กลศาสตร์วิศวกรรม

55

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 3

1. จงแปลงหน่วยจาก 500 km/min ไปเป็นหน่วย m / s
วธิ ีทา 500 km/min x 1000/60 m / s

= 833.33 m / s

2. จงหาแรงในแนวแกน X และแนวแกน Y ของแรง 45 นิวตนั ท่ีทามุมกบั แกน
Y = 65 องศา

y

Fx

Fy F = 45 N
x 65
x

y

วธิ ีทา เขียนสามเหลี่ยมมุมฉากโดยใหแ้ รง F = 45 นิวตนั เป็นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

Fy  cos65 a
F
Fy  cos 65
F
Fy  Fcosθ

 45cos 65

 19.01 N Ans

Fx  sin65
F
Fx  F sin65
45sin 65


 40.78 N Ans

56

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

57

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยที่ 2
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังท่ี 4
ช่ือหน่วย ระบบแรง ( ต่อ ) จานวน 3 ชั่วโมง

หัวเร่ือง
2.6 ระบบแรงสองมิติ
2.7 ระบบแรงสามมิติ
2.8 เวกเตอร์ระบุตาแหน่ง

สาระสาคัญ แFลYะซ่ึงFตZ้งั ฉซา่ึงกตก้งั นัฉาก
ระรบะบบแบรแงรสงอสงามมิตมิ คิตือิคแือรแงรยงอ่ยยอ่ สยสองาแมรแงรงตตาามมแแรรงงใในนแแนนววแแกกนนFFXX
1. และ
2.

FY

กนั

3. การหาเวกเตอร์ระบุตาแหน่งคือการหาเวกเตอร์ตาแหน่งระหวา่ งจุดสองจุดใด ๆ ซ่ึงเขียน
  
สมการในรูปของเวกเตอร์ไดด้ งั น้ี คือ   iX  jY  kZ
r

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถหาแรงลพั ธ์ของระบบแรงสองมิติไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถหาแรงลพั ธ์ของระบบแรงสามมิติไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนสามารถหาเวคเตอร์ระบุตาแหน่งไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

58

เนือ้ หาสาระ

 2.6 ระบบแรงสองมติ ิ 
F  FY
แรง สามารถแตกออกเป็นแรงยอ่ ยสองแรง คือ FX และ ซ่ึงต้งั ฉากกนั

y

Fy
F

Fx x

FX  FCosθ
FY  FSinθ

F  FX2  FY2

θ  tan1( FY )
FX

โไโดดปเยยหพททารี่่ีแาFรθะงฉคะFือคนขือ้นันθมเาYรุมดาทขจค่ีวึงอือสดังมจแาุมมารทกงา่ีวแรFดถกั จเนขาแอียกลา้นแวง้ เกอปFนิง็ นXไสYปแมไหลปกะาาหแFรราYเงแวกกรครงเือตะFขอทนรา์เาคพดือรขาอะงฉแะรนFง้นั FθตFXาXมคลือาFมดYุมบั ที่วFดั XจiากแFกYนjX
ระบบแรงยอ่ ยหลายแรงบนระนาบ ใหแ้ ตกแรงลงบนแกน X และ Y ท้งั หมด เพราะฉะน้นั

R X  FX และ R Y  FY ดงั น้นั      และ θ  tan1 ( R Y )
F FX i FY j RX

59

2.7 ระบบแรงสามมติ ิ

 z
Fz k


Fx i

x


Fy j

y


k


i

j

แรงยอ่ ยในแนวต้งั ฉากกนั

F  FX 2  FY 2  FZ2
 
F  FX i  FY j  FZk
  
F  F(iCosθX  jCosθY  kCosθZ )

Cos2θX  Cos2θY  Cos2θZ  1

CosθX , CosθY , CosθZ คือ โคซายน์แสดงทิศทาง (Direction Cosine)

60

2.8 เวกเตอร์ระบุตาแหน่ง

เวกเตอร์ระบุตาแหน่งสามารถเขียนเป็นสมการในรูปของเวกเตอร์ไดด้ งั น้ี คือ
  
r  iX  jY  kZ

z

 P(X,Y,Z)
r
y
O

x

โดยท่ี r คือเวกเตอร์ระบุตาแหน่งจากจุดกาเนิด O ถึงจุด P(X, Y, Z)

r  X2  Y2  Z2

เม่ือ r คือขนาดของเวกเตอร์ r

การเขยี นเวกเตอร์ของแรง (Force Vector)
คือการเขียนขนาดและทิศทางของแรงตามแนวแกนอา้ งอิงในรูปของเวกเตอร์

