กลศาสตร์วิศวกรรม

5

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยท่ี 1
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังท่ี 1
ชื่อหน่วย บทนาของวชิ ากลศาสตร์วศิ วกรรม 1. จานวน 3 ชั่วโมง

หัวเร่ือง
1.1 ความรู้พ้ืนฐานเบ้ืองตน้
1.2 ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวคเตอร์
1.3 กฎของนิวตนั
1.4 กฎของความโนม้ ถ่วง

สาระสาคญั

1. ความรู้พ้ืนฐานของกลศาสตร์ ประกอบดว้ ย ความหมายของ มวล แกนอา้ งอิง เวลา

แรง อากาศความเฉ่ือย อนุภาค วตั ถุเกร็ง

2. ปริมาณที่ใชใ้ นทางสถิตยศาสตร์มี 2 ชนิด

ปริมาณสเกลาร์เป็ นปริมาณที่มีเฉพาะขนาด

ปริมาณเวคเตอร์เป็นปริมาณท่ีมีท้งั ขนาดและทิศทาง

3. กฎขอ้ ที่ 1 อนุภาคจะยงั คงหยดุ น่ิงหรือเคลื่อนท่ีต่อไปในแนวเส้นตรงดว้ ยความเร็ว

สม่าเสมอถา้ แรงท่ีมากระทาตอ่ อนุภาคน้นั อยใู่ นสภาวะท่ีสมดุลเขียนสมการไดว้ า่ F  0
กฎขอ้ ท่ี 2 ความเร่งของอนุภาคเป็นสดั ส่วนกบั แรงลพั ธ์ที่กระทาตอ่ อนุภาคและมีทิศทางไป

ทางเดียวกนั กบั แรงลพั ธ์น้นั ดว้ ยเขียนสมการไดว้ า่ F  ma
กฎขอ้ ท่ี 3 แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาของวตั ถุที่กระทาต่อกนั จะมีขนาดเท่ากนั อยใู่ นแนว

เดียวกนั แตท่ ิศทางตรงกนั ขา้ มกนั เขียนสมการไดว้ า่ F1  F2
4. แรงโน้มถ่วง คือแรงท่ีกระทาต่อน้าหนักของวตั ถุกระทากับวตั ถุเพราะฉะน้ันการ

คานวณหาน้าหนกั จึงข้ึนกบั ความโนม้ ถ่วงท่ีมีรากฐานสูตรของนิวตนั

ซ่ึงเขียนเป็นสมการไดว้ า่ F  G m1m 2
r2

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )

1. ผเู้ รียนสามารถอธิบายความหมายของ มวล แกนอา้ งอิง เวลาแรง อากาศ ความเฉื่อย

อนุภาค วตั ถุเกร็ง ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

2. ผเู้ รีนยสามารถบอกความหมายของปริมาณสเกลาร์ ปริมาณเวคเตอร์และแยกประเภท

ปริมาณต่างๆไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

3. ผเู้ รียนสามารถบอกนิยามและกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตนั ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

4. ผเู้ รียนสามารถบอกนิยามและกฎความโนม้ ถ่วงไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

6

เนือ้ หาสาระ

1.1 ความรู้พนื้ ฐานทางกลศาสตร์วศิ วกรรม

กลศาสตร์ (Mechanics) เป็ นวิทยาศาสตร์สาขาหน่ึงซ่ึงเน้นไปทางฟิ สิกส์ อนั กล่าวถึงการ
เคลื่อนท่ี (Movement) หรือหยุดน่ิง (Motionless) ภายใตแ้ รงที่มากระทา นบั เป็ นวิชาพ้ืนฐานทาง
วศิ วกรรมศาสตร์ที่สาคญั

กลศาสตร์ หมายถึง ความรู้ทางวทิ ยาศาสตร์แขนงหน่ึง ท่ีวา่ ดว้ ยการกระทาของแรงต่อ
เทหวตั ถุ รวมไปถึงแรงท่ีเกิดข้ึนจากเทหวตั ถุดว้ ย (แรงที่กระทากบั วตั ถุ)

สาหรับคาวา่ วตั ถุ (Material) มีสถานะ 3 ลกั ษณะ
1. ของแขง็ (Solid)
2. ของเหลว (Liquid)
3. กา๊ ซ (Gas)
ในกรณีท่ีวตั ถุมีสถานะท้งั ของเหลวและก๊าซ จะเรียกวตั ถุน้ันว่ามีสถานะเป็ นของไหล
(Fluid)
ประเภทของกลศาสตร์ (Type of Mechanics)
โดยทว่ั ไปแลว้ กลศาสตร์สามารถจาแนกไดต้ ามลกั ษณะการกระทาของแรงท่ีมีต่อวตั ถุ
เป็น 2 ประเภทดงั น้ี
1. สถิตศาสตร์ (Statics)ประกอบดว้ ยการศึกษาถึงสภาพวตั ถุท่ีหยดุ นิ่ง หรืออยใู่ นสภาวะ
สมดุลภายใตแ้ รงที่มากระทา
2. พลศาสตร์(Dynamics)ประกอบด้วย การ ศึกษาถึงสภาพวัตถุท่ีเคลื่อนที่และ
ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งแรงกบั การเคลื่อนที่ของวตั ถุน้นั ๆ
- จลนพลศาสตร์ (Kinetic) ว่าดว้ ยการเคลื่อนท่ีของวตั ถุท่ีตอ้ งคานึงแรงภายนอกที่มากระทาให้
เกิดการเคล่ือนท่ี
- จลนศาสตร์(Kinematics) วา่ ดว้ ยการเคลื่อนที่ของวตั ถุโดยไมไ่ ดค้ านึงถึงแรงท่ีเป็นตน้ เหตุของ
การเคล่ือนที่
ความรู้พนื้ ฐาน
อวกาศ (Space) คือ ขอบเขตรูปทรงเลขาคณิต ซ่ึงสามารถบอกตาแหน่งได้ โดยการวดั เชิง
เส้นและเชิงมุมท่ีสัมพทั ธ์กบั ระบบแกนโคออร์ดิเนต (Coordinate system)
แกนอ้างอิง (Reference frame) ใชใ้ นการกาหนดตาแหน่งของวตั ถุในอวกาศ โดยการกาหนด
เป็ นระยะเชิงเส้นหรื อเชิงมุม
เวลา (Time) คือการลาดับเหตุการณ์ท่ีเกิดข้ึน เป็ นปริมาณพ้ืนฐานทางวิชาพลศาสตร์ แต่

7

ไมไ่ ดใ้ ชโ้ ดยตรงในการวเิ คราะห์ปัญหาทางสถิตยศาสตร์
แรง (Force) เป็ นการกระทาของวตั ถุหน่ึงต่อวตั ถุหน่ึง และพยายามท่ีจะทาให้วตั ถุเคลื่อนที่

ไปในทิศทางเดียวกนั กบั การกระทาของมนั
มวล (Mass) คือปริมาณท่ีใช้วดั ความเฉื่อยของวตั ถุมีคุณสมบตั ิในการดึงดูด มวลอ่ืนๆที่อยู่

ใกลก้ นั
ความเฉ่ือย (Inertia) เป็นคุณสมบตั ิของสารท่ีตา้ นทานต่อการเปล่ียนแปลงการเคล่ือนที่
อนุภาค (Particle) คือวตั ถุที่มีขนาดเล็กมากในทางคณิตศาสตร์ถือวา่ อนุภาคมีขนาดเกือบเป็ น

ศูนยด์ งั น้นั จึงถือไดว้ า่ เป็นมวลของจุด
วตั ถุเกร็ง (Rigid body) คือ วตั ถุท่ีไม่เปลี่ยนแปลงขนาดและรูปร่าง เมื่ออยภู่ ายใตแ้ รงกระทา

