กลศาสตร์วิศวกรรม

255

เฉลยแบบฝึ กหดั
1. จงเขียนแผนภาพวตั ถุอิสระความเสียดทานของล่ิม

mm

 P
R3
รูปที่ 5.4
W
 S   R2
R1 R2 S  

P

2. ลิ่มที่มีมุม 5 สองอนั ตมรูปใชส้ าหรับปรับตาแหน่งของเสาที่รองรับภาระที่เป็นแรงในแนวดิ่ง
เท่ากบั 5 kN จงหาค่าแรง P ที่ตอ้ งใชใ้ นการขยบั เสาข้ึนถา้ คา่ สมั ประสิทธ์ิของความเสียดทานทุก
ผวิ สมั ผสั เป็ น 0.40

5 kN
R3

R2 W 5 P
S   P 5

256

วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระได้

R2 P

x 5



P 

 R2 R1

5

การคานวณ

  tan1   tan1(0.40)  21.80

สาหรับผงั วตั ถุอิสระของเสาและล่ิมอนั บน

 Fy  0 ; R 2cos(21.8  5 )  5 kN

ดงั น้นั R2  5  5.60 kN
Cos26.80

สาหรับผงั วตั ถุอิสระของล่ิมอนั ล่าง

β  90  2φ  5  41.40

 Fx  0 ; P cos 21.80  R 2cos41.40  0

ดงั น้นั P  R 2cos41.40  5.60(0.7501) kN
cos 21.80 0.9285

 4.52 kN Ans

257

3. อุปกรณ์เร่งตามรูปรับแรงดึงT เท่ากบั 60 kN สกรูแตล่ ะตวั มีเส้นผา่ ศนู ยก์ ลางเฉล่ีย 36 mm สก
รูเป็ นแบบเกลียวเด่ียวโดยมีช่วงเกลียว (ระยะการเคลื่อนท่ีในแนวด่ิงต่อการหมุน 1รอบ) 8 mm สก
รูอนั หน่ึงเป็ นแบบเกลียวขวาและอีกอนั หน่ึงเป็ นแบบเกลียวซ้าย ถา้ ตอ้ งใช้โมเมนต์ 380 Nm ใน
การคลายเกลียวออก จงคานวณหาค่าสัมประสิทธ์ิของความเสียดทาน

TT

วธิ ีทา

หาคา่ มุม α  t an 1 L  t an 1 2π 8
2π r (18)

α  4.046

จาก M  W r tan(φ  α)

 2T r tan (φ  α)

tan (φ  α)  380

3

2x60x10 x0.018

 0.176
(φ  α)  9.978
φ  9.978  4.046  14.024
μ  tan 14.024  0.250 Ans

258

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 14
1. จงเขียนแผนภาพวตั ถุอิสระความเสียดทานของล่ิม

mm

P

2. ลิ่มที่มีมุม 5 สองอนั ตมรูปใชส้ าหรับปรับตาแหน่งของเสาท่ีรองรับภาระที่เป็นแรงใน
แนวดิ่งเท่ากบั 5 kN จงหาคา่ แรง P ท่ีตอ้ งใชใ้ นการขยบั เสาข้ึนถา้ ค่าสัมประสิทธ์ิของความเสียด
ทานทุกผวิ สัมผสั เป็ น 0.40

5 kN

P5
5P

3. อุปกรณ์เร่งตามรูปรับแรงดึงT เทา่ กบั 60 kN สกรูแต่ละตวั มีเส้นผา่ ศนู ยก์ ลางเฉล่ีย 36 mm สก
รูเป็ นแบบเกลียวเดี่ยวโดยมีช่วงเกลียว (ระยะการเคล่ือนท่ีในแนวดิ่งต่อการหมุน 1รอบ) 8 mm สก
รูอนั หน่ึงเป็ นแบบเกลียวขวาและอีกอนั หน่ึงเป็ นแบบเกลียวซ้าย ถา้ ตอ้ งใช้โมเมนต์ 380 Nm ใน
การคลายเกลียวออก จงคานวณหาค่าสมั ประสิทธ์ิของความเสียดทาน

TT

259

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 14
1. จงเขียนแผนภาพวตั ถุอิสระความเสียดทานของลิ่ม

mm

  P
R1 R3
รูปท่ี 5.4
W
S   R2
S  
R2

P

2. ลิ่มที่มีมุม 5 สองอนั ตมรูปใชส้ าหรับปรับตาแหน่งของเสาท่ีรองรับภาระที่เป็นแรงในแนวดิ่ง
เทา่ กบั 5 kN จงหาคา่ แรง P ท่ีตอ้ งใชใ้ นการขยบั เสาข้ึนถา้ คา่ สัมประสิทธ์ิของความเสียดทานทุก
ผวิ สัมผสั เป็ น 0.40

5 kN
R3

R2 W 5 P
S   P 5

260

วธิ ีทา เขียนแผนภาพวตั ถุอิสระได้

R2 P

x 5



P 

 R2 R1

5

การคานวณ

  tan1   tan1(0.40)  21.80

สาหรับผงั วตั ถุอิสระของเสาและลิ่มอนั บน

 Fy  0 ; R 2cos(21.8  5 )  5 kN

ดงั น้นั R2  5  5.60 kN
Cos26.80

สาหรับผงั วตั ถุอิสระของล่ิมอนั ล่าง

β  90  2φ  5  41.40

 Fx  0 ; P cos 21.80  R 2cos41.40  0

ดงั น้นั P  R 2cos41.40  5.60(0.7501) kN
cos 21.80 0.9285

 4.52 kN Ans

3. อุปกรณ์เร่งตามรูปรับแรงดึงT เทา่ กบั 60 kN สกรูแตล่ ะตวั มีเส้นผา่ ศนู ยก์ ลางเฉล่ีย 36 mm สก

รูเป็ นแบบเกลียวเดี่ยวโดยมีช่วงเกลียว (ระยะการเคล่ือนที่ในแนวด่ิงต่อการหมุน 1รอบ) 8 mm สก

รูอนั หน่ึงเป็ นแบบเกลียวขวาและอีกอนั หน่ึงเป็ นแบบเกลียวซ้าย ถา้ ตอ้ งใชโ้ มเมนต์ 380 Nm ใน

การคลายเกลียวออก จงคานวณหาค่าสัมประสิทธ์ิของความเสียดทาน

TT

261

วิธีทำ

หาคา่ มุม α  t an 1 L  t an 1 2π 8
2π r (18)

α  4.046

จาก M  W r tan(φ  α)

 2T r tan (φ  α)

tan (φ  α)  380

3

2x60x10 x0.018

 0.176
(φ  α)  9.978
φ  9.978  4.046  14.024
μ  tan 14.024  0.250 Ans

262

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

แผนการจัดการเรียนรู้ 263
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1.
ช่ือหน่วย ความเสียดทาน หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังท่ี 15
หัวเร่ือง จานวน 3 ช่ัวโมง
6.6 เจอร์นลั แบริ่ง
6.7 สายพาน

สาระสาคัญ
1. เจอร์นลั แบริ่งเป็ นชิ้นส่วนท่ีใชก้ ารรองรับเพลา สาหรับเจอร์นลั แบริ่งท่ีไม่มีการหล่อล่ืน

