Физика 10 класс

АРМАН-ПВ баспасы Қаз­ ақс­ тан Рес­пуб­ли­ка­сы Бі­лім және ғыл­ ым мин­ ис­ т­рліг­ і ұсынған

Н.А. Закирова
Р. Р. Аширов

ФИЗИКА
Жал­пы бі­лім бер­ ет­ ін мек­тепт­ ің
жа­ра­тыл­ ыс­ тан­ у-ма­тем­ ат­ и­кал­ ық
бағ­ ы­тын­ дағы 10-сын­ ы­бы­на ар­налғ­ ан оқул­ ық

10

ӘОЖ 373.167.1
ҚБЖ 22.3.я72
З-16
АРМАН-ПВ баспасы
Закирова Н.А., Аширов Р.Р.
З-16 Физика: жал­пы бі­лім бер­ ет­ ін мек­теп­тің жар­ а­ты­лы­ста­ну-ма­тем­ а­ти­ка­лық
ба­ғы­ты­ндағы 10-сы­ны­бы­на ар­нал­ған оқул­ ық. Н.А.За­кир­ ов­ а, Р.Р.Аши­ров –
Нұр-Сұлтан: «Арм­ ан-ПВ» бас­па­сы, 2019. – 336 б.

ISBN 978-601-318-230-8

ӘОЖ 373.167.1
ҚБЖ 22.3.я72

«Фи­зик­ а» оқул­ ы­ғы жал­пы біл­ ім бе­рет­ ін мек­теп­тің жаратылыст­ ану-
математикалық бағ­ ы­ты­ндағы 10-сы­ны­бын­ а ар­нал­ған жаңартылған мазмұндағы
үлгілік оқу бағ­дарл­ а­ма­сы­на сəйкес жазылды. Мат­ ер­ иа­ л­дар­ды мазм­ ұнд­ ау­да
оқы­туд­ ың ғы­лы­ми ұс­та­ным­да­ры мен оқу­шы­лард­ ың жас ерекш­ е­лік­те­рі ес­ке­
ріл­ген.

© Закирова Н.А.,

Аширов Р.Р., 2019

ISBN 978-601-318-230-8 © «Арм­ ан-ПВ» бас­па­сы, 2019

Бар­лық құ­қы­ғы қор­ғал­ған. Бас­па­ның рұқс­ а­тын­сыз кө­шір­ іп ба­суғ­ а болм­ ай­ды.

Шартт­ ы белг­ іл­ ер

Анықтамалар
АРМАН-ПВ баспасы
Бақылау сұрақтары
Теориялық материал бойынша өзін тексеруге арналған сұрақтар

Жаттығу 1

Сыныпта орындалатын жаттығулар

Эксперименттік тапсырмалар
Зерттеу жұмыстарына арналған тапсырмалар

Шығармашылық тапсырма
Шығармашылық деңгейдегі тапсырмалар

Жауабы қандай? Маңызды ақпарат
Физикалық құбылыстардың мәнін Жаратылыстану ғылымдарынан
түсіндіруді талап ететін сұрақтар ақпарат

Тапсырма Естеріңе түсіріңдер!
Сыныпта орындалатын Меңгерілген материалды
тапсырм­ алар қайта­лауға арналған тапсырмалар

Өз тәжірибең Назар аударыңдар!
Сыныпта орындалатын Жаттығуды орындау кезінде
эксперим­ ент­тік тапсырмалар қиын­дық тудыратын оқу материалы

Бұл қызық! Есте сақтаңдар!
Тақырыпқа қатысты қосымша Жадынама
ақпараттар

Назар аудар
Электронды қосымша жүктелген CD қолжетімсіз болған жағдайда,

қосымшаны arman-pv.kz сайтынан тауып, өз компьютеріңе жүктеп
алуыңа болады

3

АРМАН-ПВ баспасы Алғ­ ы сөз

Бал­ а­лар, бұған дейін фи­зи­ка­ны оқу арқ­ ы­лы сен­дер ме­хан­ и­кал­ ық, жыл­ ул­ ық,
электро­ маг­нит­тік құб­ ы­лыс­тар­мен, атом мен ядр­ он­ ың құ­ры­лыс­ ы­мен та­ныс бол­
дың­дар. Не­гіз­гі мек­тепт­ ің фи­зи­ка кур­сын­да оның не­гізг­ і бөл­ імд­ ер­ і­мен тан­ ыс­ уд­ ы
аяқ­тад­ ың­дар. 10-сы­нып­қ­­ а арн­ алғ­ ан осы фи­зик­ а оқу­лығ­ ын па­рақт­ ап қар­ ас­ аңд­ ар,
жоғ­ арғ­ ы сын­ ыпт­ а мех­ ан­ ик­ ан­ ы, мо­ле­кул­ а­лық физ­ ик­ а­ны, электр­ один­ а­ми­кан­ ы әрі
қар­ ай оқит­ ынд­ ар­ ыңд­ ы байқ­ айс­ ыңд­ ар. Оқуд­ ы одан әрі жоғ­ арғ­ ы оқу орынд­ ар­ ынд­ а
жалғ­ аст­ ырғ­ анд­ а да сенд­ ер фи­зик­ ан­ ың осы бөл­ імд­ е­рін қар­ аст­ ыр­ а­сыңд­ ар. Бұл  –
физ­ ик­ а ғыл­ ы­мын оқып-зертт­ еу­дің ерекш­ ел­ і­гі.

Физ­ ик­ а зертт­ ейті­н әрб­ ір құб­ ыл­ ыс таб­ иғ­ атт­ ың басқ­ а құ­был­ ыс­тар­ ы­мен үзд­ ікс­ із
байл­ аныст­ а бол­ ад­ ы. Қорш­ ағ­ ан орт­ ад­ а тек ме­хан­ ик­ ал­ ық, жыл­ ул­ ық нем­ ес­ е электромаг­
нитт­ ік құб­ ыл­ ыст­ ар ғана болм­ айд­ ы, әлем бірт­ ұт­ ас. Ғы­лым­ и дүн­ ие­ та­нымн­ ың бір­ ыңғ­ ай
тұт­ аст­ ай көр­ ін­ іс­ ін қал­ ыпт­ аст­ ыр­ у үшін біз оның жек­ ел­ е­ген көр­ ін­ іст­ ер­ ін қар­ аст­ ыр­ а­тын
бол­ ам­ ыз.

Таб­ иғ­ ат құб­ ыл­ ыс­тар­ ын зертт­ еу нә­тиж­ ес­ ін­де жыл­ ул­ ық жә­не опт­ ик­ а­лық құ­бы­
лыст­ ар, ден­ ел­ ер­дің өзар­ а серп­ імд­ і әрек­ етт­ ес­ уін­ ен де­не­ні құр­ айт­ ын зар­ ядт­ алғ­ ан бөл­
шек­тер­дің өзар­ а әрек­ етт­ е­суі туы­ нд­ айт­ ын­ ы белг­ і­лі болғ­ ан. Электром­ аг­нитт­ ік өзар­ а
әрек­ етт­ е­су заңд­ ар­ ын білм­ ест­ ен, мех­ ан­ ик­ ал­ ық, жыл­ ул­ ық жә­не опт­ ик­ ал­ ық құб­ ыл­ ыс­
тард­ ы соң­ ын­ а дейі­н түс­ ін­ у мүмк­ ін емес. Мех­ ан­ и­кан­ ың көп­тег­ ен заңд­ ар­ ы мен тең­
деу­лер­ ін микр­ оә­лемг­ е қолд­ ан­ уғ­ а бо­ла­тын­дығ­ ы таңғ­ аж­ ай­ып сия­ қт­ ы көр­ ін­ е­ді. Электр
жә­не магн­ ит өріс­ інд­ егі зар­ ядт­ алғ­ ан бөлш­ ек­терд­ ің үдеуі Ньют­ онн­ ың екінш­ і заң­ ын
қолдану арқылы анықт­ ала­ды. Ки­нем­ а­тик­ ан­ ың қозғ­ ал­ ыс теңд­ еуі олард­ ың жылд­ ам­
дықт­ ар­ ы мен орын ауы­ ст­ ыр­ улар­ын анықтау үшін қолданылады.

Сон­ ым­ ен, нег­ ізг­ і мек­тепт­ ің физ­ ик­ а кур­сынд­ а тан­ ысқ­ ан фи­зик­ а құб­ ыл­ ыст­ ар­ ы
шын­ айы құб­ ыл­ ыст­ ард­ ың жал­пыл­ ам­ а үл­гі­сінд­ е жас­ алғ­ ан, сонд­ ық­тан олар әрі қар­ ай
егж­ ей-тегж­ ейл­ і нақт­ ыл­ ау­ды­қаж­ ет ете­ді. Жоғ­ ары­ сын­ ып пен жоғ­ арғ­ ы оқу орн­ ынд­ а­ғы
физ­ ик­ а курс­ ынд­ а физ­ ик­ ан­ ың сол бөл­ імд­ ер­ і тер­ еңд­ ет­ іл­ е оқыт­ ыл­ ад­ ы.

Іс жүз­ інд­ е физ­ ик­ ан­ ың бар­лық заңд­ а­ры ма­тем­ а­тик­ а тіл­ інд­ е бер­ і­лед­ і, сон­дықт­ ан
олар күр­дел­ і бо­лад­ ы. Мат­ ем­ а­тик­ а тіл­ ін­ ің күрд­ ел­ іл­ іг­ і мен байл­ ығ­ ы таб­ иғ­ ат құб­ ы­
лыст­ ар­ ын­ ың мо­дельд­ ер­ ін бар­ ынш­ а шын­ айы құ­был­ ыст­ арғ­ а жақ­ ынд­ ат­ уға мүмкіндік
береді. Бұл – физ­ ик­ а құб­ ыл­ ыст­ ар­ ын тағы қайтара зерттеудің бір себ­ еб­ і.

Оқу­лықт­ ың әр пар­ агр­ афы­ ның соң­ ын­ а бақ­ ыл­ ау және «жауабы қандай?» сұр­ ақт­ ар­ ы
мен есепт­ еу тапс­ ыр­мал­ ар­ ы берілген. Физ­ ик­ ал­ ық құб­ ыл­ ыс­тар­ды тер­ ең танып-біл­ у үшін
есеп­ жин­ ақт­ ар­ ын қос­ ымш­ а қолд­ ан­ у қаж­ ет. Оқу­лық­та сон­ ы­мен қа­тар, үйг­ е арн­ алғ­ ан
эксперименттік жә­не шы­ғарм­ аш­ ыл­ ық тапс­ ыр­ма­лар берілген.

Зертх­ ан­ а­лық жұм­ ыст­ ар­ды, кест­ е­лік шам­ ал­ ард­ ы, жатт­ ығ­ у­лар­дың жауа­ пт­ ар­ ын
оқу­лықтың соң­ ын­ дағы қосымшадан таб­ а алас­ ыңд­ ар.

Физиканы оқып-үйрену – өзім­ із өмір сүр­ ет­ ін әлемд­ і та­ну. Осы қызықты пәнді
игеруде сәтт­ ілік тілейміз!

Ав­тор­лар

4

АРМАН-ПМВЕХ ­АбНаИКсАпасы1«Ме­ха­ни­ка» (μηχανική) сө­зі ежелгі грек тіл­ і­нен ау­дарғ­ан­да – «құрылғыларды
жасау өнері» дег­ ен­ді білд­ ір­ ед­ і. Физ­ и­ка­ның бөл­ і­мі ре­тін­де «мех­ а­ни­каның»
мағ­ын­ асы ке­ңі­рек.
Мех­ а­ник­ а  – ма­те­рия­ лық ден­ е­лерд­ ің ме­ха­ник­ ал­ ық қоз­ғал­ ы­сы мен
олар­дың өза­ра әрек­ ет­те­суі ту­ра­лы ғы­лым.
Оқул­ ықт­ ың осы бөлімінде мех­ а­ни­ка­ның: кин­ ем­ ат­ и­ка, ди­на­мик­ а, ста­ти­ка,
сақт­ а­лу заң­дар­ ы, аэро­дин­ а­мик­ а және гид­ро­дин­ а­мик­ а тарауларының бір­
қа­тар мәс­ ел­ е­ле­рі қа­рас­тыр­ ы­ла­ды.

1-ТАРАУ

КИН­ Е­МАТ­ ИК­ А

Кинематика (κινειν – қозғалыс сөзінен шыққан) – денелердің массасын
және әсер етуші күштерін ескермей, олардың қозғалыс заңдылықтарын
сипаттайтын механика бөлімі.
Ки­не­мат­ ик­ а қоз­ға­лыст­ ағ­ ы нысанның қа­си­етт­ ер­ ін­ е тәу­елс­ із, мынадай бө­
лімд­ е­рге жік­те­ле­ді: нүк­те кин­ ем­ ат­ ик­ а­сы, қатт­ ы де­не кин­ ем­ ат­ ик­ ас­ ы жән­ е
үне­мі өз­ге­рет­ ін ор­тал­ ар  – де­фор­ма­ция­ла­на­тын қат­ты де­не, сұйы­ қ­тар мен
газд­ ар кин­ ем­ ат­ и­ка­сы. Кин­ ем­ ат­ и­ка­да қоз­ға­лыс­ты жік­теу, олар­ды қан­дай да
бір белг­ і­лер­ і бой­ын­ша түрл­ ер­ге бө­лу жүрг­ із­ і­ле­ді.

Тарауды оқып-бі­лу ар­қыл­ ы сен­дер:
• фи­зи­кан­ ың қазіргі замандағы рө­лі ту­ра­лы пікірлеріңді біл­дір­ у­ді жә­

не оған дәлелдер келт­ і­руд­ і;
• жүйе­ лі жән­ е кезд­ ейс­ оқ қа­те­лер­ді ажыратуды;
• тәуе­ л­ді, тәуе­ л­сіз жән­ е тұр­ ақ­ты физ­ и­ка­лық ша­ма­лар­ды анықт­ ауд­ ы;
• физ­ ик­ а­лық шам­ а­лард­ ың өл­шеу дәлд­ і­гін­ ескере отырып, тә­жір­ и­бел­ ік

зерт­теу­лерд­ ің соң­ғы нәт­ иж­ ел­ ер­ ін жаз­ у­ды;
• ден­ ен­ ің тең­ үд­ ем­ ел­ і қозғ­ ал­ ы­сы кез­ інд­ е жыл­дамд­ ықт­ ың уа­қытқ­ а тә­

уе­ лд­ і­лік гра­фи­гін пай­да­ла­на отыр­ ып, орын ау­ыст­ ыр­ у фор­мул­ ас­ ын
қор­ ыт­ ып шығ­ а­руд­ ы;
• сандық жә­не гра­фи­ктік есептерді шешу­ ­де кин­ е­ма­ти­ка­лық тең­деу­
лер­ді пай­да­лан­ уд­ ы;
• инв­ а­риантт­ ық жә­не са­лыс­тырм­ а­лы фи­зик­ ал­ ық ша­мал­ ард­ ы ажырата
біл­ уд­ і;
• есепт­ ер­ шығ­ ар­уда орын ау­ыс­ты­ру мен жылд­ ам­дықт­ ард­ ы қо­су­дың
клас­сик­ ал­ ық заңд­ а­рын пайд­ а­лан­ уд­ ы;
• қис­ ықсы­зық­ты қоз­ғал­ ыс кез­ ін­де де­нен­ ің тан­генциалды, центр­ ге
тарт­қыш жә­не то­лық үдеул­ е­рін, траек­тор­ иян­ ың қис­ ықт­ ық ра­диусын
анық­тауд­ ы;
• көкж­ ие­ кк­ е бұр­ ыш жа­сай лақт­ ы­рыл­ған де­не­нің қозғ­ а­лыс­ ы ке­зін­де
кин­ е­ма­ти­ка­лық ша­ма­лард­ ы анықт­ ауд­ ы;
• көкж­ и­ек­ке бұр­ ыш жа­сай лақ­ты­рыл­ған ден­ е қоз­ға­лы­сын­ ың траек­то­
рия­сын зертт­ еу­ді үйр­ ен­ е­сіңд­ ер.

§ 1. Физ­ ик­ ан­ ың қаз­ ір­гі за­манд­ ағы рөл­ і

АРМАН-ПВ баспасыКүтілетін нәтиже: Ғыл­ ым мақс­ а­ты  – қоғ­ ам жә­не ке­леш­ ек
Осы параграфты игергенде: ұрп­ ақ үшін біл­ ім­ді артт­ ыр­ у мен сақт­ ау.
• қаз­ ір­гі за­манд­ ағы фи­зи­
Андр­ е Миш­ ель Ль­вов
ка­ның рөл­ і тур­ а­лы ойл­ а­
рың­ды білд­ ір­ іп, пі­кір­ I Қа­зірг­ і за­ман­дағы физ­ ик­ а
ле­рі­ңе дәй­ект­ е­мел­ ер Қаз­ ір­гі замандағы фи­зи­ка­ның рөл­ і өте маң­ ыз­ды.
келт­ і­ре ала­сың­дар.
Ол біз­ді қор­шағ­ ан ор­та тур­ а­лы ең маң­ ыз­ды біл­ ім көз­ і
1-тапсырма бо­лып та­бы­лад­ ы. Таб­ иғ­ ат құ­был­ ыст­ ар­ ын зертт­ еу фи­
1. Ин­терн­ ет же­лі­сін­де­гі зи­ка заң­дар­ ын­ ың ашыл­ уы­ на, техн­ ик­ ан­ ың жә­не таб­ и­
ғатт­ ы зертт­ ейт­ін басқ­ а да ғыл­ ымд­ ард­ ың дам­ уы­на
ма­те­риа­ л­дард­ ы пайд­ а­ алып келд­ і. Физ­ ик­ ан­ ың жә­не де басқ­ а да ғы­лымд­ ар­
ла­нып, жаң­ а ғыл­ ым­дар: дың то­ғыс­ уының нә­тиж­ ес­ ін­де зертт­ еуд­ ің жаң­ а бағ­ ыт­
хим­ иял­ ық физ­ ик­ а, тар­ ы: хим­ ия­лық физ­ ик­ а, геофиз­ ик­ а, аг­роф­ из­ ик­ а,
геофиз­ ик­ а, агр­ оф­ из­ ик­ а псих­ оф­ из­ ик­ а, биофи­зик­ а пайд­ а бол­ды (1-су­рет).
биофиз­ ик­ а, псих­ о­фи­
зи­ка қанд­ ай зертт­ еул­ ер
жүрг­і­зет­ інін анықт­ аңд­ ар.
2. Жа­ңа ғыл­ ымд­ ар ті­зі­мін
өзд­ е­рің біл­ ет­ ін жаң­ а
бағ­ытт­ армен то­лықт­ ы­
рыңд­ ар.

Жауабы қандай? 1-сур­ ет. Жү­рек­тің элект­ркардиог­рам­ма­сы
1. Қаз­ ірг­ і кез­ еңд­ е жар­ а­ты­
Ғы­лым ті­ке­лей өн­дір­гіш күш­ке ай­нал­ды. Кен­ді
лыс­ та­ну ғыл­ ымд­ ар­ ының Ал­тай­да қаз­ ір қа­зақс­ тан­дық «КАЗ­ЦИНК» комп­ а­
бір­ ікт­ і­рі­луінің себебі ния­сы жұ­мыс жасайды. Ком­па­ния аэро­ге­офи­зи­кал­ ық
неде? зертт­ еул­ ер үшін қай­та жаб­дықт­ а­лу­дан өткен, ұша
2. Нел­ ікт­ ен ғы­лым тік­ ел­ ей алатын зерт­ха­на­ға ай­нал­ған 5 орын­ды жең­ іл AS-350B
өн­дір­гіш күшк­ е айн­ алд­ ы? ті­кұ­ша­ғын қолд­ а­над­ ы (2-сур­ ет).

2-су­рет. Қаз­ ақ­стан­дық Фи­зи­ка­ның да­муы бізд­ ің қор­ша­ған ор­та ту­ра­лы
«КАЗ­ЦИНК» ком­па­нияс­ ы­ның түс­ і­ні­гіміз­ді тү­бег­ ей­лі өз­гер­тіп қа­на қойм­ ай, за­ма­
геофи­зи­кал­ ық зерт­теу­лер­ ге науи техн­ о­ло­гиялард­ ы қол­да­ну ар­қы­лы қоғ­ ам­ға ал­
ар­нал­ған ті­кұш­ ақ-зерт­ха­насы дыңғ­ ы қа­тарл­ ы өз­гер­ іс­тер алып кел­ді. За­ма­науи бай­
лан­ ыс құ­рал­да­ры­ның ар­қа­сын­да Жер бе­ті­нің бар­лық
тұр­ғын­да­ры бір­ ыңғ­ ай ақ­пар­ ат­тық кең­ іст­ ік­те өмір сү­
ру­де, жа­ңа тех­но­ло­гия­ларм­ ен ал­мас­ у жыл­дам іс­ке
асуд­ а. Ақп­ а­рат бас­ты құн­ды­лық­қа ай­нал­ уд­ а (3-су­
рет). Алайд­ а ғыл­ ым же­тіс­тік­те­рі қорш­ а­ған ор­та­мен
жа­ну­ар­лар әле­мі­не пай­да­сы­мен қа­тар зиян­ ын да ти­гі­
зуі мүмк­ ін. Адамн­ ың ой­лан­бай жасаған әре­кет­тер­ ін­ ің
таб­ и­ғат үшін орны толмас, кей­де тіп­ті жой­қын

6

АРМАН-ПВ баспасысал­да­ры бо­луы мүмк­ ін. Яд­рол­ ық энер­гиян­ ы пай­дал­ а­ 3-су­рет. Бір­тұ­тас­
ну, мик­роағз­ а­лар әсеріне төзімді затт­ ар­ды өн­дір­ у  ақп­ ар­ ат­тық өріс
экол­ о­гиял­ ық мә­се­лел­ ерг­ е алып кел­ е­тін адам іс-әрек­ е­
тіне мы­сал­ бо­ла алад­ ы. Адам­затт­ ың бо­лаш­ ақ тағд­ ы­ Жауабы қандай?
ры ғал­ ам­дық мә­се­лел­ ер­ді бір­лес­ е отыр­ ып шеш­ уг­ е 1. Неліктен әлем­
тәу­ел­ді. Жерг­ іл­ ік­ті деңг­ ейд­ е шеш­ ім қаб­ ыл­дау үшін
біз­дің планета ай­тарл­ ықт­ ай үлк­ ен бол­май шық­ты. нің мех­ ан­ ик­ ал­ ық
Адам­ның сан­ ас­ ы да өз­гер­ уі­ қа­жет: адам  – «та­би­ғат кө­рін­ іс­ і электро­ магн­ ит­
патш­ а­сы» емес, ол – та­биғ­ аттың бір бөлш­ е­гі. тік кө­рі­ніс­ ін­ ен бұр­ ын
қал­ ып­тас­қан?
II Фи­зи­ка  – қор­ша­ған ор­та ту­ра­лы 2. Әлемн­ ің мех­ а­ни­
білім көзі ка­лық кө­рі­ні­сін
қал­ ай елест­ е­те­сің­дер?
Физ­ ик­тер таб­ и­ғат құб­ ыл­ ыст­ ар­ ын зерт­теу бар­ ы­ Электр­омагн­ ит­тік
сын­да XVIII–XIX ға­сырл­ ард­ а әлемн­ ің ме­ха­ник­ ал­ ық кө­рі­ні­сін ше?
көр­ ін­ іс­ ін, XIX ғ. екін­ші жар­ты­сы  – XX  ғ. бас­ ынд­ а 3. Әлемн­ ің қа­зір­гі за­ман­
әлемн­ ің электро­магн­ ит­тік кө­рі­ніс­ і қал­ ып­таст­ ы. XX ғ. дағы көр­ і­ні­сінің үнемі
ба­сынд­ а ту­ынд­ а­ған Эйнш­тейн­нің са­лыст­ ырм­ ал­ ы­лық зерт­теу­лер­ді қа­жет
теор­ ия­сы ме­ха­ни­ка мен электр­ один­ ам­ и­ка заңд­ ар­ ы етуінің себебі неде?
арас­ ын­дағ­ ы қай­шы­лық­тард­ ы жойд­ ы. Ол класс­ ик­ ал­ ық
физ­ ик­ ан­ ың қал­ ыпт­ ас­ уын­ ың соңғ­ ы қадамы болд­ ы. 2-тапсырма
Осы кезде туы­ н­да­ған квантт­ ық тео­рия, ке­ріс­ ін­ше, ма­ 1. 1-кес­те­ні өздерің білетін
тер­ иян­ ы зертт­ еу­дің жаң­ а кез­ ең­ ін ашт­ ы, ол жаң­ ашыл,
тіпт­ ен басқ­ а­ша, қаз­ ірг­ і замандағы физ­ ик­ ан­ ың туы­ н­ физ­ ик­ а мен олар­ға
дауын­ ың бас­та­мас­ ы болд­ ы. XX ға­сырд­ ың ор­та­сы­нан байл­ а­ныс­ты техн­ и­ка
баст­ ап, әлемн­ ің қаз­ ірг­ і зам­ анғ­ ы физ­ ик­ ал­ ық көр­ ін­ і­сі бөлімдері және тех­ни­
қа­лыпт­ аст­ ы. ка­лық құр­ ылғы мысалда­
рымен тол­ ық­ты­рың­дар.
III Фи­зи­ка жә­не ғы­лы­ми-тех­ни­ка­лық 2. Кел­тір­ген мыс­ ал­да­
прог­ресс (ҒТП) рыңн­ ың не­гі­зін­де қа­зір­гі
за­ман­ғы физ­ ик­ а мен
Физ­ ик­ ан­ ың дам­ уы мен ғыл­ ым­ и-техн­ и­кал­ ық техн­ и­ка­ның рө­лі ту­рал­ ы
прог­ресс (ҒТП) өзар­ а бай­лан­ ыс­ты. Техн­ и­кан­ ың пі­кір­ле­рің­ді ай­тыңд­ ар.
да­муын­ ың не­гіз­ і  – физ­ ик­ а же­тіс­тікт­ ер­ і, ал тех­ни­
ка­ның деңг­ ейі­н көт­ е­ру арқ­ ы­лы жаң­ а прин­ципт­ ік Жауабы қандай?
зерт­теул­ ерд­ і жүрг­ із­ уг­ е жағд­ ай жас­ а­лад­ ы. Мыс­ ал Нел­ ікт­ ен ғы­лым­ и-техн­ и­
ре­тін­де ядр­ ол­ ық реак­торл­ ард­ а нем­ ес­ е зар­ ядт­ ал­ кал­ ық прог­рес­ті тоқ­та­ту
ған бөл­шектер­дің үдетк­ іш­терінде орынд­ ал­ ат­ ын мүмк­ ін емес?
маң­ ыз­ды зертт­ еул­ ерд­ і атап көр­се­ту­ге бол­ а­ды. Тех­
ни­ка­лық жаб­дық­та­лу күш­ ей­іп, жаң­ а тех­нол­ ог­ ия­ 7
лар жас­ ал­ ып жат­ ыр. ҒТП электр­ онд­ ық есепт­ еуі­ш
мәшинелер, қоғ­ амн­ ың тір­ші­ліг­ і­ мен ғыл­ ымн­ ың
әрт­ үр­лі сал­ асына енгізілген ав­том­ атт­ анды­рыл­ған
басқ­ ар­ у жүй­есі сияқты жаңа типті тех­ни­кан­ ы қол­
да­ну мә­се­ле­сін алд­ ыңғ­ ы қа­тарғ­ а шы­ғар­ды. Осы ма­
ңыз­ды сал­ а­лардың дам­ у­ынд­ ағ­ ы же­тіст­ ік­тер оның
күн­дел­ ік­ті қолд­ ан­ ылу нә­ти­жес­ і­не тік­ е­лей тәуе­ лд­ і
бол­ды. Қаз­ ірг­ і қоғ­ ам­да тех­ни­ка мен тех­ни­ка­лық
біл­ імн­ ің рөл­ і арт­ а түст­ і.

