Cadar, Ioan - Beton armat - scan

382

+ + + + I +)( + +

I \ I C I \
I \ I I I \
I \ I / I \
I I I \
I \ I I \ \
\ I \ \ \
I \ I \ I I
\ \
I \ I \ e
I \ I I
\ I I (
I (
\ (
\ (

/0 = I /0 = 2/ /0 = 0,7 / /0 = 0,5/ /0 =I 0,5/ < /0 < I /0 > 2/
a) b) c) d) e) g)
t)

Fig. 14.7. Lungimi de flambaj ale stâlpilor izolaţi

b. Criteriul zvelteţii pentru elementele izolate
Efectele de ordinul II pot fi neglijate dacă coeficientul de zvelteţe  satisface condiţia:

(14.7)

Valoarea limită a coeficientului de zvelteţe Âum este indicată în normele naţionale,
recomandându-se ca această valoare să se obţină din relaţia:

Âum = 20ABC/J;;_

unde: A= 1/(1 + 0,2cpe/ ); dacă nu se cunoaşte cpe/, se poate accepta A= 0,7;

B = ,J1 + 2co ; dacă nu se cunoaşte co , se poate accepta B = l,l ;

C = l,7-rm; dacă nu se cunoaşte rm, se poate accepta C = 0,7;
cpe/ -valoarea efectivă a coeficientului curgerii lente a betonului, relaţia (14.l);

co= AJyd / Acfcd - coeficientul mecanic de armare; (14.8)
As - aria totală a armăturii longitudinale;
n = N Ed/ Acfcd - valoarea relativă a forţei axiale;

rm =Moi/Mo2;

M01 , M02 - momentele încovoietoare de ordinul I la capetele elementului; în toate
situaţiile se consideră IM02 I~ IM01 I·

Dacă momentele încovoietoare rotesc în aceeaşi direcţie, rm se consideră negativ

( C > 1,7 ), în caz contrar rm se consideră pozitiv ( C < 1,7 ).

Raportul rm ar trebui să fie egal cu 1,0 ( C = 0,7) în următoarele cazuri:

• elemente contravântuite la care momentele încovoietoare de ordinul I sunt produse în

întregime sau numai parţial de imperfecţiunile geometrice sau de încărcările transversale;

• elemente necontravântuite, în general.
În cazul compresiunii excentrice oblice, condiţia (14.7) trebuie verificată pentru fiecare

direcţie în parte; este posibil ca efectele de ordinul II să fie neglijate pentru ambele direcţii
ale secţiunii transversale sau numai pentru una din cele două direcţii.

4. Normele europene EC2 383

cte de ordinul II globale
fectele de ordinul II ale elementelor comprimate pot fi neglijate dacă eforturile

ale le depăşesc pe cele din calculul de ordiRul I cu mai puţin de 1O%, respectiv ca o

tivă şi în cazul în care:

F. <k _n_s_. 'f,Ecdlc
V,Ed - I ns +l,6 L2

Fv,Ed este forţa verticală totală;

ns - numărul de nivele;
. L - înălţimea totală a clădirii măsurată de la secţiunea de încastrare în fundaţie;
Ecd-valoarea de calcul a modulului de elasticitate al betonului, relaţia (14.9);

Ic - momentul de inerţie al secţiunilor nefisurate ale elementelor de contravântuire.

oeficientul k1 se specifică în normele naţionale, recomandându-se valoarea 0,3 l. Dacă

onstrează că elementele de contravântuire nu sunt fisurate în starea limită ultimă,
ientul k1 se înlocuieşte cu coeficientul k2 specificat în normele naţionale,
im.dându-se valoarea 0,62.
elaţia de mai sus poate fi folosită numai dacă sunt îndeplinite toate condiţiile ce urmează:
ctura este relativ simetrică;
ormaţiile globale de lunecare sunt neglijabile (de exemplu, clădiri contravântuite cu
eţi structurali care nu au goluri de dimensiuni mari);
lementele de contravântuire sunt încastrate în fundaţii (rotirile sunt neglijabile);
giditatea elementelor de contravântuire este relativ constantă pe înălţimea clădirii;
cărcarea verticală creşte aproximativ cu aceeaşi valoare la fiecare nivel.

.4.3. Metoda generală de analiză

·Metoda generală se bazează pe analiza neliniară, incluzând neliniaritatea geometrică şi

1curgerii lente. Pentru beton şi armătură se vor folosi curbe cr - E adecvate, precum

din figurile 14.lc şi 14.3.
Din analiza generală se obţine valoarea de calcul a încărcării ultime dacă se folosesc
.ele cr-E bazate pe valori de calcul. În acest scop, în figura 14.lc fcm se înlocuieşte cu

(14.9)

re coeficientul YcE se defineşte în normele naţionale, recomandându-se valoarea 1,2.
v .În lipsa unui model detaliat, curgerea lentă se poate prinde în calcule prin majorarea

V+imaţiei specifice a betonului cu factorul cpef ), valoarea efectivă a caracteristicii

ii lente cp.1 fiind definită de relaţia (14.1).

n fectul favorabil al contribuţiei betonului întins dintre fisuri se poate lua în calcule sau
te neglija pentru a simplifica procedura de calcul.

n mod normal, ecuaţiile de echilibru şi de compatibilitate a deformaţiilor trebuie să fie

e ate într-un anumit număr de secţiuni, însă se acceptă să se aleagă numai secţiunile
i şi să se adopte o variantă reprezentativă a curburii, de exemplu similară cu cea din

a de ordinul I.

384

14.3.4.4. Metoda bazată pe rigiditatea nominală a elementului

În această analiză se iau în considerare efectele fisurării, neliniaritatea comportării
materialelor şi curgerea lentă; de aceste efecte se ţine cont şi în ceea ce priveşte elementele
adiacente implicate în analiză (grinzi, plăci sau fundaţii). De asemenea, dacă este necesar se
va lua în considerare şi interacţiunea dintre teren şi fundaţie. Rigiditatea nominală trebuie
astfel stabilită încât momentul încovoietor rezultat din analiză să poată fi folosit în calculul
de dimensionare.

Rigiditatea nominală

Pentru un element zvelt supus la compresiune, rigiditatea nominală se evaluează cu relaţia:

(14.10)

unde: Ecd este valoarea de calcul a modulului de elasticitatea al betonului, relaţia (14.9);

Ic - momentul de inerţie al secţiunii de beton;
E. - valoarea de calcul a modulului de elasticitatea al armăturii;

I. - momentul de inerţie al armăturii în raport cu centrul de greutate al secţiunii de
beton;

K. - factor reprezentând contribuţia armăturii; se poate lua K 5 = 1, dacă p ~ 0,002 ;

Kc - factor reprezentând contribuţia betonului; se poate lua Kc = k1kz/(1 +cpef ),

dacă p ~ 0,002 ;

p = As/Ac - coeficientul geometric de armare;
A. - aria totală de armătură;

Ac - aria secţiunii de beton;
cpef - valoarea efectivă a caracteristicii curgerii lente, conform punctului 14.3.4.1;

k1 =~fck/20;

k2 = n  :,; 0,20 ;
170

n = N Ed/ Acfcd - valoarea relativă a forţei axiale;

 - coeficientul de zvelteţe.

Dacă coeficientul de zvelteţe  nu este definit atunci se poate lua în considerare:

k2 = n · 0,3 ::; 0,20 ;

Dacă p;;;: 0,01, se pot lua în considerare K, = O şi Kc = 0,3/(1 + 0,5cpef ), această variantă

simplificatoare fiind mai potrivită pentru o estimare prealabilă.
În structurile static nedeterminate, relaţia (14.10) nu este, în general, aplicabilă pentru

descrierea efectului defavorabil al fisurării elementelor adiacente. Din acest motiv, pentru
aprecierea efectului fisurării parţiale a betonului şi a contribuţie betonului întins dintre
fisuri, se recomandă aplicarea prevederilor de la punctul 14.11.2.1 şi utilizarea relaţiei

(14.141). To.tuşi, ca o simplificare, se acceptă condiţia de fisurare totală a secţiunilor.

Rigiditatea se determină pe baza modulului efectiv al betonului:

. 14. Normele europene EC2 385
(14.11)
Ecd,ef = Ecd /(1 +cpef)

e Ecd se determină cu relaţia (14.9).

Momentul încovoietor de calcul total M Ed , care include efectele de ordinul II, se poate
în considerare printr-o majorare a momentului încovoietor de ordinul I obţinut dintr-o analiză

(14.12)

M OEd este momentul încovoietor de ordinul I;
N Ed - valoarea de calcul a forţei axiale;
N B - forţa critică de flambaj bazată pe rigiditatea nominală;

f3 - factor depinzând de distribuţia momentelor încovoietoare de ordinul I şi II.

Pentru elementele izolate comprimate cu secţiune constantă, momentele încovoietoare
-0rdinul II vor avea o formă sinusoidală, de aceea:

(14.13)

care valorile coeficientul c0 se iau în funcţie de diagrama momentului încovoietor de ordinul
= 8 pentru diagramă constantă; c0 = 9,6 pentru diagramă parabolică; c0 = 12 pentru

amă triunghiulară.

Pentru elementele fără forţe transversale se poate utiliza relaţia ( 14.16), momentul
voietor echivalent considerându-se constant pe lungimea elementului şi în consecinţă,

relaţia (14.13) se ia c0 = 8. În acest caz, este important de subliniat că, în funcţie de 'A şi

Ed , momentul încovoietor echivalent majorat poate fi mai mic decât momentele încovoietoare

nând la capetele elementului.
Dacă relaţia (14.13) nu este aplicabilă, o simplificare rezonabilă constă în acceptarea

Iorii f3 = 1, astfel încât relaţia (14.12) devine:

M Ed -_ MoEd (14.14)
l-NEd/Nn

licaţia numerică 14.1. Evaluarea efectelor de ordinul IIpentru stâlpul unei hale
prefabricate cu pod rulant

Se cere evaluarea efectelor de ordinul II pentru stâlpul marginal al unei hale prefabricate
pod rulant având caracteristicile geometrice din figura Apl.14.1. Pentru realizarea structurii
· vede utilizarea unui beton de clasă C35/45 ( fck = 35 N/mm2; Ecm = 34000 N/mm2),

care se cunoaşte cp{00,t0 )= 2,9. Armarea este realizată cu bare din oţel PC52. Pentru

1 marginal, diagrama de momente încovoietoare sub efectul încărcărilor, inclusiv al
ecţiunilor, este prezentată în aceeaşi figură. În secţiunea de încastrare forţa axială este
=352 kN, iar la nivelul de schimbare a secţiunii NEd = 207 kN. Raportul MoEqp/MoE

0,8.

386

Având în vedere variabilitatea forţei axiale şi a profilului barei, evaluarea efectelor
ordinul II se face pe baza rigidităţii nominale, conform relaţiei (14.10).

fcd = ace fck = 1,0~ = 23,3 N/mm2; Ecd = Ecm = 34000 =28333 N/mm2
Yc 1,5 "{cE 1,2

<pef = (f) { 0 , l o )M~OEqp = 2,9 · 0,8 = 2,32

\0

OE

185 [kN; (D I 1
~28 I I I<lf 15,o 11"11 15,o I>
2,2
•60•x!6•0 • 55xŞ5
6,4
; : 2<1>2 •• l ••

! oi •• j • 2<!>2

e • jo • • ! •o

'i 00 •• ! ••

i--e- i
i 00
N
!~
N

Fig. Apl.14.1.

Calculul rigidităţii nominale pentru secţiunea de 60x60

J = 24974 cm4 - momentul de inerţie ale armăturilor faţă de axa secţiunii luând în
5

considerare toate barele conform figurii Apl.14. l

- contribuţia betonului Kc

k1 = ~ fckf20 = ~35/20 = 1,32

k2 = n · 0,3 = 0,042 · 0,3 = 0,0126 cu n = N Ed/ Acfcd = 352000/6002 • 23,33 = 0,042
Kc = k1k2/(l + <pef) = 1,32 · 0,0126/(1 + 2,32)= 0,005

- contribuţia armăturii K. = 1
- rigiditatea nominală EI

KcEcdlc =0,005 · 28333 · 6004 = 1,53, 1012 Nmm2

12

K 5 E5 J5 = 1,0 · 210000 · 24974 · 104 = 52,45 · 1012 Nmm2

EI= KcEcdlc + K5 EJs = 1,53 · 1012 + 52,45 · 1012 = 53,98, 1012 Nmm2

Calculul rigidităţii nominale pentru secţiunea de 55x55

1 = 13170 cm4 - momentul de inerţie ale armăturilor faţă de axa secţiunii luând în
5

considerare toate barele conform figurii

k2 = n · 0,3 = 0,029 · 0,3 = 0,0088 cu n = N Ed/ Acfcd = 207000/5502 · 23,33 = 0,029

, Normele europene EC2 387

= k1k2/(l + <pef )= 1,32 •0,0088/(1 + 2,32)= 0,0035

cEcdlc = 55 4 = 0,756, 1012 Nmm2
0,0035 · 28333 · 0
12

= =5 EJs l · 210000 · 13170 · 104 27,66, 1012 Nmm2

1 = KcEcdlc + K5 EJ5 =0,756·1012 + 27,66·1012 =28,41·1012 Nmm2

ilizând rigidităţile nominale determinate mai sus, din calculul de stabilitate, efectuat

rul programului AXIS, a rezultat parametrul încărcării critice de flambaj ncr =6,094 .

