คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 ค 30203

ส่วนราชการ โรงเรียนพนมศึกษา บนั ทึกขอ้ ความ
ท่ี พิเศษ/2565
เรอื่ ง ขออนมุ ัตใิ ช้แผนการจัดการเรียนรู้ วนั ที่ 17 พฤษภาคม 2565

เรยี น ผู้อำนวยการโรงเรียนพนมศึกษา
สงิ่ ที่แนบมาด้วย แผนการจัดการเรยี นรู้ รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม 3 รหสั วิชา ค30203 ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เน่ืองด้วยข้าพเจ้านายอารม รกั สีทอง ตำแหนง่ ครู โรงเรียนพนมศึกษา ไดร้ บั มอบหมายให้ปฏิบัตหิ นา้ ที่
การสอนตามคำสั่งที่ 85/2565 เรื่องมอบหมายงานสอน ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 255 ซึ่งทางฝ่ายบริหารงาน
วิชาการได้มอบหมายให้ครูทุกคน จัดทำแผนการจัดการเรียนรู้อย่างน้อยคนละ 1 รายวิชาน้ัน ข้าพเจ้าได้ปฏิบัติงาน
สายการสอนประจำกลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ได้จัดทำแผนการจัดการเรียนรู้ ในรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม
3 รหัสวิชา ค30203 ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5

บัดนี้ ข้าพเจ้าได้ดำเนินการจัดทำแผนการจัดการเรียนรู้เป็นท่ีเรียบร้อยแล้ว จึงขออนุมัติใช้แผนการ
จัดการเรยี นรู้ดังกลา่ ว เพื่อใชใ้ นการจดั การเรยี นการสอนในชนั้ เรียน ให้เกิดประสทิ ธภิ าพสงู สดุ ตอ่ ไป

จึงเรียนมาเพอ่ื โปรดพิจารณาอนมุ ัติ

ลงช่อื
(นายอารม รกั สที อง)
ครู คศ.1

ลงชือ่ ลงชอื่
(นายศุภชยั เรืองเดช) ( นางณัฐิญา คาโส )

หัวหน้ากล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ หวั หนา้ กลุม่ บรหิ ารงานวิชาการ

ความคดิ เห็นผ้อู ำนวยการ
 อนุมตั ิ
 ไม่อนุมัติ .................................................................................................................................
ลงช่ือ
( นางผกา สามารถ )
ผอู้ ำนวยการโรงเรียนพนมศกึ ษา
........../......../...........

คณติ ศาสตร์เพิ่มเติม แผนการจดั การเรยี นรู้
ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5 รหัสวชิ า ค 30203
จำนวน 2 หน่วยการเรยี น
จำนวน 80 ช่วั โมง/ภาคเรียน
ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2565

การกำหนดการใชแ้ ผนจดั การเรียนรู้

รายการตรวจสอบและกลั่นกรองการใช้แผนจัดการเรยี นรู้

ความคิดเห็น ความคดิ เห็น

................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................
................................................................................... ...................................................................................

ลงช่อื ................................................. ลงชื่อ.................................................
(นายศภุ ชยั เรืองเดช) (นางสาวณัฐิญา คาโส)

หัวหน้ากลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ หัวหนา้ ฝ่ายบรหิ ารงานวิชาการ

.............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

ลงชื่อ.................................................
(นางผกา สามารถ)

ผ้อู ำนวยการโรงเรยี นพนมศกึ ษา

คำนำ

แผนการจัดการเรียนรู้ เป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งต่อการพัฒนาประสิทธิภาพการเรียนการสอน เพราะเป็น
เอกสารหลักสูตร ที่ใช้ในการบริหารงานของครูผู้สอนให้ตรงตามนโยบายในการปฏิรูปการศึกษา กำหนดไว้ในแผน
หลักคุณภาพการศึกษา สนองจุดประสงคแ์ ละคำอธิบายรายวชิ าของหลกั สูตร ในการบริหารงานวชิ าการถอื วา่ “แผน
จดั การเรียนร”ู้ เปน็ เอกสารทางวิชาการท่ีสำคัญที่สดุ ของครู เพราะในแผนจดั การเรียนรู้ประกอบดว้ ย

๑. การกำหนดเวลาเรียน กำหนดการสอน กำหนดการสอบ
๒. สาระสำคัญของเนือ้ หาวิชาทเ่ี รยี น
๓. จดุ ประสงค์การเรียนรู้
๔. กจิ กรรมการเรียนการสอน
๕. สอื่ และอุปกรณ์
๖. การวัดผลประเมนิ ผล
การจดั ทำแผนการจัดการเรียนรู้ ถอื ว่าเปน็ การสรา้ งผลงานทางวิชาการ เป็นผลงานท่ีแสดงถงึ ความชำนาญ
ในการสอนของครู เพราะครูใช้ศาสตร์ทุกสาขาอาชีพของครู เช่นการออกแบบ การสอน การจัดการ และการ
ประเมินผล ในการจัดทำแผนจดั การเรียนรู้นั้นจะทำใหเ้ กิดความมนั่ ใจในการสอนไดต้ รงจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ เพ่ิม
ประสิทธิภาพการเรียนการสอนในรายวิชาท่ีรับผิดชอบสูงขึ้น ทั้งยังเป็นข้อมูลในการนิเทศติดตามตรวจสอบและ
ปรบั ปรงุ การเรียนการสอนได้อย่างมรี ะบบและครบวงจร ยังผลใหค้ ุณภาพการศกึ ษาโดยรวมพฒั นาไปอยา่ งมที ศิ ทาง
บรรลุเปา้ หมายของหลักสตู ร

นายอารม รกั สีทอง
ครูผู้สอน

สารบัญ

เร่อื ง หนา้
กำหนดการใช้แผน
คำนำ
วเิ คราะหห์ ลักสตู ร

▪ คำอธิบายรายวิชา
▪ ตารางวเิ คราะห์รายวิชา
▪ โครงสร้างรายวิชา
วิเคราะห์ผูเ้ รียน
▪ ตารางวิเคราะห์ผู้เรียนดา้ นผลสมั ฤทธิ์
▪ แบบวเิ คราะหผ์ ู้เรยี นเป็นรายบุคคล/ความถนดั /ความสนใจ
การวัดผลประเมินผล
แผนการจดั การเรียนรู้
▪ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 1 การวดั ความยาวส่วนโค้ง และพิกดั ของจดุ ปลาย ส่วนโค้ง
▪ แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 2 คา่ ของฟังกช์ ันไซน์และฟงั กช์ ันโคไซน์
▪ แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 3 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติอื่น ๆ
▪ แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 4 ฟังกช์ ันตรโี กณมิตขิ องมมุ
▪ แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 5 การใชต้ ารางค่าฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ
▪ แผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 6 กราฟของฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
▪ แผนการจดั การเรียนรทู้ ่ี 7 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิตขิ องผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือ

มมุ
▪ แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 8 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องสองเท่า สามเท่า และครง่ึ เท่าของ

จำนวนจริง
▪ แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 9 ความสมั พนั ธ์ระหว่าง ผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟงั ก์ชนั

ตรโี กณมติ ิ
▪ แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 10 ตัวผกผันของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ
▪ แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 11 เอกลักษณต์ รีโกณมิติ และสมการตรีโกณมิติ
▪ แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 12 กฎของไซน์และโคไซน์

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 13 การหาระยะและความสูง
▪ แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 14 ระบบสมการเชิงเสน้

เรอื่ ง หน้า
▪ แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 15 เมทรกิ ซ์
▪ แผนการจดั การเรยี นรทู้ ี่ 16 เมทรกิ ซผ์ กผนั
▪ แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 17 ดเี ทอรม์ แิ นนต์
▪ แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 18 การใช้เมทรกิ ซ์แก้ระบบสมการเชิงเสน้
▪ แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 19 ระบบพกิ ัดฉากสามมิติ
▪ แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 20 เวกเตอร์
▪ แผนการจดั การเรยี นรูท้ ่ี 21 เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก
▪ แผนการจัดการเรยี นรทู้ ่ี 22 ผลคณู เชิงสเกลาร์
▪ แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 23 ผลคูณเชงิ เวกเตอร์
▪ แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 24 การนำเวกเตอร์ในสามมิติไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

คำอธบิ ายรายวชิ าเพ่ิมเตมิ

รายวชิ าคณิตศาสตร์เพม่ิ เตมิ 3 รหัสวิชา ค 30203 กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 เวลา 80 ช่ัวโมง จำนวน 2.0 หนว่ ยกิต

ศกึ ษาเก่ียวกบั ฟังก์ชันตรโี กณมิติ การวัดความยาวส่วนโคง้ และพกิ ดั ของจดุ ปลายส่วนโค้ง คา่ ของฟังก์ชนั ไซน์
และโคไซน์ ฟังก์ชันตรโี กณมิติอ่ืน ๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ กราฟของฟังก์ชัน
ตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิของสองเท่า สามเท่า
และครึ่งเท่าของจำนวนจริงหรือมุม ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ ตวั ผกผัน
ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ กฎของไซน์และโคไซน์ และการหาระยะทางและความสูง
ระบบสมการเชงิ เส้น การหาเมทริกซ์ผกผันของ 2 × 2 ดีเทอรม์ ิแนนต์ของเมทรกิ ซ์ n × n เม่ือ n เป็นจำนวนนับที่ไม่
เกินสาม และการใช้เมทรกิ ซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น ระบบพิกัดฉากสามมิติ เวกเตอร์ เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉาก ผล
คูณเชงิ สเกลาร์ ผลคูณเชงิ เวกเตอร์ และการนำเวกเตอร์ในสามมิติไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

โดยการจดั ประสบการณห์ รอื สรา้ งสถานการณ์ในชีวิตประจำวันที่ใกล้ตัวให้ผู้เรียนได้ศกึ ษา ค้นคว้า ฝึกทักษะ
โดยการปฏิบัติจริง ทดลอง สรุป รายงาน เพื่อพัฒนาทักษะ กระบวนการในการคิดคำนวณ การแก้ปัญหา การให้
เหตผุ ล การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และนำประสบการณ์ด้านความรู้ ความคดิ ทักษะและกระบวนการที่ไดไ้ ป
ใช้ในการเรยี นรู้ส่ิงตา่ ง ๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอยา่ งสร้างสรรค์

เพื่อให้เห็นคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ สามารถทำงานได้อย่างเป็นระบบ มีระเบียบ รอบคอบ มี
ความรบั ผิดชอบ มวี จิ ารณญาณ มีความคิดรเิ ริม่ สร้างสรรค์ และมคี วามเชอ่ื ม่ันในตนเอง

ผลการเรยี นรู้
1. เขา้ ใจฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิและลักษณะกราฟของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ และนำไปใช้ในการแก้ปญั หา
2. แกส้ มการตรีโกณมติ ิ และนำไปใชใ้ นการแก้ปัญหา
3. ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ในการแก้ปัญหา
4. เข้าใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทริกซ์ การคณู เมทรกิ ซก์ ับจำนวนจรงิ การคูณระหวา่ ง
เมทริกซ์ และหาเมทริกซ์สลบั เปลยี่ น หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ n × n เมอื่ n เป็นจำนวนนบั ท่ไี มเ่ กิน

สาม
5. หาเมทรกิ ซผ์ กผนั ของเมทริกซ์ 2 × 2
6. แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มทรกิ ซผ์ กผัน และการดำเนินการตามแถว

7. หาผลลัพธข์ องการบวก การลบเวกเตอร์ การคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ หาผลคณู เชิงสเกลาร์ และผลคูณ
เชงิ เวกเตอร์

8. นำความรู้เกยี่ วกับเวกเตอร์ในสามมิติไปใช้ในการแกป้ ญั หา
รวม 8 ผลการเรยี นรู้

โครงสรา้ งรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ ช้ัน ม.5

ลำดับท่ี ชือ่ หน่วยการเรยี นรู้ ผลการเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา (ชม.)

