Cadar, Ioan - Beton armat - scan

p. 14. Normele europene EC2 433

VRd's = Âssw !ywdz(ctg8+ctga)sina (14.73)

Valoarea maximă a ariei secţiunii armăturii transversale este dată de condiţia VRd,s :,; VRd,max,

ntru a realiza comportarea ductilă:

Âsw,maxlywd < 0,5 acwvl led siri a (14.74)

bws I-cosa

Relaţia (14.73) se mai poate demonstra pe baza figurii 14.22b, dirl care se obţine numărul
bare înclinate care străbate fisura înclinată:

t t/cos8 zctg8 sin(I80-8-a) z I S )
sn=-= ( ) - - · =-,ctg +ctga
ssina/sin 180-8-a s cos8sina s ,

Proiecţia forţei tăietoare capabile a barelor înclinate pe direcţia forţei tăietoare de calcul
e VRd,s = nAswfywd sin a; înlocuirld n obţinut mai sus, se obţine relaţia (14.73).

4.5.3.3. Elemente cu forţe concentrate aplicate aproape de reazem

La elementele cu încărcări concentrate acţionând pe distanţa 0,5d :,; av :,; 2d de la
argirlea reazemului efectul acestora asupra forţei tăietoare se ia în considerare cu valoarea

f3usă prin = av/2d (fig. 14.23). Forţa tăietoare VEd astfel calculată trebuie să fie:

(14.75)

de Asw este armătura transversală care irltersectează fisura înclirlată dirltre forţa concentrată
~ reazem, luând în considerare doar cele de pe irltervalul 0,15av (fig. 14.23). Dacă av:,; 0,5d,

calcul se ia av = 0,5d .

f3,În acelaşi timp, forţa tăietoare de calcul VEd , determinată fără reducerea prin trebuie

satisfacă relaţia (14.58).
Dacă încărcarea este aplicată în partea inferioară a secţiunii, este necesar să fie prevăzută

armătură verticală de suspendare, pentru transmiterea la partea superioară a eforturilor;
eastă armătură se adiţionează la cea rezultată pentru preluarea forţei tăietoare.

Fig. 14.23. Cazuri speciale de preluare a fqrţei tăietoare

.S.3.4. Etapele de calcul la fort' ă tăietoare

,':

în general, calculul la forţă ,tăietoare înseamnă verificarea dimensiunilor secţiunii de beton,

să din calculul la încovoiere în secţiuni normale şi determirlarea ariilor de armătură

sversală, sau verificarea ariilor alese pe criterii constructive.

434 BETON ARMAT

Armătura transversală pentru preluarea forţei tăietoare se realizează sub formă de etrieri
şi eventual bare ridicate pe reazem. În cazul în care se utilizează şi bare ridicate, este necesar
ca etrierii verticali să preia cel puţin 50% din forţa tăietoare de calcul.

Unghiul a dintre axa longitudinală şi barele înclinate nu poate fi mai mic de 45°.

Etapele de calcul sunt:
,. stabilirea diagramei forţelor tăietoare de calcul VEd ;

• calculul capacităţii portante a secţiunii de beton VRd,c (punctul 14.5.2); dacă VEd ~ VRd,c,

armăturile transversale se aleg constructiv; .
• în cazul în care VEd > VRd,c, se calculează capacitatea portantă a diagonalelor compnmate

de beton VRd max (punctele 14.5.3.l sau 14.5.3.2) în funcţie de tipul de armătură de tăiere

utilizată; est~ necesar să fie respectată condiţia VEd ~ VRd,max, în caz contrar se măresc

,. dimensiunile secţiunii de beton; prin . . A,.)s 2 pe b~
se calculează armăturile transversale detenrunarea raportului
(mm /mm),

condiţiei VRd,s ~ VRd,max; se alege diametrul şi distanţa dintre bare; se vor respecta şi

prevederile constructive de la punctul 14.5.2;. _.
.. în lungul elementului, raportul A,.)s se alegem concordanţa cu diagrama VEd .

14.5.3.5. Forţa de întindere adiţională în armătura longitudinală
datorită efectului forţei tăietoare

Utilizarea grinzii cu zăbrele ca model de calcul la tăiere conduc~ la ~ valo~e mai mic~
a efortului de întindere Fs în armătura longitudinală în raport cu situaţia reala. Este deci
necesară aplicarea unei corecţii, prin sporirea efortului M Ed/z rezultată din încovoiere cu

valoarea M's.

l~I

...... (14.76)
(14.77)
a1

Fig. 14.24. Forţa de întindere în urma dilatării diagramei de momente
Forţa de întindere adiţională din armătura longitudinală este dată de relaţia:

Ms =0,5VEActg8-ctga)

cu condiţia ca:
MEd I z+M's ~MEd.max/ Z

Cap. 14. Normele europene EC2 435

Calculul explicit al forţei de întindere adiţionale nu este necesar dacă diagrama reală de
momente încovoietoare se "dilată" în sens defavorabil cu lungimea a1, ceea ce înseamnă

creşterea corespunzătoare a forţei de întindere (fig. 14.24). Valoarea a1 se ia cum urmează:
-elemente cu armături de tăiere: a1 = z(ctg8-ctga)2

- elemente fără armături de tăiere: a1 = d .

14.5.4. Forfecarea între inima şi placa grinzilor în formă de T

La grinzile în formă de T, secţiunea de legătură a inimii cu placa h1M, transmite un efort
de lunecare longitudinal vEd (fig. 14.25). Acest efort, produs de variaţia forţei normale de

compresiune într-o aripă pe lungimea !li , este dat de relaţia:

(14.78)

hI este grosimea plăcii în secţiunea de îmbinare cu grinda;
M'd - variaţia forţei normale în aripă pe lungimea !li ;
!li - lungimea considerată (fig. 14.25), care se ia cel mult jmnătate din distanţa dintre

punctul de moment nul şi cel de moment maxim; în cazul forţelor concentrate,

!li este cel mult distanţa dintre două forţe concentrate.
Variaţia forţei normale Md este (fig. 14.25b şic):

-1 l-:lM-b-i --bw- - daca- pIaca este •m zona compn.mată- a secţ. mnn··3;
2 z bi

-l -l:lM- -A-l sau O,5A1 f yd - daca- p1aca este 'm zona 'mtm. sa- a secţ.iun.n.
2 z As

A1 este partea din armătura întinsă As plasată în aripile secţiunii;
b1 = bel - lăţimea efectivă de calcul a plăcii;
l:lM - variaţia momentului încovoietor pe lungimea !li .

Rezistenţa la forfecare a tălpii şi transmiterea efortului de lunecare se pot modela printr-o
ndă cu zăbrele orizontală, formată din diagonale comprimate din beton şi armăturile

sversale orizontale întinse, A81 (fig. 14.25a).
Deducerea relaţiilor de calcul se bazează pe ecuaţiile de echilibru, scrise în punctul B,
tru o lungime Im (fig. 14.25d).

Ecuaţia de proiecţie pe direcţie longitudinală este:

VEdlmhl = Fc1cos81

e Fel reprezintă rezultanta eforturilor de compresiune crc pe suprafaţa Im hI sin 81 ,

. Fel =crchllmsin81 .

=admite că în cazul x 2= h1 , secţiunea comprimată de beton luată în considerare se limitează prin x h1 .

BETON ARMAT

436

--~---

diagonale Ar+ Aw=A.
comprimate
c)
na)
llllJJ!~----~:~~~----;~~

d) ~::~{~~:~~~--B vEd·hr lm

Fig. 14.25. Modelul pentru lunecarea între inimă şi placă

Rezultă:

VEdlmhf == <Jchflm sineI coseI (14.79)

vEd ==<Jcsin01 cos01
Ecuaţia de proiecţie pe direcţie transversală este:

. sin01
F.r ==Fc1sm81 ==vEdlmchofs--eI-

s,

unde p este rezultanta eforturilor de întindere din armătura As/ · . . . .forrn
tăiere dispuse la distanţa s1se iau în ~na.t~
sf n armături de considerare pnn

Cele
distribuită As//s I . Rezultanta eforturilor de întindere Fsf pentru toate armaturi e e pe

lungimea lm este:

As!
Fsf ==-s-(Jsf[m

I
Ecuaţia de echilibru devine:

A.1

VEdlmhf tg0f =-<Jsflm

Sf

VEd =-A-s<f Jsflmctgnu/

s1h1

p. 14. Normele europene EC2

Forţa tăietoare capabilă a elementului_poate fi atinsă prin zdrobirea betonului din
agonale sau prin cedarea armăturilor întinse care asigură conexiunea inimă - placă.

Termenul din dreapta al relaţiei (14.79), pentru crc == fcd reprezintă forţa tăietoare

abilă a elementului, rezultată din zdrobirea betonului din diagonalele comprimate; conform
·ncipiilor stărilor limită, trebuie respectată condiţia:

VEd :;;ylfcdsin0/cos0/ (14.81)

de v1 este factorul de reducere a rezistenţei, definit la punctul 14.5.3.1.
Termenul al doilea din relaţia (14.80), pentru <Jsf == fyd reprezintă capacitatea portantă

rmăturilor de legătură dintre inima grinzii şi placă, atinsă prin curgerea acestor armături.
e necesară respectarea condiţiei:

vEd :;;A-s/-f-ydctgun 1 (14.82)

s1h1

unde rezultă că aria armăturii As/ trebuie să corespundă condiţiei:

e-A-s-ff?yd.vEdhftg f (14.83)

Sf

în cazul în care între placă şi inimă solicitarea este de tăiere combinată cu încovoiere pe

ţia transversală, aria de armătură trebuie să fie cea mai mare valoare dintre cea rezultată
relaţia (14,83) şi suma dintre aria de armătură necesară din încovoiere şi jumătate din
rezultată din relaţia (14.83).
Dacă vEd :;; lifctd , unde fctd este rezistenţa de calcul la întindere, nu este necesar calculul

·i, fiind suficientă armătura rezultată din calculul plăcii la încovoiere; coeficientul k
at de anexele naţionale, valoarea recomandată fiind k == 0,4 . În caz contrar, armătura

versală As/ se calculează cu relaţia (14.83).

Valoarea recomandată a unghiului e I este:

45° ?. 0/ ?. 26,5° ( 1,0 :;; ctg 0 I :;; 2,0 ) - pentru aripi comprimate (14.84a)

45° ?. 01 ?. 38,6° ( 1,0:;; ctg01 :;; 1,25 )-pentru aripi întinse (14.84b)

ia numerică 14.17. Dimensionarea etrierilor unei grinzi la forţă tăietoare

'nda din beton armat cu înălţimea constantă are caracteristicile secţiunii transversale

== 300/600/545 mm şi armătura longitudinală As1= 1900 mm2 (5q,22). Materialele sunt:

C:20/25 şi oţel S500 pentru barele longitudinale şi pentru etrieri. Forţa tăietoare de calcul

I!/! == 280 kN , provenită din încărcări uniform distribuite pe grindă.

. d == fck == 20 == 13 33 N/mm2. f d == f ywk = 500 == 435 N/mm2
c Yc 1,5 ' ' yw Ys 1,15

presupune 0 == 45°, deci ctg 0 == 1,0.

calculează forţa tăietoare capabilă a grinzii rară armătură specifică pentru preluarea
'etoare VRd,c, conform relaţiilor (14.53) şi (14.54), punctul 14.5.2:

438 BETON ARMAT

VRd,c =[CRd,c k(lOOp, fcd 13 +k10'cp] bw d =

= 0,12 · l,605 -{100·0,012· 20J 13 -300-545 = 90,7 · 103 N

dar având cel puţin valoarea:

VRd,c = (vmin + O,l50'cp)bwd =0,215 ·300·545 =35 ·103 N

unde: CRd = O,lS = O,lS = 0,12 conform relaţiei (14.55);

,c Yc 1,5

k = 1+~200/d =1+~200/545 = 1,605 < 2,0;

_ A81 _ 1900
Pi - bwd - 300. 545 0,012 < 0,02;

O'cp =0;
vmm. = O,035k312J,c1k12 = 0,035 · 1,6053/2201/2 = 0,215, relaţia (14.56).

Deoarece VRd,c = 90,7kN < VEd = 280kN, este necesar calculul etrierilor.
Pentru a verifica dimensiunile secţiunii transversale de beton, se calculează forţa tăietoare
capabilă maximă atinsă prin zdrobirea betonului comprimat, VRd,max, cu relaţia (14.69):

VRd,max = a.cwbw ZV1 fcd/(ctg0+ tg0)=
.= 1,0 · 300. (0,9 · 545) · 0,552 · 13,33/(1 + l) = 541-103 N

unde: a.cw = 1,0 (beton armat);

z= 0,9d = 0,9·545 = 490mm;

relaţiav
= v1 = O6(1- fck )= 0,6(1- 20 ) = 0,552 din (14.59), deoarece
' 250 250

f ywd = 435N/mm2 > O.Sfywk = 400N/mm2.

Condiţia VRd,max = 541 kN > VEd = 280 kN este îndeplinită.
Armătura transversalăsecalculeazăcurelaţia(14.70); pentru VRd,s = VEd = 280kN, rezultă:

Âsw) = VEd = 280 ·103 = 131 mm2/mm
( z f ywd ctg0 490-435· l,0 '
S nec

Se aleg etrieri <I>1Ocu două braţe de forfecare, rezultând distanţa s dintre etrieri:

s = Asw/(A~w /s)nec = 2 · 78,5/1,31 = 120mm; se alege s = 110mm.

Etrierii aleşi sunt deci <!>10/110 mm.
Procentul de armare transversală calculat cu relaţia (14.60) este:

p = Asw = 2·78,5 4,76 _10-3,
w sbwsina 110·300·1

care se compară cu coeficientul minim de armare la tăiere dat de relaţia (14.61):

Pw,min = (o,os.[i;;)/Jyk = (o,osJzoY500 = 0,7 3
-10-

T ap. 14. Normele europene EC2 439

Condiţia Pw;,:: Pw.min este îndeplinită.

