Cadar, Ioan - Beton armat - scan

132

neutră fiind plasată în afara acesteia. Creşterea momentului încovoietor conduce la subdomeniul
lb, care reprezintă întinderea excentrică cu excentricitate mare, sau încovoierea în cazuf
elementelor cu procente reduse de armare. Deoarece axa neutră este plasată în secţiune, există

beton activ, comprimat, care eventual poate ajunge la limita capacităţii portante numai în
situaţia limită când secţiunea deformată se suprapune peste linia AB.

DOMENIUL 2 • pivot B

Acest domeniu este caracterizat prin zdrobirea betonului comprimat (Ebu = 3,5 %o).
Secţiunea se roteşte în jurul pivotului B pe măsura reducerii excentricităţii forţei. Armătura

Âa este întinsă, efortul unitar Oa depinzând de mărimea deformaţiei specifice ta, Având în

=vedere că de regulă e: =ebu ~ eap Ra /Ea , înseamnă că armătura A~ a atins limita de

o:curgere ( =Ra ). Subdomeniul 2a reprezintă încovoierea cu/fără forţă axială de·

compresiune sau de întindere, adică încovoierea pură şi solicitările excentrice cu excentricitate
mare, care reprezintă: cazul I de compresiune, respectiv întinderea excentrică cu mare

excentricitate. Deformaţia specifică a armăturii întinse este cuprinsă între Bau şi Eap şi deci

Oa = Ra, Reducerea intensităţii forţei axiale de întindere produce rotirea secţiunii în jurul

pivotului B, spre subdomeniul 2b. Creşterea intensităţii forţei axiale de compresiune conduce
secţiunea spre dreapta B-B', care reprezintă o situaţie aparte: starea de balans. Această stare
este caracterizată prin inţierea curgerii armăturii întinse ( cra = Ra ; Eap = Ra / Ea ), în paralel

cu zdrobirea betonului comprimat (Obc = Re; tbc = eb /im= 3,5 %o). Starea de balans reprezintă

situaţia ideală de cedare a secţiunii din beton armat. Subdomeniul 2b se atinge după ce
secţiunea a depăşit dreapta de balans B-B'. Armătura Aa este încă întinsă, dar nu curge, deoarece

O:s; Ea< Eap, respectiv Oa < Ra, Axa neutră este plasată în secţiune şi înălţimea zonei comprimate
devine tot mai mare pe măsura creşterii intensităţii forţei axiale de compresiune. În
subdomeniul 2c toate armăturile sunt comprimate, însă în armătura Aa efortul unitar de

compresiune este Oa< Ra, Axa neutră atinge, la limită, marginea inferioară a secţiunii, care
devine comprimată în întregime. Subdomeniile 2b şi 2c reprezintă o parte a compresiunii
excentrice cu excentricitate mică, denumită în continuare cazul II de compresiune, care se
extinde.şi în domeniul următor.

DOMENIUL 3 - pivot C

Axa neutră este plasată în afara secţiunii, care este comprimată în întregime. Pe măsura
creşterii intensităţii forţei axiale de compresiune, rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului C. ,
Se produce zdrobirea betonului comprimat, ceea ce înseamnă şi cedarea secţiunii. Armătura Aa

este comprimată, iar deformaţia specifică poate să fie mai mare sau mai mică decât Bap = Ra /Ep,
ceea ce înseamnă O'a :s; Ra. Armătura A;, curge, aşa cum s-a arătat la descrierea domeniului 2.

Poziţia pivotului C se obţine din asemănarea triunghiurilor OBO' şi DBC (fig. 6.2):

=ebu tbu - ebc rezultând:

h CD '

(1-~)h h, h hCD =
±=I respectiv CD'= ebc =
Bbu 7 Bbu 7

133

f A' O'D@
cap= R./Ea

]._h Cau=l0%o

7 Etic= 2,0 %o

cbu = 3,5 %o

.i.h

7

O D'
+•~;;;-:;--+---.,____,1--4--IL,_-c_o_m.:p-+resiune (%o)
întindere (%o) c • II >
"au Cap Cbc Cbu

, 6.2. Diagrama deformaţiilor specifice sub efectul încovoierii cu forţă axială

secţi~ii în jurul piv~tului C atrage după sine modificarea deformaţiei specifice
mpres1une a betonului eblim, care începe să scadă, depărtându-se de ebu = 3,5 %o

re ebc = 2 %o, care corespunde compresiunii centrice (dreapta DD'). Pe măsura
rmaţiei specifice din fibra inferioară, starea de deformaţii devine tot mai uniformă,
se ?e cazul solicitării centrice (pct. 5.2.2.4, fig. 5.4). Rotirea secţiunii se produce în

im C, deoarece în dreptul acestui punct deformaţia specifică este ebc =2 %o.

. a specifică maximă Eblim se determină prin interpolare liniară, în funcţie de

spec~fică din fibra mai puţin comprimată tb; şi având în vedere rotirea secţiunii
otulu1 C.
·a de calcul se obţine din asemănarea triunghiurilor marcate din figura 6.3a:

Bbu - Eblim _ Eb; , 3
3 h - 4 ' rezultând eblim =ebu - -4 ebi =3,5 - o,75eb; %o
- -h (6.2)

77

o determinare rapidă a deformaţiei specifice maxime Eblim se poate folosi graficul

6.3b.

Cbu >I

Ebu - Cb lim

, Cb Iun

lobu= 3,5
Etiu
~h

17 /2,0
Ebu -Eblim _ Ebi tbi
cbi (%o)
( l - Ebc } - Ebc h cbi (%o)
o 1,0 2,0 compresiune
Ebu 8 bu întindere
b)
a)

Fig. 6.3. Deformaţia specifică maximă tb fim în fibra cea mai comprimată

134

6.2. IANSTOECRIAACTET' IUSTNĂERAIIELFIOMRITTA..U.. RDEILORERZSIESCTTE' INOŢNA.... ALE

Dacă vectorul moment încovoietor, ce însoteşte forţa axială, nu se suprapune peste o

axă principală a secţiunii, elementul este supus u~ei solicitări excentrice oblice. În acest caz,

combinaţia de eforturi N, Mx şi My, corespunzătoare stării limită de rezistenţă, este ilustrată
de suprafaţa limită de interacţiune, figura 6.4 reprezentând suprafaţa de interacţiune
corespunzătoare compresiunii. Suprafaţa de interacţiune este reprezentarea grafică a relaţiei ce
se obţine prin eliminarea lui x (mărimea ce reprezintă poziţia axei neutre) din ecuaţiile de

echilibru static ( "I.N =O; "i:.Mx =O; "i:.My = O) scrise pentru starea de eforturi unitare produsă de

încărcările exterioare. Această reprezentare grafică redă variaţia mărimii momentului
încovoietor oblic capabil şi a orientării sale în funcţie de forţa axială. Pentru o secţiune de
beton armat, carac-terizată prin dimensiunile sale şi aria de armătură corespunzătoare, precum
şi prin calitatea celor două materiale, se poate trasa o singură suprafaţă de interacţiune.

În cazul compresiunii (fig. 6.4), lipsa unuia din cele trei eforturi poate conduce la:

"' compresiune excentrică dreaptă cu N :t= O, Mx :t= Oşi My = O, caz reprezentat de curba de

interacţiune N - Mx;
• compresiune excentrică dreaptă cu N :t= O, Mx = Oşi My :t= O, caz reprezentat de curba de

interacţiune N - My;

e încovoiere oblică cu N = O, Mx :t= Oşi My :t= O, caz reprezentat de curba de interacţiune

Mx-My.

Eforturile produse de încărcările exterioare determină un punct de coordonate N, Mx şi

M . Dacă acest punct se găseşte în interiorul domeniului limitat de suprafaţa de interacţiune

sa~, la limită, chiar pe această suprafaţă, atunci secţiunea satisface starea limită de rezistenţă.

N (compresiune) N

curba de interacţiune

/ N-My

paralela N
de balans
curba de interacţiune

Mx-My

Fig. 6.4. Interacţiunea eforturilor secţionale

ului în secţiuni normale 135

"ficarea unei secţiuni din beton armat se urmăreşte să se stabilească dacă punctul

te N, Mx şi My se găseşte în interiorul domeniului delimitat de suprafaţa de

e. Această verificare se poate face în una din următoarele două variante, în

prezentându-se în acest sens compresiunea excentrică dreaptă [46], [47]:

ea la încărcări gravitaţionale, când există o creştere proporţională a eforturilor
are M şi N, reprezentate prin punctul A, până la atingerea curbei de interacţiune

ctul B (fig. 6.5a); aceasta înseamnă e0 = MN M condiţia de verificare este

=--=!!!!...;

Ncap

cap pentru eo = const;

ea la încărcări orizontale, de genul acţiunii seismice, când pentru o forţă axială
tă există o creştere a momentului încovoietor, din punctul A până la atingerea curbei
eracţiune în punctul B (fig. 6.5b); condiţia de verificare este M ;s; Mcap pentru

onst.

· ensionarea secţiunii din beton armat se urmăreşte stabilirea unei arii de armătură
curba de interacţiune să se aştearnă peste punctul determinat de eforturile ce

în secţiune.
calculul la starea limită de rezistenţă există două metode şi anume [31], [47]:
generală de calcul, care ia în considerare exprimarea explicită a condiţiilor statice
ţiile de echilibru static), geometrice (utilizarea ipotezei secţiunilor plane) şi fizice

ele cr - e ale materialelor); suprafaţa sau curba de interacţiune nu prezintă

tinuităţi pe tot domeniul de forţă axială cuprins între +N şi -N;
a simplificată de calcul, care implică introducerea unor aproximări în vederea
ării numai cu ·ajutorul ecuaţiilor de echilibru static; aceste simplificări se referă la
mită configuraţie a distribuţiei eforturilor unitare normale, funcţie de sensul şi
ea forţei axiale; suprafaţa sau curba de interacţiune poate prezenta discontinuităţi
tă în punctele ce delimitează două subdomenii adiacente de solicitare.

e evident că, pentru o secţiune dată, suprafeţele sau curbele de interacţiune date de
metode nu coincid, însă diferenţele care apar nu sunt semnificative pentru calculul

M Mcap N eo=MN-
eo=-=--
eocap =MNcap
N Ncap

M N = Ncap i----nA---J">B
M Mcap
~ /.~.,·1·'1°

~1~_-·.L:::~./ eo cap M

M Mcap

a) sarcini gravitaţionale b) sarcini seismice

Fig. 6.5. Curbele de interacţiune - modul de atingere a capacităţii portante

136 BETON ARMAT

6.3. INFLUENŢA ZVELTEŢE! ELEMENTELOR COMPRIMATE

Sensibilitatea la efectele de ordinul II este indicată de coeficientul de zvelteţe teoretic

1. = l /i Ur lungimea de flambaj; i - raza de inerţie, denumită şi rază de giraţie). Pentru

01
stâlpii cu secţiune dreptunghiulară, această sensibilitate este exprimată prin coeficie~tul de
zvelteţe convenţional Â. = l1 / h , unde h este latura secţiunii după direcţia de acţiune a
momentului încovoietor, în ipoteza de încărcare considerată. Pentru stâlpii cu secţiune
circulară sau inelară, coeficientul de zvelteţe convenţional este Â. = l1 / d . Efectul zvelteţi
elementelor comprimate este creşterea momentelor încovoietoare de ordinul I cu valoarea
b.Af, ajungându-se la valoarea Mu = M1 + b.M (fig. 6.6). între cele două valori ale momentelo
încovoietoare se poate scrie relaţia:

Mu=î]M1
unde coeficientul supraunitar l'] arată măsura în care cresc momentele încovoietoare în urm
deformatiilor de ordinul II.

La ~tructurile formate din elemente liniare, se recomandă ca soluţiile constructive d
ansamblu şi dimensiunile secţiunilor barelor să fie astfel sta?ilite, încât majorarea.moment~lo
încovoietoare datorită influenţei zvelteţii elementelor compnmate (efectele de ordmul II) sa n
depăşească 50 %. Dacă această limitare este respectată, conside~~rea influenţei zve~teţii cons
numai în majorarea momentelor încovoietoare de calcul datonta efectelor de ordmul II, f'ar
să fie necesară şi o verificare la starea limită de pierdere a stabilităţii de formă (pct. 5.4.1.2)

La elementele de suprafaţă cu pereţi subţiri (diafragme, plă~i curbe subţ~'. turnuri tubular
etc.), pentru care nu se dispune de procedee de cal~ul de o~dmul II t~mem1c. :fundaf1;entat
teoretic şi experimental, se admite ca efectele de ordmul II sa fie luate m cons1der~re m mo
simplificat, prin coeficienţi globali de reducere a rezistenţei de calcul a betonulm (confon
abordării din rezistenţa materialelor).

! lN

H Deformata I

}f.t-rall
1--1 H \4 ~1
M1=Hl L1M=N6. Mu=M1+6.M

Fig. 6.6. Creşterea momentelor încovoietoare datorită zvelteţii elementelor comprimate

Modul de cedare al unui element depinde de caracteristicile secţiunii {b, h, Re, Ra, Aa, A~
redate prin curba de interacţiune M - N, precum şi de zvelteţea elementului. Pentru stâlp
consolă din figura 6.7a, mărirea progresivă a forţei excentrice N con_duce 1~ creşter
momentului încovoietor în secţiunea de încastrare până la cedarea dupa una dm cele tr
variante prezentate în figura 6.7b [45].

în cazul stâlpilor scurţi, la care  ~ 10, efectele de ordinul II sunt neglijabile. Momente

încovoietoare cresc proporţional cu forţa axială, fenomen care este redat în figura 6.7b pr

T •. .Calculul în secţiuni normale 137

a. Cedarea elementului se produce la eforturile din punctul a, de intersecţie al dreptei
ba de interacţiune M - N, prin epuizarea capacităţii portante la o forţă axială egală

. Dimensionarea se face la starea limită de rezistenţă.

c cazul stâlpilor zvelţi, la care 1O< Â ~ 30, efectele de ordinul II nu pot fi neglijate.
u tul încovoietor creşte mai repede decât forţa axială, datorită efectelor de ordinul II,

e entate prin fl.M. Cu cât zvelteţea elementului este mai mare, cu atât curba b, care
a • tă corelaţia Mn = j{N), se îndepărtează de dreapta a. Cedarea elementului se produce

e ile din punctul 13, de intersecţie al curbei b cu curba de interacţiune M - N, prin
ii a capacităţii portante la o forţă axială Niap şi nu prin pierderea stabilităţii (flambaj).

