กลศาสตร์วิศวกรรม

155

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 9

1 . boomขนาดสม่าเสมออยใู่ นแนวระดบั มีมวล 240 kg ท่ีจุด A ยดึ ดว้ ยเคเบิลสองเส้นซ่ึงตรึง
กบั ผนงั ท่ีจุด B และ C ส่วนปลายอีกดา้ นหน่ึงยดึ ติดกบั ผนงั ที่จุด O ดว้ ย ball และ
socket joint จงหาแรงตรึง T ในสายเคเบิล AC

วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของ boomได้
ดงั รูป

ใหร้ ะยะ AD  b
ระยะ l  32  52  62  8.37 m
แตกแรง T ท้งั สอง ไปในระนาบ yz

 TYZ  2T  b 
l

156

MO  0 ;

TYZ Sinθ 6 23544   0
2T b  5 6 23544  0

 l  b 

T  235448.37

60
 1313 N Ans

2. คานเหล็กกลา้ สองอนั เช่ือมต่อกนั เป็นมุมฉากคานแตล่ ะอนั มีมวล 40 kg ต่อความยาวหน่ึง
เมตร คานถูกยดึ ดว้ ยสายเคเบิล A , B และ C จนทาใหค้ านอยใู่ นแนวระดบั จงหาแรงตึงในสาย
เคเบิลท้งั สาม

วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระ (F.B.D.) ของคานเหลก็ ได้
ดงั รูป

จากโจทยบ์ อกน้าหนกั ของวตั ถุมา 40 kg ต่อความยาวหน่ึงเมตร
W1  4029.81  784.8 N
W2  4039.81  1177.2 N

[My = 0 ] ;

157

2TA  784.81  0 Ans

TA  392.4 N

 (MC )x  0 ;

1177.21.5  784.83  392.43  2TB  0

TB  1471.5 N Ans

 FZ  0 ;

392.4  1471.5  TC  784.8 1177.2  0
TC  98.1 N Ans

158

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

แผนการจัดการเรียนรู้ 159
ชื่อวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1.
ช่ือหน่วย โครงสร้าง หน่วยที่ 5
สอนคร้ังท่ี 10
หวั เร่ือง จานวน 3 ชั่วโมง
5.1 โครงถกั ระนาบ
5.2 วธิ ีใชจ้ ุดตอ่

สาระสาคญั
1. โครงถกั ระนาบคือโครงถกั ท่ีมีชิ้นส่วนตา่ ง ๆ วางอยใู่ นระนาบเดียวกนั
2. วธิ ีใชจ้ ุดตอ่ วตั ถุตอ้ งอยใู่ นสภาวะสมดุลจะทาใหจ้ ุดตอ่ แตล่ ะจุดอยใู่ นสมดุลดว้ ย และใช้

หลกั การของการสมดุลคานวณหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับท้งั หมด

FX  O, Fy  O และ M  O

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนอธิบายข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชจ้ ุดตอ่ ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนเขียนแผนภาพวตั ถุอิสระในโครงสร้างแต่ละชิ้นส่วนไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนคานวณหาแรงในโครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชจ้ ุดต่อไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

160

เนือ้ หาสาระ

โครงสร้าง

ในบทน้ีเราจะใหค้ วามสนใจในการหาแรงภายในโครงสร้างซ่ึงไดแ้ ก่ระบบของชิ้นส่วนที่
ประกอบเขา้ ดว้ ยกนั เพื่อใหร้ ับหรือถ่ายแรงและตา้ นทานต่อน้าหนกั ท่ีกระทาไดอ้ ยา่ งปลอดภยั ใน
การวเิ คราะห์หาแรงของโครงสร้างจาเป็นท่ีจะตอ้ งถอดชิ้นส่วนของโครงสร้างออก และพิจารณา
แผนภาพวตั ถุอิสระ(F.B.D.)ของแต่ละชิ้นส่วนหรือกลุ่มของชิ้นส่วนเพื่อท่ีจะหาแรงภายในของ
โครงสร้างน้นั การวเิ คราะห์จะตอ้ งอาศยั ความละเอียดในการใชก้ ฎขอ้ ที่สามของนิวตวั ท่ีกล่าววา่
เมื่อมีแรงกระทาจะตอ้ งมีแรงปฏิกิริยาซ่ึงมีขนาดเทา่ กนั แต่ทิศทางตรงกนั ขา้ มเกิดข้ึนควบคู่กนั
เสมอ โครงสร้างที่วเิ คราะห์มีสามแบบคือโครงถกั (Truss)โครงกอบและเคร่ืองจกั รกล (Frame and
machine)
และ คานภายใตก้ ารกระทาของแรงแบบรวม (beam under concentrated loading) ในการน้ีพิจารณา
เฉพาะโครงสร้างท่ีเป็นแบบ statically determinate เท่าน้นั

5.1 โครงถกั ระนาบ (Plane Trusses)
โครงเหลก็ (frame work) ท่ีประกอบดว้ ยชิ้นส่วนซ้ึงยดึ กนั ที่ปลายเพือ่ ประกอบกนั เป็น
โครงสร้างท่ีแขง็ แกร่งเรียกวา่ โครงถกั (truss) เช่น สะพาน โครงหลงั คาป้ันจน่ั และโครงสร้างใน
ลกั ษณะเดียวกนั ชิ้นส่วนท่ีใชม้ กั จะเป็นเหลก็ รูปตวั I ตวั U เหล็กฉาก เหล็กกลมและรูปร่างพเิ ศษ
อยา่ งอื่นและยดึ กนั ท่ีปลายดว้ ยวธิ ีการเช่ือมไฟฟ้ า ย้า ใช้ น๊อตขนั หรือใชส้ ลกั โครงถกั สามารถ
ประกอบไดท้ ้งั แบบสองมิติและสามมิติ แตเ่ ราจะสนใจเฉพาะโครงถกั สองมิติเทา่ น้นั โครงถกั สอง
มิติคือโครงถกั ที่ชิ้นส่วนต่าง ๆ วางอยใู่ นระนาบเดียวกนั เรียกวา่ โครงถกั ระนาบ (plane truss)
โครงถกั ท่ีใชก้ บั สะพานมกั จะออกแบบเป็ นคู่ ซ่ึงจะวางโครงถกั แตล่ ะแถวไวแ้ ต่ละขา้ งของสะพาน
และยดึ กนั ดว้ ยคานขวางเพื่อรับน้าหนกั ของพ้ืนถนนซ่ึงจะถ่ายน้าหนกั ไปยงั ชิ้นส่วนของโครงถกั
ตวั อยา่ งของโครงถกั ระนาบที่ใชก้ นั ทวั่ ไปแสดงไวใ้ นรูป

161

องคป์ ระกอบหลกั ของโครงถกั ระนาบคือรูปสามเหลี่ยม ชิ้นส่วนสามชิ้นต่อกนั ท่ีปลายสลกั
ประกอบกนั เป็ นโครงที่เกร็ง(rigid frame) ดงั แสดงในรูป

ในลกั ษณะอ่ืน ชิ้นส่วนส่ีชิ้นหรือมากกวา่ ตอ่ กนั ดว้ ยสลกั ประกอบกนั เป็ นรูปหลายเหลี่ยม

เป็นโครงสร้างท่ีไมแ่ ขง็ เกร่ง (nonrigid frame)โครงสร้างที่ประกอบมาจากรูปสามเหล่ียมใน

ลกั ษณะท่ีกล่าวมาเรียกวา่ โครงถกั ธรรมดา (simple truss) ถา้ มีชิ้นส่วนมากวา่ ความจาเป็นตอ้ งใช้

เพื่อไมใ่ หโ้ ครงสร้างยบุ ตวั โครงถกั น้นั เรียกวา่ statically indeterminate ซ่ึงไมส่ ามารถวเิ คราะห์ได้

ถา้ มีแตเ่ ฉพาะสมการของการสมดุลเพยี งอยา่ งเดียว ชิ้นส่วนที่เกินความจาเป็นน้นั เรียกวา่

redundant

ในการออกแบบโครงถกั จะตอ้ งหาแรงในชิ้นส่วนต่าง ๆ และเลือกขนาดและรูปร่างท่ี
เหมาะสมเพ่ือรับแรงดงั กล่าว ในการวเิ คราะห์หาแรงของโครงถกั ธรรมดา (simple truss) จะตอ้ ง

ต้งั สมมติฐานข้ึนหลายอยา่ ง
ในการคานวณเรามีขอ้ สมมติดงั น้ี
1. ทุก ๆ ชิ้นส่วนของโครงสร้าง ถือวา่ มีแรงกระทาท่ีปลายท้งั สองของชิ้นส่วนเทา่ น้นั คือตอ้ ง
สมมติวา่ ชิ้นส่วนทุกชิ้นส่วนรับสองแรงซ่ึงหมายถึงชิ้นส่วนท่ีมีแรงกระทาเพียงสองแรงเทา่ น้นั เมื่อ
อยใู่ นสมดุล

2. การยดึ ต่อเขา้ ดว้ ยกนั ของช่ินส่วนถือวา่ ใชห้ มุดร้อย
(pin) เป็นตวั ยดึ ต่อแรงท้งั สองจะตอ้ งกระทาท่ีปลายของชิ้นส่วนโดยมีขนาดเทา่ กนั ทิศทาง
ตรงกนั ขา้ ม และอยใู่ นแนวเดียวกนั ชิ้นส่วนน้นั อาจถูกดึงหรือกดขอใหส้ ังเกตวา่ แรงดึง
T(Tension)หรือแรงอดั C (Compression) ที่กระทาตอ่ พ้นื ท่ีหนา้ ตดั ใด ๆ มีคา่ เหมือนเดิม
3. แรงภายนอกและการส่งผา่ นแรงของชิ้นส่วน ใหก้ ระทาผา่ นหมุดร้อย (pin)
4. น้าหนกั ของชิ้นส่วนถือวา่ นอ้ ยมาก เม่ือเทียบกบั แรงภายนอกท่ีกระทา ในกรณีท่ีตอ้ งการคิด

น้าหนกั ของชิ้นส่วนใหแ้ บ่งน้าหนกั ออกเป็น 2 ส่วน คือ w ไปกระทาท่ีจุดปลายท้งั สองดา้ น

2

ของชิ้นส่วนตลอด ซ่ึงเทียบไดก้ บั แรงภายนอกที่กระทาท่ีขอ้ ต่อสลกั การคิดน้าหนกั ของชิ้นส่วน
เขา้ ไปดว้ ยแบบน้ีจะไดค้ าตอบที่ถูกตอ้ งของแรงดึงหรือแรงกดเฉลี่ยท่ีกระทาตอ่ ชิ้นส่วนแต่ไมไ่ ด้

รวมถึงผลของการดดั (bending) ของชิ้นส่วน

โครงถกั อยา่ งใหญม่ กั จะมีอุปกรณ์ที่เผือ่ ไวส้ าหรับการยดื และการหดตวั เนื่องมาจากอุณหภูมิ หรือ

สาหรับการเปลี่ยนรูปเน่ืองจากภาระที่กระทา อุปกรณ์เหล่าน้ีมกั จะมีไวท้ ี่ฐานใดฐานหน่ึง

ตวั อยา่ งเช่นลูกกลิ้ง (Roller) แป้ นโยก (rocker) หรืออาจเป็นพวกขอ้ ต่อที่เล่ือนได้ (slip joint) โครง

ถกั ท่ีเป็นแบบน้ีจะเป็ นปัญหาแบบ statically indeterminate

162

หลงั จากการสมมุติเราก็ตอ้ งมาวเิ คราะห์ชนิดของโครงสร้างในระนาบ ซ่ึงสามารถแบ่ง
ออกไดเ้ ป็ น
2 ชนิด คือ

1. โครงสร้างในระนาบท่ีสามารถคานวณไดโ้ ดยสมการสมดุล F  O และ M  O

โครงสร้างท่ีคานวณไดโ้ ดยวิธีสมการสมดุลสามารถพิจารณาไดจ้ ากสมการต่อไปน้ี
จานวนตวั ไมท่ ราบคา่ = จานวนสมการ

m  3 2j

โดยที่ m คือ จานวนชิ้นส่วนท้งั หมดของโครงสร้าง
3 คือ จานวนสูงสุดของตวั ไมท่ ราบค่าที่จุดรองรับของโครงสร้างท้งั หมด
j คือ จานวนจุดยดึ ต่อท้งั หมดของโครง สร้าง

ตวั อยา่ งเช่น โครงสร้างดงั รูป จะมีจานวนชิ้นส่วนท้งั หมดคือ m = 7 จานวนตวั ไมท่ ราบคา่ ท่ี
จุดรองรับ คือ 3 (Ax , Ay , Dy) จานวนจุดยดึ ต่อท้งั หมด คือ
j = 5 ดงั น้นั

B Cy

x
E
D

m  3  2j
73  2  5

10  10

163

2. โครงสร้างในระนาบที่ไมส่ ามารถคานวณไดโ้ ดยสมการสมดุล คือ
ถา้ m3  2jแสดงวา่ โครงสร้างมีชิ้นส่วนมากเกินความจาเป็นไม่สามารถวเิ คราะห์ไดด้ ว้ ย
สมการสมดุลเพยี งสมการเดียว
ถา้ m  3  2j แสดงวา่ โครงสร้างมีชิ้นส่วนไมเ่ พียง พอสาหรับการสมดุลของโครงสร้าง ดงั น้นั
โครงสร้างจะพงั ยบุ ลงมาเมื่อมีแรงมากระทา
ในการวเิ คราะห์หาแรงของโครงสร้างในระนาบ (simple truss) ในท่ีน้ีจะวเิ คราะห์เฉพาะโครง
สร้างในระนาบท่ีสามารถคานวณไดโ้ ดยสมการสมดุลเท่าน้นั ซ่ึงมีวธิ ีการหาแรงไดส้ องวธิ ี คือ

1. วธิ ีจุดยดึ ต่อ
2. วธิ ีการตดั โครงสร้าง

5.2 วธิ ีใช้จุดต่อ(Method o joints)
ถา้ โครงถกั อยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั น้นั แต่ละจุดต่อจะอยใู่ นสมดุลดว้ ย เนื่องจากชิ้นส่วน
ของโครงถกั เป็นชิ้นส่วนสองแรงที่มีแรงกระทาในลกั ษณะตรงและอยใู่ นระนาบเดียวกนั ดงั น้นั
การหมุนหรือระบบสมดุลของโมเมนต์ จะเกิดอตั โนมตั ิที่จุดตอ่ จึงจาเป็ นตอ้ งใชส้ มการ

FX  O, Fy  O และ M  O เพอ่ื ใหม้ ีการสมดุลการเคลื่อนท่ียา้ ยหรือสมดุลของ

ระบบ แรงทิศทางและขนาดที่ถูกตอ้ งของแรงในชิ้น ส่วนที่ไมท่ ราบคา่ สามารถหาไดโ้ ดยวธิ ี
ดงั ตอ่ ไปน้ี
1. เขียนผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้างท้งั หมด

2. ใชห้ ลกั การของการสมดุลคานวณหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับท้งั หมด FX  O,
Fy  O และ M  O

3. จุดที่พิจารณาน้นั ใหเ้ ริ่มตน้ ท่ีจุดซ่ึงมีตวั ทราบคา่ แลว้ อยดู่ ว้ ย และมีตวั ไม่ทราบคา่ ไม่เกิน 2 ตวั
4. ต้งั แกน x  y ผา่ นจุดท่ีพิจารณาเขียนแรงปฏิกิริยาของชิ้นส่วนตรงจุดน้นั ชิ้นส่วนใดที่
ทราบขนาดและทิศทางวา่ เป็ นแรงดึงหรือแรงอดั แลว้ กเ็ ขียนลงไปตามทิศทางที่ทราบ ชิ้นส่วนใดท่ี
ไม่
ทราบทิศทางกใ็ หส้ มมุติทิศทางไวก้ ่อน โดยชิ้นส่วนที่รับแรงดึงจะเขียนทิศทางของแรงน้นั พงุ่ ออก
จากจุดน้นั ชิ้นส่วนใดท่ีรับแรงอดั ทิศทางจะพงุ่ เขา้ หาจุดน้นั ดงั น้นั หลงั จากประยกุ ตใ์ ชส้ มการ
สมดุล ทิศทางท่ีสมมติฐานสามารถพิสูจน์จากผลตวั เลขได้ คาตอบท่ีเป็นบวกบง่ บอกวา่ ทิศทางน้นั
ถูกตอ้ ง ถา้ คาตอบที่ไดน้ ้นั เป็ นลบบอกวา่ ทิศทางตรงกนั ขา้ ม

