Физика 10 класс

V Айн­ ал­ а­тын ден­ е­нің энер­гия­сы 3-тапсырма
u = wR екенін ескеріп, айн­ а­ла­тын аб­сол­ ют қатт­ ы Өзін­ ің ұшын­ ың маң­ ынд­ а
АРМАН-ПВ баспасы айн­ ал­ а­тын өзект­ ің инерц­ ия
де­не­нің ки­не­ти­ка­лық энерг­ ия­сын анықт­ ай­ық: мом­ ент­ ін анықт­ аңд­ ар.
Инерц­ ия мом­ ент­ і масс­ ал­ ар
∑ ∑Wàéí = n mi υi2 = n mi ωi2Ri2 . цент­рі маң­ ы­ нд­ а ай­на­ла­тын
i =1 2 i =1 2 өзек­тің инерц­ ия мом­ ент­ ім­ ен
сал­ ыст­ ырғ­анд­ а не­ше есе
Ден­ ен­ і құр­ ай­тын барл­ ық нүкт­ ел­ ерд­ ің инер­ция артт­ ы?

мо­менттер­ ін­ ің қос­ ынд­ ыс­ ы мын­ а­ған тең: 4-тапсырма
Аб­сол­ ют қатт­ ы ден­ ен­ ің
∑n инерц­ иял­ ық қас­ ие­ тт­ ер­ ін
пайд­ а­ла­нуғ­а мыс­ ал­дар
I = mi Ri2 . кел­тір­ ің­дер.

i =1 37-су­рет. «Сар­ ы­арқ­ а» ­
ве­лот­рег­ інд­ е өт­кен­
Осыл­ ай­ша, ай­нал­ ат­ ын дененің энер­гия­сын мына жа­рыс­

формуламен анықтаймыз: I ω2 38-сур­ ет. Диск лақт­ ы­ру­
2 шы­ның лақт­ ыру­ ғ­ а ­
Wàéí = . дейі­нг­ і ай­на­луы

Іл­гер­ іле­ мел­ і қоз­ға­лысп­ ен қат­ ар айн­ алм­ а­лы қоз­

ға­лыс жа­сайтын ден­ е­нің кин­ ет­ и­ка­лық энер­гия­сы

мы­на­ған тең бол­ ад­ ы: mυ2 I ω2
2 2
W = Wiëã +Wàéí = + .

Мыс­ ал­ ы, айналып жатқан шығ­ ырш­ ықтың не­ме­се

дөңг­ ел­ ек­тің тол­ ық энер­гиясы: mυ2
mυ2 I ω2 2 mR 2 υ 2
W =Wiëã + Wàéí = 2 + 2 = + 2R 2 = mυ2 .

Алын­ған мән масс­ ас­ ы осын­дай де­не­нің ки­нет­ и­

кал­ ық энер­гия­сын­ ан екі есе артық.



Жауабы қандай?
1. Жар­ ы­су­шы­лар­дың вел­ о­сип­ едт­ ер­ ін­ де қа­ра­пай­ым

дөңг­ е­лект­ е­рдің орн­ ын­ а не­лікт­ ен диск­ і­лер орн­ а­
та­ды (37-су­рет)?
2. Абс­ о­лют қат­ты де­нен­ ің бар­лық нүкт­ е­лер­ і үшін
ай­нал­ма­лы қозғ­а­лыс­тың ки­нет­ ик­ ал­ ық энерг­ ияс­ ын
есепт­ е­ген­де не­лік­тен бұр­ ышт­ ық жылд­ амд­ ықт­ ың
бір мән­ і пай­дал­ ан­ ыл­ ад­ ы?
3. Абс­ о­лют қатт­ ы ден­ ен­ ің қанд­ ай нүкт­ ел­ е­рі бірд­ ей
сыз­ ықт­ ық жылд­ амд­ ықп­ ен қозғ­ал­ ад­ ы?

Жауабы қандай?
1. Вол­ ей­бол ойы­ нш­ ыс­ ы допт­ ы соққанда не­ліктен оған іл­гер­ іл­ е­мел­ і қоз­ғал­ ысп­ ен қа­тар

айн­ ал­мал­ ы қозғ­ал­ ыс беріледі?
2. Не­лік­тен диск лақт­ ыр­ у­шы оны лақт­ ыр­маст­ ан бұ­рын айн­ ал­мал­ ы қозғ­ал­ ыс жас­ айд­ ы

(38-су­рет)?

51

Бақ­ ы­лау сұ­рақт­ а­ры

1. Қан­дай де­не­ні абс­ ол­ ют қатт­ ы ден­ е деп атай­ды?
2. Ден­ е­нің айн­ алм­ а­лы қозғ­ ал­ ы­сын сип­ ат­тайт­ ын ша­мал­ ард­ ы атаңд­ ар.
3. Қанд­ ай ша­ман­ ы күш мом­ ен­ті деп атай­ды? Инер­ция мом­ ент­ і дег­ ен ше?
4. Штей­нерд­ ің теорем­ ас­ ын­ ың мә­ні не­де?
5. Ай­нал­ма­лы қоз­ға­лыс­тың энер­гия­сы мен инер­ция мо­мен­ті өза­ра қа­лай

бай­ла­ныс­қан?
АРМАН-ПВ баспасы
Жат­ты­ғу 9

1. Рад­ иусы 10 см шең­бер бойы­мен ай­на­лат­ ын масс­ ас­ ы 200 г де­ненің жыл­

дамд­ ығ­ ы нөл­ден 1,4 м/с-қа өзг­ ерг­ ен кезд­ е оның инерц­ ия мом­ ент­ і нег­ е

тең? Бұ­рышт­ ық жылд­ амд­ ықт­ ың ор­таш­ а мән­ ін анықт­ аңд­ ар.

2. Жол­дың ра­диусы 20 м айн­ алм­ а­лы бө­ліг­ ін­де масс­ ас­ ы 2 т авт­ о­көл­ ікт­ і үде­

мелі қозғ­ ал­ ысқ­ а түс­ ір­ ет­ ін күш мо­мент­ ін анықт­ аңд­ ар. Ав­ток­ өл­ ікт­ ің

бұр­ ышт­ ық үдеуі 0,05 рад/с2.

3. Айд­ ың өз осін­ ен ай­нал­ у энерг­ ия­сын еск­ ер­мей, оның

инерц­ ия мом­ ент­ і мен кин­ ет­ и­кал­ ық энерг­ ия­сын анық­

таң­дар. Орб­ ит­ ан­ ың ра­диусын 384000  км, Айд­ ың мас­ I IC
сас­ ын 7·1022 кг, Жер­ді айн­ а­лу пер­ иодын 27,3 тәу­лік

деп алың­дар.

4. Масс­ ас­ ы 2 кг диск горизонталь жаз­ ықт­ ық бой­ымен

сыр­ға­нау­сыз 4 м/с жыл­дамд­ ықп­ ен дөңг­ ел­ еп ба­ра

жат­ ыр. Оның ки­нет­ и­ка­лық энер­гия­сын анықт­ аң­дар. d

5. Массасы 4,08 кг тұтас болат шардың массалар центрі

арқылы өтетін ось бойымен айналу мезетіндегі инерция

моментін анықтаңдар (39-сурет). Егер шар ось бо­йымен 39-сурет. 5-есепке
2 см параллель ығысатын болса, инерция моменті неге арналған сурет

тең болады? Болаттың тығыздығы 7800 кг/м3.

Экс­пе­рим­ е­нтт­ ік тапс­ ыр­ма

Дөң­ге­лек­тер­ ін­ ің ра­диусы әрт­ үрл­ і екі вел­ о­си­пед­тің те­жел­ у жол­ ын сал­ ыст­ ы­
рыңд­ ар. Қай дөңг­ ел­ ект­ ер­дің инерц­ иясы көб­ ір­ ек бол­ а­ды?

Шығ­ арм­ аш­ ы­лық тапс­ ырм­ а

«Серм­ ерд­ і (ма­хо­вик­ті) пай­да­лан­ у та­ри­хын­ ан» де­ген тақ­ ыр­ ып­та ба­ян­да­ма
дай­ынд­ аң­дар.

52

§ 10. Имп­ ульс мом­ ент­ і. Имп­ ульс мо­мент­ і­нің сақ­тал­ у
за­ңы мен оның ке­ңіс­тік қас­ и­ет­те­рі­мен бай­лан­ ы­сы.
Ай­нал­ мал­ ы қоз­ға­лыс ди­нам­ ик­ ас­ ы­ның нег­ ізг­ і теңд­ еуі
АРМАН-ПВ баспасы
Кү­ті­ле­тін нә­ти­же: I Мат­ ер­ и­ялық нүк­те­нің ай­нал­ мал­ ы
Осы параграфты игергенде: қозғ­ ал­ ыс­ ы үшін Ньют­ онн­ ың екін­ші заң­ ы.
• есепт­ ер шы­ға­ру­да Инерц­ ия мом­ ен­ті мен имп­ ульс мом­ ент­ і­нің
байл­ а­ны­сы
айн­ алм­ а­лы қоз­ға­лыс
дин­ ам­ ик­ а­сын­ ың Ньют­ он­ның екінш­ і заң­ ын им­пульст­ ік түрд­ е жа­
не­гіз­гі тең­деуін әрт­ үрл­ і
тәсілде қол­да­на ала­ зай­ық:  = ∆ð = ∆(m u) . (1)
сың­дар; F ∆t ∆t
• ілг­ е­рі­лем­ ел­ і жә­не
айн­ ал­мал­ ы қоз­ғал­ ыс­ты Тең­деуд­ ің екі жағ­ ын шеңб­ ер рад­ иусын­ а көб­ ейт­іп,
си­пат­тай­тын фи­зи­
кал­ ық шам­ ал­ арды сәйке­ мын­ аны FжRаз=ам­ ∆ыз∆(m: tu) R нем­ ес­ е M = ∆muR . (2)
тендіре ала­сың­дар. өрн­ ег­ ін им­пульс мо­мен­ті L ∆t

muR L = muR. деп атай­ды:

(3)

Тапсырма Ден­ е имп­ ульс­ і­нің де­нен­ ің қозғ­ ал­ ып ба­ра
жат­қан шеңб­ ер рад­ иусын­ а көб­ ейт­ін­ді­сін­ е
Мас­са­сы 200 г, жиіл­ і­гі 2 Гц тең шам­ ан­ ы имп­ ульс мо­мент­ і деп атай­ды.
де­не үшін инер­ция мом­ ент­ і
мен имп­ ульс мо­мент­ ін­ ің ай­ Имп­ ульст­ ік түрд­ е жа­зылғ­ ан екінш­ і заң (2) мын­ а
на­лу ра­диусы­на тәу­елд­ і­лік
граф­ иг­ін бір коорд­ и­нат­ а­лық түр­ге кел­ е­ді: ∆L
жа­зық­тықт­ а са­лың­дар. ∆t
Инерц­ ия мом­ ен­ті мен M = .
имп­ ульс мо­мен­ті ай­на­лу
ра­диусы­на қа­лай тәу­елд­ і?

0 Имп­ ульс мо­мент­ ін­ ің инерц­ ия мо­мент­ ім­ ен қа­ты­

F2 нас­ ын анық­тайы­ қ. Ол үшін сыз­ ықт­ ық жыл­дам­
d
F дықт­ ың бұр­ ышт­ ық жылд­ амд­ ықп­ ен бай­лан­ ы­сын
mi F1 u = wR қолд­ ан­ ам­ ыз, (3) формуладан:

L = muR = mwR2 = Iw

нем­ ес­ е L = Iw. (4)


Имп­ ульс мо­мен­ті инерц­ ия мом­ ен­тін­ е тур­ а про­

порцио­нал.

0 II Ай­нал­ ат­ ын абс­ ол­ ют қатт­ ы ден­ е үшін
Ньют­ онн­ ың екін­ші заң­ ы немесе айналмалы
40-су­рет. 00′ осі ­ қозғалыс үшін динамиканың негізгі теңдеуі
бойымен ай­на­ла­тын ­
абс­ о­лют қат­ты ден­ е Ай­нал­ а­тын абс­ о­лют қат­ты ден­ ен­ і масс­ а­сы
m жән­ е 00′ осі­ бойымен айн­ а­ла­тын ма­те­рия­ лық
нүкт­ ел­ ер­дің жиы­ ны рет­ інд­ е қа­раст­ ы­ру­ға бо­лад­ ы­
(40-сур­ ет).

53

Абс­ ол­ ют қат­ты ден­ е­нің бар­лық нүкт­ ел­ ер­ ін­ ің Жауабы қандай?
бұ­рышт­ ық жылд­ амд­ ықт­ ар­ ы мен үдеу­лер­ і бірд­ ей.
Қар­ аст­ ыр­ ыл­ ып отырған жағд­ ай үшін Нью­тон­ның
екін­ші заң­ ын жаз­ айы­ қ:
АРМАН-ПВ баспасы 1. Өз осі­нен ай­на­ла­тын
кө­лемі­ үлкен де­не үшін
Ньют­ онн­ ың ІІ за­ңы нелік­
n n Ii∆w . тен бұр­ ышт­ ық шам­ ал­ ар
i =1 ∆t
Ìi

i =1
∑ ∑ = (5) арқ­ ы­лы жаз­ ы­ла­ды?

Өр­нект­ ің сол жақ бө­ліг­ і де­не­ге түс­ ір­ ілг­ ен сырт­қы 2. Абс­ ол­ ют қатт­ ы ден­ е­ге
қFа2л­ акйүш­әіснеіңр құ­рауш­ ы­сы
күшт­ ердің мо­мен­ т­тер­ ін­ ің қос­ ынд­ ыс­ ын бер­ е­ді: етед­ і (40-су­
∑n рет)?
(6)
Ì = Ìi .
(5) тең­деуд­ ің оң жақi=1 бөл­ іг­ ін­дег­ і нүк­тел­ ерд­ ің
∑n
инер­ция мо­мент­ ін­ ің қос­ ынд­ ыс­ ын ден­ е­нің Бұл қызық!
Ii
i =1 Жер бе­тінд­ е су пайд­ а
инерц­ ия мо­мент­ ін­ е I ауы­ ст­ ыр­ айы­ қ. бол­мас бұр­ ын тәу­лік
5–6  сағ­атқ­ а қан­ а соз­ ыл­ған.
(6) тең­деуд­ і еск­ ерс­ ек, ай­на­лат­ ын аб­со­лют қат­ты Айд­ ың тарт­ ы­лыс­ ы нә­ти­
жес­ інд­ е мұх­ итт­ ар­да су­дың
ден­ е үшін Ньют­ он­ның екін­ші за­ңы мына түрд­ е бол­ а­ көт­ ер­ іл­ уі біз­дің план­ ет­ а­
мыз­дың тәул­ ікт­ ік айн­ ал­ уы­ н
ды: ∆w бәс­ еңд­ ет­ ед­ і.
∆t
M =I нем­ е­се M =Iε .

Абс­ ол­ ют қатт­ ы де­нен­ ің ай­налм­ ал­ ы қоз­ға­лыс­ ы

үшін Ньют­ он­ның екінш­ і заң­ ын тұ­жыр­ ымд­ айы­ қ:

Де­нег­ е түс­ ір­ іл­ген сырт­қы күшт­ ер­дің мо­ Назар аударыңдар!
ме­нт­те­рі­нің қо­сын­ды­сы де­не­нің инер­ция
мо­мен­ті­нің бұ­рыш­тық үдеу­ге кө­бейт­ін­ді­ Ай­нал­ма­лы қозғ­ ал­ ыс
сін­ е тең бол­ а­ды. ке­зінд­ е ішк­ і күшт­ ерд­ ің
жұ­мыс­ ы жүйен­ ің ай­на­лу
Жауабы қандай? жылд­ амд­ ығ­ ы мен энер­
Мән­ ер­леп сыр­ға­нау­шы қол­да­рын кеудесіне қыс­қан гия­ның өз­гер­ уін­ е алып
кезд­ е нел­ ікт­ ен оның ай­нал­ у жылд­ амд­ ы­ғы ар­тад­ ы кел­ ед­ і, мұнд­ ай өзг­ ер­ іс
(41-су­рет)? ден­ е­нің ілг­ ер­ іл­ ем­ ел­ і қозғ­ а­
лыс­ ы ке­зінд­ е мүмк­ ін емес.
ω1 Егер жүйен­ ің ден­ ел­ ер­ і
нем­ ес­ е бір ден­ е­нің бө­лік­
ω2 тер­ і айн­ а­лу осін­ е жақ­ ын­
ω1>ω2 дас­ а, он­да жүйен­ ің ки­не­ти­
кал­ ық энер­гиясы артады.
41-сур­ ет. Айн­ а­лу техн­ и­ка­сы Бұл жағ­дайд­ а ішк­ і күшт­ ер
де­не­ні айн­ а­лу цент­рін­ ен
54 алыст­ ат­ уғ­ а тыр­ ыс­ ат­ ын
центр­ден тепк­ іш күшт­ ерг­ е
қарс­ ы оң жұм­ ыс жас­ айд­ ы.
Ден­ ел­ ер айн­ ал­ у центр­ ін­ ен
алыст­ ағ­ ан­да жүйен­ ің
энерг­ ия­сы азаяды, айн­ ал­ у
жылд­ амд­ ығ­ ы тө­менд­ ейд­ і.

III Им­пульс мом­ ент­ і­нің сақт­ а­лу за­ңы және оның
кеңістік қасиеттерімен байланысы
АРМАН-ПВ баспасы
Ден­ е­ге мат­ ер­ ия­ лы­ қ нүк­те­лер жүй­есі сия­ қ­ты сырт­қы күш­тер әсер ет­пе­се, де­не­ні тұйы­ қ

жүйе деп ал­сақ бо­лад­ ы, бұл жағд­ ай­да оған әсер ете­тін күш мо­ме­нт­те­рі­нің қос­ ын­ды­сы М

нөл­ге тең. Айн­ алат­ ын де­не үшін Ньют­ он­ның екін­ші за­ңын им­пульс­тік түр­де жа­зай­ық:
∆L
M = ∆t = 0 . (7)

(7) тең­деу­ден им­пульс мом­ ент­ і – тұр­ ақт­ ы шам­ а екен­і, имп­ ульс мом­ ент­ ін­ ің өзг­ е­

рісі нөлг­ е тең екені шығ­ ад­ ы ΔL = 0:
L = Iw = const
I1w1 = I2w2. (8)
не­мес­ е (9)

Алын­ған (8) жә­не (9) тең­деул­ ер имп­ ульс мо­мент­ ін­ ің сақт­ а­лу заң­ ын бер­ е­ді.

Тұйы­ қ жүйед­ е ай­на­лат­ ын ден­ е­лер­дің имп­ ульс мом­ ент­ і тұр­ ақ­ты шам­ а
бол­ ып қа­лад­ ы.

Импульстің сақталу заңы бізді қоршаған а)
кеңістіктің изотроптығы мен біртектілігінің сал­
дары болып табылады. Корпус Ротор осі

Біртектілік табиғат заңдары кеңістіктің барлық Ішкі ­
нүктесінде орындалатынын, олардың бірдей түрге рама
ие болуын білдіреді. Кеңістіктің изотроптығы
оның қасиеттері бағытқа тәуелді емес екенін Сыртқы Ротор
білдіреді. Қатты дене қай бағытта айналса да, рама
оның импульс моменті тек инерция моменті және
бұрыштық жылдамдық арқылы анықталады. ә)
Дененің деформациялануы нәтижесінде инерция
моментінің өзгеруі бұрыштық жылдамдықтың 42-су­рет. Ги­роск­ оп ­
өзгеруіне алып келеді. Алайда импульс моменті құр­ ы­лы­сы
тұрақты шама болып қалады.

IV Ги­роск­ оп
Айн­ а­ла­тын ден­ е­лер­дің гир­ ос­коп­ иял­ ық эфф­ екті­

сін­ ің мән­ іс­ і – ке­ңіс­тікт­ е де­не­лер­дің ай­на­лу осьте­
рін­ ің бағд­ а­ры­ның сақ­та­лу­ын­да, бұл – мат­ е­рия­ның
инертт­ ілік қас­ и­еттер­ ін­ ің көр­ і­ніс­ і.

Ги­роск­ оп­ иял­ ық эф­фект­ ін­ і кө­лікт­ ер­де кең­ іст­ ік­те
бағ­дар алу үшін пайд­ ал­ а­над­ ы. Не­гізг­ і эле­мен­ті
тез айн­ ал­ а­тын ро­тор бол­ ып таб­ ыл­ ат­ ын на­ви­
га­ция­лық асп­ ап гир­ оск­ оп де­ген атау­ға ие бол­ған
(42-су­рет). Гир­ оск­ оп (грек­. gyreuо  – ай­нал­ а­мын
жән­ е skopeo  – бақ­ ыл­ айм­ ын) ро­то­ры­ның ар­найы
бе­кіт­кіш­тің арқ­ ас­ ын­да үш ерк­ інд­ ік дәр­ еж­ ес­ і бо­ла­
ды. Егер мұнд­ ай құ­рылғ­ ы­ға сыртқ­ ы күшт­ ер әсер
ет­се, онд­ а ро­торд­ ың өз осін­ ен айн­ а­луы ке­ңіст­ ікт­ е
тұ­рақ­ты бағ­ ы­тын сақ­тайд­ ы, се­беб­ і бе­кітк­ іш оның
ай­нал­ у осін­ е ай­тарл­ ық­тай әсер ет­пейд­ і.

55

Күн жүйе­ сін­ ің пла­нет­ ал­ а­ры алып гир­ оск­ опт­ ар бо­лып таб­ ы­ла­ды. Жер жә­не Күн
жүй­есін­ ің басқ­ а да план­ ет­ алар­ ын­ ың айн­ а­лу осі мыңд­ а­ған жыл­дар бойы кең­ іст­ ік­тег­ і
өз бағд­ арл­ ар­ ын сақт­ ап кел­ ед­ і.

ЕСЕП ШЫҒАРУ ҮЛГІЛЕРІ
АРМАН-ПВ баспасы
Масс­ ас­ ы m және ра­диусы R тұт­ ас диск түр­ ін­дег­ і блокқ­ а жіп орал­ған, ол жіп­тің
ұшы­на масс­ ас­ ы m0 жүк ілін­ген. m0 жүк­ қозғ­ ал­ ысының сыз­ ықт­ ық үдеуін таб­ ыңд­ ар.
Осьте үйк­ ел­ іс жоқ, ал жіп сал­мақс­ ыз бол­ ып таб­ ыл­ ад­ ы.

Бер­ ілг­ ен­ і: Шеш­ уі:

m, R, m0 Есеп­тің шарт­ ы бойы­ нш­ а масс­ ас­ ы m0 жүк a үдеу­
­мен ілг­ е­рі­лем­ е­лі қоз­ға­лыс, мас­са­сы m блок ε

бұр­ ышт­ ық үдеу­мен айн­ алм­ ал­ ы қозғал­ ыс жа­сай­ды

a – ? (суретті қараңдар). Rm
Век­торл­ ар­дың бағ­ ыт­тар­ ын еск­ ер­ іп, айт­ ылғ­ ан де­

не­лер үшін Нью­тон­ның екінш­ і заң­ ын жаз­ айы­ қ: Fк

m0g – Fк = m0a (1) a Fк
m0
Танг­ ен­циал εR бұр­FыкшR т­=ыIқε.ж ылд­ амд­ ы қп­ ен (2)
үдеуд­ ің a = байл­ ан­ ыс­ ын­ Fа

еск­ ер­ іп, мын­ а­ны табам­ ыз:

m0g – F=кI=Ram.0a
Fê R

Екінші теңд­ еу­ден Fê =I a кер­ іл­ у күш­ ін өрн­ ект­ еп, бірінші теңдеуге қоям­ ыз:
R2
a
m0 g −I R2 = m0a , сонд­ а жүк­тің үдеуін есеп­теуг­ е арн­ ал­ған фор­мул­ ан­ ы аламыз:

a = m0 g .

I + m0
R2

Блок тұт­ ас диск­ сия­ қт­ ы, оның инер­ция мо­мент­ і

I = mR 2 -ге тең, дем­ ек: a = 2m0 g .
2 m + 2m0

­Жа­уа­бы: a = 2m0 g .
m + 2m0

Ба­қы­лау сұ­рақт­ ар­ ы

1. Қанд­ ай шам­ а­ны им­пульс мом­ ен­ті деп атайд­ ы?
2. Айн­ ал­ ат­ ын абс­ о­лют қатт­ ы де­не үшін Ньют­ онн­ ың екін­ші заң­ ын тұж­ ыр­ ым­

даңд­ ар.
3. Им­пульс мо­мент­ і­нің сақ­та­лу за­ңын­ ың мән­ іс­ і нед­ е? Ол қанд­ ай шарттарда

орын­да­ла­ды?
4. Гир­ оск­ оп де­ген не? Ол қай­да қолд­ а­ныл­ а­ды?