1-кест­ е. Фи­зи­кан­ ың техн­ и­кам­ ен бай­лан­ ы­сы Назар аударыңдар!

XX ғ. – ҒТП ға­сы­ры,
XXI ғ. – ақ­па­рат ға­сы­ры.
АРМАН-ПВ баспасыФиз­ ик­ а Т­ ех­ник­ а бө­лі­мі.
бөл­ і­мі­ Техн­ и­ка­лық құ­рыл­ғы

Ди­на­мик­ а Ға­рыштану.
Ға­рыш­тық жас­ анд­ ы Жер се­рікт­ ер­ і, ор­би­
талы­ қ стан­сылар, ға­рышт­ ық кем­ е­лер.

Аэрод­ ин­ а­ Авиац­ ия. Аэ­ропл­ ан, ұшақ­тар, тік­ ­ 3-тапсырма
мик­ а­ ұшақт­ ар.
1. Қаз­ ір­гі да­му кез­ ең­ ін­
Жыл­ у­лық Жыл­ у техн­ ик­ ас­ ы. дегі адамз­ ат ал­дын­да
құ­был­ ыст­ ар Жыл­ ул­ ық қозғ­ алт­қышт­ ар. ше­ші­мін кү­тіп тұрғ­ан
жаһандық мә­сел­ е­лер­ге
Электром­ аг­ Электр­ о­техн­ ик­ а. мыс­ ал­дар кел­тір­ ің­дер.
не­тизм Тел­ ег­раф, электрл­ ік жар­ ық­тағ­ ышт­ ар,
электрқ­ озғ­ алтқ­ ышт­ ар, электр ге­не­рат­ ор­ ы, 2. Осы мә­се­ле­лер­дің
те­ле­фон, мет­роп­ ол­ ит­ ен сы­зық­тар­ ы, ту­ынд­ ау се­бепт­ ер­ ін
зар­ яд­талғ­ ан бөл­шект­ ерд­ і үдетк­ ішт­ ер. көр­сет­ ің­дер.
­Мик­роэлектр­ он­ ик­ а. Рад­ иобайл­ а­ныс,
ра­дио басқ­ ар­ у, рад­ ио­ лок­ а­ция, те­лед­ и­дар, 3. Атал­ған мә­сел­ е­лер­ді
ЭЕМ, өн­ді­ріст­ ік ро­ботт­ ар. Ла­зер­лі ше­шу жол­да­рын ұсы­
техн­ ик­ а. ның­дар.

Опт­ и­ка Оп­тик­ а­лық құ­рал­дар.

Фо­то­ап­па­рат, те­леск­ оп, мик­роск­ оп. Жауабы қандай?

Ядр­ ол­ ық Ядр­ ол­ ық энерг­ ет­ ик­ а. 1. «Адам – та­би­ғат пат­
фи­зик­ а­ Ядр­ ол­ ық реак­тор, АЭС. ша­сы» ұғым­ ы қорш­ а­ған
орт­ а­ға не­ге зия­нын
тиг­ і­зу­де?
2. Адам не­ге та­биғ­ат­тың
IV Фи­зик­ а жән­ е адам мәд­ е­ниет­ і бө­лі­гі бол­ уы ке­рек? Ол
XXI ғ. адам­зат бар­лық елд­ ер мен ха­лық­тар үшін өзі­нің іс-әре­кет­ ін­де не­ні
өз­гер­туі қажет?
үл­кен маңызы бар ғал­ ам­дық мә­се­ле­лермен бет­пе-бет
кел­ді. Олардың қат­ а­ры­на дүн­ иежү­зіл­ ік мұх­ ит пен Жер 3. Нег­ е біз та­би­ғат
ат­мосф­ е­ра­сы­ның ла­стан­ уы, озонд­ ық қабатта те­сік­тің құб­ ыл­ ыст­ ар­ ын
зерт­тей оты­рып, қар­ а­
пай­да бол­ уы, күн сәул­ е­лерінің Жер биосф­ е­ра­сы­на әсе­ пай­ымд­ ал­ған үлг­ і­лер­ді
рі­нің ар­туы жат­ а­ды. Заманауи физика ға­лам­шар­лық (ма­те­ри­ялық нүк­те, ер­
ой­лау­ды қа­лыпт­ ас­тыр­ а­ды. Ой­лаудың сипаты жә­не кін түс­ у) пайд­ ал­ ан­ а­мыз,
сти­лін­ е әсер ете отыр­ ып, фи­зик­ а адамн­ ың бел­сен­ді бірқ­ ат­ ар шартт­ ард­ ы
өмірл­ ік ұст­ ан­ ы­мын­ а, адам сан­ ас­ ын­да өмір бойы әлем­ ен­гі­зе­міз (үй­ке­ліс күш­ і­нің,
ді та­нып-біл­ у ке­рек дег­ ен ой­қал­ ып­тас­тыр­ у­ға сеп­ті­гін ауа кед­ ерг­ і кү­шін­ ің жоқ
ти­гіз­ ед­ і. Кеш­ е­гі біл­ ім қаз­ ір­гі кезд­ е­гі кейбір мә­сел­ е­ бо­луы)?
4. Нел­ іктен әр адам үшін
лер­ді шеш­ е алм­ ай­ды. Фи­зик­ а ғыл­ ы­мы «тір­ еу нүкт­ е­ фи­зи­ка ғыл­ ымд­ ар­ ын біл­ у
ле­рі­нің» – ір­ге­лі заң­дар­ ы­ның бол­ у­ымен ерекш­ е­лен­ е­ді. ма­ңызд­ ы?
Мыс­ а­лы: бізд­ ің әлем­де бә­рі өз­гер­се де энерг­ ия­ның

сақ­та­лу заң­ ы орын­дал­ ад­ ы. Қаз­ ірг­ і заманғы физ­ и­ка­

дағы жаң­ алықтар оның ір­гел­ і заң­да­ры­на сүй­ене­ді.

Бізд­ ің біл­ і­мім­ із толыққан сай­ын, бір­тін­деп бірқ­ ат­ ар фи­зи­калық ұғымдардың

аражігі жой­ыла бас­тай­ды. Осылайша, «кор­пуск­ у­ла­лық» жә­не «тол­қын­дық» қозғ­ а­

лыстарды, зат пен өрісті жікке айыру жойыл­ ып ке­ле жат­ ыр. Эле­ментар бөлш­ ек­тер

үшін таб­ иғ­ и про­цес­тер  өзар­ а түрл­ е­ну бол­ ып таб­ ы­ла­ды. Та­би­ғат­та­ғы бар­лық жікке

8

бөлінушілік шарт­ты түр­де са­лыст­ ырм­ а­лы, қозғалмалы, олар біз­дің ақыл-ойымыздың
әлемд­ і та­нып-білудегі мүмк­ інд­ ік­ терін бейнелейді. Таб­ иғ­ ат құб­ ыл­ ы­сын зертт­ ей оты­
рып, біз таб­ и­ғат құб­ ы­лыс­тар­ ының қар­ апайы­ м­ үл­гіл­ ер­ ін жас­ айм­ ыз. Тан­ ым проц­ е­
сі – аб­со­лют­шын­дыққ­ а бір­тін­деп жақ­ ынд­ ау проц­ ес­ і. Бұл – бел­гі­лі нәрс­ елер­ге жаң­ а
фак­тіл­ ер­ді ме­ха­ни­кал­ ық түр­де қос­ у емес, жаң­ аның еск­ ін­ і тер­ іск­ е шы­ғар­ а отыр­ ып,
бұ­рын жин­ ақт­ алғ­ ан барлық сен­ імд­ і жә­не нег­ із­гі біл­ ім­ді жүй­елі түр­де жалп­ ыл­ ау про­
цес­ і. Біз­дің әлем ту­рал­ ы тү­сі­ні­гі­міз үз­дік­сіз тер­ ең­дет­ іл­ е­ді жә­не кең­ ейеді, мат­ ер­ ия­ лық
әлем­ді тан­ у проц­ ес­ і шек­сіз.

Әрбір мә­ден­ ие­ т­ті адам өзі өмір сүр­ іп жатқ­ ан әлем қал­ ай құр­ ыл­ға­нын елес­тет­ е
алуы ке­рек. Та­биғ­ атт­ ың біз­ді біл­ імс­ іздіг­ і­міз үшін жа­за­лағ­ а­нын көрс­ е­тет­ ін мыс­ алд­ ар
көп, со­лард­ ан саб­ ақ ала­тын уақ­ ыт кел­ді.

Та­биғ­ ат заң­да­рын біл­ у адамғ­ а күрделі мә­сел­ е­лерд­ ің ең тиі­мд­ і ше­ші­мін табуғ­ а
мүм­кінд­ ік бе­ре­ді. Біл­ імн­ ің қаж­ ет­тіл­ іг­ інің мә­ні – осы.­

Ба­қы­лау сұ­рақт­ ар­ ы

1. Қа­зір­гі зам­ ан­дағы физ­ ик­ а­ның рө­лі қан­дай?
2. Физ­ и­кад­ а әлемнің қанд­ ай көр­ і­ніст­ е­рі қа­лыпт­ асқ­ ан?
3. Заманауи фи­зи­ка мен класс­ и­ка­лық фи­зик­ а­ның ай­ыр­ма­шыл­ ығ­ ы неде?
4. Фи­зик­ а тех­ник­ ағ­ а қа­лай әсер етед­ і?
5. Та­ным проц­ е­сін­ ің мә­ні не­де?
АРМАН-ПВ баспасы
Жатт­ ы­ғу 1

1. Жұ­мыс іст­ еу тәр­тіб­ і рад­ иоак­тив­ті, электро­ маг­нитт­ ік тол­қынд­ ард­ ың,
ультра­ды­быст­ ар­дың, реак­тив­ті қозғ­ а­лыс­тард­ ың ашылуына не­гіз­делг­ ен
тех­ни­кал­ ық құ­рылғ­ ыл­ арғ­ а мы­сал­келт­ і­рің­дер.

2. Аст­ро­фи­зикт­ ер алыст­ а­ғы планета­лард­ ың құр­ а­мын қанд­ ай әдісп­ ен анық­
та­ғанын тү­сінд­ ір­ іңд­ ер.

3. Ашыл­ у мен оның қолданылуы арас­ ын­дағ­ ы сәйк­ ес­тік­ті көр­се­тің­дер:

Ашылулар Қолданылуы
Спектр­ ос­ко­пия Ав­то­матт­ ан­ды­рылғ­ ан басқ­ ар­ у жүйе­ сі
ДНҚ құр­ ыл­ ым­ ын­ ың мағ­ ы­на­сын ашу
Ультра­ды­быс Суас­ты нысандарын бақ­ ы­лау

Жа­рық­та­ну кез­ ін­де­гі жар­ты­лай өт­кіз­
гіш­тер­дің өтк­ ізг­ іш­тіг­ ін­ ің арт­ уы

Шы­ғарм­ а­шыл­ ық тап­сыр­ма

Ғал­ ым­дар тур­ ал­ ы хабарлам­ а дайы­ н­даң­дар (таңд­ ау бойы­ н­ша): Леон­ ард­ о
да Вин­чи, М.В.Лом­ о­но­сов, Ж.Л.Бюфф­ он, В.И.Вер­надск­ ий.

9

§ 2. Физ­ и­ка­лық шам­ а­лар­дың қат­ ел­ іктері.
Өл­шеу нәтиж­ елерін өңд­ еу
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Өлш­ еу түр­лер­ і.
Осы параграфты игергенде: Өл­шеу қат­ е­лік­те­рін­ ің себ­ еп­те­рі
• жүй­елі жә­не кезд­ ейс­ оқ
Фи­зик­ алық шам­ а­лард­ ы өл­шеу түрл­ е­рін тур­ а жә­не
қа­те­лер­ді ажырата жан­ ам­ а деп бөл­ е­ді. Тур­ а өлш­ еу ке­зін­де шам­ а­лард­ ың
ала­сың­дар; сандық­мән­дер­ і өл­шеу асп­ аб­ ы­ның шка­ла­сы­нан мәл­ і­
• тәуе­ л­ді, тәуе­ л­сіз жән­ е мет­тер тік­ ел­ ей алын­ ып жат­қан кез­де анық­талад­ ы.
тұр­ ақ­ты фи­зи­кал­ ық Егер із­де­лін­ іп жат­қан шам­ а тур­ а өлш­ еу арқ­ ыл­ ы
шам­ а­лар­ды анықт­ ай­ анық­талғ­ ан шам­ а­лар­ға қатысты форм­ ул­ а бо­йын­ша
сың­дар; есепт­ е­лін­ е­тін болс­ а, он­да өлш­ еу жан­ а­ма деп ата-
• физ­ и­кал­ ық ша­ма­лар­ды лад­ ы. Кез келг­ ен өлш­ еу­дің нә­тиж­ е­сі жу­ық бо­лып
өл­шеу дәлд­ іг­ і­не сәй­кес­ таб­ ы­лад­ ы. Өл­шеу дәл­ді­гі қат­ е­лікп­ ен си­пат­талад­ ы.
тен­дір­ іп, тә­жі­ри­бел­ ік
зерт­теу­лер­дің соң­ғы Өл­шеу қа­те­лі­гі - ша­ма­ның өл­шен­ген
нә­ти­жел­ е­рін жаз­ а мән­ і­нің оның нақт­ ы мә­ні­нен ау­ытқ­ уы­ .
ала­сың­дар.

1-тапсырма Өлш­ еу қа­те­ліг­ і­нің се­беп­те­ріне: өлш­ еу ас­па­бын­ ың
дәл­ді­гінің шектелуі; өлш­ еу ас­па­бын қол­да­нуд­ ың
1. Фи­зик­ а­лық ша­ма­лар­ды қалыпты жағдайын­ ан ауы­ т­қуы; тә­жір­ иб­ е жа­сау­
тур­ а жән­ е жан­ ам­ а шын­ ың әре­ке­ті,­ өлш­ ен­ ет­ ін ша­ма­лар­ды та­бу үшін
өл­шеуг­е мыс­ ал­дар қолд­ а­ныл­ а­тын заң­дар­дың жуы­ қ сип­ ат­ ы; тә­жір­ иб­ е
келт­ ір­ ің­дер. жүр­гіз­ у әдіс­ і­нің же­тіл­мег­ енд­ і­гі жатады.

2. Кел­тірг­ен мы­сал­да­рың­ Атал­ған себ­ еп­тер кезд­ ей­соқ нем­ ес­ е жүй­елі қа­те­
да­ғы өл­шеу қа­тел­ ікт­ е­ лік­тер­ге алып кел­ ед­ і.
рін­ ің не­гіз­гі себ­ епт­ ер­ ін
көрс­ е­тіңд­ ер. II Кезд­ ей­соқ жән­ е жүйе­ лі қат­ ел­ ік­тер

3. Кез­дейс­ оқ қа­тел­ ік­тер­дің Кез­дей­соқ қа­те­лік  – берілген шарттар-
себ­ еп­тер­ ін атаң­дар. ды өзгертпей, бір ша­ман­ ы бір­неш­ е рет
қай­талап өл­шеу ке­зін­де кез­дей­соқ түр­де
өзгеретін қат­ ел­ ік.

Есте сақтаңдар! Ол өл­шеу про­цес­ ін­ е әсер ете­тін көптеген басқа­
рыл­май­тын се­бепт­ ерден, мы­са­лы, жел­дің ле­бін­ ен,
Егер өлш­ еу кез­ ін­де сал­ ыс­ кер­неудің ке­нетт­ ен өз­гер­ уін­ ен ту­ын­дайд­ ы. Кезд­ ей­соқ
тыр­мал­ ы қат­ е­лік 10%-тен қат­ е­лік­тің әсе­рі тә­жі­ри­бен­ і көп рет қай­талау бар­ ы­
көп бол­са, онд­ а өл­шейт­ін сынд­ а азаюы мүмк­ ін.
шам­ ағ­ а ба­ғал­ ау жүрг­ і­зілд­ і
деп ай­тыл­ ад­ ы. Фи­зи­кал­ ық Жүйе­ лі қат­ ел­ ік  – бір ша­ман­ ы бір­неш­ е рет
практ­ ик­ ум зертханалар­ ынд­ а қайт­ алап өл­шеу кез­ інд­ е тұ­рақт­ ы бол­ ып қа­
са­лыст­ ырм­ а­лы қат­ е­ліг­ і лат­ ын не­ме­се уа­қыт өтуімен заңд­ ыл­ ық­қа
10%-ке дей­ін­гі өл­шеу­лер сәй­кес өзг­ ер­ е­тін қат­ е­лік.
жүр­гі­зу ұсы­ныл­ а­ды.

10

Жүйе­ лі қа­те­лік­ қай­талап өл­шеу арқ­ ыл­ ы жо­­ 2-тапсырма
йылмайды. Оны тү­зет­ улер енгізу не­мес­ е ­тә­жір­ и­бенің
жүргізілуін өз­гер­ту ар­қыл­ ы жояд­ ы. Қа­шықт­ ыққ­ а жүг­ір­ у жат­
тығ­уы кез­ ін­де же­ңіл атл­ ет
мына нә­тиж­ е­лер­ді көрс­ ет­ті:
11,5 с; 11,7 с; 12,0 с; 11,8 с;
11,2 с. Уақ­ ытт­ ың жуы­ қ мән­ ін
жән­ е абс­ о­лют қа­те­лі­гін
анық­таң­дар.
АРМАН-ПВ баспасыIII Шам­ ан­ ы бір­не­ше рет ту­ра өлш­ еу ке­зін­дег­ і
абс­ о­лют жә­не са­лыст­ ыр­ма­лы қа­тел­ ік

Абс­ о­лют қа­те­лікт­ і анық­тау үшін A физ­ ик­ ал­ ық

ша­ма­сын өлшеу шартт­ а­рын өз­ге­ртп­ ей, бірн­ еш­ е рет қай­

талап өл­шеу жүр­гі­зіл­ е­ді. Бұл жағ­дай­да өлш­ ен­ іп отырғ­ ан

ша­ма­ның Ажуы­ қ жу­ық мә­ні бар­лық өлш­ еу нәтижелерінің
арифм­ ет­ и­кал­ ық орт­ асы ре­тінд­ е анықталады:
A1 + A2 + ... + An
Ажуы­ қ = n .

Әр ΔAn өлш­ еу ке­зінд­ е кез­дей­соқ қат­ е­лікт­ і мына Есте сақтаңдар!
фор­мул­ амен анықт­ айд­ ы: ΔAn = |Ажу­ық – An|,
мұнд­ ағ­ ы n – өл­шеуд­ ің ретт­ ік нөм­ ір­ і. Сан­ ақт­ ың Δсан абс­ о­лют
қа­тел­ іг­ і асп­ ап шкаласының
Абс­ ол­ ют қат­ ел­ ікт­ і бар­лық өлш­ еу­ нәтижелерінің

кезд­ ейс­ оқ қа­тел­ ік­тер­ ін­ ің арифм­ ет­ ик­ а­лық орт­ асы бө­лік құн­ ын­ ың жар­тыс­ ын­ а

рет­ інд­ е анықт­ айд­ ы: + ∆A2 + ... + ∆An тең: ñ
∆A1 n 2,
∆A = . ∆ñàí =

Өл­шеуд­ ің аб­со­лют қат­ ел­ ігінің мод­ ул­ і өл­шен­ іп c – ас­пап­шкаласының
бө­лік құ­ны.
отырғ­­ ан ша­ма­ның ақи­қат­ мә­ні ор­на­ласқ­ ан ин­терв­ ал­ды

көр­се­те алад­ ы. Инт­ ер­валд­ ың ұзынд­ ы­ғы 2ΔA. Бұл ин­тер­

вал­ ға кір­ е­тін барл­ ық мәнд­ ер айқын бо­лып сан­ ал­ ад­ ы.

Са­лыс­тыр­мал­ ы қа­тел­ ік өл­шеу сап­ ас­ ын си­пат­

тайд­ ы. Ол мынадай форм­ у­ламен анықт­ алад­ ы:
∆À
e= Àæóûқ ⋅100% .

IV Бірінші ретт­ ік ту­ра өл­шеу­лер мен 3-тапсырма
олард­ ың қат­ е­лі­гі
4-сур­ ет­те көр­сет­ іл­ген вольт­
Көп­тег­ ен өлш­ еу­іш асп­ ап­тар үшін асп­ ап­тық қа­тел­ ік метрд­ ің ас­папт­ ық қа­те­лі­гін
оның шкал­ а­сын­да не­мес­ е пас­пор­тынд­ а көрс­ е­ті­ле­тін анық­таң­дар.
дәлд­ ік клас­ ы­мен бер­ і­лед­ і. γ дәлд­ ік клас­ ын біл­ е отыр­ ып,
абс­ ол­ ют­асп­ апт­ ық қа­те­лікт­ і анықт­ ау­ға бол­ ад­ ы:

∆è = өлш­ еу шег­ і ⋅g .
100

Егер көрс­ ет­кіш шкал­ а­ның сы­зық­шас­ ы­мен сәйк­ ес 4-сур­ ет. 2-дәлд­ ік­те­гі ­
кел­се, өл­шеуд­ ің аб­сол­ ют қат­ ел­ іг­ і асп­ апт­ ық қат­ е­ класқ­ а жат­ ат­ ын ­
лікт­ ен асп­ айд­ ы:
вольт­метр шка­ла­сы
Δ = Δи.
Егер көр­сетк­ іш шкал­ ан­ ың сыз­ ықш­ ас­ ы­мен сәй­кес кел­
ме­се, абс­ ол­ ют қа­тел­ ік са­нақ қа­те­ліг­ і­нің мә­нін­ е арт­ ад­ ы:

Δ = Δи + Δсан.

11

V Жа­нам­ а өлш­ еу­лер жән­ е олард­ ың қат­ е­лікт­ ер­ і
Жа­на­ма өл­шеу кез­ інд­ е өл­шеу нә­ти­жес­ і­нің айқ­ ын­ды­лы­ғын бағ­ ал­ ауд­ ы мынадай

рет­пен орын­дау қаж­ ет:
1. Бе­ріл­ген ша­ман­ ы есеп­теу форм­ ул­ а­сы­на кі­ре­тін ша­мал­ арғ­ а тур­ а өл­шеу жүрг­ і­зу.
2. Осы өлш­ еу­лерд­ ің абс­ о­лют жә­не са­лыс­тырм­ а­лы қат­ ел­ ік­те­рін есеп­теу.
3. Есеп­теу форм­ ул­ а­сы бой­ын­ша із­де­лін­ іп отыр­ған Aжу­ық шам­ а­ны есепт­ еп шы­ғар­ у.
4. Фор­мул­ а тү­рі бой­ын­ша жа­на­ма өл­шеу нә­ти­жес­ і­нің ε са­лыс­тыр­ма­лы қат­ е­лі­гін

анық­тау (2-кест­ е).
5. Мына форм­ ул­ а бой­ын­ша аб­со­лют қат­ е­лікт­ і та­бу: ΔA = Aжу­ық · e.
6. Із­де­лін­ іп отырғ­ ан шам­ ан­ ың айқ­ ын мәнд­ ер инт­ ерв­ а­лын көр­се­ту:

Aжу­ық – ΔA ≤ A ≤ Aжуы­ қ + ΔA.
АРМАН-ПВ баспасы
2-кес­те. Абс­ о­лют және салыстырмалы қа­те­лік форм­ ул­ ал­ арының­
іздел­ іп отырғ­ ан ша­ман­ ың фор­му­ла­сы­мен сәйк­ ес­ті­гі

Функ­ция тү­рі­ Аб­сол­ ют қа­тел­ ік Са­лыс­тыр­ма­лы қа­тел­ ік­
f=x+y Δf = Δx + Δy
ef = ∆x + ∆y
õ+y

f = x – y Δf = Δx + Δy ef = ∆x + ∆y
õ−y

f=x·y Δf = xΔy + yΔx e = e + e
f x y

f = õ ∆f = õ∆y + y∆x e = e + e
y y2 f x y

f = xn Δf = n·xx –1 · Δx ef= n · ex
f =nõ ∆f = ∆õ
ef = 1 ⋅ eõ
n ⋅ n õ n−1 n

Егер f = x ± y болса, онд­ а бір­ден абс­ ол­ ют қа­те­лік есеп­те­лед­ і.