'tică de flambaj este N8 = ncrNEd = 6,094NEd.
aluarea momentelor încovoietoare de calcul se face cu relaţia (14.14), pusă sub forma:

MoEd MoEd MoEd MoEd =1196M

Ed= 1-NEdfNs 1-NEdfncrNEd 1-1/ncr 1-1/6,094 ' OEd

ţia numerică 14.2. Evaluarea efectelor de ordinul IIpentru stâlpul unui cadru monolit

e cere evaluarea efectelor de ordinul II pentru stâlpul central de la parterul unei structuri

(fig. Apl.14.2) realizată din beton de clasă C30/37 (fck = 30 N/mm2; Ecm =32000

2 pentru care se cunoaşte cp(00,t0 )= 2,67. Sub efectul încărcărilor gravitaţionale şi
),

le, pentru stâlpul respectiv a rezultat diagrama de momente încovoietoare din

, forţa axială fiind NEd = 776,5 kN; raportul MoEqp/MoE este 0,2. Având în vedere

structurii, pentru stabilirea efectelor de ordinul II se foloseşte metoda rigidităţii
ale.

fcd =ace fck = 1,0~ = 20,0 N/mm2; Ecd = Ecm = 32000 = 26667 N/mm2;
Yc 1,5 "{cE 1,2

<pef = <p \f to )MoE = 2,67 · 0,2 = 0,534
00,
___!fJ!_

MoE

,m, i,:i,..oo [kN;
76,6

I+-+~ 101,2 ~·

5,0 4,0

Fig. Apl.14.2

Stabilirea rigidităţii elementelor \

alculul rigidităţii nominale pentru stâlpul central se face utilizând varianta sin:i~h~RucruRi

azată pe următoarele valori: 8 .._,
UcuRE'='

Ks =O

388

Kc = 0,3/(1 + 0,5<pef )= 0,3/(1 + 0,5 •0,534) = 0,237

~r5 = 3,29 ·1013 Nmm2; KsSsis = O

KcEcdic = 0,237 · 26667 ·

EI= KcEcdic + K8 E8 I8 = 3,2910 13 Nmm2

- rigiditatea grinzilor
Ecd,ef = Ecd/(1 +<pef )=26667/(1 + 0,534)= 17384 Nmm2

ţineEI= 0,5 · 17384· 3oo~~003 2,72 · 1013 Nmm2; reducerea cu 50% cont de fis

grinzilor.

Determinarea lungimii de flambaj

- pentru calculul flexibilităţii relative a capătului superior al stâlpului se foloseşte relaţia

e(14.5), în care rotaţia nodului = 0,00141 s-a obţinut din calculul static de ordinul I bazat·

pe rigidităţile calculate mai sus:

k =~.EI = 0,00141 3,29 · 1013 = O'16
sup M f 72,64 •106 4000

- pentru flexibilitatea relativă a nodului inferior se ia în considerare k;nf = 0,1 deoarece se

consideră că nu există încastrare perfectă la nivelul fundaţiei;
- lungimea de flambaj se determină cu relaţia (14.4), deoarece nu există sisteme de

contravânuire:

°•1+10~ = 1+10 16 · 0,1 =127
k1 +k2 0,16+0,l '

l :t ~·~~J{ J1 6 } ( l + I ~·~,l } = 1•24
l + I : k1 l+ 1 =(l+ 1

2

10 = 1,27 · 4,0 = 5,08 m

Stabilirea valorii limită a coeficientului de zvelteţe Aum =20ABC/J;.

- coeficientul A= V(I + 0,2<pef )= 1/(1 + 0,2 · 0,534)= 0,904

- coeficientul B = I,I deoarece nu se cunoaşte coeficientul mecanic de armare ffi

- coeficientul C =I,7-rm =1,7 -(-72,64/95,92)= 2,45

- vaIoarea reIat1·va- a .1.,orţe1. axi.aIe de compresm. ne n =- -N E-d =757060'52 · 103 0,155
Acfcd · 20

'Aum = 20 · 0,904 · 1,1 · 2,45/~0,155 =124

Coeficientul de zvelteţe

i =~Ic/Ac =h/Jl2 =500/Jl2 =144mm

ele europene EC2 389

e de ordinul II se pot neglija, deoarece A< Aum ; totuşi, pentru exemplificare se

area acestor efecte prin metoda bazată pe rigidităţile nominale.
ând rigidităţile nominale determinate mai sus, din calcul de stabilitate efectuat cu

ogramului AXIS, a rezultat parametrul încărcării critice de flambaj ncr = 19,23 .

de flambaj este N8 = nc,NEd = 19,23NEd .
ia (14.14) permite evaluarea momentelor încovoietoare de calcul, după ce se pune

MoEd __ MoEd _ MoEd _ MoEd -1055M
-- -, O&
l-NEd/N8 1-NEd/nc,NEd 1-1/ncr 1-1/19,23

corespunzătoare de momente încovoietoare fiind prezentată în figura Apl.14.2.
a scând forţa critică de flambaj, se poate reevalua lungimea de flambaj cu ajutorul
···· 14.6):

-- n. ~-E-Ir·ep-t -- n -EI-rep-r --1t 3,292, 101.3 -- 4663 mm=- 4,7 m
N8 nc,NEd 19,23,776500

e 5. Metoda bazată pe curbura nominală a elementului

toda este aplicabilă stâlpilor izolaţi cu forţă axială constantă şi se bazează pe lungimea
e baj !0 determinată conform punctului 14.3.4.2. Dacă se face o evaluare realistă a

·, metoda poate fi aplicată şi structurilor.

.Valoarea momentului încovoietor de calcul se obţine din relaţia:

MEd =MoEd +M2 (14.15)

M OEd este momentul încovoietor de calcul de ordinul I, inclusiv efectul imperfecţiunilor,

2 momentul încovoietor nominal de ordinul II. Valoarea maximă a lui M Ed rezultă

umarea diagramelor de momente încovoietoare corespunzătoare relaţiei (14.15),

a lui M2 având o formă sinusoidală pe lungimea de flambaj 10 • În cazul

'lor static nedeterminate, calculul static de ordinul I se efectuează pe structura reală,
eului de ordinul II se efectuează pe o structură bazată pe lungimile de flambaj.
omentele încovoietoare de ordinul I de la capetele stâlpului pot fi înlocuite cu unul
alent, conform relaţiei:

M Oe =0,6M02 + 0,4M01 ;?: 0,4M02 (14.16)

Cele două momente de la capătul elementului se consideră cu acelaşi semn dacă
··· ma de momente nu intersectează axa barei, în caz contrar ele vor avea semne diferite;

auna IM02 I;?: !Mod.

, Momentul încovoietor nominal de ordinul II este:

(14.17)

390

unde: NEd este forţa axială calcul;

e2 = (1/r )15 / c - săgeata;

1/r - curbura;

/ 0 - lungimea de flambaj;
c - factor depinzând de curbură; pentru secţiune transversală constantă, se poate folosi

c = n 2 "" 1O; dacă diagrama de momente este constantă, se poate considera c = 8 .

Curbura
În cazul elementelor cu secţiune constantă şi simetrică (inclusiv armarea) se poate folosi

următoarea relaţie pentru calculul curburii:

1/r =K,Kcp ·l/r0

unde: K, este un factor depinzând de forţa axială, conform relaţiei (14.19);
Kcp - factor pentru luarea în considerare a curgerii lente, conform relaţiei (14.20);

I1 r0 =E-yd- fyd .
0,45E d'
0,45d
8

d - înălţimea utilă a secţiunii; dacă există şi armături intermediare d = 0,5h + is , i8

fiind raza de raza de giraţie a tuturor armăturilor.

Factorul K, este dat de relaţia:

K, nu -n ::;1,0 (14.19)
nu -nbal

unde: n = N Ed este valoarea relativă a fortei axiale;
Acfcd '

nu = 1+ ro - valoarea relativă a capacităţii portante la compresiune centrică;

ro= -Asf-yd - coefi1c.1entu1mecani.c de armare;
Acfcd

nbal - valoarea relativă a forţei axiale corespunzătoare punctului de balans (moment

încovoietor capabil maxim); se poate accepta valoarea 0,4.

Factorul Kcp este dat de relaţia:

Kcp = 1+~<pe/~ 1,0 (14.20)

unde: <pe/ este valoarea efectivă a coeficientului curgerii lente, relaţia (14.1);

~ = 0,35 + fck /200 - A/150, cu A conform relaţiei (14.2).

Aplicaţia numerică 14.3. Evaluarea efectelor de ordinul II pentru un stâlp de hală industrială
prefabricată fără pod rulant

Se cere evaluarea efectelor de ordinul II pentru stâlpul unei hale prefabricate rară pod

rulant (fig. Apl.14.3). Pentru realizarea structurii se prevede utilizarea unui beton de clasă
C30/37 ifck = 30 N/mm2). Pentru armare se folosesc bare din oţel S500, estimându-se că

p. 14. Normele europene EC2 391

iunea va fi prevăzută cu 2x2q,20. Eforturile de la nivelul încastrării sunt: forta axială de

ul NEd = 650 kN, momentul încovoietor de ordinul I în combinaţia fu~damentală

OE = 125 kNm; momentul încovoietor de ordinul I în combinaţia cvasipermanentă

• OEqp = 30 kNm.

JIc'd =acfeck-=l,O-3=0 20,0 N/mm2; fyd =f-yk=--5=00435 N/mm2
Yc 1,5 Ys 1,15

vânt

~

40x45

15,0 15,0

Fig. Apl.14.3

Având în vedere schema statică a structurii, lungimea de flambaj este:
/0 =2·6,2=12,4m
Efectul curgerii lente se stabileşte pe baza diagramei din figura 14.2, cunoscând: vârsta
onului la momentul încărcării t0 = 28 zile; utilizarea unui ciment cu întărire normală;

simea fictivă ho = 2A/u = 2 · 40 · 45/2 · (40 + 45)= 21,1 cm. În funcţie de aceste valori,

) obţine cp(=,t0 )= 2,67. Valoarea efectivă a coeficientului curgerii lente se obtine din
ia (14.1):

=((l = cp 1 t )MOEqp = 2 67~ = 0 64
ef ' ' o M OE ' . 125 '

Stabilirea valorii limită a coeficientului de zvelteţe A/im =20ABC/J;;

- coeficientul A= 1/(1 + 0,2<pe/ )= 1/(1 + 0,2 · 0,64)= 0,89

t , , A f 1256 435
•coeficientul B=.J1+2ro=l,14 cu ro=~ ' =0152
• Acfcd 400·450·20 '

~ coeficientul C = 1,7 - rm = O,7

) • valoarea relativă a forţei axiale de compresiune N 650000 0,18
n = _&!__ =
Acfcd 400 · 450 · 20

Alim = 20 · 0,89 ·1,14 · 0,7/ ~0,18 = 33,5

ă Coeficientul de zvelteţe

i=~Ic/Ac =h//12 =450//12 :::l30mm

d
ă
ă A= 10 /i = 12400/130 = 95 ~ A/im

392 BETONARMAî

Deoarece Â;:: 'Au,,, , este necesară evaluarea efectelor de ordinul II, pentru care se foloseşte

analiza bazată pe curbura nominală conform prevederilor de la punctul 14.3.4.5.
Evaluarea imperfecţiunilor

- înclinarea: 0; =00aha,,, = 0,8/200 cu

- excentri.ci.tatea la vârful sta'lpuIm.: e; = e·; -lo = -0,-8 -12-,4 =0,0248 m

2 200 2
- momentul încovoietor: M;,,,p = e;NEd = 0,0248 ·650 = 16,12kNm

Curbura se calculează cu relaţia (14.18)

-curburanominală: I/r0 = !yd = 435 =119·10-5
0,45 ·200000 ·405 '
0,45E8 d

- coeficientul mecanic de armare: ro= 0,152

- nu =l+ro=l+0,152=1,152

- .corecţia pentru "1orţa axi.a1a·: Kr = --nu''--n-- 1•152 - 0•18 =129·maxim 1 O
1,152-0,40 ' ' '
nu -nbal

- corecţia pentru curgerea lentă:

p=0,35 + lck/200-'A/150 = 0,35 +30/200-95/150 =-0,13

K<p =1+ Pcpef = 1+ (-0,13)· 0,64 = 0,91 dar cel puţin 1,0

- curbura: 1/r = KrK<p ·l/r0 = 1,0 ·1,0 ·1,19 -10-5 = 1,19 -10-5

Momentul încovoietor nominal de ordinul II

- săgeată e2 = (1/r )1J /c = 1,19 -10-5 · 124002 /10 = 183 mm= 0,18 m
- momentul încovoietor M 2 =NEd • e2 = 650 · 0,18 = 117 kNm

Momentul încovoietor de calcul
- momentul încovoietor de calcul de ordinul I:

=MoEd = MoE +Mimp = 125 + 16,12 141 kNm

- momentul încovoietor de calcul:
MEd =MoEd +M2 "'141+117 = 258kNm

14.4. Încovoierea cu fort•ă axială

14.4.1. Ipoteze de calcul

Calculul la starea limită ultimă se face pe baza următoarelor ipoteze simplificatoare:
• secţiunile rămân plane şi după defonnarea elementului;
• annătura şi betonul din fibra alăturată au aceeaşi defonnaţie specifică;
• contribuţia betonului întins dintre fisuri se neglijează;

\ 14. Normele europene EC2 393

distribuţia eforturilor unitare de compresiune în beton rezultă din curba O'c - ec ; se poate

,folosi diagrama din figura 14. la sau 14.lb;

efortul unitar în armătură rezultă din diagrama 0'8 -es (fig. 14.3b).