56

Жатт­ ы­ғу 10

АРМАН-ПВ баспасы1. Горизонталь жа­зықт­ ықт­ а ра­диусы 2 м шең­бер бойым­ ен 2π рад/с бұр­ ышт­ ық
жыл­дамд­ ықп­ ен ай­нал­ ат­ ын масс­ ас­ ы 0,1 кг де­не­нің им­пульс мом­ ент­ ін
анық­таңд­ ар.

2. Горизонталь жаз­ ықт­ ықт­ а ра­диусы 2 м бо­ла­тын шеңб­ ер бойым­ ен 2π рад/с
бұр­ ышт­ ық жыл­дамд­ ықп­ ен ай­нал­ а­тын масс­ ас­ ы 0,1 кг де­нен­ ің им­пульс
мо­мент­ ін бір айн­ ал­ ымд­ а екі есе арт­тыр­ ат­ ын күш мо­мент­ ін анықт­ аң­дар.

3. Ден­ е шеңб­ ер бойы­мен φ = 30° орын ауы­ ст­ ырғ­ ан­да 3,14 Дж жұм­ ыс жас­ ағ­ ан
күш мо­мент­ ін анықт­ аң­дар.

4. Жіптің екі ұшына байланған масс­ ал­ ар­ ы 0,2 кг жә­не 0,1 кг екі гір таст­ ар­ ы
массасы 0,1 кг блок ар­қыл­ ы асыр­ ыл­ ып тасталған. Гір таст­ ар­ ын­ ың үдеу­
лер­ ін, жіпт­ ің кер­ іл­ уін анық­таңд­ ар. Блок­ты бір­тұт­ ас диск деп алың­дар.
Үйк­ ел­ іст­ і еск­ ерм­ еңд­ ер.

5. Масс­ ас­ ы 9 кг бар­ аб­ анғ­ а бау орал­ған, ал оның ұшын­ а масс­ ас­ ы 2 кг жүк
байл­ анғ­ ан. Жүкт­ ің қозғ­ а­лыс үдеуін анық­таңд­ ар. Бар­ аб­ анд­ ы бір­тұт­ ас ци­
лин­ др деп алыңд­ ар, үйк­ ел­ іст­ і еск­ ерм­ еңд­ ер.

Экс­пе­рим­ ен­ т­тік тап­сырм­ а

Денс­ аул­ ық диск­ іс­ імен ай­нал­ ып, им­пульс мом­ ен­тін­ ің сақ­тал­ у заң­ ы­ның
орын­да­лу­ын тек­сер­ іңд­ ер (43-сур­ ет).


43-су­рет. Ден­сау­лық диск­ ісі

Шы­ғар­ма­шы­лық тапс­ ыр­ма
1. Ілгерілемелі және айналмалы қозғалыс теңдеулерінің ұқсастық кестесін
құрастырыңдар.
2. «Гироскоптардың кеме қатынастары, авиация және ғарыш саласында қол­
данылуы» тақырыбына хабарлама дайыңдаңдар.

57

2-тараудың қорытындысы
АРМАН-ПВ баспасы
Ньют­ онн­ ың I за­ңы­ Ньют­ онн­ ың II за­ңы­ Ньют­ онн­ ың III за­ңы­
ІFл­г=ер­mіл­aем­; е л­ і қ оFзғ­=ал­∆∆ыðtс үшін 
∑n  F1 = − F2

Fi = 0

i =1

 
F1 + F2 + ...... + Fn = 0 Ай­нал­ма­лы қозғ­ а­лыс үшін
∆L
a = 0, υ = const M =I ε ; M = ∆t

Бүк­ і­лә­лемд­ ік тар­тыл­ ыс за­ңы­

Б­ ір-бір­ ін­ ен қаш­ ықт­ ықт­ а Б­ асқ­ а ден­ е­нің бет­ ін­де орн­ а­ Б­ асқ­ а ден­ ен­ ің ішін­де орн­ а­

орн­ а­ласқ­ ан ден­ ел­ ер үшін лас­қан ден­ е үшін ласқ­ ан ден­ е үшін
Gm1m2 F = mg
F = R2 F = 4 πG ρmR
3

Дин­ а­мик­ а заң­да­ры:
Нью­тон­ның I за­ңы
Егер де­нег­ е күш­ әсер етп­ ес­ е нем­ ес­ е күшт­ ерд­ ің әсері теңг­ ер­ ілг­ ен бол­са, онд­ а де­не инер­

циял­ық сан­ ақ жүйе­ леріне қатысты тыныштық күйін сақтайды немесе бірқал­ ып­ты және
тү­зу­сыз­ ықт­ ы қозғ­ алады.
Нью­тон­ның II за­ңы
Ден­ ен­ ің алатын үдеуі оған түсірілген тең­ ­әс­ ерлі күшк­ е ту­ра проп­ ор­цио­нал және оның мас­
сасын­ а кер­ і про­пор­цио­нал.
Абс­ ол­ ют қат­ты ден­ е­нің ай­нал­ ма­лы қозғ­ ал­ ыс­ ы үшін Нью­тон­ның II за­ңы
Ден­ ег­ е түс­ ір­ ілг­ ен сырт­қы күш­тер­дің мо­мен­ т­тер­ ін­ ің қо­сынд­ ыс­ ы де­нен­ ің инерц­ ия мо­мент­ ін­ ің
бұр­ ышт­ ық үдеу­ге көб­ ейт­інд­ іс­ ін­ е тең бол­ ад­ ы.
Нью­тон­ның III за­ңы
Ден­ ел­ ер мод­ у­лі жағынан тең, бағ­ ы­ттары қар­ ам­ а-қарс­ ы күшт­ ер­мен өза­ра әрекеттеседі. Олар
әр­түрл­ і ден­ ел­ ерг­ е түс­ іріл­ ген таб­ иғ­ а­ты бірд­ ей күшт­ ер, бір түз­ уд­ ің бойы­ нд­ а әсер етед­ і.
Имп­ ульс мо­мен­ті­нің сақ­тал­ у заң­ ы
Тұй­ық жүйед­ е айн­ ал­ а­тын ден­ е­лерд­ ің имп­ ульс мом­ ент­ і тұр­ ақт­ ы шам­ а бол­ ып қал­ ад­ ы.

Глоссарий
Аб­сол­ ют қат­ты де­не  – басқ­ а ден­ ел­ ер­мен өзар­ а әрекеттесу ке­зін­де деф­ орм­ ац­ ия­сын еск­ ер­

меу­ге бол­ а­тын ден­ е.
Ди­на­ми­ка – ден­ елер­дің түс­ ір­ ілг­ ен күш әсер­ ін­ ен бол­ ат­ ын қоз­ғал­ ыс­ ын қар­ аст­ ыр­ а­тын мех­ ан­ и­

кан­ ың бөл­ ім­ і.
Им­пульс мо­мен­ті  – ден­ е импульсінің дененің қоз­ғал­ ып ба­ра жат­қан шеңб­ ер рад­ иусына

кө­бейтіндісіне тең шам­ а.
Инерц­ ия мо­мен­ті – масс­ ан­ ың де­не қозғ­ ал­ ып бар­ а жат­қан шеңб­ ер рад­ иусын­ ың квадр­ а­тын­ а

көб­ ей­тін­діс­ ін­ е тең шам­ а.
Күш мом­ ен­ті – күшт­ ің оның иі­нін­ е көб­ ейтіндісі.
Іш­кі күш­тер – тұй­ық жүйен­ ің ден­ ел­ ер­ і арас­ ынд­ ағ­ ы өзар­ а әрекеттесу күшт­ ері.
Инерц­ ия күш­ і – де­не­лерге басқа денелердің әсер етуіне тәу­елс­ із түр­де пай­да бол­ ат­ ын күш.

Инерц­ ия­лық емес сан­ ақ жүй­есін таң­дау инер­ция кү­шін енг­ із­ у­ге алып келд­ і.

58

АРМАН-ПМВЕХ ­АбНаИКсАпасы 3-ТАРАУ

СТА­ТИК­ А

Стат­ ик­ а (грек.­ στατός – теп­ е-тең­дік тур­ ал­ ы ілім сөз­ і­нен шық­қан)  – мат­ е­
рия­лы­ қ ден­ ел­ ер­дің күш әсер­ інен болатын теп­ е-теңд­ ік шартт­ а­рын зертт­ ейт­
ін механика бөл­ і­мі.

1 Тарауды оқып-бі­лу ар­қы­лы сен­дер:
• аб­со­лют қатт­ ы де­не мен ма­те­ри­ял­ық ден­ е­лер жүйе­ сі­нің мас­са­лар

цент­рін та­буд­ ы;
• әрт­ үр­лі теп­ е-теңд­ ікт­ і түс­ інд­ ір­ген кезд­ е себ­ еп-сал­дар бай­ла­ныс­ ын

ор­нат­ у­ды;
• тә­жір­ и­бе­лік жол­мен күш ша­ма­лар­ ын анықт­ ауд­ ы жән­ е күшт­ ерд­ і

қос­ у заң­ ын эксп­ ер­ им­ ент­тік түр­де текс­ е­ру­ді үйр­ е­нес­ іңд­ ер.

§ 11. Масс­ ал­ ар центр­ і

АРМАН-ПВ баспасыКүтілетін нәтиже: I Де­нен­ ің мас­са­лар центр­ і
Осы параграфты игергенде: мен ауы­ р­лық цент­рі
• аб­со­лют қатт­ ы ден­ е
Сен­дерг­ е масс­ а­лар центр­ і мен ау­ыр­лық центр­ і
мен ма­те­рия­ л­ық ұғым­дар­ ы 7-сын­ ып­тың фи­зи­ка курс­ ын­ ан белг­ і­лі.
ден­ е­лер жүйе­ сі­нің
масс­ ал­ ар центр­ ін таб­ а Ауы­ рл­ ық цент­рі  – кез келг­ ен жағ­дай­да
алас­ ыңд­ ар. де­не­ге әсер ете­тін ау­ыр­лық кү­ші­нің тү­су
нүкт­ е­сі.

1-тапсырма Мас­са­лар цент­рі  – денені іл­ге­рі­ле­ме­лі
44-су­рет бойы­ н­ша де­не­нің қоз­ға­лыс­қа келт­ і­ре­тін күш­терд­ ің әсер ету
ауы­ р­лық цент­рін та­бу әді­сін сыз­ ық­тар­ ын­ ың қи­ылыс­ у нүкт­ е­сі.
түс­ ін­ді­рің­дер.
Ауы­ рл­ ық цент­рі Жерд­ ің бет­ ін­де бо­ла­тын бар­лық
N өза­ра әрекеттесулерде масс­ ал­ ар центр­ ім­ ен сәйк­ ес
кел­ е­ді, себ­ еб­ і бар­лық ден­ е­лер­дің өл­шемд­ ер­ і Жерд­ ің
A өл­шемд­ ер­ ін­ е қар­ ағ­ ан­да анағ­ ұр­лым кіш­ і бо­лад­ ы.

B Ауы­ р­лық кү­шін­ ің әсері­нен де­не іл­ге­ріл­ ем­ е­лі қозғ­ а­
ла­ды, де­не­нің барл­ ық нүкт­ ел­ ер­ і бір­дей орын ау­ыст­ ы­рад­ ы.
M
Өз тәжірибең
а) 1. Қа­рас­тыр­ ыл­ған әдіс­ке сәйк­ ес бұр­ ыс пішінді де­не­нің
N
ауы­ р­лық цент­рін анықт­ аң­дар.
B 2. Ауырлық күшінің түсу нүктесін өз­гер­тіп (45-сур­ ет),
AC
сол затт­ ың масс­ а­лар цент­рін анық­таң­дар.
Fа
A F1
C
M
B

F2
45-сур­ ет. Де­нен­ ің мас­са­лар цент­рін анық­тау

E Жауабы қандай?
ә)
1. Де­не­нің мас­са­лар цент­рін та­буғ­а ар­нал­ған тә­жі­ри­
44-су­рет. Тік­те­ме сы­зық бе­де не­ні өз­гер­ту қаж­ ет бол­ды?
бой­ын­ша ден­ ен­ ің ауы­ р­лық
2. Нел­ ікт­ ен масс­ а­лар цент­рі ауы­ рл­ ық цент­рі­мен сәйк­ ес
цент­рін таб­ у кел­ е­ді?

60

Дұ­рыс пішінді ден­ ен­ ің ауы­ рл­ ық центр­ і оның симмет­рия цент­рім­ ен сәй­кес кел­ е­
тін­ ін еск­ е түс­ ір­ ейік. Шар, сақ­ и­на, диск үшін бұл  – олард­ ың геом­ етр­ ия­лық цент­рі
(46,  а-сур­ ет), ци­ли­ндр мен құ­быр үшін осьтер­ ін­ ің орт­ ас­ ы (46, ә-сур­ ет). Куб, тік­
бұр­ ышт­ ы па­рал­лел­ еп­ и­пед үшін сим­мет­рия цент­рі  – диаго­наль­дар­ ын­ ың қиы­ лыс­ у
нүк­тес­ і (46, б-су­рет).

Ден­ е­нің бірн­ е­ше күш­тің әсерін­ ен бол­ а­тын қозғ­ а­лыс­ ын зерт­тей отыр­ ып, біз
олард­ ы де­не­нің бар­лық масс­ ас­ ы жин­ ақтал­ған мат­ ер­ и­ялы­ қ нүкт­ ег­ е ал­маст­ ырд­ ық, осы
нүкт­ е масс­ а­лар цент­рі бо­лып таб­ ыл­ ад­ ы.
АРМАН-ПВ баспасы
02

C C
C

01

а) ә) б)


46-сур­ ет. Дұ­рыс пішінді фиг­ ур­ ал­ ард­ ың мас­сал­ ар цент­рі олард­ ың гео­мет­риял­ ық ­
цент­рінд­ е орн­ ал­ а­сад­ ы

II Аб­сол­ ют қатт­ ы де­нен­ ің айн­ алм­ а­лы Есте сақтаңдар!
қозғ­ а­лы­сы­ның шар­ты Әсер ету сыз­ ығ­ ы ден­ е­нің
масс­ ал­ ар цент­рі арқ­ ыл­ ы
Бізд­ і қорш­ ағ­ ан ден­ е­лер ілг­ е­ріл­ ем­ ел­ і қоз­ғал­ ысп­ ен өт­пейт­ін күшт­ ің әсерін­ ен
қатар айн­ алм­ ал­ ы қоз­ғал­ ыс жа­сайд­ ы. Егер ден­ ег­ е тү­сі­ де­не ай­нал­мал­ ы қозғ­ а­лыс
рілг­ ен күшт­ ің не­ме­се барл­ ық күш­тер­дің теңәсерлі жас­ айд­ ы.
күш­ інің әсер ету сы­зы­ғы де­нен­ ің мас­са­лар центр­ і арқ­ ы­лы
өтс­ е, он­да ден­ е қозғ­ ал­ ыс­ ы іл­ге­ріл­ е­мел­ і бол­ а­тын­ ы бел­гі­лі. Жауабы қандай?
1. Әсер ету сыз­ ығ­ы ден­ ен­ ің
Әсер ету сы­зы­ғы ден­ ен­ ің мас­сал­ ар цент­рі
арқ­ ыл­ ы өтпейті­н күш­ден­ ені айн­ ал­ма­лы қоз­ға­лысқа ауы­ рл­ ық центр­ і арқ­ ыл­ ы
келтіреді. өт­пейт­ін күш не­лікт­ ен
ден­ ен­ і ай­налд­ ыр­ ад­ ы?
Ғи­мар­ атт­ ар, кө­пірл­ ер, басқ­ а да алуа­ н түр­лі құ­ры­ 2. Нел­ ікт­ ен ұзын өзек­ті
лыст­ арғ­ а әр­түр­лі таб­ иғ­ и күшт­ ерм­ ен қат­ ар, тех­ни­ бір ұшын­ ан ұс­та­ғанн­ ан
ка­лық күшт­ ер әсер ете­ді, дегенмен, олар ты­ныш­тық гөр­ і көлд­ ен­ ең­ ін­ ен қой­ып,
күй­де бо­луы кер­ ек. Тын­ ыштықт­ ағ­ ы ден­ е­лер тур­ ал­ ы орт­ ас­ ын­ ан ұс­тағ­ан
олар теп­ е-тең­дік­күйде деп ай­тад­ ы. Абс­ о­лют қатт­ ы ыңғайлы?
ден­ е­лерд­ ің теп­ е-теңд­ іг­ ін зерт­тейт­ін ме­хани­ка
бөл­ ім­ ін ста­ти­ка деп атайд­ ы.

III Аб­сол­ ют қатт­ ы де­нен­ ің теп­ е-теңд­ ік
шарт­тар­ ы

Ден­ е екі шарт орынд­ алғ­ ан­да ған­ а теп­ е-тең­дікт­ е бол­ ад­ ы:

1) Ден­ ег­ е тү­сір­ ілг­ ен сыр∑тn ­қFыi күшт­ ер­дің қос­ ын­ды­сынөл­ге тең:
нем­ ес­ е F1 + F2 + ... + Fn = 0 .
(1)

i =1

Таңд­ ап алын­ған осьт­ ерг­ е проекц­ ия түсірілгенде (1) өрн­ ек мынадай бол­ ад­ ы:

61

F1x + F2x + … + Fnx = 0,
F1y + F2y + … + Fny = 0,
F1z + F2z + … + Fnz = 0.
2) Кез кел­ген айн­ а­лу осін­ е қат­ ыс­ты ден­ е­ге әсер
АРМАН-ПВ баспасы 0d

етет­ ін барл­ ық сырт­қы күш мом­ ен­ т­те­рін­ ің F

қос­ ын­ды­сы нөл­ге тең:
∑n
= 0 нем­ ес­ е M1 + M2 + … + Mn = 0, (2)
Mi
i =1

M = Fd 47-су­рет. Иін күш­тің әсер ету
мұн­дағ­ ы М – күш мо­мен­ті, d – күш иі­ні (47-сур­ ет). сыз­ ығ­ ы­мен тік­бұ­рыш жа­сай­ды
Егер күш де­не­ні сағ­ ат ті­лін­ ің бағытына қар­ ам­ а-

қарс­ ы ай­нал­дырс­ а, күш мом­ ент­ і  – оң, ал егер сағ­ ат

ті­лі­бағытымен айн­ ал­дырс­ а, тер­ іс бо­лад­ ы.

Баст­ ап­қы уа­қыт мез­ ет­ ін­де ден­ е­нің бұ­рыш­тық жыл­дамд­ ығ­ ы нөл­ге тең болғанда,

екін­ші шарт­орынд­ ал­ атын болса, дене бірқ­ ал­ ыпт­ ы айн­ ал­ майды.

IV Масс­ ал­ ар цент­рі­нің коор­ди­на­тал­ а­ры
Күрд­ е­лі құ­рылым­ды де­нел­ ер үшін масс­ ал­ ар центр­ і­нің коор­ди­нат­ ал­ ар­ ын анық­тай­ық.

y
N

0 Fа1 C x
Fа2 Fа3

48-сур­ ет. Зіл­те­мір­дің С масс­ а­лар цент­рін­ ің ­
коорд­ ин­ а­та­ла­рын анық­тау

Ұш­тар­ ынд­ а әрт­ үрл­ і масс­ ад­ а­ғы диск­ і­лер ілінг­ ен зіл­ Өз тәжірибең
1. Екі сом­ ы­ны бар қозғ­ағ­ыш
те­мірд­ ің теп­ е-тең­діг­ ін қа­раст­ ы­рай­ық (48-су­рет). С мас-
бұр­ ан­дан­ ың масс­ а­лар
сал­ ар цент­рі­нің коорд­ ин­ а­тал­ ар­ ын анықт­ ай­ық, ол үшін цент­рі­нің коорд­ и­на­тал­ ар­ ын
анық­таң­дар (49-су­рет).
зілте­мір осі­нің шетк­ і сол жақ­нүк­тес­ ін 0 айн­ ал­ у нүкт­ ес­ і 2. Мас­са­лар цент­рі­не ті­рек
қойы­ п, есепт­ еу­лерд­ ің
рет­ ін­де алайы­ қ. Теп­ е-теңд­ ік шар­тын жа­зайы­ қ: дұр­ ыст­ ығ­ын тексе­рің­дер.
F à1 + F à2 + F à3 + N = 0
(3) 49-сур­ ет. Сом­ ын­дар­ ы бар ­
қоз­ға­ғыш бұ­ран­да
M1 + M2 + M3 + M4 = 0 (4)

Күш иінд­ ер­ ін коорд­ ин­ ат­ ал­ ар арқ­ ыл­ ы жаз­ ай­ық,

сонд­ а зілт­ ем­ ірд­ ің дис­кіл­ ер­ і мен өзегіне әсер етет­ ін

ауы­ р­лық күшт­ ер­ ін­ ің иін­дер­ і x1, x2, x3. Ауы­ р­лық цен­
трін­ ің коорд­ ин­ а­тас­ ын xc ар­қыл­ ы белг­ і­лейік. (4) тең­
деу мын­ ад­ ай түрг­ е ие бо­лад­ ы:

–m1gx1 – m2gx2 – m3gx3 + Nxc = 0. (5)

0у осін­ е проекц­ ия­сынд­ а (3) теп­ е-теңд­ ікт­ ің бір­ ін­ші

шартын­ ан тір­ ектің реакц­ ия кү­шін анықт­ айм­ ыз:

–m1g – m2g – m3g + N = 0,

62

сон­да: N = (m1 + m2 + m3) g. (6) 2-тапсырма
Де­не­нің (де­не­лер жүй­есі)
Алын­ған өрн­ ек­ті (5) тең­деуг­ е қой­ып, ау­ырл­ ық масс­ а­лар цент­рін та­буғ­а
АРМАН-ПВ баспасы арн­ ал­ған есепт­ ер­ді ше­шуд­ ің
цент­рін­ ің коор­дин­ ат­ ас­ ын­ а қа­тыст­ ы шеш­ ем­ із: ал­го­ритм­ ін құр­ ас­тыр­ ың­дар.
m1x1 + m2 x2 + m3 x3
xc = m1 + m2 + m3 . (7) Назар аударыңдар!
Ден­ ел­ ер жүйе­ сін­ ің
Ден­ ел­ ер сан­ ы n бол­ған жағ­дай үшін нә­тиж­ ен­ і кең­ іст­ ік­тік қозғ­ ал­ ыс­ ын,
мыс­ а­лы, грав­ и­тац­ ия­лық
жал­пыл­ айы­ қ: m1x1 + m2 x2 + .... + mn xn күш­терм­ ен байл­ ан­ ысқан
m1 + m2 + .... + mn қос жұлд­ ызд­ ы, олард­ ың
xc = масс­ ал­ ар цент­рін­ е қа­тыст­ ы
қар­ аст­ ыр­ ад­ ы.
= ∑n

mi xi
не­ме­се ∑xcx i =1 (8)
n
mi

i =1
0x пен 0z осьт­ ер­ і бой­ын­ша ау­ыр­лық цент­рін­ ің

коор­дин­ а­тас­ ын осыған ұқсас анықт­ ай­мыз:
∑n ∑n
= =
mi ói mi zi
i =1 zc i =1
∑ ∑yc n n
mi mi

i =1 i =1

ЕСЕП ШЫҒАРУ ҮЛГІЛЕРІ

Масс­ а­лар­ ы сәйк­ ес­ інш­ е m, 2m, 3m және m 2m 3m 4m
4m бо­лат­ ын төрт шар­дан тұ­ра­тын жүйе­нің
масс­ ал­ ар цент­рін­ ің ор­нын мына жағд­ ай­ x
лар­да анық­таңд­ ар: а) шар­лар бір тү­зу­дің z
бой­ын­да ор­на­лас­ ад­ ы; ә) шар­лар шар-
шының төб­ ел­ ер­ інд­ е орн­ а­лас­ ад­ ы; б)  шар­ y 2m
лар текшенің төрт іргелес тө­белерінд­ е
орн­ а­лас­ ад­ ы. Барл­ ық жағ­дайд­ а көр­шіл­ ес m 2m m
шарл­ ар ара­сынд­ ағ­ ы қаш­ ықт­ ық 15  см
болад­ ы. Коор­ди­нат­ а осьт­ ерінің ба­ғыт­тар­ ы 4m y
сур­ етт­ е көрс­ ет­ ілг­ ен.
4m 3m x 3m

x

Бе­ріл­ Шеш­ уі: m1x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4
ген­ і: m1 + m2 + m3 + m4
m а) xñ =
2m
3m шар­лард­ ың коорд­ ин­ а­та­лар­ ын бі­рінш­ і шарғ­ а қа­тыс­ты анық­тай­мыз,
4m
мас­са­лар центр­ і­нің коор­дин­ а­та­лар­ ын есепт­ еу фор­му­лас­ ы­на қоя­мыз:
хс – ? m ⋅ 0 + 2m ⋅ 0,15 + 3m ⋅ 0,30 + 4m ⋅ 0, 45
ус – ? xc = m + 2m + 3m + 4m = 0,3 ì.
zc –
ә) õñ = m1x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 ; óñ = m1 ó1 + m2 ó2 + m3 ó3 + m4 ó4 .
m1 + m2 + m3 + m4 m1 + m2 + m3 + m4

63

шарл­ ард­ ың коор­дин­ а­тал­ а­рын төрт­ ін­ші шар­ға қат­ ыс­ты анықт­ ай­мыз, масс­ ал­ ар

центр­ і­нің коорд­ ин­ ат­ ал­ а­рын есепт­ еу форм­ ул­ ас­ ын­ а қоя­мыз:
АРМАН-ПВ баспасыm ⋅ 0 + 2m ⋅ 0,15 + 3m ⋅ 0,15 + 4m ⋅ 0
õñ = m + 2m + 3m + 4m = 0, 075 ì ;

yc = m ⋅ 0,15 + 2m ⋅ 0,15 + 3m ⋅ 0 + 4m ⋅ 0 = 0, 045 ì .
m + 2m + 3m + 4m

б) õñ = m1 x1+m2 x2+m3 x3+m4 x4 ; óñ = m1 ó1+m2 ó2+m3 ó3+m4 ó4 ; zc = m1 z1+m2 z2 +m3 z3+m4 z4
m1+m2+m3+m4 m1+m2+m3+m4 m1+m2+m3+m4

шарл­ ард­ ың коорд­ ин­ а­тал­ ар­ ын төрт­ ін­ші шарғ­ а қа­тыс­ты анықт­ ай­мыз, масс­ а­лар

центр­ ін­ ің коор­ди­нат­ ал­ ар­ ын есепт­ еу форм­ у­лас­ ын­ а қоям­ ыз:
m ⋅ 0 + 2m ⋅ 0 + 3m ⋅ 0,15 + 4m ⋅ 0
õñ = m + 2m + 3m + 4m = 0, 045 ì.

yc = m ⋅ 0,15 + 2m ⋅ 0 + 3m ⋅ 0 + 4m ⋅ 0 = 0, 015 ì.
m + 2m + 3m + 4m

zc = m ⋅ 0 + 2m ⋅ 0,15 + 3m ⋅ 0 + 4m ⋅ 0 = 0, 030 ì.
m + 2m + 3m + 4m

­Жау­ аб­ ы: а) хс = 0,3 м;
ә) хс = 0,075 м; ус = 0,045 м;
б) хс = 0,045 м; yс = 0,015 м; zс = 0,03 м.