หรือมีการหล่อล่ืนบางส่วนจะใชห้ ลกั การของความเสียดทานแหง้ ในการวเิ คราะห์
2. สายพานใชก้ ารส่งกาลงั โดยอาศยั ความเสียดทานระหวา่ งสายพานและมูเล่ โมเมนต์ M

ท่ีสามารถถ่ายทอดไดน้ ้นั กค็ ือ โมเมนตท์ ่ีจะทาใหส้ ายพานล่ืนไถลพอดี

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาความเสียดทานในเจอร์นลั แบริ่งอยา่ งไดถ้ ูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาความเสียดทานในสายพานอยา่ งไดถ้ ูกตอ้ ง

264

เนือ้ หาสาระ
6.6 เจอร์นัลแบริ่ง

เจอร์นลั แบริ่งเป็นชิ้นส่วนที่ใชก้ ารรองรับเพลา สาหรับเจอร์นลั แบริ่งท่ีไม่มีการหล่อลื่น
หรือมีการหล่อล่ืนบางส่วนจะใชห้ ลกั การของความเสียดทานแหง้ ในการวเิ คราะห์ ตามผงั วตั ถุ
อิสระของเพลาและแบริ่งตามรูปที่ 6.7 เม่ือพิจารณาในขณะท่ีกาลงั จะเคลื่อนท่ีพอดี และใช้
สมการสมดุลของแรงจะไดโ้ มเมนตท์ ี่ใชใ้ นการหมุนเพลาเป็น

โดย M คือ ขนาดของโมเมนตท์ ี่ใชใ้ นการหมุนเพลา
R คือ ขนาดของแรงปฏิกิริยาท่ีแบริ่งกระทาต่อเพลาซ่ึงจะมีคา่ เทา่ กบั แรง L ที่

กระทาตอ่ เพลาซ่ึงจะมีค่าเทา่ กบั แรง L ที่กระทาต่อเพลา
rf คือ รัศมีของวงกลมความเสียดทาน
r คือ รัศมีของเพลา
 คือ มุมของความเสียดทาน โดยที่ tanφ  μ
และในกรณีท่ีค่าสัมประสิทธ์ิของความเสียดทานนอ้ ย มุมของความเสียดทาน φ จะมีคา่

นอ้ ยดว้ ย ดงั น้นั จึงสามารถประมาณให้ sinφ  tanφ  μ ดงั น้นั จะได้

M  μRr

265

ความเสียดทานของจานและแบริ่งทร่ี ับแรงในแนวแกน
ลกั ษณะของความเสียดทานของจาน จะพบในอุปกรณ์เคร่ืองจกั รกลไดแ้ ก่ คลตั ซ์ และ

เบรกแบบจาน ซ่ึงแทนไดด้ ว้ ยจานกลมสองอนั ถูกดนั ใหต้ ิดกนั ดว้ ยแรงกดตามแนวแกน P โดย
โมเมนต์ M ที่จานกลมน้ีสามารถถ่ายทอดไปไดก้ ค็ ือ โมเมนต์ M ที่จะทาใหเ้ กิดการล่ืนไถลพอดี
ซ่ึงสามารถหาไดจ้ ากผงั วตั ถุอิสระ และสมมติใหค้ วามดนั ระหวา่ งผวิ สมั ผสั ของจานท้งั สองคงที่
ซ่ึงเป็นไดเ้ ม่ือผวิ สมั ผสั น้นั ใหม่และเรียบ จะได้

M  2 μPR
3

โดยท่ี M คือ ขนาดของโมเมนตท์ ่ีทาใหเ้ กิดการลื่นไถลพอดี
μ คือ ค่าสมั ประสิทธ์ิของความเสียดทาน
P คือ ขนาดของแรงกดตามแนวแกน
R คือ รัศมีของจาน

แต่ถา้ ผวิ สมั ผสั น้นั ผา่ นการใชง้ านมาแลว้ และกาหนดให้การสึกหรอเกิดข้ึนคงที่ จะไดโ้ มเมนตท์ ่ี
ทาใหเ้ กิดการลื่นไถลพอพี คือ

M  1 μPR
2

266

สาหรับแบริ่งท่ีรับแรงในแนวแกน จานที่สัมผสั จะมีลกั ษณะเป็นรูปวงแหวน โมเมนต์ M
จะทาใหเ้ กิดการล่ืนไถลพอดี หรือโมเมนตข์ องความฝื ดน้นั สามารถหาไดเ้ ช่นเดียวกบั จานกลม
โดยในกรณีที่เป็นผวิ สัมผสั ใหมแ่ ละใหค้ วามดนั คงท่ีจะได้

M  2 μP R 3  R 3
o i

3 R 2  R 2
o i

โดยที่ R o คือ รัศมีภายนอกของวงกลม
Ri คือ รัศมีภายในของวงแหวน
และถา้ ผวิ สัมผสั ผา่ นการใชง้ านมาแลว้ และกาหนดใหก้ ารสึกหรอท่ีเกิดข้ึนคงท่ี จะได้

M  1 μPR o  Ri 
2

267

6.7 สายพาน
สายพานใชก้ ารส่งกาลงั โดยอาศยั ความเสียดทานระหวา่ งสายพานและมูเล่ โมเมนต์ M
ท่ีสามารถถ่ายทอดไดน้ ้นั ก็คือ โมเมนตท์ ี่จะทาใหส้ ายพานล่ืนไถลพอดี ซ่ึงสามารถหาไดจ้ าก
คา่ แรงดึงในสายพานท้งั สองดา้ นของมูเล่ แสดงผงั วตั ถุอิสระของสายพาน เมื่อใชส้ มการสมดุล
ของแรงจะได้

T2  Tieμβ

โดยที่ T2 คือ ขนาดของแรงดึงในสายพานดา้ นตึง
คือ ขนาดของแรงดึงในสายพานดา้ นหยอ่ น
T1 คือ คา่ สัมประสิทธ์ิของความเสียดทาน
μ

β คือ มุมสัมผสั ระหวา่ งสายพานกบั มเู ล่

สมการของสายพานขา้ งตน้ สามารถใชไ้ ดก้ บั กรณีอ่ืน ๆ ดว้ ย เช่น เชือก ลวด และแถบ

วตั ถุพนั รอบแกนทรงกระบอก

268

ตัวอย่างท่ี 1 ลอ้ 2 อนั ต่อกนั ดว้ ยเพลาซ่ึงเพลาถูกรองรับดว้ ยแบร่ิงระหวา่ งลอ้ ท้งั สองลอ้ แต่ละอนั มี
มวล 40 kg และเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของเพลาเป็น 40 mm ถา้ โมเมนตข์ นาด 3 Nm กระทาต่อ
เพลาใหเ้ พลาหมุนดว้ ยความเร็วคงท่ีต่าๆจงหาคา่ สมั ประสิทธ์ิของความเสียดทานในแบริ่งและให้
หารัศมี rf ของวงกลมความเสียดทาน

วธิ ีทา ใชส้ ูตร M  Rrf  Rrsinφ

sinφ  M  3  0.1911
Rr
809.810.02

sinφ  11.02

μ  tanφ  tan11.02  0.195

rf  rsinφ

rf  20sin11.02  3.822mm ตอบ

269

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาค่าของโมเมนตซ์ ่ึงกระทาต่อเพลาของลอ้ ทรงกระบอกเพื่อจะลดวตั ถุ 500 kg
ลงดว้ ยความเร็วคงท่ี กาหนดใหค้ า่ μ ของแบริ่ง = 0.271