Atunci când se utilizează curba ac -ec din figura 14.la, calculul secţiunii transversale
face pe baza diagramei de defonnaţii specifice din figura 14.82, având în vedere

ătoarele precizări:

pentru secţiunile supuse la compresiune axială, defonnaţia specifică a betonului se limitează

la Scz =2 %o (fig. 14.la);

pentru secţiunile care prezintă şi zonă întinsă, defonnaţia specifică a betonului comprimat
se limitează la ecuZ = 3,5 %o;

pentru cazuri intermediare, deformaţia specifică la compresiune se obţine presupunând
că secţiunea se roteşte în jurul pivotului C.

Dacă se are în vedere utilizarea curbei crc - ec din figura 14. lb, cele de mai sus rămân

bile, înlocuind sc2 cu sc3 , respectiv ecu 2 cu ecu3 .
Distribuţia eforturilor unitare pe înălţimea zonei comprimate de beton rezultă pe baza
gramelor din figura 14.1 (de exemplu, pornind de la diagrama din figura 14. la se ajunge
iagramele din figurile 14.10 şi 14.12). Având în vedere mecanismul destul de laborios
calcul, există posibilitatea ca pornind de la diagrama crc - se din figura 14. lb, să se

sească o diagramă dreptunghiulară pentru distribuţia eforturilor unitare de compresiune în
n, conform figurii 14.9; dacă lăţimea secţiunii scade spre fibra cea mai comprimată atunci
oarea 'llfcd trebuie redusă cu l0%. ,

As' @

TI- ::',}-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·-·- ·-~-<>

hd ©

întincţere tud O ec2 Ecu2 compresiune

Fig. 14.8. Deformaţii specifice ale secţiunii în stadiul ultim

După cum se constată din figura 14.3, în cazul armăturii este posibilă alegerea între două
uri de diagrame de calcul. În acest caz se pune problema alegerii valorii limită sud şi a

dului îrt care valoarea eud influenţează momentul încovoietor capabil. În tabelul 14.5 se

Explicaţii detaliate privind regula celor trei pivoţi sunt date la punctul 6.1

394

prezintă rezultatele obţinute pe baza următoarelor opţiuni [8]: Eud ~ 00 şi ramură superioa

orizontală constantă (EC2), Eud = 10 %o şi ramură superioară înclinată (EC2), Eud = 10 %o ş(

ramură superioară orizontală (Codul Model CEB-FIP) şi Eud = 20 %o şi ramură superioară••
orizontală (German NAD). Din analiza valorilor nu rezultă diferenţe semnificative între cele
patru variante alese. În funcţie de caracteristicile oţelului se alege diagrama cea mai adecvată.

5, cso/ 60 _,, { Â =0,8
=1,0
TJ

hd

_ _ _...,_--=Fs

Fig. 14.9. Diagrama rectangulară a eforturilor unitare de compresiune

Atunci când momentul încovoietor este însoţit de o forţă axială de compresiune, valoarea
momentul încovoietor de calcul, obţinut din analiza statică, va fi egală cu cel puţin e0N Ed ,

în care e0 = h/30 2: 20 mm.

În aspectele teoretice şi aplicaţiile numerice care urmează se adoptă următoarele premize:
• utilizarea betoanelor de clasă mai mică sau egală cu C50/60;

" distribuţia eforturilor unitare de compresiune în beton se bazează pe diagrama crc -13c

din figura 14.la;

• adoptarea pentru armături a diagramei crs - Es cu palier orizontal fără limitarea deformaţiei

specifice;
• eforturile secţionale de calcul N Ed şi M Ed includ efectele flexibilităţii elementelor

comprimate şi a imperfecţiunilor geometrice.

Tabelul 14.5. Influenţa valorii Eud asupra momentului Încovoietor capabil
al secţiunii dreptunghiulare

EC2 CEB-FIP GermanNAD
Eud = 20 %o
Asfyd Eud ~ 00 Eud =10%o Eud =10 %o
bdfcd
MRdjbd 2fcd =

0,01 0,00994 0,00999 0,00983 0,00988
0,05 0,04850 0,04870 0,04790 0,04830
0,10 0,09400 0,09490 0,09350 0,09400
0,15 0,13650 0,13820 0,13620 0,13650
0,20 0,17610 0,17850 0,17610 0,17610
0,25 0,21230 0,21370 0,21230 0,21230

. Normele europene EC2 395

.2. Evaluarea rezuitantei compresiunilor din beton

loarea rezultantei compresiunilor în beton şi poziţia ei faţă de axa neutră se determină
relaţiilor principiale de mai jos:

f fX

Fc = (Jcybydy;
1X - axa neutră în secţiune;
Yc =-'-- crcybyydy
o FC o

fh FYc = I hf crcybyYdy - axa neutra-·m af:ara secţ1.un.1.1.

Fc = acybydy; C X-h

x-h

valuarea rezultantei Fc din zonele comprimate ale secţiunilor dreptunghiulare şi T,

şi poziţia acesteia, se face luând în considerare un efort unitar mediu de compresiune

a f led , uniform distribuit pe înălţimea zonei comprimate, conform celor de mai jos.

.2.1. Secţiunea dreptunghiulară

acă axa neutră se găseşte în secţiune (fig. 14.lOa), valoarea rezultantei compresiunilor
· poziţia ei faţă de fibra cea mai comprimată de se determină cu relaţiile:

Fc = bx (a f fcd) (14.21)

(14.22)

a) axa neutră în secţiune b) axa neutră în afara secţiunii

Fig. 14.10. Rezultanta compresiunilor în beton pentru secţiuni dreptunghiulare

Coeficienţii aI şi ox se calculează cu relaţiile (14.23), respectiv (14.24), în funcţie de

alul în care este plasată deformaţia specifică maximă de compresiune în beton:

!Ec(6-Ec} -pentru Ec = 0...2%0 (14.23)
-pentru Ec = 2...3,5%0
a _ 12

f - (3cc -2)

3Ec

396

<Xfi8x

0,9

0,8 .-1--- 0,810

0,7 .,,, -----r- 8x ~---~- .. 0,415

0,6 I ec(%o)

0,5 CXVr / I 3,5
0,4
0,3 / T
0,2
I/ i
/0,1
„V
/o

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

a) axa neutră plasată în secţiune

1,0 .,.......,....=;:;:::::::::r-r--i--r---1----r ----~-~~~-.---- 1,00

0,9 -l---t---+-t-==i-.....Jc:---+~~+-+-i-----t--t

0,8 t--1----+------+--+-t----P-.....J::--t---t-----t--ţ- 0,95
0,7 --i--1---l---J--+-l--+--+-----,-----''i"o.:--t---ţ---j--î--1:,,r-----;

0,6 l

0,5 +----+----+--i-------ţ--,.----,-- 0,90

0,4 ţ---J---J--+--l---t-----+--+-+--+-t---t----:ii"'r"'-l:--i-1-,

0,3 t:.=.---1--1-_-_-+-1_-_-_-i---t-- 0,85
o,2

0,1

0,0 0,80

î 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 Î
I §]1106ii;ecdlO
Ecs (%o)

b) axa neutră plasată în afara secţiunii

Fig. 14.11. Coeficienţii pentru calculul rezultantei compresiunilor în secţiunile dreptunghiulare

Dacă secţiunea es.te c.omprimată în întregime (fig. 14.lOb), valoarea rezultante
compresiunilor Fc şi poziţia ei faţă de centrul de greutate al secţiunii ec se determină cu relaţiile:

Fc = bh (aI fcd) (14.25)

; Normele europene EC2 397

(14.26)

a1 =(125+64Ecs -l6e~,)/189 (14.27)

8h =3(ecs -2f/1ooaf (14.28)

eficienţii a1 şi 8x sau oh se pot obţine şi din figura 14.11 [8}, [IO], [138).

.2. Secţiunea T

acă axa neutră este plasată în inima secţiunii, valoarea rezultantei compresiunilor în
F0 şi poziţia ei faţă de axa neutră yc se determină pe baza procedeului schematizat
al4.12.

b ~r

Ac~--- ,,_t ··-· ,_,. --..~-·- _______}_ ._L___ • i.

0 8

~114 bw Ac2 = (b - bw)(x - hr)

Ac= Act -Aci

-~1t
z=d-dc

F. _--L..l

= Fel -Fc2
1 = Act (an fcd)
=Ac 2 (af2 f00 )

Fig. 14.12. Rezultanta compresiunilor în beton pentru secţiuni T

_.•3. Calculul momentului încovoietor capabil al grinzilor

etenninarea momentului încovoietor capabil se face utilizând cele două ecuaţii de
e static precum şî relaţiile dintre deformaţiile specifice, relaţii ce rezultă din ipoteza
ei ilor plane. De asemenea, atunci când este necesar, se folosesc curbele caracteristice

or două materiale pentru a stabili efortul unitar în funcţie de deformaţia specifică. În
urmează se tratează, prin exemple de calcul, evaluarea momentului încovoietor al

) ii dreptunghiulare, respectiv al secţiunii T.

398

Aplicaţia numerică 14.4. Calculul momentului încovoi<:_tor caP_,abi~ pent~u o secţiune
dreptunghiulară, simplu armata, supusa la zncovozere

Se cere determinarea capacităţii portante a secţiunii din figura Apl.14.4, realizată din beton
de clasă C20/25 ifck = 20 N/mm2) şi armai: cu PC52 pentru care standardul de produs prevede
Jyk = 345 N/mni2 şi Es = 210000 N/mm .

J,d = a fck = 1,0 20 = 13,33 N/mm2
yC CC C 1,5

f - fyk = 345 = 300 N/mm2; c d = 1000 Jyd = 1 0 0 0 ~ = 1,43 %o
yd - Ys 1,15 y Es 210000

Având în vedere caracteristicile geometrice ale secţiunii, rezultă:

ds = c + <j>/2 = 25 + 22/2 = 36 mm; d = h - ds = 400 - 36 = 364 m~ . • • •
Se alege x = 120 mm şi pentru cc = ccuz = 3,5 %o rezultă deformaţia specifica tn armatura

întinsă:

Cs _ d-x _ 3'5 364-120 = 7'12 %
-ccu 2_X_ _ 120
oo

Deoarece cs = 7,12 %o> cyd = 1,43%0 armătura ajunge la curgere, deci cr, =hd·

Din figura 14.lla, pentru cc= ccuz = 3,5 %o, rezultă a 1 = 0,81.

Fc= bx(a.1 fcd) = 300·120·0,81·13,33 = 3 kN

388,7-10 N=388,7

F,=A,fyd= 1140·300 =342·103 N = 342 kN

arm. montaj

-î

Fig. Apl.14.4.

Deoarece F, < Fc, x trebuie redus; se alege x =105 mm

c = c -d --X = 3 5 364 -105 = 8,63 %o> Ey = 1,43 %oo => O's =JIy'd
s cu2 ' X , 105

=Fc =300·105·0,81·13,33 = 3430;5,103 N = 340,5 kN F, = 342 kN, deci x este corect ales.
Din figura 14.lla,pentru cc =ccuZ =3,5%o,rezultă Bx =0,415.

d =8 x=0415·105=436mm => z=d-dc=364-43,6=320,4mm'
CX '

M Rd = Fsz = 342·0,32 = 109,4 kNm

. Normele europene EC2 399

ţia numerică 14.5. Calculul momentului încovoietor capabil pentru o secţiune
dreptunghiulară, dublu armată, supusă la încovoiere cu forţă
axială de compresiune

e cere verificarea capacităţii portante a secţiunii din figura Apl.14.5, supusă eforturilor
50 kN (compresiune) şi MEd = 180 kNm. Pentru realizarea secţiunii se prevede
ea unui beton de clasă C20/25 ifck = 20 N/mm2) şi armătură din PC60 pentru care
dul de produs prevede Jyk = 405 N/mm2 şi E, = 210000 N/mm2•

J,cd =acc-Yfc=ck 10'-1=20,1533, 3 N/mm2

I' = !yk = 4o5 = 350 N/mm2• c = 1000 Jyd = 1 0 0 0 ~ = 167 %o
/yd Ys 1,15 ' yd Es 210000 '

vând în vedere caracteristicile geometrice ale secţiunii, rezultă:

d, = c + <j>/2 = 25 + 20/2 = 35 mm; d; = c + <j>/2 = 25 + 16/2 = 33 mm;

<d= h-d, = 500-35 = 465 mm; d- d; = 465-33 =432 mm

Fig. Apl.14.5.

