ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ_ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΓΙΑΝΝΙΑΣ

15.8 Σχέση μεταξύ
πλεονάσματος καταναλωτή και

χρησιμότητας

Το όφελος του καταναλωτή από μια μείωση της τιμής του Χ από P1 σε P2
δίνεται από το Διάγραμμα 15.8 και είναι ίσο με :

P1
∫X
( P , P , I ) dP
x Y x

P2

όπου X(Px,Py,I) είναι η ζήτηση για Χ.

Διάγραμμα 15.8 Όφελος καταναλωτή από μείωση τιμής

€
P1
P2

D
Q

297

Στη θεωρία του Καταναλωτή όμως, στο Κεφάλαιο Χρήσιμες Ταυτότητες,
είδαμε ότι :

X ( P , P , I ) = − ∂V ( P , P , I ) / ∂P = − ∂V ( P , P , I ) / ∂P
x Y X Y X X Y X

∂V ( P , P , I ) / ∂I λ
X Y

όπου

λ = − ∂V ( P , P , I)
X Y

∂I

(Το λ είναι ο πολλαπλασιαστής του Lagrange στο πρόβλημα της
μεγιστοποίησης χρησιμότητας του καταναλωτή).

λ = − ∂V ( P , P , I )
X Y
Το ότι προκύπτει από την εφαρμογή του
∂I

θεωρήματος envelop στο πρόβλημα της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας του
καταναλωτή).

Εάν υποθέσουμε ότι το λ (δηλ. η οριακή χρησιμότητα του εισοδήματος)
είναι σταθερή, έχουμε:

P1
∫X
( P , P , I )dPx =
x Y

P2

P1 ∂V ( P , P , I )
∫= X Y dP
(1/ λ) =
X
∂P
P2 X

= - (1/λ) [V(P1,PY,I) - V(P2,PY,I)]

= (1/λ) [V(P2,PY,I) - V(P1,PY,I)]

298

15.9 Καθαρό (συνολικό) όφελος
της κοινωνίας

Το καθαρό όφελος της κοινωνίας SB(Q) είναι ίσο με το συνολικό όφελος
των παραγωγών και των καταναλωτών, δηλαδή:

SB (Q) =
B(Q) + PS (Q) =
= [W(Q) -P(Q)] + [PQ -SVC (Q)] =
= W(Q) - SVC(Q)

Συνεπώς :

max SB (Q) ⇔
Q

max W(Q) - SVC (Q)
Q

Η συνθήκη πρώτου βαθμού μεγιστοποίησης του συνολικού κοινωνικού
οφέλους είναι :

P(Q) = MC(Q)

Σημείωση: η καμπύλη ζήτησης για ένα προϊόν μπορεί να ερμηνευτεί σαν τη
καμπύλη οριακής διαθεσιμότητας του καταναλωτή να πληρώσει για το προϊόν.

299

Διάγραμμα 15.9 Μεγιστοποίηση κοινωνικού οφέλους
€

Δ MC

Γ E
Pm
D
Pc
Β Qc
MR
A

Qm

Είδαμε, λοιπόν, ότι το συνολικό όφελος της κοινωνίας μεγιστοποιείται όταν
P(Q) = MC(Q).

Έχοντας τώρα γνώση του τελευταίου αποτελέσματος αναφερόμαστε στο
Διάγραμμα 15.9 το οποίο μας επιτρέπει να συγκρίνουμε το αποτέλεσμα της
ανταγωνιστικής αγοράς (Pc, Qc) με το αποτέλεσμα της μονοπωλιακής (Pm, Qm).

Το αποτέλεσμα της ανταγωνιστικής αγοράς μεγιστοποιεί το συνολικό
όφελος της κοινωνίας διότι Pc = MC. Το όφελος της κοινωνίας σε αυτή την
περίπτωση είναι ίσο με την περιοχή ΑΔΕ στο Διάγραμμα 15.9.

Το συνολικό όφελος της κοινωνίας από το αποτέλεσμα της μονοπωλιακής
αγοράς είναι ίσο με την περιοχή ΑΒΓΔ. Η συνολική ζημιά από την λειτουργία του
κλάδου ως μονοπωλίου είναι ίση με την περιοχή ΓΒΕ.

300

15.10 Πολιτικές και προβλήματα

για τον έλεγχο των

δραστηριοτήτων μονοπωλίου

Είδαμε προηγουμένως ότι το μονοπώλιο θα παράγει την ποσότητα Qm,
ενώ η ποσότητα που μεγιστοποιεί το συνολικό όφελος της κοινωνίας είναι Qc.

Μπορούμε να προτείνουμε δύο πολιτικές που μπορούν να αναγκάσουν το
μονοπώλιο να παράγει Qc.

1) Υποχρεώνουμε το μονοπώλιο να παράγει τη ποσότητα Qc και του
επιτρέπουμε να διαλέξει την τιμή που θα πουλήσει (θα θέσει την τιμή στο
ύψος Pc).

2) Επιτρέπουμε στο μονοπώλιο να επιλέξει την ποσότητα που θα παράγει,
αλλά δεν επιτρέπουμε να πουλήσει σε τιμή μεγαλύτερη από Pc. Και αυτή η
πολιτική θα έχει σαν αποτέλεσμα την παραγωγή της ποσότητας Qc στη
τιμή Pc.

Πρόβλημα για την εφαρμογή των παραπάνω πολιτικών υπάρχει :

1) όταν η κυβέρνηση δεν ξέρει την ακριβή θέση της καμπύλης οριακού
κόστους ενώ η επιχείρηση τη γνωρίζει και

2) όταν συγχρόνως η κυβέρνηση δε είναι σε θέση να μάθει τη ακριβή της
καμπύλης MC εκ των υστέρων,

π.χ. αυτό μπορεί να συμβαίνει όταν η θέση της καμπύλης οριακού κόστους
εξαρτάται από την τιμή μιας τεχνολογικής παραμέτρου θ, την οποία η επιχείρηση
γνωρίζει και η κυβέρνηση δε μπορεί ποτέ να μάθει. Το Διάγραμμα 15.10
αναφέρεται στην περίπτωση που η μεταβλητή θ μπορεί να πάρει 2 τιμές, θ1, και θ2.

Στην περίπτωση αυτή η κυβέρνηση δε μπορεί να εφαρμόσει τις δύο
προηγούμενες πολιτικές, γιατί δε ξέρει την ακριβή θέση της καμπύλης οριακού
κόστους. Περαιτέρω το πρόβλημα περιπλέκεται ακόμη, γιατί η επιχείρηση έχει
κίνητρο να προφασίζεται ότι η καμπύλη οριακού της κόστους είναι MC(θ1), εάν
ξέρει ότι η κυβέρνηση θα εφαρμόσει μια από τις δύο προηγούμενες πολιτικές. Στο
επίπεδο της μικροοικονομικής ανάλυσης που παρουσιάζεται δεν θα εξετάσουμε το
σύνολο των λύσεων αυτού του προβλήματος, αλλά θα πρέπει απλά να είμαστε
ενήμεροι για την ύπαρξη του

Μια όμως από τις πιθανές λύσεις αυτού του προβλήματος είναι σχετικά
απλή και μπορεί να εφαρμοστεί αν το επιτρέπει η δομή των δικαιωμάτων
ιδιοκτησίας. Η λύση αυτή προτείνει να εξαφανιστεί η διάσταση μεταξύ του φορέα
του δημοσίου που θέλει να ελέγξει το μονοπώλιο και του μονοπωλίου. Αυτό
μπορεί να συμβεί, εάν οι δύο οντότητες συγχωνευθούν σε μία, μέσα από κάποια
διαδικασία απαλλοτρίωσης.

301

Διάγραμμα 15.10 Ασύμμετρη πληροφόρηση και μονοπώλιο
€
MC(θ1)
MC(θ2)
D
Q
MR

302

15.11 Έλεγχος
δραστηριοτήτων φυσικού

μονοπωλίου

Μια πολιτική που έχει σαν αποτέλεσμα να αναγκάσει το μονοπώλιο να
λειτουργεί σε ένα σημείο που Ρ = ΜC θα φέρει το επιθυμητό αποτέλεσμα
(μεγιστοποίηση κοινωνικής ευημερίας).

Η παραπάνω πολιτική όμως αυτή αναγκάζει το μονοπώλιο να λειτουργεί
σε ένα επίπεδο που έχει ζημία. Αυτό όμως, δεν μπορεί να συμβαίνει για πάντα.

Συνεπώς, ο φορέας ελέγχου του μονοπωλίου είτε θα εγκαταλείψει αυτή
την πολιτική ή θα επιχορηγεί το μονοπώλιο γιο πάντα για να επιτύχει
μεγιστοποίηση της κοινωνικής ευημερίας.

303

15.12 Έλεγχος φυσικού

μονοπωλίου με πολιτική 2

τιμών

Μία πιθανή αντιμετώπιση του προβλήματος επηρεασμού των
δραστηριοτήτων φυσικού μονοπωλίου είναι η επιβολή δύο τιμών. Μίας υψηλής και
μιας χαμηλής που να είναι ίση με το οριακό κόστος.

H περίπτωση αυτή δίνεται στο Διάγραμμα 15.11. Μία μερίδα καταναλωτών
αγοράζει το προϊόν στην τιμή Ρ1 και μία άλλη στην τιμή Ρ2.

(Ρ1ΑΒΔ) είναι το κέρδος από την πρώτη μερίδα των καταναλωτών το
οποίο χρησιμοποιείται για να καλύψει την ζημιά, (BCEF), από την δεύτερη μερίδα
των καταναλωτών.

Διάγραμμα 15.11 Έλεγχος φυσικού μονοπωλίου με πολιτική δύο τιμών

€
D

P1 Δ

AB F

Ρ2 CE AC

MC

Q1 Q2

304

15.13 Πολιτική αποδεκτού
επιπέδου απόδοσης για τον

έλεγχο του φυσικού
μονοπωλίου

Η πολιτική αυτή επιτρέπει στο φυσικό μονοπώλιο να πουλάει σε μια
προκαθορισμένη τιμή μεγαλύτερη από το οριακό κόστος, η οποία του επιτρέπει να
απολαμβάνει ένα αποδεκτό /δίκαιο επίπεδο κέρδους. Το πρόβλημα με την πολιτική
αυτή συγκεντρώνεται στη δυσκολία προσδιορισμού του αποδεκτού /δικαίου
επιπέδου κέρδους.

Σε ορισμένες περιπέσεις ως αποδεκτό επίπεδο κέρδους έχε ι επιλεγεί το
μηδέν, το οποίο μπορεί να επιτευχθεί ορίζοντας και αναγκάζοντας το μονοπώλιο
να πουλάει σε τιμή η οποία είναι ίση με το μέσο κόστος (βλέπε Διάγραμμα 15.12).