ตัวอย่างท่ี 1วตั ถุอยทู่ ี่จุด A มีแรงขนาด 100 N มากระทาโดยมีทิศทางดงั รูป

Y F = 100 N

A 60 X

61

วธิ ีทา ต้งั สมการ  
F  FX i  FY j

; FX  FCosθX  100Cos60  50N

; FY  FCosθY  FSinθX  100Sin60  50 3N
 
F  50i  50 3j N Ans

ตวั อย่างท่ี 2. จงเขียนเวกเตอร์ของแรงที่มีขนาดและทิศทาง ตามรูป

y F1 = 200 N
F2 = 100 N 45 x

20

วธิ ีทา  
ต้งั สมการ F  FX i  FY j

FX  200Cos45 100Cos20

 47.45N
FY  200Sin45  100Sin20 

  175.62N  Ans
F  47.45i 175.62j N

หาขนาดของแรงลพั ธ์

R  Fx2  Fy2
 47.452 175.622

R = 181.91 N

 = tan –1 Fx

Fy

 = tan –1 175.62

47.45

 = 74.88

62

ตวั อย่างท่ี 3 จงเขียนเวกเตอร์แรงของแรงท่ีมีขนาด 250 นิวตนั ซ่ึงทามุมกบั แกนปริภูมิดงั รูป
y

F = 250 N

60 x
45

z

วธิ ีทา จงเขียนเวกเตอร์แรงของแรง 250 นิวตนั

ต้งั สมการ

 
F  FCosθX i  FCosθY j  FCosθZk 

 250Cos60(Cos45)i  250Cos30 j 


250Cos60(Cos45)k
  
F  88.388i  216.506j  88.388k Ans

ตวั อย่างท่ี 4. แรง F ท่ีกระทาตามแนวเส้นทแยงมุมของรูปทรงสี่เหลี่ยมตามรูปมีขนาดเทา่ กบั
140 kN จงแสดงแรงใน
F รูปของเวคเตอร์

z F = 140 kN x

B A
2 cm

3 cm 6 cm

y

63

วธิ ีทา หาเวคเตอร์หน่ึงหน่วยของ AB แลว้ คูณกบั ขนาดของแรงคือ 140 kN จะไดแ้ รง F
ในรูปของเวคเตอร์

AB  OB  OA
 3k  (6i  2j)
  6i  2j  3k

AB  (6i2 )  (2j2 )  32

7

เวคเตอร์หน่ึงหน่วยของ AB คือ

u  AB
AB

 1 (6i  2j  3k)
F7.u

F

 140 (6i  2j  3k) Ans
7

 120i  40j  60k

64

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้ันตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองการแปลงหน่วย การแตกแรง ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงเน้ือหาท่ีจะสอนในวนั น้ีเพื่อวดั ความเขา้ ใจพ้ืนฐานของผเู้ รียน ( 5 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายหน่วยที่ 2 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 ) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณประกอบแผน่ ใสตวั อยา่ งท่ี 1 , ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้นั สรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

65

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม

1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , 3 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเร่ืองที่จะเรียนสัปดาห์หนา้

สื่อการเรียนการสอน

1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,3
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,3

การวดั ผลและประเมินผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

66

แบบฝึ กหดั
1. วตั ถุอยทู่ ี่จุด A มีแรงขนาด 150 N มากระทาโดยมีทิศทางดงั รูป

Y F = 100 N

A 60 X

2. จงเขียนเวกเตอร์แรงของแรงท่ีมีขนาด 300 นิวตนั ซ่ึงทามุมกบั แกนปริภมู ิดงั รูป

Y
F = 250 N

60 X
45

z

67

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. วตั ถุอยทู่ ่ีจุด A มีแรงขนาด 150 N มากระทาโดยมีทิศทางดงั รูป

Y F = 150 N

A 65 X

วธิ ีทา ต้งั สมการ  
F  FX i  FY j

; FX  FCosθX  150Cos65  63.39N

; FY  FCosθ Y  FSinθ X  150Sin65  135.94N
 
F  50i 135.94j N Ans

2. จงเขียนเวกเตอร์แรงของแรงที่มีขนาด 300 นิวตนั ซ่ึงทามุมกบั แกนปริภมู ิดงั รูป

Y
F = 250 N

60 X
45

z

68

วธิ ีทา จงเขียนเวกเตอร์แรงของแรง 250 นิวตนั

ต้งั สมการ

 
F  FCosθX i  FCosθY j  FCosθZk 
 300Cos70(Cos50)i  300Cos30 j 

300Cos70(Cos50)k
 
F  57i  259.8j  57k Ans

69

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 4

1.วตั ถุอยทู่ ่ีจุด A มีแรงขนาด 100 N มากระทาโดยมีทิศทางดงั รูป

Y F = 100 N

A 60 X

2. จงเขียนเวกเตอร์ของแรงท่ีมีขนาดและทิศทาง ตามรูป

y F1 = 200 N
F2 = 100 N 45 x

20

70

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 4
1.วตั ถุอยทู่ ่ีจุด A มีแรงขนาด 100 N มากระทาโดยมีทิศทางดงั รูป