Deoarece solicitarea secţiunii este preponderent de încovoiere, se presupune că axa

• este plasată în secţiune, se alege x = 108 mm şi cu cc = ccuz = 3,5 %o rezultă:

d- X 465 - 108 .
= = =E, deci annătura cr, = fyd
Ec - - 3,5 11,6 %o> 1,67 %o, A, curge:
X 108

I X-d' 108-33 2,43 %o> 1,67 %o, , armătura I curge: cr: = fyd
'Es =cc~= 3,5 dect
108 As

ls = A,fyd = 1256 ·350 = 439,6 ·103 N = 439,6 kN

w; = A;Jyd = 402 ·350 = 140,7 ·103 N = 140,7 kN

Fc = bx(a.1fcd) = 300·108·0,81·13,33 = 349,8·103 N = 349,8 kN, cu a.1 =0,81

t din figura 14.lla

=NEd + F, = 50 + 439,6 =489,6 kN FC + F; = 349,8 +140,7 = 490,5 kN

400

Deoarece condiţia de echilibru în lungul barei este îndeplinită x a fost ales corect şi
figura 14.1 la, pentru cc = ccuZ = 3,5 %o, se obţine Ox = 0,415.

de= Oxx = 0,415·108 = 44,83 mm => z = d- de= 465 - 44,8 ""420,2 mm

Din ecuaţia de momente în raport cu Fs rezultă:

M Rd =Fcz + F; (d -d;)- NEAh/2-d.)=

= 349,8·0,4202 + 140,7-0,432- 50·(0,250 - 0,035) = 197,0 kNm

MRd =I97kNm>MEd =180kNm

Aplicaţia numerică 14. 6. Calculul momentului încovoietor capabil pentru o secţiune
dreptunghiulară, dublu armată, prevăzută şi cu armături
intermediare, supusă la compresiune cu încovoiere

Se cere verificarea capacităţii portante a secţiunii din figura Apl.14.6 asupra căreia
acţionează eforturile NEd = 500 kN (compresiune) şi MEd = 200 kNm. Materiale: beton de
clasă C25/35 ifck"" 25 N/mm2); PC52 ( /yk = 345 N/mm2; Es = 210000 Nlmm2).

fcd =Cl.cfcck-=1,02-5=16,66 N/mm2

Yc 1,5

f =fyk = 345 =300 N/mm2• c =lOOOfyd =1000~=143 %o
yd y 115 ' yd E 210000 '
s' s

1 41j>18 d; =40 z
21j>16 dsil = 150
Fsi2 MRd
h=450 -dsiZ =300
Fs
J 21j>16 -d=410
41j>18 b=
~1 [mm]

Fig. Apl.14.6.

Se alege X= 125 mm şi cu cc = ccuZ = 3,5 %o rezultă:

A;c' = c x-d; = 3 5 125 - 40 2,38 %o> 1,43 %o, deci armătura curge: a: =/;,d
s cX ' 125

cs;i =cc ds;~-x =3,5 15 25 0,7o/oo;asn =c.nEs =0,0007·210000=147N/mm2
~;;

Csi2 = c dc5 ;z-X 3'5 300-125 = 4'9 % > 1'43 %oo, (jsi2 = f yd

---= 00
X 125

_ d-x_ 410-125_ 0%o> 1,43 0%o, _ /yd
c - cc - - - 3,5 - 7,98 Cis
5 X 125 -

Normele europene EC2 401

= A;Jyd = 1016 · 300 = 304,8 · 103 N = 304,8 kN

sil = A,ncrsil = 402 · 147 = 59,1 · 103 N = 59,1 kN
si2 = As;ifyd = 402 · 300 = 120,6 ·103 N = 120,6 kN

=s = AJyd = 1016 · 30 = 304,8 ·103 N 304,8 kN
c=bx( a f fcd) = 400·125·0,81·16,66 = 674,7·103 N =674,7 kN

NEd + Fs + F'.,;1 + Fsi2 = 500 + 304,8 + 59,1 + 120,6 = 984,5 kN

FC +F; = 674,7+304,8 =979,SkN

Cele două sume de mai sus sunt, practic, egale, ceea ce înseamnă că poziţia axei neutre
ox= =orect aleasă şi din figura 14.lla, pentru cc= ccuz 3,5 %o, se obţine
0,415.

de =Oxx=0,415·125 = 51,9 mm

z=d-dc=410-51,9=358,1 mm
Momentul încovoietor capabil rezultă din ecuaţia de momente în raport cu F.:

MRd =Fcz+F;(d-d;)-F.n(d-dsil)-Fsi2(d-dsi2)-NEAh/2-d.)=

= 674,7·0,358 + 304,8·(0,41 - 0,04)- 59,1 ·(0,41- 0,15)- 120,6·(0,41 -

- 0,30)-500·(0,45/2- 0,04) = 233,2 kNm> M Ed =200kNm

icatia numerică 14. 7. Calculul momentului încovoietor capabil pentru o secţiune
' dreptunghiulară, dublu armată, supusă la compresiune cu încovoiere

Se cere verificarea capacităţii portante a secţiunii din figura Apl.14.7, realizată din beton de

C20/25 ifck = 20 N/mm2) şi armată cu PC52 ( fyk = 345 N/mm2; Es = 210000 Nlmm2).

pra secţiunii acţionează forţa axială de compresiune N Ed = 2050 kN şi momentul

voietor M Ed = 70 kNm .

fcd = ace fck = 1,020- = 13,33 N/mm2

-
Yc 1,5

f = fyk = 345 = 300 N/mm2• c = 1ooo !yd = 1ooo_lQQ___ = 143 %o
yd y 115 ' yd E 210000 '
s' s

ds = d; = c + (j)/2 = 25 + 20/2 = 35 mm;

d= h-d = 500-35 =465 mm; d-d; =465- 35 =430 mm
5

Deoarece secţiunea este supusă preponderent la compresiune este de aşteptat ca axa

tră să fie plasată în afara secţiunii, caz în care secţiunea se roteşte în jurul pivotului C.

Pentru betoane ~ C50/60 poziţia acestui pivot este (fig. 14.8):

402

!h . ....

---i-7'--- _c . R!!-) d-ds'

c=25 NEd-c .. F
[mm]
MEd s

3
x - -7h

b) c)

Fig. Apl.14.7.

Cunoscând Ecz = 2 %o (fig. 14.la), deformaţia specifică în fibra cea mai comprimată
secţiunii se obţine prin asemănarea triunghiurilor din diagrama deformaţiilor specifice (fig
Apl.l4.7b) şi presupunând x = 570 mm:

X 570
Ec, = Ecz -x---3-h = 2,0 570--3500 = 3,2 o/oo

77
Pe baza acestei valori, din figura 14.l lb se obţine a1 = 0,875 şi I08h = 0,5, rezultând

ec = 0,5h/1 O= 0,5 · 500/1 O= 25 mm.

. Deformaţiile ~~ecifice ~n cele două armături se obţin din asemănarea triunghiurilor din
diagrama deformaţnlor specifice (fig. Apl.l4.3b), rezultând apoi eforturile unitare:

Es = x-d = 570-465 = 0,59 %o; CJs = e5Es 059 123,9 N/mm2
E c xz ----3-h 2,0 570--3500 =-'-210000 =
77
IOOO

_X-_ds' 570-35
X 570
crEI I =• =300N/mm2
s
=E =32 =30'o/oo·' s Jyd
cs '

Rezultantele. eforturilor unitare sunt:

Fs =Ascrs = 942·123,9 = 116,7-103 N = 116,7 kN

F; A;cr:= = A;Jyd = 942 · 300 = 282,6· 103 N = 282,6 kN

Fc = bh ( a f fcd )= 300-500·0,875· 13,33 = 1749,6· 103 N = 1749,6 kN

Condiţia de echilibru, în lungul axei longitudinale, cere N Ed = Fc + F, + F;, ceea ce

=înseamnă: 2100 1749,6 + 116,7 + 282,6 (= 2148,9), deci x este corect ales.
Braţul de pârghie dintre eforturile interioare Fs şi Fc este:
z = ec + h/2 - d, = 0,025 + 0,50/2 - 0,035 = 0,24 m
Din ecuaţia de momente în raport cu Fs rezultă:

M Rd = Fcz + F:(d - d; )- N Ed (h/2 - ds )= 1749,6·0,24 + 282,6·0,43 -

- 2100·(0,50/2 - 0,035) = 90 kNm > M Ed = 70 kNm

, Normele europene EC2 403

ţia numerică 14.8. Calculul momentului încovoietor capabil pentru o secţiune T supusă
· la încovoiere cu compresiune (axa neutră în inimă)

cere verificarea capacităţii portante a secţiunii din figura Apl.14.8, realizată dintr-un beton

C20/25 ifck = 20 N/mm2) şi armată cu PC52 ( Jyk = 345 N/mm2; Es =210000 N/mm2).

secţiunii acţionează forţa axială de compresiune NEd = 165 kN şi momentul

.etor MEd =170kNm.

z

a

g
·

Fig. Apl.14.8.

d fcd =ace -fck = 1,020- =13,33 NImmz

Yc 1,5

in f d = Jyk = 345 = 300 N/mm2; Eyd = IOOO !yd = 1 0 0 0 ~ = 1,43 %o
y Ys 1,15 Es 210000

2 d, = 50 mm; d= h-d,=450-50 =400 mm
Se alege x = 98 mm şi pentru Ec = EcuZ = 3,5 o/oo rezultă deformaţia specifică în

E = E 2 -d--=x 3 , 5 400-98 =I0,78%o>Ey= 1,43 %o=> CJs=h,d
98
s m X

Fs =Asfyd =1473·300=441,9·I03 N =442kN

Deformaţia specifică la parte inferioară a plăcii este:

Ecf = Ecu2 x- h-1 = 98-80 0,64 %o
3,5--- =
-
e X 98
Valorile coeficientului a1 , la cele două niveluri, rezultă în funcţie de deformaţia specifică

betonului la nivelul respectiv, după cum urmează:

CX fi = 0,81 pentru Ec = EcuZ = 3,5 %o

A6 -ex12
E Ef) O642(6 - O' 642) = 0,287; aceasta_ valoare s-~ obţ.mut dm. relaţi. a
cc
12 '

12

14.23) înlocuind Ec cu Ec/ = 0,64 %o; se poate folosi şi diagrama din figura 14.1 la

404

Pe baza celor două valori se calculează:
Fel= bx(atifcd )= 600·98·0,81· 13,33 = 635-103 N = 635 kN

Fcz =(b-bw)(x-hf )(atzfcd )=

= (600- 200)· (98- 80)· 0,287 · 13,33 = 27,5 · 103 N = 27,5 kN

rezultând Fc =Fc1 -Fcz =635-27,5=607,5 kN.
Valoarea x este corect aleasă, deoarece ecuaţia de proiecţii este îndeplinită:

F;,-NEd -F', = 607,5-165-442:: 0

Poziţia rezultantei F;, şi momentul încovoietor capabil se calculează după cum unnează:

6x, = 0,415 - din figura 14.lla sau din relaţia (14.24);

us:x2 = 8 = 4,816--00•,6644) = 0,343 - d"m reIaţt·a (14.24) •m care ec s-a •mlocu1·t cu
41,6--eecc )

ecf = 0,64; această valoare poate fi obţinută şi din figura 14.1 la

dc1 = 8x1x = 0,415 · 98 = 40,7 mm; dc2 = 8x2 (x-h1 )= 0,343 · (98-80)= 6,2 mm
Yc1 = x-dc1 = 98-40,7 = 57,3mm; Ycz = (x-h1 )-dc2 = {98-80)-6,2 = 11,8 mm

57,3·635,0-11,8·27,5 = mm·
59 4
607,5 ''

de =x-yc =98-59,4=38,6 mm

z = d-dc = 400-38,6=361,4mm:: 0,36m
Din ecuaţia de momente în raport cu Fs rezultă:

MRd = Fcz-NEd Ys = 607,5 ·0,36-165,0·0,22 = 182,4 kNm

14.4.4. Dimensionarea grinzilor

Secţiunea se află într-o situaţie limită atunci când are loc atingerea simultană a rezistenţelor

de calcul ale celor două materiale, ceea ce înseamnă că deformaţia specifică în betonul
comprimat este ecuz, iar în armătura întinsă eyd .