Διάγραμμα 15.12 Έλεγχος φυσικού μονοπωλίου και αποδεκτό επίπεδο
τιμών

€

P*
AC

MC

D
Q*

305

15.14 Ιδανική τιμολόγηση
φυσικού μονοπωλίου

Η ιδανική τιμή του αγαθού χ που παράγεται από ένα φυσικό μονοπώλιο
είναι η λύση του παρακάτω προβλήματος:

max V ( px, py, I )

px

δοθέντος του περιορισμού ότι π(pχ) = 0

όπου V( ) είναι η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας, π(px) = Χ(px) px -
c(Χ(px)) και Χ(px) είναι η ζήτηση για x.

306

15.15 Η αγορά για πατάτες

Εξετάζουμε την αγορά αυτοκινήτων κάνοντας την υπόθεση ότι
υπάρχουν 4 τύποι αυτοκινήτων στην αγορά:

1. Καλά καινούργια αυτοκίνητα

2. Προβληματικά καινούργια αυτοκίνητα

3. Καλά μεταχειρισμένα αυτοκίνητα

4. Προβληματικά μεταχειρισμένα αυτοκίνητα

ε είναι το ποσοστό των καλών καινούργιων αυτοκινήτων, δηλαδή
αυτών που δεν αναμένεται να παρουσιάσουν κάποιο πρόβλημα. Από αυτό
συνεπάγεται ότι (1 - ε) είναι η αναλογία των προβληματικών καινούργιων
αυτοκινήτων, δηλαδή αυτών που κατά τη διάρκεια της λειτουργίας / ζωής τους θα
παρουσιάσουν διάφορα προβλήματα.

Υποθέτουμε περαιτέρω ότι ένα "καλό" μεταχειρισμένο είναι ένα τέλειο
υποκατάστατο ενός καλού καινούργιου και ότι ένα "κακό" μεταχειρισμένο είναι
ένα τέλειο υποκατάστατο ενός κακού καινούργιου. Όσον αφορά την λειτουργία της
αγοράς των καινούργιων αυτοκινήτων δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα μιας και
όλοι οι καταναλωτές έχουν τις ίδιες πληροφορίες σχετικά με την ποιότητα των
καινούργιων αυτοκινήτων (συμμετρική ατελής πληροφόρηση).

Το αγαθό καινούργιο αυτοκίνητο είναι στην πραγματικότητα ένα λαχείο
μιας και "με πιθανότητα ε το καινούργιο αυτοκίνητο θα είναι καλό" και "με
πιθανότητα (1-ε) θα είναι προβληματικό ("πατάτα")". Στην ενότητα που
παρουσιάσαμε την έννοια της αναμενόμενης χρησιμότητας μάθαμε πως να
αναλύσουμε και να χειριστούμε την περίπτωση τέτοιων αγαθών / λαχείων.

Λύνοντας το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της αναμενόμενης
χρησιμότητας μπορούμε να προσδιορίσουμε την ζήτηση για καινούργια
αυτοκίνητα. Δοθείσης της προσφοράς καινούργιων αυτοκινήτων μπορούμε στη
συνέχεια να προσδιορίσουμε την τιμή ισορροπίας σε αυτή την αγορά.

Η αγορά των μεταχειρισμένων αυτοκινήτων είναι κάπως διαφορετική. Ο
ιδιοκτήτης του μεταχειρισμένου αυτοκινήτου εφόσον έχει το αυτοκίνητο υπό την
κατοχή του για κάποιο χρονικό διάστημα και το οδηγεί, γνωρίζει εάν το αυτοκίνητο
του είναι καλό ή "πατάτα". Αυτή είναι η ιδιομορφία της αγοράς των
μεταχειρισμένων αυτοκινήτων. Δηλαδή το ότι οι ιδιοκτήτες των μεταχειρισμένων
γνωρίζουν την ποιότητα των αυτοκινήτων τους.

Έχουμε λοιπόν ότι ο πωλητής του μεταχειρισμένου γνωρίζει την ποιότητα
του προς πώληση αυτοκινήτου ενώ οι αγοραστές δεν την γνωρίζουν. Δηλαδή,
έχουμε στην αγορά των μεταχειρισμένων, ασύμμετρη πληροφόρηση.

Αυτή η ασύμμετρη πληροφόρηση στην αγορά των μεταχειρισμένων είναι
και η μόνη σημαντική διαφορά από την αγορά των καινούργιων μιας και έχουμε
υποθέσει ότι καινούρια και μεταχειρισμένα αυτοκίνητα μιας δεδομένης ποιότητας

307

είναι τέλεια υποκατάστατα. Οπωσδήποτε όμως αυτή η διαφορά στη δομή της
πληροφόρησης, επηρεάζει την λειτουργία των δύο υποαγορών σημαντικά.

Ας εξετάσουμε στη συνέχεια την τιμή ισορροπίας στην αγορά των
μεταχειρισμένων. Μιας και οι αγοραστές δεν μπορούν να ξεχωρίσουν το καλό από
το κακό μεταχειρισμένο, θα πρέπει και τα δύο να πωλούνται στην ίδια τιμή.
Επιπλέον η τιμή των μεταχειρισμένων, συγκρινόμενη με αυτή ενός
καινούργιου, θα είναι οπωσδήποτε μικρότερη. Διαφορετικά, εάν δηλαδή
καινούργια και μεταχειρισμένα είχαν την ίδια τιμή, θα συνέφερε τον αγοραστή να
αγοράσει ένα καινούργιο, να δει αν παρουσιάζει προβλήματα και στη συνέχεια, εάν
το καινούργιο του απόκτημα βγει "πατάτα", να το πουλήσει και να αγοράσει ένα
άλλο καινούργιο.

Συνεπώς, εάν η τιμή καινούργιων και μεταχειρισμένων ήταν η ίδια, η
ζήτηση για μεταχειρισμένα θα ήταν μηδέν. Έχουμε, λοιπόν, συμπερασματικά ότι η
τιμή των μεταχειρισμένων θα είναι μικρότερη των καινούργιων παρότι η αναλογία
των ελαττωματικών είναι η ίδια και στα καινούργια και στα μεταχειρισμένα. Φυσικά
όμως η αναλογία των προς πώληση καλών μεταχειρισμένων θα είναι σημαντικά
μικρότερη (μιας και ο ιδιοκτήτης του καλού μεταχειρισμένου έχει λογούς να
κρατήσει το αυτοκίνητο του και να μην θέλει να το ξεφορτωθεί).

Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι η προσφορά των μεταχειρισμένων
αυτοκινήτων, s, εξαρτάται τόσο από την τιμή των μεταχειρισμένων p, όσο και από
την τιμή των καινούργιων Ρ: s = s(p,Ρ). Εάν η διαφορά μεταξύ p και Ρ είναι μικρή,
τότε αρκετοί ιδιοκτήτες που είναι δυσαρεστημένοι με το αυτοκίνητο τους θα το
πουλήσουν με σκοπό να πάρουν ένα καινούργιο. Φυσικό αυτό θα τους στοιχίσει (
P – p ).

Οι τιμές ισορροπίας για καινούργια και μεταχειρισμένα αυτοκίνητα θα
είναι αυτές που εξισώνουν την ζήτηση με την προσφορά στην κάθε υποαγορά.
Δηλαδή οι τιμές ισορροπίας p* , Ρ* θα ικανοποιούν:

D(p*,Ρ*) = S(Ρ*) και

D(p*,P*) = s(p*,Ρ*)

όπου S είναι η προσφορά των καινούργιων, D είναι η ζήτηση για
καινούργια και d είναι η ζήτηση για μεταχειρισμένα.

Προσέξτε τώρα το ενδιαφέρον χαρακτηριστικό αυτής της ισορροπίας: τα
μόνα μεταχειρισμένα αυτοκίνητα που θα πωλούνται θα είναι τα προβληματικά. Το
γεγονός ότι ένα μεταχειρισμένο αυτοκίνητο πωλείται αποτελεί βάσει της ανάλυσης
μας απόδειξη ότι έχει κάποιο πρόβλημα. Φυσικά αυτό αποτελεί συνέπεια της
υπόθεσης μας ότι ο μόνος λόγος για να πουλήσει κάποιος ένα αυτοκίνητο είναι τα
προβλήματα που παρουσιάζει. Επειδή όμως στην πραγματικότητα αυτός δεν
είναι ο μόνος λόγος, ας προσθέσουμε στην ανάλυση μας έναν ακόμη. Πιο
συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι κάθε χρόνο ένας αριθμός καταναλωτών Τ αλλάζει
αυτοκίνητο. Από αυτά τα αυτοκίνητα (ε Τ) είναι καλά και [(1 - ε) Τ] ελαττωματικά.

Συνεπώς μετά από την τελευταία υπόθεση που προσθέσαμε θα
έχουμε ότι ο συνολικός αριθμός των μεταχειρισμένων αυτοκινήτων που
πωλούνται κάθε χρόνο θα είναι:

s(p,Ρ) + Τ

εκ των οποίων [s(p,Ρ) + (1 - ε) Τ] είναι ελαττωματικά και (ε Τ) καλά.

Στην τελευταία περίπτωση η ζήτηση για μεταχειρισμένα θα
εξαρτάται και από τις πεποιθήσεις των καταναλωτών, Ε, σχετικά με την αναλογία
των καλών αυτοκινήτων που είναι στην αγορά προς πώληση. Στην ισορροπία οι

308

πεποιθήσεις των καταναλωτών θα πρέπει να επί βεβαιώνονται στην πράξη. Ως εκ
τούτου, οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται στην ισορροπία θα είναι οι
ακόλουθες:

D(p*,P*,E*) = S(Ρ*)
D (p*,P*,E*) = s (p*,P*) + T

E* = εΤ (1 − ε )Τ
s( p*, P* ) +

Στην ισορροπία αναμένεται ότι Ε* < ε ούτως ώστε τα προβληματικά
αυτοκίνητα να κυριαρχούν κατά κάποιο τρόπο στην αγορά των μεταχειρισμένων
αυτοκινήτων και συγχρόνως p* < Ρ*.

Η ισορροπία αυτή είναι κατά κάποιο τρόπο μη αποτελεσματική μιας και ο
αγοραστής ενός μεταχειρισμένου αυτοκινήτου θα ήταν διατε8ιμένος να πληρώσει
μια τιμή μεγαλύτερη από p* αν μπορούσε να ήτανε σίγουρος ότι θα πάρει ένα καλό
αυτοκίνητο, ενώ συγχρόνως και ο πωλητής θα επιθυμούσε να κάνει μια τέτοια
συναλλαγή. Αυτό όμως δεν είναι δυνατό, λόγω της ασύμμετρης πληροφόρησης
που υπάρχει στην οικονομία που περιγράψαμε παραπάνω. Παρόμοια
φαινόμενα παρατηρούνται και σε άλλες αγορές.

