SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 245Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 23. UN 2011 PAKET 12 Hasil = … A. D. B. E. C. Jawab : D Maka: F() = = F(0) = = = …………….…………(D) 24. UN 2011 PAKET 46 Hasil = … a. b. c. 1 d. 2 e. Jawab : d Maka: F( ) = = = 0 F(0) = = = – 2 = 2 ………………..………(d) 25. UN 2010 PAKET A Nilai dari 6 0 (sin 3 cos3 ) x x dx = … a. 3 2 b. 3 1 c. 0 d. – 3 1 e. – 3 2 Jawab : a 6 0 (sin 3 cos3 ) x x dx o x x 30 3 0 1 3 1 cos3 sin 3 cos90 sin 90 ( cos0 sin 0 ) 3 1 3 1 3 1 3 1 0 1 ( 1 0) 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 = 3 2 ……………………………………(a) 26. UN 2010 PAKET B Hasil dari 3 2 2 1 cos(3x )dx = … a. –1 b. – 3 1 c. 0 d. 3 1 e. 1 Jawab : b 3 2 2 1 cos(3x )dx 3 2 2 1 sin(3 ) 3 1 x sin(3 ) sin(3 ) 2 1 3 1 3 2 3 1 2 1 3 1 3 1 sin sin 0 1 3 1 3 1 = – 3 1 ……………………….(b) 0 (sin3x cos x)dx 3 10 3 2 3 8 3 1 3 4 0 (sin3x cos x)dx 3 0 1 cos3x sin x cos3 sin 3 1 ( 1) 0 3 1 cos0 sin 0 3 1 (1) 0 3 1 3 2 2 0 (2sin cos2 ) x x dx 2 5 2 3 2 5 2 0 (2sin cos2 ) x x dx 2 2 0 1 2cos sin 2 x x 2 2cos sin 2( ) 2 2 1 2 2(0) (0) 2 1 2cos0 sin 0 2 1 2(1) (0) 2 1
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 246Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN 3) Penggunan Integral Tentu a) Untuk Menghitung Luas Daerah a. Luas daerah L pada gb. 1 L = , untuk f(x) 0 b. Luas daerah L pada gb. 2 L = – , atau L = untuk f(x) 0 c. Luas daerah L pada gb. 3 L = , dengan f(x) g(x) CATATAN Jika luas hanya di batasi oleh dua kurva dan fungsinya berbentuk kuadrat, maka luas nya bisa di cari dengan menggunakan rumus: L = , D = determinan persamaan kuadrat dari (f(x) – g(x)) SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2016 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva , , garis dan adalah ... A. 6 satuan luas B. 9 satuan luas C. 12 satuan luas D. 18 satuan luas E. 27 satuan luas Jawab : D Luas daerah () = = ∫ ( ( )) =∫ ( ) = 0 1 = ( ) ( ) ( ) = ....................(D) b a f (x)dx b a f (x)dx b a f (x)dx b a { f (x) g(x)}dx 2 6a D D ba bb (y y )dx 1 2
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 247Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2016 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva , , garis dan adalah ... A. sat. luas B. sat. luas C. sat. luas D. sat. luas E. sat. luas Jawab : C Luas daerah () = = ∫ ( ( )) =∫ ( ) = 0 1 = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = .......................(C) 3. UN 2016 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva , , garis dan adalah ... A. sat. luas B. 8 sat. luas C. sat. luas D. sat. luas E. sat. luas Jawab : A Luas daerah () = = ∫ . ( )/ =∫ ( ) = 0 1 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ba bb (y y )dx 1 2 ba bb (y y )dx 1 2
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 248Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2015 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu X adalah … A. satuan luas B. satuan luas C. satuan luas D. satuan luas E. satuan luas Jawab : C Batas integral (titik potong kurva dengan sumbu X) Kurva memotong sumbu X jika ( ) ( )( ) * + Dengan demikian, luas daerah yang ditanyakan pada interval dan Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu X ∫ ( ) . 0 1 . ( ) . …………………. kurva di atas sumbu X ∫ ( ) . 0 1 . . …………….… kurva di bawah sumbu X Luas total : …..(C)
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 249Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2015 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan sumbu X adalah … A. satuan luas B. satuan luas C. satuan luas D. satuan luas E. satuan luas Jawab : E Batas integral (titik potong kurva dengan sumbu X) Kurva memotong sumbu X jika ( ) ( )( ) * + Dengan demikian, luas daerah yang ditanyakan pada interval dan Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu X ∫ ( ) . 0 1 . ( ) ( ) . . ………………….…kurva di atas sumbu X ∫ ( ) . 0 1 . . . ………………… kurva di bawah sumbu X Luas total : ……..(E)
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 250Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2014 Luas daerah yang berarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus … A. x x xdx 5 0 2 6 B. x x xdx 5 0 2 6 C. x x xdx 3 0 2 6 D. x x xdx 3 0 2 6 E. x x xdx 4 0 2 6 Jawab : A batas integral Daerah arsir dibatasi oleh garis dan kurva , garis dan garis sehingga : bb : dan ba : persamaan kurva y1 – y2 = kurva atas – kurva bawah ( ) . Luas daerah arsir ∫ ( ) . ∫ ( ) ) 0 ………..(A) 1 0 – 1 9 X 2 0 – 2 9 Y 5 0 – 5 9 y = x y = – x 2 + 6x 5 6 6 1 2
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 251Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2014 Luas daerah arsiran pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus … A. B. C. D. E. Jawab : B batas integral daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva , garis , , Jadi, bb : dan ba : persamaan kurva y1 – y2 = kurva atas – kurva bawah ( ) ( ) . Luas L L = = ….…….(B) x x x dx 2 0 2 7 2 1 x x x dx 3 0 2 7 2 1 x x xdx 2 0 2 2 1 7 x x xdx 3 0 2 2 1 7 x x xdx 1 0 2 2 1 7 ba bb (y y )dx 1 2 x x x dx 3 0 2 7 2 1 1 4 7 0 1 3 7 y = x2 – 2x + 1 y = 7– x X Y
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 252Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2014 Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus … A. B. C. D. E. Jawab : E L1 dibatasi oleh sumbu X, garis √ , x = 0, x = 4 maka: L1 = L2 dibatasi oleh garis x = 4, x = 8, serta kurva √ …………………kurva atas ………………..kurva bawah √ ( ) √ maka L2 = Dengan demikian luas daerah yang di arsir adalah L = L1 + L2 = + ………..….(E) x dx x dx 8 4 8 0 2 ( 4) x dx x dx 8 4 8 0 2 ( 4) x dx x dx 8 4 8 0 2 ( 4) x x dx 8 0 ( 2 4) x dx x x dx 8 4 4 0 2 ( 2 4) 4 0 2xdx 8 4 ( 2x x 4)dx 4 0 2xdx 8 4 ( 2x x 4)dx 0 2 4 8 4 –2 –4 X y = x – y = 4 Y 0 2 4 8 4 –2 –4 X y = x – y = 4 Y L1 L2
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 253Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2014 Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus … A. x dx x dx 4 2 4 0 4 (2 4) B. x dx x dx 4 2 4 0 4 (2 4) C. x dx x dx 4 2 4 0 2 (2 4) D. x dx x dx 4 2 4 0 2 (4 2 ) E. x dx x dx 4 2 4 0 2 (4 2 ) Jawab : C dibatasi oleh kurva √ √, sumbu X, garis dan garis , sehingga ∫ √ . L2 dibatasi oleh garis garis dan garis , sehingga ∫ ( ) . Luas daerah arsir ( ) . ∫ √ ∫ ( ) …………..(C) 0 1 2 4 4 –2 –4 X y 2 = 4x y = 2x – 4 Y 4 Y 0 1 2 4 X L1 L2 –2 –4 y 2 = 4x y = 2x – 4