Pentru această situaţie, poziţia axei neutre rezultă din relaţia:

ţ,li =X/im ecu2' = ecu2 = 3,5 (14.29)

m d ecuz +eyd Ecuz + fyd/Es 3,5+1000Jyd/Es

În acest caz, momentul încovoietor capabil al secţiunii este:

Mum = Fc(d -de}= (al fcd )bxum(d -Bxxlim )= a fţ,lim(l-Ox~/im)fcdbd 2 (14.30)

Având în vedere ·a1 :::. 0,81 şi 8x = 0,415 , valori corespunzătoare deformaţiei specifice

ec = Ecuz = 3,5 %o, relaţia (14.30) se rescrie sub forma:

rmele europene EC2 405

Mum = 0,8 Iţ,lim (1- 0,415ţ, /im kid 2 (14.31)

,forma valorii relative: (14.32)

µ/im= Mum/ fcdbd 2= (0,81-0,336ţ,lim)ţ,lim

.baza relaţiei (14.32), pentru cele mai frecvente tipuri de oţel ~ur~pean, ?recum ş~ pen~
·1e din oţel românesc PC52 şi PC60, în tabelul 14.6 se prezmtă valonle coefictentulm

rturile secţionale de calcul M Ed şi NEd, cu sensurile pozitive din figura 14.13, se
cu perechea de eforturi NEd şi M Eds = M Ed - NEd y s acţionând la nivelul centrului

loarea relativă a momentului încovoietor M Eds

(14.33)

µs -<µ/im (14.34)

i armarea simplă asigură capacitatea portantă, în caz contrar este necesară armarea dublă.

Tabelul 14.6. Coeficientul µum pentru diferite tipuri de oţel

Oţel Jyd (Nlmm2) Es (Nlmm2) Eyd (%o) ţ,lim µ/im
0,668 0,391
S400 400/1,15 =348 200000 1,74 0,617 0,371
S500 200000 2,17 0,710 0,405
PC52 500/1,15 = 435 210000 l,43 0,676 0,394
PC60 210000 1,68
345/1,15 =300

405/1,15 =352

Fs'

Fig. 14.13. Translaţia eforturilor secţionale

406

14.4.4.1 .. Dimensionarea secţiunii dreptunghiulare

Armarea simplă se foloseşte dacă µs :S µ/im , aria de armătură calculându-se cu
cele două relaţii de mai jos:

_l_(As = MEds +NEd ) sau As =rosbd ied + NEd
!yd z !yd !yd

scu z =sd. Coeficienţii şi ros se determină din tabelul 14.7 în funcţie de µs.

Armarea dublă este necesară dacă µs > µ/im ; diferenţa /iM , dintre momentul încovoi
translatat la nivelul armăturii întinse M Eds şi momentul încovoietor capabil al secţiunii s·

armate, se descompune în două forţe situate la distanţa d - d; dintre cele două armături.

Tabelul 14.7. Coeficienţii pentru calculul secţiunilor dreptunghiulare simplu armate supuse la

încovoiere cu/fără forţă axială (pentru orice tip de armătură)

µ. ro. ~ s e. (%o) µ ro. ~ s e. (%o)
0,382
0,05 0,051 0,063 0,974 51,67 0,26 0,309 0,400 0,841 5,67
0,06 0,062 0,077 0,968 42,22 0,27 0,324 0,419 0,834 5,25
0,07 0,073 0,090 0,963 35,46 0,28 0,339 0,438 0,826 4,86
0,08 0,084 0,103 0,957 30,40 0,29 0,355 0,458 0,818 4,49
0,10 0,106 0,131 0,946 23,29 0,30 0,371 0,478 0,810 4,15
0,11 0,117 0,145 0,940 20,71 0,31 0,387 0,499 0,801 3,82
0,12 0,128 0,159 0,934 18,55 0,32 0,404 0,520 0,793 3,52
0,13 0,140 0,173 0,928 16,73 0,33 0,421 0,542 0,784 3,23
0,14 0,152 0,188 0,922 15,16 0,34 0,439 0,565 0,774 2,95
0,15 0,164 0,202 0,916 13,80 0,35 0,458 0,589 0,765 2,69
0,16 0,176 0,217 0,910 12,61 0,36 0,477 0,614 0,755 2,44
0,17 0,188 0,232 0,903 11,55 0,37 0,497 0,640 0,745 2,20
0,18 0,201 0,248 0,897 10,62 0,38 0,518 0,667 0,734 1,97
0,19 0,213 0,264 0,890 9,78 0,39 0,540 0,695 0,723 1,75
0,20 0,226 0,280 0,884 9,02 0,40 0,563 0,725 0,711 1,54
0,21 0,239 0,296 0,877 8,33 0,41 0,587 0,758 0,698 1,33
0,22 0,253 0,312 0,870 7,71 0,42 0,613 0,792 0,685 1,12
0,23 0,266 0,329 0,863 7,13 0,43 0,641 0,830 0,670 0,92
0,24 0,280 0,346 0,856 6,60 0,44 0,672 0,873 0,655 0,72
0,25 0,295 0,364 0,849 6,12 0,45 0,706 0,637 0,51

Ariile de armătură se calculează cu relaţiile:

As=1-(M-u-m+ -li-M, + N Ed ) (14.36)

Jyd Z d-ds

ormele europene EC2 407

' 1 /iM (14.37)
A . =a-s, d - d ' (14.38)
(14.39)
s

!lM =MEds -Mum;

sz =sd, cu determinat din tabelul 14.7 în funcţie de µ/im;

as, =es, Es' cu "cs' -_ 3'5 ~ţ/im ţ-d's/d
~/im

· e două arii de armătură pot fi calculate şi cu relaţiile:

A =ro bd fet1 + NEds

s s Jyd Jyd

A' = ro' bd fcd (14.40)

s s !yd

.e coeficienţii ros şi ro: se obţin din tabelele 14.8 şi 14.9 în funcţie de tipul de oţel,

ientul µs şi raportul d; / d .

belul 14.8. Coeficienţii pentru calculul secţiunilor dreptunghiulare dublu armate supuse
la încovoiere cu/fără forţă axială; PC52

d;/d = 0,05 d;/d = 0,10 d;/d = 0,15 d;/d = 0,20

ro. roI. ro. ros' ro. rosI ros ros'

0,494 0,005 0,580 0,005 0,581 0,006 0,581 0,006
0,504 0,016 0,591 0,017 0,592 0,018 0,594 0,019
0,515 0,026 0,603 0,028 0,604 0,029 0,606 0,031
0,525 0,037 0,614 0,039 0,616 0,041 0,619 0,044
0,536 0,047 0,625 0,050 0,628 0,053 0,631 0,056
0,546 0,058 0,636 0,061 0,640 0,065 0,644 0,069
0,557 0,068 0,647 0,072 0,651 0,076 0,656 0,081
0,568 0,079 0,658 0,083 0,663 0,088 0,669 0,094
0,578 0,089 0,669 0,094 0,675 0,100 0,681 0,106
0,589 0,100 0,680 0,105 0,687 0,112 0,694 0,119
0,599 0,110 0,691 0,117 0,698 0,123 0,706 0,131
0,610 0,121 0,703 0,128 0,710 0,135 0,719 0,144
0,620 0,132 0,714 0,139 0,722 0,147 0,731 0,156
0,631 0,142 0,725 0,150 0,734 0,159 0,744 0,169
0,641 0,153 0,736 0,161 0,745 0,171 0,756 0,181

408

Tabelul 14.9. Coeficienţii pentru calculul secţiunilor dreptunghiulare dublu armate supuse
încovoiere cu/fără forţă axială; S500

d;/d = 0,05 d;/d = 0,10 d;/d = 0,15
ros ros' ros ros'
µs ros' ros
ros

0,38 0,509 0,009 0,509 0,010 0,510 0,010 0,510
0,39 0,519 0,020 0,520 0,021 0,521 0,022 0,523
0,40 0,530 0,030 0,531 0,032 0,533 0,034 0,535
0,41 0,540 0,041 0,542 0,043 0,545 0,046 0,548
0,42 0,551 0,051 0,554 0,054 0,557 0,057 0,560
0,43 0,561 0,062 0,565 0,065 0,569 0,069 0,573
0,44 0,572 0,072 0,576 0,076 0,580 0,081 0,585
0,45 0,582 0,083 0,587 0,088 0,592 0,093 0,598
0,46 0,593 0,093 0,598 0,099 0,604 0,104 0,610 0,111
0,47 0,603 0,104 0,609 0,110 0,616 0,116 0,623 0,123
0,48 0,614 0,114 0,620 0,121 0,627 0,128 0,635 0,136
0,49 0,624 0,125 0,631 0,132 0,639 0,140 0,648 0,148
0,50 0,635 0,136 0,642 0,143 0,651 0,151 0,660 0,161
0,51 0,645 0,146 0,654 0,154 0,663 0,163 0,673 0,173

0,52 0,656 0,157 0,665 0,165 0,674 0,175 0,685 0,186
0,53 0,666 0,167 0,676 0,176 0,686 0,187 0,698 0,198
0,54 0,677 0,178 0,687 0,188 0,698 0,199 0,710 0,211
0,55 0,688 0,188 0,698 0,199 0,710 0,210 0,723 0,223

Aplicaţia numerică 14. 9. Dimensionarea unei secţiuni dreptunghiulare simplu armate supusă
la încovoiere

Se cere calculul armăturii pentru o secţiune dreptunghiulară realizată din beton C20/25

ifck = 20 N/mm2) şi având dimensiunile b/h/d = 20/55/50 cm. Pentru armare se folosesc bare

din oţel PC52 ( Jyk = 345 Nlmm2). Momentul încovoietor de calcul este MEd =200kNm.

f,d a -fc=k 1 0 - =201 3 3 3 N/mm2· fd =Jyk 345 0. N/mm2
c = 1,5 ' ' y -= -1=,153 0
cc Yc , Ys

Valoarea relativă a momentului încovoietor se obţine din relaţia (14.33):

µ = MEds = MEd = 200·106 =030
s bd 2fcd bd 2fcd 200 · 5002 · 13,33 '

Din tabelul 14.6, sau utilizând relaţia 14.32, se obţine µfim = 0,405; se poate folosi

armarea simplă, deoarece µ 5 = 0,30 < µfim = 0,405 .
În funcţie de µs = 0,30, din tabelul 14.7 se obţine I;= 0,81 şi ros= 0,371.

409

I de pârghie este z = /;d = 0,81 · 500 = 405 mm.
·a de armătură se obţine din relaţia (14.35a):

~=-I_MEd = 1 200 · 106 = 1646mni2 = 16,5 cm2 2<1>20 + 2<1>25 (-2,5%)

s f yd z 300 405

= ro.bd fcd = 0,371 · 200 · 500 13•33 = 1648 mm2 = 16,5 cm2
300
s !yd

ia numerică 14.10. Dimensionarea unei secţiuni dreptunghiulare dublu armate supusă
la încovoiere

e cere calculul necesarului de armătură pentru o secţiune dreptunghiulară cu dimensiuni

= 30/50 cm, realizată dintr-un beton C20/25 ifck = 20 N/mm2) şi oţel PC52

345 N/mm2; Es = 210000 N/mm2; Eyd = 1,43 %o). Eforturile de calcul sunt M Ed=

kNm şi NEd = -500 kN (compresiune).
Se presupune ds = d; = 4,5 cm, rezultând:

d=45,5cm, d;/d=4,5/45,5:0,l, d-d; =45,5-4,5=41 cm.

Ys = 25 - 4,5 = 20,5 cm - distanţa de la centrul de greutate al secţiunii până la As

I' =a fck = 10 20 = 13,33 N/mm2,• f = Jyk = 345 = 300 N/mm2
Yc 1,5 Ys 1,15
Jcd cc , yd

Momentul încovoietor translatat la nivelul armăturii întinse este:
=MEd -NEdYs = 300-(-500)·0,205 = 402,5 kN
care se calculează valoarea relativă:

= M Eds = 402,5 · 106 = O486
µs bd2fcd 300 · 4552 • 13,33 '

Cu relaţia (14.32) sau din tabelul 14.6 se obţine µ1im = 0,405 şi deoarece

µs =0,486 > µfim = 0,405

necesară dubla armare.
Momentul încovoietor limită, corespunzător valorii µfim = 0,405 , este:

Mum = µfim bd 2 fcd = 0,405 · 300 · 455 2 • 13,33 = 335,3 · 106 Nmm = 335,3 kNm

Din tabelul 14.7 pentru µfim= 0,405 se obţine I;= 0,705.

Braţul de pârghie este z = /;d = O,705 · 455 = 321 mm.

