Cadar, Ioan - Beton armat - scan

232 BETON ARMAT

beton C16/20 (m, = 1,0 şi R, = 0,95 N/mm2), oţel PC52 (Ra = 300 2 şi 0B37
N/mm )

(Ra =S2e1c0aNlc/umlemaz2)ă pentru etrieri._ . la forţ_a -· . cu rela.ţi.a .
nivelul de solicitare ta1etoare (7.5).

- =__ll__ = 190-103 :::: 1,18

Q bh0R1 300 ·564 ·0,95
Deoarece conform relaţiilor (7.6) şi (7.7) 0,5 < Q < c = 4, rezultă că dimensiunile secţiunii
de beton sunt corect alese, fiind necesar calculul armăturilor transversale pentru preluarea forţei

tăietoare.

5<1>22

2<1>20

=14-"-·-"'-' 4<1>20

~

Fig. Apl.7,3.

Etrierii se aleg conform condiţiilor constructive de Ia punctul 13.7.3:

ae<- 300 mm· I4 600 = 450 mm, respectiv a2 ~ 100 mm; se alege ae = 250 mm.

,

=<l>min "'6 A ~ 0,1·250-300 31,5 mm2; se aleg etrieri cu diametrul <j>8, având
2 ·100
'I' ; e

Ae = 50,3 mm2,· deoarece b < 400 mm etrierii pot fi simpli, deci ne= 2.

Etrierii aleşi sunt c<ja>rSe/2p5l0emacmă .de Ia faţa reazemului pot avea pr01.ecţ1.a pe . ._ cu
Fisurile înclinate 1mzontala s;

valori cuprinse în intervalul dat de relaţia (7.17):

0,5ho = 0,5·564 = 282 mm s; s; s; 2,5ho =2,5-564 = 1410 mm.

Se determină forţa tăietoare capabilă în acest interval, consi~e~d nsuri înc_linate în dreptul
limitelor s; = 282 mm şi s; == 14IO mm, respectiv în dreptul etr1enfor (fig. ApL7.3).
..
Calculul capacităţii portante Qcap în secţiunile înclinate alese se conduce conform relaţulor

de la punctul 7.1.2.2; astfel:

Qcap = Qb + Qe + Qai

0= bhJm1Rr[P -_300-56. 42 ·1,0·0,95M3.'

S; S;

Qe = (nrl)neAemacRa = (nrl)·2·50,3·0,8·210 = 3 (nrl)

16,9·10

3

Qa; = Aa;ma1Ra sina= 2·314·0,8·300·0,707 =106,5·10 N.

·· Icului în secţiuni înclinate 233

laţiile de mai sus, procentul de armare p pentru armăturile longitudinale din zona
<j>22) se calculează cu relaţia:

= 1900·100 = I 123 %
'
2 300·564

tura înclinată este considerată activă numai pe porţiunea centrală de lungime 3/;/4,
de liniile punctate a şi b din figura Apl.7.3; toate fisurile înclinate taie armătura

pe porţiunea activă.

cele şase fisuri considerate rezultatele sunt prezentate în tabelul 7.2.

Tabelul 7.2.

123456
282 550 800 1050 1300 1410

340 175 120 91,5 74 68
234 5

106,5 16,9 33,8 50,7 67,6 84,5
446,5 106,5 106,5 106,5 106,5 106,5
298,4 260,3 249 248 259

' observă că în secţiunile în care capacitatea portantă este minimă, este îndeplinită

Qmax = 190 kN < Qcap min = 248 kN.

ALCULUL ELEMENTELOR COMPRIMATE
XCENTRIC LA FORTĂTĂIETOARE

'

rţa axială de compresiune are un efect favorabil asupra rezistenţei la tăiere a betonului,
reduce mărimea efortului unitar principal de întindere O'1 (pct. 2.2.1.3); pentru
area calculelor se acceptă că acest efort unitar rămâne constant, dar în schimb se

e o rezistenţă sporită la întindere a betonului. Creşterea rezistenţei R1 se ia în

re prin multiplicarea acesteia cu coeficientul condiţiilor de lucru m1 > I , valoarea
în acest caz, se obţine din relaţia:

m1 =1+0,5NjbhoRc (7.28)

·N este efortul axial de compresiune corespunzător ipotezei de încărcare în care s-a
· t forţa tăietoare.

'ficarea stâlpilor la acţiunea forţei tăietoare se efectuează cu aceleaşi relaţii ca şi pentru
ele încovoiate, cerându-se respectarea condiţiei:

(7.29)

se determină cu relaţia (7.5), rară ca R1 să fie afectat de coeficientul m1 din relaţia (7.28).

tăietoare de calcul Q se poate obţine din acţiunile considerate în gruparea
tală sau specială (tab. 5.4), în funcţie de rolul elementului în preluarea acţiunilor
. Pentru stâlpii care se dimensionează în gruparea fundamentală, Q reprezintă valoarea

234

obţinută din calculul static; pentru stâlpii pentru care gruparea specială este hotărâtoare,
necesară o analiză mai detaliată a structurii [18].

În gruparea specială de încărcări intervine în mod curent acţiunea seismică, intensitat
căreia se evaluează conform Normativului PI00-92 (Proiectarea antiseismică a construcţiilof

de locuinţe, social-culturale, agrozootehnice şi industriale) [19] şi care este de \fi ori mai mică

adecât intensitatea corespunzătoare amplasamentului respectiv. Coeficientul \fi de reducere

acţiunii seismice ţine cont de ductilitatea structurii, de capacitatea de redistribuire a eforturilot
de ponderea cu care intervin rezervele de rezistenţă neconsiderate în calcul etc. Deoarec~ •
forţele seismice reale sunt mai mari decât cele luate în calcul, este posibil ca în decursul cutre.
murului de pământ să se producă articulaţii plastice în elementele structurale de rezistenţă
fără ca structura să se prăbuşească (să ajungă la colaps). Prezenţa acestor articulaţii plastice
asigură ductilitatea necesară structurii în vederea disipării energiei induse de seism (pct. 13. l).

În cazul structurilor în cadre etajate se urmăreşte ca aceste articulaţii să se formeze numai
în grinzi, urmărindu-se ca stâlpii să nu prezinte asemenea deformaţii plastice (deci să rămână

în domeniul elastic).

Momentele încovoietoare de plasticizare ce apar în riglele cadrelor sunt mai mari decât
cele rezultate din calculul static. Aceste creşteri apar deoarece armarea trebuie să respecte
anumite prevederi constructive severe pentru structurile cu protecţie seismică (pct. 13.7) care
conduc la cantităţi mai mari de armătură decât cele rezultate din calcul. De asemenea, în
articulaţiile plastice, în timpul mişcării seismice, se apreciazij că efortul unitar în armătură

depăşeşte cu 25% rezistenţa de calcul Ra (efectul de hiper-rezistenţă).
Din condiţia de echilibru a nodurilor cadrelor şi din necesitatea ca stâlpii să rămână în

domeniul elastic, rezultă că momentele încovoietore şi forţele tăietoare de pe stâlpi trebuiesc
majorate faţă de valorile obţinute din calculul static [18].

În conformitate cu prevederile din Codul NP 007-97 de proiectare al cadrelor din beton
armat [18], forţa tăietoare de calcul, în gruparea specială de încărcări, pentru stâlpii cadrelor
cu protecţie seismică se calculează cu relaţia3 :

Q = kQBQ. (7.30)

unde: Qs -valoarea forţei tăietoare de calcul în stâlpi, stabilită în gruparea specială de încărcări;

=kQ 1,2 - coeficient ce ia în considerare abaterile de la distribuţia considerată în

calcule a forţei seismice orizontale, efectul modurilor superioare de vibraţie pe

structura cu articulaţii plastice etc;

B - raportul dintre momentele capabile din articulaţiile plastice de la capetele

grinzilor şi momentele încovoietoare din aceleaşi secţiuni, obţinute din calculul static
sub efectul acţiunilor din gruparea specială de încărcări;

Forţa tăietoare astfel obţinută se limitează la cea mai mică valoare dată de următoarele

condiţii:

Q ~ Qrea/ =Qs /\fi (7.31)

M csauppst + Micnapf st (7.32)

Q~Qas=
He

3 Prevederile din Codul NP 007-97 anulează indicaţiile din STAS 10107/0-90, conform cărui forţa

tăietoare de calcul este Q= Q , adică valoarea dată de relaţia (7.32), cu respectarea dublei limitări
08

1,5Q, ~ Q = Q., ~ Q,/\11.

I în secţiuni înclinate 235

st şi M!':/;,st sunt momentele încovoietoare capabile în secţiunile de la

"tăţile stâlpului, corespunzătoare valorii efortului axial din ipoteza considerată în
ea specială de încărcări; aceste momente încovoietoare capabile acţionează în
· direcţie şi se iau în considerare pentru ambele sensuri de acţiune ale

ului;
- înălţimea liberă a stâlpului.

ţia (7.31) ţine cont de faptul că forţa tăietoare de calcul obţinută din relaţia (7.30)
păşi forţa tăietoare corespunzătoare încărcării seismice produsă de seismul real.
7.32) evită calculul la o forţă tăietoare mai mare decât Qas care corespunde cedării

de capăt la momentele încovoietoare Mi~:st şi M!':!;,st, prin intrarea în funcţiune

ului de cedare.
cturile cu un nivel şi grinzi articulate la nivelul acoperişului (de exemplu, hale

Bprefabricate), coeficientul reprezintă raportul dintre momentul încovoietor capabil

i şi cel din calculul static din gruparea specială, ambele determinate în secţiunea

e.
orrnitate cu prescripţiile din Codul pentru calculul cadrelor din beton armat [18], pentru
de importanţă redusă plasate în zone de seismicitate redusă (clasa III de importanţă în

ică F; clasa IV de importanţă în zona seismică E şi F), forţa tăietoare de calcul este:

Q =max~I ;l,2Qs)

QI este forţa tăietoare obţinută din gruparea fundamentală de încărcări.

'exemplul de calcul dat în capitolul 13 (aplicaţia 13), este prezentat modul de calcul
elor care fac parte dintr-un cadru rezistent la seism.
verificarea la forţă tăietoare a altor elemente comprimate excentric, aşa cum ar

· structurali din beton armat, monoliţi sau prefabricaţi (panouri mari), se vor respecta
ţiile din instrucţiunile tehnice specifice [22].

CALCULUL ELEMENTELOR ÎNTINSE
.XCENTRIC LA FORTĂ TĂIETOARE

'

axială de întindere are un efect defavorabil asupra rezistenţei la tăiere, deoarece

valoarea efortului unitar principal de întindere cr 1 (pct. 2.2.1.3); pentru simplificarea

or se acceptă că acest efort unitar rămâne constant, dar în schimb se foloseşte o

redusă la întindere a betonului. Această diminuare a rezistenţei Rt se ia în considerare

1cientul condiţiilor de lucru m1 < 1, valoarea căruia se obţine după cum urmează:

elemente întinse excentric cu excentricitate mare, din relaţia:

m - ~e0 /~h-0-,5- (7.33)
t - e0 /h+0,5

tru elemente întinse excentric cu excentricitate mică, din relaţia:

mt =O (7.34)

rificarea la forţă tăietoare a elementelor întinse se face cu aceleaşi relaţii ca şi pentru
tele încovoiate.

236

7.4. CONSOLE SCURTE

Consolele scurte sunt elemente de rezistenţă care preiau forţe concentrate mari, solicitarea
principală fiind forţa tăietoare. Aceste elemente se întâlnesc frecvent în structurile halelor
industriale, la susţinerea grinzilor de rulare (fig. 7.9a) sau a grinzilor de acoperiş (fig. 7.9b),
în realizarea articulaţiilor grinzilor de poduri (fig. 7.9c) şi în multe alte situaţii.

grindă de rulare grindă prefabricată de acoperiş
monolitizare
j consolă scurtă

i

î

consolă scurtă

a) stâlpi de hală b) c)

Fig, 7.9. Exemple de console scurte

Consola se consideră ca fiind scurtă, dacă este îndeplinită condiţia (fig.7.10):

le $h (7.35)

în care le este deschiderea de calcul, măsurată de la forţa concentrată până la secţiunea de

încastrare, iar h înălţimea secţiunii transversale în dreptul încastrării.

Sub acţiunea încărcării, în secţiunea de încastrare 1-1 iau naştere eforturile M = Pic şi
Q = P (fig. 7.10a). Ca urmare, consolele scurte se calculează atât la acţiunea momentului

încovoietor M, cât şi a forţei tăietoare Q.

Calculul la acţiunea momentului încovoietor se face conform capitolului 6, ca pentru o

secţiune, de regulă, dreptunghiulară. Din acest calcul rezultă armătura de rezistenţă 4.a care se

dispune în zona întinsă, astfel încât să se respecte lungimile minime de ancorare la (fig. 7.lOb).
Dimensiunile secţiunii de încastrare trebuie astfel stabilite, încât să fie respectată condiţia:

Q$c=2 (7.36)

Pentru consolele scurte care susţin grinzi de rulare, în cazul când podurile rulante au

regim greu de lucru, se va respecta în plus condiţia:

Qi =Qi/bh0R1 $ 1 (7.37)

în care Q1 este forţa tăietoare maximă din verificarea la starea limită de oboseală, majorată
cu coeficientul 1,5.