Ба­қыл­ ау сұ­рақт­ ар­ ы

1. Қанд­ ай шартт­ ар­да де­не айн­ ал­ма­лы қозғ­ ал­ ыс жас­ айд­ ы?
2. Стат­ и­ка не­ні зерт­тейд­ і?
3. Қан­дай шарт­тард­ а де­не теп­ е-теңд­ ікт­ е болад­ ы?
4. Ден­ ен­ ің, де­нел­ ер жүйе­ сі­нің масс­ ал­ ар цент­рін­ ің коорд­ ин­ ат­ а­лар­ ы қал­ ай

анықт­ алады?

Жат­тығ­ у 11

1. Ұзын­дығ­ ы 12 м бөр­ ен­ ен­ і көл­ден­ ең күйд­ е оның қа­лың ұшы­нан 3 м қа­шық­
тық­та ті­реу­іш қой­ып, те­пе-тең­дікк­ е келт­ ір­ у­ге бо­лад­ ы. Егер ті­реуі­ш бөр­ е­
нен­ ің қа­лың ұшын­ ан 6 м қаш­ ықт­ ықт­ а ор­нал­ асс­ а жән­ е жі­ңіш­ке ұшы­на
масс­ ас­ ы 60 кг жұм­ ысш­ ы отырс­ а, онд­ а бөр­ ен­ е қай­та теп­ е-тең­дікк­ е кел­ ед­ і.
Бөр­ ен­ ен­ ің масс­ ас­ ын анықт­ аң­дар.

2. Мас­сас­ ы 10 кг жән­ е ұзынд­ ығ­ ы 40 см өзек­тің ұшт­ ар­ ын­ а масс­ ал­ ар­ ы 40 кг
жә­не 10 кг жүк­тер ілінг­ ен. Өзек теп­ е-теңд­ ік­те бол­ уы үшін оны қай жер­ ін­ ен
ті­реу қаж­ ет?

3. Цил­ и­ндрл­ ік өзект­ ің бір жар­тыс­ ы бо­латт­ ан, екінші жар­тыс­ ы алю­мин­ ий­ден
жасалынған. Егер өзек­тің ұзын­дығ­ ы 30 см болс­ а, оның ау­ыр­лық цент­рін­
анықтаңдар.

64

4. Авт­ о­көл­ ік­тің ал­дыңғ­ ы жә­не артқ­ ы дөң­гел­ ект­ ер­ ін­ ің ара­сынд­ ағ­ ы қаш­ ықт­ ық
2,3 м. Ав­то­көл­ ік­ті сал­мақт­ ық платф­ орм­ ад­ а өлш­ ег­ енде, оның ал­дыңғ­ ы дөң­
гел­ ек­тер­ ін­ е тү­сір­ ілг­ ен жүк­тем­ е 9 кН, ал арт­қы дөң­гел­ ек­тер­ ін­ е тү­сір­ ілг­ ен
жүк­тем­ е 6,5 кН екені белг­ і­лі болд­ ы. Ауы­ рл­ ық центр­ і ал­дыңғ­ ы ось­тен қан­
дай қаш­ ықт­ ықт­ а орн­ ал­ асқ­ ан?

5. Өлш­ емд­ ер­ і 50-су­ретт­ е бер­ ілг­ ен бір­тект­ і пласт­ и­нал­ ард­ ың масс­ ал­ ар цен-
трін­ ің коор­дин­ а­та­лар­ ын анықт­ аң­дар.

110

40 20
55АРМАН-ПВ баспасы
20 20 60 20 60
35
9050-сур­ ет. Бірт­ ект­ і пласт­ и­на­лар
30 30
6. Радиусы R, 0 нүктесіне қатысты дөңгелек саңылауы бар біртекті дисктің хс
центрінің координатасын анықтаңдар. Саңылау радиусы диск радиусының
жартысына тең r = R/2 (51-сурет).

Y
R

r

C C1 x
0 C2

xC xC2
51-сурет. 11.6-жаттығуға арналған

Экс­пер­ и­ме­нт­тік тапс­ ырм­ а

50-су­рет­те көр­се­тіл­ген өлш­ ем бойы­ н­ша кар­тон қағ­ аз­дан фигур­ а­лар қиы­ п
алыңд­ ар. Өз­де­рің­нің есепт­ еу­лер­ ің­нің дұ­рыст­ ығы­на көз жетк­ і­зің­дер.

Шы­ғарм­ а­шы­лық тап­сырм­ а

Кіш­кен­ е сект­ ор­да ал­ты пла­нет­ а: Шол­пан, Жер, Марс, Юпи­тер, Са­турн,
Уранның Күн­нің бір жағ­ ынд­ а қатарласу мез­ етін пла­не­та­лард­ ың үлк­ ен ше­руі деп
атай­ды. Осы кезд­ е­гі Күн­нің масс­ ал­ ар центр­ і­не қа­тыс­ты Күн жүйе­ сінің мас­са­лар
центр­ і­ коорд­ ин­ а­та­лар­ ын анықтаңд­ ар. Бар­лық план­ ет­ ал­ ар бір түз­ уд­ ің бой­ын­да
орн­ ал­ асқ­ ан деп алып, коорд­ ин­ а­та­ла­рын есепт­ ең­дер.

65

§12. Теп­ е-теңд­ ік түрл­ ер­ і

АРМАН-ПВ баспасыКүтілетін нәтиже: I Те­пе-теңд­ ік түр­ле­рі
Осы параграфты игергенде: Теп­ е-тең­дік­тің үш тү­рі бар: орнықты, орнықсыз
• әрт­ үрл­ і те­пе-тең­дікті
жән­ е талғаусыз күй (52-сур­ ет).
түс­ інд­ ірг­ ен кез­де се­
беп-сал­дар байл­ а­ныс­ ын Егер те­пе-тең­дік күй­інен шы­ға­рыл­ған
орн­ ат­ а алас­ ыңд­ ар. де­не бастапқы күйі­не қай­та орал­са, он­да
те­пе-тең­дік орнықт­ ы деп ата­лады.

1-тапсырма Ден­ е орнықт­ ы те­пе-тең­дік күйі­нен ау­ыт­қығ­ ан кез­де
52-су­ретт­ е бейн­ е­лен­ген оны қайт­ а теп­ е-теңд­ ік күй­іне ке­лтірет­ ін күш­тер пайд­ а
те­пе-тең­дік түрл­ е­рін атап бол­ а­ды. Орнықт­ ы те­пе-тең­дік кез­ інд­ е де­нен­ ің ауы­ р­лық
шығ­ыңд­ ар. центр­ і бар­лық мүм­кін күйл­ ерд­ ің ең тө­мен­гі­ мәнінд­ е
ор­нал­ ас­ а­ды. Орнықт­ ы те­пе-теңд­ ік күйі­н­де ден­ е ең
NN минимал пот­ ен­циал­дық энерг­ ия­ға ие бол­ а­ды. Мы­сал­ы,
тер­белм­ ел­ і орын­дық орнықт­ ы те­пе-тең­дік күй­де болады.
mg mg N1
а) Егер те­пе-тең­дік­ күйінен шы­ға­рыл­ған
де­не одан әрі те­пе-тең­дік күйд­ ен ау­ытқ­ и
N бе­ре­тін бол­са, те­пе-тең­дік орнықсыз деп
аталад­ ы.
mg mg
ә) N1 Дене орнықс­ ыз те­пе-теңд­ ік күйі­нен сәл ғана
ауы­ тқыса да, ден­ ег­ е әсер ете­тін күштердің теңәсерлі
N күші ден­ е­нің теп­ е-теңд­ ік күйд­ ен ауы­ тқ­ уы­ н артт­ ыр­ а
тү­сед­ і. Орнықс­ ыз теп­ е-теңд­ ік күйі­нд­ е ауы­ р­лық
mg mg центрі­нің би­ік­тіг­ і ең үл­кен мәнг­ е ие бо­лад­ ы, демек,
де­нен­ ің по­тенц­ иал­дық энер­гия­сы максимал мәнг­ е ие
б) бо­лад­ ы. Орнықс­ ыз теп­ е-теңд­ ік күйд­ ег­ і де­неге­дар­шы ­
(ар­қан бо­йы­мен жү­рет­ ін адам) мысал­бол­ а алад­ ы (53-
52-су­рет. Теп­ е-теңд­ ік ­ су­рет).
түрл­ ер­ і
Егер те­пе-тең­дік­ күйінен шы­ға­рыл­ған
де­не өзі­нің бастапқы күйі­ н өзгертп­ ес­ е, те­
пе-тең­дік талғаусыз деп атала­ды.

Талғаусыз теп­ е-теңд­ ік күйд­ егі ден­ ен­ ің по­тен­
циалд­ ық энерг­ ия­сы өз­гермейд­ і, себ­ е­бі ауы­ рл­ ық цен­
трін­ ің биі­кт­ і­гі бұр­ ынғ­ ы қалп­ ын­да қал­ ад­ ы. Талғаусыз
теп­ е-тең­дік горизонталь жазықтықта домалап бара
жатқан шар тәр­ іздес ден­ е­лерг­ е, дөңг­ ел­ ект­ ер­ге тән.

2-тапсырма
Орнықты, орнықсыз жән­ е талғаусыз те­пе-тең­дік күйд­ е­гі
де­не­лер­ге мыс­ ал­дар кел­ті­рің­дер.

66

Бұл қызық!
Адам­дар мен жан­ у­ар­лар­дың құл­ а­ғы тек ес­ту ­қызм­ ет­ ін
ға­на ат­қар­майд­ ы, құл­ ақ­тың іш­кі бөл­ і­гін­де де­не­нің те­пе-
тең­ді­гі­не жау­ап бе­рет­ ін мүше бар (54-сурет).

Тепе-теңдік мүшесі Есту нервісі
АРМАН-ПВ баспасы
Құлақ­ Орта құлақ 53-сур­ ет. Дар­шы орнықсыз
жарғағы тепе-теңд­ ік күйінд­ е

Дыбыс­ Бұл қызық!
жарғағы Майк­ л Грэб  – амер­ ик­ а­лық
су­рет­ші, ол  – тас­тард­ ан
Сыртқы құлақ Ішкі құлақ құрылысы ғаж­ ап мү­сін­дер
жас­ ау­дың мам­ ан­ ы (56-су­
54-сур­ ет. Есту мүшесінің құрылысы рет). Ол бе­кітк­ іш мат­ е­риа­ л­
дард­ ы пайд­ а­лан­бас­тан, тас
II Тір­ ект­ е­гі де­не­нің теп­ е-теңд­ ік мү­сін­дер­тұр­ғыз­ а­ды.
ор­нық­тыл­ ы­ғы. Аударылу
Біз­ді қорш­ а­ған де­нел­ ерд­ ің кө­бі­сі: ғим­ ар­ ат, жи­һаз бен тұр­ 56-сур­ ет. Мү­сінд­ ег­ і тас­
мыс зат­та­ры, мәшинелер, алт­ ы­бақ­ ан, әт­кенш­ ек­тер, тіпт­ і тар орнықсыз те­пе-тең­
адамн­ ың өзі тір­ екк­ е сүйену арқылы тын­ ышт­ ықт­ а болады.
Қан­дай жағд­ ай­да ғим­ а­ратт­ ың ор­нық­ты­лы­ғы арт­ а­тынд­ ы­ дік­те орн­ а­ласқ­ ан.
ғын анық­тай­ық. Ке­сект­ ің те­пе-теңд­ ік орнықт­ ыл­ ы­ғын қа­
раст­ ы­райы­ қ (55-сур­ ет). Оны қан­дай да бір шект­ ік бұ­
рышқ­ а дейі­н бұруға бо­лад­ ы, од­ ан әрі ол аударылып тү­се­
ді. Бұрылудың шект­ і бұ­ры­шын геом­ етр­ ия­лық түр­де

анықт­ ай­мыз: tgα0 = L (55, б-сур­ ет). Ті­рек­те­гі денені
H

ау­ыр­лық цент­рі арқ­ ы­лы өте­тін тік сы­зық тір­ ек­тің ау­да­
нын қиып өткенше бұра бе­ру­ге бо­лат­ ын­ын­ а тәж­ і­риб­ е ар­
қы­лы көз жетк­ і­зуг­ е бол­ ад­ ы (55, ә-сур­ ет). Бұл жағ­дай­да
ауы­ р­лық күш­ ін­ ің мо­мен­ті оң мән­ге ие бо­ла­ды, де­не сағ­ ат
ті­лін­ е қа­ра­ма-қар­сы бағ­ ыт­та­ла­ды, ол баст­ апқ­ ы күйін­ е
қай­тып кел­ е­ді. Тік сыз­ ық ті­рек ауд­ а­нын­ ың шег­ і­нен шығ­ а

N H α0

HC C C C Fа
Fа Fа N L Fа N N
α0
L α α
0 0 0

α<α0 α>α0
в)
а) ә) б)

55-су­рет. Ті­рек­те­гі ден­ е­нің аударылу шар­ты

67

сал­ ы­сы­мен, күш мо­мент­ і тер­ іс бол­ ад­ ы, де­не аударылады (55, в-су­рет). Сондықт­ ан ті­рект­ ің
ау­дан­ ы үл­кен болғ­ ан са­йын ол орнық­ты бо­ла тү­се­ді.

Кес­ ект­ ің масс­ а­лар цент­рі орнықты те­пе-тең­дік күйі­нд­ е ең кіш­ і биі­кт­ ікк­ е ие
бол­ а­ды, ол Н/2-ге тең (55, а-су­рет). Орнықс­ ыз теп­ е-тең­дік күйі­нд­ е масс­ а­лар цен-
трі­нің биі­к­тіг­ і ең жоғ­ ар­ғы мән­ге дейі­н ар­та­ды (55, б-сур­ ет).

Егер ден­ е­нің ауы­ р­лық цент­рі арқ­ ы­лы өте­тін тік сызық осы ден­ е­нің тір­ ек ау­да­
нын­ ың ше­гін­ ен асп­ а­са, он­да тір­ ек ауд­ ан­ ы бар ден­ е теп­ е-теңд­ ік­те бол­ ад­ ы.
АРМАН-ПВ баспасы
Жауабы қандай?

1. Көк ті­ре­ген ғи­ма­рат­ 2. Құ­лам­ ай­тын қуы­ р­ 3. Жүк­ті нел­ ік­тен ке­мен­ ің
тар­дың жоғ­арғ­ы бөл­ і­гі шақт­ ың әре­кет ету па­луб­ ас­ ын­ а емес, оның
нел­ ік­тен үшкірлеу бо­лып прин­ци­пін тү­сінді­рің­дер трюм­ ін­ е ар­та­ды
кел­ е­ді (57-сур­ ет)? (58-су­рет). (59-су­рет)?

CN N О FA FA О
Hh C mg С С mg

Fа N Fа Fа
hH

57-сур­ ет. Ду­байд­ ағ­ ы ­ 58-сур­ ет. Құл­ а­май­тын ­ 59-сур­ ет. Ке­ме­нің орн­ ық­ты
зәу­лім көпқ­ аб­ ат­ты үй, ­ қу­ыр­шақ орн­ ық­ты ­ жән­ е ор­нық­ты емес ­
биі­кт­ іг­ і 828 м, 163 қаб­ ат те­пе-тең­дікк­ е ие те­пе-теңд­ іг­ і

III Асп­ а­да­ғы ден­ ен­ ің теп­ е-теңд­ ік 3-тапсырма
орн­ ық­ты­лы­ғы Бос жә­не жүк тиел­ген жүк
көл­ і­гін­ е әсер етет­ ін күш­тер­ді
Егер ден­ ен­ ің С ауы­ рл­ ық цент­рі арқ­ ы­лы өтет­ ін тік бейн­ ел­ ең­дер. Не­лік­тен жүк
сыз­ ық 0 айн­ ал­ у осі арқ­ ы­лы өтет­ ін болс­ а, онд­ а айн­ ал­ у осі тиел­ген ав­то­көл­ ікт­ ер бұр­ ы­
бар ден­ е теп­ е-теңд­ ікт­ е бол­ ад­ ы (61, а-сур­ ет). Әрі осы кез­ лыстард­ а жиі аударылады
де, егер C ау­ыр­лық центр­ і айн­ а­лу осін­ ен жоғ­ ар­ ы бол­са, (60-су­рет)?
онд­ а кез кел­ген теп­ е-тең­дік күйд­ ен ауы­ тқ­ у кез­ ін­де по­тен­
циал­дық энер­гия азаяды жән­ е 0 осі­не қат­ ыст­ ы ауы­ р­лық 60-сур­ ет. Ұсақ таст­ ар
күш­ ін­ ің мо­мент­ і ден­ е­ні әрі қар­ ай теп­ е-теңд­ ік күйд­ ен т­ иелг­ ен жүк көл­ іг­ і тір­кем­ е­
ауы­ т­қы­та бер­ ед­ і. Бұл – орн­ ық­сыз те­пе-теңд­ ік күй.
сі­нің аударылуы
Егер ау­ыр­лық күш­ і ай­нал­ у осін­ ен тө­мен жақт­ а
ор­наласқ­ ан бол­са, онд­ а теп­ е-тең­дік орн­ ықт­ ы бо­лад­ ы
(61, ә-су­рет). Кез келг­ ен ау­ытқ­ у кез­ ін­де по­тен­
циал­дық энерг­ ия ар­тад­ ы, ау­ыр­лық күш­ ін­ ің мом­ ент­ і
ден­ е­ні теп­ е-тең­дік күйг­ е қай­тып әкел­ е­ді. Егер ау­ыр­
л­ ық центр­ і мен айн­ ал­ у осі сәйк­ ес келс­ е (61, б-сур­ ет),
он­да теп­ е-тең­дік күйі талғаусыз бо­лад­ ы.

Талғаусыз теп­ е-теңд­ ік күй­де тең­ із жа­ну­арл­ ар­ ы –
кит­тер, итб­ ал­ ықт­ ар бол­ ад­ ы. Ме­хан­ и­калық сағ­ атт­ ың

68

маятн­ и­гі орн­ ықт­ ы теп­ е-тең­дік күй­де бол­ ад­ ы. Теп­ е-тең­дік
күйд­ ен ау­ытқ­ ыт­ у үшін маятн­ ик­ке күш түс­ ір­ у қаж­ ет.
АРМАН-ПВ баспасы
Бақ­ ыл­ ау сұ­рақ­тар­ ы C mg C
mg
1. Те­пе-теңд­ ік­тің қанд­ ай түр­лер­ і бар?
2. Қан­дай шартт­ ар­да де­не ор­нық­ты теп­ е-теңд­ ік NN

күй­де, ор­нықс­ ыз те­пе-теңд­ ік күйде, талғаусыз тепе- 00
теңдік күйде бо­ла­ды?
3. Қанд­ ай шарт­тард­ а тіректегі де­не аударылады? а)
4. Нел­ ік­тен бө­рен­ е тігінен жүзб­ ей­ді?
NN
00

Жатт­ ығ­ у 12

1. Төм­ енд­ е көр­сет­ ілг­ ен жағ­дайл­ ар­дағ­ ы теп­ е-тең­дік CC
түр­лер­ ін анықт­ ау қаж­ ет: mg mg
1) бильярдт­ ық шар тор­да орн­ ал­ асқ­ ан кезд­ е;
2) көлд­ ен­ ең тарт­ ыл­ған жіп­тег­ і монш­ ақт­ ың; ә)
3) көлб­ еу жаз­ ықт­ ықт­ ағ­ ы кесек;
4) арқ­ ан үстінде кел­ е жат­қан гимн­ аст; NN
5) кон­ ус­ құй­ғышт­ ағ­ ы (сұйықты ыдысқа құюға CC
арналған құрал) шар; mg mg
6) қаб­ ырғ­ а­ға сүйеп қой­ған са­ты;
7) еденд­ е жат­қан қор­ ап; б)
61-сур­ ет. Айн­ а­лу осін­
2. Тақт­ ай­ша­бетінде би­ікт­ іг­ і h жән­ е диа­метр­ і d = h/2
бол­ ат­ ын ци­ли­ндр тұр. Тақ­тайш­ ан­ ы бір ұшын­ ан дег­ і ден­ ен­ ің ­
ақыр­ ын көт­ ер­ е бас­тай­ды. Қай­сыс­ ы бі­рінш­ і орын­ те­пе-теңд­ іг­ і
да­лад­ ы: цил­ ин­ др төң­кер­ іл­ е ­ме, әлде сырғ­ а­най
баст­ ай­ма? Тақт­ айш­ а мен цил­ и­ндрд­ ің бетт­ ер­ і ара­
сынд­ ағ­ ы үй­кел­ іс коэфф­ и­циен­ті µ = 0,4.

Эксп­ ер­ им­ ен­ т­тік тапс­ ыр­ма

Ин­тер­нет жел­ іс­ ін­ ің мат­ ер­ иа­ лд­ ар­ ын пайд­ ал­ ан­ ып,
ше­гел­ ерм­ ен тә­жі­риб­ е жүрг­ і­зің­дер (62-су­рет). Шег­ е­лер
нел­ ік­тен теп­ е-теңд­ ік күйі­ н сақт­ айт­ ын­ ын түс­ ін­ді­ріңд­ ер.

Шығ­ ар­ма­шыл­ ық тапс­ ыр­ма 62-су­рет. Эксп­ ер­ и­
мен­ т­тік тап­сырм­ а
1. Қол­да бар ма­те­риа­ лд­ ар­дан құл­ ам­ айт­ ын қу­ырш­ ақ
дайы­ ндаң­дар. үшін

2. Хабарлам­ а дайы­ нд­ аңд­ ар (таң­дау бойы­ нш­ а): 69
«Цирк трюк­тер­ інд­ е­гі теп­ е-тең­дік түр­лер­ і»;
«Спорт түрл­ ер­ ін­де­гі те­пе-теңд­ ік­тің рөл­ і».

3-тараудың қорытындысы
АРМАН-ПВ баспасы
Теп­ е-теңд­ ік шарт­та­ры­ М­ ас­са­лар центр­ ін­ ің коорд­ ин­ ат­ а­ла­ры

∑n  ∑n ∑n ∑n
Fi = 0 mi xi mi yi mi zi
õ = i =1 ∑; ó = i=1 ∑; z = i=1
i =1 cn ñn
∑cx n mi mi
∑n mi
i =1 i =1 i =1
Mi = 0 M = Fd

i =1

Абс­ ол­ ют­ қатт­ ы ден­ е­нің те­пе-теңд­ ік шартт­ ар­ ы
1. Ден­ е­ге түс­ ір­ ілг­ ен сырт­қы күшт­ ерд­ ің қо­сынд­ ыс­ ы нөлг­ е тең.
2. Ден­ е­ге әре­кет етет­ ін бар­лық сырт­қы күш­тер­дің мом­ ен­ т­тер­ ін­ ің қо­сынд­ ыс­ ы кез келг­ ен

оське қа­тыст­ ы нөл­ге тең.