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 254Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2013 Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus … A. ∫ ( ) B. ∫ ( ) C. ∫ ( ) D. ∫ ( ) E. ∫ ( ) Jawab : D Titik potong 2 kurva (batas integral) y1 = x + 3 ……………….… grafik atas y2 = x 2 – 4x + 3 _ ………… grafik bawah y1 – y2 = –x 2 + 5x = –x(x – 5) = 0 x = {0, 5} Jadi, bb = 0 dan ba = 5 Luas L L = = = …………………….(D) 11. UN 2013 Luas daerah yang diarsir seperti tampak pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus … A. ∫ (( ) ( )) B. ∫ (( ) ( )) C. ∫ (( ) ( )) D. ∫ (( ) ( )) E. ∫ (( ) ( )) Jawab : A Titik potong 2 kurva (batas integral) y1 = – x 2 + 2x + 3……….… grafik atas y2 = x + 1 _ ………… grafik bawah y1 – y2 = – x 2 + x + 2 = –(x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2} Jadi, bb = –1 dan ba = 2 Luas L L = = …….(A) ba bb (y y )dx 1 2 5 0 2 ( x 5x)dx 5 0 2 (x 5x)dx ba bb (y y )dx 1 2 2 1 2 {( x 2x 3) (x 1)}dx X Y 0 y = – x 2 + 2x + 3 y = x + 1 y = x2 – 4x + 3 y = x + 3 Y X 0
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 255Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2013 Integral yang menyatakan Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah … A. ∫ (√ ) B. ∫ ( √) C. ∫ (√ ) D. ∫ (√ ) E. ∫ (√ ) Jawab : D Titik potong 2 kurva (batas integral) y1 = ………..….… grafik atas y2 = x _ ………… grafik bawah y1 – y2 = – x = 0 x = {0, 1} Jadi, bb = 0 dan ba = 1 Luas L L = = …………….…….(D) 13. UN 2012/B25 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 – 4x + 3 dan y = x – 1 adalah ... A. sat. luas D. sat. luas B. sat. luas E. sat. luas C. sat. luas Jawab : C Luas daerah dibatasi hanya oleh dua kurva, maka luasnya bisa di cari dengan cara cepat y1 = x 2 – 4x + 3 y2 = x – 1 _ y1 – y2 = x 2 – 5x + 4 D = b2 – 4ac = 52 – 4(1)(4) = 9 Maka : L = = = = ………………(C) x x ba bb (y y )dx 1 2 1 0 ( x x)dx 6 41 3 8 3 19 6 11 2 9 2 6a D D 2 6(1) 9 9 2 3 3 2 9 y = x X Y 0 y = x
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 256Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2011 PAKET 12 Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x 2 , y = –x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah … a. satuan luas b. satuan luas c. satuan luas d. satuan luas e. satuan luas Jawab : b Batas integral y1 = y2 4 – x 2 = –x + 2 x 2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2} Perpotongan dua kurva di x = –1 dan x = 2 Karena x = –1 di luar interval 0 ≤ x ≤ 2, maka batas integralnya tetap 0 ≤ x ≤ 2 sehingga bb = 0 dan ba = 2 Luas daerah L = = = = (2)3 – (2)2 – 2(2) – 0 = | – 6 | = | | = ……..………………..(b) 15. UN 2011 PAKET 46 Luas daerah yang dibatasi kurva y = x 2 , y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah … a. satuan luas b. satuan luas c. satuan luas d. satuan luas e. satuan luas Jawab : e Batas integral y1 = y2 x 2 = x + 2 x 2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0 x = {–1, 2} luas daerah yang dicari ada di kuadran I, maka batas integralnya 0 ≤ x ≤ 2 sehingga bb = 0 dan ba = 2 Luas daerah L = = = = (2)3 – (2)2 – 2(2) – 0 = | – 6 | = | | = ……..………………..(e) 3 8 3 10 3 14 3 16 3 26 ba bb (y y )dx 1 2 2 0 2 (x x 2)dx 2 0 2 2 3 1 3 1 x x 2x 3 1 2 1 3 8 3 818 3 10 3 2 3 4 3 6 3 8 3 10 ba bb (y y )dx 1 2 2 0 2 (x x 2)dx 2 0 2 2 3 1 3 1 x x 2x 3 1 2 1 3 8 3 818 3 10
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 257Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2010 PAKET B Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = x3 , y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah … a. 2 4 1 satuan luas b. 2 2 1 satuan luas c. 3 4 1 satuan luas d. 3 2 1 satuan luas e. 4 4 1 satuan luas Jawab : b Batas integral y1 = y2 x 3 = x x 3 – x = 0 x 2 (x – 1) = 0 x = {0, 1} Perpotongan dua kurva di x = 0 dan x = 1 Karena luas yang ditanyakan antara x = 0 dan x = 2, maka batas integralnya adalah: 0 ≤ x ≤ 1 dan 1 ≤ x ≤ 2 Luas daerah L = ba bb (y y )dx 1 2 = 2 1 3 1 0 3 (x x)dx (x x)dx = 2 1 2 2 4 1 4 1 1 0 2 2 4 1 4 1 x x x x = | 4 1 – 2 1 – 0| + | 4 1 (2)4 – 2 1 (2)2 – ( 4 1 – 2 1 )| = |– 4 1 | + |4 – 2 + 4 1 | = 2 2 1 …………….(b)
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 258Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN b) Untuk Menghitung Volume Benda Putar V = atau V = V = atau V = V = atau V = V = atau V = SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2015 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva , sumbu X diputar mengelilingi sumbu X adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : D Batas integral (titik potong kurva dengan sumbu X) Kurva memotong sumbu X jika ( ) * + Dengan demikian, volum daerah yang ditanyakan pada interval ( ) Volum benda putar ∫ ( ) . 0 1 . ……….(D) b a f x dx 2 ( ( )) b a y dx 2 d c g y dy 2 ( ( )) d c x dy 2 b a {( f (x) g (x)}dx 2 2 b a (y y )dx 2 2 2 1 d c { f (y) g (y)}dy 2 2 d c (x x )dy 2 2 2 1
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 259Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2015 Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : C Batas integral (titik potong kurva dengan sumbu X) Kurva memotong sumbu X jika ( ) * +. Dengan demikian, volum daerah yang ditanyakan pada interval ( ) . Volum benda putar ∫ ( ) . 0 1 . . ……………..….(C) 3. UN 2015 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva , sumbu X, garis dan diputar mengelilingi sumbu X adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : C Batas integral Daerah dibatasi kurva, sumbu X, garis dan , dengan demikian, volum daerah yang ditanyakan pada interval ( ) . Volum benda putar ∫ ( ) . 0 1 . . ……….….(C)
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 260Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2015 Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva , sumbu X, garis di kuadran I diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : D Batas integral Daerah dibatasi kurva, sumbu X, garis di kuadran I, oleh karena itu perlu di cari titik potong kurva dengan sumbu X Kurva memotong sumbu X jika ( )( ) * + Dengan demikian, volum daerah yang ditanyakan pada kuadran I adalah pada interval ( ) . Volum benda putar ∫ ( ) . 0 1 . . ………..….….(D)
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 261Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2014 Volume benda putar yang terbentuk dari daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva √ , sumbu X, dan lingkaran , diputar mengelilingi sumbu X adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : A Grafik fungsi kuadrat √ memiliki karakteristik: i) membuka ke atas karena a = √ (positif) ii) puncak di (0,0) karena nilai b dan c tidak ada Lingkaran memiliki karakteristik: i) pusat di (0,0) ii) memiliki jari-jari = √ titik potong kurva √ dan ………………ingat √ . √ / * + volum benda putar mengelilingi sumbu X dikwadran I √ Lihat gambar: V = V1 + V2 V= V1 + V2 = V1 = = = 2 V2 = = = = V = V1 + V2 = 2 + = = ………….(A) y dx y dx 3 2 2 2 2 0 2 1 x dx x dx 3 2 2 2 0 4 16 5 (9 ) 2 0 5 16 5 5 | x | (2) 0 5 16 1 3 2 3 3 1 | 9x x | 9(3) (3) {9(2) (2) } 3 3 3 1 3 1 3 8 27 9 18 3 8 3 8 3 68 3 14