1.2 ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวคเตอร์

ปริมาณท่ีใชใ้ นวชิ าสถิตยศาสตร์มีสองชนิด คือ ปริมาณสเกลาร์ และ ปริมาณเวคเตอร์

ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) คือปริมาณที่คานึงถึงเฉพาะ ขนาด เช่น เวลา ปริมาตร ความ

หนาแน่น อตั ราเร็ว (speed) พลงั งาน และมวลสาร เป็ นตน้

ปริมาณเวคเตอร์ คือปริมาณท่ีมีท้ังขนาดและทิศทาง เช่น น้าหนัก โมเมนต์ การขจัด

ความเร็ว (Velocity) ความเร่ง โดยการรวมกนั ของปริมานเวคเตอร์ตอ้ งเป็ นไปตามกฎของส่ีเหล่ียม

ดา้ นขนาน และกฎรูปสามเหลี่ยมของแรง

เวคเตอร์แบง่ ออกเป็น 3ประเภท คือ

เวคเตอร์อิสระ (Free vector) เป็ นเวคเตอร์ท่ีมีขนาดและทิศทางแน่นอน แต่ตาแหน่งท่ี

กระทาจะเปลี่ยนแปลงไปไดอ้ ยา่ งอิสระในอวกาศ

เวคเตอร์ล่ืนไถล (Sliding vector) เป็ นเวคเตอร์ท่ีมีขนาดและทิศทางแน่นอน แต่ตาแหน่ง

ท่ีกระทาจะเปลี่ยนไปไดเ้ ฉพาะในแนวท่ีกระทาเพียงแนวเดียวเท่าน้นั

เวกเตอร์ตรึง (Fixed vector) เป็นเวคเตอร์ท่ีมีขนาดทิศทางและจุดกระทาที่แน่นอน

โดยทว่ั ไปสัญลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนปริมาณเวคเตอร์ จะนิยมเขียนเป็ นส่วนของเส้นตรงที่มีหวั ลูกศรวาง

อยบู่ นตวั อกั ษร เช่น V


V2


V1

รูปท่ี 1. สญั ลกั ษณ์เวคเตอร์

8

1.3 กฎของนิวตนั (Newton’s laws)
กฎข้อท่ี 1 อนุภาคจะยงั คงหยุดน่ิงหรือเคลื่อนที่ต่อไปในแนวเส้นตรงดว้ ยความเร็วสม่าเสมอ
ถา้ แรงท่ีมากระทาต่ออนุภาคน้นั อยใู่ นสภาวะที่สมดุล
กฎข้อท่ี 2 ความเร่งของอนุภาคเป็ นสัดส่วนกบั แรงลพั ธ์ที่กระทาต่ออนุภาคและมีทิศทางไป
ทางเดียวกนั กบั แรงลพั ธ์น้นั ดว้ ย
กฎข้อที่ 3 แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาของวตั ถุท่ีกระทาตอ่ กนั จะมีขนาดเท่ากนั อยใู่ นแนว
เดียวกนั แตท่ ิศทางตรงกนั ขา้ มกนั
ถา้ จะเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของสมการแลว้ กฎของนิวตนั (Newton’s laws) สามารถเขียนไดด้ งั น้ี
กฎขอ้ ท่ี 1 เป็นกฎพ้นื ฐานของการสมดุลแรง

F  0

กฎขอ้ ท่ี 2 เป็นกฎพ้นื ฐานทางพลศาสตร์

 F  ma

กฎขอ้ ที่ 3 เป็นความเขา้ ใจเร่ืองแรง

 F  FActionReaction

1.4 กฎของความโน้มถ่วง (Law of Gravitation)

ในวิชา สถิตศาสตร์และ พลศาสตร์จะมีการคานวณหาค่าของน้าหนกั (Weight) ของวตั ถุ
อยูเ่ สมอ ซ่ึงน้าหนักของวตั ถุก็เกิดจากแรงโน้มถ่วง (Gravitational force) กระทากับวตั ถุนั่นเอง

เพราะฉะน้นั การคานวณหาน้าหนกั จึงข้ึนกบั ความโนม้ ถ่วงท่ีมีรากฐานสูตรของนิวตนั
ซ่ึงเขียนเป็นสมการไดว้ า่

F  K m1m2
r2

เม่ือ F คือ แรงดึงดูดซ่ึงกนั และกนั ของสองอนุภาค K = 6.673(10-11) m3/(kg.s2)
K คือ คา่ คงท่ีของความโนม้ ถ่วงจากการทดลองของพบวา่

m1, m2 คือ มวลสารของสองอนุภาค
r คือ ระยะห่างระหวา่ งจุดศูนยก์ ลางของสอง อนุภาค

9

แรงดึงดูดท่ีโลกมากระทาตอ่ วตั ถุคือ นา้ หนัก (Weight) ของวตั ถุน้นั ซ่ึงเกิดข้ึนเสมอไม่วา่ วตั ถุหยุด
นิ่งหรือเคล่ือนท่ี เนื่องจากการดึงดูดน้ีก็คือแรง ดงั น้นั น้าหนกั ของวตั ถุจึงมีหน่วยเป็ นนิวตนั (N) ใน
หน่วยเอสไอ โดยหน่วยของมวลจะเป็ นกิโลกรัม (kg) ซ่ึงคนทวั่ ไปมกั จะใชเ้ ป็ นค่าของน้าหนกั อยู่
เสมอ ฉะน้นั ถา้ หากพบวา่ มีการใชน้ ้าหนกั เป็ นกิโลกรัมในความหมายทางวิชาการที่แทจ้ ริงแลว้ จะ
หมายถึงคา่ ของมวล ดงั น้นั เพื่อหลีกเลี่ยงการสับสนจึงควรใชห้ น่วยของแรงเป็นนิวตนั

สาหรับวตั ถุมวลสาร m ท่ีอยบู่ นโลกจะหาคา่ น้าหนกั ไดจ้ ากสมการ

W  mg

เม่ือ W = น้าหนกั มีหน่วยเป็นนิไวตนั (N)
m = มวลมีหน่วยเป็นกิโลกรัม (kg)
g = ความเร่งเน่ืองจากแรงโนม้ ถ่วงของโลกที่มีค่าประมาณ 9.806 65 เมตร/

วนิ าที2
เม่ือกาหนดให้ g เป็นความเร่งเน่ืองจากแรงโนม้ ถ่วงของโลก จะไดว้ า่

F  mg  K mem
r2

นนั่ คือ g  K me

r2

เมื่อ K = คา่ คงท่ีจากความโนม้ ถ่วงมีค่าประมาณ 6.6731011  m3/ kg.s 2

m = มวลของวตั ถุ
me = มวลของโลก มีคา่ ประมาณ 5.9761024 kg
r = รัศมีของโลก มีคา่ ประมาณ 6 375 000 m
เมื่อแทนคา่ ในสูตรก็จะไดว้ า่

g 6.6731011  5.976 1024

6 375 0002

หรือ g  9.81 m/s 2

10

หน่วย (Units)
ในปัจจุบนั หน่วยที่นิยมใชเ้ ป็ นหน่วยเดียวกนั คือหน่วยเอสไอ (SI Units) ซ่ึงยอ่ มาจากคา

วา่ System International d’ Units หรือเป็นภาษาองั กฤษวา่ International System of Units

ปริมาณ สัญลกั ษณ์ หน่วยเอสไอ,
(Quantity) (Symbol) สญั ลกั ษณ์
(SI Units,
ความยาว L Symbol)
เวลา T Meter, m
มวล M Second, s
แรง F Kilogram, kg
Newton, N