Глоссарий
Күш иі­ні – ден­ е­нің ай­нал­ у осін­ ен күш­тің әсер ету сыз­ ығ­ ын­ а дейі­нг­ і ең қысқ­ а арақ­ аш­ ықт­ ық.
Стат­ и­ка – күш әсерін­ ен болатын мат­ ер­ и­ялы­ қ ден­ ел­ ерд­ ің теп­ е-теңд­ ік шарт­тар­ ын зерт­тейт­ін

мех­ ан­ и­ка бөл­ ім­ і.
Масс­ ал­ ар цент­рі – де­нені ілг­ ер­ іле­ мел­ і қозғ­ ал­ ысқ­ а келт­ ір­ ет­ ін күшт­ ер­дің әсер ету сыз­ ықт­ а­

рын­ ың қи­ылыс­ у нүк­тес­ і.
Ау­ыр­лық цент­рі – кез келг­ ен жағд­ айд­ а ден­ ег­ е әсер ете­тін ауы­ рл­ ық күш­ ін­ ің ор­на­ласқ­ ан нүк­

тес­ і.
Теп­ е-тең­дік – ден­ е нем­ ес­ е ден­ ел­ ер жүй­есін­ ің күйі, бұл кез­де түс­ ір­ ілг­ ен күш­тер­дің әсерін­ ен

ден­ е нем­ е­се ден­ е­лер жүй­есі тын­ ыш­тықт­ а бо­лад­ ы.

70

АРМАН-ПМВЕХ ­АбНаИКсАпасы 4-ТАРАУ

САҚТ­ А­ЛУ ЗАҢ­ДАР­ Ы

Тұйы­ қ жүйедегі де­не­лер­ үшін имп­ ульс пен энер­гия­ның сақт­ а­лу заң­дар­ ы
Нью­тон заңд­ ар­ ы­ның салдары болып табылады.
Сақт­ ал­ у заң­да­ры ден­ е­лер жүйе­ сі­не әсер ете­тін күшт­ ерд­ і қар­ ас­тырм­ ай-ақ,
ден­ ел­ ер­дің бір күй­ден екін­ші күйг­ е өтуін ба­қы­ла­май-ақ, ди­нам­ и­ка есеп­те­
рін шеш­ уг­ е мүм­кін­дік бе­ред­ і.
Им­пульс пен то­лық ме­хан­ и­ка­лық энерг­ ия­ның сақ­та­лу заңд­ ар­ ы кез келг­ ен
өлш­ ем­де­гі тұйы­ қ жүйе: мик­ро­дүн­ иен­ ің бөл­шектер­ і, сон­ ы­мен қат­ ар ғар­ ыш
де­нел­ ер­ і үшін де орынд­ ал­ ад­ ы.
Заңд­ ар жүйе ден­ е­ле­рі­не те­ңәс­ ерлі кү­ші нөлг­ е тең сырт­қы күшт­ ер әсер етк­ ен
жағдай­да да орынд­ ал­ а­ды. Жер жағд­ ай­ынд­ а мұн­дай күш­терг­ е Жер­дің тар­
тыл­ ыс күш­ і мен ті­рект­ ің реакц­ ия күш­ і жат­ ад­ ы.

1 Тарауды оқып-білу арқылы сен­дер:
• сан­дық жә­не эксп­ е­ри­ме­нт­тік есеп­тер­ді шығ­ а­ру ке­зінд­ е сақт­ ал­ у

заңд­ а­рын қолдан­ у­ды үйр­ ен­ е­сің­дер.

§ 13. Имп­ ульст­ ің жән­ е ме­хан­ и­кал­ ық энерг­ иян­ ың
сақ­тал­ у заңд­ а­ры, олар­дың ке­ңіс­тік пен уақ­ ытт­ ың
қа­си­етт­ ер­ і­мен байл­ а­ны­сы
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Тұй­ық жүйе үшін имп­ ульст­ ің сақт­ ал­ у заң­ ы
Осы параграфты игергенде: Им­пульст­ ің сақт­ ал­ у заң­ ы Ньют­ он­ның екінш­ і
• санд­ ық жән­ е эксп­ е­
жә­не үшінш­ і заңд­ ар­ ын­ ың сал­дар­ ы бол­ ып таб­ ыл­ ад­ ы.
рим­ ен­ тт­ ік есеп­тер
шығ­ар­ у кез­ інд­ е сақт­ ал­ у Егер жүйе­ дегі ден­ е­лерге әсер етет­ ін сырт­
заң­да­рын қолдан­ а қы күштер­дің қос­ ын­ды­сы нөлг­ е тең бол­са,
алас­ ың­дар. онд­ а өзар­ а әрекеттесетін ден­ е­лерд­ ің тұйы­ қ
жү­йесі­нің им­пуль­сі тұ­рақ­ты ша­ма бо­лып
қалады.

1-тапсырма pæ = n miυi = const ,
Имп­ ульс­тің сақт­ а­лу за­ңы ∑ (1)
Ньют­ он­ның екін­ші жә­не
үшін­ші заң­да­ры­ның сал­да­ мұнд­ а pæ  – жүйеге i =1 ден­ е­лер­ им­пуль­стер­ ін­ ің
рын­ ан шы­ғат­ ыны­ н дә­лел­
дең­дер. кі­рет­ ін

гео­метрия­лық қо­сынд­ ыс­ ы, n  – жүйе­дег­ і ден­ е­лер

Жауабы қандай? сан­ ы, i – ден­ е­нің ретт­ ік нөм­ ір­ і, Σ – қос­ ынд­ ы белг­ і­сі.
1. Не­лі­ктен аб­со­лют сер­
Үш де­ненің өзар­ а серп­ імд­ і әрекеттесуі кезінде (1)
пімд­ і соқт­ ығысу үшін
имп­ ульс­тің сақт­ а­лу мфұонр­м­дауғ­л­ыmа1мuυ1ы1 +,н­ υаm2т2,үuр2υ­г+3е mке3uл3ед=і:m1è1 + m2è2 + m3è3 , (2)
за­ңын­ ың жа­зы­луы − ден­ е­лердің өзар­ а әрекеттесуге
серп­ імс­ із соқтығысу үшін
жаз­ ы­лу­ынан бас­қаш­ а дuе1 й, іuн2­г,і жu3ыл−д­ адмен­д­ еыл­қ­етрадріың,өзар­ а әрекеттесуден кейі­н­гі
бол­ а­ды?
2. Сақт­ ал­ у заң­да­ры неліктен жылд­ амд­ ықтары.
тұйы­ қ жүйе­ лер үшін ға­на
орын­да­ла­ды? Өза­ра серп­ імс­ із әрекеттесу кез­ інд­ е сақт­ ал­ у заң­ ы

2-тапсырма мынадай түрг­ е келеді:
63−65-су­рет­тер­де бейн­ е­лен­ m1υ1 + m2υ2 + m3υ3 = (m1 + m2 + m3 )u ,
ген де­нел­ ер үшін им­пульс­тің (3)
сақ­та­лу за­ңын жа­зың­дар. мұнд­ ағ­ ы u − ден­ е­лердің өзар­ а әрекеттесуден кей­інг­ і

жыл­дамд­ ығ­ ы.

II Тұй­ық жүйе ден­ е­лер­ і­нің им­пульст­ ері
қос­ ынд­ ы­сы­ның мо­дул­ і

Де­не­лер им­пульс­ тер­ ін­ ің қос­ ынд­ ы­сын­ ың мод­ у­лін
анық­тау үшін коорд­ и­нат­ а­лық әдіст­ і пайд­ ал­ а­ну­ға
бо­лад­ ы. Бұл әдіс жүйе де­не­ле­рінің им­пульс­ тер­ ін­ ің
қо­сынд­ ыс­ ын­ ың мод­ у­лін де­нелердің им­пуль­сте­рі­нің
0x, 0y, 0z осьтер­ ін­ е түсірілген проекц­ ия­лар­ ы­ның
қос­ ын­дыс­ ы ар­қы­лы өрн­ ект­ еуге­мүм­кіндік­береді:

p = px2 + py2 + pz2 . (4)

72

Әрек­ етт­ ес­уг­ е дейі­н Әрек­ етт­ есу­ ге дейі­н

АРМАН-ПВ баспасыυ1 υ2=0 m1 υ1 υ2 m1
m1 m2 m2 υ1

x m2 m1 u1
υ2 m2
Әре­кетт­ ес­уден кей­ін Әре­кетт­ есу­ ден кейі­н
u2
υ1 υ2
m1 m2 m1+m2 u

x

63-сур­ ет. Қоз­ғал­май­тын ар­ 64-сур­ ет. Де­нел­ ер­дің өзара 65-сур­ ет. Қозғ­ ал­ ыст­ ағ­ ы шар­

ба­мен серп­ імд­ і соқт­ ы­ғы­су серпімсіз әрекеттесуі лар­дың серп­ імд­ і соқт­ ы­ғы­суы

Таңд­ ап алын­ған px, py, pz осьт­ ері­не түсірілген Жауабы қандай?
проекц­ ия­лар­дың қо­сындыс­ ы­ мына форм­ у­ла­лар бо­ Нел­ ік­тен де­не­лерд­ ің
йын­ша анықтал­ ад­ ы: серп­ імд­ і соқт­ ығ­ыс­ уына
арналған есептерді тек
px = p1x + p2x + … + pnx, имп­ ульс­тің сақт­ а­лу за­ңын
py = p1y + p2y + … + pny, ғана пайд­ а­ла­нып шеш­ у
pz = p1z + p2z + … + pnz, мүмк­ ін емес?
мұнд­ ағ­ ы p1x, p2x, … pnx – жүйеге кір­ ет­ ін n ден­ елердің­
импульст­ ерінің 0x осін­ е проекц­ ия­лар­ ы, Жауабы қандай?
p1y, p2y,   …   pny  – имп­ ульст­ ерд­ ің 0y осін­ е проекц­ ия­ Нел­ ік­тен Ньют­ он маятн­ и­
лар­ ы, p1z, p2z, …  pnz – 0z осін­ е проекц­ ия­лар­ ы. гін­де мас­са­лары бірд­ ей
шар­лар қол­да­ныл­ а­ды?
ІІІ Энерг­ ия­ның сақт­ а­лу за­ңы
3-тапсырма
Ки­не­ти­ка­лық жә­не пот­ енциал­дық энер­гия­лард­ ың 1. По­тенц­ иал­дық энер­гиян­ ы

қос­ ынд­ ыс­ ын­ а тең жүйенің толық мех­ ан­ и­ка­лық энер­ есепт­ еу­дің фор­мул­ а­сын:
а) ас­пан де­не­сін­ ің бет­ інд­ ег­і
гиясы жүйеде денелер арасындағы арақаш­ ық­тық­қа
жә­не одан алыстағы
тәу­ел­ді күш­тер әсер еткенд­ е ға­на сақт­ ал­ ады. Олар­ды гра­вит­ ац­ иялық өрі­сте
ор­на­лас­қан де­не үшін;
кон­серв­ ат­ ив­ті күшт­ ер деп атай­ды. ә) де­фор­мац­ ия­лан­ған
се­ріпп­ е (өзек) үшін
Кон­серв­ а­тив­ті күш­терг­ е тарт­ ыл­ ыс кү­ші мен сер­ жа­зың­дар.
2. Қоз­ға­лыс­та­ғы де­ненің
пімділ­ ік кү­ші жа­тад­ ы. Кон­серв­ а­тив­ті күш­тер­дің кин­ е­тик­ а­лық энер­гияс­ ын
есепт­ еу форм­ у­ла­сын
жұ­мы­сы те­ріс таң­бам­ ен алын­ған пот­ ен­циал­дық жаз­ ың­дар.

энер­гиян­ ың өсім­шес­ і ре­тін­де өрн­ ект­ е­луі мүм­кін:
 kx22 kx12 
A = – (mgh2 – mgh1); À = − 2 − 2 немесе

A = – (Wp2 – Wp1) (5)

Кез келг­ ен күшт­ ің жұм­ ыс­ ын ки­нет­ и­ка­лық энерг­ ия­ның

өз­гер­ іс­ і тур­ а­лы теорем­ а бойы­ н­ша анықт­ ау­ға бол­ ад­ ы:
υ22 − υ12 mυ22 mυ12
A = Fs = ma 2a = 2 − 2 нем­ е­се

A = Wk2 – Wk1. (6)

73

(5) жән­ е (6) тең­діктерден: Wk1 + Wp1= Wk2 + Wp2
осыл­ ай­ша:
АРМАН-ПВ баспасы
W = Wk + Wp= const,
бұл – толық механикалық энерг­ ия­ның сақт­ а­лу заң­ ы­ның өр­не­гі.

n де­нед­ ен тұр­ ат­ ын жүйе­нің энер­гияс­ ы жүйен­ ің әр ден­ ес­ і­нің энер­гия­сын­ ың қо­сын­

дыс­ ы ре­тін­де анық­та­ла­ды. Бір­ інш­ і күй үшін ки­нет­ ик­ ал­ ық жән­ е по­тенц­ иал­дық энер­гия:

∑ ∑n n

Wk1 = Wki , W p1 = W pi бо­лад­ ы;

i =1 i =1

екінш­ і күй үшін: ∑ ∑n n

Wk 2 = Wki , W p2 = W pi ,

i =1 i =1

мұн­дағы i – ден­ е­нің жүйе­дег­ і ретт­ ік нөм­ ір­ і.

Тек консервативті күштер әсер ететін денелердің тұйық жүйесінде
толық механикалық энергия тұрақты шама болып қалады.

IV Кеңістік пен уақыт қасиеттерінің сақталу заңдарымен байланысы
§ 10-та кеңістіктің негізі қасиеттері: біртектілік және изотроптық туралы айтылды.

Кеңістіктің біртектілігі оның барлық нүктелерінің теңдігімен, изотроптық оның барлық
бағыттарының теңдігімен тұжырымдалады. Уақыт біртектілік қасиетіне ие. Уақыттың
біртектілігі – барлық уақыт мезеттері тең екені, олардың кез келгенін бастапқы санақ
нүктесі ретінде қабылдауға болатыны. Кеңістік пен уақыттың аталған қасиеттері
импульс пен энергияның сақталу заңдарымен байланысты.

Импульстің сақталу заңының негізінде кеңістіктің біртектілік қасиеті жатыр.
Көптеген тәжірибелер мен зерттеулер тұйық жүйені бөлшектердің жылдамдықтары
мен өзара орналасуларын өзгертпей, кеңістікте бір орыннан екінші орынға тасы­
малдау жүйенің механикалық қасиеттерін өзгертпейтінін көрсетті. Денелер жү­
йесінің импульсі тұрақты шама болып қалады.

Энергияның сақталу заңының негізінде уақыттың біртектілік қасиеті жатыр.
Тұйық жүйе үшін энергияның сақталу заңы кез келген уақыт аралығы үшін орындалады.

Кеңістіктік-уақыттық аралықтар тұйық жүйе денелерінің өзара әрекеттесуі қарас­
тырылатын барлық санақ жүйелері үшін инвариантты және абсолютті.

Есте сақтаңдар!
Егер шаралардың бастапқы жылдамдықтары олардың центрлерін қосатын сызық
бойымен бағытталған болса, соққы центрлік соқтығысу деп аталады.

ЕСЕП ШЫҒАРУ ҮЛГІЛЕРІ

Масс­ а­ла­ры m1 және m2 , жылдамдықтары m1 υ1 υ2 m2
υ1 және υ2 екі дене бір-біріне қарама-қарсы u1 m1
қозғалып келеді (суретті қараңдар). а) υ2x =  0; x
ә) m1 = m2 болатын дербес жағдайлар үшін дене­
лердің центрлік серпімді соқтығысудан кей­ інгі m2 u2
u1 және u2 жылдамдықтарын анықтаңдар. x

74

Бер­ іл­ген­ і: Ше­шуі:
m1
m2 Oх осін­ е түсірілген проекц­ ия­лар­да имп­ ульст­ ің сақт­ а­лу заң­ ы мын­ а­
АРМАН-ПВ баспасыυ1
υ2 түрге келеді:

u1-? m1υ1x + m2υ2x = m1u1x + m2u2x. (1)
u2-?
Екі шар үшін кин­ ет­ и­ка­лық энерг­ ия­ның сақт­ ал­ у заң­ ын жаз­ ай­ық:
m1υ12x m2υ22õ m1u12õ m2u22õ
2 + 2 = 2 + 2 . (2)

Алынғ­ ан u1x және u2x екі бел­гі­сізі бар теңд­ еу­лер жүйе­ сін шеш­ ейік.
Алынғ­ ан тең­деу­лер­де бір­ ін­ші ден­ е­нің им­пуль­сі мен энерг­ ия­сын

теңд­ еу­дің оң жағ­ ын­ а, екінш­ і ден­ е­нің им­пуль­сі мен энерг­ ия­сын

теңд­ еуд­ ің сол жағ­ ын­ а апар­ ып, нә­ти­же­сін мына түрд­ е жаз­ ам­ ыз:

m1(u1x – υ1x) = m2(υ2x – u2x) (3)

m1(u12x – υ12x) = m2(υ22x – u22x) (4)

(4) теңд­ еуді (3) теңдеуге бөл­ іп, мын­ ан­ ы табам­ ыз:

u1x + υ1x = υ2x + u2x. (5)

(5) теңд­ еуд­ ің екі жағ­ ын да m2 көб­ ейт­ ем­ із, алын­ған нә­тиж­ ен­ і
(3)  тең­деу­мен қо­сам­ ыз, сонд­ а бір­ інш­ і ден­ е үшін серп­ імд­ і соқт­ ығ­ ы­

су­дан кейі­н­гі жылд­ амд­ ықт­ ы есеп­теу фор­му­лас­ ын жазам­ ыз:
= (m1 − m2 )υ1x + 2m2υ2x
u1x m1 + m2 . (6)

(6) тең­деу­ді (5) теңдеуге апа­рып қой­ып, екінш­ і ден­ е үшін жыл­

дамд­ ық проекц­ ия­сын таб­ у­ға арн­ алғ­ ан өр­нект­ і табам­ ыз:
(m1 m2 )υ2x +
u2 x = − 2m1υ1x . (7)
m1 + m2
Дер­бес жағд­ ай­лард­ ы қар­ аст­ ы­рай­ық:

а) Екін­ші шар соқт­ ығысуға дейі­н тыныштықта тұрса: υ2x = 0, он­да
(6) мен (7)-ден:

u1x = (m1 − m2 )υ1x , u2 x = 2m1υ1x екені шығ­ а­ды.
m1 + m2 m1 + m2

Қор­ ы­тын­ды:
Егер m1 > m2 бол­са, бір­ інш­ і шар қоз­ғал­ ыс­ ын соқт­ ығысуға дей­ інг­ і

ба­ғыт­ ым­ ен жал­ғаст­ ыр­ ад­ ы, бі­рақ оның жылд­ ам­ды­ғы кемиді.
Егер m1 < m2 болса, он­да бір­ інш­ і шар соқ­тығысу­дан кейі­н артқ­ а

қа­рай кетеді.
Екін­ші шар екі жағ­дайд­ а да бір­ інш­ і шар­дың соқтығысуға

дейі­нг­ і бағ­ ы­ты­мен қоз­ға­лад­ ы.
ә) Екі шар­дың да масс­ ал­ ар­ ы бір­дей болс­ ын дел­ ік, онд­ а:

u1x = 2m υ2 x = υ2x , u2 x = 2m υ1x = υ1x .
2m 2m

Қо­ры­тын­ды:
мас­салары бір­дей шарл­ ар абс­ ол­ ют серп­ ім­ді соқт­ ы­ғы­сқанда

олар бір-бірінің соқтығысуға дейінгі жылдамдықтарын
иеленеді.

75

­ Бұл қызық!

Ньют­ он маятн­ иг­ін­ ің әре­ке­ті массалары бірдей де­не­
лер­дің өза­ра серп­ імд­ і әре­кет­те­суі ке­зін­де имп­ ульс пен
энер­гиян­ ың сақ­та­лу заң­да­ры­на не­гізд­ ел­ген. Бір­ ін­ші
шард­ ы суреттегідей белгілі бір биіктікке тартып, жібере
салсақ, онд­ а оның энер­гияс­ ы өз­ге­ріс­сіз орт­ адағы шар­
лар арқ­ ыл­ ы соң­ғыс­ ын­ а бе­рі­ле­ді де, соңғы шар сол
жыл­дам­дықт­ ы алып, сол биі­кт­ ікк­ е кө­те­рі­ле­ді. Соңғы
шар имп­ уль­сі мен энер­гияс­ ын тізб­ ек бойынша қайтадан
бі­рін­ші шар­ға бе­ре­ді (66-су­рет).

Ба­қы­лау сұр­ ақ­та­ры
АРМАН-ПВ баспасы 66-сур­ ет. Нью­тон маят­ниг­ і

1. Имп­ ульс­тің сақ­тал­ у заң­ ын тұж­ ы­рымд­ аң­дар.
2. Ден­ ел­ ерд­ ің им­пуль­стер­ і­нің қо­сынд­ ыс­ ы коорд­ и­нат­ а­лық әдіс­пен қа­лай анық­

талады?
3. Қанд­ ай энерг­ иян­ ы по­тенц­ иал­дық деп атай­ды?
4. Ас­пан ден­ е­сі­нің бе­тін­де ден­ е­нің по­тенц­ иал­дық энер­гия­сын қал­ ай анық­

тайд­ ы? Ас­пан де­нес­ ін­ ен алыстатылғанда ше?
5. Конс­ ерв­ а­тивт­ і күшт­ ер­дің жұ­мыс­ ы де­нен­ ің пот­ ен­циалд­ ық энерг­ ияс­ ы­мен

қа­лай байл­ а­ныст­ ы?
6. То­лық ме­хан­ ик­ ал­ ық энерг­ ия­ның сақт­ а­лу заң­ ын тұ­жы­рым­даң­дар.
7. То­лық мех­ а­ни­ка­лық энерг­ иян­ ың және импульстің сақт­ ал­ у заңдары

кеңістіктің қандай қасиеттерінің салдары болып табылады?

Жатт­ ы­ғу 13

1. Масс­ ас­ ы 104 кг тем­ ірж­ ол ваг­ он­ ы 25 м/с жыл­дамд­ ықп­ ен қозғ­ а­лып кел­ е
жат­ ып, масс­ ас­ ы 1,5∙104 кг бол­ а­тын қозғ­ ал­май­тын ваг­ он­мен соқ­тығ­ ыс­ ад­ ы.
Егер олар бір-біріне тірк­ елсе, қанд­ ай жылд­ амдықп­ ен қозғ­ а­ла­тын бол­ ад­ ы?

2. Жал­пы масс­ ас­ ы 600 г зы­мыр­ ан моделінде 350 г оқ-дәр­ і бар. Газ бір­ден
300 м/с жыл­дамд­ ықп­ ен шы­ға­рыл­ ад­ ы. Зым­ ыр­ ан­ның қозғ­ а­лыс­ ын­ а қарс­ ы
ауа ке­дерг­ і­сі көт­ ер­ іл­ у биі­кт­ іг­ ін 6 есе азай­тад­ ы. g = 10 м/с2 деп алып, зым­ ы­
ран­ның кө­тер­ іл­ у биі­кт­ іг­ ін анықт­ аңд­ ар,

3. Екі бір­дей абс­ ол­ ют серп­ імд­ і шар­лар те­гіс горизонталь жазықтықта бір-бі­
рін­ е қа­рам­ а-қарс­ ы 10 м/с жә­не 5 м/с жыл­дамд­ ықт­ арм­ ен қозғалып келеді.
Соқ­тығ­ ысқ­ анн­ ан кей­ін шарл­ ар қан­дай бағ­ ыт­та, қанд­ ай жыл­дамд­ ықт­ ар­мен
қоз­ға­лат­ ын бо­лад­ ы?

4. Мас­сас­ ы 70 кг жү­зу­ші 10 м би­ікт­ ік­те ор­нал­ асқ­ ан тө­бе­ден се­кі­ріп, 3 м тер­ ең­
дік­ке сүңгіді. Су­дың бе­тін нөлд­ ік деңг­ ей деп алып, жүз­у­ші­нің төб­ е­де тұр­ған
кез­дег­ і жән­ е мак­си­мал­сүңгу кез­ ін­де­гі по­тен­циалд­ ық энерг­ ия­сын анық­таң­дар.

5. Масс­ а­сы 1000 кг Жердің жа­сан­ды се­рігі Жердің айн­ ал­ а­сын­да оның
бет­ і­нен 1000 км қа­шық­тық­та шеңберлі орб­ ит­ а бойымен қозғал­ ад­ ы.
Жердің жасанды се­рігінің пот­ ен­циалд­ ық, кин­ е­ти­кал­ ық жә­не то­лық
энер­гия­ларын анық­таң­дар.