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 262Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 6. UN 2014 Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva √ , sumbu X, dan di dalam lingkaran , diputar mengelilingi sumbu X adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : B Grafik fungsi kuadrat √ memiliki karakteristik: i) membuka ke bawah karena a = √ (negatif ) ii) puncak di (0,0) karena nilai b dan c tidak ada Lingkaran memiliki karakteristik: i) pusat di (0,0) ii) memiliki jari-jari = √ titik potong kurva √ dan ………………ingat √ ( √ ) * + volume benda putar mengelilingi sumbu X √ Lihat gambar: V = 2V2 V2 = p + q = p = = = q = = = = = p + q = + = = V = = ………………….(B) y dx y dx 2 1 2 2 1 0 2 1 x dx x dx 2 1 2 1 0 4 3 (4 ) 1 0 5 5 3 | x | (1) 0 5 5 3 5 3 2 1 3 3 1 | 4x x | 4(2) (2) {4(1) (1) } 3 3 3 1 3 1 3 1 3 8 8 4 3 7 4 3 5 5 3 3 5 15 925 15 34 15 34 2
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 263Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2014 Volume benda putar yang terbentuk dari daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva √ , sumbu Y, dan lingkaran , diputar mengelilingi sumbu Y adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : B Grafik fungsi kuadrat √ memiliki karakteristik: i) membuka ke kanan karena a = √ (positif) ii) puncak di (0,0) karena nilai b dan c tidak ada Lingkaran memiliki karakteristik: i) pusat di (0,0) ii) memiliki jari-jari = √ titik potong kurva √ dan ………………ingat √ ( √ ) * + volum benda putar mengelilingi sumbu Y dikwadran I √ Lihat gambar: V = V1 + V2 V= V1 + V2 = V1 = = = = V2 = = = = = V = V1 + V2 = = = = …………..(B) x dy x dy 1 2 2 0 2 1 2 1 2 1 y dy y dy 1 2 0 4 2 1 2 1 12 (1 ) 2 1 0 5 5 12 | y | ( ) 0 5 2 1 5 12 5 32 12 8 5 3 3 1 3 1 2 1 | y y | 1 (1) { ( ) } 3 2 1 3 1 2 3 1 3 1 24 1 2 1 3 1 1 24 248121 3 8 5 3 8 5 8 5 3 8 3 5 9 25 120 34 60 17
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 264Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2013 Volume daerah yang dibatasi oleh kurva dan bila di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360 adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : C Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = 2x 2 y2 = 4x _ y1 – y1 = 2x 2 – 4x = 2x(x – 2) = 0 x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya , bb = 0 dan ba = 2 y1 = 2x 2 = 4x 4 y2 = 4x = 16x2 – = 4x 4 – 16x2 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = = = F(2) = = – = = F(0) = 0 = Jadi, V = …………………………………(C) 9. UN 2013 Daerah yang dibatasi kurva dan garis di putar mengelilingi sumbu–X. Volume benda putar yang terjadi adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : C Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x 2 y2 = –x + 2 _ y1 – y1 = x 2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) = 0 x = {–2 , 1} Jadi, batas integralnya , bb = –2 dan ba = 1 y1 = x 2 = x 4 y2 = –x + 2 = x 2 – 4x + 4 – = x 4 –x 2 + 4x – 4 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = = = F(1) = = F(–2) = = = = = Jadi, V = …………………………………(C) 2 1 y 2 2 y 2 1 y 2 2 y ba bb (y y )dx 2 1 2 2 2 0 4 2 (4x 16x )dx 2 0 3 3 5 16 5 4 x x 3 3 5 16 5 4 (2) (2) 5 128 3 128 15 384640 15 256 15 256 2 1 y 2 2 y 2 1 y 2 2 y ba bb (y y )dx 2 1 2 2 1 2 4 2 (x x 4x 4)dx 1 2 2 2 3 4 3 5 1 5 1 4 x x x x (1) (1) 2(1) 4(1) 3 2 3 5 1 5 1 2 3 1 5 1 ( 2) ( 2) 2( 2) 4( 2) 3 2 3 5 1 5 1 16 3 8 5 32 3 18 5 33 6 21 5 3 5 2 14 5 2 14
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 265Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2013 Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis jika di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360 adalah … A. 12 satuan volume B. satuan volume C. 18 satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : E Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x + 2 y2 = 4 – x 2 _ y1 – y1 = x 2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) = 0 x = {–2 , 1} Jadi, batas integralnya , bb = –2 dan ba = 1 y1 = x + 2 = x 2 + 4x + 4 y2 = 4 – x 2 = x 4 – 8x2 + 16 – = –x 4 + 9x2 + 4x – 12 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = = = F(1) = = F(–2) = = = = Jadi, V = …………………………………(E) 11. UN 2013 Suatu daerah yang dibatasi kurva dan di putar mengelilingi sumbu–X sejauh 360. Volume benda putar yang terjadi adalah … A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : B Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = x 2 y2 = –x 2 + 2 _ y1 – y1 = 2x 2 – 2 = 2(x2 – 1) = 2(x + 1)(x – 1) = 0 x = {–1 , 1} Jadi, batas integralnya , bb = –1 dan ba = 1 y1 = x 2 = x 4 y2 = –x 2 + 2 = x 4 – 4x2 + 4 – = 4x 2 – 4 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = = = F(1) = = F(–1) = = = = = Jadi, V = …………………………………(B) 2 1 y 2 2 y 2 1 y 2 2 y ba bb (y y )dx 2 1 2 2 1 2 4 2 ( x 9x 4x 12)dx 1 2 2 2 3 4 3 5 9 5 1 12 x x x x (1) 3(1) 2(1) 12(1) 5 3 2 5 1 7 5 1 ( 2) 3( 2) 2( 2) 12( 2) 5 3 2 5 1 8 5 32 15 5 33 5 108 2 1 y 2 2 y 2 1 y 2 2 y ba bb (y y )dx 2 1 2 2 1 1 2 (4x 4)dx 1 1 3 3 4 4 x x (1) 4(1) 3 3 4 4 3 4 ( 1) 4( 1) 3 3 4 4 3 4 8 3 8 3 24 3 8 3 16
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 266Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2012/D49 Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang di batasi oleh kurva y = –x 2 dan y = –2x di putar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah …. A. satuan volume B. satuan volume C. satuan volume D. satuan volume E. satuan volume Jawab : B Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = –x 2 y2 = –2x _ y1 – y1 = –x 2 + 2x = –x(x – 2) = 0 x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya , bb = 0 dan ba = 2 y1 = –x 2 = x 4 y2 = –2x = 4x2 – = x 4 – 4x2 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = = = = = = = = Jadi, V = ....................................................(B) 13. UN 2012/B25, UN 2007 PAKET A Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan parabola y = x2 diputar sejauh 360º mengelilingi sumbu X adalah … a. satuan volume b. satuan volume c. satuan volume d. satuan volume e. satuan volume Jawab : b Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka: (i) Batas Integral Absis titik potong dua kurva y1 = y2 2x= x2 x 2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya x = {0 , 2} (ii) volume benda putar mengelilingi sumbu X V = = = = = = = = …………………..…..(b) 15 11 3 15 4 4 15 11 6 15 6 6 15 1 17 2 1 y 2 2 y 2 1 y 2 2 y ba bb (y y )dx 2 1 2 2 2 0 4 2 (x 4x )dx 2 0 3 3 5 4 5 1 x x 3 3 5 4 5 1 (2) (2) 3 32 5 32 15 96160 15 64 15 4 4 15 4 4 5 32 15 64 15 52 15 48 15 32 y y dx b a ( ) 2 2 2 1 x x dx 2 0 2 2 2 {(2 ) ( ) } x x dx 2 0 2 4 (4 ) 2 0 5 5 3 1 3 4 x x { (2) (2) (0)} 5 5 3 1 3 4 { } 5 32 3 32 15 16096 15 64