*แรง 1 นิวตนั คือแรงที่ทาให้มวล 1 กิโลกรัม มีความเร่ง 1 เมตร/วนิ าที2
จากกฎขอ้ ท่ี 2 ของนิวตนั

F  ma

1N  1 kg 1 m/s 2

ดงั น้นั N  kg m/s 2

สาหรับหน่วยเอสไอน้นั ค่า g มาตรฐานเท่ากบั 9.806 65 เมตร/วนิ าที2 จากการ

เปรียบเทียบหน่วยของมวลทราบวา่ มวล 1 ปอนด์ (lb) มีค่าเท่ากบั มวล 0.453 592 37 กิโลกรัม

(kg)

ดงั น้นั จากกฎขอ้ ท่ี 2 ของนิวตนั

F ma

1 lbf    1 lbm 32.1740 ft/s2
 0.453 592 37 kg 9.806 65 m/s 2


 4.4482 N 0.224 81 lbf

หรือ 1 N 

ดงั น้นั อาจกล่าวไดว้ า่ 1 N  0.224 81 lbf
1 lbf  4.45 N

11

คาอปุ สรรคในหน่วยเอสไอ อุปสรรค สญั ลกั ษณ์
(Prefix) (Symbol)
ตวั ประกอบท่ีใชค้ ูณ
(Multiplication terra T
Factor) giga G
1012 mega M
109 kilo k
106 hecto H
103 deka da
102 deci d
10 centi c
10-1 milli m
10-2 micro
10-3 nano 
10-6 pico
10-9 n
10-12 p

กฎทใี่ ช้เขยี นปริมาณในระบบเมตริก
(1) ใชค้ าอุปสรรคเพ่ือใหต้ วั เลขมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง 0.1 ถึง 1000
(2) ควรหลีกเล่ียงการใชค้ าอุปสรรค hector , decka , deci และ centi นอกจากจะเป็นตวั

เลขที่แน่นอนของพ้นื ท่ีหรือปริมาตรซ่ึงถา้ ไม่ใชค้ าอุปสรรคที่กล่าวมาจะทาใหต้ วั เลขไมน่ ่าดู
(3) สาหรับตวั เลขเศษส่วนใหใ้ ชค้ าอุปสรรคเฉพาะตวั เลขเศษ (numerator) ยกเวน้ หน่วย

กิโลกรัมใหใ้ ชต้ วั เลขส่วนได้ เช่น kN/m ไมใ่ หใ้ ชค้ าวา่ N/mm และเช่น J/kg ไม่ใหใ้ ชค้ าวา่ mJ/g
(4) หา้ มใชค้ าอุปสรรคซ้อนกนั เช่น GN แตไ่ มใ่ หใ้ ช้ kMN
(5) ใชจ้ ุด(dot) แทนการคูณของหน่วย เช่น N. m
(6) เลขยกกาลงั ที่เขียนบนหน่วยใดจะเป็นตวั ช้ีกาลงั ของหน่วยน้นั ท้งั หน่วย เช่น mm2 จะ

หมายถึง (mm)2
(7) การเขียนกลุ่มตวั เลขของจานวนใด ๆ จะเวน้ ช่องวา่ งทุก ๆ ตวั เลข 3 หลกั โดยนบั จาก

จุดทศนิยมไปท้งั ทางซา้ ยและขวา จะไมใ่ ชเ้ ครื่องหมายจุลภาค (comma) เช่น 5 264 738. 1ถา้ เป็น
ตวั เลข 4 หลกั อาจไม่ตอ้ งเวน้ ช่องวา่ งกไ็ ด้ เช่น 0.1542

12

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ข้นั นา
1. กล่าวทกั ทายนกั เรียนแลว้ แนะนาตนเองและเช็ครายช่ือนกั ศึกษา ( 5 นาที )
2. แนะนาจุดประสงคร์ ายวชิ า หวั ขอ้ ท่ีจะตอ้ งเรียน การวดั การประเมินผล ขอ้ ตกลง
เบ้ืองตน้ ในการเรียน( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยท่ี 1 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 , 3) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งที่ 1 , 2 , 3 ( 40 นาที )
3. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนถาม (30 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

13

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , 3 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเร่ือง การบวกและลบเวคเตอร์ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์ การ

แกป้ ัญหาของเวคเตอร์ ซ่ึงจะเรียนสัปดาห์หนา้

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนความรู้พ้นื ฐานเบ้ืองตน้ ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวคเตอร์

กฎของนิวตนั กฎของความโนม้ ถ่วง
2. แผน่ ใสความรู้พ้ืนฐานเบ้ืองตน้ ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวคเตอร์กฎของนิวตนั กฎ

ของความโนม้ ถ่วง

การวดั ผลและประเมินผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานที่มอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบฝึกหดั

14

แบบฝึ กหัด
คาสั่ง ใหน้ กั ศึกษาตอบคาถามใหส้ มบรู ณ์และถูกตอ้ งที่สุด

1. จงอธิบายความหมายของ มวล แกนอา้ งอิง เวลาแรง อากาศ ความเฉื่อย อนุภาค วตั ถุ
เกร็ง
2. จงบอกความหมายของปริมาณสเกลาร์ ปริมาณเวคเตอร์และแยกประเภทปริมาณต่างๆ
3. จงบอกนิยามและกฎการเคลื่อนที่ของนิวตนั
4. จงบอกนิยามและกฎความโนม้ ถ่วง

15

เฉลยแบบฝึ กหดั

1. อวกาศ (Space) คือ ขอบเขตรูปทรงเลขาคณิต ซ่ึงสามารถบอกตาแหน่งได้ โดยการวดั

เชิงเส้นและเชิงมุมท่ีสมั พทั ธ์กบั ระบบแกนโคออร์ดิเนต (Coordinate system)

แกนอ้างอิง (Reference frame) ใช้ในการกาหนดตาแหน่งของวตั ถุในอวกาศ โดยการ

กาหนดเป็ นระยะเชิงเส้นหรื อเชิงมุม

เวลา (Time) คือการลาดบั เหตุการณ์ที่เกิดข้ึน เป็ นปริมาณพ้ืนฐานทางวิชาพลศาสตร์ แต่

ไมไ่ ดใ้ ชโ้ ดยตรงในการวเิ คราะห์ปัญหาทางสถิตยศาสตร์

แรง (Force) เป็ นการกระทาของวตั ถุหน่ึงต่อวตั ถุหน่ึง และพยายามท่ีจะทาให้วตั ถุ

เคล่ือนท่ีไปในทิศทางเดียวกนั กบั การกระทาของมนั

มวล (Mass) คือปริมาณท่ีใชว้ ดั ความเฉ่ือยของวตั ถุมีคุณสมบตั ิในการดึงดูด มวลอื่นๆที่

อยใู่ กลก้ นั

ความเฉ่ือย (Inertia) เป็นคุณสมบตั ิของสารท่ีตา้ นทานตอ่ การเปล่ียนแปลงการเคล่ือนที่

อนุภาค (Particle) คือวตั ถุที่มีขนาดเล็กมากในทางคณิตศาสตร์ถือวา่ อนุภาคมีขนาดเกือบ

เป็นศนู ยด์ งั น้นั จึงถือไดว้ า่ เป็นมวลของจุด

วัตถุเกร็ง (Rigid body) คือ วตั ถุที่ไม่เปล่ียนแปลงขนาดและรูปร่าง เมื่ออยู่ภายใตแ้ รง

กระทา

2. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) คือปริมาณท่ีคานึงถึงเฉพาะ ขนาด เช่น เวลา ปริมาตร ความ

