กลศาสตร์วิศวกรรม

105

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยท่ี 3
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม สอนคร้ังท่ี 7
ช่ือหน่วย สมดุลของวตั ถุ จานวน 3 ช่ัวโมง

หวั เร่ือง
4.1 สมดุลระบบ 2 มิติ
4.2 เง่ือนไขสมดุล ระบบ 2 มิติ

สาระสาคญั
1. สมดุลระบบ 2 มิติเป็นการวเิ คราะห์ปัญหาเกี่ยวกบั การสมดุลของระบบซ่ึง

ประกอบดว้ ยวตั ถุชิ้นเดียว หรือหลายชิ้นรวมกนั จาเป็นตอ้ งแยกวตั ถุที่พิจารณาออกจากวตั ถุชิ้น
อื่นๆ แลว้ นามาเขียนผงั อิสระของวตั ถุ (Free Body Diagram (F.B.D.))

2. เง่ือนไขสมดุล ระบบ 2 มิติวตั ถุจะอยใู่ นสภาวะสมดุลกต็ ่อเม่ือแรงลพั ธ์และโมเมนต์
ลพั ธ์ท่ีกระทากบั วตั ถุเป็นศนู ย์ ซ่ึงเขียนเป็นสมการสมดุลไดด้ งั น้ี

Fx  0 , Fy  0 , MO  0

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถวเิ คราะห์ปัญหาเกี่ยวกบั การสมดุลของระบบซ่ึงอาจจะประกอบดว้ ยวตั ถุ

ชิ้นเดียว หรือหลายชิ้นรวมกนั ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถบอกเงื่อนไขตา่ งๆในการวิเคราะห์การสมดุลสองมิติไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนสามารถใชส้ มการการสมดุลเพอื่ แกไ้ ขโจทยป์ ัญหาไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

106

เนือ้ หาสาระ
4.1 สมดุลระบบ 2 มิติ

การวเิ คราะห์ปัญหาเก่ียวกบั การสมดุลของระบบซ่ึงอาจจะประกอบดว้ ยวตั ถุชิ้นเดียว หรือ
หลายชิ้นรวมกนั จาเป็ นตอ้ งแยกวตั ถุที่พิจารณาออกจากวตั ถุชิ้นอื่นๆ แลว้ นามาเขียนผงั อิสระของ
วตั ถุ (Free Body Diagram (F.B.D.))

การเขียนผงั อิสระตอ้ งเขียนให้ถูกตอ้ งตามลกั ษณะต่างๆของแรงและวตั ถุ ดงั ท่ีไดก้ ล่าว
มาแลว้ ในสัปดาห์ท่ีแลว้ ตวั อยา่ งของผงั อิสระของวตั ถุในระบบ 2 มิติ สามารถแสดงในรูปตอ่ ไปน้ี

1. โครงถกั ไมค่ ิดน้าหนกั ของโครงถกั เมื่อเทียบกบั แรง P ซ่ึงมีค่ามาก

ระบบทางกลศาสตร์

แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.)
2. คานฝังแน่น

ระบบทางกลศาสตร์

107

แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.)
3. คาน ผวิ สัมผสั เรียบที่จุด A มวล m

ระบบทางกลศาสตร์

แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.)

108

4. ระบบวตั ถุเกร็งหลายชิ้นต่อกนั แต่พจิ ารณาเป็ นชิ้นเดยี วกนั ไม่คิดน้าหนกั ของกลไก

ระบบทางกลศาสตร์

แผนภาพวตั ถุอิสระของ(F.B.D.)
4.2 เงอ่ื นไขสมดุล (ระบบ 2 มติ ิ)
วตั ถุจะอยใู่ นสมดุลก็ต่อเมื่อแรงลพั ธ์และโมเมนตล์ พั ธ์ที่กระทากบั วตั ถุเป็นศูนย์ ซ่ึง
เขียนเป็นการสมดุลในรูปสเกลาร์ไดด้ งั น้ี (จุดO เป็นจุดใดๆ บนวตั ถุหรือนอกวตั ถุ)

Fx  0 , Fy  0 , MO  0

การสมดุลแบบตา่ งๆ ในระบบ 3 มิติ ซ่ึงไดแ้ ก่ ระบบแรงที่อยใู่ นเส้นตรงเดียวกนั แรงที่ตดั
กนั ท่ีจุดหน่ึง แรงขนานกนั และกรณีทว่ั ๆ ไป สามารถแสดงไดด้ งั รูปขา้ งล่างตอ่ ไปน้ี

109

1. แรงทอี่ ยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วกนั ภายใตส้ ภาวะสมดุลจะใชส้ มการสมดุลของแรงหน่ึง
สมการในแนวแกนเดียวกนั น้นั

สมการสมดุล คือ Fx  0

2. แรงตัดกันที่จุดเดียวกัน ภายใตส้ ภาวะการสมดุลบนระนาบ x  y จะใช้สมการ
สมดุลของแรงสองสมการก็เพียงพอแล้ว เนื่องจากโมเมนต์รอบแกนซ่ึงผ่านจุดพบกนั ของแรง
เหล่าน้นั มีค่าเป็นศนู ย์

สมการสมดุล คือ

 Fx  0
 Fy  0

3. แรงขนานกนั ภายใตส้ ภาวะการสมดุลบนระนาบ x  y ใชส้ มการสมดุลของแรงใน
ทิศทางของแรงขนานหน่ึงสมการ และสมการสมดุลโมเมนตร์ อบแกนซ่ึงต้งั ฉากกบั ระนาบของ
แรงอีกหน่ึงสมการ