Soluţia cea mai eficientă de armare a consolelor scurte constă în dispunerea de etrieri

orizontali.

Calculul în secţiuni înclinate 237

JP--l1p

2: h/3

~ho h

Q

î!

NOTĂ: nu s-a indicat annarea stâlpului

a) dispunerea etrierilor orizontali

-b) ancorarea armăturilor longitudinale

Fig. 7.10. Alcătuirea consolelor scurte

• Aria necesară a etrierilor orizontali rezultă din condiţia ca aceştia să preia cel puţin o
·me din rezultanta întinderilor produsă de momentul încovoietor:

A R >!._N =!._Qlc =!.__fil_

eo a - 3 a 3 z 3 0,85h

0

în consecinţă, aria totală a secţiunilor etrierilor orizontali trebuie să îndeplinească

iţia:

(7.38)

Aceşti etrieri se dispun pe porţiunea activă a inimii consolelor scurte, care se consideră
GU 2/3 din lungimea /1 a dreptei care uneşte punctul de aplicaţie al încărc;ării cu extremitatea
.· ·oară a consolei (fig. 7.10a). Pe restul lungimii /1 se dispun, în mod suplimentar, acelaşi
~e etrieri.
Pentru console de lungime medie ( h $ le $ 1,5h ), verificarea prin calcul se face atât ca
·tru o consolă scurtă cât şi ca pentru o consolă lungă, adoptând-se ipoteza cea mai

vorabilă.

238

7.5. CAZURI SPECIALE DE VERIFICARE
A ARMĂTURILOR TRANSVERSALE

7.5.1. Verificarea etrierilor ca armături de suspendare

În cazul grinzilor întoarse, cu placa rezemată la nivelul tălpii inferioare, întâlnite la
anumite tipuri de planşee, etrierii vor fi dimensionaţi suplimentar la întindere centrică,
pentru a transmite la inimă încărcarea de pe placă (fig. 7.11).

1--12-!

:I
a) grindă monolită b) elemente prefabricate

· Fig. 7.11. Grinzi întoarse

La intersecţiile de nivel între grinzile secundare şi cele principale ale planşeelor curente

(fig. 7.12) se prevăd în grinda principală, pe lungimea s = 3b + 211h, etrieri suplimentari

dimensionaţi la întindere centrică, pentru a asigura preluarea încărcării concentrate transmisă de

grinda secundară. Aceşti etrieri suplimentari se prevăd în dreapta şi în stânga grinzii secundare.
În cazul elementelor solicitate la încovoiere, cu sau rară efort axial, care prezintă

unghiuri intrânde în zona întinsă a secţiunii, există pericolul smulgerii armăturilor longitudinale
de rezistenţă de pe traiectoria prevăzută în proiect. În această situaţie, în funcţie de
particularităţile de armare ale zonei frânte, se dispun etrieri suplimentari cu rol de armături

de suspendare.

grinda

principală

,l:·1· b .1. : .1. b .1.:1

Fig. 7.12. Intersecţie de nivel între grinzi

Astfel, dacă armăturile din zona întinsă se intersectează în secţiunea de frângere şi sunt
prelungite până în zona comprimată a secţiunii, cu respectarea lungimilor de ancorare la
măsurate ca în figura 7. l 3a, nu este necesar un calcul al etrierilor ca armături de suspendare,
care se dispun constructiv.

La unghiurile intrânde la care conform figurii 7.13b, tgy $ 0,05, se admite ca armătura
întinsă să fie dusă continuu peste unghiul intrând; în zona schimbării de direcţie a armăturii

239

· ale se prevăd etrieri suplimentari de suspendare. Fiecare bară longitudinală trebuie
nsă de un colţ de etrier suplimentar.
l"ţa de deviaţie care tinde să smulgă armătura longitudinală este:

R =2AaRasinf (7.39)

astă rezultantă se descompune în două forţe Ne, paralele cu direcţiile etrierilor. Între

.'ta R şi fol"ţa Ne, care supune etrierii suplimentari la întindere, există următoarea relaţie

l3b):

R/2 = Necosf

tru ca armătura longitudinală să nu fie smulsă din element este necesar ca aria totală a

t plasaţi în stânga, respectiv în dreapta frânturii, să satisfacă relaţia:

R $ 2Ae1Ra cos (y/2) (7.40)

~y/2
~R/2

y/2 s

b) etrieri de suspendare rezultaţi
din calcul

Fig. 7.13. Armarea zonelor frânte

•În ambele cazuri ale figurii 7.13, lungimea de o parte şi de alta a unghiului intrând,
ată pe axa geometrică a grinzii, pe care etrierii se consideră activi ca armătură de
ie, se determină cu relaţia:

-y)s=htgi(1so0 (7.41)

·· În toate cazurile, etrierii de suspendare se prevăd închişi, iar aria lor se cumulează cu
ezultată din calculul la forţe tăietoare în secţiuni înclinate.

• Verificarea armăturilor transversale cu funct•ie de conectori

Armăturile transversale care străbat un rost de separaţie între betoane turnate în faze diferite
1suprabetonărilor, a rosturilor de turnare la nivelul etajelor în cazul pereţilor structurali
ton armat etc.) au rolul de a împiedeca lunecarea în lungul rostului, numindu-se armături
ectare (conectori) şi pot fi dispuse perpendicular sau înclinat faţă de planul de lunecare.
torii se distribuie cât mai uniform în lungul planului de lunecare şi se ancorează la

ele extremităţi ca bare întinse, solicitate la maximum ( CJa = Ra ).

240

Capacitatea de rezistenţă la lunecare, la nivelul ~ui rost (fig. 7.14), .s~ consid~ă,asigurată
de un mecanism echivalent de frecare. Forţa totala de lunecare capabila preluata m lungul
planului potenţial de lunecare se determină cu relaţia:

Leap =µ / (Aaemat Ra + N) + Aa;ma1Ra (cosa+ µ/ sina)

unde: Aac este suma ariilor secţiunilor conectorilor dispuşi perpendicular pe planul de lunecare;
A01 - suma ariilor secţiunilor armăturilor înclinate întinse care străbat planul de lunecare;

a - unghiul dintre barele înclinate şi planul de lunecare;

N - este efortul axial secţional de compresiune şi este considerat pozitiv; dacă efortul

axial este de întindere, N se introduce cu semnul negativ şi nu se afectează cu µ1 ;

µ1 - coeficientul echivalent de frecare, având valorile:. O,7 pen~ b~to~ul ttu:nat pe

plăci metalice sau pe beton întărit curăţat de laptele de ciment,_f'8:a .mas~ speciale de
creare a unor asperităţi; 1,0 pentru betonul turnat pe un beton mtant curaţat de laptele
de ciment, cu asperităţi având adâncimea între 2 şi 5 mm; 1,4 pentru betonul turnat
pe un beton întărit curăţat de laptele de ciment, cu asperităţi având adâncimea
~5mm.
Efortul unitar mediu ce trebuie preluat în lungul planului de lunecare trebuie să satisfacă
condiţia de mai jos:

{7.43)

unde: L este forţa de lunecare de calcul, determinată conform celor de mai jos;

b - lăţimea feţei de contact;

10 - lungimea feţei de contact;

R1 - rezistenţa la întindere a betonului cu cea mai mică clasă dintre cele două betoane

în contact.
în cazul când planul potenţial de lunecare este perpendicular pe axul elementului
(de exemplu: rosturile orizontale de turnare ale pereţilor structurali verticali din beto~
armat monolit - diafragme), conform figurii 7.14a, forţa de lunecare de calcul este e~ala
cu forţa tăietoare din secţiunea respectivă. Dimensionarea conectorilor se face cu relaţia:

r Q:-;;Leap (7.44)

în care Q este forţa tăietoare de calcul în secţiunea considerată a elementului, iar Leap se

determină cu relaţia (7.42), cu următoarele precizări:

111 pentru elementele participante la structuri cu protecţie seismică, când forţa axială N este
efort de compresiune, mărimea acestuia se afectează cu 0,6;

111 în mărimea Aae se includ ariile secţiunilor armăturilor verticale de pe inimă şi de la capătul

întins al secţiunii. .

în cazurile când planul potenţial de lunecare este paralel cu axul elementului {de ~xemplu:

elemente prefabricate cu suprabetonare), dimensionarea conectorilor se face cu relaţia:

L =,; Leap (7.45)

în care L este forţa de lunecare de calcul, asociată în acest caz capacităţii de rezistenţă a

elementuli;1i, iar Leap se determină cu relaţia (7.42) pentru N =O.

ului în secţiuni înclinate 241

lN suprabetonare montaj

a) b)

Fig. 7.14. Dispunerea conectorilor

asemenea, trebuie avute în vedere următoarele precizări (fig. 7. l 4b):

. ~ conectorii din porţiunea de moment încovoietor negativ, forţa de lunecare de calcul
· L =A;eazemRa , considerată uniform distribuită pe lungimea / =Ir a diagramei de
0
ente încovoietore; determinarea forţei de lunecare se face ipoteza de încărcare
pentru
produce momentul încovoietor maxim la extremităţile grinzii;

conectorii din porţiunea de moment îhcovoietor pozitiv, forţa de lunecare de calcul
L = A;âmpRa, considerată uniform distribuită pe lungimea / = le a diagramei de
0
ente, de la secţiunea de solicitare maximă până în secţiunea a momentului
de anulare
voietor (la elementele simplu rezemate le =l/2 ); forţa de lunecare rezultă pentru

de încărcare care produce momentul încovoietor maxim în câmpul respectiv;
ele potenţial plastice ale riglelor cadrelor cu protecţie seismică, dacă plasticizarea
ca efect al momentelor încovoietoare negative (care supun la întindere armăturile
se recomandă ca cel puţin
prabetonare), la grinzile la care ='Cmed L/blr > 2R
1
călăreţii dispuşi în suprabetonare să se sudeze de bare înclinate de acelaşi diametru,
,e din partea prefabricată a elementului; restul forţei de lunecare se poate transmite
etrieri verticali, distribuiţi uniform pe lungimea Ir ;

nele potenţial plastice ale riglelor cadrelor cu protecţie seismică, dacă plasticizarea
ca efect al momentelor încovoietoare pozitive, se admite să se realizeze conectarea
' i prin etrieri.

LCULUL LA STRĂPUNGERE Al PLĂCILOR
REZEMĂRI LOCALE

carea la străpungere a plăcilor rezemate pe stâlpi se face având în vedere schema
7.15, considerând ca secţiune activă la străpungere, secţiunea determinată de
unor plane la 45° duse de pe conturul secţiunii stâlpului, cu planul meridian al plăcii.
.-1 secţiunii active se stabileşte după cum urmează:

242

Ucr =2(a + b + 2hP) - în cazul stâlpilor dreptunghiulari;

n(Ucr = d + hP) - în cazul stâlpilor circulari cu diametrul d.

Fig. 7.15. Modelul de calcul Ia străpungere al plăcilor rezemate local

Pentru plăcile f'ară armătură transversală în zonele rezemărilor pe stâlpi, verificarea se
face cu relaţia:

Q5'0,75Uc,lzoR,,
în timp ce, pentru plăcile cu armătură transversală în zonele de rezemare se cere satisfacerea

condiţiei:

Q 5, 0,50Uc,h0 R1 + LÂavma,Ra + LÂaima,Rasina. 5' 1,2Uc,hoR1

unde: LAav este suma ariilor secţiunilor armăturilor verticale care traversează suprafaţa

teoretică de străpungere (feţele înclinate ale trunchiului de piramidă din figura 7.15);

IAa,. - suma ariilor secit•;unilor armăturilor înclinate cu unghiul a faţă de planul plăcii,

care traversează suprafaţa teoretică de străpungere.

Relatiile de mai sus sunt valabile pentru situaţia când încărcarea transmisă de placă este
încentrică. cazurile când legăturile dintre dală şi stâlpi nu transmit momente încovoietoare
planşeele clădirilor încărcări până 2
importante (de exemplu, civile etajate cu utile la 3
kN/m
şi la care forţele orizontale sunt preluate prin diafragme), se admite ca încărcarea transmi~ă

de stâlpii interiori să fie considerată centrică. Pentru cazurile când legătura stâlp-placă transnnte
momente încovoietoare importante (de exemplu, stâlpii marginali şi de colţ nelegaţi prin
grinzi perimetrale), calculul la străpungere sub efectul combinat al încărcării verticale şi al
momentului încovoietor se face conform reglementărilor specifice pentru planşee dală.
Pentru calculul la străpungere al fundaţiilor izolate ale stâlpilor, trebuie avute în vţdere

şi reglementările tehnice specifice [20].