76

6. Сер­ іпп­ ел­ і ой­ын­шық тап­ ан­шад­ ан атылғ­ ан масс­ ас­ ы 0,02 кг шар вер­ти­каль
жо­ға­ры 57,6 см би­ік­тікк­ е дей­ін ұша­ды. Қа­таң­дығ­ ы 400 Н/м сер­ іпп­ е­нің
сығ­ ы­лу­ын анықт­ аңд­ ар.

7. Бізд­ ің план­ ет­ ам­ ыз үшін екінш­ і ғар­ ышт­ ық жылд­ амд­ ықт­ ы анықт­ аң­дар.
АРМАН-ПВ баспасы
Эксп­ е­рим­ ен­ т­тік тапс­ ырм­ а

1. Масс­ а­лар­ ы бір­дей шар­лард­ ың центрл­ ік емес сер­пім­ді соқ­тығ­ ы­су­ын зерт­

теңд­ ер. Соқтығысудан кейін масс­ а­лар­ ы бір­дей шар­лар қанд­ ай бұр­ ыш­пен

ұша­тын­ын анықт­ аң­дар. α ұшу бұр­ ыш­ ы шарлар­дың масс­ а­лар цент­рлер­ ін­ ің
d ығысуына тәу­елд­ і ме (67-су­рет)? Есеп­теу­лерд­ і тео­рия­лық түр­де жүр­гіз­ іп,

экс­пе­рим­ ент бар­ ыс­ ынд­ а алынғ­ ан нәт­ и­жел­ ер­мен сал­ ыс­ты­рыңд­ ар.

υ1 u1 u1
d α 90° υ1

u2 u2

67-сур­ ет. 1-эксп­ ер­ им­ ен­ т­тік тапс­ ырм­ а­ға

2. Де­не тын­ ышт­ ықтағ­ ы ке­дерг­ і­мен сер­пім­ді соқт­ ы­ 68-сур­ ет. 2-эксперименттік
ғысқ­ ан кез­де оның жылд­ ам­дығ­ ы мен им­пульс тапсырмаға
мом­ ент­ і тек ба­ғы­ты бойынша өзг­ е­ред­ і. Жыл­
дам­дық пен им­пульс мән­дер­ ін­ ің ке­дерг­ і ба­ғы­ты
мен жылд­ амд­ ы­ғын­ ың шама­ла­рын­ а тәуе­ лд­ і­ліг­ ін
зертт­еңд­ер. Тәжірибені қалай жүргізетіндеріңді
өздерің шешіңдер. 68-сур­ ет­те вол­ ей­бол­да­ғы
шаб­ у­ыл­дау­ соққ­ ыс­ ының тех­ник­ ас­ ы бе­ріл­ген.
Өзд­ ер­ ің жүрг­ ізг­ ен зерт­теу бой­ын­ша спортш­ ы­ның
әрек­ е­тін тү­сінд­ ір­ ің­дер. Қанд­ ай спорт түр­ле­рін­де
ден­ е имп­ уль­сі­ өзг­ е­ріс­ ін­ ің ке­дерг­ і­нің қозғ­ ал­ ыс
жыл­дамд­ ығ­ ын­ а тәу­елд­ іл­ і­гі қолд­ ан­ыла­ды?

Шығ­ ар­маш­ ы­лық тапс­ ырм­ а

Екінш­ і ғар­ ыш­тық жыл­дамд­ ық­ты есеп­теуд­ е жән­ е ға­рыш­тық ке­ме­лер­дің
бір­ ін­ші кон­тин­ ен­тар­ ал­ ық ұшы­ры­луы ке­зін­дег­ і энер­гия­ның сақ­та­лу за­ңы­ның
рөл­ і тур­ ал­ ы хабарлам­ а дай­ындаң­дар.

77

4-тараудың қорытындысы
АРМАН-ПВ баспасы
­Сақ­та­лу заңд­ а­ры­ Энерг­ ия Жұ­мыс­
Имп­ ульст­ ің сақталу заңы
Ки­нет­ и­кал­ ық энерг­ ия A = m υ22 − m υ12
∑pæ = n miυi = const mυ2 2 2
i =1 Wk = 2
A = −(W p2 −W p1)
Энер­гия­ның сақталу заңы По­тен­циал­дық энерг­ ия
W = Wk + Wp= const  kx22 kx12 
Wp = kx 2 A = 2 − 2
2

Wp= mgh A = −(mgh2 − mgh1)

W p = GMm A = −GMR2m − GMm 
R R1

Ди­нам­ ик­ а заңд­ а­ры:
Им­пульст­ ің сақ­та­лу заң­ ы:
Егер жүйе­ дегі де­нел­ ерге әсер етет­ ін сырт­қы күш­тер­дің қос­ ынд­ ыс­ ы нөлг­ е тең бол­са, онда

өзар­ а әрекеттесетін ден­ ел­ ерд­ ің тұйы­ қ жүйе­ сін­ ің им­пуль­сі тұр­ ақт­ ы шам­ а бол­ ып қалады.
Энер­гия­ның сақ­тал­ у заң­ ы
Тек кон­серв­ а­тив­ті күшт­ ер әсер етет­ ін ден­ ел­ ер­дің тұйы­ қ жүйе­ сінд­ е тол­ ық ме­хан­ и­кал­ ық

энер­гия тұ­рақт­ ы шам­ а бо­лып қал­ ад­ ы.

Глоссарий
Кон­серв­ ат­ ивт­ і күш­тер – тек өза­ра әрекеттесетін ден­ ел­ ер ара­сынд­ ағ­ ы қаш­ ықт­ ыққ­ а тәуе­ лді

күш­тер, оларғ­ а тар­тыл­ ыс күш­ і мен серп­ імд­ іл­ ік күш­ і жа­тад­ ы.
Центр­лік соқт­ ы­ғыс­ у – де­нел­ ерд­ ің бастапқы жылдамдықтары олардың масс­ а­лар центр­ лерін

қосатын сыз­ ық­бойым­ ен бағ­ ыт­талғ­ ан соқт­ ығ­ ы­суы.

78

АРМАН-ПМВЕХ ­АбНаИКсАпасы 5-ТАРАУ

СҰЙЫ­ Қ­ТАР МЕН
ГАЗД­ АРДЫҢ
МЕ­ХА­НИК­ А­СЫ

Мас­са­сы ора­сан зор ат­мосф­ ер­ а­лық ауа­ның қозғ­ ал­ ыс­ ы, өзенд­ ег­ і нем­ е­се
су­ құб­ ы­рын­да­ғы су­дың қоз­ғал­ ыс­ ы, қан­ның там­ ыр­лар бойым­ ен қоз­ға­лы­сы
гид­родин­ ам­ ик­ а жән­ е аэрод­ ин­ а­мик­ а заңд­ а­ры­на бағ­ ын­ ад­ ы.
Сұй­ықт­ ар мен газ­дар­дың қоз­ға­лыс­ ын зерт­тегенде олард­ ың қаб­ атт­ ар­ ы
арас­ ын­да­ғы ішк­ і үйк­ ел­ і­с жән­ е газд­ ар­дың сығ­ ы­лу­ы сияқты құб­ ыл­ ыс­тар
қиындық туд­ ы­рад­ ы. Осы бөл­ імд­ е біз идеал сұй­ық­тың ағыс­ ын және ондағы
қатт­ ы ден­ е­лерд­ ің қозғ­ а­лыс­ ын қар­ асты­рам­ ыз.

1 Тарауды оқып-бі­лу ар­қыл­ ы сенд­ ер:
• сұйы­ қтар мен газ­дард­ ың ла­ми­нар­лық жән­ е тур­бул­ ен­ тт­ ік ағы­с­

тарын си­патт­ ау­ды;
• экс­пе­ри­ме­нт­тік, сандық жә­не сап­ а­лық есеп­тер­ шығ­ ару­ да үзі­ліс­

сіз­дік теңд­ еуі мен Бер­нул­ли тең­деуін қол­дан­ у­ды;
• эксп­ е­ри­ме­нт­тік, сандық жән­ е сап­ ал­ ық есеп­терд­ і шы­ғару­ да Тор­

ри­челл­ и форм­ у­лас­ ын пайд­ а­ла­ну­ды;
• эксп­ ер­ им­ ент нә­ти­жес­ ін­ е әсер ету­ші факт­ орл­ ар­ды анық­тап, оны

жақ­сарт­ у жол­дар­ ын ұсын­ у­ды үйр­ ен­ ес­ ің­дер.

§ 14. Гид­род­ и­на­мик­ а.
Сұйы­ қ пен газд­ ард­ ың ла­мин­ ар­лық
жә­не тур­бу­ле­нт­тік ағыс­ тары
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Гидр­ о- жән­ е аэрод­ и­нам­ и­ка
Осы параграфты игергенде: Гидр­ о- жә­не аэрод­ ин­ а­мик­ а теңіздерде жү­ру
• сұйы­ қ пен газд­ ард­ ың
са­пас­ ын артт­ ы­ру мақ­са­тынд­ а ке­мел­ ерд­ ің қозғ­ а­
ла­мин­ ар­лық жән­ е тур­ лы­с­тарын, жел­кеннің, бұ­ран­дан­ ың, қан­ ат­тард­ ың,
бул­ е­нт­тік ағыс­ тарын сор­ғы­лар­дың жә­не басқ­ а да құ­рыл­ғы­лар­дың жұ­мыс
сип­ атт­ ай ала­сыңд­ ар. іс­теу принц­ ип­ ін бақылап, зертт­ еуг­ е байл­ ан­ ыст­ ы
пайда болды. ХVIII ғас­ ырд­ а Дан­ ии­ л Бер­нул­ли­дің,
Жан Лерон Д’Ал­ амб­ ерд­ ің, Лео­нард­ о Эй­лер­дің ең­
бект­ ер­ інд­ е гидр­ о­дин­ ам­ и­кан­ ың нег­ і­зі қа­ланғ­ ан.

Гид­ро- жән­ е аэро­ди­на­мик­ а  – сұй­ық­тар
мен газ­дард­ ың қозғ­ а­лы­сын, қозғалыстағы
сұй­ықт­ ар мен газ­дард­ ың қатт­ ы ден­ ел­ ер­
мен өза­ра әрекеттесуін зертт­ ейді.

Да­нии­ л Бер­нул­ли Гид­ро­дин­ ам­ ик­ а т­ үрл­ і сал­ алар­ д­ а  − кем­ ел­ ер мен
(1700–1782)  – швед физ­ игі ұшу ап­пар­ аттары­ н, су және мұн­ ай құб­ ырл­ ар­ ын,
жән­ е мат­ е­ма­тигі, 1725–1733 сорғ­ ы­лар мен су турб­ и­нал­ а­рын жо­бал­ ау­ барысында
жылдары Пет­ ер­бург Ғыл­ ым пай­дал­ ан­ ылад­ ы. Гид­род­ ин­ а­ми­каның міндетіне қозғ­ а­
ака­де­мия­сы­ның мүшесі, лыстағы ден­ ег­ е әсер етет­ ін көт­ ерг­ іш күш пен кед­ ерг­ і
1748 жыл­дан бас­тап, Па­ күшті есепт­ еу жа­тад­ ы. Гид­ро­дин­ а­ми­ка есепт­ ер­ ін
риж­ Ғыл­ ым акад­ е­мияс­ ы­ның шешуді жең­ іл­дет­ у үшін «идеал сұйы­ қ», «ағын эле­
мүш­ е­сі, гид­ро­ди­на­мик­ а­ мен мент­ і» дег­ ен түс­ ін­ ікт­ ер енг­ із­ ілг­ ен.
ма­тема­тик­ а­лық физ­ ик­ а­ның,
газдардың кин­ ети­ка­лық Идеал сұйы­ қ  – тұт­қыр­лығ­ ы мен сығ­ ы­лу­
тео­рияс­ ын­ ың не­гі­зін қа­лау­ ын еск­ е­рмеуге болатын сұйы­ қ.­
шы­лар­дың бір­ і, «Гид­роди­
на­мик­ а» мо­ногр­ аф­ ия­сы­ның Идеал сұй­ықт­ ың қаб­ атт­ ары арас­ ынд­ а үйк­ ел­ іс
ав­то­ры. болм­ айд­ ы.

Ағын эле­мен­ті  – сұй­ықт­ ың (газ­дың) қоз­
ға­лыс ке­зінд­ е пі­шінінің өзг­ ер­ іс­ ін ес­керм­ еуг­ е
бо­ла­тын шартт­ ы түрд­ е бө­лінетін аз кө­ле­мі.

II Сұйы­ қт­ ар­дың қозғ­ ал­ ыс­ ын ба­қыл­ ау. Ағын сыз­ ы­қтары. Ағын тү­тіг­ і
Сұй­ық қоз­ға­лыс­ ын зерт­теудің бі­р әдісі − сұй­ыққ­ а мет­ алл жыл­тыр­ ақт­ арын аралас­

тырып, қат­ты жар­ ықтандыруда жылдам сур­ етк­ е түс­ ір­ у. Сур­ етт­ егі жыл­тыр­ ақт­ ар
ұзынд­ ығы сұйы­ қ ағыс­ ы жылд­ амд­ ығ­ ы­на про­пор­цион­ ал кішкентай сыз­ ықш­ а­лар
сия­ қт­ ы көр­ ін­ е­ді. Жылт­ ыр­ ақт­ ар­дың қозғ­ ал­ ыс­ ба­ғы­тын­ а қар­ ап, сұй­ық ағыс­ ын­ ың оның
беткі қабатының кез келг­ ен нүкт­ е­сінд­ егі бағ­ ы­тын анықтау­ға бол­ ад­ ы. Суретке түсіру
уақытын сәл ұзартсақ, сыз­ ықш­ ал­ ар тұт­ ас сыз­ ыққа бі­ріг­ ед­ і, бұл сызықтар ағын

80

сыз­ ықт­ а­ры деп аталады (69-су­рет). Эйлер сұйық­ υ1 υ3
тарды осындай әдіспен зерттеген. υ2

Ағын сы­зы­қтары  – жан­ ам­ а­ла­рының бағы- 69-су­рет. Ағын сы­зықтары
ты ке­ңіст­ ікт­ ің кез келген нүкт­ ес­ інд­ е сұйы­ қ­
ағыны жыл­дамд­ ы­ғын­ ың ба­ғыт­ ым­ ен сәйкес
кел­ ет­ ін сы­зықт­ ар.­
АРМАН-ПВ баспасы
Сұй­ық қоз­ғал­ ы­сын зерт­тег­ ен кезд­ е ағын түт­ іг­ ін 70-су­рет. Ла­ми­нар­лық ағыс
қа­рас­ты­ру­ға бо­лад­ ы. кез­ ін­де­гі ағын сы­зықтары

Ағын тү­ті­гі  – сұй­ық­тың не­ме­се газ­дың 71-сур­ ет. Бұқт­ ыр­ма өзе­ні,
ағын сы­зықт­ ар­ ым­ ен шект­ ел­ген кө­ле­мі. лам­ и­нарл­ ық ағыс

Сұй­ықт­ ың нем­ ес­ е газд­ ың жыл­дамд­ ығ­ ы ағын
сыз­ ығ­ ы­ның барлық нүкт­ е­сінд­ е жа­на­ма­ бойымен
ба­ғыт­талад­ ы, демек, ағын түт­ і­гін­ ің ішінд­ егі сұй­ық
оның бүйі­р­бе­тімен қиылыспайды.

III Ла­ми­нарл­ ық жән­ е турб­ у­ле­нтт­ ік ағыс
Ла­мин­ арл­ ық ағыс­ ы бар сұйы­ қт­ ар үшін гидр­ од­ и­

на­мик­ а заңд­ ар­ ы орынд­ а­лад­ ы.

Егер сұй­ық­ қа­батт­ а­ры арал­ асы­ п кетпей,
бір-бір­ і­не қа­тыс­ты жылжыса, ағыс ла­ми­нар­
лық деп аталады.

70-cуретте ламинарлық ағыс кезіндегі ағын сызық­ 72-су­рет. Ла­мин­ арл­ ық ағыс
тары көрсетілген. Лам­ ин­ арл­ ық не­ме­се қатпарлы ағыс­ кез­ інд­ е ағын ­тү­тіг­ інің қи­ма­
деп ақырын ағатын өзен­дерд­ ег­ і су­дың ағысын айтады
(71-сур­ ет). Бұрқ­ ақ­тың ла­ми­нар­лық ағы­сы шы­ны өзек сын­ ың ауд­ а­ны сақ­тала­ды
тәрізді болып көр­ ін­ ед­ і (72-сур­ ет). Ла­ми­нарл­ ық ағыс
жасауға арн­ алғ­ ан құ­рыл­ғы­лар жар­ ық дин­ ам­ и­кал­ ық
жә­не жар­ ық музыкалық бұрқ­ ақ­тард­ а пайд­ а­лан­ ы­ла­ды.

Сұй­ықтың ағыс­ жыл­дамд­ ығ­ ын артт­ ыр­у кезінде
иірімдер пайд­ а бо­лад­ ы, ол кезд­ е ағыс турб­ ул­ ен­ т­тік
сипатқа ие бол­ ад­ ы (73-су­рет).

Егер сұй­ық қа­батт­ а­ры ара­лас­ ып, иірім-
дер­пайда болатын болса, ағыс тур­бу­лент­­
тік бо­лад­ ы.

Турб­ ул­ ен­ т­тік ағыстард­ а сұй­ықт­ ың нем­ ес­ е газд­ ың 73-су­рет. Турб­ у­лен­ тт­ ік ағыс
бер­ ілг­ ен нүкт­ е­сінд­ е жыл­дам­дық пен қы­сымн­ ың лез­ кез­ інд­ ег­ і ағын сы­зықтары
дік мәнд­ ер­ і кезд­ ейс­ оқ түрд­ е өз­гер­ ед­ і. Шарт­тар өзг­ ер­
мег­ ен кез­де бүк­ іл кө­лем бой­ын­ша осы ша­ма­лар­дың
тар­ ал­ уы әр­түрл­ і бол­ ад­ ы жә­не қайт­ алан­байд­ ы.

81

Турб­ у­лен­ т­тік ағыс үшін жылд­ амд­ ық пен қыс­ ымн­ ың Жауабы қандай?
орт­ аш­ а мәнд­ ер­ і қол­дан­ ы­лад­ ы. Тур­бу­лен­ т­тік ағыс­ 1. Нел­ ік­тен өзен­нің ағы­сы
тард­ ы тәжірибе жүзінде зерт­тейд­ і.
арнасы кең же­рін­де ла­ми­
Сұйы­ қ пен газ­дың ағыс­ ы әрт­ үрл­ і  − қалыптасқан нарл­ ық, ал арнасы тар
жән­ е қалыптаспаған бо­луы мүм­кін. Сұйы­ қ­тың қалып- же­рін­де турб­ у­ле­нтт­­ ік
тасқан нем­ е­се ста­цио­нар қоз­ға­лы­сы деп бер­ іл­ген нүк­ бо­ла­ды?
тед­ е қыс­ ымы мен жыл­дам­ды­ғы уақ­ ыт бойынша өз­гер­ Не­лік­тен сар­қыр­ ам­ а­да­ғы
мейті­н сұйық қозғ­ ал­ ыс­ын айт­ ам­ ыз. су­дың ағыс­ ы турб­ у­ле­нт­
тік бо­лад­ ы (74-сур­ ет)?
Ке­ңіс­тік­тің бар­лық нүк­те­сін­дегі сұй­ық­
эле­мен­ттері­нің жыл­дам­ды­ғы уа­қыт бо­
йынша өз­герм­ ейті­ н бол­са, ағыс стац­ ион­ ар
бол­ ад­ ы.
АРМАН-ПВ баспасы
Жылд­ амд­ ығы пен қы­сымы кез келген нүктеде
уақыт бойынша өз­гер­ ет­ ін сұйық ағысы қалыптас-
паған немесе стационар емес деп аталады.

Тапсырма 74-су­рет. Бұрқ­ ан бұ­лақ сар­
1. Сұйы­ қ­тың тур­бу­ле­нт­тік ағыс­ ын­ ың ор­таш­ а жылд­ ам­ қы­ра­ма­сы, Жетісу Алат­ ауы

дығ­ын анық­тау әдіст­ ер­ ін ұсын­ ыңд­ ар. 2. Нел­ ікт­ ен турб­ ул­ ен­ т­тік
2. Жел­дің жыл­дамд­ ы­ғын анықт­ айт­ын құр­ ылғ­ы­ құрас­ ағыст­ а ағын эле­мен­ т­
тер­ ін­ ің жыл­дамд­ ы­ғы мен
тыру жолын ұсыныңдар. қыс­ ымын­ ың лез­дік мәнд­ е­

IV Сұй­ық не­ме­се газ қозғ­ ал­ ыс­ ы­ның рін тео­риял­ ық тұр­ғыд­ ан
кин­ е­ма­ти­кал­ ық си­пат­там­ а­сы есепт­ еу мүмк­ ін емес?
3. Не­лік­тен әуе және су
Идеал сұйы­ қт­ ың қоз­ға­лыс­ ын сип­ атт­ ағ­ ан кез­де көл­ ік­тер­ і үшін тур­бу­
қат­ты ден­ е­лер үшін орын­да­лат­ ын ме­хан­ и­ка заңд­ ар­ ы лентт­ ік ағыс қауі­пт­ і?
қолд­ ан­ ы­ла­ды. Сұйы­ қ нем­ ес­ е газ­дың тұтас көл­ ем­ ін кі­ші

элем­ е­нтт­ ерг­ е бө­лед­ і жән­ е олард­ ың қоз­ғал­ ы­сын ке­ңіс­

тікт­ е қа­рас­тыр­ ад­ ы. Мыс­ ал­ ы, ауа ағын­ ы­ның қаб­ ыр­ға­ға түс­ ір­ ет­ ін қыс­ ым­ ын анық­та­ған­да,

им­пульс­тік түрд­ е­гі Ньют­ он­ның екін­ші заң­ ын қол­дан­ у­ға бо­лад­ ы:
 ∆u
∑n Fi t = ∑ ∆mi ,

i =1

мғыұснқ­­даанғыауΔаmаiғ −ын­ауыа­ныағңыэн­ лыен­м­ ыеңн­ тэ­тлеерм­ сеанн­т­ыі,,nF −i t уақ­ ыт ара­лығ­ ын­да қа­бырғ­ ам­ ен соқ­ты­
− ауа ағын­ ын­ ың элем­ ент­ ін­ ен туы­ н­дағ­ ан

қы­сым күш­ і.

Ба­қы­лау сұ­рақ­тар­ ы

1. Қанд­ ай сұйы­ қт­ ы идеал деп атайд­ ы?
2. Ағын сыз­ ықтары де­ге­ні­міз не? Ағын түт­ іг­ і де­гені­ міз ше?
3. Сенд­ ер сұйы­ қ пен газ ағыст­ а­рын­ ың қанд­ ай түр­лер­ ін біл­ ес­ ің­дер? Олар­дың

ай­ыр­ма­шы­лық­ тары қанд­ ай?
4. Сұйы­ қ пен газ қоз­ғал­ ыс­ ы­ның кин­ е­мат­ и­кал­ ық си­пат­там­ а­сы­ның мә­ні нед­ е?

82

Жат­тығ­ у 14

АРМАН-ПВ баспасы1. Қаб­ ырғ­ а­ға 200 Па қы­сым тү­сір­ ет­ ін желдің жыл­дамд­ ығ­ ын анықт­ аңд­ ар.
Жел қаб­ ырғ­ ағ­ а пер­пенди­ку­ляр соғ­ ад­ ы. Ауа тығ­ ызд­ ығ­ ы 1,29 кг/м3.

2. Биі­к­ті­гі 30 м, ұзынд­ ы­ғы 50 м үйд­ ің қаб­ ыр­ғас­ ы­на құй­ын­ды желд­ ің түс­ і­рет­ ін
қыс­ ым күш­ ін анықт­ аң­дар. Желд­ ің жылд­ амд­ ығ­ ы 40 м/с жән­ е қаб­ ырғ­ а­ға 30°
бұр­ ыш­пен бағ­ ыт­тал­ған. Жел қыс­ ым­ ын атм­ ос­фе­ра­лық қыс­ ымм­ ен са­лысты­
рыңд­ ар. Қаб­ ыр­ға­ға жақ­ ын ауа ағын­ ын лам­ и­нар­лық деп алың­дар.

3. Егер диам­ етр­ і 13 мм лам­ и­нар­лық ағыстың мак­симал­көт­ ер­ іл­ у би­ікт­ іг­ і 2 м
бол­са, оның су бетіне түсу нүкт­ е­сінд­ ег­ і жылд­ амд­ ығ­ ы мен су бет­ ін­ е түс­ і­
рет­ ін қыс­ ым күш­ ін анықтаңдар. Ағын құр­ ылғ­ ысы бұр­қақт­ ағ­ ы суд­ ың бос
бет­ ін­ ің деңг­ ей­ін­де көкж­ и­екк­ е 45° бұр­ ыш­жасай бек­ іт­ ілг­ ен.