Nirea 'tică are numai o semnificaţie teoretică, ea nu poate fi atinsă niciodată, deoarece
Nir .or Este de subliniat faptul că efectul zvelteţii trebuie luat în considerare prin mărirea

tului încovoietor cu cantitatea b.M = N ·!l. şi nu printr-un coeficient de flambaj care
teze forţa axială de compresiune, conform abordării din Rezistenţa materialelor.
ma ·onarea se face la starea limită de rezistenţă, reunită cu starea limită de stabilitate,

un moment încovoietor corectat în funcţie de coeficientul î], conform metodelor
de tate în continuare.
or
nu N
s~
ra N~ap
).
re
ate
od
nn

H---'1 ~ eon = em + fl. - + - - - - -........- M
em
b) iagrama de interacţiune M-N
a) stâlp consolă

Fig. 6.7. Cedarea la compresiune excentrică în funcţie de zvelteţea elementului

cazul stâlpilorfoarte zvelţi, la care  > 30; cedarea se produce prin pierderea stabilităţii

ă axială Ni, , înainte de a se atinge starea limită de rezistenţă. Această situaţie este

ată de curba c. După atingerea valorii Ni,, deformaţiile cresc indefinit sub o forţă

stantă, ceea ce corespunde fenomenului de flambaj. Curba de interacţiune este atinsă

~), l y, în urma deformaţiilor excesive. Capacitatea portantă este dată de forţa critică

pul re a stabilităţii, adică Niap = Nir . Se recomandă evitarea acestei situaţii prin

re~ unor dimensiuni corespunzătoare ale elementelor.
rei a critică de pierdere a stabilităţii se calculează cu relaţia lui Euler:

e~e N = n/22EI (6.3)

cr R_O..U]0 )'
rm f
\ BIROU DE_~_TRUCTURI

138 BETON ARMAT

Având în vedere faptul că efectele de ordinul II se accen~e~~ pe măsur~ ce _ele~entu

vecinătateaa ro ie de stadiul de cedare (curba b), modulul de ng1d1t~te trebuie sa ~e. ~cte
se p .Pt. .1 de deformatie din ruperii. Din acest motiv, modulul de ng1d1tate
tcraerbauciteenisnt1rco1deus în calcul c, u mărimea corespunza-toa~e st~dm· Im· de cedare' pentru care se

foloseşte relaţia empirică prevăzută în standardul romanesc.

_ 0,15(1+.[i)E I (6.4)
EI= (EI)conv - I+Mld/M b b

~ secţiuniiunde: E,,J. este modulul de rigiditate al secţiunii brute din beton; ,
rocentul total de armare al din beton;
t ~ încărcările lungă durată,de;lasărmiolamteernatluelînînaccoelvaoşiiesteonrsdciuncele
de pentru care pr~duc s~lpulu1
~eterminante efectele de ordinul II,

M _ momentul încovoietor total de ordmul I. _

Raportul M1iM din relaţia ~6.4) introduce influenţa deformaţiilor de curgere lenta ale

betonului asupra efectelor de ordmul II. . .. _ _

În cazurile curente, se poate lua valoarea mlţlala (EJ)c~nv =. 0,3Efb· , . d .

iiÎnlicmaiztăuldsetârir' ziilsotreznţvăe,lt'ifolraţaccarrietifceănodmateănduel dreelaflţaima bluaiJ nu mtervme mam~e _e atmg~rea
determinăriit· Euler (6.3) _reprezmta ~uma1 un

psaarrametru pentru trasarea curbei b în vederea punctulm· ~. lrespec1tiv petnt1ru
calculul lui îJ cu relaţia (6.5). Figura 6.8 redă corelaţia reală ~in!e_Ncap ş1 zv~ teţea e emen: or

compn.mate dm' beton armat, comparativ cu corelaţia teoretica dmtre Ne, ş1 zvelteţea data de

relaţia lui Euler [45].

a; b; c conform Fig. 6.7

ab zvelteţea

Âo = ltli 35 100
A(0/0)
10/8'6 30/25

Iscurţi STÂLPI: I foarte zvelţi

zvelţi

CEDAREA STÂLPILOR:

starea limită de rezistenţă I flambaj

Fi • 6.8. Corelaţia dintre capacitatea portantă şi zvelteţea elementelor compri.mate
g din beton armat

T 139

ul cientul ri poate fi determinat cu relaţia Perry - Timoshenko:

e

e (6.5)
e
valabilă numai dacă moroimzoenntatelăMes1tşei
e este riguros consolă se întâmplă diagramele de fl.M sunt afine, ceea
llll stâlp de tip
ea stâlpului (fig. 6.9a) [45]. dacă încărcarea distribuită sinusoidal

) ·. e de ordinul II în structurile de rezistenţă reale sunt afectate de sensibilitatea la

laterale ale nodurilor structurii. Din acest punct de vedere, intervine problema

travântuirii structurilor. Contravântuirea unei structuri din beton armat se poate realiza
. cturali din beton armat (fig. 6.9c) şi mai rar cu elemente metalice. Cadrele din
cu noduri creigleiddeesmunaticsounss,idreezrualtet,ă îcnăgpeennetrraul, ca structuri fcaocnptraarvteândtuinittre-o(fisgt.ru6c.t9ubr)ă.,
1 în vedere stâlpii care

e i dfeicz-âitcTădiemdivoraeschloteărnikpcoeoncdvaeervneiţnioeonaaarplereoî,nxsictmaaabztiuilviltăeu,npuîrniintsrutaâcplâprtecilziueonrlgaeti.smaÎeunapcdroiennsfeclcaoimmnpţbaăar,janţîşiuiespceiuemrudanei
ordinul II al structurii în ansamblu [45].

!N

a
n psm--
u 11

Ii 1/'J/or • 7t~
e p 1"

I b) cadru perete structural
c) sistem dual
I

\

Fig. 6.9. Tipuri de elemente şi structuri

cţie de valoarea coeficientului îJ obţinută din relaţia (6.5), există trei metode de

efectelor de ordinul II [45].

A este folosită atunci când îJ ~ 1,2, caz în care se admite să se efectueze un
scearfeolroeszeuşltteăreMlaţ1i(an: otat
c defeecotredlionruzlveIl,tedţiini în continuare M). Pentru luarea în
a
,

M. =îJ (M + e0N) (6.6)

·citatea adiţională ea se calculează cu relaţia (6.1).

I stâlpilor cadrelor care se calculează la acţiuni seismice, se ţine seama şi de
resdpeecftliavmdbeajc,onreeccetsaarreăa vînalroerliaiţifaorlţueiiEauxliearle(6(.c3a)p,.se13a,parpelciicaazţăiaînnufmunecrţiiceăde13n)a. tura

ului la capetele sale [45]. Pentru modulul de rigiditate se ia în considerare o

tă în lungul elementului (EJ)conv, dată de relaţia (6.4).

este folosită dacă 1,2 < îJ ~ 1,5. S.e cere să se efectueze un calcul static de

care se admite să se considere, în mod simplificat, un modul de rigiditate
,ngul elementelor (EJ)conv, în conformitate cu relaţia (6.4).
t•,Cţeisntâendfosleoasmităa dşiacdăe1v1a>ria1ţ,i5a. Se cere să
se efectueze un calcul static de ordinul
modulului de rigiditate EI în lungul elementului.

140

Se ia în considerare atât neliniaritatea geometrică, adică efectele de ordinul II, cât şi neliniari
fizică, adică variabilitatea modulului de elasticitate Eh cu gradul de solicitare al betonul
(pct. 2.3.4.1; fig. 2.29). Un astfel de calcul nu se poate efectua decât cu ajutorul unor programe
de calcul adecvate.

În privinţa coeficientului î], practica proiectării a relevat următoarele constatări [45]:
" la clădiri în cadre etajate, contravântuite cu pereţi structurali din beton armat sau

necontravântuite, l'] = 1,05 ... 1,20, nedepăşindu-se l'] =1,2 decât în cazuri rare;

" la hale industriale parter prefabricate, cu riglele de acoperiş concepute ca articulate pe

stâlpi, lungimile de flambaj rezultă mai mari, astfel încât se poate ajunge la 1,2 $ l'] $ 1,5 ;·•

datorită cerinţelor de ductilizare a stâlpilor participanţi la structurile cu protecţie la acţiunea
seismică, la care este posibil să apară deformaţii postelastice semnificative, se poate ajunge

la o mărire a secţiunilor stâlpilor, astfel că multe cazuri rămân în domeniul l'] $ 1,2 ;
e în cazul dimensionării cu l'] > 1,5 se obţin consumuri exagerate de armătură; în plus, în

acest domeniu efectele de ordinul II depind în mod substanţial de ipotezele de calcul
admise, astfel încât siguranţa este mai greu de controlat prin calcule obişnuite.
În concluzie, în cazurile curente, influenţa flexibilităţii elementelor comprimate se ia în
considerare printr-un calcul static de ordinul II, conform metodei B, sau prin abordarea
simplificată, conform metodei A, bazată pe estimarea coeficientului 11 cu ajutorul relaţiei (6.5).

6.4. METODA GENER.ALĂ DE CALCUL

Distribuţia şi mărimea eforturilor unitare în beton şi armătură, în calculul la starea limită
de rezistenţă în secţiuni normale, se stabilesc pe baza acceptării următoarelor ipoteze [31 ]:

" secţiunile plane înainte de deformare rămân plane şi după deformare;
" compatibilitatea deformaţiilor specifice ale betonului şi armăturii (armătura nu lunecă

în raport cu betonul);
" se neglijează contribuţia betonului la preluarea eforturilor de întindere;

" diagrama ah - Eh se ia conform figurii 5.4;
" deformaţia specifică maximă admisă în fibra extremă cea mai comprimată Eblim

după cum urmează:

- Eh/im = Ebu, în cazul solicitărilor cu axa neutră în secţiune, Xr < h, ceea ce reprezintă

domeniul 2 din figura 6.2;

- Eblim = Ebc, în cazul convenţional al compresiunii centrice, corespunzător dreptei DD

din figura 6.2;

- în cazurile intermediare, când axa neutră este în afara secţiunii (x, > h şi Eh; - compresiune
ceea ce reprezintă domeniul 3 din figura 6.2), Ebl;m se obţine prin interpolare liniară

între valorile Ebc şi Ebu, în conformitate cu posibilităţile oferite de figura 6.3;

" diagrama O'a - Ea se ia conform figurii 5.5;
"' deformaţia specifică maximă a armăturii Eau se limitează la:

- 50 %o în cazul verificărilor în gruparea specială de încărcări;

- 10 %o în celelalte cazuri.