VI Кес­тел­ ік шам­ а­лард­ ы анық­тау кез­ ін­дег­ і өлш­ еу қат­ е­лігін бағ­ а­лау

Кес­те­лік не­ме­се тұ­рақ­ты фи­зи­ка­лық ша­ма­лард­ ы өлш­ е­ген кез­де қат­ е­лік­ті ба­ғал­ ау

табылған мән­ді бел­гі­лі (кест­ е­лік) мән­мен сал­ ыст­ ы­ру нә­ти­же­сін­де жүр­гі­зі­лед­ і:

ΔA = [Aжу­ық – Aкест].
Сал­ ыс­тырм­ а­лы қа­тел­ ік мынадай қат­ ы­насп­ ен анық­талад­ ы:

Оның мәні өл­шеу са­пас­ ының бағ­ ас­ ы бол­ ып таб­ ыл­ ад­ ы.
Àæжóуû­ыêқ − Àêåñò
εÀ = Àêåñò ⋅ 100%

VІІ Ша­мал­ ард­ ы бі­рікт­ ір­ іп өлш­ еу кезін­де
тә­жір­ и­бел­ ер нәт­ иж­ е­сін граф­ ик түр­ інд­ е бе­ру

Ша­ма­лар арас­ ынд­ а функ­цион­ ал­ды бай­ла­ныс тү­рі орнаған кез­де тә­жі­ри­бе нә­ти­
же­лерін гра­фи­ка­лық түр­де бе­ред­ і. А жә­не B шам­ ал­ а­рын өл­шеу нә­ти­же­сін­де нүк­те
алынбайд­ ы, 2ΔA жә­не 2ΔB қабырғалары бар ауд­ ан алы­над­ ы (мұн­да­ғы ΔA, ΔB

12

өл­шен­ е­тін шам­ а­лар­дың абс­ ол­ ют қат­ ел­ іг­ і). Бұл А
ауд­ анн­ ың әр нүк­тес­ і айқ­ ын бо­лып таб­ ы­ла­ды, сон-
дықт­ ан осы ау­дан­дар арқ­ ы­лы гра­фик сы­зықт­ ар­ ын
ша­малард­ ың функ­цион­ алд­ ы тәу­елд­ і­ліг­ ін­ е сәйк­ ес
кел­ е­тінд­ ей етіп жүр­гіз­ у ке­рек (5-су­рет).
АРМАН-ПВ баспасы 2∆B
2∆А

VІIІ Өлшеу нә­ти­же­лер­ ін қат­ ел­ ік­тер­ді
ес­ке­ре отырып жаз­ у
0B
Өл­шеу нә­тиж­ е­лер­ ін қат­ ел­ ікт­ ер­ді еск­ ер­ е отыр­ ып
5-сур­ ет. A және В
жа­зу мына ереж­ ел­ ер бой­ынш­ а орынд­ а­лад­ ы: нүктелерінің айқ­ ын ин­тер­вал­
дар­ ы көр­сет­ іл­ген А нүктесінің
Қат­ е­лік жо­ға­ры қар­ ай бір мәнг­ е, ал өлш­ еу В нүктесіне тәуе­ л­діл­ ік гра­фиг­ і

нә­тиж­ е­сі жаз­ ыл­ған қат­ ел­ ікт­ ен ас­пай­тын бел­гіг­ е

дей­ін жу­ық­талад­ ы.

Мы­сал­ ы, егер есепт­ еу нә­тиж­ ес­ інд­ е абс­ ол­ ют­қа­

те­лік ΔA = 0,0769 тең бол­са, он­да бұл сан­ды жоғ­ ар­ ы­

да­ғы бір мән­ге қар­ ай жуы­ қт­ ай­мыз: ΔA = 0,08. Онд­ а

ша­ман­ ың жуы­ қ мә­нін Aжу­ық = 0,928514 абс­ о­лют қа­те­
лікт­ ің дәлд­ іг­ ін­ ен ас­пайт­ ын дәлд­ ікп­ ен жа­зу кер­ ек.

Мына цифр­лар олар­дың мәнд­ ер­ і­не тәу­елс­ із алын­ ып

таст­ алад­ ы Aжуы­ қ ≈ 0,92. Шам­ а­ның ақи­қат мә­ні кі­рет­ ін
инт­ ер­вал мына түр­де жаз­ ы­ла­ды:
0, 08
e = 0, 92 ⋅ 100% ≈ 9% болғанда A = 0,92 ± 0,08.

4-тапсырма 6-сур­ ет. Дәл­дік кла­сы 2,5 ­
Егер он­да 2,5 дәл­дікт­ е­гі класқ­ а жа­та­тын (6-су­рет) жән­ е бо­лат­ ын зерт­хан­ а­лық ­
өл­шеу шег­і 15 B бол­ ат­ ын вольт­ ­метр­дің көр­сет­кіші 3,5 B вольт­метр
бол­са, кер­неуд­ і өл­шеу нә­ти­жел­ е­рін жа­зың­дар.

Бақ­ ыл­ ау сұ­рақт­ ар­ ы

1. Тур­ а және жан­ ам­ а өлш­ еуд­ ің ай­ырм­ аш­ ыл­ ы­ғы нед­ е?
2. Өлш­ еу қа­те­лі­гі­нің қан­дай нег­ ізг­ і себ­ епт­ е­рін бі­лес­ іңд­ ер?
3. Қанд­ ай қа­тел­ ік­терд­ і кезд­ ейс­ оқ деп атай­ды? Жүй­елі қа­тел­ ікт­ ер деп ше?
4. Жүйе­ лі қа­те­лік­тер­ді қанд­ ай әдіс­пен жоюға болады?
5. Өл­шеу­дің кез­дейс­ оқ қа­тел­ ік­те­рін қан­дай әдіс­пен кемітуге болады?
6. Бірн­ е­ше рет тур­ а өлш­ еу ке­зін­де абс­ ол­ ют жә­не сал­ ыст­ ырма­лы қат­ е­лік­терд­ і

қа­лай анық­тай­ды?

7. Ас­пап­тық қа­тел­ ік не­ге тең?
8. Жа­нам­ а өл­шеу ке­зін­де қа­тел­ ікт­ і қал­ ай анық­тайд­ ы?
9. Қат­ е­лік­ті еск­ е­ріп, өл­шеу нә­тиж­ ес­ ін қа­лай жаз­ а­ды?

13

Жат­ты­ғу 2

АРМАН-ПВ баспасы1. Тіз­бек бө­лі­гі­не бірінші вольт­ метрд­ і (4-сур­ ет) жә­не екінші вольтметрді
(6-су­рет) жалғау ар­қыл­ ы кер­неу­ді екі рет анық­тад­ ы. Вольтм­ етр екі жағ­
дай­да да 2,8 B көр­сет­ті. Екі өлш­ еу үшін кер­неу­дің ай­қын мәнд­ ер ин­тер­
ва­лын анық­таңд­ ар. Қан­дай жағд­ айд­ а өлш­ еу дә­лір­ ек бо­лад­ ы?

2. Ам­пер­метр мен вольт­м­ етр­ді қол­дан­ ып, тіз­бек бө­ліг­ ін­ ің кед­ ерг­ іс­ ін жа­на­ма
өл­шеу ар­қы­лы анық­та­ды. Вольтм­ етрдің дәлд­ і­к клас­ ы 4, ам­пер­метр­
ді­кі   2,5. Асп­ ап­тард­ ың көр­сет­кі­ші 4,2 В және 0,3 А болс­ а, тізб­ ек бөл­ іг­ і
кед­ ер­гі­сі­нің ай­қын мән­дер диапа­зо­нын көрс­ е­тіңд­ ер.

Эксп­ ер­ им­ ен­ тт­ ік тапс­ ыр­ма

Ту­ра өл­шеу арқ­ ыл­ ы бөлм­ е темп­ е­ра­ту­рас­ ын, жан­ ам­ а өлш­ еу ар­қы­лы карт­ оп
тығ­ ызд­ ығ­ ын анықтаңдар. Ұсы­ны­ла­тын өлш­ еу­іш ас­пап­тар: терм­ о­метр, тар­ а­зы
жән­ е менз­ урк­ а. Нәт­ иж­ елерді қа­те­лікт­ і еск­ е­ре оты­рып жа­зың­дар.

Шығ­ ар­ма­шы­лық тапс­ ырм­ а

Екі тақырыптың біріне хабарла­ма дайы­ н­даңд­ ар:
1. Метр­ ол­ ог­ ия, станд­ артт­ ау жән­ е серт­ и­фик­ ат­тау.
2. Қа­зақ­стан Рес­пуб­лик­ а­сы­ның метеор­ о­ло­гиял­ ық қыз­ме­ті.

14

§ 3. Тең­ үд­ ем­ ел­ і қоз­ға­ла­тын де­не ки­нем­ ат­ и­кас­ ын­ ың
нег­ із­гі түс­ і­нік­те­рі мен теңд­ еул­ ер­ і
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Ки­нем­ ат­ ик­ а­ның нег­ ізг­ і міндеті
Осы параграфты игергенде: Ки­не­мат­ ик­ а­да ден­ е­лерд­ ің қозғ­ ал­ ыс­ ын си­пат­тау үшін
• де­не­нің теңүде­ме­лі
үдеу, орын ауы­ с­ты­ру жылд­ амд­ ы­ғы, жол жылд­ амд­ ы­ғы,
қозғ­а­лыс­ ы ке­зін­де орын ау­ыст­ ыр­ у, жүр­ іл­ген жол, де­не коор­дин­ ат­ а­сы, уақ­ ыт

жылд­ амд­ ықт­ ың сияқты шамалармен қатар сан­ ақ жүйе­ сі, сан­ ақ ден­ е­сі,
уақ­ ытқ­ а тәу­елд­ іл­ ік
гра­фи­гін пай­дал­ а­нып, коор­дин­ а­та жүйе­ сі, траект­ ор­ ия, са­лыст­ ырм­ а­лы қозғ­ а­лыс,
орын ауы­ ст­ ыр­ у форм­ у­ ме­хан­ ик­ а­лық қозғ­ а­лыс сияқты физ­ ик­ ал­ ық түс­ ін­ ік­терді
ла­сын қо­ры­тып шығ­а­ра қол­дан­ ад­ ы. Де­не­лер қозғ­ а­лы­сын­ ың бір-бір­ і­нен айы­ р­ма­
ала­сың­дар; шыл­ ығ­ ы бар: траект­ ор­ ия тү­зу с­ ыз­ ықт­ ы жә­не қи­сықсы­
• сандық жә­не гра­фи­ зықт­ ы бо­луы мүм­кін, бір ден­ ел­ ер­дің қозғ­ ал­ ыс жыл­
ка­лық тап­сырм­ а­лар­ды дамдығ­ ы тұ­рақ­ты, бір­ еу­ле­рінд­ е ай­ны­мал­ ы бол­ уы мүм­кін.
шешу­ де ки­не­мат­ и­кал­ ық
тең­деу­лер­ді пай­да­ла­на Ки­не­ма­ти­ка­ның не­гіз­гі міндеті  – мате-
ала­сың­дар. риялық нүк­те­лердің не­ме­се де­не­лердің

қоз­ға­лыс­ түрле­рін жә­не сәй­ке­сін­ше осы
қоз­ғал­ ыс­тард­ ың кин­ ем­ ат­ и­кал­ ық си­пат­та­
ма­ла­рын анықт­ ау.
Жауабы қандай?

Де­не­нің қозғ­ал­ ыс­ ын
зерт­те­ген­де не­лік­тен
кин­ е­мат­ и­ка­да орын II Есепт­ ерд­ і шы­ғар­ у­дың коорд­ и­на­тал­ ық тәс­ ілі­
ау­ыст­ ыр­ у жылд­ амд­ ығ­ым­ ен Кинематика есептерін координ­ ат­алық тә­сіл бо­­
қат­ ар жол­жылд­ амд­ ығ­ы
пай­дал­ а­ны­ла­ды? йынш­ а шығ­ ар­ у вект­ орл­ арғ­ а амалд­ ар қолдану­дан ска­

ляр шам­ ал­ арғ­ а амалд­ ар қолдануғ­ а көше­ді. 9-сын­ ып­

­тың физ­ ик­ а курс­ ын­ ан век­тор­лық шам­ а­лар мен олар­дың

ппМррыооее­сккац­­цл­ ыиияя,л­­лвааер­­ркыы­тн­оаырр­л­қңыыққ­лаыт­тыүжн­раа­д­зсеут­г­­ғаіар­ үбыдон­ел­ыуа­дңд­іыбеісaреx-бп=іт­р­еυіун­x е∆−фнtυоаoрйxм­ы­,убр­лұм­алс­аыш­кнеыз:д­­лыеaғ­т=ыеңυб­д∆−оіклtυм­б0ұаз­йвыт­еылк­мн­­тоыайрл­б­даеырл.д­г­ іыл­ ңі.

Век­тор­дың проекц­ ия­ла­ры скал­ яр ша­малар бо­лып таб­ ы­ла­ды, демек, олард­ ы қос­ у,
азайт­ у, көб­ ей­ту және бөл­ у амалдары сан­дарғ­ а қолданылғандай жүргізіледі.

Есепт­ ер­ді коор­дин­ а­та­лық тәс­ ілм­ ен шығ­ а­ру кез­ інд­ ег­ і қадамдар ретт­ і­ліг­ і: коорд­ ин­ ата
осьте­рін таң­дау, бе­ріл­ген век­торл­ ар­дың проек­ция­ла­рын та­бу; оларғ­ а амалд­ ар қолдану,
бел­гіс­ із вект­ орл­ ық шам­ ан­ ың таң­далғ­ ан ось­терге түс­ ірілг­ ен проекц­ ия­сын анықт­ ау.

Вект­ орд­ ың коорд­ и­наталық осьт­ ерг­ е тү­сіріл­ген проек­цияс­ ының мә­ні бел­гі­лі бол­
ған­да, оның мо­ду­лін анық­тауғ­ а бол­ а­ды. Мы­са­лы, егер үдеу век­тор­ ы 0х осін­ е па­рал­
лель бол­ған­да, оның мод­ ул­ і осы оське түс­ ір­ іл­ген проек­ция­ға тең (7, а-сур­ ет):

а = ax.
Қа­рас­ тырылып отырғ­ ан 0х жә­не 0у осьтер­ ін­ е қат­ ыст­ ы проек­ция­лары бар
бол­са (7, ә-сур­ ет), онд­ а оның мо­ду­лін Пи­фа­гор теорем­ ас­ ы бой­ын­ша анықт­ айд­ ы:

a = ax2 + ay2 .

Ден­ е қоз­ға­лыс­ ын си­патт­ ау үшін үш коорд­ и­ната осін пай­дал­ анғ­ ан кезд­ е,
(7,  б-су­рет) үдеу мо­дул­ і:

a = ax2 + ay2 + az2 .

15

z
y
АРМАН-ПВ баспасы
a ay a az ax
a
ax x
ay 0
0 x 0 ax x y

а) ә) б)

7-сур­ ет. Таң­дап алын­ған коорд­ ин­ а­та осьте­рін­ е тү­сір­ ілг­ ен ­
вект­ орд­ ың проекц­ иял­ ар­ ы

ІІІ Түз­ у ­сыз­ ық­ты теңайн­ ым­ ал­ ы қоз­ға­лыс
үшін ки­нем­ ат­ и­ка форм­ ул­ ал­ ары

3-кест­ ед­ е ден­ ен­ ің тү­зу­ сы­зық­ты теңайн­ ы­мал­ ы қоз­ғал­ ы­сын си­пат­тай­тын шам­ а­

лард­ ы есеп­теу фор­мул­ а­сы бе­рілг­ ен: ax үдеу, υх орын ау­ыс­ты­ру жылд­ амд­ ығ­ ы, sx орын
ау­ыс­ты­ру жә­не х де­не коор­ди­на­та­сы. Ден­ е­лерд­ ің ер­кін тү­суі тү­зу­сыз­ ықт­ ы теңай­ны­

мал­ ы қgо=зғ­9а,­л8ыñìс2 т­.ың дерб­ ес жағ­дайы болып табылады, бұл кезд­ е де­не қоз­ға­лы­сы­ның
үдеуі

3-кест­ е. Ки­не­ма­ти­ка фор­му­ла­лар­ ы

Ф­ изикалық Қозғ­ ал­ ыс түр­ і­ Ерк­ ін тү­су­
шамалар
Түз­ у ­сыз­ ық­ты
теңай­ны­мал­ ы қоз­ға­лыс

Үдеу­ ax = υx − υox g = 9, 8 ì
∆t ñ2
Ор­та­ша
жылд­ амд­ ық uîðò.õ = u0 + uõ uîðò.ó = u0 + uó
2 2

Лез­дік жыл­дамд­ ық υx = υox+ axt υy = υoy + gyt

Орын sx = u0 x t + axt 2 hy = uoyt + gyt 2
ауы­ с­ты­ру 2 2

sx = ux2 − u02x ; sx = u0 + u t hy = u 2 − u02y ; hy = u0 + u t
2ax 2 y 2g 2
y

Ден­ е x (t )= x0 + uoxt + axt 2 y(t ) = y0 + uoyt + gyt 2
коорд­ и­нат­ а­сы­ 2 2

Де­не коорд­ и­наталар­ ын­ ың уақ­ ытқ­ а тә­уе­ лд­ іл­ ік тең­деуін қоз­ғал­ ыс тең­
деуі деп атайд­ ы.

Тү­зу ­сы­зық­ты бірқ­ а­лып­ты қоз­ға­лыс форм­ у­ла­лар­ ын a = 0 екен­ ін ес­ке­ріп, теңай­
ны­ма­лы қоз­ғал­ ыс­фор­мул­ ал­ а­ры­нан алу­ға бол­ а­ды.

16

ІV Теңай­ным­ ал­ ы қозғ­ ал­ ыс Жауабы қандай?
ке­зін­дег­ і бір­дей уа­қыт ара­лық­тар­ ындағы Нел­ ік­тен ор­та­ша жыл­
дамд­ ық тек жолд­ ың бел­гі­лі
бір бөл­ і­гіне тиесілі?
АРМАН-ПВ баспасыорын ау­ыст­ ыр­ улардың қа­ты­на­сы

Ден­ ен­ ің баст­ апқ­ ы жылд­ амд­ ы­ғы υ0 = 0 болсын, де­
не­нің t уа­қытт­ ағы орын ау­ыст­ ыр­ уы­ н s1 = at 2
2 фор­му­ла­

сым­ ен анықт­ ай­мыз. 2t уа­қытт­ а­ғы орын ауы­ с­ты­ру
a(2t )2 at 2 υ, м/с
s2 = 2 = 4 2 бо­ла­ды. Он­да, екінш­ і t уақ­ ыт ара­лы­ υ II B
IC
ғынд­ а ден­ е

s12 = s2 − s1 =4 at 2 − at 2 = 3 at 2 υ0 А α
2 2 2

қаш­ ық­тыққ­ а орын ау­ыс­тыр­ған.

Дәл осыл­ ай дененің үшін­ші t уақ­ ыт ара­лығ­ ын­ 0α D
t t,с
да­ғы орын ауы­ ст­ ы­ру­ын анық­тайм­ ыз: at 2
at 2 at 2 2
s23 = s3 − s2 = 9 2 − 4 2 = 5 . 8-су­рет. Теңайнымалы
қозғалыс кезіндегі­
Алын­ған нә­ти­же­лер бой­ын­ша ден­ е­нің бір­дей жыл­дам­дықт­ ың­
уақ­ ыт­қа тәуе­ лд­ іл­ ік­
уақ­ ыт ара­лы­ғын­дағ­ ы орын ау­ыст­ ыр­ уы тақ сан­дар гра­фик­тер­ і

қат­ ар­ ы сияқты қатынаста бол­ ад­ ы:

s1 : s12 : s23… = 1 : 3 : 5…

Тапсырма

8-сур­ ет­те­гі гра­фик­тер­ді пай­да­ла­нып:

1. α бұ­ры­шы­ның тан­ген­сінің сандық мәні қоз­ға­лып бар­ а жатқ­ ан I жән­ е II де­не­лерд­ ің үдеуі­не тең;

2. ОCD үш­бұр­ ы­шы­ ауд­ а­нының сандық мәні бі­рін­ші де­нен­ ің орын ау­ыст­ ыр­ уы­ на s1 = at 2 тең;
2

3. ОABD тра­пе­цияс­ ының ау­да­ны екін­ші де­не­нің орын ауы­ ст­ ы­ру­ына s2 = u0t + at 2 тең
2

болатынын дәлелдеңдер.

V Ден­ е­лерд­ ің түз­ у­ сы­зықт­ ы
теңайн­ ы­ма­лы қозғал­ ыс­ ын сип­ атт­ ай­тын
шам­ ал­ ард­ ың уа­қыт­қа тәу­ел­ді­лік гра­фик­те­рі

Фи­зи­кал­ ық шам­ ал­ ар­дың тәу­елд­ іл­ ік граф­ ик­те­ Жауабы қандай?

рін са­лу үшін мат­ е­мат­ и­кал­ ық әдіст­ ер қолд­ а­ны­лад­ ы. Нел­ ікт­ ен қоз­ға­лыстағы
Сы­зықтық тәуе­ л­ді шам­ а­лар­дың гра­фи­гін са­лу үшін ден­ е­нің үдеуін де­не жыл­
екі нүк­те жет­кі­лікт­ і. Ша­ма­лар­дың квад­рат­тық тә­ дамд­ ығ­ының уа­қытқ­ а
уел­ді­лі­гін си­паттай­тын гра­фик па­ра­бо­ла­ны бер­ е­ді, тәуе­ л­ді­лік граф­ иг­ інің көлбеу
ол есеп­теуд­ і жә­не нүк­те­лер сан­ ы­ның көп са­лын­ уы­ н бұрышының тангенсі
қа­жет етед­ і (4-кест­ е). ре­тін­де анық­тау­ға бол­ а­ды?

Ша­мал­ ар мо­дульд­ е­рі­нің те­ріс мән­дер­ і бол­майд­ ы,

сондықтан шам­ а мод­ ул­ і­нің уақытқа тәуе­ л­ді­лік граф­ и­гі уақ­ ыт осі­нің үстінде орнала-

сады.

Жыл­дамд­ ық­тың уақ­ ыт­қа тәуе­ л­діл­ ік граф­ иг­ і аст­ ын­да­ғы фи­гу­ра ау­дан­ ы санд­ ық

мә­ні бой­ын­ша де­не­нің орын ау­ысты­ру­ына тең екенд­ і­гін дә­лелд­ еу қиын емес.

17

4-кест­ е. Ки­нем­ а­ти­кал­ ық шам­ а­лар­дың уақ­ ыт­қа тәуе­ лд­ іл­ ік граф­ ик­те­рі

АРМАН-ПВ баспасыФиз­ ик­ а­лықУа­қытқ­ а тәуе­ л­ Ша­ма проек­ция­ Шам­ а мод­ у­лін­ ің
ша­ма діл­ ік тең­деуі, сын­ ың уақ­ ытқ­ а уақ­ ыт­қа тәу­ел­
тәу­елд­ іл­ ік тү­рі тәу­елд­ іл­ ік граф­ иг­ і
діл­ ік граф­ и­гі

Ү­ деу­ ax = const ax, м a, м
Үдеу уа­қыт­қа тәуе­ л­ді с2
емес с2

3 3 a2
2 a1
2 a1x>0 1

1 12345

0 a2x<0 t,c 0

-1 -1 1 2 3 4 5 t,c

-2

-3 a2 > a1

Лезд­ ік υ = υ0x + axt υx, м/с I υ, мс
жылд­ амд­ ық жылд­ амд­ ық уақ­ ытқ­ а 3I
ту­ра проп­ орц­ ион­ ал 3 1 2 3 4 5 t,c 2 II
тәу­ел­ді 2 II
1 1
0 0
-1
-2 -1 1 2 3 4 5 t,c
-3

I: aх > 0
II: aх < 0

Орын sx = u0 x t + axt 2 sx,м I IV s, м
ау­ыст­ ыр­ у 2 I, III II, IV

Орын ау­ыс­ты­руд­ ың t,c
уа­қыт­қа тәуе­ л­діл­ іг­ і
квадр­ атт­ ық функ­ t,c
ция­ны бер­ ед­ і

III II

I: υ0x > 0, aх > 0
II: υ0x > 0, aх < 0
III: υ0x < 0, aх < 0
IV: υ0x < 0, aх > 0

Коорд­ ин­ а­та x(t ) = x0 + υoxt + axt 2
2
x, м I I: х0 < 0, υ0x > 0, aх > 0
II: х0 > 0, υ0x > 0, aх < 0
ден­ е коорд­ ин­ а­та­сы –

уақ­ ытт­ ың квад­рат­тық x0
функц­ ия­сы

0 II t,c

18

ЕСЕП ШЫҒАРУ ҮЛГІЛЕРІ ц

Құл­ ау уа­қыт­ ы 5 с болғ­ андағы, ден­ ен­ ің құл­ ау биі­кт­ і­гін анықт­ аңд­ ар. Ол әр сек­ унд
сай­ын қан­дай арақ­ аш­ ықт­ ық­ты өте­ді?
АРМАН-ПВ баспасы
Бер­ іл­гені: Ше­шуі: υ0=0
Су­рет­те ден­ ен­ і, ерк­ ін тү­су удеуі векто-
t=5с рының бағыты g, Oy осін бейн­ ел­ ейм­ із. g
Ден­ енің баст­ ап­қы орн­ ын нөлд­ ік биі­кт­ ік
g = 9,8 м/с2 дең­гейі­мен сәйк­ ес­тенд­ і­рем­ із. Ұшу
би­ікт­ іг­ ін Н әр­пім­ ен белг­ іл­ ейм­ із.
υ0 = 0 Ер­кін түс­ у ке­зінд­ е ден­ е коор­дин­ ат­ алар­ ы H

H –? hh15 –? h2 –? h3 –?
h4 –? –?
y

y = y0 + u0 y t + gyt 2 (1) заң­ ы бой­ын­ша өзг­ е­ре­ді. (1) фор­му­ланың Oy осіне проек-
2
gt 2
циясы мынадай түр­ге ке­лед­ і: H = 2 .

H = 9,8 ì ñ2 ⋅ 25 ñ2 ≈ 125 ì .
2
gt 2
Ал­ғашқ­ ы се­ку­ндт­ а ден­ е h1 = 2 қа­шық­тыққ­ а орын ау­ыс­тырд­ ы.

h1 = 9,8 ì ñ2 ⋅1ñ2 ≈ 5ì .
2
Әр ке­зект­ і се­кунд сай­ын­ғы орын ауы­ с­ты­ру қа­ты­на­сы тақ сан­дар қат­ а­ры­ның

қа­ты­на­сы­мен анықт­ ала­ды:

h1 : h2 : h3 : h4 : h5 = 1 : 3 : 5 : 7 : 9. (2)

Демек: h1 = 1 не­ме­се h2 = 3h1, осы сияқты h2 = 15 м.
h2 3

Дәл осы­лайша h3 = 25 м,

h4 = 35 м, h5 = 45 м екенін табамыз. Әр секундтағы биіктіктердің қосындысынан
жалпы биіктікті табамыз: Н = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 125 м болады.

Ж­ а­уаб­ ы: H = 125 м, h1 = 5 м, h2 = 15 м, h3 = 25 м, h4 = 35 м, h5 = 45 м.

Бақ­ ы­лау сұ­рақт­ а­ры

1. Кин­ е­мат­ ик­ а­ның не­гізг­ і тең­деуін­ ің мә­ні не­де?
2. Де­нел­ ер­дің қозғ­ а­лы­сын сип­ ат­тай­тын шам­ ал­ ард­ ы атаңд­ ар, олар­ға анық­

та­ма бе­ріңд­ ер.
3. Ден­ енің бірд­ ей уа­қыт арал­ ық­тар­ ын­да орын ау­ыст­ ыр­ у үшін қанд­ ай қат­ ы­нас

орын­дал­ ады?