หนาแน่น อตั ราเร็ว (speed) พลงั งาน และมวลสาร เป็นตน้

ปริมาณเวคเตอร์ คือปริมาณท่ีมีท้งั ขนาดและทิศทาง เช่น น้าหนกั โมเมนต์ การขจดั

ความเร็ว (Velocity) ความเร่ง โดยการรวมกนั ของปริมานเวคเตอร์ตอ้ งเป็ นไปตามกฎของส่ีเหลี่ยม

ดา้ นขนาน และกฎรูปสามเหล่ียมของแรง

3. กฎของนิวตัน (Newton’s laws)

กฎข้อท่ี 1 อนุภาคจะยงั คงหยดุ นิ่งหรือเคล่ือนท่ีต่อไปในแนวเส้นตรงดว้ ยความเร็ว

สม่าเสมอถา้ แรงท่ีมากระทาต่ออนุภาคน้นั อยใู่ นสภาวะที่สมดุล F  0

กฎข้อท่ี 2 ความเร่งของอนุภาคเป็ นสัดส่วนกบั แรงลพั ธ์ท่ีกระทาต่ออนุภาคและมี

ทิศทางไปทางเดียวกนั กบั แรงลพั ธ์น้นั ดว้ ย F  ma

กฎข้อที่ 3 แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาของวตั ถุท่ีกระทาต่อกนั จะมีขนาดเทา่ กนั อยใู่ น

แนวเดียวกนั แตท่ ิศทางตรงกนั ขา้ มกนั  F  FAction Reaction

16

4. แรงโน้มถ่วง คือ แรงท่ีกระทาต่อน้าหนักของวตั ถุกระทากับวตั ถุเพราะฉะน้ันการ
คานวณหาน้าหนกั จึงข้ึนกบั ความโนม้ ถ่วงท่ีมีรากฐานสูตรของนิวตนั
ซ่ึงเขียนเป็ นสมการไดว้ า่ F  K m1m2

r2

17

แบบทดสอบสัปดาห์ที่ 1

คาสั่ง ใหน้ กั ศึกษาตอบคาถามใหส้ มบรู ณ์และถูกตอ้ งท่ีสุด
1. จงอธิบายความหมายของ มวล แกนอา้ งอิง เวลาแรง อากาศ ความเฉ่ือย อนุภาค วตั ถุ
เกร็ง
2. จงบอกความหมายของปริมาณสเกลาร์ ปริมาณเวคเตอร์และแยกประเภทปริมาณต่างๆ
3. จงบอกนิยามและกฎการเคลื่อนท่ีของนิวตนั
4. จงบอกนิยามและกฎความโนม้ ถ่วง

18

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ที่ 1

1. อวกาศ (Space) คือ ขอบเขตรูปทรงเลขาคณิต ซ่ึงสามารถบอกตาแหน่งได้ โดยการวดั

เชิงเส้นและเชิงมุมท่ีสัมพทั ธ์กบั ระบบแกนโคออร์ดิเนต (Coordinate system)

แกนอ้างอิง (Reference frame) ใช้ในการกาหนดตาแหน่งของวตั ถุในอวกาศ โดยการ

กาหนดเป็ นระยะเชิงเส้นหรื อเชิงมุม

เวลา (Time) คือการลาดบั เหตุการณ์ที่เกิดข้ึน เป็ นปริมาณพ้ืนฐานทางวชิ าพลศาสตร์ แต่

ไม่ไดใ้ ชโ้ ดยตรงในการวเิ คราะห์ปัญหาทางสถิตยศาสตร์

แรง (Force) เป็ นการกระทาของวตั ถุหน่ึงต่อวตั ถุหน่ึง และพยายามท่ีจะทาให้วตั ถุ

เคล่ือนที่ไปในทิศทางเดียวกนั กบั การกระทาของมนั

มวล (Mass) คือปริมาณท่ีใชว้ ดั ความเฉ่ือยของวตั ถุมีคุณสมบตั ิในการดึงดูด มวลอื่นๆ

ที่อยใู่ กลก้ นั

ความเฉื่อย (Inertia) เป็นคุณสมบตั ิของสารท่ีตา้ นทานต่อการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนท่ี

อนุภาค (Particle) คือวตั ถุที่มีขนาดเล็กมากในทางคณิตศาสตร์ถือวา่ อนุภาคมีขนาดเกือบ

เป็นศนู ยด์ งั น้นั จึงถือไดว้ า่ เป็นมวลของจุด

วัตถุเกร็ง (Rigid body) คือ วตั ถุที่ไม่เปล่ียนแปลงขนาดและรูปร่าง เม่ืออยู่ภายใตแ้ รง

กระทา

2. ปริมาณสเกลาร์ (Scalar) คือปริมาณที่คานึงถึงเฉพาะ ขนาด เช่น เวลา ปริมาตร ความ

หนาแน่น อตั ราเร็ว (speed) พลงั งาน และมวลสาร เป็นตน้

ปริมาณเวคเตอร์ คือปริมาณท่ีมีท้งั ขนาดและทิศทาง เช่น น้าหนกั โมเมนต์ การขจดั

ความเร็ว (Velocity) ความเร่ง โดยการรวมกนั ของปริมานเวคเตอร์ตอ้ งเป็ นไปตามกฎของส่ีเหล่ียม

ดา้ นขนาน และกฎรูปสามเหล่ียมของแรง

3. กฎของนิวตัน (Newton’s laws)

กฎข้อท่ี 1 อนุภาคจะยงั คงหยุดนิ่งหรือเคล่ือนที่ต่อไปในแนวเส้นตรงด้วย

ความเร็วสม่าเสมอถา้ แรงท่ีมากระทาต่ออนุภาคน้นั อยใู่ นสภาวะที่สมดุล F  0

กฎข้อท่ี 2 ความเร่งของอนุภาคเป็ นสัดส่วนกบั แรงลพั ธ์ที่กระทาต่ออนุภาคและมี

ทิศทางไปทางเดียวกนั กบั แรงลพั ธ์น้นั ดว้ ย F  ma

กฎข้อท่ี 3 แรงกิริยาและแรงปฏิกิริยาของวตั ถุที่กระทาต่อกนั จะมีขนาดเทา่ กนั อยู่

ในแนวเดียวกนั แต่ทิศทางตรงกนั ขา้ มกนั  F  FActionReaction

19

4. แรงโน้มถ่วง คือ แรงท่ีกระทาต่อน้าหนักของวตั ถุกระทากบั วตั ถุเพราะฉะน้นั การ
คานวณหาน้าหนกั จึงข้ึนกบั ความโนม้ ถ่วงท่ีมีรากฐานสูตรของนิวตนั
ซ่ึงเขียนเป็ นสมการไดว้ า่ F  K m1m2

r2

20

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

21

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยที่ 2
ชื่อวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังท่ี 2
ช่ือหน่วย ระบบแรง จานวน 3 ชั่วโมง

หัวเร่ือง
2.1 การบวกและลบเวคเตอร์
2.2 ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์
2.3 การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์

สาระสาคญั
1. การบวกเวกเตอร์จะทาไดโ้ ดยการต่อเวคเตอร์หรือการเอาหางเวคเตอร์ตวั ท่ี 2 ต่อกบั หวั

เวคเตอร์ตวั ท่ี 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธ์ที่มีขนาดและทิศทางเท่ากบั เส้นท่ีลากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง
2. การลบเวคเตอร์ จะทาไดโ้ ดยการใชก้ ฎสามเหลี่ยมซ่ึงกค็ ือการนาเอาหางต่อหวั และการใช้

กฎส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน (หางต่อหาง) เหมือนกนั กบั การบวกเวคเตอร์แตท่ ิศทางของ  จะตรงกนั

V2

ขา้ ม

3. ผลคูณสเกลาร์ คือ ผลคูณระหวา่ งขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A) กบั ขนาดของอีกเวคเตอร์