5. ใชส้ มการสมดุล FX  O, และ Fy  Oคานวณหาตวั ท่ีไมท่ ราบคา่ ท่ีจุดน้นั

6. ยา้ ยจุดพจิ ารณาไปจุดอื่นๆ อีก จนครบจุดในโครงสร้าง

164

ตวั อย่างท่ี 1. จงคานวณหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั แบบปลายยดึ แน่น (Cantilever truss) ท่ี
รับภาระดงั รูปดว้ ยวธิ ีการแบบจุดยดึ ต่อ

B 5m D 5m
5m 5m 5m E
A 5m C 5m
30 kN 20 kN

T
30

Ex

30 kN 20 kN Ey

วธิ ีทา จากสมการ m  3  2j
ได้ 7  3  25

เขียนผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้าง คานวณหาแรง
ปฏิกิริยาภายนอกที่ D และ E จากผงั วตั ถุอิสระ

ในรูป จากสมการสมดุล จะได้ว่า

 ME = 0 ; +
20(5) + 30(10) – 5T = 0
T = 80 kN

 Fx = 0 ; 80 Cos 30 – Ex = 0
Ex = 69.3 kN

 Fy = 0 ; 80 Sin 30 + Ey = 0
Ey = 10 kN

165

คา่ แรงท้งั สามมีค่าเป็น บวกหมด แสดงวา่ กาหนดทิศทางของแรงถูกตอ้ งแลว้

พจิ ารณาทจี่ ุด A ได้ y AB

60 AC
Ax

 Fy = 0 ; AB Sin 60 –30 = 0 30 kN

AB = 34.64 kN (แรงดึง)

 Fx = 0 ; AC – 34.64 Cos 60 = 0

AC = 17.32 kN (แรงอดั )

พจิ ารณาทจี่ ุด B ได้ y

B BD x
60 60

AB BC
 Fy = 0 ; BC Sin 60 – 34.64 Sin 60 = 0

BC = 34.64 kN (แรงกด)

 Fx = 0 ; BD - 2(34.64)Cos 60 = 0
BD = 34.64 kN (แรงกด)

166

พจิ ารณาทจี่ ุด C ได้ y
BC
CD

AC 60 60 DE x

20 kN

 Fy = 0 ; CDSin 60 – 34.64 Sin 60 – 20 = 0

CD = 57.74 kN (แรงดึง)

 Fx = 0 ;

CE – 17.32 – 34.64 Cos 60 – 57.74 Cos 60=0

CE = 63.51 kN (แรงกด)

พจิ ารณาทจี่ ุด E ได้ DE y

60 Ex x
CE

10 kN

 Fy = 0 ; DE Sin 60- 10 = 0
DE = 11.55 kN (แรงกด)

167

ตวั อย่างท่ี 2. จงคานวณหาแรงในแต่ละชิ้นส่วนของโครงถกั ดงั รูป และบอกวา่ ชิ้นส่วนดงั กล่าว
เป็ นแรงดึงหรื อแรงอดั

วธิ ที า

พจิ ารณาทจี่ ุด C ได้

y

BC C x

60 30

CD 2 kN

 Fy = 0 ; CD Sin 60 – 2 Sin 30 = 0

CD = 1.15 kN (แรงกด)

 Fx = 0 ; 2 Cos 30 + CD Cos 60 – BC = 0

BC = 2.31 kN (แรงดึง)

พจิ ารณาทจ่ี ุด B ได้ y

B BC x

AB BD (1)

 Fx = 0 ; 2.31 + BD Cos 60 – AB Cos 60 = 0..(1)
 Fy = 0 ; BD Sin 60 + AB Sin 60 = 0

BD = - AB
แทนค่า BD ในสมการที่ (1) ได้

AB = 2.31 kN (แรงดึง)
BD = - 2.31 kN
 BD = 2.31 kN (แรงกด)

168

พจิ ารณาทจี่ ุด D ได้ y

BD CD
60 x
AD

RD

 Fx = 0 ;
1.15 Cos 60 + (-2.31) Cos 60 + AD = 0
AD = 0.58 kN (แรงดึง)

169

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้ันตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ือง การสมดุลสามมิติ เงื่อนไขการสมดุลสามมิติ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงหวั ขอ้ ที่จะเรียน

( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. ผสู้ อนบรรยายเน้ือหาหน่วยที่ 5 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 , ) ( 70 นาที )
2. ผบู้ รรยายตวั อยา่ งท่ี 1 , 2 และบรรยายหลกั การวเิ คราะห์ ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหน้ กั เรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้นั สรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

170

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเร่ืองที่จะเรียนสปั ดาห์หนา้

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

171

แบบฝึ กหัด

1. จง อธิบายข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชจ้ ุดตอ่
2. จงคานวณหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั แบบปลายยดึ แน่น (Cantilever truss) ท่ีรับภาระดงั รูป
ดว้ ยวธิ ีการแบบจุดยดึ ต่อ

B 5m D 5m
5m 5m 5m E
A 5m C 5m
30 kN 20 kN

172

เฉลยแบบฝึ กหดั

1. วธิ ีจุดยดึ ต่อ(Method o joints)ถา้ โครงถกั อยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั น้นั แตล่ ะจุดต่อจะอยใู่ นสมดุล
ดว้ ย เนื่องจากชิ้นส่วนของโครงถกั เป็นชิ้นส่วนสองแรงท่ีมีแรงกระทาในลกั ษณะตรงและอยใู่ น
ระนาบเดียวกนั ดงั น้นั การหมุนหรือระบบสมดุลของโมเมนต์ จะเกิดอตั โนมตั ิท่ีจุดตอ่ จึง

จาเป็ นตอ้ งใชส้ มการ FX  O, Fy  O และ M  O เพ่อื ใหม้ ีการสมดุลการ

เคล่ือนที่ยา้ ยหรือสมดุลของระบบ แรงทิศทางและขนาดท่ีถูกตอ้ งของแรงในชิ้น
2. จงคานวณหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั แบบปลายยดึ แน่น (Cantilever truss) ที่รับภาระดงั รูป
ดว้ ยวธิ ีการแบบจุดยดึ ต่อ

B 5m D 5m
5m 5m 5m E
A 5m C 5m
30 kN 20 kN

T
30

30 kN 20 kN Ex
Ey

วธิ ีทา จากสมการ m  3  2j
ได้ 7  3  25

เขียนผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้าง คานวณหาแรง
ปฏิกิริยาภายนอกที่ D และ E จากผงั วตั ถุอิสระ

173

ในรูป จากสมการสมดุล จะได้ว่า
 ME = 0 ; +

20(5) + 30(10) – 5T = 0
T = 80 kN

 Fx = 0 ; 80 Cos 30 – Ex = 0
Ex = 69.3 kN

 Fy = 0 ; 80 Sin 30 + Ey = 0
Ey = 10 kN

174

แบบทดสอบสัปดาห์ที่ 10

1. จงอธิบายข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชจ้ ุดตอ่
2. จงคานวณหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั แบบปลายยดึ แน่น (Cantilever truss) ท่ีรับภาระดงั รูป
ดว้ ยวธิ ีการแบบจุดยึดต่อ

B 5m D 5m
5m 5m 5m E
A 5m C 5m
30 kN 20 kN

175

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 10

1. วธิ ีจุดยดึ ต่อ(Method o joints)ถา้ โครงถกั อยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั น้นั แต่ละจุดต่อจะอยใู่ นสมดุล
ดว้ ย เนื่องจากชิ้นส่วนของโครงถกั เป็นชิ้นส่วนสองแรงท่ีมีแรงกระทาในลกั ษณะตรงและอยใู่ น
ระนาบเดียวกนั ดงั น้นั การหมุนหรือระบบสมดุลของโมเมนต์ จะเกิดอตั โนมตั ิท่ีจุดตอ่ จึง

จาเป็ นตอ้ งใชส้ มการ FX  O, Fy  O และ M  O เพ่ือใหม้ ีการสมดุลการ

เคล่ือนที่ยา้ ยหรือสมดุลของระบบ แรงทิศทางและขนาดที่ถูกตอ้ งของแรงในชิ้น
2. จงคานวณหาแรงในชิ้นส่วนของโครงถกั แบบปลายยดึ แน่น (Cantilever truss) ที่รับภาระดงั รูป
ดว้ ยวธิ ีการแบบจุดยึดต่อ

B 5m D 5m
5m 5m 5m E
A 5m C 5m
30 kN 20 kN

T
30

30 kN 20 kN Ex
Ey

วธิ ีทา จากสมการ m  3  2j
ได้ 7  3  25

เขียนผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้าง คานวณหาแรง
ปฏิกิริยาภายนอกที่ D และ E จากผงั วตั ถุอิสระ