309

15.16 Η ασύμμετρη
πληροφόρηση στην αγορά των

ασφαλειών

Στην αγορά ασφαλειών, ο αγοραστής ενός ασφαλιστικού συμβολαίου έχει
καλύτερη πληροφόρηση σχετικά με την πιθανότητα που έχει να του συμβεί
ατύχημα και να αποζημιωθεί από την ασφαλιστική του εταιρία (π.χ. γνωρίζει το
πόσο προσεκτικά οδηγεί, πράγμα το οποίο η ασφαλιστική εταιρία δεν μπορεί να
γνωρίζει το ίδιο καλά).

Ας εξετάσουμε, λοιπόν, την περίπτωση μιας ασφαλιστικής εταιρίας η οποία
ασφαλίζει ποδήλατα για κλοπή. Η εταιρία για να ορίσει το ύψος των ασφαλίστρων
της μπορεί να εξετάσει τις στατιστικές κλοπών στις διάφορες περιοχές της πόλης
και στη συνέχεια να ορίσει τα ασφάλιστρα σε ύψος που θα της δώσουν μηδέν
μακροχρόνιο κέρδος.

Ας εξετάσουμε όμως τι θα συμβεί, όταν η ασφαλιστική εταιρία προσφέρει
αυτά τα συμβόλαια στην αγορά. Αυτοί που έχουν ποδήλατα στις περιοχές υψηλού
κινδύνου θα σπεύσουν να αγοράσουν ασφάλεια, ενώ εκείνοι που ζουν στις
συγκριτικά ασφαλέστερες περιοχές θα κάνουν ακριβώς το αντίθετο, δηλαδή, δεν
θα αγοράσουν. Το τελευταίο θα έχει σαν αποτέλεσμα η ασφαλιστική εταιρία να
αναθεωρήσει την τιμολογιακή της πολιτική (ασφάλιστρα) προς τα πάνω για να
κατορθώσει να μην έχει ζημιά μακροχρόνια.

Οπωσδήποτε η ασφαλιστική εταιρία στην πράξη δεν ορίζει μια τιμή για
όλους τους πιθανούς πελάτες. Ως ένα βαθμό αυτό περιορίζει τις προαναφερθείσες
συνέπειες. Όσο όμως υπάρχει ένα υπόλοιπο ασύμμετρης πληροφόρησης,
δηλαδή, όσο υπάρχουν καταναλωτές που εξακολουθούν να ξέρουν κάτι
παραπάνω από την ασφαλιστική εταιρία για την ομάδα κινδύνου στην οποία
ανήκουν, το πρόβλημα το οποίο επισημάναμε παραπάνω θα εξακολουθεί να
υπάρχει.

310

15.17 Μια Καινούρια

Προσέγγιση στη Θεωρία του

Καταναλωτή (Χαρακτηριστικά

αγαθών και Υπονοούμενες

τιμές)

Μία καινούργια προσέγγιση στη θεωρία του καταναλωτή λέει ότι οι
καταναλωτές δεν ζητάνε άμεσα τα αγαθά που καταναλώνουν αλλά μάλλον τα
χαρακτηριστικά τους. π.χ. κάποιος που αγοράζει μια κουβέρτα επιθυμεί την
ζεστασιά της, ωραία σχέδια, καλή αφή κ.λ.π. Στην περίπτωση αγοράς ενός
αυτοκινήτου ο καταναλωτής θέλει να ικανοποιήσει την ανάγκη του για μεταφορά
και αναζητεί ορισμένα χαρακτηριστικά, όπως χώρους επιβατών, χώρους
αποσκευών, τελική ταχύτητα, κατανάλωση, ροπή κ.λ.π. (δηλαδή, αυτά είναι τα
πράγματα που ζητάει σε ένα αυτοκίνητο και όχι αυτό καθ' αυτό το αυτοκίνητο).

Τα αγαθά αυτής της μορφής τα οποία περιγράφονται από το διάνυσμα των
χαρακτηριστικών τους ονομάζονται διαφοροποιημένα αγαθά. Τη σημαντικότητα
της προσέγγισης που δίνει έμφαση στα χαρακτηριστικά των αγαθών μπορούμε να
τη δείξουμε διαγραμματικά. Ας εξετάσουμε λοιπόν κάποιον που αγοράζει τροφή
και ας υποθέσουμε ότι ενδιαφέρεται για δυο χαρακτηριστικά: βιταμίνες Β και
θερμίδες Θ. Το Διάγραμμα 15.13 δίνει καμπύλες αδιαφορίας μεταξύ Β και Θ.

Διάγραμμα 15.13 Καμπύλες αδιαφορίας Β και Θ

Β

α4 P
α3 U4

α2 U3
α1 U2

U1 Θ
0

Φυσικά ένας καταναλωτής δεν μπορεί να αγοράσει απευθείας Β και Θ
αλλά αγοράζει διάφορα είδη τροφίμων που κάθε ένα του δίνει διαφορετικούς

311

συνδυασμούς Β και θ. Κάθε μονάδα ενός συγκεκριμένου είδους τροφής του δίνει Β
και Θ σε μία σταθερή αναλογία, π.χ. 1 κιλό ρύζι δίνει μια συγκεκριμένη ποσότητα Β
και Θ και 2 κιλά ρύζι δίνουν τις διπλάσιες ποσότητες Β και Θ. Για αυτό το λόγο,
όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί Β και Θ που μπορεί να απολαύσει κάποιος που τρώει
ρύζι δίνονται από μια συγκεκριμένη γραμμή που περνάει από την αρχή των
αξόνων. Ας υποθέσουμε ότι για το ρύζι αυτή η γραμμή είναι η ΟΡ. Ας υποθέσουμε
επίσης ότι ένα κιλό ρύζι έχει 100 δραχμές.

Για να συνεχίσουμε θα εξετάσουμε την αντιστοιχία μεταξύ των ποσοτήτων
των χαρακτηριστικών του αγαθού (π.χ. ρυζιού) που μας ενδιαφέρουν (Β και Θ) και
διαφόρων επίπεδων δαπάνης. Πιο συγκεκριμένα, σημειώνουμε τη δαπάνη κατά
μήκος της ΟΡ κατά τρόπο που α1 είναι ο συνδυασμός (Β,Θ) που παίρνουμε από
100 δρχ. ρύζι, ..., α5 αυτός που παίρνουμε από 500 δρχ. ρύζι κ.ο.κ. Το ρύζι όμως
δεν είναι το μοναδικό είδος τροφής που μπορεί να μας δώσει βιταμίνες και
θερμίδες. Υπάρχουν και άλλα (και μάλιστα πολλά). Ας πάρουμε για παράδειγμα το
σιτάρι και ας υποθέσουμε ότι η γραμμή ΟΡ' δίνει τους συνδυασμούς (Β,Θ) b1, b2,
....,b5,..., αντίστοιχα, που παίρνουμε από 100, 200, ..., 500, ....δρχ. σιτάρι.

Όπως φαίνεται και από το Διάγραμμα 15.14, ένας καταναλωτής που θα
δαπανήσει 500 δρχ. για βιταμίνες και θερμίδες θα προτιμήσει να αγοράσει
σιτάρι και να απολαύσει τον συνδυασμό (ΒΣ, ΘΣ) αντί να αγοράσει ρύζι και να
απολαύσει (ΒP, ΘP) , διότι UΣ > UP.

Διάγραμμα 15.14 Επιλογή άριστου συνδυασμού διαφοροποιημένων
αγαθών

Β UP P

BP a5

a4 UM

a3

a2 b2 b4 b5 P΄
BΣ b3 ΘΣ UΣ
a1
Θ
b1

0 ΘΡ

Οπωσδήποτε όμως δεν υπάρχει λόγος ένας καταναλωτής να αγοράσει
μόνο ρύζι ή μόνο σιτάρι. Δηλαδή, δεν είναι απαραίτητο να αγοράζει συνδυασμούς
μόνο κατά μήκος της ΟΡ ή ΟΡ'.

Συνεχίζοντας να εξετάζουμε τον καταναλωτή που ξοδεύει 500 δρχ. για να
πάρει τις βιταμίνες και τις θερμίδες που θέλει, βλέπουμε ότι δεν είναι απαραίτητο
να περιορίσει τις επιλογές του στους συνδυασμούς α5 και β5. Στη διάθεση του είναι
επίσης όλοι οι συνδυασμοί επί της γραμμής α5 β5 του διαγράμματος και οι οποίοι
μπορούν αποκτηθούν από αγορά κάποιου συνδυασμού ρυζιού σιταριού κόστους

312

500 δρχ. Όπως φαίνεται από το Διάγραμμα 15.14 ο συνδυασμός που θα επιλεγεί
είναι ο Μ, διότι UM>UΣ>UP. Η επιλογή ενός συνδυασμού αγαθών δίνει στους
καταναλωτές συνδυασμούς χαρακτηριστικών που δεν είναι άμεσα διαθέσιμοι στην
αγορά.

Από το τελευταίο διάγραμμα αποκτάμε ακόμη μία σημαντική πληροφορία:
την αναλογία με την οποία μπορούμε να υποκαταστήσουμε ρύζι με σιτάρι. Η κλίση
της γραμμής α5β5 μας δίνει τον λόγο των σχετικών τιμών των θερμίδων προς τις
βιταμίνες. Δηλαδή, αν στο α5 έχουμε 100 βιταμίνες και 50 θερμίδες και στο β5 75
βιταμίνες και 100 θερμίδες, τότε μετακινούμενοι από το α5 στο β5 χάνουμε 25
βιταμίνες (ΔΒ = - 25) και κερδίζουμε 50 θερμίδες (ΔΘ = 50). Για αυτό η σχετική
τιμή μιας επιπλέον θερμίδας είναι: ΔΒ/ΔΘ = - 25/50 = -1/2. Συνεπώς η σχετική τιμή
μιας θερμίδας είναι 0.5 βιταμίνη.

Η σχετική τιμή μιας θερμίδας είναι υπονοούμενη στη σχέση μεταξύ των
χαρακτηριστικών του ρυζιού και του σιταριού. Μπορούμε να προχωρήσουμε
ακόμη και να δώσουμε μια χρηματική διάσταση σε αυτή την υπονοούμενη σχετική
τιμή. Αυτό το κάνουμε στη συνέχεια στο πλαίσιο ενός παραδείγματος που
εξετάζουμε.

Έστω λοιπόν ότι Ρθ είναι η υπονοούμενη τιμή της θερμίδας και Ρθ η
υπονοούμενη τιμή της βιταμίνης, τις οποίες θέλουμε να προσδιορίσουμε. Ξέρουμε

επίσης τα ακόλουθα.

