียม

จดุ B และจุด C แทนสถานรี บั สญั ญาณทอี่ ยูไ่ กลที่สุด

ทีส่ ามารถรับสัญญาณได้

เน่ืองจากถอื ว่าความสูงของสถานรี บั สญั ญาณเปน็ ศนู ย์

ดังนน้ั สถานรี บั สญั ญาณทอ่ี ยไู่ กลทส่ี ดุ ทส่ี ามารถรบั สญั ญาณได้

จ ะ ต้ อ ง อ ยู่ ท่ี จุ ด สั ม ผั ส ที่ ทำ � ใ ห้ แ น ว สั ญ ญ า ณ เ ป็ น

22,300 เสน้ สัมผัสวงกลม
ทำ�ให้ ∆ABO ≅ ∆ACO แบบ ฉ.ด.ด.

ดงั น้ัน AB = AC

จากทฤษฎีบทพที าโกรสั
จะได ้ AC2 = 22,3002 – 4,0002

= 481,290,000

O 4,000 C ดงั นั้น AC ≈ 21,938.32
B นน่ั คอื สถานีรับสัญญาณที่อยู่ไกลจากดาวเทียมมากท่ีสุด

ทส่ี ามารถรบั สญั ญาณได้ อยหู่ า่ งจากดาวเทยี มประมาณ

21,938.32 ไมล์

7. แนวคิด

จากรูป จะเหน็ ว่าขาทัง้ สองข้างของเคร่ืองหาจุดศูนยก์ ลางสัมผัสกบั ขอบของวงกลม
ท�ำ ใหเ้ กิดจดุ สมั ผัส 2 จดุ ซึ่งขาท้ังสองขา้ งตา่ งก็ท�ำ มมุ 90° กบั รัศมีของวงกลม
จะไดว้ า่ เสน้ ที่ลากตามแนวแบ่งคร่งึ มมุ ที่ติดมากับเครือ่ งหาจุดศูนย์กลางน้ี ย่อมผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมเสมอ
และจากการทเ่ี ส้นตรงสองเส้นใด ๆ ตัดกนั จะเกิดจุดตดั 1 จุด
ดงั นน้ั เมอ่ื มีเส้นตรงสองเสน้ ทต่ี า่ งกผ็ า่ นจุดศูนยก์ ลางและตดั กัน จดุ ตัดดังกล่าว จึงเปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมนัน้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 149

8. แนวคดิ

จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั

C จะได้ AB2 = 292 – 212

= 400

29 – x ดงั นนั้ AB = 20
21 – y
ให้ BP = x หน่วย และ AR = y หน่วย

Q จะได้ y = 20 – x 1

R O x และ 21 – y = 29 – x 2
y
xB เมื่อแกร้ ะบบสมการ จะได้ x = 14 และ y = 6

A 20 – x P เนอ่ื งจาก APOR เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมจตั ุรัส

จะได้ รัศมีของวงกลม O เทา่ กับ y หนว่ ย

ดังนั้น รัศมขี องวงกลม O ยาว 6 หน่วย

9. 1) สร้างรปู ตามที่โจทย์ระบุได้ดังน้ี C

Y X

I

A B
B
2) สรา้ งรูปต่อจากขอ้ 1) ได้ดังน้ี

C

YF E X

I

AD

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี