กลศาสตร์วิศวกรรม

305

4. ทฤษฎแี กนขนาน (Parallel – Axis Theorem)
ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยจะข้ึนอยกู่ บั แกนอา้ งอิง ดงั น้ันค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพ้ืนที่

เดียวกนั รอบแกนอา้ งอิงท่ีต่างกนั จะมีค่าไม่เท่ากนั แต่ค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนท่ีผา่ นจุด
เซนทรอยด์ของพ้ืนที่ (ซ่ึงเป็ นค่าคงท่ี) จะเป็ นค่าคงท่ี ในทางปฏิบตั ิเรามกั จะหาค่าโมเมนตข์ อง
ความเฉื่อย ของพ้ืนที่รอบแกนใด ๆ ที่ขนานกบั แกนท่ีผ่านจุดเซนทรอยด์ โดยใช้ “ทฤษฎีแกน
ขนาน” (Parallel – Axis Theorem) หรือ “ทฤษฎีการยา้ ยแกน” (Transfer Theorem)

รูปท่ี 6.2
ลองพิจารณาพ้ืนท่ี A ในรูปที่ 6.2 ซ่ึงมีจุดเซนทรอยด์อยทู่ ่ี C และ Ixc , Iyc , Jo เป็ นค่า
โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้นื ที่ A รอบแกน x , y และ z ที่ผา่ นจุดเซนทรอยดต์ ามลาดบั
สมมติวา่ เราตอ้ งการหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนที่รอบแกน x, y และ zซ่ึงขนานกบั
แกน x , y และ z และมีระยะห่าง d1, d2 และ ρ ตามลาดบั

 Ix  (y)2 dA  (y  d1)2 dA
AA

   y2dA  2d1 ydA d12 dA
A AA

เนื่องจากแกน x ผา่ นจุดเซนทรอยด์ C

  ydA  0
A

 และ d12 dA  Ad12 , y2dA  Ix c
AA

Ix  Ix c  Ad12 ................. (6.5)

ในทานองเดียวกนั จะพิสูจน์ไดว้ า่

I y  I yc  Ad22 ...................... (6.6)

และ Jo  Ix  Iy

306

 I x  I y  A(d12  d 2 ) .................. (6.7)
2

แสดงวา่ “โมเมนตข์ องความเฉื่อยของพ้ืนที่รอบแกนใด ๆ มีค่าเท่ากบั โมเมนตข์ องความ

เฉื่อยรอบแกนที่ผ่านจุดเซนทรอยด์ท่ีขนานกัน บวกกับผลคูณของพ้ืนท่ีและกาลงั สองของ

ระยะทางระหวา่ งแกนท้งั สองน้นั ”

5. โมเมนต์ของของความเฉ่ือยของรูปผสม (Moment of inertia of composite areas)
สาหรับพ้นื ท่ีรูปผสมซ่ึงประกอบข้ึนดว้ ย พ้ืนที่ยอ่ ยหลายรูปท่ีมีรูปทรงเรขาคณิตแตกต่าง

กนั การหาโมเมนตค์ วามเฉ่ือยของรูปทรงผสม จะหาไดโ้ ดยทฤษฎีแกนขนาน หาคา่ โมเมนตข์ อง
ความเฉ่ือยของแต่พ้ืนท่ียอ่ ยรอบแกนที่ผา่ นจุดเซนทรอยด์ของพ้ืนท่ีน้นั ซ่ึงเป็ นค่าคงท่ีหาไวแ้ ลว้
เป็ นสูตรมาตรฐานดงั แสดงไวใ้ นตารางของภาคผนวก แลว้ ยา้ ยแกนมายงั แกนดงั เดียวกนั และนา
ค่าเหล่าน้ีมาบวกกนั (หรือลบกนั ในกรณีท่ีเป็ นรูปยอ่ ยที่ตอ้ งตดั ออกหรือเจาะรู) เป็ นค่าโมเมนต์
ของความเฉื่อยของรูปผสมรอบแกนที่ตอ้ งการ

ดงั น้นั n
Ix 
(Ixc  Ad12 )i

i1

n

I y  (I yc  Ad22 )i
i1

n

Jo  (Jc  Aρ2 )i
i1

ตัวอย่างท่ี 1. จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของพ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมผืนผา้ ในตวั อย่างที่ 6.1 รอบแกน

x, y และ z

307

วธิ ีทา จากตวั อยา่ งท่ี 6.1 I xc  bh 2 , I yc  hb 3
12 12

และ Jc  bh (b2  h 2 )
12

แทนคา่ ในสมการ (6.5) จะได้

I x  I xc  A d12

 bh 3  (bh) h 2
12  2 

 bh3  bh3
12 4

I x  bh 3
3

ในทานองเดียวกนั I y  hb 3
3

และ Jo  Jc  Aρ2

 bh (b 2  h2 )  (bh) b  2   h  2 

12  2   2  

Jo  bh (b2  h 2 )
3

ตวั อย่างท่ี 2. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยมในตวั อยา่ งท่ี 6.2 รอบแกน
x ท่ีผา่ นจุด C