วธิ ีทา ใชส้ มการสมดุลโมเมนต์ MA  0

5009.810.3  rf 1009.81rf  M  0

rf  rsinφ
φ  tan1μ  tan10.271  15.17
rf  25sin15.17  6.65mm

5009.810.3  0.006541009.810.00654 M  0
M  1433N  m ตอบ

270

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเรื่อง ลิ่ม สกรู ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงหวั ขอ้ ที่จะสอนในวนั น้ีคือ เร่ือง เจอร์นลั แบร่ิงและสายพาน ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. ผสู้ อนบรรยายเน้ือหาหน่วยท่ี 6 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 ) ( 70 นาที )
2. ผสู้ อนบรรยายหลกั การวเิ คราะห์ ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึ กหดั และเปิ ดโอกาสใหน้ กั เรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. ผสู้ อนสรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

271

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1, 2 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเน้ือหาท่ีจะเรียนสัปดาห์หนา้

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

272

แบบฝึ กหดั
1 . ลอ้ 2 อนั ตอ่ กนั ดว้ ยเพลาซ่ึงเพลาถูกรองรับดว้ ยแบร่ิงระหวา่ งลอ้ ท้งั สองลอ้ แต่ละอนั มีมวล 40 kg
และเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของเพลาเป็น 40 mm ถา้ โมเมนตข์ นาด 3 Nm กระทาตอ่ เพลาใหเ้ พลา
หมุนดว้ ยความเร็วคงที่ต่าๆจงหาค่าสมั ประสิทธ์ิของความเสียดทานในแบร่ิงและใหห้ ารัศมี rf
ของวงกลมความเสียดทาน

2 . จงหาคา่ ของโมเมนตซ์ ่ึงกระทาตอ่ เพลาของลอ้ ทรงกระบอกเพ่ือจะลดวตั ถุ 500 kg ลงดว้ ย
ความเร็วคงที่ กาหนดใหค้ า่ μ ของแบริ่ง = 0.271

273

เฉลยแบบฝึ กหดั

1. ลอ้ 2 อนั ตอ่ กนั ดว้ ยเพลาซ่ึงเพลาถูกรองรับดว้ ยแบริ่งระหวา่ งลอ้ ท้งั สองลอ้ แตล่ ะอนั มีมวล 40 kg
และเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของเพลาเป็น 40 mm ถา้ โมเมนตข์ นาด 3 Nm กระทาต่อเพลาใหเ้ พลา
หมุนดว้ ยความเร็วคงที่ต่าๆจงหาคา่ สัมประสิทธ์ิของความเสียดทานในแบริ่งและใหห้ ารัศมี rf
ของวงกลมความเสียดทาน

วธิ ีทา ใชส้ ูตร M  Rrf  Rrsinφ

sinφ  M  3  0.1911
Rr
809.810.02

sinφ  11.02

μ  tanφ  tan11.02  0.195

rf  rsinφ

rf  20sin11.02  3.822mm ตอบ

274

2 . จงหาค่าของโมเมนตซ์ ่ึงกระทาตอ่ เพลาของลอ้ ทรงกระบอกเพ่ือจะลดวตั ถุ 500 kg ลงดว้ ย
ความเร็วคงที่ กาหนดใหค้ ่า μ ของแบร่ิง = 0.271

วธิ ีทา ใชส้ มการสมดุลโมเมนต์ MA  0

5009.810.3  rf 1009.81rf  M  0

rf  rsinφ
φ  tan1μ  tan10.271  15.17
rf  25sin15.17  6.65mm

5009.810.3  0.006541009.810.00654 M  0
M  1433N  m ตอบ

275

แบบทดสอบสัปดาห์ที่ 15

1. ลอ้ หนา้ ของรถทดลองซ่ึงขบั เคล่ือนลอ้ หลงั มีรัศมี 300 mm ติดต้งั หา้ มลอ้ แบบจานที่
ประกอบดว้ ยจานวงแหวน A มีรัศมีดา้ นนอก 150 mm และรัศมีดา้ นใน 75 mm จานวงแหวนน้ีจะ
หมุนไปกบั ลอ้ และถูกดนั ใหต้ ิดกบั จานลอ้ ดว้ ยแรง P ถา้ ความดนั ระหวา่ งจานวงแหวนและจานลอ้
สม่าเสมอตลอดหนา้ สมั ผสั จงหาแรงเสียดทาน F ระหวา่ งยางลอ้ หนา้ กบั พ้ืนถนน สาหรับแรง P = 1
kN และเมื่อรถวง่ิ ดว้ ยความเร็วคงที่ กาหนดใหส้ ัมประสิทธ์ิของความเสียดทานระหวา่ งจานวงแหวน
กบั จานลอ้ เป็น 0.35

276

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 15
1. ลอ้ หนา้ ของรถทดลองซ่ึงขบั เคล่ือนลอ้ หลงั มีรัศมี 300 mm ติดต้งั หา้ มลอ้ แบบจานท่ี
ประกอบดว้ ยจานวงแหวน A มีรัศมีดา้ นนอก 150 mm และรัศมีดา้ นใน 75 mm จานวงแหวนน้ีจะ
หมุนไปกบั ลอ้ และถูกดนั ใหต้ ิดกบั จานลอ้ ดว้ ยแรง P ถา้ ความดนั ระหวา่ งจานวงแหวนและจานลอ้
สม่าเสมอตลอดหนา้ สมั ผสั จงหาแรงเสียดทาน F ระหวา่ งยางลอ้ หนา้ กบั พ้นื ถนน สาหรับแรง P = 1
kN และเมื่อรถวงิ่ ดว้ ยความเร็วคงที่ กาหนดใหส้ มั ประสิทธ์ิของความเสียดทานระหวา่ งจานวงแหวน
กบั จานลอ้ เป็น 0.35

วธิ ีทา ใชส้ ูตร M  2 μP R 3  R 3
3 o i

R 2  R 2
o i

M  2 0.351 1503  753
3 1502  752

 40.8N  m

M 0

M  F0.3  0

F  40.8
0.3

 136.1N ตอบ

277

บันทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

278

แผนการจดั การเรียนรู้ หน่วยท่ี 7
ชื่อวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังที่ 16
ชื่อหน่วย แรงกระจาย จานวน 3 ชั่วโมง

หวั เรื่อง
7.1 แรงกระจาย
7.2 จุดศูนยถ์ ่วงและ จดุ ศูนยก์ ลางมวล

สาระสาคญั

1. แรงกระจาย คือแรงกระจายกบั วตั ถลุ กั ษณะการกระจายอาจกระจายสม่าเสมอ หรือไมส่ ม่าเสมอ
2. จุดศูนยถ์ ว่ ง คือ จุดรวมของแรงดึงดูดของโลก ท่ีกระทาวตั ถุ เป็ นที่รวมน้าหนกั ของวตั ถทุ ้งั กอ้ น จุด
ศูนยก์ ลางมวล (Center of mass) จุดศนู ยก์ ลางมวล คือ จุดรวมของมวลของวตั ถุท้งั กอ้ นวตั ถทุ ุกชิ้น
ประกอบดว้ ยอนุภาคจานวนมาก
3. จุดเซนทรอยด์ คือ จุดศูนยก์ ลางของวตั ถทุ ี่พิจารณา เฉพาะรูปร่างทางเรขาคณิต