1 ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ 1. เข้าใจฟงั กช์ นั ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ประกอบด้วยฟังก์ชัน 40
ตรโี กณมติ ิและ ไซน์และโคไซน์ ค่าของฟังก์ชันไซน์และ 20
ลกั ษณะกราฟ โคไซน์ ฟังก์ชันตรีโกณ มิติอ่ืน ๆ ท่ีมี

ของฟังกช์ นั ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ตรโี กณมติ ิและ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม การใช้ตารางค่า
นำไปใช้ในการ ฟังก์ชันตรีโกณมิติในการหาค่าของฟังก์ชัน
แก้ปญั หา ตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของสองเท่า
2. แกส้ มการ สามเท่า และครึ่งเท่าของจำนวนจริงหรือ

ตรีโกณมติ ิและ มุมความสัมพันธ์ของผลบวกผลต่าง และ

นำไปใช้ในการ ผลคณู ของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ ตัวผกผันของ
แกป้ ัญหา ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เอกลักษณ์และสมการ
3. ใชก้ ฎของ ตรีโกณมิติ กฎของโคไซน์และไซน์ การใช้
โคไซน์และกฎ ความรเู้ กี่ยวกบั ฟังกช์ ันตรีโกณมิติในการหา

ของไซน์ในการ ระยะทางและความสงู

แกป้ ญั หา

2 เมทรกิ ซ์ 1. เขา้ ใจ เมทริกซ์ คือ ชุดของจำนวนซ่ึงเขียน
ความหมาย เรียงกัน m แถว (row) n หลัก (column)
หาผลลัพธ์ของ เม่ือ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวกภายใน
การบวกเมท เครื่องหมายวงเล็บ เมทริกซ์จะเท่ากัน ก็
ริกซ์ การคณู ต่อ เม่ือ มีมิติเดียวกั น และสมาชิก ใน
เมทริกซ์กับ ตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน และเมทริกซ์จะ
จำนวนจริง บวกกัน เมทริกซ์แถวและหลักสลับกัน จะ
การคูณ เรียกว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน การบวกเมท
ระหวา่ งเมท ริกซ์ทำได้โดยพิจารณามิติของเมทริกซ์ว่า
ริกซ์ และการ เป็นมิติเดียวกัน เมื่อมีมิติเดียวกันให้นำ
หาเมทรกิ ซ์ สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมาบวกกัน การ
สลบั เปล่ยี นหา คูณกันของเมทรกิ ซด์ ว้ ยคา่ คงตัวทำไดโ้ ดย
ดเี ทอรม์ แิ นนต์

ลำดับท่ี ชื่อหนว่ ยการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ สาระสำคญั เวลา (ชม.)

ของเมทริกซ์ นำคา่ คงตวั ไปคูณกับสมาชิกแตล่ ะตวั ใน

n x n เมื่อ n เมทริกซ์ และการคณู เมทรกิ ซ์ A เมทรกิ ซ์

เป็นจำนวนนับ B จะคูณกนั ได้ ก็ต่อเมื่อ จำนวนหลกั ของ
ท่ไี ม่เกนิ สาม A เทา่ กบั จำนวนแถวของ B
2. หาเมทรกิ ซ์
ผกผันของ กำหนด A เป็น n × n เมทรกิ ซ์ ถ้า
เมทริกซ์ 2 x 2 B เปน็ n × n ที่มสี มบัตวิ า่ AB = BA =

3. แก้ระบบ In แลว้ จะเรยี ก B วา่ เป็นเมทรกิ ซผ์ กผนั

สมการเชิงเสน้ ของ A และเขยี น B ดว้ ย A−1

โดยใช้เมทริกซ์ ถา้ A = [ac db] และ ad − cb ≠
ผกผนั และการ 0 แลว้ A มีเมทริกซ์ผกผันและ A−1 =
ดำเนนิ การตาม
1 [−dc −ab]
แถว ad−bc

ดเี ทอรม์ แิ นนตจ์ ะหาได้ 2 วิธี ไดแ้ ก่

การใชบ้ ทนิยามโดยการกระจายตามแถว

หรอื กระจายตามหลัก และการการตอ่

หลกั ที่ 1 และ 2 แล้วคณู ทแยง สำหรบั

3 × 3 เมทริกซ์ และการหาเมทริกซ์ผกู พัน
หาไดโ้ ดยการหาเมทรกิ ซส์ ลับเปลี่ยนของ

เมทรกิ ซต์ ัวประกอบร่วมเกีย่ ว

การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มท
ริกซ์ ซ่ึงมีหลายวิธี ได้แก่ การแก้ระบบ
สมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน การ
แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของครา
เมอร์ และการแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ โดย
ใชก้ ารดำเนินการตามแถว

ลำดบั ท่ี ชอ่ื หน่วยการเรยี นรู้ ผลการเรยี นรู้ สาระสำคญั เวลา (ชม.)
20
3 เวกเตอรใ์ นสามมติ ิ 1. หาผลลัพธข์ อง เวกเตอร์ หรือ ปริมาณเวกเตอร์ เป็น

การบวก การ ปริมาณท่ีมีท้ังขนาดและทิศทาง ส่วน

ลบเวกเตอร์ ปริมาณท่ีมีแต่ขนาดอย่างเดียว จะเรียกว่า

การคูณ ปริมาณมาณสเกลาร์ ซ่ึงเวกเตอร์สามารถ
เวกเตอรด์ ้วย ดำเนินการบวก ลบ เวกเตอรไ์ ด้ โดยอาศัย
สเกลาร์ หาผล บทนิยามการบวก ลบเวกเตอร์ท่ีไดม้ าจาก
คูณเชิงสเกลาร์
และผลคูณเชงิ บทนิยามการเท่ากันของเวกเตอร์ หรือจะ
เวกเตอร์ ใช้อีกวิธีการหนึ่งท่ีเรียกว่า กฏของรูป

2.นำความรู้ ส่ีเหล่ียมด้านขนานก็ได้ อีกทั้งการคูณ
เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ จะใช้แนวคิดจาก
เกย่ี วกบั
เวกเตอรใ์ น การบวกเวกเตอร์ ซึง่ เปน็ เวกเตอร์ทเ่ี ทา่ กัน

สามมิติไปใช้ ผลคูณเชิงสเกลาร์ คือ ผลคูณของ

ในการ เวกเตอร์ท่ีได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ส่วนผล

แกป้ ญั หา คูณเชิงเวกเตอร์ คือ ผลคูณของเวกเตอร์

สองเวกเตอรท์ ่ีได้ผลลัพธเ์ ปน็ เวกเตอร์ โดย

เวกเตอร์ท่ีเป็นผลลัพธ์นี้จะต้องต้ังฉากกับ

เวกเตอร์ทั้งสอง

โครงสรา้ งแผนการจดั การเรยี นรู้ ร

หนว่ ยการเรยี นรู้ แผนการจดั การเรียนรู้ แนวคดิ /รปู แบบการสอน/
วิธีการสอน/เทคนคิ

1. ฟงั ก์ชนั ตรีโกณ แผนท่ี 1 การวัดความยาวสว่ นโคง้ แบบนิรนยั 1. ทกั ษ
มติ ิ และพิกัดของจดุ ปลาย ค้นห
สว่ นโค้ง
2. ทกั ษ
ความ

แผนที่ 2 ค่าของฟังก์ชนั ไซน์และ แบบอปุ นยั 1. ทักษ
ฟังกช์ ันโคไซน์ ค้นห

แผนที่ 3 ฟงั กช์ ันตรีโกณมิตอิ ่ืน ๆ แบบนริ นัย 2. ทกั ษ
ความ

1. ทกั ษ
ค้นห

2. ทกั ษ
ความ

รายวชิ า คณติ ศาสตร์ เพ่มิ เติม ม.5

เวลา 80 ชัว่ โมง

ทกั ษะทไี่ ด้ การประเมิน เวลา
(ชวั่ โมง)
ษะการสำรวจ 1. ตรวจใบงานที่ 1.1 เร่ือง การหาตำแหนง่ ของจดุ ปลายสว่ นโคง้
หา ของวงกลมหน่ึงหนว่ ย 2
ษะการประยุกตใ์ ช้
มรู้ 2. ประเมินการนำเสนอผลงาน 5
3. สังเกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล
ษะการสำรวจ 4. สังเกตความมีวินัย ใฝเ่ รยี นรู้ มุ่งมน่ั ในการทำงาน 3
หา 1. ตรวจแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรท์ ี่ 1.2
ษะการประยุกตใ์ ช้
มรู้ 2. ตรวจ Exercise ท่ี 1.2

ษะการสำรวจ 3. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบุคคล
หา 4. สังเกตความมวี ินยั ใฝเ่ รยี นรู้ มงุ่ ม่ันในการทำงาน
ษะการประยกุ ตใ์ ช้ 1. ตรวจแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ท่ี 1.3
มรู้
2. ตรวจ Exercise ที่ 1.3

3. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบุคคล
4. สังเกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม
5. สังเกตความมีวินัย ใฝ่เรียนรู้ มุง่ มัน่ ในการทำงาน

หนว่ ยการเรยี นรู้ แผนการจัดการเรยี นรู้ แนวคดิ /รปู แบบการสอน/
วธิ กี ารสอน/เทคนคิ

แผนที่ 4 ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิของมุม แบบ Concept Based 1. ทักษ
Teaching ค้นห

2. ทกั ษ
ความ

แผนท่ี 5 การใช้ตารางค่าฟงั กช์ นั แบบ Concept Based 1. ทักษ
ตรโี กณมติ ิ Teaching ค้นห

2. ทักษ
ความ

ทักษะทไี่ ด้ การประเมนิ เวลา
(ช่วั โมง)

ษะการสำรวจ 1. ตรวจแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ท่ี 1.4 3
หา 2
ษะการประยกุ ตใ์ ช้ 2. ตรวจ Exercise ท่ี 1.4
มรู้ 3. ตรวจใบงานท่ี 1.2 เรือ่ ง การหาค่าของ tanθ, cotθ, secθ

ษะการสำรวจ และ cosecθ เมือ่ ทราบคา่ ของมุม
หา
ษะการประยุกตใ์ ช้ 4. ประเมนิ การนำเสนอผลงาน
มรู้ 5. สังเกตพฤติกรรมการทำงานรายบคุ คล
6. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานกล่มุ
7. สงั เกตความมวี ินัย ใฝ่เรียนรู้ มงุ่ มน่ั ในการทำงาน
1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตรท์ ่ี 1.5

2. ตรวจ Exercise ท่ี 1.5
3. ตรวจใบงานท่ี 1.3 เรือ่ ง การใช้ตารางค่าฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ

4. ประเมินการนำเสนอผลงาน
5. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
6. สังเกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม
7. สงั เกตความมวี ินยั ใฝ่เรียนรู้ มงุ่ ม่นั ในการทำงาน

หนว่ ยการเรยี นรู้ แผนการจดั การเรียนรู้ แนวคดิ /รูปแบบการสอน/
วิธกี ารสอน/เทคนคิ

แผนที่ 6 กราฟของฟงั ก์ชัน แบบ Concept Based 1. ทักษ
ตรโี กณมติ ิ Teaching คน้ ห

2. ทักษ
ความ

แผนที่ 7 ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ อง แบบ Concept Based 1. ทักษ
ผลบวกและผลตา่ งของ Teaching คน้ ห
จำนวนจริงหรือมุม
2. ทกั ษ
ความ

แผนท่ี 8 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตขิ อง แบบ Concept Based ทักษะก
สองเทา่ สามเท่า และ Teaching
ครึ่งเทา่ ของจำนวนจรงิ