De asemenea, etrierii trebuie să satisfacă relaţia ( Asw ) :::; ( Âsw ) unde cantitatea
S max
S ef

aximă de etrieri este dată de relaţia (14.71), scrisă sub forma:

Âsw) = a.cwvfcd bw = 1,0. 0,552 .13.33 300 = 2,54mm2/mm
( S max 2Jywd
2•435

Asw) = 2-78,5 =l,43mm2/mm<(Asw) =2,54mm2/mm.
( S ef 110 S max

Se verifică de asemenea condiţiile privind distanţa dintre etrieri s1 şi s1 , conform relaţiilor
14.62) şi (14.63):

- distanţa dintre etrieri în lungul elementului:

s1 = 110mm < s1 max= 0,75d(l + ctga.)= 0,75 ·545 = 400mm;

- distanţa dintre braţele verticale ale etrierilor într-o secţiune transversală:

e s1 = 300-2·55 = 190mm<s,,max = 0,75d =0,75 ·545 = 400mm.

.6. TORSIUNEA

Calculul la torsiune este necesar în cazul în care echilibrul static al structurii depinde
rezistenţa la torsiune a elementelor sale. În caz contrar, luarea în considerare a torsiunii

starea limită ultimă nu este necesară, iar pentru limitarea fisurării excesive este suficient

se asigure o cantitate minimă de armătură suplimentară, constructivă.
În calculul la torsiune se recurge la modelul secţiunii închise cu pereţi subţiri, în care

"librul este satisfăcut de un flux închis de eforturi unitare tangenţiale -r:1,; uniform distribuite pe
simea unui perete.

Secţiunile pline se modelează prin secţiuni echivalente cu pereţi subţiri (fig. 14.27).

Această abordare este justificată de rezultatele experimentale apropiate obţinute pe

: ente cu secţiuni pline şi chesonate supuse la torsiune, care au arătat că doar un strat
ţire de pe conturul exterior al elementelor din beton armat participă la preluarea torsiunii.

Dacă secţiunea are formă mai complexă, ea se subdivide în forme simple (dreptunghiuri),

I acestea se modelează prin secţiuni echivalente cu pereţi subţiri. Împărţirea secţiunii

uie realizată astfel încât să se obţină rigiditatea maximă la torsiune.

Calculul fiecărui element se face separat, după ce momentul de torsiune este distribuit
orţional cu rigiditatea la torsiune a elementelor, determinată în stadiul elastic, nefisurat.

itatea portantă la torsiune este în acest caz suma capacităţilor portante individuale ale

telor.

Armarea secţiunii supuse la torsiune se realizează cu etrieri şi bare longitudinale

µientare (fig. 14.29).

Secţiunea cu pereţi subţiri este caracterizată de următoarele valori (fig. 14.26; 14.27):

- aria totală a secţiunii transversale, inclusiv aria golurilor interioare dacă acestea există

cţiune chesonată);

- perimetrul exterior al secţiunii de arie A;

k - aria cuprinsă în interiorul liniei mediane a pereţilor subţiri care formează secţiunea,

clusiv aria golurilor interioare ale secţiunilor cu goluri;

440 BETON ARMAT

uk - perimetrul exterior al secţiunii de arie Ak;
tef = A/u - grosimea efectivă a peretelui secţiunii echivalente şi deci a diagonalelor

comprimate din beton; valoarea astfel obţinută nu poate fi mai mică decât dublul

distanţei dintre marginea secţiunii şi centrul de greutate al armăturii longitudinale, iar în

cazul secţiunilor chesonate nu poate depăşi grosimea efectivă a peretelui;
z; - lungimea unei laturi a peretelui, delimitată de distanţa dintre punctele de intersecţie
a pereţilor adiacenţi.

c - acoperirea cu
beton

uk - perimetrul dat de linia mediană a pereţilor i
t,i ter - efort de lunecare pe grosimea peretelui

u - perimetrul exterior

Fig. 14.26. Secţiunea echivalentă de calcul la torsiune

sec . echivalentă sec . echivalentă

h

~1bw
14 bk uk b) secţiune cheson k

a) secţiune plină

Fig. 14.27. Secţiunea dreptunghiulară supqsă la torsiune

Fiecare perete de lungime z; cuprinde o grindă cu zăbrele plană ca şi cea utilizată în

calculul la forţă tăietoare, astfel încât se creează o fermă spaţială tubulară (fig. 14.29). Deoarece
distribuţia etrierilor este constantă în lungul elementului, diagonalele comprimate au aceeaşi
înclinare Îh fiecare perete şi acţiunea momentului de torsiune poate fi înlocuită cu o forţă de
lunecare "C1,;leJ acţionând în lungul conturului uk, Pentru calcul, armăturile longitudinale de

torsiune, distribuite în lungul conturului, sunt considerate ca fiind concentrate îh colţurile de
intersecţie a pereţilor (fig. 14.29).

14.6.1. Calculul armăturilor pentru preluarea torsiunii

În cazul torsiunii pure, efortul tangenţial din torsiune distribuit pe perimetrul uk este da:ţ
de relaţia de maijos4:

4 Relaţia se poate demonstra pentru secţiunea drl;lptunghiulară, conform notaţiilqr din figurile 14.27

14.29. Se descompune momentul de torsiune într-o pereche de cupluri aqionând pe perimetrffl uk:

("C,,; bk )hk +(,c,,; hk )bk = 2Ak"C1,; =TEd, unde bkhk = Ak .

14. Normele europene EC2 441
(14.85)
TEd este momentul de torsiune de calcul, determinat din calculul static.

ZjCtg0

Fig. 14.28. Echilibrul forţelor

>?i::ntru deducerea relaţiilor de calcul se scriu ecuaţiile de echilibru static dintre eforturile

· are de calcul şi eforturile interioare din elementele grinzii cu zăbrele pentru un perete

.28):

hilibrul nodului A:

(14.86)

F =F cos8=_Vg_cos8
s cw sine

F, = VEd ctg8 (14.87)

(14.88)

F, este forţa de întindere din armătura longitudinală, F,w forţa de întindere din etrieri

forţa de compresiune din diagonala de beton.

orţa tăietoare rezultantă VEd într-un perete este dată de relaţia:

(14.89)

ând seama de relaţia (14.85):

TEd (14.90)

VEd = 2A Z;

k

rtul F, se poate deduce considerând că armătura longitudinală este uniform distribuită

l uk> adică A,tfuk ; rezultă că îhtr-un perete aria de armătură este A,i z; (fig. 14.29).

uk
ţelul armăturii longitudinale atinge limita de curgere, rezultanta de întindere F, este:

442

=F, As/ zJyd

uk

Confonn principiilor stărilor limită, capacitatea portantă a annăturilor longitudinale 1re
să echilibreze la limită forţa tăietoare din torsiune; dacă în relaţia (14.87) se exprimă V
confonn relaţiei (14.90) şi Fs confonn relaţiei (14.91), se obţine condiţia de verificare
starea limită:

e-A-sJ-yZd ; >_ -T-EdZ; Ctg

uk 2Ak

de unde rezultă:

e~TEd 2Ak As/ !yd tg

uk

Armătura longitudinală necesară din torsiune rezultă:

e~As~Jyd- ->-TcEdt g

uk 2Ak

În acelaşi timp, capacitatea portantă a etrierilor nu poate ·fi mai mică decât forţa tăietoare·
din torsiune ce îi revine unui perete, deci VEd ~ VRd,s. Aria etrierilor de torsiune se consideră.
unifonn distribuită Asw/s, pe lungimea z; ctgEl (fig.14.22a). În situaţia în care oţelul curge,
forţa rezultantă Fsw din etreri devine egală cu VRd,s :

eVRd's = Assw f /="dZ; ctg

annătură
longitudinală

Fig. 14.29. Modelul de calcul Ia torsiune
Din condiţia VEd ~ VRd,s, în care se exprimă VEd confonn relaţiei (14.90) şi VRd,s confonn
relaţiei (14.94), se obţine relaţia de verificare:

Normele europene EC2 443

(14.95)

·leului necesarului de etrieri de torsiune se poate face cu relaţia (14.95), pusă sub fonna:

=Asw ) / ywd TEd tg0 (14.96)
(s r
2Ak

. Verificarea capacităţii portante a elementelor
supuse la torsiune şi tăiere

tru structurile simple, în cazul solicitărilor combinate, se poate utiliza o metodă
ată, în care se consideră separat fiecare solicitare. Ariile de annătură se determină
iere (pct. 14.5.3.1) şi pentru torsiune (pct.14.6.1), unnând apoi să fie adiţionate.

iul 0 dintre diagonalele comprimate de beton şi annătura longitudinală întinsă în
ţiunii combinate a forţei tăietoare şi a momentului de torsiune este limitat confonn
(14.66), adică 1~ ctg0 ~ 2,5. În acelaşi timp, trebuie subliniat că înclinarea diagonalelor

mate 0 pentru torsiune trebuie să fie aceeaşi cu cea rezultată din calculul la forţă
. Având în vedere această cerinţă, pentru proiectare se recomandă alegerea valorii

l , adică 0 = 45° .
. metrul şi distanţa dintre etrierii ce unnează a se prevedea în element se determină
· relaţiei de mai jos, care redă adiţionarea etrierilor de tăiere cu cei de torsiune:

(14.97)

relaţia (14.98) se iau în considerare doar etrierii perimetrali.
ătura longitudinală suplimentară din torsiune se distribuie pe lungimea Z;, dar în

cţiunilor de dimensiuni mici, poate fi dispusă concentrat, în colţurile secţiunii.
ătura longitudinală dispusă din calculul la încovoiere se modifică astfel: în zona

antitatea de annătură se măreşte cu valorile rezultate din calculul la torsiune; în zona
ată poate fi redusă, în funcţie de mărimea forţei de compresiune.
ipacitatea portantă maximă a elementelor cu secţiune plină supuse la efectul forţei
şi a momentului de torsiune este limitată de cedarea diagonalelor comprimate, confonn
ţi de mai jos:

~+~~l (14.98)

TRd,max VRd,max

·TEd este momentul de torsiune de calcul;
VEd - forţa tăietoare de calcul;
.'f'Rd,max - momentul de torsiune capabil ce poate fi preluat de secţiune fără a se produce

zdrobirea betonului comprimat;
Rd,max - forţa tăietoare capabilă a elementului.
; a tăietoare capabilă a elementului VRd,max se determină cu relaţia (14.69), în care
bw se introduce lef

444

VRd,max = acwtef Z; V1 ied /(ctg0+ tg0)

Pentru determinarea momentului de torsiune capabil al elementului TRd,max, se scrie fo
de compresiune din beton Fcw din ecuaţia de echilibru (14.86), ţinând seama de relaţia (14.90):

F = VEd = TEd z.
cw sine 2Ak sine '

În acelaşi timp, în momentul în care betonul se zdrobeşte, rezultanta eforturilor uni
de compresiune pe suprafaţa aferentă unei diagonale de beton, te/zi cose (fig. 14.28)

Fcw = acwvifcdtefzi cose , de unde rezultă:

. eTEd Z; -acwvifcdtefzi cos 0 sau TEd = 2acwvifcdAktef cos0sin0

2Aksm

La limită TEd = TRd,max şi rezultă:

TRd,max = 2acwV1fcdAktef cos0sin 0

în care evl1emşienatcewleaucuvsaelocţriiluenedaeftirnaintsevlearspaulnă catpurlop1i4a.t5ă.3d.e1.un
În
dreptunghi, se poate dispune
armătura minimă constructivă, dacă este îndeplinită condiţia de mai jos:

TEd + VEd ::;1

TRd,c VRd,c

unde: TRd,c - momentul de torsiune de fisurare, care se poate determina luând 't1,; = fctd;
VRd,c - forţa tăietoare capabilă din relaţia (14.53) sau (14.54).

Aplicaţia numerică 14.18. Calculul la torsiune şiforţă tăietoare al unei grinzi din beton a

cu secţiunea dreptunghiulară

Se cunosc: dimensiunile secţiunii transversale bwlh!d = 250/500/450 mm, arm·
longitudinală necesară 2
din calculul la încovoiere ÂsJ.nec = 1210 pentru care s-au
mm
4(j)20 cu ÂsJ,ef= 1256 mm2, beton C20/25, oţel S500 atât pentru barele longitudinale, c
pentru etrieri. Momentul de torsiune este TEd =15,0kNm; forţa tăietoare de calcul

VEd = 120kN, pentru care din calculau rezultatetrieri (j)8/150 mm.

J.Ic"d -- -fc·k--- 1250 --13,33N/mm2., J•c.td -- -fct-k0-,05-1- 15,5 --1,ON/mm2
Yc , Yc ,

f d=fywk =500=435N/mm2
yw Ys 1,15

Deoarece secţiunea este dreptunghiulară, se verifică dacă este îndeplinită condiţia'(l4:.

Se calculează TRd,c pe baza modulului de rigiditate la torsiune:

W. = b!h2 _ 22 8 0 _106 mm3
250 -500

I - 3h + l,8bw 3 •500+ 1,8 · 250 '

. 14. Normele europene EC2 445

2<!>10

oo

li")

li u - perimetrul exterior

..el

As1, 4(j>20, înainte de 20

calculul la torsiune 2<!>22
Ast, după adiţionare

Fig. Api. 14.18

TRd,c = 'Wifctd = 8,0·106 ·1,0= 8,0·106 Nmm=8,0kNm

Se calculează VRd,c cu relaţia (14.53):

VRd,c =[CRd,c k(lOOp, fck) 113 + 0,15acp] bw d =

f= 0,12 · l,67 · (100 · 0,011 · 20 3 • 250. 450 = 63,2 -103 N

ând cel puţin valoarea:

VRd,c = (vmin +0,15acp) bwd =0,22· 250·450 = 25 · 103 N

-r:-C_0,18=10,,158 = 0,12 conform relaţiei (14.56);
Rd,c

k =1+~200/d =1+~200/450 = 1,67 < 2,0;

p = Â8t _ 1256

I bwd - 250. 450 0,011 < 0,02;

J;/2V111;n = 0,035k312 = 0,035 · 1,673/ 2201/ 2 =0,22, relaţia (14.57).