1. Για το ρύζι:

100 ΡΒ + 50 Ρθ = 500 (i)

(δηλαδή 500 δρχ. ρύζι δίνει 50 θ και 100 Β) και

2. Για το σιτάρι:

75 PB + 100 ΡΘ = 500 (ii)

(διότι 500 δρχ σιτάρι δίνει 100 Θ και 75 Β).

Πολλαπλασιάζοντας την (i) επί 2 και αφαιρώντας από αυτή τη (ii) έχουμε:
125 PΒ = 500 ==> PΒ = 4 και Ρθ = 2.

Οι υπονοούμενες τιμές ΡΒ και ΡΘ στη βιβλιογραφία είναι γνωστές σαν
"ηδονικές τιμές" και είναι οι τιμές των χαρακτηριστικών προϊόντων, τα οποία οι
καταναλωτές αναζητούν γιατί από αυτά αντλούν χρησιμότητα. Στην επόμενη
ενότητα το θέμα αυτό παρουσιάζεται στη γενικότερη μορφή του.

313

15.18 Ηδονικές Τιμές

Εξετάζουμε ένα αγαθό το οποίο περιγράφεται από τα χαρακτηριστικά (α1,
..., αn) και ένα καταναλωτή που καταναλώνει μία μονάδα από το αγαθό αυτό. Το
πρόβλημα μεγιστοποίησης χρησιμότητας αυτού του καταναλωτή είναι το

ακόλουθο.

max U ( a ,..., a , X )
1 n

a ,...., a , X
1 n

δοθέντος του περιορισμού Ι = Ρ(α1,...,αn) + Χ

όπου Χ είναι ένα άλλο αγαθό το οποίο καταναλώνει ο καταναλωτής, του
οποίου η τιμή είναι ίση με 1, Ρ(α1,...,αn) είναι η τιμή του αγαθού με τα
χαρακτηριστικά (α1, ..., αn) και Ι είναι το εισόδημα του καταναλωτή.

Το πρόβλημα μεγιστοποίησης χρησιμότητας είναι ισοδύναμο με το
ακόλουθο.

max U (a1 ,..., a , I − P( a ,..., a ))
n 1 n

a ,..., a
1 n

Οι συνθήκες πρώτου βαθμού του τελευταίου προβλήματος είναι:

∂U ∂U ∂P
+ [− ] = 0 ⇔

∂a ∂X ∂a
ii

∂U ∂U ∂P
= =0⇔

∂a ∂X ∂a
ii

∂U

∂a ∂P
i = για i = 1,2,3,….,n

∂U ∂a
i

∂X

όπου ∂P ∂a είναι η οριακή διαθεσιμότητα ενός καταναλωτή να πληρώσει
i

για μια μικρή βελτίωση του χαρακτηριστικού αi, και αποτελεί την ηδονική τιμή του

χαρακτηριστικού αυτού. Δοθέντων συνδυασμών επιπέδου χαρακτηριστικών και

των ηδονικών τους τιμών μπορούμε να κατασκευάσουμε την ζήτηση για το υπό

εξέταση χαρακτηριστικό.

314

15.19 Εξωτερικές οικονομίες

Εξωτερικές οικονομίες έχουμε όταν οι ενέργειες μίας οικονομικής μονάδας
επηρεάζουν το περιβάλλον μιας άλλης, χωρίς αυτό να έχει κάποια επίδραση επί
των τιμών της αγοράς. Τέτοια παραδείγματα, αποτελούν: το κάπνισμα, η
ηχορύπανση, η μόλυνση της ατμόσφαιρας, κ.λ.π.

Εξετάζουμε παρακάτω την περίπτωση ενός εργοστασίου χαλκού που
πετάει τα απόβλητα του σε ένα ποτάμι, το οποίο χρησιμοποιείται από τους
ψαράδες του κοντινού χωριού.

Η συνάρτηση παραγωγής χαλκού, s, είναι:

s = f (ℓs)

όπου ℓs είναι η εισροή εργασίας στην παραγωγή χαλκού.

h = h(s) είναι τα απόβλητα που το εργοστάσιο πετάει στο ποτάμι όταν η
παραγωγή χαλκού είναι s.

Η συνάρτηση παραγωγής ψαριών είναι:

c = g(ℓc , h)

όπου c είναι τα ψάρια και ℓs είναι η εισροή εργασίας που απασχολείται στο
ψάρεμα.

Το εργοστάσιο αποφασίζει πόσο να παράγει μεγιστοποιώντας το κέρδος
του:

max p f (ℓs) – w ℓs
ℓs

όπου p είναι η τιμή του χαλκού και w της εργασίας.
Η συνθήκη πρώτου βαθμού είναι:

∂f (l )
p s =w

∂l
s

Το πρόβλημα υπάρχει γιατί το εργοστάσιο αδιαφορεί για την επίδραση των
αποβλήτων στη δουλεία των ψαράδων. Δοθείσης της παραγωγής του εργοστασίου
οι ψαράδες αντιμετωπίζουν το πρόβλημα:

max q g (ℓc , h(s) ) – w ℓc

315

ℓc
όπου q είναι η τιμή των ψαριών.

Η συνθήκη πρώτου βαθμού είναι: q ∂g[l , h(s)] =w
c

∂l c

Η λειτουργία της ανταγωνιστικής οικονομίας όπως περιγράφτηκε
παραπάνω δεν είναι αποτελεσματική.

Η αποτελεσματικότητα της ανταγωνιστικής οικονομίας θα μπορούσε να
επιτευχθεί αν κατορθώναμε να εξαφανίσουμε το πρόβλημα: "αδιαφορία του
εργοστασίου για τα απόβλητα στο ποτάμι και την επίδραση τους στο έργο των
ψαράδων". Εάν δεν υπήρχε η εξωτερική οικονομία αυτής της μορφής, η
ανταγωνιστική οικονομία θα ήταν αποτελεσματική. Αυτό θα συνέβαινε εάν η ίδια
η επιχείρηση 1) είχε την ιδιοκτησία του εργοστασίου του χαλκού και 2)
επιτελούσε το έργο των ψαράδων. Στην περίπτωση αυτή, η επιχείρηση θα
μεγιστοποιούσε το συνολικό κέρδος και η κατανομή που θα προέκυπτε μεταξύ
των δύο δραστηριοτήτων θα ήταν αποτελεσματική. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης
του συνολικού κέρδους είναι:

max p f(ℓs) + q g (ℓc, h(f(ℓs))) – w ℓc – w ℓs
ℓs , ℓc

Οι συνθήκες πρώτου βαθμού, οι οποίες είναι και οι συνθήκες που πρέπει
να ικανοποιούνται για να έχουμε μία αποτελεσματική κατανομή, δίδονται από τις
εξισώσεις που ακολουθούν:

p df (l ) +q ∂g(l , h) ∂h(s) ∂f (l ) -w=0
s c s

dl ∂h ∂s ∂l
ss

q ∂g(l , h(s)) =w
c

∂l s

Για να επιτύχουμε την αποτελεσματικότητα της ανταγωνιστικής οικονομίας
που περιγράφεται παραπάνω χωρίς την αναγκαστική συνένωση (κοινή ιδιοκτησία)
των δύο επιχειρήσεων, μπορούμε να προτείνουμε τις τέσσερις λύσεις που
ακολουθούν.

1. Το καθορισμό της τιμής του χαλκού σε επίπεδο ίσο με:

p+q ∂g(l , h) ∂h(s)
c

∂h ∂s

2. Την επιβολή φόρου, ο οποίος είναι ίσος με:

q ∂g(l , h) ∂h(s)
c

∂h ∂s

316

Και οι δύο παραπάνω λύσεις ικανοποιούν τις συνθήκες για την
αποτελεσματική κατανομή των δυο δραστηριοτήτων (βλέπε παραπάνω τις
συνθήκες πρώτου βαθμού).

3. Η λύση αυτή συνίσταται στην οργάνωση μιας αγοράς για τα απόβλητα
του εργοστασίου, η οποία μπορεί να αποδειχθεί ότι θα οδηγήσει στην
ικανοποίηση των συνθηκών πρώτου βαθμού για μία αποτελεσματική κατανομή.
Για τον προσδιορισμό της ιδανικής τιμής των αποβλήτων προχωρούμε σταδιακά
ως εξής:

Το μέγιστο που οι ψαράδες θα ήταν διατεθειμένοι να πληρώσουν για μια
οριακή μεταβολή στο επίπεδο των αποβλήτων που ρίχνονται στο ποτάμι θα είναι
ίσο με την επίδραση αυτής της μεταβολής στα κέρδη τους.

Η ποσότητα των αποβλήτων στο ποτάμι είναι εξωγενής για τους ψαράδες
(είναι κάτι το οποίο αυτοί δεν μπορούν να το ελέγξουν). Δοθείσης της ζήτησης για
εργασία από τους ψαράδες, ℓc = ℓc(h) έχουμε ότι το μέγιστο κέρδος δίδεται από την
εξίσωση κέρδους π(h) , όπου:

π(h) = q g (ℓc*, h ) – w ℓc*

Η μεταβολή των κερδών από μια οριακή μεταβολή των αποβλήτων στο
ποτάμι μπορεί να υπολογισθεί με. τον τρόπο που ακολουθεί:

∂π = q ∂g ∂l -w ∂l +q ∂g =
c c

∂h ∂l ∂h ∂h ∂h
c

=(q ∂g ∂l + q ∂g ⇔
-w) c
∂l ∂h ∂h
c

∂π = q ∂g
∂h ∂h

λόγω του ότι από τις συνθήκες πρώτου βαθμού για την μεγιστοποίηση των
κερδών των ψαράδων έχουμε ότι:

q ∂g - w = 0
∂h

Θέτοντας, λοιπόν την τιμή των αποβλήτων στο επίπεδο τ, όπου

τ=q ∂g(l , h)
c

∂h

και οργανώνοντας μία αγορά για τα απόβλητα όπου το εργοστάσιο χαλκού
αντιμετωπίζει τις τιμές του χαλκού, της εργασίας και των αποβλήτων και έχει να
αποφασίσει πόση εργασία να απασχολήσει λύνοντας το πρόβλημα που ακολουθεί:

max p f(ℓs) + τ h (f(ℓs)) – w ℓs
ℓs

317

Η συνθήκη πρώτου βαθμού για την μεγιστοποίηση του τελευταίου
προβλήματος είναι:

p df (l ) +τ dh(s) df (l )
s s -w=0

dl ds dl
ss

∂g(l , h)
Αντικαθιστώντας τ = q c στην τελευταία σχέση λαμβάνουμε ότι
∂h

είναι ισοδύναμη με την ακόλουθη:

df (l ) ∂g(l , h) dh(s) df (l )
p s +q c s -w=0
dl ∂h ds dl
ss

από την οποία φαίνεται και ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες για μία
αποτελεσματική κατανομή.