Y F = 100 N

A 60 X

วธิ ีทา ต้งั สมการ  
F  FX i  FY j

; FX  FCosθX  100Cos60  50N

; FY  FCosθY  FSinθX  100Sin60  50 3N
 
F  50i  50 3j N Ans

2. จงเขียนเวกเตอร์ของแรงท่ีมีขนาดและทิศทาง ตามรูป

y F1 = 200 N
F2 = 100 N 45 x

20

วธิ ีทา  
ต้งั สมการ F  FX i  FY j

FX  200Cos45 100Cos20

 47.45N
FY  200Sin45  100Sin20 

  175.62N  Ans
F  47.45i 175.62j N

71

บันทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

72

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยท่ี 2
ชื่อวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังที่ 5
ชื่อหน่วย โมเมนต์ จานวน 3 ช่ัวโมง

หัวเรื่อง
3.1 โมเมนตข์ องแรง
3.2 โมเมนตแ์ รงสองมิติ
3.3 โมเมนตแ์ รงสามมิติ

สาระสาคญั
1. โมเมนตข์ องแรง เป็ น คา่ ของผลคูณระหวา่ งแรงกบั ระยะทางจากจุดหมุนจนถึงแนวแรงใน

แนวต้งั ฉาก โดยท่ีระยะทางจากจุดหมุนถึงแนวแรง
2. โมเมนตส์ องมิติคือแรงท่ีกระทารอบจุดหมุนทิศทางของโมเมนตต์ ้งั ฉากกบั ระนาบของ

วตั ถุท่ีขนานกบั แรงโดยเป็นไปตามกฎมือขวา
3. โมเมนตส์ ามมิติคือ ขนาดของแรง กระทากบั ระยะต้งั ฉากระหวา่ งแกนหมุนถึงแนวแรง

เขียนเป็ นสมการดงั น้ี Mo  Fd

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาโมเมนตข์ องระบบแรงไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาโมเมนตส์ องมิติของแรงไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนสามารถคานวณหาโมเมนตส์ ามมิติของแรงไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

73

เนือ้ หาสาระ

3.1 โมเมนต์ของแรง
โมเมนตข์ องแรง หมายถึง ค่าของผลคูณระหวา่ งแรงกบั ระยะทางจากจุดหมุนจนถึงแนว
แรงในแนวต้งั ฉาก โดยท่ีระยะทางจากจุดหมุนถึงแนวแรง เรียกว่า แขนของโมเมนต์ (Moment
Arm) หรืออาจจะเรียกอีกอยา่ งหน่ึงไดว้ า่ โมเมนตข์ องแรง คือ ความพยายามหรือแนวโนม้ ของแรง
ที่จะหมุนวตั ถุรอบจุดใดจุดหน่ึง หรือแกนใดแกนหน่ึง

MO  Fd

เม่ือ MO โมเมนตข์ องแรงรอบจุด O, N  m
F  แรง, N
d  แขนของโมเมนต,์ m

F

MO  Fd

O

รูปที่ 1.
โมเมนต์ของแรงสามารถแบ่งได้เป็ น 2 ชนิด ตามลักษณะการเดินทางรอบจุดหมุน
ดงั ตอ่ ไปน้ี
1.โมเมนต์ตามเข็มนาฬิกา (Clock Wise Moment) คือโมเมนต์ท่ีเกิดจากแรงซ่ึงเดินทาง
รอบจุดหมุนในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา คูณกบั ระยะทางจากจุดหมุนถึงแนวแรง โดยสามารถสมมติ
เครื่องหมายบวก (+) หรือลบ (-) ไดต้ ามความเหมาะสม และตอ้ งสอดคลอ้ งกบั โมเมนตท์ วนเข็ม
นาฬิกาดว้ ย (ดูรูป 2.14 (ก))
2. โมเมนต์ทวนเข็มนาฬิกา (Anti – Clock Wise Moment) คือโมเมนต์ท่ีเกิดจากแรง ซ่ึง
เดินทางรอบจุดหมุนในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา คูณกบั ระยะทางจากจุดหมุนจนถึงแนวแรงโดย
สามารถสมมติเครื่องหมายบวก (+) หรือลบ (-) ไดต้ ามความเหมาะสม และตอ้ งสอดคล้องกบั
โมเมนตต์ ามเขม็ นาฬิกาดว้ ยเช่นกนั (ดูรูป 2.11 (ข))

F

FM

(1) โมเมนตต์ ามเขม็ นาฬิกา

74

F

M

(2) โมเมนตท์ วนเขม็ นาฬิกา

 3.2 โมเมนต์ (ระบบ 2 มติ ิ)
F
โมเมนตข์ องแรง ที่กระทากบั วตั ถุรอบแกน O - O (ดูรูป 2.12)