"ficarea condiţiei (14.101):

+~ =-15+--1:2:0:377>1

VRd,c 8 63.2 '

cl~ie'.. deoarece condiţia nu este îndeplinită, este necesar calculul arma·tun·· tru
torsmnu. 1 pen

totală a secţiunii şi perimetrul exterior al acestei arii sunt:

250·500 = 125000mm2; u = 2·250+2·500 = 1500mm

'mea efectivă a peretelui secţiunii echivalente este:

446

t.r =~ = 125000 = 83mm < 2 ·50 = 100mm (fig. Apl.14.18)
"-' u 1500
Caracteristicile geometrice ale ariei Ak sunt:

bk =b-tef = 250-83 = 167mm; hk = h-tef = 500-83 = 417mm
Ak =167·417 =69.639mm2 ; uk =2·167+2·417=1168mm

Efortul tangenţial din torsiune rezultă din relaţia (14.85):

't' t = Ted 15 6 = 107 7N/mm

"10
1 ef 2Ak 2•69639 '

Calculul etrierilor pentru torsiune
Se alege e = 45°, deci tg0 = 1, pentru care din relaţia (14.96) rezultă:

( Asw) Jywd = Ted tg0=107,7N/mm, deci
2Ak
sr

( Asw) = 107,7 =0,248 mm2/mm
S T,nec 435

Adiţionarea etrierilor pentru torsiune şi tăiere
Deoarece torsiunea este însoţită de tăiere, se calculează cantitatea de armătură transversală

cumulată cu relaţia (14.97), ţinând seama că aria etrierilor Asw rezultaţi din calculul la

tăiere se consideră pentru un perete al secţiunii echivalente, deci (Asw/s )v = (50,3/150)=

= 0,335 mm2/mm :

( Asw) =(Asw) +(Asw) =0,248+0,335=0,583mm2/mm
Snec ST Sv

Se aleg etrieri din bare de <!>10, cu Asw = 78,5mm2 . Distanţa dintre etrieri este:

s - Asw 78,5/0,583 = 134mm, se ia s = 130mm.
- (Asw/S)nec

Calculul armăturii longitudinale
Armătura longitudinală suplimentară A81 necesară pentru preluarea momentului de

torsiune se calculează cu relaţia (14.93):

A 1 = -uk· - cTtegd 0 = - - ·111608 7 , 7 = 2 89 mm2
' fyd 2Ak 435

Se aleg barele 4<!>1Ocu I, A81 =314 mm2 , care ar trebui plasate în colţurile secţiu

(fig. Apl.14.18). Barele 2<j>l0 care ar trebui dispuse în colţurile de jos se adiţionează la ·
armăturii longitudinale din încovoiere, rezultând Ast,nec = 1210 + 157 = 1369mm2 ; se modi

armarea în consecinţă şi se aleg barele 2<!>22 + 2<!>20, cu Ast,ef = 1388mm2 (fig. Apl.14.18

. 14. Normele europene EC2 447

ificarea respectării condiţiilor constructive
Condiţii pentru etrieri:

s ~u/8 = 1500/8 = 187,5mm; s ~bw = 250mm;
s ~ 0,75d(I + ctga)= 0,75 ·450 = 337,5mm

În concluzie, sef = 130 satisface toate condiţiile.

Condiţia pentru armăturile longitudinale se referă la distanţa maximă admisă între bare

perimetrul interior al etrierilor, egală cu 350mm. . .. .

Grosimea stratului de acoperire cu beton a armătunlor long1tudmale fiind de 40 mm,

ltă distanţa de 500 - 2 · 40 = 420 mm > 350 mm ; pentru a reduce distanţa dintre bare, se

un la jumătatea înălţimii secţiunii barele 2<!>10.

1care condiţiei de interacţiune tăiere - torsiune

Pentru verificarea condiţiei (14.98) se calculează momentul de torsiune capabil cu relaţia

.100) şi forţa tăietoare capabilă cu relaţia (14.69):

TRd,max = 2V1 acw led Ak te[ sin0cose =

= 2· 0,552· l,O ·{20/I,5)·69639-83.3 · 0,5 = 42,7 · 106 Nmm = 42,7 · 106 kNm

acw bw z vifcd 1,0 · 250 · (0,9 · 450) · 0,552 · 13,33 = 372 . 103 N = 372 kN
I+ l
VRd,max ctg0+ tg0

e v = v1= O'6(1- 2fc5k0 )= 0,6(1- 20 = .0,552, din relaţia (14.59).
250 )

- -TE-d+ - - -VE=d - - +15- = 012,06 7 4 < l ,cond"1ţ· iaeste,mdepm1·1t·ă-.
TRd,max VRd,max 42,7 372

.7. STRĂPUNGEREA

•7.1. Generalităţi

Străpungerea apare în cazul plăcilor atunci când pe o arie relativ redusă, denumită arie

cată A1oad , acţionează o fort, ă concentrată. Un model de calcul la străpungere, pentru

contactului direct între placă şi stâlp, este prezentat în figura 14.30. Situaţiile prezentate
tinuare se referă în special la cazul încărcărilor uniform distribuite pe placă.
erificarea la străpungere se face în lungul unor perimetre de control.
nălţimea utilă a plăcii în mod curent se consideră constantă, fiind egală cu media
ilor utile pe cele două direcţii, dy şi d,:

d =(dy+d,)/2 (14.102)

.· .2. Perimetrul de bază de control

Perimetrul de bază de control u1 se consideră la distanţa 2,0d faţă de aria încărcată şi se
.truieşte astfel încât să aibă o lungime minimă (fig. 14.3 la).

448

:I e= arctg(l/2) ...........-...-""---...--~............... Acont
klll~l------'rc=on=-t_1-,-_r_c_on_t__,.,..ii =26,60
1 Aloa~// '

II II

t !C '

----,----!:'' secţiunea de control
de bază

aria încăltcată al doUea perimetru de perimetrul de control

A1oad coritro .de oaz.ă, llI

Fig. 14.30. Modelul de e.alcul pentru străpun,gere - i.tâlp tlrli capitel

În situaţii în care o forţă concentrată este aplicată mai aproape de 2;0d faţă de A1oad , se

ia în considerare un perimetru de control Ia o distanţă mai mică decât 2,0d (perimetrul de control

trece prin punctul de aplicaţie al forţei).

Dacă aria încărcată este situată lângă un gol, o parte din perimetrul de control este

consid<lrată inactivă, aşa cum se arată în figura 14.31 b, în cazul în care aria încărcată este

simată în apropierea marginii sau în colţul plăcii, perimetrul de control se determină ca în

figura 14.32. În aceste situaţii se prevede o armătură specială la marginea plăcii (fig. 14.32).

(__C___J_ • "G)-~--. 2dlb,.,.,..:·.,"·.··.·: bz { ,:~u1 ~.,/ .. :'~.uI

/. i , , ',f ' , 2d, ·.. ···.;
perimetru de ~--._~-.:-
2 d. ,'-.-.fi. i._. _ ,,

control u1 · 1 2d

a)

Fig. 14.31. Perimetrul d.e control de bază pentn.1 diferite s,.tuaţii:

-lf.~di.;.):\-iid--~-i--('

". I

_____________. ,)

Fig. 14.32. Perimetrul· ;dţ conţrol pe~ţru stlilpi ~arg~alt sa.11 dii cqJţ .

• ; I, \ , l,

p. 14. Normele europene EC2 449

Secţiunea de control urmăreşte traseul perimetrului de control şi este extinsă pe înălţimea
"lă d. Dacă placa are înălţimea constantă, secţiunea de control este perpendiculară pe planul
cii. Dacă placa are înălţimea variabilă (de exemplu, talpa fundaţiei), d se măsoară Ia

·metrul ariei încărcate.

Alte perimetre de control u, din interiorul sau exteriorul ariei de control de bază, vor avea

eaşi formă ca şi perimetrul de control de bază.

Plăcile rezemate pe stâlpi circulari prin intermediul unor capiteluri circulare cu ls :s; 2,0hs

g. 14.33a) se verifică la străpungere numai într-o secţiune de control situată Ia distanţa

nt faţă de centrul de greutate al secţiunii stâlpului:

rcont = 2,0d + ls + 0,5c (14.103)

e: lH este distanţa de Ia faţa stâlpului la marginea capitelului;

c - diametrul stâlpului.
Dacă stâlpii şi capitelurile au forma rectangulară, cu ls :s; 2,0d, pentru rcont se alege
oarea cea mai mică dată de relaţiile:

rcont =2,0d + 0,56.J"i;i; (14.104)

rcont =2,0d + 0,69/1 (14.105)

= =e /1 c1 + 2lm, /2 c2 + 2lm cu condiţia /1 ~ / 2 •

În situaţiile în care lH > 2,0d , se verifică atât secţiunea ce trece prin capitel (perimetrul

erior), cât şi cea care trece prin placă (perimetrul exterior), conform figurii 14.33b.

~!capitel cu dală eap1'teI .s1mplu

~·

A - secţiunea de control e=26,6°
de bază
= arctg(l/2)
B - suprafaţa încărcată
~ rcontext
!context

A·

450 BETON ARMAT

Prevederile referitoare la perimetrul de control de bază, respectiv la calcul se aplică

înlocuind d cu d8 (fig.14.13b).
Distanţele de la centrul de greutate al secţiunii stâlpului până la secţiunile de control pot

fi luate (fig. 14.33b):

rcont,ext = l H + 2,0d + 0,5c (14.106)

rcont,int = 2,0(d + hH )+ 0,5c (14.107)

14.7.3. Analiza stării de eforturi la străpungere

Calculul la străpungere se bazează pe verificarea unei serii de secţiuni de control, care
au o formă similară cu secţiunea de control de bază. Se definesc următoarele eforturi de
tăiere cu valoare de calcul, distribuite pe unitatea de suprafaţă a secţiunii de control:

vRd.c - capacitatea portantă la străpungere a plăcii rară armătură pentru preluarea eforturilor
din străpungere în lungul secţiunii de control considerate;

VRd,cs - capacitatea portantă la străpungere a plăcii cu armătură specifică în lungul secţiunii
de control;

VRd.max - capacitatea portantă maximă la străpungere în lungul secţiunii de control considerate.
Pentru ca să se evite zdrobirea betonului comprimat, valoarea eforturilor unitare maxime

din efectul de străpungere vEd, distribuite pe perimetrul stâlpului sau al ariei încărcate
determinate cu relaţia (14.11 O), trebuie să satisfacă relaţia de mai jos:

(14.108)

Nu este necesară prevederea armăturii pentru preluarea eforturilor din străpungere, dacă
este îndeplinită condiţia:

(14.109)

Dacă vEd > vRd,c este necesar calculul armăturilor specifice, conform puntului 14.7.5.

Valoarea efortului de calcul vEd se determină din relaţia:

VEd =13 VEd (14.110)
U;d

unde: d este înălţimea utilă medie, conform relaţiei (14.102);
u; - lungimea perimetrului de control considerat, care poate fi perimetrul stâlpului sau
perimetrul de control de bază;
~ - este un coeficient care depinde de distribuţia eforturilor unitare din străpungere.

Având în vedere eventualitatea existenţei unui moment MEd neechilibrat care generează
o distribuţie a eforturilor V&f ca în figura 14.34a, coeficientul~ se calculează cu relaţia:

f3=l+kMEd ~

VEd W'j

unde: u1 este lungimea perimetrului de control de bază;
k - coeficient ce depinde de raportul dimensiunilor secţiunii stâlpului c1 şi c2, avâ ·
valorile date în tabelul 14.13;
W1 - o funcţie de u1 pentru distribuţia forţei tăietoare din figura 14.34a.

Cap. 14. Normele europene EC2 451

- =nd:,S 1,5d; :,S 0,5 CJ :S 1,5d; :S 0,5 C2

~. : +c2

_., u;MF.c1}

--C-J11--21d / 2d

c2\ b) stâlp marginal :S 1,5d;
:S 0,5 CJ
a) distribuţia eforturilor de tăiere din
c) stâlp de colţ
momentul neechilibrat

Fig. 14.34. Momentul neechilibrat la conexiunea placă. stâlp

Tabelul 14.13. Coeficientul k pentru suprafeţe încărcate dreptunghiulare

Ct / C2 $ 0,5 1,0 2,0 ;:: 3,0

k 0,45 0,60 0,70 0,80

Fu~cţia W1 corespunzătoare distribuţiei forţei tăietoare din figura 14.34a se determină
relaţia:
.

(14.112)

e dl este lungimea elementară a perimetrului, iar e distanţa de la lungimea elementară dl
ă la axa în raport cu care acţionează momentul M Ed •

Pentru un stâlp dreptunghiular interior, ţinând seama de relaţia (14.112), Wi. este:

w.I C12 +4czd+I6d 2 +2ndc1 (14.113)
=2+C1C2

C1 şi c2 sunt dimensiunile secţiunii stâlpului, considerate conform figurii I4.34a.

Pentru un stâlp circular interior, valoarea coe1'!cientului 13 se determină cu relaţia:

P=I+0,61t D:4d (14.114)

D este diametrul stâlpului circular.
Pentru un ~~âlp dreptunghiular interior, unde încărcarea este excentrică faţă de ambele
.se poate utiliza relaţia aproximativă:

(14.115)

ey şi e, sunt excentricităţile M Ed I VEd în lungul axelor y şi z;

by şi b, - dimensiunile perimetrului de control (fig. 14.3 la).

452 BETON ARMAT

„ Pentru un stâlp dreptunghiular marginal, unde excentrici~atea :ste perpen~ic1;1la:ă_ ~e

marginea plăcii (fig. 14.34b), forţa de străpungere poate fi considerată uniform distribuită m

u; .lungul perimetrului ·
Dacă există excentricitate după ambele direcţii ortogonale, 13 se poate determina din relaţia:

B= u~ + k!:!:Lepar (14.116)

u, Wj

unde: u1este lungimea perimetrului de control de bază din figura 14.32;
u* - lungimea perimetrului de control de bază redus din figura 14.34b;
1 excentricitatea paralelă cu marginea plăcii,
rezultând dintr-un moment aplicat
epar _

k- ca în figura 14.34b; tabelul 14.13, în care r~portuJ ci/c2 se ,mlocme. şte cu c1/2c2;
se poate determina din

W1- calculat pentru perimetrul de control de baza u1 dm. f:gura 14.3 la.
Pentru un stâlp dreptunghiular ca în figura 14.34b, W1 rezulta:

Wj =.c.12.. + c1c2 + 4c1d + 8d 2 + ndc2 (14.117)
4
Dacă excentricitatea este dirijată spre exteriorul plăcii, se utilizeaz~ relaţia _(14.111 ). La
euxncsetnâtlrpicditeatceoalţeutrnedbeuieexmcăesnutrriactiătadteealaescteendtriuriljdaetăgsrperuetaitnetaelripoernuml peltărcuiil,msdeepcroesnutrpoul.ne
calculul W
• Pen~

că forţa de străpungere este uniform distribuită în lungul perimetrului de control redus u~ ,

definit în figura 14.34c; 13 se determină din relaţia:

B=u~ (14.11&)

U1

Dacă excentricitatea este spre exteriorul plăcii, se utilizează relaţia (14.111 ).
• Pentru structuri la care stabilitatea laterală nu depinde de interacţiunea de cadru ~~e

placă şi stfilp5 şi la care deschiderile adiacente nu diferă cu mai mult de 25~, se pot utiliza

valori aproximative. în anexele naţionale se precizează valorile pentru 13; valonle recomandate

pentru 13 sunt date în figura 14.35.