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 267Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 14. UN 2011 PAKET 12 Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 , garis y = 2x dikuadran I diputar 360 terhadap sumbu X adalah … a. satuan volum b. satuan volum c. satuan volum d. satuan volum e. satuan volum Jawab : d Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = y2 x 2 = 2x x 2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = {0 , 2} Jadi, batas integralnya 0 ≤ x ≤ 2 (dikuadran I) – = (x2 ) 2 – (2x) 2 = 4x2 – x 4 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = = = = {( ) – 0 } = = ………………………..(d) 15. UN 2010 PAKET A Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x – x 2 dan y = 2 – x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah … a. 5 1 satuan volum b. 5 2 satuan volum c. 5 3 satuan volum d. 5 4 satuan volum e. satuan volum Jawab : a Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = y2 2 – x = 2x – x 2 x 2 – 2x – x + 2 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 x = {1 , 2} Jadi, batas integralnya bb = 1 dan ba = 2 2 1 y = (2 – x)2 = x 2 – 4x + 4 2 2 y = (2x – x 2 ) 2 = x 4 – 4x3 + 4x2 2 1 y – 2 2 y = x 4 – 4x3 + 3x2 + 4x – 4 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = ba bb (y y )dx 2 1 2 2 = 2 1 4 3 2 (x 4x 3x 4x 4)dx = 2 1 5 4 3 2 5 1 x x x 2x 4x = | 2 2 2 2 2 4 2 5 4 3 2 5 1 ( 1 1 2 4) 5 1 | = | 8 2 5 1 5 32 | = | 5 30 5 31 | = 5 1 ……….(a) 15 20 15 30 15 54 15 64 15 144 2 2 y 2 1 y 2 0 2 1 2 2 (y y )dx 2 0 5 5 3 1 3 4 x x 2 0 5 5 3 1 3 4 (2) (2) 5 32 3 32 15 16096 15 64
SIAP UN IPA2015 Fungsi Eksponen dan Logaritma http://www.soalmatematik.com 268Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2010 PAKET B Volum benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan y = x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah … a. 10 3 satuan volum b. 10 5 satuan volum c. 3 1 satuan volum d. 3 10 satuan volum e. 2 satuan volum Jawab : a Batas Integral (titik potong dua kurva) y1 = y2 x 2 = x ……. Kuadratkan kedua ruas x 4 = x x 4 – x = 0 x 3 (x – 1) = 0 x = {0 , 1} Jadi, batas integralnya 0 ≤ x ≤ 1 2 2 y – 2 1 y = (x2 ) 2 – ( x ) 2 = x 4 – x ( 2 2 y – 2 1 y )dx = 5 1 x 5 – 2 1 x 2 Volume benda putar mengelilingi sumbu X V = 1 0 2 1 2 2 (y y )dx = 1 0 2 2 5 1 5 1 x x = 0 2 1 5 1 = 10 5 10 2 = 10 3 …(a)
269Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN 16. PROGRAM LINEAR A. Persamaan Garis Lurus a. Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah: y – y1 = m(x – x1) b. Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah : c. Persamaan garis yang memotong sumbu X di (b, 0) dan memotong sumbu Y di (0, a) adalah: ax + by = ab B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 1. Gambarkan garis ax + by = c 2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c 3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c 4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c (x x ) x x y y y y 1 2 1 2 1 1 O ax + by = c Y X a b (0, a) (b, 0) (x, y) titik uji 0 b a (b, 0) X Y (0, a) 0 x2 y2 (x1, y1) X Y (x2, y2) x1 y1 0 x1 y1 (x1, y1) X Y
SIAP UN IPA2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 270 C. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum I. Metode titik Uji 1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y) 2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum 3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan, maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya. Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut: 1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X Jika tujuannya maksimum pilih titik potong yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika tujuannya minimum pilih titik potong yang terbesar (0, p), (b, 0) 2. Titik potong antara kedua garis (x, y) 0 a X Y b g p HP q h (x,y) (0,p) (b,0) Titik kritis ada 3: (0, p), (b, 0) dan (x, y) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0) Titik kritis ada 3: (0, a), (q, 0) dan (x, y)
SIAP UN IPA2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 271 II. Metode garis selidik Misal fungsi tujuan adalah Z = rx + sy, mz = Garis g: ax + by = ab, mg = Garis h: px + qy = pq, mh = Fungsi tujuan maksimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini mz mg mh X Z Y mg mz mh X Z Y mg mh mz X Z Y KESIMPULAN: lihat gradien yang ada di posisi Z Fungsi tujuan maksimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu X 2. mh di Z dan mz di Y, nilai maksimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu Y 3. mz di tengah, nilai maksimum ada pada titik potong garis g dan garis h Fungsi tujuan minimum Perhatikan garis selidik (garis putus-putus) di bawah ini mz mg mh X Z Y mg mz mh X Z Y mg mh mz X Z Y KESIMPULAN: Fungsi tujuan minimum : Letaknya berkebalikan dengan fungsi tujuan maksimum 1. mg di Z dan mz di X, nilai minimum ada pada titik potong garis g dengan sumbu Y 2. mh di Z dan mz di Y, nilai minimum ada pada titik potong garis h dengan sumbu X 3. mz di tengah, nilai minimum ada pada titik potong garis g dan garis h s r b a q p 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0) 0 a X Y b g HP p q h (x,y) (0,a) (q,0) 0 a X Y b g p HP q h (x,y) (0,p) (b,0) 0 a X Y b g p HP q h (x,y) (0,p) (b,0) 0 a X Y b g p HP q h (x,y) (0,p) (b,0)
SIAP UN IPA2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 272 SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2016 Sebuah toko menyediakan dua macam tenda. Tenda jenis I dapat menampung 10 orang dengan harga Rp150.000,00. Tenda jenis II dapat menampung 4 orang dengan harga Rp100.000,00. Satu regu pramuka dengan anggota 110 orang berencana mengadakan kemah. Jika banyak tenda yang dibutuhkan paling sedikit 20 tenda, banyak tenda II yang harus dibeli agar pengeluaran seminimum mungkin adalah ... A. 10 tenda B. 11 tenda C. 15 tenda D. 17 tenda E. 20 tenda Jawab : E Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Jenis I (x) Jenis II(y) kebutuhan Jum. peserta 10 4 110 Jum. tenda 1 1 20 Harga 150rb 100rb Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 10x + 4y 110…..…. m1 = x +y 20…….... m2 = Fungsi tujuan : pengeluaran minimum Z = 150x + 100 y…. mz = Karena maka nilai minimum ada pada titik potong dari garis dengan sumbu Y Garis memotong sumbu Y ...........................