CALCULUL LA TORSIUNE

Solicitarea de torsiune apare, de regulă, dacă planul încărcărilor nu trece prin axa
· ui încărcat sau dacă axa elementului este curbă sau frântă. În această situaţie, în
entul din beton armat iau naştere, pe lângă momentele încovoietoare şi forţele tăietoare

mte M şi Q, şi momente de torsiune M,, elementul fiind astfel solicitat la încovoiere cu

une. Torsiunea pură, f'ară încovoiere, este rar întâlnită în construcţii.
Elementele din beton armat la care se manifestă efectele torsiunii sunt grinzile drepte

a asimetrică în consolă, grinzile marginale ale structurilor monolite, grinzile podurilor
}are, grinzile curbe sau frânte întâlnite în special la susţinerea rezervoarelor de apă etc.

,8.1).

~ COMPORTAREA LA TORSIUNE A ELEMENTELOR
DIN BETON ARMAT

Comportarea elementelor din beton simplu cu secţiune circulară sau dreptunghiulară,
la torsiune pură a fost prezentată la punctul 2.2.1.4. În cazul elementelor structurale

ţiune transversală uzuală dreptunghiulară, starea de eforturi conduce la ruperea în

i strâmbe (fig. 2.9).

creşterea încărcărilor, fisurarea betonului conduce la scăderea rigidităţii la torsiune,

efort de întindere fiind preluat de armătură. La atingerea efortului unitar de curgere

tură, rotirile cresc mult mai repede decât încărcările şi duc la ruperea elementului în
strâmbă. În stadiul III, se produce zdrobirea betonului comprimat delimitat de armătura

sală; betonul din stratul de acoperire nu mai este activ, fiind fisurat şi parţial dislocat.

, în calcule se consideră activ numai sâmburele de beton, delimitat de fata interioară a

lor perimetrali. '

244

p

+-

Fig. 8.1. Elemente solicitate la torsiune cu încovoiere
În concordanţă cu direcţia eforturilor unitare principale de întindere 0'1, cel mai raţional
sistem de armare la torsiune este acela de fretă înclinată la 45°, dispusă pe întreaga suprafaţă
laterală a elementului.
Datorită dificultăţilor de realizare şi posibilităţii schimbării sensului de acţiune a momentelor
de torsiune, în practică se utilizează sistemul de armare realizat din bare longitudinale şi
etrieri, pentru care relaţiile de calcul se deduc plecând de la relaţia de calcul utilizată pentru
armarea cu fretă.

8.2. CALCULUL t..A TORSIUNE CU ÎNCOVOIERE AL

ELEMENTELOR CU SECT•IUNE DREPTUNGHIULARĂ

Calculul exact al elementelor supuse la torsiune cu încovoiere se face în secţiuni strâmbe
şi este deosebit de laborios. Acest calcul se recomandă atunci când:

• elementul are secţiuni transversale de formă neuzuală;
• armătura suplimentară necesară pentru preluarea torsiunii este mai mare decât 30% din

consumul total de armătură.
Pentru cazurile curente, standardul românesc prevede o procedură simplificată care se

bazează pe ideea suprapunerii eforturilor unitare principale de întindere cr1 produse de torsiune,

cu cele produse de forţa tăietoare din încovoiere.

Pentru secţiunea dreptunghiulară, eforturile unitare principale cr1 = 't produse de momentul
de torsiune M sunt maxime la mijlocul înălţimii h, în punctul A (fig. 8.2a), în timp ce din
acţiunea forţei tăietoare Q, eforturile unitare principale cr1 = 'to sunt maxime la nivelul axei

neutre - punctul A'(fig. 8.2b). În calcule se acceptă simplificarea privind însumarea eforturilor
corespunzătoare punctelor A şi A~

Efortul unitar principal produs de momentul de torsiune este:

w;0 ' 1 = ' t ' oM=1-

unde w; este modulul de rezistenţă la torsiune, calculat ca pentru o secţiune ideal plastică.

ib h(Pentru secţiunea dreptunghiulară, w; rezultă din relaţia (2.3): w; = 2 3-%} în

care b este latura mică a secţiunii, iar h latura mare, indiferent de orientarea lor.

ului la torşiune 245

l l l.• I X

h . A'. ~0J1--:A To

a) torsiune 6

1"11 ~1

b) tăiere

Fig. 8.2. Variaţia eforturilor unitare principale cr1 din torsiune şi încovoiere ,
rtul unitar principal produs de forţa tăietoare este:

0'1 ='t'o = _g__

Aho

bO este aria secţiunii utile la forţă tăietoare; pentru secţiuni dreptunghiulare sau T

Aho =bho,

elul de solicitare la efort tangenţial pentru elementele supuse la torsiune cu încovoiere
eşte prin relaţia:

-(JLQ + Mw1; ) _!_ (8.1)
-
Aho R1

QS0,5 (8.2)

eciază că betonul este capabil de a prelua singur eforturile unitare principale cr1 produse

şi M şi în consecinţă calculul armăturii specifice torsiunii cu încovoiere nu este necesar.

Dimensiunile secţiunii transversale de beton vor fi astfel determinate încât:

Q$c (8.3)

c se ia confofQl punctului 7.1. Pentru riglele cadrelor cu protecţie seismică se vor avea
re prevederile specifice (18], prezentate la punctul 7.1.2.

domeniul 0,5 < Q $ c , calculul armăturilor pentru preluarea eforturilor produse de

e şi cumularea lor cu armăturile pentru preluarea forţei tăietoare se face în trei etape:
prima etapă se face un calcul la încovoiere cu tăiere, stabilindu-se cantităţile necesare
armături longitudinale şi transversale, conform capitolelor 6 şi 7;
cea de-a doua etapă se face un calcul aparte la torsiune, din care rezultă armarea uzuală
torsiune, sub formă de bare longitudinale şi etrieri;
etapa a treia se face cumularea celor două armări.

• Calculul armăturilor sub formă de fretă

figura 8.3 se prezintă modul de dispunere a armăturilor, precum şi starea de eforturi,
l fretei dispuse la 45°.

246

Abs = hshs

Us =2(bs + hs)
+-- As

H2

b) c) d)

Fig. 8.3. Armarea la torsiune cu fretă

Momentul de torsiune M1 poate fi scris sub forma: (8.4)

M1 =H1bs + H2hs

unde H1 şi H2 sunt rezultantele eforturilor, de pe fiecare faţă a elementului, preluate de armătură
şi beton. Din echilibrul forţelor rezultă (fig. 8.3c):

(8.5)

respectiv:

(8.6)

Forţele Nah şi Nab sunt rezultantele eforturilor unitare principale de întindere o1 preluate
de armătura de pe înălţimea h, respectiv pe lăţimea b a secţiunii transversale. Aceste rezultante
se obţin prin înmulţirea forţei ce poate fi preluată de o bară, AsRa, cu numărul de bare pe
direcţia considerată, hs / s, respectiv bs / s (fig. 8.3b), rezultând în final:

(8.7)

Nab = AsRa bs (8.8)
s
(8.9)
Înlocuind relaţia (8.7) în (8.5), respectiv (8.8) în (8.6), rezultă: (8.10)

H1 =fiAsRo ~. respectiv H2 =/iAsRo bs
s s

iar relaţia (8.4) devine:

M =2/iA R b,h.

I so S

de unde rezultă aria barei din care se execută freta:

247

armătura este dispusă sub un unghi 13 faţă de direcţia la 45° (fig. 8.3b, d),

aţiile (8.9) şi (8.1 O) se corectează după cum urmează, având în vedere că
,4913R0 cosl3 (fig. 8.3d):

= =Ml 2vrL::A; sţ3Rocoslb3ssh-s- 2vr2::;Asţ3RocoslA3sbs-

(8.11)

a sub formă de fretă nu este folosită curent în practică, ea constituie suport de calcul
aluarea armăturilor uzuale de torsiune (etrieri, bare longitudinale).

alculul armăturii sub formă de etrieri şi bare longitudinale

8.4 se prezintă armarea cu bare longitudinale şi etrieri a unui element de secţiune
ulară supus la torsiune.

Fig. 8.4. Armarea la torsiune cu bare longitudinale şi etrieri

·· a unei bare longitudinale rezultă din relaţia (8.11 ), considerând Asp = A01 , s =a1 şi

,-A _ M1a1
0 2bshsRo

totală necesară pentru preluarea torsiunii este A11 =nA01 , unde n =2(bs + hs)/ a1

tă numărul total de bare, rezultând în final:

_ M 1 (bs +hs) _ MPs (8.12)
A,1 -
- --

bshsRo 2AbsRo

Us =2(bs + hs) este perimetrul sâmburelui de beton cuprins în interiorul etrierilor;
= bs hs - aria sâmburelui de beton cuprins în interiorul etrierilor perimetrali.

mandă ca aria acestei armături să nu depăşească l % din aria betonului cuprins

I etrierilor.
ii necesari pentru preluarea torsiunii, sub forma ariei relative (mm2/mm), se obţin

h(8. i 1), considerând Asp = Ae, s =ae şi 13 = 45°:

248

Alcătuirea elementelor supuse la încovoiere cu torsiune se bazează pe suprapun
alcătuirilor din încovoiere şi torsiune (fig. 8.5), după cum urmează:

• se face alcătuirea pentru solicitarea la încovoiere, prin alegerea armăturilor longitud'

Âa (fig. 8.5a);

• pe baza valorii A,1, calculată cu relaţia (8.12) se aleg barele longitudinale suplimen
necesare pentru preluarea torsiunii, bare care se distribuie cât mai uniform pe con
secţiunii transversale şiîn primul rând în cele patru colţuri (fig. 8.5b); în mod special
va acorda atenţie ancorării acestor armături în zona reazemelor;

• se suprapun cele două armări, rezultând armarea din figura 8.5c; este de specificat
armăturile de la partea inferioară, respectiv de la partea superioară, vor lucra împre
la torsiune şi încovoiere, fără a se preciza care bare lucrează la încovoiere şi care la torsi

• etrierii suplimentari pentru preluarea torsiunii se cumulează cu etrierii necesari pen
forţa tăietoare, dacă aceştia sunt prevăzuţi numai pe perimetrul secţiunii; dacă etrierii a
mai mult de două ramuri verticale, cumularea se face numai pentru ramurile perimetrale;•
diametrul etrierilor şi distanţa dintre aceştia se aleg în aşa fel încât:

(Ae) ~(Âe) ::;:(Ae) +(~)
af! ef ae nec ae Q ae T

8.3. CALCULUL ELEMENTELOR CU SECŢIUNE
COMPUSĂ LA TORSIUNE CU ÎNCOVOIERE

Calculul elementelor cu secţiuni tubulare sau în formă de cutie se face cu relaţiile (8.12...
8.13), cu precizarea că aria Ah, şi perimetrul U, se calculează ca pentru secţiunea plină cu
acelaşi contur exterior (fig. 8.6).

Calculul la torsiune cu încovoiere al elementelor din beton armat cu secţiune compusă din

mai multe dreptunghiuri (de exemplu, secţiune în formă de T, dublu T), se face prin
descompunerea în secţiuni dreptunghiulare componente şi prin repartizarea momentului de
torsiune M1 fiecărui dreptunghi în parte. Repartiţia momentului de torsiune se face
proporţional cu momentul de inerţie la torsiune al fiecărui dreptunghi (fig. 8.7):

Mr =-I.r'- M1

' "i,I li

unde momentul de inerţie la torsiune al secţiunii dreptunghiulare se calculează cu relaţia

11 =nhb3 , coeficientul n determinându-se din tabelul 8.1.

Tabelul 8.1. Valorile coeficientului npentru calculul momentului de inerţie la torsiune al

secţiunilor dreptunghiulare

hlb 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

11 0,140 0,163 0,185 0,203 0,216 0,229 0,232 0,235 0,239 0,248 0,246

249

se conduce pentru fiecare secţiune dreptunghiulară în parte, conform

2.

Dispunerea etrierilor

monta·

I/ I

I ~ I (A•)
a. Q
I I
I
I
l
I I
I
I I

I :

I aeT J ./A.TI
I'
~ A("' I
I
I I
I
I I
I I

I

I

I

I~ /A.er

"I I
I
I
I -,

I I
I
I
I

Fig. 8.5. Model pentru cumularea efectelor încovoierii şi torsiunii

Fig. 8.6. Definirea valorilor Ah, şi U,

250

Fig. 8.7. Secţiune compusă solicitată la torsiune

Aplicaţia numerică 8. Elemente supuse la torsiune cu încovoiere

Se cere calculul armăturii longitudinale suplimentare şi a etrierilor pentru un element

simplu rezemat cu secţiune dreptunghiulară, solicitat la torsiune cu încovoiere. Se cunosc:

Mi= 25kNm, Q = 130 kN, blh/h0 = 300/550/514 mm, acoperirea cu beton c = 25mm,

a= 36mm. Calităţile materialelor sunt: beton Cl6/20 (R1 = l,0·0,95 = 0,95 N/mm2), oţel

PC52 pentru armăturile longitudinale şi transversale. Armătura longitudinală rezultată din
calculul la încovoiere este 2cj>20 şi 3cj>22 (Aa = l 768mm2).