รูปที่ 3  M  F  d

โดยที่ M คือ ขนาดของโมเมนต์

F คือ ขนาดของแรง F

d คือ ระยะต้งั ฉากระหวา่ งแกนหมุนถึงแนวแรง

ทิศทางของโมเมนตต์ ้งั ฉากกบั ระนาบของวตั ถุท่ีขนานกบั แรงโดยเป็ นไปตามกฎมือขวา (ดูรูป 4)

รูปที่ 4

75

โดยทวั่ ไปมกั จะกล่าวกนั วา่ โมเมนตร์ อบจุดใดๆ แต่ความจริงแลว้ เป็ นโมเมนตร์ อบแกนท่ี
ผา่ นจุดน้นั ( ดูรูป 2.14) จะไดว้ า่ MO  F d

รูปท่ี 5
หลกั การของโมเมนต์ หรือรู้จกั กนั ในนามทฤษฏีของวาริยอง โดยกล่าวไวว้ า่ “โมเมนตข์ องแรง
ใดรอบจุด ๆ หน่ึงจะมีค่าเท่ากบั ผลรวมของโมเมนตข์ องแรงยอ่ ยท้งั หลายรอบแกนหมุนเดียวกนั

76

 3.3 โมเมนต์ (ระบบ 3 มิติ)
F
ถ้าดู รู ป ท่ี 6 แล้ว แรง อยู่บนระนาบ A และจุด O ก็อยู่บนระนาบ A ด้วย ดังน้ัน

โมเมนตข์ องแรง F รอบแกนที่ผา่ นจุด O และต้งั ฉากกบั ระนาบ A มีขนาด MO  Fd หรือเขียน

ใหอ้ ยใู่ นรูปของเวคเตอร์ได้

โมเมนตร์ อบจุด O คือ Mo  Fd

รูปที่ 6 
F
หรือเขียนในรูปของเวคเตอร์ไดว้ า่ MO  r 
  
และเน่ืองจาก r  i rx  j ry  krz
  
F  i Fx  jFy  kFz

ดงั น้นั สามารถเขียน Mo ในเทอมของดีเทอร์-มิแนนตไ์ ดเ้ ป็น
 
i jk
 
MO  r  F  rx ry k

Fx Fy Fz j
ry Fz  rz Fy i
  rx Fz  rz Fx

  rxFy  ryFx k 
 Mx i  My j  MZk

ในท่ีน้ี Mx  ryFz  rz Fy

M y  rz Fx  rx Fz

Mz  rx Fz  rzFx

เมื่อ rx ,ry และ rz คือองค์ประกอบของตาแหน่งในแนวแกน x , y และ z ของเวคเตอร์ระบุ
ตาแหน่งที่ลากจากจุด O ไปยงั จุดที่แรงกระทาอยบู่ นแนว

เส้นการกระทาของแรง Fx ,Fy และ Fz คือองคป์ ระกอบ x ,y และ z ของเวคเตอร์ของแรง

77

ตวั อย่างท่ี 1. โมเมนตข์ องแรง  รอบจุด A เทา่ กบั
P 
P
30 N  m จงคานวณหาขนาดของ

แตกแรง P ไปแนวแกน x ได้ 3 P

5

แตกแรง P ไปแนวแกน y ได้ 4 P

5

โมเมนตข์ องแรง P รอบจุด A  30 N  m

 4 P0.4  3 P0.3  30 Ans

55
P  214 N

78

ตวั อย่างท่ี 2. จงคานวณหาโมเมนตข์ องแรง 400 N รอบจุด O

วธิ ีทา แตกแรง 400 N ไปในแนวระดบั และแนวด่ิง จากน้นั คานวณหาค่าของโมเมนตข์ องแรงจุด
Oโดยกาหนดใหโ้ มเมนตต์ ามเขม็ นาฬิกาเป็นบวก

MO  400sin60 0.12  400cos60 0.1 0.06

 41.6  8

 33.6 N  m ตามเขม็ นาฬิกา Ans

79

ตัวอย่างที่ 3. จงคานวณหาโมเมนตข์ องแรง 250 N (ที่กระทาบนดา้ มประแจ) รอบจุดศูนยก์ ลาง
ของหวั สลกั เกลียว

วิธีทา แตกแรง 250 N ไปในแนวระดบั และแนวดิ่ง จากน้นั คานวณหาค่าของโมเมนต์รอบจุด
ศูนยก์ ลางของหวั สลกั เกลียว โดยการกาหนดใหโ้ มเมนตต์ ามเขม็ นาฬิกาบวก