176

ในรูป จากสมการสมดุล จะได้ว่า
 ME = 0 ; +

20(5) + 30(10) – 5T = 0
T = 80 kN

 Fx = 0 ; 80 Cos 30 – Ex = 0
Ex = 69.3 kN

 Fy = 0 ; 80 Sin 30 + Ey = 0
Ey = 10 kN

177

บันทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

แผนการจัดการเรียนรู้ 178
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1.
ชื่อหน่วย โครงสร้าง ( ต่อ ) หน่วยท่ี 5
สอนคร้ังที่ 11
หวั เร่ือง จานวน 3 ช่ัวโมง
5.3 วธิ ีการใชภ้ าคตดั
5.4 โครงกอบและเร่ืองจกั รกล

สาระสาคญั

1. วธิ ีการใชภ้ าคตดั สามารถทาไดโ้ ดย การใชส้ มการสมการของโมเมนตใ์ นการเลือกภาคตดั

และใชส้ มการสมดุล Fx  O, Fy  O และ M  O ช่วยในการคานวณ สมการ

สมดุล

2. โครงกรอบ เป็นโครงสร้างที่อยนู่ ิ่ง (stationary) ทาหนา้ ท่ีรับแรง ส่วนเครื่องจกั รกลอาจอยู่
น่ิงหรือเคลื่อนที่กไ็ ด้ แต่จะมีชิ้นส่วนท่ีเคล่ือนไหวได้ ไดร้ ับกาออกแบบใหส้ ่งถ่ายหรือถ่ายทอด
(transmit) แรง หรือเปล่ียนผลของแรง

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถอธิบายวธิ ีข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชภ้ าคตดั ไดอ้ ยา่ ง
ถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถอธิบายวธิ ีข้นั ตอนหลกั ๆในการวเิ คราะห์โครงกอบและเครื่องจกั รกลได้
อยา่ งถูกตอ้ ง
3. สามารถเขียนแผนภาพอิสระไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
4. ผเู้ รียนคานวณหาแรงในโครงกรอบและเคร่ืองจกั รกล ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
5. ผเู้ รียนเขียนแผนภาพวตั ถุอิสระในโครงสร้างแต่ละชิ้นส่วนไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

179

เนือ้ หาสาระ
5.3 วธิ ีการใช้ภาคตัด (Method of sections)

ขอ้ ไดเ้ ปรียบของวธิ ีการใชจ้ ุดต่อ (Method of joints) คือจะใชส้ มการการสมดุลเพยี งสอง
สมการเทา่ น้นั ท้งั น้ีเพราะวธิ ีการเกี่ยวขอ้ งกบั ระบบของแรงท่ีตดั กนั ที่จุดหน่ึงแตส่ าหรับวธิ ีการใช้
ภาคตดั สมการของโมเมนตส์ ามารถนามาใชป้ ระโยชนไ์ ดโ้ ดยการเลือกภาคตดั (sections) ที่ระบบ
ของแรงไมไ่ ดต้ ดั กนั ท่ีจุดหน่ึง ขอ้ ไดเ้ ปรียบของวธิ ีการใชภ้ าคตดั คือสามารถใชห้ าแรงในชิ้นส่วน
ใด ๆ ไดโ้ ดยตรงจากการตดั section ผา่ นชิ้นส่วนน้นั ดงั น้นั จึงไมจ่ าเป็นตอ้ งเริ่มคานวณจากสลกั
แรกไปจนถึงชิ้นส่วนที่ตอ้ งการในการเลือกตดั section มีขอ้ พึงสงั เกตวา่ ชิ้นส่วนที่ไม่ทราบค่าของ
แรงจะตอ้ งมีไม่เกินสามในแตล่ ะภาคตดั เพราะวา่ มีเงื่อนไขของการสมดุลเพียงสามสมการเท่าน้นั

FE FE R2
BE

BE
BC

BC

R1 L รูปที่ 1

จากรูป (ก) ข้นั แรกหาแรงปฏิกิริยาภายโดยการคิดโครงถกั ท้งั หมดเป็นวตั ถุชิ้นเดียวกนั
เม่ือตอ้ งการหาแรงในชิ้นส่วนใด เช่น BE ใหต้ ดั โครงถกั ออกโดยภาคตดั สมมติ (imaginary
section) ท่ีแสดงไวด้ ว้ ยเส้นประดงั รูปท่ี (ข) ภาคตดั น้ีตดั ชิ้นส่วนท้งั สามซ่ึงยงั ไมท่ ราบแรงเพ่ือให้
แต่ละส่วนของโครงถกั ท่ีถูกตดั ยงั คงอยใู่ นสมดุลจึงจาเป็ นท่ีจะตอ้ งใส่แรงเท่ากบั แรงที่ชิ้นส่วนที่
ถูกตดั ออกไปกระทา แรงเหล่าน้ีไม่วา่ จะเป็นแรงดึงหรือแรงกดจะตอ้ งอยใู่ นแนวของชิ้นส่วนเสมอ
เพราะชิ้นส่วนเหล่าน้ีเป็ นชิ้นส่วนรับสองแรง

ส่วนที่ถูกตดั ทางดา้ นซา้ ยอยใู่ นสมดุลภายใตแ้ รงกระทาต่าง ๆ ดงั น้ีภาระ L แรงปฏิกิริยา
R1 และแรงท่ีชิ้นส่วนท้งั สามที่ถูกตดั ออกไป
ทิศทางของแรงที่เขียนสามารถสงั เกตไดจ้ ากเง่ือนไขการสมดุลดงั น้นั ถา้ คิดโมเมนตร์ อบจุด B
สาหรับส่วนทางซา้ ยจะเห็นไดว้ า่ แรง EF

EF ควรจะช้ีไปทางซา้ ยซ่ึงคือแรงกด ภาระ L มีค่ามากกวา่ แรงปฏิกิริยา R1 ดงั น้นั แรง BE จะตอ้ งช้ี
ข้ึนเพื่อใหส้ มดุลทางแนวดิ่ง แรง BE เป็นแรงดึงเพราะกระทาออกจากพ้นื ท่ีหนา้ ตดั ของชิ้นส่วน
ดว้ ยการประมาณคา่ ของแรง R1 และ Lไวใ้ นใจแรง BC ควรจะไปทางขวาเพ่ือการสมดุลของ

180

โมเมนตร์ อบจุด E ซ่ึงถา้ สังเกตดูจากโครงถกั กจ็ ะพบเช่นเดียวกนั วา่ ชิ้นส่วนในแนวราบทางดา้ น
ล่างจะตอ้ งถูกดึงเน่ืองจากการแอ่นตวั ที่เนื่องจากโมเมนตด์ ดั (bending moment) เม่ือใชส้ มการของ
โมเมนตร์ อบจุด B สามารถหา EF ไดท้ นั ที
เพราะแรงอ่ืน ๆ ผา่ นจุด B แรง BEหาไดจ้ ากสมการของแรงในทางแกน y แรง BC หาไดจ้ าก
สมกาiของโมเมนตร์ อบจุด E ดว้ ยวธิ ีการที่กล่าวมาแลว้ แรงท่ีไม่ทราบค่าท้งั สามแรงกส็ ามารถหา
ไดโ้ ดยอิสระจากกนั

ส่วนของโครงถกั ทางดา้ นขวาอยใู่ นสมดุลภายใตแ้ รงปฏิกิริยา R2 และแรงในชิ้นส่วนท่ีถูก
ยดึ ท้งั สามซ่ึงมีทิศทางกระทาตรงกนั ขา้ มกนั เม่ืออยใู่ นส่วนทางดา้ นซา้ ยทิศทางของแรงในแนวราบ
ดูไดจ้ ากการสมดุลของโมเมนตร์ อบจุด B และ E โครงถกั ท้งั สองส่วนน้ีนาไปใชใ้ นการคานวณหา
แรงไดเ้ หมือนกนั แตส่ ่วนท่ีมีแรงเกี่ยวขอ้ งนอ้ ยกวา่ จะคานวณไดง้ ่ายกวา่ สิ่งสาคญั คือ จะตอ้ งเขา้ ใจ
วา่ ในวธิ ีการใชภ้ าคตดั น้ีคิดส่วนท้งั หมดของโครงถกั เป็นวตั ถุเพยี งชิ้นเดียวอยใู่ นสมดุล ดงั น้นั แรง
ในชิ้นส่วนท่ีอยใู่ นภาคตดั จะไมน่ ามายงุ่ เก่ียวดว้ ยในการคานวณเพื่อใหว้ ตั ถุและแรงภายนอกที่
กระทาเห็นไดช้ ดั จึงมกั จะให้รอยตดั ผา่ นชิ้นส่วนไม่ใช่ผา่ นสลกั