วิธีทา จากตวั อย่างท่ี 6.2 ค่า Ix ซ่ึงในที่น้ี

คือ Ix รอบแกนท่ีผา่ นฐานสามเหล่ียม คือ

I x  bh 3
12

จากสมการ (6.5) Ix  Ixc  Ad12

bh 3  Ixc   1 bh  h  2
12  2  3 

 Ixc  bh 3  bh 3
12 18

Ixc  bh 3
36

ตัวอย่างท่ี 3. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือย

308

ของพ้นื ท่ีในรูปรอบแกน x และ y ท่ีผา่ นจุดเซนทรอยดข์ องมนั เอง

วธิ ีทา แบ่งพ้นื ท่ียอ่ ย คือ สี่เหล่ียมผนื ผา้ – วงกลม แลว้ หาจุดเซนทรอยดข์ องรูปผสมแลว้ หาจุด

เซนทรอยดข์ องรูปผสมซ่ึงหาไดจ้ ากสมการ

x  Ax  A1x1  A2 x2
 A A1  A2

(120 120)(60)   π (40)2 (30)  8263  62.9 mm
4  1314.3
 (120 120)   π (40)2 

4 

โดยลกั ษณะสมมาตรของรูป y  x  62.9 mm

ใชท้ ฤษฎีแกนขนานหาค่าโมเมนตข์ องความเฉื่อยของแต่ละรูปยอ่ ยรอบแกน x และ y ท่ี

ผา่ นจุดเซนทรอยดข์ องรูปผสมดงั น้ี

รูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้

Ix  Ixc  Ad12
 1 (120)(120)3  (120)(120)(62.9  60)2
12
 17.28(106 )  0.121(106 )

 17.4 106 mm4

รูปวงกลม

Ix  π (40)4   π (40)2 (62.9  30)2
12  4 

 0.127(106 ) 1.360(106 )

 1.487 106 mm4

 Ix ของรูปผสม  17.4(106 ) 1.487(106 )

 15.91106 mm4 Iy  Ix  15.69 106 mm4

โดยลกั ษณะสมมาตรของรูป

309

กจิ กรรมการเรียนการสอน
ข้นั ตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู
ทดสอบ
1. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบทดสอบเร่ือง แรงกระจาย จุดศูนยถ์ ่วงและ จุดศูนยก์ ลางมวล
จุดศูนยถ์ ่วงจุดเซนทรอยด์ จุดศูนยก์ ลางมวลของรูปทรงประกอบ ( 30 นาที )
2. ผสู้ อนเฉลยแบบทดสอบ ( 10 นาที )

ข้นั นา
1. ผสู้ อนพดู ถึงเน้ือหาเรื่อง โมเมนตค์ วามเฉ่ือยพ้ืนที่ รัศมีไจเรชน่ั ( 10 นาที )

ข้นั สอน
1. สอนแบบบรรยายในหน่วยที่ 7 ( ในหวั ขอ้ ยอ่ ย 1 ,2 ,3) ( 70 นาที )
2. สอนสาธิตหลกั การคานวณตวั อยา่ งที่ 1 , 2 ,3 ( 20 นาที )
3. ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกหดั และเปิ ดโอกาสใหผ้ เู้ รียนเรียนถาม ( 25 นาที )
4. เฉลยแบบฝึกหดั ( 10 นาที )

ข้นั สรุป
1. สรุปเน้ือใหผ้ เู้ รียนฟัง ( 10 นาที )

310

งานทมี่ อบหมายหรือกจิ กรรม
1. ใหศ้ ึกษาเอกสารประกอบการเรียนตามหวั ขอ้ 1 และทารายงานส่ง
2. ใหท้ าแบบฝึกหดั

สื่อการเรียนการสอน
1. เอกสารประกอบการสอนเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1
2. แผน่ ใสเน้ือหาขอ้ ยอ่ ย 1

การวดั ผลและประเมนิ ผล
1. สังเกตความสนใจผเู้ รียน
2. ความรับผดิ ชอบต่องานที่มอบหมาย
3. การใหค้ วามร่วมมือในการทากิจกรรมระหวา่ งเรียน
4. ทาแบบทดสอบ