สมรรถนะทพ่ี งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คณุ ธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. สามารถบอกประเภทของแรงกระจายไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. อธิบายนิยามและสูตรของจุดศนู ยถ์ ว่ ง จุดเซนทรอยด์ และจดุ ศูนยก์ ลางมวลไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. คานวณหาจุดศูนยก์ ลางมวลของวตั ถุประกอบรูปทรงต่างๆ ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง
4. คานวณหาตาแหน่งเซนทรอยดข์ องวตั ถุไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

279

เนือ้ หาสาระ
7.1 แรงกระจาย (Distributed Force)

ในการพจิ ารนาแรงในบทท่ีผา่ นมา มีการพจิ ารนาแรงที่กระทาเป็น (concentrated force or point load)
ซ่ึงในความเป็นจริงแลว้ แรงกระทาท่ีจดุ ๆ เดียวไมม่ ี เพราะทุกแรงจะกระทาทวั่ บริเวณหน่ึง ไมว่ า่ บริเวณน้นั จะ
เลก็ แค่ไหนกต็ าม ในกรณีที่แรงกระทาทว่ั บริเวณเลก็ ๆ เม่ือเทียบกบั บริเวณน้นั ท้งั หมดท่ีพิจารณา เช่น น้าหนกั
ของรถยนตท์ ี่กระจายทว่ั ตวั รถ อาจถือไดว้ า่ กดลงพ้นื ถนนโดยผา่ นทางลอ้ ท้งั ส่ี เป็ นจุด 4 จดุ แต่ในกรณีท่ีแรง
กระจายทว่ั บริเวณท่ีคอ่ นขา้ งใหญ่ การพิจารณาเป็ นแรงแบบจดุ จะทาใหผ้ ิดความจริงไป เช่น น้าหนกั ของ
รถยนตห์ ลายคนั ที่จอดบริเวณลานจอดรถ ก็อาจจะพจิ ารณาเป็ นน้าหนกั รวมของรถบนลานจอดรถ ก็อาจ
พจิ ารณาเป็ นน้าหนกั รวมผา่ นจุด ๆ หน่ึงได้ แตถ่ า้ ตอ้ งการพิจารณาผลของน้าหนกั รถต่อพ้ืนลานจอดรถวา่ จะโก่ง
ตวั มากนอ้ ยเพยี งใด และ ณ บริเวณใดจะรบั แรงมากท่ีสุดจนเกิดรอยร้าวก็ตอ้ งพจิ ารณาน้าหนกั รถท้งั หมด
กระจายทว่ั บริเวณ
ประเภทของแรงกระจาย

การพจิ ารณาแรงกระจาย จะพจิ ารณาจากความเขม้ หรือความนอ้ ยของแรง (intensity of force) ที่
กระจายทวั่ บริเวณ ลกั ษณะการกระจาย อาจกระจายสม่าเสมอ (uniformly distributed) หรือไมส่ ม่าเสมอ (non-
uniformly distributed) โดยทวั่ ไปการกระจายของแรงแบ่งออกเป็ น 3 ประเภทดงั น้ี

1. การกระจายตามแนวเสน้
(Line distribution) ลกั ษณะของแรงที่กระจายตามแนวเสน้ เช่น น้าหนกั ของคานที่กระจายตลอดความยาวของ
คาน มีหน่วยเป็ นแรงต่อหน่ึงหน่วยความยาว เช่น 500 N/m

รูปท่ี 1 การกระจายตามแนวเสน้

2. การกระจายทว่ั พ้ืนท่ี (Area distribution) หมายถึง แรงที่กระจายทวั่ พ้นื ท่ีที่กระทา เช่น น้าหนกั ของรถยนต์
บนลานจอดรถ มีหน่วยเป็ นแรงตอ่ หน่ึงหน่วยพ้นื ท่ี เชน่ N/m2 หรือปอนดต์ ่อตารางนิ้วเป็นตน้ ดงั ในรูปที่ 6.2

280

รูปท่ี 2

3. การกระจายทว่ั ปริมาตร (Volume distribution) แรงท่ีกระจายทว่ั บริเวณของวตั ถุอาจเรียกอีกอยา่ งหน่ึงวา่
แรงวตั ถุ (body force) เช่น แรงดึงดูดของโลกท่ีมีตอ่ วตั ถุ หรือน้าหนกั ของวตั ถุที่กระจายทว่ั ปริมาตร (ซ่ึงเรียกวา่
specific weight) มีหน่วยเป็นแรงตอ่ หน่ึงหน่วยปริมาตร เช่น N/m3 หรือปอนดต์ อ่ ลกู บาศกน์ ิ้ว เป็ นตน้ ดงั รูปท่ี
6.3

นา้ หนกั 500 N   N / m3

รูปที่ 3 แรงกระจายทว่ั ปริมาตร

7.2 จดุ ศูนย์ถ่วง และจดุ เซนทรอยด์
แรงที่กระทาต่อวตั ถจุ ะแผก่ ระจายไปตามพ้ืนท่ี และปริมาตรของวตั ถนุ ้นั โดยไม่ไดก้ ระทาท่ีจุดใดจุด
หน่ึง วตั ถทุ ุกชิ้นประกอบดว้ ยอนุภาคจานวนมาก และ อนุภาคเหลา่ น้นั มีมวล และถกู ดึงดูดดว้ ยแรงดึงดูดของ
โลก แรงดึงดูดที่กระทาตอ่ วตั ถุกจ็ ะกระจายอยทู่ ว่ั ทุกอนุภาคของวตั ถเุ ช่นกนั ในงานทางวศิ วกรรมจาเป็ นตอ้ งหา
จุดรวมวตั ถุ เพ่อื ใชใ้ นการออกแบบ คานวณต่างๆ

จดุ ศูนย์ถ่วง (Center of Gravity)
อนุภาคเหลา่ น้นั ตา่ งก็มีมวล และถกู ดูดดว้ ยแรงดูดของโลก แรงดึงดูดของโลกเหลา่ น้ีต่างขนานกนั และเม่ือ
รวมเขา้ ดว้ ยกนั ก็คือน้าหนกั ของวตั ถทุ ้งั กอ้ น เพราะฉะน้นั จุดท่ีเป็นจุดรวมของน้าหนกั และจุดรวมของมวล จึง
เป็ นจุดเดียวกนั ก็ได้

สาหรับจุดศูนยก์ ลางมวลเราจะนามาพิจารณาในกรณีปัญหาเกี่ยวกบั การเคลื่อนท่ีของสสารภายใตอ้ ิทธิผล
ของแรง(พลศาสตร์)

ตาแหน่งของจุดศูนยถ์ ว่ ง และจุดศูนยก์ ลางมวลจะรวมอยทู่ ี่จุดเดียวกนั กต็ ่อเม่ือ วตั ถุมีน้าหนกั และอยภู่ ายใต้
แรงโนม้ ถว่ งของโลกเท่าน้นั เพราะวา่ จุดศูนยก์ ลางมวลจะไมข่ ้ึนอยกู่ บั ความโนม้ ถว่ ง