สมการการสมดุล คือ

Fx  0
MO  0

4. กรณีท่ัวไป ภายใต้สภาวะสมดุลบนระนาบ x  y ใช้สมการสมดุลของแรงสอง
สมการ และสมการสมดุลของโมเมนตข์ องแรงสองโมเมนตร์ อบแกนซ่ึงต้งั ฉากกบั ระนาบของแรง
อีกหน่ึง สมการ

110

สมการการสมดุล คือ

 Fx  0
 Fy  0
MO  0

สภาพสมดุล 2 ลกั ษณะท่ีมกั พบบ่อยๆ ซ่ึงตอ้ งระมดั ระวงั เป็นพิเศษคือ สมดุลภายใตแ้ รงท่ี
กระทาสองแรง ซ่ึงเรียกวา่ ชิ้นส่วนรับสองแรง (Two-force member) ตามรูปที่ 3.7 แรงท้งั สองตอ้ ง
มีขนาดเท่ากนั ทิศทางตรงขา้ มกัน และอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกนั โดยไม่คานึงถึงรูปร่างของ
ชิ้นส่วนเหล่าน้นั ตามรูปถือวา่ น้าหนกั ของชิ้นส่วนนอ้ ยมากเมื่อเทียบกบั ขนาดของแรง

สภาพสมดุลลกั ษณะที่ 2 คือ ชิ้นส่วนรับ 3 แรง (Three-force member) ตามรูปที่ 3.8 แรง
ท้งั สามตอ้ งพบกนั ท่ีจุดจุดหน่ึง และถา้ เขียนในรูปสามเหลี่ยมแทนแรงจะไดร้ ูปปิ ดพอดี

(ก)

111

(ข)

สมการสมดุลลกั ษณะอนื่ ทคี่ วรทราบ
มีวธิ ีเพม่ิ เติมอยอู่ ีก 2 วธิ ี สาหรับกรณีทวั่ ๆ ไปของสภาวะสมดุลของแรง ใน 2 มิติ คือ

(ก) (ข)

1. จากรูปที่ 2 (ก) ถา้ MA  0 แรงลพั ธ์ R จะตอ้ งผา่ นจุด A และจะตอ้ งไมเ่ ป็ นแรงคู่
ควบ ดงั น้นั ในรูปท่ี 3.9 (ข) ถา้ MA  0 และ Fx  0 แรงลพั ธ์ R จะตอ้ งผา่ นจุด

A และตอ้ งต้งั ฉากกบั แกน x เม่ือกาหนดให้ B เป็นจุดใด ๆ ท่ีแนว AB ไม่ต้งั ฉากกบั แนวแกน

x จะไดว้ า่ MB  0 กต็ อ่ เมื่อ R ตอ้ งมีคา่ เป็นศูนย์ และวตั ถุจะอยใู่ นภาวะสมดุล ดงั น้นั

สมการสมดุลท่ีสามารถใชไ้ ด้ คือ

Fx  0 ; MA  0 ; MB  0

เม่ือ จุด A และ B ตอ้ งไม่อยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั ท่ีต้งั ฉากกบั แนวแกน X

2 จากรูปที่ 2 (ค) ถา้ MA  0 แรงลพั ธ์ R จะตอ้ งผา่ นจุด A ดงั น้นั ในรูปท่ี 3.9 (ง) ถา้
MB  0 ดว้ ย แรงลพั ธ์จะตอ้ งผา่ นจุด B เม่ือ C เป็ นจุดใดๆ ท่ีไม่อยบู่ น แนวเส้นตรง AB
จะไดว้ า่ MC  0 กต็ อ่ เม่ือแรงลพั ธ์ R จะตอ้ งมีคา่ เป็ นศนู ยแ์ ละวตั ถุจะอยใู่ นสภาวะสมดุล

ดงั น้นั สมการสมดุลใชไ้ ด้ คือ

MA  0 ; MB  0 ; MC  0เม่ือจุด A, B และ C ตอ้ งไม่อยใู่ นแนว

เส้นตรงเดียวกนั

112

ตวั อย่าง 1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ต่อความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยู่
ในกาแพง คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคู่ควบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยก
คานออกมาตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคูค่ วบ) M และแรง
เฉือน V ที่กระทาโดยกาแพงท่ีจุด

วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ(F.B.D.)และแยกคานออกมาจากกาแพงไดด้ งั น้ี

W  mg 2.94 kN

 5069.81

 2943 N 

Fy  0 ;

V  2 11.5  2.94  0

V  3.44 N ทิศทางข้ึน Ans

MA  0 ;

M  2  24121.55 2.943  0
M  8.33 kN  m ทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา Ans

113

ตัวอย่างท่ี 2. คานสม่าเสมอมีมวล 30 kg ปลายคานมีลูกกลิ้งตามรูป และยดึ ใหส้ มดุลดว้ ยเส้น
ลวด AC จงหาแรงตึง T ในเส้นลวดและแรงปฏิกิริยาที่ลูกกลิ้ง A และ B

วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของคาน ดงั รูป

หาคา่ ต่างๆโดยใชส้ มการสมดุลดงั น้ี Ans

MA  0 ;

1.2B  30(9.81) (0.8)  0

B  196.2 N

α  tan1 1.6  41.63
1.8

 Sinα  0.6644
 Cosα  0.7474

 Fx  0 ; 0
0
T (SinαS  B  95.3 N Ans

T (0.6644) 196.2

T

114

Fy  0 ;