ทกั ษะทีไ่ ด้ การประเมิน เวลา
(ชั่วโมง)
ษะการสำรวจ 1. ตรวจแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ที่ 1.6
หา 3
ษะการประยุกตใ์ ช้ 2. ตรวจ Exercise ท่ี 1.6
มรู้ 3
3. ประเมนิ การนำเสนอผลงาน
ษะการสำรวจ 4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล 3
หา 5. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลมุ่
ษะการประยกุ ตใ์ ช้ 6. สงั เกตความมวี ินัย ใฝ่เรยี นรู้ มงุ่ มัน่ ในการทำงาน
มรู้ 1. ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตรท์ ่ี 1.7

การสำรวจคน้ หา 2. ตรวจ Exercise ที่ 1.7

3. ประเมินการนำเสนอผลงาน
4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
5. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม
6. สงั เกตความมีวินัย ใฝ่เรียนรู้ มงุ่ มั่นในการทำงาน
1. ตรวจแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ที่ 1.8

2. ตรวจ Exercise ที่ 1.8

3. ประเมินการนำเสนอผลงาน
4. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล
5. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานกลมุ่
6. สงั เกตความมีวินัย ใฝเ่ รยี นรู้ มุ่งมนั่ ในการทำงาน

หนว่ ยการเรยี นรู้ แผนการจัดการเรียนรู้ แนวคิด/รปู แบบการสอน/
วธิ กี ารสอน/เทคนิค
แผนที่ 9 ความสมั พันธ์ระหว่าง
ผลบวก ผลตา่ ง และผลคูณ แบบ Concept Based ทกั ษะก
ของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ Teaching

แผนท่ี 10 ตวั ผกผันของฟังก์ชัน แบบนริ นัย 1. ทกั ษ
ตรีโกณมติ ิ 2. ทักษ

ใชค้ ว

แผนท่ี 11 เอกลักษณต์ รีโกณมติ ิ แบบ Concept Based 1. ทักษ
และสมการตรโี กณมิติ Teaching 2. ทกั ษ

ใชค้ ว

ทกั ษะทไ่ี ด้ การประเมิน เวลา
(ชัว่ โมง)
การสำรวจคน้ หา 1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตรท์ ่ี 1.9
3
ษะการเชื่อมโยง 2. ตรวจ Exercise ที่ 1.9
ษะการประยุกต์ 4
วามรู้ 3. ประเมินการนำเสนอผลงาน
4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบุคคล 3
ษะการเชอื่ มโยง 5. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานกลมุ่
ษะการประยกุ ต์ 6. สังเกตความมีวินยั ใฝ่เรียนรู้ มงุ่ มัน่ ในการทำงาน
วามรู้ 1. ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ที่ 1.10

2. ตรวจ Exercise ท่ี 1.10

3. ประเมินการนำเสนอผลงาน
4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
5. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุม่
6. สงั เกตความมีวินัย ใฝ่เรียนรู้ ม่งุ ม่นั ในการทำงาน
1. ตรวจแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ที่ 1.11

2. ตรวจ Exercise ท่ี 1.11

3. ประเมินการนำเสนอผลงาน
4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
5. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานกล่มุ
6. สงั เกตความมีวินยั ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งมั่นในการทำงาน

หน่วยการเรียนรู้ แผนการจัดการเรียนรู้ แนวคดิ /รปู แบบการสอน/
วิธกี ารสอน/เทคนิค

แผนที่ 12 กฎของไซนแ์ ละโคไซน์ แบบ Concept Based 1. ทกั ษ
Teaching 2. ทกั ษ

ใช้คว

แผนที่ 13 การหาระยะและความสงู แบบนริ นยั 1. ทกั ษ
2. ทกั ษ
2. เมทริกซ์ แผนท่ี 1 ระบบสมการเชงิ เสน้ แบบนิรนยั
แก้ป
3. ทักษ

ความ

1. ปรบั
2. ทักษ
3. ทกั ษ

แกป้

ทักษะที่ได้ การประเมิน เวลา
(ชั่วโมง)
ษะการเชื่อมโยง 1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตรท์ ่ี 1.12
3
ษะการประยุกต์ 2. ตรวจ Exercise ที่ 1.12
3
วามรู้ 3. ประเมนิ การนำเสนอผลงาน
2
4. สังเกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

5. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม

6. สงั เกตความมวี ินยั ใฝ่เรียนรู้ มุง่ มั่นในการทำงาน

ษะการเชอ่ื มโยง 1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตรท์ ี่ 1.13

ษะกระบวนการคดิ 2. ตรวจ Exercise ที่ 1.13

ปญั หา 3. ประเมินการนำเสนอผลงาน
ษะการประยกุ ตใ์ ช้ 4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบุคคล
มรู้ 5. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม

6. สงั เกตความมวี ินยั ใฝเ่ รยี นรู้ มงุ่ มน่ั ในการทำงาน

บโครงสร้าง 1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตรท์ ี่ 2.1

ษะการตคี วาม 2. ตรวจ Exercise ท่ี 2.1

ษะกระบวนการคดิ 3. สังเกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล

ปญั หา 4. สังเกตพฤติกรรมการทำงานกลมุ่

5. สังเกตความมีวินัย ใฝเ่ รียนรู้ มงุ่ มนั่ ในการทำงาน

หนว่ ยการเรยี นรู้ แผนการจัดการเรียนรู้ แนวคดิ /รปู แบบการสอน/
วิธกี ารสอน/เทคนิค

แผนที่ 2 เมทรกิ ซ์ แบบนริ นยั 1. ทักษ
เปรีย

2.ทักษะ
3. ทักษ

แผนท่ี 3 เมทริกซผ์ กผนั แบบ Concept Based 1. ทกั ษ
Teaching 2. ทกั ษ
แผนท่ี 4 ดีเทอรม์ ิแนนต์
แบบนิรนัย โครง
3. ทกั ษ
4. ทกั ษ

คิดแ
1. ทักษ

โครง
3. ทักษ
4. ทกั ษ

คิดแ

ทกั ษะทไี่ ด้ การประเมนิ เวลา
(ช่วั โมง)
ษะการ 1. ตรวจแบบฝึกทักษะคณิตศาสตรท์ ี่ 2.2
ยบเทยี บ 5
ะการเช่อื มโยง 2. ตรวจ Exercise ท่ี 2.2
ษะการให้เหตุผล 4
3. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
ษะการเชือ่ มโยง 4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานกลุ่ม 4
ษะการปรบั 5. สงั เกตความมีวินยั ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งม่นั ในการทำงาน
งสรา้ ง 1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตรท์ ี่ 2.3
ษะการตีความ
ษะกระบวนการ 2. ตรวจ Exercise ที่ 2.3
แกป้ ญั หา
ษะการปรบั 3. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบุคคล
งสร้าง 4. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลมุ่
ษะการตคี วาม 5. สงั เกตความมีวินยั ใฝ่เรยี นรู้ มุง่ มน่ั ในการทำงาน
ษะกระบวนการ
แก้ปัญหา 1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ที่ 2.4

2. ตรวจ Exercise ท่ี 2.4

3. ตรวจใบงานที่ 2.2 เรือ่ ง ดเี ทอร์มิแนนต์ 3×3
4. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล
5. สังเกตพฤติกรรมการทำงานกล่มุ
6. สงั เกตความมวี ินัย ใฝเ่ รยี นรู้ มงุ่ มั่นในการทำงาน

หนว่ ยการเรียนรู้ แผนการจัดการเรยี นรู้ แนวคิด/รูปแบบการสอน/
วิธีการสอน/เทคนคิ

แผนที่ 5 การใช้เมทรกิ ซ์แกร้ ะบบ แบบนิรนยั 1. ทักษ
สมการเชงิ เส้น โครง

3. ทักษ
4. ทักษ

คิดแ

3. เวกเตอรใ์ นสาม แผนท่ี 1 ระบบพิกดั ฉากสามมติ ิ แบบ Concept Based 1. ทักษ
มติ ิ Teaching 2. ทกั ษ

แผนที่ 2 เวกเตอร์ แบบอปุ นยั 1. ทกั ษ
ประเ

2. ทกั ษ

ทกั ษะท่ีได้ การประเมนิ เวลา
(ชว่ั โมง)
ษะการปรับ 1. ตรวจแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรท์ ่ี 2.5
งสร้าง 5
ษะการตีความ 2. ตรวจ Exercise ที่ 2.5
ษะกระบวนการ 2
แกป้ ญั หา 3. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล
ษะการเชือ่ มโยง 4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานกลมุ่ 5
ษะการคดิ คลอ่ ง 5. สงั เกตความมวี ินัย ใฝเ่ รียนรู้ มงุ่ มัน่ ในการทำงาน

ษะการจำแนก 1. ตรวจแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ที่ 3.1
เภท
ษะการคิดคลอ่ ง 2. ตรวจ Exercise ที่ 3.1

3. ตรวจใบงานท่ี 3.1 เรอื่ ง ระยะทางระหวา่ งจดุ สองจุดในระบบ
พิกดั ฉากสามมติ ิ

4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบุคคล
5. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานกลมุ่
6. สังเกตความมีวินัย ใฝ่เรยี นรู้ มงุ่ มั่นในการทำงาน
1. ตรวจแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรท์ ี่ 3.2

2. ตรวจ Exercise ที่ 3.2

3. ตรวจใบงานที่ 3.2 เรอ่ื ง ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์
4. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
5. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม
6. สงั เกตความมีวินยั ใฝ่เรียนรู้ มงุ่ มน่ั ในการทำงาน

หนว่ ยการเรยี นรู้ แผนการจดั การเรียนรู้ แนวคดิ /รูปแบบการสอน/
แผนทื่ 3 เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก วิธกี ารสอน/เทคนคิ

แบบ Concept Based 1. ทักษ
Teaching 2. ทกั ษ
3. ทักษ

คิดแ

แผนท่ี 4 ผลคณู เชิงสเกลาร์ แบบ Concept Based ทักษะก
Teaching แกป้ ญั ห

แผนท่ี 5 ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ แบบ Concept Based ทักษะก
Teaching

ทกั ษะทีไ่ ด้ การประเมิน เวลา
ษะการเชื่อมโยง (ช่วั โมง)
ษะการคดิ คลอ่ ง 1. ตรวจแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรท์ ่ี 3.3
ษะกระบวนการ 5
แก้ปญั หา 2. ตรวจ Exercise ที่ 3.3
3
กระบวนการคิด 3. ตรวจใบงานท่ี 3.3 เรอื่ ง ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
หา สองมติ แิ ละสามมิติ 3

การเชอื มโยง 4. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบคุ คล
5. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานกลมุ่
6. สังเกตความมีวินัย ใฝ่เรยี นรู้ ม่งุ ม่นั ในการทำงาน
1. ตรวจแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตรท์ ี่ 3.4

2. ตรวจ Exercise ที่ 3.4

3. ตรวจใบงานท่ี 3.4 เร่อื ง ผลคณู เชิงสเกลาร์
4. สังเกตพฤติกรรมการทำงานรายบุคคล
5. สงั เกตพฤตกิ รรมการทำงานกลุ่ม
6. สงั เกตความมีวินัย ใฝ่เรียนรู้ มุ่งมัน่ ในการทำงาน
1. ตรวจแบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตรท์ ี่ 3.5

2. ตรวจ Exercise ที่ 3.5

3. ตรวจใบงานที่ 3.5 เรื่อง ผลคูณเชิงเวกเตอร์
4. สังเกตพฤตกิ รรมการทำงานรายบคุ คล
5. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานกลุ่ม
6. สงั เกตความมวี ินยั ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งม่ันในการทำงาน

หนว่ ยการเรยี นรู้ แผนการจัดการเรยี นรู้ แนวคดิ /รูปแบบการสอน/
วธิ กี ารสอน/เทคนคิ
แผนท่ื 6 การนำเวกเตอร์ในสามมิติ
ไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา แบบ Concept Based 1. ทกั ษ
Teaching 2. ทักษ
3. ทักษ