การหาตาแหน่งจุดศูนยถ์ ่วง และจุดศูนยก์ ลางมวล
สามารถทาได้ โดยการนาวตั ถรุ ูปทรงสามมิติ มาแขวนที่จุด A , B , C ตามลาดบั แนวจุดตดั ของเสน้ เชือก ของท้งั
สามจุดจะเป็ นจุดศูนยก์ ลางมวลของวตั ถุ และยงั มีวธิ ีอ่ืนอีก เช่นการร้อยเขม็ กบั กระดาษ แลว้ ปลอ่ ยใหต้ กลงสู่
พ้ืนดิน

281

CA A
CG B B

C CG

รูปที่ 4 แสดงการหาจุดศูนยถ์ ว่ งและจุดศูนยก์ ลางของมวล
การหาตาแหน่งจุดศนู ยถ์ ว่ ง(CG) โดยวธิ ีทางคณิตศาสตร์ทาไดด้ งั ตอ่ ไปน้ี พจิ ารณารูปต่อไปน้ี
รูปที่ 6.5 การหาตาแหน่งของจุดศูนยถ์ ว่ ง

w   dw

เมื่อ w = แรงลพั ธเ์ นื่องจากแรงโนม้ ถว่ งของโลก

 dw = แรงโนม้ ถว่ งท่ีกระทาท่ีจุด CG

จากรูป หาตาแหน่งจุดศูนยถ์ ว่ งจาก

w   dw

คิดโมเมนตร์ อบแกน y จะไดว้ า่

wx   xdw
x   xdw

w

โดย w  mg ; dw  gdm

x  g xdm

mg

  xdm

ทานองเดียวกนั ไดm้

y   ydm ; z   zdm
mm

ในการที่ตอ้ งการหาจุดศูนยถ์ ่วง ของวตั ถุท่ีมีรูปร่าง ที่ใชใ้ นงานวศิ วกรรมส่วนมากเป็ นรูปทรงทางเรขาคณิต
และนอกจากน้ีเรายงั หาจุดศูนยถ์ ว่ งของพ้ืนท่ีระนาบเดียว แสดงไวใ้ นรูปที่ 6.4
การหาจุด CG ของพ้นื ที่ผสู้ อนตอ้ งแสดงหาตาแหน่งดว้ ย โดยการลากเสน้ ทแยงมุม
จุดเซนทรอยด์ (Centroid)
จุดเซนทรอยด์ คือ จุดศูนยก์ ลางของวตั ถทุ ี่พิจารณา เฉพาะรูปร่างทางเรขาคณิตเท่าน้นั เราสามารถพจิ ารณา
ชิ้นส่วนได้ 3 ลกั ษณะ ดงั น้ี

282

ปริมาตร (Volume) ถา้ วตั ถถุ ูกแบ่งเป็ นส่วนที่มีปริมาตร dv ตาแหน่งเซนทรอยด์ cx, y,z  l

สาหรับปริมาตรของวตั ถุหาโดยคานวณโมเมนตข์ องชิ้นส่วนรอบแกนอา้ งอิง

 xdv  ydv  zdv

x v ; y  v ; z v
dv

 dv  dv

vv

z CG

x dV
y
y
xy

zz

O

x

รูปที่ 5 เซนทรอยดป์ ริมาตร

พ้ืนท่ี  Area เซนทรอยดข์ องพ้ืนท่ี ผวิ ของวตั ถุ เช่นแผน่ ยาง หรือโคง้ แบบเปลือกยาง ดงั รูปท่ี 4 หรือพ้ืนที่
รูปตวั ที ของเหลก็ สามารถหาได้ โดยการแบ่งพ้นื ท่ี เป็ นชิ้นส่วนเลก็ ๆ dA และหาโมเมนตข์ องพ้ืนที่ รอบ

แกนอา้ งอิง

 xdA  ydA  zdA

xA ; y A ; zA

dA dA dA
zA A A

x y dA

x y CG
z
y
z

x รูปท่ี 6 เซนทรอยดพ์ ้ืนที่

283

z

x dL
y

x y CG y

zz

x รูปที่ 7 เซนทรอยด์เส้น

เสน้ Line ถา้ รูปร่างเรขาคณิตของวตั ถุ เช่นแท่งบาง หรือเสน้ ลวด เสน้ เชือก ท่ีมีรูปร่างแนวเสน้ การหาเซน

ทรอยด์ ทาไดด้ งั น้ี

สมการ

 xdL  ydL  zdL

x L ; y  L ; z L

dL  dL dL

L LL

สาหรับจุดเซนทรอยดข์ องวตั ถุ หรือรูปทรงโดยการอินทิเกรต มีดงั น้ี
ชิ้นส่วนเลก็ ๆ (Differential Element)
โดยระบุแกนอา้ งอิง และเลือกชิ้นส่วนเลก็ ๆ ใหเ้ หมาะสม แลว้ เขยี นแสดงลงไปเป็ นแถบเลก็ ๆ (Trap) เสน้ แทน
ดว้ ย dL , พ้ืนท่ีแทนดว้ ย dA, ปริมาตรแทนดว้ ย dv
ขนาดและแขนโมเมนต์ (Size and Moment Arms)

แสดง ความยาว dL , พ้ืนท่ี dA, ปริมาตร dv หาพิกดั หรือแขนโมเมนต์

การอินทิเกรต(Integration) x, y และ z

แทนค่าลงในสมการของเสน้ พ้นื ที่ และปริมาตร ใชก้ ารอินทิเกรต จากดั ขอบเขต หาค่าคานวณตลอดเสน้
พ้นื ที่และปริมาตร โดยใหค้ รอบคลมุ ขอบเขตท้งั ชิ้นส่วนเลก็ ๆ และชิ้นส่วนท้งั หมด

* หมายเหตุ การอินทิเกรตจะใชใ้ นกรณีท่ี รูปร่างรูปทรงถกู กาหนดดว้ ยสมการตวั แปรไม่ทราบคา่ ของมิติ
ตา่ งๆ

284

ตวั อย่างที่ 1 จงหาตาแหน่งเซนทรอยดข์ องพ้นื ท่ีดงั รูป y= x2

y

x 1m
(x ,y) x



(xc,yc) y
1 m dx

วธิ ีทา

- ชิ้นส่วนเลก็ ๆ มีความหนา dx ชิ้นส่วนตดั รูปโคง้ ท่ีจุดกาหนด(x , y) และมีความสูง y
- พ้นื ท่ีและแขนโมเมนต์ dA  ydxและตาแหน่ง

x  x และ y  y

2

- การอินทิเกรต ทาการอินทิเกรตเทียบ x

สูตร  x dA

x A

 dA

A

1 1

 xy dx  x3dx

 0  0
1 1

 y dx  x2dx

00

x4 1 0.25
4  4
 x3 1 0.333
3
3

x  0.75 m. Ans.

285

สตู ร  y dA

y A

 dA

A

1 1

  y / 2 y dx   x2 / 2 x2dx

 0 0 1
1
 x2dx
 y dx
00

x5 1 0.100
10  10 
 x3 1 0.333
3
3

y  0.3 m. Ans.