A  T (CosαC  30 (9.81) 0

A  295.3(0.7474)  294.3 0

A  73.6 N Ans

วธิ ีการแก้โจทย์ปัญหา
- อา่ นดูโจทยใ์ หล้ ะเอียดวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมาใหบ้ า้ งและโจทยต์ อ้ งการใหห้ าอะไร
- เขียนรูปวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของชิ้นส่วนท้งั หมดตามข้นั ตอนการเขียนแผนภาพวตั ถุ
อิสระ
- เขียนแรงภายนอกท่ีกระทาต่อวตั ถุอิสระ
- เขียนแรงภายในที่เกิดจากจุดรองรับท้งั หมด ถา้ ในกรณีท่ีโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา
ดว้ ยกใ็ หเ้ ขียนแรงที่เกิดจากน้าหนกั เขา้ ไปดว้ ย (ปกติน้าหนกั ของวตั ถุจะกระทาที่ก่ึงกลาง
ของวตั ถุหรือจุดเซนทรอยด์ หรือโจทยอ์ าจจะกาหนดใหก้ ระทาท่ีจุด G )
- เขียนขนาดหรือความยาววตั ถุตามท่ีโจทยใ์ หม้ า (พิจารณาหน่วยของความยาวใหถ้ ูกตอ้ ง
ดว้ ย)
- กาหนดระบบแกนอา้ งอิง X , Y (กรณีระบบสองมิติ) หรือ X , Y , Z ตามกฎมือขวา
(กรณีระบบสามมิติ) โดยกาหนดทิศทางบวกตามความถูกตอ้ งและเหมาะสม
- ใชส้ มการการสมดุล

กรณีสองมิติได้

Fx  0
Fy  0
M  0

115

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ือง แรงคู่ควบระบบสองมิติ แรงคู่ควบระบบสามมิติ
การยา้ ยแรงบนวตั ถุเกร็ง ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงเน้ือหาเร่ืองสมดุลระบบ 2 มิติเงื่อนไขสมดุล ระบบ 2 มิติ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยท่ี 4 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งท่ี 1 , 2 ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนเรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

116

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. .ใหไ้ ปศึกษาเรื่องที่จะเรียนสปั ดาห์หนา้

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2

การวดั ผลและประเมินผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

117

แบบฝึ กหัด
1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ตอ่ ความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยใู่ นกาแพง
คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคู่ควบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยกคานออกมา
ตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคู่ควบ) M และแรงเฉือนV ท่ีกระทา
โดยกาแพงท่ีจุด

2. จงบอกเงื่อนไขการสมดุลสองมิติ

118

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ต่อความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยใู่ นกาแพง
คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคู่ควบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยกคานออกมา
ตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคู่ควบ) M และแรงเฉือนV ที่กระทา
โดยกาแพงท่ีจุด

วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ(F.B.D.)และแยกคานออกมาจากกาแพงไดด้ งั น้ี

W  mg 2.94 kN

 5069.81

 2943 N 

Fy  0 ;

V  2 11.5  2.94  0

V  3.44 N ทิศทางข้ึน Ans

MA  0 ;

M  2  24121.55 2.943  0
M  8.33 kN  m ทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา Ans

2. เง่ือนไขสมดุล (ระบบ 2 มิติ)วตั ถุจะอยใู่ นสมดุลก็ต่อเม่ือแรงลพั ธ์และโมเมนตล์ พั ธ์ที่กระทากบั
วตั ถุเป็นศูนย์ ซ่ึงเขียนเป็นการสมดุลในรูปสเกลาร์ไดด้ งั น้ี (จุดO เป็นจุดใดๆ บนวตั ถุหรือนอก
วตั ถุ)

Fx  0 , Fy  0 , MO  0

119

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 7
1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ตอ่ ความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยใู่ นกาแพง
คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคู่ควบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยกคานออกมา
ตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคู่ควบ) M และแรงเฉือน V ท่ี
กระทาโดยกาแพงท่ีจุด

2. จงบอกเง่ือนไขการสมดุลสองมิติ

120

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ที่ 7
1. คานสม่าเสมอมีมวล 50 kg ต่อความยาวหน่ึงเมตร ปลายขา้ งหน่ึงของคานฝังแน่นอยใู่ นกาแพง
คานถูกกระทาดว้ ยแรงและแรงคูค่ วบดงั รูป จงเขียนผงั อิสระของคาน โดยแยกโดยแยกคานออกมา
ตรงตาแหน่งทางขวามือของ A แลว้ คานวณหาโมเมนต์ (แรงคู่ควบ) M และแรงเฉือน V ที่
กระทาโดยกาแพงท่ีจุด

วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ(F.B.D.)และแยกคานออกมาจากกาแพงไดด้ งั น้ี

W  mg 2.94 kN

 5069.81

 2943 N 

 Fy  0 ;

V  2 11.5  2.94  0

V  3.44 N ทิศทางข้ึน Ans

MA  0 ;

M  2  24121.55 2.943  0
M  8.33 kN  m ทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา Ans

2. เงื่อนไขสมดุล (ระบบ 2 มิติ)วตั ถุจะอยใู่ นสมดุลกต็ ่อเมื่อแรงลพั ธ์และโมเมนตล์ พั ธ์ท่ีกระทากบั
วตั ถุเป็นศนู ย์ ซ่ึงเขียนเป็นการสมดุลในรูปสเกลาร์ไดด้ งั น้ี (จุดO เป็นจุดใดๆ บนวตั ถุหรือนอก
วตั ถุ)

Fx  0 , Fy  0 , MO  0

121

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

122

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยท่ี 4
ชื่อวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังที่ 8
ช่ือหน่วย สมดุลของวตั ถุ ( ต่อ ) จานวน 3 ช่ัวโมง