Το αποτέλεσμα αυτό έπρεπε να είναι αναμενόμενο μιας και ο λόγος που
δεν είχαμε αποτελεσματική κατανομή ήταν η ανυπαρξία μιας αγοράς για μία εκ των
εκροών της παραγωγικής διαδικασίας (των αποβλήτων). Το βασικό πρόβλημα με
την τελευταία λύση συνίσταται στο ότι το κόστος για την οργάνωση και λειτουργία
της αγοράς των αποβλήτων μπορεί να είναι απαγορευτικά υψηλό.

4. Ο επαναπροσδιορισμός των δικαιωμάτων ιδιοκτησίας μπορεί να
αποτελέσει μια ακόμη λύση στο πρόβλημα της αναπολεσματικής κατανομής. Πιο
συγκεκριμένα αν οι ανεξάρτητες επιχειρήσεις των ψαράδων και το εργοστάσιο
χαλκού βρίσκονταν υπό την ιδιοκτησία ενός φορέα τότε ο λόγος ύπαρξης του
προβλήματος θα είχε απαλειφθεί μιας και ο φορέας αυτός θα αναλάμβανε
πρωτοβουλίες για την μεγιστοποίηση του αθροίσματος των κερδών των δυο
επιχειρήσεων.

Στο καθεστώς αυτό της κοινής ιδιοκτησίας μπορούμε να φθάσουμε μετά
από εξαγορά της μίας επιχείρησης από την άλλη, π.χ. και τις δύο επιχειρήσεις
συμφέρει να πράξουν αυτό μιας και η καθαρή αξία της επιχείρησης υπό το
καθεστώς ύπαρξης των εξωτερικών οικονομιών είναι μικρότερο από την αξία της
υπό εξαγοράς επιχείρησης μετά την απάλειψη των εξωτερικών οικονομιών.

318

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1

Βασικές Οικονομικές

Έννοιες

1. Οικονομικοί συντελεστές

Οι οικονομικοί συντελεστές σε μια αγορά είναι :
• Οι καταναλωτές
• Οι παραγωγοί
• Η κυβέρνηση

2. Τι είναι οικονομία

Για να ορίσουμε μια οικονομία πρέπει να προσδιορίσουμε:
• τους καταναλωτές
• τους παραγωγούς
• τους σκοπούς και τις δραστηριότητες που μπορεί να αναλάβει μια

κυβέρνηση (εάν υπάρχει, γιατί σε ορισμένα υποδείγματα αγορών δεν
υπάρχει κυβέρνηση)
• τους διαθέσιμους πόρους
• την υπάρχουσα τεχνολογία
• τις προτιμήσεις των καταναλωτών
• την πληροφόρηση που υπάρχει (τέλεια ή ατελής, σύμμετρη ή ασύμμετρη)
• τη δομή των δικαιωμάτων ιδιοκτησίας

319

Όσον αφορά την πληροφόρηση, η συνήθης υπόθεση είναι ότι υπήρχε
τέλεια πληροφόρηση, δηλαδή ότι κάθε οικονομικός συντελεστής ξέρει τα πάντα.
Αυτό όμως δεν είναι απαραίτητα έτσι. Δηλαδή, υπάρχουν πολλές περιπτώσεις
κατά τις οποίες θα θέλαμε να ξέρουμε με βεβαιότητα διάφορα πράγματα τη στιγμή
που αποφασίζουμε για κάτι, χωρίς αυτό να είναι πάντοτε εφικτό. π.χ. καίτοι δεν
είναι εφικτό, ένας καταναλωτής θα επιθυμούσε να γνωρίζει τι ατύχημα θα είχε
αύριο για να αγοράσει την κατάλληλη ασφάλεια.

Από την στιγμή τώρα που αναγνωρίζουμε ότι υπάρχει ατελής
πληροφόρηση, αυτή μπορεί να είναι συμμετρική ή ασύμμετρη, π.χ. συμμετρική
είναι στην περίπτωση των καιρικών συνθηκών (αν υποθέσουμε ότι κανείς
οικονομικός συντελεστής δεν γνωρίζει τις μελλοντικές καιρικές συνθήκες με
βεβαιότητα και ότι όλοι ακούνε το ίδιο δελτίο πρόγνωσης καιρού της Εθνικής
Μετεωρολογικής Υπηρεσίας). Ασύμμετρη έχουμε στην περίπτωση που υπάρχει
αβεβαιότητα ως προς κάποιο θέμα, αλλά διαφορετικοί οικονομικοί συντελεστές
έχουν διαφορετικές πληροφορίες επί του ιδίου θέματος.

Ο τύπος της πληροφόρησης που χαρακτηρίζει τις σχέσεις των
οικονομικών μονάδων σε μια αγορά, όπως και η δομή των δικαιωμάτων
ιδιοκτησίας, υπαγορεύουν πολλές φορές τις λύσεις που πρέπει να υιοθετηθούν για

την αντιμετώπιση διαφόρων προβλημάτων.

3. Οικονομικό αγαθό

Για να περιγράψουμε πλήρως ένα οικονομικό αγαθό ή υπηρεσία, πρέπει
πρώτα από όλα να προσδιορίσουμε όλα τα φυσικά και άλλα χαρακτηριστικά του
προϊόντος ή της υπηρεσίας. Αυτό όμως από μόνο του δεν είναι αρκετό. Πρέπει
επιπλέον να προσδιορίσουμε το χρόνο (τη στιγμή), την τοποθεσία και την
κατάσταση του κόσμου που το προϊόν ή η υπηρεσία είναι διαθέσιμη.

Για να προσδιορίσει ο καταναλωτής ποια είναι η χρησιμότητα ενός
αγαθού, θα πρέπει πότε το αγαθό αυτό θα του είναι διαθέσιμο (π.χ. σήμερα, αύριο
ή σε ένα χρόνο από σήμερα) όπως και το που (π.χ. εδώ, στη Γερμανία ή στην
Ιαπωνία). Επίσης σημαντική είναι και η κατάσταση του κόσμου (π.χ. πόλεμος ή
ειρήνη) για τον προσδιορισμό της χρησιμότητας ενός αγαθού.

Στο επίπεδο της μικροοικονομικής ανάλυσης που παρουσιάζεται σε αυτό
το βιβλίο χρησιμοποιούνται εργαλεία ανάλυσης και μαθηματικών, μια σύντομη
ανασκόπηση των οποίων γίνεται στις επόμενες σελίδες.

320

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2
Στοιχεία

Μαθηματικών

1. Βασικές έννοιες

• Η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης y = f(x) σε κάποιο σημείο x0 ,
• df(x = x0 ) / dx , δίνει την κλίση της συνάρτησης στο σημείο αυτό.
• Οι καμπύλες που απεικονίζονται στο Διάγραμμα 1.1 και 1.2 έχουν θετική

κλίση.
• Οι καμπύλες που απεικονίζονται στο Διάγραμμα 1.3 και 1.4 έχουν

αρνητική κλίση

Διάγραμμα 1.1 Γραφική παράσταση Διάγραμμα 1.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης με

θετική κλίση. συνάρτησης με θετική κλίση.

y y
f(x) f(x)

x
x

321

Διάγραμμα 1.3 Γραφική παράσταση Διάγραμμα 1.4 Γραφική παράσταση συνάρτησης με

αρνητική κλίση. συνάρτησης με αρνητική κλίση.

y y
f(x) f(x)

xx

2. Μεγιστοποίηση
συναρτήσεων μιας μεταβλητής

χωρίς περιορισμούς

Εξετάζουμε το πρόβλημα:

max f (x)
x

x* μεγιστοποιεί την f(x) αν ικανοποιεί τις συνθήκες πρώτου και δεύτερου
βαθμού.

Δηλαδή, εάν x* ικανοποιεί:

df (x*) / dx = 0

( συνθήκη πρώτου βαθμού)

και

d2 f (x* ) / dx2 < 0

(συνθήκη δεύτερου βαθμού)

τότε f (x* ) = max f (x )

322

x
H λύση του προβλήματος απεικονίζεται στο Διάγραμμα 1.5

Διάγραμμα 1.5 Μεγιστοποίηση f(x)

y

f(x*)

f(x)
x

x

3. Ελαχιστοποίηση
συναρτήσεων μιας μεταβλητής

χωρίς περιορισμούς

Εξετάζουμε το πρόβλημα:

min f(x)
x

x* ελαχιστοποιεί την f(x) αν ικανοποιεί τις συνθήκες πρώτου και δεύτερου
βαθμού.

Δηλαδή, εάν x* ικανοποιεί:

df (x*) / dx = 0

( συνθήκη πρώτου βαθμού)
και

d2 f (x* ) / dx2 > 0

323

(συνθήκη δεύτερου βαθμού)

τότε f(x* ) = min f(x )
x

H λύση του προβλήματος απεικονίζεται στο Διάγραμμα 1.6

Διάγραμμα 1.6 Ελαχιστοποίηση f(x)

y

f(x*) f(x)
x

x

Βασικοί κανόνες υπολογισμού
παραγώγων

Οι βασικοί κανόνες υπολογισμού παραγώγων είναι οι εξής:

1) dc / dx, όπου c είναι μια σταθερά
2) dαxβ / dx = α β xβ – 1
3) dlogx / dx = 1/ x
4) dαχ / dx = αx loga

d[ f (x) + g(x)]
5) dx = f'΄( x ) + g΄( x ),

όπου f΄( x ) g΄( x ), είναι οι πρώτες παράγωγοι των f (x) και g (x) αντίστοιχα.
324

d[ f (x)g(x)]
6) dx = f΄( x ) g(x) + f(x) g΄(x)

d[ f (x) / g(x)]
7) dx = [ f΄(x) g(x) – g΄(x) f(x) ] / ( g(x) )2

8) Aν y = f (x), x = g (z), τότε :
dy / dz = ( dy / dx ) ( dx / dz ) = [ df (x) / dx ] [ dg (z ) / dz ]

5. Το θεώρημα ENVELOP στη
περίπτωση συναρτήσεων μιας

μεταβλητής

Εξετάζουμε τη συνάρτηση f(x,α), όπου α είναι μια παράμετρος. Έστω ότι
x*(α) μεγιστοποιεί την f(x,α), δηλαδή:

f(x*(α),α) = max f(x,α)
x

Με βάση το θεώρημα envelop έχουμε ότι:

df(x*(α),α) ∂f ( x * (α ),α )

dα = ∂a

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Προσέξτε ότι:

d f (x*(α ), α) / d α = [ ∂ f ( x ' ( α ) , α) / ∂ x ] [ ∂ x* (α ) / ∂ α ] +
[ ∂ f ( x* ( α ) , α ) / ∂ α ]