141

~~~ersală aj~ge la starea limită de rezistenţă sub acea combinaţie a eforturilor

carcarile • ext•e• riio/are, pentru care se atinge deformat,ia limită ebil.m •1n fitbra cea
v

a a ~.ecţmnn ~ sau ~au în armătura cea mai întinsă. Având ca bază de pornire

.aţulor specifice dtn figura 6.2, sunt posibile cele patru diagrame de eforturi

nle 6.10...6.13.

!°:· ~gura 6.1 Oeste _!ntinsă ~1:1:egime'. cu axa neutră în afara secţiunii, diagrama
1.Jn!tar~ corespunzand ~ohcttăm centnce sau excentrice cu excentricitate mică.

sec_fzunu s; prod~ce przn de!o:m_afii excesive, adică prin atingerea deformaţiei

• ultime Eau tn armatura cea mat mtrnsă Aa, ceea ce înseamnă cra =Ra • Deformatia
în armătura superioară A~ poate avea orice valoare în intervalul (O...Eaul, ce~a

a- o<OI'a<- Ra·

Eau

întindere ..~.. ----+I--*"

ă 6.10. Secţiunea întinsă centric sau excentric, cu axa neutră în afara secţiunii

a _din figura 6.11_ est; ~tins~ excentt:ic, cu axa neutră în secţiune, diagrama de
umtare_coresp~~ rntln~em ex~e~tn~e cu excentricitate mare. Cedarea secţiunii
ă c: prz~ de!ormaţu excesive, ad1ca pnn atingerea deformaţiei specifice ultime

=atura inferioară Aa, ceea ce înseamnă CJa Ra . Deformaţia specifică în armătura

fi de întindere sau compresiune. Efortul unitar în fibra cea mai comprimată de

e CJb $ Rc, în funcţie de mărimea deformaţiei specifice Eh. Dacă eh $ 2 %o ,

O'b $ Rc, cu o diagramă parabolică de distribuţie a eforturilor unitare; dacă

=ă ~b $ ebu.' atunci CJb Re, cu o diagramă parabolă-dreptunghi pentru distribuţia

lor ~mtare: Aceeaşi diagramă de eforturi unitare poate să apară şi în cazul

lor mcovotate cu procente reduse de armare.

D' a din_ figura 6.12 este încovoiată sau întinsă/comprimată excentric cu axa

secţmne. Cedarea secţiunii se produce prin zdrobirea betonului comprimat

e, =3,5 %o; =CJb Rc ), armătura Âa fiind întinsă (armătura Aa poate deveni

ă tă cu CJa < Ra, numai dacă h0 $ x, $ h ).

l încovoie~i, întin~erii excentrice cu excentricitate mare şi al cazului I de

ne, deformaţia specifică a armăturii este eP $ ea $ e411 , ceea ce înseamnă
0

Acest mod de cedare reflectă stadiul III de rupere al elementelor din beton

cr:•piu, armate,,supuse la încovoiere (pct. 4.2.1.1 ). Deformaţia specifică în armătura
a A0 este E0 $ eap, ceea ce înseamnă $ R •
0

142

Fig. 6.11. Secţiunea întinsă excentric, cu axa.neutră în secţiune

x,
±N

A0cra; O'a ~ Ra

cau cap cbu cap= R.fEa
întinderc:.e~o-----4-l-----tl-t----1-1----+• compresiune

Fig. 6.12. Secţiunea încovoiată, întinsă/ comprimată excentric, cu axa neutră în secţiune

f_ -1 Cal)~ bu ~ compresiune

cb - cb !im--'--~·

c:O' D B

•

cai

Xr

ca

o cra ~ R.

A. cap cap=R.JE.

~I

Fig. 6.13. Secţiunea comprimată, cu axa neutră în afara secţiunii

• Secţiunea din figura 6.13 este comprimată în întregime, axa neutră fiind plasată în afara
secţiunii, corespunzând compresiunii centrice sau cazului II de compresiune. Cedarea

secţiunii se produce prin zdrobirea betonului comprimat ( cb =cblim ; cbc :::; cblim < cbu;

crb =Re). Deformaţia specifică de scurtare a armăturii Aa este ca ~ 2 %o. Dacă ca :2: e.,
atunci armătura Aa, mai puţin comprimată, atinge limita de curgere ( cra =Ra ). Defonnaţia

143

în armătura superioară A~ , cea mai comprimată, depăşeşte valoarea Eap, ceea

ă atingerea limitei de curgere.
generală de calcul presupune cunoaşterea dimensiunilor secţiunii din beton,
r două materiale, dispunerea armăturilor şi implică parcurgerea următoarelor etape:
eforturilor care acţionează asupra secţiunii şi presupunând un anumit mod de cedare,
una din cele patru diagrame de deformaţii specifice din figurile 6.10...6.13;
une o valoare pentru poziţia x, a axei neutre, în concordanţă cu diagrama aleasă;
de poziţia axei neutre şi deformaţia specifică care determină cedarea secţiunii,

sau Eb = Eb lim, se calculează celelalte deformaţii specifice, respectând ipoteza

r plane (adică asemănarea triunghiurilor din diagrama deformaţiilor specifice);

cr:lează eforturile unitare în toate armăturile (Ja = EaEa' = e:Ea şi crai= EaiEa

forţele interioare Na =Aacra, N~ =A~cr:, şi Nai= Aaicrai;

eşte tipul de diagramă a eforturilor unitare în betonul comprimat pe baza
aţiilor specifice Eh şi eventual Ebi, alegându-se una din situaţiile di:n figura 6.14;

--
YNb

cbc=2%o

Cbu = 3,5 %o
Re cb !im=> fig. 6.3

YNb

'J...I' _ _-<>-_

c) secţiune comprimată în întregime

Fig. 6.14. Rezultanta compresiunilor în beton

9ulează rezultanta compresiunilor în beton Nb, precum şi poziţia acesteia faţă de
tră YNb, după cum urmează:
tru axa neutră situată în secţiune:

fX (6.7a); (6.8a)

Nb = crbyhydy;
o

144

- pentru axa neutră situată în afara secţiunii:

Ih Ih
crbybyydy
Nb = (Jbybydy;
=YNb =x~-h~---
x-h

• se verifică condiţia de echilibru în lungul axei elementului; dacă această condiţie este

satisfăcută, atunci tipul de diagramă de eforturi unitare (fig. 6.10...6.13) şi poziţia axei

11eutre sunt corect alese;

• momentul încovoietor capabil al secţiunii se obţine din ecuaţia de momente scrisă în

raport cu o axă oarecare; expresia momentului încovoietor capabil poate fi pusă sub

forma generală: ·

Mcap = [N]{z}

unde: [N] este matricea şir a forţei axiale şi a tuturor rezultantelor interioare, fiecare cu

semnul corespunzător în funcţie de un sens convenţional, adoptat ca pozitiv;

{z} - matricea vector a braţelor de pârghie corespunzătoare tuturor forţelor ce

intervin în matricea [N].

Secţiunea satisface starea limită de rezistenţă, dacă:

M~Mcap

În cazul elementelor supuse la compresiune excentrică, M reprezintă rezultatul unui
calcul static de ordinul Ilsau al utilizării relaţiei (6.6), inclusiv al corectării datorită efectului
seismului prin relaţia (6.2), atunci când este cazul.

Deoarece metoda generală implică cunoaşterea ariei de armătură, ea nu poate fi folosită
ca metodă directă de dimensionare. Utilizarea metodei generale pentru dimensionarea
armăturilor se poate face numai prin:

• încercări succesive de verificare, printr-un calcul manual (ceea ce nu este raţional) sau
printr-un calcul automat;

• utilizarea unor tabele sau diagrame construite pe baza acestei metode, aşa cum sunt tabelele
din anexele 15, 17, 18, 19 şi 20 [47).

6.5. METODA SIMPLIFICATĂ DE CALCUL

Metoda simplificată are în vedere adoptarea unor diagrame de eforturi unitare normale,
astfel încât să fie suficiente numai condiţiile de echilibru static pentru rezolvarea calculului.
Aceste diagrame de eforturi unitare se bazează pe:

,i, înlocuirea diagramei reale de distribuţie a eforturilor unitare de compresiune în beton
(fig. 6.15c) cu o diagramă dreptunghiulară (fig. 6.15d), la care înălţimea zonei comprimate

este x = 0,8.x,; această înlocuire reprezintă o bună aproximare atunci când zona comprimată

are formă dreptunghiulară şi când cedarea se produce prin zdrobirea betonului comprimat
(Cbc = Cbu); erorile care se introduc în alte cazuri (cedarea prin armătura întinsă, adică ca = €au;
secţiuni T etc.) oferă totuşi o precizie satisfăcătoare pentru necesităţile proiectării curente;

„ stabilirea eforturilor unitare în armături în funcţie de poziţia axei neutre, ignorând diagrama

deformaţiilor specifice.

145

!x= 0,8xr!

z

b) deformaţii Na -Na
specifice
c) distribuţia d) distribuţia

reală uniformă

Fig. 6.15. Distribuţia eforturilor unitare de compresiune

.Situat'iile limită de cedare a secth.mii

d în vedere distribuţia deformaţiilor specifice pe înălţimea secţiunii, se pot defini
i limită pentru secţiunea dublu armată, fără armături intermediare (fig. 6.16) [47).

ţia limită a corespunde cedării simultane a celor două materiale: ca = cau (deformaţii
şi cb = cbu (zdrobirea betonului comprimat), când secţiunea deformată uneşte pivoţii

zi şi figura 6.2). Poziţia reală a axei neutre rezultă din relaţia:

(6.1 O)

Fig. 6.16. Situaţiile limită ale secţiunii normale

t caz este reprezentat de punctul A .de pe curba limită de interacţiune, în zona
excentrice cu mare excentricitate (fig. 6.17).
ţia limită b reprezintă cazul în care armătura Aa atinge limita de curgere

= Ra /Ea ) simultan cu cedarea betonului comprimat ( cbc =cbu ), caz în care

deformată este aşezată peste linia BB' (vezi şi figura 6.2). Acest caz este reprezentat
ţul de balans B de pe curba limită de interacţiune şi reprezintă soluţia optimă de

146

armare pentru încovoiere. Punctul de balans delimitează cele două cazuri ale compresiunii
excentrice. Poziţia reală a axei neutre este dată de relaţia:

b_ Ebu ho -_ Ebu Ebu IEa ho
Xr -
Ebu + Eap + Ra

+ N (compresiune)
E

MODC

CAZ II COMPRESIUN

Xr >X~

PUNCT DE_.o_B-+--------I----

BALANS CAZ I COMPRESIUNE

0,05AbR, l+-----------""'.f--t---:-ÎN-C_O_V_O_I_E_RE_ _M-1 MOD B

Xr :Sx~
ÎNTINDERE EXC. CU

EXC.MARE

A.R. l-----,oC----------1'---,;:ÎN-::::T=IN=-=D-=E=RE=-=E::cX:-::~:-.-:::::cu;:j;-M-O-D~A

Noi cY-----------L----==-=-=-=-11E'.X=C...M.:I.C~A--"--11'-:--

N 01 =(A. +A:)R. TIPUL DE MOD
- N (întindere) SOLICITARE RUPERE

Fig. 6.17. Modurile de cedare ale secţiunii, reflectate în curba limită de interacţiune

În diagrama simplificată de eforturi unitare (fig. 6.15d), poziţia axei neutre este dată de

relaţia:

(6.12}

iar valoarea relativă a poziţiei axei neutre este:

l;b = xb = O8 Ebu (6.12a)
ho ' Ebu+Ra/Ea

În tabelul 6.1 se dau valorile l;b, prevăzute în STAS 10107-90, bazate pe relaţia.(6.12a).
Valorile sunt rotunjite şi iau în considerare faptul că, pentru betoane de calitate superioară

(~ C28/35) Ebu scade la valoarea de 3,0%0 (fig.5.4).

Icului în secţiuni normale 147

Tabelul 6.1. Valorile l;b pentru betoane obişnuite

Tipul de Clasa de beton

armătură < C28/35 I ~ C28/35

OB37 1;,b
PC52; PC60; STNB
0,60 I 0,55

0,55 I 0,50

aţia limită c este un caz particular când efortul unitar în armătura A~ este nul

). Acest caz reprezintă punctul C de pe curba limită de interacţiune, delimitând
a excentrică cu mare excentricitate de cea cu mică excentricitate. Înălţimea reală a
:mprimate este:

X~ =a' (6.13)

Cazurile de solicitare la încovoiere cu forţă axială

cţie de natura forţei axiale (compresiune sau întindere) şi poziţia axei neutre în raport
le limită x~, x~ şi x~, tabelul 6.2 prezintă cazurile de solicitare ale secţiunii şi
de rupere pe care se bazează stabilirea relaţiilor de calcul în metoda simplificată.

Tabelul 6.2. Cazurile de solicitare ale secţiunii normale

axei neutre Starea Starea armăturii Starea Modul de
betonului solicitare al
sub- Âa armăturii
domeniul sec unii
A'a

Xr< X~ complet fisurat întinsă, cedează1 : întinsă: MODA
Xr= X~ complet fisurat
Ea= Eau E~ :S Eap • INTIND. EXC.

întinsă, cedează1 : nesolicitată: CUEXC.MICĂ

ea= Eau E~ =O

comprimat: întinsă, cedează1 : comprimată: MODB

Xr> X~ eb $ebu Ea= Eau E~ :S Eap • INTIND. EXC.
CUEXC.MARE
Xr<- Xrb comprimat, întinsă,
cedează2: =comprimată: • INCOV. (N O)
Cb/im = Ebu curge:
c: $ Eap • COMPR.
Eau~ Ea~Eap CAZUL!

X~ <Xr< ho comprimat, întinsă: comprimată,
cedează2:
Ea< Eap curge:
Cb/im = Cbu
Ea~ Ea

comprimat, nesolicitată: comprimată, MODC
cedează2:
Xr=ho Cia = O curge: • COMPR.
Cbfim = Cbu
Ea ~Ea CAZUL II

comprimat, comprimată: comprimată,
cedează2:
Xr>ho curge:

2 %o :S Cb/im<Ebu Ea< Eap Ea~ Ea

ă .~ cedarea se produce prin deformaţii excesive ale armăturilor;

·• cedarea se produce prin zdrobirea betonului comprimat.

148 BETON ARMAT

Se constată că există trei moduri majore de cedare a secţiunii:
.. cedarea armăturii Aa când secţiunea este complet fisurată - MOD-ul A;
• curgerea armăturii Âa urmată de zdrobirea betonului comprimat - MOD-ul B;

„ zdrobirea betonului comprimat şi curgerea armăturii A~ , în timp ce armătura Âa poate

fi întinsă (cra < Ra) sau comprimată (cra:::; Ra) - MOD-ul C.

Aceste moduri de cedare se regăsesc şi în curba limită de interacţiune din figura 6.17.
Pe lângă punctele A, B şi C, pe curba limită de interacţiune mai sunt reprezentate

„următoarele cazuri:
efort unitar normal nul în fibra inferioară a secţiunii - punctul D (linia întreruptă d din
figura 6.16); această situaţie se numeşte decompresiunea fibrei inferioare;
• efort unitar normal nul în armătura Âa - punctul Do (xr = ho);
• compresiunea centrică - punctul E (linia întreruptă e din figura 6.16), care este un caz
convenţional datorită efectului excentricităţii adiţionale ea; din acest motiv punctul E

este înlocuit cu E', care reprezintă situaţia reală;