MO  250cos15 0.2  250sin15 0.03

 48.30 1.94

 46.4 N  m ตามเขม็ นาฬิกา Ans

80

ตวั อย่างที่ 4. จงคานวณหาโมเมนตเ์ นื่องจากแรง 160 kN รอบจุด A ตามรูป

วธิ ีทา แตกแรง 160 kN ไปในแนวแกน X และ Y แลว้ หาโมเมนตร์ อบจุด A

 MA  160sin30 15sin30  4.5
  160cos30 15cos30  2

 8012  138.5610.99
 2482.82 kN  m ตามเขม็ นาฬิกา Ans

81

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเรื่องระบบแรงสองมิติระบบแรงสามมิติ เวกเตอร์ระบุตาแหน่ง
( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ครูพดู ถึงเน้ือหาเร่ือง โมเมนตข์ องแรงโมเมนตแ์ รงสองมิติ โมเมนตแ์ รงสามมิติ ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยท่ี 3 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 , 3) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งท่ี 1 , 2 , 3 ( 20 นาที )
3 ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้นั สรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

82

งานทม่ี อบหมายหรือกจิ กรรม

1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , 3 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเรื่องท่ีจะเรียนสปั ดาห์หนา้

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนหวั ขอ้ ยอ่ ย 1, 2 , 3
2. แผน่ ใสหวั ขอ้ ยอ่ ย 1, 2 , 3

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สงั เกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานที่มอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

83

 แบบฝึ กหัด 
T T
1. สายเคเบิลมีแรงตึง ขนาด 21 kN จงคานวณหาโมเมนตเ์ นื่องจากแรงตึง รอบฐาน O ของ

ป้ันจนั่

84

 เฉลยแบบฝึ กหัด 
T T
1. สายเคเบิลมีแรงตึง ขนาด 21 kN จงคานวณหาโมเมนตเ์ นื่องจากแรงตึง รอบฐาน O ของ

ป้ันจนั่

วธิ ีทา หาเวคเตอร์หน่ึงหน่วยในแนว CA เพื่อหาแรงตึง  ในรูปเวคเตอร์ หาเวคเตอร์  จากจุด O
 T r
T
ถึงแนวแรง แลว้ ใชว้ ธิ ี Cross Product ระหวา่ ง r กบั

CA  OA  OC

 4.5i 18j 18j  30k

 4.5i  30k

CA  4.52   302

 30.34 m

เวคเตอร์หน่ึงหน่วย u  CA  1 4.5i   
30k
CA 30.34


4.5i  30k
 

T
 Tu   21

r r  OA 30.34 
T  4.5i 18j

MO 

    

 4.5i 18j 
21 
4.5i  30k
30.34

85

  kN  m ANS
i jk
 21 4.5 18 0
30.34
4.5 0  30
 
MO   374i  93.5j  56.1k

86

 แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 5 
T T
1. สายเคเบิลมีแรงตึง ขนาด 21 kN จงคานวณหาโมเมนตเ์ น่ืองจากแรงตึง รอบฐาน O ของ

ป้ันจน่ั

87

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ที่ 5

1. สายเคเบิลมีแรงตึง  ขนาด 21 kN จงคานวณหาโมเมนตเ์ น่ืองจากแรงตึง  รอบฐาน O ของ
T T

วิธีทา หาเวคเตอร์หน่ึงหน่วยในแนว CA เพ่ือหาแรงตึง  ในรูปเวคเตอร์ หาเวคเตอร์  จากจุด O
 T r
T
ถึงแนวแรง แลว้ ใชว้ ธิ ี Cross Product ระหวา่ ง r กบั

   CA  OA OC

 4.5i 18j  18j  30k

 4.5i  30k

CA  4.52   302

 30.34 m

เวคเตอร์หน่ึงหน่วย u  CA  1 4.5i   
30k
CA 30.34


4.5i  30k
 

T
 Tu   21

  OA 30.34 
r T  4.5i 18j
r
MO 

 4.5i  18j 21 4.5i   
30k
 30.34 
i jk
 21 4.5 18 0
30.34 4.5 0  30

 
MO   374i  93.5j  56.1k kN  m ANS

88

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

89

แผนการจัดการเรียนรู้ หน่วยที่ 2
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1. สอนคร้ังที่ 6
ช่ือหน่วย โมเมนต์ (ตอ่ ) จานวน 3 ชั่วโมง

หัวเร่ือง
3.4 แรงคูค่ วบระบบสองมิติ
3.5 การยา้ ยแรงบนวตั ถุเกร็ง
3.6 แรงคู่ควบระบบสามมิติ

สาระสาคัญ

1. แรงคู่ควบระบบสองมิติคือโมเมนต์ที่เกิดจากแรงสองแรงที่มีขนาดเท่ากนั และมีทิศ

ทางตรงขา้ มกนั แตไ่ ม่ไดอ้ ยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกนั

2. แรงคู่ควบระบบสามมิติเป็นแรงสองแรงที่มีขนาดเทา่ กนั แตม่ ีทิศทางตรงขา้ มกนั

โมเมนตท์ ี่เกิดจากแรงท้งั สองรอบจุดหมุนเขียนเป็ นสมการไดด้ งั น้ี
 F  F 
M      

rA rB

 rA    F
rB

3. การยา้ ยแรงบนวตั ถุเกร็งเป็นการยา้ ยตาแหน่งของแรงกระทาจากจุดหน่ึงไปยงั อีกจุด

หน่ึงโดยท่ีแรงมีขนาดและทิศทางคงเดิม จะตอ้ งเพมิ่ แรงคู่ควบ M เขา้ ไปดว้ ย

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์ ( ความรู้ ทกั ษะ คุณธรรม จริยธรรม จรรยาบรรณ วชิ าชีพ )
1. ผเู้ รียนสามารถหาแรงคู่ควบระบบสองมิติไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
2. ผเู้ รียนสามารถหาแรงคูค่ วบระบบสามมิติไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง
3. ผเู้ รียนสามารถยา้ ยแรงบนวตั ถุเกร็งไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

90

เนือ้ หาสาระ

3.4 แรงคู่ควบ (ระบบ 2 มติ ิ)

โมเมนตท์ ี่เกิดจากแรงสองแรงท่ีมีขนาดเทา่ กนั และมีทิศทางตรงขา้ มกนั แต่ไม่ไดอ้ ยใู่ น

แนวเส้นตรงเดียวกนั เรียกวา่ “แรงคู่ควบ” 
F
 รูปที่ 2.16 (ก) แสดงแรงสองแรงมีขนาดเท่ากนั และมีทิศทางตรงขา้ มกนั คือ และ
F
และอยหู่ ่างกนั d โมเมนต์ของแรงท้งั สองรอบแกนใดๆที่ต้งั ฉากกบั ระนาบ (เช่นแกนท่ี

ผา่ นจุด O ) คือแรงคูค่ วบ M และมีขนาดดงั น้ี

M  Fa  d Fa

แรงคูค่ วบMM Fd ตามรูปที่ 2.16 (ข) ทิศทางของ  ต้งั ฉากกบั ระนาบของแรง
M
เป็ นเวคเตอร์อิสระ

ท้งั สองโดยใชก้ ฎมือขวาแรงคูค่ วบอาจจะแสดงไดด้ ว้ ยสัญลกั ษณ์ตามรูปที่ 2.16 (ค) ซ่ึงอาจมี

ทิศทางทวนเขม็ หรือตามเขม็ ก็ได้

(ก) (ข)

ตามเขม็ นาฬิกา ทวนเข็มนาฬิกา
(ค)

รูปท่ี 1

91

ขนาดของแรงคู่ควบจะไม่เปล่ียนแปลงถ้าผลคูณระหว่าง F และ d คงที่ รูปที่ 2 แสดง
สญั ลกั ษณ์ตา่ งๆท่ีใหข้ นาดของแรงคู่ควบเท่ากนั

รูปท่ี 2.17

รูปที่ 2
3.5 การย้ายแรงบนวตั ถุเกร็ง
การยา้ ยตาแหน่งของแรงกระทาจากจุดหน่ึงไปยงั อีกจุดหน่ึงโดยที่แรงมีขนาดและ
ทิศทางคงเดิม จะตอ้ งเพิ่มแรงคู่ควบ M เขา้ ไปดว้ ย เช่น ตามรูปที่ 3 ยา้ ยแรง F จากจุด A ไป
ยงั จุด B จะตอ้ งเพมิ่ แรงคู่ควบ M เขา้ ไปซ่ึงมีคา่ เท่ากบั Fd

รูปที่ 3
แรงคู่ควบเทยี บเท่า

แรงคู่ควบท่ีเทียบเทา่ กนั เม่ือระบบของแรงคู่ควบน้นั ใหค้ ่าโมเมนตท์ ี่เท่ากนั และทิศทาง
เดียวกนั เนื่องจากโมเมนตค์ ู่ควบเกิดจากแรงแรงคู่ควบซ่ึงจะ ต้งั ฉากกบั ระนาบท่ีบรรจุแรงคู่ควบ
ดงั น้นั แรงคู่ควบท่ีเทียบเท่ากนั ตอ้ งอยใู่ นระนาบเดียวกนั หรืออยใู่ นในระนาบท่ีขนานกนั ทิศทาง
ของโมเมนตข์ องแรงคู่ควบท่ีเทียบเท่ากนั นน่ั คือ ต้งั ฉากกบั ระนาบซ่ึงขนานกนั ตวั อยา่ งเช่น แรง
คู่ควบสองแรงในรูปท่ี 2.19 ท่ีมีค่าเทียบเท่ากนั แรงคู่ควบแรกเกิดจากแรง 100N ที่ห่างกนั ดว้ ย
ระยะ d = 0.5 m และอีกแรงคู่ควบเกิดจากคู่ของแรง 200N ที่ห่างกันด้วยระยะ d = 0.25 m

92

เน่ืองจากระนาบท่ีแรงกระทาขนานกนั กบั ระนาบ x – y โมเมนต์ที่เกิดจากแต่ละแรงคู่ควบจึง
หมุนรอบแกน k คือ M = 50 kN.m