χ*(α) μεγιστοποιεί την f ( x, α ) και συνεπώς ικανοποιεί τη συνθήκη πρώτου
βαθμού, δηλαδή:

325

∂ f ( x* ( α ), α ) / ∂ x = 0

Από την τελευταία σχέση, λοιπόν, λαμβάνουμε ότι:

d f (x* ( α ) , α) / d a = ∂ f ( x* ( α ), α ) / ∂ α

το οποίο αποδεικνύει και το θεώρημα envelop

6. Υπολογισμός optimum

Στην συνέχεια εξετάζουμε τη μεγιστοποίηση και την ελαχιστοποίηση
συναρτήσεων δυο μεταβλητών, π.χ. της f (x1 , x2 ). Για τη διευκόλυνση της
διατύπωσης των συνθηκών πρώτου και δεύτερου βαθμού, ορίζουμε τα παρακάτω:

• f1 ( x1 , x2 ) = ∂ f ( x1 , x2 ) / ∂ x1
• f2 ( x1 , x2 ) = ∂ f ( x1 , x2 ) / ∂ x2
• f1 1 (x1 , x2 ) = ∂ 2 f (x1 , x2 ) / ∂ x12
• f2 2 (x1 , x2 ) = ∂ 2 f (x1 , x2 ) / ∂ x22
• f 1 2 (x1 , x2 ) = ∂ 2 f (x1 , x2 ) / ∂ x1 ∂ x2

6.1 Μεγιστοποίηση της f ( x1 , x2 )

Εξετάζουμε το πρόβλημα:

max f ( x1 , x2 )
x1 , x2

Οι συνθήκες πρώτου βαθμού του παραπάνω προβλήματος είναι :

f1 ( x1 , x2 ) = 0
f2 ( x1 , x2 ) = 0

Οι συνθήκες δευτέρου βαθμού είναι :

f1 1 ( x1 , x2 ) < 0
f2 2 ( x1 , x2 ) < 0
f1 1 ( x1 , x2 ) f2 2 ( x1 , x2 ) - [ f1 2 ( x1 , x2 )]2 > 0

326

6.2 Ελαχιστοποίηση της f(x1,x2)

Εξετάζουμε το πρόβλημα:

min f ( x1 , x2 )
x1 , x2

Οι συνθήκες πρώτου βαθμού του προβλήματος αυτού είναι ίδιες με τις
συνθήκες πρώτου βαθμού του προβλήματος μεγιστοποίησης της f ( x1 , x2 ),
δηλαδή :

f1 ( x1 , x2 ) = 0
f2 ( x1 , x2 ) = 0

Οι συνθήκες δευτέρου βαθμού του προβλήματος ελαχιστοποίησης είναι :

f1 1 ( x1 , x2 ) > 0
f2 2 ( x1 , x2 ) > 0
f1 1 ( x1 , x2 ) f2 2 ( x1 , x2 ) - [ f1 2 ( x1 , x2 )]2 < 0

7. Προβλήματα
μεγιστοποίησης και
ελαχιστοποίησης της f(x1,x2)
δοθέντος του περιορισμού

g(x1,x2) = 0

Στη συνέχεια εξετάζουμε τα προβλήματα:

Ι. max f (x1, x2)

x1, x2

δοθέντος του περιορισμού g(x1, x2) = 0 και

327

ΙΙ. min f (x1, x2)

x1, x2

δοθέντος του περιορισμού g(x1, x2) = 0

Το πρώτο βήμα για την επίλυση των προβλημάτων αυτών είναι ο
σχηματισμός της εξίσωσης του Lagrange

L (x1, x2) = f (x1, x2) + λ g(x1, x2)

Οι συνθήκες πρώτου βαθμού και για τα δυο προβλήματα είναι:

ϑL = f1 + λ g1 = 0
ϑx
1

ϑL = f2 + λ g2 = 0
ϑx
2

ϑL = g(x1, x2) = 0
ϑλ

Oι συνθήκες δεύτερου βαθμού για το πρώτο πρόβλημα είναι:

f 1 1 f2 2 - 2 f 1 2 f1 f2 + f22 f 2 <0
1

ενώ οι συνθήκες για το δεύτερο πρόβλημα είναι οι εξής:

f 1 1 f2 2 - 2 f 1 2 f1 f2 + f22 f 2 >0
1

8. Το θεώρημα envelop στη
περίπτωση προβλήματος με

περιορισμούς

Έχουμε την συνάρτηση y = f(x1, x2, α) οπού α είναι μια παράμετρος και
εξετάζουμε το πρόβλημα:

max f (x1, x2, α)

x1, x2

δοθέντος ότι: g(x1, x2, α) = 0

Ας υποθέσουμε ότι x1(α) και x2(α) είναι οι λύσεις του παραπάνω
προβλήματος. Το θεώρημα envelop μας εξασφαλίζει ότι:

dy * = ϑL( x (α ), x (α ),α )
1 2

dα ϑα

όπου:

328

y* = f(x1 (α ), x2 (α) , α) και
L (x1, x2, α ) = f(x1, x2, α ) + λ g(x1, x2, α )

9. Μεγιστοποίηση χωρίς τη
χρήση άλγεβρας

Οι κανόνες για την μεγιστοποίηση συναρτήσεων που παρουσιάζονται
παραπάνω δεν εφαρμόζονται στην περίπτωση συναρτήσεων όπως αυτές που
παρουσιάζονται στα διαγράμματα 1.7 και 1.8

Διάγραμμα 1.7 Μεγιστοποίηση χωρίς τη χρήση άλγεβρας

R
R*

R(Q)

Q
Q*

329

Διάγραμμα 1.8 Μεγιστοποίηση χωρίς τη χρήση άλγεβρας

R

R* *
* *

* *
* *
* *
*
* *

Q

Q*

10. Η υπόθεση Ceteris Paribus

Η υπόθεση Ceteris Paribus επιτρέπει σε δυο μόνο μεταβλητές από το
σύνολο των μεταβλητών ενός συστήματος να μεταβάλλονται. Η υπόθεση Ceteris
Paribus χρησιμοποιείται όταν επιθυμούμε να εξετάσουμε τη σχέση μεταξύ των
μεταβολών δυο μεταβλητών δοθέντος ότι οι υπόλοιπες μεταβλητές του
συστήματος δεν μεταβάλλονται.

330

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3
Γενική Ισορροπία και

Οικονομικά της
Κοινωνικής
Ευημερίας

Διαγραμματική ανάλυση
ισορροπίας κατά Walras

Θεωρούμε μία ανταγωνιστική οικονομία στην οποία μετέχουν δύο άτομα
τα οποία καταναλώνουν δύο αγαθά, Χ και Υ και τα οποία έχουν υπό την ιδιοκτησία
τους κάποια ποσότητα από τα δύο αγαθά (αυτό αποτελεί την αρχική τους
περιουσία).

Ισορροπία κατά Walras στην οικονομία αυτή αποτελεί το ζεύγος των
τιμών για τα δύο αγαθά (για την ακρίβεια η σχετική τους τιμή) το οποίο οδηγεί και
τις δύο αγορές σε ισορροπία.

Η διαγραμματική απεικόνιση της ισορροπίας κατά Warlas δίδεται στο
Διάγραμμα 1 , όπου ΚΠ υποδεικνύει μία καμπύλη προσφοράς (δίδει τους

331

συνδυασμούς των αγαθών Χ και Υ που μεγιστοποιούν την χρησιμότητα του
καταναλωτή για διάφορους συνδυασμούς τιμών).

Στο διάγραμμα αυτό το σημείο Α υποδεικνύει την αρχική περιουσία των
δυο καταναλωτών και Ε είναι το σημείο ισορροπίας.

Ο Νόμος του Walras

Εάν έχουμε μια οικονομία με Ν αγαθά, τότε για μία γενική ισορροπία κατά
WALRAS μας αρκεί να έχουμε ότι ΖΗΤΗΣΗ = ΠΡΟΣΦΟΡΑ στις Ν-1 αγορές.

(Η ικανοποίηση των εισοδηματικών περιορισμών όλων των καταναλωτών
μας δίδει ότι η συνθήκη ΖΗΤΗΣΗ = ΠΡΟΣΦΟΡΑ θα ικανοποιείται και στην Νιοστή
αγορά ούτως ώστε να έχουμε μία γενική ισορροπία).

Διάγραμμα 1 Ισορροπία κατά Walras

B

ΚΠΑ ΑΠ
ΚΠΒ

A

Στη συνέχεια λαμβάνουμε μία οικονομία χωρίς παραγωγή, στην οποία
υπάρχουν δύο καταναλωτές και δύο αγαθά και αποδεικνύουμε τον νόμο του
WALRAS.

Η περιουσία των καταναλωτών Α και Β είναι αντίστοιχα (ΧΑ*,ΥΑ*) και
(ΧΒ*,ΥΒ*).

332

Για τιμές px και py τα εισοδήματα των καταναλωτών είναι αντίστοιχα ίσα με:

ΙA = px ΧA* + py ΥA* και
ΙB= px ΧB* + py ΥB*.

H ζήτηση για Χ και Υ των καταναλωτών Α και Β, (ΧA**,ΥA**) και (ΧB**,ΥB**)
αντίστοιχα, ικανοποιεί τους εισοδηματικούς περιορισμούς, δηλαδή:

px ΧA** + py ΥA** = ΙA και
px ΧB** + py ΥB** = ΙB.

Θα υποθέσουμε στη συνέχεια ότι έχουμε ισορροπία στην αγορά του Χ,
δηλαδή

ΧA** + ΧB** = ΧA*+ ΧB*

και θα αποδείξουμε ότι αυτό συνεπάγεται ισορροπία και στην αγορά του
άλλου αγαθού.

Από τους εισοδηματικούς περιορισμούς και τις εξισώσεις προσδιορισμού
των εισοδημάτων των δύο καταναλωτών έχουμε ότι:

px (XA* + XB*) + py (YA*+ YB*) = px (XA** + XB**) + py (YA**+ YB**).

Αντικαθιστώντας στην τελευταία σχέση την συνθήκη ισορροπίας στην αγορά
του Χ, λαμβάνουμε ότι:

YA**+ YΒ** = YA*+ YΒ*

το οποίο αποδεικνύει την ύπαρξη ισορροπίας στην αγορά του αγαθού Υ.

Αποτελεσματική κατανομή
αγαθών (κατά Pareto)

Το αποτέλεσμα κάθε αγοράς είναι η κατανομή των αγαθών στους
καταναλωτές. Η κατανομή αυτή θα επιθυμούσαμε να είναι αποτελεσματική ή, εάν
δεν είναι, θα επιθυμούσαμε να βρούμε τρόπους για να την κάνουμε. Προέχει,
λοιπόν, να δώσουμε την έννοια της αποτελεσματικότητας κατανομής αγαθών.