• Se calculează modulul de rigiditate la torsiune a secţiunii conform punctului 8.2:

w; J=-1b2h( 3-b- =-I3002 ·550· ( 3 -30-0) =2025-106mm3
6 h6 550 '

Se verifică nivelul de solicitare la efort tangenţial cu relaţia (8.1 ), unde Aho = bho :

w; -Q 36

=__!_(JL+ M1 )--1-( 130-10 + 202,52·51-0106 )- 219
R1 bho 0,95 300-514 - '

Q< c = 4; conform condiţiei (8.3) dimensiunile secţiunii de beton sunt corect alese. Q> 0,5;

condiţia (8.2) nu este satisfăcută, rezultând că este necesar calculul armăturilor pentru torsiune.
• Se calculează armătura longitudinală suplimentară necesară. Dimensiunile sâmburelui
de beton, presupunând că se folosesc etrieri cu diametrul cj>8, sunt conform figurii Apl.8:

bs =b-2c-2de =300-2·25-2·8=234mm

hs = h-2c-2de = 550-2·25-2·8 = 484mm

Din relaţia (8.12) rezultă:

ÂiJ M1 (bs + hs) = 25 · 106(234+ 484) = 528 mm2
bshsRa 234 •484 ·300

Fiind necesară o cantitate mică de armătură, aceasta se dispune numai în cele patru colţuri
ale secţiunii, adică 528/ 4 = I32mm2 . În colţurile de sus ale secţiunii transversale se dispune
câte o bară cj>l4 (l54mm2), iar în colţurile de jos se suplimenteâză aria armăturilor rezultate
din încovoiere, barele cj>20: 3I4+l32=446mm2. Se înlocuiesc barele cj>20 din colţuri cu

251

(491mm2). Pentru ancorarea barelor din colţuri, se folosesc armăturile de formă
furci orizontale) rezultând alcătuirea din figura Apl.8.

2<!>14 --e-
.---..---@

100

500
500

250
iniţial 2<j>20 Ci) etrier

t final 2<j>25 <I> 10/150 mm
300 ..,

Fig.Apl.8.

cuiul etrierilor
alculul etrierilor de tăiere se face pe baza relaţiei (7.16), de unde, pentru Q = Qeb rezultă:

2 ~ 3)2 = 70 3NI 2
=Q = 130. IO
.[inec 4bhoR1 4-300-5142 ·0,95~0,637 ' mm

·,e p se determină pentru 2cj>25, barele care au asigurată continuitatea conform figurii

:p = 982· 100/300-514 = 0,637 %.

Se calculează cu relaţia (7.15) proiecţia fisurii înclinate:

S; = b~R,fp = 2

300·514 ·0,95~ = 924mm

qenec 70,3

'Deoarece 0,5 ho = 257mm < s; = 499mm < 2,5h0 = 1285 mm este îndeplinită dubla

• ·e (7.17).

legând etrieri cu două ramuri de forfecare ne = 2, din relaţia (7.21) rezultă etrierii
i pentru forţa tăietoare:

= qenec = 70,3 0,146mm2/mm

n.m01 Ra 2 · 0,8 · 300

Eţrierii necesari pentru preluarea torsiunii rezultă din relaţia (8.13):

_M_1~= 25·106 =0,368mm2/mm
2bshsRa 2 · 234 · 484 · 300

Etrierii necesari pentru preluarea tăierii şi a torsiunii rezultă din suma:

252

AeJ( = 0,146 + 0,368 = 0,514mm2/mm
ae
Q+T

Se aleg etrieri cplO; distanţa dintre etrieri trebuie să fie cel mult:

a = ~ = 78•5 =153mm
e Ae/ae 0,514 ·

Se alege «e = 150 mm; braţele etrierilor se petrec pe lungimea minimă

/ 0 = Â.a d = 40 · 10 = 400 mm, determinată conform punctului 13 .3, pentru cond.

defavorabile de aderenţă. Alcătuirea secţiunii transversale a grinzii este prezentată în fi

Apl.8.1.

PROCEDEUL MODELULUI DE BARE

INCIPIUL PROCEDEULUI

ipala ipoteză a calculului tradiţional al elementelor din beton armat o constituie
ţiunilor plane a lui Bemoulli. Această ipoteză nu este însă valabilă în toate
entelor datorită discontinuităţilor statice (rezemări, încărcări) şi/sau geometrice

· bruşte ale secţiunilor). În acest fel se întâlnesc cazuri în care ipoteza secţiunilor
acoperă decât o parte a elementului. În prezent, alcătuirea zonelor elementelor
e unde nu este respectată ipoteza secţiunilor plane a lui Bemoulli se face pe baza
· de proiectare, a încercărilor experimentale sau a unor prescripţii de alcătuire, poate
una suficient de corecte.
odalitate de calcul a unor de astfel de elemente, care pleacă de la imaginea stării de
a elementului respectiv, o constituie procedeul modelului de bare. Bazele acestui
au fost puse, la începutul secolului, de W. Ritter şi E. Morsch, dar dificultăţile de

stării de tensiune au făcut imposibilă aplicarea eficientă a acestuia. În prezent,
1utilizării tehnicii modeme de calcul, procedeul a redevenit actual, fiind -cunoscut
a de specialitate sub denumirea de strut-and-tie model [44], [87], [126], [130],
], [135]. Datorită eficienţei sale, procedeul este prezentat printre metodele de
sibile ale structurilor [l ], [13].
ipiul modelului de bare constă în înlocuirea zonei în care ipoteza secţiunilor plane
oulli nu este respectată cu un sistem de bare, sistem a cărui alcătuire se stabileşte
y "ide tensiune. În acest procedeu, o bară a sistemului reprezintă un câmp de eforturi
compresiune sau întindere. Direcţia acestor bare este determinată de direcţiile majore
re ale eforturilor unitare principale. Barele comprimate sunt reprezentate de beton,
tinse sunt reprezentate de armătura întinsă sau de betonul întins nefisurat (fig. 9.1).

254 ---l------.--Q-=, qL/2
T
II
L
pI - - C- - I T - întindere
~

I \ C - compresiune

oI T \o

t t

Fig. 9.1. Principiul procedeului modelului de bare

Utilizarea procedeului modelului de bare impune parcurgerea următoarelor etape:
<D analiza stării de tensiune pentru ipoteza de încărcare dată; aceasta presupune calculul stării

de tensiune în domeniul elastic, deci calculul direcţiilor eforturilor unitare principale şi a
mărimii acestora; determinarea acestor valori printr-un calcul manual bazat pe principiile
teoriei elasticităţii face ca procedeul modelului de bare să devină inaplicabil; în prezent,
această analiză se face în mod curent cu ajutorul procedeelor numerice (elemente finite
sau diferenţe finite) prin utilizarea unui program de calcul adecvat (pentru unele situaţii,
etapa analizei stării de tensiune poate fi înlocuită cu alte soluţii - pct. 9.4);
@ stabilirea modelului de bare pe baza reprezentării grafice a stării de tensiune;
® determinarea eforturilor în barele modelului; această problemă poate fi rezolvată, în
funcţie de complexitatea modelului, printr-un calcul manual sau cu ajutorul unui program
de calcul;
© dimensionarea ariilor de armătură, pe baza eforturilor din barele întinse ale modelului
şi verificarea compresiunilor în beton;
~ alcătuirea elementului pe baza datelor rezultate din calcul şi a prevederilor de alcătuire
prevăzute în norme.
Utilizarea procedeul modelului de bare se recomandă în cazul elementelor complexe
sau pentru studiul detaliat al unor zone ale elementelor; în cazul elementelor uzuale nu se
justifică aplicarea procedeului.

9.2. TIPURI DE SUBDOMENII

Procedeul modelului de bare pleacă de la constatarea că o structură de rezistenţă poate
fi împărţită, din punctul de vedere al valabilităţii ipotezei secţiunilor plane, în două tipuri de
zone, şi anume (fig. 9.2):

• zone de tip B - acele părţi ale elementului structural în care se admite valabilitatea ipotezei
secţiunilor plane a lui Bemoulli; în aceste zone eforturile unitare şi deformaţiile pot fi
deduse din solicitările obţinute în urma analizei statice a sistemului structural respectiv;

• zone de tip D - acele părţi ale elementului structural în care nu este valabilă ipoteza
secţiunilor plane a lui Bemoulli şi se caracterizează printr-o distribuţie neliniară a deformaţiilor.
În cazul elementelor structurale există următoarele tipuri de zone cu discontinuităţi

(fig. 9.3):
• discontinuităţi geometrice, datorate modificărilor de secţiune;
• discontinuităţi statice, cauzate de reazeme sau de modul de aplicare al încărcărilor.

rocedeul modelului de bare 255
B

i

a Fig. 9.2. Tipuri de zone

e µ...I
,

e

,

n
m

i
b) discontinuităţi statice

e

e
e

e
e

i

i

a) discontinuităţi geometrice c) discontinuitate geometrică şi statică

a
. Fig. 9.3. Tipuri de discontinuităţi

i onele de tip D, spre deosebire de cele de tip B, se caracterizează prin aspectul turbulent al
~riilo~ eforturilor unitare principale, aşa cum rezultă din figura 9.4. Pe măsura scurgerii
lor dm zonele de tip D către cele de tip B, traiectoriile lor se uniformizează, asigurându-se

uitatea eforturilor pe ansamblul elementului de beton armat.

256

~~,

Fig. 9.4. Turbulenţa eforturilor unitare în zonele de tip D

9.3. ÎMPĂRTIREA ELEMENTELOR ÎN ZONE DE TIP B ŞI D

'

Se acceptă că secţiunile de separaţie dintre cele două tipuri de zone se găsesc la o
distanţă egală cu înălţimea secţiunii transversale faţă de punctele cu discontinuităţi geometrice
sau faţă de punctul de aplicaţie al unei forţe concentrate (fig. 9.3, 9.4). Acest mod de împărţire,
în zonele de tip B şi D, este justificat de principiul Saint - Venant.

Analiza unui element structural ce conţine atât zone de tip B cât şi zone de tip D se face
ca în figura 9.5. Astfel, grinda reală (a) se înlocuieşte cu elementele (b) şi (c). Elementul (b)
respectă pe toată lungimea lui ipoteza lui Bemoulli; reazemul real şi forţa concentrată sunt
înlocuite cu eforturilor unitare tangenţiale având distribuţii de calcul ca cele din detaliile (j)

şi @. Elementul (c) conţine numai zone de tip D. Este de precizat că solicitările zonelor de

tip D, reprezentate în detaliul ®, sunt date de încărcările ce acţionează direct asupra lor şi de

eforturile unitare produse de eforturile secţionale ce acţionează la limita dintre cele două zone.

9.4. MODELAREA ZONELOR DE TIP D

Determinarea stării de eforturi în element se face pe baza unui model format din bare

solicitate la forţă axială. Barele modelului urmăresc fie direcţiile eforturilor unitare principale,

grupate pe zone de solicitare, fie direcţiile de scurgere ale încărcărilor exterioare prin element.

Direcţiile eforturilor unitare principale sunt evidente în cazul unor elemente simple (grinzi

simplu rezemate, console scurte etc.), sau se determină printr-o.analiză a stării de tensiune

în cazul elementelor complexe (grinzi pereţi cu goluri, noduri de cadre, fundaţii etc.). Rezultă

trei căi de stabilire a modelului de bare:

• intuitiv, pe baza experienţei inginereşti acumulate (fig. 9.6f);

• pe baza imaginii traiectoriilor eforturilor unitare principale, stabilită cu ajutorul unor metode

numerice (elemente finite, diferenţe finite), practic această imagine constând din două

familiî de curbe ortogonale; după trasarea acestor familii de curbe (fig. 9.6a) se stabilesc

zonele cu concentrări de eforturi, pe baza cărora se trasează direcţiile barelor modelului

(fig. 9.6b, c); ·

• cu metoda trasării scurgerii încărcărilor prin element; în acest sens, de un real folos poate

fi ~alogia cu liniile de curent care leagă sursa de terminal pe căile cele mai scurte; în

astfel de. cazuri sursa este încărcarea, iar terminalul sunt reacţiunile (fig. 9.6d}; curbele

astfel obţinute se aproximează prin linii poligonale, ataşând în plus bare de legătură pentru

realizarea echilibrului transversal (fig. 9.6e).

ul modelului de bare 257

Ip I @

I J t

tR D Modelarea i
reacţiunii R !
(D @ ţ
"'IModelarea I
DB ~B
forţei P
tI l
M

D D cr=O D

i:=O

t Modelarea solicitărilor elementului D

Fig. 9.5. Modul de analiză al elementelor cu zone B şi D

• 'q II
I
I II

I II

pI - C - ~I c iI

-- 6o

I T \

d l,

t b) t t c) t

•B T - întindere
I C - compresiune

IC I t;

p- - - -, c,I

I\ o

IT \ :t)

cj b

t ţ e) 1

Fig. 9.6. Posibilităţi de stabilirea a modelului de bare

258

Modelul de bare se alege în aşa fel încât să nu constituie un mecanism şi deci să nu penni
deformaţii incompatibile cu elementul pe care îl modelează. Stabilirea modelului de b
implică propunerea caracteristicilor secţionale şi elastice pentru barele al căror traseu a fost
deja stabilit. Dacă modelul de bare este un sistem static determinat interior, aşa cum se alege
în mod curent, atunci caracteristicile secţionale şi elastice nu influenţează starea de eforturi
din barele modelului. În privinţa direcţiei diagonalelor comprimate ale modelului, se recomandă

abateri ale acestora de maxim 15° faţă de traiectoria eforturilor unitare de compresiune. Este·
important să se stabilească modele cu cât mai puţine bare, respectiv modele la care barele întinse

să fie cât mai scurte, deoarece aceste modele conferă o deformabilitate redusă şi se aproprie
cel mai mult de traseul eforturilor din zona D (fig. 9.6b,c). La realizarea modelului se recomandă
ca unghiul dintre barele puternic solicitate să fie mai mare de 45° (preferabil 60°).