311

แบบฝึ กหดั
1. จงหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยของพ้ืนที่ในรูปผสมรอบแกน x

312

เฉลยแบบฝึ กหัด
1. จงหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนที่ในรูปผสมรอบแกน x

วธิ ีทา แบง่ พ้นื ที่ยอ่ ยออกเป็ นสองส่วนคือ แผน่ สี่เหลียมผนื ผา้ และลบออกดว้ ยรูปวงกลม ดงั รูปใช้

ทฤษฎีแกนขนานหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยของแต่ละรูปยอ่ ยรอบแกน x แลว้ นามาลบกนั ดงั น้ี

รูปวงกลม Ix  Ixc  Ad12
 π (25)4  π(25)2 (75)2
4

 11.4 106 mm4

รูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้

Ix  Ixc  Ad12 Ix  112.5(106 ) 11.4(106 )
 (100)(150)3  (100)(150)(75)2
12
 112.5106 mm2

ดงั น้นั โมเมนตข์ องความเฉื่อยของรูปผสมผสมคือ

 101.1106 mm4

313

แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 17
1. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนท่ีในรูปผสมรอบแกน x

314

เฉลยแบบทดสอบสัปดาห์ที่ 17
1. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนท่ีในรูปผสมรอบแกน x

วธิ ีทา แบ่งพ้นื ท่ียอ่ ยออกเป็ นสองส่วนคือ แผน่ ส่ีเหลียมผนื ผา้ และลบออกดว้ ยรูปวงกลม ดงั รูปใช้

ทฤษฎีแกนขนานหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของแตล่ ะรูปยอ่ ยรอบแกน x แลว้ นามาลบกนั ดงั น้ี

รูปวงกลม Ix  Ixc  Ad12
 π (25)4  π(25)2 (75)2
4

 11.4 106 mm4

รูปสี่เหลี่ยมผนื ผา้

Ix  Ixc  Ad12 Ix  112.5(106 ) 11.4(106 )
 (100)(150)3  (100)(150)(75)2
12
 112.5106 mm2

ดงั น้นั โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของรูปผสมผสมคือ

 101.1106 mm4

315

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

แผนการจัดการเรียนรู้ 316
ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม 1.
ชื่อหน่วย สอบ หน่วยท่ี 6
สอนคร้ังท่ี 18
จานวน 3 ชั่วโมง

ข้อสอบแก้ตวั

ขอ้ 1. ตุม้ น้าหนกั L หอ้ ยอยบู่ นคานซ่ึงมีจุดหมุนคือ C แรงตึงในเส้นเชือก AB เทา่ กบั 15

kN จงแสดงแรงตึง  ในรูปของเวคเตอร์ โดยมี  และ  เป็ นเวคเตอร์หน่ึงหน่วยใน

T i j

แนวแกน X และ Y ตามลาดบั

Y B
T CX

A

317

ขอ้ 2. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ่ีมีเคร่ืองกีดขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN และ P
ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ท่ีทาใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยใู่ นแนวของสลกั พอดีและหา
ขนาดของแรงตึง
วธิ ีทา

F.B.D. 

P

200  T
 100
 150 



1.6kN

ขอ้ 3.จงหาแรงในแนวแกน X และแนวแกน Y ของแรง 40 นิวตนั ท่ีทามุมกบั แกน
Y = 60 องศา

y

Fx

x Fy 60 F = 40 N

x

y

ขอ้ 4.วตั ถุอยทู่ ี่จุด A มีแรงขนาด 100 N มากระทาโดยมีทิศทางดงั รูป

Y F = 100 N

A 60 X

318

ขอ้ 5.ในการออกแบบตะขอตามรูป เพื่อรับแรงดึง  พบวา่ จุด B ตอ้ งรับแรงดึง  และแรงคู่
F  F
F
ควบ ถา้ แรงคู่ควบมีขนาด 400 N  m จงหาขนาดของแรง

ขอ้ 6. แทนแรงคูค่ วบและแรงตามรูปดว้ ยแรงเพยี งแรงเดียว คือแรง  ท่ีจุด D จงหาตาแหน่ง
F

ของจุด D โดยการหาระยะ b

ขอ้ 3. ลงั ใส่ของ 100 kg วางบนพ้ืนเอียง มีแรง P ขนาด 200 N กระทาในแนวราบเพ่ือดึงลงั ให้
ไถลลงตามพ้ืนเอียง ซ่ึงมีค่า ส.ป.ส. ความเสียดทาน 0.70 จงคานวณหาแรงเสียดทาน F ที่
กระทาต่อลงั