111 întinderea centrică - punctul F (linia întreruptă f din figura 6.16).

6.5.3. Eforturile unitare în armături

6.5.3.1. Efortul unitar în armătura Aa

Dacă armătura se află în MOD-ul A de cedare efortul unitar în armătură este cra = Ra

(întindere), deoarece Ea = Eau (tabelul 6.2).

MOD-ul B de cedare este caracterizat prin condiţia xr :::; x~ (sau l,25x:::; l,25xb) care

prin împărţire la ho se pune sub forma:

1; :::; l;b (6.14)
(6.15)
Deformaţia specifică în armăturaAa este (fig. 6.18a):

-1;
- rEa_ h0
- ho - xr _ - l,25x _ 0,8
l,25x -
Ebu _X_r_ - Ebu Ebu

Din relaţia (6.12a) se obţine: (6.12b)

E _ ţb Ra _ ţb E

bu - 0,8 - l;b . Ea - 0,8 - l;b ap

astfel încât relaţia (6.15) devine:

--r·_ l;b 0,8-1; (6.15a)

Ea 0,8-l;b Eap

Deoarece 1; ~ l;b, conform relaţiei (6.14), este evident că rapoartele l;b/1; şi

(0,8 -1;)/(0,8 - l;b) sunt supraunitare, rezultă că Ea 2: Eap şi deci cra= Ra.

MOD-ul C de cedare este caracterizat prin condiţia x, > x~ (adică ~ > ~b ), armătura Aa

putând să fie întinsă sau comprimată.
Armătura Aa este întinsă atunci când axa neutră se găseşte în secţiune (fig. 6.18a) astfel

încât şi în acest caz deformaţia specifică în armătură se calculează cu relaţia (6.15a), iar efortul

unitar de întindere este:

149

cr = l;b . 0,8 -1; R (6.16)

a 1; 0,8 - l;b a

ă relaţie este valabilă pentru x~ :::; xr < ho (sau 1,25 xb :::; l ,25x < ho), care se pune

(6.17)

~ Âa este c~m~~mată a~ci când axa neutră se găseşte pe grosimea stratului de
sau m afara secţmnn. Deformaţia specifică de compresiune rezultă din relaţia (fig. 6.18):

Cc,a -- c,Cbc _x, _-ho_ (6.18)
xr-ws

I unitar se obţine prin înmulţirea relaţiei (6.18) cu modulul de elasticitate al armăturii.

Ea'

Xr (1- )h hI I

a2) arm. comprimată : / Ws =
a) axa neutră în secţiune iEbc =
I/ Ebu 7
li

I/ wi =--E11E...=4-h
li
V Ebu 7

Fig. 6.18. Determinarea deformaţiilor specifice în armături

~cest caz, STAS 10107/0"90 ia în considerare o variaţie liniară pentru efortul unitar
resiune cra, în funcţie de poziţia axei neutre, conform relaţiei:

cra =(al;+ b)Ra (6.19)

i1e;n=ţii0,a8,şiadbisceă determină din următoarele conditii ·

x, =h0, efortul unitar este cra = o'., ·

1; "' 1, adică x, = 1,25ho, se acceptă că Ea 2: Eap, deci O'a= Ra.

· ul de ecuaţii care permite determinarea coeficienţilor a şi b este:

(a ·0,8 + b)Ra =O (6.20)

(a ·l,O+b)Ra =Ra

!varea sistemului de mai sus conduce la valorile a = 5, respectiv b = - 4, astfel încât

.1tar de compresiune în armătura Aa este dat de relat'ia·

150

cra = (51; - 4)Ra ~ Ra

Această relaţie este valabilă pentru Xr > ho (sau l ,25x > ho), ceea ce înseamnă:

1;>0,8

A;6.5.3.2. Efortul unitar în armătura

Dacă secţiunea se află în MOD-ul A de cedare, efortul unitar de întindere în această

cr:armătură este ~ Ra .
În cazul MOD-ului B de cedare, armătura A~ este comprimată în permanenţă deoarece

xr > x~ (fig. 6.16), deformaţia specifică fiind:

x - a' 1 25x - a'
€a' -- €hu -r; ; - -- €hu -1' -,2-5_x_

Având în vedere expresia lui thu dată de relaţia (6.12b), se obţine:

c' _ 1,25x-a' - ~ţcc,ap (6.23a)

c, -
a 1,25x 0,8 - '=h
cr: c:Armătura comprimată A~ curge ( =Ra) dacă ;?: cap. Relaţia (6.23a) permite

determinarea corelaţiei dintre valorile a' şi x pentru care armătura A~ curge, punând condiţia:

1,25x - a'. l;h € · > € (6.24)
1,25x 0,8 - l;h ap - ap

Din relaţia (6.24) rezultă că armătura A~ curge dacă este îndeplinită condiţia:

> ţ0,8/;h aI (6.24a)

X- 2'=h -0,8

care conduce la următoarele valori concrete: x;?; 1,2 a' pentru l;h = 0,60, x;?; 1,47 a' pentru

l;h =0,55 , respectiv x;?; 2 a' pentru l;h =0,50.

Standardul românesc [31] prevede, în mod acoperitor, că armătura comprimată curge

atunci când x ;?: 2a' . '

Faţă de această prevedere, efortul unitar în armătura comprimată A~ se ia în considerare

după cum urmează:

• cr: =Ra dacăx;?: 2a';

• cr: < Ra dacă x < 2a'; se admite simplificarea suplimentară că rezultantele compresiunilor

din beton Nh şi armătură N: sunt coliniare, acţionând la nivelul centrului de greutate

al armăturii A~ .
În cazul MOD-ului C de cedare, armătura comprimată A~ curge întotdeauna, deoarece

c: ;?;€he =2%o>€ap (fig. 6.18b); cap =Ra/Ea, având valorile: 1,00 %o - pentru OB37,

1,43 %o - pentru PC52, respectiv 1,67 %o - pentru PC60.

ului în secţiuni normale 151

, Efortul unitar în armătura intermediară Aa;

secţiunea este fisurată în întregime, se acceptă că efortul unitar în armătura Âat

eauna crai= Ra (întindere).

neutră este plasată în sec;ţiune dacă Xr ~ ho (I,25x ~ ho sau I;~ 0,8), iar deformaţia

într-o armătură intermediară Âai se obţine din relaţia (fig. 6.18a):

Ca; _ Chu ±(h1-xr) Chu ±(h1 - l , 2 5 x )_ Chu ±(0,8h1ţ/ h 0 -I;) (6.25 )
-
- Xr 1,25x '=

d în vedere că crai= €a1Ea, şi expresia lui thu din relaţia (6.12a), se obţine:

crai =l;ţh_±(0,8h;/ţho-l;)Ra <- Ra (6.26)
'= 0,8- '=h

ul pozitiv (+) se ia în considerare pentru armăturile plasate sub axa neutră, iar

egativ (-) pentru cele plasate deasupra axei neutre.

consideră că secţiunea este comprimată în întregime dacă Xr > ho (l,25x > ho sau

), iar deformaţia specifică şi efortul unitar în armătura Âa; se determină cu relaţiile

18b):

€ai = €he -Xr--h-i , respecti.v crai =€he -Xr--h-i Ea
xr -w, Xr -w,

pceptând ipoteza simplificatoare a liniarităţii dintre crai şi I; (luată în considerare la

6.5.3.l pentru MOD-ul C de cedare) se ajunge în final la relaţia de mai jos, care este

tă în standard [31]:

crai -_0l,8;-hl;h[h5 h;o ţ 2,72 + 2,15'=ţ]Ra (compresiune) (6.27)

(1--=)-

• Relaţiile generale de calcul pentru secţiunile monosimetrice

u
.alculul la starea limită de rezistenţă la încovoiere cu forţă axială înseamnă verificarea

· i sau dimensionarea acesteia.
e cazul secţiunilor monosimetrice, la care planul de încovoiere este situat în axul de

, se dispune de două ecuaţii de echilibru static:

e ţia de proiecţie după axa longitudinală a barei;

ţia de momente.

ijicarea secţiunii constă în detel',!llinarea capacităţii portante (Mcap sau Neap) în funcţie
r l secţional cunoscut (N sau M). In mod curent, se urmăreşte determinarea momentului

tor capabil Meap în funcţie de forţa axială N. Ecuaţia de proiecţii este folosită pentru

e ea poziţiei axei neutre, iar ecuaţia de momente, pentru determinarea capacităţii

Meap·

e iectarea secţiunii se poate face numai prin verificări succesive, dar pentru anumite

llrticulare de secţiuni transversa!e (dreptunghiulară, T, circulară, inelară) este posibilă

, ·narea directă a ariei de armătură. In general, se poate aprecia că există două necunoscute:

= =axei neutre şi aria de armătură. Sistemul de ecuaţii, format din "i.N O şi "LM O,

e elaborarea unor tabele, diagrame sau relaţii specifice de proiectare.

152

6.5.4.1. Întinderea excentrică cu excentricitate mică
(MOD-ul A de solicitare al secţiunii)

Secţiunea transversală este fisurată în întregime, eforturile unitare din armăturile secţiunii
rezultă ca o însumare dintre efectul forţei axiale şi cel al momentului încovoietor (fig. 6.19).
Cedarea secţiunii se produce prin curgerea armăturii Aa şi eventual A~ . Factorul hotărâtor

în determinarea curgerii uneia dintre cele două armături îl constituie mărimea forţelor Na şi

N~ , care se obţin prin descompunerea solicitărilor exterioare N şi M . Dacă centrul de

greutate al armăturilor nu se suprapune peste centrul de greutate al secţiunii G, este necesar
ca eforturile secţionale să fie translatate din centrul de greutate al secţiunii în centrul de greutate
al armăturilor, Ga. Poziţia acestuia, în raport cu ~entrul de greutate al secţiunii, Lly, depinde

de corelaţia dintre ÂaYa şi A:y: (fig. 6.20).

N' = A 'aO'aI
a

I N ··----@ ···M···ţ~::
Y...:..............G.........s...i..G................

······G -h ho

IYa ha M

+
i A.

(AaYa =A:y:)

Fig. 6.19. Secţiunea conformată pentru întinderea excentrică cu excentricitate mică

Dacă centrul de greutate al armăturilor se suprapune peste centrul de greutate al secţiunii,
atunci, pentru sensul de rotaţie al momentului încovoietor M din figura 6.19, se va produce
curgerea armăturii Aa , în timp ce armătura A~ nu ajunge la curgere.

Dacă momentul încovoietor M produce întindere la nivelul centrului de greutate al

armăturilor (fig. 6.20a), valoarea momentului încovoietor care acţionează la nivelul centrului

=de ·greutate Ga este Ma M - N · Lly . Forţa axială N produce alungiri egale în cele două

armături, putându-se ajunge la curgerea acestora. Momentul încovoietor Ma produce o

creştere a alungirii armăturii Aa şi o scădere a alungirii armăturii A~ . Deoarece Ma < M

a: : :;este posibil ca alungirea armături A~ să nu scadă întotdeauna sub valoarea corespunzătoare
curgerii, astfel încât Ra .

Dacă momentul încovoietor M produce scurtări la nivelul centrului de greutate al armăturilor

(fig. 6.20b), valoarea momentului încovoietor care acţionează la nivelul centrului de greutate
a:MGa este Ma = M +N · Lly . Deoarece Ma > M , efortul unitar
va avea o valoare
a:semnificativă, astfel încât în armătura A~ nu se va atinge curgerea ( < Ra ), chiar dacă forţa

axială N ar fi capabilă să producă singură curgerea acestei armături.
Ecuaţia de momente corespunzătoare curgerii armăturii Aa se scrie în raport cu armătura A~ :

M+Ny:-Naha =O
şi reprezintă ecuaţia segmentului CF a curbei de interacţiune (fig. 6.21).

153

A'a

~·-:c-M.i N

·-N-~-±- .··-:f·-1II i. _- ~

Ya

Ma :
~I+II~Ra
craN craN

•· nul de greutate al armăturilor sub G b) centrul de greutate al armăturilor

(A.Ya > A:y:) deasupra lui G (A. ya < A: y:)

. 6.20. Secţiunea neconformată pentru întinderea excentrică cu excentricitate mică

·tru o forţă axială dată, momentul încovoietor capabil este:

(6.28a)

ţia de momente corespunzătoare curgerii armăturii A~ se scrie în raport cu armătura Aa :

M-Nya +N~ha =0 (6.29)

tă ecuaţia segmentului GF a curbei de interacţiune (fig. 6.21b).
tru o forţă axială dată, momentul încovoietor capabil este:

Mcap2 =Nya -N~ha =Nya -A~Raha (6.29a)

relaţia care există între momentul încovoietor M şi forţa axială N este redată prin curba
ţiune M - N. În cazul întinderii excentrice cu excentricitate mică, forma curbei de
e depinde şi de poziţia forţei de întindere faţă de centrul de greutate al armăturilor,
6.21 prezentându-se cele trei situaţii posibile.
cazul în care centrul de greutate al armăturilor coincide cu centrul de greutate al
curba de interacţiune este reprezentată de segmentul CF, corespunzător relaţiei (6.28),

ndu-se că momentul încovoietor capabil scade în acelaşi timp cu creşterea forţei de

e (fig. 6.21a).

netul C reprezintă limita dintre întinderea excentrică cu mare excentricitate şi cea cu

tricitate. În acest caz, excentricitatea forţei de întindere e0 =M / N este egală cu y a
valoarea forţei excentrice este Nc = AaRa , iar momentul încovoietor corespunzător,

in relaţia (6.28), este M c = AaRaYa. În armătura A: efortul unitar este zero.

ă forţa de întindere are valoarea N01 =(Aa + A~ )Ra atunci din relaţia (6.28a) se
M capi =AaRaha - Ny: =AaRa (ya +y: )- (Aa + A: )Ray: =AaRaYa - A~RaY: , dar

in vedere că ÂaYa = A~y: rezultă în final M capi =O, ceea ce corespunde întinderii

reprezentată prin punctul F din figura 6.21 a.

ă ÂaYa > A:y: , curba de interacţiune din figura 6.21 b constă din segmentul CF şi

entul GF, corespunzător relaţiei (6.29).

154 BETON ARMAT

M M M
AaRa
ÎEEM AaRa .. - · - · - · - · - · - -C
A:Raha
AaRa ·-·-·-· C G
Ya
îeem

No F Ya
N (întindere)
No F F
ÎEEM - exc. mare N
îeem - exc. mică N
„1 I•
1~ . 1

\_ (AaYa -A:y:)Ra}

Fig. 6.21. Particularităţile curbei M - N pentru întinderea excentrică cu excentricitate mică

Segmentul GF relevă creşterea momentului încovoietor capabil după ce forţa de întindere
depăşeşte valoarea NG = A~Raha/Ya, valoare ce se obţine din relaţia (6.29) dacă M =O.
Eforturile corespunzătoare punctului F se obţin din rezolvarea sistemului format din ecuaţiile

(6.28) şi (6.29), rezultând forţa axială N F = N01 =(Aa + A~ )Ra, respectiv momentul
încovoietor M F =(AaYa - A~y: )Ra ·

Dacă ÂaYa < A:y: curba de interacţiune este similară cu cea prezentată anterior, dar

translatată în stânga axei N (fig. 6.21c).
Din punct de vedere grafic (fig. 6.21), secţiunea rezistă la acţiunea eforturilor N şi M,

dacă acestea determină un punct în interiorul curbei de interacţiune (punctul P), în caz contrar