รูปท่ี 4

3.6 แรงคู่ควบ (ระบบ 3 มติ )ิ  
F F
แรงสองแรงที่มีขนาดเท่ากนั แต่มีทิศทางตรงขา้ มกนั คือ แรง และ  ตามรูปที่

2.20 แรงท้งั สองผา่ นจุด A และ B ตามลาดบั  และ  เป็ นเวคเตอร์ตาแหน่งของจุด A
rA rB

และ B ตามลาดบั โมเมนตท์ ี่เกิดจากแรงท้งั สองรอบจุด O คือ
 F  F 
M      

rA rB

 rA    F
rB

รูปท่ี 2.20

รูปท่ี 5

เนื่องจาก     r จึงทาให้การเทียบกบั ศูนยก์ ลางโมเมนต์ O ไม่มีความหมาย
rA rB

ดงั น้นั ไดแ้ รงคู่ควบ
 F  F 
M      

rA rB

 rA    F
rB

  r  
M F
ขนาดของแรงคู่ควบคือ M  Fd

93

แรงคู่ควบเป็ นเวคเตอร์อิสระและสามารถรวมกนั ไดต้ ามกฎการรวมเวคเตอร์ เช่นตาม
  
รูป 6 แสดงการรวมเวคเตอร์ของแรงคูค่ วบ M1 และ M2 ได้ M

รูปท่ี 2.21

 รูปท่ี 6 
F M
รูปที่ 7 แสดงการยา้ ยแรง จากจุด A ไปที่จุด B จะตอ้ งเพ่ิมแรงคู่ควบ ซ่ึงมีค่าเท่ากบั

r  
F

รูปท่ี 2.22

รูปท่ี 7

94

ตวั อย่างที่ 1. ในการออกแบบตะขอตามรูป เพื่อรับแรงดึง  พบวา่ จุด B ตอ้ งรับแรงดึง 
F  F
F
และแรงคูค่ วบ ถา้ แรงคู่ควบมีขนาด 400 N  m จงหาขนาดของแรง

วธิ ีทา ใชส้ ูตรแรงคูค่ วบคานวณหาขนาดของแรง 
F

แรงคูค่ วบ M  Fd

400  F0.1

F  40000 N

 40 kN Ans

ตวั อย่างท่ี 2. แทนแรงคูค่ วบและแรงตามรูปดว้ ยแรงเพียงแรงเดียว คือแรง  ที่จุด D จงหา
F

ตาแหน่งของจุด D โดยการหาระยะ b

95

วธิ ีทา เพม่ิ แรงคู่ควบของแรง 300 N เขา้ ไป โดยใหม้ ีขนาดเท่ากบั แรงคู่ควบ 60 N  m และ
ใหแ้ รงแรงหน่ึงผา่ นจุด D เขียน F.B.D. ไดด้ งั น้ี

แรงคูค่ วบ 300 N  60 N  m
หาระยะทาง ( d ) 300 d  60

d  60
300

 0.2 m

 200 mm

Cos 20  200
b

b 200  213 mm Ans
cos 20

96

ตัวอย่างที่ 3.
โครงสร้างรับน้าหนกั 40 kN ถา้ แรง40 kNและแรงยอ่ ยในแนวดิ่ง ที่จุด B ประกอบกนั เป็นแรงคู่
ควบซ่ึงเทา่ กบั และตรงกนั ขา้ มกบั แรงคู่ควบที่เกิดจากแรงระดบั สองแรง จงคานวณหาขนาดของ
แรงลพั ธ์ที่จุด B
วธิ ีทา เขียน F.B.D. ไดด้ งั น้ี

เน่ืองจากแรงคูค่ วบปรกอบดว้ ยแรงสองแรงที่มีทิศทางตรงกนั ขา้ มและมีขนาดเทา่ กนั ดงั น้นั จึง
หาขนาดของแรงท่ีไมท่ ราบค่าได้ และหาแรงลพั ธ์ที่จุด B ได้
จากรูปจะได้ By  40 kN
และ A  Bx
แรงคูค่ วบท้งั สองมีขนาดเท่ากนั ดงั น้นั

40 ( 4  4 )  5Bx

Bx  64 kN

เพราะฉะน้นั หา B ไดจ้ ากกฎสามเหลี่ยมมุมฉาก

แรงลพั ธ์ที่จดุ B 64 kN

40 kN B

จะได้ B  Bx 2  By 2  642  402

 75.5 kN Ans

97

ตัวอย่างท4ี่ . จงหาโมเมนตข์ องแรง  รอบจุด A
P

วธิ ีทา
หาเวคเตอร์ r ของการขจดั จากจุด A ถึงจุด B
จะได้

r  AB  OB  OA
 

 bj  (b i  bk)


 b(i  jk)