จดุ ศูนย์กลางมวลของรูปทรงประกอบ
ถา้ รูปทรงของวตั ถุรูปใด ๆ สามารถแบ่งออกเป็ นชิ้นส่วนยอ่ ย ๆ ที่มีรูปทรงเดี่ยว อาทิ รูปทรง

สี่เหลี่ยมคางหมู สามารถแบ่งออกเป็ นชิ้นส่วนยอ่ ย ๆ ได้ 2 รูป คือ รูปสามเหลี่ยมและรูปส่ีเหล่ียม อยา่ งน้ีถือ
วา่ รูปทรงสี่เหล่ียมคางหมเู ป็นตวั อยา่ งของรูปผสม

การคานวณหาตาแหน่งจุดเซนทรอยดข์ องรูปผสม สามารถนาทฤษฎีของโมเมนตม์ าปฏิบตั ิไดด้ งั น้ี
วตั ถุ A ประกอบดว้ ยวตั ถุ B , C , D , มีมวล MB ,MC ,MD และตาแหน่งของเซนทรอยดท์ ี่ GB ,

GC และ GD สามารถหาตาแหน่งเซนทรอยดข์ องวตั ถุ A ไดโ้ ดย

MB  MC  MD x  MBxB  MCxC  MDxD

MBxB  MCxC  MDxD
MB  MC  MD
 xA 

ในทานองเดียวกนั

MByB  MCyC  MDyD
MB  MC  MD
 yA 

สรุปความสัมพนั ธ์ได้ y  miyi ,
จุดศนู ยก์ ลางมวล
 mi
x  mixi ,

 mi
z   mizi

 mi

286

จุดเซนทรอยดข์ องเสน้ y  Liyi ,

x  Lixi ,  Li

 Li y  Aiyi ,
z  Lizi
Ai
 Li

จุดเซนทรอยดข์ องพ้ืนที่

x   Aixi ,

 Ai
z   Aizi

 Ai

จุดเซนทรอยดข์ องปริมาตร
x  vixi , y  viyi ,

vi vi
z   vizi

 vi

ตวั อย่างท่ี 2. จงหา y  coordinate ของจุดเซนทรอยดข์ องพ้นื ท่ีสามเหลี่ยม

y
90 mm

30 mm y   3 x  90
0 2

60 mm x

287

วธิ ีทา
แบ่งพ้นื ท่ีสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหล่ียมยอ่ ย 2 รูป

สมการเส้นตรง y   3 x  90

2
@ y  30 , 30   3 x  90

2
x  40

A1  1 4060  1200 mm2

2

y1  30  1 60  50 mm

3

A2  1 3040  600 mm2

2

y2  2 30  20 mm

3

y    Ay   1200(50)  600(20)

 A 1200  600

 40 mm Ans

ตวั อย่างท่ี 3. จงหา y  coordinate ของจุดเซน
ทรอยดข์ องพ้นื ท่ีดงั รูป

y

x 180 mm

90 mm 60 mm

180 mm 120 mm

288

วธิ ีทา
พ้ืนท่ีดงั รูปประกอบข้ึนดว้ ยพ้ืนที่สามเหล่ียมเตม็ ตดั ออกดว้ ยพ้นื ท่ีวงกลม
รูปสามเหลี่ยมเตม็

A1  1 3001800  27000 mm 2

2

y1  1 180  60 mm (180)

3

รูปวงกลม

A2   π302   2827 mm2

y2  90 mm
y  (Ay)
A
 27000(60)  (2827)(90)
27000  (2827)

 y  56.5 mm Ans.

ตวั อย่างที่ 4. จงหา y – coordinate ของจดุ เซน 20 mm
ทรอยดข์ องพ้นื ที่ดงั รูป 60 mm

100 mm

30 mm

289

วธิ ีทา
เขียน F.B.D. ได้

y2

y1

พจิ ารณาแยกรูปออกเป็ น 2 รูป แล้วใช้สมการ

y  A1 y1  A2 y2
A1  A2

 100 2070  30 6030
100 20  30 60

 51.05 mm Ans

290

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้ันตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองแรงเสียดทานบนสกรู(Frictional forces on Screws) ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงหวั ขอ้ ในการสอนเร่ือง แรงกระจาย จุดศนู ยถ์ ว่ งและ จุดศูนยก์ ลางมวล จุดศูนยถ์ ว่ ง

จุดเซนทรอยด์ จุดศูนยก์ ลางมวลของรูปทรงประกอบ ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยท่ี 7 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 , 3) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งที่ 1 , 2 ,3 ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึ กหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนเรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึ กหดั ( 10 นาที )

ข้นั สรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

291

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึ กหดั

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบตอ่ งานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

292

แบบฝึ กหดั

1. จงบอกประเภทของแรงกระจายมีกี่ประเภทอะไรบา้ ง
2. จงอธิบายนิยามและสูตรของจุดศูนยถ์ ว่ ง จุดเซนทรอยด์ และจุดศูนยก์ ลางมวล
3. จงหา y  coordinate ของจุดเซนทรอยดข์ องพ้ืนท่ีดงั รูป

y

x 180 mm
90 mm 60 mm

180 mm 120 mm

293

เฉลยแบบฝึ กหดั

1. จงบอกประเภทของแรงกระจายมีก่ีประเภทอะไรบา้ ง
การกระจายของแรงแบ่งออกเป็ น 3 ประเภทดงั น้ี
1. การกระจายตามแนวเสน้ ลกั ษณะของแรงที่กระจายตามแนวเสน้ เช่น น้าหนกั ของคานที่กระจาย

ตลอดความยาวของคาน มีหน่วยเป็ นแรงตอ่ หน่ึงหน่วยความยาว เช่น 500 N/m
2. การกระจายทวั่ พ้นื ท่ี (Area distribution) หมายถึง แรงที่กระจายทว่ั พ้ืนท่ีที่กระทา เช่น น้าหนกั ของ

รถยนตบ์ นลานจอดรถ มหี น่วยเป็นแรงต่อหน่ึงหน่วยพ้นื ที่ เช่น N/m2 หรือปอนดต์ อ่ ตารางนิ้วเป็ นตน้

2. จงอธิบายนิยามและสูตรของจุดศูนยถ์ ่วง จดุ เซนทรอยด์ และจุดศูนยก์ ลางมวล
จุดศูนย์กลางมวล คือจุดศูนยร์ วมรวมดึงดูดของโลกที่กระทาตอ่ วตั ถุ

w   dw

จุดเซนทรอยด์ คือ คือจุดศูนยก์ ลางของรูปทรงในกรณีที่วตั ถุมีความหนาแน่นมวลเท่ากนั ในทุกๆส่วนของวตั ถุ

 xdv  ydv  zdv

x v ; y  v ; z v
dv

 dv  dv

vv

3. จงหา y  coordinate ของจดุ เซนทรอยดข์ องพ้นื ที่ดงั รูป

y

x 180 mm

90 mm 60 mm

180 mm 120 mm

294

วธิ ีทา
พ้ืนที่ดงั รูปประกอบข้ึนดว้ ยพ้ืนท่ีสามเหล่ียมเตม็ ตดั ออกดว้ ยพ้นื ท่ีวงกลม
รูปสามเหลี่ยมเตม็

A1  1 3001800  27000 mm 2

2

y1  1 180  60 mm (180)

3

รูปวงกลม

A2   π302   2827 mm2

y2  90 mm
y  (Ay)
A
 27000(60)  (2827)(90)
27000  (2827)

 y  56.5 mm Ans.