II
1©---ţţ------------tl-- CE)- stâlp interior

i® ®- stâlp marginal
II ©- stâlp de colţ
i B= 1,5 i
II
II
II
II

I I(.\
·i® i~
-~1-B-=--1-.-4-----{JI-B- = 1,15

Fig. 14.35. Valorile recomandate pentru coeficientul P

Dacă O forţă concentrată acţionează aproape de stâlp, nu se face reducerea forţei tăietoare

de calcul conform punctului 14,5.3.3.

5 Este cazul structurilor în zone seismice unde stabilitatea trebuie asigurată cu elemente de contravântuire.

Cap: 14. Normele europene EC2 . 453

14.7.4, Capacitatea portantă la străpungere a plăcilor

fără armătură specifică

Capacitatea portantă la străpungere a plăcii fără armătură specifică trebuie evaluată pentru
cţiunea de bază de control, definită la punctul 14.7.2. Calculul se face cu relaţia:

=VRd,e CRd,ek(lOOpl 3 +k1 (Jep~ (vmin +k1 (Jep) (14.119)
fekJ1

fek este exprimat în N/mm2;

~k =1+ 20 :,; 2,0 , cu d dat în mm;
~

P1 = ~Pty •Pi, $ 0,02; Pty, Ptz se referă la a.tn1ătura întinsă ancorată după direcţiile

y şi z; P!y şi p12 se calculează ca valori medii, ţinând seama de o lăţime a plăcii

eşală cu lăţimea stâlpului plus 3d de fiecare parte;

oep =l(Jcy + ocz )! 2 , în care =crcy N Ed,y / Acy şi =oez N Ed,z / Aez sunt eforturile

unitare nonnale în secţiunea critică pe direcţiile y respectiv z, exprimate în N/mm2
şi pozitive pentru compresiune; NEd,y şi NEd,z sunt forţele axiale în piacă din

încărcări (sau din precotn-ptitnare), considerate de-a lungul deschiderii pentru
stâlpii interiori, respectiv de-a lungul secţiunii de control pentru un stâlp de colţ;
Acy , Aez - ariile de beton definite în aceleaşi situaţii ca forţele axiale corespunzătoare;

CRd,e, Vmin şi k1 - sunt date în anexele naţionale, valorile recomandate fiind cele

=date de relaţiile (14.55) şi (14.56), respectiv k1 0,1.

.7.5. Capacitatea portantă la străpungere a plăcilor
cu armătură specifică

Calculul capacităţii portante la străpungere a plăcii cu armătură specifică pentru preluarea
. rturilor din străpungere în lungul secţiunii de control, vP.d,es se face cu relaţia:

VRd,es = O'75VR d, e+ l ,5. Asw f ywd,ef , (14.120)

. sruî sma

Asw - este aria barelor de pe un perimetru de armături de tăiere din jurul stâlpului;
sr - distanţa dintre armăturile de pe perimetre succesive; măsurată ca în figura 14.36;
f ywd,ef - rezistenţa efectivă de calcul a armăturii pentru străpungere, conform relaţiei:

f ywd,ef ""250 + 0,25d $ Jywd, în N/tntn2 (14.121)

a - unghiul dintre annătura transversală pentru străpungere şi planul median al plăcii.

Dacă se prevede doar un rând de armături înclinate, în relaţia (14.120) se înlocuieşte s,

/0,67
Detaliile de armare pentru preluarea forţei tăiet(;Jare din străpungere sunt date în

14.37.

454 BETON ARMAT

Lângă stâlp, efortul unitar de străpungere este limitat la valoarea: (14.122)

VEd=[:-ţV-E:dSvRdma-x-o, 5V,JIc'd

Uod '

unde u0 depinde de poziţia stâlpului; stâlp interior, u0 =perimetrul stâlpului; stâlp marginal,

=u0 = c2 + 3d :S c2 + 2c1; stâlp de colţ, u0 3d :S c1 + c2 ;

c1 , c2 - dimensiunile secţiunii stâlpului, ca în figura 14.34b,c;

v - conform relaţiei (14.59).

Perimetrul de control de la care armătura de străpungere nu este necesară, u u1 (fig. 14.36a)
0

sau uout,eif (fig. 14.36b), se calculează cu relaţia:

U o u t , ef3fV=Ed~ (14.123)
Rd,c

Dacă armătura pentru preluarea străpungerii este necesară din calcul, ea trebuie plasată

între aria încărcată Aioad şi secţiunea A, corespunzătoare ultimului perimetru prevăzut cu

armătură de străpungere rezultată din calcul. Secţiunea A trebuie să fie la cel mult 1,5d de
secţiunea B, corespunzătoare primului perimetru în care nu este necesar calculul (fig. 14.37b).

------./perimetrul Uout
. ....:'\. '„1.S~,r~·_:.___ ;,,
A1oad
/ -,..::
··o·.· .. \. ,, 1· /'
( • • ••• : ... •'!· \
, .....1 eeoeo,·l' ;

',-,.! ~ : : : ~\ ••••• :
< ~ truln·•"•'•·•·•J•
enme· · · · , /
~_
I opo,u a' ···~· ""OUt.ef
l
2d"~" ' . \···•. ·• •: · · } st" ~ :: ~: ,r-d
l Sd ••
,._. • ./
', .---.._!_..... • // ::S '
'---..:____,. '',--~d

a) b)

Fig. 14.36. Perimetrul de control pentru stâlpi interiori

Barele verticale trebuie să fie plasate pe cel puţin două perimetre; distanţa dintre două

perimetre trebuie să fie cel mult 0,75d (fig. 14.37b). ..

Barele înclinate pot fi dispuse şi pe un singur perimetru. Barele înclma~e care trec yn~

aria Aioad sau la o distanţă mai mică de 0,25d faţă de această arie pot fi considerate armatun

pentru preluarea străpungerii (fig. 14.37a).

(O,3 ... 0,S)d

~--- - A' BI
I

.'.. l I

d/4'

0,75d

a) armături înclinate b) armături verticale

Fig. 14.37. Dispunerea armăturilor pentru străpungere

T li!P· 14. Normele europene EC2 455

Distanţa dintre faţa reazemului (sau perimetrul ariei încărcate) şi cea mai apropiată
armătură de tăiere luată în considerare în calcul trebuie să fie cel mult 0,5d, distanţă măsurată
la nivelul armăturilor întinse (fig. 14.37).

Armătura minimă pentru străpungere trebuie să satisfacă relaţia :

, Asw,min . l,5 sin a + cos a ~ (o,os.[l;;)/fyk (14.124)

s, s,

de sr este distanţa între bare pe direcţia radială, iar s1 distanţa pe direcţia tangenţială.

licaţia numerică 14.19. Calculul la străpungere a unei dale din beton armat cu grosimea
constantă, rezemată direct pe stâlpi (verificare în dreptul unui stâlp
interior)

Grosimea dalei este de 250 mm; VEd = 500 kN ; armătura longitudinală din partea

· perioară a plăcii rezultată din calculul la încovoiere în dreptul stâlpului interior este «I>10/150 mm
t pe direcţia y, cât şi z; acoperirea cu beton este c, = 25 mm . Stâlpii au dimensiunile bJh. =

450/450 mm şi sunt dispuşi în reţea ortogonală, cu Ly = Lz = 6,0 m . Structura este

0ntravântuită. Materiale: beton C25/30, oţel S500.

fcd =fck!Yc =25/l,5=16,66N/mm2 ; fyd =Jyk/Ys =500/l,15=435N/mm2

f ywd,ef = 250 + 0,25d = 250 + 0,25 · 215 = 303 N/mm2 < / ywd =435 N/mm2 conform

ţiei (14.125).

înălţimea utilă a plăcii se calculează conform relaţiei (14.102), în care:

dy = 250-(25+ 10/2)= 220mm; dz = 220-(2·10/2)= 210mm

d, = (dy+dz) 220+210 215mm
2 2

ificarea la străpungere a secţiunii de lângă stâlp
Pentru a verifica dacă dimensiunile plăcii, respectiv ale stâlpului sunt suficiente, se
fică secţiunea de lângă stâlp cu relaţia (14.122):

v = [3VEd :a: 1,15-500·103 = 1'486 N/mm2
Ed,O u0d 1800 · 215

VRd,max = 0,5vfcd = 0,5 · 0,54-16,66 = 4,49N/mm2

u0 = 2(c1 + c2)= 4 · 450 = 1800mm este perimetrul stâlpului;

13 = 1,15, din figura 14.35, în cazul unui stâlp interior;

V= 0,6(1- fck )= 0,6(1- ~ ) = 0,54.
250 250

Ved,O = 1,486 < vRd.max = 4,49N/mm2 , deci condiţia (14.122) este respectată.

inarea efortului de tăiere în lungul perimetrului de control
Perimetrul de control de bază (secţiunea A) se determină ca în figura 14.31 a:

lui= 2(bs + hs )+ 21t· (2d)= 2(450+450)+ 21t·(2· 215)= 4500mm

456

Valoarea efortului de tăiere vEd se determină cu relaţia (14.110):

V =J3VEd =115 500·l 3 =0594N/ 2

0
Ed u1d ' 4500 · 215 ' mm

Calculul capacităţii portante la străpungere a dalei
În calculul capacităţii portante la străpungere a dalei fără armătură specifică, intervin:

(Jep= O

CRd,e = 0,18/ye = 0,18/1,5 = 0,12 conform relaţiei (14.56);

k=l+ =1+ -=00196<20·
~ 215 ' ''

=P1 ~P1y ·P1z ,

în care Piy şi P1z se calculează după direcţiile y şi~; luând în considerare o lăţime b egală
cu dimensiunea stâlpului pe direcţia respectivă plus 2. 3d :

hy = 450+2·3·220 = 1770mm; bz ""450+2·3 ·210 =1710mm;

Asly =524·1,77=927mm2 As1z =524·1,71=896mm2

P1y = As1y /bydy = 927/1770 · 220 = 0,0024

P1z = Âsiz/bzdz = 896/1710· 210 = 0,0025

p1 = ~0,0024 · 0,0025 = 0,00244:::; 0,02

Capacitatea portantă la străpungere a dalei fără annătură specifică se determină cu relaţia
(14.119):

J'VRd,e =CRd,ek(lOOp, fek 3 + k, (jep=

= 0,12 · 1,96(1 oo. 0,00244. 25Jf3 = 0,430 N/mm2

VRd,e =0,430>vmin =0,03k3/2fekl/2 =0,035·1,963/2 ,251/2 =0,274N/mm2

Deoarece vRd,c = 0,430 < vEd = 0,594 N/mm2 , este nevoie de calculul armăturilor

transversale specifice pentru străpungere.
Calculul armăturii pentru preluarea străpungerii

Calculul se efectuează în secţiunea A, definită de perimetrul de control de bază, u1•
Cantitatea necesară de armătură care se dispune pe perimetrul u1, definit de unghiul 0,

sau de distanţa 2d, rezultă din relaţia (14.120), pentru vRd,es =vEd:

AswJ =(vEd-0,75vRd,c)u1
( sr nee 1,5/ywd,efsina

. 14. Normele europene EC2 457

·antă de armare cu bare înclinate
Se alege dispunerea barelor înclinate la 45°, deci sin a= 0,707;

(0,594- O,75 · 0,430)4500 3,79 mm2/mm
1,5 · 304·0,707

Se aleg bare </>10; distanţa dintre bare trebuie să fie sr::;; 0,75d =0,75 · 215 = 161mm,

ându-se sr = 150 mm ; barele se dispun pe două perimetre, astfel ca să fie intersectate
1sura înclinată definită de unghiul 0 (fig. Apl.14.19a):

AswJ =8·78,5 = 4,l 8mm2/mm

( sr ef 150

fout

450 2d=430
----ţ---- 1 I--

1 ~!100 !
.~...-----"n=d-=...7.. =03~-...i~

„303

,-IIU-!~II I+- ! IiA(u1) :B(u0u,)

:'' ....-··

'e

45~

625 2d= 430

Fig. Apl.14.19

Primul perimetru de bare înclinate este la 100 mm de la faţa stâlpului (secţiunea <D),

ctându-se condiţia ca această distanţă să fie mai mică decât d/2 = 215/2 = 107,5 mm
;l4.37a); al doilea perimetru (secţiunea@) se află la distanţa de 150 mm faţă de primul.
Se determină perimetrul de control (secţiunea B) de la care nu mai este necesară armătura
laţia (14.123):

1,15·500·103 =6220 mm

0,430 · 215

458

Este necesară verificarea condiţiei ca distanţa nd (unde n este numărul de diame

dintre ultimul perimetru prevăzut cu armătură de străpungere_ rezultată ~in calc~l (~e~ţi · ..
<6l) şi primul perimetru în care nu este necesar calculul (se.cţ1unea B) s~ fie mai mica dec~t
1,5d . în acest scop, perimetrul uout al armămrilor de sttă.pungere se scne sub forma:

uout =u0 + 2nnd, de unde rezultă nd =(u0u1 -uo)/2n

nd= Uout -1800 -_ 6220 -1800 _- 703 mm

2n 2n

Perimetrul uout se află la distanţa de 703-(100 + 150)= 453mm faţă de perimetrul e

al armăturilor de străpungere, adică la mai mult de 1,5d = 1,5 · 215 = 322,5 mm. Este deci

de încă un rând de armături de tăiere (reprezentat cu linie punctată), dispus confonn

Apl.14.19a în dreptul secţiunii ®. Distanţa se re9uce astfel la 703- (100 + 2 ·150) = 303

=care nu depăşeşte 1,5d 322,5 mm .