(E) 2. UN 2016 Pak Amir mengelola usaha jasa parkir pada daerah parkir seluas 600m2 yang hanya mampu menampung 58 mobil besar dan mobil kecil. Mobil kecil membutuhkan tempat parkir dengan luas 6 m2 dengan biaya parkir Rp2.000,00/jam, sedangkan mobil besar membutuhkan tempat parkir dengan luas 24 m2 dengan biaya parkir Rp3.000,00/jam. Jika dalam satu jam tempat parkir tersebut terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang keluar atau masuk, hasil maksimum usaha jasa parkir tersebut selama 1 jam adalah ... A. Rp290.000,00 B. Rp174.000,00 C. Rp165.000,00 D. Rp130.000,00 E. Rp75.000,00 Jawab : D Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Kecil (x) Besar (y) kemampuan Luas maks 6 24 600 Kend maks 1 1 58 pendapatan 2.000 3.000 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 6x + 24y ≤600…..…. m1 = x +y ≤ 58…….... m2 = Fungsi tujuan : penghasilan maksimum Z = 2000 x + 3000 y…. mz = Karena maka nilai maksimum ada pada titik potong dua garis fungsi kendala 6x + 24y =600 x + 4y =100 x + y = 58 _ 3y = 42 y = 14x = 44 Z = f (44,14) = 2.000 (44) + 3.000 (14) = 130.000 ..........................(D)
SIAP UN IPA2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 273 SOAL PENYELESAIAN 3. UN 2015 Seorang pengusaha perumahan memiliki lahan tanah seluas 10.000 akan dibangun rumah dua tipe yaitu tipe A dan tipe B. Untuk membangun rumah tipe A diperlukan tanah seluas 100 dan rumah tipe B seluas 75 . Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 175 unit. Jika pengusaha tersebut menjual dengan keuntungan rumah tipe A adalah Rp8.000.000,00 dan tipe B adalah Rp6.000.000,00, serta semua rumah habis terjual, maka keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha tersebut adalah … A. Rp750.000.000,00 B. Rp800.000.000,00 C. Rp850.000.000,00 D. Rp900.000.000,00 E. Rp950.000.000,00 Jawab : B Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Tipe A (x) Tipe B (y) kemampuan Luas lahan 100 75 10.000 Jumlah rumah 1 1 125 Pendapatan 8 jt 6 jt Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 100x + 75y ≤10.000…... m1 = x +y ≤ 125……...... m2 = Fungsi tujuan : untung maksimum Z = 8jt x + 6jt y…. mz = Karena , maka nilai maksimum ada pada titik garis dengan sumbu X ( ) Z = f (100,0) = 8jt (100) + 6jt (0) = 800 jt …………………(B) 4. UN 2015 Seorang pengusaha perumahan memiliki lahan tanah seluas 15.000 akan dibangun rumah dua tipe yaitu tipe A dan tipe B. Untuk membangun rumah tipe A diperlukan tanah seluas 100 dan rumah tipe B seluas 75 . Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 175 unit. Jika pengusaha tersebut menjual dengan keuntungan rumah tipe A adalah Rp8.000.000,00 dan tipe B adalah Rp6.000.000,00, serta semua rumah habis terjual, maka keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha tersebut adalah … A. Rp9.000.000.000,00 B. Rp6.000.000.000,00 C. Rp1.000.000.000,00 D. Rp1.200.000.000,00 E. Rp1.400.000.000,00 Jawab : D Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Tipe A (x) Tipe B (y) kemampuan Luas lahan 100 75 15.000 Jumlah rumah 1 1 175 Pendapatan 8 jt 6 jt Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 100x + 75y ≤15.000…... m1 = x +y ≤ 175……...... m2 = Fungsi tujuan : untung maksimum Z = 8jt x + 6jt y…. mz = Karena , maka nilai maksimum ada pada titik garis dengan sumbu X ( ) Z = f (150,0) = 8jt (150) + 6jt (0) = 1.200 jt …………………(D)
SIAP UN IPA2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 274 SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2015 Suatu perusahaan akan mengangkut barang– barang yang terdiri dari 480 kardus dan 352 peti dengan menyewa 2 jenis kendaraan yaitu mobil bak dan truk. Mobil bak dapat mengangkut paling banyak 40 kardus dan 16 peti. Mobil bak dapat mengangkut paling banyak 30 kardus dan 32 peti. Jika biaya sewa untuk mobil bak Rp100.000,00 dan truk Rp150.000,00 sekali jalan, biaya minimum untuk mengangkut barang–barang tersebut adalah … A. Rp1.100.000,00 B. Rp1.200.000,00 C. Rp1.800.000,00 D. Rp2.400.000,00 E. Rp3.300.000,00 Jawab : D Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Bak (x) truk (y) kemampuan Kardus 40 30 480 Peti 16 32 352 Pendapatan 100.00 0 150.00 0 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 40x + 30y 480 …... m1 = 16x +32y 352……. m2 = Fungsi tujuan : untung maksimum Z = 100rb x + 150rb y…. mz = Karena , maka nilai minimum ada pada titik garis dengan sumbu Y ( ) Z = f (0,16) = 100rb (0) + 150rb (16) = 2.400.000 …………………(D)
SIAP UN IPA2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 275 6. UN 2014 Di Zedland ada dua media massa koran yang sedang mencari orang untuk bekerja sebagai penjual koran. Iklan di bawah ini menunjukkan bagaimana mereka membayar gaji penjual koran. Joko memutuskan untuk melamar menjadi penjual koran. Ia perlu memilih bekerja pada Media Zedland atau Harian Zedland. Grafik manakah di bawah ini yang menggambarkan bagaimana koran membayar penjual-penjualnya? A. B. C. D. E. Pembahasan: Media Zedland : Gaji yang diterima sesuai dengan jumlah koran yang dijual, jika jumlah koran yang terjual adalah nol maka tidak mendapat gajih, tapi jika jumlah koran yang terjual lebih dari 240 maka gajih akan meningkat karena mendapat bonus Harian Zedland Gaji yang diterima minimal 60 zed walaupun koran yang dijual adalah nol, tapi jika mampu menjualkan koran maka akan mendapat bonus Jawaban yang paling tepat adalah ………..(C) MEDIA ZEDLAND PERLU UANG LEBIH JUAL KORAN KAMI Gaji yang akan diterima : 0,20 zed per koran sampai dengan 240 koran yang terjual perminggu, ditambah 0,40 zed per koran selebihnya yang terjual HARIAN ZEDLAND DIBAYAR TINGGI DALAM WAKTU SINGKAT Jual koran Harian Zedland dan dapatkan 60 zed per minggu, ditambah bonus 0,05 zed per koran yang terjual Harian Zedland Media Zedland Pendapatan per Minggu (zed) Jumlah koran yang terjual Harian Zedland Media Zedland Jumlah koran yang terjual Pendapatan per Minggu (zed) Harian Zedland Media Zedland Jumlah koran yang terjual Pendapatan per Minggu (zed) Harian Zedland Media Zedland Jumlah koran yang terjual Pendapatan per Minggu (zed) Harian Zedland Media Zedland Pendapatan per Minggu (zed) Jumlah koran yang terjual
271Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2013, UN 2010 PAKET B Luas daerah parkir 1.760 m2 . Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m 2 . Daya tamping maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah … A. Rp176.000,00 B. Rp200.000,00 C. Rp260.000,00 D. Rp300.000,00 E. Rp340.000,00 Jawab : C Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Kecil (x) Besar (y) kemampuan Luas maks 4 20 1.760 Kend maks 1 1 200 pendapatan 1.000 2.000 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 4x + 20y ≤1.760…..…. m1 = x +y ≤ 200…….... m2 = Fungsi tujuan : penghasilan maksimum Z = 1000 x + 2000 y…. mz = Karena maka nilai maksimum ada pada titik potong dua garis fungsi kendala 4x + 20y =1.760 x + 5y =440 x + y = 200 _ 4y = 240 y = 60 x = 140 Z = f (140,60) = 1.000 (140) + 2.000 (60) = 260.000 Jadi, keuntungan maksimum 260.000…………(C) 8. UN 2012/A13 Anak usia balita dianjurkan dokter untuk mengkonsumsi kalsium dan zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. Sebuah kapsul mengandung 5 gr kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan sebuah tablet mengandung 2 gr kalsium dan 2 gr zat besi. Jika harga sebuah kapsul Rp1.000,00 dan harga sebuah tablet Rp800,00, maka biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk memenuhi kebutuhan anak balita tersebut adalah… A. Rp12.000,00 B. Rp14.000,00 C. Rp18.000,00 D. Rp24.000,00 E. Rp36.000,00 Jawab : B Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini kapsul (x) tablet (y) Kebutuhan Kalsium 5 2 60 Zat Besi 2 2 30 Harga 1.000 800 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 5x + 2y 60 ……… m1 = 2x + 2y 30………. m2 = Fungsi tujuan : biaya minimum Z = 1000 x + 800 y…. mz = Karena maka nilai minimum ada pada titik potong dua garis fungsi kendala 5x + 2y = 60 2x + 2y = 30 _ 3x = 30 x = 10 y = 5 Z = f (10,5) = 1.000(10) + 800(5) = 14.000 Jadi, pengeluaran minimum = 14.000 ………...(B)
SIAP UN IPA 2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 272 SOAL PENYELESAIAN 9. UN 2012/D49 Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00, jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang di terima pedagang adalah …. A. Rp13.400.000,00 B. Rp12.600.000,00 C. Rp12.500.000,00 D. Rp10.400.000,00 E Rp8.400,000,00 Jawab : A Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Sepeda (x) Sepeda (y) Kemampuan Persediaan 1 1 25 Modal 1,5jt 2jt 42jt Untung 0,5jt 0,6jt Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: x + y ≤ 25 ………. m1 = 1,5x +2y ≤ 42 ..…. m2 = Fungsi tujuan : penghasilan maksimum Z = 0,5jt x + 0,6 jt y …. mz = Karena maka nilai maksimum ada pada titik potong dua garis fungsi kendala x + y =25 2x + 2y = 50 1,5x + 2y = 42 _ 0,5x = 8 x = 16 y = 9 Z = f (16,9) = 0,5 jt (16) + 0,6 jt (9) = 13,4 jt Jadi, keuntungan maksimum 13,4 jt …………(A) 10. UN 2012/B25 Penjahit ”Indah Pantes” akan membuat pakaian wanita dan pria. Untuk membuat pakaian wanita di perlukan bahan bergaris 2 m dan bahan polos 1 m. Untuk membuat pakaian pria diperlukan bahan bergaris 1 m dan bahan polos 2 m. Penjahit hanya memeliki persediaan bahan bergaris dan bahan polos sebanyak 36 m dan 30 m. Jika pakaian wanita dijual dengan harga Rp150.000,00 dan pakaian pria dengan harga Rp100.000,00, maka pendapatan maksimum yang di dapat adalah ... A. Rp2.700.000,00 B. Rp2.900.000,00 C. Rp3.700.000,00 D. Rp3.900.000,00 E. Rp4.100.000,00 Jawab : B Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Bahan Pakaian w (x) Pakaian p (y) persediaan Bergaris 2 1 36 Polos 1 2 30 Penjualan 150.000 100.000 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 2x + y ≤ 36………. m1 = x +2y ≤ 30………. m2 = Fungsi tujuan : pendapatan maksimum Z = 150rb x + 100rb y …. mz = Karena maka nilai maksimum ada pada titik potong dua garis fungsi kendala 2x + y = 36 4x + 2y = 72 x + 2y = 30 _ 3x = 42 x = 14 y = 8 Z = f (14,8) = 150rb (14) + 100rb (8) = 2900rb Jadi, pendapatan maksimum 2900rb ……….(B)
SIAP UN IPA 2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 273 SOAL PENYELESAIAN 11. UN 2012/E52 Seorang ibu hendak membuat dua jenis kue.Kue jenis I memerlukan40 gram tepung dan 30 gram gula. Kue jenis II memerlukan 20 gram tepung dan 10 gram gula.Ibu hanya memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dangula 4 kg.Jika kue di jual dengan harga Rp4.000,00 dan kue jenis II di jual dengan harga Rp1.600,00, maka pendapatan maksimum yang di peroleh ibu adalah…. A. Rp300.400,00 B. Rp480.000,00 C. Rp560.000,00 D. Rp590.200,00 E. Rp720.000,00 Jawab : C Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Bahan Kue I (x) Kue II (y) persediaan Tepung (gr) 40 20 6.000 Gula (gr) 30 10 4.000 Penjualan 4.000 1.600 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 2x + y ≤ 300………….. m1 = 3x + y ≤ 400………..…. m2 = Fungsi tujuan : pendapatan maksimum Z = f(x, y)= 4000 x + 1600 y…. mz = Karena maka nilai maksimum ada pada titik potong dua garis fungsi kendala 3x + y = 400 2x + y = 300 _ x = 100 y = 100 Z = f (100,100) = 4000(100) + 1600 (100) = 560.000 Jadi, pendapatan maksimum 560.000 ……….(C) 12. UN 2011 PAKET 12 Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Teblet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,00 per biji dan tablet II Rp8.000,00 per biji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah … a. Rp12.000,00 b. Rp14.000,00 c. Rp16.000,00 d. Rp18.000,00 e. Rp20.000,00 Jawab : e Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Vitamin Tablet I (x) Tablet II (y) Kebutuhan A 5 10 25 B 3 1 5 Harga 4.000 8.000 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: 5x + 10y 25 ……… m1 = 3x + y 5…………… m2 = Fungsi tujuan : pengeluaran minimum Z = f(x, y) = 4.000 x + 8.000y mz = Karena maka nilai minimum ada pada titik potong garis dengan sumbu X 5x + 10y = 25… memotong sumbu X y = 0 x = f (5,0) = 4.000(5) + 0 = 20.000 Jadi, pengeluaran minimum = 20.000 ……….(e)
SIAP UN IPA 2017 16. Program Linear http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 274 SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2011 PAKET 46 Di atas tanah seluas 1 hektar akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan tipe B luasnya 75m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga jual rumah tipe A adalah Rp100.000.000,00 dan rumah tipe B adalah Rp60.000.000. Supaya pendapatan dari hasil penjulana seluruh rumah maksimum, maka harus dibangun rumah sebanyak… a. 100 rumah tipe A saja b. 125 rumah tipe A saja c. 100 rumah tipe B saja d. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B e. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B Jawab : a Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini A (x) B (y) Kapasitas Jumlah 1 1 125 Luas (m2 ) 100 75 10.000 Harga 100 jt 60 jt Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: x + y ≤ 125 ………….. m1 = 100x +75y ≤10.000…… m2 = Fungsi tujuan : pendapatan maksimum Z = f(x, y) = 100jt x + 60 jt y mz = Karena maka nilai maksimum ada pada titik potong garis dengan sumbu X 100x +75y = 10.000… memotong sb X y = 0 x = Nilai maksimum diperoleh saat membangun 100 rumah tipe A saja ………..(a) 14. UN 2010 PAKET A Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 perunit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus di buat? a. 6 jenis I b. 12 jenis II c. 6 jenis I dan jenis II d. 3 jenis I dan 9 jenis II e. 9 jenis I dan 3 jenis II Jawab : e Cerita di samping dapat diringkas dalam sebuah tabel seperti di bawah ini Unsur Barang I (x) Barang II (y) Tujuan (maks) ≤ A 1 3 18 B 2 2 24 Harga 250.000 400.000 Sistem pertidaksamaan fungsi kendala adalah: x + 3y ≤ 18 ……….. m1 = 2x + 2y ≤ 24 …….... m2 = Fungsi tujuan : penjualan maksimum Z = f(x, y) = 250.000 x + 400.000y mz = Karena maka nilai maksimum ada pada titik potong garis dan x + 3y = 18 x + y = 12 _ 2y = 6 y = 3, maka x = 9 nilai maksimum diperoleh pada saat produksi 9 jenis I dan 3 jenis II ………………………..(e)
275Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN 17. MATRIKS A. Transpose Matriks Jika A = , maka transpose matriks A adalah AT = B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak Jika A = , dan B = , maka A + B = + = C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n Jika A = , maka nA = n = D. Perkalian Dua Buah Matriks Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Am×n× Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q. Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B. Jika A = , dan B = , maka A × B = × = E. Matriks Identitas (I) I = Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A F. Determinan Matriks berordo 2×2 Jika A = , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = = ad – bc Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar 1. det (A ± B) = det(A) ± det(B) 2. det(AB) = det(A) det(B) 3. det(AT ) = det(A) 4. det (A–1 ) = c d a b b d a c c d a b m n k l c d a b m n k l c m d n a k b l c d a b c d a b cn dn an bn c d a b n o p k l m c d a b n o p k l m ck dn cl do cm dp ak bn al bo am bp 0 1 1 0 c d a b c d a b det( ) 1 A
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 276 G. Invers Matriks Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah invers matriks B atau B adalah invers matriks A. Bila matriks A = , maka invers A adalah: , ad – bc ≠ 0 Sifat–sifat invers dan determinan matriks 1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1 2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1 H. Matriks Singular matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol I. Persamaan Matriks Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut: 1) A × X = B X = A–1 × B 2) X × A = B X = B × A–1 SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2016 Jika dan memenuhi persamaan matriks . / . / . / . / Nilai adalah ... A. -30 B. -23 C. -17 D. 9 E. 15 Jawab : C . / . / . / . /. . / . / . / . / . / Dari kesamaan di atas diperoleh : ( ) . Jadi, ( ) c d a b c a d b ad bc 1 Adj(A) Det(A) 1 A 1
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 277 SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2016 Diketahui persamaan matriks . / . / . / . /. Nilai A. -9 B. -7 C. -4 D. 8 E. 11 Jawab : E . / . / . / . /. . / . / . / . / . / ( ) Dari kesamaan di atas diperoleh : . . . Jadi, ( ) .............(E) 3. UN 2016 Diketahui persamaan matriks : . / . / dengan matriks berordo 2 x 2. Determinan matriks adalah ... A. -14 B. -16 C. -24 D. -26 E. -36 Jawab : D . / . /. ( ) ( ) ( ) ( ) .................(D) 4. UN 2016 Diketahui persamaan matriks : . / . /. Determinan matriks adalah ... A. 1 B. 7 C. -1 D. -2 E. -7 Jawab : A . / . /. ( ) ( ) ( ) ( ) .................(A)
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 278 SOAL PENYELESAIAN 5. UN 2016 Diketahui persamaan matriks : . / . /, dengan matriks berordo 2 × 2. Determinan matriks X adalah ... A. 13 B. 28 C. 37 D. 53 E. 71 Jawab : A . / . / . ( ) ( ) ( ) ( ) .........................(A) 6. UN 2015 Diketahui matriks . / ( ) dan . /. Jika , maka A. 15 B. 21 C. 22 D. 27 E. 29 Jawab : B . / ( ) . / ( ) . / Dari kesamaan di atas diperoleh: i) ii) iii) Jadi, ……(B) 7. UN 2014 Diketahui matriks ( ), . /, dan . /. Jika A +3Bt = C dan Bt adalah transpose matriks B, nilai dari x + y = … A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5 Jawab : E . / . / A +3Bt = C ( ) . / . / ( ) . / . / ( ) . / ( ) . / dari kesamaan di atas diperoleh: i) = 12 . ii) ( ) …… ingat . . …………..(E)
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 279 SOAL PENYELESAIAN 8. UN 2014 Diketahui matriks . /, . /, dan . /. Jika BT adalah transpose dari matriks B, dan A + BT – . /, maka nilai adalah … A. 8 B. 9 C. 11 D. 14 E. 17 Jawab : E . / . / . / . / . / . / . /. . / . /. dari kesamaan di atas diperoleh: i) ii) . iii) . iv) . ……………….(E) 9. UN 2014 Diketahui . / . / . /. Nilai dari A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 8 Jawab : D . / . / . /. . / . / . /. . / . / . /. . /. . /. Dari kesamaan di atas diketahui: i) ii) . ( ) ……(D)
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 280 SOAL PENYELESAIAN 10. UN 2013 Diketahui matriks A =. / , B = . /, dan C = . /. Jika A + B = C, nilai … A. –6 B. –3 C. –2 D. 1 E. 2 Jawab : B A + B = C . / + . / = . / . / = . / Dari data di atas di peroleh: 3a + 2 = 5 3a = 5 – 2 = 3 a = 1 –2 – 2b = 6 2b = –2 – 6 = –8 b = –4 a + b = 1 – 4 = –3…………..……….(B) 11. UN 2013 Diketahui matriks A =. / , B = ( ), dan C = . /. Jika A – B = C, maka … A. 15 B. 21 C. 22 D. 27 E. 29 Jawab : B A – B = C . / – ( ) = . / ( ) = . / ( ) = . / Dari data di atas di peroleh: z = 3 6 – y = 1 y = 6 – 1 = 5 x – 14 = – 1 x = – 1 + 14 = 13 x + y + z = 13 + 5 + 3 = 21…………….(B) 12. UN 2013 Diketahui matriks A =. / , B = . /, dan C = . /, dan AB = C. Nilai … A. –6 B. –5 C. –1 D. 1 E. 5 Jawab : C AB = C . / . / = . / . / = . / Dari data di atas di peroleh: a – 4 = –2 a = –2 + 4 = 2 3 + 2b = –3 2b = –3 – 3 = –6 b = –3 a + b = 2 – 3 = –1…………………….(C)
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 281 SOAL PENYELESAIAN 13. UN 2013 Diketahui matriks A =. / , B = . /, dan C = . /. Jika AB = C, nilai … A. 2 B. 4 C. 7 D. 9 E. 16 Jawab : B AB = C . / . / = . / . / = . / Dari data di atas di peroleh: 2a + 2a = 12 4a = 12 a = 3 4b = 4 b = 1 a + b = 3 + 1 = 4…………….(B) 14. UN 2013 Diketahui matriks A =. / , B = . /, dan C = . /. Jika AB = C. Nilai … A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11 Jawab : C AB = C . / . / = . / . / = . / Dari data di atas di peroleh: 3 – a = 1 a = 3 – 1 = 2 a + b = 4 2 + b = 4 b = 4 – 2 = 2 2b – 1 = c 2(2) – 1 = c 4 – 1 = c c = 3 a + b + c = 2 + 2 + 3 = 7…………….(C) 15. UN 2012/B25 Diketahui matriks A = 5 1 3 y , B = 3 6 x 5 , dan C = 9 3 1 y . Jika A + B – C = 4 8 5 x x , maka nilai x + 2xy + y adalah ... A. 8 B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 Jawab : E A + B – C = 5 1 3 y + 3 6 x 5 – 9 3 1 y = 5 3 1 6 9 3 3 5 1 y x y 4 8 5 x x = 2 4 6 6 y x y dari kesamaan di atas diperoleh: 6 + x = 8 x = 2 5x = y + 6 5(2) = y + 6 y = 4 jadi, x + 2xy + y = 2 + 2(2)(4) + 4 = 22 ……………………….(E)