หน่ึง ( B )ผลคูณเวกเตอร์ (Cross product, A . B )คือ ผลคูณระหวา่ งขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A)กบั

ขนาดของอีกเวคเตอร์หน่ึง ( B )
4. การใชก้ ฎของซายน์และกฎของโคซายนเ์ ป็นการสร้างภาพ แสดงการบวกเวคเตอร์โดยใช้

กฎรูปสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน หามุมที่อยภู่ ายในรูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนานจากรูปเชิงเรขาคณิตของโจทย์
ปัญหาหรือจะวเิ คราะห์เป็นรูปสามเหลี่ยมจะไดร้ ูปสามเหลี่ยม หามุมที่อยภู่ ายในรูปสามเหลี่ยมโดย

อาศยั กฎตอ่ ไปน้ี กฎของซายน์ (Sine Law) a  b  c และ กฎของโคซายน์ (Cosine

sinA sinB sinC

Law) c  a 2  b2  2abcosC

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถอธิบายถึงวธิ ีการบวกเวคเตอร์ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถอธิบายถึงวธิ ีการลบเวคเตอร์ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
4. ผเู้ รียนสามารถโจทยแ์ กป้ ัญหาของเวคเตอร์ โดยใชก้ ฎของซายน์และกฎของโคซายน์ได้

22

อยา่ งถูกตอ้ ง

เนือ้ หาสาระ

แรง (Force)
คือ การกระทาของวตั ถุหน่ึงต่ออีกวตั ถุหน่ึง แลว้ มีผลทาให้วตั ถุที่ถูกกระทาน้นั เคล่ือนท่ีไปตาม
ทิศทางของแรงที่กระทา แรงเป็นปริมาณเวคเตอร์จึงตอ้ งมีขนาดและทิศทาง

2.1 การบวกและลบเวคเตอร์


V1


V2

รูปที่ 1 สัญลกั ษณ์เวคเตอร์

การบวกเวคเตอร์และการลบเวคเตอร์

1. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสี่เหลย่ี มด้านขนาน (Parallelogram law) ซ่ึงสามารถทาไดโ้ ดยการ

นาหางของเวคเตอร์ท้งั สองตาม รูป 2.1 มาต่อกนั ตามทิศทางที่กาหนด เช่น เวคเตอร์  และ

V1

 จากรูปท่ี 2.1 ซ่ึงเป็นเวกเตอร์อิสระใดๆสามารถรวมกนั ได้ เวคเตอร์รวม

V2


V1 V


V2
รูปท่ี 2  และ  โดยใชก้ ฎสี่เหล่ียมดา้ นขนาน
แสดงการรวมเวคเตอร์ V1 V2

2. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสามเหลย่ี ม (Triangle law) สามารถทาไดโ้ ดยการตอ่ เวคเตอร์หรือ

การเอาหางเวคเตอร์ตวั ที่ 2 ต่อกบั หวั เวคเตอร์ตวั ที่ 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธ์ท่ีมีขนาดและทิศทาง
 
เทา่ กบั เส้นที่ลากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง จากรูปที่ 3 V1 และ V2 รวมกนั ได้


V

V1


V2

23

รูปท่ี 3 แสดงการรวมเวคเตอร์  และ  โดยใชก้ ฎสามเหล่ียม

V1 V2

ถา้ เวคเตอร์ท้งั สองทามุมฉากต่อกนั และมีทิศทางตามแนวแกน X และY ดงั ในรูป

Y


VY

  X

 รูปท่ี 4  และ VX ต้งั ฉากตอ่ กนั
V  VY
VX VX
จะไดว้ า่ = + VY
และ
θ  tan1 VY
VX

ถา้  และ  เป็ นเวคเตอร์หน่ึงหน่วย (Unit vector) ในแนวแกน X และY ตามลาดบั

i j


V X  i VX
จะไดว้ า่ V Y  j VY
ดงั น้นั  
V  i VX  jVY

ขนาดของเวคเตอร์รวมหาไดจ้ าก

V2  VX2  VY2

หรือ V  VX2  VY2
เม่ือ V คือ ขนาดของเวคเตอร์รวม

VX คือ ขนาดของเวคเตอร์ตามแนวแกน X
VY คือ ขนาดของเวคเตอร์ตามแนวแกน Y

24

การลบเวคเตอร์

การลบเวคเตอร์ จะทาไดโ้ ดยการใชก้ ฎสามเหล่ียมซ่ึงกค็ ือการนาเอาหางต่อหวั และการใช้

กฎส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน (หางต่อหาง) เหมือนกนั กบั การบวกเวคเตอร์แตท่ ิศทางของ  จะตรงกนั

V2

ขา้ ม ดงั แสดงในรูป 2.5 และ 2.6

เมื่อ  และ  มีลกั ษณะดงั รูป

V1 V2 

V1


V2

ดงั น้นั จะได้


 V2

V V1

รูปท่ี 5 การลบเวคเตอร์โดยใชก้ ฎของสามเหล่ียม


V2 V1


 V2

รูปที่ 6 การลบเวคเตอร์โดยใชก้ ฎสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน

25

2.2 ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์
ผลคูณสเกลาร์ ( Dot product, A.B)

คือ ผลคูณระหวา่ งขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A) กบั ขนาดของอีกเวคเตอร์หน่ึง ( B ) ( คิด
เคร่ืองหมายของเวคเตอร์ดว้ ย ) เมื่อคูณกนั แลว้ จะไดป้ ริมาณ สเกลาร์ออกมา 1 คา่ เช่น

A = 2i+4j+5k
B = 3i-4j-2k
A.B = 6-16-10

= -20
โดยมีขอ้ ควรจาคือ i.i = 1, j.j = 1, k.k = 1, i.j = 0, j.k = 0, k.i = 0,

ผลคูณเวกเตอร์ (Cross product, A . B )
คือ ผลคูณระหวา่ งขนาดของเวกเตอร์หน่ึง (A)

กบั ขนาดของอีกเวคเตอร์หน่ึง ( B ) ( คิดเครื่องหมายของเวคเตอร์ดว้ ย )เม่ือคูณกนั แลว้ จะได้
ปริมาณเวคเตอร์ออกมาเป็นเวคเตอร์หน่ึงหน่วย (Unit Vector) ตามแนวแกน คือ i ,j ,k เช่น

A  2i 4 j 5k
B  3i  4 j  2k
A B  8k  4 j

 12 k  8 i
 15 j  20 i
 A  B  12 i  19 j  20 k

โดยมีขอ้ ควรจาคือ

i.i = 0, j.j = 0, k.k = 0, i.j = k, j.k = i, k.i = j,

i.k = -j, k.j = -i, j.i = -k

“การหาเวคเตอร์หน่ึงหน่วยในแนวแกนใด ๆ”โดยกาหนดให้  คือ เวคเตอร์หน่ึงหน่วยใน

u

26

แนวแกนใด ๆ น้นั
s คือ เวคเตอร์ตาแหน่งในแนวแกนใด ๆ (A B)
s คือ ขนาดของเวคเตอร์ตาแหน่งในแนวแกนใด ๆ

จะได้

 = s

u

s

เช่น A x B = 12i+19j-20k = s

s = (12)2  (19)2  (-20)2

s = 30.083

  = 12 i + 19 j - 20 k
30.083 30.083 30.083
u

= 0.3989i + 0.6316j - 0.6648k

2.3 การแก้ปัญหาของเวคเตอร์ (Resolution of Vector)

เวคเตอร์ คือ ปริมาณที่มีท้งั ขนาดและทิศทางปัญหาท่ีเก่ียวขอ้ งกบั การรวมแรงสองแรง

หรือการรวมเวคเตอร์( แรง คือ ปริมาณเวคเตอร์ )หรือการหาแรงลพั ธ์ และมีสองตวั แปรไม่ทราบคา่