Modelul, odată creat, se încarcă în nodurile sale cu forţe concentrate echivalente cu
încărcarea reală. Determinare eforturilor în barele modelului se poate face cu orice metodă

rspecifică de calcul (manual sau automat). Soluţia optimă se obţine când NJ;f:.; = min , unde

N; este forţa axială în elementul i, I; - lungimea acestui element, iar I:.; - deformaţia specifică a

aceluiaşi element. pe baza indicaţiilor de mai sus este în strictă concordanţă cu schema de
Modelul creat
încărcare, ceea ce înseamnă că schimbarea schemei de încărcare a elementului real atrage după

sine stabilirea unui nou model de bare pentru acelaşi element.

9.5. CALCULUL BARELOR ŞI AL NODURILOR

În cazul barelor întinse, dimensionarea se face la starea limită de rezistenţă, aria de
armătură obţinându-se prin împărţirea efortului de întindere la rezistenţa de calcul a armăturii.

Pentru barele comprimate ale modelului se pot întâlni trei distribuţii de câmpuri de eforturi:
• distribuţie în formă de evantai (fig. 9.7a), care este o simplificare a câmpului de eforturi

unitare cu curbură neglijabilă; nu dezvoltă eforturi unitare transversale;
• distribuţie în formă de gât de sticlă (fig. 9.7b), care dezvoltă eforturi unitare transversale

considerabile de compresiune în gâtul sticlei şi de întindere în rest; din cauza acestor
întinderi este necesar a se prevedea armături transversale, care se pot determina pe baza
modelului din figura 9.7c;
• distribuţie prismatică (fig. 9.7d).
Distribuţiile în formă de evantai şi gât de sticlă se întâlnesc în acele porţiuni ale elementelor
unde se aplică forte concentrate semnificative (reazemele elementelor, zonele de ancorarea a

armăturilor postî~tinse ale elementelor din beton precomprimat etc.). Distribuţia prismatică
este caracteristică zonelor B.

T

c_

flttffj!f (jbc mmmcrbc

a) b) c) d)

Fig. 9.7. Câmpuri de eforturi unitare

edeul modelului de bare 259

ile unitare de compresiune trebuie să respecte condiţia:

este efortul unitar de compresiune (fig. 9.7), calculat pe baza fortei axiale de

presiune şi a ariei minime a câmpului de distribuţie; dacă modelul de bare s-a

pe baza analizei detaliate a stării de tensiune (crb1, crb2 şi a) atunci crbc este chiar
rtul unitar principal de compresiune;
- valoarea corectată a rezistenţei la compresiune a betonului, recomandându-se
ăto~rele valori: Re pentru starea inonoaxială de eforturi unitare; 0,8Rc pentru
.•. pun de compresiune cu fisuri paralele cu direcţiile acestora; 0,6Rc pentru câmpuri de

mpresiune cu fisuri înclinate;

... rezistenţa de calcul la compresiune monoaxială a betonului.

~[~ rep:ezintă zo°:e ~ care forţele s~t dev!ate pe o anumită lungime, respectiv lăţime.
u~ tlpun ~e nodun, ş1 anume: _nodun contmue, respectiv noduri singulare.
unle continue (fig. 9.8b) reprezmtă zonele în care se întâlnesc două câmpuri de eforturi
e lăţ~me _m~re, sau un~e are loc o întâlnire între un câmp de eforturi unitare şi un
a_rma~n d1s~use la distanţe reduse. Aceste tipuri de noduri nu sunt periculoase,
1ent sa se asigure ancorarea armăturilor dincolo de traseele extreme ale eforturilor

de compresiune (fig. 9.8c).

{

nod continuu armătură
a) b)
orizontală

c)

Fig. 9.8. Noduri continue şi singulare

odurile singulare reprezintă punctele în care au loc devieri puternice ale fortelor

e, datorită forţelor concentrate exterioare. În aceste noduri, starea de tensiune' este

mai multe ori atât de complicată, încât poate îngreuna proiectarea elementului.

ârnedzoîlnvavreedeprreacctăic[ă13a0Jn:odurilor singulare, în care sunt ancorate şi armături se poate

'

pommaetnrdiaă nc oa daurrmiăltourritlreebauniecosraătefiesă în concordanţă couînfăolrţţeilmee aplicate nodului· sseă
respu~dă se hn a nodului car~
dimensiunilor câmpurilor de distribuie pe

eforturi unitare convergente în nodul r;spectiv;

odunle unde se întâlnesc atât bare comprimate, cât şi bare întinse trebuie să se asigure

orarea corespunzătoare a armăturilor; lungimea de ancorare începe din punctul în care

pul de eforturi unitare de compresiune întâlneşte armăturile (fig. 9.9b, c) şi trebuie

depăşească marginea opusă a nodului; dacă armătura nu depăşeşte marginea nodului

fig. 9.9a), atunci armăturile se vor ancora în plan orizontal, pe lăţimea elementului;

260

• la marginile zonei nodului efortul unitar în beton trebuie să respecte condiţia:

(J bn :5; Re nod

unde: cr b n = N este efortul unitar în beton, în zona nodului (fig.9.9);
bbc

n

Ne - forţa de compresiune îndreptată spre nod;

b - grosimea elementului în zona nodului;

b/1 = br sine+ h11 cose - lăţimea nodului (fig. 9.10);

Re 110d - rezistenţa de calcul a betonului în nod, egală cu l,lRe în nodurile unde concură
numai bare comprimate, respectiv 0,8Rc în nodurile unde sunt ancorate şi bare
întinse;

Re - rezistenţa de calcul la compresiune monoaxială a betonului.

a) b) c)

Fig. 9.9. Noduri de ancorare a armăturilor

1-!y

Fig. 9.10. Dimensiunile nodului

Aplicaţia numerică 9.1. Trasarea modelului de bare pe baza reprezentării grafice a stării
de tensiune obţinută cu metoda elementelorfinite

Se cere schiţa de armare pentru grinda perete din figura Apl.9.1.1, utilizând metoda
elementelor finite în vederea reprezentării grafice a stării de tensiune. Calitatea materialelor:
Cl6/20 (Re= 12,5 N/mm2) şi OB37 (R0 = 210 N/mm2; E0 = 210000 Nlmm2).

cedeul modelului de bare 261

q = 125 kN/m,___ _ _ _ _ _ __J

D b = 0,15

(ml

Fig. Apl.9.1.1.

aplicarea procedeului modelului de bare s-a folosit varianta PMB implementată
tor [132], care sub AUTOCAD reuneşte programele TENSPLAN şi SPA. Programul
AN efectuează analiza stării plane de tensiune cu ajutorul elementelor finite
hiulare, în timp ce programul SPA efectuează calculul static al structurii plane
a modelului de bare.
pele parcurse sunt următoarele:
retizarea grinzii perete în elemente finite dreptunghiulare; operaţia se efectuează
desenare îri AUTOCAD;
Jiza stării plane de tensiune; varianta implementată a' procedeului modelului de bare
ezintă grafic starea de eforturi unitare principale; în figura Apl.9. l .2a şi b se reprezintă
rile unitare principale de întindere, respectiv cele de compresiune;
baza stării de tensiune s-a ales modelul de bare din figura Apl.9.l.2c, care are 11 bare
noduri;
ulul static al modelului de bare; eforturile obţinute sunt prezentate în tabelul Apl.9.1
mpresiunile sunt pozitive);

Tabelul Apl.9.1.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0,0 - 85,0 175,2 - 66,2 38,8 17,8 135,0 35,0 125,8 0,0 43,8

i;alculul ariilor de armătură:

bara 2: Âa =Ni/Ra = 85,0·103/210 = 404 mm2 :::} 2(j>l6 (4,02 cm2)

bara 4: Â 4 = NJRa =66,2·103/210 = 315 mm2 :::} 2(j>l4 (3,08 cm2)

rificarea nodului 3, de reazem
·;;.. se determină rezultanta forţelor de compresiune ce acţionează în barele 6 şi 7:

N:::: ~NJ + N? ::;: ~17,8,. + 135,02 = 136,2 kN;

cele două bare fac cu orizontala următoarele unghiuri a 6 =30,858° , respectiv
a 7 =59,777°; aceste valori se obţin din coordonatele nodurilor de capăt ale celor

.două bare;
- rezultanta N face cu orizontala unghiul a= 55,872°; acest unghi rezultă din însumarea

vectorială a celor două forţe N6 şi N1;

- înălţimea nodului este h11 = <I> +2c = 16 + 2·25 =66 mm
- lăţimea nodului este b/1 = br5ine + hncose =200sin55,872 + 66cos55,872 = 203 mm

262

- efortul unitar în beton în nod este:

O' = !!.s_ = 136,2 · 103 = 4,5 N/mm2 < Re nod= 0,8Rc = 0,8· 12,5 = 10 N/mm2

bn bbn 150 · 203

• schiţa de armare este prezentată în figura Apl.9. l .2d.

, - ,.,I ,,I , ,--,-,-,....,r-,:,...,...-,---,--:--y-:,""7T"T."'T:'"-r-,

r-- r-- '

'""=F=;: _,,,,,,,,,,,,,,,.,,,,,._

-.-1',N, - - -...--~.,,, _ -

O-OI - I\ .,.,.

a) eforturile unitare principale de întindere b) eforturile unitare principale de

compresiune

\

_ t--. plasr cj)(J 2u cm
.....

~-,-.,-

I- deplasare blocată """' \_2<1>16 ,J'>i.

c) modelul de bare !tfţi L2<j>I4 ;~1~,:0

d) schiţa de armare

Fig. Apl.9.1.2 .

Aplicaţia numerică 9.2. Trasarea modelului de bare pe baza scurgerii încărcărilor prin

element (metoda sursă - terminal)

Se cere calculul ariilor de armătură în zona de acţionare a unei forţe concentrate

p = 625 kN , care este plasată la distanţa ap = O, 17 m de marginea secţiunii de capăt a

elementului (fig. Apl.9.2.1). Pentru materialele utilizate se cunosc: rezistenţa la înti~~erea a
betonului R, = I, 17 N/mm2; rezistenţa armăturii: Ra = 21 ON/mm2; modulul de elast1c1tate al
ot'eluSluuibE;f=ec2tu1l00fo0r0ţeNi /cmonmc2e.nDtriamteenpsoitua~pilaeresefciţsiuurniiinotrramnaslveerşsia/lseausufinstubri/hde=
0,50/1,60 m.
despicare, motiv

pentru care este necesară armarea locală a capătului grinzii. .

Perturbarea produsă de forţa concentrată se extinde pe o lungime a= h = 1,60 m de la

capătul elementului (Fig. Apl.9.2.2a). . .. ..
Caracteristicile geometrice ale secţmnu transversale dreptunghmlare la distanţa a de la

capătul elementului sunt:
Ah= bh = 500·1600 = 8·105 mm2;

wb = bh2!6 = 500-16002/6 = 213,33·106 mm3•

I modelului de bare 263

nsiune la limita zonei de perturbare este dată de valorile extreme ale diagramei
e (s-a neglijat efectul greutăţii proprii):

625-103 + 625-103 ·630 = Jo.78+ 1,85 = +2,63 N/mm2

8·105 - 213,33·106 lo,78-1,85=-1,07 N/mm2 =R
1

~--Fisură
normală

despicare

p

Fig. Apl.9.2.1.

ntele eforturilor unitare de compresiune, respectiv de întindere sunt:

bx<Jcompr/2 = 500 · 1140 · 2,63/2= 749,55·103 N = 749,55 kN

p(h-x)cr;n1/2 = 500 · (1600-1140)· 1,07/2= 123,05-103N = 123,05 kN

cumîn centrul de greutate al celor două triunghiuri.
s-a arătat la punctul 9.4, metoda scurgerii încărcării prin element se bazează
nţa unei surse.forţa concentrată P, şi a unui terminal, diagrama de eforturi unitare
ă de la capătul lungimii a = h .

tru stabilirea modelului de bare se au în vedere două variante privind scurgerea

prin element, pornind de la modul în care forţa concentrată P se poate echilibra cu
rezultante interioare Nb şi Nt. Alegerea între cele două variante se face pe baza
· de minim prezentat la punctul 9.4.
nta 1
ul de scurgere al încărcărilor este reprezentat în figura Apl.9.2.2b. Forţa Peste

tă de diferenţa Nb - N 1 pe traseul a, în consecinţă forţa M se echilibrează cu restul

siune pe traseul (3. Pentru satisfacerea echilibrului este necesară existenţa unei forţe
e orizontale T, care să acţioneze la capetele superioare ale traseelor a şi (3. Modelul
e prezentat în figura Apl.9.2.2c.
nta 2
I de scurgere al încărcărilor este reprezentat în figura Apl.9.2.2e. În principiu se

• ca în cazul variantei I, dar forţa Nb se împarte în două valori Nb1 = P şi =Nb2 N1 •

acţionează în centrul de greutate al trapezului, celelalte două forţe acţionând în

e greutate al triunghiurilor respective. În acest fel, cele două trasee a şi f3 sunt complet

Modelul de bare este prezentat în figura Apl.9.2.2f.
urma calculului static, efectuat pe calculator cu programul SPA, s-au obţinut forţele

barele celor două sisteme, precum şi valorile pentru criteriul de minim în vederea

J soluţiei optime.