คดิ แ

ทักษะท่ไี ด้ การประเมนิ เวลา
(ชั่วโมง)
ษะการเชอื่ มโยง 1. ตรวจแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตรท์ ่ี 3.3
ษะการคิดคล่อง 2
ษะกระบวนการ 2. ตรวจ Exercise ที่ 3.3
แก้ปัญหา
3. ตรวจใบงานที่ 3.3 เรือ่ ง ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก
สองมติ แิ ละสามมติ ิ

4. สงั เกตพฤติกรรมการทำงานรายบคุ คล
5. สังเกตพฤติกรรมการทำงานกลุม่
6. สังเกตความมีวินยั ใฝ่เรยี นรู้ มุ่งมัน่ ในการทำงาน

โรงเรียนพนมศกึ ษา
ตารางวิเคราะห์ผู้เรียนดา้ นผลสมั ฤทธิท์ างการเรียน

วัตถปุ ระสงค์ 1. เพื่อนำไปออกแบบการเรียนรู้ ให้สอดคลอ้ งกับความสามารถของนกั เรียน
2. เพอื่ เปน็ แนวทางในการแกไ้ ขปัญหาและพัฒนาผ้เู รียนด้านผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียน

กล่มุ สาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ รายวิชา คณิตศาสตร์ รหสั วิชา ค 30203
ภาคเรียนท่ี 1/2565 ชอ่ื ผู้สอน นายอารม รักสีทอง

สรปุ ผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรียนพ้นื ฐานทใี่ ช้ในการเรียนวิชาน้ี

ระดบั คุณภาพของ GPA ของกลมุ่ จำนวนคน รอ้ ยละ
ผลสัมฤทธิ์ทางการเรยี น
ต่ำกว่า 2.00
ปรบั ปรุง 2.00 – 2.50
พอใช้ สงู กวา่ 2.50

ดี

ผลสัมฤทธ์ิ ร้อยละ แนวทางการจัดกิจกรรม จำนวน เครอื่ งมอื /วธิ กี าร
ทางการ เดิม เป้าหมาย ประเมนิ
เรยี น กจิ กรรมแกไ้ ขหรอื พฒั นาในแผนการ
เรียนรู้

ดี

ปรบั ปรงุ

แบบวเิ คราะห์นกั เรียนเป็นรายบคุ คล

เกี่ยวกบั ความถนัด / ความสนใจ / รายวิชา คณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ 3

ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 5 ห้อง 1

เลขท่ี ช่อื – สกลุ ระดบั ความถนัด / ความสนใจ หมายเหตุ
3210

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

เลขท่ี ชือ่ – สกลุ ระดบั ความถนัด / ความสนใจ หมายเหตุ
3210
27
28
29
30
31
32

การวัดผลประเมนิ ผล

การวัดและประเมินผลการเรียนรู้ตามกลุ่มสาระการเรียนรู้ / รายวิชา ในแต่ละตัวช้ีวัดชั้นปี ซ่ึงสถานศึกษา
วิเคราะห์จากมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วัด การประเมินสาระการเรียนรู้รายวิชา ให้ตัดสินผลการประเมินเป็น
ระดับผลการเรยี น ๘ ระดับ ดังน้ี

คะแนน ๘๐ – ๑๐๐ ระดบั ผลการเรยี น “๔” หมายถงึ ผลการเรียนดีเยี่ยม
คะแนน ๗๕ – ๗๙ ระดับผลการเรียน “๓.๕” หมายถงึ ผลการเรียนดีมาก
คะแนน ๗๐ – ๗๔ ระดบั ผลการเรียน “๓” หมายถึง ผลการเรยี นดี
คะแนน ๖๕ – ๖๙ ระดับผลการเรียน “๒.๕” หมายถงึ ผลการเรยี นคอ่ นขา้ งดี
คะแนน ๖๐ – ๖๔ ระดบั ผลการเรยี น “๒” หมายถึง ผลการเรียนปานกลาง
คะแนน ๕๕ – ๕๙ ระดับผลการเรยี น “๑.๕” หมายถงึ ผลการเรียนพอใช้
คะแนน ๕๐ – ๕๔ ระดบั ผลการเรียน “๑” หมายถึง ผลการเรยี นผา่ นเกณฑ์การประเมนิ ขน้ั ตำ่
คะแนน ๐ - ๔๙ ระดบั ผลการเรียน “๐” หมายถงึ ผลการเรียนตำ่ กวา่ เกณฑ์การประเมนิ
ในกรณีท่ีไมส่ ามารถให้ระดับผลการเรียนเปน็ ๘ ระดบั ไดใ้ หใ้ ชต้ ัวอกั ษร ระบุเงื่อนไขของผลการเรียน ดังนี้
“มส” หมายถงึ ผู้เรยี นไม่มีสทิ ธ์เิ ขา้ รับการวัดผลปลายภาคเรียน เนอ่ื งจากผเู้ รยี นมเี วลาไมถ่ ึง

ร้อยละ ๘๐ ของเวลาเรียนในแตล่ ะรายวชิ า และไมไ่ ดร้ บั การผ่อนผันใหเ้ ข้ารับ
การวดั ผลปลายภาคเรียน
“ร” หมายถงึ รอการตดั สินและยังตัดสินผลการเรยี นไมไ่ ด้ เนือ่ งจากผเู้ รียนไม่มีขอ้ มูลการ
เรยี นรายวชิ าน้ันครบถว้ น ได้แก่ ไม่ไดว้ ัดผลกลางภาคเรยี น/ปลายภาคเรียน
ไมไ่ ด้สง่ งานทม่ี อบหมายให้ทำ ซึ่งงานน้ันเปน็ ส่วนหนึง่ ของการตัดสินผลการ
เรยี น หรือมเี หตสุ ุดวิสัยทีท่ ำใหป้ ระเมินผลการเรียนไมไ่ ด้
การประเมินการอ่าน คิดวิเคราะห์และเขียน และคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์นนั้ ใหร้ ะดับผลการประเมนิ
เป็น ดเี ยี่ยม ดี และผ่าน
ดีเย่ียม หมายถงึ มีผลงานทแ่ี สดงถงึ ความสามารถในการอ่าน คิดวเิ คราะหแ์ ละ เขยี นท่มี ี
คุณภาพดีเลิศอยู่เสมอ
ดี หมายถึง มผี ลงานที่แสดงถงึ ความสามารถในการอ่าน คิดวเิ คราะห์และเขยี นทมี่ ี
คณุ ภาพเป็นทยี่ อมรับ
ผ่าน หมายถงึ มผี ลงานท่แี สดงถึงความสามารถในการอ่าน คิดวิเคราะห์และเขยี นทมี่ ี
คณุ ภาพเป็นท่ยี อมรับ แต่ยงั มขี อ้ บกพรอ่ งบาง ประการ
ไม่ผ่าน หมายถึง ไม่มผี ลงานที่แสดงถงึ ความสามารถในการอา่ น คิดวเิ คราะหแ์ ละเขียน หรอื ถ้า
มผี ลงาน ผลงานนนั้ ยงั มขี อ้ บกพรอ่ งท่ีต้องได้รับการปรบั ปรงุ แก้ไขหลาย
ประการ

แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 1

การวัดความยาวส่วนโคง้ และพิกดั ของจุดปลายสว่ นโคง้

เวลา 2 ชว่ั โมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) เขา้ ใจฟังก์ชนั ตรีโกณมิติและลกั ษณะกราฟของฟงั กช์ ันตรีโกณมิติและ นำไปใช้ในการแกป้ ญั หา

2) แก้สมการตรโี กณมติ แิ ละนำไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

3) ใช้กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์ในการแกป้ ัญหา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) บอกวิธกี ารหาความยาวส่วนโค้งและพกิ ดั ของจดุ ปลายสว่ นโคง้ ได้ (K)

2) แสดงการหาความยาวสว่ นโคง้ และพกิ ัดของจดุ ปลายสว่ นโค้งได้ (P)

3) รบั ผิดชอบต่อหน้าท่ีท่ไี ด้รับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรยี นรู้เพิ่มเตมิ สาระการเรยี นร้ทู อ้ งถิ่น

ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

4. สาระสำคญั /ความคิดรวบยอด

ถ้า θ > 0 ให้วัดจากจุด (1, 0) ไปบนส่วนโค้งของวงกลมหน่ึงหน่วยไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเป็นระยะ

θ หนว่ ย หรือ วัดในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา θ มีค่าเปน็ บวก

ถ้า θ < 0 ใหว้ ัดจากจดุ (1, 0) ไปบนส่วนโค้งของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยไปในทศิ ทางตามเขม็ นาฬกิ าเป็นระยะ
|θ| หน่วย(ระยะทางเป็นบวกเสมอ) หรอื วัดในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา θ เปน็ ลบ
5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รยี นและคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รยี น คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการส่อื สาร 1. มีวินัย
2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
3. มงุ่ มน่ั ในการทำงาน
1) ทกั ษะการสำรวจ ค้นหา

2) ทกั ษะการประยกุ ตใ์ ช้ความรู้

3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนิค : นิรนัย (Deductive Method)

ชวั่ โมงท่ี 1

ขน้ั นำ

ข้ันเตรยี ม
1. ครูกลา่ วทกั ทายนกั เรียน และแจ้งจุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ให้นักเรยี นทราบ หลงั จากนัน้ ครถู ามคำถาม

หนา้ หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 ในหนงั สือเรยี น หน้า 2
หมายเหตุ ครยู งั ไม่เฉลยคำตอบของคำถามหน้าหน่วยการเรียนรู้ที่ 1 แต่จะเฉลยในคาบสุดทา้ ยของ
หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1
2. ครทู บทวนความรเู้ ดมิ ของนกั เรียน โดยใหน้ ักเรยี นศกึ ษาควรรูก้ อ่ นเรียน ในหนังสอื เรยี น หนา้ 3
และใชก้ ารถามตอบอกี คร้งั เพ่อื ตรวจสอบวา่ นกั เรียนไดศ้ ึกษาควรร้กู ่อนเรียน โดยครูถามคำถามนักเรียน
ดงั น้ี

• คอู่ ันดับ (3, -2) อยู่ในจตภุ าคใด
(แนวตอบ จตภุ าคท่ี 2)

• กำหนดให้ 2 + 36 = 100 แล้ว x มีค่าเทา่ ใด
(แนวตอบ x = 8)

• นกั เรียนหาคำตอบมาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบไดอ้ ยา่ งหลากหลายขน้ึ กบั ยุทธวิธีที่นักเรยี นใชใ้ นการหา
คำตอบ)

หลงั จากนน้ั ครูให้นกั เรียนทำแบบทดสอบวัดพื้นฐานความรู้ก่อนเรียน โดยการสแกน QR Code ใน
หนังสือเรียน หนา้ 3
3. ครใู หน้ กั เรียนร่วมกันตอบคำถามเพ่มิ เตมิ เพอื่ เชอ่ื มโยงเขา้ ส่เู รือ่ ง การวัดความยาวสว่ นโคง้ และพิกัดของ
จดุ ปลายสว่ นโค้ง วา่ สูตรการหาความยาวเส้นรอบวงของวงกลมมสี ตู รว่าอะไร
(แนวตอบ 2πr)
4. ครูวาดรูปวงกลมทมี่ รี ัศมีหนึง่ หน่วยท่ีมีจุดศูนย์กลางอยูท่ จ่ี ุด (0, 0) บนกระดานพรอ้ มระบพุ ิกัด
(1, 0), (0, 1), (-1, 0) และ (0, -1) แล้วถามนกั เรยี นวา่ วงกลมรปู นี้มคี วามยาวเส้นรอบวงเทา่ กบั เท่าไร
โดยหาจากสูตรการหาความยาวเส้นรอบรูปของวงกลม
(แนวตอบ 2π(1)=2π)

ขน้ั สอน

ขน้ั สอนหรือแสดง
1. ครูอธิบายว่า วงกลมหนง่ึ หน่วย เมื่อวดั ระยะจากจดุ (1, 0) ไปบนสว่ นโค้งของวงกลมเป็นระยะ |θ|