A;Deformaţia specifică în armătura se obţine din relaţia (14.38) cu ~/im = 0,71 (obţinut

tabelul 14.6):

410

e' = 35 ~/im ţ- d; / d = 3 5 O,7Ol 7-1O,l = 3,O > eyd = 1,43 %o ~ cr' = f yd = 300 N/mm2
,
s , . s

~/zm ,

b.M = MEds - Mum = 402,5-335,3 = 67,2 kNm

Ariile de armătură se calculează cu relaţiile (14.36) şi (14.37):

As =1-(M-u-m+ -b.-M, + NEd ) =

!yd z d-d,

j '= _1_[335,3, 106 + 67,2, 106 + (- 500, 103 )~ = 2362 mm2 = 23 6 cm2
300 321 410

a:A' - 1 b.M - 1 67,2, 106 546 mm2 =5,46 cm2
s - d-d; - 300 410

Ariile de armătură se pot calcula şi cu relaţiile (14.39) şi (14.40), coeficienţii necesari
obţinându-se din tabelul 14.8:

A =ro bdfcd + NEd =

s s !yd !yd

= O665 · 300 · 455 13,33 +( - 500 · 3 ) = 2366 mm2 = 23 7 cm2
l0
' 300 300 '

A = ro' bd lfeydd = O'09·300-455 1330'303 = 545mm2 = 5'5 cm2
s s

14.4.4.2. Dimensionarea secţiunii T

Calculul de dimensionare se efectuează cu ajutorul tabelului 14.10, nefiind necesară
verificarea prealabilă a poziţiei axei neutre (în placă sau în inimă). Utilizarea tabelului 14. lO
se bazează pe eforturile secţionale translatate la nivelul armăturii A, şi a coeficientului µ,

obţinut din relaţia (14.33).

Dacă µ, ~ µ/im se foloseşte armarea simplă, aria necesară calculându-se din relaţia:

A =robdfcd +NEd (14.41)
s s Jyd !yd

în care coeficientul ro, rezultă din tabelul 14.10 în funcţie de µ,, hJ/d, şi b/bw,

indiferent de tipul armăturii folosite.
Armarea dublă este necesară dacă µ, > µ/im , caz în care pentru determinarea ariilor de

armături se folosesc relaţiile:

A =(ro. + µ )bd ffcydd + Nf Ed (14.42)
hm
s 1-ds'/d yd

. Normele europene EC2 411

(14.43)

µ=µ, -µ/im;
Olum şi µ/im se obţin din tabelul 14.i'O în funcţie de h1 /d, bwfb şi tipul oţelului.

ţia numerică 14.11. Dimensionarea unei secţiuni T simplu armată supusă la încovoiere
cere dimensionarea armăturii pentru secţiunea T din figura Apl.14.11, realizată din

20/25 ifck =20 N/mm2) şi PC52 ( !yk =345 Nlmm2). Momentul încovoietor de calcul

fi Ed = 1300kNm. Se presupune d, =5,0 cm, rezultând d =l 00 cm.

fc« =ace fck = 1,0 20 = 13,33 N/mm2; f yd = fyk = 345 =300 N/mm2
Yc 1,5 Ys 1,15

i

h= 105

H [cm]

bw=25

Fig. Apl.14.11.

ă hi /d = 10/100 = 0,10 şi b/bw = 125/25 = 5

O =µ MEds = MEd _ 1300·106 78
0,0
s bd 2 fcd bd 2 fcd - 1250 · 10002 • 13,33

•ln funcţie de rapoartele de mai sus, din tabelul 14.10, pentru armătura PC52 se obţine

= 0,157; deoarece µ,<µ/im este suficientă armarea simplă.

) pin tabelul 14.1O, pentru µ, =0,078 se obţine ro, = 0,081 , aria de armătură rezultând

ţia (14.41):

, s =ro,bdfcd =0,081·1250·1000 13•33 =4498 mm2 =45,0 cm2
Jyd 300

e a numerică 14.12. Dimensionarea unei secţiuni T dublu armată supusă la încovoiere
cuforţă axială

cere dimensionarea armăturii pentru secţiunea T din figura Apl.14.12 realizată din

) 20/25 ifck = 20 N/mm2) şi oţel S500 ( Jyk = 500 Nlmm2). Eforturile de calcul sunt

= 165 kNm şi N Ed =125 kN (întindere).

Tabelul 14.10. ~

I I\:>

Coeficientii co. pentru calculul sectiunilor T

lOOOCOs pentru hrld = 0,05 lOOOCOs pentru hrld = 0,10 lOOOcospentruh /d=0,15

µs I bfbw= bfbw= bfbw=

10 5 3 2 1 10 532 1 10 5 3 2
17 17 17 17 17
0,02 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 35 35 35 35 35
53 53 53 53 53
0,04 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 71 71 71 71 71
90 90 90 90 90
0,06 63 62 62 62 62 53 53 53 53 53 128 128 128 128 128
152 152 152 152 152
0,08 93 87 85 85 84 84 84 84 84 84 181 176 176 176 176

0,10 116 110 108 107 106 106 106 106 106 210 204 202 201
236 231 226
0,12 138 133 129 135 131 130 129 129 261 253
281
0,14 170 159 152 161 156 154 152 309
339
0,16 188 176 184 180 176 371
404
0,18 256 200 219 208 201
165 192 228 362 405
0,20· 227 239 226 192 235 292 362 575

0,22 253 274 253 162 185 216

0,24 281 281

0,26 309 309

0,28 339 339

0,30 371 371

0,32 404 404

3 84 120 168 227 405 126 157 198 250 405

PC52 l0 µ,1m
I 103C0/îm 102 155 225 312 575 147 195 258 337 575

--S500 I 1.0_3,µ,;m 81 113 156 210 371 123 150 187 233 371
140 200 275 500 140

lOOOco, pentru h/d= 0,20 lOOOro, pentru h/d= 0,25 1OOOro, pentru hid = 0,30 zo

µ, I bfbw= bfbw= bfbw= 3

10 5 3 2 1 10 5 3 2 1 10 5 3 2 1 ro(1)
17 17 17 17 17 17 17 17 17 17
0,02 17 17 17 17 17 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 (1)
53 53 53 53 53 53 53 53 53 53
0,04 35 35 35 35 35 71 71 71 71 71 71 71 71 71 71 aC:
90 90 90 90 90 90 90 90 90 90
0,06 53 53 53 53 53 109 109 109 109 109 109 109 109 109 109 "O
129 129 129 129 129 129 129 129 129 129
0,08 71 71 71 71 71 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 (1)
171 171 171 171 171 171 171 171 171 171
0,10 90 90 90 90 90 226 226 226 226 226 192 192 192 192 192 :,
253 253 253 253 253
0,12 109 109 109 109 109 253 253 253 253 280 280 280 280 280 (1)
283 281 281 280 309 309 309 309 309
0,14 129 129 129 129 129 m
315 311 309 341 340 339
0,16 176 176 176 176 176 346 339 374 371 ()
371 404
0,18 200 200 200 200 200 404 I\)
270 285 305 330 405
0,20 228 227 227 226 237 256 281 312 405 327 355 392 437 575 ...i.,..
282 315 358 412 575 267 278 294 313 371
0,22 257 255 256 234 249 270 295 371 320 340 366 400 499 w
275 300 333 375 499
0,24 292 285 281

0,26 320 309

0,28 339

0,30 371

0,32 404

PC52 : lO:µum 203 225 255 292 405
10 ffilim 237 275 325 387 575

S500 I lO:µllm 199 218 244 276 371
10 CO/im 230 260 300 350 499

414

E~;~ b=750
>~, , ith,~80

~

[mm] bw= 150

Fig. Apl.14.12.

Se presupune d. =d; = 5,0 ,rezultând d = 25 cm, respectiv d; / d = 0,2. Distanţa de

la centrul de greutatea al secţiunii la armătura A8 este Ys = 12 cm.

led /, 20 N/mm2; 1yd f k 500 N/mm2
=_2'._=-=435
=acc-4.=1,0-=13,33 Ys 1,15
Yc 1,5

hJ/d = 5/25 = 0,20 şi b/bw = 75/15 = 5,

MEds =MEd -NEdYs =165-125·0,12=150 k:Nm

µ= MEds = 6 =0 24
s bd 2led 150·10 '
750 · 2502 •13,33

În funcţie de rapoartele de mai sus, din tabelul 14.10, pentru armătura S500, se obţine
1000µ/im = 218. Deoarece µ.>µ/im, este necesară armarea dublă.

Aµ= µs -µum = 0,24-0,218 = 0,022
Ariile de armătură se calculează cu relaţiile (14.42) şi (14.43), cu Olum = 0,260 (tab
14.10):

=(ro. =A + )bd fleydd + Nf Eydd
s
hm Aµ
l-d's/d

= ( o' 2 6 0 + 10-•002,22 )· 750·250 1433,353 + 125 3 = 1939 mm2 = 19'39 2
43·510
cm

A;= A~ bd led = 0•022 750·250 13•33 = 158 mm2 = 158 cm2
l-d./d 1yd 1-0,2 435 '

14.4.5. Dimensionarea stâlpilor

14.4.5.1. Stâlpi cu secţiune dreptunghiulară

Compresiune excentrică dreaptă

în mod curent, stâlpii se armează simetric. În cele ce urmează, pentru calcul se folosesc

diagramele de interacţiune din figura 14.14 [9].

Determinarea armăturilor Â8 =A;= A /2 se face pe baza valorilor:
8101

4. Normele europene EC2 415

µ= MEdjbh 2led

V= NEd /bhlcd

d./h =d;/h
Din figura 14.14 se obţine coeficientul ro101 , rezultând aria totală de armătură:

Astol _ (i)tot bh -ledf (14·44)
yd
-

=e 0,1, pentru un calcul aproximativ, coeficientul ro101 se poate obţine
Dacă d /d
8

·orm celor de mai jos [137]:

:l3(i)tot = + V dacă v:2::0 (14.45a)

(i)tot µ-0,55vvc dacă O> v 2::-0,85 (14.45b)
11.13

:l3(i)tot = + Vc dacă -0,85 > v (14.45c)

v = NEd /bhlcd este pozitiv pentru întindere, respectiv negativ pentru compresiune;

e vc = - 0,85 - v ;
11. =0,50-d./h;

13 - coeficient obţinut din figura 14.15.

b. icaţia numerică 14.13. Dimensionarea secţiunii unui stâlp cu procedeul aproximativ
Se cere calculul armăturii pentru o secţiune de 25x40 cm, realizată din beton C20/25
= 20 N/mm2) şi oţel S500 (hk = 500 N/mm2). Eforturile sunt M Ed= 160kNm şi

Ed= -800k:N (compresiune). Poziţia armăturilor se estimează la 4 cm de marginea

ţiunii.

J,d = a lck = l O20 = 13,33 N/mm~; 1yd = lyk = 500 = 435 N/mm2
C yCC C ' 1,5 . yS 1,15

/bhµ = M Ed 2led= 160 · 106/250 ·4002 • 13,33 = 0,30

V= N Ed /bhlcd = - 800 · 103/250 · 400 ·13,33 = -0,60

Vc = -0,85-V = -0,85-(-0,60)= -0,25

11. =0,50-d./h = 0,50-40/400 = 0,40

Din figura 14.15 se obţine 13 = 0,88 pentru v = -0,60.

c Deoarece O> V=- 0,60 :2:: -0,85 coeficientul Cil101 se calculează cu relaţia (14.45b)

=µ-0,55vvc = 0,30-0,55·(-0,60)·(-o,25)=0618

(i)tot 11.l3 0,40 · 0,88 '

416

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55
Fig 14.14a. Diagrame pentru calculul stâlpilor; dJh =0,05

1,80 V
1,60
1,40
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Fig.14.14b. Diagrame pentru calculul stâlpilor; dJh = 0,10

• 14. Normele europene EC2 417

O 0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5

Fig 14.14c. Diagrame pentru calculul stâlpilor; dJh =0,15

I I1,80 ds/h = 0,20

1,60

1[J::a~1,40

1,20

~

1,00 A8 =A;= Asiot/2

0,80
0,60

µ
O 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Fig.14.14d. Diagrame pentru calculul stâlpilor; dJh =0,20

418
1,01--....-----.-----r--,----.--

-V

O 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Fig. 14.15. Coeficientul 13 pentru calculul aproximativ al stâlpilor

A = co1o1 bh ffcydd = 0,618 · 250·400 1433•353 = 1894mm2 = 18,94 cm2

s1o1

A,= A;= A,101 /2 = 9,47 cm2 se aleg 3(j>20 - 9,42 cm2

Compresiune excentrică oblică

Ca o primă abordare a problemei, se acceptă un calcul separat pe cele două direcţii
principale ale secţiunii, cu luarea în considerare a imperfecţiunilor numai în direcţia în care

au cel mai defavorabil efect. în acest caz este necesar să fie satisfăcute condiţiile:

Â.y /Â.2 2:,; sau Â.2 /Â.y :,; 2 (14.46)

/h /b_eY_:,; 0,2 sau -e2-:,; 0,2 (14.47)

e2 /b ey/h

unde: b şi h sunt lăţimea, respectiv înălţimea secţiunii transversale;
/iÂ. = t -coeficientul de zvelteţe, pentru cele două direcţiiy, respectiv zale secţiunii;
0

t - lungimea efectivă a stâlpului (de flambaj), pentru cele două direcţii ale secţiunii;

0

i - raza de giraţie pentru cele două direcţii ale secţiunii;

e = M Ed/NEd - excentricitatea pe cele două direcţii ale secţiunii.