ในการใชว้ ธิ ีภาคตดั น้ี สมการของโมเมนตม์ ีประโยชน์มาก และจุดศนู ยก์ ลางของโมเมนต์
น้นั มกั จะเลือกจุดที่มีแรงผา่ นมากท่ีสุด
ซ่ึงอาจจะอยใู่ นหรือนอกส่วนที่ตดั ก็ได้ เม่ือเขียนผงั วตั ถุอิสระของภาคตดั แลว้ ไมเ่ สมอไปนกั ท่ีจะ
ทราบทิศทางท่ีควรจะเป็นของแรงที่ไม่ทราบค่า เมื่อเป็ นดงั น้ีจะสมมติเป็นเช่นใดกไ็ ด้ ถา้ คา่ ทีไดม้ ี
เคร่ืองหมายบวกแสดงวา่ สมมติไวถ้ ูกถา้ ไดเ้ คร่ืองหมายลบแสดงวา่ สมมติไวก้ ลบั ทิศทาง การ
กาหนดสัญลกั ษณ์ของชิ้นส่วนและแรงมกั จะใชต้ งั อกั ษรท่ีอยทู่ ี่ปลายท้งั สองของชิ้นส่วนน้นั

วธิ ีภาคตดั (Method of sections) มีข้นั ตอนการดาเนินการดงั น้ี
1. เขียนผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้างท้งั หมด
2. ใชห้ ลกั การสมดุลหาแรงปฏิกิริยาที่จาเป็นตอ้ งใช้
3.ใชก้ ารตดั โครงสร้างโดยใหร้ ะนาบตดั น้นั ผา่ นชิ้นส่วนท่ีตอ้ งการหาแรงระนาบตดั จะตดั ผา่ น
ชิ้นส่วนไดไ้ มเ่ กิน 3 ชิ้นและตวั ไมท่ ราบค่าจะตอ้ งมีไม่เกิน 3 ตวั เพราะมีสมการอยเู่ พียงแค่ 3
สมการ

4. ใชส้ มการสมดุล Fx  O, Fy  O และ M  O ช่วยในการคานวณ สมการ

สมดุลดงั กล่าวไมจ่ าเป็นตอ้ งใชท้ ้งั หมด อาจใชเ้ พียงสมการเดียวก็สามารถหาคา่ ได้
5. ในกรณีท่ีระนาบตดั ผา่ นชิ้นส่วนเกินกวา่ 3 ชิ้นข้ึนไป จะตอ้ งใชร้ ะนาบตดั อีกชุดหน่ึงช่วยเสริม
เพอื่ หาตวั ที่ไม่ทราบคา่ บางตวั ใหไ้ ดก้ ่อน
6. เม่ือใชร้ ะนาบตดั โครงสร้างแลว้ ใหแ้ ยกโครงสร้างออกจากกนั และเขียนผงั วตั ถุอิสระของ
โครงสร้างท่ีแยกแลว้ น้นั โดยจะพจิ ารณาโครงสร้างส่วนใดกไ็ ดข้ ้ึนอยกู่ บั ความเหมาะสมดงั รูป (ก)
และ (รูปท่ี 1 )

181

ตวั อย่างที่ 1 จงใชว้ ธิ ีภาคตดั คานวณหาแรงในชิ้นส่วน CD , BC และ CG ของโครงสร้างดงั รูป

FE FE R2
BE
BC BE

BC

R1 L

วธิ ีทา 1 kN B C D

Ax A G F E

Ay 2 kN Ey

คานวณหาแรงปฏิกิริยาที่จาเป็นคือ Ey ได้

MA  O ; + ; Ey (9) – 2(6) – 1(3Sin 60) = 0

Ey = 1.62 kN
ทาการตดั ระนาบไดด้ งั น้ี

FC CD D

(สว่ นตดั ท่ี 1)
FG F E

2 kN Ey

ระนาบตดั ที่ 1 ตดั ผา่ นชิ้นส่วนสามชิ้นไดแ้ ก่ CD , CF , FG ได้

MF  O , + ; 1.62(3) – CD(3 Sin 60) = 0

CD = 1.87 kN (แรงกด)

182

ตดั ระนาบส่วนท่ี 2
ระนาบตดั ที่ 2 ตดั ผา่ นชิ้นส่วนสามชิ้นไดแ้ ก่ BC , CG , FG ได้
 MG = 0 ; + ; 1.62(6) – 2(3) – BC(3Sin 60) = 0

BC = 1.43 kN (แรงกด)
 Fy = 0 ; CG Sin 60 + 1.62 – 2 = 0

CG = 0.44 kN (แรงกด)

ตวั อย่างท่ี 2 จงใชว้ ธิ ีภาคตดั หาแรงในชิ้นส่วน AB , BG , FG ของโครงสร้าง
6 kN

AB CD

5m 4m 3m 2m
E
GF
H

วธิ ีทา
ใชร้ ะนาบตดั ผา่ นชิ้นส่วน AB , BG , FG และพิจารณาวา่ ส่วนตดั ดา้ นขวามือของโครงสร้าง

ดงั น้นั ในกรณีน้ีจึงไม่จาเป็นตอ้ งหาแรงปฏิกิริยาท่ีจุดรองรับ A และ H
6 kN

AB B C D 2.4 m 2.4 m P
2m 

BG FG F E
G

เมื่อต่อแนวของโครงสร้างออกไปพบกนั ที่จุด P ไดม้ ุม  ดงั น้ี
 = tan –1 2 = 22.62

4.8

183

เขียนผงั วตั ถุอิสระของส่วนตดั ดา้ นขวามือไดด้ งั รูป หาแรงในชิ้นส่วนตา่ ง ๆ ดงั น้ี
 MP = 0 ; + ; 6(4.8) – BG(9.6) = 0

BG = 3 kN (แรงกด)

 MG = 0 ; + ; AB(4) – 6(4.8) = 0
AB = 7.2 kN (แรงดึง)

 MB = 0 ; + + ; FG(9.6 Sin 22.62) – 6(4.8) = 0
FG = 7.8 kN (แรงกด)

ตวั อย่างท่ี 3 จงใชว้ ธิ ีภาคตดั หาแรงในชิ้นส่วน DJ ของโครงหลงั คาดงั ในรูป

10 kN D E F 6m
10 kN C J I HG

B
A LK

10 kN

6 ช่วง ช่วงละ 4 m

วธิ ีทา

ตอ้ งใชร้ ะนาบตดั 2 ระนาบ เพราะระนาบตดั เดียวจะตดั ผา่ นชิ้นส่วน 4 ชิ้นจึงตอ้ งใชอ้ ีก
ระนาบหน่ึงมาช่วยหาตวั ไม่ทราบค่าก่อน

10 kN D
10 kN C
HG
B 10 kN R2
A
R1

จากผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้างท้งั หมด
 MG = 0 ; + ;10(8) + 10(6) + 10(20) – R1(24) = 0

184

R1 = 18.3 kN

พิจารณาส่วนตดั ท่ี 1 ได้ 10 kN

A 10 kN CD
R1 C

B KJ 4C5J J

พจิ ารณาส่วนตดั ท่ี 1 เขียนผงั วตั ถุอสิ ระด้านซ้ายมอื ได้

 MA = 0 ; + ; CJ Sin 45 (12) – 10(4) – 10(8) =0
CJ = 14.1 kN (แรงกด)

พจิ ารณาส่วนที่ 2 ได้

10 kN D DE
10 kN C
B CJ DJ
A
KJ J

R1

พจิ ารณาส่วนที่ 2 เขียนผงั วตั ถุอิสระของส่วนตดั ดา้ นซา้ ยมือได้
 MG = 0 ; + ;
DJ(12) + 10(16) + 10(20) – 18.3(24) – 14.1 Sin 45 (12) = 0

DJ = 16.6 kN (แรงดึง)