secţiunea cedează (punctul R). Din punct de vedere analitic, secţiunea satisface starea limită
de rezistenţă dacă:

M $ Mcapi pentru ÂaYa $ A~y:

sau
M cap2 $ M $ M capi dacă ÂaYa > A~y:

6.5.4.2. Încovoierea, cazul I de compresiune şi întinderea excentrică

cu excentricitate mare (MOD-ul B de solicitare al secţiunii)

Pentru ca secţiunea să cedeze prin curgerea armăturii întinse, urmată de zdrobirea
betonului comprimat, trebuie respectată condiţia:

ţ=: :,;;'ţb (6.30)

o

Nesatisfacerea condiţiei (6.30) înseamnă:
• pentru elementele încovoiate: intrarea în domeniul betonului supraarmat, la care armătura

întinsă nu curge (cra < Ra) în momentul zdrobirii betonului comprimat;

• pentru elementele comprimate: trecerea la cazul II de compresiune.

lui în secţiuni normale 155

ntele structurale care participă la preluarea acţiunilor seismice şi în care apar
post-elastice semnificative necesită asigurarea unei ductilităţi corespurizătoare.

op, condiţia (6.30) se înlocuieşte cu condiţia mai restrictivă (6.31) şi anume:

'ţ:,;;'ţ/im (6.31)

/m = 0,25 - la extremităţile riglelor de cadru;

,=0,40 - la extremităţile stâlpilor; această valoare poate fi depăşită până la ţ:,;; ţb

ondiţia majorării armăturii transversale conform tabelului 13.11 şi a majorării cu
o a lungimii pe care pot apărea deformaţiile post-elastice.

Aa'

-+No'!-=Aa'Ra_d l_

Nb=AbRc

z
M Nai=A.~

ho-hil

_,..._....._---'....._

z=ho-d
ha=ho-a'

, Secţiunea supusă la încovoiere, cazul I de compresiune sau întindere excentrică cu

excentricitate mare

fia axei neutre rezultă din ecuaţia de proiecţii:

±N-Nb + Na- N~ + Na;=± N-A~c+(Aa- A~ )Ra+ IAa;CTa;=O (6.32)

rea ecuaţiei de momente depinde de poziţia axei neutre. Astfel dacă:
. x ~ 2a' , atunci momentul încovoietor capabil rezultă din ecuaţia de momente în

armătura Aa:

(6.33)

(6.33a)

< 2a' , atunci armătura comprimată nu curge şi se admite că rezultanta compresiunilor
A; ;şi din această armătură acţionează la nivelul armăturii
în această situaţie

.încovoietor capabil rezultă din ecuaţia de momente în raport cu A;:

(6.34)

Mcap=AaRaha + IAa;CTa;(h;-a') ± N(xG - a') (6.34a)

· e (6.32), (6.33) şi (6.34), efortul unitar CTa; se determină conform relaţiei (6.26)
ce ca valoare pozitivă pentru întindere. În cazul forţei axiale N, semnul superior

1compresiunii.

156

Secţiunea satisface starea limită de rezistenţă, dacă este îndeplinită condiţia:

M ~Mcap

În cazul elementelor supuse la compresiune excentrică, M reprezintă re~ltatul unui
calcul static de ordinul II sau al utilizării relaţiei (6.6), inclusiv al corectării datontă efectului
seismului, prin relaţia (6.2), atunci când este cazul.

6.5.4.3. Cazul li de compresiune (MOD-ul C de solicitare al secţiunii)

Cedarea secţiunii prin zdrobirea betonului comprimat, fără curgerea armăturii Aa, are

loc atunci când:

ţ=..L>ţb

ho

Poziţia axei neutre rezultă din ecuaţia de proiecţii:

N - Nb + Na - N~ +Nai= N -Azfi.c + ÂaCia - A~ Ra + LÂa;Cia; = o

Momentul încovoietor capabil rezultă din ecuaţia de momente în raport cu armătura Aa:

M + N(ho -xc) - N,;z- N~ ha+ I,Na;(ho - h;) = O (6.37)

adică:

Mcap = Az,R,;z + A~ Raha - LÂa;Cia; (ho - h;) - N(ho -xc)

Eforturile unitare Cia şi Cia; se determină după cum urmează:

cra - din relaţia (6.16) dacă ţ6 < ţ ~ 0,8, respectiv din relaţia {6.22) dacă ţ > 0,8;

Cia; - din relaţia (6.26) dacă ţ ~ 0,8, respectiv din relaţia (6.27b) dacă ţ > 0,8.

Eforturile unitare Cia şi Cia; se introduc cu valoare pozitivă pentru întindere.
Momentul încovoietor capabil al unei secţiuni armate numai cu armăturile Âa şi A~ , pentru

cazul II de compresiune, poate fi obţinut pe baza acceptării curbei limită de in~eracţiune sub
forma unei drepte (fig. 6.23), ipoteză suficient de exactă pentru calculele practice.

N

,J•I , Curba simplificată

/ '•,,,,,
! ',,.... ,

N; ',,, Curba reală
I N1 ',,,,,;
I \.
Nb6!-~~-t-~~--qB

M

Mcap Mb

Fig. 6.23. Cazul II de compresiune - curba de interacţiune simplificată

Relaţia de calcul, stabilită pe baza asemănării triu~ghiurilor ENN1 şi EN~ este:

Noc-N
Mcap= Mb N -N

Oe b

în secţiuni normale 157

= A6Rc + (A0 + A~ )R0 este efortul capabil pentru cazul convenţional al

.resiunii centrice;
• Nb sunt valorile corespunzătoare punctului de balans, obţinute din relaţiile

şi (6.33a), pentru x =Xb = ţbho şi Cia; = O.

t este faptul că acest procedeu este acoperitor, deoarece punctul N1, determinat
N şi Mcap se află în interiorul curbei de interacţiune reale {fig. 6.23).
. ea satisface starea limită de rezistenţă, dacă:

M~Mcap

reprezintă rezultatul unui calcul static de ordinul II sau cel al utilizării relaţiei (6.6).

CULUL ELEMENTELOR ÎNCOVOIATE

SECT•IUNE DE FORMĂ UZUALĂ

ideră cazul general al încovoierii drepte, calculul conducându-se în secţiuni
xa elementului, la acţiunea momentului încovoietor de calcul din secţiune,
dei simplificate, prezentată la punctul 6.5.
~goria elementelor încovoiate sunt cuprinse şi cele la care momentul încovoietor
(le o forţă axială de compresiune cu valoare redusă, satisfăcând relaţia N:;; 0,05A6Rc

emente cu secţiune dreptunghiulară simplu armată

'ţiile utilizării simplei armări, secţiunea activă în stadiul III de lucru se compune
ea de beton comprimată Ah şi armătura întinsă Aa (fig. 6.24).

h ho

b "I

Fig. 6.24. Secţiunea dreptunghiulară simplu armată

elementului di.n beton armat supus la încovoiere începe prin intrarea în curgere a
din zona întinsă şi se termină prin zdrobirea betonului comprimat (în stadiul III).
pere reprezintă MOD-ul B de cedare, conform punctului 6.5.3.1 şi este condiţionată

a relaţiei (6.14) referitoare la înălţimea zonei comprimate x, reprezentată prin

ativă ţ:

valorile date în tabelul 6.1 şi corespunde punctului de balans B din curba de
M - N (fig. 6.19).

158

Valoarea maximă a înălţimii zonei comprimate rezultă:

xb =ţbho

Relaţiile de calcul se bazează pe ecuaţiile de echilibru static, şi anume:
111 ecuaţia de proiecţii, obţinută din relaţia (6.32):

(I.N)=Nb-Na =0

e ecuaţia de momente, scrisă în raport cu punctul de aplicaţie al rezultantei Nb:

(I.M)Nb =M-Naz=O

sau, conform relaţiei (6.33), în raport cu rezultanta Na:

(W)Na = M-Nbz =O

unde M reprezintă solicitarea de calcul exterioară, iar Naz, respectiv Nbz, forme de scriere a
capacităţii portante a secţiunii simplu armate.

Eforturile interioare sunt Na= AaRa şi Nb = bxRc, care înlocuite în relaţia (6.40), conduc

la forma:

bxRc = A0 R0
de unde se determină poziţia axei neutre:

0x= =µ Ra h0 =ţh
~.! 1_ h0 Rc
bh0 Rc

unde s-a notat:

ţ= µ.!1_

RC

În relaţiile de mai sus µ este coeficientul de armare, raportat la secţiunea utilă bho.

Ecuaţia (6.41b) se poate pune sub forma:

M = Nbz = bxRc(ho - 0,5x)

în timp ce ecuaţia (6.41a) devine:

M =Naz= AaRa(ho - 0,5x)

În cele două relaţii (6.45a,b), z = ho - 0,5x reprezintă braţul de pârghie al eforturilor

interioare Na şi Nb (fig. 6.24).
Înlocuind în relaţia (6.45a) poziţia axei neutre dată de (6.43), rezultă:

M =bţh0Rc (h0 - 0,5ţh0 ) = ţ(1- 0,5ţ)hJ Re =mbhJ Rc

în care s-a notat:

m =ţ(l- 0,5ţ)

Având în vedere relaţia (6.44), se poate obţine o altă formă de exprimare a coeficientului m:

Jm = µ ~: (1- 0,5µ ~:

lui în secţiuni normale 159

nd în relaţia (6.45b) poziţia axei neutre dată de (6.43), rezultă: (6.48)
(6.49)
M = A0 Ra(ho -0,5ţho) = AaR0 (l-0,5ţ)ho = AaRa~ho

ea relativă a braţului de pârghie z/h0 este:

ormitate cu relaţia generală de calcul la starea limită de rezistenţă, relaţiile (6.46)
mese formele:

MS Mcap =mbhJ Rc (6.46a)

MS Mcap = AaRa~ho (6.48a)

Fitatea portantă, dată de relaţia (6.46a) sau (6.48a), depinde de o serie întreagă de
' fiecare având o pondere diferită. Tabelul 6.3 redă modul în care modificarea
r parametri influenţează capacitatea portantă la încovoiere. Din analiza valorilor
1 6.3 rezultă că variantele optime de modificare a caracteristicilor secţiunii
le constau în creşterea înălţimii secţiunii transversale, a calităţii armăturii şi a
de armătură. Ridicarea calităţii betonului şi mărirea lăţimii secţiunii reprezintă
conomice pentru mărirea capacităţii portante.

I 6.3. Variaţia capacităţii portante a secţiunii dreptunghiulare supuse la încovoiere

Modificarea Variaţia
1--~p_a_ra_m-,-et_r_u_lu_i--1 Variaţia parametrului capacităţii

de la: la: portante

h 2h 100%(&::: 110... 120%) 110... 120%

OB37 PC52 43% 39%

1% 2% 100% 80%

Cl2/15 C16/20 32% 8,9%
b 2b 100% 8,3%

ndiţia generală de rupere (6.14) şi expresia (6.44) permit determinarea procentului
de armare:

Pmax =lOOµmax =lOOţb R (6.50)
_c
r Ra

acest context, pe baza relaţiei (6.46), capacitatea portantă maximă a secţiunii simplu
ste:

(6.51)

tabelul 6.4 se dau valorile maxime ale înălţimii zonei comprimate, procentului de

· capacităţii portante, în funcţie de valorile lui l;i, cuprinse în tabelul 6.1.

de altă parte, se defineşte şi noţiunea de procent minim de armare, care derivă din

: ·ţiunea de beton armat şi se deduce din condiţia ca elementul de beton armat, realizat

ntul minim de armare, să poată suporta un moment încovoietor cel puţin egal cu

tul încovoietor capabil al elementului de beton simplu cu aceleţşi caracteristici

·ce ale secţiunii transversale [54].

160 BETON ARMAT

Tabelul 6.4. Limite pentru secţiunea dreptunghiulară simplu armată, în baza condiţiei (6.14)

l;b 0,60 0,55 0,50

0,60ho 0,55ho 0,50ho

Pmax

0,420 0,399 0,375

Pe baza celor de mai sus este întocmit tabelul de calcul din anexa I3, cupripzând valoarea

relativă a poziţiei axei neutre I;, valoarea relativă a braţului de pârghie ~ şi valoarea ~elativă

a momentului încovoietor m, conform relaţiei {6.55), în funcţie de calitatea oţelulm, clasa
betonului şi procentul de armare (47]. Utilizarea acestui tabel asigură respectarea condiţiei

;bde rupere ; ~ prin procentul maxim de armare, definit conform tabelului 6.4.

Proiectarea elementelor Încovoiate cu secţiune dreptunghiulară, simplu armată

Sunt posibile două etape:
I - determinarea dimensiunilor secţiunii de beton;

II ~ determinarea ariei de armătură.
În etapa I sunt implicate patru necunoscute b, h, Aa şi x şi sunt disponibile două ecuaţii
de echilibru static ('IN = Oşi "f..M = O). În mod obişnuit, din cele patru necunoscute se alege
lăţimea b a secţiunii şi procentul de armare p pe următoarele considerente:
• lăţimea b influenţează foarte puţin capacitatea portantă {tabelul 14.2);

• procentul de armare reprezintă valoarea relativă a ariei de armătură, cuprinzând în expresia

lui { p = I00 :; ) corelaţia dintre caracteristicile secţiunii; procentul de armare se alege

o

între Pmin şiPmax, recomandându-se alegerea conform punctului 13.7.1.

Din relaţia {6.46a), în care se egalează capacitatea portantă cu momentul încovoietor,

rezultă înălţimea utilă necesară:

ho =~m~c (6.52)

în care coeficientul m se determină din anexa I3, în funcţie de calitatea materialelor {prin Re

şi Ra) şi procentul de armare ales.
Înălţimea necesară a secţiunii transversale este:

.h =ho+ a (6.53)

unde a este distanţa de la axa ce trece prin centrul de greutate al ariei armăturilor Aa până la

latura inferioară a secţiunii, ea conţinând şi acoperirea cu beton a armăturilor, stabilită

conform punctului 13.2.
Valoarea efectivă a lui h se stabileşte la valoarea modulată cea mai apropiată de valoarea

înălţimii necesare, având în vedere recomandările punctului I3.5.2 pentru grinzi şi ale
punctului I3.5.3 pentru plăci:

• pentru grinzi, multiplu de 50 mm, dacă h ~ 800 ml11, respectiv de 100 mm, dacă h > 800 ml11;

• pentru plăci, multiplu de 1Omm.

De asemenea, în cazul grinzilor, se recomandă satisfacerea raportului: (6.54)

i =1,5...3,0

161

etapa II se determină aria de armătură Âa. Plecând de la înălţimea efectivă, obţinută

a I sau impusă de necesităţi arhitecturale, rezultă înălţimea utilă efectivă:

h0 =h-a

calculează valoarea relativă a momentului încovoietor pe baza relaţiei {6.46):

m =M- - {6.55)
b~Rc

anexa 13 se determină procentul corespunzător de armare p sau, opţional, valorile lui

de unde rezultă aria de armătură sub una din următoarele forme 1
:

Âa = P bh0 ; Âa = i: Rc bho sau A = M (6.56a, b, c)
100 a ~hoRa
':o Ra

ă dimensiunile secţiunii nu au fost determinate pe baza calcului din etapa I, se poate

ca:
0,01, valoarea minimă din anexa 13; în acest caz, Âa se stabileşte pe baza procentelor
ime de armare (tabelul 13.12);