Dacă cele două condiţii nu sunt îndeplinite, este necesar un calcul la compresiune

excentrică oblică, în care efectele de ordinul doi trebuie să fie luate în considerare pentru
fiecare direcţie în parte, în afară de cazul că acestea pot fi neglijate conform punctului 14.3.4.

în absenţa unei metode detaliate, se poate folosi relaţia de mai jos pentru verificarea

secţiunii:

MEdy)a +(MEdzJa :=,l (14.48)

( MRdy MRdz

unde: M Edy , M Edz sunt momentele încovoietoare de calcul pe cele două direcţii, inclusiv

efectele de ordinul doi;
M Rdy , M Rdz - momentele încovoietoare capabile pe cele două direcţii, calculate în

ipoteza compresiunii excentrice drepte, sub acţiunea forţei axiale de

calcul NEd;
Exponentul a se determină din tabelul 14.11 în funcţie de valoarea de calcul a forţei axiale

de compresiune NEd şi de forţa axială capabilă la compresiune centrică NRd = bhfcd + A. ,0 Jyd ·

• Normele europene EC2 419

Tabelul 14.11. Exponentului a pentru calculul la compresiune excentrică oblică

NEd/NRd 0,1 0,7 1,0

a 1,0 1,5 2,0

asemenea, se poate utiliza prevederea din normele britanice, care permite ca cele
momente încovoietoare să fie înlocuite cu un moment încovoietor echivalent, după

ează [57]:

ech dy ~ My dy
MY =My+l3N-MEdz daca --2::-

dz Mz dz

Mezch =Mz+f-A'Nd~MEdy dacă MMY < ddy
y zz

dY este înălţimea utilă a secţiunii corespunzătoare momentului încovoietor M Edy ;
dz - înălţimea utilă a secţiunii corespunzătoare momentului încovoietor M Edz;

13N - coeficient conform tabelului 14.12.

belul 14.12. Coeficientului f3N pentru calculul simplificat la compresiune excentrică oblică

/bhfck 0,000 0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 2:: 0,750
1,00 0,88 0,77 0,65 0,53 0,42 0,30

icaţia. numerică 14.14. Verificarea secţiunii dreptunghiulare supuse la compresiune

excentrică oblică

Se cere verificarea secţiunii din figura Apl.14.14 realizată din beton C25/30 ( fck = 25
2) şi armată cu 8(j>18 PC52 (Jyk =345N/mm2; E. =210000N!mm2). Eforturile de

sunt N Ed = 1450 kN, M Edy = 220 kNm şi M Edz = 100 kNm. Centrul de greutate al
,elor se află la distanţa de 5 cm de marginea secţiunii.

J,cd =acc -fYc=ck 10' -1=2,55166' 6 N/mm2

f yd !yk - 345 0 N / m m2; Eyd !yd 300
=-= =30 =1000-=1000---=l,43%0
Ys 1,15 E. 210000

500 NE<l

IJll Fig. Apl.14.14.

420

. ~?ntru utilJ~?a relaţiei (14.48) este necesar calculul capacităţilor portante pe cele
dtrecţn ale secţmnn, egale în acest caz.

=S~ aleg~ x 222 mm, după care se calculează deformaţiile specifice ale armă

efortunle umtare şi rezultantele din armături:

- armătura inferioară As (întinsă)

d-x 450-222 = 3,59 %o> 1,43 o/oo--> O's = Jyd
ts = €cu2 -X-= 3,5
222

Fs = AJyd = 762 · 300 = 228,6 · l 03N = 228,6 kN

- armătura intermediară As; (întinsă)

h/2-x 250-222
tsi = €cu2 - - - = 3,5 = 0,44 o/oo < 1,43 %o
X 222

O's; =€s;Es =0,00044-210000=927 N/mm2;

Fsi = As;O'si = 508 · 92,4 = 46,9 · 103 N = 46,9 kN

A; (- armătura superioară comprimată)

I X-d; 222-50 = 2,71 o/oo > 1,43 o/oo--> O's = fyd
€s = €cu2 -X-= 3,5
222

F;=A;Jyd =762·300=228,6·I03N =228,6kN

Rezultanta compresiunilor în beton, cu a 1 = 0,81 obţinut din figura 14.11, este:
Fc = bx(a I fcd )= 500 · 222 · (0,81 · 16,66)= 1497,9 -103 N = 1498 kN,

=N Ed + F, + Fs; - F; - Fc = 1450 + 228,6 + 46,9 - 228,6 -1498 O ~ x este ales corec

Momentul încovoietor capabil al secţiunii se obţine din ecuaţia de momente în rapo
cu armătura As , având în vedere:

• poziţia forţei Fc faţă de marginea comprimată, calculată cu relaţia (14.22):

de = c\x = 0,415 · 222 = 92 mm, cu Ox = 0,415 din figura 4.1 la

• z =d-dc = 450-92 =358mm:: 0,36m

• d-d; = 450-50=400mm= 0,40m

• h/2-ds = 500/2-50 = 200 mm= 0,20m

M Rd =Fcz + F;(d -d; )-F,;(h/2-ds )- NEd (h/2-ds )=

= 1498 · 0,36 + 228,6 · 0,40-46,9 · 0,20-1450 · 0,20 = 331 kNm

Având în vedere alcătuirea secţiunii, rezultă M Rdy = M Rdz = 331 kNm.
Exponentul a din relaţia (14.48) se determină în funcţie de:
N Rd = bhfcd + As1otfyd = 50 · 50 · 16,66 + 2032 · 300 = 4774,6 · 103 N = 4475 kN

NEafNRd =1450/4475=0,303

421

tabelul 14.11 rezultă a = 1,166 , relaţia de verificare fiind:

)a yEdy +( M Edz = ( 220 Jl,l66 +( 100 î1'166 = 0,979 < 1

Rdy MRdz) 331) 331)

indică satisfacerea stării limită ultime.

numerică 14.15. Dimensionarea secţiunii dreptunghiulare supuse la compresiune

excentrică oblică

cere dimensionarea unei secţiuni cu dimensiunile de 40x45 cm realizată din beton

([ck = 25 N/mm2) şi armată cu ba,re din oţel PC52 ( Jyk = 345 N!mm2). Eforturile de

$unt M Edy = I00 kNm, M Edz = 80 kNm şi N Ed = 500 kN. Se admite că centrul de

e al barelor se află la distanţa de 4 cm de marginea secţi:unii.

= a fck = 1 O25 = 16 66 N!mm2;f d = Jyk = 345 = 300 N/mm2
yCC C ' 1,5 ' y yS 1,15

e estimează că procentul total de armare este de 1% ( p101 = 0,01 ), ceea ce permite

· area forţei axiale capabile la compresiune centrică:

~;~ JNRd = bhfcd + Astotfyd = bh( fcd + Jyd =

= 400 · 450 · (16,66 + 0,01 · 300)= 3538,8 ·103 N = 3538,8 kN

În funcţie de N Ed/N Rd =500/3538,8 = 0,14 din tabelul 14.11 rezultă a= 1,033.

imensionarea directă a armăturilor este posibilă dacă se stabileşte o legătură între
ct ităţile portante de pe cele două direcţii ale secţiunii, cum ar fi condiţia:

ort MRdy = MEdy

MRdz MEdz
indică acelaşi raport între capacităţile portante ca şi între momentele încovoietoare.
Având în vedere relaţia (14.48) se ajunge la condiţia:

M Edy == M Edz ~ efii:5

MRdy MRdz
Armătura trebuie astfel dimensionată încât să confere secţiunii, cel puţin, următoarele
cităţi portante pe cele două direcţii:

efo:sM Rdy = M Edy / efii;5 ,respectiv M Rdz = M Edz /

Armătura pentru direcţia y se dimensionează la N Ed şi M Rdy , iar armătura pentru direcţia

calculează la N Ed şi M Rdz .
În cele ce urmează se alege ~0,45 şi având în vedere valoarea exponentului a, rezultă:

M Rdy = 100/ 1•03~0,45 == 216,6 kNm

422

;/oM Rdy = 80~11•03 ,45 = 173,3 kNm

Dimensionarea armăturilor se face cu ajutorul diagramelor din figura 14.14, pentru
direcţie în parte:

V=_JN]JL 500000 = O167

blifcd 400 · 450 ·16,66 '

- MRdy - MRdz

µy - bh2fcd - µz =hb2 • =

= 216,6 ·106 = o161 Jcd

400·4502 ·16,66 ' 173,3 . 106 = o144

=ds/h = 40/450 0,09 450·4002 ·16,66 '

ds/b = 40/400 = 0,10

(J)ytot = 0,203; Asytot = roybh led (J)ztot = 0,180; Asztot = rozbh led
1yd 1yd

Asytot = 0,203·400·450 16•66 = 2029mm2 Asztot = O,18·400·450 16•66 = 1799 mm2
300 300

Asy =A~= Asytor/2 = 10,15 cm2 Asz = A;z =Asztot /2 = 9,00 cm2

Se aleg barele: I 2(j>18 + 2(j>16-+ Asz = 9,10 cm2
4(j>18-+ Asy = 10,16 cm2

Dispunerea armăturilor este prezentată în figura Apl.14.15, procentul total de armare

pentru 8(j>18 + 4(j>16 fiind:

Ptot = Astot /bh = 2836/400 · 450 = 0,0157 (1,57%)

4(j>18

~~. . l 2(j>16
450

2(j>16

,~ ==---'' 4(j>18
400 . ,

Fig. Apl.14.15.
Recalcularea capacităţii portante la compresiune axială conduce la:

NRd =3850kN; NEdfNRd =500/3850=0,13; a=l,025

Având în vedere valoarea iniţială şi cea efectivă a exponentului a, se apreciază că nu

este necesară reluarea calculelor.

<Normele europene EC2 423

.2. Stâlpi cu secţiune circulară

'lizarea diagramelor de interacţiune din figura 14.16 [9] permite determinarea armăturilor
'Astot · Armătura rezultată din calcul se distribuie uniform pe perimetrul secţiunii,
ându-se cel puţin şase bare.
'a totală de armătură rezultă din relaţia

A tot = ro,01 D2 -lefd, (14.49)
S

yd

oeficientul ro101 se obţine din figura 14.16 în funcţie de ds/D, respectiv:

V =N Ed/D 2led

Pentru 0,15 ~ ro101 ~ 1,0 se poate efectua o evaluare aproximativă a armăturii, bazată pe
ea diagramei din figura 14.17 [137]:

Aslot =0)101 Acf-cdf (14.50)
yd

ro,01 = 131µ +132

µ=MEdfAcD led

Ac =nD2/4

Coeficienţii 131 şi 132 se obţin din figura 14.17 în funcţie de v =N Ed/ Acfcd .

ld./D = 0,051

O 0,02 0,040,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30

=Fig. 14.16a. Diagrame pentru calculul stâlpilor cu secţiune circulară; d, /D 0,05

424

V

1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2

0,Q2 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30
Fig. 14.16b. Diagrame pentru calculul stâlpilor cu secţiune circulară; d5 /D :;: 0,075

,d./D =0,101

O 0,Q2 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30
Fig. 14.16c. Diagrame pentru calculul stâlpilor cu secţiune circulară; d 5 /D:;:: 0,10

425
ds

0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30

.Fig. 14.16d. Diagrame pentru calculul stâlpilor cu secţiune circulară; d./D =0,125

4,0

3,0

2,0

1,0 V
0,5

o

-1,0
Fig.14.17. Coeficientul fţ pentru calculul aproximativ al stâlpilor cu secţiune circulară

aţia numerică 14.16. Dimensionarea secţiunii circulare supuse la compresiune excentrică
Se cere dimensionarea unei sectiuni circulare cu diametrul de 40 cm realizată din beton

/35 ifck = 20 N/mm2) şi armătu~ă PC52 ( Jyk = 345 N/mm2). Eforturile de calcul sunt

= 160 kNm şi NEd =800 kN. Se presupune că centrul de greutate al barelor se află la

)n de marginea secţiunii. Aria secţiunii circulare este Ac= 0,126 2

m•

fcd f, 20 N/mm2; f yd = fk = 345 = 300 2
= ace ..A..= 1,0- = 13,33 -
_Y_ N/mm
yc 1,5 yS 1,15

426

Calculul armăturii cu ajutorul diagramei de interacţiune (fig. 14.16)

µ = MEd/D 3 = 160 · 106/ 4003 · 13,33 = 0,188
fcd

V= N Ed/D 2 = 800 · 103/ 4002 · 13,33 = 0,375
fcd

d,/D=40/400 =0,10

=Din figura 14.16 se obţine w101 0,545, cantitatea totală de armătură fiind:
A, 101 = w101 D 2led = 0,545 · 4002 13,33 = 3875 rnm2 = 38,75 cm2

Jyd 300

Calculul aproximativ al armăturii (fig. 14.17)

µ = M Ed/AcDfcd = 160 · 106/126000 · 400 · 13,33 = 0,24

V= N Ed/ Acfcd = 800 · 103/126000 · 400 · 13,33 = 0,19

Din figura 14.16 se obţin coeficienţii 131 =4,38 şi 132 =- 0,33 , cu care se calculează

coeficientul:

o,w,01 = 131µ + 132 = 4,38 · 0,24 - 0,33 = 71

Cantitatea totală de armătură este:

Astot = w,01 led 0,71 · 12600130,3-3- = 3975 mm2 = 39,75 cm2

Ac-=

Jyd 300

Diferenţa între cele două rezultate este mai mică decât 3 %.