หนว่ ย (ระยะทางเปน็ บวกเสมอ) จะมีจุดสนิ้ สุดเพียง 1 จุดเท่าน้ัน คือ จุดปลายส่วนโค้งคู่อนั ดับ (x, y)
ดงั รปู ที่ 1 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 4
2. ครใู ห้นักเรยี นพจิ ารณารปู ท่ี 1 ในหนังสอื เรียน หนา้ 4 แลว้ อธิบายกับนักเรียนว่า ถา้ θ > 0 ให้วดั จาก
จดุ (1, 0) ไปบนส่วนโค้งของวงกลมหนึง่ หนว่ ยไปในทศิ ทางทวนเข็มนาฬกิ าเป็นระยะ θ หนว่ ย หรอื วัด
ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬิกาแล้ว θ มคี ่าเป็นบวก
3. ครใู ห้นักเรียนพิจารณารูปท่ี 2 ในหนังสือเรียน หน้า 4 แลว้ อธบิ ายกับนกั เรยี นวา่ ถ้า θ < 0 ใหว้ ดั จาก
จุด (1, 0) ไปบนสว่ นโค้งของวงกลมหนึง่ หนว่ ยไปในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ าเป็นระยะ |θ| หนว่ ย
(ระยะทางเป็นบวกเสมอ) หรอื วัดในทศิ ทางตามเข็มนาฬกิ าแล้ว θ เป็นลบ

ช่ัวโมงที่ 2

ขนั้ เปรียบเทยี บและรวบรวม
4. ครกู ลา่ วว่า จากความรเู้ ดมิ คือ ความยาวเสน้ รอบวงของรปู วงกลมหน่ึงหน่วยเท่ากับ 2π
5. ครอู ธิบายวา่ ในรปู ที่ 3 ในหนังสือเรยี น หนา้ 5 เป็นการแสดงตำแหน่งของจดุ ปลายส่วนโคง้ ของวงกลม

หนง่ึ หนว่ ยเม่อื วัดระยะจากจุด (1, 0) ไปบนส่วนโคง้ ของวงกลมเปน็ ระยะ θ = π หรือ 2π = π คือ
2 42

วงกลมรัศมี 1 หน่วย ถูกแบ่งเป็น 4 ส่วน เท่า ๆ กัน และวดั ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬิกา θ มีคา่ เปน็ บวก
6. ครกู ล่าวว่าในทำนองเดียวกัน รูปท่ี 4 ในหนงั สือเรียน หนา้ 5 เป็นการแสดงตำแหนง่ ของจุดปลายส่วน

โค้งของวงกลมหนง่ึ หน่วย เมอื่ วดั ระยะจากจุด (1, 0) ไปบนสว่ นโค้งของวงกลมเป็นระยะ θ = π หรอื
π + π = π ทำในทำนองเดียวกนั นี้ จนถึงรปู ท่ี 7 จะเห็นวา่ ตำแหน่งของจดุ ปลายส่วนโคง้ ของวงกลม

22

หน่งึ หนว่ ย วัดระยะจากจดุ (1, 0) ไปบนส่วนโคง้ ของวงกลมเปน็ ระยะ

π
θ = 2π + 2

5π
θ= 2

คือ |θ| > 2π แสดงวา่ วัดความยาวส่วนโค้งจากจุด (1, 0) เกนิ 1 รอบ
7. ครอู ธิบายว่าในรปู ท่ี 8 ในหนงั สือเรียน หนา้ 5 เป็นการแสดงตำแหน่งของจุดปลายส่วนโค้งของวงกลม

หนง่ึ หนว่ ย เมื่อวัดระยะจากจดุ (1, 0) ไปบนส่วนโค้งของวงกลมเปน็ ระยะ θ = − π คอื วงกลมรัศมี 1
2

หนว่ ย ถกู แบง่ เปน็ 4 สว่ น เท่า ๆ กัน แตว่ ัดในทิศทางตามเข็มนาฬิกา θ มคี า่ เปน็ ลบ
8. ครกู ล่าววา่ ในทำนองเดยี วกนั รปู ท่ี 9 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 6 เปน็ การแสดงตำแหน่งของจุดปลายส่วน

โคง้ ของวงกลมหนง่ึ หนว่ ย เม่อื วัดระยะจากจุด (1, 0) ไปบนสว่ นโค้งของวงกลมเปน็ ระยะ θ = −π
และทำในทำนองเดียวกนั นี้ จนถึงรูปที่ 12 จะเห็นวา่ ตำแหน่งของจดุ ปลายสว่ นโค้งของวงกลมหนงึ่
หน่วย วดั ระยะจากจุด (1, 0) ไปบนส่วนโคง้ ของวงกลมเปน็ ระยะ

π
θ = (−2π) + (−2π) + (− 2)

9π
θ=− 2

คอื |θ| > 2π แสดงวา่ วดั ความยาวส่วนโค้งจากจดุ (1, 0) เกิน 1 รอบแต่วัดในทิศตามเข็มนาฬกิ า

ข้นั สรุป

ขั้นสรุป

1. ครใู ห้นักเรียนอา่ น “คณติ น่าร้”ู ในหนงั สือเรยี น หน้า 6 และครูกลา่ วว่า “วงกลมหน่ึงหนว่ ยจะมีเสน้
รอบวงยาวเทา่ กับ 2π(1) = 2π หนว่ ย” ซ่งึ ตรงกบั ทีห่ าไว้ขา้ งตน้

2. ครถู ามคำถามเพ่อื สรุปความรู้รวบยอดของนักเรยี น ดังนี้

• ถา้ θ > 0 ให้วดั จากจุด (1, 0) ไปบนส่วนโค้งของวงกลมหน่ึงหน่วยไปในทิศทางทวนเข็ม

นาฬิกาเปน็ ระยะ θ หน่วย หรอื วดั ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬกิ าแล้ว θ มีค่าเปน็ จำนวนใด

(แนวตอบ เปน็ บวก)

• ถา้ θ < 0 ให้วัดจากจุด (1, 0) ไปบนสว่ นโค้งของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยไปในทิศทางตามเข็ม

นาฬกิ าเป็นระยะ |θ| หนว่ ย (ระยะทางเปน็ บวกเสมอ) หรือ วดั ในทิศทางตามเขม็ นาฬกิ า

แล้ว θ มคี า่ เปน็ จำนวนใด

(แนวตอบ เป็นลบ)

ขน้ั นำไปใช้

3. ครูใหน้ กั เรียนรว่ มกันตอบคำถาม “Thinking Time”

(แนวตอบขอ้ 1. รูปที่ 3 θ = − 9π รปู ท่ี 4 θ = π
2
รปู ท่ี 5 θ = 3π รูปท่ี 6 θ = 2π
2
รปู ท่ี 7 θ = 5π รปู ท่ี 8 θ = − π
2 2
รูปท่ี 9 θ = −π
รูปที่ 10 θ = − 3π
รูปที่ 11 θ = -2π 2

แนวตอบข้อ 2. รปู ที่ 3, 7, 10 รูปท่ี 12 θ = − 9π
2

รูปท่ี 4, 9

รปู ท่ี 3, 8, 12

รูปที่ 6, 11

แนวตอบขอ้ 3. เปน็ จุดเดยี วกันได้ แต่ θ ไมเ่ ทา่ กนั )

4. ครใู หน้ กั เรยี นเขยี นสรปุ ความร้รู วบยอดเร่อื ง การวดั ความยาวส่วนโค้งและพกิ ัดของจุดปลายสว่ นโค้ง

และตอบคำถาม “Thinking Time” ลงในสมุด

7. การวดั และประเมินผล วธิ กี าร เครอ่ื งมือ เกณฑก์ ารประเมนิ
รายการวดั

7.1 การประเมนิ กอ่ นเรียน - แบบทดสอบก่อน - ประเมินตามสภาพจริง
- แบบทดสอบก่อนเรียน - ตรวจแบบทดสอบ เรียน
หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 กอ่ นเรียน
เรือ่ ง ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ

7.2 ประเมินระหว่างการจัด

กจิ กรรมการเรียนรู้

1) วิธกี ารหาความยาว - ตรวจใบงานท่ี 1.1 - ใบงานท่ี 1.1 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

ส่วนโคง้ และพิกดั ของจดุ

ปลายส่วนโคง้

2) การนำเสนอผลงาน - ประเมนิ การนำเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดับคุณภาพ 2
ผลงาน นำเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์

3) พฤตกิ รรมการทำงาน - สงั เกตพฤตกิ รรม - แบบสังเกต - ระดับคณุ ภาพ 2

รายบุคคล การทำงานรายบุคคล พฤตกิ รรม ผา่ นเกณฑ์

การทำงานรายบุคคล

4) คุณลกั ษณะ - สงั เกตความมีวนิ ยั - แบบประเมนิ - ระดบั คณุ ภาพ 2
อันพงึ ประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมงุ่ มัน่
ในการทำงาน คณุ ลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

อันพึงประสงค์

8. สอ่ื /แหลง่ การเรียนรู้
8.1 สอ่ื การเรียนรู้
1) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ
2) หนังสือแบบฝกึ หัดรายวิชาเพม่ิ เติม คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1 ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ
3) ใบงานท่ี 1.1 เรอ่ื ง การหาตำแหน่งของจดุ ปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนง่ึ หน่วย
8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหลง่ ชมุ ชน
3) อนิ เทอรเ์ น็ต

ใบงานที่ 1.1

เร่อื ง การหาตำแหน่งของจุดปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนงึ่ หนว่ ย

คำช้แี จง : จงเขยี นตำแหนง่ ของจุดปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนึง่ หน่วยจาก θ ทีก่ ำหนดให้

1. θ = 5. θ = −
2

2. θ = 3 6. θ = −
2

3. θ = 2 7. θ = −2

4. θ = 7 8. θ = − 7
2 2

ใบงานท่ี 1.1 เฉลย

เรือ่ ง การหาตำแหน่งของจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมหนง่ึ หนว่ ย

คำช้แี จง จงเขยี นตำแหน่งของจดุ ปลายส่วนโค้งของวงกลมหนง่ึ หน่วยจาก θ ท่ีกำหนดให้

1. θ = 5. θ = −
2

2. θ = 3 6. θ = −
2

3. θ = 2 7. θ = −2

4. θ = 7 8. θ = − 7
2 2

บนั ทึกหลงั สอนแผนการสอนที่ ............

1. ผลการสอนระดับชนั้ ม..............................
 สอนไดต้ ามแผนการจดั การเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่ืองจาก ..........................................................................

2. ผลที่เกดิ กับผู้เรียน
1.) การประเมนิ ผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………แบบทดสอบหลงั เรียน............พบวา่ นกั เรียน

ผ่านการประเมินคิดเป็นรอ้ ยละ................……..…. ไม่ผา่ นเกณฑ์ขนั้ ตำ่ ทกี่ ำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ.............................
ไดแ้ ก่ ....................................เลขท่ี …………………………...........................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทกั ษะกระบวนการเรียน โดยใช้…………………………………………………………...............
พบวา่ นักเรยี นผ่านการประเมินคิดเป็นรอ้ ยละ...........……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ น้ั ต่ำท่ีกำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ................
ไดแ้ ก่ .......................................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ด้านคณุ ลักษณะที่พึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……..…แบบสังเกตพฤติกรรม....................
พบวา่ นักเรียนผ่านการประเมินคิดเป็นรอ้ ยละ..…....……. ไมผ่ า่ นเกณฑข์ ัน้ ต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ..................
ได้แก่ ........................................................................................................................................................................
3. ปัญหาและอปุ สรรค

 กจิ กรรมการจัดการเรยี นรู้ ไม่เหมาะสมกับเวลา
 มนี กั เรยี นทำใบงาน/ใบกจิ กรรมไมท่ นั ตามกำหนดเวลา
 มีนักเรยี นท่ไี มส่ นใจเรียน
 อืน่ ๆ .............................................................................................................................................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรบั ปรุง เรื่อง ......................................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 แนวทางแกไ้ ขนักเรยี นท่ไี ม่ผา่ นการประเมิน ..................................................................................
 .......................................................................................................................................................
 ไมม่ ีข้อเสนอแนะ

ลงชื่อ ผู้สอน
()

วนั ที่……..../................../................