หวั เร่ือง
4.3 แผนภาพอิสระของวตั ถุ
4.4 การแยกระบบอิสระ

สาระสาคัญ
1. แผนภาพอิสระของวตั ถุ (Free Body Diagram) คือ แผนภาพที่แสดงใหท้ ราบวา่ มีแรงก่ี

แรงและแรงอะไรบา้ งที่กระทาต่อวตั ถุ
2. การแยกระบบอิสระเป็ นการแยกแรงปฏิกิริยาท่ีจุดรองรับ จุดเช่ือมต่อและชิ้นส่วนต่างๆ

ของวตั ถุท่ีถูกตดั แยกออกมาพิจารณา

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถเขียนแผนภาพวตั ถุอิสระของการสมดุลสองมิติได้อยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถบอกแยกแผนภาพของระบบอิสระไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

123

เนือ้ หาสาระ
4.3 แผนภาพอสิ ระของวตั ถุ (Free Body Diagram)

ในการวิเคราะห์ระบบแรงในชิ้นส่วนโครงสร้างต่างๆ การท่ีจะมองภาพในส่วนที่เป็ น
แรงน้ันค่อนข้างที่จะยุ่งยากและสับสนพอสมควร ดังน้ันเม่ือต้องวิเคราะห์แรงในชิ้นส่วน
โครงสร้างของวตั ถุใดๆ แลว้ เราจะพิจารณาใหว้ ตั ถุชิ้นน้นั อยแู่ ยกเป็ นอิสระจากวตั ถุอ่ืนโดยการ
เขียนแผนภาพอิสระ (Free Body Diagram: F.B.D.) เช่นตวั อยา่ งในรูปที่ 3.1

(ก) ตวั อยา่ งโครงสร้างที่จะวเิ คราะห์

เขียน (F.B.D.) ไดด้ งั น้ี

T

C

W

(ข) แผนภาพอิสระ
รูปที่ 1 การเขียนแผนภาพอิสระ

4.4 การแยกระบบอสิ ระ
ระบบทางกล ซ่ึงประกอบดว้ ยชิ้นส่วนต่าง ๆ สามารถแยกออกจากกนั เป็ นอิสระได้
ชิ้นส่วนท่ีแยกออกมาน้ีเรียกว่า รูปวตั ถุอิสระ (Free Body Diagram) ซ่ึงรูปวตั ถุอิสระท่ีแยก
ออกมาน้ีจะตอ้ งรับแรงเท่ากบั ขณะที่อยใู่ นระบบทางกล
การใชว้ ตั ถุอิสระจะช่วยใหก้ ารแกป้ ัญหาดา้ นกลศาสตร์สะดวกข้ึน เพราะสามารถพิจารณา
เฉพาะชิ้นส่วนท่ีสนใจได้ การเขียนรูปวตั ถุอิสระจะเขียนเฉพาะสิ่งท่ีพจิ ารณาแลว้ แทน

124

1. เคเบลิ อ่อน สายพาน โซ่หรือเชือก
ไมค่ ิดมวลเคเบิล
คิดมวลเคเบิล
แรงท่ีกระทาโดยเคเบิลอ่อนจะเป็นแรงดึงและมีทิศทางออกจากวตั ถุในแนวเดียวกนั กบั เคเบิล
2. ผวิ สัมผสั เรียบ

แรงสมั ผสั เป็นแรงกดและต้งั ฉากกบั ผวิ สัมผสั
3. ผวิ สัมผสั หยาบ

ผวิ สมั ผสั หยาบจะมีแรงเสียดทาน F และแรงต้งั ฉาก N แรงท้งั สองรวมกนั เป็ นแรงสัมผสั
ลพั ธ์ R
4. ฐานรับแบบลกู กลงิ้

แรงท่ีกระทากบั ฐานรับแบบลูกกลิ้งเป็นแรงกดในแนวต้งั ฉากกบั ผวิ ของฐานรับ
5. รางเลอ่ื นอสิ ระ

ปลอกหรือตวั เล่ือนท่ีตามรางเรียบอยา่ งอิสระและรับแรงต้งั ฉากเทา่ น้นั

125

6. ข้อต่อสลกั

สลกั ที่หมุนไดอ้ ยา่ งอิสระจะรับแรงในแนวต้งั ฉากกบั แกนสลกั สลกั ฝื ดหรือตรึงแน่นจะ
รับแรงคู่ควบเพิ่มข้ึนดว้ ย
7. ฐานรับแบบฝังแน่น
ฐานรับแบบฝังแน่นจะรับแรงตามแนวแกน (F) และแรงเฉือน (V) และแรงคูค่ วบ (M)

8. แรงโน้มถ่วงของโลก

แรงโนม้ ถ่วงของโลกที่กระทาตอ่ มวล m คือ W = mgโดยกระทาผา่ นจุดG ซ่ึงเป็น
จุดศูนยก์ ลางมวล
9. แรงสปริง

แรงสปริงจะเป็ นแรงดึงเม่ือเมื่อสปริงถูกยดื และจะเป็ นแรงกดเม่ือสปริงถูกกดสาหรับ

สปริงยืดหยุ่นเชิงเส้นค่าความแข็งตึง k คือแรงที่ทาให้ สปริงยืดออกหรือหดเขา้ เป็ นระยะหน่ึง

หน่วย

ภาวะการสมดุล

สภาวะการสมดุลคือการท่ีแรงลพั ธ์ท่ีกระทากบั วตั ถุมีค่าเป็นศนู ย์ จากที่กล่าวมาแลว้