295

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 16

1. จงบอกประเภทของแรงกระจายมีก่ีประเภทอะไรบา้ ง
2. จงอธิบายนิยามและสูตรของจุดศูนยถ์ ่วง จุดเซนทรอยด์ และจุดศูนยก์ ลางมวล
3. จงหา y  coordinate ของจุดเซนทรอยดข์ องพ้ืนท่ีดงั รูป
y

x 180 mm

90 mm 60 mm

180 mm 120 mm

296

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ที่ 16

1. จงบอกประเภทของแรงกระจายมีก่ีประเภทอะไรบา้ ง
การกระจายของแรงแบ่งออกเป็ น 3 ประเภทดงั น้ี
1. การกระจายตามแนวเสน้ ลกั ษณะของแรงท่ีกระจายตามแนวเสน้ เช่น น้าหนกั ของคานที่กระจาย

ตลอดความยาวของคาน มหี น่วยเป็ นแรงตอ่ หน่ึงหน่วยความยาว เช่น 500 N/m
2. การกระจายทวั่ พ้ืนที่ (Area distribution) หมายถึง แรงที่กระจายทว่ั พ้ืนท่ีท่ีกระทา เช่น น้าหนกั ของ

รถยนตบ์ นลานจอดรถ มีหน่วยเป็นแรงตอ่ หน่ึงหน่วยพ้ืนท่ี เช่น N/m2 หรือปอนดต์ อ่ ตารางนิ้วเป็ นตน้

2. จงอธิบายนิยามและสูตรของจุดศูนยถ์ ว่ ง จุดเซนทรอยด์ และจุดศูนยก์ ลางมวล
จุดศูนย์กลางมวล คือจุดศูนยร์ วมรวมดึงดูดของโลกท่ีกระทาตอ่ วตั ถุ

w   dw

จุดเซนทรอยด์ คือ คือจุดศูนยก์ ลางของรูปทรงในกรณีท่ีวตั ถมุ คี วามหนาแน่นมวลเท่ากนั ในทุกๆส่วนของวตั ถุ

 xdv  ydv  zdv

x v ; y  v ; z v dv

 dv  dv
vv

3. จงหา y  coordinate ของจดุ เซนทรอยดข์ องพ้นื ที่ดงั รูป
y

x 180 mm

90 mm 60 mm

180 mm 120 mm

วธิ ีทา
พ้นื ที่ดงั รูปประกอบข้ึนดว้ ยพ้ืนท่ีสามเหลี่ยมเตม็ ตดั ออกดว้ ยพ้ืนท่ีวงกลม
รูปสามเหลี่ยมเตม็

A1  1 3001800  27000 mm 2

2

y1  1 180  60 mm (180)

3

297

รูปวงกลม

A2   π302   2827 mm2

y2  90 mm
y  (Ay)
A
 27000(60)  (2827)(90)
27000  (2827)

 y  56.5 mm Ans.

298

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใช้แผนการสอน
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.....................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................

แผนการจัดการเรียนรู้ 299
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1.
ชื่อหน่วย แรงกระจาย ( ต่อ ) หน่วยที่ 7
สอนคร้ังที่ 17
หัวเรื่อง จานวน 3 ช่ัวโมง
7.4 โมเมนตค์ วามเฉื่อยพ้ืนท่ี
7.5 รัศมีไจเรชน่ั

สาระสาคญั
1. โมเมนตค์ วามเฉ่ือยพ้ืนท่ีคือโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของมวล (Mass moment of inertia or

moment of inertia of mass) ซ่ึงกเ็ ป็นปริมาณที่ใชใ้ นการวดั ความตา้ นทานเฉ่ือย อนั เน่ืองจากการ
หมุนของวตั ถุมวล ดว้ ยความเร่งเชิงมุม

2. รัศมีไจเรชน่ั คือการนาเอาคา่ คงท่ี 2 คา่ ของแตล่ ะหนา้ ตดั คือคา่ l และ A มาหารแลว้ หาราก

ที่สองจะไดค้ ่าที่มีมิติท่ีเป็ นความยาวท่ีคงท่ีเขียนเป็นสมการไดด้ งั น้ี rx  Ix
A

3. ทฤษฎีแกนขนาน คือค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยจะข้ึนอยู่กบั แกนอ้างอิง ดังน้ันค่าโมเมนต์

ความเฉ่ือยของพ้ืนท่ีเดียวกนั รอบแกนอา้ งอิงท่ีต่างกนั จะมีค่าไม่เท่ากนั แต่ค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือย

รอบแกนที่ผา่ นจุดเซนทรอยดข์ องพ้ืนท่ี (ซ่ึงเป็นคา่ คงท่ี) จะเป็นคา่ คงท่ี

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้นื ที่ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยเชิงข้วั ของพ้นื ที่ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้นื ที่โดยใชท้ ฤษฎีแกนขนานได้

อยา่ งถูกตอ้ ง
4. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของรูปผสมไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

300

เนือ้ หาสาระ

7.4 โมเมนต์ความเฉ่ือยของพนื้ ท่ี (Moments of Inertia of Area)

ในการศึกษาวชิ ากลศาสตร์วิศวกรรม ตลอดจนวชิ ากลศาสตร์วสั ดุหรือกาลงั วสั ดุ ขนาด
และรูปร่างของหนา้ ตดั มีความสาคญั ต่อการคานวณอยา่ งยิ่ง นอกจากขนาดของพ้ืนท่ีหนา้ ตดั แลว้
คุณสมบตั ิอ่ืน ๆ ของพ้ืนที่ เช่น จุดเซนทรอยด์ โมเมนต์ของพ้ืนท่ี โมเมนต์ของความเฉ่ือยของ
พ้ืนที่ รัศมีไจเรชน่ั ลว้ นเป็ นค่าคงท่ีท่ีตอ้ งใช้ในการคานวณค่าแรงเคน้ ดดั แรงเคน้ เฉือน และการ
โก่งของโครงสร้างท้งั สิ้น

โดยทว่ั ไปคาวา่ “โมเมนตข์ องความเฉ่ือย” มกั จะหมายถึง “โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของ
มวล” (Mass moment of inertia or moment of inertia of mass) ซ่ึงกค็ ือปริมาณที่ใชใ้ นการวดั
ความตา้ นทานเฉ่ือย อนั เนื่องจากการหมุนของวตั ถุมวล dm ดว้ ยความเร่งเชิงมุม

คงท่ี  รัศมีของการหมุน r

ดงั น้นั แรงบนวตั ถุท้งั กอ้ น

F   adm   (rαrα) , a  ความเร่ง

โมเมนตข์ องวตั ถุรอบแกนหมุน

M  Fr   r(rα(rα

   r 2dm
m

ค่า  r 2dm เรียกวา่ “โมเมนตข์ องความเฉื่อยของมวล”

m y

A

x dA

r y
O
x

รูปที่ 1

301

1.โมเมนต์ของความเฉื่อยของพนื้ ที่ (Moment of inertia of area)

ปัญหาทางวิศวกรรมมกั จะเกี่ยวขอ้ งกบั ท่อนวสั ดุหรือคานที่ทาด้วยวสั ดุอย่างเดียวกนั