Ауа ке­дерг­ іс­ ін еск­ ерм­ еңд­ ер.

Эксп­ ер­ им­ ен­ тт­ ік тапс­ ыр­ма

Өзен (арық) жа­ғас­ ын­дағ­ ы су ағын­ ы­ның жыл­дамд­ ығ­ ын анық­таң­дар. Өл­
ше­ніп отырғ­ ан бө­лік­те­гі ағыс тү­рін сип­ ат­таңд­ ар. Өзен­де (арықт­ а) турб­ ул­ е­нтт­ ік
ағыс­ ы бар бө­лік­тер­дің бар-жо­ғын анықт­ аң­дар. Қан­дай шартт­ ард­ а ағыс турб­ у­
ле­нт­тік бо­ла­ды?

Шы­ғарм­ аш­ ыл­ ық тапс­ ырм­ а

Хабарла­ма дай­ын­даңд­ ар (таң­дау бой­ын­ша):
1. Гид­род­ ин­ а­мик­ ан­ ың не­гі­зін са­лу­шы­лар.
2. Ауа райы­ н бол­жағ­ ан­да гидр­ о- жән­ е аэрод­ ин­ а­ми­ка заң­да­рын қолд­ ан­ у.
3. Лам­ и­нар­лық ағысы бар басқ­ ар­ ыл­ ат­ ын бұр­қақт­ ар: құр­ ыл­ ы­мы мен жұмыс

істеу принц­ ип­ і (75-сурет).

75-сурет. Ла­мин­ арл­ ық ағыс­ ы бар бұр­қақ, Нұр-Сұлтан қ.

83

§ 15. Үзі­лісс­ ізд­ ік теңд­ еуі. Берн­ улл­ и теңд­ еуі.
Кө­тер­гіш күш
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Сұй­ық пен сығ­ ылм­ айты­ н газ
Осы параграфты игергенде: үшін үзі­ліс­сізд­ ік тең­деуі
• үзіл­ ісс­ із­дік тең­деуі мен
Ағын түт­ іг­ ін­ ің аудандары S1 және S2 жыл­дам­
Бер­нулл­ и тең­деуін дықт­ а­ры­сәйкесінше υ1және υ2 екі қим­ а­сын қа­расты­
эксп­ ер­ им­ ен­ т­тік, сандық райы­ қ (76-су­рет). Түт­ ікт­ е­гі сұй­ ы­ қ қозғ­ а­лы­сы ста­
жән­ е са­пал­ ық есеп­тер­ цион­ ар болс­ ын дел­ ік. Ста­цио­нар қозғ­ а­лыс кез­ ін­де
шығ­ар­уда қолд­ ан­ а барл­ ық бөл­ шек­тер кең­ іст­ ік нүкт­ ел­ е­рі­нен өздеріне
ала­сыңд­ ар. сәйк­ ес жылд­ амд­ ықт­ ар­ ым­ ен өте­ді. Δt  уақ­ ыт ара­лы­
ғынд­ а S1 қи­ма­сы арқ­ ыл­ ы көл­ емі­ V1  =  S1l1  =  S1υ1Δt
l1 l2 сұйы­ қ­ өте­ді. S2 екін­ші қим­ а арқ­ ы­лы осы уақ­ ыт­
υ2 S2 ішінде көлемі V2 = S2l2 = S2υ2Δt сұйық өтеді. Сығ­ ыл­
υ1 майт­ын сұйы­ қ үшін V1 = V2, демек:
S1
S1υ1=υυ12S2=υ2 S Sн12ем­. е­се
76-сур­ ет. Қим­ ал­ ары әр­түрл­ і Алынғ­ ан қат­ ы­нас­ты үзі­ліс­сіз­дік тең­деуі деп
ағын тү­ті­гі атай­ды.

Өз тәжірибең Сы­ғыл­майт­ын сұй­ық­тың жыл­дам­дық­
тарының мо­ду­льдері ағын тү­ті­гі­нің қи­
Су­мен тол­ты­рыл­ған маларыныңау­данд­ а­ры­наке­ріпроп­ орц­ ион­ ал.
әр­түр­лі қи­малары түссіз
тү­тікт­ е­гі қы­сым­ды мы­на­дай II Қозғ­ ал­ ыс­тағ­ ы сұй­ық­ пен газ­да­ғы қыс­ ым
жағ­дай­ларда өл­шең­дер: 1) су Ай­нымал­ ы қи­мас­ ы бар түт­ ік­тег­ і сұйы­ қ қы­сым­ ын
ты­ныш­тықт­ а тұр; 2) су түт­ ік
бойым­ ен аға­ды (77-су­рет). сұй­ықт­ ық­ ман­ ом­ ет­ рінің кө­мег­ ім­ ен анық­тайы­ қ­
(77-сур­ ет). Тәж­ ір­ и­бе­ден түт­ ікт­ ің кең бө­лік­тер­ інд­ ег­ і
p1 p2 υ3 p3 қы­сым оның тар бөл­ ік­тер­ інд­ ег­ і­ қысымға қар­ ағ­ ан­да
көп екен­і белг­ іл­ і бол­ды. Үзіл­ іссізд­ ік тең­деуі не­гіз­ ін­де
υ1 υ2 түтіктің қим­ асы үл­кен бөлігінде ағыс жыл­дамд­ ығ­ ы
азыр­ ақ екені­ анықт­ ал­ды.

77-су­рет. Тү­тік­тің әрт­ үр­лі Сұйы­ қ­тың стац­ ион­ ар ағыс­ ы кез­ ін­де ағыс
қи­маларын­да­ғы сұй­ықт­ ың жылд­ амды­ғы аз бол­ған бө­лік­те қы­сым көп
бо­ла­ды.
қы­сым­ ын өл­шеу
Сұйы­ қ қыс­ ым­ ы­ның оның стац­ ион­ ар ағысының
1-тапсырма жылд­ амд­ ығ­ ын­ а тәуе­ лд­ іл­ і­гін мат­ е­мат­ и­ка­лық түр­де
Қим­ ас­ ы кіш­ і тү­тік­те­гі қыс­ ым­ 1738 жылы щвед физ­ игі Дан­ ии­ л Бер­нулл­ и анықтады.
ның төм­ ен­деуін Нью­тон­ның
екінш­ і за­ңы мен үзіліссіздік III Бер­нулл­ и теңд­ еуі
теңдеуі не­гі­зін­де тү­сін­ді­рің­ Түт­ ік­те нем­ е­се құб­ ырд­ а қозғ­ а­лып бар­ а жатқ­ ан
дер.
идеал сұйы­ ққ­ а қол­дан­ ы­лат­ ын энерг­ ия­ның сақт­ ал­ у
за­ңы Бер­нулл­ и теңд­ еуі дег­ ен атау алд­ ы.

84

Ай­ны­ма­лы қим­ ас­ ы бар ток тү­тіг­ і көк­жие­ кк­ е қан­ Жауабы қандай?
дай да бір бұр­ ышп­ ен ор­на­ласқ­ ан дел­ ік (78-су­рет).
1. Берн­ ул­ли теңд­ еуін
A l1 қор­ ытқ­ анд­ а сырт­қы күшт­ ің
F2 жұ­мыс­ ы не­лік­тен тер­ іс
A1
АРМАН-ПВ баспасы таңб­ ам­ ен алынғ­ан?
F1 2. Түт­ ік­тег­і сұйы­ ққ­­ а әсер

B C l2 ете­тін F1 және F2 сырт­қы
D F2 C1
B1 күш­те­рін қанд­ ай құ­рыл­ғы­
h1 h2 D1 лар ту­дыр­ уы мүмк­ ін?
3. Егер сұйы­ қт­ ы түт­ ікт­ ің
нем­ е­се құб­ ырд­ ың тар
бөл­ і­гін­ ен кең бөл­ і­гін­ е қа­рай
бағ­ытт­ а­сақ, не бо­ла­ды?

78-сурет. Идеал сұйықтың қимасы әртүрлі
түтіктегі ағыны

Құ­бырд­ ың кең бө­ліг­ ін­де АВ қи­мас­ ым­ ен және тар бөл­ іг­інд­ е CDқим­ ас­ ым­ ен шек­
телг­ ен сұйы­ қ көл­ ем­ ін бө­ліп алай­ық. Ау­ыр­лық кү­ші мен F1 жән­ е F2 сырт­қы қыс­ ым
күшт­ ер­ ін­ ің әсер­ ін­ен сұйы­ қтың бөл­ ін­ іп алын­ған көл­ ем­ і Δt аз уақ­ ыт ара­лығ­ ын­да

құбырдың A1B1 мен C1D1 қим­ а­лар­ ым­ ен шек­телг­ ен бө­ліг­ ін алад­ ы. 78-сур­ етт­ і қа­рап,
A1B1 жән­ е CD қим­ ал­ ар­ ын­ ың арас­ ынд­ ағ­ ы сұйы­ қ­ энер­гия­сы өз­гер­ ісс­ із қал­ ад­ ы де­ген
қор­ ыт­ ын­дығ­ а кел­ ем­ із. Сыртқ­ ы күшт­ ерд­ ің жұм­ ыс­ ы АВ жән­ е A1B1 қи­малар­ ым­ ен шек-
телген сұйықтың, құ­быр­дың CD жә­не C1D1 қи­ма­лар­ ым­ ен шект­ елг­ ен тар бө­ліг­ ін­ е
өт­кен кездегі энерг­ ия­сын­ ың өз­гер­ ісімен анықт­ алад­ ы:

  A = ΔE. (1)
F1 жән­ е F2 сырт­қы күшт­ ерд­ ің жұм­ ыс­ ын анықтайы­ қ: (2)

A = A1 + A2 = F1l1 – F2l2 = p1S1υ1Δt – p2S2υ2Δt,

мұн­дағы F1 = p1S1, F2 = p2S2, l1 = υ1Δt, l2 = υ2Δt.

Бөл­ ін­ іп алынғ­ ан сұй­ық көл­ ем­ і­нің бір күй­ден екінш­ і күй­ге өтк­ ен кез­дег­ і тол­ ық мех­ а­

ни­ка­лық энер­гияс­ ын­ ың өз­гер­ іс­ ін по­тен­циал­дық жә­не ки­нет­ ик­ а­лық энерг­ ия­ның өз­геріс­

тер­ і­нің қос­ ын­дыс­ ы ре­тінд­ е анық­тай­ық:
1
∆Å = ∆Åk + ∆Å ð = 2 ρ∆V (υ22 − υ12 ) + ρg (S2l2h2 − S1l1h1 ) (3)

(2) және (3) тең­деу­лер­ді (1) тең­деуг­ е апа­рып қояйық жән­ е S1υ1Δt  – S2υ2Δt = ΔV
екен­ ін­ еск­ ерс­ ек:
1
( p1 − p2 )∆V = 2 ρ∆V (υ22 −υ12 ) + ρ g∆V (h2 − h1 ) .

ΔV-ға қысқ­ ар­тсақ, теңд­ ік мына түрг­ е ие бол­ ад­ ы:

( p1 − p2 ) = 1 ρυ22 − 1 ρυ12 + ρ gh2 − ρ gh1 , 2-тапсырма
2 2
1) Қималары әрт­ үр­лі көл­
бұд­ ан p1 + ρ gh1 + ρυ12 = p2 + ρ gh2 + ρυ22 (4) де­нең құб­ ырд­ а;
2 2 (5)
2) ұшт­ ар­ ы ашық көлб­ еу
не­мес­ е p + ρ gh + ρυ 2 = const . құб­ ыр­лар­да аға­тын
2 сұйы­ қтар үшін Бер­нул­ли
теңд­ еуін жаз­ ыңд­ ар.

85

Алынғ­ ан (4) және (5) өрн­ ект­ ер­ді идеал сұй­ық үшін Берн­ ул­ли теңд­ еуі не­мес­ е қозғ­ а­

лат­ ын сұйы­ қ­пен газ үшін энер­гия ты­ғыз­ды­ғын­ ың сақ­тал­ у заң­ ы деп атай­ды.
АРМАН-ПВ баспасы
Бер­нулл­ и тең­деуін­ е сәйк­ ес:

Сұй­ық­тың қалыптасқан ағын­ ын­да­ғы то­лық қы­сым осы ағын­ның бой­ынд­ а

тұ­рақ­ты бо­лып қа­лад­ ы. ρυ2 ди­нам­ ик­ а­лық қыс­ ым­
Тол­ ық қы­сым ρgh сал­мақт­ ық, ρ ста­ти­ка­лық жән­ е 2

дар­дан тұ­ра­ды.

IV Қа­нат­тың көт­ ергіш кү­ші 80-сур­ ет. Ауа ағы­ны­ның ағы­н
Ауадағ­ ы ден­ е­лерд­ ің қозғ­ а­лыс заңд­ ыл­ ығ­ ын зерт­ ба­ғыт­ ын­ а перп­ ен­ди­кул­ яр
жаз­ ық пласт­ ин­ ан­ ың
теуг­ е арн­ ал­ған нег­ ізг­ і жабд­ ық аэро­ди­нам­ ик­ ал­ ық қапталдай ағуы
құб­ ыр бол­ ып таб­ ыл­ ад­ ы. Құб­ ырд­ ың бір ұшын­ а
қу­ат­ты желд­ етк­ іш орн­ а­тыл­ ад­ ы, оны электр­қозғ­ а­лт­
қ­ ыш арқ­ ыл­ ы айн­ алд­ ыр­ ам­ ыз (79-сур­ ет). Олар­да тек
үлг­ і­лер ған­ а емес, сон­ ым­ ен қат­ ар шын ұшақт­ ар да
зерт­тел­ е­ді, аэро­дин­ ам­ ик­ ал­ ық құб­ ырл­ ар әрт­ үрл­ і өл­
шем­де бол­ уы мүмк­ ін.

79-сур­ ет. Аэрод­ ин­ ам­ ик­ ал­ ық құб­ ырд­ а ұшақ үлг­ іс­ ін сы­нау α

80-сур­ етт­ е жаз­ ықт­ ығ­ ы аэро­дин­ ам­ ик­ а­лық құ­быр­ 81-су­рет. Аэрод­ ин­ ам­ ик­ а­лық
дағы ағынғ­ а перп­ ен­дик­ ул­ яр ба­ғыт­тал­ған плас­ти­ күш шаб­ уы­ л бұр­ ыш­ ын­ а
на­ның қапталдай ағу кө­рін­ іс­ і бер­ ілг­ ен. Ауа ты­ғыз­ тәуе­ лд­ і
ды­ғы пласт­ и­наның ал­дында арт­ ад­ ы, ал арт­ ында
кем­ и­ді. Ауа сир­ ет­ ілг­ ен кең­ іст­ ікк­ е қар­ ай ба­ғыт­тал­ ады
жә­не құйы­ н ту­дырад­ ы. Алайда осы уақ­ ытт­ а плас­ти­на
ті­гін­ ен орын ау­ыст­ ырм­ айд­ ы. Егер пласт­ и­на мен ауа
ағы­ны арас­ ынд­ а сүйір бұр­ ыш тү­зілс­ е, онд­ а қыс­ ымд­ ар
айы­ рым­ ы аэро­ди­нам­ ик­ а­лық күш­ту­дыр­ ад­ ы, плас­ти­на
көт­ ер­ іл­ е­ді (81-су­рет) не­мес­ е тө­мен түс­ е­ді. Бұрылу
бұр­ ышы ша­бу­ыл бұ­ры­шы деп аталад­ ы, оны гректің α
әрп­ ім­ ен белгіленед­ і.

86

Аэрод­ ин­ ам­ ик­ ал­ ық күш ша­бу­ыл бұ­ры­шын­ ан ған­ а υ1
емес, ол­қан­ ат­тың симм­ етр­ иял­ ық емес про­фи­лін­ ен де
туындайды. Қа­нат үс­тін­де­гі ауа ағы­ны­ның жылд­ ам­
дығ­ ы қан­ ат аст­ ын­да­ғығ­ а қа­рағ­ ан­да көп бол­ ад­ ы, себ­ еб­ і
үст­ іңг­ і бөл­ ік көб­ і­не­се дө­ңес­теу бол­ ып кел­ е­ді (82-су­
рет). Берн­ ул­ли теңд­ еуі­не сәй­кес қа­нат­тың төм­ ен­гі
бө­ліг­ і­нің қыс­ ым­ ы үс­тің­гі бө­ліг­ ін­ е қа­ра­ған­да кө­бір­ ек
бол­ ад­ ы. Қа­нат­қа ке­лет­ ін ағынн­ ың жыл­дамд­ ығ­ ы арт­
қан сайы­ н Fy кө­терг­ іш күш­ мен Fx маң­дай­лық ке­дерг­ і
күш­ іне ­ жік­те­ле­тін R аэро­ди­нам­ и­ка­лық күште, қы­
сымд­ ар ай­ыры­мы да кө­бі­рек бо­лад­ ы (83-сур­ ет).

Көл­беу бұр­ ыш артқ­ ан сайы­ н, кө­тергіш күш өсе­ді,
маң­дай­лық ке­дерг­ і азаяды. Шаб­ уы­ л бұр­ ыш­ ын­ ың мән­ і
кез­ ін­де ағын қан­ ат­тың бет­ і­нен ажыр­ айд­ ы, көт­ ергіш
күш жоғ­ ал­ а­ды, кед­ ер­гі кү­ші бір­ден өсе­ді. Ұшақ «што­
порғ­ а» кір­ ед­ і (84-сур­ ет).
АРМАН-ПВ баспасы p2 p1

pυ11><υp22 υ2

82-су­рет. Аэро­дин­ а­мик­ ал­ ық
күш қан­ ат қим­ ас­ ын­ ың
пі­ші­нін­ е тәуе­ лд­ і

FY R

υ1>υ2⇒сиретілу υ FY

υ0 R

υ1 υ Fх
FX

υ2 84-сур­ ет. Шаб­ у­ыл­дың сын­дық
бұ­ры­шы ұшақ­ты «што­пор­ға»
83-сур­ ет. Fy кө­тергіш күш пен Fx маңд­ айлық
кед­ ер­гі күш­ і – аэро­ди­на­ми­ка­лық кір­гі­зед­ і
R кү­шінің құ­рау­шы­лары

Бұл қызық!

Аэро­ди­нам­ ик­ а­ны да­мыт­ уд­ а «орыс авиац­ ияс­ ы­ның атасы» Ник­ ол­ ай Его­ров­ ич Жук­ ов­ ск­ ий
(1847−1921) алатын орны ерекше. Жу­ко­вск­ ий­ ең ал­ғаш қа­нат­тың кө­тер­гіш күш­ ін­ ің пайда
болуын тү­сін­дірд­ і жә­не осы күшт­ і есепт­ еу теоре­ма­сын тұж­ ыр­ ымд­ а­ды.

Ба­қыл­ ау сұр­ ақт­ а­ры

1. Үзі­лісс­ із­дік тең­деуін тұж­ ы­рым­даң­дар. Ол қан­дай сұй­ықт­ ар мен газ­дар үшін орын­
далады?

2. Тү­тік­тег­ і сұйы­ қ­тың қы­сы­мы сұйы­ қ ағы­ны­ның жыл­дамд­ ығ­ ын­ а қа­лай тәу­елд­ і?
3. Бер­нулл­ и теңд­ еуі қанд­ ай ша­ма­лар­дың қа­ты­нас­ ын ор­нат­ а­ды?
4. Қандай күшті маңдайлық кедергі күші деп атайды? Қандай күшті көтергіш

күш деп атайды?

87

Жат­ты­ғу 15

АРМАН-ПВ баспасы1. Көлд­ ен­ ең құб­ ырд­ ың кең бөл­ іг­ ін­дегі су 1,5 · 105Па қыс­ ымда 8 см/с жыл­дам­
дықп­ ен ағад­ ы. Құ­быр­дың тар бөл­ іг­ ін­де қы­сым 1,4 · 105 Па. Үйкеліс күш­ін
еск­ ер­мей, құб­ ырд­ ың тар бөл­ іг­ ін­дег­ і ағыс жылд­ амд­ ығ­ ын анықтаң­дар.

2. Құб­ ырд­ ың кең бөл­ і­гін­де мұн­ ай 2 м/с жылд­ ам­дықп­ ен аға­ды. Егер құ­быр­дың
кең жән­ е тар бө­лік­ терінд­ ег­ і қы­сым­дар­дың ай­ырым­ ы 50 мм сын. бағ. болса,
он­да оның тар бөл­ і­гін­де­гі мұ­най ағыс­ ы­ның жылд­ ам­ды­ғы қандай?

3. Қи­мас­ ы ай­ны­ма­лы көл­ден­ ең құб­ ыр бойым­ ен су ағып жат­ ыр. Құб­ ыр­дың
тар жә­не кең бөл­ ік­тер­ інд­ ег­ і көлд­ ен­ ең қим­ аларын­ ың ауд­ анд­ ар­ ы сәй­ке­сінш­ е
10  см2 жән­ е 20  см2. Көр­сет­ ілг­ ен қим­ ал­ ар­ ­дағ­ ы су бағ­ а­ндарын­ ың қы­сым­
дары­ ның айы­ рым­ ы 200 мм сын. бағ. Құб­ ырд­ ың ер­кін қи­мас­ ы­арқылы 1 с
ішінде өтет­ ін су көл­ ем­ ін анықт­ аң­дар.

4. Құб­ ыр көлд­ е­нең ор­нал­ ас­қан. Құ­бырд­ ың диа­метр­ і D кең бөл­ іг­ ін­де пор­шень
орн­ а­лас­қан, оған F тұ­рақ­ты күш­ і әсер етед­ і. Құ­быр­дың тар бө­лі­гі­нің диа­
метр­ і d, одан су ағын­ ы ағад­ ы. Пор­шень­ нің орын ауы­ ст­ ыр­ у жылд­ ам­дығ­ ын
анықтаң­дар. Үй­кел­ іс­ті еск­ ерм­ ең­дер.

Шы­ғарм­ аш­ ы­лық тап­сыр­ма

Хабарла­ма дай­ын­даң­дар (таңд­ ау бойы­ нш­ а):
1. Батп­ ы­рау­ықт­ ы дай­ын­дау мен ұшы­ру тех­нол­ о­гия­сы.
2. Ұшақ­тың ұшу ре­жим­де­рі.
3. Суа­ғын­ды сорғ­ ын­ ың, кар­бюр­ ат­ орд­ ың құ­рыл­ ы­мы мен жұмыс істеу прин­цип­ і.

88

§ 16. Тұтқ­ ыр сұйы­ қ ағын­ ы. Стокс фор­мул­ ас­ ы.
Ден­ е­лер­ді қапталдай ағу
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Тұтқ­ ыр сұйы­ қ ағын­ ы
Осы параграфты игергенде: Құ­бырд­ ағ­ ы не­мес­ е өзен­дег­ і сұй­ық қа­бат­тар­ ын­ ың
• экс­пер­ и­мен­ т­тік, сандық
ағыс жылд­ амд­ ығ­ ы бірд­ ей емес. Құ­быр­дың ше­тінд­ егі
жә­не са­па­лық есеп­терд­ і не­мес­ е өзен жа­ға­сы­ мен тү­бінд­ егі жылдамдық су
шы­ғар­уда Тор­рич­ елл­ и ор­тас­ ын­ дағы жылдамдыққа қа­рағ­ ан­да аз бо­лад­ ы.
мен Стокс фор­му­ 85-су­ретт­ е сұй­ық­жыл­дамд­ ығ­ ы­ның құб­ ырд­ ың қи­ма­
лал­ а­рын пай­да­ла­на сындағы өзгерісі бейнеленген: жыл­дамд­ ық қа­бырғ­ а­
алас­ ың­дар. жанында нөлд­ ен бас­тал­ ып, ор­тас­ ынд­ а максимал
Жауабы қандай? мән­ге дейін жет­ ед­ і. Жыл­дамд­ ықт­ ар­дың әр­түрл­ і
1. Нел­ ік­тен сұй­ық жел­ ім бо­луы сұ­йықт­ ың тұт­қырл­ ығ­ ын­ а бай­лан­ ыст­ ы не­ме­се
төм­ ен­гі тем­пе­рат­ у­ оның қаб­ ат­та­ры ара­сынд­ ағы іш­кі үй­кел­ іс кү­шін­ ің
ра­да соз­ ыл­мал­ ы бо­лып әсер­ імен түс­ інд­ ір­ іл­ ед­ і.
қал­ а­ды?
2. Не­лік­тен май­тамш­ ы­сы Тұт­қыр­лық  – реал сұй­ық­тар­дың бір
шы­ны бет­ ім­ ен су тамш­ ы­ бө­лі­гі­нің екіншісіне қа­тыс­ты орын ау­ыс­ты­
сы­на қа­рағ­анд­ а ақы­рын ру­ына ке­дер­гі кел­ті­ру қа­сие­ті.
аға­ды?
Темп­ е­рат­ ур­ а төмендеген сайы­ н сұйы­ қт­ ың тұт­
85-сур­ ет. Құб­ ыр орт­ а­сынд­ а қырл­ ығ­ ы арт­ а тү­сед­ і. Өзенд­ ег­ і суд­ ың жыл­дамд­ ығ­ ы
судың ағыс жыл­дам­дығ­ ы күз мезг­ і­лінд­ е азаяды, ал қыс мезг­ іл­ інд­ е мүлдем тоқ­
макс­ и­мал­мәнге ие бол­ ад­ ы тауы мүмк­ ін.