264

Forţele axiale (în kN) în barele celor două modele sunt prezentate în tabelul Apl.9,
iar valorile pentru criteriul de minim sunt:

• pentru varianta 1: ''ENl;E; = 42737,
• pentru varianta 2: r.N;l;E; = 33738.

-10,17 1,43 VARIANTA!
p

a= 1,6

h = 1,60

d)

C - compresiune e) t)

T - întindere

r- deplasare blocată

Fig. Apl.9.2.2. Stabilirea modelului de bare pe baza scurgerii încărcării prin element

Având în vedere cele două valori de mai sus, s-a ales în final varianta 2 a modelului de

bare.

. . .1:abeIul Api 9 2

Bara l 2 3 4 5 6 7

Varianta I -175,00 -122,66 649,00 747,66 213,70 - -

Varianta 2 -108,33 -131,04 634,31 625,00 170,02 131,04 108,33

Ariile de armătură necesare sunt:

bara 2l ·.:AAa.==NNiII/RRaa ==ll3018,30' 34-·110033//221100 =5 16 mm22 =}2<1>12+2<6!>142()5,34cm2)
bara =6 24 mm =}4<1>14(6,l cm

cedeul modelului de bare 265

<1tumerică 9.3. Comparaţie fntre calculul curent conform teoriei betonului armat

şi procedeul modelului de bare
e calculul la acţiunea momentului încovoietor şi a forţei tăietoare pentru grinda

Apl.9.3.1. Se cunosc calităţile celor două materiale C16/20 (Re= 12,5N/mm2;
2

şiN/mm , cum,= 1), PC52 (Ra = 300N/mm2; Ea= 210000N/mm2), precum

ile secţiunii transversale, b/h =0,2510,55 m.

?=1,?..... *

~ L=6,0m ~I

~M=l71kNm/

DQ=ll4kN

L]

Fig. Apl.9.3.1.

Iul curent conform teoriei betonului armat
.narea la moment încovoietor
adoptă a = 35 mm, rezultând ho = 515 mm.

ade armătură întinsă se calculează, în mod curent, cu ajutorul tabelelor, iar în lipsa

se poate proceda după cum urmează (vezi nota de subsol ! de la pct. 6.6.1, pag.173):

M 171·106 0,2063
bhlRc 250·5152 ·12,5

1- ,./1 - 2m = 1- .J1 - 2 · 0,2063 = 0,234

= 100~ RC = 100-0 234 12•5 = O973 %
Ra ' 300 '

a =_1p0_0_bho = 0 973 250·515=1253mm2
1•00

aleg 4<!>20, ceea ce înseamnă 12,56 cm2•

-Q 114-103

< Q = b/ioR = 250-515·0.95 0,93 < c = 4

t·rusimprpelliu, acrueadofourăţebiratăţieet(noaer=e,2s)e, eoxpetceuatzaăţipdeinntrOuBar3m7.area transversală formată numai
ăreşte stabilirea etrierilor în aşa fel încât să fie capabili să preia forţa tăietoare în

, ceea ce înseamnă Q = Q.b = 2~bh5m1R1q.J;.

ece nu se ridică armături pe reazem, procentul de armare care intervine în expresia

1256
250-515 100=0'976%·'

266

2J2so.s1s2 ·1·0,95·qe~0,976 =114·103

Din ecuaţia de mai sus se obţine qe = 52,2 N/mm

Din relaţia qe = neAematRa se determină raportul:

ae

Âae = qe 52•2 =0,115 mm2/mm

ae nema,Ra 2·0,8·210

Cu ae = 250 mm, rezultă Ae = 39mm2, alegându-se etrieri cu două braţe <1>8/250 mm

(l,01 cm2). Între cele două forţe se dispune constructiv <1>8/300 mm.

b. Calculul cu procedeul modelului de bare

Cunoscând starea de eforturi unitare într-un element încovoiat, s-a ales modelul de

bare din figura Apl.9.3.2, cu următoarele precizări: ·

• barele @ şi 0 modelează armătura întinsă, respectiv betonul comprimat; distanţa dintre

=cele două bare este braţul de pârghie z, care se estimează la (0,8 .. .0,9)h0; z = 0,85h0 "'

= 0,85·515 450 mm;

• bara O modelează toţi etrierii aflaţi între reazem şi forţa concentrată;

• bara @ modelează armătura întinsă dintre toate capetele inferioare ale etrierilor;

• bara O modelează toate diagonalele comprimate ce pornesc de la reacţiune la partea
superioară a tuturor etrierilor dintre reazem şi forţa P;

• bara 0 modelează betonul comprimat dintre reacţiune şi forţa concentrată;

• bara 0 modelează toate diagonalele comprimate ce pornesc de la partea inferioară a tuturor
etrierilor la forţa concentrată;

• bara 6 modelează betonul comprimat dintre toate capetele superioare ale etrierilor.

Sporirea numărului barelor ce modelează etrierii (bare de tipul O) şi cele două tipuri de
diagonale comprimate de tipul O şi 0, conduce la un model mai apropiat de starea de eforturi.

Fig. Apl.9.3.2. Modelul de bare simplificat pentru forţă concentrată în vecinătatea reazemului

În bara@ a rezultat o forţă axială de întindere N3 = 380 kN, ceea ce conduce la o arie a
armăturii întinse de A0 = NiRa = 380-103/300 = 1267 mm2, alegându-se 4<1>20 (12,56 cm2).

În bara O s-a obţinut o forţă axială de întindere N1 = 87,3 kN, ceea ce conduce la o arie
totală a etrierilor de (neAe),01 = N1/m R01 0 = 87,3-103/0,8·210 = 520 mm2• Între reazem şi forţa

concentrată se pot dispune 5 etrieri la distanţă de 250 mm. Aria necesară a barei pentru un
etrier cu două braţe, este Ae = 520!5ne = 52 mm2• Pentru armarea transversală se aleg etrieri
<1>8 (50,2 mm2), dispuşi la 250 mm.

·

CALCULUL LA OBOSEALĂ

t COMPORTAREA ŞI RUPEREA ELEMENTELOR DIN

.. BETON ARMAT SUPUSE LA OBOSEALĂ

enomenul de oboseală este produs de încărcările mobile date de podurile rulante
· le, de convoaiele rutiere şi de cale ferată, sau de utilaje ori maşini cu amplasament
mportarea elementelor din beton armat sub efectul acţiunilor variabile repetate, cu
er dinamic, este condiţionată de evoluţia rezistenţei materialelor componente şi a

ii dintre beton şi armătură.

boseala betonului, manifestată prin procesul de accelerare a microfisurării şi apoi a
'i, conduce la scăderea rezistenţei betonului şi a modulului său de elasticitate. Acest aspect
· ă scăderea rigidităţii elementului şi creşterea deformaţiilor sale. Accentuarea numărului
schiderii fisurilor, respectiv creşterea deformaţiilor, are loc mai ales în preajma ruperii
ntelor supuse la oboseală.
entru armătură, creşterea deformaţiilor datorită oboselii înseamnă sporirea efortului
. Fenomenul de oboseală se manifestă deci printr-o oarecare redistribuire a eforturilor
beton şi armătură.
derenţa este influenţată de asemenea negativ de încărcările repetate dinamice. Oboseala
lui, prin degradarea structurii acestuia, poate conduce la scăderea efortului unitar de
ţă şi la apariţia unor fisuri înclinate în zona armăturilor.
omportarea elementelor din beton armat la oboseală este influenţată, pe lângă efortul
maxim, de numărul n de cicluri repetate şi de coeficientul de asimetrie al ciclului,

, unde amin, Omax reprezintă eforturile unitare minime, respectiv maxime, produse

max

ţiuni în beton şi în armături. În consecinţă, se disting: coeficientul de asimetrie pentru
, Ph, respectiv pentru armătură, p0 •

268

Valoarea coeficientului de asimetrie p E (-1;1) caracterizează ciclurile de încărcare.

descărcare:

• ciclu oscilant: O< p < 1;

• ciclu pulsator: p =O;

• ciclu alternant,

- nesimetric: -1 < p < O

- simetric: p = -1

Acţiunile repetate produc în elementele structurale solicitări variabile în lungul lor, cuprinse
între anumite valori maxime şi minime.

De exemplu, în cazul unei grinzi continue, forţele transmise de roţile unui convoi mobil
produc momente încovoietoare cu înfăşurătoarea având alura din figura 10.1.

1--1Distanţa dintre roţi Convoi de forţe
obile care produc
Încărcare care nu produce oboseala 1
oboseala

Diagrama înfăşurătoare a momentelor încovoietoare ME

Oscilant Pul'''''sator Alternant simetric

0$p< 1 p=O p=-1

Alternant nesimetric

-1 $p<O

Fig. 10.1. Cicluri de solicitare la oboseală la o grindă continuă cu convoi mobil

Se observă că în funcţie de raportul momentelor încovoietoare M ;,;n IM;,ax , în lungul

grinzii se întâlnesc mai multe tipuri de cicluri.

Eforturile unitare <:rm;n sunt produse de momentul încovoietor cel mai mic din secţiunea

de verificare, iar <:rmax de momentul încovoietor cel mai mare, în valoare absolută. De exemplu,
M;,;.,pentru determinarea eforturilor ermin se utilizează momentele
pozitive sau negative,

conform zonelor haşurate ale diagramei de momente din figura 10.l.
Secţiunile de verificare în lungul grinzii, din punctul de vedere al oboselii, pot să coincidă

cu cele în care se face în mod obişnuit verificarea la starea limită de rezistenţă (momente

I la oboseală 269

!oare absolută, în câmpuri şi pe reazeme), dar apar în plus secţiuni critice, în
rea este mai defavorabilă, şi anume cea alternant simetrică.
.alternant simetric este cel mai defavorabil din punctul de vedere al rezistenţei

i din beton armat, deoarece produce amplitudinea cea mai mare de solicitare

-_erm;J; fisurile se deschid/ închid succesiv în fibrele opuse ale grinzii, iar în

"le unitare variază între - O'a şi +O'a • În consecinţă, rezistenţa la compresiune

este minimă (pct. 10.2.1); de asemenea, pentru pa =- Jse produce cea mai mare

ezistenţei oţelului (anexa 9).
elementelor din beton armat sub efectul acţiunilor repetate se produce casant,
boselii betonului, fie a armăturii, prin:

betonului comprimat, la elementele cu procente mari de armare, solicitate la
sau în cazul I de compresiune excentrică, la cele din betoane de clasă inferioară
entele solicitate în cazul II de compresiune excentrică, indiferent de calitatea
ui şi de cantitatea de armătură;

armăturii, la elementele cu procente mici sau mijlocii de armare, solicitate la
ere sau în cazul I de compresiune excentrică, la elementele întinse şi în cazul
i armăturilor cu rezistenţă scăzută la oboseală;
ea aderenţei dintre beton şi armătură, dacă nu se asigură prin proiectare şi execuţie
Jrea corespunzătoare.