185
5.4 โครงกรอบและเคร่ืองจักรกล (Frame and Machine)
โครงกรอบที่ประกอบดว้ ยชิ้นส่วนท่ีรับแรงหลายแรง (Multiforce members) ที่ต่อกนั ดว้ ย
หมุด (pin-connected) นน่ั คือ แตล่ ะชิ้นรับแรงมากกวา่ สองแรงข้ึนไป เราเรียกโครงสร้างประเภทน้ี
ว่า “โครงกรอบ” (Frame) และ “เคร่ืองจกั รกล” (Machine) โครงกรอบเป็ นโครงสร้างที่อยู่นิ่ง
(stationary) ทาหนา้ ที่รับแรงดงั รูป (ก) และ (ข) ส่วนเครื่องจกั รกลอาจอยนู่ ่ิงหรือเคลื่อนที่ก็ได้ แต่
จะมีชิ้นส่วนที่เคลื่อนไหวได้ ไดร้ ับกาออกแบบใหส้ ่งถ่ายหรือถ่ายทอด (transmit) แรง หรือเปล่ียน
ผลของแรง เช่น ผอ่ นแรงหรือเปล่ียนทิศทางของแรง ดงั ในรูป (ค) , (ง) และ (จ)

900 N

(ก)

150 N

(ข)

186

ในโครงข้อหมุนทุกชิ้นส่วนรับแรงเพียงสองแรง ดงั น้ันแรงในแต่ละชิ้นส่วนจะมีทิศทางตาม
แนวแกน คือแรงดึงหรือแรงอดั เท่าน้นั ส่วนโครงกรอบหรือเครื่องจกั รกล มีบางชิ้นส่วนที่รับแรง
มากกวา่ สองแรง ดงั น้นั แรงในแต่ละชิ้นส่วน จึงไม่จาเป็ นตอ้ งมีทิศทางอยใู่ นแนวแกน นนั่ คือ เรา
ไม่รู้ขนาดและทิศทางของแรงในแต่ละชิ้นส่วน แรงที่ขอ้ ต่อระหว่างจึงเป็ นแรงจึงเป็ นแรงท่ีไม่รู้
ขนาดและทิศทาง หรือกล่าวอีกอย่างหน่ึงว่ามีตวั ไม่รู้ค่าสองตวั การวิเคราะห์หาค่าแรงต่างๆ ใน
โครงกรอบและเคร่ืองจกั รกล จะใช้วิธีแยกขอ้ ต่อหรือแยกส่วนเหมือนในโครงขอ้ หมุนไม่ได้ แต่
จะตอ้ งพิจารณาแผนภาพวตั ถุอิสระของโครงสร้าง หรือแยกบางชิ้นส่วนหรือกลุ่มของชิ้นส่วนออก
จากส่วนที่เหลือ และใชส้ มการสมดุล

( รูปที่ 2) ( รูปที่ 3 )

( รูปที่ 4)

187

วธิ ีการวเิ คราะห์
ในการวเิ คราะห์หาค่าแรงในโครงกรอบและเครื่องจกั รกล จาเป็ นจะตอ้ งเลือกแยกชิ้นส่วน

เพอ่ื วาดผงั อิสระของวตั ถุ โดยมีข้นั ตอนหลกั ๆ ดงั ตอ่ ไปน้ี
1. วาดแผนภาพวตั ถุอิสระของท้งั ระบบหรือโครงสร้าง หรือวาดเฉพาะบางส่วน (หลาย

ชิ้นส่วน) หรือชิ้นส่วนเดียว โดยเลือกเริ่มผงั อิสระท่ีจะนาไปสู่คาตอบตรงท่ีสุด
- พยายามเริ่มท่ีชิ้นส่วนที่รับสองแรง จะลดการคานวณให้น้อยลง เนื่องจากในชิ้นส่วนน้ี

จะรู้ทิศทางของแนวแรง ซ่ึงจะอยใู่ นแนวเส้นตรงที่ต่อระหวา่ งขอ้ ต่อที่ปลายท้งั สองขา้ ง

- เม่ือวาดแผนภาพวตั ถุอิสระของท้งั ระบบ หรือบางส่วน (ที่ประกอบดว้ ยหลายชิ้นส่วน)
แรงในขอ้ ต่อของส่วนที่ไมแ่ ยก ถือวา่ เป็นแรงภายใน จึงไม่ตอ้ งแสดงในแผนภาพวตั ถุอิสระ

- เมื่อวาดแผนภาพวตั ถุอิสระของแต่ละชิ้นส่วนแยกกัน แรงที่ข้อต่อถือว่าเป็ นแรง
ภายนอก และที่ขอ้ ต่อเดียวกนั แรงในแต่ละชิ้นส่วนที่แยกจากกนั ตอ้ งมีขนาดเท่ากนั แต่ทิศทาง
ตรงกนั ขา้ ม

2. ตรวจสอบสมการสมดุล (ซ่ึงเท่ากบั สามสาหรับโครงสร้างในสองมิติ) เปรียบเทียบกบั
จานวนตวั ไมร่ ู้ค่าในแผนภาพวตั ถุอิสระแตล่ ะรูป

- พยายามหาโมเมนตร์ อบจุดท่ีแนวแรงที่ไม่รู้ค่าผา่ นมากท่ีสุด เพ่ือลดข้นั ตอนการคานวณ
ลง

- หากคาตอบท่ีไดเ้ ป็นเคร่ืองหมายลบ แสดงวา่ แรงท่ีคานวณไดม้ ีทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ท่ี
สมมติ

188
ตวั อย่างที่ 4.6 สาหรับโครงกรอบในรูป จงวาดแผนภาพวตั ถุอิสระของ (ก) แตล่ ะชิ้นส่วน (ข)
หมุด B (ค) โครงกรอบท้งั หมด

(ก)

(ข)

(ค)

189

วิธีทา 1. โครงกรอบดงั ในรูป (ก) เม่ือทาการแยกชิ้นส่วนจะเห็นวา่ ไม่มีชิ้นส่วนใดท่ีรับแรงเพียง

สองแรงดงั น้นั แรงที่ขอ้ ต่อของแรงแต่ละชิ้นส่วนจะเป็ นแรงที่ไม่รู้ขนาดและทิศทาง จึงเขียนแสดง

เป็ นสองแรงยอ่ ย ดงั แสดงในรูป (ข) แรงที่ขอ้ ต่อเดียวกนั ในแต่ละท่อน คือท่ีขอ้ ต่อ B จะมีขนาด

เท่ากนั และมีทิศทางตรงกนั ขา้ ม

2. แรงบนหมุด B ที่ขอ้ ตอ่ เป็นแรงท่ีเกิดจากแตล่ ะทอ่ นกระทาบนหมุด B จึงอยใู่ นสภาวะ

สมดุลดงั น้นั แรงท้งั สองคู่ คือ BX และ BY จากท้งั สองชิ้นส่วนจึงมีขนาดเท่ากนั แตท่ ิศทางตรงขา้ ม

ดงั แสดงในรูป (ค) 3. เม่ือวาดผงั อิสระของโครงกรอบท้งั หมด (โดยไม่แยกขอ้ ต่อ B) จะ

เห็นเฉพาะแรงภายนอกเท่าน้นั คือ โมเมนต์ M และ แรง P และแรงปฏิกิริยาท่ี A และ C ส่วนแรง

ภายนอกท่ีท่ีขอ้ ต่อ B จะไม่แสดงในผงั

ตวั อย่างท่ี 4.7 จงหาแรงยอ่ ยในแนวนอนและแนวดิ่งในหมุด C กระทาตอ่ ท่อน CB ของโครงกรอบ

ในรูป

(ก)

(ข)

190

วธิ ีทา 1. โครงกรอบดงั ในรูป (ก) เม่ือทาการแยกชิ้นส่วนจะเห็นวา่ ไม่มีชิ้นส่วนใดที่รับแรงเพยี ง

สองแรงดงั น้นั แรงที่ขอ้ ต่อของแรงแต่ละชิ้นส่วนจะเป็ นแรงที่ไม่รู้ขนาดและทิศทาง จึงเขียนแสดง

เป็ นสองแรงย่อย ดงั แสดงในรูป (ข) แรงท่ีขอ้ ต่อเดียวกนั ในแต่ละท่อน คือท่ีขอ้ ต่อ B จะมีขนาด

เทา่ กนั และมีทิศทางตรงกนั ขา้ ม

2. แรงบนหมุด B ท่ีขอ้ ต่อ เป็นแรงท่ีเกิดจากแต่ละทอ่ นกระทาบนหมุด B จึงอยใู่ นสภาวะ

สมดุลดงั น้นั แรงท้งั สองคู่ คือ BX และ BY จากท้งั สองชิ้นส่วนจึงมีขนาดเท่ากนั แต่ทิศทางตรงขา้ ม