100 kN   0.7
p

20

319

ขอ้ 4. คาน AB ถูกกระทาดว้ ยน้าหนกั กระจายสม่าเสมอขนาด 200N/mและถูกรองรับท่ี B โดย
เสา BC ดงั รูป ถา้ คา่ สมั ประสิทธ์ิความเสียดทานสถิตยท์ ี่ จุด B และ C คือ B = 0.2 และ C =
0.5 ตามลาดบั จงหาแรง P ที่ตอ้ งการเพือ่ ฉุดเสาออกจากใตค้ าน โดยไมค่ ิดน้าหนกั ของชิ้นส่วน
และความหนาของเสา

200 N/m
AB

0.75 mP
4 m C 0.25 m

320

เฉลยข้อสอบแก้ตวั

ขอ้ 1. ตุม้ น้าหนกั L หอ้ ยอยบู่ นคานซ่ึงมีจุดหมุนคือ C แรงตึงในเส้นเชือก AB เท่ากบั 15

kN จงแสดงแรงตึง  ในรูปของเวคเตอร์ โดยมี  และ  เป็ นเวคเตอร์หน่ึงหน่วยใน

T i j

แนวแกน X และ Y ตามลาดบั

Y B
T CX

A

321

วธิ ีทา โดยการแตกแรงไปในแนวแกน X และ Y

ดงั นนั้ sin θ  sin 31.0  0.514
cos θ  cos 31.0
และ Tx  T cos θ  0.857

  150.857

 12.86 kN

Ty  T cosθ  150.514

 7.72 kN

  Ans

T  12.86 i  7.72 j

ขอ้ 2. ในการดึงสลกั ออกจากไมท้ ี่มีเคร่ืองกีดขวางทาใหต้ อ้ งใชแ้ รงสองแรง คือ 1.6 kN และ P
ดงั รูป จงคานวณหาขนาดของแรง P ที่ทาใหแ้ รงลพั ธ์ท้งั สองอยใู่ นแนวของสลกั พอดีและหา
ขนาดของแรงตึง
วธิ ีทา

F.B.D. 

P

200  T
 100
 150 



1.6kN

หาค่า  และ  ได้

α  tan1 100  26.56
200

θ  tan1 150  36.38
200

β  180  (α  θ)  116.57

322

จากกฏของซายน์ ได้

P  1.6
Sin 36.87 Sin 26.57

 2.15 kN Ans
Ans
T  1.6
Sin 116.57 Sin 26.57

T  3.2 kN

ขอ้ 3.จงหาแรงในแนวแกน X และแนวแกน Y ของแรง 40 นิวตนั ท่ีทามุมกบั แกน
Y = 60 องศา

y

Fx

x Fy 60 F = 40 N

x

y

วธิ ีทา เขียนสามเหล่ียมมุมฉากโดยใหแ้ รง F = 40 นิวตนั เป็นดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

Fy  cos60
F
Fy  cos60
F
Fy  Fcosθ

 40 cos 60

 20 N Ans

Fx  sin60
F
Fx  F sin60 
40sin 60


 34.641 N Ans

323

ขอ้ 4.วตั ถุอยทู่ ี่จุด A มีแรงขนาด 100 N มากระทาโดยมีทิศทางดงั รูป

Y F = 100 N

A 60 X

วธิ ีทา ต้งั สมการ  
F  FX i  FY j

; FX  FCosθX  100Cos60  50N

; FY  FCosθY  FSinθX  100Sin60  50 3N
 
F  50i  50 3j N Ans

ขอ้ 5. ในการออกแบบตะขอตามรูป เพื่อรับแรงดึง  พบวา่ จุด B ตอ้ งรับแรงดึง  และแรงคู่
F  F
F
ควบ ถา้ แรงคู่ควบมีขนาด 400 N  m จงหาขนาดของแรง

วธิ ีทา ใชส้ ูตรแรงคู่ควบคานวณหาขนาดของแรง 
F

แรงคู่ควบ M  Fd

400  F0.1

F  40000 N Ans
 40 kN

324

ขอ้ 6. แทนแรงคูค่ วบและแรงตามรูปดว้ ยแรงเพยี งแรงเดียว คือแรง  ที่จุด D จงหาตาแหน่ง
F