ALCULUL ELEMENTELOR DIN BETON ARMAT

t.A STAREA LIMITĂ DE OBOSEALĂ

area elementelor din beton armat la starea limită de oboseală se face în stadiul
loatare (cu excepţia elementelor comprimate centric, funcţionând în stadiul I).
, inarea solicitărilor de exploatare ME, NE, QE se face sub efectul acţiunilor
'cUrespunzător verificării la starea limită de oboseală, conform relaţiei (5.25) din
5.4, punctul 5.3:

"'i,If +"'i,Gp +"'i,nfV' 7+ Vob

ii i

;gruparea pentru starea limită de oboseală, acţiunile permanente, cvasipermanente şi
e care produc oboseala (V0b) se iau egale cu intensitatea lor normată, iar pentru alte

care nu produc oboseală, se consideră fracţiunea de lungă durată ( n{V/ n ).

oboseala este produsă de acţiunea unor maşini şi utilaje cu amplasament fix, se
cu încărcările de calcul, corespunzătoare verificării la starea limită de rezistentă.
. ·1e unitare normale şi tangenţiale în stadiul II, produse de solicitările de expl~atare,
mă acceptând comportarea elastică a betonului comprimat şi valabilitatea ipotezei

plane, aşa cum s-a arătat în capitolul 4.
carea elementelor din beton armat la starea limită de oboseală se face punând
de mai jos:
·1e unitare normale în stadiul II de exploatare, în beton şi în armătura longitudinală,
depăşească rezistenţele de calcul la oboseală, stabilite conform capitolului 5.2;
ile unitare principale de întindere să fie preluate de beton, în limitele indicate în
10.3 şi de armăturile transversale, cu condiţia ca valoarea acestor eforturi să nu
ască rezistenţa la oboseală a oţelului din care sunt confecţionate.

270

Determinarea secţiunii de beton, de armătură şi dispunerea barelor rezultă din cal
la starea limită de rezistenţă în secţiuni normale şi înclinate; verificarea la oboseală p
conduce la sporirea secţiunii de armătură şi la dispunerea acesteia astfel încât să fie îndepli
şi· condiţiile enunţate mai sus, pe lângă cerinţele stării limită de rezistenţă.

10.2.1. Verificarea eforturilor unitare normale în beton
şi în armăturile longitudinale

Condiţiile de verificare în secţiuni normale sunt exprimate de relaţiile (5.32) şi (5.33):

crb ~R%; oa ~Ri

Eforturile unitare normale maxime în beton şi în armătură în stadiul II de exploatare
pentru secţiuni monosimetrice se determină cu relaţiile date la punctul 4.2.2.2.

Pentru grinzile încovoiate cu secţiunea monosimetrică dublu armată, de exemplu, sunt
valabile relaţiile (4.9), (4.6) şi (4.7):

ME . ( j _ n e c r bmha0 - x . , x - a'
-- , (ja=necrbmax--
(jbmax=--x, a- x

Ib; X X

Rezistenţa de calcul la oboseală a betonului se determină conform punctului 5.2.2.3, cu
relaţiile (5.11) şi (5.12), iar rezistenţa de calcul la oboseală a armăturii conform punctului
5.2.3.l, relaţia (5.22):

R% =mbcm;cR; ; m;c =0,6 + O,Spb ~ l,O

Rao =maomas R*a

p: ,Determinarea coeficienţilor de asimetrie Ph, Pa, în cazul ciclului oscilant, respectiv

Pam.ifşi pasup, în cazul ciclului alternant, se face conformrelat,iilor (5.13), (5.23) şi a figurii 10.2:

- pentru beton:

Pb = crbmin 2:: O - cazul I şi II de compresiune, ciclu oscilant sau pulsator;

(jbmax

;inp b = ME. 2:: O - elemente "mcovoi.ate, c1.c1u osc1·1ant sau pulsator;
Mmax

- elemente solicitate la cicluri alternante;

- pentru armăturile longitudinale:

Pa =__c_!!.r.!!!..1!L; P'ac= r:'m.m
(jamax (jamax

Se observă că pentru ciclul oscilant, valoarea coeficientului de asimetrie al eforturilor

;.;n !axunitare în beton se poate înlocui cu raportul dintre momentele încovoietoare M şi M

din secţiunea de verificare. Din cauza proporţionalităţii dintre eforturile unitare din armătur!
cu cele din beton, se poate admite şi pentru coeficientul de asimetrie al armăturilor aceeaşi

valoare ca pentru beton.

271

crinr
painrc=rin~f <O

amax

Pb = ~(J . = ME

(Jbmax __!!!iJ!...
MEmax

=M-E!in-
(J . Mmax

Pa=~>O

(Jamax

Fig. 10.2. Determinarea coeficienţilor de asimetrie p. şi Pb

2. Verificarea armăturilor transversale

orturile unitare principale de întindere o1 = i-0 se calculează la nivelul axei neutre,

orturile unitare tangenţiale au valoarea maximă i-0 (cap. 4.2). În cazul în care
le au forma T, de exemplu, calculul se face şi la nivelul în care forma secţiunii se

ă.

leului eforturilor unitare principale de întindere se face cu relaţia (4.16):

01 =Q;
bz

; este valoarea corectată a forţei tăietoare, în concordanţă cu relaţia (4.13).

ţul de pârghie z al eforturilor interioare în stadiul II se poate calcula în mod simplificat,

=l secţiunilor·dreptunghiulare şi T, cu relaţia: z 0,85h0 •

elul de solicitare la eforturi principale de întindere (valoarea relativă a eforturilor

dat de raportul:

-C J 1 =CJ1- (10.1)
R,
r acă este îndeplinită condiţia :
cr ~o.s!

i
1 (10.2)
eră că eforturile unitare principale de întindere pot fi preluate în întregime de beton;

:ra transversală se dispune conform verificării la starea limită de rezistenţă.

272

Sub efectul încărcărilor care produc oboseala, efortul unitar principal de compresi

=a 2 i-0 nu trebuie să depăşească valoarea:

O"z -5,. aR.c =(O,l...0,2)Rc
Având în vedere că cr2 = lcrd şi Re =(10...20)R1 , relaţia de mai sus conduce la o fo

convenţională de verificare a secţiunii de beton, prin condiţia:

a1 -5,.2,0

Eforturile principale de întindere cr1 se repartizează betonului şi armăturilor transversa

după cum rezultă din figura 10.3 şi anume:

cr- în zona în care 1 -5,. 0,5 eforturile principale de întindere sunt preluate de beton;
cr- în zonele în care 0,5 < 1 -5,. 2,0 eforturile principale de întindere sunt preluate:

a) de beton şi de armăturile transversale (etrieri şi bare înclinate sau numai etrieri),

cazul ciclurilor oscilante sau pulsatorii (P ~ O, respectiv Ph = crh mirlcrh max~

partea preluată de beton fiind:

a, =0,3

b) numai de către armăturile transversale, sub formă de etrieri şi, eventual, armături
înclinate, în cazul ciclurilor alternante (p < O, respectiv Ph = O).

crDiagrama se construieşte pe baza diagramei înfăşurătoare a forţelor tăietoare maxime
1

Q;max , ordonatele având valorile :

o\= Q; = Q;
bzR1 0,85bh0 R1
Efortul unitar de întindere preluat de etrieri se determină pe baza relaţiei (4.18), c

Âae =neAe:

(J =<J-1ae-b
ae neAe

în care n.Ae reprezintă aria ramurilor verticale de etrieri din secţiunea respectivă, etrieri stabili
anterior conform calculului la starea limită de rezistenţă în secţiuni înclinate, iar b lăţime

grinzii sau a inimii, la nivelul la care s-a calculat cr1•
Când efortul unitar din etrieri, O"ae, ajunge la valoarea rezistenţei la oboseală a oţelului d

oare sunt confecţionaţi, R~e , rezultă efortul unitar care poate fi preluat de către etrieri:

având valoarea relativă :

= - = - - - -- <J1e neAe R~e
0"1 R aeb R1
e 1

Determinarea rezistenţei la oboseală a etrierilor se face pentru valoarea coeficientului

asimetrie Pa= Pae =Q;m;n/Q;max ·

273

· a CT1 şniuaersmtăetuacroapîenrciltiănaîntă;înotrbeigşinmuietdsee cvaepriafciictaăteaarmbăettuornaulturianşisvaerestarileărisluobr
din calcul

r în~li~a.te (!n mod curent la 45°), determinate din calculul la starea limită de

secţ1un1 mclmate. .

-·- ·-·-·- ·- ·-·-· ·-·- ·-·-·-·-·-·-· ·-·-·-·-·- ·-·-·-·-· .Ifww32___

li p~O I

parte preluată de armătura înclinată

Ai= An + Ai2 + Ai3

i·

!e -~---;__;__..:..::.._~,c:;__~0,5

8

parte preluată de armătura înclinată

cu

u.....i-......,_,_...L-1-.L-L...J.-J....J.....L.-1-W....i.-L.I.....LJ..._L.._..:.........::~oa

Fig. 10.3. Preluarea eforturilor unitare principale de întindere

iţi ~l unitar de întindere preluat de o armătură înclinată A4 ; este dat de relaţia (4.17):
ea <J . =--1!!_ = A;bR1
a, fi.Aai /i.Aai {lO.?)
din
i_~ = este aria părţii din diagrama cr1, preluată de armăturile înclinate (fig. 10.3).

I

"derând că efortul de întindere Oa; din armătura înclinată la 45° ia valoarea rezistenţei

lă a armăturii înclinate R~;, rezultă aria necesară totală a acestora, A0 ;:

A.= A,bR, (10.8)
a, fi.Ro.

a,

· nninarea rezistenţei la oboseală a armăturilor înclinate se face pentru coeficientul

de · e p= pa,·= Q;Emin
:a
•

Qcmax

274 BETON ARMAT

Armăturile înclinate se repartizează în lungul grinzii astfel ca să fie solicitate în mod egal
în raport cu diagrama înfăşurătoare a valorilor maxime 0"1, (fig. l 0.3), adică

4· = Â;1 = Â;2 = Â;3

Âai Âail Âai2 Âai3

În cazul în care variaţia forţei tăietoare este liniară, suprafaţa A; din diagrama cr1 care

revine barelor înclinate poate fi de formă triunghiulară sau trapezoidală.

A;Pentru diagrama triunghiulară1, se procedează după cum urmează [15], [139]:

• se stabileşte numărul de secţiuni de ridicare şi barele înclinate corespunzătoare (obişnuit
se verifică A0 ; rezultate din calculul la starea limită de rezistenţă în secţiuni înclinate);
considerând, de exemplu, că se ridică trei bare având acelaşi diametru în trei secţiuni

conform figurii 10.4, diagrama A; trebuie împărţită în trei părţi egale;

Fig. 10.4. Repartiţia armăturilor înclinate
• se descrie semicercul de diametru BC, se împarte segmentul BC în trei părţi egale, se ridică

perpendiculare pe segment din punctele de diviziune până se intersectează semicercul;
se rabat aceste intersecţii înapoi pe BC, prin arce cu centrul în B, obţinându-se punctele
D şi E. Din punctele D şi E se coboară linii verticale până la latura AB, triunghiul ABC
fiind astfel împărţit în trei părţi egale. Pentru a obţine poziţia barelor înclinate, se determină
centrul de greutate al suprafeţelor obţinute, se duc verticale până la axa mediană a grinzii;
barele înclinate trebuie să treacă prin punctele de intersecţie obţinute.
Dacă barele ridicate au arii diferite, segmentul BC se împarte proporţional cu ariile din
diferite secţiuni de ridicare.
Dacă din acest calcul rezultă alte poziţii ale barelor ridicate decât cele rezultate din
verificarea la starea limită de rezistenţă, este necesar ca această verificare să fie refăcută.

Aplicaţia numerică JO. Verificarea la starea limită de oboseală a elementelor încovoiate

Se cere verificarea grinzii de rulare din beton armat, prefabricată, simplu rezemată,

cunoscând: b/hlh/b/ho = 300/750/130/550/690 mm (fig. Apl.lOa); calitatea materialelor:

beton C20/25, oţel PC52 şi OB37. Solicitările produse de încărcările care produc oboseala,

1 Există o procedură similară şi pentru diagrama trapezoidală [15].

. Calculul la oboseală 275

sunt: MmEax/MmE,.n!MlEd = 290/50/189 kNm,· =QmEax liQmEm. liQ1f,-2

in calculul la starea limită de rezistenţă s-au determinat:
ătura longitudinală, din oţel PC52: 6<j>22
ătura înclinată la 50 mm de la faţa reazemelor: 2<!>22, din cele 6 bare

·erii dubli, din oţel OB37: <!>8/150 mm.

lui în secţiuni normale
Valoarea corectată a modulului de elasticitate se obţine cu relaţia (4.3):

= 0,8Eb _ = 0,8 · 30000 = 15520 N/mm2

1+ 0,5v<p l + 0,5 · 0,65 · 1,68

E.
189 -
V= M1d = 290 = 0,65; = k1 k2 k3 (f)o = 0,6 · 1,0 · l,O · 2,8 = 1,68 (anexele 5 şi 7)
-E- (f)

Mmax

Coeficientul de echivalenţă este dat de relaţia:

E;n = E0 = 210000 =l3 5

e 15520 '

Se calculează:

poziţia axei neutre, rezultând din condiţia (4.4c), particularizată pentru secţiunea T:

Sbc-Sa = O

0,5bx2 + hp(bp - b)(x - 0,5hp) - n,,Aa(h0 - x) = O

0,5·300x2 + 130(550 - 300)(x - 0,5· 130) - 13,5·2281(690 -x) = O
x2 + 422x - 15570 = O; rezultă x = 236 mm.