trmum;ălsiercet~iucnapeaacidteăţbieitpoonretastneteinsseufpiocaietentaădpoepnttaruduabplarealurma amreo,mdeanctăulnîunceosvteoipeotsoirbiMlă;

dificarea dimensiunilor secţiunii de beton.

area elementelor Încovoiate cu secţiune dreptunghiulară, simplu armată

unoscând caracteristicile secţiunii b, h (ho), Âa (p), calităţile materialelor Re şi Ra şi
ea de calcul M, se pune problema determinării capacităţii portante. Necunoscutele
şi x, care se determină din ecuaţiile de echilibru static {I.N = Oşi "f..M = O).
cuiul se poate conduce direct, prin rezolvarea sistemului de ecuaţii, sau cu ajutorul
13.

eului direct
e determină poziţia axei neutre din relaţia (6.42), x= AaRa/bRc, care se compară cu

~bho. Dacă x ~ xb, capacitatea portantă rezultă din relaţia {6.45a) sau (6.45b); dacă

b , capacitatea portantă a secţiunii se limitează la valoarea dată de relaţia M cap =

(ho - O, 5xb) , care este echivalentul relaţiei {6.51 ).

'Se calculează valoarea procentului de armare:

p=-IO-;O;A:a-
0

funcţie de Re, R0 şip, din anexa 13 se determină coeficientul m şi din relaţia {6.46)

cazurile care nu pot fi încadrate în anexa 13 (mbe < l, alte calităţi de materiale etc.), cum se

• din relaţia (6.47), I;= 1-.JI - 2m . Dacă I;::;; l;b, atunci aria annăturii întinse se calculează
·a (6.56b); dacă I;> l;h, secţiunea simplu armată este insuficientă pentru preluarea momentului

162 BETON ARMAT

M cap =mbhJ Rc

Dacă p > Pmax, capacitatea portantă este Mcap max, conform relaţiei (6.51 ).
Secţiunea satisface starea limită de rezistenţă dacă este îndeplinită condiţia (6.46a)
M ~Mcap·
Nesatisfacerea condiţiei de mai sus poate implica:
• reproiectarea elementului, modificând dimensiunile secţiuni 'de beton şi/sau aria de armătură,
sau trecerea la dubla armare, când construcţia este încă în etapa de proiectare.
• consolidarea elementului, în cazul verificării unei construcţii existente;

Aplicliţill numerică 6.1. Secţiunea dreptunghiulară simplu armată - determinarea secţiunii
de beton şi de armătură

Se cere dimensionarea grinzii din beton armat monolit, de 9 m lungime, cunoscând:

M = 350kNm; materialele folosite: beton CI6/20 şi oţel PC52; elementul se încadrează în

Gategoria I de expunere conform tabelului 13.2.

R; = 12,5 N/mm2 ; mbc = 1,0 (anexele 2 şi 3) rezultă Rc = 12,5 N/mm2
R0 = 300 N/mm2 (anexa 8)

2(j>12 montaj

IIL..'-'--JH--

l(j>25

ho= 660 4(j>22

f---+I

b=300

Fig. Apl.6.1.

• Predimensionarea secţiunii de beton se face cu ajutorul tabelului 13.7. Se aleg: h = 750mm
şi b = 300 mm .

• Definitivarea dimensiunilor secţiunii de beton.

Procentul de armare se alege p = 1,12%; din anexa 13 rezultă m = 0,234.

Se calculează cu relaţia (6.52) înălţimea utilă necesară, cu b = 300mm:

h =~ M = 350·106 =631mm

Onec mbRc 0,234-300· 12,5

Acoperirea cu beton, c = 25 mm , rezultă din tabelul 13.3; se presupune că se vor utiliza

=armături + 2 40mm. Din relaţia (6.53) rezultă:
<!>25, deci a= 25 ;

h = h0 +a= 631 + 40 = 671 mm; prin rotunjire se alege h =700 mm

Se verifică raportul dimensiunilor, conform relaţiei (6.54):

hi b = 7001300 = 2,33 hlb;

deoarece 1,5 ~ hI b ~ 3 , dimensiunile sunt corect alese.

163

calculează înălţimea utilă efectivă:

= h-a = 700-40= 660mm
determinarea ariei de armătură se calculează coeficientul m cu relaţia (6.55):

M 350·106 =0214

300 · 6602 • 12,5 '

anexa 13 rezultă prin interpolare p = 1,015%; se calculează aria de armitui'ă cu
(6.56a):

= bh0 = 1'015 300·660 = 2010 mm2
.a 100 100
p

anexa 26 se aleg barele: l<j>25 +4<!>22, cu A0 = 2011 mm2 . Având în vedere"~Wlfac
25 mm (pct. 13.7.1, fig. 13.20), barele se pot dispune~ Wl
necesară dintre bare, de
= = mm .'form figurii Apl.6.1, deoarece bnec 6 · 25 + 25 + 4 · 22 = 263 mm< b 300

de calcul direct ,

w determinarea coeficientului m cu relaţia (6.55), se calculează~ din relaţia(~.~7).

de armătură din (6.56b): · ·'

l-,./l-2m = l-~l-2·0,214 = 0,244 < ~b = 0,55

=~ Rc bho = O244·300-660 12•5 = 2013mm2
Ra ' 300

· numerică 6.2. Secţiunea dreptunghiulară simplu armată - determinarea

· capacităţii portante ·

cere verificarea grinzii monolite cu caracteristicile b!h/A0 , adică 250/600/6$16, (fig.
) supusă momentului încovoietor M = 150kNm, cunoscând: clasa de beton CI2/15

care Rc = 9,5 Nlmm 2 (cu mhc = 1,0 ), oţel PC52; acoperirea cu beton c = 25 mm .

2<j>12 montaj

h=600 ho

$'6a 1625
25

a) b = 250 b)

Fig. Api. 6.2.

form figurii Apl.6.2, distanţa de la fibra inferioară până la centrul (j~ a,....,it.11f..

or aşezate pe două rânduri este:

.= 25 +1-6+ 2·201·41 =46 7 mm
2 1206 ''

rezultă h0 = 600- 46,7 = 553,3 mm

164 BETON ARMAT

Se calculează procentul de armare, apoi din anexa 13 se determinăm:

_ AalOO _ 1206-100 0,872%
p - ~ - 250,553,3

m=0,237

• Momentul capabil se determină cu relaţia (6.46a):

M cap = mbz1, 2 Rc = O,237 ·250-553,3 2 ·9,5 = 173·106 Nmm = 173kNm
~

Deoarece M = 150 kNm < M cap = 173 kNm , grinda rezistă la solicitarea dată.

Variantă de calcul direct
Se calculează poziţia axei neutre şi momentul capabil cu ecuaţiile (6.42) şi (6.45b):

x = AR = 1206·300 =152 mm < xb = ţbho = 0,55 ·553,3 = 304 mm (re!. 6.39)

--IL...!!..

bRC 250·9,5

M =AR (ho -05x)=1206·300(553,3-0,5·152)=173·106 Nmm=l73kNm.

cap aa~ '

6.6.2. Elemente încovoiate cu secţiune dreptunghiulară dublu armată

Dubla armare, la care există armătură de rezistenţă şi în zona comprimată ( A~ ) a secţiunii

transversale (fig. 6.25), se utilizează în următoarele cazuri:
• grinzi supuse la solicitări alternante de încovoiere;
e în secţiunile de reazem ale grinzilor cadrelor cu protecţie seismică, chiar dacă nu există
alternanţa momentelor încovoietoare, deoarece, conform prevederilor specifice pentru
riglele cadrelor antisesismice se.dispun armături la partea superioară cât şi la partea
inferioară a secţiunii (pct.13.7.1 );
• în secţiunile de reazem ale grinzilor continue, dacă armătura din zona comprimată este
ancorată suficient;
e secţiunea este insuficientă şi nu poate fi mărită, din considerente constructive sau arhitecturale.

Aa' Na'

,~ b ~, N. = A.Ra - - - Nai = A.1Ra c)

a) b)

Fig. 6.25. Secţiune dreptunghiulară dublu armată.

Se observă din figura 6.25a că armătura din zona întinsă echilibrează atât rezultanta
compresiunilor din beton, cât şi rezultanta din armătura A~ . O parte din armătura întinsă,

Aai , echilibrează compresiunile din beton, în timp ce restul de armătură întinsă, Aa2 ,

echilibrează armătura comprimată, deci Aa2 = A~ (fig. 6.25c).

ului în secţiuni normale 165

· în cazul armării simple, ruperea începe prin curgerea armăturii întinse Aa şi se termină
irea betonului comprimat. O astfel de rupere reprezintă MOD-ul B de cedare, confonn

;=:i 6.5.3.1, şi este condiţionată de respectarea relaţiei (6.14), adică:
:SC;,b
o

vederea asigurării unei ductilităţi corespunzătoare ale extremităţilor riglelorfăcând

cadre cu protecţie seismică (zone potenţial plastice), condiţia de mai sus se înlocuieşte
ai restrictivă şi anume:

ţ :S ţum = 0,25

area efortului unitar în armătura comprimată A~ depinde de poziţia acesteia în raport

utră (pct. 6.5.3.2) şi se ia în considerare după cum urmează:
Ra dacă x ~ 2a', condiţie care se poate pune şi sub forma:

; ~ 2a'/h0 (6.57)

< Ra dacă x < 2a'; se admite simplificarea că rezultanta globală a compresiunilor
.beton şi armătură ( Nb + N~) se află la nivelul centrului de greutate al armăturii A~
este coliniar cu N~ ).

le de·echilibru static

tru simplitate, starea de eforturi s-a descompus corespunzător cuplurilor M1 şi M2
5).
aţia de proiecţii se obţine din relaţia (6.32):

(!.N) =Nb + N~ - N0 =O (6.58)

:aţia de momente depinde de poziţia axei neutre:
,dacă x ~ 2a', pornind de la relaţia (6.33), se obţine:

("IM)Na = M - Ni,2 - N~ha = O (6.59)

dacă x < 2a', pornind de la relaţia (6.34), se obţine:

("IM)N~ +Nb =M- Naha=O (6.60)

Pa = h0 - a' reprezintă distanţa dintre centrele de greutate ale armăturilor Aa

·v între Na şi N~.
ipoteza satisfacerii condiţiei (6.57), în relaţiile (6.58) şi (6.59) se introduc:

Nb =bxRc, Na = A0 R0 şi N~ =A~Ra

ziţia axei neutre x, respectiv valoarea relativă a acesteia ţ, rezultă:

x =(A0 - A; )R0 = A0 - A~ . R0 h =·(µ _ µ ') R0 h =C;,h (6.61)

bRc bho RC o Re o o

(6.62)

166

Ecuaţia de momente (6.59) devine:

M =bxRc(ho -0,5x) + A~Raha

Înlocuind în relaţia (6.63) poziţia axei neutre dată de relaţia (6.61), rezultă:

M =M1+M2 =l;(I-0,51;)b/i5Rc + A~Raha = mb/i5Rc + A~Raha

Se observă că în relaţia (6.64) primul termen M1 reprezintă momentul preluat de secţiune&
simplu armată, în timp ce al doilea termen M2 reprezintă aportul armăturii comprimate (fig. 6.25). ·•.·

În conformitate cu relaţia generală de calcul la starea limită de rezistenţă, relaţia (6.64)
se pune sub forma:

M~ Mcap = M1+M2 =mbhJRc+A~Raha

Pentru a nu se produce o sporire exagerată a armăturii comprimate se recomandă
respectarea condiţiei:

M ~ SoRc = 0,5bhJ Re

în situaţia nesatisfacerii condiţiei (6.57), ceea ce înseamnă x < 2a', relaţia (6.60) se pune

sub forma:
M~ Mcap = AaRaha

Proiectarea elementelor Încovoiate cu secţiune dreptunghiulară, dublu armată

Calculul implică cunoaşterea dimensiunilor secţiunii transversale b şi h (ho) şi a calităţii
materialelor, putându-se întâlni două cazuri, legate de cunoaşterea sau necunoaşterea armăturii
din zona comprimată.

Cazul I se referă la situaţia când, pentru o secţiune dată, a rezultat m > mmax , cu m obţinut
din relaţia (6.55). Soluţia economică este dată de utilizarea la maxim a capacităţii de rezistenţă a

zonei comprimate de beton, ceea ce se obţine pentru 1; = l;b , situaţie în care capacitatea portantă a

secţiunii dreptunghiulare simplu armate este maximă conform relaţiei (6.51). Aceasta conduce la
o cantitate necesară minimă de armătură comprimată, respectiv la relaţia M = M1 max + M2 min,

În acest context, ecuaţiile (6.65) şi (6.58) devin:

M = mmaxbhJ Re+ A~Raha

1;bbh0Rc + A~Ra -AaRa = O

Din relaţiile de mai sus rezultă:

A' = M - M1max =-(m'----m-m-a"x')'b-h'J-R-e-
a Raha Raha

Âa = 'ţ-:,b RRe bh + Âa, = P1m0a0x bh + Aa'
O O

a

Aria de armătură comprimată A~ trebuie să respecte condiţia:

A~~ A~ min
în care A~ mtn rezultă din condiţii de procent minim de armare, număr minim de bare şi
diametru minim.

lui fn secţiuni normale 167

II se referă la situaţia în care armătura din zona comprimată A~ este cunoscută.
ntext, din ecuaţia de momente (6.65) se calculează:

(6.71)

în care m > mmax , armătura A; este insuficientă, ea trebuie deci majorată astfel

ientul m, obţinut din relaţia (6.71), să se înscrie în valorile tabelului anexei 13.

valori m > O, din anexa 13 se determină ~ şi p - procentul de armare
r armăturii A01 ; în corelaţie cu condiţia (6.57), pot interveni două situaţii:

0 >_ 2a' , caz 'm care Aa -- Aal+ Aa2 -- ţ'-:, !R!s.._bho+ Aa' -- _IO.!O!_bho+ Aa' (6.72)

a

0 < 2a', caz în care din relaţia (6.67) rezultă: Aa =_!!_ (6.73)

Raha

rea m ~ O înseamnă x < 2a'; în consecinţă, pentru determinarea ariei armăturii
.se foloseşte relaţia (6.73).

rea elementelor Încovoiate cu secţiune dreptunghiulară, dublu armată

oscând caracteristicile secţiunii b, h, A0 , A~ , calităţile materialelor şi solicitarea de
, se pune problema determinării capacităţii portante. Necunoscutele sunt Mcap şi x,

termină din ecuaţiile de echilibru static (IN = Oşi IM= O).

eului se poate conduce direct prin rezolvarea sistemului de ecuaţii sau cu ajutorul

3.

determină poziţia axei neutre din relaţia (6.61): x =(Aa - A; )Ra/bRc .
că x ~ 2a', capacitatea portantă rezultă din relaţia (6.63):

Mcap =bxRc tho - 0,5x) + A; Ra ha ,

ă x < 2a', se aplică relaţia (6.67):

Mcap = AaRaha

cazul în care x > xb = l;bho, capacitatea portantă se limitează la valoarea dată de

'Mcap = Mlmax +M2 =bxbRc(h0 -0,5xb)+ A;Raha,

Iul cu anexa 13
n relaţia (6.72) se calculează:

= IOOAa -A; (6.74)
p bho

t procent de armare corespunde armăturii Aa1 a secţiunii dreptunghiulare simplu
1g. 6.25b), ceea ce face posibilă utilizarea anexei 13.

anexa 13 se determină valoarea relativă a poziţiei axei neutre ~ şi coeficientul m:

ă .x = l;h0 ~ 2a', capacitatea portantă se determină din relaţia (6.64):

(6.75)

168 BETON ARMAT

• dacă x = 1;h0 < 2a', capacitatea portantă se determină din relaţia (6.67):

Mcap = AaRaha

Dacă p > Pmax, capacitatea portantă se limitează la valoarea:

Mcap max= M1max + M2 =mmaxbhJRc + A~Raha

Secţiunea satisface starea limită de rezistenţă dacă este îndeplinită condiţia M ~ Mcap·