เวคเตอร์หน่ึงหน่วยในแนวแกน  คือ
P

u  4   3 
i j
55

  P ( u )  P 
P (4i 3 j)
5
 r 
MA   P

   P ( 4   3  )
b(i  jk) i j
5

 Pb    Ans
(3i  4j  7k)
5

98

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ืองโมเมนตข์ องแรง โมเมนตแ์ รงสองมิติ โมเมนตแ์ รงสามมิติ
( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. กล่าวนาเขา้ สู่บทเรียนโดยพดู คุยถึงเร่ืองแรงคูค่ วบระบบสองมิติ แรงคูค่ วบระบบสามมิติ
การยา้ ยแรงบนวตั ถุเกร็ง ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยที่ 3 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 , 2 , 3) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งที่ 1 , 2 , 3 ( 20 นาที )
3 ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้ันสรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

99

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 , 2 , 3 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั
3. ใหไ้ ปศึกษาเรื่องท่ีจะเรียนสปั ดาห์หนา้

ส่ือการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,3
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,3

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานท่ีมอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

100

แบบฝึ กหดั

1. โครงสร้างรับน้าหนกั 40 kN ถา้ แรง40 kNและแรงยอ่ ยในแนวดิ่ง ที่จุด B ประกอบกนั เป็นแรงคู่
ควบซ่ึงเทา่ กบั และตรงกนั ขา้ มกบั แรงคูค่ วบที่เกิดจากแรงระดบั สองแรง จงคานวณหาขนาดของแรง
ลพั ธ์ที่จุด B
วธิ ีทา เขียน F.B.D. ไดด้ งั น้ี

101

เฉลยแบบฝึ กหัด

1. โครงสร้างรับน้าหนกั 40 kN ถา้ แรง40 kNและแรงยอ่ ยในแนวดิ่ง ท่ีจุด B ประกอบกนั เป็นแรงคู่
ควบซ่ึงเท่ากบั และตรงกนั ขา้ มกบั แรงคู่ควบที่เกิดจากแรงระดบั สองแรง จงคานวณหาขนาดของแรง
ลพั ธ์ท่ีจุด B
วธิ ีทา เขียน F.B.D. ไดด้ งั น้ี

เนื่องจากแรงคูค่ วบปรกอบดว้ ยแรงสองแรงท่ีมีทิศทางตรงกนั ขา้ มและมีขนาดเท่ากนั ดงั น้นั จึงหา
ขนาดของแรงที่ไม่ทราบค่าได้ และหาแรงลพั ธ์ที่จุด B ได้
จากรูปจะได้ By  40 kN
และ A  Bx
แรงคูค่ วบท้งั สองมีขนาดเทา่ กนั ดงั น้นั

40 ( 4  4 )  5Bx

Bx  64 kN

เพราะฉะน้นั หา B ไดจ้ ากกฎสามเหลี่ยมมุมฉาก

แรงลพั ธ์ท่ีจดุ B 64 kN

40 kN B

จะได้ B  Bx 2  By 2  642  402

 75.5 kN Ans

102

แบบทดสอบสัปดาห์ที่ 6

1. โครงสร้างรับน้าหนกั 40 kN ถา้ แรง40 kNและแรงยอ่ ยในแนวดิ่ง ที่จุด B ประกอบกนั เป็นแรงคู่
ควบซ่ึงเทา่ กบั และตรงกนั ขา้ มกบั แรงคูค่ วบที่เกิดจากแรงระดบั สองแรง จงคานวณหาขนาดของแรง
ลพั ธ์ที่จุด B
วธิ ีทา เขียน F.B.D. ไดด้ งั น้ี

103

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 6

1. โครงสร้างรับน้าหนกั 40 kN ถา้ แรง40 kNและแรงยอ่ ยในแนวดิ่ง ท่ีจุด B ประกอบกนั เป็นแรงคู่
ควบซ่ึงเทา่ กบั และตรงกนั ขา้ มกบั แรงคู่ควบท่ีเกิดจากแรงระดบั สองแรง จงคานวณหาขนาดของแรง
ลพั ธ์ท่ีจุด B
วธิ ีทา เขียน F.B.D. ไดด้ งั น้ี

เนื่องจากแรงคู่ควบปรกอบดว้ ยแรงสองแรงที่มีทิศทางตรงกนั ขา้ มและมีขนาดเท่ากนั ดงั น้นั จึงหา
ขนาดของแรงท่ีไม่ทราบค่าได้ และหาแรงลพั ธ์ที่จุด B ได้
จากรูปจะได้ By  40 kN
และ A  Bx
แรงคูค่ วบท้งั สองมีขนาดเทา่ กนั ดงั น้นั

40 ( 4  4 )  5Bx

Bx  64 kN

เพราะฉะน้นั หา B ไดจ้ ากกฎสามเหล่ียมมุมฉาก

แรงลพั ธ์ที่จดุ B 64 kN

40 kN B

จะได้ B  Bx 2  By 2  642  402

 75.5 kN Ans

104

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................