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 282 SOAL PENYELESAIAN 16. UN 2011 PAKET 12 Diketahui persamaan matriks 0 1 2 1 1 0 9 4 5 2 x x y . Nilai x – y = … a. 2 5 b. 2 15 c. 2 19 d. 2 22 e. 2 23 Jawab : e karena hasil kalinya matriks identitas, maka : 0 1 2 1 1 0 9 4 5 2 x x y A B = I B = A– 1 A – 1 = 9 5 4 2 20 18 1 = 9 5 4 2 2 1 = 2 5 2 9 2 1 Sehingga: x x y 2 1 2 5 2 9 2 1 x + y = 2 5 y = 2 5 – x = 2 5 – 2 9 = 2 14 = – 7 Jadi, x – y = 2 9 – (–7) = 2 9 +7 = 2 23 …………………………(e) 17. UN 2011 PAKET 46 Diketahui matriks A = 3 5 1 2 dan B = 1 4 3 2 . Jika At adalah transpose dari matriks A dan AX = B + At , maka determinan matriks X = … a. 46 b. 33 c. 27 d. –33 e. –46 Jawab : b C = B + At = 1 4 3 2 + 2 5 1 3 = 3 9 4 1 det(C) = 4(9) – (3)(1) = 33 det(A) = 1(5) – 3(2) = –1 A X = C X = A–1C det(X) = det( ) 1 A det(C) = det( ) det( ) A C = 1 33 = –33 …………..(b) Diperoleh : x = 2 9 dan x + y = 2 5
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 283 SOAL PENYELESAIAN 18. UN 2011 PAKET 12 Diketahui matriks A = 0 5 3 2 dan B = 17 0 3 1 . Jika AT = transpose matriks A dan AX = B + AT , maka determinan matriks X = … a. –5 b. –1 c. 1 d. 5 e. 8 Jawab : b C = B + AT = 17 0 3 1 + 2 5 3 0 = 15 5 0 1 det(C) = 0(5) – (–15)(–1) = – 15 det(A) = 3(5) – 0(2) = 15 A X = C X = A–1C det(X) = det( ) 1 A det(C) = det( ) det( ) A C = 15 15 = –1 …………..(b) 19. UN 2010 PAKET B Diketahui matriks–matriks A = 1 0 c 2 , B = 5 6 4 b a , C = 0 2 1 3 , dan D = 2 3 4 b . Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = … a. –6 b. –2 c. 0 d. 1 e. 8 Jawab : c CD = 0 2 1 3 2 3 4 b = 0(4) 2( 2) 0( ) 2(3) 1(4) 3( 2) 1( ) 3(3) b b = 4 6 10 9 b 2A – B = CD 2 1 0 c 2 – 5 6 4 b a = 4 6 10 9 b 2 5 0 6 2 4 4 b c a = 4 6 10 9 b Dari kesamaan di atas diketahui: i) –2c – 4 = –10 c + 2 = 5 c = 3 ii) 2 – b – 5 = –4 b = 2 – 5 + 4 = 1 iii) 4 – a = 9 – b 4 – a = 9 – 1 a = 4 – 8 = –4 a + b + c = –4 + 1 + 3 = 0 …………..(c)
SIAP UN IPA2017 17. Matriks http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 284 SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2010 PAKET A Diketahui matriks A = 5 3 9 6 1 3 4 8 4 c b a dan B = 5 9 6 1 3 12 8 4 b a Jika A = B, maka a + b + c = … a. –7 b. –5 c. –1 d. 5 e. 7 Jawab : e A = B 5 3 9 6 1 3 4 8 4 c b a = 5 9 6 1 3 12 8 4 b a Dari kesamaan di atas diketahui: 4a = 12 a = 3 –3b = –3a b = a = 3 3c = b = 3 c = 1 a + b + c = 3 + 3 + 1 = 7 ……………….(e)
285Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e–book LATIH UN 18. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah = b – a 2. Sudut antara dua vektor adalah 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar 1. Komponen dan panjang vektor: a = = a1i + a2j + a3k; |a| = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real: a b = = ; ka = k = SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2013 Diketahui vektor ⃗ , ⃗ , dan . Hasil dari ⃗⃗⃗⃗ ⃗ adalah … A. B. C. D. E. Jawab : D ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = = = = ……....(D) AB 3 2 1 a a a 2 3 2 2 2 1 a a a 3 2 1 a a a 3 2 1 b b b 3 3 2 2 1 1 a b a b a b 3 2 1 a a a 3 2 1 ka ka ka 3 2 4 2 1 3 3 1 3 2 2 3 2 4 6 3 9 2 6 4 2 6 3 6 3 2 4 9 4 11 11 9
SIAP UN IPA2017 18. Vektor http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 286 SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2013 Diketahui vektor ⃗ , ⃗ , dan . Vektor yang mewakili ⃗ A. B. C. D. E. Jawab : B ⃗ = = = = …………(B) 3. UN 2013 Diketahui ⃗ , ⃗ , dan ⃗ . Vektor ⃗ ⃗ adalah … A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) E. ( ) Jawab : B ⃗ ⃗ = = = = = ……………(B) 2 1 0 3 0 2 3 1 2 3 2 2 1 0 9 0 6 2 4 6 2 9 2 4 0 1 6 6 0 9 3 0 7 0 9 3 4 5 3 0 1 2 2 7 0 9 9 12 15 0 2 4 0 9 7 2 12 0 4 15 9 2 14 2 1 7 1 2 1
SIAP UN IPA2017 18. Vektor http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 287 C. Pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat (searah jarum jam positif) (1) (2) (3) P membagi AB di dalam P membagi AB di luar P membagi AB di luar = = = D. Dot Product Apabila diketahui a = dan b = , maka: 1. a· b = |a| |b| cos = a1b1 + a2b2 + a3b3 2. a· a = |a| 2 = a1a1 + a2a2 + a3a3 3. |a + b| 2 = |a| 2 + |b| 2 + 2|a||b| cos = |a| 2 + |b| 2 + 2 a· b 4. |a – b| 2 = |a| 2 + |b| 2 – 2|a||b| cos = |a| 2 + |b| 2 – 2 a· b 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a· b = 0 SOAL PENYELESAIAN 1. UN 2015 Diketahui vektor–vektor ⃗ , ⃗ , ⃗ . Jika ( ) tegak lurus terhadap vektor maka nilai adalah … A. ⃗ B. ⃗ C. ⃗ D. ⃗ E. ⃗ Jawab : A ⃗ ( ) ( ) ( ) Vektor ⃗ dan akan tegak lurus jika ⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ………… (A) n m PB AP n m PB AP n m PB AP p m n mb na p m n mb na p m n mb na 3 2 1 a a a 3 2 1 b b b A B P P A B B A P m n m n m n
SIAP UN IPA2017 18. Vektor http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 288 SOAL PENYELESAIAN 2. UN 2015 Diketahui vektor–vektor ⃗ , ⃗ ⃗ dan vektor ⃗ . Jika ( ⃗ ) tegak lurus terhadap vektor maka nilai ⃗ adalah … A. ⃗ B. ⃗ C. ⃗ D. ⃗ E. ⃗ Jawab : D ⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) Vektor ⃗ dan akan tegak lurus jika ⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Sehingga ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ) ( ) ………. (D) 3. UN 2015 Diketahui vektor–vektor ⃗ , ⃗ ⃗ , ⃗ . Jika vektor tegak lurus terhadap vektor ⃗ hasil ⃗ adalah … A. ⃗ B. ⃗ C. ⃗ D. ⃗ E. ⃗ Jawab : B Vektor dan ⃗ akan tegak lurus jika ⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() Sehingga ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )…………..….(B)
SIAP UN IPA2017 18. Vektor http://www.soalmatematik.com Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book LATIH UN 289 SOAL PENYELESAIAN 4. UN 2014 Diketahui vektor ( ), ( ), dan ( ). Vektor tegak lurus hasil dari … A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) E. ( ) Jawab : D tegak lurus sehingga ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )() ( ) Dengan demikian ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi , nilai dari ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) …………..(D) 5. UN 2014 Diketahui vektor-vektor ( ), ⃗ ( ), dan ( ). Jika tegak lurus ⃗ , hasil dari ⃗ … A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) E. ( ) Jawab : A tegak lurus ⃗ sehingga ⃗ ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( ) Dengan demikian ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi , nilai dari ⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) …………..(A)