υ Іш­кі үй­ке­ліс кү­ші­нің болуы қысымның сұй­ық ағы­
сы­ның құ­быр бойы­мен бағ­ ыт­ ы бой­ын­ша төмендеуіне
алып келеді: құ­бырд­ ың ба­сын­ ан алыс­тағ­ ан сай­ын,
сұ­йық­ ағынының қы­сы­мы да азая береді. Бұ­ған
86-су­ретт­ е бейн­ е­ленг­ ен ас­папт­ ы қолд­ а­нып, тә­жі­риб­ е
жасау арқылы көз жетк­ із­ уг­ е бо­лад­ ы.

Егер асп­ ап­тың шү­мег­ і жа­бық болс­ а, он­да барл­ ық
ман­ о­мет­ рл­ ік түт­ ік­тер­де сұй­ық деңг­ ейі бір­дей бо­ла­
ды, себебі ты­нышт­ ықт­ а тұрғ­ ан сұйы­ қт­ арда үй­кел­ іс
кү­ші бол­майд­ ы. Су құ­бырл­ ар­ ынд­ а құ­бырд­ ағ­ ы қы­
сым­ның тү­суін еск­ ер­ у қа­жет, ашық тұр­ған шүм­ ек­тер
сан­ ы көп болғ­ ан сайы­ н су тез ағад­ ы жә­не су­дың
қы­сым­ ы тез тү­сет­ ін бол­ ад­ ы. Құ­быр­да сұй­ықт­ ың ста­

86-сур­ ет. Сұйы­ қ қы­сы­мын­ ың Есте сақтаңдар!
ағыс бағ­ ыт­ ы бо­йын­ша
төм­ енд­ еуі Қим­ а­лары әрт­ үр­лі су құб­ ыр­ла­рынд­ а­ғы қы­сым­ның
кемуін­ е әсер ете­тін факт­ ор­лар: құб­ ыр қим­ а­сы ауд­ а­
ны­ның кіш­ ір­ еюі, сұйы­ қ­тың тұт­қырл­ ы­ғы.

89

АРМАН-ПВ баспасыцио­нар ағы­сын ұст­ ап тұр­ у үшін оның кір­ іс­ і мен S1
шығ­ ыс­ ынд­ ағы қыс­ ымд­ ардың айы­ рым­ ы қаж­ ет. υ1

1-тапсырма h
Бер­нул­ли тең­деуін пайд­ а­ла­нып, ыдыстың тес­ іг­і­нен S2
ағат­ ын суд­ ың жыл­дам­ды­ғын есепт­ еу форм­ ул­ а­сын υ2
қорытып шығ­ар­ ыңд­ ар (87-сур­ ет). Э.Тор­ри­чел­ли ал­ған
форм­ у­ла­мен са­лыст­ ы­рың­дар: 87-сур­ ет.1-тапсырмаға

u2 = 2gh 88-сур­ ет. Виск­ о­зиметр

Жауабы қандай?
Нел­ ік­тен те­сіг­ і бар ыдыстағы идеал сұй­ықт­ ың бағ­ан
би­ік­тіг­ ін­ ің азаюы те­сік ар­қы­лы өте­тін сұй­ықт­ ың ағу
жылд­ амд­ ы­ғын­ ың мә­нін­ е әсер етп­ ей­ді?

II Сұйы­ қ­тар мен газ­дар­дағ­ ы ден­ е­лер­дің
қозғ­ а­лыс­ ы. Стокс форм­ у­ла­сы

Денелердің сұйықтар мен газдардағы қозғалысы
кезінде кедергі күші пайда болады. Олардың пайда
болуының екі себебі бар:
1) орт­ ан­ ың ден­ е бет­ іне үй­кел­ уі;­
2) ден­ е­ні қапталдай ағу кезінд­ е сұй­ық нем­ ес­ е газ

ағын­ ы­ның өз­гер­ уі.

Ор­та­ның маңд­ айл­ ық ке­дерг­ і күш­ і орт­ а­
ның тұтқ­ ырл­ ығ­ ы­на және де­не­нің қоз­ғал­ ыс
жыл­дам­дығ­ ын­ а, оның өлш­ емд­ е­рі­ мен пі­
ші­ні­не тәу­елд­ і.

Тұтқ­ ыр сұйы­ ққ­ а не­ме­се газғ­ а құлаған шар­ ға әсер етет­ ін маң­дайл­ ық ке­дерг­ і күш­ і
гид­род­ ин­ ам­ ик­ ағ­ а зор үлес қосқ­ ан ағылш­ ын физ­ и­гі Джордж Габр­ иел Стокст­ ың құр­
ме­тін­ е атал­ған Стокс форм­ у­лас­ ым­ ен анықт­ алад­ ы:

F = 6πηrυ,
мұн­дағы: η − сұйы­ қт­ ың нем­ ес­ е газ­дың ішк­ і үй­кел­ іс коэфф­ и­циен­ті немесе дин­ а­ми­
ка­лық тұтқ­ ыр­лық, өл­шем бір­ліг­ і [η] = 1 Па ⋅ с; r − шар ра­диусы; υ − шард­ ың жыл­
дамд­ ығ­ ы.

Стокс форм­ у­лас­ ы сұйы­ қт­ ард­ ың тұт­қыр­лығ­ ын анық­тау­ға мүмк­ інд­ ік бер­ е­ді.
Сұйы­ қ тұтқ­ ырл­ ығ­ ын анықт­ ау­ға ар­нал­ған құ­ралды виск­ озиметр деп атайд­ ы. Геп­лер
виск­ озиметрінің әрекеті Стокс заң­ ы­на нег­ ізд­ елг­ ен, ол тұтқ­ ыр орта орналасатын түтік
түрінде жасалған (88-су­рет). Тұтқ­ ыр­лық құл­ ап ба­ра жат­қан шарл­ ард­ ың вис­козиметр
түт­ іг­ ін­дег­ і белг­ іл­ ер арас­ ына­ н өту жыл­дамд­ ықт­ ар­ ы бой­ын­ша анықт­ алад­ ы, ал өл­шеу
қа­тел­ іг­ і 1−3 % аралығында болатын өлшеулер жүргізуге мүмкіндік береді.

III Ден­ ел­ ер­ді қапт­ алд­ ай ағу
Сұй­ық нем­ ес­ е газ ағыс­ ы­ның өзг­ е­рісін­ ен ту­ын­да­ған кед­ ер­гі күш­ ін азайту үшін

қат­ты де­нел­ ерг­ е қапт­ алд­ ай ағу­ға ыңғ­ айл­ ы піш­ ін бер­ і­лед­ і. 89-сур­ ет­те плас­тин­ а
айн­ а­ла­сын­да­ғы жә­не сүйір пі­шінд­ ег­ і ден­ ел­ ер айналасындағы ағын сы­зықт­ а­ры

90

көрс­ е­тілг­ ен. Плас­ти­наның арт­ ындағы бөлікте рет­сіз құй­ын­ды қоз­ғал­ ыс ай­ма­ғы
түз­ і­лед­ і, мұн­да қыс­ ым өте төмен болады (89, а-сур­ ет), ал қапталдай сүйір пішінді
де­не ағын сы­зықт­ а­рын сәл ған­ а бұ­зад­ ы (89, ә-су­рет).
АРМАН-ПВ баспасы
p1 p2 p1 p2

а) ә)
89-сур­ ет. Ор­та­ның кед­ ер­гі күш­ і де­не­нің пі­шін­ ін­ е тәу­ел­ді

Жылд­ амд­ ықт­ ың аз мә­нін­де ден­ е­нің ал­дыңғы бө­ Жауабы қандай?
лігін­ де қыс­ ымн­ ың артуы артқ­ ы бө­лік­ те қыс­ ымд­ ы 1. Жылд­ амд­ ығ­ы аз болғ­ан
кемітуден маң­ ыз­ды емес, сон­дықт­ ан арт­қы бө­лікт­ ің
сүйір піш­ інді болуы бұл жағ­дайд­ а өте маң­ ызд­ ы кезд­ е не­лік­тен ұшақ­тың
(90-су­рет). Ұшақт­ ард­ ың, ди­ри­жаб­ ль­дерд­ ің, суаст­ ы құйр­ ық бөл­ іг­ і, ал асқынды­
қай­ықт­ ар­ ын­ың, тез жү­зет­ ін те­ңіз жа­ну­ар­лар­ ы – дель­ быст­ ы жылд­ амд­ ық ке­зінд­ е
фин­дердің, аку­лал­ ардың, кит­тер­дің пішіндері осын- тұмсық бөл­ іг­ і қапталдай
дай бо­лад­ ы. ағуға ыңғайлы сүйір пішінде
бо­луы кер­ ек?  
90-сур­ ет. Жыл­дамд­ ық­тар аз бол­ған кезд­ е 2. Асқындыб­ ыст­ ы жыл­
қапталдай ағуғ­ а ыңғ­ айл­ ы сүйір пішін­құр­ ылғ­ ын­ ың дамдықпен қозғалатын
ұшақт­ ард­ а­реак­тив­ті
арт­қы бө­ліг­ ін­ е бер­ і­лед­ і тарт­ у күшін туы­ нд­ ат­ у
үшін нел­ ік­тен зырыл­
дауық (проп­ елл­ ер)­емес
реакт­ ивт­ і қозғ­алтқ­ ыш
пай­да­лан­ ылад­ ы?
3. Бар­лық ден­ е­лер­үшін ауа
не­ме­се сұйы­ қ­ке­дерг­ іс­ ін
есепт­ ейтін бірыңғай
форм­ у­ла неге жоқ?

Асқ­ ындыб­ ыст­ ы жыл­дамд­ ықп­ ен қоз­ғал­ған­да ауа 91-сур­ ет. Асқындыб­ ыст­ ы
кед­ ерг­ і­сі де­нен­ ің ал­дыңғ­ ы бөлігінде қат­ты өсед­ і.­ жылд­ ам­дық ке­зінд­ е ұшақт­ ың
Асқ­ ынд­ ыб­ ыст­ ы жыл­дамд­ ықп­ ен қозғ­ а­лат­ ын ұшақ­ ал­дың­ғы бө­лі­гіне қапталдай
тард­ ың, зы­мы­ран мен сна­рядт­ ард­ ың тұм­сық бө­лікт­ е­ ағу­ға ың­ғай­лы пі­ші­н бе­ріл­ген
рін­дег­ і сығ­ ыл­ған ауа ден­ е­нің қоз­ға­лыс ба­ғы­ты­
бо­й­ымен тара­майтын болғандықтан, өте қу­атт­ ы ды­
быст­ ық тосқ­ ауы­ л пайда болады. Ауа тарт­ ылғ­ ан сад­ ақ
адырн­ ас­ ы сия­ қт­ ы, ауа ке­дерг­ і­сін азай­ту үшін қозғ­ а­
лып ба­ра жатқ­ ан де­не­нің ал­дыңғ­ ы бө­ліг­ ін сүйір ету
кер­ ек (91-су­рет). Осы мақс­ атп­ ен ас­қындыб­ ыст­ ы
жыл­дамд­ ықт­ ағ­ ы ұшақ­тар ауа ты­ғызд­ ығ­ ы едәуі­р азая­
тын­дай биі­кт­ ікк­ е көт­ ер­ іл­ ед­ і.

91

IV Маг­нус эф­фек­тіс­ і. Ауа цирк­ у­ляц­ ия­сы
Бір­қал­ ыпт­ ы ауа ағын­ ын­ ың айн­ а­лат­ ын цил­ ин­ др­ді қапталдай ағуын қар­ ас­ты­

райы­ қ. Айн­ а­лу­кезінде ци­лин­ др әсерінен ауа­ның оған жанасатын қаб­ ат­тар­ ы (92,
а-сур­ ет) айн­ ал­ма­лы қозғ­ ал­ ыс жас­ а­йды. Ілг­ ер­ іл­ е­мел­ і жән­ е айн­ ал­ма­лы қоз­ға­лыс
жылд­ ам­дық­тар­ ының қо­сылуы ци­ли­ндр айналасындағы ауа ағын­ ы­ жылд­ амд­ ы­
ғының өзг­ ері­сіне алып кел­ ед­ і: υ1 > υ2 (92, ә-су­рет). Нә­тиж­ е­сін­де цилиндрге түрлі
жақтардан әсер етет­ ін қы­сым әр­түр­лі бо­лад­ ы. Бер­нулл­ и за­ңын­ ың не­гіз­ інд­ е
қыс­ ым: p1 < p2. Цил­ и­ндр­ ге тү­сі­ріл­ген күштердің теңәсері ағын бағ­ ы­тын­ а перп­ ен­
дик­ ул­ яр бағ­ ыт­тала­ды, цил­ ин­ др көт­ е­ріл­ е­ді.

υ1
АРМАН-ПВ баспасы
p1
υ p2

υ2 υ1>υ2
p1<p2

а) ә)

92-су­рет. Ауа қа­ба­ты­ның цир­кул­ яц­ ияс­ ы нәт­ иж­ ес­ ін­де
кө­тер­гіш күш­тің пайда болуы

Ай­на­лып жатқ­ ан доп­тың ма­ңай­ын­дағ­ ы ауа цир­ку­ 93-сур­ ет. Магн­ ус эфф­ ект­ і­сін­ ің
ля­ция­сы оның қозғ­ а­лыс ба­ғы­тын­ ың өз­гер­ уім­ ен тү­ нә­ти­жес­ інд­ е доптың ұшу
сінд­ ір­ іл­ е­ді, сон­ ың арқ­ ас­ ынд­ а фут­бол алаң­ ын­ ың бұ­ траект­ ор­ ия­сы­ның өз­гер­ уі
рыш­ ын­ ан гол соғ­ у­ға мүмк­ інд­ ік туад­ ы (93-сур­ ет).

Ауа ай­на­лып жатқ­ ан де­нен­ і қап­тал­дай ақ­қан­да
ағынғ­ а перп­ ен­дик­ у­ляр күшт­ ің пай­да бол­ уы осы құ­бы­
лыс­ты зерт­тег­ ен нем­ іс ға­лы­мын­ ың құр­ме­тін­ е Маг­
нус эф­фект­ і­сі деп атал­ған.

Жауабы қандай?
Же­ңіл мәшинелерде не­лік­тен спой­лер ор­нат­ ы­лад­ ы
(94-су­рет)?

94-су­рет. Спойл­ ер­ і бар ав­то­кө­лік 2-тапсырма

Маг­нус эфф­ ект­ і­сі бай­қа­
ла­тын құб­ ыл­ ыс­тар тіз­ і­мін
жал­ғас­ты­рың­дар: бу­ме­ранг­
тың ұшуы, дауы­ лдың үй
ша­тырын жұ­лып алуы, қат­ты
желдің қол­шат­ ыр­ды ұшыруы.

92

Ба­қы­лау сұр­ ақ­та­ры

1. Сұйы­ қтың тұт­қыр­лы­ғы дег­ е­ні­міз не?
2. Ішк­ і үйк­ е­ліс кү­ші құ­бырл­ ард­ ағ­ ы сұй­ық­тың ағыс жылд­ амд­ ығ­ ын­ а қа­лай­ әсер

етед­ і?
3. Сұй­ық­тар мен газ­дар­да қоз­ға­лыс­қа кед­ ер­гі күш­терд­ ің пайд­ а бо­лу себ­ еп­

те­рін атаңдар.
4. Сұйы­ қ тұтқ­ ырл­ ығ­ ын қа­лай анықт­ айд­ ы? Ол қандай өлшем бірлігімен өл­ше­

неді?
5. Маг­нус эфф­ ект­ іс­ ін­ ің мән­ і не­де?
6. Айн­ а­лып жат­қан де­не мен ұшақ қан­ а­тынд­ а­ғы кө­тер­гіш күшт­ ің пай­да бол­ у

се­беп­тер­ ін­ ің ай­ыр­маш­ ыл­ ығ­ ы қанд­ ай?
7. Қан­дай күшт­ і маңд­ айлық кед­ ерг­ і кү­ші деп атайд­ ы? Қан­дай күш­ті кө­тер­гіш

күш деп атайд­ ы?
АРМАН-ПВ баспасы
Жатт­ ы­ғу 16

1. Су­тол­тыр­ ылғ­ ан би­ік­тіг­ і 50 см бол­ ат­ ын бак­тың түб­ інд­ е ауд­ ан­ ы 1 см2 те­сік
бар, ол бак қ­ им­ ас­ ын­ ың ау­дан­ ы­нан едәуі­р кі­ші. Егер те­сік­ті ашс­ ақ, он­да
одан су аға­тын бол­ ад­ ы. Бак түб­ ін­ ен 20 см төмен биіктіктегі ағын­ қи­ма-
сының ау­дан­ ы не­ге тең?

2. Бұрқ­ ақт­ ың тік ағын­ ын­ ың көлд­ ен­ ең қим­ асының ауд­ ан­ ы қан­дай би­ік­тікт­ е
түтік шығ­ у те­сіг­ ін­ ен 3 есе үлк­ ен болады? Шы­ғу тес­ іг­ ін­дег­ і суд­ ың жыл­
дамд­ ығ­ ы 9 км/ сағ. Ауа ке­дерг­ іс­ ін еск­ ер­меңд­ ер.

3. Су құб­ ыр­ ын­да қим­ ас­ ының ауданы 4 мм2 тес­ ік пайда болды, одан тік
жоғ­ ар­ ы қар­ ай 80   см биі­кт­ ікк­ е су ат­қыл­ ап ағып жат­ ыр. Тәулік ішінде
құбырдан судың қандай мөлшері ағып шығады?

4. Шар тұр­ ақт­ ы жылд­ амд­ ықп­ ен сұйы­ қт­ а жүз­ іп бар­ а жа­тыр, сұйықтың тығ­ ыз­
дығ­ ы шар жа­салғ­ ан ма­тер­ и­ал­дың тығ­ ызд­ ығ­ ы­нан 4 есе артық. Шарғ­ а әсер
етет­ ін үй­кел­ іс күш­ і осы шар­дың салм­ ағ­ ы­нан не­ше есе артық?

5. Егер ауан­ ың ди­нам­ и­ка­лық тұтқ­ ыр­лы­ғы 1,2·10–5 Па·с бол­са, диа­метр­ і
d = 0,3 мм жаңб­ ыр тамш­ ыс­ ын­ ың ең үл­кен жылд­ амд­ ығы қандай болады?

6. Диам­ ет­рі 1 мм бол­ ат шар майс­ ан­ а (кастор) майым­ ен тол­тыр­ ыл­ған үл­кен
түт­ ікк­ е 0,185  см/с тұ­рақт­ ы жыл­дамд­ ықп­ ен құл­ ай­ды. Майс­ ан­ а майын­ ың
дин­ а­ми­кал­ ық тұт­қырл­ ы­ғын анықтаңдар. Май­сан­ а майын­ ың тығ­ ызд­ ығ­ ы –
900 кг/м3.

Экс­пер­ им­ е­нт­тік тапс­ ырм­ а

Маг­нус эфф­ ек­тіс­ ін көр­се­тет­ ін тәж­ ір­ иб­ ен­ і түс­ інд­ і­ре­тін бейнежазб­ а дайы­ н­
даңд­ ар.

93

5-тараудың қорытындысы
АРМАН-ПВ баспасы
Үзіл­ ісс­ ізд­ ік тең­деуі S1υ1= S2υ2

Берн­ ул­ли тең­деуі ð1 + ρ gh1 + ρυ12 = p2 + ρgh2 + ρυ22
2 2
­Тор­рич­ ел­ли фор­мул­ а­сы­
Стокс фор­му­лас­ ы­ p + ρ gh + ρυ 2 = const
2

υ2 = 2gh

F = 6πηrυ

Гид­ро- жә­не аэрод­ ин­ ам­ и­кан­ ың не­гіз­гі теңд­ еул­ ер­ і
Үзіл­ ісс­ із­дік теңд­ еуі: Сы­ғыл­майт­ын сұй­ық­тың жыл­дам­дық­тарының мо­дул­ ьдері ағын түт­ і­

гі­нің қи­маларының ауд­ ан­дар­ ы­на ке­рі про­пор­цион­ ал.
Бер­нул­ли теңд­ еуі: Сұй­ықт­ ың қалыптасқан ағы­нынд­ ағ­ ы то­лық қы­сым осы ағын­ның бо­­

йын­да тұ­рақ­ты бо­лып қал­ а­ды.

Глоссарий
Гид­ро- жә­не аэро­ди­на­ми­ка – механиканың сұй­ықт­ ар мен газ­дар­дың қозғ­ а­лыс­ ын, қозғалыс­

тағы сұйы­ қт­ ар мен газ­дар­дың қатт­ ы ден­ ел­ ерм­ ен өзар­ а әрекеттесуін зерт­тейтін бөлімі.
Идеал сұй­ық ­– тұтқ­ ыр­лығ­ ы мен сығ­ ыл­ у­ын еск­ ер­ меуге болатын сұй­ық.
Ағын сыз­ ығ­ ы  – жа­нам­ ал­ ар­ ының бағыты кең­ іст­ ікт­ ің кез келген нүк­те­сінд­ е сұйы­ қ­ ағыны

жыл­дамд­ ығ­ ы­ның бағ­ ыт­ ым­ ен сәйкес кел­ ет­ ін сыз­ ықт­ ар.
Ағын элем­ ен­ті – сұй­ық­тың (газд­ ың) қоз­ғал­ ыс кез­ ін­де пі­шінінің өз­гер­ іс­ ін еск­ ерм­ еуг­ е бол­ а­тын

шарт­ты түр­де бөл­ інетін аз көл­ ем­ і.
Ла­ми­нарл­ ық ағыс – сұйы­ қ­қаб­ ат­тар­ ының арал­ асы­ п кетпей, бір-бір­ ін­ е қат­ ыст­ ы жылжуы.
Тур­бу­лен­ т­тік ағыс – сұйы­ қ қаб­ ат­тар­ ы арал­ ас­ ып, иірімдердің­пайда болуы.
Ста­цио­нар ағыс – кең­ іст­ ікт­ ің барл­ ық нүк­те­сінд­ егі сұйы­ қ­элем­ ент­ тері­жылд­ амд­ ығ­ ы уақ­ ыт

бойынша өзг­ ер­мейтін ағыс.
Тұт­қыр­лық  – реал сұй­ықт­ ард­ ың бір бөл­ іг­ і­нің екіншісіне қа­тыст­ ы орын ау­ыст­ ыр­ у­ына ке­

дерг­ і келт­ ір­ у қас­ иет­ і.
Виск­ оз­ иметр – сұй­ық тұтқ­ ыр­лығ­ ын анықт­ ауғ­ а арн­ алғ­ ан құр­ ал.
Орт­ ан­ ың маң­дай­лық ке­дерг­ і күш­ і орт­ ан­ ың тұт­қыр­лығ­ ын­ а, сон­ ы­мен қа­тар де­не­нің қоз­

ғал­ ыс жылд­ амд­ ығ­ ын­ а, оның өл­шемд­ ер­ ін­ е жән­ е пі­шін­ і­не тәу­елд­ і.

94

Ф ­ИЗИ­К ­АСЫМо­ле­кул­ ал­ ық фи­зи­ка­да жыл­ у про­цест­ е­рін зерт­теу үшін екі әдіс­пай­дал­ а­
ны­ла­ды: ста­тис­ти­ка­лық жә­не терм­ од­ ин­ а­мик­ ал­ ық.
баспасыСта­тис­ти­кал­ ық әдіст­ ің не­гі­зін­де мо­ле­ку­лалық-­ки­не­ти­ка­лық теор­ ия жа­
тыр. Аталған тео­рия­да фи­зи­ка­лық про­цес­тер­ді зат­тың ішк­ і құр­ ыл­ ым­ ы
тур­ ал­ ы біл­ ім­не­гі­зін­де қа­рас­тыр­ а­ды.
Затт­ ың іш­кі құр­ ыл­ ым­ ы тур­ ал­ ы түсініктерді қолд­ ан­бай-ақ, терм­ од­ ин­ а­
мик­ а заң­дар­ ын­ ың не­гі­зі мен жүйе­ні тұ­тас­тай си­пат­тайт­ын пар­ а­ме­тр­
лер темп­ е­ра­тур­ а, қы­сым жән­ е кө­лемд­ і пай­дал­ а­нып, жы­лу құб­ ыл­ ыст­ а­рын
зерт­теу­ге ар­налғ­ан әдіс­ті – терм­ од­ ин­ а­мик­ а­лық әдіс деп атай­ды.