ความคดิ เหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระฯ ความคิดเหน็ ของหวั หน้างานวิชาการ
1.เป็นแผนการจดั การเรยี นร้ทู ่ี 1.เปน็ แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่
 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรงุ  ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรับปรุง
2.การจัดกจิ กรรมการเรยี นรไู้ ดน้ ำเอากระบวนการเรยี นรู้ 2.การจดั กจิ กรรมการเรยี นรไู้ ด้นำเอากระบวนการเรยี นรู้
ทีเ่ นน้ ผูเ้ รียนเป็นสำคัญมาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง  ทีเ่ น้นผ้เู รียนเปน็ สำคญั มาใช้ในการสอนไดอ้ ย่าง

เหมาะสมกบั ศกั ยภาพที่แตกต่างกันของผเู้ รียน เหมาะสมกับศกั ยภาพทแี่ ตกตา่ งกันของผเู้ รยี น
 ทยี่ งั ไม่เนน้ ผู้เรยี นเป็นสำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป  ที่ยงั ไม่เน้นผเู้ รยี นเปน็ สำคญั ควรปรับปรุงพฒั นาตอ่ ไป
3.เปน็ แผนการจัดการเรียนรู้ 3.เปน็ แผนการจดั การเรียนรู้
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรุงกอ่ นนำไปใช้  นำไปใช้ได้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้
4.ข้อเสนอแนะอื่นๆ 4.ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ
……………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………….

ลงชอ่ื ....................................................... ลงช่ือ.......................................................
(นางสาวณัฐญิ า คาโส)
(นายศภุ ชยั เรอื งเดช)

แผนการจัดการเรยี นรูท้ ี่ 2

ค่าของฟังกช์ ันไซนแ์ ละฟงั กช์ นั โคไซน์

เวลา 5 ชว่ั โมง

1. ผลการเรยี นรู้

1) เข้าใจฟังก์ชันตรโี กณมติ แิ ละลักษณะกราฟของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติและ นำไปใชใ้ นการแก้ปัญหา
2) แกส้ มการตรีโกณมิตแิ ละนาไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา
3) ใชก้ ฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์ในการแกป้ ัญหา
2. จุดประสงค์การเรยี นรู้

1) บอกวธิ กี ารหาค่าของฟังกช์ ันไซน์และฟังกช์ ันโคไซนไ์ ด้ (K)

2) แสดงการหาค่าของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละฟังก์ชนั โคไซนไ์ ด้ (P)
3) รับผิดชอบต่อหนา้ ท่ที ี่ไดร้ ับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรยี นรเู้ พิ่มเตมิ สาระการเรยี นรูท้ อ้ งถิ่น

ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

4. สาระสำคญั /ความคดิ รวบยอด

1) การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และฟงั ก์ชนั โคไซน์ของ 0, π , π, π , π , π
2 436
สามารถหาได้โดยการใช้วงกลมหนง่ึ หนว่ ย หรอื การพจิ ารณากราฟของฟงั กช์ นั ไซน์และฟังกช์ นั โคไซน์

คา่ ของฟังก์ชันไซน์และฟงั กช์ นั โคไซนข์ องจำนวนจริงใด ๆ

sin(−θ) = −sinθ
cos(−θ) = cosθ

1) การหาค่าของ sinθ และ cosθ เมอื่ π < θ < π
2
sin (π − α) = sinα และ cos (π − α) = −cosα เมอื่ 0 < α < π
2

2) การหาค่าของ sinθ และ cosθ เม่ือ π < θ < 3π
2
sin (π + α) = −sinθ และ cos (π + α) = −cosθ เมือ่ 0 < α < π
2

3) การหาค่าของ sinθ และ cosθ เม่ือ 3π < θ < 2π
2
sin (2π − α) = −sinα และ cos (2π − α) = cosα เมอื่ 0 < α < π
2

4) การหาค่า sinθ และ cosθ เมือ่ θ > 2π
θ = 2nπ + α เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ 0 ≤ α < 2π จะไดว้ า่

sin (2nπ + α) = sinα
cos (2nπ + α) = cosα

5. สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี นและคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์

1. ความสามารถในการสือ่ สาร 1. มีวนิ ยั

2. ความสามารถในการคิด 2. ใฝเ่ รียนรู้
a. ทกั ษะการสำรวจ ค้นหา 3. มงุ่ มั่นในการทำงาน
b. ทักษะการประยกุ ตใ์ ช้ความรู้

i. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้
 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนคิ : อุปนยั (Inductive Method)

ชัว่ โมงที่ 1

ขั้นนำ

ขั้นเตรียม
ทบทวนความรเู้ ดมิ เรื่อง อัตราส่วนตรโี กณมิติ และวงกลมหน่ึงหนว่ ย ให้กับนักเรียน โดยการใช้คำถาม ดังน้ี

• อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ หมายถึงอตั ราส่วนใด
(แนวตอบ อัตราสว่ นตรีโกณมิติ หมายถึง อตั ราส่วนของดา้ นคู่ใดคหู่ นงึ่ บนรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก)

• ถ้าวดั จากจุด (1, 0) ไปบนส่วนโคง้ ของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬกิ าเป็นระยะ θ
หนว่ ย หรือ วดั ในทศิ ทางทวนเข็มนาฬกิ าแลว้ θ มคี ่าเป็นจำนวนใด
(แนวตอบ เปน็ บวก)

• ถา้ θ < 0 ให้วดั จากจดุ (1, 0) ไปบนส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
เปน็ ระยะ |θ| หน่วย (ระยะทางเป็นบวกเสมอ) หรือ วดั ในทศิ ทางตามเข็มนาฬิกา แล้ว θ มีค่าเปน็
จำนวนใด
(แนวตอบ เป็นลบ)

ข้ันสอน

ขั้นสอนหรอื แสดง
9. ครใู หน้ ักเรยี นพิจารณารปู ท่ี 13 ในหนงั สอื เรียน หน้า 7 แล้วกลา่ ววา่ คา่ ของ θ หนึ่งค่า จะกำหนดพิกัด

(x, y) ซงึ่ เปน็ จดุ บนวงกลมหน่งึ หน่วยไดเ้ พยี งพกิ ดั เดียว นน่ั คอื θ หน่งึ คา่ กำหนดค่าของ x ไดห้ นึ่งคา่
และกำหนดค่าของ y ไดห้ น่งึ ค่า
10. ครใู ห้นกั เรียนศกึ ษาตารางในหนงั สือเรียน หน้า 7 และกล่าววา่ สามารถเขยี นความสัมพนั ธ์ระหว่าง θ
กับ x ได้ ดังน้ี

3
{(0, 1), (2 , 0), (π, −1), ( 2 , 0), (2π, 1)}

ถ้า f เป็นความสมั พนั ธร์ ะหว่าง θ กับ x ซ่ึงไมม่ ีสองคอู่ ันดับใดใชส้ มาชิกตัวหน้าซำ้ กัน จะไดว้ ่า

f = {(θ, x) ∈ R × R|x = f(θ)}

เรียกความสัมพนั ธ์น้ีว่า ฟังก์ชันโคไซน์ เมื่อ x = cosine θ หรอื x = cos θ
ดงั น้ัน f = {(θ, x) ∈ R × R|x = cosθ}
11. ครกู ลา่ วต่อไปอกี วา่ จากตารางในหนังสอื เรียน หนา้ 7 จะเขียนความสัมพันธร์ ะหวา่ ง θ กบั y ได้ ดงั นี้

3
{(0, 0), (2 , 1), (π, 0), ( 2 , −1), (2π, 0)}

ถา้ เปน็ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง θ กบั y ซ่งึ ไมม่ สี องคู่อนั ดบั ใดใชส้ มาชกิ ตัวหน้าซ้ำ จะไดว้ า่

= {(θ, y) ∈ R × R|x = (θ)}

เรยี กความสมั พันธ์นวี้ า่ ฟังก์ชนั ไซน์ เมือ่ y = sine θ หรอื y = sin θ
ดงั น้นั = {(θ, y) ∈ R × R|y = sin θ}

ชั่วโมงท่ี 2

1. ครูใหน้ ักเรียนดูรปู ที่ 14 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 8 จากน้ันครูกลา่ ววา่ ครูกลา่ ววา่ จากรูปท่ี 14 จะเหน็ ว่า
จดุ ปลายสว่ นโคง้ มพี ิกัด (x, y) จะเขียนแทนด้วย (cos θ, sin θ)

2. ครูและนกั เรียนรว่ มกันศกึ ษาตัวอย่างท่ี 1 ในหนงั สอื เรียน หน้า 8
ขอ้ 1. θ = π เขียนในรปู (cos θ, sin θ) ไดเ้ ป็น (cos π, sin π)
ข้อ 2. θ = เขียนในรูป (cos θ, sin θ) ไดเ้ ป็น (cos π , sin π)

2 22

ขอ้ 3. θ = −2π เขียนในรปู (cos θ, sin θ) ได้เปน็ (cos (−2π), sin (−2π))
ข้อ 4. θ = − 3 เขียนในรูป (cos θ, sin θ) ไดเ้ ป็น (cos (− 3π), sin (− 3π))

2 22

หลงั จากนนั้ ครใู ห้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรยี น หนา้ 8 เม่ือนักเรียนทำเสรจ็ ครูและนักเรียน
รว่ มกันเฉลยคำตอบ
3. ครแู ละนักเรยี นร่วมกันศึกษาตวั อยา่ งที่ 2 ในหนงั สอื เรียน หน้า 9 และกลา่ วว่านักเรียนจะเหน็ วา่ จาก
ความสัมพนั ธ์ x = cos θ และ y = sin θ จะได้ว่า ท่ี θ เท่ากบั คา่ ใด ๆ นั่นคือ จดุ ปลายสว่ นโค้ง
จะกำหนดพกิ ดั (x, y) ซึง่ เปน็ จดุ บนวงกลมหน่งึ หน่วยไดเ้ พยี งพกิ ัดเดียว จากน้ันครูถามคำถามนักเรยี น
ดังน้ี

• ขอ้ 1) sin 0 มคี า่ เทา่ ใด พิจารณาค่า x หรอื y ที่ θ เท่าใด
(แนวตอบ sin 0 = 0 นัน่ คอื พิจารณาค่าของ y ที่ θ = 0)

• ข้อ 2) cos มีค่าเท่าใด พจิ ารณาคา่ x หรือ y ที่ θ เท่าใด
2
(แนวตอบ cos = 0 นัน่ คือ พจิ ารณาคา่ ของ x ที่ θ = )
22

• ขอ้ 3) sin 3 มคี า่ เทา่ ใด พิจารณาคา่ x หรือ y ท่ี θ เท่าใด
2
(แนวตอบ sin 3 = −1 นนั่ คอื พิจารณาค่าของ y ที่ θ = )3
22

• ขอ้ 4) cos 2 มีคา่ เทา่ ใด พจิ ารณาคา่ x หรือ y ที่ θ เท่าใด
(แนวตอบ cos 2 = 1 นั่นคอื พจิ ารณาค่าของ x ที่ θ = 2 )

• ขอ้ 5) sin (− ) มีคา่ เทา่ ใด พจิ ารณาคา่ x หรอื y ท่ี θ เท่าใด
2
(แนวตอบ sin (− ) = −1 นัน่ คอื พจิ ารณาค่าของ y ท่ี θ = − )
22

• ข้อ 6) cos (− 3 ) มคี า่ เทา่ ใด พิจารณาค่า x หรือ y ที่ θ เท่าใด
2
(แนวตอบ cos (− 3 ) = 0 นั่นคือ พจิ ารณาคา่ ของ x ที่ θ = − )3
22