14.5. FORTA TĂIETOARE

'

14.5.1. Principii de calcul

Calculul la forţă tăietoare poate fi condus pe un model simplificat, conceput de Morsch
şi anume o grindă cu zăbrele ce corespunde stării de tensiune rezultată din analiza elastică
(fig. 14.18 şi 14.21b).

Pentru apropierea de elementul real din beton armat, care se armează cu o succesiune
de etrieri plasaţi la distanţe relativ reduse, modelul Morsch iniţial se înlocuieşte cu o grindă
cu zăbrele cu diagonale dese (fig. 14.21a).

Calculul la forţă tăietoare la starea limită de rezistenţă se bazează pe următoarele trei
valori de calcul:

VRd,c - forţa tăietoare capabilă a elementului fără armătură pentru preluarea forţei

tăietoare;

VRd,s - forţa tăietoare capabilă a armăturilor transversale, etrieri şi eventual armături

înclinate, atinsă prin curgerea acestora;
VRd,max - forţa tăietoare capabilă maximă a elementului, corespunzătoare zdrobirii

betonului comprimat din diagonale.

Normele europene EC2 427

armătură longitudinală beton comprimat - efect MEd

întinsă - efect MEd

armături înclinate

întinse - efect VEd

Fig. 14.18. Modelul grinzii cu zăbrele

modelul de calcul adoptat, verificarea forţei tăietoare capabile a unui element cu
ă transversală VRd se bazează în principal pe verificarea capacităţii portante a
ă rilor de tăiere VRd,s , însoţită obligatoriu de verificarea necesară evitării zdrobirii
lui comprimat din diagonale prin atingerea VRd,max.
n cazul unui element cu înălţime variabilă, apar următoarele componente (fig. 14.19),
odifică forţa tăietoare de calcul rezultată din analiza statică, VEd :
ccd - componenta forţei de compresiune din beton, paralelă cu VEd , dacă fibra
mprimată este înclinată;
sd - componenta forţei din armătura întinsă, paralelă cu VEd , dacă fibra întinsă este

clinată.

Forţa tăietoare capabilă a elementului cu armătură de tăiere VRd se determină cu relaţia
ai jos, dacă înălţimea secţiunii transversale creşte în aceeaşi direcţie cu momentul
oietor:

(14.51)

h
ă

e
ă

i

Fig. 14.19. Corecţia forţei tăietoare la elementele cu secţiune variabilă

Dacă VEd :;; VRd,c, nu este necesar calculul armăturilor transversale; dacă VEd > VRd,c,

lculează armătur11 pentru preluarea forţei tăietoare de calcul, astfel încât să fie îndeplinită
"ţia VEd:;; VRd •
Forţa tăietoare corectată la elementele cu secţiune variabilă trebuie să corespundă condiţiei:

VEd - vccd - v,d :;; VRd,max

428 BETON ARM

14.5.2. Elemente care nu necesită calculul armăturii pentru
preluarea forţei tăietoare

Calculul armăturii de tăiere nu este necesar, dacă este respectată condiţia:

VEd $ VRd,c (14.5

Forţa tăietoare capabilă a elementului fără armătură transversală specifică VRd,c se

determină cu relaţia:

VRd,c =[cRd,c k(I00p1 lckJ1 3 + k1 acp]bwd (14.5

dar având cel puţin valoarea: (14.5

VRd,c = (vmin + k1Cicp) bwd

unde: lck este rezistenţa caracteristică la compresiune, N/mm2;

~d - ,k = I + 200 < 2 o mA care mA a"Iţ.1mea ut1·1a· d este dat"ă mA mm;

p1 = As/ $ 0,02 - coeficientul de armare longitudinală;
bwd

As1 - aria armăturii longitudinale întinse; Ast trebuie să depăşească secţiunea de calcu
considerată I-I cu o lungime de cel puţin d + !bd (fig. 14.20);
!bd - lungimea de ancorare a armăturii longitudinale;

bw - lăţimea minimă a secţiunii în zona întinsă, în mm;

Cicp = NEd/Ac < 0,2led - efortul unitar mediu sub efectul forţei axiale N Ed , poziti

pentru compresiune:
Ac - aria secţiunii transversale de beton, în mm2;

CRd,c, vmin şi k1 sunt date în anexele naţionale, valorile recomandate fiind:

CRd,c =0,18/yc (14.5

vmin = 0,035 k3/2 fcf 2 (14.5

k1 =0,15 (14.5

,,,is,, !~' d ,, A.1 I I-I secţiunea

,"u ',15 considerat

,,/45:' ''''' d

I As1 Ij' ~I

Fig. 14.20. Definirea ariei de armătură A,1

MAT • 14. Normele europene EC2

La elementele cu încărcări concentrate aplicate la distanţa 0,5d $ av $ 2d de la marginea

emului aportul acestora în calculul forţei tăietoare VEd se ia în considerare cu o valoare

prin ~ = avf2d . Această reducere se bazează pe faptul că datorită efectului de boltă,

area ce acţionează pe o lungime av $ 2d se descarcă direct pe reazem printr-o diagonală

52) rimată de beton. De acest fapt se poate ţine seama în relaţia (14.53), având ca efect

rea forţei tăietoare capabile, conform relaţiei de mai jos:
t3( !: }+53)
VRd,c =[CRd,c k(lOOptfck k1 <1cp] bwd (14.57a)

Relaţia (14.57a) este valabilă doar dacă încărcarea este aplicată la partea superioară a

54) entului, cu armătura longitudinală ancorată suficient de la faţa reazemului. Dacă av $ 0,5d ,

Forţa tăietoare de calcul VEd, determinată fără reducerea pe porţiunea av, trebuie să

sfacă relaţia:

VEd $ 0,5 bw d V led (14.58)

este factorul de reducere a rezistenţei, care ţine seama de :fisurarea betonului datorită
ul rii, având valoarea recomandată:

V= 0 6(1- fck ) (14.59)

' 250

Cantitatea minimă de armătură de tăiere este stabilită de condiţia:

ivă Pw sbwAssw.ma ->Pw,mzn. (14.60)

Pw este coeficientul de armare transversală;
Asw - aria armăturii de tăiere dispusă la distanţa s (fig. 14.21a).

55) Coeficientul minim de armare transversală, Pw,min , trebuie specificat în anexele naţionale;

56) '.recomandă valoarea:

57) (14.61)

Distanţa dintre etrieri în lungul elementului se recomandă să fie cel mult:

tă Stmax =0,75d(l+ctga) (14.62)

Într-o secţiune transversală, se recomandă ca distanţa dintre braţele verticale ale
·tor să fie mai mică decât:

s,max = 0,75d $ 600mm (14.63)

Dacă se utilizează şi bare înclinate, distanţa maximă dintre acestea se recomandă să fie:

sbmax =0,6d(l+ctga) (14.64)

430

14.5.3. Elemente care necesită calculul armăturii pentru
preluarea forţei tăietoare

Dacă VEd > VRd,c, este necesar calculul armăturilor transversale, astfel încât să fie

satisfăcută relaţia:

VEd :S VRd
unde VRd este forţa tăietoare capabilă a elementului cu armătură transversală specifică, definită
în cele ce urmează.

Calculul modelului de grindă cu zăbrele din figurile 14.18 şi 14.21b la starea limită de
rezistenţă se bazează pe ipoteza că ruperea se poate produce fie prin cedarea armăturilor

transversale întinse ( VRd =VRd,s ), fie prin zdrobirea betonului din diagonalele comprimate
=( VRd VRd,max ); pentru asigurarea unei ruperi ductile, este necesar ca VRd,s :S VRd,max.

1-1

b) grinda cu zăbrele Morsch

Fig. 14.21. Modele de calcul la forţă tăietoare

În continuare se utilizează următoarele notaţii:

a - unghiul dintre armătura de tăiere şi axa armăturii longitudinale întinse (considerat

pozitiv ca în figurile 14.21 şi 14.22b);

0 - unghiul dintre diagonalele comprimate de beton şi armătura longitudinală întinsă;
valoarea lui 0 este limitată conform anexelor naţionale; se recomandă:

1:S ctg0 :S 2,5' adică 21,8° :Se :S 45° (14.66)

4. Normele europene EC2 431

-distanţa dintre diagonalele comprimate (figura 14.21b);
- forţa de întindere din armătura longitudinală;
- forţa de întindere din diagonala re12rezentată de armătura de tăiere Asw, în care efortul

unitar O'sw poate atinge limita de curgere/ywd;
- forţa de compresiune din diagonala de beton, în care efortul unitar O'c poate atinge

rezistenţa de calcul la compresiuneled;

Ei: 0,9d - braţul de pârghie.
educerea relaţiilor de calcul se bazează pe ecuaţiile de echilibru, scrise pentru grinda
rele din figura 14.21b, în secţiunile l - 1 şi 2 - 2.
ecţiunea l - 1
Ecuaţia de proiecţie pe verticală este:

VEd = Fcwsin0

Fcw = abwcrc reprezintă rezultanta eforturilor de compresiune pe suprafaţa a bw , deci

ltă VEd =abwcrC sine .

Având în vedere lăţimea fâşiei comprimate, a = z(ctg 0 + ctg a.)sin 0 , se obţine:

VEd =bwzcrcr,ctg0+ctga.)S.lll2 0=bwzO'c (ctg0+ctga.) (14.67)

2
el+ctg

Secţiunea 2 - 2
Ecuaţia de proiecţie pe verticală este:

VEd =F,w sin a.

Fig. 14.22. Secţiunea înclinată a grinzii cu armare transversală

Cele n armături de tăiere dispuse la distanţa s se iau în considerare prin aria uniform
ibuită Asw/s . Rezultanta eforturilor de întindere pentru toate armăturile de pe lungimea

tg e + ctga.) este:

F'.w =A crswz (ctg0+ ctg a.)
-2!!'..
s

Ecuaţia de echilibru devine:

VEd = Asw z crsw (ctg0+ ctg a.)sin a. (14.68)

s

432 BETONARMAî

14.5.3.1. Elemente armate cu armături transversale verticale • etrieri

Termenul din dreapta al relaţiei (14.67) reprezintă forţa tăietoare capabilă a elementului

V rezultată din zdrobirea betonului din diagonalele comprimate dacă crc = led . Pentru

Rd,max,

a= 90° şi introducând termenii acw şi v1, rezultă:

VRd,max =<Xcwbwzvifcd/(ctg8+tg8) (14.69)

unde: a = 1O pentru betonul armat, dacă anexele naţionale nu dau altă valoare;
cw '
de reducere a rezistenţei; valoarea recomandată pentru v1 este v din relaţia
v1- factorul
I(14.59); dacă ywd :,; 0,81ywk, se ia v1 = 0,6;

Termenul din dreapta al relaţiei (14.68) reprezintă forţa tăietoare capabilă a armăturii

transversale VRd,s, atinsă prin curgerea acesteia dacă O"sw = 1ywd; luând a= 90°, rezultă:

VRd s = Âsw z fywd ctg0 (14.70)
's

unde: Asw este aria secţiunii armăturii transversale;

s - distanţa dintre etrieri;

Ilywd -rezistenţa de calcul a armăturii transversale; dacă ywd :,; 0,81ywk, în relaţia (14.70)

Ise ia ywd = 0,81ywk.

Forţa tăietoare capabilă a elementelor armate cu etrieri este valoarea cea mai mică dată
de relaţiile (14.69) şi (14.70). Conform principiilor stărilor limită, exprimată de relaţia (14.65),

trebuie respectate condiţiile de mai jos:

VEd :,; VRd,max

VEd:,; VRd,s

în vederea asigurării unei ruperi ductile (armătura de tăiere să curgă îna~te de zdrobirea

betonului), secţiunea etrierilor nu va depăşi valoarea maximă dată de relaţia (14.71), care
rezultă din condiţia VRd,s :,; VRd,max :

Âsw,maxlywd -< O,5ruv.cwVI /' (14.71)

bws J cd

La acelaşi rezultat, dat de relaţia (14.70), se ajunge observând din figura 14.22a că forţa

tăietoare capabilă preluată de n etrieri care străbat fisura înclinată este VRd,s I= n A,w ywd;

=numărul de etrieri este n t/s , unde t = z ctg 8 ; rezultă n = z ctg 8/s .

14.5.3.2. Elemente armate cu armături transversale înclinate

Forţa tăietoare capabilă a elementelor armate cu bare înclinate este cea mai mică valoare

dată de relaţiile (14.72) şi (14.73), rezultate din relaţiile (14.67) şi (14.68), pentru <1c = fca

şi O"sw=lywd:

e)VRd,max
= acw bw ZV1 fcActg8+ctga)/(1 2

+ctg