Μία κατανομή αγαθών είναι αποτελεσματική εάν δεν είναι δυνατόν μέσω
ανακατανομής να βελτιώσουμε τη κατάσταση (χρησιμότητα) κάποιου καταναλωτή
χωρίς να μειώσουμε τη χρησιμότητα κάποιου άλλου.

333

Κοινωνική ευημερία

Το κριτήριο της άριστης κατά Pareto κατανομής ασχολείται μόνο με την
αποτελεσματικότητα και καθόλου με την κατανομή της κοινωνικής ευημερίας.
Ακόμη και αν συμφωνήσουμε ότι το κριτήριο Pareto είναι ένα επιθυμητό
χαρακτηριστικό του σημείου / κατάστασης στο οποίο θα θέλαμε η οικονομία μας
να φτάσει, δεν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο αυτό για να
κάνουμε την επιλογή μας.

Το κριτήριο μας βοηθάει να προσδιορίσουμε ένα γεωμετρικό τόπο σημείων
που έχουν μια επιθυμητή ιδιότητα. Από τα σημεία αυτά τώρα απομένει να
επιλεγεί εκείνο στο οποίο θα θέλαμε να καταλήξει η οικονομία (ή να την
οδηγήσουμε αν σχεδιάζουμε μια πολιτική).

Για να αντιμετωπισθεί το πρόβλημα της τελικά επιθυμητής κατάστασης-
κατανομής της οικονομίας συνήθως υποτίθεται η ύπαρξη μιας συνάρτησης
κοινωνικής ευημερίας. Αυτή υποτίθεται ότι είναι μια συνάρτηση των συναρτήσεων
χρησιμότητας των καταναλωτών της οικονομίας, η οποία αποτελεί κατά κάποιο
τρόπο μια συνάρτηση χρησιμότητας για όλη την υπό εξέταση κοινωνία.

Έστω, λοιπόν, ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας υπάρχει και ότι δίδεται
από την συνάρτηση που ακολουθεί:

W (U1(X,Y), U2(X,Y),…,Un(X,Y))

Γίνεται η υπόθεση ότι η κοινωνική ευημερία W, όπως μετράται από την

∂W > Ο για κάθε i . Αυτό λέει ότι, από

παραπάνω συνάρτηση, έχει την ιδιότητα: ∂U

i

κοινωνικής άποψης, μια κατάσταση που βελτιώνει την, χρησιμότητα ενός

καταναλωτή, χωρίς να μειώνει την χρησιμότητα κανενός άλλου, είναι

προτιμότερη της προηγούμενής της. Σύμφωνα λοιπόν με αυτή τη προσέγγιση η

κοινωνία θα έπρεπε να βρεθεί ή καλύτερα να απολαύσει μια κατανομή η οποία

μεγιστοποιεί την κοινωνική ευημερία.

334

Μεγιστοποίηση κοινωνικής
ευημερίας και κριτήριο Pareto

Εάν {(Χi* ,Υi* ): i = 1, 2, ...,n} μεγιστοποιεί την κοινωνική ευημερία, τότε η
κατανομή {(Χi*, Υi*): i = 1, 2,..., n} είναι άριστη κατά Pareto.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Εάν η κατανομή {(Χi* ,Υi* ): i = 1, 2, ...,n} δεν ήταν αποτελεσματική κατά
Pareto, τότε θα υπήρχε μια άλλη κατανομή {(Χi** ,Υi** ): i = 1, 2, ...,n} για την οποία
θα είχαμε ότι

Ui (Xi** ,Yi**) > Ui* (Xi*,Yi*) για ένα τουλάχιστον καταναλωτή, π.χ. τον i, i = 1,2,
...,n

Εάν όμως ίσχυε η τελευταία, τότε {(Xi*,Yi*): i=1, 2, ...,n} δεν θα μπορούσε
να μεγιστοποιεί την κοινωνική ευημερία. Άρα άτοπο. Μπορούμε, λοιπόν να
συμπεράνουμε ότι: εάν {(Xi*,Yi*): i=1, 2, ...,n} μεγιστοποιεί την κοινωνική ευημερία,
τότε η κατανομή {(Xi*,Yi*): i=1, 2, ...,n} είναι αρίστη κατά Pareto.

Συνθήκες αποτελεσματικότητας
σε μια ανταλλακτική οικονομία

χωρίς παραγωγή

Εξετάζουμε κάποια οικονομία στην οποία δεν υπάρχει παραγωγή.
Υπάρχουν δύο καταναλωτές, ο Α και ο Β, και δύο αγαθά, το Χ και το Υ. Κάθε
καταναλωτής έχει κάποιες ποσότητες του Χ και Υ, (ΧΑ,ΥΑ) ο Α και (ΧΒ,YΒ) ο Β, και
αν θέλει μπορεί να έχει συναλλαγές με τον άλλο καταναλωτή (δηλ. ανταλλαγή
προϊόντων). (Χ,Υ) είναι οι συνολικά διαθέσιμοι ποσότητες των δύο προϊόντων.
Προσέξτε ότι:

Χ = ΧΑ + ΧΒ και Υ = ΥΑ + ΥΒ
Η κατάσταση αυτή που περιγράφεται παραπάνω, παρουσιάζεται στο
Διάγραμμα 2.

335

Διάγραμμα 2 Αποτελεσματική κατανομή ανταλλακτικής οικονομίας
ΧΒ Β

UB

E

Γ H
Δ
ΥΑ Ζ UA
YB
XA
Α

UA είναι η χρησιμότητα που απολαμβάνει ο Α αν καταναλώσει (ΧA,ΥA) και UB
είναι η χρησιμότητα που απολαμβάνει ο Β αν καταναλώσει (ΧB,YB).

Η κατανομή (ΧA,YA, ΧB,YB) δεν είναι αποτελεσματική, γιατί υπάρχουν άλλες
που μπορούν να δώσουν στον Α χρησιμότητα μεγαλύτερη από UA και στον Β
μεγαλύτερη από UB. Στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε πως μπορούμε να
βελτιώσουμε τον Α και τον Β αφού ορίσουμε την γραμμή ΑΓΖΔΗΕΒ στο Διάγραμμα
6.2.

Η γραμμή ΑΓΖΔΗΕΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος όλων των
αποτελεσματικών κατανομών. Από κάθε σημείο αυτής περνάει μία καμπύλη
αδιαφορίας του Α και μία του Β, οι οποίες είναι εφαπτόμενες σε σημεία πάνω σε
αυτή τη γραμμή. Αυτή είναι και η συνθήκη για τον προσδιορισμό μίας
αποτελεσματικής κατανομής, δηλ. οι καμπύλες αδιαφορίας που περνάνε από το
σημείο που προσδιορίζει μία αποτελεσματική κατανομή θα πρέπει να είναι
εφαπτόμενες στο σημείο αυτό.

Από το διάγραμμα προκύπτει ότι ο συνδυασμός Δ είναι αποτελεσματικός
και προτιμότερος του (ΧA,YA, ΧB,YB) και από τους δύο καταναλωτές, διότι και οι
δύο βελτιώνουν την αρχική τους κατάσταση. Το ίδιο ισχύει και για όλα τα σημεία,
όπως το Δ που βρίσκονται στο διάστημα ΖΗ.

Συνεπώς υπάρχει κίνητρο για ανταλλαγή μεταξύ του Α και του Β, ούτως
ώστε και οι δύο να βελτιώσουν τη κατάσταση τους καταλήγοντας σε ισορροπία σε
κάποιο σημείο του διαστήματος ΖΗ.

336

Συνθήκη αποτελεσματικής
κατανομής αγαθών όταν δεν

υπάρχει παραγωγή

Η κατανομή (ΧΑ,ΥA,XΒ,YB) μεταξύ μιας ποσότητας αγαθών Χ και Y των
καταναλωτών Α και Β για να είναι αποτελεσματική θα πρέπει να αποτελεί λύση του

παρακάτω προβλήματος :

max UA ( XA , YA )

XA,YA,XB,YB

δοθέντων των περιορισμών:

UB(XB,YB) = uB
X = XA + XB και

Y = YA + YB

Η εξίσωση του Lagrange για το παραπάνω πρόβλημα είναι:

L = UA(XA,YA) + λ [UB(XB,YB)-uB] + μ [ X-XA-XB]+v[Y-YA-YB]

Οι συνθήκες πρώτου βαθμού είναι :

∂U , ∂U , ∂U
A =μ A =ν λ B =μ ,

∂X ∂Y ∂X
A A B

∂U
λ B =ν

∂Y
B

Από τις παραπάνω σχέσεις λαμβάνουμε :

∂U ∂U ∂U ∂U
A Β A Β

∂X =µ , ∂X =µ και συνεπώς ∂X ∂X
A Β A =Β

∂U ν ∂U ν ∂U ∂U
A Β A Β

∂Y ∂Y ∂Y ∂Y
A Β A Β

και κατ’ επέκταση MRSA = MRSB

Η τελευταία είναι και η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται για να είναι
μια κατανομή των αγαθών Χ και Υ αποτελεσματική, όπου MRSi είναι ο οριακός
λόγος υποκατάστασης του i, i = A, B.

337

Αποτελεσματικότητα

ανταγωνιστικής οικονομίας

χωρίς παραγωγή

Στην ανταγωνιστική οικονομία κάθε καταναλωτής θα διαλέξει τον
συνδυασμό των αγαθών που εξισώνει τον οριακό λόγο υποκατάστασης με τον
λόγο των τιμών. Δηλαδή, αν έχουμε δυο καταναλωτές, τον Α και τον Β, θα
διαλέξουν τους συνδυασμούς που ικανοποιούν:

MRSA = ΡX/ΡY και MRSB = ΡX/ΡY

Συνεπώς, ο συνδυασμός που θα καταναλωθεί από τον Α και το Β θα
ικανοποιεί:

MRSA = MRSB

Δηλαδή, θα είναι αποτελεσματικός.