Condiţia referitoare la cantitatea minimă de armătură exprimată de relaţia (14.124)

scrie sub forma:

~(;w( ' ; Î Î . = l, 5si 1 c os a { o , o8fj;)/!yk

n~ +

r )ef r )mm

JÂsw =4 81 > 400 (o.o8mY5oo) =o,22mm21rinn
( s ' 1,5 · 0,707 + 0,707 ·
r ef

în care s, şi s1 sunt definite în figura Apl.14.19a.
Variantă de armare cu bare verticale

Asw) = (0,594-0,75·0,430)4500 =2,68 mm2/mm
(s
r nec 1,5 · 304 ·1,0

Se alege sr =100 mm , rezultând aria necesară pentru un perimetru:

Asw = Asw · sr =2,68 · 100 =268 mm2/mm

sr

Barele se dispun pe 4 perimetre, conform figurii Apl.14.19b; pe un perimetru fi

bare, rezultă 268/8 = 33,5 mm2; se aleg bare <!>8 (50,3 2

mm ).

Se verifică satisfacerea condiţiei de armare minimă:

Asw) = 5o,3 . 8 =4,024 > 490 (o,08.JiiY500) =0,262mm2/mm
( sr ef 100 ~5

unde pentru s, s-a luat în considerare, acoperitor, ultimul perimetru de dispunere a

s1 = 2-n-625/8 =490mm.

14. Normele europene EC2 459

8. OBOSEALA

Starea limită de oboseală se verifică în cazuri speciale, atunci când structura sau
nente ale acesteia sunt supuse la încărcări ciclice regulate, analizându-se separat betonul şi
a.
forturile unitare se calculează în stadiul fisurat neglijând rezistenţa la întindere a betonului,
ând cont de compatibilitatea deformaţiilor.
ea mai adecvată modalitate de estimare a efectelor oboselii constă în evaluarea
ărilor sub efectul ciclurilor repetate. Rezultatul acestei evaluări este redat de
1 degradărilor DEd, obţinut prin însumarea Palmgren-Miner:

DEd=L,~$;1
; N;

; reprezintă numărul efectiv de cicluri pentru un nivel de încărcare, iar M numărul de

care produc ruperea pentru acelaşi nivel de încărcare.
tunci când condiţia de mai sus este îndeplinită, degradările produse de ciclurile repetate
tează siguranţa elementului, astfel încât starea limită de oboseală este satisfăcută.

.1. Combinarea acţiunilor

tru calculul amplitudinii efortţtrilor unitare !!..cr = crmax - crmin , acţiunile se împart

i statice şi acţiuni ciclice care induc fenomenul de oboseală dinamică. Combinaţia

r statice, denumită combinaţia de bază, este echivalentă cu combinaţia frecventă

. stările limită de serviciu, descrisă de relaţia (pct. 14.1.5): -

LL Gk,j + \lfl,IQk,I + \lf2,iQk,i

j?.I i>l

'unile ciclice se combină cu cea mai defavorabilă combinaţie de bază conform relaţiei:

( 'i,Gk,j +\lf1,1Qk,I + L\lf2,iQk,i)+Qfa1

lj?.l i>l

fat este încărcarea care produce oboseala.

• Rezistenţa materialelor la oboseală

ortarea oţelului la oboseală depinde de amplitudinea efortului unitar !icr care, în

poate fi constantă pe toată durata ciclurilor (un singur nivel al amplitudinii). Dacă
de oboseală produce amplitudini multiple, diferite ca mărime, corelaţia dintre

cicluri n şi amplitudinea !icr este descrisă de spectrul încărcării.
enţa caracteristică la oboseală a armăturii !icrRsk depinde de numărul de cicluri
te obţine din curba S-N (curba Wohler logaritmată, în care S reprezintă !icrs)

· două segmente de dreaptă (fig. 14.38b), caracterizate de relaţia:

460
Parametrii care descriu curba S-N fiind daţi în tabelul 14.14.
logtiaR,k

'-----...-------+log N
logN*

Fig. 14.38. Curba S-N privind comportarea la oboseală a armăturii

Rezistenţa la oboseală a betonului comp.rimat, pentru N =106 cicluri este:

fcd,fat =k1'3cc(to)(l-fcd250)fcd

în care coeficientul 13cc se determină conform punctului 14.2.1.2 pentru vârsta t0 (zile), în

cazul de faţă vârsta betonului la începutul încărcării ciclice. Coeficientul k1 se specifică în
normele naţionale, valoarea recomandată fiind 0,85.

Tabelul 14.14. Parametrii curbei S-N pentru armătura betonului armat

Tipul armăturii Exponentul efortului unitar !l.crRsk (N!mm2) la
N*

N* cicluri

Bare dre te 10 5 9 162,5
Bare îndoite1 5~ 162,5~

Bare i lase sudate 10 3 5 58,5

Dispozitive mecanice 35 35
de înnădire

Notă: ~ = 0,35 + 0,026 Dl$ ; D - diametrul domului; (j> - diametrul barei.

14.8.3. Procedura de verificare a armăturilor

Se acceptă că armătura întinsă are o rezistenţă adecvată la oboseală dacă Lias ='> Liasadm .

Valoarea limită tiasadm se specifică în normele naţionale; pentru barele fără sudură se

= =recomandă Liasadm 70 N/mm2, iar pentru cele sudate Liasadm 35 N/mm2•

În cazul încărcării care produce o amplitudine Lias cu valoare constantă, verificarea

armăturilor se poate face cu relaţia:

YF,ia1 Lia~='> Li<JRsţ(N*)/Ys,/at (J\It~).

unde: LiaRsk (N *) este rezis:tenţa la oboseal~ ,a ;,uinăţµrii, pentru, lln pumăr de N * cicluri

(tp.belul 14.14);
Ys,fat = 1~15 [9].

Coeficientul yF,fat se specifică în normele naţional:, recomandându-~e val~area 1,0.

· . 14. Normele europene EC2

În cazul amplitudinilor multiple, în funcţie de gradul de exactitate dorit, efectul oboselii

e fi verificat prin variantele de mai jos.

Pentru elementele supuse la un număr limitat de cicluri (n :a, 108), verificarea se face

limitarea amplitudinii maxime la valoarea corespunzătoare unui număr de 108 cicluri

. 14.39a) [43]. Relaţia de verificare este:

'YF,Jat maxÂIJs $. LiaRsk (108)/ys,fat (14.126)

care ÂO'Rsk(l08) se obţine din construcţia grafică a curbei caracteristice S-N.

Dacă se ia în considerare durata de funcţionare în regim de oboseală, exprimată prin

- 1efectiv de cicluri n, verificarea se face prin limitarea amplitudinii maxime la o valoare
spunzătoare celor n cicluri (fig. 14.39b) [43]. Relaţia de verificare este:

Ysd Licrs,max $ AaRsk(n)/Ys,fat (14.127)

care LiaRsk (n) se obţine din construcţia grafică a curbei caracteristice S-N.

În general, verificarea la oboseală trebuie realizată prin limitarea degradărilor, în baza

. i:

(14.128)

DEd este factorul degradărilor;

i - numărul de niveluri ale amplitudinilor;

ticrsi - amplitudinea curentă i (fig. 14.39c);
n(ticrs;) - numărul efectiv de cicluri ale amplitudinii ticr,;;

N(fla,;) - numărul de cicluri până la oboseală sub efectul amplitudinii Âa,;.

logtia5 logtia5

---~=l~ ,. ,8

logAcrRsk (10 )
logÂO'Rsk (n)

-------: J ,. ' 1~ --~
mcarcam l log N I lo N
II

lI lI logN

L8 logn logni_t LtogNi
log(YF,fatÂ.O:s,m~x}
L. ) · log (yF,fat ÂO'si)
\l'F,fa1ÂO's,max. logn b)
c)
a)

Fig. 14.3'>. Variante de verificare în cazul amplitudinilor multiple

În locui unui c„eul explicit cu relaţia (14.128), pentru cazuri cu încărcări cunoscute
ar- fi griniile de rulare şi podurile, la care se cunoaşte spectrul încărcării, verificax:ea la

se poate face: pentru o amplitudine echivalentă Acr,,equ (N *) coreSPunzătoare la

Y.'F,Jat ·ÂC1s,equ(N*)$ 8.C'J~k(N*)/Ys,fat (14.129)

. tla,,equ (N *) este amplitudinea echivalentă de degradare pentru N * cicluri.

.. '

462

Calculul amplitudinii echivalente se face cu relaţia [9]:
l:!i.crs,equ(N *)=aPkl:!i.crs,max

unde: a P este un coeficient depinzând de numărul efectiv de cicluri n şi de spectrul încărcărij
(fig. 14.40a);

k - coeficient depinzând de corelaţia dintre l:!i.crs,max şi flcrRsk (N *), precum şi de
spectrul încărcării (fig. 14.40b).

Pentru clădiri, flcrs,equ (N *) se poate aproxima prin amplitudinea maximă

obţinută în combinaţia specifică a acţiunilor.

1~ S3
l,6 l-----+------+-------1---"""7'"'-;
1,41-----+------+-------l-:;;,.,C-----j
1,21-----+------+---:;;,.C..----/i----"::::;;,,""-1 S2
1,01-----+-----::,~:...-.----::i,..c""----i S1
~8 ~
0,61--===~---:::l.,--...O:::::____-l:::::,,.......,::::::_---::::;::l...,..-,,:::.;:.___--t

4...__ _ _....5______..i..6---......i--7-----8+og(n)

a) Coeficientul aP

1,0 '"'~T-,-~~~r;;;;;;;::::r-T--r--i--A= ÎF,fatÎs,fatflcrs,max

flcrRsk {N*)

0,85
0,80

0,70 ...............-.....i._...i..,._ _..i....__.i.............__.....i.._......._ A
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
. . . . . . ._ . . _ . . . . . . , . . .

1,9 2,0

b) Coeficientul k

Fig.14.40. Coeficienţi pentru calculul amplitudinii echivalente în armătură

. 14. Normele europene EC2 463

.8.4. Procedura de verificare a betonului

Verificarea la oboseală a betonului comprimat se poate considera îndeplinită dacă este
isfăcută dubla condiţie:

0,5 fcd fat +0,45crc min (14.131)

(Jc max$ {0,9 ' '
fcd,fat
'

crc, max este efortul unitar maxim de compresiune sub combinaţia frecventă a acţiunilor;

crc,min - efortul unitar minim de compresiune în aceeaşi fibră a secţiunii; dacă acest

efort unitar este unul de întindere, atunci se consideră crc, min = O•

Betonul comprimat are o rezistenţă corespunzătoare la oboseală, dacă este îndeplinită

diţia:

Ecd,maxequ + 0,43~1- Requ $ l (14.132)

Requ =Ecd,minequ/Ecd,maxequ;

Ecd,maxequ = (Jcd,maxequ/ fcd,fat ;

=E cd, min equ (Jcd, min equ / fcd ,lat ;

<Jcd,maxequ, <Jcd,minequ - cea mai mare, respectiv cea mai mică valoare a efortului

unitar, pentru N cicluri, corespunzătoare amplitudinii ultime.
Valoarea lui N , egală sau mai mică decât 106 , se specifică în normele naţionale;
area recomandată este N = I06 •
Pentru cazuri cu încărcări cunoscute (grinzi de rulare, poduri), verificarea la oboseală
ate face prin compararea numărului efectiv de cicluri n cu numărul echivalent de cicluri
ăla oboseală Nequ [9]:

(14.133)

e Nequ se obţine din figura 14.41, în funcţie de spectrul încărcării şi valorile relative
eforturilor unitare de compresiune scd,max = crc,max / !cd,fat şi scd,min = crc,min / fcd,fat •

· aţia numerică 14.21. Verificarea la oboseală a unei grinzi de rulare

Se cere verificarea la oboseală a secţiunii de la mijlocul deschiderii unei grinzi de rulare
ricate realizată din beton C25/30 (preparat cu ciment cu întărire normală) şi armătură

oţel PC52 (fig. Apl.14.21). Pentru podul rulant se acceptă spectrul S2 (conform
15018 Partea 1).

J, d = a -fyc=kC 1 0 - =12,551 6 6' 7 N/mm2

C CC '

În urma calculului eforturilor unitare în stadiul fisurat sub combinaţia specifică a acţiunilor

binaţia de bază plus acţiuni ciclice) au rezultat următoarele valori:
·.~ armătura întinsă: <Js,max = 140,9 N/mm2; <Js,min = 17,9 N7mm2; !las= 123,0N/mm2

·• - betonul comprimat: crc,max = 5,01 N/mm2; crc,min = 0,64 N/mm2

464 BETON ARMAT

Stabilirea numărului efectiv de cicluri n:
- durata de viaţă estimată: 50 ani
- număr de zile lucrătoare: 264 zile/an
- timpul de lucru: 8 ore/zi
- frecvenţa de lucru: 60 cicluri/oră

=- n =50 · 264 ·8 · 60 =6336000 6,34 · 106 cicluri

,.. 55

1

100 d=94

Fig. Apl.14.21.

Verificarea armăturii se face prin intermediul amplitudinii echivalente, cu relaţiile (14.129)
şi (14.130)

- din tabelul 14.14 se obţine, pentru bare drepte, valoarea rezistenţei caracteristice

IJ,.crRsk (N *) = 162,5 N/mm2

- din figura 14.40a se obţine a P =0,92 în funcţie de log (n) =6,8

- A= yF,fat Ys,Jat !J,.crs,max/!J,.crRsk(N*) = 1,0 · 1,15 · 123,0/162,5 = 0,87, calculat cu relaţia

din figura 14.40b
- din figura 14.40b, pentru A= 0,87, se obţine k = 1,0
- !J,.crs,eq)N*)= apk/J,.crs,max = 0,92 · 1,0 ·123,0 = 113,2 N/mm2

Deoarece

YF,fat !J,.crs,equ (N*)= 1,0 · 113,2 '5, /:),.(JRsk (N *)jys,fat = 162,5/1,15 =141,3 N/mni2

armătura rezistă la ciclurile de oboseală.
Verificarea betonului comprimat se face cu relaţia (14.133), prin compararea numărului

efectiv de cicluri cu numărul de cicluri echivalente până la oboseala betonului:
- rezistenţa la oboseală a betonului se determină având în vedere utilizarea unui ciment cu
întărirea normală ( s = 0,25 ) şi vârsta betonului la începutul aplicării încărcări ciclice

t0 =60 zile de la turnarea betonului

13cc (t )= exp~~ - ~28/t )J= explo,25(1- ~28/60 )J= 1,082 - punctul 14.2.1.2

fcd,fat = 0,85j\)to),{1- fck/250 )fcd = 0,85 ·1,082· (1-25/250)· 16,67 = 13,8 N/mm2

- valorile relative ale eforturilor unitare de compresiune sunt:

scd,max = crc,max/fcd,fat =5,01/13,8 = 0,363

=scd,minu = (Jc,min/ fcd,fat = 0,64/13,8 = 0,05 O

. 14. Normele europene EC2

- din figura 14.41a se obţine !og(Nequ )= 10,l deci Nequ = 1,26 · 1010

Deoarece
n = 6,34 · 106 '5, Nequ = 1,26 · 1010
ltă că betonul comprimat rezistă la degradările produse de ciclurile de oboseală.