Aplicaţia numerică 6.3. Secţiunea dreptunghiulară dublu armată - calculul ariei de armătură

întinsă

Se cere determinarea ariei de armătură întinsă de pe reazemul unei grinzi continue din
beton armat monolit, cunoscând: blh = 250/550 mm; M= 210 kNm; beton CI2/15 pentru
care Re= 9,5 N/mm2 (cu mbc = 1,0,) şi oţel PC52 (Ra = 300 N/mm2); armătura inferioară,
comprimată, înnădită prin suprapunerea, este 2<!>20 (fig. Apl.6.3).

I A.=4<!>22

I 2<!>20 · 2<!>20

ho= 514

Fig. Apl.6.3.

Pe reazem secţiunea de calcul este dublu armată, deoarece armăturile din zona comprimată
(2<!>20) pot fi considerate continue, fiind suprapuse pe o lungime 1 = 30d = 30 · 20 = 600 mm

5

(pct. 13.4.1.1).

• Se calculează coeficientul m cu relaţia (6.71}, în care a' = 35mm ; a = 25 + 22 = 36 mm

2
pentru (<!>22);

h0 = h-a = 550-36 = 514mm;ha = ho-a' =514-35 = 479mm

tM-A' R h 210·106 -628·300·479 = O191
m aa 250-5142 ·9,5 '

bhoRc

Din anexa 13 rezultă~= 0,215 şip= 0,68%; x = ţho = 0,215 ·514 = 110mm. Deoarece
x > 2a' = 70mm, Aa se determină cu relaţia (6.72):

A =A= p 1b0h0o +A' = 0 68 - 25010"0514 +628=1502mm2

a a a '

• Se aleg barele 4<j>22, cu aria Aa = I520mm2 ; dispunerea barelor se face pe un rând,
ţinând seama de recomandările de la punctul 13.7.1.

lui în secţiuni normale 169

de calcul direct
ă calculul valorii m, din relaţia (6.47) rezultă:

.J1 -1- 2m = 1- ~I - 2 · 0,191 = 0,214 ;

de armătură întinsă se calculează cu relaţia (6.72):

0=ţbh Re +A~ =0,214·250·514·.22..+628=1498mm2
Ra 300

numerică 6.4. Secţiunea dreptunghiulară dublu armată - determinarea capacităţii
portante

ere determinarea capacităţii portante pentru secţiunea de reazem a unei grinzi monolite
(fig. Apl.6.4), executată dintr-un beton CI6/20 pentru care Re= 12,5N/mm2 ,
d: bi h = 2501600mm; c = 25mm; armăturile 4<j>22 cu Aa = 1520mm2 , respectiv
A~= 762mm2 , executate din oţel PC52 (Ra =300N/mm2 ).

~

Fig. Apl.6.4.

• 22 aI 18
a=25+-=36mm; =25+-=34mm
·2 2

1,0 = h-a = 600-36 = 564mm; ha= h0 -a'= 564-34= 530mm

ul direct cu ecuaţiile de echilibru static
calculează poziţia axei neutre cu relaţia (6.61):

'x= (Aa -A~)Ra (1520-762)300 =72,7mm~xb =ţbho =0,55·564=310mm

bRC 250-12,5

> 2a' =2 · 34 =68 mm

mentul capabil rezultă din relaţia (6.63):

cap =bxRc (ho - 0,5x) +A~Raha =

= 250· 72,7 · 12,5(564-0,5 · 72,7)+ 762·300· 530 = 241 · 106 Nmm = 241KNm

ă de calcul cu anexa 13

e calculează p = (A -A')lOO = (1520-762)100 = O537% (relati.a 6.74)
a
a
bho 250·564 ' '

170

Din anexa 13 rezultă: ~ = 0,129 < ~b = 0,55 şi m = 0,121.

Deoarece x = ~bho = 0,129 ·564 = 72,7mm > 2a' = 68mm, momentulcapabilsecalculează··

cu relaţia (6.75):

M cap= mbh5Rc + A~Raha =0,121 · 250-5642 •12,5 + 762 ·300 ·530 =241-106 Nmm

6.6.3. Elemente încovoiate cu secţiune în formă de T
având placa în :zona comprimată

Secţiunile în formă de T se întâlnesc frecvent la grinzi prefabricate, la grinzile planşeelor
monolite şi la alte elemente de rezistenţă cu secţiuni în formă de I, sau chesonate, care sunt
asimilabile cu secţiunile în formă de T.

Secţiunea se consideră în formă de T dacă inima grinzii şi placa, dispusă în zona

comprimată, sunt legate monolit, fiind capabile să conlucreze solidar până la rupere. Grosimea
plăcii trebuie să fie cel puţin 5% din înălţimea inimii, adică:

hp ~ 0,05h (6.76)

În situaţiile în care condiţia (6.76) nu este îndeplinită, aportul plăcii se poate neglija şi
secţiunile se vor calcula ca secţiuni dreptunghiulare obişnuite, cu dimensiunile b şi h.

6.6.3.1. lăţimea activă a plăcii

Datorită conlucrării ce există între inima grinzii şi placă, aceasta urmăreşte deformaţiile
inimii. Deformaţia plăcii se atenuează pe măsura îndepărtării de inimă, deoarece rigiditatea plăcii
este mult mai mică decât a inimii (fig. 6.26a). De aceea distribuţia eforturilor unitare de compresiune
pe lăţimea plăcii este neuniformă, având intensitatea maximă în dreptul inimii (fig. 6.26b).

Lăţimea teoretică activă a plăcii rezultă din condiţia ca suprafaţa distribuţiei teoretice a
eforturilor unitare să fie egală cu suprafaţa curbei reale de distribuţie, acceptând acelaşi efort

unitar maxim în dreptul inimii crb = Rc [138].

b•Idistribuţia distribuţia de
i+j•--~P.___ _ calcul crb

= Re..-""-4,L-LJ..L..u...i........,...u...uu...u4-.::....-1-~b

a) b)

Fig. 6.26. Conlucrarea plăcii cu inima

Determinarea lăţimii de calcul hp, conform celor de mai sus, este dificilă pentru calculele

uzuale, de aceea pentru elementele construcţiilor civile şi industriale se foloseşte procedura
simplificată din anexa 11.

6.6.3.2. Secţiunea în formă de T, simplu armată

Calculul se face în funcţie de poziţia axei neutre pe înălţimea secţiunii transversale,
deosebindu-se două situaţii: axa neutră în placă sau în inima grinzii.

Pentru estimarea poziţiei axei neutre, se pleacă de la situaţia ipotetică a axei neutre plasate la

=marginea inferioară a plăcii, deci x hP (fig. 6.27a) şi se scriu cele două ecuaţii de echilibru static.

171

b) simplă armare; x :,; hp c) dublă armare; x:,; hp

CGbx

A.1 N.1 Aa2

d) simplă armare; x > hp Aa' N~
©

A.1 + A.2 N.1+ Na2 Mtî- -Aa3 -

e) dublă armare; x > hp

Fig. 6.27. Secţiune în formă de T cu placa în zona comprimată

ecuaţia de proiecţii Na - Nb = bphpRc -Aa limRa =O, se determină aria armăturii

'librează compresiunile din placă în această situaţie limită:

Âa /im= bphp }1_ (6.77)

Ra

i.n ecuaţia de momente scrisă în raport cu armătura întinsă rezultă:

Mum =bphpRc(h0 -0,5hP) (6.78)

le două relaţii se folosesc în funcţie de scopul calculului; astfel, dacă la proiectare:

(6.79)

(6.80)
a neutră este plasată în placă ( x:,; hP ). Evident, în caz contrar, axa neutră este

172

Proiectarea elementelor Încovoiate cu secţiune În formă de T, simplu armată

Cunoscându-se dimensiunile secţiunii transversale b, h, bp, hp, calitatea materialelor şi
solicitarea de calcul M, se calculează Mum cu relaţia (6.78).

Dacă M :5 Mum, axa neutră se află în placă (fig. 6.27b). Deoarece forma de calcul

secţiunii depinde de forma zonei comprimate (zona întinsă, fiind fisurată, nu are nici
influenţă), din punctul de vedere al calculului secţiunea se consideră de formă dreptunghiular
de înălţime h şi lăţime bp. Pentru c~lculul ariei de armătură se folosesc relaţiile (6.55)
(6.56), în care b se înlocuieşte cu bp. 1n succesiunea operaţiilor se calculează:

m = -M- -
bph5Rc

s,iar din anexa 13 se determină procentul corespunzător de armare p sau, opţional, valorile l

I; sau de unde rezultă aria de armătură sub una din următoarele forme:

bpho Re M
Âa =p 100; Âa =~Rbpho sau Aa = Yh R
a ':, O a

Procentul de armare are valori mici, fiind raportat la bpho. Pentru aprecierea respectăr

limitelor impuse procentului de armare, aria de armătură se raportează la bho .

Dacă M > Mum , axa neutră se află în inimă. Pentru simplitate, solicitarea de calcu
secţiunii se descompune în două cupluri, M 1 şi M2, ca în figura 6.27d.

Se constată că o parte din armătura întinsă Aa1 echilibrează compresiunile din inim
în timp ce armătura Aa2 echilibrează compresiunile din aripile secţiunii.

Ecuaţiile de echilibru static sunt:
41 ecuaţia de proiecţii, obţinută din relaţia (6.32):

CIN) =Nb-Na=Nbl + Nb2-Na=O

41 ecuaţia de momente, scrisă în raport cu punctul de aplicaţie al rezultantei Na:

(f,M)Na = M - NI,Z = M - Nbl Z1 - Nb2Z2 = O

Determinarea poziţiei axei neutre se face pe baza ecuaţiei de proiecţii, scrisă sub forma

De asemenea, din figura 6.27d se observă că Na 2 = Nb2 , rezultând:

A0 2 =(bp - b )hp ~

Ra

Ecuaţia de momente se scrie sub forma:

)=M :5:Mcap =M1 +M2 =bxRc(ho-0,Sx)+(bP -b)hpRc(ho-0,ShP

=mblz5Rc +(bp -b )hpRc (ho-0,Shp)

Se observă că primul termen, M1 =bxRc (h0 - 0,5x} = mbh5 Rc, reprezintă momen

încovoietor preluat de secţiunea dreptunghiulară simplu armată, în timp ce al doilea term

·· · lui în secţiuni normale 173

ă b)hpRc(ho -0,ShP), reprezintă aportul aripilor secţiunii. Având în vedere că
i
, momentul încovoietor M2 se poate determina şi cu relaţia:
l a'
i0 (6.84)

ră de armătură Aa1 corespunzătoare momentului încovoietor M1 se obţine conform
şj · de la punctul 6.6.1, cu următoarea succesiune de operaţii: se calculează M2 din

· ), apoi M1 =M - M2; în funcţie de coeficientul m = M1/ bh5 Re , din anexa 13 se

lui rocentul de armare p şi se calculează aria de armătura Aa1 = pbh5 /100 .
e armătură întinsă necesară este:
rii
Aa=Aa1 +Aa2 = 1~0 bh0 +(bP-b)hP ;:
ul a
m> mmax , secţiunea T este insuficientă în varianta armării simple.
mă,
este satisfăcută condiţia bP /b.:: 5 , se acceptă determinarea simplificată a ariei de
a:
u relaţia de mai jos, obţinută din ecuaţia de momente în raport cu rezultanta
ntul
men, ilor din beton, admiţând că x =hP [8], [138]:

(6.85)

a elementelor Încovoiate cu secţiune În formă de T, simplu armată

o secţiune cu caracteristicile b, h, bp, hp, A0 , solicitarea de calcul M şi calităţile
r Re şi R0 cunoscute, se pune problema determinării capacităţii portante.
ederea estimării poziţiei axei neutre, se calculează A0 /im cu relaţia (6.77). Dacă

/Im , axa neutră se află in placă (fig. 6.27b) şi capacitatea portantă se determină ca

secţiune dreptunghiulară de înălţime h şi lăţime bp. Succesiunea operaţiilor este

: se calculează procentul de armare p = 100 A / bpho , se determină m din anexa 13
0

ină capacitatea portantă:

Âa > Aalim, axa neutră se află în inimă (fig. 6.27c). Din relaţiile (6.82) şi (6.84)

A02 =(bP-b)hpRc/R0 , respectiv M2 =Aa2Ra(h0 -0,5hp)· Pe baza valorii

-Aa2 se calculează procentul de armare p = I00Aa 1/bh0 , din anexa 13 se obţine
.ul m şi apoi se determină momentul încovoietor M1 =mbh5 Rc . Capacitatea

·secţiunii este:

Mcap = M1 + M2 =mbh5Rc +A0 2Ra(ho-O,ShP)

• p <': Pmax, capacitatea portantă se limitează la valoarea:

Mcapmax =Ml max+ M2 =mmaxbh5Rc + (bp -b~pRc(ho -0,Shp)

174

Secţiunea în formă de T, indiferent de poziţia axei neutre, satisface starea limită
rezistenţă dacă este îndeplinită condiţia M :$ Meap.

Pentru cazurile în care bP I b ~ 5 se acceptă pentru verificarea secţiunii utilizarea r

(6.85) [8], [138]:

M:$ Meap = AaRa(h0 -0,5hp)

Aplicaţia numerică 6.5. Secţiunea în formă de Tsimplu armată- calculul ariei de armătur,

Se cere determinarea ariei de armătură pentru câmpul al doilea al grinzii secund
continue a unui planşeu monolit (fig. Apl.6.5), cunoscând: b I h I hP = 250 I500 /80

M = 150kNm ;betonC12/15 cu Re= 9,5N/mm 2 ; oţelPC52(Ra 2 c =25

= 300N/mm );

Deschiderea de calcul a grinzii secundare este le = 5,0 m, iar distanţa dintre axele a

gri•nzDi esoeacruencdearpelaecsates2e,0afmlă. în zona comprimată a grinzii şi satisface condiţia (6.76), adi
hP = 80 mm> 0,05h = 0,05 · 500 = 25 mm, calculul se face ca pentru o secţiune

ţinându-se seama de aportul plăcii.

~î.~~
Re= 5,0 Re= 5,0

Fig. Api. 6.5.
Se calculează lăţimea activă de placă, conform prevederilor din anexa 11:
- bP=b+2.M=250+2·500=1250mm

în care M = .!..o,6le = .!..o,6 · 5000 = 500mm (pct.1);
66

- grinda nu este rigidizată transversal; hP = 80 = 0,16 > 0,1O, deci nu se limitează bp
h 500
faţă de condiţia de mai sus (pct. 2 din anexa 11).

- bP:$ bpreal = 2000mm, conform punctului 3 (fig. Apl.6.5);

Se adoptă valoarea care respectă toate condiţiile, adică bP= 1250 mm .

• Pentru a= 35 mm, rezultă ho = 500- 35 = 465 mm.

Se verifică poziţia axei neutre în raport cu înălţimea plăcii, conform relaţiei (6.78):

Mum = bphpRe (ho -0,5hp)= 1250· 80·9,5(465-0,5 ·80)= 6 Nmm;

403,7 · 10

Mum = 403,7 ·106 Nmm > M = 150,106 Nmm, deci x < hP, conform condiţiei (6.7

în secţiuni normale 175

uare, calculul se conduce ca pentru grinzile cu secţiune dreptunghiulară de lăţime
relaţiile (6.55) şi (6.56a), în care se înlocuieşte b cu bp:

M = 150,106 = 0,058, pentru care din anexa 13 rezultă p = 0,19%.
pho2Re 1250·4652 ·9,5

• bpho = 019 .1250·465 =ll04 mm2
p 100 ' 100

din anexa 26 barele 2cp20 + 2cp18 (1136 mm2), care se dispun pe un rând, deoarece
+ 2 · 20+ 2 ·18 = 201mm < 250mm (fig. Apl.6.5).

1 de armare raportat la secţiunea utilă este p = 1ObOhoAa 100· 1136 = O98 o/c
250·465 ' o,

se înscrie în domeniul obişnuit.

merică 6.6. Secţiunea înformă de Tsimplu armată- calculul ariei de armătură

armarea grinzii prefabricate din beton armat, cunoscând:
bP =300/650/80/550mm; M =400kNm; beton C16/20 cu Re= 12,5N/mm2 ;

{Ra =300N/mm2 ); c=40mm.