19

Жатт­ ығ­ у 3

АРМАН-ПВ баспасы1. Теңүдемелі қозғалған де­не бастапқы t1 = 4 с уа­қытт­ а s1 = 2 м жол­жү­ре­ді,
ал ке­лес­ і ұзын­ды­ғы s2 = 4 м бол­ а­тын бөл­ ікт­ і t2 = 5 с ішінде жү­ріп өтед­ і.
Де­не­нің үдеуін анықтаңдар.

2. Тас жер­ге 10 м би­ікт­ ікт­ ен құл­ ай­ды. Оны­мен бір уақ­ ытт­ а 8 м биі­кт­ ікт­ ен ті­к

жо­ға­ры қа­рай бас­қа тас лақт­ ы­рыл­ды. Егер таст­ ар Жерд­ ен 5 м би­ік­тікт­ е

соқ­ты­ғысатын болса, екін­ші тас қан­дай баст­ ап­қы жыл­дамд­ ықп­ ен лақ­ты­

рыл­ға­н? Ауа ке­дер­гі­сі ес­керіл­мей­ді, ерк­ ін тү­су үдеуі 10  м/с2.

3. Де­не­нің бас­тап­қы жыл­дамд­ ығ­ ы 5 м/с жә­не бес­ ін­ші се­ку­ндт­ а 4,5 м жол

жүр­ іп өт­ті. Ден­ ен­ ің үдеуін анық­таңдар.

4. 9-су­рет­те жолд­ ың түз­ у­ сыз­ ықт­ ы бө­лі­ υx, м/с
гінд­ е ден­ ен­ ің қоз­ғалыс жыл­дамд­ ығ­ ы­ның

уақ­ ытқ­ а тәуе­ лд­ і­лік граф­ иг­ і бейн­ ел­ енген. 12
1) Жолд­ ың әр бөл­ і­гінд­ е­ден­ е қан­дай үдеум­­ ен 6

жүр­ іп өткенін анық­таңд­ ар. Ден­ е қанш­ а жол

жүр­ді? Оның орын ауы­ ст­ ыр­ уы қан­дай? 0 3 6 9 12 15 t,c
2) Жолд­ ың ал­ғашқ­ ы екі бө­ліг­ і үшін ден­ е­
9-сур­ ет. 4-есепк­ е қатысты
қоз­ғал­ ысының заңын жаз­ ың­дар.

3) Де­нен­ ің бас­тап­қы коор­дин­ а­тас­ ы

х0 = 5 м болғандағы, осы бөл­ ікт­ ер үшін
ден­ е­нің орын ау­ыс­ты­руы мен коорд­ и­

наталарын­ ың уақ­ ытқ­ а тә­у­ елд­ і­лік гра­

фи­гін сал­ ың­дар.

5. Бал­ ық­ ұстау үшін бір­қаз­ ан­дар суға ер­кін

түседі (10-сур­ ет). Егер ба­лықтың шабуылдан

қа­шып үл­гер­ уіне 0,15 с қаж­ ет бол­са, ол бірқ­ а­

зан­ды қандай биі­к­тікт­ е байқауы керек? Бал­ ық

су бет­ інд­ е жүз­ іп жүр, бірқазан 5 м биіктіктен

құлайд­ ы деп алыңдар. Еркін түсу үдеуін

10  м/с2 деп алып, жауаптарыңды жүздікке 10-су­рет. 5-есепк­ е қатысты
дейін дөңгелектеңдер.

Эксп­ е­рим­ е­нтт­ ік тапс­ ырм­ а

Өз ве­ло­сип­ ед­те­рің­нің (авт­ ок­ өл­ ік) те­жел­ у жол­ ын жә­не қанд­ ай үдеу­мен қоз­
ғал­ ыс жа­са­ғанд­ а­рыңд­ ы анық­таң­дар. Баст­ ап­қы жыл­дамд­ ықт­ ы қал­ ай анықт­ ауғ­ а
бол­ ат­ ынд­ ы­ғын ой­ласт­ ы­рыңд­ ар.

Шығ­ ар­ма­шы­лық тап­сыр­ма

Хабарлама дайы­ н­даңд­ ар (таң­дау бой­ын­ша):
1. Әр­түрл­ і көл­ ікт­ ің те­жел­ у жолд­ ар­ ын қысқартудың тәсілдері.
2. Ұша­тын апп­ а­ратт­ ар үшін ұшып-қо­ну жо­ла­ғын қал­ ай есептей­ді?

20

§ 4. Инв­ а­риантт­ ы жән­ е сал­ ыст­ ырм­ ал­ ы фи­зик­ ал­ ық
ша­ма­лар. Га­ли­лейд­ ің са­лыст­ ырм­ ал­ ы­лық прин­цип­ і
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Мех­ ан­ и­ка­лық қозғ­ ал­ ыс­тың
Осы параграфты игергенде: са­лыст­ ырм­ ал­ ы­лығ­ ы. Инва­ри­ант­ты
• ин­ва­риант­ты жән­ е жән­ е сал­ ыст­ ырм­ ал­ ы ша­мал­ ар

сал­ ыст­ ырм­ а­лы фи­зи­ Ме­хан­ ик­ алық қозғ­ а­лыст­ ы сип­ ат­тайт­ ын кин­ е­мат­ и­
ка­лық ша­ма­лар­ды ка­лық түс­ ін­ ік­тер: траектор­ ия, коорд­ ин­ ат­ а, орын ауы­ с­
ажырата аласыңдар; тыр­ у, жылд­ амд­ ық бір инерциялық сан­ ақ жүйе­ сін­ ен
• орын ауы­ ст­ ыр­ у мен екінш­ іс­ ін­ е өтк­ енд­ е өзг­ ер­ ул­ ері мүмк­ ін. Бұл ме­хан­ ик­ а­лық
жылд­ амд­ ықт­ ар­ды қозғ­ а­лыс­тың са­лыс­тырм­ ал­ ылығ­ ын білд­ ір­ ед­ і.
қо­суд­ ың клас­си­кал­ ық
за­ңын есеп­тер шы­ға­ Егер ша­ма бір сан­ ақ жүйе­ сі­нен екінш­ і­сін­ е
ру­да қолд­ ан­ а ала­сың­дар. өтк­ енд­ е өзг­ е­ре­тін бол­са, онд­ а оны са­лыст­ ыр­
мал­ ы деп атайд­ ы. Егер ша­ма өз­герм­ ей қалс­ а,
онд­ а ол инв­ ар­ иантт­ ы бо­лып таб­ ыл­ ад­ ы.

z z1 u Ки­не­ма­ти­ка­да бір-бір­ і­не қат­ ыст­ ы қозғ­ ал­ ат­ ын

әр­түр­лі коор­дин­ а­та жүйе­ леріндегі ме­ха­ник­ ал­ ық қоз­

K K1 A ғал­ ыст­ арды сип­ аттайт­ ын кин­ ем­ ат­ и­кал­ ық шам­ а­лар
арас­ ын­да байл­ ан­ ыс орн­ а­ту ма­ңыз­ды мә­сел­ е бо­лып
x1
0 01 x та­был­ ад­ ы.
y y1
II Га­ли­лей түр­лен­ді­рул­ ер­ і
11-су­рет. К – ба­қыл­ ауш­ ы­ға қа­тыДсет­к­ыа­ртuт­ ыжқыклод­оармд­д­иын­ қап­т­ аелнарқожз­ғүай­леаст­ іыннд­ еKбіжрә-­бніер­ і­нKе1
қа­тыс­ты қоз­ғал­май­тын сан­ ақ сан­ ақ жүйе­ лер­ інд­ е ма­те­рия­ лық нүкт­ ен­ ің орнын

жүй­есі, К1 – қоз­ға­ла­тын са­нақ анық­тайы­ қ (11-сур­ ет). K1 сан­ ақ жүй­есін­де A нүкт­ е­
жүй­есі сін­ ің коор­ди­на­тала­рын­ ың мә­ні x1, y1, z1. Қоз­ғалм­ айт­ ын

са­нақ жүй­есін­де A нүк­тес­ і­нің x коор­ди­нат­ а­сының x1
коорд­ ин­ ат­ ас­ ын­ ан uxt мәнг­ е айы­ р­машы­лығ­ ы бар,
се­беб­ і t уақ­ ыт ішін­де қозғ­ а­ла­тын сан­ ақ жүйе­ сі 0х осі бойы­ мен қозғ­ алм­ айт­ ын жүйеге

қат­ ыст­ ы 001 = uxt қаш­ ық­тыққ­ а орын ауы­ ст­ ырад­ ы. Екі сан­ ақ жүйе­ сінд­ е де y, z жә­не y1,
z1 коорд­ и­нат­ ала­ры бір­дей. Қар­ аст­ ы­ры­лып отырғ­ ан са­нақ жүйе­ лерін­де уақ­ ыт бірк­ елк­ і
өтед­ і. K1 жүй­есін­ ен K жүйесін­ е өтк­ ен­де­Га­лил­ ей жас­ ағ­ ан коор­дин­ ат­ а­лық түр­лен­дір­ у­
мы­на түр­ге ке­лед­ і:

x = x1 + ut
y = y1 (1)

z = z1
t = t1
Қоз­ға­ла­тын са­нақ жүйе­ сі қозғ­ алм­ айт­ ын жүйеге қа­тыст­ ы 0x, 0y жән­ е 0z осьтер­ і

бойы­мен бір уақ­ ытт­ а орын ауы­ стыр­ғанд­ а Га­лил­ ей түр­ленд­ і­руі былай болады:

x = x1 + uxt
y = y1 + uyt
z = z1 + uzt

t = t1

21

Бұл жағд­ ай­да қоз­ға­лат­ ын са­нақ жүй­есін­ ің қозғ­ алм­ айт­ ын сан­ ақ жүй­есін­ е қа­тыст­ ы

орын ауыстыру жыл­дамд­ ығының мо­дул­ і:
АРМАН-ПВ баспасы u = ux2 + uy2 + uz2
(2)

тең. Де­не коорд­ и­на­тала­ры са­лыст­ ырм­ а­лы шам­ а­лар, аз жыл­дамд­ ық­пен қоз­ға­лат­ ын

ден­ ел­ ер үшін уа­қыт инв­ ар­ иантт­ ы бол­ ып та­был­ а­ды.

III Орын ау­ыс­ты­рул­ ард­ ы қо­су ереж­ ес­ і

Де­не­нің жаз­ ық­тық бойы­ мен қозғ­ ал­ ыс­ ын қар­ аст­ ы­ y1
y K1 A
райы­ қ, бұл жағ­дай­да оның орн­ ы екі коор­дин­ ат­ а­мен

анық­талад­ ы. Бі­рі тын­ ышт­ ық­та болатын ден­ ем­ ен, ал

екін­ші­сі  қоз­ғал­ ат­ ын ден­ ем­ ен байлан­ ыс­ты коор­ди­на­

талар жүй­есін таңдайық. Баст­ апқ­ ы уақ­ ыт мез­ е­тін­де 01 K s s1
жә­не 0 нүкт­ е­ле­рі қар­ ас­ты­рып отыр­ған ден­ е­нің ор­
01
ным­ ен сәйк­ ес ке­ле­ді. t уа­қыт­өткен соң ден­ е A нүкт­ е­ s2 x1
0 x
носітү­ныкет­роеы­српіы,0нsна2үу=к­ы­тсеuт­­сtыі­но­рерақ­дыаын­т.ыаҚsус2о­ты­ ыз=сғ­т­аuыл­ tар­жт­аыыд­ лын­дс(аа1мн­2д­а-сықуқж­рп­еүетй­­не).қсоін­зі­ғңа­л0а1
лсаан­т­ ыаҚқнаж­рсааүсн­й­та­еықс­ріжн­ыеү­лйқые­апс­тіын­осетт­қыыар­тоғ­ырасныт­ныдаеоу­нр­ыеысн­ нт­іңыа­руқуы­ оы­сзт­нғ­ыаsлр­ м­у, ы­ақйонт­з ы­ғsан1­ 12-сур­ ет. Әрт­ үрл­ і сан­ ақ ­
деп бел­гі­лейік. жүй­ ­есінд­ е орн­ а­ласқ­ ан ­
бақ­ ыл­ ауш­ ы­лар үшін A ­
Вект­ ор­лард­ ы қос­ уsе=реж­s1е+с­ іsб2 ой­ын­ша: нүкт­ е­сін­ ің орын ауы­ с­ты­руы

(3)

Ден­ ен­ ің қоз­ғал­май­тын сан­ ақ жүйе­ сін­ е қат­ ыс­ты

орын ауы­ с­ты­руы ден­ е­нің қоз­ғал­а­тын сан­ ақ жү­йесін­ е

қат­ ыс­ты орын ауы­ с­ты­руы мен қоз­ға­ла­тын са­нақ Өз тәжірибең

жүйе­ сін­ ің қоз­ғалмай­тын сан­ ақ жүй­есін­ е қат­ ыс­ты Екі оқуш­ ын­ ың өза­ра
пер­пенд­ ик­ ул­ яр екі ба­ғытт­ а
орын ауы­ с­тыр­ уы­ ның геом­ ет­риял­ ық қос­ ын­ды­сы­на орын ауы­ ст­ ыр­ уы­ н бас­тапқы
нүкт­ еге және бір-бір­ ін­ е
тең. Орын ауы­ с­ты­ру – сал­ ыс­тыр­ма­лы ша­ма. қат­ ыст­ ы анықт­ аңд­ ар. Тәж­ і­
риб­ е­ бойынша қозғ­ал­ ып
Орын ау­ыс­ты­рул­ ард­ ы қо­су фор­мул­ а­сының 0x бар­ а жатқ­ ан ден­ ені, қозғ­а­
лат­ ын жән­ е қоз­ғалм­ айт­ ын
және 0y осьтеріне проекц­ ия­ла­ры мына түрге келеді: сан­ ақ жүйе­ лерін атаңд­ ар.

sx = s1x + s2x (4)

sy = s1y + s2y
sx = x, s1x  =  x1, sy  = y, s1y = y1 болғ­ анд­ ықт­ ан (12-су­
рет), таңд­ ап алынғ­ ан ось­терге түсірілген проекц­ иялар­ ы

арқылы фор­му­лал­ ард­ ы былай жаз­ ам­ ыз:

x = x1 + s2x (5)

y = y1 + s2y
Егер қозғ­ а­ла­тын са­нақ жүй­есі қоз­ғал­май­тын сан­ ақ

жүйе­ сін­ е қат­ ыс­ты 0x осі бойым­ ен ux жылд­ амд­ ықп­ ен Жауабы қандай?
жә­не 0y осі бойы­ мен uy жылд­ амд­ ықп­ ен қозғ­ а­ла­тын Са­нақ нүкт­ е­сін таң­дау
бол­са, он­да жо­ға­ры­да жаз­ ылғ­ ан тең­деул­ ер мына түрге оқу­шыл­ ар­дың бір-бір­ і­не
қат­ ыст­ ы орын ауы­ ст­ ы­
ке­лед­ і: ру­ына қал­ ай әсер ете­ді?

x = x1 + uxt
y = y1 + uyt

22

Орын ау­ыст­ ыр­ ул­ ард­ ы қо­су арқ­ ыл­ ы біз жа­зықт­ ық Жауабы қандай?
бой­ымен қоз­ғал­ ат­ ын де­не үшін Гал­ и­лей түрл­ енд­ і­ Не­лік­тен Жер­ді қоз­
рулерін ал­амыз. ғалмайтын са­нақ жүй­есі
ретінде санағанда, оның
Күн­ді айнала қозғалуы
мен тәуліктік қозғалысы
ескерілмейді?
АРМАН-ПВ баспасыт IVеңЖд­sе1ыу=лбυ­ды1алt ам, йsд­ 2жы=ақзuыт­tал,раυдs­ды=ы=:υυқu1ttо+=с­еукuuе1е.н­t рі+неuеж­tсек­нес­ ерім­с­ еек­с,еон­да(1)
(6)

Де­нен­ ің қоз­ғал­май­тын са­нақ жүй­есін­ е қа­тыс­ты υт=u
жыл­дамд­ ы­ғы ден­ е­нің қоз­ға­лат­ ын сан­ ақ жүйе­ сін­ е
қат­ ыс­ты жылд­ амд­ ы­ғы мен қоз­ға­лат­ ын сан­ ақ жү­
йесінің қоз­ғалмай­тын са­нақ жүйе­ сін­ е қат­ ыс­ты
жылд­ ам­дығы­ның гео­мет­риял­ ық қос­ ын­ды­сы­на тең.

Жыл­дамд­ ық­тард­ ы есепт­ еу ыңғ­ ай­лы жә­не көрн­ ек­ і
бо­лу үшін са­лыс­тырм­ а­лы жә­не тас­ ы­мал жыл­
дам­дық дег­ ен түс­ ін­ ікт­ ер­ді пайд­ а­лан­ а­ды.

Са­лыс­тыр­ма­лы жыл­дам­дық  – де­не­нің υсал=υ1 υ
қозғ­ а­ла­тын са­нақ жүйе­ сін­ е қат­ ыст­ ы жыл­
дамд­ ығ­ ы. A

Тас­ ым­ ал жылд­ ам­дық – қозғалатын са­ 13-сур­ ет. Жү­зуш­ ін­ ің υ1 ­
нақ жүйе­ сі­нің қозғ­ ал­майт­ ын сан­ ақ жүй­есі­ суғ­ а қат­ ыс­ты жыл­дамд­ ық
не қа­тыс­ты жылд­ амд­ ы­ғы. ба­ғы­ты жә­не A бақ­ ы­лауш­ ы­ға

Мы­са­лы, жү­зуш­ і суғ­ а қат­ ыст­ ы uñàë = u1 (13-су­ қа­тысб­тағ­ыыж­тыылυ­д.амд­ ық ­
аролентыып)жсаак­ғ­леат­ы­ғеса­д­тіқы.ар­тЖ­мыүасл­­з­туыыш­ жuіmыж=ла­дuғ­аам­ғтд­ааыс­ққыа­пм­т­еыанлсқ­тжыозы­ғлаuд­л­ аамжд­ ыд­ыы,лақд­ғп­аыемнн­

дықп­ ен қозғ­ а­ла­ды. Осыл­ ай­ша, жылд­ амд­ ықт­ ар­ды

қо­су форм­ ул­ а­сы мын­uа­д=айuñàтëү+р­гuеmк ел­ ед­ і:

(7) Жауабы қандай?
1. Бір-бі­рі­не қа­тыст­ ы
Де­не­нің жыл­дамд­ ы­ғы – са­лыс­тыр­мал­ ы ша­ма.
тұр­ ақ­ты жылд­ амд­ ық­
V Екі джеә­­ннее­нBіңексаі ­лдыен­сет­ ыжрерм­ ­гаел­ қыат­жысы­тлыд­ аuмÀ ­джыә­ғ­ные u пен қозғ­ал­ а­тын са­нақ
A жүй­еле­рін­де неге ден­ е­
үдеуі­нің мә­ні өз­герм­ ейд­ і?
жыл­дамд­ ық­тар­мен қоз­ға­лад­ ы (14,  а-сур­ ет). B 2. Нел­ ік­тен Жер­ге қа­
тыст­ ы қозғ­а­ла­тын
де­нес­ і­нің A ден­ е­сін­ е қа­тыс­ты жылд­ амд­ ы­ғын анық­ ден­ е­ні қозғ­алм­ айт­ ын
са­нақ жүй­есі деп қабыл­
тай­ық. Ол үшін A ден­ е­сін қозғ­ а­лат­ ын са­нақ жүйе­ сі дап, ой­ша осы денеге
орналасып, қоршаған
ре­тін­де алам­ ыз, яғ­ни осы де­не­ге ой­ша ор­нал­ ас­ ып, де­нел­ ер­дің қозғ­ал­ ыс­ ын
соғ­ан қа­тыст­ ы қар­ ас­
қор­ша­ған де­не­лер­дің қоз­ғал­ ы­сын қа­рас­ты­рам­ ыз. тыр­ а­мыз?

Барл­ ық ден­ ел­ ер жерм­ ен бірг­ е ке­ңіс­тікт­ е мод­ ул­ і

бой­ын­ша A нүкт­ ес­ і­нің жыл­дамд­ ы­ғы­на тең, бір­ ақ

ба­ғы­ты қар­ а­ма-қар­сы жылд­ амд­ ық­пен орын ауы­ с­

ты­ра­ды (14, ә-сур­ ет).

23

A B
υm=-υA υ
АРМАН-ПВ баспасыυАB υB
A υB

υm =-υA

а) ә)

14-су­рет. B нүк­тес­ ін­ ің A нүкт­ е­сін­ е қат­ ыс­ты ­
жыл­дамд­ ы­ғы­ның ба­ғы­тын анықтау

Осы­лай­ша, B нүкт­ е­сі­нің A нүк­те­сі­не қат­ ыст­ ы қоз­ға­лыс жылд­ амд­ ы­ғын анықт­ ау

нүше­міне­свеекuт­òо=рл­−арuд­Àықақ­тоы­сун­ аф­соырнм­ еус­лк­ае­с­рыінп,uuпма==ыйд­нuuаÂаBл­−т+аен­uңuаÀдmм­.ікытзі:жазамыз:
Екі ден­ ен­ ің сал­ ыс­тырм­ а­лы жыл­дамд­ ы­ғы олард­ ың жыл­дамд­ ық вект­ ор­лар­ ы­ның

ай­ыры­мы­мен анық­тала­ды.

Егер жыл­дамд­ ық­тард­ ы азайт­ у нәт­ иж­ е­сінд­ е кез кел­ген бұ­рышт­ ар­ ы бар үшб­ ұр­ ыш

құ­ра­ла­тын болс­ а, он­да белг­ і­сіз жылд­ амд­ ық­тың сан­дық мә­ні кос­ ин­ ус­тар теорем­ а­сы

бой­ынш­ а анық­талад­ ы: υ = υB2 + υA2 − 2υB υA cos α ,

нем­ е­се си­нуст­ ар теоре­мас­ ы бойы­ нш­ а табылады:
υa υB υA
sin α = sin β = sin γ .

Бақ­ ыл­ ау сұ­рақ­та­ры

1. Де­не қозғ­ ал­ ы­сы­ның сал­ ыст­ ыр­мал­ ы­лы­ғын­ ың мән­ і не­де?
2. Гал­ и­лей түрл­ енд­ і­рул­ е­рін қанд­ ай шам­ ал­ ар бай­ла­ныс­тыр­ а­ды?
3. Сенд­ ер­ге Га­лил­ ей түрл­ енд­ ір­ у­ле­рі­нің қанд­ ай салд­ ар­ ы белг­ і­лі?
4. Екі ден­ е­нің сал­ ыст­ ырм­ ал­ ы жыл­дам­дығ­ ы қа­лай анық­талад­ ы?

Жат­ты­ғу 4

1. Екі ав­тоб­ ус бір бағ­ ытт­ а қозғ­ ал­ ад­ ы. Олард­ ың жыл­дамд­ ық мод­ ул­ьдер­ і
сәй­ке­сінш­ е 90 км/сағ жә­не 60 км/сағ. Бір­ інш­ і ав­тоб­ ус­тың екінш­ і ав­то­бусқ­ а
қа­тыс­ты жә­не екін­шін­ ің бір­ інш­ і ав­тоб­ усқ­ а қа­тыс­ты жылд­ амд­ ығ­ ы нег­ е
тең?

2. Екі па­ралл­ ель тем­ ір­жол бойым­ ен бір-бір­ і­не қар­ а­ма-қарс­ ы екі пойы­ з
72 км/сағ жә­не 108 км/сағ жыл­дамд­ ықп­ ен қозғ­ ал­ ып кел­ е жа­тыр. Бір­ інш­ і
пойы­ зд­ ың ұзын­дығ­ ы 800 м, екінш­ і­сі­нің ұзын­дығ­ ы 200 м. Қан­дай уақ­ ыт
ара­лығ­ ын­да бір­ інш­ і пой­ыз екін­ші пой­ызд­ ың жан­ ын­ ан өтед­ і?

24

АРМАН-ПВ баспасы 3. Ағыс жыл­дамд­ ығ­ ы 2 м/с өзенд­ е ка­тер жағ­ а­ға қа­тыст­ ы 3,5 м/с жылд­ ам­
дықп­ ен пер­пен­дик­ у­ляр қоз­ғал­ уы үшін мот­ ор ка­тер­ге қан­дай жылд­ амд­ ық
бер­ уі кер­ ек?

4. Мет­ро эск­ а­ла­тор­ ы оның бойым­ ен қозғ­ ал­ ып кел­ е жатқ­ ан адамд­ ы 1 мин
ішін­де тө­мен түс­ ір­ ед­ і. Егер адам екі есе жыл­дам­ ыр­ ақ жүрс­ е, ол тө­мен­ге
45 с уақытта түс­ ед­ і. Егер адам қозғ­ алм­ ай тұрс­ а, онд­ а ол қанш­ а уа­қыт­та
тө­мен түс­ е­ді? Егер эск­ ал­ ат­ ор жылд­ амд­ ығ­ ы 0,9 м/с бол­са, оның ұзын­дығ­ ы
қанш­ а бо­лад­ ы? Егер «Жіб­ ек жо­лы» станс­ ысын­да эс­ка­лат­ ор­дың ұзынд­ ығ­ ы
104 м құ­ра­са, ол жүр­гін­шін­ і қан­ша уақ­ ыт­та төм­ ен­ге тү­сі­ред­ і (15-су­рет)?

15-сур­ ет. Алм­ а­ты мет­роп­ ол­ ит­ е­ні­нің «Жіб­ ек жол­ ы» стан­сысы

Экс­пе­ри­ме­нт­тік тап­сыр­ма
Сек­ ундөл­шеу­іш аспабы мен өлш­ еуіш тас­па­ны пайд­ ал­ ан­ ып, екі оқуш­ ын­ ың

бір бағытта жә­не қа­ра­ма-қарс­ ы бағыттағы қозғ­ а­лысы ке­зінд­ е­гі орын ау­ыс­ты­
руы­ ның са­лыст­ ырм­ а­лы жыл­дамд­ ық­тар­ ын анықт­ аңд­ ар. Алынған нәтижелерге
талдау жүргізіңдер.

Шығ­ арм­ аш­ ыл­ ық тапс­ ырм­ а
«Әр­түрл­ і қызм­ ет са­ла­сынд­ а: өнер­кәс­ іпт­ е, ауы­ лша­руа­ шылығ­ ынд­ а, цирк

атт­ ракц­ ионд­ ар­ ынд­ а, авиа­ция­да, спорт түрл­ е­рінд­ е жән­ е т.б. қоз­ғал­ ыст­ ың са­лыс­
тыр­ма­лыл­ ы­ғын пай­да­ла­ну» деген тақырыпта хабарлама дай­ын­даңд­ ар.