Συνθήκες αποτελεσματικής
κατανομής αγαθών όταν
υπάρχει παραγωγή

Η αγορά τώρα έχει την ικανότητα να παράγει τους συνδυασμούς X,Y που
δίδονται από την εξίσωση T (X,Y) = 0. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης αγαθών
στην παραγωγή ή οριακός λόγος μετασχηματισμού προϊόντων RPT ορίζεται ως
εξής:

RPT = − dY
dX

και δείχνει πως μπορούμε να υποκαθιστούμε το ένα αγαθό με το άλλο,
δοθέντων των παραγωγικών δυνατοτήτων της οικονομίας. Προσέξτε ότι :

T (X ,Y = 0) ⇒ (∂T / ∂X )dX + (∂T / ∂Y )dY = 0 ⇒ dY = − ∂T / ∂X ⇔
dX ∂T / ∂Y

RPT dY = ∂T / ∂X
=−

dX ∂T / ∂Y

338

Μια (ΧΑ,ΥΑ,ΧΒ,ΥΒ) κατανομή αγαθών για να είναι αποτελεσματική θα πρέπει
να αποτελεί λύση του παρακάτω προβλήματος :

max UA ( XA , YA )

XA,YA,XB,YB

δοθέντων των περιορισμών :

UB = (XB,YB) =uB , X = XA + XB και Y = YA + YB , T(X,Y) = 0

Η εξίσωση του Lagrange για το παραπάνω πρόβλημα είναι:

L = UA(XA,YA) + ρT(XA + XB, YA + YB) + λ [UB(XB,YB) - uB]

εκ της οποίας μπορούμε να πάρουμε τις συνθήκες πρώτου βαθμού :

∂U ∂T ∂U ∂T
A = -ρ , A = -ρ
∂X ∂X ∂Y ∂Y
AA AA

∂U = -ρ ∂T , ∂U = -ρ ∂T
λB λB
∂X ∂X ∂Y ∂YB
BB B

Από τα παραπάνω λαμβάνουμε :

∂U / ∂X ∂U / ∂X ∂T / ∂X
A A= B B= ⇔

∂U / ∂Y ∂U / ∂Y ∂T / ∂Y
AA BB

MRS = MRS = RPT
AB

Η τελευταία είναι η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται για να είναι μια
κατανομή αποτελεσματική στην παραπάνω αγορά.

339

Αποτελεσματικότητα
ανταγωνιστικής οικονομίας με

παραγωγή

Το πρόβλημα της επιχείρησης τώρα είναι το εξής: πως να μεγιστοποιήσει
τα έσοδα της δοθέντος ότι με τις εισροές που διαθέτει (και τις οποίες θεωρούμε ότι
είναι σταθερές) μπορεί να παράγει διάφορους συνδυασμούς (Χ,Υ) που
προσδιορίζονται από την συνάρτηση Τ(Χ,Υ) = 0. Δηλαδή, το πρόβλημα της
ανταγωνιστικής επιχείρησης είναι:

max PX X + PY Y

X,Y

δοθέντος του περιορισμού Τ(Χ,Υ) = Ο

Η εξίσωση του Lagrange για το παραπάνω πρόβλημα είναι:

L = Px X + PY Y + μ T(X,Y)

και οι συνθήκες πρώτου βαθμού είναι:

PX = - ∂T
∂X

PY = - ∂T
∂Y

Από τις τελευταίες σχέσεις λαμβάνουμε:

RPT = Px / Py.

Συμπέρασμα: η επιχείρηση θα παράγει και θα προμηθεύει στην αγορά τις
ποσότητες που ικανοποιούν την παρακάτω σχέση:

RPT= PX
PY

Οι καταναλωτές Α και Β για να μεγιστοποιήσουν τη χρησιμότητα τους θα
διαλέξουν τους συνδυασμούς που ικανοποιούν:

MRSA = PX και
PY

340

MRSB = PX
PY

Συνεπώς ικανοποιείται η συνθήκη:

MRSA = MRSB = RPT

Η τελευταία συνθήκη υποδηλώνει ότι η κατανομή που επιτυγχάνεται στη
μορφή της ανταγωνιστικής οικονομίας με παραγωγή που περιγράψαμε παραπάνω
είναι αποτελεσματική.

Διαγραμματική απεικόνιση
γενικής ισορροπίας οικονομίας

τύπου Ροβινσώνα Κρούσου

Η οικονομία τύπου Ροβινσώνα Κρούσου είναι μια υποθετική οικονομία
στην οποία υπάρχει ένα άτομο το οποίο παράγει και καταναλώνει δύο αγαθά Χ και
Υ.

Η ισορροπία στην οικονομία αυτή προσδιορίζεται στο Διάγραμμα 6.3,
όπου το σημείο Ε υποδεικνύει το σημείο ισορροπίας όπου ο καταναλωτής
Κρούσος μεγιστοποιεί την χρησιμότητα του και ο παραγωγός Κρούσος το κέρδος
του (το οποίο στη γενική ισορροπία που εξετάζουμε αποτελεί το εισόδημα του
καταναλωτή).

Σημείώση: στο Διάγραμμα 3, ΓΜΠ είναι η γραμμή μετασχηματισμού
προϊόντων (ο γεωμετρικός τόπος των συνδυασμών Χ και Υ που μπορεί να παράγει
ο παραγωγός Κρούσος με συντελεστές που κατέχει).

341

Διάγραμμα 3 Γενική ισορροπία οικονομίας Ροβινσώνα Κρούσου
Υ

Ε
ΓΜΠ

Χ

Συμπεριφορά καταναλωτή και

προσφορά εργασίας

Εξετάζουμε ένα καταναλωτή ο οποίος έχει L χρόνο διαθέσιμο, τον οποίο
κατανέμει μεταξύ εργασίας, Ε, και ανάπαυσης, L - Ε.

Ο καταναλωτής αυτός μεγιστοποιεί χρησιμότητα και συνεπώς λύνει το
παρακάτω πρόβλημα:

max U ( X , L - E )

X,E

δοθέντος του περιορισμού p X = p X΄ + w E

όπου Χ΄ είναι η ποσότητα του αγαθού Χ την οποία ο υπό εξέταση
καταναλωτής έχει υπό την ιδιοκτησία του, p είναι η τιμή του Χ και w είναι η αμοιβή
του καταναλωτή για την διάθεση μιας μονάδας εργασίας.

Προσέξτε τώρα ότι μπορούμε να γράψουμε τον εισοδηματικό
περιορισμό ως εξής:

p Χ + w ( L – Ε ) = p Χ΄ + w L

Αυτό μας επιτρέπει να χειριστούμε την ανάπαυση, L – Ε , σαν ένα
οποιοδήποτε άλλο αγαθό Υ του οποίου η τιμή είναι w.

342

Διαγραμματική ανάλυση μιας
οικονομίας τύπου Ροβινσώνα

Κρούσου με σταθερές
αποδόσεις κλίμακας και

ανάπαυση

Η γενική ισορροπία για μια οικονομία τύπου Ροβινσώνα Κρούσου με
σταθερές αποδόσεις κλίμακας απεικονίζεται στο Διάγραμμα 4. Προσέξτε ότι η
σχετική τιμή w/p προσδιορίζετε από την κλίση της γραμμής μετασχηματισμού ΓΜ
δηλαδή, προσδιορίζεται μόνο από τεχνολογικούς παράγοντες. Το επίπεδο όμως
της παραγωγής προσδιορίζετε από τις προτιμήσεις του καταναλωτή (συνθήκες
ζήτησης).

Διάγραμμα 4 Οικονομία Ρ. Κρούσου και σταθερές αποδόσεις κλίμακας

Υ

ΚΠ

ΑΝΑΠΑΥΣΗ
L

343

Το Θεώρημα της μη
υποκατάστασης

Εάν υπάρχει μία μόνο εισροή, η οποία δεν παράγεται, και εάν η τεχνολογία
χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίμακας, τότε οι τιμές ισορροπίας δεν
εξαρτώνται από τις προτιμήσεις του καταναλωτή (προσδιορίζονται μόνο από την
τεχνολογία). Το θεώρημα αυτό είναι μια γενίκευση της παρατήρησης που

αναφέραμε στην αμέσως προηγούμενη ενότητα.

Διαγραμματική Ανάλυση μιας
Οικονομίας τύπου Ροβινσώνα

Κρούσου με φθίνουσες
Αποδόσεις Κλίμακας και

Ανάπαυση

Η γενική ισορροπία για μια οικονομία τύπου Ροβινσώνα Κρούσου με
φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας απεικονίζεται στο Διάγραμμα 5. Στο διάγραμμα
αυτό, ΑΒ είναι το κέρδος μετρούμενο σε μονάδες του Χ (είναι εισόδημα το οποίο
δεν έχει κερδισθεί δια της εργασίας), ΓΜ η γραμμή μετασχηματισμού και ΚΠ η
καμπύλη προσφοράς. Εάν αναλογιστούμε ότι οι φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας
οφείλονται στην ύπαρξη κάποιου σταθερού συντελεστή, τότε μπορούμε να
ερμηνεύσουμε το ΑΒ σαν την πρόσοδο αυτού του σταθερού συντελεστή (π.χ. της
γης).

344

Διάγραμμα 5 Οικονομία Ρ. Κρούσου και φθίνουσες αποδόσεις
κλίμακας
X

ΚΠ
Α
Χ΄
Β

L ΑΝΑΠΑΥΣΗ

345

Δημόσια αγαθά

Υποθέτουμε και τώρα ότι έχουμε μία οικονομία με δύο καταναλωτές, Α και
Β, οι οποίοι καταναλώνουν τα αγαθά Χ και Υ. Στην οικονομία αυτή υπάρχει η
δυνατότητα παραγωγής διάφορων συνδυασμών (Χ,Υ). Οι συνδυασμοί που
μπορούν να παραχθούν προσδιορίζονται από τη συνάρτηση Τ( Χ , Υ ) = 0. Από τα
δύο αγαθά υποθέτουμε ότι το αγαθό Χ είναι δημόσιο, δηλαδή και οι δύο
καταναλωτές καταναλώνουν την ίδια ποσότητα από το αγαθό Χ (π.χ. αν ο Α
καταναλώνει 10 μονάδες και ο Β θα καταναλώνει / χρησιμοποιεί τις ίδιες 10
μονάδες είτε του αρέσει είτε όχι).

Μία αποτελεσματική κατανομή των αγαθών Χ και Υ μεταξύ των Α και Β θα
πρέπει να αποτελεί λύση του παρακάτω προβλήματος:

max UA ( X , YA )

X, YA, YB

δοθέντων των περιορισμών:

UB (X, YB) = uB , Y = YA + YB και T (X,Y) = 0

Παίρνοντας τις συνθήκες πρώτου βαθμού, μπορούμε να αποδείξουμε ότι
μία κατανομή για να είναι αποτελεσματική θα πρέπει να ικανοποιεί:

MRSA + MRSB = RPT

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Παίρνουμε την εξίσωση του Lagrange

L = UA(X,YA) + λ [UB(X,YB) - uB] + μ T (X,YA+YB)

εκ της οποίας στη συνέχεια λαμβάνουμε τις συνθήκες πρώτου βαθμού:

∂L ∂U ∂U ∂T
= A + λ B + µ = 0,

∂X ∂X ∂X ∂X

∂L ∂U ∂T
= A + µ = 0,
∂Y ∂Y ∂Y
AA B

∂L ∂U ∂T
=λ B +µ =0
∂Y ∂Y ∂Y
B BB

Από τις παραπάνω σχέσεις λαμβάνουμε:

346