ece placa se află în zona comprimată a grinzii şi satisface condiţia (6.76), adică
SO mm > 0,05h = 0,05 · 650 = 32,5 mm, calculul se face ţinând seama de aportul

i(secţiune T). Pentru c =40mm, rezultă ho =650-40=610mm.

P Th =80 l!f::::::::~

h= 650

Fig. Apl.6.6.

'fică poziţia axei neutre, calculând Mum cu relaţia (6.78):

(m =bphpRc (ho -0,5hp)= 550·80· 12,5(610-0,5 ·80)= 313,5, 106 Nmm

ece M /im = 313,5 · 106 Nmm < M = 400 ·106 Nmm, rezultă x < hP .

lică relaţiile (6.82) şi (6.84):

=(bP-b)hP Re 12 5 =833mm2
=(550-300)80 •
Ra 300

= Âa2Ra(ho -0,5hp)= 833·300(610-0,5 ·80)= 142,5 -106 Nmm

(= 400 · 106 -142,5, 106 = 257,5· 106 Nmm 1llROU DE STRUCT<lRI

\ SRL

~"~~\

176

Se calculează coeficientul m corespunzător momentului M1:

m = __!!!J_ = 257,5 ·106 = O,l 85

bhlRc 300-6102 ·12,5

Din anexa 13 rezultă p = 0,855% ; aria armăturii întinse se calculează cu relaţia:

A =Aa1 +Aa2 =pb1lz0o0 +Aa2 =0,855· 30100· 06 l0 +833=2398mm2

a

e Se aleg barele 5cj>25 (2455 mm2), care se dispun pe un rând, conform figurii Apl.6.6.

Aplicaţia numerică 6. 7. Secţiunea în formă de T simplu armată - calculul capacităţii
portante

Se cere verificarea unei grinzi realizată din beton C12/15 cu Re = 9,5 N/mm 2 şi oţel

OB37 ( R0 = 210 N/mm 2 ), cu caracteristicile geometrice ale secţiunii de beton şi
armarea din figura Apl.6.7, cunoscând momentul încovoietor M = 150 kNm.

• ho =550-40=510mm

Se verifică poziţia axei neutre, calculând Aa /im cu relaţia (6.77):

Aa1,.m =b h RRae =500·80· 291•50 =1809mm
pp

Deoarece Âa = 1964mm2 > Aalim =1809mm2 , rezultă x > hp.

J500

.,. . - - - - - - ~ , 2<1>12 montaj

+

80

T

550

Fig. Apl.6.7.

e Cu relaţia (6.82) se calculează:

A 2 =(b -b)hp~R=(500-250)80 291•50 =905mm2

a P 0

Âai = Âa - Âa2 =1964-905 =I059 mm2

Pentru p = -IOO-A0- 1 =100 ·1059 = 0,83% , dm. anexa 13 r.ezulta• m = 0,167

blzo 250-510

ului în secţiuni normale 177

entul capabil al secţiunii rezultă din relaţia (6.83b):

=mb~Rc+A02R0 (lzo-0,5hp)=
= 0,167 ·250-5102 ·9,5+905 ·210· (510-0,5·80) = 192· 106 Nmm
da poate prelua momentul încovoietor produs de încărcări, deoarece

== 150kNm < Mcap = 192kNm

, Secţiunea în formă de T, dublu armată

A;unile în formă de T dublu armate, la care în afară de armătura întinsăA0 există dispusă şi

e rezistenţă în zona comprimată a secţiunii transversale (fig. 6.27c,e), pot să apară

"nzilor supuse la solicitări alternante de încovoiere produse de acţiuni gravitaţionale
u, convoaie de forţe mobile) sau seismice. Cazul curent întâlnit în practică este acela

A;ătura comprimată este cunoscută, situaţie care este tratată în continuare.

şi în cazul secţiunii dreptunghiulare dublu armate, armătura întinsă echilibrează atât
compresiunilor din beton, cât şi forţa de compresiune din armătura A~ .

estimarea poziţiei axei neutre este necesar să se cunoască valorile Mum şi A /im •
0

se obţin prin suplimentarea valorilor date de relaţiile (6.77, 6.78) cu aportul

ii comprimate, rezultând:

bphpRc , (6.86)
Âalim =---+Aa

Ra

Mum =bphpRc(ho -0,5x)+ A;R0 h0 (6.87)

iţia axei neutre se apreciază prin relaţia (6.79) la proiectare, respectiv prin relaţia
verificarea secţiunii.

area elementelor Încovoiate cu secţiune În formă de T, dublu armată

scând caracteristicile secţiunii transversale b, h, bp, hp, A; , calitatea materialelor

ea de calcul M, se calculează Mum cu relaţia (6.87).

M-5. Mum, axa neutră se află în placă (fig. 6.27c) şi din punctul de vedere al

· secţiunea se consideră de formă dreptunghiulară, de înălţime h şi lăţime bP.
.$1.).ccesiunea operaţiilor, se calculează coeficientul m, din relaţia (6.71), înlocuind b cu bp:

M-A;Raha

bPhlRc

care corespunde secţiunii T simplu armate cu axa neutră în placă.

m > O, din anexa 13 se determină procentul de armare p şi poziţia relativă a axei

I;; raportat la condiţia (6.57), pot interveni două situaţii:

x = l;h0 ;2; 2a', caz în care A0 =_p_bpho + A; (6.88)
100 (6.89)

x = l;h0 < 2a', caz în care din relaţia (6.67) rezultă: A = __!!_
0
Raha

178

• dac-a < o ezultă că armătura comprimată este prea puternică, ceea ce este echiv-atluernătAcu
m- se foloseşte relaţia (6.89) d. · ·d
x < 2a'; în,cronsecinţă anei e arm~ •
pentru ete~marea
Dacă M> Mum, axa neutră se află în inimă (fig. 6.27e). In acest caz este evident că

x;:::: 2a', deoarece x > hP şi în mod curent 2a' < hp.

Ecuaţiile de echilibru static sunt: .
111 ecuaţia de proiecţii, obţinută din relaţia (6.32):

("i,N)= Nb + N~ -N0 = O

111 ecuaţia de momente în raport cu punctul de aplicaţie al rezultantei N.:

('ZM)Na = M - Nbz - N~ha =O

Ecuaţia de proiecţii, cu Ah = bx +(bP- b)hP, devine:

[bx+(bP -b)hP ]Re -(Aa -A~)Ra =O

şi permite determinarea poziţiei axei neutre. secţiunii . . Mi, M
Pentru simplitate solicitarea de calcul a trei cupluri,
şi M , se descompune în
3 M 2 corespunde secţiunii
ca în figura 6.27e. Suma M1 + T simpl~ armate cu ax
neutr-a •m Aal şi Aa2 echilibrează compresiunea rezultan
m· i·ma-, caz •m care arma·turile
N = N + N . Momentul încovoietor M3 reprezintă aportul armăturii comprimate A; .
b Dinbifigurab26.27d se observă că există egalitatea N.2 = Nb2 şi. deci. re1aţi. a (6.82) permi

calculul armăturii A.2• De asemenea, din figura 6.27e rezultă că echilibrul N. 3 =N~ condu

A; . . ·la
A.3 = de momente în raport cu punctul de aplicaţie al rezultantei Na se scne b fi
Ecuatia su onna

'M-5,.Mcap=M1+M2+M3 (6.9

în care: (6.91
M1 = bxRc{h0 -0,Sx)= mbhlRc

M2 =(bP -b)hpRc(ho -0,ShP) (6.91

M3 = A;Raha (6.91

Se ca1cu1eaza- m =(M - M1 - M3)/bho2Rc , corespunzător secţiunii dreptunghiula

simplu armate, apoi din anexa 13 se dete~nă ~rocentul de armare P·
Aria necesară de armătură rezultă dm relaţia:

Aa = A.1+ A.2 + A.3 = l~O b~ +(bP -b)hP :: + A;

Dacă m > mmax , secţiunea este insuficientă.

verificarea elementelor fncovoiate cu secţiune in formă de T, dublu armată

şi Pentru O sectiune cu caracteristicile b, h, bp, hp, Aa, A~ , rezistenţele materialelor Re şi
solicitarea de c~lcul M cunoscute, se pune problema determinării capacităţii portante Mc•P

lui în secţiuni normale 179

u erea estimării poziţiei axei neutre, se calculează A. /im cu relaţia (6.86).

•· Âa ~ Âa /im, axa neutră se află în placă (fig. 6.27c) şi capacitatea portantă se
ă ca pentru o secţiune dreptunghiulară de înălţime h şi lăţime bp,

siunea operaţiilor este următoarea: se calculează procentul de armare

a -A~)/bpho în funcţie de care, din anexa 13, se determină coeficienţii m şi 1;.

tul încovoietor capabil se obţine după cum urmează:

X= /;h0 ;:::: 2a' : Mcap =mbphJ Re + A~Raha (6.92)

X= /;ho < 2a': Mcap = AaRaha

Aa > Aa /im, axa neutră se află în inimă (fig. 6.27e). Din relaţia (6.82) se obţine

· -b)hP Re/R. , iar din relaţia (6.84) se obţine momentul încovoietor

Ra (ho - 0,5hP) . Pe baza valorii A.1 = A. - A.2 - A~ se calculează procentul de

IOOA. 1/bh0 , iar din anexa 13 se determină coeficientul m şi apoi se calculează
M2 încovoietor M1 cu relaţia (6.91a). Momentele încovoietoarea M 2 şi M 3 se
x~ cu relaţiile (6.91b, c). Capacitatea portantă a secţiunii este:
nta

i"te p;:::: Pmax capacitatea portantă se limitează la valoarea:

uce Mcapmax = mmaxb~Rc +(bp -b)hpR)ho -0,5hp )+ A~haRa

'unea în formă de T, indiferent de poziţia axei neutre, satisface starea limită de
a: dacă este îndeplinită condiţia M ~ Mcap.
91)

1a) LCULUL ELEMENTELOR COMPRIMATE
SECTIUNE DE FORMĂ UZUALĂ
1b) '

rtarea elementelor supuse la compresiune cu încovoiere depinde de corelaţia care
1c) omentul încovoietor M şi forţa axială N, reprezentată prin curba de interacţiune

e disting două tipuri de solicitare ale secţiunii (tabelul 6.2): cazul I şi cazul II
are une2• Cele două cazuri se diferenţiază, ca mod de rupere, după cum urmează:

.· ~ l;b reprezintă cazul I de compresiune, la care ruperea se produce prin curgerea

'i întinse, urmată de zdrobirea betonului comprimat (MOD-ul B de cedare); efortul
armătura comprimată depinde de poziţia acesteia în raport cu axa neutră (corelaţia

şi 2a' ); în vederea asigurării unei ductilităţi corespunzătoare ale extremităţilor
cadrelor cu protecţie seismică (zone potenţial plastice, conform punctului 13.13),

de mai sus se înlocuieşte cu una mai restrictivă I; ~ /;/im =0,4 , valoarea 1; putând

i Ra, adiţională în compresiune cu mare excentricitate, respectiv mică excentricitate, nu
P' definirii cazului I, respectiv cazului II şi de aceea nu este folosi1ă în lucrarea de faţă.

180 BETON ARMAT

fi majorată până la I; :,; l;b , cu condiţia majorării armăturii transversale în zona plastică

potenţială (conform tabelului 13.11).

• I; > l;b reprezintă cazul II de compresiune, la care ruperea se produce prin zdrobirea

betonului comprimat şi curgerea armăturii comprimate (MOD-ul C de cedare); efortul unitar
în armătura Aa poate fi, în funcţie de extensia zonei comprimate, cra :,; ±Ra (coloana

referitoare la starea armăturii din tabelul 6.2); acest mod de cedare este unul cu caracter casant.

Valorile l;b , corespunzătoare punctului de balans din curba de interacţiune, sunt date în

tabelul 6.1.
În principiu, elementele comprimate excentric se realizează în mod curent cu armare

simetrică ( Aa = A; ), deoarece, pe de o parte, din anumite combinaţii de încărcări rezultă
momente încovoietoare alternante apropiate ca mărime, pe de altă parte, cu acest mod de
armare se evită montarea greşită a carcasei de armătură. Totuşi, din diferite considerente,
pot exista şi elemente armate nesimetric ( Aa -:t: A; ).

În cele ce urmează, influenţa flexibilităţii elementelor comprimate se ia în considerare
conform relaţiei (6.6) prin momentul încovoietor M*; desigur, calculul rămâne acelaşi dacă

momentele încovoietoare au rezultat dintr-un calcul static de ordinul II.
În cazul stâlpilor cadrelor care se calculează la acţiuni seimice se ţine seama şi de relaţia

(6.2), respectiv de corectarea valorii forţei axiale. De asemenea, trebuie subliniat că se acceptă
numai solicitarea în cazul I de compresiune, pentru evitarea ruperii neductile.

6.7.1. Secţiunea dreptunghiulară supusă la compresiune

excentrică dreaptă

6.7.1.1. Cazul I de compresiune - ~::;; ~b

Armarea nesimetrică
Pentru starea de eforturi prezentată în figura 6.28, ecuaţiile de echilibru static sunt:

• ecuaţia de proiecţii, obţinută din relaţia (6.32):

("IN)=N+Na-Nb- N;=o (6.93)

• ecuaţia de momente depinde de poziţia axei neutre, după cum urmează: (6.94)
- dacă x ~ 2a', pornind de la relaţia (6.33) se obţine:

(UfJNa=M* + N(0,5h-a)-Nbz-N;ha =O

- dacă x < 2a', pornind de la relaţia (6.34) se obţine:

=(Uf) N~ + Nb = M* - N(0,5h-a')- Naha O (6.95)

În ipoteza satisfacerii condiţiei (6.57}, adică x ~ 2a', în relaţia (6.93) se introduc

= =Nb bxRc, Na= AaRa şi N~ A;Ra, poziţia axei neutre rezultând din relaţia:

(6.96)

181

z h.

Nb= bxRc

1----111>---'--L. ho= h- x/2

N. =A.R.

b h.=ho-a'

Fig. 6.28, Cazul I de compresiune al secţiunii dreptunghiulare

..·a de momente (6.94) devine:

M* =bxRc(ho -0,5x)+A;Raha -N(0,5h-a) (6.97)

uinp. în relaţia (6.97) poziţia axei neutre din ultima formă a relaţiei (6.96), rezultă:

= =M* 1;(1-0,51;)h5Rc + A;R0 ha - N(0,5h-a)

= mbh5 Re+ A;Raha - N(0,5h-a) (6.98)

nformitate cu relaţiile generale de calcul la starea limită de rezistenţă relaţia

pune sub forma: '

M*::,; Mcap =mbh5Rc + A;Raha -N(0,5h-a) (6.99)

aţia !n care_ poziţia axei neutre, determinată conform relaţiei (6.96), rezultă cu
x < 2a , relaţia (6.95) se p_une sub forma:

M* $ Mcap = AaRaha + N(0,5h-a') (6.100)

itat:a ~ortan~? în cazul compresiunii excentrice, depinde şi de forţa axială după
nstată dm relaţule (6.99) şi (6.100).
'

rea fn cazul I de solicitare a elementelor comprimate excentric
ne dreptunghiulară armată nesimetric
'

ul_im~~ică ~un~aştere_a eforturilor M şi N (adică M* şi N), a dimensiunilor secţiunii

atum Aa şi a rezistenţelor de calcul ale materialelor Ra şi Re. Armătura A'
specte condiţia de mniunmiămrămAina'im->
condiţii de ~rocent armare Aa' mm. • în care arma·tura mm· i·ma- Aa, ·a
minim, de bare mm
şi diametru minim.

c ura de proiectare prezentată în continuare se bazează pe utilizarea anexei 13

tru cazul când I; ::;; l;b . '

.unând x ~ 2a', din ecuaţia de momente (6.99) se calculează:

m= M* +N(0,5h-a)-A;haRa (6.101)
bh5Rc

. l în care m > mmax , armătura A; este insuficientă; ea trebuie majorată astfel

tentul m obţinut din relaţia (6.101) să se înscrie în valorile tabelului anexei 13. '