ของจุด D โดยการหาระยะ b

วธิ ีทา เพิ่มแรงคู่ควบของแรง 300 N เขา้ ไป โดยใหม้ ีขนาดเทา่ กบั แรงคูค่ วบ 60 N  m และ
ใหแ้ รงแรงหน่ึงผา่ นจุด D เขียน F.B.D. ไดด้ งั น้ี





แรงคู่ควบ 300 N  60 N  m
หาระยะทาง ( d ) 300 d  60

d  60
300

 0.2 m

 200 mm

Cos 20  200
b

b  200  213 mm Ans
cos 20

325

ขอ้ 7. ลงั ใส่ของ 100 kg วางบนพ้ืนเอียง มีแรง P ขนาด 200 N กระทาในแนวราบเพ่ือดึงลงั
ใหไ้ ถลลงตามพ้นื เอียง ซ่ึงมีคา่ ส.ป.ส. ความเสียดทาน 0.70 จงคานวณหาแรงเสียดทาน F ท่ี
กระทาต่อลงั

100 kN

p

  0.7

20

วธิ ีทา
เขียน F.B.D. ต้งั x y ขนานและต้งั ฉากกบั พ้นื เอียง และกาหนด คา่ แรงตา่ งๆ ท่ีกระทาต่อลงั

y

x

mg =100(9.81)
P =200 N

FN

ใชส้ มการสมดุลหาแรง N และแรงเสียดทาน F แลว้ เปรียบเทียบกบั แรงเสียดทานสถิตสูงสุด

 FSmax  μSN

ถา้ F  FSmax ลงั อยใู่ นสภาวะสมดุล
ถา้ F  FSmax ลงั เคล่ือนท่ี
หมายเหตุ กรณีน้ี คือ ค่า  เท่าน้นั

ต้งั สมการสมดุล

   Fy  O;

N  200sin20 1009.81cos20  O

 N  853.4 N

+  Fx  O ;

F  200cos20  109.81sin20  O

 F  523.5 N

326

FSmax  μS N  0.70853.4 N

 597.4 N

  597.4  523.5 N , FSmax  F

ลงั อยใู่ นสภาวะสมดุลมี แรงเสียดทาน
F  523.5 N กระทาอยู่ Ans

ขอ้ 8. คาน AB ถูกกระทาดว้ ยน้าหนกั กระจายสม่าเสมอขนาด 200N/mและถูกรองรับที่ B โดย
เสา BC ดงั รูป ถา้ ค่าสมั ประสิทธ์ิความเสียดทานสถิตยท์ ่ี จุด B และ C คือ B = 0.2 และ C =
0.5 ตามลาดบั จงหาแรง P ท่ีตอ้ งการเพือ่ ฉุดเสาออกจากใตค้ าน โดยไมค่ ิดน้าหนกั ของชิ้นส่วน
และความหนาของเสา

200 N/m

AB
0.75 mP

4 m C 0.25 m

วธิ ีทา

เขียน F.B.D. ของคาน AB และ เสา BC

Ax 800 N
2m
2 m FB

Ay 400 N NB= 400 N

FB B
0.75 m
P

FC C 0.25 m

NC

ใชส้ มการสมดุล พิจารณาแรง NB , MA  O ;

ได้ NB  400 N  Ny

Ax  FB

327

พิจารณาเสา BC ใชส้ มการสมดุล
+ FX = 0; P – FB - FC = 0 ……(1)
+ FY = 0; NC - 400 N = 0 ……(2)

+ MC = 0 ; -P(0.25m) + FB (1m) = 0 ……(3)
ถา้ เสามีการเลื่อนไถลเฉพาะที่จุด B

ซ่ึง FC  CNC และ
FB = BNB
FB = 0.2 (400 N)
= 80 N

ใชค้ า่ FB = 80 N แกส้ มการ (1) (2)และ (3) ได้
P = 320 N
FC = 240 N
NC = 400 N

เนื่องจาก FC = 240 N > CNC
CNC = 0.5(400 N) = 200 N

ถา้ เสามีการเลื่อนไถลเฉพาะท่ีจุด C ซ่ึง
FC  CNC และ
FB = BNB

แกส้ มการ (1) ถึง (4)

P = 267 N
NC = 400 N
FC = 200 N
FB = 66.7 N
คา่ แรง P ท่ีตอ้ งการ คือ แรง P ท่ีตอ้ งการ คือคา่ แรง P ท่ีนอ้ ยท่ีสุด
ฉะน้นั P = 276 N Ans

328

บนั ทกึ หลงั การสอน
ผลการใชแ้ ผนการสอน.......................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................

ผลการเรียนของนกั เรียน......................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

ผลการสอนของครู.............................................................................................................................
............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................