หรือมีคุณสมบตั ิสม่าเสมอตลอด (Homogeneous) มีพ้ืนที่หนา้ ตดั ความยาวสม่าเสมอตลอดความ

ยาว ดงั น้นั ค่า  r2dA หรือ  x2dA ซ่ึงมีรูปแบบคลา้ ยกบั  r2dm จึงถูกเรียกวา่ “โมเมนตข์ อง
AA m

ความเฉ่ือยของพ้นื ท่ี” (Moment of inertia of area or area moment of inertia)

เราเรียกค่า  x2dA อีกช่ือหน่ึงวา่ “โมเมนตท์ ี่สองของพ้ืนที่” (Second moment of area)
A

เพ่ือความสะดวกในบทน้ีจะใชค้ าวา่ “โมเมนตข์ องความเฉ่ือย”

แทนคาว่า “โมเมนต์ของความเฉ่ือยของพ้ืนท่ี” หรือ “โมเมนต์ท่ีสองของพ้ืนที่” ในกรณีที่ไม่
ตอ้ งการให้เกิดความสบั สน ควรจะตอ้ งระบุใหช้ ดั เจนวา่ เป็ นโมเมนตข์ องความเฉื่อยของ “พ้ืนที่”
หรือ “ของมวล”

จากรูปที่ 6.9

โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้นื ท่ี A รอบแกน x คือ

Ix  y2dA .................... (6.1)
A

โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนท่ี A รอบแกน y คือ

Iy  x2dA .................... (6.1)
A

โมเมนต์ของความเฉ่ือยเชิงข้ัวของพนื้ ที่ (Polar moment of inertia of area)

ในกรณีท่ีคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนที่ต้งั ฉากกบั พ้นื ที่ เช่น รอบแกน z ท่ีผา่ นจุด

o ในรูปที่ 6.1 เรียกวา่ “โมเมนตข์ องความเฉื่อยของพ้ืนที่ (Jo ) ”

Jo  r 2dA ................... (6.2)

A

จะเห็นวา่ Jo   r2dA   (x2  y2 )dA
AA

 Iy  Ix ................ (6.3)

นน่ั คือ โมเมนตข์ องความเฉื่อยเชิงข้วั = ผลบวกของโมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนฉาก (x และ y)

302

7.5 รัศมไี จเรช่ัน (Radius of gyration)
ในการเปรียบเทียบหนา้ ตดั รูปร่างตา่ ง ๆ ของท่อนวสั ดุ นอกจากจะเปรียบเทียบขนาด
ของพ้นื ที่แลว้ เราอาจเปรียบเทียบมิติทางดา้ นขา้ งของพ้ืนที่ที่เหมือนกนั เช่น ความกวา้ ง ความยาว
หรือ รัศมีของวงกลม เป็นตน้ แตใ่ นกรณีที่จะเปรียบเทียบสองหนา้ ตดั ที่ไม่เหมือนกนั
เช่น รูปสามเหลี่ยมและรูปหลายเหล่ียม เราไม่สามารถเปรียบเทียบมิติดา้ นขา้ งท่ีเหมือนกนั หรือ
ใกลเ้ คียงกนั ได้ เพื่อใหส้ ามารถเปรียบเทียบกนั ไดจ้ าเป็ นตอ้ งเปรียบเทียบคุณสมบตั ิท่ีคงที่ของท้งั
สองหนา้ ตดั
ในท่ีน้ีถา้ นาเอาค่าคงที่ 2 ค่า ของแตล่ ะหนา้ ตดั คือค่า I และ A มาหารแลว้ หารากที่สองจะ
ไดค้ ่าท่ีมีมิติท่ีเป็นความยาวที่คงที่ เรียกวา่ “รัศมีไจเรชนั่ ” (radius of gyration) ดงั น้ี

รัศมีไจเรชนั่ ของพ้ืนที่ A รอบแกน x คือ rx  Ix รัศมีไจเรชน่ั ของพ้ืนท่ี A รอบแกน y คือ

A

ry  Iy รัศมีไจเรชน่ั ของพ้นื ที่ A รอบแกน z (ซ่ึงต้งั ฉากกบั พ้ืนท่ี) คือ

A

rz  Jo  rx2  ry2 .................... (6.4)
A

คา่ รัศมีไจเรชน่ั ของพ้ืนท่ีน้ี สามารถนาไปใชเ้ ปรียบเทียบมิติดา้ นขา้ งของพ้ืนท่ีที่มีรูปร่าง

ไมเ่ หมือนกนั เช่น ในการพจิ ารณาเสาส้นั -เสายาว ในวชิ ากลศาสตร์วสั ดุหรืกาลงั วสั ดุเป็นตน้

ตัวอย่างที่ 6.5 จงหาคา่ Ix , Iy , rx , ry และ Jo ของพ้ืนที่หนา้ ตดั รูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ ดงั รูป

303

วธิ ีทา แบง่ พ้นื ที่เดิมออกเป็นพ้นื ที่ยอ่ ย dA ท่ีหนา dy กวา้ ง b แลว้ อินทิเกรต

dA  bdy

h

 Ix  y 2 (bdy )  by3  2
c 
3 h
A

2

Ix  bh 3
12

bh 3

rx  Ix  12 h
A bh 12

ในทานองเดียวกนั ถา้ แบง่ พ้ืนที่ยอ่ ยท่ีหนา dx กวา้ ง h กจ็ ะได้

Iy  hb 3 และ ry  b
12 12

จากสมการ (5.3) กจ็ ะได้

Jo  Ix  Iy  bh 3  hb3
12 12

 bh (h 3  b 2 )  A (h 2  b 2 )
12 12

ตัวอย่างที่ 6.6 จงหาคา่ โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบฐานของรูปสามเหลี่ยม

วธิ ีทา แบ่งรูปสามเหล่ียมออกเป็นรูปยอ่ ย dA ท่ีหนา dy กวา้ ง x ดงั รูป

dA  xdy b(h  y)dy
h

 Ixy 2 dA  h y2 b(h  y)dy
c 0h

A

 b  hy3  y4 h  b h4  h4 
h  4  h  4 
 3 0  3 

 bh 3
12

304

ตัวอย่างที่ 6.7 จงหาค่า Ix , Iy , rx , ry และ Jo ของรูปวงกลมท่ีมีเส้นผ่าศูนยก์ ลาง d ( =
2R)

วธิ ีทา แบง่ รูปวงกลมออกเป็นรูปยอ่ ยที่เป็นวงแหวนหนา dr รัศมี r ห่างจากจุดศนู ยก์ ลางดงั รูป

 พ้ืนท่ีของรูปวงแหวนคือ dA  2π r dr

dd

r 2dA 2 πr4 2

A 2π r3dr
 Jo   2 
0 0

Jo  πd4 หรือ πr4
32 2

เน่ืองจากวงกลมมีลกั ษณะสมมาตรรอบแกน x และ y ท่ีผา่ นจุดศนู ยก์ ลาง o

 Ix  Iy

แต่ (จากสมการ(6.3))

Jo  Ix  Iy

 Ix  Iy  Jo  π d4 หรือ π r 4
2
64 4

πd4

รัศมีไจเรชนั่ rx  ry  Ix  64
A π d2
4

 d หรือ r
42