6-ТАРАУ

МОЛ­ ЕК­ УЛ­ АЛ­ ЫҚ-
КИН­ ЕТ­ И­КАЛ­ ЫҚ
ТЕОР­ ИЯ НЕГ­ ІЗД­ ЕР­ І

Затт­ ың атом­дық құр­ ы­лы­сы тур­ ал­ ы гип­ о­тез­ а­ны ең алғ­ аш Де­мок­рит ұсын­ды.
Мол­ ек­ у­ла­лық-ки­не­тик­ ал­ ық тео­рия­ны жа­сауғ­ а орыс ғалымы М.  Ломоносов,
нем­ іс фи­зиг­ і Р.Клауз­ иус, ағыл­шын фи­зикт­ е­рі Дж.Джоуль, Дж.Макс­велл,
аус­трия физ­ иг­ і Л.Больцман зор үлес қосты. ХХ  ғас­ ырғ­ а там­ ан әрт­ үр­лі затт­ ар­
дың мо­лек­ ул­ ала­рын­ ың өл­шем­ і, олар­дың масс­ а­лары мен жыл­дамд­ ықтары
өлш­ ен­ іп, мо­ле­ку­ла­лард­ а атом­дар­дың ор­на­ла­суы анық­талд­ ы, яғ­ни затт­ ар
құр­ ы­лы­сы­ның мо­лек­ ул­ ал­ ық-кин­ е­тик­ ал­ ық теор­ ия­сы тү­бег­ ей­лі аяқ­талғ­ ан
бо­ла­тын.
АРМАН-ЖЫ­ПЛУВ
2 Тарауды оқып-білу арқылы сендер:
• мо­лек­ у­ла­лар­дың ілг­ е­ріл­ ем­ е­лі қоз­ғал­ ыс­ ын­ ың ор­та­ша ки­не­ти­ка­

лық энер­гияс­ ы­ мен тем­пер­ ат­ у­ра­ның байл­ ан­ ыс­ ын сип­ атт­ ау­ды;
• идеал газ мод­ е­лін си­патт­ ау­ды;
• есеп­тер шы­ғаруда мол­ е­кул­ ал­ ық-ки­не­тик­ а­лық теор­ ия­ның не­гізг­ і

тең­деул­ ер­ ін қолд­ а­ну­ды үй­ре­нес­ ің­дер.

§ 17. Газдардың молекулалық-кинематикалық
теориясының не­гізг­ і қа­ғид­ а­лар­ ы жән­ е олар­дың
тә­жір­ иб­ е­лік дәлелдемелері
АРМАН-ПВ баспасы
Күтілетін нәтиже: I Мол­ ек­ у­лалық­-ки­не­тик­ ал­ ық теор­ ия­ның
Осы параграфты игергенде: нег­ із­гі қағ­ и­дал­ ар­ ы
• МКТ негізгі қағидаларына
Диффузия және броундық қозғалыс, сұйы­ қт­ ың
дәлелдер келтіруді; жұғуы және ка­пил­ляр бойы­ н­ша көт­ ер­ іл­ уі, кеб­ у мен
• жылулық құбылыстарды қайн­ ау, балқ­ у мен крист­ алд­ ан­ у сияқты құб­ ыл­ ыст­ ар­ ды
МКТ – мо­лек­ ул­ алық-­кин­ ет­ и­ка­лық теор­ ия жән­ е оның
МКТ негізінде түсіндіруді, үш қағ­ ид­ ас­ ы не­гі­зінд­ е оңай түс­ інд­ ір­ уге болады:
молекуланың массасы 1. Бар­лық затт­ ар бөлш­ ект­ ер­ден – арал­ ар­ ынд­ а бос ара­
мен өлшемін, молекулалар
саны мен зат мөлшерін лық­тар­ ы бар мо­лек­ у­ла­лар мен атомд­ ар­дан тұр­ а­ды.
есептеуді үйренесіңдер. 2. Зат­тың бөлш­ ек­тер­ і үздік­сіз жән­ е бейб­ ер­ ек­ ет қоз­

Джон Уильям Стр­ етт ғал­ ыст­ а бол­ а­ды.
лорд Рэл­ ей (1842−1919)  – 3. Зат бөлш­ ект­ ер­ і бір-бір­ ім­ ен өзар­ а әрекеттесед­ і.
ағылш­ ын физ­ иг­і, ме­хан­ ик,
1904 жылы «Газ тәр­ із­дес эле­ II МКТ I қағ­ ид­ ас­ ын­ ың тә­жір­ иб­ ел­ ік дәлелдемес­ і
мен­ тт­ ерд­ ің ты­ғызд­ ығ­ын зерт­ МКТ І қа­ғид­ а­сы­ның сен­ імд­ і дәл­ е­лі  – ағыл­шын
тег­ен­ і және осы­ған бай­ла­
ныст­ ы ар­гон­ды аш­қан­ ы үшін» фи­зи­гі Дж. Рэл­ ейдің мо­ле­ку­ла­лар­дың масс­ ал­ ар­ ы мен
Ноб­ ель сыйл­ ы­ғын алғ­ан. өлш­ ем­дер­ ін анықтауы бо­лып та­бы­ла­ды.
1879  жылы Кембр­ идж уни­
вер­сит­ е­тін­ ің проф­ есс­ ор­ ы жә­ Ол олеин майы­ның тамш­ ыл­ а­ры су бет­ ін­де қал­ ың­
не Ка­венд­ иш зерт­хан­ ас­ ын­ ың дығ­ ы бір мо­ле­кул­ ан­ ың қал­ ың­ды­ғын­дай қабатпен
ди­рек­тор­ ы, 1908−1919  жыл­ жайылады деп бол­жап, оның өл­ше­мін анықтады:
дары Кемб­ридж унив­ ерс­ ит­ е­
тін­ ің пре­зид­ ен­ті болд­ ы. d =VS ,

мұнд­ ағы d − мо­ле­кул­ а диам­ ет­рі, V – тамшы көлемі,
жайылған там­шын­ ың көл­ ем­ і, S − тамш­ ы ауд­ а­ны.

Мол­ е­кул­ ан­ ың көл­ е­мін V0 = d3 деп алып, затт­ ың
барлық кө­ле­міндегі молекулалар са­нын анық­та­ды:

N = V .
V0

Назар аударыңдар!

Мұ­хит­бет­ ін­ де қалыңдығы 1/16 мкм жұқ­ а қаб­ ат
түр­ інд­ е жайыл­­ ған 1 тон­на мұ­най 12 км2 ауданды
алады.

95-сур­ ет. Мұ­най­дың тө­гіл­ уі Өз тәжірибең

96 1. Мо­ле­кул­ а­ның өл­шем­ і шамамен, 10−9 м деп алып, оқу­
лықт­ ың бір бет­ інд­ е­гі мол­ е­ку­ла­лар са­нын анықтаңдар.

2. Қолд­ ан жа­сал­ған пал­ ет­ка­ кө­мег­ім­ ен мұн­ ай дағ­ын­ ың
ау­да­нын анықт­ аңд­ ар. Тү­сі­ріл­ ім масш­таб­ ын
М 1:100000 деп алыңдар (95-сурет).

Там­шы масс­ а­сы мен онд­ ағ­ ы мо­ле­кул­ алар сан­ ы Жауабы қандай?
1. Жүк кө­те­ргіштігі
белг­ і­лі болғ­ ан­да, Дж.Рэлей бір мо­лек­ ул­ а­ның мас­
АРМАН-ПВ баспасы 550  мың тон­на тан­кер­
са­сын есеп­т­ еп шы­ғар­ды: m ден тө­гіл­ген­мұн­ айдың
N ау­дан­ын анықтаңдар.
m0 = . Оны Кас­пий те­ңі­зі­нің
ау­дан­ ы­мен сал­ ыст­ ы­
Рэл­ ей әдіс­ і бой­ын­ша жүргізіл­ген тә­жі­риб­ е мо­ле­ рың­дар (371000 км2).
2. Мұн­ ай­дың тө­гі­луі
ку­ла өл­шем­ і шамамен 10–9 м, ал оның масс­ а­сы жуық қан­дай эко­ло­гия­лық
мә­се­ле­лер­ді тудырады
шамамен 10–26  кг болатынын көр­сетт­ і. (96-су­рет)?

Ғал­ ым­дар электр­ онд­ ы, одан кейі­н тунн­ ель­ дік 96-су­рет. Мұн­ ай тө­гіл­ген
ай­мақ­та құст­ ар
микр­ оск­ опт­ ар­ды ойл­ ап тапқ­ анд­ а, МКТ І қа­ғид­ а­
мен жа­ну­ар­лар­дың
сын­ ың дұр­ ыст­ ы­ғын­ а еш кү­мән қал­мады. қырылуы

Жұмыс істеу прин­цип­ і зат­тар­дың бет­тер­ ін ска­

нер­леуг­ е нег­ із­делг­ ен тунн­ ель­ дік микр­ оск­ опт­ ың ар­қа­

сынд­ а, мо­лек­ у­лал­ ар мен атом­дард­ ың орн­ а­ла­суы­ның

сур­ етт­ ер­ і алын­ған (97-сур­ ет).

Скан­ ерл­ еуші тун­нель­дік микр­ оск­ оп­тың ме­талл

ине­сі нысанның үстінде одан нан­ ом­ е­тр­ден де кіш­ і

арақаш­ ықт­ ықт­ а сырғ­ ан­ айд­ ы (98-су­рет). Қоз­ғал­ ыс

кез­ інд­ е инеге аз ғана по­тенц­ иал бер­ іл­ е­ді, нәт­ иж­ е­

сінд­ е ине мен үлг­ і арас­ ын­да тун­нель­дік ток түз­ іл­ ед­ і,

үлг­ ід­ ег­ і электр­ онд­ ар инег­ е дейі­нг­ і ара­қаш­ ықт­ ықт­ ы

жүр­ іп өтіп, инеге өтеді. Электр­ онд­ ар са­ны ине­

ұшына дейінгі қаш­ ықт­ ы­ққа тәуе­ л­ді, сонд­ ықт­ ан тун­

нель­ дік ток­тың шам­ ас­ ын анықт­ ай отыр­ ып, ғал­ ым­дар

үлг­ і бет­ ін­дег­ і релье­ ф­тің қанд­ ай бо­ла­тын­ын тү­сін­ е

алад­ ы. 1986 жы­лы Цю­рих­тег­ і IBM комп­ ан­ ияс­ ын­ ың

зертт­ еу орталығының қыз­метк­ ер­ле­рі Г.Бинн­ иг пен

Г.Рор­ ерг­ е осы жетістіктері үшін Ноб­ ель сыйл­ ы­ғы

бер­ іл­ді.

Пьезоэ­ лектрлік Басқару
сканер жүйесі
Ине

Үлгі 97-су­рет. Зат­тағ­ ы мо­лек­ у­ла­
лард­ ың ор­на­ла­суы­ның су­рет­ і
98-сур­ ет. Тунн­ ельдік микр­ оск­ оп­ тың
жұмыс істеу прин­ци­пі 97

III Сал­ ыст­ ырм­ ал­ ы мо­лек­ ул­ ал­ ық жә­не мол­ ьдік масс­ а. Зат­ мөлш­ ер­ і.
Авог­ ад­ро сан­ ы

Сал­ ыс­тыр­мал­ ы мо­ле­кул­ ал­ ық масс­ а, мо­льдік масс­ а, зат­мөлш­ е­рі жән­ е олард­ ың
өлш­ ем бір­лік­те­рі Ха­лық­ а­рал­ ық өл­шем­дер мен салмақтардың Бас конф­ е­рен­ция­
сында енг­ і­зіл­ген. Бұл шам­ ал­ ар сендерге хи­мия кур­сы­нан белг­ іл­ і. Олард­ ы еск­ е
тү­сі­рейік:
АРМАН-ПВ баспасы
7-кесте. МКТ негізгі шамалары

Анық­там­ а­ ф­ орм­ ул­ а­ Өл­шем бір­лік
Өл­шем бір­ліг­ і
Зат­тың сал­ ыст­ ырм­ а­лы мо­лек­ ул­ а­лық масс­ а­сы Mr = m0 бол­майд­ ы
Mr – осы зат мо­лек­ ул­ а­сы­мас­са­сы­ның кө­мірт­ ек 1
ато­мы масс­ ас­ ын­ ың 1/12 бө­лі­гі­не қатынасына тең 12 moC [ν] = 1 моль­
ша­ма.
v = N
З­ ат мөлш­ ер­ і – бер­ ілг­ ен де­не­дег­ і мол­ е­кул­ а­лар NA
сан­ ының 0,012 кг кө­мір­тек­тег­ і атомд­ ар сан­ ын­ а
қатынасына тең шам­ а. v = m
Моль – 12 г көм­ ірт­ ект­ е қан­ша атом болс­ а, сонш­ а M
мо­лек­ у­ла­дан тұр­ ат­ ын зат­мөлш­ е­рі.
M = m0NA êã [Ì ] = 1 êã
­Мольд­ ік масс­ а – бір моль мөл­шер­ ін­де алынғ­ ан M = M r ⋅ 10−3 ìîëü ìîëü
затт­ ың мас­сас­ ы.

ІV Штерн тәж­ ір­ и­бес­ і МКТ ІІ Есте сақтаңдар!
қа­ғи­дас­ ын­ ың дә­лел­ демесі ретінде Кез кел­ген зат­тың бір
мо­лін­дегі мо­лек­ у­ла мөл­шері­
1920 жылы нем­ іс физ­ и­гі От­то Штерн мо­лек­ ул­ а­ бірд­ ей бол­ а­ды, бұл сан
лард­ ың ор­та­ша жыл­дамд­ ық­та­рын анық­тау үшін тәж­ і­ ита­лиялық ға­лым­ , фи­зик
ри­бе жүр­гізд­ і. Ол көлд­ е­нең жа­зыққа 001 осін айн­ ал­ а­ жә­не хим­ ик А.Авог­ ад­рон­ ың
қозғалатын (1) жә­не (2) екі коакс­ и­алд­ і цил­ индр­л­ ік құр­ме­ті­не Аво­гадр­ о са­ны
бетт­ ер­ді бек­ ітт­ і (99-сур­ ет). Ішк­ і ци­лин­ др­д­ ің тар тес­ іг­ і деп атал­ған, ол
(4) бо­лд­ ы. Барлық жүйе вак­ уумд­ а орн­ а­лас­қан. Ол 001 NA = 6,02 · 1023 моль–1-ге тең.
осі бой­ын­а кү­місп­ ен қапталған жән­ е жо­ғары­ тем­пер­ а­
ту­рағ­ а дей­ін қызд­ ы­рыл­ған пла­тин­ а­сым  (3) орн­ ал­ ас­ 4
тырды. Кү­міс атом­да­ры буланып, ішк­ і ци­лин­ ­дрд­ ің (1) 3
қа­быр­ға­сын­да­ғы тар те­сік ар­қыл­ ы өтіп, сырт­қы
ци­ли­ндрд­ ің іш­кі бе­ті­не дей­ін ұшып же­тіп, онд­ а 2 φS
те­сік­ке қа­ра­ма-қарс­ ы жіңішке жо­лақ ре­тін­де тұн­ а­тын 001
болғ­ ан. Ци­лин­ др­лер ω бұ­рыш­тық жылд­ амд­ ықп­ ен
ай­нал­ған кезд­ е, сыртқы цил­ и­ндр­атом­дар­ға екін­ші 1
ци­линдр­д­ ің қа­быр­ға­сы­на же­ту үшін қа­жет­ті t
уа­қыт ара­лы­ғын­да φ бұр­ ыш­қа бұр­ ы­ла­тын. Нә­ти­ 99-су­рет. Штерн тә­жір­ иб­ ес­ і
же­сін­де атом­дар ал­дың­ғы жо­лақ­тан S қа­шық­тықт­ а үшін құр­ ыл­ғы­ның сыз­бас­ ы
бұлыңғыр жол­ ақ­тар си­яқ­ты тұ­на­тын бол­ған. Екі
ци­ли­ндр ара­сын­да­ғы кү­міс атомдары қозғ­ ал­ ыс­ ы­
­ның орт­ а­ша жыл­дамд­ ы­ғын Штерн мына түрде
анық­та­ды:

98

υ= R −r (1)
t
АРМАН-ПВ баспасы
мұн­дағы R  − сырт­қы ци­линдр ра­диусы, r  − іш­кі

ци­лин­дрд­­ ің ра­диусы.

Кү­міс жо­лақ­тың ығысуын ци­ли­ндрд­ ің айн­ ал­ у

жыл­дамд­ ы­ғы ар­қы­лы өр­нек­тей­міз:

S = υцt = ωRt (2)

мұнд­ ағы υц– сырт­қы цил­ ин­ дрд­ ің айн­ ал­ уын­ ың сы­
зықт­ ық жылд­ амд­ ығ­ ы, Штерн атомд­ ард­ ың ци­лин-

др­лер арас­ ын­да ұшу уақ­ ыт­ ын анықт­ ағ­ ан:
s
t = wR От­то Штерн (1888−1969) – 
не­міс физ­ и­гі. 1923 жыл­дан
Осы өр­нект­ і (1) форм­ ул­ ағ­ а қойы­ п, мына форм­ у­ бас­тап Гамб­ ургт­ ег­і унив­ ер­
си­тет­тің физ­ и­ка-хим­ ия зерт­
ланы аламыз: υ = ωR (R − r ) (3) хан­ ас­ ын­ ың профессоры
және ди­рек­тор­ ы бол­ған.
s 1933   жыл­дан баст­ ап Питс­
R, r , ω жә­не S мәнд­ е­рі бел­гі­лі бол­ған­кезде, тәжіри- бургт­ ег­і (АҚШ) Кар­нег­и Тех­
но­ло­гиял­ ық инст­ ит­ ут­ ы­ның
бе жүзінде кү­міс атомд­ а­ры қоз­ға­лы­сы­ның орт­ аш­ а про­фес­ с­ ор­ ы. 1943  жылы
Штерн физ­ и­ка бойы­ н­ша Но­
жыл­дамд­ ы­ғы анықталды, ол 650 м/с-қа тең болд­ ы. бель сыйл­ ығ­ын ие­лен­ген.

V Мол­ е­ку­ла­лар ара­сын­да­ғы өза­ра Маңызды ақпарат
әрекеттесу күш­те­рі МКТ ІІІ
қағ­ ид­ а­сын­ ың дә­ле­лдемесі рет­ інд­ е Күр­дел­ і мо­ле­ку­ла­лард­ ың
мол­ ек­ у­лал­ ық масс­ а­лар­ ын
100-су­рет­те гра­фик­тер берілген: 1-граф­ ик – атом­ Менд­ ел­ еев кест­ е­сін
дар ара­сын­да­ теб­ і­лу күш­інің, 2-гра­фик  – атом­дар­ пайд­ а­ла­нып, ондағы эле­
дың тарт­ ы­лыс күш­і­нің олард­ ың арас­ ынд­ а­ғы арақ­ а­ мен­ттер­дің сал­ ыс­тыр­ма­лы
шық­тыққа­ тәуел­ді­лі­гі­не сәй­кес кел­ е­ді, 3-гра­фик  – атомд­ ық масс­ а­лар­ ын Ar қо­су
мо­ле­кул­ а­лық өзар­ а әрекеттесудің қор­ ыт­қы күш­ і. арқ­ ыл­ ы анықт­ айм­ ыз. Мыс­ а­
Гра­фикт­ ен r ≤ r0 болғ­ ан­да, теб­ іл­ у күшт­ ер­ ін­ ің, ал лы, суд­ ың мол­ е­ку­лал­ ық
r ≥ r0 болғ­ анд­ а тарт­ ы­лыс күшт­ е­рін­ ің бол­ ат­ ыны­ көр­ і­ масс­ ас­ ы (H2O): Mr (Н2О) =
не­ді. r = r0 арақаш­ ық­тық­та тарт­ ы­лыс және теб­ іл­ у 2Ar(Н)+Ar(О)≈ 2·1+16 = 18
күшт­ ер­ і тең бол­ ад­ ы, сонд­ ықт­ ан теңәсер­лі күш нөл­ге
тең: F = 0. F 3. Өзар­ а әрекеттесу кү­ші­

Күш­тің арақаш­ ық­тық­қа тәу­елд­ ілік граф­ иг­ і мо­ле­ 1. Тебілу күш­ і­
кул­ аа­ ралық күш мо­лек­ у­ла­лар­дың өл­шемд­ е­рін­ е сай
кел­ ет­ ін қа­шық­тықт­ ар­да пайда болатынын дәл­ ел­ 0 r0
дейд­ і. 2–3 мо­лек­ ул­ ан­ ың өл­шемі­н­ е тең қаш­ ық­тық­
тар­да мол­ ек­ ул­ ал­ ар ара­сын­да­ өза­ра әрекеттесу күш­ і
жоғ­ ал­ ып ке­тед­ і.

r

Жауабы қандай? 2. Тартылыс күш­ і­
1. Штерн тә­жіри­бе­сін­де құр­ ыл­ғы­нел­ ік­тен ва­куум­
100-сур­ ет. Атом­дар­дың өза­ра
дық кам­ ер­ а­ға ор­нал­ ас­тыр­ ыла­ды? әрекеттесу күш­ ін­ ің олард­ ың
2. Штерн тә­жі­ри­бе­сін­де айн­ а­ла­тын цил­ и­ндр­дің бе­ арас­ ын­дағ­ ы арақа­шықт­ ық­қа

ті­не тұ­нған кү­міс қаб­ ат­ ын­ ың қал­ ың­дығ­ы нел­ ікт­ ен тәуе­ лд­ іл­ ік граф­ и­гі
барлық жерде бірд­ ей емес?

99

Ба­қыл­ ау сұ­рақ­та­ры

1. Мо­лек­ ул­ алық-ки­нет­ и­кал­ ық тео­риян­ ың не­гіз­гі қа­ғи­дал­ ар­ ын тұ­жы­рым­даң­дар.
2. Қанд­ ай мас­са­ны са­лыс­тыр­мал­ ы мо­лек­ у­ла­лық деп атай­ды? Қанд­ ай мас­сан­ ы

мольдік деп атай­ды?
3. Мол­ е­ку­ла са­ны деп қан­дай шам­ ан­ ы ай­тад­ ы, оны нем­ ен өл­шейд­ і?
4. Штерн тәж­ і­ри­бе­сін­ ің мә­ні нед­ е?
5. Мо­лек­ у­ла­лық өза­ра әрекеттесу кү­штерінің қан­дай қас­ и­ет­те­рі бар?
АРМАН-ПВ баспасы
Жат­тығ­ у 17

1. Инерт­ті газ­дың 14,92·1025 мо­ле­кул­ а­сын­ ың масс­ ас­ ы 5 кг. Бұл қан­дай газ?

2. Ама­зон­ка са­ға­сынд­ а масс­ ас­ ы 62,3 кг ірі таз­ а ал­тын та­был­ған. Оның зат­

мөлш­ ер­ ін анықтаңдар. êã
ì3
3. Су­бет­ і­не та­мы­зылғ­ ан тығ­ ызд­ ы­ғы r = 920 , масс­ а­сы 0,023 мг ми­нер­ ал­ды

май­ тамш­ ы­сы құраған ауд­ а­ны 60 см2 бо­ла­тын қа­бықш­ ад­ ағ­ ы мол­ ек­ у­лал­ ар

бір қат­ ард­ а ор­нал­ ас­ қан деп, олар­дың диаметрлерін анықт­ аңд­ ар.
êã
4. Алю­мин­ ийд­ ің ты­ғызд­ ығ­ ы 2, 7 ×103 ì3 . 1 м3 алюм­ ин­ ийд­ е қанш­ а зат мөл­

шер­ і бар?

5. Асп­ ап­тың айн­ ал­ у жиіл­ іг­ і 150 с–1 бол­ғанда, Штерн тәж­ і­ри­бес­ інд­ е кү­міс
жұ­бы­ мол­ е­кул­ ал­ а­рын­ ың бұр­ ышт­ ық ығысуы 5,4° құ­ра­са, олар­дың жыл­
дамд­ ықт­ а­ры қан­дай бо­луы мүмк­ ін? Ішк­ і және сыртқ­ ы ци­линдр­ л­ ер ара­
сынд­ а­ғы ­қа­шықт­ ық 2 см.

Шы­ғарм­ аш­ ыл­ ық тап­сырм­ а (таңд­ ау бойы­ н­ша).

1. Мұ­най тан­кер­лер­ і мен мұ­найды тасымалдайтын құбырларда болғ­ ан апат­
тардың стат­ ис­ти­ка­сын зертт­ еңд­ ер. Ел­дер мен фир­ма­лар бойы­ нш­ а са­лыс­
тырм­ ал­ ы кес­те (диагр­ ам­ма, граф­ ик­тер) құр­ ыңд­ ар.

2. «Диф­фу­зи­яның та­биғ­ ат пен тех­ник­ ад­ а­ғы рөл­ і» тақ­ ыр­ ы­бынд­ а хабарла­ма
дайы­ нд­ аң­дар.

100