• ข้อ 7) sin (− ) มีคา่ เท่าใด พจิ ารณาคา่ x หรือ y ที่ θ เท่าใด

(แนวตอบ sin (− ) = 0 น่ันคือ พจิ ารณาค่าของ y ท่ี θ = − )

• ข้อ 8) cos(−2 ) มคี ่าเทา่ ใด พิจารณาคา่ x หรือ y ท่ี θ เท่าใด
(แนวตอบ cos(−2 ) = 0 น่นั คือ พิจารณาคา่ ของ x ที่ θ = −2 )

หลังจากนัน้ ครใู หน้ กั เรยี นทำ “ลองทำด”ู ในหนงั สอื เรียน หน้า 9 เมอื่ นักเรียนทำเสร็จครแู ละนกั เรยี น
ร่วมกนั เฉลยคำตอบ
ข้อสงั เกต จากรูปวงกลมหนง่ึ หนว่ ยจะได้วา่

P(nπ) = (1, 0) เมือ่ n เปน็ จำนวนคู่
P(nπ) = (−1, 0) เมื่อ n เปน็ จำนวนคี่
4. ครูอธบิ ายการหาค่าของ sin π และ cos π

44

จากรูปท่ี 16 ในหนงั สือเรียน หนา้ 10 จะเห็นวา่ จุด P(x, y) เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโคง้ AB
เนอื่ งจาก สว่ นโคง้ AB ยาว หนว่ ย

2

แสดงว่า สว่ นโค้ง AP ยาวเท่ากับส่วนโคง้ PB ซ่งึ ยาว หน่วย
4

จะไดว้ า่ คอร์ด AP ยาวเทา่ กบั คอร์ด PB
ดงั น้นั AP = PB

√(x − 1)2 + (y − 0)2 = √(x − 0)2 + (y − 1)2
x2 − 2x + 1 + y2 = x2 + y2 − 2y + 1
x=y

จาก x2 + y2 = 1 (สมการวงกลมของวงกลมหนงึ่ หน่วย)

จะได้ 2x2 = 1

x=± 1

√2

เนอ่ื งจาก (x, y) อยใู่ นจตุภาคท่ี 1 จะไดว้ า่ x > 0 และ y > 0

ดงั นัน้ x = 1 = √2 และ y = 1 = √2
√2 2 √2 2

น่ันคือ จดุ ปลายสว่ นโคง้ ท่ยี าว π หนว่ ย คือ จุด (√2 , √2)
4 22

ทำให้ได้วา่ cos π = √2 และ sin π = √2
42 42
และจากรปู ที่ 17 ในหนังสอื เรียน หน้า 10 สามารถหาค่าของฟังกช์ ันไซน์และฟงั กช์ นั โคไซนข์ อง

จำนวนจริง 3π , 5π , 7π … , (2n+1)π เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ
444 4

− 3π , − 5π , − 7π … , − (2n+1)π เมอ่ื n เปน็ จำนวนเตม็ บวก
44 4 4

5. ครแู ละนักเรียนรว่ มกันศึกษาตวั อย่างท่ี 3 ในหนังสอื เรียน หน้า 11 ซงึ่ ทำในทำนองเดยี วกนั กบั

คำอธิบายกอ่ นหนา้ นี้และเปิดโอกาสให้นักเรียนสอบถามในส่วนท่ไี มเ่ ข้าใจ

ข้อควรระวัง จากระบบพิกัดฉาก จะไดว้ า่

ถ้าคอู่ ันดับ (x, y) อยู่ในจตุภาคท่ี 1 แล้ว x > 0 และ y > 0 → (+, +)

ถ้าคู่อนั ดับ (x, y) อยู่ในจตุภาคท่ี 2 แลว้ x < 0 และ y > 0 → (−, +)

ถ้าคู่อันดบั (x, y) อยู่ในจตภุ าคที่ 3 แล้ว x < 0 และ y < 0 → (−, −)

ถ้าคู่อนั ดบั (x, y) อยู่ในจตุภาคที่ 4 แล้ว x > 0 และ y < 0 → (+, −)

หลงั จากน้นั ครูให้นกั เรียนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หน้า 12 เมื่อนักเรยี นทำเสร็จครแู ละนักเรียน

ร่วมกันเฉลยคำตอบ

6. ครอู ธบิ ายรปู ที่ 18 ในหนังสือเรียน หนา้ 12 ซึ่งทำในทำนองเดียวกนั กบั การหาค่าของ sin π และ
4
cos π แตเ่ ป็นการหาค่าของ sin π และ cos π
4 66

7. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั ดูตวั อย่างท่ี 4 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 13 ซง่ึ ทำในทำนองเดยี วกนั กับคำอธบิ าย

ก่อนหนา้ น้แี ละเปิดโอกาสให้นกั เรยี นสอบถามในส่วนท่ไี ม่เขา้ ใจ

8. ครใู หน้ ักเรียนทำ “ลองทำด”ู ในหนังสอื เรียน หนา้ 14 เม่อื นกั เรยี นทำเสร็จครแู ละนักเรียนรว่ มกนั เฉลย

คำตอบ

9. ครอู ธบิ ายรูปท่ี 20 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 14 ซ่งึ ทำในทำนองเดยี วกนั กับการหาคา่ ของ sin π และ
4
cos π แตเ่ ป็นการหาคา่ ของ sin π และ cos π
4 33

10. ครูและนักเรียนรว่ มกนั ศกึ ษาตวั อยา่ งท่ี 5 ในหนังสอื เรียน หน้า 15 ซงึ่ ทำในทำนองเดียวกนั กับ

คำอธบิ ายกอ่ นหนา้ นแ้ี ละเปดิ โอกาสให้นกั เรียนสอบถามในสว่ นที่ไมเ่ ขา้ ใจ

หลงั จากน้นั ครใู ห้นักเรียนทำ “ลองทำด”ู ในหนงั สือเรียน หนา้ 16 เมื่อนกั เรยี นทำเสรจ็ ครแู ละนกั เรียน

ร่วมกนั เฉลยคำตอบ

11. ครอู ธบิ ายตัวอยา่ งที่ 6 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 16 ซง่ึ แตกตา่ งจากการหาค่า sin θ และ cos θ จากเดมิ ที่

กำหนดค่า θ แล้วให้หาความยาวสว่ นโคง้ แต่ในตวั อย่างนี้จะให้ค่าของความยาวสว่ นโคง้ มาแลว้ ใหห้ า

คา่ θ ทสี่ อดคล้องกบั ฟงั กช์ ันไซน์และฟงั ก์ชนั โคไซนท์ ีก่ ำหนด

ครอู ธบิ ายว่าจากตวั อย่างท่ี 6 ข้อ 1) sin θ = − √2 เม่ือ −2π ≤ θ ≤ 0
2

จะไดว้ ่า จุด (x, y) ทีเ่ ปน็ จดุ ปลายส่วนโค้งบนวงกลมหนง่ึ หน่วยทม่ี ีค่า y = − √2 เม่อื วดั จากจดุ
2

(1, 0) จะมีความยาวเปน็ |− π| และ |− 3π|
44

ดังนน้ั θ ทส่ี อดคล้องกบั sin θ = − √2 เมื่อ −2π ≤ θ ≤ 0 คอื − π และ − 3π
2 44

12. ครูใหน้ กั เรียนศกึ ษาตวั อยา่ งท่ี 6 ขอ้ 2) และครถู ามคำถาม “จาก 0 ≤ θ ≤ 4π หมายความว่าอะไร”

(แนวตอบ หมายความวา่ วัดจากจดุ (1,0) ไปในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกาไปบนส่วนโคง้ ของวงกลมหนึง่

หน่วยเป็นระยะ 4π หนว่ ย หรือ 2 รอบของวงกลมหนงึ่ หนว่ ย)

จึงทำให้ข้อ 2) มี θ ท่ีสอดคล้องกับ cos θ = √3 เมอ่ื 0≤ θ ≤ 4π คือ π, และ11π , 13π 23π

2 66 6 6

13. ครใู หน้ ักเรยี นทำ “ลองทำด”ู ในหนังสือเรียน หนา้ 17 เม่อื นกั เรยี นทำเสร็จครแู ละนักเรียนร่วมกนั เฉลย
คำตอบ

ชั่วโมงที่ 3

14. ครูกล่าวว่าจากเดิมที่นักเรียนได้ศึกษาการหาค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ไปแล้ว ในหัวข้อน้ี

นักเรียนจะได้ศึกษาค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ของจำนวนจริงใด ๆ โดยใช้ความรู้เดิมและ

การสะทอ้ น ซง่ึ มีแกน x หรอื แกน y เป็นเส้นสะทอ้ น

15. ครูให้นักเรียนพิจารณารูปที่ 22 ในหนังสือเรียน หน้า 17 พิจารณา θ > 0 และ (x, y) เป็นจุดปลาย

ส่วนโค้งบนวงกลมหนึ่งหน่วยท่ีวัดจากจุด (1, 0) เป็นระยะ |θ| หน่วย ให้จุด (x, −y) เป็นภาพ

สะท้อนจากจุด (x, y) โดยมีแกน x เป็นเส้นสะท้อน จึงได้ว่าจุด (x, −y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งบน

วงกลมหนึ่งหนว่ ยที่วดั จากจดุ (1, 0) เป็นระยะ | − θ| หน่วย

จากจดุ (x, y) = (cosθ, sinθ) และ (x, −y) = (cos (−θ), sin (−θ))

จะไดว้ ่า x = cosθ , y = sinθ และ x = cos(−θ) , −y = sin (−θ)

จงึ สรปุ ได้วา่ sin(−θ) = −sinθ

cos(−θ) = cosθ

ครูถามคำถาม “ท่ีจดุ (x, y)อยู่ในจตุภาคทีเ่ ท่าไรและท่ีจุด (x, −y) อยใู่ นจตุภาคท่เี ทา่ ไร”

(แนวตอบ ทจี่ ุด (x, y)อยู่ในจตุภาคท่ี 1 และที่จุด (x, −y) อยใู่ นจตภุ าคที่ 4)

ซึ่งถ้าค่อู ันดับ (x, y) อยู่ในจตุภาคท่ี 1 แลว้ x > 0 และ y > 0 → (+, +)

และถา้ คอู่ ันดับ (x, y) อยู่ในจตภุ าคท่ี 4 แล้ว x > 0 และ y < 0 → (+, −)

16. ครูให้นกั เรยี นจับคศู่ ึกษาตัวอยา่ งท่ี 7 ในหนังสือเรียน หน้า 18 แลว้ แลกเปลี่ยนความรกู้ ับคู่ของตนเอง

จากนัน้ ครถู ามคำถามนักเรียน ดงั น้ี

• sin (− ) มีคา่ เทา่ ใด
4
(แนวตอบ sin (− ) = − √2)
42

• cos (− ) มีคา่ เทา่ ใด
4
(แนวตอบ cos (− ) = √2)
42

จากนัน้ ใหน้ กั เรียนแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 18 เมอ่ื เสร็จแลแลว้ ครูและนักเรียน

รว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู”

ช่วั โมงท่ี 4

17. ครอู ธบิ ายรูปที่ 23 จากรปู ที่ 23 กำหนด π < θ < π และจดุ P′(−x, y) เปน็ จุดปลายส่วนโคง้ บน
2
วงกลมหนง่ึ หนว่ ยทวี่ ัดจากจุด (1, 0) เปน็ ระยะ θ หนว่ ย
ให้ α = π − θ จะไดว้ ่า 0 < α < π
เนอ่ื งจาก สว่ นโค้ง AP′ยาว θ หน่วย
ดังน้นั สว่ นโค้ง P′B ยาว α หนว่ ย

ให้จดุ P(x, y) เป็นภาพสะทอ้ นท่ีเกิดจากการสะท้อนจดุ P′(−x, y) โดยมแี กน y เปน็ เส้น
สะท้อนจากสว่ นโคง้ P′B ยาว α หนว่ ย จะได้ว่า สว่ นโค้ง AP ยาว α หนว่ ย