สามารถแกป้ ัญหาไดโ้ ดยใชว้ ิธีวเิ คราะห์ดงั ต่อไปน้ี

กฎของซายน์และกฎของโคซายน์
การใชก้ ฎของซายน์และกฎของโคซายน์เป็ นการสร้างภาพคร่าวๆ แสดงการบวกเวคเตอร์โดย

ใชก้ ฎรูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน หามุมท่ีอยภู่ ายในรูปส่ีเหลี่ยมดา้ นขนานจากรูปเชิงเรขาคณิตของโจทย์

ปัญหา

หรือจะวเิ คราะห์เป็นรูปสามเหล่ียมจะไดร้ ูปสามเหล่ียม 2 รูปหามุมท่ีอยภู่ ายในรูปสามเหลี่ยมโดย

อาศยั กฎต่อไปน้ี

กฎของซายน์ (Sine Law) ดูรูปท่ี 2.7

a bc
sin A sin B sin C

b Ac

C aB

27

รูปที่ 7

กฎของโคซายน์ (Cosine Law) ดูรูปท่ี 2.8 และ 2.9

c  a2  b2  2ab cos C

bc

C

a

รูปที่ .8
หรือ R  F12  F22  2F1F2 cosθ

F1 R



F2

รูปที่ 9

28

ตวั อย่างท่ี 1. ตุม้ น้าหนกั L หอ้ ยอยบู่ นคานซ่ึงมีจุดหมุนคือ C แรงตึงในเส้นเชือก AABB เทา่ กบั

15kN จงแสดงแรงตึง  ในรูปของเวคเตอร์ โดยมี  และ  เป็ นเวคเตอร์หน่ึงหน่วยในแนวแกน

T i j

X และ Y ตามลาดบั

Y
B

T

A CX

วธิ ีทาโดยการแตกแรงไปในแนวแกน X และ Y

Y
T = 15 kN

Ty

 Tx X

  tan1 6  31.0
10

29

ดงั น้นั sin  sin 31.0  0.514
และ
cos  cos 31.0  0.857

Tx  T cos θ  150.857

 12.86 kN

Ty  T cosθ  150.514

 7.72 kN

  Ans

T  12.86 i  7.72 j

ตัวอย่างท่ี 2. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ี่มีเคร่ืองกีดขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN
และ P ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ที่ทาใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยใู่ นแนวของสลกั พอดีและ
หาขนาดของแรงตึง

วธิ ีทา

F.B.D. 

P

200  T
 100
 150 



1.6kN

30

หาค่า  และ  ได้

α  tan1 100  26.56
200

θ  tan1 150  36.38
200

β  180  (α  θ)  116.57

จากกฏของซายน์ ได้

P  1.6
Sin 36.87 Sin 26.57

 2.15 kN Ans
Ans
T  1.6
Sin 116.57 Sin 26.57

T  3.2 kN

31

32

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองความรู้พ้นื ฐานเบ้ืองตน้ ปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวคเตอร์
กฎของนิวตนั กฎของความโนม้ ถ่วง( 30 นาที )
2. เฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. กล่าวนาเขา้ สู่บทเรียนโดยพดู คุยถึงเร่ืองการบวกและลบเวคเตอร์ ผลคูณสเกลาร์และผล

คูณเวคเตอร์ การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์
ของ กฎของซายน์ ,กฎของโคซายน์ ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยที่ 2 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 , 3) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งท่ี 1 , 2 , 3 ( 20 นาที )
3. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

33

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , 3 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเรื่องท่ีเรียนสปั ดาห์หนา้

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนการบวกและลบเวคเตอร์ ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์

การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์
2. แผน่ ใส่เร่ืองการบวกและลบเวคเตอร์ ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์

การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์

การวดั ผลและประเมินผล
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ใหท้ าแบบทดสอบ

34

แบบฝึ กหดั

1. จงอธิบายถึงวธิ ีการบวกและการลบเวคเตอร์พอเขา้ ใจ

2. แรงขนาด 100N. กระทาผา่ นจุด 0 แนวของแรง F ผา่ นจุด A มีตาแหน่งซ่ึงแรง F ทามุม

45  กบั ระนาบ x-y จงเขียน F

3. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ่ีมีเคร่ืองกีดขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN และ P

ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ที่ทาใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยใู่ นแนวของสลกั พอดีและหาขนาด

ของแรงตึง

35

เฉลยแบบฝึ กหดั

ข้อ 1.

แรง (Force)

คือ การกระทาของวตั ถุหน่ึงต่ออีกวตั ถุหน่ึง แลว้ มีผลทาให้วตั ถุที่ถูกกระทาน้ันเคลื่อนท่ีไปตาม

ทิศทางของแรงที่กระทา แรงเป็นปริมาณเวคเตอร์จึงตอ้ งมีขนาดและทิศทาง

การบวกและลบเวคเตอร์


V1


V2

รูปที่ 1 สญั ลกั ษณ์เวคเตอร์

การบวกเวคเตอร์

1. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสี่เหลยี่ มด้านขนาน (Parallelogram law) ซ่ึงสามารถทาไดโ้ ดยการ

นาหางของเวคเตอร์ท้งั สองตาม รูป 2.1 มาต่อกนั ตามทิศทางที่กาหนด เช่น เวคเตอร์  และ

V1

 จากรูปท่ี 2.1 ซ่ึงเป็นเวกเตอร์อิสระใดๆสามารถรวมกนั ได้ เวคเตอร์รวม

V2


V1 V


V2
รูปท่ี 2 แสดงการรวมเวคเตอร์   โดยใชก้ ฎสี่เหลี่ยมดา้ นขนาน
V1 และ V2

2. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสามเหลย่ี ม (Triangle law) สามารถทาไดโ้ ดยการตอ่ เวคเตอร์หรือการ

เอาหางเวคเตอร์ตวั ที่ 2 ต่อกบั หวั เวคเตอร์ตวั ท่ี 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธ์ที่มีขนาดและทิศทางเท่ากบั
 
เส้นท่ีลากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง จากรูปที่ 3 V1 และ V2 รวมกนั ได้


V

V1


V2

36

รูปที่ 3 แสดงการรวมเวคเตอร์  และ  โดยใชก้ ฎสามเหลี่ยม

V1 V2

ข้อ 2.

แรงขนาด 100N. กระทาผา่ นจุด 0 แนวของแรง F ผา่ นจุด A มีตาแหน่งซ่ึงแรง F ทามุม 45  กบั

ระนาบ x-y จงเขียน F

วธิ ีทา tanθ  4 ;θ  tan1 4

33
θ  53.13
l  cos45cos53.13  0.424
m  cos45sin53.13  0.565
n  cos45  0.707


F  100(0.424i  0.565j  0.707k)

 42.4i  56.5j  70.7k N.

ข้อ 3.
ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ี่มีเครื่องกีดขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN และ P ดงั รูป จง
คานวณหาขนาดของแรง P ท่ีทาใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยใู่ นแนวของสลกั พอดีและหาขนาดของแรงตึง
วธิ ีทา

37

F.B.D. 