ดงั แสดงในรูป (ค) 3. เม่ือวาดผงั อิสระของโครงกรอบท้งั หมด (โดยไม่แยกขอ้ ต่อ B) จะ

เห็นเฉพาะแรงภายนอกเท่าน้นั คือ โมเมนต์ M และ แรง P และแรงปฏิกิริยาที่ A และ C ส่วนแรง

ภายนอกที่ที่ขอ้ ตอ่ B จะไม่แสดงในผงั

ตวั อย่างที่ 4.7 จงหาแรงยอ่ ยในแนวนอนและแนวดิ่งในหมุด C กระทาตอ่ ท่อน CB ของโครงกรอบ
ในรูป

ท่อน AB MA (ก) ….. (1)

FX  0 ;     0 ; BX 3 sin60  BY 3 cos60  0

AX  AY  0 ….. (2)

FY  0 ; ….. (3)
 0 ; 20002 BY 4  0
AY  BY  0
….. (4)
ท่อน BC MC

FX  0 ; ….. (5)

BX  CX  0

FY  0 ;

BY  2000  CY  0 ….. (6)

จากสมการ (4) BY  1000 N

แทนคา่ ในสมการ (1) ได้ BX  577 N

191
แทนคา่ ในสมการ (5) ได้ BY  577 N
และแทนคา่ BY ในสมการ (6) ได้
CY  1000 N ANS
ตวั อย่างท่ี 1 จากโครงกรอบท่ีกาหนดให้ จงหาแรงปฏิกิริยาที่กระทาต่อชิ้นส่วนแต่ละชิ้นในโครง
กรอบน้ี

4.8 m
วธิ ีทา
เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระของโครงสร้างท้งั หมด ได้
 ME = 0 ; + ; Fy(4.8) – 240(3.6) = 0

Fy = 180 N
 Fy = 0 ; + ; Ey + 180 – 240 = 0

Ey = 60 N
 Fx = 0 ; + ; Ex = 0 N

192

เขียนผงั วตั ถุอิสระของชิ้นส่วน BCD

By Cy 240 N

2.4 m 1.2 m

Bx Cx D

 MB = 0 ; + ; - Cy(2.4) – 240(3.6) = 0

Cy = -360 N (ทิศทางตรงกนั ขา้ ม)
 MC = 0 + ; By(2.4) – 240(1.2) = 0

By = 120 N
 Fx = 0 ; + ; Cx + Bx = 0 ……..(1)
เขียนผงั วตั ถุอิสระของชิ้นส่วน ABE

Cy = -360 N (ทิศทางตรงกนั ขา้ ม)
 MC = 0 + ; By(2.4) – 240(1.2) = 0

By = 120 N

 Fx = 0 ; + ; Cx + Bx = 0 ……..(1)

เขียนผงั วตั ถุอิสระของชิ้นส่วน ABE
Ay

Ax
Bx

By =120 N

Ey = 60 N
 Fy = 0 ; + ; 60 + 120 + Ay = 0

Ay = -180 N (ทิศทางตรงกนั ขา้ มกบั ท่ีสมมุติไว)้
 MA = 0 ; + ; Bx = 0 N
 Fx = 0 ; + ; Ax = 0 N

193

เขียนผงั วตั ถุอิสระของชิ้นส่วน ACF
Ay

Cy = 360 N

Fy = 180 N

ดงั น้นั

A = 180 N
B = 120 N
แทนคา่ Bx ในสมการ (1) ได้ Cx = 0
 C = 360 N Ans

194

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเรื่องโครงถกั ระนาบ วธิ ีใชจ้ ุดตอ่ ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงเน้ือหาเร่ือง วธิ ีการใชภ้ าคตดั โครงกอบและเรื่องจกั รกล ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยที่ 5 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งท่ี 1 , 2 ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึ กหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนเรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

195

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปดูเน้ือหาที่จะเรียนสปั ดาห์หนา้

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานที่มอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

196

แบบฝึ กหัด

1. จงอธิบายข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชภ้ าคตดั
2. จงอธิบายข้นั ตอนหลกั ๆในการวเิ คราะห์โครงกอบและเคร่ืองจกั รกล
3. จงใชว้ ธิ ีภาคตดั หาแรงในชิ้นส่วน AB , BG , FG ของโครงสร้าง

6 kN

AB CD

5m 4m 3m 2m
E
GF
H

197

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. จงอธิบายข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชภ้ าคตดั
มีข้นั ตอนการดาเนินการดงั น้ี
1. เขียนผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้างท้งั หมด
2. ใชห้ ลกั การสมดุลหาแรงปฏิกิริยาที่จาเป็นตอ้ งใช้
3.ใชก้ ารตดั โครงสร้างโดยใหร้ ะนาบตดั น้นั ผา่ นชิ้นส่วนที่ตอ้ งการหาแรง ระนาบตดั จะตดั ผา่ น
ชิ้นส่วนไดไ้ มเ่ กิน 3 ชิ้นและตวั ไม่ทราบคา่ จะตอ้ งมีไมเ่ กิน 3 ตวั เพราะมีสมการอยเู่ พียงแค่ 3
สมการ

4. ใชส้ มการสมดุล Fx  O, Fy  O และ M  O ช่วยในการคานวณ สมการ

สมดุลดงั กล่าวไมจ่ าเป็นตอ้ งใชท้ ้งั หมด อาจใชเ้ พยี งสมการเดียวก็สามารถหาคา่ ได้
5. ในกรณีท่ีระนาบตดั ผา่ นชิ้นส่วนเกินกวา่ 3 ชิ้นข้ึนไป จะตอ้ งใชร้ ะนาบตดั อีกชุดหน่ึงช่วยเสริม
เพอ่ื หาตวั ที่ไมท่ ราบค่าบางตวั ใหไ้ ดก้ ่อน
6. เมื่อใชร้ ะนาบตดั โครงสร้างแลว้ ใหแ้ ยกโครงสร้างออกจากกนั และเขียนผงั วตั ถุอิสระของ
โครงสร้างที่แยกแลว้ น้นั โดยจะพิจารณาโครงสร้างส่วนใดก็ไดข้ ้ึนอยกู่ บั ความเหมาะสม

2. จงอธิบายข้นั ตอนหลกั ๆในการวเิ คราะห์โครงกอบและเคร่ืองจกั รกล
ในการวเิ คราะห์หาค่าแรงในโครงกรอบและเครื่องจกั รกล จาเป็นจะตอ้ งเลือกแยกชิ้นส่วนเพ่ือวาด
ผงั อิสระของวตั ถุ โดยมีข้นั ตอนหลกั ๆ
1. วาดแผนภาพวตั ถุอิสระของท้งั ระบบหรือโครงสร้าง หรือวาดเฉพาะบางส่วน (หลายชิ้นส่วน)
หรือชิ้นส่วนเดียว โดยเลือกเริ่มผงั อิสระท่ีจะนาไปสู่คาตอบตรงท่ีสุด
2. ตรวจสอบสมการสมดุล (ซ่ึงเท่ากบั สามสาหรับโครงสร้างในสองมิติ) เปรียบเทียบกบั จานวนตวั
ไม่รู้คา่ ในแผนภาพวตั ถุอิสระแต่ละรูป

198

3. จงใชว้ ธิ ีภาคตดั หาแรงในชิ้นส่วน AB , BG , FG ของโครงสร้าง

6 kN

AB CD

5m 4m 3m 2m
E
GF
H

วธิ ีทา
ใชร้ ะนาบตดั ผา่ นชิ้นส่วน AB , BG , FG และพิจารณาวา่ ส่วนตดั ดา้ นขวามือของโครงสร้าง

ดงั น้นั ในกรณีน้ีจึงไม่จาเป็นตอ้ งหาแรงปฏิกิริยาท่ีจุดรองรับ A และ

6 kN

E
F

เม่ือต่อแนวของโครงสร้างออกไปพบกนั ท่ีจุด P ไดม้ ุม  ดงั น้ี
 = tan –1 2 = 22.62

4.8

เขียนผงั วตั ถุอิสระของส่วนตดั ดา้ นขวามือไดด้ งั รูป หาแรงในชิ้นส่วนตา่ ง ๆ ดงั น้ี
 MP = 0 ; + ; 6(4.8) – BG(9.6) = 0

BG = 3 kN (แรงกด)
 MG = 0 ; + ; AB(4) – 6(4.8) = 0

AB = 7.2 kN (แรงดึง)
 MB = 0 ; + + ; FG(9.6 Sin 22.62) – 6(4.8) = 0

FG = 7.8 kN (แรงกด)