25

§ 5. Қис­ ықсыз­ ықт­ ы қозғ­ а­лыс ки­не­мат­ ик­ ас­ ы

АРМАН-ПВ баспасыКүтілетін нәтиже: Кез келг­ ен қис­ ықсыз­ ық­ты қоз­ға­ла­тын ден­ е қоз­
Осы параграфты игергенде: ға­лы­сын зерт­те­ген кезд­ е траек­то­рия­ны тү­зу­сыз­ ық­ты
• қи­сықс­ ыз­ ықт­ ы қоз­ бө­лікт­ ер мен оған сәй­кес шең­бер доғ­ а­лар­ ы­ рад­ иус­
тарының үй­ле­сі­мі рет­ ін­де қар­ аст­ ыр­ у­ға бо­ла­ды.
ғал­ ыс кез­ ін­де ден­ е­нің Де­не­нің шеңб­ ер бойы­мен қоз­ға­лы­сын қар­ аст­ ыр­ ай­ық.
тан­ген­циа­ л, центр­ ге
тарт­қыш жән­ е тол­ ық I Шең­бер бойым­ ен де­нен­ ің тең­ айн­ ы­ма­лы
үдеу­ле­рін, траект­ о­ қозғ­ а­лыс­ ын сип­ атт­ айт­ ын сы­зық­тық
рия­ның қи­сықт­ ық ша­мал­ ар
рад­ иусын анық­тай
ала­сың­дар. Шең­бер бойы­мен теңай­ны­ма­лы қозғ­ а­ла­тын де­

не­нің сыз­ ық­ты жыл­дамд­ ығ­ ы кез келг­ ен тең уа­қыт

ара­лығ­ ын­да бірд­ ей мәнг­ е өз­ге­реді. Теңүде­ме­лі қоз­

ға­лыс ке­зін­де (16, а-су­рет):

υ = υ0 + aжt (1)

Теңкемімелі қозғ­ ал­ ыс ке­зінд­ е (16, ә-сур­ ет):

υ = υ0 – aжt aæ = ∆υ (2)
(1) жә­не (2) форм­ у­лал­ ард­ а­ғы ∆t үдеу

aж υ0 жан­ а­ма не­мес­ е тан­ген­ци­ал үдеу деп аталад­ ы. Ол

сы­зықт­ ық жылд­ амд­ ық­тың бағ­ ыт­ ы бойы­ нш­ а траек­то­

aц.т. рияғ­ а жан­ ам­ а бойы­мен нем­ ес­ е оған қар­ а­ма-қарс­ ы

aц.т. aж бағ­ ыт­талад­ ы. Егер шең­бер рад­ иусы R тұр­ ақт­ ы шам­ а
υ
бол­ ат­ ын бол­са, онд­ а сыз­ ық­тық жылд­ амд­ ықт­ ың өз­
0 u2
ге­руі нә­ти­жес­ ін­де цент­рге тартқ­ ыш үдеу àö.ò =� R

R айн­ ы­мал­ ы шам­ а бо­лад­ ы. Егер центрге тартқыш үдеу

жылдамдыққа 90° бұрышпен бағытталса, онда ол нор-

а) маль үдеу деп аталады және ац.т. әрпімен белгіленеді.

Шеңб­ ер бойы­мен тең­ ай­ны­мал­ ы қозғ­ а­лат­ ын де­

aж υ0 нен­ ің то­лық үдеуін аaн=ықaт­æай+ы­ aқö.(ò1.7-сур­ ет) :
aц.т.
aц.т. aж aж υ
0 υ α
R
aц.т. a

17-сур­ ет. Тол­ ық үдеу мен оның құ­рауш­ ы­лары: жа­на­ма ­
жән­ е норм­ аль үдеу

ә) То­лық үдеу­дің құ­рау­шыл­ ар­ ы àæ мен aö.ò. өзар­ а

16-сур­ ет. Ма­те­рия­ лық нүк­те­ перп­ енди­кул­ яр, себ­ еб­ і шең­берг­ е жүргізілген жа­нам­ а
нің шеңб­ ер бойы­ ­мен бірқ­ ал­ ып­
рад­ иусқ­ а перп­ ен­дик­ ул­ яр бо­лад­ ы. Пи­фа­гор теорем­ а­
ты ай­ны­ма­лы қоз­ға­лы­сы
сын­ а сәйк­ ес тол­ ық үдеу: a2 + aæ2
a= ö.ò.
(3)

26

Жылд­ амд­ ық пен то­лық үдеуд­ ің ара­сын­дағ­ ы Жауабы қандай?
1. Нег­ е жан­ а­ма үдеуд­ і
бұ­рыш­тың мә­ні белг­ і­лі болс­ а, нор­маль және жа­на­ма
АРМАН-ПВ баспасы тан­ген­циа­ л үдеу деп
үдеуд­ і мына форм­ ул­ ам­ ен байл­ ан­ ыст­ ыр­ уғ­ а бо­ла­ды: атай­ды?
aö.ò 2. Рад­ иусы тұр­ ақ­ты
tg a = aæ шеңб­ ер бойым­ ен те­ңай­
ны­ма­лы қозғ­а­лыст­ ың
не­мес­ е aö.ò тол­ ық үдеуі не­себепті
tg a Пиф­ а­гор теоре­мас­ ы
aæ = . бойы­ н­ша анық­тала­ды?

Шеңб­ ер бойы­мен тең­ ай­ны­ма­лы қоз­ға­лыс ке­зін­де 1-тапсырма
Сыз­ ықт­ ық жән­ е бұр­ ыш­
үдеу век­то­ры шеңб­ ер­дің ішін­ е қар­ ай бағ­ ыт­тала­ды. тық шам­ ал­ ард­ ы есеп­теу
фор­мул­ а­лар­ының ұқс­ ас­
Осы вект­ ордың тан­генц­ и­ал (жан­ а­ма) құр­ ауш­ ы­сы тығ­ы мен айы­ рм­ аш­ ы­лығ­ын
көрс­ ет­ іңд­ ер.
жыл­дамд­ ықт­ ың мо­ду­лі бой­ын­ша өз­гер­ іс­ ін, ал нор­
Жауабы қандай?
маль құ­рауш­ ы (цент­рге тарт­қыш) бағ­ ы­ты бой­ын­ша Не­лік­тен дененің шең­бер
бойым­ ен қоз­ғал­ ысы­ н
өз­ге­ріс­ ін сип­ ат­тай­ды сип­ ат­тау үшін бұр­ ышт­ ық
шам­ а­ларды қолдану ың­ғай­
II Де­не­нің шеңб­ ер бойым­ ен қоз­ғал­ ыс­ ын лыр­ ақ?
си­пат­тай­тын бұ­рыш­тық ша­мал­ ар

Тең­ ай­ны­мал­ ы қозғ­ ал­ ыс кез­ ін­де ω бұр­ ышт­ ық
жылд­ амд­ ық пен φ бұ­рышт­ ық орын ауы­ ст­ ыр­ у­дан
басқ­ а ε бұр­ ыш­тық үдеу тү­сін­ іг­ ін енг­ із­ у қа­жет.

Бұ­рыш­тық үдеу  – бұ­рыш­тық жыл­дам­
дықт­ ың өз­ге­ру шапш­ аңд­ ығ­ ын сип­ атт­ айт­ ын
фи­зи­ка­лық ша­ма.

Теңүдемелі қозғ­ ал­ ыс үшін бұр­ ышт­ ық үдеу:
ω − ω0
ε = ∆t (4)

Теңкемімелі қозғ­ а­лыс үшін бұ­рыш­тық үдеу:
ω0 − ω
ε = ∆t (5)

Бұ­рыш­тық үдеуд­ ің өл­шем бірл­ і­гі [ε]–1 рад/с2.

бұ­рыш­тық жыл­дамд­ ықт­ ың өлш­ ем бірл­ і­гі [ω]–1 рад/с.

(4), (5) фор­мул­ ал­ ар­дан бұр­ ыш­тық жылд­ амд­ ық­тың

лезд­ ік мә­нін өрнектейік:

ω = ω0 ± εt.
Алынғ­ ан форм­ ул­ а тең­ айн­ ы­мал­ ы қозғ­ ал­ ыс кез­ інд­ е

сыз­ ықт­ ық жылд­ амд­ ықт­ ы есепт­ еу фор­мул­ ал­ ары­ на

ұқсас. Дем­ ек, бұр­ ышт­ ық орын ауы­ с­тыр­ у форм­ ул­ ас­ ы

сыз­ ықтық орын ауы­ ст­ ыр­ у­ды есепт­ ейті­н форм­ ул­ ағ­ а

ұқсас бол­ ад­ ы.

Шеңб­ ер бойым­ ен тең­ үд­ ем­ ел­ і қозғ­ ал­ ыс үшін:

ϕ = ω0t + εt 2 , ϕ= ω2 − ω02 ,

2 2ε

27

Шеңб­ ер бойым­ ен теңкемімелі қозғ­ ал­ ыс үшін:
εt 2 ω02 − ω2 Естеріңе түсіріңдер!
2ε Сыз­ ық­тық жә­не бұ­рыш­тық
АРМАН-ПВ баспасы ϕ = ω0t − 2 , ϕ= . ша­мал­ ар арас­ ын­да­ғы
байланыс:
Бұ­рыш­тық жылд­ амд­ ық­тың орт­ а­ша мә­нін ен­гі­зейік:
w0 +w l = φR
wîðò = 2 , υ = ωR
aц.т = ω2R
он­да бұ­рыш­тық орын ауы­ с­ты­ру­ды мынадай форм­ у­ла
Есте сақтаңдар!
бой­ын­ша анық­тауға болады: aж = εR
ω0 + ω
ϕ= 2 t . a= R ω4 +ε2

III Сыз­ ықт­ ық жә­не бұ­рышт­ ық Жауабы қандай?
шам­ ал­ ар­дың байл­ а­ныс­ ы Шең­бер бойы­ н­ша қозғ­а­
лыст­ ы сип­ ат­тай­тын
Үдеул­ ер арас­ ынд­ а бай­ла­ныс ор­на­тайы­ қ. (4) фор­ қан­дай ша­мал­ ар бойы­ н­ша
қи­сықт­ ық ра­диусы­ н есеп­
му­ла­да­ғы бұ­рыш­тық жыл­дамд­ ықт­ ы сы­зық­тық жыл­ теуге бол­ а­ды?

дамд­ ық­қа ал­мас­ты­райы­ қ: 2-тапсырма
υ υ0 Қис­ ықт­ ық рад­ иуст­ ы
ε= R − R = υ − υ0 = aæ есеп­тейті­н барл­ ық мүмк­ ін
tR R фор­му­ла­лар­ды жа­зыңд­ ар.
t . Осыл­ айш­ а, бұ­рышт­ ық үдеу Сызықтық және бұрыштық
шамаларды есептеу
жан­ ам­ а нем­ е­се танг­ енц­ иа­ л үдеум­ ен мына қат­ ын­ ас­ формулаларының ұқсас­
тығы мен айырмашылығын
арқылы байл­ ан­ ыс­ ад­ ы: көрсетіңдер

aж = εR (6)

(3) жә­не (6) форм­ ул­ а­ны пай­дал­ а­нып, тол­ ық үдеуд­ ің

бұ­рыш­тық ша­мал­ арм­ ен қа­ты­на­сын таба­мыз:
ω4R2 + ε2R2 = R ω4 + ε2 .
a= a2 + aæ2 =
ö.ò.

à = R ω4 + ε2 (7)

5-кест­ е. Сы­зық­тық жә­не бұр­ ыш­тық кин­ ем­ а­ти­кал­ ық­
ша­ма­лард­ ың сал­ ыс­тырм­ а­лы кест­ ес­ і

Бұрыштық шамалар Сызықтық шамалар

ω = ω0 + εt ; ω = ω0 – εt υ = υ0 + at ; υ = υ0 – at

ϕ = ω0t + εt 2 ; ϕ = ω0t − εt 2 s = u0t + at 2 ; s = u0t − at 2
2 2 2 2

ω2 − ω02 u02 − u2 u 2 − u02
2ε 2a 2a
ω > ω0 болғанда, ϕ= ; s = ; s =

ω0 > ω болғанда, ϕ= ω02 − ω2
2ε

wîðò = w0 + w uîðò = u0 + u
2 2

Естеріңе түсіріңдер!
Ма­те­ма­ти­ка курс­ ы­нан шеңб­ ер­дің ра­диусын есептеудің қанд­ ай тәсілдерін біл­ е­сің­дер?

28

ЕСЕП ШЫҒАРУ ҮЛГІЛЕРІ aж
aц.т. α
1-есеп. Рад­ иусы 10 см дөңг­ ел­ ек 3,14 рад/с2 тұр­ ақт­ ы
бұ­рыш­тық үдеум­ ен айн­ ал­ а­ды (суретке қараңдар). Қозғ­ а­лыс
баст­ алғ­ анн­ ан кей­інг­ і бі­рінш­ і се­кун­ д­тың аяғ­ ын­да 1) бұ­рышт­ ық
жылд­ амд­ ық­ты, 2) сы­зықт­ ық жыл­дамд­ ықт­ ы, 3) тан­генц­ иа­ л
үдеу­ді, 4) центрге тартқыш үдеу­ді, 5) тол­ ық үдеуд­ і, 6) жар­ты
дөңг­ ел­ ек жиег­ ін­де­гі нүкт­ ел­ ер үшін то­лық үдеуд­ ің бағ­ ыт­ ы мен
шеңбер рад­ иусы арас­ ынд­ а­ғы бұр­ ыш­ты анық­таңд­ ар.
АРМАН-ПВ баспасы υ

a

O

Бе­рілг­ е­ні: Шеш­ уі:
R = 10 см = 0,1 м Де­не­нің шеңб­ ер бойым­ ен те­ңүд­ ем­ е­лі қозғ­ а­лыс­ ы ке­зін­де
ε = 3,14 рад/с2 оның бұ­рыш­тық жылд­ амд­ ығ­ ы: ω = ω0 ± εt.
υ0 = 0, ω0 = 0 Есеп­тің шарт­ ы бой­ынш­ а: ω0 = 0, сонд­ а: ω = εt.
t=1c Бір­ інш­ і сек­ ун­ дт­ ың аяғ­ ынд­ а ω = 3,14 рад/с.
Сыз­ ықт­ ық жылд­ амд­ ықтың бұр­ ышт­ ық жылд­ амд­ ықп­ ен
ω –? υ –? aж –? aц.т. –? байл­ а­ныс фор­мул­ ас­ ы: υ = ωR. Бір­ інш­ і сек­ ун­ д­тың ая­ғынд­ а
a –? α –? υ = 3,14 м/с.

Тан­ген­циал (жанама) үдеу уа­қытқ­ а тәуе­ л­ді емес, ол тұр­ ақ­ты жә­не aж = εR =
= 0,314 м/с2-ке тең.

Центрге тартқыш үдеу уақ­ ыт­тың квад­ра­ты­на проп­ орц­ ион­ ал өсед­ і:

aц.т. = ω2R = ε2t2R, бір­ інш­ і се­кунд­т­ың аяғ­ ынд­ а aацн.ты. =қ­т0а,й9м­86ызм:/сa2.= a2 + aæ2 .
Тол­ ық үдеу­ді Пи­фа­гор теоре­мас­ ы бой­ын­ша ö.ò.

t = 1 с болғ­ анд­ а a = 1,03 м/с2. aæ 0, 314
a 1, 03
Бі­рін­ші се­ку­нд­тың аяғ­ ын­да (суретке қараңдар) sin α = = = 0, 305 , яғ­ни

α =17°46΄.

Жа­уаб­ ы: ω = 3,14 рад/с, υ = 3,14 м/с, aж = 0,314 м/с2, aц.т. = 0,986 м/с2,
a = 1,03 м/с2, α =17°46΄.

Ба­қыл­ ау сұ­рақт­ а­ры

1. Сыз­ ықт­ ық жыл­дам­дық мо­ду­лін­ ің өзг­ е­ру жылд­ ам­дығ­ ын тол­ ық үдеу­дің қан­
дай құр­ ау­шы­сы си­патт­ айд­ ы? Жыл­дам­дық ба­ғыт­ ының өзгеруін ше?

2. Қи­сық­сыз­ ықт­ ы қозғ­ а­ла­тын ден­ е траекториясы қанд­ ай шартт­ ар­да тү­зу
­сы­зықт­ ы бол­ а­ды?

3. Қан­дай шам­ а­ны бұр­ ыш­тық үдеу деп атай­ды? Ол жан­ а­ма үдеум­ ен қа­лай
байл­ а­ныс­ты? То­лық үдеу­мен ше?

Жатт­ ы­ғу 5

1. Ра­диусы 1 м бо­ла­тын шеңб­ ер бойы­мен те­ңү­де­ме­лі қозғ­ ал­ а баст­ ағ­ ан нүк­те
50 метр жолд­ ы 10 с жү­ріп өт­ті. Қозғ­ ал­ ыс баст­ алғ­ ан­нан кей­ін 5 с өткен соң
нүк­тен­ ің нор­маль үдеуі не­ге тең?

29

АРМАН-ПВ баспасы 2. Пой­ыз 54 км/сағ бас­тапқ­ ы жылд­ амд­ ықп­ ен жолд­ ың дөңг­ ел­ ек­тенг­ ен бөл­ і­
гі­не кір­ ед­ і жә­не 30 с ішінде 600 м жол жүр­ іп өте­ді. Дөңг­ ел­ ек­теу рад­ иусы
1 км. Осы жолд­ ың со­ңын­да­ғы пой­ыз­дың жылд­ амд­ ығы мен тол­ ық үдеуін­­ ің
мо­ду­лін та­быңд­ ар. Тан­генц­ и­ал үдеуд­ і мо­ду­лі бой­ынш­ а тұр­ ақт­ ы деп есеп­
тең­дер.

3. Бас­тап­қы бұ­рыш­тық жылд­ амд­ ы­ғы ω0 = 2π рад/с серм­ ер (мах­ ов­ ик) 10 ай­­
нал­ ым жас­ ап, үй­кел­ іс салд­ ар­ ын­ ан мойы­ нтір­ ек­те тоқ­та­ды. Серм­ ерд­ ің
бұр­ ышт­ ық үдеуін тұр­ ақт­ ы деп есепт­ еп, оның мә­нін таб­ ыңд­ ар.

4. Нүк­те шеңб­ ер бойым­ ен 0,04 рад/с2 тұ­рақт­ ы үдеум­ ен ай­нал­ ад­ ы. Үдеу век­
тор­ ы қанш­ а уақ­ ытт­ ан соң жылд­ амд­ ық вект­ ор­ ым­ ен 45° бұрыш құрайд­ ы?

5. Нұр-Сұлтан қа­лас­ ын­ ың «Ду­ман» ойы­ н-с­ ауы­ қ ке­шен­ ін­ ің жан­ ында орн­ а­
лас­қан шол­ у­ дөң­гел­ ег­ ін­ ің биі­кт­ іг­ і 65 метр­ (18-су­рет). Айн­ а­лу пер­ и­оды
7  мин­ утт­ ы құр­ ай­тын болс­ а, жұм­ ыс ке­зінд­ е дөң­гел­ ек ка­бин­ а­лар­ ы бек­ і­
тілг­ ен нүк­тел­ ерд­ ің сы­зықт­ ық жә­не бұр­ ышт­ ық жыл­дамд­ ықт­ ар­ ы, норм­ аль
жә­не бұр­ ышт­ ық үдеул­ ер­ і қандай?

18-су­рет. ТМД ел­дер­ інд­ ег­ і биі­кт­ і­гі жа­ғы­нан екінш­ і орын­дағ­ ы шол­ у д­ өңг­ е­лег­ і

Эксп­ ер­ им­ е­нт­тік тапс­ ыр­ма
Ве­лос­ ип­ едт­ ің ас­фальт пен то­пыр­ ақ бет­ ін­де те­жел­ген кез­дег­ і дөңг­ е­ле­гі­нің

қоз­ғал­ ыс­ ын си­пат­тай­тын сы­зық­тық жән­ е бұр­ ыш­тық шам­ ал­ а­рын анықт­ аң­дар.
Бұл жағд­ ай­да дөңг­ ел­ ек айн­ ал­ уы­ н зертт­ еу үшін қан­дай өлш­ еу­іш асп­ апт­ ар қа­жет?

Шы­ғар­ма­шыл­ ық тапс­ ырм­ а
«Дүн­ иежү­зі­нің саяб­ ақ­тар­ ын­дағ­ ы экст­ рем­ алд­ ық атт­рак­циондард­ ың ки­не­

ма­ти­ка­лық сип­ ат­там­ а­ла­ры. Оларды қолд­ а­ну кез­ ін­де­гі қау­іпс­ ізд­ ік техн­ и­ка­сы»
деген тақырыпта хабарлама дайы­ нд­ аң­дар.

30

§ 6. Көк­жие­ к­ке бұ­рыш жас­ ай лақ­тыр­ ыл­ған
де­нен­ ің қозға­лыс­ ы
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Көк­жие­ к­ке бұ­рыш жас­ ай лақ­ты­рыл­ған
Осы параграфты игергенде: де­нен­ ің лезд­ ік жыл­дам­дығ­ ы
• көк­жи­екк­ е бұ­рыш жас­ ай
Лезд­ ік жылд­ амд­ ық мод­ ул­ ін оның құр­ ауш­ ы­
лақ­тыр­ ыл­ған де­не­нің лар­ ын­ ың мод­ ульд­ ер­ і нем­ ес­ е 0x пен 0y осьтер­ ін­ е
қозғ­ал­ ы­сы ке­зінд­ егі кин­ е­ түс­ ір­ ілг­ ен проек­циял­ ар­ ы бойы­ нш­ а анықт­ айд­ ы
мат­ и­кал­ ық ша­мал­ ар­ды (19-сур­ ет):
анық­тай алас­ ың­дар;
• көк­жи­екк­ е бұр­ ыш жас­ ай­ u = ux2 + uy2 .
лақт­ ы­рыл­ған де­не
қоз­ғал­ ыс­ ын­ ың траек­ 0 нүкт­ ес­ ін­де лезд­ ік жылд­ амд­ ық:
тор­ ия­сын зерт­тей
алас­ ың­дар; u0 = uo2x + uo2y
• траектория
қисықтығының радиусын бол­ ад­ ы, мұнд­ ағ­ ы
анықтай аласыңдар.
υox =υ0 cos α
υoy = υ0 sin α

y Қозғ­ а­лыст­ ың тәу­елс­ ізд­ ігі прин­цип­ ін пайд­ а­
ла­на отыр­ ып, ден­ е қозғ­ а­лыс­ ын 0x пен 0y осьтер­ і

A υx бой­­ ынш­­ а жек­ е­леп қар­ ас­тыр­ ай­ық. Егер ор­та кед­ ер­
гіс­ ін еск­ ерм­ ес­ ек, онд­ а ден­ е 0x осі бойы­ нш­ а бірқ­ а­

υoy υx лыпт­ ы қозғ­ а­ла­ды, траек­то­риян­ ың бар­лық нүкт­ е­
α g υy β ле­рін­де жылд­ амд­ ық вект­ ор­ ының 0x осі бой­ын­ша
құр­ ау­шыс­ ын­ ың мод­ ул­ і тұ­рақт­ ы бо­лып қал­ а­ды

0 υox x жә­не бас­тап­қы жыл­дамд­ ық проекц­ ияс­ ы­на тең
бол­ а­ды υx = υ0x.
19-сур­ ет. Ұшу траек­то­рия­
сы­ның әрт­ үр­лі нүкт­ е­лер­ інд­ е 0y осі бойы­ нш­ а ден­ е тең­ ай­ны­ма­лы қозғ­ а­ла­ды:
жыл­дамд­ ық век­то­рының ось бойы­ н­ша құр­ ау­шы­
жыл­дам­дық век­то­рын ­ сын­ ың мод­ ул­ і ден­ ен­ і кө­терг­ ен­де нөл­дік мән­ге дей­ін
құр­ ауш­ ы­ларғ­ а жікт­ еу кемиді, ал тү­сір­генд­ е – артады. Лақ­ты­ру деңг­ ей­ін­де
оның мә­ні баст­ ап­қы жылд­ амд­ ық проекц­ ияс­ ы­на тең

бо­лад­ ы: υy  =  υ0y. 0y  осі бойы­ нш­ а жыл­дамд­ ық құр­ ау­шы­сы­ның лезд­ ік мә­ні:
υy = υ0y – gt бол­ ад­ ы.

Траек­то­риян­ ың кез кел­ген нүк­тес­ інд­ е жылд­ амд­ ық құр­ ау­шы­ла­рын­ ың уақ­ ыт­қа

тәу­ел­діл­ іг­ ін еск­ ерг­ енд­ е лезд­ ік жылд­ амд­ ық мә­ні мына форм­ у­лам­ ен анық­талад­ ы:

υ = υo2x + (υoy − gt )2 .

А  мак­сим­ ал көт­ ер­ іл­ у нүкт­ ес­ ін­де ден­ ен­ ің лез­дік жыл­дамд­ ығ­ ы 0x осін­ е тү­сі­ріл­ген

жылд­ амд­ ық проекц­ ияс­ ын­ а тең бол­ ад­ ы:

υA = υ0cosα.
Жылд­ амд­ ық вект­ ор­ ын­ ың көлд­ ен­ ең­ н­ ен алғанда β  бұр­ ы­лу бұр­ ыш­ ын­ ың мә­ні бел­

гі­лі болс­ а, онд­ а траек­тор­ иян­ ың кез келг­ ен нүкт­ е­сінд­ ег­ і жылд­ амд­ ық­тың мә­нін мына

фор­му­ла бойы­ нш­ а анық­тауғ­ а бол­ ад­ ы:

υ =υ0 cos α
cos β

31

II Көкж­ ие­ к­ке бұр­ ыш жас­ ай лақт­ ы­рыл­ған 1-тапсырма
ден­ ен­ ің координ­ ат­ ала­ры
АРМАН-ПВ баспасы 1. Сад­ ақт­ ан 60 м/с
Де­не 0x осі бойы­ мен бір­қа­лып­ты қозғ­ ал­ ады, жылд­ амд­ ық­пен көк­
жи­екк­ е 20° бұр­ ыш
демек, қозғ­ а­лыс за­ңы мына түрг­ е ие бол­ а­ды: жасай (sin 20° ≈ 0,34;
cos20° ≈ 0,94) атылғ­ан
x(t) = x0 + sx. же­бе­нің (20-су­рет)
x0 = 0, sx = υ0xt, υ0x = υ0cosα еке­нін ес­кер­сек, он­да: баст­ апқ­ ы жылд­ амд­ ы­
x(t) = (υ0cosα) t. (1) ғын­ ың құр­ ауш­ ыл­ а­рын
анық­таңд­ ар.
0y осі бойы­ нш­ а ден­ е g ерк­ ін тү­су үдеуім­ ен
2. Жеб­ ен­ ің көкж­ ие­ кке
тең­ айн­ ы­ма­лы қозғ­ а­лад­ ы, бұл қоз­ға­лыс тү­рі үшін заң бұр­ ыл­ у бұ­рыш­ ы
10° (cos10° ≈ 0,98) бол­
мынадай түр­де бол­ ад­ ы: gyt 2 ған кез­де­гі ұшу жыл­дам­
2 дығ­ын анықт­ аң­дар.
y(t ) = y0 + υoyt + .
3. Траек­то­риян­ ың жоғ­ар­ғы
υ0y Қа­ра­стырылып отыр­ған ден­ е үшін y0 = 0, нүкт­ е­сінд­ е­гі же­бен­ ің
 =  υ0sinα, gy  = –g еке­нін ес­кер­сек, он­да: (2) жылд­ ам­дығ­ын та­бың­дар.
y(t ) =(υ0 sin gt 2
α )t − 2 .