200 P
 100
 150  T

 

1.6kN

หาคา่  และ  ได้

α  tan1 100  26.56
200

θ  tan1 150  36.38
200

β  180  (α  θ)  116.57

จากกฏของซายน์ ได้

P  1.6
Sin 36.87 Sin 26.57

 2.15 kN Ans
Ans
T  1.6
Sin 116.57 Sin 26.57

T  3.2 kN

38

แบบทดสอบสัปดาห์ที่ 2

1. จงอธิบายถึงวธิ ีการบวกและการลบเวคเตอร์พอเขา้ ใจ

2. แรงขนาด 100N. กระทาผา่ นจุด 0 แนวของแรง F ผา่ นจุด A มีตาแหน่งซ่ึงแรง F ทามุม

45  กบั ระนาบ x-y จงเขียน F

3. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ี่มีเคร่ืองกีดขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN และ P

ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ที่ทาใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยใู่ นแนวของสลกั พอดีและหาขนาด

ของแรงตึง

39

ข้อ 1. เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ที่ 2
การบวกและลบเวคเตอร์

V1


V2

รูปที่ 1 สญั ลกั ษณ์เวคเตอร์

การบวกเวคเตอร์

1. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสี่เหลยี่ มด้านขนาน (Parallelogram law) ซ่ึงสามารถทาไดโ้ ดยการ

นาหางของเวคเตอร์ท้งั สองตาม รูป 2.1 มาต่อกนั ตามทิศทางท่ีกาหนด เช่น เวคเตอร์  และ

V1

 จากรูปที่ 2.1 ซ่ึงเป็นเวกเตอร์อิสระใดๆสามารถรวมกนั ได้ เวคเตอร์รวม

V2


V1 V


V2
รูปที่ 2  และ  โดยใชก้ ฎส่ีเหลี่ยมดา้ นขนาน
แสดงการรวมเวคเตอร์ V1 V2

2. การบวกเวคเตอร์โดยใช้กฎสามเหลย่ี ม (Triangle law) สามารถทาไดโ้ ดยการต่อเวคเตอร์หรือการ

เอาหางเวคเตอร์ตวั ที่ 2 ต่อกบั หวั เวคเตอร์ตวั ที่ 1 จะไดเ้ วคเตอร์ผลลพั ธ์ท่ีมีขนาดและทิศทางเทา่ กบั
 
เส้นที่ลากมาปิ ดเวคเตอร์ท้งั สอง จากรูปที่ 3 V1 และ V2 รวมกนั ได้


V

V1


V2

รูปที่ 3 แสดงการรวมเวคเตอร์  และ  โดยใชก้ ฎสามเหล่ียม

V1 V2

40

ข้อ 2.

แรงขนาด 100N. กระทาผา่ นจุด 0 แนวของแรง F ผา่ นจุด A มีตาแหน่งซ่ึงแรง F ทามุม 45  กบั

ระนาบ x-y จงเขียน F

วธิ ีทา Y T = 15 kN

Ty

 X

Tx 31.0

θ  tan1 6 
10

tanθ  4 ;θ  tan1 4
33

θ  53.13

l  cos45cos53.13  0.424

m  cos45sin53.13  0.565

F  100(0.424i  0.565j  0.707k)

 42.4i  56.5j  70.7k N.

ข้อ 3.
ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ี่มีเคร่ืองกีดขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN และ P ดงั รูป จง
คานวณหาขนาดของแรง P ท่ีทาใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยใู่ นแนวของสลกั พอดีและหาขนาดของแรงตึง
วธิ ีทา

41

F.B.D. 

200 P
 100
 150  T

 

1.6kN

หาคา่  และ  ได้

α  tan1 100  26.56
200

θ  tan1 150  36.38
200

β  180  (α  θ)  116.57

จากกฏของซายน์ ได้

P  1.6
Sin 36.87 Sin 26.57

 2.15 kN Ans
Ans
T  1.6
Sin 116.57 Sin 26.57

T  3.2 kN

42

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
ผลการเรียนของนกั เรียน
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
ผลการสอนของครู
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................

43

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยที่ 2
ชื่อวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังที่ 3
ช่ือหน่วย ระบบแรง ( ต่อ ) จานวน 3 ช่ัวโมง

หวั เร่ือง
2.4 การแปลงค่าหน่วย
2.5 การแตกแรง

สาระสาคญั
1. การแปลงคา่ หน่วย คือ หน่วยท่ีเราจะทาการแปลงหน่วยใหเ้ ป็นหน่วยใหม่น้นั ใหค้ ิดมีคา่

เทียบเท่ากบั 1 เสมอและเทียบกบั หน่วยที่มีอยู่
2. การแตกแรง เป็ นการจาแนกแรงท่ีกระทาตอ่ จุดใด ๆ บนวตั ถุใหอ้ ยใู่ นแนวเดียวกนั ให้

อยใู่ นแนวของแกน X หรืออยใู่ นแนวแกน Y

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถแปลงหน่วยและตดั หน่วยไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผู้ เรียนทาการแตกแรงไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

44

เนือ้ หาสาระ

2.4 การแปลงหน่วย
ระบบหน่วยที่ใชใ้ นวชิ ากลศาสตร์วศิ วกรรม ถึงแมว้ า่ ในปัจจุบนั เราจะมีหน่วยสากลใช้
กนั แลว้ ก็ตาม แต่ก็ยงั มีบางประเทศยงั คงใชห้ น่วยในระบบอื่น ๆ ท่ีไม่ใช่ระบบสากลดงั น้นั จึงมี
ความจาเป็นอยา่ งยงิ่ ในการที่แปลงหน่วย โดยทว่ั ไปแลว้ การแปลงหน่วยน้นั ส่วนใหญจ่ ะมีใน
หนงั สือทางดา้ นกลศาสตร์อยแู่ ลว้ ซ่ึงจะบอกเป็นค่าตวั เลขที่คูณหรือหารเพือ่ เปล่ียนหน่วย แต่
อยา่ งไรก็ตามเราก็สามารถเปลี่ยนหน่วยเองได้ แตท่ ้งั น้ีทงั น้นั เราจาเป็ นตอ้ งจาเก่ียวกบั ค่าพ้ืนฐาน
ของแตล่ ะหน่วย
เช่น

1 bar = 1  105 Pa
1 Pa = 1 N/m2

ตวั อย่างที่ 1 จงแปลงหน่วยจาก 500 bar ไปเป็ นหน่วย N / m2

500 bar = 500bar 105

 50 MN/m2

ตวั อย่างท่ี 2 จงแปลงหน่วยจาก 60 km/hr ไปเป็นหน่วย m/s

60 km/hr = 60 km 1,000m

hr

= 60,000 m  1 m

hr 3,600 s

= 16.66 m

s

 ซ่ึงเทา่ น้ีเราก็จะไดค้ ่าในหน่วย m / s แลว้

ขอ้ ควรจา ในการแปลงคา่ หน่วย คือ หน่วยท่ีเราจะทาการแปลงหน่วยให้เป็นหน่วยใหม่น้นั ให้
คิดมีค่าเทียบเทา่ กบั 1 เสมอ เช่น จากตวั อยา่ งจะเห็นวา่ เราจะแปลงค่าจาก ft ไปเป็น m ดงั น้นั
เราจึงนาสดั ส่วนระหวา่ ง m กบั ft มาคูณในสมการ โดยท่ี 1 m = 3.28 ft