199

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 11

1. จงอธิบายข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชภ้ าคตดั
2. จงอธิบายข้นั ตอนหลกั ๆในการวเิ คราะห์โครงกอบและเคร่ืองจกั รกล
3. จงใชว้ ธิ ีภาคตดั หาแรงในชิ้นส่วน AB , BG , FG ของโครงสร้าง

6 kN

AB CD

5m 4m 3m 2m
E
GF
H

200

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 11

1. จงอธิบายข้นั ตอนการวเิ คราะห์โครงสร้างโดยใชว้ ธิ ีการใชภ้ าคตดั
มีข้นั ตอนการดาเนินการดงั น้ี
1. เขียนผงั วตั ถุอิสระของโครงสร้างท้งั หมด
2. ใชห้ ลกั การสมดุลหาแรงปฏิกิริยาที่จาเป็นตอ้ งใช้
3.ใชก้ ารตดั โครงสร้างโดยให้ระนาบตดั น้นั ผา่ นชิ้นส่วนท่ีตอ้ งการหาแรง ระนาบตดั จะตดั ผา่ น
ชิ้นส่วนไดไ้ มเ่ กิน 3 ชิ้นและตวั ไมท่ ราบค่าจะตอ้ งมีไมเ่ กิน 3 ตวั เพราะมีสมการอยเู่ พียงแค่ 3
สมการ

4. ใชส้ มการสมดุล Fx  O, Fy  O และ M  O ช่วยในการคานวณ สมการ

สมดุลดงั กล่าวไมจ่ าเป็นตอ้ งใชท้ ้งั หมด อาจใชเ้ พยี งสมการเดียวกส็ ามารถหาคา่ ได้
5. ในกรณีท่ีระนาบตดั ผา่ นชิ้นส่วนเกินกวา่ 3 ชิ้นข้ึนไป จะตอ้ งใชร้ ะนาบตดั อีกชุดหน่ึงช่วยเสริม
เพอ่ื หาตวั ท่ีไมท่ ราบคา่ บางตวั ใหไ้ ดก้ ่อน
6. เมื่อใชร้ ะนาบตดั โครงสร้างแลว้ ใหแ้ ยกโครงสร้างออกจากกนั และเขียนผงั วตั ถุอิสระของ
โครงสร้างที่แยกแลว้ น้นั โดยจะพจิ ารณาโครงสร้างส่วนใดก็ไดข้ ้ึนอยกู่ บั ความเหมาะสม

2. จงอธิบายข้นั ตอนหลกั ๆในการวเิ คราะห์โครงกอบและเครื่องจกั รกล
ในการวเิ คราะห์หาคา่ แรงในโครงกรอบและเคร่ืองจกั รกล จาเป็นจะตอ้ งเลือกแยกชิ้นส่วนเพ่อื วาด
ผงั อิสระของวตั ถุ โดยมีข้นั ตอนหลกั ๆ
1. วาดแผนภาพวตั ถุอิสระของท้งั ระบบหรือโครงสร้าง หรือวาดเฉพาะบางส่วน (หลายชิ้นส่วน)
หรือชิ้นส่วนเดียว โดยเลือกเริ่มผงั อิสระท่ีจะนาไปสู่คาตอบตรงที่สุด
2. ตรวจสอบสมการสมดุล (ซ่ึงเท่ากบั สามสาหรับโครงสร้างในสองมิติ) เปรียบเทียบกบั จานวนตวั
ไมร่ ู้ค่าในแผนภาพวตั ถุอิสระแตล่ ะรูป

201

3. จงใชว้ ธิ ีภาคตดั หาแรงในชิ้นส่วน AB , BG , FG ของโครงสร้าง

6 kN

AB CD

5m 4m 3m 2m
E
GF
H

วธิ ีทา
ใชร้ ะนาบตดั ผา่ นชิ้นส่วน AB , BG , FG และพิจารณาวา่ ส่วนตดั ดา้ นขวามือของโครงสร้าง

ดงั น้นั ในกรณีน้ีจึงไม่จาเป็นตอ้ งหาแรงปฏิกิริยาที่จุดรองรับ A และ

6 kN

E
F

เมื่อต่อแนวของโครงสร้างออกไปพบกนั ท่ีจุด P ไดม้ ุม  ดงั น้ี
 = tan –1 2 = 22.62

4.8

เขียนผงั วตั ถุอิสระของส่วนตดั ดา้ นขวามือไดด้ งั รูป หาแรงในชิ้นส่วนต่าง ๆ ดงั น้ี
 MP = 0 ; + ; 6(4.8) – BG(9.6) = 0

BG = 3 kN (แรงกด)
 MG = 0 ; + ; AB(4) – 6(4.8) = 0

AB = 7.2 kN (แรงดึง)
 MB = 0 ; + + ; FG(9.6 Sin 22.62) – 6(4.8) = 0

FG = 7.8 kN (แรงกด)

202

บันทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

แผนการจัดการเรียนรู้ 203
ชื่อวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1
ชื่อหน่วย โครงสร้าง ( ต่อ ) หน่วยที่ 5
สอนคร้ังที่ 12
หวั เร่ือง จานวน 3 ช่ัวโมง
5.5 แรงภายในของโครงสร้าง
5.6 คาน (Beam)

สาระสาคญั

1. แรงภายในของโครงสร้างคือแรงภายในเกิดข้ึนในวตั ถุเพอ่ื ตา้ นกบั แรงภายนอกท่ีมา

กระทาเสมอ และเรายงั สามารถใชส้ มการสมดุลทางสถิติศาสตร์  F  0 และ M  0

มาหาคา่ แรงภายในได้ โดยพิจารณาเฉพาะแรงภายนอกและแรงภายในท่ีเกี่ยวขอ้ ง

2. คาน เป็น ส่วนของโครงสร้างที่มีความยาวค่อนขา้ งมาก เม่ือเทียบมิติทางดา้ นขา้ ง (ดา้ น

กวา้ งหรือดา้ นยาวของหนา้ ตดั ) ทาหนา้ ท่ีรับแรงตามขวาง (ต้งั ฉากกบั แนวแกนของคาน) หรือ
โมเมนตข์ องแรงคู่ควบอยใู่ นระนาบเดียวกนั

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถเขียนแรงภายในโครงสร้างแบบต่างๆไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาแรงภายในโครงสร้างไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนสามารถแยกชนิดของคานไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

204

เนือ้ หาสาระ
5.5 แรงภายใน (Internal Forces)

เม่ือวตั ถุหรือโครงสร้างรับแรงภายนอก และอยทู่ ี่สภาวะสมดุล เน่ืองจากมีแรงจาก
ฐานรองรับหรือจุดยดึ ต่างๆมาตา้ นไว้ เราสามารถใชส้ มการสมดุลทางสถิติศาสตร์ คือ

 F  0 และ M  0 เพอ่ื หาค่าแรงตา่ งๆ ได้ ขณะเดียวกนั จะมีแรงภายในของวตั ถุหรือ

ส่วนต่างๆ ของโครงสร้างเกิดข้ึนเพ่ือตา้ นกบั แรงภายนอกที่มากระทาเสมอ และเรายงั สามารถใช้

สมการสมดุลทางสถิติศาสตร์  F  0 และ M  0มาหาคา่ แรงภายในได้ โดยพิจารณา

เฉพาะแรงภายนอกและแรงภายในท่ีเกี่ยวขอ้ ง
แรงภายในของโครงสร้าง

โครงสร้างอาจประกอบดว้ ยชิ้นส่วนท่ีประกอบกนั ข้ึนแตกตา่ งกนั แรงภายในท่ีเกิดข้ึนใน
ชิ้นส่วนต่างๆ ของโครงสร้างต่างชนิดกนั อาจแบง่ ออกเป็ นดงั น้ี
แรงภายในของท่อนวสั ดุตรงสองแรง

ชิ้นส่วนในโครงขอ้ หมุนซ่ึงเป็นทอ่ นวสั ดุตรง และในท่อนวสั ดุสองแรง (Straight two
force member) ท้งั หมด ดงั น้นั แรงภายในจะเป็นแรงในแนวแกนหรือแรงต้งั ฉากกบั หนา้ ตดั (axial
or normal force) ท้งั หมด นนั่ คือแรงภายในจะเป็นแรงดึง หรือแรงอดั อยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเท่าน้นั ดงั
รูป