ขา้ งตน้ วา่ ในระบบแรงทว่ั ไปอาจลดลงเหลือเพียงแรงลพั ธ์หน่ึงแรงและโมเมนต์ ดงั น้นั สมการที่

แสดงถึงการสมดุลของวตั ถุคือ    0 ;    0
F M

126

ซ่ึงสามารถเขียนเป็นสมการท่ีจะใชใ้ นการคานวณได้ 6 สมการคือ

Fx  0 ; Mx  0
Fy  0 ; My  0
Fz  0 ; Mz  0

สภาวะการสมดุลท่ีมกั จะพบบอ่ ยคร้ังมีอยู่ 2 แบบ แบบแรกคือ การสมดุลของวตั ถุภายใต้
แรงสองแรง ซ่ึงจะเห็นไดว้ า่ แรงท้งั สองจะตอ้ งมีขนาดเท่ากนั อยใู่ นแนวเดียวกนั และทิศทางตรง
ขา้ มดงั รูป 3.2 (ก)

(ก) การสมดุลของแรงสองแรง

(ข) การสมดุลของแรงสามแรง
รูปที่ 2 การสมดุลของวตั ถุ

แบบท่ีสองคือการสมดุลของวตั ถุภายใตแ้ รงสามแรง ซ่ึงแรงท้งั สามตอ้ งอยู่ในระนาบ
เดียวกนั และแนวแรงท้งั สามตอ้ งตดั กนั ท่ีจุดจุดหน่ึง ดงั รูป 3.2 (ข)

โดยทว่ั ไปมกั จะวเิ คราะห์การสมดุลในระนาบ ดงั น้นั สมการท่ีใชจ้ ึงลดรูปเหลือเพียง

Fx  0 ; Fy  0 ; MO  0เม่ือ MO คือ MZ เป็ นผลรวม

ของโมเมนตข์ องแรงท่ีกระทากบั วตั ถุรอบแกนท่ีขนานกบั ทิศทาง Z และผา่ นจุด O ใดๆที่อยบู่ น
วตั ถุบนระนาบ x-y

127

วธิ ีการแก้ปัญหา
1. เขียนรูปวตั ถุอิสระ (Free Body Diagram หรือ FBD) ของชิ้นส่วนพร้อมท้งั แรง

ภายนอกที่กระทาต่อวตั ถุอิสระ
2. กาหนดระบบแกน x-y-z และทิศทางบวกตามความเหมาะสม

3. ใชส้ มการ Fx  0 ; Fy  0 ; MO  0

4. แกส้ มการหาค่าตวั แปรที่ไม่ทราบคา่ ตามตอ้ งการ

ทฤษฎกี ารสมดุลของแรง (Equilibrium of Force Theory)
1. ทฤษฎขี องลามี (Lami’s Theory)
ในกรณีท่ีมีแรงสามแรงมากระทาร่วมกนั ณ จุดหน่ึงๆ และอยใู่ นระนาบเดียวกนั แลว้ ทา

ใหจ้ ุดๆ น้นั อยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั แสดงในรูป 3.3 อตั ราส่วนของแรงต่อคา่ sin ของมุมตรงกนั
ขา้ ม จะมีคา่ เป็นปฏิภาคต่อกนั

รูปที่ 2 แรงสามมิติที่มากระทาร่วมกนั

ตามทฤษฎีของลามี จะไดว้ า่

P  Q  R
sin α sin β sin θ

128

ตัวอย่างท่ี 1. โครงสร้าง mon มีแรง 40 N กระทาดงั รูป จงคานวณหาแรงในชิ้นส่วน mo และ
no

วิธีทา เขียนแผนภาพอิสระ (F.B.D.)ไดด้ งั รูป(ก)และเพ่ือความสะดวกในการใช้ทฤษฎีของลามี
สามารถเขียนแผนภาพอิสระของวตั ถุไดใ้ หมต่ ามรูป(ข)

จากทฤษฎีของลามี จะไดว้ า่

Fmo  Fno  40 N
sin140 sin120 sin100

 Fmo
 40 N sin140

sin100

 26.108 N Tension Ans

 Fno
 40 N sin 140

sin 100

 35.175 N Compression Ans

129

2. ทฤษฎสี ามเหลย่ี มของแรง (Triangle of Force Theory)
ในกรณีที่แรงสามแรงมากระทาร่วมกนั ณ จุดๆ หน่ึง และอยใู่ นระนาบเดียวกนั แลว้ ทา

ใหจ้ ุดๆ น้นั อยใู่ นสภาวะสมดุล ถา้ หากเขียนเวคเตอร์ของแรงต่อกนั เหมือนการหาแรงโดยวธิ ี
กราฟิ ก จะไดเ้ ป็นรูปสามเหลี่ยมที่ปิ ดสนิท อนั แสดงถึงสภาวะสมดุล เราเรียกรูปสามเหลี่ยมท่ีปิ ด
สนิทน้ีวา่ รูปสามเหลี่ยมของแรง (Triangle of Forceดงั แสดงในรูปที่ 4

รูปสามเหล่ียมของแรง
รูปท่ี 4 สามเหลี่ยมของแรง
การวเิ คราะห์หาแรงโดยทฤษฎีสามเหลี่ยมของแรง ในส่วนของการวเิ คราะห์แรงโดย
ทฤษฎีสามเหล่ียมของแรงน้ี สามารถกระทาได้ 2 ลกั ษณะ ดงั ต่อไปน้ี
1. พิจารณาความยาวของดา้ นท้งั สามของสามเหล่ียมของแรง ซ่ึงเป็ นปฏิภาคโดยตรงกบั ขนาด
ของแรง ซ่ึงมีสณั ฐานคลา้ ยกนั ดงั แสดงในรูป .5