45

2.5 การแตกแรง

การแตกแรง หมายถึง การจาแนกแรงท่ีกระทาต่อจุดใด ๆ บนวตั ถุใหอ้ ยใู่ นแนวเดียวกนั เช่น
ใหอ้ ยใู่ นแนวของแกน X หรืออยใู่ นแนวแกน Y โดยมีพ้นื ฐานดงั น้ี
สมมตุ วิ า่ ต้องการแตกแรง F ซงึ่ กระทาเป็นมมุ  กบั แกน X จะมีวธิ ีการทาดงั นีค้ อื

y F A
O B
x 

1. ทาการต้งั แกน X และแกน Y โดยใหแ้ กนท้งั สองน้ีต้งั ฉากซ่ึงกนั และกนั ท่ีจุด O

y F A
O B
x 

2. ที่ปลายของแรง F คือจุด A ต่อแนวเส้นตรงจากจุด A ลากลงมาในแนวมาดิ่งตดั กบั แกน X
ท่ีจุด B จะไดส้ ามเหลี่ยม OAB

y A
B
F

O 
x

46

3 3. AB จะมีคา่ เท่ากบั แรง F ท่ีแตกไปอยใู่ นแนวแกน y หรือเรียกวา่ Fy และ OB จะมีค่าเท่ากบั
แรง F ที่แตกไปอยใู่ นแนวแกน x หรือเรียกวา่ Fx

y Fx A

Fy F Fy

O B x
x Fx
y

4. จากสามเหล่ียมมุมฉาก OAB sinθ  AB
OA
แต่
AB  Fy
 OA F

หรือ sinθ  Fy
F

Fy  F sin

ในลกั ษณะเดียวกนั

แต่ cos   OB

OA

OB  Fx
OA F

 cos  Fx
F

หรือ Fx  F cos

โดยที่ค่าของ Fx คือ ค่าของแรงยอ่ ย F ที่แตกเขา้ ไปอยใู่ นแนวแกน X
Fy คือ ค่าของแรงยอ่ ย F ท่ีแตกเขา้ ไปอยใู่ นแนวแกน Y
สรุปง่าย ๆ ก็ คือ เมื่อตอ้ งการแตกแรงท่ีกาหนดใหไ้ ปอยใู่ นแนวแกน X และแกน Y จะกระทา
ไดโ้ ดยกาหนดใหแ้ รงท่ีใหม้ าเป็นดา้ นตรงกนั ขา้ มมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากแลว้ อาศยั
หลกั การพ้นื ฐานของตรีโกณมิติเพอ่ื หาแรง Fx และFy แตค่ ่าของแรง Fx ไมจ่ าเป็นตอ้ งเท่ากบั
F cos และ Fy ไม่จาเป็ นตอ้ งเท่ากบั F sin เสมอไป ท้งั น้ีข้ึนอยกู่ บั คา่ ของมุม  อยใู่ น

47

ลกั ษณะใด

ขอ้ ควรจาง่าย ๆ คือ
1. แตกแรง F เขา้ หามุม θ จะมีคา่ เป็ น Fcosθ
2. แตกแรง F ออกจากมุม θ จะมีคา่ เป็ น Fsinθ
3. ในการแตกแรงน้นั เราจาเป็นตอ้ งคิดเคร่ืองหมายของแรงที่แตกเขา้ ไปในแนวแกนน้นั ๆ

โดยมีหลกั การที่วา่
3.1 เมื่อแตกแรงเขา้ ไปในแนวแกนน้นั แลว้ ทิศทางของแรงท่ีแตกเขา้ ไปมีทิศทางเดียวกนั กบั

แนวแกนน้นั ๆ ที่เราต้งั ไวแ้ รงจะมีเครื่องหมายเป็น (+)
3.2 เมื่อแตกแรงเขา้ ไปในแนวแกนน้นั แลว้ ทิศทางของแรงที่แตกเขา้ ไปมีทิศทางสวนทางกนั

กบั แนวแกนน้นั ๆ ที่เราต้งั ไวแ้ รงจะมีเคร่ืองหมายเป็น (-)

F = Fx2  Fy2

และทาการหามุม  ท่ีแรงลพั ธ์กระทากบั แนวแกน X โดย

θ = tan - 1 ΣFy

ΣFx

เมื่อ F คือ แรงลพั ธ์ที่กระทากบั อนุภาค
Fx คือ ผลรวมของแรงที่กระทากบั อนุภาคในแนวแกน X
Fy คือ ผลรวมของแรงที่กระทากบั อนุภาคในแนวแกน Y

ตัวอย่างท่ี 1. จงหาแรงในแนวแกน X และแนวแกน Y ของแรง 40 นิวตนั ที่ทามุมกบั แกน
Y = 60 องศา

y

Fx

x Fy 60 F = 40 N

x

y

48

วธิ ีทา เขียนสามเหล่ียมมุมฉากโดยใหแ้ รง F = 40 นิวตนั เป็นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

Fy  cos60
F

Fy  cos60
F
Fy  Fcosθ

 40 cos 60

 20 N Ans

Fx  sin60
F
Fx  F sin60 
40sin 60


 34.641 N Ans

ตวั อย่างที่ 2. จงหาผลรวมของแรงในแนวแกน X และแกน Y ของแรงที่กาหนดให้และมุม



F2 = 2 kN Y F1 = 80 N

45 60 X

วธิ ีทา
1. แตกแรง F1 และ F2 เขา้ ไปในแนวแกน X ได้

ΣFx = F1 COS60 - F2 Sin45
= 80 COS60 - 2000 Sin45
= 40 - 1414.21
= - 1374.21 N

2. แตกแรง F1 และ F2 เขา้ ไปในแนวแกน Y ได้
Fy = F1 Sin60 + F2 COS45
= 80 Sin60 + 2000 COS45
= 69.28 + 1414.21

49

= 1483.49 N

F   Fx2   Fy2 Ans

 (1374.21)2  (1483.49)2

 2022.18 N หรือ 2.022 kN

แสดงวา่ แรงลพั ธ์กระทาเป็นมุม  เทียบกบั แกน X ในทิศทางลบ

50

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองการบวกและลบเวคเตอร์ ผลคูณสเกลาร์และผลคูณเวคเตอร์
การแกป้ ัญหาของเวคเตอร์
- กฎของซายน์ ,กฎของโคซายน์ ( 30 นาที )
2. เฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ครูพดู ถึงเน้ือหาที่จะสอนในวนั น้ีเพื่อวดั ความเขา้ ใจพ้ืนฐานของผเู้ รียน ( 5 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยท่ี 2 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 , 3) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งที่ 1 , 2 , 3 ( 20 นาที )
3. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสให้ผเู้ รียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. ผสู้ อนสรุปเน้ือให้ผเู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

51

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , 3 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเร่ืองท่ีจะเรียนสัปดาห์หนา้

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหวั ขอ้ ยอ่ ย 1, 2
2. แผน่ ใสหวั ขอ้ ยอ่ ย 1, 2

การวดั ผลและประเมินผล
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

52

แบบฝึ กหัด

1. จงแปลงหน่วยจาก 500 km/min ไปเป็นหน่วย m / s
2. จงหาแรงในแนวแกน X และแนวแกน Y ของแรง 45 นิวตนั ที่ทามุมกบั แกน
Y = 65 องศา

y

Fx

x Fy 65 F = 45 N

x

y

53

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. จงแปลงหน่วยจาก 500 km/min ไปเป็นหน่วย m / s
วธิ ีทา 500 km/min x 1000/60 m / s

= 833.33 m / s

2. จงหาแรงในแนวแกน X และแนวแกน Y ของแรง 45 นิวตนั ที่ทามุมกบั แกน
Y = 65 องศา

y

Fx

Fy F = 45 N
x 65
x

y

วธิ ีทา เขียนสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใหแ้ รง F = 45 นิวตนั เป็นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

Fy  cos65
F
Fy  cos65
F
Fy  Fcosθ

 45cos 65

 19.01 N Ans

Fx  sin65
F
Fx  F sin65
45sin 65


 40.78 N Ans

54

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 3

1. จงแปลงหน่วยจาก 500 km/min ไปเป็นหน่วย m / s
2. จงหาแรงในแนวแกน X และแนวแกน Y ของแรง 45 นิวตนั ท่ีทามุมกบั แกน
Y = 65 องศา

y

Fx

x Fy 65 F = 45 N

x

y