•· .... momentul de inerţie al zonei comprimate de beton în raport cu axa neutră:

b 3 h3 ) 2=

Ibc= 23- + ~ - b ~1+2 ( b -b)h (x-05h

P P P 'P

Y-3-0-·=23-'6-3
3
+(55 - 133 + (55 - 30)13 (23,6 - 0,5 ·13 = 23 l 053 cm4
30) -
12

•- momentul de inerţie al secţiunii ideale de beton în raport cu axa neutră, conform relaţiei
(4.8), pentru A~= O:

lb; =he+ neAa(ho -x)2 = 23,1·108 + 13,5·2281(690- 236)2 = 86,57-108 mm4

Se calculează eforturile unitare normale maxime în beton şi în armătură, cu relaţiile
.9) şi (4.6):

290·106 2
crbmax = 86,57 ·108 236=7,9N/mm

690-236 205 N/mm2
O"a max = 13,5 · 7,9
236

276

,~ 300 ho N.
a)
-A. c)
-,...-f..J.j.-4..1.-UJ M!in
M!ax

A...__ _..;.__......_......._................_..u...__.__ _ _....-....;::,..

·I,4 L/2 = 2,875 I· L/2 = 2,875 1,648

b) d)

Fig. Api. 10.

Rezistenţa de calcul la oboseală a betonului se determină cu relaţiile (5.11) şi (5.12), iar
rezistenţa de calcul la oboseală a armăturii cu relaţia (5.22), având în vedere punctul 10.2.1
şi figura 10.2b:

M;mME. 50
Pb =Pa= max == 290 =0,172

m;c = 0,6 + 0,5pb = 0,6 + 0,5 · 0,172 = 0,686 < 1,0

Ri = mbcm~R; = 1,0 · 0,686 · 15 = 10,29 N/mm2

m! 9 mi:Deoarece armătura nu este sudată, = 1,0; din anexa rezultă prin interpolare

mi= 0,643

Ri = miR: = 0,643 · 300 = 193 N/mm2

Se verifică relaţiile (5.32) şi (5.33):

crbmax = 7,9 < Ri = 10,29 N/mm2;

Ri(Jamax = 205 > = 193 N/mm2

În armătură este depăşită rezistenţa la oboseală; se măreşte cantitatea de armătură

longitudinală cu l<j>22, deci A = 2661 mm2; refăcând calculele, se obţine:
0

cuiul la oboseală 277

= 290·l0: 253=7,58 N/mm2 <Ri =10,29N/mm2;

96,7·10

=13,5·7,58 690 -:- 253 =176,7 N/mm2 <Ri =193 N/mm.2

253

ltă că după sporirea armăturii longitudinale, în secţiunile normale ale grinzii nu apare
de oboseală.

în secţiuni înclinate
ţia rezultantei N6 în raport cu axa neutră se determină cu relaţia:

X
f_
abyhyYdy _ Y1Nb1 + Y2 Nb2

o

f- x abyhydy - NbI +Nb2

o

şi y2 reprezintă distanţele măsurate de la axa neutră până la punctele de aplicaţie ale
telor eforturilor de compresiune din beton, Nb1 şi Nb2 (fig. Apl.lOc):

= - = 253-130. 7,6+2·3,7 = 195 5 mm
I X YGtrapez 3 7,6 +3,7 '

=%2 (x-hP )=f (253-130)= 83 mm

bi= Âb10"blmed = 550· 130(7,58 + 3,7)/2 = 403975 N

Nb2 =Ab20"b2med =300·123·3,7/2=68265N

=h _ _ =690 _ 253 + 403975-195,5+68265·82 = 6l6 mm
.403975+68265
:Z O X YNb

onform relaţiei (4.16), cu Q{ = Q;ax rezultă:

= Q;ax 240000 =l 3 N/mmm2 • cr 88000 = 0476 N/mm2
bz 300-616 ' ' l//Z 300·616 '

calculează valorile relative ale eforturilor unitare principale cu relaţia (10.1 ):

I =-1=,31,18; _ -0,4-7=6 O'43

0"1112=
1,1 1,1

arece 0,5 < o\ < 2,0 rezultă că secţiunea de beton este corect alcătuită, dar este necesar

l armăturilor transversale, conform relaţiilor (10.2) şi (10.3).

e construieşte diagrama o'1, ţinând seama de condiţiile de la punctul 10.2.2 (fig.

Od).

278 BETON ARMAT

Rezistenţa la oboseală a oţelului etrierilor (OB37) se detennină pe baza coeficientului

rezultă şide asimetrie pentru etrieri: pae = Qiin = 25 =0,104; din anexa 9
Qmax 240 mie =0,826

= =Rie 0,826 · 210 173,5 N/mm2•

Partea de eforturi unitare principale preluată de etrierii cu patru ramuri de forfecare
<!>8/150 mm, se determină confonn relaţiei (10.6):

-C1_1neeA-e--R-ie- -_ 4 · 50,3 · 173,5 -_ O,705
aeb R, 150 · 300 · 1,1

Din diagrama din figura Api. IOd, se detennină partea care trebuie preluată de armăturile

înclinate, adică aria ~, cu ordonata 1,18-0,3 - 0,705 = 0,175:

~= 0,175 · 672/2 =58,2 mm

unde distanţa de 672 mm rezultă din asemănarea triunghiurilor ABC şi CDE (fig. Api. 10d).
Rezistenţa la oboseală a annăturilor înclinate (PC52) se detennină pentru coeficientul

de asimetrie Pai = Pae = O, l 04, pentru care din anexa 9 rezultă mi; = 0,626.

Rezultă Ri; =300 · 0,626 =187,8 N/mm2.

Aria necesară de armătură înclinată se calculează cu relaţia (10.8):

= =A. ~bR, 58,2·300·1,l ?2mm2
'2 .a1,nec '2Ro.
'\/"6. QJ187 8'
"'~

Aai,ef = 760mm2(2cj>22) > Âai,nec

Annătura necesară fiind mai mică decât cea înclinată în prima secţiune de la reazem,
alcătuirea este corectă.

CALCULUL DESCHIDERII FISURILOR

.Fisurarea elementelor din beton annat sub încărcările de exploatare este un fenomen
itabil, fiind consecinţa incapacităţii betonului de a prelua eforturile unitare de întindere
use de solicitări ca încovoierea, tăierea, torsiunea (fig. 11. la... d), forţele concentrate de
resiune (fig. I I.le), sau de eforturi unitare de aderenţă mari (fig. 11.lf). De asemenea,

rare cu caracter întâmplător poate fi produsă de efectele contracţiei împiedecate a
oului, variaţiei de temperatură şi a tasărilor diferenţiate ale reazemelor, tasării plastice a
oului proaspăt (fig. 11. l g), acţiunii îngheţului şi a dezgheţului repetat, unor nereguli în
ologiile de execuţie (fig. 11.1 i, j). Rezultatele fenomenului de coroziune al armăturii pot
asemenea produce fisuri în masa betonului (fig. 11.lh).

în funcţie de cauzele care produc fisuri, acestea pot fi: intrinseci, atunci când sunt generate

teriorul betonului (contracţia la uscare, variaţii de temperatură, tasarea betonului proaspăt,
uşi de coroziune expansivi etc.) sau extrinseci, atunci când sunt produse de cauze externe

cări sau defonnaţii impuse). Centralizarea cauzelor care produc fisuri sunt prezentate
belul 11.1 [ll6].
Raţiunile care fac necesar controlul fisurării elementelor şi structurilor din beton armat
feră la aspectul lor, etanşeitatea la apă şi gaze, protecţia împotriva coroziunii şi âlte exigenţe
ţionale. Aceste exigenţe definesc limitele care pot fi acceptate pentru deschiderea fisurilor.
Nonnele actuale prevăd verificări prin calcul pentru controlul fisurării numai în cazul
· or produse de acţiunile exterioare. Această modalitate de abordare a controlului fisurării se

~ pe faptul că regulile de alcătuire constructivă şi tehnologiile de execuţie corespunzătoare
·t evitarea dezvoltării deschiderii fisurilor peste limitele admise. În vederea.evitării unor
i cu deschideri exagerate se impune respectarea condiţiilor de exploatare şi controlul
'odic al stării de fisurare.
În procesul fisurării elementelor din beton annat sub efectul încărcărilor se disting trei
e: fonnarea fisurilor, etapă ce corespunde momentului premergător apariţiei fisurilor;
riţia fisurilor, etapă în care ele devin vizibile; deschiderea fisurilor la anumite valori care

280 BETON ARMA

depind de intensitatea acţiunilor şi care eventual pot afecta durabilitatea construcţiei. În cazu
elementelor din beton armat, primele două etape se suprapun, adică la formarea lor fisuril
devin vizibile, aşa încât se consideră ca distincte două stări limită:

• apariţia fisurilor;
• deschiderea limită a fisurilor.

Tabelul 11.1. Cauzele care generează fisuri Tip
Fisuri apărute înainte de întărirea betonului

Fenomene datorate comportării Contracţia plastică Intr.
Intr.
betonului proaspăt Tasarea plastică (fig. 11.lg)
Extr.
Fenomene datorate procesului Deplasarea susţinerilor (fig. 11.1 i) Extr.
de execuţie Deplasarea cofrajului (fig. 11. lj)
Îngheţ timpuriu Extr.
Efecte termice

Fisuri apărute după întărirea betonului

Fenomene fizice Agregate contractile Intr.
Fenomene chimice Contracţia la uscare Intr.
Efecte termice Microfisurare datorită uzurii Extr.
Cauze structurale
Coroziunea armăturii (fig. 11.lh) Intr.
Reacţii alcali - agregate Intr.

Îngheţ - dezgheţ repetat Extr.
Variaţia termică a mediului Extr.
Intr.
Variaţia termică interioară

Acţiuni cu intensitate de proiectare (fig.11.la...e) Extr.

Suprasarcini accidentale Extr.

Curgerea lentă I&E

Calculul elementelor din beton armat la fisurare se face de regulă numai la starea limit
de deschidere a fisurilor, deoarece, sub încărcările de exploatare, majoritatea structurilor di
beton armat folosite în construcţii civile, industriale şi poduri lucrează în stadiul II fisurat
Calculul la apariţia fisurilor are un caracter convenţional, deoarece formarea şi apariţia fisurilo
se poate produce chiar şi înainte de aplicarea sarcinilor exterioare ca urmare a contracţiei

variaţiilor de temperatură etc. Din motive de impermeabilitate, construcţiile hidrotehnice s
verifică la starea limită de apariţie a fisurilor.

Starea de fisurare a unui elementdin beton armat este caracterizată prin mărimea deschider
fisurilor şi distanţa dintre acestea. În condiţiile unei anumite stări de eforturi unitare într-u
element, mărimea deschiderii fisurilor este funcţie de numărul de fisuri pe unitatea de lungim
a elementului, deci funcţie de distanţa dintre fisuri.

La elementele din beton armat distanţa dintre fisuri şi implicit mărimea deschideri
acestora depinde de un număr de parametri ca: procentul de armare, diametrul şi natur
suprafeţei armăturii, mărimea efortului unitar din armătură, modul de acţionare al sarcin
(static sau dinamic), distanţa dintre bare, grosimea stratului de acoperire cu beton precum ş

calitatea betonului.

Verificarea la starea limită de deschidere a fisurilor se face în stadiul II de exploatare
luând în considerare intensităţile de exploatare (intensităţi de calcul reduse) ale acţiunilo
permanente, cvasipermanente şi variabile, în conformitate cu relaţia (5.26) din tabelul 5.4.

AT .11. Calculul deschiderii fisurilor 281

ul fisură de aderenţă

.) I ile (în dreptul ,armări)
""fisură din încovoiere

/ fisuri nor.male J_I!:d + i

I
· f) eforturi unitare de aderenţă ridicate

k' I iI/..I..,..

I(

b) întindere centrică rr,.'.:.·1

4 fisuri înclinate ! ... ·. •

rai'"';:r-c-)-tă-ie_r_e--....;, g) tasarea plastică a betonului proaspăt

produse expansive de coroziune

't

fisură în lungul armăturilor
h) coroziunea armăturilor

tă -[=~==("'"'"'

in
t.
or

i, e) forţă concentrată i) deplasarea susţinerilor j) deplasarea verticală
centrale ale cofrajului plăcii a cofrajului grinzii
se

rii Fig. 11.1. Tipuri de fisuri

un

me

.1. CALCULUL DISTANŢEI DINTRE FISURI

ii

ra ·.h.c!_tDareedauceexret~an~os1a:r1a1ţ(efiordţiantarxe.ia~laurNi ~e face pentru momentul de apariţie al primei fisuri, când
11.2a) este
ii in cazul elementului întins centric din figura
la cu capacitatea portantă la fisurare Ncapf
şi

Solicitarea exterioară este preluată de beton N şi de armătură N.

• bf af
=e, t=A."'I)t A O'a, 1n'

"b a

or ţiun~a cea ~ai slabă se ~roduce fisura F1. După apariţia fisurii F1, această secţiune trece
stadml II, cand Nb = O ŞI Na= Ncapf (fig. l l .2c). Din dreptul acestei secţiuni, betonul