Алынғ­ ан (1) жән­ е (2) тең­деу­лер көкж­ и­екк­ е

бұр­ ыш жа­сай лақт­ ы­рыл­ған ден­ ен­ ің қоз­ға­лыс заң­

дар­ ы бо­лып та­бы­лад­ ы.

III Траект­ о­рия теңд­ еу­ле­рі

Екі (1) жә­не (2) тең­деу­лерден құр­ ал­ған жүйен­ і

ше­шіп, y(x) тәу­ел­ді­лі­гін табам­ ыз. (1) тең­деу­ден
x
уа­қыт­ты өр­нек­теп t = cos α , (2) тең­деуг­ е қойс­ ақ, 20-су­рет. Респ­ убл­ ик­ а­лық­
y(x ) =υ0 υ0 са­дақ ату жар­ ы­сын­ а ­
x gx 2 дайы­ н­дық жат­ты­ғуы. ­
sin α υ0 cos α − 2υ02 cos2 α Жам­был обл­ ы­сы

нем­ е­се y (x) = − 2υ02 g α x2 + (tgα) x (3)
cos2

бо­ла­ды.
Көкж­ и­екк­ е бұр­ ыш жас­ ай лақт­ ы­рыл­ған ден­ е траект­ о­рияс­ ы­ның (3) теңд­ еуі

тар­мақт­ ар­ ы тө­мен ба­ғыт­тал­ған па­ра­бол­ а тең­деуін бер­ ед­ і.

2-тапсырма
1. (3) траект­ ор­ ия теңд­ еуін пай­да­ла­нып, же­бе­нің ұшу траект­ о­рияс­ ын құр­ аст­ ы­рың­дар.

Жеб­ ен­ ің бас­тапқ­ ы коор­дин­ а­тала­рын 0-ге тең деп алың­дар.
2. Егер атылғ­ан же­бе­ деңг­ейі­мен ныс­ ан­ а центр­ і сәйк­ ес кел­се, он­да ны­са­на қанд­ ай қаш­ ық­

тықт­ а орн­ а­лас­қан? Жауа­ птарыңда өзд­ е­рің тұрғызған гра­фикт­ і пайд­ а­ла­ныңд­ ар.

IV Көкж­ ие­ кк­ е бұр­ ыш жас­ ай лақ­тыр­ ыл­ған ден­ ен­ ің қозғал­ ыс­ ын
сип­ атт­ айт­ ын шам­ а­лар

Көк­жи­ек­ке бұ­рыш жас­ ай лақ­ты­рыл­ған ден­ е­нің қоз­ға­лы­сын си­пат­тай­тын не­гіз­гі
ша­мал­ ар: би­ікт­ ік, ұшу қаш­ ық­ты­ғы, көт­ е­рі­лу уа­қы­ты, тү­су уа­қы­ты жә­не ұшу ұзақ­ты­ғы
бо­лып та­бы­ла­ды. Ден­ е­лер­дің ер­кін тү­су форм­ ул­ а­сын (4-кест­ е, 18-бет) көкж­ ие­ к­ке

32

бұ­рыш жас­ ай лақ­ты­рылған де­не коор­дин­ а­талар­ ы мен 3-тапсырма
1. Же­бе­нің ең жо­ғар­ғы
0x, 0у осьтер­ і бойы­ н­ша жылд­ амд­ ық құр­ ауш­ ыл­ ар­ ын
АРМАН-ПВ баспасы көт­ ер­ іл­ у биі­кт­ іг­ін, көт­ е­ріл­ у
пай­дал­ ан­ ып, а­талғ­ ан шам­ а­ларды есеп­теу фор­му­ла­ уа­қыт­ ын, түс­ у уақ­ ыт­ ын,
ұшу уа­қыт­ ын анық­таңд­ ар.
лар­ын табам­ ыз. 2 − υ02y 2. Жеб­ ен­ і жі­бер­ген­нен
y кейі­н көк­жи­екк­ е қа­тыс­ты
Ұшу би­ік­тіг­ ін hy = υ y есепт­ ейт­ін фор­мул­ ағ­ а бұ­рыл­ у бұ­ры­шы 100 бол­
ғанғ­а дей­ін қан­ша уақ­ ыт
2g өт­етінін анықт­ аңд­ ар.
3. Осы уақ­ ыт­ ішінде
баст­ ап­қы уақ­ ыт мез­ ет­ ін­де жә­не кез келг­ ен t уақ­ ыт (sin100  ≈ 0,17) же­бен­ ің
көт­ ер­ іл­ у биі­к­ті­гін есеп­
ме­зе­тін­де 0у осін­ е тү­сі­ріл­ген жылд­ амд­ ық проекц­ ия­ теңд­ ер.

ла­рын υ0y  =  υ0  sinα, υy = υ0 sinβ қоям­ ыз. gy = – g ерк­ ін Жауабы қандай?
түс­ у үдеуі­проекц­ ияс­ ы­ның таңб­ ас­ ын еск­ ер­ сек: Ең жо­ғар­ғы биі­кт­ ік­ке
көт­ е­рі­лу жә­не баст­ ап­қы
h= υ02 sin2 α − υ2 sin2 β (4) деңг­ ей­ге түс­ у уақ­ ыт­ ы
2g нел­ ікт­ ен бір­дей мәнг­ е тек
үйк­ е­ліс кү­ші болмаған кезде
Ең жо­ғар­ғы кө­тер­ і­лу нүкт­ е­сін­де жыл­дамд­ ықтың ғана ие бо­ла­ды?

0у осі бой­ын­ша құ­рауш­ ы­сы нөл­ге тең υy = 0, β = 0, (4)
өрн­ ек мын­ а түрг­ е ие бол­ ад­ ы:
υ02 sin2
hmax = 2g α (5)

Ең жо­ғар­ғы биі­кт­ ік­ке кө­те­ріл­ у­ге кет­кен уақ­ ытт­ ы

лез­дік жыл­дамд­ ық­ты есепт­ еу форм­ ул­ а­сы­нан шығ­ а­

ра­мыз:

υy = υ0y – gt = υ0sinα – gt.
υу = 0 болғ­ ан кез­де жаз­ ылғ­ ан теңд­ еуд­ ен кө­тер­ і­лу
уа­қыт­ ын есепт­ ейті­н фор­мул­ ан­ ы табам­ ыз:

t = υ0 sin α (6)
g
көт­ е­рі­лу

Ұшу уа­қы­ты де­не­нің 0у осі бой­ын­ша коорд­ ин­ а­тас­ ы нөлг­ е тең y = 0 болғ­ ан кезд­ е
құ­лау уақ­ ы­ты арқ­ ы­лы анықт­ ала­ды. Бе­ріл­ген шартт­ ар­да де­не коор­дин­ а­тала­рын есеп­
­теу форм­ ул­ асы­нан:

y (t )=(υ0 sin α)t − gt 2 = 0
2

жазам­ ыз, бұд­ ан t = 2υ0 sin α . (7)
g

(6) жә­не (7) фор­му­лал­ ард­ ы сал­ ыс­тыр­ ып, түс­ у уа­қы­тын табам­ ыз:

tÒ = υ0 sin α .
g

Лақ­ты­ру дең­гейі­не дейі­нг­ і көт­ ер­ іл­ у мен тү­су уа­қыт­ ы бірд­ ей мән­ге ие бол­ а­ды.

Ұшу қа­шықт­ ығ­ ы ден­ енің 0x осі бой­ын­ша коорд­ ин­ ат­ а­сым­ ен анықт­ ала­ды:
(υ0 cos α)⋅ 2υ0 sin α
l = x (t )=(υ0 cos α)t = . (8)
g

бұдан l = υ02 sin 2α .
g

33

V Траект­ ор­ иян­ ың қи­сық­тық рад­ иусы

Көк­жи­ек­ке бұр­ ыш жа­сай лақ­ты­рылғ­ ан ден­ е­нің қозғ­ а­лыс траект­ ор­ ияс­ ы құ­ра­
АРМАН-ПВ баспасы
ла­тын шеңб­ ерл­ ер­дің кі­ші доғ­ а­ла­рын­ ың ра­диусы қис­ ықт­ ық рад­ иусы деп аталад­ ы.
u2 u2
aö.ò = R форм­ ул­ а­сы­нан қис­ ық­тық рад­ иусы R = aö.ò екені шығ­ а­ды. Па­раб­ о­ла­ның

А, O жә­не B нүкт­ е­лер­ іні­ң қис­ ықт­ ық рад­ иусын анықт­ айм­ ыз (21-сур­ ет).

а) А нүкт­ е­сінд­ е (21, а-су­рет) υ = υR0xA==υυ0 0c2 ocsogαs,2 aц.т = g дем­ ек:
α.

ә) O нүк­те­сін­де (21, ә-су­рет) υ = υ0, ерк­ ін тү­су үдеуін­ ің Ox осін­ е проекц­ ияс­ ы центр­ ге
тартқ­ ыш үдеу бол­ ып таб­ ыл­ ад­ ы: aц.т = gcosα, онд­ а:
υ02
RO = g cos α

y

y A υox υ0
g
R O1 O α g x
α O1
Ox
R
а) gx

x1
ә)

21-сур­ ет. Па­ра­бо­ла нүкт­ ел­ ер­ і үшін қис­ ықт­ ық ра­диусын са­лу

VI Горизонталь лақт­ ыр­ ылғ­ ан де­нен­ ің қоз­ғал­ ыс­ ы

Егер жылд­ ам­дық ба­ғы­ты мен көк­жи­ек сы­зы­ғы

ара­сын­да­ғы бұ­рыш α = 0 нөл­ге тең бол­са, онд­ а ден­ е υ0

тө­бес­ і лақт­ ы­ру нүкт­ е­сін­де бол­ а­тын пар­ а­бол­ а тар­ма­ғы

бой­ын­ша қоз­ғал­ а­ды (22-сур­ ет). x

Қозғ­ а­лыс­ты сип­ атт­ ау үшін жо­ғар­ ыд­ а қар­ аст­ ыр­ ылғ­ ан υx
g υy
бар­лық форм­ ул­ ал­ ар қол­да­ны­ла­ды. Оy осі бойынша ден­ е h
υ
g ер­кін тү­су үдеуі­мен тең­ ү­дем­ е­лі қозғ­ ал­ а­ды, ұшу биіктігі:
gyt 2
hy = 2

Оx осі бой­ын­ша υ0 баст­ ап­қы жылд­ амд­ ықп­ ен бір­
қа­лып­ты қозғ­ ал­ а­ды, ұшу қа­шықт­ ығ­ ы мына форм­ у­
лам­ ен анықт­ ала­ды: y l

l = υ0t 22-сур­ ет. Горизонталь ­
Лезд­ ік жыл­дамд­ ық траек­тор­ ия­ның кез­ кел­ген лақт­ ы­рыл­ған ден­ ен­ ің ­
нүкт­ е­сін­де

υ = υ02 + g 2t 2 жыл­дамд­ ы­ғы траект­ о­рия­
жан­ а­масы бой­ымен­

бол­ а­ды. бағ­ ыт­талғ­ ан

34

Бақ­ ы­лау сұ­рақ­тар­ ы

1. Көк­жи­екк­ е бұ­рыш жа­сай лақт­ ы­рыл­ған ден­ е­нің лез­дік жыл­дамд­ ығ­ ын қа­лай
анық­тай­ды?

2. Көкж­ ие­ кк­ е бұ­рыш жа­сай лақт­ ы­рылғ­ ан де­не­нің қозғ­ а­лыс­ ын сип­ ат­тай­тын
нег­ ізг­ і шам­ а­лард­ ы атаңд­ ар. Оларғ­ а анықт­ ам­ а бер­ іңд­ ер.

3. Қозғ­ а­лыс заң­ ы­ның траек­тор­ ия тең­деуін­ ен нег­ ізг­ і айы­ рм­ а­шыл­ ы­ғы қанд­ ай?
АРМАН-ПВ баспасы
Жатт­ ығ­ у 6

1. Ден­ е 10 м/с жылд­ амд­ ық­пен көк­жие­ кк­ е 45° бұр­ ыш жас­ ай лақт­ ыр­ ыл­ған.
Ден­ е­нің x коор­дин­ а­тас­ ы 3 метрг­ е тең бол­ған кезд­ е­гі кө­тер­ іл­ у би­ік­тіг­ ін
анықт­ аң­дар.

2. Көл­ден­ ең­ і­нен 10 м/с жыл­дамд­ ықп­ ен лақ­ты­рыл­ған ден­ ен­ ің ұшу қаш­ ық­
ты­ғы лақ­тыр­ у биі­к­тіг­ і­не тең. Ден­ е қан­дай биі­кт­ ікт­ ен лақт­ ыр­ ыл­ған?

3. Егер ең жо­ғар­ғы кө­те­ріл­ у нүкт­ е­сін­де қи­сық­тық ра­диусы ұшу би­ікт­ і­гі­нен
2 есе асып түсс­ е, ден­ е көкж­ ие­ кк­ е қанд­ ай бұр­ ышп­ ен лақт­ ы­рылғ­ ан?

4. Тау­дың ірг­ е­сін­де ор­нал­ асқ­ ан ми­на атқ­ ыш­тан тауд­ ың жаз­ ық бөк­тер­ ін­де­гі
қар­сы­лас­тард­ ың нысандарын ату жүр­гі­зі­ліп жа­тыр. Бөкт­ ер көкж­ и­ек­пен
30° құр­ ай­ды. Ми­на ат­қышт­ ың ұңғ­ ыс­ ы көкж­ и­ек­ке қат­ ыс­ты 60° бұ­рыш­пен
ор­нат­ ылғ­ ан. Ми­на атқ­ ыш пен мин­ ан­ ың түс­кен орн­ ы­ның арас­ ын­да­ғы ми­
ни­мал қаш­ ық­тықт­ ы анық­таңд­ ар.

5. Да­ла­да ал­дынд­ а кед­ ер­гі кезд­ ест­ ір­мег­ ен жел дау­ылд­ ың күш­ і­не дейі­н жет­ уі
мүм­кін. Әсір­ е­се, Жоң­ғар жә­не Гаш­ ун Го­биін­дег­ і жел қау­іп­ті, ол үй­лерд­ ің
ша­ты­рын жұл­ ып алад­ ы, киі­з үйл­ ерд­ і ау­да­рып, 3–5 км қашықтыққа дей­ін
домалатып, апар­ ып таст­ айд­ ы. Желд­ ің әсе­рін қыс­қа мерз­ ім­ді деп сан­ ап,
көк­жие­ кк­ е 45° бұр­ ыш­пен бағ­ ыт­тал­ған оның бас­тапқ­ ы жылд­ амд­ ығ­ ын
анық­таң­дар.

Экс­пе­рим­ ен­ тт­ ік тап­сыр­ма

Ой­ын­шық тап­ анш­ ад­ ан атыл­ған оқ­тың ұшу қа­шықт­ ығы­ның ату бұр­ ыш­ ын­ а
тәу­елд­ і­лі­гін зертт­ ең­дер. Сен­дер­ге қан­дай құр­ ал­дар қа­жет? Алын­ған нә­тиж­ е­
лер­ді тео­рия­дағ­ ы­мен са­лыс­ты­рыңд­ ар, өз өлш­ еу­лер­ ің­нің кезд­ ейс­ оқ жә­не жүй­ елі
қат­ ел­ ікт­ е­рін­ ің себ­ епт­ ер­ ін көр­се­тіңд­ ер.

35

1-тараудың қорытындысы
АРМАН-ПВ баспасы
Қ­ озғ­ ал­ ыс Қ­ озғ­ ал­ ыс заң­ ы­ Траект­ ор­ ия теңд­ еуі Қис­ ық­тық
тү­рі­ ра­диусы

К­ өкж­ ие­ кк­ е x(t) = (υ0cos α)t − gt 2 y (t ) = − 2υ02 g α x2 + (tg α) x R = υ2
бұ­рыш жа­сай 2 cos2 aö.ò
лақ­тыр­ ыл­ған y (t )=(υ0 sin α)t
де­не қозғ­ а­
лыс­ ы­

Үдеу­ Бұ­рышт­ ық үдеу Үдеулер
байл­ а­ныс­ ы­
a= a2 + aæ2 ε = ω − ω0 ε = ω0 − ω
ö.ò ∆t ∆t aж = eR

Шеңб­ ер Бұ­рыш­тық Бұр­ ышт­ ық орын ауы­ ст­ ыр­ у Үдеу­мен
бойы­мен жылдамдық бұр­ ышт­ ық
тең­ ай­ны­ма­лы жылд­ амд­ ық
қоз­ғал­ ыс w = w ± et εt 2 байл­ ан­ ыс­ ы­
0 2
ϕ = ω0t ± ω 2 − ω02 aц.т = w2R
2ε
ϕ = a = R ω4 + ε2

wîðò = w0 + w ω02 −ω 2
2 2ε
ϕ =

Га­ли­лей түр­лен­ді­ру­лер­ і­ sГа=­лиsл­1 е+й sт2үр­ленд­ ір­ у­ле­рі­нің шығ­ а­тын сал­дары
x = x1 + ut u = uñàë + uò
y = y1
z = z1
t = t1

Глоссарий
Қоз­ға­лыс тең­деуі – ден­ е­нің х коорд­ ин­ ат­ а­сын­ ың t уақ­ ытқ­ а тәу­елд­ іл­ іг­ і.
Жа­на­ма үдеу  – сыз­ ық­тық жыл­дамд­ ықт­ ың өз­гер­ у шапш­ аңд­ ы­ғын сип­ ат­тайт­ ын фи­зик­ ал­ ық

шам­ а.
Ки­не­мат­ и­ка  – ден­ е мас­са­сы мен ден­ ег­ е әсер ете­тін күшт­ ерд­ і еск­ ерм­ ей, ден­ ел­ ер­дің қозғ­ а­

лы­сын зертт­ еу­ге ар­нал­ған мех­ а­ник­ ан­ ың бө­лім­ і.
Мех­ а­ни­ка – мат­ ер­ ия­ л­ық ден­ е­лер­дің ме­хан­ ик­ а­лық қозғ­ а­лыс­ ы мен олард­ ың арас­ ынд­ ағ­ ы өзар­ а

әре­кет­ те­су­лер тур­ ал­ ы ғы­лым.
Бұ­рыш­тық үдеу – бұр­ ыш­тық жыл­дамд­ ықт­ ың өз­ге­ру шапш­ аңд­ ы­ғын си­пат­тайт­ ын физ­ ик­ ал­ ық

ша­ма.
Кин­ е­мат­ и­кан­ ың нег­ із­гі есе­бі  – нүк­те­лер нем­ ес­ е ден­ е­лер қоз­ға­лыс­тар­ ын­ ың бе­ріл­ у тә­сіл­

де­рін жә­не сәйк­ е­сін­ше осы қозғ­ ал­ ыс­тар­дың ки­не­ма­тик­ ал­ ық сип­ атт­ ам­ а­ла­рын анықт­ ау.
Абс­ ол­ ют жылд­ амд­ ық – ден­ е­нің қоз­ғал­майт­ ын сан­ ақ жүй­есін­ е қа­тыст­ ы жыл­дамд­ ығ­ ы.
Сал­ ыс­тырм­ а­лы жыл­дам­дық – ден­ е­нің қозғ­ ал­ ат­ ын сан­ ақ жүйе­ сін­ е қа­тыст­ ы жылд­ амд­ ығ­ ы.
Та­сы­мал жылд­ амд­ ық – қозғалатын са­нақ жүйе­ сін­ ің қозғ­ алм­ ай­тын сан­ ақ жүйе­ сін­ е қат­ ыст­ ы

жылд­ амд­ ығ­ ы.

36

АРМАН-ПМВЕХАбНаИКсАпасы 2-ТАРАУ

ДИН­ АМ­ ИК­ А

Қанд­ ай да бір қоз­ғал­ ыс түр­ ін­ ің пай­да болу себ­ епт­ е­рін мех­ а­ни­кан­ ың ди­на­
ми­ка бө­лім­ і қа­рас­тыр­ а­ды.
Ди­на­ми­ка (грек­. δύναμις  – «күш» сөз­ і­нен шыққ­ ан)  – де­нелерд­ ің түс­ і­ріл­ген
күш әсер­ ін­ ен бо­ла­тын қоз­ға­лыс­ ын қа­раст­ ы­ра­тын ме­хан­ ик­ а­ның бөл­ і­мі.
Бөл­ ім Ньют­ онн­ ың үш за­ңы­на нег­ ізд­ ел­ген, дин­ ам­ и­кан­ ың есептер­ ін ше­шуг­ е
ар­налғ­ ан барл­ ық тең­деу­лер мен теорем­ а­лар  – осы заң­дар­дың салд­ а­ры.

1 Тарауды оқып-біл­ у ар­қыл­ ы сенд­ ер:
• де­нел­ ер­дің бірн­ е­ше күш­ әсе­рін­ ен бол­ а­тын қозғ­ а­лы­сы ке­зін­де

есеп­тер­ді шеш­ у­дің мүм­кін бол­ а­тын ал­гор­ ит­мін құ­руд­ ы;
• инертт­ і жә­не грав­ ит­ ац­ ия­лық масс­ ал­ ар­дың физ­ и­кал­ ық мағ­ ы­на­

сын түс­ інд­ ір­ у­ді;
• мат­ е­рия­ лық нүкт­ ен­ ің гра­вит­ ац­ иял­ ық өріс­ ін­ ің керн­ еул­ і­гі мен

потен­циалы­ның ара­қа­шық­тық­қа тәуе­ л­діл­ і­гін гра­фи­кал­ ық түрд­ е
түс­ інд­ і­ру­ді;
• есеп­тер шы­ғар­ уд­ а бүк­ і­ләл­ емд­ ік тарт­ ыл­ ыс за­ңын қолд­ а­ну­ды;
• мат­ е­рия­ л­ық де­нел­ ер­дің инерц­ ия мо­ме­нт­те­рін есеп­теу үшін
Штейн­ ер теоре­ма­сын пайд­ а­ла­ну­ды;
• есепт­ ер­ді шы­ға­ру­да ай­налм­ ал­ ы қозғ­ ал­ ыс дин­ ам­ и­ка­сын­ ың тең­
деуін әр­түрл­ і форм­ а­да қолд­ а­нуд­ ы;
• іл­гер­ іл­ ем­ ел­ і және ай­налма­лы қоз­ға­лыс­ты си­патт­ айт­ ын физ­ и­ка­
лық шам­ ал­ ар ара­сынд­ а байланыс орнатуды;
• де­нен­ ің инерц­ ия мом­ ент­ ін тә­жі­ри­бел­ ік әдіс­пен анықт­ ауд­ ы үйр­ е­
нес­ іңд­ ер.

§ 7. Күшт­ ер. Күш­терд­ і қо­су. Нью­тон заң­да­ры

АРМАН-ПВ баспасыКү­тіл­ е­тін нәт­ и­же:I Таб­ иғ­ атт­ а­ғы күшт­ ер
Осы параграфты игергенде: Біз­ді қорш­ ағ­ ан де­не­лер өзар­ а әрекеттесу нәт­ и­
• күш­тер­ді граф­ и­ка­лық
жес­ інд­ е кең­ іс­тікт­ ег­ і орн­ ын өзг­ ертед­ і не­мес­ е деф­ ор­
түрд­ е бейн­ ел­ ей ала­ мац­ ия­лан­ ад­ ы. Де­нег­ е бас­қа ден­ ел­ ерд­ ің нем­ ес­ е
сың­дар; өріс­тер­дің әсер ету өл­ше­мі – күш, ба­ғы­ты бар фи­зи­
• теңәсерлі күшт­ і калық шам­ а. Күш әсерінің нәтижесі оның сандық
анықт­ ай алас­ ыңд­ ар; мә­ні­не, ба­ғы­тын­ а және тү­су нүкт­ ес­ ін­ е тә­уелд­ і. Де­
• бір­не­ше күш әсер ет­кен ненің қозғал­ ыс­ жылдамдығының өзг­ ер­ уінің себебі
ден­ е­лер­дің қозғ­а­лыс­ ы күш болып табылады.
кез­ інд­ е есепт­ ер шығ­а­
руд­ ың мүмк­ ін бо­лат­ ын Пайда болу таб­ иғ­ ат­ ын­ а байланысты күш­ төрт
алг­ о­рит­мін құр­ а түрл­ і болады: гра­ви­тац­ ия­лық, электро­ маг­нит­тік,
алас­ ың­дар. күш­ті (ядр­ ол­ ық), әлс­ із.