รูปท่ี 5

130

จากรูปที่ 5 พบวา่ สามเหลี่ยม omn คลา้ ยกบั สามเหลี่ยม abc จึงกล่าวไดว้ า่

om  mn  no
ab bc ca

หรืออาจจะกล่าวอีกไดว้ า่

Q P R
ab bc ca

2. พิจารณาความยาวของดา้ นท้งั สามของสามเหลี่ยมของแรง ท่ีอยใู่ นลาดบั เดียวกนั
ของแรงน้นั จะต้งั ฉากกบั แรงท้งั สาม ดงั แสดงในรูป 3.6

รูปที่ 6 แนวต้งั ฉากของแรง
จากรูป 3.6 จึงกล่าวไดว้ า่

Q P R
ab bc ca

ปกติแลว้ การใชท้ ฤษฎีสามเหลี่ยมของแรง จะใชก้ บั วธิ ีการวเิ คราะห์แรงดว้ ยวธิ ีกราฟิ ก
แต่กส็ ามารถประยกุ ตม์ าใชก้ บั วธิ ีพชี คณิตไดเ้ ช่นเดียวกนั

131

ตัวอย่างท่ี 2. มวล 100 kg แขวนดว้ ยสลิงผกู ติดกาแพง ณ จุด A จนสลิงทามุม 45 กบั แนวดิ่ง
ดงั รูป จงคานวณหาแรงดึง F และแรงตึงในลวดสลิง T
วธิ ีทา เขียนแผนภาพอิสระ(F.B.D.)ของวตั ถุไดด้ งั น้ี

จากแผนภาพอิสระมี สามเหล่ียม ABC เป็นสามเหล่ียมของแรงโดยที่
ดา้ น AB แทนแรง W
ดา้ น BC แทนแรง F
ดา้ น CA แทนแรง T

จากทฤษฎีสามเหล่ียมของแรง จะไดว้ า่

T  F W
CA BC AB

แรงตึงในลวดสลิง

T W  CA sin 45  AB
AB  
 CA 

100 kg9.81 m/s 2 
แรงดึง
sin 45

1387.344 N Tension Ans
Ans
F  W  BC tan 45  AB
AB  
BC 

 
100 kg 9.81 m/s 2

tan 45

 981.00 N Tension

132

3. ทฤษฎแี รงสมดุล (Equilibrium Force’s Theory)
เป็นทฤษฎีที่ค่อนขา้ งง่ายและไดร้ ับความนิยมในการนามาใชใ้ นการวเิ คราะห์หาแรงใน
วตั ถุโดยอาศยั การแตกแรง รวมแรง และหาแรงลพั ธ์ โดยมีเงื่อนไขในการสมดุลเช่นดงั ทวั่ ไป คือ

 Fx  0
 Fy  0
 Fz  0
M  0

ตัวอย่างที่ 3.3 จงคานวณหาแรงดึงในเส้นเชือกท้งั สอง โดยมีมวล 65 kg แขวนอยู่ ณ จุด 0 และ
มีแรงดึงขนาด 1000 N กระทาดงั รูป

วธิ ีทา เขียนแผนภาพอิสระของวตั ถุไดด้ งั น้ี

รวมแรงในแนวแกน y Fy  0

Fomsin 30  W 100 Nsin25

   
Fom  65 kg 9.81 m/s 2  1000 N sin 25

sin 30

 2120.573 N

 2.121 kN Tension Ans

รวมแรงในแนวแกน x Fx  0

1000 N cos30  Fon  Fomcos 30

 Fon  1000 N cos 25  Fom cos 30
 1000 N cos 25  2121 N cos30
  930.532 N

 930.532 N Compression Ans

133

ตัวอย่างที่ 3. จงคานวณหาขนาดของแรงตึง T1 และ T2 ในสายเคเบิลซ่ึงผกู ติดกบั ลงั ซ่ึงมีมวล

100 kg

วธิ ีทา ใชส้ มการสมดุลแรงคือ F  0 T2  1730 N Ans
Fy  0 ;
T1  1067 N Ans
T2 sin 60  981 2000sin15  0

 Fx  0 ;

T1 1730cos 60  2000cos15  0

134

ตัวอย่างที่ 4. โครงรูปตวั ที่มีมวล 200 kg และมีจุดศนู ยก์ ลางมวลท่ี G จงคานวณหาแรงท้งั หมด
ที่จุด O หลงั จากออกแรงดึงขนาด 3 kN ต่อสายเคเบิล

วธิ ีทา
เขียนผงั วตั ถุอิสระ (F.B.D.)

ใชส้ มการสมดุลหาคา่ ต่างๆ ดงั น้ี

MB  0 ;

5O x  200(9.81) (2)  3Cos 30 (2.5) 

3Sin 30 (6) 0

O x  2.31 kN

 Fy  0 ;

O y  3Sin 30  0.200 (9.81)  0

O y  0.462 kN

O  2.312  0.4622  2.36 kN Ans

135

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองสมดุล 2 มิติ เงื่อนไขการสมดุล 2 มิติตาแหน่ง ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงหวั ขอ้ ในการสอนและเน้ือหาเร่ือง แผนภาพอิสระของวตั ถุ การแยกระบบ

อิสระ ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยที่ 4 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งที่ 1 , 2 ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนเรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

136

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปดูเน้ือหาที่จะเรียนสัปดาห์หนา้

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

137

แบบฝึ กหัด
1. จงเขียนแผนภาพอิสระดงั รูป

138

เฉลยแบบฝึ กหัด
1. จงเขียนแผนภาพอิสระดงั รูป

T
C

W

139

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 8
1. จงเขียนแผนภาพอิสระดงั รูป

140

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 8
1. จงเขียนแผนภาพอิสระดงั รูป

T
C

W

141

บันทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….