Scd,min= O

log(N)

5 10 15
a)

Scd, min = 0,2

log(N)

5 10 15 20 25
b)

Fig. 14.41. Numărul echivalent de cicluri pentru verificarea betonului

466 BETON ARMAT

1' O.1------..--c---------t------r-------+--=?..!!-"'"-S-c.d.,.m.i.n.=:.0..,4.~
0,9 l---"oc---~-+-.._...._ _ _ _ _ _ _ _ _1 - - - - - - - + - - - - - - I

0,8 i-----.....--t----"'o;:-~........--t------1--------+--------l

0,7 ------i---.----...,..-,,..-,-------,1-------+------1

0,6 f-----+---_..::::,,,..,i=-;=...""2"-~--.!:------l------l
log(N)

15 20 25
c)

0,8 1------!-'""'""';:::::--':=........::="""""'~=------l------l

0,7 L_ _ _.....J._ ___::::.::::b;;:::::::~::::;;;;;:::b._ _ _....,ll~og~(N)
O 5 10 15 20

d)

Fig. 14.41. (continuare) Numărul echivalent de cicluri pentru verificarea betonului

14.8.5. Prevederi suplimentare pentru verificarea la fortă tăietoare
'

În cazul elementelor la care nu este necesar calculul armăturii transversale la starea

limită ultimă, betonul rezistă la fenomenul de oboseală indus de forta tăietoare dacă sunt
îndeplinite condiţiile:
'

IvEd,maxl ::;[o,5 + 0,41 VEd,min']::; 0,9 pentru VEd,min ~ o
I IVRd,cl
VRd,cl VEd,max

<[IVEd,maxl 05 _ ,VEd,min'] pentru VEd,min < o

I IVRd,cl - , VRd,cl VEd,max

unde: VEd,max reprezintă maximul valorii de calcul a forţei tăietoare în combinaţia frecventă

a acţiunilor;
VEd, min - minimul valorii de calcul a forţei tăietoare în combinaţia frecventă a acţiunilor;

VRd,c - forţa tăietoare capabilă a unui element fără armătură specifică pentru preluarea

forţei tăietoare, conform relaţiilor (14.53) şi (14.54).

Dacă la starea limită ultimă este necesar calculul armăturii transversale, atunci pentru
calculul la forţa tăietoare la starea limită de oboseală înclinarea diagonalei comprimate se
poate obţine din relaţia:

tg 0 fat =JtiJj::; 1,0

ap. 14. Normele europene EC2

ecare este unghiul diagonale comprimate faţă de axa elementului din calculul la forţă

ietoare la starea limită ultimă .
Verificarea betonului din diagonalele comprimate la oboseală se face cu dubla condiţie

14.131). Eforturile unitare C5c,max şi C5c,min se calculează cu relaţia (14.67) în care VEd se

ocuieşte cu VEd max, respectiv VEd min. în acest caz, rezistenţa la compresiune a betonului
''

cd,fat se corectează cu factorul de reducere dat de relaţia (14.59).

4.9. LIMITAREA EF.ORTURllOR UNITARE

Eforturile unitare de compresiune din beton trebuie să fie limitate în vederea evitării
surilor longitudinale, micro-fisurării sau deformaţiilor mari din curgere lentă, atunci când
este fenomene pot conduce la efecte inacceptabile pentru buna funcţionare a structurii.

Fisurile longitudinale pot să apară, sub efectul combinaţiei caracteristice a încărcărilor,
că eforturile unitare depăşesc o anumită valoare critică şi pot afecta în mod negativ
rabilitatea elementelor, deoarece sunt paralele cu armăturile longitudinale. În absenţa

or măsuri constructive (creşterea stratului de acoperire cu beton în zona comprimată sau

nfinare cu armături transversale), este recomandabil ca efortul unitar de compresiune să

e limitat la valoarea kifck în zonele elementului aflate în contact cu mediile definite de

ele de expunere XD, XF şi XS prezentate în tabelul 4.3 6 Coeficientul k1 se specifică în
•

ormele naţionale, valoarea recomandată fiind 0,6.
Dacă efortul unitar în beton, sub combinaţia cvasi-permanentă a acţiunilor, este mai

·c decât k2fck se poate presupune dezvoltarea unei curgeri lente liniare, în caz contrar se

a lua în considerare curgerea lentă neliniară. Coeficientul k2 se specifică în normele naţionale,

,valoarea recomandată fiind 0,45.
Efortul unitar de întindere din armătură trebuie să se limiteze pentru a se evita deformaţiile

ecifice inelastice, respectiv valorile inacceptabile ale deschiderii fisurilor sau deformaţiilor.

tuaţiile de mai sus pot fi evitate dacă efortul unitar nu depăşeşte valoarea kJiyk ; dacă

.· ortul unitar este produs de deformaţii impuse, limitarea se face la k4 Jyk . Coeficienţii k3

i k4 se specifică în normele naţionale, valorile recomandate fiind 0,8, respectiv 1,0.

Calculul eforturilor unitare se face presupunând că secţiune transversală este nefisurată
că efortul unitar de întindere din încovoiere nu depăşeşte valoarea fct,ef. Rezistenţa fct,ef

ate fi considerată egală cu fctm sau fctm,f/ după cum evaluarea armăturii întinse minime

ct. 14.10.1) se bazează pe una din cele două valori.

4.10. STAREA LIMITĂ DE FISURARE

Mărimea deschiderii fisurilor trebuie limitată pentru a nu prejudicia funcţionarea
respunzătoare, durabilitatea construcţiilor sau pentru a nu afecta aspectul exterior.

Controlul fisurării se face pentru eforturile rezultate din combinaţia cvasipermanentă a
ţiunilor (pct. 14.1.5).

Clasele de expunere din tabelul 4.3 corespund celor dinprEN 1992-1-1

468 BETON ARMAT

Valoarea limită pentru deschiderea fisurilor Wmax se stabileşte în funcţie de destinaţia şi
natura structurii, precum şi de costurile ce decurg din limitarea deschiderii fisurilor. Valorile

limită urmează să fie stabilite în normele naţionale, pentru elementele djn beton armat

recomandându-se cele din tabelul 14.15, în funcţie de clasele de expunere. In absenţa unor
cerinţe specifice (de exemplu, impermeabilitatea), limitarea deschiderii fisurilor elementelor
din beton armat în combinaţia cvasipermanentă a încărcărilor la valorile din tabelul 14.15 va
asigura, în general, durabilitatea şi aspectul corespunzător al elementelor. În cazul elementelor
aflate în medii cu ioni de clor şi la care are loc o alternanţă umezire-uscare (clasa de expunere

XD3), se vor lua măsuri speciale în concordanţă cu situaţia concretă.

Tabelul 14.15. Valori recomandate pentru Wmax

Clasa de XO,XCl XC2, XC3, XC4 XDI, XD2, XSI, XS2,
ex unere XS3

Wmax(mm) 0,4 0,3

Notă: pentru clasele de expunere XO şi XCI, fisura nu afectează durabilitatea, limita fiind stabilită din
condiţii referitoare la aspectul elementului; valoarea limită poate fi mărită dacă nu există condiţii

referitoare la aspect

14.10.1. Armarea minimă

Dacă condiţiile impun controlul fisurării, este necesară o cantitate minimă de armătură
în zona întinsă în scopul asigurării acestui control. Cantitatea minimă de armătură se obţine
din condiţia de echilibru dintre forţa de întindere din beton înainte de momentul fisurării şi
forţa de întindere din armătură, corespunzătoare curgerit armăturii sau unui efort unitar mai
mic, dacă se urmăreşte reducerea deschiderii fisurilor. In cazul secţiunilor T şi chesonate,
calculul armăturii minime se face separat pentru inimă, respectiv pentru aripile secţiunii.

Aria minimă de armătură se determina cu relaţia:

(14.134)

unde: Ac, este aria secţiunii betonului întins, chiar înainte de fisurare;

crs - efortul unitar maxim admis în armătura întinsă, imediat după fisurarea betonului

întins; se poate accepta valoareafyi,; totuşi, o valoare mai mică ar putea fi necesară pentru

a se asigura satisfacerea condiţiei referitoare la diametrul maxim al armăturii sau
cea referitoare la distanţa maximă dintre bare, ambele funcţie de wk (tab. 14.17);

fct,ef - valoarea medie a rezistenţei efective la întindere a betonului în momentul

apariţiei primei fisuri; fct,ef = fctm (sau fct,ef = fctm,Jl ), dar dacă fisura apare mai

devreme de 28 zile, fct,ef = fctm {ţ);

k - coeficient care ia în considerare efectele distribuţiei neuniforme a eforturilor unitare

c1finiţiale ce apar în cazul secţiunilor T sau chesonate; k = 1,0 pentru inimi

Cfh ~ 300 mm sau aripi cu lăţimea < 300 mm; k = 0,65 pentru inimi

h ~ 800 mm sau aripi cu lăţimea > 800 mm; interpolarea este admisă pen:tru val

intermediare; în ·Cazul ·secţiunilor dreptnnghiulare k = 1,0 .;

kc - coeficient care ia în ·considerare tipul solicitării, in momentul premer;gător ap

fisurilor (tabelul 14.16).

. 14. Normele europene EC2 469

Semnificaţia coeficienţilor din tabelul 14.16 este următoarea:
crc = NEd/bh - efortul unitar me<;liu din partea considerată a secţiunii;
N Ed - forţa axială în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor, acţionând asupra părţii
de secţiune luată în considerare (pozitivă pentru compresiune);
h* -valoare de referinţă; h* =h pentru h<l,Om; h* =1,0mpentru h~l,Om;

k1 = 1,5 pentru compresiune; k1 = 2h*/3h pentru întindere;

Fc, - forţa de întindere din tălpile secţiunii în momentul premergător fisurării sub efectul

momentului încovoietor de fisurare, calculat pe baza rezistenţei fct,ef.

.10.2. Controlul fisurării fără calcul direct

În cazul plăcilor din beton armat, solicitate la încovoiere fără forţă de întindere
ificativă, nu este necesar calculul deschiderii fisurilor dacă grosimea plăcii nu depăşeşte

Omm şi dacă sunt respectate prevederile de alcătuire [13].
În cazurile în care în element este dispusă cantitatea minimă de armătură, rezultată din
ţia (14.134), deschiderea fisurilor va avea valori acceptabile dacă:
fisurile sunt produse de deformaţiile împiedicate, dacă diametrul barelor nu depăşeşte

valorile maxime din tabelul 14.17; crs este efortul unitar în armătură imediat după fisurare;

fisurile sunt produse de încărcări, dacă diametrul barelor sau distanţa dintre acestea nu
depăşesc valorile maxime din tabelul 14.17; efortul unitar <J8 se calculează pe secţiunea

fisurată în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor.

Tabelul 14.16. Coeficientul kc

Încovoiere cu/fără forţă axială

lS ţ' Tălpile întinse ale
ec mne sectiunii T sau chesonate
dreptnnghm' 1ara- Inima sectiunii T sau
che;onate

kc =0,4 1 - -(-J c - ,h_* ~I

[ k1fc1,ef h

Tabelul 14.17. Valori maxime pentru diametrul armăturilor şi distanţa dintre acestea

rtul unitar în armătură Diametrul maxim al armăturii Distanţa maximă dintre
(Js (N/mm2) (mm) pentru wk = armături (mni) pentru wk =

0,4mm 0,3mm 0,2mm 0,4mm 0,3mm 0,2mm

160 40 32 25 300 300 200

200 32 25 16 300 250 150

240 20 16 12 250 200 100

280 16 12 8 200 150 50

320 12 IO 6 150 100

360 IO 8 5 100 50

400 8 6 4

450 6 5

470

relaţ_ul:'oarl:oarea maximă a diametrului obţinută din tabelul 14.17 se poate modifica pe b
llZâ

"' ='f's ,t,* fct,,ef (khch_crd) - în cazul în care axa neutră este plasată în secţiune;
29 2
'f's

"' ="'• fc2t,,9ef (hhe_, d) - în cazul în care secţiunea este fisurată în întregime
'f's 4
'f's

în care: <l>s este diametrul maxim corectat al barei;

<1>; -diametrul maxim al bare obţinut din tabelului 14.17;

kc - conform tabelului 14.16;

he, - înălţimea zonei întinse în momentul premergător formării primei fisuri
luân~~ c?nside~~ şi fo~ ~?lă.în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor;
'

d -- m~lţimea utila a secţiunu pană la centrul de greutate al celei mai îndepărtate

armatun.

La_~ i l e cu înălţime ~tală mai mare de 1,0 m, la care armătura principală longitudinală

rezul~tă dm calculul de rezistenţă este concentrată pe o porţiune redusă a înălţimii, pentru a

menţme sub contr~l s!_area de fisurare, se prevede o armare suplimentară longitudinală e
A~~tă :irmătură plasată şi distribultăfe~le lat:rale ale ~n.•
va fi în interiorul etrierilor va fi

uniform mtre armatura mtmsa şi axa neutră. Aria secţiunii de armătură nu va fi mai mică

d~cât cea rezultată din relaţia ~~4.1~4), ~optând k = 0,5 şi crs =/yk. Distanţele dintre bare şi

?i~etrul aces!o~a ~ot fi stabilit~ şi cu aJutorul tabelului 14.17, considerând solicitarea de
mtm~er~ ce~~c~ ş~ ~ ef'.ort urutar egal cu jumătate din valoarea admisă pentru armătura
longitudmala mtmsa pnncipală.

14.10.3. Calculul deschiderii fisurilor

Valoarea deschiderii fisurilor se poate obţine din relaţia: (14.135)
wk =sr,max(esm -!:,cm)

unde: s,,max este distanţa maximă dintre fisuri;

esm - deformaţia specifică medie în armătură sub combinaţia cvasipermanentă a
acţiunilor, inclusiv efectul deformaţiilor impuse şi luând în considerare contribuţia
betonului întins dintre fisuri;

ecm - deformaţia specifică medie a betonului întins dintre fisuri.