จะได้ว่า x = cosα และ y = sinα
แต่ −x = cosθ = cos (π − α) และ y = sinθ = sin (π − α)
ครถู ามคำถาม “จดุ P′(−x, y) อยใู่ นจตุภาคทเ่ี ท่าไร”
(แนวตอบ จตภุ าคท่ี 2)
จึงสรุปได้วา่ sin (π − α) = sinα และ cos(π − α) = −cosα

เมือ่ 0 < α < π
2

18. ครใู หน้ กั เรยี นจับคูศ่ ึกษาตัวอย่างท่ี 8 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 19 แล้วแลกเปลี่ยนความรู้กบั คขู่ องตนเอง
และครถู ามคำถามนกั เรียน ดงั น้ี

• sin 4 หาค่าได้อย่างไร และมีค่าเท่าใด
5
(แนวตอบ sin 4 หาค่าไดจ้ ากการพจิ ารณา sin ในจตุภาคที่ 2 จะมคี ่าเทา่ กับ 0.59)
55

• cos 4 หาค่าไดอ้ ย่างไร และมคี า่ เทา่ ใด
5
(แนวตอบ cos 4 หาคา่ ได้จากการพจิ ารณา sin ในจตภุ าคที่ 2 จะมีค่าเท่ากับ −0.81)
55

จากนัน้ ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 19 หลงั จากน้นั ครูและนกั เรียน
รว่ มกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 19
19. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกนั ศึกษารูปที่ 24 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 19 และครอู ธบิ ายรูปที่ 24 จากรูปที่ 24
กำหนด π < θ < 3π และจุด P′′(x, y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งบนวงกลมหน่งึ หนว่ ยทว่ี ัดจากจดุ

2

(1, 0) เปน็ ระยะ θ หน่วย จะไดว้ า่ −x = cosθ และ −y = sinθ
ให้ α = θ − π จะได้ θ = π + α เมอ่ื π < θ < 3π

2

เนื่องจาก ส่วนโค้ง AB ยาว π หนว่ ย จะไดว้ ่า ส่วนโค้ง BP′′ ยาว θ − π = α หนว่ ย
ใหจ้ ุด P′(−x, y) เปน็ ภาพสะทอ้ นทีเ่ กิดจากการสะทอ้ นจุด P′′(−x, y) โดยมีแกน X เปน็ เส้นสะทอ้ น
และจดุ P(x, y) เป็นภาพสะท้อนทเี่ กิดจากการสะทอ้ นจุด P′(−x, y) โดยมแี กน Y เป็นเสน้ สะทอ้ น
จะไดว้ า่ ส่วนโคง้ AP ยาว α หนว่ ย
ดงั น้นั จุด P(x, y)เป็นจุดปลายสว่ นโคง้ บนวงกลมหนง่ึ หนว่ ยทว่ี ัดจากจดุ (1, 0) เปน็ ระยะ α หนว่ ย
จะได้วา่ x = cosα และ y = sinα
แตจ่ าก −x = cosθ = cos(π + α) และ −y = sinθ = sin(π + α)
จึงสรปุ ไดว้ า่ sin(π + α) = −sinθ และ cos(π + α) = −cosθ เม่ือ 0 < α < π

2

20. ครูให้นกั เรยี นจบั ค่ศู ึกษาตัวอย่างที่ 9 ในหนังสือเรียน หนา้ 20 แล้วแลกเปล่ยี นความร้กู บั คขู่ องตนเอง
และครูถามคำถามนักเรยี น ดงั น้ี

• sin 6 หาค่าไดอ้ ย่างไร และมีค่าเท่าใด
5
(แนวตอบ sin 6 หาคา่ ได้จากการพจิ ารณา sin ในจตภุ าคที่ 3 จะมคี ่าเทา่ กับ −0.59)
55

• cos 6 หาคา่ ได้อย่างไร และมีคา่ เท่าใด
5
−0.81)
(แนวตอบ cos 6 หาค่าไดจ้ ากการพจิ ารณา sin ในจตภุ าคที่ 3 จะมีค่าเท่ากับ
5 5
จากนน้ั ใหน้ กั เรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนังสือเรียน หน้า 20 หลงั จากนน้ั ครูและนกั เรียน

รว่ มกันเฉลยคำตอบ “ลองทำดู” ในหนังสือเรยี น หน้า 20

ชั่วโมงที่ 5

21. ครแู ละนกั เรียนรว่ มกันศึกษารูปที่ 25 ในหนังสือเรยี น หนา้ 21 และครูอธบิ ายรปู ที่ 25 โดยครูกลา่ วว่า
จากรปู ท่ี 25 กำหนด 3π < θ < 2π และจุด P′(x, − y) เปน็ จดุ ปลายสว่ นโค้งบนวงกลมหน่ึงหนว่ ยท่ี

2

วดั จากจุด (1, 0) เป็นระยะ θ หนว่ ย จะไดว้ า่ x = cosθ และ −y = sinθ
ให้ α = 2π − θ จะไดว้ ่า θ = 2π − α เมอ่ื 0 < θ < 2π
เน่ืองจาก เส้นรอบวงของวงกลมหนงึ่ หนว่ ยยาว 2π หน่วย จะได้ว่า ส่วนโคง้ P′A ยาว 2π − θ =
2π − 2π + α = α หนว่ ย
ใหจ้ ุด P(x, y) เป็นภาพสะทอ้ นทเ่ี กิดจากการสะทอ้ นจดุ P′(x, −y) โดยมีแกน x เป็นเสน้ สะทอ้ น
จะไดว้ า่ สว่ นโคง้ AP ยาว α หน่วย
ดังนั้น จดุ P(x, y) เป็นจุดปลายสว่ นโค้งบนวงกลมหนึง่ หนว่ ยทวี่ ัดจากจดุ (1, 0)เป็นระยะ α หน่วย
จะไดว้ ่า x = cosα และ y = sinα
แตจ่ าก x = cosθ = cos (2π − α) และ−y = sinθ = sin (2π − α)
จงึ สรปุ ไดว้ ่า sin(2π − α) = −sinα และ cos(2π − α) = cosα เมอื่ 0 < α < π

2

22. ครใู หน้ กั เรยี นจับคู่ศกึ ษาตวั อย่างที่ 10 ในหนงั สอื เรียน หน้า 22 แลว้ แลกเปลี่ยนความรู้กบั คู่ของตนเอง
และครูถามคำถามนักเรยี น ดงั นี้

• sin 9 หาค่าไดอ้ ย่างไร และมคี ่าเทา่ ใด
5
(แนวตอบ sin 9 หาค่าไดจ้ ากการพิจารณา sin ในจตุภาคท่ี 4 จะมคี ่าเท่ากับ −0.59)
55

• cos 9 หาคา่ ไดอ้ ย่างไร และมีคา่ เทา่ ใด
5
(แนวตอบ cos 9 หาค่าได้จากการพจิ ารณา sin ในจตภุ าคที่ 4 จะมีค่าเท่ากับ 0.81)
55

จากนัน้ ให้นักเรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 22 หลงั จากนัน้ ครแู ละนกั เรียน
ร่วมกนั เฉลยคำตอบ “ลองทำดู” ในหนงั สือเรยี น หนา้ 22
23. ครูใหน้ กั เรยี นศึกษากรอบ “คณติ น่ารู้” ในหนังสือเรยี น หนา้ 22 และครแู ละนกั เรียนรว่ มกนั ศึกษา การ
หาค่า sinθ และ cosθ เมือ่ θ > 2π
จากรูปในหนา้ 22 จาก θ > 2π และจุด P(x, y) เป็นจุดปลายสว่ นโคง้ บนวงกลมหน่ึงหนว่ ยทีว่ ดั จาก
จุด (1, 0)เปน็ ระยะ θ หน่วย

จาก θ > 2π และเสน้ รอบวงของวงกลมหนง่ึ หน่วยยาว 2π หน่วย จะได้ว่า θ = 2nπ + α
เมือ่ n เป็นจำนวนเตม็ บวกและ α เป็นระยะของจดุ P(x, y) ท่ีวดั จากจุด (1, 0) เปน็ ระยะ θ
หนว่ ย เมือ่ 0 ≤ α < 2π

จะเห็นวา่ จุด P(x, y) ทเ่ี ป็นจดุ ปลายสว่ นโค้งบนวงกลมหนง่ึ หนว่ ยทว่ี ดั จากจดุ (1, 0) เปน็ ระยะ θ
หน่วยและ α หน่วย เปน็ จุดเดยี วกัน
ขนั้ เปรียบเทยี บและรวบรวม
24. ครูและนกั เรยี นจงึ ร่วมกนั อภิปรายวา่ ดงั นั้น การหาจดุ ปลายสว่ นโคง้ บนวงกลมหนง่ึ หน่วยทวี่ ดั จากจดุ

(1, 0) เปน็ ระยะ θ หน่วย เมอื่ θ > 2π สามารถหาไดจ้ ากจุดปลายสว่ นโค้งบนวงกลมหนงึ่ หนว่ ยท่ีวดั
จากจุด (1, 0) เป็นระยะ α หนว่ ย เมื่อ θ = 2nπ + α และ 0 ≤ α < 2π จึงสรุปได้ว่า

sin (2nπ + α ) = sinα
cos (2nπ + α ) = cosα

25. ครใู หน้ ักเรยี นจับคู่ศึกษาตัวอย่างที่ 11 ในหนงั สอื เรียน หน้า 23 แลว้ แลกเปล่ียนความรูก้ ับคูข่ องตนเอง
และครูถามคำถามนกั เรยี น ดงั น้ี

• sin 25 หาคา่ ไดอ้ ยา่ งไร และมีคา่ เท่าใด
3
(แนวตอบ sin 25 หาค่าไดจ้ ากการพจิ ารณา sin ในจตภุ าคท่ี 1 จะมีค่าเทา่ กับ 1)
3 32

• sin (− 61 ) หาคา่ ได้อย่างไร และมคี ่าเท่าใด
6

(แนวตอบ sin (− 61 ) หาค่าไดจ้ ากการพจิ ารณา sin ในจตุภาคที่ 1 และ sin(− ) = − sin
6
6
จะได้วา่ sin (− 61 ) = − 1)
62

จากนนั้ ให้นักเรยี นแต่ละคนทำ “ลองทำดู” ในหนงั สอื เรียน หน้า 23 หลงั จากน้ันครูและนักเรยี น

รว่ มกันเฉลยคำตอบ “ลองทำดู” ในหนังสอื เรยี น หน้า 23

ข้นั สรุป

ขน้ั สรุป
ครถู ามคำถามเพอื่ สรปุ ความรรู้ วบยอดของนักเรียน ดังนี้

• คา่ ของฟงั ก์ชนั ไซน์และฟงั ก์ชนั โคไซนข์ อง 0, π , π, π , π , π หาได้อยา่ งไร
2 436
(แนวตอบ สามารถหาไดโ้ ดยการใช้วงกลมหนึ่งหนว่ ย หรอื การพิจารณากราฟของฟงั ก์ชนั ไซนแ์ ละ
ฟงั กช์ ันโคไซน์)

• ค่าของฟังก์ชันไซน์และฟังกช์ นั โคไซน์ของจำนวนจรงิ ใด ๆ หาได้อย่างไร
(แนวตอบ
1) การหาคา่ ของ sinθ และ cosθ เมื่อ π < θ < π

2

sin (π − α) = sinα และ cos (π − α) = −cosα เม่ือ 0 < α < π
2

2) การหาค่าของ sinθ และ cosθ เม่ือ π < θ < 3π
2
sin (π + α) = −sinθ และ cos (π + α) = −cosθ เมื่อ 0 < α < π
2

3) การหาคา่ ของ sinθ และ cosθ เมือ่ 3π < θ < 2π
2
sin (2π − α) = −sinα และ cos (2π − α) = cosα เมอื่ 0 < α < π
2

4) การหาค่า sinθ และ cosθ เมอ่ื θ > 2π