142

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยที่ 4
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังท่ี 9
ชื่อหน่วย สมดุลวตั ถุ ( ตอ่ ) จานวน 3 ชั่วโมง
หวั เร่ือง
4.5 การสมดุลสามมิติ

สาระสาคัญ

1.การสมดุลสามมิติคือแรงกระทาตอ่ อนุภาคอยใู่ นรูปขององคป์ ระกอบi, j,k จะเขียนสมการได้

วา่ FXi  FY j  FZk  0

2.เง่ือนไขสาหรับการสมดุลสามมิติเม่ือถูกแรงสามมิติกระทา ท้งั แรงลพั ธ์ และโมเมนตแ์ รงคู่

ควบลพั ธ์บนวตั ถุมีค่าเท่ากบั ศนู ยม์ ีสองเงื่อนไขสาหรับสมดุลในรูปเวคเตอร์คือ F  0
และ M  0

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถใชส้ มการสมดุลสาม มิติเพ่ือแกไ้ ขโจทยป์ ัญหาในระบบ สามมิติไดอ้ ยา่ ง

ถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถบอกเงื่อนไขในการสมดุลสามมิติไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

143

เนือ้ หาสาระ
4.5 สมการสมดุลสามมิติ

จากสมการสมดุลของอนุภาค

F  0

ถา้ แรงกระทาต่ออนุภาคอยใู่ นรูปขององคป์ ระกอบi, j,k จะได้

วา่ FXi  FY j  FZk  0

เทียบสัมประสิทธ์ิ

 FX  0
 FY  0
 FZ  0

แผนภาพวตั ถุอสิ ระ (Free Body Diagram)(F.BD.)
ข้นั ตอนการแกป้ ัญหาสมดุลสามมิติ เหมือนในกรณีสองมิติ คือ เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระของ

วตั ถุ ซ่ึงจาเป็นตอ้ งกล่าวถึงชนิดของแรงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับเสียก่อน
แรงปฏกิ ริ ิยาทฐ่ี านรองรับ (Support Reaction)

แรงปฏิกิริยาและโมเมนตแ์ รงคูค่ วบกระทาท่ีฐานรองรับ และการต่อเช่ือมใดๆ เมื่อชิ้นส่วน
อยใู่ นรูปสามมิติ ใหด้ ูตามตารางที่ถ่ายเอกสารมาและโมเมนตข์ องแรงคูค่ วบในแต่ละฐานรองรับ
อธิบายตามตารางแสดง
การเขียนแผนภาพวตั ถุอสิ ระ

วตั ถุจะถูกแยกอิสระและวาดรูปต่างๆ จากน้นั กใ็ ชส้ ญั ลกั ษณ์แรงและโมเมนตข์ องแรงคู่ควบ
ท้งั หมดตามพกิ ดั x , y, และ z ตามกฎทวั่ ไป เช่น ทิศทางของโมเมนตถ์ ูกกาหนดโดยกฎมือขวา
หรือการต้งั แกนอา้ งอิง x , y, และ z ก็เป็นไปตามกฎมือขวาเช่นกนั แรงยอ่ ยของแรงปฏิกิริยา จะ
มีขนาดและทิศทางที่ไม่ทราบค่าแสดงกระทาบนแผนภาพวตั ถุอิสระในทิศทางบวก ในวธิ ีน้ี ถา้
ค่าที่หาไดเ้ ป็นลบกจ็ ะบ่งบอกวา่ แรงยอ่ ยกระทาในทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ท่ีกาหนดไว้ แรงกระทา
โดยทวั่ ไปเกิดจากน้าหนกั กระทาภายนอก และแรงท่ีผวิ สัมผสั ใกลเ้ คียงปฏิกิริยาที่ฐานรองรับ และ
น้าหนกั ของวตั ถุ โดยทว่ั ไปแสดงแรงยอ่ ยที่ไม่ทราบค่าท้งั หมดในทิศทางบวก ขนาดของวตั ถุ
จาเป็นสาหรับโมเมนตข์ องแรง จึงตอ้ งรวมอยใู่ น (F.BD.)

144

สมการสมดุล(Equation Of Equilibrium)
เงื่อนไขสาหรับการสมดุลของวตั ถุแขง็ เกร็งที่ถูกแรงสามมิติกระทา ท้งั แรงลพั ธ์ และโมเมนต์

แรงคู่ควบลพั ธ์บนวตั ถุมีค่าเท่ากบั ศูนย์
มีสองเง่ือนไขสาหรับสมดุลในรูปเวคเตอร์คือ

F  0 และ M  0
เม่ือ F เป็นผลรวมของแรงภายนอกท่ีกระทาต่อวตั ถุท้งั หมดและ M เป็นผลรวม

โมเมนตแ์ รงคู่ควบและโมเมนตข์ องแรงท้งั หมดรอบจุดใดๆ (0) ซ่ึงอาจอยบู่ นหรือภายนอกวตั ถุซ่ึง

 F   FXi   FY j   FZk
M0  MXi  MY j MZk

ตัวอย่างที่ 1. boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ที่จุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสอง
เส้นซ่ึงตรึงกบั ผนงั ที่จุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ที่จุด O ดว้ ย ball และ
socket joint จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC

145

วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของ boomได้
ดงั รูป

ใหร้ ะยะ AD  b
ระยะ l  32  52  62  8.37 m
แตกแรง T ท้งั สอง ไปในระนาบ yz

 TYZ  2T  b 
l

MO  0 ;

TYZ Sinθ 6 23544   0

2T b  5 6 23544  0

 l  b 

T  235448.37

60

 1313 N Ans

146

ตวั อย่างท่ี 2. คานเหลก็ กลา้ สองอนั เช่ือมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแต่ละอนั มีมวล 40 kg ต่อความ
ยาวหน่ึงเมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหา
แรงตึงในสายเคเบิลท้งั สาม

วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของคานเหล็กได้
ดงั รูป

จากโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา 40 kg ตอ่ ความยาวหน่ึงเมตร
W1  4029.81  784.8 N
W2  4039.81  1177.2 N

[My = 0 ] ;

147

2TA  784.81  0 Ans

TA  392.4 N

 (MC )x  0 ;

1177.21.5  784.83  392.43  2TB  0

TB  1471.5 N Ans

 FZ  0 ;

392.4  1471.5  TC  784.8 1177.2  0

TC  98.1 N Ans

ข้อสังเกต

 M c  คือโมเมนตร์ อบแกนที่ขนานกบั แกน x ซ่ึงลากผา่ นจุด C
x

วธิ ีการแก้โจทย์ปัญหา
- อ่านดูโจทยใ์ หล้ ะเอียดวา่ โจทยก์ าหนดอะไรมาใหบ้ า้ งและโจทยต์ อ้ งการใหห้ าอะไร
- เขียนรูปวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของชิ้นส่วนท้งั หมดตามข้นั ตอนการเขียนแผนภาพวตั ถุ
อิสระ
- เขียนแรงภายนอกท่ีกระทาต่อวตั ถุอิสระ
- เขียนแรงภายในที่เกิดจากจุดรองรับท้งั หมด ถา้ ในกรณีท่ีโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา
ดว้ ยกใ็ หเ้ ขียนแรงท่ีเกิดจากน้าหนกั เขา้ ไปดว้ ย (ปกติน้าหนกั ของวตั ถุจะกระทาที่ก่ึงกลาง
ของวตั ถุหรือจุดเซนทรอยด์ หรือโจทยอ์ าจจะกาหนดใหก้ ระทาท่ีจุด G )
- เขียนขนาดหรือความยาววตั ถุตามท่ีโจทยใ์ หม้ า (พจิ ารณาหน่วยของความยาวใหถ้ ูกตอ้ ง
ดว้ ย)
- กาหนดระบบแกนอา้ งอิง X , Y (กรณีระบบสองมิติ) หรือ X , Y , Z ตามกฎมือขวา
(กรณีระบบสามมิติ) โดยกาหนดทิศทางบวกตามความถูกตอ้ งและเหมาะสม
- ใชส้ มการการสมดุล

กรณีสองมิติได้

148

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองแผนภาพอิสระของวตั ถุ การแยกระบบอิสระ ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงเน้ือหาเรื่องการสมดุลสามมิติ
เงื่อนไขการสมดุลสามมิติ ( 5 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยท่ี 4 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งที่ 1 , 2 ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนเรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. ผสู้ อนสรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

149

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเร่ืองท่ีจะเรียนสปั ดาห์หนา้

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

150

แบบฝึ กหดั
1. boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ท่ีจุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสองเส้นซ่ึงตรึงกบั
ผนงั ท่ีจุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ที่จุด O ดว้ ย ball และ socket joint
จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC

2. คานเหล็กกลา้ สองอนั เช่ือมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแต่ละอนั มีมวล 40 kg ต่อความยาวหน่ึง
เมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหาแรงตึงในสาย
เคเบิลท้งั สาม

151

เฉลยแบบฝึ กหดั

1 . boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ที่จุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสองเส้นซ่ึงตรึง
กบั ผนงั ที่จุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ท่ีจุด O ดว้ ย ball และ
socket joint จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC

วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของ boomได้
ดงั รูป

ใหร้ ะยะ AD  b
ระยะ l  32  52  62  8.37 m
แตกแรง T ท้งั สอง ไปในระนาบ yz

 TYZ  2T  b 
l

152

MO  0 ;

TYZ Sinθ 6 23544   0
2T b  5 6 23544  0

 l  b 

T  235448.37

60
 1313 N Ans

2. คานเหล็กกลา้ สองอนั เช่ือมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแตล่ ะอนั มีมวล 40 kg ต่อความยาวหน่ึง
เมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหาแรงตึงในสาย
เคเบิลท้งั สาม

วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของคานเหลก็ ได้
ดงั รูป

จากโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา 40 kg ต่อความยาวหน่ึงเมตร
W1  4029.81  784.8 N
W2  4039.81  1177.2 N

[My = 0 ] ;

153

2TA  784.81  0 Ans

TA  392.4 N

 (MC )x  0 ;

1177.21.5  784.83  392.43  2TB  0

TB  1471.5 N Ans

 FZ  0 ;

392.4  1471.5  TC  784.8 1177.2  0
TC  98.1 N Ans

154

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 9
1. boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ท่ีจุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสองเส้นซ่ึงตรึงกบั
ผนงั ที่จุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ที่จุด O ดว้ ย ball และ socket joint
จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC

2. คานเหลก็ กลา้ สองอนั เชื่อมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแต่ละอนั มีมวล 40 kg ต่อความยาวหน่ึง
เมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหาแรงตึงในสาย
เคเบิลท้งั สาม