Mărimea esm - ecm se poate calcula cu relaţia:

esm -!:,cm cr - kl ,ct,ef\'f-1-ef1 +ae) ~ O6 (Js (14.136)
S I

Es , Es

unde: crs este efortul unitar în armătura întinsă, calculat în stadiul fisurat;

ae =Es/Ecm;

PeJ =As/Ac,ef;
hc,ef =min [2,5(h-d); (h-x )/3;h/2] conform figurii 14.42;

. 14. Normele europene EC2 471

A .r - aria efectivă de beton întins (aria de beton care înconjoară armătura întinsă) de
c,eJ

înăltime h .r • dacă toată secţiunea este fisurată, aria efectivă se calculează separat
, c,eJ ,

pentru fiecare margine în parte (fig. 14.42c);

k - coeficient care ia în considerare influenţa duratei de încărcare; k1 =0,6 pentru
Dîna1ccăărcdăirsitdaneţsacdurinttăreduarratmăă;tukri1
=0,4 pentru încărcări de durată. distanţa maximă
cu 5(c+q,/2),
este mai mică sau egală

ntre fisuri poate fi calculată cu relaţia:

s,,max =3,4c+0,425k1k2q,/pef (14.137)

q, este diametrul barei; dacă barele au diametre diferite, se va utiliza un diametru

echivalent determinat pe baza relaţiei principiale 2 n fiind
<Pech = I,n(j, /r,nq,,

numărul barelor de diametru q,;

c- -grcooseimficeiaensttrcaatureluţiidnee caocnotpdeerirperocpuribeteătţoinle; de aderenţă ale armăturilor; pentru barele
k
1
înaltă aderenţă (cu profil periodic) k1 =0,8; pentru barele netede k1 = 1,0;
de

k - coeficient care ţine cont de distribuţia deformaţiilor specifice; pentru încovoiere
2
k =0,5 ; pentru întindere centrică k2 =1,0 ; pentru întindere excentrică
ske22cţ=iu(nei1i,+dEe2te)/r2mei1n,ateEp1e extremităţile
şi e2 < E1 fiind deformaţiile specifice, la
(fig.14.42c).
secţiunea fisurată

__J_:5 . /Ac2,ef f, 2

'.~-[J~c,ef h

1 ~ t;;:;::;Jho.o

,__ __.
d~-- dJI r41 41 41 41
h.,,,1
• .•. • • V ::I ~ _L f,

I

a) grindă b) placă Ac,ef A I
cl,ef c) element întins

Fig. 14.42. Aria efectivă întinsă de beton

Dacă distanta dintre armături este mai mare decât 5(c + q,/2) (fig.14.43), se poate calcula
o limită superioară a deschiderii fisurilor, pe spaţiul dintre armături, pornind de la:

s, max = l,3(h-x) (14.138)

Fată de rezultatul conferit de relaţiile (14.137) şi (14.138), trebuie subliniat faptul că
pentru durabilitatea elementelor este mai importantă deschiderea fisurilor în dreptul armăturii,
de acÎeneacavzeurlifeicleamreeanttreelbouribeidfăimcuetnăsîinonparilme ucul raârnmdătpuerbăadziaspreulsaăţioeirt(o1g4o.n1a3l7)e.ste posibil ca între
armături şi fisuri să existe un unghi mai mare decât 15°, caz în care distanţa dintre fisuri se

poate evalua cu relaţia:

-1

( 1s,max = -c-os-8 +-si-n8-
sr max.y sr max,z

472

în care 0 este unghiul dintre armătura de pe direcţia y şi direcţia efortului unitar principal
de întindere, s,max,y şi s,max,z determinându-se conform celor de mai sus.

-·-r-·-------1-------------------------------------------- .----------------- ax.a neutră

-h-1xţ ' ~·I
I
~

A - estimare pe baza
relaţiei (14.137)

B B - estimare pe baza
relaţiei (14.138)
5rc+~i~)

Fig. 14.43. Variaţia deschiderii fisurii în raport cu distanţa dintre bare

Aplicaţia numerică 14.22. Verificarea la fisurare a unei plăci de planşeu monolit

Se cere verificarea la fisurare a unei plăci cu grosimea de 16 cm, care este parte
componentă a unui planşeu dintr-o clădire administrativă. Clasa de expunere este XCI,
căreia îi corespunde deschiderea maximă a fisurilor wmax = 0,4mm (tabelul 14.15). Materiale:

beton de clasă C25/30 şi armătură din oţel PC52. Armarea rezultată în urma dimensionării
la starea limită ultimă este <1>12/19 cm (A, =5,95 cm2/m). Grosimea stratului de acoperire
cu beton este de 1,5 cm, rezultând înălţimea.utilă d = 16 -1,5 - 0,6 = 13,9 cm. În combinaţia

cvasi-permanentă a rezultat momentul încovoietor M Eqp = 12,6 kNm.

fck = 25 N/mm2; fcd = ace fck 25 = 16,7 N/mm2; fctm = 2,6 N/mm2;
= 1,0
Yc 1,5

Ecm = 31000 N/mm2; q> (00, t0 ) = 3,0;

f yk = 345 N/mm2'• f yd = !yk = 345 "'300 N/mm2'· E = 210000N!mm2·

Ys 1,15 s '

Calculul armăturii minime
Aria minimă de armătură se obţine din relaţia (14.134), folosind următoarele valori:
Act = 0,5bh = 0,5 · 1000 · 160 = 80000 mm2;

crs = Jyk = 435 N/mm2;

fct,ef "'fctm = 2,6 N/mm2- pentru t = 28 zile;

k = 1,0; kc = 0,4 deoarece ere= O;
A,,min = kckfct,efAc1 /crs = 0,4· l,O· 2,6· 80000/435 = 241 mm2= 2,41 cm2/m;
As = 5,95 > As,min = 2,41 cm2/m.

ap. 14. Normele europene EC2 473

Calculul eforturilor unitare în secţiuneafisurată
Calculul eforturilor unitare se face pe baza diagramei din figura Apl.14.22.
Starea de eforturi unitare în stadiul fisurat este în corelaţie cu deformaţiile totale ale
elementului (inclusiv efectul curgerii lente) în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor. Din
,acest motiv, eforturile unitare se calculează pe baza valorii efective a modulului de elasticitate
al betonului, relaţia (14.142):
Ec,ef = Ecm/ [1 +q,(00,to)J= 31000/(1 + 3,0)= 7750 N/mm2

în funcţie de care rezultă ae,ef = Es/Ec,ef = 210000/7750 = 27,l

Fig. Apl.14.22.
Înălţimea zonei comprimate se obţine din ecuaţia de momente statice în raport cu ax.a

neutră:

0,5bx2 -ae,efA.{d-x)= O

Pentru x = ţ d rezultă ecuaţia:

a cărei rădăcină este:

ţ = ae,e[P(~l + 2/ae,e[P -1)= 27,1 ·0,0043{~1 + 2/27,1 ·0,0043 -1)= 0,38

în care p = A /bd = 595/1000· 139 = 0,0043 este coeficientul geometric de armare.
8
X= ţd = 0,38·139 = 52,8mm
Efortul unitar în armătură este:

MEqp 12,6·106 =1744N/mm2

crs
A.(d-x/3) 595 · (139 - 52,8/3) '

Verificarea distanţei maxime dintre bare
Distanţa efectivă dintre bare (190 mm) este mai mică decât valoarea maximă admisă
(300 mm), obţinută din tabelul 14.17 în funcţie de 0 8 =174,4 N/mm2 şi wmax =0,4mm,
ceea ce indică lipsa unor deschideri excesive ale fisurilor. Totuşi, în mod exemplificativ, în
cele ce urmează, se prezintă calculul deschiderii fisurilor conform relaţiei (14.137).

Calculul deschiderii fisurilor

s,,max = 3,4c + 0,425k1k2<1>/Pe1 = 3,4 · 15 + 0,425 · 0,8 · 0,5 · 12/0,0167 = 173,2 mm

474 BETON ARMAT

Pentru utilizarea relaţiilor (14.135) şi (14.136) sunt necesare următoarele valori:
- k1 = 0,4 pentru încărcări de lungă durată;
- înălţimea efectivă a zonei întinse de beton:

2,5 (h-d)= 2,5 · (160-139)= 52,5

1hc,ef =min (h-x)/3=(160-52,8)/3=35,7 j~deci hc,ef =35,7mm
h/2 = 160/2 = 80

- aria efectivă de beton întins Ac,ef = bhc,ef = 1000 · 35,7 = 35700 mm2

- coeficientul geometric efectiv de armare Pe/= As/Ac,ef = 595/35700 = 0,0167

- coeficientul ae pentru momentul apariţiei primei fisuri ( t = 28 zile):

ae = E./Ecm =210000/31000 = 6,77
- diferenţa tsm - tem rezultă din relaţia ( 14.136)

cr.-ktfct,ef~~ +ae) = 177,4-0,4·2,6•(0,016T1 +6,77Loooo5

max Es 210000 '

lO6~=0 6 174,4 =0 000498
' Es ' 210000 '

deci tsm - tem = 0,0005.
Valoarea deschiderii fisurilor este:

=Wk = sr,ma,/tsm -tem)= 173,2 · 0,0005 0,087 mm< Wmax = 0,4 mm

Aplicaţia numerică 14.23. Verificarea la fisurare a unei grinzi prefabricate

Se cere verificarea la fisurare a unei grinzi prefabricate cu secţiune T (fig. Apl.14.23) care
face parte din acoperişul unei construcţii industriale încadrată în clasa de expunere XCI.
Din tabelul 14.15 rezultă deschiderea maximă a fisurilor wmax = 0,4 mm. Încărcările se

aplică la 90 de zile de la turnarea betonului. Materiale: beton de clasă C25/30, realizat cu
ciment cu întărire normală (N) şi armătură din oţel PC52. În combinaţia cvasipermanentă !l
rezultat momentul încovoietor M Eqp = 112,l kNm. Pe baza calculului la starea limită ultimă,

în secţiune s-au prevăzut 5<!>20 ( A. = 15,70 cm2) cu dispunere pe două rânduri (3<!>20 + 2<!>20).

fck = 25 N/mm2; fcd = ace fck = 1,0 25 = 16,7 N/mm2;

. Yc 1,5

fcm = fck + 8 = 33 N/mm2; fctm = 2,6 N/mm2; Ecm = 3 IOOO N/mm2;

Jyk = 345 N/mm2; fyd = fk = 345 = 300 N/mm2; Es =210000 N/mm2•
-
___L_
Ys 1,15

Corecţia caracteristicilor betonului datorită timpului (conform punctului 14.2. l .2)

~cc(t ) = exp [s {1- ~28/t )]= exp [0,25 · (1 - ~28/90 )]= e 0 111 = 1,117;
•

ap. 14. Normele europene EC2

fcm (t) = ~cc (t )fcm = 1,117 · 33 = 2

36,9 N/mm ;

fctm(t )= [ ~ c ) t )]a fctm = 1,117 2 3 • 2,6 = 2,8N/mm2;
/

Ecm(t )= [rem (t )/fcm] 0•3Ecm = fl3cc(t )] 0•3Ecm = 1,117°'3 · 31000 = 32046 N/mm2.

Caracteristica curgerii lente se obţine din figura 14.2 în funcţie de:
- vârsta betonului la momentul încărcării t0 = 90 zile;

- utilizarea unui ciment cu întărire normală (N);

- aria secţiunii Ac = 25 · 55 + 20 ·15 = 1675 cm2;

- perimetrul supus uscării u = 45 + 2 · 55 + 25 + 2 · 1O= 200 cm;
- grosimea fictivă h0 = 2Ac/u = 2 ·1675/200 = 16,75 cm;

În funcţie de valorile de mai sus, din figura 14.2 se obţine cp(00,t0 )= 2,39.

Armarea minimă se determină cu relaţia (14.134), utilizând valorile ce urmează:
- poziţia centrului de greutate al secţiunii nefisurate în raport cu marginea superioară:

25:552/2+20·15 2/2 = 23,9 cm;
25 .55 + 20· 15

- poziţia centrului de greutate al secţiunii nefisurate în raport cu marginea inferioară:

xG =55-23,9=31,1 cm;

- Ac,= 311 · 250 = 77750 mm2

- crs = Jyk = 435 N/mm2
- fct, ef = fctm (t) = 2,8 N/mm2 - pentru t =90 zile

- k = 0,825 valoare obţinută prin interpolare în funcţie de înălţimea grinzii

- kc = 0,4 deoarece crc = O

22

- As,min = kckfct,e[Ac1/crs = 0,4·0,825 · 2,8· 77750/435 = 165 mm = 1,65 cm

A8 = 15,70 > As,min = 1,65 cm2

Calculul efortului unitar crs în secţiunea fisurată

Eforturile unitare în stadiul fisurat sunt în corelaţie cu deformaţiile totale ale elementului
(inclusiv efectul curgerii lente) în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor. Din acest motiv,
eforturile unitare se calculează pe baza valorii efective a modulului de elasticitate al betonului
pe baza relaţiei (14.142):

Ec,ef = Ecm/ [1 + cp(00,to)]= 31000/(1 + 2,39)= 9145 N/mm2;

=în funcţie de care rezultă ae,ef = Es/Ec,ef = 210000/9145 23.

Înălţimea zonei comprimate se obţine din ecuaţia de momente statice în raport cu axa
neutră (fig. Apl.14.23b):

0,5bx2 -0,5(b-bJ(x-h1 )2 -ae,e[As(d-x)= O

0,5 -450x2 -0,5 (450-250)(x-150j-23 ·1570· (497-x)= O ~x =217 mm

476 BETON ARMAT
Efortul unitar în armătură se obţine din relaţia:
(1 =M-Eq-p
s Asz

cu z=d-x+ YFc

Acz = (b - bw) (x - hr) c)

b)

Fig. Apl.14.23.

Poziţia forţei Fc faţă de axa neutră se obţine din relaţia principială:

fX
crcybyydy
_ _,,o_ _ __

fYFc - x
crcyhyydy
o

în care Ic şi Se reprezintă momentul de inerţie, respectiv momentul static al zonei comprimate
Ac în raport cu axa neutră; având în vedere figura Apl.14.23b se obţine:

45·21,7 3 20·(21,7-I5j =151270cm4·
3'
3
S = 45·21,72 20, (21 7 - 15\12 = 10146 cm3•

C2 '2'

YFc = 151270/10146 = 14,9 cm; z = 49,7-21,7 + 14,9 = 42,9 cm;

as= 112,l · 106/1570 · 429 = 166,4 N/mm2

Verificarea diametrului maxim al barelor

În funcţie de 0 8 =166,4 N/mm2 şi wmax =0,4mm, din tabelul 14.17, prin interpolare

liniară, se obţine cj>* = 38 mm.