1-тапсырма Мех­ ан­ и­кад­ а ден­ е­лерд­ ің грав­ и­тац­ ия­лық және
мо­лек­ ул­ а текті электр­омагн­ ит­тік күшт­ ерд­ ің әсерін­ ен
1. Мас­са­сы 2500 кг жонғ­ыш пайда болған қозғ­ ал­ ыс­ тары қар­ аст­ ыр­ ылад­ ы.
біл­дек­ке әсер ет­кен
ау­ырл­ ық күш­ ін, оның II Күш­тер­ді қос­ у
сал­ма­ғын өзд­ е­рің қалаған Де­не­ге әсер ете­тін бар­лық күш­тер­дің теңәсерлі кү­шін
масш­таб­та бей­не­лең­дер.
анықт­ ауд­ ың екі тәсілі бар – геом­ ет­рия­лық жә­не ана­ли­
2. Күш век­тор­ ын гра­фик­ тік тик­ ал­ ық. Гео­метр­ иял­ ық тәсіл век­тор­лард­ ы үшб­ ұ­рыш
бей­нел­ еу­ ал­го­рит­мін не­мес­ е па­раллел­ ог­рамм ереж­ ес­ і бой­ынш­ а қос­ уғ­ а не­гіз­
құр­ астырыңдар. делг­ ен. Теңәсер­лі күш­ ті арал­ ық теңәсер­лі күшт­ ерд­ і
(23, а-сур­ ет) не­мес­ е күш­тік көпб­ ұр­ ыш­ты (23, ә-су­рет)
R1 тұрғызу арқылы күш­терд­ і тізбектей қо­су жолымен анық­
F1 R2 та­й­ды. Теңәсерл­ і күш­ ті гра­фик­ тік жолмен анықтауда
күш век­торл­ а­ры­н кез­ келг­ ен тәрт­ іпт­ е сы­зуға болады,
A F2 R бұдан теңәсер­лі күшт­ ің ба­ғы­ты мен шам­ ас­ ы өзг­ ерм­ ей­ді.
F4 F3 Теңәсер­лі күштің вект­ оры бір­ інш­ і век­тор­дың ба­сын­ ан
соң­ғы вект­ орд­ ың ұшы­на ба­ғытт­ ал­ған.
а)
Ана­ли­ти­ка­лық тәсіл бар­лық күшт­ ерд­ ің екі өзар­ а
F1 F2 F3 F4 пер­пен­дику­ляр 0х жә­не 0у ось­теріне түсірілген проек­
A ция­ларының қо­сынд­ ыс­ ын анықт­ ауға негізделген:
R
ә) FRx = F1x + F2x + … + Fnx
FRy = F1y + F2y + … + Fny.
23-сурет. Теңәсерлі күшті Алынғ­ ан нәт­ и­же­лерді Пи­фаг­ ор теоре­мас­ ы бо­йын­ша
анықтаудың геометриялық теңәсерл­ і күш­мо­дул­ ін анық­тау үшін қолданады:

тәсілі FR = FR2x + FR2y .

Бұл тәсіл координаталық әдіс деп аталады.

III Дин­ а­мик­ ан­ ың нег­ ізг­ і заң­да­ры
Ден­ е­лерд­ ің қозғ­ а­лыс түр­лер­ і мен олард­ ың пайд­ а

бол­ у себ­ еп­тер­ ін қорытындылай келе, И.Нью­тон үш
түрлі заң тұж­ ыр­ ымд­ ады.

38

Ньют­ он­ның I за­ңы: 2-тапсырма
Егер де­не­ге күш­ әсер ет­пес­ е не­ме­се күш­
тер­дің әсері теңг­ е­ріл­ген бол­са, онд­ а ден­ е 1. Молекула текті электро-
инер­циял­ық са­нақ жүй­елеріне қатысты магниттік күштерді есептеу
тыныштық күйін сақтайды немесе бірқа­ формулаларын жазыңдар.
лып­ты және тү­зу­ сыз­ ық­ты қозғ­ алады.
2. Аталған күштердің бағыт-
тарын және түсу нүктелерін
көрсетіп, графикалық түрде
бейнелеңдер.
АРМАН-ПВ баспасы
Егер де­не­ге түсірілген күштердің әсері тең­гер­ іл­ген Күш­тік көп­бұр­ ыш
бол­са, он­да Нью­тон­ның І за­ңы мы­на­түрге келеді: құ­ру ал­гор­ итм­ і

  1. Жаз­ ықт­ ықт­ а А нүк­
F1 + F2 + ...... + Fn = 0, a = 0, u = const
тес­ ін нем­ е­се ден­ е­нің
∑n 
не­мес­ е Fi = 0 . масс­ ал­ ар центр­ ін

i =1 таңд­ айм­ ыз. 
2. Таңдалған нүктеге F1
Нью­тон­ның бі­рінш­ і за­ңы ден­ е­ тү­зу с­ ыз­ ықт­ ы
жән­ е бірқ­ ал­ ып­ты қозғ­ а­латын шарт­ тарды анық­тай­ды. бі­рінш­ і вект­ ор­дың басын

Нью­тонн­ ың бі­рін­ші заң­ ы орын­дал­ а­тын сан­ ақ түсіріп, пішінін немесе
жүйелер­ і инерц­ ия­лық сан­ ақ жүй­есі (ИСЖ), ал заң  –
инерц­ ия заң­ ы деп атала­ды. ұзындығын сақт­ ай

План­ ет­ ам­ ызд­ ағы мех­ а­ни­калық құ­был­ ыст­ ард­ ы отыр­ ып, өз-өзіне пар­ ал­
сип­ атт­ ау үшін ИСЖ ре­тін­де Жер­ді, тын­ ыш­тықт­ ағ­ ы
ден­ ел­ ер­ді жә­не Жерг­ е қат­ ыс­ты тұ­рақт­ ы жылд­ ам­ лель ор­на­лас­ты­рам­ ыз.
дық­пен қозғ­ а­ла­тын ден­ е­лерд­ і ала­ды.
3. Бі­рінш­ і век­торд­ ың
Үдеум­ ен қоз­ға­ла­тын ден­ е­лер­ге қа­тыст­ ы Нью­ ұшы­на F2 екінш­ і
тонның бірінші за­ңы орын­далм­ ай­ды. Үдеум­ ен қоз­ға­ век­тор­дың бас­ ын
ла­тын ден­ ел­ ер­мен байл­ а­нысқан жүй­елерд­ і инерц­ ия­лық
емес (ИЕСЖ) деп атайд­ ы. ор­нал­ аст­ ыр­ ай­ ық.

Осыған ұқсас келесі

вектордың ұшын одан

кейінгі вектордың

басымен қосып, барлық

Нью­тонн­ ың II за­ңы: векторларды сыз­ ам­ ыз.
Ден­ ен­ ің алатын үдеуі оған түсірілген те­ң­­
әс­ ерлі күш­ке ту­ра про­порц­ ио­нал және оның 4. Тең­ әс­ ерлі күшт­ ің
мас­сасы­на кер­ і проп­ ор­цион­ ал.
век­тор­ ы алын­ған сын­ ық

сы­зықт­ ы тұйы­ қт­ айд­ ы.

Ол бір­ інш­ і вект­ орд­ ың

a  +  + .... +  ба­сын соңғ­ ы век­тор­дың
F1 F2 m Fn
= . ұшым­ ен жалғайды

және соңғы вектордың

те­ңәҮс­ едрелуі­дкіңү­шбаіғ­н­ ыіңт­ ыбадғ­ ыен­т­еы­гм­е етнү­ссіә­рйіл­кг­ееснкбеал­ ре­лд­ ыі:қaк­ү­шF­тRер.д­ ің ұшына бағ­ ыт­тал­ ад­ ы.
Нью­тонн­ ың екін­ші за­ңы де­не­теңайнымалы не­мес­ е
3-тапсырма
бір­қа­лып­ты емес қоз­ға­латын шар­ттарды анық­тайд­ ы. 1. 23-су­ретт­ ег­і А нүкт­ ес­ ін­ е

Нью­тонн­ ың екін­ші за­ңы инерциялық санақ жүйесінде түс­ ір­ іл­ген күш­терд­ ің
тең­ әсерлі күшін ана­лит­ и­
орындалады. кал­ ық әдіс­пен анық­таңд­ ар.
2. Тең­ әсерлі күш­ті ана­ли­
Үдеу ден­ ен­ ің =қоuз­ғ∆−аt­лuы0 сбіжлд­ ыір­ле­д­таімн­ ­діные­ғыск­­неыр­ ңіп,өНз­гьеюр­ у­ тик­ а­лық әдісп­ ен таб­ уд­ ың
шап­шаң­ды­ғын a ал­гор­ итм­ ін құр­ асты-
рыңдар.
тон­ның екінш­ і заң­ ын им­пуль­стік түр­де жаз­ ай­ ық:

39

 = m u − m u0 ,
F ∆t

АРМАН-ПВ баспасы
мұнд­ ағ­ ы F – ден­ ег­ е әсер етет­ ін тең­ әсерлі күш.

Нью­тонн­ ың III заң­ ы:
Де­не­лер мо­дул­ і жағынан тең, бағ­ ы­ттары қар­ ам­ а-қар­сы күшт­ ер­мен
өзар­ а әрекеттеседі. Олар – әр­түр­лі де­не­ге тү­сірі­лген та­би­ға­ты бір­дей
күшт­ ер, бір тү­зу­дің бой­ын­да әсер етед­ і.


F1 = −F2
Ди­нам­ и­ка есеп­тер­ ін шешуде станд­ арт­ты есепт­ ер­ді шеш­ у­ге мүмк­ інд­ ік бер­ ет­ ін
ал­гор­ итм қолдан­ ыл­ ад­ ы.

Ди­на­мик­ ада есеп­тер­ ше­шу ал­гор­ итм­ і

1. Сур­ ет­тен ден­ ег­ е әсер етет­ ін күшт­ ерді y

және үдеу­дің бағ­ ы­тын көрс­ ет­ у (24-су­

рет). N а x
F
2. Нег­ ізг­ і қозғ­ а­лыс заң­ ын вект­ орл­ ық түр­де

жаз­ у: ma  + mg  0
F + Fүйк+ N
= . Fүйк

3. Есептеуге ың­ғай­лы 0х жән­ е 0у ось­тер­ ін αα
α mg
таңд­ ап, олардың бір­ ін ден­ е­нің қоз­ғал­ ыс

ба­ғы­ты бойы­ н­ша бағ­ ыт­тау.

4. Қозғалыстың не­гізг­ і заң­ын таңд­ алған

ось­терг­ е проекц­ ия­лар түрінде жаз­ у: 24-су­рет. Төрт күшт­ ің әсе­рін­ ен ден­ е
max = Fx + mgx + Fүйк.x +Nx көлб­ еу жа­зықт­ ық бойы­ н­ша жо­ға­ры
may = Fy + mgy + Fүйк.y +Ny. қар­ ай үдеум­ ен қоз­ға­лып ба­ра жа­тыр.

5. Век­тор­лар­проекц­ ия­лар­ ын таңб­ а­ларын

еск­ ер­ іп, мод­ уль­дері арқ­ ыл­ ы өрн­ ек­теу:

ma = F – mg ⋅ cos α – Fүйк.
0 = –mg ⋅ sin α + N.

6. Қаж­ ет бол­ған жағд­ айд­ а кин­ ем­ ат­ и­ка­лық шам­ а­лар мен күшт­ ерд­ і есепт­ еу форм­ у­ла­

лар­ ын жаз­ у, мысалы:

aF=үйкu=2 2−μsNu02

7. Тең­деул­ ер жүй­есін белг­ і­сіз шам­ ағ­ а, мыс­ а­лы, соңғ­ ы жылд­ амд­ ыққ­ а қа­тыст­ ы шеш­ у.

IV Инер­циялық емес сан­ ақ жүйе­ лері үшін
Ньют­ он­ның екінш­ і заң­ ы. Инерц­ ия күш­ і

Егер ден­ е­ге әсер ете­тін қа­рап­ айы­ м күш­тер­мен қа­тар инер­ция кү­шін енг­ і­зе­тін бол­сақ,
он­да Нью­тон­ның екін­ші за­ңын инер­ция­лық емес сан­ ақ жү­йесін­де пай­да­лан­ уғ­ а бол­ ад­ ы.

Инерц­ ия күш­ і дег­ е­ні­міз – де­нел­ ерге басқа денелердің әсер етуінен тәу­ел­сіз түр­де пайд­ а
бо­ла­тын күш. Инер­ция­лық емес сан­ ақ жүйе­ сін таңд­ ау инер­ция күш­ ін енг­ із­ уг­ е алып келд­ і.

Инер­ция күш­ і ден­ е мас­са­сы­ның са­нақ жүй­есін­ ің үдеуін­ е кө­бейті­нд­ іс­ ін­ е тең
жә­не ол ден­ е­ге тү­сір­ ілг­ ен жүйен­ ің үдеуін­ е қар­ а­ма-қарс­ ы ба­ғыт­талғ­ ан:

40

 = −ma a
Fu
АРМАН-ПВ баспасы
25, а-сур­ ет­те де­не­ге әсер ете­тін ауы­ р­лық күш­ і мен

лифт ка­бин­ а­сы­ның Жерг­ е қа­тыс­ты үдеуі көр­сет­ ілг­ ен.

2сы5,­нәа-сқуар­­теытс­тт­еыиндеер­нц­еиgя +күa­ш іүедне­гуі­м­зіелн­геқно,здғ­еан­л­ еад­лыиф. т ка­бин­ а­ g
Fa
V Ба26й-л­ суа­р­неытт­сеқ­ аàн ден­ е­лер қозғ­ а­лыс­ ы ИСЖ
үдеумен қозғ­ а­ла­тын байл­ ан­ ысқ­ ан ИЕСЖ

ден­ е­лер жүйе­ сі бейн­ ел­ енг­ ен. Ден­ ел­ ер жүйе­ сін­ ің қоз­ а)

ға­лыс­ ын сип­ атт­ айт­ ын ша­ма­лард­ ы есепт­ ег­ енд­ е де­не­ге

әсер етет­ ін барл­ ық күш­терд­ і көрс­ ет­ у қаж­ ет. Әр ден­ е

үшін Нью­тон­ның екінш­ і заң­ ын жаз­ ам­ ыз:

m1a  + 
= Fà1 Fê12
   
m2a = Fê21 + N2 + Fê23 + Fà 2 g+a
   Fа
m3a = Fê32 + N3 + Fà3 .
Fu
мұндағы Fк12 – бірінші денеге екінші дене тарапынан ИЕСЖ
әсер ететін күш, Fк21– екінші денеге бірінші дене ИСЖ
тарапынан әсер ететін күш, Fк23– екінші денеге
үшінші дене тарапынан әсер ететін күш, Fк32– үшінші
денеге екінші дене тарапынан әсер ететін күш.

a y ә)
N2 Fк21 x 25-сур­ ет. ИСЖ мен ИЕСЖ-де

N3 Fк32Fк23 m2 Fк12 күшт­ ер мен үдеул­ ер­ді
m1 a бей­не­леу
m3 Fа2 Fa1
0 α Fа3 Есте сақтаңдар!
0 Денелер жүйе­ сін­ ің үдеуін
анықт­ ау үшін жүйен­ і қоз­
26-су­рет­. Көл­беу жаз­ ық­тық бойы­мен ­ ға­лысқ­ а келт­ ір­ ет­ ін сыртқ­ ы
байл­ ан­ ыс­қан ден­ ел­ ер қоз­ға­лы­сы күшт­ ер­ден қозғ­ ал­ ысқ­ а
қар­ ам­ а-қарс­ ы әсер етет­ ін
Шеш­ у үшін ың­ғай­лы осьт­ ер­ді таң­дайм­ ыз, тең­деу­ сырт­қы күшт­ ер­ді азайт­ ып,
лер­ді проекц­ иял­ ар ар­қыл­ ы, содан кейін шам­ а­лардың нәт­ и­же­сін жүйен­ ің масс­ а­
мод­ у­льдері арқылы жаз­ ам­ ыз, жүйен­ і белг­ і­сіз шам­ ағ­ а сын­ а бөл­ у кер­ ек.
қа­тыст­ ы шеш­ ем­ із. Ше­шу кез­ ін­де Нью­тонн­ ың үшін­ші
заң­ ы нег­ і­зінд­ е ден­ е­лерд­ ің өза­ра әрекеттесу күш­тер­ і:

F12 = F21; F23 = F32 екен­ ін еск­ е­ре­міз.
Егер бір-бірімен байланысқан жүйе де­не­лер­інің ара­
сынд­ а­ғы өза­ра әрекеттесу күш­тер­ і Нью­тонн­ ың үшінш­ і

41

за­ңына сәйкес бір-бір­ іне тең­болғандықтан, оны қозғ­ ал­ ыс­қа келт­ і­ре алмай­тын­ ын ес­кер­сек,

есепт­ і ше­шу же­ңіл­ і­рек бо­лад­ ы.
АРМАН-ПВ баспасы
Жүйе ден­ е­ле­рі ара­сынд­ ағ­ ы өза­ра әрекеттесу күш­тер­ ін іш­кі күшт­ ер деп атай­ды.

Сырт­қы күшт­ ер жүйе­ні қоз­ғал­ ыс­қа келт­ ір­ е­ді. 26-сур­ етт­ е көрс­ е­тілг­ ен де­не­лер жүйе­ сі

үшін ден­ ен­ і қозғ­ ал­ ысқ­ а кел­тір­ ет­ ін сыртқ­ ы күшт­ ер ауы­ р­лық күшт­ ер Fа1, Fа2, Fа3 бол­ ып та­бы­
лад­ ы. Жүйе­нің үдеуі де­нел­ ер­ді байла­ныс­тыр­ а­тын жіпт­ ің бой­ынд­ а осы күшт­ ер­ді құ­райт­ ын
тең­ әсерлі күш­ке ту­ра про­пор­цио­нал жә­не жүйен­ ің масс­ асын­ а кер­ і про­пор­цион­ ал:

a = Fà1 − Fà 2 sin α − Fà3 sin α
m1 + m2 + m3

Ба­қыл­ ау сұ­рақ­тар­ ы

1. Ньют­ он заң­дар­ ын тұ­жы­рым­даңд­ ар.
2. Күш­тер пай­да бо­лу та­би­ға­тына қарай неше түрге бөлінеді?
3. Қан­дай күш­терд­ і инерц­ ия күш­ і деп атайды?
4. Байл­ ан­ ыс­қан де­не­лер жүйе­ сін қанд­ ай күш­тер қозғ­ ал­ ыс­қа кел­тір­ е­ді?

Жат­тығ­ у 7

1. Вертикаль бол­ ат пешке жаб­ ысып тұрған мас­сас­ ы 50 г маг­нит бір­қа­лып­ты
вертикаль жоғары орын ауы­ с­тыр­ у үшін оған қанд­ ай күш түсіру керек? Маг­
нитт­ ің бір­қал­ ып­ты вертикаль төм­ ен қоз­ғалуы үшін 1,5 Н күш жұм­са­ла­ды.

2. Көлб­ еу бұр­ ыш­ ы 30° тег­ іс көл­беу жаз­ ықт­ ықт­ а мас­сас­ ы 50 кг де­не ор­на­
ласқ­ ан, оған горизонталь бағ­ ыт­тал­ған 294 Н күш әсер етед­ і. Көр­сет­ ілг­ ен
күш а) солд­ ан оңғ­ а қар­ ай; ә) оң­нан солғ­ а қа­рай әсер ет­етін жағд­ айд­ ағы
ден­ е­нің үдеуін анықт­ аңд­ ар. Еркін түсу үдеуі g = 10 м/с2.

3. 1,2 м/с2 үдеум­ ен вертикаль жоғары қа­рай қозғ­ ал­ а­тын лифт төб­ ес­ ін­ е дин­ а­
мом­ етр жа­быс­тыр­ ылғ­ ан, оған горизонталь ось бойымен ерк­ ін ай­на­ла­тын
блок ілін­ ед­ і. Блок үстіне тасталған жіп­тің екі ұшына массасы 0,2 кг жә­не­
0,3  кг жүк бай­лан­ ған. Блок пен жіп­ті сал­мақс­ ыз деп есеп­теп, ди­нам­ о­
метрд­ ің көрс­ етк­ іш­ ін анықт­ аң­дар, g = 10 м/с2.

4. Қы­лыш-бал­ ық ша­бу­ылдаған кезде оның жыл­дам­ды­ғы 140 км/сағ-қа жет­ е­ді.
Ол өзіне ешқандай зақым келтірместен, қайықты тесе алады. Оның үшкір
тұмсығы – «қы­лыш­ ын­ ың» тү­бінд­ е, гид­равл­ и­кал­ ық аморт­ и­зат­ ор – май­тол­
ған кіш­ірек қабаттар бар, олар соқ­қын­ ы әлсіретеді. Егер масс­ а­сы 10 кг бал­ ық
қал­ ыңд­ ығ­ ы 20 см қайықты 0,5  с уақытта те­сіп өтсе, қайық қаптамасының
ке­дер­гі кү­ші қандай болады?

Шығ­ арм­ аш­ ыл­ ық тапс­ ырм­ а

Күштердің негізгі сипаттамалары мен өзара байланысын көрсете отырып,
«Табиғаттағы күштер» тақырыбына кластер құрастырыңдар.

42

§ 8. Бүк­ іл­ ә­лемд­ ік тарт­ ы­лыс за­ңы

АРМАН-ПВ баспасыКү­тіл­ ет­ ін нә­тиж­ е:I Ма­тер­ иялы­ қ нүк­те­лерг­ е бү­кіл­ ә­лем­дік
Осы параграфты игергенде: тарт­ ы­лыс заң­ ын қолд­ ан­ у
• инерт­ті жән­ е гра­ви­
Бү­кіл­ әл­ емд­ ік тар­тыл­ ыс заң­ ын 1667 жы­лы
та­ция­лық масс­ ал­ ар­дың
фи­зи­кал­ ық мағ­ ы­на­сын И.Ньют­ он тұ­жыр­ ымд­ ад­ ы.
түс­ інд­ ір­ е ала­сың­дар;
• ма­те­рия­ лық нүкт­ ен­­ ің Массалары m1 және m2 кез келген екі материялық
керн­ еу­лі­гі мен грав­ ит­ а­- бөлшек бір-біріне олардың мас­сала­рын­ ың көбейтіндісіне
­циял­ ық өріс по­тен­циа-
лы­ның ара­қа­шықт­ ыққ­ а тур­ а про­пор­цио­нал жә­не R арақ­ аш­ ықтықт­ арының
тәуе­ лд­ і­лі­к графигін
түс­ інд­ і­ре ала­сың­дар; квадр­ а­тын­ а ке­рі про­пор­цион­ ал күшпен тартылады:
• есепт­ ер шы­ға­ру­да Gm1m2
бүк­ і­ләлемд­­ ік тарт­ ы­лыс F = R2 , (1)
заң­ ын қол­да­на ала­
сың­дар. мұнд­ ағ­ ы G = 6, 67 ⋅10−11 H ⋅ ì2   – грав­ и­тац­ ия­лық
êã 2
тұ­рақт­ ы.

Бү­кіл­ әл­ емд­ ік тарт­ ыл­ ыс за­ңы өл­шемд­ ер­ і де­не­лер

арас­ ынд­ ағ­ ы арақаш­ ықт­ ықп­ ен са­лыст­ ырғ­ ан­да кіш­і

m1 F1 m2 де­нел­ ер үшін, ма­тер­ и­ял­ық нүкт­ ел­ ер­ үшін орында­

F2 лады (27-сур­ ет).

Масс­ а­лар­ ы аз де­не­лердің тарт­ ыл­ ыс күш­ тері

мардымсыз. Ол кө­бін­ е­се шар тә­різ­дес асп­ ан де­не­лер­ і

27-сур­ ет. Бүк­ іл­ әл­ ем­дік тар­ үшін қолдан­ ыл­ ад­ ы (28-сур­ ет). Грав­ и­тац­ ия­лық өзар­ а
ты­лыс күшт­ е­рі бір түз­ у­дің
әрекеттесу күшт­ ер­ і ден­ ел­ ерд­ ің ау­ыр­лық центр­ лер­ ін
бойы­ н­да қар­ ам­ а-қар­сы ­
бағ­ ыт­та әсер ете­ді қос­ а­тын тү­зу бойы­мен ба­ғытт­ ал­ ад­ ы, олар центр­лік

күш­тер бо­лып таб­ ыл­ а­ды. Грав­ и­тац­ ия кү­шін есеп­теу

үшін де­нел­ ер­дің ау­ырл­ ық центр­ лер­ і ара­сынд­ ағ­ ы

C F1 F2 арақаш­ ықт­ ықт­ ы анықт­ ау қаж­ ет.

R II Масс­ а  – грав­ и­тац­ ия өлш­ ем­ і
а)
Ден­ е­лерд­ ің өзар­ а тарт­ ыл­ ыс не­мес­ е гра­ви­та­

ция­лық өзар­ а әрекеттесу кү­ші ден­ ел­ ерд­ ің масс­ ал­ а­

рын­ а тәуе­ лд­ і, бұл бү­кіл­ әл­ емд­ ік тарт­ ыл­ ыс за­ңы­нан

C1 F1 F2 C2 шы­ғад­ ы. Дем­ ек, мас­са ден­ е­лерд­ ің грав­ и­тац­ иял­ ық

қас­ ие­ тте­рін­ ің өл­шем­ і бол­ ып та­бы­лад­ ы.

R Ден­ е­лер­дің тарт­ ыл­ ыс күш­ ін­ ің әсерін­ ен бол­ ат­ ын
ә)
қозға­лыс­ ын қа­раст­ ыр­ а отыр­ ып, де­не инерт­тіл­ іг­ і­нің

өл­шем­ і масс­ а бол­ ып таб­ ыл­ а­тын Ньют­ он­ның екін­ші

за­ңын пай­да­лан­ ады: GMmãð
R2
C1 F1 F2 C2 mèía = .

R Ньют­ он грав­ и­тац­ ия­лық жән­ е инер­ция­лық мас­

са­лар өзара тең және барл­ ық ден­ е­лер өз масс­ а­лар­ ын­ а

б) тә­уелс­ із ас­пан ден­ е­лер­ ін­ ің тарт­ ыл­ ыс өрі­сін­ е бірд­ ей

28-су­рет. Бүк­ іл­ ә­ лем­дік тар­ a = g = GM үдеум­ ен құ­лай­ды деген қор­ ыт­ ын­дығ­ а
ты­лыс күшт­ ер­ і – центрлік R2
күштер. С1, С2 – ауырлық
келг­ ен.
центрлері

43

III Гра­вит­ ац­ иял­ ық өріст­ ің күш­тік си­пат­та­мас­ ы Жауабы қандай?
Кө­лемі­ үл­кен де­нел­ ер­
стүи­сп­ уа9т-үт­сдаыем­н­уаіын­с­ пые кткеуеңрр.­сн­ыEеун­ ­лакінекргEн­реа=у­вл­иіFm­ткапц­ееикняе­лнgыі бқеерөлк­рг­ііінсл­ т­іт.іүңО­склуүеүшрд­кт­еіуінкі ара­сынд­ а­ғы тар­ты­лыс
кү­шін анық­тауда нел­ ік­тен
олар­дың ау­ыр­лық центр­
лерінің ор­на­ла­суы­ н бі­лу
қа­жет?
АРМАН-ПВ баспасыасп­ ан ден­ е­сі бет­ ін­ ің маң­ ­ынд­ а тұ­рақт­ ы шам­ а бол­ ып

қал­ ад­ ы: g = GM Ä , (2)
RÄ2

мұндағы МД – аспан денесінің массасы, RД – аспан
денесінің радиусы.

Кернеулік векторы Жер центріне бағытталған және

оның бетіне перпендикуляр. Жердің қисықтығын есепке 1-тапсырма

алмаған жағдайда грав­ ит­ ациял­ ық өріс­тің күш­ сыз­ ық­ Бірт­ ек­ті гра­ви­та­циял­ ық
өріс­тің күш­ сы­зықт­ а­рын
тар­ ы бір-бі­рі­не қат­ ыст­ ы пар­ ал­лель орналасады. Бұндай дәп­терд­­ е бей­нел­ ең­дер.

жағдайда өрісті бір­тект­ і деп санауға болады.

Асп­ ан ден­ ес­ ін­ ен алыстағанда гра­ви­тац­ ия­лық өріс

әл­сізден­ е баст­ ай­ды: = GM Ä , (3)
g
(RÄ + h)2

оның күш­сыз­ ық­тар­ ы сир­ ей түс­ ед­ і. Жерден алыст­ аған H
кг
жағдайда оның қисықтығын ескермеуге болмайды. g,

Жердің гравитациялық өрісі біртекті емес, күш 10
9
сызықтары параллель болмайды. Ас­пан ден­ е­сін­ е 8
жақ­ ынд­ а­ғанд­ а тарт­ ыл­ ыс кү­ші артады: F2 > F1 (29-су­ 7
рет). Өріс кер­неу­лі­гі­нің (ер­кін тү­су үдеуі) арақа­шық­ 6
5
тыққ­ а тәуе­ л­ді­лік гра­фиг­ і 30-сур­ етт­ е көр­сет­ ілг­ ен. 4
3
2
1
Rорт

M F2 m Fорт F1 0 Rж 2Rж 3Rж R
0
R2 C ΔR D ΔR B 30-сур­ ет. Өріс керн­ еу­ліг­ ін­ ің
g R1 арақ­ аш­ ықт­ ық­қа тәуе­ л­діл­ ік

гра­фи­гі

29-су­рет. Бірт­ ект­ і емес гра­ви­та­циял­ ық ­ 2-тапсырма
өріст­ ің күш сыз­ ық­та­ры
Гра­ви­та­циял­ ық өріс­ нүк­
IV Гра­вит­ а­ция­лық өріст­ ің энерг­ ет­ ик­ а­лық тел­ ері пот­ ен­циалы­ның
сип­ атта­мал­ а­ры ас­пан де­не­сі­не дей­ін­гі
ара­қа­шықт­ ыққа тәу­елд­ і­лік
Өріст­ ің энерг­ ет­ и­ка­лық сип­ атт­ ам­ ас­ ы по­тен­циал фор­мул­ а­сын пайд­ а­ла­нып,
тәу­елді­лік гра­фиг­ін φ = φ(R)
деп атал­ ад­ ы, ол пот­ ен­циал­дық энерг­ ия­ның де­не мас­ тұрғызыңдар.

сас­ ын­ а қа­тын­ а­сым­ ен анықт­ ал­ ад­ ы:
Wð
j = m . (4)

44

Бірт­ ек­ті грав­ и­тац­ ия­лық өріст­ е де­нен­ ің по­тен­ Жауабы қандай?
1. Ден­ ен­ ің Жерг­ е қар­ ай
циал­дық энер­гия­сы Wp = mgh формуласымен анықта­
лады, дем­ ек, Жер­дің маң­ ­ынд­ ағ­ ы гра­ви­тац­ ия­лық өріс қозғ­а­лыс­ ы ке­зінд­ е не­лік­
тен тарт­ ыл­ ыс күш­ ін­ ің
жұм­ ыс­ ы оң, ал Жерд­ ен
алыст­ ағ­анд­ а тер­ іс
бо­лад­ ы?
2. Грав­ ит­ ац­ иял­ ық өріс
АРМАН-ПВ баспасынүк­тел­ ер­ ін­ ің пот­ енц­ иалы ден­ е­нің Жер­бет­ ін­ ен кө­те­

ріл­ у биі­к­тіг­ ім­ ен анықт­ ал­ ад­ ы:
j = gh,
(5)

мұнд­ ағы h – өрістің пот­ ен­циалы нөлге тең деңг­ ейін­ е

қат­ ыст­ ы таң­дап алын­ ған нүк­те­сін­ ің би­ікт­ іг­ і. пот­ енц­ иа­лын есепт­ еу
форм­ у­лас­ ы не­лікт­ ен
Бірт­ ек­ті емес өріс­тің пот­ енц­ иалы екі айн­ ым­ а­лы тер­ іс таңб­ ал­ ы бол­ ад­ ы?
3. Тарт­ ыл­ ыс күш­ ін­ ің жұ­мы­
шам­ ағ­ а: керн­ еул­ ік пен кең­ іст­ ік нүк­те­сін­ ің ас­пан сын есепт­ еуд­ ің нә­тиж­ ес­ і
не­лік­тен нөл­дік пот­ ен­
ден­ е­сін­ е дейі­нг­ і арақ­ аш­ ықт­ ығ­ ы­на тәу­елд­ і R = RД  + h. циалы бар нүк­тел­ ерд­ і
(3) жә­не (5) фор­мул­ а­лар негі­зін­де зертт­ ел­ ет­ ін кең­ іст­ ік таңд­ ауғ­а тәуе­ лд­ і емес?

нүкт­ е­сін­ е дей­інг­ і R ара­қаш­ ықтықт­ ы еск­ ер­ іп, мы­нан­ ы

табам­ ыз: = − GM Ä нем­ ес­ е j = −GMR Ä . (6)
j = −gR RÄ + h

Асп­ ан ден­ е­сі­нің тар­тыл­ ыс күш­ ін жең­ іп шығ­ у

энерг­ ия шығ­ ын­ ын қаж­ ет етет­ інд­ ікт­ ен, грав­ и­та­

ция­лық өріст­ ің барл­ ық нүк­тел­ ер­ ін тер­ іс пот­ ен­циал­ды

нүкт­ ел­ ер деп қаб­ ылд­ ау кел­ іс­ ілг­ ен.

Бір-бі­рі­нен шекс­ із алыс қаш­ ық­тық­қа алыс­тат­ ыл­ған ден­ е­лер­дің өза­ра әре­кетт­ е­су

энерг­ ияс­ ы нөлг­ е тең. Ас­пан ден­ е­сі­нің грав­ и­тац­ иял­ ық өрі­сі­нің қан­дай да бір нүк­те­сі­нің

пот­ ен­циалы ‒ оның ке­ңіст­ ік­тің осы нүкт­ е­сі­не енг­ і­зіл­ген бір­лік масс­ ал­ ы ден­ ем­ ен өзар­ а

әрек­ етт­ ес­ уі­нің пот­ ен­циалд­ ық энерг­ ияс­ ы. Сонд­ ық­тан кең­ іст­ ікт­ ің асп­ ан ден­ ес­ і­нен шек­сіз

алыс қаш­ ық­тыққ­ а алыс­та­тылғ­ ан нүкт­ ес­ ін­ ің пот­ енц­ иал­ ын нөлг­ е тең деп сан­ ау қаб­ ыл­

данғ­ ан. Ас­пан ден­ е­сі­не жа­қын­да­ған кіші­ ға­рыш­тық де­не грав­ и­та­ция өріс­ ін­ е, «по­тен­

циалд­ ық шұңқ­ ыр­ға» түс­ ед­ і. Кіш­ і ден­ е ас­пан ден­ ес­ ін­ ің бет­ і­не тү­сед­ і.

Бірт­ ект­ і емес грав­ и­та­циял­ ық өріс кең­ іст­ іг­ ін­ ің қанд­ ай да бір нүкт­ е­сін­де ден­ ен­ ің

по­тен­циалд­ ық энер­гия­сы: GM Ä m
R
Wp = jm нем­ ес­ е W = − . (7)

V Қуы­ сы бар ден­ е­лер үшін бү­кі­ләл­ ем­дік тарт­ ыл­ ыс заң­ ын қолд­ ан­ у
Бір­ еуінің қуы­ сы бар де­нел­ ерд­ ің өзар­ а әрекеттесу күшт­ ер­ ін анықт­ ау үшін (31,

а-сур­ ет) те­ріс мас­са­лар әдіс­ ін пайд­ ал­ ан­ а­ды. Бұл әдіст­ і ден­ е­нің тұ­тас кө­лем­ інд­ е
ты­ғыз­дық бір­дей болған жағдайда қол­дан­ у­ға бол­ ад­ ы.

C

M1 C1 L1 F1 F -F2 F -F2
R αm F1

C2 L2 α m
M2

а) ә)

31-су­рет. Қуы­ сы бар ден­ ен­ ің тар­ты­лыс күш­ ін анықт­ ағ­ ан ­
кез­де тер­ іс масс­ ал­ ар әдіс­ ін пайд­ ал­ ан­ у

45

1. Бү­кіл­ әл­ емд­ ік тарт­ ыл­ ыс заң­ ын пайд­ ал­ ан­ ып, екі Жауабы қандай?
Те­ріс масс­ ал­ ар әдіс­ і не­
ден­ е­ні тұт­ ас деп алып, олар­дың өзар­ а әрекеттесу себепті тек бір­тект­ і
де­нел­ ер үшін қолданылады?
АРМАН-ПВ баспасыкүш­ ін анықт­ ай­ды:GM1m
L12
F1 = ,

мұнд­ ағ­ ы, M1 – ден­ енің оның ішін­дег­ і қуы­ ст­ ы есеп­ке ал­мағ­ ан­дағ­ ы масс­ ас­ ы:
M1 = ρV 4
= 3 πR3ρ ,

L1 – масс­ а­сы m ден­ е мен рад­ иусы R шард­ ың ауы­ р­лық цент­рі арас­ ынд­ ағ­ ы арақа­
шық­тық.

2. Қуы­ ст­ ы ден­ ен­ і құр­ ай­тын затп­ ен ойш­ а тол­тыр­ ып, оның масс­ ас­ ы m ден­ е­мен өза­ра

әрекеттесу күш­ ін анықт­ ай­ды: GM 2m
L22
F2 = ,

мұн­дағ­ ы M2 – рад­ иусы r қу­ыс­ты тол­ты­ра­тын зат массасы: M2 =ρ 4 πr3 , L2 – масс­ ас­ ы
3
mде­не мен қуы­ ст­ ы тол­тыр­ а­тын зат­тың ау­ырл­ ық цент­рі арас­ ынд­ ағ­ ы арақаш­ ықт­ ық.
3. F1 мен F2 вект­ орл­ ар­ ын­ ың ай­ырмасын таб­ у:
F = F1 − F2 .

Қар­ аст­ ыр­ ыл­ ып отырғ­ ан жағ­дайд­ а қор­ ытқ­ ы күшт­ ің мо­дул­ ін кос­ ин­ уст­ ар теоре­
мас­ ы бойы­ нш­ а анықт­ айд­ ы (31, ә-су­рет):

F = F12 + F22 − 2F1F2 cos a .

Ба­қы­лау сұр­ ақт­ а­ры

1. Бү­кіл­ әл­ ем­дік тарт­ ыл­ ыс заң­ ын тұж­ ы­рымд­ аң­дар.
2. Тарт­ ыл­ ыс кү­ші дененің қан­дай нүк­тес­ іне тү­сі­ріл­ген?
3. Ден­ ен­ ің инер­ция­лық жән­ е грав­ ит­ а­ция­лық масс­ ал­ а­ры өзар­ а қа­лай бай­лан­ ыс­ қан?
4. Асп­ ан де­не­ле­рі­нің гра­ви­тац­ ия­лық өрі­сін қанд­ ай ша­ма­лар си­патт­ айд­ ы?
5. Бірт­ ек­ті өріст­ ің бірт­ ект­ і емес өріс­тен айы­ рм­ а­шы­лығ­ ы қанд­ ай?

Жатт­ ығ­ у 8

1. Массасы 33 т зымыран-тасымалдағыш массасы 410 т халықаралық
ғарыш стансысына жақындайды. Олардың массалар центрі арасындағы
арақашықтық 100 м болған кездегі тартылыс күшін анықтаңдар.

2. Марс бетінен қандай қашықтықта массасы 1000 кг Маринер‒9 планета­
ралық стансысының өзара әрекеттесу күшінің мәні 1,78  кН болатынын
анықтаңдар. Марстың массасы 6,4∙1023 кг, радиусы 3400 км.

3. Жер мен Ай­дың цент­рлер­ і ара­сынд­ ағ­ ы орт­ аш­ а арақаш­ ықт­ ық 60 жер
ра­диус­ ына­ тең, ал Айд­ ың масс­ ас­ ы Жер масс­ ас­ ын­ ан 81 есе кі­ші. Дене
олардың екеуіне де бірдей күшпен тартылуы үшін оны Жер мен Айдың
центрлерін қосатын түзудің қай нүктесіне орналастыру керек?

46

4. Ішінд­ е рад­ иусы R/2 сфер­ а­лық жаз­ ықт­ ық M
орн­ а­ласқ­ ан бірт­ ект­ і шар мен масс­ ас­ ы m C1 C2
АРМАН-ПВ баспасыкішк­ ен­ е шар ара­сынд­ ағ­ ы тарт­ ыл­ ыс күш­ ін m
анықт­ аң­дар (32-су­рет). Бірт­ ект­ і шар­дың
ра­диусы R, масс­ ас­ ы M, ау­ыр­лық центр­ лер­ і L
арас­ ынд­ ағ­ ы арақаш­ ықт­ ық L.
32-сур­ ет. 4-есепк­ е арн­ ал­ған
5. Байқ­ оң­ ыр ғарыш ай­лағ­ ын­ ан 1959 жыл­дың су­рет
12   қырк­ үйег­ ін­де «Вост­ ок-Л» зы­мыр­ ан­ ы
ұшыр­ ылд­ ы. Ол Жерд­ ің таб­ иғ­ и сер­ іг­ і 33-сур­ ет. 5-есепке арн­ ал­ған
Айд­ ың ұшу траек­тор­ ия­сын­ а «Лу­на-2» су­рет
авт­ ом­ аттандырылған пла­нет­ аа­ рал­ ық стан­
сысын алып шықты, стансы кел­ е­сі кү­ні 34-сурет. KazSat-3
адамз­ ат тар­ их­ ынд­ а бі­рін­ші рет Ай­дың
бет­ ін­ е қонд­ ы (33-сур­ ет). План­ ет­ а бет­ ін­ ен
ал­шақт­ ағ­ ан кезд­ е стансыға әсер етет­ ін
Жер­дің тар­тыл­ ыс кү­ші Rж, 2Rж, 3Rж қаш­ ық­
тықт­ арда неше есе азаяды?

6. Жердің геостационар орбитасындағы
гравитациялық өрістің потенциалын
анықтаңдар. Массасы 1,3 тонна KazSat-3
жерсеріктік байланыстың ғарыштық
аппараты (34-су­рет) қандай потенциалдық
энергияға ие? Жер бетінен орбитаға де­
йінгі арақашықтық 36000 км. Жердің мас­
сасы  6∙1024 кг, радиусы 6400 км.

7. Жердің жа­сан­ды сер­ іг­ і Жерд­ ің ай­нал­ а­
сынд­ а оның бет­ ін­ ен H қа­шықт­ ықт­ а қозғ­ а­
лад­ ы. Жер­дің рад­ иусы Rж >> H. Жас­ анд­ ы
Жер сер­ ігінің айналу пе­риодын анық­
таңд­ ар. Орб­ и­тан­ ы шеңбер деп алыңд­ ар.

Шығ­ ар­маш­ ы­лық тапс­ ыр­ма

Күн мен Күн жүй­есі план­ е­тал­ а­ры арас­ ынд­ а­ғы тарт­ ы­лыс кү­шін анық­таң­дар.
Алынғ­ ан нә­ти­жел­ ер­ді талд­ аңд­ ар.

47

§ 9. Абс­ ол­ ют қат­ты ден­ ен­ ің инерц­ ия мом­ ен­ті

АРМАН-ПВ баспасыКүт­ і­лет­ ін нә­тиж­ е:I Аб­сол­ ют қат­ты де­не
Осы параграфты игергенде: Қандай күш әсер етсе де, ден­ е бө­лік­тер­ ін­ ің ара­
• ма­тер­ и­ялы­ қ ден­ ел­ ерд­ ің
қа­шықт­ ығ­ ы өз­гер­мей тұр­ ақт­ ы бол­ ып қалатын де­нен­ і
инер­ция мо­ме­нт­тер­ ін абс­ ол­ ют қат­ты ден­ е деп атайм­ ыз.
есепт­ еу үшін Штей­нер
теорем­ а­сын пайд­ ал­ а­ Күн жүй­есі пла­не­тал­ ар­ ын­ ың ай­нал­мал­ ы қоз­ға­
ну­ды үйр­ ен­ ес­ іңд­ ер. лыс­ ын сипаттайтын шамаларды жуықтап алғанда,
олар­ды аб­сол­ ют қатт­ ы де­не деп қа­былд­ ау­ға бол­ ад­ ы
Айналу (35-сур­ ет).
бағыты
Абс­ о­лют қат­ты де­нен­ ің және оның әрбір нүктесінің
Жердің ­ Жер осі ай­налм­ ал­ ы қоз­ға­лы­сын жек­ е-жек­ е ки­нем­ ат­ ик­ ал­ ық
айналу ­ N бұ­рышт­ ық шам­ а­лар: бұ­рыш­тық үдеу, бұ­рышт­ ық
бағыты жылд­ амд­ ық, бұ­рышт­ ық орын ауы­ с­тыр­ у, со­ны­мен
қа­тар ди­нам­ и­кал­ ық шам­ а­лар: күш мо­мент­ і, инер­ция
S мом­ ент­ і және им­пульс мом­ ент­ і сип­ атт­ ай­ды.

II Ма­те­риялы­ қ нүкт­ ен­ ің инер­ция мом­ ент­ і.
Айналмалы қозғалыс үшін Ньютонның ІІ заңы

Ай­нал­мал­ ы қоз­ға­лыс жа­сайт­ ын мат­ ер­ и­ялық нүк­
те­нің инер­циял­ ық қа­си­етт­ е­рі тек масс­ а­ға ға­на емес, со­
ным­ ен қат­ ар айн­ ал­ у рад­ иусы­на да тәу­ел­ді (36-су­рет).

35-сур­ ет. Өз осі бойымен m Fτ
ай­на­лат­ ын абс­ ол­ ют ­
қатт­ ы ден­ е α α
Fn F
Жауабы қандай?
Күшт­ ің норм­ аль құ­рау­ d
шыс­ ы нел­ ік­тен ай­на­лу­
мом­ ентін ту­дырм­ ай­ды? 0

R

36-су­рет. Айн­ а­лмалы қозғалыстағы ден­ е­нің инерц­ иял­ ық ­
қас­ ие­ т­те­рі масс­ а мен ай­на­лу рад­ иусын­ а тәуе­ л­ді

Естеріңе түсіріңдер! 
Осы­ны дәл­ елд­ ейік. F күш­ тің әсерін­ ен шеңб­ ер бо­
Күш мо­мент­ і – күшт­ ің
оның иі­ні­не көб­ ейтіндісі: йымен қозғ­ ал­ ат­ ын мас­са­сы m нүк­те үшін Нью­тон­ның ІІ
M = F·d.
Күшт­ ің иі­ні – айн­ а­лу за­ңын жаз­ айы­ қ, тан­ген­циа­ л үдеу­Fτ құр­ ауш­ ын­ ың траек­
нүкт­ е­сін­ ен (ті­реу нүкт­ ес­ і) тор­ иясын­ а қа­рай жан­ а­ма жас­ айд­ ы:
күш­тің әсер ету сыз­ ығ­ ын­ а
дейі­нг­ і ең қысқ­ а арақ­ а­ maτ = Fτ. (1)
шықт­ ық.
Танг­ ен­циал үдеу ε бұ­рышт­ ық үдеум­ ен мына фор­

му­ла арқ­ ыл­ ы байл­ ан­ ысқ­ ан:

aτ = εR. (2)

48

(2) теңдеуді ескерсек, (1) тең­деу­ол мы­на түр­ге ие 1-тапсырма

бо­лад­ ы: Айн­ ал­ ып жатқ­ ан абс­ ол­ ют
қатт­ ы ден­ ен­ ің барлық
нүктесіне әсер ете­тін күшт­ ің
иін­ і ра­диус бол­ ып та­был­ ат­ ы­
нын дә­лел­дең­дер:
d = R.
АРМАН-ПВ баспасы mεR = Fτ. (3)

(3) теңд­ еуд­ ің екі жа­ғын­да қар­ аст­ ыр­ ыл­ ып отырғ­ ан

нүк­те қозғ­ а­ла­тын шең­бер рад­ иусын­ а көб­ ей­тем­ із:

mεR2 = M, (4)

мұн­дағ­ ы М – күш мом­ ент­ і.

Күш мом­ ент­ ін­ ің өл­шем бір­ліг­ і [М] = 1 Н ∙ м.

mR2 – инер­ция мом­ ент­ і.

Мас­са­ның де­не қоз­ға­лып ба­ра жат­қан Жауабы қандай?
шең­бер ра­диусы­ның квад­ра­ты­на кө­бей­ Қысқ­ а жіп­тег­ і ден­ ег­ е
тін­ді­сі­не тең ша­ма инер­ция мо­мен­ті деп қар­ ағ­анд­ а ұзын жіп­тег­ і
атал­ а­ды. ден­ ен­ і айналдыру нел­ ікт­ ен
қиы­ ныр­ ақ?
I = mR2, (5) Өз болж­ амд­ ар­ ыңд­ ы тә­жі­риб­ е
арқ­ ы­лы тек­се­ріп, дұр­ ыс­
мұндағы I  – инерц­ ия мом­ ент­ ін­ ің белг­ і­лен­ уі, оның ты­ғы­на көз жет­кі­зің­дер.
Әр­түр­лі ұзынд­ ықт­ ағ­ы жіп­
өлш­ ем бірл­ іг­ і: терг­ е ілін­ген кіш­ке­не шар­ды
көл­ден­ ең жа­зықт­ ық­та
[I] = 1 кг ∙ м2. ай­налд­ ыр­ ың­дар.

(5) өрнекті (4) өрнекке қойып, айналмалы қозғалыс

үшін Ньютонның екінші заңын жазамыз:

М = Іε. (6)

III Аб­со­лют қатт­ ы ден­ е­нің инерц­ ия мо­мент­ і
Қат­ты ден­ ен­ ің инер­ция мо­мент­ і осы де­не­ні құ­рай­тын ма­тер­ иялық нүк­тел­ ердің

инер­ция мо­мен­ т­тер­ ін­ ің қо­сынд­ ыс­ ын­ а тең:

∑n

I = mi Ri2 .
i =1

Ай­на­лат­ ын ден­ е­лерд­ ің инертт­ ілік қа­си­етт­ ер­ і тек масс­ ағ­ а ға­на емес, со­ны­мен
қа­тар оның де­не кө­лем­ і бой­ын­ша тар­ а­лу­ына, ай­нал­ у ра­диусын­ а тәу­елд­ і. Мас­са­лар
центр­ і арқылы өтетін ось бойымен айн­ ал­ а­тын бірқ­ а­тар гео­метр­ ия­лық фи­гу­ра­лар үшін
инер­ция мо­мен­тін есеп­теу фор­мул­ а­ла­ры 6-кест­ ед­ е бер­ ілг­ ен.

6-кес­те. Масс­ ал­ ар цент­рі­арқылы өтетін ось бойымен ай­на­лат­ ын­
ден­ ел­ ерд­ ің инерц­ ия мом­ ен­ т­те­рі

Де­не піш­ і­ні­ Инер­ция мо­мент­ ін
есеп­теу форм­ ул­ а­сы­
Жің­ іш­ке сақ­ и­на,
жің­ іш­ке ци­ли­ндр 0 I = mR2

0 m
m 0R

0R

49

Де­не піш­ і­ні­ Инер­ция мо­мент­ ін
есеп­теу фор­мул­ а­сы­
АРМАН-ПВ баспасы
Тұт­ ас диск, тұт­ ас 0 I = mR 2
ци­ли­ндр 2
m0 m
Тұт­ ас шар R
R
0 0

0 I = 2 mR 2
0O RR 5

Жің­ іш­ке өзек­ RO I = 1 ml 2 = 1 mR 2
12 3
l
O

2-тапсырма

6-кес­те­нің фор­мул­ а­ла­рын пайд­ а­ла­нып, масс­ а­ла­ры бірдей, пішіндері әр­түр­лі де­не­
лер­дің инер­ция мом­ е­нтт­ ер­ ін са­лыс­ты­рыңд­ ар. Не себепті массалары бірдей болғанда
қу­ыс цил­ индрд­­ ің инер­ция мо­мен­ті тұ­тас цил­ ин­ др­дің инер­ция мом­ ен­ті­нен артық бо­ла­
тынын, са­қи­на­ның инерц­ ия мо­мен­ті дис­кі­нің инер­ция мо­мен­тін­ ен артық болатынын
түсіндіріңдер.

IV Штей­нер теорем­ а­сы Жауабы қандай?
1. Де­не­нің мас­са­лар цент­рі
Егер ден­ е үшін мас­сал­ ар центр­ і ар­қы­лы өте­тін
ар­қыл­ ы өте­тін оське қа­
оське қа­тыст­ ы I1 инерц­ ия мом­ ен­ті бел­гі­лі болс­ а, он­да тыс­ты инер­ция мо­мент­ і
инер­ция мом­ ент­ ін центрл­ ік оське пар­ ал­лель кез ­келг­ ен осы бағ­ытт­ а­ғы ось­тер­ге
қа­тыс­ты де­не­нің бар­лық
оське қат­ ыс­ты швейц­ а­риял­ ық ғал­ ым-мат­ ем­ ат­ ик инер­ция мом­ ен­те­рі­нің
ішін­де­гі ең кі­ші­сі бо­ла­ды
Штей­нер алғ­ ан форм­ у­ла бойы­ нш­ а таб­ у­ға бол­ ад­ ы: деп тұжырымдауға бо­ла
ма?
I2 = I1 + md 2, 2. Ай­на­лу осі масс­ ал­ ар
мұнд­ ағ­ ы d − масс­ ал­ ар цент­рін­ ен айн­ ал­ у осін­ е дейі­н­гі цент­рі­не қа­тыс­ты
орн­ ы­нан ығысқан­да не­
арақ­ аш­ ықт­ ық. Өзек­тің айн­ а­лу осін бастапқы орнынан лік­тен өзек­тің инер­ция
1 мо­мен­ті артады?
d = 4 l қаш­ ықт­ ыққ­ а жылж­ ыт­ ай­ық, сонд­ а:

I2 = 1 ml 2 + m 1 l 2 = 7 ml 2 .
12 16 48

50