Deoarece diametrul efectiv al armăturilor ( cj>20 ) este mai mic decât valoarea maximă
admisă, chiar necorectată, fisurile nu vor avea deschideri excesive. Totuşi, în mod ilustrativ,
în cele ce urmează, se prezintă calculul deschiderii fisurilor.

ap. 14. Normele europene EC2 477

Calculul deschiderii fisurilor

s,,max = 3,4c + 0,425k1k2<!>/Pef = 3,4 · 25 + 0,425 · 0,8 · 0,5 · 20/0,0566 = 145 mm

în care s-au avut în vedere grosimea stratului de acoperire cu beton c = 25 mm, k1= 0,8
(pentru bare de înaltă aderenţă) şi k2 = 0,5 (pentru încovoiere), precum şi coeficientul

efectiv de armare pef , determinat conform celor de mai jos:

l2,5(h - d) = 2,5 · (550 - 497) = 132,5 !~deci hc,ef=lllmm
• hc,ef=min (h-x)/3=(550-217)/3=111

h/2 = 550/2 =275

• Âc,ef = hhc,ef = 250 · 111 = 27750 mm2

- Pe[ = As/Ac,ef = 1570/27750 = 0,0566.

Pentru utilizarea relaţiilor (14.135) şi (14.136) sunt necesare următoarele valori:
- k1 = 0,4 pentru încărcări de lungă durată;
- coeficientul a.e se determină pentru momentul aplicării încărcării t = 90 zile

O.e = Es/EcmV}=210000/32046 = 6,55;
- diferenţa Esm -€cm rezultă din relaţia (14.136):

(1s -kJct,ef~;} +a.e) 166,4-0,4. 2,8. (0,0566-1 + 6,55) = 0 00066

max E 210000 '
s

106~=06 166,4 =0000475
' Es ' 210000 '

deci esm - €cm = 0,00066.

Valoarea deschiderii fisurii este:

=wk = s,,max(esm - €cm)= 145 · 0,00066 0,096 mm< wmax =0,4 mm.

14.11. STAREA LIMITĂ DE DEFORMAŢIE

Deformaţiile elementelor structurale trebuie să asigure buna funcţiQnare sau aspectul
acestora, scop în care valorile limită ale săgeţilor se vor stabili în funcţie de natura structurii,
integritatea elementelor nestructurate (pereţi despărţitori uşori, geamuri, placaje ale pereţilor,
utilităţi sau finisaje) sau buna funcţionare a echipamentelor şi/sau aparatelor susţinute de
structură. Deformaţiile elementelor structurale ale planşeelor de acoperiş, de tip terasă, se
vor limita astfel încât să se evite băltirea apei pe acoperişurile plate.

Se consideră că aspectul şi funcţionarea generală a structurii nu vor fi afectate în sens
defavorabil, dacă săgeata calculată fa unei grinzi, plăci sau console supuse la încărcări

cvasipennanente nu depăşeşte valoarea/z;m =L/250, L fiind deschiderea elementului. Deformata

în raport cu linia reazemelor poate fi redusă prin utilizarea contrasăgeţilor, realizate la
turnarea elementului, dar îară ca acestea să depăşească L/250.

478

.C:reşterea semni~~ativă ~ săgeţii, 4f, produsă după execuţia unor elemente nestructurate

sens1b1le la deformaţu (pereţi de compartimentare, finisaje, etc.) poate cauza deteriorarea
acestor categorii de elemente. Limitarea creşterii săgeţii t:.f, sub încărcările cvasipermanente

la valoarea t:.fum = L/500 este considerată satisfăcătoare pentru cele mai multe de situaţii d~

acest fel. Se pot alege alte valori în funcţie de sensibilitatea elementelor nestructurale aflate
în contact cu elementul structural respectiv.

Controlul deformaţiilor, în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor (pct. 14.1.5) se

!:if,poate face prin limitarea raportului f / L sau prin compararea săgeţii!, sau a variaţiei cu

anumite valori limită.
Deformaţia reală a elementului poate diferi faţă de cea calculată, dacă momentul

încovoietor produs de încărcări este apropiat de momentul încovoietor de fisurare. Aceste
diferenţe depind de factori ca: variabilitatea proprietăţilor materialelor, condiţiile de mediu
istoricul aplicării încărcărilor, caracteristicile reale ale reazemelor, caracteristicile terenului
de fundare, etc.

14.11.1. Contro. lul deformat' morfără calcul

În mod normal, săgeata nu va depăşi limitele indicate mai sus, dacă raportul dintre

deschiderea elementului L şi înălţimea utilă a secţiunii transversale d nu depăşeşte anumite
valori limită. Verificarea prin calcul este necesară pentru elementele la care această limită
nu este satisfăcută sau pentru cazurile unde se aplică alte limite. Valoarea limită a raportului
L/d se poate estima utilizând relaţia (14.139) sub una din formele: .

(H. =K[11+1,sg;-P; +3,~P;-f] a.că psp, (14.139a)

~ ~( dacă p > p0 (14.139b)
~) = K[l l + 1,5..{1;; +J_ fck p' ]

~ p-p 12 ~

unde: K este coeficientul care ţine cont de sistemul structural, fiind specificat în
normele naţionale; valorile recomandate sunt date în tabelul 14.18;

Po = ..{1;;/103 - coeficientul de armare de referinţă;

P , p' - coeficienţii de armare pentru armătura întinsă, respectiv comprimată, necesară

pentru starea limită ultimă la mijlocul deschiderii (sau pe reazemul consolei).
Relaţia (14.139) a fost stabilită în stadiul fisurat corespunzător stării limită de serviciu,

pentru un efort unitar crs egal cu 31 ON/mm2, ceea ce, aproximativ, corespunde la fyk = 500

N/mm2• Dacă crs =f. 310 N/mm2, valoarea obţinută din relaţia (14.139) trebuie multiplicată

cu 31 O/crs • Se consideră că se poate accepta:

310/crs = (500/Jyk )(As,ef/ As,nec) (14.140)

unde As,nec este aria necesară din calculul la starea limită ultimă, iar As,ef aria efectivă dispusă

în secţiune.
Pentru secţiunile în formă de T, la care raportul între lăţimea tălpii şi cea a inimii
depăşeşte 3, valoarea obţinută din relaţia (14.139) trebuie multiplicată cu 0,8.

ap. 14. Normele europene EC2 479

Pentru planşeele cu grinzi şi plăci cu deschideri L (m) mai mari de 7,0 m, care suportă
ereţi despărţitori expuşi la deteriorări din săgeţi excesive, valoarea obţinută dţn relaţia
14.139) se corectează prin multiplicare cu 7/L.

În cazul planşeelor dală cu deschideri L (m) mai mari de 8,5 m, care suportă pereţi
despărţitori expuşi la deteriorări din săgeţi excesive, valoarea obţinută din relaţia (14.139)
trebuie multiplicată cu 8,5/L.

Pentru cazurile comune, caracterizate de C30/37 şi crs =310N/mm2, şi diferite tipuri

de sisteme structurale, în tabelul 14.18 se dau valorile raportului (L/d )um . La alegerea acestui

raport trebuie avut în vedere gradul de solicitare al betonului, apreciat prin procentul de armare
p = 100 As/bwd ; pentru alte valori ale procentului de armare se face interpolare liniară.

Tabelul 14.18. Valorile de bază ale raportului Ltd pentru elemente
fără forţă axială de compresiune

Beton puternic Beton slab

solicitat solicitat
Sistemul structural K p=l,5% p=0,5%

Grindă simplu rezemată sau placă simplu rezemată, 1,0 Li 20
annată e una sau două directii 14
1,3
Deschiderea de margine a unei: 18 26
1,5
- grinzi continue 1,2 20 30
- plăci continue armate pe o direcţie 0,4
- plăci continue armate pe două direcţii; pentru 17 24
68
verificare se ia în considerare direc ia scurtă
Deschiderea interioară a unei:

- grinzi continue
- lăci continue armate e una sau două direc ii
Placă rezemată direct pe stâlpi (planşeu dală);
entru verificare se ia în considerare deschiderea Iun ă

14.11.2. Controlul deformaţiilor prin calcul

14.11.2.1. Modelul de calcul

Se acceptă o metodă simplificată pentru calculul deformaţiilor, bazată pe constatarea că
elementul îşi consumă o parte din deformaţii în timp ce se află în stadiul nefisurat, iar o altă
parte, în stadiul fisurat. Ca ipoteză de calcul se definesc următoarele două situaţii limită:

• stadiul nefisurat, când armătura şi betonul se comportă elastic, atât la întindere cât şi la
compresiune;

• stadiul de fisurare completă, când influenţa betonului întins este neglijată.
Elementele din beton armat au o comportare intermediară între cele două situaţii. Pentru

elementele supuse preponderent la încovoiere, o bună apreciere a comportării reale este dată
de relaţia (14.141), care ţine seama de faptul că o parte a elementului se află în stadiul nefisurat,
iar alta în stadiul fisurat (fig. 14.44a), realizând o interpolare între cele două stadii:

480 BETONARMAî

(14.141)

unde: a este parametrul considerat, care poate fi deformaţie specifică, săgeată, curbură, rotaţie,

moment de inerţie, moment static etc.;
a.1, a.11 - valorile parametrului pentru stadiul nefisurat, respectiv pentru stadiul fisurat;
~ r3(::r- distribuţie, ţine porţiunii=1-
coeficient de care cont de ponderea fisurate

a elementului (extinsă pe o lungime ~s,) faţă de cea nefisurată (fig. 14.44a); dacă

elementul este nefisurat pe toată lungimea lui, atunci ~ = O;

= =13 1 pentru o singură aplicare a încărcării de scurtă durată; 13 0,5 pentru încărcări

de durată sau încărcări repetate;

crs, - efortul unitar în armătura întinsă imediat după apariţia primei fisuri.
as - efortul unitar în armătura întinsă, calculat în stadiul fisurat;

Raportul crsr / crs poate fi înlocuit cu raportul Mer I MEqp pentru încovoiere, respectiv cu

Ncr I NEqp pentru întindere axială, Mer şi Ne, reprezentând momentul încovoietor de fisurare,
respectiv forţa axială de fisurare, iar MEqp şi NEqp eforturile secţionale în combinaţia

cavsipermanentă.

I nefisurat Sr ~1

I~II fisurat

1 I• + ~1-·--+·-+-~
~s/2 (1-~)Sr ~Sr (1-~)Sr ~Sr /2
1. s, ,I. s, ~I

a) b)

Fig. 14.44. Model pentru calcul deformaţiilor

Calculul deformaţiilor produse de încărcări se face pe baza modelului din figura 14.44b,
presupunând că secţiune transversală este fisurată dacă efortul unitar de întindere din încovoiere
depăşeşte valoareafc,.ef Rezistenţafc1.e1 poate fi considerată egală cuferm saufc1mfl după cum
evaluarea armăturii întinse minime (pct. 14.10.1) se bazează pe una din cele două valori.

Efectul curgerii lente poate fi prins în calcul prin utilizarea unei valori efective a modului
de elasticitate al betonului, conform relaţiei:

E - Ecm (14.142)

c,ef - l + <p(=,to)

în care cp(=,t0 ) este coeficientului curgerii lente (pct. 14.2.1.3).

Efectul contracţiei se ia în considerare prin curbura:

. 14. Normele europene EC2 481

(14.143)

Ecs este deformaţia specifică liberă din contracţie (pct. 14.2.1.3);
Ss - momentul static al ariei armăturii în raport cu centrul de greutate al secţiunii;
Ic - momentul de inerţie al secţiunii de beton;

Ia. =Es Ec,ef

Mărimile Ss şi Ic se determină atât pentru stadiul fisurat, cât şi pentru cel nefisurat,
loarea finală a curburii din contracţie fiind stabilită pe baza relaţiei (14.141 ).

4.11.2.2. Calculul practic al deformaţiilor

Estimarea deformaţiilor, fie printr-o analiză riguroasă, fie printr-una simplificată, se
azează pe curbura elementului, care este rezultatul însumării dintre curbura produsă de
încărcări şi cea generată de contracţia betonului. Valorile celor două curburi sunt rezultatul
ltplicării prealabile a relaţiei (14.141).

Pentru determinarea riguroasă a deformaţiilor se calculează curbura într-un număr
orespunzător de secţiuni în lungul elementului, săgeata obţinându-se prin integrare (fig.
14.45):

f =Lf-l(x)M'(x)dx

or

AB

' ţ ·~ L f
kit\! MA
MB/Î\. Î

. "-... I / LU1M. ~wl
iI ~ '
(1/r)A M (I/r)B 1
VK /t'JIT<J
l '-.. 6hiJ7 !L2J
I~'
iI!
! .-F= 1
!
25. .6. ;
!i
~!jM'(x)j

Fig. 14.45. Calculul deformaţiilor

482

. Metoda simf!_lific~tă porneşte de la afinitatea dintre diagrama momentului înc

ş1 cea a deformaţnlor. In cazul elementelor încovoiate, săgeata se poate calcula cu rel

f =SMEqpL2
EI

Având în vedere:

.!_= MEqp

r EI

se obţine:

f=SL2 .!_

r
Coeficientul S depinde de condiţiile de rezemare ale elementului şi distribuţia încărc
determinându-se din figura 14.46.

GRINZI SIMPLU GRINZI CONTINUE q

qk, ·1REZEMATE

ţk.LÂ~5-/48

q~

li h

~ 1 / 1 5 6'

~li aL h I'~~ CONSOLE

L "I 1: aL Ilq

~ "I L .
3-4a2
S=---
A)48(1-a)

li

S~M ~a(4-a)

12

Fig. 14.46. Coeficientul S pentru calculul simplificat al deformaţiilor

Modul practic de calcul este ilustrat prin aplicaţia numerică 14.24, analizându-se două
variante şi anume, interpolarea rotirilor (mai laborioasă), respectiv interpolarea săgeţilor
(mai expeditivă). Din compararea săgeţilor obţinute prin cele două variante se C0'.1stată că,
practic, s-a obţinut acelaşi rezultat.